Конспект по физике, 4 сем

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ДИНАМИКА
Аксиоматические основы динамики
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
d.shimanchuk@spbu.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики — процессов управления
Санкт-Петербург — 2022 г.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
1 / 102
Принцип относительности Галилея I
«Динамика» — это раздел курса «Теоретическая механика», разрабатывающий и изучающий математические модели движения механических систем в их
связи с причинами, которые вызывают эти движения.
Основные математические модели материальных объектов:
материальная точка,
механическая система,
жесткие механические системы и твердые тела.
Определение 1
Система координат, неподвижная в абсолютном пространстве или движущаяся
относительно этого пространства поступательно с постоянной по величине и
направлению скоростью, называется инерциальной системой координат, или
иначе, инерциальной системой отсчета.
Связь между абсолютными и инерциальными координатами материальной
точки (преобразование Галилея):
r = rO (t0 ) + vO (t − t0 ) + Aρ.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
2 / 102
Принцип относительности Галилея II
Для инерциальных систем отсчета выполняются равенства:
ω e = 0, εe = 0 ⇒ A − const.
Связь скоростей точки относительно абсолютной и инерциальной систем координат имеет вид:
va = vO + vr .
Тогда из теоремы Кориолиса следует, учитывая vO = const, что
wa = wr .
Принцип относительности Галилея: Инерциальные системы отсчета с
точки зрения механических движений эквивалентны во всех отношениях или
все законы и аксиомы механики справедливы в любой инерциальной системе координат.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
3 / 102
Аксиомы динамики I
Определение 2
Силой называют причину, которая вызывает возникновение ускорения
материальной точки. Сила — это действие (явление), которое создает ускорение
материальной точки, а через ускорение создает движение этой точки.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
4 / 102
Аксиомы динамики II
w=
d2 r
= 0 ⇒ v = v0 = const.
dt2
Аксиома 1 (первый закон Ньютона или закон инерции)
Если на материальную точку не действует сила в течение времени ∆t, то
точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения
с постоянной по величине и направлению скоростью в течение указанного
времени.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
5 / 102
Аксиомы динамики III
Замечание
Пусть на отрезке времени ∆t материальная точка совершает равномерное
прямолинейное движение со скоростью
v0 = const,
тогда на этом промежутке времени
ρ = ρ0 + v0 (t − t0 ) = ρ(t)
и
d2 ρ
= 0,
dt2
т. е. при таком движении на ∆t отсутствует ускорение.
w=
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
6 / 102
Аксиомы динамики IV
Определение 3
Способность точки сопротивляться изменению ее скорости называется
инертностью точки. Количественная мера инертности материальной точки
называется ее массой.
Свойства массы m:
масса пропорциональна количеству вещества, заключенного в материальной
точке,
масса — это положительная скалярная величина, обладающая свойством
аддитивности,
масса не зависит от движения, а также от условий и обстоятельств, в
которых происходит движение (если только не происходит отделение или
присоединение массы во время движения); в этом смысле она является
постоянной величиной.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
7 / 102
Аксиомы динамики V
Аксиома 2
Произведение массы материальной точки на ее ускорение равно силе, которая
вызывает движение материальной точки:
mw = F.
Следствия
сила — вектор, сонаправленный с ускорением материальной точки;
масса — это коэффициент пропорциональности в зависимости ускорения от
силы (мера инерции);
модуль силы совпадает с модулем ускорения, умноженным на массу;
сила — связанный вектор (связан с материальной точкой, ускорение которой
создает эта сила).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
8 / 102
Аксиомы динамики VI
Второй закон Ньютона
Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей
силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила
действует:
d(mv)
= F.
dt
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
9 / 102
Аксиомы динамики VII
Определение 4
Материальная точка, на которую действует сила и которой эта сила придает
ускорение, называется точкой приложения силы. Прямая, коллинеарная
ускорению точки и проходящая через точку приложения силы, называется
линией действия силы.
В механике принято, что сила — это векторная функция, которая зависит
от положения точки, ее скорости и, быть может, времени, но не зависит от
ускорения точки.
Зависимость силы от координат материальных точек, скоростей и времени,
называется законом изменения силы.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
10 / 102
Аксиомы динамики VIII
Аксиома 3 (третий закон Ньютона)
Если одна материальная точка действует на другую, т. е. дает ей ускорение,
то и вторая точка действует на первую (т. е. также дает ускорение первой
точке).
Силы, приложенные к каждой из точек, равны по величине и направлены вдоль
прямой, соединяющей эти две точки, в противоположные стороны.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
11 / 102
Аксиомы динамики IX
Определение 5
Инерциальное пространство или какая-либо его часть называется силовым
полем, если в каждой точке этого пространства (этой части пространства)
выполняются следующие условия:
в указанной точке определена (задана) сила, которая будет действовать на
материальную точку, помещенную в нее (в указанную точку пространства);
величина силы и ее направление действия зависят от координат точки
пространства, и быть может, времени.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
12 / 102
Аксиомы динамики X
Основные свойства силовых полей:
Силовые поля порождаются материальными объектами. Силовые
воздействия поля на материальные точки, движущиеся в этих полях,
передаются с конечной скоростью (со скоростью света).
Постулируется: силовые поля, возникающие от разных материальных
объектов, а также силовые поля различной природы, возникающие от
одного материального объекта, суммируются.
Движение материальных точек в силовых полях не оказывает влияния на
сами силовые поля, т. е. не меняют этих силовых полей, (классическая
механика не рассматривает процессы, происходящие в силовых полях).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
13 / 102
Аксиомы динамики XI
Аксиома 4 (независимости действия сил)
Если на материальную точку действует несколько сил, то общее ускорение
точки равно векторной сумме ускорений, полученных точкой от действия
каждой силы в отдельности.
Следствие 1
Результат действия одной силы на материальную точку не зависит от того,
оказывают или нет воздействие на эту точку другие силы.
Следствие 2
Действие нескольких сил, приложенных к одной материальной точке, можно
заменить одной силой, равной векторной сумме этих сил:
F=
k
X
Fi .
i=1
Вектор F называется равнодействующей системы сил {Fi }, i = 1, k.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
14 / 102
Аксиомы динамики XII
Определение 6
Механической системой называют совокупность конечного числа материальных
точек, взаимосвязанных между собой таким образом, что движение любой ее
точки зависит от движения хотя бы одной другой точки, входящей в эту
совокупность.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
15 / 102
Аксиомы динамики XIII
Аксиома 5 (принцип детерминированности Ньютона-Лапласа)
Движение механической системы, состоящей из N материальных точек Pν ,
ν = 1, N , однозначно определено, если заданы начальные условия и силы,
которые являются причиной этого движения.
Описанная система аксиом в совокупности с принципом относительности Галилея называется аксиоматикой Ньютона-Галилея.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
16 / 102
Задачи динамики I
Основные задачи динамики:
по заданным (известным) движениям вычислить (определить) силы,
которые эти движения создают (первая или основная задача динамики);
по заданным (известным) силам определить движения механической
системы (вторая или обратная задача динамики).
В частности, динамика изучает условия равновесия механической системы,
т. е. условия таких состояний механической системы, для скоростей точек которой
на промежутке t ∈ [t0 , t1 ] выполняется условие:
vν := 0,
ν = 1, N .
Статикой называется раздел динамики, изучающий состояния равновесия
механической системы.
Задачи статики:
установить условия равновесия механической системы;
привести заданную систему сил к простейшему виду.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
17 / 102
Уравнения Ньютона для свободной механической системы I
Пусть задана механическая система: Pν , mν , ν = 1, N , на которую действует
система сил
Fν , ν = 1, N .
Определение 7
Внутренними силами называются силы взаимодействия между собой точек,
входящих в состав механической системы.
Fν(int) =
N
X
(int)
Fµν
.
µ=1,µ6=ν
Определение 8
Внешними называются силы взаимодействия точек Pν , ν = 1, N , механической
системы с точками внешней среды и силы воздействия внешних силовых полей,
создаваемых материальными объектами, не входящими в состав механической
системы.
.
F(ext)
ν
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
18 / 102
Уравнения Ньютона для свободной механической системы II
Замечание 1
Для механической системы из одной точки все силы внешние.
Определение 9
Механическая система называется замкнутой, если на неё не действуют
внешние силы.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
19 / 102
Уравнения Ньютона для свободной механической системы III
mν
d2 rν
= F(ext)
+ Fν(int) = Fν ,
ν
dt2
(1)
ν = 1, N .
Определение 10
Уравнения (1) называются уравнениями Ньютона или уравнениями
Ньютона-Галилея движения свободной механической системы.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
20 / 102
Уравнения Ньютона для свободной механической системы IV

(int)
(ext)

 mν ẍν = Fxν + Fxν = Fxν ,
(int)
(ext)
mν ÿν = Fyν + Fyν = Fyν ,

(int)
(ext)

mν z̈ν = Fzν + Fzν = Fzν ,
(2)
ν = 1, N .
dvν
drν
Учитывая кинематические соотношения wν =
, vν =
, уравнения (2)
dt
dt
приводятся к системе

ẋν = vxν ,




ẏν = vyν ,



 żν = vzν ,
(3)
(int)
(ext)
mν v̇xν = Fxν + Fxν = Fxν ,



(int)
(ext)


mν v̇yν = Fyν + Fyν = Fyν ,



(int)
(ext)
mν v̇zν = Fzν + Fzν = Fzν , ν = 1, N .
Замечание
Систему (3) можно разделить на две части, которые принято называть
кинематическими и динамическими уравнениями.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
21 / 102
Законы изменения сил I
Законы Кеплера
1
Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится
Солнце (1605 г.).
2
Площади, описываемые за одинаковые промежутки времени
радиус-вектором планеты, вычисленным относительно Солнца, равны
между собой (1601-1602 г.).
3
Квадраты периодов обращения планет по орбите вокруг Солнца относятся
как кубы больших полуосей орбит этих планет (1618 г.):
a3
T12
= 23 .
2
T2
a1
Определение 11
Силовое поле называется центральным, если линии действия сил всех точек
силового поля пересекаются в одной точке. Точка пересечения линий действия
сил называется центром сил. Сила, действующая на материальную точку в
центральном силовом поле, называется центральной.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
22 / 102
Законы изменения сил II
Сила гравитационного притяжения двух материальных точек пропорциональна произведению масс точек, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, направлена по прямой, соединяющей эти точки, против радиусвектора, концом которого служит точка приложения силы, а началом — центр
сил:
m0 m1 r01
F01 = −γ 2
,
r01 r01
где γ = 6.6726 · 10−11 м3 /кг·с2 .
Следствие
Каждая массивная материальная точка создает в пространстве силовое поле,
называемое гравитационным полем, в каждой точке этого поля на массивную
материальную точку действует сила гравитационного притяжения.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
23 / 102
Законы изменения сил III
Сила упругого взаимодействия определяется как сила взаимодействия между
двумя точками, соединенными между собой пружиной жесткости c Н/м.
Закон Гука (1660 г.)
Сила F01 , действующая со стороны пружины на точку P1 , задается формулой
F01 = −c(r01 − l)
r01
,
r01
где l — длина пружины в ненапряженном состоянии.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
24 / 102
Законы изменения сил IV
Закон Кулона (1784 г.)
Сила F01 электростатического воздействия заряженной частицы P0 с зарядом e0
на заряженную частицу P1 с зарядом e1 обратно пропорциональна квадрату
расстояния между точечными зарядами P0 и P1 , направлена по прямой,
соединяющей эти точечные заряды, является отталкивающей силой, если
заряды одного знака, и притягивающей, если заряды имеют разные знаки:
F01 = k
e0 e1 r01
,
2
r01
r01
где k = 8.988 · 109 Н·м2 /Кл2 .
Силу, действующую в каждой точке электрического поля на единичный заряд
e1 , принято называть напряженностью электрического поля и обозначать E. Эта
сила устанавливается из закона Кулона:
E=k
e0
e0 r01
= k 3 r,
2
r01
r01
r
где e0 — заряд источника поля.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
25 / 102
Законы изменения сил V
Определение 12
Сила F, с которой электрическое поле с напряженностью E действует на
заряженную массу m с зарядом e, называется пондеромоторной силой.
Пондеромоторная сила
F = eE.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
26 / 102
Законы изменения сил VI
Сила электромагнитного поля или сила Лоренца (1784 г.)
Сила F, с которой электромагнитное поле действует на заряженную частицу с
зарядом e, задается формулой
e
F = eE + [v, H].
c
где c — скорость света, H — напряженность магнитного поля в той точке
пространства, где находится заряд e.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
27 / 102
Законы изменения сил VII
Определение 13
Сила F называется гироскопической, если она линейно зависит от скорости
точки v и перпендикулярна к v.
Определение 14
Сила F называется диссипативной, если она противодействует движению и
направлена против вектора скорости точки v.
Сила вязкого трения:
Fвт1 = −k1 v,
v
Fвт2 = −k2 v 2 , v > 1м/c,
v
где k1 , k2 — положительные коэффициенты.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
28 / 102
1.1 Движение несвободной механической системы I
Основным отличием несвободных механических систем от свободных является
наличие в несвободных системах совокупности связей, задаваемых кинематическим способом, и отсутствие таких связей в свободных системах. Таким образом,
можно говорить о существовании класса задач, в которых на координаты и/или скорости точек механической системы наложены определенные ограничения
(связи). Связи обусловлены телами, стесняющими свободное движение точек системы.
Будем рассматривать механические системы со связями, которые имеют вид
fα (r1 , . . . , rN , t) = 0,
N
X
(1.1)
α = 1, l.
(aβν (r1 , . . . , rN , t), vν ) + aβ (r1 , . . . , rN , t) = 0,
β = 1, s.
(1.2)
ν=1
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
29 / 102
1.2 Уравнения Ньютона для несвободной механической системы I
Рассмотрим относительно некоторой инерциальной системы отсчета движение
механической системы, состоящий из N материальных точек: Pν , mν , rν , ν = 1, N ,
на которую действует система сил
Fν , ν = 1, N .
Свободное движение механической системы:
m ν wν = F ν ,
(1.3)
ν = 1, N .
Для ускорения точек в случае несвободного движения механической системы
под действием связей (1.1), (1.2) имеем
d2 rν
6= wν .
dt2
d2 rν
= wν + wν0 , ν = 1, N ,
(1.4)
dt2
где wν0 обусловлено влиянием силы, с которой связи действуют на точку Pν .
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
30 / 102
1.2 Уравнения Ньютона для несвободной механической системы I
Пусть Rαν , α = 1, l, R0βν , β = 1, s, – силы, с которыми связи с номерами α и β
действуют на точку Pν , тогда
Rν =
l
X
Rαν +
α=1
s
X
R0βν .
β=1
Силы Rαν и R0βν называются реакциями связей с номерами α и β, а равнодействующая Rν – реакцией системы связей (1.1), (1.2), действующей на точку
Pν .
mν wν0 = Rν ,
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
(1.5)
ν = 1, N .
2022 г.
31 / 102
1.2 Уравнения Ньютона для несвободной механической системы
III
Умножим (1.4) на mν , учитывая (1.3), (1.5), получим
mν
d2 rν
= Fν + Rν ,
dt2
(1.6)
ν = 1, N .
Уравнения (1.6) называются уравнениями Ньютона или уравнениями Ньютона—Галилея несвободных механических систем. В отличие от реакций связей Rν ,
силы Fν (равнодействующая заданных внешних и внутренних сил) называются
активными силами.
Если заданы законы некоторых сил реакций, то их относят к активным силам.
Вообще силы реакций системы связей (1.1), (1.2) являются неизвестными вектоd2 rν
точек Pν , ν = 1, l, удовлетворяют как системе
рами, для которых rν , vν ,
dt2
уравнений (1.6), так и (1.1), (1.2).
Уравнения (1.6) отличаются от уравнений Ньютона для свободной системы
тем, что их правые части содержат Rν — дополнительные неизвестные равнодействующие сил реакций системы связей.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
32 / 102
1.3 Принцип освобождаемости от связей I
Принцип освобождаемости от связей
Действие любой связи на несвободную систему можно заменить силой,
называемой реакцией связи, добавить ее к активным силам, и мыслить
систему освобожденной от той связи, которая эту реакцию создает.
Способы задания связей:
кинематический способ задания связей,
динамический способ задания связей.
Можно сказать, что несвободная механическая система может быть рассмотрена как свободная, которая движется под действием активных сил и реакций
связей.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
33 / 102
1.3 Принцип освобождаемости от связей II
Система уравнений (1.6), (1.1), (1.2) содержит 6N неизвестных функций:
3N координат положений точек Pν системы,
3N компонент векторов равнодействующей реакций связей Rν .
Для определения этих 6N неизвестных задано 3N дифференциальных уравнений и l + s уравнений связей, тогда математическая модель движения имеет
на
m = 6N − (3N + l + s) = 3N − (l + s)
уравнений меньше, чем неизвестных.
Таким образом, основная задача динамики для несвободных систем не может
быть решена, даже если заданы начальные условия, т. е. для математического
описания движений несвободных механических систем имеющейся аксиоматики недостаточно. Однако, если представленную аксиоматику дополнить аксиомой идеальности связей, то это позволит построить m независимых недостающих
соотношений между искомыми величинами.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
34 / 102
2.1 Главный вектор системы сил I
Пусть Fν , ν = 1, N , система равнодействующих сил (активных и реакций связей), действующих на точки системы Pν , ν = 1, N .
Определение 2.1
Вектор
F=
N
X
(1.7)
Fν
ν=1
называется главным вектором системы сил.
Главный вектор системы сил равен главному вектору системы внешних сил:
F=
N
X
ν=1
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
Fν =
N X
ν=1
N
X
F(ext)
.
F(ext)
+ Fν(int) =
ν
ν
ν=1
2022 г.
35 / 102
2.2 Главный момент системы сил I
Определение 2.2
Вектор
(1.8)
mO (F) = [r, F],
где r — радиус-вектор точки приложения силы F относительно точки O,
называется моментом силы F относительно точки O.
Определение 2.3
Проекция вектора mO (F) на ось u, проходящую через точку O, называется
моментом силы F относительно оси u:
(1.9)
mu (F) = (mO (F), e) ,
где e — орт оси u.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
36 / 102
2.2 Главный момент системы сил II
Утверждение. mu (F) не зависит от выбора точки на оси.
M
mu (F) = ([r1 , F], e) = ([r2 , F], e).
([r1 , F], e) − ([r2 , F], e) = ([r1 − r2 , F], e) = 0.
N
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
37 / 102
2.2 Главный момент системы сил III
Определение 2.4
Главным моментом системы сил относительно точки O называется вектор
MO =
N
X
mO (Fν ) =
ν=1
N
X
(1.10)
[rν , Fν ].
ν=1
Главный момент системы сил равен главному моменту системы внешних сил:
MO =
N
X
ν=1
[rν , F(ext)
+ Fν(int) ] =
ν
N
X
(ext)
[rν , F(ext)
] = MO
ν
.
ν=1
Определение 2.5
Главным моментом Mu системы сил относительно оси u называется проекция
на эту ось главного момента MO , где O — произвольная точка оси u.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
38 / 102
2.2 Главный момент системы сил IV
Утверждение. Mu не зависит от выбора точки на оси.
M
Mu = (MO1 , e) = (MO2 , e),
где e — орт оси u.
(MO1 , e) − (MO2 , e) = (MO1 − MO2 , e) =
N
X
([r1ν − r2ν , Fν ], e) = 0.
ν=1
N
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
39 / 102
3.1 Понятие потенциального силового поля и его потенциала для
механической системы I
Определение силового поля было дано ранее (см. слайд 12).
Определение 3.1
Силовым полем, действующим на механическую систему, называется
декартово произведение силовых полей, действующих на каждую материальную
точку, входящую в состав механической системы.
Размерность такого силового поля равна размерности поля, действующего на
материальную точку, увеличенную в N раз, где N — число точек механической
системы. В общем случае размерность равна 3N .
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
40 / 102
3.1 Понятие потенциального силового поля и его потенциала для
механической системы II
Определение 3.2
Силовое поле называется потенциальным, если в нем определена и непрерывно
дифференцируема по совокупности аргументов функция
U = U (x1 , y1 , z1 , . . . , xN , yN , zN , t) = U (r1 , . . . , rN , t) :
сила Fν , ν = 1, N , действующая на точку Pν с координатами xν , yν , zν , связана с
функцией U соотношениями
Fνx =
∂U
∂U
∂U
, Fνy =
, Fνz =
∂xν
∂yν
∂zν
(3.1)
или
(3.2)
Fν = ∇ν U.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
41 / 102
3.1 Понятие потенциального силового поля и его потенциала для
механической системы III
Определение 3.3
Функция U называется силовой функцией поля.
Функция Π = −U называется потенциальной функцией или потенциалом, или
потенциальной энергией силового поля.
Силы, вычисляемые по формулам (3.1) или (3.2), называются потенциальными
силами. Если время t явно не входит в функцию U , то поле называется
стационарным.
Силовая функция или потенциал задаются с точностью до аддитивной постоянной, т. е. если Π1 и Π2 отличаются друг от друга на постоянную величину, то
считается, что это одна и та же функция.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
42 / 102
3.2 Действительные движения, положения, скорости и ускорения
механической системы I
Определение 3.4
Кинематически возможное движение механической системы называется
действительным (истинным) движением, если оно является решением
уравнений, построенных на основе аксиоматики Ньютона—Галилея.
Замечание
Всякое действительное движение является возможным, но не всякое возможное
движение является действительным. В любой момент времени t положение,
скорость и ускорение механической системы, вычисленные на действительном
движении, являются возможными.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
43 / 102
3.2 Действительные движения, положения, скорости и ускорения
механической системы II
Определение 3.5
Положение, скорость и ускорение механической системы, вычисленные на
действительном движении в момент времени t, называются действительными
положением, скоростью и ускорением механической системы в этот момент
времени.
Система уравнений (2.3), (2.4) (см. раздел Кинематика), коэффициенты которой вычислены в действительном положении в фиксированный момент времени,
задает ограничения на действительную скорость механической системы.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
44 / 102
3.3 Действительные линейные перемещения I
Если в определениях 6, 7, 8 (см. раздел Кинематика), заменить возможное
движение действительным, то придем к понятиям действительного перемещения
точки P за время 4t, действительного линейного перемещения точки P за время
4t, действительного линейного перемещения механической системы за время 4t.
Для того, чтобы отличать возможные линейные перемещения от действительных линейных перемещений,введем следующие обозначения для последних:
drν = vν dt — действительные линейные перемещения точки Pν ;
vν — действительная скорость точки Pν ;
{drν }ν=1,N и dξ = [dx1 , dy1 , dz1 , . . . , dxN , dyN , dzN ]∗ – действительное
линейное перемещение механической системы, соответственно, в векторном
и алгебраическом представлении;
dxν , dyν , dzν — декартовы координаты перемещения drν точки Pν ;
dt — промежуток времени, на котором действительные линейные
перемещения рассматриваются.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
45 / 102
3.3 Действительные линейные перемещения II
Используя (2.3), (2.4) (см. раздел Кинематика) и учитывая drν = vν (t)dt, получим уравнения, которые устанавливают ограничения на действительные линейные перемещения:
N
X
(∇ν fα , drν ) +
ν=1
N
X
∂fα
dt = 0,
∂t
(aβν , drν ) + aβ dt = 0,
(3.3)
α = 1, l,
(3.4)
β = 1, s.
ν=1
В матричной форме (3.3), (3.4) представляются в виде
Bdξ + bdt = 0,
(3.5)
∗
∂f1
∂fα
где B — матрица ((l + s) × 3N ), b =
,...,
, a1 , . . . , as — вектор-столбец
∂t
∂t
((l + s) × 1), dξ = [dx1 , dy1 , dz1 , . . . , dxN , dyN , dzN ]∗ — вектор-столбец (3N × 1),
составленный из компонент векторов drν = vν (t)dt, ν = 1, N .
Коэффициенты в (3.3)-(3.5) вычисляются в действительном положении механической системы.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
46 / 102
3.4 Работа потенциальных сил на действительном движении
механической системы I
Определение 3.6
Элементарной работой силы Fν на действительном линейном перемещении drν
за бесконечно малое время dt называется величина
d0 Aν = (Fν , drν ) = Fνx dxν + Fνy dyν + Fνz dzν .
(3.6)
Определение 3.7
Элементарной работой системы сил Fν , ν = 1, N , на действительных линейных
перемещениях механической системы за бесконечно малое время dt называется
величина
N
N
X
X
(Fν , drν ).
(3.7)
d0 A ν =
d0 A =
ν=1
ν=1
Символ d0 указывает на то, что правые части в (3.6) и (3.7) вообще говоря не
являются полными дифференциалами.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
47 / 102
3.4 Работа потенциальных сил на действительном движении
механической системы II
Определение 3.8
Пусть rν , ν = 1, N , — действительное движение механической системы, тогда
функция A(t), определяемая по формуле
A(t) =
Zt
t0
d0 A =
Zt X
N
t0 ν=1
(Fν , drν ) =
Zt X
N
(Fν , vν )dt,
t0 ν=1
называется полной работой системы сил на заданном движении, где vν —
действительная скорость точки Pν .
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
48 / 102
3.4 Работа потенциальных сил на действительном движении
механической системы III
Пусть силы, действующие на механическую систему, потенциальны, тогда
d0 A =
N
X
(∇ν U, drν ) = dU −
ν=1
∂U
dt,
∂t
(3.8)
т. к.
dU =
N X
∂U
ν=1
∂xν
dxν +
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
∂U
∂U
dyν +
dzν
∂yν
∂zν
+
N
X
∂U
∂U
dt =
dt.
(∇ν U, drν ) +
∂t
∂t
ν=1
2022 г.
49 / 102
3.4 Работа потенциальных сил на действительном движении
механической системы IV
Далее, пусть механическая система движется в стационарном потенциальном
∂U
:= 0, следовательно
силовом поле, тогда
∂t
d0 A = dA = dU = −dΠ = −d(Π(ext) + Π(int) ) = −dΠ(ext) − dΠ(int) ,
(3.9)
где Π(ext) — потенциал поля внешних сил, Π(int) — потенциал поля внутренних
сил.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
50 / 102
3.4 Работа потенциальных сил на действительном движении
механической системы V
Таким образом, можно заключить:
1
Элементарная работа потенциальных сил в стационарном силовом поле на любом
действительном линейном перемещении равна дифференциалу потенциала поля,
взятому с обратным знаком (дифференциалу силовой функции, вычисленному на
этом перемещении).
2
Для полной работы потенциальных сил на действительном движении в
стационарном силовом поле
At 0 t 1 =
Zt1
(1)
(1)
(0)
(0)
dU = U (r1 , . . . , rN ) − U (r1 , . . . , rN ),
t0
(0)
(1)
где rν = rν (t0 ), rν = rν (t1 ), ν = 1, N . Полная работа сил в стационарном
потенциальном поле на отрезке времени [t0 , t1 ] не зависит от действительного
движения:
(0)
(0)
(1)
(1)
At0 t1 = Π(r1 , . . . , rN ) − Π(r1 , . . . , rN ) = Π0 − Π1 .
3
При перемещении точек механической системы по замкнутым траекториям из
(0)
(1)
одного положения {rν }ν=1,N в момент t0 в то же самое положение {rν }ν=1,N в
момент t1 в стационарном потенциальном поле полная работа сил равна нулю и не
зависит от траекторий, по которым совершается движение.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
51 / 102
3.5 Элементарная работа системы сил, приложенных к телу I
(ext)
(int)
равнодействующая всех сил, приложенных к точке
+ Fν
Пусть Fν = Fν
Pν тела.
Если в твердом теле выбрать произвольный полюс O, тогда скорость точки Pν
тела относительно абсолютного пространства может быть определена по формуле
Эйлера:
vν = vO + [ω, rν ],
где vO — скорость полюса O, ω — угловая скорость твердого тела. Тогда действительное линейное перемещение точки Pν тела определяется выражением
drν = (vO + [ω, rν ])dt.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
52 / 102
3.5 Элементарная работа системы сил, приложенных к телу II
Для элементарной работы равнодействующей Fν запишем
d0 A ν =
= (Fν , vO + [ω, rν ])dt = (Fν , vO )dt + (Fν , [ω, rν ])dt =
= (Fν , vO )dt + ([rν , Fν ], ω)dt.
Отсюда для элементарной работы систем сил, действующей на точки твердого
тела, получаем
P
d0 A = N
d0 A ν =
ν=1
PN
P
= ν=1 (Fν , vO )dt + N
([rν , Fν ], ω)dt =
Pν=1
PN
(int)
(ext)
(int)
(ext)
N
+ Fν ], ω)dt =
+ Fν , vO )dt + ν=1 ([rν , Fν
= ν=1 (Fν
PN
PN
(ext)
(ext)
= ( ν=1 Fν , vO )dt + ( ν=1 [rν , Fν ], ω)dt =
(ext)
= (F(ext) , vO )dt + (MO , ω)dt,
где F(ext) — главный вектор системы сил, действующих на точки твердого тела,
(ext)
MO
— главный момент системы сил, действующих на точки твердого тела,
относительно точки O.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
53 / 102
3.6 Связь виртуальной работы системы и обобщенных сил I
Выразим виртуальные перемещения {δrν }ν=1,N через вариации δqj , j = 1, n.
∂rν
и заменим
Для этого в выражении (2.11) (см. раздел Кинематика) отбросим
∂t
q̇j на δqj , а vν на δrν :
n
X
∂rν
δrν =
(3.10)
δqj , ν = 1, N ,
∂qj
j=1
Для голономной системы δqj произвольны, для неголономной системы они
удовлетворяют соотношениям, которые получаются из (2.13) отбрасыванием bβ и
замены q̇j на δqj :
n
X
bβj δqj = 0, β = 1, s,
(3.11)
j=1
Откуда следует, что число степеней свободы голономной механической системы равно числу обобщенных координат, а для неголономной системы это число
меньше n числа обобщенных координат на число s кинематических связей.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
54 / 102
3.6 Связь виртуальной работы системы и обобщенных сил II
Пусть Fν — равнодействующая всех активных сил, приложенных к точке Pν ,
ν = 1, N , rν = rν (q, t) — радиус-векторы точек Pν . Определим выражение элементарной работы системы сил на виртуальных перемещениях или просто виртуальной работы через обобщенные координаты qj и их вариации δqj , j = 1, N .
Используя выражения для виртуального перемещения (3.10) получаем
!
n
N
N
n X
N X
X
X
X
∂rν
∂rν
Fν ,
(Fν , δrν ) =
δqj .
(3.12)
δqj =
δA =
Fν ,
∂qj
∂qj
ν=1
ν=1
j=1
j=1 ν=1
Учитывая (4.13), (3.12) запишется в виде
δA =
n
X
(3.13)
Qj δqj ,
j=1
где
Qj =
N X
ν=1
Fν ,
∂rν
∂qj
(3.14)
называется обобщенной силой по координате с номером j, j = 1, n.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
55 / 102
3.6 Связь виртуальной работы системы и обобщенных сил III
При решении прикладных задач для определения обобщенных сил часто вместо формулы (3.14) пользуются выражением для виртуальной работы через обобщенные координаты (3.13) — дают системе такое виртуальное перемещение, при
котором δqk = 0 для любого k кроме k = j, тогда δA = δAj = Qj δqj и
Qj =
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
δAj
.
δqj
2022 г.
56 / 102
3.7 Определение обобщенных сил в потенциальном силовом поле
Пусть в области G из пространства конфигураций для любого t ∈ (t0 , t1 ) заb
дана вещественная непрерывно дифференцируемая функция Π(q,
t).
Определение 3.8
Если для обобщенных сил Qj , j = 1, n, справедливы равенства
Qj = −
b
∂Π
,
∂qj
(3.15)
j = 1, n,
b
в области G задания функции Π(q,
t), то область G называется потенциальным
полем обобщенных сил в пространстве конфигураций.
b
Функция Π(q,
t) называется потенциальной функцией, потенциалом или
потенциальной энергией поля в пространстве конфигураций.
Обобщенные силы Qj , j = 1, n, задаваемые формулами (3.15), называются
потенциальными обобщенными силами в пространстве конфигураций.
b не зависит явно от t, то потенциальное поле в пространстве
Если потенциал Π
конфигураций называется стационарным.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
57 / 102
3.7 Определение обобщенных сил в потенциальном силовом поле
II
Теорема
Если поле сил Fν , ν = 1, N , потенциально, и потенциал поля задается функцией
Π(r1 , . . . , rN , t), то:
при любом выборе обобщенных координат q = [q1 , . . . , qN ]∗ силовое поле
обобщенных сил Qj , j = 1, n, в пространстве конфигураций будет
потенциальным;
b поля в пространстве конфигураций связан с потенциалом
потенциал Π
Π(r1 , . . . , rN , t) силового поля следующим соотношением:
b
Π(q,
t) = Π(r1 (q, t), . . . , rN (q, t), t),
(3.16)
где rν (q, t), ν = 1, N , — функции, задающие связь обобщенных координат с
декартовыми:
rν = rν (q, t), ν = 1, N .
(3.17)
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
58 / 102
3.7 Определение обобщенных сил в потенциальном силовом поле
III
♦ Пусть для описания движения системы выбран вектор q, тогда на основании
этого вектора могут быть установлены соотношения (3.17). Здесь rν (q, t), ν = 1, N ,
дважды непрерывно дифференцируемые функции по совокупности аргументов.
b в виде (3.16), используя потенциал сиНаконец, может быть задана функция Π
лового поля Π(r1 , . . . , rN , t).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
59 / 102
3.7 Определение обобщенных сил в потенциальном силовом поле
IV
Определим обобщенные силы Qj по силам Fν с учетом потенциальности силового поля, т. е. учитывая
Fν = −∇ν Π(r1 , . . . , rN , t).
(3.18)
P
∂rν
, где rν , ν = 1, N ,
Согласно определению обобщенной силы Qj = N
ν=1 Fν ,
∂qj
– функции (3.17).
Далее, заменяя Fν правыми частями (3.18), получим следующее выражение
для обобщенных сил
N X
∂rν
.
(3.19)
∇ν Π,
Qj = −
∂qj
ν=1
b
С другой стороны, вычисляя частную производную по qj от функции Π(q,
t),
задаваемой формулой (3.16), получаем
N X
b
∂rν
∂Π
,
=
∇ν Π,
∂qj
∂qj
ν=1
j = 1, N .
(3.20)
Сопоставляя правые части (3.19) и (3.20), получим (3.15).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
60 / 102
3.7 Определение обобщенных сил в потенциальном силовом поле
V
Замечание
Справедливость теоремы можно показать, используя выражение виртуальной
работы через обобщенные координаты и учитывая равенство (3.9):
δA =
n
X
j=1
Qj δqj =
N
X
(Fν , δrν ) = −
N
X
ν=1
ν=1
откуда
Qj = −
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
b
∂Π
,
∂qj
b =−
(∇ν Π, δrν ) = −δ Π
n
X
b
∂Π
δqj ,
∂q
j
j=1
j = 1, n.
2022 г.
61 / 102
3.7 Определение обобщенных сил в потенциальном силовом поле
VI
Теорема
Если потенциальное силовое поле — стационарное, и голономные связи не
зависят явным образом от t, то существует пространство конфигураций, в
котором силовое поле обобщенных сил будет стационарным потенциальным
полем.
♦ Из стационарности потенциала Π следует, что
Π = Π(r1 , . . . , rN ).
Из стационарности геометрических связей следует, что существуют такие обобщенные координаты q, при которых функции rν , ν = 1, N , тоже не зависят явно
от t:
rν = rν (q), ν = 1, N .
Тогда потенциал силового поля в пространстве конфигураций не зависит явно от
t:
b = Π(q).
b
Π
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
62 / 102
3.8 Определение обобщенных сил I
Для того, чтобы определить обобщенную силу Qj , действующую по координате
qj , j = 1, n, можно использовать непосредственно формулу (3.14):
Qj =
N X
ν=1
Fν ,
∂rν
∂qj
Л.Л
=
N X
ν=1
Fν ,
∂vν
∂ q̇j
,
j = 1, n;
формулу (3.13), откуда:
Qj =
δA
,
δqj
δqk = 0, k = 1, 2, . . . , j − 1, j + 1, . . . , n;
формулу (3.15) для случая потенциальных обобщенных сил:
Qj = −
b
∂Π
,
∂qj
j = 1, n,
b в случае стационарного потенциального силового поля следуя (3.9)
где функция Π
может быть определена как работа по перемещению механической системы из
b в состояние, соответствующее нуленекоторого её состояния, соответствующее Π,
b
вому уровню потенциальной энергии Π0 = 0:
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
b = −At0 t = Att0 .
Π
2022 г.
63 / 102
3.9 Задачи I
Задача 1.1 Для материальной точки массы m, движущейся в однородного
поле тяжести, g — ускорение свободного падения, определите функцию потенциальной энергии Π, если Oz направлена вертикально вверх. (Π = mgz)
Задача 1.2 Для материальной точки, движущейся в силовом поле упругой
пружины вдоль оси Ox, при x = 0 пружина не деформирована, c — коэффициент
1
жесткости пружины. Определите функцию потенциальной энергии Π. (Π = cx2 )
2
Задача 1.3 Для материальной точки, движущейся в центральном силовом
поле под действием силы, которая зависит только от расстояния до центра притяжения:
r
F = F (r) .
r
R
Определите функцию потенциальной энергии Π. (Π = − F (r)dr + const)
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
64 / 102
3.9 Задачи II
Задача 2.1 Для материальной точки, которая движется из состояния покоя
под действием постоянной по направлению силы P, определите обобщенную силу.
(P )
Задача 2.2 Для двойного математического маятника, который движется в
поле тяжести, определите обобщенные силы. Принять, что стержни невесомы и
имеют одинаковую длину l, а массы m1 и m2 (m1 = m2 = m) сосредоточены на
концах стержней. (−2mgl sin ϕ, −mgl sin ψ)
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
65 / 102
4.1 Преобразование уравнений связей I
Введем обозначения:
ξ1 = x1 , ξ2 = y1 , ξ3 = z1 , . . . , ξ3ν−2 = xν , ξ3ν−1 = yν , ξ3ν = zν ,
ν = 1, N ,
ξ = [ξ1 , . . . , ξ3N ]∗ .
Система уравнений (1.1), (1.2) примет вид:
fα (ξ, t) = 0,
N
X
(4.1)
α = 1, l.
(aβν (ξ, t), vν ) + aβ (ξ, t) = 0,
(4.2)
β = 1, s.
ν=1
Обозначим R — вектор-столбец размерности (3N × 1), составленный из компонент векторов Rν , ν = 1, N :
R = [R1x , R1y , R1z , . . . , Rνx , Rνy , Rνz , . . . , RNx , RNy , RNz ]∗ .
Вектор R является алгебраическим представлением реакции всех связей несвободной механической системы и называется реакцией системы связей, действующей на механическую систему.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
66 / 102
4.2 Виртуальная работа системы связей I
Виртуальным перемещением механической системы в фиксированный момент
времени t называется совокупность векторов {δrν }ν=1,N , является решением однородной системы алгебраических уравнений:
N
X
(∇ν fα , δrν ) = 0,
(4.3)
α = 1, l,
ν=1
N
X
(aβν , δrν ) = 0,
(4.4)
β = 1, s,
ν=1
где коэффициенты ∇ν fα и aβν системы вычисляются в этот фиксированный момент времени t, которому соответствует возможное положение {rν }ν=1,N механической системы.
Левые части (4.3) совпадают с изохронной вариацией (при неизменном времени) функций, задающих голономные связи (4.1). Левые части (4.4) совпадают с
изохронной вариацией по скоростям (при неизменных возможных положениях и
времени) функций, задающих неголономные связи (4.2).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
67 / 102
4.2 Виртуальная работа системы связей II
Обозначим δξ — вектор-столбец размерности (3N ×1), составленный из компонент векторов δrν — виртуальных перемещений точек Pν , ν = 1, N , механической
системы:
δξ = [δξ1 , . . . , δξ3N ]∗ = [δx1 , δy1 , δz1 , . . . , δxν , δyν , δzν , . . . , δxN , δyN , δzN ]∗ .
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
68 / 102
4.2 Виртуальная работа системы связей III
Матричная форма системы (4.3), (4.4):
(4.5)
Bδξ = 0,
где
B=

