1) Множества и их способы задания.
Множество - любая определенная совокупность объектов. Элементы - объекты, из которых составлено множество. Виды множеств: конечные (10,...,99), бесконечные (2, 4, 6...), пустое.
Способы задания: (1) списком: А = {a1,a2...}; a1 э A---например: множество простых между m и n (при m = 10, n = 20, A = {11,13,19})
(2) описанием: например А = {1,2,...,14} - множество значений, где x э N; x < 15 ИЛИ A = {x / x э N; x < 15}
(3) порождающей процедурой (описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов, либо других оюъектов)---1 э N => если n э N, то n+1 э N
(4) диаграммами Эйлера-Венна---например А = {a,b,c} B = {b,d} 2) Диаграммы Венна.
Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество U изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества.
Диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Венна изображают отношения между множествами: непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами. 3) Отношения и их свойства.
Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи
Отношение называется рефлексивным, если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе (xRy => xRx ^ yRy). Если отношение истинно, то и составляющие суждения будут истинными.
Отношение называется симметричным, если оно имеет место как между предметами x и y, так и между предметами y и x (xRy и yRx). Если одно истинно, то и второе истинно.
Отношение является транзитивным, если оно имеет место между x и z тогда, когда оно имеет место между x и y и между y и z (xRy ^ yRz => xRz). Если составляющие отношения истинны, то и вытекающее суждение будет истинным.
4) Отношение эквивалентности и классификация множеств.
Отношение эквивалентности - бинарное отношение на множестве А, удовлетворяющее условиям рефлексивности, симметричности и транзитивности. Пример: А - множество прямых на плоскости. Отношение параллельности R = {x, y / x, y э А и x//y} является отношением эквивалентности.
Виды множеств: конечное (конечное число элементов) и бесконечное, пустое = конечное с мощностью 0. Счётное - бесконечное множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, в противном случае бесконечное множество - несчетное.
5) Планарные графы.
Граф - набор вершин, некоторые из которых соединены ребрами.
Планарный граф - граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребра (дуг). Планарный граф -> Плоская укладка планарногог графа.
Формула Эйлера: В - Р + Г = 2
Задача (можно ли проложить пути без пересечения): 3 дома, 3 магазина. 6 - 9 + Г = 2 т.е. по формуле Эйлера граф имеет 5 граней. С другой стороны: любая грань (включая внешнюю) содержит чётное число рёбер — а значит, не менее 4.
Следовательно, при 5 гранях минимальное число рёбер = 4 * 5 = 20 рёбер > 10 рёбер (для пяти граней), а наше количество рёбер = 9 => противоречие, неравенство не выполняется.