BM maruza-8

7-Ma’ruza.
QAVARIQ PROGRAMMALASH MASALASI
1. Qavariq to‘plam. Qavariq funksiyalar.
2. Qavariq funksiyaning ekstremumi.
3. Qavariq programmalash. Kun – Takker shartlari.
Tayanch iboralar: qavariq to‘plam, qavariq funksiya, pastga (yuqoriga)
qavariq funksiya, lokal va global ekstremum
1. Qavariq to‘plam. Qavariq funksiyalar.
Qavariq to‘plam haqidagi ba’zi tushunchalar bilan o‘quv qo‘llanmaning 1
qismida (II bob, 5-§) tanishgan edik. Ularni quyidagi tushunchalar bilan
to‘ldiramiz.
X  X  En / X  X 2  1   X 1 ,      
(11.1)
nuqtalar to‘plami X 1 , X 2  En nuqtalar to‘plami Х 1 , Х 2  En nuqtalar orqali
o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi. 0    1 shartni qanoatlantiruvchi  uchun
(11.1) Х 1 , Х 2  En nuqtalarni tutashtiruvchi kesmani ifodalaydi. 0    1
shartni qanoatlantiruvchi  uchun
X   X 2  1    X 1
nuqta Х 1 va Х 2 nuqtalarning qavariq kombinatsiyasidan iborat bo‘ladi.
Agar G  En to‘plam o‘zining ixtiyoriy Х 1 , Х 2 nuqtalari bilan birga bu
nuqtalarning ixtiyoriy qavariq kombinatsiyasini ham o‘z ichiga olsa, bunday
to‘plam qavariq to‘plam deyiladi. G  En qavariq to‘plamga tegishli Х nuqtani
ixtiyoriy Х 1 , Х 2  En nuqtalarining qavariq kombinatsiyasi orqali ifoda qilib
bo‘lmasa, bu nuqta G to‘plamning chetki nuqtasi deyiladi. Chetki nuqta
chegaraviy nuqta bo‘lishi kerak, lekin har qanday chegaraviy nuqta chetki nuqta
bo‘lmaydi. Ba’zi chegaraviy nuqtalar chetki nuqtalarni tutashtiruvchi kesmada
yotishi mumkin. G qavariq to‘plam bo‘lsa, u ixtiyoriy sondagi
Х 1 , Х 2 ,, Х n  G nuqtalarning qavariq kombinatsiyadan iborat bo‘lgan X
nuqtani ham o‘z ichiga oladi, ya’ni, agar Х 1  G, Х 2  G,, Х n  G bo‘lsa,
262
n
X    j X j , X  G,  j  0,
j 1
n
j 1

