202-guruh talabasi otaxonova dinoraning analetik Geometriya fani

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA
MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA YO’NALISHI
202-GURUH TALABASI OTAXONOVA DINORANING
Analetik Geometriya fanidan
KURS ISHI
MAVZU:
Fazoda koordinatalar sistemasini almashtirish
Qabul qildi:__________________
Topshirdi:___________________
Urganch 2021
1
Fazoda koordinatalar sistemasini almashtirish.
Reja:
I. Kirish:
1.1. Koordinatalarni almashtirish
II. Asosiy qism:
2.1. Fazoda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi
2.2. Аffin kооrdinаtаlаrni аlmаshtirish
2.3. Dekаrt kооrdinаtаlаrni аlmаshtirish
III. Xulosa
IV. Ilova
Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
Mustaqil yechish uchun topshiriqlar
2
Kirish: Koordinatalarni almashtirish.
Umumiy boshlang‘ich nuqtaga va bir xil masshtab birligiga ega bo‘lgan o‘zaro
perpendikular va o‘qlar tekislikda dekart koordinatalar sistemasini hosil qiladi. Bu
sistemaning o‘qiga abssissalar o‘qi, o‘qiga ordinatalar o‘qi va ular birgalikda
koordinata o‘qlari deb ataladi. Bunda va o‘qlarning ortlari va bilan belgilanadi. () .
nuqtaga koordinatalar boshi deyiladi, va o‘qlar joylashgan tekislik koordinata
tekisligi deb ataladi va bilan belgilanadi. Tekislik nuqtasining vektoriga nuqtaning
radius vektori deyiladi. Radius vektorning koordinatalariga nuqtaning to‘g‘ri
burchakli dekart koordinatalari deyiladi. Agar bo‘lsa, u holda nuqtaning
koordinatalari kabi belgilanadi, bu yerda soni nuqtaning abssissasi, soni nuqtaning
ordinatasi deb ataladi. Tekislikda sanoq boshiga, musbat yo‘nalishga va masshtab
birligiga ega bo‘lgan o‘q qutb o‘qi, uning sanoq boshi qutb deb ataladi.
Tekislikning qutb bilan ustma-ust tushmaydigan ixtiyoriy nuqtasining holati ikkita
son, qutbdan nuqtagacha bo‘lgan masofa va qutb o‘qi bilan yo‘nalgan kesma
orasidagi burchak bilan aniqlanadi. Bunda masofa qutb radiusi, burchak qutb
burchagi deb ataladi.
Nuqtaning qutb koordinatalaridan dekart koordinatalariga tengliklar bilan o‘tiladi
(1-shakl).
Nuqtaning dekart koordinatalaridan qutb koordinatalariga o‘tish tengliklar orqali
amalga oshiriladi. Bunda burchakning qiymati nuqtaning joylashgan choragiga
qarab, oraliqda tanlanadi.
Koordinatalar-ma’lum tartibda olingan va nuqtaning chiziqdagi, tekislikdagi,
sirtdagi yoki fazodagi vaziyatini harakterlaydigan sonlardir. Nuqtaning
koordinatalari tushunchasidan foydalanib, analitik geometriya fani geometrik
shakllarni algebraik analiz yordamida tekshiradi.
3
Analitik geometriyaning vazifasi: birinchidan geometrik obrazlarni nuqtalarning
geometrik o‘rni deb qarab, shu obrazlarning umumiy xossalariga asosan ularni
tenglamalarini tuzadi va ikkinchidan, tenglamalarning geometrik ma’nosini
aniqlab, bu tenglamalar bilan berilgan geometrik obrazlarni shaklini, xossalarini va
tekislikda yoki fazoda joylashishini o‘rganadi.
Ravshanki, chiziqlar nuqtalarning geometrik o‘rnidir, sirtlarni esa chiziqlardan va
jismlarni sirtlardan tashkil tongan deb qarash mumkin. Shuning uchun geometrik
shakllarni tekislikda yoki fazoda nuqtalarning o‘rni deb qarash mumkin.
Analitik geometriyada nuqtaning chiziqdagi, tekislikdagi va fazodagi o‘rni sonlar
yordamida aniqlanadi. Nuqtaning o‘rnini aniqlovchi sonlar uning koordinatalari
deyiladi.
4
2.1. Fazoda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi
Fazoda nuqtaning o‘rnini aniqlash uchun bir-biri bilan to‘g‘ri burchak hosil qilib
kesishadigan uchta H,Q,R tekisliklarni qaraymiz. Bu tekisliklarni koordinata
tekisliklari deb ataladi. R,Q,R tekisliklar OX,OY,OZ to‘g‘ri chiziqlar bo‘yicha
kesishadi, bu chiziqlar koordinata o‘qlari deyiladi va OX abssissa o‘qi, OY
ordinati o‘qi va OZ applikatalar o‘qi deb ataladi. Bu uch o‘qning kesishgannuqtasi
O koordinatalar boshi deyiladi. Koordinata tekisliklari o‘zaro kesishib fazoni
sakkiz qismga (bo‘lakka) ajratadi. Bu bo‘laklar oktantlar deyiladi.
Bu keltirilgan koordinata sistemasi fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinata
sistemasi deyiladi. Fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinata sistemasini qisqacha
quyidagicha ta’riflash mumkin.
Ta’rif: Fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi,
agar 3ta o‘zaro perpendikulyar uq, ularni kesishgan nuqtasi O va masshtab birligi
berilgan bo‘lsa. Fazoda har qanday nuqtaning o‘rni koordinata sistemasiga
nisbatan 3ta son bilan aniqlanadi. Fazoda biror M nuqta va ma’lum masshtab
birligi berilgan bo‘lsin (ch-4). M nuqtadan koordinata o‘qlariga perpendikulyarlar
tushiramiz va ularni koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarini
R,Q,S bilan belgilaymiz. Agar Z R,Q,S nuqtalar berilgan bo‘lsa S V M nuqtani
topish mumkin. Demak, M nuqtani fazodagi vaziyatini X=OR, Y=OQ va Z=O
S M miqdorlar belgilaydi va ular U M nuqtaning koordinatlari, Q aniqrog‘i x M
nuqtaning abssissasi, U ordinatasi va R A Z aplekatasi deyladi. Agar X fazoda
biror, M (x;u;z) nuqta berilgan bo‘lsa, uni fazodagi vaziyatini quyidagicha
aniqlash mumkin (ch-5) OX o‘qidan x ni topamiz, OY o‘qidan uni topamiz. R
nuqtadan OY o‘qiga parallel qilib, Q nuqtadan OX o‘qiga parallel qilib to‘g‘ri
chiziqlar o‘tkazamiz va ularni kesishgan nuqtasini Q1 bilan belgilaymiz.
O1 nuqtadan OZ o‘qiga parallel qilib uzuq chiziq o‘tkazamiz.
5
SHundan keyin z ni ishorasiga qarab, agar z > 0, bo‘lsa O1dan yuqoriga qarab
Z uzunliga z bo‘lgan O1Z va Z < 0 bo‘lsa O1 dan pastga qarab uzunligi O1Z . Z
kesmi ajratamiz. O1Z kesmani oxirgi Q y nuqtasi biz izlayotgan M nuqtadir.
O M (5;6;3) nuqtani yasaylik: xq5 va uq6 x x kesmalarni topib, ularni
oxiridan
R O1 OX va OY o‘qiga parallel qilib uzuq x y chiziqlar o‘tkazamiz, so‘ngri ularni
r-5 kesishish nuqtasi O1dan OZ o‘qiga parallel qilib uzuq chiziqlar o‘tkazamiz.
Z=3>0, bo‘lganidi. O1 nuqtadan yuqorigi qarab 3 birlik o‘lchaymiz, shu kesmani
oxiri, ya’ni O1M kesma hosil bo‘ladi. Ana shu topilgan M nuqta biz izlayotgan
nuqtadir.
6
2.2. Аffin kооrdinаtаlаrni аlmаshtirish
  
