Под ред. г.с Ландсберга
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ УЧЕБНИК ФИЗИКИ
1. Механика.
Один
из
популярность.
лучших
курсов
Достоинством
Теплота. Молекулярная физика
элементарной
физики,
завоевавший
курса является глубина изложения
огромную
физической
стороны рассматриваемых процессов и явлений в природе и технике. В новом
издании
структура курса осталась прежней,
однако
в
изложении
проведена
система единиц СИ, терминология и обозначения единиц физических величин
приведены в соответствие с действующим ГОСТ.
ДЛЯ слушателей и преподавателей подготовительных отделений и курсов
вузов, старшеклассников общеобразовательных и профессиональных школ,
а
также лиц, занимающихся самообразованием и готовящихся к поступлению в вуз.
Оглавление
от издательства
Из предисловия к первому изданию
Введение
9
11
15
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. МЕХАНИКА
Глава
1. Кипематика
§ 1. Движение тел (19).
§2. Кинематика. Относительность движения и покоя (21).
§3. Траектория движения (22).
§4. Поступательное и вращательное движения тела (23).
§5. Движение точки (25).
§6. Описание движения точки (26).
§7. Измерение длины (30).
§8. Измерение промежутков времени (33).
§9. Равномерное прямолинейное движение и его скорость (35).
§ 1о. Знак скорости при прямолинейном движении (37).
§ 11. Единицы скорости (38).
§ 12. Графики зависимости пути от времени (40).
§13. Графики зависимости скорости от времени (44).
§ 14. Неравномерное прямолинейное движение. Средняя скорость (45).
§15. Мгновенная скорость (47).
§ 16. Ускорение при прямолинейном движении (49).
§ 17. Скорость прямолинейного равноускоренного движения (51).
§ 18. Знак ускорения при прямолинейном движении (52).
§ 19. Графики скорости при прямолинейном равноускоренном движении
(53).
§20. Графики скорости при произвольном неравномерном движении
(55).
§21. Нахождение пути, пройденного при неравномерном движении, при
помощи графика скорости (56).
§22. Путь, пройденный при равнопеременном движении (57).
19
§23. Векторы (59).
§24. Разложение вектора на составляющие (62).
§25. Криволинейное движение (66).
§26. Скорость криволинейного движения (66).
§27. Ускорение при криволинейном движении (67).
§28. Движение относительно разных систем отсчета (70).
§29. Кинематика космических движений (72).
Глава 11. Динамика
§зо. Задачи динамики (76).
§31. Закон инерции (76).
§32. Инерциальные системы отсчета (79).
§33. Принцип относительности Галилея (80).
§34. Силы (81).
§35. Уравновешивающиеся силы. О покое тела и о движении по инерции
(82).
§36. Сила- вектор. Эталон силы (84).
§37. Динамометры (86).
§38. Точка приложения силы (88).
§39. Равнодействующая сила (89).
§40. Сложение сил, направленных по одной прямой (90).
§41. Сложение сил, направленных под углом друг к другу (91)
§42. Связь между силой и ускорением (92).
§43. Масса тела (94).
§44. Второй закон Ньютона (96).
§45. Единицы силы и массы (100).
§46. Системы единиц (100).
§47. Третий закон Ньютона (101).
§48. Примеры применения третьего закона Ньютона (105).
§49. Импульс тела (107).
§50. Система тел. Закон сохранения импульса (108).
§51. Применения закона сохранения импульса (109).
§52. Свободное падение тел (111),
§53. Ускорение свободного падения (112).
§54. Падение тела без начальной скорости и движение тела, брошенного
вертикально вверх (113).
§55. Вес тела (115).
§56. Масса и вес (117).
§57. Плотность вещества (118).
§58. Возникновение деформаций (119).
§59. Деформации в покоящихся телах, вызванные действием только сил,
возникающих при соприкосновении (120).
§60. Деформации в покоящихся телах, вызванные силой тяжести (121).
§61. Деформации тела, испытывающего ускорение (123).
§62. Исчезновение деформаций при падении тел (125).
76
§63.
§64.
§65.
§66.
§67.
§68.
Разрушение движущихся тел
Силы трения
(128).
(131).
сил трения (132).
Трение качения
Роль
Сопротивление среды
Падение тел в воздухе
Глава
§69.
§70.
§71.
(127).
(134).
(135).
111. Статика
Задачи статики
138
(138).
Абсолютно твердое тело
(139).
Перенос точки приложения силы, действующей на твердое тело
(141).
§72. Равновесие тела под действием трех сил (142).
§73. Разложение сил на составляющие (144).
§74. Проекции сил. Общие условия равновесия (146).
§75. Связи. Силы реакции связей. Тело, закрепленное на оси (148).
§76. Равновесие тела, закрепленного на оси (151).
§77. Момент силы (152).
§78. Измерение момента силы (154).
§79. Пара сил (156).
§80. Сложение параллельных сил. Центр тяжести (156).
§81. Определение центра тяжести тел (159).
§82. Различные случаи равновесия тела под действием силы тяжести
(162).
§83. Условия устойчивого равновесия под действием силы тяжести
(165).
§84. Простые машины (168).
§85. Клин и винт (175).
Глава IV. Работа и эперrия
§86. «Золотое правило» механики (179).
§87. Применения «золотого правила» (180).
§88. Работа силы (181).
§89. Работа при перемещении, перпендикулярном к направлению силы
(183).
§90. Работа силы, направленной под любым углом к перемещению (183).
§91. Положительная и отрицательная работа (185).
§92. Единица работы (186).
§93. О движении по горизонтальной плоскости (186).
§94. Работа силы тяжести при движении по наклонной плоскости (187).
§95. Принцип сохранения работы (188).
§96. Энергия (189).
§97. Потенциальная энергия (191).
§98. Потенциальная энергия упругой деформации (194).
§99. Кинетическая энергия (195).
§ 100. Выражение кинетической энергии через массу и скорость тела
179
(196).
§101. Полная энергия тела (197).
§ 102. Закон сохранения энергии (198).
§ 103. Силы трения и закон сохранения механической энергии (202).
§ 104. Превращение механической энергии во внутреннюю энергию
(203).
§105. Всеобщий характер закона сохранения энергии (206).
§ 106. Мощность (207).
§ 107. Расчет мощности механизмов (208).
§ 108. Мощность, быстроходность и размеры механизма (209).
§109. Коэффициент полезного действия механизмов (210).
Глава
v. :Криволинейное движение
§ 11 о. Возникновение криволинейного движения (213).
§ 111. Ускорение при криволинейном движении (214).
§ 112. Движение тела, брошенного в горизонтальном направлении (216).
§ 113. Движение тела, брошенного под углом к горизонту (218).
§ 114. Полет пуль и снарядов (221).
§115. Угловая скорость (222).
§ 116. Силы при равномерном движении по окружности (224).
§ 117. Возникновение силы, действующей на тело, движущееся по
окружности (226).
§ 118. Разрыв маховиков (228).
§119. Деформация тела, движущегося по окружности (230).
§120. «Американские горки» (233).
§ 121. Движение на закруглениях пути (235).
§ 122. Движение подвешенного тела по окружности (236).
§ 123. Движение планет (238).
§124. Закон всемирного тяготения (241).
§125. Искусственные спутники Земли (245).
Глава VI. Движение в неинерциальных системах отсчета и силы
инерции
§ 126. Роль системы отсчета (253).
§ 127. Движение относительно разных инерциальных систем отсчета
(254).
§ 128. Движение относительно инерциальной и неинерциальной систем
отсчета (255).
§ 129. Поступательно движущиеся неинерциальные системы (257).
§ 130. Силы инерции (258).
§ 131. Эквивалентность сил инерции и сил тяготения (260).
§132. Невесомость и перегрузки (263).
§ 133. Является ли Земля инерциальной системой отсчета? (265).
§ 134. Вращающиеся системы отсчета (266).
§135. Силы инерции при движении тела относительно вращающейся
системы отсчета (269).
213
253
§136.
§137.
Доказательство вращения Земли
(270).
Приливы
Глава
(273).
VII. Гидростатика
§ 138. Подвижность жидкости (275).
§139. Силы давления (276).
§140. Измерение сжимаемости жидкости (278).
§ 141. «Несжимаемая» жидкость (279).
§142. Силы давления в жидкости передаются во все стороны (279).
§ 143. Направление сил давления (280).
§ 144. Давление (280).
§ 145. Мембранный манометр (282).
§146. Независимость давления от ориентации площадки (282).
§147. Единицы давления (283).
§148. Определение сил давления по давлению (284).
§149. Распределение давления внутри жидкости (285).
§ 150. Закон Паскаля (285).
§ 151. Гидравлический пресс (287).
§152. Жидкость под действием силы тяжести (289).
§153. Сообщающиеся сосуды (293).
§ 154. Жидкостный манометр (295).
§155. Устройство водопровода. Нагнетательный насос (297).
§ 156. Сифон (298).
§ 157. Сила давления на дно сосуда (300).
§ 158. Давление воды в морских глубинах (303).
§159. Прочность подводной лодки (306).
§ 160. Закон Архимеда (307).
§ 161. Измерение плотности тел на основании закона Архимеда (312).
§162. Плавание тел (312).
§163. Плавание несплошных тел (315).
§ 164. Устойчивость плавания кораблей (317).
§165. Всплывание пузырьков (318).
§ 166. Тела, лежащие на дне сосуда (319).
Глава VIII. Аэростатика
§ 167. Механические свойства газов (320).
§ 168. Атмосфера (321).
§169. Давление атмосферы (322).
§ 170. Другие опыты, показывающие существование атмосферного
давления (324).
§171. Разрежающие насосы (327).
§ 172. Влияние атмосферного давления на уровень жидкости в трубке
(328).
§ 173. Максимальная высота столба жидкости (330).
§ 174. Опыт Торричелли. Ртутный барометр и барометр-анероид (332).
§ 175. Распределение атмосферного давления по высоте (335).
275
320
§ 176. Физиологическое действие пониженного давления воздуха (338).
§ 177. Закон Архимеда для газов (338).
§ 178. Воздушные шары и дирижабли (339).
§ 179. Применение сжатого воздуха в технике (341).
Глава IX. Гидродинамика и аэродинамика
§ 180. Давление в движущейся жидкости (345).
§181. Течение жидкости по трубам. Трение жидкости (347).
§ 182. Закон Бернулли (350).
§183. Жидкость в неинерциальных системах отсчета (353).
§ 184. Реакция движущейся жидкости и ее использование (356).
§ 185. Перемещение на воде (358).
§186. Ракеты (361).
§187. Реактивные двигатели (362).
§ 188. Баллистические ракеты (363).
§189. Взлет ракеты с Земли (365).
§190. Сопротивление воздуха. Сопротивление воды (366).
§191. Эффект Магнуса и циркуляция (370).
§ 192. Подъемная сила крыла и полет самолета (372).
§193. Турбулентность в потоке жидкости или газа (375).
§194. Ламинарное течение (376).
345
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. ТЕПЛОТА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Глава х. Тепловое расширение твердых и жидких тел
§ 195.
§196.
§ 197.
§ 198.
§ 199.
Тепловое расширение твердых и жидких тел
Термометры
378
(378).
(382).
Формула линейного расширения
Формула объемного расширения
(385).
(388).
Связь между коэффициентами линейного и объемного расширения
(389).
§200.
§201.
Измерение коэффициента объемного расширения жидкостей
Особенности расширения воды
Глава
§202.
§203.
§204.
§205.
§206.
XI.
(390).
(391).
Работа. Теплота. Закон сохранения энерrии
Изменения состояния тел
392
(392).
Нагревание тел при совершении работы
(393).
Изменение внутренней энергии тел при теплопередаче
Единицы количества теплоты
(395).
(396).
Зависимость внутренней энергии тела от его массы и вещества
(397).
§207.
§208.
§209.
§210.
§211.
§212.
Теплоемкость тела
(398).
(399).
Удельная теплоемкость
Калориметр. Измерение теплоемкостей
Закон сохранения энергии
(400).
(403).
Невозможность «вечного двигателя»
(404).
Различные виды процессов, при которых происходит передача
теплоты
(405).
Глава ХН. Молекулярная теория
§213. Молекулы и атомы (410).
§214. Размеры атомов и молекул (411).
§215. Микромир (412).
§216. Внутренняя энергия с точки зрения молекулярной теории (414).
§217. Молекулярное движение (415).
§218. Молекулярное движение в газах, жидкостях и твердых телах (416).
§219. Броуновское движение (417).
§220. Молекулярные силы (418).
Глава XIH. Свойства rазов
§221. Давление газа (421).
§222. Зависимость давления газа от температуры (423).
§223. Формула, выражающая закон Шарля (424).
§224. Закон Шарля с точки зрения молекулярной теории (425).
§225. Изменение температуры газа при изменении его объема.
Адиабатические и изотермические процессы (426).
§226. Закон Бойля - Мариотта (428).
§227. Формула, выражающая закон Бойля - Мариотта (430).
§228. График, выражающий закон Бойля-Мариотта (431).
§229. Зависимость между плотностью газа и его давлением (432).
§230. Молекулярное толкование закона Бойля - Мариотта (433).
§231. Изменение объема газа при изменении температуры (434).
§232. Закон Гей-Люссака (435).
§233. Графики, выражающие законы Шарля и Гей-Люссака (436).
§234. Термодинамическая температура (437).
§235. Газовый термометр (439).
§236. Объем газа и термодинамическая температура (440).
§237. Зависимость плотности газа от температуры (440).
§238. Уравнение состояния газа (441).
§239. Закон Дальтона (443).
§240. Плотность газов (443).
§241. Закон Авогадро (445).
§242. Моль. Постоянная Авогадро (446).
§243. Скорости молекул газа (447).
§244. Об одном из способов измерения скоростей движения молекул
газа (опыт Штерна) (451).
§245. Удельные теплоемкости газов (453).
§246. Молярные теплоемкости (454).
§247. Закон Дюлонга и Пти (456).
Глава XIV. Свойства жидкостей
§248. Строение жидкостей (457).
§249. Поверхностная энергия (458).
§250. Поверхностное натяжение (463).
§251. Жидкостные пленки (467).
410
421
457
§252. Зависимость поверхностного натяжения от температуры (468).
§253. Смачивание инесмачивание (469).
§254. Расположение молекул у поверхности тел (472).
§255. Значение кривизны свободной поверхности жидкости (473).
§256. Капиллярные явления (478).
§257. Высота поднятия жидкости в капиллярных трубках (480).
§258. Адсорбция (482).
§259. Флотация (483).
§260. Растворение газов (485).
§261. Взаимное растворение жидкостей (488).
§262. Растворение твердых тел в жидкостях (488).
Глава
xv. Свойства твердых тел. Переход тел из твердого состояния
490
в жидкое
§263. Введение (490).
§264. Кристаллические тела (491).
§265. Аморфные тела (494).
§266. Кристаллическая решетка (495).
§267. Кристаллизация (499).
§268. Плавление и отвердевание (500).
§269. Удельная теплота плавления (501).
§270. Переохлаждение (503).
§271. Изменение плотности веществ при плавлении (505).
§272. Полимеры (506).
§273. Сплавы (509).
§274. Затвердевание растворов (511).
§275. Охлаждающие смеси (512).
§276. Изменения свойств твердого тела (513).
Глава
XVI. Упругость и прочность
515
§277. Введение (515).
§278. Упругие и пластические деформации (515).
§279. Закон Гука (516).
§280. Растяжение и сжатие (517).
§281. Сдвиг (519).
§282. Кручение (521).
§283. Изгиб (523).
§284. Прочность (525).
§285. Твердость (526).
§286. Что происходит при деформации тел (527).
§287. Изменение энергии при деформации тел (528).
Глава
XVH. Свойства паров
§288. Введение (529).
§289. Пар насыщенный иненасыщенный (529).
§290. Что происходит при изменении объема жидкости и насыщенного
пара (431).
529
§291.
§292.
§293.
§294.
§295.
§296.
§297.
Закон Дальтона для пара
(533).
Молекулярная картина испарения
Кипение
Удельная теплота парообразования
Охлаждение при испарении
(541).
(545).
Изменение внутренней энергии при переходе вещества из жидкого
(546).
Испарение при кривых поверхностях жидкости
(547).
Перегревание жидкости
§зоо. Пересыщение паров
§301.
§302.
§303.
§304.
§305.
§306.
(536).
(537).
состояния в парообразное
§298.
§299.
(534).
Зависимость давления насыщенного пара от температуры
(548).
(549).
Насыщение пара при возгонке
(550).
Превращение газа в жидкость (551).
Критическая температура (552).
Сжижение газов в технике (556).
Вакуумная техника (559).
Водяной пар в атмосфере (560).
Глава XVIII. Физика атмосферы
§307. Атмосфера (564).
§308. Тепловой баланс Земли (565).
§309. Адиабатические процессы в атмосфере (566).
§310. Облака (567).
§311. Искусственные осадки (570).
§312. Ветер (571).
§313. Предсказание погоды (572).
Глава XIX. Тепловые машины
§314. Условия, необходимые для работы тепловых двигателей (574).
§315. Паросиловая станция (575).
§316. Паровой котел (576).
§317. Паровая турбина (578).
§318. Поршневая паровая машина (579).
§319. Конденсатор (581).
§320. Коэффициент полезного действия теплового двигателя (581).
§321. Коэффициент полезного действия паросиловой станции (582).
§322. Бензиновый двигатель внутреннего сгорания (585).
§323. Коэффициент полезного действия двигателя внутреннего сгорания
(589).
§324. Двигатель Дизеля (590).
§325. Реактивные двигатели (591).
§326. Передача теплоты от холодного тела к горячему (592).
Ответы и решения к упражнениям
Предметный указатель
Таблицы
1.
Плотность некоторых веществ
(118).
564
574
596
600
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Сведения о планетах
(238).
Коэффициент линейного расширения некоторых веществ
(386).
(390).
Коэффициент объемного расширения некоторых жидкостей
Удельная теплоемкость некоторых веществ
Теплоемкость некоторых веществ
(402).
(406).
Плотность некоторых газов при нормальных условиях
Средняя скорость молекул некоторых газов
(444).
(450).
Молекулярная теплоемкость некоторых газов при постоянном
давлении и при постоянном объеме (455).
10. Молярная теплоемкость некоторых твердых веществ при 25 С(456).
11. Поверхностное натяжение некоторых жидкостей (465).
12. Зависимость поверхностного натяжения воды от температуры (469).
13. Растворимость в воде некоторых газов при различных температурах
(487).
14. Растворимость в воде некоторых веществ при различных
температурах (489).
15. Температура плавления некоторых веществ (501).
16. Удельная теплота плавления некоторых веществ (503).
17. Разрушающая нагрузка некоторых материалов при растяжении (526).
18. Давление насыщенного пара воды и ртути при различных
температурах (536).
19. Температура кипения некоторых жидкостей при 760 мм рт. ст. (540).
20. Удельная теплота парообразования некоторых жидкостей (544).
21. Давление насыщенного пара над переохлажденной водой и над
льдом (551).
22. Свойства воды и ее насыщенного пара при различных температурах
(553).
23. Критическая температура и критическое давление некоторых
веществ (554).
24. Давление насыщенного пара воды и абсолютная влажность воздуха в
зависимости от температуры (561).
25. Удельная теплота сгорания некоторых сортов топлива (582).
0
Предметный указатель
Абсолютно твердое тело
490
Абсолютный нуль
438
Адсорбция 482, 483, 560
Автоклав 541
Альтиметр 335
Американские горки 233
Ампер 1О 1
Ангстрем 31
Антициклон 273,571
140, 279,
Ареометр
314
Атмосфера 283,296
- Земли 321, 407,561,564
- техническая 284
- физическая 283,335
Атомы 410,411,413
Афелий 239
Аэродинамика 341
Аэростат 341
Барометр-анероид 332,334
Барометр ртутный
Батискаф
Вращающий момент
332,333
Вычитание векторов
303, 304
303
Батисфера
Бином линейного расширения
Вязкость
387
объемного расширения
388
171, 172, 174, 180, 188
- дифференциальный 174
-простой 170,171,174
- сложный 173
Бриз 571
Броуновское движение 417, 418, 446
Вакуумная техника 327,559
Вакуумные приборы 560
Ватт 207
Вектор 60
Векторы коллинеарные 213
- свободные 65
Вертолет 374, 375
Вес 115, 116, 117,234,263,268
Весы десятичные 117
- крутильные 243
- пружинные 115, 118, 234
-рычажные 116, 117, 118
Ветер 375, 407,571
Вечный двигатель 405,480
Вещества пластичные 516
- упругие 516
Винт 176, 177
-
Блок двойной
Влажность воздуха абсолютная
561-563
- - относительная 561-563
Вода 391,399,465,485,487,497,505,
553
Водоизмещение 314
Водолазный колокол 305
Водомерная трубка 293, 294
Водопровод 297, 349
Водяное отопление 381
Водяной эквивалент 402, 502, 544
Возгонка 500
Воздушный шар 339, 340, 346
-тормоз 343
Волновое сопротивление 368
Ворот 172
209, 522
62
407, 504
320, 407, 414
Гейзер 541
Гигрометр 561, 562
Гидродинамика 345
Гипербола 432
Гипсотермометр 539, 540
Градус Цельсия 383
График пути 41
- скорости 53
Гребное колесо 359
Гребной винт 360
Горная болезнь 338
Давление 281-284, 287, 290, 292,
320
- атмосферы 322, 324, 325, 328, 331,
335
- газа 421,422,445
- гидростатическое 290, 303
- избыточное 343
- критическое 554
- парциальное 443, 486, 487
- - водяного пара 562, 563
- полное 346, 347
- статическое 346-348,351
Двигатель внутреннего сгорания 585,
589
- Дизеля 590, 591
-реактивный 361,362,591,592
- тепловой 574
Движение вращательное 25
- замедленное 49
- криволинейное 25
- механическое 19
- молекулярное 415, 416
- поступательное 24
- прямолинейное 25
- равномерное 35, 36
- равнопеременное 53
- равноускоренное 50-52
- ускоренное 49
Детандер 557
Газы
Деформация
81, 119, 139,231,232
- пластическая 515, 516, 527, 528
- упругая 194,515-517,527
Джоуль 186, 191, 197,397
Дина 100
Динамика 76
Динамометр 86, 87
Дирижабль 339, 341
Диффузия 415, 450, 485, 486, 488
Домкрат 178
Единицы давления 283, 296 ,
- физических величин основные 1О 1
- - - производные 1О 1
Жесткость пружины 194
Жидкий воздух 557
-грунт 317
- кислород 557
Жидкостные пленки 467
Жидкость перегретая 539, 548
Закалка стали 514
Закон Авогадро 445--447
- Архимеда 309,310,312,319,338,
339,462
- Бернулли 350-352, 371
- Бойля - Мариотта 428, 430 432,
433,436,445,531-533,538
-Бэра 273
- всемирного тяготения 241, 242
- Гей-Люссака 435--437,440
-Генри 487
-Гука 516,517,533
- Дальтона 443, 445, 446, 533, 534
- Дюлонга и Пти 502
- инерции 78, 98, 109, 253, 258
- кратных отношений 411
Ньютона второй 97-100, 107,
214,215,253,258
- - первый 78, 98
- - третий 104, 106, 230, 243, 253,
259
- Паскаля 287, 320
- постоянных отношений 41 О
равенства
противодействия
действия
104
и
- сохранения импульса 109, 110,259
- - работы 200
- - энергии 180, 198, 199, 202, 206,
392,395,400,404,405,427,502,
543
- Шарля 424, 425, 436--440, 449,
531
Законы Кеплера 238,239,241
Золотниковая коробка 579,580
Золотое правило механики 179-181,
188,288
Зонд 347
Изгиб 523
Измеритель скорости потока 347
Импульс тела 107
Ионосфера 564
Ионы 496
Искусственный спутник Земли 245,
263,285,306,338,363,564,573
- - - синхронный 252
Испарение 408,529,545,547
Кабестан 172, 173
Кавитация 533
Калориметр 400, 402, 502, 543, 544,
582
Калория 397
Кандела 101
Капилляр 377, 481
Капиллярная трубка 478--480
Капиллярные явления 478
Карбюратор 586, 587
Каучук 508, 509
Кварцевое стекло 379
Кельвин 101,383,438
Кессонная болезнь 306
Килограмм 100, 1О 1
Кинематика 21
Кипение 537, 538
Клин 175, 176
Количество теплоты 396, 398
Компонента вектора 64
Компрессор 342
Конвекция 407
Конденсатор 581
Конденсация
- -
408, 529
старые русские
31
Концентрация раствора
Метацентр
Координата точки
Метацентрическая высота
488, 489
27, 57
Кориолисова сила 270
Космическая скорость вторая 252
- - первая 247
Коэффициент
полезного
318
318
Метр
30,31, 101
Механика 20
Механический эквивалент теплоты
действия
397
двигателя внутреннего сгорания
Микромир
589,591
296
296
Модуль вектора 60, 65
- перемещения 27
Молекулы 410,411,413
Молекулярная теория 410, 414, 495
Моль 101,446,447
Момент силы 152-154,519,521
- пары сил 156
Монгольфьер 340
Монокристалл 491,493,528
Мономеры 507
Мощность 207, 208
- механизма 21 О
Муссоны 571
Нагреватель 574, 576, 582
Наклонная плоскость 147, 187
Напряжение (механическое) 379, 380,
517
Насос водоструйный 353
- воздушный вращательный 327
- - поршневой 327
--ротационный 327,559
- диффузионный 327,559,560
- нагнетательный 297, 298
- пароструйный 559
- разрежающий 327
Насыщение 531
Не смачивание 469---472, 479
Нониус 32, 33
Нормальные условия 442, 447
Ньютон 100
Ньютон-метр 154
Облака 567
Обледенение 504
Обогащение руды 483
---механизма
412, 413, 421
Миллиметр водяного столба
210, 211
- - - паросиловой станции 582
- - - теплового двигателя 581,
583
- трения покоя 130
- - скольжения 131
Кривошипный механизм 175
Криофор 546
Кристаллизация 489, 499,504
Кристаллическая решетка 495, 497
Кристаллы атомные 497
- ионные 496, 497
- молекулярные 497
Кручение 521, 522
Лед 505
Линии тока 352,366,371
Лошадиная сила 207
Луна 242, 245, 269, 273
Магдебургские полушария 325
Макромир 412, 421
Манометр 342, 346
- жидкостный 296
- мембранный 282, 334
Масса 95, 397
- атмосферы 322
- атомная (относительная) 444
Масса Земли 244
- молекулярная (относительная)
445,507
- молярная 446, 455, 456
Материальная точка 243
Маятник Фуко 271, 279
Медицинская пневматическая банка
325,326
Меры длины английские
31
-
ртутного столба
Оксиликвит
557
Опыт Герике 325, 326
-Джоуля 394, 397,402
- Паскаля 301
- Торричелли 332, 333 - Фарадея
552
- Штерна 451---453
Орбиты планет 238
Осадки 570
Охлаждающие смеси 512
Пар 457, 529
- насыщенный 530, 531, 535, 536,
549,553,561
- - ненасыщенный 531
- пересыщенный 549
Пара сил 156,317
Парабола 217, 255, 355
Паровая машина 579
Паровой котел 343, 539, 576, 577
Паросиловая станция 575
Парус 345
Паскаль 283
Пена 467, 468
Перегрузка 265
Перемещение 27,59,60
Переохлаждение 503, 504
Перигелий 239
Перпетуум мобиле 405
Пикнометр 389
Плавучесть 315
Планеты 238
Плечо силы 152
- пары сил 156
Плотность вещества 118, 277, 312,
320,388,389,505
- газа 432, 440, 443, 444
- - относительная 443, 444
Пневматические инструменты 341,
342
- тормоза 343
Поверхностное натяжение 463- 466,
469,476,479,481,535
Поверхностные явления 458
Поверхность равного давления 289
-
уровня
289, 292
Поглощение лучей
408
303,306,307,316,
317,319,339,344,442
Подводные крылья 374
Поликристалл 494, 513, 528
Полимеры 308, 490, 506, 507
Полиспаст 173, 174
Положение равновесия 162
Постоянная Авогадро 446, 447
- газовая 447, 455, 456
Постоянная гравитационная 242244
- солнечная 565
Предел упругости 516
Предельный угол наклона 166
Преобразователь силы 170, 172, 288
Пресс винтовой 178, 288
- гидравлический 287, 288
Принцип сохранения работы 188, 189
- относительности Галилея 80
Приращение величины 50, 68, 197
Проекция вектора 64, 65
- скорости на оси координат 65
-точки 63
Пропеллер 360
Пространственная решетка 496
Простые машины 169, 188, 189,200,
210,288
Противогаз 483
Процесс адиабатический 428, 566
- влажно-адиабатический 567
- изотермический 428
Прочность 525
Психрометр 561, 562
Пульверизатор 353, 576
Путь 27,57
Пьезометр 278
Работа 180, 182, 184, 185
Равновесие динамическое 457, 486,
530
- тела безразличное 163, 165
- - неустойчивое 163
- - устойчивое 163, 166
Подводная лодка
-
тепловое
Радиан
-тяжести
405
101
Радиозонд
564
Разложение вектора на
составляющие
63
Разрушающая нагрузка
525, 526
Ракета
361,362,365
363
Растворение 485
Растворимость 486, 487, 489
Растворы 488, 508, 511
- насыщенные 486, 489
- пересыщенные 489
Растяжение 517
Резина 508, 509
Ртуть 529, 536, 540, 544, 554, 560, 575
Рычаг 157, 169, 170,288,392
- неравноплечий 172
- равноплечий 170
Световой год 40
-
баллистическая
Свободная поверхность жидкости
289,354,355,460,473
112, 125,247
Связи жесткие 148, 228, 230, 231
Сдвиг 517,519-521
Сегнеров о колесо 357
Секунда 33, 101
Сжатие 517
Сжижение газов 556
Сжимаемость 278, 321
Сила 84
- вьпалкивающая 308, 317, 319,
338-340
- инерции центробежная 267- 270,
355
- Кориолиса 270,272,273,571
- лобового сопротивления 370, 373
- поддерживающая 308, 319
- подъемная 370-374
- сопротивления воды 368
- - воздуха 135, 136, 366, 370
- трения качения 131
- - покоя 129, 130,358
- - скольжения 130, 131
Свободное падение
116, 117, 135, 187,268
Силы внешние 108
- внутренние 108, 109
- всемирного тяготения 81, 82, 260
- давления 276,279,280,284,307,
320
- инерции 258-260, 273, 353
- магнитные 82
- молекулярные 399, 418, 465, 474,
482
- реакции 147
- - связей 149
--струи 356--358, 361, 363
- сцепления 418, 457, 459, 465, 469,
472,535
- трения 81, 128, 202, 349
- упругие 81, 119, 120,277,320
- электрические 82
Система единиц 1О 1
--Международная (СИ) 31,101
- отсчета 22, 76, 253
- - вращающаяся 266
- - гелиоцентрическая 238, 259,
265
--инерциальная 78,80,99,238,
253,270
- - неинерциальная 253, 254, 259,
271,353
Система тел 108
Сифон 298, 299
Скаляр 61
Скалярное произведение векторов
184
Скафандр
304, 305, 319
35, 36, 49, 60, 66
- линейная 223
- мгновенная 49
- падения предельная 135, 136
- света 39, 40, 74
- средняя 46, 47
- - молекул 417, 425, 448---451
- угловая тела 224
--точки 223
Сложение векторов 61
Скорость
- - по правилу параллелограмма 61
- - - - треугольника 61
- перемещений 71
-сил 90-92
- скоростей 71
Смазка 473
Смачивание 469---472, 479, 482
Сообщающиеся сосуды 293-295
Сопротивление среды 81, 134
Составляющая вектора 63
Составляющие силы 144
Состояние невесомости 263,264,285,
408,461
- равновесия 423
- стационарное 486
Сосуд Дьюара 558, 559
Соударение идеально упругих шаров
200,414
-
11 О
Сплавы 509, 51 О
неупругое
Средняя длина свободного пробега
416
138, 139
Стекло 495,501
Стерадиан 1О 1
Стратостат 338,341,442
Стратосфера 564
Стрела прогиба 523,524
Стробоскоп 28, 29
Сублимация 500
Сухопарник 543
Сушильная машина 229
Тахометр 225, 226
Твердость 526
Тела аморфные 490, 494, 500, 504,
527,528
- кристаллические 490, 491
- пластичные 120
Тела поликристаллические 491, 493,
494,513
- твердые 513
- упругие 120
Температура 378, 382,414,416
- абсолютная 438
Статика
-
затвердевания
501, 511
кипения 539, 540, 558
критическая 458, 552, 554-556
плавления 501
термодинамическая 437, 438, 440,
449
Температурный
давления
-
-
коэффициент
424, 435, 436
линейного
расширения
385,
386,389,493,495
- -
объемного расширения
388-
390,435,436
Тепловое расширение линейное
378,
380
- -
объемное
380
Теплоемкость 398, 400
- молярная 455
- удельная 399, 400, 402, 455
--газов 453
--почвы 571
- - при постоянном давлении 454
- - - - объеме 454
Теплопередача 396, 405
Теплопроводность
406, 493---495,
506,565
Теплота 392
Теплоэлектроцентраль 584
Термометр 382
- газовый 384, 439, 485
- жидкостный 382, 384
- медицинский 384
- ртутный 383, 384,439
- Цельсия 383
Термоэлектричество 408
Течение ламинарное 376, 377, 528
Точка плавления 501
- росы 563, 567
Траектория движения 22
Трение качения 132
-покоя 134
- скольжения 130
Тропосфера 564
Трубка Пито 347
Туман 504, 549, 550
Турбина водяная
357, 358
- паровая 357,578
Турбодетандер 558
Турбулентность 375-377, 408
Убыль величины 197
Угол кручения 522
Цеппелин
Умножение вектора на скаляр
341
Циклон 273,571
Циркуляция 370, 372, 373
Частота вращения 208, 223
Часы водяные 34
- карманные 34
- кварцевые 35
- маятниковые 34
- молекулярные 35
- песочные 34
Шариковый подшипник 132
Уравнение Бернулли
Шкала температур
Удельная теплота парообразования
541-544
- - -
502, 503
582
плавления
сгорания
62
350
- состояния газа 441, 442
- теплового баланса 401, 544
Ускорение 50, 51, 60, 67, 78,94,214
- касательное 214
- мгновенное 51, 68
- нормальное 70, 215
- свободного падения 113, 242, 244,
268
- - - нормальное 113
-среднее 51
- тангенциальное 214
- центростремительное 70, 214, 223,
224
Условие равновесия тел 138, 143,
146, 152, 154, 157, 165
- - жидкости 329
Устойчивость судна 317, 318
Фаза вещества 457 Фен 567
Холодильная машина 405, 592-594
Холодильник 574,576,582
Центр давления 309,317,318
- тяжести 156, 159, 164-166,309,
317,318
Центробежный регулятор 237
Центры кристаллизации 504
термодинамическая
- -
438
383
383, 437, 438
Фаренгейта
--Цельсия
Эквивалентность сил инерции и сил
тяготения
260-262, 268, 274
Эксперимент 17
Электромагнитные волны 408
Электронный микроскоп 412
Электроны 413,414
Эллипс 238, 492
Энергия 180, 191
- внутренняя 205, 393, 395- 398,
403, 414427,460, 502, 512, 528,
546,547,550,557
Энергия кинетическая 196, 414
- механическая 196
--полная 197, 198,395
- поверхностная 458, 460
- потенциальная 191, 192 194; 250,
414
- тепловая 398
Эрг 186
Эффект Магнуса 370-372
Ядра атомов 413
- конденсации 550
о т ИЗДАТЕЛЬСТВА
<ЭЛ"'Ыl'нтарный учебник физики» под редакщrей акаде­
[\;;ша Г. С. Ландсберга, вышедший впервые в 1948-1952 го·
j:.'}X, ср"зу же завоевал большую ПОПУЛЯРНОСТЬ и стал на­
столы;ой книгой многих ШIШЛЬНИКОВ И абитуриеIJТОП. Успех
Gыл обусловлен в основнmА тем, что отдельные разделы
курсз были нзписаны специалистами в соответствующих
областях физики. В составлении учебника участвовали:
С. Э. Хайкин, ,r..\. А. Исакович, 1\\. А. Леонт0I3ИЧ, Д. И. Са·
харов (10.\[ I), С. Г. Калашников (том ТI), С. М. Рытов,
М. 11'1. Сущинский
(при
участии
И. А. ЯКОВJIева),
Ф. С. .'!Z:i-цсбсрг-Барышанская и Ф. Л. Шапиро (ТОМ III).
Общее р j'KOBO.l1.CTEO и
редактирование
осуществлялось
извеСТНi::l".[ ученым и педагогом Григорием СаМУИJIOБичем
ЛандсG~ргом (1890-1957).
ОТJIичитеЛЬН35I .черта этого курса заключается в том,
что он содержит сравнитеJJЬНО мало фОР:l1УЛ и математиче­
ских ЕЫЕоlадок. Главное внимание в учебнике обращено
на разъяснение сущности физических явлений, причем
делаеТС\1
')то
на
БЫСOJ<ОМ
научном
уровне
и
вместе
с тем
в
форме, ;:.оступной школьнику. Другой ОТШlчитеJIЬНОЙ чер­
той курса является описание большого числа технических
примеНС'I1ИЙ физических законов. В этом отношении, пожа­
луй, ют га не Иl\'Iест себе равных в мировой учебной лите·,
ратурс по физике.
За i:t~зерть веl<8 «Элементарный учебник физики» выдер­
жал делить изданий. Последнее, девятое, издание J3ыходило
в 1975 году. Хотя при переиздашlЛХ отдельные разделы
книги в некоторой мере обновлялись, настоящее, десятое,
шщз!ше потребовало большой редакционной работы, в ос­
новном в связи с требованиями ГОСТ 8.417-81( СТ СЭВ
1052-78) в области терминологии и обозначений единиц
физических величин,
Наибольшей переработке подверг лись главы тома 11,
посвященные магнитнЫМ явлениям. В прежних изданиях
9
ЭТI!
явлении
нзлагаЛI!СЬ
па
основе
33КОШI
Кулона
Щl51
магнитных за рядов. Пр!! Тlодготовие десятого "здания этн
главы в значительной мере написаны заново, причем в ос­
нову изложеНI!Я
положено представление о магнитном ПО.'Jе
движущихся заРЯДОIJ и эле/ПРI!ЧССI<ИХ ТОКОВ. В соотвеТСТЫI!J
с треБОIJaJlIIЯМII
системы единна фIfзичеСКIIХ
величин СИ
формула~1 элеКТРO:VlагнеПIз),!а придана Р<lЦIIО3НaJIIIЗОБаННЫI
фОРl\!а. В качестве основной силовой хграI{теРИСТIIIШ ~!гг­
нитного ПОЮ1 ПРШIята ~IaГНl!Тllая индукция В, а не напря­
женность ПО.1Я If, "ак это было в предьщущих изданиях.
В чаСТIIЧНО,,! о(JJIОI3дешlИ текста «Элеll1еНТ;1РiIOГО учеб.
некоторых ДОПО.'шеI!ИЯХ /( He~!y IIрИ по).­
настоящего JI3JЩНИЯ приняли участие И. Я. Ба­
Нlша фИЗ!IIШ»,
[OTOIJKe
рит,
Л. Г.
Ландсберг,
Ф. С. Jlандсберг·Барышанская,
В. и. ЛУЩИКОВ, с. М. РытоJЗ, и. В. Савельев, М. Л\. С'/­
ЩИНСКИЙ, М. С. Хайкин, С.
/11. Шапиро, о. А. Шусти!!,
и. А. Яковлев. Редакционную работу над томами 1 и II
ПРОI30ДИЛ и. В. Савельев, над то:vюм III - указанные
mща.
ИЗ ПРЕДИСЛОIНН~ к ПЕРВОМУ ИЗДАНИI'О
Название «Элементарный учебник физики», которое мы
решили ПРИСВОИ1ь этой книге, отражает стремление Да1Ъ
учебник, пригодный для ознакомления с элементами фи­
зики как науки. Это
-
задача, которую должно ставить
себе преподавание в старших классах сбщеобразователыюи
средней школы, равно как и в техникумах или в професси­
ональных средних школах. Поэтому мы надеемся, что
настоящая книга может быть использована как ОСНОВНОй
учебник физики во всех подобных школах, ибо принципи­
альные
установки,
положенные
в
ее
основу,
справедливы
для средней школы любого типа.
Установки эти сообщают нашей книге некоторые осо­
бенности, отличающие ее от существующих учебников
средней ШКОЛЫ. ЭТИ особtшности требуют пояснений, пред­
ставляющих интерес главным образом для ,lреподавателеЙ.
Именно к ним и обращено настоящее предисловие.
У преподавателей высшей школы сложилось печальное
убеждение,
что знания по физике, с которыми приходят
учащиеся из средней школы, стоят на совершенно неу довле­
творительном уровне. Нас смущает не столько, недостаточ­
ность фактов и теоретических представлений, находящихся
в распоряжении учащихся, сколько отсутствие ясного и пра­
вильного суждения об их соотношении. Учащиеся зачастую
плохо ориентируются в том, чт6 положено в основу
как
определение,
чт6
чт6
является
результатом
опыта,
на
следует смотреть как на теоретичеСI{ое обобщение этих
опытных знаний. Нередко новые факты расцениваются кан;
самоочевидные следствия, и поэтому все глубокое значение
этих фактов остается неосознанным или, наоборот, различ­
ные формулировки одних И тех же положений восприни-,
маются
как
разные
закономерности.
Конечно, по объему преподаваеыого материала, по глу.
бине изложения, по систематическому использованию более
или
менее сложного математического
аппарата
преподава-
tt
нне в высшей школе существенно отличается
от препода­
вания на более ранних ступенях. Однако и на этих ступенях
преподавать физику нужно именно как науку (или введение
в нее), а не как СОВОКУПНОСТЬ отдельных фактов. Другими
словами, на базе фактического материала в сознание уча­
щихся
должно
методе,
не
проникать
ясное
представление
о
научном
характерном для физики. Само собой разумеется,
возникает
никаких
споров
о ТОМ,
что
этот
метод
есть
метод экспериментальный.
НИКОМУ не приходит в голову отрицать, что физика есть
опытная
наука
что
I!
ее
законы
находятся
с
помощью
опыта. Однако нередко в учебниках эти утверждения носят
характер деклараций, которым отведено место на первых
страницах. В дальнейшем же опыт служит главным обраЗО1\!
для иллюстративных целей, и то обстоятельство, что физи­
ческие понятия самым тесным образом связаны с опытом,
ускользает от учащихся. А между тем необходимо, чтобы
учащиеся осознали, что определения, формулируемые логи­
чески,
наполняются содержанием лишь при помощи опыта,
через
посредство
ИЗАlерений.
Всякое
понятие,
вводимое
в фИЗИl{е, получает конкретный смысл только при условии,
что с ним связывается определенный прием наблюдения и из­
мерения, без которого это понятие не может найти никакого
применения в исследовании реальных физических явлений.
Рассмотрим, например, простейшее понятие равномер­
ного движения. Вопрос о равномерности данного движения
получает решение, зависящее от метода наблюдения. Неко­
торое
движение,
рассматривать
например
КШ(
движение
равномерное,
если
поезда,
мы
вправе
применяем
грубые
методы наблюдения отрезков пути и промежутков времени;
то же движение может оказаться неравномерным при более
тонких методах. Если при выбранном методе наблюдения
движение удовлетворяет установленному
номерности,
коны
то,
следовательно,
ра!3номерного
движения
к
и
нему
определению рав­
применимы
справедливы
все
все
за­
выводы
и расчеты с точностью, соответствующей методу измерения.
Отчетливое понимание этого экспеРИнlенmального харак­
тера физических законов имеет крайне важное значение:
оно делает из физики науку о природе, а не систему умозри­
тельных построений; с другой стороны, оно ПРИБивает мысль
о
границах
применимости
установленных физических
за­
конов, основанных на них теорий и oТl<pЫBaeT перспективы
дальнейшего
развития
науки.
Не менее важную роль на первых шагах обучения играет
правильное
12
представление о схематизации
изучаемых
яв-
леню'j, с(' Сi\1ысле !I [(СВНОСТ!! . И В этом отношеНI!II, конечно,
любой IlреподаDатель ШНI составитель учебника ПРlIзнает
необход;:мость о:емаТl!заЦИIJ и ШI!РOIСО пользуется ею.
Нерею;о, одшшо, laJ<ая схематизаЩi5J заходит слишком
далеко.
прсшI1лыIйй СIЫСЛ схемзтиззщш состонт в том, чтобы
пренебречь
чертаЧ!l
сматр!шJ.С~:ОГО
П8ления,
!{С"Iп:;скса
несущеСТDенным!!
DОПРОСОВ,
но
для
сохраНIIТЬ
то,
рас­
что
необходюю. В ЭТG~1 С>.1ЫСlе ОДНО и то Же явление можно схе­
маТИЗIIРОБ3ТЬ по-разному, в заВИСIlМОСТИ от изучаемой
стороны дела. Более того, при прав!!льной схемлизащlИ
мы нередко МОЖб! опустить
одни
черты ЯВ.rJ(:НIIЯ, сохранив
другие, казалось ()Ы, с НИШI неразрывно связанные. ОДНОЙ
из весьып распространенных и очень полезных схематизаций
наПРЕмер, представление об абсолютно
твердом теле или представление о несжимаемой жидкости.
Эти схеу]атизации необходимы при изучении обuшрного
D мехашше является,
комплекса механических [ЮПРОСОD, в которых деформация
не играет существенной роли и где можно отвлечься от
изменения размеров и формы тел. Но деформаuиями обус­
ловлены
напряжения,
ВОЗНИI<aJощие
в
деформированном
теле и играющие существенную роль D динамике явлений.
Поэтому схематизированное представление об абсолютно
твердом теле как теле, в ]COTOP0I\'] нет деформаций, если
этим представлением пользоваться без ВСЯIШХ оговорок,
лишает физического содержания самые элементарные во­
просы механИIШ. Необходимо ясно установить, что мы
пренебрегаем деформациями твердого те,I]З ил!! жидкости,
но учитываем те напряжения,
!юторые возникают в таком
схематизированном теле при деформациях и которые объяс­
няют весь комплекс наблюдаемых явлений. Без ясного
представления об этом мы не можем ПОНЯТЬ самых элемен­
тарных явлений, не можем, например, ответить на вопрос,
почему лежит неподвижно груз на столе, хотя на него дей­
ствует сила тяжести, ибо не видно, что наряду с этой силой
на
груз действует и
упругого
вторая,
напряжения
уравновешивающая
ее сила
стола.
Введение в науку и преподавание подобных схематизи­
понятий ДОЛЖНО совершаться чрезвычайно осмот­
рительно. При праsильном употреблении этих понятиI1 они
весьма полезны и могут очень облегчить и формулировку
закономерностей и проведение расчетов. Но недоговорен­
pODaHHbIx
ность
или
неточпость
может 'привести
f{
в
пользовании
такими
понятиями
самой главной опасности, с которой со­
пряжено преподавание: к образованию представлений, ко-
13
торые будут служить ТОРМОЗО~i
'{
дальнейшему более глу­
бокому ПОНJlманшо. Примером может СJIУЖИТЬ пользование
представлениями
.1Jуче.
о магнитном
Употребление этих
полюсе
понятий,
или
геометричеСi{mi
несомненно,
ценно,
11
было бы нерацпона.1JЬНО отказываться от их ИСПО,'1ьзовюшя.
Однако необходпыы сугубая осторожность I! тщате.1Jьное
выяснение сути дела дли того, чтобы избежать вреда,
который онн могут ПРIlнеСТII. "\\НОГIIе JIЗ нас, I\O~!Y прихо­
дится отвечать на запросы ПЛ! давать оценки изобретению!,
знают,
1\ каКШI недораЗУl\lению! может ПРИВОДIIТЬ, напри­
мер, уверенность в непогреШШЮСТJJ геометрической ОПТI!IШ,
покоящаяся на непраВIIЛЫIO:'I пошшаН!IИ полезного понятия
геомеТРlJческого
луча.
* * *
Преподавание в средне!"1 школе, как, впрочем, и всякое
иное преподавание, не может быть,
конечно,
исчерпываю­
щим. Однако его необходимо строить таким обраЗОхl, чтобы
в дальнейшем учащийся мог !I должен был бы доучиваться,
но никогда не был бы вынужден nереучuваться. Избежать
этой главнейшей опасности - вот цель, которую ДOJIжны
иметь перед собой составители учебника. Для достижения
ее и следует тщательно избегать методологических и методи­
ческих
погрешностей,
подобных перечисленным выше.'
Стремление создать подобную книгу и руководило кол­
лективом физиков, которые взялись за составление настоя­
щего «Элементарного учебника физики». Именно эти сообра­
жения, а не стремление существенно изменить фактический
материал играли определяющую роль. Поэтому в на­
стоящей книге нередко отводится довольно много места тем
«простым» вопросам, которые излагаются обычно в несколь­
ких строчках. Главным образом благодаря этому подходу,
а отнюдь не за счет увеЮ1чения фактического материала
книга эта приобрела размеры, несколько преБышающие
общепринятые.
Москва, июнь
1948
г.
Гр.
л ан,дсберг
СВЕДЕНИЕ
Знания, полученные в ШКО,ТIе, из книг, наблюдения над
окружающей нас обстановкой, в частности сведения о пора­
жающей наше воображение мощи современной промышлен­
насти
-
все
это
невольно
ставит
перед
умом
школьника
вопрос: каким образом человек, с его небольшими физиче­
СIШМИ
силами,
позволяющими
с
его
несовершенными
непосредственно
органами
наблюдаТh
лишь
чувств,
весьма
ограниченный круг явлений, сумел создать современную
технику с ее огромными
возможностями, далеко превосхо­
дящими вымыслы Жюля Верна? Почти каждый из нас от­
ветит, не задумываясь, на этот вопрос: это чудо сделала на­
ука о природе. В частности, физическая наука играет в этом
торжестве человека чрезвычайно важную роль.
КаюlМИ же средствами располагает физическая наука
для приобретения власти над миром?
Прежде всего ясно, что физика имеет дело с явлениями
реального мира и, следовательно, первый шаг для получе­
ния знаний об этих явлениях должен состоять в наблю­
дениях.
Научное наблюдение представляет, однако, далеко не
простую задачу. Проследим, например, за тем, как падают
тела. Легко обнаружить, что тело, Срошенное с небольшой
высоты, слабо ударяется о землю, при падении же с боль­
ШОЙ высоты толчок может сыть гораздо более сильным и
может даже привести к разрушению падающего тела. Од­
нако наблюдения над каплями дождя не обнаруживают за­
lI1етного
различия
при
у даре
капель,
падающих
из
низко
и высоко плывущих туч. Все знают, что летчик, выпавший
из самолета, разбивается насмерть, а летчик, спрыгнувший
с парашютом даже с большой высоты, плавно приземляется.
Авиабомбы, особенно тяжелые, ударяются со страшной
силой, нередко пробивая многоэтаж'ные дома. Таким 05разом, сравнительно простое явление падения может проте­
кать различным образом. И если мы хотим управлять этш.;
15
ЯRJJением, мы должны найти связь между ОТllеJJЬНЫМИ сто­
РОН3\!Н его:
тела;
установить I(акие-то хараlперистики движения
определить,
I(aJ{
влияют на
эти
характеРJJСТИЮI
раз­
!,леры, форма и масса тела, 13ысота, с которой оно падает,
и т. д., !I ca~lOe главное - извлечь из этих данных общие
выI3дыы,
так,
а
объясняющие,
не
почему
падение
протекает именно
Jlначе.
Те же задачи возникают и ПрIl изучении любого другого
явлеl!!IЯ.
должны установить, от чего зависит тот или
L'V\bl
иной ход IlВлеIJШJ, l,аIШ1\\ образом можно ослабить или уси­
лить отдельные стороны его. А для этого надо уметь расчле­
нять
явление,
можности
выделять
отдельные его элементы
измсннть УСЛОRИЯ, В которых
и
по воз­
протекает явление,
т. е. перейти ОТ простого наблюдения к эксперименту.
При этом I-::райне I3ажно не ограНlIчиваться лишь общими
!{ачестпеШIblМИ впечатлениям!! о явлении, а найти количест­
венные характеристикu отдельных его элементов в виде ве­
личин,
поддающпхся
определить,
какие
IiЗмерению. Другими словами,
понятия
могут
служить
для
надо
количест­
венной характеристики явления, и установить те приемы,
с помощью которых мы будем измерять соотвеТСТl3УЮЩllе
величины;
нахождение этих
величин
позволяет отыскивать
'IИсловые СООТllошення между нюш, т. е. фОР'>lулировать
законы явления В количеСТI3енной (математической) форме.
Так, в рассмотреlIlLO\1 выше примере падения "IЬ! ВВОДИ"j
понятия СКОРОСТИ падающего те.тliЗ, его ускорения (т. е. из­
менения СКОРОСТИ), ВЫСОТЫ падения, сопротивления воздуха,
массы тела, силы тяжести, :\ействующей на тело, и т. д.
Найти Зi1КОI1Ы I1311еНШ1
зависи:\юсть
-
это и значит установить, какая
обнаl)уживгетсп
'I!ежду
УстаНOI]J!сние КОЛ11честпснных
как
I1З\lеНЯЮТС51
важнейшая
лений.
О.lНИ
задзча
Тш{ие
I!З величин
этими
при
изменении
экспериментального
ЗJl{ОНЫ
величинами.
законов, показыв::нощих,
указывают
нам,
других,­
исследования
как
надо
яв­
менять
условип, в которых протекают явления, чтобы добиться
тех или иных желаемых результатов. Эти законы помогают
нам уяснить смысл Я!3JJеIШЙ Н, таким образом, открывают
путь для создан!!я теории 5l!JJJСНI!Я, Т. е. тех общих пред­
ставлений, которые позволяют понять, почему наблюдаемое
явление подчиняется найденным законам и какова связь
его с другими ЯIJлеНИЯI\Ш, ИJiогда на первый взгляд очень
от
него
далеlПlМИ.
Так,
13
падения,
примере падения тел мы устанавливаем законы
выясняя
роль
сопротивления
воздуха,
зависи­
мость этого сопротивления от формы тела и СI{ОРОСТИ его
16
движения. Тшшм путем мы постепенно прIlХОДИl\f к полной
теории явления, показывающей, в частности, что в Я!мении
падения могут весьма важную роль играть ВIIХРИ, образую­
щиеся в воздухе при быстром ДВIIжении тела; выясняется
значение так называемой «обтекаемой» формы тела,
т. е.
формы, при которой весьма ослабляется вихреобразование
и связанное с ним торможение ДВIIжения. Выяснение этих
вопросов позволяет решить ряд важнеЙШIIХ задач самолето­
строения, создания автомашин рационаJIЬНОЙ форм!,!, по­
строения
быстроходных
поездов
и
т. д.
Из изложенного ясно, какое громадное значение имеет
эксперимент для физической науки. С помощью экспери­
мента мы находим законы явлений, пользуясь эксперимеll­
том, мы приходим К построению теории явлений. 1't··ория
в свою очередь позволяет предвидеть новые, еще не IIзвест­
ные особеННОСТII явления и указывает условия,
13
которых
эти особенности могут проявляться . Такие ВЫВОДЫ из
теории вновь подвергаются эксперимента.'IЬНОЙ проверке,
что нередко служит для исправления или усовершенствова­
ния теории. Так, мало-помалу, сложное
11
неяспое явление
становится вполне ПОIIЯТНЫМ, и мы научаемся по своему же­
ланию управлять пм. Из этого умения управлять явлени­
ями природы и возникла вся мощь СОВРб1енной техники.
После приведенных разъяснений о роли эксперимента
понятно, почему мы называем физику эксnерu,менmалыюй
наукой. Но не следует, конечно, думать, что для устан орле­
ния законов и создания теорий достаточно простого сопо­
ставления результатов хорошо выполненного эксперимента.
Требуется
напряжение всех мыслительных
способностей
ных
из
человека,
эксперимента,
чтобы
из
воздвигнуть
и творческих
материалов,
получен­
величественное
здание
науки.
В разобранном выше примере падения изучаемое >Iвле­
ние было сравнительно простым; и все же и в ЭТОМ явлении
не так уж просто установить,
рают более важную, а какие
-
какие из сторон явлеНIIЯ
иг­
второстепенную роль и Ю:1l{
можно упростить или, как говорят, схеАtamuзuроваmь явле­
ние, чтобы, отбросив второстепенное, не упустить сущест­
пенного. Во многих случаях задача осложняется те,,1, что
в реальных явлениях переплетаются весьма разнообразные
процессы. В явлении могут, например, играть существен­
ную роль электрические или тепловые проuессы, в резуль­
тате которых возникают силы, сообщающие телам ускоре­
ние, могут обнаруживаться или даже иметь решающее зна­
чение I{акие-либо оптические изменения и т. д.
Представьте себе, например, ЯВЛСI!l!С грозы. Здесь тесно
сплетаются
тепловые
ЯВ,1]ения
и
явлсния
молекулярной
физики (испарение и J(ондеНС~ЩIlЯ водяного пара); явления
электричесю!е (роль заряженных центров при образовании
капелек, возникновение элею Рllческого напряжения между
грозовыми облаJ(а~1II и ПРОl!стекаЮЩllе от этого электриче­
ские разряды); оптические и акустические явления (молния,
ГI)Q~i); многообразные ыехаЮlчеСЮlе явления (паденпе ка­
пель, ветер, движение об,1:Н~ОБ, образованне вихрей) н т. Д.
Понятно, что n подобных С,'j\'чаях еще большее значение
имеет расчленение сложного ЯБ-,1еНIIЯ на более простые, об­
легчающее изучение явлеН!~я по частяУ!. Н а б,1] юден н я над
С,10ЖНЫМИ
явлеНИЯМII
показыЕют,'
что
при
таком
расчле­
нении можно выделить I'рупг.у сходных явлений, наприыер
оптические, тепловые, электрические 11 т. Д., как это 11 было
сделано нами в Прlшере грозы. ПОЭТО~1У целесообразно
11 при изучении фИЗIIКИ объединить исследуемый материал
[\
такие группы, ХОТЯ между ними нельзя провести резкой
границы_ В соотвеТСТВlII1 с ЭТIIМ распределение учебного
материала по группам (и даже их последовательность) не
является чем-то строго обязательным и может быть прове­
дено различным обраЗО~1.
В нашем учебнике мы начинаем изучение явлений с ме­
ханики (включая механику жидкостей и газов), и60 относя­
щиеся сюда явления 60,1]ее просты, а также и потому, что
ЗIlание
законов
механики
оказывает
нам
существенную
помощь при изучении других разделов. Затем излагается
учение о тепловых явлениях, тесно переплетающихся с яв­
лениями молекулярной физики. Далее выделен обширный
круг электрических и электромагнитных явлений. Явления
колебаний и волн объединены в особый раздел, включаю­
щий механические, акустические и электромагнитные коле­
башнl. Затем СJlедуют оптические яв.пения, изложение кото­
рых в значительной степени опирается на учение о колеба­
ниях и волнах. В f<:онце дается небольшой очерк учения
об атоме.
РАЗДЕЛ
ПЕРВЫЙ
МЕХАНИКА
г л а в а
§ 1.
ется
1.
КИНЕМАТИКА
Движение тел. Механическим ДБИЖСIше:,! тела называ­
UЗ.нененuе с
mеченtlеЛ1
epe.}leHI1
его положения ПО оmно­
шеншо к другllN mе.ШJ1.
Мы постоянно встречаемся с движение;"1 тел в повседнев­
ной жизни, в технике и науке.
i\:\bI
наблюдаем движения
людей, животных, движения воды в реках и морях, движе­
ния воздуха (ветер). Движения совершают различные сред­
ства транспорта, всевозможные механизмы, станки, прибо­
ры, снаряды и т. д. J3 МИРОВО:» пространстве движутся Земля
и другие плаllеты,
KO:>IeTbl,
метеорные тела (рис. 1),
Рис,
Луна,
1.
искусственные
Метеор на ночном небе
спутники
Земли
и
космические
корабли, посланные к другим планетам Со.'1нечноЙ системы;
движется Солнце относительно других звезд и звезды друг
относительно друrа. Движутся молекулы, атомы, электро-
19
ны, протоны, альфа-част!щы
И другие элеыентарные
(pJJc. 2)
чаСТIЩl1 (мсльчайпше частrrцы вещсства). Практически все
физичеСfше явления сопровождаются движениями тел. По­
этому изучение фrrзики мы начнем с изучения движения
тел. ЭтО!' разд('л физики называют Лlеханuкой.
С.10ВО «механика» произошло от греческого слова
ханэ»
машина, прнспосоБЛtl!ие.
-
«),i('-
Уже в древности егип­
тяне, а затс.\! греки,
рю!Ляне
и друП!(' народы строшш раз­
ЛИчные
шиеся
маш!IВЫ,
ител ьстве,
(рис.
при:\!еняв­
Щ!Я транспорта, в стро­
в
!30eНlIO~1
деле
3). При действии этих
машин происходило движение
их
частей:
канатов н
рычагов,
нимаеыых
грузов.
этих
и
машин
-
перемещаемых
Изучение
рождению
тел
колес,
т. Д., а также под­
и
действия
привело к
науки о
за·
движеШ!Jf
механнки.
К меха вике относят и на­
хожденис условий,
рых
при
кото­
тела остаются в покое,­
УСЛОЕИИ
равновесия.
вопросы
играют
роль
в
Тюше
решающую
строитеЛЬНО~1
деле.
Когда рассыпается домик, по­
Рис.
Быстро
2.
альфа-частицы,
двюкущиеся
пролетзп
в ка­
мере Вильсона, оставляют за
собой туманный С,1ед из ВОдпных
капелек
строенный
ИЗ
кубиков,
рушится здание
это значит,
новесия
для
или
Что условия
этих
или
мост,­
тел
рав­
были
нарушены.
Двигаться могут не только \iатериальные тела. Подобно
тому как мы ГОI30РИМ о движении летящей пули или брошен­
ного камня,
чика,
можно говорить о движении
перемещающегося
по стене
при
солнечного зай­
повороте зеркальца,
ЩIИ о движении тени, отбрасываемой освещенным предме­
том,
и
т.
п.
Световые сигналы и радиосигналы затрачивают весьма
малое
время
на
прохожденис даже
значительных
расстоя­
ний (на[Jример, они проходят путь от Земли до Луны и об­
ратно всего за 2,5 секунды). Поэтому в обыденных усло­
ЕИЯХ на Земле при небольших расстояниях может пока­
заться,
что
свет
или
радиосигнал
пробегает
раССтояние
между ДВУМЯ
пунктаМII
мгновенно.
Однако это неверно:
свет, как и l\·1атеРИL1льные тела, должен затратить на такой
пробег какое-то определенное, хотя и малое время. Но обна­
ружить 11 IIзмерить время, затрачиваемое светом на пробег
Рис.
3.
Метательное орудие древних греков
тех или иных расстояний, очень трудно. Это удалось впер­
вые сделать только в
XVII
веке, изучение же движения
материальных тел и звуковых сигналов началось еще в древ­
ности.
Вопросы перемещения сигналов более сложны, чем во­
просы перемещення материальных тел. Они будут изучать­
ся в томе III.
§ 2.
Кинематика. Относительность движения и покоя. Для
изучения
движения
тел
научимся
прежде
всего описывать
движения. При этом вначале не будем выяснять, как воз­
никают эти движения. Раздел механики, в котором движения
изучаются без исследования причин, их вызывающих, на­
зывают
кuнеАtатИ1(ОЙ.
Движение каждого тела можно рассматривать по отно­
шению к любым другим телам. По отношению к разным те­
лам' данное тело будет совершать различные движения:
чемодан, лежащий на полке в вагоне идущего поезда, от­
носительно вагона покоится, но относительно Земли дви­
жется. Воздушный шар, уносимый ветром, относительно
Земли движется, но относительно воздуха покоится. Само-
21
лет, летящий в строю эскаДРШIЫI, ОТIIОСlIтельно других са­
молетов строя покоится, но относительно Земли он движется
с большой скоростью, например 800 километров I3 час, а от­
носительно такого же встречного самолета
он движется
скоростью
.
1600
километроI3 в
час.
со
В кинофильмах часто показывают одно и то же движение
относительно
разных
тел:
напрпыер,
пока зывают
поезд,
ДВIJЖУЩИЙСЯ на фоне пе{lзажа (движение относительно
Земли), а затем - купе вагона, за окно!\! I\,ОТО))ОГО видны
мелькающие деревья (дпиженне относительно вагона).
Всякое движение, а также ПСКСЙ тела (как частный слу­
чай движения) относительны. Отсечая на вопрос, покоится
тело или движется и кщ( Iшенно движется, необходимо ука­
зать,
относительно
каких
тел
рассматривается
движение
данного тела. Иначе никаl{ое ЕЫСI(аЗЬШJние о его дпижении
не
может
иметь
Тела,
относительно
смысла.
которых
рассматривается
данное
движение, называют систеАЮU стсчета. Выбор системы от­
счета
при
изучении данного движения
делают
в
зависимо­
сти от условий задачи. Так, чтобы попасть во вражеский
самолет с земной поверхности, нужно установить прицел,
исходя из скорости самолета в системе отсчета «Земля» (в на­
шем Пр'имере - 800 км/ч), а чтобы попасть в этот же само­
лет со встречного самолета, надо исходить из скорости цели
в системе отсчета «встречный самолет» (1600 км/ч). При изу­
чении движений на поверхности Земли обычно ПРИНИМ8ЮТ
за систему отсчета Землю (хотя, как сказано, можно вы­
брать за систему отсчета и поезд, и самолет, и любое другое
тело). Изучая движение Земли в целом или движение пла­
нет, принимают за систему отсчета Солнце и звезды. Как
увидим в гл. II, эта система особенно удобна при изучении
законов динамики.
?
•
§ 3.
2.1.
Будет
ли
воздушного
Траектория
нужно
указать,
развеваться
шара,
движения.
I(ак
флажок,
уносимого
укрепленный
на
корзине
ветром?
Для описания движения тела
меняется
положение
его точек с тече­
нием времени. При движении тела каждая его точка описы'
вает некоторую линию - траекторию движения. Проводя
мелом по доске, мы оставляем на ней след - траекторию
движения кончика мела. Рукопись - это траектория кон­
чика пера. Светящийся след метеорного тела на ночном
небе (рис. 1), туманные следы альфа-частиц (рис. 2) - это
траектории метеорного тела и альфа-частиц. В ожидании
солнечного затмения
22
астрономы заранее
вычисляют траек-
торию юшжеrшя лунной теrш по поверхности Земли. На
РIIС. 4 ПОI{азarrа такая траеrпория для ближайшего полного
затмения, которое будет ВИДНО в .москве.
Так как движение OTHOCIJTe.lbIJO, то траектория АiOжеm
зависеть от выбора CllCnle.ltbl отсчета. Например, в безвет­
ренную
погоду
струи
""-c-r-~.,----~-~--_"".---~--~
ДеОЖД'r! а представляlOТСН ~,-,_-/
в рп! < лыrыми, если за
-i
.
= ..
~I;~~~ес:ае~~тг~н:~з K~~~~~ ~-C~~,
!!~~~~~f~~[ji ~_~ 71_'О_; _; _; ~_Я '~
I
ся
косыми:
капли
на
будут
стеклах
следы,
___
дождевые
Рис.
оставлять
тсии
наКJIOнные
причеl\I
4.
Траектория
во
время
произойдет
16
центра
затмения,
октября
лунной
которое
2126
г.
наклон
будет тем больше, чем больше скорость поезда. На рис.
изображена траектория,
5
которую описывает относительно
земной поверхности точка Р на ободе колеса, катящегося
р
Рис. 5. Точка Р шi ободе катящегося колеса описывает относительно
земной поверхности траекторию, изображенную на p;JCYHKe (циклои"У)
ПО прямой дороге. Относительно телеги траекторией точки
р будет, конечно, сама окружность обода.
§ 4.
ПоступатеJlьное и вращательное движения тела.
ектории разных точек тела могут быть различными.
Тра­
Это
можно наглядно показать, например, быстро двигая в тем­
ной комнате тлеющую с двух концов лучинку. Глаз имеет
свойство сохганять зрительное впечатление в течение при­
мерно 0,1 секунды, поэтому мы воспримем траектории тлеЮ­
щих концов как светящиеся линии и сможем сравнить обе
траектории (рис. 6).
Наиболее простое движение тела
-
такое, при котором
Бсе точки тела движутся одинаково, описывая одинаковые
23
траекторrш. Такое движенr!с называеТСI1 nоступатеЛЬНЫ.!.t.
Мы ПОЛУЧИМ этот тип движения, дшуга\] ЛУЧИНКУ так, чтобы
она все время
остапалась паРLlЮIельной
самой себе.
При
поступательном движении трае!ПориТ! I\IOrYT быть как пря­
мыми
РИС.
АА'
(рис.
6.
и
концов
7, а), так и КРИВЫМИ (рис. 7, б)
Траектории
ВВ' тлеющих
ЛУЧI!НКИ
Рис.
линиями.
7. ПОСТУПnТс'.'IЫIOе ДВШI(('I!JIе лу­
ЧИНКИ
раз·
личны
.t\'lОЖI!О доказять, что при посmуnаmеЛЫ-lОМ движеНllИ любая
ПРЯ.!./аЯ, проведснная в теле, остается параллельной СaJ.юii
себе. Этим характерным признаком удобно пользоваться,
чтобы ответить на ВОПРОС, пвляеТСI1 ли данное ДвиЖение тела
О
Q)
A~~~:~,~]
( 1// i
\
~
Рис.
8.
~'(i''Сшина И угольник
на чертежной доске
ДЛIJЖУТСЯ
поступательно
8
io'
Рвс.
9.
l3OJ'pyr
Вращение бруска
оси 00'. ПОКJзанr,1
траектории точек
А
и
[)
поступательным. Например, при качении ЦJlю!ндра по ПJIO­
скости ПРЯlVJые, пересекаlOщие ось, не остаются параЛJiель­
ными самим себе: качение
-
это не поступательное движе­
ние. При движении рейсшины и УГОЛЬНJlка по чертежной
доске любая прямая, проведенная в пих, остается парал­
лельноii сa:vюй себе, значит, они движутся поступательно
(рис. 8). Поступательно движется игла швеiiной машины,
2.1
поршень в ЦИЛlIндре паровоН машины ИЛII двигателя вну­
треннего
сгорания,
кузов
автомашины
(но
не
колеса!)
при езде по прямой дороге и т. д.
Другой простой тип движения - это вращаmеЛЫlOе дви­
женuе тела, или вращение. ПРll вращательном движеШ/I!
все точки тела ДВИЖУТСЯ
по окружностям, центры которых
лежат на ПРЯI\ЮЙ. Эту ПРЯl\lУIO называют ОСЬЮ вращенш!
(ПРШ1(}5J 00' на рис. 9). Окружности лежат!З параллельных
ПЛОС]':СС1ЯХ, перпеНД!IКУЛЯРНЫХ к оси вращения. Точки
тела,
"lЕ'жащие
на оси
вращения,
остаются
неподв!!жиыми.
Вр;ш~еmlе не яв:rяется поступательным движением: при
вращении остаются параллельны;vш самим себе только пря­
мые, П<Jралле.'1ьные оси вращения (например, прямая ве
на рис. 9).
Суточное движение ЗеМЛIl - вращательное движение.
Колебания J\IаЯТНIша стенных ч.зсов - это тоже вращатель­
ное дш!жение. Вращение весьма часто встречается в тех­
нике: [ращаются ](NIeCa, блоки, валы и оси различных
механнз:vюв,
стрелк)[
4.1.
?
•
IIЭ
§ 5.
кривошипные
приборов
и
валы,
пропеЛJlеры
самолетов,
т. д.
Является .!JИ поступате.!JЫIЫМ движение пещшей при езд~
веЛосипеде (без свободного хода)?
ДI>;:жение ТО'ШИ. дЛЯ описания движения тела нужно,
вообще говоря, знать, как движутся различные его ТОЧJШ.
НО если тело движется постуш,тсльно, то все его точки ДВИ­
жутся одинаково. Поэтому для описания поступательного
движения
теда
достаточно
описать движение
какой-либо
одной его точки. Если разные точки тела ДВИ1h'УТСЯ по-ра::>­
ному,
1О
иногда все же можно ограничиться опис.знием дви­
жения только одной точки; это касается случаев, когда нас
интересует только изменение
наПРИМеР,
при
изучении
положения
полета
пули,
тела
как
полета
целого,
самолета,
движения корабля в море, движения планеты вокруг Солн­
ца и Т. п. Так, изучая дви:жспие планеты вокруг Солнца,
достаточно
описать
движение
ее
центра.
ТаюВ! образом, в ряде ~лучаев описание Дl3ижения тела
сводится к описанию движения точки.
Разные движения точки различаются между собой в пер­
вую очередь по виду траектории. Если траектория
-
пря­
мая J!ИНИЯ, то движение точки называют nря.'r1.0лuнеЙНbt/l1;
если
траектория
-
кривая
линия,
то движение
называют
криволинейным. По отношению к движению тела в цело~.1
имеет смысл говорить о прямолинейном и криволинейном
движении только в тех случаях, когда можно ограничиться
25
описанием движения только одной ТОЧIШ тела. Вообще же
говоря,
некоторые
ТОЧJШ
тела
могут
ДIЗигаться
прямоли­
вейно, в то время как другие его ТОЧIШ движутся КРИВО­
линейно.
Прямолинейное
До
§ 25
?
движение ТОЧЕИ - нсшбо.'Iее простое.
мы будем изучать только ПРЯМОЛ!lнейное движенпе.
Кalше 'ТОЧКИ цилиндра, катящегося ПО плоскости, движутся
прямо.'1Н1Н;ЙНО?
5.1.
•
§ 6.
Описаиие движения точки.
зывает
все
ПОJIOжеиия,
Траектория движеНIIЯ ука­
Еоторые
занимала
ТОЧЕа;
но,
зная
траекторию, еще ничего нельзя сказать о том, быстро или
медленно
проходила точка
отдельные
с остановками или без ОСТЮIOЕОК
участ]{и траектории,
т. д. Чтобы получить
11
такое полное описание движения, нужно еще знать, в какой
момент точка занимала то или иное положение на траекто­
рии. Для этого достаточно каким-либо способом разметить
все точки
менту
траектории
и
«привязать»
каждую
из них
к мо­
прохождения через нее движущейся точки.
На железных и шоссейных дорогах подобную разметку
осуществляют,
расставляя
вдоль
дороги
километровые
столбы, по которым легко определить, на каком расстоянии
от иачальной точки находится поезд или автомашина. Чис­
ло, написанное на столбе, мимо которого проходит поезд,
непосредственно дает расстояние s от начальной точки,
за которую обычно выбирают большой город, лежащий на
этой дороге.
Начнем с рассмотрения движения точки по прямолиней­
ной траектории. В этом случае прямую, вдоль которой
~I
О'
11'
I
Рис.
10.
А
'о'
-.1-1; -J -2 -1 fJ 1 2.
jj
!
4
!
tl
Q >
Разметка прямодинейной траектории
происходит движение,
можно
принять
за
ось Х,
начало координат О в ПРОИЗБОЛЬНОЙ точке (рис.
поместив
10).
Тогда
положение точки на траектории будет определяться отрез­
ком, отложенным от точки О до данной точки (см. отрезки
ОА и ОВ на рис. 10). Чтобы различать точки, находящиеся
по разные стороны от О, положение точек, для которых
отрезок откладывается в направлении оси Х,
определяется
длиной отрезка, взятой со знаком плюс (точка А на рис.
а
положение
точек,
для
которых
отрезок
10),
откладывается
в направлении, противоположном оси Х,- длиной отрезка,
взятой со знаком минус (точка В на рис.
26
10).
Длина отрез-
J{a, взятая с соотсеТСТВУЮЩШ,I знаком, называется коорди­
натой х точки. Так, например, координата точки А на
рис. 10 есть ХА =2,5, а координата ТОЧК!! В есть хв=-З,5.
Пусть точка в своем ДБIIжении перешла из точки А Б точ­
ку В (рис. 11). Отрезок АВ, идущий от начальной точки к
lюнечной, называется nере.llещеfшеJt точки *). Длина от­
реЗI{а всег да выражается ПО.lОЖIIте.1ЬНЫ:>'I ЧИСЛО~I . .мы будем
называть это число А1сдуле/f"t nере.1!ещенuя.
ПеРВМ8щеНIJ8 А fJ
r---
~t
n'J,lJeMf?~.(eHlJe А!1,.,пgрgNI3il{EJНUEJ fЗС r
,
'
I
~
!
[
А
а)
(!Р::;911G'LЦЕIIU/? lJ(;
--------------1
! ~
: !1р,ЭflнеЩ8НIШ
ПЕШ!iНfl!lJ,Е'НlJe Аб
,
,--.--.---- .._ - - " " !I
АС
_ _ _ _---j
~
I
~!
С
Рис.
11.
f1
r; о)
А
f}
А
!
б
б)
СложеНlrе перемсщений: а) одинакового направления;
в) противоположных направлений
6)
и
Если точка совершила последовательно два перемещения
АВ и ЕС, то ее результирующим перемещением будет АС.
Из рис.
мещения
видно, что в случае, когда складываемые пере­
имеют одинаковое направление (рис. 11, а),
11
направление
результирующего
направлением слагае~1ЫХ,
перемещения
совпадает
с
а модуль результирующего пере­
мещения равен сумме модулей слагаемых. Если же склады­
ваемые
перемещения
роны (рис.
мещения
11,
направлены
в
противоположные
сто­
б и в), направление результирующего пере­
совпадает
с
направление~!
того
из
c.1JaraeMblX,
у
которого модуль больше. Модуль же резу.ТJЬтирующего пере­
мещения равен абсолютному
значению разности модулей
слагаемых:
модуль АС =
lыодуль АВ
-
модуль
BCI.
Пройденное точкой расстояние, отсчитанное вдоль тра­
ектории, называется nymeAt. Путь, обозначаемый обычно
БУI<ВОЙ S, всегда выражается положительным числом. Если
в
течение
рассматриваемого
промежутка
времени
направ­
ление движения не изменяется, то путь (В случае ПР51МОЛИ-
*) Перемещение точ.ка !lвляется вектором (§ 23), (ПРUАtеч. ред.)
27
нейного движения) совпадает с модулем псремещеНIIЯ. Если
направление движения меняется, то нужно разбить рассмат­
риваемый промежуток времени (например,
время
AC ,
за которое точка получила перемещение АС) на промежу1'­
t
ки,
в
течение
оставалось
каждого
из
неизменным,
которых
вычислить
направление
для
движения
каждого
из
этих
промежутков пройденный точкой путь и затем сложить
вместе все эти пути. Например, если в случае, изображен­
ном на рис.
движения
tAC ,
11, 6,
в ходе перемещений АЕ и ЕС направление
не изменялось, то путь,
пройденный за
время
будет равен сумме модулей перемещений АЕ и ЕС.
