Дидактические материалы Колягин 10 класс

УДК 372.8:[512 + 517]
ББК 74.262.21
А45
А в т о р ы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва,
Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва
Алгебра и начала математического анализа.
А45 Дидактические материалы. 10 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва].— 4-е изд.— М. : Просвещение,
2012.— 142 с. : ил.— ISBN 978-5-09-029513-0.
Книга содержит материалы к каждой теме курса алгебры и
начал математического анализа для 10 класса углублённого уровня и дополняет систему упражнений учебника и дидактические
материалы тех же авторов, предназначенные для базового уровня. Каждая глава содержит примеры и задачи с подробными решениями, задания для самостоятельной работы, контрольные работы и ответы к заданиям.
УДК 372.8:[512 + 517]
ББК 74.262.21
ISBN 978-5-09-029513-0
© Издательство «Просвещение», 2008
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2008
Все права защищены
Предисловие
Cовременные cтандарты школьного образования
выделяют в содержании математического образования старших классов два уровня знаний — базовый
и углублённый. Учебник авторов Ю. М. Колягина и
др. «Алгебра и начала математического анализа»
для 10 класса под редакцией А. Б. Жижченко
(М.: Просвещение, 2008) создан для обучения в старшей школе на обоих уровнях.
Дидактические материалы дополняют систему
упражнений учебника на продвинутом базовом и на
углублённом уровнях. Дополнительные упражнения
для базового уровня и продвинутого базового можно
найти в пособии «Дидактические материалы по алгебре и началам математического анализа» для 10 класса общеобразовательных учреждений авторов М. И. Шабунина, М. В. Ткачёвой, Н. Е. Фёдоровой, Р. Г. Газаряна (М.: Просвещение, 2010).
Обе книги составляют единый комплект. Они объединены идеей широкого использования при дифференциации обучения — каждое задание снабжено условной балловой оценкой (от 1 до 10 очков), характеризующей его сложность. Используя балловую
оценку заданий, учитель может:
— организовать «плавную» дифференциацию обучения математике: в зависимости от качества усвоения темы каждому учащемуся предлагать конкретный
балловый диапазон выполняемых заданий, помогая
постепенно поднимать уровень своих математических
умений;
— предлагать учащимся разнообразные виды самостоятельных и проверочных работ, ориентируя их
на соответствие набираемых баллов одной из положительных оценок («3», «4» или «5»).
В обоих пособиях задания продвинутого базового
уровня в основном оценены баллами от 5 до 7, а
углублённого — от 8 до 10 баллов.
3
Каждая глава пособия содержит:
1) дидактические материалы к каждому параграфу учебника Ю. М. Колягина и др.;
2) контрольную работу по тематике главы в двух
вариантах.
Каждый параграф пособия включает:
1) примеры типовых задач с подробными решениями;
2) разноуровневые задания для самостоятельной работы (в двух вариантах), снабженные ответами в конце
книги.
Несмотря на то что содержание и структура данной книги соответствуют учебнику «Алгебра и начала математического анализа» авторов Ю. М. Колягина и др., ее можно с успехом использовать при работе с другими учебниками.
Глава
§ 1.
II
Делимость
чисел
Понятие делимости.
Делимость суммы и произведения
Примеры с решениями
1. Доказать, что число a делится на m, если:
1) a = 618 + 368, m = 37;
2) a = 324 – 911 + 277, m = 25.
Р е ш е н и е. 1) a = 618 + 616 = 616 (62 + 1) = 616 ⭈ 37;
2) a = 324 – 322 + 321 = 321 (27 – 3 + 1) = 321 ⭈ 25.
2. Доказать, что число a = 474 + 703 + 934 + 20 делится
на 23.
Р е ш е н и е. Для доказательства запишем число a в виде
a = (474 – 1) + (703 – 1) + (934 – 1) + 23
и воспользуемся формулой x4 – 1 = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) при
x = 24 и x = 93, а также формулой x3 – 1 = (x – 1) (x2 + x + 1)
при x = 70.
Так как числа 46, 69 и 92 делятся на 23, то и число a делится на 23.
3. Доказать, что число a = 108 + 10 делится на 11.
Р е ш е н и е. Запишем число a в виде a = 108 – 1 + 11 и
воспользуемся тем, что b = 108 – 1 — восьмизначное число, все цифры которого — девятки. Такое число делится
на 99, а значит, и на 11. Следовательно, a = b + 11 делится на 11.
4. Пусть a и b — такие целые числа, что число
c = 3a + 2b делится на 17. Доказать, что и число d = 10a + b
делится на 17.
Р е ш е н и е. Воспользуемся равенством 3 (10a + b) =
= 10 (3a + 2b) – 17b, откуда 3d = 10c – 17b.
Так как правая часть этого равенства, т. е. 10c – 17,
делится на 17, а 3 не делится на 17, то число d должно
делиться на 17.
Задания для самостоятельной работы
1. 4 Доказать, что число a делится на m, если:
1) a = 184 + 523 + 864 + 14, m = 17;
2) a = 203 + 584 + 772 + 16, m = 19.
5
2. 4 Доказать, что при любых натуральных m и n число
a делится на p, если:
1) a = (5m + 7n + 3)6 (3m + 9n + 2)5, p = 32;
2) a = (3m + 5n + 1)7 (5m + 9n + 2)6, p = 64.
3. 5 Пусть a, b — целые числа. Доказать, что если число
c делится на m, то и число d делится на m, если:
1) с = 5a + 3b, m = 7, d = 9a + 4b;
2) c = 5a + 3b, d = 7a + 2b, m = 11.
4. 6 Доказать, что ни при каких n N число a не является квадратом натурального числа, если:
1) a = n2 + 3n + 2;
2) a = n2 + 5n + 4.
§ 2.
Деление с остатком
Примеры с решениями
1. При делении числа 1270 на некоторое натуральное
число m частное оказалось равным 74. Найти m и r, где
r — остаток от деления.
Р е ш е н и е. По определению деления справедливо равенство 1270 = 74m + r, которое можно рассматривать как
запись результата деления числа 1270 на 74.
Разделив уголком 1270 на 74, получим частное m = 17
и остаток r = 12.
2. Найти все целые числа, которые при делении на 9
дают остаток 5, а при делении на 15 дают остаток 4.
Р е ш е н и е. Пусть x — искомое целое число, тогда
x = 9m + 5, x = 15n + 4, где m Z, n Z, откуда 9m + 5 =
= 15n + 4, т. е. 15n – 9m = 1. Полученное равенство не является верным ни при каких целых n и m, так как его
левая часть делится на 3, а правая нет.
3. Доказать, что при любом n N число p = n3 + 20n +
+ 105 + 2 делится на 3.
Р е ш е н и е. Число a = 105 – 1 + 3 делится на 3 (можно
воспользоваться также тем, что сумма цифр числа
105 + 2, равная трем, делится на 3).
При n = 1 число b = n3 + 20n делится на 3. Покажем,
что при любом n N, n > 1, число b делится на 3, представив его в виде b = n3 – n + 21n. Так как c = n3 – n =
= (n – 1) n (n + 1) — произведение трех последовательных
натуральных чисел, из которых одно делится на 3, то c
делится на 3, откуда b = c + 21n делится на 3, тогда и
число p = a + b делится на 3.
6
4. Доказать, что при любом n N число a = 6n5 +
4
15n
+ 10n3 – n делится на 30.
+
Р е ш е н и е. Нужно доказать, что a делится на 2, 3 и 5.
а) Если n — четное число, то a делится на 2, а если
n — нечетное число, то a также делится на 2, так как
15n4 – n д е л и т с я на 2 (сумма двух нечетных чисел).
б) Так как 6n5 + 15n4 + 9n3 = b делится на 3,
a = b + n3 – n, где n3 – n = c — число, делящееся на 3 (пример 3), то a = b + c д е л и т с я на 3.
в) Заметим, что число 5n5 + 15n4 + 10n3 делится на 5.
Поэтому a делится на 5 тогда и только тогда, когда
число d = n5 – n делится на 5.
Если n делится на 5, то и d делится на 5. Пусть n
не делится на 5. Тогда n = 5p 1 или n = 5q 2, где p N,
q N. Так как d = n (n2 – 1) (n2 + 1), то при n = 5p 1 число
n2 – 1 делится на 5, а при n = 5q 2 число n2 + 1 делится
на 5. Следовательно, d делится на 5 при любом n N.
5. Найти остаток от деления числа a = 2187 + 374 + 7257
на 10.
Р е ш е н и е. Задачу можно сформулировать так: найти последнюю цифру числа a.
В главе II учебника (§ 2, задача 5) было установлено, что последние цифры чисел 2k, 3k, 7k повторяются через 4. Это означает, что если k = 4p + r, p N, r — остаток
от деления k на 4 (r = 1, 2, 3), то последние цифры чисел 2k, 3k, 7k такие же, как у чисел 2r, 3r, 7r, а если r = 0
(k делится на 4), то последние цифры чисел 2k, 3k, 7k
такие же, как у чисел 24, 34, 74.
Так как остатки от деления на 4 чисел 187, 74 и 257
равны соответственно 3, 2 и 1, то последние цифры
чисел 2187, 374 и 7257 равны последним цифрам чисел 23,
32 и 71, т. е. это цифры 8, 9 и 7, а последняя цифра
числа a — последняя цифра суммы 8 + 9 + 7, т. е. это цифра 4. Следовательно, остаток от деления числа a на 10
равен 4.
6. Найти все значения n Z, при которых является
5
n +3
целым число a = ᎏ
.
2
n +1
Р е ш е н и е. Преобразуем a, используя равенство
n+3
,
n + 3 = n5 + n3 – (n3 + n) + n + 3. Получим a = n3 – n + ᎏ
2
5
n +1
откуда следует, что a — целое число тогда и только тогn+3
да, когда дробь b = ᎏ
— целое число. Этому условию
n2 + 1
удовлетворяют значения n, равные – 3, – 1, 0, 1, 2.
7
Задания для самостоятельной работы
1. 4 Найти все целые числа, которые при делении
и n дают остатки, соответственно равные r1
если:
1) m = 12, n = 33, r1 = 7, r2 = 8;
2) m = 15, n = 24, r1 = 8, r2 = 9.
2. 5 Доказать, что при любом n Z число a делится
если:
1) a = 4n3 + 17n + 105 + 5;
2) a = 7n3 + 32n + 104 + 8.
3. 4 Найти все значения n Z, при которых число
ляется целым, если:
4
n +8
1) a = ᎏ
;
2
n +2
на m
и r2,
на 3,
a яв-
4
n +7
2) a = ᎏ
.
2
n +2
4. 4 Найти остаток от деления на 10 числа a, если:
2) a = 2479 + 3530 + 7374.
1) a = 2383 + 3427 + 7214;
5. 4 Пусть целые числа x и y не делятся на 3. Доказать,
что число a делится на 3, если:
2) a = x4 + y4 + 1.
1) a = x4 – y4;
6. 4 Найти все такие целые числа x и y, чтобы при любом n N число a было целым, если:
1) a =
n3 + nx + y
ᎏᎏ
;
n2 + 1
2) a =
n3 + n (x – 1) + y
ᎏᎏ
.
n2 + 1
7. 6 Доказать, что при любом n N число a делится на
30, если:
1) a = 6n5 + 45n4 + 10n3 – n;
2) a = 6n5 + 15n4 + 40n3 – n.
§ 3.
Признаки делимости
Примеры с решениями
1. Доказать, что число a = 1070 – 824 делится на 9.
Р е ш е н и е. Запишем число a в виде a = 1070 – 1 –
– (824 – 1). Так как число 1070 – 1 состоит из одних девяток, а 824 – 1 = 81 ⭈ m, где m N, то число a делится на 9.
2. Доказать, что число a = 147610 + 38259 делится на 9.
Р е ш е н и е. Так как сумма цифр каждого из чисел
1476 и 3825 делится на 9, то и сами эти числа делятся
на 9, поэтому число a делится на 9.
8
3. Выяснить, делится ли на 8 число a = 2 + 22 + 23 +
...
+ + 220.
Р е ш е н и е. Числа 2k, где k N, k 3, делятся на 8, а
сумма 2 + 22 = 6 не делится на 8. Следовательно, число a
не делится на 8.
4. Выяснить, делится ли на 11 число a = 1070 + 9876547.
Р е ш е н и е. Запишем число a в виде a = 1070 – 1 +
+ 9876548. Так как число 1070 – 1 состоит из четного числа девяток, то оно делится на 11. Число 9876548 также
делится на 11, так как число 9 – 8 + 7 – 6 + 5 – 4 + 8 = 11 делится на 11 (признак делимости на 11). Следовательно,
a делится на 11.
Задания для самостоятельной работы
1. 3 Доказать, что число a делится на m, если:
1) a = 1 + 2 + ... + 97 + 98, m = 147;
2) a = 1 + 2 + ... + 76 + 77, m = 273.
2. 4 Доказать, что число a делится на 5, если:
2) a = 47 + 26.
1) a = 49 + 1;
3. 3 Выяснить, делится ли на 8 число a, если:
1) a = 12345678;
2) a = 345678910.
4. 4 Выяснить, делится ли на 37 число a, если:
1) a = 3335552 + 2224443;
2) a = 7776664 + 8883335.
5. 5 Выяснить, делится ли на 11 число a, если:
2) a = 1018 + 9561001.
1) a = 1016 + 964116;
§ 4.
Cравнения
Примеры с решениями
1. Найти все целые числа x, такие, что x 3 (mod 7)
и x [– 15; 20].
Р е ш е н и е. Искомые числа принадлежат множеству
чисел вида x = 3 + 7k, k Z. Из них отрезку [– 15; 20]
принадлежат числа – 11, – 4, 3, 10, 17.
2. Доказать, что число a делится на m, если:
1) a = 4 ⭈ 3519 + 13 ⭈ 5215, m = 17;
2) a = 3 ⭈ 525 + 47 ⭈ 96, m = 19;
3) a = 5 ⭈ 7243 + 16132 + 3430, m = 10.
Р е ш е н и е. 1) Так как 35 1 (mod 17), 52 1 (mod 17),
то a 4 + 13 (mod 17), т. е. a делится на 17.
9
2) Пользуясь тем, что 25 6 (mod 19), 47 ⭈ 96 = 4 ⭈ 612,
525 5 ⭈ 612 (mod 19), имеем a 15 ⭈ 612 + 4 ⭈ 612 0 (mod 19),
т. е. a делится на 19.
3) Так как 7243 73 3 (mod 10), 16132 6 (mod 10),
3430 32 (mod 10), то a 5 ⭈ 3 + 6 + 9 0 (mod 10), т. е. a
делится на 10.
3. Найти остаток от деления числа a = 2425 + 5037 на 17.
Р е ш е н и е. Так как 2425 = 2 ⭈ 16106, 16 – 1 (mod 17),
50 – 1 (mod 17), то a 2 – 1 (mod 17), т. е. остаток от
деления числа a на 17 равен 1.
4. Найти остаток от деления числа 6192 на 17.
Р е ш е н и е. Так как 6192 = 3696, 36 2 (mod 17), то
192
6 296 (mod 17).
Но
16 – 1 (mod 17),
296 = 1624,
1624 (– 1)24 (mod 16), откуда следует, что 6192 1 (mod 17),
т. е. остаток от деления числа 6192 на 17 равен 1.
Задания для самостоятельной работы
1. 4 Доказать, что число a делится на m, если:
1) a = 5 ⭈ 251 + 21 ⭈ 3245, m = 31;
2) a = 461 + 27 ⭈ 3277, m = 31.
2. 5 Найти остаток от деления числа a на m, если:
1) a = 3 ⭈ 273 + 9 ⭈ 1629, m = 17;
2) a = 5 ⭈ 431 + 7 ⭈ 1837, m = 17.
3. 6 Найти остаток от деления числа a на m, если:
1) a = 15254, m = 17; 2) a = 12316, m = 19.
§ 5.
Решение уравнений в целых числах
Примеры с решениями
1. Найти все целочисленные решения уравнения:
1) 10x + 21y = 1; 2) 45x + 21y = 8.
Р е ш е н и е. 1) Числа 10 и 21 взаимно просты, а пара
чисел (– 2; 1) является решением этого уравнения. Тогда
(глава II, § 5 учебника) все целочисленные решения
этого уравнения задаются формулами
x = – 2 + 21t, y = 1 – 10t, t Z.
2) Так как коэффициенты 45, 21 и 8 уравнения не
имеют общего делителя, отличного от единицы, а наибольший общий делитель чисел 45 и 21 равен 3 (эти числа не являются взаимно простыми), то данное уравнение
не имеет целочисленных решений.
10
2. Найти целочисленные решения уравнения
x2 = 12y + 5.
Р е ш е н и е. Если x делится на 3, то x2 – 12y делится
на 3 при любом y Z, а число 5 не делится на 3. Если x
не делится на 3, то остаток от деления x2 на 3 равен 1,
а остаток от деления правой части уравнения на 3 равен 2.
Следовательно, уравнение не имеет целочисленных
решений.
3. Доказать, что уравнение x2 – 2y2 = 204 не имеет
целочисленных решений.
Р е ш е н и е. Если числа x и y делятся на 3, то левая
часть уравнения делится на 9, а правая нет.
Если только одно из чисел делится на 3, то левая
часть уравнения не делится на 3, а правая часть делится
на 3.
Если оба числа x и y не делятся на 3, то левая часть
не делится на 3, так как в этом случае остаток от деления x2 и y2 на 3 равен 1. И в этом случае нет целочисленных решений.
4. Найти целочисленные решения уравнения
3x2 – 8xy – 16y2 = 19.
Р е ш е н и е. Разложив левую часть уравнения на множители (способом группировки либо с помощью решения
квадратного уравнения относительно x или y), запишем
уравнение в виде (3x + 4y) (x – 4y) = 19.
Так как делителями числа 19 являются числа 1,
19, то искомое множество решений содержится в множестве всех целочисленных решений следующих систем
уравнений:
冦
3) 3x + 4y = – 19,
冦 x – 4y = – 1;
1)
3x + 4y = 19,
x – 4y = 1;
冦
4) 3x + 4y = – 1,
冦 x – 4y = – 19.
2) 3x + 4y = 1,
x – 4y = 19;
Первая и третья из этих систем имеют целочисленные решения (5; 1) и (– 5; – 1), остальные не имеют целочисленных решений.
5. Найти целочисленные решения уравнения
2x2y2 + y2 = 14x2 + 25.
Р е ш е н и е. Выразив из уравнения y2 через x2, запи18
.
шем его в виде y2 = 7 + ᎏ
2
2x + 1
11
Если x = 0, то y2 = 25, y = 5. Если x2 = 1, то y2 = 13,
а если x2 = 4, то y2 = 9, y = 3. При других целых значе18
ниях x знаменатель дроби ᎏ
больше числителя.
2
2x + 1
Итак, уравнение имеет шесть целочисленных решений:
(0; 5), (0; – 5), (2; 3), (2; – 3), (– 2; 3), (– 2; – 3).
6. Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяю17x2 + 8xy + y2 = 2,
щие системе уравнений
(x – 1)2 + (y + 4)2 = 1.
冦
Р е ш е н и е. Из второго уравнения следует, что
(x – 1)2 1, или x – 1 1. Этому условию удовлетворяют
целые числа x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2.
Если x = 0, то из второго уравнения находим y = – 4.
Пара чисел (0; – 4) не удовлетворяет первому уравнению
системы.
Если x = 1, то y + 4 = 1, откуда находим y1 = – 5, y2 = – 3.
Обе пары чисел (1; – 5) и (1; – 3) удовлетворяют первому
уравнению системы.
Наконец, если x = 2, то y = – 4. Пара чисел (2; – 4) не
удовлетворяет первому уравнению системы.
Итак, данная система имеет два целочисленных решения: (1; – 5) и (1; – 3).
Задания для самостоятельной работы
1. 3
2. 4
3. 5
4. 5
5. 6
6. 5
Найти все целочисленные решения уравнения (1—5).
1) 5x – 3y = 13;
2) 4x – 5y = 17.
2
2) x2 = 9y + 8.
1) x = 3y + 5;
2
2
2 2
2) 3x2y2 + 4y2 = 24x2 + 48.
1) 2x y + y – 6x – 10 = 0;
2
2
2) 5y2 + 8xy – 4x2 = 17.
1) 5x + 8xy – 4y = 17;
2) x2 + 2xy + 2y2 = 4.
1) x2 – 2xy + 2y2 = 4;
Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие системе уравнений:
1) x2 + xy – y2 = 4,
冦 (x – 2) + (y – 1) = 1;
2) x + 8xy + 17y = 2,
冦 (x + 4) + (y – 1) = 1.
2
2
2
2
2
2
7. 8 Доказать, что не имеет решений в целых числах
уравнение:
1) 2001x2 + 2002 = y2;
2) 2002x2 + 2003 = y2.
12
Контрольная работа
1. Найти остаток от деления числа
a = 2227 + 394 + 757 [a = 2307 + 390 + 797] на 10.
2. Выяснить, делится ли число
a = 1080 – 733 [a = 1024 + 120] на 9 [11].
3. Найти остаток от деления числа a на m, если:
1) a = 5 ⭈ 281 + 3 ⭈ 1637, m = 17
[a = 5 ⭈ 2145 + 7 ⭈ 2911, m = 15];
2) a = 7 ⭈ 2161 + 5 ⭈ 1875, m = 17
[a = 7 ⭈ 2361 + 5 ⭈ 1897, m = 17].
4. Найти все целочисленные решения уравнения:
1) 5x + 3y = 17
[7x – 9y = 23];
2) 16x2 + 8xy – 3y2 + 19 = 0
[5x2 – 8xy – 4y2 = 17].
Глава
§ 1.
III Многочлены.
Алгебраические уравнения
Многочлены от одной переменной
Примеры с решениями
1. Найти числа a, b и c из равенства
(x – 2) (3x3 + ax2 – bx + 1) =
= 3x4 – 4x3 – 9x2 + cx – 2.
Р е ш е н и е. Преобразуем левую часть равенства:
(x – 2) (3x3 + ax2 – bx + 1) =
4
ax
3x
+ 3 – bx2 + x – 6x3 – 2ax2 + 2bx – 2 =
=
4
= 3x + (a – 6) x3 – (b + 2a) x2 + (1 + 2b) x – 2.
Пользуясь определением равных многочленов, получаем
a – 6 = – 4,
b + 2a = 9,
1 + 2b = c,
откуда a = 2, b = 5, c = 11.
2. Найти остаток от деления многочлена
5x4 – 12x3 + 3x2 – 27x + 4
на двучлен
x2 – 3x.
Р е ш е н и е. Выполним деление уголком:
–
5x4 – 12x3 + 3x2 – 27x + 4
5x4 – 15x3
3x3 + 3x2
– 3
3x – 9x2
12x2 – 27x
–
12x2 – 36x
9x + 4
О т в е т. 9x + 4.
14
x2 – 3x
5x2 + 3x + 12
Задания для самостоятельной работы
1. 4
2. 5
3. 6
4. 6
5. 7
6. 9
7. 9
Найти частное и ответ проверить умножением (1—2).
2) (x2 – 3x – 54) : (x + 6);
1) (x2 – x – 56) : (x – 8);
2
4) (3x2 – 11x + 6) : (x – 3).
3) (2x – 9x + 4) : (x – 4);
1) (2x3 – 3x2 + 3x – 1) : (2x – 1);
2) (2x3 + 3x2 – 3x – 2) : (2x + 1);
3) (6x3 – 7x2 – 6x – 1) : (3x + 1);
4) (6x3 + 4x2 – 11x + 3) : (3x – 1).
Найти частное и остаток от деления многочлена
P (x) на многочлен Q (x), если:
1) P (x) = 6x5 – 15x4 – 12x3 + 44x2 – 34x – 1, Q (x) = 2x2 – 5x;
2) P (x) = 6x5 – 8x4 + 15x3 – 41x2 + 27x + 2, Q (x) = 3x2 – 4x;
3) P (x) = 4x7 – x5 + 3x4 – 3x3 + 5x2 – 2x, Q (x) = x3 – x + 1;
4) P (x) = 3x7 – 10x5 + 4x4 + 8x3 – 5x2 + x – 1,
Q (x) = x3 – 2x + 1.
Установить, при каком значении a многочлен P (x)
делится на многочлен Q (x), если:
1) P (x) = 6x2 – 7x + a, Q (x) = 3x – 5;
2) P (x) = 12x2 – 5x + a, Q (x) = 3x – 2;
3) P (x) = 8x2 + ax – 7, Q (x) = 2x – 7;
4) P (x) = 9x2 + ax – 5, Q (x) = 3x + 5;
5) P (x) = 9x2 + ax – 10, Q (x) = 3x + 5;
6) P (x) = 8x2 + ax – 15, Q (x) = 4x – 3.
Найти числа a, b и c из равенства:
1) (x + 3) (2x2 + ax + b) = 2x3 + cx2 – 14x + 3;
2) (x – 2) (4x2 + ax + b) = 4x3 – 5x2 + cx + 4;
3) (x2 + ax + 1) (bx2 + x – 2) = 2x4 – x3 – x2 + cx – 2;
4) (x2 + ax + 2) (bx2 – x + 4) = 2x4 + cx3 + 11x2 – 14x + 8.
Не выполняя деления многочленов, найти остаток
от деления многочлена P (x) на многочлен Q (x), если:
1) P (x) = 5x6 – 2x5 – 4x4 + 2x3 – 2x2 + 2x, Q (x) = x2 – 1;
2) P (x) = 3x6 – 2x5 + x4 + x3 – 4x2 + 4x + 1, Q (x) = x2 – 1;
3) P (x) = x4 – x3 – x2 + 6x – 4, Q (x) = x2 + x – 2;
4) P (x) = x4 – 3x3 + x2 – 2x – 3, Q (x) = x2 – 2x – 3.
Установить, при каких натуральных значениях n
является целым числом выражение:
1)
3n2 – 8n + 7
ᎏᎏ ;
n–2
2)
2n2 – 9n + 4
ᎏᎏ .
n–3
15
§ 2.
Схема Горнера
Пример с решением
Разделить многочлен 3x3 + x2 – 8x – 1 на двучлен x + 2
по схеме Горнера.
Р е ш е н и е. Заполним таблицу, зная, что a = – 2, a0 = 3,
a1 = 1, a2 = – 8, a3 = – 1.
3
–2
3
1
–8
–1
1 + (– 2) ⭈ 3 = – 5 – 8 + (– 2) (– 5) = 2 – 1 + (– 2) ⭈ 2 = – 5
Таким образом, 3x3 + x2 – 8x – 1 = (x + 2) (3x2 – 5x + 2) – 5.
Задания для самостоятельной работы
1. 5 По схеме Горнера найти остаток от деления многочлена P (x) на двучлен Q (x), если:
1) P (x) = 2x3 + 5x2 + 3, Q (x) = x + 3;
2) P (x) = 3x3 + 11x2 – 2x + 5, Q (x) = x + 4;
3) P (x) = 3x4 – 11x3 – 6x2 + 9x + 1, Q (x) = x – 4;
4) P (x) = 2x4 – 9x3 + 10x2 – 4x + 7, Q (x) = x – 3.
2. 6 По схеме Горнера найти частное и остаток от деления многочлена P (x) на двучлен Q (x), если:
1) P (x) = 5x3 – 13x2 + 5x + 5, Q (x) = x – 2;
2) P (x) = 6x3 – 11x2 + 3x + 6, Q (x) = x – 1;
3) P (x) = 2x4 + 11x3 – 3x2 + 17x – 13, Q (x) = x + 6;
4) P (x) = 3x4 + 14x3 – 7x2 – 9x – 1, Q (x) = x + 5.
§ 3.
Многочлен P (x) и его корень.
Теорема Безу
Примеры с решениями
1. Найти такое число m, чтобы многочлен P (x) =
= x5 + 3x4 – mx2 – 2x – m делился на двучлен x + 2.
Р е ш е н и е. Если многочлен делится на двучлен x + 2,
то остаток от деления равен нулю, а по теореме Безу остаток равен значению этого многочлена при x = – 2, следовательно, P (– 2) = 0. Составим уравнение относительно m:
(– 2)5 + 3 (– 2)4 – m (– 2)2 – 2 (– 2) – m = 0, откуда m = 4.
16
2. Найти все корни многочлена
P (x) = 2x4 – x3 – mx2 – nx + k,
если один из его корней равен 3, а остаток от деления
P (x) на x2 – 2 равен – 7x – 14.
Р е ш е н и е. P (3) = 0 по определению корня многочлена, откуда – 9m – 3n + k + 135 = 0. Выполним деление многочлена P (x) (уголком) на x2 – 2. Найдем остаток
– (n + 2) x + k – 2m + 8, откуда – (n + 2) = – 7, k – 2m + 8 = – 14.
Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными
– (n + 2) = – 7,
k – 2m + 8 = – 14,
– 9m – 3n + k + 135 = 0.
Решив систему уравнений, получим n = 5, m = 14,
k = 6, т. е. многочлен можно записать в виде P (x) = 2x4 –
– x3 – 14x2 – 5x + 6. Для нахождения корней попробуем
разложить многочлен на множители. Так как один из
корней равен 3, то многочлен должен делиться на двучлен x – 3. Выполнив деление уголком, получим многочлен 2x3 + 5x2 + x – 2. Представим 5x2 в виде суммы
4x2 + x2 и разложим на множители:
2x3 + 4x2 + x2 + x – 2 = 2x2 (x + 2) + (x2 + x – 2) =
= 2x2 (x + 2) + (x + 2) (x – 1) = (x + 2) (2x2 + x – 1) =
1
= 2 (x + 2) (x + 1) 冢x – ᎏ 冣.
冦
2
Таким образом, нашли еще три корня многочлена:
1
– 2, – 1, ᎏ .
2
О т в е т: – 2, – 1,
1
ᎏ,
2
3.
Задания для самостоятельной работы
Найти корни многочлена P (x) (1—3).
1. 3 1) P (x) = 6x2 + 13x + 6; 2) P (x) = – 15x2 + 13x – 20.
2. 3 1) P (x) = 2x3 – 3x2 – 2x; 2) P (x) = 3x3 + 8x2 – 3x.
3. 4 1) P (x) = 6x3 + 11x2 – x + 2; 2) P (x) = 6x3 – 17x2 – 4x + 3.
Не выполняя деления, выяснить, делится ли многочлен
P (x) на двучлен x – a (4—5).
4. 4 1) P (x) = 2x3 + 5x2 + x – 2, a = – 2;
2) P (x) = 3x3 – 14x2 + 5x + 12, a = 4.
5. 4 1) P (x) = x4 – 3x3 – x2 – x + 1, a = – 3;
2) P (x) = 2x4 – x3 + 5x2 + x – 6, a = 1.
17
Не выполняя деления, найти остаток от деления многочлена P (x) на двучлен x – a (6—8).
6. 4 1) P (x) = x4 + 3x3 – x + 2, a = – 1;
2) P (x) = x3 – 5x2 – 3x + 7, a = 3.
7. 5 1) P (x) = 2x3 – x2 + 7x – 9, a = 4;
2) P (x) = 3x4 + 2x3 – x – 3, a = – 2.
1
2
2
a= ᎏ.
3
8. 8 1) P (x) = x4 – 2x3 + 3x2 – x + 2, a = ᎏ ;
2) P (x) = x4 + 3x3 – x2 – 2x + 7,
Найти такое целое число n, чтобы многочлен P (x) делился на двучлен x – a (9—10).
9. 6 1) P (x) = x3 + nx2 – 2nx – 5, a = 5;
2) P (x) = x3 + nx2 – 25x + 3n, a = 3.
10. 7 1) P (x) = nx4 + 4nx3 + x2 + 3x – 2n, a = 4;
2) P (x) = nx4 + 8x3 – nx2 + 7x + 7n, a = – 3.
11. 8 Найти такие значения a, b и c, при которых
многочлен P (x) делится на двучлен x – a, а остаток
от деления P (x) на многочлен Q (x) равен двучлену
bx + d:
1) P (x) = ax4 + bx3 – cx – 2, b = 1, d = 1;
Q (x) = x2 + 2; – 10x + 2;
2) P (x) = ax4 + bx3 – 3x2 + cx – 5, b = 1, d = 5;
Q (x) = x2 – 3; – 18x + 4.
§ 4.
Алгебраическое уравнение.
Следствия из теоремы Безу
Задания для самостоятельной работы
Не решая уравнения, назвать хотя бы один его корень
(1—3).
1. 4 1) 2x4 – 5x3 + x2 – 9x = 0;
2) 7x5 + 5x3 – 8x2 – x = 0.
2. 4 1) x5 – 2x4 + 3x – 2 = 0;
2) x5 + 3x4 + 3x3 + 1 = 0.
3. 4 1) x3 + 3x2 + x – 2 = 0;
2) x4 – 4x3 + 6x2 – 3x – 2 = 0.
Решить уравнение, если известен один из его корней (4—5).
1
4. 5 1) 2x4 – x3 – 5x2 + 2x + 2 = 0, x1 = – ᎏ ;
2
1
3
2) 3x4 + 4x3 – 2x2 – 12x – 3 = 0, x1 = – ᎏ .
18
5. 7 1) 2x5 + 3x4 – 16x3 – 9x2 + 32x – 12 = 0, x1 = – 3;
2) 3x5 – 2x4 – 22x3 – 4x2 + 19x + 6 = 0, x1 = – 2.
Найти остаток от деления многочлена P (x) на двучлен
x – a, если при делении этого многочлена на многочлен
Q (x) получается остаток R (x) (6—8).
6. 6 1) a = 2, Q (x) = x2 – 2x, R (x) = 5 – x;
2) a = – 2, Q (x) = 4 – x2, R (x) = x + 1.
7. 6 1) a = 1, Q (x) = x3 – 1, R (x) = x2 – x + 4;
2) a = – 1, Q (x) = x3 + x2, R (x) = 5 + x2.
8. 6 1) a = – 2, Q (x) = x4 + 2x3, R (x) = x3 – 8;
2) a = – 2, Q (x) = x4 – 4x2, R (x) = x3 + 8.
Найти остаток от деления многочлена P (x) на многочлен
(x – a) Q (x), если при делении многочлена P (x) на двучлен x – a остаток равен b, а при делении P (x) на многочлен Q (x) остаток равен R (x) (9—10).
9. 7 1) a = – 3, b = 1, Q (x) = x2 – 1, R (x) = 2x + 1;
2) a = 2, b = 5, Q (x) = x2 – 1, R (x) = x.
10. 7 1) a = 2, b = 19, Q (x) = x2 + x, R (x) = 3x + 1;
2) a = 2, b = – 18, Q (x) = x – x2, R (x) = 2 – 3x.
Найти остаток от деления многочлена P (x) на многочлен
(x – c) (x2 – 1), если многочлен P (x) делится на двучлен
x – с, а остаток при делении P (x) на x2 – 1 равен kx + b
(11—12).
11. 8 1) c = – 2, k = 3, b = 6;
2) c = 3, k = 5, b = 1.
12. 8 1) c = 4, k = 2, b = 7;
2) c = – 4, k = 2, b = 3.
13. 8 Не выполняя деления многочленов, найти остаток
от деления многочлена P (x) на многочлен Q (x),
если:
1) P (x) = x5 – 3x3 + x – 5, Q (x) = (x – 1) (x + 2);
2) P (x) = x6 – 4x4 + x2 + 2, Q (x) = (x + 1) (x – 2).
14. 8 Многочлен третьей степени M (x) делится на многочлен P (x), а при делении на многочлен Q (x) дает в остатке многочлен R (x). Найти многочлен
M (x), если:
1) P (x) = x2 – 3, Q (x) = x2 – 1, R (x) = – 2x;
2) P (x) = x2 – 12, Q (x) = x2 + x, R (x) = – 5,5x.
19
§ 5.
Решение алгебраических уравнений
разложением на множители
Примеры с решениями
1. Решить разложением на множители уравнение
x5 – x4 – 3x3 – 2x2 + 2x + 6 = 0.
Р е ш е н и е. Пропорциональность коэффициентов многочлена дает возможность сгруппировать слагаемые в левой части уравнения:
(x5 – x4 – 3x3) – (2x2 – 2x – 6) = 0,
x3 (x2 – x – 3) – 2 (x2 – x – 3) = 0, (x3 – 2) (x2 – x – 3) = 0. Получаем совокупность двух уравнений x3 – 2 = 0, x2 – x – 3 = 0.
Таким образом, корнями уравнения являются действи兹苶苶 .
тельные числа: x1 = 兹2
苶, x2,3 = ᎏ
1 13
2
3
2. Решить уравнение
x4 + x3 – 4x2 – x + 3 = 0.
Р е ш е н и е. Многочлен P (x) = x4 + x3 – 4x2 – x + 3 имеет
целые коэффициенты, а его свободный член не равен нулю. Поэтому целый корень многочлена, если он есть, содержится среди целых делителей свободного члена: 1,
3.
Так как P (1) = 0, то многочлен, стоящий в левой части уравнения, делится на двучлен x – 1 и число 1 является одним из корней уравнения. Выполнив деление
многочлена P (x) = x4 + x3 – 4x2 – x + 3 на x – 1, получим
многочлен Q (x) = x3 + 2x2 – 2x – 3. Число – 1 — корень
многочлена Q (x), а значит, и многочлена P (x). Выполнив деление многочлена Q (x) на x + 1 столбиком, в частном получим трехчлен x2 + x – 3, корни которого равны
– 1 兹1
苶3
苶
ᎏᎏ
ᎏ.
2
Таким образом, найдено четыре корня исходно-
го уравнения: x1 = 1, x2 = – 1, x3,4 =
1苶
3
– 1 兹苶
ᎏᎏ
ᎏ.
2
3. Решить уравнение
(x2 – x – 2)2 + (x2 – x – 2) (x + 3) = 20 (x + 3)2.
Р е ш е н и е. Общих множителей у левой и правой частей уравнения нет, и x = – 3 не является корнем уравнения. Разделив обе части уравнения на (x + 3)2, получим
(x2 – x – 2)2
ᎏᎏ
(x + 3)2
20
+
x2 – x – 2
ᎏᎏ
x+3
= 20.
x2 – x – 2
ᎏᎏ ,
x+3
Обозначив t =
получим уравнение t2 + t – 20 = 0.
Корни этого уравнения t1 = 4, t2 = – 5.
x2 – x – 2
ᎏᎏ
x+3
= 4, x2 – x – 2 = 4 (x + 3),
x2 – 5x – 14 = 0, x1 = – 2, x2 = 7.
Если t = 4, то
Если t = – 5, то
x2 – x – 2
ᎏᎏ
x+3
= – 5, x2 – x – 2 = – 5 (x + 3),
x2 + 4x + 13 = 0. Уравнение x2 + 4x + 13 = 0 не имеет действительных корней.
О т в е т. x1 = – 2, x2 = 7.
4. Решить уравнение (x2 – 5x + 4) (x – 2) (x – 5) = 20.
Р е ш е н и е. Сведем уравнение к квадратному введением нового неизвестного.
Так как x2 – 5x + 4 = (x – 4) (x – 1), то уравнение примет
вид (x – 4) (x – 1) (x – 2) (x – 5) = 20. Перемножив те двучлены, которые дадут одинаковые первые и вторые коэффициенты в полученных трехчленах (т. е. перемножив
первый и третий, второй и четвертый двучлены), получим (x2 – 6x + 8) (x2 – 6x + 5) = 20. Пусть t = x2 – 6x + 5, тогда
t2 + 3t – 20 = 0, откуда t1,2 =
– 3 兹8
苶9
苶
ᎏᎏ .
2
Исходное уравнение
равносильно совокупности уравнений
8苶
9
13 – 兹苶
ᎏᎏ
2
x2 – 6x +
= 0, x2 – 6x +
13 + 兹苶
8苶
9
ᎏᎏ
2
= 0.
Второе уравнение не имеет действительных корней,
а корни первого уравнения равны x1,2 = 3 =3
兹苶苶 .
兹苶苶
5 + 89
ᎏ
ᎏ
2
О т в е т. x1,2 = 3 兹苶苶
–
=
兹苶9 苶苶苶
13 – 89
ᎏᎏ
2
兹苶苶 .
兹苶苶
5 + 89
ᎏ
ᎏ
2
5. Решить уравнение 2x4 – 2x3 – 11x2 + 4x + 8 = 0.
Р е ш е н и е. Данное уравнение является возвратным:
отношение крайних коэффициентов равно 4 (так как
8 : 2 = 4), а отношение коэффициентов членов, равноудаленных от крайних членов, равно – 2 (так как
4 : (– 2) = – 2), т. е. первое отношение является квадратом
второго. Так как x = 0 не является корнем уравнения, то,
разделив это уравнение на x2, получим
4
x
8
2x2 – 2x – 11 + ᎏ + ᎏ
= 0,
2
冢
2
2 x +
4
ᎏ
x2
x
冣 – 2 冢x – 冣 – 11 = 0.
2
ᎏ
x
21
2
x
4
Пусть x – ᎏ = t, тогда x2 + ᎏ
= t2 + 4. Исходное уравне2
x
ние запишем в виде 2 (t2 + 4) – 2t – 11 = 0, 2t2 – 2t – 3 = 0, от兹苶 .
куда t1,2 = ᎏ
1 7
2
Следовательно, уравнение равносильно совокупности
уравнений
+ 兹苶
– 兹苶
x– ᎏ = ᎏ
, x– ᎏ = ᎏ
.
x
2
x
2
2
1
2
7
1
7
1 + 兹7
2苶
7
苶0苶+
苶苶
苶 兹4
兹苶
苶,
Корни первого уравнения равны x1,2 = ᎏᎏᎏ
4
а корни второго равны x3,4 =
2苶
7
1 – 兹7
苶0苶苶
–苶
苶 兹4
兹苶
苶
ᎏᎏᎏ .
4
2苶
7
1 + 兹7
苶0苶+
苶苶
苶 兹4
兹苶
苶, x
О т в е т. x1,2 = ᎏᎏᎏ
3,4 =
4
1 – 兹7
4苶
0苶
2苶
7
–苶
苶 兹苶
兹苶
苶
ᎏᎏᎏ .
4
6. Решить уравнение (x2 + 5x + 6) (x2 + 10x + 6) + 6x2 = 0.
Р е ш е н и е. Заметим, что первые коэффициенты и
свободные члены в каждом из трехчленов равны и x = 0
не является корнем уравнения. Разделив уравнение на
x2, получим
x2 + 5x + 6
ᎏᎏ
x
⭈
x2 + 10x + 6
ᎏᎏ
x
+ 6 = 0,
冢x + ᎏx + 5冣 冢x + ᎏx + 10冣 + 6 = 0.
6
6
x
6
6
x
Пусть x + ᎏ + 5 = t. Тогда x + ᎏ + 10 = t + 5, t (t + 5) + 6 = 0,
t2 + 5t + 6 = 0, откуда t1 = – 2, t2 = – 3.
Задача сводится к решению совокупности двух уравнений
6
6
x + ᎏ + 5 = – 2, x + ᎏ + 5 = – 3.
x
x
Корни первого уравнения x1 = – 1, x2 = – 6, корни второго x3,4 = – 4 兹1
苶0
苶.
О т в е т. x1 = – 1, x2 = – 6, x3,4 = – 4 兹1
苶0
苶.
Задания для самостоятельной работы
Найти корни многочлена (1—2).
1. 4 1) x3 – 6x2 + 3x + 10;
2) x3 + 4x2 – 7x – 10.
2. 5 1) x5 + x4 – 6x3 – x2 – x + 6;
2) x5 + x4 – 6x3 + x2 – x – 6.
22
Решить уравнение (3—4).
3. 5 1) x3 – 3x2 + 2 = 0;
2) x3 + 3x2 – 2 = 0.
4. 6 1) x4 – 2x3 – 5x2 + 8x + 4 = 0;
2) x4 + x3 – 5x2 – 3x + 6 = 0.
Решить уравнение (5—8).