j 1
bo‘ladi.
1 – t a ’ r i f . Agar f  X  funksiya G  En qavariq to‘plamda aniqlangan bo‘lib,
ixtiyoriy Х 1  G, Х 2  G nuqtalar va 0    1 son uchun
f X 2  (1  X 1    f  X 2   1    f  X 1 
(11.2)
z=f(x)
x1 z1
O
x2 z2
x1
x*
x2
x
11-1. shakl
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, f  X  funksiya pastga qavariq funksiya deyiladi.
Boshqacha aytganda,
uning ixtiyoriy ikkita
Z  f  X  gipertekislik pastga qavariq bo‘lishi uchun
 X 1 Z1 
va
X 2 Z2 
nuqtalarni tutashtiruvchi kesma
gipertekislikning sirtida yoki undan yuqorida yotishi kerak (11.1- shakl). Agar
f  X  funksiya G  En qavariq to‘plamda aniqlangan bo‘lib, ixtiyoriy
X 1  G, X 2  G nuqtalar va  son 0    1 uchun
f X 2  (1    X 1 )   f  X 2   1    f  X 1 
(11.3)
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, f  X  funksiyani yuqoriga qavariq funksiya deb ataladi.
Z  f X 
gipertekislik yuqoriga qavariq bo‘lsa, uning ixtiyoriy ikki
 X 1 , Z1 ,  X 2 , Z 2 
nuqtalarini tutashtiruvchi kesma shu gipertekislikning sirtida
yotadi yoki uning pastidan o‘tadi (11.2 - shakl). Agar ixtiyoriy ikkita
X 1 , X 2  G nuqtalar va  son 0    1 uchun
f X 2  (1   X 1 )   f  X 2   1    f  X 1 
263
(11.4)
yoki
f X 2  (1   X 1 )   f  X 2   1    f  X 1 
(11.5)
tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, G  En qavariq to‘plamda aniqlangan f  X  funkiya
qat’iy pastga qavariq yoki qat’iy yuqoriga qavariq bo‘ladi.
Geometrik nuqtai nazardan qat’iy pastga (yuqoriga) qavariq funksiyaning
ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesma unga nisbatan yuqoridan (pastdan) o‘tadi.
z=f(x)
(x2 z2)
(x1z1)
O
x1
x*
11.2-shakl
264
x2
x
Agar f  X  funksiya G  En da qat’iy yuqoriga qavariq bo‘lsa, - f  X  funksiya
shu to‘plamda qat’iy pastga qavriq bo‘ladi va aksincha. 11.3-shaklda f  X 
funksiya X  X * da qat’iy pastga qavariq emas.
z=f(x)
O
x
265
11.3-shakl
1-misol. Z  CX chiziqli funksiya E n fazoning har qanday nuqtasida pastga
(yuqoriga) qavariq bo‘ladi. Haqiqatan, X 1 , X 2  En va ixtiyoriy  son uchun
С X 2  1   X 1   CX 2  1   CX 1
(11.6)
o‘rinli, lekin (11.6) dan ko‘rinadiki, chiziqli funksiya qat’iy yuqoriga ham,
pastga ham qavariq bo‘la olmaydi.
Agar f  X  funksiya G qavariq to‘plamda aniqlangan pastga qavariq
funksiya bo‘lsa, ixtiyoriy sondagi X 1 , X 2 ,, X n  G nuqtalar uchun quyidagi
munosabat o‘rinli bo‘ladi:
 n
 n
f    j X j     j f X j ,
 j 1
 j 1
 j  0,
n
 j  1.

j 1
266
(11.7)
Xuddi shuningdek, agar f  X  funksiya G qavariq to‘plamda aniqlangan
yuqoriga qavariq funksiya bo‘lsa, ixtiyoriy sondagi X 1 , X 2 ,, X n  G nuqtalar
uchun quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi:
 n
 n
f    j X j     j f X j ,
 j 1
 j 1
 j  0,
n
 j  1.

j 1
(11.8)
Qavariq funksiyalarning ayrim xususiyatlari bilan tanishamiz.
1. G qavariq to‘plamda berilgan f  X  funksiya pastga qavariq bo‘lsa,
ixtiyoriy haqiqiy b son uchun f  X   b tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar
to‘plami qavariq bo‘ladi.
I s b o t i . Faraz qilaylik, X 1 , X 2  G nuqtalar berilgan bo‘lib, ular
f  X 1   b va f  X 2   b tengsizliklarni qanoatlantirsin. U holda
X  1    X 1   X 2 , X  G,
nuqta uchun
f ( X )  f (1   X 1   X 2 )  b
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Haqiqatan ham,
f  X  pastga qavariq funksiya
bo‘lganligi sababli:
f ( X )  f (1   X 1   X 2 )  1    f  X 1    f  X 2   b.
2. G qavariq to‘plamda berilgan f  X  funksiya yuqoriga qavariq bo‘lsa,
b ixtiyoriy son bo‘lganda
f X   b
tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami yuqoriga qavariq bo‘ladi.
3. Ikkita G1 va G2 qavariq to‘plamning kesishmasi ham qavariq to‘plam
bo‘lganligi sababli yuqoridagi 1-2 xossalardan quyidagi xulosani chiqarish
mumkin: G qavariq to‘plamda aniqlangan g i  X  i  1, m funksiyalar pastga




(yuqoriga) qavariq bo‘lib, bi i  1, m ixtiyoriy sonlar bo‘lganda
267
g i  X   bi g i  X   bi , i  1, m
tengsizliklar sistemasini qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami pastga (yuqoriga)
qavariq to‘plam bo‘ladi.