∂f1
 ∂x1

Bl =  . . .
 ∂fl
∂x1

ax11
Bs =  . . .
axs1
∂f1
∂y1
...
∂fl
∂y1
∂f1
∂z1
...
∂fl
∂z1
ay11
...
ays1
az11
...
azs1
...
...
...
...
...
...
Bl
Bs
∂f1
∂xN
...
∂fl
∂xN
ax1N
...
axsN
,
((l+s)×3N)
∂f1
∂yN
...
∂fl
∂yN
ay1N
...
aysN
∂f1
∂zN
...
∂fl
∂zN

 ∗
∇ f1

  1
...
=

∇∗1 fl
  ∗
a11
az1N
...  =  ...
a∗s1
azsN
...
...
...
...
...
...

∇∗N f1
... ,
∇∗N fl

a∗1N
... .
a∗sN
Заметим, что из определения виртуальных перемещений следует, что B =
B(ξ, t).
Любое решение δξ системы уравнений (4.5) называется виртуальным перемещением механической системы в декартовых координатах.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
69 / 102
4.2 Виртуальная работа системы связей IV
Определим скалярные произведения:
δAR
ν = (Rν , δrν ) = Rνx δxν + Rνy δyν + Rνz δzν ,
δAR =
N
X
δAR
ν =
ν=1
N
X
(Rν , δrν ) =
ν=1
N
X
ν = 1, N ,
(Rνx δxν + Rνy δyν + Rνz δzν ) = R∗ δξ.
ν=1
Определение 4.1
Величина δAR
ν = (Rν , δrν ) называется работой равнодействующей Rν реакций
связей на виртуальном перемещении δrν точки Pν или виртуальной работой
реакции Rν .
Определение 4.2
P
Величина δAR = N
ν=1 (Rν , δrν ) называется работой реакции R системы связей
на виртуальном перемещении δξ механической системы или виртуальной
работой системы связей.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
70 / 102
4.3 Классификация сил для несвободных механических систем I
Определение 4.3
Связь называем внутренней, если она задает ограничения только на взаимные
расположения и (или) относительные (взаимные) скорости точек, входящих в
состав механической системы. Связь называем внешней, если она задает
ограничения на расположения точек механической системы относительно точек,
не входящих в ее состав, и (или) на скорости точек системы относительно
материальных объектов, не входящих в состав этой механической системы.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
71 / 102
4.3 Классификация сил для несвободных механических систем II
Определение 4.4
Активными называются силы Fν и неидеальные составляющие реакций связей
Rν . Пассивными силами называются идеальные составляющие реакций связей,
задаваемых кинематическим способом.
Понятие идеальных составляющих реакций связей будет дано ниже.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
72 / 102
4.3 Классификация сил для несвободных механических систем III
По виду взаимодействия твердого тела с другими телами и с внешней средой
различаем силы поверхностные и объемные.
Определение 4.5
Поверхностные силы — это силы, действующие на поверхность или часть
поверхности твердого тела.
Определение 4.6
Объемные силы — это силы, которые действуют на весь объем твердого тела.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
73 / 102
4.4 Масса и плотность тела I
Определение 4.7
Если существует предел
∆m
dm
= lim
= %(r),
∆υ→0 ∆υ
dυ
то его значение %(r) называется плотностью твердого тела в точке P .
В зависимости от того, является ли тело объемным, поверхностью или линией,
различают объемную, поверхностную или линейную плотность, соответственно.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
74 / 102
4.4 Масса и плотность тела II
Элементарная масса твердого тела связана с его плотностью следующими соотношениями:
dm = %(r)dl,
dm = %(r)dS,
dm = %(r)dV,
где dl, dS, dV — элементарная длина, элементарная площадь, элементарный объем.
Масса M всего твердого тела будет вычисляться по формулам:
Z
dm =
ZZ
dm =
ZZZ
dm =
M=
l
M=
V
%(r)dl,
l
S
M=
Z
ZZ
%(r)dS,
S
ZZZ
%(r)dV,
V
где l, S, V под знаком интеграла обозначают криволинейный интеграл, интеграл
по поверхности, интеграл по объему, соответственно.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
75 / 102
4.5 Понятие идеальности связей I
Определение 4.8
Система связей (1.1), (1.2) ((4.1), (4.2)) называется идеальной, если при любом
фиксированном времени t и в любом возможном положении {rν }ν=1,N
механической системы в этот момент времени виртуальная работа системы δAR
реакций связей Rν , ν = 1, N , равна нулю на любых виртуальных перемещениях
{δrν }ν=1,N .
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
76 / 102
4.5 Понятие идеальности связей II
Иначе, для любого t ∈ (t0 , t1 ) в любом возможном положении {rν }ν=1,N механической системы
δAR =
N
X
(Rν , δrν ) = 0,
(4.6)
∀{δrν }ν=1,N ∈ Xδ ,
ν=1
где Xδ — множество виртуальных перемещений механической системы в ее фиксированном возможном положении {rν }ν=1,N в фиксированный момент времени
t. Это множество задается системой (4.3), (4.4).
Равенство (4.6) называется основным уравнением идеальности системы связей (1.1), (1.2) ( (4.1), (4.2)).
Замечание
Условие идеальности связей вводится дополнительно, оно не следует из
уравнений связей.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
77 / 102
4.5 Понятие идеальности связей III
В алгебраическом представлении условие идеальности и уравнение (4.6) принимают вид: для любого t ∈ (t0 , t1 ) в любом возможном положении ξ механической системы выполняется
R∗ δξ = 0,
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
(4.7)
∀ δξ ∈ Xδ = {δξ : Bδξ = 0}.
2022 г.
78 / 102
4.5 Понятие идеальности связей IV
Таким образом, можно заметить, что для несвободных систем с идеальными связями основная задача становится определенной, поскольку одно уравнений (4.6) ((4.6)) эквивалентно m уравнениям (недостающим условиям (см. слайд
32)). Эти m уравнений получаются заменой зависимых виртуальных перемещений их представлениями через независимые и дальнейшим приравниванием нулю
коэффициентов при этих независимых виртуальных перемещениях.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
79 / 102
4.6 Примеры механических систем с идеальными связями I
1. Материальная точка на гладкой подвижной или неподвижной поверхности
(δAR = (R, δr) = 0).
2. Свободное твердое тело
(δAR = δA(int) = 0).
3. Твердое тело с одной или двумя неподвижными точками
(δAR = (R, δr) = 0 (δr = 0)).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
80 / 102
4.6 Примеры механических систем с идеальными связями II
4. Система твердых тел, соединенных шарниром
(δAR = (R1 , δr1 − δr2 ) = 0 (R1 = −R2 , δr1 = δr2 )).
5. Система твердых тел, соприкасающихся гладкими поверхностями
(δAR = (R1 , δr1 − δr2 ) = 0 (R1 = −R2 )).
6. Система твердых тел, соприкасающихся абсолютно шероховатыми поверхностями
(δAR = (R1 , δ(r1 − r2 )) = 0 (R1 = −R2 , δ(r1 − r2 ) = 0)).
7. Система двух материальных точек, соединенных натянутой идеальной нитью
(δAR = T1 (δr1 cos α1 − δr2 cos α2 ) = 0 (T1 = T2 , δr1 cos α1 = δr2 cos α2 )).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
81 / 102
4.7 Достаточные условия идеальности связей I
Фиксируем момент времени t и соответствующее ему возможное положение ξ
механической системы, тогда определим уравнение (4.5), где для строк матрицы
B введем обозначения:
b∗α = [∇∗1 fα , . . . , ∇∗ν fα , . . . , ∇∗N fα ], α = 1, l,
b∗l+β = [a∗β1 , . . . , a∗βν , . . . , a∗βN ], β = 1, s.
В этих обозначениях система (4.5) примет вид
b∗α δξ = 0,
b∗l+β δξ
= 0,
(4.8)
α = 1, l
(4.9)
β = 1, s
Замечание
Не уменьшая общности дальнейших рассуждений, будем полагать, что в случае
голономной механической системы строки матрицы B — b∗l+β := 0, β = 1, s. В
таких случаях β = 0, за матрицей коэффициентов в (4.5) сохраняем прежнее
обозначение B. Эта матрица будет состоять только из строк b∗α , α = 1, l. В
случае неголономной механической системы, которая не содержит
геометрических связей: α = 0 и матрица B состоит из строк b∗β , β = 1, s.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
82 / 102
4.7 Достаточные условия идеальности связей II
Лемма 1
Если при любом фиксированном t ∈ (t0 , t1 ) в любом возможном положении ξ
механической системы, соответствующем этому значению t, вектор R
принадлежит линейной оболочке столбцов bα , α = 1, l, и bl+β , β = 1, s, матрицы
B ∗ , то он ортогонален всем решениям системы (4.5):
Bδξ = 0.
Примечание
Вектор R принадлежит линейной оболочке столбцов bα , α = 1, l, и bl+β , β = 1, s,
матрицы B ∗ тогда и только тогда, когда его можно представить в виде
R=
l
X
α=1
λα bα +
s
X
(4.10)
µβ bl+β ,
β=1
где λα , α = 1, l, и µβ , β = 1, s, принимают вещественные значения.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
83 / 102
4.7 Достаточные условия идеальности связей III
♦ Построим Bδξ = 0 при любом t ∈ (t
0 , t1 ) и соответствующему ему положению
P
P
ξ. Одновременно строим вектор R = lα=1 λα bα + sβ=1 µβ bl+β реакции связей.
Тогда, совершая подстановку построенного R в уравнение R∗ δξ = 0 при любом
δξ ∈ Xδ , получаем
l
s
X
X
µβ b∗l+β )δξ
R∗ δξ = (
λα b∗α +
α=1
β=1
при любом δξ ∈ Xδ и, поскольку δξ — решение уравнения Bδξ = 0 при любом
δξ ∈ Xδ , выполняется (4.8), (4.9). Поэтому R∗ δξ = 0 при любом δξ ∈ Xδ .
Из произвольного выбора t ∈ (t0 , t1 ) и возможного положения ξ при этом t
получаем:
1
Вектор R ортогонален всем решениям произвольной системы Bδξ = 0 при
любом δξ ∈ Xδ и удовлетворяет уравнению идеальности связей R∗ δξ = 0
при любом δξ ∈ Xδ (для любого t ∈ (t0 , t1 ) и соответствующему ему
возможному положению ξ).
2
Связи являются идеальными, т.к. выполняются все условия определения
4.8.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
84 / 102
4.7 Достаточные условия идеальности связей IV
Следствие
Если для любого фиксированного t ∈ (t0 , t1 ) в любом возможном положении ξ
механической системы вектор R реакций системы связей определяется по
формуле (4.10), то связи являются идеальными.
Формула (4.10) определяет аналитическую структуру реакции идеальной системы связей через неизвестные множители λα , α = 1, l, и µβ , β = 1, s, которые
называются множителями Лагранжа.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
85 / 102
4.8 Лемма о каноническом разложении системы связей I
Лемма
Реакцию R любой системы связей (4.1), (4.2), удовлетворяющих условию
rangB = l + s,
(4.11)
всегда можно разложить на сумму двух векторов R1 и R2 размерности (3N × 1)
(4.12)
R = R1 + R2 ,
∗
где R1 принадлежит линейной оболочке столбцов матрицы B , т. е. имеет
структурную форму представления
R1 = B ∗ γ,
(4.13)
в которой γ = [λ1 , . . . , λl , µ1 , . . . , µs ]∗ — вектор размерности ((l + s) × 1) может
принимать любые значения, а R2 ортогонален строкам матрицы B:
(4.14)
BR2 = 0.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
86 / 102
4.8 Лемма о каноническом разложении системы связей II
♦ Пусть R — вектор реакции системы связей (4.1), (4.2), удовлетворяющих условию rangB = l + s. Запишем представление R = R1 + R2 , где R1 будем искать в
виде R1 = B ∗ γ, а R2 удовлетворяет уравнению BR2 = 0.
Покажем, что для любого R можно найти γ и R2 . Для этого можно определить
систему
∗
B γ + R2 = R,
BR2 = 0.
Умножим первое уравнение системы на B слева, учитывая второе, получим BB ∗ γ =
BR. Поскольку столбцы матрицы B ∗ линейно независимы, матрица BB ∗ — неособая:
γ = (BB ∗ )−1 BR.
Далее, разрешая первое уравнение системы относительно R2 , учитывая выражения для γ:
R2 = R − B ∗ (BB ∗ )−1 BR,
где можно видеть, что представление вектора R2 является решением второго
уравнения системы.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
87 / 102
4.8 Лемма о каноническом разложении системы связей III
Следствия
1
2
3
Любому вектору R в (4.12) соответствует только одна пара векторов R1 и
R2 , удовлетворяющих условиям (4.13), (4.14) соответственно.
Векторы R1 и R2 взаимно ортогональны, т. е. R∗1 R2 = 0.
Если в разложении (4.12) R2 = 0 при любом t ∈ (t0 , t1 ) во всех возможных
положениях ξ, то система связей является идеальной.
Определение 4.9
Разложение (4.12)-(4.14) реакции R системы связей будем называть
каноническим, где вектор R1 называется идеальной составляющей вектора R, а
R2 – неидеальной.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
88 / 102
4.9 Необходимые и достаточные условия идеальности связей I
Теорема
Для того, чтобы система связей (4.1), (4.2) была идеальной, необходимо и
достаточно, чтобы ее реакция
R = R1 = B ∗ γ =
l
X
α=1
λα bα +
s
X
(4.15)
µβ bl+β
β=1
при всех значениях t ∈ (t0 , t1 ) и всех возможных положениях механической
системы ξ, соответствующих этим значениям t.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
89 / 102
4.9 Необходимые и достаточные условия идеальности связей II
♦ Достаточность следует из следствия 3 к лемме 1: если выполняется (4.15) разложения вектора R, то R2 = 0. Формула (4.15) совпадает (4.10), если положить
в (4.10) R = R1 .
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
90 / 102
4.9 Необходимые и достаточные условия идеальности связей III
Необходимость. Пусть система связей (4.1), (4.2) — идеальная. Воспользуемся
леммой о каноническом разложении реакции связей
R = R1 + R2 ,
где R1 = B ∗ γ, R2 удовлетворяет уравнению BR2 = 0. Поскольку R — реакция
идеальной системы связей, то для любого δξ ∈ Xδ имеем R∗ δξ = 0:
(R∗1 + R∗2 )δξ = 0.
Т. к. R∗1 δξ = 0 для любого δξ ∈ Xδ , то R2 :
R∗2 δξ = 0
для любого δξ ∈ Xδ . Покажем, что R2 = 0. Пусть в разложении вектора R
составляющая R2 6= 0, тогда из BR2 = 0 следует, что можно положить δξ = kR2 ,
k 6= 0 — действительное число, а тогда на этом перемещении работа R2 не равна
нулю:
R∗2 δξ = kR∗2 R2 = kkR2 k2 6= 0.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
91 / 102
4.10 Формула Лагранжа для реакций идеальных связей I
Формула (4.15) дает представление реакции R идеальной системы связей в
алгебраическом виде, в векторной форме (4.15) имеет вид
Rν =
l
X
λα ∇ν fα +
α=1
s
X
µβ aβν ,
(4.16)
ν = 1, N ,
β=1
где
Rν = Rνx i + Rνy j + Rνz k — равнодействующая реакций связей в точке Pν ,
ν = 1, N ,
∂fα
∂fα
∂fα
∂fα
∇ν fα =
=
i+
j+
k, ν = 1, N , α = 1, l,
∂rν
∂xν
∂yν
∂zν
aβν = aβνx i + aβνy j + aβνz k, ν = 1, N , β = 1, s,
i, j, k — базис системы отсчета.
Соотношение (4.16) называется формулой Лагранжа для реакции идеальной
системы связей.
Ясно, что при решении основной задачи динамики как в (4.15), так и в (4.16)
необходимо определить l+s неизвестных множителей Лагранжа. Из условия l+s <
3N следует, что для определения реакций идеальных связей требуется вычислить
меньшее количество неизвестных, чем в случае наличия в системе неидеальных
связей.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
92 / 102
4.11 Второе определение идеальных связей I
Определение 4.10 идеальных связей является классическим.
Определение 4.10
Система связей (4.1), (4.2) называется идеальной, если реакции связей, входящих
в нее, представимы в виде (4.16):
Rν =
l
X
α=1
λα ∇ν fα +
s
X
µβ aβν ,
ν = 1, N ,
β=1
при всех t ∈ (t0 , t1 ) и соответствующих им возможных положениях {rν }ν=1,N ,
где связи и возможные положения определены.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
93 / 102
4.11 Второе определение идеальных связей II
Результат теоремы о необходимых и достаточных условиях идеальности связей
можно сформулировать в следующем виде:
Теорема
Для того, чтобы система связей (4.1), (4.2) была идеальной, необходимо и
достаточно, чтобы в каноническом разложении реакции R системы связей
неидеальная составляющая R2 была равна нулю в любом возможном положении
при всех t ∈ (t0 , t1 ), а идеальная составляющая R1 задавалась формулой (4.15)
или (4.16).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
94 / 102
4.12 Аксиома идеальности связей I
Аксиома 6 (идеальности связей)
При движении несвободной механической системы на нее действуют связи
таким образом, что их реакции не совершают работы на любых виртуальных
перемещениях. Дополнительные силы, которые могут возникать под
воздействием реакций реальных связей и совершать ненулевую работу хотя бы
на одном виртуальном перемещении, относятся к силам, законы изменения
которых должны быть заданы при описании механической системы, исходя из
природы взаимодействия связей c этой системой и исходя из конкретной
реализации связей.
Таким образом, ввод в состав аксиоматики Ньютона—Галилея Аксиомы 6 позволяет построить такую теорию движения механических систем, в которой необходимость обращаться к опытным данным и экспериментам ограничивается лишь
тем, что требуется только задавать основные законы активных сил, которые существуют в природе.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
95 / 102
4.13 Понятие активных и пассивных сил I
Из определения активных сил и Аксиомы 6 следует, что неидеальные составляющие реакции системы связей относятся к разряду (классу) активных сил.
Реакции идеальных связей, а также идеальные составляющие реакций неидеальных связей относятся к разряду пассивных сил, которые считаются неизвестными и определяются из математической модели движения, построенной на основе аксиоматики Ньютона—Галилея.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
96 / 102
4.14 Силы трения I
Сила трения определяется как сила взаимодействия между двумя взаимодействующими телами посредством их поверхностей.
Основной характеристикой силы трения является f — коэффициент трения
(зависит от материала трущихся поверхностей, качества обработки их поверхностного слоя, в меньшей степени — от температуры и относительной скорости
перемещения и не зависит от площади соприкасающихся поверхностей).
Закон Амонтона—Кулона (1785 г.)
Эмпирический закон или сила F01 , действующая со стороны одного тела B0
(опоры) на тело B1 и устанавливающая линейную связь между поверхностной
силой трения, возникающей при относительном скольжении тел, и силой
нормальной реакции, действующей на тело со стороны поверхности:
(4.17)
F01 = f N,
где N — модуль силы нормальной реакции (зависит от площади пятна контакта
и давления). F01 лежит в общей касательной плоскости к телам и направлена
противоположно перемещению.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
97 / 102
4.14 Силы трения II
Виды сил трения (по относительному движению):
покоя,
скольжения,
качения,
верчения.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
98 / 102
4.14 Силы трения III
Согласно законам трения Кулона, величина F01 не более своего максимального
значения max F01 = f N (устанавливается опытным путем). Тогда статический
коэффициент трения скольжения определяется из условия:
f=
max F01
,
N
(4.18)
После начала движения коэффициент трения скольжения несколько уменьшается
до значения динамического коэффициента трения скольжения:
fd < f.
Коэффициенты f , fd зависят только от физической природы трущихся тел, от
шлифовки поверхностей, расположения волокон и смазки. Числовые значения
этих коэффициентов можно найти в технических справочниках.
В простейших случаях, если относительное движение отсутствует, то F01 < f N
и F01 называется силой трения покоя; если имеет место относительное движение,
то F01 = f N и F01 называется силой трения скольжения.
Замечание
Законы Кулона имеют приближенный характер.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
99 / 102
4.14 Силы трения IV
Коэффициенты трения определяются экспериментальным путем. Пусть тело
расположено на наклонной плоскости, угол наклона которой можем менять.
Угол наклона плоскости, при котором тело начинает скользить, называется
углом трения ϕ0 .
Можно показать, что
max F01 = tgϕ0 N,
(4.19)
Отсюда статический коэффициент трения скольжения f = tgϕ0 . Угол трения ϕ0
также называют тангенсом трения.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
100 / 102
4.14 Силы трения V
Из представления полной реакции опорной поверхности:
(4.20)
R = N + F01 ,
следует, что сила трения — касательная составляющая полной реакции. Угол трения — максимально возможный угол отклонения полной реакции Rf :
(4.21)
Rf = N + max F01 ,
опорной поверхности от нормали к ней.
Определение 4.11
Геометрическое место точек положения полной реакции Rf называется конусом
трения.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
101 / 102
4.15 Задачи I
Задача. Пусть тело, весом которого можно пренебречь, лежит на негладкой
поверхности. К телу приложена сила F, составляющая угол α с нормалью к этой
поверхности (см. рис). Покажите, что сила F приводит тело в движение, если
α > ϕ0 .
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
102 / 102
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ДИНАМИКА
Дифференциальные принципы механики
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
d.shimanchuk@spbu.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург – 2022 г.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
1 / 22
5.1 Понятие о вариационных принципах I
Для любой теории под принципами понимают некоторые её законы и основные положения, на основании которых она может быть построена. В широком
смысле под принципами понимают убеждения, которые обусловлены принятием
конкретной научной парадигмы.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
2 / 22
5.1 Понятие о вариационных принципах II
В теоретической механике все принципы делят на невариационные и вариационные. К невариационным принципам относят аксиомы динамики и законы механики (законы сохранения и т. д.). К вариационным принципам относят условия,
которые, будучи представленными математическим выражением, позволяют отличить действительное (истинное) движение несвободной механической системы
от её остальных кинематически возможных движений. В свою очередь вариационные принципы делятся на дифференциальные, которые представляют формулировку критерия для данного фиксированного момента времени, и интегральные,
которые представляют формулировку критерия для данного конечного интервала
времени.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
3 / 22
5.2 Принцип Даламбера–Лагранжа (общее уравнение динамики)
Рассмотрим систему уравнений Ньютона—Галилея для свободной или несвободной механической системы (с удерживающими идеальными связями):
mν r̈ν = Fν + Rν ,
ν = 1, N ,
где стесняющие рассматриваемую механическую систему связи Rν , ν = 1, N , являются удерживающими и идеальными. В случае свободной механической системы Rν := 0, ν = 1, N .
Для идеальных связей для любых δrν , ν = 1, N , выполняется равенство
N
X
(5.1)
(Rν , δrν ) = 0.
ν=1
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
4 / 22
5.2 Принцип Даламбера–Лагранжа (общее уравнение динамики)
II
Систему уравнений Ньютона—Галилея для движения механической системы
можно переписать:
−Rν = Fν − mν r̈ν , ν = 1, N ,
тогда, умножая ν-ое уравнение скалярно на δrν и суммируя полученное равенство
по ν = 1, N , получаем уравнение
N
X
(5.2)
(Fν − mν r̈ν , δrν ) = 0.
ν=1
Уравнение (5.2) называется общим уравнением динамики (дифференциальный
вариационный принцип Даламбера—Лагранжа). Величины Φν = −mν r̈ν , ν =
1, N , называются силами инерции.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
5 / 22
5.2 Принцип Даламбера–Лагранжа (общее уравнение динамики)
III
Замечание 1 (о содержании общего уравнения динамики). Можно показать,
что (5.2) является необходимым и достаточным условием того, что движение,
совместимое с идеальными связями, отвечает данной системе сил Fν , ν = 1, N .
Уравнение (5.2) содержит все законы движения механических систем с идеальными удерживающими связями.
Замечание 2 (о неидеальных составляющих реакций связей). Если связи или
их часть R2ν не удовлетворяют условию (5.1), то, добавив их к системе активных
сил, можно получить уравнение
N
X
(Fν + R2ν − mν r̈ν , δrν ) = 0,
ν=1
где в общем случае R2ν не определены и эта неопределенность должна быть компенсирована дополнительными данными.
Замечание 3 (о замене системы активных сил). Движение системы не изменится, если в (5.2) вместо системы активных сил Fν , ν = 1, N , взять систему сил
Gν , ν = 1, N :
N
N
X
X
(Fν , δrν ) =
(Gν , δrν ) .
ν=1
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
ν=1
2022 г.
6 / 22
5.2 Принцип Даламбера–Лагранжа (общее уравнение динамики)
IV
Из (5.2) следует, что в любой момент времени сумма виртуальных работ активных сил и сил инерции равна нулю.
С другой стороны, поскольку в (5.2) входят вариации — виртуальные перемещения и сравниваются данное положение системы с её варьированным положением в некоторый фиксированный произвольный момент времени (см. раздел
Кинематика, изохронная вариация), то принцип Даламбера—Лагранжа называют дифференциальным вариационным принципом Даламбера—Лагранжа: из всех
кинематически возможных движений механической системы для действительного движения и только для него в данный момент времени сумма виртуальных
работ активных сил и сил инерции равна нулю.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
7 / 22
5.3 Задачи I
Задача 1. В однородном поле силы тяжести движутся две материальные
точки массой m1 , m2 , соединенные идеальной нитью длины l, которая перекинута через неподвижный гладкий тонкий стержень. Найдите ускорения точек.
m2 − m1
m1 − m2
g, z̈2 =
g)
(z̈1 =
m1 + m2
m1 + m2
Задача 2. В однородном поле силы тяжести невесомый стержень OA длинной l может вращаться без трения в вертикальной неподвижной плоскости относительно неподвижной точки O. К другому концу A этого стержня прикреплена
материальная точка массы m. Найдите дифференциальное уравнение движения
g
материальной точки при малых отклонениях стержня от вертикали (ϕ̈ + ϕ = 0)
l
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
8 / 22
5.4 Принцип Журдена I
Преобразуем (5.2), не смотря на замечание 1, с целью получения некоторых
общих свойств движений системы, которые не могут быть получены непосредственно из (5.2).
Рассмотрим множество кинематически возможных движений из возможного
положения rν , ν = 1, N , с различными возможными скоростями vν , ν = 1, N .
Будем сравнивать их не только между собой, но и с действительным движением
из того же положения в тот же момент времени. Так определяется варьирование
по Журдену (см. раздел Кинематика), при котором δrν = δvν ∆t, ν = 1, N , где
δvν = v1ν − v2ν 6= 0.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
9 / 22
5.4 Принцип Журдена II
Таким образом, используя варьирование по Журдену, (5.2) можно записать в
виде
N
X
(Fν − mν r̈ν , δvν ) = 0.
(5.3)
ν=1
Формула (5.3) определяет принцип Журдена: из всех кинематически возможных в данный момент времени движений механической системы (r1ν = r2ν ,
δvν 6= 0) для действительного движения и только для него выполняется (5.3).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
10 / 22
5.5 Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения) I
Рассмотрим множество кинематически возможных движений из возможного
положения rν , ν = 1, N , с одинаковыми возможными скоростями vν , ν = 1, N .
Будем сравнивать их не только между собой, но и с действительным движением из
того же положения с той же скоростью в тот же момент времени. Так определяется
1
варьирование по Гауссу (см. раздел Кинематика), при котором δrν = δwν (∆t)2 ,
2
ν = 1, N , где δwν = w1ν − w2ν 6= 0.
Таким образом, используя варьирование по Гауссу, (5.2) можно записать в виде
N
X
(5.4)
(Fν − mν r̈ν , δwν ) = 0.
ν=1
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
11 / 22
5.5 Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения) II
Учитывая, что массы точек mν , ν = 1, N , постоянны и силы Fν , ν = 1, N , не
зависят от ускорений точек системы, уравнение (5.4) примет вид
(5.5)
δC = 0,
где величина C называется принуждением или мерой принуждения:
C=
2
N
Fν
1X
mν r̈ν −
.
2 ν=1
mν
(5.6)
Из (5.5) следует, что C как функция возможных ускорений стационарна на
действительном движении. Можно показать, что на действительном движении
она достигает своего минимального значения.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
12 / 22
5.5 Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения) III
Таким образом, можно сформулировать принцип Гаусса или принцип наименьшего принуждения: из всех кинематически возможных в данный момент
времени движений механической системы (r1ν = r2ν , v1ν = v2ν , δwν 6= 0) для
действительного движения принуждение минимально.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
13 / 22
5.5 Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения) IV
Замечание (об экстремальном свойстве реакций связей). Учитывая уравнения Ньютона—Галилея для несвободный механической системы, принуждение
можно представить в виде
N
1 X R2ν
C=
,
(5.7)
2 ν=1 mν
тогда из условия минимального значения C на действительном движении получаем: на действительном движении реакции связей минимальны в смысле минимума принуждения C, т. е. на действительном движении реакции связей
доставляют минимум величины (5.7).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
14 / 22
5.6 Физический смысл принципа Гаусса I
Пусть в рассматриваемый момент времени t для несвободной механической
системы заданы rν , vν , ν = 1, N . Тогда в момент времени t + dt система займет
положение, которому будет отвечать перемещение
drν = vν dt +
1
r̈ν (dt)2 + . . . ,
2
ν = 1, N .
Если в момент времени t систему освободить от связей, т. е. рассмотреть её
дальнейшее движение на интервале dt как свободное под действием исходной системы активных сил Fν , ν = 1, N . Тогда в момент времени t + dt система займет
положение, которому будет отвечать перемещение
drF
ν = vν dt +
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
1 Fν
(dt)2 + . . . ,
2 mν
ν = 1, N .
2022 г.
15 / 22
5.6 Физический смысл принципа Гаусса II
Векторы drν − drF
ν 6= 0, ν = 1, N , характеризуют удаление системы при её
несвободном движении от её положения при свободном движении. Это удаление обусловлено принуждающим воздействием связей, которое для отдельной
2
, ν = 1, N , а для системы
точки естественно оценить величиной mν drν − drF
ν
PN
F 2
dr
−
dr
:
m
ν
ν
ν
ν=1
N
X
2
N
2
X
1
Fν
mν drν − drF
= (dt)4
mν r̈ν −
,
ν
4
mν
ν=1
ν=1
где отброшены члены выше четвертого порядка относительно dt.
1
Таким образом, с точностью до несущественного множителя (dt)4 величина
2
принуждения C является мерой отклонения действительного движения несвободной системы от её свободного движения. Или, учитывая принцип Гаусса, движение
несвободной механической системы наиболее близкое к её свободному движению.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
16 / 22
5.7 Задачи I
Задача 1. По гладкой наклонной плоскости, расположенной под углом α к
горизонту, в однородном поле силы тяжести из состояния покоя движется материальная точка массы m. Определите ускорение точки. (w = g sin α)