Для
«ПРИВЯЗJШ» раЗ:-.1еченных
точек траектории
к мо­
ментам прохождения через них движущейся точки выби­
рают какой-либо момент времени за начальный и Дd'JЯ каж­
дого положения движущейся точки на траектории замечают
промежуток времени, прошедший от выбранного начального
момента. Промежутки BpeMeHI! будем обозначать буквой
t.
На железной дороге такую привязку может осуществить
пассажир поезда, замечая по своим часам моменты прохож­
дения поезда мимо километровых столбов. То же могут
Выполнить с дороги наблюдатели, отмечающие по станци­
онным часам момент прохождения поезда мимо каждой стан­
ции.
Спортивные
судьи,
«засекающие»
по
точным
часам
момент прохождения лыжником финишной черты на гонках
или
момент
пролета
самолета
над
контрольным
пунктом,
также осуществляют «привязку»
положения
на
ДGижущегося
TpaeKTOp1!1I
к
тела
соответствен­
ному моменту времени; при этом
за начальный момент принимает­
ся
Рис.
12.
Капельница
Чернильные капли,
времени,
момент старта.
В школьных опытах для по­
добной привязки можно поль­
зоваться капельницей (рис. 12),
устанавливаемой на ДВIIжущем­
ся
теле,
ке
или
например
заводном
на
тележ-
автомобиле.
падающие через равные промежутки
отмечают положение тела на его траектории в мо­
менты падения капель. Момент падения какой-либо опреде­
ленной l{апли припимают за начальный момент времени.
При изучении движений иногда применяют стробо­
скопический
метод
наблюдений.
Стробоскопом
называют
ВСЯКИЙ прибор, дающий прерьшистое освещение с коротки­
ми
28
временами
освещенности
и
одинаковыми
промежутка-
ми
Bj'C:-'1ени между ними. f.\ожно ПРlIмешlТЬ прибор,
ром
через равные промежутки
f!p('l\~eНlf создаются
импу.тnСЫ тока, вызываЮЩllе ярю!е
аJIЫ~ОЙ ла:.ше.
щийся
[,еред
Непрозрачный
кото­
n
короткие
UСПЫШIШ света в специ­
llHCI(··
с
прорезью,
вращаю­
непрерьшно горящей лаыпой, таЕже создае1
.строби ;·:ОПIJческое ОСВСIl.\ен ае.
Пус jЪ, наПРШIер, изучается движение шарика,
скаты­
вающеГlСЯ по желобу. Еот nРОИЗЕОДIПЬ опыт в темноте и
освеи:.~ 1 u шарик СТj1ССОСI\ОПОМ, то шарю( будет виде!! только
Б тех
1 С~iожеIIШ]Х, IJ I(OTOPbIX
вдот,
);:('J!сба
ррсположена
его освещает г.спыш],а. Если
линейка
С делениями, то она
также (жажеlсяссr:сщенной, и 1\;Q)1ШО .::-арегистрировать
Рис.
13.
те
U;арик, скатывающнйсн по желобу, r.идиыый при стробоскопи­
ческом освещении (по
отограcjJIIИ)
[!
по,rrожения шарика относительно линейки, которые он за­
нимал lJ моменты вспышек (рис.
13).
Чтобы зарегистриро­
вать все положения шарика, получающуюся картину ыожно
сфОТОГРDфировать,
время
движения
открыв
затвор
фотоаппарата
на
все
шарика.
При ПОl\IOЩИ стробоскопа можно увидеть ОДНOIЗремеНIIО
ряд отдельных положений предмета, и не пользуясь фото­
графией. Если за 0,1 секунды происходит несколько ПОС.rrе­
дователыIхx вспышек стробоскопа, то, благодаря свойстпу
глаза сохранять зрительное впечаТ.ТJение, мы будем видеть
несколько последовательных положений шарика. Сходную
картину мы УВИДИМ, размахивая блестящей палочкOI\ осве­
щенноii лампой дневного света или другой газоразрядной
лампой; такие .'lампы, питаемые переменным ТОКОМ, дают сто
вспышеl(
в секунду,
что позволяет видеть одновременно це­
лый ряд последовательных положений палочки. Можно
также увидеть Еесколько положений руки, размахивая ею
в темном Iшнозале во время де~юнстрации фильма
(24
IJСПЫ­
шки В секунду).
«ПРIJВязав» каКИМ-.'lибо способом отдельные положения
движущейся точки к соответственным моментам времени,
мы получим полное описание ДВlIжения точки. Это значит,
что мы будем знать все положения точки и для каждого из
этих положений сможем найти расстояние по траектории от
29
начально!"! точки 11 промежутOI( премени, протекший от на­
чального
ЫO~leHTa.
Таким образом,
точки
лежат
n
основе всякого описания
IIзмерения
длин
IJ
проыежутков
движения
времени.
За:-'lетиYJ, что начальную точ!{у на траеКТОрШI и начальный
моиент времен!! можно выбирать как угодно, в заВИСIl:\1QСТИ
от удобства раСС~ЮТРСН!lЯ данного движения. Движущаяся
точка не 06язате.'1ЬНО ДО.lжна наХОДIIТЬСЯ в положеЮIII
в :\lШ,1ент прел!еН!I i=O.
s=o
§ 7. Измерение ДЛИНЫ. ОСНОВПОЙ еДIIНIщей длины служит
J.Шnр (:11). I1ервоначально за образец (эталон) метра было
ПРИНЯТО расстояние ме}l{ДУ ДВУ:\lЯ штрпхаЩI на специа:1ЬНО
Рис.
14.
Первонача.JJЬНЫЙ эталон метра (общий вид и сечеlIие)
изготовленном платино-иридиевом стержне длины 102 см,
хранящемся в .Международном бюро мер If весов в Париже
(рис. 14). Материал и фОР~1а сечения стержня I! условия
его хранения были выбраны так, чтобы наилучшим образом
обеспечить неизменность образца_ В частности, были при­
няты меры для поддержания постоянной температуры стерж­
ня. Тщательно выполненные вторичные эталоны - копии
этого образца - хранятся в институтах мер и весов разных
стран.
Предполагалось изготовить образец метра равным одной
сорокамиллионной части длины земного меридиана. Когда
J3ыяснилась недостаточная точность измерений на земной по­
верхности, то не стали заменять изготовленный образец или
вносить поправки на основе более точных измерений, а ре­
шили сохранить сам образец в качестве единицы длины. Этот
зо
образец примерно на
0,2
Ml\I меньше, чем
1140 000 CJO часть
меридиана.
Кроме ЭТОЙ ОСНОВНОЙ единицы, в науке и технике приме­
няют и другие единицы
от
метра
-
десятичные кратные и
ДОJIьные
*»)
километр (1 км= 1000 м);
санти~,етр (1 см=О,ОI м);
МИ;1.1иметр (1 мм=О,ООI м);
микрометр (1 MIO.I=O,OOI мм=О,ОООООI м);
нанометр (1 нм= 0,00000000 I м).
в "Р..нглии, США и неlЮТОРЫХ других странах широко
распространены так называемые английские меры дЛИПЬ!:
=
=
дюйм
25,4 мм;
фут
12 ДЮЙ~IOБ = 304,8 мы;
миля сухопутная (<<стаТУТНilЯ>\)
МИ;1Я морская (<<адмиралтейская»)
=
1609 м;
= 1852
м (длина одной МИIlУТЫ
дуги земного меридиана).
Старые русские меры длины составляли:
вершок = 4,445 см;
аршин
28 дюiiмов
16 вершков
сажень =>< 3 аршина
2,1336 м;
верста
500 сажен
1,0668 км;
русская миля = 7 верст = 7,4676 км.
=
=
=
=
=
=
0,7112
м;
Обилие разных единиц длины (а также и единиц других
физических величин) весьма неудобно на практике. Поэтому
были разработаны международные стандартные определе­
ния единиц всех физических величин. Сборник этих опре­
делений называют сисmеJ.ЮЙ единиц СИ (от слов Systeme
Internationale - Международная система). С 1963 г. в
СССР и ряде других стран СИ рекомендована для примене­
ния во всех областях науки и техники **).
Согласно этой системе метр определен как длина, равная
1 650763,73 длины ВОЛНЫ оранжевого света, излучаемого
"')
Десятичные кратные и дольные единицы, а также их наименова­
ния и обозначения следует образовывать с помощью множителей и при­
ставок, например: 100 - гига (Г), 108 - мега (М), 103 - кило (к), 10~ гекто (г), 10-1 деци (Д), 10- а - санти (с), 10-3 - милли (м), 10-6 микро (мк), 10-0 - нано (н). (ПРUШ11. ред.)
'" "') Постановлением Государственного l\омитета СССР по стандар­
там от 19 марта 1981 г. с 1 января 1982 г. в Советском Союзе введен в
действие государственный стандарт ГОСТ 8.417-81 (СТ СЭВ 1052-78).
Единицы физических величин. Согласно этому ГОСТ обязательному
применению подлежат единицы Международной системы единиц (СИ),
а также десятичные кратные и дольные от них, (ПрuAleЧ., ред.)
31
специаJ1ЫЮЙ лампой, в которой под деiiСТБнем элекгрпчс.
СIЮГО разряда светится газ криптон-86 *). Чпсло длин вол!]
выбрано так, чтобы эта единица ДЛИНЫ совпадала воз:\южно
точнее с парижеким метром. Поэтому за е;ЩНIlЦУ и не была'
выбрана длина, на которой УI{ладывалось бы какое-либо.·
круглое число (например, один миллион) длин волн. Эту
новую единицу длины можно воспроизводить (оптическим
путем) с большей точностью, чем архивный образец. Очень
удобно, что для воспроизведения еДИНIIЦЫ длины не нужно
обращаться к какому-то единственному хранящемуся об·
разцу, а достаточно изготовить специальную криптоновую
лампу и наблюдать испуст{аемый ею свет.
На практике для измерения длины, в том числе и для
измерения расстояний между двумя положениями точки
па
траектории,
применяют
копии
вторичных
эталонов:
стержни, линейки или ленты с делениями, равными длине
Рис.
15.
Штангенпирку.IJЬ с нониусом
эталона, либо его части (сантиметры, миллиметры). При
измерении начало измерительной линейки совмещают с
одним
концом измеряемого отрезка
и отмечают то ее деле­
ние, против которого окажется второй конец отрезка. Если
второй тюнец не совпадает ни с одним из делений линейки,
то «на глаз» оценивают, на какой доле расстояния между
делениями
он
оказался.
Для УМ€НЬШЕ'ния неизбежной ошибки отсчета применяют различ­
ные вспомогательные приспособления. На рис. 15 изображено одно яз
них - НОНllУС, установленный на штангенциркуле. Нониус представляет
собой добавочную шкалу, передвигаемую вдо.1Ь основной шкалы. Де-­
ления нониуса меньше де.'Iения осиовиой шкалы на 0,1 нх размера;
например, если деление основной шкалы равно 1 мм, то де.~ение I!ониуса
равно 0,9 мм. На рисунке видно, что диаметр ИЗl\;lеряемого шарика 60.%ше 11 мм, но меньше 12 мм. Чтобы найти, сколько десятых долей ми,ll-
*)
с
1983
г. метр определен
как
расстояние,
кууме плоской электромагнитной волной за
ды. (Приме'!. ред.)
3.2
проходимое в га­
1/299 792 458
долJO секун­
,лиметра
состаВ.тяет
остающаяся дробная
часть де.1ения, смотряr, ко­
торый из штрихов ноннуса совпадает с каким-нибудь из штрихов основ­
ной шкалы. На нашем рисунке это девятый штрнх нониуса. Значит,
восьмой, седьыой и т. д. штрихи нониуса окажутся впереди ближаi'r­
·ших к ним предыдущих штрихов основной шкалы на 0,1 мм, 0,2 мм и
,Т. Д., а начальный штрих нониуса окажется на 0,9 мм впереди ближай­
шего к нему предыдущего штриха основной шкалы. Отсюда следует, что
диаметр
шара
равен стольким
целым
миллиметрам,
сколько их
дывается от начала основной шкалы до начала шка,JJЫ ноннуса
укла­
(11
мм),
11 СТОJIЬКИЫ десятым долям миллиметра, сколько делений нониуса укла­
дывается от начала шкалы ноннуса до совпадаЮЩl!Х штрихов (0,9 мм).
Итак, измеряемый диаметр шарика равен 11,9 мм.
Таким образом, НОIlНУС позволяет измерять расстояния с точностыо
до 1110 деления шкалы.
§ 8.
Измерение промежутков времени. При выборе единицы
промежутка
времени
можно
исходить
из
продолжительно­
сти каКОГО-.JIибо повторяющегося процесса. С древних вре­
мен
за
единицу
промежутка
времени
принимали
сутки
--
продолжительность одного полного поворота Земли вокруг
своей оси относительно Солнца. Так как в течение года дли­
тельность такого поворота несколько меняется (почти на
1 минуту), то за единицу принимается среднее значение
этой величины за год. Сутки делятся на часы, минуты и се­
кунды.
Од!;!а из основных единиц системы СИ - секунда (с)
определяется как промежуток времени, равный сумме
9 192631 770 периодов излучения, соответствующего пере­
ходу между двумя определенными энергетическими уровня­
ми атома цезия-133. Секунда приблизительно равна
средних
солнечных
Для устройства часов
межутков
времени
-
1186400
суток.
-
можно
приборов для измерения про­
пользоваться
самыми
различ­
ными повторяющимися процессами. В древности пользова­
лись
водяными
часами,
!{Qличеству воды,
(рис.
16).
времени,
в
которых
перетекшей
из
время
определялось
по
одного сосуда в другой
Чтобы воспроизводить один н тот же промежуток
пользовались песочными часами, в которых опре­
деленное количество песка высыпалось через узкую трубоч­
ку (рис. 17). Точность подобных часов невелика .
Гораздо точнее повторяются различные колебательные
процессы,
например
колебаfШя маятника
-
груза,
подве­
шенного на нити или на стержне (маятник С1енных часов).
Если размахи маятника не слишком велики, то период его
колебаний (время качания из крайнего положения туда и об­
ратно) практически не зависит от размаха, а определяется
только его длиной. Независимость периода качаний маят­
ника от размаха установил итальянский физик и астроном
2
Элементарный учебник физики, т. I
33
,
Галилео Галилей
(1564-1642),
а затем использовал голланд­
ский физик и математик Христиан Гюйгенс (1629-1695),
создавший в 1657 г. первые маятниковые часы. В маятнико­
вых часах счет колебаний ведется при помощи системы ко­
лес: после каждого колебания стрел­
ки часов поворачиваются
на
опре­
деленный угол, так что положение
стрелок позволяет отсчитывать про­
шедший промежуток времени.
Рис.
Водяные
(клепсидра)
1.6.
часы
Рис.
17.
Песочные
часы
Впоследствии были изобретены карманные часы. В кар­
манных часах качающийся маятник заменен колесиком, ко­
торое удерживается спиральной пружинкой (так называе­
мый балансир) и ко,туеблется вокруг оси около положения
равновесия с постоянным периодом, определяемым свойст­
вами балансира и спиральной пружины. Особенно удобны
секундомеры
-
часы,
пускаемые в
ход
и
останавливаемые
нажатием кнопки. В них имеется длинная стрелка, совер­
шающая один оборот в минуту, позволяющая отсчитывать
по циферблату десятые доли секунды.
После изобретения часов с маятником, а затем с баланси­
ром, все другие типы механических часов вышли из употреб­
ления как менее точные. Впрочем, песочные часы приме­
няются еще и теперь, например в медицинской практике
д1lя таких лечебных процедур (ванны и т. п.), где всегда
нужно отсчитывать только один определенный промежуток
времени. Своего рода часами являются и описанные в
капельница и стробоскоп.
34
§6
Современная техника добивается lIсключительной точ­
ности измерений промежутков времени, используя колеба­
ния кварцевых кристаллов (кварцевые часы) или колебания
молекул (молекулярные часы). Кварцевые и молекулярные
часы позволяют измерять промежутки времени с точностью
до миллионных,
миллиардных
и
триллионных долей се­
кунды.
§ 9. Равномерное прямолинейное движение и его скорость.
Движение, при котором тело проходит за любые равные
промежутки
меРНЫЛt.
времени
Например,
одинаковые
на
пути,
ДЛИННОilI
называется
ровном
перегоне
равно­
поезд
движется равномерно; у дары колес о стыки рельсов слышны
через равные промежутки времени; километровые столбы
(или телеграфные столбы, устанавливаемые примерно на
равных расстояниях друг от друга) проходят мимо окна
также через одинаковые про:межутки времени. Равномерно
движется автомобиль на Прямом участке пути при неизмен­
ной работе мотора, конькобежец или бегун на середине
дистанции. Другими примерами равномерного движения
могут
служить падение
пузырьков
газа
парашютиста
с
в
капель дождя,
стакане
раскрытым
всплывание мелких
газированной
парашютом
и
воды,
падение
т. д.
В различных равномерныХ' движениях перемещения тел
за одинаковые промежутки времени могут быть различны­
ми, а значит, одинаковые перемещения будут совершаться
ими за разное время. Так, на прохождение расстояния меж­
ду двумя телеграфными столбами автомобиль затратит мень­
ше времени, чем велосипедист; пешеход пройдет за одну ми­
нуту около 100 м, искусственный спутник Земли пролетит
за этот же промежуток времени 500 км, а радиосигнал или
световой сигнал пройдет за то же время 18 млн. км. Мы го­
ворим:
спутник
автомобиль
движется
движется
скорее,
чем
скорее,
пешеход,
чем
а
велосипедист,
радиосигнал
-
скорее, чем спутник. Чтобы количественно охарактеризо­
вать это различие между
дят
физическую
равномерными движениями,
величину
-
скорость
вво­
движения.
Скоростью равномерного движения называют отношение
пути, пройденного телом, к nроме:жутку времени, за кото­
рый этот путь пройден:
скорость =
путь
промежуток
времени
для определения скорости тела нужно измерить путь, прой­
денный телом,
измерить промежуток времени, в течение
3
которого этот путь пройден, и разделить результат первого
измерения
на
результат
второго.
Так как, согласно определению равномерного движения,
за двойное, тройное и т. д. время будут пройдены двойной,
тройной !I т. д. пути, за половинное время - половинный
![уть И Т. д., то значение скорости
получится
одно и то же,
за какой бы промежуток времени и на каком бы участке пути
се ни опредешJТЬ. Таким образом, при равномерном движе­
нии
скорость
-
постоянная
величина,
характеризующая
д<:шное движение на J1Iобом участке пути и за любой проме­
ЖУТОК Врбlени. Скорость будем обозначать буквой и.
Если обозначить промежуток времени через
t,
а пройден­
tJый ПУТЬ через s, то СКОРОСТЬ равноыерного движения БЫ­
раЗИТС5J формулой *)
v=s/t.
(9.1)
3ная скорость v равномерного движения, \roжно найти
путь, пройденный за любой промежуток Bpe~leHH t, по фор­
муле
s=vt.
(9.2)
Эта формула показывает, что ПрИ раВНО\lерном движении
пройденный путь возрастает пропорционально Брбlени. Из
этой же формулы видно, что при paBHO;\1epliOAt движении
скорость чuсленно равна пути, npouaefmo/,ty за едuницу
времени. Зная путь s, пройденный телом при равно:-.!ерном
дпижении, и скорость v этого движения, можно найти про­
межуток времени t, затраченный на прохождение этого
пути, по фОРМУJlе
t=s/v.
(9.3)
ПриведеНlIые формулы позволяют ответить на все вопросы,
касаlOщиеся
равномерного движения.
Всякие измерения, и в частности измерения пути и про­
межуткоп времени, необходимые для нахождения скорости
данного движения, всегда производятся не абuJЛЮТНО точ-
110,
а лишь С не которой определенной степенью точности.
Поэтому. даже если измерения дают одну и ту же скорость
дпиження
на
разных
участках
траектории,
можно утверж­
дать, что оно равномерно лишь с той степенью точности,
*) Строго говоря, скорость есть вектор (§ 23); формула (9.1) опре­
деляет модуль (т. е. числовое значение) этого вектора. Однако для
краткости мы будем называть величину (9.1) просто
скоростью.
(Примеч. ред.)
с которой производились измерения. Например, если опре­
делять время прохождения поезда между двумя километро­
выМИ
столбами
по
минутной
стрелке часов, то зачастую
окажется, что на многокилометровом участке ПУТII это время
одно !I то же: при этой степени точности движение поезда
равномерно. Но если пользоваться секундомер 0:'>1 и отсчи­
тывать промеЖУТJ\И времени с точностью до долей секунды,
то мы могли бы обнаружить, что эти промежутки времени
не точно ОДIlнаковы, и, значит, движение поезда не является
равномерным с этой,
?
более
высокой,
степенью точности.
9.1. В подрывной технике для взрыва шпуров (скважин с заложенноIl в них взрывчаткой) употребляют особы!!, сгорающий
с небольшой скоростью шнур - «бикфордов шнур)).
Какой
длины шнур надо взять, чтобы успеть, пос.1е того как он зажжен,
•
отбежать на расстояние
150 м? Скорость бега равна 5 м/с, а
1 м за 2 мин.
9.2. Мальчик ростом 1,5 м бежит со скоростью 3 м/с по прямой,
проходящей под фонарем, висящим на высоте 3 М. ПО]{ажите,
пламя по бикфордову шнуру проходит
что тень его головы движется равномерно,
этого
§ t о.
и
найдите
скорость
движения.
Знак скорости
в момент времени
t1 ,
при прямолинейном движении. Пусть
считая от начального
Mo:v,eHTa,
тело
находилось в точке с координатой Х1 (§ 6), а в более поздний
момент t 2 в точке с координатой Х2. Разность t 2
1 дает
промежуток времени
t,
-t
в течение которого двигалось тело;
абсолютное значение разности Х2-Хl равно пройденному
телом пути s. Поэтому формулу (9.1) можно представить
в
виде
(10.1 )
Если в числителе взять просто разность Х 2 -Хl, получится
формула
(10.2)
Опр.еделяемая этой формулой величина v оказывается
алгебраической. действительно, разность t 2- t1 всегда по­
ложительна, так как t 2 (более поздний момент) выражается
большим числом, чем t 1 (более ранний момент). Разность же
Х 2 -Хl может быть как положительной (если Х 2 >Хl) , так и
отрицательной (если Х2<Хl)' Знак зависит от направления,
в котором движется тело. Если движение происходит в на­
правлении оси х, то Х 2 >Хl и определяемая формулой (10.2)
величина
v
происходит
и
v
оказывается положительной; если же движение
в
ПРОТИВОПОЛОЖНОМ
направлении,
то
Х 2 <Х,
отрицательна.
37
Таким образом, зна!{ величины
(10.2)
позволяет судить,
I3 каком из двух направлений - «по х» или «против Х» движется тело. Это ОК(1зывается удобным. Поэтому в CJlучае
прямолинейного движения мы будем услошIO говорить (}
положительных
§ 11.
и
отрицательных
скоростях
Единицы скорости. Из формулы
видно,
времени
что
при
прохождении
скорость
v
также
(9.1)
единицы
*).
для скорости
пути
получается
за
равной
единицу
единице.
Поэтому за единицу скорости nринимаюm скорость такого
равномерного движения, при котором за едшuщу apeAieHU
тело проходит путь, равный единице. Так, в системе СИ
за
единицу
пр!!
котором
скорости
за
Наименование
принята
одну
этой
секунду
скорости
скорость
такого
проходится
один
записывают
в
движения,
метр
виде
пути.
_нетр
в секунду (м/с). Для любого движения, деля длину, выра­
женную в метрах, на
в
промежуток временп, выраженный
се!(ундах, найдем скорость, выраженную в метрах в се­
кунду.
При другом выборе единицы времени ИЛlI единицы пути
иной будет и единица скорости. Для единиц пути и времени
сантиметр и се!(унда единицей скорости будет сантиметр
в секунду (см/с)
-
скорость такого движения, при кото­
ром за 1 с ПРОХОДI!ТСЯ путь 1 см. Для единиц километр и час
получается единица скорости километр в час (км/ч) - ско­
рость движения, при котором за 1 ч проходится расстояние
1 км. Аналогично составляются и записываются единицы
и при всяком ином выборе единиц времени и длины.
Ясно, что при разном выборе единиц скорость одного и
того же движения будет иметь разные числовые значения.
Пусть известно числовое значение скорости какого-либо
движения в каких-либо определенных единицах, например
в метрах в секунду. Это значение получается путем деления
числа, выражающего длину пройденного пути в метрах, на
соответственный промежуток времени в секундах. Допустим,
мы
хотим
выразить
скорость того
же
движения
в
других
единицах, например в километрах в час. Нужно ли для
этого заново измерить пройденный путь (теперь уже в кило­
метрах) и промежуток времени (теперь уже в ч~ах)? По­
вторять измерения надоБНОСТII нет. Новое числовое значение
скорости данного движения V [км/ч] можно получить из
старого значения v [м/с] lIутем расчета.
") Величина, опредедяемая формулой (10.2), представляет собой
проекцию вектора скорости на ось х (§ 24), (Примеч, ред.l
за
В самом деле .• обозначим измеренный путь через
s
[м],
а промежуток времени через t [с]. Числовое з-начение ско­
рости
есть
5 [М]
]
t[CГ = V [м/с.
Если тот же путь мы измерили бы в километрах, а время Б
часах, то величины, входящие Б формулу для скорости, из­
менились
=Б [м]·
бы:
1/ 1000,
путь
выразился
а время
бы
S [км] =
величиной
величиной Т [ч] = t [с].
-
1/3600.
В
новых единицах скорость будет равна
V[ км / ч ] -_S[KM]_
т [ч] -
s[bl].I/IOOO
t lc).1/3600
=
3,
6
V
]
[~I/C .
Эта формула и дает переход от скорости V, выраженной в
метрах в секунду, к скорости V, выраженной в километрах
в час. Из этой формулы легко получить и обратный пере­
ход
-
от единицы километр в час
!{
единице метр в секунду:
1
tJ [м/с] = з-;6 V [км/ч].
Например, для v=l00 м/с скорость V=3,6·100=360 !{м/ч,
дЛЯ V=72 км/ч скорость v=(1I3,6)·72=20 м/с.
Легко также получить и соотношение между самими еди.­
ницами скорости. Для этого в полученных формулах следует
взять исходную скорость, равную единице. Тогда получим
1
1
км/ч = 3,6 м/с,
1
м/с
= 3,6
Пользуясь для расчетов формулами
км/ч.
(9.1)-(9.4),
а также
другими формулами, куда будут БХОДИТЬ длина, время и ско­
рость, необходимо выражать все величины в соответствую­
щих друг другу единицах. Если, например, скорость БЫ­
ражена в метрах в секунду, то путь и промежутки времени
нужно выражать в метрах и секундах. Если путь выражен
Б
километрах,
а
время
в
часах,
то скорость
нужно выра­
жать в километрах в час. Если заданные величины выражены
Б единицах, не соответствующих друг другу: ТО нужно сде­
лать перевод единиц. Например, если длина задана Б !шло­
метрах,
время
-
в часах,
а
скорость дана
в
метрах в
се­
кунду, то нужно найти значение скорости в километрах в
час и именно это значение подставлять в формулы.
В природе существует «естественный эталон» скорости.
Это скорость света в вакууме (например, в космическом про­
странстве), равная приблизительно 300 000 км/с *). С той
"')
в
лрозрачных телах
скnрость
Например, скорость света в воде равна
света меньше,
225000 К}1/с.
чем 11 вакууме.
39
же сиоростью распространяется Б вакууме и ВСЯКИЙ радио­
сигнал. Скорость света играет весьма важную роль во
всех областях физики. Установлено, что движение тел со
скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно:
скорость
света
в
вакууме
есть
предельная
скорость
тел.
Скорости всех земных и небесных тел всегда очень малы по
сравнению со скоростью света, например, скорость Земли
в ее движении вокруг Солнца составляет 30 км/с, т. е. всего
0,0001
мися
скорости света. Со скоростями тел, приближающи­
к
скорости
света,
мы
мельчайших частиц вещества
-
встречаемся
только
в
мире
электронов, протонов и дру­
гих элементарных частиц. При таких скоростях в поведе­
нии тел наблюдаются важные особенности. Эти вопросы
будут изучаться в томе II 1.
в мореходной практике распространена специальиая единица ско­
рости, носящая название узел. Узел - это скорость такого движения,
при котором тело проходит за один час одиу морскую милю. 1 узел =
=0,514 М/с. Современные морские суда, развивающие скорость около
40 узлов, т. е. свыше 20 м/с, несутся со скоростью урагана.
Интересно отметить, Что иногда применяют единицу длины, в ос­
нове которой лежит скорость света. Это - световой год, т. е. путь, про­
ХОДИМЫIf светом за одии год. Световой год равен примерно 9,4605 ·1016 м.
Этой единицей длины пользуются в астрономии, где приходится встре­
чаться с расстояниямн в тысячи, миллионы и миллиарды световых лет.
Ближаilшая к Земле звезда отстоит от нас на 3,2 световых года, самые
дальние из наблюдаемых галактик (звеЗДIIЫХ систем) - на расстояниях
около 3 миллиардов световых лет.
Графики зависимости пути от времени. Если траекто­
§ 12.
рия движения точки известна, то зависимость пути s, прой­
денного точкой, от истекшего промежутка времени t дает
полное описание этого движения. Мы видели, что для
равномерного
движения
такую
зависимость
можно
дать
в виде формулы (9.2). Связь между s и t для отдельных мо­
ментов времени можно задавать также в виде таблицы.
содержащей соответственные значения промежутка времени
и пройденного пути. Пусть нам дано, что скорость некото­
рого равномерного движения равна 2 м/с. Формула (9.2)
имеет в этом случае вид s=2t. Составим таблицу пути и вре­
мени
40
такого
t,
с
s,
м
движения:
I
2
-11
2
3
4
6
6
8
·110
12
Зависимость одной величины от другой часто бывает
удобно изображать не формулами или таблицами, а графи­
ками, которые более наглядно показывают картину изме­
нения переменных величин и могут облегчать расчеты. По­
строим график зависимости пройденного пути от времени
для рассматриваемого движения. Для этого возьмем две
взаимно перпендикулярные пря­
S,M
мые
12
f
I
10
1
1
1
1
8
-
оси
[
I
8
I
I
I
1
'f'
б
I
I
J
I
I
2
I
I
б
о
2;3
't,c
Рис.
18.
,
График пути равио­
стью
2
промежутков
I
---4g
1
1
I
--.,е
I
I"
1
мерного движеиия
Рис.
ы!с
и
19.
К
1
1
I
I
I
I
't,{J
4
упражнению
12.1
со скоро­
времени
одну
S,H
I
I
Б
координат;
из них (ось абсцисс) назовем
осью времени, а другую (ось
ординат) - осью пути.
Выбе­
рем масштабы для изображения
1
пути
и
примем
точку
пересече­
ния осей за начальный момент и за начальную точку на
траектории. Нанесем на осях значения времени и пройден­
ного пути для рассматриваемого движения (рис. 18). Для
«привязки» значений пройденного пути к моментам времени
проведем из соответственных точек на осях (например, то­
чек 3 с и 6 м) перпендикуляры к осям. Точка пересечения
перпендикуляров соответствует ОДнопременно обеим вели­
чинам: пути s и моменту
этим способом и достигается
«привязка». Такое же построение можно выполнить и для
любых других моментов времени и cooтneTcTBeHHЫX путей,
получая для каждой такой пары значенИI"; время путь
одну точку на графике. На рис. 18 выполнено такое построе­
ние, заменяющее обе строки таблицы одним рядом точек.
Если бы такое построение было выполнено для всех момен­
тов времени, то вместо отдельных точек получилась бы
сплошная линия (также показанная на рисунке). Эта линия
JI называется графшwм зависимости пути от времени или,
короче, графш\Ом пути.
t,-
4'
В нашем случае график пути окаЗ8ЛСЯ прямой линией .
.можно показать, что график пути равномерного движения
всегда есть прямая линия; и обратно: ецlИ график зависи­
мости
пути
от
времени
есть
прямая
линия,
то
движение
равномерно.
?
12.1.
Докажите это положение, пользуясь рис.
19.
Повторяя построение для другой скорости движения,
найдем, что точки графика для большей скорости .1Iежат
выше, чем соответственные точки графика для меньшей ско­
рости (рис. 20). Таким обраЗО:\1,
,11
ttеЛi больше
скорость
равНО.нер­
ного движения, теон круче nрялш­
линейный график пути, т. е. тем
больший угол он составляет с
i2 [
10
осью
времени.
Наклон
конечно,
вого
не
графика
только
значения
зависит,
от
число­
скорости,
но
и от выбора масштабов времени
::::::
,~~~M
J;~()
D
б
Рис.
20.
Графики пути равно­
мерных движений
стями
и длины.
со
450-
Рис. 21. График того же движе­
ния, что на рис. 18, вычерчен­
ный в другом масштабе
скоро­
2 и 3 м/с
Например,
12..3
график,
изображенный на рис.
21,
дает зависимость пути от времени для того же движения, что
и график рис.
18,
хотя и имеет другой наклон. Отсюда ясно,
что сравнивать движения по наклону графиков можно толь­
ко
в
том
случае,
если
они
вычерчены
в
одном
и
том
же
масштабе.
С помощью графиков пути можно легко решать разные
задачи о движении. Для примера на рис. 18 штриховыми
линиями показаны построения, необходимые для того, что­
бы решить следующие задачи для данного движения: а) най­
ти путь, пройденный за время 3,5 с; б) найти время, за ко­
торое пройден путь 9 м. На рисунке графическим путем
{штриховые линии) найдены ответы: а)
42
7
м; б)
4,5
с.
?
12.2. По графIlКУ, изображенному на рис. 18, найдите, на каком
расстоянии
через
от
начальной
точки
окажется
движущаяся точка
2 с после того, как она пройдет путь 6 м.
На графиках, описывающих равномерное прямолиней­
ное движение, можно откладывать
пути
s
по оси ординат вместо
координату х ДВllжущейся точки.
Такое описание
открывает большие возможности. В частности, оно позво­
ляет различать направление движения по отношешiю к оси
х. Кроме того, приняв начало отсчета времени за нуль,
r,южно показать Д!Jижение точки в более ранние моменты
вреil'1ени,
которые
следует
считать
отрицательными.
Х,М
Рис.
22.
Графики
движений
с
0:11101\ и той же скоростью, но
при различных начальных
Рис. 23. Графики нескольких
движений
с
отрицательными
скоростями
поло-
жениях движущейся точки
Например, на рис. 22 прямая 1 есть график движения,
происходящего с положительной скоростью 4 м/с (т. е. в
направлении оси х), причем в начальный момент движущая­
tя точка находилась в точке с координатой хо=3 м. Для
сравнения на том же рисунке дан график движения, которое
происходит с той же скоростью, но при котором в началь­
ный MOMelIТ движущаяся точка находится в точке с коорди­
натой хо=О (прямая
когда в момент
t=o
II).
Прямая
III
соответствует случаю,
движущаяся точка находилась в точке
с координатой Ха=-7 м. Наконец, прямая
IV
описывает
движение в случае, !{огда движущаяся точка имела коорди­
нату х=о в .\юмент t=-2 с.
Мы видим, что наклоны всех четырех графиков одина­
коrзы: наклон зависит только от скорости движуrлейся
4J
ТОЧКИ, а не от ее начального положения. При
изменении
начального положения весь график просто переносится па­
раллслыIO самому себе вдоль оси х вверх ил!! вниз на
соответственное
Графики
расстояние.
движений,
ПРОИСХОДЯЩIIХ
с
отрицательными
скоростями (т. е. в напраВJlеНИlI, противоположном направ­
,тению оси х), показаны на рис. 23. Они представляют собой
rrРЯ1vlые, наклоненные вниз. Для таких движений КООРДJl­
ната х точки с течение1\!
?
Bpe:vreHII
у:vrеньшается.
ГрафИJ( пути для точки, движущейся со скорост[,)о и, отсекает на оси ординат отрезок 50' l<aK зависит от вре\:сп!! расстоя­
ние s от начальной точки? Напишите формулу этой зависимости.
12.4. Точка, движущаяся со скоростыо и, В момент t o находится
на расстоянии So от начальной. Как зависит от времени расстоя­
12.3.
•
ние
s?
12.5.
Точка, двигаясь равномерно вдоль оси х, имела координаты
Xl~-3,5 м и х 2 =2,5 м в моменты времени t 1=-2 с 11 t 2=6 с
соответствснно. Найдите графичес!ш, в какой момент точка
I1роходила через начало координат и какова была координата х
в иачаЛЬНhlЙ момент. Найдите проекцию скорости на ось х.
12.6.
Найдите
при
помощи
расстоянии от точки А
графика
догонит вторая автомашина,
20
пути,
когда
и
на
каком
автомашину, вышедшую из точки
А,
вышедшая из той же ТОЧIШ через
мин после первой, если первая машина движется со СIШРОСТЫО
40 км/ч, а пторая - со скоростью 60 кмjч.
12.7. Найдите при помощи графика пути, где
~втомаIUИНЫ,
вышедшие
одновременно
и когда встретятся
навстречу
друг
другу
со
СI<О!'ОСТЯМИ
стоянии
40 И 60 км/ч из пун ктов А и В, лежащих на рас­
100 км друг от друга.
Графики пути можно строить и для случаев, в которых
тело движется
равномерно в течение определенного проме­
жутка времени, затем движется
скоростыо
В
течение
другого
равномерно,
промежутка
но с другой
времени,
СНОБа меняет скорость и т. д. Например, на рис.
график
движения,
в
котором
перпого часа со скоростью
20
тело
двигалось
12.8.
показан
в
течение
км/ч, в течеНlIе второго часа
со cKopocTыo 40 км/ч и в течение третьего часа
ростью 15 км/ч.
?
•
затe:vr
26
-
-
со ско­
Постройте график пути ддя движения, в которо:-! за после­
довательные часовые проыежутки тело имело скорости
О,
10, -5,
2, -7 км/ч. Чему равно суммарное перемещение те.1а?
t-рафики зависимости скорости от времени. Подобно
IIостроению графика пути, можно построить и график зави­
симости скорости движения от времени. Для этого будем по
§ 13.
оси ординат откладывать значения скорости в каком-либо
выбранном масштабе; эта ось будет теперь служить осью
скорости. Ось абсцисс по-прежнему
44
будет служить осью
времени.
Так
как скорость
равномерного движения
есть
постоянная величина, то график изобразится прямой ли­
нией, параллелыюй оси времени. Чем больше скорость,
тем выше расположится прямая (рис. 24). Отрицательная
скорость изобразится линией, лежащей ниже оси абсцисс.
Нулевая скорость (по кой точки) изобразится участком оси
времени.
Рассмотрим движение, скорость которого изображена
линией АВ. Плрщадь прямоугольника, заштрихованного
.5
'V,M/C
~~~,...,..,..,..,...,..,..,..,..",."IJ
1
-3
v=o
2
t,o
"
ti
-3М/с
Рис. 24. Движение тела с разной скоростью в различные ПрNlежут,
ки времени. Площадь заштрихованного на графике прямоугольника
равна (4 м/с) ·4,5 с= 18 м (пройденный путь)
на графике, равна произведению отрезка, изображающего
скорость v, на отрезок, изображающий промежуток време­
ни
т. е. равна vt. Но при равномерном движении пройден­
ный путь также равен vt (см. формулу (9.2)). Значит, путь
выражается площадью, заштрихованной на рис. 24. Таким
образом, при равномерном движении путь, пройденный за
какой-либо промежуток времени, численно выражается
площадью, ограниченной осью времени, графиком скорости
t,
и двумя вертикальными отрезками, проведенными из точек,
соответствующих началу
жутка
и
концу рассматриваемого проме­
времени.
Неравномерное прямолинейное движение. Средняя
скорость. В § 9 мы говорили, что утверждение о равномер­
§ 14.
ности данного движения справедливо только с той степенью
точности, с которой произведены измерения. Например,
применив секундомер, можно обнаружить, что движение
поезда, представлявшееся при грубом измерении равномер­
ным, оказывается неравномерным при более тонком изме­
рении.
Но когда поезд подходит к станции, мы обнаружим не­
равномерность его движения даже без секундомера. Даже
грубые измерения покажут нам, что промежутки времени,
4S
за которые поезд проходит расстояния от одного телеграф~
ного столба до другого, становятся все больше и больше.
е той малой степенью точности, которую дает измерение
времени
по часам, движение поезда на перегоне равномер­
но, а при подходе к станции
неравномерно. Поместим
-
на игрушечный заводной автомобиль капельницу, заведем
его и
пустим катиться
по столу.
В
середине движения
Рис. 25. Следы капель, равномерно падающих из капельницы, поме­
щенной на движущийся заводной автомобиль, перед окончанием завода
расстояния между каплями оказываются одинаковыми (дви­
жение равномерно), но затем, когда завод прибл~зится к
концу, будет заметно, что капли ложатся все' ближе одна
к другой - движение неравномерно (рис. 25).
При неравномерном движении нельзя говорить о какой­
то определенной скорости, так как отношение пройденного
пути к соответственному промежутку времени не одинаково
для
разных участков,
как это имело место для
равномер­
ного движения. Если, однако, нас интересует движение
только на каr<:ом-либо определенном участке пути, то это
движение в целом можно охарактеризовать, введя
понятие
средней скорости движения: средней скоростью неравно.мер­
ного движения на данном участке пути называют отношение
длины эmoго участка к промежутку времени, за который
этот участок пройден;
vcp = s/t.
(14.1)
Отсюда видно, что средняя скорость равна скорости такого
равномерного
движения,
при
котором
тело
прошло
бы
данный участок пути за тот же промежуток времени, что
и при действительном движении.
Как и в случае равномерного движения, можно пользо­
ваться формулой s=Vcpt для определения пути, пройден­
ного за данный промежуток времени при определенной
средней скорости, и формулой t=s/Vcp для определения вре­
мени, за которое пройден данный путь с данной средней
CKopOCTb~. Но пользоваться этими формулами можно толь~
ко для того участка пути и для того промежутка времени,
для которых эта средняя скорость была рассчитана. Напри­
мер, зная среднюю скорость на участке пути АВ и зная
длину АВ, можно определить время, за которое был пройден
этот участок, но нельзя найти время, за которое была прой­
дена половина участка АВ, так как средняя скорость на
половине
участка
при
неравномерном Движении,
вообще
говоря, не будет равна средней скорости на всем участке.
Если для любых участков пути средняя скорость оказа­
лась одинаковой, то это значит, что движение равномерное
и
средняя
скорость
равна
скорости
этого
равномерного
движения.
Если средняя скорость известна за отдельные последо­
вательные промежутки времени, то можно найти среднюю
скорость и за суммарное время движения. Пусть, например,
поезд двигался
в течение двух
часов,
причем его средняя
скорость за первые 10 мин равнялась 18 км/ч, за следующие
полтора часа - 50 км/ч и за остальное время - 30 км/ч.
Найдем пути, пройденные за отдельные промежутки вре­
мени. Они будут равны Si=18·1I6=3 км; s2=50·1,5=75 км;
sз=30·1I3= 10 км. Значит, общий путь, пройденный поез­
дом, есть s=3+75+10=88 км. Поскольку весь этот путь
был пройден за два часа, искомая средняя СКОРОСТа
=88/2=44 км/ч.
vcp =
Из этого примера видно, как вычислять среднюю ско­
рость и в общем случае, когда известны средние скорости
движения Vi, V2, VS, ... , с которыми тело двигалось в тече­
ние последовательных промежуткав времени 1, 2 , t 8 , . . . .
Средняя скорость всего движения выразится формулой
t t
VCP
=
(llti+ (l2 t2+(l3(3+ •••
t1 +t 2 +t з +... .
Важно отметить, что в общем случае средняя скорость не
равна среднему значению от средних скоростей на отдель­
ных участках пути.
?
..
14.1. Покажите, что средняя скорость на всем пути будет больше
наименьшей из средних скоростей на отдельных участках и
меньше наибольшей из них.
14.2. Поезд проходит первые 10 км со средней скоростью 30 км/ч,
вторые 10 км - со средней скоросТью 40 км/ч, третьи 10 км со средней скоростью 60 км/ч. Какова была средняя скорость
поезда на
§ 15.
всем
3D-километровом
отрезке
пути?
Мгновенная скорость. Для описания данного неравно­
мерного
движения
можно_ определить
среднюю
скорость
движения на нескольких участках пути. Однако это даст
~]
лишь грубое, приближенное понятпе
о
характере
движе­
ния.
Дело в том, что, определяя средние скорости, мы как бы
заменяем движение в течение каждого промежутка времени
равномерным движением и считаем, что скорость меняется
скачком от одного промежутка времени к другому. График
пути
такого ДБижения,
промежутков
времени
при
точка
котором в
движется
течение отдельных
с
постоянными,
но
разными скоростями, изобразится ломаной линией со звень­
ями разного наклона. Например, на рис. 26 изображен гра­
фик движения автомобиля, который в течение первого часа
80
о,К/1
Рис.
27.
1
Рис.
26.
описание
График дает грубое
движения
автомо­
биля
Более точное
опи­
сание движения автомобиля,
чем на рис. 26
ехал со средней скоростью 20 км/ч, в течение второго ча­
са - со средней СКОРОСТЬЮ 40 км/ч и в течение третьего со средней скоростью 15 км/ч. Для более точного описания
движения потребуется определять средние скорости за мень­
шие промежутки времени. На графике пути мы будем полу­
чать ломаные линии со все большим числом звеньев, все
точнее описывающие данное движение (рис. 27 и 28) ..
По мере уменьшения промежутков времени фактическое
движение в пределах каждого отдельного промежутка будет
все менее отличаться
от равномерного,
и
наконец отличие
перестанет улавливаться приборами, при помощи которых
мы измеряем среднюю скорость. Этим ставится естественный
предел уточнению описания движения при данной степени
точности измерений длины и времени. В пределах проме­
жутков времени столь малых, что движение представляется
равномерным,
48
можно
относить результат
измерения
к
на-
чалу, КОНЦУ или вообще к любому моменту времени в пре­
делах
рассматриваемого
промежутка.
Будем называть среднюю скорость, измеренную за столь
малый промежуток времени, что в течение этого промежутка
движение представляется для наших приборов равномер­
ным,
мгновенной
скоростью
или
просто
скоростью.
Если движение равномерно, то его мгновенная скорость
в любой момент времени равна скорости этого равномер­
ного движения:
мгновенная
скорость равномерного движе­
ния постоянна. Мгновенная же ст<орость неравномерного
80
80- S,KM
S,KM
50
40
20
о
:3
2
1
Рис.
28.
Еще
ное
описание
более
точ­
движения
автомобиля
движения
есть
переменная
РIIС.
29.
График пути ав­
томобиля
изображается
пл авной линией
величина,
принимающзя
раз­
личные значения в разные моменты времени. Из сказанного
ясно, что мгновенную скорость можно считать изменяющей­
ся во все время движения непрерывно, так что график пути
можно изобразить плавной линией (рис. 29); мгновенная
скорость в каждый момент будет определяться наклоном
касательной К кривой в соответственной точке.
?
15.1. Покажите, что средняя скорость неравномерного движения
на любом участке пути больше наименьшего и меньше наиболь­
•
шего значения мгновенной
§ 16.
скорости
на этом
участке.
Ускорение при прямолинейном движении. Если мгно­
венная скорость движущегося тела растет, то движение на­
зывают ускоренным;
если
мгновенная
с!юрость уменьшает­
ся, то движение называют замедлеюtЫм.
Скорость в различных неравномерных движениях из­
меняется по-разному. Например, товарный поезд, отходя
от
станции,
движется
ускоренно;
на
ренно, то равномерно, то замедленно;
перегоне
подходя
-
то
уско­
к станции,
4S1
он движется замедленно. Пассажирский поезд также дви­
жется неравномерно, но его скорость изменяется быстрее,
чем у товарного поезда. Скорость пули в канале ствола
винтовки возрастает от нуля до сотен метров в секунду за
несколько тысячных долей секунды; при попадании в пре­
пятствие скорость пули уменьшается до нуля также очень
быстро. При взлете ракеты ее CI{OPOCTb растет сначала мед­
ленно, а потом все быстрее.
Среди разнообразных ускоренных движений встречают­
ся движения, в которых мгновенная скорость за любые
равные промежутки времени увеличивается на одну и ту же
ве.'IИЧИНУ. Такие движения называют pa8HoycKopeHНbl,l,tu.
Шарик, начинающий скатываться по наклонной плоскости
или начинающий свободно падать на Землю, движется рав­
ноускоренно. Заметим, что равноускоренный характер это­
го движения нарушается трением и сопротивлением возду­
ха, которые пока учитывать не будем.
Чем больше угол наклона плоскости, тем быстрее растет
скорость скатывающегося по ней шарика. Еще быстрее
растет скорость свободно падающего шарика (примерно на
10
м/с за каждую секунду). Для равноускоренного движе­
ния можно количественно охарактеризовать изменение ско­
рости с течением времени, вводя новую физическую вели­
-
чину
ускорение.
В случае ра8ноускореняого движенuя ускорендем называ­
ют отношение nрuращенuя *) скорости к nро.межутку вре­
А/ени, за который это nрuращенuе произошло:
vскорение
J
=
приращение скорости.
промежуток времени
Ускорение будем обозначать буквой а. Сравнивая с соот­
ветственным выражением из § 9, можно сказать, что ускоре­
ние
есть
скорость
изменения
Пусть в момент времени
скорости.
t1 скорость
t~ она стала .равноЙ V 2 , так что за время
скорости
составляет
V 2- t } I '
Значит,
была Vl, а в момент
t= t 2- t1
приращение
ускорение
**)
(16.1)
*) Приращением некоторой величины называется разность ее ко­
печного и начального значений. Очевидно, приращение может быть как
положительным, так и отрицательным в зависимости от характера из­
менения
величины.
(Прuмеч. ред.)
Ускорение является векторной величиной (§ 23). Если под
~1 И tl2 понимать проекции скорости на ось х (см. сноску на с, 38), то ве--
... *)
Из определения равноускоренного движения следует,
что эта формула даст одно и то же ускорение, какой бы
промежуток времени
ни выбрать. Отсюда видно также,
что при paeHoYCKopeHHOJ';! движении ускорение численно
равно nриращениlО скорости за единицу времени. В СИ
единица ускорения есть метр на секун.ду в квадрате (м/с 2 ),
t
Т. е.
метр
в
сеI<УНДУ
за
секунду.
Если путь и время измерены в других единицах, то I! для
ускорения
надо ПрИНIВ!аТЬ соответственные единицы изме­
рения. В каких бы единицах ни выражать ПУТЬ и время,
в обозначении единицы ускореНIIЯ в числителе стоит единица
длины, а в знаменателе - квадрат единицы времени. Пра­
вило
перехода
к
ДPYГIE\!
единица~!
длины
и
времен!:!
ускорения анаЛогично праВlШУ для скоростей
(§ 11).
для
На­
пример,
1 см/с 2 =36
м/мин 2 •
Если движение не является равноускоренным, то можно
ввести, пользуясь той же формулой (16.1), понятие средн.его
ускорения. Оно охарактеризует изменение скорости за опре­
деленный промежуток времени на пройденном за этот про­
межуток времени участке пути. На отдельных же отрезках
этого участка среднее ускорение
может иметь разные зна­
чения (ер. со сказанным в § 14).
Если выбирать такие малые промежутки времени, что
в пределах каждого из них среднее ускорение остается прак­
тически неизменным, то оно будет характеризовать изме­
нение скорости на любой части этого промежутка. Найден­
ное таким образом ускорение называют мгновенны.М ускоре­
нием (обычно слово «мгновенное» опускают, ер. § 15). При
равноускоренном движении мгновенное ускорение постоян­
но
и
равно
среднему
ускорению
за
любой
промежуток
времени.
§ 17.
Скорость прямолинейного равноускоренного движения.
Так как при равноускоренном движении ускорение посто­
янно, ТО оно равно отношению приращения скорости за лю­
бой промежуток времени к продолжительности этого проличина, определяемая формулой (16.1), предстаВ:lяет собой проекциlO
вектора ускорения на ось х. Величина
а
I C'2~C'11
t
определяет модуль (Т. е. числовое значение) вектора ускорения (см.
сноску на с, 36). (Примеч, ред.)
межутка. Пусть, например, при равноускоренном движении
скорость в начальный момент «(начальная скорость») равна
ио. а по истечении промежутка времени
t
скорость стала рав­
ной и. Тогда ускорение а можно найти по формуле
v-vo
(17.1)
a=-t-'
Отсюда находим формулу для скоростш
(17.2)
v=vo+at.
Если начальная скорость равна нулю, то
v=at.
Значит,
если
скорость
при
равна
про~ежутку
(17.3)
равноускоренном
движении
начальная
нулю,
то скорость
прямо пропорциональна
времени,
протекше~у
от
начального момента.
По TaKo:'IY закону ИЗ:'lеняется скорость шарика, начинаю­
щего скатываться по наклонной доске. По такому же
закону (НО, конечно, при друго:.! ускорении) изменяется
скорость свободно падающего тела, если в началы:Iйй мо­
мент его скорость была раIЗна нулю (§ 55).
По полученным формула:.! можно рассчитать скорость
тела, совершающего раIЗноускоренное движение, в Jlюбой
момент времени, если известны начальная
скорость и уско­
рение. Можно также найти ускорение, ес.ПИ известны
начальная скорость, промежуток вреыени
и скорость в мо­
мент t, а также решать и другие анаJIогичные задачи.
t
Знан ускорения при прямолинейном движении. В § 16
было рассмотрено равноускоренное движение (при KOTOPO~
скорость возрастает) и была получена для ускорения фор­
§ 18.
мула
(16.1).
Поскольку при ускоренном движении и 2 >иl'
вычисленное по этОЙ формуле ускорение а
было nоложи­
mеЛЬНbLлt.
В случае, когда скорость со временем убывает, движе­
ние называется ЗШlсдленлы.м. В частности, раШiOзамедлен­
НЫ.М называют движение, в котором за любые равные про­
межутки
времени
величину.
Тело,
скорость
уменьшается
подброшенное
на
одну
вертикально
и
ту
вверх,
же
или
шарик, вкатывающийся от толчка вверх по наклонной
доске, движутся равнозамедленно. Ускорение такого дви­
жения
определяют,
движения,
жутку
как
так
же
отношение
как
и
для
приращения
равноускоренного
скорости
к
проме­
времени, за который это приращение прои~ошло.
Следовательно, ускорение такого движения также опреде­
ляется формулой
(16.1).
В случае равнозамедленного движения ускорение, вы­
численное по формуле (16.1), оказывается отрицательным
(так как V,<Vl)' Следовательно, по знаку ускорения можно
судить, каким является движение - равноускоренным (а>
>0) или равноззмедленным (а<О) *). Скорость равнозамед­
ленного движения можно найти по той же формуле, что
и
для
равноускоренного
движения:
(18.1)
v=vo+at,
но в
этом
случае ускорение а отрицательно.
Если начальная скорость равнозамедленного движения
положительна, то с течением времени она будет умень­
шаться, обратится в нуль, а затем станет отрицательной.
Это значит, что движущаяся точка остановится, а затем
начнет двигаться в обратном направлении. Например, тело,
подброшенное вертикально вверх, в некоторый момент ос­
тановится (верхняя точка подъема тела), а затем начнет
падать вниз. Момент остановки можно найти, если известны
начальная скорость и ускорение, полагая в формуле (18.1)
v равной нулю. Пусть, например, тело брошено вертикаm,­
но вверх со скоростью 5 м/с. Будем считать направление
вверх положительным. Ускорение брошенного тела есть,
как увидим ниже, a~10 м/с 2 • Значит, момент остановки
тела в верхней точке его траектории определяется соотно­
шением 5-10t=О, откуда находим
t=O,5
с.
Равноускоренное и равнозамедленное движения называ­
ют ра8ноnеременными движениями. Иногда оба эти вида
движения
называют
равноускореННЫМII,
имея
ввиду,
что
ускорение может быть как положительным, так и отрица­
тельным.
Графики скорости при прямолинейном раВНОУСlюрен­
ном движении. Построим, пользуясь формулами § 17, гра·
§ 19.
фики
зависимости
скорости
равноускоренного
движения
от времени. Пусть, например, ускорение равно 2 м/с 2 и В
начальный момент скорость равна нулю. Выполнив построе­
ние, увидим, что график скорости представит собой прямую
1 (рис. 30), проходящую через начало координат. Можно
*} в случае ускоренного движения направления векторов скопости и
ускорения одинаковы; в случае замедленного движения векторы' ~kСфО"
сти и ускореН!lЯ направлены в противоположные стороны.
ред.)
(Прu.меч.
53
доказать, что график С!ЮрОСТИ равноускоренного движе­
ния - всегда прямая ЛИНI!Я; I! обратно, если график ско­
рости какого-либо движения есть прямая, то движение рав­
поускоренное (ср. § 12). При большем ускорении график
скорости изображается прямой II,
наклоненной к оси времени под
большим углом.
Если в начальный момент ско­
рость не равняется
знаqение
по-прежнему
лннню,
чало
то
UO,
нулю,
а
графи к
представляет
но не
проходит
координат,
а
имеет
скорости
прямую
через
на­
пересекает
ось
скоростей в точке vo• Например,
на рис. 30 приведен график рав­
ноускоренного
1
о
Рис.
30.
Графики
сти различных
скоро­
равноуско­
движения
с тем
же
ускорением 2 M/c 2 , но С началЬ!юй
скоростью 5 м/с (прямая lII). На­
клон графика
тот
же,
что
и
для
прямой 1, так как ускорения одина­
ковы для обоих движений. Наклон
графика скорости зависl!Т от выбора масштабов времени
и СI\ОРОСТИ. Поэтому для возможности сравнения различных
ДВlIжений по виду графиков скорости необходимо чертить
ВСС графики в одном и том же масштабе (ср. § 12).
ренных движений
и,м/с
Рис.
31.
Графики скорости равноускоренных
(11, IV)
Ж
(1, 111) и равноза~lед.lеII!!ЫХ
движений
При отрицательном ускорении (равнозамедленное дви­
жение) график скорости также изображается прямой лини­
ей, однако прямая наклонена в этом случае вниз.
На графиках скорости можно ПРОИЛJIюстрировать все изменения
скорости с течением времени при произвольном знаке начальной скорости
S4
я проиэвольном знаке ускорения. Так, на рис. ЗI ПРЯМIIЯ 1 соответст­
вует положительной начальной скорости и положительному ускорению,
II - положительной начальной скорости и отрицательному ускорению,
II 1 - отрицательной начальной скорости и положительному ускорению,
IУ - отрицательной начальной скорости и отрицательному ускорению.
Точки пересечения этих графиков с осью времегiи - это точки перемены
знака скорости, т. е. перемены направления движения. Если нас инте­
ресует только числовое значение скорости, а не ее направление, то мож­
но сказать,
что в эти моменты замеД.1енное движение переходит в
YCKQ-
ренное. Например, числовое значеНllе скорости камня, подброшенного
вверх, сначала уменьшается, а ПОС.lе Достижения верхней точки начи­
нает
возрастать.
19.1. Напишите формулы ДМ] прсекции на ось х скорости дви­
жений, изображенных на рис. 31.
?
§ 20. Графики скорости при произвольном неравномерном
движении. В § 15 мы видели, как можно ПОСТРОИТЬ прибли­
женные графики пути нераIЗномерного движения, представ­
ляя
его
как
ряд следующих
друг за
другом
равномерных
движений с разными СКОРОСТЯМИ. Теперь построим подоб­
ным
же
50
образом приближенные
V,I1М/Ч
графики
СКОРОСТИ.
Они
50 1),h'М/Ч
40
'JD
[,IJ
о
Рис.
32.
График
для движения,
графиком пути
скорости
описываемого
на
рис.
26
Рис.
2
1
33.
График
для движения,
скорости
описываемого
графиком пути
на
рис.
27
будут изображать средние скорости для промежутков вре­
мени,
на
которые разделено данное Движение.
Например, по графику пути, изображенному на рис. 26,
видим, что средние СКОРОСТИ ТОЧКИ за первый, второй и тре­
тий часы равны соответственно 20, 40 и 15 км/ч. Считая
движение в пределах каждого часа равномерным (как это
и было сделано при построении графИl{а), получим график
скорости, представленный на рис. 32. График скорости в
пределах каждого часа изображается отрезком, параллель­
ным оси времени (§ 13). Выбирая меньшие промежутки
времени, получим новый, более точный график скорости
(рис. 33), соответствующий более точному гр?фику пути
(рис. 27). Здесь мы считаем, что движение равномерно
5S
в течение каждого получаса. Еще более точному графику
пути (рис. 28) соответствует еще более точный график ско­
рости (рис. 34) и т. д.
Мы видим, что по мере уменьшения промежутков вре­
мени
скачки
средней
скорости
при
50
переходе
~
от
одного
и'IfM/,{
•
10_
40
~~
:~
/
Рис.
для
График
34.
движения,
трафиком пути
промежутка
к
Рис.
скорости
описываемого
на
рис.
другому
соседние ступеньки
1
35.
'
График
для движения,
графиком пути
28
делаются
все меньше
все
скорости
описываемого
на
меньше
рис.
и
29
меньше:
и меньше отличаются
друг
от друга по высоте. В конце концов при достаточно малых
IJромежутках времени измерительные приборы перестанут
обнаруживать эти скачки. Тогда график скорости можно
изобразить уже не ступенчатой, а непрерывной линией
(рнс. 35, соответствующий рис. 29). Эта линия будет давать
значения мгновенной скорости в каждый момент времени.
Нахождение пути, пройденного при неравномерном
движении, при помощи графика скорости. В § 13 мы видели,
!{(!к при помощи графика скорости можно найти путь, прой­
денный при равномерном движении. Как же найти пройден­
§ 21.
ный путь в случае неравномерного движения?
Представим
себе
сначала,
что
движение
приближенно, например так, как на рис.
32.
изображено
Тогда площади
прямоугольников, заштрихованных на рисунке, будут изо­
бражать
соответственно
путь, пройденный за первый,
второй и третий часы движения. Общая площадь, занимае­
мая этими прямоугольниками, будет поэтому равна полному
пути. Точно так же, т. е. как площадь графика скорости,
определится полный путь и при более точном изображении
движения (заштрихованная площадь на рис. 33 и 34). От­
сюда заключаем, что площадь графика даст полный прой­
денный путь и в том случае, когда данное неравномерное
движение
изображено
линией (рис.
35).
Нll
графике
точно:
т. е.
плавной
.путь, пройденный за кatсой-либо промежуток времени,
численно выражается площадью, ограниченной ОСЬЮ времени,
графиком скорости и двумя вертикальными отрезками,
nроведеЮiЫ},Ш из точек, соответствующих началу и концу
данного nРОА!ежутка вреАtени. Таким образом, вывод, к ко­
торому мы пришли в конце § 13 для частного случая равно­
мерного движения, оказывается справеДЛIIБЫ~1 и для об­
щего
случая
§ 22.
Путь,
произвольного
пройденный при
Воспользуемся
денного
hepabho:\-Iерного
равнопеременном движении.
графическим
пути
для
случая
движения.
способом
нахождения
равноускоренного
прой­
движения.
Пусть график скорости равноускоренного движения изоб­
ражен прямой ВС (рис.
36).
Путь, пройденный за время
t=OA, численно равен пло­
щади трапеции
s=
ОВСА:
площадь ОВСА
_
-
с
v
=
ОВ+АС.
2
ОА .
Но ОВ =и о (начальная ско­
рость), AC=vo+at (скорость
в момент t при ускорении а).
Значит,
- uo+(vo+at). t - ' t +!!!:...
s2
2'
(22.1 )
-"0
t
о
Рис.
t
36.
Графическое
дение формулы
ного
пути,
НilХОЖ·
пройден­
при равноускоренном движении
Эта формула справедлива как для равноускоренного,
и
для
равнозамедленного
движения;
в
первом
так
случае
ио
и а одинаковы по знаку, а во втором - противоположны *).
Для движения с начальной скоростью, равной нулю, на
графике вместо трапеции получается прямоугольный тре­
угольник
ODA
с катетами
OA=t
и
AD=v=at,
так что пло­
щадь, выражающая пройденный путь, оказывается равной
(22.2)
*)
Строго говоря, формулы
(22.1)
и
(22.2)
определяют не путь
а координату х движущейся точки в момент времени
t ..•в
s,
случае, если
ио и а ПO.тJожительны, значения пути s и координаты х совпадают. В слу­
чае, когда ио>О, а ускорение а<О, формула (22.1) дает пройденный путь
лишь до тех пор, пока скорость не изменит знака (т. е. не изменит на­
праВ.тJеНIlП). (Прuжч. ред.)
57
Эту формулу можно было бы получить и непосредственно
из предыдущей формулы, полагая vo=O.
На рис. 37 дан график пути равноускоренного движения
с начальной скоростью, равной нулю. График построен по
формуле (22.2) для
значения
а=
18
SJM
=
2 м/с 2 •
Он
изображается
кривой
линией, поднимающейся
вверх
все
круче и круче. Расстояния точек гра­
фика от оси времени пропорциональ­
ны квадратам расстояний от оси пу­
1'1
12
ти. Такая
10
кривая
8
болой.
Из формулы
б
начальной
называется
(22.2)
скорости,
пара­
видно, что при
равной
нулю,
путь, пройденный при равноускорен­
ном движении за первую секунду дви­
2
1
Рис.
ти
37.
при
ч
J
(f
График пу­
равноускорен­
ном движении
жения и= 1 с) численно равен поло­
вине ускорения. Если известен путь,
пройденный без
за время
t,
начальной скорости
то ускорение можно найти
по формуле
(22.3)
a=2s/t2 •
Если начальная скорость Vo равна нулю, можно выразить
путь s, пройденный к моменту t, через скорость V в этот
момент или скорость - через пройденный путь. Действи­
тельно, в этом случае
выражений
t,
v=at
и
s=af2!2.
Исключая из этих
найдем
s=v 2/2a,
(22.4)
v= V2as.
(22.5)
Нащшец, зная пройденный путь и ускорение, можно, вос­
пользовавшись формулой (22.2), найти время движения:
t = V2sja.
(22.6)
Впервые законы равноускоренного движения были найдены Гали­
леем при изучении движения шарика по наклонному желобу (описано
в 1638 г.). В его время еще не было точных часов и Галилей измерял
время движения
при
помощи своего рода
водяных часов
-
взвешивая
воду, вытекшую из сосуда через узкое отверстие. Галилей пускал шарик
по наклонному желобу (без начальной скорости) и измерял расстояния,
которые проходил шарик за время, соответствующее определенному ко­
личеству вытекшей из сосуда воды. Несмотря на несовершенство метода
измерений, Галилею удалось обнаружить, что путь, проходимый шари­
ком"пропорционален квадрату IJремени, за которое этот путь пройден.
?
22.1. Напишите формулы, аналогичные (22.4) и (22.5), для случая начальной СКОРОСТИ Vo, не равной нулю.
22.2. ПOl{ажите, пользуясь ФОРМУЛОЙ (22.1), ЧТО для равноуско­
ренного движения пути, проходимые ТОЧКОЙ за любые равные
•
промежутки времени, следующие друг за другом, получают одина­
ковое
приращение.
Покажите, пользуясь формулой
22.3.
(22.2),
что для равноуско-
. ренного
движения без начальной скорости при ращения пути за
любые равные промежутки времени, следующие друг за другом,
равны двойному
промежуток
пути,
проходимому
точкой за первый такой
времени.
Электровоз подходит по горизонтальному пути к уклону,
22.4.
имея скорпсть 8 м/с, затем движется по уклону вниз с ускоре­
нием 0,2 м/с 2 • Определите длину уклона, если электровоз про­
ходит его за 30 с.
Электровоз начинает двигаться равноускоренно в тот мо­
мент, когда с ним поравнялся мальчик, бегущий равномерно со
22.5.
скоростью
когда
22.6.
он
2 м/с. Определите скорость электровоза в тот момент,
догонит
мальчика.
Автомобиль, пройдя с постоянным ускорением некоторое
расстояние от остановки, достиг скорости 20 м/с. Какова была
его
22.7.
скорость на половине этого расстояния?
Какой путь прошло тело за время, в течение которого
скорость его увеличилась с
2 м/с 2 ?
4 до 12 м/с, если ускорение равно
Векторы. До сих пор мы рассматривали только движе­
ние точки по заданной прямой. В этом случае для того, что­
бы найти перемещение точки, достаточно знать начальное
положение точки, направление движения и пройденный точ­
кой путь. Точно так же, зная начальное положение 'точки,
§ 23.
числовое
значение
скорости
и
ее
знак,
мы
могли
ответить
на вопрос, где будет точка через одну секунду, через две
секунды
и
т. д.
Но если точка движется не по прямой, то этих данных
уже недостаточно. Проследим по карте за движением само­
лета (летящего на неизменной высоте). Пусть, например,
самолет переместился из положения А в положение В
(рис. 38). Отрезок АВ - перемещение самолета. Зная
прежнее положение тела и перемещение, можно найти но­
вое положение тела. Однако, в отличие от случая движения
по прямой, для этого теперь нужно знать не только длину
отрезка АВ, но и направление в пространстве, в котором
это перемещение произошло. При другом направлении
перемещения, даже при той же его длине, самолет оказался
бы в другой точке (например, в точке М, отстоящей от А
на таком же расстоянии, что и точка В). Значит, nеремеще­
ние характеризуется не только числовым значением, но и на­
правлением
в
пространстве.
59
Точно так же скорости и ускорения тел нужно характе­
ризовать
не
только
числовыми
значениями,
но
и
направ­
лениями в пространстве. В физике часто приходится встре­
чаться с величинами, которые, как и перемещение, скорость
100
О
50
~
f
Рис.
38.
300км
200
~±=====~k'======~I
Перемсщсния, не ,1СЖШЦИС на ОДНОЙ прямой. Сложение переме­
щеиий
или
ускорение,
характеризуются
не
только
ЧИСJ10ВЫМ
зна­
чением, но 11 направлением в пространстве. Мы увидим, что
таковы силы взаимодействия между телами, напряженность
электрического
поля
и
т. д.
Величины, которые характеризуются числовым значени­
е.А1 и наnравление,н в npocтpaHcmвe, называются векторами.
Таким
образом,
перемещение,
скорость
и
ускорение­
пекторы.
Числовое значение вектора называется модулем. Модуль
вектора всегда nОАGжиmельныИ. На чертежах вектор изоб­
ражают в виде прямолинейного отрезка со стрелкой на кон­
це. Длина отрезка определяет в заданном масштабе модуль
вектора, а стрелка указывает направление вектора. Векто­
ры обозначают либо буквой жирнnго шрифта (а, А), либо
...
-+
буквой обычного шрифта со стрелкой над неи (а, А), либо,
наконец, двумя буквами со стрелкой над ними (АВ, ве),
причем первая буква обозначает начало, а вторая - конец
отревка, изображающего вектор. Модули векторов обозна­
чаются теми же буквами, что и векторы, но обычного шриф­
та и без стрелок (а, А, АВ, ве), либо с помощью символа
60
вектора,
помещенного
между
вертикальными
черточками
IA.I).
(Ial,
В отличие от векторов, величины, которые характери­
зуются числовым значением,
направления
в
но !{оторым нельзя
пространстве,
называют
приписать
скалярны~tU
вели­
чина.Юl или скалярами. Скалярами являются время, плот­
ность вещества, объе~1 тела, температура, расстояние (но
не перемещение!) и т. д. Скалярные величины равны друг
другу, если совпадают по числовому значению. Векторные
величины
и
по
равны
друг
другу,
если
совпадают
по
модулю
направлению.
Представим себе, что тело совершило одно за другим два
переыещения; например, самолет пролетел сначала по пути,
изображаемому вектором АВ, а затем по пути, изображае-+
МОМУ векторо:и ве (рис.
38).
Результирующее перемещение
изобразится вектором хс. Его называют суммой данных
<;?
РIIС.
Сложение ДВУХ векторов: а) по правилу треУГОJlьника; б) по
39.
праВИJlУ
пара.lIлелограмма
перемещениЙ. Мы видим, что сумма двух перемещений полу­
чается
как
сторона
треугольника,
в
котором
две другие
стороны образованы слагаемыми перемещениями. Такое пра­
вило сложения
называют вeKmopHЫ~! сложением или сложе­
нием по правилу треугольника (рис. 39, а). Отсюда следует,
что МОДУJ1Ь суммы двух векторов в общем случае не равен
сумме модулей слагаемых векторов: модуль суммы лежит
между суммой и разностью модулей слагаемых векторов.
Только если слагаемые векторы расположены на одной
прямой, модуль суммы равен сумме модулей слагаемых век­
торов (если они обращены в одну сторону) или абсолютному
значению их разности (если векторы обращены навстречу
друг
другу).
Векторное сложение можно производить также по nра­
вилу
ника:
nараллелограмма,
при
построении
равносильному
правилу
параллелограмма
оба
треуголь­
слагаемых
вектора
откладываются из одной точки и служат сторо­
нами параллелограмма. Тогда диагональ параллелограмма,
61
проведенная из той же точки, дает результирующий вектор
(рис. 39, б).
Векторам противоположного направления приписывают
противоположные знаки. На рис.
векторы, равные по
40
модулю и противоположные по направлению, различаются
только знаком: А=-В.
Аналогично сложению векторов можно определить и их
вычитание: вычесть вектор
-
значит прпбавить вектор про­
.
iS
тивоположного напраВ.'IеНiIЯ. В параллелограмме одна из
диагоналей есть сумма веIПОРОВ, изображаемых его сторо­
нами, вторая диагональ есть их разность (рис. 41).
~-
а
~­
h
--,
I
rj
/
I
За
/
/
.
-1,5а
/
/
~
а
Рис.
40.
Векторы
различаются
толь­
Рис. 41. Векторное вы­
читание: d=a-b
Рис.
42.
ние
вектора
ко знаком: А=-В
Умноже·
на
число
Если складывают более чем два вектора (например, если
тело совершает более чем два последовательных переме­
щения), то сумма векторов (суммарное перемещение) полу­
чится путем последовательного прибавления к первому
вектору второго, к их сумме - третьего и т. д. Если данное
перемещение повторяется два, три и т. д. раз, то получаю­
щееся перемещение имеет то же направление,
что и вектор
однократного перемещения, а по модулю в два, три и т. д.
раза больше однократного перемещения. Таким образом
можно ввести УJ.Uюжен.ие вектора н,а число (на скаляр):
вектор, умноженный на число (на скаляр) есть вектор того
же направления, если число (т. е. скаляр) положительно,
и противоположного направления, если число (скаляр)
отрицательно;
модулю
модуль
результирующего
значение числа (скаляра). На рис.
а, 3а и -1,5a.
?
§ 24.
вектора
исходного вектора, умноженному на
42
равен
абсолютное
изображены векторы
23.1. Докажите, что по отношению к перемещениям справед­
ливы законы: перемесТlIтельный (а+Ь=Ь+а), сочетате.1JЬНЫЙ
(а+ (Ь+с)=(а+Ь)+с) н распределительный д.1JЯ умножения
на чнс.'10 (т(а+Ь)=та+тЬ),
Разложение вектора на составляющие. Любой вектор
можно представить как сумму нескольких векторов. Напри­
мер,._, перемещение тела можно представить как результат
нескольких последовательных перемещений,
тело из того же начального в
Замену
других
одного
вектора
называют
то же
векторной
разложение.}!
можно
разложить
двум
данным
ШI,
Тогда
нескольких
составляющие.
~
I
произве­
сти
бесконечным
способов, Можно,
мер,
на
1
,
~U
ложение вектора на состав­
ляющие
суммой
вектора
Составляющие вектора, ко­
нечно, тоже векторы. Раз­
переводящих
конечное положение.
числом
напри­
вектор
Рис.
43. Разложение скорости са­
молета,
по
набирающего
вертикальную
направлени­
и
высоту,
на
горизонтальную
составляющие
разлагаемый
вектор будет служить диагональю параллелограмма,
а
с
заданными
направлениями
составляющих совпадут стороны параллелограмма (рис. 43).
Если задать направление только одной составляющей,
то задача о разложении вектора не будет иметь определен­
ного ответа; на рис.
44
мы видим,
что можно построить
'\~n~"
А!
А
Az А.}' AI(.
А 5 Afi
А7
Рис. 44. Разложение вектора Хв, в котором задано только направление
АС одной составляющей. Вектор Хн может быть представлен как суммы
~
векторов
AAi
и
-+-
AB1 ,
-?-
-+
---:10-
--~
АА 2 И АВ 2 , АА з и АВа и т. д.
сколько угодно параллелограм\юв с заданной диагональю
(разлагаемый вектор) и задаННЫ::Vl направлением одной сто­
роны (направление одной из составляющих).
?
..
24.1. Самолет должен призе~!Литься в пункте
300 км К юго-западу от аэро~рома вылета, НО
А, лежащем в
предварительно
он должен сбросить ВbJ~!Пел над аэродромом В, лежащим в 400 км
К юго-востоку ОТ аэродрома вылета, Чему равен модуль переме­
--->-
щения
АВ?
Чаще всего производят разложение векторов по напраI3леНIIЯМ осей какой-либо прямоугольной системы координат
(рис. 45, а). На рис. 45, б изображен вектор а (он же АВ).
Проведем из точек А и В перпендикуляры к осям х и у.
Точка пересечения перпендикуляра с осью называется
проекциеU соотвеТСТI3УЮlЦей точки (А или В) на данную
63
ось (Х или У). На рисунке УI{азаны Iюординаты этих
проекциЙ. Разность ХВ-ХА обозначается ах и называется
nроекцией
вектора
а
на
ось
х;
аналогично,
разность
У В-УА обозначается ау и называется nроекцией вектора а
н.а ось У. Проекции называют также компонентами вектора
по координатным осям (ах - компонента BeI{TOpa а по оси
хит. д.). Проекции (компоненты) являются скалярами.
у zJ-' y/~~ А
ах
а)
31
УА -t~~- ,
318
б)
31
•
!1
1\
'~~ ~~;
А(
.Z'A
Аг
Bz
8)
81
1&-'
Рис. 45. а) Пример разложения вектора на составляющие, параллель­
ные координатным осям. 6) и в) Проекции вектора на KoopДHHaТlIЫC
оси
Для вектора, изображенного на рис. ~5, б, ХВ<ХА,
вследствие чего проекция на ось Х отрицательна (ах<О);
поскольку Ув>уА" проекция на ось У положительна (all>O).
На рис. 45, б показаны длины отрезков, заключенных
между проекциями на ось начала и конца вектора. Эти дли­
НЫ должны выражаться положительными числами. Поэтому
значение длины отрезка между проекциями точек А и В
на ось Х указано в виде -ах (само йх<О; -ах>О). Отметим,
что проекция вектора а, изображенного на рис. 45, в,
положительна, а проекция вектора Ь отрицате.JIьна.
Дадим еще одно определение проекции вектора. На
рис. 45, в показаны векторы а и Ь и их проекции на произ­
вольную ось Х. Проекция вектора а (т. е. ах) равна длине
отрезка А 1 А 2, взятой со знаком плюс (так как ах>О);
проекция вектора Ь (т. е. Ь х ) равна длине отрезка В 2В 1 ,
взятой со знаком минус (так как Ьх<О). Напомним, что на
рисунке проставлена длина отрезка В 2 В 1 , которая выража­
ется положительным числом, равным -Ь х .
