Лекция № 11 Дискретное преобразование Фурье • Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) относится к классу основных преобразований при цифровой обработке сигналов. Дискретное преобразование Фурье, по возможности вычисляемое быстрыми методами, лежит в основе различных технологий спектрального анализа. • Моделью последовательности из дискретных отсчетов является сигнал из смещенных по времени дельта-функций: Дискретное преобразование Фурье • Мысленно периодизируем этот сигнал с периодом Дискретный периодический сигнал можно представить рядом Фурье: • Коэффициенты этого ряда находят согласно формуле: Дискретное преобразование Фурье • Переходя к новой переменной • Так как , получим: , окончательно имеем: (11.1) Дискретное преобразование Фурье • Соотношение, позволяющее вычислить комплексные амплитуды гармоник дискретного сигнала, представляет собой линейную комбинацию отсчетов этого сигнала. Его называют прямым дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). • Наряду с прямым ДПФ существует обратное дискретное преобразование Фурье: • Замечание. В размещении множителя в выражении ДПФ нет полного единства. В некоторых источниках этот множитель относят к формуле обратного ДПФ, удаляя его из формулы для прямого ДПФ. Свойства дискретного преобразования Фурье • Линейность. Дискретное преобразование Фурье – линейное преобразование, то есть если последовательностям и с одним и тем же периодом соответствуют наборы гармоник и , то последовательности будет соответствовать спектр . • Ортогональный дискретный базис Фурье, в котором выполняется ДПФ, представляет собой систему дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ), заданную на дискретной временной оси отсчетами: Свойства дискретного преобразования Фурье • Симметрия. Свойство симметрии, которым обладает спектр непрерывного сигнала, сохраняется и для спектра дискретного периодического сигнала. Если отсчеты – вещественные числа, тогда коэффициенты ДПФ, номера которых расположены симметрично относительно , образуют сопряженные пары: Из формулы следует, что спектр является сопряжено симметричным относительно , то есть содержит ровно такое же количество информации, что и сам сигнал. Свойства дискретного преобразования Фурье • Гармоника с нулевым номером (постоянная составляющая) представляет собой среднее значение всех отсчетов сигнала на одном периоде: • Если четное число, то и амплитуда гармоники с номером определяется суммой отсчетов с чередующимися знаками: Свойства дискретного преобразования Фурье • ДПФ круговой свертки. Возьмем две последовательности и одинаковой длины , ДПФ которых соответственно равны и . Вычислим их круговую свертку по одному периоду: Найдем точечное ДПФ этой свертки: (11.2) Свойства дискретного преобразования Фурье Таким образом, круговой свертке дискретизированных и заданных на одном временном промежутке сигналов соответствует перемножение их спектров. Вычисление круговой свертки двух сигналов с помощью ДПФ осуществляется по следующему алгоритму: • вычисление ДПФ исходных сигналов по формуле (11.1); • перемножение коэффициентов полученных ДПФ согласно (11.2); • вычисление сигнала с помощью обратного ДПФ полученной последовательности . Свойства дискретного преобразования Фурье • Равенство Парсеваля для дискретных сигналов. Определим значение ДПФ: , используя формулу Таким образом, мощность сигнала на отсчетах равна сумме мощностей его частотных компонентов. Свойства дискретного преобразования Фурье • Связь ДПФ с Z-преобразованием. Сравнивая формулу прямого ДПФ дискретной последовательности с формулой Z-преобразования, видим, что коэффициенты ДПФ равны значениям Z-преобразования этого сигнала в точках, равномерно распределенных по единичной окружности Z-плоскости. • Получим Z-преобразование последовательности через коэффициенты ДПФ этой последовательности:
