DementievVO MasterDiss

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» ИНСТИТУТ ФИЗИКИ КАФЕДРА РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Специальность: 011800.68 «Радиофизика» ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА (Магистерская диссертация) РАСЧЁТ ЛУЧЕВЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДЕКАМЕТРОВЫХ РАДИОВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В ТРЁХМЕРНО – НЕОДНОРОДНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ИОНОСФЕРЕ Работа завершена: «____» июня 2015 г. _________________________ (В.О. Дементьев) Работа допущена к защите: Научный руководитель канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры радиоэлектроники «____» июня 2015 г. _________________________ (И.А. Насыров) Заведующий кафедрой радиоэлектроники д-р физ.-мат. наук, доцент «____» июня 2015 г. _________________________ Казань – 2015 (М.Н. Овчинников) 2 СОДЕРЖАНИЕ Введение ................................................................................................................................ 4 Глава 1. Распространение радиоволн в ионосфере ......................................................... 11 1.1 Ионосфера .................................................................................................................. 11 1.2 Распространение электромагнитных волн в плазме .............................................. 14 1.2.1 Волны в однородной плазме .............................................................................. 14 1.2.2 Волны в неоднородной плазме .......................................................................... 19 1.3 Замирания радиоволн................................................................................................ 22 1.4 Обсуждение результатов .......................................................................................... 25 Глава 2. Основы геометрической оптики......................................................................... 26 2.1 Уравнения геометрической оптики ......................................................................... 26 2.1.1 Исходные предположения.................................................................................. 26 2.1.2 Разложение поля в ряд по степеням малого безразмерного параметра 𝝁𝝁..... 28 2.1.3 Разложение поля в ряд по обратным степеням волнового числа .................. 30 2.1.4 Начальные условия для эйконала и амплитуды .............................................. 32 2.1.5 Асимптотический характер лучевого ряда....................................................... 32 2.2 Лучи и эйконал .......................................................................................................... 33 2.2.1 Метод характеристик .......................................................................................... 33 2.2.2 Уравнения лучей и эйконал волны.................................................................... 35 2.2.3 Кривизна и кручение луча.................................................................................. 38 2.2.4 Начальные условия для лучей. Лучевые координаты ..................................... 39 2.2.5 Семейства лучей и фронтов ............................................................................... 41 2.2.6 Принцип Ферма ................................................................................................... 43 2.2.7 Уравнения лучей в криволинейных координатах............................................ 44 2.2.8 Другие типы лучей .............................................................................................. 47 2.3 Обсуждение результатов .......................................................................................... 48 3 Глава 3. Метод расчёта лучевых траекторий декаметровых радиоволн в ионосфере и его применение ................................................................................................................... 49 3.1 Метод Гамильтона расчета траекторий лучей ....................................................... 49 3.2 Описание алгоритма.................................................................................................. 51 3.2.1 Блок-схема ........................................................................................................... 51 3.2.2 Описание функций программы расчёта лучевых траекторий ........................ 52 3.3 Нагревный стенд «СУРА» ........................................................................................ 52 3.4 Определение границ области плазменных резонансов и оценка высоты отражения мощной радиоволны нагревного стенда «СУРА» методом расчёта лучевых траекторий ........................................................................................................ 53 3.5 Оценка влияния работы нагревного стенда «СУРА» на распространение радиосигналов радиостанции точного времени РВМ ................................................. 61 3.6 Особенности лучевой структуры в анизотропной ионосфере.............................. 64 3.7 Обсуждение результатов .......................................................................................... 68 Заключение .......................................................................................................................... 69 Список работ автора, опубликованных по теме диссертации ....................................... 71 Список литературы ............................................................................................................. 74 4 Введение Работа посвящена изучению вопросам моделирования распространения коротковолновых радиоволн в анизотропной ионосфере с использованием принципов геометрической оптики, а также определению высоты отражения траекторий радиоволн и границ области плазменных резонансов ионосферы. Актуальность темы исследования Ионосферное распространение радиоволн является одним из важнейших разделов общей комплексной научной проблемы «Распространение радиоволн». Актуальность проблемы изучения распространения электромагнитных волн в верхней и нижней атмосфере определяется необходимостью решения задач дальней радиосвязи, радионавигации, радиолокации, а также проблемами диагностики структуры среды распространения: тропосферы, ионосферы или магнитосферы. Особенности ионосферного распространения радиоволн во многом определяют эффективность построения и эксплуатации современных систем наземной дальней декаметровой связи, загоризонтной радиолокации и местоопределения. Важно их учитывать также при создании спутниковых систем связи и навигации. Для задач распространения радиоволн декаметрового диапазона определяющим фактором является наличие околоземной плазмы – ионосферы. Структура и свойства ионосферы сильно изменяются с высотой. Процессы, протекающие в ионосфере, тесно связаны с волновым и корпускулярным излучением Солнца, с процессами в магнитосфере и вариациями магнитного поля Земли, с движениями верхней атмосферы и т.д. Этим обусловлена сильная изменчивость свойств ионосферы во времени (в зависимости от времени суток, времени года, циклов солнечной активности), а так же в зависимости от высоты, географической широты и долготы. 5 Исследования, проводимые в работе, связаны с нагревными экспериментами на стенде «СУРА». Более подробно о стенде «СУРА» сказано в п.3.3, а также в [20]. Степень разработанности темы С первых лет ионосферных исследований, более 70 лет назад, для решения ионосферных проблем использовались определенные методы расчета лучевых траекторий. Использование метода геометрооптического приближения при расчетах траекторий лучей в ионосферных проблемах позволяет определить такие основные параметры, как направление распространения потока энергии, длину группового и фазового путей волнового пакета, интегральное поглощение. Из этих основных величин затем могут быть получены многие другие производные параметры радиосигналов. Сложность и постоянная изменчивость структуры ионосферы, с одной стороны, и наличие определенного числа достаточно существенных приближений в математическом аппарате аналитического описания распространения радиоволн в такой среде, с другой стороны, приводят к тому, что более точные и полные результаты расчета характеристик радиоволн при этом возможно получить лишь в рамках компьютерного моделирования с использованием численных методов. Цели и задачи, поставленные в работе: Целью магистерской диссертации является моделирование распространения декаметровых радиоволн в ионосфере и изучение их особенностей. В частности: 1. Создание пакета программ на основе метода Гамильтона для расчёта лучевых траекторий декаметровых радиоволн, распространяющихся в трёхмерно– неоднородной анизотропной ионосфере. 2. Определение высоты отражения траекторий мощной радиоволны нагревного стенда «СУРА» и границ резонансного слоя ионосферы. 3. Оценка влияния работы стенда на распространение сигналов радиостанции точного времени РВМ [36] на радиотрассе Москва-Казань. 6 4. Изучение особенностей поведения лучевых траекторий декаметровых радиоволн в ионосфере с учётом влияния магнитного поля Земли. Научная новизна работы Исследование распространения радиоволн в ионосфере и их взаимодействия с собственными волнами ионосферной плазмы является достаточно традиционной задачей. В то же время, все аспекты задачи обладают несомненной научной новизной. Во-первых, это возможность прогноза передачи радиосигналов на заданных радиотрассах через ионосферный канал связи. Во-вторых, это определение высоты отражения радиоволны и высотных границ резонансной области ионосферы, в пределах которых происходит взаимодействие радиоволны с ионосферной плазмой. Последнее позволяет заранее делать оценку высоты, на которую необходимо наводить видео- и фотоаппаратуру для проведения фотометрических измерений. И, наконец, это возможность оценки влияния работы стенда «СУРА» на распространение радиосигналов наземных источников, и прогноз ухудшения или улучшения радиосвязи. Теоретическая и практическая значимость работы Работа является частью исследований плазменных процессов, происходящих в верхней ионосфере (F-область) в средних и субавроральных широтах под действием мощного радиоизлучения при специально разработанных режимах излучения волны накачки обыкновенной поляризации нагревного стенда «СУРА». На практике в общем случае расчёт лучевых траекторий может быть применён для прогнозирования возможности передачи радиосигнала через ионосферу на дальние расстояния на произвольно выбранной радиотрассе, для просчёта помехоустойчивости сигнала. Определение высоты отражения и высотных границ резонансного слоя необходимо для проведения оптических измерений, поскольку именно на этих высотах происходит резонансное взаимодействие наземной радиоволны с собственными плазменными волнами ионосферы. 7 Методология и методы исследования В работе была разработана методика моделирования распространения декаметровых радиоволн с использованием Международной справочной модели ионосферы IRI-2012 [31], которая в свою очередь позволяет получить высотный профиль электронной концентрации в любой точке с заданными географическими координатами в требуемый момент времени, с учётом критической частоты ионосферы foF2. Благодаря относительно недалёкому расположению вблизи стенда «СУРА» ионосферной станции «Циклон» [12] (примерно 150 км), которая позволяет получить значение критической частоты ионосферы foF2 методом вертикального зондирования, можно считать, что параметры ионосферы над этими двумя пунктами являются примерно одинаковыми. Таким образом, возможно восстановление распределения электронной концентрации над стендом «СУРА» при помощи модели ионосферы IRI-2012 с учётом критической частоты foF2, полученной на ионосферной станции «Циклон». Алгоритм моделирования заключается в построении модели ионосферы, решении системы дифференциальных уравнений, описывающих траекторию луча радиоволны, с использованием численных методов, а также в дальнейшем анализе результатов с целью получения значений высот отражения траекторий и определения высотных границ резонансного слоя ионосферы. Структура магистерской диссертации Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка работ автора, опубликованных по теме диссертации, и списка литературы. В первой главе проводится обзор теоретических вопросов, связанных с поведением радиоволн в ионосфере: теоретические основы распространения декаметровых радиоволн в однородной и неоднородной плазме, влияние магнитного поля на распространение радиоволн, вывод формулы для значения показателя преломления для обыкновенной и необыкновенной волн в ионосферной плазме, а также дисперсионные кривые для этих волн. Информация первой главы была взята из книг [8, 9, 13]. 8 Во второй главе рассмотрены основы геометрической оптики – лучевое приближение и уравнение эйконала, а также приводится подробный вывод системы дифференциальных уравнений, описывающих траекторию луча радиоволны в геоцентрической системе координат с использованием метода характеристик. Материал по второй главе был взят из книги [14]. В третьей главе представлен алгоритм расчёта лучевых траекторий, приведены результаты численных экспериментов по определению высоты отражения мощной радиоволны и границ области плазменных резонансов для стенда «СУРА», а также особенности распространения обыкновенной и необыкновенной волн в ионосфере. Материалы, приведённые в третьей главе, являются практической частью этой работы, и является личным вкладом автора в магистерскую диссертацию. Степень достоверности и апробация результатов Результаты расчётов по определению высоты отражения радиоволн и границ резонансного слоя согласуются с данными проведённых оптических измерений одновременно в нескольких приёмных пунктах, в ходе которых было замечено искусственное оптическое свечение ионосферы. Высота слоя плазменных резонансов, рассчитанная при численном эксперименте, и пятно искусственного свечения ионосферы на снимках, полученных на приёмном пункте магнитной обсерватории КФУ (55°55'49.93''N, 48°44'40.15E), расположены очень близко друг к другу. В результате расчётов для 28 августа 2014 г. во время работы стенда «СУРА» было установлено, что обыкновенная волна отражается от ионосферы только в случаях, когда частота передатчика ниже критической частоты foF2. Необыкновенная волна отражается гораздо ниже, чем обыкновенная, и не доходит до резонансного слоя. Она отражается от ионосферы в случаях, когда частота передатчика как меньше, так и больше критической частоты ионосферы foF2. Эти результаты совпадают с теорией, изложенной, например, в [10], а также с экспериментальными данными – ионограммами с ионосферной станции «Циклон». 