5. 7 1) (x2 + x + 4) (x2 + 2x + 4) = 30x2;
2) (x2 – x – 2) (x2 – 3x – 18) = 16x2.
6. 7 1) (x – 1) (x + 2) (x2 + 4x – 32) = 52x2;
2) (x – 6) (x3 – 6x2 + 11x – 6) + 6x2 = 0.
7. 7 1) (x3 + 7x2 + 12x) (x – 1) = 21;
2) (x3 – 6x2 + 11x – 6) (x – 4) = 25.
8. 7 1) 6x5 – 11x4 – 11x + 6 = 0; 2) 78x6 – 133x5 + 133x – 78 = 0.
При каких значениях a уравнение имеет ровно три корня (9—10)?
9. 8 1) (a3 + 8) x4 + (a2 – 1) x2 + a + 兹a
苶2苶= 0;
2
4
2
2
2) (4 – a ) x + (a + 3a + 2) x – a – 兹a
苶2苶= 0.
10. 8 1) (a2 – 9) x4 + (a3 – 8) x2 + a + 兹a
苶2苶+
苶2
苶a
苶+
苶1
苶 + 1 = 0;
+
x 2 + a + 兹a
2) 冢a – ᎏ 冣 x4 + ᎏ
苶2苶–
苶4
苶a
苶+
苶4
苶 – 2 = 0.
a
a 3
1
a
1
–
Найти значения a, при которых уравнение имеет единственный корень (11—12).
11. 9 1) (1 – a2) x4 + (a – 3) x + a + 2 – 兹a
+4
苶2苶+
苶4
苶a
苶苶
苶 = 0;
2) (8a3 + 1) x + (a2 – a – 2) x2 + a – 3 + 兹a
苶2苶–
苶6
苶a
苶+
苶9
苶 = 0.
12. 9 1)
a–1
ᎏ
a+2
x4 + (a2 – 2a – 3) x2 + 2 – a – 兹4
苶–
苶4
苶a
苶+
苶a
苶2苶 = 0;
2) (a2 – 2a) x4 + 冢a – ᎏ 冣 x2 + a + 1 – 兹a
苶2苶+
苶2
苶a
苶+
苶1
苶 = 0.
1
a
§ 6.
Делимость двучленов xm am на x a
Примеры с решениями
1. Доказать равенство
xn – an = (x – a) (xn – 1 + xn – 2 a + ... + xan – 2 + an – 1).
(1)
Р е ш е н и е. Рассмотрим сумму n первых членов геометрической прогрессии, в которой первый член равен 1,
а знаменатель равен t, т. е. сумму Sn = 1 + t + ... + tn – 1, где
t 0, t 1.
23
1 tn
1–t
–
, откуда
Тогда Sn = ᎏ
1 – tn = (1 – t) (1 + t + ... + tn – 1).
(2)
Чтобы воспользоваться формулой (2), преобразуем
левую часть равенства (1):
xn – an = xn 冢 1 – 冢 ᎏ 冣 冣 .
a
x
Полагая
a
ᎏ
x
n
(3)
= t, из равенств (3) и (2) находим
xn – an = x 冢 1 – ᎏ 冣 x
a
x
n–1
冢1 + ᎏx + 冢 ᎏx 冣
n–1
a
n–2
a
2
+ ... + 冢 ᎏ
x冣
a
n–2
n–2
+冢ᎏ
x冣
a
n–1
冣=
n–1
a + ... + xa
+a ).
+x
= (x – a) (x
Формула (1) доказана.
2. Доказать, что при любых n N и m N многочлен
P (x) = xm + n – xn – xm + 1 делится на (x – 1)2.
Р е ш е н и е. Так как P (x) = xm + n – xn – (xm– 1) =
= xn (xm– 1) – (xm– 1) = (xm– 1) (xn – 1), многочлены xm– 1 и
xn – 1 делятся на x – 1, то многочлен P (x) делится на
(x – 1)2.
Задания для самостоятельной работы
1. 7 Используя результат примера 1, доказать формулы
a2n + 1 – b2n + 1 = (a – b) (a2n + a2n – 1b + ... + ab2n – 1 + b2n),
a2n + 1 + b2n + 1 = (a + b) (a2n – a2n – 1b + ... + a2b2n – 2 – ab2n – 1 + b2n).
2. 7 Доказать, что при любом n N многочлен P (x) =
= xn + 2 – 2xn + 1 + xn – x2 + 2x – 1 делится на (x – 1)3.
3. 8 Доказать, что при любых m N и n N многочлен
P (x) = x2m + n + 1 + xn – x2m + 1 – 1 делится на x2 – 1.
4. 9 Доказать, что при любых n N и m N многочлен
P (x) = xm + n + 1 – xm + n – xm + 1 – xn + 1 + xn + xm + x – 1 делится на (x – 1)3.
§ 7.
Cимметрические многочлены
Примеры с решениями
1. Пусть x + y = u, xy = v, Sn = xn + yn. Докажем рекуррентную формулу
(1)
Sn = uSn – 1 – vSn – 2,
позволяющую последовательно выразить через элементарные симметрические многочлены x + y и xy суммы S3,
S4, S5, S6 и т. д.
24
Р е ш е н и е. Воспользуемся равенством
(x + y) (xn – 1 + yn – 1) = xn + yn + xy (xn – 2 + yn – 2).
(2)
Так как x + y = u, xy = v, Sk = xk + yk, то из равенства
(2) получаем uSn – 1 = Sn + vSn – 2, откуда следует формула (1).
2. Решить симметрическую систему уравнений
冦
x4 + x2y2 + y4 = 91,
x2 – xy + y2 = 7.
Р е ш е н и е. Так как x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = u2 – 2v, где
u = x + y, v = xy, то
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (u2 – 2v)2 – 2v2 = u4 – 4u2v + 2v2
и данная система преобразуется к виду
冦
u4 – 4u2v + 3v2 = 91,
u2 = 7 + 3v.
Исключая из этой системы u2, получаем (7 + 3v)2 –
– 4 (7 + 3v) v + 3v2 = 91, откуда 14v = 42, v = 3, u2 = 16. Следовательно, данная система равносильна совокупности
двух систем
x + y = 4,
x + y = – 4,
xy = 3;
xy = 3
冦
冦
и имеет 4 решения: (1; 3), (3; 1), (– 1; – 3), (– 3; – 1).
3. Пусть x + y + z = u, xy + yz + zx = v, xyz = w, выразим
симметрический многочлен x3 + y3 + z3 через элементарные симметрические многочлены u, v, w.
Р е ш е н и е.
Используя
равенство
(x + y + z)3 =
2
2
3
3
= ((x + y) + z) = (x + y) + 3 (x + y) z + 3 (x + y) z + z3 = x3 + y3 +
+ z3 + 3x2y + 3xy2 + 3x2z + 6xyz + 3y2z + 3xz2 + 3yz2 = x3 + y3 +
+ z3 + 3xy (x + y + z) + 3xz (x + y + z) + 3yz (x + y + z) – 3xyz = x3 +
+ y3 + z3 + 3 (x + y + z) (xy + xz + yz) – 3xyz, получаем
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3 (x + y + z) (xy + xz + yz) + 3xyz, (3)
т. е. x3 + y3 + z3 = u3 – 3uv + 3w.
Задания для самостоятельной работы
1. 6 Выразить симметрический многочлен P через симметрические многочлены u = x + y, v = xy, если:
1) P = x5 + y5;
2) P = x6 + y6.
25
2. 7 Решить симметрическую систему уравнений:
1)
冦 8 (x ++ y =) = 65;
2 (x
y)
3
2)
冦
5xy,
3
1
1
1
ᎏᎏ – ᎏᎏ = ᎏᎏ,
xy x + y
2
x2y + xy2 = 2.
3. 7 Разложить на множители симметрический многочлен P, если:
1) P = x2 + xy2 + x2y + y2 + x + y + 2xy;
2) P = x2y + xy2 + x2 + x + y2 + y + 3xy.
§ 8.
Многочлены от нескольких переменных
Примеры с решениями
1. Разложить на множители однородный многочлен
P = 8x2 + 2xy – 3y2.
Р е ш е н и е. Преобразуем многочлен P = 8x2 + 6xy –
– 4xy – 3y2 = 2x (4x + 3y) – y (4x + 3y). Отсюда
P = (4x + 3y) (2x – y).
2. Разложить на множители многочлен P = x3 + y3 +
+ z – 3xyz и доказать, что для всех неотрицательных u,
v, w справедливо неравенство
3
u+v+w
ᎏᎏ
3
3
兹u
苶v
苶w
苶,
связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое трех неотрицательных чисел.
Р е ш е н и е. В § 7 (пример 3, формула (3)) было получено равенство, которое можно записать в виде
P = x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)3 – 3 (x + y + z) (xy + xz + yz),
откуда следует, что P = (x + y + z) ((x + y + z)2 – 3 (xy + xz + yz)),
где (x + y + z)2 – 3 (xy + xz + yz) = x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz =
1
= ᎏ ((x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2).
2
Cледовательно,
1
x3 + y3 + z3 – 3xyz = ᎏ
(x + y + z) ((x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2).
2
Если x 0, y 0, z 0, то x3 + y3 + z3 3xyz. Полагая x3 = u, y3 = v, z3 = w, получаем
26
u+v+w
ᎏᎏ
3
3
兹u
苶v
苶w
苶.
Задания для самостоятельной работы
1. 5 Разложить на множители многочлен P, если:
2) P = 10x2 – 13xy – 3y2.
1) P = 3x2 – 2xy – 8y2;
Разложить на множители многочлен (2—3).
2. 5 1)
2)
3. 6 1)
2)
§ 9.
x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz;
x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz.
x3 + xy (x + y) + y3 + yz (y + z) + z3 + zx (z + x);
x3y2 + y3z2 + z3x2 – x2y3 – y2z3 – z2x3.
Формулы сокращенного умножения
для старших степеней. Бином Ньютона
Примеры с решениями
1
1. Записать разложение бинома 冢2a – ᎏ
.
2a 冣
5
1
1
Р е ш е н и е. 冢2a – ᎏ
+
= С50 (2a)5 + C51 (2a)4 冢– ᎏ
2a 冣
2a 冣
5
+ C25 (2a)3 冢– ᎏ
+ C35 (2a)2 冢– ᎏ
+ C45 (2a) 冢– ᎏ
+ C55 冢– ᎏ
=
2a 冣
2a 冣
2a 冣
2a 冣
1
1
2
= 1 ⭈ 32a 5 + 5 ⭈ 16a 4 冢 –
+ 5 ⭈ 2a ⭈
1
ᎏ4
16a
冢
+1⭈ –
1
ᎏ
2a
1
ᎏ5
32a
1
3
冣 + 10 ⭈ 8a
冣 = 32a
5
3
⭈
1
ᎏ2
4a
1
4
冢
– 40a3 + 20a –
+
冣
1
ᎏ3 +
8a
1
5
ᎏ3 – ᎏ5 .
8a
32a
+ 10 ⭈ 4a 2 ⭈ –
5
ᎏ
a
5
2. Найти четвертый член разложения (2 – 兹x
苶)11.
Р е ш е н и е. Полагая в формуле (1) x = 2, a = – 兹x
苶,
m = 11, n + 1 = 4 (откуда n = 3) и пользуясь формулой общего члена разложения (2), находим
3
T4 = T3 + 1 = C11
⭈ 211 – 3 (– 兹x
苶) 3 =
11!
ᎏᎏ
(11 – 3) !3!
⭈ 2 8 ( – x 兹x
苶) =
9 10 11
⭈ ⭈
⭈
⭈
= ᎏᎏ
⭈ 256 (– x 兹x
苶) = – 165 ⭈ 256x 兹x
苶 = – 42 240x 兹x
苶.
1 2 3
3. Найти член разложения бинома (兹x
苶 – x)10, содер7
жащий x .
Р е ш е н и е. Пусть x7 содержится в члене Tn + 1. Пользуясь формулой (2) при m = 10, найдем номер n искомого члена разложения из равенства (兹x
苶)10 – n ⭈ xn = x7, где
0 n 10. Преобразовав левую часть этого равенства, получим x
n
5+ ᎏ
2
n
= x7, откуда 5 + ᎏ
= 7, n = 4. Таким образом,
2
искомый член T4 + 1 = T5 = C410 x7 = 210x7.
27
4. Найти коэффициент при x8 многочлена
P (x) = (1 + x2 – x3)9.
Р е ш е н и е. Обозначим x2 – x3 = t, тогда
t3 = x6 (1 – x)3 = x6 – 3x7 + 3x8 + ..., t4 = x8 (1 – x)4 = x8 + ... .
Так как t, t2 — многочлены степени не выше семи, а t5,
t6, ..., t9 — многочлены степени не ниже десяти, то x8
содержат лишь четвертый и пятый члены разложения
бинома (1 + t)9.
Пусть a — коэффициент при x8 многочлена P (x).
Тогда a = 3C39 + C49.
Задания для самостоятельной работы
Записать разложение бинома (1—2).
2) (3b + 1)4;
1. 4 1) (1 + 3a)4;
4) (x – 2y)5.
3) (2a – b)5;
2. 5 1)
3)
冢 ᎏ12 – 兹2苶冣 ;
1
;
冢x – ᎏ
2x 冣
1
2) 冢兹3
苶 – ᎏ3 冣 ;
6
6
7
4)
1
– y冣 .
冢ᎏ
2y
8
3. 6 Найти шестой член разложения:
1
2) 冢兹a
.
苶– ᎏ
a冣
10
1) (a – 兹a
苶)11;
4. 6 Найти седьмой член разложения:
1)
x
+ 兹x
苶冣
冢ᎏ
2
2
12
;
2)
冢y
2
兹苶
.
+ᎏ
2 冣
y
11
5. 8 Найти член разложения бинома:
3
8
1) (兹a
苶 + 兹a
苶) , содержащий a3;
3
2) ( 兹b
苶 + 兹b苶) , содержащий b7;
3
12
3)
1
冢 兹x苶苶 + ᎏ
冣
兹x
苶
4)
冢兹x苶 + ᎏ
兹x
苶 冣
2
1
3
6. 9 1) Найти
冢
兹a
苶
ᎏ
b
兹b苶
+ᎏ
a
冣
15
, не содержащий x;
18
, содержащий x– 1.
четвертый
член
разложения
, если коэффициент третьего члена равен 78.
2) Найти пятый член разложения бинома
y
兹x
苶
+ ᎏ冣 ,
冢ᎏ
y
兹x
苶
если коэффициент третьего члена равен 91.
28
бинома
m
m
7. 8 Найти члены, не содержащие иррациональности, в
разложении бинома S, если:
1) S = 冢 兹3
苶 + 兹2
苶冣 ;
3
5
2) S = 冢 兹3
苶 + 兹2
苶冣 .
8. 9 Найти коэффициент при x3 многочлена P (x), если:
1) P (x) = (1 – x + x2)3;
2) P (x) = (1 + 2x – 3x2)4.
5
§ 10.
7
24
Системы уравнений
Примеры с решениями
1. Решить систему уравнений
冦
x2 – 4x – 2y – 1 = 0,
y2 – 2x + 6y + 14 = 0.
Р е ш е н и е. Сложив уравнения системы, получим
(x – 3)2 + (y + 2)2 = 0, откуда x = 3, y = – 2. Пара чисел x = 3
и y = – 2, как показывает проверка, образует решение системы.
О т в е т. (3; – 2).
2. Решить систему уравнений
冦
x3
ᎏ – 2xy = 16,
y
y3
ᎏ
2x
+ 3xy = 25.
Р е ш е н и е. Запишем систему в виде
冦
x3
ᎏ = 16 + 2xy,
y
(1)
y3
ᎏ
x
(2)
= 50 – 6xy.
Перемножив почленно уравнения этой системы, получим уравнение
(3)
13 (xy)2 – 4xy – 800 = 0,
которое вместе с одним из уравнений системы (1)—(2)
образует систему, равносильную системе (1)—(2).
Из уравнения (3) находим xy =
100
откуда xy = 8 или xy = – ᎏ
.
13
1苶
0苶
4苶
0苶
0
2 兹4
+苶
苶苶
ᎏᎏ
13
2 102
,
=ᎏ
13
29
Если xy = 8, то из уравнения (1) следует, что x4 = 28,
откуда x1 = 4, x2 = – 4, и тогда y1 = 2, y2 = – 2.
100
1800
. Это уравнение не имеЕсли xy = – ᎏ
, то x4 = – ᎏ
13
169
ет действительных корней.
О т в е т. (4; 2), (– 4; – 2).
3. Решить систему уравнений
冦
y4
x
y
y2
ᎏ
x2
4
ᎏ
x2
2
x
xy + ᎏ = ᎏ
+ y2,
1
ᎏ
y
+
+
= 0.
Р е ш е н и е. Так как xy 0, то систему можно записать в виде
冦
y2 (x2 + y3) = x (x2 + y3),
x2 + y3 = – 4y.
Если x2 + y3 = 0, то из второго уравнения следует, что
y = 0, что невозможно.
Если y2 = x, то из второго уравнения системы следует,
что y3 + y2 + 4 = 0 или (y + 2) (y2 – y + 2) = 0, откуда y = – 2
(уравнение y2 – y + 2 = 0 не имеет действительных корней).
Итак, y = – 2, x = y2 = 4.
О т в е т. (4; – 2).
4. Решить систему уравнений
冦
x5 + 4x4 + 5y2 = 0,
y3
x3 – ᎏ2 = xy – y2.
x
Р е ш е н и е. Второе уравнение исходной
равносильно каждому из уравнений
冢
y2
冣
冢
y2
冣
冢
y2
системы
冣
x2 x + ᎏ2 = у x + ᎏ2 , (x2 – y) x + ᎏ2 = 0.
x
x
x
а) Если x2 = y, то из первого уравнения исходной системы получаем xy2 + 4y2 + 5y2 = 0, откуда следует, что либо y = 0, либо x = – 9. Но если y = 0, то x = 0, а при x = 0
второе уравнение теряет смысл. Итак, x = – 9, y = x2 = 81.
y2
б) Если x + ᎏ2 = 0, то x3 + y2 = 0. Из первого уравнеx
ния системы находим x5 + 4x4 – 5x3 = 0, x2 + 4x – 5 = 0 (x 0),
откуда x1 = – 5, x2 = 1.
Пусть x = – 5, тогда y2 = 125, откуда y = 5 兹5
苶.
Пусть x = 1, тогда y2 = – 1. Это уравнение не имеет
действительных корней.
30
Таким образом, система имеет три действительных
решения: (– 9; 81), (– 5; 5 兹5
苶), (– 5; – 5 兹5
苶).
О т в е т. (– 9; 81), (– 5; 5 兹5
苶), (– 5; – 5 兹5
苶).
5. Решить систему уравнений
冦
x2 + xy – 2y2 + 8x + 10y + 12 = 0,
x2 + 3xy + 2y2 – x + y – 6 = 0.
Р е ш е н и е. Решим каждое из уравнений системы как
квадратное относительно x или y. Тогда исходная система преобразуется к виду
(x + 2y + 2) (x – y + 6) = 0,
(x + 2y – 3) (x + y + 2) = 0
冦
и равносильна совокупности четырех систем линейных
уравнений.
О т в е т. (– 2; 0), (– 3; 3), (– 4; 2).
6. Решить систему уравнений
(2x – y)2 = 4 + z2,
(z – y)2 = 2 + 4x2,
(z + 2x)2 = 3 + y2.
冦
Р е ш е н и е. Обозначим 2x = u, – y = v и запишем исходную систему в следующем виде:
冦
u+v–z=
v+z–u=
z+u–v=
4
ᎏᎏ ,
u+v+z
2
ᎏᎏ ,
u+v+z
3
ᎏᎏ .
u+v+z
(1)
Сложив уравнения системы (1) и обозначив u + v +
9
+ z = t, получим уравнение t = ᎏt , откуда t1 = 3, t2 = – 3.
Подставив найденные значения суммы u + v + z в систему (1), найдем искомые значения u, v и z.
Если t = u + v + z = 3, то
1
z= ᎏ
冢t – ᎏ4 冣 = ᎏ5 , u = ᎏ1 冢t – ᎏ2 冣 = ᎏ7 , v = ᎏ1 冢t – ᎏ3 冣 = 1,
2
t
6
x=
u
ᎏ
2
=
2
7
ᎏ,
12
t
6
2
t
y = – v = – 1.
7
5
Аналогично если t = – 3, то x = – ᎏ
, y = 1, z = – ᎏ
.
О т в е т.
冢
7
ᎏ;
12
– 1;
5
ᎏ
6
冣, 冢–
7
ᎏ;
12
1; –
12
5
ᎏ
6
6
冣.
31
7. Решить систему уравнений
x3 + y3 – z3 – xyz + 11 = 0,
x3 – y3 + z3 – xyz – 21 = 0,
y3 + z3 – x3 – xyz – 3 = 0.
冦
Р е ш е н и е. Сложив уравнения попарно, получим систему
x3 = xyz + 5,
y3 = xyz – 4,
z3 = xyz + 12,
冦
равносильную исходной системе. Перемножим уравнения
этой системы и обозначим t = xyz, тогда
t3 = t3 + 13t2 – 8t – 240,
60
.
13t2 – 8t – 240 = 0, откуда t1 = – 4, t2 = ᎏ
13
Если t = – 4, то x3 = 1, y3 = – 8, z3 = 8, откуда x1 = 1,
216
60
125
8
,
, z3 = ᎏ
, y3 = ᎏ
, то x3 = ᎏ
y1 = – 2, z1 = 2. Если t = ᎏ
13
13
13
13
5
2
6
.
, z2 = ᎏ
, y2 = ᎏ
откуда x2 = ᎏ
3
3
3
3
兹1
苶苶
3
兹1
苶苶
О т в е т. (1; – 2; 2),
3
兹1
苶苶
;
冢ᎏ
3
兹1
苶苶
5
3
2
6
; ᎏ
ᎏ
3
3
1苶
3
3
兹苶
兹1
苶苶
冣.
8. Решить систему уравнений
5x – 6y + 4z + xy = 0,
3x – 5y + z – y2 = 0,
x – 4y – 2z – yz = 0.
冦
Р е ш е н и е. Вычитая из второго уравнения, умноженного на 2, сумму первого и третьего, получаем
y (z – x – 2y) = 0.
(1)
Уравнение (1) вместе с первыми двумя уравнениями
данной системы образует систему, равносильную данной.
Из уравнения (1) следует, что либо y = 0, либо
z = x + 2y.
(2)
Если y = 0, то x = 0, z = 0 и (0; 0; 0) — решение исходной системы.
Если справедливо равенство (2), то из первых двух
уравнений исходной системы получаем
9x + 2y + xy = 0,
(3)
2
(4)
4x – 3y – y = 0.
冦
32
Вычитая из уравнения (3), умноженного на 4, уравнение (4), умноженное на 9, находим
35y + 4xy + 9y2 = y (4x + 9y + 35) = 0,
откуда
4x = – 9y – 35.
(5)
Из уравнений (4) и (5) следует, что y2 + 12y + 35 = 0,
откуда y1 = – 5, y2 = – 7.
5
Если y = – 5, то из уравнений (5) и (2) находим x = ᎏ
,
2
15
z = – ᎏ , а если y = – 7, то x = 7, z = – 7.
2
О т в е т. (0; 0; 0),
冢 ᎏ52 ;
15
, (7; – 7; – 7).
– 5; – ᎏ
2 冣
9. Решить систему уравнений
2xy2 + 8zx2 – 4yz2 = 6xyz,
8xz2 – 4yx2 + 2zy2 = 6xyz,
2xy – 4xz + 2yz = 3.
冦
Р е ш е н и е. Вычитая из первого уравнения второе,
получаем
xy2 + 4x2z – 2yz2 – 4xz2 + 2x2y – y2z = 0.
Разложим на множители левую часть уравнения:
y2 (x – z) + 4xz (x – z) + 2y (x2 – z2) = 0,
(x – z) (y (y + 2z) + 2x (y + 2z)) = 0,
(x – z) (y + 2z) (y + 2x) = 0.
(1)
Заметим, что исходная система, равносильная системе, состоящей из ее первого и третьего уравнений и
уравнения (1), равносильна также совокупности трех систем, получаемых присоединением к первому и третьему
уравнениям соответственно уравнений
x = z,
(2)
y = – 2z,
(3)
y = – 2x.
(4)
1) Подставляя из уравнения (2) x = z в первое и
третье уравнения исходной системы, получаем
x (y2 – 5xy + 4x2) = x (y – x) (y – 4x) = 0,
(5)
4xy – 4x2 = 4x (y – x) = 3.
Если x = 0 или y = x, то из (5) следует, что 0 = 3. Если
1
1
, x= ᎏ
. В этом случае
y = 4x, то из (5) находим x2 = ᎏ
4
2
система имеет два решения:
2
Шабунин
冢 ᎏ12 ;
2;
1
ᎏ
2
冣
1
1
; – 2; – ᎏ
и 冢– ᎏ
.
2
2冣
33
2) Подставляя y = – 2z (см. (3)) в первое и третье
уравнения исходной системы, получаем
z (2z2 + 5xz + 2x2) = z (z + 2x) (x + 2z) = 0,
(6)
– 4z (z + 2x) = 3.
Если z = 0 или z + 2x = 0, то из уравнения (6) следует,
что 0 = 3. Если x = – 2z, то из уравнения (6) находим
1
1
z2 = ᎏ
, z= ᎏ
. В этом случае система имеет решения
4
冢– 1;
2
1
ᎏ
2
– 1;
冣
1
и 冢1; 1; – ᎏ
.
2冣
3) Подставляя y = – 2x (см. (4)) в первое и третье
уравнения исходной системы, получаем
x (2x2 + 5xz + 2z2) = x (x + 2z) (z + 2x) = 0,
(7)
– 4x (x + 2z) = 3.
Если x = 0 или x + 2z = 0, то из уравнения (7) следует,
что 0 = 3. Если z = – 2x, то из уравнения (7) находим
1
1
, x= ᎏ
. В этом случае система имеет два решения:
x2 = ᎏ
4
冢
1
ᎏ;
2
2
1
; 1; 1冣.
– 1; – 1冣 и 冢– ᎏ
2
冢 ᎏ12 ; – 1; – 1冣, 冢– ᎏ12 ; 1; 1冣, 冢 ᎏ12 ;
1
1
1
, 1; 1; – ᎏ
, – 1; – 1; ᎏ
.
–ᎏ
2冣 冢
2冣 冢
2冣
О т в е т.
冢– ᎏ12 ;
– 2;
2;
1
ᎏ
2
冣,
Задания для самостоятельной работы
Решить систему уравнений (1—15).
1. 4 1)
2. 5 1)
冦
x2 + xy + y2 = 4,
x + xy + y = 2;
2)
冦
x3 + x3y3 + y3 = 17,
xy + x + y = 5;
2)
冦
2) 2x + 3xy + y = 3,
冦 x + 2xy – 5y = – 5.
3. 4 1)
2y2 – 4xy + 3x2 = 17,
y2 – x2 = 16;
2
2
34
2
2
冦 x + y + xy = 7.
x + y + xy = 5,
2
2
冦
x2
ᎏ
y
1
ᎏ
x
y2
9
,
+ᎏ
=ᎏ
x
2
1
3
.
+ᎏ
=ᎏ
y
2
冦
2) x = 5x + 3y,
冦 y = 3x + 5y.
1) x – 4x + 4y + 27 = 0,
冦 y + 2x + 8y + 10 = 0;
2) x – 6x – 3y + 1 = 0,
冦 y + 2x + 9y + 14 = 0.
x2 = 3x + 4y,
y2 = 4x + 3y;
4. 4 1)
2
2
5. 4
2
2
2
2
6. 5 1)
冦
x3
ᎏ
2y
+ 3xy = 25,
y3
ᎏ
x
– 2xy = 16;
冦
x4
ᎏ
y2
+ xy = 72,
y4
ᎏ2
x
+ xy = 9.
冦
2) 2x – xy – y – 10x – 8y – 12 = 0,
冦 2x + 3xy + y + x – y – 6 = 0.
1) 2x y – x = 3,
2) x + 4x y = – 3,
冦 2y – x y = 4;
冦 x y + 4y = – 1.
8x2 – 2xy – y2 – 30x – 9y – 8 = 0,
8x2 + 6xy + y2 – 2y – 8 = 0;
7. 7 1)
2
2
2
2
8. 6
2)
2
2
3
9. 6 1)
2)
10. 7 1)
2)
冦
冦
2
4
4
2
2
2
3
1
xy
x
ᎏ
y
+ x4y = ᎏ2 + x2,
1
ᎏ
x
+ x2y2 + 4y2 = 0;
1
1
x+ ᎏ
+ x3y = ᎏ2 ,
3 3
冦
冦
xy
x y
1
ᎏ
x
+ x y + 10y = 0.
x2
ᎏ
y2
(1 – 2y) = 4x + 2y,
3
3
2
2x2 + xy = x + y2;
y2
ᎏ
x2
(3 + 2x) = 3y – x,
y2 + 2xy = 3x2 – 2y.
35
冦
冦
3
11. 5 1) 2yz + ᎏ
+ 3 = 0,
x
4
xy + ᎏ – 2 = 0,
z
2
xz + ᎏ + 2 = 0;
y
3
2) 2xy + ᎏ
+ 3 = 0,
12. 6 1)
13. 7 1)
冦
冦
冦
冦
冦
冦
冦
z
4
xz + ᎏ
– 2 = 0,
y
2
yz + ᎏ
+ 2 = 0.
x
(3y – x)2 = 2 + z2,
(3y + z)2 = 3 + x2,
(z – x)2 = 4 + 9y2;
2)
2x3 – y3 – 2z3 + xyz + 5 = 0,
y3 + 2z3 – x3 – 2xyz – 2 = 0,
x3 – y3 – z3 + xyz + 4 = 0;
2) x3 + 2y3 + z3 + 2xyz + 22 = 0,
2x3 – 2y3 – z3 + xyz + 2 = 0,
y3 – x3 – z3 + xyz – 13 = 0.
14. 8 1) 3x – y – 5z – 2yz = 0,
x – 5y – z – 2z2 = 0,
x + 9y – 3z + 2xz = 0;
2) 3x + y + 2z – x2 = 0,
10x – 3y – 3z + xz = 0,
16x – y + z – xy = 0.
15. 9 1)
4zx2 – yz2 + 2xy2 = 3xyz,
zy2 + 2xz2 – 4yx2 = 3xyz,
2xy – 2xz + yz = 3;
2) 8zx2 – 2xy2 + 4yz2 = 6xyz,
4yx2 + 2zy2 – 8xz2 = 6xyz,
2xy + 4xz – 2yz = 3.
36
冦
(x + y)2 = 3 + 4z2,
(2z – y)2 = 4 + x2,
(2z – x)2 = 2 + y2.
Контрольная работа
1. Найти частное
(2x3 – x2 – 7x + 2) : (x – 2)
[(2x3 – 7x2 + 4x – 3) : (x – 3)].
2. Найти корни многочлена
x4 + 2x3 – 2x2 + 2x – 3
[x4 + x3 – x2 + x – 2].
3. Записать разложение бинома
(1 – 2a)6 [(3b – 1)5].
4. Найти числа a, b и c из равенства
(3x2 + ax – b) (x + 2) = 3x3 + cx2 + 3x – 2
[(4x2 – ax + b) (x – 1) = 4x3 – 5x2 + cx – 3].
5. C помощью схемы Горнера найти частное и остаток от
деления многочлена P (x) на двучлен Q (x), если
P (x) = 4x4 – 18x3 – 9x2 + 2x – 13, Q (x) = x + 5
[P (x) = 5x4 + 21x3 + 2x2 – 10x – 5, Q (x) = x + 4].
5
x– ᎏ
6. Найти член разложения бинома 冢兹苶
x
兹
苶冣
1 1
содержащий ᎏ
.
ᎏ
冥
3 冤
x
x
10
冤冢
3
4
x
ᎏ
+ 兹苶
3
兹x
苶
冣 冥,
9
Глава
IV Степень с действительным
показателем
§ 1.
Действительные числа
Пример с решением
Доказать, что число 兹2
苶 + 兹3
苶 является числом иррациональным.
Р е ш е н и е. Предположим, что число 兹2
苶 + 兹3
苶= r —
число рациональное и, очевидно, не равное нулю. Тогда
верно равенство 兹3
苶 = r – 兹2
苶, при возведении которого
r2 – 1
.
в квадрат получим 3 = r 2 – 2r 兹2
苶 + 2, отсюда 兹2
苶= ᎏ
2r
Число, стоящее в правой части равенства,— рациональное, следовательно, рациональным является и число 兹苶
2,
что неверно. Полученное противоречие и доказывает
утверждение задачи.
Задания для самостоятельной работы
1. 3 Привести пример рационального числа, заключенного между числами:
3 и 兹苶
5;
2) 兹苶
5 и 兹7
1) 兹苶
苶.
2. 4 Привести пример иррационального числа, расположенного между числами:
1) 0,5 и 0,6;
2) 0,7 и 0,8.
3. 4 Привести пример рационального числа, расположенного между числами:
3 и 1,71.
1) π и 3,14;
2) 兹苶
4. 5 Доказать, что число a — иррациональное, если:
3;
2) a = 兹苶
5.
1) a = 兹苶
5. 6 Доказать, что иррациональным является число:
1) 兹5
苶 – 兹2
苶; 2) 兹5
苶+ 兹2
苶.
6. 6 Выяснить, может ли быть числом рациональным:
1) сумма рационального и иррационального чисел;
2) сумма двух иррациональных чисел.
7. 6 Привести пример двух иррациональных чисел, таких, что сумма этих чисел:
1) число иррациональное;
2) число рациональное.
38
8. 6 Привести пример двух иррациональных чисел, таких, что произведение этих чисел:
1) число рациональное; 2) число иррациональное.
9. 8 С помощью определения предела последовательности доказать, что число 1 является пределом последовательности, заданной формулой общего члена:
1
1
; 2) xn = ᎏ
1) bn = 1 + ᎏ
+ 1.
2
n
§ 2.
n
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
Пример с решением
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
b1, b2, b3, ..., bn, ... такова, что сумма ее членов, стоящих на нечетных местах, равна 36, а сумма ее членов,
стоящих на четных местах, равна 12. Найти первый
член и знаменатель геометрической прогрессии.
Р е ш е н и е. Пусть q — знаменатель прогрессии b1, b2,
b3, ..., bn, ... . Тогда знаменатель прогрессии b2, b4,
b6, ..., как и знаменатель прогрессии b1, b3, b5, ..., равен q2. Следовательно, сумма членов, стоящих на нечетных
b1
местах, равна ᎏ
= 36, а сумма членов, стоящих на чет2
1–q
ных местах, равна
уравнений
冦
b1
ᎏ2
1–q
b2
ᎏ2
1–q
b2
ᎏ2
1–q
= 12, откуда получим систему
= 36,
= 12.
Выразим b1 из первого уравнения b1 = 36 (1 – q2) и подставим во второе уравнение, учитывая, что b2 = b1q. Так
как по условию q 1, придем к уравнению 36q = 12, от1
1
куда q = ᎏ
, т. е. b1 = 36 冢1 – ᎏ
= 32.
3
9冣
Задания для самостоятельной работы
Выяснить, является ли геометрическая прогрессия b1, b2, ...
..., bn, ... бесконечно убывающей (1—3).
1. 5 1) b2 = 2 兹苶
5 , b 7 = 3 兹2
2) b7 = 7, b10 = 5 兹2
苶;
苶.
3 , b15 = 2 兹苶
2;
2) b10 = 兹6
2. 6 1) b12 = 1 + 兹苶
苶, b14 = 1 + 兹2
苶.
5
, b16 = 兹2
3. 6 1) b11 = ᎏ
苶9
苶;
1 – 兹2
苶
1
, b 9 = 兹1
2) b6 = ᎏ
苶4
苶.
兹3
苶– 2
39
Выполнить действия, предварительно обратив бесконечные периодические десятичные дроби в обыкновенные
(4—5).
–1
4. 7 1) 冸(0,(6))3 – 兹苶
0苶
,(苶
4苶) 冹 ;
0苶
,(苶
4苶) + 0,08(3)冹 ⭈ 0,1(3).
2) 冸兹苶
,1(6
,1(6
,(3
,(4
2苶
8苶
5苶
7苶
1苶) – 0,1(6);
⭈ 2苶
⭈ 0苶
苶)苶苶
苶)苶+
苶2
苶苶
苶苶) 苶
苶苶
兹0苶苶
,(6
3苶) 苶
,(6
3苶) +
,(2
7苶
)苶
6苶) – 1,(63).
2) 兹0
⭈ 2苶
⭈ 3,( 苶
苶苶
苶苶
苶苶
苶0
苶苶
苶苶
5. 7 1)
6. 6 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
3 , ...;
1) 2, 兹苶
2
2) – 兹3
, ... .
苶, – ᎏ
兹3
苶
7. 7 Найти сумму, все слагаемые которой, начиная с
первого, являются последовательными членами геометрической прогрессии:
3–1
兹3
苶+ 1 1 ᎏ
1) ᎏ
– + 兹苶
– ...;
兹3
苶– 1
兹3
苶+ 1
3
3
+ 兹2
兹
苶
苶
兹
苶 – 兹2
苶 – ... .
2) ᎏ – 1 + ᎏ
3
2
3
兹苶 – 兹苶
兹苶 + 兹2
苶
8. 7 Найти первые два члена бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, если:
4
1) S = ᎏ
, S6 = 0,5;
7
5
3
.
2) S = ᎏ
, S8 = ᎏ
13
27
9. 8 Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна S, а сумма квадратов ее членов равна S(2). Найти сумму четвертых степеней членов
этой прогрессии S(4), если:
4
;
1) S = 2, S(2) = ᎏ
3
2) S = 3, S(2) = 1,8;
3) S = 1 + 兹2
苶, S(2) = 1;
4) S = 3 + 兹3
苶 , S(2) = 6.
10. 7 В правильный треугольник со стороной, равной 4 см,
вписан треугольник, стороны которого являются
средними линиями данного, в полученный треугольник таким же способом вписан следующий
и т. д. до бесконечности. Найти сумму:
1) периметров всех треугольников;
2) площадей всех треугольников.
40
§ 3.
Арифметический корень
натуральной степени
Пример с решением
Доказать, что при x > y справедливо равенство
+ 兹苶苶–
苶苶
)3 – 兹(x
)3 .
y 兹2
ᎏ = 兹(x
苶 ⭈ ᎏᎏ
苶+
苶y苶苶
苶–
苶y苶苶
x 2 y2
2x
兹x苶苶+苶兹x苶2苶–苶y苶2
Р е ш е н и е. Преобразуем левую часть равенства. Для
преобразования знаменателя воспользуемся формулой
兹b苶 =
兹a苶+苶苶
получим
2苶
苶苶
苶苶苶
苶
a苶苶
b
a+
兹苶
苶苶苶
苶
–
兹
ᎏᎏ
ᎏ
2
+
2苶
苶苶
苶苶苶
苶
a苶苶
b
a–
兹苶
苶苶苶
苶
–
兹
ᎏᎏ
ᎏ
2
,
兹x
苶2苶–
苶y苶2苶 =
兹x苶+苶苶
=
2
苶苶苶
x + 兹x
苶2苶–苶(x
苶ᎏ
苶–苶y苶2)苶 +
ᎏᎏ
2
苶苶苶
x – 兹x
苶2苶–苶(x
苶ᎏ
苶–苶y苶2)苶 =
ᎏᎏ
兹
兹
苶苶苶苶苶苶苶
苶苶苶苶苶苶苶
兹 兹苶 兹 兹苶 兹苶苶苶苶苶 兹苶苶苶苶苶
=
2
x + y2
ᎏᎏᎏ
2
x – y2
ᎏᎏᎏ
2
+
2
=
x+y
ᎏᎏ
ᎏ
2
+
x–y
ᎏᎏ
ᎏ
2
.
Выражение, стоящее в левой части, примет вид
+ 兹苶苶–
苶ᎏ
苶
y 兹2
= 2y ⭈
苶 ⭈ ᎏᎏ
2x
x2
y2
2x + 兹苶
x2苶苶
y2
–苶
ᎏᎏ
ᎏ.
x苶
+苶
–苶
y 苶 + 兹苶
y 苶
兹x
苶苶
苶苶苶苶苶
苶苶苶苶苶
兹
兹
Домножив числитель и знаменатель дроби на выражеx+y
ᎏᎏ
ᎏ+
2
x–y
ᎏᎏ
ᎏ
2
ние, сопряженное со знаменателем (избавимся от иррациональности в знаменателе), получим
2y ⭈
x苶
x苶
(2x + 兹x
+苶
–苶
苶2苶–苶y苶2 ) (兹苶
y 苶 – 兹苶
y 苶 )
ᎏᎏᎏᎏᎏ
(x + y ) – (x – y )
=
y
(x + y + 兹(x
=ᎏ
+苶
苶+
苶苶
苶–
苶苶
苶苶
苶–
苶苶
y苶
) (x
y苶
) + x – y ) ( 兹x
y 苶 – 兹x
y 苶 ) =
y
y
=ᎏ
⭈ ((兹x
苶+
苶苶
苶–
苶苶
y 苶 ) – (兹x
y 苶) ).
y
3
3
Так как по условию y < x, то все рассуждения справедливы и полученное выражение равно правой части равенства. Действительно, при 0 < y < x имеем y = y и
y
ᎏ = 1. Если y < 0, то y = – y и тогда верно равенство
y
x+
– ((兹x
苶–
苶y
苶) 3 – ( 兹苶
苶y
苶) 3 ) = ( 兹x
苶+
苶y
苶) 3 – ( 兹x
苶–
苶y
苶) 3 .
Исходное равенство доказано.
41
Задания для самостоятельной работы
Вычислить (1—2).
3
3
3
3
1. 5 1) (5 兹4
苶 + 0,5 兹1
苶0
苶8
苶 – 兹5
苶0
苶0
苶) 兹2
苶;
3
3
3
3
2) (5 兹2
苶 + 兹5
苶4
苶 + 兹2
苶5
苶0
苶) 兹0
苶,5
苶.
3
3
2. 5 1) 冢4 兹9
苶 + 3 兹7
苶2
苶 – 13
3
3
3
兹
3
2
苶苶
2
ᎏ 冣 兹3
苶;
3
3
3
2) 兹9
苶苶 ( 兹9
苶 – 7 兹7
苶2
苶 + 6 兹1
苶1
苶2
苶5
苶).
–1
Выяснить, при каких значениях x выражение имеет
смысл (3—5).
4
3. 7 1)
8
x 兹苶
x
+
1
苶苶
苶苶
苶.
兹苶苶
2) 兹苶
x苶苶
x
1
–
兹苶
苶苶苶苶
苶苶
苶.
2) 兹苶
(8 苶
x苶苶
) 兹苶
5
x
–苶
–
苶苶
苶苶
苶.
2)
3
2
8
5
6
x 兹苶
1
x
–
苶苶
苶苶
苶苶苶;
兹苶苶
(x 苶
1苶苶
) 兹苶
x
7
1) 兹苶
+苶
–
苶苶
苶苶
苶;
4. 7 1)
5. 7
6
3
x 兹苶
x
1
–
苶苶
苶苶
苶;
兹苶苶
5
5
2
8
7
5
Вынести множитель из-под знака корня (6—7).
6. 6 1)
苶–
苶2
苶苶
)5 ;
兹1苶8苶(x
2)
3
7. 6 1)
苶–
苶2
苶苶
)4 ;
兹8苶x苶(x
苶5
苶(x
苶–
苶3
苶苶
)3 .
兹1苶,2
(x 苶
3苶
) .
–苶
兹苶苶苶
3
2)
8
ᎏ
27
4
Внести множитель под знак корня (8—10).