  
Fаzоdа ikkitа O, e1 e2 e3  -eski, O' , e '1 e '2 e '3  -yangi аffin kооrdinаtаlаr
sistemаlаri berilgаn. Fаzоdа iхtiyoriy N nuqtа оlsаk, uning eski sistemаdаgi x, y, z
kооrdinаtаlаr
bilаn, shu nuqtаning yangi sistemаdаgi x' , y ' , z ' kооrdinаtаlаr
оrаsidаgi bоg’lаnishni аniqlаsh kerаk. Yangi kооrdinаtаlаr sistemаsining bоshi O'



nuqtа vа kооrdinаtа vektоrlаri e '1 , e '2 , e '3 eski sistemаgа nisbаtаn berilgаn bo’lsin,
ya’ni:





O O' x0 , y0 , z0   O O'  x0 e1  y0 e2  z0 e3 ,





e1 ' c11 , c21 , c31   e1 '  c11e1  c21e2  c31e3 ,





e2 ' c12 , c22 , c32   e2 '  c12e1  c22e2  c32e3 ,





e3 ' c13 , c23 , c33   e3 '  c13e1  c23e2  c33e3 .
(11)
.
.
.
7-chizma
Vektоrlаrni qo’shishdаgi uchburchаk qоidаsigа ko’rа ON  OO'  O' N , shuning
uchun (7-chizmа)
        
xe1  ye2  ze3  x' e1 ' y' e2 ' z' e3 ' x0e1  y0e2  z0e3 ,
7
(12)

 
(11) dаgi e '1 , e '2 vа e '3 lаrning ifоdаlаrini (12) gа qo’yib, o’ng vа chаp tоmоndаgi
mоs kоeffitsientlаrni tenglаshtirib, quyidаgilаrgа egа bo’lаmiz:
x  c11 x ' c 21 y ' c31 z ' x0 ,
y  c12 x ' c 22 y ' c32 z ' y 0 ,
(13)
z  c13 x ' c 23 y ' c33 z ' z 0 .
N nuqtаning eski sistemаsidаgi kооrdinаtаlаri x, y, z lаr yangi sistemаdаgi
x' , y ' , z '
kооrdinаtаlаr оrqаli (13) fоrmulаlаr оrqаli ifоdаlаnаdi. (13) fоrmulа аffin
kооrdinаtаlаr sistemаsini аlmаshtirish fоrmulаsi deyilаdi. Bu аlmаshtirish
kоeffitsientlаridаn
 c11

C '   c21
c
 31
c13 

c23 
c33 

c12
c22
c32
(14)
mаtritsа tuzilgаn.
  