Из рис. 45, в видно, что длина отрезка А 1 А 2 (т. е. ах)
равн" длине отрезка, изображающего вектор а (т. е. модулю
вектора а), умноженной на косинус угла а между направле­
нием оси Х и направлением вектора. Следовательно, а х =
=а cos а. Длина отрезка В 2 8 1 равна длине отрезка, изоб­
ражающего вектор Ь (Т. е. модулю вектора Ь), умноженной
на косинус угла n-~. ПроеIЩИЯ вектора Ь равна этой
длине,
ВЗЯтОЙ со знаком минус. Следовательно, Ь,,=
=-Ь соs(л-~)=Ь cos~.
Таким образом, независимо от TOГO~ какой угол образует
направление вектора с направлен.Ием оси Х, проекция
1361{-
тора на ось определяется формулой
ах
=
а
(24.1)
cosa.
Если «<л/2, то ах>О, если «>л/2, то ах<О. При «=л/2
проекция
вектора
равна
нулю.
Очевидно, что модуль и направление вектора (а следова­
тельно,
и сам вектор)
. полностью
определяются заданием
проекций вектора на координатные оси
Рис.
46.
*).
В частности, для
Проектирование движения точки М иа оси координат
векторов, лежащих в
плоскости Х, у, модуль определяется
формулой а = V a~ +a~. «Длины» и знаки проекций опреде­
ляют
направление
вектора.
Пусть какая-либо точка движется по прямой. Выберем какую­
нибудь систему координат ху и спроектируем движущуюся точку на оси
координат (рис. 46). На рисунке показаны проекции М х и М у точки,
занимающей в даиный момент положение М. При движении точки будут
двигаться и ее проекцин. Если точка М совершила перемещение АВ, то
за то же время ее проекции совершили перемещения АхВх , АуВ у · по
соответственным осям. Из построения видно, что nроекции nереJtещенuя
движущейсн точки М равны nереJtещеНUЯJt ее nроекций М" и М у по осям
~оординат. Если точка двигалась равномерно, то п]>оекции также дви­
гались равномерно. Разделив перемещения точки и ее проекций на время
t движения точки, найдем скорости и. и х и и у точки М и ее проекций
М" и М у •
.
Можно показать, что nроекция скорости точки равна скорости дви­
!Жения ее nроекции. Точно так же мОжНо показать, что при неравномер­
ноМ движевии точки по прямой проекции ее мгновенной скорости и
ускорения равны мгновенныМ скоростям и ускорениям ее проекциЙ.
'") Мы рассматриваем свободные векторы, т. е. векторы, которые мо­
гут перемещаться как угодно, оставаясь паралJiельными самим себе.
(ПрuJte<l. ред.)
.
3
элементарный Учебиик физики, т. 1
65
Обратно, еCJIИ известны перемещения, СКОРОСТИ
пли ускорения проек­
ций движущейся точки на оси координат, то МОЖно найти перемещение,
скорость или ускорение, складывая получившиеся составляющие иско­
мого вектора по правилу
параллелограмма.
Таким образом, вместо того чтобы рассматривать движение точки в
произвольном направлении,
мы всегда можем
только ВДQ.JlЬ определенных прямых
-
рассматривать движение
осей координат. В ряде случаев
выбор осей подсказывается самими условиями задачи. Например, изу­
чая Движение брошенного тела, удобно выбрать oc~, координат по вер­
тикали
§ 25.
и
ПО
горизонтали,
Криволинейное движение.
Если точка движется по
криволинейной траектории, то перемещением точки по­
прежнему будем называть отрезок, соединяющий ее началь­
ное и конечное положения. Перемещение не будет лежать
на траектории, как это было при пря­
молинейном движении (рис. 47). Тем
не менее и при криво.1инеЙном дви­
жении. можно
траектории
и
произвести
«привязку»
разметку
отдельных
положений движущейся точки
ответственным
моментам
Нужно только отсчитывать
вдоль
к
со­
времени.
путь
не
по прямой,
а
криволинейной
траектории,
как показано на рисунке.
~одуль скорости криволинейного
движения
и модуль
Рис.
47.
Разметка кри,
волинейной
траекто-
рии. Перем;;щение
ТочКи
между
жениями
А
iB
ее
поло­
и
В
не
лежит на траектории
же
стности,
понятия
ка/<
денного точкой вдоль траектории за
достаточно малый промежуток вре­
мени, к этому
промежутку .
Пока
речь идет только о модуле скорости
И
О
пройденном
равномерного
равнопеременного)
молинейного
так же,
прямолинейного
движения: как отношение ПУТИ"прой­
линейном
те
определяется
скорости
движения.
пути,
движении
и
криво-
ввести
неравномерного
движения,
Точно
при
можно
так
же
что
и
(В ча­
для
можно
пря­
ПОльзо­
ваться для расчета пути и модуля скорости теми же форму­
лами, что и для прямолинейного движения. Различие появ­
ляется только тогда, когда мы учитываем иаправление дви­
жения.
§ 26. CKOPOCT~ Криволинейного движения. Какое же направ­
лениё приписать скорости криволинейного движения? Ведь
при криволинейном движении нет определенного направле-
ния движения. ~ы ответим на эадан~ый вопрос, введя .по66
.
нятие мгновенного направления скорости, подобно тому как
в
§ 15 мы ввели понятие мгновенной скорости прЯМолиней­
ного
движения.
Для этого будем рассматривать I<риволинейное движение
за малые промежутки времени. Чем меньшие промежуТl<И
времени мы будем выбирать, тем меньше будет отличаться
соответственный малый
сток траектории от
уча­
ПРЯМОЛII­
нейного отрезка, например от
своей хорды. За достаточно
малый промежуток вре:v!ени
данное движение будет неот­
личимо
от
прямолинейного.
Кроме того, для малого участ­
ка пути хорда будет практиче­
ски неотличима
от
касатель­
ной, проведенной в любой точ­
ке этого участка
траектории.
Поэтому мгновенным направ­
лением скорости
считают
на­
правление касательной в той
точке
траектории,
где
в
дан­
ный момент находится движу­
щееся тело. Обычно слово
«мгновенное»
опускают
и
Рис.
48.
Искры из-под
предме­
та, обтачиваемого на точильиом
круге, летят по касательной к
кругу
говорят
просто
о
направлении
скорости.
Частицы вращающегося точильного камня ДВИЖУТСЯ по
окружностям. Коснемся вращающегося камня концом сталь­
ного прутка (РИС.
48).
мы увидим искры
-
мелкие раска­
ленные частицы, отрывающиеся от камня и летящие с той
скоростью, которую они имели в последний момент движе­
ния вместе с камнем. Переставляя пруток по окружности
камня,
увидим,
что
направление
вылета
искр
различно
в разных точках и всегда совпадает с касательной к окруж­
ности в той точке, где пруток прикасается к камню.
?
•
26. t.
Для того чтобы брызги от велосипедных колес не попадали
на седока, над колесами устанавливают щитки в виде дуги окруж­
иости С центром на оси колеса. Изобразите схематически велоси­
пед с седоком и отметьте на
PIf{;YHK~ наименьшие размеры щит­
IЮв, при' которых седок будет защищен от брызг.
§ 27.
Ускоре1ше при криволинейном движении. Рассматри­
вая криволинейное движение тела, мы увидим, что его СКО­
рое1'Ь в разные моменты различна. Даже в том случае, когда
модуль скорости не меняется, все же имеет место изменение
61
направления скорости. В общем случае меняются и модуль
и
направление скорости.
Таким образом, при криволинейном движении скорость
непрерывно изменяется, так что это движение происходит
с ускорением. Для определения этого ускорения (по модулю
.
и направлению) требуVf
изменение
. • ется найти
_-C~-=~скорости ка" ве"тора,
Vf
т. е. найти приращение
.....-
~----~
модуля скорости
и из­
менение ее направл ения.
.
Рис. 49. Изменение скоростн при кри'
ВOJIииеАном двнженин
Пусть,
точка,
например,
двигаясь
волинейно
имела
в
(рис.
кри-
49),
некоторый мо­
мент скорость f11' а через
малый промежуток времени - скорость f'1. Приращение
скорости есть разность между векторами 1:12 и 1:11. Так
как эти
векторы имеют различное
направление,
то нужно
взять их векторную разность. Приращение скорости выра­
зится вектором /:J.1:I *), изображаемым стороной параллело­
грамма с диагональю 1:12 и другой стороной f1f. Ускорением а
называется отношение приращения скорости к промежутку
времени
t,
за который это прйращение произошло. Значит,
ускорение
/111
а=т,
По направлению а совпадает с вектором /:J.f1.
Выбирая t достаточно малым, придем к понятию мгно·
венного ус"орения (ер. § 16); 'Ори произ~ольном t вектор а
будет представлять среднее ускорение за промежуток BP~'
мени
t.
Направление ускорения при криволинейном движении
не совпадает с направлением скорости, в то время как для
прямолинейного движения эти направления совпадают (или
противоположны).
Чтобы
найти
направление
ускорения
при криволинейном движении, достаточно сопоставить на­
правления скоростей в двух близких точках траектории.
Так как скорости направлены по касательным к траекто­
рии, то по виду самой траектории можно сделать за ключе·
*)
Греческой буквой А (дельта) обозначают приращение скалярной
либо векторной величииы; например. AA=A s -А 1 - ПРИр'ащение моду­
ля вектора А. AA=A,-A1 - приращение вектора А. (ПрuJtеч. ред.)
68
ние, в какую сторону от траектории направлено ускорение.
Действительно, так как разность скоростей 'lJ S-'lJl В двух
близких точках траектории всегда направлена в ту сторо­
.ну, куда искривляется траектория, то, значит, и ускорение
всегда
направлено в
вогнутости
пример,
тится
сторону
траектории.
когда
шарик
На­
ка­
по изогнутому желобу
(рис. 50), его ускорение на
участках АВ и ве направлено
так, как показывают стрелки,
причем это не зависит от того,
катится шарик от А к С или
в обратном направлении.
Рассмотрим
равномерное
движение
по
криволи­
нейной траектории.
Мы уже
знаем,
точки
что
это
-
ускоренное
Рис.
50.
всегда
правлены
вогнутости
движение. Найдем ускорение.
Для этого· достаточно
рассмотреть
ускорение
для
Ускорения при криво­
линеilном движении
частного
в
сторону
на·
траектории
случая
равномерного
движения по окружности. Возьмем два близких положения
А и В движущейся точки, разделенных малым промежутком
времени
(рис. 51, а). Скорости движущейся ТОЧки в А и В
t
о
Рис.
51.
К выводу формулы для центростремительного ускорения
равны по модулю, но различны по направлению. Найдем
разность
этих
ника (рис.
51,
скоростей,
пользуясь
правилом
треуголь-.
б). Треугольники ОАВ и О'А'В' подобны,
как равнобедренные треугольники с равными углами при
вершине. Длину стороны А' В', изображающей приращение
скорости за промежуток времени t, можно положить равной
где а - 'модуль искомого ускорения. Сходственная ей
сторона АВ есть хорда дуrи АВ; вследствие малости дуги'
at,
69
длина ее хорды может быть приближенно принята равной
длине дуги, т. е.
R-
где
Далее,
vt.
O'A'=O'B'=v; OA=OB=R.
радиус траектории.
Из
подобия
треуголъников
следует, что отношения сходственных сторон в них равны:
at
v
ы=7['
откуда
находим
модуль
искомого
ускорению
vll
а=/[.
(27.1)
Направление ускорения перпендикулярно к хорде АВ.
ДЛЯ достаточно малых промежутков времени можно счи­
тать,
что
касательная
к дуге
практически
совпадает
с
ее
хордой. Значит, ускорение можно считать направленным
перпендикулярно (нормально) к касательной к траектории,
т. е. по радиусу к центру окружности. Поэтому такое
ускорение
ным
называют
ускорением.
Если
.
нормальным
траектория -
не
или
центростремитель­
окружность,' а
произвольная
кривая линия, то в формуле (27.1) следует взять радиус
окружности, ближе всего подходящей к кривой в данной
точке. Направление нормального ускорения и в этом случае
будет перпендикулярно к касательной к траектории в дан­
ной точке. Если при криволинейном движении ускорение
постоянно по модулю и направлению, его можно найти
как
отношение
приращения
скорости
к
промежутку
вре­
мени, за который это приращение произошло, каков бы ни
был этот промежуток времени. Значит. в этом случае уско­
рение можно найти по формуле
a=fJ-;fJ о ,
(27.2)
аналогичной формуле (17.1) для прямолинейного движения
с постоянным ускорением. Здесь 'lJo - скорость тела в на­
чальный момент, а 'lJ - скорость в момент времени t.
Движение относительно разных систем отсчета. В § 2
МЫ объяснили, что одно и то-же движение тела' имеет раз­
личный характер в зависимости от того, к какой системе
§ 28.
отсчета отнесено это движение. Рассмотрим случай, когда
одна из систем отсчета движется относительно другой посту­
пательно. Ясно, что в этом случае вторая система движется
относительно первой также поступательно.
Для примера возьмем за такие системы отсчета Землю
,И железнодорожную платформу, движущуюся по прямому
10
участку пути. Пусть по платформе идет человек. Как, зная
движение человека относительно платформы и движение
платформы относительно Земли, найти движение человека
относительно Земли?
.
Если перемещение человека относительно платформы
изображается вектором 8i, а перемещение платформы отно­
сительно Земли изображается вектором 82, то, как видно
Рис.
52.
Сложение перемещений при движениях относительно раЗНЫJli
систем
из рис.
52,
отсчета
перемещение человека относительно Земли изоб­
разится вектором 8, представляющим собой диагональ па­
раллелограмма,
построенного на
векторах
8i
и
82
как
на
сторонах; это значит, что выполняется векторное равенство
8=81+8в.
(28.1)
Так же можно найти перемещение тела и в других слу­
чаях: можно показать, что при переходе от одной системы
отсчета к другой nеремещеlluе тела
u
neремещеllue
CUCfneMb4
отсчета складываются вектОРll0 .
. Если движение человека относительно платформы и дВи­
жение платформы относительно Земли - прямолинейные и
равномерные, то движение человека относительно Земли
также будет прямолинейным и равномерным. В этом случае.
разделив обе части равенства (28.1) на промежуток време­
ни
t,
в течение которого произошли перемещения, найдем
(28.2)
fJ=Vl+Vj,
где Vi скорость человека относительно платформы, V:! скорость платформы относительно Земли и V - скорость
человека относительно Земли. Значит, в этом случае ско­
.рость тела u скорость системы отсчета также складьюают­
ся вектОРll0.
Можно доказать, \то формула
(28.2)
справедлива и для
неравномерных движений, если под величинами Vi, V2" fI
понимать
мгновенные
скорости
тела
и
системы
отсчета.
Если платформа движется равномерно и прямолинейно,
то, как бы ни двигался человек по платформе, его скорость
отноСительно Земли будет отличаться от скорости
отно-
71
сительно платформы
только
постоянной добавкой ('lJ)).
Значит, все изменения скорости человека будут одинаковы
в обеих системах, а значит, одинаковы будут и ускорения
человека относительно обеих систем.
Итак, если две системы отсчета движутся поступатель­
но, равномерно и прямолинейно относительно друг друга,
то ускорения тел относительно обеих систем отсчета будут
равны. Скорости же движения тел относительно обеих
систем,
?
конечно,
будут различны.
28.1. Покажите, что если человек движется относительно плат­
формы прямолинейно, но неравномерно, а платформа движется
относ~тельно Земли прямолинейно и равномерно, то человек
может двигаться относнтельно Земли криволинейно.
28.2. За три часа пловец проплывает в стоячей воде 3 км, а бревно
вниз по течению - 1 км. Какое расстояние проплывет пловец
против течения за это же время?
28.3. Пароход идет вниз по
2 ч, а вверх по течению - 3
течеиию от пункта А к пункту В
ч. Сколько времени будет плыть
бревно от пункта А к пункту В?
28.4. Чтобы проплыть некоторое расстояние вниз по течению
на лодке, требуется времени втрое меньше, чем вверх по течению.
Во сколько раэ скорость лодкн больше скорости течения?
28.5.
Поезд проходит за
15
с мнмо телеграфного столба и за
45
с
проходит туннель, имеющий длину 450 м. При встрече с поездом
длины 300 м оба поезда идут однн мимо другого В течение 21 с.
НаЙДи .. е скорость второго поезда.
28.6. Гусеничный трактор движется со скоростью 5 м/с. с какой
скоростью движется относительно Земли: а) верхняя часть ryceницы; б) нижняя часть гусеницы? Каковы скорости этих частей
гусеницы
относнтельно
трактора?
28.7. Моторная лодка развнвает в стоячей воде скорость 10 км/ч.
Течение реки имеет скорость 5 км/ч. Сколько временн затратит
лодка, чтобы пройхи вверх по течению 10 км И спуститься обратно
на
§ 2.9.
то-же
место?
Кинематика космических движений. Мы 'видели,
что
для {)писания движения точки необходимо измерять длину
пути, пройденного точкой поее траектор.ии, и «привязыватЬ»
каждое
положение
точки
по
траектории
к
соответствен­
ному моменту времени. При изучении движения космиче­
ского корабля и вообще космuческих тел - планет, Луны,
звезд - не может быть, конечно, речи о непосредствен­
ной -разметке траектории. Единственный способ измерения
расстояния до космического кораб.(IЯ (и вообще определе­
ния его положения) - это передача сигналов, которые
могут распространяться
световых
сигналов
и
в
космическом пространстве,
радиосигналов.
Например,
т. е.
можно
наблюдать космический корабль или планету в телескоп,
или
.,..,
производить
радиолокационные
наблюдения
планет,
.или
принимать
сигналы,
передаваемые
космическим
ко­
раблем.
Собственно говоря, в этом нет ничего принципиально
нового по сравнению с наблюдением ДI3ижений предметов
на Земле. На Земле мы также пользуемся СI3етовыми сиг­
налами (наблюдение движущегося тела простым глазом,
фотографирование) и радиосигналами (радиолокация.) Но
между наблюдениями в пределах земных расстояний и на-
,
блюдениями на огромных дистанциях
I3
космосе есть важ­
ная количественная разница. В самом деле, так как каждый
сигнал требует определенного I3ремени для CBQerO распро­
странения от движущегося тела к наблюдателю, то в тот
момент, когда мы производим наблюдение движущегося
тела, оно оказывается уже I3 другом месте: наблюдение собы­
тия запаздывает по отношению к ,моменту, когда событие
nроиЭОШЛD, на ере,ия пробега сигнала от движущегося тела
к наблюдателю.
Правда, скорость света и радиосигналов настолько ве­
лика, что это смещение тела за время запаздывания прихода
сигнала будет мало по сравнению с расстоянием до тела.
Например, если бы можно было I3идеть пулю, летящую со
скоростью
800
м/с на расстоянии
1 км,
то, не учитывая того,
что свет, приходящий от пули, запоздает, мы ошиблись бы
в определении положения пули примерно на 3 мм. Но
в космическом простраНСТI3е тела могут удаляться на очень
большие расстояния, и поэтому погрешность может сильно
возрасти. Например, для космического корабля, удаляю­
щегося от Земли с той же скоростью 800 м/с и достигшего
орбиты Юпитера (при наибольшем сближении Земли и Юпи­
тера), погрешность, вызванная неучетом времени пробега
светового или радиосигнала, достигнет уже 1700 км!
Таким образом, при больших расстояниях пренебрегать
BpeMeHIiM пробега сигнала уже нельзя; например, если нуж­
но передать на космический корабль какую-либо команду
(скажем, включить двигатели) в тот момент, когда корабль
занимает определенное положение относительно небесных
тел, то команда должна быть послана с упреждением, рав­
ным времени запаЗДЫI3ания сигнала. Кроме того, конечно,
доЛжно быть учтено такое же I3ремя запаздывания и при
определении самого положениЯ космического корабля. Для
приведенного примера с кораблем, достигающим орбиты
Юпитера, запаздывание сигнала и требуемое упреждение
должны были бы равняться
2100
с. Ясно, что запаздывание
будет тем больше, 'Чем дальше от Земли находится косми­
ческий
корабль;
так,
при достижении
орбиты
Плутона
73
требуемое упреждение составило бы уже
20 000
с, а пог­
решнасть в определяемом положении при неучете запазды­
вания сигнала достигла бы 16 000 км.
На Земле измерение времени запаздывания радиосигна­
да при прохождении большого расстояния используют при
радиолокации. Радиолокатор посылает мощный радиосиг­
нал в направлении, где ожидается появление цели. Целью
может быть самолет, ракета, дождевая туча, след метеора
в атмосфере - вообще всякое тело, способное отражать
радиосигнал. Отраженный от тела сигнал улавливается
приемником- радиолокатора; специальное устройство изме­
ряет время, протекшее между посылкой сигнала и его при­
емом. Так как сигналу пришлось пройти расстояние от
локатора до цели дважды, то, очевидно, расстояние до цели
равно
половине
измеренного
промежутка
времени
между
посылкой сигнала и его приемом, умноженной на скорость
радиосигнала. Момент локации, т. е. момент отражения
сигнала от цели,- это полу сумм а моментов посылки и при­
ема
сигналов.
К моменту приема сигнала локатором цель успеет сдви­
нуться (от момента попадания сигнала на цель) на расстоя­
ние, равное дистанции до цели, умноженной на отношение
скорости цели к скорости радиосигнала. Например, при
локации с расстояния 1000 км самолета, летящего со ско­
ростью 2000 км/ч, самолет сдвинется примерно на 2 м.
Впервые скорость света была измерена в космосе; при
этом было использовано описанное выше явление запазды­
вания светового сигнала, приходящего с большого расстоя­
ния, относительно момента выхода сигнала. В конце XVII
века датский ученый Олаф Рёмер, наблюдая затмение спут­
ника планеты Юпитер, попадающего при -каждом обраще­
нии вокруг планеты в ее тень, заметил, что в то время, когда
Земля в своем годовом движении вокруг Солнца прибли­
жается к Юпитеру, промежутки времени между затмениями
уменьшаются по сравнению с временем, когда Земля
удаляется от Юпитера. Он объяснил это различие тем, что
при приближении Земли к Юпитеру запаздывание, с кото­
рым мы наблюдаем события, происходящие вблизи Юпитера
(затмения спутника), уменьшается, а при удалении - уве­
личивается. Суммарное различие в запаздывании должно
равняться времени, которое свет затрачивает на прохожде­
ние диаметра земной орбиты. Скорость света равнЯ'ется,
таким образом, диаметру земной орбиты, разделенному на
наиfiольшее различие в запаздывании наблюдения затме­
ний. Подробнее метод Рёмера описан в томе
74
111.
Из с~азанного следует, что при «привязке» наблюдаемых
положений космического корабля (или другого небесного
тела) к соответственным моментам времени следует QTHOсить к наблюдаемому (например, в телескоп) положению
не момент наблюдения, а более ранний - с учетом запазды­
вания сигнала. Отсюда ясно, какую важную роль играет
скорость распространения
света или радиоволн при изуче­
нии движений космических объектов: космических кораб­
лей, планет, комет, звезд и т. д. Чем дальше объект, тем важ­
нее учет времени распр'остранения света. МЫ ВИДИМ дальние
звезды не в том положении, в котором они находятся сего­
дня, а в том, в котором они находились годы, тысячи и мил­
лионы лет тому назад. С другой' стороны, для «земных»
движений запаздывание мало: даже на пробег вокруг зем­
ного шара по экватору свет потратил бы только 0,13 с.
Есть и на Земле такие движения, для которых нужно
учитывать время пробега света при «привязке» положений
тела
к
моментам
времени:
это
-
движения,
по
СКОРОСТИ:
сравнимые со световым сигналом. Элементарные частицы
могут обладать скоростями, весьма близкими к скорости
света.
Для
определения
положения
времени пробега светового сигнала,
таких
частиц
учет
конечно, необходим,
так как они даже за малое время успевают сместиться очень
сильно. Обычные же тела - самолеты, ракеты, снаряды,
говорить о самых быстрых больших телах,- движутся
. если
настолько
что для
мальr.
медленно
по
сравнению
со
световым
них поправка остается малой,
сигналом,
пока расстояния
r
л а в а
11.
ДИНАМИКА
§ 30. Задачи динамики. В предыдущей главе мы не касались
вопроса о причинах движений тел. Теперь займемся этими
причинами. Раздел механики, в котором изучают эти во­
просы, называют динамикой.
Всякое движение относительно (§§ 2 и 28), и одно и то
же движение, а значит, и его причины, выглядят совершен­
но по-разному, если рассматривать движение относительно
разных систем отсчета. Относительно некоторых систем
отсчета причины движений выглядят особенно просто; к та­
ким системам отсчета относится, например, Земля. Поэтому
изучение динамики начнем, выбрав в качестве системы от­
счета Землю.
§ 31. Закон инерции. Наблюдения и опыт показывают, что
тела получают ускорение относительно Земли, т. е. изме­
няют свою скорость относительно Земли, только при дейст­
вии на них других тел. Каждый раз, когда какое-либо телq
получает ускорение по отношению к Земле, можно указать
Рис.
53.
Воздушный «пистолет»
другое тело, которое это ускорение вызвало. Например,
бросаемый мяч приходит в движение, т. е. получает ускоре­
ние, под действием мышц руки. Ловя мяч, мы замедляем
и останавливаем его, также действуя на него рукой. Пробка'
воздушного
«пистолета»
(рис.·
53)
приходит
в движение
под действием воздуха, сжимаемого вдвигаемым поршнем.
Пуля, вылетающая с большой скоростью под действием
пороховых газов, постепенно уменьшает свою скорость под
. действием
воздуха. Скорость камня, брошенного вверх,
уменьшается под действием силы притяжения Земли; затем
76
камень останавливается
и
начинает двигаться вниз со все
увеличивающейся скоростью (также вследствие притяже­
ния Земли).
Во всех этих и других подобных случаях изменение ско­
рости,
т. е.
возникновение
ускорения,
есть
результат
действия на данное тело других тел, причем в одних случаях
это действие проявляется при непосредственном соприкос­
новении (рука, сжатый воздух), а в других - на расстоя­
НlШ (воздействие Земли на камень).
Что же будет происходить, если на данное тело никакие
другие тела не действуют? В этом случае тело будет либо
оставаться в покое относительно Земли, либо двигаться
относительно
нее
равномерно
и
прямолинейно,
т. е.
без
'ускорения. Проверить простыми опытами, что в отсутствие
действия других тел данное тело движется
относительно
Земли без ускорений, практически невозможно, потому что
невозможно полностью устранить действия всех окружаю­
щих тел. Но чем тщательнее устранены эти действия, тем
ближе движение данного тела
к равномерному И прямо­
линейному.
Тру днее всего устранить действие трения, возникаю­
щего между движущимся телом и подставкой, по которой
оно катится или скользит, или средой (воздух, вода), в ко­
торой оно движется. Так, стальной шарик, катящийся по
горизонтальной поверхности, посыпанной песком, останав­
ливается очень быстро. Но если шарик хорошо отполиро­
ван, то, катясь по гладкой, например стеклянной, поверх­
ности,
он
довольно
долго
сохранит
свою
скорость
почти
неизменной *).
В некоторых физических приборах удается осуществить
движение
элементарных
частиц,
при
котором
каждая
частица практически не испытывает действия никаких дру­
гих частиц вещества (для этого из прибора необходимо тща­
тельно удалить воздух). В этих условиях движение частиц
очень близко к прямолинейному и равномерному (благо­
даря большой скорости и малой массе частиц притяжение
Земли в таких опытах практически не сказывается).
Тщательные опыты по изучению движения тел были впер­
вые произведены Галилеем в конце XVI и начале XVII ве­
ков. Они позволили установить
следующий
основной
закон.
*)
в этом случае действие Земли, конечно, не устраняется, а урав­
новешивается
упругим действием
на
шарик
стекла.
(Примеч.
ред.)
77
Если на тело не действуют tiикакие другие тела, то тело
сохраняет состояние покоя или раеномерного nря",шлиней­
ного движения относительно Земли- *).
Как при покое, так и при равномерном прямолинейно~!
движении ускорение отсутствует. Следовательно, закон,
установленный Галилеем, означает; чтобы тело двигалось
с ускорением относительно Земли, на него должны действо­
вать другие тела. Причина ускорения - это действие дру­
гих
тел.
Свойство тел сохранять свою скорость при отсутствии
действия на них других тел называют инерцией тел (от ла­
тинского слова inertia - бездеятельность, косность). По­
этому и указанный закон называют закОНО/d инерции,
а движение при отсутствии действия на тело других тел
называют
движением
по
инерции.
Закон инерции явился первым шагом в установлении
основных
законов
механики,
в
то
время
еще
совершенно
неясных. Впоследствии (в конце XVH века) великий анг­
лийский матемлтик и физик Исаак Ньютон (l643-1727),
формулируя общие законы движения тел, включил в их
число закон инерции в качестве первого закона движения.
Закон инерции часто называют поэтому первым законом
Ньютона.
Итак, тела получают ускорения П0Д действием других
тел. Если действия, оказывае1Vlые на разные части тела,
различны, то эти части получат разные ускорения и через
некоторое время приобретут различные скорости. В резуль­
тате может
измениться сам
характер
движения
тела
в
це­
лом. Например, при резком изменении скорости вагона тре­
ние о пол будет увлекать З8 собой ноги пассажира, но ни
на туловище, ни на голову никакого действия со стороны
пола оказано не будет, и эти части тела будут продолжать
двигаться по инерции. Поэтому, например, при торможении
вагона скороС1:Ь ног уменьшится, а туловище и голова, ско­
рость которых останется без изменений, опередят ноги;
в результате тело пассажир-а наклонится вперед пЬ движе­
нию.
Наоборот, при резком увеличении скорости вагона
туловище
рость,
жира
*)
и
голова,
сохраняя
отстанут от ног,
отклонится
по
инерции
увлекаемых
вагоном,
прежнюю
ско­
и тело пасса­
назад.
Это утверждение является приближенным. Более строго: тело
сохраняет состояние покоя или равномерного nРЯМО/luнейного движеНft'Jt
относительно гелиоцентрической системы отсчета, т. е. системы, центр
которой совмещен с Солнщ~м, а координатные оси наираВJ1ены на не-­
подвижные звезды (см. КEJШЩ
78
§ 32).
(Прuмеч. ред.)
·
Подобные проявлення инерции тел широко используют­
ся в технике и в быту. Вытряхивание пыльной тряпки, стря­
хивание лишней капли чернил с пера, стряхивание стол­
бика ртути в медицинском термометре
-
все эти действия
используют инерцию тел (частиц пыли, капли чернил,
рТУТИ в капилляре термометра).
Инерция использована и при устройстве взрывателей
артиллерийских снарядов. Когда снаряд, ударяясь о пре­
пятствие, внезапно останавливается, взрывной капсюль,
помещающийся внутри снаряда, но не связанный жестко
с его корпусом, продолжает двигаться и ударяется о жало
взрывателя,
§ 32.
связанного
Инерциальные
с
корпусом.
системы
отсчета.
Системы
отсчета,
для которых выполняется закон инерции, называют uнерцu­
альнымu системалщ. Опыты Галилея показали, что Земля инерциальная система отсчета. Но Земля - не единствен­
ная такая система. Инерцuальных сuсте,',1 отсчета - Qecчисленное ,'r/ножесmво. Например, поезд, идущий с постоян­
ной скоростью по прямому участку пути,- тоже инерци­
альная система отсчета. Тело получает ускорение относи'
тельно поезда также только по действием других тел.
Вообще всякая система отсчета, движущаяся относи­
тельно какой-либо инерциальной системы (например, Зем­
ли) поступательно, равномерно и прямолинейно, также
является инерциальноЙ. действительно, в
§ 28
мы видели,
что
13 таких системах ускорения тел одинаковы; значит,
тело, на которое не действуют другие тела, будет двигаться
ОТlIосителЬНО таких систем отсчета без ускорения, так же
как и относительно Земли.
Если какая-либо система отсчета движется, относитель­
но ннерциальной системы поступательно, но не равномерно
и прямолинейно, а с ускорением или же вращаясь, то такая
система не может быть инерциальноЙ. Действительно, ОТ­
носительно такой системы тело может иметь ускорение
даже 13 отсутствие действия на него других тел. Например,
тело, покоящееся относительно Земли, будет. иметь ускоре­
ние относительно тормозящего поезда или поезда, проходя­
щего
не
закругление
пути,
хотя
никакие тела
это ускорение
вызывают.
Необходимо отметить, что опыты Галилея, как и всякие
опыты, ПРОИ3I30ДИЛИСЬ с известной степенью точности. Впо­
следствии при помощи более тщательных исc.rrедованиЙ
у<:тановили, что Землю можно считать инерциальной сис­
темой 'Голько приближенно: в движениях относительно нее
79
имеются наруш~ия закона инерции. С б6льшей точностью
инерциальной системой отсчета является система, связан­
ная с Солнцем и другими звездами. Земля же движется
относительно Солнца и звезд с ускорением и вращается
вокруг своей оси. Однако нарушения закона инерции ДЛЯ
Земли как системы отсчета очень малы. Мы рассмотрим их
в гл.
VI,
а пока будем считать Землю инерциальной систе­
мой.
За исключением гл. VI, мы будем всюду пользоваться
инерциальными системами отсчета. В большинстве вопро­
сов о движениях на поверхности Земли, будем принимать
за систему отсчета ЗеМ!IЮ. Изучая движение планет, будем
выбирать за систему отсчета Солнце и звезды.
§ 33.
Принцип относительности Галилея.
Будем произво­
дить разные механические опыты в вагоне поезда, идущего
равномерно
по
прямолинейному
участку
пути,
а
затем
повторим те же опыты на стоянке или просто на земной
поверхности. Будем считать, что поезд идет совершенно без
толчков
и
что окна
в
поезде завешены,
так что не
видно,
идет поезд или стоит. Пусть, например, пассажир ударит
по
мячу,
лежащему
на
полу
вагона,
и
измерит
скорость,
которую мяч приобретет относительно вагона, а человек,
стоящий на Земле, ударит таким же образом по мячу, ле­
жащему на Земле, и измерит скорость, полученную мячом
относительно Земли. Оказывается, мячи приобретут одина­
ковые скорости, каждый относительно «своей» системы от­
счета. Точно так же яблоко упадет с полки вагона по тому
же
закону
относительно
вагона,
по
которому
оно
падает
с ветки дерева на Землю. Производя различные механиче, ские опыты в вагоне, мы не смогли бы выяснить, движется
вагон относительно Земли или стоит.
Все подобные опыты и наблюдения показывают, что от­
носителыIQ
всех
инеРЦиальных
систем
отсчета
тела
полу-·
чают одинаковые ускорения при одинаковых действиях на
них других тел: все инерцuальные системы совершенно равно­
правны относительно причин ускорений. Это положение
было впервые установлено Галилеем и называется по его
имени
nринциnом
относительности
Галилея.
Итак, когда мы говорим о скорости какого-либо тела,
мы обязательно должны указать, относительно какой инер­
циальной системы отсчета она измерена, так как в разных
инерциальных
системах
эта
скорость
будет
различна,
хотя бы на тело и не действовали никакие другие тела.
Ускорение же тела будет одним и тем же относительно всех
инерциальных "систем отсчета. Например, относительно
вагона данное
тело
может
иметь
скорость,
равную
нулю,
двигаясь
при этом относительно Земли со скоростью
100 км/ч, и относительно системы отсчета Солнце - звезды
со скоростью 30 км/с (скорость Земли в ее движении вокруг
Солнца). Но если пассажир ударил по мячу, то ускорение
мяча будет одним и тем же (например, 25 м/с 2 ) и относитель­
но поезда, и относительно Земли, и оtносительно Солнца
и
звезд.
Поэтому
говорят,
что по отношению к разным
инерциальным системам отсчета ускорение абсолютно, а ско­
рость
относительна.
Силы. действия тел друг на друга, создающие ускоре·
ния, называют силами. Все силы можно разделить на два
основных типа: силы, действующие при непосредственном
соприкосновении, и силы, которые действуют независимо
§ 34.
от
того,
соприкасаются
тела
или
нет,
т. е.
силы,
которые
могут действовать на расстоянии.
Для того чтобы одно тело могло действовать на другое
при
непосредственном
соприкосновении,
первое
должно
быть в особом состоянии: чтобы рука действовала на мяч,
мышцы руки должны быть сокращеНЫ; чтоБыl действовать
на пробку игрушечного пистолета, пружина должна быть
сжата, и т. д. Сжатия, растяжения, изгибы и т. п.- это
изменения формы или объема тел по сравнению с их исход­
ным состоянием. Такие изменения называют деформациями,
и при наличии таких изменен.иЙ говорят, что тело деформи­
ровано. Мышцы, пружины и т. п. должны находиться в де­
формированном состоянии, чтобы действовать на соприка­
сающиеся с ними тела с некоторой силой. Эти силы в боль­
шинстве случаев действуют только до тех пор, пока тела
деформированы, и исчезают вместе с исчезновением дефор­
маций. Такие силы называют упругими. Кроме упругих
сил,
при
непосредственном
соприкосновении
могут
возни­
кать еще и силы трения. Примеры: сила трения между бан­
дажом колеса железнодорожного вагона и прижатой к нему
тормозной колодкой; сила трения, действующая на тело,
движущееся в вязкой жидкости (сопротивление среды).
Для сил; действующих на расстоянии, нет такой про­
стой картины взаимодеЙСТВИЯ,тел, как для 'упругих сил.
Важнейший пример
сил, действующих на расстоянии,­
силы всемирного тяготения и,
как частный случай,
сила
тяжести (сила земного притяжения). Падение тела, т. е.
наличие ускорения, направленного вниз, у 'Гела, поднятого
над Землей и предоставленного самому себе, показывает,
81
что со стороны Земли на него действует сила, хотя во время
падения тело и не соприкасается с Землей.
Силы всемирного тяготения, действующие между пред­
метами нашей обыденной жизни, ничтожны по сравнению
с остальными силами. д,ействующими между ними. Напри­
мер. резиновая нить длины 1 м и толщины 1 мм, растянутая
всего лишь на 1 мм, действует с силой упругости, в милли­
оны раз превосходящей силу взаимного тяготения между
двумя
килограммовыми
гирями,
стоящими
на
расстоянии
1 м друг от друга. Но если одно (или оба) из притягивающих
тел
ло,
-
это огромное небесное те­
сила
всемирного
тяготения
также делается огромной. Так,
Земля
притягивает
килограм­
мовую гирю в
чем
Рис. 54. Магнит действует
на другой магнит,
находя­
щийся от него на некотором
раз сильнее,
1011
притягиваются
гири
в
- при­
веденном примере, а Солнце при­
тягивает Землю в 4· I02~
раз
сильнее, чем Земля притягива­
ет
гирю.
Кроме
расстоянни
сил
тяготения,
на
расстоянии
действуют
также
магнитные и электрические силы. Если к магниту, плаваю­
щему в воде на поплавке, приблизить другой магнит так,
чтобы они не соприкасались друг с другом, то магнит на
поплавке приобретет ускорение и начнет либо приближать­
ся ко второму магниту, либо удаляться от него - в зависи­
мости от взаимного расположения их полюсов (рис. 54).
Электрически заряженные тела, находясь на расстоянии
друг от друга, притягиваются или отталкиваются в зависи­
мости
от
того.
разноименны
или
одноименны
их
заряды.
§ 35. Уравновешивающиеся силы. О покое тела и о движе-"
JfИИ по инерции. Если на тело действует только одна сила,
то оно обязательно получает ускорение. Но если на тело
действует не одна, а две или большее число сил, то иногда
может оказаться, что тело ускорения не получит, т. е. либо
останется в покое, либо будет двигаться равномерно и пр я­
молинейно. В таких случаях говорят, что все сuлы взаu.мн.о
уравн.08ешuваюmcя и что каждая uз н.их уравн.08ешuвает все
остальные, или что их равнодействующая равна нулю (§ 39).
Простейшим является случай, когда на тело действуют
две уравновешивающие друг друга силы: при их совместном
действии тело не получает ускорения. Такие силы, как цо­
казывает опыт, действуя на тело каждая в отдельности, со-
82
общили бы ему равные ускорения, направленные противо­
положно. Действуя совместно на какое-нибудь другое тело,
эти силы снова взаимно уравновесились бы, а действуя в от­
дельности, сообщили бы ему ускорения другие, но также
равные друг другу по модулю и
направленные противопо­
ложно. Поэтому уравновешивающиеся силы считают рав­
ными
по
модулю
и
противоположными
по
направлению.
Например, на гирю, подвешенную на пр ужине , действует
сила тяжести (вниз) и равная ей СИ.7Iа упругости пружины
(вверх), уравновешивающие друг друга.
Итак, если ускорение тела равно нулю, это значит, что
либо на него не действуют силы, либо равнодействующая
всех сил, действующих на тело, равна нулю: все силы
взаимно
уравновешиваются.
Здесь надо иметь в виду следующее. Среди сил, действующих на
равномерно и прямолинейно движущиеся тела, обычно есть силы, дейст­
вующие в направлении движения,
которые мы создаем намеренно,
на­
пример сила тяги двигателя самолета или сила мускулов человека,
ве­
зущего санки. Часто говорят даже: «самолет летит, так как на него
действует сила тяги двигателя», «санки скользят, так как на них дей­
ствует усилие тянущего человека», и т. д. При этом, однако, зачастую
упускают
из
виду
силы,
направленные
противоположно
движению:
сопротивление воздуха для летящего самолета, трение полозьев о снег
для санок и т. д. Для равномерности и прямолинейности движения не­
обходимо, чтобы намеренно созданные силы как раз уравновешивали
силы сопротивления. В предыдущих параграфах, говоря о движении по
инерции или о покое тел,
пример,
при
качении
мы рассматривали именно такие случаи;
шарика
по
стеклу
сила
тяжести
на­
уравновешива­
лась силой упругости стекла.
Причина того, что силы сопротивления часто ускользают от внима­
ния учащихся в противоцоложность бросающимся в глаза «движущим))
силам, заключается в следующем. Чтобы создать силу тяги, на самолет
нужно поставить двигатель, сжигать в нем бензин; чтобы двигать санки,
нужно тянуть за веревку, утомлять свои мускулы. В то же время силы
сопротивления возникают, так сказать, «бесплатно», благодаря ЛИШь
наличию движения. Для их возникновения при движении тела не нуж­
но' ни моторов, ни 'мускульных усилий; их источник либо в невидимом
воздухе, либо в частицах снега, соприкасающихся с полоз",ями. Чтобы
обратить на зти силы внимание, их нужно еще обнаружить, в то время
как «ДВИЖУЩИf)) силы - предмет нашей специальной заботы и затрат
усилий и мат~риалов.
До исследований Галилея считалось, что если на тело будет дейст­
вовать одна сила, то оно будет двигаться равномерно в направлении этой
силы; здесь, конечно, упускалась из виду сила трения. Действие силы,
иаправленной вперед, действительно необходимо для равномерности
движения, но именно для того, чтобы уравновешивать силу трения.
Тело движется без ускорения как в случае, когда ма него не дейст­
вуют никакие силы, так и в случае, когда действующие силы уравнове­
шивают друг друга. Однако прин~то говорить, что тело движется «по
инерции» только в том случае,
если в
направлении движения силы
0'1:-
сутствуют: силы, направленной вперед, нет, а силой трения или сопро­
тивления среды можно пренебречь.
83
Для лучшего уяснения сказанного рассмотрим еще, как возникает
из состояния покоя равномерное прямолинейное движение. Возьмем для
примера электровоз, везуший поезд. В первый момент, когда двигатель
включен, но поезд еще не тронулся, сила тяги электровоза, действующая
через сцепку на состав, уже велика и превосходит силу трения колес ва­
гонов о рельсы (как возникает сама сила тяги, будет объяснено в
§ 66).
Поэтому поезд начинает двигаться вперед с ускорением. По мере уве­
личения скорости силы сопротивления (трение колес и сопротивление
воздуха) растут, но, пока они остаются меньше силы тяги, скорость
поезда продолжает расти. При дальнейшем увеличении скорости избы­
ток силы тяги по сравнению с силами сопротивления будет делаться все
меньше и меньше, и наконец эти силы сравняются друг с другом. Тогда
исчезнет и ускорение: дальнейшее движение будет равномерным.
Если увеличить силу тяги, то равновесие сил нарушится, поезд
снова получит ускорение вперед. Скорость снова будет расти, пока
возрастающее с увеличением скорости сопротивление HP уравновесит
новую, увеличенную силу тяги. Обратно, если уменьшить силу тяги,
то
равновесие сил
снова нарушится,
поезд
получит отрицательное ус­
корение (так как теперь сила сопротивления будет больше силы тяги
электровоза) и будет замедлять свое движение. Но при этом будет умень­
шаться и сила сопротивления, и, когда она ср.авняется с уменьшенной
силой тяги, движение СНООО станет равномерным, но уже при меньшей
скорости. Наконец, при выключении тяги скорость поезда будет непре­
рывно убывать вследствие продолжающегося действия сил сопротивле­
ния,
§ 36.
пока
поезд
Сила
-
не
.
остановится.
вектор. Эталон силы. Наблюдая
ускорения,
получаемые каким-либо телом под действием различных сил,
мы заметим, что ускорения могут оказаться различными как
по модулю, так и по направлению. Значит, силы можно
различать по модулю и по направлению: сила есть вектор­
ная величина.
Для измерения силы необходимо, во-первых, выбрать
эталон силы и, во-вторых, установить способ сравнения
других сил с эталоном, т. е. сам способ измерения сил.
За эталон можно выбрать, например, какую-либо упругую
силу. Так как упругие силы зависят от деформации, за
эталон можно принять силу, с которой какая-либо опреде­
ленная пружина, определенным образом растянутая, дей­
ствует
на
тело,
при крепленное
к
одному
из
ее
концов.
Такой эталон в принципе можно осуществить, напри­
мер, в ·виде цилиндрической пружины, снабженной указа­
телем, позволяющим всякий раз устанавливать одно и то
же растяжение пружины (рис. 55). За направление силы
примем ось пружины. Следовательно, эталон определяет
как модуль,
так
и
направление .силы.
На практике, однако, такой эталон силы неудобен: упру­
гие свойства пр ужины зависят от температуры, :могут изме­
няться с течением времени и т. п. Поэтому стремятся вы­
брать эталон таким образом, чтобы изменчивость свойств
84
riружины не могла сказываться. Это можно сделать так.
Возьмем какую-нибудь пружину и подвесим к ней гирю.
Гиря начнет опускаться, растягивая пружину, пока та не
растянется до определенной длины, после чего растяжение
пр ужины
прекратится
ся: сила тяжести,
и
окажется уравновешенной
сти
гиря
остановит­
действующая
силой
на
гирю
упруго-
.
пружины.
Если бы мы подвесили ту же гирю к
другой пружине, то растяжение было бы
другим. Но сила, действующая со сторо­
ны новой пружины на гирю, будет равна
силе, с которой действовала первая пру­
жина, так как в обоих случаях силы уп­
ругости
пружины
уравновешивают
А
силу
тяжести, действующую на ту же гирю
(рис. 56). Пользуясь какой-либо определенной выбранной гирей, мы можем .установить, как надо растягивать любую пружину для того, чтобы она действовала с определенной силой, т. е. могла служить
эталоном силы. Для получения силы, рав­
ной эталону, но направленной не по вер­
тик~и вверх, а по любому направлению,
можно использовать нить, пере кинутую че-
. рез блок, как показано на рис. 57 (сила
Рис. 55.
Про­
стейший эталон
силы - действие
пружины,
рас­
тянутой до мет·
упругости со стороны нити всегда действует.
ки А
вдоль нее). Таким образом, трудную задачу
изготовления и сохранения эталонной пр ужины при опре­
деленном растяжении мы заменяем гораздо более простой изготовлением
и
сохранением эталонной ~гири.
Рис. 56. При подвешивании од­
ной и той же гнри к разным
пружинам пружииы дейсmуют
иа гирю с
одинаковыми
силами
Рис. 57.
Получение
эталонной С!.lлы,· на­
правленной под любым
уг лом к вертикали
8S
§ 37 .
.J],инамометры. Для получения УПРУГОЙ силы, равной
двойному, тройному и т. д. значению эталонной силы, нужно
растягивать
пружину
сразу
двумя,
тремя
и т. д.
эталон­
ными гирями. Можно, выбрав определенную пружину, от­
метить,
при каких
растяжениях она действует с силой,
равной двойной, тройной и т. д.
эталонной силе. Проградуиро­
ванную таким образом пружи­
ну
называют
дина.мо,неmро,н
(рис. 58).
Можно также получить опре­
деленную часть эталонной силы,
растягивая пружину гирей, со­
ставляющей
соответственную
часть эталонной гири. Изгото­
ВИ'vf,
например,
сто
наковых гирек,
B'vfeCTe растянули
раз так
ря;
же,
каждая
как
из
мометра
дина-
они
пружину
как
эталонная
ги­
в
отдель­
ности растянет пружину так
же,
как и любая другая из них.
По­
что
пружина,
Р астянутая
одной
маленькой
ГИРЬКОЙ, действует с силой, рав-
ной
11100
жина,
ками,
оди­
все
гирек
этому мы считаем,
Р не. 58 . r радунровка
таких
чтобы
действует с силой,
эталонной силы; пру­
растянутая
равной
2/100
двумя
гирь~
эталонной силы,
и т. д. Измеряя растяжения пружины динамометра при дей­
ствии таких гирек, можно нанести на его шкале и дробные
части эталонной с·илы.
При разметке шкалы динамометра обнаруживается, что'
двойной силе соответствует двойное растяжение пружины,
тройной силе - тройное и т. Д., т. е. растяжение пружины
и упругая сила, с которой действует динамометр, оказыва­
ются пропорциональными друг другу. Это позволяет про­
стым образом размечать шкалы динамометров. Отметив
нуль шкалы (отсутствие груза) и, например, растяжение,
соответствующее
10
эталонным гирям, мы можем разделить
получившееся на шкале расстояние на
10
равных частей:
перемещение конца пр ужины на одну такую отметку будет
означать изменение силы, с которой действует динамометр,
на
одну
эталонную
силу.
Следует иметь в виду, что эта пропорциональность со­
храняется толыю для достаточно малых деформаций; кроме
86
того, она всегда нарушается при неупругой деформации,
т. е. если деформация не исчезает после исчезновения силы.
На рис. 59 изображен один из распространенных типов
динамометров с цилиндрической пружиноЙ. Таким динамо­
метром можно измерять силу, с которой мы тянем тело. На
рис. 60 изображен динамометр другой
конструкции, имеющий пружинные ско­
бы, концы которых
о
жестко
соединены
между собой. При помощи такого дина­
.
мометра
I
Рис.
так
и
можно измерять
толкающую
как тянущую,
силу.
Располагая динамометрами,
. мы
мо­
жем измерять силы, действующие со сто­
роны
одних
Динамо.
59.
метр: мева
-
тел
на
другие
как
при
Рис. 60. Динамометр, дейст­
вующнй и на сжатие, и на
внеш­
ний вид, справа :внутреннее устрой-
растяжение
~TBO
непосредственном соприкосновении, так и «на расстоянии».
Как измерять силу притяжения тела Землей, мы уже ви­
делю для этого достаточно подвесить тело к динамометру.
'1..
\..
I
-
'>::1
JI
N
S N
S
.
.~'e~~
Рис.
61.
Измерение силы взаимодействня магнитов при помощи дина­
мометра
Силу, с которой магнит
1 действует
на магнит П, если при­
близить на некоторое расстояние южный полюс
та
1
к северному полюсу
(N)
магнита
II
(рис.
(S)
61),
магни­
можно
определить следуЮIJ!ИМ образом. Прикрепив к тележке
.
11
87.
динамометр,
закрепленный
неподвижно
другим
концом.
приблизим к ней тележку 1, мы увидим, что тележка ~I
в свою очередь немного приблизится к тележке 1, растяги­
вая пружину динамометра, после чего тележка II остано­
вится. А это будет значить, что .Искомая сила, с которой
магнит 1 действует на магнит 11, равна силе, с которой
динамометр действует на тележку. Но эту последнюю силу
мы
можем
прямо определить
по
показаниям динамометра.
Для измерения силы, действующей со стороны одного
тела
на
другое
при
непосредственном
-
соприкосновении,
о
Рис.
62.
Q
Динамометр показывает СИJ1У. с которой рука тянет за веревку
динамометр можно использовать несколько иначе. Напри­
мер, для измерения силы, с которой человек тянет санки,
достаточно вставить между рукой и веревкой динамометр
(рис. 62). Его показания и дадут нам силу, с которой рука
тянет, за веревку. Направление силы совпадет с осью
пружины
динамометра.
Мы уже говорили, что разные силы вызывают различные
ускорения данного тела. Пользуясь динамометрами, мы
можем установить важнейшее свойство сил: чем больше
сила
(например,
чем сильнее растянут динамометр,
при­
крепленный к телу, на которое он действует), тем больше
ускорение тела. Количественные соотношения между си­
лами и ускорениями мы выясним .В
§ 42.
§ 38. Точка пРи.ложения СИЛЫ. Силы, действующие при не­
посредственном соприкосновении, действуют по всей сопри-
88
•
касающейся поверхности тел. Например, молоток, ударяю­
щий по шляпке гвоздя, действует на всю шляпку. Но если
площадь
сопрнкосновения
тел
мала
по
сравнению
с
их
размерами, то можно считать, что сила действует только
на одну точку тела. Например, ~ожно считать, что нить, за
которую тянут тележку, действует на тележку только в точ­
Ее, где она привязана к тележке. Эта точка называется
точкой nриложен.ия силы.
Вначале мы будем рассматривать только такие случаи,
когда можно указать точку приложения силы. Такие силы
мы будем изображать направленными отрезками, начало
которых
лежит
в
точке
приложения
силы,
направление
совпадает с направлением силы, а длина изображает в не­
котором масштабе модуль силы. Например, на рис. 62
стрелка показывает силу, действующую со стороны веревки
на
санки.
§ 39.
Равнодействующая сила. Если на данное тело действу­
ет одновременно несколько сил, то их действие на движение
тела можно заменить действием одной силы *). Такую за­
мену называют сложен.ием сил.' Данные силы называют' сла­
гающими
или
составляющими,
а
заменяющую
их
силу­
ИХ суммой или равн.одеЙСтвующеЙ. Правила сложения сил
устанавливаются из опыта. Равнодействующая уравнове­
шивающихся
лю
и
сил,
например
противоположных
по
двух
сил,
равных
по
направлению,. равна
моду­
нулю
(§ 35).
Заметим, что
роавнодействующая
заменяет действие
нескольких сил только по отношению к движен.ию тела в
целом: равнодействующая сила сообщит телу то же ускоре­
ние, что и все составляющие, действующие на тело одно­
временно, а сила, уравновешивающая равнодействующую,
уравновесит одновременное действие всех составляющих.
Но, конечно, равнодействующая не заменит действия состав­
ляющих в других отношениях. Достаточно указать такой
пример: растянем пружину двумя руками. Силы, действую­
щие на пружину, равны и прямо противоположны,
и, зна­
чит, их равнодействующая равна нулю: действительно, пру­
жина в целом остается в покое. Однако, если бы на пружину
вообще не действовали никакие силы, равнодействующая
по-прежнему равнялась бы нулю, но пружина не была бы
растянута.
*) 3а исключением одного важного случая «пары сил», который бу­
дет рассмотрен отдельно в § 79.
89
Вместо того чтобы искать равнодействующую, можно
искать силу, уравновешивающую данные силы при ИХ одно­
временном действии на тело; ршmодействующая равна урав­
новешивающей силе по модулю и противоположна ей по на-
.
правлению.
§ 40.
Сложение сил, направленных по одной прямой. Рассмот­
рим случай, когда все силы действуют на данное тело вдоль
одной прямой например вдоль горизонтальной прямой.
Предварительно уравновесим силу тяжести, действующую
на данное тело вертикально вниз. Для этого достаточно
подвесить
тело
на
нити:
несколько
растянувшись,
нить
создаст СИЛУ упругости, которая и уравновесит силу тяже­
сти.
В отсутствие других сил нить' расположится верти­
кально.
Теперь к телу сбоку прикрепим нити с динамометрами;
эти
динамометры
позволят
определять
силы,
с
которыми
нити действуют на тело. Пусть справа на тело действуют
Рис.
сил
63. Показание динамометра D дает модуль равнодействующей
F 1 И Р2 • Показанне динамометра D' дает модуль равнодействующей
сил Р! и Fз
направлении две нити с силами Р1 и Fi,
а слева - одна (рис. 63). С какой силой Fз должна дейст­
вовать левая нить, чтобы нить, на которой подвешено тело,
осталась вертикальной, т. е. чтобы силы Fi, Р 2 И F s взаим­
в горизонтальном
но уравновесились? Опыт показывает, что для Этого должно
выполняться
равенство
Fз=Fi+F~,
где Fi, Р 2 и F з - модули соответствующих сил. Каждую из
сил F1 , F 2 , Fз можно считать силой, уравновешивающей
совместное действие двух других. Так, сила Р2 есть уравно-
90
веtIIивающая
сил имеется
для сил F1 И Fз , причем между модулями
соотношение F 2 =F з -F 1 •
Итак, в случае сил, действующих вдоль одной прямой,
условие равновесия можно выразить через модули этих сил.
§ 41.
Сложение сил, направленных под углом друг к другу.
Решение задачи о сложении нескольких сил, направленных
под углом друг к другу,
начнем со случая,
когда
на тело
действуют только две силы, не лежащие на одной прямой.
В этом случае, как показывает
опыт,
равновесие тела
возможно; значит,
не­
равнодей­
ствующая таких сил не может
!\
I1
II
1 I
I
I
:
'11
ГО
'-
f
\:
f J ",
fJ
!
!t !
I
\i F
,~
'5
Рис.
64.
Если динамомеТРQJ рас­
тянуты, то равновесие груза при
вертикальном
положении
нити
Рис.
трех
65.
сил,
Условия равновесия
дей~твующих
под
углом
друг
к
другу
невозможно
равняться нулю. Например,С на тело, подвешенное на нити,
действует вертикально сила тяжести; и если нить (а значит,
и сила натяжения нити) расположена наклонно к верти­
кали, то тело не остается в покое. На-этом основано устрой­
ство
отвеса.
Другой пример: к телу, подвешенному на нити, прикре­
пим
два
динамометра,
расположенных
горизонтально
под
углом друг к другу (рис. 64). Легко проверить на опыте,
что и в этом случае тело не останется в покое и нить не будет
вертикальной ни при каком растяжении динамометров.
Найдем равнодействующую двух сил, направленных под
углом друг к другу. Так как равнодействующая равна по
модулю и противоположна по направлению уравновешиваю­
щей силе
)'словия
(§ 39), то для решения задачи достаточно найти
равновесия тела
под действием трех сил
(двух
91
данных н третьей уравновешивающей). Для нахождения
этих условий поставим опыт, в котором модули и направле­
ния всех сил легко определить. Свяжем три нити, привяжем
к ним разные грузы и перекинем две из нитей через блоки
(рис. 65). Если масса каждого из грузов меньше суммы масс
двух других, то узел займет некоторое положение и будет
оставаться в покое; значит, это положение будет положением
равновесия. При этом все нити расположатся в одной верти­
кальной плоскости. На узел действуют силы F 1 , F 2 И Fз ,
равные по модулю силам тяжести, действующим на грузы,
и направленные вдоль нитей. Каждая из этих сил уравно­
вешивает две остальные. Изобразим силы, приложенные
к
узлу,
отрезками,
отложенными
от
узла,
направленными
вдоль нитей и равными, в выбранном масштабе, модулям
сил. Оказывается, что при равновесии отрезок, изображаю­
щий любую из этих сил, совпадает с диагональю параллело­
грамма, построенного на отрезках, изображающих две дру­
гие силы. Эти параллелограммы показаны на рисунке штри­
ховыми
линиями.
Значит, диагональ параллелограмма
изображает равнодействующую двух сил, изображаемых его
сторонами, причем равнодействующая направлена в сто­
рону, противоположную третьей силе. Таким образом, силы
вкладываются (как и nере'м'ещения) по nраеилу nараллело­
граАt'м'а,
т. е.
по
nраеилу
векторного
сложения.
Из правила параллелограмма сил следует, что модуль
равнодействующей силы зависит не только от модулей сла­
гаемых сил, но также и от угла между их направлениями.
При изменении угла мод)'ль равнодействующей изменяется
в пределах от суммы модулей сил (если угол равен нулю)
до разности модулей большей и меньшей сил (если угол
равен 1800). В частном случае сложения двух равных по­
модулю сил можно,
в зависимости
от угла между силами.
получить любое значение модуля равнодействующей в пре­
делах от удвоенного модуля одной из сил до нуля.
Вместо
правила
параллелограмма
можно
применять
правило треугольника, как мы это делали для перемещениЙ.
При сложении более чем двух сил можно либо прибавлять
их векторно .одну за другой, либо строить из векторов ло­
маную; тогда равнодействующая изобразится звеном, замы­
кающим ломаную. При равновесии ломаная замкнется:
равнодействующая будет равна нулю. Например, ломаная
из трех уравновешивающихся сил образует треугольник.
§ 42.
Связь между силой и ускорением. В
§ 31
мы изложили
закон инерции, согласно которому тело получает ускорение
92
тOJIъко В том случае, если на него действует сила. Опыт.по­
казывает, что направление ускорения совпадает с напраВlЛе­
нием вызывающей его силы *). Выясним связь между моду­
лем силы, действующей на тело, и модулем ускорения, со­
общаемого телу этой силой.
Повседневные наблюдения покэзывают,
что модуль
у_с~орения, сообщаемого данному телу I тем больше, чем
Рис.
66.
Изучение зависимости между силой и ускорением тела. Пути,
проходимые тележкой, отмечаются капельницей
больше действующая на него сила: мяч получит тем большее
ускорение (и в результате приобретет тем большую ско­
рость), чем сильнее его ударят; мощный электровоз, разви­
вающий большую силу тяги, сообщает поезду большее ус­
корение, чем маневровый тепловоз, и т. п. Грубо количест­
венную связь между силой, действующей на данное тело,
и приобретаемым телом ускорением можно установить на
следующем опыт•. Пусть подвижная тележка прикреплена
при помощи пр ужинного динамометра к перекинутой через
блок нити с грузом на конце (рис. 66). Груз 'растягивает
пружину, сообщающую своей силой упругости ускорение
тележке. Чем больше подвешенный груз, тем сильиес; растя­
нута пружина и тем больше УСJ(орение тележки. Заметим,
что показание динамометра будет меньше, чем при подвеши­
вании
груза
к
неподвижному
динамометру,
т.
е.
меньше,
чем сила тяжести, действующая на груз. Причину этого
поясним в § 52.
Наблюдая растяжение динамометра при движении те­
лежки, обнаружим, что оно не меняется. Значит, сила, дей­
ствующая на тележку, постоянна. Еем,одуль дает показа­
ние F динамометра. Путь S, проходимый тележкой за раз­
личные промежутки времени
t от
начала движения, можно
.. ) Будем считать, что на тело действует TO~ЬKO ~ДHa сила; если сил
много, то будем рассматривать их равнодействующую.
93
определять, пользуясь,
например, капельницей. Измере­
ния покажут, что путь, пройденный тележкой, пропорцио­
нален
. квадрату
промежутка времени,
прошедшего от на­
чала движения. Это означает, что тележка движется равно­
ускоренно
(§ 22).
Модуль ускорения а найдем по формуле
a=2s/t 2 •
Если подвешивать к концу. нити различные грузы, на
тележку будет действовать каждый раз другая сила. Опре­
делив по динамометру модули сил, действующих на тележку
в каждом случа.е,
ке ускорения ai,
F i , Fi.,
ai,
аз,
р з , ••• и найдя сообщаемые тележ­
... , мы убедимся, что ускорения
тележки прямо пропорциональны силам, действующим на
тележку:
F1/a 1 = Р 2 1а 2 =
Fз/аз
= ...
Опыт показывает, что не только в этом примере, но и во
всех случаях УСlООрение тела nроnорционально действующей
на него силе. Отсюда следует, что для нахождения ускоре­
ний, сообщаемых данному телу разными силами, достаточ­
но только один раз измерить и силу, действующую на тело,
и вызываемое ею ускорение; если затем на то же тело подей­
ствовать другой силой, то возникающее ускорение изменит­
ся во столько же раз, во сколько раз изменил ась сила.
Конечно, такие опыты с тележкой слишком грубы ДЛЯ
точного
установления
закона
пропорциональности
между
силами и ускорениями. Однако при помощи более точных
методов измерений, в частности по данным астрономических
наблюдений, было установлено, что прямая пропорциональ­
ность между действующей на данное тело силой и сообщае­
Мр!М ею этому телу ускорением весьма точно оправдывается
на
опь\те.
Масса тела. Итак, для данного тела ускорение, сообща­
емое ему какой-либо силой, пропорционально этой силе.
Сравним теперь ускорения, сообщаемые силами разным те­
лам. мы увидим, что возникающее ускорение определяется
не только силой, но и·тем, на какое тело эта' сила действует.
Будем, например, тянуть разные тела при помощи динамо­
метра, следя за· тем, чтобы во всех случаях показание дина­
мометра было одним и тем же, т. е. чтобы на тела действовала
одна и та же сила. Для этого можно, например, видоизме­
нить описанный в предыдущем пара графе опыт, выбирая
§ 43.
различные
тележки
или
устанавливая
на
тележки
раз­
личные тела и подбирая к!iЖДЫЙ раз такой груэ- на конце
94
нити, Перекин.утоЙ через блок, чтобы показание динамометра
было однчм и тем же во всех опытах.
Измеряя возникающие в подобных опытах ускорения,
мы убедимся в том, что, вообще говоря, разные тела получа­
ют при воздействии одной и той же силы различные ускоре­
ния! разные тела в различной мере обладают свойством инер­
ции. Можно ввести понятие о мере инерции тел, считая меру
инерции двух тел одинаковой, если под действием равных
сил
они
получают
одинакоsые
ускорения,
и
считая
меру
инерции тем большей, чем меньшее ускорение получает тело
под действием данной силы.
Что же определяет меру инерции различных тел? От
каких свойств тел зависит ускорение, сообrцаемое данной
силой? Или, наоборот, какими свойствами тела определяется
сила, необходимая для сообщения данного ускорения? Опыт
показывает, что для тел,
изготовленных
вещества, например
алюминия, ускорение, вьtзываемое
из
из одного и того же
данной силой, тем меньше, чем больше объем тела, причем
ускорение оказывается обратно пропорциональным объему
тела. Но если производить опыты с телами, изготовленными
из различных материалов (например, из железа, алюминия,
дерева), то никакой связи с объемом тел не обнаружится:
тела равных объемов будут получать под действием одной и
той же силы разные ускорения, а для получения одинаковых
ускорений придется подобрать объем железного тела мень­
ший, чем алюминиевого, а алюминиевого
деревянного.
Каково должно быть
-
меньший, чем
соотношение объемов
тел, изготовленных из разных материалов, чтобы под дей­
ствием
равных
сил
они
получали. одинаковые
ускорения,
заранее узнать нельзя. Необходимо определить непосред­
ственным опытом, какой объем должно иметь алюминиевое
или деревянное тело для того, чтобы оно получало под дей­
ствием заданной силы то же ускорение, что и данное желез­
ное тело. Если тела получают под действием одной и той же
силы равные ускорения, мы должны считать одинаковой
меру
инерции этих тел.
Таким образом, мера инерции тела должна быть опреде­
лена
непосредственно механическим
опытом
-
измерением
ускорения, создаваемого данной силой. Меру инерции тела
называют массой и обозначают обычно буквой т (или М).
Итак, масса тела естЬ его характерное физическое свой­
ство, определяющее соотношение между действующей на это
тело силой и сообщаемым ею телу ускорением. Так как сила
и ускорение, сообщаемое ею данному телу, пропорциональ­
ны друг другу, то массу тела определяют как отношение
9S
действующей на тело силы
F
к сообщаемому этой силой ус­
корению а, т. е.
m=Fla,
(43.1)
•
откуда получается соотношение
Р=та.
Подействовав на данное тело какой-нибудь силой
F и изме­
рив сообщаемое этой силой ускорение а, мы можем опреде­
лить по этой формуле массу тела т. Для данного тела всегда
будет получаться одно и то же значение т, с какой бы силой
мы ни действовали на тело.
Пользуясь указанным способом измерения массы, мы
можем на
опыте выяснить,
чему
раВlIа масса тела,
состав­
ленного из нескольких других тел, или какова масса опре­
деленной части тела известной массы. Если измерить массы
fni, т 2 , т а ,
•••
нескольких тел,
а затем соединить все эти
тела D одно (например, скрепив их вместе) так, чтобы под
действием сил они все получали одно и то же ускорение, и
измерить
массу
.
т
получившегося
тела,
т=тi+ т 2+ т з+
то
окажется,
что
...
Обратно, если данное тело разделить на части, то сумма масс
отдельных частей окажется равной массе исходного тела.
В частности, если однородное тело массы т разделить на n
равных по объему частей, то масса каждой части· будет рав-
.
на т/n.
Очень важен следующий факт. Если взять различные тела
с одинаковой массой и по очереди подвешивать их к дина­
.
мометру, то динамометр ;покажет каждый раз одно и то же
растяжение пружины. Если же на основании динамических
n раз больше мас­
n раз сильнее растянет пружину
опытов оказалось, что масса одного тела в
сы другого, то первое тело в
.
динамометра, чем второе. Это значит, что сила притяжения
тел Землей пропорциональна их массам. Этот замечатель­
ный факт позволяет сравнивать массы, не сообщая телам
ускорения. Мы еще вернемся ~ этому вопросу в § 56.
§ 44.
Второй закон Ньютона. Производя опыты с действием
сил на тела, мы установили пропорциональность между ма­
дулем силы Р, действующей на тело, и модулем ускорения
а, которое эта сила сообщает телу, а также ввели новую ве­
личину
-
массу
тела
m.
Опыты показали также, что направление ускорения сов­
падает с· направлением силы, вызвавшей ускорение
,
96
(§ 42),
т. е .. что векторы F и а совпадают по направлению. Следо­
вательно, формулу (43.1) можно написать в векторном Биде:
F=ma.
Напомним, что здесь
ствуtoщих на
F -
тело, т
-
(44.1)
равнодействующая всех сил, дей­
его масса и а
-
ускорение, полу­
чаемое телом под действием силы F. Эта формула выражает
основной закон движения, известный под названием вто­
рого
закона Ньютона (первый закон - закон инерции,
Второй закон Ньютона можно сформулировать так:
сила, действующая на тело, равна произведению массы тела
на создаваемое этой силой ускорение, причем направления
§ 31).
силы u ускорения совпадают.
Формулу (44.1) можно записать еще и в таком виде:
a=Flm,
(44.2)
и закон Ньютона можно выразить в несколько иной форме:
ускорение, сообщаемое телу,
прямо nроnорционально рей­
ствующей на тело силе, обратно nроnорционально массе те­
ла u направлено так же, как сила. В частности, отсюда сле­
дует, что при действии равными силами на,разныетела они
получают ускорения, обратно пропорциональные своим мас­
сам; и обратно, если разные тела получают ускорения, об­
ратно пропорциональные своим
массам,
то это значит,
что
СИЛЬ!, действующие на эти тела, равны по модулю.
Если сила постоянного направления стала действовать
на тело, находящееся в покое, или если сила, действующая'
на движущееся тело, направлена вдоль скорости тела (на­
'пример, тело, падающее без начальной скорости; тело, под­
брошенное вертикально вверх), то тело будет двигаться пря­
молинейно. Для этого случая закон Ньютона можно напи­
сать в скалярной форме:
Р=та,
или
аР/т.
При этом под действием постоянной силы тело неизменной
массы будет двигаться с постоянным ускорением, т. е. рав­
ноускоренно. Если же сила меняется с течением времени,
то меняется и ускорение. В этом случае формула (44.2)
дает значение мгновенного ускорения (§ 27), вызываемого
силой, действующей в данный момент. Если сила остается
ПОСТОЯНной, а меняется масса тела, к которому приложена
сила, то ускорение также оказывается переменным. Приме­
ром тела переменной массы может служить ракета, выбра­
сывающая
во время полета !lРОДУКТЫ сгорания топлива, в
результате чего ее масса уменьшается. Если при этом сила,
4
д.г.еыеllтарныl! у,че(5ник физики, т. 1
"
97
действующая на ракету , не меняе'l'СR, то уёкорение ее рас-'
тет
(§ 188).
Если сила направлена под углом к скорости тела.·
то оно движется криволинейно (например, тело, 6рошен"ое
горизонтально).
в гл.
Криволинейное движение будем
изучать
V.
Во втором законе Ньютона заключен, как ча.стныЙ слу­
чай, первый закон, или закон ииерции. Действительио, из
формулы (44.2) видно, что если р=о, то и а=О, т. е. если
на тело не действуют силы (или силы действуют, но их рав­
нодействующая равна нулю), то и ускорение равно нулю, и
8начит,
тело сохраняет состояние покоя
или равномерного
прямолинейного движения.
Примеры проявления второго закона Ньютона встре­
чаются на каждом шагу. Электровоз разгоняет поезд с тем
меньшим ускорением, чем больше масса поезда. Отталкивая
с одинаковой силой от берега пустую и тяжело нагружен­
ную лодку, заставим первую из них двигаться с б6льшим
ускорением, чем вторую. Если тело лежит на твердой опоре,
то, прилагая к нему малую силу, мы не сдвинем его с места,
так как при этом возникнет сила трения об опору (§ 64),
которая
уравновесит приложенную силу:
о)
(1)
Рис.
результирующая
При одинаковой силе, действующей на п,nавающий брусок,
увеличивается: а) медленно у большого бр'уска, 6) быстрее
у малого бруска
67.
СКОРОСТЬ
окажется равной нулю. Но если тело плавает на воде, то
возникающая сила трения о воду в начале движения очень
мала;
поэтому
она
не
уравновесит
приложенную
силу
и
равнодействующая не будет равна нулю: тело начнет дви­
гаться.
Как бы ни была мала результирующая снла, действую­
щая' на тело, ускорение возникнет; но оно м(}жет быть на­
столько мало, что потребуется много времени, чтобы вы­
звать заметное изменение скорости. Так, надавливая на мас­
сивный деревянный брусок, ПЛЩlающий в воде, гибким
стеклянНblМ прутом (рис. 67), увидим, что брусок приобре-
91
.
reт· заметную скорость только черР.3 1-2 минуты. В то же
время бруску ГQраздо меньшей массы можно сообщить при
помощи того же прута гораздо большее ус~орени:е. На при­
сталях можно наблюдать, как рабочий, изо всей силы упи­
раясь . багром в борт большой баржи, тратит несколько
минут на сообщение ей еле заметной скорости.
-
В формуле второго закона Ньютона а
это ускорение
тела в его движении относительно Земли. Но, как мы знаем
(§ 33), ускорение тела будет таким же, если рассматривать
движение тела относительно любой другой инерциальной
системы. Силы же, действующие на тело, представляют со­
бой действия на данное тело других тел и не зависят от того,
ПQ. отношению к какой системе отсчета мы определяем уско­
рение данного тел-з. Не зависит от выбора системы отсчета
и масса тела. ПОЭТ0МУ закон Ньютона остается справедли­
вым и при рассмотрении движения относительно любой дру­
гой инерциальной системы, например относительно корабля,
равномерно движущегося прямым курсом по спокойному
. морю,
или относительно поезда, идущего с постоянной ско­
ростью ПО прямому участку, и т. п. Более подробно об этом
вопросе .будет сказано в гл. VI.
?,
Используя второй закон Ньютона, объясните, почему
падение на мерзлую землю опаснее, чем на рыхлый снег, и почему,
прыгнув с высоты нескольких этажей на натянутый брезент,
можно остаться иевредимым?
44.1.
•
Закон Ньютона был открыт при изучении движенпй,'происходящих
в обычных условиях на Земле, и при изучении движений небесных тел.
И в тех и в других случаях скорости тел малы по сравнению со скоро­
стью
света
скорости
(300000 км/с). Со СКОРОС1'ями,
света,
физики
приближающимися
к
встретились только при изучении движения
элементарных частиц, например электронов и протонов в ускорителях
-
устройствах, в коюрых на элементарные частицы действуют разгоняю.
щие их электромагнитные силы. Для таких скоростей второй закон
Ньютона иевереи. Согласио закону Ньютона, при действии постоянной
силы, направлеииой вдоль траекюрии частицы, частица должна была
бы иметь постоянное ускорение, т. е. ее скорос1'Ь должна была бы рав­
номерно расти. Однако оказалось, '1Ю хотя в начале разгона второй за­
ЖJН Ньютона выполняется и частица движется равноускоренно, но, по
мере того как достигиутая частицей скорость приближается к скорости
света, ускорение делается все. меиьше и меньше, т. е. закои Ньютона
нарушается.
При продолжающемся действии ускорителя скорость частицы рас­
тет все медлеииее, приближаясь к скорости света, но никогда ее не дости­
гая. Например, при СIЮрОСТИ тела, равноЙ
0,995
скорости света, ускоре­
ние, получаемое телом при силе, действующей в направлении движения
тела, составит всего 0,001 ускореиия, рассчитанного по формуле закона
Ньютона. дажелри скорости, равной всего одной десяroй Скорости све­
та,
уменьшение
Ньютона
усКоРеДия
состаl3ИТ
1,5
%.
сравнительно
Но
для
с
рассчитанным
«малых»
скоростей)
по
закону
встречаю-
'9~
щихся в обыденной жизни, и даже для скоростей космических тел по­
правка так мала, что ею можно пренебрегать. Например, для Земли, вра­
щающейся вокруг Солнца со скоростью 30 КМ/С, уменьшение ускорения
составит
всего
миллионную
до.~ю
процента.
Итак, второй закон Ньютона можно применять только по отношению
к телам, скорость которых мала по сравнению со скоростью света.
§ 45. Единицы силы и массы. Для того чтобы-производить
расчеты на основаниивторог6 закона Ньютона, необходимо
выбрать единицы силы и массы таким образом, чтобы вы­
полнялось соотношение
единица массы
.
=
единица силы
единица
.
ускорения
(45.1 )
в СИ единицей массы служит килограмм (кг), который
представляет собой массу платино-иридиевого тела, храня­
щегося в Международном бюро мер и весов в Севре (близ
Парижа). Это тело называется международным прототипом
килограмма. Масса прототипа близка к h{acce 1000 CM~ чис­
той воды при 4 ос.
Единицей силы в СИ является нЬютон (Н), который.ра­
вен силе, под действием которой тело массы один килограмм
получает ускорение один метр на секунду в квадрате. Со­
гласно формуле
можно представить ньютон ВJ~.иде
(45.1)
1
Н=l кг·l м/с 2 =! кг,м!с 2 •
в системе единиц СГС, в которой единицей длины служит сантиметр
см=О,ОI м), а единицей массы - грамм (1 г=О,ООI кг), за единицу
силы принимают .силу, сообщающую телу массы 1 г ускорение I см/с 2 •
Эту единицу силы называют диной (дин). Легко найти соотношенне
между ньютоном и диной:
(1
1 H=I05
дин.