9 На публичную защиту выносятся следующие положения: 1. В результате применения методики моделирования распространения радиоволн на основе численных расчётов было установлено, что границы высот плазменных резонансов и высоты отражения траекторий уменьшаются с уменьшением частоты передатчика; с уменьшением критической частоты ионосферы foF2 границы высот плазменных резонансов и высоты отражения траекторий радиоволн увеличиваются. Толщина резонансного слоя составляет в среднем от 7 до 9 км. При приближении частоты передатчика к критической частоте ионосферы foF2 происходит увеличение толщины резонансного слоя. Высота отражения траекторий находится выше примерно на 1÷2 км от верхней границы ленгмюровского резонанса. При уменьшении критической частоты ионосферы и приближении её к частоте передатчика высота отражения траекторий приближается к верхней границе легмюровского резонанса. 2. Работа нагревного стенда «СУРА» 7 ноября 2013 г. не повлияла на распространение радиосигналов радиостанции точного времени РВМ. 3. Точки фокусировки лучей для обыкновенной и необыкновенной волны для 28 августа 2014 г. 22:10-23:20, когда стенд «СУРА» работал на частотах, выше критических частот ионосферы, не наблюдались. Апробация работы Представленные результаты диссертационного исследования докладывались на следующих конференциях: а). Международная научно-техническая студенческая конференция «Актуальные проблемы физико-технических и гуманитарных наук»; филиал К(П)ФУ в г. Зеленодольск, 29.11.2013 г. б). XXI Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «ЛОМОНОСОВ-2014»; Москва, МГУ, 8.04.2014 г. в). XI Конференция молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования»; Москва, Институт космических исследований, 11.04.2014 г. 10 д). Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского федерального университета 2014 года; Казань, Институт физики КФУ, 18.04.2014 г. е). Десятая ежегодная конференция «Физика плазмы в солнечной системе», Москва, Институт космических исследований РАН, 16.02.2015 г., стендовый доклад. ж). Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского федерального университета 2015 года; Казань, Институт физики КФУ, 17.04.2015 г. Публикации и личный вклад автора Результаты настоящей магистерской диссертации изложены в 13 публикациях, из них 3 статьи в сборниках трудов конференций и 10 тезисов докладов [см. раздел «Список работ автора, опубликованных по теме диссертации»]. Личный вклад автора при написании работы заключается в создании расчётных скриптов и функций для моделирования распространения декаметровых радиоволн в ионосфере, проведении численных экспериментов, а также в обработке и анализе полученных результатов. Благодарности Автор выражает благодарность своему научному руководителю Насырову Игорю Альбертовичу за постановку задач диссертации, за консультации и полезные замечания, а также за помощь в анализе полученных результатов. Также автор выражает глубокую признательность своим коллегам и лично Д.А. Когогину и С.М. Грач, техническому персоналу стенда «СУРА», и сотрудникам ионосферной станции «Циклон». Автор отмечает, что успешному проведению экспериментальных исследований способствовала финансовая поддержка РФФИ (грант № 13-02-00957) и РНФ (грант № 14-12-00706). 11 Глава 1. Распространение радиоволн в ионосфере Декаметровые (ДКМ) радиоволны с частотами от 3 до 30 МГц могут распространяться на большие расстояния путем многократных последовательных отражений от ионосферы и земной поверхности. Это свойство ДКМ радиоволн используется для построения систем дальней радиосвязи и загоризонтной радиолокации. Однако некоторые особенности распространения ДКМ радиоволн снижают эффективность использования указанного диапазона. К таким особенностям относится многолучевое распространение, сопровождающееся глубокими замираниями сигнала, ограниченность неискаженной полосы передачи и скорости телеграфирования, подверженность влиянию ионосферных возмущений, загруженность частотного канала помехами. 1.1 Ионосфера Ионизированный слой атмосферы, способный отражать радиоволны, открыт в 1902 г. независимо О. Хэвисайдом и А. Коннелли. Эта область земной атмосферы, названная в начале по имени открывателей, а затем получившая название ионосфера, оказывает существенное влияние на работу систем радионавигации, локации и связи. Ионосфера – это часть верхней атмосферы, где плотность свободных электронов достаточна, чтобы оказывать значительное влияние на распространение радиоволн. Ионизация зависит в первую очередь от активных явлений на Cолнце. Ионосферные структуры и максимумы плотностей в ионосфере сильно зависят от времени (фазы цикла солнечной активности, времени года и времени суток), от географического положения (полярная и авроральная зоны, среднеширотные и экваториальные области) и от ионосферных возмущений, вызванных солнечной активностью. Основная часть ионизации обусловлена солнечным излучением в рентгеновском и ультрафиолетовом 12 диапазонах, а также корпускулярным потоком Солнца. Ионизация возрастает на освещенной Солнцем стороне Земли и убывает на теневой. Небольшой вклад в ионизацию ионосферы дают и космические лучи. Рисунок – 1.1. Распределение концентрации электронов в ионосфере в зависимости от высоты. Максимум концентрации Nmax достигается в слое F на высоте около 300 км. В дневное время Nmax=106 см-3, в ночное время Nmax=3×105 см-3. Степень ионизации газов, входящих в состав ионосферы, зависит от их плотности, энергии солнечного излучения и космических лучей, а также коэффициента поглощения этой энергии газами. В среднем ионосфера квазинейтральна, т.е. суммарный электрический заряд электронов и ионов в выделенном объеме равен нулю. Основными процессами, формирующими состояние ионосферы, являются ионизация, рекомбинация, диффузия плазмы и направленный дрейф заряженных и нейтральных частиц. В зависимости от плотности заряженных частиц в ионосфере выделяются области (слои) D, Е и F (рисунок 1.1) [8, 9, 13]. 13 В области D (60-90 км) концентрация заряженных частиц составляет ~ 10² – 10³ см−3. Основной вклад в ионизацию этой области вносит рентгеновское излучение Солнца. Небольшую роль играют дополнительные слабые источники ионизации: метеориты, сгорающие на высотах 60-100 км, космические лучи, а также энергичные частицы магнитосферы, попадающие в этот слой во время магнитных бурь. Слой D характеризуется резким снижением степени ионизации в ночное время суток. Область Е (90 – 120 км) характеризуется плотностями плазмы до ~ 105 см−3. В этом слое наблюдается рост концентрации электронов в дневное время, поскольку основным источником ионизации является солнечное коротковолновое излучение, к тому же рекомбинация ионов в этом слое идёт очень быстро и ночью плотность ионов может упасть до 10³ см−3. Этому процессу противодействует диффузия зарядов из области F, находящейся выше, где концентрация ионов относительно велика, и ночные источники ионизации (метеоры, космические лучи и др.). Иногда на высотах 100 – 110 км возникает спорадический слой ES, очень тонкий (0,5 – 1 км), но плотный. Особенностью этого слоя является высокая концентрации электронов (~105 см−3), которые оказывают значительное влияние на распространение средних и даже коротких радиоволн, отражающихся от этой области ионосферы. Областью F обычно называют всю ионосферу выше 130 – 140 км. Максимум ионообразования достигается на высотах 150 – 200 км. Однако вследствие диффузии и относительно долгой длительности жизни ионов образовавшаяся плазма распределяется вверх и вниз от области максимума. Из-за этого максимальная концентрация электронов и ионов в области F находится на высотах 250 – 400 км. В дневное время область F делится на области F1 (150 – 200 км) и F2. Здесь плотность заряженных частиц достигает своего максимума ~ 105 – 106 см−3. На больших высотах преобладают более лёгкие ионы кислорода (до высот 400 – 1000 км), а ещё выше – ионы водорода (протоны) и в небольших количествах – ионы гелия. 14 Классическим методом исследования ионосферы является импульсное зондирование: излучение радиоволн и наблюдение их отражений от ионосферных слоев с измерением времени запаздывания, интенсивности, изучением формы отраженных сигналов. Метод вертикального радиозондирования с поверхности земли позволяет измерять вертикальное распределение (вертикальный профиль) электронной концентрации в области высот от 90 км до высоты главного ионосферного максимума – слоя F2 (250 – 400 км). В данной работе для получения критической частоты ионосферы foF2 используются данные ионограмм, полученных методом вертикального зондирования на ионосферной станции «Циклон» (Республика Татарстан, Зеленодольский район, п. Ореховка, 55°50′55.65″N, 48°48′29.32″E), более подробное описание приведено в главе 3, или в [12]. 1.2 Распространение электромагнитных волн в плазме Ионосферная плазма находится в геомагнитном поле. Магнитоактивная плазма является анизотропной средой, т.е. ее свойства (например, проводимость) зависят от направления по отношению к вектору магнитной индукции внешнего магнитного поля. Кроме того, концентрация заряженных и нейтральных частиц, частоты соударений одних частиц с другими, температуры отдельных компонент плазмы (электронов, ионов, нейтральных частиц) зависят от координат, прежде всего, от высоты над поверхностью Земли. Таким образом, ионосферная плазма является неоднородной анизотропной средой. 1.2.1 Волны в однородной плазме Рассмотрим однородной распространение магнитоактивной плоской плазме. монохроматической Представим вектор электрического поля волны в виде     E ( r , t ) E0 exp i (ωt − k0 nr )  , = волны в напряженности (1.2.1) 15  где E0 – комплексная амплитуда волны, k0 = ω/c – волновое число, ω –  циклическая частота, c – скорость света в вакууме, n – вектор волновой нормали,  r – радиус вектор, проведенный из начала координат в точку наблюдения, t – время. Аналогично записывается выражение для вектора напряженности магнитного поля волны. Уравнения Максвелла для монохроматических волн в гауссовой системе единиц имеют вид   rot E = −ik0 H ;    rot H = ik0ε (ω ) E. (1.2.2)  Здесь ε (ω ) – тензор комплексной диэлектрической проницаемости плазмы. В декартовой системе координат с осью z , ориентированной вдоль внешнего  магнитного поля H E , тензор имеет вид [8, 9, 13] ε⊥   ε =  ig 0  −ig ε⊥ 0 0  0 , ε ||  (1.2.3) где ω p2 (ω − iν e ) ω p2 ε⊥ = 1− ; g= ; ε || = 1− . (1.2.4) (ω − iν e )2 − ωH2  ω (ω − iν e )2 − ωH2  ω (ω − iν e ) ω  ω p2ωH    В (1.2.4) использованы следующие обозначения: ω p2 = 4π e 2 N e / me – квадрат плазменной частоты, e и m – заряд и масса электрона, N e – концентрация электронов в плазме, ωH = eH E / mec – гирочастота электронов, ν e – эффективная частота соударений электронов с другими частицами. В результате подстановки выражения (1.2.1) в уравнения Максвелла (1.2.2) получается система однородных алгебраических уравнений для компонент  вектора E0 (n 2 cos 2 θ − ε ⊥ ) E0 x + igE0 y − n 2 sin θ cos θ E0 z = 0, − igE0 x + (n 2 − ε ⊥ ) E0 y = 0, − n 2 sin θ cos θ E0 x + (n 2 sin 2 θ − ε || ) E0 z = 0, (1.2.5) 16  Здесь n = n – показатель преломления нормальной волны; без ограничения общности предполагается, что вектор волновой нормали лежит в плоскости ( x, z ) и составляет угол θ с осью z . Из условия существования нетривиального решения системы (1.2.5) получается дисперсионное уравнение для электромагнитных волн в холодной магнитоактивной плазме An 4 + Bn 2 + С = 0, (1.2.6) где = A ε ⊥ sin 2 θ + ε || cos 2 θ ; −ε ⊥ε || (1 + cos 2 θ ) − ( ε ⊥2 − g 2 ) sin 2 θ ; B= (1.2.7) = C ε || ( ε ⊥2 − g 2 ) . Решение дисперсионного уравнения определяет значения показателей преломления обыкновенной и необыкновенной волн n1,2 , распространяющихся в однородной магнитоактивной плазме 2 v  2 (1 − v ) − u sin 2 θ  u 2 sin 4 θ + 4u (1 − v ) cos 2 θ    2 n1,2 = 1−  . 2 (1 − u − v + uv cos 2 θ ) (1.2.8) В формуле (1.2.8) использованы традиционные обозначения для безразмерных параметров плазмы ω p2 ωH2 = v = ; u . ω2 ω2 (1.2.9) Выражение (1.2.8) записано для случая бесстолкновительной плазмы, т.е. при условии ν e = 0 . 17 Рисунок – 1.2. Дисперсионные кривые обыкновенной и необыкновенной волн Пример дисперсионных кривых приведен на рисунке 1.2, где сплошной линией показана кривая, соответствующая обыкновенной волне, а пунктирной – необыкновенной. Особенностью дисперсионных кривых является наличие точек поворота, в которых показатель преломления обращается в нуль, и резонансных точек, в окрестности которых показатель преломления неограниченно возрастает. Точки поворота, определяемые из условия C = 0, разделяют области прозрачности и непрозрачности для данного типа нормальных волн. Условием резонанса является обращение в нуль коэффициента A в уравнении (1.2.7) или обращение в нуль знаменателя выражения (1.2.8).   