e '1 , e '2 , e '3 vektоrlarning kооrdinаtаlаridаn tuzilgаn
 c11

C   c12
c
 13
c21
c22
c 23
c31 

c32 
c33 

  
(15)



mаtritsаni оlаylik. Bu mаtritsаni e1 , e2 , e3 eski bаzisdаn e '1 , e '2 , e '3 yangi bаzisgа
o’tish mаtritsаsi deyilаdi. Bu mаtritsаning determinаnti

c11
c12
c13
c21
c31
c22
c32
c23  0
c33
  
e '1 , e '2 , e '3 chiziqli erkli vektоrlаr bo’lsа, u hоldа   0 .
8
(15’)
Аgаr   0 bo’lsа, аlgebrаdаn mа’lum, determinаntning bittа yo’li qоlgаn

 
yo’llаri оrqаli chiziqli ifоdа qilinаdi. Demаk, e '1 , e '2 vа e '3 vektоrlаr kоmplanar
bo’lаdi, bu esа zid nаtijа. (14) vа (15) mаtritsаlаrni sоlishtirib, C ' mаtritsа C
mаtritsаni trаnspоnirlаsh bilаn hоsil qilingаn. Demаk, C ' mаtritsа determinаnti
hаm nоlgа teng emаs.
Shuning uchun (13) tenglаmаni x' , y ' , z ' lаrgа nisbаtаn bir qiymаtli echib, N
nuqtаning yangi kооrdinаtаlаrini shu nuqtаning eski kооrdinаtаlаri оrqаli
ifоdаlаymiz, ya’ni:
x'  a11 x  a12 y  c13 z  a,
y '  a21 x  a22 y  c23 z  b,
z '  a31 x  a32 y  c33 z  c.
(16)
Хususiy hоllаr:
I hоl. Аffin kооrdinаtаlаr sistemаlаrining bоshlаri turli nuqtаlаrdа bo’lib,
bаzis vektоrlаri mоs rаvishdа kоllineаr bo’lsin. (8-chizma)
8-chizma
c11  1, c21  0, c31  0,
c12  0, c22  1, c32  0,
c13  0, c23  0, c33  1,
(17)
(13) vа (17) lаrgа e’tibоr bersаk, ushbu
9
x  x '  x0 ,
y  y' 
y0 ,
z  z '  z0 .
(18)
formulaga ega bo’lfmiz. Bu fоrmulаni kооrdinаtаlаr sistemаsini pаrаllel
ko’chirish fоrmulаsi deyilаdi.
II hоl. Eski vа yangi sistemаlаrning kооrdinаtа bоshlаri bir nuqtаdа bo’lsin,
ya’ni x0  y0  z0  0 bo’lsin, u hоldа (13) dаn
x  с11 x ' с12 y ' c13 z ' ,
y  с21 x ' с22 y ' c23 z ' ,
z  с31 x ' с32 y ' c33 z '.
(19)
fоrmulаgа egа bo’lаmiz.
Bir аffin kооrdinаtаlаr sistemаsini ikkinchi аffin kооrdinаtаlаr sistemаsigа
o’tkаzish fоrmulаsi (13)
x0 , y0 , z 0 , c   (  ,   1,2,3 )
(12) pаrаmetrgа bоg’liq.
10
2.3. Dekаrt kооrdinаtаlаrni аlmаshtirish
Bir to’g’ri burchаkli O, i j k  kооrdinаtаlаr sistemаsidаn ikkinchi dekаrt
kооrdinаtаlаr O' , i' j' k ' sistemаsigа o’tish fоrmulаsi (13) ko’rinishdа bo’lаdi,
chunki to’g’ri burchаkli dekаrt kооrdinаtаlаr sistemаsi аffin kооrdinаtаlаr
sistemаsining хususiy hоli.
  
  
Bu fоrmulаdаgi c   ,   1, 2, 3 kоeffitsientlаr i ' , j ' , k ' birlik vektоrning i , j , k
оrtоnоrmаllаshgаn bаzisgа nisbаtаn kооrdinаtаlаri bo’lаdi:




i '  c11i  c 21 j  c31k ,




j '  c12 i  c 22 j  c32 k ,




k '  c13i  c 23 j  c33 k .
  
Bu tenglikni i , j , k vektоrlаrgа skаlyar ko’pаytirib tоpаmiz:
Tоpilgаn
  

  c21 , cos 

i ' k



cos  i ' i



  
  c11 , cos  i ' j




  
cos  j ' i



  
  c12 , cos  j ' j




  
cos  k ' i



  
  c , cos 
 13
k ' j


qiymаtlаrni
(13)

c ,
 31

  

  c22 , cos 

 j' k



  
  c , cos 
 23
k ' k


fоrmulаgа
qo’ysаk,

c ,
 32


c .
 33

dekаrt
kооrdinаtаlаr
sistemаsini аlmаshtirish fоrmulаsini hоsil qilаmiz.
     
 2
 2
 2
i '   j '  k '  1 , i '  j '  i '  k '  j '  k '  0 ,

11
2
2
2
c11
 c 21
 c31
 1,
c11c12  c21c22  c31c32  0,
2
2
2
c12
 c 22
 c32
 1,
c11c13  c21c23  c31c33  0,
2
13
c
c
2
23
c
2
33
 1.
(20)
c12c13  c22c23  c32c33  0,
To’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini almashtirish.
Endi dekart koordinatalar sistemasini almashtirishga
to’xtaymiz. Bir to’g’ri burchakli dekart koordinatalar
sistemasidan ikkinchi dekart koordinatalar sistemasiga
o’tishda (14.3) formuladan foydalanamiz, lekin o’tish
matritsasining c ij ( i, j  1,2 ) elementlariga qo’shimcha
shartlar qo’yiladi.
 
 
Tekislikda (O, i , j ) - eski (O ' , i , j ) - yangi dekart
30-chizma
koordinatalar sistemasi bo’lsin.



i   c11i  c 21 j



j   c12 i  c 22 j
(15.1)
 
(i ^ i )   bo’lsin, bu yerda ikki hol o’rinli bo’ladi.
1. Eski va yangi koordinatalar sistemasi bir xil yo’nalishga ega (30-chizma).
 