дина - очень малая сила. Муравей, который тащит веточку, действует
на нее с силой, равной примерно 100 дин.
,
?
•
45.1. Снаряд массы 15 кг при выстреле приобретает скорость
600 м/с. Найдите средмюю силу, с которой пороховые газы дей­
ствуют на снаряд, если длина ствола орудия составляет 1,8 м
(движение
снаряда
в
стволе
считать
равноускоренным).
За какое наименьшее время можно передвинуть rю гори­
зонтальному полу на расстояние 1О м груз массы 50 кг, если
45.2.
известно, что веревка, за
. силе
груз с места
ния,
которую тянут
натяжения, превышающей
200
груз, разрывается при
Н, а для того чтобы сдвинуть
или двигать его равномерно,
достатОЧНО
прилагать
силу
преодолевая силу тре­
100 Н?
§ 46.
Системы единиц. Формула
вид,
потому что мы, выбрав единицы ускорения и массы
a=F/m
имеет такой простой
произвольно, единицу силы выбрали специально 'так, чтобы
коэффициент пропорциональности в этой формуле оказался
100
равным единице. В противном случае формулу ДЛЯ ускоре­
ниЯ нужно было БыI Писать в виде
a=kFlт,
{де
k - коэффициент пропорциональности. Например,
если бы мы выбрали единицу силы тоже произвольнЬ и она
оказалась равной, скажем, 6,3 Н, то коэффициент пропорциональности имел бы значение k 1/6,3.
.
В принципе единицы физических величин можно было бы
выбирать независимо друг от друга. Однако в этом случае
в формулах появились бы очень неудобные коэффициенты
пропорциональности. Чтобы избежать этого, поступают
следующим образом. Выбирают произвольно единицы не­
скольких физических величин. Эти единицы (и соответст­
вующие величины) называются ОСН08НЫМИ. Единицы же ос­
тальных величин выбирают с учетом формул, связывающих
=
эти величины с основными, стараясь упростить коэффициенпропорциональности в этих формулах (как правило, де­
. ты
лают эти коэффициенты равными единице). Единицы, уста­
новленные таким' способом, называются nРОИЗ80дными. В
результате образуется упорядоченная совокупность единиц
физических величин, которая называется аистемой единиц.
Существует несколько систем единиц физических величин,
отличающихся выбором основных величин и основных еди­
ниц. Мы
(СИ).
рассмотрим
Международную
систему
единиц
.
В СИ в качестве основных приняты: единица длины метр (м), единица массы - кцлограмм (кг), единица вре­
мени - секунда (с), единица силы тока - ампер (А), еди­
ница термодинамической температуры - кельвин (К),еди­
ница силы света - кандела (кд) и единица количества ве­
щества - моль (моль). ИЗ этих единиц в механике мы будем
иметь дело в основном с метром, килограммом и секундой.
К дополнительным единицам СИ принадлежат: единица
плоского угла стерадиан (ср).
радиан (рад) и единица телесного угла-
.
Кроме единиц, входящих в определенную систему, упо­
требляются внесистемные единицы. К их числу относятся:
. единицы времени - час (ч), минута (мин), единица объе­
ма - литр, единицы угла - градус (О), минута (') и се­
кунда ("), единица массы - а. е. м., и некоторые другие.
§ 47.
Третий закон Ньютона. При соударении двух бильярд­
ных шаров изменяют свою скорость, т. е. получают ускоре­
ния, оба шара•. Когда при формировании железнодорожного
101
состава вагоны наталкиваЮТСЯ друг на друга, буферные пру­
жины сжимаются у обоих вагонов. Земля притягивает Луну
(сила всемирного тяготения) и заставляет ее двигаться по
криволинейной траектории; в.свою очередь Луна также при­
тягивает Землю (тоже сила всемирного тяготения).. Хотя,
естественно, в системе отсчета, связанной с 3еivfJIей, ускоре­
ние Земли, вызываемое этой силой, нельзя обнаружить не­
посредственно (непосредственно нельзя обнаружить даже
значительно большее ускорение, вызываемое притяжением
Земли Солнцем), оно проявляется в виде приливов (§ 137).
Мы привели несколько примеров сил, действующих
между
телами;
эти
примеры
показывают,
что силы
всегда
возн икают не в одиночку, а по две сразу: если одно тело дей­
ствует с некоторой силой на другое (<<действие»), то и вто­
рое тело действует с некоторой силой на первое (<<противо­
действие»). Опыт показывает, что это правило носит всеоб­
щий характер. Все силы носят взаимный характер, так что
силовые действия тел друг на друга всегда представляют
собой взаимодействия.
Что же можно сказать о силе, действующей со стороны
второго тела на первое, если мы знаем силу, действующую
со стороны первого тела на второе? Грубые измерения сил
взаимодействия можно произнести на следующих опытах.
Возьмем два динамометра, зацепим друг за друга их крюч­
ки и, взявшись за кольца, будем растягивать их, следя за
~1I111I11,!lIllIlIf~f±++<8~'
Рис.
68.
Сила, с которой первый динамометр действует на второй, рав­
на по модулю силе; с которой второй дииамометр действует на первый
показаниями обоих динамометров (рис. 68). мы увидим, что
при любых растяжениях показания обоих динамометров
будут совпадать; зна<rит, сила, с которой первый динамо­
метр действует на второй, равна силе, с которой второй ди­
на~lOметр действует на первый.
Другой опыт по сравнению упругих сил взаи-модейетвия
показан на рис. 69, где тела, укрепленные на тележках,
могут быть любыми. По-разному нажимая рукой на дина­
мометр
слева,
вызовем
различные
показания
дИ'Намометра
справа. Когда сдавливаемые тела остаются неподвижны­
ми, об~ динамометра показывают равные по модулю силы
Р} И РЗ. При этом направления сил, с которыми действуют
динамометры, будут противоположны: Кроме сил со стороны
динамометров, при этом на тела действуют силы их упругого
102
·вэанмодеЙс'):вия; на тело А - сила Fз со стороны тела В
JI на тело В - сила Р.со стороны тела А. оба тела непо­
движны; значит, действующие на каждое из них силы долж­
ны уравновешиваться. Значит. сила Fз должна уравновеши­
вать силу Fi. а сила Р... - силу Fi,. Так как. силы Fi И Р.
fJ
А
Рис.
69.
Исследование взаимодействия двух тел А и В. Внизу показаны
деЙСТВУIOщие на них силы
~.
~
равны по модулю, то силы Fз и Р4 также равны по модулю
и
.
противоположны
по
.
направлению.
Аналогично можно сравнить и силы взаимодействия,
действующие на расстоянии. Укрепим на тележке магнит,
на другой тележке
динамометры (рис.
лежки
могут
- кусок железа и прикрепим к тележк.ам
70). В зависимости от условий опыта те­
остановиться
на
разном
расстоянии
друг
от
Железо
~~~
Железо
~5~r~1
3 7чllliDillШf'i
f
Рис.
70.
Сравнение сил ,взаимо:n:ействия между магнитом и куском же­
леза
друга, так что силы взаимодействия между магнитом и кус­
ком железа будут больше или меньше в зависимости от
этого расстояния. Но во всех случаях окажется, что дина­
мометры
дадут
'рассуждения,
одинаковые показания;
как
и
в
предыдущем
проведя
случае,
мы
такие
же
заключим,
что сила, с КОТОРОЙ магнит притягивает железо, равна по
модулю и противоположна по направлению силе, с которой
железо
притягивает
магнит.
103
в iIриведеииых примерах взаимодействующие тела поко­
ились. Но опыт показывает, что силы взаимодействия меж­
ду
двумя
телами
равны
по модулю
и
противоположны
по
направлению и в тех случаях когда тела движутся. Это ил­
люстрируется следующим опытом. На двух тележках, кото­
рые могут катиться по рельсам, стоят два человека А и В
(рис.
71.).
Они держат в руках концы веревки. Легко обна­
ружить, что независимо от того, кто натягивает (<<выбирает»)
8
(
Рис.
71.
К то бы. ИЗ СТОЯЩИХ иа
веревку,
подвижных
ускорение
получат
тележках
обе
ни
«выбирал»
тележки
веревку " А или В или оба вместе, тележки всегда приходят
в движение одновременно и притом в противоположных на­
правлениях. Измеряя ускорения тележек, можно убедить­
ся, что ускорения обратно пропорционалъны массам каждой
из тележек (вместе с человеком). Как мы видели в § 44, от­
сюда следует. что силы. действующие на тележки, равны по
модулю.
Опыты показывают, что и во всех других случаях, если
одно тело действует на другое с некоторой силой, то второе
тело действует на первое с силой, равной по модулю и про­
тивоположной по направлению. При этом обе силы лежат
на одной прямой. Это ~ закон равенства действия и проти­
водействия, открытый Ньютоном и названный им третьим
законом движения.
?
•
с
104
'"
Найдите силу, с которой килограммовая гиря, JIежащая
на Земле,
притягивае'l Землю.
47,2. В опыте с .IJЮДЬМИ на тележках найдите отношение путей,'
пройденных теJIеЖКаМИ за какой-либо промежуток времеии (на­
пример, до столкновения), если известно отношение масс тележек
47.1.
людьми,
§ 48. Примеры ,применения треТьего закона Ньютона. В из­
вестной игре «перетягивание каната» обе партии действуют
друг на друга (через канат) с одинаковыми си~ами, как это
следует из закона действия и проти~одеЙствия. Значит,
выиграет (перетянет канат) не та партия, которая сильнее
тянет, а та, которая сильнее упирается в Землю.
Как объяснить, что лошадь везет сани, если, как это сле­
дует из закона действия и противодействия, сани тянут ло­
шадь назад с такой же по модулю силой F 2 , С какой лошадь
~
~
Рис.
72.
~
~
....
т,
Лошадь сдвинет и повезет нагруженные сани, потому что со
стороны дороги на ее копыта действуют большие силы трения, чем на
скользкие полозья саней
тянет сани вперед (сила F 1 )? Почему эти силы не уравнове­
шиваются? Дело в том, что, во-первых; хотя эти силы равны
и прямо противоположны, онд приложены к разным телам,
а во-вторых, и на сани и на лошадь действуют еще 'и силы
со стороны дороги (рис.
72).
Сила
F 1 со стороны лошади
при­
ложена к саням, испытывающим, кроме этой силы, лишь
небольшую силу трения
полозьев о снег; поэтому сани
начинают двигаться вперед. К лошади же, помимо силы со
стороны саней F 2 , направленной назад, приложены со сто­
/1
роны дороги, в которую она упирается ногами, силы
/2'
направленные вперед и большие, чем сила со стороны саней.
Поэтому лошадь тоже начинает двигаться вперед. Если
поставить лошадь ца лед, то сила со стороны скользкого
льда будет недостаточна, и лошадь не сдвинет сани. То же
будет ис очень тяжело нагруженным возом, когда лошадь,
даже упираясь ногами, не сможет создать достаточную силу,
чтобы сдвинуть воз с места. После того как лошадь сдвинула
/i
сани и установилось равномерное движение саней, сила
будет уравновешена силами
(первый закон Ньютона).
Подобный же вопрос возникает и при разборе движения
поезда под действием электровоза. И здесь, как и в преды-
/2
10~
дущем случае, движение возможно лишь благодаря тому,
что, кроме сил взаимодействия между тянущим телом (ло­
шадь, электровоз) и «при цеп ом» (сани, поезд), на тянущее
'Тело действуют со стороны дороги или рельсов силы, на­
правленные вперед. На идеально скользкой поверхности,
от которой нельзя «оттолкнуться», ни сани
с лошадью, ни
поезд, ни автомобиль не могли бы сдвинуться с места.
. Третий закон Ньютона позволяет рассчитать явление
отдачи при выстреле. Установим на тележку модель пуш­
ки, действующую при по~ощи пара (рис. 73) или при помо­
щи пружины. Пусть вначале тележка' покоится. При пы­
стреле (~снаряд)} (пробка) вылетает в одну сторону, а «пушка»
~
Рис.
r-,
1...-..1
При нагревании пробирки с водой пробка вылетает в одну сто­
73.
РОНУ,
а «пушка» катится
в противоположную сторону
•
откатывается в другую. Откат пушки и есть результат отда-
-
чи. Отдача есть не что иное, как противодействие со стороны
снаряда, действующее, согласно третьему закону Ньютона,
. на пушку, выбрасывающую снаряд. Согласно этому закону
сила, действующая со стороны пушки на снаряд, все вр~мя
равна силе, действующей со стороны снаряда на пушку, и
направлена противоположно ей. Таким образом, ускоре­
ния, получаемые пушкой и снарядом, направлены противоположно, а по модулю обратно пропорциональны масс!;!м
этих. тел. В результате снаряд и пушка приобретут противо­
IJОЛОЖНО
направленные
скорости,
находящиеся
в
том
же
отношении. Обозначим скорость, полученную снарядом,
через 'V, а скорость, полученную пушкой, через V, а массы
этих тел обозначим через т и М соответственно. Тогда
v/V==M/m.
Здесь
v
и
V-
модули скоростей.
Выстрел из всякоrо оружия сопровождается отдачей. Старинные
пушки после выстрела откатывались назад. В современиых орудltях
ствол укрепляется на лафете не жестко, а при помощи приспособленю'l,
которые
позволяют стволу отходить назад;
затем
пр ужины сиова воз­
вращают ег,о на место. В автоматическом огнестрельном оружии явле­
lIие отдачи используется для Toro, чтобы перезарядить орудие. При
1~
выстреле ОТХОАИТ только затвор. Он выбрасывает ИСПOJlьзованную ГИJЦ...
зу, а затем пружины, возвращая его на место, вводят в ствол иовый пат.
рои. Этот принцип используется не только 8 пулеметах и автоматическим
пистолетах, но и в скорострельных пушках.
Импульс тела. Основные законы механики - второй
и третий законы Ньютона - заключают в себе возможность
решения любой механической задачи. В следующих парагра­
фах мы увидим, что применение законов Ньютона к решению
задач часто можно облегчить, используя следующий вывод
§ 49.
из
второго закона.
Подействуем на тело массы т постоянной силой Р.
Тогда ускорение тела также будет постоянно:
a=F/m.
(49.1)
Пусть в начальный момент промежутка времени
которого действовала сила, скорость тела была
t,
в течение
а в ко­
"'0,
flечный момент этого промежутка скорость тела стала рав­
на
v.
Напомним формулу
постоянного
(27.2),
применимую для случая
ускорения:
а=
(v-Vo)/t.
Из этой формулы и из формулы
(49.1)
следует, что
(49.2)
mv-m'Oо=Ft.
Произведение массы тела на его скорость называют им­
пульсом тела. Импульс тела ~ векторная величина, так
как скорость - вектор. Согласно формуле (49.2) прираще­
ние импульса тела noд действием постоянной силы равно
произведению силы на время ее действия. Если сила не остает­
ся постоянной, то формула (49.2) применима только для та­
ких малых
промежутков времени,
за которые сила не yc~
певает заметно измениться ни по модулю, ни по направле­
нию. При большом изменении силы формулой
также
(49.2)
можно пользоваться, но в качестве F следует брать среднее
значение силы за рассматриваемый промежуток времени.
В случае прямолинейного движения, происходящего
вдоль
-оси
в' формулу
ный вид:
Х,
можно
(49.2),
спроектировать
векторы,
входящие
на эту ось. Тогда формула примет скаляр­
mv"-mvо,,=F,,t.
Здесь
v x , vO x
и Fх-проекции векторов 'О' '00 И
(49.3)
F
на ось х.
Поскольку в рассматриваемом случае BC~ три вектора
расположены на оси х, каждая из проекций равна модулю
соот~етствующ.его вектора,
взятому со знаком плюс,
если
.10!
вектор направлен по оси и со знаком минус, если направле­
ние вектора противоположно направлению оси. Таким обра­
зом,
знак
проекции
указывает
направление
соответствую­
щего вектора. Если, скажем, v" положительна (т. е. v,,=v),
это означает, что вектор
направлен по оси х. Если Р Х
отрицательна (т. е. Р,,=-Р), это означает, что направление
v
силы
противоположно направлению оси х,
и т. д.
-
Система тел. Закон сохранения импульса. До сих пор
мы рассматривали только действия сил' на одно тело. В ме­
§ 50.
ханике ч.асто встречаются задачи, когда необходимо одно­
временно
рассматривать
несколько
тел,
движущихся
по­
разному. Таковы, например, задачи о движении небесных
тел, о соударении тел, об отдаче огнестрельного оружия,
где и снаряд и
пушка начинают двигаться
после выстрела,
и т. д. В этих случаях говорят о движении системы тел:
Солнечной системы, 'системы двух соударяющихся тел, сис­
темы пушка - снаряд и т. п. Между телами сис1емы дей­
ствуют некоторые силы. В Солнечной системе - это силы
всемирнuго
тяготения,
силы упругости,
ния
в
системе
в системе пушка
-
соударяющихся
снаряд
-
тел­
силы давле­
пороховых газов.
Кроме сил, действующих с(\ стороны одних тел системы на
другие «(внутренние» силы), на тела могут действовать еще
силы со стороны тел, не принадлежащих системе (<<внешние»
силы); например, на соударяющиеся бильярдные шары дей­
ствуют еще сила тяжести и сила упругости стола, на пушку
11 снаряд также действует сила тяжести, и т. п. Однако в ря.­
де случаев
при
внешними
соударении
силами можно
катящихся
шаров
пренебрегать.
силы
тяжести
Так,
уравно­
вешены для каждого шара в отдельности и потому не влия­
ют
на
их
движение;
при
выстреле
из
пушки сила тяжести
окажет свое действие на полет снаряда только после выле­
та его из ствола, что не скажется на отдаче. Поэтому часто
можно
рассматривать движения
системы тел,
внешние силы отсутствуют.
Начнем с простейш~й системы,
полагая,
что
-
состоящей только из
двух тел. Пусть их массы равны т и М, а скорости равны
V o 11 Vo• Будем считать, что внешние силы на эти тела не
действуют. Между собой же эти тела могут взаимодейство­
вать. В результате взаимодействия (например, вследствие
соударения) скорости тел I1зменятся и станут равными
v
и V соответственно. Для тела массы т приращение импуль­
са mv - rnvo=Ft, где F - сила, с которой на него действо­
вало тело миССЫ М, а t - время взаимодеllСТВИЯ. Для тела
108
,
массы М приращение импульса MV-МVо=-Ft, так как,
согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой тело
массы т действует на тело массы М, равна по модулю и
противоположна по направлению силе, с которой тело мас­
сы М действует на тело массы т. Складывая оба выражения
ДЛЯ приращения импульса,
получим
m'l1-m'l1о+МV-МV о =О;
отсюда
. (50.1)
Таким образом, при отсутствии внешних сил суммарный
l:lМnУЛЬС системы (векторная сумма имnульсов тел, состав­
ляющих систему) в резулЬ!nате взаимодействия тел не из­
,меняется. Иначе можно сказать, что внутренние силы не
изменяют суммарного импульса системы. Этот результат
совершенно не зависит от того, как взаимодействовали тела
системы:
долго
или
кратковременно,
при
соприкоснове­
нии или на раССТQЯНИИ и т. п. В частности, из этого равенст­
ва следует, что если вна~але оба тела покоились, 1'0 суммар­
ный импульс системы останется равным нулю и в даль­
нейшем, есла только на систему не подействуют силы извне.
Можно доказать,- что и для системы, состбящей из боль­
шего чем два числа тел, суммарный импульс системы оста­
ется 11,остоянным, если только внешние силы отсутствуют.
Это важнейшее положение называют законом сохранения
импульса. Закон сохранения импульса является одним из
фундаментальных законов природы, значение которого не
ограничивается только рамками механики.
Если' система
состоит из однщо тела; то для него закон сохранения им­
пульса означает·, что в отсутствие сил, на него действую­
щих, импульс тела не изменяется. Это равносильно закону
'инерции (скорость тела не изменяется).
§ 5 t:
Применения закона сохранени.я импульса. Применим
заКQН сохранения импул .. са ~ ?адаче об отдаче пушки. Вна­
чале, до выстрела, как пушка (массы М), так и снаряд (мас­
сы т) покоятся. Значит, суммарный импульс сиетемы пуш­
ка'- снаряд равен нулю (в форм)'ле (50.1) можно положить
равными нулю екорости УО и "о). После выстрела пушка и
снаряд получат скорости
и 'l1 соответственно. Суммарный
V
импульс
после
выстрела
также
должен
равняться
нулю,
согласно закону сохранения импульса. Таким образом, не­
посредственно после выстрела будет выполнено равенство
MV+m'l1=O,
или
V=-'l1mIМ,
109
откуда следуе"Г, что пушка ПOJIучит скороеть, во сто.лъко раз
меньшую СКОРОСТIt снаряда, во сколько раз масса пушки
tЮ.льше массы снаряда; знак мииус указывает на против&­
Пf)JIОЖНОСТЬ направлений скоростей пушки И снаряда. Эгот
результат был уже нами ПOJlучен другим способом в § 48.
Мы видим, что задачу удалось решить, не выясняя- даже,
какие силы и в течение какого времени действовали на тела
системы; эти сведения были бы нужны, если бы мы вычис­
ляли скорость пушки при помощи второго закона Ньютона.
В закон сохранения импульса силы вообще не входят. Это
обстоятельство позволяет решать простым способом многие
задачи,
в основном такие,
где мы интересуемся
не процес­
сом взаимодействия тел системы, а только окончательным
результатом этого взаимодействия, как в примере с выстре­
лом из .пушки. Конечно, если силы неизвестны, то должны
быть заданы какие-то другие величины, относящиеся к дви­
жению. В данном примере, для того чтобы можно было оп­
ределить скорость пушки, надо было знать скорость сна­
ряда
после
выстрела.
Ест. измерено время взаимодействия пушки со снаря­
дом, то можно найти среднюю силу, действовавшую на сна­
ряд. Если это время равнялось t, то средняя сила была рав­
на
Fcpe 1J.l'l=mv/t. Такая же
по,нодулю средняя сила (но про­
тивоположно направленная) действовала и на пушку.
Рассмотрим еще одну очень важную задачу, которую так­
же можно решить, польэуясь законом сохранения импуль­
са. Это
-'-
задача
(')
неуnруго.м. соударении двух тел, Т.е. о
случае, когда тела после соударения движутся с одной и
m1 'и1
Рис.
74.
Сложение импульсов при неупругом соударении двух тел
той же скоростью, как это происходит, например, при со­
ударении двух комков мягкой глины, крторые, столкнув­
шись, слипаются и ПРОДOJlжают движение
совместно.
Пусть тело массы mi имело до соударения скорость 'l1i,
а тело массы m 2 имело до соударения скорость 'l1 2 • Пусть
внешние силы отсутствуют. После соударения оба тела бу-
t 10
дут двигаться вместе с некоторой скоростью
",
которую и
тp€буется найти. Суммарный импульс тел легко найти пу­
тем векторного сложения, как это показано на рис. 74. Сла-'
. гаемые векторы - импульсы каждого из тел до соудареиия.
Искомая же скорость получится путем деления суммарного
импульса тел на их суммарную массу.
(51.1 )
Если до соударения тела двигались по одной прямой, то
после соударения они будут двигаться по той же прямой.
Примем эту прямую за ось х и спроектируем скорости на
эту ось. Тогда формула (51.1) превратится в скалярную фор­
мулу:
(51.2)
Каждая из проекций в этой формуле равна модулю соот­
ветствующего вектора,
взятому
со знаком плюс,
если век­
тор направлен по' оси х, и со знаком минус, если направле­
ние вектора противоположно направлению оси х (ср. с фор_'
мулой (49.3».
?•
51.1. Человек массы 60 кг, бегущий вдоль рельсов со скоростью
6 м/с, впрыгивает на неподвижно стоящую на рельсах тележку
массы 30 кг и останавливается на тележке. С каКОй скоростью
тележка
начнет катиться
§ 52 .. Свободное
по
рельсам?
падение тел. Если камень и комок бумаги
начали падать с одинаковой высоты одновременно, то ка­
мень достигнет земли раньше, чем комок. Из подобных по­
вседневных наблюдений, казалось бы, следует, что под дей­
ствием силы тяжести тяжелые тела падают быстрее легких.
TaK~ неверное заключение и было сделано еще в древности
великим греческим философом Аристотелем
(384-322
гг.
до нашей эры), и это воззрение продержалось в науке в те­
чение почти двух тысяч лет! Только в
1583
г. Г. Галилей на
основании более глубокого опытного изучения законов па­
дения опроверг мнение Аристотеля. Галилей выяснил, что
в обычных условиях тела падают под действием не только
силы тяжести, но и сил сопротивления воздуха (§ 68) и tITO
истинный закон падения под действием только силы тщкести
искажается сопротивлением воздуха. Галилей установил,
что в отсутствие этого сопротивления все тела падают равно­
ускоренно и, что весьма важно, в данной точке Земли ус­
корение всех тел при падении ооно и то же.
~
11
Сопротивление воздуха искажает законы падения пото­
му, что оно зависит главным образом от размеров тела. На­
пример, для перышка оно больше, чем для дробинки, в то
время как земное притяжение для перышка слабее, чем для
дробинки. Поэтому сопротивление воз­
духа
.'
"
гораздо
скорость
значительнее
падения
перышка,
уменьшает
чем
дро­
бинки. В вакууме же все тела падают с
одинаковым
ускорением
независимо
.от
их размеров, материала и т. д. Опыт
С падением тел в трубке,
из
КОТОРI)Й
выкачан
воздух,
подтверждает
это
за­
ключение (рис. 75). В трубку помещают,
например, перышко и· дробинку. Если
в трубке находится атмосферный воздух,
хотя перышко и дробинка
одно­
временно начинают падение с одной и
той же высоты (для этого нужно труб­
ку с обоими телами, лежащими в конце
трубки, перевернуть этим концом квер­
ху), перышко сильно отстает От дробин­
то,
ки. Если же повторить опыт после того,
как из трубки откачан воздух, то перыш­
ко и дробинка достигают дна трубки
одновременно и, значит,
падают
с
оди­
нако!Зым ускорением.
Если сопротивление воздуха так мало,
Рис.
75.
В трубке,
что им можно пренебречь, то тело, осво­
божденное от подставки или подвеса,
бу дет падать, находясь все время под дей­
из которой выкачан
ствием
воздух,
тяжения Земли
(свободное
падение).
Сила земного притяжения не oCTaeTC5i
перышко
падает так же бы-·
стро, как дробинка
практически
только
силы
при­
строго постоянной при падении тела. Она
зависит от высоты тела над Землей (§ 56).
Но если падение происходит не с очень большой высоты (так
что изменение высоты тела при падении очень мало по срав­
нению с радиусом Земли, равным примерно
силу
земного притяжения
6400
км), то
практически. можно считать
по­
стоянной. Поэтому можно считать, что в обычных условиях·
ускорение свободно падающего тела остается постоянным и
сво.бодное падение есть равноускоренное движение.
Ускорение свободного падения. Опыт подтверждает
со всей доступной точностью, что в данном месте на земном
§ 53.
112
шаре все тела в вакууме падают с одним и тем же постоян­
ным ускорением. Это ускорение обозначают буквой g. В раз­
личных точках земного шара (на различных широтах) чис­
ловое
g оказывается неодинаковым, изменяясь
9,83 м/с 2 на полюсе до 9,78 м/с 2 на экваторе.
значение
примерно от
На широте Москвы g=9,81523 м/с 2 • Значение g, равное
м/с 2 , соответствующее 450 широты, условно прнни­
мается за «нормальное». Все эти числа относя.тся к движе­
нию тела на уровне моря (§ 56).
Различие ускорения свободного падения в разных точ­
9,80665
ках земного шара обусловлено, с одной стороны, тем, что
Земш' имеет форму, несколько отличную от шарообразной,
и, с другой,- суточным вращением Земли (роль второй при-
чины будет рассмотрена особо в
§ 134).
В дальнейшем будем
принимать приближенно ·g=9,81 м/с 2 , а для совсем грубых
расчетов
- g=10 M1c2.
Падение тела без начальной скорости Jf движ~ние
тела, брошенного вертикально вверх. Пусть тело начинает
свободно падать из состояния покоя. В этом случае к его
§ 54.
движению применимы формулы равноускоренного движе­
ния без начальной скорости с ускорением g. Обозначим на­
чальную высоту тела'над землей через h, время его свобод­
ного падения с этой высоты до земли
достигнутую телом в момент
Согласно формулам
§ 22
падения
-
через
tи
скорость,
на землю,- через
v.
эти величины будут связаны соот­
ношениями
h=gt2/2=v 2/2g,
J54.l)
t = v/g = V2h/g,
(54.2)
v=gt= V2gh.
(54.3)
В зависимости от характера задачи .удобно пользоваться
тем или другим из этих соотношений.
Рассмотрим теперь движение тела, которому сообщена
некоторая начальная скорость
vo,
направленная вертикаль­
но вверх. В "Iтой задаче удобно считать положительным на­
правление кверху. Так как ускорение .свободного падения
направлено вниз, то движение будет равнозамедленным с
отрицательным ускорением -g и с положительной началь­
ноЙ скоростью. Скорость этого движения в момент времени
БЫРШ3ИТСЯ
формулой
t
•
v=vo-gt,
(54.4)
113
.
·а
высота подъема в этот момент над исходной точкой
мулой "')
h=vot-gt2/2.
-
фор­
(54.5)
Когда скорость тела уменьшится до нуля, тело достигнет
высшей точки подъема; это произойдет в момент
для lЮ­
t,
торого
(54.6)
vo-gt=o.
После этого момента ск.')рость станет отрицательной и тело
начнет падать вниз. Значит, время подъема тела
t=vo/g.
Подставляя в формулу
ту
(54.5)
(54.7)
время подъема
t,
найдем ВЫСО­
подъема тела:
2
2
2
h=~-~=.!!!>...
g
2g
(54.8)
2g'
,
Далрнейшее движение тела можно рассматривать как
падение без начальной скорости (случай, рассмотренный в
начале этого параграфа) с высоты h=v~/2g. Подставляя эту
ВЫСОТУ в формулу
(54.3),
найдем, что скорость V, которой те­
ло достигнет в момент падения на землю, т. е. вернувшись
в точку, откуда оно было брошено вверх, будет равна на­
чальной скорости тела Vo (но, конечно, будет направлена
противоположно - вниз). Наконец, из формулы (54.2)
заключим, что время падения тела с высшей точки равно
времени
?
поднятия тела в эту точку.
54.1. Тело свободно
20 м **). На какой
падает без начальной скорости с высоты
высоте оно достигнет скорости, равной поло·
вине скорости в момеит падения на землю?
Покажите, что тело, брошенное вертикально вверх, про·
!Ходит каждую точку своей траектории с рдной и той же по модулю
54.2.
скоростью
на
пути
вверх
и
на
пути
вниз.
Найдите скорость при ударе о землю камня, брошенного с
башни высоты h: а) без начальной скорости; б) с начальной clj:oростью· V O, направленной вертикально вверх; ·в) с начальной
скоростью vo, направленной вертикально вниЗ.
54.4. Камень, брошенный вертикально lIверх, пролетел мимо
окна через 1 с после броска на пути вверх и через 3 с после
броска на пути вниз. Найдите высоту окна над землей и началь­
54.3.
ную
скорость
•)
камия
.
в этой формуле h играет роль координаты Х, отсчнтаНllоii: вверх
по вертикали (см. сноску на с. 57). (Примеч. ред.)
.
* *) ВО BCI;;X задачах, если это не оговорено,.пренебречь сопротивле­
нием :воздуха.;.
)14
114.5;
При веР11iИaJIьноА стрельбе по воздушным целЯМ снаряд,
выпущенныА из зеНИ11l0ГО орудия, д(,~тиг только половины рассто­
яния до цели. Снаряд, выпущенный из другого орудия, достиг
цели. Во сколько раз начальная скорость-сиаряда второго орудия
больше, чем скорость первого?
М.6. Какова максимальная !!ысота, на которую поднимется
камень, брошенный вертик,зльно вверх, если через 1,5 с его ско­
рость уменьшил ась вдвое?
§ 55. Вес тела. Сила, с которой тело, находящееся под дей­
ствием силы тяжести, действует на подставку или подвес,
называется весом тела. В частности, если тело подвешено к
динамометру, то оно действует на динамометр с силой свое-
. го
веса. По третьему закону Ньютона динамометр действует
на тело с такой же силой. Если при этом динамометр и под­
вешенное к нему тело покоятся относительно Земли, то,
вначит, сумма СИЛ, действующих на тело, равна нулю, так
что вес тела равен силе притяжения тела Землей. Таким об­
разом,
подвешивая тело к неподвижному динамометру, мы
можем определить вес тела и равную ему силу притяжения
тела
Землей.
Поэтому
динамометры
H~peДKO, называют
nружинными весами.
Вес возникает в результате притяжения Земли, но он
может отличаться от силы притяжения Земли. Прежде
всего, это может быть в тех случаях, когда кроме Зеl\.ffiИ и
подвеса на данное тело дейст­
вуют какие-либо другие те­
ла. Так, если тело, подвешен­
ное к весам,
погружено в во­
ду, то оно будет действовать
на
подвес
со
значительно
меньшей силой, чем сила при­
тяжения Земли. Эти случаи
будут
рассмотрены позднее
(гл. VII), а сейчас рассмот­
рим, как
ла в
изменяется
зависимости
от
вес
те­
ускоре­
ния, с которым движется
са­
мо тело и подвес.
Подвесим гирю к динамо­
метру
и
отметим
его
ние, пока динамометр
показа­
и
Рис. 76. Вес гири в начале опу­
скания руки (6) меньше, а в мо,
мент остановки (в) больше, чем
вес
при
неподвижном
метре (а). Стрелки
гиря
динамо­
показывают
направления ускорений
покоятся; затем опустим быст­
ро руку с динамометром и гирей и снова остановим руку.
Мы увидим, что в начале движения, когда ускорение дина­
мометра
и гири направлено вниз,
110казание
динамометра
.меньше, а в конце движения, когда ускорение динамометра
115
..
и гири направлено вверх, больше, чем при неподвижном ди­
намометре (рис. 76). Qбъяснение этому дает второй закOI:
Ньютона. Если гиря, подвешенная к динамометру, остается
в покое, значит, сила упругости пружины динамометра, на­
правленная вверх, уравновешивает
силу
действующую на гирю
тяжести, направленную вниз, так что вес гири равен
силе тяжести. Но если гиря движется с ускорением, направ­
ленным вниз, это значит, что пружина динамометра дейст­
вует с меньшей силой, чем требуется для равновесия, т. е.
меньшей, чем сила тяжести; поэтому вес гири оказывается
меньшим,
чем при покоящихся динамометре и гире. На­
оборот, если· тело движется с ускорением, направленным
вверх, это значит, что пружина динамометра действует на
гирю с силой большей, чем сила тяжести; поэтому вес гири
будет больше, чем при покоящихся динамометре и гире.
Таким образом, хотя сила тяжести не зависит от того,
обладают ли весы и взвешиваеное тело ускорением относи­
тельно Земли, но вес тела оказывается зависящим от уско­
рения тела и весов. Поэтому при взвешивании на. весах
всегда необходимо учитывать, покоятся весы и взвешивае­
мое тело или имеют ускорение
*).
Хотя для покоящегося тела вес равен силе тяжести, эти
две силы нужно четко различать: сила тяжести приложена
к
саМОАЩ
телу;
пр"­
тягиваемому Землей,
а вес тела - к под­
весу (или подставке).
Кроме
взвешива­
ния
ных
тела, на пружинвесах
можно
применить
другой
способ взвешивания.
Он со.стоит В непо­
средственном
. Рис. 77. Сравнение веса тела и веса гирьэталонов на рычажных весах
нии
веса
тела
на
гирь
сравне­
и
веса
равноплечем
рычаге (рычажные весы, рис. 77). Равно­
плечий рычаг оказывается в равновесии, если на оба конца
его действуют одинаковые силы. Поэтому, если к концам
равноплечего рычага подвесить с одной стороны взвеши­
ваемое тело, а с другой
-
гири-эталоны,. подобранные так,
*) При взвешивании тел нас, как ПRавило, интересует не вес этих
тед, а их масса, (Примеч, ред.)
116
чтобы рычаг был в равновесии, то вес тела будет равен суммарному
.
весу гирь.
Рычажные весы позволяют взвеШИБать тела с гораздо
большей точностью, чем обычные пружинные Be~ы. Наиболее
точные
рычажные
весы
позволяют
производить
взвешива­
ние тел с точностью до 1·10-8 измеряемой величины.
Широко распространены также весы с неравноплечим.
рычагом (например, десятичные весы). Вес тела равен весу
гирь, уравновешивающих его на этих весах, умноженному
на отношение плеч рычага (у десятичных весов - на 10) ..
На таких весах можнq взвешивать большие грузы при по­
мощи
?
§ 56.
относительно малых
55.1.
гирь.
Станьте на площадку десятичных весов и уравновесьте
свой вес гирями. Затем быстро присядьте на корточки. Объясни­
те происходящие при этом изменения показаний весов.
55.2. Будет ли изменяться показание динамометра с подвешенной
гнрей, если двигать руку с динамометром равномерно вниз?
Масса и вес. мы видели
(§ 53),
что при' свободном па­
дении все 1ела, независимо от hX массы, падают. в данной
точке Земли с одинаковым ускорением g. Истолкование это­
го результата на основе второго закона Ньютона приводит
к очень важному выводу: если тело массы т движется под
действием силы притяжения Земли с ускорением
g, значит,
сила тяжести для данного тела равна
~
P=mg.
(56.1)
Сила тяжести nроnорциональна .массе rnела, .на которое.
она действует.
Если тело покоится, то вес тела а равен силе тяжести,
на него действующей. Поэтому можно написать, что вес
тела
O=mg
(мы написали формулу для модулей соответствующих век­
торов). Значит, для покоящихся тел их веса пропорцио­
нальны массам, так что для двух тел с массами
весами
mi
и та и
01 И Оа справедливо равенство
тl/т"=ОIIG.,.
(56.2)
Этим соотношением пользуются для сравнения масс тел при'
помощи рычажных или пружинных весов (§§ 43 и 55).
Однако ускорение свободного падения в различных точ­
ках Земли различно. Поэтому и вес одного и того. же тела
будет разным в различных точках земной поверхности. Вес
тела уменьшается при подъеме над поверхностью Земли
.
.
.tH
(на
0,0003
своего значения при подъеме на
1
км). Поэтому
сравнивать массы тел взвешиванием можно только при ус­
ловии, что оба сравниваемых тела находятся в одном месте.
В рычажных весах это условие выполняется само собой, но
в пружинных весах это условие может быть нарушено:
мы можем
проградуировать весы,
подвешивая
к ним
гири­
эталоны, в одной точке земного шара, а затем перевезти весы
в другое место и там подвесить измеряемую массу. Если
ускорения свободного падения в этих точках будут различ­
ны, то показания весов уже не будут в точности пропорцио­
нальны массам тел.
§ 57.
Плотность вещества. Мы уже отмечали
(§ 43),
что тела,
имеющие одинаковые объемы, но сделанные из различных
веще~тв, например из железа и алюминия, имеют различные
массы. Массы сплошных (Т. е. без пустот) однородных тел
(Т. е. тел, свойства которых, в частности материал, из кото­
рого они сделаны, во всех точках одинаковы) пропорцио­
нальны объемам тел. другими словами, отношение массы
тела к его объему является постоянной величиной, характер­
ной для данного вещества. Эту величину называют nлот1l0стью вещества. Будем обозначать ее буквой р. Согласно
определению
p=m/V,
(57.1)
где т и V - масса и объем тела, Можно также сказать, что
плотность равна массе единицы объема вещества. Зная плот­
ность вещества р и объем тела ~T, можно найти его массу т
по формуле
m=pV.
т аб л и ц а
Вещество
Пробка
Сосна
Бензин
Дуб
Спирт- этиловый
Лед
Парафнн
Вода
Графит-­
Бетон
118
1
1.
р,
Плотность некоторых -веществ
10'
КГ/М·
0,2{
0,48
0,70
0,80
0,80
0,90
0,901,00
2,10
2,20
11
Вещество
Стекло
Алюминий
Мрамор
Цинк
Железо
Латунь
Медь
Свинец
Ртуть
Золото
Iр.
10'
КГ/М'
2,50
2,70
2,70
7,14
7,80
8,50
8,90
11,40
13,60
19,30
За единицу
плотности
вещества, единица объема
принимается плотность такого
которого имеет массу,
равную
единице. Единицей плотности в СИ является килогра.м.м на
кубический ,М,етр (KГ/M~). В табл. 1 приведена плотность не­
которых твердых и жидких веществ. В слу.чаях, когда
вещество не 'имеет строго определенной плотности (дре-
. весина, бетон, беНЗИН), производилось округление дан­
ных.
§ 58.
Возникновение деформаций. Мы уже знаем, что силы
упругости
возникают
между
телами
только
в
том
случае,
если тела деформированы. Нить действует на тележку с не­
которой силой потому, что она растянута, паровоз толкает
вагон потому, что его буферные пружины сжаты, и Т. д.
Силы упругости определяются деформацией, причем по
мере увеличения деформации растут и силы упругости (§37).
Мы не могли раньше ответить на вопрос о nроисхожденuu
деформаций, потому что объяснить возникновение деформа­
ций можно, только зная З.аконы движения. Действительно,
деформации возникают потому, что
различные
части тела движутся
разному. Если
двигались
бы
все
части
одинаково, то тело
сохраняло бы
по­
тела
всегда
свою первоначальную
форму и размеры, т. е. оставалось бы
недеформированным.
Возьмем мягкую резинку для ка­
рандаша и нажмем на нее пальцем
(р·ис. 78). Палец, нажимающий на ре-
Рис. 78. При нажатии
зинку,
ся вниз, нижние оста­
перемещает
верхние
резинки; нижний слой,
столе,
слои
лежащий
остается' неподвижным,
на
так
пальцем верхние слои
резинки
ются
'Iеремещают-
неподвижными
как он соприкасается с
гораздо более жесткой, чем резинка, поверхностью стола.
Разные части резинки смещаются по-разному, и резинка
меняет свою форму: возникает деформация. Деформирован­
ная ре:шнка действует на соприкасающиеся с ней тела с не­
которой силой. Палец отчетливо чувствует давление резин­
ки. Если палец убрать, то резинка прймет прежнюю
форму.
Все тела, с которыми мы име.тi'и дело в наших опытах,
ведут себя подобным же образом: при возникновении в них
деформации они действуют на соприкасающиеся с ними тела
с силой, зависящей от деформации; при возвращении же
тела в недеформированное состояние действие силы прекра­
щается.
Такие силы,
как уже
было
сказано,, называют
119
упругими. Упругими называют и сами тела, в которых такие
силы возникают.
Существуют тела, со стороны которых силы действуют,
только пока происходит изменение формы и размеров тела;
когда же форма тела перестает изменяться, сила исчезает,
хотя тело остается в деформированном состоянии.' Таковы,
например, мягкая глина, нагретый Боек и т. п. Подобные те­
ла
называют nласmUЧ/-lblАШ.
Теперь рассмотрим подробнее, как именно деформируют­
ся тела и какие возникают в них силы упругости в разных
случаях: при воздействии сил, появляющихся при непосред­
ственном соприкосновении, и при действии силы тяжести.
При этом отдельно разберем случай, когда все силы, дей­
ствующие
на
тело,
взаимНо
уравновешиваются
и тело
ос­
тается в покое (либо движется по инерции; для простоты
будем говорить о покое тела), и отдельно
ренного
-
случай УСI\О­
движения.
§ 59. Деформации в покоящихся телах, ВЫЗВ31щые действи­
ем только сил, возникающих при соприкосновении. Будем
изучать возникновение деформаций в теле
простой формы,
например в бруске, к которому приложены силы, действу­
ющие вдоль него; тогда картина возникающих деформаций
проста. Пусть к копцам бруска приложены две равные по
F
О)
F
1
.-j:
F
11
:=J--F
F
~
о)
F
r
a)~:
~.
~
о)
79.
~
F\
E3
F
Е-=-----=4,,,
I
Рис.
F
f,>...
I
Силы упругости п расТНl1утом бруске
Рис.
Силы упругости
сжат~м бруске
80.
в
модулю силы F, направленные противоположно, как пока­
зано на рис. 79. Тогда силы взаимно уравновесятся, и бру­
сок в целом останется в покое. Но концы бруска начнут дви­
гаться под действием приложенных сил, и брусок начнет
деформироваться
-
растягиваться.
Разрежем мысленно брусок на две части, как показано
штриховой линией на
prrcYHKe (для наглядности «разрезан­
ные» части смещены друг относительно друга); так как эти
части деформированы, то они действуют друг на друга с
некоторыми силами упругости,
равными друг другу и про­
тивоположно направленными. Таким образом, силы упру­
гости
120
возникают
не
только
между
разными
телами,
но
и
между частями одного и того же тела. Очевидно, когда эти
силы упругости станут равными по модулю внешней силе
р, рзстяжение бруска прекратится и каждая часть его бу­
дет -находиться в равновесии под действием внешней силы и
силы упругости со стороны второй части бруска. Где бы
ни провести мысленно разрез, сила упругости, действующая
со стороны одной части на другую, будет всегда одна и та
же - равная по модулю силе Р. Значит, брусок будет рас­
тянут
равномерно: во всех его частях деформация будет
-
одна и та же, и силы упругости между частями
также од-
_
ни и те же по всей длине бруска.
Подобная же картина получится, если сжимать брусок
двумя равными силами, с той только разницей, что теперь
деформация бруска будет сжатием, а не растяжением, а
силы упругости будут не тянуть друг к другу обе чаёти
бруска, а отталкивать их друг от друга (рис. 80). Конечно,
на практике, растягивая жесткий (например, металличес­
кий) брусок, мы не сможем заметить его растяжение на глаз,
так как оно будет очень мало. Но если взять вместо жестко­
го бруска мягкую «модель бруска» - слабую цилиндричес­
кую пружину (такую пружину легко изготовить, например,
наматывая проволоку на карандаш), то деформации такой
модели будут велики и вся картина равномерного растяже­
ния станет наглядной. Для наглядности мы и в следующих
параграфах будем рассматривать BMe~TO деформации брус­
ка деформацию пружины. При действии тех же сил разли­
чие будет в том, что для пружины деформации будут гораз­
до больше,
чем для бруска, и их легко будет наблюдать.
§ 60. Деформации в покоящихся телах, вызванные силой
тяжести .. Рассмотрим, как возникают деформации, если
кроме сил,
возникающих
при
соприкосновении,
на
покоя­
щееся тело действует и сила тяжести.
Возьмем мягкую цилиндрическую пружину и медленно
опустим ее одним концом на стол. Пружина окажется сжа­
той (рис. 81). Происходит эта деформация следующим обра­
зом: после того как нижний виток пружины коснулся по­
в~рхности
стола,
этот виток
перестает
двигаться,
верхние
же витки пружины продолжают опускаться и приближают­
ся
к
нижним
виткам;
пружина
сжимается,
силы упругости; движение верхних
только тогда,
когда возникшая
в
и
ПОЯВЛЯЮТСЯ
витков· прекращается
результате
сжатия
сила
упругости будет в любом месте пружины действовать на
вышележащие ВИТки с силой, равной их весу. Но для этого
витки пружины должны быть сжаты тем сильнее, чем ниже
',121
они расположены, так как действующая с их стороны сила
упругости должна уравновешивать вес большегв числа
БИТКОВ.
Таким образом, при действии силы тяжести па покоя­
щееся на подставке тело оно оказывается деформированным
НI1pMHOMepHO,
шие силы
вдоль
а значит,
упругости
тела
также
и возник­
распределены
нераВIIомерно:
деформации и силы упругости наи­
более велики
внизу,
и
уменьшаются
до ну­
ля к верхнему, свободному
концу
постепенно
пружины.
у подставки,
пружи­
на, прикрепленная верхним KOHIt01vI
к подвесу, оказывается растянутой
Рис.
Точно так
8]. HepaBlloMep"oe
тие
(рис.
82),
же они к
же
сжа·
Рис.
82.
Неравномерное
растяжение лружины
ПРУЖIIНЫ
причем растяжение витков тем сильнее, чем бли­
подвесу.
Подобно пружине, всякое другое тело, опирающееся на
подставку или укрепленное на подвесе, ОI<азывается соот­
ветственно сжатым или растянутым. Именно потому, что те­
ло оказывается деформированным, оно действует с опреде­
ленной силой на подставку или подвес. На подставку или
подвес действует не сила тяжести (эта сила действует на
само тело), а сила, обусловленная деформацией тела; эту
силу и называют весом (ср. § 55). Сила тяжести является
лишь причиной возникновения деформаций.
Вместе с самим телом оказывается деформированиой и
подставка, на которой тело лежит (рис. 83), или подвес,
на котором оно висит. Растяжение пружины динамометра,
к крючку
которого подвешена гиря ,- это пример дефор­
мации подвеса. Сила, действующая на тело со стороны под­
ставки
или
подвеса,- это
формированных
122
сила
упругости
со
стороны
де­
подставки или подвеса. Тело оказывается
Рис.
83.
Проги6 опоры
в равновесии под действием этой силы упругости и силы тя­
жести, на него действующей. Каждая часть тела также на­
ходится в равновесии под действием силы тяжести и упругих
сил, действующих на данную часть тела со СТ,ороны приле­
гающих к ней частей тела.
,uеформации тела, испытывающего ускорение. Изучим
картину деформаций в теле, на которое действует сила, со­
§ 61.
общающая телу ускорение.
Картина деформаций сущест­
венно зависит от того, сообщает ли телу ускорение сила,
возникающая
вения,
в
например
результате
непосредственного соприкосно­
сила упругости со сторонЬ! другого тела,
или сила тяжести. Рассмотрим сначала первый случай.
Силы упругости, действующие со стороны деформирован­
ного ускоряющего тела, не могут сообщать ускорений внут­
ренним частям ускоряемого тела. Значит, ускоряемое тело
может начать двигаться
как целое только после того,
как
внутри него возникнут деформации, а вместе с ними и силы
упругости, которые сообщат внутренним частям тела тре­
буемое ускорение. Таким образом, тело, движущееся с ус­
корением под действием сил, возникающих при непосред­
ственном
соприкосновении,
во
всех
случаях
окажется
де­
формированным. Эти деформации и являются причиной воз­
никновения силы, действующей со CTOPO~Ы ускоряемого те­
ла на ,ооприкасающееся с ним ускоряющее. На оСНОВllНИИ
третьего закона Ньютона мы могли утверждать, что эта сила
«противодействия» должна быть равна по модулю и противо­
положна по направлению силе «действия», т. е. силе, уско­
ряющей тело. Но сейчас мы можем объяснить и физичес­
кую природу этой силы «противодействия»; она возникает
потому, что тело, ускоряемое силой непосредственного со­
прикосновения,
всегда
оказывается
деформирОванным.
Таким образом, силы «действия» ff «противодействия», В03ннкающие
в
результате
непосредственного
ния тел, имеют одну и ту же природу
-
соприкоснове­
это силы упругости.
Чтобы выяснить, какое распределение деформаций полу­
чается в ускоряемом теле, обратимся снова к примеру брус­
ка (или пружины). Итак, пусть сила при,ложена к одному
ИЗ концов TM<f, как показано на рис. 84. Снова представим
'В
себе, что брусок мысленно разрезан на две части. Сила упру­
гости, действующая со стороны части тела, к которой прило­
жена ускоряющая сила, должна сообщать ускорение ос­
тальной части тела. Но ускорен'ие всех частей тела
~
и то
же;
ближе
L-_ _ _ _ _ _ _ _ _--'
- одно
значит,
проведен
чем
раз-
d) .--------1.~
рез к месту приложе-
о)
шей части БРУС1{а­
а. значит, И тем боль­
шей массе - ДOJiжны
ния
Рис. 84. а) Распределение сил упругости
вдоль стержня, ускоряемого силой, при­
лоЖен ной к его конпу. б) Если вместо
жесткого
ну,
стержня
взять
мягкую
.
пружи­
то неравномерность деформаций вдоль
тела станет наглядной.
силы,
сообщить'
силы,
боль­
ускорение
силыI упругости. По­
этому наибольшая де­
формация и наиболь­
шая
появятся в точке приложения
тем
а
сила
вдоль
упругости
бруска,
по
направлению к его свободному' концу, деформация и сила
упругости будут убывать.
Такое распределение деформаций и сил упругости сходно
с их распределением в бруске, подвешенном за один конец
и находящемся под действием силы тяжести. Если бы уско­
рение, сообщаемое силой, равнялось g, то деформации и
силы упругости в обоих случаях в точности совпадали бы.
Если бы ускорение было вдвое больше чем g, силы упругости
Ба всех сечениях стержня также у ДБОИЛИСЬ бы; если бы уско­
рение было вдвое меньше, вдвое меньше были бы и силы
упругости. Но эти силы изменялись бы в каждом сечении в
одно и то же число раз, и значит, их распределение в теле
оставалось бы таким же
таI<ИМ, ка КОБО оно В ПОдВешенном
-
теле под действием силы тяжести.
-
Подобные же рассуждения применимы и в случае, когда
сила не «тянет», а «толкает». Но В этом случае нужно будет
m
N
Рис.
85.
I
]f
К упражнению
61.1
сравнивать деформации ускоряемого бруска с деформация­
ми бруска, расположенного вертикально и покоящегося на
подставке. ВЫВОДЫ, сделанные для первого случая, остают­
ся справедливыми и для: второго. Мы ограничились простей­
шим случаем- брусок, к одцому ИЗ торцов которого при­
ложена постоянная сила. В более сложных случаях будет
наблюда1'ЬСЯ -аналогичная
124
картина.
?
61. 1. «П~зд» из груsиков, соединенных пружинками, приводитсл в ускоренное движение постоянной силой (рис. 85). Сила
натяжения пружинки между груэиками 11 и 111 равна 10 Н.
•
Считая, что сила тяжести отсутствует, и пренебрегая массами
пружинок, найдите силу, действующую иа <<пое,ЭД» и его ускорение.
Исчезновение деформаций при падении тел. Совсем
§ 62.
иная картина получится в том случае, когда.. единственной
'силой, сообщающей телу ускорение, является сила тяжес­
т-и, т, е, когда тело свободно падает, Мы видели, что если
тело, на которое дейст­
вует
сила
коится
тяжести,
(для
этого
по­
ОНО
должно быть подвеI.Ilе.но
или поставлено
на
опо­
ру), оно оказывается де­
формированным (§ 60).
Но если тело начинает
свободно падать, напри­
мер, если пережечь нить,
на
которой
жина,
то
висит
можно
пру­
заме­
тить,
что деформация
пружины быстро исче­
зает и
пружина
остает­
ся внедеформированном
состоянии до конца сво­
бодного падения.
Легко объяснить, по­
J
2А
!В
Рис. 86. При пережигании нити ша­
рик А движется с ускорением, боль­
шим g, а шарик В - с ускорением,
меньшим g, л шарики сближаются;
деформация пружины исчезает
чему во время свобоДlЮГО
падения исчезает деформация, рассмотрев вместо пружины
тело, состоящее из двух масс, соединенных легкой пружиной
(рис.
86).
Пока тело висит на нити, прикрепленной к верх­
ней массе, нить и пружина растянуты; нить действует на
верхнюю массу (! силой, направленной вверх, пр ужина дей­
ствует на верхнюю массу с силой, I:Iаправленной вниз, а на
нижнюю - с силой,'направленной вверх. Силы эти таковы,
что они уравновешивают силы тяжести, действующие на
каждую из масс (массой пр ужины пренебрегаем), и обе. мас­
сы остаются в покое (пр ужина действует с силой, равной
весу нижней массы, а нить - с силой, равной весу обеих
масс).'
Пережжем нить, поддерживающую тело. Вначале на
обе массы, кроме силы тяжести, будут еще действовать
силы со стороны растянутой пружины. Так как сила, дей­
.ствующая
на верхнюю массу, нацравлена вниз, то верхняя
125
масса Jfачинает падать с ускорением БОльшим, чем ускорение
свеб@дного падения g. Наоборот, на нижнюю массу со сто­
рены пр ужины действует сила, направленная' вверх, вмед­
стеие чего нижняя масса будет падать с ускорением, мень­
шимg. Поэтому'верхняя масса будет догонять нижнюю, пру­
жина будет сжиматься, и сила, с которой она действует на
массы, уменьшаться.
Когда пружина сократится до нор­
мальной длины, она nepecTal;feт действовать на массы, и на
них будет действовать только сила тяжести. Поэтому обе
массы дальше будут падать с одинаковым ускорением, рав­
ным g, а пружина будет оставаться в иедеформированном
состоянии *).
Все сказанное о пружинах относится и ко всем упругим
телам. Пока упругое тело, на которое действует сила тяжес­
ти, прикреплено к подвесу, оно обязательно оказывается
деформированным. Когда же сила со стороны подвеса пере­
стает действовать, деформации исчезают, и при свободнем
падении тело оказывается в недеформированном состоянии.
Здесь сказывается принципиальное различие между силой'
тяжести, которая сообщает всем элементам тела одинаковое
ускорение, и силами, возникающими при непосредственном
соприкосновении, которые действуют только на те или иные
участки поверхности тела и поэтому, как было показано
выше, вызывают деформации ускоряемого тела.
Такая же картина исчезновения ~формаций будет и в
теле, начинающем свободно падать вместе с подставкой, на
которой оно покоилось, С той разницей, что первоначаль­
ная деформация будет сжатием, а не растяжением, как в
только что рассмотренном случае. Следует подчеркнуть, что
деформации падающего тела полностью исчезают только в
случае своБОДНОГ0 падения тела, когда никакие другие
силы, кроме силы тяжести, на падающее тело не действуют.
Если на тело действуют какие-либо силы, например сопро­
тивление воздуха, то деформации полностью не исчезают.
С полным или частичным исчеЗН0вением деформаций при
падении связано то ощущение, которое испытывает человек
при падении,- парашютист в начаЛ,е прыжка (до раскрытия
парашюта), пловец, прыгающий в воду, человек в лифте,
Iюгда лифт начинает быстро опускаться, и т. п. В нормаль­
ных УCJIовиях органы человека находятся в деформирован­
ном состоянии. При падении эти деформации исчезают или
,(при несвободном падении, как в начинающем опускаться
. .,)
в действительности дело обстоит HeCK~ЬKO сложнее, так как
при падении деформированной пружины возникают колебания,
.
126
лифте) ум~ньшаются. Отсутствие ПРИ8ЫЧНЫХ деформаций и
вызывает характерное ОЩУIЩ!ние,испытываемое при "рыж­
ке. Это ощущение есть кратковременное ощущение неве­
сомости
-
то
самое,
которое
космонавты
испытывают
во
все время орбитального полета в космическом корабле.
Разрушение движущихся тел. Все тела способны дефор­
мироваться только до известного предела. Когда этот "редел
достигнут, тело разрушается. Например, нить рвется, когда
§ 63.
ее удлинение превышает
известное значение;
пружина ло­
мается, когда она слишком сильно изогнута, и т. д.
Чтобы объяснить, лочему произошло разрушение тела,
нужно рассмотреть движение,
предшествовавшее разруше­
нию. Рассмотрим, например, причины разрыва нити в таком
V-t'/'//f4//A
,t
Рис. 88. Резко дернув за ниж­
Рис. 87. Если медленно натя­
гивать нижнюю НИ1Ъ, то обор­
.
нюю
нить,
оставив
ветел верхняя нить
можно разорвать
ее,
верхнюю нить целой
опыте (рис. 87 и 88). Тяжелый груз подвешен на нити; снизу
к грузу прикреплена нить той же прочности. Если медлен­
но тянуть нижнюю нить, то оборвется верхняя нить, на
которой висит 'Груз. Если же резко дернуть за нижнюю
нить, то оборвется именно нижняя, а не верхняя нить.
Объяснение этого опыта таково. Когда груз висит, то верх­
няя нить уже растянута до известной длины и ее сила натя­
жения уравновешивает силу притяжения груза к Земле.
Медленно натягивая нижнюю нить, мы вызываем перемеще­
иие груза вниз. обе нити при этом растягиваются, однако
верхияя нить оказывается растянутой сильнее, так как она
уже была растянута. Поэтому она рвется раньше. Если же
резко дернуть иижнюю нить, то вследствие большой массы
груза .он даже при значительной силе, действующей со сто­
роны
иити,
получит
лиш.
незначительное
ускорение,
и
поэтому за короткое время рывка .гру' не успеет прнобрести
,
-.
-"---
--~
-"--","'-
~n
заметную
ск()рость и.сколько-нибудь заме-тно переместить­
ся.- Практически груз останется на месте. Поэтому верхняя
нить больше не удлинится и останется цела; нижняя же
нить удлинится выше допустимого предела и ~борвется.
Подобным же образом происходят разрывы и разру~е­
ния движущихся тел и в других случаях. Чтобы избежать
разрывов
и
разрушения
при
резком
изменении скорости,
нужно применять сцепления, которые могли бы значительно
растягиваться, не разрушаясь. Многи~ виды сцеплений,
например стальные тросы, сами по себе такими свойствами
не обладают. Поэтому в подъемных кранах между тросом и
крюком ставят специальную пружину (<<амортизатор»),
которая
может значительно удлиняться,
не
разрываясь,
и
таким образом предохраняет трос от разрыва. ·ПеньковыЙ
канат, который может выдержать значительное удлинение,
не
нуждается
в
амортизаторе.
Так же разрушаются хрупкие тела, например стеклян­
ные предметы, при падении на твердый пол. При этом про­
исходит резкое уменьшение скорости той части тела, кото­
рая коснулась пола, и в теле возникает деформация. Если
вызванная этой деформацией сила упругости недостаточ­
на для того, чтобы сразу уменьшить скорость остальной
части тела до нуля, то деформация продолжает увеличивать"
ся. А так как хрупкие тела выдерживают без разрушения
только небольшие деформации, то предмет разбивается.
?
•
63.1.
Почему в момент, когда электроцоз рез.ко трогается с места,
иногда происходит разрыв сцепок вагонов поезда? В какой части
поезда скорее всего может произойти разрыв?
Почему хрупкие вещи при перевозке укладывают в стружки?
63.2.
§ 64.
Силы трения. Мы уже говорили
средственном
соприкосновении
тел
(§ 34),
помимо
что при непо­
сил
упругости
могут возникать силы и другого типа, так называемые силы
трения.
Наиболее характерная черта сил трения та, что
они препятствуют движению каждого из соприкасающихся
тел относительно другого или препятствуют самому возник-­
новению этого движения.
Особен·ности сил трения ПOI<ажем на следующих опытах.
Возьмем деревянное круглое тело с приделанньiми к нему
сбоку крючками (рис. 89) и положим eto на горизонталь­
ный стол. Тело будет давить на стол с силой цормального
давления
•
N *).
Зацепив за крючок кольцо динамометра,
"') Силой нормального давления называется перпендикулярная !<
плоскост:и составляющая силы, с КО1'ерой на плоскость действует соприкасающееся с ней тело,_ (Примеч. ред.)
.
128
расположим
динамометр горизонтально и потянем его, как
показано на рисунке. Пока сила, действующая со стороны
динамометра, достаточно мала, тело остается в поКое. Зна­
чит, кроме силы Р, действующей со стороны динамометра,
на тело действует еще какая-то сила
f,
уравновешивающая
первую. Это и есть сила трения; она действует со стороны
стола на тело и приложена
к
поверхности
их
соприкосно­
вения.
Рис.
89. Силы треиия I при различных направлениях силы Р, ПРИJrО­
. женной со стороны динамометра
Так как эта сила возникает, когда тело еще не скользит
по столу, то она называется силой трения покоя. Мы можем
немного увеличить силу F - тело все же останется в покое.
Это значит, что вместе с силой F увеличивается и сила тре­
ния покоя /, все время оставаясь равной приложенной силе.
Сила трения покоя
никогда не может быть больше прило­
женной силы: действительно, под действием силы
движе­
ние тела в направлении, противоположном силе р, Н!lкогда
не возникает. Но если мы еще увеличим силу Р, то в конце
f
f
яонцов тело получит ускорение и начнет скользить по столу
в направлении ~той силы. Значит, сила трения ПОКОЯ ока­
залась
меньше
приложенной
может увеличиваться
предела. Этот предел
силы
только до
-
-
сила
трения
покоя
некоторого определенного
наибольшую силу трения покоя
-
мы определим по показаниям динамометра непосредственно
перед моментом, когда только-только начнется скольжение.
Зацепив динамометр за другой крючок, мы можем ИЗ';Iе­
нить направление силы F (рис. 89); но и тогда, пока она не
превосходит указанного выше предела, тело не придет в ДВИ­
жение.
Значит,
одновременно с изменением направления
f.
силы F изменяется и направление силы трения покоя
Таким образом, и модуль и направление силы трения покоя
определяются модулем и направлением той внешней силы,
которую
5
она
уравновешивает: сила трения покоя равна по
Элементарный учебннк физнки, т. 1
129
м,одулю и противоположна по наllравленUlО той внешней
силе, которая стремится вызвать скольжение одного тела
по другому. Иначе говоря, сила трения покоя действует
на тело навстречу тому направлению,
в
котором возникло
бы скольжение, если бы сила трения покоя отсутствовала.
Обычно, когда говорят о силе трения покоя, имеют в
виду наибольшее значение этой силы. Посмотрим, как за­
висит это наиБО.JIьшее значение от силы, с которой сопри­
касающиеся тела давят друг на друга. Будем нагружать
тело гирями различных масс и повторять определение наи­
большей силы трения покоя. Мы увидим, что при измене­
нии силы N, с которой тело давит на стол (теперь эта сила
будет равна по модулю сумме сил тяжести, действующих па
брусок и гири), сила трения ПОКОЯ изменяется примерно
nроnорционально силе N, так что приближенно
f=ttN,
где
tt -
(64.1)
постоянная величина. Эту величину, равную отно­
шению силы трения между данными поверхностями к силе,
с которой тела прижимаются друг к другу, называют КО8ффициентом трения покоя:
tt=f/N.
(64.2)
Для разных материалов коэффициенты трения различ­
ны. Из определения ВИДНО, что коэффициент трения не за­
висит от выбора системы единиц.
На практике коэффициент трения для данных материалов
определяют по формуле (64.2), измеряя отдельно силу тре­
ния и силу нормального давления тел друг на друга. Так
как кьэффициенты трения покоя зависят от вещества обоих
тел, то их приходится определять для каждой из различных
пар материалов (трение железа по дереву, железа по железу
и т. п.). Коэффициент трения не является строго постоянной
величиной для данной пары веществ и зависит от свойств
поверхностей.
Гладкая
обработка
поверхностей
сильно
уменьшает коэффициент трения.
Увеличим теперь силу F как раз настолько, чтобы тело
начало_скользить,
и после того,
как оно начало двигаться,
подберем внешнюю силу так, чтобы тело скользило по по­
верхности стола равномерно. Это будет значить, что возни­
кающая при скольжении сила трения (сила трения СКОЛЬ­
жения) равна приложенной силе. Измеряя приложенную
силу,
поддерживающую
равномерное
скольжение тела
по
поверхности, мы увидим, что она обычно бывает меньше си­
лы, требуемой для того, чтобы сдвинуть тело с места: сила
130
трения скольжения может быть меньше, чем сила трения
n,oкоя.
По аналогии с коэффициентом трения покоя вводится
коэффициент трения скольжения, который определяетс..,q
по той же формуле
трения
'(64.2),
где под
f
подразумевается сила
скольжения.
Легко убедиться на опыте, что сила трения скольжения
также зависит от рода трущихся поверхностей И, так же
как
и сила трения
покоя,
увеличивается
при
увеличении
силы нормального давления тел друг на друга. При увели­
чении скорости, но неизменной силе нормального давления
сила трения скольжения обычно не остается постоянной. Это
значит, что коэффициент трения скольжения зависит и от
скорости
скольжения
одного
трущегося тела оТносительно
другого. Для многих задач, однако, можно пользоваться
некоторым средним значением коэффициента трения сколь­
жения. При весьма малых скоростях его можно считать
равным коэффициенту трения покоя.
Даже при большой силе, прижимающей трущиеся тела
друг к другу, они всегда соприкасаются не по всей поверх­
ности, а только на отдельных участках. Это объясняется
микроскопическими
неровностями
поверхности
тела,
оста­
ющимися даже при тщательной обработке поверхности.
Поэтому силы трения действую~ только между этими от­
дельными участками. Между соприкасающимися участками
возникают
силы
сцепления,
которые
при
скольжении
те.'1
направлены в сторону, обратную скольжению. Для умень­
шения сил трения скольжения применяется смазка. Смазка
состоит в том, что между двумя сопри.<асающимися тверды­
ми поверхностями вводится слой жидкого масла, изменяю­
щий
условия
соприкосновения
и
уменьшающий
трение.
§ 65. Трение качения. Возьмем деревянный цилиндр и поло­
жим его на стол так, чтобы он касался стола по образующей.
В центры оснований цилиндра вставим концы проволочной
Вилки И прикрепим к ней снабженный очень легко растяжи­
мой пр ужиной и, следовательно, очень чувствительный ди­
намометр (рис. 90). Если тянуть за динамометр, то цилиндр
покатится по столу. По показаниям динамометра увидим,
что нужна весьма небольшая сила тяги, чтобы сдвинуть с
места
цилиндр
и катить его равномерно дальше,- гораздо
меньшая, чем при скольжении того же цилиндра, если бы он
не мог вращаться и скользил бы по столу. Сила, действую­
щая со стороны стола на катящийся по нему цилиндр, на­
зывается силой трения качения. При той же силе давления
131
на
стол
сила
трения качения
много
меньше силы
трения
скольжения. Например, при качении стальных колес по
стальным рельсам трение качения примерно в 100 раз мень­
ше, чем трение скольжения. Поэтому в машинах стремятся
Рис.
saменить
так
трение
называемые
90.
Измерение трения
скольжения
трением
шариковые,. или
качения
качения,
роликовые
г.рименяя
подшипники.
На рис. 91 изображен один из таких подшипников.
Происхождение трения качения можно наглядно пред­
ставить себе так. Когда шар или цилиндр катится по по­
верхности другого тела, он немного вдавливается в поверх­
ностьэтого тела, а сам немного сжимается. Таким образом,
Рис.
91.
Шариковый
Рис.
подшипник
92.
Деформации при ка·
чении
катящееся тело все время как бы вкатывается на горку (рис.
Вместе с тем происходит отрыв участков одной поверх­
ности от ДРУГОЙ, а силы сцепления, действующие между
этими поверхностями, препятствуют этому. Оба эти явления
и вызывают силы трения ]{ачения. Чем тверже поверхнос­
92).
ти, тем меньше вдавливание и тем меньше трение качения.
§ 66.
Роль сил трения. Все движения соприкасающихся тел
друг относительно друга всегда
происходят с трением: ось
колеса испытывает трение в подшипнике, а его обод
-
тре­
ние о рельс; дверь открывается со скрипом, свидетельству­
ющим о трении в петлях; шарик, катящийся по горизонталь-
132
НОМУ столу, останавливается под действием сил трения ка­
чения. Когда мы изучаем движение какого-нибудь тела и
исключаем из рассмотрения трение, то мы,
упрощая зада­
чу, одновременно в той или иной степени искажаем дейст­
вительное положение вещей. Во всех опытах, которые мы
приводили для иллюстрации законов движения, мы предпо­
лагали, что трение отсутствует. В действительности же силы
трения всегда влияют в большей или меньшей степени на
характер
движения.
Роль трения не всегда ограничивается торможением дви­
жений тел. Во многих случаях движение, например ходьба,
становится возможным только благодаря действию сил тре­
ния, в частности трения покоя. При ходьбе мы ставим ноги
на землю таким образом, что они должны были бы сколь­
зить назад, если бы силы трения покоя не существовало
(действительно, когда мы пытаемся идти по гладкому льду,
то ноги скользят назад). Так !{ак сила трения покоя дейст­
вует
в
направлении,
противоположном
тому,
в
котором
должно было бы возникнуть скольжение, то возникает
сила трения покоя, направленная вперед. Она и сообщает
телу человека ускорение вперед.
Примерно так же обстоит дело и во всех самодвижущихся
экипажах (велосипед, автомобиль, электровоз). Двигатель
экипажа вызывает вращение ведущих колес. Если бы сила
трения покоя отсутствовала, то экипаж оставался бы на месте
и колеса начали бы буксовать, так что точки колеса, прика­
сающиеся в данный момент к земле или рельсам, проскаль­
зывали бы назад. Возникающая сила трения покоя, дей­
ствующая на колеса со стороны земли, направлена вперед и
сообщает экипажу ускорение либо, уравновешивая другие
силы, действующие на экипаж, поддерживает его равно­
мерное движение. Если эта сила трения недостаточна (на­
пример, на льду), 10 экипаж не ДВИЖelСЯ, а колеса буксуют.
Наоборот, если у ДБижущегося экипажа, колеса которого
вращаются,
замедлить
рости самого экипажа,
вращение
то в
колес,
не
замедляя
отсутствие сил трения
ско­
колеса
начали бы скользить по земле вперед; значит, в действитель­
ности возникает сила трения, направленная назад. На этом
основано действие тормозов.
Если к электровозу прицеПJlен
состав, то, как только
электровоз двинется вперед, сцепка растянется и возникнет
сила упругости сцепки, которая будет действовать на
состав: это и есть сила тяги. Если увеличить силу, действую­
щую со стороны двигателя
на колеса, то увеличится и сила
трения покоя, а значит, и сила тяги. Наибольшая сила тяги
133
равна наибольшей силе трения покоя ведущих колес. При
дальнейшем увеличении сил со стороны двигателя колеса
начнут
проскальзывать
и
тяга
может
даже
уменьшиться.
Не менее важную роль играют силы трения покоя и в не­
самодвижущихся экипажах. Рассмотрим подробнее движе­
ние лошаДи,тянущей сани (рис. 72). Лошадь ставит ноги и
напрягает мускулы таким образом, что в отсутствие сил тре­
ния покоя ноги скользили бы назад. При этом возникают
силы трения покоя
направленные вперед. На сани же,
которые лошадь тянет вперед через постромки с силой Fi,
/2'
со стороны земли действует сила трения скольжения f."
направленная назад. Чтобы лошадь и сани получили уско­
рение, необходимо, чтобы сила трения копыт лошади о
поверхность дороги, бы.тrа больше, чем сила трения, дейст­
вующая на сани. Однако, как бы ни был велик коэффициент
трения подков о землю, СИJrа трения покоя не может быть
больше той СИЛЫ,которая должна была вызвать скольже­
ние копыт (§ 64), т. е. силы мускулов лошади. Поэтому даже
тогда, когда ноги лошади не скользят, все же она иногда не
может сдвинуть с места тяжелые сани. При движении (ког­
да началось ско.тrьжение) сила трения несколько уменьшает­
ся; поэтому часто достаточно только помочь лошади сдвинуть
сани с места, чтобы потом она могла их везти.
?•
66.1.
§ 67.
Сопротивление
Объясните
одного
внутри
шкива
жидкости
роль
сил
к другому
или
трения
при
посредством
передаче движения
приводного
от
ремня.
среды. Если твердое Te.тro находится
газа,
то вся
его
поверхность
сопри­
касается с частицами жидкости или газа. При движении
тела на него со стороны жидкости или газа действуют силы,
направленные навстречу движению. Эти силы называют си­
лами соnротuвления среды. Как и силы трения, силы соп­
ротив.тrения среды всегда направлены nротив движения.
Сопротивление среды можно рассматривать как один из
видов
трения.
Особенностью сил трения в жидкости или газе является
отсутствие трения покоя. Твердое Te.тro, лежащее на другом
твердом теле, может быть сдвинуто с места, только если к
нему при.тrожена достаточно большая сила, превосходящая
наибо.тrьшую си.тrу трения покоя. При меньшей силе твердое
тело с места не сдвинется, сколько бы времени эта сила
ни действовала. Картина получается иной, если тело на­
ходится в жидкости. В этом случае, чтобы сдвинуть с места
тело, достаточно сколь угодно малых сил: хотя и очень мед­
ленно, но тело начнет двигаться (рис.
134
67).
Человек вообще
юшогда не сдвинет с места руками
}{амень массы сто тонн.
В то же время баржу массы сто тонн, плавающую на воде,
один человек, хотя и очень медленно, но все же сможет дви­
гать
(§ 44).
Однако по мере увеличения скорости сопротив­
ление среды сильно увеличивается, так что, CKC'..JIbKO бы вре­
мени данная сила ни действовала, она не сМожет разогнать
тело до большой скорости.
Рассмотрим теперь, как сопротивление среды влияет на
падение тел в воздухе.
§ 68.
Падение TeJI в воздухе. При падении в воздухе тело
массы т движется под действием двух сил: постоянной силы
тяжести mg, направленной вертикально вниз, и силы сопро­
тивления воздуха/, увеличивающейся по мере падения и
направленной вертикально вверх. Равнодействующая силы
тяжести и силы
сопротивления
воздуха равна их сумме и
в начале падения направлена вниз.
Пока скорость падающего тела еще мала, невелика и си­
ла сопротивления воздуха; но по мере того, как возрастает
скорость падения, эта сила быстро растет. При некоторой
скорости сила / становится равной по модулю силе mg, и
дальше тело падает равномерно. Скорость такого падения
называют предельной скоростью падения. Предельная ско­
рость тем больше, чем сильнее разрежен воздух. Поэтому
тело, падающее с очень большой высоты, может в разрежен­
ных слоях атмосферы приобрести скорость, б6льшую пре­
дельной скорости для нижних (плотных) слоев. Войдя в
нижние слои атмосферы, тело снизит свою скорость до зна­
чения предельной скорости для нижних слоев.
?
68.1. Де(j:'орыировзно ли тело, падающее с предельной скоростью?
Предельная скорость падения зависит, помимо плотнос­
ти атмосферы, от формы и размеров тела и от силы притяже­
ния тела Землей. Тела малого размера, например мелкие
капли воды (туман), пылинки, снежинки, быстро достигают
своей предельной скорости (порядка миллиметра в- секунду
Ц меньше) и ,затем с этой малой скоростью опускаются вниз.
Свинцовый шарик массы 10 г достигает при падении с до­
статочной высоты предельной скорости 40 м/с. Капли дож­
дя падают со скоростью, обычно не превышающей 7-8 м/с;
чем меньше капля, тем меньше и скорость ее падения; если
бы капли дождя падали в безвоздушном пространстве, то
при падении на землю с высоты 2 км они достигали бы, не­
зависимо от их размеров, скорости 200 м/с; такой же СКО-
135
рости при падении с той же высоты в безвоздушном прост­
ранстве достигло бы и всякое другое тело. При такой ско­
рости удары капель дождя были бы весьма неприятны!
Различие в предельной скорости разных тел ОДlIнаковоii
формы, но разных размеров объясняется зависимостью со­
противления среды от размеров тела. Оказывается, что со­
противление приблизительно пропорционально площади
поперечного сечения тела. При одной и той же форме тела
из данного материала площадь его поперечного сечения,
значит и
сила
духа, растет с
ров
увеличением
медленнее,
площадь
30F
сопротивления
чем
сила
а
воз­
разме­
тяжести:
поперечного сечения
рас­
тет как квадрат размера, а сила тя­
жести
-
пример,
как куб размера тела. На­
чем
бомба, тем
скорость
стью
и
она
больше
больше
авиационнан
предельная
тем большей скоро­
с
ее
достигает
земли.
