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Ekinshi tártipli iymek sízíqlardíń ulíwma teńlemesin ápiwayílastíríw (7)

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Ekinshi tártipli iymek sízíqlardíń ulíwma teńlemesin ápiwayílastíríw
1. Ekinshi tártipli iymek sízíqtíń ulíwma teńlemesi hám oní kanonikalíq kórinisine keltiriwde
qollanílatuġín túrlendiriwler. Ekinshi tártipli iymek sízíqtíń (ETIS)) ulíwma teńlemesin tekseriw hám
oní ápiwaylastíríw (kanonik túrge keltiriw) analitikalíq geometriyaníń tiykarġí máseleleriniń biri bolíp
tabíladí. Biz ETIS ulíwma teńlemesin, yaġníy x, y ózgeriwshilerine qarata ekinshi dárejeli teńlemesi
Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F =
0
(3.1)
Kórnisine iye boladí. (3.1) teńlemedegi koefficientlerdiń ózgeriwine qarap,
1. (x − x 0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 =
R 2 sheńberdiń teńlemesi;
2.
x2 y 2
+
=
1 ellipstiń teńlemesi;
a 2 b2
3.
x2 y 2
−
=
1 giperbola teńlemesi;
a 2 b2
4. y 2 = 2 px parabola teńlemesi
(Bul teńlemelerde a > 0, b > 0, p > 0 hám 1,2 teńlemeler ushín a ≥ b ) ETIS kanonik teńlemelerin
aldínġí paragrioplarda kórgen edik.
Tegisliktegi tuwrímúyeshli dekart koordinatalar sistemasínda ekinshi dárejeli algebralíq teńlemesi
menen berilgen sízíqlar ekinshi tártipli algebralíq sízíqlar dep ataladí. Bul jerde A, B, C lardíń keminde
birewi nolden ózgeshe.
Kópshilik waqítlarí ápiwayílíq ushín ekinshi tártipli iymek sízíqtíń (ETIS) ulíwma teńlemesi
a11 x 2 + 2 ⋅ a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 =
0
(3.1’)
kóriniste beriledi, bul jerde a11 , a12 , a22 koefficientleriniń úshewi birden nolge teń emes.
ETIS (3.1) teńlemesi berilgen
bolsa, bul iymek sízíq eń ápiwayí kórniste dep oylaw nadurís,
biraq sonday koordinatalar sistemasí bar bolíp, (3.1) teńleme tablitcadaġí sízíqlardíń birine keledi. (3.1)
teńleme tablitcadaġí sízíqlardíń birine alíp keltiriw ushín tómendegi pikirlewler júrgiziledi:
1) tuwrímúyeshli koordinatalar sistemasín ϕ múyeshke buríw
=
 x x 'cos ϕ − y 'sin ϕ

=
 y x 'sin ϕ + y 'cos ϕ
2) Tuwrí múyeshli koordinatalar sistemasín parallel kóshiriw
x x0 + x '
=

y y0 + y '
=
 x = x′
3) Koordinata kósherleriniń baġítín qarama-qarsí baġítqa ózgertiw: ordinata kósherlerin 
 y = − y′
 x = − x′
 x = − x′
abstcissa kósherin 
eki kósherdi 
 y = y′
 y = − y′
4) Koordinata kósherleriniń atamasín ózgertiw
 x = y′

 y = x′
(3.1’)-túrindegi teńlemeniń dara jaġdaylarí bolíp tabílatuġín
a22 y 2 + a33
= 0, a22 ≠ 0 ,
(3.2)
a22 y 2 + 2a13 x = 0, a22 ≠ 0, a13 ≠ 0 ,
(3.3)
a11 x 2 + a22 y 2 + a33= 0, a11 ≠ 0, a22 ≠ 0 ,
(3.4)
túrindegi teńlemeler keltirilgen teńlemeler dep ataladí. Bunday teńlemeler elementar túrlendiriwler arqalí
kanonikalíq túrge alíp kelinedi.
2. Ekinshi tártipli iymeklikler teńlemesin kanonikalíq túrge alíp keliw tártibi
Meyli tuwrímúyeshli Oxy koordinatalar sistemasínda ekinshi tártipli iymeklik
a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 =
0
(3.5)
teńlemesi menen berilgen bolsín. (3.5) teńleme menen berilgen ETIS joqarída kórsetilgen tiplerdiń biri
túrinde beriliwi múmkin. Buní «ETIS haqqíndaġí tiykarġí teorema» dep atawġa boladí.
Buní dálillew jolí, koordinatalardí túrlendiriw arqalí (3.5) teńlemeni ápiwayí túrge alíp keliw,
sonda iymek sízíqtíń qaysí tipke jatatuġíní aníq boladí.
Haqíyqattanda da, koordinata sistemasí teńlemege baylaníslí bolmaġanlíqtan, teńleme quramalí
bolíwí múmkin. Berilgen iymek sízíq ushín «taqminan» alínġan koordinata sistemasínan «tábiyġíy»
koordinatalar sistemasína ótiw máselesin qaraymíz.
′ ≠ 0 )bolsa, onda x′ ( y ′) tutíwshí aġzaní
Lemma (A). Eger (3.5) teńlemede a11′ ≠ 0 ( a22
koordinata basín parallel kóshiriw arqalí joġaltíwġa boladí.
Dálillew. Koordinatalar sistemasín parallel kóshiriw arqalí túrlendiriw jasaymíz, (eger teńlemede
 a′ 
sízíqlí aġzalar qatnaspasa, bul túrlendiriwdi de jasawdíń keregi joq). Koordinata basín  − 13 ;0  (
 a11′ 
′ 