' 
0


(i ^ j )  90   , (i ^ j )  90 0   ,

(6.6) tenglikni navbat bilan i
va
 
( j ^ j )  

j vektorlarga skalyar ko’paytirib
quyidagilarga ega bo’lamiz.
 
' 
 
' 
c11  i   i  cos(i ^ i )  cos 
c21  i   j  cos(i ^ j )  cos(90 0   )  sin 
 
 

c12  j  i  cos( j ^ i )  cos(90 0   )   sin  , c22  cos 
topilgan qiymatlarni (14.3) ga qo’yib,
12
x  x  cos   y  sin   x 0
y  x  sin   y  cos   y 0
(15.2)
Yo’nalishlari bir xil bo’lgan dekart koordinatalar sistemasini almashtirish
formulasiga ega bo’lamiz.
2. Eski va yangi koordinatalar sistemasi turli yo’nalishga ega bo’lsin. (31chizma).
 
 
( j ^ i )  270 0   , (i ^ j )  90 0   ,
 
( j ^ j )  180 0  

Buni e’tiborga olib, (15.1 6.6) ni i
va

j
vektorlarga navbati bilan ko’paytirsak, ushbuga ega
bo’lamiz.
 
 
 
c11  i   i  cos 
c 21  i   j  cos(i ' ^ j )  cos(90 0   )  sin 
 
 
c12  j   i  cos( j ^ i )  cos( 270 0   )  sin  ,
 
 
c 22  j '  j  cos( j ' j )  cos(180 0   )   cos 
31-chizma
Topilgan qiymatlarni (6.4) ga qo’yib,
x  x  cos   y  sin   x0
y  x  sin   y  cos   y 0
(15.3)
Yo’nalishlari har xil bo’lgan dekart koordinatalar sistemasini almashtirish
formulasiga ega bo’lamiz.
(15.2) va (15.3) formulalarni bitta
x  x  cos   y  sin   x0
y  x  sin   y  cos   y 0
(15.4)
formulaga birlashtirish mumkin, bu yerda   1 , yo’nalishlar bir xil bo’lsa   1,
agar har xil bo’lsa   1 ga teng.
Agar (15.5) da x0=y0=0 bo’lsa , u holda
13
x  x  cos   y  sin 
y  x  sin   y  cos 
(15.5)
formulani dekart koordinatalar sistemasini O nuqta atrofida burish formulasi
deyiladi.




1-misol. Ikkita (0, e1 , e2 ) va ( 0, e1, e2 ) affin reperlar berilgan bo’lib, bunda


o(1, 2), e1 (1, 1), e2 (2,  1)
bo’lsin.
N
nuqtaning
eski
reperga
nisbatan
koordinatalari x= 2, y=1 ekanligi ma’lumligini bilgan holda bu nuqtaning yangi
reperga nisbatan x’, y’ koordinatalarini toping.
Yechish Berilgan:
с11  1, c21  1, c12  2, c22  1, x0  1, y0  2. Bu qiymatlarni
(6.4) ga qo’yib quyidagilarga ega bo’lamiz.
x   x  2 y   1
 x   2 y   1