Фазовые скорости нормальных волн определяются выражениями vф = cn / n 2 , а     ∂ω / ∂k , где k = ω n / c – волновой вектор. групповые vгр = 18 Из системы однородных алгебраических уравнений (1.2.5) можно определить поляризацию нормальных волн. Предположим, что вектор волновой нормали лежит в плоскости ( x, z ) и составляет угол θ с осью z . Тогда 2 sin θ cosθ n1,2  E0 y   E0 z  g ; . i= =     2 2 2  E0 x 1,2 n1,2 − ε ⊥  E0 x 1,2 n1,2 sin θ − ε || (1.2.10) Анализ соотношений (1.2.10) показывает, что при распространении под произвольным углом к внешнему магнитному полю нормальные волны в магнитоактивной плазме имеют эллиптические поляризации. Таким образом, в однородной магнитоактивной плазме могут распространяться две нормальные волны с отличающимися показателями преломления, фазовыми и групповыми скоростями, поляризациями. В диапазоне декаметровых радиоволн, особенно в его высокочастотной части, выполняется условие ω >> ωH . В связи с этим в некоторых случаях при анализе условий распространения радиоволн можно пренебречь влиянием геомагнитного поля. Нетрудно убедиться, что при этом из выражений (1.2.4) для компонент тензора комплексной диэлектрической проницаемости следует ω p2 ε⊥ = ε || = ε= 1− ; g= 0, ω (ω − iν e ) (1.2.11) т.е. тензор вырождается в скаляр. Таким образом, при указанных условиях ионосферную плазму можно считать изотропной средой, свойства которой определяются комплексной диэлектрической проницаемостью (1.2.11). При этом показатель преломления электромагнитных волн в изотропной плазме определяется выражением ω p2 . n = 1− ω (ω − iν e ) 2 (1.2.12) При выполнении условия ω >> ν e получается следующее выражение для квадрата показателя преломления: ω p2 n = 1− 2 . ω 2 (1.2.13) 19 Из (1.2.13) следует, что в холодной бесстолкновительной плазме могут распространяться электромагнитные волны с частотами, превышающими плазменную частоту. Для волн более низких часто плазма непрозрачна. 1.2.2 Волны в неоднородной плазме Ионосферная плазма является неоднородной средой, свойства которой наиболее существенно зависят от высоты над земной поверхностью. При анализе условий распространения декаметровых волн на расстояния до 1000 км можно использовать модель плоско-слоистой ионосферы. Рассмотрим падение плоской электромагнитной волны на слоисто-неоднородную изотропную плазму под углом ϑ0 к вертикали. Введем декартову систему координат, с осью z , направленной вертикально вверх. Ограничимся рассмотрением ТЕ-волны, вектор напряженности электрического поля которой имеет одну отличную от нуля компоненту E y Ey = E0 exp  −ik0 ( cosϑ0 z + sin ϑ0 x )  . (1.2.14) В плазме поле волны запишем в виде E y = E1 ( z ) exp[−ik0 sin ϑ0 x] . (1.2.15) Функция E1 ( z ) удовлетворяет уравнению [8, 9, 13] d 2 E1 0. + k02 ε ( z ) − sin 2 ϑ0  E1 = 2 dz (1.2.16) Строгие аналитические решения уравнения (1.2.16) известны лишь для ограниченного вида зависимостей ε ( z ) (линейной, квадратичной и некоторых других). В связи с этим при расчетах полей электромагнитных волн в неоднородной плазме широко используются приближенные методы, среди которых особое место занимает метод геометрической оптики или лучевое приближение. Этот метод применим для расчетов полей в неоднородных средах, свойства которых незначительно изменяются на масштабах порядка длины волны в среде, т.е. при выполнении условия L >> λ , где L – характерный масштаб 20 неоднородности среды, λ – длина волны в среде. Приведенное неравенство справедливо для волн декаметрового диапазона в ионосфере, где характерные масштабы изменения электронной концентрации с высотой составляют десятки и сотни (в верхней ионосфере) километров. В рамках метода геометрической оптики решение уравнения (1.2.16) ищется в виде разложения Дебая ∞ E( m) ( z ) exp ∑ ( ik ) E1 ( z ) = m =0 m ( −ik ψ ( z ) ) , (1.2.17) 0 0 т.е. в виде произведения медленно изменяющейся функции на быстро ( осциллирующий экспоненциальный множитель. Здесь E m) ( z) – амплитуда m-го приближения, ψ ( z ) – эйконал. В результате подстановки решения (1.2.17) в уравнение (1.2.16) и группировки слагаемых одинакового порядка малости по параметру k0−1 стандартным образом получается система уравнений последовательных приближений. При этом в нулевом приближении получается уравнение эйконала  dψ   2 0,   − ε ( z ) − sin ϑ0  =  dz  2 (1.2.18) определяющее в конечном итоге фазу волны, а в следующем приближении – уравнение переноса dE ( ) ψ ′′ ( 0) + E = 0, dz 2ψ ′ 0 позволяющее вычислить амплитуду волны E( 0) ( z). (1.2.19) В (1.2.19) штрихами обозначены производные по z . В результате выражение для поля волны в плазме принимает вид E y ( x, z ) = C1 exp  −ik0 ∫ ε ( z′ ) − sin 2 ϑ0 dz′ − ik0 sin ϑ0 x  +   4 ε z − sin ϑ ( ) 0 2 C2 + 4 exp  +ik0 ∫ ε ( z′ ) − sin ϑ0 dz′ − ik0 sin ϑ0 x    ε ( z ) − sin ϑ0 2 2 . (1.2.20) 21 Здесь C1 и C2 – константы интегрирования, определяющие амплитуды волн с положительной и отрицательной проекциями фазовых скоростей на ось z . Заметим, что эти волны в приближении геометрической оптики распространяются независимо, т.е. отражение волн в плавно-неоднородной среде отсутствует. Формула (1.2.20) неприменима в окрестности точки поворота, где ε ( z ) = sin 2 ϑ0 . Из выражения для фазы волны ϕ ( x, z ) = k0 ∫ ε ( z′ ) − sin 2 ϑ0 dz′ + k0 sin ϑ0 x . (1.2.21) видно, что фазовый фронт ϕ ( x, z ) = const в неоднородной плазме представляет собой криволинейную поверхность. Вектор волновой нормали в этом случае  определяется выражением n = ∇ϕ / k0 . Можно ввести понятие луча или траектории распространения волны – кривой, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора волновой нормали. Уравнение луча в дифференциальной форме в данном случае имеет вид dx dz = . nx nz (1.2.22) Можно показать, что в неоднородной изотропной плазме лучи определяют также направление переноса энергии (вектора Пойнтинга). Рисунок – 1.3. Отражение волны от ионосферы (h – высота начала слоя, z = 0 – уровень земной поверхности) 22 В силу закона Снеллиуса в плоско-слоистой среде сохраняется горизонтальная составляющая вектора волновой нормали. При падении волны на нижнюю границу ионосферы под углом ϑ0= nx const = sin ϑ0 . Тогда из (1.2.18) следует = nz cos 2 ϑ0 − ω p2 / ω 2 . (1.2.23) и уравнение (1.2.22) принимает вид dx dz . = sin ϑ0 cos 2 − ω p2 ( z ) / ω 2 (1.2.24) Уравнение (1.2.24) допускает аналитическое решение для некоторых простейших видов профилей электронной концентрации в ионосфере (линейного, параболического и других). Примерный вид траектории показан на рисунке 1.3. Высота отражения волны в ионосфере находится из условия обращения в нуль вертикальной компоненты вектора волновой нормали nz . Зная критическую частоту ионосферы f c = max ω p ( z ) / 2π  , можно определить максимальную частоту f m радиоволны, которая может отразиться от ионосферы при наклонном падении fm = fc . cosϑ0 Существенно, что при наклонном падении (1.2.25) fm может значительно превышать критическую частоту f c . 1.3 Замирания радиоволн Параметры ионосферной плазмы не остаются постоянными во времени. Наблюдаются как медленные изменения электронной концентрации в ионосфере (сезонные и суточные вариации), так и быстрые, связанные с движением неоднородностей различных масштабов. Вариации ионосферных параметров приводят к изменениям амплитуды принимаемого сигнала (замираниям). В зависимости от их причины замирания могут быть как регулярными, так и 23 нерегулярными. Длительность замирания может варьироваться в широких пределах (от сотых долей секунды до десятков минут). Глубина замирания может достигать 100%. Наблюдаются замирания нескольких типов, среди которых можно выделить поляризационные замирания, интерференционные и другие. Далее мы остановимся на анализе замираний сигнала, связанных с многолучевым характером распространения радиоволн. Как правило, в точку приема приходят одновременно радиоволны, испытавшие одно, два и более последовательных отражений от ионосферы. В результате их интерференции могут наблюдаться квазипериодические вариации амплитуды принимаемого сигнала. Рисунок – 1.4. Отражение волны от ионосферы и земной поверхности (передатчик находится в точке x = 0, z = 0, а приемник – x = D, z = 0). Предположим, что радиоволны, излучаемые передающей антенной, расположенной в точке А на поверхности Земли, приходят в точку приема В двумя путями (рисунок 1.4). Амплитуда суммарного сигнала в точке В зависит от амплитуд и разности фаз ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 указанных двух волн. Формулы для фаз ϕ1 и ϕ2 могут быть представлены в виде zr = ϕ1 2k0 h / cosϑ1 + 2k0 ∫ nz dz + k0 ( D − 2h tg ϑ1 ) sin ϑ1 ; h (1.3.1) 24 zr ϕ2 4k0 h / cosϑ2 + 4k0 ∫ nz dz + k0 ( D − 4h tg ϑ2 ) sin ϑ2 . = (1.3.2) h Здесь D – расстояние между передающей и приемной антеннами, измеряемое вдоль земной поверхности, ϑ1 и ϑ2 – углы падения волн на ионосферу. В формулах (1.3.1) и (1.3.2) первые слагаемые описывают набег фазы при распространении волны между земной поверхностью и нижней границей ионосферы. Входящие в выражения (1.3.1) и (1.3.2) интегралы могут быть вычислены для некоторых моделей ионосферы. Проведем вычисления для модели ионосферы с линейной зависимостью концентрации электронов от высоты Ne ( z ) = N0 z−h , L (1.3.3) где L – характерный масштаб изменения электронной концентрации с высотой, N 0 = N e ( L ) . В рамках этой модели выражение для вертикальной составляющей вектора волновой нормали удобно представить в виде = nz cos 2 ϑ0 − α ( z − h ) / L , (1.3.4) 2 2 где α = 4πe N 0 /(meω ) . Интегрируя (1.3.1) и (1.3.2) с учетом (1.3.4), получаем 4 = ϕ1 2k0 h / cosϑ1 + k0 L cos3 ϑ1 / α + k0 ( D − 2h tg ϑ1 ) sin ϑ1 ; 3 (1.3.5) 8 = ϕ2 4k0 h / cosϑ2 + k0 L cos3 ϑ2 / α + k0 ( D − 4h tg ϑ2 ) sin ϑ2 . 3 (1.3.6) Вариации амплитуды принимаемого сигнала, связанные с движением крупномасштабных неоднородностей электронной концентрации в ионосфере, можно в ряде случаев описать, предположив, что нижняя граница ионосферы перемещается вверх или вниз с некоторой постоянной скоростью V. В этом случае характерный период замираний сигнала T определяется из уравнения 2π ∂ = V ∆ϕ . ∂h T (1.3.7) 25 При вычислении производной в (1.3.7) необходимо учесть, что углы ϑ1 и ϑ2 при фиксированном расстоянии между передающей и приемной антеннами D зависят от высоты нижней границы ионосферы h. Зависимости ϑ1 ( h ) и ϑ2 ( h ) могут быть найдены лишь численными методами из условий h tg ϑ1 + L sin 2ϑ1 / α = D/2, (1.3.8) h tg ϑ2 + L sin 2ϑ2 / α = D/4. (1.3.9) Определив по результатам измерений характерный период замираний и вычислив из соотношений (1.3.5), (1.3.6) и (1.3.8), (1.3.9) производную ∂∆ϕ / ∂h , можно из (1.3.7) найти скорость движения нижней границы ионосферы. 1.4 Обсуждение результатов В заключение этой главы следует отметить, что ионосфера как среда для распространения радиоволн очень сильно зависит в первую очередь от солнечной активности, а также от геомагнитных возмущений. Для практической части настоящей работы является важным вывод формулы (1.2.8) показателя преломления обыкновенной и необыкновенной волн n1,2, распространяющихся в однородной магнитоактивной плазме, а также их дисперсионные кривые (рисунок 1.3). В третьей главе будут показаны результаты расчёта лучевых траекторий для обыкновенных и необыкновенных радиоволн. 26 Глава 2. Основы геометрической оптики 2.1 Уравнения геометрической оптики 2.1.1 Исходные предположения Рассмотрим монохроматические волны, описываемые уравнением Гельмгольца ∆𝑈 + 𝑘02 𝑛2 (𝒓) 𝑢(𝑟) = 0, (2.1.1) где 𝑘0 = 𝜔/с — волновое число, 𝑐 — скорость света в вакууме, 𝜔 — частота (зависимость от времени зададим множителем 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ), а величина 𝑛(𝒓), называемая коэффициентом преломления, характеризует свойства среды, в которой распространяется волна. В электродинамике уравнение (2.1.1) передаёт все характерные особенности поведения электромагнитных волн в изотропной среде, кроме поляризации, при этом квадрат показателя преломления равен диэлектрической проницаемости среды: 𝑛2 (𝒓) = 𝜀(𝒓) (будем считать, что магнитная проницаемость среды равна единице). Уравнение (2.1.1) описывает также распространение звуковых волн, если принять 𝑘0 = 𝜔/𝑐̅ и 𝑛(𝒓) = 𝑐̅/𝑐(𝒓), где 𝑐(𝒓) — локальное значение скорости звука, а 𝑐̅ — некоторое характерное значение скорости звука в рассматриваемой области пространства, которое использовано для нормировки. В случае стационарного уравнения Шрёдингера, определяющего поведение волновой функции частицы с массой 𝑚 и энергией 𝐸 в поле сил с потенциалом 𝑈(𝒓), под 𝑘0 нужно понимать величину √2𝑚𝐸/(ℎ/2𝜋), а под 𝑛(𝒓) — величину �1 − 𝑈(𝒓)/𝐸, так что 𝑘02 𝑛2 (𝑟) = 2𝑚(𝐸 − 𝑈)/(ℎ/2𝜋)2 (здесь ℎ — постоянная Планка). Решение уравнения Гельмгольца (2.1.) в простейшем случае — для плоской волны, распространяющейся в направлении орта 𝒍 в однородной среде 𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, имеют вид 27 𝑢(𝒓) = 𝒜𝑒 𝑖Ψ(𝒓) , Ψ(𝒓) = 𝑘0 𝑛(𝒓𝒍), где 𝒜 — постоянная амплитуды волны, а Ψ(𝒓) — фаза, причём волновой вектор 𝒌 = ∇Ψ постоянен и направлен вдоль орта 𝒍 (𝒌 = 𝑘0 𝑛𝒍). Если свойства волны или среды меняются в пространстве, но это изменение происходит достаточно медленно (плавно) в масштабе длины волны, то можно предположить, что поле волны будет также медленно меняться с расстоянием, оставаясь локально «почти плоским». Эта гипотеза и лежит в основе метода геометрической оптики для монохроматических волн. Считаем, что решение уравнения (2.1.1) имеет вид «почти плоской» волны, т.е. волны 𝑢(𝒓) = 𝒜𝑒 𝑖Ψ(𝒓) , (2.1.2) где амплитуда 𝒜(𝒓) и локальный волновой вектор 𝑘(𝒓) = ∇Ψ(𝐫) мало меняются на длине волны в среде 𝜆(𝒓) = 2𝜋/|𝑘(𝒓)|: 𝜆(𝒓) 𝜆(𝒓) |∇𝒜| ≪ |𝒜|, �∇𝑘𝑗 � ≪ �𝑘𝑗 �. 2𝜋 2𝜋 (2.1.3’) Здесь 𝑘𝑗 — компоненты волнового вектора 𝒌. Аналогичное требование нужно предъявить и к коэффициенту преломления 𝑛(𝒓): 𝜆(𝒓) |∇𝑛| ≪ |𝑛|. 2𝜋 (2.1.3’’) Поскольку в среде с коэффициентом преломления 𝑛 длина волны 𝜆 в 𝑛 раз меньше, чем в свободном пространстве, т.е. 𝜆 = равносильны неравенствам 𝑐 где 𝜆0 = . 