Загрузил Fvxr Cdvv ja cgv

Методическое пособие 103 2

Реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический
университет»
Кафедра «Ракетные двигатели»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для выполнения курсовой работы по дисциплине
«Методы математического моделирования»
для студентов специальности 160700.65, 24.05.02
«Проектирование авиационных и
ракетных двигателей» очной формы обучения
Воронеж 2015
Составители: д-р техн. наук Ю.В. Демьяненко
канд. техн. наук А.А. Гуртовой
д-р техн. наук А.В. Кретинин
канд.физ.-мат. наук А.М. Сушков
УДК 629.13
Методические указания для выполнения курсовой работы
по дисциплине «Методы математического моделирования» для
студентов
специальности
160700.65,
24.05.02
«Проектирование авиационных и ракетных двигателей» очной
формы
обучения
/
ФГБОУ
ВПО
"Воронежский
технический
университет";
Сост.:
государственный
Ю.В. Демьяненко, А.А. Гуртовой, А.В. Кретинин,
А.М. Сушков. Воронеж, 2015. 44 c.
В методических указаниях для выполнения курсовой
работы содержатся теоретические сведения для создания
компьютерной
программы,
реализующей
одномерную
математическую модель горения в камере ЖРД.
Издание соответствует требованиям Федерального
государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования по направлению 160700.65,
24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных
двигателей»,
дисциплине
«Методы
математического
моделирования».
Рецензент д-р техн. наук, проф. Г.И. Скоморохов
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук,
проф. В.С. Рачук.
Издается по решению редакционно-издательского
совета
Воронежского
государственного
технического
университета.
©
ФГБОУ
ВПО
государственный
университет», 2015
«Воронежский
технический
ВВЕДЕНИЕ
В
представленных
методических
указаниях
теоретические основы для моделирования одномерного
процесса горения в камере сгорания, базирующиеся на
проведении термодинамического расчета процесса горения и
истечения в камере сгорания ЖРД.
Для
определения
удельных
параметров
и
геометрических размеров ракетного двигателя необходимо
знать температуру, давление, состав и скорости продуктов
сгорания в камере сгорания в различных сечениях сопла. Эти
данные необходимы также и для расчета охлаждения стенок
камеры.
Высокие температуры горения в камере ЖРД вызывают
сильную диссоциацию продуктов сгорания, которая, в свою
очередь, влияет на их температуру и состав. Поэтому при
определении температуры и состава продуктов сгорания в
ЖРД учет диссоциации является обязательным. Кроме того,
следует принимать во внимание и зависимость теплоемкости
продуктов сгорания от температуры.
Исходными данными для термодинамического расчета
горения и истечения продуктов сгорания являются:
• химический состав горючего и окислителя;
•соотношение между количеством горючего и
окислителя в камере сгорания;
•давление в камере сгорания;
•давление на срезе сопла.
Расчет температуры и состава продуктов сгорания на
выходе из камеры сгорания (перед реактивным соплом)
производится при следующих допущениях:
• смешение компонентов топлива является полным;
• физическая неполнота сгорания отсутствует;
• отдачи тепла в стенки камеры нет;
• процесс сгорания протекает при постоянном давлении;
3
•состояние продуктов сгорания на выходе из камеры
сгорания является полностью химически и энергетически
равновесным.
При расчете процесса расширения в реактивном сопле
ЖРД принимаются следующие допущения;
• процесс расширения предельно химически и
энергетически равновесен;
•догорание топлива в сопле отсутствует;
• отдачи тепла в стенки сопла нет;
• трения и газодинамических потерь в сопле нет.
В качестве иллюстрации излагаемого материала
приводится пример проведения термодинамического расчета
для
кислородно-водородного
жидкостного
ракетного
двигателя. Подробно изложенные этапы расчета имеют цель
создания алгоритма программы численного решения.
4
1. Термодинамический расчет процессов горения и
истечения. Теоретические основы
Задача термодинамического расчета – определение
температуры и состава продуктов сгорания в различных
сечениях (в частности, входном, выходном и критическом).
Особенностью процессов в тепловых двигателях при
высоких температурах (более 2000 К) является значительное
усиление термической диссоциации рабочего тела. Время
пребывания продуктов сгорания (ПС) в таких двигателях
очень мало: газообразные продукты в камерах сгорания
находятся тысячные доли, а при течении по соплу –
десятитысячные доли секунды. Наличие в камерах обратимых
процессов диссоциации означает, что ПС представляет собой
химически реагирующую многокомпонентную смесь газов.
Эти процессы приводят к уменьшению преобразования
химической энергии в тепловую, что должно учитываться при
расчете двигателей. При течении по соплу температура и
давление газа уменьшаются. Установлено, что в диапазоне
изменения этих параметров в соплах влияние температуры на
диссоциацию сказывается сильнее, поэтому по мере движения
газа по соплу диссоциация ослабевает. Состав ПС по длине
сопла меняется: на выходе имеется больше продуктов полного
окисления.
Для химически активного газа, в котором протекают
химические реакции рекомбинации с выделением тепла, кроме
необходимо
внутренней энергии U и энергии давления P

также учитывать химическую энергию U хим . При
температурах газа менее 2000 К степень диссоциации
невелика, поэтому при рассмотрении процесса расширения в
соплах изменение химического состава и U хим можно не
учитывать. При больших температурах в соплах происходит
значительное изменение состава, а следовательно, и запаса
3
U хим . В этом случае уравнение энергии для движущегося газа
записывают в виде:
U 
P
 U хим 
w2
w2
I
 const ,
2
2
(1)

где I – энтальпия ПС.
Нередко I называют полной энтальпией:
P
I U 
 U хим .
(2)

Уравнение (1) обычно используют для определения
скорости истечения из сопла диссоциированных ПС:
wa  2  I к  I а  .
Если не учитывать изменения химической энергии
рабочего тела вследствие реакций рекомбинации, то при
расчете скорости истечения ошибка может достигать
нескольких процентов.
Поскольку по соплу состав ПС меняется, то и отношение
теплоемкостей c p c v для каждого сечения сопла будет иметь
разное значение. Процесс расширения в соплах с подводом
тепла вследствие реакций рекомбинации можно рассчитывать,
используя уравнение адиабаты с некоторым средним
значением показателя n:
Pк