8. 6 1) (x – y)
2)
1
ᎏ
x+y
9. 7 1)
x–y
ᎏ
x+y
2)
x+y
ᎏ
x–y
10. 7 1) 5an
兹苶 ;
3
ᎏ
y2 – x2
兹5苶x苶2苶–苶5苶y苶2苶.
x2 + xy
苶苶
ᎏᎏ ;
兹
苶苶
兹
x2 – 2xy + y2
x2 – 2xy + y2
.
ᎏᎏ
(x + y)2
3
兹
3
bcn
苶苶
ᎏ;
25a3n – 2
兹
4
2) 3xm + 1
42
yz5
苶苶
ᎏᎏ .
27x4m + 5
Упростить выражение (11—13).
4
兹苶冢苶1 苶–苶苶兹苶2苶苶冣苶 冢1 + 兹2苶+ 兹4苶冣;
冢苶
1 苶苶
6
2) 兹苶
– 兹苶
苶苶冣苶冢1 + 兹6
苶+ 兹3
苶6
苶冣 .
11. 7 1)
6
3
4
3
3
3
6
3
3
冢 兹苶
7
2苶冣苶 冢 4 + 兹5
–苶
苶苶
苶6
苶 + 兹4
苶9
苶冣 ;
兹苶苶
3 兹苶
2
4苶冣苶 冢 16 + 6 兹1
2) 兹冢苶苶苶
–苶
苶苶
苶6
苶 + 9 兹4
苶冣 .
3
12. 7 1)
4
2
3
6
13. 8 1)
3
4
3
3
2
3
3
苶苶苶
苶苶苶
苶;
6
4
3
– 兹苶
– 兹苶
+ 兹苶
苶苶冣苶 兹1
苶8
苶
苶6
苶
兹苶冢苶1 苶苶
3
18
2)
3
3
3
6
6
3
冢 兹苶
2
3
2苶
2 兹苶
7
2
9
– 兹苶
– 苶苶
+ 兹苶
苶 苶苶
苶苶冣苶 兹苶
苶苶
苶 苶苶
苶.
兹苶苶
3
14. 8 Выяснить, верно ли равенство:
1) 兹2
1 = 兹7
苶2苶苶
苶苶
苶苶苶
苶–苶2苶苶
苶;
–2
苶1
苶 – 兹2
兹2
苶
苶 – 兹8
兹7
苶
2) (兹7
苶–苶2苶苶
苶 + 1 = (兹8苶 – 1) 兹9苶苶
苶苶
苶.
+4
苶 + 1) 兹8
兹7
苶
兹2
苶
Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби
(15—17).
15. 6 1)
m+n
ᎏᎏ
ᎏ;
3
3
1 + 兹苶
x2苶+ 兹x
苶
2)
1
ᎏᎏ
ᎏ.
3
2 3
x
–
兹苶苶 兹x苶 + 1
16. 6 1)
a–1
ᎏᎏ ;
a苶
1 – 兹苶
a苶
2
–苶
+苶
兹苶
2)
3a (b + 0,5)
ᎏᎏ .
b苶
2 + 兹苶
1苶
+苶
–b
兹苶
苶
17. 6 1)
(x – y) z
ᎏᎏ
ᎏ;
3
3
3
x苶
y + 兹苶
x2苶 + 兹苶
y2
兹苶
2)
x+y
ᎏᎏ
ᎏ.
3
3
3
y 2 – 兹x
兹苶x2苶 + 兹苶
苶y
苶
Проверить, является ли число a корнем данного уравнения (18—20).
兹4苶苶– 苶兹7苶苶 – 兹4苶+苶兹苶7苶苶;
苶–苶苶
5
苶+
苶苶
5
= 8, a = 兹3
兹苶
苶 – 兹3
兹苶
苶.
18. 8 1) x4 = 4, a =
2) x6
43
3
6
3
6
兹1苶–苶苶兹7苶苶 兹8苶+苶2苶苶兹7苶苶;
苶–苶苶
8
苶+
苶4苶苶
2
= 49, a = 兹1
兹苶
苶 兹9
兹苶
苶.
苶–苶2苶苶
苶 – 兹5苶+
苶2苶苶
苶;
+ 4x – 8 = 0, a = 兹5
兹6
苶
兹6
苶
苶–苶4苶兹苶3苶苶 – 兹7苶+
苶4苶兹苶3苶苶.苶
+ 4x – 12 = 0, a = 兹7
19. 8 1) x6 = 36, a =
2) x6
4
4
20. 8 1) x4
2
4
2) x4
§ 4.
4
2
Степень с рациональным
и действительным показателями
Пример с решением
1
–ᎏ
2
1
–ᎏ
2
x苶
1) – (x – 2 兹苶
x苶
1)
Упростить выражение A = – (x + 2 兹苶
–苶
–苶
при x 1, x 2.
Р е ш е н и е. Так как в степень с дробным отрицательным показателем можно возводить только положительные числа, проверим, будет ли каждое из оснований степеней числом положительным. Так как x 1, то основание степени первого слагаемого положительно, а знак
основания степени второго слагаемого будет совпадать со
знаком произведения:
x苶
1) (x – 2 兹苶
x苶
1) = x2 – 4x + 4 = (x – 2)2 > 0
(x + 2 兹苶
–苶
–苶
(по условию x 2). Кроме того, A < 0. По определению
степени
с
дробным
отрицательным
показателем
1
1
A = – ᎏᎏ
ᎏ . Чтобы избавиться от ирраᎏ – ᎏᎏ
兹x苶苶
苶苶兹x苶
苶–苶
苶1苶
苶
+2
兹x苶苶
苶苶
苶–苶
苶1苶
苶
–2
兹x
苶
циональности, возведем A в квадрат, получим
2
1
1
ᎏᎏ + ᎏᎏ =
ᎏᎏ + ᎏᎏ
x + 2 兹苶
x苶
1
x
2
–
–苶
兹x
苶–
苶1
苶
x
2
x
1
x
2
x
1
兹苶苶
苶苶
苶 兹 苶苶
苶–苶
苶苶
苶
+ 苶苶
– 苶苶
兹苶–
苶
兹苶
2
2x
2x
2x
2
2
.
ᎏᎏ
+ ᎏᎏ = ᎏ2 + ᎏᎏ = ᎏ2 + ᎏ
x–2
2
2
x2 – 4x + 4
(x
2)
(x
2)
–
–
2)
兹x苶苶–苶4x
苶+苶4苶
兹(x
苶苶–苶苶
A2 =
=
Рассмотрим два случая: 1) 1 x < 2; 2) x > 2.
4
2x
2
1) A2 = ᎏ
– ᎏ = ᎏ2 ;
2
2
2) A =
(x – 2)
2x
ᎏ2
(x – 2)
x–2
(x – 2)
2
4x – 4
.
+ᎏ=ᎏ
x–2
(x – 2)2
Найдем выражения для A в каждом из этих случаев:
2
2
, A < 0 и x – 2 < 0, то A = ᎏ
.
1) Так как A = ᎏ
x–2
44
x–2
2 兹x
苶–
苶1
苶 , где x > 2 и A < 0, то x – 2 =
2) Так как A = ᎏ
x–2
2 兹x
苶–
苶1
苶.
=x–2 и A=– ᎏ
x 2
О т в е т. A =
–
2
ᎏ,
x–2
2 兹x
苶–
苶1
苶 , если x > 2.
если 1 x < 2; A = – ᎏ
x–2
Задания для самостоятельной работы
Представить в виде степени с рациональным показателем, считая, что a > 0 (1—3).
兹a苶苶兹苶苶a苶苶苶苶兹苶a苶苶 ;
5
1. 5 1)
3
–1
兹苶a苶兹苶苶苶a苶苶兹苶苶a苶苶苶苶苶苶.
3
2)
2
–1
4
3 苶–
苶1 ;
a苶
苶 兹苶a–苶苶
兹苶
兹a
苶
兹a苶苶
6
3
a苶
苶.
兹a苶2苶 兹a苶–苶5 兹苶
兹a
苶
3
2. 5 1)
2)
3. 5 1)
–1
兹
–2
苶3苶苶兹苶a苶苶
a
苶 :a
3
7
2) a :
3
a 兹苶
苶苶
a
苶;
兹苶苶
5
–2
兹苶a苶苶苶
苶兹苶苶苶a苶苶.
兹苶a苶苶
5
3
–3
Выполнить действия (a > 0, b > 0, c > 0) (4—5).
兹
兹
3
4. 6 1)
2)
苶苶
a– 0,25 兹b
苶– 6苶 ;
ᎏᎏ
4
3 – 3 a ( 兹a
苶b苶)– 2,5
– 0,5
苶苶苶
a– 0,(6) 兹c苶
苶苶 .
ᎏᎏ
ᎏ
3
–6
– 2 – 0,75
(– 2)
兹a苶苶c苶苶苶
5. 7 1) (a0,7 + a0,3) : (a1,1 + a0,7) : 冢 兹苶
a苶
a
兹苶
苶 冣;
1,4 0,6
0,7 0,8
1,5
0,6 1,4
2) (a b + a b ) : (a + a b ).
5
Вычислить (6—7).
6. 8 1)
冢
2)
冢
4
兹3苶1 –苶n ⭈ 750,5
ᎏᎏ
(3n ⭈ 5– 2,5)– 0,25
4
冣
2,(6)
, n Z;
兹苶
(兹苶
5苶
)1 –苶2 n苶 (0,25 兹5
苶
苶)0,5
ᎏᎏᎏᎏ
(5n 0,5– 2,5)– 0,25
冣
2,(6)
, n Z;.
45
1
7. 8 1) (0,20,2 + 30,3) : 冢5 ⭈ 3– 0,7 + ᎏ
⭈ 0,2– 0,8冣;
3
2) (70,25 – 0,250,25) :
0,25
–ᎏ
冢 7ᎏ
冣.
4
7
– 0,75
1,25
Сократить дробь (a > 0, x > 0) (8—9).
8. 7 1)
2)
(0,2 + a0,2)3 + (0,2 – a0,2)3 + 0,032
ᎏᎏ
ᎏᎏᎏ
(0,2 + a0,2)3 – (0,2 – a0,2)3 + 4a0,6
;
(x0,3 + a– 0,3)3 + (x0,3 – a– 0,3)3 + 4x0,9
ᎏᎏ
ᎏᎏᎏᎏ
(x0,3 + a– 0,3)3 – (x0,3 – a– 0,3)3 + 4a– 0,9
9. 7 1)
(x0,7 + 兹苶
7 )3 + (x0,7 – 兹7
苶) 3
ᎏᎏ
ᎏᎏ
0,7
2,1
x + 21x
;
2)
(x1,2 + 兹苶
2 )3 + (x1,2 – 兹2
苶) 3
ᎏᎏ
ᎏᎏ
x2,4 + 6
.
.
Упростить выражение и найти его числовое значение
(10—11).
2
4b
10. 8 1) 冢a – 3b + ᎏ
冣 ⭈ ((a– 0,5 + b– 0,5)– 2 + (a– 0,5 – b– 0,5)– 2)
a+b
3
3
при a = 兹1
苶2
苶, b = 兹1
苶8
苶;
0,5
2) ((a 兹苶
a + b 兹苶
b ) (a + b0,5)– 1 + 3 (ab)0,5)0,5 – 兹苶
a
при a = 0,7, b = 2,(7).
1
_
4
_
11. 8 1)
a3 + 8a 3b
ᎏᎏ
ᎏ
2
2
_
3
a3 – 2
_
ab + 4b 3
– 2 (ab)
1
ᎏ
3
5
при a = 兹0
苶,1
苶2
苶5
苶, b = 兹5
苶;
兹苶苶
冢 a– 3 – b– 3 冣 a 3 b 3
2
_
2)
2
_
5
4 _
_
ᎏᎏ
ᎏ ᎏ+a
3
3
兹a
苶 – 兹b
苶
2
ᎏ
3
4
ᎏ
b 3 при a = 兹3
苶, b = 兹4
苶8
苶.
12. 9 Найти значение выражения:
兹a
苶+
苶3
苶 + (a – 3)0,5
1) ᎏᎏᎏ
, если a = 1,5 (c + c– 1);
0,5
兹a
苶+
苶3
苶 – (a – 3)
2)
(x2 +9)– 0,5 + (x2 – 9)– 0,5
ᎏᎏ
ᎏᎏ
(x2 + 9)– 0,5 – (x2 – 9)– 0,5
, если x = 3
a +b
冢ᎏ
2ab 冣
13. 9 Упростить выражение:
1
ᎏ
2
1
ᎏ
2
1) (a + 兹2
苶a
苶–
苶1
苶) + (a – 兹2
苶a
苶–
苶1
苶) ;
1
ᎏ
2
1
ᎏ
2
2) (a + 2b 兹a
苶–
苶b苶苶) + (a – 2b 兹a
苶–
苶b苶苶) .
2
46
2
2
2
0,5
.
Контрольная работа
1. Вычислить:
1
ᎏ
4
1
ᎏ
2
1) 3 ⭈ 81 – 81 : 3– 2
–3
冤27
1
ᎏ
3
–1
–4
: 3 – 2 ⭈ 64
1
ᎏ
3
冥;
3
3
苶2苶苶2苶苶 ⭈ 兹7苶–苶苶
苶2苶苶
+兹
兹7苶苶
兹2
苶
3
冤 兹9苶+苶兹苶1苶苶7苶苶 ⭈ 兹9苶–苶兹苶1苶苶7苶苶冥.
2)
3
2. Упростить выражение
4
6
)4 – 2 兹苶
(a +
)6 , 0 < a < b
兹(a
苶–
苶b苶苶
苶b苶苶
4
6
冤 兹(a
3苶
)6 – 3 兹苶苶
(a + 3)
–苶
苶苶
苶4, 0 < a < 3冥.
3. Представить в виде степени с основанием b выражение
冢ᎏ
冣
b兹苶苶
b
1 + 兹苶3苶
3–1
: b兹3苶
b
冤冢 ᎏ
冣
b
兹苶2苶 + 1
兹苶2苶 – 1
2
冥
⭈ b2 兹苶2苶 .
4. Сократить дробь
a3 – a
兹苶
ᎏ
ᎏ
1
_
a – 2a2 + 1
冤
a + 4 兹a
苶+ 4
ᎏᎏ
3
_
a2 + 2a
冥.
5. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби
.
冤 ᎏᎏ
兹7
苶 – 3 兹2
苶– 5 冥
1
1
ᎏᎏ
2 + 兹苶
5 – 兹苶
7
兹苶
6. Упростить выражение (a > 0, b > 0)
4
4
4
( 兹a
苶 + 兹b
苶b苶 – 兹b苶) ( 兹a
苶)
ᎏᎏ
ᎏ
5 (a – b)
冤冢
3
_
2a2
( 兹a
+ b 兹b
苶 – 兹b
苶) 3 +
苶
ᎏᎏ
ᎏ
a 兹a
b
苶 + b 兹苶
⭈
冢
4
兹b苶
ᎏ
b
兹a
苶 + 兹苶
冣
–1
冣冥
–2
+
3 兹a
苶b苶 – 3b
ᎏᎏ
a–b
.
Глава
§ 1.
V
Степенная
функция
Степенная функция, ее свойства
и график
Пример с решением
Построить график функции
y=
冦 兹3苶–苶x苶, если x < 2,
x2 – 1)– 2, если x 2,
4 – 苶苶
4x +
(兹苶苶
苶苶苶
3
и перечислить ее свойства.
Р е ш е н и е. Если x 2, то y = ( 2– x – 1)– 2, т. е.
y = (x – 3)– 2. График функции
y=
冦 兹3苶–苶x苶, если x < 2,
(x – 3)– 2, если x 2,
3
изображен на рисунке 1. Область определения — множество R, кроме x = 3; множество значений — промежуток
(0; + ); функция не является ни четной, ни нечетной;
функция является убывающей на промежутках x 2,
x > 3 и возрастающей на промежутке 2 x < 3; функция
ограничена снизу (y > 0); функция не принимает ни
наибольшего, ни наименьшего значения.
Рис. 1
48
Задания для самостоятельной работы
Изобразить схематически график функции и перечислить ее свойства (1—3).
2) y = xπ + 3;
1. 6 1) y = x兹5苶 – 2;
2
ᎏ
兹2
苶
ᎏ
2
3) y = x π + 1;
4) y = x
0,2
苶
5) y = x 兹苶苶
– 1;
6) y = x 兹苶6 + 1;
7) y = (x – 2)兹苶7 + 2;
0
苶,8 – 2.
8) y = (x + 2)兹苶苶
2. 6 1) y =
冦
冦
– 2;
4
兹x
苶–
苶2
苶, если x 2,
1
ᎏ3 ,
(x – 2)
если x < 2;
3
2) y =
兹x
苶+
苶1
苶, если x – 1,
1
ᎏ4 ,
(x + 1)
если x > – 1;
冦
冦 兹苶苶苶
3
3) y =
兹x
苶+
苶3
苶, если x – 2,
(x + 2)– 2, если x > – 2;
4
4) y =
x – 3 , если x 4,
(x – 4)– 3, если x < 4.
3. 7 1) y = x 3 – 1;
3) y = x 5 + 1 ;
5) y = 2 – x 5 ;
3
7) y = 兹x
苶–
苶2
苶 + 1;
§ 2.
2) y = x 5 + 1;
4) y = x3 – 1 ;
6) y = 3 – x 3;
5
8) y = 兹x
+苶1 – 2.
苶苶
Взаимно обратные функции.
Сложная функция
Примеры с решениями
1. Записать формулу сложной функции z = f (ϕ (x)),
1
–ᎏ
если ϕ (x) = x2 – 5x + 6, f (y) = y 2 . Найти область определения функции f (ϕ (x)).
Р е ш е н и е. Внутренняя функция y = ϕ (x), внешняя
функция z = f (y). Суперпозиция заданных функций име49
1
–ᎏ
ет вид z = (x2 – 5x + 6) 2 . Область определения этой функции находится из неравенства x2 – 5x + 6 > 0.
1
–ᎏ
О т в е т. Функция z = (x2 – 5x + 6) 2 определена на промежутках x < 2 и x > 3.
2. Записать внутреннюю ϕ (x) и внешнюю f (ϕ) функ1
ции, задающие сложную функцию f (ϕ (x)) = – ᎏ
.
3
兹x苶2苶+苶5苶
О т в е т. ϕ (x) = x2 + 5 — внутренняя функция, f (ϕ) =
1
— внешняя функция.
=– ᎏ
3
苶
兹ϕ
Задания для самостоятельной работы
1. 5 (Устно.) Выяснить, является ли обратимой функция:
1) y = 2x4;
2) y = – 3x6;
3) y = – 5x2 при x 0;
x
4) y = ᎏ
при x 0;
5) y = 兹x
苶–
苶1
苶;
6) y = 兹x
苶+
苶2
苶;
2
2
3
3
7) y = – 兹x
苶+
苶4
苶;
8) y = – 兹x
苶–
苶3
苶.
2. 6 Найти функцию, обратную к данной; указать ее область определения и множество значений:
1
2) y = ᎏ
;
5
1
1) y = ᎏ
;
3
x
3) y = –
1
,
ᎏ
x4
x
x < 0;
2
ᎏ
3
5) y = – x ;
1
4) y = – ᎏ
, x < 0;
6
x
3
ᎏ
6) y = – x 2 ;
5
–ᎏ
4
–ᎏ
7) y = x 2 ;
8) y = x 3 .
3. 8 Найти промежутки монотонности функции:
1) y = 兹x
苶2苶–
苶4苶x
苶+
苶3苶;
2) y = 兹x
苶2苶–
苶6苶x
苶+
苶5苶;
3) y = 兹–
苶x
苶2苶+
苶3苶x
苶–
苶2苶;
4) y = 兹–
苶x
苶2苶+
苶5苶x
苶–
苶6苶;
3
5) y = 兹2
苶x
苶2苶+
苶3苶x
苶–
苶2苶;
3
6) y = 兹2
苶x
苶2苶–
苶5苶x
苶–
苶3苶.
4. 9 Построить график функции:
1) y = 兹2
苶x
苶2苶–
苶5苶x
苶;
3) y =
50
1
;
ᎏᎏ
x2 – 2x – 3
2) y = 兹4
苶x
苶2苶–
苶9苶;
4) y =
1
ᎏᎏ .
x2 + 2x – 3
§ 3.
Дробно-линейная функция
Пример с решением
Найти горизонтальную и вертикальную асимптоты
3x – 13
графика функции y = ᎏ
.
x–5
3x – 13
Р е ш е н и е. Выделим целую часть дроби ᎏ
, разx–5
делив уголком числитель на знаменатель или выполнив
преобразования:
y=
3 (x – 5) + 2
ᎏᎏ
x–5
2
–
.
=3+ ᎏ
x 5
2
Заданную функцию можно записать в виде y = 3 + ᎏ
.
x–5
График этой функции может быть получен из графика
2
функции y = ᎏ
(гиперболы) сдвигом на 5 единиц вправо
x
вдоль оси Ox и на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Прямые x = 5 и y = 3 являются соответственно вертикальной
и горизонтальной асимптотами графика заданной функции.
Задания для самостоятельной работы
1. 5 Найти горизонтальную и вертикальную асимптоты
графика функции без его построения:
2x – 1
1) y = ᎏ
;
3x – 2
2) y = ᎏ
;
3) y =
4) y =
x+3
3x + 2
ᎏ;
4–x
x+4
2x + 5
ᎏ.
3–x
2. 6 Построить график функции:
5–x
1) y = ᎏ
;
10 – 2x
2) y = ᎏ
;
3) y =
4) y =
5) y =
x–2
– 3x – 7
ᎏ;
x+3
4x – 1
ᎏ;
2x – 1
6) y =
x–3
– 5x – 7
ᎏ;
x+2
1 – 6x
ᎏ.
2x + 1
3. 7 Найти множество значений функции y = f (x); задать
формулой функцию, обратную к функции y = f (x), если:
10
1) y = 3 – ᎏ
при x 0;
2)
3)
4)
3x + 1
7
y=2– ᎏ
при x 0;
4x + 1
6
y=–1+ ᎏ
при x < 1,5;
2x – 3
8
1
y=–2+ ᎏ
при x < 1 ᎏ
.
3x – 4
3
51
§ 4.
Равносильные уравнения и неравенства
Примеры с решениями
1. Выяснить, равносильны ли системы уравнений
x + y = 2,
2x + y = 1,
и
2
2
y + xy – 2x = 4
3x2 – y = 0.
冦
冦
Р е ш е н и е. Решая первую систему способом подстановки, находим ее решения:
x1 = – 1, y1 = 3; x2 = 0, y2 = 2.
Решая вторую систему способом сложения, получаем
1
1
.
, y2 = ᎏ
x1 = – 1, y1 = 3; x2 = ᎏ
3
3
Множества решений систем не совпадают, значит,
эти системы не равносильны.
2. Решить уравнение
2x + 1 + x – 2 = 6.
1
Р е ш е н и е. 2x + 1 = 0 при x = – ᎏ
; x – 2 = 0 при x = 2.
2
Знаки подмодульных выражений на интервалах показаны в таблице:
冢–
x
; – _1_ 冣
2
冢– _12_ ; 2冣
(2; +
2x + 1
–
+
+
x–2
–
–
+
)
Исходное уравнение равносильно совокупности трех
систем:
冦
冦
1
2
x < – ᎏᎏ,
– 2x – 1 – x + 2 = 6;
1
– ᎏ2ᎏ x < 2,
2x + 1 – x + 2 = 6;
冦 2x+ 1 + x – 2 = 6.
x
52
2,
После равносильных преобразований полученных систем
заданное уравнение заменим совокупностью следующих
систем:
冦
冦
1
2
x < – ᎏᎏ,
2
3
x = – 1 ᎏᎏ;
冦
1
– ᎏ2ᎏ x < 2,
x = 3;
x 2,
1
3
x = 2 ᎏᎏ.
Решение имеют первая и третья системы.
2
1
.
, x2 = 2 ᎏ
О т в е т. x1 = – 1 ᎏ
3
3
Решение задачи можно о ф о р м и т ь и н а ч е. Из определения модуля следует, что
2x + 1 =
冦
1
– 2x – 1, если x < – ᎏ2ᎏ,
1
2
2x + 1, если x – ᎏᎏ;
x–2=
冦 x –– 2, если x 2.
2 x, если x < 2,
Пусть y = 2x + 1 + x – 2 .
Тогда получаем:
1
1) y = – 2x – 1 + 2 – x = – 3x + 1 при x < – ᎏ
;
2
2) y = 2x + 1 + 2 – x = x + 3 при –
1
ᎏ
2
x < 2;
3) y = 2x + 1 + x – 2 = 3x – 1 при x 2.
В первом случае имеем уравнение
– 3x + 1 = 6,
5
откуда находим x = – ᎏ
— корень исходного уравнения,
3
так как –
5
ᎏ
3
<–
1
ᎏ.
2
Во втором случае x + 3 = 6; x = 3 не является корнем,
так как 3 > 2.
7
В третьем случае 3x – 1 = 6; x = ᎏ
— корень исходного
уравнения, так как
7
ᎏ
3
3
2.
2
1
.
, x2 = 2 ᎏ
О т в е т. x1 = – 1 ᎏ
3
3
1
З а м е ч а н и е. Условие x = – ᎏ
можно было включить
2
в неравенство первой системы, а условие x = 2 — в неравенство второй (что не повлияло бы на результат решения).
53
Задания для самостоятельной работы
1. 6 Установить, какое из двух уравнений является
следствием другого:
1) 兹(x
苶–
苶1苶)苶2 = x – 1,
2) 兹(2
)2 = x – 2,
苶–
苶x
苶苶
1 – x = x – 1;
x – 2 = x – 2;
5
3) (2x + 1) = 1, 2x = 0;
4) (5x + 1)7 = 1, 5x = 0;
5)
6)
x–1
ᎏ
x
3–x
ᎏ
2–x
x
1
+
1–x
ᎏ,
x
+
,
=ᎏ
x 2
(x – 1) (x + 2) = x (x + 1);
=
(3 – x) x = (1 – x) (2 – x);
7) x2 – x – 20 = 0,
8)
x2 – 3x – 18
ᎏᎏ
x+3
= 0,
x2 – x – 20
ᎏᎏ
x–5
= 0;
x2 – 3x – 18 = 0.
Решить уравнение (2—3).
2. 5 1)
1
1–x
ᎏᎏ2 + 1 = ᎏ ;
2–x
5x – 6 – x
3. 6 1) 兹x
苶+
苶1
苶 = x – 1;
3) 兹2
苶x
苶2苶–
苶2苶x
苶–
苶1苶5苶 = x;
2)
1
ᎏ
x–3
4
+
+ᎏ
=
x 1
4
.
ᎏᎏ
x2 – 2x – 3
2) 兹x
苶+
苶3
苶 = x – 3;
4) 兹2
苶x
苶2苶+
苶x
苶–
苶2苶0苶 = x.
4. 5 Решить неравенство:
1)
5
ᎏ
x–2
3
>ᎏ
;
2)
x+1
3) x5 < x2;
6
ᎏ
x+3
5
<ᎏ
;
x–4
4) x7 > x3.
5. 7 Выяснить, равносильны ли системы уравнений, не
решая их:
冦 3y –+2x–– 4== 0,
2) 2x – y = 3,
冦 5y + x = 7,
3) 3x – 2y = 5,
冦 x + y = 3,
4) 4x + y = 3,
冦 2x – 3y = 2,
1)
54
2x
y 4
0,
冦 y –+2= –0; =
2x y 3,
冦 3x –+ 4y== 10;
4x y 8,
冦 2x –– 3y== 2;
6x 2y 5,
冦 2x +– 4y == 1.
2x
y 4
0,
6. 7 Решить уравнение:
2) 3x – 1 = 2x + 3;
1) 2x – 3 = x + 6;
4) 2x – 1 – x + 4 = 3;
3) x – 5 – 2x + 3 = 4;
6) x – 6 – x + 1 = x – 1.
5) x + 3 – x – 5 = x + 1;
7. 10 Для каждого значения параметра a решить уравнение:
1) x + 2 + a x – 4 = 6;
2) x + 1 + a x – 2 = 3.
§ 5.
Иррациональные уравнения
Примеры с решениями
1. Решить уравнение (x2 – 9) 兹x
苶+
苶2
苶 = 0.
Р е ш е н и е. Левая часть уравнения определена при
x – 2, а число x = – 2 — корень этого уравнения. Далее
задача сводится к нахождению корней уравнения
x2 – 9 = 0, таких, что x – 2. Этому условию удовлетворяет x = 3.
О т в е т. x1 = – 2, x2 = 3.
2. Решить уравнение 3 兹x
苶+
苶4
苶 = 5 – 2 x + 2 .
Р е ш е н и е. Левая часть уравнения определена при
x – 4, а правая — при всех x R,
x + 2 при x – 2,
причем x + 2 =
– x – 2 при x < – 2.
1) Если – 4 x < – 2, то уравнение можно записать в
виде 3 兹苶
x苶
4 = 9 + 2x и заменить следующим равносиль+苶
ным уравнением:
9 (x + 4) = 81 + 36x + 4x2, или 4x2 + 27x + 45 = 0,
冦
15
– 27 3
, x2 = – 3.
откуда x = ᎏ
; x1 = – ᎏ
8
4
Оба корня принадлежат промежутку – 4 x < – 2 и являются корнями исходного уравнения.
2) Если x – 2, то уравнение примет вид 3 兹x
苶+
苶4
苶=
1
= 1 – 2x. При x > ᎏ это уравнение не имеет корней, а при
2
1
равносильно уравнению 9 (x + 4) = 1 – 4x + 4x2,
–2x ᎏ
2
13 27
7
, x2 = 5,
; x1 = – ᎏ
или 4x2 – 13x – 35 = 0, откуда x = ᎏ
8
причем x = –
7
ᎏ
4
принадлежит отрезку 冤– 2;
4
1
ᎏ
2
冥, а x = 5 нет.
3
3
.
, x2 = – 3, x3 = – 1 ᎏ
О т в е т. x1 = – 3 ᎏ
4
4
55
Задания для самостоятельной работы
Решить уравнение (1—7).
1. 6 1) 兹x
苶+
苶1
苶 – 兹2
苶x
苶–
苶5
苶 = 兹x
苶–
苶2
苶;
2) 兹2
苶x
苶+
苶3
苶 + 兹x
苶–
苶2
苶 = 2 兹x
苶+
苶1
苶.
2. 7 1)
2)
苶苶
x
1
1
苶苶
苶苶
x
1
1
+兹
+
–兹
+
苶苶
苶苶
苶苶
苶 + 兹x
苶苶
苶苶
苶苶
苶 = 4;
兹x苶苶
苶–苶
苶2苶苶 + 兹x苶+
苶兹苶x苶
苶–苶
苶2苶苶 = 3.
兹x苶–苶兹苶x苶
3. 7 1) x2 + 5x + 4 – 5 兹x
苶2苶+
苶5
苶x
苶+
苶2
苶8
苶 = 0;
2) 4x2 – 6x + 7 + 兹4
苶x
苶2苶–
苶6
苶x
苶+
苶5
苶 = 14;
3) x2 – x + 兹x
苶2苶–
苶x
苶–
苶2
苶 = 8;
4) x2 + 16 – 3 兹x
苶2苶–
苶5
苶x
苶+
苶2
苶0
苶 = 5x.
4. 7 1) 兹3
苶x
苶2苶+
苶5苶x
苶+
苶1苶 + 兹3苶x
苶2苶+
苶5苶x
苶+
苶8苶 = 7;
2) 兹3
苶x
苶2苶+
苶5苶x
苶+
苶8苶 – 兹3苶x
苶2苶+
苶5苶x
苶+
苶1苶 = 1.
5. 10 1)
2)
苶–苶2苶兹苶苶
x
7
苶+
苶1苶1苶–苶4苶兹苶苶
x
7
+8
+
+
苶苶
苶苶
苶 + 兹x
苶苶
苶苶
苶 = 1;
兹x苶苶
苶–苶
苶4苶苶 – 兹x苶+
苶5苶–苶6苶兹苶x苶
苶–苶
苶4苶苶= 2.
兹x苶–苶3苶–苶2苶兹苶x苶
6. 10 1) 5 兹1
苶+
苶苶
苶1
苶苶= 3 + 5x + 3 ;
x2苶–
2) 兹2
苶5
苶+
苶苶
苶x
苶2苶–
苶2
苶5
苶苶= 4 + 4 x + 1 .
16
3
7. 10 1) 兹x
苶–
苶3
苶 + 兹5
苶+
苶x
苶 = 2;
3
2) 兹x
苶–
苶2
苶 + 兹x
苶+
苶1
苶 = 3;
3
3) 2 兹2
苶x
苶+
苶1
苶 + 兹8
苶x
苶+
苶5
苶 = 1;
3
4) 兹2
苶x
苶+
苶7
苶 – 兹x
苶+
苶7
苶 = 1.
8. 10 Найти все значения параметра a, при которых имеет решение уравнение:
1) 兹x
苶+
苶a
苶 + 兹x
苶–
苶1
苶 = 3;
2) 兹x
苶–
苶3
苶 + a = 兹x
苶+
苶6
苶.
9. 10 Решить уравнение:
1)
2)
3)
4)
56
兹x
苶2苶–
苶1苶 + x = a;
x + 兹x
苶2苶–
苶x
苶 = a;
兹x
苶–
苶2
苶a
苶 – 兹x
苶–
苶a
苶 = 2;
2.
a
x
x
–
+
=
兹苶苶 苶 兹苶
10. 6 Решить систему уравнений:
冦 兹兹xx苶苶+苶+苶7苶7苶 +– 兹兹y苶y苶+苶+苶1苶1苶== 1;5,
2) 兹x
冦 兹苶x苶+苶+苶6苶6苶 +– 兹兹y苶y苶+苶+苶1苶1苶2苶2苶== –7,1;
3) 兹1
冦 2苶兹7苶1苶7苶–苶–苶2苶x苶2苶x苶+–2兹兹y苶y苶+苶+苶2苶2苶==8;9,
4) 3 兹2
冦 兹2苶x苶苶x苶–苶–苶1苶 1苶+–3 兹兹3苶3苶–苶–苶y苶y苶== 7,9.
1)
§ 6.
Иррациональные неравенства
Примеры с решениями
1. Решить неравенство
(2x + 兹x
苶–
苶5
苶 – 13) (兹x
苶+
苶1
苶6
苶 – 兹x
苶–
苶5
苶) 21.
Р е ш е н и е. Левая часть неравенства определена при
x 5. Умножив обе части неравенства на положительное
x苶
1苶
6 + 兹苶
x苶
5 , получим равносильпри всех x 5 число 兹苶
+苶
–苶
ное ему неравенство
(2x + 兹x
苶–
苶5
苶 – 13) ⭈ 21 21 (兹x
苶+
苶1
苶6
苶 + 兹x
苶–
苶5
苶),
откуда 2x – 13 兹x
苶+
苶1
苶6
苶.
Это неравенство при 5 x 6,5 не имеет решений (левая часть неположительна, а правая положительна). При
x > 6,5 оно равносильно неравенству
4x2 – 52x + 169 x + 16, или 4x2 – 53x + 153 0,
откуда x 4,25 и x 9. Учитывая условие x > 6,5, получаем x 9.
О т в е т. x 9.
2. Решить неравенство 兹x
苶–
苶a
苶 < a.
Р е ш е н и е. При a 0 неравенство не имеет решений.
При a > 0 исходное неравенство равносильно системе
x – a 0,
x – a < a2,
冦
откуда имеем a x < a2 + a.
О т в е т. Если a 0, то решений нет; если a > 0, то
a x < a2 + a.
57
Задания для самостоятельной работы
Решить неравенство (1—5).
1. 8 1) (2x + 兹x
苶 – 7) (兹x
苶+
苶4
苶 – 兹x
苶) < 4;
2) (3x + 兹2
苶x
苶 – 4) (兹2
苶x
苶+
苶1
苶9
苶 – 兹2
苶x
苶) 19.
2. 7 1) (x2 – 9) 兹x
苶+
苶5
苶 0;
2) (4 – x2) 兹3
苶–
苶x
苶 0;
3)
x–1
ᎏᎏ
+x
+6
兹–苶x苶苶2 苶
苶苶
苶
0;
兹x苶2苶+苶x苶–苶2苶 0.
4) ᎏᎏ
3 x
–
3. 7 1) 兹x
苶2苶–
苶3苶x
苶–
苶1苶0苶 < x + 4;
2) 兹x
苶2苶+
苶2苶x
苶–
苶8苶 > x – 4;
3) 兹8
苶+
苶2苶x
苶–
苶x
苶2苶 > 6 – 3x;
4) 兹5
苶x
苶–
苶x
苶2苶–
苶6苶 < 3 + 2x;
5) 兹2
苶x
苶2苶–
苶3苶x
苶–
苶2苶 2 – x;
6) 兹2
苶x
苶2苶–
苶x
苶–
苶3苶 x + 1;
7) 兹2
苶x
苶2苶–
苶6苶x
苶–
苶8苶 x + 1;
8) 兹2
苶x
苶2苶+
苶2苶x
苶–
苶1苶2苶 2 – x.
4. 8 1) 兹x
苶–
苶1
苶 + 兹x
苶+
苶2
苶 3;
2) 兹x
苶–
苶2
苶 + 兹3
苶x
苶–
苶2
苶 6;
3) 兹x
苶x
苶 – 1;
苶2苶–
苶9苶 + 兹4苶–
4) 兹x
苶–
苶8
苶 + 2 兹8
苶1苶–
苶x
苶2苶 – 1.
12
;
5. 9 1) 兹1
苶–
苶x
苶 + 兹7
苶–
苶x
苶 ᎏ
2) 兹4
苶–
苶x
苶–
7苶
x
–苶
兹苶
12
ᎏ – 兹–
苶x
苶–
苶2
苶.
4苶
x
–苶
兹苶
6. 10 В зависимости от значений параметра a решить неравенство:
1) a 兹x
苶+
苶1
苶 1;
2) a 兹2
苶–
苶x
苶 1;
3) a 兹x
苶+
苶a
苶 < 1;
4) a 兹x
苶–
苶a
苶 < 5.
58
Контрольная работа
1. Найти область определения функции
1
–ᎏ
4
6
+ 兹x
苶2苶+
苶3苶x
苶–
苶1苶0苶
冤y = (x – 6)
1
–ᎏ
3
5
冥
+ 兹x
苶2苶+
苶5苶x
苶–
苶6苶 .
2. Исследовать функцию и построить ее график
y = (x + 5)
y = 兹x
苶+
苶3
苶– 1
[y = (x – 2)3 + 8].
3. Решить уравнение
3x + 1 + 兹7
苶–
苶9
苶x
苶= 0
[1 + 2x + 兹7
苶–
苶6
苶x
苶 = 0].
4. Решить неравенство
(3x + 4) 兹4
苶–
苶x
苶2苶 0
[(2x – 7) 兹x
苶2苶–
苶9苶 0].
5. Решить уравнение
x 2 – x + 兹x
苶2苶–
苶x
苶+
苶4苶 = 2
[x2 – x + 兹x
苶2苶–
苶x
苶–
苶2苶 = 8].
6. Решить неравенство
2 兹x
苶–
苶2
苶 – 兹x
苶+
苶3
苶 1
[2 兹x
苶–
苶3
苶 – 兹x
苶+
苶2
苶 1].
Глава
§ 1.
VI Показательная
функция
Показательная функция,
ее свойства и график
Пример с решением
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
1 x
y=冢ᎏ
на отрезке [– 2; 1].
4冣
Р е ш е н и е.
При
x0
1
функция имеет вид y = 冢 ᎏ
冣 и
x
4
является убывающей, при
x < 0 функция принимает
вид y = 4x и является возрастающей. График функ1 x
ции y = 冢 ᎏ
冣 изображен на
4
Рис. 2
рисунке 2 (он симметричен относительно оси ординат).
На отрезке [– 2; 1] наибольшее значение функции равно
1
y (0) = 1, наименьшее ее значение равно y (– 2) = ᎏ
.
16
Задания для самостоятельной работы
1. 7 Функция f (x) определена на множестве действительных чисел и обладает свойством
f (x1 + x2) = f (x1) ⭈ f (x2).
Задать эту функцию формулой, если:
1) f (1) = 2;
2) f (1) = 3;
2
3) f (1) = ᎏ
;
3
3
4) f (1) = ᎏ
;
2
5) f (– 1) = 2;
6) f (– 1) = 0,5.
2. 7 Решить графически уравнение:
7
x;
1) 2x = 1 + ᎏ
7
x;
2) 0,5x = 1 – ᎏ
3) 0,1x + 1 = 2 – x2;
5) 3x – 1 = 2x– 2;
4) 9 ⭈ 3x – 2 = 4 – x2;
6) 2– x = 1 + x– 2.
3
60
3
3. 7 Решить графически неравенство:
1
3
2) 0,5x ᎏ
– ᎏ;
8
;
1) 2x ᎏ
2
x
x
3) 3x 兹5
4) 2x 兹1
苶+
苶2
苶x
苶;
苶+
苶3
苶x
苶.
4. 6 Сравнить числа a и b, если:
1) a = 0,2– 6,1, b = 55,6;
2) a = 0,54,1, b = 2– 3,9;
3) a = (兹苶
3 – 1)3 兹苶2, b = (兹苶
3 – 1)2 兹苶3;
4) a = (2 – 兹3
苶)5 兹苶2, b = (2 – 兹3
苶) 7 ;
,2
5) a = 兹0
;
苶,2
苶, b = 0,2兹苶0苶
,2
6) a = 兹1
;
苶,1
苶, b = 1,1兹苶0苶
2 兹苶
7) a = 1, b = (3 – 2 兹2
苶) 2 – 3 ;
8) a = (2 兹5
苶 – 3)5 兹苶2 – 7, b = 1.
5. 6 Расположить в порядке возрастания числа:
1) 32,5; 3兹苶6; 31 + 兹苶2;
,1
2) 0,32 – 兹苶3 ; 1; 0,3兹苶0苶
;
1
ᎏ;
3 兹苶
3
1
.
ᎏ
兹1
苶0
苶
3) (兹3
苶 )– 3,1; 3– 1,6;
3
4) 兹0
苶,1
苶; 0,10,3;
6. 6 Установить, какие значения может принимать число a, чтобы выполнялось неравенство:
2
ᎏ
2) a0,3 > 1;
1) a < a 3 ;
5
–ᎏ
6
6
–ᎏ
7
3
–ᎏ
4
–ᎏ
4) a 4 < a 5 .
3) a > a ;
7. 7 Найти область определения и множество значений
функции:
1) y = 1,2兹苶7苶–苶x ;
2) y = 0,7兹苶x苶+苶7 ;
2 –苶
5
3) y = 0,5兹x苶苶苶
;
2
4 –苶苶
x苶
4) y = 3兹苶
;
5) y =
1
ᎏᎏ ;
2
苶x苶–苶苶
苶
2
x苶
兹
3
6) y =
1
ᎏᎏ .
2 –苶
苶苶
苶苶
x
5
x
兹
10 苶
8. 7 Построить схематически график функции:
2) y = 0,2 x + 1;
1) y = 4 x – 1;
3) y = 0,3 x + 2 ;
4) y = 3 x – 2 ;
6) y = 0,5x – 2 ;
5) y = 2x – 3 ;
8) y = 2 x – 1 – 3 .
7) y = 3 x + 1 – 2 ;
61
§ 2.
Показательные уравнения
Пример с решением
Решить уравнение
(2 兹苶
2 – 兹苶
7 )x + (2 兹2
苶 + 兹7
苶) x = 4 兹2
苶.
2 – 兹苶
7) (2 兹苶
2 + 兹苶
7) = 1,
Р е ш е н и е. Пользуясь тем, что (2 兹苶
x
2 – 兹苶
7 ) , запишем заданное урави введя обозначение y = (2 兹苶
1
,
откуда
y 2 – 4 兹2
нение в виде y + ᎏ
4 兹2
=
苶
苶 y + 1 = 0. Решив
y
2 兹苶
7.