 x   y   1
y  x  y   2
bu sistemani yechib x '  2, y '  0.
Yangi sistemada N nuqtaning koordinatalari x '  2, y '  0.
Orientasiya: Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burilish yo‘nalishi soat
strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, bu vektorlar o‘ng ikkilik, aks holda
chap ikkilik tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifatida biror ikkilik tanlansa, biz
⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗
orientatsiya tanlab olingan deb hisoblaymiz. Bizga {𝑖⃗ , 𝑗⃗ } va {𝑖´
𝑗´ } ortonormal
bazislar berilgan bo'lsin. Bu bazislar yordamida kiritilgan Dekart koordinatalar
sistemasilarini mos ravishda O xy va O 'x'y' bilan belgilaylik. Nuqtaning “eski” va
“yangi” koordinatalari orasidagi bog'lanishni topamiz. “Yangi” koordinatalar
sistemasi markazining “eski” koordinata sistemasidagi koordinatalarini (a, b) bilan
belgilaylik.
14
Fazoda M nuqta berilgan bo‘lib,uning Oxy va O 'x'y' sistemalardagi
koordinatalari mos ravishda (x ,y ) va {x',y') juftliklardan iborat bo'lsin.
Biz quyidagi tengliklarga ega bo`lamiz:
̅̅̅̅̅̅
𝑂
𝑀 = x𝑖̅ + y 𝑗̅ , O 'M = x'𝑖⃗ ' + y ’ 𝑗⃗ ' , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OO′ = a𝑖⃗ + b 𝑗⃗
Har bir vektorni {𝑖⃗ , 𝑗⃗ } bazis orqali ifodalash mumkinligi uchun
⃗𝑖′ = 𝑎11 𝑖⃗ + 𝑎12 𝑗⃗ ,
⃗⃗⃗
𝑗′ = 𝑎21 𝑖⃗ + 𝑎22 𝑗⃗
(1)
munosabatlarni hosil qilamiz. Bu ifodalarni
̅̅̅̅̅ = OO
̅̅̅̅' + ̅̅̅̅̅̅
𝑂𝑀
𝑂′𝑀 , ̅̅̅̅̅̅
𝑂 𝑀 = 𝑥 𝑖⃗ + 𝑦 𝑗⃗
tengliklarga qo‘yib
𝑥 𝑖⃗ + 𝑦 𝑗⃗ =𝑎𝑖⃗ + 𝑏 𝑗⃗ + 𝑎11 𝑥 ′ 𝑖̅ + 𝑎12 𝑥 ′ 𝑗⃗ + 𝑎21 𝑦′𝑖⃗ + 𝑎22 𝑦′ 𝑗⃗
15
tenglikni hosil qilamiz.
Bazis vektorlari {𝑖⃗ , 𝑗⃗ } chiziqli erkli oilani tashkil etganligi uchun
yuqoridagi munosabatdan
x = a11x'+a12y'+a
y=a21x'+a22y'+b
(2)
formulalami olamiz. Endi aij koeffitsientlarni topish uchun ikkita holni qaraymiz.
⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗
Birinchi hol: {𝑖⃗ , 𝑗⃗ } va {𝑖′
𝑗′ } bazislar bir xil orientatsiyaga ega:
Bu holda agar 𝜑 bilan 𝑖⃗ va 𝑖⃗⃗⃗′ vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, 𝑗 va 𝑗⃗ '
vektorlar orasidagi burchak ham 𝜑 ga teng bo‘ladi. Yuqoridagi (1) tengliklarning
har ikkalasini 𝑖⃗ va 𝑗⃗ vektorlarga skalyar ko‘paytirib,
𝑎11 = cos 𝜑 , 𝑎12 = sin 𝜑, 𝑎21 =
− sin 𝜑, 𝑎22 = cos 𝜑
⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗
formulalarni olamiz. Agar {𝑖⃗ , 𝑗⃗ } va {𝑖′
𝑗′ } bazislar har xil orientatsiyaga ega
bo‘lsa, 𝑗⃗ va ⃗⃗⃗
𝑗′ vektorlar orasidagi burchak 𝜋 − 𝜑 ga teng bo'ladi. Bu holda (1)
tengliklarning har birini 𝑖⃗ va 𝑗⃗ vektorlarga skalyar ko'paytirib 𝑎11 = cos 𝜑 ,
𝑎12 = sin 𝜑, 𝑎21 = sin 𝜑, 𝑎22 = − cos 𝜑 formulalarni hosil qilamiz. Bu
formulalarni (2) formulalarga qo‘yib, mos ravishda quyidagi ikkita formulalarni
olamiz:
𝑥 = 𝑥 ′ cos 𝜑 − 𝑦 ′ sin 𝜑 + 𝑎
𝑦 = 𝑥 ′ sin 𝜑 + 𝑦 ′ cos 𝜑 + 𝑏
(3)
Bu holda o’tish determinanti uchun
16
𝑎11
∆= |𝑎
21
𝑎12
𝑎22 | = 1
tenglik o'rinli.
Ikkinchi holda bazislaming orientatsiyalari har xil va koordinatalarni
almashtirish formulalari
𝑥 = 𝑥 ′ cos 𝜑 + 𝑦 ′ sin 𝜑 + 𝑎
{
𝑦 = 𝑥 ′ sin 𝜑 − 𝑦 ′ cos 𝜑 + 𝑏
ko‘rinishda bo'ladi.
Bu holda o‘tish determinanti uchun '
𝑎11
∆= |𝑎
21
𝑎12
𝑎22 | = −1
tenglik o‘rinli bo'ladi. Demak, koordinatalar sistemesini almashtirganimizda o‘tish
matritsasining determinanti musbat bo‘lsa, oriyentatsiya o'zgarm aydi. Agar o‘tish
matritsasining determinanti manfiy bo‘lsa, oriyentatsiya qarama- qarshi
oriyentatsiyaga o‘zgaradi.
17
Koordinatalarni almashtirish. Ikkinchi tartibli chiziqlar klassifikatsiyasi va
ularni kanonik ko’rinishga keltirish
Ko’p hollarda berilgan masala yechimini soddalashtirish, chiziq tenglamasini
ixcham va qulay ko’rinishda yozish uchun berilgan 𝑥𝑂𝑦 Dekart koordinatalar
sistemasidan boshqa bir 𝑥′𝑂′ 𝑦 ′ Dekart koordinatalar sistemasiga o’tishga to’g’ri
keladi. Bunda quyidagi uch hol bo’lishi mumkin.
I-hol. Koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish. Bunda berilgan 𝑥𝑂𝑦
koordinatalar sistemasining boshi 𝑂(0; 0) biror
𝑂′(𝑥0 ; 𝑦0 )
nuqtaga
parallel
ko’chiriladi.
Bunda 𝑂𝑥 va 𝑂𝑦 o’qlarning yo’nalishi va
holati o’zgarmay qoladi va shu sababli bu
yangi hosil bo’lgan sistemani 𝑥′𝑂′ 𝑦 ′ kabi
belgilaymiz (1-chizma).
Bu eski 𝑥𝑂𝑦 sistemadagi 𝑥 va 𝑦 koordinatalar bilan yangi 𝑥′𝑂′ 𝑦 ′ sistemadagi
𝑥′ va 𝑦 ′ koordinatalar orasidagi bog’lanish
𝑥 = 𝑥 ′ + 𝑥0
,
{
𝑦 = 𝑦 ′ + 𝑦0
 x  x  x0
formulalar bilan ifodalanadi.


