Степень с рациональным показателем

Степень с
рациональным
показателем
Степень с натуральным показателем
𝑎𝑛 = 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 ∗. .∗ 𝑎 ∗ 𝑎
𝑛 раз
a – основание степени,
n – показатель степени.
Степень с целым показателем
1
−𝑛
𝑎 = 𝑛
𝑎
1
𝑛
=
𝑎
𝑎−𝑛
𝑛
−𝑛
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑎
Определение
Если n – натуральное число,
𝑛 ≥ 2, 𝑚 − целое число, то при
𝑎 > 0 справедливо равенство:
𝑛
𝑎𝑚 =
𝑚
𝑛
И обратно: 𝑎 =
𝑛
𝑚
𝑎𝑛.
𝑎𝑚
Задание № 1. Записать в виде степени
с рациональным показателем
1)
3
𝑥2 =
2) 𝑦 3 =
3) 𝑎 =
4)
4
𝑏3
5)
6)
5
𝑥 −3 =
𝑦=
9
=
2
𝑥3
3
𝑦2
1
𝑎2
3
𝑏4
3
−5
𝑥
1
𝑦9
Задание № 2. Записать в виде корня
из степени с целым показателем
5
3
1) 𝑦 =
3
𝑦5
7
2
𝑥7
1
2
𝑏
2) 𝑥 =
3) 𝑏 =
4) 𝑥
5) 𝑥
3
4
−
2
−
3
1
7
=
=
6) 𝑦 =
4
𝑥 −3
3
𝑥 −2
7
𝑦
Задание № 3. Вычислите:
1
3
3
271 = 3
2
3
3
642
2
1
1. 27 =
2. 64 =
3. 8
4.
5.
−3
40,5
=
=
2
83
=
1
3
82
3
=
64
1
3
8
2
2
= 42 = 16
=
1
22
=
1
4
1
2
=4 = 4=2
4 −1,5
25
=
25 1,5
4
=
25
4
3
2
3
=
25
4
=
5 3
2
=
125
.
8
Свойства степени
с рациональным показателем
Все свойства степени с натуральным
показателем верны и для степени с любым
рациональным показателем и
положительным основанием.
(p и q – рациональные числа, a>0, b>0)
1. 𝑎𝑝 ∙ 𝑎𝑞 = 𝑎𝑝+𝑞
2. 𝑎𝑝 : 𝑎𝑞 = 𝑎𝑝−𝑞
3. 𝑎𝑝 𝑞 = 𝑎𝑝 ∙ 𝑞
4. 𝑎 ∙ 𝑏 𝑝 = 𝑎𝑝 ∙ 𝑏𝑝
5.
𝑎 𝑝
𝑏
=
𝑎𝑝
𝑏𝑝
Свойства степеней. Примеры.
3
5
2
5
1) 3 ∙ 3 = 3
2)
7
252
253
= 25
2 3
∙
3 2
= 71 = 7
1
3
1
3
7 6
−
2 2
4) 4 ∙ 2 = 4 ∙ 2
5)
=
= 3 = 31 = 3;
= 25
=7
2
54 3
2
23
5
5
7
−3
2
3
2 2
3
3) 7
3 2
+
5 5
54
2
2
3
1
3
1
3
1
2
= 25 = 25 = 5
=8 =
2
3
= 27 =
3
3
272
8=2
=
3
2
27 = 32 = 9.
Свойства степени
с рациональным показателем (2)
Верно и обратное
(p и q – рациональные числа, a>0, b>0)
1. 𝑎𝑝+𝑞 = 𝑎𝑝 ∗ 𝑎𝑞
2. 𝑎𝑝−𝑞 = 𝑎𝑝 : 𝑎𝑞
3. 𝑎𝑝 ∙ 𝑞 = 𝑎𝑝 𝑞
4. 𝑎𝑝 ∙ 𝑏 𝑝 = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑝
5.
𝑎𝑝
𝑏𝑝
=
𝑎 𝑝
𝑏
Свойства степеней (2). Примеры.
3
2
1
1
2
3
2
12
1
2
1+
161
1) 16 = 16 = 16
=
=16 ∙ 16 = 16 ∙ 4 = 64
2) 16 = 16
1
= 16
1
2−2
=
1
2
∙ 16 =
1
2
162
∶ 16 = 256 ∶ 16 = 256/4 =
64
3
2
1
∙3
2
3) 16 = 16
3
2
4) 16 =
3
(42 )2
= 16
=4
1
2
3
2∙2
3
=
3
16
= 43 = 64
= 43 = 64
____________
2
5
2
5
1) 2 ∙ 16 = 2 ∙ 16
2
3
2
3
2) 32 : 4 = 32: 4
2
3
2
5
2
5
= 32 =
2
3
=8 =
3
5
322 = 22 = 4
82 = 22 = 4.
Задание 4. Вычислите:
1) 16
0,75
3
4
+ 2 = 16 + 2 =
4
163 + 2 = 8 + 2 = 10
3
2
2) 9 − 4 = 93 − 4 = 27 − 4 = 23
3
3)
3
64 −2
81 2
0
+ 2,17 =
+1
81
64
729
1241
217
1=
+1=
=2
512
512
512
2
4)
64 −3
81
1
2
0
+ 2,17 =
81
64
2
3
=
+1=
81 3
64
512
729
+1=
+1=
512
1
729
5) 2,25 − 123 = 2,25 − 1 = 1,5 − 1 = 0,5
9 3
8
+
Задание № 5. Записать в виде степени с
рациональным показателем
1
3
1)
1
3
1
2
𝑥∙𝑥 =𝑥 ∙𝑥 =𝑥
1
6
1
6
1
3
1 1
+
2 3
2) 𝑦 ∙ 3 𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑦 = 𝑦
2
5
3) 𝑎 ∙
4)
3
10
2
5
𝑎 =𝑎 ∙𝑎
5
6
1
10
2
3
1 1
+
6 3
=𝑎
5
6
𝑏2 ∶ 𝑏 = 𝑏 ∶ 𝑏 = 𝑏
4
7
4
7
5) 𝑐 ∶ 𝑐 ∙ 𝑐 = 𝑐 ∶
5
6
6
6) 𝑎 ∙ 𝑎 ∶ 𝑎
1
−2
5
6
=𝑥
(𝑐1
1
6
5
6
=𝑦
2
1
+
5 10
2 5
−
3 6
1
2
=𝑎
=𝑏
1
2
−
∙𝑐 )=𝑐
=𝑎 ∙𝑎 ∶𝑎
1
−2
1
2
1
6
4 3
−
7 2
=𝑎
=𝑐
−
13
14
5 1
1
+
−
(−
)
6 6
2
=𝑎
3
2