n
к

Pa

n
a
 n 
lg Pк Pa
lg  к  a
С учетом уравнения состояния
lg P к P a
n 
Pк R a T a
lg
Pa R к T к
где R 
R0P
,
  i Pi
4
,
(3)
Ra , Ta , Pa
–
соответственно
газовая
постоянная,
температура и давление ПС в выходном сечении сопла;
Rк , Tк , Pк – то же на входе в сопло.
Для нахождения этих параметров необходимо выполнять
термодинамический расчет в указанных сечениях сопла.
2. Равновесность процесса
Равновесным называется такой процесс расширения
газовой смеси, при котором энергия колебательного движения
частиц в каждом сечении сопла соответствует температуре
(энергетическое равновесие), а состав ПС успевает
отслеживать изменение определяющих параметров –
температуры и давления (химическое равновесие). Обычно
термодинамические расчеты двигателей выполняются в
предположении полностью равновесного расширения. Такие
процессы являются термодинамически обратимыми и идут при
постоянной энтропии: S i  S к  S a  const . Изоэнтропные
процессы, по сравнению с адиабатными, являются более
идеализированными. При их протекании не должно быть
трения и теплообмена газа со стенкой, а также должно
выдерживаться энергетическое и химическое равновесие. Для
изоэнтропных процессов средний показатель процесса
расширения называют показателем изоэнтропы.
3. Задачи термодинамического расчета
Как уже отмечалось, в задачу термодинамического
расчета входит определение температуры и состава газа в
различных сечениях сопла. На основании этих расчетов в
дальнейшем вычисляют расходный комплекс  , скорость
истечения wa , показатель изоэнтропы n, удельный импульс I у
и некоторые другие параметры.
5
Состав ПС можно характеризовать парциальными
давления газов Pi , числом молей , мольными (объемными)
долями ri . Индекс «i» означает некоторое произвольно
выбираемое вещество, содержащееся в ПС. Все эти величины
взаимосвязаны, например:
P
n
ri  i  i ,
(4)
P
n
где P – общее давление смеси; n – общее число молей
всех газов, образующихся при сгорании одного моля топлива.
Для выполнения термодинамических расчетов обычно
задают состав и энтальпию топлива, давление торможения на
входе в сопло P0к и давление на выходе из сопла Pa .
Продукты сгорания считаются идеальными газами, поэтому к
ним можно применить уравнение состояния идеальных газов.
Внутренняя энергия, энтальпия, константы равновесия,
теплоемкость от давления не зависят.
В состав ПС входит большое количество индивидуальных
веществ. Так, даже для топлива, состоящего из четырех
элементов (C, H, O, N), в составе ПС приходится при расчетах
учитывать содержание одиннадцати газов: H 2 O , CO2 , CO ,
O2 , N 2 , H 2 , NO , OH , H , O , N . Помимо 11 парциальных
давлений Pi (или числа молей ni ) неизвестной величиной
является температура смеси T0к . Для отыскания 12
неизвестных составляют систему из 12 уравнений. Одним из
них является уравнение Дальтона:
Pк   Pi .
(5)
Для составления других уравнений предварительно
необходимо провести термохимические расчеты.
n
i
4. Основы расчета термохимических свойств топлива
Задачи расчета – составление условных (эквивалентных)
формул топлива, расчет стехиометрического соотношения
6
компонентов k m0 и коэффициента избытка окислителя  , а
также энтальпии топлива I, его компонентов и ПС.
Пример. Составить условную формулу окислителя.
Состоящего из четырехокиси азота N 2 O4 (массовая доля
g N 2O4  0,96 ) и воды H 2O (массовая доля g H 2O  0,04 .
Условную формулу запишем в виде:
N 2 O4  x  H 2 O ,
т.е. на один моль N 2O4 приходится x молей H 2O .
Зная массовые доли и молекулярные массы веществ
(  N 2O4  92 ;  H 2O  18 ), можно составить пропорцию для
определения x: на  N 2O4 граммов N 2 O4 приходится x   H 2O
граммов воды H 2 O , с другой стороны, соотношение между
массами этих веществ определяется их массовыми долями.
Следовательно, из пропорции получим:
 N 2O4  x   H 2O
 N O  g H 2O
x 2 4
 0,211
g N 2O4  g H 2O
H O  g N O
2
2 4
Таким образом условную формулу можно записать в виде
N 2 O4 +0,211 H 2 O или в виде одночлена, суммируя количество
грамм-атомов одинаковых элементов: количество грамматомов азота в условной формуле bN  2 , кислорода
bO  4  0,211  1  4,211 , водорода b H  2  0,211  0,422 . В
итоге
условная
формула
N bN ObO H bH
имеет
вид
N 2 O4, 211 H 0, 422 .
Иногда удобнее рассматривать сгорание не одного
условного моля вещества, а одного килограмма. Тогда
составляют, так называемую удельную формулу. Для перехода
к такой формуле надо число грамм-атомов в условной
формуле умножить на 1000 /  ок , где  ок – условная
молекулярная масса окислителя. Для рассмотренного примера
 ок  2  14  4,211  16  1  0,422  95,8 .
7
В итоге удельная формула окислителя N 20,9 O44 H . В
данном случае условная молекулярная масса равна 1000
г/моль.
5. Теоретическое (стехиометрическое) соотношение
компонентов
Под
теоретическим
соотношением
компонентов
k m0
(стехиометрическим
коэффициентом)
понимают
минимальное количество килограммов окислителя, которое
приходится на один килограмм горючего при полном
окислении горючих элементов топлива. При этом считают, что
азот в реакциях окисления не участвует.
Полным является такое окисление, когда углерод C
окисляется до CO2 , водород H – до H 2 O и т.д., т.е. в
реакциях окисления проявляются высшие валентности
элементов.
Поскольку в действительности наряду с продуктами
полного окисления имеются продукты неполного окисления
(например, CO , OH и др.), а также NO (т.е. азот частично
k m0
характер.
окисляется),
то
носит
условный
Стехиометрический коэффициент k m 0 служит ориентиром для
того, чтобы назначить действительное соотношение
m
компонентов k m  ок  . Значение k m 0 может быть
mг
определено по формуле замещения валентности элементов:


  ок   biг i 
 i 1
,
k m0 
(6)


 г   biоо i 
 i 1

8
где  i – валентность (с учетом знака); biоо , biг – число
грамм-атомов i-го элемента в условных формулах окислителя
и горючего.
Напомним, что наивысшие валентности равны: у
водорода  H  1 , у углерода  C  4 , у кислорода  O  2 . В
ряде случаев вводится мольное соотношение компонентов
k m 0  k m 0
г
 ок , т.е. количество молей окислителя, потребное
для полного окисления одного моля горючего. При расчете
k m 0 молекулярные массы горючего  г и окислителя  ок
могут быть найдены из химической или условной формул
компонентов.
Действительное соотношение между компонентами
топлива можно характеризовать коэффициентом избытка
окислителя:

  km k  km k  .
(7)
m0
m0
При   1 топливо содержит избыток окислителя, а при
  1 – избыток горючего. Подставляя в (7) выражение для k m ,
можно определить секундный расход каждого из компонентов:
m  m г  m ок  m г 1  k m  , откуда
  k m 0  m
m
m г 
; m ок 
.
1    k m0
1    k m0
На основании (8) можно записать условную формулу
двухкомпонентного топлива в следующем виде:
(8)
CbCТ HbHТ ObOТ Nb NТ ,
где число грамм-атомов элементов в условном моле
топлива определяется соотношениями:
bCТ  bC Г    k m 0  bCO ;
bH Т  bH Г    k m 0  bH O ;
9
biТ  biГ    k m 0  biO .
Здесь biГ и biO – соответственно число грамм-атомов i-го
элемента в молях горючего и окислителя. Заметим, что в
общем случае в этих расчетах могут использоваться условные
формулы компонентов.
Пример: Для топлива, в котором в качестве горючего
использован диметилгидразин CH 3 2 N 2 H 2 (  г  60,1 ), а в
качестве окислителя – четырехокись азота N 2 O4 , имеющая
влажность 4%, определить значение k m 0 и записать условную
формулу при   0,8 .
Как было показано ранее, условная формула данного
окислителя
имеет
вид
(  ок  95,8 ).
N 2 O4, 211 H 0, 422
Стехиометрическое соотношение:
кг ок.
95,8  4  2  (1)  8
95,8 16
k m0  