a′
a′
a23
x′′ − 13 , y′ =
y ′′ ( x=′ x′′, y=′ y ′′ − 23 ).
 0; −
 ) noqatína kóshiremiz. x′ =
′
′ 
a22
a11′
a22

Onda
2
2

 a′ 
a′ 
a11′ x′2 + 2a13′ x′ = a11′  x ′+ 13  − a11′  13  =
a11′ 

 a11′ 
2
 a′ 
 a′ 
a′
a′
2
′ x′′ − 2a13′ 13 = a11′ ( x′′ ) − a11′  13 
a11′ ( x′′ ) − 2a11′ 13 x′′ + a11′  13  + 2a13
a11′
a1′1
 a11′ 
 a11′ 
2
2
yaġníy teńlemede x′ tí tutíwshí aġza joq. (Koordinata basín parallel kóshirgende, yaġníy x= x′ + p , hám
( y= y ′ + q ), x 2 , y 2 -lardíń koefficientleri ózgermeydi). Lemma (A) dálillendi.
Koordinata kósherlerin parallel kóshirip ETIS ulíwma teńlemesi (3.5) ápiwayí túrge alíp keleyik.
ETIS ulíwma teńlemesi (3.5) tegi x, y ornína
x=
x′ + x0 , y =
y ′ + y0
(3.6)
túrlendiriwindegi x, y mánislerin qoyíp taza sistemadaġí ETIS ulíwma teńlemesine iye bolamíz.
′ y ′ + a33
′ =
a11 x′2 + 2a12 x′y ′ + a22 y ′2 + 2a13′ x′ + 2a23
0
(3.7)
Bul jerdegi
′ a=
′ a22 ,
=
a11′ a=
11 , a12
12 , a22
a′ = a x + a y + a ,
 13
11 0
12 0
13
 ′
a23 = a12 x0 + a22 y0 + a23 ,
 a ′ = a x 2 + 2a x y + a y 2 + 2a x + 2a y + a .
11 0
12 0 0
22 0
13 0
23 0
33
 33
(3.8)
(3.5) teńleme menen (3.7) teńlemelerdi salístíríp biz tómendegi juwmaqqa kelemiz. Koordinata
kósherlerin parallel kóshirgende bas bóleginiń koefficientleri ózgerissiz qaladí, tek ġana sízíqlí bólegi
koefficientleri ózgeredi eken.
′ koefficientlerin (3.8) degi ańlatílíwínan paydalaníp, nolge teńep sízíqtíń
(3.7) teńlemede a13′ , a23
orayíníń koordinatalarín tabamíz.
a13′ = a11 x0 + a12 y0 + a13 = 0,

′ = a12 x0 + a22 y0 + a23 = 0.
a23
(3.9)
Kramer qádesinen paydalaíp sistemaníń sheshimlerin aníqlaymíz.
=
x0
a12 a23 − a13 a22
a13 a12 − a11a23
=
, y0
2
a11a22 − a 12
a11a22 − a 212
Bul tabílġan x0 , y0 taza koordinata sistemasíníń O′ orayíníń koordinatalarí.
(3.5) teńleme tómendegi túrge keledi:
′ =
a11 x′2 + 2a12 x′y ′ + a22 y ′2 + a33
0
ETIS ulíwma teńlemesi berilgen (3.5) teńlemege qaraġanda ápiwayí túrge iye boldí.
(3.10)
Lemma (B). Barlíq waqítta xy kóbeymesin tutatuġín aġza joq bolatuġínday etip koordinata
kósherin buríw múmkin.
π