𝜔 𝜆0 𝑛 , условия (2.1.3’) и (2.1.3’’) |𝒜| �𝑘𝑗 � 𝜆0 𝜆0 𝑛 𝜆0 ≪ ≡ 𝐿1 , ≪ ≡ 𝐿2 , ≪ ≡ 𝐿3 , 2𝜋𝑛 |∇𝒜| 2𝜋𝑛 �∇𝑘𝑗 � 2𝜋𝑛 |∇n| (2.1.3’’’) Эти условия, означающие малость изменения величин 𝒜(𝒓), 𝑘(𝒓) и 𝑛(𝒓) в пределах области с размерами порядка λ0/2π, можно записать в виде одного неравенства 𝜇= 1 1 𝜆 = = ≪ 1, 𝑘𝐿 𝑘0 𝑛𝐿 2𝜋𝐿 (2.1.4) 28 где μ — малый параметр в методе геометрической оптики, а L — наименьший из характеристических масштабов изменения 𝒜, 𝒌 и 𝑛, т.е. 𝐿 = min(𝐿1 , 𝐿2 , 𝐿3 ). Характерный масштаб 𝐿 определяется здесь как расстояние, на котором приращение некоторой величины сравнимо с самой величиной, например, |𝑛(𝒓 + 𝑳) − 𝑛(𝒓)|~𝑛(𝒓). Заменяя здесь приращение 𝑛(𝒓 + 𝑳) − 𝑛(𝒓) линейным по 𝐿 членом разложения 𝑛(𝒓 + 𝑳) в ряд Тейлора, имеем 𝑳∇𝑛~𝑛, откуда для 𝐿 𝑛 получаем оценку 𝐿~ |∇𝑛|, совпадающую с 𝐿3 в (2.1.3’’’). В случае плоской волны в однородной среде величины 𝒜, 𝒌 и 𝑛 строго постоянны, что отвечает 𝐿 = ∞ и 𝜇 = 0, т.е. неравенство (2.1.4) становится тривиальным. 2.1.2 Разложение поля в ряд по степеням малого безразмерного параметра 𝝁𝝁 Существует несколько способов вывода основных уравнений геометрической оптики. Наиболее последовательный способ, использующий разложение по безразмерному малому параметру 𝜇 ~ 1 𝑘0 𝐿 , принадлежит С. М. Рытову [23, 24]. В безразмерных переменных 𝑥1 = 𝑘0 𝑥, 𝑦1 = 𝑘0 𝑦, 𝑧1 = 𝑘0 𝑧 уравнение (2.1.1) принимает вид 2 ∆1 𝑢 + 𝑛 𝑢 = 0, 𝜕2 𝜕2 𝜕2 ∆1 ≡ + + . 𝜕𝑥12 𝜕𝑦12 𝜕𝑧12 (2.1.5) Характерный масштаб 𝐿 изменения 𝒜, 𝒌 и 𝑛 в переменных 𝑥, 𝑦, 𝑧 превращается в безразмерный масштаб 𝑘0 𝐿 = 1 𝜇 в безразмерных переменных 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 . Этот масштаб можно ввести в уравнение (2.1.5) явным образом, 𝒓 положив 𝒓2 = 𝜇𝒓1 = и 𝐿 где ∇2 ≡ 𝜕 𝜕𝑟2 𝑟1 𝑟 𝑛 = 𝑛� � = 𝑛� � = 𝑛(𝜇𝑟1 ) = 𝑛(𝑟2 ), 𝑘0 𝐿 𝐿 |∇2 𝑛| ~ 1, . С введением переменной 𝑟2 уравнение (2.1.5) принимает вид ∆2 𝑢(𝑟2 ) + 𝑛2 (𝑟2 ) 𝑢(𝑟2 ) = 0, 𝜇2 𝜕2 𝜕2 𝜕2 ∆2 ≡ + + 𝜕𝑥22 𝜕𝑦22 𝜕𝑧22 (2.1.6) (2.1.7) 29 Зависимость показателя преломления 𝑛 от 𝑟2 в (2.1.6) и (2.1.7) отражает медленную (в масштабе 𝛿𝑟 ~ 𝜆 2𝜋 при 𝐿 ≫ 𝜆 2𝜋 𝜆 2𝜋 ) зависимость 𝑛 от координат 𝑥, 𝑦, 𝑧, так как смещение ведёт лишь к малому изменению 𝜆 |∇2 𝑛| 𝜆 2𝜋 |𝛿𝑟∇𝑛| ~ ≪ 1. 𝛿𝑛 ~ ~ 2𝜋𝐿 𝐿 Такую же медленность следует предположить у амплитуды 𝒜 = 𝒜(𝜇𝑟1 ) = 𝒜(𝑟2 ). Что касается фазы Ψ, то её целесообразно представить в видеΨ(𝑟) = Ψ1 (𝜇𝑟1 ) 𝜇 = Ψ1 (𝑟2 ) 𝜇 с тем, чтобы градиент фазы, т.е. волновой вектор ∇Ψ = ∇2 Ψ1 (𝑟2 ), тоже был медленной функцией координат (здесь ∇1,2 ≡ ∇1 Ψ1 (𝜇𝑟1 ) 𝜕 𝜕𝑟1,2 𝜇 = ). Таким образом, мы приходим к представлению поля в виде произведения медленной амплитуды на быстро осциллирующую экспоненту: 𝑢 = 𝒜(𝜇𝑟1 𝑖Ψ(𝜇𝑟1 ) )𝑒 𝜇 = 𝒜(𝑟2 𝑖Ψ1 (𝑟2 ) )𝑒 𝜇 (2.1.8’) Согласно (2.1.8’), решение волновой задачи сводится к отысканию двух функций 𝒜 и Ψ1 . Подставляя (2.1.8’) в уравнение (2.1.7), получим 𝑛2 1 ∆2 𝑢 + 2 𝑢 ≡ { 2 [𝑛2 − (∇2 Ψ1 )2 ]𝒜 + 𝜇 𝜇 Ψ 𝑖 𝑖 1 + [2∇2 𝒜∇2 Ψ1 + 𝒜∇2 Ψ1 ] + ∇2 𝒜}𝑒 𝜇 𝜇 (2.1.8’’) Распространённый приём нахождения 𝒜 и Ψ1 состоит в том, чтобы разложить амплитуду 𝒜 в ряд по степеням малого параметра 𝜇, представив поле (2.1.8’) в виде лучевого ряда Подстановка 𝑢(𝑟2 ) = ряда 𝑖Ψ1 (𝑟2 ) 𝑒 𝜇 (2.1.9) в ∞ 𝜇 � � � 𝑚 𝒜𝑚 (𝑟2 ) 𝑖 𝑚=0 уравнение (2.1.8’’) и (2.1.9) приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях 𝜇 приводит к уравнениям (𝜇−2 ): (∇2 Ψ1 )2 = 𝑛2 , (𝜇−1 ): 2(∇2 𝒜0 ∇2 Ψ1 ) + 𝒜0 ∇2 Ψ1 = 0, (𝜇0 ): 2(∇2 𝒜1 ∇2 Ψ1 ) + 𝒜1 ∇2 Ψ1 = −∇2 𝒜0 , (2.1.10) 30 ……………………………………………………… (𝜇𝑚−1 ): 2(∇2 𝒜𝑚 ∇2 Ψ1 ) + 𝒜𝑚 ∇2 Ψ1 = −∇2 𝒜𝑚−1 , Ψ= Если вернуться в эти уравнениях к размерным переменным 𝑥, 𝑦, 𝑧, а фазу Ψ1 𝜇 обозначить 𝑘0 𝜓, то уравнения (2.1.10) примут вид (∇𝜓)2 = 𝑛2 , (2.1.11) 2(∇𝒜1 ∇𝜓) + 𝒜1 ∇𝜓 = −𝐿∇𝒜0 , (2.1.12) 2(∇𝒜0 ∇𝜓) + 𝒜0 ∇𝜓 = 0, …………………………………… 2(∇𝒜𝑚 ∇𝜓) + 𝒜𝑚 ∇𝜓 = −𝐿∇𝒜𝑚−1 . Функцию 𝜓 принято называть эйконалом, а уравнение (2.1.11), которому подчиняется 𝜓, — уравнением эйконала. Эйконал 𝜓 имеет размерность длины и называется ещё оптическим путём волны. Уравнения для амплитудных коэффициентов 𝒜0 , 𝒜1 , … называют уравнениями переноса нулевого, первого и т.д. приближений. К решению уравнений (2.1.11) и (2.1.12) и сводится определение поля в приближении геометрической оптики. Эти уравнения проще, чем исходное уравнение Гельмгольца (2.1.1): во-первых, это уравнение в частных производных первого порядка, а во-вторых, их решение сводиться к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (см. далее). 2.1.3 Разложение поля в ряд по обратным степеням волнового числа Уравнения эйконала и переноса можно также получить при помощи формального разложения поля по обратным степеням размерного параметра — волнового числа 𝑘0 : ∞ 𝑢(𝑟) = � 𝑚=0 𝐴𝑚 (𝑟) 𝑖𝑘 𝜓(𝑟) 𝑒 0 . (𝑖𝑘0 )𝑚 (2.1.13) Такую форму лучевого ряда называют дебаевским разложением, так как впервые оно было предложено П. Дебаем [30]. 31 Если подставить (2.1.13) в уравнение (2.1.1) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях 𝑘0 , то мы придём к уравнению эйконала (2.1.11) и к уравнениям переноса для величин 𝐴𝑚 , отличающихся от уравнений (2.1.12) только отсутствием коэффициента 𝐿 в правых частях: 2(∇𝐴0 ∇𝜓) + 𝐴0 ∇𝜓 = 0, (2.1.14’) 2(∇𝐴1 ∇𝜓) + 𝐴1 ∇𝜓 = −∇𝐴0 , (2.1.14’’) 2(∇𝐴𝑚 ∇𝜓) + 𝐴𝑚 ∇𝜓 = −∇𝐴𝑚−1 , (2.1.14’”) ………………………………. Это означает, что коэффициенты 𝒜𝑚 ряда (2.1.9) и коэффициенты 𝐴𝑚 ряда (2.1.13) связаны между собой соотношением 𝐴𝑚 = 𝒜𝑚 . 𝐿𝑚 (2.1.15) В то время как все коэффициенты 𝒜𝑚 имеют одинаковую размерность, совпадающую с размерностью самого поля 𝑢 (поскольку в (2.1.9) разложение ведётся по безразмерному параметру 𝜇), размерности амплитуд 𝐴𝑚 неодинаковы: Хотя разложения безразмерного (2.1.9) параметра 𝜇= [𝐴𝑚 ] = [𝑢] . 𝐿𝑚 и (2.1.13) эквивалентны, использование 1 имеет определённые методические 𝑘𝐿 преимущества. Дело в том, что малость 𝜇, необходимая для применимости лучевого метода, может быть достигнута не только за счёт увеличения 𝑘 (уменьшения длины волны), но и за счёт увеличения 𝐿, т.е. при переходе к более плавному изменению свойств среды. В то же время дебаевское разложение обеспечивает более лаконичную форму записи уравнений. В дальнейшем будем пользоваться дебаевским разложением (2.1.13). Заметим, что при качественном анализе тех или иных задач замена 𝑘0 на 𝑘0 𝐿 = 𝜇−1 формально переводит ряд (2.1.13) в (2.1.9). 32 2.1.4 Начальные условия для эйконала и амплитуды Рассмотрим некоторую исходную поверхность 𝑄, уравнения которой запишем в параметрической форме: 𝑟 = 𝑟 0 (𝜉, 𝜂), (2.1.16) поверхностью 𝑄 является плоскость 𝑧 = 0, в качестве 𝜉, 𝜂 можно взять где 𝜉, 𝜂 — криволинейные координаты на 𝑄. В частном случае, когда координаты 𝑥 0 и 𝑦 0 на этой плоскости. Пусть на поверхности 𝑄 задано начальное поле 𝑢0 (𝜉, 𝜂), представленное в виде ряда, аналогичного (2.1.13): 𝑢 0 (𝜉, 𝐴0𝑚 (𝜉, 𝜂) 𝑖𝑘 𝜓0(𝜉,𝜂) 𝜂) = � 𝑒 0 , (𝑖𝑘0 )𝑚 (2.1.17) (верхний индекс «0» — начальные значения). Сама форма записи начального поля определяет начальные значения эйконала 𝜓 и амплитуд 𝐴𝑚 : 𝜓|𝑄 = 𝜓 0 (𝜉, 𝜂), 𝐴𝑚 |𝑄 = 𝐴0𝑚 (𝜉, 𝜂). (2.1.18) Во многих случаях, например, в задаче о падении плоской волны на неоднородную среду, задана только амплитуда нулевого приближения, а остальные амплитуды равны нулю: 𝐴00 = 𝐴00 (𝜉, 𝜂), 𝐴0𝑚 = 0 (𝑚 ≥ 1). (2.1.19) В задаче же об отражении волн от границы раздела двух сред отличны от нуля, вообще говоря, все амплитуды 𝐴0𝑚 , соответствующие преломлённым и отражённым волнам, даже если у падающей волны 𝐴0𝑚 = 0 (𝑚 ≥ 1). Начальные значения для 𝐴0𝑚 в этом случае не задаются, а определяются из граничных условий. 2.1.5 Асимптотический характер лучевого ряда Оба разложения (2.1.9) и (2.1.13) обычно представляют собой асимптотические ряды. Для асимптотических рядов разность между точным решением 𝑢 и конечной суммой лучевого ряда 33 𝑢𝑀 = 𝑖Ψ1 𝑒 𝜇 убывает при 𝜇 ⟶ 0 как 𝜇𝑀+1 ∶ 𝑀 𝑀 𝑚=0 𝑚=0 𝜇 𝑚 𝐴𝑚 � � � 𝒜𝑚 = 𝑒 𝑖𝑘0 𝜓 � 𝑖 (𝑖𝑘0 )𝑚 (2.1.20) |𝑢 — 𝑢𝑀 ||𝜇→0 = 𝑂(𝜇𝑀+1 ). (2.1.21) Условие 𝜇 ≪ 1 связано с малостью длины волны 𝜆/2𝜋 по сравнению с характерным масштабом задачи 𝐿, и поэтому говорят, что лучевое разложение даёт коротковолновую асимптотику поля. Иногда говорят также о высокочастотной асимптотике поля, имея в виду, что малые 𝜆/2𝜋 отвечают высоким частотам: 𝑘 = 𝜔𝑛 𝑐 ≫ 𝐿−1 . При 𝜇 ≠ 0 лучевые ряды, как правило, расходятся, т.е. |𝑢 − 𝑢𝑀 | → ∞ при 𝑀 → ∞. Асимптотический характер разложений (2.1.9) и (2.1.13) доказан для многих задач. В общем случае такое доказательство ещё не получено, и тогда лучевые ряды (2.1.9) и (2.1.13) служат формальным решением уравнения (2.1.1). В подавляющем большинстве физических приложений ограничиваются рассмотрением лишь нулевого приближения геометрической оптики, полагая (𝒜0 = 𝐴0 в силу (2.1.15)). 𝑢 ≈ 𝑢0 = 𝐴0 𝑒 𝑖𝑘0 𝜓 = 𝒜0 Ψ 𝑖 1 𝑒 𝜇 (2.1.22) 2.2 Лучи и эйконал 2.2.1 Метод характеристик Уравнение эйконала (2.1.11) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка и принадлежит к классу уравнений Гамильтона–Якоби. В общем случае уравнение Гамильтона–Якоби записывается в виде или ℋ� 𝜕𝜓 𝜕𝜓 , , 𝜕𝑞1 𝜕𝑞2 …, 𝜕𝜓 ; 𝑞 , 𝑞 , … , 𝑞𝑛 � = 0 𝜕𝑞𝑛 1 2 (2.2.1’) 34 ℋ�𝑝𝑗 , 𝑞𝑗 � = 0, 𝑝𝑗 = 𝜕𝜓 , 𝜕𝑞𝑗 (2.2.1’’) Здесь 𝜓 = 𝜓(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 ) – искомая функция, 𝑞𝑗 – произвольные координаты (𝑗 = 1, 2, … , 𝑛), а 𝑝𝑗 – сопряжённые им «импульсы». Важнейшая особенность дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка состоит в том, что решение сводится к интегрированию соответствующей характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений [17, 26] 𝑑𝑝𝑖 𝑑𝜓 𝑑𝑞𝑖 = − = . 𝜕ℋ 𝜕ℋ 𝜕ℋ/𝜕𝑝𝑗 𝑛 ∑𝑗=1 𝑝𝑗 � � 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑗 (2.2.2) Приравнивая отношения (2.2.2) дифференциалу вспомогательной независимой переменной 𝑑𝜏, характеристическую систему можно записать также в форме 𝑑𝑞𝑗 𝜕ℋ = , 𝜕𝑝𝑗 𝑑𝜏 (2.2.3) 𝑑𝑝𝑗 𝜕ℋ =− , 𝑑𝜏 𝜕𝑞𝑗 (2.2.4) 𝑛 𝜕ℋ 𝑑𝜓 = � 𝑝𝑗 . 𝜕𝑝𝑗 𝑑𝜏 (2.2.5) 𝑗=1 На гиперповерхности ℋ�𝑝𝑗 , 𝑞𝑗 � = 0 в фазовом пространстве {𝑝𝑗 , 𝑞𝑗 } выполняется соотношение 𝑛 𝜕ℋ 𝜕ℋ 𝑑𝑝𝑗 + 𝑑𝑞 � = 0 , 𝑑ℋ = � � 𝜕𝑝𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝑗 𝑗=1 (2.2.6) которому можно удовлетворить, если выполнены уравнения (2.2.3), (2.2.4) или, что то же, первое равенство в (2.2.2). Уравнение же (2.2.5) может быть получено дифференцированием 𝜓 вдоль характеристики с учётом (2.2.3), (2.2.4). Отсюда и получаются характеристические уравнения (2.2.2) или (2.2.3), (2.2.4). В теории дифференциальных уравнений решения 𝑞𝑗 = 𝑞𝑗 (𝜏), 𝑝𝑗 = 𝑝𝑗 (𝜏), 𝜓 = 𝜓(𝜏) характеристической системы (2.2.3) – (2.2.5) называются характеристической полосой [17, 26]. В физической литературе совокупность 2𝑛 35 функций 𝑞𝑗 = 𝑞𝑗 (𝜏), 𝑝𝑗 = 𝑝𝑗 (𝜏) кратко называют характеристикой уравнения (2.2.1). Учитывая, что сам эйконал 𝜓 является характеристикой уравнения Гельмгольца (2.1.1), характеристики уравнения эйконала (2.1.11) называют часто бихарактеристиками [17]. Уравнения характеристик (2.2.3), (2.2.4) представлены в канонической гамильтоновой форме. Они были предложены У. Гамильтоном первоначально именно для решения задач о распространении лучей света, а затем перенесены в механику, где под величинами 𝑝𝑗 и 𝑞𝑗 в уравнениях (2.2.1), (2.2.3)—(2.2.5) понимают обобщённые координаты, а функцию ℋ(𝑝𝑗 , 𝑞𝑗 ) называют гамильтонианом системы [18, 25, 37]. Мы также будем придерживаться этой терминологии, помня при этом, что в волновых задачах функция ℋ(𝑝𝑗 , 𝑞𝑗 ) лишена энергетического смысла. Если 𝑞𝑗 (𝑗 = 1, 2, 3) считать декартовыми координатами и положить ℋ = ℋ(𝒑, 𝒓), то гамильтоновы уравнения характеристик (2.2.3)—(2.2.5) можно представить в векторной форме: 𝑑𝒓 𝜕ℋ = , 𝜕𝒑 𝑑𝜏 𝜕ℋ 𝑑𝜓 =𝒑 , 𝜕𝒑 𝑑𝜏 𝜕ℋ 𝑑𝒑 =− 𝜕𝒓 𝑑𝜏 (2.2.7), 𝑝 = ∇𝜓. (2.2.8) Здесь и ниже под 𝜕𝑓⁄𝜕𝒂 следует понимать вектор ∇𝑎 𝑓 с компонентами {𝜕𝑓⁄𝜕𝛼𝑖 }. 2.2.2 Уравнения лучей и эйконал волны В геометрической оптике лучом принято называть пространственную проекцию 𝑞𝑗 = 𝑞𝑗 (𝜏) характеристики уравнения эйконала (2.1.11). Характеристику 𝑞𝑗 = 𝑞𝑗 (𝜏), 𝑝𝑗 = 𝑝𝑗 (𝜏) в фазовом пространстве {𝑝𝑗 , 𝑞𝑗 } для краткости также иногда называют лучом, а уравнения характеристик именуют при этом уравнениями лучей. Как следует из метода характеристик, использование лучей сводит задачу определения эйконала к квадратурам. Действительно, если известно решение 36 𝒓 = 𝒓(𝜏), 𝒑 = 𝒑(𝜏) уравнений лучей записанных, например, в форме (2.2.7), то интегрирование (2.2.8) даёт 𝜏 𝜓 = 𝜓0 + � 𝒑 𝜏0 𝜕ℋ 𝑑𝜏 . 𝜕𝒑 (2.2.9) Здесь 𝜓 0 ≡ 𝜓(𝜏 0 ) — начальное значение эйконала при 𝜏 = 𝜏 0 , а интеграл вычисляется вдоль луча, т.е. при 𝒓 = 𝒓(𝜏), 𝒑 = 𝒑(𝜏). Параметр 𝜏, изменяющийся вдоль луча и входящий в интеграл (2.2.9), легко связать с длиной дуги 𝜎 луча 𝒓 = 𝒓(𝜏). С одной стороны, из (2.2.7) имеем 𝑑𝑟 2 = 2 (𝜕ℋ ⁄𝜕𝒑) 𝑑𝜏 2 . С другой стороны, 𝑑𝑟 2 = 𝑑𝜎 2 . Следовательно, Рассмотрим частные 𝑑𝜏 = случаи 𝑑𝜎 |𝜕ℋ ⁄𝜕𝒑| дифференциальных уравнений (2.2.10) лучей, конкретизировав вид гамильтониана ℋ(𝒑, 𝒓). Удобная форма записи лучевых уравнений отвечает уравнению эйконала (2.1.11), записанному в виде 1 ℋ = [𝒑2 − 𝑛2 (𝒓)] = 0, 2 (2.2.11) где 𝒑 = ∇𝜓. Тогда из (2.2.7) получим следующие уравнения лучей в гамильтоновой форме: 𝑑𝒓 = 𝒑, 𝑑𝜏 1 𝑑𝒑 = ∇𝑛2 (𝒓). 2 𝑑𝜏 (2.2.12’) (2.2.12’’) Из (2.2.12’) видно, что касательный к лучу вектор 𝑑𝒓⁄𝑑𝜏 параллелен импульсу 𝒑, т.е. градиенту эйконала ∇𝜓. Иными словами, в изотропной среде лучи ортогональны поверхностям равного эйконала 𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, т.е. волновым фронтам. Для эйконала 𝜓 на основании (2.2.9) получаем 𝜏 𝜏 𝜏0 𝜏0 𝜓 = 𝜓 0 + � 𝑝2 𝑑𝜏 = 𝜓 0 + � 𝑛2 [𝑟(𝜏)]𝑑𝜏 , (2.2.13) 37 где учтено, что 𝑝2 = 𝑛2 . Для гамильтониана (2.2.11) параметр 𝜏 связан с длиной дуги луча соотношением следующим из (2.2.10). 