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
17 / 22
5.8 Принцип Лагранжа (общее уравнение статики) I
Рассмотрим несвободную механическую систему N материальных точек со
связями, задаваемыми уравнениями (1.1), (1.2) (см. раздел Кинематика). Определим условия, которым должны удовлетворять уравнения связи, чтобы при rν =
r0ν , ν = 1, N , она при t ∈ (t0 , t1 ) могла находиться в состоянии равновесия:
1. Положения точек rν = r0ν , ν = 1, N , должны быть возможными при t ∈
(t0 , t1 ):
(5.8)
fα (r01 , . . . , r0N , t) := 0, α = 1, l.
2. Учитывая уравнения, которым должны удовлетворять скорости и ускорения
точек системы, получаем при rν = r0ν , vν = 0, wν = 0, ν = 1, N , при t ∈ (t0 , t1 )
aβ (r01 , . . . , r0N , t) := 0,
∂fα (r01 , . . . , r0N , t)
:= 0,
∂t
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
∂aβ (r01 , . . . , r0N , t)
:= 0, β = 1, s,
∂t
∂ 2 fα (r01 , . . . , r0N , t)
:= 0, α = 1, l.
∂t2
2022 г.
(5.9)
18 / 22
5.8 Принцип Лагранжа (общее уравнение статики) II
Из (5.8), (5.9) следуют, что система может находиться в кинематически возможном состоянии равновесия rν = r0ν , когда связи при t ∈ (t0 , t1 ) удовлетворяют
условиям
fα (r01 , . . . , r0N , t) := 0, α = 1, l,
(5.10)
aβ (r01 , . . . , r0N , t) := 0, β = 1, s.
Пусть при t = t0 rν = r0ν , vν = 0, ν
при t ∈ (t0 , t1 ). Тогда вопрос о нахождении
выполнении (5.10) зависит от приложенной
Основу статики механической системы
принцип виртуальных перемещений.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
= 1, N , и выполнены условия (5.10)
системы в состоянии равновесия при
к ней системы сил.
составляет принцип Лагранжа или
2022 г.
19 / 22
5.8 Принцип Лагранжа (общее уравнение статики) III
Если механическая система находится в положении равновесия в данной системе отсчета: rν = r0ν , vν = 0, ν = 1, N , при t ∈ (t0 , t1 ), тогда r̈ν = 0, ν = 1, N . В
этом случае общее уравнение механики (5.2) примет вид
δAF =
N
X
(5.8)
(Fν , δrν ) = 0,
ν=1
т. е. виртуальная работа активных сил равна нулю. Это необходимое условие равновесия механической системы в данной системе отсчета в случае идеальных удерживающих связей.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
20 / 22
5.8 Принцип Лагранжа (общее уравнение статики) IV
Теорема (принцип Лагранжа)
Пусть при t ∈ (t0 , t1 ) на механическую систему наложены идеальные
удерживающие связи, тогда для того, чтобы система находилась в равновесии в
данной системе отсчета, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие (5.8) для любого момента времени t ∈ (t0 , t1 ).
Доказательство достаточности в данном случае представляет более сложную
задачу.
Уравнение (5.8) называется общим уравнением статики.
Таким образом, виртуальные перемещения к реальному движению механической системы не имеет отношения, они вводятся, например, для определения
в системе реальных соотношений сил и получения условий равновесия системы.
Малость виртуальных перемещений обеспечивает постоянство реакций идеальных
связей.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
21 / 22
5.9 Задачи I
Задача 1. Материальная точка массы m в однородном поле силы тяжести
x2
y2
может двигаться по кривой, которая задана уравнениями:
+
+ z 2 = 1,
36
9
y
x
+ + z = 1, где ось Oz направлена вверх. Найдите положение равновесия
6
3
точки. ((0, 0, 1), (4, 2, −1/3))
Задача 2. Материальная точка массы m в однородном поле силы тяжести
находится на гладкой поверхности, которая вращается вокруг неподвижной вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω, в состоянии относительного
2gz
равновесия. Найдите уравнение этой поверхности. (x2 + y 2 − 2 = const)
ω
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
22 / 22
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ДИНАМИКА
Статика системы и твёрдого тела
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
d.shimanchuk@spbu.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург – 2022 г.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
1 / 40
6.1 Общее уравнение статики в обобщённых координатах I
В обобщённых координатах общее уравнение статики (5.8) запишется в виде
δAF =
N
X
ν=1
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
(Fν , δrν ) =
n
X
(6.1)
Qj (q, q̇ = 0, t)δqj = 0.
j=1
2022 г.
2 / 40
6.1 Общее уравнение статики в обобщённых координатах II
Известно, что для голономной механической системы число степеней свободы
m = n и δqj , j = 1, n, независимые, тогда из уравнения (5.8) получаем, что в
положении равновесия q0 (qj = q0j , j = 1, n), обобщенные силы равны нулю:
Qj (q = q0 , q̇ = 0, t) = 0,
(6.2)
j = 1, n.
Условия (6.2) образуют замкнутую систему уравнений для определения положения равновесия q0 системы.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
3 / 40
6.1 Общее уравнение статики в обобщённых координатах III
Если система сил потенциальна, то (6.2) представимо в виде
Qj (q = q0 , t) = −
∂Π(q, t)
∂qj
= 0,
(6.3)
j = 1, n,
q=q0
т. е. необходимым и достаточным условием равновесия голономной механической
системы с идеальными удерживающими связями в потенциальном поле сил является необходимым условием экстремума потенциальной энергии в положении
равновесия.
Замечание 1. Необходимые и достаточные условия равновесия голономной
механической системы с идеальными удерживающими связями, движущейся в однородном поле тяжести, совпадают с необходимыми условиями экстремальности
положения центра тяжести относительно фиксированной горизонтальной плоскости.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
4 / 40
6.1 Общее уравнение статики в обобщённых координатах IV
Для неголономной системы вариации δqj , j = 1, n, зависимые, они будут связаны s уравнениями (см. раздел Кинематика). Среди n величин будут независимы
m = n−s вариаций, например, δqj , j = 1, m, тогда можно выразить из s уравнений
связей остальные δqm+k , k = 1, s = n − m:
δqm+k =
m
X
cki δqi ,
(6.4)
k = 1, s,
i=1
где cki функции bβj (см. раздел Кинематика). После подстановки (6.4) в уравнение (6.1) получаем
!
m
s
n
m
X
X
X
X
cki Qm+k δqi =
Q∗i δqi = 0.
(6.5)
Qi +
Qj δqj =
j=1
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
i=1
k=1
i=1
2022 г.
5 / 40
6.1 Общее уравнение статики в обобщённых координатах V
Из (6.5) получаем
Q∗i = 0,
(6.6)
i = 1, m.
Условия (6.6) образуют систему m < n уравнений для определения положения
равновесия q0 (q0j , j = 1, n) системы, т. е. в общем случае положение равновесия
неголономной системы — многообразие размерности не меньше s в пространстве
обобщенных координат (состояний).
Замечание 2. Вообще говоря, для неголономной механической системы с идеальными удерживающими связями в потенциальном поле сил в положении равновесия необходимое условие экстремума потенциальной энергии не выполняется.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
6 / 40
6.2 Эквивалентность системы сил I
Рассмотрим две совокупности систем сил — Fi , i = 1,l, и Gi , i = 1,m. В
самом общем случае эти системы различны в смысле их количеств в совокупности
(l 6= m), количества точек приложения, величин и направлений сил в этих систем.
Ясно, что в таком случае движения механической системы под действием одной и второй совокупности сил при одинаковых начальных условиях (положение
и скорость точек механической системы в начальный момент совпадают) могут
совпадать или быть различными.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
7 / 40
6.2 Эквивалентность системы сил II
Определение 6.1
Две системы сил называются эквивалентными (Fi , i = 1,l, ∼ Gi , i = 1,m), если
движение механической системы не изменится при замене одной системы сил,
действующую на механическую систему, другой системой сил.
Определение 6.2
Если добавление или отбрасывание некоторой системы сил, действующей на
механическую систему, не изменяет движение этой механической системы, то
такую систему сил называют эквивалентной нулю или уравновешенной (Fi ,
i = 1,l, ∼ 0).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
8 / 40
6.2 Эквивалентность системы сил III
Учитывая замечание 3 к общему уравнения динамики, можно сформулировать критерий эквивалентности для систем сил: две системы сил являются
эквивалентными, если они совершают равную работу на любых и одних и тех
же виртуальных перемещениях системы.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
9 / 40
6.2 Эквивалентность системы сил IV
Используя представление общего уравнения статики в обобщенных координатах, можно сформулировать критерий эквивалентности через обобщенные силы.
G
Обозначим обобщенные силы для систем сил — QF
j и Qj , j = 1,n, и соответствуюF
G
щие им виртуальные работы — δA , δA . Тогда для разности виртуальных работ
получаем
n
X
G
δAF − δAG =
(QF
(6.7)
j − Qj )δqj .
j=1
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
10 / 40
6.2 Эквивалентность системы сил V
Для голономной системы величины δqj , j = 1,n, в (6.7) независимы: две системы сил, приложенные к голономной системе, являются эквивалентными, если
их обобщенные силы равны при определенном выборе обобщенных координат.
Для неголономной системы величины δqj , j = 1,n, в (6.7) зависимы, тогда,
учитывая представления (6.4) для зависимых вариаций обобщенных координат,
можно получить согласно (6.5) при определенном выборе обобщенных координат
представления для величин Q∗F
и Q∗G
i
i , i = 1,m: две системы сил, приложенные
к неголономной системе, являются эквивалентными, если равны величины Q∗F
i
и Q∗G
i , i = 1,m, при определенном выборе обобщенных координат.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
11 / 40
7.1 Равновесие твердого тела I
Рассмотрим твердое тело, к которому приложена система внешних сил, т. е.
(ext)
заданы F(ext) , MO . Для случаев свободного и несвободного твердого тела получим необходимые и достаточные условия его равновесия. Для второго случая,
прибавив систему неизвестных реакций связей к заданной системе активных сил,
будем мыслить несвободное твердое тело как свободное.
Для получения условий равновесия свободного твердого тела как механической системы с идеальными связями, используем принцип Лагранжа (принцип
виртуальных перемещений).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
12 / 40
7.1 Равновесие твердого тела II
Теорема(необходимые и достаточные условия равновесия твёрдого тела)
Для равновесия твердого тела при t ∈ [t0 , t1 ] необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись условия:
1
в момент t = t0 тело находится в состоянии покоя,
2
F(ext) = 0,
(ext)
MO
= 0.
(7.1)
♦ Свободное твердое тело — склерономная голономная механическая система,
для которой произвольное действительное перемещение за время dt является его
виртуальным перемещением:
(ext)
δA = (F(ext) , vO )dt + (MO
(7.2)
, ω)dt.
Откуда, учитывая произвольность величин vO и ω, из условия δA = 0 следуют
(ext)
равенства F(ext) = 0, MO
= 0.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
13 / 40
7.1 Равновесие твердого тела III
Замечание. Условия (7.1) в некоторой декартовой системе координат примут
вид системы из шести скалярных уравнений, некоторые из которых в частных
случаях могут удовлетворяться тождественно при t ∈ [t0 , t1 ].
Определение 7.1
Несвободные механические системы, для которых реакции наложенных связей
могут быть определены из уравнений (условий) статики, называются
статически определимой, иначе — статически неопределимой.
Для несвободного твердого тела из условий (7.1) могут быть получены уравнения относительно неизвестных реакций связей. Система будет статически определимой в данном случае, если число неизвестных проекций реакций связей не
превосходит числа скалярных уравнений системы (7.1) за исключением тех, которые выполняются тождественно.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
14 / 40
7.2 Критерий эквивалентности системы сил I
Теорема (необходимые и достаточные условия эквивалентности)
Для эквивалентности двух систем сил, приложенных к твердому телу,
необходимо и достаточно, чтобы для этих систем выполнялось равенство для
главных векторов и главных моментов относительно некоторого центра:
F(ext) = G(ext) ,
F (ext)
G(ext)
MO
= MO
.
(7.3)
♦ Из определения эквивалентности систем сил приложенных к механической системе и выражения (7.1) получаем
F (ext)
δAF − δAG = (F(ext) − G(ext) , vO )dt + (MO
G(ext)
− MO
, ω)dt.
Откуда, учитывая произвольность величин vO и ω, следуют равенства F(ext) −
F (ext)
G(ext)
G(ext) = 0, MO
− MO
= 0.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
15 / 40
7.2 Критерий эквивалентности системы сил II
Можно показать, что для одной и той же системы сил главные моменты, вычисленные относительно разных центров (полюсов), связаны соотношением
−−→
MO1 = MO + [O1 O, F],
(7.4)
т. е. при изменении полюса главный момент меняется на величину — момент
главного вектора, приложенного в старом полюсе, относительно нового полюса.
Так, если заданы две системы сил, для которых главные векторы и главные моменты относительно некоторого центра одинаковы, то для этих систем сил будут
одинаковы главные моменты относительно произвольного полюса.
Замечание. Если для заданной системы сил, приложенной к твердому телу,
выполняются условия (7.1), то эта система будет эквивалентна нулю (уравновешена).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
16 / 40
7.3 Равнодействующая системы сил. Теорема Вариньона. Частны
случаи равновесия тела I
Определение 7.2
Если заданная система сил, приложенная к твердому телу, эквивалентна одной
силе F∗ , то эту силу называют равнодействующей данной системе сил.
Теорема
Если заданная система сил, приложенная к твердому телу, имеет
равнодействующую F∗ , то она равна главному вектору F, а её момент
относительно произвольного полюса O равен главному моменту MO данной
системы сил.
Доказательство следует непосредственно из определения равнодействующей и
условий эквивалентности систем сил, приложенных к твердому телу.
Замечание. Формулировка теоремы в части момента равнодействующей относительно полюса носит название теоремы Вариньона.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
17 / 40
7.3 Равнодействующая системы сил. Теорема Вариньона. Частны
случаи равновесия тела II
Частные случаи равновесия твердого тела:
1. Из (7.1) следует, что под действием одной ненулевой силы тело не может
находиться в равновесии.
2. Под действием двух сил твердое тело при t ∈ [t0 , t1 ] находится в стоянии
равновесия, если оно покоится в начальный момент t = t0 , а при t ∈ [t0 , t1 ] эти
силы равны по величине, противоположно направлены и имеют общую линию
действия.
3.
Теорема (о трёх силах)
Тело под действием трех сил находится в состоянии равновесия при условии, что
линии действия двух из них пересекаются, тогда все три силы лежат в одной
плоскости и линии их действия пересекаются в одной точке.
Замечание. Из критерия эквивалентности следует, что сила, приложенная к
твердому телу, есть скользящий вектор.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
18 / 40
7.3 Равнодействующая системы сил. Теорема Вариньона. Частны
случаи равновесия тела III
4.
Определение 7.3
Систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называют
системой сходящихся сил.
Теорема (о равнодействующей системы сходящихся сил)
Система сходящихся сил имеет равнодействующую, которая проходит через
точку пересечения их линий действия.
5. Для равновесия свободного твердого тела при t ∈ [t0 , t1 ] под действием
плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы оно покоилось в начальный
момент t = t0 , а при t ∈ [t0 , t1 ] суммы проекций сил на две координатные оси и
сумма моментов сил относительно третьей оси равнялись нулю, т. е. условие (7.1)
(шесть скалярных уравнений) сводится к трем скалярным уравнениям.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
19 / 40
7.4 Равнодействующая двух параллельных сил I
Теорема (равнодействующая двух параллельных сил)
Две параллельные и одинаково направленные силы F1 , F2 , приложенные
соответственно в точках P1 , P2 , имеют равнодействующую F∗ = F1 + F2 ,
которая лежит в плоскости сил F1 , F2 , и её линия действия делит отрезок P1 P2
внутренним образом на части, обратно пропорционально величинам F1 , F2 . Две
параллельные и противоположно направленные силы F1 , F2 (F1 6= F2 ),
приложенные соответственно в точках P1 , P2 , имеют равнодействующую
F∗ = F1 + F2 , которая лежит в плоскости сил F1 , F2 (направлена в сторону
большей силы), и её линия действия делит отрезок P1 P2 внешним образом на
части, обратно пропорционально величинам F1 , F2 .
♦ Положим F∗ = F1 + F2 и выберем на прямой P1 P2 точку O:
F1 OP1 = F2 OP2 .
Тогда система сил (F1 , F2 ) ∼ F∗ , т. е. F∗ будет равнодействующей сил F1 , F2 .
Действительно, для данных систем сил равны главные векторы F = F∗ = F1 + F2
и главные моменты MO = 0.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
20 / 40
7.5 Пара сил I
Определение 7.4
Систему приложенных к твердому телу параллельных сил F1 , F2 , равных по
модулю и противоположных по направлению (F1 = −F2 ), называют парой сил.
Плоскость, в которой лежат силы F1 , F2 , называют плоскостью пары.
Расстояние d (d 6= 0) между линиями действия сил называется плечом пары.
Можно показать, что главный момент пары сил не зависит от полюса, относительно которого он вычисляется:
MO = [r1 , F1 ] + [r2 , F2 ] = [r1 − r2 , F1 ] = [d, F1 ].
Определение 7.5
Вектор M = [d, F1 ] называют моментом пары.
Замечание. Момент пары это свободный вектор, он полностью определяет
действие пары на тело (см. утверждения ниже).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
21 / 40
7.5 Пара сил II
Теорема (о равнодействующей пары сил)
Пара сил не имеет равнодействующей.
♦ Пусть существует сила F: (F1 , F2 ) ∼ F. Тогда, если взять на линии действия
силы F точку O, учитывая теорему о необходимых и достаточных условиях эквивалентности, получим противоречие.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
22 / 40
7.5 Пара сил III
Теорема (об эквивалентности пар сил)
Пары сил с равными моментами эквивалентны.
Доказательство непосредственно следует из теоремы о необходимых и достаточных условиях эквивалентности.
Следствие 1. Пару сил можно заменить другой парой в той же плоскости,
если не изменятся величина и направление момента пары.
Следствие 2. Пару сил можно перенести в плоскость, параллельную плоскости пары.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
23 / 40
7.5 Пара сил IV
Теорема (об эквивалентности системы пар сил)
Система нескольких пар с моментами Mi , i = 1,k, эквивалентна одной паре с
моментом M:
k
X
M=
Mi .
(7.5)
i=1
Доказательство непосредственно следует из теоремы о необходимых и достаточных условиях эквивалентности.
Следствие. Поскольку для системы пар сил F = 0, то условия равновесия
твердого тела сводиться в данном случае к одному условию:
(7.6)
M = 0.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
24 / 40
7.6 Теорема Пуансо I
Теорема (о приведении системы сил в самом общем случае)
Произвольная система сил эквивалентна системе, состоящей из одной силы F,
приложенной в произвольном полюсе O тела (центре приведения), и одной пары
с моментом MO , где F, MO — главный вектор и главный момент относительно
полюса O данной системы сил.
Доказательство непосредственно следует из теоремы о необходимых и достаточных условиях эквивалентности.
Следствие (о параллельном переносе силы). Сила, приложенная в некоторой
точке тела, эквивалентна той же силе, приложенной в другой точке этого тела,
и паре, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки
приложения.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
25 / 40
7.7 Статические инварианты I
Определение 7.6
Главный вектор системы сил F называют первым статическим инвариантом.
В более узком смысле первым статическим инвариантом называют
(7.7)
I1 = (F, F).
Аналогично F из формулы (7.4) следует, что (MO , F) не зависит от центра
приведения.
Определение 7.7
Вторым статическим инвариантом называют величину
(7.8)
I2 = (MO , F).
Из определения следует, что проекция главного момента системы сил на направление главного вектора не зависит от центра приведения.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
26 / 40
7.7 Статические инварианты II
Определение 7.8
Совокупность силы и коллинеарного ей момента пары сил называют
динамическим винтом или динамой.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
27 / 40
7.7 Статические инварианты III
Теорема (о приведении системы сил к динаме)
При условии I2 6= 0 система сил может быть приведена к динамическому винту.
♦ Пусть, согласно теореме Пуансо, для некоторого центра O система сил приведена к F, MO .
Обозначим O1 — некоторый новый центр приведения. Покажем, что O1 можно
выбрать так, что MO1 будет коллинеарен F:
(7.9)
MO1 = pF,
I2
6= 0.
I1
Далее, используя формулу (7.4), условие (7.9) можно переписать в виде
h−−→ i
(7.10)
MO + O1 O, F = pF.
где, учитывая (7.8), (7.9) и условие теоремы, p =
Это равенство определяет геометрическое множество точек (прямую), на котором
лежат центры, для которых данная система сил приводится к динамическому
винту.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
28 / 40
7.7 Статические инварианты IV
Определение 7.9
Прямую (7.10) называют центральной осью системы сил. При этом, если p > 0,
то винт называется правым, иначе — левым.
Табл. Возможные случаи приведения системы сил.
F
6= 0
6= 0
6= 0
=0
=0
MO
6= 0
6= 0
=0
6= 0
=0
(MO , F)
6= 0
=0
=0
=0
=0
Случаи приведения
динамический винт
равнодействующая
равнодействующая
пара сил
уравновешенная система сил
Замечание. Каждому из случаев приведения сил соответствует кинематический аналог (случай кинематического винта, мгновенного вращательного или
поступательного движения, покоя).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
29 / 40
8.1 Центр системы параллельных сил I
Пусть к телу в точках, заданных радиус-векторами ri , i = 1,k, приложена система параллельных сил Pi , i = 1,k. Последовательным сложением всех сил на
основании теоремы Вариньона можно определить точку C приложения равнодействующей данной системы сил P:
P=
k
X
(8.1)
Pi .
i=1
Можно заметить, что при повороте заданных сил Pi , i = 1,k, на один и тот же угол
равнодействующая повернется на тот же угол, оставаясь приложенной в точке C
и параллельной силам Pi , i = 1,k.
Определение 8.1
Точка C приложения равнодействующей системы параллельных сил, положение
которой не изменяется при любых поворотах сил этой системы около их точек
приложения на один и тот же угол в одном и том же направлении, называется
центром системы параллельных сил.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
30 / 40
8.1 Центр системы параллельных сил II
Для определения положения центра системы параллельных сил из теоремы
Вариньона
k
k
X
X
MO (P) = [rC , P] =
MO (Pi ) =
[ri , Pi ],
i=1
i=1
где rC — радиус-вектор точки C. Если обозначить Pi = Pi e, то
[rC , e]P =
k
X
i=1
Pi [ri , e] ⇔ [rC
k
X
Pi −
i=1
k
X
Pi ri , e] = 0.
i=1
Отсюда
Pk
Pi ri
.
rC = Pi=1
k
i=1 Pi
(8.2)
Для проекций (8.2) на оси системы координат Oxyz
Pk
Pk
Pk
Pi zi
i=1 Pi yi
i=1 Pi xi
, yC = P k
, zC = Pi=1
.
xC = P k
k
P
P
i=1 i
i=1 i
i=1 Pi
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
(8.3)
2022 г.
31 / 40
8.1 Центр системы параллельных сил III
Определение 8.2
P
P
Вектор ki=1 Pi ri = rC ki=1 Pi = rC P называется статическим моментом
системы параллельных сил относительно центра O.
Определение 8.3
P
P
P
Величины ki=1 Pi xi , ki=1 Pi yi , ki=1 Pi zi называются статическими
моментами системы параллельных сил относительно плоскостей Oyz, Oxz,
Oxy соответственно.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
32 / 40
8.2 Центр тяжести тела I
Вблизи поверхности Земли на каждую массивную частицу действуют направленная вертикально вниз сила тяжести. Параллельность сил тяжести для элементов твердого тела допустима для таких тел, размеры которых много меньше
размеров Земли.
Определение 8.4
Центр системы параллельных сил тяжести элементарных объемов данного тела
называется центром тяжести твердого тела.
Определение 8.6
Величина
dP
∆P
=
,
∆V
dV
где V — объем тела, называется удельным весом, а ρ = γ/g — плотностью тела
в данной точке.
γ = lim
∆V →0
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
33 / 40
8.2 Центр тяжести тела II
Если обозначить Pi = Vi γi = Vi ρi g, то, используя формулу (8.2), получим
формулу для радиус-вектора центра тяжести:
rC =
Pk
Vi ρi gri
Pi=1
k
i=1 Vi ρi g
Pk
= Pi=1
k
Vi ρi ri
i=1
Vi ρ i
(8.4)
,
т. е. получили радиус-вектор центра масс (центра инерции) тела.
Таким образом, для твердого тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, положения центра тяжести и центра масс совпадают.
Замечание. Центр масс является более общим понятием, чем центр тяжести
твердого тела. Центр масс имеет смысл не только для одного твердого тела, но и
для произвольной механической системы и вообще не зависит от того находится
тело в поле силы тяжести или нет.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
34 / 40
8.2 Центр тяжести тела III
Для сплошных объемных тел, плотность которых во всех точках одинакова,
заменяя суммирование интегрированием по всему объему, получаем
RRR
rdV
V
.
rC =
V
Для плоских тел формула будет иметь аналогичный вид:
RR
rdS
S
rC =
,
S
где S — площадь тела.
Методы определения координат центра тяжести:
1
Метод симметрии.
2
Метод разбиения.
3
Метод интегрирования.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
35 / 40
9.1 Сила трения качения I
Определение 9.1
Момент пары, противодействующий качению тела по опорной поверхности,
называют моментом трения качения.
Пусть к оси цилиндрического катка веса P и радиуса R, лежащего на негладкой горизонтальной поверхности приложена сила F. Из-за деформации катка и
поверхности их касание происходит по некоторой площадке, а нормальная реакция N бывает смещена относительно вертикальной плоскости катка на расстояние
δ.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
36 / 40
9.1 Сила трения качения II
Определение 9.2
Сила F01 , возникающая в точке касания катка и опорной поверхности и
направленная в обратном направлении F, называется силой трения качения.
Во время равновесия катка F = F01 и силы F01 , F образуют пару, которая
уравновешивается парой сил P, N.
Определение 9.3
Момент Mrr = δN пары сил P, N называют моментом трения качения
(0 ≤ Mrr ≤ Mrr max ). Плечо δ = δmax при предельном равновесии называют
коэффициентом трения качения.
Замечание. Если выполняется условие F + P + N + F01 = F + P + R = 0, то
каток покоится или движется с постоянной угловой скоростью, т. е. точки на оси
катка движутся прямолинейно и равномерно.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
37 / 40
9.1 Сила трения качения III
Момент трения качения Mrr вполне это трение характеризует, но бывает удобно пользоваться силой трения качения, которую получаем из равенства моментов
двух пар:
δ
δ
F01 = N = P.
(9.1)
R
R
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
38 / 40
9.2 Равновесие тела при качении I
Для ведомого катка:
Если
δ
δ
N = P,
R
R
то каток не сможет катиться. Если при этом
(9.2)
F ≤ F01 =
F ≤ F01 = f N = f P,
то каток не будет скользить и будет находиться в равновесии.
δ
Обычно
<< f , тогда определяющим является (9.2), т. е. для того, чтобы
R
вызвать качение, требуется существенно меньшая (чем для скольжения) сила F .
По этой причине в технике, где это возможно, скольжение заменяют качением.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
39 / 40
9.2 Равновесие тела при качении II
Для ведущего катка:
Ведущей каток характеризуется приложенной к нему парой сил (моментом) и
приложенной к оси катка силы F, которая характеризует сопротивление транспортного средства и которую каток сообщает транспортному средству.
Из условий равновесия:
F01 = F,
N = P,
M = F R + Mrr .
В предельном состоянии равновесия:
Fmax = f N = f P,
Mmax = (f R + δ)N = (f R + δ)P.
Каток может сообщить Fmax , когда к катку будет приложен момент Mmax ,
при этом полностью используется сила трения скольжения F01 = f N . Так при
M < Mmax сила F < Fmax , при M > Mmax сила F > Fmax , а это невозможно,
тогда каток начинает буксовать.
Таким образом, ведущей каток может сообщить силу, которая не превышает
силу трения скольжения, эту силу называют силой тяги по сцеплению.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
40 / 40
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ДИНАМИКА
Уравнения Лагранжа 1-го рода
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
d.shimanchuk@spbu.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург – 2022 г.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
1 / 14
10.1 Вывод уравнений Лагранжа 1-го рода I
Из аксиомы 2, принципа освобождаемости от связей и аксиомы 4 следует уравнение Ньютона для несвободных механических систем:
mν
d2 rν
= Fν + Rν ,
dt2
fα (r1 , . . . , rN , t) = 0,
N
X
ν = 1, N ,
(10.1)
α = 1, l,
(10.2)
(aβν (r1 , . . . , rN , t), vν ) + aβ (r1 , . . . , rN , t) = 0,
β = 1, s.
(10.3)
ν=1
Воспользуемся определением 4.10, тогда реакции связей Rν имеют следующее
представление:
l
s
X
X
(10.4)
µβ aβν , ν = 1, N .
Rν =
λα ∇ν fα +
α=1
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
β=1
2022 г.
2 / 14
10.1 Вывод уравнений Лагранжа 1-го рода II
Подставим (10.4) в (10.1), тогда система (10.1)-(10.3) примет вид:
s
l
mν
X
X
d2 rν
µβ aβν ,
λα ∇ν fα +
= Fν +
dt2
α=1
(10.5)
ν = 1, N ,
β=1
fα (r1 , . . . , rN , t) = 0,
N
X
(10.6)
α = 1, l,
(aβν (r1 , . . . , rN , t), vν ) + aβ (r1 , . . . , rN , t) = 0,
β = 1, s.
(10.7)
ν=1
Система уравнений (10.5)-(10.7) называется системой уравнений Лагранжа
1-го рода.
Количество уравнений равно 3N + l + s.
Количество неизвестных равно 3N + l + s.
Количество уравнений равно количеству неизвестных.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
3 / 14
10.2 Исключение множителей Лагранжа из уравнений Лагранжа
1-го рода I
Покажем, что аксиоматика Ньютона-Галилея является полной. Для этого сначала покажем, что из уравнений Лагранжа 1-го рода можно исключить множители Лагранжа.
Запишем уравнения (10.5) в матричной форме:
M w = F + B ∗ γ,
(10.8)
где M — блочно-диагональная матрица размерности (3N × 3N ), блоки которой
имеют размерность (3 × 3):