4. G qavariq to‘plamda aniqlangan g i  X  i  1, m funksiyalar pastga
(yuqoriga) qavariq bo‘lsa, ularning nomanfiy chiziqli kombinatsiyasidan iborat
bo‘lgan
m
g  X    i g i  X , i  0, i  1, m,
(11.9)
i 1
funksiya ham pastga (yuqoriga) qavariq bo‘ladi.
I s b o t i . Faraz qilaylik g i  X  funksiyalar pastga qavariq funksiyalar
bo‘lsin, ya’ni
g i  X 1  1   X 2    g i  X 1   1   
i
X 2 
(11.10)
tengsizlik ixtiyoriy haqiqiy son 0    1 uchun o‘rinli bo‘lsin. U holda
m
g i  X 1  1   X 2     i g i  X 1  1   X 2 .
i 1
Bundan (11.10) ga asosan
m
g i  X 1  1   X 2     i  g i  X 1   1   g i  X 2 ,
i 1
0  i  1, i  1, m,
yoki
m
m
i 1
i 1
g i  X 1  1   X 2     i g i  X 1      i g i  X 2  
  g  X 1   1   g  X 2 
(11.11)
(11.11) dan g  X  funksiyaning pastga qavariq ekanligi kelib chiqadi. Xudi
shuningdek, yuqoriga qavariq funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi ham
yuqoriga qavariq bo‘lishini isbot qilish mumkin.
5. G qavariq to‘plamda aniqlangan f  X  funksiya pastga (yuqoriga)
qavariq bo‘lishi uchun u o‘z ichiga olgan noma’lumlarning ixtiyoriy biri
268
bo‘yicha, qolganlarining fiksirlangan qiymatlarida, pastga (yuqoriga) qavariq
bo‘lishi zarur va yetarlidir (isbotsiz qabul qilamiz).
6. Agar f 2  X ,, f n  X  funksiyalar qavariq G to‘plamda aniqlangan
qavariq funksiyalar bo‘lsa, f  X   max f i  X  funksiya ham qavariq bo‘ladi.
1im
2-§. Qavariq funksiyaning ekstremumi
f  X  qavariq funksiyaning G  En to‘plamdagi global maksimumi
(minimumi) deb har qanday Х  G nuqtada ham
f X 0   f  X  f X 0   f  X 
tengsizlikni qanoatlantiruvchi Х 0  G nuqtaga aytamiz. Agar bu
tengsizlik
 ( X
Х 0  ( X 0 )
0

) X X  X0 
 o‘rinli bo‘lsa,
X0
nuqta f ( X ) funksiyaga lokal maksimal (minimal) qiymat beruvchi nuqta
bo‘ladi.
Qavariq
keltiramiz:
funksiyaning
ekstrimumiga
doir
quyidagi
teoremalarni
1- teorema. Agar f ( X ) funksiya G qavariq to‘plamda aniqlangan
pastga qavariq funksiya bo‘lsa, uning ixtiyoriy lokal minimum global minimum
bo‘ladi.
I s b o t i . Faraz qilaylik, f ( X ) funksiya Х 0  G da lokal va Х *  G da
global minimumga erishsin. U holda
f ( X 0 )  f X * .
f ( X ) funksiya pastga qavariq bo‘lganligi sababli ixtiyoriy 0    1 uchun
f  X *  1    X 0    f X *   1    f X 0 
G to‘plam qavariq bo‘lganligi uchun esa
Х  Х *  1   Х 0  G,   0,1
269
(11.12)
(11.12) dagi f ( X * ) ni f ( X 0 ) ga almashtirsak,
f  X *  1    X 0    f X 0   1    f X 0   f X 0 
(11.13)
tengsizlikni hosil qilamiz.
 sonni shunday tanlab olamizki, natijada X   X *  1   X 0 nuqta
X 0 nuqtaga iloji boricha yaqin, ya’ni X  X 0   bo‘lsin. Lekin bu holda
(11.13) dan ko‘rinadiki, X 0 nuqtada
f ( X ) funksiya lokal minimumga
erishmaydi. Bu esa teorema shartiga qarama-qarshidir. Demak, X *  X 0
bo‘lishi kerak.
2-teorema. Agar f ( X ) funksiya G qavariq to‘plamda pastga (yuqoriga)
qavariq bo‘lib, bu to‘plamga tegishli ikkita X 1 , X 2  G nuqtalarda global
ekstremumga erishsa, shu nuqtalarning qavariq kombinatsiyasidan iborat
bo‘lgan ixityoriy nuqtada ham global ekstremumga erishadi.
Isboti. Faraz qilaylik, berilgan f ( X ) funksiya ikkita Х 1 va Х 2 nuqtalarda
global minimumga erishsin. U holda ixtiyoriy
X G
nuqta uchun
m  f  X 1   f  X 2   f  X  o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda m f  X  funksiyaning
global minimum qiymati. Endi
Х1
va
Х2
nuqtalarning qavariq
kombinatsiyasidan iborat bo‘lgan Х̂ nuqtani olamiz:
Хˆ   Х 1  1   Х 2
hamda bu nuqtadagi f ( X ) funksiyaning qiymatini aniqlaymiz:
 