Наконец, сопротивление возду­
ха
сильно
тел (рис.
зависит
и
см. также
93,
от
формы
§ 190).
Фю­
зеляжу самолета придают специаль­
Рис.
Сопротивление
93.
воздуха при движении
ла
30
те­
каплевидной формы в
раз меньше сопротив­
ления при движении круг­
лой пластинки и в
меньше
5
раз
сопротивления
при движении шарика
то­
го же поперечного сечения
ную обтекаемую форму, при кото­
рой сопротивление воздуха мало.
Наоборот, парашютист должен до­
стигать земли с небольшой скоро­
стью. Поэтому парашюту придают
такую форму, при которой сопро­
тивление воздуха его движению бы­
ло бы возможно больше. Предель­
ная
скорость
раскрытым
ет
5-7
падения
человека
парашютом
с
состав,'IЯ­
м/с. Достижение предельной скорости парашютис­
том происходит иначе, чем при простом падении тела. Вна­
чале
парашютист
падает
малого сопротивления
с
закрытым
парашютом
и
ввиду
воздуха достигает скорости в десят­
IШ ~1eTpOB в секунду. При раскрытии парашюта сопротив­
ление воздуха резко возрастает и, превосходя
во много раз
силу тяжести, замедляет падение до предельной скорости.
Сопротивление
ния
тел,
воздуха
брошенных
вверх.
изменяет
При
и
характер движе­
движении
тела вверх
и сила земного притяжения, и сила сопротивления воздуха
направлены вниз. Поэтому скорость тела убывает быстрее,
чем это происходило бы в отсутствие воздуха. Вследствие
136
этого тело, брошенное вверх
с начальной скоростью
vv ,
не достигает высоты JL=v~/2g (как это было бы при отсутст­
вии сопротивления) и уже. на меньшей высоте начинает
падать обратно. При падении сопротивление воздуха умень­
шает нарастание СКQРОСТИ. В результате тело, брошенное
вверх,
всегда возвращается
назад с меньшей скоростью,
чем оно было брошено. Таким образом, при падении на землю
средняя
скорость
движения
меньше,
чем
при
подъеме,
и
поэтому время падения на землю больше времени подъема.
Влияние сопротивления воздуха особенно велико при
больших скоростях (так как сила сопротивления быстро
растет со скорОСтью). Так, например, при выстреле из вин­
товки вертикалы:о вверх пуля, вылетающая с начальной
скоростью
600
м/с, должна была бы в отсутствие воздуха
достичь высоты, равной
6002 м 2 /с 2
2.10 м/с2 = 18 000 м.
В действительности пуля достигает высоты только 2-3 км.
При падении обратно скорость пули возрастает лишь до
50-60 м/с. С этой предельной скоростью пуля и достигает
земли.
г
n
.э в а
111.
СТАТИКА
Задачи статики. ~ знаем, что всякое тело под влия­
нием сил, действующих со стороны других тел, вообще гово­
§ 69.
ря,
испытывает ускорение;
в
частности,
покоившееся
тело
приходит 'в движение. Однако в некоторых случаях тело,
находящееся под действием нескольких сил, все же может
оставатЬся в покое. Так, мы видели (§ 35), что если на покоя­
щееся тело действуют одновременно две силы,
равные по
модулю и направленные по одной прямой в противополож­
ные стороны, то тело не испытывает ускорении и может
оставаться в покое. В других случаях
условия покоя тела при действии на
него сил оказываются более сложными.
Изучение этих условий, т. е. условий
равн,овесия тел (или,
иначе, условий
равновесия сил), и составляет задачу
статики.
Таким образом, статика, прежде все­
го, позволяет определить условия равно­
весия всех разнообразнейших сооруже­
ний, которые мы создаем: зданий, мос­
тов, арок, подъемных кранов и т. д. Но
Рис.
tr
94.
этим не исчерпывается практическое зна­
Чтобы груз
ПОДНИММIСЯ, сила Т
должна быть бо.%ше
силы тяжестиР,деЙ·
ствующей
на груз
чение статики.
Статика позволяет дать
ответ и на некоторые вопросы, касающие­
ся движен,ия тел. Пусть, например, на
конце веревки, перекинутой через блок,
висит груз, на который действует сила
тяжести Р (рис. 94). Пользуясь методами
статики, мы можем определить силу Т, с которой нужно
действовать на другой конец веревки, чтобы груз находил­
ся в покое,- эта сила должна быть равна силе тяжести Р.
Но Этот ответ содержит в себе нечто большее, чем условия
равновесия груза. Он дает указание на то, что нужно сде­
лать, чтобы груз поднимался вверх: ДЛЯ этого достаточно
138
приложить I{ другому концу веревки силу, немного ооль­
шую силы Р. Следовательно, статика дает указания не толь­
ко <Jб условиях равновесия тел, но и о том, в l<aKoM направ­
лении возникнет движение,
если равновесие сил нарушено
определенным образом.
Статика с самого начала развивалась как раздел меха­
ники, который давал ответы на простейшие вопросы, каса··
ющиеся не только равновесия, но и движения тел. Уже в
древности
возникали
вопросы,
связанные
с
применением
различных механических приспособлений (рычага, блока
и т. д.) для поднятия и передвижения грузов. Поэтому строи­
телей и в те времена интересовали не только условия рав­
новесия груза, но и условия, при которых груз двигался бы n
определенном направлении, например поднимался. И стати­
ка
имела
практическое
значение
для
инженера древности
главным образом потому, что она была в состоянии отве­
тить на этот вопрос. Правда, статика ничего не может ска­
зать о том, как быстро будет подниматься груз. Но вопрос о
скорости
движения для
инженера
древности
не
играл
су­
щественной роли. Только гораздо позднее, когда стали ин­
тересоваться вопросами производительности машин (§ 108).
задача о скорости движения различных механизмов приобре­
ла практический интерес и статика стала недостаточной ДЛЯ
удовлетворения запросов практики.
§ 70.
Абсолютно
твердое
тело. Почему груз, лежащий на
столе, остается в покое, несмотря на то, что на него дейст­
вует сила тяжести? Очевидно, кроме силы тяжести. на груз
действуют другие силы, уравновешивающие силу тяжести.
Что же это за силы?
.
Ответ на этот вопрос мы уже знаем: снизу вверх на груз
действует с силой упругости стол; эта сила возникает пото­
му, что стол деформирован. Деформация ясно видна, если
в качестве опоры для груза взята тонкая гибкая дощечка
(рис. 83); для нее сила, равная силе тяжести. действующей
на груз, возникает только при сравнительно большом про­
гибе. У значительно более жесткого стола прогиб, необхо­
димый для
уравновешивания
силы тяжести,
значительно
меньше и незаметен при обычном наблюдении. Однако при
достаточно тонких способах наблюдения и такой малый
прогиб можно сделать заметным. Например, если на столt::
стоят зеркала,
(рис.
95),
отражающие узкий пучок света на стену
то в результате изгиба l<рЫШКИ стола под действи­
ем груза зеркала слегка наклонятся и зайчик переместится
по стене. В случае e~e более жесткого стола или, например,
139
массивной стальной плиты непосредственное наблюдение
формации, вызванной небольшим грузом, станет еще
труднительнее. Однако мы можем быть уверенными, что
которая деформация произошла, ибо только благодаря
де­
за­
не­
ей
возникает со стороны плиты упругая сила, уравновешиваю­
щая силу тяжести груза.
Хотя деформация в этих случаях
g§
;::::::
Рис.
различна,
95.
но
Оптический метод определения малого I1рогиба
возникающая
упругая
сила
одна
и
та
же:
это видно из того, что в обоих случаях данный груз поко­
ится.
На практике постоянно встречаются тела, в которых при
обычных условиях возникают лишь очень небольшие де­
формации. Только такие тела пригодны для изготовления
частей машин, для строительства и т. п. В большинстве слу­
чаев нас интересует не деформация сама по себе, а только
сила, обусловленная этой деформацией. А сила, как было
указано, для тел различной жесткости и по-разному дефор­
мированных (например, дощечки и стола) оказывается одной
и той же. Мы можем вообразить тело настолько жесткое,
что в нем необходимые силы возникают при сколь угодно
малых деформациях. Поэтому мы можем реальное тело за­
менить воображаемым абсолютно твердым телом, которое
совершенно не деформируется.
Понятно, что абсолютно твердых тел в природе не су­
ществует. Тем не менее представление о таком воображае­
мом теле оказывается очень полезным. Считая, что в нем
возникает необходимая сила, мы можем не учитывать его
деформацию. В частности, в дальнейшем будем считать
абсолютно жесткими части простых машин: рычаги, бло-
ки, КЛИНЬЯ, винты н т. д. Точно так же будем счита"ть абсо­
лютно нерастяжимыми нити,
тросы и т. д.
Перенос точки приложения силы, действующей на твер­
дое ТeJlО. В § 35 мы видели, что равные по модулю силы,
§ 71.
действующие вдоль одной прямой в противоположные сто­
роны, уравновешивают друг друга. При этом несуществен­
но, к I<акой именно точке тела на этой прямой приложены
~
П~ о<->=­
-=:-10
О)
-=:~>O
~ O<~?==+"
1fC!C33J
о)
Рис. 96. а) В точках А и В к телу приложены равные по модулю силы
F 1 И F 2 противоположного направления; в теле возникает деФормация
и появляются упругие силы F~ и F 4 " б) При перенесении силы F 1 из
точки А в точку А равновесие не нарушается
силы. Так, на рис.
телу
равных
по
96
показаны два случая приложения к
модулю
и
противоположно
направленных
сил Fi и F 2 , действующих вдоль одной прямой. Оба случая
различаются только точкой приложения силы Fi (А или А');
в обоих случаях тело остается в равновесии.
Таким образом, в случае равновесия двух сил точку
приложения силы можно
переносить вдоль ее направления,
не нарушая равновесия твердого тела. Опыты
что такой перенос не меняет действия силы
случаях. Например, одна сила, приложенная
зовет одно и то же ускорение тела как целого,
показывают,
и в других
к телу, вы­
где бы ее ни
приложить.
Точку nрuложения силы м,ОЖIiО nереliосить вдоль ее lianравленuя, lie меняя действия силы на тело в целом,. Мы мо­
жем не только в действительности переносить точки прило­
жения сил, но можем производить эту оперцию и мысленно
для того, чтобы упростить рассуждения при решении тех
или иных задач. Этим приемом часто пользуются как для
определения условий равновесия, так и при изучении дви­
жений твердого тела.
141
Хотя перенос точек приложения сил не меняет их дей­
ствия на тело в целом, такой перенос изменяет распределе,
ние деформаций и сил упругости в реальном теле. В .самом
деле,
в
рассматриваемом примере,
когда
силы приложены
,к
точкам А и В, они вызывают деформацию тела: в области
между точками А и В, возникает растяжение и появляются
силы упругости F s и F 4 , которые действуют между частями
тела, уравновешивая приложенные извне силы Fi и F 2,
И прекращают дальнейшие деформации. Если же сила F 1
приложена в точке А', то растяжение захватывает уже об­
ласть от точки А' дО точки В. Однако в обоих случаях упру­
гие силы Fз и F 4 возникают уже при ничтожных деформа­
циях, а так как мы не обращаем внимания на деформацию
(рассматрйваем тело как абсолютно твердое), то различие
в деформациях роли не играет.
§ 72.
Равновесие тела под действием трех сил.
В
§ 41
мы
нашли условие равновесия тела, находящегося под дейст­
вием трех сил,
расположенных под углом друг
к другу и
приложенных к одной точке. Оказалось, что для этого все
три СИ.1Ы должны лежать в одной плоскости и 'каждая из
них должна равняться
по моду­
лю и быть обратной по направ­
лению равнодействующей дпух
других
сил.
Но на практике часто
\
о
6
оказываются
силы
приложеННЫМII
11.
не
,F'z.'
о
Fs
Рис.
98.
Точка пере.
вий равновесия твердого тела
сечения
уравнове­
под действием трех сил, при·
шивающихся
сил
ложенных
может
вне
97.
Иссдедование ус.'Ю­
к
разным
тела
точкам
Рис,
лежать
те.1а
в одной точке. Выясним, каковы будут условия равно­
весия в этом случае. Для этого воспользуемся таким же
устройством с тремя гирями, какое мы применяли в
142
§ 41,
с той разницей, что нити, на которых подвешены гири, бу­
дем прикреплять к разным точкам
куска легкого картона,
как показано на рис. 97. Если масса картона мала по срав­
нению с массами гирь, то силой тяжести, действующей на
картон, можно пренебречь и считать, что к нему при.1IOжены
только силы натяжения нитей. Опыт покажет, что при рав­
новесии все нити (а значит, и силы, действующие на картон)
расположатся в одной плоскости. Отмечая на картоне ли­
ШIИ, указывающие направления нитей, и продолжая их до
пересечения, убедимся, что все три линии пересекаЮ1СЯ в
одной точке. Перенося в нее точки приложения всех трех
сил натяжения нитей, убедимся, что и в этом случае условие
равновесия трех сил, сформулированное выше, оказывает­
ся
БЫПОJ1НElННЫМ.
Заметим,
что точка
пересечения
направлений сил не
должна при этом обязательно лежать в самом теле (рис. 98).
'- ~Если на тело действуют больше
чем три силы, то равновесие может
наступить и в том случае, когда си­
лы не
лежат
.в
одной
плоскости.
Такой случай (груз, подвешенный
на трех тросах) показан на рис. 99.
р
Рис.
99.
Люстра находит­
Рис.
100,
К упражнению
72.2
ся в равновесии под дей­
ствием четырех сил, не ле­
жащих в одной плоскости
?
72.1. Докажите, что при равновесии трех сил ломаная, состав­
ленная из них, образует -треугольник.
Груз массы 5 кг подвешен на двух нитях: одна расположена
горизонтаJIЬНО, другая - под углом в 450 к горизонту (рис. 100).
Найдите силы натяжения нитей.
72.2.
72.3.
Судно пришвартовано к берегу двумя тросами, образующи­
ми с линией берега угол
600 (рис. 101). Под действием ветра,
дующего с берега, оба троса натянулись так, что сила натяжения
каждого троса состаВ.'lяет 10 кН. Определите силу, с которой
ветер
давит
на
судно.
143
Рис.
101.
К упражнению
72.3
IПкг
Рис.
72.4.
102. К упражнению 72.4
На проволоке подвешен груз ыассы
волоки прикреплена
10
кг; к середине ЩJO­
горизонтально расположенная оттяжка, пе­
рекинутая через блок
(рис.
102).
На конец оттяжки
подвешен
груз массы 2,5 кг. Найдите угол 0:, который образует верхняя
часть проволоки С вертикалью, и силу натяжения верхней части
ПРОВОЛОКИ.
§ 73.
Разложение сил на состав.r.яющие. Мы уже знаем,
как отыскать равнодействующую двух или нескольких за·
данных сил, направления которых пересекаются.
144
Не менее важна для практики задача о разложении силы
на составляющие,
т.
е.
задача
отыскания
нескольких
равнодействующей которых была бы данная сила
'2ил,
Эта за­
дача может приводить к различным решениям, подобно то­
му
как это имеет место при
перемещения,
разложении
на составляющие
которое также является векторной величи­
ной. Чтобы задача о разложении силы стала определенной
(т. е. имела бы только одно решение), необходимы дополнительные указания. Например,
С
если заданы модуль и направле-
ние одной из составляющих или
два направления, по которым
должны действовать составляющие, и т. п., то операция разло-
................. ....
F
........
А &,._ _ _;....----i"';'"
жения силы на две составляющие
становится вполне определенной
и
сводится
рическому
к
простому
геомет­
построению.
Пусть, например, мы
хотим
Рис. ] 03. Разложение силы
по заданным направлениям
F
АВ и АС
разложить силу F на две со­
ставляющие, лежащие в одной
плоскости с F *) и направленные вдоль прямых АВ и АС
(рис. 103). Для этого достаточно из конца вектора, изобра­
жающего силу Р, провести две прямые, параллельные АВ
и АС. Отрезки Fi и F 2 изобразят искомые силы.
Обычно в механических задачах содержатся указания
на то, как целесообразнее разложить силу на составляющие.
р
Рис.
104.
Чем больше угол ВАС между тросами, тем больше силы натя­
жения
тросов
Часто условия задачи прямо указывают те направления, по
которым нужно найти составляющие данной силы. Напри­
мер, чтобы отыскать силы натяжения тросов, на которых
висит груз, нужно силу тяжести Р, действующую на груз,
разложить на составляющие P 1 и Р2 по направлениям этих
тросов (рис. 104). Силы натяжения тросов должны уравно­
весить эти составляющие. Из рисунка видно, что чем
*)
Иначе разложение невозможно,
145
больше угол между "тросами, тем
больше ОКаЖУТСЯ силы натяжения
тросов. Поэтому если расстояние
между
опорами тросов
велико,
то
даже небольшой груз, если он ви­
сит
немного ниже
опор,
вызывает
очень большое натяжение
тросов.
Этим объясняется, почему гололед
или
иней
иногда
натянутые
обрывает
туго
провода.
При разложении силы на три
или большее' число составляющих
Рис. 105. К упражнению
73.1
увеличивается и число условий,
необходимых для того, чтобы разло­
жение было выполнено однозначно.
?
На рис. 105 показаllа часть ГОРИЗОl!Тально растянутой сети.
Участок АВ натянут с силой 10 Н. Каковы силы натяжения
Y'jaCTKOB ЕС, СО, CD, DE?
73.1.
•
Проекции СИ.Т;. Общие условия равновесия. Силу, как
и всякий другой вектор, можно проектировать на любую
§ 74.
ось
(§ 24).
В
§ 41
было показано, что при сложении по пра­
вилу- треугольника сил,
находящихся
в
равновесии,
полу­
чается замкнутая ломаная линия. На рис. 106 показано по­
строение такой линии для случая трех сш]. Возьмем произ­
вольную ось х и найдем проеrЩIIИ сил на эту ось.
По опр~делению проекция вектора на ось равна разнос­
ти координаты, определяющей проекцию На ось конца от­
резка, изображающего вектор, и
координаты,
определяющей проек­
цию начала этого отрезка. Следо­
вателыю,
F!x=x -x 2 ,
j
F 2х =х 2 -х з ,
F зх =хз-х j ,
X;J
РИС.
106.
праВИJ1У
СИЛ,
Х!
ХZ
с.~ожение
ПО
треугольника
находящихся
в
НО!Jесии
рав-
где Р 1Х проекция вектора Fi 11
т. д. СУММ8 этих выражений равна
нулю:
F lХ
+ F 2х + F 8х = О.
(74.1)
Полученный нами результат не зависит от выбора оси х и,
очевидно, справедлив для любого числа слагаемых. Таким
образом, мы приходим к общему условию равновесия: тело'
может находиться 8 равновесии, если СУ_Н.ма проекций всех
приложеННblХ к HeAtY сил на любое направление равна нулю.
146
При использовании этого условия нужно учитывать все си­
лы, действующиеJIа тело, в том числе и силы, действующие
со стороны опор, подвесов и т. д.
При решении задач часто бывает полезно разлагать силы
на составляющие (§ 24). Особенно удобно разлагать силы на
составляющие
по
ниям. В этом
случае составляющие силы образуют сторо­
взаимно
перпендикулярным
направле­
ны прямоугольника, диагональю которого является разла­
гаемая сила (рис.
107).
Поясним сказанное следующим примером: расс:vютрим
условия равновесия тела массы М, лежащего на плоскости,
образующей
зонтом
угол
клонная
Рис.
силы
107.
с
гориа
R
(на­
плоскость,
Раз.~ожен!!е
Рис.
108.
Нахождение условий
равнове­
сия тела на наКJ10ННОЙ плоскости
по двум взаимно
перпендику.~ярным на-
правлениям
рис. 108) .. Предположим, что трения нет; тогда предостав­
ленное самому себе тело скользило бы по плоскости вниз.
Чтобы удержать тело, нужно приложить к нему еще ка­
кую-то силу, например привязать к нему нить, перекинутую
через блок так, чтобы нить шла параллельно наклонной
плоскости, и подвесить к концу нити груз массЫ m. Тогда
тело будет находиться под действием трех сил: СИЛЫ тяжести
P=Mg, СИЛЫ натяжения нити Т и упругой силы R, дей­
ствующей со стороны плоскости, слегка прогибающейся под
тяжестыо тела. Сила
R
направлена
перпендикулярно
к
плоскости и ограничивает движение тела, позволяя ему пе­
ремещаться только по плоскости
(силы,
ограничивающие
движение тел, называются сила.ми реакции, § 75).
Для нахождения условий равновесия разложим силу Р
на две составляющие: Р 11, направленную паралле.льно' нак­
лонной плоскости, и РJ., направленную перпендикулярно
к плоскости. Из рисунка видно, что модуль составляющей
P 11 равен Р sin a=Mg sin а, а модуль составляющей PJ.
равен Р cos
a=Mg cos
а. Для равновесия необходимо, что-
147
бы сила натяжения нити Т была равна по модулю составля­
ющей Р Н , а сила реакции R была равна по модулю состав­
ляющей Р1.. Последнее условие всегда соблюдается само
собой: плоскость пр огибается до тех пор, пока силы R и
Р1. не сделаются равными по модулю. Равенство же мо­
дулей сил P 11 и Т возможно только при определенном
соотношении между массами М и т, зависящем от угла а.
Поскольку модуль силы Т равен mg, это соотношение имеет
вид Mg sin a=mg, откуда
Msina=m.
Последнее равенство выражает условие равновесия тела,
лежащего на наклонной плоскости. Легко убедиться в том,
что при выполнении этого условия сумма
сил на любое направление равна нулю.
?
74.1.
Наклонная
плоскость
образует
с
проекций
горизонтом
всех
угол
300
(рис. 109). На ней лежит тело массы М=2 кг. Нить, перекинутая
через блок, составляет с плоскостью угол 45°. При какой массе т
подвешенного к нити груза эти тела будут в равновесии? Найдите
силу нормального давления тела на плоскость. Трением пре­
небl'ечь.
-I
40011
t 50011
Рис.
109.
К упражнению
74.1
Рис.
110.
К упражнению
74.2
74.2. К мачте прикреплена горизонтальная антенна, Сила натп­
жения которой равна 400 Н (рис. 110). Под каким углом (J. к
горизонту должна быть расположена оттяжка с другой стороны
мачты, чтобы мачта не гнулась и чтобы сила нормального давле­
ния на основание мачты составляла 600 Н?
§ 75. Связи. Силы реакции связей. Тело, закрепленное на оси.
На практике часто встречаются случаи, когда тело не может
двигаться свободно в любом направлении, а движения его
ограничены какими-либо другими твердыми телами. Эти
тела называют Б механике жесткими связями. Силы, дей-
148
ствующие
со
CTOPOHbl
связей,
называют
силами
реакции
связей. Например, когда поршень движется в цилиндре дви­
гателя, то жесткие связи - это стенки цилиндра, допуска­
ющие движение поршня-голько в одном направлении. Когда
поршень начинает двигаться немного вбок, то он деформи­
рует стенку цилиндра. Если стенки эти очень жесткие, то
уже при незначительных деформациях возникают очень
большие силы реакции связей, которые прекращают даль­
нейшее отклонение поршня вбок. Эти силы и обеспечивают
движение поршня только вдоль цилиндра. Аналогичный
пример мы рассмотрели в предыдущем параграфе, где связью
являлась наклонная плоскость, а силой реакции связи
-
сила Я.
При наличии жестких связей УСЛОВИЯ раШIOвесия упро­
щаются:
в тех
достаточно
рассматривать
только
равновесие
сил
направлениях, в которых связи не препятствуют дви­
жению: например, для поршня
на наклонной плоскости
-
-
вдоль цилиндра, для тела
вдоль плоскости и т. п. Равно­
весие сил в других направлениях обеспечится ca~1O
собой,
так как уже при малой деформации связи появятся силы
реакции,
уравновешивающие
приложенную
Важным примером движения,
силу.
ограниченного жесткой
связью, является вращение тела вокруг жесткой оси или,
как говорят, вращение тела, закрепленного на оси. Напри­
мер,
колеса всевозможных машин и механизмов могут вра­
щаться только вокруг неподвижной оси. Пропеллер самоле­
та, колодезный <tжуравль», дверь на петлях, откидная крыш­
ка школьной парты представляют собой примеры того же
случая. Во всех этих примерах вращение вокруг оси не
стремится ни сдвинуть,
ни изогнуть эту ось, т. е.
не вызы­
вает деформации оси; поэтому вращение вокруг оси проис­
ходит беспрепятственно. Но всякое другое движение дефор­
мирует ось, в результате чего возникают силы реакции свя­
зи, действующие со стороны оси на ,ело и препятствующие
тому движению, которое приводит к деформации.
Если вначале тело покоится, то, чтобы вызвать враще­
ние, необходимо воздействовать на тело с некотuрой силой.
Однако не всякая приложенная сила вызовет вращение те­
ла. Силы, одинаковые по модулю, но различные по направ­
лению
или
приложенные
в
разных
точках,
могут
вызвать
весьма различные эффекты. Действительно, если в какой­
либо точке тела, которое может свободно вращаться BOI<PYt
оси О (рис. 111), прикрепить динамометр, то при одной и
той же силе нат~жения динамометра, но при разных направ­
лениях
его
оси
движение
тела
может
быть
совершенно
149
различным. Если прикрепить динамометр D положении
1,
то
тело начнет поворачиваться по часовой стрелке, в положе­
нии 11 - против часовой стрелки; если же прикрепить
динамометр в положении III, то тело вообще не начнет вра­
щаться. Сила, дейсtll8ующая на тело, закрепленное на оси,
только тогда .может вызвать его вращение, когда направ­
ление силы не проходит через ось.
Представим себе рулевое колесо корабля или «баранку»
автомобильного руля. Прилагая усилие вдоль радиуса,
мы будем только пытаться
согнуть
ось,
но
не сможем
повернуть колесо. для по-
Рис.
Рис. 111. Если динаМО~lетр находит­
ся в положении 1 или 11, тело вра­
щается; если динамометр
в положении
III,
112.
Силы, действующие на
тедо, закрепленное на оси. Сида
реакции со стороны оси
находится
тело не вращается
составляющей
СИ.~ы
в
F
11
R
равна
действующей
направлении
радиуса
ворота
необходимо приложить усилие вдоль его обо­
да, т. е. перпендикулярно к радиусу. Эта сила не смо­
жет уравновеситься силой реакции оси (две СИЛЫ, не ле­
жащие на одной прямой, не могут уравновешиваться), и
тело
начнет
вращаться.
Сила, направленная параллельно оси вращения, также
не вызывает
ось.
вращения
тела,
а
только
стремится
изогнуть
Поэтому в ближайших параграфах будем считать, что
силы, действующие на тело, закрепленное на оси, не имеют
составляющей ВДОЛЬ оси вращения и, значит, лежат в плос­
костях, перпендикулярных к оси. При этом, как показы­
вает опыт, действие силы на тело не зависит от того, в какой
именно из таких плоскостей лежит сила. Поэтому будем
изображать на рисунках все силы лежащими в одной плос­
кости, перпендикулярной к оси вращения, которую будем
изображать в виде точки.
Чтобы вполне отчетливо представить себе,
действовать сила
150
F,
как
будет
не прОХОДЯЦI.ая через ось, разложим
F
на две взаимно перпендикулярные состаВJJяющие,
одна из
которых проходит через ось (рис. 112). Составляющая СИJJа
F 11, которая проходит через ось, не будет вызывать враще­
ния. Она окажется уравновешенной силой реакции R оси.
Вращение тела будет происходить так, как если бы на него
действовала только составляющая сила F 1. В направлении,
перпендикулярном к радиусу ОА, проведенному к точке
приложения силы.
Равновесие тела, закрепленного на оси. Из сказанно­
§ 76.
го в предыдущем параграфе следует, что при выяснении
условий равновесия тела, закрепленного на оси, можно не
рассматривать СИЛу, действующую со стороны оси, так как
она не может вызвать вращения тела. Рассмотрим условия
равновесия тела, закрепленного на оси, при действии на
него только двух сил, причем примем, что эти силы направ­
лены
перпендикулярно
к
радиусам точек
их
приложения.
Для равновесия необходимо, во-первых, чтобы эти силы,
действуя в отдельности, поворачивали тело в противополож­
ных направлениях. Это можно проиллюстрировать на та­
ком опыте. Расположим ось вращения какого-нибудь тела
вертикально, чтобы устранить действие силы тяжести. При­
крепим к телу динамометры перпендикулярно к радиусам
Рис.
113.
нии
динамометров
При таком расположе­
возможно
равновесие
Рис.
При таком
располо­
динамометров
равнове­
114.
жении
сие
невозможно
точек их прикрепления. При расположении динамометров,
показанном на рис. 113, можно так подобрать растяжения
динамометров, чтобы тело оставалось в покое. Но в случае,
показанном на рис. 114, когда оба динамометра поворачи­
вают тело вокруг оси в одном и том же направлении, покоя
тела нельзя добиться ни при каком растяжении динамо­
метров.
151
Во-вторых, оказывается, что для равновесия тела, зак­
репленного на оси, существенны не только модули сил, но
и расстояния от оси вращения до линий, вдоль которых
действуют силы. Как и в случае рычага, для равновесия
тела, закрепленного на оси, необходимо, чтобы произведение
модуля силы на расстояние от оси до линии действия силы
было для обеих сил одно и то же. Если обозначить модули сил
через Р 1 и F 2, а расстояния через 11 и 12' то условие равно­
весия
выразится
равенством
F 1 I 1 =F 212 •
(76.1)
Предполагается, что каждая из сил л~жит В плоскости, пер­
пендикулярной к оси вращения (не обязательно в одной и
той >r<e).
§ 77.
Момент силы. Итак, для равновесия тела, закреплен­
ного на оси, существен не сам модуль силы, а произведение
модуля силы
F
на расстояние 1 от оси до линии, вдоль кото­
рой действует сила (рис. 115; предпо­
лагается,
что сила лежит в плоскости,
перпендикулярной к оси вращения).
Это произведение называется момен­
том силы относительно оси или просто
Рис. 115. Момент силы
равен произведению
ее модуля F на плечо 1
F
моментом силы. Расстояние 1 назы­
вается плечом силы. Обозначив момент
силы буквой М, получим
(77.1)
M=lF.
Условимся считать момент силы положительным, если эта
сила, действуя в отдельности, вращала бы тело по часовой
стрелке, и отрицательным в противном олучае (при этом нуж-
Fz.
Рис.
116.
Моменты сил
Fi
и F 2 положительны, мо­
мент силы F з отрицателен
Рис.
117. Момент
произведению
ющей силы
силы
модуля
F.L
F
на модуль
ус-вектора
равен
составля­
ради-
r
но заранее условиться, с какой стороны мы будем смотреть
на тело). Например, силам Р! и Р 2 на рис. 116 нужно при­
писать положительный момент, а силе F з - отрицательный.
152
Моменту силы можно дать еще н другое определение.
Проведем из точки О, лежащей на оси в той же плоскости,
что и сила, в точку при,7lОжения силы направленный отре­
зок r (рис. 117). Этот отрезок называется радиус-векторо},!
точки приложения силы. Модуль вектора r равен fасстоя­
нию от оси до точки приложения силы. Теперь построим
составляющую силы Р,
перпендикулярную к радиус-век­
r.
тору
Обозначим эту составляющую через Fl.. ИЗ рисунка
видно, что f=lIsin а, а F 1. =р sin а. Перемножив оба выра­
жения, получим, что гр 1. ,[р.
Таким образом, момент силы можно представить в виде
м=гр1.,
где
к
F 1.
модуль составляющей силы Р, перпендикулярной
-
радиус-вектору
r
точки
радиус-вектора. Отметим,
равно
рах
r
площади
и
(77.2)
F
Рис.
(рис.
118.
имеют
приложения
параллелограмма,
117).
На рис.
Силы Р. Р!. Р 2 И F з
одинаковые
моменты
относительно оси О
силы,
что произведение
118
г
-
модуль
[р численно
построенного
на
векто­
показаны силы, моменты
Рис. 119. Равные силы
Р 1 • Р 2 • F з С одинако­
вым плечом l имеют
равные
моменты
отно-
сительно оси О
которых относительно оси О одинаковы. Из рис.
119
видно,
что перенесение точки лриложения силы вдоль ее направле­
ния не меняет ее момента. Если направление силы прохо­
дит через ось вращения, то плечо силы равно нулю; следова­
тельно, равен нулю и момент силы. Мы видели, что в этом
случае сила не вызывает вращения тела:
сила, момент ко­
торой относительно данной оси равен нулю, не вызывает
вращения вокруг этой оси.
Пользуясь понятием момента силы, мы можем по-ново­
му сформулировать условия равновесия тела, закреплен­
ного на оси и находящегося под действием двух сил. В ус­
ловии равновесия, выражаемом формулой (76.1), [1 и [2
есть не что иное, как плечи соответствующих сил. Следова­
тельно, это условие состоит в равенстве абсолютных значе-
153
ний моментов обеих сил. Кроме того, чтобы не БозН/шало
вращение, направления моментов должны быть противо­
положными, т. е. моменты должны отличаться знаком. Та­
ким образом, для равновесия тела, закрепленного на оси,
алгебраическая сумма моментов дейсmeующих на него сил
должна быть равна нулю.
Так как момент силы определяется произведением моду­
ля силы на плечо, то единицу момента силы мы получим,
взяв равную единице силу, плечо которой также равно
единице. Следовательно, в СИ единицей момента силы яв­
ляется момент силы, равной одному ньютону и действую­
щей на плече один метр. Она называется ньютОН-.метром
(Н,м).
Если на тело, закрепленное на оси, действует много сил,
то,
же,
как показывает опыт, условие равновесия
остается тем
что и для случая двух сил: для равновесия тела, зак­
репленного на оси, алгебраическая сумма моментов всех
сил, действующих на тело. должна· быть равна нулю. Ре­
зультирующим моментом нескольких моментов, действую­
щих на тело (составляющих моментов), называют алгебраи­
ческую сумму составляющих моментов. Под действием ре­
зультирующего момента тело будет вращаться вокруг оси
так же, как оно вращалось бы при одновременном действии
всех составляющих моментов. В частности, если результи­
рующий момент равен нулю, то тело, закрепленное на оси,
либо покоится, л~бо вращается равномерно.
Измерение момента силы. В технике часто встречается
вращение тел: вращаются колеса экипажей, валы машин,
пароходные винты и т. д. Во всех этих случаях на тела дей­
ствуют моменты сил. При этом часто нельзя указать какую­
§ 78.
либо одну определенную силу, создающую вращающий мо­
мент, и ее плечо, так как вращающий момент создается не
одной силой, а многими силами, имеющими разные плечи.
Например, в электромоторе к виткам обмотки якоря при­
ложены
на разных расстояниях от оси вращения электро­
магнитные силы; их совместное действие создает некоторый
вращающий момент, который и вызывает вращение якоря и
соединенного с ним вала мотора. В подобных случаях нет
смысла говорить о силе и плече силы. Значение имеет един­
ственно результирующий момент силы. Поэтому возникает
необходимость неnосредственного измерения момента силы.
Для измерения момента силы достаточно приложить к
телу другой известный момент силы, который уравновеши­
вал бы измеряемый момент. Если достигнуто равновесие,
154
то, значит, оба момента сил равны по абсолютному значе­
нию и ПРОТИВОПОЛОЖНЫ по знаку. Например, чтобы изме­
рить вращающий момент, развиваемый электрическим мото­
ром, на шкив мотора 1 надевают сжатые болтами колодки
2 так, чтобы шкив мог с трением вращаться под колодками.
Колодки скреплены с длинным стержнем, к концу которого
прикрепляют динамометр (рис. 120). Ось колодок совпадает
с осью мотора. При вращении мотора момент сил трения,
действующий со стороны шкива на колодки, поворачивает
Рис.
120.
Измерение момента силы, создаваемого электромотором
колодки со стержнем на некоторый угол в направлении вра­
щения мотора. При этом динамометр несколько растягивает­
ся и на колодки начинает действовать со стороны динамо­
метра ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ момент, равный произведению силы
натяжения динамометра на плечо 1. Сила натяжения ди­
намометра
равна по модулю и противоположна по направ­
лению силе Р, действующей со СТОРОНЫ стержня на дина­
мометр (рис. 120). Так как колодки покоятся, то вращающий
МО'\1ент, развиваемый мотором, должен быть равен тю абсо­
лютному значению и противоположен по знаку моменту силы
натяжения динамометра. Итак, при данной скорости мотор
развивает момент, равный Fl.
При измерениях очень малых вращающих моментов (например, в
чувствительных гальванометрах и других физических измерительных
при60рах) измеряемый вращающий момент сравнивают с вращающим
моментом, действующим со стороны закрученной нити. Измерительную
систему, находящуюся лод действием вращающего момента, лодвещива­
ют на длинной тонкой нити, металлической или из плавленого кварца.
Поворачиваясь, измерительная система закручивает нить. Такая дефор­
мация вызывает появление си,~, стремящихся раскрутить нить и обла­
дающих, CJIеДовательио, вращающим моментом, Когда нзмеряемый МО-
1SS
мент становнтся равным моменту закрученной нити, устанавливается
равновесие. По углу закручивания при равновесии можно судить о
вращающем моменте нити и, следовательно, 06 измеряемом моменте.
Связь между вращающим моментом нити и углом закручивания опреде­
ляется путем калибровки при60ра.
§ 79.
Пара сил.
Если на тело действует несколько сил,
равнодействующая которых равна нулю, а результирующий
момент относительно какой-либо оси не равен нулю, то те­
ло не останется в равновесии. Так будет, например, если
на тело действуют две равные по модулю и противоположно
направленные силы, не лежащие на одной прямой. Такие
две силы, совместно действующие на тело, называют парой
сил. Если тело закреплено на оси, то при действии на него
пары сил оно начнет вращаться вокруг этой оси. При этом,
вообще говоря, со стороны оси на тело будет действовать
сила. Можно показать, однако, что если ось проходит че­
рез определенную точку тела, то сила со стороны оси отсутст-
А
---:г!_-о
o~
F
вует.
)о
сил будет действовать на свободное тело, то оно начнет
I
J ""
r
:
....,......_~a- ___ .L._
В
Рис. 121.МоментпарысилМ=Fl
Поэтому,
вращаться
ходящей
вокруг
через
если
оси,
эту
пара
про-
точку.
Можно доказать, что этой точ·
кой является центр тяжести
тела (§ 80).
М
омент
пары
сил
одина-
ков относительно любой оси,
перпендикулярной к плоскости пары. Действительно, пусть
0 - произвольная ось, перпендикулярная к плоскости, в
которой лежит пара сил (рис.
121).
Суммарный момент М
равен
M=P·OA+P·OB=P(OA+OB)=Fl,
где 1 - расстояние между линиями действия сил, состав­
ляющих пару, называемое плечом пары сил. Этот же резуль­
тат получится и при любом другом положении оси. Можно
показать также, что момент нескольких сил, равнодейст­
вующая которых равна нулю, будет один и тот же относи­
тельно всех осей, параллельных друг другу, и поэтому дей­
ствие всех этих сил на тело можно заменить действием од­
ной пары сил с тем же моментом.
Сложение параллельных сил. Центр тяжести. Изучая
равновесие сил или определяя равнодействующую сил, мы
не рассматривали пока случай, когда силы, действующие на
§ 80.
тело, параллельны. Теперь, найдя условия равновесия тела,
закрепленного на оси, мы можем рассмотреть и этот случай.
Рассмотрим силы, действующие на рычаг, нагруженный
грузами, уравновешивающими друг друга, и подвешенный
к
неподвижной
при помощи
ра
(рис.
считать,
ния
~"~~~
Можно
122).
что
ось
рычага
через
стойке
динамомет­
враще­
проходит
точку его
подвеса
О. На рычаг действуют
вес F1 и вес F z подве­
шенных
и
сила
к
нему
грузов
натяжения
пру­
жины динамометра Fз .
Будем полагать, что мас­
са.
самого
рычага,
на­
столько мала по сравне­
нию
с
массами
грузов,
что ею можно пр енеб­
речь. Тогда можно счи­
тать,
дится
что
рычаг
нахо­
в равновесии
под
действием сил F 1 , F 2 И
F s . Сила Fз есть уравно­
вешивающая
сила
весии пружина
метра
о
Fz
динамо-
располагается
вертикально,
по
И
Так как при равно­
F 2•
Fs
F1
в
А
для
параллельных сил
то
сила
параллельна Fi и F 2.
Далее, сила F з равна
модулю
сумме
Рис.
122.
Ла при
Исследование равновесня те­
действии
трех
параллельных
сил
моду-
лей сил F 1 и F2 • Поскольку мы пренебрегли массой рыча­
га, то Fз=Fсf-F 2. Расстояния от точки подвеса рычага
(его оси вращения О) дО точек приложения сил F 1 и Р 2
найдем из условия равновесия рычага:
Р 1 ·ОА=Р 2 ·ОВ, или ОВ;ОА=Р 1 /Р 2 •
(80.1 )
Это означает, что точка nриложения уравновешивающей
силы делит рассmoянuе между точками nриложения сил в
отношении, обратном отношению сил. Следовательно, не­
закрепленное тело находится в равновесии под действием
трех
параллельных
сил
D том случае, когда третья сила,
157
направленная
в
сторону,
противоположную
первым двум;
по модулю равна сумме их модулей и приложена к точке,
делящей расстояние между точками их приложения в от­
ношении, обратном отношению первых двух сил.
Значит, равнодейсtrU3ующая двух nараллельных одинаково
направленных сил равна сумме этих сил, направлена в ту же
сторону и nриложена в точке, деляЩEil расстояние между
точками nриложения сил в отношении, обратном отноше­
нию
сил.
Легко найти закон сложения и для двух параллельных
сил, направленных в противоположные стороны. Любую
из трех сил F i, F 2, F з, действующих на тело, находящееся
в
равновесии,
можно
рассматривать
как
уравновешиваю­
щую две другие силы; значит, сила F i является уравнове­
шивающей для противоположно направленных параллель­
ных сил Р! И р з • Отсюда, как и раньше, заключаем, что си­
ла, равная и направленная противоположно силе Р 2 , яв­
ляется равнодействующей сил Fi и р з . Но Fi=Fs-F f ,
кроме того, из пропорции
(80.1)
следует производная про­
порция:
Р!
ОБ
F 1 +F2 =ОА+ОБ'
или
Р!
ОБ
р;;- АБ'
Таким образом, равнодействующая двух nараллельных
противоположно направленных сил равна по модулю раз­
ности модулей этих сил, направлена в сторону большей силы
и nрuложена в точке, деJlЯll,{eЙ
расстояние между точками
nрuложения сил в отношении,
обратном отношению сил.
Если на тело действует несколько
р
Рис. 123,
Точка при.тlOжения
равнодействующей сил тяжести
параллельных
сил,
то для нахождения общей рав­
нодействующей надо сначала
найти равнодействующую каких-либо двух из этих сил,
затем полученную равнодей­
ствующую сложить с третьей
силой и т. д. В частности, си­
лы тяжести действуют на каж­
дый элемент тела и все эти силы параллельны. Поэтому для
нахождения равнодействующей этих сил, т. е. силы тяжести,
действующей на все тело, надо последовательно сложить
есть центр тяжести тела
'целый
ряд
параллельных
сил.
Равнодействующая
этих
сил равна их сумме, т. е. представляет полную силу притя-
1S8
жения, r<Оторую испытывает все тело со стороны Земли, и
приложена к определенной точке тела. Точку приложения
этой равнодействующей сил тяжести называют чен.трщ!
тяжести тела (рис. 123).
Таким образом, действие притяжения Земли на твердое
'Село таково, как если бы точка приложения силы тяжести
лежала в центре тяжести тела. МЫ будем пользоваться этим
в дальнейшем, заменяя действие сил тяжести, приложен­
ных к отдельным частям твердого тела, действием одной си·
ЛЫ, приложенной в его центре тяжести и равной силе тя­
жести, действующей на все тело.
Часто приходится решать задачу, обратную сложению
параллельных
сил:
разложить
заданную
силу
на
парал­
лельные ей составляющие силы. Такова, например, задача
Рис.
124.
Разложение силы на две лара.!JЛельные составляющие
о распределении сил на опоры балки с грузом или на плечи
людей, несущих на шесте груз (рис. 124). Искомые силы
Ni и N 2, определяются из условия, что их равнодействую­
щая равна весу груза б, и должна быть приложена там,
где висит груз. Поэтому
Ni+Nj=G, NiIN'J,=OBfOA.
§ 81.
Определение центра тяжести тел. Определение центра
ТЯJКести произвольного тела путем последовательного сло­
жения сил, действующих на отдельные его части,- трудная
159
задача; она облегчается только для тел сравнительно прос­
той формы.
m2,
Пусть тело состоит только ИЗ двух грузов массы mi и
соединенных стрежнем (рис. 125). Если масса стержня
мала по сравнению с массами
mi
и
m 2,
то ею можно прене­
бречь. На каждую из масс действуют силы тяжести, равные
соответственно
и
P1=mJg
P 2 =m 2g;
,
А
обе они
вертикально
раллельно друг
D
направлены
вниз,
т.
е.
другу.
па­
Как
мы знаем, равнодействующая
двух параллельных
ложена
в
точке
сил
О,
при­
которая
определяется из условия
Рl
Рис.
125.
Определение
Р2
центра
тпжести тела, состоящего из двух
=
ОБ
ml
ОА' или m 2
=
ОБ
ОА •
Следовательно, центр тяжести
грузов
делит расстояние
между
дву­
мя грузами в отношении, обратном отношению их масс.
Если это тело подвесить в точке О, оно останется в равно­
весии.
Так как две равные массы имеют общий центр тяжести
в точке, делящей пополам расстояние между этими масса­
ми, то сразу
ясно,
ного стержня
что,
например,
стержня (рис.
Поскольку
126).
однородного
круглого
делит
его
любой
на
одинаковые
ти (рис.
две
то
м
диска
совершенно
центр
лежать
на
час­
тяже­
.-
каждом
/
I
-(1:- е ----l с -г
nrf jE
Рис.
126.
~:<
E(i7
t
__ : m2.
Центр тяжести однородного
стержня
лежит в
однород­
диаметр
симметричные
127),
сти дол жен
центр тяжести
лежит в середине
его
середине
I
""
"
Н'
Рис.
N
127. Центр
родного диска
тяжести одно­
лежит
геометрическом
диаметре диска, т. е. в точке пересечения диаметров
в
его
центре
-
в гео­
метрическом центре диска С. Рассуждая сходным образом,
можно найти, что центр тяжести однородного шара лежит в
его геометрическом центре, центр тяжести однородного пря­
моугольного параллелепипеда лежит на пеp€сечении его диа-
160
гоналей и т. д. Центр тяжести обруча или кольца лежит в
его центре. Последний пример показывает,
жести
тела
может лежать
что центр тя­
вне тела.
Если тело имеет неправильную форму или если оно не­
однородно (например, в нем есть пустоты), то расчет поло­
жения
центра тяжести часто затруднителен и это положе­
ние удобнее найти посредством опыта. Пусть, например,
требуется найти центр тяжес~и куска фанеры. Подвесим
его на нити (рис. 128). Очевидно, в положении раВНОl:3есия
r
т
r
р
Рис.
128.
Точка С пересечения вертикальных линий, проведеНRЫХ через
точки подвеса А. В и
центр
D,
есть центр тяжести тела
тяжести тела С должен
лежать
на продолжении
нити, иначе сила тяжести будет иметь момент относительно
точки подвеса, который начал бы вращать тело. Поэтому,
проведя на нашем куске фанеры прямую, представляющую
продолжение
нити,
можем
утверждать,
что центр
тяжести
лежит на этой прямой.
Действительно, подвешивая тело в разных точках и
проводя вертикальные прямые, мы убедимся, что все они
пересекутся в одной точке. Эта точка и есть центр тяжести
тела (так как он должен лежать одновр.еменно на всех таких
прямых). Подобным образом можно определить положение
центра тяжести не только плоской фигуры, но и более слож­
ного тела. Положение центра тяжести самолета определя­
ют, вкатывая его колесами на платформы весов. Равнодей­
ствующая сил веса, приходящихся на каждое колесо, будет
направлена по вертикали, и найти линию, по которой она
действует, можно по закону сложения параллельных сил.
При изменении масс отдельных частей тела или при из­
менении формы тела положение центра тяжести меняется.
Так, центр тяжести самолета перемещается при расходова­
нии горючего из баков, при загрузке багажа и т. п. Для
6
Эollементарный учебннк фнзики, т. 1
161
наглядного опыта,
иллюстрирующего перемещение центра
тяжести при изменении формы тела, удобно взять два оди­
наковых бруска, соединенных шарниром (рис.
129).
В том
случае, когда бруски образуют продолжение один другого,
центр тяжести лежит на оси брусков. Если бруски согнуть
IJ:
I
о}
а)
Рис.
129.
а) Центр тяжести соединенных шарннром брусков, располо­
женных на одной прямой, лежит на оси брусков. б) Центр тяжести сог­
нутой системы брусков .'Iежит вне брусков
в шарнире, то центр тяжести оказывается вне брусков, на
биссектрисе угла, который они образуют. Если на один из
брусков надеть дополнительный груз, то центр тяжести пере­
местится в сторону этого груза.
?
8J .1.
Где
находится
цеитр
стержней, имеющих длину
•
81.2.
Докажите,
пластины
Л2ЖИТ
что
на
Рис.
тяжести
12
центр
тяжести
иересечении
130.
двух
одинаковых
тонких
см и скрепленных в Биде буквы т?
однородl'IОЙ
треугольной
медиан.
К упражнению
81.3
Однородная доска массы 60 кг лежит на двух опорах, как
покаЭано на рис, 130. Определите силы, действующие на опоры.
81.3.
§ 82.
Различные случаи равновесия тела под действием
силы тяжести. В механике часто возникает вопрос, в каких
положениях тело, на которое действует сила тяжести, может
СКCJЛЬ
угодно долго
оставаться
в
покое,
если
оно
находи­
лось в покое в начальный момент. Очевидно, для этого силы,
дейс:,вующие на тело, должны взаимно уравновешиваться.
Положения, в которых силы, действующие на тело, взаимно
уравновешиваются,
называют
nоложеНИЯ.ми
равновесия.
Но практически не во всяком положении равновесия
тело, находившееся Б начальный момент в покое, действи­
тельно будет оставаться в покое и в последующее время.
162
Дело в том, что в реальных УСЛОВИЯХ, помимо учитываемых
нами сил (сила тяжести, сила реакции подвеса, опоры, оси
И Т. п.), на тело действуют и неучитываемые случайные не­
устранимые силы: небольшие сотрясения, колебания возду­
ха и т. д. Под действием таких сил тело будет хотя бьт не­
много отклоняться от положения равновесия, а в этом слу­
чае
дальнейшее поведение тела может быть различным.
При отклонении тела от положения равновесия силы,
действующие на него, как правило, изменятся и равновесие
сил нарушится. Изменившиеся силы будут вызывать Дви­
жение тела. Если эти силы таковы, что под их действием
тело
возвращается
к
положению
равновесия,
ТО
тело,
не­
смотря на случайные толчки, будет все же оставаться вбли­
зи положения равновесия. В эт~м случае мы говорим об
устойчивом равновесии тела. В других случаях изменившнеся
силы таковы, что они вызывают дальнейшее отклонение тела
от положения равновесия. Тогда будет достаточно самого
малого толчка, чтобы изменившиеся силы стали все более
отклонять тело от положения равновесия; тело уже не будет
оставаться вБЛИЗI! положения равновесия, а уйдет от него.
Такое положение равновесия
называют неустоЙчивblМ.
Итаи, для устойчивости необходимо, чтобы при откло­
нении тела от положения равновесия возникали силы,
воз­
вращающие тело к первоначальному положению. Таково,
Il
8)
о)
р
Рис.
131.
УстоiIчивое (а), неустойчиtюе
шарика
например,
(рис.
131,
положение
на
(6)
и безразличное (в) раВ1Iовесие
поверхности
шарика
на
ВОГНУТОЙ
подставке
а): при отклонении шарика от положения равно­
весия (самое нижнее положение) равнодействующая силы
реаиции R подставки и силы тяжести Р возвращает шарик
к положению равновесия: равновесие устойчивое. В случае
же выпуклой подставки (рис. 131, 6) равнодействующая уда­
ляет шарик от положения равновесия (самое верхнее поло­
жение): равновесие неустоЙчивое.
Другим примером может служить равновесие тела, под­
вешенного в одной точке.
6>11
Определяя
положение центра
163
тяжести по способу подвешивания, описанному в предыду­
щем параграфе, мы всегда обнаружим, что центр тяжести
лежит ниже ТОЧIШ подвеса и обязательно на одной веРТII­
кали с ней, так как иначе сила натяжения нити Т не могла
бы уравновесить силу тяжести Р (рис. 132, а). l\\ежду
Рис.
132, а) Положение равновесия при центре тяжести С, раСПО,10женниже ТОЧКИ под.веса А, б) Положение равновесия пр!! ц~[rтpe 1'51,11"СТИ С. расположенном выте точки подвеса А, в) При ОТК.10не[(!!И теЛ:1
110"1
!!З положения а) сила тяжести создает MO~le!lT, ВОЗ!Jращающий ТС10 в
IIOЛОЖСl!не равновесия, г) При отклонении Te.'IJ аз ПСJ.'!сжеНIIЯ б) сила
ТП)КССТf~
СО1дает ыомент,
удалпющий
тело
от
ПО.ТТCl.lкенпя
равновсси'll
тем CII,ТJ:I тю!,ссп! Р И СlIла натяжения НИТИ Т г,югут ур;;ш'~о­
!iеСIJ1Ъ друг друга таЮЕе Jj в том случае, когда центр ТЯ)f;еLТИ
С лежит на вертикаЛII над точкой подвеса А (рис, 132,6),
Дейп ВJlТСЛЬНО, н f3 ЭТCi',: случае с]!ла тяжести Р и равнзл
ей по модулю сила Н3ТП}I<енпя НflТИ Т ураВН(JlзеШImnЛlI бы
друг лруга. ОднаlШ, ,-::ак легко убедиться' на опыте, ПрII
ПОДВСlшпзаННII тела оно не будет ОС'I;аваться В это\,[ ВТОРО'I
положении равновесия. Хотя оба случая СООТБетствуют пQ­
ЛОlEСIIШIМ
равновесия,
но
практически
:vюжво
осущестf3!ПЬ
только один из них - первый.
Причина этого в том, что если TeJlo не:\!ного ОТКЛОНИТЬ
от первого положения (рис. 132, в), то сила тяжести Р С\),
вдаст Врсllцающий мmлент относительно ТОЧЕН по;щеса, КОТО·
рый будет возвращать тело обратно. Это - ПОJlожеНJj(>
устоичипого равновеLИЯ. Наоборот, при отклонении тес13
от второго положения раRЕовесия (рис. 132, г) сила Р бу;\ег
удалять его от этого ПОJlожения. ЭТО - положение неустой­
чивого раrшовесия. Встречаются!! про:vrежуточные случаи
равновесия: если шарик лежит на горизонтальной опоре,
то смещение шарика вообще не нарушает равновесия, так
как сила тяжести и сила, действующая со стороны плоско­
сти, уравновешивают друг друга при любом положении
шарика. Такое равновесие мы называем безразличным
(рис. 131, в).
Другой пример безразличного равновесия - тело, за­
крепленное на горизонтальной или наклонной оси, прохо­
дящей через центр тяжести этого тела. При повороте такого
тела вокруг оси момент силы тяжести относительно оси все
время остается PlJ.BHbIM нулю (сила тяжести проходит через
ось вращения), и тело остается в равновесии в любом поло·
жении. Этим пользуются для проверки правильности
изготовления колес, якорей генераторов электрического
тока и т. д. В точно изготовленном колесе центр тяжести
должен лежать на оси. Поэтому точно сделанное колесо, ось
которого
может
вращаться
в
подшипниках,
должно
оста­
ваться в равновесии при любом повороте оси. Если оно само
возвращается
все время в
какое-то одно положение, то это
указывает, что колесо не сбалансировано, т. е. центр тяже­
сти
его не лежит точно на
оси.
Тело, закрепленное на вертикальной оси, всегда нахо­
дится в безразличном равновесии под действием силы тя­
жести,
сти
?•
§ 83.
независимо от того, проходит ось через центр тяже­
или
нет.
82.1.
ется
Испытайте, в каком
переднее
велосипедное
положении равновесия устанавлива­
КО.1есо,
если
велосипед приподнять.
Что надо сделать для того, чтобы колесо находилось в состоянии
безразличного равновесия?
У СJ10ВИЯ устойчивого равновесия под действием силы
тяжести.
Сопоставляя рассмотренные случаи равновесия,
можно подметить общее для всех случаев условие устойчи­
вости: если центр тяжести тела занимает наинизшее поло­
жение по сравliенUlО со всеми возможными соседними поло­
жениями, то равновесие устойчиво. Действительно, тогда
при отклонении в любую сторону от этого положения центр
тяжести будет подниматься и сила тяжести будет возвра­
щать тело обратно. По этому признаку мы, не производя
опыта, можем простым способом установить, будет тело на­
ходиться в устойчивом равновесии или нет.
Рассмотрим, например, однородный полушар, помещен­
ный на горизонтальную плоскость (рис. 133); центр тяжести
этого полушара С лежит на радиусе ОА ниже точки О. По­
ложим,
что
полушар
немного
ПЛоскость точкой В (рис.
133,
наклонился
и
опирается
о
б). Легко видеть, что расстоя-
~6'
ние ЕС больше расстояния АС; значит, при отклонении от
положения равновесия центр тяжести поднимается и поло·
жение равновесия полушара должно являться устойчивым.
о
'i//// / А
Рис.
133.
Так как в положении а) центр тяжести расположен ниже, чем
в ПО.l0жении
6),
то равновесие устойчиво
Рассмотрим теперь условия
равновесия
тела,
опираю·
щегося не на одну точку, как при подвешивании тела или
при помещении шара на плоскость,
а на
несколько точек
(например, стол) или на целую площадку (например, ящик,
поставленный на горизонтальную плоскость). В этих слу·
чаях условие устойчивости следующее: для равновесия необ·
ходили, чтобы вертикаль, nроведенная через центр тяже·
сти, проходила внутри площади опоры тела, т. е. внутри
pf""L
'11
!!!L
Рис. 134. При отклонении стола (6) от его положения равновесия (а)
центр тяжести поднимается - равновесие устойчиво. В положении
в) стол отклонен на предельный угол; при дальнейшем отклонении центр
тяжести будет опускаться - равновесие неустойчиво
контура,
опоры,
образованного
или внутри
линиями,
площадки,
соединяющими
точки
на которую опирается тело.
При этом равновесие является устойчивым.
Например, стол, стоящий на горизонтальном полу, на­
ходится в устойчивом равновесии (рис. 134, а). В самом деле,
если наклонять стол, то его центр тяжести будет поднимать­
ся (рис. 134, б). Если, однако, наклонить стол так, чтобы
вертикаль,
проходящая
через
центр
тяжести,
вышла
за
пределы площади опоры, то момент силы тяжести будет вра­
щать
стол,
тяжести
удаляя
начнет
его
от
опускаться,
положения
и
стол
равновесия,
опрокинется:
центр
имеется
предельный угоЛ наклона, после которого равновесие уже
не восстанавливается и тело опрокидывается. При наклоне
в точности на предельный угол тело находится в равнове·
166
сии, так как напраВJIение силы тяжести проходит через точ­
ку опоры (рис.
134, 8), но это положение равновесия неус­
тойчиво: тело либо вернется в устойчивое положение рав­
новесия, либо опрокинется.
Очевидно, предельный угол тем меньше, чем выIеe лежит
центр тяжести при данной площади опоры. Воз, грузовик
или железнодорожная платформа, высоко нагруженные,
легче могут опрокинуться, чем в случае, когда центр тяже­
сти груза лежит низко. Устойчивость может быть улучшена
увеличением
площади
Рис.
опоры.
Ванька-встанька
135.
Из условия равновесия тела, опирающегося на несколь­
ко точек, делается ясным,
почему
подъемные краны всегда
снабжаются тяжелым противовесом. Благодаря противо­
весу общий центр тяжести крана, груза и противовеса не
выступает за прямоугольник, ограниченный точками опоры
колес, даже тогда,
когда кран поднимает тяжелый груз.
Если центр тяжести тела с самого начала выходит за преде­
лы площади
опоры,
как,
наприыер, для
скамьи,
на высту­
пающий край которой сел человек, то равновесия нет и
скамья
ОПРОКlIдывается.
Практически в большинстве случаев приходится встре­
чаться только с положениями устойчивого равновесия, так
как только в таких положениях
тело,
предоставленное са­
мому себе, может оставаться сколько угодно времени, не­
смотря на случайные толчки. В противоположность этому,
помещенное в неустойчивое положение равновесия,
тело,
удаляется
от
этого
положения.
Можно, однако, так управлять условиями, в !юторых находится
тело, что оно будет долго оставаться вб.~изи положения неустойчивого
равновесия, колеблясь вблизи него то в одну, то !J другую сторону. На­
пример,
длинная
палка,
поставленная
вертикально
на
пол,
находится
в неустойчивом положении равновесия и падает, иак ТОЛЪИО мы отни­
мем от нее руку. Но палкой можно «балансироваты>, удерживая ее вбли­
зи неустойчивого вертикального положения на конце пальца: для этого
достаточно только слегка двигать рукой в ту же сторону, куда в даННblЙ
.~67
момент наКЛtlняется палка. Этим мы смещаем точку опоры и соответ­
ственно изменяем момент силы тяжести, который начинает отклонять
палку в противоположном направлении. I(онечно, такие движения нуж110 производить непрерывно, давая палке лишь слегка отклоняться то
в одну, то в другую сторону под действием изменяющегося момента силы
тяжести. Путем тренировки можно добиться такого точного управления
моментами, что удается удерживать вблизи неустойчивого равновесия
целые конструкции (как это Делают жонглеры в цирке). Следя за игрой
собственных ножных мускулов, можно заметить, что, стоя на одной ноге,
мы практически наХОJ\IIМСЯ в состоянии неустойчивого равновесия: для
того чтобы не упасть, ВСС время приходится переноситr, ТОЧl{У опоры тела
то на
'1
•
пятку,
то
на
lIОСОК.
Если пгрушку (;нанька-встаНЬКа» (рис. ! :35) JЮЛОЖ!IТЬ Нп
бок, то она подrrюrСТС5\. Г;(е примерно находите5! се I(CIITP Т5Jжести?
83.2. Будет ли ШIхо"IIТЬСЯ в положении устоifЧIШОГО J)~"l;овеснп
83.1.
тонкая Jшнейка, опирающа5JСЯ на uилиндрическ)'ю lЮ;JСРХIlOсrь
(рис.
136)?
/Л7'7"r72~Q~5?
Рис,
Рис,
136.
1( упраЖНеНИЮ
83.2
137. 1( упражнению 83.5
83.3. Почеыу человек, несущий груз на спине, П?ТС10НЯСТСИ
вперед?
83.4. Сплошной пилиндр СТОИТ на доске Длины 50 см. 1-1 <J ка](\'1О
наибольшую ВЫСОТУ можно поднять один из концов ДОСЮI, чтобы
цилиндр
не упал, если его высота в четыре раза 60.1ьше дrlJ',;етра
основания?
83.5. Карандаш с ВОТКНУТЫМ в него ножиком наХОДJIТСЯ в устой­
чивом равновесии (РИС. 137). Объясните это ЯRЛСJJi!С.
Простые машины. Уже в древности появились первые
приспособления, при помощи которых поднимали и пере­
двигали большие тяжести, приводили в действие осадные
орудия (тараны) и т. д. Все эти приспособления служили
§ 84.
168
ДЛЯ того,
чтобы вызывать такие движения,
при которых
необходимо преодолевать большие силы (например, при
подъеме тяжелого груза - его вес). Для этого силы, раз­
виваемые приспособлениями, должны хотя бы в начале
Движения, превосходить силы, противодействующие движе­
нию. Но если движения,
вызываемые приспособлениями,
происходят медленно и если силы трения достаточно малы,
то можно считать, что роль этих приспособлеНliЙ сводится
к тому, чтобы уравновесить большие силы, противодейст­
вующие ДВИЖeFiИЮ. Иными словами, можно считать, что
силы, развиваемые приспособлениями, должны быть равны
по модулю и противоположны по направлению силам, про­
тиводействующим движению. Все такие приспособлеЮ!5J
называют nросmыл1И JШlUU!Ш)НU. Таким образом, вопрос
о действии простых машин сводится [С определению условий,
при
которых
простая
~lашина
находится
в
равновеСIIИ.
~%/L
~ .~~­
-
~/д,.
~;,:,
r
Рис.
138.
При~!енение рычага. CH.~a f, приложенная человеком, м~ноше
силы 1'1, действующей со стороны ры'!зга на груз
Одной из наиболее распространенных простых машин
является уже рассмотренный нами рычаг; рычаги часто при­
меняются во всевозможных машинах и механизмах. Равно­
весие
рычага
наступает
при
условии,
что отношение
при··
ложенных к его концам параллельных сил обратно отно­
шению плеч и моменты этих сил противоположны по знаку.
Поэтому, прикладывая небольшую силу к длинному концу
рычага, можно уравновесить гораздо большую силу, при­
ложенную к короткому концу рычага. Подложив под тяже­
.10е тело рычаг с очень Д/IИнным вторым плечом (рис.
138),
169
можно приподнять тело, приложив силу, во много раз мень­
шую, чем вес тела. Можно сказать, что рычаг - это «преоб­
разователь» силы: малая сила {, приложенная к концу длин­
ного плеча, вызывает большую силу F на конце короткого
плеча. Мы получаем «выигрыш В си.тrе».
Тачка-это тоже рычаг (рис. 139). Сила тяжести р,
действующая на груз, приложена гораздо ближе к оси ко­
леса тачки (которая в этом случае играет роль оси рычага),
А
Рис.
139.
Рис.
Тачка как рычаг
Простой
блок
140.
чем сила, действующая со стороны рук чеЛОБеI.а. ПОЭТО;,IУ
человек может приподнять на тачке такой груз, которого
он прямо руками поднят!? не в состоянии. Сшrз, действую­
щая со стороны рук человека, должна быть направлена
вверх, чтобы создаваемый ею момент относительно оси ры­
чага был противоположен моменту силы Р.
Другим распространенным ТИПОМ простых машин яв­
ляются различные комбинации блоков. Рассмотрим сначала
простой блок (рис. 140). Будем считать, что он вращается
в подшипниках без трения. Если веревка натянута и не
скользит по блоку, то блок находится под действием двух
сил натяжения веревки Т 1 и Т 2 ; точками приложения Этих
сил можно считать точки А и В НЗ окружности блока. Ус­
ловия равновесия блока, как и условия для рычага, опре­
деляются из условий равновесия
моментов приложенных
сил. Так как плечи сил Т1 И Т 2 (радиусы блока ОА иОВ)
одинаковы, то блок будет находиться в равновесии, если
обе приложенные силы равны. Блок - это равноплечий
рычаг. Изображенный на рис.
140 простой блок не дает ни­
иакого выигрыша в силе. Его роль 3i:1I{лючается только в из-
170
менении направления, в котором нужно прикладывать силу_
Тянуть за веревку, опускающуюся сверху, часто удобнее,
чем за веревку, идущую снизу (рис.
141).
Вместо вращающегося блока можно применить какую­
нибудь гладкую неподвижную опору, перекинув через нее
веревку, которая сможет скользить по опоре; разница будет
Рис. 141. Применение простого
блока ДШI подъема груза
Рис.
142. I<
ражнению
уп­
84.1
только в силе трения (В этом случае она, как правило, будет
больше, чем для блока, ось которого вращается В подшип­
никах).
?
•
84. t.
Пожарные, альпинисты, маляры иногда применяют неподвижный блок так. как показано на рис. 142, поднимая саМlI
себя по веревке. Получается ли при зтом выигрыш В силе по от­
ношению к весу поднимаемого груза?
Для того чтобы получить выигрыш в силе, применяют
разные комбинации блоков, например двойной блок. Он со­
стою ИЗ двух блоков разных радиусов, жестко скрепленных
между собой и насаженных на общую ось (рис. 143). К каж­
дому блоку прикреплена веревка так, ЧТО она может
111.
наматываться на блок или сматываться с него, но не может
скользить по блоку. Плечи сил (радиусы блоков
r1
и
r 2)
в этом случае различны, т. е. двойной блок действует как
о)
11)
Рис.
143.
а) Двойной блок. б) Схема двойного блока
неравноnлечuй рычаг. Условия равновесия двойного блока
такие же,
как
и
неравноплечего
Т tГ t=Т зГ 2 ,
или
рычага:
ТtIТз=гзIГl'
Двойной блок также можно рассматривать как преобразо­
ватель силы. И здесь, прикладывая малую силу к веревке,
навитой на блок большего радиуса, мы можем получить
большую силу, действующую со стороны веревки, навитой
на блок малого радиуса. .
Некоторым видоизменением двойного блока явюlется
ворот, который применяется, например, для подъема воды
из колодцев, а также ка6естан. (вертикальный ворот), при­
менявшийся для подъема якорей на судах раньше, когда
этот подъем производился вручную (рис. 144). Спицы кабе­
стана играют ту же роль, какую играет блок большего диа­
метра в двойном блоке. Следователыю, условия равновесия
для ворота такие же, как и для двойного блока, но вместо
радиусов меньшего и большего блоков должны быть взяты
соответственно радиус барабана и длина спицы, считая от
оси до места приложения силы. Так как длину спиц можно
сделать во много раз больщей радиуса барабана, TQ ворот
172
позволяет уравновешивать силы во много раз большие, чем
те, которые приложены к спицам.
Широко используются в технике также различные типы
сложных блоков - полиспасты. Принцип действия таких
Рис.
1Н.
llСРТI!I(Э:Т',jщii порот (КJбеСТ:lII)
сложных блоков Со'Jедующнй (P}IC. 145). Две группы блоков
насажены каждая на общую ось так, что каждый из блоков
может вращаться ВOI{руг этой оси нсзавнсимо от других
блоков группы. Одна группа образует неподвижную, а дру­
гая - движущуюся часть сложного БЛОК<1. Веревка про·
пускается поочередно через блою! оДноН И другой группы
и
закрепляется
ОДНИМ
КОНЦОМ
на
обоiIМе
неподвижной
группы. Если к свободному КОНЦУ веревки пр ил ожить силу
Т, то сила натяжения всех частей веревки будет равна этой
силе (трением во всех блоках мы, как и прежде, пренебре­
гаем). Каждый кусок веревки между блоками будет действо­
вать на движущийся груз с силой Т, а все куски веревки бу­
дут действовать с силой nТ, где
n --
чис.1!о отдельных уча­
стков веревки, соединяющих обе части блока, или, что то же
самое, общее число БЛО]{ОБ в ДБнжущеЙС51 инеподвижной
частях. Поэтому сила Т, приложенная к концу веревки,
уравновесит приложенную к ПОДВИЖНОЙ части блока силу
nТ, где n - общее число блоков.
.173
д uфференцuальный блок состоит ИЗ ДВОЙНОГО блока и од­
НОГО простого блока IJ использует
бесконечную цепь
(рис. 146, а). Чтобы цепь не скользила по блокам, в них де­
лают углубления для звеньев цеПIl. На рис. 146, б показана
схема сил для дифференцпального блока. Условие равнове­
сия
есть
T 1 R=T 2 (R-r)/2.
Мы видим, что в условие равrю­
весня
входит разность радиусов
т
о)
Рис.
145.
Полиспаст
Рис. 146. а) дифференпиальный блок.
б)
Схема дифференциального блока
двух блоков. Поэтому система и названа дифференциаль­
ным (разностным) блоком.
Во всех рассмотренных случаях применения простых
машин на первый план выдвигался вопрос, как при помощи
небольших ,сил сообщить хотя бы медленное движение телу,
несмотря на противодействие значительных сил (например,
подъем вручную тяжелого якоря). Мы достигали этого «ВЫ­
игрыша в силе», действуя с некоторой силой на длинный
конец рычага, на свободный конец веревки полиспаста
и т. д. Нетрудно видеть, что при этом другой конец рычага
или подвижная группа блоков в полиспасте продвигал ась
на соответственно меньший путь.
174
Если, например, применять при подъеме груза полиспаст
с n блоками, то можно ограничиться силой, в n раз меньшей,
чем вес груза, но зато свободный конец веревки должен
быть за время подъема перемещен на путь, в n раз больший,
чем путь поднимаемого груза (так как каждый из участков
веревки между блоками укорачивается на длину этого пути),
т. е. груз движется со скоростью, в
рость
рук
тянущего
n
раз меньшей, чем ско­
человека.
В современной технике, однако, нередко встает вопрос
о получении значительной скорости перемещения. В этих
случаях надо применять простые машины так, чтобы пере­
мещаемая часть была связана с длинным концом рычага,
свободным концом веревки полиспаста и т. д. При этом,
конечно, требуется применять силу, в соответственное число
раз большую, чем сила, противодействующая движению.
Например, шатун паровой машины пара­
воза давит с большой силой на короткое
плечо кривошипа, сообщая точкам обода
колеса большую скорость (рис. 147).
':\
,1
J)
/
Рис.
147.
Кривошипный механизм
паро­
База. Скорости точек обода 1 больше ско­
рости, сообщаемой подшипнику 2 шатуном,
соединенным
с
Рис.
148.
лывание
Раска­
полена
колуном
поршнем
§ 85. Клин и винт. К числу простых машин относится также
клин, имеющий многообразные применения. Рассмотрим
действие клина (лезвия колуна) при колке дров (рис. 148).
На тыльную поверхность клина, например при ударах ку"
валды, действует сила Р, вгоняющая клин в трещину
(рис. 149); на боковые поверхности клина действуют силы
реакции
со стороны раскалываемого полена. При равно­
весии клина сумма проекций всех приложенных к нему сил
на любое направление, например на ось клина, должна
равняться нулю, т. е. сила F должна уравновешивать
сумму составляющих сил Л, направленных вдоль оси клина.
R
Проекция силы
R
на направление АВ равна
R sin
а. На
.175
рис.
149
изображен клин, симметричный относительно пло­
скости АВ: стороны клина составляют с направлением АВ
одинаковые углы а, и обе проекции сил равны. В таком
случае условие равновесия клина есть F=2R sin а. При
малом а сила F может быть
значительно меньше 2R. На­
пример,
для
топора-колуна,
представляющего собой сталь­
ной
клин на рукоятке,
угол
лезвия равен около 250 (2а =
= 250); в соответствии с этим
F примерно в пять раз мень­
ше, чем2R.
На рис. 150 изображено
применение
клина
поднимания
острее
Рис.
149.
Силы, действующие иа
кдин (лезвие колуна)
уравновесить,
а
силу
чтобы
клин,
F
груз.
для
тяжести.
тем
при­
Чем
меньшую
надо
приложить,
приподнять
данный
Но клин, как и всякую
простую машину, требуется не
заставить
двигаться
в
нужном
направле­
нии. Только тогда он выполнит свою роль, например рас­
колет полено. В отличие от рычагов и блоков, при работе
I
~ 111
11
I
II
1
I
1,1
111 '1
Рис.
150.
Применение клина для припод­
нимания тяжести
({лина большую роль играет сила трения. В блоке и рычаге
силы трения сравнительно малы. Для клина же силы тре­
НI!я между боковыми гранями и телом, в которое вгоняется
клин (силы
на рис. ] 49), обычно очень велики, так как
велики и силы реакции R, и коэффициент трения между
f
сталью
176
и
деревом,
и
исключать
их
И3
расчета
lIель:зя.
Типом простой машины, сходным с клином ПО принципу
действия, является вuюn (рис. 151). Винт и навинченная
на него гайка имеют винтовую резьбу; при вращении винта
гайка перемещается вдоль него. Чтобы наГJ1ЯДНО предста­
вить себе один виток резьбы винта, надо вообразить прямо­
уголы!ый треугольник,
Катет АВ равен шагу
h
навитый
на
цилиндр
(рис.
152).
винта, т. е. расстоянию, на которое
А
PIIC.
152.
BIIHT может быть представлен как прямоугольный треуголь­
ник, навитый на цилиндр
переМССl'lIТСЯ гайка при полном обороте винта, а катет ВС
предстаВЛ5Jет собой длину окружности основания того ци­
линдра, на КОТОРЫЙ нанесена резьба винта. Гипотенуза АС
предстаПЛ5JСТ собой край одного витка резьбы винта; к ней
прилегает край одного витка резьбы гайки А' С'. Длина
окружности ВС=2nг, где r - радиус цилиндра.
При пращеlIИИ винта резьба его нажимает на резьбу гай­
ки и застаВЛ51ет ее двигаться вдоль оси винта. Силами Tj1eНИ5J между ПIIНТОl\l и гайкой часто можно пренебречь (так
как их ПОI3СрХIIОСТИ тщательно шлифуются и густо смазы­
ваЮТС5J). Поэтому СИЛЫ давления между нарезками винта
и гайки направлены практически перпендикулярно к пло­
скости их соприкосновения. Со стороны винта на гайку
действует сила Р 1 , а со стороны гайки на !3инт - равная
ей по модулю сила F 2. Вращая винт, нужно преодолевать
состаПЛ5JЮЩУЮ силы F 2, направленную против движения
винта, т. е. силу
При этом В напраВJlении оси винта на
гa(rкy действует составляющая силы F 1• т. е. сила /1; при
задаННО:Vl значснии [1 значение [2 Te~i ыеньше, чем меньше
угол а. СООТlIошсние между силами ПОJlучается таким же,
/2'
как
длп
клина
с
УГЛО~1
при
основании,
равным
а.
ТiJКИ~1 образом, угол клина, эквивалентного винту, оп­
редслнеТС5J шаГО'l1 Бинта и его диаметром. Винты, эквива­
.1ентныс OCTP0:V!Y клину I делаются ТОJ1СТЫМИ (большое г)
.171
и С малым шагом (малое h). Таковы, например, винты у ДОМ­
крата - простого приспособления для подъема тяжестей,
действие которого понятно из рис. 153. ВИНТЫ применяются
во всевозможных приспособлениях для сдавливания (пресс,
рис. 154) или крепления (болты, шурупы для дерева и т. д.).
Во всех этих случаях сравнительно небольшой внешней си­
лой можно создать большую силу давления.
При рассмотрении действия винтов для крепления надо
учитывать силу трения: чтобы сдвинуть одно твердое TeJ!O
вдоль
другого,
силу,
определяемую трением
надо
приложить
некоторую минимальную
покоя
(§ 64).
Сила трении
покоя, действующая между го­
.'IовкоЙ винта и поверхностью,
В
которую
винт
завинчен,
в
случае туго затянутого винта
может
быть
гельна, так
довольно значи­
как
циональна
она
силам
Кроме того,
пропор­
давления.
она направлена
вдоль резьбы винта. Так как
большинство ТОЛЧКОВ и усилий
Рис.