Dálillew. Meyli teńlemede a12 ≠ 0 bolsín. Koordinata kósherlerin ϕ  0 < ϕ <  múyeshke
2

buríw arqalí x′, y ′ taza koordinatalar kiritemiz.
Onda
=
x x′ cos ϕ − y ′ sin ϕ ,
=
y x′ sin ϕ + y ′ cos ϕ .
(3.11)
Bul ańlatpalardí (3.5) ge aparíp koyíp, x′y ′ kóbeymesiniń koeffitcenti 2a12′ tabamíz. Ol
2
=
=
ϕ)
2a12′ 2a22 sin ϕ cos ϕ − 2a11 sin ϕ cos ϕ + 2a12 (cos 2 ϕ − sin
=
( a22 − a11 ) sin 2ϕ + 2a12 cos 2ϕ.
a12 ≠ 0 dep alġanímíz ushín, ϕ múyeshin
a11 − a22
cos 2ϕ
teńligin qanaatlandíratuġínday
2ϕ
= ctg
=
sin 2ϕ
2a12
etip saylap alsaq, onda x′ ⋅ y ′ kóbeyme aldíndaġí koefficient 2a12 = 0 alamíz. Lemma (B). dálillendi.
(3.5) teńlemege lemma(B) daġí (3.11) túrlendiriw formulasíndaġí x, y mánislerin aparíp
qoyġanímízda teńlemedegi koefficientler ushín
a11 + a22
a −a

2
2
+ a12 sin 2ϕ + 11 22 cos 2ϕ ,
a11′ =a11 cos ϕ + 2a12 cos ϕ sin ϕ x′y ′ + a22 sin ϕ = 2
2

a
a
−
a′ =
22
11
sin 2ϕ + a12 cos 2ϕ ,
− a11 cos ϕ sin ϕ + a12 (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) + a22 sin ϕ cos ϕ =
 12
2

a′ =a sin 2 ϕ + 2a cos ϕ sin ϕ + a cos 2 ϕ = a11 + a22 + a sin 2ϕ + a22 − a11 cos 2ϕ ,
11
12
22
12
 22
2
2

a′ a13 cos ϕ − a23 sin ϕ ,
=
 13
a23
′ =
− a13 sin ϕ + a23 cos ϕ ,

′ = a33 .
a33
(3.12)
(3.12) júdá áhmiyetli juwmaq jasawmízġa boladí. Koordinata kósherlerin burġanda (3.11) teńlemedegi
′ koefficientleri (3.5) teńlemeniń a11 , a12 , a22 koefficientleri hám
ETIS ulíwma teńlemesindegi a11′ , a12′ , a22
′ , a33
′ koefficientleri (3.5) teńlemeniń a13 , a23 , a33 koefficientleri
buríw múyeshin ϕ arqalí, al (3.11) a13′ , a23
hám buríw múyeshi ϕ arqalí aníqlanadí.
2
Eskertiw. Eger biz
1
1

a122 +  (a11 − a 22 )  =
A , (a11 + a 22 ) =
B hám
2
2

2
a132 + a23
=
C . Eger A ≠ 0
1
(a11 − a 22 )
a
a12
bolsa, cos α =
, sin α = 2
hám eger A = 0 hám α = 0 hám eger C ≠ 0 cos β = 23 ,
A
C
A
sin β =
a13
hám eger C = 0 hám β = 0 teńliklerin qanaatlandíratuġín α , β múyeshlerin kiritemiz, .
C
a12′ = 0 den tabílġan ϕ múyeshiniń mánisin (3.12) degi basqa koefficientlerdiń mánisin tabíwġa
qollansaq biz (3.12) x′, y ′ ke qarata
′ y ′2 + 2a13′ x′ + 2a23
′ y ′ + a33 =
a11′ x′2 + a22
0
(3.13)
túrine iye boladí dep qarawmízġa boladí. Eger a12 = 0 bolsa, onda bul túrlendiriwdi jasawdíń keregi joq.
Endi (3.13) teńlemedegi a11′ ,
′ koefficientleriniń eń keminde birewi nolьden ózgeshe
a22
′ ≠ 0 bolsín. Onda «A ámelin» qollaníp, yaġníy lemmada(A) da
bolatuġínín kóriwge boladí. Meyli a22
qórsetilgen, koordinata basín parallel kóshiriw ámelin qollaníp, biz teńlemeden y ′ tí tutíwshí aġzaní
joġaltamíz. Solay etip, berilgen ETIS
′ ( y ) + 2a13′′ x + a33
′ =
a11′ ( x ) + a22
0
2
2
(3.14)
(ápiwayílíq ushín jazíwda x, y dep alamíz)
Bul teńlemeden x′′ kósheri simmetriya kósheri ekeni kórinip tur. Biz ETIS eń keminde bir
simmetriya kósherine iye ekinin dálilledik.
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