Федеральное государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
высшего образования
«Югорский государственный университет»
Направление подготовки «Прикладная математика и информатика»
Дисциплина: «Непрерывные математические модели»
Отчет по заданию №1
Студент: Потапков А.А.
Группа: 1311М
Преподаватель: Пятков С.Г.
г. Ханты-Мансийск
2022
Привести уравнение к каноническому виду и определить его тип:
1) 𝑢𝑥𝑦 + 2𝑢𝑥𝑧 + 2𝑢𝑥𝑥 + 2𝑢𝑧𝑧 + 2𝑢𝑦𝑦 = 0;
2) 𝑢𝑥𝑥 + 3𝑢𝑥𝑦 + 6𝑢𝑦𝑦 + 4𝑢𝑦𝑧 + 6𝑢𝑧𝑧 = 0;
3) 𝑢𝑥𝑥 − 2𝑢𝑥𝑦 + 4𝑢𝑦𝑦 + 𝑢𝑦 = 0.
Решение:
1) 𝑢𝑥𝑦 + 2𝑢𝑥𝑧 + 2𝑢𝑥𝑥 + 2𝑢𝑧𝑧 + 2𝑢𝑦𝑦 = 0
Квадратичная форма имеет вид:
𝐿(𝜉) = 𝜉1 𝜉2 + 2𝜉1 𝜉3 + 2𝜉12 + 2𝜉32 + 2𝜉22 .
Для приведения к каноническому виду используем метод Лагранжа.
Выделим полные квадраты:
𝐿(𝜉) = 𝜉1 𝜉2 + 2𝜉1 𝜉3 + 2𝜉12 + 2𝜉32 + 2𝜉22 =
1
= 2 (𝜉12 + 𝜉1 (𝜉2 + 2𝜉3 )) + 2𝜉22 + 2𝜉32 =
2
=
2 (𝜉12
(𝜉2 + 2𝜉3 )2
(𝜉2 + 2𝜉3 )2
1
+ 𝜉1 (𝜉2 + 2𝜉3 ) +
+ 2𝜉22 + 2𝜉32 =
)−
2
4
2
2
1
1
= 2 (𝜉1 + (𝜉2 + 2𝜉3 )) − 𝜉22 − 2𝜉2 𝜉3 − 2𝜉32 + 2𝜉22 + 2𝜉32 =
2
2
2
2
1
3 2
1
3
4
= 2 (𝜉1 + 𝜉2 + 𝜉3 ) + 𝜉2 − 2𝜉2 𝜉3 = 2 (𝜉1 + 𝜉2 + 𝜉3 ) + (𝜉22 − 𝜉2 𝜉3 ) =
2
2
2
2
3
2
1
3
4
4
2
= 2 (𝜉1 + 𝜉2 + 𝜉3 ) + (𝜉22 − 𝜉2 𝜉3 + 𝜉32 ) − 𝜉32 =
2
2
3
9
3
2
2
1
3
2
2
= 2 (𝜉1 + 𝜉2 + 𝜉3 ) + (𝜉2 − 𝜉3 ) − 𝜉32
2
2
3
3
Перейдем к новым переменным:
1
𝜂1 = 𝜉1 + 𝜉2 + 𝜉3
2
2
𝜂2 = 𝜉2 − 𝜉3
3
𝜂3 = 𝜉3
{
В новых переменных квадратичная форма имеет канонический вид:
3
2
𝐿(𝜂) = 2𝜂12 + 𝜂22 − 𝜂32 .
2
3
У квадратичной формы два коэффициента положительны, один
отрицательный, поэтому уравнение имеет гиперболический тип.
Матрица преобразования 𝜂⃗ = 𝐵𝜉⃗ имеет вид
1 1⁄2
1
𝐵 = (0 1 − 2⁄ )
3
0 0
1
Найдем обратную матрицу:
1 0 4⁄3 1
1 1⁄2
1 1 0 0
(0 1 − 2⁄ |0 1 0) ~ (0 1 − 2⁄ |0
30 0 1
3
0 0
1
0 0
1 0
− 1⁄2 0
1
0) ~
0
1
1
4
1 − 1⁄2 − 4⁄3
1 0 0 1 − ⁄2 − ⁄3
~ (0 1 0|0
2⁄ ) ⇒ 𝐵−1 = (0
2⁄ )
1
1
3
3
0 0 1
0
0
1
0
0
1
Преобразование координат 𝑋1 = (𝐵−1 )𝑇 𝑋 приводит уравнение к
каноническому виду. В новых переменных уравнение имеет вид
3
2
2𝑢𝑥1𝑥1 + 𝑢𝑦1𝑦1 − 𝑢𝑧1𝑧1 = 0.