[53.
домкрат
Рис.
154.
ВИНТОВОЙ пресс
направлено по оси винта, то составляющая их ВДОЛЬ резьбы
винта незначительна и тем меньше, чем меньше шаг винта.
Поэтоыу скрепляющее действие БИНТОВ и ШУРУПОВ обычно
бывает очень велико, т. е. требуются большие и повторные
ТОЛЧЕИ вдоль ОСИ, чтобы повернуть винт и расслабить вин­
товое
крепление.
В большинстве случаев винт поворачивается при помощи
более или менее ДЛИННОЙ ручки, приделанной к нему (пресс)
ИЛи рукоятки ключа, вадеваемого на головку винта. В та­
ком
случае мы имеем
ворота
?
и
винта
соединение двух
-
85.1. Рассмотрите простые машИНЫ, принципы которых исполь­
зованы в велосипеде (руль, педа.'!!>, передача). В каких из них
добиваются выигрыша в си.'1е, а в каких
178
простых машин
(клина).
-
выигрыша в скорости?
Г л а в а
'У. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
«Золотое правило» механики. Еще в древности при
прrшенен!ш простых 'I!ашин (рычаг, бло]{, ворот и т. д.)
была обнаружена ЗЮ1счательвая особенность всех этих
§ 86.
машин:
оказалось,
что
в
простых
машинах
перемсщения
вполне определеШIЫ:>'f образО~f связаны с силами, раЗВIIвае­
МЬШИ машиной. И:v!енно, оnzнощt'нuе переЛfСШ,енuu двух КОН­
цов простой j1taUШНЫ, к которы;н прuложены с/мы, всегда
//~~-:v
,.,- .... ...-.
~
..... "...
~"...,..-'" ./~ . . . -
L~
1\ з.,
,/
//o~:/
--;::>
'I,~
з2 1
~r
/
I
"....- ........-
Г~(//
·t '"?
t;t \
PIIC.
155.
Спла. действующая на левое П.lечо рычага, в
n
РЭI 60.1ЫТЮ
сплы, действуIOЩ~Й на право\' плечо. Путь 51. пройденный ТОЧКОЙ IIРИ­
ложеI1ИЯ силы F1 , будет в n раз меНЫ!lе пути 52' пройденного то'шои
приложения силы Р 2
обратно отнощенuю сил, приложенных /{ этШI конца.!!.
Например, если для равновесия рычага СIlла Fi должна
быть в n раз больше по модулю СIIЛЫ Р 2 (рис. 155), то ПрИ
вращении рычага путь 51, пройденный ТОЧКОЙ приложения
силы Р 1 , будет в n раз меньше пути 52, пройденного ТОЧКОЙ
приложения силы F 2.
дЛЯ дВОЙНОГО блока такое же соотношенrrе получается
между
силами,
приложенными
к
веревкам,
намотанным на
оба блока и удерживающим его в равновесии, и перемещени­
ями концов веревок при вращении блока. Это обстоятель­
ство было сформулировано еще в древности следующим
образом: «то, что мы выигрываем в силе, мы проигрываем
179
в пути». Положение это имеет столь общее и вместе с тем
столь
важное
значение,
что оно
получило
название
«золо­
того правила» механики.
Пользуясь введенными обозначениями, можно выразить
«золотое правило» формулой
F 2 /F 1 =Sl/S2'
или
F1s1 =F 2 s 2 •
В дальнейшем типы движений и устройство машин, с кото­
рыми приходилось иметь дело в механике, все более и более
усложнялись, и оказалось, что в таком простом виде «золо­
тое правило» механики не всегда справедливо. Но попутно
с усложнением видов движений 11 типов машин постепенно
дополнял ось
и
УСЛОЖН51ЛОСЬ
«золотое
правило»
механик!!
так, чтобы оно охватывало и более сложные случаи. ПРJI
этом из «золотого правила» ВОЗНИКЛИ важнейшие физиче­
ские предсташrеНИ51 о работе и энергии. Вместе с Te~1 <<Золо­
тое правило» механики нвилось первой простейшей форму­
ЛИРОБJШЙ одного ИЗ основных законов природы - закона
сохранения энергии, [(оторЫй оказался справедливым дш]
всех без исключения явлений в природе.
дЛЯ выяснения ПОЕЯТНЙ работы и энергии мы расоют­
рим «золотое правило» механики более подробно. Чтобы уп­
ростить рассмотрение, мы сначала будеы предполагать, ЧТ()
силы трения отсутствуют. Зате~i мы GЫЯСШIМ, КеШ IIзыешпся
вся
картина
§ 87.
при
учете
Приме},енип
СIlЛ
трения.
({золотого правила». «Золото,= пратшло»
механики практически соблюдается только в тех СЛj,''!анх,
!шгда
движение
простых
машин
происходи г
Р.1IШО\iСРI!О
или С малыми ускорения~ш *). Нi1ПРЮ;СР, при врзщении
двойного блока концы вереЕЮI" нmнпыx на с"реПJнонные
между собой блоки радиусов Г 1 11 Г 2 , пере~с'I('СТЯТСЯ Н3 рас­
стояния
SI
И
S2,
пропорuио::эльные
ЭТIШ
рздиус.'1М:
S!/S2=r 1 /r 2 ,
Значит, для того чтобы «золотое правило» было справедливо
для двойного блока, должно быть вьшолнено УСЛОI3не
F1/F 2=Г2/Г 1'
Тогда силы Р 1 и
Fi
уравновесятся и, значит, илок должен
либо покоиться, либо двигаться равномерно.
*)
«Золотое
именно потому,
чаями,
180
правило»
было
установлено
что им приходилось
древними
механиками
иметь дело как раз с такими слу­
Для того чтобы прш,ести в движение двойной БJl0К, нуж­
по нарушить равновесие, прибавив к одной ИЗ сил
напри­
мер к F r , некоторую силу f (рис. 156). Возникаю~ее дви­
жение будет ускоренным (напомним, что, по предположе­
нию, трения нет). При этом
(F 1 +f)sJ>F 2s 2
-
при движении
двойного блока с ускореlIием «золо­
тое правило» не соблюдается. Но чем
меньше сила
f
по сравнению с
F J , тем
ближе друг к другу произведеВИ51
си­
лы на путь для обеих перевок блока
и тем меньше отклонение от «золотого
правила». При очень малых
дпиже­
/
вие будет происходить с очень малым
ускорением,
т. е.
будет
близко
к
равномерному.
Итак,
«золотое прапило»
механи­
JШ соблюдается вполне точно при рав­
HO;\tepHO;\t движении
(без трения) и
приближенно при движении с ЛtaЛЫ,Н
ускорениеЛt. Ни одна машина не ДПII­
жется
всегда
paБI!O~IeplIo:
вначале
она ДОJlжна прийти в движение,
конце ДОJlжна остановиться.
а в
Но если
пуск в ход и остановка ДВОЙНОГО блока
происходят
с
малым
«золотое правило»
ускорением,
механики
то
практи­
Рис.
156.
Увеличив си­
лу F 1 на малую вели­
чину
заставим блок
J,
вращаться
с
ус!юре·
нием
чески справедливо во все вреМ5I дей­
ствия этой машины.
Таким же образом, как и для ДВОIШОГО блока, мы могли
бы убедиться, что «золотое прави.rl0» механики справеДЛIfВО
и
для
псех
простых
машин
при
условии,
Чт') направления
приложенных к машине сил и IIапрагщения перемещений
точек приложения сил совпадают. ДЛ51 всех таких машин
«золотое правило» механики СlJраведливо, как для двойного
блока: при равномерном движении машины (а практически
также при движении с очень малы~ш ускорениями) произ­
ведения силы на перемещение точки приложения для обеих
сил
?
•
равны.
87.1.
Д.1Я
ПокаЖlIте, что «Золотое праI3!I.10» ~!еханики справедmшо
полиспаста н Д.1Я ворота *).
§ 88. Работа силы. В пrедыдущем параграфе мы установили,
что в простой машине при равномерном движении всегда
*) См. рис. 145. (Прuмеч. ред.)
181
существует вполне определенная связь между силами и пе­
ремещениями:
если направления
силы
и
перемещения СОВ­
падают, то произведения силы на перемещение для обеих
точек приложения сил оказываются одинаковыми. Таким
образом, это произведение играет особую роль: с его по­
мощью можно характеризовать действие простых машин.
В дальнейшем выяснится, что оно исключительно важно
и для многих иных явлений. Ввиду его важности это про­
изведение
рассматривается как самостоятельная физиче­
ская величина, получившая название работы силы.
В частном случае, когда направления силы и переJиещеНUJ!
совпадают, работа А равна произведению ),tодуля силы F
на модуль пеРШtlещения а:
A=Fs.
(88.1)
Общее выражение для работы будет гыведено в
§ 90.
Таюш
образоы, когда точка при.r::ожешш силы ПСРбlсщаеТС5J, то
сила совершает работу. Если же, нес~IOТРЯ на действие си­
лы,
перемещение
точка
приложения
силы
не
ПРОИСХОДИТ,
то сила никакой работы не совершает. НаПРЮIер, если гру:;
неПОДВI!ЖНО
ВЕСИТ
на
подвесе,
то
действующая
на
него
сила тяжести пе совершает работы; но при опускании ил;i
падении груза эта сила совершает работу, равную Ph (Р сила тяжести, действующая на груз, lL - расстояние, lЫ
которое опустился груз).
Точно так же и В простых м,шшнах (В рычаге, блок;,
и т. д.) ПРИЛOJt(еыные силы не сопершают работы, пока
машина не движется. Но если блок начинает вращаться
и
конец
веревки,
к
которому
приложена
сила,
начинает
перемещаться в направлении действия силы, то эта сила
совершает работу, равную произпедению силы на перемс­
щенис.
Во всех движущих механизмах (паровой машине, ДЕ!!­
гателе внутреrшего сгорания, электрическом моторе и т. д.)
действуют силы, которые совершают работу при движении
механизма. Так, в паровой машине сила д'JВления пара на
поршень совершает работу
при движении
порШНЯ; силы
давления газов сгоревшего заряда пороха совершают рабо­
ту при движении снаряда. Силы 13заJ!модеi'rcтвня электри­
ческих токов, текущих в обrvЮТЕах электромотора, совер­
шают работу при вращении мотора.
Понятие работы как физической вели'!Ины, Fшс:\енное
I3
мехз:ш!{~,
только до известной степени согласуется с представ:;енно! о работе
[J
житейско:\! СМЫСЛt'. ДеЙствите.1ЬНО, иаПрИ:'IСр, работа грузчнка по подъе­
му грузов считается тем большей, чем больше вес llOдню!аС'мого груза и
182
чем на большую высоту он должен быть поднят. Однако с той же житей­
ской ТОЧJ(II зрения мы склонны называть «физической работой» ЕСЯКУЮ
деяте.'IЬНОСТЬ человека, при которой он совершает известные мускуль­
ные усилия. Но, согласно даваемому в механике определенИ!о, эта дея­
те,пыIстьь может и не сопровождаться работой. В известном мифе об Ат­
ланте, поддерживающем на своих плечах небесный свод, люди име.!iИ в ви­
ду УСИЛИЯ, необходимые для поддержания огромной тяжести, и расце­
пивали эти усилия как колоссальную рзботу. С точки же зреЕJ'Я меха­
ники здесь нет работы, IJ мышцы АТ,1анта могли бы быть поиросту за­
менены прочной колонной.
§ 89. Работа при перемещении, перпендику.'н!рном 1{ шшрав­
лению ClblJЫ. Когда перемещение происходит n направлении,
перпендикулярном к направлению СИДЫ, то сила не плияет
па
перемещеиие в этом
напраЕлеНЕИ;
поэтому мы считаем,
что в этоы СЛУЧJе сила не ПрОИЗDОДИТ НИЕгкой работы: если
сила и nepe.11elll,eNue nерneндuкулярнс! друг к другу, то работа
cllЛЫ равна нулю. Так, например, при п('ремещении по го­
РИЗOIпальной ПЛОСКОСТII работа силы тяжести равна нулю
(рис. 157).
157.
При кзчеН!J[J
шар~
по
горизонталь­
ному
CTO~;Y
Рис.
CH.ТТ~ тя)не
Рис.
15:',
Р;;з,-;с;r:·:"I:'I?
стаВЛ~;ПОi;~1',-::
F jJ
СИЛЫ
и
F
на со­
Pl.
..
сти р гтерпендику.тrяр ..
J:2 к лег,fС;t!('utенню :,. : И
Ее рз60'~d р<1Бii<1 нулю
Работа силы, наnРZ:FJ:СПНСИ !СОД любым углом J( пере­
r.н:щепию. Мы определили работу СI!ЛЫ I3 mзух специальных
§ 90.
случаях:
когда
перемещение
точки
приложения
силы
сов­
падает по направлению с силой н когда оно перпендику­
.1ЯРНО к силе. В первом случае работа равна произведению
снлы на перемещение, во втором
-
равна нулю.
Теперь
lIi1йдем сыраженне для работы ПрI! ПРСII3ВОЛЬНОЙ взаимной
орнентз1..'ЛИ силы
II
перемещения. ДЛЯ ПРОСТОТЫ будем счи­
тать, что сила F постоянна (постоянство Fозначает ПОСТО­
ЯНСТDО как модуля силы, так и ее направления), а точка
ПРЕложеШIЯ СИЛЫ движется прямолинейно (рис. 158).
Разложим силу F на две составляющие: F II , направлен­
НУЮ РДCJЛЬ перемеще:ния В, и F .L, перпе:ндикулярную J( пере-
.183
s
мещению а. Пусть угол а между векторами F и
OCTPЫ~
(рис. 158, а). Тогда сила F II совпадает по направлеюпс
с перемещением и ее работа, согласно формуле (88.1), равна
F 11 S. Сила F1. перпендикулярна к перемещению и поэтому
работы не совершает. Считая работу равнодействующей
силы равной сумме работ составляющих сил, получим, что
работа силы F на перемещении S равна А =р 11 S. Если угол а
острый, то
F 11
равняе:гся проекции силы
Обозначив эту проекцию через
F
на направление а.
F 5' можно написать, что
(90.1)
Мы пришли К выводу, что работа равна nроекциu CU.'lbt на
направление nереJ1!ещенuя, УJ1mожеююй на hlOдуль nереые·
щенuя
точхu
nриложеtшя
СИЛЫ.
Если a<:rт/2, то проеJЩЕЯ
тельно,
выражение
(90.1)
Fs=F cos
можно
A=Fs cos
а
(§ 24).
представить
в
Следова·
виде * j
а.
(90.2)
Произведение s cos а равно проекции перемещеН!iЯ на на­
правление силы. Обозначив эту проекцию через Sp, ПОЛУЧnМ
еще
одно
выражение
ДJIЯ
работы:
(00.3)
согласно
которому
работа
равна
nроекциu
пере,нещенuя
точки nрuложе!{IIЯ силы на наnравленuе силы, УiYu;ож;еNilОй
на модуль силы.
До сих пор мы считали, что угол а острый. Однако оп­
ределение работы, ВЫРD.жаемое формулой (90.2), распро­
страняется и на случай тупых углов (а>л/2, рис. 158, б).
В этом случае cos а<О и работа получается отрицателЬ/iOU
(проекuия F s силы
на направление перемещения
отри­
UaTeJlbHa п равна F COS а). Следовательно, выражение (90.2)
F
s
определяет работу пр!! v1юбых значениях угла а в пределах
от О до :rт. (То же относится к формулам (90.1) и (90.3).)
Таким образом, работа является а,'IГебраической веJIИ­
чиной: если угол а между направлениями силы и перемеще-
*)
Произведение модулей двух векторов на косинус угла между ни­
ми называется скалярным nРОllзведенuем векторов. При самой простой
записи
скалярного произведения символы перемножаемых векторов пи­
шутся рядом без какого-либо знака между ними (встречаются и другие
формы записи). Следовательно. аЬ=аЬ cos ~. Таким образом, работу
можно представить как скалярное произведение силы f' и перемещения
8: А=Рв, (ПРUЩ/l. ред.)
184
ния острый, работа положительна; если этот угол тупой,
работа отрицательна. В частном случае, когда С( =СО, Рiiбо­
та А =Fs; если а=л, то А =-Fs; при а=л/2 работа равна
нулю.
§ 91. Положительная и отрицательная работа. Если сила,
приложенная к телу, совершает положительную работу, т()
скорость тела увеличивается. Действительно, в этом слу­
чае
сила,
а
значит,
и ускорение,
направлены
по скорости,
увеличивая ее. Если же сила совершает отрицательную ра­
боту, то ускорение направлено против скорости и скорость
тела убьшает.
Допустим, что мы бросили тело в вертикальном направ­
лении. Пока тело летит БRСРХ, сила тяжести совершает над
TeJl0M отр!шательную работу и скорость TeiJa уменьшается
до нуля. дOCТJTГHYB верх нгй ТОЧКИ, тело начинает дв// Гi'ТЬСЯ
ускоренно вниз, Сила ПШ;('LТИ совершает при ЭТО:-I 110:[0-
жительную работу.
Если на движущеСС51 тсл() действуют две противополож­
но направленные СИЛЫ,
тельную,
если
на
а
друга)!
--
нераСТ5iJJУТУЮ
го одна
из
ЕНХ
ОТР!iЦательную
"ру;,юшу
совершает liOJ1ОЖИ­
р:;боту.
пол}!::-
СIIТЬ груз (р /!с,
I o~)) jj дa1'1, е;"1У возможНОСТЬ ОПУСКZt1ъся, то сила тяжести Р,
деЙСТJJУIСЩ(]Я на груз,
ПОЛОЖИТС:JЬНУЮ
(jYJLeT
будет
работу,
так как
F,
,
~.:=r_===Г-lJ
!
'г
е
совершать
ДГШГ<ПЬСЯ в наПР2РJIсНИИ
Сl!ЛЫ. В то же время сипа
II~IПГ!J~"('Р,
груз
этой
с которой
пружина действует на ггуз, будет совершать ОТРИЩlТе.ТIЬНУЮ работу.
Когда ~.IЫ ПОДlшмаб1 некоторый груз,
нам ПРНХОДИТС51 ПРСОJщлсвать действие силы тяжести, ПРJlтягивающей груз
к Земле. В ЭТО:\1 C,-J1'Ч<l(' Р~iб()та силы Т11жести отрицательна. Положительна ра-
I
I~
if
Ii
~
11
I.
L
Ру
11
:!
-~----:--=-~
Рис. Ш), Прrr опу­
бота, которую мы З<lтраЧНI1ае\1 на прео,J,О-
скани]] ГР\'З3 Р'Jбо-
ление силы тяжести.
тельна,
I'IIIогда
эту ра б ату
называют работоi'I, СОI3ершаемо;"r против
силы тяжести. Аналогично, в случае,
та СJfЛЫ Р ПО,10Ж!-j-
а
сrиы F
o-;-рИЦJтсльftiJ
когда на тело действуют две противоположно направленные
силы Р 1 И Р 2 , то работа одной из них, скажем Р 1 , будет
положительна, а работа другой, т. е. силы Р 2 , будет отри­
цательна. Можно сказать, что работа силы Р 1 совершается
против силы F 2' Подчеркнем, что в случае, когда работа
некоторой силы F отрицательна, работа, совершаемая
185
какой-то
другой
силой
против
силы Р, будет положи·
тельна.
§ 92.
Единица работы. Так как работа определяется про·
изведением силы на перемещение, то за единицу работы
следует принять работу, совершаемую силой, равной еди­
нице, при перемещении точки ее приложения в направлении
действия силы на расстояние, равное единице.
В СИ единицей работы служит работа силы, равной
одному ньютону, при перемещении один метр. Эта единица
носит название джоуль (Дж) *).
в системе СГС, в которой единиаей силы служит дина, а единицей
перемещения - сантиметр, за единицу работы принимают эрг (эрг) -
работу силы, равной
?
1
дин, при перемещеШ!II
1
см.
92.1. Найдите работу, которая совершается в течение 3 мин на·
сосем, педающим за 1 с 50 л веды на высоту 2С! м.
!J2.2. Мальчик тянет санки по горизонтальному пути, натягивая
~
ПРИВЯ3?IJНУЮ к ПИМ веревку под углом 370 к ГОРИЗ0НТУ с силой
20
§ 93.
Н. Какую работу он произведет, протащив санки на
О движении по горизонтальной шюскости. В
§ 89
600
М?
было
отмечено, что при перемещении тела в горизонтальной пло­
скости сила тяжести не совершает работы.
Вся работа,
КОТОРУЮ приходится затрачивать при таком перемещении,­
это работа на преодоление трения и сопротивления среды.
Когда велосипедист едет по горизонтальному пути, он не
совершает работы против силы тяжести; только поднимапсь
в гору, он совершает работу против этой силы.
Несколько иначе обстоит дело с пешеходом. При ходьбе
по
горизонталыIOМУ
пути
центр
тяжести
тела
человека
не
остается на одной и той же высоте, а при каЖДОМ.шаге под­
нимается и затем снова опускается. Когда центр тяжести
поднимается вверх, человек затрачивает работу. Поэтому
при ходьбе даже по горизонтальному пути совершается ра­
бота не только ПРОТIIВ силы сопротивления среды, но и про­
тив силы тяжести. Считая, что при каждом шаге центр тя­
жести поднимается на 5 см, а масса человека равна 70 кг,
найдем, что при каждом шаге совершается довольно значи­
тельная работа 35 Дж на поднятие центра тяжести. Отрица­
тельная же работа при опускании центра тяжести не ис­
пользуется. Правильная походка уменьшает затрату рабо­
ты при ходьбе и поэтому меньше утомляет.
*) Название введено в честь англиiiского физика Джеймса Джоуля
(1818-1889),
186
Работа силы тяжести при движении по наКJIОННОЙ плос­
кости. Применим результат, полученный в § 90, для опре­
§ 94.
деления работы, которую совершает сила тяжести Р при
движении тела вниз по наклонной плоскости (рис.
160).
Проекция NO перемещения s=NМi на направление
силы тяжести, т. е. на вертикаль, равна высоте
h
наклонной
N
11,
Рис.
При
160.
наклонным
си.1Ы тяжести
сотой
11,
груз,
и
скольжении
П.l0СКОСТЯМ
по
работа
определяется
вы­
Рис.
161.
Любой путь можно пред­
ставить }(ак совокупность большого
числа
малых
не зависит
клона
от
угда
участков
наклонных
плоскостеii
на которую опускаетсн
на-
плоскости
плоскости. Значит, согласно формуле
(90.3)
работа силы
тяжести при перемещении тела вдоль наклонной плоскости
из точки N в точку Mi будет равна силе тяжести, умножен­
ной на высоту наклонной плоскости:
A=Ph.
(94.1 )
Тот же результат получится и для наклонной плоскости
NM 2' Таким образом, работа силы тпжести не зависит от
yTJla наклона; она зависит только от ВЫСОТЫ наклонной
rтоскости; сила тяжести совершила бы такую же работу
и в том случае, если бы груз опустился на такое же расстоя­
ние
прямо по вертикали.
Отсюда мы можем сделать и более общий вывод: по ка­
кому бы пути ни опус кале я груз, сила тяжести совершает
работу А =Ph, где h - высота, на которую опустился груз.
Действительно, любой путь мы можем представить себе со­
стоящим из большого числа участков различных наклонных
плоскостей (рис.
161).
Работа на каждом из участков опре­
деляется высотой, на которую опустился груз при переме­
щении по этому участку. Работа же на всем пути равна дей­
ствующей на груз силе тяжести, умноженной на полную
высоту,
на которую опустился
груз.
Аналогичный вывод можно сделать и для случая подъема
данного тела по наклонной плоскости или какому-либо дру­
гому пути. В этом случае работа против силы тяжести также
187
не зависит от формы пути; она з<,висит толы:о от высоты,
на
которую
поднято
тело.
§ 95. Принцип сохранения работы. Понятие работы позво­
ляет по-новому подойти к «золотому правилу» механики.
Обратимся снова к двойному блоку и предположим, что
при помощи силы, прикладываемой к концу одной из вере­
вок, поднимают некоторый груз, подвешенный к концу
второй веревки. Как мы видели, для концов обеих веревок
произведения силы на перемещение равны. С другой сто­
роны, сила, действующая на первую веревку, и перемеще­
ние конца этой веревки совпадают по направлению. Точно
так же совпадают направления перемещения груза и силы,
действующей на него со стороны второй веревки. Значит,
работа, совершаемая силой, приложенной к первой веревке,
равна работе, совершаемой над грузом со стороны простой
машины. Таким образом, двойной блок не создает работы
и не приводит к исчезновению работы, а лишь передает ее.
В то же время суммарная работа, совершаемая над простой
машиной, оказывается равной нулю: действительно, для
сил,
приложенных
к
веревкам,
направления
силы
и
пере­
мещения совпадают для одной веревки и противоположны
для другой.
Это
простых
положение
машин
как
оказывается
для
справедливым
случаев,
когда
для
всех
направления
сил
и перемещений совпадают, т. е. для случаев, когда приме­
нимо «золотое
совпадают
и
правило»,
«золотое
так
и для
правило»
случаев,
когда
они
не
неприменимо.
Итак, мы приходим к принципу более общему, чем «зо­
лотое правило»: во всякой простой машине, движущейся рав­
номерно, работа передается без изменения, т. е. работа,
которую совершает машина, равна работе силы, приводя­
щей машину в движение. Это положение получило название
принцип сохранения работы.
Необходимо иметь в виду, что принцип сохранения ра­
боты не будет выполнен, если простая машина деформирует­
ся при передаче работы, например, если рычаг сгибается
или веревки полиспаста растягиваются. В самом деле, если
попытаться поднять большую тяжесть, применив в качестве
рычага гибкий прутик, то, совершив на длинном конце ры­
чага определенную работу, мы даже не сдвинем с места груз,
лежащий на коротком плече, на котором, следовательно,
произведенная работа будет равна нулю: единственным
результатом будет то, что рычаг согнется. Подобно этому,
заменив в блоке веревку легко растягивающейся резинкой
188
и попытавшись поднять с земли большой груз, мы произве­
дем работу, растягивая резинку с одного конца, но второй
конец резинки, привязанный к грузу, который так и оста­
нется лежать на месте, никакой работы не произведет.
И здесь единственным результатом будет деформация
механизма. Если взять более жесткий рычаг или более
толстую резинку, то приподнять груз, может быть, и удаст­
ся. Однако работа, произведенная на втором конце нашеj'j
машины, будет в это:..! случае меньше, чем работа, произво­
димая приложеаной силой,- «золотое правило» и прИнцип
сохранения работы будут нарушены. ПОЭТОYlу в дальней­
шем будем считать, что все прос:тые машины изготовлены
из несгибаемых рычагов, имеют нераСТЯЖИ:Vlые веревю:
и т. д. Тогда, если пренебрегзть трение:.i, принцип сохра­
нения работы будет выполнен.
Принцпп сохранения работы дает возможность удобного
расчета сил в простых машинах. Например, в полиспаСТе
с n витками веревки (рис. 145) конец веревки, за который
тянут рукой, перемещается больше, чем крюк, ТЯНУЩИ й
груз. Действительно, при перемещении руки на ДЛИНУ s
подвижная ч,-:сть БЛОJ,а поднимается на высоту, в n раз Г,lень­
шую, так кш, изменение длины веревки распределяется на
n
ее участков чежду блоками. Следовательно, на основаНИII
принципа сохранения работы l\IЫ можем утверждать, что
сила, приложенная к концу веревки, должна быть в n раз
меньше, че:vr сила, приложенная к КРЮКУ (массой ПОДВИЖ­
ной группы блоков мы пренебрегаем). Этот результат l\fb!
ПОЛУЧИЛИ J1blll'C (§ 84) непосредственно из расс~!Отрения СИ,f[.
?
•
95.1.
П0Р;;]СНЬ массы
ют пр!!
200
кг ПОДНШ!а­
по~'(]щи вдвигаемого
ПР5Jмоуrо.'1ЫlOГО клина,
под
него
катеты которо­
го равны 1О см и 1 м. Найдите силу,
]{оторую нужно приложить К тыльной
стороне клина (рис.
162). Трением
пренебречь.
95.2. В винтовом прессе (рис. 154)
винт имеет резьбу с шагом 5 мм. В
головку винта вделана рукоятка,
име­
ющая длину 40 см. Какую силу нуж­
НО приложить К рукоятке, чтобы пресс
давил с силой, равной 104 Н? Тре­
нием
§ 96.
пренебречь.
Энергия.
Простые
машины
обладают
способностыо
совершать работу, но не могут «запасать» эту способность,
так как одновременно с тем, как они получают ее на одном
конце, они отдают ее на другом. Однако во многих случаях
.189
тела могут накоплять «про запас» способность совершать
работу ..Можно строить специальные механизмы, способные
запасти работу, а затем отдать ее. Типичным примером яв­
ляется гиревой завод стенных часов (рис. 163). Подтягивая
гирю вверх, мы совершаем некоторую работу. В результате
часовой механизм получает способ­
ность совершать
ного времени
для
хода
в
течение
работу,
часов, т. е.
для
поддержа­
колес,
стрелок и
испытывающих
сопротив­
ния движения всех
маятника,
длитель­
необходимую
ление движению,
вызванное трением.
По мере хода часов
гиря
постепенно
опускается и запас работоспособности
механизма уменьшается. Через неко­
торое время понадобится спова завести
часы, т. е. вновь сделать их способны­
ми к совершению работы, требующей­
:::
Рис. 163. Поднятая ги­
ря обладает запасом
работы,
который по­
ся для их хода. При заводе часов
гиревой механизм накапливает спо­
собность производить работу; по мере
хода часов способность производнть
работу расходуется. Поднимая груз,
мы запасаем работу; опускаясь, груз
способен производить работу.
В теле можно «запасать работу»
степенно
не только путем поднятия тела на не­
J """
"
f~'I
о
на
,
,
I
,
I
~_)
расходуется
поддержание
хода
часов
которую высоту. Деформируя
например
сжимая
пружину,
мы
или
тело,
растягивая
ПРОИЗГJоди!v!
работу;
в результате деформированное тело получает способность
совершать работу. Работу совершает «заведенная», т. е.
деформированная, пружина ручных или карманных часов,
«пружинный двигатель» заводных игрушек и т. д.
Сообщая скорость какому-либо телу, также приходится
затрачивать работу; в результате тело приобретает способ­
ность совершать работу, уменьшая свою скорость. Напри­
мер, при составлении поездов маневровый тепловоз толкает
вагон
к составу;
останавливаясь,
вагон сжимает пружины
буферов; пуля, попадающая в препятствие, производит ра­
боту, разрушая материал, и т. д.
Во всех разобранных случаях работа производится при
изменении
кручивании
состояния тела:
пружины,
при
при
ОnУСlШнии
остановке
груза,
при
движущегося
рас­
тела.
Пока эти изменения еще не наступили, работа не произве-
190
дена; в теле имеется некоторый запас еще не совершенной
работы. При совершении работы этот запас расходуется.
Производя же работу над телом: поднимая его вверх, де­
формируя его, сообщая ему скорость,- мы сообщаем ему
запас работы, который в дальнейшем можно использовать,
возвращая тело в исходное состояние.
Запас работы, которую может совершить тело, изменяя
свое состояние, называют энергией *).
К механическим видам энергии относятся: энергия, св}!­
занная с ПОДII5Iтием тела над землей (и вообще энергин,
связанная с силами всемирного тяготения), энеРГI!Я, СВ)1-
занная с деформациями тела, и энергия, связанная с ДЕН'
жением
тела.
Изменение энергии определяется той работой, КОТОРУ'"
надо совершить, чтобы вызвать это изменение. Следов;:·
телыIO, измерять энергию следует в тех же единицах,
в
1\0-
торых измеР5IiOТ работу, т. е. в джоулях.
§ 97. Потенциа.'1ЬШ1Я энергия. Найдем, чему равна работг
А, совершае:лая некоторой силой F при подъеме те.13
массы т на 13blCOТY h. Будем считать, что движение те.ы
происходит
i'.:едлеино
бречь. iЧы ЗIIасм
зависит
от
того,
и
что
СИJ1ами
трения
~lOжно
прен~­
что работа против силы тяжести не
(§ 94),
как
мы
ПОДНЮ1аеы
те,10:
по
вертикаJIИ
(как гирю в ЧJсах), по наКJ10IШОЙ плоскости (как при втас­
кивании С;JIIСЖ в гору) или еще каким-либо способом. ВО
всех случаях работа А =mgh. При опускании тела на пер­
воначальный уровень сила тяжести произведет такую же
работу, какая была затрачена силой F на подъем тела.
Значит, ПОДlIи;v:а51 тело, мы запасли работу, равную mgh,
т. е. поднятое тело обладаЕlll энергией, равной nроuзведению
силы тяжести, дейсtn8ующей на это тело, u высоты, на !со­
торую оно поднято. Эта энергия не зависит от того, по ка­
кш>!у
пути
происходил
подъем,
а определяется лишь поло­
жение,w тела (l3ысотой на которую оно поднято) и называется
nотеНt{uальной энергией. Итак, потенциальная энергия Е п
тела, поднятого на некоторую высоту, выражается форму­
лой
(97.1 )
При данном исходном положении те.1а работа, которую
может
СОl3ершить
тело,
т. е.
его
потенциальная
энергия,
*) Это определеНlIе является упрощенным. Более строго, энергия
ссть физическая величина, характеризующая способность тела (или спс­
'[емы взаимодействующих тел) совершать работу, (Примеч. ред.)
191
зависит от того, насколько тело может опуститься. В гире­
вом механизме часов это определяется длиной цепочки, на
которой висит гиря, в примере с наклонной плоскостью высотой наивысшей точки наклонной плоскости над ее наи­
низшей точкой. В других случаях наинизший уровень не
может быть так естественно определен. Например, если
тело лежит на столе, то можно определять его потенциаль­
ную энерrию той работой, которую оно совершило бы, опу­
скаясь до пола, до уровня земли или до дна погреба и т. Д.
Поэтому нужно условиться заранее, от какого уровня отсчи­
тывать
высоту,
а
вместе
с
тем
и
потенциальную
энергию
тела. Выбрать этот уровень можно совершенно произволь­
но, так как во всех физических явлениях всегда бывает важна
не сама потенциальная энергия, а ее изменение, которым оп­
ределяется совершаемая работа. Изменение же потенциаль­
ной энергии будет, очевидно, одним и тем же, какой бы мы
ни выбрали исходный уровень.
Если не оговорено противное, мы будем считать потен­
циальную энергию тела,
лежащего
на
поверхности
земли,
равной нулю. Тогда в формуле (97.1) в качестве h следует
брать высоту тела над поверхностью земли. Если тело имеет
Ао
~ <~
''''~\
\
, ______ ~Af
_
Рис.
164.
-::===~::'-:J----
При переходе столба из положения А о 8 0 в положение
A1Bi
сала тяжести не совершает работы, так как центр тяжести тела остается
на месте. При переходе из положенип
шается работа
значительные размеры, то под
A1B1 в положение А 2 8 2 совер-
mg!t
h в формуле (97.1) нужно по­
нимать расстояние от поверхности земли (или от иного нуле­
вого уровня) до центра тяжести тела.
Определим, например, на сколько потенциальная энер­
ГШl вертикально стоящего столба (рис. 164, положение
АоВ о ) больше потенциальной энергии того же столба, ле­
жащего на земле (положение А 2 В 2 ). Представим себе, что
столб переходит из положения АоВ о в положение А 2В2
192
... в два приема. С~ачаmi он поворачивается· вокруг центра
'тяжести (в даJ:lНОМ случае около средней точки) в положение
При этом верхняя-часть столба опускается, а нижняя
. A1Bi.
JIоднимается, и сила тяжести соверш~ет над -верхней частью
столба положительную, а над нижней - равную ей отри­
цательную работу, и полная работа силы тя~ести равна
нулю. Только при переходе из поло­
жения
A1Bi
тяжести
работу.
ная
в положение- А 2 В з
совершает
сила
N
Следовательно,. потенциаль­
энергия стоящего
"
.<::
на земле стол-
ба больше потенциальной энергии
столба, лежащего на земле, на ве­
личину mgh, где т - масса столба =t:
и h - разность высот центра тяжести
в положениях АоВ о и А 2 В 2 •
::==:
-_-0-
~
положительную
[--
-- -
~
ol;;;t:>
При подсчете потенциальной энер­
гии жидкости массы т, находящейся
в цилиндрическом сосуде (рис. 165),
следует взять высоту Н центра тя­
жести жидкости С над нулевым уров­
нем, т. е. высоту ho дна сосуда над
нулевым уровнем,
165.
I<
~
расчету
потенциальной энергии
ЖИДКОСТИ в сосуде.
плюс половину вы­
соты уровня жидкости в сосуде
ная
Рис.
h/2, так что потенпиаль­
энергия
?
SIщик массы 40 кг, размеры которого показаны на рис. 166,
переведен из положенИЯ а) в положение б). Определите прира­
97.1.
•
щение потенциальной энергии ящика, считая, что его центр тя­
жести лежит на пересечении диагоналей.
OJ
О)
Рис.
.
7
166.
I<
упражне!lИЮ
97.1
97.2. Водохранилище при гидростанци~ имеет цилиидричесКУЮ
форму: его площадь равна 2 км 2 , глубина равна б м. Дно водо­
хранилища лежит на высоте 12 м над уровнем воды в отводном
каиале за гидростанцией. Какова потенциальная энергия воды в
храиилище?
Элементарный· учебннк физикн, Т. 1
193
§ 98.
ПотеJЩИaJ1bная энергия упругой деформации. деформи­
ров.г.нное упругое тел.о {например, растянутая или сжатая
пружиыа)способно,возвращаясьв недеформированно.е
состояние, соверШитьр.аботу над соприкасающимися с ним
телами. Следовательно, упруго деформированное тело об­
ладает потенциальной энергией. Она зависИ1' от ВЗЕ.имного
положения частей тела, например витков пружины. Работа,
которую может совершить растянутая пружина, зависит от
начального
и
конечного
растяжений
. пружины.
Найдем
работу, которую может совершить растянутая пружина,
возвращаясь к нерастянутому состоянию, т. е. найдем
потенциальную энергию растянутой пружины.
Пусть растянутая пружина закреплена одним концом,
а второй конец, перемещаясь, совершает работу, Нужно
учитывать, что сила, с которой действует пружина, не
остается постоянной, а изменяется пропорционально растя­
жению. Если первоначальное растяжение пружины, считая
от нерастянутого состояния, равнялось [, то первоначальное
значение силы упругости составляло F=kl, где k - коэф­
фициент
пропорциональности,
который
называют
жест­
костЬ/о пружины. По мере сокращения пружины эта сила
линейUо убывает от значения kl до нуля, Значит, среднее
значение силы равно F cp =kll2. Можно показать, что рабо­
та А равна этому среднему, умноженному на перемещение
точки
приложения силы:
kl
kt 2
А 10=2,1-2'
Таким образом,
потенциальная энергия растянутой пру­
жины
(98.1 )
Такое же выражение получается для сжатой пружины.
В формуле (98.1) потенциальная энергия выражена че­
рез жесткость пружиныи через ее растяжение
на
F/k,
нию
где
(ИJJИ
F-
1,
Заменив
1
упруг.ая сила, соответствующая растяже­
сжатию)
пружинЬ!
Еп
=
1, полуgим
f2/2k,
выражение
(98.2)
которое определяет потенциальную энергию пружины, рас­
тянутой (или сжатой) силой F. Ив этой форму ЛЬ! видно, что,
растягивая с одной u той же силой разные пружины, мы со­
общим им различный запас потенциальной энергии: чем
жестче пружина, т. . чем больше ее упругость, тем меньше
,194
rЮrеlЩиальная· анергия~ и· наоборот: чем мягче пружнна,
тем
больше энергия,
котор-ую
она
запасет
при
данной
растягивающ~й силе. Это можно уяснить себе наглядно,
_
если учесть, что при одинаковых действующих силах рас1'яжение МЯГIЮЙ пружины больше, чем жест_кой, а ,lOтому
. больше
и произведение силы на перемещение· тОЧКИ прил-о­
жения силы, т. е. работа.
Эта закономерность имеет большое значение, например,
при устройстве различных рессор и амортизаторов: при по­
садке
на
землю
самолета
амортизатор
шасси,
сжимаясь,
должен произвести большую работу, гася вертикальную
скорость самолета. В амортизаторе с малой жесткостью
сжатие будет больше, зато возникающие силы упругости
будут меньше и самолет будет лучше предохранен от по­
вреждений. По той же причине при тугой накачке шин
велосипеда
слабой
дорожные
толчки
ощущаются
резче,
чем
при
накачке.
§ 99. Кинетич~ская энергия. Тела могут обладать зашiсом
работы, т. е. обладать энергией, не только потому, что они
занимают определенное положение или' деформированы, но
и потому, что они обладают скоростью. Так, вагон может
въехать на гору, если он вначале обладает некоторой ско­
ростью; пуля или снаряд могут подняться на значительную
высоту, если они вылетают из дула с большой скоростью.
В этих случаях движущееся тело, поднимаясь вверх, совер­
шает работу против силы тяжести. Движущееся тело может
Рис.
167.
Быстро летящий бумажный шарик растягивает резиновую
нить
также совершать работу против сил упругости. Бумажный
привязанный к тонкой резиновой нити, может силь­
но растянуть эту нить, если шарику сообщить толчком БQЛЬ­
шую скорость (рис. 167). Когда один катящийся BaroH уда­
ряется своими буферами о буфера другого вагона, то пру­
жины буферов сильно сжимаются, т. е. совершается работа
. шари·к,
сжатия пружины ..
Во всех перечисленных примерах те.по соверша~J работу
не
потому,
что
оно
занимает
определенное nQложение,
а
lЮтому, что оно обладает определенной скоростЬЮ. ПОJ{ОЯ­
щи.йся вагон не' может «сам» въехать на гору, не может
7*
195
.
сжать буферные пружины. Между ·.тем движущийся вагон
способен это сделать.
Всякий раз, когда тело совершает работу благодаря
тому,
что
оно
движется,
скорость
е.го
движения
умень­
шается. Если скорость тела уменьшится до нуля, то запас
способности совершать работу за счет движения тела будет
исчерпан. Значит, всякое движущееся тело обладает неко­
торым определенным запасом способности совершать рабо­
ту, т. е. определенной энергией, обусловленной тем, что оно
движется. Энергию, которой тело обладает потому, что оно
движется, называют кинетической энергией.
Сумма кинетической и потенциальной энергий образует
полную
§ 100.
.механическую
энергию
тела.
Выражение кинетической энергии через массу
и
скорость тела. В §§ 97 и 98 мы видели, что можно создать
запас потенциальной энергии, заставляя какую-либо силу
совершать работу, поднимая груз или сжимая пружину.
Точно так же можно создать и запас кинетической энергии
в результате работы какой-либо силы. Действительно, если
тело под действием внешней силы получает ускорение и
перемещается, то эта сила совершает работу, а тело приоб­
ретает скорость, т. е. приобретает кинетическую энергию.
Например, сила давления пороховых газов в стволе ружья,
выталкивая пулю, совершает работу, за счет которой и соз­
дается запас кинетической энергии пули. Обратно, если
вследствие движения пули совершается работа (например,
пуля поднимается вверх или,
попадая в препятствие,
про­
изводит разрушения), ть кинетическая энергия пули умень­
шается.
Переход работы в кинетическую энергию проследим на
примере, когда на тело действует только одна сила (в случае
многих сил это - равнодействующая всех сил, действую­
щих на тело). Предположим, что на тело массы т, находив­
шееся в покое, начала действовать постоянная сила Р; под
действием силы F тело будет двигаться равноускоренно с
ускорением a=flm. Пройдя расстояние s в направлении
действия силы, тело приобретет скорость и, связанную с
пройденным расстоянием формулой
находим работу А силы Р:
А
v'
s=u2 /2a (§ 22).
Отсюда
тv'J.
=Fs=F 2а =-2-'
Точно так же, если на тело, движущееся со скоростью и,
начнет действовать сила, направленная против его движе-
196
ниЯ, ТО оно будет замедлять свое движение и остановится,
произведя до остановки работу против действующей силы,
также равную mи2 /2. Значит, кинетическая энергия Е и
движущегося тела равна половине произведения его массы
на
квадрат
скорости:
•
. Ек
mи 2
= -2-
(100.1)
Поскольку изменение кинетической энергии, так же как
и изменение потенциальной энергии, равно работе (положи­
.тельной
или отрицательной), произведенной при этом изме­
нении, то кинетическая энергия также измеряется в едини­
цах
работы,
?
Тело массы т движется со скоростью 'lIo по инерuии. На
те.ПО начинает действовать вдоль направления движения тела
т. е.
в
джоулях.
100.1.
сила,
в
результате
чего
через
некоторое
время
скорость
тела
становится равной 'lI. Покажите, что приращение кинетической
энергии тела равно работе, произведеНIIОЙ силой, для случая,
когда скорость: а) растет; б) убывает; в) меняет знак.
100.2. На что затрачивается большая работа: на сообщение покоя­
щемуся поезду
скорости
5 м/с до скорости
5 м/с или на разгон его от скорости
10 м/с? Силами сопротивления движению
пренебречь.
Полная энергия тела. Рассмотрим, как изменяется
кинетическая и потенциальная энергия тела, брошеннЩ'о
§ 101.
вверх.
При подъеме тела скорость его убывает по закону и=
где ио - начальная скорость, t - время. Кине­
=vo-gt,
тическая энергия при этом также уб!.,rвает, изменю~сь 110
закону
Е
_ т (ио - gi)2 _ mи~
к-
2
-
2
_
mvog
t
+ mg22t2'
Так как начальная кинетическая энерги я тела равна mv~/2,
то к моменту
t
убыль
*)
-АЕ к
кинетической энергии
mg2f 2
(101.1)
== mvo g t - -2 -·
С другой стороны, высота тела в момент
t
есть
gt 2
h=vot- y .
"')
вается
Убылью некоторой величины, в отличие от приращения, назы­
разность
А"ачалъя -
начального
и
конечного
значений
этой
величины:
А"онечн. Сравнение показывает, что при одном и том же
ИЗменении величины прир·ащение
и
убыль
отличаются только зиаком.
Поэтому, обозначив приращение символом ""А, убыль"нужно обозна­
чать символом
-L'1A.
(Прuмеч. ред.)
197
СледоватеЛьно, приращение
время
равко *)
потенциальной
t
энергии
за
(101.2)
Сравнивая это выражение с
(101.1),
ВИДИМ, что приращение
потенциальной энергии за время t равно убыли кинетиче­
ской энергии за то же время. Таким образом, при движении
тела
вверх
его
кинетическая
энергия
постепенно
превра­
щается ·в потенциальную. Когда движение вверх прекрати­
лось (наивысшая точка подъема), вся кинетическая энергия
полностью превратилась в потенциальную. При движении
тела вниз происходит обратный процесс:
энергия
При
в
потенциальная
тела
превращается
кинетическую.
этих
превращениях nQЛfLaЯ механическая эueргuя
(т. е. CY}'tMa кинетической и потенциальной энергий) оста­
ется неUЗА1енной, так как при подъеме убыль кинети.ческоЙ
энергии
полностью покрывается приращением потенциаль­
ной
при
(а
падении
-
наоборот).
Если
потенциальную
энергию тела у поверхности земли считать равной нулю
(§ 97), то сумма кинетической и потенциальной энергий
тела на любой высоте во время подъема или падения будет
равна
2
Е=Ек+Е п = m;о,
(101.3)
.'
т. е. остается равной начальной кинетической энергии тела.
.
из
Этот вывод представляет собой частный случай одного
важнейших
законов
природы - закона сохранения
Э1lергuи.
101.1. С башни высоты 20 м брошен камень со скоростью 15 м/с.
Найдите скорость камня при падении его на землю и сравните ее
со скоростью падения с той же высоты, но без начальной скорости.
Сопротивлением воздуха прене6речь.
101.2. Считая известными формулу (101.2) и зависимость потен­
циальной энергии от высоты, выведите закон движения тела;
брошенного по вертикали.
?
§ 102.
Закон сохранения энергии. В примере, разобранном
в предыдущем параграфе, выяснилось, что приращение по­
тенциальной энергии брошенного вверх тела происходит за
*)
Согласно
(101.1)
- ilEK=ilEn,
и
(101.2)
откуда
ilEK+ilEn=il (Ек +Еп ) =ilБ=-О
(сумма приращений кинетической и потенциальной энергий равна при­
ращению полной энергии Е). Если приращение некоторой величины за
любой промежуток времени равно нулю, то эта величина остается все
время пОстоянной. (Прuмеч. ред.)
198
спет убыли его кинетической энергии; при падении тела
приращение кинетической энергии происходит 3<.1 счет убы­
ли потенциальной энергии, так что полная механическая
энергия тела не меняется. Аналогично, если на тело дейст­
вует -<:Жатая пружина, 1'0 она может сооощить телу некото­
рую
скорость,
т. е.
кинетическую
энергию,
но
при
этом
пружина будет распрямляться и ее потенциальная энергия
будет соответственно уменьшаться; сумма потенциальной
и кинетической энергий останется постоянной. Если на
тело, кроме пружины, действует еще и сила тяжести, то
хотя при дви~ении тела энергия каждого вида будет изме­
няться, но сумма потенциальной энергии тяготения, потен­
циальной энергии пружины и кинетической энергии тела
опять-таки будет оставаться постоянной.
Энергия может переходить из одного вида в другой, мо­
жет переходить от одного тела к другому, но общий запас
механической энергии остается не­
изменным. Опыты и теоретические
9.0
J
расчеты показывают, что при отсут-
. ствии
вии
сил трения
и
только сил упругости
тения
и
или
стемы тел остается во всех
си­
1 I
J,f.
\[
]1
,
!f
)Г
энергии.
4 __ ~ __ . :
Проиллюстрируем закон сохра­
на следующем
опы­
те. Стальцрй шарик, упавший с не­
которой высоты на стальную или
стеклянную плиту и ударившййся
r
!
случа­
ях постоянной. В этом и заключа­
ется закон сохранения механической
нения энергии
I
J :
! ~
! I
J !
'!' I
тяго­
суммарная потенциальная и
кинетическая энергия тела
1
t
при воздейст­
Рис. 168. Отразившись от
стальной ПЛИТЫ,стальной
шарик подскакивает снова
почти
на ту же
которой он
высоту, с
был
брошен
об
нее, подскакивает почти на
ту же высоту, с которой упал
(рис. 168) *). Во время движения шарика происходит целый
ряд
превращений
энергии.
При
падении
потенциальная
энергия переходит в кинетическую энергию шарика. Когда
шарик при коснется к плите, и' он и плита начинают дефор,мироваться. Кинетическая энергия превращается в потен­
циальную энергию упругой деформации шарика и пл~
причем этот процесс продолжается до тех пор, пока шарик
_не
остановится, т. е. пока вся его кинетическая энергия не
.)
в § 103 будет пояснено, почему шарик не поднимается (1 точнос".
на ту же высоту, с которой начал падать.
,,,
перейдет в·потенциальную энергию упругой деформации.
Затем под действием сил упругости деформированной пли­
ты шарик приобретает,. скорость, направленную вверх:
энергия упругой деформации плиты и шарика превращается
в кинетическую энергию шарика. При дальнейшем движе­
нии BB~PX скорость шарика под действием силы тяжести
уменьшается
и
кинетическая
энергия
превращается
в .по­
тенциальную энергию тяготения. В наивысшей точке шарик
обладает снова только потенциальной энергией тяготения.
Поскольку можно считать, что шарик поднялся на ту же
высоту, с которой он начал падать, потенциальная энергия
шарика в начале и в KOHЦ~ описанного процесса одна и та
же. Более того, в любой момент времени при всех превра­
щениях энергии сумма потенциальной энергии тяготения,
потенциальной энергии упругой деформации и кинетиче­
ской энергии все время остается одной и той же. Для про­
цесса превращения потенциальной энергии, обусловленной
силой тяжести, в кинетическую и обратно при падении и
подъеме шарика это было показано простым расчетом в
§ 101. Можно было бы убедиться, что и при превращении
кинетической энергии в потенциальную энергию упругой
деформации плиты и шарика и затем при обратном процессе
превращеllИЯ этой энергии в кинетическую энергию отска­
кивающего шарика сумма потенциальной энергии тяготе­
ния, энергии упругой деформации и кинетической энергии
также остается неизменной, т. е. закон сохранения меха­
нической энергии выполнен.
Теперь мы можем объяснить, почему нарушался закон
сохранения работы в простой машине, которая деформиро­
валась при передаче работы (§ 95): дело в том, что работа,
затраченная 'на одном конце машины,
частично или
пол­
ностью затрачивалась на деформацию самбй пр~той маши­
ны (рычага, веревки и т. д.), создавая в ней некоторую
потенциальную энергию деформации, и лишь остаток
работы передавался на другой конец машины. В сумме же
переданная работа _вместе с энергИfЙ деформации оказы­
вается равной затраченной работе. В случае абсолютной
жесткости рычага, нерастяжимости веревки и т. д. простая
машина .не может накопить в себе энергию, и вся работа,
произведенная
на
одном ее
конце,
полностью
передается
на другой конец.
Пользуясь двумя законами сохранения: законом сохранения им­
пульса и законом сохранения энергии, можно решить задачу о соударении
идеально упругих шаров, т. е. шаров, которые пocnе соударения отс'ка­
кивают друг от друга, сохраняя суммарную кинетическую энергию.
200
Пусть два шара движутся по одной прямой (по линии центров).
Предположим, что, кроме сил взаимодействия при их соприкосновеНlIlI,
на шары не действуют никакие силы со стороны каких-либо других
тел. После соударения (соударение произойдет, если шары движутся'
навстречу друг другу или если один из них догоняет второй) они будут
двигаться по той же прямой, но с измененными скоростями. Будем счи­
тать, что нам известны массы шаров тl и т 2 и их скорости t/l И 'lI 2 до
соударения. Требуется найти их скорости "1 И "2 после соударения.
Из закона сохранення импульса следует, что ввиду того, что н'а
шары не действуют никакие силы, кроме сил их взаимодействия, сум­
марный импульс должен сохраняться, т. е. импульс до соударения дол­
жен равняться импульсу после соударения:
(102.1)
Скорости 'Vi и t/ 2 направлены вдоль линии центров (в одну и ту же либо
в противоположные стороны). Из соображений симметрии следует, что
скорости иl И "2 также будут направлены вдоль линии центров. Примем
эту
линию
за
ось х
и
спроектируем
векторы,
входящие
в
уравнение
JJ а эту ось. В результате получим уравнение
(102.1),
тlViх+m2V2х=mlщх+т2USХ'
(102.2)
далее, из условия идеальной упругости шаров следует, что сохраняет­
ся также
кинетическая энергия
шаров,
т. е.
должно выполняться
ра-
венство
тlV~X+ т2V~X= тlU~X+ т2U~JC
(102.3)
(в данном случае v~x=vi и т. д.).
Из уравнений (102.2) и (102.3)
можно найти неизвестные величины
Иf х и и 2х , Для этого перепишем эти уравнения в виде
т! (Vfх-Щх) = -
m 2 (V2X- USX)'
т! (V~x"";,,ubl=- m 2 (V~x-ubl·
Деля почленно второе уравнение на первое, получим
щх+щх=и 2х +и2Х'
Умножив
(102.4)
на т 2 и вычтя из
(102.2),
(102.4)
придем к соотношению
тi (Щх-Uiх)-m! (щх + Иiх) = - 2т2V2X'
откуда
Иiх=
(тt- m 2) Vix+ 2т 2 V ZX
mi+ т 2
•
(102.5)
Подобным же образом, умножив (102.4) на mi и сложив с (102.2), найдем
(102.6)
Если,
второй
и 2х
-
равна
например,
первый шар движется в направлении оси х, а
'lIi, т. е. Vl, а
ему навстречу, то иlх равна модулю скорости
модулю скорости
tl2' взятому со знаком минус, т. е, -и 2 ·
Подставив эти значения в формулы
Иiх=
и2Х=
(102.5) и (102.6), получим
(тt-т2) щ-2m 2 и 2
тl+ т 2
'
- (т2-тl) и 2 + 2т lЩ
тl +т 2
•
201
Знак ПО,1УЧИВШ!{ХСЯ значений ин. и и 2 х. укажет направления соответст­
вующих 'скоростей относительно оси х, а абсолютные 3liачеНRЯ иIХ и
и 2х дадут модули скоростей.
Особенно упрощается соотношение скоростеil при соударении ша­
ров одинаковой массы (т 1 =т 2 ). В этом случае utx=v2X • и2Х=и1х , т. е.
шары обмениваются <:коростями. В часпюсти, если шар соударяется с
неподвижным шаром ТОЙ же массы, то он сообщает ему ctюю скорость,
а
сам
останавливается.
ЕCJlИ масса одного шара гораЗДQ больше массы другого, например тi
много больше т 2 , то в знаменателе и в числителе формулы
(102.5)
мож­
но пренебречь членами, содержащими т 2 • Если, креме того, массивныil
шар
покоится,
и2Х= -и 2х ,
то получаем
т. е.
шар
яеподвижной стенки. Действительно. как видно НЗ
отскакивает,
получит при этом малую скорость, равную прнблизите.1ЬНО
§ 103.
как от
бо.%ШОЙ шар
(102.5),
ul=2v2m2Jml'
Силы трения и закон сохранения механической энер­
гии. Присматриваясь к движению шарика, подпрыгиваю­
щего на плите (§ 102), можно обнаружить, что после каждого
удара шарик
поднимается
на
несколько меньшую высоту,
чем раньше (рис. 169), т. е. полная эне.ргия не остается
в точности постоянной, а понемногу убывает; это значит,
что
закон
сохранения
энергии
в
таком
виде,
как
мы
его
сформулировали, соблюдается в этом случае только nрu­
блuженяо. Причина заключается в том, что в этом опыте
возникают силы трения: сопротивление воздуха, в котором
п
движется
'-(
.",",
,,
~
'rr;'
V
11
~
• : ~
, ~ 1,
\
I
", 1
\1
О
1,
'"
J I
1,
I 1
\
I
1
\
""
шарика и плиты.
Рис. 169.
отскока
f
после
ударов о плиту
в
внутрен-
ообще, при
нения механической
-А
1
У~еньшение
шарика
И
наличии трения закон сохра-
энергии
всегда нарушается и полная
...L_ _ _
i __
" __
: _ _-.t..I__
.г:
шарик,
нее трение в самом материале
высоты
энергия тел уменьшается.
За
счет этой убыли энергии и со-
вершается
работа против сил
*).
трения
многих
Например, при падении те-
ла с большой высоты скорость·
тела, вследствие действия возрастающих сил сопротивления
среды, вскоре становится постоянной (§ 68); кинетическа{!
энергия
тела
перестает
меняться,
но
его
потенциальная
энергия уменьшается. Работу против силы сопротивления
воздуха
совершает
сила
тяжести
за
счет
потенциальной
энергии тела. Хотя при этом и сообщается Н€'которая кине­
тическая энергия
окружающему
воздуху,
но она меньще,
*) Исключение составляет сила трения покоя: .так как точка ее
ПРНJ!ожения неподвижна, то ее работа равна нулю.
202
чем убыль потенциальной энергии тела, и, значит, суммар­
ная механическая энергия убывает.
Работа против сил трения может совершаться и за счет
кинетической энергии. Например" при движении лодки,
которую оттолкнули от берега пруда, потенциальная энер­
гия лодки остается постоянной, но вследствие сопротивле­
ния воды уменьшается
. кинетическая
скорость движения лодки,
т. е.
ее
энергия, и приращение кинетической энергии
воды, наблюдающееся при этом, меньше, чем убыль кинети­
ческой энергии лодки.
Подобно этому действуют и силы трения между тверды­
ми телами. Например, скорость, которую приобретает груз,
соскальзывающий с наклонной плоскости, а следовательно
и его кинетическая энергия, меньше той, которую он при­
обрел бы в отсутствие трения. Можно так подобрать угол
наклона плоскости, что груз будет скользить равномерно.
При этом его потенциальная энергия будет убывать, а
кинетическая - оставаться постоянной, и работа против
сил трения будет совершаться за счет потепциальной
энергии.
В природе все движения (за исключением движений в
вакууме, например движений небесных тел) сопровождают­
ся трением. Поэтому при таких движениях закон сохране­
ния механической энергии нарушается, и это нарушение
происходит всегда в одну сторону
-
в сторону уменьшения
полной энергии.
?
•
103.1. Автомобиль массы 1000 Kr едет со СКОРОСТЬЮ 18 км/ч.
После выключения двигателя автомобиль проезжает 20 м' и оста­
навливается. Какова сила трения, действующая на автомобиль?
Силу трения считать постоянной.
103.2. Электровоз тянет поезд по горизонтальному пути и раз­
вивает постоянную силу тяги 50 кН; на участке пути длины
I км скорость поезда возросла от 30 до 40 I{м/ч. Масса поезда
равна 800 т. Определите силу сопротивления, КОТОРУЮ испыты­
вает поезд при движении. Силу сопротивления считать постоян­
ной.
103.3. Пуля -массы 10 г, вылетевшая из винтовки
800 м/с, упа.ча на землю СО СI{ОРОСТЬЮ 40 м/с. Какая
силы
§ 104.
сопротивления· воздуха
совершена
СО СI{ОРОСТЬЮ
раБО1а против
при движении
Превращение механической энергии во
пули?
внутреннюю
энергию. Особенность сил трения состоит, как мы видели,
в том, что работа, соверш€нная против сил трен и я, не пере­
ходит полностью в кинетическую или потенциальную энер­
ГИю тел; вследствие этого суммарная механическая энергия
тел уменьшается. Однако работа против сил трения не ис­
чеза€Т бесследно. Прежде всего, движение тел при наличии
203
Тр,ения ведет к их нагреванию. Мы можем легко обнаружить
это,
крепко ·потирая
руки
или
протягивая металлическую
полоску между сжимающими ее двумя кусками дерева; по­
лоска даже на ощупь заметно нагревается. Первобытные
люди, как известно, добывали огонь быстрым трением сухих
кусков дерева друг о друга (рис. 170). Нагревание происхо­
дит также при совершении работы против сил внутреннего
трения, например при многократном изгибании проволоки.
Рис.
170.
Добывание огня трением двух сухих кусков дерева.
Нагревание при движении, связанном с преодолением
сил трения, часто бывает очень сильным. Например, при
торможении
поезда тормозные
колодки
сильно нагревают­
ся. При спуске корабля со стапелей на воду для уменьше­
ния трения стапеля обильно смазываются, и все же нагре­
вание
так
велико,
что
смазка
дымится,
а
иногда
даже
загорается.
При движении тел в воздухе с небольшими скоростями,
например при движении брошенного камня, сопротивление
воздуха невелико, на преодоление сил трения затрачивается
небольшая работа, и камень практически не нагревается.
Но быстро летящая пуля разогревается значительно силь­
нее. При больших скоростях реактивных самолетов прихо-·
дится
уже
принимать
специальные меры
для
уменьшения
нагревания обшивки самолета. Мелкие метеориты, влетаю­
щие с огромными скоростями (десятки километров в се­
кунду) в атмосферу Земли, испытывают такую большую
силу сопротивления сред.i?I, что полностью сгорают ,в атмо-
204
сфере (рис. '1), *). Нагревание в атмоСфере искусственного
сОпутника Земли, возвращающегося на Землю, так велико,
что на нем .приходится устанавливать специальную тепло­
вую защиту.
Кроме нагревания, трущиеся тела могут испытывать
и другие изменения. Например, они могут измельчаться,
растираться
в
переход тел
из твердого в жидкое состояние:
пыль,
может
происходить
плавление,
кусок
т. е.
льда
может расплавиться в результате трения о другой кусок
льда или о какое-либо иное тело.
'
Итак, если движение тел связано с преодолением сил
трения, то оно сопровождается двумя явлениями: а) сумма
кинетической и потенциальной энергий всех участвующих
в движении тел уменьшается; б) происходит изменение со­
стояния тел,
в
частности
может
происходить
нагревание.
Это изменение состояния тел происходит всегда таким об­
разом, что в новом состоянии тела могут производить боль­
шую работу, чем в исходном. Так, например, если налить
в закрытую с одного конца металлическую трубку немного
эфира и, заткнув трубку пробкой, зажать ее между дВумя
пластинками
и
привести
в
быстрое
вращение,
то
эфир
испарится и вытолкнет пробку. Значит, в результате работы
по преодолению сил трения трубки о пластинки трубка
с эфиром пришла в новое состояние, в котором она смогла
совершить работу, требующуюся для выталкивания проб­
ки, т. е. работу против сил трения, удерживающих пробку
в трубке, и работу, идущую на сообщение пробке кинетиче­
ской энергии. В исходном состоянии трубка с эфиром не
могла совершить эту работу.
Таким образом, нагревание тел, равно как и другие из­
менения их состояния, сопровождается изменением «запаса»
способности этих тел совершать работу. мы видим, что «за­
пас работоспособности» зависит, помимо положения тел
относительно Земли, помимо их деформации и их скорости,
еще и от состояния тел. Значит, помимо потенциальной
энергии тяготения и упругости и кинетической энергии,
тело обладает и энергией,
зависящей от его состояния.,
Будем называть ее внутренней энергией. Внутренняя энер­
гия тела зависит от его температуры, от того, является ли
тело твердым, жидким или газообразным, как велика его
поверхность,
.)
является
ли
оно
сплошным
или мелко раз-
Крупные метеориты достигают Земли, обгорая лишь по поверх­
Ности.
205
дрoБJreнныr.r и. т. д. В частности, чем температура тела выше,
тем больше его внутренняя энергия.
Таким образом, хотя при движениях, связанных с пре­
одолением
сил
трения,
механическая
движущихсятел уменьшается,
энергия
системы
но. зато возрастает их вну­
тренняя энергия. Например, при торможении поезда умень­
шение его кинетической энергии сопровождается увеличе­
нием внутренней энергии тормозных
колодок, бандажей
коле~, рельсов, окружающего воздуха и т. д. В результате
нагревания
этих
тел.
Все сказанное отноСИ1'СЯ также и к тем случаям, когда
силы трения возникают внутри тела, например при разми­
нании куска воска, при неупругом ударе свинцовых шаров,
при перегибании куска проволоки и т. д.
?
104.1. По.'Iьзуясь формулой (51.2)," найдите потерю механической
энергии при неупругом соударении тел, движущихся по одной
прямой.
§ 105. Всеобщий характер закона сохранения энергии. Силы
трения занимают особое положение в вопросе о законе со­
хранения механической энергии. Если сил трения нет, то
закон сохранения механической энергии собy'Iюдается: пол­
ная механичесн;ая энергия системы остается постоянной.
Если же действуют силы трения, то энергия уже не остается
постоянной, а убывает при движении. Но при этом всегда
растет внутренняя энергия. С развитием физики обнаружи­
вались все новые виды энергии (мы будем изучать их в сле­
дующих разделах учебника): была обнаружена световая энер­
гия, энергия электромагнитных волн, химическая энергия,
проявляющаяся при химических реакциях (В качестве при­
мера достаточно указать хотя бы на химическую энергию,
запасенную ВО взрывчатых веществах и превращающу\ОСя
в механическую и тепловую энергию при взрыве); наконец,
была открыта ядерная энергия. Оказалось, что совершае­
мая над телом работа равна приращению суммы всех видов
энергии тела; работа же, совершаемая иекоторым телом над
другими телами, равна убыли' суммарной энергии данного
тела. Для всех видов энергии оКазалось, что возможен
переход энергии из одного вида в другой, переход энергии
от одного тела к другому, но что при всех таких переходах
общая энергия всех видов ocmается все время строго постоян­
ной. В этом заключается всеобщность закона сохранения
энергии.
Хотя. обще~ количество энергии остается постоянным,
количество полезной ДЛЯ нас энергии может уменьшаться
206
}i в действительности постоянно уменьшается. Переход
энергии в другую форму может означать переход ее в бес­
полезную для нас форму. В механике чвще всего это - на­
гревание окружающей ореды, трущихся поверхностей и т. п.
Такие потери не только невы годны , но и вредно отзываются
на самих механизмах; так, во избежание перегревания при­
ходится специально охлаждать трущиеся части механизмов.
§ 106.
Мощность. Для характеристики действия различных
машин важно не только количество работы, которую может
совершить данная машина, но и время, в течение которого
эта работа может быть совершена. Этим определяется в ко­
нечном счете производительность всякой машины. Отноше­
ние произведенной работы А ко времени
t,
в течение кото­
рого эта pagOTa произведена, нвзывают мощностью и обоз­
начают обычно буквой N:
N=A/t.
..
Мощность можно назвать скоростью совершения работы.
За единицу мощности принимают такую мощность, при
которой за единицу времени совершается работа, равная
единице. Поэтому в СИ единицей мощности служиt джоуль
8 секунду. Эта единица имеет название ватт (Вт) *).
В системе СГС единицей мощности служит &рг в секунду (эрг/с):
1 эрг/с=IО-2 Вт. Наконец. до сиХ пог еще в ходу старинная единица
мощности - лошадиная сила (л. с.)!
л. С.=736 Вт.
Человек создает двигатели как очень малой, так и очень
большой мощности. Пружинный двигатель часов имеет мощ­
ность порядка 10-7 Вт. Двигатели же, установленные на
океанском пароходе или на большой электростанции, имеют
иногда мощности в сотни тысяч киловатт, т. е. в 101~ раз
больше. Средняя мощность лошади
-
около
400
Вт. Сред­
няя мощность человека при длительной физической работе
составляет 'примерно
кого
времени
50-100
спортсмен
Вт. В течение очень корот­
может
развивать
мощность
в
не­
сколько киловатт. Способность развивать большую мощ­
ность, хотя бы на короткий промежуток времени,- это одно
ИЗ. основных качеств, 'которыми должен обладать орrанизм
спортсмена.
Это
особенно важно
дистанцию, !1рИ прыжках
время
человек
должен
и т. д.,
сообщить
при беге на
короткую
когда за очень короткое
своему
телу
большую
*) Название введено в честь Джеймса Уатта (1736-1819), англий­
ского физика и инженера,
201 '
скорость, т. е. большую кинетическую энергию, а также
поднятии тяжестей, когда необходимо за короткое вре­
'мя сообщить, например, штанге большую потенциальную
.. при
энергию. Наоборот, при медленном поднятии на большую
выоту(поo лестнице) можно, развивая незначительную мощ­
ность, совершить большую работу; однако это потребует
большего времени.
'
]06.1. Гиря часового механизма массы 5 кг в течение суток
опускается на 120 см. Какова мощность механизма?
106.2. Какую силу тяги развивает тепловоз, если его мощность
?•
«на крюке» (т. е. мощность, расходуемая на движение состава)
равна 1200 кВт и ои прошел с постоянной скоростью 200 м за
10 с?
106.3. Какую мощность должен развивать в начале бега спортсмен
массы
рость
70 кг,
9 м/с?
если за
2
с он должен сообщить своему телу ско­
Расчет мощности механизмов. Если какой-либо меха­
низм действует с силой F и точка приложения этой силы за
время t перемещается в направлении действия силы на рас­
стояние s, то механизм совершает за это время работу
§ 107.
A=Fs.
=
Мощность, развиваемая при этом механизмом, есть N
= Fs/t . . Так как slt есть скорость v перемещения точки
приложения
силы, то мощность,
развиваемая механизмом,
N=Fv,
(107.1)
равна
Т. е. при условии, что направление скорости совпадает с на­
правлением силы, мощность, развиваемая механизмом,
равна силе, с которой этот механизм действует, умноЖ(!н­
ной на скорость nеремещения точки nриложения силы. Если
скорость направлена ПРОТИВОПОЛОЖНО силе, то произведен­
ная работа и мощность отрицательны: механизм потребляет
мощность. Если, например, подъемник поднимает груз мас­
сы 400 кг с постоянной скоростью 0,7 м/с, то машина подъ­
емника развивает мощность N=3924 Н·О,7 M/c=2,75 кВт.
Аналогично можно выразить мощность и в том случае,
когда механизм совершает вращательное движение. Пусть,
например,
мотор
при
помощи
приводного
ремня
вращает
станок; сила натяжения ведущей части ремня рав'на Р,
мотор вращается с частотой n *), радиус шкива мотора ра­
вен
R.
Какова мощность
N,
отдаваемая мотором?
Частота n есть число оборотов, совершаемых шкивом мотора
в единицу времени. Единицей n служит секунда в минус первой степени
*)
(c- 1).
208
(Прuмеч. ред.)
,ремень действует на шкив станка с силой F. При этом
ремень движется со скоростью v=2лRn (предполагается.
ЧТО ремень по шкиву не скользит и. значит, движется с той
же с!{оростью, что и точки на окружности шкива). Значит,
мотор развивает мощность N=Р·2лRn. Но FR=M (где
М
-
вращающий момент силы,
образом,
мощность
мотора
R-
*)
плечо силы). Таким
.
N=2лnМ.
?
007.2)
107.1. Во сколько раз большую мощность должны развить ма­
шины парохода, чтобы увеличить его скорость вдвое, если сопро­
тивление
воды
движению
парохода
растет
пропорционалыlO
квадрату скорости?
107.2.
Буксирный пароход тянет за собой на буксире баржу
со скоростью 12 км/ч. При этом сила натяжения буксирного ка­
ната равна 90- кН. Какую мощность должна развивать машина
буксира, если известно, что для движения с той же скоростью
без баржи машина буксира должна развивать мощность 100 кВт?
Мощность. быстроходность и размеры механизма.
Из полученной нами формулы (107.1) видно, что для уве­
§ 108.
личения мощности механизма надо увеличивать либо силу.
раЗБиваемую механизмом, ~ибо скорость его движения.
При определенном материале и при заданных допустимых
деформациях движущихся частей механизма силы, с кото­
рыми эти части действуют друг на друга, могут быть тем
больше, чем больше размеры движущихся частей. Поэтому
сила, которую способен развивать какой-либо механизм,
в
конечном счете всегда связана
с размерами движущихся
частей механизма: чем больше размеры механизма,
большую силу способен развивать механизм.
тем
Например, зубчатая передача может развивать тем боль­
шую силу, чем больше размеры зубцов; приводной ремень
может развивать тем большую силу, чем он толще и шире,
и т. п. Но С увеличением размеров ремня должны увеличи­
ваться и размеры шкивов, так как толстый ремень на шкиве
малого диаметра не будет лежать плотно и будет скользить.
Таким образом, и зубчатая передача, и ременный приводной
механизм будут по своим размерам тем больше, чем боль­
шую силу
они должны
передавать.
*) Отметим, что 2лn есть угол, на который поворачивается шкив за
единицу времени, т. е. угловая- скорость 00 вращения шкива (§ 115).
Таким образом, выражение (107.2) можно представить в виде N=Moo.
Эта формула сходна с формулой (107.1). Роль силы в ней играет
момент силы, а роль линейной
(Примеч, ред.)
скорости
v-угловая скорость
-
.
00 •.
209
Это относится не только к npостейшим привадныM меха­
низмам, НО' и к ра3JlИЧНЫМ двигателям. Например, поршень
napовой машины может развивать тем б6льшую силу, чем
больше его диаметр (при данном давлении пара). Таким
образом, в общем, ДJIЯ всех механизмов справедливо сле­
дующее полО'жение: чем больше сила, которую должен
развивать
механuзм,
тем
больше
должны
быть
его
размеры.
Но так как мощность механизма зависит не только от
развиваемой СИЛЫ,но и ОТ скорости 'цвижущихся частей,
то из двух мехаНИЗМ0В, способных развивать одну и ту же
мощность, быстроходный меХ<lНИЗМ можно сделать меньших
размеров. При том же типе и размере быстроходный меха­
низм буде~ всегда мощнее тихоходного.
Например, быстроходный редуктор (зубчатая передача),
служащий для изменения числа оборотов авиационного
винта, обладает сравнительно небольшими размерами, хотя
он служит для передачи от мотора к винту (когда последний
делает БОЛЫ,llое число оборотов) очень большой мощности
(тысячи киловатт). Рассчитанная на ту же мощность зубча­
тая передача тихоходной водяной турбины имеет размеры
примерно в десять раз большие, а весит в тысячу раз
больше .....
§ 109.
Коэффициент полезного действия мехапизмов. Вся',
кий механизм, совершающий работу, должен откуда-то
получать энергию, за счет которой эта работа производится.
В простейщих случаях механизм лишь передает механиче­
скую работу от источника энергии к потребителю. Так дей­
{:твуют простые машины и все передаточные или приводные
механизмы, представляющиесобой различные комбинации
простых машин; например, ременный привод передает ра­
боту О'т двигателя, вращающего ведущиiL шкив, через ведо­
мый шкив потребителю (станку).
Такой приводной механизм лишь передает определенную
мощность от источника к потребителю. Однако- при этом не
вся работа, а значит и не вся мощность, получаемая меха­
низмом от истО'чника, передается потребителю.
Дело в том, что во всяком механизме действуют силы тре­
ния, на преодоление которых затрачивается часть работы,
потребляемой механизмом. Эта работа превращается в теп­
ло и оБЫЧНQ является бесполезной. Отношение мощности,
которую MeX8Hl!3M передает потребителю, ко всей мощности,
подводимоli к механизму, называется коэффициентом по­
лезного действия данного механизма-(сокращеннщ К. П. д.).
210
ЕCJIИ подводимую к-механизм'У МОЩНОС1'Ь обозначить через
N j,a
то
отдаваемую механизмом потребителю-через
К. П. д.
:n
механизма
будет
N 8,
равен
Nr
fJ ="FГ'
1
,
При этом часть мощности, равная Ni-Ni, теряется в самом
механизме. Отношение этих потерь мощности в мехаНliзме
ко всей. мощности, подводимой к механизму, связано с
к. п. д.
простым выражением:
Ni- N 2
Ni
=
1
-fJ·
Так как потери мощности неизбежны во всяком меха­
низме, то всегда N 2<Ni, И к. п. д. всякого механизма всег­
да меньше единицы; его обычно выражают в процентах.
Всякий механизм стремятся сделать таким, чтобы бесполез­
ные потери энергии в нем были по возможности малы, т. е.
чтобы к. п. д. был возможно ближе к единице. Для этого
уменьшают насколько возможно силы трения и всякие вред­
ные сопротивления в механизме. В наиболее совершенных
механизмах
эти
потери
к. п. д. оказывается
лишь
удается
на
снизить
настолько,
что
несколько процентов меньше
единицы.
Многие машины получают или отдают энергию не в виде
механической энергии, а в каком-либо другом виде. Напри­
мер, паровая машина использует энергию, которой обладает
нагретый и сжатый пар; двигатель внутреннего сгорания энергию, которой обладают горячие и сжатые газы, образо­
вавшиеся при сгорании горючей с~еси. ЭлектрическиЙ.дви­
гатель использует работу, совершаемую электромагнитны­
ми силами. Наоборот, генератор электрического тока полу­
чает энергию в виде механической, а отдает в виде электро­
магнитной энергии. Во всех этих случаях, помимо потерь
на трение, могут возникать и другие потери, например на­
гревание ПРОВОДНИКОБ протекающим по ним электрическим
током. Понятие к. п. д. И В этих случаях сохраняет преж­
ний смысл: к. п. д. машины называют отношение мощности,
отдаваемой машиной, к мощности, потребляемой машиной,
независимо от того, в виде какой энергии эта мощность
потребляется и отдается.