mν
0
0
 0
mν
0  = mν E, ν = 1, N ,
0
0
mν
mν — масса точки Pν механической системы; w — вектор-столбец (3N × 1), составленный из компонент векторов ускорений wν , ν = 1, N ; F — вектор-столбец
(3N × 1), составленный из компонент векторов активных сил Fν , ν = 1, N ; B —
матрица размерности ((l + s) × 3N ), составленная из коэффициентов уравнений
для виртуальных перемещений; γ — вектор-столбец ((l + s) × 1), составленный из
множителей Лагранжа λα , α = 1, l, и µβ , β = 1, s.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
4 / 14
10.2 Исключение множителей Лагранжа из уравнений Лагранжа
1-го рода II
Пусть задано действительное движение механической системы:
rν = rν (t),
(10.9)
ν = 1, N .
Ясно, что (10.9) является кинематически возможным, следовательно подстановка (10.9) в (10.6) и (10.7) обращает их в тождества.
Дифференцируя эти тождества по t ((10.6) — дважды, a (10.7) — один раз)
вдоль движения (10.9) получим, что (10.9) должно удовлетворять системе:
N
N X
X
(∇µ (∇ν fα , vν ), vµ ) + 2
N X
ν=1
µ=1 ν=1
∇ν
∂fα
, vν
∂t
+
N
X
(∇ν fα , wν )+
ν=1
∂ 2 fα
= 0, α = 1, l,
∂t2
X
N N
N
N
N X
X
X
X
∂aβν
(∇ν aβ , vν )+
(∇µ (aβν , vν ), vµ ) +
(aβν , wν ) +
, vν +
∂t
ν=1
ν=1
ν=1
µ=1 ν=1
+
+
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
∂aβ
= 0,
∂t
β = 1, s.
2022 г.
5 / 14
10.2 Исключение множителей Лагранжа из уравнений Лагранжа
1-го рода III
В матричной форме:
(10.10)
Bw = ϕ(r1 , . . . , rN , v1 , . . . , vN , t),
где ϕ — вектор-столбец (l + s) × 1, компоненты которого:
ϕj = ϕα = −
N
N X
X
(∇µ (∇ν fα , vν ), vµ ) − 2
−
N
X
N
N X
X
(∇µ (aβν , vν ), vµ ) −
(∇ν aβ , vν ) −
ν=1
∂fα
, vν
∂t
−
∂ 2 fα
, j = α, α = 1, l,
∂t2
µ=1 ν=1
−
∇ν
ν=1
µ=1 ν=1
ϕj = ϕβ = −
N X
N X
∂aβν
ν=1
∂t
, vν
−
∂aβ
, j = l + β, β = 1, s.
∂t
Таким образом, действительное движение (10.9), если оно существует, является решением системы уравнений (10.8), (10.10).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
6 / 14
10.2 Исключение множителей Лагранжа из уравнений Лагранжа
1-го рода IV
Из (10.8) следует равенство
w = M −1 (F + B ∗ γ),
которое при подстановке (10.10) и дальнейших очевидных преобразованиях позволяет получить матричное уравнение для определения множителей Лагранжа:
BM −1 B ∗ γ = ϕ − BM −1 F,
(10.11)
где BM −1 B ∗ = G — квадратная матрица ((l + s) × (l + s)).
В силу линейной независимости строк B, можно показать, что матрица G —
неособая. Тогда существует G−1 и
γ = (BM −1 B ∗ )−1 (ϕ − BM −1 F) = G−1 (ϕ − BM −1 F).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
(10.12)
2022 г.
7 / 14
10.2 Исключение множителей Лагранжа из уравнений Лагранжа
1-го рода V
Далее, если подставить (10.12) в (10.8), получим систему дифференциальных
уравнений для действительного движения механической системы:
M w = F + B ∗ (BM −1 B ∗ )−1 (ϕ − BM −1 F) = F + B ∗ G−1 (ϕ − BM −1 F),
(10.13)
где отсутствуют неизвестные множители Лагранжа, которые в соответствии с (10.12)
являются известными функциями времени, положений и скоростей точек механической системы при заданных уравнениях связей и активных силах.
Таким образом, (10.13) является замкнутой системой уравнений, решение которой — действительное движение. Согласно аксиоме 5 такое движение будет
единственным решением (10.13), а множители Лагранжа определяются однозначно из (10.12).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
8 / 14
10.3 Аналитическая зависимость реакций связей от активных сил
I
Подставим (10.12) в алгебраическое представление реакций связей:
R = B ∗ γ = B ∗ (BM −1 B ∗ )−1 (ϕ − BM −1 F) = B ∗ G−1 (ϕ − BM −1 F),
(10.14)
что и определяет аналитическую зависимость реакций связей R от активных сил
F.
Интегрирование (10.13) при заданных начальных данных и формула (10.14)
позволяют определить неизвестные силы реакций связей.
Таким образом, установили, что аксиоматика Ньютона-Галилея является полной — позволяет построить математическую модель движения для любых механических систем, из которых движение и реакции системы связей определяются
однозначно.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
9 / 14
10.4 Уравнения Лагранжа 1-го рода для голономных систем I
Запишем уравнения Ньютона для голономных механических систем:
mν
d2 rν
= Fν + Rν ,
dt2
fα (r1 , . . . , rN , t) = 0,
ν = 1, N ,
(10.15)
α = 1, l.
(10.16)
Согласно теореме о необходимых и достаточных условиях идеальности связей
или определению 4.10 следует, что при отсутствии кинематических связей
Rν =
l
X
λα ∇ν fα ,
(10.17)
ν = 1, N .
α=1
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
10 / 14
10.4 Уравнения Лагранжа 1-го рода для голономных систем II
Подставим (10.17) в уравнение (10.15), тогда получим систему:
l
mν
X
d2 rν
= Fν +
λα ∇ν fα ,
dt2
α=1
fα (r1 , . . . , rN , t) = 0,
(10.18)
ν = 1, N ,
(10.19)
α = 1, l.
Система уравнений (10.18), (10.19) называется системой уравнений Лагранжа
1-го рода для голономных механических систем.
Количество уравнений равно 3N + l.
Количество неизвестных равно 3N + l.
Количество уравнений равно количеству неизвестных.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
11 / 14
10.4 Уравнения Лагранжа 1-го рода для голономных систем III
Запишем уравнения (10.18) в аналогичной (10.8) матричной форме:
M w = F + B ∗ γ,
где B — матрица размерности (l × 3N ), составленная из коэффициентов соответствующих уравнений для виртуальных перемещений; γ — вектор-столбец (l × 1),
составленный из множителей Лагранжа λα , α = 1, l.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
12 / 14
10.4 Уравнения Лагранжа 1-го рода для голономных систем IV
Аналогичными операциями из п. Исключение множителей Лагранжа из уравнений Лагранжа 1-го рода эта система приводится к виду
M w = F + B ∗ G−1 (ϕ − BM −1 F),
(10.20)
где G = BM −1 B ∗ .
Вектор γ и вектор R определяются по формулам
γ = G−1 (ϕ − BM −1 F).
(10.21)
R = B ∗ γ = B ∗ G−1 (ϕ − BM −1 F),
(10.22)
где ϕ — вектор-столбец (l × 1), компоненты которого
ϕα = −
N
N X
X
(∇µ (∇ν fα , vν ), vµ ) − 2
µ=1 ν=1
N X
ν=1
∇ν
∂fα
, vν
∂t
−
∂ 2 fα
, α = 1, l.
∂t2
Следует заметить, что (10.21) и (10.12), (10.20) и (10.13), (10.22) и (10.14)
имеют одинаковый вид, но матрица B и вектор-функция ϕ в (10.20)-(10.22) отличаются от матрицы B и вектор-функции ϕ в (10.12)-(10.14).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
13 / 14
10.5 Задачи I
Задача 1. Тяжелая точка движется в однородном поле тяжести по гладкой
неподвижной наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α. Найти закон движения точки и реакцию связи.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
14 / 14
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
геометрия масс механической системы
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
d.shimanchuk@spbu.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург — 2022 г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
1 / 27
11.1 Центр масс системы
Определение 11.1
Массой системы, состоящей из N материальных точек, называется сумма масс
точек системы
N
X
mi .
(11.1)
M=
i=1
Определение 11.2
Центром масс системы материальных точек называется точка радиус-вектор
которой определяется равенством
PN
ν=1 mν rν
.
(11.2)
rC =
M
Дифференцируя по времени соотношение для радиус-вектора, определяющего
положение центра масс, получим его скорость и ускорение:
PN
PN
ν=1 mi ṙν
ν=1 mν vν
vC = ṙC =
=
,
M
M
PN
PN
ν=1 mν wν
ν=1 mν v̇ν
=
.
wC = v̇C = r̈C =
M
M
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
2 / 27
11.2 Момент инерции системы относительно оси I
Пусть для точек Pν , ν = 1,N , заданы соответственно расстояния dν , ν = 1,N ,
до некоторой оси u, проходящей через точку отсчета O и направление которой
задается ортом e.
Определение 11.3
Моментом инерции системы относительно оси u называется скалярная
величина
N
X
mν d2ν .
(11.3)
Iu =
ν=1
Момент инерции относительно заданной оси Iu можно представить в виде произведения массы системы на квадрат линейной величины:
Iu = M i2u .
Определение 11.4
Величина iu =
r
Iu
называется радиусом инерции системы относительно оси u.
M
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
3 / 27
11.2 Момент инерции системы относительно оси II
Можно показать, что
dν = rν sin ϕν =
p
rν2 − (rν , e)2 ⇔ d2ν = rν2 − (rν , e)2 .
Тогда, подставляя полученное выражение для dν в (11.3), получаем
Iu =
N
X
ν=1
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
mν rν2 − (rν , e)2 .
(11.4)
2022 г.
4 / 27
11.2 Момент инерции системы относительно оси III
Определение 11.5
Полярным моментом инерции относительно полюса O называется скалярная
величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат её
расстояния от этого полюса:
N
X
mν rν2 .
(11.5)
IO =
ν=1
Покажем, что полярный момент инерции системы относительно центра масс
C имеет наименьшее значение:
!
N
N
N
X
X
X
2
2
2
2
IO − IC =
mν rν −
mν (rν − rC ) = 2
= M rC
.
mν rν , rC − M rC
ν=1
ν=1
ν=1
Отсюда можно заметить, что центра масс механической системы не зависит от
выбора системы координат.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
5 / 27
11.2 Момент инерции системы относительно оси IV
Пусть определена некоторая система координат Oxyz, тогда полярный момент
инерции относительно O
IO =
N
X
mν (x2ν + yν2 + zν2 ).
ν=1
Определение 11.6
Моментом инерции системы относительно плоскости называется скалярная
величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат её
расстояния от этой плоскости:
P
IOyz = N
mν x2ν ,
Pν=1
N
IOzx = ν=1 mν yν2 ,
P
2
IOxy = N
ν=1 mν zν .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
6 / 27
11.2 Момент инерции системы относительно оси V
Определение 11.7
Моментом инерции системы относительно оси называется скалярная
величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат её
расстояния от этой оси:
P
2
2
Ix = N
ν=1 mν (yν + zν ),
PN
Iy = ν=1 mν (x2ν + zν2 ),
P
2
2
Iz = N
ν=1 mν (xν + yν ).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
7 / 27
11.2 Момент инерции системы относительно оси VI
Замечания 1. Рассмотренные моменты инерции связаны равенствами
1
IO = IOyz + IOzx + IOxy ,
2
Ix + Iy + Iz = 2IO ,
3
Ix = IOxy + IOzx, Iy = IOxy + IOyz , Iz = IOxy + IOzx.
Замечание 2. При нахождении положения центра масс и моментов инерции
для механических систем — сплошных тел суммы переходят в зависимости от
распределения массы по телу в объемные, поверхностные или криволинейные интегралы по массе тела. Учитывая это, иногда в литературе для выражений массы,
радиус-вектора центра масс, момента инерции твердого тела вместо знака суммирования используется обозначение
X
.
ν
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
8 / 27
11.2 Момент инерции системы относительно оси VII
Свойства момента инерции относительно оси:
1
Неотрицательные числа, они равны нулю, если все точки механической
системы лежат на оси, относительно которой определяется момент инерции.
2
Они постоянны при условии, что расстояния от точек механической системы
до соответствующей оси не изменяется при движении системы. Так, для
твердого тела они остаются постоянными для любой оси, которая жестко
связана с телом, на любых его движениях.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
9 / 27
11.3 Момент инерции и направляющий орт оси I
Пусть ось u проходит через начало координат Oxyz. Обозначим xν , yν , zν —
координаты точки Pν , ν = 1,N , механической системы, α, β, γ — направляющие
косинусы e в этой системе координат.
Представим (11.4) в алгебраическом виде. Обозначим rν , e — вектор-столбцы
координат точки Pν , ν = 1,N , и направляющего орта оси соответственно. Тогда,
учитывая rν2 = r∗ν rν и (rν , e) = r∗ν e = e∗ rν , выражение (11.4) можно представить
виде
N
N
X
X
mν (r∗ν rν − (e∗ rν )(r∗ν e)) .
(11.6)
mν r∗ν rν − (r∗ν e)2 =
Iu =
ν=1
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
ν=1
2022 г.
10 / 27
11.3 Момент инерции и направляющий орт оси II
Далее в (11.6) заменим выражения r∗ν rν и (e∗ rν )(r∗ν e) следующими их представлениями
r∗ν rν = (e∗ Ee)r∗ν rν = e∗ (Er∗ν rν )e,
(e∗ rν )(r∗ν e) = e∗ rν r∗ν e = e∗ (rν r∗ν )e,
где E — единичная матрица третьего порядка. Тогда
P
∗
∗
∗
∗
∗ PN
∗
∗
Iu = N
ν=1 mν (e (Erν rν )e − e (rν rν )e) = e
ν=1 mν (Erν rν − rν rν ) e =
∗
= e ΘO e,
(11.7)
P
∗
∗
где обозначили ΘO = N
ν=1 mν (Erν rν − rν rν ).
Матрица ΘO не зависит от e, т. е. выбора оси u, она существенным образом
зависит от выбора системы координат Oxyz. Для вычисления момента инерции
Iu по формуле (11.7) необходимо, чтобы орт e и ΘO были определены в одной
и той же системе координат Oxyz, а ось u проходила через точку O. Из (11.7)
видно, что Iu — квадратичная форма координат вектора e, где ΘO — матрица
коэффициентов этой квадратичной формы.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
11 / 27
11.4 Понятие тензора инерции и тензора второго ранга I
Определение 11.8
Матрица ΘO размерности (3 × 3) называется тензором инерции механической
системы, если она обладает следующими свойствами:
1
вычисляется по формуле
ΘO =
N
X
ν=1
mν (Er∗ν rν − rν r∗ν ) ,
2
элементы ее задаются в той системе координат с полюсом O, в которой
определены координаты векторов rν , ν = 1,N ,
3
для нее справедливы операции линейной алгебры только в тех случаях,
когда элементы матриц и векторов, которые участвуют в этих операциях
вместе с матрицей ΘO , заданы в той же системе координат, что и матрица
ΘO .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
12 / 27
11.4 Понятие тензора инерции и тензора второго ранга II
Определение 11.9
Тензором 2-го ранга называется вещественная квадратная матрица P
размерности (3 × 3), обладающая следующими свойствами:
1
элементы матрицы P задаются в определенной декартовой прямоугольной
системе координат Oxyz,
2
для матрицы P справедливы операции линейной алгебры только с теми
векторами и матрицами соответствующих размерностей, элементы которых
задаются в той же декартовой прямоугольной системе координат, что и
матрица P ; результатом этих операций является либо матрица или вектор с
элементами, заданными в той же системе координат, либо вещественное
число,
3
при пересчете элементов матрицы P в новую декартовую прямоугольную
систему координат Ox0 y 0 z 0 с тем же полюсом O матрица P преобразуется по
формуле
P 0 = A∗ P A,
(11.8)
где A — матрица перехода от Ox0 y 0 z 0 к Oxyz, P 0 — P , определенная в
Ox0 y 0 z 0 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
13 / 27
11.4 Понятие тензора инерции и тензора второго ранга III
Основные свойства ΘO :
1. ΘO — тензор 2-го ранга. Для этого достаточно показать, что согласно (11.8),
выполняется
Θ0O = A∗ ΘO A,
0
P
∗ 0
0 0∗
где Θ0O = N
ν=1 mν Erν rν − rν rν .
2. Тензор ΘO симметричный.
3. Тензор ΘO в координатах Oxyz имеет вид:


Ix
−Ixy −Ixz
(11.9)
ΘO =  −Ixy
Iy
−Iyz  ,
−Ixz −Iyz
Iz
где Ixy =
PN
ν=1
mν xν yν , Iyz =
Определение 11.10
PN
ν=1
mν yν zν , Ixz =
PN
ν=1
m ν x ν zν .
Элементы Ixy , Iyz , Ixz тензора ΘO называются центробежными моментами
инерции.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
14 / 27
11.4 Понятие тензора инерции и тензора второго ранга IV
4. Из (11.7), (11.9) получаем
Iu = Ix α2 + Iy β 2 + Iz γ 2 − 2Ixy αβ − 2Iyz βγ − 2Ixz αγ.
5. Квадратичная форма с матрицей ΘO является положительно определенной,
т. е.
%∗ ΘO % > 0
для любого % 6= 0.
6. Для осевых моментов инерции выполняются неравенства:
Ix + Iy ≥ Iz ,
Ix + Iz ≥ Iy ,
Iy + Iz ≥ Ix .
7. Тензор ΘO будет постоянным, если точки механической системы не меняют
своих положений в Oxyz.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
15 / 27
11.5 Определение тензора при переходе к другому полюсу I
Пусть Oxyz и O0 x0 y 0 z 0 — декартовые прямоугольные системы координат с разными полюсами, но взаимно параллельными осями и сонаправленными базисными векторами одноименных осей.
Между векторами rν , r0ν , rO 0 можно определить связь
rν = rO 0 + r0ν .
P
0
0
∗
0
∗
0
∗
∗
ΘO = N
ν=1 mν E(rO 0 + rν )(rO 0 + rν ) − (rO 0 + rν )(rO 0 + rν ) =
P
0
0
∗
0 ∗
∗
0 0∗
∗ 0
∗
0
∗
0
0
0
= N
ν=1 mν E(rO 0 rO + rν rν + 2rO 0 rν ) − (rO rO 0 + rν rν + rO rν + rν rO 0 ) =
0
= M E (r∗O 0 rO 0 − rO 0 r∗O 0 ) + ΘO 0 + M 2Er∗O 0 r0C − (rO 0 rC∗ + r0C r∗O 0 ) .
(11.10)
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
16 / 27
11.5 Определение тензора при переходе к другому полюсу II
Формула (11.10) для случая O0 = C (r0C = 0) примет вид
ΘO = M E (r∗C rC − rC r∗C ) + ΘO 0 .
Замечание. Формулы для тензора инерции были получены для параллельного переноса систем координат, однако они могут быть использованы для более общего случая произвольного расположения заданных систем координат. При этом
следует использовать третье свойство в определении тензора, согласно которому
при повороте системы координат тензор преобразуется по правилу (11.8).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
17 / 27
11.6 Момент инерции системы относительно параллельных осей I
Теорема (Гюйгенса-Штейнера).
Момент инерции Iu механической системы относительно некоторой оси равен
моменту инерции системы ICu относительно параллельной оси, проходящей
через её центр масс C, сложенному с произведением массы системы M на
квадрат расстояния dC между этими осями:
Iu = ICu + M d2C .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(11.11)
2022 г.
18 / 27
11.6 Момент инерции системы относительно параллельных осей I
♦ Учитывая преобразование координат rν = rC + r0ν , для момента инерции Iu ,
который определяется по формуле (11.7), получим
P
0
0
∗
∗
0
0
∗
∗
Iu = e∗ N
ν=1 mν E(rC + rν )(rC + rν ) − (rC + rν )(rC + rν ) e =
P
0
0
∗ 0
∗
0 0∗
∗
0 ∗
∗
∗ 0
= e∗ N
ν=1 mν E(rC rC + rν rν + 2rC rν ) − (rC rC + rν rν + rC rν + rν rC ) e =
P
0
∗ 0
∗
0 0∗
∗
= e∗ N
ν=1 mν E(rC rC + rν rν ) − (rC rC + rν rν ) e+
P
0
0
∗ 0
∗
∗
0 ∗
+e∗ N
ν=1 mν E(rC rν + rν rC ) − (rC rν + rν rC ) e =
P
0
∗ 0
∗
0 0∗
∗
= e∗ N
ν=1 mν E(rC rC + rν rν ) − (rC rC + rν rν ) e =
P
0
∗ 0
0 0∗
∗
∗
∗
= e∗ N
ν=1 mν E(rν rν ) − (rν rν ) e + M e (E(rC rC ) − (rC rC )) e =
∗
2
2
∗
2
= e ΘC e + M rC − (rC , e) = e ΘC e + M dC .
Замечание. Здесь было использовано условие, что начало новой системы координат совпадает с центром масс системы — теорему Гюйгенса-Штейнера можно
рассматривать как следствие результата предыдущего пункта.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
19 / 27
11.6 Момент инерции системы относительно параллельных осей
III
Следствие. Моменты инерции относительно двух произвольных и параллельных между собой осей связаны равенством:
Iu1 = Iu2 + M (d2C1 − d2C2 ),
(11.12)
где dC1 , dC2 — соответственно расстояния от центра масс до осей u1 и u2 .
Замечания.
1
Ось, проходящая через центр масс тела, характеризуется наименьшим
моментом инерции.
2
ICx + ICy + ICz = 2IC .
3
i2u = i2Cu + d2C .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
20 / 27
11.7 Понятие главных осей инерции I
Из курса линейной алгебры известно, что для симметричной вещественной
матрицы выполняется:
существует декартовая прямоугольная система координат такая, что при
переходе от исходной системы координат к указанной системе матрица
приводится к диагональному виду,
собственные числа матрицы вещественны.
Определение 11.11
Система координат Oxyz, в которой матрица ΘO имеет диагональный вид,
называется главной; оси Ox, Oy, Oz называются главными осями инерции, а
осевые моменты инерции относительно главных осей — главными моментами
инерции.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
21 / 27
11.7 Понятие главных осей инерции II
В главных осях

Ix
ΘO =  0
0
0
Iy
0

0
0 ,
Iz
где Ix , Iy , Iz — главные моменты инерции.
Для системы координат Cxyz с началом в центре масс системы C, в которой матрица ΘC имеет диагональный вид, главные оси Cx, Cy, Cz называются
главными центральными осями инерции, а осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называют главными центральными моментами
инерции. Если Ix , Iy , Iz — главные моменты инерции, то обычно их обозначают
как A, B, C.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
22 / 27
11.7 Понятие главных осей инерции III
Главные моменты инерции совпадают с собственными числами матрицы ΘO ,
т. е. с корнями характеристического уравнения
det(ΘO − λE) = 0.
Механическая система называется динамически симметричной, если все ее
главные центральные моменты инерции равны (A = B = C).
Механическая система называется динамически симметричной по оси Cz, если равны главные центральные моменты инерции относительной осей Cx и C
(A = B). Аналогично определяется динамически симметричная система по Cx
(B = C) и по C (A = C).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
23 / 27
11.8 Эллипсоид инерции I
Рассмотрим механическую систему — твердое тело. Запишем в связанных осях
твердого тела (осях Oxyz) выражение для момента инерции Iu относительно оси
u с ортом e = (α, β, γ)∗ :
Iu = Ix α2 + Iy β 2 + Iz γ 2 − 2Ixy αβ − 2Iyz βγ − 2Ixz αγ.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
24 / 27
11.8 Эллипсоид инерции II
Обозначим
1
r = ± √ e.
Iu
1
т. е. r — радиус-векторы точек, орты этих векторов ±e и их длина равна √ .
Iu
Тогда, если разделить последнее выражение для момента инерции на Iu и использовать введенное обозначение, получим уравнение поверхности:
Ix x2 + Iy y 2 + Iz z 2 − 2Ixy xy − 2Iyz yz − 2Ixz xz = 1.
(11.13)
Определение 11.12
Поверхность, которая описывается уравнением (11.13), называется эллипсоидом
инерции.
В главных осях или главных центральных осях уравнение эллипсоида инерции (11.13) примет вид:
Ax02 + By 02 + Cz 02 = 1,
1
1
1
где √ , √ , √ — значения полуосей эллипсоида инерции.
A
B
C
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
25 / 27
11.8 Эллипсоид инерции III
Замечание 1. Если при определенном выборе Oxyz выполняется Ixz = Iyz =
0, Ixy 6= 0, то Oz является главной осью.
Покажем, что поворотом системы Oxyz вокруг Oz можно добиться условия:
все центробежные моменты инерции равны нулю:




cos ϕ − sin ϕ 0
Ix
−Ixy 0
cos ϕ
sin ϕ 0
cos ϕ
0 =
Iy
0   sin ϕ
Θ0O =  − sin ϕ cos ϕ 0   −Ixy
0
0
1
0
0
Iz
0
0
1