  3,2
кг гор.
60,1 4,211  2  0,422  1 60,1 8
Мольное стехиометрическое соотношение

моль ок.
k m 0  k m 0 г  2
 ок
моль гор.
Действительное мольное соотношение:
моль ок.
k m 0    k m 0  1,6
моль гор.
Следовательно, условную формулу данного топлива на
основании (8) можно записать в виде:
CbCТ HbHТ ObOТ NbNТ ,
где bCТ  bC Г    k m 0  bCO  2  0  2 ;
bHТ  8  1,6  0,422  8,78 ;
bOТ  0  1,6  4,211  6,74 ;
b NТ  2  1,6  2  5,2 .
10
6. Энтальпия
Уравнением (2) для ПС была введена полная энтальпия,
которая учитывает химическую энергию веществ. Она
характеризует все запасы энергии вещества, кроме
кинетической:
T
I  i  Q хим   c p dT  Q хим ,
T0
где T0 – начальная температура отсчета. Поскольку в
термодинамических расчетах постоянно имеют дело с
разностями или суммами полных энтальпий, то значение T0
можно выбирать произвольно. При расчете понятие полной
энтальпии вводится также для топлива и его компонентов. Это
позволяет записать баланс энергии в двигателе через полную
энтальпию.
В существующих системах отсчета в качестве T0
выбирают температуры 298,15 К; 293,15 К; и 0 К. Под
химической энергией понимают то количество тепла, которое
выделяется или поглощается при образовании данного
вещества из некоторых исходных веществ, так называемых
стандартных элементов, химическая энергия которых берется
за нуль отсчета. В качестве нулей отсчета химической энергии
обычно берут газообразные O2 , H 2 , N 2 , C (графит βмодификации, электронный газ и т.д. Указанные состояния
исходных
веществ
(они
называются
стандартными
состояниями)
являются
наиболее
устойчивыми
и
распространенными в природных условиях.
Для всех веществ при температуре T  T0 :
T
i   c p dT  0 и I  Q хим .
T0
Химическая энергия Q хим равна разности энергетических
уровней исходных и конечных продуктов реакции и
11
определяется строением молекул и атомов исходных и
конечных веществ и не зависит ни от давления, ни от
температуры. Для определения Q хим экспериментальным
путем находят теплоту образования вещества H T00 , т.е.
количество
тепла,
которое
выделяется
( H T00 <0)
или
поглощается ( H T00 >0) при образовании данного вещества из
указанных
состоянии:
исходных
веществ,
взятых
в
стандартном
H T00  Q хим  QT0 ,
где QT0 обусловлена отличием теплоемкости исходных
и конечных веществ, участвующих в реакции.
При определении H T00 для стандартных
T0  20 C
(температура
или
25 C
и
условий
давление
5
P  1,01325  10 Па ( 1 физ. атм.) QT0  0 и Q хим  H T00 .
Для индивидуальных веществ при температуре Т
T
I  H T00   c p dT   H (i ) ,
T0
(i )
где  H – сумма теплот фазовых и полиморфных
превращений при изменении температуры от T0 до Т.
Полная энтальпия 1 кг двухкомпонентного топлива:
I    k m0  I ок
.
IT  г
1    k m0
Значения энтальпии горючего I г и окислителя I ок берут
из таблиц при температуре подачи компонентов в камеру
двигателя (20 или 25 C ) для высококипящих компонентов,
или температуре кипения при давлении P  1,01325  10 5 Па
для криогенных компонентов.
12
Энтальпию одного условного моля двухкомпонентного
топлива находят из соотношения
I T  I Г    k m 0  I ОК ,
где I Г , I ОК – энтальпия горючего и окислителя,
отнесенные к одному молю.
Энтальпия продуктов сгорания
I ПС   ni I i ,
где ni – число молей i-го вещества в ПС, образующееся из
одного условного моля топлива.
С учетом (4)
N
I ПС   Pi I i .
P
Общее число молей в 1 кг ПС N  1 , где условная

Pi  i
.
i  
P
На основании последнего соотношения
молекулярная масса ПС    
NP
ri
 Pi  i
и энтальпия 1 кг ПС
 Pi I i
.
(9)
 Pi  i
Здесь суммирование проводится с учетом всех веществ,
содержащихся в ПС.
7.
Система
уравнений
для
выполнения
термодинамического расчета
I ПС 
Термодинамический расчета горения выполняется в
предположении отсутствия ионизации ПС. Система для
расчета включает следующие уравнения:
диссоциации;
сохранения вещества;
закона Дальтона;
13
сохранения полной энтальпии.
Уравнения диссоциации описывают обратимые реакции
диссоциации. Из химической термодинамики известно, что
если в газовой смеси протекает обратимая реакция типа
aA  bB  cC  dD , то для условий химического равновесия
константа равновесия этой реакции запишется следующим
образом:
Pc Pd
K  Ca Db  f (T ) ,
PA PB
где A, B, C, D – вещества, участвующие в данной реакции;
a, b, c, d – число молей этих веществ; PA , PB , PC , PD –
парциальные давления.
Для идеальных газов константа К от давления не зависит,
а определяется только типом реакции и температурой газа.
Известно, что число независимых уравнений констант
равновесия равно числу учитываемых веществ в ПС за
вычетом числа элементов в топливе.
Уравнения сохранения вещества выражают равенство
числа грамм-атомов каждого химического элемента в топливе
и продуктах сгорания. Эти уравнения можно записать,
рассмотрев условную реакцию сгорания топлива. Запишем,
например, такое уравнение для четырехэлементного топлива:
CbCТ HbHТ ObOТ NbNТ  nCO2 CO2  nCO CO  nH 2O H 2 O    n N N ,
где
nCO2 , nCO , n H 2O , , n N –
числа
молей
CO2 , CO, H 2 O, , N , которые образуются при сгорании
одного условного моля топлива. Очевидно, что число атомов
произвольно выбранного элемента в левой и правой частях
этого уравнения должно быть одинаково. Так, например,
баланс элементов водорода
bHТ  2n H 2O  nOH  2n H 2  n H .
Количество уравнений сохранения вещества равно числу
элементов в топливе. Уравнение закона Дальтона
записывается в виде:
14
P   Pi .
i
Вместо него можно записать уравнение для общего числа
молей
N   ni ,
i
если в качестве неизвестных выбраны не парциальные
давления, а числа молей ni .
При выполнении термодинамического расчета часто
рассматривают сгорание такого количества молей топлива
которое
обеспечивает
равенство
а
MТ ,
P  N ,
следовательно, и равенство Pi  ni .
Если ввести M Т , то, например, уравнение сохранения для
водорода будет иметь вид:
M Т bHТ  2 PH 2O  POH  2 PH 2  PH .
Аналогично записывают балансовые уравнения и для
других элементов. В них правая часть представляет количество
грамм-атомов элемента в продуктах сгорания M Т молей
топлива, а левая часть – количество грамм-атомов элемента в
M Т молях топлива.
Уравнение сохранения полной энтальпии для 1 кг топлива
записывается на основании закона сохранения энергии
TК
TК
I Т  I ПС
, где I ПС
– полная энтальпия ПС при температуре
сгорания TК .
Если рассматривается сгорание M T молей топлива, то
уравнение сохранения полной энтальпии имеет вид
M T I T   Pi I i ,
i
где I T – полная энтальпия одного моля топлива при
температуре подачи;
I i – полная энтальпия i-го вещества в ПС при
температуре сгорания TК (справочное данное).
15
В рассмотренной системе уравнений количество
неизвестных (парциальные давления или числа молей веществ
в ПС, температура TК , число молей топлива M T ) и
количество уравнений одинаково. Эта система нелинейных
алгебраических уравнений является замкнутой. В прикладной
математики разработан ряд способов приближенного решения
подобных систем, позволяющих получить ответы с заданной
точностью. Наибольшее распространение получил метод
Ньютона. На его основе созданы компьютерные программы и
выполнены термодинамические расчеты на ЭВМ для самых
разнообразных топлив.
Первой частью термодинамического расчета является
определение состава и температуры продуктов сгорания TК в
конце камеры сгорания. Обычно заданными считаются состав
топлива, его энтальпия и давление в камере сгорания P0 K .
При расчете процесса течения его считают идеальным,
т.е. происходящим при постоянном значении энтропии S.
В качестве граничного условия для расчета задается
давление в рассматриваемом сечении сопла (обычно это
давление в выходном сечении сопла, так как по результатам
таких расчетов непосредственно определяется теоретическая
скорость истечения и другие параметры).
Для вычисления неизвестных, характеризующих состав
ПС в сопле, используют ту же систему уравнений, что и при
расчете процесса горения, а для расчета температуры вместо
уравнения сохранения энтальпии применяют уравнение,
выражающее постоянство по энтропии. В интегральной форме
это равенство записывается следующим образом:
Sк  Sа ,
где S к – энтропия ПС перед входом в сопло, определяемое
по результатам расчета состава ПС в камере; S а – энтропия ПС
в рассматриваемом сечении сопла, в котором при расчете
обычно давление считается заданным. Энтропию ПС
16
определяют из табличных значений стандартной энтропии S i0
веществ.
Под стандартным значением энтропии условно
принимают энтропию для заданной температуры при давлении
P  1,01325  10 5 Па (1 физ. атм.). Для пересчета значения
энтропии веществ при других давлениях, но при той же
температуре, используется известное в термодинамике
соотношение
S i  S i0  R0 ln Pi ,
где R0 – универсальная газовая постоянная;
Pi  – физ. атм.
Энтропия ПС определяется суммированием энтропий всех
составляющих веществ:
S    S i ni .
i
wа2
используется в этих
2
расчетах для определения скорости газового потока. В
частности, скорость истечения из сопла
Tа
TК
 I ПС