2
3
2) 𝑢𝑥𝑥 + 3𝑢𝑥𝑦 + 6𝑢𝑦𝑦 + 4𝑢𝑦𝑧 + 6𝑢𝑧𝑧 = 0
Квадратичная форма имеет вид:
𝐿(𝜉) = 𝜉12 + 3𝜉1 𝜉2 + 6𝜉22 + 4𝜉2 𝜉3 + 6𝜉32 .
Для приведения к каноническому виду используем метод Лагранжа.
Выделим полные квадраты:
𝐿(𝜉) = 𝜉12 + 3𝜉1 𝜉2 + 6𝜉22 + 4𝜉2 𝜉3 + 6𝜉32 =
9
9
= (𝜉12 + 3𝜉1 𝜉2 + 𝜉22 ) − 𝜉22 + 6𝜉22 + 4𝜉2 𝜉3 + 6𝜉32 =
4
4
2
3
15
= (𝜉1 + 𝜉2 ) + 𝜉22 + 4𝜉2 𝜉3 + 6𝜉32 =
2
4
2
3
15
16
8
= (𝜉1 + 𝜉2 ) + (𝜉22 + 𝜉2 𝜉3 + 𝜉32 ) =
2
4
15
5
2
3
15
16
64 2 296 2
= (𝜉1 + 𝜉2 ) + (𝜉22 + 𝜉2 𝜉3 +
𝜉 +
𝜉 )=
2
4
15
225 3 225 3
2
3
15
16
64 2
74
= (𝜉1 + 𝜉2 ) + (𝜉22 + 𝜉2 𝜉3 +
𝜉3 ) + 𝜉32 =
2
4
15
225
15
2
2
3
15
8
74
= (𝜉1 + 𝜉2 ) + (𝜉2 + 𝜉3 ) + 𝜉32 .
2
4
15
15
Перейдем к новым переменным:
3
𝜂1 = 𝜉1 + 𝜉2
2
8
𝜂2 = 𝜉2 + 𝜉3
15
𝜂3 = 𝜉3
{
В новых переменных квадратичная форма имеет канонический вид:
𝐿(𝜂) = 𝜂12 +
15 2 74 2
𝜂 + 𝜂 .
4 2 15 3
У квадратичной формы все три коэффициента положительны, поэтому
уравнение имеет эллиптический тип.
Матрица преобразования 𝜂⃗ = 𝐵𝜉⃗ имеет вид
1 3⁄2
0
𝐵 = (0 1 8⁄ )
15
0 0
1
Найдем обратную матрицу:
1 0 − 4⁄5 1
1 3⁄2
0 1 0 0
(0 1 8⁄ |0 1 0) ~ (0 1 8⁄ |0
15 0 0 1
15
0 0
1
0 0
1 0
1 0
~ (0 1
0 0
− 3⁄2 0
1
0) ~
0
1
3
4⁄
4⁄
1 − 3⁄2
0 1 − ⁄2
5
5
−1
⇒
𝐵
=
)
(
0|0
8
8
1
− ⁄15
0
1
− ⁄15)
1
0
0
1
0
0
1
Преобразование координат 𝑋1 = (𝐵−1 )𝑇 𝑋 приводит уравнение к
каноническому виду. В новых переменных уравнение имеет вид
𝑢𝑥1𝑥1 +
15
74
𝑢𝑦1𝑦1 + 𝑢𝑧1𝑧1 = 0.
4
15
3) 𝑢𝑥𝑥 − 2𝑢𝑥𝑦 + 4𝑢𝑦𝑦 + 𝑢𝑦 = 0
Квадратичная форма имеет вид:
𝐿(𝜉) = 𝜉12 − 2𝜉1 𝜉2 + 4𝜉22 .