Iy − Ix
2
2
Ix cos ϕ − Ixy sin 2ϕ + Iy sin ϕ
sin 2ϕ − Ixy cos 2ϕ
0

2


Iy − Ix
=

sin 2ϕ − Ixy cos 2ϕ
Ix sin2 ϕ + Ixy sin 2ϕ + Iy cos2 ϕ 0  .
2
0
0
Iz
Из условия
Iy − Ix
sin 2ϕ − Ixy cos 2ϕ = 0 находим
2
tg2ϕ =
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2Ixy
.
Iy − Ix
2022 г.
26 / 27
11.8 Эллипсоид инерции IV
Замечание 2. Для тела с однородным расположением масс эллипсоид инерции позволяет охарактеризовать его форму:
1
минимальному моменту инерции соответствует большая полуось
эллипсоида,
2
если момент инерции минимален, то все точки располагаются ближе к этой
оси, чем по отношению к другим осям; радиус инерции относительно
указанной оси минимален,
3
максимальному моменту инерции соответствует малая полуось эллипсоида
инерции,
4
если момент инерции относительно оси максимален, то все материальные
точки располагаются дальше от нее (по сравнению с расстоянием до других
осей); радиус инерции относительно этой оси максимален.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
27 / 27
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
основные динамические характеристики
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
d.shimanchuk@spbu.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург — 2022 г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
1 / 37
12.1 Количество движения системы материальных точек I
Определение 12.1
Количеством движения (мерой механического движения) материальной точки
называется вектор, равный произведению массы точки на вектор её скорости
(12.1)
q = mv.
Определение 12.2
Количеством движения материальной системы называется главный вектор
(векторная сумма) количеств движения материальных точек, входящих в
систему
N
N
X
X
mν vν .
(12.2)
qν =
Q=
ν=1
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
ν=1
2022 г.
2 / 37
12.1 Количество движения системы материальных точек II
Теорема. Количество движения системы материальных точек (твёрдого тела)
равно произведению массы системы (твёрдого тела) на скорость её (его) центра
масс:
Q = M vC .
(12.3)
♦ Из определения радиус-вектора центра масс имеем
N
X
mν vν = M vC .
ν=1
Из определения количества движения материальной системы получим
Q = M vC .
Замечание. Количество движения системы материальных точек равно количеству движения одной материальной точки, масса которой равна массе системы,
а скорость — скорости центра масс.
Следствие. Если в какой-либо системе координат положение центра масс не
изменяется, то количество движения механической системы относительно этой
системы координат равно нулю.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
3 / 37
12.1 Количество движения системы материальных точек III
Примеры механических систем:
В твердом теле центр масс не изменяет свое положение, тогда Qr = 0.
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр
масс, тогда Q = 0.
Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки, совпадающей с
центром масс, тогда Q = 0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
4 / 37
12.2 Кинетический момент системы материальных точек I
В заданном пространстве (подвижном или неподвижном) зафиксируем некоторую точку O. Точка O может двигаться относительно этого пространства или
оставаться неподвижной. Обозначим rν = OPν — радиус-вектор точки Pν механической системы относительно точки O.
Определение 12.3
Кинетическим моментом kO точки Pν , или моментом количества движения
точки Pν относительно точки O, называется вектор
(12.4)
kOν = [rν , mν vν ] = [rν , qν ].
Точка O, относительно которой вычисляется кинетический момент, называется
его центром.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
5 / 37
12.2 Кинетический момент системы материальных точек II
Определение 12.4
Кинетическим моментом ku относительно оси u точки Pν , или моментом
количества движения точки Pν относительно оси u называется проекция на
ось u кинетического момента материальной точки относительно центра O,
взятого на данной оси.
Замечание. Как и в случае определения момента силы относительно оси, легко убедиться, что кинетический момент относительно оси u не зависит от выбора
центра O на этой оси.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
6 / 37
12.2 Кинетический момент системы материальных точек III
Определение 12.5
Кинетическим моментом KO материальной системы, или главным моментом
количества движения точек материальной системы относительно центра,
называется векторная сумма моментов количеств движения точек системы
относительно того же центра
KO =
N
X
ν=1
kOν =
N
X
ν=1
[rν , mν vν ] =
N
X
(12.5)
[rν , qν ].
ν=1
Определение 12.6
Кинетическим моментом системы Ku относительно оси u, или моментом
количества движения системы относительно оси u называется проекция на
ось u кинетического момента системы относительно центра O, взятого на данной
оси.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
7 / 37
12.2 Кинетический момент системы материальных точек IV
Замечание. Кинетический момент имеет относительный характер в двух смыслах:
он вычисляется относительно определенного центра O, который может быть
связан или нет с системой материальных точек, быть подвижным или нет в
том пространстве, относительно которого рассматриваются импульсы
материальных точек;
кинетический момент зависит от того, по отношению к какой системе
координат берутся импульсы материальных точек.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
8 / 37
12.3 Кинетический момент системы материальных точек при
переходе к другому центру I
Пусть в пространстве заданы две различные точки — O, O1 :
KO =
N
X
[rν , mν vν ],
KO1 =
ν=1
N
X
[r1ν , mν vν ].
ν=1
Тогда, учитывая rν = OO1 + r1ν , получаем
KO =
PN
ν=1 [OO1
P
PN
+ r1ν , mν vν ] = N
ν=1 [OO1 , mν vν ] +
ν=1 [r1ν , mν vν ] =
= [OO1 , M vC ] + KO1 =
= [OO1 , Q] + KO1 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
(12.6)
9 / 37
12.4 Кёниговая система координат I
Пусть Oxyz — инерциальная система координат. Введем следующую подвижную систему координат Cxyz. Полюс C совпадает с центром масс механической
системы. Такая система называется кёниговой системой координат.
Система координат, движущаяся поступательно в инерциальном пространстве,
с началом отсчета в центре инерции механической системы называется кёниговой
системой координат.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
10 / 37
12.4 Кёниговая система координат II
Теорема. Количество движения механической системы относительно кёниговой системы равно нулю:
Qr = 0.
♦ Учитывая теорему о сложении скоростей в сложном движении, запишем
Qr =
N
X
ν=1
qrν =
N
X
mν (vν − vC ) = Q − M vC = 0.
ν=1
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
11 / 37
12.5 Связь абсолютного кинетического момента с кинетическим
моментом в движении относительно центра масс I
Обозначим кинетический момент механической системы, вычисленный относительно центра масс (абсолютный кинетический момент системы относительно
центра масс):
N
X
[ρ ν , mν vν ]
KC =
ν=1
и кинетический момент системы относительно центра масс при ее движении относительно кёниговой системы координат (относительный кинетический момент):
KrC =
N
X
[ρν , mν vrν ].
ν=1
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
12 / 37
12.5 Связь абсолютного кинетического момента с кинетическим
моментом в движении относительно центра масс II
Теорема. Справедливо равенство
(12.7)
KC = KrC ,
т. е. абсолютный кинетический момент относительно центра масс совпадает с относительным кинетическим моментом.
♦ Учитывая теорему о сложении скоростей в сложном движении, запишем
KC =
N
X
[ρν , mν (vC + vrν )] =
ν=1
N
X
[mν ρν , vC ] + KrC = KrC ,
ν=1
т. к. центр масс совпадает с началом кёниговой системы координат —
0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
PN
ν=1
2022 г.
mν ρ ν =
13 / 37
12.5 Связь абсолютного кинетического момента с кинетическим
моментом в движении относительно центра масс III
Следствие. Выполняется
(12.8)
KO = [rC , Q] + KC = [rC , Q] + KrC .
Движение механической системы по отношению к кёниговой системе координат принято называть ее движением относительно центра масс.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
14 / 37
12.6 Кинетический момент системы материальных точек при
сложном движении I
Установим связь между кинетическим моментом системы материальных точек
при рассмотрении движения условно неподвижной Oxyz и в подвижной O0 x0 y 0 z 0
системах координат, неизменно связанной с системой материальных точек.
Обозначим rν = rO 0 + ρν — радиус-вектор ν-ой точки в системе Oxyz, где ρν
— радиус-вектор этой точки в системе O0 x0 y 0 z 0 , rO 0 — радиус-вектор точки O0 в
Oxyz.
Найдём формулу для определения кинетического момента KO относительно
начала системы координат Oxyz, если подвижная система координат O0 x0 y 0 z 0 совершает поступательное движение вместе с полюсом O0 и вращательное вокруг
него.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
15 / 37
12.6 Кинетический момент системы материальных точек при
сложном движении II
По определению
KO =
N
X
[rν , mν vν ]
ν=1
или
KO =
N
X
[rO 0 + ρν , mν vν ].
ν=1
Учитывая далее, что rO 0 не зависит от индекса суммирования и определение
центра масс, последней формуле можно придать вид
(12.9)
KO = [rO 0 , Q] + KO 0 ,
где KO 0 =
O.
PN
ν=1 [ρν , mν vν ]
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
— кинетический момент системы относительно центра
2022 г.
16 / 37
12.6 Кинетический момент системы материальных точек при
сложном движении III
Теорема. Для механической системы выполняется
KO = [rO 0 , Q] + M [ρC , vO 0 ] +
N
X
[ρν , mν [ω, ρν ]] +
ν=1
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
N
X
mν [ρν , vrν ] .
(12.10)
ν=1
2022 г.
17 / 37
12.6 Кинетический момент системы материальных точек при
сложном движении IV
♦ Рассмотрим кинетический момент системы KO 0 , учитывая, что скорость ν-ой
точки тела определяется соотношением
vν = vO 0 + [ω, ρν ] +
e
dρ
ν
= vO 0 + [ω, ρν ] + vrν .
dt
Тогда
KO 0 =
N
X
[ρν , mν (vO 0 + [ω, ρν ] + vrν )].
ν=1
P
vO 0 и ω не зависят от индекса суммирования и N
ν=1 mν ρν = M ρC , окончательно получаем
KO 0 = M [ρC , vO 0 ] + Kω
O 0 + KrO 0 ,
PN
PN
ω
где KrO 0 = ν=1 mν [ρν , vrν ], KO 0 = ν=1 [ρν , mν [ω, ρν ]] — кинетический момент,
обусловленный только вращением системы относительно точки O0 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
18 / 37
12.6 Кинетический момент системы материальных точек при
сложном движении V
Теорема. Справедлива формула
Kω
O 0 = ΘO 0 ω,
(12.15)
где ΘO 0 — тензор инерции в полюсе O0 связной системы координат.
♦ Учитывая определение, запишем
Kω
O0 =
PN
P
2
[ω, ρν ]] = N
ν=1 [ρν , m
ν=1 mν (ωρν −
PνN
= ν=1 mν (Eρ2ν − ρν ρ∗ν )ω =
ρν (ω, ρν )) =
= ΘO 0 ω.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
19 / 37
12.6 Кинетический момент системы материальных точек при
сложном движении VI
На практике наибольший интерес представляет случай, когда материальная
система не изменяемая, т. е. случай твёрдого тела (vrν = 0, KrO 0 = 0):
KO = [rO 0 , Q] + [ρC , M vO 0 ] + Kω
O0 .
(12.11)
В частности, если начало подвижной системы координат находится в центре
масс C, то ρC = 0 и соотношение для кинетического момента упрощается
KO = [rC , Q] + Kω
C.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(12.12)
2022 г.
20 / 37
12.6 Кинетический момент системы материальных точек при
сложном движении VII
Следствие 1. Кинетический момент тела относительно неподвижного центра
O равен моменту количества движения тела, приложенному в полюсе O0 , относительно того же центра, сложенному с векторным произведением [ρ C , M vO 0 ], а
так же с моментом количества движения тела во вращательном движении вокруг
полюса:
(12.13)
KO = [rO 0 , Q] + [ρC , M vO 0 ] + Kω
O0 .
Следствие 2. Если начало подвижной системы координат совпадает с центром масс, то: кинетический момент твёрдого тела относительно неподвижного
центра O равен сумме момента количества движения тела относительно того же
центра O в предположении, что вся масса тела сосредоточена в центре масс и
момента количества движения тела во вращательном движении вокруг центра
масс:
KO = [rC , Q] + Kω
(12.14)
C.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
21 / 37
12.7 Кинетический момент тела в частных случаях его движения
Применим результат следствия 1 предыдущего пункта к следующим группам
движений твердого тела:
поступательное движение,
вращение вокруг неподвижной точки,
вращение вокруг неподвижной оси.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
22 / 37
12.7 Кинетический момент тела в частных случаях его движения
II
1. При поступательном движении ω = 0, vC = vO 0 = vν , тогда, учитывая
rC = rO 0 + ρC , то получаем
KO = [rC , Q].
(12.16)
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
23 / 37
12.7 Кинетический момент тела в частных случаях его движения
III
2. При вращении вокруг неподвижной точки. Считаем, что O и O0 совпадают
с неподвижной точкой, тогда vO 0 = 0 и rO 0 = 0:
(12.17)
KO = ΘO ω.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
24 / 37
12.7 Кинетический момент тела в частных случаях его движения
IV
3. При вращении вокруг неподвижной оси. Считаем, что O и O0 совпадают и
находятся на неподвижной оси, тогда vO 0 = 0, rO 0 = 0 и вектор ω коллинеарен оси
вращения (примем, что ось вращения совпадает с осями Oz и Oz 0 , следовательно
ω = ωk0 ):
KO = ΘO ω = ωΘO k0 .
(12.18)
В частности, если Oz 0 является главной, то
(12.19)
KO = Cω.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
25 / 37
12.8 Кинетическая энергия I
Определение 12.7
Энергией называется физическая величина, которая является скалярной мерой
движения материи при переходе от одной формы движения в другую, например,
механической в тепловую.
Определение 12.8
Кинетической энергией материальной точки Pν называется скалярная мера
механического движения, равная половине произведения массы точки на
квадрат её скорости:
mν vν2
.
(12.20)
Tν =
2
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
26 / 37
12.8 Кинетическая энергия II
Определением 12.9
Кинетической энергией системы материальных точек называется сумма
кинетических энергий всех точек, входящих в систему:
T =
N
X
ν=1
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
Tν =
N
1X
mν vν2 .
2 ν=1
(12.21)
2022 г.
27 / 37
12.8 Кинетическая энергия III
Движение материальной системы относительно осей инерциальной системы
координат Oxyz можно представить как сложное и разложить его на простейшие
движения с целью упрощения вычисления кинетической энергии системы.
Введём подвижную систему координат O0 xyz, которая перемещается поступательно относительно системы координат Oxyz.
Обозначим rν = rO 0 + ρν , vν = vO 0 + vrν , где vO 0 — скорость точки O0 , vrν
— скорость точки относительно поступательно движущейся системы координат
Oxyz. Тогда для кинетической энергии системы выполняется теорема:
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
28 / 37
12.8 Кинетическая энергия IV
Теорема (Кёнига). Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии поступательного (переносного) движения системы вместе с центром
масс и кинетической энергии движения системы относительно центра масс:
T =
1
2
M vC
+ TrC .
2
(12.22)
♦ Для кинетической энергии системы можем записать:
P
m (v 0 + vrν , vO 0 + vrν ) =
T = 21 N
ν=1
P
PN
PN ν O
2
2
1
= 12 N
m
v
+
0
ν
O
ν=1
ν=1 mν vrν =
ν=1 mν (vO 0 , vrν ) + 2
2
1
= 2 M vO 0 + M (vO 0 , vrC ) + TrO 0 ,
(12.23)
P
2
где TrO 0 = 12 N
ν=1 mν vrν — кинетическая энергия относительного движения системы.
Если начало подвижной системы координат O0 совпадает с центром масс C
системы, то vO 0 = vC , vrC = 0 и выражение для кинетической энергии принимает
вид (12.22).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
29 / 37
12.9 Кинетическая энергия твердого тела I
Введём ещё одну систему координат O0 x0 y 0 z 0 , которая жестко связана с твёрдым телом, угловая скорость вращения которого ω. Тогда для скорости ν-ой точки
получаем: vν = vO 0 + [ω, ρν ]. Следовательно для кинетической энергии получаем
выражение:
N
1
1X
2
T = M vO
mν [ω, ρν ]2 ,
(12.24)
0 + M (vO 0 , ω, ρ C ) +
2
2 ν=1
P
2
где TrO 0 = TOω0 = 12 N
ν=1 mν [ω, ρν ] , индекс ω показывает, что кинетическая энергия относительного движения обусловлена вращением твёрдого тела относительно
полюса.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
30 / 37
12.9 Кинетическая энергия твердого тела II
Следствие. В случае твердого тела справедлива формула
TrO 0 =
1 ∗
ω ΘO 0 ω,
2
(12.25)
где ΘO 0 — тензор инерции тела в полюсе O0 связной системы координат.
♦ Учитывая определение, запишем
P
P
[ω, ρν ]2 = 21 N
TrO 0 = 12 N
ν=1 mνP
ν=1 mν ([ω, ρν ], [ω, ρν ]) =
= 12 N
m
(ω,
ρ
ν
ν , [ω, ρν ]) =
ν=1
P
2
m
(ω,
ωρ
= 21 N
ν
ν −ρ
ν (ω, ρν )) =
ν=1
P
P
N
2 2
2
2
∗
1 ∗
= 12 N
m
(ω
ρ
−
(ω,
ρ
)
)
=
ω
ν
ν
ν
ν=1
ν=1 mν (Eρν − ρν ρν )ω =
2
1 ∗
= 2 ω ΘO 0 ω.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
31 / 37
12.9 Кинетическая энергия твердого тела III
Замечание. Применительно к твёрдому телу теорема Кёнига может быть записана в виде равенства
1
2
T = M vC
+ TrC ,
2
т. е. кинетическая энергия твёрдого тела равна сумме кинетической энергии его
поступательного (переносного) движения вместе с центром масс и кинетической
энергии вращательного движения тела вокруг центра масс.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
32 / 37
12.10 Кинетическая энергия тела в частных случаях его
движения I
Применим результат предыдущего пункта к следующим группам движений
твердого тела:
поступательное движение,
вращение вокруг неподвижной точки,
вращение вокруг неподвижной оси.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
33 / 37
12.10 Кинетическая энергия тела в частных случаях его
движения II
1. При поступательном движении ω = 0, vC = vO 0 = vν :
T =
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
1
1
2
2
M vO
0 =
M vC
.
2
2
(12.26)
2022 г.
34 / 37
12.10 Кинетическая энергия тела в частных случаях его
движения III
2. При вращении вокруг неподвижной точки. Считаем, что O и O0 совпадают
с неподвижной точкой, тогда vO 0 = 0:
T =
N
1
1X
mν [ω, ρν ]2 = ω ∗ ΘO ω.
2 ν=1
2
(12.27)
Если обозначить e — орт мгновенной оси вращения u, то ω = ωe и
T =
1 ∗
1
e ΘO eω 2 = Iu ω 2 .
2
2
(12.28)
Если система Ox0 y 0 z 0 является главной, то
T =
1
(Ap2 + Bq 2 + Cr 2 ),
2
(12.29)
где p, q, r — проекции ω на оси Ox0 y 0 z 0 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
35 / 37
12.10 Кинетическая энергия тела в частных случаях его
движения IV
3. При вращении вокруг неподвижной оси. Считаем, что O и O0 совпадают
и находятся на неподвижной оси, тогда vO 0 = 0, и вектор ω коллинеарен оси
вращения (примем, что ось вращения совпадает с осями Oz и Oz 0 , следовательно
ω = ωk0 ):
1 0
1
T = k ∗ ΘO k0 ω 2 = I z 0 ω 2 .
(12.30)
2
2
В частности, если Oz 0 является главной, то
T =
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
1
Cω 2 .
2
(12.31)
2022 г.
36 / 37
12.11 Соотношение между основными динамическими величинами
I
Между основными динамическими характеристиками в случае твердого тела
справедливо равенство:
(12.32)
2T = (Q, vO 0 ) + (KO 0 , ω),
т. е. сумма скалярного произведения количества движения системы на скорость
полюса vO 0 и скалярного произведения её кинетического момента KO 0 , вычисленного относительно полюса O0 , на угловую скорость вращения ω равно удвоенной
кинетической энергии 2T .
Замечание. Количество движения Q и кинетический момент KO 0 полностью
характеризуют механическое движение тела и однозначно связаны с кинетической
энергией тела.
Упр. Докажите (12.32).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
37 / 37
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
основные теоремы динамики
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
d.shimanchuk@spbu.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург — 2022 г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
1 / 63
13.1 Общие замечания I
Установим соотношения между мерами механического движения системы материальных точек (или одной материальной точки) и силами, характеризующими
динамический эффект действия окружающих тел на каждую материальную точку системы.
Уравнения движения механической системы (свободной и несвободной) можно
представить в виде
mν wν = F(ext)
+ Fν(int) ,
ν
(ext)
(13.1)
ν = 1, N .
(int)
и Fν , ν = 1, N , движение системы может
Замечание. При известных Fν
быть получено интегрированием уравнений. Обычно построение аналитического
решения представляет собой невыполнимую задачу и это удается сделать численно, что позволяет построить частные решения, из которых сложно вывести
некоторые общие свойства движений.
Для того, чтобы установить свойства движений, часто достаточно знать, как
ведут себя некоторые функции, вычисляемые на этих движениях.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
2 / 63
13.1 Общие замечания II
Определение 13.1
Скалярная функция ϕ(r1 , . . . , rN , v1 , . . . , vN , t), вычисляемая на решениях
r = rν (t) и v = vν (t), ν = 1, N , системы (13.1)), называется функционалом.
Определение 13.2
Скалярная функция ϕ(r1 , . . . , rN , v1 , . . . , vN , t), не являющаяся тождественной
постоянной, называется первым интегралом системы (13.1), если при
подстановке в нее любого решения системы (13.1), она обращается в постоянную,
т. е.
ϕ(r1 , . . . , rN , v1 , . . . , vN , t) := const.
где r = rν (t) и v = vν (t), ν = 1, N — произвольное решение системы (13.1).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
3 / 63
13.1 Общие замечания III
N
X
(∇ν ϕ, ṙν ) +
(∇ν ϕ, vν ) +
ν=1
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(∇vν ϕ, wν ) +
ν=1
ν=1
N
X
N
X
N X
ν=1
∂ϕ
= 0.
∂t
∂ϕ
1 (ext)
(int)
∇vν ϕ,
= 0.
Fν
+ Fν
+
mν
∂t
2022 г.
4 / 63
13.1 Общие замечания IV
В механике в качестве функционалов (которые в отдельных случаях могут
быть первыми интегралами) берут динамические характеристики (количество движения, кинетический момент, кинетическая энергия) и для них вычисляют скорости изменения на движениях механической системы.
Определение 13.3
Утверждения, устанавливающие связь скорости изменения динамических
величин на движениях с силами, вызывающими эти движения, называются
основными теоремами (или основными законами) динамики.
Определение 13.4
В случаях, когда скорость изменения динамической величины равна нулю, такие
законы называются законами сохранения динамической величины.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
5 / 63
13.1 Общие замечания V
Замечание. Основные теоремы динамики:
1
характеризуют отдельные свойства механического движения и дают
частичную информацию об этом движении. При решении динамических
задач, требующих определения отдельных свойств движения системы,
основные теоремы динамики являются наиболее эффективными методами
исследования;
2
можно представить как в дифференциальной, так и в интегральных формах.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
6 / 63
13.2 Теорема о движении центра масс I
Теорема. Центр масс системы материальных точек движется как свободная
материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил:
M wC = F(ext) .
(13.2)
♦ Пусть система состоит из N материальных точек, на каждую из которых дей(int)
(ext)
силы.
и внутренняя Fν
ствуют внешняя Fν
mν wν = F(ext)
+ Fν(int) , ν = 1, N ⇒
ν
N
X
m ν wν =
Fν(int) = 0 ⇒
ν=1
N
X
m ν wν = M wC ,
ν=1
N
X
ν=1
N
X
m ν wν =
F(ext)
+
ν
ν=1
ν=1
N
X
N
X
N
X
N
X
Fν(int) .
ν=1
F(ext)
.
ν
ν=1
F(ext)
= F(ext) ⇒ M wC = F(ext) .
ν
ν=1
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
7 / 63
13.2 Теорема о движении центра масс II
Следствия.
1
2
3
Одними только внутренними силами нельзя изменить характер движения
центра масс системы материальных точек. Внутренние силы могут
оказывать косвенное влияние на движение центра масс только через
внешние силы.
Если главный вектор F(ext) внешних сил, действующих на систему равен
нулю, то центр масс её находится в покое или движется равномерно и
прямолинейно в зависимости от начальных условий. Пара сил, приложенная
к твёрдому телу, не может изменить характер движения его центра масс,
так как главный вектор пары сил равен нулю. Пара сил может вызвать
только вращение.
Если одна из проекций главного вектора внешних сил на ось неподвижной
системы координат равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту
ось не изменяется. В случае, когда система состоит из двух материальных
точек и движение одной их них из каких-либо дополнительных соображений
задано, то при F(ext) = 0 теорема о движении центра масс позволяет
определить движение второй материальной точки. Если же задано
движение центра масс системы материальных точек, то теорема о движении
центра масс позволяет определить главный вектор внешних сил,
действующих на точки системы.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
8 / 63
13.3 Примеры I
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
9 / 63
13.4 Теорема об изменении количества движения системы
материальных точек I
Теорема. Производная по времени от количества движения системы материальных точек равна главному вектору внешних сил, действующих на систему:
dQ
= F(ext) .
dt
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(13.3)
2022 г.
10 / 63
13.4 Теорема об изменении количества движения системы
материальных точек II
♦ Пусть система состоит из N материальных точек. На произвольную ν-ю точку
(int)
(ext)
силы. Количество движеи внутренняя Fν
системы действуют внешняя Fν
ния этой точки равно mν vν , тогда
d(mν vν )
= F(ext)
+ Fν(int) , ν = 1, N .
ν
dt
Суммируя левые и правые части этого уравнения, получим
N
N
X
X
dQ
Fν(int) , ν = 1, N .
F(ext)
+
=
ν
dt
ν=1
ν=1
P
(ext)
= F(ext) — главный
Главный вектор внутренних сил равен нулю, а N
ν=1 Fν
вектор внешних сил, тогда окончательно получим
dQ
= F(ext) .
dt
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
11 / 63
13.4 Теорема об изменении количества движения системы
материальных точек III
Следствия (аналогичные по содержанию следствиям из теоремы о движении
центра масс):
1
Одними внутренними силами нельзя изменить количество движения
системы.
2
Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то
количество движения материальной системы остаётся постоянным.
3
Если проекция главного вектора внешних сил, приложенных к системе, на
некоторую неподвижную в инерциальной системе координат ось равна
нулю, то проекция количества движения на эту ось остаётся постоянной.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
12 / 63
13.4 Теорема об изменении количества движения системы
материальных точек IV
Второе и третье следствия из теоремы называются законами сохранения количества движения материальной системы.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
13 / 63
13.4 Теорема об изменении количества движения системы
материальных точек V
Определение 13.5
Произведение F(ext) dt называется элементарным импульсом внешних силы.
Полным импульсом внешних сил называется вектор
Zt1
F(ext) dt.
t0
Теорема. Изменение количества движения системы материальных точек за
некоторый промежуток времени [t0 , t1 ] равно полному импульсу главного вектора
внешних сил, приложенных к точкам системы, за тот же промежуток времени:
Q − Q0 =
Zt1
F(ext) dt.
(13.4)
t0
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
14 / 63
13.4 Теорема об изменении количества движения системы
материальных точек VI
♦ Из предыдущей теоремы справедливо равенство
dQ = F(ext) dt.
Проинтегрируем это равенство в пределах от t0 до t, получим
Q(t1 ) − Q(t0 ) = Q1 − Q0 =
Zt1
F(ext) dt.
t0
Замечания.
Последние два равенства выражают теорему об изменении количества
движения материальной системы в интегральной форме.
Утверждение теоремы о движении центра масс следует из теоремы об
изменении количества движения системы.
Теорема импульсов находит применение в теории удара и в гидродинамике.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
15 / 63
13.5 Примеры I
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
16 / 63
13.6 Теорема об изменении кинетического момента. Теорема
Резаля I
Пусть механическая система движется в инерциальном пространстве Oxyz.
Обозначим O0 — произвольная точка этого пространства, которая может не совпадать с какой-либо точкой механической системы при ее движении. O0 может
быть неподвижной или совершать произвольное движение.
Обозначим rν = rO 0 + ρν — радиус-вектор ν-ой точки в системе Oxyz, где
ρν — радиус-вектор этой точки относительно O0 , rO 0 — радиус-вектор точки O0
относительно O. Ясно, что rν = rO 0 + ρν , тогда vν = vO 0 + vrν , где vO 0 — скорость
точки O0 , vrν — скорость точки относительно O0 .
По определению
N
X
KO 0 =
[ρν , mν vν ].
ν=1
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
17 / 63
13.6 Теорема об изменении кинетического момента. Теорема
Резаля II
Для производной от вектора KO 0 системы выполняется теорема:
Теорема. Производная по времени от кинетического момента системы относительно подвижного центра O0 равна сумме векторов — векторного произведения
количества движения системы на вектор абсолютной скорости точки O0 и главного момента внешних сил относительно того же центра:
dKO 0
(ext)
= [Q, vO 0 ] + MO 0 .
dt
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(13.5)
2022 г.
18 / 63
13.6 Теорема об изменении кинетического момента. Теорема
Резаля III
♦ Пусть система состоит из N материальных точек. На произвольную ν-ю точку
(int)
(ext)
силы. Тогда
и внутренняя Fν
системы действуют внешняя Fν
Здесь
P
P
dKO 0
dρν
= N
, m ν vν ] + N
ν=1 [
ν=1 [ρν , mν wν ] =
dtP
dt
PN
(ext)
(int)
N
+ Fν ].
= ν=1 [vrν , mν vν ] + ν=1 [ρ ν , Fν
(int)
(ext)
+ Fν ]
ν=1 [ρν , Fν
PN
(ext)
= MO 0 , тогда, учитывая vrν = vν − vO 0 , получаем
P
dKO 0
(ext)
= N
=
ν=1 [vν − vO 0 , mν vν ] + MO 0
i
hP dt
(ext)
(ext)
N
0 + M 0
= [M vC , vO 0 ] + MO 0 .
=
ν=1 mν vν , vO
O
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
19 / 63
13.6 Теорема об изменении кинетического момента. Теорема
Резаля IV
Следствие (теорема об изменении кинетического момента для неподвижного центра). Производная по времени от кинетического момента системы
относительно неподвижного центра O0 равна главному моменту внешних сил относительно того же центра:
dKO 0
(ext)
(13.6)
= MO 0 .
dt
♦ Из теоремы об изменении кинетического момента для подвижного центра и
равенства vO 0 = 0, следует
dKO 0
(ext)
= MO 0 .
dt
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
20 / 63
13.6 Теорема об изменении кинетического момента. Теорема
Резаля V
Определение 13.6
Rt P
(ext)
dt] называется главным моментом импульсов
Вектор t01 N
ν=1 [ρν , Fν
внешних сил относительно центра O0 .
Теорема. Изменение кинетического момента материальной системы относительно неподвижного центра O0 за некоторый промежуток времени [t0 , t1 ] равного
главному моменту импульсов внешних сил, приложенных к точкам системы, за
тот же промежуток времени:
KO 0 (t1 ) − KO 0 (t0 ) =
Zt1 X
N
t0
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
]dt.
[ρν , F(ext)
ν
(13.7)
ν=1
2022 г.
21 / 63
13.6 Теорема об изменении кинетического момента. Теорема
Резаля VI
♦ Из следствия предыдущей теоремы выполняется
(ext)
dKO 0 = MO 0 dt.
Интегрируя это соотношение в пределах от t0 до t, получим
KO 0 (t1 ) − KO 0 (t0 ) =
Zt1
(ext)
MO 0 dt.
t0
Так как главный момент
(ext)
MO 0
=
N
X
[ρν , F(ext)
],
ν
ν=1
KO 0 (t1 ) − KO 0 (t0 ) =
Zt1 X
N
t0
[ρν , F(ext)
]dt.
ν
ν=1
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
22 / 63
13.6 Теорема об изменении кинетического момента. Теорема
Резаля VII
Следствия.
1
Одними внутренними силами нельзя изменить кинетический момент
системы.
2
Если главный момент MO 0 внешних сил относительно некоторой
неподвижной точки O0 равен нулю, то кинетический момент системы
относительно той же точки будет постоянным как по величине, так и по
направлению.
3
Если главный момент внешних сил относительно одной из координатных
осей равен нулю, то соответствующий кинетический момент системы будет
постоянным.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
23 / 63
13.6 Теорема об изменении кинетического момента. Теорема
Резаля VIII
Замечание. Второе и третье следствия отображают закон сохранения кинетического момента.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
24 / 63
13.6 Теорема об изменении кинетического момента. Теорема
Резаля IX
Теорема (Резаля). Скорость конца вектора кинетического момента системы
относительно неподвижной точки O0 равна главному моменту всех внешних сил
относительно той же точки:
(ext)
(13.8)
v K = MO 0 .
♦ Из кинематики известно, что первая производная по времени от вектора является вектором, направленным по годографу дифференцируемого вектора, тогда
vK =
Кроме того
dKO 0
.
dt
dKO 0
(ext)
= MO 0 , окончательно получим, что
dt
(ext)
v K = MO 0 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
25 / 63
13.7 Закон сохранения кинетического момента I
Пусть система замкнута, т.е. движется только под действием внутренних сил,
(ext)
тогда MO 0 = 0 получаем закон сохранения кинетического момента: при движении замкнутой системы её кинетический момент относительно произвольного
неподвижного центра постоянен, т. е.
KO 0 = const.
(13.9)
В данном случае из закона сохранения следуют три первых интеграла движения.
Эти интегралы существуют и в случае незамкнутой системы — когда во всё время
(ext)
движения для некоторого неподвижного центра O0 MO 0 = 0.
(ext)
Если во всё время движения MO 0 = 0, интеграл существует и в случае подвижного центра O0 , когда выполняется rO 0 = αrC + a, где α — постоянная величина, a — постоянный вектор. Действительно, тогда vO 0 = αvC и из теоремы об
изменении кинетического момента для подвижного центра следует закон сохранения кинетического момента системы.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
26 / 63
13.8 Теорема об изменении кинетического момента относительно
центра масс I
Если подвижная точка O0 совпадает с центром масс механической системы,
то rO 0 = rC , vO 0 = vC и получаем, что теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра и теорема об изменении кинетического
момента относительно центра масс имеют одинаковый вид.
Теорема. Производная по времени от кинетического момента системы относительно центра масс равна главному моменту внешних сил относительно того
же центра:
dKC
(ext)
= MC .
(13.10)
dt
♦ Из теоремы об изменении кинетического момента для подвижного центра vO 0 =
vC , следует
dKC
(ext)
= MC .
dt
Замечание. Поскольку было ранее показано, что KC = KrC , то выполняется
dKrC
(ext)
= MC .
dt
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(13.11)
2022 г.
27 / 63
13.9 Закон сохранения кинетического момента относительно оси I
Обозначим u — неизменная в абсолютном пространстве ось, направление которой определяется ортом e. Тогда из теорем об изменении кинетического момента
относительно неподвижного центра и центра масс для кинетического момента системы относительно оси u следуют дифференциальные уравнения:
dKu
= Mu(ext) ,
dt
(13.12)
(ext)
— главный момент внешних сил относительно оси u. Если во все время
где Mu
(ext)
= 0, то имеем первый интеграл:
движения Mu
(13.13)
Ku = const.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
28 / 63
13.9 Закон сохранения кинетического момента относительно оси I
Имеет место более общее утверждении для подвижного центра:
(ext)
= 0, тогда для существования
Теорема. Пусть во все время движения Mu
первого интеграла Ku = const необходимо и достаточно, чтобы (vO 0 , vC , e) = 0,
где vO 0 — скорость произвольной точки O0 оси u.
♦ Учитывая e = const, имеем
dKu
d(KO 0 , e)
=
=
dt
dt
(ext)
= ([M vC , vO 0 ], e) + (MO 0 , e) = M (vC , vO 0 , e).
Тогда, если (vO 0 , vC , e) = 0, то Ku = const.
Замечание. Если за направление u принять направление Oz, то условие (vO 0 , vC ,
0 эквивалентно условию
ẋO 0
ẏ 0
= O ,
ẋC
ẏC
т. е. проекции скоростей на плоскость ортогональную e параллельны.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
29 / 63
13.10 Примеры I
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
30 / 63
13.11 Теорема об изменении кинетической энергии I
Пусть радиус-векторы точек механической системы в инерциальном пространстве получили приращения drν , ν = 1, N , тогда для кинетической энергии T системы выполняется условие теоремы об изменении кинетической энергии системы.
Теорема. Дифференциал кинетической энергии системы равен элементарной
работе всей системы сил, приложенных к системе:
dT = d0 A(ext) + d0 A(int) .
(13.14)
♦ Учитывая выражение кинетической энергии системы, имеем
dT =
N
X
mν (vν , dvν ) =
ν=1
N
X
ν=1
mν (vν ,
N
N
X
X
dvν
mν (wν , drν ).
mν (wν , vν dt) =
)dt =
dt
ν=1
ν=1
Тогда в силу уравнений движения
P
(int)
(ext)
+ Fν , drν ) =
dT = N
ν=1 (Fν
PN
PN
(ext)
(int)
= ν=1 (Fν , drν ) + ν=1 (Fν , drν ) =
0 (ext)
0 (int)
=dA
+d A
.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
31 / 63
13.11 Теорема об изменении кинетической энергии II
Замечания.
В общем случае для механической системы d0 A(int) 6= 0, т. к. при подсчете
работы важны и перемещения, которые вообще говоря для
взаимодействующих точек различны.
Для твердого тела dT = d0 A(ext) .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
32 / 63
13.11 Теорема об изменении кинетической энергии III
Теорема. Приращение кинетической энергии системы материальных точек
за некоторый промежуток времени равно работе внешних и внутренних сил, действующих на точки системы, в течение рассматриваемого промежутка времени:
T1 − T0 =
Zt1
d0 A.
Zt1
d0 A(int) =
(13.15)
t0
♦ Из предыдущей теоремы
T1 − T0 =
Zt1
t0
d0 A(ext) +
t0
Zt1
d0 A.
t0
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
33 / 63
13.12 Теорема об изменении полной механической энергии I
Пусть все силы, действующие на точки механической системы, потенциальны
и их потенциал Π = −U не зависит явно от времени.
Определение 13.7
Силы, имеющие потенциал, называются консервативными. Силы, не имеющие
потенциала, т. е. зависящие от времени или скорости движущейся точки,
называются рассеивающими или диссипативными.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
34 / 63
13.12 Теорема об изменении полной механической энергии II
Определение 13.8
Эквипотенциальными поверхностями, изоповерхностями или поверхностями
уровня называется геометрическое место точек, на которых силовая функция
остаётся постоянной (уравнение семейства эквипатенциальных поверхностей):
(13.16)
U = −Π = const.
Если U = −Π = 0, то эквипотенциальную поверхность называют поверхностью
нулевого уровня.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
35 / 63
13.12 Теорема об изменении полной механической энергии III
Задание. Покажите, что сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле с потенциалом U (x, y, z), направлена по нормали к эквипотенциальным поверхностям в сторону возрастания силовой функции, т. е.
∇U =
∂U
n,
∂n
где n — орт нормального вектора, направленного в сторону возрастания функции
U.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
36 / 63
13.12 Теорема об изменении полной механической энергии IV
В случае движения механической системы в стационарном потенциальном силовом поле выполняется
d0 A(ext) + d0 A(int) = dA(ext) + dA(int) = −dΠ(ext) − dΠ(int) = −dΠ = dU.
Отсюда следует
(13.17)
dT + dΠ = 0.
Замечание. Можно показать, что необходимыми и достаточными условиями того, что дифференциал dU (r1 , r2 , . . . , rN ) является полным дифференциалом
есть
∂2U
∂2U
=
,
∂xν ∂yν
∂yν ∂xν
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
∂2U
∂2U
=
,
∂xν ∂zν
∂zν ∂xν
∂2U
∂2U
=
,
∂yν ∂zν
∂zν ∂yν
ν = 1, N .
2022 г.
37 / 63
13.12 Теорема об изменении полной механической энергии V
Определение 13.9
Полной механической энергией называют сумму кинетической T и
потенциальной Π энергий:
E = T + Π.
(13.18)
Определение 13.10
Кинетическим потенциалом или функцией Лагранжа называют разность
кинетической T и потенциальной Π энергий:
(13.19)
L = T − Π.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
38 / 63
13.12 Теорема об изменении полной механической энергии VI
Теорема (закон сохранения механической энергии). При движении механической системы в потенциальном силовом поле полная механическая энергия
остаётся постоянной:
E = T + Π = h − const.
(13.20)
♦ Для дифференциала энергии
dE = dT + dΠ = 0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
39 / 63
13.12 Теорема об изменении полной механической энергии VII
Теорема. Приращение полной механической энергии системы за некоторый
промежуток времени равно работе непотенциальных сил, действующих на точки
системы, в течение рассматриваемого промежутка времени:
E1 − E0 =
Zt1
d0 A ∗ .
(13.21)
t0
♦ Для приращения кинетической энергии
dT = dA(ext) + dA(int) + d0 A∗(ext) + d0 A∗(int) ,
где dA(ext) +dA(int) — элементарная работа потенциальных сил, d0 A∗(ext) +d0 A∗(int)
— элементарная работа непотенциальных сил. Тогда
dA(ext) + dA(int) = −dΠ
и для дифференциала полной энергии имеем
dE = dT + dΠ = d0 A∗(ext) + d0 A∗(int) = d0 A∗ .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
40 / 63
13.12 Теорема об изменении полной механической энергии VIII
Замечание. Отсюда можно видеть, что закон сохранения механической энергии будет выполняться не только при движении системы в потенциальном поле
сил, но и в случае наличия непотенциальных сил, когда на действительном движении их работа равна нулю.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
41 / 63
13.13 Примеры I
Пример 1.
На примере физического маятника показать справедливость закона сохранения
энергии.
c
x = 0, p
ẍ p
+m
c
c
x = c1 cos m t + c2 sin m
t.
Пусть при t = 0, x = −λst. , ẋ = 0. Для физического маятника известно, что
, тогда
λst. = mg
c
r
r
r
c
m
c
mg
x=−
cos
t, ẋ = g
sin
t.
c
m
c
m
Для кинетической и потенциальной энергий можем записать:
pc
2 2
2
m
sin2 m
t,
T = m2ẋ = g 2c
2
pc
2
2 2
2
cλ
m
Π = c(x+λ2 st. ) − 2st. − mgx = cx2 = g 2c
cos2 m
t.
E =T +Π=
g 2 m2
sin2
2c
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
r
c
g 2 m2
t+
cos2
m
2c
r
c
g 2 m2
t=
= h − const.
m
2c
2022 г.
42 / 63
13.13 Примеры II
Пусть m = 0.3 кг, c = 0.5 Н/м.
x
6
x
6
4
4
2
2
2
4
6
t
8
2
4
6
8
t
-2
-2
-4
-4
-6
-6
Рис. 1. Положение и скорость материальной точки
8
6
kinetic energy
4
potential energy
2
total energy
2
4
6
8
Рис. 2. Энергия материальной точки
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
43 / 63
13.13 Примеры III
Пример 2.
На примере математического маятника показать справедливость закона
сохранения энергии.
ϕ̈ +
T =
ml2 ϕ̇2
mv 2
=
,
2
2
g
sin ϕ = 0.
l
Π = mgh = mgl(1 − cos ϕ).
ml2 ϕ̇2
+ mgl(1 − cos ϕ) = h − const,
2
где h можно определить по начальным данным или из условия:
E =T +Π=
h = mgl(1 − cos ϕ) ⇔ ϕ̇ = 0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
44 / 63
13.13 Примеры IV
sin ϕ = ϕ −
cos ϕ = 1 −
ϕ3
3!
ϕ2
2!
+...,
4
+ ϕ4! − . . . .
Тогда при малых отклонениях, когда sin ϕ ≈ ϕ, учитывая члены до второго
порядка малости включительно, получаем
g
ϕ̈ +
p gl ϕ = 0, p g
ϕ = c1 cos l t + c2 sin l t.
Пусть при t = 0, ϕ = ϕ0 , ϕ̇ = 0, тогда
r
r
r
g
g
g
ϕ = ϕ0 cos
t, ϕ̇ = −ϕ0
sin
t.
l
l
l
Для кинетической и потенциальной энергий можно записать:
r
r
g
g
mglϕ20
mglϕ20
2
2
sin
t, Π =
cos
t.
T =
2
l
2
l
E =T +Π=
mglϕ20
sin2
2
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
r
g
mglϕ20
t+
cos2
l
2
r
g
mglϕ20
t=
= h − const.
l
2
2022 г.
45 / 63
13.13 Примеры V
Пусть m = 0.3 кг, l = 5 м, ϕ0 = π × 10−3 рад.
j
j
0.003
0.004
0.002
0.002
0.001
2
4
6
8
- 0.001
t
2
4
6
8
t
- 0.002
- 0.002
- 0.004
- 0.003
Рис. 3. Положение и скорость материальной точки
0.00007
0.00006
kinetic energy
0.00005
0.00004
potential energy
0.00003
0.00002
total energy
0.00001
2
4
6
8
Рис. 4. Энергия материальной точки
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
46 / 63
13.14 Динамика системы в неинерциальном пространстве I
Абсолютное ускорение точки системы (см. теорему Кориолиса)
wν = wrν + weν + wcν ,
(13.22)
ν = 1, N ,
где wcν = 2[ω, vrν ].
При подстановке правой части в уравнения движения, получаем уравнения
движения точек механической системы в неинерциальном пространстве:
mν wrν = F(ext)
+ Fν(int) + φeν + φcν ,
ν
(13.23)
ν = 1, N ,
где φeν = −mν weν — переносная сила инерции, φcν = −mν wcν = −2mν [ω, vrν ] —
сила инерции Кориолиса.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
47 / 63
13.14 Динамика системы в неинерциальном пространстве II
Замечание. Относительно неинерциальной системы ν-ая точка системы движется так, как если бы к ней, кроме действующих активных сил, приложены
переносная сила инерции и сила инерции Кориолиса, т. е. второй закон Ньютона можно применять в неинерциальной системе отсчета, если к активным силам
прибавить силы инерции переносных и кориолисовых сил.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
48 / 63
13.15 Частные случаи движения системы в неинерциальном
пространстве I
1. Поступательное движение неинерциальной системы отсчёта:
ω = 0 ⇒ wcν = 0 ⇒ φcν = 0,
следовательно основной закон относительного движения запишется в виде
mν wrν = F(ext)
+ Fν(int) + φeν ,
ν
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(13.24)
ν = 1, N .
2022 г.
49 / 63
13.15 Частные случаи движения системы в неинерциальном
пространстве II
2. Неинерциальная система отсчёта движется прямолинейно и равномерно:
weν = 0 ⇒ φeν = 0;
ω = 0 ⇒ wcν = 0 ⇒ φcν = 0,
следовательно основной закон относительного движения запишется в виде
+ Fν(int) ,
mν wrν = F(ext)
ν
(13.25)
ν = 1, N .
Замечание. В данном случае основной закон относительного движения точек
системы совпадает с основным законом движения точек по отношению к инерциальной системе отсчёта, т.е. имеет место принцип Галилея — никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить, находится ли данная система отсчёта в
покое или совершает поступательное, равномерное, прямолинейное движение по
отношению к инерциальной системе отсчёта.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
50 / 63
13.15 Частные случаи движения системы в неинерциальном
пространстве III
3. Относительное равновесие:
vrν = 0 ⇒ wcν = 0 ⇒ φcν = 0;
wrν = 0,
следовательно основной закон относительного движения запишется в виде
+ Fν(int) + φeν = 0,
F(ext)
ν
(13.26)
ν = 1, N .
Замечание. В данном случае из основного закона относительного движения
получаем уравнение относительного равновесия механической системы.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
51 / 63
13.16 Влияния вращения Земли на движение I
1. Влияние вращения Земли на равновесие. Рассмотрим математический
маятник на поверхности Земли, находящийся в покое относительно её поверхности.
Действующие силы
сила притяжения F,
сила натяжения нити T,
переносная сила инерции φe .
φe = −mwe = −mwen ,
где wen = ω 2 r, r — расстояние от груза до оси вращения Земли.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
52 / 63
13.16 Влияния вращения Земли на движение II
F + T + φe = 0.
Вектор T определяет вертикаль в данной точке поверхности Земли, а плоскость перпендикулярная этому вектору является горизонтальной плоскостью.
Сила mg, равная по модулю T и обратная ей по направлению, называется
силой тяжести:
mg = −T = F + φe ,
т. е. сила тяжести равная геометрической сумме силы земного притяжения и силы
инерции, которая обусловлена её суточным вращением.
Замечание. Вращение Земли учитывается при определении силы тяжести,
но в виду малости wen сила инерции φe также мала, причём наибольшее значение
она имеет на экваторе и составляет там 0.034% от величины силы притяжения.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
53 / 63
13.16 Влияния вращения Земли на движение III
2. Влияние вращения Земли на движение у её поверхности. Пусть
материальная точка движется в северном полушарии по меридиану с юга на север.
Переносная сила инерции
φe = −mwe
влияет на величину силы тяжести, сила инерции Кориолиса
φc = −mwc ,
учитывая направление ускорения Кориолиса wc , направлено по параллели на восток.
Таким образом, материальная точка при движении будет отклоняться на восток.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
54 / 63
13.16 Влияния вращения Земли на движение IV
Замечания.
Расчёты показывают, что величина силы инерции Кориолиса мала по
сравнению с силой тяжести, поэтому этой силой инерции в большинстве
случаев пренебрегают и систему отсчёта связанную с Землёй считают
инерциальной.
Учёт вращения Земли имеет значения в случаях, когда движение
продолжается длительное время и действие силы инерции Кориолиса
«накапливается».
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
55 / 63
13.16 Влияния вращения Земли на движение V
Примеры
В северном полушарии реки размывают правый берег, в южном — левый.
При движении по железной дороге в северном полушарии давление на
правый рельс больше чем на левый.
Необходим учёт силы инерции Кориолиса при стрельбе на дальние
расстояния, например, при расчёте траекторий межконтинентальных
баллистических ракет.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
56 / 63
13.16 Влияния вращения Земли на движение VI
Задача. Шарик массой m = 0.1 кг, прикрепленный к концу горизонтальной
пружины, коэффициент жесткости которой c = 2 Н/м, находится в трубке, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω = 4 1/c вокруг вертикальной оси
Oz1 . Длина недеформированной пружины l0 = 0.2 м. Определить уравнение относительного движения шарика, найти его координату, давление на стенку трубки,
а также абсолютную скорость и абсолютное ускорение в момент времени t = 0.2
c.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
57 / 63
13.17 Основные теоремы динамики в неинерциальном
пространстве I
Основные теоремы динамики в инерциальном пространстве вытекают из уравнений движения в инерциальном пространстве, тогда, учитывая замечание предыдущего пункта (Динамика системы в неинерциальном пространстве), в неинерциальном пространстве могут быть сформулированы аналогичные теоремы, если к
активным силам прибавить силы инерции, которые следует отнести к внешним
силам.
Теорема об изменении количества движения системы в неинерциальном пространстве:
dQr
= F(ext) + Φe + Φc ,
(13.27)
dt
P
P
(ext)
где Qr = N
— главный вектор внешних сил, Φe = N
ν=1 mν vrν , F
ν=1 mν φ eν
PN
— главный вектор переносных сил инерции, Φc = ν=1 mν φcν — главный вектор
кориолисовых сил инерции.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
58 / 63
13.17 Основные теоремы динамики в неинерциальном
пространстве II
Теорема об изменении момента количества движения системы в неинерциальном пространстве:
dKrO 0
(ext)
Φc
e
(13.28)
= MO 0 + MΦ
O 0 + MO 0 ,
dt
P
(ext)
где KrO 0 = N
— главный момент внешних сил относительно
ν=1 [ρν , mν vrν ], MO 0
Φe
0
c
центра O , MO 0 — главный момент переносных сил относительно центра O0 , MΦ
O0
0
— главный момент кориолисовых сил относительно центра O .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
59 / 63
13.17 Основные теоремы динамики в неинерциальном
пространстве III
Теорема об изменении кинетической энергии системы в неинерциальном пространстве:
dTr = d0 A(ext) + d0 A(int) + d0 AΦe ,
(13.29)
где d0 A(ext) , d0 A(int) , d0 AΦe — элементарная работа внешних сил, внутренних сил и
переносных сил инерции на относительных перемещениях системы dρν , ν = 1, N .
Замечание. d0 AΦc = 0, поскольку кориолисовы силы инерции ортогональны
относительным перемещениям dρν , ν = 1, N .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
60 / 63
13.18 Теоремы динамики при движении относительно центра мас
I
Существует подвижная система отсчета, которая вообще говоря является неинерциальной, но для движения системы в этом пространстве теоремы об изменении
кинетического момента и кинетической энергии имеют такой вид, как и в инерциальном пространстве. Этой системой координат является кёнигова система координат.
Для кинетического момента это было показано ранее.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
61 / 63
13.18 Теоремы динамики при движении относительно центра мас
II
Для теоремы об изменении кинетической энергии, учитывая равенство weν =
wC , имеем
P
PN
dTr = N
ν=1 mν (vrν , dvrν ) =
ν=1 mν (wrν , dρν ) =
PN
(int)
(ext)
+ φeν + φcν , dρν ) =
+ Fν
= ν=1 (Fν
P
PN
P
P
(int)
(ext)
, dρν ) − N
, dρν ) + N
= N
ν=1 (mν dρν , wC ) +
ν=1 (φ cν , dρν ) =
ν=1 (Fν
ν=1 (Fν
= d0 A(ext) + d0 A(int) .
(13.30)
Замечание. Здесь элементарная работа внешних и внутренних сил вычисляется на относительных перемещениях точек их приложения — dρν , ν = 1, N .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
62 / 63
13.19 Примеры I
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
63 / 63
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
динамика твердого тела
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
d.shimanchuk@spbu.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург — 2022 г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
1 / 76
14.1 Динамические уравнения Эйлера I
Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Считаем, что
полюс O0 связанной системы координат совпадает с неподвижной точкой O:
dKO
(ext)
= MO ,
dt
(14.1)
(ext)
где MO
— главный момент относительно точки O внешних сил, приложенных
к твердому телу.
Для твердого тела кинетический момент (относительно неподвижной точки
O) имеет вид
KO = ΘO ω,
(14.2)
где ΘO — тензор инерции твердого тела в точке O, ω — вектор мгновенной угловой
скорости твердого тела относительно абсолютного пространства.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
2 / 76
14.1 Динамические уравнения Эйлера II
Будем задавать ΘO в связанных с твердым телом осях. В этой системе ΘO является постоянной матрицей. Кроме того, вектор ω в соотношении (14.2) должен
также задаваться в проекциях на связанные оси. Обозначая их p, q, r, тогда будем
записывать вектор ω в виде
∗
.
(14.3)
ω= p q r
Следовательно вектор KO , вычисляемый по формуле (14.2) как произведение постоянной матрицы ΘO на вектор ω, задаваемый в виде (14.3), будет определен в
проекциях на связанные оси.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
3 / 76
14.1 Динамические уравнения Эйлера III
Пусть вектор кинетического момента в проекциях на связанные оси
∗
,
KO = KOx0 KOy 0 KOz 0
Ix0 , Iy 0 , Iz 0 — осевые моменты инерции и Ix0 y 0 , Ix0 z 0 , Iy 0 z 0 — центробежные моменты инерции твердого тела в связанных осях. Тогда (14.2) можно записать в
следующем векторно-матричном представлении