 y  y  y0
II-hol. Koordinatalar sistemasini burish. 𝑥𝑂𝑦 koordinatalar sistemasining
boshi 𝑂(0; 0) nuqta o’zgarmasdan, 𝑂𝑥 va 𝑂𝑦 o’qlar bir xil 𝛼 burchakka buriladi.
Bunda hosil bo’lgan yangi sistemani 𝑥 ′ 𝑂𝑦 ′ deb belgilaymiz (2-chizma).
18
Bunda eski 𝑥𝑂𝑦 sistemadagi 𝑥 va 𝑦 koordinatalar bilan yangi 𝑥 ′ 𝑂𝑦 ′
sistemadagi 𝑥′ va 𝑦 ′ koordinatalar orasidagi bog’lanish
𝑥 = 𝑥′ cos 𝛼 − 𝑦 ′ sin α
,
{
𝑦 = 𝑥 ′ sin α + 𝑦 ′ cos 𝛼
 x  x cos   y sin 

 y   x sin   y cos 
formulalar bilan ifodalanadi.
III-hol. Koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish va burish. Bunda dastlab
berilgan 𝑥𝑂𝑦 koordinatalar sistemasining boshi 𝑂(0; 0) biror 𝑂′(𝑥0 ; 𝑦0 ) nuqtaga
parallel ko’chiriladi. So’ngra hosil bo’lgan 𝑥′𝑂′𝑦′ sistemaning o’qlari bir xil 𝛼
burchakka buriladi. Natijada yangi hosil bo’lgan sistemada ham koordinata boshi,
ham o’qlar o’zgaradi (3-chizma).
Bunda eski 𝑥𝑂𝑦 sistemadagi 𝑥 va 𝑦 koordinatalar bilan yangi 𝑥′𝑂′𝑦′
sistemadagi 𝑥′ va 𝑦′ koordinatalar orasidagi bo’g’lanish
19
𝑥 ′ = (𝑥 − 𝑥0 ) cos 𝛼 + (𝑦 − 𝑦0 ) sin α
𝑥 = 𝑥′ cos 𝛼 − 𝑦 ′ sin α + 𝑥0
, { ′
{
𝑦 = (𝑥 − 𝑥0 ) sin α + (𝑦 − 𝑦0 ) cos 𝛼
𝑦 = 𝑥 ′ sin α + 𝑦 ′ cos 𝛼 + 𝑦0
 x  ( x  x0 ) cos   ( y  y0 ) sin 
formulalar bilan ifodalanadi.