это квадратное уравнение, получим y1,2 = 2 兹苶
Корни уравнений (2 兹2
苶 – 兹7
苶) x = 2 兹2
苶 兹7
苶, т. е. числа
x1 = 1 и x2 = – 1, являются и корнями исходного уравнения.
О т в е т. x = 1.
Задания для самостоятельной работы
Решить уравнение (1—8).
1. 6 1) 2x2 ⭈ 0,25x = 8;
2) 16 ⭈ 8x =
_
2x+5
_
x2
;
_
x+7
_
x–1
3)
冢 冣
1
ᎏ
兹2
苶
3x + 4
7
ᎏ
= 1;
7x + 1
4)
0,1
ᎏ
ᎏ
0,1x + 7
= 1.
2. 6 1) 53 – x = 20 + 5x;
2) 6x + 2 – 6x – 35 = 0;
3) 55 – 2x – 20 ⭈ 0,23 – 2x – 5 = 0; 4) 41 – x – 0,51 – 2x = 1.
3. 6 1) 2 ⭈ 9x – 6x = 4x;
3) (2 – 兹3
苶)x + (2 + 兹3
苶)x = 4;
2) 9x + 4x = 2 ⭈ 6x;
4) (兹苶
5 – 2)x + (兹5
苶 + 2)x = 18.
,5
4. 7 1) 16x ⭈ 64兹苶x 苶+苶0苶
2) 27
= 4;
2
2
苶
苶苶
苶
苶
苶
苶苶
苶
苶
3) 4x + 兹 x – 2 – 5 ⭈ 2x – 1 + 兹 x – 2 = 6;
x
1– ᎏ
3
3x苶–苶
2
3x苶–苶
2
苶
苶
4) 0,16x – 1 –兹苶
– 3,75 ⭈ 0,4x – 兹苶
= 2,5.
5. 8 1)
2)
3)
4)
苶1苶6苶 – 32x – 1 = 4 – 3x;
兹9苶x苶–苶3苶x苶+ 1苶+
3 ⭈ 兹9
苶–苶x +
苶3苶–苶x –
苶1苶 + 3– x + 3– 2x = 5;
苶2苶 = 2 – 2x;
⭈ 2x苶+
兹4苶x苶–苶3苶苶
苶5苶x苶–
苶3苶苶
苶x苶+
苶2苶 = 2 – 0,5x.
⭈ 0 ,5
兹0苶,2
6. 9 1) 4x2 – x – 10 ⭈ 2x2 + 22x + 4 = 0;
2) 16
62
x
x2 – ᎏ
2
2
– 15 ⭈ 4x – 42 + x = 0.
⭈ 3兹2苶苶x苶+苶2 = 1;
7. 10 1) x – 3 3x2 – 10x + 3 = 1;
2) x – 2 10x2 – 3x – 1 = 1.
8. 10 1) 3 ⭈ 62x2 – 6 + 6x2 + x – 4 ⭈ 62x + 6 = 0;
2) 52x2 – 1 – 3 ⭈ 5x2 + 3x + 2 – 2 ⭈ 56 (x + 1) = 0.
9. 8 Для каждого значения a найти число корней уравнения:
2) 0,7x = a;
1) 5x = a;
4) 2x – 2 = a.
3) 0,5x – 1 = a;
10. 10 1) Найти значения параметра a, при которых
уравнение
(a – 1) ⭈ 32x – (2a – 1) ⭈ 3x – 1 = 0
имеет два различных корня.
2) Найти значения параметра k, при которых
уравнение
(10 – k) ⭈ 52x + 1 – 2 ⭈ 5x + 1 + 6 – k = 0
не имеет корней.
§ 3.
Показательные неравенства
Примеры с решениями
1. Решить неравенство x2 ⭈ 2x – x ⭈ 2x + 1 > 0.
Р е ш е н и е. Разделив обе части неравенства на 2x > 0,
получим x2 – 2x > 0, откуда x < 0 и x > 2.
О т в е т. x < 0, x > 2.
2. Решить неравенство 兹苶
9x苶苶
3x苶+ 1苶苶
6 < 3 – 3x.
–苶
+苶
Р е ш е н и е. Данное неравенство равносильно системе
неравенств
9x – 3 ⭈ 3x + 6 0,
3 – 3x > 0,
9x – 3 ⭈ 3x + 6 < (3 – 3x)2.
冦
Первое неравенство системы является квадратным
относительно 3x и верно для любых x, так как его дискриминант отрицателен при положительном старшем коэффициенте; x < 0 — решение третьего неравенства,
а x < 1 — решение второго, откуда x < 0 — решение системы (т. е. исходного неравенства).
О т в е т. x < 0.
63
Задания для самостоятельной работы
Решить неравенство (1—2).
1. 5 1) x2 ⭈ 4x – 41 + x > 0;
3) x2 ⭈ 0,5x – 0,5x – 2 < 0;
2) 3x + 2 – x2 ⭈ 3x < 0;
4) 0,7x – 0,7x – 2 ⭈ x2 > 0.
28
2. 6 1) 9x + 32x – 3 – ᎏ
0;
2) 0,62x – 1 – 0,36x – 0,4 0;
81
4) 22x + 3 – 3 ⭈ 2x + 1 + 1 < 0.
3) 3x – 1 – 4 ⭈ 30,5x – 1 + 1 > 0;
3. 7 Найти область определения функции:
1 +苶x苶
1) y = 2兹苶
– 2 兹1
苶–
苶2
苶x苶;
2) y = 兹1
苶0
苶–
苶0
苶,1
苶x苶 + 3兹苶3 –苶x苶;
x
4
5
x
3) y = 兹苶
4苶
6苶x – 兹苶
x苶
x苶6 ; 4) y = x 兹苶
x苶
x苶3 + 2 兹苶
0苶
,2苶
0苶
,3苶x ;
–苶
–苶
–苶
–苶
苶
苶
苶
苶
5) y = x 兹1
苶–
苶2苶x苶–
苶2苶2x
苶+苶1 ;
7) y =
9) y =
兹
2x – 1
苶
ᎏ;
兹
6) y = 兹x
苶(1
苶–
苶2苶x苶–
苶2苶2x
苶+苶1苶) ;
9x + 8 ⭈ 3x – 1 – 1
苶苶
ᎏᎏᎏ ;
x2 – 3x
5x – 0,04
苶苶
ᎏᎏ ;
兹
10) y = 苶苶 .
兹
8) y =
x–1
5 – x2
x2 – 4
ᎏᎏ
ᎏ
4x + 7 ⭈ 2x – 1 – 2
Решить неравенство (4—8).
x+
苶1苶;
4. 6 1) 4x 8兹苶
5. 7 1) 2兹苶x苶 – 21 – 兹苶x苶 1;
x+
苶1苶 9x.
2) 27兹苶
2) 32 (1 – 兹苶x苶) + 3兹苶x苶 10.
6. 8 1) 兹2
苶x苶–
苶3
苶 3 – 20,5x;
2) 2
x
–ᎏ
2
+ 兹2
苶–苶x –
苶1
苶5
苶 5.
7. 8 1) 兹4
⭈ 2 x苶+
苶x苶–
苶3
苶苶
苶2
苶 > 2 – 2x;
2) 兹0
⭈ 0 ,5
苶,2
苶5
苶x苶–
苶3
苶苶
苶x苶+
苶2
苶 > 2 – 0,5x.
8. 9 1) 0,6x – 4 ⭈ 0,3x + 0,5x – 2 1;
2) 0,5x – 2 ⭈ 0,5x + 1 + 8 ⭈ 10x + 1 8.
9. 9 Установить, при каких значениях a неравенство
верно для всех значений x:
1
1) 0,6x > a; 2) 4x > a; 3) – 3 x a; 4) – 冢 ᎏ
a.
7冣
x
10. 10 1) Найти все значения m, при которых неравенство
m ⭈ 4x – 4 ⭈ 2x + 3m + 1 > 0
справедливо для любого x.
2) Найти все значения n, при которых неравенство
4x – n ⭈ 2x – n + 3 0
имеет хотя бы одно решение.
64
§ 4.
Системы показательных уравнений
и неравенств
Пример с решением
Решить систему
冦
2x + 1 = y2 + 4,
2x – 1 y.
Р е ш е н и е. Уравнение данной системы запишем в ви1
(y2 + 4). Учитывая неравенство системы, имеем
де 2x – 1 = ᎏ
4
1
ᎏ
4
(y2 + 4) y, откуда (y – 2)2 0, т. е. y = 2. Из уравнения
системы при y = 2 находим x = 2.
О т в е т. x = 2, y = 2.
Задания для самостоятельной работы
1. 7 Решить систему уравнений:
冦
3) 3 ⭈ 4 = 192,
冦 2 ⭈ 9 = 1458;
5)
冦
4) 5 ⭈ 4 = 400,
冦 2 ⭈ 25 = 2500;
5x ⭈ 6y = 150,
6x ⭈ 5y = 180;
1)
冦
x
y
x
y
4x ⭈ 7y = 196,
7x ⭈ 4y = 112;
2)
y
x
x
4x – 52y = 231,
冦
6)
x
_
_
2
y
3x – 22y = 77,
x
_
_
4 – 5y = 11;
3 2 – 2y = 7;
7) 3 ⭈ 2x + y = 13,
8) 2 ⭈ 3x + y = 20,
32x + 1 + 14y = 271.
22x + 1 + 3y = 35;
2. 8 Найти все положительные числа x и y, удовлетворяющие системе уравнений:
冦
1)
3)
冦
冦
xy + 4x = y
冢
x
5 y– ᎏ
3
冣
,
2)
x3 = y– 1;
冦x y = 1;
(xy)y ⭈ x6x = yx,
2
4)
冦
冦
(xy)x ⭈ x– y = y
28x–7y
ᎏᎏ
2
,
1
ᎏ
2
y = x– 1;
x–3y
ᎏ
2
= y62x – 4y,
1
.
y3 = ᎏ
x
xy
3. 8 Решить систему уравнений:
1) 3– x – y (x – y) = 1,
2) 2y – x (x + y) = 1,
(x – y)x + y = 3;
(x + y)x – y = 2.
冦
3
Шабунин
冦
65
4. 9 Решить систему:
1)
冦
2x +1 = y2 + 4,
4x – 1 y2;
2)
冦
2 ⭈ 3x – 1 = y2 + 9,
9x – 2 y2.
Контрольная работа
1. Сравнить числа a и b, если
2 – 1)兹苶3 + 1, b = (兹苶
2 – 1)兹苶5 冤a = (兹苶
5 – 1)2 兹苶3, b = (兹苶
5 – 1)3 兹苶2冥.
a = (兹苶
2. Изобразить схематически график функции
y = 0,6x – 1 [y = 4 x + 1].
3. Решить уравнение:
1) 6x + 6x + 1 = 2x + 2x + 1 + 2x + 2
[3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 12x + 12x + 1];
2) 4 ⭈ 32x – 22x – 1 – 32x + 1 – 22x = 0
[5 ⭈ 72x – 1 + 4 ⭈ 32x + 32x + 1 – 2 ⭈ 72x = 0].
4. Решить неравенство
1)
冢 ᎏ23 冣
6–
x
苶苶
兹苶
2
>冢ᎏ
冣
3
x
2 –苶x苶
冤π兹苶
> πx冥 ;
2) 4 ⭈ 4x – 7 ⭈ 2x – 2 < 0
[3 ⭈ 9x – 8 ⭈ 3x – 3 < 0].
5. Решить систему уравнений:
冦
72x – 42y – 45 = 0,
7x – 4y – 9 = 0
冤冦
9x – 52y + 16 = 0,
x
_
_
2
9 – 5y + 2 = 0
冥
.
Глава
§ 1.
VII
Логарифмическая
функция
Логарифмы
Примеры с решениями
1. Вычислить:
3
π
1) log0,5 兹苶
1苶
0苶
lo苶
g苶
0苶
,0苶
1; 2) log8 sin ᎏ
.
+苶
10 苶
4
Р е ш е н и е.
3
3
1苶
0苶
lo苶
g苶
0苶
,0苶
1= log 1 兹苶
1苶
0苶
2 = log 1 2 = – 1;
1) log0,5 兹苶
+苶
–苶
10 苶
ᎏ
ᎏ
2
2
π
1
2) log8 sin ᎏ
= – 3.
= log8 ᎏ
6
2
2. Установить, при каких значениях x имеет смысл
выражение log3 兹x
苶2苶–
苶4苶 + log2 x + 3 .
Р е ш е н и е. Данное выражение имеет смысл, когда
имеет смысл каждое его слагаемое, т. е. при x, являющихся решениями системы неравенств
冦 x + 3 > 0.
兹x
苶2苶–
苶4苶 > 0,
Первое неравенство справедливо при x < – 2 и при x > 2,
а второе неравенство верно при x – 3.
О т в е т. x < – 3, – 3 < x < – 2, x > 2.
Задания для самостоятельной работы
Вычислить (1—3).
1. 4 1) log 1 log2 512;
ᎏ
3
3) log2 (– log0,1 兹1
苶0
苶);
2) log0,5 log3 81;
4) log 2 (– log 1 兹2
苶7
苶).
ᎏ
ᎏ
3
2. 5 1) log0,25 cos
π
ᎏ;
4
2)
π
3) log3 ctg ᎏ
;
4)
5) log 1 tg
6)
3. 4 1) 8
ᎏ
3
log2 9
ᎏ
log2 4
;
3
π
ᎏ;
6
3
π
log4 sin ᎏ
;
6
π
log9 tg ᎏ
;
3
π
log9 ctg ᎏ
.
6
2) 0,2
log5 4
ᎏ
log5 5
.
67
4. 5 Найти log5 x, если:
4
1) x =
8
5 3 ⭈ 兹5
53 ⭈ 兹苶
57
苶 ⭈ 兹苶
ᎏᎏ
ᎏ
8
5
兹苶
3
;
2) x =
6
12
5 2 ⭈ 兹苶
5 ⭈ 兹苶
5 5 ⭈ 兹苶
57
ᎏᎏ
ᎏᎏ
12
.
兹5
苶
5. 6 Установить, при каких значениях x имеет смысл
выражение:
1) log0,5 x – log0,5 (4 – x2);
2) log3 x + log3 (9 – x2);
3) log3 兹x
苶2苶–
苶2苶5苶 + log2 x – 6 ;
4) log4 x + 5 – log3 兹x
苶2苶–
苶1苶6苶.
Решить уравнение (6—7).
6. 6 1) 3x+ 1 + 18 ⭈ 3– x = 29;
7. 6 1) x + 2 = log6 (35 + 6– x);
§ 2.
2) 55 – x – 2 ⭈ 5x – 3 = 5.
2) log3 (4 ⭈ 3x – 1) = 2x + 1.
Свойства логарифмов
Примеры с решениями
log 兹苶3苶
1. Вычислить
16 4 ⭈ log3 4 + log3 0,5
ᎏᎏᎏᎏ .
log3 7 – log3 14
log 兹苶3苶
Р е ш е н и е.
16 4 ⭈ log3 4 + log3 0,5
ᎏᎏᎏᎏ
log3 7 – log3 14
=
2log 兹苶3苶
=
=
4
( 兹苶
3 )2 log3 4 + log3 0,5
4
⭈ log3 4 + log3 0,5
log3 43 + log3 0,5
ᎏ
ᎏᎏ
ᎏᎏᎏ = ᎏᎏᎏ = ᎏᎏ
log3 0,5
log3 0,5
7
log3 __
14
5 log3 2
log3 (64 ⭈ 0,5)
log3 32
log3 25
ᎏᎏ = ᎏᎏ
ᎏ
=
= ᎏᎏ
= – 5.
–1
1 ⭈ log3 2
log3 0,5
1
–
_
_
log
2
log3
3
2
log9 125
2. Вычислить ᎏᎏ
.
6 log3 5
Р е ш е н и е.
log9 125
ᎏᎏ
6 log3 5
=
log 2 125
3
ᎏᎏ
6 log3 5
=
_1_ log 53
3
2
ᎏ
ᎏ
6 log3 5
=
_3
_ log 5
3
2
ᎏ
ᎏ
6 log3 5
3
⭈
1
.
=ᎏ
=ᎏ
2 6
4
3. Решить уравнение log兹苶x 5 + logx2 9 = 2.
Р е ш е н и е. При x > 0, x 1 имеем
1
log兹苶x 5 = 2 logx 5 = logx 25, logx2 9 = ᎏ
logx 9 = logx 3.
2
68
=
Уравнение можно записать в виде logx 25 + logx 3 = 2,
или logx (25 ⭈ 3) = 2, откуда x2 = 75. Учитывая, что x > 0,
получим x = 5 兹3
苶.
Задания для самостоятельной работы
1. 5 Найти x, если логарифмы данных буквенных выражений существуют:
1) log2 x = 2 log2 a + 0,5 log2 b – log2 (a + b) – log2 (a – b);
2) log3 x = 1,5 (log3 a + log3 b) – 2 log3 (a + b).
2. 5 Найти логарифм выражения по произвольно выбранному основанию:
a+b
1) S = ᎏ
⭈ h;
3) t =
兹
2
2 (H – h)
苶苶
;
ᎏᎏ
g
2) Q = cm (t2 – t1);
4) S = 兹p
(p 苶
) (苶
p苶
苶(p
苶–
苶a
苶)苶苶
– c苶)苶.
– b苶
3. 5 Вычислить:
– log
1)
0,5
10
10
⭈ log5 4 + log5 0,5
ᎏᎏ
ᎏᎏᎏ
log5 6 – log5 12
;
2)
log0,5 3 – log0,5 21
ᎏᎏ
ᎏᎏᎏ
2 log10 0,5
log0,5 1,4 + 10
⭈ log0,5 625
3)
log4 log4 81
ᎏᎏ
1 + log4 log4 3
;
4)
;
log3 log3 125
ᎏᎏ .
1 + log3 log3 5
4. 4 Выразить данный логарифм через логарифм по основанию 3:
1) log 1 5; 2) log9 7; 3) log兹苶3 4; 4) log 兹3苶 2.
ᎏ
3
ᎏ
3
5. 5 Найти, x, если:
2
1
1) log5 x = 1 – ᎏ
log5 32 – ᎏ
log0,2 64;
5
2) log4 x =
1
ᎏ
2
log4 9 +
3
2
ᎏ
3
log0,25 27 – 1.
Вычислить (6—7).
4 log_
1 25
6. 5 1)
3)
3
;
ᎏ
ᎏ
log3 5
2)
2 log0,5 27
ᎏᎏ ;
log4 9
4)
5) log0,2 16 – 5 log25 8;
log0,25 3
ᎏᎏ ;
3 log2 27
log_
14
9
ᎏᎏ
2 log27 8
;
6) 4 log8 27 – log0,5 81.
69
7. 6 1) 8
log10 2 – log0,1 5
ᎏᎏᎏ
1 – log10 5
3) 0,1
;
2) 0,2
(log10 7) (1 + log2 log2 7)
ᎏ
ᎏᎏ
log2 log2 49
log10 2 – log0,1 5
ᎏᎏᎏ
1 – log10 2
; 4) 0,01
;
log10 3
ᎏᎏ
ᎏᎏ
log10 2+ (log3 log3 243) log10 3
.
8. 5 Известно, что loga b = 3. Найти:
1) loga5 (a10b5);
2) loga6 (a6b12).
9. 6 Известно, что log10 2 0,301. Найти с точностью до
тысячных:
1) log10 800; 2) log10 400; 3) log10 0,16; 4) log10 0,08.
10. 7 Решить уравнение:
1) logx 2 + logx2 4 = 4;
2) logx2 9 + logx 3 = 4;
1
4) log兹苶x 5 + logx3 25 = 5 ᎏ
.
1
3) logx3 9 + log3 3 = 7 ᎏ
;
3
3
x
兹苶
§ 3.
Десятичные и натуральные логарифмы.
Формула перехода
Примеры с решениями
1. Найти log6 2, если log12 3 = a.
Р е ш е н и е. Так как 12 = 22 ⭈ 3, а 6 = 2 ⭈ 3, то, полагая
log2 3 = n, выразим через n все заданные логарифмы:
log 3
log2 12
1
1
n
2
log6 2 = ᎏ
= ᎏ , log12 3 = ᎏ
= ᎏ.
log2 6
1+n
По условию log12 3 = a, т. е.
n
ᎏ
2+n
2+n
2a
.
= a, откуда n = ᎏ
1 a
–
1
1–a
1
Тогда log6 2 = ᎏ
.
=ᎏ=ᎏ
1 n
1 a
+
О т в е т.
1–a
ᎏ.
1+a
2a
1 + ᎏᎏ
1–a
+
2. Доказать, что если a2 + b2 = 7ab (где a > 0 и b > 0), то
1
a+b
lg ᎏ
= ᎏ (lg a + lg b).
3
2
Д о к а з а т е л ь с т в о. Данное равенство запишем в виде
(a
b)2
+
a + b2 + 2ab = 7ab + 2ab, откуда (a + b)2 = 9ab, ᎏ
= ab.
9
Если равны положительные числа, то равны и их лога2
b)2
(a
+
рифмы по одному основанию, т. е. lg ᎏ
= lg (ab), откуда
2
3
a+b
a+b
1
2 lg ᎏ
(lg a + lg b), что и требова= lg a + lg b, lg ᎏ
=ᎏ
3
3
2
лось доказать.
70
Задания для самостоятельной работы
1. 5 Решить уравнение:
1) log兹苶3 x + log 1 x + log3 x = 6;
ᎏ
3
2) log16 x + log4 x + log2 x = 7.
2. 6 Найти log5 6, если:
1) lg 3 = a, lg 2 = b;
2) log2 3 = a, log2 10 = b.
3. 8 Найти:
1) log6 16, если log12 27 = a;
2) log12 8, если log6 9 = a.
4. 6 Найти lg x, если:
1) x =
3) x =
兹
苶苶
ab3 兹苶
b苶
苶a ;
兹苶
ᎏᎏ
ᎏ
兹
3
b2 苶
a
兹苶
兹苶
苶b苶
苶苶
24 兹2
苶苶
苶
兹3
苶
ᎏᎏ ;
3
兹4苶苶兹6苶苶
2) x =
4) x =
5. 6 Найти ln x, если:
e3苶
1
兹苶
兹苶
苶0
苶 ;
1) x = ᎏᎏ
4
苶兹苶
兹10
e苶
5
§ 4.
兹
兹
苶苶
ab 兹苶
a苶
b
兹苶
苶 ;
ᎏᎏ
3
2
苶
兹a
苶
兹苶b苶苶苶
苶苶
15 兹苶
3苶
苶
兹5
苶 .
ᎏᎏ
3
兹2苶5苶兹苶苶3苶
苶 苶苶 .
兹苶苶苶
苶苶
5
兹e苶苶兹苶
3
2) x =
5
5 e 5 兹5
苶2
ᎏ
ᎏ
3
4
3
Логарифмическая функция,
ее свойства и график
Примеры с решениями
1. Найти область определения функции
y = log3 兹x
苶2苶–
苶0
苶,2
苶5
苶 + logx x – 3 .
Р е ш е н и е. Область определения заданной функции
совпадает с решением системы
冦
x2 – 0,25 > 0,
x > 0,
x 1,
x – 3 0;
冦
x > 0,5,
x 1,
x 3.
О т в е т. 0,5 < x < 1, 1 < x < 3, x > 3.
71
2. Изобразить схематически
график функции
2
log (4 – 2x)
y = 10lg x + 5 5
– 7.
Р е ш е н и е. Область определения функции совпадает с решением системы
x 0,
(1)
4 – 2x > 0.
冦
На этой области функция задается формулой
y = x2 + 4 – 2x – 7,
т. е.
(2)
y = x2 – 2x – 3.
Таким образом, график исходной функции (рис. 3) совпадает с графиком квадратичной
функции (2) при x < 2, x 0.
Рис. 3
Задания для самостоятельной работы
Найти область определения функции (1—3).
1. 5 1) y = log0,3 (42x – 1 – 23x); 2) y = log7 (33x + 1 – 9x).
2. 5 1) y = log2 x + lg (x2 + 3x + 2);
2) y = lg x + log0,5 (4 – x2);
3) y = lg 3 – x – lg (x3 – 8);
4) y = log3 x + 3 + 2 log3 (1 – x3);
5) y = ln 兹苶
x苶
1 + ln (1 – 8x3);
+苶
3
6) y = lg (8x + 1) – log2 兹3
苶–
苶x
苶.
3. 6 1) y =
logx (x – 2)
ᎏᎏ
;
ln (x2 – 8)
2) y =
logx (x – 3)
ᎏᎏ
;
lg (x2 – 12)
3) y =
lg (25 – x2)
ᎏᎏ ;
logx (x + 1)
4) y =
ln (36 – x2)
ᎏᎏ .
logx (x + 2)
4. 7 Построить график функции:
log (x – 1) + log (x + 2)
2
1) y = 2 2
;
2
log3 (2 – x – x )
;
3) y = 3
log2 (x + 3)
log (x – 2)
;
5) y = 2
–3 3
72
log
(x – 2) + log
(x + 2)
0,3
2) y = 0,3 0,3
;
2
log2 (x + x – 2)
4) y = 2
;
log0,5 (3 – x)
log (x + 1)
6) y = 0,5
.
+2 2
Решить графически уравнение (5—8).
2) lg x3 = 1 – x2;
5. 6 1) lg x2 = 1 – x2;
3) log2 (4 – x) = x – 3;
4) log2 (x – 1) = 4 – x.
2) log0,2 x = x2 – 26.
6. 7 1) log2 x = 1 – x2;
7. 7 1) log2 x = 3 – x;
2) log2 (x + 1) = 2 – x.
2
8. 8 1) log2 x = 兹苶
5苶
x 苶;
2) log0,5 x = – 兹苶
5苶
x2苶.
–苶
–苶
9. 8 Доказать, что функция:
1) y = lg (x – 3) ограничена снизу;
2) y = – ln (x + 2) ограничена сверху.
§ 5.
Логарифмические уравнения
Примеры с решениями
log32 x
log x
+ x 3 = 162.
Р е ш е н и е. Запишем исходное уравнение в виде
log x
log x log x
(3 3 ) 3 + x 3 = 162,
1. Решить уравнение 3
log x
log x
log x
откуда x 3 + x 3 = 162, т. е. x 3 = 81. Логарифмируя обе
части последнего равенства по основанию 3, получим
log32 x = 4, откуда log3 x = 2.
1
.
О т в е т. x1 = 9, x2 = ᎏ
9
2. Решить уравнение
log3x + 7 (9 + 12x + 4x2) + log2x + 3 (6x2 + 23x + 21) = 4.
Р е ш е н и е. Перепишем уравнение, разложив на множители выражения, стоящие под знаками логарифмов:
log3x + 7 (2x + 3)2 + log2x + 3 ((3x + 7) (2x + 3)) = 4.
Полученное уравнение равносильно системе
3x + 7 > 0,
3x + 7 1,
2x + 3 > 0,
2x + 3 1,
2log3x + 7 (2x + 3) + log2x + 3 (3x + 7) + 1 = 4.
冦
Первые четыре соотношения выполняются при x > – 1,5 и
x – 1. В последнем уравнении системы обозначим
1
t = log3x + 7 (2x + 3) и запишем его в виде 2t + ᎏ
= 3 (t 0,
t
1
.
так как 2x + 3 1), откуда 2t2 – 3t + 1 = 0 и t1 = 1, t2 = ᎏ
2
73
Возвращаясь к исходному обозначению, имеем:
1) log3x + 7 (2x + 3) = 1, откуда 3x + 7 = 2x + 3, x = – 4;
2) log3x + 7 (2x + 3) =
1
ᎏ
2
1
ᎏ,
2
откуда (3x + 7) = 2x + 3, 3x + 7 =
1
= (2x + 3) , 3x + 7 = 4x + 12x + 9, 4x2 + 9x + 2 = 0, x1 = – 2, x2 = ᎏ .
2
2
Cреди чисел – 4, – 2,
удовлетворяет только x =
1
О т в е т. x = ᎏ
.
1
ᎏ
4
1
ᎏ.
4
4
условиям x > – 1,5 и x – 1
4
Задания для самостоятельной работы
Решить уравнение (1—13).
1. 5 1) log 1 (1 + log3 (2x – 7)) = – 1;
ᎏ
3
2) log0,5 (3 + log2 (3x – 7)) = – 2.
2
x +4
2. 6 1) lg ᎏ
= lg x;
2)
x–3
x2 – 4
log0,1 ᎏ
x+3
= log0,1 x.
3. 6 1) log3 (5 – x) + 2 log3 兹3
苶–
苶x
苶 = 1;
2) log2 (2 – x) + 2 log2 兹1
苶–
苶x
苶 = 2 + log2 3.
4. 6 1) lg (35 – x3) = 3 lg (5 – x);
2) 3 lg (x – 3) = lg (x3 – 63).
5. 7 1) lg lg (x – 1) = lg lg (2x + 1) – lg 2;
2) lg lg (x + 1) – lg 2 = lg lg (x – 1).
log x
log x
6. 6 1) x 3 = 81;
3) x1 – lg x = 0,01;
7. 7 1) (兹x
苶)
3
log5 x – 1
2) ( 兹x
苶)
8. 7 1)
2) x 2 = 16;
log x – 2
4) x 3 = 27.
lg x
= 5;
= 106 + lg x.
3 lg x – 7
ᎏᎏ
lg x + 5
lg x – 3
; 2)
=ᎏ
lg x 2
+
3 lg x – 10
ᎏᎏ
lg x + 4
lg x 4
+
–
.
=ᎏ
lg x 1
9. 7 1) lg lg x + lg (lg x3 – 2) = 0;
2) log5 lg x + log5 (lg x5 – 4) = 0.
1
10. 7 1) logx 3 + log3 x = log兹苶x 3 + log3 兹x
苶+ ᎏ;
2
2) log5 x – logx 5 = log5 兹x
苶 + log兹苶x 5 – 0,5.
2
11. 8 1) logx (125x) ⭈ log25
x = 1;
27
2) log32 x ⭈ logx ᎏ
= – 4.
x
74
12. 8 1) 3 logx2 16 + log3 5 = 3;
x
兹苶
2) logx2 81 + log兹苶x 4 = 2.
13. 9 1) log2 – 2x2 (2 – x2 – x4) = 2 –
1
ᎏ
ᎏ
2
log_
4 (2 – 2x )
;
3
4
2) log3 – 4x2 (9 – 16x ) = 2 +
1
ᎏᎏ
log2 (3 – 4x2)
.
14. 10 В зависимости от значений параметра a решить
уравнение:
1) loga (x – 2) – loga x = 1;
2) loga x + 1 = loga (x + 6);
3) loga x + loga (4 – x) = 1;
4) loga (6 – x) = 2 – loga x.
15. 10 Решить относительно x уравнение:
1) a2 ⭈ 4x – (a – 1) ⭈ 22x + 1 = 1 + 3a;
2) a ⭈ 32x + 1 – (a + 1) ⭈ 9x = a2.
16. 9 Решить систему уравнений:
§ 6.
1)
冦
1 + log3 (x + y) log2 3 = 2 log4 7 – log2 x,
log2 (xy + 1) = 2 log4 y + log_1 (x – 2y)3;
2)
冦
log4 x ⭈ log3 4 = log3 5 + log_1 (2y + 4x),
8
3
log3 (x – y) = log_1 _1y_ – 3 log27 (2 + xy).
3
Логарифмические неравенства
Примеры с решениями
1. Решить неравенство
1 – log4 x
ᎏᎏ
1 + log2 x
1
.
ᎏ
2
Р е ш е н и е. При t = log2 x исходное неравенство при2–t
1
нимает вид ᎏ
ᎏ , откуда
2 (1 + t)
2
– 2t + 1
ᎏ
1+t
0, т. е.
2t – 1
ᎏ
t+1
0.
1
Последнее неравенство выполняется при t < – 1 и t ᎏ
.
2
1
Возвращаясь к переменной x, имеем log2 x < – 1 и log2 x ᎏ
,
2
1
откуда x < ᎏ и x 兹2
苶.
2
75
2. В зависимости от значений параметра a решить
неравенство
loga x – loga (6 – x) > 1.
Р е ш е н и е. При a 0 и a = 1 неравенство не имеет
решений. Для остальных значений a запишем исходное
неравенство в виде
loga x > loga (a (6 – x)).
(*)
Функция y = loga t определена при t > 0 и может быть как
возрастающей, так и убывающей. Рассмотрим оба случая, заменяя неравенство (*) равносильными системами.
1) a > 1,
a > 1,
a > 1,
6a
x > ᎏᎏ,
x (1 + a) > 6a,
x > a (6 – x) > 0;
1+a
a (6 – x) > 0;
x < 6,
冦
冦
冦
так как 1 + a > 0 и a > 0. Последняя система имеет реше6a
6a
ния ᎏ
< x < 6, если ᎏ
< 6. А последнее соотношение
1+a
1+a
(т. е. 6a < 6 + 6a) верно при любом a > 1.
Итак, если a > 1, то
2)
冦 0 < x < a (6 – x);
0 < a < 1,
6a
ᎏ
1+a
冦
< x < 6.
0 < a < 1,
x > 0,
x (1 + a) < 6a;
Последняя система имеет решение
6a
ᎏ
1+a
冦
0 < a < 1,
x > 0,
6a
x < ᎏᎏ.
1+a
6a
0<x< ᎏ
,
1+a
если
> 0, а это верно при всех 0 < a < 1. Итак, если
6a
0 < a < 1, то 0 < x < ᎏ
.
1+a
О т в е т. Если a 0, a = 1, то решений нет; если 0 < a < 1,
6a
6a
то 0 < x < ᎏ
; если a > 1, то ᎏ
< x < 6.
1+a
1+a
Задания для самостоятельной работы
Решить неравенство (1—9).
2x + 3
> 0;
1. 5 1) log0,1 ᎏ
2
2x + 3
2. 6 1)
3)
76
冢
冣
1
log0,2 2x2 – ᎏᎏ
2
ᎏᎏ
ᎏ
log7 (2x2 + 2)
1
log兹苶2 12x2 – ᎏᎏ
3
ᎏᎏ
log2 (1 + 2x2)
冢
冣
2x – 5
2) lg ᎏᎏ
< 0.
2
0;
2)
0;
4)
– 2x – 5
1
lg 3x2 – ᎏᎏ
3
ᎏᎏ
log0,1 (1 + x2)
冢
冣
log0,1 (1,1 + x2)
ᎏᎏ
log3 3x2 – ᎏ1ᎏ
12
冢
冣
0;
0.
log2 (x2 – 7x + 6) 1 + log2 7;
log0,5 (– x2 + 9x – 14) log0,5 3 – 1.
log0,5 (x + 2) + log0,5 (x + 3) log0,5 3 – 1;
log6 (5x + 8) + log6 (x + 1) 1 – log6 3;
2 + log3 (x + 2) log3 (x2 + 8);
– 1 + log0,5 (4 – x) log0,5 (x2 + 5).
2 log5 x – logx 5 1;
2) log0,5 x + 2 logx 2 1.
1
1
6. 7 1) ᎏ + ᎏ 2;
3. 6 1)
2)
4. 6 1)
2)
3)
4)
5. 7 1)
2)
1 + lg x
1
ᎏ
2 – lg x
+
1 – lg x
1
ᎏ
2 + lg x
1.
7. 7 1) log23 (x – 1)2 16;
2) log20,5 (x + 1)2 4.
8. 8 1) logx2 + 1 (9 – x2) 1;
2) logx2 + 2 (4 – x2) 1;
3) log
5) log
1
ᎏ
x2 +1
1
ᎏ
x2 +1
(9 – x2) – 1;
4) log
(x2 – x) – 1;
6) log
9. 9 1) log2x (x2 – 5x + 6) < 1;
1
ᎏ
x2 +2
1
ᎏ
x2 +2
(4x2 – 1) – 1;
(x2 + x) – 1.
2) logx + 3 (x2 – x) < 1;
3) logx log3 (9x – 6) 1;
4) logx log2 (4x – 6) 1.
10. 6 Найти область определения функции:
苶(x
苶2苶苶
苶x
苶苶
苶)苶;
1) y = 兹lg
–6
+6
苶g
苶苶
苶苶2苶苶苶苶苶苶
2) y = 兹lo
3 (6 x + x – 1) ;
苶x
苶+
苶lg
苶(x
苶+
苶1
苶,5
苶)苶;
3) y = 兹lg
lg 苶
(x 苶
2苶
)苶
lg 苶
(x 苶
2苶) ;
4) y = 兹苶
–苶
+苶
+苶
苶苶2苶苶苶苶苶苶苶苶苶
5) y = 兹苶
lo苶
g苶
0, 5 (x – 5 x + 6) + 1 ;
苶–
苶lo
苶g
苶苶
苶2苶苶苶苶苶苶
6) y = 兹1
8 (x – 4 x + 3 ) .
11. 10 Для каждого значения параметра a решить неравенство:
1) loga (x – 3) – loga (x – 1) > 1;
2) loga (1 – x) + 1 < loga (7 – x);
2
3) log ᎏ
a (x + 3) > 1;
a–1
4) log 3–a (x2 + 0,25) < 2;
ᎏ
3
2x + 1
5) 2
⭈ (a – 2) + 4x ⭈ (1 – a) < a – 2;
6) (a – 1) ⭈ 4x + 22x + 1 ⭈ (3 – a) > 1 – a.
77
Контрольная работа
1. Вычислить
5
冤3
lg 5 – log0,1 2
ᎏᎏ
log9 25
lg 5 – log0,1 2
ᎏᎏ
log4 9
冥.
2. Cравнить числа a и b, если:
π
a = log0,2 0,3, b = log11 sin ᎏ
2
3.
1)
2)
4.
冤a = log
2
ᎏ
3
π
2, b = log2 sin ᎏ
冥.
Решить уравнение:
log2 (2 + log3 (3 + x)) = 0
[lg (3 + 2 log2 (1 + x)) = 0];
3 log3 x + 3 logx 3 = 10
[3 log7 x – 2 logx 7 = 1].
Решить неравенство
2 log2 (2x + 7) 5 + log2 (x + 2)
[2 log2 (x + 5) 3 + log2 (11 + x)].
5. Построить график функции
y = log0,5 x + 1 [y = log3 (x – 1) ].
6. Решить уравнение
3
log x – 2
( 兹x
= 7 [(兹x
苶) 7
苶)lg x = 104 + lg x].
7. Решить неравенство
logx (1 – 2x) < 1 [log3 – 2x x < 2].
6
Глава
§ 1.
VIII Тригонометрические
формулы
Радианная мера угла
Задания для самостоятельной работы
Выразить углы в радианной мере (1—3).
1. 4 1) 22°30;
2. 4 1) 10°15;
3. 4 1) 15°16;
Выразить углы в
2) 42°48.
2) 12°25.
2) 21°22.
градусной мере (4—6).
4. 4 1) 0,1π;
2) 0,01π.
5. 4 1)
17π
ᎏ;
5
2)
24π
ᎏ.
5
6. 5 1) 0,02 (с точностью до 0,01);
2) 0,05 (с точностью до 0,01).
Решить задачи (7—8).
7. 6 1) Прямоугольный треугольник ABC (где C = 90°)
вписан в окружность, радиус которой равен 3 см.
Найти длину дуги AC, если A = 18°.
2) Прямоугольный треугольник ABC (где C = 90°)
вписан в окружность, радиус которой равен 5 см.
Найти длину дуги BC, если B = 36°.
8. 7 1) Треугольник ABC вписан в окружность с центром O и радиусом 9 см. Точки A, B и C соответственно симметричны вершинам A, B и C относительно центра окружности. Найти: а) длину дуги
CB, если
A = 56°,
B = 64°; б) площадь сектора
BOA.
2) Треугольник DCE вписан в окружность с центром O и радиусом 4 см. Точки D, C и E соответственно симметричны вершинам треугольника DCE
относительно центра окружности. Найти: а) длину
дуги CE, если
D = 48°,
E = 68°; б) площадь
сектора DOE.
9. 5 1) C помощью таблиц или калькулятора выразить в
радианной мере углы:
1) 21°18, 78°15, 198°17; 2) 27°42, 82°32, 201°9.
79
10. 5 С помощью таблиц или калькулятора выразить в
градусной мере углы:
1) 0,144; 1,3; 2;
2) 0,47; 1,5; 2,2.
§ 2.
Поворот точки вокруг начала
координат
Пример с решением
Изобразить на единичной окружности точки, полученные поворотом точки P (1; 0) на углы α = 0,3π + 2πk и
β = 0,7π + 2πk, k Z. Записать одной формулой все углы,
поворотом на которые точка P (1; 0) переходит в точки,
изображенные на окружности.
Р е ш е н и е. Точка A получена поворотом точки
P (1; 0)
на
углы
α=
= 0,3π + 2πk, k Z. Точка A1
получена поворотом точки
P (1; 0) на углы α = – 0,3π +
+ 2πk, k Z. Точки B и B1
получены поворотом точки
P (1; 0) на углы β = 0,7π +
+ 2πk, k Z, и β1 = – 0,7π +
+ 2πk, k Z, соответственно. Точки A, B1, A1, B получены поворотом точки
P (1; 0) на углы γ = 0,3π +
Рис. 4
+ πk, k Z (рис. 4).
Задания для самостоятельной работы
Изобразить на единичной окружности точки, полученные поворотом точки P (1; 0) на угол α (1—4).
π
1. 4 1) α = ᎏ
+ πk, k Z;
3
2. 4 1) α = –
3. 4 1) α =
π
ᎏ
6
4. 4 1) α = –
π
ᎏ
4
+ πk, k Z;
πk
, k
+ᎏ
2
2π
πk
ᎏ + ᎏ,
3
2
π
2) α = ᎏ
+ πk, k Z.
6
π
2) α = – ᎏ
+ πk, k Z.
8
π
ᎏ
4
πk
, k Z.
+ᎏ
2
Z;
2) α =
k Z;
πk
3π
2) α = – ᎏ
+ ᎏ , k Z.
4
2
Отметить на единичной окружности точки, приближенно
соответствующие точкам, полученным поворотом точки
P (1; 0) на угол α (5—7).
5. 5 1) α = 1;
80
2) α = 2.
6. 5 1) α = 4;
7. 5 1) α = 5;
2) α = 3.
2) α = 6.
Установить четверть, в которой расположена точка Pα,
полученная поворотом точки P (1; 0) на угол α (8—10).
8. 6 1) 10 < α < 12;
15π
ᎏ
4
2) 12 < α < 13.
17π
ᎏ;
4
α
10. 6 1) 1892° α 1992°;
2) 2238° α 2338°.
9. 6 1)
2)
23π
ᎏ
3
25π
.
α ᎏ
3
Изобразить на единичной окружности точки, полученные поворотом точки P (1; 0) на углы α и β. Записать одной формулой все углы, поворотом на которые точка
P (1; 0) переходит в точки, изображенные на этой окружности (11—13).
π
11. 6 1) α = πk, β = ᎏ
+ 2πk, k Z;
2
2) α = πk, β =
π
ᎏ
2
+ πk, k Z.
12. 6 1) α = 0,4π + 2πk, β = 1,4π + 2πk, k Z;
2) α = 0,2π + 2πk, β = 1,2π + 2πk, k Z.
13. 6 1) α = 0,1π + 2πk, β = 0,9π + 2πk, k Z;
2) α = 0,6π + 2πk, β = 0,4π + 2πk, k Z.
14. 6 1) Зубчатое колесо, имеющее 56 зубцов, повернулось по часовой стрелке на 21 зубец. Выразить в
радианах угол поворота.
2) Зубчатое колесо, имеющее 56 зубцов, повернулось против часовой стрелки на 32 зубца. Выразить
в радианах угол поворота.
Выразить углы в радианах (15—16).
15. 6 1) 3,5 румба;
2) 7,5 румба.
16. 6 1) 12,5 больших делений угломера;
2) 6,5 больших делений угломера.