Уравнение энергии I ПС




Tа
Tа
ТК
wа  2 I Т  I ПС
или wа  2 I ПС
 I ПС
.
Как уже было сказано ранее, показатель изоэнтропы
находят по зависимости (3).
8. Модель расчета равновесного состава и
температуры рабочего тела в камере сгорания и в
выходном сечении сопла
Как уже отмечалось, при сгорании четырехэлементного
топлива, содержащего C, H, N и O (условная формула имеет
вид C NC H N H N N N ONO ) образуется 11 газов, составляющих в
сумме более 99% массы продуктов сгорания: H 2 O , CO2 , CO ,
O2 , N 2 , H 2 , NO , OH , H , O , N . Роль других возможных
17
соединений, например, N x H y , ионов, электронов и др.,
пренебрежимо мала в диапазоне температур и давлений,
свойственных жидкостным ракетным двигателям. Поскольку
эти одиннадцать соединений образованы из четырех простых
веществ, можно записать семь независимых реакций
диссоциации и рекомбинации в форме семи констант
равновесия, например, в следующем виде:
PH 2O
PCO2
PH 2O
; K2 
; K3 
;
K1 
1/ 2
1/ 2
POH PH1 /22
PCO PO2
PH 2 PO2
K4 
PNO
1/ 2 1/ 2
PN 2 PO2
; K5 
PH 2
PH2
; K6 
PO2
PO2
; K7 
PN 2
PN2
.
Каждая из констант равновесия зависит только от
температуры. С целью упрощения расчета считают, что
мольная концентрация i-го компонента N i связана с его
N
парциальным давлением соотношением i  1 .
Pi
К вышеуказанным уравнениям необходимо добавить
уравнения баланса элементов (с учетом N i  Pi ):
для углерода
N C N X  PCO2  PCO ;
для водорода
N H N X  2 PH 2O  2 PH 2  POH  PH ;
для азота
N N N X  2 PN 2  PN  PNO ;
для кислорода
N O N X  2 PO2  PH 2O  POH  PO  PNO  PCO  2 PCO2 ,
где N X – количество молей исходного топлива,
являющееся наряду с парциальными давлениями неизвестной
величиной.
Замыкающим является уравнение суммарного числа
молей для смеси компонентов
18
N   Ni ,
i
или уравнение закона Дальтона
P   Pi .
i
Полученная
система
из
двенадцати
уравнений,
содержащая двенадцать неизвестных, может быть решена
различными способами, например, методом, описанным ниже
и заключающимся в последовательном логарифмировании,
линеаризации и решении системы уравнений.
Сущность указанного метода состоит в следующим.
Рассмотрим, например, уравнение диссоциации углекислого
газа
PCO2
.
K1 
PCO PO12/ 2
В логарифмической форме оно имеет вид
1
ln PCO2  ln PCO  ln PO2  ln K 1  0 .
2
Линеаризуя это уравнение в окрестности какого-либо
начального
приближения
парциальных
давлений
0
0
0
PCO2 , PCO , PO2 , можно в итоге записать:
 ln PCO2   ln PCO 
1
 ln PO2   CO2 ,
2
где  ln Pi  ln Pi  ln Pi0 ;
1
2
Уравнение баланса углерода после логарифмирования
имеет вид
ln( PCO2  PCO )  ln( N C N X )  0 .
0
0
 CO2  ln PCO
 ln PCO
 ln PO02  ln K 1 .
2
После линеаризации в окрестностях начального
приближения получим
0
0
0
0
0
0
PCO
 ln PCO2  PCO
 ln PCO  (PCO
 PCO
) ln N X  (PCO
 PCO
) C ,
2
2
2
19
где  ln N X  ln N X  ln N X0 ;
0
0
 C  lg( PCO
 PCO
)  ln( N C N X0 ) .
2
Аналогичные преобразования уравнения закона Дальтона
(линеаризация в окрестностях парциальных давлений Pi 0 )
приводят к уравнению
0
0
 ( Pi  ln Pi )   P  Pi ,
i
где  P  ln  Pi  ln Pк .
0
i
Здесь Pк – давление в камере сгорания.
Таким образом, проводя линеаризацию всех исходных
уравнений, получим линейную систему алгебраических
уравнений, в которой в качестве неизвестных фигурируют
параметры  ln V (V – парциальные давления и число молей
исходного топлива).
Расчет проводят при заданных температуре и давлении
методом последовательных приближений. В качестве
начальных значений искомых неизвестных можно принять
одинаковые значения парциальных давлений, а начальное
значение N X0 выбрать из условия равенства масс продуктов
сгорания и исходного топлива, т.е.
P 
N X0  i i ,
T
где  i ,  Т – молекулярные массы соответственно i-го
компонента и исходного топлива.
Затем, решая систему линейных уравнений, находят
поправки к неизвестным и далее уточненные значения
искомых неизвестных (их логарифмов):
ln Pi1  ln Pi 0   ln Pi ;
ln N 1X  ln N X0   ln N X ,
20
которые являются начальными значениями для следующего
приближения.
Указанная
процедура
повторяется
до
достижения заданной точности определения неизвестных.
Расчеты по описанному алгоритму проводятся для трехчетырех ориентировочных значений температур в камере
сгорания (например, 3200, 3400, 3600, 3800 К). Для каждой
температуры определяют молекулярную массу   , полную
энтальпию I ПС и энтропию продуктов сгорания по
следующим формулам:
0
 ( S i Pi  8314 Pi ln Pi )
 I i Pi
  i Pi
 
; I ПС 
; S
,
Pк
  i Pi
  i Pi
где I i , S i0 – справочные значения соответственно полной
энтальпии и стандартной энтропии i-го компонента смеси,
причем в формуле для энтропии значения давлений Pi надо
подставлять в физических атмосферах, а размерность
Дж
.
[ S i0 ] 
моль   С
Искомую температуру Tк определяют по формуле
линейной интерполяции на основании уравнения сохранения
энергии в форме баланса энтальпий:
TК
I TT0  I ПС
.
Так же по формуле линейной интерполяции находят
молекулярную массу  К и энтропию S К при полученной
температуре.
Для расчета состава и температуры продуктов сгорания в
выходном сечении сопла может быть применен упрощенный
метод расчета, основанный на допущении пренебрежимо
малого содержания в продуктах сгорания атомарных газов и
окиси азота ( при   1 ). В этом случае нужно учитывать
содержание только H 2 O , CO2 , CO , N 2 , H 2 .
Исходные уравнения для расчета состава продуктов
сгорания:
21
констант равновесия
K
PCO PH 2O
PCO2 PH 2
;
баланса элементов в относительной форме
N C PCO2  PCO N O 2 PCO2  PCO  PH 2 0

;

;
NN
2 PN 2
NN
2 PN 2
N H PH 2O  PH 2

;
NN
PN 2
закона Дальтона
Pа   Pi .
Данная система решается аналитически при трех-четырех
значениях температур, лежащих в зависимости от топлива в
пределах от 1200 до 2200 К. Температуру продуктов сгорания
Tа определяют по формуле линейной интерполяции из
уравнения сохранения энтропии S к  S а в предположении об
изоэнтропном расширении газа в сопле. Также находится
а
и молекулярная
полная энтальпия ПС на срезе сопла I ПС
масса  а .
9. Расчет критического сечения
При расчете критического сечения сопла давление заранее
неизвестно, в отличие от КС и среза сопла. Поэтому здесь
расчет необходимо вести для трех-четырех предполагаемых
давлений в критическом сечении, которые лежат в
окрестностях ориентировочного значения:
n
 n  1  n 1
Pкр  Pк 1 
 .
 n  1
22
Для каждого пробного Pкр находятся последовательно
Tкрi ,
I крi ,
 крi ,


Rкрi 
R0
 крi
Fкр. уд.i  1
wкрi  2 I к  I крi ,
 крi 
,
Pкрi
 крi wкрi .
Rкрi Tкрi  ,
Истинное
критическое сечение, соответствующее ему давление Pкр и
другие параметры будут те, при которых удельная площадь
получится минимальной.
10. Теоретические параметры истечения
После нахождения термодинамических параметров в
характерных сечениях вычисляют важнейшие теоретические
параметры истечения ПС:
–
удельный
импульс
на
расчетном
режиме
I р  wа  2I к  I а  ;
– удельный импульс в пустоте I П  wа  Fа. уд Pа ;
– характеристическая скорость c  Fкр. уд. PС 0  Fкр. уд. Pк ;
– коэффициент тяги в пустоте K П  I П
– относительная площадь среза Fа 
–
n
средний
P
lg к
Pа
показатель
а .
lg
к
11. Пример расчета
23
c
Fа. уд.
;
Fкр. уд.
изоэнтропы
расширения
Исходные данные: жO2  жH 2 , давление в КС
Pк  210 Атм , коэффициент избытка окислителя   0,8 ,
давление на срезе сопла Pа  0,2 Атм , энтальпии компонентов
топлива iO2  398,3 Кдж / кг и i H 2  4353,9 Кдж / кг .
Выполнить термодинамический расчет в камере сгорания,
на срезе сопла, определить параметры критического сечения,
вычислить удельный импульс, характеристическую скорость,
коэффициент тяги в пустоте и другие параметры истечения.
Методика расчета.
Определяем массовое стехиометрическое
1.
соотношение компонентов
2.
  bi г i
32  2  (  1)
кг .ок
k m 0   ок

8
,
 г  bi ок i
222
кг .гор
мольное стехиометрическое соотношение

1
моль.ок
k m 0  k m 0 г  8   0.5
,
 oк
16
моль.г.
действительное мольное соотношение
моль.ок
k m    k m0  0.8  0.5  0.4
.
моль.г.
Условная формула топлива H bH ObO , где
bH  bHг    km 0  bHo  2  0  2 ;
bO    k m 0  bOo  0,4  2  0,8 , т. е условная формула
H 2 O0.8 .
Энтальпия топлива
Kдд
 4353,9  6,4  398,3
iТ 
 932,72
7,4
кг
2. Составим систему уравнений для КС: состав ПС – Н20,
OH, H2, O2, H, O.
24
Система уравнений будет включать в себя 4 уравнения
диссоциации, 2 уравнения сохранения вещества и уравнение
Дальтона:
PH 2O
K1 
,
PH 2 PO12/ 2
K2 
K3 
K4 
PH 2O
POH PH1 /22
PH 2
PH 2
PO2
PO 2
,
,
,
2  M Т  2 PH 2O  POH  2 PH 2  PH ,
0.8  M T  PH 2O  POH  2 PO2  PO ,
210  PH 2O  POH  PH 2  PO2  PH  PO .
Расчёт ведём для 4 температур– 3200, 3400, 3600, 3800 К.
При 3200 К справочные значения констант равновесия
определяются из таблиц:
К1 = 11,4025, К2 = 9,9108, К3 = 12,7616, К4 = 19,3274.
Алгоритм метода Ньютона, как было показано в § 2.8,
состоит
в
последовательном
логарифмировании
и
линеаризации всех уравнений системы.
Логарифмирование и линеаризация 1-го уравнения.
1
ln PH 2O  ln PH 2  ln PO2  ln K 1  0 ;
2
1
 ln PH 2O   ln PH 2   ln PO2   H 2O ,
2
где на i-ом итерационном шаге
1
 H 2 0  ln PHi 2O  ln PHi 2  ln POi 2  ln K 1 ;
2
25
 ln PH 2 0  ln PHi 21O  ln PHi 2O ;  ln PH 2  ln PHi 21  ln PHi 2 ;
 ln PO2  ln POi 2 1  ln POi 2 .
Второе уравнение:
1
ln PH 2  ln K 2  0 ;
2
1
 ln PH 2O   ln POH   ln PH 2   H 2O ,
2
1
i
где  H 2 0  ln PHi 2O  ln POH
 ln PHi 2  ln K 2 ;
2
i 1
i
 ln POH  ln POH  ln POH .
Третье уравнение:
ln PH 2  2 ln PH  ln K 3  0 ;
ln PH 2O  ln POH 
 ln PH 2  2 ln PH   H 2 , где
 H 2  ln PHi 2  2 ln PHi  ln K 3 .
Четвёртое уравнение:
ln PO2  2 ln PO  ln K 4  0 ;
 ln PO2  2 ln PO   O2 , где
 O2  ln POi 2  2 ln POi  ln K 4 .
Пятое уравнение:
логарифмирование
– ln(2 PH 2O  POH  2 PH 2  PH )  ln(2  M T )  0 .
Выражения для частных производных от левой части
этого уравнения по логарифмам всех независимых
переменных:
 ln(2 PH 2O  POH  2 PH 2  PH )
2 PH 2O

;
 ln PH 2O
2 PH 2O  POH  2 PH 2  PH
26
 ln(2 PH 2O  POH  2 PH 2  PH )
 ln POH
;
 ln(2 PH 2O  POH  2 PH 2  PH )
 ln PH 2
 ln(2 PH 2O  POH  2 PH 2
;
 PH )
 ln PH



2 PH 2O
POH
 POH  2 PH 2  PH
2 PH 2
2 PH 2O  POH  2 PH 2  PH
2 PH 2O
PH
 POH  2 PH 2  PH
;
 ln(2  M T ) 2  M T

 1.
ln M T
2  MT
После линеаризации пятое уравнение:
i
i
2 PH 2O  ln PH 2O  POH
 ln POH  2 PHi 2  ln PH 2  PHi  ln PH  (2 PHi 2O 
i
i
 POH
 2 PHi 2  PHi ) ln M T  (2 PHi 2O  POH
 2 PHi 2  PHi ) H ,
где
i
 H  ln(2 PHi 2O  POH
 2 PHi 2  PHi )  ln(2  M Ti ) .
Шестое уравнение:
ln( PH 2O  POH  2 PO2  PO )  ln(0,8  M T )  0 .
Линеаризация проводится аналогично пятому уравнению:
i
 POH
 ln POH  2 POi 2  ln PO2  POi  ln PO  ( PHi 2O 
PHi 2O  ln PH 2O
i
i
 POH
 2 POi 2  POi ) ln M T  ( PHi 2O  POH
 2 POi 2  POi ) O ,
где
i
 O  ln( PHi 2O  POH
 2 POi 2  POi )  ln(0,8  M Ti ) .
Седьмое уравнение (Дальтона):
ln PH 2O  POH  PH 2  PO2  PH  PO  ln(210)  0 .
линеаризация:


27
i
PHi 2O  ln PH 2O  POH
 ln POH  PHi 2  ln PH 2  POi 2  ln PO2 
i
 PHi  ln PH  POi  ln PO  ( PHi 2O  POH
 PHi 2  POi 2  PHi  POi )   P ,
где
i
 P  ln( PHi 2O  POH
 PHi 2  POi 2  PHi  POi )  ln(210) .
Таким образом, на i-ом итерационном шаге для
определения поправок надо решить систему линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ) AV  B , где матрица
коэффициентов СЛАУ A(7,7) имеет вид:
1

0
1

0
 1
2

1
 1
1 
0
0
2

 0
0
1
0
2


0
0
1
0
 0

i
2P i
2PHi 2
0
POH
PHi
H 2O

 i
i
0
2POi 2 0
 PH 2O POH

i
 PHi O POH
PHi 2
POi 2 PHi
 2
.
Вектор неизвестных V (7) :




0
0


0
0


0
2


i
i
i
i 
0  (2PH 2O  POH  2PH 2  PH )

i
i
i
i
i 
PO  ( PH 2O  POH  2PO2  PO ) 


0
POi

28
0
0
 ln PH O  v(1)
2


  ln POH  v(2) 
  ln P  v(3) 
H2


  ln PO  v(4)  .
2


 ln PH  v(5) 


 ln PO  v(6) 


 ln M T  v(7) 
Вектор правых частей B(7) :
1


 (ln PHi 2O  ln PHi 2  ln POi 2  ln K1 )


2


1
i


 (ln PHi 2O  ln POH
 ln PHi 2  ln K2 )
2




 (ln PHi 2  2 ln PHi  ln K3 )


i
i
 (ln PO2  2 ln PO  ln K4 )


i
i
i
i
i
i
i
i 
 (2PHi O  POH

2

)

(ln(
2


2

P
M
)

ln(
2

))
P
P
P
P
P
H2
H
H2O
OH
H2
H
Т
2


i
i
i
i
i
i
i
i
i
  (PH2O  POH  2PO2  PO )  (ln(PH2O  POH  2PO2  PO )  ln(0,8  MТ )) 
i
i


 (PHi 2O  POH
 PHi 2  POi 2  PHi  POi )  (ln(PHi 2O  POH
 PHi 2 


 POi 2  PHi  POi )  ln(210)


Для использования метода Ньютона нужно задать
начальные приближения Pi 0 и M T0 . Начальные приближения
парциальных давлений выберем из условия их равенства, т. е:
210
0
PH0 2O  POH
 PH0 2  PO02  PH0  PO0 
 35 Атм.
6
Начальное приближение количества молей топлива M T0
находим по формуле: M T0 
0
 Pi  i
T
, где молекулярная масса
топлива Н2О0,8  T  2  0,8  16  14,8 :
29
35(18  17  2  36  1  16)
 212,8378
14,8
Для начального приближения найдём коэффициенты
матрицы А и вектор правых частей В:
A(7,5)  210, A(7,6)  175,
B (1)  4,2115, B (2)  4,0713, B (3)  6,1018, B (4)  6,5169,
B (5)  148,3797, B (6)  4,7948, B (7)  0 .
Т.о., при начальном приближении на первом
итерационном шаге требуется решить СЛАУ:
M T0 
v(1)  0  v(3)  12  v(4)  0  0  4,2115;

1
v(1)  v(2)  2  v(3)  0  0  0  0  4,0713;
  
0 0 v(3)  0  2  v(5)  0  0  6,1018;
0  0  0  v(4)  0  2  v(6)  0  6,5169;
70  v(1)  35  v(2)  70  v(3)  0  35  v(5)  0  210  v(7)  148,3797;

35  v(1)  35  v(2)  0  70  v(4)  0  35  v(6)  175  v(7)  4,7948;
35  v(1)  35  v(2)  35  v(3)  35  v(4)  35  v(5)  35  v(6)  0  0.