𝑑𝜏 = Поэтому привычному выражению 𝑑𝜎 𝑑𝜎 = , 𝑝 𝑛 формула (2.2.13) эквивалентна 𝜎 где 𝑑𝜎 – элемент дуги луча. (2.2.14) 𝜓 = 𝜓 0 + � 𝑛𝑑𝜎 , 𝜎0 более (2.2.15) Другая форма лучевых уравнений отвечает гамильтониану ℋ(𝒑, 𝒓) = 𝑝 − 𝑛(𝑟) = 0, 𝑝 = �𝒑2 (2.2.16) В этом случае 𝜕𝓗⁄𝜕𝒑 = 𝒑/𝑝 , так что |𝜕𝓗⁄𝜕𝒑 | = 1 и параметр 𝜏, согласно (2.2.10), совпадает с диной дуги 𝜎: 𝜏 = 𝜎. Уравнения лучей, соответствующие (2.2.16), находятся из (2.2.7) и имеют вид 𝑑𝒓 𝒑 𝑑𝒑 = , = ∇𝑛, 𝑑𝜎 𝑛 𝑑𝜏 (2.2.17) ∇𝑛 𝑑𝒍 ∇𝑛 = − 𝒍 � 𝒍� ≡ ∇⊥ ln 𝑛, 𝑑𝜎 𝑛 𝑛 (2.2.18) при этом эйконал 𝜓 определяется по формуле (2.2.15). Введя единичный вектор 𝑙 = 𝒑⁄𝑝 = 𝒑⁄𝑛, касательный к лучу, уравнения (2.2.17) можно записать иначе: где учтено, что 𝑑𝑛 𝑑𝜎 𝑑𝒓 = 𝒍, 𝑑𝜎 = 𝒍∇𝑛, и принято обозначение ∇⊥ = ∇ − 𝒍(𝒍∇) для поперечного (по отношению к лучу) градиента. Этой форме лучевых уравнений также отвечает эйконал (2.2.15). Систему дифференциальных уравнений лучей (2.2.12), (2.2.17) или (2.2.18) можно записать в виде одного уравнения второго порядка, если исключить импульс 𝒑 или орт 𝒍. Соответствующие уравнения имеют вид 𝑑2𝑟 1 2 = ∇𝑛 𝑑𝜏 2 2 или 𝑑𝑟 𝑑 �𝑛 � = ∇𝑛 𝑑𝜎 𝑑𝜎 (2.2.19) 38 и в такой форме часто встречаются в литературе. Первое из уравнений (2.2.19) аналогично ньютоновскому уравнению движения материальной точки в силовом поле 𝑈(𝒓) [18]: 1 𝑑2𝑟 𝑭(𝒓) = −∇𝑈(𝒓). = 𝑭(𝒓), 𝑑𝑡 2 𝑚 Это аналогия позволяет переносить результаты траекторных расчётов из механики в геометрическую оптику и обратно. 2.2.3 Кривизна и кручение луча Определим кривизну 𝐾 и кручение 𝜒 луча в неоднородной среде. Для этого воспользуемся формулами Серре-Френе [22], которые описывают эволюцию сопровождающего трёхгранника 𝒍, 𝝂, 𝒃 вдоль луча: 𝑑𝒍 = 𝐾𝝂 𝑑𝜎 𝑑𝝂 = −𝐾𝒍 − 𝜒𝒃, 𝑑𝜎 (2.2.20’) 𝑑𝒃 = 𝜒𝝂. 𝑑𝜎 (2.2.20’’) Здесь 𝝂 – орт нормали к лучу, 𝒃 = [𝒍, 𝝂] – орт бинормали. Из сравнения (2.2.20’) и (2.2.18) следует, что главная нормаль к лучу 𝝂 параллельна вектору ∇⊥ ln 𝑛: 𝐾𝝂 = ∇⊥ ln 𝑛 = ∇⊥ 𝑛 ∇𝑛 ∇𝑛 ∇𝑛 = �𝒍 � 𝒍�� = − 𝒍 �𝒍 �. 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 (2.2.21) Согласно (2.2.21), луч в неоднородной среде изгибается в сторону увеличения показателя преломления (кривизна пространственной кривой всегда положительна, 𝐾 > 0; при этом положительное направление орта 𝝂 соответствует вогнутости кривой). Кривизна луча равна ∇𝑛 ∇𝑛 ∇𝑛 𝐾 = ��𝒍 � 𝒍�� = �� 𝒍�� = � � sin 𝜃 , 𝑛 𝑛 𝑛 (2.2.22) где 𝜃 — острый угол между лучом (ортом 𝒍) и вектором ∇𝑛. Радиус кривизны луча 𝜌 определяется величиной, обратной к (2.2.22): 𝜌 = 1⁄𝐾. Очевидно, в однородной среде (𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, ∇𝑛 = 0) кривизна лучей равна нулю, т.е. лучи представляют собой прямые линии. 39 Нормаль 𝝂 и бинормаль 𝒃 можно выразить через 𝒍, 𝑛 и ∇𝑛 при помощи (2.2.21): 𝝂= 1 1 ∇𝑛 𝑟𝑜𝑡 𝒍 ∇⊥ ln 𝑛 , 𝒃 = [𝒍𝝂] = �𝒍 � = . 𝑛 𝐾 𝐾 𝐾 (2.2.23) В последнем равенстве учтено соотношение 𝑟𝑜𝑡 𝒍 = �𝒍 которое вытекает из условия ∇𝑛 �, 𝑛 (2.2.24) 𝑟𝑜𝑡 (𝒍𝑛) = 𝑟𝑜𝑡 𝒑 = 𝑟𝑜𝑡 ∇𝜓 = 0. Согласно формулам (2.2.20’’) кручение луча 𝜒 равно 𝜒 = −𝒃 𝑑𝝂 𝑑𝒃 =𝝂 = (𝝂, (𝒍∇)𝒃), 𝑑𝜎 𝑑𝜎 (2.2.25) где 𝑑⁄𝑑𝜎 = (𝒍∇) – производная вдоль луча. Подставляя в (2.2.25) выражения (2.2.23) для 𝒃 и 𝝂, получим 𝜒= 1 1 ((𝒍∇)𝒃, ∇⊥ ln 𝑛) = − (𝒃, (𝒍∇)∇⊥ ln 𝑛). 𝐾 𝐾 (2.2.26) Если воспользоваться известной формулой векторного анализа для (𝒍∇)𝒃, то (2.2.25) можно преобразовать к виду 2𝜒 = 𝝂 𝑟𝑜𝑡 𝝂 + 𝒃 𝑟𝑜𝑡 𝒃. (2.2.27) Кручение 𝜒 обращается в ноль для лучей, являющихся плоскими кривыми, как это имеет место в однородных, плоско-слоистых и сферически-слоистых средах, а также в двумерных задачах. Во всех остальных случаях, в том числе и в аксиально-симметричных средах, кручение лучей отлично от нуля, за исключением некоторых направлений. 2.2.4 Начальные условия для лучей. Лучевые координаты Дифференциальные уравнения лучей необходимо снабдить ещё начальными условиями. Естественным начальным условием для траектории луча 𝒓 = 𝒓(𝜏) служит точка выхода луча 𝒓(𝜏 0 ) = 𝒓0 (𝜉, 𝜂) (2.2.28) 40 из поверхности 𝑄, на которой заданы начальные значения (2.1.18) амплитуды и эйконала волны. Кроме точки выхода (2.2.28), необходимо ещё задать направление выхода луча или, что то же самое, начальное значение импульса 𝒑 на исходной поверхности 𝑄. Для уравнения относительно составляющих начального импульса 𝒑(𝜏 0 ) = 𝒑0 (𝜉, 𝜂) можно получить, продифференцировав закон распределения эйконала 𝜓(𝜏 0 ) = 𝜓 0 (𝜉, 𝜂) по 𝜉 и по 𝜂: 𝜕𝜓 0 𝜕𝑟 0 𝒑 = , 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝟎 𝜕𝜓 0 𝜕𝑟 0 𝒑 = . 𝜕𝜂 𝜕𝜂 0 (2.2.29) Третьим соотношением для определения компонент вектора 𝒑𝟎 служит уравнение эйконала (2.1.11), записанное на начальной поверхности 𝑄: (𝒑0 )2 = 𝑛2 (𝒓0 ). (2.2.30) Три уравнения (2.2.29) и (2.2.30) позволяют найти три компоненты начального импульса 𝒑0 . В общем случае выражения для 𝒑0𝑖 весьма велики. Приведём эти значения для простейшего частного случая, когда эйконал 𝜓 0 (𝜉, 𝜂) задан на плоскости 𝑧 = 0. Положив 𝑥 0 = 𝜉, 𝑦 0 = 𝜂, 𝑧 0 = 0, получаем 𝑝𝑥0 𝜕𝜓 0 = , 𝜕𝜉 𝑝𝑦0 𝜕𝜓 0 = , 𝜕𝜂 𝑝𝑧0 2 2 𝜕𝜓 0 𝜕𝜓 0 0 � =± 𝜀 −� � −� � . 𝜕𝜉 𝜕𝜂 (2.2.31) Здесь 𝜀 0 ≡ 𝑛2 (𝑟 0 ), а выбор знака производится в соответствии с направлением распространения волны: берётся знак «+», если волна движется в сторону положительных 𝑧, и знак «–» в противоположном случае. Решение дифференциальных уравнений лучей (2.2.12), удовлетворяющее начальным условиям (2.2.28), (2.2.29), может быть представлено в виде 𝒓 = 𝑹(𝜉, 𝜂, 𝜏), 𝒑 = 𝑷(𝜉, 𝜂, 𝜏). (2.2.32) Здесь параметры 𝜉 и 𝜂 «нумеруют» лучи, покидающие поверхность 𝑄, тогда как параметр 𝜏 (или длина дуги 𝜎) указывает положение точки на фиксированном луче. 41 Рисунок – 2.1 Совокупность величин 𝜉, 𝜂, 𝜏 (или, что эквивалентно, — величин 𝜉, 𝜂, 𝜎) называют лучевыми координатами (рисунок 2.1). В общем случае эти координаты не ортогональны. Лучевыми координатами могут служить также величины 𝜉, 𝜂, 𝜓 [2]. Тогда координатная поверхность 𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 являются волновым фронтом, а координатные линии 𝜉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и 𝜂 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 – лучами. Поэтому координата 𝜓 ортогональна координатам 𝜉 и 𝜂, тогда как 𝜉 и 𝜂 в общем случае не ортогональны. 2.2.5 Семейства лучей и фронтов Уравнение 𝒓 = 𝑹(𝜉, 𝜂, 𝜏) в (2.2.32) определяет семейство (или конгруэнцию) лучей, которое порождается заданным распределением поля на исходной поверхности 𝑟 = 𝑟 0 (𝜉, 𝜂) (рисунок 2.1). Уравнение семейства лучей описывает связь лучевых координат с декартовыми. Если якобиан 𝒟= 𝜕(𝑥,𝑦,𝑧) 𝜕(𝜉,𝜂,𝜏) в рассматриваемой области отличен от нуля, то уравнение 𝒓 = 𝑹(𝜉, 𝜂, 𝜏) может быть однозначно разрешено относительно лучевых координат соответствующих данной точке наблюдения: 𝜉 = 𝜉(𝒓), 𝜂 = 𝜂(𝒓), 𝜏 = 𝜏(𝒓). 𝜉, 𝜂, 𝜏, Начальные условия для эйконала 𝜓 = 𝜓 0 (𝜉, 𝜂) на исходной поверхности 𝑄 определяют в пространстве семейство фазовых фронтов, которое ортогонально семейству лучей 𝒓 = 𝑹(𝜉, 𝜂, 𝜏). Система уравнений, определяющих семейство фазовых фронтов, имеет вид 𝜓(𝜉, 𝜂, 𝜏) = 𝜓 0 (𝜉, 𝜏 𝜂) + � 𝑛2 [ 𝑹(𝜉, 𝜂, 𝜏)]𝑑𝜏 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝜓0 , 𝜏0 𝒓 = 𝑹(𝜉, 𝜂, 𝜏) (2.2.33) 42 Если при фиксированном 𝜓0 из первого уравнения (2.2.33) найти 𝜏 = 𝜏𝜙 (𝜉, 𝜂, 𝜓0 ) и подставить во второе, то для семейства фронтов получим следующее векторное уравнение: 𝑟 = 𝑅�𝜉, 𝜂, 𝜏𝜙 (𝜉, 𝜂, 𝜓0 )� ≡ 𝑟𝜙 (𝜉, 𝜂, 𝜓0 ). (2.2.34) Форма фазовых фронтов (2.2.34) может быть весьма разнообразно и сложной. Следует специально отметить, что начальные условия (2.2.28), (2.2.29) ставятся одновременно для коллектива лучей, покидающих поверхность 𝑄, а не для отдельных траекторий, как это делается в классической механике для траекторий отдельных материальных точек. Эта особенность начальных условий отражает волновой характер задачи: волновому полю соответствуют не одиночные траектории, а семейства, пучки лучей (для того чтобы подчеркнуть отличие от механики, в [25] даже введён термин «когерентные пучки лучей»). Из сказанного вытекает важность исследования семейства лучей – лучевой картины, так как это позволяет определить структуру волнового поля. Семейство лучей 𝒓 = 𝑹(𝜉, 𝜂, 𝜏) в физическом пространстве может иметь, вообще говоря, достаточно сложный вид (см. [14]). Однако в фазовом пространстве {𝒑, 𝒓} или {𝑝𝑗 , 𝑞𝑗 } через каждую точку может проходить только одна фазовая траектория (2.2.32), т.е. фазовые траектории не пересекаются. Трёхмерная гиперповерхность, образованная фазовыми траекториями (2.2.32), в шестимерном фазовом пространстве {𝒑, 𝒓} определяет так называемое лагранжевое многообразие [19]. При гладких начальных условиях это многообразие тоже является гладким. Все особенности лучевой картины (многолучевость, появление каустик, фокусов и т.д.) появляются при проектировании лагранжева многообразия {𝑷(𝜉, 𝜂, 𝜏), 𝑹(𝜉, 𝜂, 𝜏)} на координатное пространство. Отсутствие пересечений фазовых траекторий является следствием теоремы единственности для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями [26]. 43 2.2.6 Принцип Ферма Как известно, теория уравнений Гамильтона — Якоби (2.2.1) тесно связана с классическим вариационным исчислением [17]: решение уравнений вида (2.2.1) эквивалентно отысканию функций, которые отвечают экстремальным значениям функционала ∫ 𝒑(𝜕𝓗⁄𝜕𝒑)𝑑𝜏, т.е. обращают в нуль его первую вариацию: 𝜏2 𝛿 � 𝒑( 𝜏1 𝜏2 𝑛 𝜕𝓗 𝜕ℋ )𝑑𝜏 ≡ 𝛿 � � 𝑝𝑗 𝑑𝜏 = 0. 𝜕𝒑 𝜕𝑝𝑗 𝜏1 𝑗=1 (2.2.35) В механике это соответствует принципу Гамильтона (принципу наименьшего действия), а в геометрической оптики – принципу Ферма. В случае, когда гамильтониан ℋ(𝒑, 𝒓) даётся выражениями (2.2.11) или (2.2.16), принцип Ферма утверждает, что функционал 𝑟𝑏 𝑟𝑏 𝜓(𝑎, 𝑏) = � 𝑛2 𝑑𝜏 = � 𝑛𝑑𝜎 , 𝑟𝑎 𝑟𝑎 (2.2.36) заданный на виртуальных лучах, соединяющих точки 𝑟𝑎 и 𝑟𝑏 , стационарен на траекториях, удовлетворяющих уравнениям (2.2.12) или (2.2.17). Условие стационарности можно записать в виде равенства нулю первой вариации эйконала: 𝛿𝜓(𝑎, 𝑏) = 0. (2.2.37) Уравнения лучей (2.2.19) выступают при этом как уравнения Эйлера для экстремалей функционала (2.2.36), являющихся геодезическими в неевклидовом пространстве с метрикой 𝑑𝑠 2 = 𝑛2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) × (𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 ) [34]. В рассматриваемом подходе принцип Ферма является следствием уравнения эйконала (2.1.11). Разумеется, возможен и иной подход к построению метода геометрической оптики, основанный не на уравнении эйконала (2.1.11), а на принципе Ферма (2.2.37). Тогда уравнение эйконала (2.1.11) вытекает из принципа Ферма. Действительно, если интегралы в (2.2.36) вычислять вдоль экстремалей (лучей), то можно показать [2, 17], что 𝜓 удовлетворяет уравнению эйконала (2.1.11). 44 В элементарных руководствах принцип Ферма до сих пор трактуется как требование минимальности времени, затрачиваемого волной на прохождение пути от 𝑟𝑎 до 𝑟𝑏 . Такая интерпретация пригодна только для недиспергирующих сред, поскольку при наличии дисперсии время распространения сигнала Δ𝑡(𝑎, 𝑏) в общем случае не равно 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⋅ 𝜓(𝑎, 𝑏) [14]. Современная трактовка принципа Ферма (2.2.37) опирается на принцип Гюйгенса – Кирхгофа, т.е. на представление об интерференции волновых возмущений, порождённых первичной волной в точке 𝑎 и попадающих в точку 𝑏 по всем возможным виртуальным траекториям, не обязательно являющимися решениями уравнений характеристик. При такой интерференции вторичных волн существенный вклад в результирующее поле в точке 𝑏 дадут только такие траектории, для которых набег фазы 𝜓(𝑎, 𝑏) отличается от экстремального значения 𝜓�(𝑎, 𝑏) не более, чем 𝜆0 ⁄2. Вклад всех остальных траекторий будет пренебрежимо малым, так как при интерференции волн, сильно отличающихся друг от друга по фазе, происходит практически полное взаимное погашение вторичных волн. Таким образом, вследствие интерференции «выживают» только те виртуальные траектории, которые отвечают эйконалу 𝜓�(𝑎, 𝑏), т.е. подчиняются принципу Ферма. Представление об интерференции волн, отвечающих различным траекториям, было использовано Р. Фейманом при формулировке квантовой механики при помощи континуальных интегралов (интегралов по траекториям) [6, 27]. 2.2.7 Уравнения лучей в криволинейных координатах При конкретных расчётах приходится использовать дифференциальные уравнения лучей в тех или иных криволинейных координатах. Разумеется, переход к криволинейным координатам можно было бы проделать в уравнениях лучей (2.2.12) или (2.2.17), но этот путь сопряжён с довольно громоздкими выкладками. Гораздо легче получить уравнения лучей, если использовать уравнения характеристик в канонической гамильтоновой форме (2.2.3), (2.2.4), 45 которая не изменяется при переходе к произвольной криволинейной системе координат. Наибольший интерес представляют ортогональные криволинейные координаты 𝑞𝑖 , для которых уравнение эйконала (2.1.11) можно представить в виде 3 𝑝𝑗2 1 ℋ(𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 ) = �� 2 − 𝑛2 (𝑞𝑖 )�, 2 ℎ𝑗 (𝑞𝑖 ) 𝑗=1 (2.2.38) где 𝑝𝑗 = 𝜕𝜓⁄𝜕𝑞𝑗 — обобщённые компоненты импульса, а ℎ𝑗 — коэффициенты Ламе координат 𝑞𝑗 (𝑗 = 1, 2, 3). Подставляя гамильтониан (2.2.38) в уравнении характеристик (2.2.3), (2.2.4), получаем уравнения лучей в виде 3 𝜕𝑛 𝑑𝑝𝑖 1 𝜕ℎ𝑗 2 =𝑛 +� 3 𝑝 , 𝜕𝑞𝑖 𝑑𝜏 ℎ𝑗 𝜕𝑞𝑖 𝑗 𝑑𝑞𝑖 1 = 2 𝑝𝑖 , 𝑑𝜏 ℎ𝑖 𝑗=1 при этом эйконал по-прежнему определяется формулой (2.2.13). Если вместо величин криволинейных координатах использовать 𝑝𝑖 𝑝�𝚤 = компоненты 1 1 𝜕𝜓 𝑝𝑖 = , ℎ𝑖 ℎ𝑖 𝜕𝑞𝑖 то уравнения лучей (2.2.39) принимают вид: 1 𝑑𝑞𝑖 = 𝑝�𝚤 , ℎ𝑖 𝑑𝜏 3 𝑑𝑝�𝚤 1 𝜕𝑛 1 𝜕ℎ𝑖 𝜕ℎ𝑖 𝑝�𝚤 = 𝑛 + � �𝑝�𝚤 − 𝑝�𝚤 �. 𝑑𝜏 ℎ𝑖 𝜕𝑞𝑖 ℎ𝑖 ℎ𝑖 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑞𝑗 (2.2.39) импульса в (2.2.40) (2.2.41) 𝑗≠1 Иногда в уравнениях (2.2.41) удобно осуществить переход к направляющим косинусам луча в криволинейной системе координат по формуле 3 В этом случае 𝑝�𝚤 = 𝑛 cos 𝛼𝑖 , � 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼𝑖 = 1 . 