17. 6 Колесо вращается с угловой скоростью ω. За сколько секунд оно сделает полный оборот, если:
1) ω = 0,3π рад/с; 2) ω = 0,1π рад/с?
18. 6 Угловая скорость якоря генератора ω рад/с. Сколько оборотов в минуту делает якорь генератора, если:
1) ω = 92π рад/с;
2) ω = 120π рад/с?
4
Шабунин
81
§ 3.
Определение синуса, косинуса
и тангенса угла
Примеры с решениями
1. Изобразить на единичной
окружности точку A (cos α; sin α),
1
если sin α = ᎏ
и cos α > 0. Найти
2
значение cos α.
Р е ш е н и е. Рассмотрим треугольник AOC (рис. 5).
1
1
Так как sin α = ᎏ
, то AC = ᎏ
,
2
2
AO = 1, следовательно,
兹3
苶
2
A苶
O苶
苶
A苶
C苶2 = ᎏ
OC = 兹苶
–苶
2
(что соответствует абсциссе точ兹3
苶.
ки A), значит, cos α = ᎏ
Рис. 5
2
2. Найти значения x из
промежутка [– π; 3π], для которых верно равенство sin α = – 1.
Р е ш е н и е. Ординату, равную – 1, имеет одна точка окружности (0; – 1) (рис. 6), которая получается при повороте
π
точки P (1; 0) на углы – ᎏ
+ 2πk,
2
k Z.
Среди чисел из промежутка
[– π; 3π] такой вид имеют
π
ᎏ
2
Рис. 6
3π
ᎏ,
2
числа – и
которые получены при k = 0, k = 1.
При других значениях k получаем числа, не принадлежащие данному промежутку.
3. Решить уравнение 2 cos 3x + 2 = 0.
Р е ш е н и е. Выполнив равносильные преобразования,
получим cos 3x = – 1. Точка с абсциссой, равной – 1, получается в результате поворота точки P (1; 0) на углы
π + 2πk, k Z, т. е.
3x = π + 2πk, k Z,
откуда
π
2πk
, k Z.
x= ᎏ
+ᎏ
3
3
82
Задания для самостоятельной работы
Изобразить на единичной окружности точку, полученную поворотом точки P (1; 0) на угол α, и с помощью
свойств окружности и прямоугольного треугольника
вычислить синус и косинус угла α (1—5).
π
1. 4 1) α = ᎏ
;
2) α = 30°.
2. 4 1) α = 135°;
π
2) α = ᎏ
.
4
π
3. 5 1) α = – ᎏ
;
2π
2) α = – ᎏ
.
4. 5 1)
2)
3
5. 5 1)
2
5π
α= ᎏ;
6
8π
α=– ᎏ
;
3
2)
3
5π
α= ᎏ.
2
9π
α=– ᎏ
.
4
6. 6 Найти значения x из заданного промежутка, для
которых выполняется равенство sin x = a:
1) a = 0, x
2) a = 1, x
3π
;
冤– ᎏ2π ; ᎏ
2 冥
3π
; π冥 .
冤– ᎏ
2
7. 6 Найти значения x из заданного промежутка, для
которых выполняется равенство cos x = a, если:
冤– π;
1) a = – 1, x
2) a = 0, x
冤– ᎏ2π ;
3π
ᎏ
2
冥;
2π冥.
Сравнить числа с помощью единичной окружности (8—9).
2π
5π
8. 5 1) sin ᎏ
и sin ᎏ
;
5π
3π
2) sin ᎏ
и sin ᎏ
.
9. 5 1) cos
2) cos
3
2π
ᎏ
3
и cos
6
5π
ᎏ;
6
4
3π
ᎏ
4
и cos
8
5π
ᎏ.
8
Назвать два положительных и два отрицательных числа α,
удовлетворяющие данному равенству (10—11).
1
10. 5 1) sin α = ᎏ
;
兹3
苶.
2) sin α = ᎏ
兹3
苶;
11. 5 1) cos α = ᎏ
2) cos α =
2
2
2
1
ᎏ.
2
Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
(12—13).
12. 4 1) 2 + sin α;
1
2) sin α + ᎏ
.
13. 5 1) – 2 cos α;
2) – 3 sin α.
2
83
Решить уравнение с помощью единичной окружности
(14—16).
14. 4 1) sin 3x = 0;
2) cos 2x = 0.
π
15. 5 1) cos 冢3x + ᎏ
冣 = 1;
x+π
2) sin 冢 ᎏ
冣 = 1.
16. 5 1) sin 冢2x –
2) cos 冢
4
π
ᎏ
3
冣 = – 1;
冢
3
x–π
ᎏ
4
冣 = – 1.
冣
兹2
苶; ᎏ
兹2
苶 симметрична точке B относи17. 6 1) Точка A – ᎏ
2
2
тельно оси Oy и точке C относительно начала координат. Найти: а) координаты точки B; б) синус,
косинус и тангенс угла α, на который нужно повернуть точку P (1; 0), чтобы получить точку С.
2) Точка D
冢 ᎏ12 ;
3
兹苶
ᎏ
2
冣
cимметрична точке E относи-
тельно оси Ox и точке K относительно начала координат. Найти: а) координаты точки K; б) синус,
косинус и тангенс угла β, на который нужно повернуть точку P (1; 0), чтобы получить точку E.
§ 4.
Знаки синуса, косинуса и тангенса
Примеры с решениями
1. Определить знак выражения sin 3 cos 5 + tg 2.
冢3 冤 ᎏ2π ; π冥冣, cos 5 < 0
π
tg 2 < 0 冢2 冤 ᎏ
; π冥冣, следо2
Р е ш е н и е. Так как sin 3 > 0
3π
;
冢5 冤 ᎏ
2
2π冥冣, то sin 3 cos 5 < 0,
вательно, сумма двух отрицательных выражений принимает отрицательное значение.
2. Определите знак sin α, если известно, что
31π
ᎏ
2
33π
и sin α cos α < 0.
α ᎏ
2
Р е ш е н и е. Выясним, какой четверти принадлежит
угол α. Выделим целую часть π в числах, являющихся
31π
33π
31π
π
; ᎏ
, получим ᎏ
,
концами промежутка 冤 ᎏ
= 16π – ᎏ
冥
2
2
2
2
33π
π
ᎏ = 16π + ᎏ . Значит, угол α лежит в первой или четвер2
2
той четверти. Так как по условию sin α cos α < 0, то знаки значений синуса и косинуса должны быть разными,
следовательно, α лежит в четвертой четверти и sin α < 0.
84
Задания для самостоятельной работы
Определить знаки sin α, cos α, tg α (1—3).
1. 4 1)
21π
ᎏ
2
23π
<α< ᎏ
;
2)
2
19π
ᎏ
2
21π
<α< ᎏ
.
2
2. 4 1) 13π < α < 14π;
2) 32π < α < 33π.
41π
39π
3. 5 1) – ᎏ
<α<– ᎏ
;
2
2
19π
17π
2) – ᎏ
<α<– ᎏ
.
2
2
Сравнить числа (4—6).
π
25π
4. 5 1) sin ᎏ
и sin ᎏ
;
13
13
7π
11π
2) cos ᎏ
и cos ᎏ
.
18
18
5. 5 1) sin (– 1,3) и sin (– 3,2);
2) cos (– 2,5) и cos (– 5,5).
6. 5 1) tg 585° и cos 585°;
2) ctg 485° и sin 485°.
Определить знак выражения (7—8).
7. 6 1) sin 2,8 ⭈ cos 2,8 – tg 3,31;
2) sin 5,1 ⭈ cos 5,1 + ctg 5,1.
8. 6 1) tg 6 sin 5 – cos 4;
2) ctg 4 ⭈ cos 3 – sin 2.
9. 6 Определить знак sin α, если:
1)
2)
13π
ᎏ
2
17π
ᎏ
2
15π
и sin α cos α > 0;
α ᎏ
2
19π
и tg α < 0.
α ᎏ
2
10. 6 Определить знак cos α, если:
1) 8π α 9π и ctg α > 0; 2) 23π α 24π и sin α cos α < 0.
11. 5 Может ли быть число A положительным, если:
1) A = tg α и sin α cos α < 0;
2) A = ctg α и sin α cos α > 0?
§ 5.
Зависимость между синусом,
косинусом и тангенсом одного
и того же угла
Примеры с решениями
1. Вычислить sin α, cos α, tg α, ctg α, если cosec α = – 兹苶
5
и 13π < α < 13,5π.
1
π
З а м е ч а н и е. sec α = ᎏ
, α ᎏ
+ πn, n Z (читается
«секанс α»); cosec α =
канс α»).
cos α
2
1
ᎏ , α πn, n
sin α
Z (читается «косе85
1
Р е ш е н и е. Так как cosec α = – 兹5
苶, то sin α = – ᎏ и
cos α = –
兹
兹5
苶
1
2
苶–
苶苶
1
ᎏ = – ᎏ (угол α лежит в третьей четверти).
5
兹5
苶
1
Следовательно, tg α = ᎏ
, ctg α = 2.
2
2. Дано: tg α + ctg α = 3. Вычислить:
1) tg2 α + ctg2 α; 2) tg3 α + ctg3 α.
Р е ш е н и е. 1) По условию tg α + ctg α = 3, значит,
(tg α + ctg α)2 = 9, tg2 α + ctg2 α + 2 = 9, т. е. tg2 α + ctg2 α = 7.
2) tg3 α + ctg3 α = (tg α + ctg α) (tg2 α – tg α ctg α + ctg2 α) =
= (tg α + ctg α) (tg2 α + ctg2 α – 1).
По условию tg α + ctg α = 3, из решения предыдущей
задачи tg2 α + ctg2 α = 7, следовательно, tg3 α + ctg3 α = 18.
3. Вычислить sin5 α + cos5 α, если sin α + cos α = a.
Р е ш е н и е. Разложим sin5 α + cos5 α на множители
путем деления sin5 α + cos5 α на sin α + cos α столбиком.
Получим sin5 α + cos5 α = (sin α + cos α) ⭈ (sin4 α – sin3 α cos α +
+ sin2 α cos2 α – sin α cos3 α + cos4 α) = a (sin4 α + cos4 α –
– sin α cos α (sin2 α + cos2 α) + sin2 α cos2 α) = a (sin4 α + cos4 α –
– sin α cos α + sin2 α cos2 α).
Выразим каждое слагаемое алгебраической суммы в
скобках через a:
a2 = (sin α + cos α)2 = 1 + 2 sin α cos α,
2
2
2
(a – 1)
a –1
значит, sin α cos α = ᎏ
, sin2 α cos2 α = ᎏ
.
4
2
(sin2 α + cos2 α)2 = sin4 α + 2 sin2 α cos2 α + cos4 α, значит,
2
2
(a – 1)
sin4 α + cos4 α = 1 – 2 sin2 α cos2 α = 1 – ᎏ
.
5
5
冢
sin α + cos α = a 1 –
冢
冢
a –1
a2 – 1
ᎏ a2 – 1 + 1 – ᎏ
2
2
5a – a5
4 – a4 + 1
ᎏᎏ = ᎏ .
4
4
=a 1–
=a⭈
2
2
(a2 – 1)2
ᎏ
2
–
a2 – 1
ᎏ
2
(a2
1)2
冣
–
=
+ᎏ
4
a –1 a +1
=
⭈ᎏ
冣冣 = a 冢1 – ᎏ
2
2 冣
2
2
Задания для самостоятельной работы
Вычислить (1—2).
1. 5 1) sin α и sec α, если tg α = – 兹2
苶, 4,5π < α < 5π;
2) cos α и cosec α, если ctg α = 2,4, 19π < α < 19,5π.
4
13π
2. 5 1) sin α и tg α, если sec α = – 3 ᎏ
, ᎏ
< α < 7π;
7
2
49π
2) cos α и ctg α, если cosec α = 兹3
苶, 24π < α < ᎏ .
2
86
Выяснить, при каких значениях x справедливо равенство (3—4).
苶–
苶c苶o苶苶
s2 x
苶;
3. 6 1) sin x = 兹1
2
1苶
si苶
n 苶苶
x.
2) cos x = – 兹苶
–苶
4. 6 1) tg2 x + 1 = sec2 x;
2) cosec2 x = ctg2 x + 1.
5. 6 Существует ли такой угол α, для которого верно равенство:
1)
2)
3 sin2 α
ᎏᎏ
= 1;
1 + tg2 α
cos2 α
2
ᎏᎏ
?
=ᎏ
7
1 + ctg2 α
6. 6 Вычислить:
1)
6 sin α + cos α
ᎏᎏ
3 cos α – 4 sin α
2)
3 sin α + 7 cos α
ᎏᎏ ,
4 cos α – 3 sin α
, если tg α = a;
если ctg α = a.
7. 6 Найти значение выражения
5
ᎏᎏ
2 + 6 sin α cos α
, если:
1) сtg α = 10;
2) ctg α = 2.
8. 6 Найти значение выражения
3
ᎏᎏ
,
9 – 8 sin2 α
если:
1) tg α = 0,1;
2) tg α = 3.
Найти значение выражения (9—10).
9. 6 1) sin3 α – cos3 α, если sin α – cos α = – 0,8;
2) sin3 α – cos3 α, если cos α – sin α = – 0,2.
10. 6 1) tg2 α + ctg2 α, если ctg α – tg α = 2;
2) tg2 α + ctg2 α, если tg α – ctg α = 3.
11. 7 Вычислить sin5 α + cos5 α с точностью до 0,1, если:
1) sin α + cos α = 1,2;
2) sin α + cos α = 1,3.
12. 8 Вычислить:
1) sin5 α – cos5 α, если sin α – cos α = a;
2) cos5 α – sin5 α, если cos α – sin α = b.
87
§ 6.
Тригонометрические тождества
Примеры с решениями
1. Доказать тождество
苶n
苶2苶x
苶(1
苶苶
苶x
苶)苶苶
苶苶
s2 x
苶(1
苶苶
苶x
苶)苶= – (sin x + cos x)
+ c苶tg
+ c苶o
+ tg
兹si
при x
冢π;
3π
ᎏ
2
冣.
Р е ш е н и е. Преобразуем выражение, стоящее под
знаком корня, с целью выделения полного квадрата:
苶c苶o苶苶
苶+
苶c苶o苶苶
苶苶苶
s x
s x
⭈
+
⭈
=
兹si苶n苶苶x苶+苶si苶n苶苶x苶苶苶
2
cos x
ᎏ
sin x
2
2
sin x
ᎏ
cos x
2
苶n
苶2苶x
苶+
苶2
苶si
苶n
苶x
苶c苶o苶s苶x
苶+
苶c苶苶o苶
s2 x
苶 = 兹(s
苶in
苶x
苶+
苶c苶o苶s苶x
苶苶
)2 = sin x +
= 兹si
+ cos x = – sin x – cos x (в III четверти sin x < 0, cos x < 0).
2. Выяснить, при каких значениях x справедливо
равенство
兹
tg x – sin x
苶苶
ᎏᎏ = cosec x – ctg x.
tg x + sin x
sin x
Р е ш е н и е. По определению tg x = ᎏ
, поэтому
cos x
兹
tg x – sin x
苶苶
ᎏᎏ =
tg x + sin x
兹
sin x
苶苶
ᎏᎏ – sin x
cos x
ᎏ
ᎏᎏ
sin x
ᎏᎏ + sin x
cos x
=
兹
1 – cos x
苶苶
ᎏᎏ .
1 + cos x
Умножив числитель и знаменатель на (1 – cos x), получим
兹
(1 – cos x)2
苶苶
ᎏᎏ =
兹
2
1 – cos x
(1 – cos x)2
苶苶
ᎏᎏ =
sin2 x
苶⭈
苶苶c苶
tg 苶
x苶苶苶
tg苶苶
x=
+
兹苶苶苶– 苶2 苶c苶
1
ᎏ
sin2 x
1
ᎏ
sin x
2
苶o苶se
苶c苶x
苶–
苶c苶tg
苶x
苶苶
)2 = cosec x – ctg x .
= 兹(c
Если cosec x – ctg x > 0, то cosec x – ctg x = сosec x – ctg x.
Выясним, при каких значениях x выполняется неравенство cosec x – ctg x > 0. Преобразуем разность, получим
1
cos x
1 – cos x
ᎏ – ᎏ = ᎏᎏ > 0. Так как 1 – cos x > 0 при всех x, то
sin x
sin x
sin x
sin x > 0 при значениях x, расположенных в I и II четвертях, т. е. при 2πn < x < π + 2πn, n Z. Но левая часть
исходного равенства теряет смысл при всех x, где cos x = 0,
π
(1 + 4n)π
т. е. в нашем случае это x ᎏ
, n Z.
+ 2πn или x ᎏᎏ
2
2
Следовательно,
2πn < x <
88
(1 + 4n)π
ᎏᎏ ,
2
(1 + 4n)π
ᎏᎏ < x < (1 + 2n) π,
2
n Z.
Задания для самостоятельной работы
1. 4 Доказать тождество:
1) tg2 x + sec2 y = tg2 y + sec2 x;
2) cosec2 x + ctg2 y = ctg2 x + cosec2 y.
Выяснить, при каких значениях x справедливо равенство (2—5).
2. 6 1)
2)
苶2苶x
苶–
苶si
苶n
苶2苶x
苶 = tg x sin x;
兹tg
苶2苶x
苶–
苶c苶o苶苶
s2 x
苶 = ctg x cos x.
兹c苶tg
1 – cos x
苶苶
ᎏᎏ
= ctg x – cosec x;
兹
2) 苶苶 = tg x – sec x.
兹
3. 7 1)
1 + cos x
1 – sin x
ᎏᎏ
1 + sin x
4. 7 1)
2)
苶n
苶2苶x
苶+
苶c苶o苶se
苶c苶2苶x
苶 = – tg x – ctg x;
兹si
兹苶苶 = 2 tg x + 2 ctg x.
4
ᎏᎏ
sin2 x cos2 x
1 + sin x
苶苶
ᎏᎏ
1 – sin x
苶苶
ᎏᎏ
1 – cos x
ᎏᎏ
1 + cos x
1 + cos x
ᎏᎏ
1 – cos x
+
= – 2 sec x;
兹
兹
2) 苶苶 + 苶苶 = – 2 cosec x.
兹
兹
5. 7 1)
1 – sin x
1 + sin x
Доказать тождество и найти допустимые значения входящих в него букв (углов) (6—8).
6. 6 1)
2)
7. 6 1)
2)
1 – sin x
ᎏᎏ
cos x
sin x
ᎏᎏ
1 – cos x
=
=
tg x
ᎏᎏ
tg x + ctg x
ctg x
ᎏᎏ
tg x + ctg x
cos x
ᎏᎏ ;
1 + sin x
1 + cos x
ᎏᎏ .
sin x
= sin2 x;
= cos2 x.
8. 6 1)
(sin x + cos x)2 – 1
ᎏᎏᎏ
ctg x – sin x cos x
= 2 tg2 x;
2)
(sin x + cos x)2 – 1
ᎏᎏᎏ
tg x – sin x cos x
= 2 ctg2 x.
9. 7 Доказать тождество:
1) sin α (1 + tg α) + cos α (1 + ctg α) = sec α + cosec α;
2) sin2 α tg α + cos2 α ctg α + 2 sin α cos α = tg α + ctg α.
89
§ 7.
Синус, косинус и тангенс углов α и – α
Задания для самостоятельной работы
Сравнить числа (1—3).
π
2π
и – cos ᎏ
;
1. 5 1) sin 冢– ᎏ
2冣
3
2. 5 1) сtg
3π
ᎏ
7
и tg 冢
7π
3. 5 1) sin 冢– ᎏ
冣и
4
冣
7π
;
–ᎏ
3
7π
tg ᎏ
;
4
5π
5π
2) sin 冢– ᎏ
.
冣 и cos ᎏ
2)
2)
4
π
tg – ᎏ и
3
7π
ctg – ᎏ
6
冢
冣
冢
冣
ctg 冢
4
4π
ᎏ
3
冣.
13π
и cos 冢– ᎏ
冣.
7
4. 6 Найти значение выражения:
1) cos (– α) – sin (– α), если cos (– α) + sin (– α) = a;
2) sin α – cos (– α), если cos (– α) – sin (– α) = a.
5. 7 Доказать неравенство:
π
1) tg α – ctg (– α) 2; 0 < α < ᎏ
;
2
2
2
2) tg (– α) + ctg (– α) 2.
§ 8.
Формулы сложения
Задания для самостоятельной работы
Вычислить (1—2).
5
1. 5 1) sin (α + β), cos (α – β), если sin α = ᎏ
, cos β = 0,6,
13
2,5π < α < 3π, 1,5π < β < 2π;
5
2) sin (α – β), tg (α + β), если cos α = – 0,6, sin β = ᎏ
,
13
0,5π < α < π, – 1,5π < β < – π.
5
2. 5 1) tg (α + β), ctg (α – β), если tg α = 0,8, cos β = ᎏ
,
13
π < α < 1,5π, – 0,5π < β < 0;
2) tg (α – β), ctg (α + β), если sin α = 0,6, ctg β = 2,
0,5π < α < π, π < β < 1,5π.
Доказать тождество (3—6).
3. 5 1) ctg α + ctg β =
sin (α + β)
ᎏᎏ ;
sin α sin β
cos (α β)
cos α sin β
–
2) tg α + ctg β = ᎏᎏ
.
4. 7 1) sin (α + β) – sin α cos3 β – cos α sin3 β = sin β cos β cos (α – β);
2) cos (α – β) – sin α sin3 β – cos α cos3 β = sin β cos β sin (α + β).
5. 7 1) sin α sin (β + γ) – sin β sin (γ + α) + sin γ sin (α + β) =
= 2 sin α cos β sin γ;
2) cos α cos (β + γ) – cos β cos (γ + α) + cos γ cos (α – β) =
= cos (α – β – γ).
90
π
π
6. 7 1) 4 cos 冢 ᎏ
– x冣 cos 冢 ᎏ + x冣 = 4 cos2 x – 3;
2) 4 sin 冢
3
π
ᎏ
3
– x冣 sin 冢
3
π
ᎏ +x
3
冣 = 3 – 4 sin
2
x.
Доказать формулы сложения для трех аргументов (7—8).
7. 6 1) sin (α + β + γ) = sin α cos β cos γ + cos α sin β cos γ +
+ cos α cos β sin γ – sin α sin β sin γ;
2) cos (α + β + γ) = cos α cos β cos γ – cos α sin β sin γ –
– sin α cos β sin γ – sin α sin β cos γ.
tg α + tg β + tg γ – tg α tg β tg γ
ᎏᎏᎏᎏ ;
1 – (tg α tg β + tg β tg γ + tg γ tg α)
ctg α ctg β ctg γ – (ctg α + ctg β + ctg γ)
ctg (α + β + γ) = ᎏᎏᎏᎏᎏ
ctg α ctg β + ctg β ctg γ + ctg γ ctg α – 1
8. 6 1) tg (α + β + γ) =
2)
.
9. 7 Решить относительно x уравнение:
1) сos x cos ax – sin x sin ax = 1;
2) sin ax cos x + cos ax sin x = 0.
§ 9.
Синус, косинус и тангенс
двойного угла
Примеры с решениями
1. Упростить выражение sin3 x cos 3x + cos3 x sin 3x.
Р е ш е н и е. Используем формулы понижения степени
и сложения, получим
=
(3 cos x + cos 3x) sin 3x
(3 sin x – sin 3x) cos 3x
ᎏᎏᎏ + ᎏᎏᎏ =
4
4
3 (sin x cos 3x + cos x sin 3x)
3
3
ᎏᎏᎏᎏ = ᎏ sin (x + 3x) = ᎏ sin 4x.
4
4
4
2. Упростить выражение
1 – sin4 x – cos4 x
ᎏᎏᎏ .
1 – sin6 x – cos6 x
Р е ш е н и е. Выделив полный квадрат, получим
1
sin4 x + cos4 x = 1 – 2 sin2 x cos2 x = 1 – ᎏ
sin2 2x.
2
Воспользуемся формулой суммы кубов и результатом
предыдущего преобразования.
sin6 x + cos6 x = (sin2 + cos2 x) (sin4 x – sin2 x cos2 x + cos4 x) =
sin2 2x冣 – ᎏ sin2 2x =
= (sin4 x + cos4 x) – sin2 x cos2 x = 冢1 – ᎏ
2
4
1
1
3
sin2 2x.
=1– ᎏ
4
91
Дробь примет вид
冢
冣
冢
冣
1
1 – 1 – ᎏᎏ sin2 2x
2
ᎏᎏ
ᎏ
3
1 – 1 – ᎏᎏ sin2 2x
4
=
1
2
ᎏᎏ sin 2x
2
ᎏᎏ
3
2
ᎏᎏ sin 2x
4
2
.
=ᎏ
3
Данное преобразование верно, если sin 2x 0, т. е. при
πk
x ᎏ
, k Z.
2
3. Упростить произведение
x
x
x
x
cos ᎏ
cos ᎏ
cos ᎏ
... cos ᎏ
n.
2
4
8
2
Р е ш е н и е. Последовательно, начиная с последнего множителя, используем формулу синуса двойного аргумента:
冢
x cos x
2n – 1 2 sin ᎏ
ᎏ
2n
2n
x ... cos x cos x
ᎏ
ᎏ
ᎏ
冣 cos ᎏ
4
2
2
n–1
=
x
2 sin ᎏ
2n
x cos x
2n – 2 2 sin ᎏxᎏ cos ᎏxᎏ cos ᎏxᎏ ... cos ᎏ
ᎏ
4
2
2n – 1
2n – 1
2n – 2
=
=
x
n
2 sin ᎏ
n
2
x cos x
2 sin ᎏ
ᎏ
2
2
sin x
.
=
= n
x
x
n
2 sin ᎏ
2 sin ᎏ
n
n
2
2
x
Данное преобразование верно, если sin ᎏ
0,
2n
n
冢
冣
т. е.
при x 2 πk, k Z. Если x = 2 πk, k Z, то выражение
равно cos πk = (– 1)k.
n
n
4. Вычислить sin 18°.
Р е ш е н и е. Пусть sin 18° = x. Воспользуемся формулами двойного и тройного аргументов. Для этого рассмотрим аргументы 36° и 54° и соответственно учтем, что
sin 36° = sin (90° – 54°) = cos 54°. Из формул двойного и
тройного аргументов следует, что sin 36° = 2 sin 18° cos 18°,
cos 54° = 4 cos3 18° – 3 cos 18°. Получим
2 sin 18° cos 18° = 4 cos3 18° – 3 cos 18°,
2 sin 18° = 4 (1 – sin2 18°) – 3.
Таким образом, sin 18° — корень квадратного уравнения
– 1 兹5
苶 , откуда sin 18° = ᎏ
兹5
苶– 1 ,
4x2 + 2x – 1 = 0, т. е. x1,2 = ᎏ
4
4
так как sin 18° > 0.
92
Задания для самостоятельной работы
Вычислить (1—4).
3π
1. 6 1) sin 2α, tg 2α, если tg α = 兹2
苶, π < α < ᎏ ;
2
3π
2) cos 2α, ctg 2α, если ctg α = 0,75, π < α < ᎏ
.
2
2. 7 1) sin 4α, если tg α = – 3, –
π
ᎏ
2
< α < 0;
π
2) cos 4α, если ctg α = – 0,75, – ᎏ
< α < 0.
2
1
3. 6 1) sin 3α, если sin α = ᎏ
;
兹3
苶
1
2) cos 3α, если cos α = – ᎏ
.
4. 6 1) tg α, если tg
α
ᎏ
2
兹3
苶
α
π
< ᎏ < 0;
= – 0,75, – ᎏ
4
2
5π
α
α
2) sin α, если ctg ᎏ
= 0,75, π < ᎏ < ᎏ .
2
2
4
Существует ли такой угол α, для которого выполняется
равенство (5—6)?
5. 7 1) sin α cos α = sin 35°;
2) sin α cos α = cos 50°.
6. 7 1)
cos 2α
ᎏ
1 – tg2 α
= tg 50°;
2)
cos 2α
ᎏᎏ
ctg2 α – 1
= ctg 40°.
Доказать тождество (7—9).
7. 7 1) sin 2α – tg α = cos 2α tg α;
2) ctg α – sin 2α = cos 2α ctg α.
1
8. 7 1) tg α + 2 ctg 2α = ctg α;
2) ctg α – ctg 2α = ᎏ
.
sin 2α
9. 7 1)
sin3 α + sin 3α
ᎏᎏ
cos3 α – cos 3α
= ctg α;
2)
cos α – cos 3α
ᎏᎏ = tg α.
sin α + sin 3α
Доказать неравенство (10—11).
10. 7 1) (sin α + cos α)2 2;
2) (sin α – cos α)2 2.
π
11. 7 1) cos α + sin α > 1, если 0 < α ᎏ
;
2
2) sec4 α + cosec4 α 8.
Вычислить (12—13).
12. 7 1) cos 10° cos 30° cos 50° cos 70°;
2)
sin 20° sin 40° sin 60° sin 80°
ᎏᎏᎏᎏ .
sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°
13. 8 1) sin 36°;
2) sin 54°.
93
§ 10.
Синус, косинус и тангенс
половинного угла
Задания для самостоятельной работы
1. 6 Вычислить:
α
1
π
1) sin α, cos α, tg α, если tg ᎏ
= ᎏ, 0<α< ᎏ;
2) sin α, cos α, tg α, если tg
2
α
ᎏ
2
3
2
π
ᎏ
2
< α < π.
= 5,
2. 6 Выразить через синус и косинус половинного аргумента выражение:
1) 3 sin x + 2 cos x + 2;
2) 5 cos x – sin x + 5.
Найти значение выражения (3—6).
α
3. 7 1) tg ᎏ
, если sin α – cos α = 1,4,
2
3π
ᎏ
8
α
<ᎏ
< 0,5π;
2
α
π
2) ctg ᎏ
, если sin α – cos α = – 1,4, – ᎏ
< α < 0.
2
4
α
4. 7 1) tg ᎏ
, если sin α – cos α = 0,2, π < α < 2π;
2
α
2) ctg ᎏ
, если sin α – cos α = – 0,2, π < α < 2π.
2
α
5. 7 1) sin ᎏ
, если sin α + cos α = 0,2, 0 < α < π;
2
α
2) cos ᎏ
, если sin α – cos α = 0,2, π < α < 2π.
2
α
6. 7 1) sin ᎏ
, если sin α + cos α = 1,4,
2) cos
2
α
ᎏ,
2
π
<α< ᎏ
;
если sin α – cos α = – 1,4, –
7. 8 Доказать равенство:
1) ctg 15° – tg 15° = 2 兹3
苶;
§ 11.
π
ᎏ
8
2
π
ᎏ
4
< α < 0.
2) ctg 15° + tg 15° = 4.
Формулы приведения
Примеры с решениями
1. Доказать равенство
tg α tg β + tg β tg γ + tg α tg γ = 1
π
при условии, что α + β + γ = ᎏ
.
2
Р е ш е н и е. По условию косинус каждого из углов не
равен нулю. Выразим угол γ через два других угла:
94
π
γ= ᎏ
– α – β. По формулам приведения и котангенса сум2
мы аргументов имеем
π
–
tg γ = tg 冢 ᎏ
– α – β冣 = ctg (α + β) = ᎏᎏ .
1 tg α tg β
tg α + tg β
2
Следовательно,
tg α tg β + tg β tg γ + tg α tg γ = tg α tg β + (tg α + tg β) tg γ =
= tg α tg β + (tg α + tg β)
1 – tg α tg β
ᎏᎏ
tg α + tg β
= tg α tg β + (1 – tg α tg β) = 1.
2. Вычислить без использования таблиц или калькулятора:
π
3π
5π
7π
sin4 ᎏ
+ sin4 ᎏ + sin4 ᎏ + sin4 ᎏ .
16
16
16
16
Р е ш е н и е. Понизим четвертую степень выражения
до первой, предварительно умножив каждое слагаемое
на 4 и применив формулы понижения степени:
4 sin4 x = (2 sin2 x)2 = (1 – cos 2x)2 =
= 1 – 2 cos 2x + cos2 2x = 1 – 2 cos 2x +
=
3
ᎏ
2
– 2 cos 2x +
Используя подобные
приведения, получим
1
ᎏ
2
1 + cos 4x
ᎏᎏ
2
=
cos 4x.
преобразования
и
формулы
3π
3π
1
cos ᎏ
+ᎏ
+
冢 ᎏ32 – 2 cos ᎏ8π + ᎏ12 cos ᎏ4π 冣 + 冢 ᎏ32 – 2 cos ᎏ
8
2
4 冣
7π
3
5π
1
5π
3
7π
1
cos ᎏ
cos ᎏ
– 2 cos ᎏ
+ᎏ
+ ᎏ – 2 cos ᎏ
+ᎏ
=
+冢ᎏ
2
8
2
4 冣 冢2
8
2
4 冣
π
3π
5π
7π
= 6 – 2 冢cos ᎏ
+
+ cos ᎏ
+ cos ᎏ
+ cos ᎏ
8
8
8
8 冣
7π
1
π
3π
5π
cos ᎏ
=
+ᎏ
+ cos ᎏ
+ cos ᎏ
+ cos ᎏ
2 冢
4
4
4
4 冣
π
π
3π
3π
= 6 – 2 冢cos ᎏ
+ cos 冢π – ᎏ
+
+ cos ᎏ
+ cos 冢π – ᎏ
8
8
8 冣
8 冣冣
3π
1
π
3π
π
cos ᎏ
+ cos 冢π + ᎏ
=
+ cos ᎏ
+ cos 冢π + ᎏ
+ᎏ
2 冢
4
4
4冣
4 冣冣
π
π
3π
3π
= 6 – 2 冢cos ᎏ
+
+ cos ᎏ
– cos ᎏ
– cos ᎏ
8
8
8
8冣
1
π
3π
π
3π
cos ᎏ
= 6.
+ᎏ
+ cos ᎏ
– cos ᎏ
– cos ᎏ
2 冢
4
4
4
4 冣
Так как каждое слагаемое умножали на 4, то результат
составляет
3
6:4= ᎏ
= 1,5.
2
95
3. Найти значение выражения cos 20° cos 40° cos 80°.
Р е ш е н и е. Домножив и разделив данное произведение на 8 sin 20° с целью дальнейшего использования формулы синуса двойного аргумента, получим
4 (2 sin 20° cos 20°) cos 40° cos 80°
ᎏᎏᎏᎏᎏ =
8 sin 20°
2 (2 sin 40° cos 40°) cos 80°
= ᎏᎏᎏᎏ
=
8 sin (180° – 160°)
2 sin 80° cos 80°
= ᎏᎏ
=
8 sin 160°
sin 160°
ᎏᎏ
8 sin 160°
1
.
=ᎏ
8
Задания для самостоятельной работы
Сравнить числа (1—4).
1. 5 1) sin 40° и sin 160°;
2) cos 70° и cos 280°.
2. 6 1) cos 6,4π и 0,5;
3. 6 1) cos 0,9π и sin 252°;
2) sin 3,1π и – 0,5.
2) cos 6,4π и sin (– 252°).
4. 6 1) tg 3,7π и ctg 3,8π;
2) tg 765° и cos 348°.
Упростить выражение (5—7).
5. 6 1)
2)
tg (180° + β) cos (180° – β)
ᎏᎏᎏᎏ
tg (270° + β) cos (270° + β)
+ tg (900° – β);
ctg (180° + α) sin (180° – α)
ᎏᎏ
ᎏᎏᎏ
cos (270° + α) sin (270° + α)
+ ctg (540° – α).
6. 6 1)
cos (270° + β)
ᎏᎏᎏᎏ
cos (180° – β) ctg (90° + β)
+ tg 315°;
2)
sin (270° + α)
ᎏᎏᎏᎏ
sin (180° – α) tg (90° + α)
+ ctg 315°.
7. 6 1)
sin 1,2π
ᎏᎏᎏ
sin 1,3π ⭈ tg 1,8π
; 2)
cos 1,2π
ᎏᎏᎏ .
cos 1,3π ⭈ ctg 1,8π
8. 6 Упростить выражение и найти его числовое значение:
2 sin (– 2x)
π
ᎏ
ᎏᎏ при x = ᎏ ;
π
8
ctg x + ctg ᎏᎏ+ x
2
2 sin (π – x)
π
ᎏ при
ᎏ – 2x + ᎏᎏᎏ
π
2
sin ᎏᎏ + x + tg x sin (– x)
2
1) cos (– 2x) –
2) 2 ctg
冢
冢
冣
冢
冣
冣
π
x=– ᎏ
.
12
9. 8 Вычислить без использования таблиц и калькулятора:
π
3π
1) sin2 ᎏ
+ 3 cos2 ᎏ ;
8
96
8
2) cos4 15° – sin4 15°.
Вычислить (10—11).
10. 8 1) ctg 10° ctg 50° ctg 70°;
2) tg 1° tg 2° tg 3° ... tg 88° tg 89°.
π
5π
7π
11. 8 1) 4 sin ᎏ
sin ᎏ
sin ᎏ
;
18
2)
§ 12.
18
18
π
2π
13π
9 cos ᎏᎏ cos ᎏᎏ cos ᎏᎏ
15
15
30
ᎏᎏ
ᎏᎏ
4π
sin ᎏᎏ
15
.
Сумма и разность синусов.
Сумма и разность косинусов
Примеры с решениями
1. Доказать тождество
β
2
γ
2
α
cos α + cos β + cos γ – 1 = 4 sin ᎏ
sin ᎏ sin ᎏ ,
2
если α + β + γ = π.
Р е ш е н и е. Преобразуем левую часть, считая, что
α + β = π – γ, и применяя формулы половинного аргумента
и замены суммы тригонометрических функций произведением:
α
β
2
γ
π
ᎏ–ᎏ
2
2
α β
2
α–β
cos ᎏ
2
γ
2
–
+
(cos α + cos β) + (cos γ – 1) = 2 cos ᎏ
cos ᎏ
– 2 sin2 ᎏ =
cos ᎏ – 2 sin2 ᎏ = 2 cos 冢
= 2 cos ᎏ
2
2
2
π–γ
α–β
γ
冣
γ
=
– 2 sin2 ᎏ
2
cos ᎏ – 2 sin2 ᎏ = 2 sin ᎏ 冢cos ᎏ – sin ᎏ 冣 =
= 2 sin ᎏ
2
2
2
2
2
2
γ
α–β
γ
–
cos ᎏ
– sin
= 2 sin ᎏ
2
2 冢
γ
α
α β
β
π – (α + β)
ᎏᎏ
2
α–β
γ
γ
–
+
=
– cos ᎏ
冣 = 2 sin ᎏ2 冢cos ᎏ
2
2 冣
γ
α β
α
β
γ
sin ᎏ sin ᎏ .
= 4 sin ᎏ
2
2
2
2. Доказать, что если α = β + γ, то
sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2 (1 – cos α cos β cos γ).
Р е ш е н и е. Понизим степень в левой части равенства
и выделим число 2, которое имеется в правой части:
=
1 – cos 2β
1 – cos 2γ
cos 2α + cos 2β + cos 2γ
1 – cos 2α
3
ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ = ᎏ – ᎏᎏᎏ
2
2
2
2
2
cos 2α + cos 2β + cos 2γ
cos 2α + cos 2β + cos 2γ + 1
3
1 1
ᎏ + ᎏ – ᎏ – ᎏᎏᎏ = 2 – ᎏᎏ
ᎏᎏ
2
2 2
2
2
=
=
97
=2–
(cos 2β + cos 2γ) + (cos 2α + 1)
ᎏᎏᎏᎏ
2
= 2 – (cos (β + γ) cos (β – γ) + cos2 α) =
= 2 – (cos α cos (β – γ) + cos2 α) = 2 – cos α (cos (β – γ) + cos α) =
= 2 – cos α (cos (β – γ) + cos (β + γ)) = 2 – cos α (2 cos β cos γ) =
= 2 – 2 cos α cos β cos γ = 2 (1 – cos α cos β cos γ).
Задания для самостоятельной работы
1. 6 Преобразовать сумму в произведение, если 0 < α < 90°:
1) 兹1
苶+
苶c苶o苶s苶α
苶 + 兹1
苶–
苶c苶o苶s苶α
苶;
2) 兹1
苶+
苶c苶o苶s苶α
苶 – 兹1
苶–
苶c苶o苶s苶α
苶.
2. 7 Доказать тождество:
1) sin 47° + sin 61° – sin 11° – sin 25° = cos 7°;
1
2) cos 24° + cos 48° – cos 84° cos 12° = ᎏ
.
2
Доказать тождество, если α, β и γ — углы треугольника
(3—4).
γ
2
γ
ᎏ.
2
β
α
3. 7 1) sin α + sin β + sin γ = 4 cos ᎏ
cos ᎏ
cos ᎏ ;
2) sin α + sin β – sin γ = 4 sin
2
α
ᎏ sin
2
2
β
ᎏ sin
2
4. 7 1) tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ ;
γ
2
γ
2
β
β
α
α
2) ctg ᎏ
+ ctg ᎏ + ctg ᎏ = ctg ᎏ ctg ᎏ ctg ᎏ .
2
2
2
2
5. 8 Доказать, что если α = β + γ, то:
γ
2
β
α
сos ᎏ
сos ᎏ ;
1) cos α + cos β + cos γ + 1 = 4 сos ᎏ
2
2
2) cos2 α + cos2 β + cos2 γ – 1 = 2 cos α cos β cos γ.
Преобразовать в произведение (6—7).
6. 7 1)
2)
7. 7 1)
2)
兹3
苶 – 2 兹3
苶 сos2 α + sin 2α;
3 – 4 cos 2α + cos 4α – 8 cos4 α.
sin2 (α + β) – sin2 (α – β);
cos2 α – 2 cos α cos β cos (α – β) + cos2 β.
8. 9 Доказать тождество:
1)
2)
98
nα
(n + 1) α
sin ᎏᎏ sin ᎏᎏ
2
2
sin α + sin 2α + sin 3α + ... + sin nα = ᎏᎏ
ᎏ;
α
sin ᎏᎏ
2
nα
(n + 1) α
sin ᎏᎏ cos ᎏᎏ
2
2
cos α + cos 2α + cos 3α + ... + cos nα = ᎏᎏ
ᎏ.
α
sin ᎏᎏ
2
§ 13.
Произведение синусов и косинусов
Примеры с решениями
1. Доказать тождество
sin α + sin (α + β) + sin (α + 2β) =
3β
sin (α + β) sin ᎏᎏ
2
ᎏ
ᎏᎏ .
β
sin ᎏᎏ
2
Р е ш е н и е. Аргументы слагаемых левой части представляют собой арифметическую прогрессию, разность
которой равна β. Умножим и разделим эту сумму на
β
β
2 sin ᎏ
. (Сделать это можно, так как 2 sin ᎏ
не может
2
2
β
быть равно 0: ведь если sin ᎏ
= 0, то β = 2πk, k Z, и сле2
ва стоит сумма трех равных величин.) Получим дробь,
числитель которой равен
β
β
β
2 sin ᎏ
sin α + 2 sin ᎏ
sin (α + β) + 2 sin ᎏ
sin (α + 2β) =
2
2
= 冢сos 冢α –
2
冣 – сos 冢α + 冣冣 + 冢сos 冢α + β – ᎏ2 冣 –
β
β
β
– сos 冢α + β + ᎏ 冣冣 + 冢сos 冢α + 2β – ᎏ 冣 – сos 冢α + 2β + ᎏ 冣冣.
2
2
2
β
ᎏ
2
β
β
ᎏ
2
Мы использовали формулы замены произведения синусов суммой. Теперь хорошо видно, почему умножили
β
именно на 2 sin ᎏ
(появились слагаемые, которые явля2
ются противоположными, и их сумма равна 0). После
выполнения в числителе сложения и применения формул замены разности произведением получим дробь
冢
冣
冢
冣
β
β
cos α – ᎏᎏ – cos α + 2β + ᎏᎏ
2
2
ᎏᎏ
ᎏᎏ
β
2 sin ᎏᎏ
2
=
3β
2 sin (α + β) sin ᎏᎏ
2
ᎏᎏᎏ .