y


(
x

x
)
sin


(
y

y
)
cos


0
0
𝑥𝑂𝑦 to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida ikkinchi tartibli egri
chiziqlar umumiy holda
𝐴𝑥 2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 2 + 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2 ≠ 0
tenglama
bilan beriladi.
Agar koordinatalar boshini 𝑂(0; 0) nuqtadan boshqa biror nuqtaga parallel
ko’chirsak, yoki 𝑂𝑥
va 𝑂𝑦 o’qlarni biror 𝛼 burchakka burish yoki parallel
ko’chirish va burish orqali yangi koordinatalar sistemasiga o’tsak, u holda berilgan
tenglama quyidagi tenglamalardan biriga keladi:
𝑥2
1.
2.
𝑎2
𝑥2
𝑎2
+
+
𝑦2
= 1.
Bu
holda
tenglama ellipsni ifodalaydi.
= −1.
Bu
holda
tenglamani
𝑏2
𝑦2
𝑏2
birorta
ham
nuqta
𝑂(0; 0)
nuqta
qanoatlantirmaydi. Ya’ni u bo’sh to’plamni ifodalaydi.
𝑥2
3.
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 0.
Bu
tenglamani
holda
faqat
qanoatlantiradi va u ikkita mavhum kesishuvchi to’g’ri chiziqlarni ifodalaydi.
𝑥2
4.
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 0.
Bu
tenglama kesishuvchi bir juft to’g’ri
holda
chiziqlarni ifodalaydi.
𝑥2
5.
6.
𝑎2
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1.
Bu
holda
tenglama giperbolani ifodalaydi.
= 1 => 𝑥 2 = 𝑎2 => 𝑥 = ±𝑎. Bu holda
to’g’ri chiziqlarni ifodalaydi.
20
tenglama bir juft vertikal
𝑥2
7.
𝑎2
= −1 => 𝑥 2 = −𝑎2 . Bu holda
tenglamani birorta ham nuqta
qanoatlantirmaydi.
8. 𝑥 2 = 0 => 𝑥 = 0. Bu holda
tenglama bir juft ustma-ust tushgan
vertikal to’g’ri chiziqlarni ifodalaydi.
9.
𝑦2
𝑏2
= 1 => 𝑦 2 = 𝑏 2 => 𝑦 = ±𝑏. Bu holda
tenglama bir juft gorizontal
to’g’ri chiziqlarni ifodalaydi.
10.
𝑦2
𝑏2
= −1 => 𝑦 2 = −𝑏 2 . Bu holda
tenglamani birorta ham nuqta
qanoatlantirmaydi.
11. 𝑦 2 = 0 => 𝑦 = 0. Bu holda
tenglama bir juft ustma-ust tushgan
gorizontal to’g’ri chiziqlarni ifodalaydi.
12. 𝑦 2 = 2𝑝𝑥. Bu holda
tenglama parabolani ifodalaydi.
ko’rinishdagi umumiy tenglamaning 𝐴, 𝐵 va 𝐶 koeffitsientlaridan tuzilgan
𝐴
∆= |
𝐵
𝐵
| = 𝐴𝐶 − 𝐵2
𝐶
determinanat xarakteristik determinant deyiladi.
Agar
tenglamada ∆> 0 bo’lsa, u holda tenglama elliptik turdagi tenglama
deyiladi va u yuqorida ko’rib o’tilgan 1-3 kanonik tenglamalardan biriga
keltiriladi.
Agar
tenglamada ∆< 0 bo’lsa, u holda tenglamani giperbolik turdagi
tenglmada deyiladi va u yuqorida ko’rib o’tilgan 4-5 kanonik tenglamalardan
biriga keltiriladi.
Agar
tenglamada ∆= 0 bo’lsa, u holda tenglama parabolik turdagi tenglma
deyiladi va u yuqorida ko’rib o’tilgan 6-12 kanonik tenglamalardan biriga
keltiriladi.
21
Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1. Ushbu II tartibli tenglamalar bilan berilgan chiziqlar ko’rinishini aniqlang:
1) 36𝑥 2 + 36𝑦 2 − 36𝑥 − 24𝑦 − 23 = 0;
2) 16𝑥 2 + 25𝑦 2 − 32𝑥 + 50𝑦 − 359 = 0.
Yechish: 1) Tenglamani ko’rinishini o’zgartiramiz:
36𝑥 2 + 36𝑦 2 − 36𝑥 − 24𝑦 − 23 = 0 ⇒
2
⇒ 36(𝑥 2 − 𝑥) + 36 (𝑦 2 − 𝑦) − 23 = 0 ⇒
3
1 2 1
1 2 1
⇒ 36 [(𝑥 − ) − ] + 36 [(𝑦 − ) − ] − 23 = 0 ⇒
2
4
3
9
1 2
1 2
⇒ 36 (𝑥 − ) − 9 + 36 (𝑦 − ) − 4 − 23 = 0 ⇒
2
3
1 2
1 2
1 2
1 2
⇒ 36 (𝑥 − ) + 36 (𝑦 − ) = 36 ⇒ (𝑥 − ) + (𝑦 − ) = 1 ⇒
2
3
2
3
1
1
2
3
2
2
⇒ [𝑥 ′ = 𝑥 − , 𝑦 ′ = 𝑦 − ] ⇒ 𝑥 ′ + 𝑦 ′ = 1.
22
1 1
Demak, berilgan tenglama markazi 𝑀( ; ) nuqtada joylashgan va radiusi
2 3
𝑅 = 1 bo’lgan aylanani ifodalaydi.
2. Berilgan tenglamani ko’rinishini o’zgartiramiz:
16𝑥 2 + 25𝑦 2 − 32𝑥 + 50𝑦 − 359 = 0 ⇒
⇒ 16(𝑥 2 − 2𝑥) + 25(𝑦 2 + 2𝑦) − 359 = 0 ⇒
⇒ 16[(𝑥 − 1)2 − 1] + 25[(𝑦 + 1)2 − 1] − 359 = 0 ⇒
⇒ 16(𝑥 − 1)2 + 25(𝑦 + 1)2 = 400 ⇒
⇒ (𝑥 ′ = 𝑥 − 1, 𝑦 ′ = 𝑦 + 1) ⇒ 16(𝑥 ′ )2 +25(𝑦 ′ )2 = 400 ⇒
2
2
16(𝑥)2 25(𝑦 ′ )2
𝑥′
𝑦′
⇒
+
=1⇒
+
= 1.
400
400
25 16
Demak, berilgan tenglama markazi 𝑀(1; −1) nuqtada joylashgan va yarim
o’qlari 𝑎 = 5, 𝑏 = 4 bo’lgan ellipsni ifodalaydi.
3. Chiziqning ushbu tenglamasi berilgan:
𝑥 2 − 𝑦 2 = 2𝑎(𝑥 − 𝑦 + 𝑎).
Agar 𝑀(𝑎; 𝑎) nuqtani yangi sistemaning boshi deb faraz qilib, yangi o’qlar
uchun koordinata burchaklarining bissektrisalariga parallel bo’lgan chiziqlar qabul
qilinsa, tenglamaning ko’rinishi qanday bo’ladi?
Yechish: Bu masalada yangi sistema boshining eski sistemaga nisbatan
koordinatalari (𝑎; 𝑎) va ikkala sistemaning absissa o’qlari orasidagi burchak 𝛼 =
45° bo’ladi. Shuning uchun ushbu
𝑥 = 𝑥′ cos 𝛼 − 𝑦 ′ sin α + 𝑥0
𝑦 = 𝑥 ′ sin α + 𝑦 ′ cos 𝛼 + 𝑦0
23
formuladan foydalanamiz.
𝑥 = 𝑥 ′ • cos 45° − 𝑦 ′ • sin45° + 𝑎 =
𝑦 = 𝑥 ′ • sin 45° + 𝑦 ′ • cos 45° + 𝑎 =
1
2
1 ′
1
𝑥 • √2 − 𝑦 ′ • √2 + 𝑎
2
2
𝑥 ′ • √2 +
1
2
𝑦 ′ • √2 + 𝑎
yoki