f Xˆ  f  X 1  1   X 2 .
f ( X ) funksiya pastga qavariq funksiya bo‘lgani uchun quyidagiga ega
bo‘lamiz:
 
f Xˆ  f  X 1  1   X 2    f  X 1   1    f  X 2 
Bundan f  X 1   f  X 2   m ekanini hisobga olsak, quyidagini hosil qilamiz:
 
f Xˆ  f  X 1   m
Demak, Х̂ nuqtada ham f ( X ) funksiya global minimumga erishadi. Shu bilan
teorema isbot qilindi.
270
Xuddi shunday yo‘l bilan yuqoriga qavariq f ( X ) funksiya G qavariq
to‘plamda qavariq bo‘lib, unga tegishli ikkita Х 1 va Х 2 nuqtalarda global
maksimumga erishsa, u shu nuqtalarning ixtiyoriy qavariq kombinatsiyasidan
iborat bo‘lgan Х nuqtada ham global maksimumga erishishini ko‘rsatish
mumkin.
3-teorema. Agar f ( X ) funksiya G qavariq to‘plamda aniqlangan qat’iy
pastga qavariq funksiya bo‘lsa, u o‘zining global minimumiga shu to‘plamning
faqat bitta nuqtasida erishadi.
I s b o t i . Faraz qilaylik, f ( X ) funksiya ikkita Х 1 , Х 2  G nuqtalarda
global minimumga erishsin. ya’ni
f X1   f  X 2   m
(11.14)
bu yerda m f  X  funksiyaning global minimum qiymati. Endi
Х 1 va Х 2
nuqtalarning qavariq kombinatsiyasidan iborat bo‘lgan
Xˆ   X 1  1   X 2
nuqtani qaraymiz. Yuqorida isbot qilingan 2-teoremaga asosan
 
f Xˆ  m
(11.15)
ikkinchi tomondan f ( X ) funksiya qat’iy pastga qavariq bo‘lganligi sababli
 
f Xˆ  f  X 1  1   X 2    f  X 1   1    f  X 2 
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bundan (11.14) ga asosan quyidagiga ega bo‘lamiz:
 
f Xˆ  f  X 1  1   X 2   m .
Shunday qilib, (11.15) ga zid bo‘lgan xulosaga keldik. Shuning uchun farazimiz
noto‘g‘ri bo‘lib, teorema shartini qanoatlantiruvchi f ( X ) funksiya G
to‘plamning faqat bitta nuqtasida global minimumga erishadi degan xulosaga
kelamiz.
4-teorema. Agar f ( X ) funksiya G qavariq to‘plamda aniqlangan qat’iy
yuqoriga qavariq funksiya bo‘lsa, u o‘zining global maksimumiga shu
to‘plamning faqat bitta nuqtasida erishadi.
Bu teorema 3-teorema kabi isbot qilinadi.
271
5-teorema. Agar f ( X ) funksiya G qavariq to‘plamda aniqlangan pastga
qavariq va differensiallanuvchi funksiya bo‘lsa, ixtiyoriy ichki X 0  G va
X  G nuqtalar uchun
f X  X  X   f  X   f X 
0
0
0
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda
f ( X ) funksiyaning X 0
nuqtadagi
gradiyenti:
 f X 
f X
f X 0   
, ,
 xn
  x1
0
0
 