𝑖=1 (2.2.42) 46 3 𝑑𝑝�𝚤 𝑑𝛼𝑖 𝜕𝑛 𝑑𝑞𝑗 = −𝑛 sin 𝛼𝑖 + cos 𝛼𝑖 � = 𝑑𝜏 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝜏 𝑑𝜏 𝑗=1 3 𝑑𝛼𝑖 1 𝜕𝑛 + 𝑛 cos 𝛼𝑖 � cos 𝛼𝑖 . = −𝑛 sin 𝛼𝑖 ℎ𝑗 𝜕𝑞𝑗 𝑑𝜏 𝑗=1 (2.2.43) Запишем уравнения лучей (2.2.41) в сферической системе координат 𝑟, 𝜃, 𝜑. Полагая 𝑞1 = 𝑟, 𝑞2 = 𝜃, 𝑞3 = 𝜑 и учитывая, что ℎ1 = 1, ℎ2 = 𝑟, ℎ3 = 𝑟 sin 𝜃, из (2.2.41) получаем где 𝑝�𝑟 = 𝜕𝜓 𝜕𝑟 𝑝�𝜑 𝑑𝑟 𝑑𝜃 1 𝑑𝜑 = 𝑝�𝑟 , = 𝑝�𝜃 , = , 𝑑𝜏 𝑟 𝑑𝜏 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜏 𝜕𝑛 1 2 1 2 𝑑𝑝�𝑟 =𝑛 + 𝑝� + 𝑝� , 𝜕𝑟 𝑟 𝜃 𝑟 𝜑 𝑑𝜏 𝑑𝑝�𝜃 1 𝜕𝑛 = �𝑛 − 𝑝�𝑟 𝑝�𝜃 + 𝑐𝑡𝑔 𝜃 ⋅ 𝑝�𝜑2 �, 𝑟 𝜕𝜃 𝑑𝜏 𝑑𝑝�𝜑 𝜕𝑛 1 = − sin 𝜃 ⋅ 𝑝�𝑟 𝑝�𝜑 − cos 𝜃 ⋅ 𝑝�𝜃 𝑝�𝜑 �, �𝑛 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜑 𝑑𝜏 , 𝑝�𝜃 = 1 𝜕𝜓 𝑟 𝜕𝜃 , 𝑝�𝜑 = 1 𝜕𝜓 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜑 (2.2.44) связаны уравнением эйконала 𝑝�𝑟2 + 𝑝�𝜃2 + 𝑝�𝜑2 = 𝑛2 . (2.2.45) Используя (2.2.45), можно исключить 𝑝�𝜑 из (2.2.44) и тем самым уменьшить число неизвестных. Эта система уравнений определяет траекторию луча 𝑟 = 𝑟(𝜏), 𝜃 = 𝜃(𝜏), 𝜑 = 𝜑(𝜏) и его направление 𝑝�𝑟 = 𝑝�𝑟 (𝜏), 𝑝�𝜃 = 𝑝�𝜃 (𝜏), 𝑝�𝜑 = 𝑝�𝜑 (𝜏) в параметрической форме. Система уравнений, аналогичная (2.2.44), в двумерном случае (𝑝�𝜑 ≡ 0) имеет вид 𝑑𝑟 = 𝑝�𝑟 ; 𝑑𝜏 𝑑𝜃 1 = 𝑝� ; 𝑑𝜏 𝑟 𝜃 𝜕𝑛 1 2 𝑑𝑝�𝑟 =𝑛 + 𝑝� ; 𝜕𝑟 𝑟 𝜃 𝑑𝜏 𝑑𝑝�𝜃 1 𝜕𝑛 = �𝑛 − 𝑝�𝑟 𝑝�𝜃 �. 𝑑𝜏 𝑟 𝜕𝜃 Введя «угол преломления» 𝛼 по формулам 𝑝�𝑟 = 𝑛 cos 𝛼 , из (2.2.46) получим три уравнения 𝑝�𝜃 = 𝑛 sin 𝛼, (2.2.46) 47 𝑑𝑟 = 𝑛 cos 𝛼 ; 𝑑𝜏 𝑑𝜃 1 = 𝑛 sin 𝛼 ; 𝑑𝜏 𝑟 𝑑𝛼 1 𝜕𝑛 𝜕(𝑛𝑟) = � cos 𝛼 − sin 𝛼�. (2.2.47) 𝑑𝜏 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑟 Уравнение для 𝑑𝜃⁄𝑑𝜏 также можно исключить в силу условия (2.2.45). Если 𝛼 ≠ 𝜋⁄2, то поделив уравнения (2.2.47) на первое, получим 𝑑𝜃 1 = 𝑡𝑔 𝛼 ; 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝛼 1 𝜕𝑛 𝜕(𝑛𝑟) 𝑑𝜃 = � − �. 𝑑𝑟 𝑛𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑟 𝑑𝑟 (2.2.48) Эта система определяет траекторию луча в виде уравнения 𝜃 = 𝜃(𝑟). 2.2.8 Другие типы лучей Долгое время кроме «геометрооптических» не было известно никаких других лучей. Ситуация изменилась с появлением геометрической теории дифракции, предложенной Дж.Келлером [2, 4, 28, 33, 35], где наряду с обычными (геометрооптическими) лучами используются дифракционные лучи. Последние описывают дифракционные явления в области геометрической тени за препятствием. Рисунок – 2.2 Рисунок – 2.3 Рисунок – 2.4 Известны два основных типа дифракционных лучей: краевые лучи, источники которых служат ребра (кромки) и острия на телах (рисунок 2.2), и лучи соскальзывания (ползущие лучи), которые «соскальзывают» с поверхности гладкого тела (рисунок 2.3). Кроме того, специфический класс дифракционных лучей образуется при наличии преломляющей границы раздела — дифракционные лучи боковой волны [5, 28, 35] (рисунок 2.4). Наконец, следует упомянуть комплексные лучи — лучи для волн с комплексным эйконалом, с помощью которых можно описать поле в области каустической тени, поле 48 гауссового волнового пучка, поля поверхностных и вытекающих волн и др. (см, например, [7, 15, 28]). После того как лучи того или иного типа введены, с ними можно оперировать, как с обычными, геометрооптическими лучами. В частности, их траектории описываются уравнениями (2.2.12), а поле на этих лучах подчиняется законам геометрической оптики (см. также [14]). Границы области применимости различных форм лучевых методов могут быть установлены на основе критериев, обсуждаемых в [14]. Особенности пространственно-временных лучей, возникающих в задачах распространения нестационарных волн, а также более общий случай лучей в анизотропных нестационарных средах с временной и пространственной дисперсией рассматриваются [14]. Различные виды пространственно-временных лучей (комплексные, краевые и др.), которые связаны с пространственновременной геометрической теорией дифракции, обсуждаются в [21]. 2.3 Обсуждение результатов В данной главе были рассмотрены общие основы геометрической оптики, вывод уравнения эйконала волны, начальные условия и характеристики лучей, а также использование метода Гамильтона для получения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.2.44). Полученная система ОДУ является основой для практической части данной работы – расчёта лучевых траекторий в ионосфере и применение результатов расчёта для нагревных экспериментов на стенде «СУРА». 49 Глава 3. Метод расчёта лучевых траекторий декаметровых радиоволн в ионосфере и его применение 3.1 Метод Гамильтона расчета траекторий лучей В анизотропной среде электромагнитная энергия, вообще говоря, распространяется не в направлении волновой нормали даже в случае плоских волн, а в ином направлении, которое мы называем направлением луча. В неоднородной анизотропной среде энергия следует вдоль криволинейного пути, который мы называем траекторией (путем) луча. Используем принцип Ферма, физический смысл которого заключается в том, что луч траектории радиоволны следует по наикратчайшему пути: 𝛿 � 𝑛𝑑𝑠 = 0 𝑠 где ds есть элемент длины вдоль луча, а δ означает вариацию интеграла. (3.1.1) Для расчета нам требуется система дифференциальных уравнений первого порядка, не обязательно линейных, которая является замкнутой, т.е. имеет вид 𝑑𝑦𝑖 (3.1.2) = 𝑓𝑖 (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, 𝑑𝑥 где х является независимой переменной и каждая производная dyi/dx выражается как функция всех yi. Такая система уравнений может быть проинтегрирована стандартными численными методами, например, методом Рунге-Кутты. В нашем случае, для вычисления траекторий электромагнитной волны в ионосфере рассмотрен трёхмерный случай при использовании принципа Ферма в геоцентрических сферических координатах. Система дифференциальных уравнений, описываемая ниже, была выведена для случая, когда частота сигнала настолько велика, что можно пренебречь геомагнитными эффектами и электронными столкновениями, но когда требуется высокая точность решения задачи распространения в трёхмерной неоднородной ионосфере. 50 Система обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичная системе уравнений (2.2.44), описывающая траекторию луча в удобном для программирования виде, представлена ниже [14, 16]: dr cn dθ cn cos α 2 dϕ cn cos α 3 = , = , = cos α1 , dt re dt re r dt re r sin θ dα1 c   ∂n n  cos α1  cos α 2  ∂n cos α1  cos α 3  ∂n      + , =  − sin α1  +  + dt re  r  sin α1  ∂θ r sin θ  sin α1  ∂ϕ   ∂r r  (3.1.3-3.1.5) (3.1.6) 2  cos α1  ∂n n  sin α 2  ∂n  cos α 3   cos α 2  cos α 3  ∂n  dα 2 c   +  −  +    + n ⋅ ctgθ  = cos α 2  , dt re  r  ∂θ sin α 2  ∂r r  sin α 2   r sin θ  sin α 2  ∂ϕ         cos α1  ∂n n  cos α 3  ∂n dα 3 c   sin α 3 ∂n   +  + . (3.1.7-3.1.8) =  cos α 3  + n ⋅ ctgθ  −  dt re  r  ∂θ  r sin θ ∂ϕ   sin α 3  ∂r r  Здесь принята геоцентрическая система координат r,θ,φ; α1, α2, α3 – углы направляющих косинусов луча; n(r,θ,φ) – показатель преломления; re – радиус Земли. Ось x направлена по местной вертикали вверх, ось y выбрана в плоскости большого круга (плоскость, проходящая через центр Земли и местным направлением на юг), а ось z дополняет оси x и y до правой тройки (направлена на восток). В случае неоднородной изотропной ионосферы показатель преломления ионосферы считается действительным и выражается через электронную концентрацию следующим образом [11]: 𝑒2 𝑁 𝑛 =1− 2 , 4𝜋 𝑚𝜀0 𝑓 2 2 (3.1.9) где e – заряд электрона, m – масса электрона, ε0 – проницаемость свободного пространства, f – частота, N – концентрация электронов. 51 3.2 Описание алгоритма 3.2.1 Блок-схема RT3DIRI Задание начальных условий (частота сигнала, координаты передатчика, точность вычислений, диаграмма направленности, информация о моделях ионосферы) read_ion3D Чтение из модели IRI-2012 значений электронной концентрации RasUg Расчёт значений направляющих косинуса по зенитным и азимутальным углам difur_model3D Описание системы дифференциальных уравнений (3.1.3-3.1.8) calc_rays Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений (3.1.3-3.1. 8). Сохранение результатов в файл mu_dmu3D Расчёт значения показателя преломления в запрашиваемых точках 52 3.2.2 Описание функций программы расчёта лучевых траекторий RT3DIRI. Главная функция, в которой задаются начальные условия для расчёта траекторий: частота радиосигнала, зенитные и азимутальные углы, географические координаты передатчика, точность вычислений. read_ion3D. Функция считывает текстовые файлы с распределением электронной концентрации по высоте, которые были рассчитаны с помощью модели IRI-2012. Входным параметром является имя текстового файла. RasUg. Функция рассчитывает направляющие косинуса луча – начальные условия для интегрирования системы уравнений (3.1.3-3.1.8). difur_model3D. Функция, задающая систему обыкновенных дифференциальных уравнений (3.1.3-3.1.8). calc_rays. Функция, выполняющая интегрирование системы уравнений (3.1.3-3.1.8) методом Рунге-Кутты с учётом начальных условий, и сохранение полученных значений в архивный файл. В процессе работы данной функции вызывается функция mu_dmu3D расчёта коэффициентов рефракции muap, частных производных по высоте dmdh, по широте dmdDLat и по долготе dmdDLon. mu_dmu. Расчёт значений показателя преломления по формуле (3.1.9) для изотропной ионосферы или по формуле (3.6.1) для анизотропной ионосферы (см. п. 3.5), а также значений частных производных показателя преломления по высоте dmdh, по широте dmdDLat и по долготе dmdDLon. Вычисления в промежуточных точках между узлами сетки осуществляются метом интерполяции кубическими сплайнами. 3.3 Нагревный стенд «СУРА» Стенд «СУРА» расположен в Нижегородской области в посёлке Васильсурск (56°8'37.28''N, 46°5'56.57''E). Он предназначен для исследования нелинейных процессов, возникающих в ионосферной плазме под действием мощного коротковолнового радиоизлучения. Кроме того, благодаря тому, что 53 антенная система стенда является приемо-передающей, он может быть использован для активного радиозондирования околоземного пространства и объектов ближнего космоса, а также как радиоастрономический инструмент. Рисунок – 3.1. Антенная система стенда «СУРА» Основу стенда «СУРА» составляют три коротковолновых радиовещательных радиопередатчика мощностью 250 кВт каждый (диапазон частот передатчиков 4-25 МГц) и 144-элементная фазированная антенная решетка размером ~300x300 м2 с полосой рабочих частот 4.3-9.5 МГц (рисунок 3.1). Диаграмма направленности антенной системы представляет собой конус, направленный вверх с углом раскрыва 6 градусов. Эффективная мощность излучения может доходить до 280 МВт. 3.4 Определение границ области плазменных резонансов и оценка высоты отражения мощной радиоволны нагревного стенда «СУРА» методом расчёта лучевых траекторий Ионосфера в общем случае является средой, в которой присутствует дисперсия. На ионограммах, получаемых методом вертикального зондирования ионосферы на ионосферных станциях, строится график зависимости высоты отражения для совокупности частот в предположении, что волна распространяется со скоростью света. Поскольку излучаемая радиоволна не является монохроматической, и обычно всегда содержит некий спектр частот, то её распространение в ионосфере происходит с групповой скоростью, а в точке отражения групповая скорость будет равна нулю. Поэтому и существует проблема определения высоты отражения радиоволны методом вертикального 54 зондирования, которую можно решить с помощью методов математического моделирования распространения декаметровых радиоволн. Рисунок – 3.2. Ионограмма, полученная с помощью ионозонда «Циклон» В качестве исходных данных об ионосфере в нашем распоряжении имеются ионограммы (одна из них приведена на рисунке 3.2 для 22.08.2014 г. 23:10 МСК.), полученные методом вертикального зондирования ионосферы с помощью ионосферной станции «Циклон», которая расположена в Зеленодольском районе Республики Татарстан в деревне Ореховка (55°50′55.65″N, 48°48′29.32″E). С помощью ионограммы можно определить критическую частоту слоя F2 для восстановления высотного распределения электронной концентрации. Поскольку ионосферная станция расположена примерно в 150 км от стенда «СУРА», можно считать, что параметры ионосферы над этими двумя пунктами изменяются очень незначительно, и, таким образом, критические частоты слоя F2 ионосферы можно считать одинаковыми. Для компьютерного моделирования характеристик неоднородной среды, в которой распространяется полуэмпирическую модель ионосфере IRI–2012 [31]. электромагнитная распределения волна, электронной используем концентрации в 55 Рисунок – 3.3. Ионограмма с ионосферной станции «Циклон» и N(h) – профиль, пересчитанный в значения плазменной частоты На рисунке 3.3 представлена ионограмма и высотный профиль электронной концентрации, полученный с помощью модели IRI-2012, пересчитанный в значения плазменной частоты для 22.08.2014 г. 23:10 МСК. с учётом критической частоты foF2 =5.471 МГц. Высотный профиль плазменной частоты был получен с учётом критической частоты foF2. На ионограмме имеются два следа отраженных волн, которые соответствуют обыкновенной и необыкновенной волнам. Значение максимума частоты высотного профиля для обыкновенной волны, которое всегда меньше значения необыкновенной волны в среднем на 0,7 МГц, соответствует критической частоте foF2. Известно, что в ионосфере существуют собственные плазменные волны [10]. Поскольку в ионосфере плотность плазмы N изменяется с высотой z, то для мощной волны с заданной частотой ω существует целый резонансный слой: на нижней границе слоя достигается верхнегибридный резонанс ω=ωUH(zUH), на 56 верхней границе – ленгмюровский резонанс ω=ωL(zL). Частоты этих резонансов определяется следующими формулами:  4πe 2 N (zUH )  + ωH2  , ωUH (zUH ) =  m   12  4πe 2 N ( z L )   , ωL ( z L ) =  m   12 (3.4.1-3.4.2) где e и m – заряд и масса электрона, N(zL) и N(zUH) – плотность плазмы на высоте zL и zUH соответственно, ωH=eH/mc – гиромагнитная частота. Далее, используя модель ионосферы IRI-2012, подставляем значение критической частоты слоя F2 (foF2) в МГц из ионограммы (рисунок 3.2) в форму на веб-странице [31], и получаем распределение электронной концентрации по высоте (от 60 до 500 км) при заданной широте (φ = const) и долготе (λ = const). Рисунок – 3.4. Траектории лучей и ионограмма для 22.08.2014 г. 23:10 МСК. Повторяем это действие для создания трехмерной сетки значений электронной концентрации по высоте (от 60 до 500 км с шагом 1 км), по широте (от 54° до 58° с шагом 0.5°) и по долготе (от 44° до 48° с шагом 0.5°). Получаем модель ионосферы для выбранного момента времени. Повторяем предыдущие 57 действия для всех моментов времени, для которых требуется рассчитать высоту отражения радиоволны и область плазменных резонансов. Получив все модели ионосферы, рассчитываем траектории лучей (диаграмма направленности: зенитные углы от 1° до 6° с шагом 1°, азимутальные углы от 0° до 345° с шагом 15°). На рисунке 3.4 показаны траектории лучей и ионограмма для 22.08.2014 г. 23:10 МСК. На двух верхних рисунках приведены траектории лучей в двух проекциях (левый рисунок – географическая широта – высота, правый рисунок – географическая долгота – высота) и горизонтальной линией показана средняя высота отражения траекторий. Следует отметить, что траектории с малым значением зенитного угла (1°-2°) не отражаются от ионосферы и проходят вверх. На левом нижнем рисунке приведены траектории лучей в проекции географическая долгота – широта, в центре рисунка крупной точкой показано место расположения нагревного стенда «СУРА». На правом нижнем рисунке приведена ионограмма для этого момента времени (22.08.2014 г. 23:10 МСК.), линия чёрного цвета показывает изменение значений плазменной частоты на высотах от 60 до 500 км, рассчитанных по профилю электронной концентрации с помощью модели ионосферы IRI-2012. Вертикальная линия красного цвета на ионограмме показывает значение частоты передатчика нагревного стенда «СУРА», а вертикальная линия чёрного цвета – значение критической частоты ионосферы foF2 для данного момента времени. Для получения границ области плазменных резонансов необходимо найти нижнюю и верхнюю границу высоты. Нижняя граница соответствует той высоте, на которой частота передатчика равна собственной частоте верхнегибридных волн в ионосфере. Верхняя граница соответствует той высоте, на которой частота передатчика равна собственной частоте ленгмюровских волн в ионосфере (см. формулы 3.4.1-3.4.2). 