 
 

KOx0
−Ix0 y 0 −Ix0 z 0
p
I x0 p − I x0 y 0 q − I x0 z 0 r
I x0
 KOy 0  =  −Ix0 y 0
−Iy 0 z 0   q  =  −Ix0 y 0 p + Iy 0 q − Iy 0 z 0 r  .
Iy 0
−Ix0 z 0 p − Iy 0 z 0 q + Iz 0 r
r
KOz 0
Iz 0
−Ix0 z 0 −Iy 0 z 0
(14.4)
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
4 / 76
14.1 Динамические уравнения Эйлера IV
Учитывая определения абсолютной и относительной производной вектора по
времени t:
d
de
(·) = (·) + [ω, (·)],
dt
dt
для вектора кинетического момента KO , заданного на оси связанной системы
координат, имеем
e O
dKO
dK
=
+ [ω, KO ],
(14.5)
dt
dt
где
e Oω
e
e O
dΘ
dω
dK
=
= ΘO
= ΘO ω̇
(14.6)
dt
dt
dt
и ω̇ — вектор мгновенного углового ускорения твердого тела.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
5 / 76
14.1 Динамические уравнения Эйлера V
Таким образом, объединяя равенства (14.1), (14.4), (14.5), (14.6), получаем
(ext)
ΘO ω̇ + [ω, ΘO ω] = MO
(14.7)
,
(ext)
где MO
— главный момент относительно точки O внешних сил, заданный на
оси подвижной системы Ox0 y 0 z 0 .
(ext)
Замечание. При известных ΘO и MO , построенном по заданным законам
изменения внешних сил, на соотношение (14.7) можем смотреть как на векторное
дифференциальное уравнение относительно вектора угловой скорости ω твердого
тела.
Определение 14.1
Уравнение (14.7) называется векторным динамическим уравнением Эйлера
вращательного движения твердого тела. Уравнение (14.7), записанное в
скалярном виде в проекциях на связанные оси, называется системой
динамических уравнений Эйлера вращательного движения твердого тела.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
6 / 76
14.1 Динамические уравнения Эйлера VI
Задание 1. Покажите, что динамическое уравнение Эйлера представимо в
матричной форме:

 



(ext)
MOx0
p
ṗ

(ext) 
(14.8)
ΘO  q̇  + Λ(ω)ΘO  q  =  MOy
,
0
(ext)
r
ṙ
MOz 0
где Λ(ω) — кососимметрическая матрица:

0 −r
0
Λ(ω) =  r
−q
p
(ext)
(ext)

q
−p  ,
0
(ext)
MOx0 , MOy 0 , MOz 0 — проекции на связанные оси главного момента внешних
сил, вычисленного относительно неподвижного центра O.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
7 / 76
14.1 Динамические уравнения Эйлера VII
Задание 2. Покажите, что если det ΘO 6= 0, то динамическое уравнение Эйлера представимо в координатах кинетического момента:


 


(ext)
MOx0
K̇Ox0
KOx0
(ext) 
 K̇Oy 0  − Λ(KO )Θ−1
 KOy 0  = 
(14.9)
 MOy 0  ,
O
(ext)
KOz 0
K̇Oz 0
MOz 0
где матрица Λ(KO ) определяется аналогично Λ(ω), но с компонентами вектора
(ext)
(ext)
(ext)
KO , MOx0 , MOy 0 , MOz 0 — проекции на связанные оси главного момента внешних сил, вычисленного относительно неподвижного центра O.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
8 / 76
14.2 Динамические уравнения Эйлера в проекциях на главные оси
I
Дадим представления векторного уравнения (14.7) в скалярной форме. Если
система координат Ox0 y 0 z 0 является главной, то уравнения (14.8) примут вид:

(ext)

 Aṗ + (C − B)qr = MOx0 ,
(ext)
(14.10)
B q̇ + (A − C)pr = MOy 0 ,


(ext)
C ṙ + (B − A)pq = MOz 0 .
Определение 14.2
Уравнения (14.10) называются динамическими уравнениями Эйлера в главных
осях.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
9 / 76
14.2 Динамические уравнения Эйлера в проекциях на главные оси
II
Если точка O совпадает с центром масс C, и система Cx0 y 0 z 0 является главной,
то получаем динамические уравнения Эйлера в главных центральных осях :

(ext)

 Aṗ + (C − B)qr = MCx0 ,
(ext)
(14.11)
B q̇ + (A − C)pr = MCy 0 ,


(ext)
C ṙ + (B − A)pq = MCz 0 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
10 / 76
14.2 Динамические уравнения Эйлера в проекциях на главные оси
III
Уравнение (14.9) для кинетического момента KO в главных осях в скалярной
форме запишется так:

1
1

(ext)

0 +
−
KOy 0 KOz 0 = MOx0 ,
K̇

Ox


B
C


1
1
(ext)
K̇Oy 0 +
(14.12)
−
KOx0 KOz 0 = MOy 0 ,

C
A



1
1

(ext)

−
KOx0 KOy 0 = MOz 0 .
 K̇Oz 0 +
A
B
В главных центральных осях (14.9) примет вид

1
1

(ext)

0
+
K̇
−
KCy 0 KCz 0 = MCx0 ,

Cx


B
C


1
1
(ext)
K̇Cy 0 +
−
KCx0 KCz 0 = MCy 0 ,

C
A



1
1

(ext)

−
KCx0 KCy 0 = MCz 0 .
 K̇Cz 0 +
A
B
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(14.13)
2022 г.
11 / 76
14.3 Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной
точки I
Система динамических уравнений Эйлера в самом общем случае не является
замкнутой, т. к. правые ее части могут зависеть от ориентации твердого тела или
от углового положения точек приложения внешних сил. Для полного описания
движения тела вокруг неподвижной точки, к динамическим уравнениям Эйлера
следует присоединить уравнения, которые задают связь проекций угловой скорости твердого тела на связанные оси с производными от параметров ориентации.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
12 / 76
14.3 Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной
точки II
В частности, если параметрами ориентации являются углы Эйлера, то такие
уравнения в векторной форме имеют вид:
ω = ψ̇i3 + θ̇n + ϕ̇e3 =
= ψ̇i3 + θ̇(i1 cos ψ + i2 sin ψ) + ϕ̇e3 =
[i3 , e3 ]
+ ϕ̇e3 ,
= ψ̇i3 + θ̇
sin θ
(14.14)
где i3 , e3 — орты оси Oz и оси Oz 0 ; или
ω = θ̇i2 + ϕ̇n + ψ̇e3 =
= θ̇i2 + ϕ̇(e2 sin ψ + e3 cos ψ) + ψ̇e1 ,
(14.15)
где i2 , e1 , e2 , e3 — орты оси Oy и осей Ox0 , Oy 0 , Oz 0 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
13 / 76
14.3 Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной
точки III
Если связанная система главная и её ориентация задана углами Эйлера, то
проектируя обе части равенства (14.14) на ее оси, получим кинематические уравнения Эйлера:

 p = ψ̇ sin θ sin ϕ + θ̇ cos ϕ,
q = ψ̇ sin θ cos ϕ − θ̇ sin ϕ,

r = ψ̇ cos θ + ϕ̇.
Кинематические уравнения Эйлера можно разрешить относительно производных:

1


 ψ̇ = (p sin ϕ + q cos ϕ) sin θ ,
θ̇ = p cos ϕ − q sin ϕ,


 ϕ̇ = r − (p sin ϕ − q cos ϕ) 1 .
tan θ
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
14 / 76
14.3 Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной
точки IV
Если связанная система главная и её ориентация задана углами Крылова, то
проектируя обе части равенства (14.15) на ее оси, получим кинематические уравнения Эйлера:

 p = θ̇ sin ϕ + ψ̇,
q = θ̇ cos ϕ cos ψ + ϕ̇ sin ψ,

r = −θ̇ cos ϕ sin ψ + ϕ̇ cos ψ.
Кинематические уравнения Эйлера можно разрешить относительно производных:

q cos ψ − r sin ψ


θ̇ =
,


cos ϕ
q cos ψ − r sin ψ
,
ψ̇ = p −


ctgϕ


ϕ̇ = q sin ψ + r cos ψ.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
15 / 76
14.3 Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной
точки V
Если ориентация определяется параметры Родрига—Гамильтона, то такие уравнения задаются в форме кватернионного уравнения (если вектор угловой скорости
задан на связанные оси):
1
Ḣ = H ◦ Hω x ,
(14.16)
2
где H = h0 + h1 i1 + h2 i2 + h3 i3 ∈ H1 , Hω x = pi1 + qi2 + ri3 ∈ H0 , ii , i = 1, 3, —
мнимые единицы.
Из покомпонентного приравнивания коэффициентов слева и справа в выражении (14.16) получаем систему кинематических уравнений в параметрах Родрига–
Гамильтона:





ḣ0
h0
0 −p −q −r


 ḣ1 
1
0
r
−q 
  h1  .
 p




 ḣ2  = 2  q −r
h2 
0
p
h3
r
q
−p
0
ḣ3
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
16 / 76
14.3 Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной
точки VI
Иногда при решении реальных задач для описания ориентации тела применяют не параметры ориентации, а непосредственно матрицу A его ориентации.
В таких случаях в математической модели вращательного движения вместо кинематических уравнений используются кинематические уравнения Пуассона (см.
задачу Дарбу в разделе «Кинематика»):
Ȧ∗ = Λ(ω)A∗ .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(14.17)
2022 г.
17 / 76
14.3 Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной
точки VII
Проведем анализ системы уравнений, составленной из динамических (14.7) и
кинематических уравнений Эйлера (14.14) ((14.15)) или кинематического кватернионного уравнения (14.16), или кинематических уравнений Пуассона (14.17).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
18 / 76
14.4 Анализ системы динамических и кинематических уравнений
Кинематические уравнения:
не зависят от сил, действующих на твердое тело,
связывают между собой вектор угловой скорости, параметры ориентации
(углы ориентации) и их производные по времени.
Аналитическая структура уравнений вполне определена и зависит только от
переменных, с помощью которых описывается ориентация твердого тела.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
19 / 76
14.4 Анализ системы динамических и кинематических уравнений
II
Динамические уравнения Эйлера:
левая часть, рассматриваемая в проекциях на связанные оси, зависит
только от проекций вектора ω на эти оси и их производных по времени,
тензор инерции, вычисленный в связанных осях, является постоянной
матрицей, которая считается известной для данного тела,
P
(ext)
(ext)
правые части уравнений содержат MO
= ν [rν , Fν ],
при описании сферического движения законы изменения внешних сил
считаются известными. К внешним силам следует отнести при наличии и
неидеальную составляющую реакции связи (rO = 0) — трение.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
20 / 76
14.4 Анализ системы динамических и кинематических уравнений
III
Аналитическая структура левых частей динамических уравнений также вполне
(ext)
(ext)
(ext)
(ext)
= MO (t, {rν }, {v
= Fν (t, {rν }, {vν }), MO
определена, правая, учитывая Fν
Принимая во внимание уравнения раздела «Кинематика»:
rν = A%ν ,
vν = [ω, %ν ],
где %ν считается определенным, и заменяя rν и vν в законах изменения моментов
внешних сил указанными зависимостями, получаем, что правые части динамических уравнений Эйлера являются функциями времени, параметров ориентации
тела и его угловой скорости.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
21 / 76
14.4 Анализ системы динамических и кинематических уравнений
IV
Таким образом, рассматриваемая система динамических и кинематических
уравнений является замкнутой системой дифференциальных уравнений относительно параметров ориентации тела и проекций на связанные оси его угловой
скорости.
Совокупную систему динамических уравнений Эйлера и кинематических уравнений называют математической моделью вращательного движения твердого
тела.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
22 / 76
14.4 Анализ системы динамических и кинематических уравнений
V
Задача построения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки, совершаемого под действием различных моментов, носит название задачи Эйлера.
Замечание. Если главный момент внешних сил не зависит от углов ориентации, а зависит только от ω и, быть может, времени t, задача Эйлера разделяется
на две задачи:
задачу построения угловых скоростей из динамических уравнений по
заданным моментам внешних сил,
задачу построения решений кинематических уравнений по заданным
угловым скоростям (задача Дарбу).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
23 / 76
14.5 Движение тела в случае Эйлера I
(ext)
Движение твердого тела с одной неподвижной точкой O, когда MO
= 0,
(ext)
= 0 либо система
называется случаем Эйлера. Ясно, что в этом случае Fν
внешних сил приводится к равнодействующей, проходящей через неподвижную
точку O. В главных осях уравнения движения (14.10) примут вид

 Aṗ + (C − B)qr = 0,
B q̇ + (A − C)pr = 0,

C ṙ + (B − A)pq = 0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(14.18)
2022 г.
24 / 76
14.5 Движение тела в случае Эйлера II
Первые интегралы:
(ext)
MO
= 0, тогда из (14.1) следует
KO = const.
Поскольку в связанной системе координат KO = ΘO ω = Ap
то следует первый интеграл
p
2
KO
= (ΘO ω)∗ ΘO ω = A2 p2 + B 2 q 2 + C 2 r 2 = const.
Bq
(14.19)
∗
Cr
,
(14.20)
Из теоремы об изменении кинетической энергии
(ext)
dT = (F(ext) , vO )dt + (MO
(ext)
но vO = 0 и MO
= 0, тогда dT = 0:
T =
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
, ω)dt,
1
1 ∗
ω ΘO ω = (Ap2 + Bq 2 + Cr 2 ) = const.
2
2
(14.21)
2022 г.
25 / 76
14.5 Движение тела в случае Эйлера III
Замечание. Существование (14.20), (14.21) непосредственно можно установить из (14.18).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
26 / 76
14.5 Движение тела в случае Эйлера IV
Если при движении вектор угловой скорости твердого тела ω = const относительно связанной системы (а следовательно и относительно неподвижного
пространства), то такое движение называется стационарным вращением.
Для стационарного вращения из (14.18) следует:

 (C − B)qr = 0,
(A − C)pr = 0,
(14.22)

(B − A)pq = 0.
Рассмотрим частные случаи:
A = B = C, тогда (14.22) удовлетворяется при любых p, q, r.
A = B, тогда (14.22) удовлетворяется при p = q = 0 и любом r или при r = 0
и любых p, q.
A 6= B 6= C, тогда (14.22) удовлетворяется при условии, что две из
компонент p, q, r равны нулю, а третья произвольная.
Таким образом, стационарное вращение тела в случае Эйлера может происходить только относительно одной из главных осей инерции тела для неподвижной
точки O, при этом величина угловой скорости может быть произвольной.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
27 / 76
14.6 Регулярная прецессия I
Исследуем движение динамически симметричного твердого тела с осью динамической симметрии Oz 0 (для точки O главные моменты инерции A = B) в случае
Эйлера. Тогда из (14.18) сразу следует условие постоянства проекции вектора угловой скорости на ось динамической симметрии:
(14.23)
r = r0 − const.
Выберем неподвижную систему координат Oxyz так, чтобы ось Oz была направлена по KO , для которого выполняется (14.19). Тогда для проекций вектора
кинетического момента, учитывая матрицу ориентации A для случая углов Эйлера, получаем
Ap = KO sin θ sin ϕ,
Bq = KO sin θ cos ϕ,
(14.24)
Cr = KO cos θ.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
28 / 76
14.6 Регулярная прецессия II
Учитывая (14.23) и третье равенство из (14.24), получаем
cos θ = cos θ0 =
Cr0
− const.
KO
(14.25)
Тогда при постоянных r = r0 и θ = θ0 кинематические уравнения Эйлера в случае
углов Эйлера примут вид

 p = ψ̇ sin θ0 sin ϕ,
q = ψ̇ sin θ0 cos ϕ,

r0 = ψ̇ cos θ0 + ϕ̇.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(14.26)
2022 г.
29 / 76
14.6 Регулярная прецессия III
При подстановке правой части первого уравнения (14.26) в первое равенство (14.24
получаем
KO
= ω1 − const,
(14.27)
ψ̇ =
A
где ω1 называется угловой скоростью прецессии.
Из третьего уравнения (14.26), учитывая (14.25) и (14.27), получаем
ϕ̇ =
A−C
r0 = ω2 − const,
A
(14.28)
где ω2 называется угловой скоростью собственного вращения.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
30 / 76
14.6 Регулярная прецессия IV
Движение твердого тела вокруг неподвижной точки, состоящее из двух вращений — вращения вокруг оси, неизменно связанной с телом, и вращения, при
котором эта ось движется вокруг пересекающей её оси, неподвижной в рассматриваемом пространстве, называется прецессией.
Прецессия называется регулярной, если вращения определяющие прецессию
твердого тела происходят с постоянными по величине угловыми скоростями.
Таким образом, движение динамически симметричного тела в случае Эйлера
является регулярной прецессией.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
31 / 76
14.7 Движение тела в случае Эйлера—Пуансо I
Рассмотрим геометрическую интерпретацию движения тела в случае Эйлера,
которую предложил Пуансо. Само движение тела в этом случае называют движением Эйлера—Пуансо.
Обозначим P — точка пересечения мгновенной оси вращения с поверхностью
эллипсоида инерции тела для точки O:
Ax02 + By 02 + Cz 02 = 1.
Касательную плоскость к эллипсоиду инерции в точке P называют плоскостью Пуансо.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
32 / 76
14.7 Движение тела в случае Эйлера—Пуансо II
Свойства плоскости Пуансо:
1
2
−
−
→
ω=
. Действительно, по построению ω = αOP , покажем, что α = const.
pαOP
q r
, тогда , подставляя в уравнение эллипсоида, получим
, ,
P
α α α
√
α = 2T − const.
Вектор KO ортогонален плоскости Пуансо. Действительно,
∇(Ax02 + By 02 + Cz 02 − 1)
3
P
= (2Ax0 , 2By 0 , 2Cz 0 )
P
=
2KO
.
α
−
−
→
Проекция вектора OP на направление вектора KO есть величина
постоянная. Действительно,
√
−
−
→
(KO , OP )
(KO , ω)
2T
2T
=
=
=
= const.
KO
αKO
αKO
KO
Но KO = const и ортогонален плоскости Пуансо, тогда эта плоскость,
учитывая постоянство её расстояния до точки O, сохраняет положение в
инерциальном пространстве.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
33 / 76
14.7 Движение тела в случае Эйлера—Пуансо III
Таким образом, в случае Эйлера эллипсоид инерции катится без скольжения
(точка касания лежит на мгновенной оси вращения) по плоскости (плоскости Пуансо), которая неподвижна в пространстве и ортогональная вектору кинетического момента относительно O, с угловой скоростью, величина которой пропорциональная длине радиус-вектора точки касания, а направление совпадает с направлением данного радиус-вектора (геометрическая интерпретация Пуансо).
Геометрическое место точек P на эллипсоиде инерции называется полодией,
на плоскости Пуансо — герполодией. Поскольку аксоид является линейчатой поверхностью, то ясно, что полодия является направляющей подвижного аксоида,
а герполодия — направляющая неподвижного аксоида.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
34 / 76
14.8 Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг
неподвижной точки I
Пусть твердое тело движется относительно неподвижной точки O в однородном поле силы тяжести. Oz направлена вертикально вверх, Ox0 y 0 z 0 — связанная
система координат, оси которой направлены вдоль главных осей инерции тела для
неподвижной точки O. A, B, C — моменты инерции тела относительно Ox0 , Oy 0 ,
Oz 0 , соответственно. Центр тяжести G тела в Ox0 y 0 z 0 имеет координаты (a, b, c),
P — заданная сила тяжести. Положение тела будем определять углами Эйлера.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
35 / 76
14.8 Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг
неподвижной точки II
Пусть i3 — орт оси Oz, который в Ox0 y 0 z 0 имеет координаты γ1 , γ2 , γ3 .
Ясно, что для системы углов Эйлера γ1 , γ2 , γ3 равны соответственно элементам
третьей строки матрицы ориентации A или множителям при ψ̇ в кинематических
уравнениях Эйлера:
γ1 = sin θ sin ϕ,
γ2 = sin θ cos ϕ,
(14.29)
γ3 = cos θ.
Для вектора i3 выполняется уравнение Пуассона:
ė
i3 = −[ω, i3 ],
которое можно записать в виде скалярных уравнений (уравнения Пуассона):

 γ̇1 = −qγ3 + rγ2 ,
γ̇2 = −rγ1 + pγ3 ,
(14.30)

γ̇3 = −pγ2 + qγ1 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
36 / 76
14.8 Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг
неподвижной точки III
Учитывая P = −P i3 , момент внешних сил относительно точки O можно определить как
−
−
→
(ext)
MO
= P [i3 , OG].
(14.31)
(ext)
Отсюда для проекций MO
на оси Ox0 y 0 z 0 получаем

(ext)

 MOx0 = P (−bγ3 + cγ2 ),
(ext)
MOy 0 = P (−cγ1 + aγ3 ),


(ext)
MOz 0 = P (−aγ2 + bγ1 ).
(14.32)
Следовательно динамические уравнения Эйлера (14.10) примут вид

 Aṗ + (C − B)qr = P (−bγ3 + cγ2 ),
B q̇ + (A − C)pr = P (−cγ1 + aγ3 ),

C ṙ + (B − A)pq = P (−aγ2 + bγ1 ).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(14.33)
2022 г.
37 / 76
14.8 Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг
неподвижной точки IV
Таким образом, система уравнений (14.30), (14.33) — замкнутая система шести
дифференциальных уравнений, которые описывают движение тяжелого твердого
тела. Следует заметить, что если решение уравнений найдено, то углы нутации
θ(t) и собственного вращения ϕ(t) могут быть определены из (14.29), а для определения угла прецессии ψ(t) необходимо воспользоваться одним из кинематических
уравнений Эйлера.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
38 / 76
14.8 Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг
неподвижной точки V
Три первых интеграла уравнений (14.30), (14.33):
|i3 | = 1:
γ12 + γ22 + γ32 = 1.
(14.34)
Apγ1 + Bqγ2 + Crγ3 = const.
(14.35)
(KO , i3 ) = const:
Имеем случай консервативной механической системы, т. е.
E = T + Π = h − const. Принимая за нулевой уровень потенциальной
энергии сил тяжести плоскость Oxy, находим
−
−→
1
Π = P (OG, i3 ) = P (aγ1 + bγ2 + cγ3 ). T = (KO , ω), тогда можем записать:
2
1
(Ap2 + Bq 2 + Cr 2 ) + P (aγ1 + bγ2 + cγ3 ) = h − const.
2
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(14.36)
2022 г.
39 / 76
14.8 Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг
неподвижной точки VI
В настоящий момент известно, что четвертый первый интеграл существует
только в одном из следующих трех случаях: Эйлера, Лагранжа и Ковалевской.
Случай Эйлера (1758): тело произвольно, но центр тяжести G совпадает с
2
неподвижной точкой O (a = b = c = 0). KO
= const.
Случай Лагранжа (1788): эллипсоид инерции для неподвижной точки O — эллипсоид вращения, а центр тяжести G находится на оси вращения, т. е. возможны
варианты A = B и a = b = 0, A = C и a = c = 0, B = C и b = c = 0. Для каждого
из вариантов соответственно из третьего, второго и первого уравнения четвертым первым интегралом будет проекция угловой скорости на ось динамической
симметрии: r = const, q = const, p = const.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
40 / 76
14.8 Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг
неподвижной точки VII
Случай Ковалевской (1888): эллипсоид инерции для неподвижной точки O —
эллипсоид вращения, пусть вокруг Oz 0 , A = B = 2C, а центр тяжести G находится
в плоскости Ox0 y 0 , т. е. c = 0. Ясно, что в данном случае любая ось, лежащая в
Ox0 y 0 , является главной, тогда выберем Ox0 так, что b = 0. Тогда динамические
уравнения Эйлера примут вид

qr
ṗ =
,



2

pr
Pa
q̇ = −
+
γ3 ,
(14.37)
2
2C



P
a
 ṙ = −
γ2 .
C
Четвертым первым интегралом будет (проверьте!!!)
2 2
Pa
Pa
γ1
γ2
+ 2pq −
= const.
p2 − q 2 −
C
C
(14.38)
В научной литературе имеются исследования, показывающие существование
первых интегралов в некоторых частных случаях, когда первый интеграл имеет
место не для всех начальных условий (см., например, случаи Горячева, Чаплыгина
(1903) и Гесса (1890)).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
41 / 76
14.9 Основная формула гироскопии I
Твердое тело, которое движется относительно фиксированной в нем точки, а
эллипсоид инерции тела для этой точки является эллипсоид вращения, называется гироскопом.
Гироскоп называется уравновешенным, если его центр тяжести совпадает с
неподвижной точкой.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
42 / 76
14.9 Основная формула гироскопии II
Покажем, что гироскоп может осуществлять регулярную прецессию не только
в случае равенства нулю главного момента внешних сил (см. пункт «Регулярная
прецессия»). Пусть твердое тело движется относительно неподвижной точки O,
Oxyz — неподвижная система координат. Ox0 y 0 z 0 — связанная с телом система
координат, оси которой направлены вдоль главных осей инерции тела для неподвижной точки O. A, B, C — моменты инерции тела относительно Ox0 , Oy 0 , Oz 0 ,
соответственно (A = B). Положение тела будем определять углами Эйлера, тогда
уравнения движения — кинематические уравнения Эйлера (14.14) в проекциях на
связанные оси и

(ext)

 Aṗ + (C − A)qr = MOx0 ,
(ext)
(14.39)
Aq̇ − (C − A)pr = MOy 0 ,


(ext)
C ṙ = MOz 0 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
43 / 76
14.9 Основная формула гироскопии III
(ext)
Найдем момент MO , который может обеспечить регулярную прецессию гироскопа с заданными характеристиками движения:
θ = θ0 − const,
ψ̇ = ω1 − const,
ϕ̇ = ω2 − const.
Отсюда кинематические уравнения Эйлера примут вид:

 p = ω1 sin θ0 sin ϕ,
q = ω1 sin θ0 cos ϕ,

r0 = ω1 cos θ0 + ω2 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(14.40)
2022 г.
44 / 76
14.9 Основная формула гироскопии IV
Из (14.40) и (14.39) следует, что
ω1
(ext)
cos θ0 ,
MOx0 = ω1 ω2 sin θ0 cos ϕ C + (C − A)
ω2
ω1
(ext)
MOy 0 = −ω1 ω2 sin θ0 sin ϕ C + (C − A)
cos θ0 ,
ω2
(ext)
MOz 0 = 0.
(14.41)
В Ox0 y 0 z 0 имеем
ω 1 = {ω1 sin θ0 sin ϕ, ω1 cos θ0 sin ϕ, ω1 cos θ0 },
тогда
(ext)
MO
ω 2 = {0, 0, ω2 },
ω1
= [ω 1 , ω 2 ] C + (C − A)
cos θ0 .
ω2
(14.42)
(ext)
Вектор MO
параллелен линии узлов и имеет постоянное значение. Формула (14.42) называется основной формулой гироскопии.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
45 / 76
14.9 Основная формула гироскопии V
Задание. Чему равна скорость конца вектора KO ?
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
46 / 76
14.10 Приближенная формула гироскопии I
Обычно на практике выполняется ω2 >> ω1 , тогда, пренебрегая в (14.42) вторым слагаемым, можем записать
(ext)
MO
(14.43)
= C[ω 1 , ω 2 ].
Формула (14.43) лежит в основе элементарной теории гироскопии и называется
приближенной формулой гироскопии.
π
Замечание. При θ0 = приближенная и основная формулы гироскопии сов2
падают.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
47 / 76
14.10 Приближенная формула гироскопии II
Задание. В элементарной теории гироскопии принимается, что для быстро
вращающегося гироскопа для любого t векторы мгновенной угловой скорости и
кинетического момента направлены по оси динамической симметрии (основное
допущение):
KO = Cω 2 (ω2 >> ω1 ).
Покажите (14.43).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
48 / 76
14.10 Приближенная формула гироскопии III
Пусть уравновешенный быстро вращающийся гироскоп вращается вокруг оси
симметрии с угловой скоростью ω 2 , тогда, учитывая, что ось симметрии является
главной центральной осью инерции, KO направлен по оси симметрии:
KO = Cω 2
(ext)
и, если MO
= 0, выполняется
KO = const,
т. е. ось гироскопа сохраняет направление в инерциальном пространстве.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
49 / 76
14.10 Приближенная формула гироскопии IV
Пусть теперь к оси гироскопа приложена сила F, момент M которой относительно O равен по величине M . Тогда, учитывая основное допущение элементарной теории гироскопии, вектор KO , следовательно и ось симметрии, с которой
KO совпадает, будет откланяться в сторону направления момента M (не в сторону
действия силы F!!!).
В моменты времени, когда F = 0, ось гироскопа прекращает отклоняться (не
смотря на то, что в обычных условиях тело продолжает движение по инерции!!!).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
50 / 76
14.10 Приближенная формула гироскопии V
Пусть на уравновешенный быстро вращающийся гироскоп в течение малого
∆t действует сила F:
F ∆t < S << ∞, M = F h.
Согласно теореме Резаля перемещение ∆s конца вектора KO за ∆t:
∆s = F h∆t.
Тогда ось гироскопа за ∆t повернется на малый угол ∆α:
∆α =
F h∆t
∆s
=
<< 1,
KO
Cω2
т. е. при малых ∆t действия внешних сил ось гироскопа практически сохраняет
начальное положение.
При длительном воздействии F последнее не будет выполняться. При этом,
если увеличить величину ω2 , то можно увеличить промежуток времени, который
равен времени отклонения оси гироскопа от начального положения до заданной
величины.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
51 / 76
14.10 Приближенная формула гироскопии VI
На практике широко используемым режимом работы гироскопа является его
движение при длительном влиянии внешних сил и моментов, которые при достаточно большой величине кинетического момента гироскопа обуславливают достаточно медленную его прецессию.
Рассмотрим гироскоп, который закреплен в теле и вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью ω 2 , и пусть он осуществляет прецессию с ω 1 , которая
(ext)
обусловлена вращением самого тела. Тогда MO
определяющий прецессию создается силами, действующими со стороны тела на гироскоп, и может быть определен из (14.42). По третьему закону Ньютона гироскоп также будет действовать
на тело, но с моментом
(ext)
Mgir = −MO .
где Mgir — гироскопический момент.
В элементарной теории гироскопии
(14.44)
Mgir = C[ω 2 , ω 1 ].
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
52 / 76
14.10 Приближенная формула гироскопии VII
В рамках элементарной теории гироскопии рассмотрим движение тяжелого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа. Пусть в начальный момент ось
симметрии Oz 0 составляет угол θ0 с вертикалью, ω 2 — угловая скорость собственного вращения, h — расстояние от неподвижной точки до центра масс. Момент
(ext)
MO
силы тяжести P для любого направления Oz 0 горизонтален, тогда вертикаль — ось прецессии и ось гироскопа описывает при движении конус с углом 2θ0
при вершине.
Величину угловой скорости прецессии определим из (14.43):
ω1 =
Ph
,
Cω2
(14.45)
она не зависит от угла нутации θ0 .
Таким образом, в данном приближенном случае тело совершает регулярную
прецессию. В реальности движение будет отличаться от регулярной прецессии,
так может быть, что θ 6= θ0 − const и изменяется в некоторых пределах.
Колебательное движение оси гироскопа называется нутацией.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
53 / 76
14.11 Примеры I
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
54 / 76
14.12 Уравнения движения свободного твердого тела I
В общем случае движение твердого тела определяется векторной функцией
rO (t), задающей движение полюса O связанной с ним системы координат, и законом изменения матрицы A(t) ориентации этой системы. Тогда положение произвольной точки твердого тела, определяемое радиус-вектором в связанной системе
координат ρ, в неподвижном пространстве определяется функцией
r(t) = rO (t) + A(t)ρ.
Таким образом, движение тела будет определено, если построим уравнения,
из которых могут быть определены законы движения полюса связанной системы
и законы изменения её ориентации.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
55 / 76
14.12 Уравнения движения свободного твердого тела II
Возьмем в качестве полюса O центр масс C твердого тела и применим теорему
о движении центра масс:
M v̇C = F(ext) ,
(14.46)
учитывая равенства
(14.47)
r̈C = v̇C = wC .
В правой части уравнения (14.46) стоит главный вектор внешних сил F(ext) ,
приложенных к твердому телу. В общем случае вектор F(ext) может зависеть от
времени t, от положений и скоростей точек твердого тела в абсолютном пространстве, от положения rC и скорости vC центра масс.
Поскольку положения и скорости точек твердого тела и его центра масс в
абсолютном пространстве зависят от ориентации твердого тела, то вектор F(ext)
также может зависеть от ориентации тела.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
56 / 76
14.12 Уравнения движения свободного твердого тела III
Для описания закона изменения ориентации тела, применим теорему об изменении кинетического момента относительно центра масс:
dKC
(ext)
= MC ,
dt
(14.48)
где KC = ΘC ω — кинетический момент твердого тела, ω — угловая скорость
(ext)
тела, MC
— главный момент внешних сил, приложенных к телу, вычисленный
относительно центра масс.
Из (14.46), учитывая аналогичные преобразования преобразованиям (14.5), (14.6)
получаем векторное уравнение
(ext)
ΘC ω̇ + [ω, ΘC ω] = MC
(14.49)
.
Уравнение (14.49) называется динамическим уравнением Эйлера при движении твердого тела относительно центра масс.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
57 / 76
14.12 Уравнения движения свободного твердого тела IV
Если ориентация тела определяется параметрами, например, углами Эйлера,
углами Крылова или параметрами Родрига—Гамильтона, то уравнение (14.49)
следует дополнить кинематическими уравнениями (14.14), (14.15) или кинематическим кватернионным уравнением (14.16).
Если ориентация тела определяется направляющими косинусами — A, то связь
вектора ω с матрицей ориентации A задается дифференциальным уравнением
Пуассона (14.17) (см. раздел «Кинематика»).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
58 / 76
14.12 Уравнения движения свободного твердого тела V
Векторные уравнения (14.46), (14.47), (14.49), (14.14) ((14.15), (14.16) или (14.17))
образуют замкнутую систему дифференциальных уравнений движения свободного твердого тела при заданных внешних силах. Эта система состоит из двух групп
уравнений:
1
из уравнений движения центра масс твердого тела (14.46), (14.47);
2
из уравнений движения вокруг центра масс (14.49), (14.14) ((14.15), (14.16)
или (14.17)).
В тех случаях, когда тело не является свободным, система уравнений движения свободного твердого тела может быть использована для построения уравнений
его движения, если применить принцип освобождаемости от связей. Этот подход
к построению математических моделей движения несвободных твердых тел является универсальным, но приводит чаще всего к сложным системам уравнений.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
59 / 76
14.13 Частный случай уравнений движения свободного твердого
тела I
Рассмотрим один из важных случаев описания движения тела. Пусть связанная система координат — главная центральная система, тогда скалярные уравнения движения свободного твердого тела в части уравнений движения центра
масс твердого тела не изменяются, а в части уравнений движения относительно
центра масс принимают наиболее простой вид:

(ext)

 Aṗ + (C − B)qr = MCx0 ,
(ext)
(14.50)
B q̇ + (A − C)pr = MCy 0 ,


(ext)
C ṙ + (B − A)pq = MCz 0 .
где A, B, C — главные центральные осевые моменты инерции тела; p, q, r —
(ext)
(ext)
(ext)
проекции вектора ω на главные центральные оси инерции, MCx0 , MCy 0 , MCz 0
— главные моменты внешних сил, приложенных к твердому телу относительно
главных центральных осей твердого тела.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
60 / 76
14.14 Примеры I
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
61 / 76
14.15 Уравнения плоского движения твердого тела I
Пусть точки твердого тела движутся в плоскостях параллельных неподвижной
плоскости Oxy, в которой движется центр масс тела (это всегда можно обеспечить
соответствующим выбором системы Oxyz):
(14.51)
zC := 0.
Пусть кроме того оси Cx0 y 0 z 0 выбраны так, что Cx0 , Cy 0 движутся в Oxy, тогда,
если относительное положение определяется углами Эйлера, можно принять
ψ := 0,
θ := 0
и из кинематических уравнений Эйлера
p := 0,
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
q := 0,
(14.52)
r = ϕ̇.
2022 г.
62 / 76
14.15 Уравнения плоского движения твердого тела II
Учитывая (14.51), (14.52), из (14.48), (14.49) получаем

(ext)

,
 M ẍC = Fx
(ext)
,
M ÿC = Fy

(ext)

,
0 = Fz

(ext)
2

 −Ix0 z 0 ϕ̈ + Iy 0 z 0 ϕ̇ = MCx0 ,
(ext)
2
−Iy 0 z 0 ϕ̈ − Ix0 z 0 ϕ̇ = MCy 0 ,


(ext)
Iz 0 ϕ̈ = MCz 0 .
(14.53)
(14.54)
Здесь третье из (14.53), первое и второе (14.54) уравнения выражают условия равновесия, которые обеспечивают плоское движение тела. Тогда уравнения плоского
движения твердого тела:

 M ẍC = Fx(ext) ,

(ext)
(14.55)
,
M ÿC = Fy

 I 0 ϕ̈ = M (ext) .
z
Cz 0
Замечание. Для частного случая, когда ось Cz 0 является главной централь(ext)
(ext)
ной осью, условия равновесия в (14.54) примут вид MCx0 = MCy 0 = 0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
63 / 76
14.16 Примеры I
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
64 / 76
14.17 Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной
оси I
Пусть твердое тело движется так, что при его движении имеется две неподвижные точки O и O1 . Выберем системы координат Oxyz, Ox0 y 0 z 0 так, что Oz,
Oz 0 совпадают и направлены вдоль оси OO1 . Тогда, если относительное положение определяется углами Эйлера, можно принять
ψ := 0,
θ := 0
и из кинематических уравнений Эйлера
p := 0,
q := 0,
(14.56)
r = ϕ̇.
Для получения уравнений движения используем теорему о движении центра
масс (14.46) в проекциях на оси Ox0 y 0 z 0 и динамические уравнения Эйлера (14.7):
ė C + M [ω, vC ] = F(ext) ,
Mv
(ext)
ΘO ω̇ + [ω, ΘO ω] = MO
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(14.57)
(14.58)
.
2022 г.
65 / 76
14.17 Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной
оси II
Учитывая (14.56) и уравнение Эйлера ṙC = [ω, rC ], из (14.57), (14.58) получаем