Итерационный процесс продолжается до достижения
заданной точности решения. В результате для четырех
значений температур находим состав ПС, который задается
парциальными давлениями:
3200 К:
PH 2O  163,261
Атм,
POH  2,536
Атм,
PH 2  42,19359 Атм, PO2 
0,1151521 Атм,
Атм, PO  0,0771879 Атм.
3400 К:
30
PH  1,188321
PH 2O  158,8805
POH  4,692934
Атм,
Атм,
PH 2  42,82694 Атм, PO2  0,328097 Атм, PH  3,048517 Атм,
PO  0,229119 Атм.
3600 К:
PH 2O  151,8135
POH  7,874271
Атм,
Атм,
PH 2  44,08862 Атм, PO2  0,7746226 Атм, PH  4,86757 Атм,
PO  0,5814166 Атм.
3800 К: PH 2O  141,5756 Атм,
POH  12,05246 Атм,
PH 2  46,0981 Атм, PO2  1,521998 Атм, PH  7,474695 Атм,
PO  1,27793 Атм.
По рассчитанному составу ПС для четырех температур
находим энтальпии ПС по формуле:
I ПС 
 I i Pi
  i Pi ,
где значения энтальпий i-го газа в составе ПС берем из
таблиц при соответствующих значениях температур.
3200 К. I H 2O  25324,1 ккал
,
кмоль
,
I OH  33321,1 ккал
кмоль
,
I H 2  23024,4 ккал
кмоль
,
I O2  25399,1 ккал
кмоль
,
I H  66522,8 ккал
кмоль
.
I O  73696 ,8 ккал
кмоль
Энтальпия продуктов сгорания:
ккал
.
I ПС  959,62977
кг
Для того, чтобы перевести ккал в Кдж, надо полученное
значение умножить на коэффициент 4,187. Тогда
31
I ПС  4,187  (959,62977)  4017,97 Кдж
3400 К. .
I H 2O  22711,4 ккал
кг
.
, I
 35110,7 ккал
,
кмоль OH
кмоль
, I  27355,5 ккал
,
I H 2  24827,2 ккал
кмоль O2
кмоль
, I  74701,8 ккал
.
I H  67516,4 ккал
кмоль O
кмоль
Вычисления по формуле (9) приводят к результату:
I ПС  668,819 ккал  2800,3467 Кдж .
кг
кг
,I
 36913,7 ккал
,
3600К. I H 2O  20082,2 ккал
кмоль OH
кмоль
, I  29287,8 ккал
,
I H 2  26649,6 ккал
кмоль O2
кмоль
, I  75710 ккал
,
I H  68510 ккал
кмоль O
кмоль
I ПС  395,155 ккал  1654,515 Кдж .
кг
кг
, I
 38729,1 ккал
,
3800 К. . I H 2O  17438,7 ккал
кмоль OH
кмоль
, I  31254,7 ккал
,
I H 2  28491 ккал
кмоль O2
кмоль
, I  76722 ккал
.
I H  69503,6 ккал
кмоль O
кмоль
I ПС  8,076 ккал  33,8152 Кдж .
кг
кг
Как отмечалось выше, энтальпия ПС должна равняться
 932,72 Кдж .
Поэтому
энтальпии
топлива,
т.е.
кг
температура в камере сгорания лежит в интервале от 3600 К
( I ПС  1654,515 Кдж ) до 3800 К ( I ПС  33,815 Кдж ).
кг
кг
Действительное значение температуры можно определить
графически или, используя формулу линейной интерполяции.
32
(3800  3600)
(1654,515  932,72) 
(1654,515  33,815)
 3689,072 К  3690 К
Зная температуру в камере сгорания, можно посчитать
действительный состав продуктов сгорания, также используя
линейную интерполяцию:
P
 Pi 3600
Pi  Pi 3600  i 3800
 (3690  3600) ;
3800  3600
151,5756  151,8135
PH 2O  151,8135 
 90  147,2064 Атм ;
200
12,05246  7,874271
POH  7,874271 
 90  9,7545 Атм ;
200
46,0981  44,08862
PH 2  44,08862 
 90  44,9929 Атм ;
200
1,521999  0,7746226
PO2  0,7746226 
 90  1,11094 Атм ;
200
7,474695  4,86757
PH  4,86757 
 90  6,04078 Атм ;
200
1,27793  0,5814166
PO  0,5814166 
 90  0,89485 Атм .
200
Определим суммарное значение давления в камере
сгорания, т.к. использование линейной интерполяции при
определении состава ПС Pi могло привести к погрешностям,
связанным с нелинейными функциональными связями
Pi  f (T ) :
P   Pi  210,00037 Атм ,
т.е.
расчет
состава
ПС
можно
считать
удовлетворительным.
Для термодинамического расчета в выходном и
критическом сечениях сопла необходимо вычислить значение
энтропии на входе в сопло:
T  3600 
33
0
 ( S i Pi  8,314 Pi ln Pi )
.
S
  i Pi
Кдж
, [ Pi ]  ф.атм.
Здесь размерности [ S i0 ] 
кмоль,  С
Значения
стандартных
энтропий
являются
S i0
табличными значениями. Используя формулу линейной
интерполяции, определим значения стандартных энтропий
продуктов сгорания для температуры 3690 К:
S i03700  S i03600
0
0
S iТ  S i 3600 
(3690  3600) .
3700  3600
SH0 2O  70,6463
,
0
SOH
 63,0059
,
SH0 2  50,1119
,
SO02  69,7439
,
SH0  39,7681
,
SO0  51,0111
71,008 70,6463
ккал
Кдж
 90  70,9718
 297,159
100
кмоль К
кмоль К
63,2542 63,0059
ккал
Кдж
90  63,2294
 264,741
100
кмоль К
кмоль К
50,3635 50,1119
ккал
Кдж
 90  50,3383
 210,766
100
кмоль К
кмоль К
70,0128 69,7439
ккал
Кдж
 90  69,5859
 293,031
100
кмоль К
кмоль К
39,9043 39,7681
ккал
Кдж
 90  39,8907
 167,022
100
кмоль К
кмоль К
51,1496 51,0111
ккал
Кдж
 90  51,1357
 214,105
100
кмоль К
кмоль К
.
Используя эти значения, находим суммарное значение
энтропии ПС:
34
S ПС  16,72388
Кдж
.
кг  К
Срез сопла.
Составим систему уравнений для среза сопла. Считаем,
что на срезе сопла в смеси ПС присутствуют только H2O и H2,
т.е. система будет состоять только из уравнения сохранения
вещества и закона Дальтона.
M T  2  2 PH 2O  2 PH 2
 PH 2O  4 PH 2
M T  0,8  PH 2O

PH 2  0,04 Атм.
PH 2O  0,16 Атм.
.
Т.е. состав на срезе от Та не меняется.
Найдём значение энтропии ПС на срезе в зависимости от Та.
PH 2O ( S H0 2O  8,314  ln 0,16)  PH 2 ( S H0 2  8,314  ln 0,04)

S
PH 2O   H 2O  PH 2   H 2

0,16  S H0 2O  2,43777  0,04  S H0 2  1,07047
0,16  18  0,04  2
0,16  S H0 2O  0,04  S H0 2  3,508
2,96

 0,054054  S H0 2O  0,0135135  S H0 2 
 1,185135
Начнём с Т=1200 К:
ккал
Кдж
S H0 2O  57,4654
 4,187  57,4654  240,60763
кмоль  К
кмоль  К
;
ккал
Кдж
,
S H0 2  41,0365
 171,81983
кмоль  К
кмоль  К
Кдж
S ПС  16,51283
.
кг  К
35
Т=1300 К
ккал
Кдж
;
 4,187  58,309  244,13978
кмоль  К
кмоль  К
ккал
Кдж
S H0 2  41,6334
 174,31905
,
кмоль  К
кмоль  К
Кдж
S ПС  16,73753
.
кг  К
Т.к. значение энтропии ПС на срезе сопла должно
равняться энтропии на входе в сопло, то истинное значение
Кдж
температуры Та ( S ПС  16,72388
) лежит между 1200 К
кг  К
Кдж
Кдж
( S ПС  16,51283
) и 1300 К ( S ПС  16,73753
).
кг  К
кг  К
Используя формулу линейной интерполяции, найдем
температуру на срезе Та:
1300  1200
Tа  1200 
(16,72388  16,51283) 
Найде
(16,73753  16,51283)
 1293,925  1294 К .
м энтальпию ПС на срезе сопла:
 48423,2  49477,2
 94 
I H 2O (1294)  49477,2 
100
ккал
Кдж
 48486,44
 203012,72
;
кмоль
кмоль
Кдж
7184,3  6438,5
;
I H 2 (1294)  6438,5 
 94  7139,55
кмоль
100
Кдж
 203012,72  0,16  7139,55  0,04
 10877,16
I ПС 
.
18  0,16  2  0,04
кг
Удельный импульс на расчетном режиме:
S H0 2O  58,309
I P  wa  2(i k  i a )  2(932,72  10877,16)  1000  4460 м .
с
Плотность ПС в КС и на срезе:
36
18  147,2064  17  9,7545  2  44,9929  32  1,11094 
210
кг
 6,04078  16  0,89485
 14,1028
;
кмоль
18  0,16  2  0,04
кг
 14,8
а 
;
0,2
кмоль
Кдж
8,314
R КС 
 0,5895
;
кг  К
14,1028
PКС
кг
Кдж
8,314
Rа 
 0,5612
 9,7795 3
;  КС 
кг  К
14,8
R КС TКС
м
P
кг
 а  а  0,0279 3 .
Rа Tа
м
Средний показатель изоэнтропы расширения.
P
lg к
Pa
n
 1,187 .
к
lg
 КС 
a
Удельная площадь среза сопла.
F
1
1