58 Рисунок – 3.5. Распределение частот верхнегибридных и ленгмюровских волн по высоте и границы плазменных резонансов для 22.08.2014 г. 23:10 МСК. Используя модель ионосферы, можно пересчитать распределение электронной концентрации по высоте в распределение верхнегибридных (плазменных) и ленгмюровских частот по высоте (рисунок 3.5). Найдя высоту, на которой частота передатчика равна верхнегибридной частоте, мы находим нижнюю границу высоты плазменных резонансов. Аналогично, найдя высоту, на которой частота передатчика равна ленгмюровской частоте, находим верхнюю границу высоты плазменных резонансов. Далее, получив значения нижних и верхних границ высот плазменных резонансов для выбранных моментов времени, можно получить распределение этих значений по времени от начала до конца работы нагревного стенда «СУРА». 59 Рисунок – 3.6. Результаты расчётов для 7.11.2013 г. Рисунок – 3.7. Результаты расчётов для 22.08.2014 г. 60 На рисунке 3.7 показаны результаты расчётов для 22 августа 2014 года, одного из дней, когда на стенде «СУРА» проводились нагревные эксперименты. Вертикальными красными линиями на верхнем рисунке показаны границы резонансного слоя, а точками показаны средние высоты отражения лучевых траекторий. На нижнем рисунке показано изменение критической частоты ионосферы и частоты передатчика нагревного стенда «СУРА». Шаг по времени равен одной минуте. Из проведённых расчётов можно сделать следующие выводы: • Слой плазменных резонансов расположен на высотах от 250 до 310 км. • Границы высот плазменных резонансов и высоты отражения траекторий уменьшаются с уменьшением частоты передатчика. • С уменьшением критической частоты ионосферы foF2 границы высот плазменных резонансов и высоты отражения траекторий радиоволн увеличиваются. • Толщина резонансного слоя составляет в среднем от 7 до 9 км. • При приближении частоты передатчика к критической частоте ионосферы foF2 происходит увеличение толщины резонансного слоя. • Высота отражения траекторий находится выше примерно на 1÷2 км от верхней границы ленгмюровского резонанса. • При уменьшении критической частоты ионосферы и приближении её к частоте передатчика высота отражения траекторий приближается к верхней границе легмюровского резонанса. Следует отметить, что расчёты были сделаны для одного дня осени 2013 г. (7 ноября 2013 г. в 18:00–22:00 UTC+4) и ещё для семи дней лета 2014 г. (21, 22, 23, 24, 26, 28, 29 августа 2014 г.) в 21:40–00:30 UTC+4, в которые проводились нагревные эксперименты на стенде «СУРА». В общем случае результаты и выводы, приведённые выше, практически совпадают для всех дней нагревных экспериментов августа 2014 г. Небольшое исключение составляют результаты расчётов для 7 ноября 2013 г. (рисунок 3.6), в которых наблюдается меньшая 61 толщина резонансного слоя, равная в среднем от 3 до 5 км. Такое различие может обусловлено разными параметрами ионосферы, которые в свою очередь могут зависеть от времени года (поздняя осень и лето), от разницы между критической частотой ионосферы и частотой передатчика, и от других факторов. 3.5 Оценка влияния работы нагревного стенда «СУРА» распространение радиосигналов радиостанции точного времени РВМ При воздействии на ионосферу мощным на коротковолновым радиоизлучением в ней могут наблюдаться такие процессы, как образование искусственных неоднородностей, искусственное радиоизлучение и оптическое свечение ионосферы и др. На данный момент механизм возникновения неоднородностей изучен не полностью, поскольку их возникновение может быть связано со многими факторами, такими как время суток, время года, солнечная активность (число солнечных пятен, магнитные бури и прочее), вариации магнитного поля Земли, космические лучи, и прочие факторы. Неоднородность в ионосфере может проявляться в уменьшении электронной концентрации в резонансном слое, где происходит активное взаимодействие радиоизлучения нагревного стенда с собственными плазменными волнами в ионосфере (верхнегибридными и ленгмюровскими волнами). Используя данные ракетного эксперимента Келли [10, с.1155], в котором было обнаружено, что возмущения плотности плазмы имеют величину порядка 1%, и не превышают 10%, можно для простоты предположить, что электронная концентрация уменьшается на 10% во всём резонансном слое. Была выбрана радиотрасса «Москва-Казань», в роли передатчика была взята радиостанция точного времени РВМ [36]. Приёмный пункт расположен в Институте физики Казанского федерального университета, а в 170 км от него находится нагревный стенд «СУРА». 62 Рисунок – 3.8. Количество траекторий радиоволн в точке приёма при распространении на радиотрассе «Москва-Казань» Численный эксперимент по расчёту лучевых траекторий был выполнен для трёх частот вещания радиостанции РВМ (5, 10 и 15 МГц) в промежуток времени с 18:00 до 22:00 для 7 ноября 2013 г. с интервалом 20 мин. во время работы нагревного стенда «СУРА» (рисунок 3.8). Были отдельно рассчитаны траектории лучей радиоволн с учётом уменьшения электронной концентрации на 10% и без уменьшения. В качестве модели ионосферы была использована модель IRI-2012 [31] с учётом критической частоты foF2, полученной на ионосферной станции «Циклон». Влияние магнитного поля Земли не учитывалось. 63 Рисунок – 3.9. Количество траекторий, попавших в возмущённую область над стендом «СУРА» при распространении на радиотрассе «Москва-Казань», 7.11.2013 г., 18:00-22:00 МСК. В результате расчётов было установлено, что лишь незначительная часть траекторий (всего 25 траекторий для отдельного момента времени) попали в резонансную область (рисунок 3.9), где мы для простоты предположили, что электронная концентрация уменьшается на 10%. Однако изменение траекторий этих лучей является очень незначительным, и, кроме того, ни одна из траекторий, попавших в резонансную область, не попала в точку приёма как с учётом уменьшения электронной концентрации, так и без учёта уменьшения. 64 Рисунок – 3.10. Траектории лучей на частоте 10 МГц, 7.11.2013 г, 21:00 МСК. Наиболее заметное изменение пути траектории показано на рисунке 3.10. Траектория красного цвета распространяется с учётом уменьшения электронной концентрации, а траектория синего цвета – без учёта уменьшения. Таким образом, с учётом вышеописанных предположений, можно сделать вывод, что работа стенда «СУРА» 7 ноября 2013 г. не повлияла на распространение радиосигналов радиостанции точного времени РВМ. 3.6 Особенности лучевой структуры в анизотропной ионосфере Для магнитоактивной среды показатель преломления выражается через электронную концентрацию следующим образом [8, 9, 16]: n= ± 1− 2v(1 − v ) , 2(1 − v ) − u sin 2 α ± u 2 sin 4 α + 4u(1 − v )2 cos2 α (3.6.1) 65 Подробный вывод этой формулы был приведён в главе 1. Знаки в формуле определяют распространение обыкновенной и необыкновенной волн. Знак «+» соответствует обыкновенной волне, а знак «–» – необыкновенной волне. В формуле (3.6.1) введены обозначения: ω 2p 4π e2 N e2 H 02 ωH2 = = u , = v = ω 2 me2 c 2 ω 2 ω 2 meω 2 (3.6.2) где me – масса электрона, e – заряд электрона, 𝐻0 (𝑟⃗) – напряженность магнитного поля, 𝑁(𝑟⃗)– электронная концентрация, с – скорость света в вакууме. Угол α есть угол между вектором напряженности магнитного поля Земли H0 и волновым �⃗ в данной точке. Справедливо выражение: вектором 𝑘 cos α = 2 ( Н 0 x k x + Н 0 y k y + Н 0 z k z )2 H 02 k 2 (3.6.3) Особенность распространения обыкновенной и необыкновенной волн в анизотропной ионосфере связана с наличием точек фокусировки лучей. Именно в этих точках может также происходить активное взаимодействие радиоизлучения передатчика с собственными плазменными волнами в ионосфере. Рисунок – 3.11. Изменение критических частот и частота передатчика для 28.08.2014 г. Задача расчёта лучевых траекторий была поставлена для нагревных экспериментов на стенде «СУРА» для 28 августа 2014 г., когда частота работы передатчика стенда была выше критической частоты ионосферы (рисунок 3.11). 66 Рисунок – 3.12. Распространение обыкновенной волны 28 августа 2014 г. 22:07 МСК., частота работы стенда 4.41 МГц, критическая частота foF2 равна 4.502 МГц. В результате расчётов для 28 августа 2014 г. во время работы стенда «СУРА» было установлено, что обыкновенная волна отражается от ионосферы только в случаях, когда частота передатчика ниже критической частоты (рисунок 3.12). На рисунке 3.12, показаны траектории лучей и ионограмма для 28.08.2014 г. 22:07 МСК. На двух верхних рисунках и левом нижнем приведены траектории лучей в трёх проекциях. На правом нижнем рисунке приведена ионограмма для этого момента времени (28.08.2014 г. 22:07 МСК.), линия чёрного цвета показывает изменение значений плазменной частоты, рассчитанных по профилю электронной концентрации с помощью модели ионосферы IRI-2012. Вертикальная линия красного цвета на ионограмме показывает значение частоты передатчика нагревного стенда «СУРА», а вертикальная линия чёрного цвета – значение критической частоты ионосферы foF2 для данного момента времени. 67 Рисунок – 3.13. Распространение необыкновенной волны 28 августа 2014 г. 22:07 МСК., частота работы стенда 4.41 МГц, критическая частота foF2 равна 4.502 МГц. Необыкновенная волна отражается гораздо ниже, чем обыкновенная, и не доходит до резонансного слоя в случаях, частота передатчика как меньше, так и больше критической частоты ионосферы foF2 (рисунок 3.13). Эти результаты совпадают с теорией, изложенной, например, в [10], а также с экспериментальными данными – ионограммами с ионосферной станции «Циклон». Точки фокусировки лучей для обыкновенной и необыкновенной волны для 28 августа 2014 г. в промежуток времени с 22:10 по 23:20, когда стенд «СУРА» работал на частотах, выше критических частот ионосферы, обнаружить не удалось. В результате сравнения распространения обыкновенной волны в анизотропной ионосфере, и волны в изотропной ионосфере, где влияние 68 магнитного поля Земли не учитывается, можно заметить, что их пути их траекторий отличаются, но отражаются они в среднем от одной и той же высоты. 3.7 Обсуждение результатов В этой главе была представлена экспериментальная часть работы. Она посвящена вопросу моделирования распространения радиоволн в изотропной и анизотропной ионосфере, созданию методики для решения этой задачи, а также применение полученных программных средств в решении задачи определения высоты отражения мощной радиоволны нагревного стенда «СУРА», оценки влияния работы стенда на распространение радиосигналов радиостанции точного времени РВМ, и получение лучевой структуры в анизотропной ионосфере и поиск точек фокусировки лучей. Получены основные результаты и выводы магистерской диссертации: 1. В результате применения методики моделирования распространения радиоволн на основе численных расчётов было установлено, что границы высот плазменных резонансов и высоты отражения траекторий уменьшаются с уменьшением частоты передатчика; с уменьшением критической частоты ионосферы foF2 границы высот плазменных резонансов и высоты отражения траекторий радиоволн увеличиваются. Толщина резонансного слоя составляет в среднем от 7 до 9 км. При приближении частоты передатчика к критической частоте ионосферы foF2 происходит увеличение толщины резонансного слоя. Высота отражения траекторий находится выше примерно на 1÷2 км от верхней границы ленгмюровского резонанса. При уменьшении критической частоты ионосферы и приближении её к частоте передатчика высота отражения траекторий приближается к верхней границе легмюровского резонанса. 2. Работа нагревного стенда «СУРА» 7 ноября 2013 г. не повлияла на распространение радиосигналов радиостанции точного времени РВМ. 3. Точки фокусировки лучей для обыкновенной и необыкновенной волны для 28 августа 2014 г. 22:10-23:20, когда стенд «СУРА» работал на частотах, выше критических частот ионосферы, обнаружить не удалось. 