Приведем уравнение к каноническому виду. Составим характеристическое
уравнение:
𝑦′2 + 2𝑦 ′ + 4 = 0 ⇒ (𝑦 ′ + 1)2 = −3 ⇒ 𝑦 ′ + 1 = ±𝑖√3 ⇒ 𝑦 ′ = −1 ± 𝑖√3
Уравнение имеет два сопряженных комплексных корня, значит, это
уравнение эллиптического типа. Проинтегрируем:
𝑦 ′ = −1 + 𝑖√3 ⇒ 𝑦 = (−1 + 𝑖√3)𝑥 + 𝐶1 ⇒ 𝑥 + 𝑦 − 𝑖√3𝑥 = 𝐶1 ,
𝑦 ′ = −1 − 𝑖√3 ⇒ 𝑦 = (−1 − 𝑖√3)𝑥 + 𝐶2 ⇒ 𝑥 + 𝑦 + 𝑖√3𝑥 = 𝐶2
𝑥 + 𝑦 − 𝑖√3𝑥 = 𝐶1 ,
𝑥 + 𝑦 + 𝑖√3𝑥 = 𝐶1 − общие интеграы.
Тогда
𝜉 = 𝑥 + 𝑦,
𝜉𝑥′ = 1,
𝜉𝑦′ = 1,
𝜂 = √3𝑥 ⇒
𝜂𝑥′ = √3,
𝜂𝑦′ = 0,
′′
𝜉𝑥𝑥
= 0,
′′
𝜉𝑥𝑦
= 0,
′′
𝜉𝑦𝑦
= 0,
′′
𝜂𝑥𝑥
= 0,
′′
𝜂𝑥𝑦
= 0,
′′
𝜂𝑦𝑦
=0
Найдем производные:
𝑢𝑥′ = 𝑢𝜉′ ∙ 𝜉𝑥′ + 𝑢𝜂′ ∙ 𝜂𝑥′ = 𝑢𝜉′ + √3𝑢𝜂′ ,
𝑢𝑦′ = 𝑢𝜉′ ∙ 𝜉𝑦′ + 𝑢𝜂′ ∙ 𝜂𝑦′ = 𝑢𝜉′ ,
′′
′′
′′
′′
′′
′′
𝑢𝑥𝑥
= 𝑢𝜉𝜉
∙ (𝜉𝑥′ )2 + 2𝑢𝜉𝜂
∙ 𝜉𝑥′ 𝜂𝑥′ + 𝑢𝜂𝜂
∙ (𝜂𝑥′ )2 + 𝑢𝜉′ ∙ 𝜉𝑥𝑥
+ 𝑢𝜂′ ∙ 𝜂𝑥𝑥
=
′′
′′
′′
= 𝑢𝜉𝜉
+ 2√3𝑢𝜉𝜂
+ 3𝑢𝜂𝜂
,
′′
′′
′′
′′
′′
′′
′′
𝑢𝑥𝑦
= 𝑢𝜉𝜉
∙ 𝜉𝑥′ 𝜉𝑦′ + 𝑢𝜉𝜂
∙ 𝜉𝑥′ 𝜂𝑦′ + 𝑢𝜉𝜂
∙ 𝜉𝑦′ 𝜂𝑥′ + 𝑢𝜂𝜂
∙ 𝜂𝑥′ 𝜂𝑦′ + 𝑢𝜉′ ∙ 𝜉𝑥𝑦
+ 𝑢𝜂′ ∙ 𝜂𝑥𝑦
=
′′
′′
= 𝑢𝜉𝜉
+ √3𝑢𝜉𝜂
,
2
2
′′
′′
′′
′′
′′
′′
′′
𝑢𝑦𝑦
= 𝑢𝜉𝜉
∙ (𝜉𝑦′ ) + 2𝑢𝜉𝜂
∙ 𝜉𝑦′ 𝜂𝑦′ + 𝑢𝜂𝜂
∙ (𝜂𝑦′ ) + 𝑢𝜉′ ∙ 𝜉𝑦𝑦
+ 𝑢𝜂′ ∙ 𝜂𝑦𝑦
= 𝑢𝜉𝜉
Подставим в уравнение:
′′
′′
′′
′′
′′
′′
𝑢𝜉𝜉
+ 2√3𝑢𝜉𝜂
+ 3𝑢𝜂𝜂
− 2(𝑢𝜉𝜉
+ √3𝑢𝜉𝜂
+ 𝑢𝜉′ = 0 ⇒
) + 4𝑢𝜉𝜉
1
′′
′′
′′
′′
⇒ 3𝑢𝜉𝜉
+ 3𝑢𝜂𝜂
+ 𝑢𝜉′ = 0 ⇒ 𝑢𝜉𝜉
+ 𝑢𝜂𝜂
+ 𝑢𝜉′ = 0.
3