β
2 sin ᎏᎏ
2
З а м е ч а н и е. Приведенный при решении задачи прием можно использовать для любого числа слагаемых.
Важно, чтобы слагаемые представляли собой одноименные тригонометрические функции, а аргументы — арифметическую прогрессию.
2. Доказать тождество
sin2 α + sin2 β + sin2 γ – 2 cos α cos β cos γ = 2,
если α + β + γ = π.
Р е ш е н и е. Из условия γ = π – α – β. Заменив произведение суммой и понизив степень первой пары слагаемых,
получим sin2 α + sin2 β + sin2 γ – 2 cos α cos β cos γ = sin2 α +
99
+ sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2 cos α cos β cos (π – α – β) = sin 2 α +
+ sin2 β + sin2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β)) cos (α + β) = sin2 α +
+ sin2 β + (sin2 (α + β) + cos2 (α + β)) + cos (α – β) cos (α + β) =
=
1 – cos 2α
ᎏᎏ
2
+
1 – cos 2β
ᎏᎏ
2
+1+
cos 2α + cos 2β
ᎏᎏ
2
= 2.
Задания для самостоятельной работы
Преобразовать произведение в сумму (1—2).
1. 6 1) 4 sin 12° sin 14° sin 16°;
2) 3 cos 25° cos 15° cos 35°.
2. 6 1) 8 cos 1° cos 2° cos 4° cos 8°;
2) 4 sin 25° cos 15° sin 5°.
3. 7 Доказать равенство:
1) cos 2 冢 x +
π
ᎏ
6
冣 – cos 冢 x + ᎏ6π 冣 cos 冢 x – ᎏ6π 冣 + cos 冢 x – ᎏ6π 冣 =
2
= 0,75;
π
2) sin2 冢x + ᎏ
冣 – sin2 冢x – ᎏπ 冣 – sin
4
6
π
ᎏ
12
cos 冢2x +
π
ᎏ
12
冣 = sin 2x.
4. 6 Упростить выражение:
5π
5π
1) sin 2α + 2 sin 冢 ᎏ
– α冣 cos 冢 ᎏ + α冣;
12
2) cos 2α + 2 sin 冢α +
12
π
ᎏ
6
冣 sin 冢α – ᎏ6π 冣.
5. 6 Упростить сумму:
2π
4π
6π
1) cos ᎏ
+ cos ᎏ + cos ᎏ ;
7
7
7
π
3π
5π
2) sin ᎏ
+ sin ᎏ + sin ᎏ .
7
7
7
6. 7 Представить в виде произведения сумму:
1) cos 11α + 3 cos 9α + 3 cos 7α + cos 5α;
2) sin 5α sin 4α + sin 4α sin 3α – sin 2α sin α.
Найти наибольшее и наименьшее значения произведения
(7—8).
2π
π
7. 8 1) cos 冢3x + ᎏ
cos 冢3x + ᎏ
;
5 冣
15 冣
π
2) sin 冢x + ᎏ
冣 sin 冢x – ᎏπ 冣.
3
3
8. 9 1) cos (ax + m) cos (ax + n); 2) sin (ax + m) sin (ax + n).
Доказать тождество при условии, что α, β и γ — углы
треугольника (9—10).
9. 9 1) sin3 α cos (β – γ) + sin3 β cos (γ – α) + sin3 γ cos (α – β) =
= 3 sin α sin β sin γ;
2) sin3 α sin (β – γ) + sin3 β sin (γ – α) + sin3 γ sin (α – β) = 0.
100
10. 9 1) sin 3α sin3 (β – γ) + sin 3β sin3 (γ – α) +
+ sin 3γ sin3 (α – β) = 0;
2) sin 3α cos3 (β – γ) + sin 3β cos3 (γ – α) + sin 3γ cos3 (α – β) =
= sin 3α sin 3β sin 3γ.
Контрольная работа
1. Вычислить cos α [sin α] и tg α [ctg α], если
12
1
sin α = ᎏ
冤cos α = ᎏ
冥и
13
兹3
苶
π
ᎏ
2
<α<π
3π
< α < 2π冥.
冤ᎏ
2
2. Найти значение cos 2α [sin 2α], если
tg α = – 兹5
苶 [ctg α = – 兹7
苶] и
11π
ᎏ
2
< α < 6π
9π
< α < 5π冥.
冤ᎏ
2
3. Найти значение выражения
2 – 4 sin α
,
冤 ᎏᎏ
3 + sin 2α 冥
2
5 cos 2α + 3
ᎏᎏ
3 – 8 cos2 α
если tg α = – 兹5
苶 [ctg α = – 2].
4. Упростить выражение
sin (α + 60°) sin (α – 60°) – sin2 α
冤cos
2
π
α – cos 冢α + ᎏ
冣 cos 冢α – ᎏπ 冣冥.
6
6
α
5. Найти tg ᎏ
冤ctg ᎏα 冥, если
2
2
sin α – cos α = 1,4 [sin α – cos α = – 1,4]
и
3π
ᎏ
8
α
π
<ᎏ
<ᎏ
2
2
冤– ᎏ4π < α < 0冥.
6. Доказать равенство
1
π
2π
4π
cos ᎏ
cos ᎏ
cos ᎏ
=– ᎏ
7
7
7
8
[8 sin 10° sin 50° sin 70° = 1].
Глава
§ 1.
Тригонометрические
IX уравнения
Уравнение cos x = a
Примеры с решениями
1. Вычислить:
5
4
1) cos 冢arccos ᎏ
– arccos ᎏ 冣;
2) arccos (cos 6);
3) arccos 冢sin
4) arccos (sin 12).
13
9π
ᎏ
7
5
冣;
4
5
Р е ш е н и е. 1) Обозначим arccos ᎏ
= α, arccos ᎏ = β.
13
5
π
5
4
π
Тогда cos α = ᎏ
, cos β = ᎏ
, где 0 < α < ᎏ
, 0<β< ᎏ
. Отсюда
13
5
2
следует, что sin α > 0, sin β > 0 и sin α =
兹
2
–
=
兹苶1 苶苶
25
ᎏ
169
12
ᎏ,
13
sin β =
16
3
苶–
苶苶
ᎏ = ᎏ . Применяя формулу для косинуса разно= 1
25
5
сти, находим
56
5
4
12 3
cos (α – β) = ᎏ
⭈ ᎏ + ᎏ ⭈ ᎏ = ᎏ.
13
5
13
5
65
2) Заменим cos 6 на косинус угла, заключенного в
3π
пределах от 0 до π. Так как ᎏ
< 6 < 2π, то – 2π < – 6 <
2
π
3π
< – ᎏ , 0 < 2π – 6 < ᎏ . Но cos 6 = cos (2π – 6), и поэтому
2
2
arccos (cos 6) = arccos (cos (2π – 6)) = 2π – 6.
9π
3) Заменим sin ᎏ
на косинус угла, заключенного
7
между 0 и π:
9π
2π
π
2π
11π
sin ᎏ
= sin 冢– ᎏ 冣 = сos 冢 ᎏ – 冢– ᎏ 冣冣 = сos ᎏ , где
7
7
2
7
9π
Тогда arccos 冢sin ᎏ
冣 = arccos 冢сos
7
14
11π
11π
ᎏ = ᎏ.
14
14
то sin 12 < 0, и поэтому
[0; π].
冣
4) Обозначим α = arccos (sin 12). Так как
π
ᎏ
2
11π
ᎏ
14
7π
ᎏ
2
< 12 < 4π,
< α < π. Заменим sin 12 на коси-
π
ᎏ и π. По формулам при2
π
9π
ведения sin 12 = sin (12 – 4π) = cos ᎏ
– (12 – 4π) = cos ᎏ
– 12 ,
2
2
9π
π
9π
где ᎏ < ᎏ – 12 < π. Следовательно, α = ᎏ – 12.
2
2
2
нус угла, заключенного между
冢
102
冣
冢
冣
2. Доказать равенство
arccos (– a) = π – arccos a.
(1)
Р е ш е н и е. Обозначим буквами α и β соответственно
левую и правую части равенства (1). Тогда α [0; π],
cos α = – a. Используя формулу cos (π – ϕ) = – cos ϕ и равенство cos (arccos a) = a, получаем cos β = cos (π – arccos (cos a)) =
= – a.
Для доказательства равенства (1) достаточно установить, что β (0; π). Так как 0 arccos a π, то
– π – arccos a 0, откуда следует, что 0 π – arccos a π,
т. е. β [0; π].
3. Решить уравнение:
2) 1 – 2 sin2 2x = 2 cos 4x;
1) cos3 x + 1 = 0;
1
3) cos 3x cos 2x = ᎏ
+ sin 3x sin 2x;
2
4) 2 cos4 x = 2 sin4 x – 1.
Р е ш е н и е. 1) Пусть cos x = t, тогда
t3 + 1 = (t + 1) (t2 – t + 1) = 0,
откуда t = – 1, а уравнение t2 – t + 1 = 0 не имеет действительных корней. Итак, cos x = – 1, откуда x = π + 2πn, n Z.
2) Так как 1 – 2 sin2 2x = cos 4x, то уравнение можно
π
πn
записать в виде cos 4x = 0, откуда находим x = ᎏ
,
+ᎏ
8
4
n Z.
3) Используя формулу косинуса суммы, запишем
1
1
уравнение в виде cos (3x + 2x) = ᎏ
, т. е. cos 5x = ᎏ
, откуда
2
2
2πn
π
π
5x = ᎏ
+ 2πn, x = ᎏ + ᎏ , n Z.
3
15
5
4) Используя равенство cos4 x – sin4 x = cos2 x – sin2 x =
1
,
= cos 2x, получаем уравнение 2 cos 2x = – 1, cos 2x = – ᎏ
2
π
2π
откуда 2x = ᎏ + 2πn, x = ᎏ + πn, n Z.
3
3
Задания для самостоятельной работы
Вычислить (1—6).
5
1. 4 1) cos 冢2 arccos ᎏ
冣;
4
2) cos 冢2 arccos ᎏ
冣.
13
2. 4 1) cos 冢π + 2 arccos
3. 4 1) cos 冢arccos
2) cos 冢arccos
3
ᎏ
5
5
冣;
4
2) cos 冢π – 2 arccos ᎏ
冣.
12
3
ᎏ + arccos ᎏ
5
13
3
12
ᎏ – arccos ᎏ
13
5
5
冣;
冣.
103
17π
4. 5 1) arccos 冢sin ᎏ
冣;
34π
2) arccos 冢sin ᎏ
冣.
5. 6 1) arccos (cos 4);
2) arccos (cos 10).
6. 7 1) arccos (sin 9);
2) arccos (sin 13).
9
9
Решить уравнение (7—10).
2) 27 cos3 x + 8 = 0.
7. 4 1) 27 cos3 x – 8 = 0;
2
2) 2 sin2 2x = 1 + 3 cos 4x.
8. 3 1) 1 + 3 cos 2x = 2 sin x;
9. 3 1) 2 sin 5x sin 3x = 1 + 2 cos 5x cos 3x;
2) 2 sin 4x sin x = 2 cos 4x cos x – 1.
2) 4 cos4 2x = 1.
10. 4 1) 16 cos4 x = 1;
§ 2.
Уравнение sin x = a
Примеры с решениями
1. Вычислить:
4
12
1) sin 冢arcsin ᎏ
– arcsin ᎏ 冣;
2) sin 冢arcsin
3) arcsin 冢sin
5
13
5
3
ᎏ + arcсоs ᎏ ;
5
13
23π
4) arcsin
ᎏ ;
7
冣
冣
7π
;
冢cos ᎏ
8 冣
5) arcsin (sin 8); 6) arcsin (cos 10).
12
4
Р е ш е н и е. 1) Пусть arcsin ᎏ
= α, arcsin ᎏ = β, тогда
5
13
5
4
3
12
sin α = ᎏ
, cos α = ᎏ
, sin β = ᎏ
, cos β = ᎏ
. Применяя форму5
5
13
13
лу синуса разности, получаем
4
5
12 3
16
sin (α – β) = ᎏ
⭈ ᎏ – ᎏ ⭈ ᎏ =– ᎏ.
5
2) Пусть arcsin
3
ᎏ
5
13
13
= α, arccos
5
65
5
ᎏ = β, тогда
13
3
sin α = ᎏ
,
5
12
cos α =
cos β =
sin β = ᎏ , т. е.
13
3
5
12 4
63
sin (α + β) = ᎏ ⭈ ᎏ
.
+ᎏ
⭈ᎏ=ᎏ
5 13
13 5
65
23π
3) Заменим sin ᎏ
на синус угла, заключенного
7
π
π
23π
2π
2π
между – ᎏ и ᎏ . Так как sin ᎏ
= sin π + ᎏ
=
= sin 3π + ᎏ
2
2
7
7
7
2π
2π
π
2π
, где – ᎏ
<– ᎏ
< 0, то
– sin ᎏ
= sin – ᎏ
7
7
2
7
23π
2π
2π
arcsin sin ᎏ
.
= arcsin sin – ᎏ
=– ᎏ
7
7
7
4
ᎏ,
5
5
ᎏ,
13
冢
冢
冣
冢
104
冣
冣
冢
冢
冣冣
冢
冣
7π
4) Заменим cos ᎏ
на синус угла, заключенного меж8
π
π
ду – ᎏ
и ᎏ
. Получим
2
2
3π
7π
π
π
π
3π
cos ᎏ
= – сos ᎏ = – sin 冢 ᎏ – ᎏ 冣 = – sin ᎏ = sin 冢– ᎏ 冣.
8
8
Следовательно,
2
8
arcsin 冢 cos
7π
ᎏ
8
8
8
冣 = arcsin 冢sin 冢–
3π
ᎏ
8
3π
.
冣冣 = – ᎏ
8
π
< 8 < 3π, то – ᎏ
< 8 – 3π < 0, откуда
2
π
0 < 3π – 8 < ᎏ , sin 8 = sin (3π – 8). Тогда
5) Так как
5π
ᎏ
2
2
arcsin (sin 8) = arcsin (sin (3π – 8)) = 3π – 8.
7π
6) Пусть α = arcsin (cos 10). Так как 3π < 10 < ᎏ
, то
2
π
cos 10 < 0, и поэтому – ᎏ
< α < 0. Заменим cos 10 на синус
2
π
угла, заключенного между – ᎏ
и 0:
2
7π
π
cos 10 = – cos (10 – 3π) = sin 冢10 – 3π – ᎏ
冣 = sin 冢10 – ᎏ
冣,
2
2
π
7π
где – ᎏ
< 10 – ᎏ
< 0. Cледовательно,
2
2
7π
7π
.
arcsin (cos 10) = arcsin 冢sin 冢10 – ᎏ
冣冣 = 10 – ᎏ
2
2
π
2. Доказать равенство arcsin a + arccos a = ᎏ
.
2
Р е ш е н и е. Пусть arcsin a = α, arccos a = β, тогда
π
π
α ᎏ
, 0 β π, sin α = a, cos β = a. Кроме того,
–ᎏ
2
2
π
cos 冢 ᎏ
– α冣 = sin α = a, откуда следует, что
2
так как из
π
π
–α ᎏ,
–ᎏ
2
2
3.
1)
3)
4)
π
ᎏ
2
π
ᎏ
2
– α = arccos a,
π
неравенств – α ᎏ
следуют неравенства
2
π
π
π
0 ᎏ – α π. Итак, ᎏ – α = β, т. е. α + β = ᎏ
.
2
2
2
Решить уравнение:
sin3 x + 1 = 0;
2) sin2 x – sin4 x = 0;
2 sin 4x cos x = 1 + 2 cos 4x sin x;
1
sin2 2x.
sin4 x + cos4 x = sin 2x – ᎏ
2
Р е ш е н и е. 1) Так как
sin3 x + 1 = (sin x + 1) (sin2 x – sin x + 1),
а уравнение sin2 x – sin x + 1 = 0 не имеет решений, то исходное уравнение равносильно уравнению sin x = – 1,
π
откуда x = – ᎏ
+ 2πn, n Z.
2
105
2) Преобразуем левую часть уравнения:
1
sin2 2x.
sin2 x – sin4 x = sin2 x (1 – sin2 x) = sin2 x cos2 x = ᎏ
4
Следовательно, исходное уравнение равносильно уравπn
нению sin 2x = 0, откуда x = ᎏ
, n Z.
2
3) По формуле синуса разности запишем уравнение в
1
виде 2 sin (4x – x) = 1, 2 sin 3x = 1, откуда sin 3x = ᎏ
, тогда
2
1
π
3x = (– 1)n arcsin ᎏ + πn = (– 1)n ᎏ + πn, откуда
2
6
πn
π
x = (– 1)n ᎏ
+ ᎏ , n Z.
18
3
4) Воспользуемся тождеством 1 = (sin2 x + cos2 x)2 т. е.
1
sin4 x + cos4 x + 2 sin2 x cos2 x = sin4 x + cos4 x + ᎏ
sin2 2x.
2
Тогда уравнение можно записать в виде sin 2x = 1,
π
откуда x = ᎏ
+ πn, n Z.
4
Задания для самостоятельной работы
Вычислить (1—8).
3
1. 4 1) sin 冢2 arcsin ᎏ
冣;
2)
5
2. 4 1) sin 冢π – 2 arcsin
3. 4 1)
2)
4. 4 1)
2)
5. 5 1)
6. 5 1)
12
ᎏ
13
冣;
13
冢
冢
冢
冢
冣;
冣.
冣;
冣.
冢
冢
冣
冣
7. 6 1) arcsin (sin 10);
8. 7 1) arcsin (cos 8);
31π
2) arcsin 冢sin ᎏ
冣.
2) arcsin 冢cos
5
5
9. 6 1) arcsin ᎏ
= 2 arccos ᎏ ;
13
3 兹3
苶+ 4
ᎏ
10
9
9π
ᎏ
14
冣.
2) arcsin (sin 11).
2) arcsin (cos 11).
Доказать равенство (9—10).
106
5
5
2) sin 冢π + 2 arcsin ᎏ
冣.
1
3
sin arcsin ᎏ
+ arcsin ᎏ
5
7
3
1
sin arcsin ᎏ – arcsin ᎏ
4
4
3
1
sin arcsin ᎏ + arccos ᎏ
3
5
2
4
sin arcsin ᎏ – arccos ᎏ
5
3
21π
;
arcsin sin ᎏ
8
9π
arcsin cos ᎏ
;
8
2) arcsin
4
sin 冢2 arcsin ᎏ
冣.
兹2
苶6
苶
4
π
.
– arccos ᎏ
=ᎏ
5
6
1
11
π
10. 8 1) 3 arcsin ᎏ
+ arccos ᎏ = ᎏ ;
4
16
2
4
5
16
π
2) arcsin ᎏ
+ arcsin ᎏ + arcsin ᎏ = ᎏ .
5
Решить
11. 3 1)
12. 4 1)
13. 5 1)
13
65
уравнение (11—15).
sin x = sin3 x;
8 sin3 x – 1 = 0;
1
sin x sin 2x cos x = ᎏ
;
8
2
2) sin 2x = 2 sin2 2x.
2) 27 sin3 x + 8 = 0.
1
2) sin 3x sin 6x cos 3x = ᎏ
.
4
14. 3 1) 2 cos 2x sin 3x + sin x = 2 sin 2x cos 3x;
2) 3 cos 3x sin 5x + 2 sin 2x = 3 sin 3x cos 5x.
15. 4 1) 16 sin4 x = 1;
2) 4 sin4 2x = 1.
§ 3.
Уравнение tg x = a
Примеры с решениями
1. Вычислить:
1) tg (arctg 2 + arctg 3);
1
2) tg 冢arctg 3 – arctg ᎏ
冣;
3) tg 冢2 arcsin
4) arctg 冢tg
2
ᎏ
3
2
冣;
5π
ᎏ
8
冣;
5) arctg (tg 23).
Р е ш е н и е. 1) Пусть arctg 2 = α, arctg 3 = β. Так как
tg α = 2, tg β = 3, то по формуле тангенса суммы
tg α + tg β
5
ᎏᎏ = ᎏ = – 1.
1 – tg α tg β
–5
1
arctg 3 = α, arctg ᎏ
= β, тогда
2
1
3 – ᎏᎏ
2
tg (α – β) = ᎏ
ᎏ = 1.
1
1 + 3 ⭈ ᎏᎏ
2
tg (α + β) =
2) Пусть
2
2
3) Пусть arcsin ᎏ
= α, тогда sin α = ᎏ , cos α =
3
3
兹1苶–苶苶 =
4
ᎏ
9
4
_
2 tg α
2
2
兹5
苶 , tg α = ᎏ
兹5
苶 = 4 5.
, tg 2 arcsin ᎏ
= tg 2α = ᎏ
= ᎏ
=ᎏ
兹苶
2
3
3
4
1
tg
α
–
兹5
苶
1 – ᎏᎏ
冢
冣
5π
4) Заменим tg ᎏ
π
между – ᎏ
и
2
–
π
ᎏ
2
<–
3π
ᎏ
8
π
ᎏ.
2
8
5
на тангенс угла, заключенного
3π
5π
3π
Так как tg ᎏ
= – tg ᎏ = tg 冢 – ᎏ 冣 , где
< 0, то arctg 冢tg
8
5π
ᎏ
8
8
冣 = arctg 冢tg 冢–
3π
ᎏ
8
冣冣
8
3π
.
=– ᎏ
8
107
π
5) Используя неравенство 0 < 22 – 7π < ᎏ
, получаем
2
arctg (tg 22) = arctg (tg (22 – 7π)) = 22 – 7π.
2. Доказать равенство:
1
7
π
5
2
π
1) 2 arctg ᎏ
+ arctg ᎏ = ᎏ ; 2) arcsin ᎏ + 2 arctg ᎏ = ᎏ .
4
23
4
13
Р е ш е н и е. 1) Пусть arctg
tg α =
1
ᎏ,
4
tg β =
7
ᎏ,
23
0 < 2α <
π
ᎏ,
2
1
ᎏ
4
0<
13
= α, arctg
π
ᎏ
4
–β<
π
ᎏ,
4
7
ᎏ
23
2
= β. Тогда
и для доказа-
π
тельства равенства 2α = ᎏ
– β достаточно установить, что
4
π
tg 2α = tg 冢 ᎏ
– β冣. Это равенство является верным, так как
tg 2α =
4
1
ᎏᎏ
2
ᎏ
ᎏ
1
1 – ᎏᎏ
16
=
8
ᎏ,
15
tg 冢
π
ᎏ
4
– β冣 =
7
1 – ᎏᎏ
23
ᎏ
ᎏ
7
1 + ᎏᎏ
23
16
8
.
=ᎏ
=ᎏ
30
15
5
π
5
2) Так как ᎏ
(§ 2, пример 2),
– arcsin ᎏ
= arccos ᎏ
2
13
13
то задача сводится к доказательству равенства 2α = β, где
2
5
π
π
α = arctg ᎏ
, β = arccos ᎏ
, 0 < 2α < ᎏ
, 0<β< ᎏ
. Отсюда сле3
13
2
2
дует, что равенство 2α = β является верным, если tg 2α =
= tg β. Учитывая, что tg α =
sin β =
–
=
兹苶1 苶苶
25
ᎏ
169
12
ᎏ,
13
2
ᎏ,
3
находим
4
ᎏᎏ
3
12
5
tg 2α = ᎏ = ᎏ
, cos β = ᎏ
,
5
13
4
1 – ᎏᎏ
9
12
tg β = ᎏ
, т. е. tg 2α = tg β.
5
3. Решите уравнение:
1) tg2 x = 3 tg x;
2) tg3 x + 8 = 0;
3) 16 tg4 x = 1.
Р е ш е н и е. 1) Из равенства tg2 x – 3 tg x = tg x (tg x – 3)
следует, что исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений tg x = 0 и tg x = 3. Находим корни
этих уравнений
x = πn, x = arctg 3 + πn, n Z.
2) Разложив левую часть уравнения на множители,
получаем
(tg x + 2) (tg2 x – 2 tg x + 4) = 0.
Исходное уравнение равносильно уравнению tg x = – 2, так
как уравнение
tg2 x – 2 tg x + 4 = 0
не имеет решений. Отсюда находим x = – arctg 2 + πn, n Z,
так как arctg (– 2) = – arctg 2.
108
3) Так как 16 tg4 x – 1 = (4 tg2 x – 1) (4 tg2 x + 1), то уравнение равносильно совокупности двух уравнений 2 tg x = 1
и 2 tg x = – 1, откуда находим две серии корней
1
1
x = arctg ᎏ
+ πn и x = – arctg ᎏ + πn, n Z,
2
2
которые можно объединить в одну серию
1
x = arctg ᎏ
+ πn, n Z.
2
Задания для самостоятельной работы
Вычислить (1—6).
1
1. 3 1) sin 冢arctg ᎏ
冣;
2. 4 1)
3. 4 1)
4. 4 1)
5. 3 1)
3
1
2
tg arctg ᎏ + arctg ᎏ
;
3
5
1
4
tg ᎏ
arccos – ᎏ
;
2
7
3
12
sin arctg ᎏ
– arctg ᎏ
5
4
11π
arctg tg ᎏ ;
7
冢
冢
12
2) cos 冢arctg ᎏ
冣.
5
冣
冢
5
冣冣
冢
冢
3
2) tg 冢arctg 2 – arctg ᎏ
冣.
2) tg 冢2 arcsin
冣;
冣
6. 5 1) arctg (tg 13);
3
ᎏ
5
冣.
2) cos (arctg 4 – arctg 2).
23π
2) arctg 冢tg ᎏ
冣.
2) arctg 冢ctg
9
1
ᎏ
7
冣.
Доказать равенство (7—9).
冢
冣
兹2
苶6
苶
1
6
2
3
兹苶 – 兹苶 .
tg 冢 ᎏ arccos ᎏ
=ᎏ
2
4
兹1
苶0
苶冣
12
119
5
;
7. 5 1) tg 2 arccos ᎏ
=– ᎏ
– arctg ᎏ
5
120
2)
4
1
π
8. 5 1) arcsin ᎏ
+ 2 arctg ᎏ = ᎏ ;
2)
9. 6 1)
2)
Решить
10. 3 1)
2)
11. 4 1)
2)
12. 4 1)
2)
5
3
2
1
1
2 arctg ᎏ + arctg ᎏ = arctg 3.
2
3
1
1
2
arctg ᎏ + arcgt ᎏ + arctg ᎏ
= arctg 5;
2
3
3
π
1
1
4 arctg ᎏ
.
– arctg ᎏ
=ᎏ
5
239
4
уравнение (10—12).
tg x = 16 tg3 x;
tg 2x = 3 tg3 2x.
8 tg3 x + 1 = 0;
27 tg3 x – 8 = 0.
9 tg4 x = 1;
16 tg4 2x = 1.
109
§ 4.
Тригонометрические уравнения,
сводящиеся к алгебраическим.
Однородные и линейные уравнения
Примеры с решениями
π
1. Решить уравнение sin 冢x + ᎏ
冣 sin 冢x – ᎏπ 冣 = sin x.
3
3
Р е ш е н и е. Левую часть уравнения можно преобразовать так:
1
ᎏ
2
1
2π
(1 + 2 cos 2x).
– cos 2x冣 = – ᎏ
冢cos ᎏ
3
4
Тогда уравнение примет вид 2 cos 2x + 4 sin x + 1 = 0.
Так как cos 2x = 1 – 2 sin2 x, то уравнение сводится к
квадратному относительно sin x, т. е. к уравнению
4 sin2 x – 4 sin x – 3 = 0,
3
1
π
откуда sin x = ᎏ
, sin x = – ᎏ
, x = (– 1)n+1 ᎏ
+ πn, n Z.
2
2
6
2. Решить уравнение
sin3 x – 2 sin2 x cos x – sin x cos2 x + 2 cos3 x = 0.
Р е ш е н и е. Уравнение является однородным относительно sin x и cos x. Если cos x = 0, то из уравнения следует, что sin x = 0, а sin2 x + cos2 x = 1. Поэтому, разделив
обе части уравнения на cos2 x, получим равносильное
уравнение tg3 x – 2 tg2 x – tg x + 2 = 0. Задача сводится к решению алгебраического уравнения t3 – 2t2 – t + 2 = 0, где
t = tg x. Разложим его левую часть на множители:
t3 – 2t2 – t + 2 = t3 – 2t2 – (t – 2) = (t – 2) (t2 – 1) = (t – 2) (t – 1) (t + 1).
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений tg x = 2, tg x = 1, tg x = – 1.
π
π
О т в е т. x = arctg 2 + πn, x = ᎏ
+ πn, x = – ᎏ
+ πn, n Z.
4
4
3. Решить уравнение
sin4 x + cos4 x = cos2 2x – 2 cos 2x.
Р е ш е н и е. Преобразуем левую часть уравнения, используя тождество
sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 – 2 sin2 x cos2 x
и формулу 2 sin x cos x = sin 2x. Тогда уравнение можно
1
записать в виде 1 – ᎏ
sin2 2x = cos2 2x – 2 cos 2x или cos2 2x –
2
– 4 cos 2x – 1 = 0, откуда cos 2x = 2 兹5
苶.
1
О т в е т. x = ᎏ arccos (2 – 兹5
苶) + πn, n Z.
2
110
4. Решить уравнение
sin x (1 – cos x)2 + cos x (1 – sin x)2 = 2.
Р е ш е н и е. Это уравнение преобразуем к виду
sin x + cos x – 4 sin x cos x + sin x cos x (sin x + cos x) = 2.
1 2
Пусть sin x + cos x = t, тогда sin x cos x = ᎏ
(t – 1). Полу2
чаем уравнение t – 2 (t2 – 1) + ᎏt (t2 – 1) = 2, откуда
2
t – 4t + t = 0, t (t2 – 4t + 1) = 0.
Это уравнение имеет корни t1 = 0, t2 = 2 – 兹苶
3 , t3 = 2 + 兹苶
3.
3
2
π
Корень t3 отбрасываем, так как sin x + cos x = 兹2
苶sin 冢x + ᎏ4 冣
и sin x + cos x 兹2
苶.
Если t = 0, т. е. sin x + cos x = 0, то tg x = – 1, откуда
π
x=– ᎏ
+ πn, n Z.
4
3 , т. е. cos x + sin x = 2 – 兹苶
3 , то получаем
Если t = 2 – 兹苶
2 – 兹3
2 – 兹3
π
1
苶
苶
ᎏ (cos x + sin x) = ᎏ , или sin x + ᎏ = ᎏ ,
4
2
兹2
苶
兹2
苶
兹苶
2 – 兹3
π
苶 + πn, n Z.
x=– ᎏ
+ (– 1)n arcsin ᎏ
4
兹2
苶
冢
冣
откуда
2 – 兹3
π
π
苶 + πn, n Z.
О т в е т. x = – ᎏ
+ πn, x = – ᎏ + (– 1)n arcsin ᎏ
4
兹2
苶
4
5. Решить уравнение
sin 4x
ᎏ
ᎏ
π
sin x – ᎏᎏ
4
冢
冣
= 兹2
苶 (sin x + cos x).
Р е ш е н и е. Так как sin 4x = 2 sin 2x cos 2x, cos 2x =
π
1
sin 冢 x – ᎏ
= ᎏ (sin x – cos x),
= (cos x – sin x) (cos x + sin x),
4 冣 兹2
苶
то
исходное
уравнение
равносильно
уравнению
при
– 2 sin 2x (sin x + cos x) = sin x + cos x
π
π
sin 冢x – ᎏ 冣 0, т. е. x ᎏ + πn, n Z.
4
условии,
что
4
Полученное уравнение равносильно совокупности
1
уравнений sin x + cos x = 0, sin 2x = – ᎏ
, откуда
2
x=–
π
ᎏ
4
+ πn, x = (– 1)n+1
π
ᎏ
12
πn
, n Z.
+ᎏ
2
Найденные значения x удовлетворяют указанному выше условию и являются корнями исходного уравнения.
6. Решить уравнение
9
sin2 2x – tg2 x = ᎏ
cos 2x.
2
Р е ш е н и е. Используя формулы sin2 2x = 1 – cos2 2x,
1 – cos 2x
tg2 x = ᎏᎏ
и обозначив cos 2x = t, получаем уравнение
1 + cos 2x
111
9
1–t
t, откуда 2t3 + 11t2 + 5t = 0, t (2t2 + 11t + 5) = 0,
1 – t2 – ᎏ
=ᎏ
t+1
2
при условии, что t – 1 (cos x 0).
1
, t3 = – 5,
Это уравнение имеет корни t1 = 0, t2 = – ᎏ
2
а исходное уравнение равносильно совокупности уравне1
ний cos 2x = 0, cos 2x = – ᎏ
.
2
О т в е т. x =
π
ᎏ
4
+
πn
ᎏ,
2
π
x= ᎏ
+ πn, n Z.
3
7. Решить уравнение
2 ctg 2x – ctg x = sin 2x + 3 sin x.
Р е ш е н и е. Левая часть уравнения определена, если
sin 2x 0, sin x 0, т. е. sin 2x 0. При выполнении этого
условия исходное уравнение равносильно каждому из
уравнений
cos 2x
ᎏᎏ
sin x cos x
cos 2x – cos2 x
ᎏᎏ
sin x cos x
cos x
–ᎏ
= sin x (2 cos x + 3),
sin x
= sin x (2 cos x + 3), –
cos x (2 cos x + 3) = – 1,
sin2 x
ᎏᎏ
sin x cos x
= sin x (2 cos x + 3),
2 cos2 x + 3 cos x + 1 = 0,
1
откуда cos x = – 1 (и тогда sin x = 0), cos x = – ᎏ
.
2
О т в е т. x = 2π
ᎏ
3
+ 2πn, n Z.
Задания для самостоятельной работы
Решить уравнение (1—16).
1. 4 1) 2 cos x + cos 2x = 2 sin x;
2) sin 2x + 2 sin x – 3 cos x = 3.
π
2. 4 1) 2 sin2 x + 2 sin 冢x + ᎏ
冣 = sin x – 1;
3
2) 2 cos 冢x –
π
ᎏ
4
冣 = (兹2苶 – 2 sin x) sin x.
3. 4 1) 10 cos2 x – 16 sin x = cos 2x + 15;
2) 5 sin x +
4. 4 1)
2)
5. 4 1)
2)
3
ᎏᎏ
1 + tg2 x
= cos 2x – 3 sin2 x.
cos2 x – 2 cos x = 4 sin x – sin 2x;
sin 2x – sin2 x = 2 sin x – 4 cos x.
ctg x (1 + cos x) = sin 2x;
tg x (1 – sin x) = sin 2x.
6. 4 1) 3 (cos x – sin x) = 1 + cos 2x – sin 2x;
2) 2 cos 2x + 2 cos x sin2 x = cos x.
112
7. 4 1) sin4 x + cos4 x = 2 cos 2x;
2) sin4 x + cos4 x = 3 cos 2x.
16
8. 5 1) 11 ctg x – 5 tg x = ᎏ
;
sin x
2) cos 2x = 2 tg2 x – cos2 x.
9. 5 1)
2)
10. 5 1)
2)
11. 5 1)
2)
12. 5 1)
1
ᎏ
sin x
冢
冣
冢
冣
5π
1
ᎏ
ᎏ = 4 sin x + ᎏ ;
4
3π
sin x – ᎏᎏ
2
1
7π
1
ᎏ+ᎏ
ᎏ = 4 cos ᎏ – x .
cos x
4
3π
cos x – ᎏᎏ
2
3π
π
sin x – ᎏ
– cos x + ᎏ
= 1;
4
4
π
5π
sin 4x + ᎏ
+ cos 4x + ᎏ
= 兹2
苶.
4
4
5
ᎏ = 5 tg x + 4 cos x;
cos x
2
3 sin x = 2 ctg x + ᎏ
.
sin x
1
2
1
2 tg x + ᎏ
;
2) 2 ctg x – ᎏ
=ᎏ
sin x
sin 2x
cos x
+
冢
冢
冢
冣
冢
冣
冣
冢
冣
冣
冢
13. 5 1) tg x sin x = cos x + tg x;
冣
2
.
=ᎏ
sin 2x
1
2) ctg x 冢ctg x + ᎏ
冣 = 1.
sin x
14. 5 1) sin 2x – cos 2x = tg x;
2) sin 2x + cos 2x = 1 + 2 tg x.
15. 5 1)
2)
16. 5 1)
2)
8 (ctg x – tg x)
ᎏᎏ
ctg x + tg x
6 兹苶
3
ᎏᎏ
tg x + ctg x
= 2 cos 4x + 5;
= 4 – cos 4x.
ctg2 x
1
sin2 2x
ᎏᎏ
ᎏ;
=ᎏ
–
2
2
3
1 + ctg x
tg2 x
7
5
cos2 2x – ᎏ
.
ᎏᎏ
=ᎏ
4
10
1 + tg2 x
Решить уравнение, удовлетворяющее неравенству (17—18).
17. 6 1) cos 2x = 2 tg2 x – cos2 x, sin x cos x;
2) 2 tg2 x cos 2x = sin2 x – 2, cos x sin x.
18. 6 1) 4 sin4 x + sin2 2x = 2 tg2 x, sin x 2 cos x;
2)
Решить
19. 6 1)
2)
20. 8 1)
5
Шабунин
5
ᎏ
2
tg2 x + cos2 2x = 4 cos4 x, cos x 2 sin x.
уравнение (19—20).
2 + cos 4x = 5 cos 2x + 8 sin6 x;
4 + cos 2x + 3 cos 4x = 8 cos6 x.
sin x + sin2 x + cos3 x = 0; 2) cos x – cos2 x – sin3 x = 0.
113
§ 5.
Методы замены неизвестного
и разложения на множители.
Метод оценки левой и правой
частей тригонометрического уравнения
Примеры с решениями
1. Решить уравнение cos3 x + sin3 x = cos 2x.
Р е ш е н и е. Преобразовав левую часть уравнения
cos3 x + sin3 x = (cos x + sin x) (cos2 x – cos x sin x + sin2 x) =
= (cos x + sin x) (1 – cos x sin x), воспользуемся формулой
cos 2x = (cos x + sin x) (cos x – sin x). Тогда исходное уравнение можно записать в виде
(cos x + sin x) (1 – cos x sin x – (cos x – sin x)) = 0.
Полученное уравнение равносильно совокупности двух
уравнений
cos x + sin x = 0,
1 – (cos x – sin x) – cos x sin x = 0.
π
Первое уравнение имеет решения x = – ᎏ
+ πn, n Z.
4
Второе заменой cos x – sin x = t сводится к уравнению
2
1–t
1–t– ᎏ
= 0, или t2 – 2t + 1 = 0, откуда t = 1, т. е. cos x –
2
– sin x = 1. Последнее уравнение равносильно уравнению
π
π
π
1
cos 冢x + ᎏ
, откуда x + ᎏ
= ᎏ + 2πn.
冣= ᎏ
4
4
兹2
苶
О т в е т. x = –
π
ᎏ
4
4
π
+ πn, x = 2πn, x = – ᎏ
+ 2πn, n Z.
2
2. Решить уравнение
sin2 2x + sin2 4x = sin2 6x.
Р е ш е н и е. Уравнение равносильно каждому из следующих уравнений:
1 – cos 4x
ᎏᎏ
2
+
1 – cos 8x
ᎏᎏ
2
= sin2 6x,
cos 4x + cos 8x
ᎏᎏ
2
= cos2 6x,
cos 6x (cos 2x – cos 6x) = 0, cos 6x cos 2x sin 4x = 0,
cos2 2x cos 6x sin 2x = 0.
Так как все корни уравнения cos 2x = 0 являются
корнями уравнения cos 6x = 0, то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений cos 6x = 0, sin 2x = 0.
πn
π
πn
О т в е т. x = ᎏ
+ ᎏ , x = ᎏ , n Z.
12
114
6
2
3. Решить уравнение
cos 3x
ᎏ
cos x
(1 – sin2 x cos 2x – 2 sin2 x) = 1.
Р е ш е н и е. Так как 1 – 2 sin2 x = cos 2x и cos x 0, то
уравнение равносильно каждому из уравнений
cos 3x
ᎏ
cos x
(cos 2x – sin2 x cos 2x) = 1,
cos 3x cos 2x cos2 x
ᎏᎏᎏ
cos x
= 1,
cos x cos 2x cos 3x = 1.
Полученное уравнение может иметь решение только
в том случае, когда cos x = cos 2x = cos 3x = 1.
а) Если cos x = 1, то x = 2πn, n Z, и тогда cos 2x =
= cos 3x = 1.
б) Если cos x = – 1, то x = π + 2πn, n Z, и тогда cos 2x = 1,
cos 3x = – 1.
Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению cos x = 1, или cos2 x = 1, или sin x = 0.
О т в е т. x = πn, n Z.
4. Решить уравнение
sin2 7x
ᎏ
sin2 x
cos2 7x
cos x
.
= 16 cos 4x (1 + 2 cos 4x) + ᎏ
2
Р е ш е н и е. Выполним следующие преобразования:
sin2 7x
ᎏ
sin2 x
cos2 7x
cos x
–ᎏ
=
2
=
(sin 7x cos x + cos 7x sin x) (sin 7x cos x – cos 7x sin x)
ᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏ
sin2 x cos2 x
4 sin 8x sin 6x
ᎏᎏ
sin2 2x
=
=
16 cos 4x sin 2x cos 2x sin 6x
ᎏᎏᎏᎏ
.
sin2 2x
1
1
cos 2x sin 6x = ᎏ
(sin 8x + sin 4x) = ᎏ
(2 sin 4x cos 4x + sin 4x) =
2
2
= sin 2x cos 2x (1 + 2 cos 4x).
Тогда исходное уравнение равносильно уравнению
cos 4x (1 + 2 cos 4x) cos 2x = cos 4x (1 + 2 cos 4x)
при условии sin 2x 0, а последнее уравнение равносильно
(при этом же условии) совокупности уравнений cos 4x = 0,
1
cos 4x = – ᎏ
, cos 2x = 1.
2
π
πn
Из первого уравнения находим x = ᎏ
, n Z, из
+ᎏ
8
4
πn
π
второго x = ᎏ + ᎏ , n Z, а корни третьего уравнения не
6
2
удовлетворяют условию sin 2x 0 (если cos 2x = 1, то
sin 2x = 0).
π
πn
π
πn
О т в е т. x = ᎏ
+ ᎏ , x = ᎏ + ᎏ , n Z.
8
4
6
2
115
5. Решить уравнение
苶si
苶n
苶苶x
苶 = sin x + cos x.
ᎏ苶
–3
2
兹苶苶
7
2
Р е ш е н и е. Исходное уравнение равносильно системе
冦
7
ᎏᎏ – 3 sin2 x = (sin x + cos x)2,
2
sin x + cos x 0.
Уравнение этой системы сводится к однородному
5
cos2 x = 0, откуда tg2 x + 4 tg x – 5 = 0,
sin2 x + 2 sin x cos x – ᎏ
2
π
tg x = 1, tg x = – 5. Если tg x = 1, то x = ᎏ
+ πk, k Z, а если
4
tg x = – 5, то x = – arctg 5 + πk, k Z.
Неравенству системы первая серия корней (корни
уравнения tg x = 1) удовлетворяет при четных k (т. е. при
k = 2n), а вторая — при нечетных k (т. е. при k = 2n + 1).
1
ᎏ
2
π
О т в е т. x = ᎏ
+ 2πn, x = π – arctg 5 + 2πn, n Z.
4
6. Решить уравнение
x
2 + 兹3
苶 sin 2x – cos 2x = 4 sin2 ᎏ .