69 Заключение В работе были представлены основные элементы теории распространения декаметовых радиоволн в ионосфере, теория геометрической оптики и практическая часть по расчёту лучевых траекторий декаметровых радиоволн. Первые две главы настоящей работы описывают вывод формул для показателя преломления ионосферы обыкновенной и необыкновенной радиоволн, и системы дифференциальных уравнений, описывающих траекторию луча для решения задачи моделирования. В третьей главе приведено описание метода расчёта лучевых траекторий, а также представлены результаты численных экспериментов по определению высоты отражения мощной радиоволны нагревного стенда «СУРА», высотных границ резонансного слоя, результаты по оценке влияния работы стенда «СУРА» на распространение сигналов радиостанции точного времени РВМ, а также особенности распространения лучевых траекторий в анизотропной ионосфере. Из практической части работы можно сделать следующие выводы: • Слой плазменных резонансов ионосферы расположен на высотах от 250 до 310 км (для нагревных экспериментов на стенде «СУРА 22 августа 2014 г.). • Границы высот плазменных резонансов и высоты отражения траекторий уменьшаются с уменьшением частоты передатчика. • С уменьшением критической частоты ионосферы foF2 границы высот плазменных резонансов и высоты отражения траекторий радиоволн увеличиваются. • Толщина резонансного слоя составляет в среднем от 7 до 9 км для 22.08.2014 г., и от 3 до 5 км для 7.11.2013 г.. • При приближении частоты передатчика к критической частоте ионосферы foF2 происходит увеличение толщины резонансного слоя. • Высота отражения траекторий находится выше примерно на 1÷2 км от верхней границы ленгмюровского резонанса. 70 • При уменьшении критической частоты ионосферы и приближении её к частоте передатчика высота отражения траекторий приближается к верхней границе легмюровского резонанса. • Работа стенда «СУРА» 7.11.2013 г. не оказала влияния на распространение радиосигналов радиостанции точного времени РВМ. • При работе стенда «СУРА» на частоте, превышающую критическую частоту ионосферы foF2, точки фокусировки лучей обнаружены не были. В дальнейшем планируется провести численные эксперименты по изучению особенностей ракурсного рассеяния декаметровых радиоволн на неоднородностях, возникающих при мощном радиоизлучении нагревного стенда «СУРА». На практике в общем случае расчёт лучевых траекторий может быть также применён для прогнозирования возможности передачи радиосигнала через ионосферу на дальние расстояния на произвольно выбранной радиотрассе, для просчёта помехоустойчивости сигнала, а также для оценки высоты отражения радиоволн и границ высот области плазменных резонансов, на которых происходит резонансное взаимодействие радиоволны передатчика с собственными плазменными волнами ионосферы – верхнегибридными и ленгмюровскими волнами. 71 Список работ автора, опубликованных по теме диссертации 1. Дементьев, В.О. Расчет лучевых траекторий декаметровых радиоволн, распространяющихся / В.О. Дементьев, в трёхмерно–неоднородной И.А. Насыров // Итоговая ионосфере научно-образовательная конференция студентов Казанского федерального университета 2013 года: Сборник статей: Том 2. – Казань: Казан. ун-т, 2013. – С.212. 2. Дементьев, В.О. Оценка высоты отражения и области плазменных резонансов при воздействии на ионосферу мощной радиоволной Ополяризации / В.О. Дементьев, И.А. Насыров // Сборник статей итоговой научно-образовательной конференции студентов КФУ. –Казань: Изд-во Казанского университета, 2014. – в печати. 3. Дементьев, В.О. Определение высоты отражения мощной радиоволны и границ области плазменных резонансов ионосферы методами математического моделирования для нагревных экспериментов на стенде «СУРА» в августе 2014 года / В.О. Дементьев, И.А. Насыров // Сборник статей итоговой научно-образовательной конференции студентов КФУ. – Казань: Изд-во Казанского университета, 2015. – в печати. 4. Дементьев, В.О. Метод определения высоты отражения мощных радиоволн в ионосфере во время проведения нагревных экспериментов на стенде «Сура» / В.О. Дементьев, Когогин Д.А. // XXI Международная научная конференция студентов, фундаментальным наукам аспирантов и молодых «ЛОМОНОСОВ-2014»,секция ученых по «Физика»: Сборник тезисов докладов (Москва, 7–11 апреля 2014 года). – Москва: Издво Физического факультета МГУ, 2014. – С. 193. 5. Когогин, Д.А. Полное электронное содержание, измеренное в ионосфере Земли на сети ГНСС станций, расположенных вдоль геомагнитной широты стенда «Сура» / Д.А. Когогин, В.О. Дементьев // XXI Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по 72 фундаментальным наукам «ЛОМОНОСОВ-2014», секция «Физика»: Сборник тезисов докладов (Москва, 7–11 апреля 2014 года). – Москва: Издво Физического факультета МГУ, 2014. – С. 203. 6. Дементьев, В.О. Расчёт траекторий радиоволн при наличии искусственной неоднородности, созданной мощной радиоволной нагревного стенда «Сура» / В.О. Дементьев, И.А. Насыров // XI Конференция молодых учёных, посвящённая дню космонавтики: Сборник тезисов (9–11 апреля 2014 года, ИКИ РАН), г. Москва, 2014. – С. 26. 7. Дементьев, В.О. Оценка высоты отражения и области плазменных резонансов при воздействии на ионосферу мощной радиоволной / В.О. Дементьев, И.А. Насыров // VI Студенческая научно-практическая конференция «Математическое моделирование и информационные технологии СМИТ 2014» (28-29.04.2014): Сборник тезисов, Казань, 2014. – С. 18. 8. Дементьев, В.О. Определение высоты отражения мощной радиоволны и границ области плазменных резонансов ионосферы методами математического моделирования для нагревных экспериментов на стенде «СУРА» в августе 2014 года / В.О. Дементьев, И.А. Насыров, А.Б. Белецкий, С.М. Грач // Десятая ежегодная конференция «ФИЗИКА ПЛАЗМЫ В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ» (16-20 февраля 2015 г., ИКИ РАН): Сборник тезисов, г. Москва, 2015. – С. 90. 9. Дементьев, В.О. Определение высоты отражения мощной радиоволны и границ области плазменных резонансов ионосферы методами математического моделирования для нагревных экспериментов на стенде «СУРА» в августе 2014 года / В.О. Дементьев, И.А. Насыров // VII Студенческая научно-практическая моделирование и информационные конференция технологии «Математическое СМИТ 2015» (28- 29.04.2015): Сборник тезисов, Казань, 2015. – С. 14. 10. Nasyrov, I.A. Spaced sensor measurements of artificial airglow emission at 630 nm of ionosphere caused by “SURA” facility radiation 2014 in November 2013 73 / Igor Nasyrov, I.A., Savely Grach, Denis Kogogin, Alexey Shindin, Rustam Gumerov, Vladislav Dementiev // C5.1-0030-14 (https://www.cospar- assembly.org/abstractcd/COSPAR-14/abstracts/C5.1-0030-14.pdf), (40th COSPAR Scientific Assembly), Russia, Moscow, 2014. 11. Дементьев, В.О. Моделирование распространения декаметровых радиоволн для трёхмерно-неоднородной ионосферы / В.О. Дементьев, И.А. Насыров // Актуальные проблемы физико-технических и гуманитарных наук: материалы международной научно-технической студенческой конференции (Казань – Зеленодольск, 28-29 ноября 2013 г.). –Казань: Казан. ун-та, 2014. – С.106. 12. Дементьев, В.О. Моделирование распространения радиоволн КВ-диапазона через крупномасштабную ионосферную неоднородность, стимулированную мощной радиоволной / В.О. Дементьев, И.А. Насыров // XXIV Всероссийская научная конференция «Распространение радиоволн» РРВ-24: Труды конференции. Т. III. (Иркутск, 29 июня – 5 июля 2014 г.) – Иркутск, 2014. – С.51. 13. Дементьев, В.О. Моделирование распространения КВ радиоволн при наличии неоднородности, созданной мощной радиоволной нагревного стенда «Сура» / Дементьев В.О., Когогин Д.А., Насыров И.А. // Материалы XI Международной Школы молодых учёных «Физика окружающей среды» им. А.Г. Колесника. – Томск: ТМЛ-Пресс, 2014. – С.63. 74 Список литературы 1. Альперт, Я.Л. Распространение электромагнитных волн и ионосфера / Я.Л. Альперт. — М.: Наука, 1972. — 564 с. 2. Бабич, В. М. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн / Б.М. Бабич, В.С. Булдырев. — М.: Наука, 1972. — 456 с. 3. Болдовская, И.Г. Программа расчёта траекторий луча в изотропной сферически слоистой параболической ионосфере / И.Г. Болдовская, И.Б. Егоров, М.П. Кияновский // Современные проблемы физики. — Серия: Лучевое приближение и вопросы распространения радиоволн. Перевод с английского под редакцией М.П. Кияновского. — М: Наука, Физматлит, 1971. — С. 280 – 283. 4. Боровиков, В. А. Геометрическая теория дифракции / В. А. Боровиков, Б.Е. Кинбер. — М.: Связь, 1978. — 247 с. 5. Бреховских, Л. М. Волны в слоистых средах / Л. М. Бреховских. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 343 с. 6. Буслаев, В. С. Континуальные интегралы и асимптотика решений параболических уравнений при 𝑡 → 0. Приложения к дифракции / В.С. Буслаев // Проблемы матем. физики. — Л.: Изд. ЛГУ, 1967. — № 2. – С. 85. 7. Вей-и, Д. Использование комплексных лучей в задачах рассеяния / Д. Ван Вей-и, Дж. Дешамп // ТИИЭР, 1974. — Т. 62, № 11. – С. 150 8. Гершман, Б.Н. Волновые явления в ионосфере и космической плазме / Б.Н. Гершман, Л.М. Ерухимов., Ю.Я. Яшин. — М.: Наука, 1984. — 392 с. 9. Гинзбург, В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. / В.Л. Гинзбург. — М.: Наука, 1967. — 684 с. 10. Гуревич, А.В. Нелинейные явления в ионосфере / А.В. Гуревич // УФН. – 2007. – Т. 177, №11. — С. 1145–1177. 75 11. Дэвис, К. Радиоволны в ионосфере. Перевод с английского под редакцией А.А. Корчака / К. Дэвис. — М.: Мир, 1973. — 502 с. 12. Зыков, Е.Ю. Исследовательский ионозонд «ЦИКЛОН» Казанского университета и программное обеспечение автоматической обработки ионограмм / Е.Ю. Зыков, О.Н. Шерстюков, А.Д. Акчурин // Гелиогеофизические исследования / Институт прикладной геофизики имени академика Е.К. Федорова. — 2013. — Вып. 4 : Технологии и результаты зондтрования ионосферы и распространения радиоволн. — С. 39 – 46. 13. Калинин, А.В. Распространение декаметровых радиоволн в ионосфере: Практикум. / А.В. Калинин, В.А. Яшнов, Е.Ю. Петров. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2013. – 20 с. 14. Кравцов, Ю. А. Геометрическая оптика неоднородных сред / Ю.А. Кравцов, Ю.И. Орлов. — М.: Наука. Физматлит, 1980. — 304 с. 15. Кравцов, Ю. А. Комплексные лучи и комплексные каустики / Ю.А. Кравцов // Изв. вузов: Радиофизика, 1967. – Т. 10, № 9, 10. – С. 1283. 16. Крюковский, А.С. Методы моделирования распространения коротких радиоволн в ионосферной плазме на основе глобальных распределений электронной концентрации и магнитного поля Земли / А.С. Крюковский, Д.С. Лукин, Е.А. Палкин, Д.В. Растягаев // XXIV Всероссийская научная конференция «Распространение радиоволн» РРВ-24: Труды конференции. Т. III. (Иркутск, 29 июня – 5 июля 2014 г.) — Иркутск, 2014. — С.27-37. 17. Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант.— М.: Мир, 1964. — 830 с. 18. Ландау, Л. Д. Механика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: Наука, 1965. — 204 с. 19. Маслов, В. П., Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики / В.П. Маслов, М.В. Федорюк. — М.: Наука, 1976. – 294 с. 20. Многоцелевой стенд для исследования околоземного и космического пространства (Стенд СУРА) (УСУ СУРА) [Электронный ресурс] / 76 Современная исследовательская инфраструктура Российской Федерации // — 2015. — 15.05. — Режим доступа: http: //www.ckp-rf.ru/usu/73607/. 21. Орлов, Ю. И. Пространственно-временная дифракция импульсов / Ю.И. Орлов // Лекции на V Всесоюзной школе по дифракции и распространению волн (Челябинск, 1979). — В сб.: Прямые и обратные задачи теории дифракции. — М.: Изд. ИРЭ АН СССР, 1979. – С 5. 22. Погорелов, А. В. Лекции по дифференциальной геометрии / А.В.Погорелов. — 4-е изд. — Харьков: Изд. ХГУ, 1967. — 163 с. 23. Рытов, С. М. Модулированные колебания и волны / С.М. Рытов //Труды ФИАН. — 1940. – Т. 2, № 1. – С. 3 24. Рытов, С. М. О переходе от волновой к геометрической оптике / С.М. Рытов // Труды ДАН СССР. — 1938. – Т. 18, № 2. – С. 263. 25. Синг, Дж. Л. Классическая динамика. / Дж. Л. Синг. — М.: Физматгиз, 1963. — 448 с. 26. Степанов, В. В. Курс дифференциальных уравнений. / В.В. Степанов. — 8-е изд. стер. — М.: Физматгиз, 1958. — 468 с. 27. Фейнман, Р. Квантовая механика и интегралы по траекториям. / Р. Фейман, А. Хибс. — М.: Мир, 1968. — 383 с. 28. Фельсен, Л. Квазиоптические явления в дифракции / Л. Фельсен // — В сб.: Квазиоптика. — М.: Мир, 1966. – С. 11. 29. Чёрный, Ф.Б. Распространение радиоволн / Ф.Б. Чёрный. — Изд. 2-е, доп. и переработ. — М.: Сов. радио, 1972. — 464 с. 30. Debay, P. Anwendung der Vektorrechnung auf die Grundlagen der Geometrischen Optik. / P. Debay, A. Sommerfeld, J. Runge // Ann. Phys. — 1911. – V. 35. – P. 277. 31. International Reference Ionosphere – IRI-2012 [Электронный ресурс] / National Aeronautics and Space Administration (NASA) // — 2015. — 01.06. — Режим доступа: http://omniweb.gsfc.nasa.gov/vitmo/iri2012_vitmo.html. 32. Hamilton, W.R. Mathematical Papers / W.R. Hamilton. — Cambridge Univ. Press, pt. 1, 1931; pt.2, 1940. 77 33. James, G. L. Geometrical Theory of Diffraction for Electromagnetic Waves / G.L. James. — Institution of Electrical Engineers: Peter Peregrinus Ltd., 1976. 34. Kline, M. Electromagnetic Theory and Geometrical Optics / M. Kline, I. Kay. — N.-Y.: John Wiley & Sons, 1965. 35. Lewis, R. M. Asymptotic Methods for Partial Differential Equations: The Reduced Wave Equation and Maxwell’s Equations / R.M. Lewis, J.B. Keller — N.-Y.: New York Univ. Res. Rep. EM-194, 1964. 36. RWM [Электронный ресурс] / Википедия // — 2015. — 01.06. — Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/RWM. 37. Synge, J.L. Geometrical Optics. An Introduction to Hamilton’s Method / J.L. Synge — L. — N.-Y.: Cambridge Univ. Press, 1954.

DementievVO MasterDiss

Related documents

Products

Support

DementievVO MasterDiss

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib