O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA
KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH
VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT
TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
QARSHI FILIALI
KI - FAKULTETI
DI-12-20GURUH TALABASINING
Algoritimlarni loyihalash
FANIDAN
Mustaqil ishi-2
Bajardi:
Mahmudov M
Qabul qildi:
Begulov.O
QARSHI-2022
Reja
1:Taqribiy integirallash usullari aniqligi va hisoblash hajmi bo’yicha
taqqoslash
2:Algebraik va transtsendent tenglamalrni taqribiy yechish usullari
yaqinlashish tezligi bo’yicha taqqoslash
3:chiziqli algebraic tenglamalar sistemalarini taqribiy yechish usullari
Yaqinlashish shartlari
1) Aniq integralni taqribiy hisoblashning Simpson usuli
Tayanch iboralar: Integral, aniq integral, integralni hisoblashning asosiy
formulasi, integralni taqribiy hisoblash usullari, to’g’ri turtburchak formulasi,
trapetsiya formulasi, parabola usuli, Simpson formulasi, taqribiy hisoblash
usullarining aniqligi
Aniq integralni hisoblashning asosiy formulasiOliy matematika kursidan
malumki aniq integrallar asosan N‘yuton-Leybnits formulasi bilan hisoblanadi.
Yani quyidagi formula bilan hisoblanadi:
2)
Bu yerda F(x) funktsiya f(x) funktsiyaning boshlangich
funktsiyasi. а-integralning quyi b-esa yuqori chegarsi. Nyuton–Leybnits
formulasi bizga ma‘lumki elementar funktsiyalar uchun foydalanish qulayrok.
Lekin har qanday f(x) funktsiyaning boshlangich funktsiyasi elementar funktsiya
bulavermaydi, yani integrallash murakkab bo’ladi. Bunday aniq integrallarni
N‘yuton-Leybnits formulasi bilan hisoblab bulmaydi. Bunday hollarda
integrallarni taqribiy hisoblash usularidan foydalanib integrallarning taqribiy
kiymatlari topiladi.
Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari
Odatda aniq integralarni taqribiy hisoblash uchun integralash
sohasidagi [a,b] kesma n ta teng bo’lakka bulinadi. Har bir bo’lakning
uzunligi h=(b-a)/n formula bilan hisoblanadi.
n bo’laqlar soni qancha ko’p bo’lsa integralning kiymati
shuncha aniq bo’ladi. Integralarni taqribiy hisoblashda ko’pincha to’g’ri
burchaqlar, trapetsiyalar va Simpson formulalaridan foydalaniladi.
Integrallarning kiymatlarini taqribiy hisoblash uchun biror bir usul tallanadi, sung
algoritm tuziladi va bu algoritmlarga mos ravishda biror bir dasturlashtirish tilida
dasturlar tuzilib, dasturlar kompyuterga kiritilib natijalar olinadi.
Integrallarning taqribiy hisoblash formulalarini keltirib chiqarish ishlarini ko’rib
o’tirmaymiz, bu bizga oliy matematika kursidan ma‘lum. Formulalarning keltirib
chiqarish ma‘lumotlarini o’quvchilarga berilgan adabiyotlardan [11] adabiyotdan
ukib olishlarini tavsiya etamiz.
Integralning kiymatini taqribiy xisolash formulalarini keltiramiz:
yoki
Bu formula integeralarni taqribiy hisoblashning to’g’ri turtburchaqlar formulasi.
bu formula itegrallarni taqribiy hisoblashning trapetsiya formulasi.
ya‘ni
bu yerda
Bu formula esa aniq integralni taqribiy hisoblashning Simpson formulasi.
Aniq integralni Simpson usulida hisoblaganda taqribiy hisoblash xatoligi boshqa
usullarga nisbatan kamrok, yani aniqlik kattarok bo’ladi.
Aniq integralni taqribiy hisoblashning trapetsiya va Simpson usullari
Ushbu aniq integralning kiymatini trapetsiya va Simpson usullari yordamida
hisoblash algoritmi va dasturlarini ko’rib utamiz. Integralni kiymatini taqribiy
xisolashning to’g’ri turtburchak usulini o’quvchilarning o’zlariga xavola etamiz.
bu yerda а=0, b=2, oralikni 20 bo’lakka bulamiz, ya‘nin=20 deb olamiz.
Dastlab trapetsiya formulasidan, sung Simpson formulasidan foydalanib integralni
kiymatini taqribiy hisoblash algoritmining blok- sxemasini, sung dasturini tuzamiz.
Integralni taqribiy hisoblashda integral ostidagi funktsiyani kullanuvchining
funktsiyasi sifatida yozib olamiz,
ya‘ni
f(x)=ln(x2+3x+1)
ko’rinishida yozib olib, bu funktsiyadan blok–sxema va dastur tuzishda
foydalanamiz. Foydalanuvchining funktsiyasini algoritm va dasturda f harfi bilan,
funktsiyani a nuqtadagi kiymatini f(a) va bnuqtadagi kiymatini f(b)bilan, bo’linish
kadamlarini i harfi bilan, bo’laqlar sonini n harfi bilan, oralikchalar
uzinligini h harfi bilan, integral osti yigindisini sharfi bilan, integralning kiymatini
esa J harfi bilan bilgilab olamiz.
Endi integral kiymatini taqribiy hisoblash uchun barcha ma‘lumotlar tayyor
bo’lgandan keyin integral kiymatini taqribiy hisoblash trapetsiya va Simpson
usullari uchun hisoblashning algortmi blok-sxemalari va Pascal dasturlashtirish
tilida dasturlarini tuzamiz.
1)
{Integralni trapetsiya usulida taqribiy
hisoblash dasturi}
Program integral1(input,output);
Uses crt;
var a,b,h,s,J:real;
i,n:integer;
{nostandart funktsiyani tavsiflaymiz}
function f(x:real):real;
begin
f:=ln(x*x+3*x+1);
end;
begin clrscr;
write(‘quyi chegara a=’); readln(a);
write(‘yuqori chegara b=’); readln(b);
write(‘bo’laqlar soni n=’); readln(n);
s:=(f(a)+f(b))/2; h:=(b-a)/n;
for i:=2 to n do
s:=s+f(a+(i-1)*h);
J:=h*s; textcolor(13);
writeln(‘integral kiymati J=’,J:3:4);
end.
{Simpson usuli}
Program integral2(input,output);
Uses crt;
var a,b,h,s,J:real;
i,n,k:integer;
function f(x:real):real;
begin
f:=ln(x*x+3*x+1); end;
begin clrscr;
write(‘quyi chegara a=’); readln(a);
write(‘yuqori chegara b=’); readln(b);
write(‘bo’laqlar soni n=’); readln(n);
h:=(b-a)/n; s:=f(a)+f(b); k:=1;
for i:=2 to n do
begin
s:=s+(3+k)*f(a+(i-1)*h); k=-k
end;
J:=s*h/3; textcolor(2);
writeln(‘integral qiymati J=’,J:3:4);
end.
Ushbu dasturlarni zamonaviy IBM va Pentiem kompyuterlarining Turbo Pascal
tizimiga kiritib natijalarni olish va taxlil qilish mumkin.
Algebraik va trantsendent tenglamalarni taqribiy yechish usullari, kesmani ikkiga
bulish usuli
Algebraik va trantsendent tenglamalar ildizlari yotadigan oraliklar ajratib
olingandan sung tenglamaning ildizini taqribiy hisoblash uchun, taqribiy
hisoblash usullaridan biri kullaniladi.