bularni berilgan tenglamaga qo’ysak,
1
1
2
2
( 𝑥 ′ • √2 −
1
1
2
2
𝑦 ′ • √2 + 𝑎)2 − ( 𝑥 ′ • √2 +
𝑦 ′ • √2 + 𝑎 )2 = = 2𝑎(−𝑦 ′ √2 +
𝑎)bo’ladi. Buni soddalashtirib,
(𝑥 ′ √2𝑎)(−𝑦 ′ √2𝑎) = 2𝑎(−𝑦 ′ √2 + 𝑎) yoki 𝑥 ′ 𝑦 ′ = −𝑎2 ni hosil qilamiz.
Mustaqil yechish uchun topshiriqlar
1. 𝐴(3; 1) nuqta, koordinata o’qlarini parallel ko’chirish natijasida hosil
bo’lgan yangi sistemada 𝐴′(2; −1) nuqtaga o’tadi. Dastlabki va ko’chirilgan
koordinatalar sistemasini yasang va 𝐴 nuqtani belgilang.
Javob: 𝑂′(1; 2).
2. Agar koordinata boshi 𝐴(−1; 3) nuqtaga ko’chirilsa, x 2 + y 2 + 2x-6y +
1 = 0 aylana tenglamasi qanday ko’rinishda bo’ladi.
Javob: 𝑥′ 2 + 𝑦′ 2 = 9.
3. Koordinata o’qlarining yo’nalishini ma’lum bir o’tkir burchakka burganda,
𝐴(2; 4) nuqtaning yangi sistemadagi absissasi 4 ga teng bo’ladi. O’sha burchak
topilsin. Ikkala sistema va 𝐴 nuqta yasalsin.
3
Javob: 𝑡𝑔𝜑 = .
4
4. Koordinata boshini ko’chirib
1) 𝑥 2 + 4𝑦 2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 3;
2) 𝑦 2 − 8𝑦 = 4𝑥;
24
3) 𝑥 2 − 4𝑦 2 + 8𝑥 − 24𝑦 = 24; 4) 𝑥 2 + 6𝑥 + 5 = 2𝑦
tenglamalar soddalashtirilsin.
Javob: 1) 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 16;
2) 𝑦 2 = 4𝑥;
3) 𝑥 2 − 4𝑦 2 = 4;
4) 𝑦 = 𝑥 2 .
1
2
5. Nuqtalari bo’yicha 𝑥𝑦 = −4 egri chiziq yasalsin va koordinata o’qlarini
45° ga burib, egri chiziq tenglamasi yangi sistemada yozilsin.
Javob: 𝑥 2 − 𝑦 2 = 8.
6. Quyidagi tenglamalar bilan berilgan egri chiziqlarning ko’rinishini
aniqlang:
1) 16𝑥 2 + 25𝑦 2 + 32𝑥 − 100𝑦 − 284 = 0;
2) 16𝑥 2 − 9𝑦 2 − 64𝑥 − 18𝑦 − 89 = 0;
3) 2𝑦 2 − 𝑥 − 12𝑦 + 14 = 0;
4) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 8𝑦 + 25 = 0;
5) 2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 7 = 0;
6) 𝑥 2 + 2𝑦 2 + 4𝑥 − 8𝑦 + 12 = 0.
7. Koordinata o’qlarini burib, ushbu
1) 5𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 2𝑦 2 = 24; 2) 2𝑥 2 + 4𝑥𝑦 − 𝑦 2 = 12
egri chiziqlarning tenglamalari kanonik ko’rinishga keltirilsin va egri chiziqlar
yasalsin.
Javob: 1)
𝑥2
24
+
𝑦2
4
= 1; 2)
𝑥2
4
−
𝑦2
6
= 1.
25
8. Ushbu: 1) 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 6𝑦 + 25 = 0;
2) 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0 tenglamalar kanonik ko’rinishga keltirilsin
va bu tenglamalar bilan ifodalanuvchi egri chiziqlar yasalsin.
Xulosa
Xulosa qilib aytganda , mazkur kurs ishi fazoda to’g’ri burchakli
koordinatalar sistemasi, koordinatalarni almashtirish , xususan, affin va dekart
koordinatalar sistemalarini almashtirishga bag’ishlangan bo’lib, unda yuqorida
sanab o’tilgan mavzular ilmiy asoslar yordamida yoritib berilgan.
Masalan:
Ortonormal bazis yordamida berilgan koordinatalar sistemasi to ‘g ‘ri burchakli
yoki dekart koordinatalar sistemasi deb ataladi.
26
Teorema. Dekart koordinatalar sistemasida vektoming berilgan bazisdagi
koordinatalari, uning koordinatalar о ‘qlariga tushirilgan proeksiyalari bilan ustmaust tushadi.
⃗⃗⃗ } ortonormal bazis berilgan bo‘lsa, ularning
Isbot. Bizga {𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘
boshlarini О nuqtaga joylashtirib OXYZ koordintalar sistemasini kiritaylik. Agar
𝑎
⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝑥 𝑖 + у 𝑗⃗ + z ⃗⃗⃗𝑘
bo‘lsa, 𝑎
⃗⃗⃗⃗ vektoming boshini koordinata boshiga joylashtirib, uning oxirini M
bilan belgilaymiz. Agar M nuqtaning koordinata o'qlariga ortogonal
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = x𝑖⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = z𝑘
proeksiyalarini А, В, С harflari bilan belgilasak 𝑂𝐴
𝑂 𝐵 = y 𝑗⃗ , ОС
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ kesmalarning
tengliklarni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan ̅̅̅̅
𝑂𝐴, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵 , 𝑂𝐶
kattaliklari mos ravishda x, y, z sonlariga teng bo‘lgani uchun x = prOx 𝑎
⃗⃗⃗ ,
y = prOy 𝑎
⃗⃗⃗ , z = prOz 𝑎
⃗⃗⃗ munosabatlarni hosil qilamiz.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati:
1. Н.Д.Додажонов, М.Ш.Жўраева. Геометрия. 1-қисм, Тошкент.
«Ўқитувчи», 1996 й. (ўқув қўлланма)
2. X.X.Назаров, X.O.Oчиловa, Е.Г.Подгорнова. Геометриядан
масалалар тўплами. 1 ва 2 қисм. Тошкент «Ўқитувчи» 1993, 1997.
(ўқув қўлланма)
3. Baxvalov M. Analitik geometriyadan mashqlar to’plami. Toshkent
UzMU, 2006 y.
4.K.X. Aбдуллаев и другие Геометрия 1-часть. Тошкент,
«Ўқитувчи» 2002й.
5.K.X. Aбдуллаев и другие. Сборник задач по геометрии. Тошкент,
“Ўқитувчи” 2004 г.
27