2
Р е ш е н и е. а) Пусть cos 2x 0, тогда уравнение можно последовательно преобразовать так:
3 sin 2x – cos 2x = 2 – 2 cos x,
2 + 兹苶
π
cos 冢2x + ᎏ
冣 – cos x = 0, 2 sin 冢
3
1
3
兹苶
sin 2x – ᎏ
cos 2x = – cos x,
ᎏ
2
2
3x
π
x
π
ᎏ + ᎏ sin ᎏ + ᎏ = 0,
2
6
2
6
冣
冢
冣
откуда находим две серии корней:
π
π
2
x=– ᎏ
+ ᎏ πn, x = – ᎏ + 2πn, n Z.
9
3
3
Корни первой серии не удовлетворяют условию
cos 2x 0 при n = 3k + 1, k Z, и удовлетворяют этому условию при n = 3k и n = 3k + 2, k Z. Для корней второй
серии условие cos 2x 0 не выполняется.
б) Пусть cos 2x < 0, тогда уравнение можно записать
π
3x
π
x
π
cos 冢 ᎏ
в виде cos 冢2x – ᎏ
+ cos x = 0, 2 cos 冢 ᎏ
–ᎏ
–ᎏ
= 0,
3冣
2
6冣
2
6冣
4π
4π
2
откуда x = ᎏ
πn, x = ᎏ
+ᎏ
+ 2πn, n Z.
9
3
3
Корни первой из этих двух серий удовлетворяют условию cos 2x < 0 только при n = 3k, а корни второй серии
не удовлетворяют этому условию.
π
О т в е т. x = – ᎏ
+ 2πk, x =
9
4π
x= ᎏ
+ 2πk, k Z.
3
116
11π
ᎏ
9
4π
+ 2πk, x = ᎏ
+ 2πk,
9
7. Решить уравнение
(3 sin x + 4 cos x) (20 + 12 sin x + 5 cos 2x) = 143.
Р е ш е н и е. Пусть f (x) = 3 sin x + 4 cos x,
+ 12 sin x + 5 cos 2x. Тогда
g (x) = 20 +
3
4
sin x + ᎏ
cos x冣 = 5 cos (x – ϕ),
f (x) = 5 冢 ᎏ
5
5
3
где ϕ = arcsin ᎏ
.
5
Функция f (x) принимает наибольшее значение, равное 5, тогда и только тогда, когда x – ϕ = 2πn, n Z, т. е.
3
4
при x = ϕ + 2πn, n Z, где sin ϕ = ᎏ
, cos ϕ = ᎏ
.
5
5
Преобразуем g (x), выделив полный квадрат:
g (x) = 5 (1 – 2 sin2 x) + 12 sin x + 20 =
sin x + ᎏ 冣 + 25 + ᎏ =
= – 10 冢sin2 x – ᎏ
5
25
5
6
9
18
3
143
.
=ᎏ
– 10 冢sin x – ᎏ
5
5冣
2
Отсюда следует, что функция g (x) принимает наи143
большее значение, равное ᎏ
, тогда и только тогда,
5
3
когда sin x = ᎏ . Поэтому левая и правая части уравне5
ния совпадают в том и только в том случае, когда x =
3
= arcsin ᎏ + 2πn, n Z.
5
3
О т в е т. x = arcsin ᎏ
+ 2πn, n Z.
5
Задания для самостоятельной работы
Решить уравнение (1—15).
1. 4 1) sin 2x cos 4x = sin 6x cos 8x;
2) cos 7x cos 13x = cos x cos 19x.
2. 4 1) cos2 x + cos2 2x = cos2 3x;
3
2) sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = ᎏ
.
2
3. 5 1) 2 sin 3x + 2 sin 2x + sin x = 0;
2) sin 3x + sin3 x = sin 2x.
π
4. 5 1) sin3 冢x + ᎏ
冣 = 兹苶2 sin x;
4
3
2) cos x = cos2 ᎏ
x.
4
117
5. 5 1)
2)
6. 6 1)
2)
cos 5x
ᎏ
cos x
cos 5x
ᎏ
cos x
cos x
ᎏ
cos 3x
sin x
ᎏ
sin 3x
(2 cos2 x – sin2 x cos 2x – 1) = 1;
(1 – 2sin2 x – sin2 x cos 2x) = 1.
cos 5x
–ᎏ
= 8 sin x sin 3x;
cos x
sin 5x
+ᎏ
= 8 cos x cos 3x.
sin x
兹苶苶+ 苶c苶o苶s 苶2苶x + ctg x = 0;
2) 苶苶
兹 – 苶c苶o苶s 苶2苶x + tg x = 0.
7. 6 1)
13
ᎏ
3
5
ᎏ
3
8. 6 1) 兹5
苶+
苶c苶o苶s苶2
苶x
苶 = sin x + 3 cos x;
2) 兹1
苶7
苶+
苶7
苶si
苶n
苶2
苶x
苶 = 3 sin x + 5 cos x.
9. 7 1)
2)
10. 7 1)
2)
sin2 5x
ᎏ
sin2 x
sin2 3x
ᎏ
sin2 x
cos2 5x
cos x
cos2 2x
.
ᎏ
cos2 x
;
= 24 cos 2x + ᎏ
2
= 8 cos 4x +
tg 2x ctg 3x
ᎏᎏ
tg 2x + ctg 3x
=
ctg 2x ctg 3x
ᎏᎏ
ctg 3x – ctg 2x
ctg 4x tg 3x
ᎏᎏ ;
ctg 4x + tg 3x
=
tg x tg 2x
ᎏ
ᎏ
tg x – tg 2x
.
tg 苶苶
x苶
+苶
冢 苶苶
冣 = cos 冢2x +
兹苶c苶
x苶冣 = cos 冢2x +
2) cos 3x 苶
–苶
冢 苶苶
兹ct苶g 苶苶
11. 7 1) sin 3x
12. 7 1)
2)
13. 8 1)
2)
sin x
ᎏᎏ
cos 6x cos 7x
sin x
ᎏᎏ
cos 4x cos 5x
+
+
冣 – cos 冢4x – ᎏ4π 冣;
π
ᎏ
4
π
ᎏ
4
3π
ᎏ
4
3π
ᎏ
4
sin x
ᎏᎏ
cos 7 x cos 8x
sin x
ᎏᎏ
cos 5x cos 6x
cos 3x cos 5x + sin 5x sin 3x ᎏᎏᎏᎏ
sin 2x
cos 3x sin 5x + cos 5x sin 3x ᎏᎏᎏᎏ
cos 2x
冣 – cos 冢4x + ᎏ4π 冣.
= sin 8x – tg 6x;
= sin 6x – tg 4x.
= 2 cos 2x;
= 2 sin 2x.
14. 8 1) (5 sin x + 12 cos x) (100 + 48 cos x – 13 cos 2x) = 1757;
2) (8 sin x + 15 cos x) (53 + 32 sin x + 17 cos 2x) = 1318.
1
15. 8 1) cos2 3x + ᎏ
cos2 x = cos 3x cos4 x;
4
2) sin2 4x + cos2 x = 2 sin 4x cos4 x.
118
§ 6.
Системы тригонометрических
уравнений
Примеры с решениями
1. Решить систему уравнений
冦 2 cos x sin y == –1.
2 sin x cos y
1,
Р е ш е н и е. Складывая и вычитая почленно уравнения системы, получим систему, равносильную исходной:
sin x cos y + sin y cos x = 0, sin (x + y) = 0,
sin y cos x – sin x cos y = 1;
sin (y – x) = 1, откуда
冦
冦
冦y–x=
x + y = πn,
π
ᎏ + 2πk.
2
Из полученной линейной системы легко находим решения исходной системы.
О т в е т.
πn
π
;
– πk – ᎏ
冢ᎏ
2
4
πn
ᎏ
2
π
, n Z, k Z.
+ πk + ᎏ
4冣
2. Решить систему уравнений
cos x cos (x + y) = 2 sin y,
cos x = sin y cos (x + y).
冦
Р е ш е н и е. Разделив почленно первое уравнение на
второе, получим
cos (x + y) =
2
ᎏᎏ ,
cos (x + y)
откуда cos 2 (x + y) = 2.
Последнее уравнение решений не имеет. Однако было бы преждевременно утверждать, что и исходная система не имеет решений. Почленное деление законно
только для тех значений переменных, для которых делители cos x и sin y cos (x + y) не равны 0. Правильный
вывод из проведенного преобразования должен быть таким: если cos x 0 и sin y cos (x + y) 0, то система решений не имеет. Следовательно, множество пар (x; y), для
которых cos x = 0 или sin y cos (x + y) = 0, еще не исследовано. Среди таких пар могут быть решения системы.
Если cos x = 0, то из первого уравнения следует, что
и sin y = 0. Второе уравнение при этих условиях также
удовлетворяется. Поэтому все решения системы
cos x = 0,
π
т. е. все пары 冢 ᎏ
+ πn; πk冣, являются решения2
sin y = 0,
ми исходной системы.
冦
119
Если sin y = 0, то из второго уравнения получаем, что
cos x = 0, но такие значения переменных уже рассмотрены. Наконец, если cos (x + y) = 0, то из второго уравнения
следует, что cos x = 0, а тогда из первого уравнения получаем sin y = 0, т. е. новых решений и в этом случае нет.
О т в е т.
冢 ᎏ2π + πn;
πk冣, n Z, k Z.
3. Решить систему уравнений
12 sin 2x – 8 sin 2y = 3,
sin y – sin x + cos x – cos y = 1.
Р е ш е н и е. Введем новые переменные u = cos x – sin x,
v = sin y – cos y. Тогда sin 2x = 1 – u2, sin 2y = 1 – v2 и систе12 (1 – u2) – 8 (1 – v2) = 3,
ма сводится к алгебраической
u + v = 1.
12u2 – 8v2 = 1,
После упрощения получаем
u + v = 1.
Исключая v из этой системы, приходим к квадратно9
и
му уравнению 4u2 + 16u – 9 = 0, корни которого u = – ᎏ
2
1
9
u = ᎏ . Корень u = – ᎏ отбрасываем, так как u = cos x –
2
2
1
– sin x – 兹2
苶. Для корня u = ᎏ2 находим соответствующее
1
значение v = ᎏ
.
冦
冦
冦
2
Таким образом, исходная система равносильна следующей системе уравнений (каждое уравнение содержит
только одну переменную):
冦
冦
π
兹2
苶,
sin 冢x – ᎏ
冣 =– ᎏ
1
cos x – sin x = ᎏ
,
sin y – cos y =
2
1
ᎏ;
2
sin 冢y –
О т в е т можно записать так:
冢 ᎏ4π + (– 1)
n+1
兹2
苶 + πn;
arcsin ᎏ
4
π
ᎏ
4
4
π
ᎏ
4
4
冣
兹2
苶.
=ᎏ
4
兹苶 + πk ,
+ (– 1)k arcsin ᎏ
冣
4
2
n Z, k Z.
4. Решить систему уравнений
2 tg4 y – cos 2x = 4,
冦
sin x +
1
ᎏ
cos2 y
= 3.
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой cos 2x = 1 – 2 sin2 x
и запишем первое уравнение в виде 2 tg4 y – (1 – 2 sin2 x) = 4.
Найдем sin x из второго уравнения и подставим в преоб-
冢
冢
разованное первое: 2 tg4 y – 1 – 2 3 –
120
1
ᎏ
cos2 y
冣 冣 = 4.
2
Так как
1
ᎏ
cos2 y
= tg2 y + 1,
то, положив t = tg2 y, получим квадратное уравнение
2t2 – 1 – 2 (2 – t)2 = 4, 4t2 – 8t + 3 = 0,
3
1
откуда t = ᎏ
, t= ᎏ
.
2
2
Пусть t =
3
ᎏ,
2
тогда
tg y = 兹
3
苶
ᎏ , y = arctg
2
兹
3
苶
ᎏ + πn.
2
Из второго уравнения системы находим
sin x = 3 –
1
откуда sin x = ᎏ
, т. е.
1
ᎏ
cos2 y
3
1
,
= 2 – tg2 y = 2 – ᎏ
=ᎏ
2
2
2
x = (– 1)k
π
ᎏ
6
+ πk.
1
1
Если t = ᎏ
, то tg y = ᎏ
, а sin x = 3 –
2
兹2
苶
1
ᎏ
cos2 y
3
,
= 2 – tg2 y = ᎏ
2
т. е. в этом случае решений нет.
π
О т в е т. 冢(– 1)k ᎏ
+ πk; arctg
6
兹
3
苶
ᎏ + πn , k Z, n Z.
2
冣
5. Решить систему уравнений
冦
π
cos2 2 冢y – ᎏ
冣 = 2 sin 3x,
4
兹si
苶n
苶2
苶y苶–
苶1
苶 ⭈ sin y = 0.
Р е ш е н и е. Левая часть второго уравнения имеет
смысл тогда и только тогда, когда sin 2y – 1 0. Если
sin y = 0, то это условие не выполнено. Поэтому второе
уравнение системы равносильно уравнению sin 2y – 1 = 0,
π
откуда y = ᎏ
+ πn. Подставляя эти значения y в первое
4
уравнение системы, находим 2 sin 3x = cos2 2πn , 2 sin 3x = 1,
откуда
π
1
π
πk
sin 3x = ᎏ
, 3x = (– 1)k ᎏ
+ πk, x = (– 1) ᎏ + ᎏ .
6
2
π
πk
О т в е т. 冢(– 1)k ᎏ
+ ᎏ;
18
3
π
ᎏ
4
18
3
+ πn冣, k Z, n Z.
6. Решить систему уравнений
冦 兹21苶sin+苶si苶x n苶ctgx苶si苶y n苶=y苶–=1.cos x,
121
Р е ш е н и е. Возведем обе части первого уравнения в
квадрат и преобразуем его:
1 + sin x sin y = cos2 x, sin2 x + sin x sin y = 0,
sin x (sin x + sin y) = 0.
Таким образом, получаем, что либо sin x = 0, либо
sin x = – sin y. Из второго уравнения системы видно, что
sin x 0. Если sin x = – sin y, то из второго уравнения си1
стемы находим cos y = ᎏ
.
2
Заметим, что все функции, входящие в систему, имеют период 2π. Поэтому для отыскания всех ее решений
достаточно найти решения (x; y), такие, что x и y принадлежат промежутку [– π; π). Учитывая это замеча1
π
π
. Из
, y2 = ᎏ
ние, из уравнения cos y = ᎏ
находим y1 = – ᎏ
2
3
3
уравнения sin x = – sin y находим значения x:
π
2π
兹3
苶 , x = ᎏ
;
, x1 = ᎏ
sin x1 = ᎏ
1
2
3
3
2π
π
兹3
苶 , x = – ᎏ
.
, x2 = – ᎏ
sin x2 = – ᎏ
2
2
3
Таким образом, получаем 4 решения
2π
π
; ᎏ
.
冢– ᎏ3π ; ᎏ3π 冣, 冢– ᎏ
3
3冣
冢
3
π
ᎏ;
3
π
,
–ᎏ
3冣
2π
π
; –ᎏ
,
冢ᎏ
3
3冣
Поскольку в процессе решения обе части первого
уравнения возводили в квадрат, могли появиться посторонние решения. Необходима проверка. Ясно, что вторая
и четвертая пары чисел не удовлетворяют первому уравнению системы, так как его правая часть не должна быть
отрицательной. При подстановке первой и третьей пар чисел в уравнения исходной системы получаются верные
числовые равенства. Учитывая периодичность с периодом
2π синуса, косинуса и котангенса, получаем ответ:
冢 ᎏ3π + 2πn;
–ᎏ
+ 2πk冣, 冢– ᎏ
+ 2πn;
3
3
π
π
π
ᎏ
3
+ 2πk冣, n Z, k Z.
Задания для самостоятельной работы
Решить систему уравнений (1—8).
tg x + tg y = 1 – tg x tg y,
1. 6 1)
2 sin x;
sin 2y = 1 + 兹苶
冦
tg y – tg x = 1 + tg x tg y,
2) 冦
cos 2y + 兹3
苶 cos 2x = – 1.
122
2. 6 1)
2)
冦
冦
5. 8
tg 冢x + ᎏᎏ冣 + cos y = tg2 y;
π
8
cos (2x + y) + cos (2x – y) = 兹3
苶 cos y,
1
ᎏᎏ ctg
3
兹苶
冢x + ᎏ1ᎏ2 冣 + cos y = tg
π
2
y.
冦 cos (2x–– y) ++ 2 cos y = 0;
sin (2x + y) = 2 sin y,
2) 冦
sin (2y + x) = 3 sin x.
3 sin (x – 2y) + 2 sin y cos (x – y) = 0,
1) 冦
cos (x – y) = 3 cos (x + y);
sin (x – y) = 2 cos x sin y,
2) 冦
cos (2x + y) + cos x cos (x + y) = 0.
2 sin x cos y = 2 ctg x + ctg y,
1) 冦
2 sin y cos x = ctg x + 2 ctg y;
cos (x 2y)
3. 7 1)
4. 7
sin (2x + y) + sin (2x – y) = 兹2
苶 cos y,
2)
冦
6. 6 1)
冦
3 cos x = 0,
1
2
sin2 x + sin2 y = ᎏᎏ ,
3
4
cos (x + y) sin2 (x – y) + cos (x – y) sin2 (x + y) = ᎏᎏ .
cos x – sin x = 1 + cos y – sin y,
3
4
3 sin 2x – 2 sin 2y = ᎏᎏ ;
+
= +
+
冦 2 sin 2x
sin
2y
1.
+
=
sin x + cos y sin x = cos 2y,
1) 冦
cos 2x + sin 2y = sin y + 3 sin x cos y;
2 sin y + sin 2y = cos (x + y),
2) 冦
cos x + 2 sin 2y + sin y = cos (x – y).
cos 3x = cos y,
1) 冦
2 cos (9x + 3y) + 9 sin (15x – 2y) = 4;
cos x = cos 5y,
2) 冦
6 cos (2x + 10y) + 20 sin (6x – 20y) = 9.
2)
sin x
cos x
2
sin y
cos y,
2
7. 8
2
2
2
8. 8
2
123
Контрольная работа
1. Вычислить:
3
1) cos 冢2 arccos ᎏ
冣
5
12
;
冤sin 冢2 arcsin ᎏ
13 冣冥
1
2) tg 冢arctg 3 – arctg ᎏ
冣
3
冤tg 冢arctg ᎏ12 + arctg 2冣冥.
2. Решить уравнение:
1) sin x – 16 sin5 x = 0 [8 cos4 x + cos x = 0];
2) sin3 x + 3 sin2 x cos x – sin x cos2 x – 3 cos3 x = 0
[6 cos3 x + 3 cos2 x sin x – 2 cos x sin2 x – sin3 x = 0].
3. Вычислить:
5π
1) arcsin 冢cos ᎏ
冣
6
2) arctg (tg 16)
4π
;
冤arccos 冢sin ᎏ
5 冣冥
[arctg (tg 10)].
4. Решить уравнение
sin2 (sin x + 3 cos x) + cos2 x (cos x + 3 sin x) +
+ 2 sin x (1 – 3 cos x) + 2 cos x (1 – 3 sin x) = 3
冤3 cos
3
2x + 11 sin2 2x –
4 (1 – tg2 x)
ᎏᎏ
= 11
1 + tg2 x
冥.
Ответы
Глава II
§ 2. 1. 1) Таких чисел нет; 2) таких чисел нет. 3. 1) – 2;
– 1; 0; 1; 2; 2) – 3; 3. 4. 1) 4; 2) 6. 6. 1) x = 1, y = 0; 2) x = 2,
y = 0.
§ 3. 3. 1) Нет; 2) нет. 4. 1) Да; 2) да. 5. 1) Да; 2) да.
§ 4. 2. 1) 14; 2) 4. 3. 1) 13; 2) 7.
§ 5. 1. 1) x = 2 – 3t, y = – 1 – 5t, t Z; 2) x = 4 – 5t, y = – 1 – 4t,
t Z. 2. 1) Нет решений; 2) нет решений. 3. 1) (2; 2), (2; – 2),
(– 2; 2), (– 2; – 2); 2) (2; 3), (2; – 3), (– 2; 3), (– 2; – 3). 4. 1) (3; – 1);
2) (– 1; 3). 5. 1) (2; 0), (– 2; 0), (2; 2), (– 2; – 2); 2) (0; 2), (0; – 2),
(2; 2), (– 2; 2). 6. 1) (2; 0), (2; 2); 2) (– 3; 1), (– 5; 1).
Глава III
§ 1. 1. 1) x + 7; 2) x – 9; 3) 2x – 1; 4) 3x – 2. 2. 1) x2 – x + 1;
2) x + x – 2; 3) 2x2 – 3x – 1; 4) 2x2 + 2x – 3. 3. 1) 3x3 – 6x + 7,
x – 1; 2) 2x3 + 5x – 7, – x + 2; 3) 4x4 + 3x2 – x, x2 – x; 4) 3x4 – 4x2 + x,
x2 – 1. 4. 1) a = – 5; 2) a = – 2; 3) a = – 26; 4) a = 12; 5) a = 9;
6) a = 14. 5. 1) a = – 5, b = 1, c = 1; 2) a = 3, b = – 2, c = – 8; 3) a = – 1,
b = 2, c = 3; 4) a = – 3, b = 2, c = – 7. 6. 1) 2x – 1; 2) 3x + 1; 3) – x + 2;
4) – x + 3. 7. 1) n1 = 1, n2 = 3, n3 = 5; 2) n1 = 2, n2 = 4, n3 = 8.
§ 2. 1. 1) – 6; 2) – 3; 3) 5; 4) 4. 2. 1) 5x2 – 3x – 1; 3; 2) 6x2 –
– 5x – 2; 4; 3) 2x3 – x2 + 3x – 1; – 7; 4) 3x3 – x2 – 2x + 1; – 6.
3
2
2
1
§ 3. 1. 1) x1 = – ᎏ , x2 = – ᎏ ; 2) x1 = ᎏ , x2 = ᎏ . 2. 1) x1 = 0,
2
2
3
3
5
1
1
2
3
1
1
x2 = – ᎏ , x3 = ᎏ . 4. 1) Делится; 2) делится. 5. 1) Не делится; 2) не
2
3
1
25
делится. 6. 1) 1; 2) – 20. 7. 1) 131; 2) 31. 8. 1) 2 ᎏ ; 2) 6 ᎏ .
16
81
x2 = 2, x3 = – ᎏ ; 2) x1 = 0, x2 = – 3, x3 = – ᎏ . 3. 1) x = – 2; 2) x1 = 3,
9. 1) n = – 8; 2) n = 4. 10. 1) n = 2; 2) n = 3. 11. 1) a = 1, b = 3,
c = – 4; 2) a = 2, b = 9, c = 9.
1
1
§ 4. 4. 1) x1 = – ᎏ , x2 = 1, x3,4 = 兹2
苶; 2) x1 = – ᎏ , x2 = – 1,
2
1
2
3
1
3
3 . 5. 1) x2 = ᎏ , x3,4 = 2, x5 = 1; 2) x2 = – ᎏ , x3,4 = 1, x5 = 3.
x3,4 = 兹苶
3
1
6. 1) 3; 2) – 1. 7. 1) 4; 2) 6. 8. 1) – 16; 2) 0. 9. 1) ᎏ x2 + 2x + ᎏ ;
4
4
2) x2 + x – 1. 10. 1) 2x2 + 5x + 1; 2) 11x2 – 14x + 2. 11. 1) 3x + 6;
1
8
2) – 2x2 + 5x + 3. 12. 1) – x2 + 2x + 8; 2) ᎏ x2 + 2x + ᎏ . 13. 1) 11x –
3
3
– 17; 2) 2x + 2. 14. 1) x3 – 3x; 2) 0,5x3 – 6x.
§ 5. 1. 1) x1 = – 1, x2 = 2, x3 = 5; 2) x1 = – 1, x2 = 2, x3 = – 5.
2. 1) x1 = 1, x2 = 2, x3 = – 3; 2) x1 = 3, x2 = – 2, x3 = – 1.
3. 1) x1 = 1, x2,3 = 1 兹3
苶; 2) x1 = – 1, x2,3 = 1 兹3
苶.
4. 1) x1 = 2, x2 = – 2, x3,4 = 1 兹2
苶; 2) x1 = 1, x2 = – 2, x3 = 兹3
苶.
125
7 兹7
– 3 兹3
– 7 兹3
苶3
苶 ; 2) x
苶3
苶
苶3
苶
5. 1) x1 = – 2, x2,3 = ᎏᎏ
1,2 = ᎏ , x3,4 = ᎏᎏ .
2
2
2
苶9苶+
苶苶12苶苶兹7苶苶
6 + 兹7
– 11 兹1
苶 + 兹1
苶5
苶3
苶 ; 2) x
6. 1) x1,2 = 3 兹苶
1苶
7 , x3,4 = ᎏᎏ
1,2 = ᎏᎏᎏ .
2
2
苶+
苶苶
4兹
苶2苶苶6苶苶
5 兹5
– 3 兹3
苶7
苶 ; 2) x
7. 1) x1,2 = ᎏᎏ
1,2 = ᎏᎏ . 8. 1) x1 = – 1, x2 = 0,5,
2
2
2
3
3
2
– 1 < a 0;
2) a < – 2, – 2 < a < – 1. 10. 1) a < – 3; 2) a < – 1, – 1 < a < 0.
11. 1) – 2 a – 1, 1 a 3; 2) a – 1, 2 a 3. 12. 1) a < – 2,
– 1 a 1; 2) – 1 a < 0, 0 < a 1, a 2.
2) x6 + y6 = u6 – 6u4v +
§ 7. 1. 1) x5 + y5 = u5 – 5u3v + 5uv2;
1
1
+ 9u2v2 – 2u3v3. 2. 1) 冢2; ᎏ 冣, 冢 ᎏ ; 2冣; 2) (1; 1), (– 2; 1), (1; – 2).
2) x1,2 = 1,
x3 = 2;
x3 = ᎏ ,
2
x4 = ᎏ .
9. 1) a < – 1,
2
3. 1) (x + y) (x + 1) (y + 1); 2) (x + y + 1) (xy + x + y).
§ 8. 1. 1) (x – 2y) (3x + 4y); 2) (5x + y) (2x – 3y). 2. 1) (x + y)
(y + z) (z + x); 2) (x + y + z) (xy + yz + zx). 3. 1) (x + y + z) (x2 + y2 + z2);
2) (x – y) (y – z) (z – x) (xy + yz + zx).
§ 9. 1. 1) 1 + 12a + 54a2 + 108a3 + 81a4; 2) 81b4 + 108b3 + 54b2 +
+ 12b + 1; 3) 32a5 – 80a4b + 80a3b2 – 40a2b3 + 10ab4 – b5; 4) x5 – 10x4y +
15
1
3 兹2
苶 +ᎏ
– 5 2 + 15 –
+ 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5. 2. 1) ᎏ – ᎏ
64
16
8
兹苶
20 兹3
5
2 兹3
7x5
苶 +ᎏ
苶 + 729; 3) x7 – ᎏ
– 12 兹2
+
–ᎏ
苶 + 8; 2) 27 – 18 兹3
苶 + 15 – ᎏ
9
9
81
2
7
35x
35
1
7
1
1
21
21x3
;
4)
ᎏ
ᎏ
ᎏ
ᎏ8 – ᎏ6 + ᎏ4 –
+ᎏ–
+
– ᎏ3 +
– ᎏ7
8
16x
4
64x5
16y
16y
128x
256y
32x
a
252
35
7
兹苶 .
– ᎏ2 + ᎏ – 7y2 + 7y4 – 4y6 + y8. 3. 1) 462a8 兹a
苶 ; 2) ᎏ
8
a3
4y
231
231
4. 1) ᎏ x15; 2) ᎏ y13. 5. 1) T7 = 28a3; 2) T7 = 924b7; 3) T13 = 455;
16
32
1001x3
286a2 兹苶
b
; 2) ᎏ
.
4) T13 = 18 564x– 1. 6. 1) ᎏᎏ
9
y6
b
§ 10. 1. 1) (2; 0), (0; 2); 2) (1; 2), (2; 1). 2. 1) (2; 1), (1; 2);
2) (– 2; 1), (2; – 1),
冢
冢 ᎏ3 ;
冣 冢
5
冣
13
5
13
ᎏ , – ᎏ ; – ᎏ , (3; 5), (– 3; – 5);
3
3
3
13
5
13
5
;
;
,
ᎏ ᎏ
– ᎏ – ᎏ . 4. 1) (0; 0),
1苶
38
8
兹1
苶3
苶8
苶 兹苶
苶
兹1
苶3
苶苶
兹1
苶3
苶8
苶
2) (2; 1), (1; 2). 3. 1)
冣 冢
冣
(7; 7); 2) (0; 0), (8; 8). 5. 1) (1; – 6); 2) (2; – 3). 6. 1) (2; 4), (– 2; – 4);
1
3
2) (4; 2), (– 4; – 2). 7. 1) 冢 ᎏ ; – 3冣, (2; – 4), 冢 ᎏ ; – 5冣; 2) (3; – 3),
2
2
(2; – 4), (0; – 2). 8. 1) (兹2
苶; 3), (– 兹3
苶; 2); 2) (兹3
苶; – 1), (– 兹3
苶; – 1).
9. 1) 冢– 2; ᎏ 冣; 2) 冢– 2; ᎏ 冣. 10. 1) 冢– ᎏ ; ᎏ 冣, 冢 ᎏ ; ᎏ 冣; 2) 冢– ᎏ ; ᎏ 冣,
1
4
1
4
1
4
1
2
冢– ᎏ2 ; ᎏ2 冣. 11. 1) (3; 2; – 1); 2) (2; – 1; 3).
5
7
5 7
1
5
7
; – ᎏ 冣; 2) 冢 ᎏ ; ᎏ ; – ᎏ 冣, 冢– ᎏ ; – ᎏ ;
冢1; – ᎏ
18
6
6 6
2
6
6
1
126
1
4
9
2
3
12. 1)
冣
1
ᎏ .
2
冢
12
35
5
– 1; ᎏ ;
18
8
35
7
ᎏ ,
6
冣
冢– 兹苶ᎏ32 ; – 兹苶ᎏ92 ; – 兹苶ᎏ12 冣;
9
9
3
1
3
苶
苶
苶
苶
2) 冢 – 2 兹4
苶; – 苶
兹 ᎏ2 ; – 兹 ᎏ2 冣, 冢– 兹 ᎏ4 ; – 兹 ᎏ4 ; 兹 ᎏ4 冣.
3
3
冢– 兹9苶;
13. 1)
– 3 兹3
苶; – 2 冣 ,
3
3
3
冢– ᎏ2 ;
3
3
3
3
– ᎏ ; – 1冣 ,
3
3
冢– ᎏ6 ;
– ᎏ ; – ᎏ 冣; 2) (0; 0; 0),
1
1
6
2
1
1
(4; 12; – 4), (1; 6; – 4). 15. 1) ᎏ ; 2; 1 , – ᎏ ; – 2; – 1 , (1; 1; – 1),
2
2
1
1
1
1
(– 1; – 1; 1), ᎏ ; – 1; – 2 , – ᎏ ; 1; 2 ; 2) 1; 1; ᎏ , – 1; – 1; – ᎏ ,
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
ᎏ ; – 1; 1 , – ᎏ ; 1; 1 , ᎏ ; 2; – ᎏ , – ᎏ ; – 2; ᎏ .
2
2
2
2
2
2
3
14. 1) (0; 0; 0),
1
2
5
冢
冢
冢
冣 冢
冣 冢
冣 冢
冣
冣 冢
冣
冢
冣冢
冣 冢
冣
冣
Глава IV
§ 1. 6. 1) Нет; 2) да.
§ 2. 1. 1) Является; 2) не является. 2. 1) Не является;
2) является. 3. 1) Является; 2) не является. 4. 1) – 2,7; 2) 0,1.
3 兹3
苶+ 5 ;
5. 1) 1; 2) 0. 6. 1) S = 8 + 4 3 ; 2) S = – 3 3 . 7. 1) ᎏ
兹苶
兹苶
2
(兹2
苶 + 兹3
苶)
4 – 兹2
2 兹2
苶, b =ᎏ
苶 – 1 или
2) ᎏᎏ . 8. 1) 2 случая: b1 = ᎏ
2
7
14
2 兹苶
3
2
4 + 兹苶
1 + 2 兹2
3
2
苶 ; 2) 2 случая: b = ᎏ
, b2 = ᎏ
b1 = ᎏ
1– 苶
ᎏ ,
1
7
14
13
3
3
3
13
b2 = ᎏ
冢兹苶ᎏ23 – ᎏ23 冣
или
b1
冢 兹 冣
2
3
2
3
2
苶
ᎏ + ᎏ 冣.
= ᎏ 冢1 + 苶
13
13 冢 兹 3
3
兹 ᎏ3 冣, b = – ᎏ
2
16 兹3
16
81
1
苶.
9. 1) ᎏ ; 2) ᎏ ; 3) ᎏ ; 4) 18. 10. 1) 24; 2) ᎏ
15
65
3
3
§ 3. 1. 1) 3; 2) 13. 2. 1) 4; 2) 17. 3. 1) При x 1, x 0;
2) x – 1, x 0. 4. 1) x – 1, 0 x 1; 2) – 1 x 0; x 1.
5. 1) x – 1, x 7; 2) x 5, x 8. 6. 1) 3 (x – 2)2 兹2
苶(x
苶–
苶2
苶)苶;
3
3
2
2) 0,5 x – 3 兹5
(x – 3) 兹x
苶(x
苶–
苶3
苶)苶. 7. 1) 2 (x – 2) 兹x
苶(x
苶–
苶2
苶)苶; 2) ᎏ
苶–
苶3
苶.
3
3
3 (y – x)
5 (x – y)
x
x+y
苶苶
苶苶
苶
苶
8. 1)
ᎏ ; 2)
ᎏ . 9. 1)
ᎏ ; 2)
ᎏ.
兹
兹
y+x
3
10. 1)
cn ;
兹5苶a苶2苶b苶
x+y
4
2)
z5 .
兹3苶x苶–苶1y苶苶
兹
x+y
兹
x–y
11. 1) 1; 2) 5. 12. 1) 1; 2) 10.
3
+
兹苶 –
13. 1) 兹6
ᎏ;
苶 – 1; 2) 兹3
苶 – 兹2
苶. 14. 1) Да; 2) да. 15. 1) ᎏ
3
3
(m
3
n) ( x 1)
x–1
– 1) (兹a
苶–
苶1
苶 + 兹a
苶+
苶2
苶)
兹x
苶 + 1 . 16. 1) (a
2) ᎏ
ᎏᎏᎏ ; 2) 1,5a (兹b
苶+
苶2
苶 – 兹1
苶–
苶b苶).
–3
x+1
17. 1) z 冢 兹苶
x – 兹y
x + 兹y
苶冣 ; 2) 兹苶
苶. 18. 1) Является, a = – 兹2
苶; 2) яв3
3
.
19.
1)
Является,
a
6
;
2)
является,
a = – 兹苶
7.
ляется, a = – 兹2
= – 兹苶
苶
3
3
3
3
20. 1) Является, a = – 兹苶
2兹
苶苶
3
苶2苶; 2) является, a = – 兹2苶.
苶–
127
1
ᎏ
3
ᎏ
§ 4. 1. 1) a 6 ; 2) a 4 . 2. 1) a
1
–ᎏ
12 ;
4. 1) 3b
1
–ᎏ
30 ;
9
ᎏ
2) a 14 .
3
5
2) (ax)0,3.
5
2) b0,5; ᎏ . 11. 1)
3
冦
7
ᎏ
2) a 12 . 3. 1) a
2) 8. 5. 1) a–0,1; 2) 1. 6. 1) ᎏ ; 2) 2,5. 7. 1) 15; 2) 28.
8. 1) 0,2a– 0,2;
12. 1)
3
–ᎏ
8;
2
ᎏ
a3;
9. 1) 2;
2) 2x1,2.
10. 1) 2ab; 12;
0,5; 2) ab; 12.
c– 1 при 0 < c < 1,
c при c 1;
2)
冦
2a
– ᎏᎏ при a b ,
b
2b
– ᎏᎏ при a < b ,
a
из условия задания следует, что a и b должны иметь одинаковые знаки, причем a 0, b 0.
13. 1)
冦
兹2
苶 при
1
ᎏᎏ a 1,
2
2)
兹4
苶a
苶–
苶2
苶 при a > 1;
冦
2 b при b2 a 2b2,
2 兹a
苶–苶苶
b2 при a > 2b2.
Глава V
1
§ 2. 1. 1), 2) Не является; 3)—8) является. 2. 1) y = ᎏ
,
3
兹x
苶
1
1
x 0, y 0; 2) y = ᎏ
, x 0, y 0; 3) y = – ᎏ
, x > 0, y < 0;
5
4
x
兹x
苶
兹
苶
3
2
ᎏ
ᎏ
1
2, x
3,
4) y = – ᎏ
,
x
>
0,
y
<
0;
5)
y
(
x)
0,
y
0;
6)
y
(
x)
=
–
=
–
6
x
兹苶
2
3
–ᎏ
–ᎏ
x 0, y 0; 7) y = x 5 , x > 0, y > 0; 8) y = x 4 , x > 0, y > 0.
3. 1) Убывает при x 1, возрастает при x 3; 2) убывает при
x 1, возрастает при x 5; 3) возрастает при 1 x 1,5, убывает
при 1,5 x 2; 4) возрастает при 2 x 2,5, убывает при
2,5 x 3; 5) убывает при – 2 x – 0,75, возрастает при
– 0,75 x 0,5; 6) убывает при – 0,5 x 1,25, возрастает при
1,25 x 3.
§ 3. 1. 1) y = 2, x = – 3; 2) y = 3, x = – 4; 3) y = – 3, x = 4;
1
10
4) y = – 2, x = 3. 3. 1) – 7 y < 3, y = – ᎏ + ᎏ ; 2) – 5 y < 2,
3
1
4
7
4 (2 – x)
3
2
3 (3 – x)
3
x+1
4
3
8
3 (x + 2)
y = – ᎏ + ᎏ ; 3) y < – 1, y = ᎏ + ᎏ ; 4) y < – 2, y = ᎏ + ᎏ .
§ 4. 1. 1)—4) Уравнения равносильны; 5), 6) второе; 7), 8)
первое. 2. 1) x = 1; 2) нет корней. 3. 1) x = 3; 2) x = 6; 3) x = 5;
4) x = 4. 4. 1) x > 2, – 5,5 < x < – 1; 2) x < – 3, 4 < x < 39; 3) 0 < x < 1,
x < 0; 4) x > 1, – 1 < x < 0. 5. 1) Равносильны (второе уравнение
второй системы — почленная сумма уравнений первой системы, разделенная на 4); 2)—4) равносильны. 6. 1) x1 = 9,
2
x2 = – 1; 2) x1 = 4, x2 = – 0,4; 3) x1 = – 4, x2 = – ᎏ ; 4) x1 = – 2,
3
x2 = 8; 5) x1 = – 9, x2 = 3, x3 = 7; 6) нет корней. 7. 1) Если a < – 1
и a > 1, то x = 4; если a = – 1, то x 4; если – 1 < a < 1, то x1 = 4,
128
4a 8
– ; если a 1, то
x2 = ᎏ
=
– 2 x 4; 2) если a = 1, то – 1 x 2;
a+1
если a > 1, то x = 2; если a < – 1, то x = 2; если – 1 < a < 1, то
2a – 4
; если a = – 1, то x 2.
x1 = 2, x2 = ᎏ
a+1
9
32
§ 5. 1. 1) x = 3; 2) x = 3. 2. 1) x = 5; 2) x = 2 ᎏ . 3. 1) x1 = 4,
1
2
x2 = – 9; 2) x1 = – ᎏ , x2 = 2; 3) x1 = – 2, x2 = 3; 4) x1 = 1, x2 = 4.
8
3
8
3
5
2) x – ᎏ ,
4
4. 1) x1 = – ᎏ , x2 = 1; 2) x1 = – ᎏ , x2 = 1. 5. 1) – 6 x – 3; 2) x 13.
1
5
6. 1) x – 1, x = ᎏ ;
1
4
x = – ᎏ . 7. 1) x = 3; 2) x = 3;
1
2
3) x = – ᎏ ; 4) x = 1. 8. 1) – 10 a 8; 2) 0 < a 3. 9. 1) Если a < – 1,
2
a +1
0 a < 1, то корней нет; если – 1 a < 0, a 1, то x = ᎏ
; 2) если
2a
1
2
1
2
2
a
a < 0, ᎏ a < 1, то корней нет; если 0 a < ᎏ , a 1, то x = ᎏ
;
2a – 1
a2 + 24a + 16 ; если a > 4, то корней нет;
3) если a – 4, то x = ᎏᎏ
–
16
2苶
(a 苶
2苶) .
4) если a < 2, то корней нет; если a 2, то x = 0,5a + 兹苶
–苶
10. 1) (2; 3); 2) (3; 4); 3) (– 4; 2); 4) (5; – 1).
§ 6. 1. 1) 0 x < 5; 2) 0 x 3. 2. 1) – 5 x – 3, x 3;
4
2) x – 2, 2 x 3; 3) – 1 x < 3; 4) x > 3. 3. 1) – 2 ᎏ < x – 2,
11
1
2
x 5; 2) x – 4, x > 2; 3) 1 < x 4; 4) 2 x 3; 5) – 2 x – ᎏ ,
x = 2; 6) x = – 1,
3
ᎏ x 4;
2
7) x – 1, x 9; 8) x – 8, x 2.
3) x – 3,
3 x 4;
4) 8 x 9.
4. 1) 1 x 2; 2) x 6;
5. 1) – 1 x 1; 2) x 4. 6. 1) Если a 0, то x – 1; если a > 0,
1
то – 1 x ᎏ
– 1; 2) при a 0 решений нет; если a > 0, то
2
a
1
1
x2– ᎏ
; 3) если a 0, то x – a; если a > 0, то – a x < ᎏ
– a;
2
2
a
a
4) если a 0, то x a; если a > 0, то a x < a + 25
.
ᎏ
2
a
Глава VI
x
x
§ 1. 1. 1) y = 2x; 2) y = 3x; 3) y = 冢 ᎏ 冣 ; 4) y = 冢 ᎏ 冣 ; 5) y = 0,5x;
2
3
3
2
6) y = 2x. 4. 1) a > b; 2) a < b; 3) a < b; 4) a < b; 5) a < b; 6) a > b;
7) a < b; 8) a > b. 5. 1) 31 + 兹苶2苶, 3兹苶6苶, 32,5; 2) 0,32 – 兹苶3苶, 0,3兹苶0苶,1苶, 1;
3) 3– 1,6, (兹3
苶)– 3,1,
1
ᎏ;
3 兹3
苶
1
3
4) ᎏ , 兹苶
0,1, 0,10,3. 6. 1) 0 < a < 1;
兹1
苶0
苶
2) a > 1; 3) a > 1; 4) 0 < a < 1. 7. 1) x 7; y 1; 2) x – 7; 0 < y 1;
3) x – 兹5
苶; x 兹5
苶; 0 < y 1; 4) – 2 x 2; 1 y 9; 5) 0 x 2;
1
ᎏ y 1; 6) x 0; x 5; 0 < y 1.
3
129
§ 2. 1. 1) x1 = – 1, x2 = 3; 2) x1 = – 2, x2 = – 4; 3)
x 2 = 1 – 兹7
苶; 4) x1 = – 1, x2 = – 7. 2. 1) x = 1; 2) x = 0;
4) x = 0,5. 3. 1) x = 0; 2) x = 0; 3) x1 = – 1, x2 = 1;
1
x2 = 2. 4. 1) x = – ᎏ ; 2) x = 7; 3) x = 1,5; 4) x1 = 1, x2 = 2.
x 1 = 1 + 兹7
苶,
3) x = 1,5;
4) x1 = – 2,
5. 1) x = 1;
2) x = 0; 3) x = 1; 4) x = – 1. 6. 1) x1 = – 1, x2 = 3, x3,4 = 1 兹2
苶;
4
1
3
1
5
1
2
2) x1 = – 1, x2 = 2. 7. 1) x1 = ᎏ , x2 = 2, x3 = 4; 2) x1 = – ᎏ , x2 = ᎏ ,
x3 = 1, x4 = 3. 8. 1) x1 = – 2, x2 = 3. У к а з а н и е. Разделить обе
части уравнения на 62x + 6; 2) x1 = – 1, x2 = 4. У к а з а н и е. Разделить обе части уравнения на 56x + 6. 9. 1) При a > 0 один корень, при a 0 корней нет; 2) при a > 0 один корень, при a 0
корней нет; 3) при a < 0 корней нет, при a = 0 один корень, при
a > 0 два корня; 4) при a < 0 корней нет, при a = 0 один корень,
兹3
苶 ; 2) k < 5, k > 11.
при a > 0 два корня. 10. 1) a < – ᎏ
2
§ 3. 1. 1) x < – 2,
x > 2;
2) x < – 3,
x > 3; 3) – 2 < x < 2;
1
1
4) – 0,7 < x < 0,7. 2. 1) x – ᎏ ; 2) x ᎏ ; 3) x < 0, x > 2; 4) – 2 <
2
2
< x < – 1. 3. 1) – 1 x 0; 2) – 1 x 3; 3) – 1 x 0; 4) – 1 x 0;
5) x 0; 6) x = 0; 7) x 0, x > 1; 8) x < – 兹5
苶, – 2 x < 兹5
苶; 9) – 1 x < 0, x > 3; 10) x 2. 4. 1) – 1 x 3; 2) – 1 x 3. 5. 1) 0 x 1; 2) 0 x 4. 6. 1) x 2; 2) x – 4. 7. 1) x 1; 2) x < – 1.
8. 1) 0 x 2. У к а з а н и е. Сделать замены 1 = 0,5x ⭈ 2x и
0,3 = 0,6 ⭈ 0,5; 2) – 3 x – 1. У к а з а н и е. Представить 5x + 1 =
= 0,5x + 1 ⭈ 10x + 1. 9. 1) При a 0; 2) при a 0; 3) при a 0; 4) при
a 0. 10. 1) m > 1; 2) n 2.
§ 4. 1. 1) (2; 1); 2) (1; 2); 3) (1; 3); 4) (2; 2); 5) (4; 1);
6) (4; 1); 7) (2; 1), 冢– 1; ᎏ 冣; 8) (2; 2), 冢– 1; ᎏ 冣. 2. 1) (1; 1),
23
2
58
3
冢2; ᎏ8 冣; 2) (1; 1), 冢 ᎏ3 ; ᎏ4 冣; 3) (1; 1), 冢 ᎏ2 ; 4冣; 4) (1; 1). 3. 1) (2; – 1),
1
2
3 1
1 3
冢– ᎏ3 ; – ᎏ3 冣; 2) 冢 ᎏ2 ; ᎏ2 冣, 冢– ᎏ4 ; ᎏ4 冣. 4. 1) (2; 2), (2; – 2); 2) (3; 3),
1
2
9
1
(3; – 3).
Глава VII
1
4
1
2
1
2
§ 1. 1. 1) – 2; 2) – 2; 3) – 1; 4) – 1. 2. 1) ᎏ ; 2) – ᎏ ; 3) – ᎏ ;
1
1
1
2
4) ᎏ ; 5) ᎏ ; 6) ᎏ . 3. 1) 27; 2) 0,25. 4. 1) 5; 2) 3 ᎏ . 5. 1) – 2 <
4
2
4
3
< x < 0; 0 < x < 2; 2) – 3 < x < 0; 0 < x < 3; 3) x < – 5; 5 < x < 6; x > 6;
4) x < – 5; – 5 < x < – 4; x > 4. 6. 1) x1 = 2, x2 = log3 2 – 1; 2) x = 4 + log0,2 2.
7. 1) x = 0; 2) x1 = 0, x2 = – 1.
a 2 兹b
a3 苶
b3
苶 ; 2) x = ᎏ
兹苶
§ 2. 1. 1) x = ᎏ
. 3. 1) – 3; 2) – 1; 3) 1;
2
2
2
a –b
1
2
(a + b)
4) 1. 4. 1) – log3 5; 2) ᎏ log3 7; 3) 2 log3 4; 4) – 2 log3 2. 5. 1) x = 5;
130
1
2
1
9
2
2
2
1
7. 1) 1000; 2) 0,1; 3) ᎏ ; 4) ᎏ . 8. 1) 5; 2) 7. 9. 1) 2,903; 2) 2,602;
7
3
1
12
2) x = ᎏ . 6. 1) – 8; 2) ᎏ ; 3) – 6; 4) – ᎏ ; 5) – 11 ᎏ log5 2; 6) 8 log2 3.
2 ; 2) x = 兹苶
3 ; 3) x = 兹苶
3 ; 4) x = 兹苶
5.
3) – 0,796; 4) – 1,097. 10. 1) x = 兹苶
4 (3 – a)
3+a
7
2
lg x = ᎏ lg a + ᎏ lg b;
3
24
7
lg 3. 5. 1) ᎏ – ln 10;
8
1 a
b–1
a b
1–b
+ ; 2)
+
§ 3. 1. 1) x = 27; 2) x = 16. 2. 1) ᎏ
ᎏ . 3. 1) ᎏ ;
3 (2 – a)
4. 1) lg x =
4–a
4
13
3) lg x = ᎏ lg 2 + ᎏ lg 3;
3
24
11
2) ᎏ ln 5 + 1.
24
2) ᎏ .
13
4
ᎏ lg a + ᎏ lg b; 2)
24
3
7
2
4) lg x = ᎏ lg 5 + ᎏ
24
3
§ 4. 1. 1) x > 2; 2) x > – 1. 2. 1) x < – 2, – 1 < x < 0, x > 0;
2) – 2 < x < 0, 0 < x < 2; 3) 2 < x < 3, x > 3; 4) x < – 3, – 3 < x < 1;
1
2 ; 2) x > 2 兹苶
3 ; 3) 0 < x < 1,
5) – 1 < x < 0,5; 6) – ᎏ < x < 3. 3. 1) x > 2 兹苶
2
1 < x < 5; 4) 0 < x < 1, 1 < x < 6. 5. 1) x1,2 = 1; 2) x = 1; 3) x = 3;
4) x = 3. 6. x1,2 = 1; 2) x1,2 = 5. 7. 1) x1 = 2, x2 0,1; 2) x1 = 1,
x2 – 0,9. 8. 1) x = 2; 2) x = 2.
§ 5. 1. 1) x = 4; 2) x = 2. 2. 1) Нет корней; 2) нет корней.
3. 1) x = 2; 2) x = – 2. 4. 1) x1 = 2, x2 = 3; 2) x = 4. 5. 1) x = 4;
1
1
2) x = 3. 6. 1) x1 = ᎏ , x2 = 9; 2) x1 = ᎏ , x2 = 4; 3) x1 = 0,1,
9
1
3
1
5
4
x2 = 100; 4) x1 = ᎏ , x2 = 27. 7. 1) x1 = ᎏ , x2 = 25; 2) x1 = 0,001,
x2 = 1 000 000. 8. 1) x1 = 10, x2 = 兹1
苶0
苶; 2) x1 = 100, x2 = 10 兹1
苶0
苶.
1
125
1
3
9. 1) x = 10; 2) x = 10. 10. 1) x1 = ᎏ , x2 = 9; 2) x1 = ᎏ , x2 = 25.
1
3
1
625
11. 1) x1 = ᎏ , x2 = 5; 2) x1 = ᎏ , x2 = 81. 12. 1) x = 20; 2) x = 12.
13. 1) x1,2 = 0,5; 2) x1,2 = 0,5. 14. 1) При a 0 и a 1 уравне2
ние не имеет корней; если 0 < a < 1, то x = ᎏ ; 2) при a 1
1–a
6
a–1
уравнение не имеет корней; если a > 1, то x = ᎏ ; 3) при
a 0, a = 1 и a > 4 уравнение не имеет корней; если 0 < a < 1 и
1 < a 4, то x1,2 = 2 兹4
苶–
苶a
苶; 4) при a 0, a = 1 и a > 3 уравнение
не имеет корней; если 0 < a < 1 и 1 < a 3, то x1,2 = 3 兹9
苶–苶a苶2苶.
1
1
15. 1) При a – ᎏ уравнение не имеет корней; если a > – ᎏ , то
3
x = log4 (3a + 1) – log4 (a2 – 2a + 2);
2) при
1
2
a ᎏ
3
уравнение
не
1
имеет корней; если a > ᎏ , то x = 2 log9 a – log9 (2a – 1).
2
4 兹3
1
0
1
0
兹
苶
苶
兹
苶
苶
兹3
苶3
苶 , y= ᎏ
苶3
苶.
16. 1) x = ᎏ , y = ᎏ ; 2) x = ᎏ
2
5
6
33
3
兹苶
§ 6. 1. 1) – 1,5 < x < 0; x > 1; 2) x < – 1; 0 < x < 2,5. 2. 1) – ᎏ
2
1
1
1
2
2
1
兹3
苶 ; 2) – ᎏ
x– ᎏ; ᎏ <x ᎏ
x < 0; 0 < x ᎏ ; 3) – ᎏ x < – ᎏ ;
2
2
2
3
3
3
6
131
1苶
3
1
1
兹苶
兹1
苶3
苶 . 3. 1) – 1 x < 1; 6 < x 8; 2) 2 <
; x> ᎏ
ᎏ < x ᎏ ; 4) x < – ᎏ
6
3
6
6
< x 4; 5 x < 7. 4. 1) – 2 < x 0; 2) – 1 < x – 0,6; 3) – 2 < x – 1;
兹5
苶 x < 1; x 5; 2) 0,25 x < 1;
x 10; 4) x – 3; 1 x < 4. 5. 1) ᎏ
5
x 2. 6. 1) 0,1 < x < 10; 2) 0 < x < 0,01; x = 1; x > 100. 7. 1) – 8 8
1
x ᎏ ; 1 ᎏ x 10; 2) x – 3; – 1,5 x < – 1; – 1 < x – 0,5; x 1.
9
9
8. 1) – 3 < x – 2; 2 x < 3; 2) – 2 < x – 1; 1 x < 2; 3) – 3 < x – 2;
1
1
2 x < 3; 4) – 1 x < ᎏ ; ᎏ < x 1; 5) – 1 x < 0; x > 1; 6) x < – 1;
2
2
1
0 < x 2. 9. 1) 0 < x < ᎏ ; 1 < x < 2; 3 < x < 6; 2) – 3 < x < – 2; – 1 <
2
< x < 0; 1 < x < 3; 3) log9 7 < x < 1; x > 1; 4) log4 7 < x log2 3.
2
3
1
2
1
2
5 ; 5) 1 x < 2;
10. 1) x 1; x 5; 2) x – ᎏ ; x ᎏ ; 3) x ᎏ ; 4) x 兹苶
3 < x 4; 6) – 1 x < 1; 3 < x 5. 11. 1) Если a 0 и a 1, то ре3–a
шений нет; если 0 < a < 1, то 3 < x < ᎏ
; 2) если a 1, то реше1–a
a 7
a–1
– < x < 1; 3) при a 1 решений нет;
ний нет; если a > 1, то ᎏ
苶 и x > 苶; если a 1,5, то x —
兹
兹
любое число; 4) при a = 0 и a 3 решений нет; если a < 0, то
если 1 < a < 1,5, то x < –
3–a
ᎏ
a–1
3–a
ᎏ
a–1
苶,5
苶–
苶a
苶)苶(4
苶,5
苶–
苶a
苶)苶
苶,5
苶–
苶a
苶)苶(4
苶,5
苶–
苶a
苶)苶
兹(1
兹(1
– ᎏᎏᎏ < x < ᎏᎏᎏ ; если 0 < a 1,5, то
3
3
苶,5
苶–
苶a
苶)苶(4
苶,5
苶–
苶a
苶)苶
苶,5
苶–
苶a
苶)苶(4
苶,5
苶–
苶a
苶)苶
兹(1
兹(1
x < – ᎏᎏᎏ
и x > ᎏᎏᎏ
; если 1,5 < a < 3, то
3
3
2 a
3–a
a–2
то x — любое число; если a > 3, то x < log4 ᎏ
; 6) если a < 1,
a–3
1–a
то x > log4 ᎏ ; если 1 a 5, то x — любое число; если a > 5,
5–a
a–1
то x > log4 ᎏ .
a–5
– ; если 2 a 3,
x — любое число; 5) если a < 2, то x > log4 ᎏ
Глава VIII
π
107π
§ 1. 1. 1) ᎏ ; 2) ᎏ . 2. 1)
8
450
427π
2) ᎏ . 4. 1) 18°; 2) 1,8°. 5. 1)
3600
7π
4π
2) 2,87°. 7. 1) ᎏ см; 2) ᎏ см.
5
3
41π
ᎏ;
720
431π
149π
2) ᎏ . 3. 1) ᎏ ;
2160
5400
612°; 2) 864°. 6. 1) 1,15°;
17π
27π
8. 1) а) ᎏ см; б) ᎏ см2;
5
2
7π
13π
2) а) ᎏ см; б) ᎏ см2. 9. 1) 0,3718; 1,3657; 3,4607; 2) 0,4835;
3
45
1,4401; 3,5108.
85°57, 126°3.
132
10. 1) 25°15,
74°29,
114°33;
2) 27°56,
Рис. 7
Рис. 8
§ 2. 8. 1) III и IV; 2) I и IV. 9.
1) I и IV; 2) I и IV. 10. 1) II и III;
πk
2) I и II. 11. 1) и 2) Рис. 7, γ = ᎏ ,
2
k Z. 12. 1) Рис. 8, γ = 0,4π + πk,
k Z; 2) рис. 9, γ = 0,2π + πk, k Z.
13. 1) Рис. 10, γ = 0,1π + πk, k Z;
2) рис. 11,
γ = 0,4π + πk, k Z.
3π
8π
7π
15π
14. 1) – ᎏ ; 2) ᎏ . 15. 1) ᎏ ; 2) ᎏ .
4
7
32
32
2
5π
13π
16. 1) ᎏ ; 2) ᎏ . 17. 1) 6 ᎏ с;
12
60
3
2) 20 с. 18. 1) 2760 об/мин;
Рис. 9
2) 3600 об/мин.
π
π
1
1
兹3
苶 , cos ᎏ
兹3
苶.
§ 3. 1. 1) sin ᎏ = ᎏ
= ᎏ ; 2) sin 30° = ᎏ , cos 30° = ᎏ
3
2
3
2
2
2
π
π
兹2
苶 , cos 135° = – ᎏ
兹2
苶 ; 2) sin ᎏ
兹2
苶 , cos ᎏ
兹2
苶.
2. 1) sin 135° = ᎏ
=ᎏ
=ᎏ
2
4
2
4
2
1
3
2π
2π
兹
苶
3. 1) sin – ᎏ = – 1, cos – ᎏ = 0; 2) sin – ᎏ = – ᎏ , cos – ᎏ = – ᎏ .
2
2
3
2
3
2
冢
Рис. 10
π
冣
2
冢
π
冣
冢
冣
冢
冣
Рис. 11
133
5π
1
5π
5π
5π
兹3
苶 ; 2) sin ᎏ
4. 1) sin ᎏ = ᎏ , cos ᎏ = – ᎏ
= 1, cos ᎏ = 0.
6
2
6
2
2
2
3
8π
8π
1
9π
兹
苶
兹2
苶,
5. 1) sin – ᎏ = – ᎏ , cos – ᎏ = – ᎏ ; 2) sin – ᎏ = – ᎏ
3
2
3
2
4
2
冢
冣
冢
冣
冢
冣
π π
9π
3π
π . 7. 1) π, π; 2) ᎏ
兹2
苶 . 6. 1) 0, π; 2) – ᎏ
, ᎏ
cos 冢– ᎏ 冣 = ᎏ
–
– , ᎏ,
4
2
2
2
2
2
3π
2π
5π
3π
5π
2π
5π
ᎏ . 8. 1) sin ᎏ > sin ᎏ ; 2) sin ᎏ > sin ᎏ . 9. 1) cos ᎏ > cos ᎏ ;
2
3
6
4
8
3
3
3π
5π
1
1
2) cos ᎏ > cos ᎏ . 12. 1) 3, 1; 2) 1 ᎏ , – ᎏ . 13. 1) 2, – 2; 2) 3, – 3.
4
8
2
2
2πn
π
14. 1) x = ᎏ , n Z; 2) x = ᎏ + ᎏ , n Z. 15. 1) x = – ᎏ + ᎏ , n Z;
πn
π
πn
3
4
2
12
π
π
2
12
3
2) x = ᎏ + 6πn, n Z. 16. 1) x = – ᎏ + πn, n Z; 2) x = 5π + 8πn,
兹2
苶; ᎏ
兹2
苶 ; б) sin α = – ᎏ
兹2
苶 , cos α = ᎏ
兹2
苶 , tg α = 1;
n Z. 17. 1) а) B ᎏ
2) а)
冢2
1
兹3
苶 ; б)
K 冢– ᎏ ; – ᎏ
2
2 冣
2
冣
2
2
1
兹3
苶 , cos α = ᎏ
, tg α = – 兹3
sin α = – ᎏ
苶.
2
2
§ 4. 1. 1) , –, ; 2) , +, . 2. 1) –, , ; 2) +, , .
π
7π
25π
3. 1) , +, ; 2) , –, . 4. 1) sin ᎏ > sin ᎏ ; 2) cos ᎏ >
13
13
18
11π
> cos ᎏ . 5. 1) sin (– 1,3) < sin (– 3,2); 2) cos (– 2,5) < cos (– 5,5).
18
6. 1) tg 585° > cos 585°; 2) ctg 485° < sin 485°. 7. 1) Минус;
2) минус. 8. 1) Плюс; 2) минус. 9. 1) sin α < 0; 2) sin α > 0.
10. 1) cos α > 0; 2) cos α > 0. 11. 1) Не может; 2) может.
13
5
=– ᎏ.
2
苶
, cosec α =
13
兹 ᎏ3 , sec α = – 兹3苶; 2) cos α = – ᎏ
24
24
2
2. 1) sin α = ᎏ , tg α = – ᎏ ; 2) cos α = 苶
ᎏ , ctg α = 兹2
苶.
25
7
3
兹
π
3π
§ 5. 1. 1) sin α =
12
3. 1) 2πn x π + 2πn, n Z; 2) ᎏ + 2πn x ᎏ + 2πn, n Z;
2
2
π
4. 1) x ᎏ + πn, n Z; 2) x πn, n Z. 5. 1) Нет; 2) нет.
2
15
6a + 1
3 + 7a
505
25
303
6. 1) ᎏ ; 2) ᎏ
. 7. 1) ᎏ ; 2) ᎏ . 8. 1) ᎏ ; 2) ᎏ .
3 – 4a
4a – 3
262
22
901
9
9. 1) – 0,944; 2) 0,296. 10. 1) 6; 2) 11. 11. 1) 0,9; 2) 0,7.
5a a5
4
5b b5
4
– ; 2)
–
12. 1) ᎏ
ᎏ.
π
π
§ 6. 2. 1) 2πn – ᎏ < x < ᎏ + 2πn, x = π + 2πn, n Z; 2)
2
2
π
< x < π + 2πn, x = ᎏ + 2πn, n Z. 3. 1) 2πn – π < x < 2πn,
2
π
π
π
2) 2πn – ᎏ < x < ᎏ + 2πn, n Z. 4. 1) ᎏ + πn < x < π + πn,
2
2
2
π
3π
3π
2) ᎏ + πn < x < 2π + πn, n Z. 5. 1) ᎏ + 2πn< x < ᎏ + 2πn ,
2
134
2
2
2πn <
n Z;
n Z;
n Z;
π
2) π + 2πn < x < 2πn, n Z. 6. 1) x ᎏ + πn, n Z; 2) x πn, n Z.
2
π
π
π
7. 1) x ᎏ (n + 1), n Z; 2) x ᎏ (n + 1), n Z. 8. 1) x ᎏ (n + 1),
2
2
2
π
n Z; 2) x ᎏ (n + 1), n Z.
2
5π
π
2π
5π
§ 7. 1. 1) sin 冢– ᎏ 冣 < – cos ᎏ ; 2) sin 冢– ᎏ 冣 > cos ᎏ .
2
3
4
4
π
3π
7π
4π
7π
2. 1) ctg ᎏ > tg – ᎏ ; 2) tg – ᎏ < ctg ᎏ . 3. 1) sin – ᎏ >
7
3
3
3
4
13π
7π
7π
2
> tg ᎏ ; 2) ctg – ᎏ < cos – ᎏ . 4. 1) 兹2
苶–苶a苶苶; 2) 兹2苶–苶a苶2苶.
4
6
7
56
63
§ 8. 1. 1) sin (α + β) = ᎏ , cos (α – β) = – ᎏ ;
65
65
40
33
15
2) sin (α – β) = – ᎏ , tg (α + β) = – 3 ᎏ . 2. 1) tg (α + β) = – ᎏ ,
65
16
73
23
2πk
ctg (α – β) = – ᎏ ; 2) tg (α – β) = – 2, ctg (α + β) = 5,5. 9. 1) x = ᎏ ,
80
a+1
πk
a – 1, k Z, x R, a = – 1; 2) x = ᎏ , a – 1, k Z, x R, a = – 1.
a+1
7
2
2 兹苶
, tg 2α = – 2 兹2
§ 9. 1. 1) sin 2α = ᎏ
,
苶; 2) cos 2α = – ᎏ
3
25
527
7
ctg 2α = – ᎏ . 2. 1) sin 4α = 0,96; 2) cos 4α = – ᎏ . 3. 1) sin 3α =
24
625
5 兹苶
13 兹苶
24
3
3
24
2) cos 3α = – ᎏ .
4. 1) tg α = – ᎏ ;
2) sin α = ᎏ .
= ᎏ;
9
9
7
25
3
5. 1) Нет; 2) нет. 6. 1) Нет; 2) нет. 12. 1) ᎏ ; 2) 3.
16
5苶
5
5+1
兹苶
苶苶苶
–兹
兹苶
13. 1) ᎏ
; 2) ᎏ
.
4
2 兹2
苶
5
3
4
3
§ 10. 1. 1) sin α = ᎏ , cos α = ᎏ , tg α = ᎏ ; 2) sin α = ᎏ ,
5
5
4
13
x
12
5
x
x
cos α = – ᎏ , tg α = – ᎏ . 2. 1) 2 cos ᎏ 2 sin ᎏ + 2 cos ᎏ ;
13
12
2
2
2
x
x
x
2) 2 cos ᎏ 5 cos ᎏ – sin ᎏ . 3. 1) – 3; 2) – 3. 4. 1) – 3; 2) – 2.
2
2
2
冢
冢
冣
冢
冣
冢
冣
冢
冣
冢
冢
冣
冣
冣
5. 1) 兹0
苶,8
苶; 2) – 兹0
苶,1
苶. 6. 1) 兹0
苶,2
苶; 2) 兹0
苶,9
苶.
§ 11. 1. 1) sin 40° > sin 160°; 2) cos 70° > cos 280°.
2. 1) cos 6,4π < 0,5; 2) sin 3,1π > – 0,5. 3. 1) cos 0,9π = sin 252°;
2) cos 6,4π < sin (– 252°). 4. 1) tg 3,7π = ctg 3,8π; 2) tg 765° <
< cos 348°. 5. 1) 0; 2) 0. 6. 1) 0; 2) 0. 7. 1) – 1; 2) – 1.
1
兹3
苶 . 10. 1) 3 ;
8. 1) ᎏ ; 2 ; 2) 3 tg 2x; – 3 . 9. 1) 2 – 2 ; 2) ᎏ
cos 2x
兹苶
兹苶
兹苶
2
兹苶
9
1
2) 1. 11. 1) ᎏ ; 2) ᎏ .
2
4
π α
π α
π
§ 12. 1. 1) 2 cos 冢 ᎏ – ᎏ 冣; 2) 2 sin 冢 ᎏ – ᎏ 冣. 6. 1) 2 sin 冢2α – ᎏ 冣;
4
2
4
2
3
2) – 8 cos 2α. 7. 1) sin 2α sin 2β; 2) sin2 (α – β).
135
§ 13. 1. 1) sin 10° + sin 14° – 兹3
苶 sin 12°; 2) cos 5° + cos 15° +
+ cos 25°. 2. 1) cos 1° + cos 3° + cos 5° + cos 7° + cos 9° + cos 11° + cos 13° +
1
1
3 cos 15° + cos 35°. 4. 1) ᎏ ; 2) ᎏ . 5. 1) – 0,5;
+ cos 15°; 2) cos 5° – 兹苶
2
2
3
1
3π
2) ᎏ tg ᎏ . 6. 1) 8 cos 8α cos3 α; 2) 2 sin 5α sin 3α cos α. 7. 1) ᎏ ;
2
7
1
4
1
4
4
3
4
1
2
1
2
– ᎏ ; 2) ᎏ ; – ᎏ . 8. 1) ᎏ (cos (m – n) + 1); ᎏ (cos (m – n) – 1);
1
2
1
2
2) ᎏ (cos (m – n) + 1); ᎏ (cos (m – n) – 1).
Глава IX
56
119
7
7
7
16
§ 1. 1. 1) – ᎏ ; 2) ᎏ . 2. 1) ᎏ ; 2) – ᎏ . 3. 1) ᎏ ; 2) ᎏ .
169
25
25
25
65
65
9
11
13
5
4. 1) ᎏ ; 2) ᎏ . 5. 1) 2π – 4; 2) 4π – 10. 6. 1) 9 – ᎏ π; 2) ᎏ π – 13.
18
18
2
2
2
2
7. 1) x = arccos ᎏ + 2πn, n Z; 2) x = arccos – ᎏ + 2πn, n Z.
3
3
πn
π
πn
π
πn
π
8. 1) x = ᎏ + ᎏ , n Z; 2) x = ᎏ + ᎏ , n Z. 9. 1) x = ᎏ + ᎏ ,
4
2
8
4
12
4
π
π
π
2πn
n Z; 2) x = ᎏ + ᎏ , n Z. 10. 1) x = ᎏ + πn, n Z; 2) x = ᎏ +
15
5
3
8
πn
,
n
Z.
ᎏ
+
4
4 (1 + 3 兹3
24
24
120
120
苶) ;
§ 2. 1. 1) ᎏ ; 2) ᎏ . 2. 1) ᎏ ; 2) – ᎏ . 3. 1) ᎏᎏ
25
25
169
169
35
冢
冣
3 兹1
苶5
苶– 7 .
2) ᎏᎏ
2+3
8 兹苶
8 – 3 兹5
3
4
苶.
4. 1) ᎏ
; 2) ᎏ
5. 1) ᎏ π;
2) – ᎏ π.
16
15
15
8
9
π
3
5
6. 1) – ᎏ π; 2) – ᎏ . 7. 1) 3π – 10; 2) 11 – 4π. 8. 1) ᎏ π – 8;
8
7
2
7
πn
πn
πn
n π
2) 11 – ᎏ π. 11. 1) x = ᎏ , n Z; 2) x = ᎏ , x = (– 1) ᎏ + ᎏ , n Z.
2
2
2
12
2
2
n π
n+1
12. 1) x = (– 1) ᎏ + πn, n Z; 2) x = (– 1)
arcsin ᎏ + πn, n Z.
6
3
π
πn
π
πn
13. 1) x = ᎏ + ᎏ , n Z; 2) x = ᎏ + ᎏ , n Z. 14. 1) x = πn,
12
2
24
6
πn
πn
π
π
n Z; 2) x = ᎏ , n Z. 15. 1) x = ᎏ + πn, n Z; 2) x = ᎏ + ᎏ ,
2
6
8
4
n Z.
5
11
7
1
§ 3. 1. 1) ᎏ
; 2) ᎏ . 2. 1) ᎏ ; 2) ᎏ . 3. 1)
13
13
11
兹1
苶0
苶
33
9
3
ᎏ ; 2)
3
兹苶
11
24
ᎏ.
7
4
4. 1) ᎏ ; 2) ᎏ . 5. 1) – ᎏ π; 2) – ᎏ π. 6. 1) 13 – 4π; 2) 7 – 2π.
65
7
9
兹8
苶5
苶
1
πn
πn
π
10. 1) x = πn, x = arctg ᎏ + πn, n Z; 2) x = ᎏ , x = ᎏ + ᎏ ,
4
2
12
2
1
2
n Z. 11. 1) x = – arctg ᎏ + πn, n Z; 2) x = arctg ᎏ + πn, n Z.
2
3
1
π
12. 1) x = ᎏ + πn, n Z; 2) x = arctg ᎏ + πn, n Z.
6
2
136
π
5π
§ 4. 1. 1) x = ᎏ + πn, n Z; 2) x = π + 2πn, n Z. 2. 1) x = ᎏ +
4
6
3π
2) x = ᎏ + 2πn,
4
+ 2πn, n Z;
n Z. 3. 1) x = (– 1)
n+1
π
ᎏ + πn,
6
π
1
n Z; 2) x = (– 1)n + 1 ᎏ + πn, n Z. 4. 1) x = – arctg ᎏ + πn, n Z;
6
2
π
π
2
3
2) x = arctg 2 + πn, n Z. 5. 1) x = ᎏ + πn, x = ᎏ + 2πn, n Z;
π
π
2) x = πn, x = (– 1)n+1 ᎏ + πn, n Z. 6. 1) x = ᎏ + πn, n Z;
6
4
π πn
1
3 ) + πn, n Z;
2) x = ᎏ + ᎏ , n Z. 7. 1) x = ᎏ arccos (2 – 兹苶
4
2
2
1
1
2) x = ᎏ arccos (3 – 兹苶
8 ) + πn, n Z. 8. 1) x = arccos – ᎏ + 2πn,
2
4
π
1
1
n Z; 2) x = ᎏ arccos ᎏ + πn, n Z. 9. 1) x = – ᎏ + πn,
2
3
4
πn
π
π
πn
n π
x = (– 1) ᎏ + ᎏ , n Z; 2) x = ᎏ + πn, x = (– 1)n + 1 ᎏ + ᎏ , n Z.
8
2
4
8
2
3π
π
π
10. 1) x = ᎏ + 2πn, x = ᎏ + 2πn, n Z; 2) x = ᎏ + πn, n Z.
4
4
8
1
1
n
11. 1) x = (– 1) arcsin ᎏ + πn, n Z; 2) x = arccos ᎏ + 2πn, n Z.
4
3
π
2π
π
12. 1) x = ᎏ + 2πn, n Z; 2) x = (– 1)n ᎏ + πn, n Z. 13. 1) x = (– 1)n+1 ᎏ +
3
6
6
π
π πn
π
n,
n
Z;
2)
x
2
π
n,
n
Z.
14.
1)
x
,
n
Z;
2)
x
π
+
= ᎏ +
=ᎏ+ᎏ
= n,
3
4
2
冢
冣
π
π
π
x = – ᎏ + πn, n Z. 15. 1) x = ᎏ + πn, n Z; 2) x = (– 1)n ᎏ + πn, n Z.
4
6
6
1
4
16. 1) x = ᎏ + πn, n Z; 2) x = ᎏ arccos ᎏ + πn, n Z.
3
2
5
1
17. 1) x = arcsin ᎏ + (2n + 1) π, n Z; 2) x = (– 1)n+1 arcsin
3
兹苶
π
3π
n Z. 18. 1) x = ᎏ + 2πn, n Z; 2) x = (– 1)n arcsin
4
2
苶
兹 ᎏ3 + πn,
3
苶
兹 ᎏ8 + πn, n
Z.
π πn
π
π πn
19. 1) x = ᎏ + ᎏ , x = ᎏ + πn, n Z; 2) x = πn, x = ᎏ + ᎏ , n Z.
4
2
2
4
2
π
π
1
20. 1) x = 2πn, x = ᎏ arccos 1 – ᎏ
+ 2πn, n Z; 2) x = – ᎏ + 2πn,
4
2
2
兹苶
π
1
n
x = – ᎏ + (– 1) arcsin ᎏ – 1 + πn, n Z.
4
兹2
苶
πn
πn
π
πn
§ 5. 1. 1) x = ᎏ , x = ᎏ + ᎏ , n Z; 2) x = ᎏ , n Z.
冢
冣
冢
4
20
冣
10
12
π
πn
π
πn
1
1 – 兹1
苶7
苶 + πn, n Z; 2) x = ᎏ
2. 1) x = ᎏ + ᎏ , x = ᎏ arccos ᎏ
+ ᎏ,
8
4
2
4
8
4
– 1 兹3
苶
x = ᎏ + πn, n Z. 3. 1) x = πn, x = arccos ᎏ + 2πn, n Z;
3
4
πn
πn
π
2
2) x = ᎏ , x = arccos ᎏ + 2πn, n Z. 4. 1) x = ᎏ + ᎏ , n Z;
2
3
4
2
π
137
π
2) x = 4πn, x = ᎏ + 2πn, n Z. 5. 1) x = πn, n Z; 2) x = πn,
3
πn
π
πn
π
π
n Z. 6. 1) x = πn, x = ᎏ + ᎏ , n Z; 2) x = ᎏ + πn, x = ᎏ + ᎏ ,
8
4
2
8
4
1
n Z. 7. 1) x = – arctg ᎏ + πn, n Z; 2) x = – arctg 兹2
苶 + πn, n Z.
5
兹苶
3π
3π
π
π
8. 1) x = – ᎏ + 2πn, x = ᎏ + 2πn, n Z; 2) x = – ᎏ + 2πn, x = ᎏ +
8
8
8
8
π
πn
πn
n Z.
9. 1) x = ᎏ + ᎏ ,
n Z;
2) x = ᎏ ,
n Z.
+ 2πn,
4
2
3
πn
π
πn
π
10. 1) x = ᎏ + ᎏ , n Z; 2) x = ᎏ + ᎏ , n Z. 11. 1) x = πn,
12
2
8
4
π
π
π
π
x = ᎏ + πn, x = ᎏ + π (2n + 1), n Z; 2) x = ᎏ + πn, x = ᎏ + πn,
4
6
2
π
π
π
πn
2
6
4
2
4
x = ᎏ ᎏ + 2πn, n Z. 12. 1) x = ᎏ + ᎏ , n 2 + 4k, n 3 + 6k,
π
πn
n Z, k Z; 2) x = ᎏ , n 3 + 6k, n Z, k Z. 13. 1) x = ᎏ + πn,
6
12
π
πn
π
πn
13π
5π
x = ᎏ + πn, x = ᎏ + πn, n Z; 2) x = ᎏ , x = ᎏ + ᎏ , x = ᎏ + πn,
24
24
2
12
2
6
8
5
n Z. 14. 1) x = arcsin ᎏ + 2πn, n Z; 2) x = arcsin ᎏ + 2πn, n Z.
13
17
π
π
15. 1) x = ᎏ + πn, n Z; 2) x = ᎏ + πn, n Z.
2
π
§ 6. 1. 1) 冢πk; ᎏ + πn冣,
4
冢
2
3π
– ᎏ + 2πk;
4
πn冣, k Z, n Z;
π
5π
2) 冢– ᎏ + πk; – ᎏ + πn冣, k Z, n Z. 2. 1)
12
6
兹5
苶– 1 + 2 π n , k
冢 ᎏπ8 + πk; arccos ᎏ
冣
2
π
兹5
苶 – 1 + 2πn , k
+ πk; arccos ᎏ
冢ᎏ
冣
12
2
π
冢 ᎏ4 + (– 1)
k
π
冢 ᎏ8 + πk;
Z, n Z; 2)
π + 2πn冣 ,
π
+ πk;
冢ᎏ
12
Z, n Z. 3. 1)
π
π + 2πn冣 ,
冢 ᎏ2 + πk;
π
冣
ᎏ + πn ,
2
πk
arctg 2 + ᎏ + πn; (– 1)k arctg 2 + πn冣, k Z, n Z;
2) (πk; πn),
冢
2
1
1
arctg ᎏ + πk; arctg ᎏ + πn ,
3
2
冣
冢– arctg ᎏ3 + πk;
1
π
– arctg ᎏ + πn冣 , k Z, n Z. 4. 1) 冢 πk; ᎏ + πn冣 ,
兹3
苶 + πk;
冢arctg ᎏ
2
ᎏ + πn ,
6
1
冢
2
π
兹3
苶 + πk; – ᎏ
+ πn冣 , k
冣 冢– arctg ᎏ
2
6
π
π
π
1
ᎏ + πn , ᎏ + πk; arctg ᎏ + πn ,
2
4
3
1
π
– ᎏ + πk; – arctg ᎏ + πn , k Z, n Z. 5. 1)
4
3
2)
π
2
冢 ᎏ2 + πk;
138
冣 冢
Z, n Z;
冣
冣
π
冢 ᎏ2 + πk;
π
冣
ᎏ + πn ,
2
π
πk
;
冢 ᎏ4 + ᎏ
2
5π
π πk
π
π
– ᎏ – ᎏ + 2πn冣, k Z, n Z; 2) 冢 ᎏ + 2πk; ᎏ + 2πn冣,
4
+ 2πk;
冢 ᎏ
6
2
6
6
5π
ᎏ + 2πn冣, k Z, n Z.
6
1
3
3
πn
πk
6. 1) (– 1)k ᎏ arcsin ᎏ + ᎏ ; (– 1)n arcsin ᎏ + ᎏ , k Z, n Z;
2
4
2
4
2
π
π
2
2
兹苶 + πk; – ᎏ + (– 1)n + 1 arcsin ᎏ
兹2
苶 + πn ,
2) – ᎏ + (– 1)k arcsin ᎏ
4
3
4
3
冢
冣
冢
冣
π
π
k Z, n Z. 7. 1) 冢(– 1)k 冢– ᎏ 冣 + πn + πk; – ᎏ + πn冣,
4
4
1
1
arctg ᎏ + πn + πk; arctg ᎏ + πn , k Z, n Z;
2
2
3π
π
+ πk; πn , ᎏ + π (2k + n); – ᎏ + πn ,
4
4
冢(– 1) 冢
k
2)
π
冢 ᎏ2
冣
冣 冢
π
冢– ᎏ2 – arctg 2 + π (2k + n);
冣
冣
– arctg 2 + πn冣 , k Z, n Z.
8. 1) 冢(– 1)k ᎏ arcsin ᎏ + ᎏ πk; (– 1)k ᎏ arcsin ᎏ + ᎏ πk+ 2πn冣,
1
1
1
1
1
4
9
3
4
3
π
k
π
k
1
2
1
2
(– 1)k ᎏ arcsin ᎏ + ᎏ ; (– 1)k + 1 ᎏ arcsin ᎏ + ᎏ + 2πn , k Z, n Z;
21
9
21
7
9
7
π
k
1
1
1
1
2) (– 1)k ᎏ arcsin ᎏ + ᎏ + 2πn; (– 1)k ᎏ arcsin ᎏ + πk ,
2
6
2
10
6
1
3
π
k
1
3
πk
(– 1)k + 1 ᎏ arcsin ᎏ + ᎏ + 2πn; (– 1)k + 1 ᎏ arcsin ᎏ + ᎏ , k Z,
10
20
10
50
20
50
1
9
冢
冣
冢
冢
n Z.
冣
冣
Содержание
Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . .
Глава II
Делимость чисел
. . . . . . . . .
§ 1. Понятие делимости. Делимость суммы
ведения
. . . . . . . . . . . .
§ 2. Деление с остатком . . . . . . .
. . . . . .
§ 3. Признаки делимости
§ 4. Сравнения . . . . . . . . . . .
§ 5. Решение уравнений в целых числах
.
и
.
.
.
.
. . . 5
произ. . . —
. . . 6
. . . 8
. . . 9
. . . 10
Глава III
Многочлены. Алгебраические уравнения
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
. . . .
Многочлены от одной переменной
. . . . .
Схема Горнера
. . . . . . . . . . . . .
Многочлен P(x) и его корень. Теорема Безу
Алгебраическое уравнение. Следствия из теоремы Безу . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Решение алгебраических уравнений разложением на множители
. . . . . . . . . . . .
6. Делимость двучленов xm am на x a . . . .
7. Cимметрические многочлены
. . . . . . .
8. Многочлены от нескольких переменных . . .
9. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона
. . . . . .
10. Системы уравнений . . . . . . . . . . .
1.
2.
3.
4.
Глава IV
Степень с действительным показателем
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
140
3
. . . .
Действительные числа . . . . . . . . . .
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
. . . . . . . . . . . . . . . .
Арифметический корень натуральной степени
Степень с рациональным и действительным показателями . . . . . . . . . . . . . . .
14
—
16
—
18
20
23
24
26
27
29
38
—
39
41
44
Глава V
Степенная функция
§
§
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
5.
6.
. . . . . . . . . . . .
Степенная функция, ее свойства и график
Взаимно обратные функции. Сложная функция
Дробно-линейная функция
. . . . . . . .
Равносильные уравнения и неравенства . . .
Иррациональные уравнения . . . . . . . .
Иррациональные неравенства
. . . . . . .
Глава VI
Показательная функция
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
. . . . . . . . . .
Показательная функция, ее свойства и график
Показательные уравнения . . . . . . . . .
Показательные неравенства . . . . . . . .
Системы показательных уравнений и неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава VII
Логарифмическая функция
. . . . . . . . .
§ 1. Логарифмы . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Свойства логарифмов . . . . . . . . . . .
§ 3. Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода . . . . . . . . . . . . . . .
§ 4. Логарифмическая функция, ее свойства и график . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 5. Логарифмические уравнения
. . . . . . .
§ 6. Логарифмические неравенства . . . . . . .
Глава VIII
Тригонометрические формулы
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
48
—
49
51
52
55
57
60
—
62
63
65
67
—
68
70
71
73
75
. . . . . . . .
79
Радианная мера угла . . . . . . . . . . .
Поворот точки вокруг начала координат
. .
Определение синуса, косинуса и тангенса угла
Знаки синуса, косинуса и тангенса . . . . .
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла . . . . . . .
6. Тригонометрические тождества
. . . . . .
7. Синус, косинус и тангенс углов α и – α . . .
8. Формулы сложения
. . . . . . . . . . .
9. Синус, косинус и тангенс двойного угла
. .
10. Синус, косинус и тангенс половинного угла
11. Формулы приведения . . . . . . . . . .
12. Сумма и разность синусов. Сумма и разность
косинусов . . . . . . . . . . . . . . .
13. Произведение синусов и косинусов
. . . .
—
80
82
84
1.
2.
3.
4.
5.
85
88
90
—
91
94
—
97
99
141
Глава IX
Тригонометрические уравнения .
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
. . . . . . . 102
Уравнение cos x = a . . . . . . . . . . . .
Уравнение sin x = a . . . . . . . . . . . .
Уравнение tg x = a . . . . . . . . . . . .
Тригонометрические уравнения, сводящиеся к
алгебраическим. Однородные и линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 5. Методы замены неизвестного и разложения на
множители. Метод оценки левой и правой частей тригонометрического уравнения
. . . .
§ 6. Системы тригонометрических уравнений
—
104
107
110
114
119
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Учебное издание
Шабунин Михаил Иванович
Ткачёва Мария Владимировна
Фёдорова Надежда Евгеньевна
Доброва Ольга Николаевна
Алгебра и начала
математического анализа
Дидактические материалы
10 класс
Углублённый уровень
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. Н. Белоновская, Н. Н. Сорокина
Младший редактор Е. А. Андреенкова
Художник Е. В. Соганова
Художественный редактор О. П. Богомолова
Компьютерная графика А. Г. Вьюниковской
Технические редакторы Р. С. Еникеева, С. Н. Терехова
Корректоры Л. А. Ермолина, И. Н. Панкова
Налоговая
льгота — Общероссийский
классификатор
продукции
ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Под1
писано в печать 30.07.12. Формат 60 90 /16. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 9,47. Тираж 3000 экз.
Заказ № 33228.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат».
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
www.sarpk.ru