Demak tenglama berilgandan sung, tenglamaning ildizlari yotgan oraliklar ajratib
olinadi, taqribiy ildizni topish usuli tanlanadi, tanlangan usulga mos ravishda
algorimning blok–sxemasi va biror bir dasturlashtirish tilida blok–sxemaga mos
ravishda dastur tuziladi. Dastur kompyuterga terilib, natijalar olinadi va taxlil
kilinadi.
Tenglamalarning ildizlarini taqribiy yechish usullaridan biri bu kesmani teng
ikkiga bulish usulidir. Bunda berilgan [a;b] kesma teng ikkiga
bulinib [a;с] yoki [с;b] kesmalarda f(a)∙f(c)<0 yoki f(c)∙f(b)<0 shart tekshiriladi
va с=(a+b)/2 qilib olinadi va ildiz b-a≤ε shart bajarulgunga kadar davom etirilib
topiladi.
Vatarlar usuli va iteratsiya usuli
Vatarlar usulida f(х) funktsiyaning [a;b] kesmaga tutashtiruvchi vatar utkaziladi.
Tenglamaning taqribiy ildizini topish у=f(х) funktsiyaning birinchi va ikkinchi
tartibli hosilalarining ishoralariga boglik.
Agar f |(x) <0 va f ||(x) <0 yoki f |(x) >0 va f ||(x) <0 shartlar bajarilsa boshlangich
kadam, ya‘ni boshlangich yechim qilib x0=b deb olinadi, boshqa
hollarda x0=а deb olinadi.
x0=а bo’lganda x=b nuqta kuzmas nuqta bo’ladi va ildiz
formula bilan hisoblanadi.
x0=b boshlangich ildiz bo’lganda esa x=аkuzgalmas nuqta deb olinadi va ildiz
formula bilan hisoblanadi.
Ildizlarni taqribiy hisoblash jarayoni | xn-xn-1 |≤ε shart bajarulgunga kadar
davom etiriladi. Bu yerda ε taqribiy ildizni topish aniqligi.
Bu usullardan tashkari tenglamalarni taqribiy yechishning iteratsiya usuli ham
mavjud. Iteratsiya usulini o’quvchilarga [11]- adabiyotdan, ya‘ni A.Sidikovning
«Sonli usullar va dasturlash» nomli kitobidan ukib olishlarini tavsiya etamiz.
Urinmalar usuli
Algebraik va trantsendent tenglamalar ildizlarini taqribiy hisoblash usullaridan
aniqlik darajasi boshqa usullarga nisbatan kattarok bo’lgan
usuli N‘yuton yoki urinmalar usulidir.
Bu usul kullanganda tenglamaning boshlangich yechimi x0 tanlab olinadi va
ketma–ket yaqinlashishlar
formula bilan hisoblanadi. Bu yerda n=0,1,2,3,… yaqinlashishlar tartib
soni, хn ildizga nyaqinlashish.
Agar f(a)∙f //(а)>0 shart bajarilsa х0=аboshlangich yechim deb olinadi, agar
yuqoridagi shart bajarilmasa x0=bnuqta boshlangich yechim qilib olinadi.
Bu usulda ham ildizni topish | xn-xn-1 |≤ε shart bajarulgunga kadar davom etiriladi.
Misol: x2-x-1=0 tenglamani ildizini ε=0,0001 aniqlikda urimalar usuli bilan
topamiz. Dastlab tenglamaning ildizlari yotgan oraliklarni ajratib olamiz.
Tenglamani f(x)=x2-x-1deb belgilab olib, bu funktsiyani φ(x)=x2, (x)=x+1, ikkita
funktsiyalarni ayirmasi ko’rinishida yozib olamiz. Bu funktsiyalarning grafiklarini
chizamiz. φ(x)=x2 funktsiya grafigi parabola, (x)=x+1 funktsiya grafigi esa
to’g’ri Chiziqdan iboratligi matematika kursidan ma‘lum.
Grafikdan kurinib turibdiki bu ikki funktsiyalar [-1;0] va [1,5; 2,5] oraliklarida
kesishayapdi.
f(x0) f"(x0)>0 shartni [1,5; 2,5] oralikda tekshirib ko’ramiz.
f(x)=x2-x-1; f'(x)=2x-1; f"(x)=2; hosilarga x0=2,5 nuqtani kuyamiz; f(2,5)=2,75;
f"(2,5)=2kiymatlardan f(2,5)f"(2,5)>0 shart bajarilishini ko’rish kiyin emas,
demak x0=b=2,5 нуктани boshlangich yechim qilib olamiz.
[-1;0] oralikda esa x0=-1 nuqtani boshlangich yechim qilib olish mumkin, chunki
bu nuqtada ham f(x0)f"(x0)>0 shart bajariladi (tekshirib ko’rish o’quvchilarga
xavola).
Berilgan tenglamani ildizini urimalar usuli bilan taqribiy yechish algoritmining
blok–sxemasini va paskal dasturlashtirish tilida dasturini tuzish uchun quyidagi
belgilashlarni kiritamiz.
f(x)=fx; f'(x)=f1x; у= f(x)/f'(x)=fx/f1x; x0=x0; =eps.
Tenglamaning ildizini urinmalar usulida taqribiy hisoblash algoritmining blok–
sxemasini va paskal tilidagi dasturini tuzamiz.
Program Nyuton(input,output);
Uses crt;
label 2
var x0, x, y, fx, f1x, eps :real;
n: integer;
begin
clrscr;
textcolor(15);
writeln(‘Nyuton usuli’); writeln;
write(‘boshlang’ich echim x0=’);
readln(x0); writeln;
write(‘taqribiy echim aniqligi eps=’);
readln(eps); writeln;
n:=0; x:=x0;
2: fx:=x*x-x-1;
f1x:=2*x-1;
y:=fx/f1x;
n:=n+1;
x:=x-y; textcolor(13);
if abs(y)>eps then goto 2;
writeln(‘yaqinlashishlar soni n=’ ,n);
writeln(‘taqribiy ildiz x=’ ,x:3:4);
end.
Ushbu dasturni kompyuterga kiritib natijalar olinganda x2-x1=0 tenglamaning x0=b=2,5 boshlangich nuqtadagi va =0,0001aniqlikdagi
ildizi х=1,6180 ekanligiga eshonch hosil qilish mumkin. Buni esa berilgan
chizmadan ham ko’rish mumkin.
o`pincha matematik masalalarni sonli yechishda biz doimo aniq yechimga ega
bo`la olmasdan, balki, yechimni u yoki bu darajadagi aniqlikda topamiz. Demak,
aniq yechim bilan taqribiy yechim orasidagi xatolik qanday qilib kelib qoladi
degan savol tug`ilishi tabiiydir. Bu savolga javob berish uchun xatoliklarning hosil
bo`lish sabablarini o`rganish lozim. Aniq yechim bilan taqribiy yechim orasidagi
farq xato deyiladi. Dastlabki ma’lumotlarning noaniqligi natijasida hosil bo`lgan
xato yo`qotilmas xato deyiladi. Bu xato masalani yechayotgan matematikga
bog`liq bo`lmasdan, unga berilgan ma’lumotlarning aniqligiga bog`liqdir. Lekin
matematik dastlabki ma’lumotlar xatosining kattaligini bilishi va shunga qarab
natijaning yo`qotilmas xatosini baholashi kerak. Agar dastlabki ma’lumotlarning
aniqligi katta bo`lmasa, aniqligi juda katta bo`lgan metodni qo`llash o`rinsizdir.
Chunki aniqligi katta bo`lgan metod ko`p mehnatni (hisoblashni) talab qiladi, lekin
natijaning xatosi baribir yo`qotilmas xatodan kam bo`lmaydi. Ba’zi matematik
ifodalar tabiat hodisasining ozmi - ko`pmi ideallashtirilgan modelini tasvirlaydi.