-
?
109.1. В ДВОЙНОМ блоке, имеющем радиусы 40 и 5 см, к веревке,
навитой на меньшии блок, приложена сила 1000 Н. ДЛЯ того что­
бы преодолеть силы трения в блоке и поддерживать ПОСТОЯННОЙ
скорость его движен·ия, ко второму концу блока приложена сила
130 Н, Каков к. п. Д. блока?
211
_
109.2.
Какую работу нужно произвести, чтобы, пользуясь поли~
спастом,
к. п. д. которого
равен
250 кг на высоту 120 ,см?
109.3. Найдите к. п. д. установки,
65 %,
поднять
груз
массы
состоящей из электрического
мотора, приводящего в движение водяной насос, который подает
на высоту 4,7 м 75 л воды в секунду, если электромотор потре­
бляет МОЩНОСть 5 кВт.
109.4. Электромотор, имеющий к. п. д. 90 %, прююдит в дей~
ствие насос, к. п. д. которого равен 60 %. Каков к. п. д. всей
установки?
109.5. Электропоезд движется равномерно со скоростью 60 км/ч.
Двигатели электропоезда потребляют при этом мощность 900 кВт.
Определите силу сопротивления,
испытываемого всем поездом
при движении, если известно, что общий к. п. д
передающих механизмов составляет 80
109.6.
Можно ли поднимать груз массы
%:
50 кг
двигателей и
со скоростью
3
м/с
при помощи электромотора, потребляющего ЭJIектрическую мощ~
ность 1,4 кВт?
Г л а в а
§ 110.
V.
КР~ВОЛ~НЕRНОЕ ДВ~ЖЕН~Е
Возникновение криволинейного движения. Мы виде­
ли, что в отсутствие сил тело движется прямолинейно (и рав­
номерно); оно движется прямолинейно (но не равномерно)
и тогда, когда направления силы и скорости совпадают либо
противоположны, т. е. векторы F и 'v коллинеарны *).
Но если сила направлена под углом к скорости тела, то
траектория движения тела искривляется. Криволинейно
движется камень, брошенный под углом к горизонту (сила
тяжести,
направленная
вертикально,
не
коллинеарна
ско­
рости тела), груз, вращающийся по кругу на веревке (сила
Рис.
171.
Магнит искривляет траекторию катящегося стального шарика
натяжения веревки не коллинеарна скорости груза), пла­
нета, обращающаяся вокруг Солнца, Луна или искусствен­
ный спутник, обращающиеся вокруг Земли (сила тяготения,
направленная к притягивающему телу, не коллинеарна ско­
рости движущегося тела).
Толкнем стальной шарик, лежащий на горизонтальном
стекле. Так как в этом случае трение ничтожно, то после
толчка шарик покатится по стеклу практически с неизмен­
н"ой скоростью, равномерно и прямолинейно. Расположим
магнит так, чтобы один из его полюсов оказался вблизи
продолжения траектории шарика, но не на самой траекто­
рии (рис.
171).
Мы увидим, что, проходя мимо магнита,
*) Коллинеарными называются векторы, направленные вдоль параллельных прямых в одну и ту же либо в противоположные стороиы.
В частном случае коллннеарные векторы могут быт!> направлены вдоль
одной н той же прямой. (Примеч. ред.)
213
-
шарик будет двигаться криволинейно-; Миновав магнит,
шарик снова будет двигаться практически прямолинейно, не
уже по другому направлению, чем первоначально. Сила,
искривляющая
путь
шарика,- это
сила
притяжения,
на­
правленная от шарика к магниту. Сила магнитного притя­
жения быстро убывает с расстоянием, поэтому она оказы­
вает заметное действие только вблизи от магнита.
В приведенных примерах на тело действует сила, на­
правленная
под
углом
к
направлению
движения,
и
в
ре­
зультате действия этой силы траектория тела искривляется.
Если бы сила была направлена вдоль траектории, то искрив­
ления траектории не получилось бы: так, при вертикальном
бросании тела оно опишет прямолинейную вертикальную
траекторию;
если
полюс
магнита
расположен
на
про­
должении траектории шарика, то его траектория не искри­
вится,
и
т. п.
Ускорение при криволинейном движении. Второй за­
кон Ньютона устанавливает соотношение между силой, а
также массой и ускорением тела:.
§ 111.
a=F/m.
(111.1)
Здесь т - масса тела, а - его ускорение, F - равнодейст­
вующая всех сил, приложенных_к телу (см. формулу (44.1)).
В случае прямолинейного движения векторы можно заме­
нить их модулями (точнее, проекциями на прямую, вдоль
которой движется тело). В т.аком упрощенном виде мы
применяли второй закон Ньютона до сих пор. Однако при
изучении
криволинейного движения
векторным уравнением
При криво:линейном
нужно
пользоваться
(111.1).
движении
скорость
изменяется,
вообще говоря, и по модулю, и по направлению. Чтобы оха­
рактеризовать оба изменения отдельно, разложим векторы,
стоящие слева и справа в уравнении (111.1) на тангенци­
альные (касательные) и нормальные (центростремительные)
составляющие. Обозначим тангенциальную и нормальную
составляющие ускорения через а-,; и а n , а тангенциальную
и нормальную составляющие силы через F-,; и Fn • Тогда
второй закон Ньютона можно написать отдельно для тан­
генциальных
и
нормальных
а-,;
= Fт,/т,
составляющих:
аn =
Fn/m.
Тангенциальная составляющая силы вызывает тангенци­
альное ускорение тела, характеризующее изменение модуля
скорости,
214
а
нормальная
составляющая
силы
вызывает
нормальное ускорение тела, ХRрактериэующее изменение на­
правления скорости (рис. 172).
Если сила все' время нормальн~ к траектории, то тело
движется равномерно, т. е. с постоянной по модулю ско­
ростыо, И наоборот, если известно, что тело движется Р,!В­
.
номер но, то отсюда следует, что тангенциальная составляю­
щая
силы
равна
нулю
и
тело
имеет
только
нормальную
составляющую ускорения.
В тех случаях, когда нас интересует движение проекций
т'ела на определенные оси, например на вертикальное и го­
ризонтальное направления, можно спроектировать векторы
Рис,
ные
Тангенциа,1Ь.
172.
и
норма,%ные
С1jlвляющие
Рис. 173. Проекции на оси х и g
ускорения и силы, действующей
со·
СИ,1Ь!
на те,10
и
ускорения
а и
F в уравнении (111.1) на эти оси. Обозначив проекцию
какого-либо
(рис.
173),
вектора
на
ось
соответственным
значком
найдем
ах = Рх/т,
ау = Ру/т.
Эти уравнения определяют УG.корения, с которыми будут
двигаться проекции движущейся точки на выбранные оси.
Такими уравнениями удобно пользоваться, например, если
сила имеет постоянное направление, которое можно выбрать
за направление одной из осей (§ 112).
С помощью второго закона НьютоШl можно, зная массу
тела и измеряя его ускорение, вычислить резу.'1ЬТИРУЮЩУЮ
всех сил, действующих па теЛD. Можно также, зная массу
тела, модуль и направление результирующей всех действую­
щих на него сил, найти модуль и направление ускорения
тела.
?
•
t t 1. t. Отдельные учас1'ки приводиого ремня движутся на уча­
стке между шкивами прямолинейно. Взойдя на шкив, эти участки
215
.
начинают
двигаться
криволин,Ц.!!9
(П9
Оj$руi!tI:lОСП1
ШК/ШЭ).
Укажите силы, заставляющие учасtки ремня на Шкиве двигаться
криволинейно.
§ 112.
Движение тела, брошенного в горизонтальном на­
правлении. Рассмотрим движение тела, брошенного гори­
зонтально и движущегося под действием одной только силы
тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Напри­
мер, представим себе, что шару, лежащему на столе, сооб­
щают толчок и он докатывается до н:рая
стола
свободно падать, имея начальную скорость
ную горизонтально (рис.
и начинает
Vo, направлен­
174).
Спроектируем движение шара на вертикальную ось у
и на горизонтальную ось х. Движение проекции шара на
ось х
Рис.
-
174.
это движение без ускорения со скоростыо
Движение шара, ска­
тившегося
со
стола
Рис.
175.
Шар,
горизоитально
со
vx=vo;
брошенный
скоростью
t'/Q, имеет в момент 'скорость t'I
движение проекции шара на ось у - это свободное падение
с ускорением а ==g бев начальной скорости под действием
силы тяжести. Законы обоих движений нам известны. Ком­
скорости V x остается постоянной и равной vo.
Компонента v y растет пропорционально времени: vy=gt.
Результирующую скорость легко найти по правилу парал­
лелограмма, как показано на рис. 175. Она будет наклонена
понента
вниз, и ее наклон будет расти с течением времени.
Найдем траекторию тела, брошенного горизонтально.
Координаты тела в момент времени
x==vof,
y==gN2.
t
имеют значения
(112.1)
(112.2)
Чтобы найти уравнение траектории, выразим из (112.1)
время t через х и подставим это выражение в (112.2). В ре-
216
!':
",'
,
.$ультате получим
х2
Y -_--.L
2
•
(112.3)
2ио
График этой ФУНКЦИИ показан на рис.
траектории
абсцисс.
оказываются
Мы знаем,
176.
Ординаты точек
пропорциональными
что
такие
квадратам
O~;;:----~----~
.7J
кривые называются параболами.
Параболой изображался график
пути
равноускоренного
движе­
ния (§ 22). Таким образом, сво­
бодно падающее тело, начальная
скорость которого горизонталь­
на, движется
Путь,
кальном
по
параболе.
проходимый
в верти­
направлении,
не
зави­
сит от начальной скорости. Но
путь, проходимый В горизон­
тальном
направлении
ционален
начальной
Поэтому
при
зонтальной
пропор­
скорости.
большой
начальной
сти парабола,
пО
гори­
скоро-
которой па-
!/
Рис. 176. Траектория тела,
брошенного горизонтально
дает тело, более вытянута в горизонтальном
направлении.
Если
из
расположенной
горизонтально трубки выпускать струю воды (рис. 177),
то отдельные частицы воды будут, так же как и шарик,
двигаться по параболе. Чем больше открыт кран, через
который поступает вода в трубку, тем больше начальная
скорость
воды
и
тем дальше
от
крана
попадает струя
на
дно кюветы. Поставив позади струи экран с заранее начер-
',.... ,
\
\
"
,
""
\
\\
\
\
\
\
\
,
\
\\
\
I
I
\
\
,
4!
Рис.
177.
Струя имеет форму шiраболы, тем более вытяиутой, чем боль­
ше
начальная
скорость .воды
, 211
·
ченными на нем параболами, можно убедиться, что струя
воды действительно имеет форму параболы.
Зная начальную скорость Vo и высоту падения h, можно
найти расстояние s по горизонтали до места падения. Дейст­
~ительно, положив в формуле (112.3) y=h и x=s, получим
s . V o V2h/g.
112.1.
1
Какова будет через
2
с полета скорость тела, брошенного
горизонтально со скоростью 15 м/с? В какой момент скорость
будет направлена под углом 450 к горизонту? Сопротивлением
воздуха пренебречь.
112.2. Шарик, скатившийся со стола высоты 1 м, упал на расстоя­
нии 2 м от края стола. Какова была горизонтальная скорость ша­
рика? Сопротивлением воздуха пренебречь.
НЗ. lIвижение тела, брошенного под углом к горизонту.
Если начальная скорость брошенного тела направлена вверх
под некоторым углом к горизонту, то в начальный момент
§
тело имеет составляющие начальной скорости как в гори­
зонтальном, так и в вертикальном направлениях (рис.
178).
h ---------1
'~'A
:=-19-~
JJ
Рис.
178.
Траектория тела, брошенного под углом а к горизонту (В от­
сутствие сопротивления воздуха)
Задача отличается от рассмотренной в предыдущем пара­
графе тем, что начальная скорость не равна нулю и для
движения по вертикали. Для горизонтальной же состав­
ляющей все сказанное остается в силе.
Введем координатные оси: ось у, направленную по вер­
тикали вверх, и горизонтальную ось х, расположенную в од­
ной вертикальной плоскости с начальной скоростью 'V o•
Проекция начальной скорости на ось х равна Vocosa, а на
ось у ращш V o sin а (при показанном на рис. 178 направле­
ние осей х и у обе проекции положительны). Ускорение
тела
равно
g
и,
следовательно,
все время
направлено по
вертикали вниз. Поэтому проекция ускорения на ось у равна
-g,
а
на
ось
х
-
нулю.
.
Поскольку составляющая ускорения в направлении оси
х отсутствует, проекция скорости на ось х остается постоян­
ной и равной своему начальному значеНИI9 V o cos а: Следо-
218
вательно, движение проекции тела на ось х б.удет равно­
мерным. Движение проекции тела на ось у происходит
в обоих направлениях - вверх и вниз - с одинаковым
ускорением g. Поэтому на прохождение пути вверх от
произвольной высоты У до высоты подъема h заТРl1чивается
такое же время L1 t, как и на прохождение пути вниз от вы­
соты 1L дО у. Отсюда следует, что симметричные относитель­
но вершины А точки (например, точки В и С) лежат на оди­
паIСОDОЙ высоте. А это означает, что траектория симметрич­
на относительно точки А. Но характер траектории тела пос­
ле точки А ~!ы уже выяснили в § 112. Это - парабола, ко­
торую описывает тело, летящее с горизонтальной началь­
пой скоростью. Следовательно,
все то,
что МЫ говорили
относительно траектории тела в предыдущем параграфе,
в равной мере относится и· к рассматриваемому случаю,
только вместо «половины параболы» ACD тело описывает
«полную параболу» OBACD, симметричную относительно
точки А.
Проверить полученный результат можно также при цо­
мощи струи воды, вытекающей из наклонно поставленной
трубки (рис. 179). Если позади струи поместить экран с
Рис.
179.
Струя имеет форму параболы, тем более вытянутой, чем больше
начальная
скорость
струи
заранее начерченными параболами, то можно увидеть, что
струи воды также представляют собой параболы.
Высота подъема и 'рассТояние, которое пройдет брошен­
ное
тело
в
горизонтальном
направлении
до
возвращения
на ту высоту, с которой тело начало свое движение, т. е.
расстояние OD на рис. 178, зависят от модуля и направле­
ния начальной скорости 'Vo. Прежде всего, при данном на­
правлении начальной скорости и высота и горизонтальное
расстояние тем больше, чем больше ~юдуль начальной ско­
рости (рис. 179).
Для одинаковых по модулю начальных скоростей рас­
стояние,
которое проходит тело в
горизонтальном направ­
лении до возвращения на первоначальную высоту,
от направления начальной скорости (рис.
180).
зависит
При увели­
чении угла между скор.остью и горизонтом это расстояние
219
сначала увеличивается, при угле в
450 достигает наиболь­
шего значения, а затем снова начинает уменьшаться.
Проведем расчет движения тела, брошенного вверх под
углом а к горизонту с начальной скоростью 'Vo (рис. 178).
Напомним, что проекция скорости тела на ось х постоянна
Рис.
180.
При увеличении наклона струи, вытекающей с данной ско­
ростыо, расстояние, на которое она бьет, сначала увеличивается, до­
стигает наибольшего значения при наклоне в
450, а затем уменьшается
и равна V o cos а. Поэтому координата х тела в момент време­
ни t равна
(113.1)
x=(V o cos a)t.
Движение проекции тела на ось у будет сначала равно­
замедленным. После того как тело достигнет вершины тра­
ектории А, проекция скорости vy станет отрицательной,
т. е. одного знака с проекцией ускорения, вследствие чего
начнется равноускоренное движение тела вниз. Проекция
скорости
на
ось
у
изменяется
со
временем
по
закону
vy=vosincx-gt.
(113.2)
В вершине траектории А скорость тела имеет ТOJ1ько
горизонтальную составляющую, а vy обращается в нуль.
Чтобы найти момент времени A , в который тело достигнет
t
вершины траектории, подставим в формулу
сто
(113.2) tA
вме­
t и приравняем получившееся выражение нулю:
.
tА
vоsшсх-g
= О;
Определяемое формулой
отсюда
(113.3)
t А =Vo
slnа.'
-g
значение
tA
(113 . 3)
дает время, за
которое брошенное тело достигает вершины траектории.
Если точка бросания и точка падения тела лежат на одном
уровне, то все. время полета t пол будет равно 2tA :
t
220
- 2 Vo sin а.
ПОЗI-
g'
(113.4)
Умножив tl x на время полета !ПОIl' найдем координату х
'ГОЧК!i
падения
S
тела,
т. е.
дальность
полета:
o~ sIn 2а
200 slna
= xD = Vocos а ---'-g--.
(113.5)
g
Из этой формулы видно, чтО дальность полета будет макси­
мальной в случае, когда 2а=90 0 , т.-е. при а=45 0 (что
уже указывал ось выше).
Согласно формулам
няется
со
временем
(22.1)
по
у
и
координата у изме­
(l13.2)
закону
= (vo sin а) t- gt
2
2
(113.6)
,
t
Подставив в эту формулу A вместо t, найдем координату У,
отвечающую вершине_ траектории А, т. е. высоту. подъема
тела h:
(ОО Slna)2
.
00 slna
g
·
h =УА=vоsша-g--2'
Приведя
подобные
члены,
h_
-
-е-
.
получим
o~ sIn 2 a
2g
•
(113.7)
Высота растет с увеличением а и достигает наибольшего·
значения, равного v~/2g, -при а=900 , т. е. при бросании
тела
вертикально
?
Камень, брошенныii с земли вверх под углом к горизонту,
падает обратно на землю на расстоянии 14 м. Найти горизон­
вверх".
113.1.
тальиую и вертикальную составляющие начальной скорости
камня, если весь полет продолжался 2 с. Найти наибольшую вы­
соту подъема камня над землей. Сопротивлением воздуха пре­
небречь.
Пожарный направляет струю воды на крышу дома высоты
Над крышей дома струя поднимается на 5 м. На каком
расстоянии от пожарного (считая по горизонтали) струя упадет
113.2.
15 м.
на крышу, если она вырывается из шланга со скоростью 25 м/с?
Сопротивлением
§ 114.
воздуха
прене6речь.
Полет пуль и снарядов. Вследствие большой скорости
полета пуль и снарядов сопротивление воздуха сильно из­
меняет их движение по сравнению с результатами расчетов,
. проведенных в
предыдущем параграфе. Если бы сопротивле­
ние воздуха отсутствовало, то наибольшая дальность поле­
та пули или снаряда наблюдалась бы, как указано выше, при
угле наклона ствола винтовки или ор'удия, равном 450. Как
можно
показать, сопротивление воздуха приводит. к такому
изменению
траектории
пули,
что
угол
наклона,
соот-
221
neтствующий максимальной ЩЩ,",iЮСТК.. q~Bblвaeтcst ~ньще
(для разных начальных скоростей Пули он pa-з.пИЧe}i),
450
Вместе с тем и дальность полета (а таJ<же и наиБQльшая
Bы&>аa подъема) оказывается гораздо меньшей. НаfIрим,~р,
при начаЛЬНОЙ скорости
870 м/с
и угле
450 в отсутствие со­
противления среды дальность полета пули сосiав~яла бы
около 77 км. Между тем в воздухе при Этой начальной ско­
рости наибольшая дальность полета не превыша~т 3,5 км,
т. е. уменьшается более чем в двадцать раз; во МlIOГО раз
уменьшается также и наибольшая высота подъема пули.
Влияние сопротивления воздуха на полет снарядов
уменьшается с увеличением размеров снарядов по той же
причине, что 'и в случае свободного падения тела (§ 68):
масса снаряда растет, как куб размера, а сила сопротивле­
ния воздуха - как квадрат разм~ра снаряда. Таким об­
разом,
отношение
снаряда,
т. е.
силы
сопротивления
влияние сопротивления
воздуха
среды,
к
массе
уменьшается
с увеличением размера снарядов. Поэтому при тех же са­
мых начальных скоростях вылета снаряда дальнобойность
артиллерии растет с увеличением калибра снарядов. Вместе
с тем и наивыгоднейший угол с горизонтом ,приближается
к 450. Дальнобойные тяжелые
орудия стреляют под углом,
близким к
А
Рис.
450.
Так как
при
этом снаряды поднимаются на
/
;:.;;:.;;:.; ;:.;;:.; /;:.; '/
Настильная (1) и на­
весиая (2) стрельба
181.
большую высоту, где плот­
ность атмосферы мала, товлия­
ние
,сопротивления
становится
еще
воздуха
менее
замет­
ным. Минометы, выбрасывающие тяжелую мину с неболь­
шой начальной скоростью (что также уменьшает роль со­
противления воздуха),. стреляют на наибольшее расстоя­
ние также под углом, близким к 450.
Если цель С находится на расстоянии, меньшем lJeM
наибольшая дальность выстрела АВ (рис.
181),
то снаряд
может попасть в цель двумя путями: при угле наклона либо
меньшем 450 (настильная стрельба), либо большем
весная стрельба),
§ 115.
Угловая скорость.
движение
450
(на­
точки по окружности
можно характеризовать углом ПОБорота радиуса, соединяю­
щего ДБИЖУЩУЮСЯ точку С центром окружноСти
*).
Измене-
..) Иными словами, углом IЮворота радиус-вектора ДВJFЖущейся
тоtlки. (Прu.&lеч, ред.)
222,
нне этого угла с течением 'Времени характеризуют yгtlЩJO!l
с"оростью. Угловой скоростью точки называют отношение
угла' поворота радиус-вектора точки
1<
промежутку време­
ни, за который произошел этот поворот. Угловая скорость
численно
равна
единицу
времени.
углу
поворота
радиус-вектора
точки
за
Угол поворота обычно измеряют в радианах- (рад). Еди­
ницей угловой скорости служит радиан в секунду (рад/с)
-
угловая скорость, при которой точка описывает дугу, опи­
рающуюся на угол, равный одному радиану, за одну се­
кунду.
Полный оборот по окружности составляет 2л рад. Зна­
чит, если точка Вр.ащается с частотой
рость
n,
ТО ее угловая с"о­
есть
ro=2лn рад/с.
Если движение точки по окружности неравномерно, то
можно ввести понятие средней угловой с"орости и мгнО8еННОЙ
угловой с"орости, как это делаJtось для обычной скорости
в случае йеравномерного движения, В дальнейшем, однако,
будем рассматривать только равномерное движение по
окружности.
«Обычную» скорость будем, в отличие от угловой ско­
рости, называть линейной скоростью. Легко найти связь
между линейной скоростью точки v, ее угловой скоростЬЮ (j)
и радиусом r окружности, по которой она движется. Так как,
описав у.тол, равный одному радиану, точка проА:rtет по
окружнМtи расстояние, -равное .радиусу, то
(115.1)
т. е. линейная скорость при движении по о"ружности равна
угловой скорости, умноженной на радиус о"ружнqeти.
Пользуясь
(115.1), можно вырази'ть центростреМhТель­
ное ускорение точки при движении по окружности через уг­
ловую
(115.1)
скорость. Подставляя выражение для скорости
в (27.1), найдем формулу, выражающую цеН't'ростре­
мительное
ускорение
через
угловую
скоростЫ
(115.2)
При рассмотрении вращения твердого тела вокруг оси
rакже используется понятие угловой скорости! в этом слу­
чае угловая скорость у всех точек тела одинаКОВ~1 так юж
все они поворачиваются на один и тот же угол. Таким об­
раЗОМ,вр.аw,енке твердого тела вокруг оси можно охаракте-
223
-
\.
ризовать угловой скоростью, с которой движутся всеего
точки. Поэтому будем называть ее угловой скоростью тела.
Из формул (115.1) и (115.2) видно, что при вращении
твердого тела линейные скорости его точек и их центростре­
мительные
этих
ускорения
точек
?
до
115. t.
оси
пропорциональны
расстоянию
от
вращения.
Две ТОЧКИ движутся с одинаковыми угловыми скоростями
1 I 2. Найдите
по окружностям, радиусы которых относятся, как
•
отношение
ускорений этих точек.
Что больше: угловая скорость вращения часовой стрелки
часов или угловая скорость вращения Земли?
115.2.
Силы при равномерном движении по окружности.
мы показали, что равномерное движение по окруж­
§ 116.
В § 27
ности есть движение с постоянным ПО модулю ускорением,
направленным к центру окружности. Но ускорение тела
всегда обусловлено наличием силы, действующей в направ­
лении ускорения. Значит, для того чтобы тело раВНО;';lерно
,,/
/
~ . . ~ ... -
.~"'------"'_...
сила, постоянная
(~\'
~ :
.
~\
\,
Рис.
182.
окружности,
на него должна действовать
,~
по моду-
лю на всей окружности и
I
'о"
двигалось по
меняющая свое направле-
~1
ние так, что она все время
остается
направленной
центру окружности.
в
........______ ...... -.
динамометр
показывает
силу, с которой нить действует на
шарнк, движущий~я по окружности
самом
деле,
во
со
стороны
вращении шарика на нити
жения
ности
тела
мы
по
окруж­
можем
какого-либо ДРу'гого тела.
-
всех
случаях равномерного дви­
ружить такую силу,
ствующую
к
обна­
дей­
При
это сила натяжения, действу­
ющая со стороны растянутой нити на шарик; ее легко об­
наружить,
(рис.
182);
привязав
нить
другим
концом
к
динамометру
при движении шарика по круговому желобу
или при движении поезда по закруглению пути
-
это сила
реакции, действующая со стороны деформированного жело­
ба на шарик или деформированного.рельса на колеса поез­
да, направленная к центру дуги окружности, по которой
движется шарик или поезд; в случае движения. планет БО­
круг Солнца - это сила "притяжения к Солнцу.
Если действие силы прекращается (например, обрывает­
ся нить, к которой привязан шарик), то исчезает и центро­
стремительное ускорение: дальше шарик полетит. по каса-
224
тельной к окружности (Т. е. по направлению скорости, ко­
торой обладает шарик в момент исчезновения силы).
Сила, необходимая для того, чтобы тело массы т равно­
мерно двигалось
"
со скоростью V по окружности радиуса
может быть найдена на основании второго закона Нью­
тона. Так как ускорение тела
.
a=vl /"
то требуемая сила
тv·
Р=ma=-г-,
(116.1)
Итак, для' того чтобы тело равномерно двигалось по
о"ружности, на него должна действовать сила, равная nро­
изведению массы тела на квадрат с"орости, деленному на
'радиус о"ружности. Отсюда видно, что чем меньше радиус,
тем большая сила требуется при заданной линейной скоро­
'сти движения тела. Например, для заданной скорости ав­
томобиля при повороте на закруглении дороги на колеса
-автомобиля со стороны грунта
должна действовать T~M боль­
шая сила,
чем меньше радиус
закругления, т. е.
повррот.
Обратим
чем круче
внимание
еще на то, что скорость входит
в формулу силы во второй сте­
пени; значит, при увеличении
скорости движения по окруж­
ности данного радиуса
сила,
требующаяся для поддержа­
'ния такого движения, растет
очень быстро. В этом можно
убедиться, разгоняя по окруж­
:ности грузик, привязанный
нитью к динамометру: показа­
'ния динамометра будут быст­
ро
расти с увеличением
рости
ско­
грузи ка.
Силы
при
вращательном
движении можно выражать че­
рез угловую скорость. При
ПОМОЩИ
формулы
(115.2)
найдем, что для поддержания
равномерного
окружности
движения
Рис. 183. Устройство тахометра.
При увеличении частоты 'вра­
щения вала стержень,
соединя­
RnЦий грузы, поворачивается на
больший угол
по
на тел9 массы
т должна действовать сила
Р=ma=тro 2г.
(116.2)
Таким образом, с возрастанием угловой скорости 'сила,
необходимая для поддержания вращения, быстро возрастав
Элементарны.Й учебннк фнзнкн. т. 1
225
ет, Это. обстоятельство используется для устройсiв-а ·неко­
то.рых типов тахометров прибо.ров для определения час­
тоты ~ращ~ния машины.
Принцип устройства тахометра виден нз рис. 183. На
валу укреплены на легко.м стержне грузы 1. Стерженьмо­
жет своБОДlfО вращаться вокруг точки О. Пружинки 2
удерживают стержень с массами вблизи вала. Что.бы при
вращении вала шарики двигались по окружностям, нео.б­
ходима сила тем большая, чем быстрее вращается вал. Так
как эту силу создают n.pужинки 2, притягивающие шарики
j( оси вращ~ния, то чем бо.льше'частота вращения вала, тем
сильнее должны быть растянуты пружинки. Значит, с уве­
личением частоты вращения
вала
возрастает
угол,
на ко­
то.рый стержень ОТКJf0няется от вала. Со стержнем скреп­
лена стрелка 3, движущаЯ'ся вдоль "Шкалы, на которой на­
носят- деления,
соответствующие
разным
частотам враще­
н~я вала.
?
116.1. Велосипедист, масса которого ~MeCTe' с ве.'10сипедом равна
80 кг, движется со скоростью 9 км/ч по окружности радиуса 15 м.
Определите -действующую на
него
силу.
116.2. На пружинке, имеющей длину
50
см,
/10двешен
груз,
.которыЙ растягивает пружинку на 1 СМ. l30зьмем второй конец
пружиню! в руку и раскрутим груз в горизонтальной плоскости
так, чтобы пружинка растянулась на
10
см. Какова при этом
скорость груза? Сида, с котоJЭОЙ действует растянутая пружинка,
ПРОПОРЦ,ЮНaJJьна растяжению. Действием силы тяжестн при
врашеНllИ груза пренебречь.
Возникновение силы, действующей на тело, движу­
щееся по окружности. Из того, что при криволинейном
§ t 17.
движении тело испытывает усуорение, следует, что на него
должны действовать силы. Например, грузик, привязанный
к
нити,
случае,
может
может
двигаться
по
окружности
только
если нить тянет его с некоторой силой.
тянуть
(растянута).
грузик,
только
Сле~овательно,
происхождение сил,
если
для
она
то.го
в
том
Но нить
деформирована
чтобы
объяснить
обусловливающих движение грузика
ро окружности, мы должны объяснить, почему при рассмат-
~иваемо.м движении нить оказалась растянутой.
Как
уже
указывалось
'
(§ 58), деформация тела есть
результат того, что его разные части Б течение некоторо.го
времени двигались по-разному. В щ,шем примере картину
вОзникно.вения деформаций сделаем наглядной, по.лагая,
ЧТ() ~примен-ена легко р-астяжимая нить,
например тонкая
резlfновая нить. Закрепим один ее конец неподвижно в точ­
ке О, а КДР:УГОМ.У концу црикрепи·м .груэик '(рис. 184). :Вы­
звать J3рaw.ение :J;Р,УSИК8 :BOIiPY.f т.ОУИИ .о :можн.о,: с.аобщИв!ему
ш
некотор'у'Ю, скорость
"0 в направлении,
перпендикулярнQМ.
к нити. В первый момент после начала движения сила со
стороны, нити на грузик не. действует - резина не растя­
Ну.та. Поэтому он начнет двигаться прямолинейно и расстоя­
ние между. ним и точкой О будет увеличиваться (расстоя­
ние ОА больше, чем р'зсстояние ОА о), резина начнет растя­
гиваться, в результате чего появится сила, деЙству.ющая
~-.,.
I
......
. ..
~
,.,,#*
~~
.....
"·'1 А
..... ""'1/
6
f
I
UQ
06"'"
ArJ
184,
Рис,
В первый момент после
толчка грузик' движется по прямой
АоА и его расстояние от точки'О
I
.I
J
.._-.......
\
~.,t., \\
"
r'
.." ,
.
:
",
1
~y"
''\
Рис,
зика
,..,' ~~::
(10,:
,,"
...... ...... _-_ ......
185.
...." '
,
:
Движение гру­
после
начальпoro
толчка
увеличивается
на грузик СО стороны нити, ОН получит ускорение, направ­
ленное к точке О, и его траектория начнет искривляться.
Однако пока нить мало растянута, это искривление
траектории будет недостаточным для того, чтобы грузик
двигался по окружности, и он будет продолжать удаляться
от точки О, увеличивая растяжение нити, а значит, и силу,
действующую на. грузик (рис. 185),. В результате кривизна
траектории будет продолжать увеличив~ться. пока траек­
тория не превратится в окружность. Тогда нить перестанет
растягиваться. следователыю' установится как раз такое
растяжение нити, при котором она. буде.т, действовать на
грузи к с силой упру.гостн, .сообщающей ему у.скорение, не­
обходимое ДJI~ равномерного движения по окружности,
раднус которой равеи,длине р.астянувшеЙся нитй. Эта сила,
как мы знаем (см. формулу (1.16.1)), должна быть равна­
mv2 /r, где т - масса, грузика, V - его скорость и r - ра­
диус траектории. Если нить жесткая или, еслИ амес.то НИТИ
взять
стержень,
то
практически
растяжение,
создающее
требуемую силу, будет очень мало и. в. качестве
r
можно
взять длину нерастяну,той i::IИТИ или исходную длину стерж­
ня,
а за
установившуюся скорость принять, начальную
_
Примерно так же B03H~Kaeт и деформация цскривлеино­
скорость
'ио.
го желоба, по котоыому катится шарик; желоб. искривляет
8-
~
траекторию шарика. Если бы желоба' не было, шарик дви­
гался бы прямолинейно. ,в искривленном желобе шарик
"оже будет двигаться прямолинейно до тех пор, пока на
него не подействует сила со стороны желоба. Если бы желоб
был очень мягкий, то, двигаясь в нем, шарик заставил бы
желоб выпрямиться. )I\есТlЩЙ искривленный желоб при
движении шарика тоже немного выпрямляется. Но в жест­
ком желобе упругая сила, которая сообщает шарику уско­
рение, необходимое для того, чтобы он двигался криволи­
нейно, следуя за кривизной желоба, возникает уже при
ничтожной деформации.
Если нить и желоб' мало деформируются под действием
rрузика или катящегося шарика, можно считать нить и же­
лоб жесткими связями (§ 75). В этом случае можно предска­
зать траекторию тела: она определится формой связи. Так,
для мало растяжимой нити можно заранее сказать, что тра­
ектория привязанного к ней грузика будет близка к окруж­
ности с радиусом, равным длине нерастянутой нити; мя
жесткого желоба можно заранее сказать, что траектория
шарика будет близка к исходной форме желоба.
§ 118.
Разрыв маховиков. При вращении колес,
дисков и
т. п. возникают деформации того же типа, что и деформации
связей, заставляющих тело двигаты;я по окружности. Имен­
но силы, обусловленные такими деформациями, и сообщают
частям
вращающегося
тела
центростремительные
ускоре­
ния, необходимые для того, чтобы эти части двигались по
окружностям. Если тела жесткие, то деформации очень
малы и их непосредственное наблюдение затруднительно.
Однако эти деформации могут привести к разрушению вра­
щающегося тела: были случаи, когда маховики и другие.
вращающиеся
части
Разрушение связано
скорости
машин
разрывались
обычно с
при
движении.
превышением допустимой
вращения.
Выясним картину разрушения вращающегося тела. Нач­
нем с движения грузика, закрепленного на резиновой нити,
по окружности. Если скорость грузика, движущегося по
окружности, увеличить, го устаНОВИБшееся растяжение­
нити окажется- недостаточным для поддержания движения
грузика с увеличенной скоростью по той же окружности.
Грузик опять начнет удаляться от центра, и растяжение
нити будет возрастать до тех пор, пока снова не установится
растяжение, соответствующее новой скорости и новому,
слегка увеличенному радиусу окружности. Если мы будем
все более и более увеличивать скорость грузи ка, то растя-
228
жени е нити будет продолжаться. Но резиновая нить, как
и всякое тело, не может удлиняться беспредельно. При
некотором удлинении должен наступить разрыв. Поэтому,
если мы будем продолжать увеличивать скорость грузика,
то в конце концов нить оборвется. Как мы уже знаем, после
обрыва нити грузик полетит по касательной к траектории
в точке, в которой произошел обрыв нити.
Подобно этому происходит и разрыв махового колеса
при СЛИШКОМ быстром вращении. Если скорость вращения
настолько велика, что даже при наибольшем растяжении,
которое могут выдержать спицы, они не могут сообщить
частям обода необходимое центростремительное ускорение,
тЬ удлинение спиц продолжается, и когда оно превосходит
допустимый преде,л, наступает разрыв. Части колеса раз­
летаются по касательным к окружности колеса. Так как
центростремительное ускорение быстро растет с увеличе­
нием радиуса траектории и особенно угловой скорости вра­
щающегося тела (см. формулу (116.2», то крупногабаритные
Рис.
186. Сушильная машина
и быстро вращающиеся части машин, например роторы бы­
строходных турбин, приходится· делать исключительно
прочными. Невозможность обеспечить требуемую прочность
вращающихся частей часто ставит предел увеличению быст­
роходности
машины.
Явления, по существу сходные с теми, которые ПрОИСХО·
дят при разрыве маховика, наблюдаются в сушильной
машине (рис. 186). Мокрая ткань закладывается в решетча­
тый барабан, который приводят В быстрое вращение. При
большой скорости вращения силы сцепления между капля­
ми влаги и тканью оказываются недостаточными для того,
чтобы
сообщить каплям
центростремительное УСКОРf'ние,
229
необходимое для движения по окружности. Капли влаги от­
рываются
.
от
ткани
и
улетают через отверстия в решетке
.
Таким образом, в рассмотренных случаях (разрушение
быстро вращающихся тел, отрыв капель от высушиваемой
ткани и т. п.) причиной ока­
зыв.з.ется
сил,
недостаточность тех
которые
могут
возник­
нуть без разрушения тела, по
сравнению
с
те:-.ш сила'\fИ, ко­
торые необходш.!Ы для
щения
чarтю!
тела или
сооб­
вращающегося
каплям воды центро­
стремительного
ускорения,
тр-::буе~юго при данной скоро­
сти движения. Здесь ярко про­
Рис. 187.
К упражнению 118.1
является различие :.У!ежду рав­
номерным прямолинейныM
и
равно:.У!ер ным криволинейным
движение~!:
ускорение
при
равномерном
отсутствует,
для
прямолинейном
поддержания
движении
движения
ника­
кие силы не требуются, и поэтому, как бы велика ни была
постоянная скорость этого движения, никаких разрушений
она вызвать не может.
"1
•
118.1. Н а конце стержня, имеющего длину 30 см и вращающегося
187). закреплен груз массы 50 кг. Найдите
вокруг точки О (рис.
частоту вращения, при которой произойдет разрыв стержня,
если, для того чтобы разорвать стержень неподвижной нагрузкой,
к его кониу нужно подвесить массу, равную 1 Т?
§ 119.
Деформация тела,. Движущегося по окружности. До
сих пор мы рассматривали только те силы, которые дейст­
вуют
на
тело,
движущееся
по
окружности,
со
стороны
связей, т. е. тел, искривляющих траекторию данного тела.
Такова, например, сила, действующая на грузик со стороны
нити, к которой он привязан. Но сразу видно, что грузи!(
а свою очередь должен действовать на нить с такой же по
модулю силой. Это вытекает из третьего закона Ньютона,
гласящего, что силы, с которыми действуют друг на друга
два тела (о нашем примере грузик И нить), всегда равны по
модулю и направлены в противоположные стороны. Следо­
вательно, шарик действует на нить с силой, также равной
ти2 /г, но направленной от центра. Эта силы приложена
к нити (а не к шарику), и поэтому мы не приню!али ее во
внимание, когда рассматривали движение шарика. Но при
изучении поведения нити нам нужно знать силы, действую­
щие
230
именно
Шl
НИТI;I.
Так обстоит дело при всяком. движении по окружности,
если это движение происходит под действием сил, обуслов­
ленных непосредственным СОПРИКОСНOIJением тел. При дви­
жении
по окружности д6JJжна
существовать сВязь
-
ка­
кое-mo другое тело, удерживающее движущееся ТМ0 на окру­
жности. Со стороны этой
СВSJзи
на
вращающее­
ся тело действует сила,
направленная к ценrnру
вращения. В свою оче­
редь
.1;{виж~щееся
должно
тело
деиствовать
на
эту связь с такой же по
•
модулю силои, но направленной оrn ценrnра.
Рис.
188.
в теле,
Возникновение деформации
движущемся
по
окружности
мы уже видели (§ 117), что сила, действующая со сто­
роны нити на движущийся по окружности грузик, обуслов­
лена деформацией этой нити. Так же и сила, с которой
грузи к действует на нить, вызвана соответственной дефор­
мацией грузика. Легко объяснить, почему. грузик также
оказывается в деформированном состоянии.
Для наглядности возьмем в качестве грузика тело удли­
ненной формы (рис. 188). Представим себе, что мы сообщили
вce]YI
точкам
тела
одновременно
одинаковую
скорость
i1"t
перпендикулярную к нити. Как мы знаем, в нити при этом
возникнет сила натяжения и она сообщает ускорение тем
точкам тела, к которым она прикреплена (на рис. 188левому концу тела). Путь левого конца тела начнет искрив­
ляться, в то время как правый конец тела будет еще продол­
жать двигаться прямолинейно, так как вначале никакие
силы на правый конец
тела не действуют. По­
этоМу
увеличится
рас­
стояние между левым и
правым концами тела­
тело
Рис.
]89.
Наглядиое
представление
начнет деформиро­
ваться.
Деформация
прекрат~тся только тог­
деформаuии вращаlOщегося тела на
примере пр ужины. Для сравнения'
да,
когда
вверху показана нер.астянутая пружина
при
деформации
возникшие
силы
обеспечат всем частям
тела ускорения, необходимые для вращения по окруж­
ностям.
Таким Образом, тело, дВижущееея по окружности под
действием сил, обусловленных непосредстБенныи сопри КОС-
231
новением с другими телами, всегда окажеТFЯ деформирован­
ным. Если тело жесткое, то деформации будут малы, но,
даже не наблюдая их непосредственно, мы обнаружим их
наличие по силе, с которой тело будет действовать на нить.
Но если взять легко деформирующееся тело, например сла­
бую цилиндрическую пружину, то деформацию можно
сделать заметной и на глаз (рис. 189). Деформации пружины
распределятся так, что на кажды~ виток со стороны сосед­
них витков будет действовать результирующая ,~ила, на­
правленная к центру, обусловливающая необходимое уско­
рение этого витка; растяжение будет наименьшим для
крайнего витка и будет расти к центру.
Деформированная нить действует также и на ось вра­
щения, к которой она прикреплена другим концом. В свою
очередь ось изгибается и благодаря этой деформации дейст­
вует с равной по модулю и противоположной по направле­
нию силой на прикрепленную к ней нить. Сила, действую­
щая на тело со стороны связи (оси и нити), направлена к
центру (она сообщает телу центростремительное ускорение).
Наоборот, сила, с которой вращающееся деформированное
тело действует на нить и на ось, т. е. на связь, направлена
от
,
•
центра.
119.1. Два тела массы !1Il и m 2 привязаны на нитях длины ri и Ге
и вращаются вокруг ТО'lки О С одинаковой угловой скоростью
(рис. 190). При каких условиях силы, действующие на
со стороны нитей, уравновесят
друг друга?
119.2. Барабан сушильной ма­
шины диаметра 80 см вращается
с
'lастотой
25 c- 1 •
С
TO'lKY
О
какой
силой давит на стенку барабана
кусок ткани массы
Рис.
190.
119.3.
1,5
К упражнению
К телу
1
2
Рис.
119.1
191.
К упражнению
такой же массы
191).
m.
К
l\pyroMY концу
1 вращается
Тело
нити при креплено
в горизонтальной
плоскости около ТОЧКи О, причем радиус траектории равен
С какой угловой скоростью должно вращаться тело
2 наХОДИJlОСЬ в равновесии?
232
119.3
массы т прикреплена" нить, которая пропущена
через отверстие О (рис.
тело
г?
1,
20
см.
'lтобы "тело
.....
119.4. Что произойдет в СЛУ'lае, описанном в преДЫдущей задаче,
еCJIИ МЫ: а) немиого подтолкнем тело 2 вверх или вниз; 6) поло­
жим на тело
2
небольшой добавочный ГРУЗ?
§ 120. «Американские горки». При криволинейном движе- .
нии
вагонетки по так называемым
(рис.
192,
«американским горкам»
а) ускорение ВОЗ,никает в результате действия как
а)
р
Рис,
192,
о)
а) Аттракцион «американские горки», б) СИЛЫ, действующие
в нижней и верхней TO'lKaX «американских горок.
силы притяжения Земли, так и силы, обусловленной непо·
средственным соприкосновением.
Первая - это сила тя­
жести Р, действующая на вагонетку, вторая - сила реак­
цИИ R. в этом примере связь - это рельсовый путь, по
которому
движется
вагонетка.
~
Посмотрим, с какой силой рельсы действуют на вагонет­
ку в самой верхней (А) и самой нижней (В) точках пути
(рис. 192, 6). Так как при криволинейном движении уско­
рение всегда направлено в сторону вогнутости траектории,
то в точке А оно направлено вниз, а ,в точке В
Значит, равнодействующая
сил
Р и
R
-
вверх.
в верхней точке
пути направлена вниз, а в нижней точке - вверх. Отсю­
да следует, что по модулю сила реакции R в точке А мень­
ше, а в точке В больше, чем сила· тяжести Р. В точке А
избыток силы тяжести над силой реакции сообщает ваго2~3
нетке центростремительное ускорение, направленное вниз.
В точке В, наоборот, сила реакции не только уравнове­
шивает силу тяжести, но и с!)общает вагонетке центро­
стремительное ускорение,
направленное вверх. Центро­
стремительное ускорение а=и 2 /г. Значит,раэиос'Гь между
модулями сил R и Р равна mи2 /г.
Различие реакции опоры в разных точках пути обуслов­
лено тем, что рельсы в нижней и верхней точках пути ока­
зываются по-разному деформированными. В этом можно
было бы убедиться рассужде­
ниями, подобными тем, кото­
рыми мы воспользовались при
рассмотрен~и деформаций же­
лоба в § 117. По третьему за­
кону Ньютона вагонетка в
свою очередь давит на рельсы
Рис. 193. При движении через
вершину «американской горки»
с силой N, равной по модулю
~иле Л, но направленной от
вагонетки ~ рельсам. Значит,
в верхней точке пути вагонет­
ка давит на рельсы с меньшей
силой, чем в нижней.
Итак, сила, с которой тело
действует на подставку (ваго­
нетка на рельсы) при движении по криволинейному пути,
лежащему в вертикальной плоскости, не остается постоян­
ной, а зависит от скорости движения и от формы пути. Мы
могли бы обнаружить эти изменения, поместив на тележку,
движущуюся по «американским горкам», груз, лежащий на
пружинных весах (рис. 193). Если тележка неподвижна, то
сила тяжести р, действующая на груз, уравновешивается
упругой силой сжатой пружины весов R, т. е. R=P.
Но если тележка движется криволинейно, то R будет
показание
меньше
пружинных
весов
силы
тяжести,
вующей иа груз
дейст-
либо меньше, либо больше Р,
следовательно, вес груза
будет либо меньше, либо больше его веса в случае, когда
тележка
неподвижна.
Этот опыт еще раз иллюстрирует то обстоятельс>гво, КОТОрое мы подчеркивали в § 55. При измерении на пружинных
весах ВСС тела оказывается равным силе тяжести только в
том случае, если весы и взвешиваемое тело покоятся (либо
движутся без ускорения). Если весы и тело обладают уско­
рением, направленным вниз, то вес тела оказывается меньше
силы тяжеСТIJ.
Наоборот,
если
ускорение
весов
и
тела
направлено вверх, то вес тела окааывается больше силы тяжести,.
.
.
.
?
120.1.
Найдите соотношение' между радиусом кривизны г моста
и скоростью
v
движения автомашины,
при котором нагрузка на
выгнутый мост будет вдвое меньше, чем на плоский. ПРИ какой
скорости автомашина оторвется от моста, имеющего радиус кри­
визны Г, в его наивысшей точке?
§ 121. Движение на закруглениях пути. Движения конько6ежца, велосипедиста, поезда и т. Д. на закруглениях пути
обычно представляют собой движение по дуге окружности,
но, в отличие от «американских горою>, В этих случаях кри­
волинейная траектория лежит в горизонтальной плоскости.
Движущееся тело находится под действием двух сил: силы
тяжести Р и силы реакции R со стороны опоры (лед, земля,
рельсы). Если те.Т[О неподвижно или движется прямолиней­
но,
эти
силы
направлены
вертикально
и
уравновешивают
, ;%/ ////./ '/ '/
Рис. 194. Велосипедист наклоня­
ется в сторону поворота.· Сила
Рис.
195.
Наклон железнодорожно­
тяжести Р и сила реакции R со
стороны земли дают равнодей­
ствующую силу Р, сообщающую
го пути на закруглении. Сила тяже­
сти Р, действующая на вагон, и си­
ла реакции
рельсов дают резуль­
тирующую силу Р, обусловливаю­
центростремительное
щую
необходимое
для
ускорение,
R
движения по
центростремительное
ние
ускоре-
вагона
окружности
друг друга. На поворотах же необходимо, чтобы их равно­
действующая была направлена в сторону вогнутости тра­
ектории. Для этого' движущемуся телу придают наклон в
эту сторону.
При этом появляется сила реакции опоры,
направленная в сторону наклона,
к центру описываемой
235
окружности. и создающая требуемое центростремительное
.
ускорение.
Как осуществляется наклон? Конькобежец и велосипе­
дист вызывают его сознательно (или ИНСТИНКТИВНО),переме­
щая центр тяжести своего тела движением корпуса или рук.
а результате возникает сила трения между коньком и льдом
или шиной велосипеда и землей, которая создает центростре­
мительное ускорение. Сила трения, направлена в ту сторо­
ну, куда наклонен, велосипед. В результате сила R, дей­
ствующая
со стороны
земли,
отклонится
в ту
же сторону
(рис. 194). Если сила трения недостаточно велика (напри­
мер, конек тупой или дорога скользкая), то конек или коле­
со скользнут по льду или земле и произойдет падение.
Для поезда наклон создается устройством пути. На за­
круглениях наружный рельс кладется несколько выше внут­
реннего (рис. 195). Наклон железнодорожного пути рас­
считан· на некоторую. среднюю скорость. Значительное
превышение этой скорости
может
привести
к крушению
поезда.
121.1.
?•
Если поезд идет по закруглению пути с той скоростью, на
которую
рассчитан
накло!!
пути,
то
пассажирам
кажется,
что
вагон не наклонился. При большей скорости пассажирам кажется, что вагон наклонился наружу, а при меньшей внутрь
закругления. Объясните
эти явления.
§ 122.
Движение подвешенного тела по окружности. Рассмотрим еще
иекоторые примеры равномерного движения по окружиости. Укрепим
несколько отвесов на диске электрофона (рис. 196). При неПОДВИЖIIОМ
диске все отвесы висят вертикально, при вращаlOщемся
-
отклоняются,
причем это отклонение тем БОJlьше, чем дальше от центра расположен
°l~
t
L
\
\
\
\
r-
,Р
-~
о
Рис.
196.
На диск элеКТРОфОllа положена
Рис.
197.
дощечка с укрепленными на ней отвесами.
вующие
при вращении диска отвесы ОТКЛОНяются
наружу тем сильнее, чем БОJlьше скорость
веса,
вращения и чем дальше от
жен отвес
236
оси
располо-
Сиды, дейст­
на
грузик
от­
укрепленного на
вращающемся диске
·ОТвес. С увеличением угловой скорости вращения отклонення 'отвесов
возрастают.
Не рассматрнвая, как возннкает отклонение нити отвеса; найдем по­
ложение, которое займет ннть при дан'ной угловой скоростн вращения
{рнс. 197). При равномерном вращеннн диска сила натяжения нити Т
11 сила тяжестн Р, действующая на грузнк, дают направленную'ГОРИЗОН­
-тально результирующую силу Р, которая сообщает грузику центростре­
мительное ускорение. Заметим, что сила натяжения нити Т ПО модулю
больше, чем она была бы в случае покоящегося диска, так как силу Р
'
уравновешивает вертикальная составляющая силы Т.
Модуль силы Р'равен произведению массы грузика т на его цент­
ростремительное ускорение (f)2r ((f) m(f)2r • Из рис. 197 следует, что
угловая
скорость
диска):
р=
=
F m(f)2 r (f)2 r
tgtx=-=--=-,
Р
mg
g
(122.1)
Отсюда видно, что отклонение нити тем больше, чем больше угловая
1:1
Рис. 19В. Модель центробежного регулятора Уатта
скорость и расстояние от оси; оно не зависит от массы грузика. Аналр­
- отклонение штанги, на которой висит конь со всад­
ником,- можно наблюдать и на карусели. В этом случае формула
гичную картину
дает угол отклонения штанги.
Рассмотренная картина поясняет также принцип действия так на­
зываемых центробежных регуляторов, применяемых для регулировки
частоты вращения разли'lНЫХ машин. Первый такой регулятор был
построен Уаттом дЛя регулировки частоты вращения паровой машины.
При вращении вала регулятора (рис. 19В) грузы 1, укрепленные на
шарнирах, отклоняются и передвигают муфту 2, с которой они соеди­
нены тягами. Муфта соединена с заслонкой 3, регулирующей подачу
пара в цилиндры паровой машины. Когда частота вращения машины
(122.1)
возрастает выше нормальной, муфта опускается и уменьшает доступ
пара в цилиндры. Наоборот, при ум_ньшении частоты вращения ниже
нормы муфта поднимается и увеличивает .itоступ пара,
237
Дu_еllJнеиnaнет. Изучение ВИДИМОГО даижения пла­
§ 128.
нет на неизменном фоне звездного неба позволило дать пол­
ное кинематическое описание движения планет относитель­
но инерциальной сис~мы отсчета Солнце - 8везды *).
Траектории планет оказались замкнутыми кривыми, полу­
чившими название ор@иm. Орбиты близки к окружностям с
центром в Солнце * *), а движение планет по орбитам ока­
залось близким к равномерному. Исключение составляют
только кометы и некоторые астероиды, расстояние от кото­
рых до Солнца и скорость движения которых меняются
в
широких пределах, а орбиты сильно вытянуты. Расстояния
т а бл и ц а
2.
Сведения о планетах
Расстояние от Солнца
Название и обозначение
в
планеты
Меркурий
Юпитер
Сатурн
Уран ~
Нептун
земной
орбиты
Q
Венера ~
Земля о (или
Марс d'
радиусах
0,387
0,723
1,000
1,524
5,203
9,938
19,191
30,071
39,6
$)
1../-
Q
g
Плутон ~
I
~
Время
обращения
в
МЛН.
в
км
земных
годах
58
108
149
228
778
1426
2868
'4494
6000
0,241
0,615
1,000
1,881
11,862
29,457
84,013
164,783
'248
от rланет до Солнца (радиусы орбит) и времена обращения
этих планет вокруг Солнца весьма различны (табл. 2). Обоз­
начения
первых
сохранулись
еще
шести
со
планет,
BpeM~H
приведенные
в
таблице,
астрологов.
В действительности орбиты планет не вполне круговые,
а их скорости не вполн~ постIяюJы. Точное описание дви­
жений BC~X планет БВfЛО дано немецким астрономом Иоган­
ном Кеплером
(1571-1630) -
только первые шесть планет
1.
в его вр'емя были известны
в виде трех законов (рис.
199)_
Каждая планета движется по эллипсу, в одном из
фокусов
которого находится Солнце.
*) НШЮШlИМ. что эта сист~ма отсчета называется гелиоцентричес­
кой. (Пр.uмeot.• ред.)
*) Расстояния между н~беснымн телами ГjЮМIЩНbl даже по срав­
неншо с oгpOMHhlМli размерами самих небесных тел, поэтому при изуче­
*
нии движеиия ПJIанет МQЖНО считать их точками.
238
2. Радиус-вектор- планеты (вектор, проведенный от
Солнца I{ планете) в равные Bp~MeHa описывает равные
площади.
Квадраты l!ремен
3.
относятся
обращения любых .двух
как кубы больших
планет
полуосей их орбит.
Из этих законов можно сделать ряд l3ыводов о силах,
под
Рис.
действием
199.
точку аз
Если из
планета
за то же время,
которых
точки
ai
ДВИЖУТС5I
в
перемещается
планеты.
Рассмотрим_
Рис. 200. к: определению отноше­
ния скоростей планеты в периге-­
,1ИИ И афелии
что из точки аз
в точку а4' то площади, заштри,
хованные
на
рнсунке,
равиы
вначале движение какой-либо одной планеты. Ближайший
к Солнцу (8) конец Р большой оси орбиты называют nери­
гелием; другой конец А называют афелием (рис. 200).
Так как эллипс симметричен относительно обеих своих
осей, то радиусы кривизны в перигелии и афелии равны.
3НCiчит, согласно сказанному в § 27, НОРJ\.1альные ускоре­
ния ар и аА в этих точках относятся как квадраты скоростей
планеты Vp
и VA:
2
з·
ар/аА = Vp/Vk
(123.1)
Рассмотрим малые пути Р1Р з И A 1 A 2 , симметр~чные от·
носителънр перигелия и афелия и совершаемые за одинако­
вые промежутки времени t. Согласно второму закону Кеп­
лера площади секторов SА1А з и 8Р 1 Р з должны быть равны.
Дуги эллипса А 1 А з и Р 1 Р 2 равны vAt и vpt. На рис. 200
для наглядности д:У.ги сделаны довольно большими. Если
же взять эти дуги крайне малыми (для чего промежуток
времени t должен быть малым), то -отличием дуги от хорды
мощно
пренебречь
и
рассматривать
описанные
радиус­
вектором секторы как рав'нобедренныетреугольники SA 1 A j
и SPIP~, Их площади равны соответственно V,A.trA/.2 и Vp tr p /2,
где ГА и Гр - расстояния от афелия и перигелия до·Солнца.
Значит, V4Г,л.'&<:VРГР1 откуда
VA,/vp=rp/r.A,.
Наконец, IiIQдставШ
ляяэто соотношение в
(123.1)1 найдем
ар/аА = r~/r".
(123.2)
Так как в перигелии и афелии тангенциальные ускорения
равны нулю, то ар и аА представляют собой ускорения
планеты в этих точках. Они направлены к Солнцу (вдоль
большой оси орбиты).
Расчет показывает, что и во всех других точках траекто­
рии ускорение направлено к Солнцу и изменяется по тому
же закону,
т. е. обратно пропорционально квадрату
расстояния планеты от С-слнца; поэтому для любой точки
орбиты
(123.3)
где а - ускорение планеты, r - расстояние от нее до Солн­
ца. Таким образом, ускорение планеты обратно пропор­
ционально квадрату расстояния между Солнцем и планетой.
Рассматривая угол, составляемый радиус-вектором пла­
неты с касательной к траектории, видим (рис. 201), что при
движении планеты от афе­
лия
к
пери гелию
циальная
ускорения
танген­
состаВЛЯЮЩая
a't
положитель­
на·и скорость планеты
А
р
ра­
стет; наоборот, при движе­
нии
от пери гелия
лию
скорость
к
афе~
планеты
уменьшается. в пери гелии
планета достигает наиболь­
Рис.
201.
При движении lIAaHeTbI от
перигелия к афелию сила притяже­
ния
уменьшает
...
скоро ть
планеты,
при движении от афелия к периге­
лию
-
увелиqивает
скорость
петы
пла-
шей скорости, в афелии­
наименьшей скорости дви­
жения.
Для выяснения зависи­
мости
ускорения
планеты
от расстояния ее до Солнца
мы воспользовались первы.
ми двумя законами Кеплера. Эту зависимость удалось найти
потому, что планеты движутся по эллипсам, изменяя свое
расстояние от Солнца.
Если бь( планеты двигались по
окружностям, расстояние от планеты до Солнца и ее ускоре­
ние не менялись бы, и мы не смогли бы найти эту зависи­
мость.
Но при сравнении между собой ускорений различных
планет можно удовлетвориться приближенным
движения ШJанет,
240
описанием
считая, что они движутся равномерно по
окружностям. Обозначим радиусы орбит двух каких-нибудь
планет через
'1 и Г 2 ,
а периоды их обращения
-
через
Ti
и Та. Тогда их скорости выразятся формулами
V1=2ЛГ1/Т1; V2=2ЛГа/Т2'
а
центростремительные
ускорения,
согласно
(27.1),-
формулами.
а 1 = v~/, 1 = 4л 2 , l/T~,
а 2 = v~/, 2 = 4л 2, 2/П'
Так как движение по окружности мы считаем равномерным,
то Щ
и
а 2 можно считать
центру орбиты -
ускорениями,
направленными
к
к Солнцу. Отношение ускорений планет
щ
ri T~
-=--2'
а'з
Г2 Т1
(
(123.4)
Но, согласно третьему закон)r Кеплера,
П!Т~ = ,~/,~.
Подставляя отношение квадратов
формулу (123.4), найдем
времен
обращеlYiЯ
в
а 1 /а 2 = г~/г~.
Этот вывод можно переписать в таком виде: для любой пла­
неты, находящейся на расстоянии
от Солнца, ее ускоре­
,
ние
(123.5)
где С - одна и та же постоянная для всех планет солнеч­
ной системы. Таким образом, ускорения планет обратно
пропорциональны квадратам их расстояний от Солнца и
направлены к Солнцу.
Закон всемирного тяготения. И. Ньютон сумел вы­
вести из законов Кеплера один из фундаментальных законов
природы - закон всемирного тяготения. Ньютон знал, что
для всех планет Солнечной системы ускорение обратно
§ 124.
пропорционалыю квадрату расстояния от планеты до Солн­
ца и коэффициент пропорциональности один и тот же
для
всех
планет.
Отсюда следует прежде
всего,
что сила
притяжения,
действующая со стороны Солнца на планету, должна быть
пропорциональна массе этой планеты. В самом деле, если
ускорение планеты дается формулой
зываЮll\ая
(123.5),
то сила, вы­
ускорение,
е
F=та=тз,
г
241
где т - масса этой планеты. С другой стороны, Ньютону
было известно ускорение, которое Земля сообщает Луне;
оно было определено из наблюдений движения Луны,
обращающейся вокруг Земли. Это ускорение примерно в
3600 раз меньше ускорения g, сообщаемого Землей телам,
находящимся вблизи земной поверхности. Расстояние же от
Земли до Луны равно приблизительно 60 земным радиусам.
Иными словами, Луна отстоит от центра Земли в 60 раз
дальше, чем тела, находящиеся на поверхности Земли, а
ускорение ее в 3600= 602 раз меньше.
Если принять, что Луна движется под действием притя­
жения Земли, то отсюда следует, что сила земного притя­
жения, так же как и сила притяжения Солнца, убывает
обратно пропорционально квадрату расстояния от центра
Земли. Наконец, сила притяжения Земли прямо пропорцио­
нальна массе притягиваемого тела. Этот факт Ньютон уста­
новил на опытах с маятниками. Он обнаружил, что период
качаний маятника не з.ависит от его массы: Значит, маят­
никам разной массы Земля сообщает одинаковое ускорение,
и, следовательно, СИЛа притяжения Земли пропорциональна
массе тела, на которое она действует. То же, конечно,
следует из одинаковости ускорения свободного падения
для
тел
разных
масс,
но опыты
с
маятниками
g
позволяют
проверить этот факт с большей точностью.
.
Эти сходные черты сил притяжения Солнца. и Земли и
привели Ньютона к заключению о том, что природа этих
сил едина
и
что
существуют
силы
всемирного
тяготения,
действующие между всеми телами и убывающие обратно
пропорционально квадрату расстояния между телами. При
этом сила тяготения, действующая на данное тело массы
т, должна быть пропорциональна массе т.
Исходя из этих фактов и соображений, Ньютон сфор­
мулировал закон всемирного тяготения таким образом:
любые два тела nритягU8аются друг к другу с сиЛОЙ,кото­
рая ндnравленд по линии, их соединяющей, прямо nроnор­
циональна ;иассам обоих тел и обратно nроnорциональна
квадрату расстояния между ними, т. е. сила взаимного
тяготения
(124.1)
roЦe М и т..,..,.. массы тел, r - расстояние между ними, а о­
коэффициент пропорциональцости. нззываемыIй гравита­
ционной постоянной (способ ее й'эмерения б'удет описан
ниже). СРЗIЩ}:Iвая эту формулу с ФОРМУЛQЙ (1ЯЭ.4), видим,
.
ю
-
~~
-
!:..~:-
-','-..
',-
tLTO· С=ОМ, где М - масса Солнца .. Силы всемирного
т·яготенюl удовлетворяют третьему закону Ньютона. Это
подтвердилось всеми
астрономическими
наблюдениями
над движением небесных тел.
.
В такой формулировке закон всемирного тяготения
применим к телаv., которые можно считать материальными
точками,
т.
е.
к телам,
расстояние между которыми очень
велико по сравнению с их размерами, иначе следовало бы
учитывать,
что разные точки тел отстоят друг от друга на
разные расстояния. Для
однородных шарообразных тел
формула верна при любом расстоянии между телами, если
r
в качестве
взять расстояние между их центрами. В ча­
стности, в случае притяжения тела Землей расстояние
нужно отсчитывать от центра Земли. Это объясняет тот
факт, что сила тяжести
почти не убывает по ме­
ре
увеличения
высоты
над Землей (§ 54): так
как радиус Земли равен
примерно 6400 км, то
при изменении
ния тела. над
стью Земли
в пределах
даже десятков
ров
сила
положе­
поверхно­
километ­
притяжения
Земли остается практи­
чески неизменной *).
Гравитационную по­
стоянную
можно
опре­
делить, измерив все ос-
тальные величины,
дящие
в
закон
вхо-
~,'---111
Рис. 202. Схема крутильных весов дл~
измерения гравитационной постоянной
всемир-
ного тяготения, для какого-либо конкретного случая.
Определить значение гравитационной постоянной впер­
вые удалось при помощи крутильных весов, устройство кото­
рых схематически изображено на рис.
мысло,
на
концах
которого
202.
закреплены
Легкое коро­
два
одинаковых
шара массы т, повешено на длинной и тонкой нити. КоРО­
мысло снабжено зеркальцем, которое позволяет оптическим
способом измерять малые повороты коромысла вокруг вер­
тикальной оси. К шарам т с разных сторон могут быть
приближены два шара значительно большей м-ассы М.
*); На' высоте 10 км сила притяжения меньше, чем на nOBepXHOC'I1II
Земли, на 0,3%. (Прu.м(JЧ~. ред,,)
Силы притяжения малых шаров к большим создают пару
сил, вращающую коромысло по часовой стрелке (если смот­
реть сверху). Измерив угол, на который поворачивается
коромысло при приближении к шарам т шаров М, и зная
упругие свойства нити, на которой подвешено коромысло,
можно определить момент пары сил,
ваются массы т к массам
расстояние между
их
с которыми притяги­
Так как массы шаров т и М и
111.
центрами
(при
данном
положении
коромысла) известны, то из формулы (124.1) может быть
найдено значение о. Оно оказалось равным *)
0=6,7 ·10-11
Н ·M2/KГ~.
После того как было определено значение О, оказалось
возможным из закона всемирного тяготения определить
массу Земли. Действительно, в соответствии с ЭТIJМ законом,
те.тю массы т, находящееся у поверхности Земли, притяги­
вается к Земле с силой
Р=О тМз
R§ ,
где М з
-
масса Земли, а Rз
роны, мы знаем, что
найдем
P=mg.
-
ее радиус. С другой сто­
Приравняв
эти величины,
(124.2)
Значения всех величин, стоящих в правой части равенства,
известны. Их подстановка дает
М з =5,96.1О 2i кг.
Огметим, что, согласно формуле
ного
(124.2),
ускорение свобод­
падения
(124.3)
Из закона 'всемирного тяготения следует, что ускорения,
сообщаемые друг другу телами с массами
и та, находя­
щимися
на
расстоянии
а1
r
mi
друг от
= О (2""
та
t
аа
=
друга,
равны
O'mi
(2""'
Эrи формулы отражают уже отмеченную выше черту сил
тяготения:
ускорение данного тела,
вызванное тяготением
.)
в соответствии с международной таблицей рекомендованных
~ачениА Фуидаментальных физических коистант гравитационная по-
CIORИнаJl 0=6,6720 .1O-~ Н :,!1/J(1.'8. _(l!fu.tIe'I. _~,)
J44
/другого тела, не зависит от массы данного тела. Далее, из
(!24.3) следует, что
al/a2=mimi.
Таким образом, хотя силы всемирного тяготения, действую­
Щl'lе между телами различной массы, равны, значительное
ускорение получает тело малой массы, а тело большой мас­
сы
испытывает
малое
ускорение.
Так как суммарная масса всех планет Солнечной систе­
мы составляет немногим больше 111000 массы Солнца, уско­
рение, которое испытывает Солнце в результате действия
на него сил тяготения со стороны планет, ничтожно мало по
сравнению
с
теми
ускорениями,
которые
сила
тяготения
Солнца сообщает планетам. Относительно малы и силы
тяготения, действующие между планетами. Поэтому при
рассмотрении законов движения планет (законов Кеплера)
мы не учитывали движения самого Солнца и приближенно
считали, что траектории планет
.в
-
эллиптические орбиты,
одном из фокусов' которых находится Солнце. Однако в
точных
расчетах
приходится
принимать
во
внимание
те
«возмущения», которые вносят Б движение самого Солнца
или какой-либо планеты силы тяготения со стороны других
планет.
,
•
124.1. Насколько уменьшится сила земного притяжения, действующая на ракетный снаряд, когда он поднимется на 600 км
над поверхностью Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км.
124.2. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Луны
приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли. Найдите вес
человека на Луне, если его вес на Земле равен 600 Н.
124.3. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. Найдите на
линии, соединяющей центры Земли и Луны, TO'lKY, В которой
равны друг другу силы притяжения Землн и Луны, действую­
щие иа помещенное в этой точке тело.
§ 125. Искусственные спутники Земли. На тело, выведенное
за пределы земной атмосферы, действуют, как и на всякое
небесное тело, только силы тяготения со стороны Земли,
Солнца и других небесных тел. В зависимости от начальной
скорости, сообщенной телу при его взлете с поверхности
Земли, дальнейшая судьба тела может быть различной:
при малой начальной скорости тело падает обратно на Зем­
лю; при большей скорости тело может превратиться в ис­
кусственный спутник и начать вращаться вокруг Земли,
подобно ее естественному спутнику - Луне; при еще
большей скорости тело может уйти от Земли так далеко,
что сила земного притяжения практически не будет ВЩIЯТЬ
на его движение и оно обратится в искусственную планету,
,\
245
Т. е. начнет вращаться вокруг Солнца; наконец, при еще
большей скорости тело может навсегда уйти из Солнечной
системы в мировое пространство.
Мы рассмотрим только случай, когда тело превращается
в искусственный спутник Земли. Изучая его движение
относительно ЗеМЛII, будем учитывать только силу притя­
жения его Землей. Мы увидим, что тело может стать спут­
ником Земли только в том случае, если его скорость лежит
в сравнительно узких пределах: от 7,91 до 11,19 км/с. При
скорости, меньшей 7,91 км/с, тело упадет обратно на Зем­
лю; при скорости, большей 11,19 км/с, тело уйдет от Земли
безвозвратно.
Для запуска искусственных спутников применяют спе­
циальные
ракеты,
поднимающие
спутник
на
заданную
высоту и разгоняющие его до требуемой скорости; после
зтого спутник отделяется от ракеты-носителя и продолжает
свое движение под действием только сил тяготения. Дви­
гатели ракет должны, совершить работу против сил тяжести
и против сил сопротивления воздуха, а также сообщить
спутнику большую скорость. Для этого двигатели рю(еты
должны
развивать огромную мощность
(миллионы
кило-
ватт).
,
,
Если расстояние от спутника до поверхности Земли ме­
няется незначительно по сравнению с расстоянием до центра
Земли, то силу притяжения спутника Землей можно (ДJIЯ
грубых расчетов) считать постоянной по модулю, как это мы
делали в § 113 при изучении полета тела, брошенного под
углом к ГОРИЗ8НТУ. Но направление силы тяжести уже
нельзя будет считать постоянным, как для коротких тра­
екторий пуль и
снарядов; теперь мы должны учитывать,
что сила тяжести направлена в любой точке по радиусу к
центру Земли.
,
'
мы рассмотрим только движение искусственных спутни­
ков по !{руговым орбитам. Сила притяжения Земли создает
центростремител'ьное
ускорение
спутника,
равное
vi/r,
где r радиус орбиты, а иl - неизвестная пока скорость
спутника. Предположим, что '-орбита проходит вблизи
поверхности Земли, так что r практически равен радиусу
Земли Rз. Тогда, если 'пренебречь сопротивлением атмос­
феры, спутник будет двигаться с ускорением g, направ­
ленным к центру Земли. Следовательно,
g= vUR з ,
-
(125.1)
ГАе R. з - радиус Земли. Отсюда находим, что скорость Vi
(:Ilутника, описывающего круговую Qрбиту вблизи поверх·
·ноети Земли, должна быть равна
t1 1
Подставив
Эту
=
V gR з :
(125.2) .
g=9,81 M/C~ и R з -=6378 км, найдем
t11 =7,91 км/с.
скорость
называют
первой
космической
скоростью.
Двигаясь с такой скоростью, спутник облетал бы Землю за
84
.
мин
12
с.
Спутник,
поверхности,
вращающийся вокруг Земли вблизи земной
имеет
ускорение
g,
направленное
к
центру
Земли, т. е. такое же ускорение свободного падения, как и
тело, свободно летящее по параболической траектории или
падающее по вертикали вблизи земной поверхности. Зна­
чит,
Рис.
движение спутника
203.
есть
просто свободное падение,
Рисунок из трудов Ньютона: траектории тела, бросаемого с
вершины высокой горы с различными горизонтальными скоростями.
Еще Ньютон понимал, что ДЛЯ запуска тела на орбиту вокруг Земли
тело должно иметь достаточно большую скорость.
в
KOWPbIX
D,
Е, Р,
G :...-.
пуикты,
оканчиваются траектории при увеличении скорости
подобное движению пуль и снарядов или баллистических
ракет. Различие заключается только в том, что скорость
спу:гника настолько велика, что радиус кривизныI его траек­
тории
равен
ускорением
радиусу Земли:
падеfjие' (Т. е.
движение с
g, направленным к центру Земли) сводится к
огибанию земного шара.
Из формулы (125.1) ясно, что если скорость тела будет
меньше первой космической, то сила тяжести заставит его
двигаться
по
траектории
с
радиусом
кривизны,
меньшим
радиуса Земли R з . Значит, при такой скорости теЛо упадет
на З\емлю. При большей скорости радиус кривизны траек­
ТОРИll будет больше Rз и тело опишет эллиптическую тра­
екторию (рис. 203).
В действительности спутник не может быть запущен по
орбите радиуса Rз из-за огромного сопротивления воз­
духа вблизи поверхности Земли. Найдем, какова должна
быть скорость v движения по круговой орбите любого радиу­
са г, большего R з . Для этого воспользуемся фОР:'ЛУЛОЙ,
аналогичной (125.2), учитывая, что ускорение свободного
падения убывает при удалении от центра Земли в отноше­
нии, обратном отношению квадратов расстояний от центра.
Ускорение
формуле
круговой
gr
на расстоянии
gr=gR~/r2.
r
Скорость
орбите радиуса
r
от центра Земли найдем по
v
движения спутника по
получается
R~
из
равенства
и2
gr=gгa=,'
откуда
(125.3)
Таким образом, по мере увеличения радиуса орбиты ско­
рость искусственного спутника уменьшается *).
Это не означает, однако, что для запуска спутника на ор­
биту большего радиуса двигатели ракеты должны совершить
меньшую работу. Уменьшается только доля работы, необ­
ходимая для сообщения спутнику кинетической энергии.
Но при этом спутник надо поднять на большую высоту над
Землей; значит, потребуется совершить, большую работу
против силы земного притяжения,. т. е. сообщить спутнику
б6льЦIУЮ потенциальную энергию. В итоге оказывается,
что по мере увеличения радиуса орбиты суммарная работа,
необходимая для запуска спутника,
растет.
В самом деле, рассчитаем, как меняется в зависимости
от радиуса орбиты работа, необходимая на подъем спутника
с земной поверхности до орбиты и на сообщение ему ско-
*)
Наименьшая высота над уровнем Земли, на которой сопротив­
Jlеиие воздуха так мало, что им можно прене6речь, составляет около
300 км. Радиус соответственной орбиты равен (округленно) 6700 Км. 'Из
формулы (125.3) найдем, что скорость движения спутника по такой ор­
бите будет равна примерно 7,8 км!с.
248
рости, необходимой для движения по орбите. Согласно
формуле (125.3) кинетическая энергия спутника массы т,
движущегося по орбите радиуса г, равна
2
Е =mv2=~~
к
2
2
г'
где Vi первая космическая скорость. Подставив вместо
Vl ее значение, определяемое формулой (125.2), выражению
для кинетической энергии можно придать вид
Е
r
и
_ mg'R~
к -
2
(125.4)
г'
Рассмотрим полет спутника массы т по орбите радиуса
по орбите радиуса г+~г, где ~г - положительное
приращение
радиуса
г,
много
меньшее
самого
радиуса
r (~г~г). Согласно (125.4) кинетическая энергия спутника
при полете по этим орбитам равна соответственно
_mgR~
Е к2 г'
т/ R~
EK+~EK=2 г+л,'
где ~EK -'приращение кинетической энергии спутника
при переходе с первой орбиты на вторую. Это приращение
равно
~E
mg R2
к=т
3
(1
1) _ mg R
г+л,-Г-
2
Аг
-
__
3 г (г+л,)'"
-т
mgR~
~-Tfi !:!г.
(125.5)
в соответствии с тем, что при переходе с первой орбиты на
вторую скорость спутника уменьшается, ~E к получилось
отрицательным.
С другой стороны, работа против силы тяжести при пере­
ходе с первой орбиты на вторую равна силе тяжести, дей­
ствующей на спутник, умноженной на ~г. Так как ~г мало,
изменением силы тяжести при переходе можно пренебречь
и считать ее равной mg R~/r2. Следовательно, работа против
силы тяжести при переходе с первой орбиты на вторую
A=mg 2R~ M.
г
Эта работа затрачивается на
при ращение потенциальной
энергии спутника при переходе с первой орбиты на вторую.
Таким образом,
R~
,
AEn=тg.,.Ar.
(125.6)
249
Сравиеиие выражений (125.5) и (125.6) покаЭblвает, что
приращение потенциальной энергии в два раза превышает
убыль кинетической энергии спутника:
I1Е о = -
2М к .
(125.7)
'1
Представим переход спутника с орбиты радиуса
на ор­
биту радиуса '2' сильно отличающегося от '1, как ряд по­
следовательных
переходов, при каждом из которых радиус
орбиты увеличиваепя на малую величину 11,. При каждом
таком переходе выполняется соотношение (125.7). Следо­
вательно,
это
соотношение
имеет
место
орбиты радиуса ' i на орбиту радиуса
- Eoz-Е Пl = - 2 (Е к2 -Е к1 ) =
(
и
при
переходе
с
'2:
-mg~: )-( -mg~:)
(см. формулу (125.4». Полученное равенство будет выпол­
няться, если положить Е п на расстоянии, от центра Земли
равной
Е
где С
-
о
= _ mgR§
Г
+с
( 125.8)
'
произвольная константа. Напомним, что потенци n
альная энергия всегда бывает определена с точностью до
произвольной аддитивной постоянной, значение которой
зависит от выбора' положения тела, в котором его потен­
циальная энергия принимается равной fYулю.