(ext)
0
0
2

 −M yC ϕ̈ − M xC ϕ̇ = Fx0 ,
(ext)
0
0
2
(14.59)
M xC ϕ̈ − M yC ϕ̇ = Fy 0 ,


(ext)
0 = Fz 0 ,

(ext)
2

 −Ix0 z 0 ϕ̈ + Iy 0 z 0 ϕ̇ = MOx0 ,
(ext)
2
−Iy 0 z 0 ϕ̈ − Ix0 z 0 ϕ̇ = MOy 0 ,


(ext)
Iz 0 ϕ̈ = MOz 0 .
(14.60)
Здесь (14.59), первое и второе (14.60) уравнения выражают условия равновесия,
которые обеспечивают движение тела вокруг неподвижной оси. Тогда уравнение
движения твердого тела вокруг неподвижной оси:
(ext)
(14.61)
Iz 0 ϕ̈ = MOz 0 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
66 / 76
14.17 Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной
оси III
Замечание. Для частного случая, когда центр масс лежит на оси вращения,
(ext)
(ext)
условия равновесия в (14.60) не изменятся, а в (14.59) примут вид Fx0
= Fy 0
=
0
0. Если ось Oz является главной осью, то изменятся только условия равновесия
(ext)
(ext)
в (14.60): MOx0 = MOy 0 = 0. Если ось Oz 0 является главной центральной осью,
(ext)
то в (14.59), (14.60) будет иметь место условия равновесия: Fx0
(ext)
MOx0
=
(ext)
MOy 0
(ext)
= Fy 0
=0и
= 0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
67 / 76
14.18 Понятие фазовой плоскости I
Рассмотрим дифференциальное уравнение, описывающее движение механической системы с одной степенью свободы:
(14.62)
ẍ = f (x).
В таком случае кинетическая и потенциальная энергии:
Z
1
T ∗ = ẋ2 , Π∗ = − f (x)dx
2
и выполняется закон сохранения полной энергии (проверьте!!!):
T ∗ + Π∗ = h − const.
(14.63)
Для описания общих свойств решения уравнения (14.62) является эффективным
метод фазовой плоскости.
Уравнение (14.62) можно переписать:
ẋ = y,
(14.64)
ẏ = f (x).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
68 / 76
14.18 Понятие фазовой плоскости II
Примеры механических систем:
Уравнение математического маятника:
ϕ̈ +
g
sin ϕ = 0.
l
Уравнение движения груза под действием силы упругости:
ẍ +
c
x = 0.
m
Твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси в
однородном поле силы тяжести, называется физическим маятником.
Уравнение движения физического маятника:
ϕ̈ +
где
mga
sin ϕ = 0,
Iz 0
Iz 0
— приведенная длина физического маятника.
ma
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
69 / 76
14.18 Понятие фазовой плоскости III
Плоскость Oxy называется фазовой плоскостью уравнения (14.62). Точки фазовой плоскости — фазовые точки. Согласно (14.64) каждая точка (x, y) фазовой
плоскости, где определена функция f (x), задает вектор (ẋ, ẏ) — вектор фазовой
скорости.
Решение (14.64) — движение фазовой точки по фазовой плоскости, при этом
скорость движения фазовой точки (x, y) — фазовая скорость в (x, y).
Геометрическое место точек (x, y) в фазовой плоскости называется фазовой
кривой. Положением равновесия называется частный случай фазовой кривой —
точка. Ясно, что в положении равновесия фазовая скорость равна нулю.
Первый интеграл (14.63) позволяет строить фазовые кривые:
T ∗ (ẋ) + Π∗ (x) = h − const,
который можно записать в виде
ẋ2 = 2(h − Π∗ (x)).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(14.65)
2022 г.
70 / 76
14.18 Понятие фазовой плоскости IV
Свойства фазовых кривых:
1
2
При заданном h фазовая кривая может располагаться в области фазовой
плоскости где Π∗ (x) ≤ h — область возможного движения.
Согласно (14.64) положения равновесия располагаются на оси Ox:
dΠ∗
= 0.
dx
3
Если положение равновесия x∗ — локальный минимум Π∗ (x), то (x∗ , 0) —
особая точка типа центр (14.64), в случае локального максимума Π∗ (x)
точка (x∗ , 0) — особая точка типа седло (14.64).
4
Фазовые кривые симметричны относительно оси Ox, это следует из
вида (14.65).
5
Фазовые кривые, отличные от положений равновесия, ортогонально
пересекают ось Ox.
Фазовые кривые, которые разделяют области с различным характером поведения фазовых кривых, называются сепаратрисами.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
71 / 76
14.19 Пример I
Построим фазовый портрет для физического маятника. Кинетическая и потенциальная энергии маятника:
T =
1
Iz 0 ϕ̇2 ,
2
Π = −mga cos ϕ.
Интеграл энергии T + Π = const можно переписать в виде
1 2
ϕ̇ + Π∗ = h − const,
2
где Π∗ = −
mga
cos ϕ = −k2 cos ϕ.
Iz 0
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
72 / 76
14.19 Пример II
Анализ движения:
Если h < −k2 , то движение невозможно.
Если h = −k2 , то система находится в положении равновесия типа центр —
центр инерции занимает самое низкое положение.
Если −k2 < h < k2 , то движению маятника соответствует замкнутые
фазовые кривые — колебательное движение маятника.
Если h = k2 , то система находится в положении равновесия типа седло —
центр инерции занимает самое высокое положение или при t → ∞
(асимптотически) пытается занять самое высокое положение — фазовые
кривые (сепаратрисы) соединяют положения типа седло.
Если h > k2 , то имеет место вращательное движение маятника. Фазовые
кривые не замкнуты — ϕ → ±∞.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
73 / 76
14.19 Пример III
Замечание. Сепаратрисы разделяют колебательное и вращательное движение маятника.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
74 / 76
14.19 Пример IV
Пусть m = 0.5 кг, g = 9.8 м/с2 , a = 0.1 м, Iz 0 = 0.05 кг·м2 (k2 = 9.8).
PHjL
10
5
-5
5
j
-5
- 10
Рис. 1. График потенциальной энергии
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
75 / 76
14.19 Пример V
j
15
10
44.1
39.2
34.3
29.4
24.5
4.9
4.9
50
19.6
14.7
-4.9
-4.9
9.8
-5
5
14.7
j
-4.9
0
- 54.9
24.5
19.6
0
29.4
34.3
39.2
44.1
- 10
- 15
Рис. 2. Фазовый портрет
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2022 г.
76 / 76
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
уравнение Лагранжа 2-го рода
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
d.shimanchuk@spbu.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург – 2022 г.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
1 / 37
15.1 Кинетическая энергия в обобщенных координатах I
Изучим зависимость T от обобщенных координат q = [q1 , q2 , . . . , qn ]∗ и обобщенных скоростей q̇ = [q̇1 , q̇2 , . . . , q̇n ]∗ .
Пусть движение механической системы описывается обобщенными координатами q1 , q2 , . . . , qn , тогда
rν = rν (q, t), ν = 1, N ,
(15.1)
vν =
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
n
X
∂rν
∂rν
q̇j +
,
∂q
∂t
j
j=1
(15.2)
ν = 1, N ,
2022 г.
2 / 37
15.1 Кинетическая энергия в обобщенных координатах II
Произведем подстановку (15.2) в выражение кинетической энергии системы (??),
тогда получим
T = T2 + T1 + T0 ,
(15.3)
где
n N
N
X
1X
1X
∂rν ∂rν
1 ∗
mν
mν
q̇i q̇j =
,
T2 = q̇ A(q, t)q̇ =
2
2 ν=1
∂qi ∂qj
2 ν=1
i,j=1
T1 = A∗1 (q, t)q̇ =
N
X
ν=1
mν
n X
∂rν
j=1
∂qj
q̇j ,
∂rν
∂t
n
X
∂rν
q̇j
∂qj
j=1
!2
,
(15.4)
,
2
N
∂rν
1X
mν
.
T0 = T0 (q, t) =
2 ν=1
∂t
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
3 / 37
15.1 Кинетическая энергия в обобщенных координатах III
В формулах (15.4)
A(q, t) — симметричная матрица (n × n) с элементами aij (q, t), i, j = 1, n:
aij (q, t) =
N
X
mν
ν=1
∂rν ∂rν
,
∂qi ∂qj
,
A1 (q, t) — вектор-столбец (n × 1) с элементами ai (q, t), i = 1, n:
ai (q, t) =
N
X
ν=1
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
mν
∂rν ∂rν
,
∂qi ∂t
.
2022 г.
4 / 37
15.1 Кинетическая энергия в обобщенных координатах IV
Матрицу A(q, t) можно представить в виде
A(q, t) = D∗ (q, t)M D(q, t),
∗
∂ξ ∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂x1 ∂y1 ∂z1
∂xN ∂yN ∂zN
,
,
,...,
=
,
,
,...,
,
,
,
∂q1 ∂q2
∂qn
∂qj
∂qj ∂qj ∂qj
∂qj ∂qj ∂qj
j = 1, n; xν , yν , zν — координаты точки Pν , ν = 1, N ; M — блочно-диагональная
матрица (3N × 3N ):
M = diag[m1 E, m2 E, . . . , mN E],
где D(q, t) =
где E — единичная матрица (3 × 3).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
5 / 37
15.1 Кинетическая энергия в обобщенных координатах V
Таким образом, кинетическая энергия механической системы является полиномом второй степени относительно обобщенных скоростей (15.3), составляющие (15.4) которого
T2 = T2 (q̇, q, t) — квадратичная форма относительно q̇, коэффициенты этой
формы aij = aij (q, t), i, j = 1, n;
T1 = T1 (q̇, q, t) — линейная форма относительно обобщенных скоростей q̇,
коэффициенты этой формы ai = ai (q, t), i = 1, n;
T0 = T0 (q, t) — функция от обобщенных координат и времени.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
6 / 37
15.1 Кинетическая энергия в обобщенных координатах VI
Теорема 1
Если геометрические связи стационарны, то существуют переменные Лагранжа
такие, что кинетическая энергия не будет явно зависеть от времени t и будет
иметь вид:
1
T = T2 = q̇∗ A(q)q̇.
2
♦ Действительно, если геометрические связи — стационарные, то можно определить такие обобщенные координаты q, что
rν = rν (q),
ν = 1, N .
∂rν
:= 0, следовательно T1 := 0, T0 := 0, а A = A(q), т. к. aij = aij (q),
∂t
∂rν
∂rν
и
, ν = 1, N , не зависят от t.
i, j = 1, n, поскольку
∂qi
∂qj
Тогда
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
7 / 37
15.1 Кинетическая энергия в обобщенных координатах VII
Теорема 2
1
При любых значениях t, q, q̇ (q̇ 6= 0) функция T2 = q̇∗ A(q, t)q̇ принимает
2
значение строго больше нуля.
♦ Пусть существуют t0 , q0 , q̇0 (q̇0 6= 0) такие, что T2 (q̇0 , q0 , t0 ) = 0. Тогда из того,
что
!2
N
n
X
1X
∂rν
1 ∗
, mν > 0, ν = 1, N ,
q̇j
mν
T2 = q̇ A(q, t)q̇ =
2
2 ν=1
∂qj
j=1
следует
n
X
∂rν
q̇j
∂qj
j=1
= 0,
ν = 1, N .
t0 ,q0 ,q̇0 6=0
Эти равенства можно записать в матричном виде
D(q0 , t0 )q̇0 = 0,
где q̇0 6= 0, откуда следует rangD(q0 , t0 ) < n, что противоречит условию rangD(q, t) =
n для любой точки (q, t), в том числе и (q0 , t0 ).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
8 / 37
15.1 Кинетическая энергия в обобщенных координатах VIII
Следствие
При любых значениях t, q выполняется detA(q, t) 6= 0, т.е. при любых значениях
t, q матрица A(q, t) – неособая.
♦ Из того, что матрица A(q, t) вещественная и симметричная, следует, что неособым ортогональным преобразованием:
ė
q̇ = S(q, t)q,
где S(q, t) — ортогональная матрица, матрицу коэффициентов квадратичной формы T2 (q̇, q, t) можно привести к диагональному виду:
T2 =
2
2
1 ė ∗
ė = λ1 (q, t)ė
q S(q, t)∗ A(q, t)S(q, t)q
q1 + . . . + λn (q, t)ė
qn .
2
(15.5)
Согласно теореме 2 квадратичная форма T2 > 0 (q̇ 6= 0), тогда из (15.5) следует, что все λi > 0, i = 1, n, при любых t, q. Таким образом,
det(S(q, t)∗ A(q, t)S(q, t)) = detA(q, t) =
n
Y
λi > 0,
i=1
для любых t, q.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
9 / 37
15.2 Уравнения движения голономных систем в обобщенных
координатах I
Преобразуем уравнения Лагранжа 1-го рода для голономных механических
систем:
l
X
d2 rν
mν 2 = Fν +
λα ∇ν fα , ν = 1, N ,
(15.6)
dt
α=1
fα (r1 , . . . , rN , t) = 0,
(15.7)
α = 1, l.
с целью построения уравнений, которые описывают движения механической системы в переменных Лагранжа: t, q, q̇.
Заменим в уравнениях (15.6), (15.7) rν , vν по формулам (15.1), (15.2).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
10 / 37
15.2 Уравнения движения голономных систем в обобщенных
координатах II
∂rν
от функции rν (q, t),
∂qj
ν = 1, N , задающих зависимость положений механической системы от обобщенных координат.
∂rν
и просуммируем по всем
Далее, умножим скалярно уравнение (15.6) на
∂qj
ν, ν = 1, N , тогда
Для каждого номера j = 1, n определим производные
N X
ν=1
mν
d2 rν ∂rν
,
dt2 ∂qj
=
N X
ν=1
Fν ,
∂rν
∂qj
+
l
X
α=1
λα
N X
ν=1
∇ν fα ,
∂rν
∂qj
.
(15.8)
Преобразуем левую часть (15.8), для которой выполняются очевидные тождества:
2
d
d ∂rν
dvν ∂rν
∂rν
d rν ∂rν
:=
:=
−
v
,
,
,
,
v
,
ν
ν
dt2 ∂qj
dt ∂qj
dt
∂qj
dt ∂qj
где vν определяется равенством (15.2).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
11 / 37
15.2 Уравнения движения голономных систем в обобщенных
координатах III
Учитывая основные кинематические соотношения Лагранжа, левая часть (15.8)
принимает окончательный вид:
N X
mν
ν=1
=
N
X
mν
ν=1
=
N
X
ν=1
d2 rν ∂rν
,
dt2 ∂qj
d ∂
dt ∂ q̇j
=
mν
N
X
d
dt
∂
∂qj
mν
mν
ν=1
vν2
2
d2 rν ∂rν
,
dt2 ∂qj
−
=
vν ,
∂vν
∂ q̇j
∂vν
− vν ,
=
∂qj
vν2
2
=
∂T
d ∂T
−
.
dt ∂ q̇j
∂qj
(15.9)
где T — кинетическая энергия механической системы, которая в переменных
Лагранжа имеет вид (15.3), (15.4).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
12 / 37
15.2 Уравнения движения голономных систем в обобщенных
координатах IV
Преобразуем правую часть (15.8). Величина
Qj =
N X
Fν ,
ν=1
∂rν
∂qj
,
j = 1, n,
называется обобщенной силой, действующей по координате qj .
Аналогично обобщенным силам введем следующие обозначения:
Qgj =
l
X
λα Qgαj ,
j = 1, n,
(15.10)
j = 1, n, α = 1, l.
(15.11)
α=1
где
Qgαj =
N X
ν=1
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
∇ν fα ,
∂rν
∂qj
,
2022 г.
13 / 37
15.2 Уравнения движения голономных систем в обобщенных
координатах V
Величину Qgj , которая вычисляется по формуле (15.10), будем называть обобщенной реакцией системы геометрических связей, действующей по координате
qj , а λα Qgαj – обобщенной реакцией геометрической связи с номером α, α = 1, l,
действующей по координате qj , j = 1, n.
Используя (15.9)-(15.11), можно записать (15.8) в виде
d ∂T
∂T
−
= Qj + Qgj ,
dt ∂ q̇j
∂qj
(15.12)
которое в силу произвольного выбора номера j будет справедливо для всех j =
1, n.
Рассмотрим уравнения геометрических (15.7) связей.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
14 / 37
15.2 Уравнения движения голономных систем в обобщенных
координатах VI
Подстановка в (15.7) функций rν (q, t), ν = 1, N , обращает эти равенства в
тождества по переменным qj , j = 1, n, и t. Тогда геометрические связи можно
не учитывать, если движение механической системы определяется в переменных
Лагранжа (обобщенных координатах).
Из того, что (15.7) обращаются в тождества можно показать, что для частных производных по qj , j = 1, n, от левых и правых частей данных тождеств
выполняется
N X
∂rν
ebαj =
:= 0, α = 1, l, j = 1, n.
∇ν fα ,
(15.13)
∂qj
ν=1
Далее, сравнивая (15.13) и (15.11), можем записать
Qgαj = ebαj := 0,
α = 1, l, j = 1, n,
тогда из (15.10) следует, что
Qgj := 0,
j = 1, n,
т. е. обобщенные реакции геометрических связей, действующие по любой qj , j =
1, n, тождественно равны нулю.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
15 / 37
15.2 Уравнения движения голономных систем в обобщенных
координатах VII
Таким образом, можно определить систему уравнений, которая описывает движение голономной механической системы в переменных Лагранжа:
∂T
d ∂T
−
= Qj ,
dt ∂ q̇j
∂qj
(15.14)
j = 1, n,
где функция кинетической энергии T определяется (15.3), (15.4),
Qj =
N X
ν=1
Fν ,
∂rν
∂qj
(15.15)
.
Это система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, для
которой любое действительное движение голономной механической системы является ее решением.
Определение 15.1
Уравнения (15.14), учитывая (15.15), называются уравнениями Лагранжа 2-го
рода.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
16 / 37
15.2 Уравнения движения голономных систем в обобщенных
координатах VIII
Свойства уравнений Лагранжа 2-го рода:
в них отсутствуют реакции связей;
количество уравнений равно количеству независимых обобщенных
координат, которые определяют любое движение механической системы;
имеет место простой алгоритм их построения, который инвариантен по
отношению к выбору обобщенных координат.
Замечание. Для определения реакций связей Rν , ν = 1, N , из (15.6), учитывая (15.1), (15.2) и результат интегрирования уравнений Лагранжа — q = q(t):
Rν = mν
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
d2 rν
− Fν ,
dt2
ν = 1, N .
2022 г.
17 / 37
15.2 Уравнения движения голономных систем в обобщенных
координатах IX
Алгоритм построения уравнений (15.14):
1
Определить обобщенные координаты и зависимости от них положений точек
механической системы:
rν = rν (q, t), ν = 1, N ;
2
Найти выражения скоростей vν , ν = 1, N , через обобщенные координаты:
vν =
3
n
X
∂rν
∂rν
q̇j +
,
∂q
∂t
j
j=1
ν = 1, N ;
Составить выражение для кинетической энергии T механической системы,
используя (15.3), в виде функции
T = T (q̇, q, t);
∂T ∂T d ∂T
,
,
, j = 1, n;
∂qj ∂ q̇j dt ∂ q̇j
4
Определить производные
5
Определит обобщенные силы Qj по формуле из их определения или, используя
основное кинематические соотношения Лагранжа,
N X
∂vν
Qj =
, j = 1, n;
Fν ,
∂ q̇j
ν=1
6
Записать уравнения (15.14).
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
18 / 37
15.2 Уравнения движения голономных систем в обобщенных
координатах X
Представленный порядок построения уравнений Лагранжа 2-го рода (алгоритм построения уравнений (15.14)) называется лагранжевым формализмом.
Замечание. Уравнения Лагранжа 2-го рода непосредственно получаются из
записи общего уравнения динамики (5.2) в обобщенных координатах и того условия, что для голономных систем вариации δqj , j = 1, n, независисмы:
n X
∂T
d ∂T
−
− Qj δqj = 0,
dt ∂ q̇j
∂qj
j=1
(15.16)
где
N
X
(mν r̈ν , δrν ) =
ν=1
n X
∂T
d ∂T
δqj ,
−
dt ∂ q̇j
∂qj
j=1
N
X
ν=1
(Fν , δrν ) =
n
X
Qj δqj .
j=1
Уравнения Лагранжа 2-го рода не разрешены относительно старших производных q̈j , j = 1, n.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
19 / 37
15.3 Разрешимость уравнения Лагранжа 2-го рода относительно
старших производных I
Согласно (15.3), (15.4) кинетическая энергия механической системы T как
функция от переменных Лагранжа представима в виде
T = T2 + T1 + T0 ,
где
T2 =
1 ∗
q̇ A(q, t)q̇,
2
T1 = A∗1 (q, t)q̇,
T0 = T0 (q, t).
Обозначим
∗
∗
∂Ti
∂Ti
∂Ti
∂Ti
∂Ti
∂Ti
,...,
,...,
= ∇q̇ Ti =
= ∇q T i =
,
, i = 0, 1, 2.
∂ q̇
∂ q̇1
∂ q̇n
∂q
∂q1
∂qn
∗
∗
∂T
∂T
∂T
∂T
∂T
∂T
,...,
,...,
= ∇q̇ T =
= ∇q T =
,
.
∂ q̇
∂ q̇1
∂ q̇n
∂q
∂q1
∂qn
В этих обозначениях
∂T2
∂T1
∂T
=
+
,
∂ q̇
∂ q̇
∂ q̇
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
∂T
∂T2
∂T1
∂T0
=
+
+
.
∂q
∂q
∂q
∂q
2022 г.
20 / 37
15.3 Разрешимость уравнения Лагранжа 2-го рода относительно
старших производных II
Далее, при подстановке (15.3) в последние равенства получаем
∂T
= A(q, t)q̇ + A1 (q, t),
∂ q̇
а элементы вектора
∂T
вычисляются по формуле
∂q
∂T
1 ∂A
∂A∗1
∂T0
= q̇∗
q̇ +
q̇ +
,
∂qj
2 ∂qj
∂qj
∂qj
j = 1, n.
Для первого слагаемого в (15.14) можем записать
d
dA
dA1
d ∂T
=
(A(q, t)q̇ + A1 (q, t)) = Aq̈ +
q̇ +
= Aq̈ + F (q̇, q, t),
dt ∂ q̇
dt
dt
dt
где
n
n
X
∂A1
dA1
∂A1
q̇j +
=
,
dt
∂q
∂t
j
j=1
!
n
n
X
X
∂A
∂A1
∂A
∂A1
q̇j +
q̇j +
.
q̇ +
∂q
∂t
∂q
∂t
j
j
j=1
j=1
(15.17)
X ∂A
dA
∂A
q̇j +
=
,
dt
∂q
∂t
j
j=1
F (q̇, q, t) =
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
21 / 37
15.3 Разрешимость уравнения Лагранжа 2-го рода относительно
старших производных III
Окончательно уравнения (15.14) запишутся в виде
d ∂T
∂T
∂T
−
= Aq̈ + F (q̇, q, t) −
= Q,
dt ∂ q̇
∂q
∂q
где Q = [Q1 , . . . , Qn ]∗ . Откуда
Aq̈ = Q − F (q̇, q, t) +
∂T
.
∂q
Учитывая то, что матрица A(q, t) невырожденная для всех q и t, находим
∂T
q̈ = A−1 Q − F (q̇, q, t) +
.
(15.18)
∂q
Таким образом, разрешимость (15.14) относительно q̈ доказана, т. е. уравнения (15.14) можно представить в нормальной форме, и, учитывая непрерывную
дифференцируемость правых частей данной системы по переменным Лагранжа
(существует и единственно решение задачи Коши!!!), можно сказать, что уравнения Лагранжа удовлетворяют условию детерминированности Ньютона–Лапласа.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
22 / 37
15.4 Уравнения Лагранжа 2-го рода в потенциальном поле сил I
Пусть голономная система движется в пространстве конфигураций в потенциальном поле сил с потенциалом Π(q, t). По определению потенциальных сил
Qj = −
∂Π
,
∂qj
j = 1, n.
Тогда уравнение Лагранжа 2-го рода запишется в виде
d ∂T
∂T
∂Π
−
+
= 0,
dt ∂ q̇j
∂qj
∂qj
j = 1, n.
(15.19)
L(q̇, q, t) = T − Π = L2 + L1 + L0 ,
(15.20)
Введем функцию
где
L2 = T2 =
1 ∗
q̇ A(q, t)q̇,
2
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
L1 = T1 = A∗1 (q, t)q̇,
L0 = T0 (q, t) − Π(q, t).
2022 г.
23 / 37
15.4 Уравнения Лагранжа 2-го рода в потенциальном поле сил II
Функция L(q̇, q, t), задаваемая формулами (15.20), называется функцией Лагранжа или кинематическим потенциалом механической системы.
После подстановки функции Лагранжа в систему (15.19) придем к уравнениям
∂L
d ∂L
−
= 0,
dt ∂ q̇j
∂qj
(15.21)
j = 1, n.
Определение 15.2
Система уравнений (15.21) называется уравнениями Лагранжа в
потенциальном поле сил.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
24 / 37
15.4 Уравнения Лагранжа 2-го рода в потенциальном поле сил II
Свойства функции Лагранжа:
Функция Лагранжа непрерывно дифференцируема по переменным q̇, q, t,
поскольку такими свойствами обладают функции T (q̇, q, t) и Π(q, t).
Если связи стационарны, то кинетическая энергия не зависит явно от
времени t, и тогда функция Лагранжа примет вид
L = T2 − Π(q, t) =
1 ∗
q̇ A(q)q̇ − Π(q, t) = T2 (q̇, q) − Π(q, t).
2
Если при этом потенциальное поле сил стационарно, то в потенциальную
энергию время t также не будет входить явно. В таком случае функция
Лагранжа тоже не будет зависеть явно от времени t:
L = L(q̇, q) =
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
1 ∗
q̇ A(q)q̇ − Π(q) = T2 (q̇, q) − Π(q).
2
2022 г.
25 / 37
15.4 Уравнения Лагранжа 2-го рода в потенциальном поле сил IV
Таким образом, показали, что уравнения Лагранжа 2-го рода могут быть получены из уравнений Лагранжа 1-го рода. Уравнения Лагранжа 2-го рода можно получить из принципа наименьшего действия (принципа Гамильтона–Остроградского
принцип Гамильтона–Остроградского
Пусть механическая система в заданные моменты времени t0 , t1 занимает
определенные положения q(0) = q(t0 ), q(1) = q(t1 ), тогда между этими
положениями система движется таким образом, что для интеграла S действия
выполняется
Zt1
δS = δ L(q, q̇, t)dt = 0.
t0
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
26 / 37
15.4 Уравнения Лагранжа 2-го рода в потенциальном поле сил V
Также следует отметить, что вид уравнений Лагранжа 2-го рода не зависит от
выбора системы независимых обобщенных координат (при определении уравнений Лагранжа эти координаты выбирались произвольно), т. е. уравнения Лагранжа ковариантны относительно точечного преобразования — преобразование от
одной системы независимых обобщенных координат к другой системе:
qj = qj (e
q1 , . . . , qen , t),
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
j = 1, n.
2022 г.
27 / 37
15.5 Уравнение Лагранжа 2-го рода в непотенциальном поле сил
Движение голономной механической системы описывается уравнениями Лагранжа 2-го рода (15.14):
∂T
d ∂T
−
= Qj , j = 1, n.
dt ∂ q̇j
∂qj
где Qj — активные обобщенный силы, при определении которых не учитываются
реакций идеальных связей.
В общем случае обобщенные силы можно представит в виде суммы
Qj = Qj1 + Qj2 ,
j = 1, n,
∂Π
, j = 1, n –
∂qj
потенциальные обобщенные силы, Π = Π(q, t) – потенциальная энергия механической системы.
Тогда уравнение (15.14) можно записать в виде
где Qj1 , j = 1, n – непотенциальные обобщенные силы, Qj2 = −
d ∂T
∂T
∂Π
−
= Qj1 −
,
dt ∂ q̇j
∂qj
∂qj
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
(15.22)
j = 1, n.
2022 г.
28 / 37
15.5 Уравнение Лагранжа 2-го рода в непотенциальном поле сил
II
Далее, учитывая выражение для кинетического потенциала L = T − Π, после
подстановки T = L + Π в уравнение (15.22) получим систему
Eqj (L) =
d ∂L
∂L
−
= Qj1 ,
dt ∂ q̇j
∂qj
(15.23)
j = 1, n,
где Eqj (·) — оператор Эйлера–Лагранжа по координате qj :
Eqj (·) =
d ∂(·)
∂(·)
−
dt ∂ q̇j
∂qj
Определение 15.3
Уравнения (15.23) называются уравнениями Лагранжа движения голономных
систем в непотенциальном поле.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
29 / 37
15.6 Закон изменения полной механической энергии I
Запишем выражение для полной механической энергии E через переменные
Лагранжа:
E = T + Π = T2 + T1 + T0 + Π,
1 ∗
q̇ A(q, t)q̇, T1 = A∗1 (q, t)q̇, T0 = T0 (q, t), Π = Π(q, t).
2
dE
на решениях системы (15.22):
Определим
dt
!
n
n
X
X
dT
dΠ
∂T
∂T
∂T
dE
dΠ
=
q̇j +
q̈j
+
+
+
=
dt (15.22)
dt
dt (15.22)
dt
∂t
∂qj
∂ q̇j
j=1
j=1
где T2 =
.
(15.22)
X
n
n
n
X
X
∂T
d ∂T
d ∂T
q̇j
q̈j =
q̇j −
.
∂
q̇
dt
∂
q̇
dt
∂ q̇j
j
j
j=1
j=1
j=1
dE
dt
n
=
(15.22)
n
X d
X ∂T
dΠ
∂T
q̇j +
+
+
dt
∂t
∂qj
dt
j=1
j=1
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
∂T
q̇j
∂ q̇j
n
X
d ∂T
q̇j
−
dt
∂ q̇j
j=1
!
.
(15.22)
(15.24)
2022 г.
30 / 37
15.6 Закон изменения полной механической энергии II
Из (15.22) следует, что
∂T
∂Π
d ∂T
=
−
+ Qj1 ,
dt ∂ q̇j
∂qj
∂qj
dE
dt
=
(15.22)
dΠ
∂T
d
+
+
dt
∂t
dt
n
X
∂T
q̇j
∂
q̇j
j=1
!
n
X
∂Π
− Nq
q̇j
+
∂q
j
j=1
!
,
(15.25)
(15.22)
где
Nq =
n
X
(15.26)
Qj1 q̇j .
j=1
Определение 15.4
Функция Nq , определяемая формулой (15.26), называется обобщенной или
виртуальной мощностью обобщенных сил Qj1 , j = 1, n.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
31 / 37
15.6 Закон изменения полной механической энергии III
Для выражений с потенциальной энергией запишем соотношения, справедливые на решениях системы (15.22):
n
X
j=1
q̇j
dΠ
∂Π
∂Π
=
−
,
∂qj
dt
∂t
n
dΠ
dΠ X ∂Π
∂Π
q̇j
=2
+
−
.
dt
∂q
dt
∂t
j
j=1
Преобразуем третий член в правой части равенства (15.25):
X
X
n
n
n
X
d ∂T2
d ∂T1
d ∂T
q̇j =
q̇j +
q̇j .
dt ∂ q̇j
dt ∂ q̇j
dt ∂ q̇j
j=1
j=1
j=1
(15.27)
Функции T2 и T1 являются однородными функциями относительно переменных q̇j степени 2 и 1, соответственно. По теореме Эйлера для однородных функций
можем записать
n
n
X
X
∂T2
∂T1
q̇j = 2T2 ,
q̇j = T1 .
(15.28)
∂
q̇
∂ q̇j
j
j=1
j=1
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
32 / 37
15.6 Закон изменения полной механической энергии IV
Заменяя суммы в (15.27) их значениями (15.28), получим
!
n
d
d
d X ∂T
q̇j =
(2T2 + T1 ) =
(2T − T1 − 2T0 ) .
dt j=1 ∂ q̇j
dt
dt
После подстановки полученного равенства в (15.25) получим
dE
dT
d
dΠ
∂T
∂Π
= 2
−
(T1 + 2T0 ) + 2
+
−
− Nq
dt (15.22)
dt
dt
dt
∂t
∂t
.
(15.22)
dE
dT
dΠ
=2
+2
, приходим к соотношению
dt
dt
dt
dE
d
∂T
∂Π
= 2
,
−
(T1 + 2T0 ) +
−
− Nq
dt
dt
∂t
∂t
(15.22)
Далее, учитывая 2
dE
dt
(15.22)
откуда окончательно получаем
dE
d
∂T
∂Π
=
(T1 + 2T0 ) −
+
+ Nq
dt (15.22)
dt
∂t
∂t
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
(15.29)
.
(15.22)
2022 г.
33 / 37
15.6 Закон изменения полной механической энергии V
Таким образом, доказали теорему:
Теорема (Закон изменения полной энергии)
Скорость изменения полной механической энергии на движениях голономной
системы определяется формулой (15.29).
Следует заметить, что учитывая выражение для функции Лагранжа L = T −
Π, равенство (15.29) примет вид:
dE
∂L
d
.
(15.30)
=
(T1 + 2T0 ) −
+ Nq
dt (15.22)
dt
∂t
(15.22)
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
34 / 37
15.6 Закон изменения полной механической энергии VI
Следствие
Пусть выполнены следующие условия:
1
голономные связи стационарны,
2
потенциальное поле сил стационарно,
3
непотенциальные силы отсутствуют или их обобщенная мощность равна
тождественно нулю на любых действительных движениях
Nq (q̇, q, t) := 0
(тождество рассматривается по всем q̇, q, t).
Тогда справедлив закон сохранения полной механической энергии:
E = const
на любых движениях механической системы, а сама механическая система
является консервативной.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
35 / 37
15.6 Закон изменения полной механической энергии VII
Если выполнено условие 1, то существуют обобщенные координаты q такие, что
rν = rν (q), ν = 1, N , тогда A = A(q), T1 := 0, T0 := 0, откуда
d
(T1 + 2T0 ) := 0,
dt
∂T
:= 0.
∂t
Если выполнено условие 2, то потенциальная энергия Π = Π(q), тогда
∂Π
:= 0.
∂t
Если выполнено условие 3, то
Nq (q̇, q, t)|(15.22) := 0.
dE
= 0, тогда E = const на любых движениях механичеИз (15.28) получаем
dt
ской системы.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
36 / 37
15.6 Закон изменения полной механической энергии VIII
Следует отметит, что, если выполнены условия 1 и 2, а условие 3 не выполняется, то
dE
= Nq |(15.22) ,
(15.31)
dt (15.22)
т. е. для стационарных голономных систем, движущихся в стационарном потенциальном поле, при наличии непотенциальных сил с виртуальной мощностью
Nq :6= 0, выполнен закон (15.31) изменения полной механической энергии.
Отметим, что в следствии все условия и ограничения накладываются только на
активные силы, среди которых могут присутствовать и непотенциальные. Важно лишь, чтобы присутствующие непотенциальные активные силы имели обобщенную мощность Nq := 0. К пассивным силам вообще никаких требований не
предъявляется, поскольку эти силы отсутствуют в уравнениях Лагранжа 2-го рода. На них распространяются только те условия, которые вытекают из аксиомы
идеальности связей в голономных системах.
ШИМАНЧУК Д.В. (СПбГУ)
2022 г.
37 / 37