Shuning uchun tabiat hodisalarining aniq, matematik ifodasini (formulasini,
tenglamasini) berib bo`lmaydi, buning natijasida xato kelib chiqadi. Yoki biror
masala aniq, matematik formulada yozilgan bo`lsa va uni shu ko`rinishda yechish
mumkin bo`lmasa, bunday holda bu masala unga yaqinroq va yechish mumkin
bo`lgan masalaga almashtirilishi kerak. Buning natijasida kelib chiqadigan xato
metod xatosi deyiladi. Biz doimo π, e, ln2 va shunga o`xshash irratsional
sonlarning taqribiy qiymatlarini olamiz, bundan tashqari, hisoblash jarayonida
oraliq natijalarda ko`p xonali sonlar hosil bo`ladi, bularni yaxlitlab olishga to`g`ri
keladi. Ya’ni masalalarni yechishda hisoblashni aniq olib bormaganligimiz
natijasida ham xatoga yo`l qo`yamiz, bu xato hisoblash xatosi deyiladi. Shunday
qilib, to`liq xato yuqorida aytilgan yo`qotilmas xato, metod xatosi va hisoblash
xatolarining yig`indisidan iboratdir. Ravshanki, biror konkret masalani
yechayotganda yuqorida aytilgan xatolarning ayrimlari qatnashmasligi yoki uning
ta’siri deyarli bo`lmasligi mumkin. Lekin, umuman olganda, xato to`liq, analiz
qilinishi uchun bu xatolarning hammasi hisobga olinishi kerak. Odatda
tenglamalarni ularda qatnashayotgan noma’lumlarning qayerda joylashganligiga
qarab turli sinflarga ajratiladi; chiziqli tenglamalar; kvadrat tenglamalar;
kubik va yuqori darajali tenglamalar; trigonometrik ko’rsatgichli, irratsional,
logarifmik, darajali tenglamalar; vax.z. Chiziqli tenglamadan tashqari barcha
sinflarga tegishli tenglamalarni qisqacha qilib chiziqsiz tenglamalar deb ataladi.
Chiziqsiz tenglamalarni yechishning umumlashgan usuli mavjud emas. Har bir
sinfga tegishli tenglamalar o`ziga xos usullar bilan yechiladi. Hatto ba’zi bir o`ta
chiziqsiz tenglamalarning yechimlarini analitik usulda aniqlash imkoniyati
bo’lmasligi mumkin. Hozirgi paytda chiziqsiz tenglamalarni yechish uchun oldingi
o`ringa sonlitaqribiy usullar chiqib oldi. Bu usullar o`zlarining umumlashgani,
tenglamani yetarli aniqlikda yecha olishi bilan ajralib turadi. Shuning uchun
chiziqsiz tenglamalarni yechishning sonli-taqribiy usullari uchun dastur
ta’minotlarini yaratilishi muhim va aktual masala hisoblanadi. Chiziqsiz
tenglamalardan na’munalar: 1. 8x3-7x2 +3x-6=0 2. 11x2 -sin x =0 3. ln |7x|-cos
6x=0 4.e8x-13x=0 2. Chiziqsiz tenglamalarni yechishning geometrik ma’nosi.
Chiziqsiz tenglamalarni sonli-taqribiy usullar bilan yechishni tashkil qilish uchun
tenglamaning nechta yechimi mavjud ekanligi yoki umuman yechimi yo’qligi
haqida ma’lumotga ega bo’lishimiz kerak. Bundan tashqari, tenglamaning yagona
yechimi yotgan oraliqni ham aniqlashga to’g’ri keladi. Buning uchun berilgan
tenglamani yechishning grafik usulidan foydalanamiz. Bizga quyidagi umumiy
holda yozilgan chiziqsiz tenglama berilgan bo’lsin:
f(x)=0
Tenglamaning y=f(x) funksiyasini grafigini OXY dekart koordinatalar sistemasida
ko’ramiz. Funksiya grafigining OX o’qini kesib o’tgan xechim nuqtasi
tenglamaning qidirilayotgan yechimi hisoblanadi. yechim joylashgan oraliqni
funksiyani ishorasini almashtirish shartidan foydalanib aniqlash mumkin: f(a)
f(b)<0 Shunday qilib, tenglamaning yechimi yotgan oraliq va uning qiymati haqida
yetarli ma’lumotga ega bo’ldik. 3. Chiziqsiz tenglamalarni yechish usullari haqida
qisqacha ma’lumotlar. Yuqorida eslatganimizdek chiziqsiz tenglamalarni ularni
qaysi tipga tegishliligiga qarab yechimni analitik, ya’ni formula ko’rinishda
aniqlash mumkin. Lekin, ko’pincha chiziqsiz tenglamani analitik yechimlarini
formulalar yordamida aniqlash imkoniyati bo’lmaydi. Shuning uchun ixtiyoriy
chiziqsiz tenglamani yechishning EHMdan foydalanishga mo’ljallangan sonlitaqribiy usullariga e’tibor kuchayib bormoqda. Bu usullar jumlasiga quyidagilarni
kiritish mumkin: oraliqni teng ikkiga bo’lish; oddiy ketma-ketlik (Iteratsiya);
urinmalar (Nyuton); vatarlar (xord) va boshqalar Sanab o’tilgan usullardan
oraliqni teng ikkiga bo’lish va vatarlar usuli to’g’ri tanlangan oraliqlarda ko’tilgan
natijalarni uzoqroq vaqt sarflab bo’lsa ham aniqlab beradi. Urinmalar va oddiy
ketma-ketlik usullari esa mos ravishda to’g’ri tanlangan boshlang’ich qiymat va
|(x)|<<1 shartda o’ta tezlik bilan taqribiy yechimni zarur aniqlikda topish
imkoniyatini yaratadi. 4. Oraliqni teng ikkiga bo’lish usulining ishchi algoritmi va
dasturi Endi chiziqsiz tenglamani taqribiy yechishning oraliqni teng ikkiga bo’lish
usulini ishchi algoritmi bilan to’liqroq tanishib chiqaylik.
(1) tenglamaning e aniqlikdagi (e-o’ta kichik son, yechimni topish aniqligi)
taqribiy-sonli yechimini (a;b) oraliqda topishni quyidagi algoritm bo`yicha tashkil
qilamiz: 1. Berilgan (a;b) oraliqni o`rtasini aniqlaymiz.
2 ba
C
2. Yechimni [a;c] yoki [c;b] oraliqdaligini
f(a) f(c)<0
shartidan foydalanib aniqlaymiz. 3. Shartni qanoatlantiradigan oraliqni yangi oraliq
sifatida olamiz va uni yana teng ikkiga bo`lib, yuqoridagi ishlarni yana
takrorlaymiz. Xulosa qilib aytganda, biz tanlab olayotgan kesmalarda
tenglamaning taqribiy ildizi yotadi. Demak, kesmalarni toraytirib borar ekanmiz.
Natijada, qandaydir qadamdan so`ng tenglamaning aniq yoki talab qilingan
aniqlikdagi taqribiy ildizini hosil qilamiz. Yangi oraliq uchun yuqoridagi ishlarni
qayta takrorlaymiz va buni oraliq uzunligi e – dan kichik bo`lmaguncha davom
ettiramiz. Oxirgi oraliqdagi ixtiyoriy nuqtani tenglamaning taqribiy yechimi
sifatida qabul qilish mumkin. Tanishib chiqqan algoritm bo`yicha biror dasturlash
tilida dastur tuzishdan avval masalani yechish algoritmini blok-sxemalar orqali
ifodalab olamiz.