Проще всего считать константу С равной нулю. Тогда
(125.9)
в этом случае Еп=О при
'=00.
На любом конечном рассто­
янии ОТ центра Земли riотенциальная энергия отрицательна.
Выражению
гласно
(125.9) можно придать другой
(124.3), gR'§ на GМ з :
Е = - G mМз •
о
Мы получили выражение
вид, заменив, со­
(125.10)
г
(125.8) для спутника, движущегося
по орбите радиуса ,. Однако оно не содержит скорости и,
следовательно, справедливо для любого тела массы т независимо от того, движется это тело или
покоИтся.
Если принять Е п равной нулю, когда тело находится еа
поверхности Земли (т. f. ,=R з ). то С=mgR з , и выражение
для потенциальной энергии примет вид
Е О =mg R э
(1- ~з).
(125.11)
.
Пусть г=Rз+h, где h - очень малая по сравнению с Rз
величина. Тогда выражение (125.11) упрощается следую­
щим
образом:
En=mg R з
(1- R:~h) =mgR з RЗ~h ~mgh.
Мы пришли к известному выражению для потенциальной
энергии тела, поднятого над Землей на высоту
h.
Напомним, что потенциальная энергия определяет ра­
боту, которая совершается·силами тяготения над телом при
перех&де его из положения с энергией Е п в положение, в
котором потенциальная энергия равна нулю. Следовательно,
выражение (125.11) определяет работу, которую соверша­
ют силы тяготения при переходе из точки, находящейся на
,.расстоянии r от центра
Земли, в точку на поверхности
Земли. Из формулы (125.11) следует, что при перемещении
тела массы т из бесконечности на поверхность Земли
силы тяготения совершают над телом работу, равнуютgR з .
Соответственно работа, которую нужно совершить против
сил тяготения, чтобы удалить тело с поверхности Земли на
бесконечность, также равна mgRз. Эта работа конечна,
несмотря
на
то,
что
путь,
на
котором
она
совершается,
бесконечно велик. Это объясняется тем, что силы тяготения
быстро убывают с увеличеtшем расстояния от Земли
-
обратно пропорционально квадрату расстояния.
С помощью выраж~ний для кинетической и потенци­
альной энергий можно определить работу, которую нужно
совершить, чтобы вывести (г:утник массы т на орбиту
радиуса г. Перед запуском li.JJilIая энергия спутника (кине­
тическая плюс потенциальная) равна нулю. Двигаясь по
орбите, спутник обладает кинетической энергией, опреде­
ляемой выражением (125.4), и потенциальной энергией,
определяемой выражением (125.11). Интересующая нас
работа Аг равна .полной энергии спутника, движущегося
по
.
орбите:
А г= Е к+ Е п=
mg
R§
27+mgRз
(1 --,RЗ)'=
=mgR з (l-~~).
.
Это выражение не учитывает работу,
вершить
(125.12)
которую нужно со­
при запуске спутника пр'отив сил сопротивления
атмосферы. Из (125.12) видно, что с увеличением радиуса
орбиты
растет работа, которую нужно затратить для
r
выведения
спутника
на
орбиту.
251
Положив в формуле
(125.12)
( = 00,
найдем работу А .. ,
необходимую для того, чтобы тело, начав двигаться с по­
верхности Земли, удаЛИЛ9СЬ на бесконечно большое расстоя­
ние:
А .. =тgR з ·
(125.13)
Эта работа идет на прира'щение потенциальной энергии тела.
Действительно, согласно (125.11) приращение Е п в случае,
когда r изменяется от Rз до бесконечности, равно
mg R з { ( 1 Работа
(125.13)
~ )-
( 1-
~: ) } = mg Rз.
совершается за счет запаса кинетической
энергии, которая сообщается спутнику при запуске. Мини­
мальная скорость V 2 , с которой должен быть запущен спут­
ник, чтобы он удалился на бесконечность, определяется
условием
2
mV2
Rз,
-2-=mg
откуда
(125.14)
Эту скорость называют второй космической скоростью.
Сравнение с (125.2) показывает, что вторая космическая
скорость в ~2 раз больше первой:
v2=V2Vl=~2.7,91 KMjC=II,19 KMjc.
При запуске тела со Сi;ОРОСТЬЮ, большей второй косми­
ческой скорости, оно также не возвратится на Землю, но в
этом случае по мере удаления тела от Земли его скорость не
будет
?
•
стремиться
к
нулю.
С какой скоростью нужно подбросить тело вертикально
вверх, чтобы оно достигло высоты над поверхностью Земли,
равной радиусу Земли? При расчете пренебречь сопротивлением
125.1.
воздуха,
но
учесть
изменен не
силы
тяжести.
На каком расстоянии от центра Земли период обращения
искусственного спутника будет равен 24 часам; так что спутник
сможет занимать относительно вращающейся Земли неизменное
положение (<<сннхронные спутники»)?
125.2.
...
г л а в а
VI.
ДВИЖЕНИЕ
В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА
И СИЛЫ ИНЕРЦИИ
§ 126.
Роль системы отсчета. До сих пор мы рассматривали
движение
тел
только
относительно
инерциальных
систем
о~счета. Мы установили, что каждый раз, когда тело полу­
чает ускорение относительно такой системы, можно указать
другие тела, действия которых на данное тело вызывают это
ускорение. Эти действия - силы; закономерности, свя­
зывающие
ускорение
тела
относительно
инерциальных
систем отсчета с силами, действующими на тело,- это закон
инерции и второй закон Ньютона. Мы видели, кроме того,
что силы носят взаимный характер, что они являют­
ся взаимодействиями тел. Это свойство сил выражается
третьим законом Ньютона.
\
В настоящей главе мы будем рассматривать движения тел
относительно неинеРЦИальных систем отсчета. Относительно
таких систем тела могут получать ускорения, KOTopbIe
нельзя объяснить действием каких-либо определенных тел.
Например, когда в резко затормозившем поезде чемодан
слетает
с
полки,
т.
е.
получает
ускорение
относительно
поезда, мы не можем указать никакого определенного тела,
которое это ускорение вызвало. Если же чемодан был бы
привязан, то в затормозившем поезде он остался бы в покое
на полке и не получил бы ускорения относительно BaffiHa,
хотя веревка, которой он привязан, оказалась бы натяну­
той и действовала бы на него с определенной силой. Рас­
сматривая движения относительно инерциальной системы
отсчета (например, Земли), мы можем объяснить наблюдае­
мые движения силами, действующими со стороны других
тел. В самом деле, натянувшаяся веревка сообщает чемода­
ну
ускорение,
равное
ускорению
затормозившего
поезда;
поэтому он. и остается в покое относительно вагона. Если
же веревки нет, то никакие силы со стороны вагона на че­
модан не действуют, он продолжает двигаться по инерции с
~S3
прежней скоростью,
сила
свою
трения
а вагон,
заторможенных
скорость,
и
вагонная
на который подейс~вовала
колес
о
полка
рельсы,
уменьшает
выскальзывает
из-под
чемодана.
Мы видим, что движение относительно неинерциальных
систем
отсчета
подчиняется
ДРУI'им
закономерностям,
не­
жели движение относительно инерциальных систем. С точки
зрения наблюдателя,
находящегося в неинерциальнои
системе отсчета; причины движения не те, что с точки
зрения наблюдател я, находящегося в инерциальной системе.
Если наблюдатеЛЕ находится в неинерциальной системе
отсчета,
например внутри ускоренно движущегося автомо­
биля, самолета, спутника, то ему гораздо проще относить
наблюдаемые
,
движения
к
самим
неинерциалъно
движу­
щимся системам отсчета, чем каждый раз выяснять, как
движется тело относительно какой-либо инерциальной
системы отсчета. Но тогда необходимо разобраться в раз­
личиях между
закономерностями движений относительно
инерциальных и неинерциальных систем отсчета. Для этого
прежде всего рассмотрим подробнее сами движения относи­
тельно
разных
систем
отсчета.
Выражение «с точки зрения наблюдателя, находящегося
в той или иной системе отсчета», подчеркивает, что все изме­
рения положения, скорости и ускорения тела выполняются
относительно именно данной системы отсчета, как бы она
ни двигалась относительно привычных нам систем (Земля,
Солнце и звезды), т. е, так, как их пришлось бы выполнять
жителю Земли (относительно Земли), пассажиру автома­
шины (относительно автомашины), космонавту (относитель­
но космического корабля) и т. д.
§ 127 . .1lвижение относительно разных инерциалъных систем
отсчета. Прежде всего сравним движения относительно двух
разных инерциальных систем. Характер движения в разных
системах может быть различным. Примем, например, за
одну из инерциальных систем Зем.лю, а за другую -
вагон
поезда, равномернодвижущегося по прямому участку пути.
Пусть в вагоне на нити подвешено какое-либо тело. При
отвесном положении нити тело будет находиться в равнове­
сии: сумма сил, на него действующих (сил притяжения
З,емли и натяжения· нити), будет равна нулю. Перережем
нить; тело начнет падать с ускорением
g,
и ег.о траектор'ия
относительно вагона. окажется. вертикальной прямой, что
МОЖIiО установить, например, фоТ{;)графируя падеНlre кино­
камерой, установленной в. самом Баr.oне. Если же. движение
2.SJI..
тела рассматривать относительно Земли, например фото­
·графируяегос ДОЛО1нз.железноЙ ДОIЮГИ, то траектория тела
окажется параболой .(рис. 204). Наоборот, ПО,дВ'еU.1Иваятело
на Земле и фотогрвфнруя его падение после пережигания
нити,
получим траеК'Гориюв~и-v
_
I
~ веР1'икальной прямой'на снимке,
сделанном с 8€МНОЙ
ности, и параболу
сделанном
поверх-
на снимке,
-
(~,
ИЗВ8.гона.
I
II
Все это ;/!егко
объяснить.
РаЗJ1ичие в движениях Относи­
тельно
разных
только
разными
СКОРОСТЯМИ
nДНОЙ
и
тела
тело
лось
относительно
В
инерциаль­
первомприме­
первоначально
относительно
' \
t
(u)
вызвано
начальными
другой
.
ных систем.
ре
систем
'
~
(u)
%
~
Рис. ~04, Вертикальная пря­
мая
тела
-
траектория
после
вагона
пе~ежигания
Параболci
покои­
движ-еНIfЯ
относительно
нити.
.. траектория
носительно Земли
поезда,а
от-
относителрно Земли двигалось
в горизонтальном направлении со скор.остьюпоезда. Знд­
чит, после пережигания iшти относительно вагона происхо­
дило свободное падение тела без начальной -скорости, а от­
носительно Земли - также свободное падение, но с началь­
ной скоростью. Во втором примере падение без начальной
скорости происходило относительно Земли, а с нач;шьной
скоростью
-
относительно
вагона.
Однако в обеих системах ускорение тела одно и то же.
Первоначально сумма сил, действующих на тело,равна
нулю и выполняется закон инерщш: тело в каждой системе
либо
покоится,
либо движется
с
постоянной
скоростью
прямолинейно, т. е. не имеет ускорения. После пережига­
ния
нити
на тело действует только сила тяжести и ДЛЯ
обеих систем справедлив второй закон Ньютона: по отноше­
нию к каждой системе отсчета тело падает с ускорением
g,
вызванным тяготением Земли.
Аналогичная картина будет наблюдаться
и
во
всех
р.ругих случаях движений тел относительно разных инер­
циальных
систем
отсчета
.
,l:Iвижение относительноинеРЦИ8JIЬНОЙ 'и неинерци­
альной системо'lСЧе.та. Иная ,картина ,получается 'при ,срав­
.§ J28.
нении
данного движения
циа,льной
и
какой-либо
относительно
какой-либо инер­
кеинерциальной систем ,mcчета.
Силы, действ;ующие .на :rело сосщроны дR~гих ·т.м: ,СИЛЫ
упругости, трения, тяготения и
't ••д., ~tlе :5а~щсnт 'от
·:r.orQ,
:ш
по отношению к какой системе отсчета изучается движение
тела. Но ускорения тел относительно инерциальной и не­
инерциальной систем различны. Поэтому по отношению к
неинерциальным системам отсчета нельзя будет объяснить
~
ru
данное
движение Те./1а
силами,
действующими на него
роны
каких-то
других
тел.
Проиллюстрируем
ва
на
груза,
гон,
"
Рис. 205. Отклонение отвеса
в ускоренно движущемся ва-
примере
считая
теперь,
принимаемый
отсчета,
это
сно­
подвешенного
движется
тальному, прямому
что
ва­
за
систему
по
горизон­
участку пу­
ти ускоренно. Ускорение по­
езда обозначим через 'Ш. В этом
которой подвешено тело,
установит­
гоне
случае
со сто­
определенных
НИТЬ,. на
ся при равновесии не по отвесу, как в равномерно .!{Вижу­
щемся- вагоне, а под некоторым угл.ом к вертикали, откло­
няясь
в
сторону,
противоположную
ускорению
вагона
(рис. 205) *). Отклонение тем больше, чем больше ускорение.
Таким образом, тело относительно вагона находится в
равновесии, в то время как силы, действующие на тело (сила
тяжести тg и сила натяжения нити Т), направлены под
углом друг к другу и поэтому уравновешивать друг друга
не могут:
тело
покоится
относительно
системы отсчета,
в
то время как результирующая действующих на него сил не
равна нулю. Эту результирующую силу легко найти, рас­
смотрев движение тела относительно Земли. Так как тело
относительно .вагона неподвижно, то его ускорение а отно­
сительно Земли равно ускорению вагона
'W (т. ,е. a='W).
Следовательно, результирующая сила равна т'W и направ­
лена горизонтально (рис. 205).
Если нить, на которой висит тело, пережечь, то оно
начнет ускоренно падать, причем, как показывает опыт, его
траектория относительно вагона окажется наклонной пря­
мой, лежащей на продолжении нити до того, как она была
пережжена (рис.
205).
Но после пережигания нити на тело
действует только одна
сила
-
сила
направленная вертикально вниз.
притяжения Земли,
Ускорение же относи­
тельно вагона направлено под углом к вертикали.
*)
При
этом
безраЗJ1ИЧНО.
как
направлена <;/iOPOCТb вагона,
по' ускорению или противоположно. Безразличен и модуль скорости.
Существеина только ускорение.
2S6
Что же касается движення тела оТносительно Земли, то
оно легко объясняется действующими силами: до пережИr'
гания нити равнодействующая сил, действующих на тело,
равнялась та, поэтому телQ и двигалось с тем же ускоре­
нием, что и поезд; после пережигания нити тело падает по
параболе с начальной скоростью, равной скорости поезда в
момент пережигания нити;- действительно, после того как
нить пережжена, движение поезда уже никак не влияет на
движение
не
связанного
с
ним
тела.
128.1. Найдите угол а отклонеНIIЯ от вертикали нити с подве­
?•
шенным на ней грузом массы т в вагоне, движущемся по гори·
зонтальному пути с ускорением ш. Зависит ли этот УГО,1 от ыассы
груза? Найдите силу натяжения НИТII Т.
128.2. Какая сила должна действовать на тело массы т, чтобы
оно двигалось равномерно и прямолинейно относите.1ЬНО вагона,
движущегося поступательно с ускорением ш?
Поступательно движущиеся неинерциальные системы.
Различие в зак~номерностях движения в неинерциальных
§ 129.
и
инерциальных системах
отсчета заключается
в том, что
при учете всех сил, действующих со стороны других тел на
данное тело (сил тяготения, упругости, трения и т.- д.).
второй закон Ньютона выполняется для инерциальных
систем и не выполняется для неинерциальных.
Проще
всего это различие выражается для неинерциальных систем,
Движущихся
относительно
инерциальных
поступательно.
Выберем, например, в качестве неинерциальной системы
ускоренно движущийся по прямому участку пути вагон. а в
качестве- инерциальноit системы - Землю.
Если тело относительно вагона покоится, то, как мы ви­
дели в предыдущем параграфе, сила, действующая на тело,
есть
F=mw,
где т - масса тела, W - ускорение неинерциальной систе­
мы отсчета. Если тело движется вдоль вагона с ускорением
а', а сам вагон по-прежнему движется с ускорением
то
результирующее ускорение тела относительно Земли
w,
a=w+a'.
Значит, согласно второму закону Ньютона, результирую­
щая сила F, действующая на данное тело со стороны дру­
гих
тел,
должна
равняться.
ma=mw+ma'.
Таким образом, и тогда, когда теЛо покоится, и тогда,
когда оно 'имеет ускорение относительно вагона, _резуль9
Элементарный учебник физнки, т.
1
257
Тflрующая СИЛ', дейСТВУЮЩИХ на него со стороны других
тел, не равна, массе тела, умноженной' на его ускорение
относительно вагона, т. e~ для неинерциапьной системы
второй
эакон- Ньютона
нарушается.
§.130. СИЛЫ инерции. Естественно возникает вопрос!
как
должны отличаться друг от друга силы, дейетв.ующие надан­
ное тело в инерциальной и неинерциальной системах от­
счета, чтобы второй закон Ньютона был справедлив для
этого тела в обеих системах? Полученные. в предыдущем
параграфе формулы дают на это ответ: необходимо, чтобы,
кроме сил, действующих на данное тело со етороны других
тел, результирующую которых мы обозначили ч~рез F,
действовала еще. добавочная сила fп=-mw, равная массе
тела, умноженной на ускорение неинерциальной системы,
взятое с обратным знаком.
В самом деле, тогда в случае Te.[Ia, покоящегося относи­
тельно вагона, найдем, что результирующая всех сил вме­
сте с этой добавочной силой будет рюша нулю, так что ока­
жется
выолненныыM
закон
инерции
относительно
неинер·
циальной систе,.\1Ы. Для тела же, движущегося ускоренно,
найдем, что реЗУЛЬТИРУЮЩ<l51 всех сил вместе с этой доба­
вочной силой будет равна
F+f,,=ma-mw=ma',
так что окажется вьшолнеfIНЫМ второй закон Ньютона отно­
сительно неинерциальной системы. Такие добавочные силы
называют силами инерции. Если учитывать силы инерции,
то для неинерциалъной системы отсчета первый и второй
законы Ньютона выполняются так же, как и для инерци­
альных
систем:
масса
тела, умноженная на
его ускорение
относительно неинерциальной системы отсчета, будет равна
по модулю и направлению равнодействующей всех сил.
приложенных .к
телу,
включая
и
силы
инерции.
Мы получили этот реЗУJIьтат для движения тела вдоль
прямолинеЙНQ движущегося вагона. Однако можно пока­
зать, что всякий раз, учитывая силу инерции, равную массе
тела, умноженной на ускорение системы отсчета, взятое с
обратным знаком, мы сможем применять первый и второй
законы Ньютона при любом поступательном движении
неинерциальной системы отсчета (как прямолинейном, так
и криволинейном) и при произвольном движении тела (на­
пример, поперек вагона или по произвольной траектории).
Силы инерции принципиально отличаются от всех сил, с
которыми мы имели дело раньше. Эти силы ооусловлены не
2-58
;в,еЙСТRИем каких-либо тел на Данное тело, а ндличием
ускорения неиперциальной системы отсчета относительно
любой инерциальной, R частности относптельно системы
«Солнце - звезды».'
.
Для сил, действующпх со стороны одного тела на другое,
мы всегда можем указать тело, со стороны которого дей­
ствует данная сила. Для сил инерции мы можем указать
тело, на которое
сила действует, но не :можем указать
никакого тела, со стороны IЮТОРОГО эта сила действует.
Поэтому третьим законом Ньютона в неинерциальных
системах нельзя пользоваться даже при учете сил инерции.
Действительно, эти силы ПОЯВЛЯЮТСЯ «в одиночку», а не
«парой». Нет Нlшаких сил противодействия, приложенных
к другому телу со стороны данного, да нет и «другого» тела.
Нельзя, конечно, пользоваться и следствиями из третьего
закона Ньютона. Так, закон сохранения импульса для дви­
жений,
рассматриваемых
относительно
неинерциальпых
систем отсчета, несправеддив.
Итак, до сих пор первый и второй законы Ньютона поз­
воляли нам находить движения тодько относитедыlo инер­
циальных систем отсчета, так что найти движение относи­
тельно неинерциальной системы мы могли только путем
пересчета. Учитывая же сиды инерции, мы можем пользо­
ваться теми же законами движения как для инерциальных,
так и для неинерциальных систем.
Законы оказываются
_
одинаковыми, но в неинерциаль-
'IJI
ных системах, помимо обычных
сил, появляются силы
В частности,
щегося
для
относительно
циальной системы,
ции
уравновешивает
ные
силы,
инерции.
тела,
покоя­
неинер­
сила
инер­
все осталь­
действующие
на
тело.
са
Задачу о подожепии отвев
ускоренно
движущемся
вагоне
(§ 128)
перь рассмотреть
ния
теля.
мы
с
можем
точки
неинерциального
тезре-
наблюда-
Рис. 206. Равновесие сил ДJIЯ
груза, покоящегося в уско-
ренно
движущемся
вагоне.
На г['уз действует сила т,я­
жести, сила натяжения нити
и сила инерции
Учитывая силы инерции,
мы приходим к задаче о равновесии по отношению к вагону
подвешенного на нити груза под действием силы тяжести,
силы натяжения нити и силы инерции. На рис.
206
пока­
заны все эти силы. л€гко проверить, что, как и должно
быть, расчет даст те ж€ значения для угла отклонения
259
отвеса и для силы натяжения нити, что ив упражнении
128.1.
.
_
.
Точно так же, учитывая силы ин~рции, мы можем рас­
смотреть движения, описанные в·.§ 31 j относя движение к
ускоренной системе отсчета и пользуясь законами Ньютона:
мы можем описать движение «с точки зрения наблюдателя в
неинерциальной системе». При резком торможении вагона,
т. е.
при сообщении вагону ускорения,
направленного
назад, на тело стоящего человека подействует сила инерциJt.
направленная вперед: под действием силы инерции человек
наклонится вперед и может упасть. При увеличении ско­
рости вагона, наоборот, сила инерции будет направлена
назад и отклонит тело человека в сторону, ·обратную
движению.
§ 131. Эквивалентность сил инерции и сил тяготения.
Силы инерции и силы тяготения схожи друг с другом: и те и
другие пропорциональны массе тела, на которое они дей­
ствуют, и поэтому ускорения, сообщаемые данному телу как
силами
тяготения,
так
и
силами
инерции,
не
зависят
от
массы данного тела. Поэтому, наблюдая в данной системе
отсчета за движением тела -под действием сил и не зная,
является ли данная система инерциальной, нельзя разли­
чить, имеем ли мы дело с силой тяготения или с силой
инерции.
Будем, например, наблюдать подвешенный или падаю­
щий груз в вагоне. Без наблюдений за какими-либо телами,
расположенными
вне вагона,
мы
не сможем
определить,
чем вызвано отклонение отвеса или траектории падающего
груза от перпендикуляра к полу вагона, В самом деле,
представим себе, что окна вагона закрыты шторами и мы
не можем определить направление вертикали, например,
глядя на стены домов. Как в этом случае мы можем объяс­
нить наблюдающееся отклонение отвеса от перпендикуляра
к полу вагона? Отвес отклонится, если вагон неподвижен, но
стоит на наклонном пути (рис. 207, а). Тогда отклонение
нити объяснится действием силы тяготения: отвес перпенди­
кулярен к поверхности Земли, а пол вагона к ней наклонен.
Но такое же отклонение может возникнуть и на горизон­
тальном пути, если вагон щщжется с ускорением в сторону,
противоположную
к полу (рис.
тем,
что
отклонению
207, 6).
вагон
отвеса
от
перпендикуляра
В этом случае отклонение объяснится
движется
ускоренно.
То же относится и к наблюдению траектории падения
груза при пережигании нити. Если принять, что направле-
260
ние
отвеса
или
направление
свободного
падения
дает
направление силы тяготения, то в первом случае это направ­
ление будет определено правильно, а во втором - непра­
вильно. Однако в закрытом вагоне нет никакого способа
выяснить направление именно силы тяготения,. ОПЫТЫ, про­
изводимые
внутри
вагона,
всегда
дают
результирующую
W_
'О}
Рис.
207.
Эквивалентность сил тяготения и· сил инерции. Отклонение
отвеса может быть вызвано как наклонныы положением вагона, так Н_
его
ускоренным
движением
силу тяготения и силы инерции, а так как обе силы ОДИllа~
ковым образом зависят от массы ускоряемых тел, то мы и не
можем
их
разделить.
Рассмотрим еще пример одновременного действи я силы
тяготения и силы инерции. Представим себе кабину лифта,
движущегося
по
вертикали
С
ускорением,
которое
может
быть направлено как вверх, так и вниз (направление вниз
будем считать ПОЛQжительным). Будем считать, что мы не
можем выглянуть наружу, чтобы устав овить, как движется
кабина относительно Земли. Отвес с грузом в таком лифте
всегда расположится по перпендикуляру к полу кабины,
так
как и
сила тяготения,
и
сила инерции
направлены по
перпендикуляру к полу. Но сила натяжения нити отвеса
(ее можно измерять, например, подвешивая нить к дина­
мометру) будет зависеть от ускорения лифта.
В самом, деле, пусть ускорение лифта направлен о вверх
и равно -ШI. Тогда сила инерции направлена вниз и равна
тШI. Так как подвешенный груз находится в покое под дей­
ствием
нити,
силы
то
тяготения,
сила
силы
натяжения
инерции
и
силы
натяжения
нити
T=тg+mw=m (g+w)j
это значение и покажет динамометр. Но, оставаясь внутри
лифта, мы не можем выяснить, вызвано ли это раст~ение
261
ускорeшIым движением Лиф'fа иля повышенной силой
тяготения, равной nt (g+w). Ведь на планете с большей силой
тяготения, чем на Земле, данная гиря в покоящемся лиф­
T~ также растягивала бы динамометр с силой, превыша­
ющей mg.
Если теперь представим себе, что JIИфт движется с уско­
рением, направленным вниз, то сила инерции будет направ­
лена
вверх
и
сИла
натяжения
нити
T=m(g-w).
Эта сила также могла бы наблюдаться внеподвижном ,1ифте,
если бы опыты делались на меньшей планете,- различить
эти два случая по описанному опыту снова нельзя. J::сли
ускорение
лифта
направлено
вниз и по модулю
превос­
ХОДИТ g (это можно получить, например, располагая лебедку
под лифтом так, чтобы трос тянул кабину JIифта вниз), то
результирующая силы тяготения и силы инерции окажется
напраВJlенной вверх и по моду.1Ю будет равна m(w-g).
Под действием этой силы груз, прикрепленный нитью к
полу,
подниметс,я
к
потолку:
«верх»
И
«низ»
поменяются
местами. При пережигаНIIИ ннт\! груз упадет на потолок.
Находясь внутри лифта и не имея представления о TO!v'I, что
происходит снаружи лифта, мы сможем истолковать такие
опыты либо как появление сил инерции вследствие ускорен­
ного движения лифта, либо как изменения модуля (и на­
правления относительно кабины) СИJIЫ тяго:rения, либо как
наличие обеих причин вместе. Наконец, наблюдая деформа­
ции покоящихся тел, также нельзя различить, действует ли
на
тело
сила
тяжести
или
движется
ускоренно
система
отсчета: в обоих случаях картина деформации тела 6yдe:r
одинаковой (§ 61).
Из всего сказанного следует, что при поступательном
ускоренном движении системы отсчета
относительно инер­
циалъных систем силы инерции в ускоренной системе
таковы, как если бы все ТЕща притягивалисъ в сторону,
противоположную
ускорению системы,
с
силами,
прооор~
циональными' массе тел. «Ускорение свободного падения»,
вызванное этой «силой тяготения», равно ускорению систе­
мы отсчета
обратным
относительно ииерциальных систем,
знаКО;'I.
взятому с
Ускоренное поступательное движение
систеС'.1Ы отсчета ПО своему действию на движение тел эк­
вивалентно появлению соответственных сил тяготения. Это
положение
называют
эквивалентностью
сил тяготения и
сил инерции. Так как силы тяготения зависят от расстояния
до ПРИ1'ягивающеFО тела,_ то эквивалентность будет иметь
· место ТОЛЬКО в ограниченных областях, в преде;лах которых
, различием в рассто9ИИЯХ можно пренебречь. Мы вернемся к
этому вОПРОСУ в § 137.
§ 132.
Невесомость и перегрузки. Рассмотрим системы отсче­
та, СВЯ38Вные с телами, на которые действуют только СШIЫ
тяготения. Такой системой является, напршrер, корпус ис­
кусственного спутника_ Вначале, однако, рассмотрим более
простой пример. Представим себе, что трос, на котором
висит кабина~лифта, оборвался и кабина начала падать с
g,
ускорением
направленным вниз. Сила lIнерции, дейст­
вующая на тело массы т, находящееся в кабине, будет рав­
на
-mg.
Знак минус показывает, что сила направлена
вверх, противоположно силе тяжести. Но сила тяжести,
действующая на данное тело, равна mg и направлена вниз.
Значит, вместе с силой инерции эти силы взаимно уравнове­
сятся. Если тело висело на нити, то сила натяжения нити
исчезнет;
.
если
пережечь
нить,
то тело останется
на месте
относитеЛЬНQ кабины. Если сообщить незакрепленному телу
некоторую скорость, то оно будет двигаться прямолинейно
и равномерно, пока не ударится о стенку кабины. Отвес не
будет иметь никакого определенного положения равновесия:
если. толкнуть грузи к отвеса вбок, то, вместо того чтобы
начать колебаться вблизи начального положения, он будет
равномерно вращаться вокруг точки ПОдВеса. Чтобы тело
покоилось относительно падающего лифта,
не нужно
ни
опоры, нИ подвеса, а покоящиеся тела не будут деформиро­
ваны. Вместе с этим исчезнет сила, с которой покоящееся
тело, находящееся под действием силы тяготения, давит на
подставку
или
растягивает
подвес;
словом,
исчезнет
вес.
Поэтому условия, имеющие место в падающем лифте, назы­
вают
состоянием
невесомости.
Совершенно такая же картина невесоYIОСТИ будет наб­
людаться и в искусственном спутнике, движущемся по орби­
те. Ведь движение спутника, как мы видели (§ 125), есть
также свободное падение с ускорением, создаваемым силой
тяжести; поэтому для любого тела в спутнике, с точки зрения
находящегося в нем наблюдателя, сумма сил тяготения и
сил инерции будет равна нулю.
Внутри
определить, где «верх» И где «низ»; тела
кабины нельзя
не падают на пол,
а «плаВйЮТ» в воздухе; для того чтобы удерживать в руке
тело даже большой массы, не требуется lIикаких усилий, и
т. д. С точки же зрения наблюдателя, находящегося в инер­
циа,льной системе отсч€та, космонавт не обнаруживает уско­
реннй тел, находящихся в кабине, в том числе и своего тела,
263
относительно стенок кабины, потому, чтО как кабина, так и
все тела в ней, и он сам в том числе, «падают», т. е. имеют
одинаковое ускорение
g.
Как видно из сказанного, состоя­
ние невесомости наступает не потому, что сила земного при­
тяжения «перестает действовать», но именно потому, что она
«делает свое дело»
-
сообщает всем телам однаковое уско-
.
рение.
Если
космонавт попытается массивному телу. которое
«плавает» в воздухе, сообщить толчком большую скорость,
ТО он убедится, что для этого нужно приложить вполне
ощутимую силу.
Эту силу можно вычислить ПО второму
закону Ньютона как произведение массы тела на его уско­
рение
относительно
кабины.
В
состоянии
невесомости
массивное тело перестает давить на руку, которая удержи­
вает его в определенном положении, но вовсе не перестает
.давить
на руку, сообщающую ему ускорение. Если массив­
ному телу сообщена значительная начальная скорость, то
-оно будет продолжать двигаться с той же скоростью прямо­
линейно, пока !Ie наткнется на стенку кабины, и если стен­
ка выдержит этот удар, то тело отразится от стенки и нач­
нет двигаться в обратном направлении с той же скоростью ..
Словом, космонавт не обнаружит никаких отклонений от
законов механики, но обнаружит отсутствие тех явлений,
которые обусловлены действием сил земного тяготения.
Поэтому в состоянии невесом ости у космонавта отсутствуют
привычные явления, вызываемые силой тяжести (например,
постоянное напряжение некоторых мышц, деформации
внутренних органов и т. п.), К которым организм приспосо­
бился в процессе эволюции.
Все сказанное о состоянии невесом ости относитёя к тому
случаю, когда на космический корабль действуют только
силы-тяготения. Если же на него действует еще и сила тяги
реактивных дщпателей, то состояние невесомости _нару­
шается. Например, на «активном участке» траектории,
когда двигатели работают, разгоняя ракету до требуемой
скорости,
поднимая
ее
вертикально
вверх,
сила
направлена вертикально вниз и для тела массы
tn
инерции
равна та,
где а - ускорение ракеты. Таким образом, космонавт, рас­
сматривающий движение окружающих его тел относительно
creHoK кабины, обнаружит, что, кроме силы тяжести mg,
на тела действует еще в том же направлении сила инерции
та. Точнее говоря, так как он не сможет различить эти силы,
QH обнаружит, что на тело действует сила т (g+a) - резуль­
тирующая силы тяготения и силы инерции. Картина будет
такова, как если бы сила тяготения Земли увеличилась в
(g+a)/g
раз. Ускорение при взлете ракеты может значи-
1'мьно превышать ускорение свободного падения, так что
результирующие силы, действующие на покоящиеся тела. в
кабине, . могут в несколько раз превышать силу тяжести
для этих тел. Соответственно увеличатся и деформации,
вызванные этой возросшей силой, и силы, с которыми дей­
ствуют друг на друга деформированные тела и части дефор­
мированных тел. Это явление называют перегрузкой. Гово­
рят о двукратной, трехкратной и т. д. перегрузке, когда
р~ультирующая сил тяжести и
сил инерции превышает в
два, три и т. д. раза силу тяжести, действующую на тело.
Состоян.ие перегрузки действует на организм космонавта
значительно
полетах
в
сильнее,
космосе
чем
оно
состояние
длится
невесомости,
гораздо меньшее
но
время
при
--
время работы двигателей. Для того чтобы космонавт легче
переносил
перегрузки,
принимают
специальные
мерш
космонавт располагается лежа в специальном кресле так,
чтобы его возросший вес распределялся по возможно боль­
шей площади и не изменял условий кровообращения.
Перегрузки легко объяснить и с точки зрения «инер­
циального наблюдателя». С этой точки зрения силы инерции
отсутствуют,
но,
помимо
сил
тяготения,
к
космическому
кораблю и к каждому из тел, в нем находящихся, прило­
жены силы,· действующие при непосредственном соприкосно­
вении и сообщающие всем этим телам данное ускорение. мы
видели (§ 119), что в этом случае ускоряемые тела оказы­
ваются. деформированными, Н, значит, между их частями
действуют силы упругости такие же, какие действовали бы
между ними, если бы тела покоились и на них действовала
бы увеличенная сила тяготения.
§ 133. Является ли Земля инерциальной системой отсчетcV
мы пользовались до сих пор в качестве инерциальных систем
как Землей, так и систе~ой отсчета Солнце -- звезды (ге­
лиоцентрической системой). Однако обе они инерциальными
быть не могут: если рассматривать движение относительно
Солнца и звезд, то Земля вращается вокруг своей оси и
движется вокруг Солнца_ по криволинейной траектории,
т. е. с ускорением относительно Солнца и звезд.
Центростремительное ускорение точек Земли относитель­
но Солнца и звезд, вызванное ее вращением вокруг своей
оси, будет наибольшим на экваторе. Для точек на экваторе
это ускорение можно найтИ по формуле
26 5
подставляя вмес'}:о.О) ~г..лОВfIO -(ЖОРО~'1'ь вращения 3емmt,
равную 2n радLсу.т,или Ilримерно 7,5 ·10-& ,рад/с, -а -вместо
радиус Земли,равный 6,4 ·.106 М. Распет дает а-;::::
. ~0,ОЗ4 M/C~. Ускорение точек Земли при ее г.одовом обра­
r -
'щении вокруг Солнца получим из той же формулы, подстав­
ляя в нее вместо о) величину
2n рад/год, или примерно 2 х
10-1 рад/с, If вместо r - радиус земиой орби.ы, равный
1,5 ·1018 1\1. Ускорение оказывается равны:ма-;::::О,ООО6 M/C~.
х
Как видим, ускорения Земли в ее космическихдвиже-
, ниях
очень малы по сравнению с теми, с которыми прихо­
дится практически встречаться в движениях у поверхности
Земли,
н'апример с ускореиием свободного падения g~
~10 м/с 2 • Поэтому во всех сравнительно грубых опытах,
которые мы
рассматривали до сих
пор,
эти
ускорения
не
играли никакой роли, так что, если одна из применявшихся
систем отсчета (Земля и Солнце
-
звезды) инерциальна, то
практически инерциальной для грубых опытов оказыва­
.чась и вторая система отсчета. Однако более точные опыты
должны обнаружить различие между этими двумя свсте'мами отсчета и установить, какая из этих систем является
инерциальноЙ.
.'
В действительности удалось установить, что инерциаль­
ной системой отсчета является система Солнце - звезды,
а Земля - неинерциальная система. Но, как мы видели,
отличие Земли от инерциальной системы невелико, и им
обычно можно пренебрегать. Случаи, когда неинерциаль­
ность Земли нужно учитывать, будем разбирать специально
(§§ .136 и 137).
'§ 134. Вращающиеся системы отсчета. Теперь рассмотрим
движение тел
по отношению
!{ системам отсчета, вращаю­
щu.мся относительно инерциальных. систем. Выясним, какие
силы инерции действуют в этом случае. Я,сно, что это будет
более сложно, так как разные точки таких систем имеют
разные
ускорения
относительно
инерциальных
систем
от·
счета.
Начнем со случая, когда тело покоится относите.'IЬНО
вращающейся .системы отсчета. В этом случае сила инерции
должна ураВНQвешивать все силы, действующие на тело со
стороны других тел. Пусть система вращается ,с угловой
скоростью 0), а тело расположено на расстоянии r от оси
вращения и находится в равновесии в этой точке. Для Того
чтобы найти результирующую сил, действующих на тело. со
стороны других тел, можно, как и в § 128, рассмотреть
движение тел,а относительно инерциальной .системы.
Это
266
движение есть, врзщение с- УГЛО8UЙ: CКOPOCTbl(}i ()}. по· окруж­
ности радиуса г. С:QFлаено §: 119 результирующая СИЛа
направлена! к оси· по-рад.иусу ю равна' тO)~Г. где' т
-
масса
тела-. Эта СИНlа, ~ожет БЫТli. вызвана натяжением нити (вра­
щенпе гру.зик·а·н-а' нити)!. силой тяготения (движение планет
BO~PYГ Солнца), упругостыо других тел (упр>:гость рельсов
при движении вагона: по закруглению) и т. п.
Результирующая сила. не зависит от того, в какой систе­
ме отсчета рассматривается данное движенпе. Но относи­
тельно нашей неинерциальной системы тело покоится.
Значит, сила инерции уравновешивает эту результирую­
щую, т. е. равна массе тела, умноженной на ускорение той
точки системы, где находится тело, и' направ.'Iена противо­
положно этому ускор-ению. Такиы образом, сила ищ~рции
также
paBHa_mro 2r,
но направлена по радиусу от оси враще­
ния. Эту силу называют центробежной силой инерциu *).
СI!ЛЫ, действующие со СТОРОНЫ других тел на тело,. покоя'
щееся относительно вращающейся системы отсчета, урав­
новешиваются центробежной силой инерции.
В отличие от сил инерции в поступательно движущихся
системах~ центробежная сила инерции для тела данной
массы зависит от точки, в которой расположено тело, и по
модулю и
направлена
по направлению:
по· радиусу,
центробежная сила инерции:
проходящему
через
тело,
и
для
заданной угловой скорости пропорциональна расстоянию
от
тела
до
оси
вращения.
Вследствие вращения' 3'емли на неЙ' также должна; наб­
людаться цен'Гробежная сила· инерции (которой мы до сих
пор пренебрегали). В §- 133 мы нашли, что центростреми­
тельное ускорение на экваторе равно 0,034; м/с 2 • Это состав­
ляет примерно 1/300 часть ускорения свободного падения g.
Значит, на тело массы т, находящееся на экваторе, дейст­
вует центробежная Си.'Iа IIнерции-, равная' mg/300 инаправ ..
ленная О'I'центра, т. е. по вертикали. вверх. Этасила-умень­
шает вее тела по сравнению с силой притяжения- 3~ на,
11300 часть. Так как на полюсе центробежная сила- инерции
равна нулю; то при перенесении тела с полюса на экватор'
оно «потеряет» вследствие
вращения' Земли
1/300
часть­
своего веса. На других широтах центробежная сила инер·
ции будет меньше; изменяясь пропорционально' р-адиусу
параллели, на которой расположено тело. (рис.
208-).
Из-:
*) Подчеркнем, что центробежная сила инерu;ии появляется только
во вращающихся системах отсчета: В· инерциальных система,,- отсчета
ltIИtаки~ центрооежны*сиJиIeт.. (Примеч, ред,)
Yil
•
рисунка видно, что ВСЮДУ, кроме экватора и полюсов,
центр'обежная сила инерции направлена под углом н
направлению- на центр Земли, отклоняясь от него в сторону
8кватора. В
результате сила тяжести
mg,
представляющая
собой результирующую си­
лы притяжени я к--зем,ле и
центробеж~ой силы инер­
ции, оказывается о:гклонен­
ной
от
направления
на
центр Земли в сторону эк­
ватора.
'fи.!l
В действительности, как
показал опыт,
Рис. 208. Центробежная сила инер-
тела при
ции на разных широтах
его веса,
а больше:
ся тем, что Земля
и
поэтому
сила
не
С полюса на
ставляет не
около 1/190 части. Это
шар,
тяжести
а
слегка
потеря веса
перенесении его
экватор
со-
часть
объясняет­
1/300
сплюснутое
тело,
на полюсе оказывается несколь­
ко больше, чем на экваторе. Влияние силы инерции и раз_­
личия в силе притяжения к Земле на разных широтах,
приводит к зависимости ускорения свободного падения от
широты местности и к различию в ускорении свободного
падения
в
разных точках земного шара, о котором говори­
лось В § 53.
Мы видим, что существует эквивалентность центро­
бежной силы инерции и сил тяготения. Если бы Земля не
вращалась, та же потеря в весе вызывалась бы немного
большей сплюснутостью Земли, а если бы Земля не Быаа
сплюснута, та же потеря в весе вызывалась бы несколько
большей скоростью вращения Земли. Отклонение отвеса
также вызывалось бы не вращением Земли, а неравномер­
ным распределением масс внутри Земли.
Таким образом, различие в весе тел и отклонения отвеса
в разных точках земного шара еще нельзя счи-тать доказа­
тельством вращения Земли относительно инерциальной
сис~емы отсчета:- С опытами, доказывающими вращение
Земли относительно системы отсчета Солнце - звезды, мы
познакомимся в § 136.
Сама СПЛlOснутость Земли объясняется ее вращением:
с точки зрения земного наблюдателя она вызвана центро­
бежными силами инерции, направленными от оси и имею­
щими наибольшее значение на экваторе. С точки зрения
«инерциального наблюдателя» деформация Земли возникает
так
268
же,
как
деформация
всякого
вращающегося
тела
(§ 119). Подобным же образом сплюснуты и другие вращаю­
щиеся небесные тела. Юпитер, например,сплюснут очень
сильно вследствие БОJ]ЬШОЙ скорости его вращения (один
оборот за 10 часов). Напротив, Луна, совершающая один
оборот вокруг своей оси за один месяц, практически не
сплюснута
?
134.1.
и
имеет
форму
Рассмотрите задачи
дателя,
находящегося
шара.
§§ 119
и
122
с точки зрения наблю­
во ВРllщающейся системе отсчета.
134.2. При каком периоде вращения Земли вокруг своей оси
центробежнаа сила инерции на экваторе полностью уравно­
вешивала бы силу притяжения Земли, так что вес тела на экваторе
равнялся бы нулю?
134.3. Покажите, что уменьшение веса тела, обусловленное вра­
щением ЗеМJIИ, меняется, как квадрат косинуса широтного
угла, а составляющая центробежной силы инерции, направлен­
ная к экватору, меняется, как синус двойного широтного угла.
Силы инерции при движении тела относительно вра­
щающейся системы отсчета. Если тело движется относитель­
но вращающейся системы отсчета, то, даже учитывая поми­
мо сил, действующих со стороны других тел, центробежную
СИJIУ инерции, мы не достигнем того, чтобы законы Ныото­
на соблюдались относительно вращающейся
системы.
В этом случае имеется еще некоторая добавочная сила
§ 135.
цнерции,
зависящая
от
скорости
тела.
- Чтобы показать это, рассмотрим такой пример. Будем
двигать кусок мела вдоль неподвижной линейки. Если под
Рис. 209. Кусок мела, равномерно дви­
жущийся .вдоль неподвижной линейки
АВ, описывает на доске, вращающеiiся в
направлении
стрелки,
криволинейную
траекторию АС: 'V - скорость тела относительно вращающеiiся доски
линейкой расположена неподвижная доска, то мел прочер­
тит на ней прямую линию. Если же доска под линейкой вра­
щается, то мел прочертит на ней некоторую кривуio
(рис. 209)~ Значит, траектория мела относительно вращаю­
щейся системы отсчета .окажется криволинейной, а потому
мел будет иметь ускорение, нормальное к траектории. Но
269
по отношению к И1lерциальной . системе (неподвижной ли­
нейке) мел двигался прямолинейно. Значит, никаких сил,
деЙСТВУЮL'ЦИХ со стороны других тел и перпендикулярных к
траектории, нет. Следовательно, во вращающейся системе
действует еще сила инерции,
перпендикулярная к траек­
'Гории, описываемой телом во вращающейся системе от­
счета. Эту добавочную силу инерции назы~ают корuолu­
совой силой по имени французского механика Густава
Гаспара КОРИОЛllса (1792-1843), I{ОТОРЫЙ дал расчет этой
силы.
Расчет показывает *), что для движений тела, происхо­
дящих в плоскости, перпендикулярной к оси вращения,
кориолисова сила инерции fK равна удвоенному произведе­
нию угловой скорости (J) вращающейся системы отсчета
на скорость v тела относительно э1"ОЙ системы и на массу
тела: fK=2mwv. Направление силы перпендикулярно к
скорости и обращено в такую сторону, что для совмещения с
направлением скорости тела ее нужно было бы повернуть
на прямой угол в сторону вращения системы отсчета. Сле­
дователь"но, при перемене направления движения тела на
обратное или при перемене направления вращения системы
на обратное (например, по часовой стреЛJ{е и против часо­
вой стрелки) направление КОРПОЛИСОВОЙ силы инерции
меняется на обратное.
Сила КОРИОЛlIса от,тшчается от всех встречаВШIIХСЯ нам
до сих
пор
сил
инерции
тем,
что она
зависит от скорости
движения тела относительно неинерцпальной системы от-
"
счета.
КОРИОЛJlСОВОЙ силы, во вращающейся системе
отсчета на движущееся тело действует и центробежная сила
инерции, тю{ же как она действовала бы на тело, если бы
оно покоилось относительно вращающейся системы от­
Kpol\!e
счета".
Доказательство вращения Земли. Вернемся теперь
к вопросу о том, является ли"Земля инерциальной системой
отсчета или нет. Для того чтобы выIсннть,' ЯВJIяется ли та
§ 136.
или иная система отсчета инерциальной, достаточно сопо­
ставить ускорения тел относительно этой системы отсчета
с силами, действующими на эти тела со стороны других тел.
Если эти силы объясняют наблюдаемые движения тел, т. е.
силы и ускорения во всех случаях удовлетворяют второму
закону Ньютона, то система инерциальна. Если же оказы-
*)
270
Ввиду сложности этот расчет не ПРИВQДИТСЯ.
вается, что имеются ускорения, которые нельзя объяснить
деЙс,.~ других тел, это значит, 'что' сис.тема неинерци­
альна,
а ускорения
вызываются
соответственными
силами
инерции.
ОПЫТ, доказывающий таким способом неинерциальность
Земли (а именно
ее вращение относительно инерциаль­
-
ных систем отсчета), произвел в 1851 г. в Париже француз­
ский физик Жан Бернар Леон Фуко (1819-l868). В опыте
Фуко производились наблюдения за качаниями маятника,
запущенного в определенной плоскости (маятник Фуко).
Для того чтобы можно было в течение доетаточно долгого
времени наблюдать качания, Фуко применил в качестве
маятника груз, подвешенный на очень ДЛинной (61' м)
тонкой проволаке. Период маятника составлял 16 с. Чтобы
проволока не могла закручиваться" ее верхний конец был
укреплен в подшипнике, который мог свободцо вращаться
вокруг вертикальной
оси. На груз маятника действовали
только две силы: сила тяжести, направленная вертикально
вниз,
и
сила
натяжения
проволоки,
направленная
вдоль
проволоки вверх. Таким образом, результирующая сил,
действующих на маятник, лежала в вертикальной пло­
скости, проходящей через проволоку , т. е. в плоскости
качаrfИЙ маятника. При запуске маятника принимались
меры
в
для
устранения
толчков
направлении, перпендикуляр­
ном К' начальной плоскости ка­
чаний: ДЛЯ запуска груз оттяги­
вался
в
сторону
равновесия
тем
от
нитью,
положения
которая
пережигалась.
тате маятник
за­
В
резуль­
начинал
двигать­
ся в той -вертикальной плоско­
сти, в которой лежала прово­
лока до пережигания
нити.
Если бы Земля была инер­
циальной сис.темоЙ отсчета,
то
при таком
способе
запусr<а
маятник и
колебаниях
той
же
при последующих
оставался
бы
в
самой
вертикальной
-.:r'
Рис. 210. Траектория груза
маятника Фуко (8' северном
полушарии)
плоскости. Оказалось, однако, что плоскость качаний ма­
ятника не оставалась неподвижной по отношению к Земле,
а
поворачивал ась
маятник сверху).
по
часовой стрелке (если смотреть на
Траектория
движения
относительно Земли показана на рис.
груза
210.
маятника
На ри'сунке
271
для
наглядности
сильно
преувелнчен
угол
поворота
пло­
скости качаний при каждом колебанни маятника.
Опыт Фуко производился И В други~ местах земного ша­
ра (в том числе и в южном полушарин, где плоскость кача­
ннй повораЧJ{валась против часовой стрелки). -Выяснилось,
что при приближении к полюсу - северному или южному­
угловая скорость поворота плоскости качаний увеличива­
ется
и
на
самом
полюсе достигает
2 л рад/сут.
Значит,
плоскость качаний маятника на полюсе поворачивается от­
носительно Земли с той же скоростью, что и Земля относи­
тельно системы отсчета Солнце - звезды, но в обратном
направлении. Следовательно, плоскость качаний маятника
неизменна в системе отсчета Солнце - звезды. Таким об­
разом, в системе отсчета Солнце - звезды мы наблюдаем
только такие ускоренця груза маятника, которые сообщают
ему другие тела. Это доказывает, что система отсчета Солн-­
це - звезды является инерциальноЙ. Одновременно это
доказывает, что Земля ,- не инерциальная система отсче­
та, а система, вращающаяся относительно инерциальной с
угловой скоростью 2л рад/сут.
Теперь, исходя из того, что Земля
-
вращающаяся
система отсчета, мы можем объяснить движение маятника
Фуко и с точки зрения земного наблюдателя. Так как тра­
ектория груза маятника криволинейна, то на него должны
действовать силы, перпендикулярные к траектории. Кри­
визна траектории
направлена то в
одну, то в другую сто­
рону в зависимости от того, куда движется маятник, вперед
или назад. Значит, СИJlа должна менять направление на
противоположное
при
груза. Эта сила
сила инерции Кориолиса. Действитель­
-
перемене
направления
движеН1iЯ
но, как мы видели в предыдущем параграфе, она направле­
на перпендикулярно к скорости движущегося тела и при
перемене иаправления движения (качание вперед и назад)
направление ее меняется на обратное. Под действием силы
Кориолиса траектория груза и оказывается «звездочкой»,
показанной на рисунке.
Кроме опыта с маятником Фуко, на Земле наблюдаются
еще и другие явления, также связанные с силой Кориоли­
са. На тела, движущиеся в северном полушарии с юга на
север, действует сила Кориолиса, направленная на восток,
т. е. вправо от направления движения, а на тела, движущие­
сне севера на ЮГ,- сила Кориолиса, направленная на за­
пад, т. е. снова вправо от направления движения. Такая
сила действует, например, на воду в реках, текущих в се­
верном полушарии. Под действием этой СИЛl:!I вода в реках
272
подмывает правый берег, который поэтому бывает более
крутым и обрывистым, чем левый берег. Эгу закономерность
называют законом Бэра по имени обратившего на нее вни­
мание русского ученого Карл::! Максимовича Бэра (17921876). По той же причине правые рельсы двухпутных же­
лезных дорог на каждой колее изнашиваются немного
сильнее левых. В южном полушарии, наоборот, более К"рУ­
ты левые берега и быстрее изнашиваются левые рельсьi.
Силой Кориолиса объясняется также то, что ветры на
Земле образуют огромные вихри - циклоны и антицик­
лоны. Более подробно об этом сказано в § 312.
§ 137.
ПРИJlИВЫ. Если t5bl Земля была удалена от всех других небесных
тел на расстояния во много раз большие, чем теперь, так, чтобы притя­
жение других небесных тел совсем не сказывалось, то отличие Земли
от инерциальной системы отсчета заключалось бы только в том, что она
вращается вокруг своей оси. Но фактически небесные тела Солнечной
системы действуют на Землю, сообщая ей некоторое ускорение относи­
тельно Солнца и звезд; поэтому, помимо сил инерции, обусловленных
вращением Земли вокруг своей оси, нужно учитывать силы инерции,
соответствующие ускоренному движению З~IJJИ в целом. Важнейшее
проявление этих сил в системе отсчета: «Земля»
-
это морские приливы.
~
_+<>+-.....А - .... ------.---- .....
Рис.
211.
Возникновение приливов: fи
-
сила инерции,
fA
Л!Jна
---0
и
Jn- силы
притяжения частиц воды Луной, w - ускорение Земли, вызванное при­
тяжением Луны
Главную роль в морских прнливах играют Луна (как ближайшее не­
бесное тело) и Солнце (как самое массивное небесное тело Солнечной
системы).
Рассмотрим сначала приливы, вызываемые Луной. Сила тяготения,
действующая со стороны Луны на Землю, вызывает ускорение w в на­
правлении прямой, соединяющей центры ЗеМJIИ и Луны (рис. 211).
Следовательно, на все тела на Земле действует сила инерции, равная
произведению массы тела на это ускорение, взятое с обратным знаком.
Для Земли в целом эта сила инерции в точности равна силе притяжения
Земли Луной и направлена противоположно. Напомним, что вследствие
шарообразности этих небесных тел Луна притягивает Землю так, как
если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре. Но сила тяго­
тения убывает с расстоянием. Значит, тела; находящиеся на поверхно­
сти Земли со стороны Луиы, т. е. ближе к Луне, чем центр Земли,
будут притягиваться Луной с силой, превышающей силу инерции, и
273
раЗНQСТЬ Э'ТИХ сил направлена от центра Земли. Поэтому в точках «под
Луноii» тела «теряют В весе».
В диаметрально противоположных точках сила тяготения. Луны
снова не vравновешнвает силу инерции, так как тело расположеfЮ ОТ:
Луны да.'1Ьше, чем центр Земли. Разность силы инерции и силы притя- .
жения Луной направлена снова от центра Земли. Значит, в этих местаХ!
земной поверхности тела тоже «теряют в весе». Сила инерции равиа силе
притяжения Луной и уравновешивается ею TOJIbKO для точек, лежащих
посереД!lне между точками прямо «под Луной» И диаметра,lЬНО противо-;
ПО.10ЖНЫМИ точками. Итак, и «под Луноii», и с противоположной сто-!
роны те.1а немного «теряют в весе» вследствие того, что СИ,lа тяготения
убывает с расстоянием. Б.1агодаря ЭТОМУ действию Луны с двух сторон
Земли возникает плавное поднятне уровня океана на HeCKOJIbKO десят­
ков сантиметров. Между местами ПОДНятня происходит соответственное
опускание уровня океана. Вследствие вращения Земли эти места под• НЯТIIЯ It опускания перемещаются по поверхности Земли. Посреди моря
это небольшое поднятие практически незаметно, но вблизи берегов оно
выражается в том, что вода за.~ивает берег (прилив), а примерно через
6 часов - отступаег от берега (отлив).
Подобно Луне, Солнце также вызывает на Земле приливы и отли­
вы. ВСJ1едствие огромной массы Солнца и СИ.'1а притяжения Солнца,
и соответственные СИJ1Ь1 инерции гораздо больше, чем эти же величины
для Луны. Но мы виде.1И, что приливы вызывает не одна сила притяже­
ния ид!! сила инерции, а разность между силой инерции и силой тяго­
тения для одной и другой сторон Зем.'!И. Сила инерции для всей Земли
одна и та же: она равна СИ.1е притяжения Земли Солнцем. Сила же при­
тяжения, как и в с:!учае притяжеиия Луной, уменьшается при переходе
от стороны, освещенной Солнцем, к теневой стороне. Но чем дальше на­
ходится riритягпвае~юе тело (Зе~mя) от притягивающего (Луна и Соли­
це), тем медленнее меняется сила тяготения при уда.'!ении. Так как
COJ1Hue во много раз да.'1ьше от Земли, чем Луна, то оказывается, что
приливное действие, т. е. разность между силой инерции и сИ.'юЙ тяго­
тения, Д.1Я Солнца меньше, чем ДJIЯ Луны (почти В три раза). Все же
действие придивов, вызванных Солнцем, заметно: когда Луна, Земля
и Солнце находятся на одной' прямой (ново.'!уние и полнолуние), прили­
вы усиливаются, а когда направления на Солнце' и на Луну образуют
прямой угод (первая четверть или третья четверть Луны), то приливы
ОСJIабевают.
Как ясно из рассмотрения происхождения приливов, они вы3ыз-­
ются
нарушеиием эквивалентности сил
упоминавшимся в
§ 131.
инерции
и сил тяготения, уже
Делается ясной и причина нарушения эквива­
лентности: в то время как сила инерции', возникающая в системе отсчета
~Земля» вследствие ускорения, сообщаемого Земле Луиой, не зависит
от положения тела на ЗеМ.1е, сила притяжения тела Луной 01' этого
положения
зависит,
Г л а в а
VII.
ГИДРОСТАТИКА
ПОДВИЖНОСТЬ ЖИДКОСТИ. Основныы отличием ЖИДКО­
стей от твердых (упругих) тел является подвижность (те­
кучесть). Благодаря своей подвижности жидкости, в отли­
§ 138.
чие от упругих тел, не обнаруживают СОПРОТИВJIения из­
менению формы. Части жидкости могут свободно сдвигать­
СЯ, скользя одна относительно другой. Поэтому, если к
поверхности
жидкости
прилагаются
силы,
не
перпендику­
лярные к поверхности, то равновесие жидкости всегда на­
рушается и она приходит в движение, !{ак бы малы эти силы
ни были. Достаточно, например, подуть !fa поверхность
воды в тазу, чтобы вызвать ее движение. Море рябит при
малейшем ветерке. Мы впделп, что ничтожная сила со сто­
роны стеклянной нити приводит в движение плавающий
на воде кусок дерева (§ 44).
Подвижностыо ЖНДКОСТИ объясняется то, что свободная
поверхность ЖIIДКОСТИ, находящейся в равновесии под дей­
ствием силы тяжести, всегда горизонтальна. В самом деле,
если бы, например, поверхность покоящейся жидкости
была расположена под углом к горизонту, то частицы жид­
кости вБЛИЗI! поверхности соскальзывали бы вдоль нее вниз
под деЙСТВИБI силы тяжести, как по. Н81{ЛОННОЙ ПЛОСI{ОСТИ.
Такое движение продолжал ось бы, пока поверхность ЖI!Д­
кости не сделалась бы гор I!зонтальноЙ.
Заметим, однако, что свободная поверхность ЖИДКОСТИ,
налитой в сосуд, неСf{ОЛЬКО искривлена вблизи стенок. Это
легко обнаружить,
раССl\lатривая отражение предметов от
поверхности БОДЫ, налитой в чашку. Это искривление вызы­
вается силаМII, действующими между жидкостью и стенка­
ми, и сказывается JIИШЬ в их непосредственной близости.
Влияние стенOJ{ будет разобрано в § 253.
.
Для жидкости, занимающей большое пространство (мо­
ря, океаны), нужно учитывать, что направление силы тя­
жести, в разных точках земной поверхности различно. Так
как сила тяжести направлена всюду к центру Земли по
275
•
радиусу, то и поверхность моря принимает в целом форму
приблизительно шаровой поверхности, нарушаемую лишь
посторонними местными причинами (например, под дейст­
вием ветра появляются волны).
§ 139.
Силы давления. Повседневный опыт УЧИТ нас, что
жидкости действуют с известными силами на поверхность
твердых тел, соприкасающихся с ними. Эти силы мы назы­
ваем
силами
давления
Прикрывая
ного крана,
мы
_
жидкости.
пальцем отверстие открытого водопровод­
ощущаем силу давления
жидкости на па­
лец. Боль в ушах, которую испытывает пловец, нырнувший
на большую глубину, вызвана силами давления воды на ба­
рабанную перепонку уха. Термометры для измерения тем­
пературы в глубине моря должны быть очень пр очными ,
чтобы давление воды не раздавило их. Ввиду огромных
сил давления на большой глубине корпус подводной лод­
ки должен иметь гораздо большую прочность, чем корпус
надводного корабля. Силы давления воды на днище судна
поддерживают су дно на поверхности, уравновешивая дей­
ствующую на него силу тяжести. Силы давления действуют
на· дно и на стенки сосудов,
наполненных жидкостью! на­
лив в резиновый баллон ртуть, мы видим, что его дно и
о)
Рис.
Стенки и дно резинового баллона, вложенного в проволочный
каркас (а), выгнуты силами давления налитой ртути (6).
212.
стенки выгибаются наружу (рис. 212). Наконец, силы дав-'
ления действуют со стороны одних частей жидкости на
другие. Это значит, ttгo если бы мы удалили какую-либо
·часть жидкости, то для сохранения равновесия оставшейся
части нужно было бы приложить К образовавшейся по-
276.
верхности определенные силы (рис.
213).
неоБходимыe ДЛЯ
поддержания равновесия силы равны силам даВJIения, с
коТорыми удаленная часть жидкости действовала на ос-
.
тавшуюся.
В
§ 34
мы видели, что силы, действующие при непос­
редственном
соприкосновении
тел,- упругие
силы
-
воз­
никают в результате деформации тел. В твердых телах силы
Рис. 213. Часть жидкости (заштрихован­
ный объем) удалена. Для удержания ос­
тавшейся жидкости в
равновесии нужно
приложить силы, распределенные по
разовавшейся поверхности
06-
упругости возникают как при изменении формы, так и при
изменении объема тела. В жидкостях при изменении формы
силы упругости не возникают. Подвижность жидкости
обусловлена именно отсутствием упругости по отношению
к изменению формы. При изменении же объема (при сжа­
тии жидкости) силы упругости возникают - по отноше­
нию к изменению объема жидкости обладают упругостью.
Силы упругости в жидкости - это и есть силы давления.
Таким образом, если жидкость действует' с силами давления
на соприкасающиеся с ней тела, то, значит, она сжата. Чем
Рис.
214.
Чем больший груз лежит на поршне, тем сильнее сжата
жидкость
больше -сжата жидкость, тем больше и возникающие в результате этого сжатия
силы
давления.'
.
Так как при сжатии плотность вещества растет, то мож­
но сказать, что жидкости обладают упругостью по отноше­
нию
к
изменению их
плотности.
Качественно зависимость сил давления от сжатия жид­
кости
можно
представить
себе
на
следующем
примере.
277
I1y.<=I'Б прйtDIый' ЦИЛИНДР, ЗliПОЛRеннWf' ЖИДКОСТЬЮ, закрыт
плотно притертым (ВО: избежание просачивания жидкости)
поршнем, КaJ КiOTOPOM помещен груз (pfOC~ 214). Под дейст­
вием груза поршень начнет опускаться, сжимая жидкость.
При сжатии жидкости 51
Heff-. возниrшут
си:лы давления, ко­
торые, действуЯ' на порш~нь, уравновесят вес ПОl'шня с гру­
зом. При увелпчен'ии на,рузки жидкость сожмется в боль­
шей степени, настолько, чтобы возросшие силы давления
уравновесили
увеличенную
нагрузку.
Эта картина вполне аналогична разобранной в
§ 60
кар­
тине равновесия груза, лежащего на подставке. Подставка
проги6ается, и равновесие наступает тогда, когда силы уп­
ругости,
возникшие
при
прогибе,
уравновешивают
силу
тяжести, действующую на груз.
Для наглядности на рисунке сжатие жидкости под порш­
нем Сильно преувеличено. В действительности в подобном
опыте
перемещение
поршня
и сжатие жидкости
настолько
малы, что на глаз их обнаружить нельзя. Однако в большей
или лtеныuей степени все жидкости сжимаемы, и степень
их сжатия, соответствующая тем или иным силам давления,
может быть измерена.
Измерение сжимаемости жидкости. Хотя изменение объема жид­
кости под дeiiстви-е\\1 внешних сш! и невелик(}, его все же можно обиару­
жить и измери,ть без, особого труда. Однако. при измерении сжимаемости
§ 140.
жидкости
нужно
учесть,
что
жидкость,
СИ.~ьно
сжимаемая
в
действует изнутри на его стенки
шими СИ:JIамИ' даlМения-
2
суд.
В результате
ченное
значение
Поэтому нужно
расширения
что
к сосуду
же давление,
жидкость
Рис.
215.
Схема
метра
пьез о-
и
сосуде,
с
боль­
расширяет
со­
получается
преувели­
сжимаемости
жидкости.
устранить
сосуда;
это
снаружи
какое
на
возможность
достигается тем,
прилагают
него
такое
оказывает
изнутри.
Схема прибора для измерения сжима­
емости жидкостн (пьезометра) изображена
на рис. 215. Стеклянный сосуд 1, наполненный испытуемой жидкостью, помещен в
стеклянный сосуд 2,.в который по трубке 3
накачивают воздух. Воздух оказывает давление на наружные стенки со­
суда и через открытый сверху отросток 4 на жидкость в сосуде. Сосуд 1
подвергаясь одинаковому давлению как снаружи, тан: и изнутри, прак­
тически не меняет своего объема. Жидкость. однако, сжимается, и уро­
вень ее в отростке 4 понижается; отросток делают очень узким, благода­
ря чему уже малое изменение объема жидкостИ' хорошо заметно. Изме­
ряя попиженlН~. уровня жидкости в отростке-, найдем уменьшение- ее
объема; показания манометра 5 дад-ут силу Д;lв;n:ени-я, приходящуюся на
единиду площади. Таким образом, можно) определить уменьшение
объема, соответствующее, например, увеличению Давления на одну ат­
мосферу (§·147). Для воды такае увеличение ДЭВJfeImW ведет к умеffЬше-
27S t
1/ИЮ ооъ~Мh 'hРиме.рно -на 1/20000 ДОЛЮ, для
PTYTiI .-: .всем на 1/250000.
Для сравнения укажем, что при таком же увеличении давления кусок
стали сжаЛСЯ бы 1ICerO на 1/1700000 долю первоначальноro объема.
?
140.1. Испытания паровых Котлов на прочность производят,
нагнетая в них под бо.lJЬШИМ давлением воду. К:акое количество
воды вьn:е.ч~ из IЮ'l'ла 'вмести.мости 1,5 м 3 , зап{)лненного -ВОДОЙ,
при давлении 12 атм, если ко,ел даст трещину ,Б верхней своей
частн?
•
§ 141.
«Несжимаемая»
~идкость. Мы выяснили, что силы
даВ.JIения возникают вследствие сжатия ЖПДlюсти. Однако
сжатие
жидкости
весьма
незначительно
даже
при
очень
больших силах давления. Так как нас обычно интересует
не сжатие жидкости само по себе, а только те силы давления,
которые
возникают
в
результате
этого
сжатия,
то
можно
ввести представление о «несжимаемой» жидкости, подобно
тому как было введено представление об абсолютно твердом
теле
Различие буд~т заключаться в том, что абсолют­
(§ 70).
но твердое тело сохраняет неизменными и форму и обl1ем,
а «несжимаемая» жидкость
'только объем, форма же .ее
-
может меняться как угодно (текучесть жидкости). Таким
образом,
не
можно считать,
зависит
от
что
плотность
жидкости
также
давления.
Мы увидим, однако, что иногда все же приходится учи­
тывать изменение плотности жидкости (случай большого
давления,
§ 158).
'
Силы давления в жидкости передаются во все стороны.
На рис. 214 для наглядности в сильно преувеличенном виде
.§ 142.
было покззано сжатие жидкости при различных нагрузках
на поршень. Аналогичную картину мы получили бы, по­
мещая
под поршень сильную пружину:
как пружина, так
и жидкость действуют с определенными силами (<<оказыва­
ют давление») только тогда, когда они сжаты (рис.
'.,
,
Рис.
216.
пружина
шивает
так
тая
же,
Сжатая
уравнове­
поршень
как и сжа­
жидкость
рис.
214
на
Рис. 217. Силы давле­
ния жидкости действу­
ют не
только на дно и
поршень,
ки
но и на стенсосуда
-'
216).
Рнс.
-==-а
----
Резиновая
218.
пленка
а,
затягиваю­
щая отверстие
в
стен­
ке сосуда, заметно выг­
нута силами
давления
!ЮДЫ
279
Однако, в то время как сжатая пружина действует только
на поршень и на дно цилиндра, силы давления жидкости
действуют и на дно, и на поршень, и на стенки (рис. 217).
В свою очередь на жидкость действует не только пор­
шень, но и упругость стенок цилиндра, которые выгибают­
ся тем сильнее, чем больше сжата жидкость. Разумеется,
если цилиндр сделан из металла или стекла, то этот прогиб
так ничтожен, что может быть обнаружен лишь с помощью
точных измерений, однако силы, действующие со стороны
деформированных стенок, вполне ощутимы. Если проделать
в стенке отверстие и затянуть его резино~ой пленкой, то
прогиб пленки делается заметным (рис. 218).
§ 143.
Направление сил давления. Силы давления, действую­
щие со стороны покоящейся жидкости на данный участок
поверхности твердого тела, направлены всегда перпендикr
лярно к поверхности. В самом деле, в противном случае
противодействующие силы, т. е. силы, с которыми данный
участок поверхности твердого тела дей­
ствует на жидкость, по закону дейст­
вия и противодействия также не БЫJlИ
бы
перпендикулярны к поверхности.
Но тогда, как мы видели (§ 138), жид­
кость не могла бы оставаться в равнове-
сии.
Следовательно,
силы давления,
действующие на поршень, сжимающий
Рис.
2]9.
лепия
Силы дав­
всегда
пер.
жидкость, направлены перпендикулярно
к его -поверхности,
ствующие
верхности,
да,- перпендикулярно к дну и стенкам,
на кото­
рую они действуют
на
и т. д. (рис.
дно
силы давления, дей­
пендикулярны к по·
и
на
стенки
с осу­
217).
Если взять поршень
со скошенной
нижней поверхностью (рис. 219), то силы давления будут
прижимать его К стенке цилиндра (на нашем рисункевлево).
•
,
§ 144.
Давление.
Силы давления на стенки сосуда, заклю­
чающего жидкость, или на поверхность твердого тела,
:10-
груженного в ЖИДКОСТЬ, не приложены в какой-либо опре­
деленной точке поверхности. Они распределены по всей по­
верхности соприкосновения твердого тела с жидкостью. По­
этому
сила
давления
на
даНRУЮ
поверхность
только от степени сжатия соприкасающейся
зависит
не
с ней жид­
кости, но и от размеров этой поверхности. Для того чтобы
охарактеризовать распределение сил .давления·независимо
280
.
от размеров поверхности, на которую они действуют, вво­
ДЯТ понятие давления.
Давление-w на участке поверхности называют отнщиение
силы давления, действующей на этот участок, к площади
участка. Очевидно, давление численно равно силе давления,
приходящейся на участок поверхности, площадь которого
равна единице. Будем обозначать давление буквой р . .Если
сила давления на данный участок равна Р, а площадь участ­
ка равна
S,
то давление выразится формулой
p=F/S.
Если силы давления распределены равномерно по не­
которой поверхности, то давление одно и то же в каждой
ее точке. Таково, например, давление на поверхности порш­
ня, сжимающего жидкость. Это иллюстрируется опытом,
показанным на рис. 220, в котором вместо сплошного поршня
взят
поршень
с
отверстиями,.
закрываемыми
втулками,
которые могут двигаться в отверстиях .без трения. Силы,
Рис.
220. Массы грузов,
живающих
втулки
в
удер­
равно­
весии, пропорционалъны пло-
Рис.
221.
Чем
расположена
тем
сильнее
ниже
пленка,
она
вы-
гнута.
щадям втулок
которые необходимо приложить к втулкам для удержания
их в равновесии, прямо пропорциональны площадям попе­
речных сечений втулок; на втулки с одинаковыми сечения­
ми' действуют равные силы.
Нередко, однако, встречаются случаи, когда силы дав­
ления
распределены
по
поверхности
неравномерно.
Это
значит, что на одинаковые площади в разных местах по­
верхности действуют разные силы. Нальем воду в сосуд,
в боковой стенке которого сделаны одинаковые отверстия.,
. затянутые
резиновыми пленками; мы увидим, что пленки в
отверстиях, .расположенных ниже, сильнее выгнуты наружу
(рис.
221).
Это значит, что в "нижней части сосуда давление
больше, чем в верхней.
.
281
§ 145. МембраииыЙ-маиоме:r:jl. к,ак И3Мff'IdТЬ i!ЗВil-eиtle :жид'..
кости
на
поверхность твердого' тела, ш.nр.и.мер ,даВiJеJi!:йе
воды на дно стакана? Конечно, дно стакана дЕ:'фЩ*щэу.ется
под действием сил давления, и, заа-я деформац!ию,:мЫ могли
бы определить вызвавшую ее GИJIУ и рассчит.ап. дав;nение;
но эта деформация настоль-к<> ~JI-а. ч'Ю иамери'fЬ ее .непос­
редственно практически невоаможно. ТакJUI!К Ч'ДИТЬ по
деформации данного тела о давлении, оказываемом на него
жидкостью, удобно лишь в том случае, когда деформации
достаточно велики,
то
ского определения
давления
сти
пользуются
борами
-
ЩIЯ практиче­
маномеmраАtи,
деформации
жидко­
специальными
сравнительно
у
при­
которых
велики и
легко измеримы *).
Простейший
м-ем6раняый мано­
метр устроен следующим
образом
(рис. 222). Тонкая упругая пластинка
1 - мембрана - герметически закры­
Рис. 222. Схема уст­
вает пустую коробку 2. К мембране
ройства
мембр анного
присоедине,Н УI<азатель 3, вращающий­
манометра
ся около оси О. При погружении прибора в жидкость мембрана прогибает­
ся под действием сил давления, и ее прогиб передается в
увеличенном виде указателю, передвигающемуся по шкале.
Каждому положению указателя соответствует определенный
прогиб мембраны, а следовательно,· 11 определенная сила
давления на мембрану. Зная площадь мембраны, можно
от сил давления перейти к самим давлениям . .можно непо­
средственно измерять давление, если заранее проградуирЬ­
.
вать манометр, т .с. определить,
какому давлению соответ­
ствует то или иное положение указателя на шкале. Для это­
го нужно подвергнуть манометр действию известных да:е­
лении и, замечая положение стрелки указателя, проставить
соответственные цифры на шкале прибора. В дальнейшем
мы
познакомимся и
с
другими
типами
манометров.
Независимость давления от ориентации площадки.
погруженный в ЖИДкость, показывает давление
в той области жидкости, где расположена его мембрана. Что­
§ 146.
: Манометр,
бы по показаниям манометра можно было судить о
давле-
.) с помощью таких .маИОМе1'!>оВ'язмеряют и давление газов.
.меч. ред.)
282
.
(Прu-
нии в избранном месте, размеры мембраны ДМЖRЫ быть до­
статочно малыми. Иначе, если. даЕлеи!Ие в разных точках
мембраны различно, показания манометра дадут лишь не-
•
которое. среднее знан~ние давления.
Поместив Maнoмe'Ip с дос'[аточно
малой мембраЩ>А
_внутрь жидкости, мы увидим, ч.то при поворачивании ма­
нометра его показания не меняются. Таким образом. IIIЫ
обнаруживаем, что давление в данном месте жидкости lUl
зависит от ориентации площадки, на коmoрой оно измеря­
ется. Вспомним, что по самому своему определению давле­
ние
не зависит и от размеров
площадки,
на которую оно
действует. так как оно всегда относится к единице площади
поверхности. Та,ким образом.. введенное нами понятие дав­
ления представляет собой такую характеристику состоя­
ния жидкости в данном месте. которая не зависит ни от раз­
меров, ни от ориеитации площадки, по которой давление
измеряется. давление зависит лиш-ь-от степени сжатия жид­
кости в данном месте.
П.одчер-кнем,_ Ч'F.О гибкая мембрана манометра служит
лишь. для удобного обнаружения и и-змерения сил давле­
ния жидкости. а силы эти обусловлены. упругими- свойства­
_ми самон жидкости. Те же самые силы давления действо­
вали бы со стороны жидкости на поверхность любого.дру­
гога тела,- например сплошного. куска металла, помещенно­
го на место мембраны.
Мы можем также мысленно выделнть внутри жидкости
какой-либо, объем. Во всех точках поверхности, ограничи­
вающей этот объем. будут существовать некоторые давле­
ния, совершенно такие же, какие существовали бы на по­
верхности 1.'вердого тела, имеющего тот же объем. Это же
давление действует и на мемб{J'ВНУ измеряющего манометра,
погруженного в жидкость.
§ 1-47.
Единицы давленИ1Г. Единицей давления
называют
_такое давление, при котором на единицу площади
вует сила,
равная
дейст­
единице. В СИ единицей давления
служит давление, при котором на один квадратный метр
прИХОДИТСJlf сила, равная одному ньютону. Эта единица
наевана в честь Б. Паскаля
(§ 150)
паскалем (Па):
1 Па'= 1 H/M1'.
Шир-око при-меняется внесистемная единица давления.
иазьmаемaJt atIUI.{)CфероЙ. Ои~ равиа! ДJaвлению-, оказываемо-­
му столбом ртути высоты 760 мм ~или во:цяным стon6ом
283
высоты
10,332 М) .):
1 атм-=760
мм РТ.СТ.
== 10] 325