 0,0080364 .
Fа. уд.  а 
m
wа  а 4460  0,0279
Удельный импульс в пустоте.
I П  wа  Fа. уд.  Pа  4622,8  4623 м .
с
Расчет критического сечения сопла.
Проведем термодинамический расчет состава и
температуры ПС для четырех предполагаемых значений
давления в критическом сечении: 110 Атм, 115 Атм, 120 Атм,
125 Атм. Расчет проводится по системе уравнений для КС, но
температура и действительный состав ПС определяется из
условия S   S к . Запишем результаты проведенных расчетов.
P  110 Атм :
37
T  3447 K ;
PH 2O  80,1687 Атм ; POH  3,7523 Атм ; PH 2  22,9091Атм ;
PO2  0,3807 Атм ; PH  2,5061Атм ; PO  0,2832 Атм
кг
;   14,29
;
кг ПС
кмоль
8,314
Кдж
R
 0,582
;
14,29
кг  К
I ПС  2284,93 Кдж
  110 
101300
кг
 5,5544 3 ;
(582  3447)
м
W КР  2(932,72  2284,93)  1000  1644,512 м
Fкр уд. 
с
2
м с
1
 1,095  10  4
.
кг
5,5544  1644,512
P  115 Атм :
T  3464 K ;
PH 2O  83,6045 Атм ; POH  4,018 Атм ; PH 2  23,993 Атм ;
PO2  0,4112 Атм ; PH  2,6664 Атм ; PO  0,3069 Атм
кг
;
кг
кмоль
8,314
Кдж
R
 0,58232
;
14,27747
кг  К
101300
кг
  115 
 5,77525 3 ;
(582,32  3464)
м
W  2(932,72  2193,366)  1000  1587,859 м
I ПС  2193,366 Кдж
;  ПС  14,27747
КР
2
м с
1
 1,0905  10  4
.
кг
5,77525  1587,859
P  120 Атм :
Fкр уд. 
38
с
T  3480 K ;
PH 2O  87,05113 Атм ; POH  4,2807 Атм ; PH 2  25,07477 Атм ;
PO2  0,44053 Атм ; PH  2,82343 Атм ; PO  0,32944 Атм
кг
;   14,267
;
кг ПС
кмоль
8,314
Кдж
R
 0,582746
14,267
кг  К
101300
кг
  120 
 5,9942 3 ;
(582,746  3480)
м
I ПС  2109,62 Кдж
W КР  2(932,72  2109,62)  1000  1534,211 м
Fкр уд. 
с
2
м с
1
 1,0874  10  4
.
кг
5,9942  1534,211
P  125 Атм :
T  3496 K ;
PH 2O  90,4858 Атм ; POH  4,5502 Атм ; PH 2  26,1584 Атм ;
PO2  0,47028 Атм ; PH  2,98321Атм ; PO  0,35215 Атм
I ПС  2026,364 Кдж
кг
;  ПС  14,25665
кг
;
кмоль
8,314
Кдж
 0,583165
;
14,25665
кг  К
101300
кг
  125 
 6,2109 3 ;
(583,165  3496)
м
R
W КР  2(932,72  2026,364)  1000  1534,211 м ,
с
2
м с
1
 1,0886  10  4
Fкр уд. 
.
кг
6,2109  1534,211
39
Таким образом, в результате расчета при четырех
предполагаемых давлениях в критическом сечении получена
дискретная, состоящая из четырех значений функция
Fкр. уд.  f ( P ) . Как отмечалось выше, истинное критическое
сечение будет, если Fкр. уд.  min . То есть необходимо найти
давление, при котором выполняется это условие. Эта задача
может быть решена следующим образом. Полученная
дискретная функция Fкр. уд.  f ( P ) заменяется непрерывным
аналогом путем интерполяции кубическими сплайнами.
Непрерывная интерполяционная функция исследуется на
экстремум, и найденная точка экстремума и будет искомой, в
которой определяется истинное давление в критическом
сечении. Итак, существует дискретная функция:
P
Fкр. уд.  10 3
110
115
120
125
0,1095
0,10905
0,10874
0,10886
Проведем сплайн-интерполяцию этой функции, т.е.
найдем коэффициенты трех кубических многочленов на
соответствующих интервалах определения функции:
[110;115]
1 ( x)  a1  b1 ( x  110)  c1 ( x  110) 2  d1 ( x  110) 3 ;
[115;120]
 2 ( x)  a 2  b2 ( x  115)  c 2 ( x  115) 2  d 2 ( x  115) 3 ;
[120;125]
 3 ( x)  a3  b3 ( x  120)  c3 ( x  120) 2  d 3 ( x  120) 3 .
Здесь  ( x) – это непрерывный аналог дискретной
функции Fкр. уд.  f ( P ) .
После решения задачи интерполяции на участке [120,125]
кубический сплайн выглядит:
40
 3 ( x)  0,10874  1,8046  10 5 ( x  120)  1,3  10 5 ( x  120) 2 
.
 8,6687  10 7 ( x  120) 3
Экстремум этой функции ищется обычным способом:
d 3 ( x )
находится производная и решается уравнение
0. В
dx
результате получается экстремальное значение x (т.е. P ),
причем в данном случае это будет точка минимума функции
Fкр. уд.  f ( P ) . В нашем случае минимум удельной площади
критического сечения обеспечивается при P  120,64 Атм .
Таким образом, давление в критическом сечении найдено.
Далее необходимо провести термодинамический расчет для
этого давления, в результате которого находим:
120,64 Атм.
T  3482 K ;
PH 2O  87,49 Атм ; POH  4,3163 Атм ; PH 2  25,214 Атм ;
PO2  0,4442 Атм ; PH  2,8434 Атм ; PO  0,3323 Атм
кг
;
кг
кмоль
8,314
Кдж
101300
кг
R
 0,5828
;   125 
 6,0222 3 ;
14,2656
кг  К
(582,8  3482)
м
W КР  2(932,72  2098,94)  1000  1527,23 м
с
2
м с
1
 1,0873  10  4
Fкр уд. 
.
кг
6,0222  1527,23
После нахождения параметров критического сечения
находятся остальные теоретические параметры истечения.
Характеристическая скорость:
C*  Fкруд  PK  1,0873  10 4  210  101300  2312,965 м .
с
Коэффициент тяги в пустоте:
I ПС  2098,94 Кдж
;  ПС  14,2656
41
IП
4623

 1,999 .
C* 2312,965
Относительная площадь среза
Fа. уд. .
 73,91 .
Fа 
Fкр. уд.
КП 
Найдём средние показатели изоэнтропы течения n до
критики и после:
P
lg K
P
КС – критика: n 
 1,143
K
lg

lg
Критика - срез: n 
P
Pa

lg 
a
 1,191
Общий: n = 1,187.
42
Библиографический список
1. Алемасов В.Е., Древалин А.Ф., Тишин А.П. Теория
ракетных двигателей / Под ред. В.П.Глушко. – М.:
Машиностроение, 1989, 464 с.
2. Основы теории и расчета ракетных двигателей. В 2 кн.
Кн. 1. Учеб. для авиац. спец. вузов / А.П. Васильев,
В.М. Кудрявцев, В.А. Кудрявцев и др.; под ред. В.М.
Кудрявцева. М.: Высшая школа, 1993, 383 с.
3. Шевелюк М.И. Теоретические основы проектирования
жидкостных ракетных двигателей. – М.: Оборонгиз,
1960, 684 с.
4. Териодинамические и теплофизические свойства
продуктов сгорания. Справочник в 10 т. / Под ред.
В.П.Глушко. – М.: ВИНИТИ АН ССР, 1971-1979.
5. Мелькумов Т.М., Мелик-Пашаев Н.И., Чистяков П.Г. и
др. Ракетные двигатели. – М.: Машиностроение, 1968,
511 с.
43
Содержание
Введение
Термодинамический расчет процессов горения и
истечения. Теоретические основы
2. Равновесность процесса
3. Задачи термодинамического расчета
4. Основы расчета термохимических свойств
топлива
5. Теоретическое (стехиометрическое) соотношение
компонентов
6. Энтальпия
7. Система уравнений для выполнения
термодинамического
расчета
8. Модель расчета равновесного состава и
температуры
рабочего тела в камере сгорания и в выходном
сечении сопла
9. Расчет критического сечения
10. Теоретические параметры истечения
11. Пример расчета
Библиографический список
1.
44
3
4
6
7
8
9
12
15
19
24
24
25
44
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для выполнения курсовой работы по дисциплине
«Методы математического моделирования»
для студентов специальности 160700.65,
24.05.02 «Проектирование авиационных и
ракетных двигателей» очной формы обучения
Составители: Гуртовой Андрей Александрович
Демьяненко Юрий Васильевич
Кретинин Александр Валентинович
Сушков Алексей Михайлович
В авторской редакции
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический
университет»
394026 Воронеж, Московский пр., 14
Скачать