Tenglama ildizini vatarlar usulida hisoblash
Aytaylik berilgan f(x)=0 tenglamadagi f(x) funksiya [a,b] oraliqda hamma
shartlarini bajarsin. Bundan tashqari f(x) funksiya [a,b] oraliqda ikkinchi tartibli
f''(x) uzluksiz hosilaga ega bo`lib, bu hosila shu oraliqda o`z ishorasini saqlasin,
ya’ni quyidagi teorema o`rinli bo`lsin.
1-teorema. Agar [a,b] da
1) f(x), f ' (x) funksiyalar uzluksiz;
2) f(a) f(v)< 0, yani f(x) funksiya kesmaning chetlarida har xil ishoraga ega bo`lsa;
3) f'(x), f''(x) hosilalar [a,v] kesmada uz ishorasini saklasa f(x)=0 tenglama ildizini
aniqlaydigai ketma-ketlik ildizga ya=inlashuvchi bo`ladi.
Bu teoremaning mazmuninni quyidagi shakllarda ko`rish mumkin.
1.3.1.-rasm
Yuqoridagi shakllar va teoremaga asosan vatar usulini =o`llash uchun egri chiziqni
boti= tomonidan foydalanamiz. Buning uchun quyidagi shartni
f'(x) f''(x)<0
[a,b] chegaralarida bajarilishini tekshiramiz.
1) Agar [a,b] oraliqning chap tomonida f'(a ) f''(a )<0 shart bajarilsa, vatar usulini
chap tomondan qo`llaymiz.
a0= a
a1=a0 - (b-a0) f(a0)/ (f(b)-f(a0))
.............
an= an-1 - (b -an-1) f(a n-1)/ (f(b)-f(a n-1))
.............
bu ketma-ketlik an- an-1< =0.001 shart bajarulguncha davom etadi va ildiz
uchun x an ni qabul qilamiz .
2) Agar [a,b] oraliqning o`ng tomonida f'(b) f''(b)<0 shart bajarilsa, vatar usulini
o`ng tomondan qo`llaymiz(4-rasm)
b0= b
b1= b0 - (a- b0) f(b0)/ (f(a)-f(b0))
. . . . . . . . . . . . . (2.3)
bn= bn-1 - (a- b n-1) f(b n-1)/ (f(a)-f(b n-1))
.............
bu ketma-ketlik bn- bn-1< =0.001 shart bajarilguncha davom etadi va ildiz
uchun x bn ni qabul qilamiz .
Misol. yex-10x-2=0 tenglamaning =0. 01 aniqlikdagi taqribiy ildizi topilsin.
Yechish. Ma’lumki f(x)=ex-10x-2 funksiya [-1,0] oraliqda 4.4-teoremaning
hamma shartlarini bajaradi. x[-1,0] da ikkinchi tartibli hosila f''(x) = yex >0.
Demak f(0)=-1, f(-1) = 8.368 bo`lganligi uchun, (4.5) shartga asosan f(0)f''(0)<0
bo`lgani uchun {an} ketma-ketlik (4.7) formula bilan topiladi. Grafik bo`yicha
2rasmdagi v) holatga to`g’ri keladi.
Berilganlar: a=-1, b=0, =0. 01
f(x)= yex-10x-2, f(-1)=e-1 -10(-1) -2=8. 386, f(0)=e0-10*0-2=-1
(4.7) formulaga asosan:
b0= 0
b 1= b0 - (a- b0) f(b0)/ (f(a)-f(b0))= -0.107 Yaqinlashish sharti b1 - b2>
bo`lganligi uchun b2 yaqinlashishni hisoblaymiz. Buning uchun
b1= -0.107, f(-0.107)=e-0.107-10(-0.107)-2 =-0.038 , f(a)=f(-1)=8.386
larga asosan:
b2= b1 - (a- b 1) f(b 1)/ (f(a)-f(b 1)) = 0.111 b2- b1+0.111+0.107=0.004<=0. 01
Demak taqribiy yechim deb t= bn =-0. 111 ni olish mumkin. a