1)


I s b o t i . f ( X ) funksiya pastga qavariq bo‘lganligi sababli ixtiyoriy 0    1
son uchun
f  X  1   X 0    f  X   1    f X 0 
yoki
f X 0   X  X 0   f X 0     f ( X   f X 0  .
Bundan
f X 0   X  X 0   f X 0     f  X   f X 0 
yoki
f X 0   X  X 0   f X 0 

 f  X   f X 0 
(11.16)
U holda Teylor formulasiga asosan
f X 0   X  X 0   f X 0   f X 0   X  X 0  X  X 0 , 0  0  1
munosabat o‘rinli bo‘lganligi sababli ixtiyoriy   0 uchun (11.16) quyidagiga
teng kuchli bo‘ladi:
f X
0
 X  X   f  X   f X 
  X  X 0 
0
0
Bundan   0 da isbotlash talab qilingan
f X   X  X   f  X   f X , X  G
0
0
0
272
tengsizlikka ega bo‘lamiz.
Shunday yo‘l bilan f ( X ) yuqoriga qavariq funksiya bo‘lgan hol uchun
f X  X  X   f  X   f X 
0
0
0
tengsizlikning o‘rinli ekanligini ko‘rsatish mumkin.
6-teorema. Agar f ( X ) funksiya G qavariq to‘plamda aniqlangan pastga
qavariq va differensiallanuvchi funksiya bo‘lib, ixtiyoriy X 0  G nuqtada
 f X 0   0 bo‘lsa, f ( X ) funksiya X 0 nuqtada global minimumga erishadi.
I s b o t i . f ( X ) funksiya G qavariq to‘plamda aniqlangan pastga
qavariq va differensiallanuvchi bo‘lgani
teoremaga asosan
uchun yuqorida isbot qilingan 5-
f X   X  X   f  X   f X , X  G
0
0
0
(11.17)
Bundan tashqari teoremaning shartiga ko‘ra
 f X 0   0
U holda (11.17) dan
f  X   f X 0   0,
ya’ni
f X 0   f  X , X  G
Demak, X 0 nuqtada f ( X ) funksiya eng kichik qiymatga (global minimumga)
erishadi. Shu Bilan teorema isbot qilindi.
7-teorema. Agar
f ( X ) funksiya G qavariq to‘plamda aniqlangan
yuqoriga qavariq va differensiallanuvchi funksiya bo‘lib, ixtiyoriy X 0  G
nuqtada  f X 0   0 bo‘lsa, f ( X ) funksiya X 0 nuqtada global minimumga
erishadi.
Bu teorema yuqoridagi 6-teorema kabi isbot qilinadi.
3-§. Qavariq programmalash. Kun – Takker shartlari
273
Qavariq programmalash optimallashtirish masalasining bir bo‘limi bo‘lib,
u pastga (yuqoriga) qavariq funksiyani qavariq to‘plamda minimallashtirish
(maksimallashtirish) nazariyasini o‘rgatadi.
Boshqacha qlib aytganda, qavariq programmalash masalasi deganda
g i  X   g i x1 , x2 ,, xn   bi , i  1, m
(11.18)
x j  0, j  1, n,
(11.19)
Z  f  X   f  x1 , x2 ,, xn   min
(11.20)
ko‘rinishdagi masala nazarda tutiladi, bunda g i  X , f  X  funksiyalar G  En
qavariq to‘plamda aniqlangan pastga qavariq funksiyalar. Agar
f  X , g i  X 
funksiyalar G da aniqlangan yuqoriga qavariq funksiyalar bo‘lsa, qavariq
programmalash masalasi quyidagi ko‘rinishda beriladi:
g i  X   g i x1 , x2 ,, xn   bi , i  1, m
(11.21)
x j  0, j  1, n,
(11.22)
Z  f  X   f  x1 , x2 ,, xn   max
(11.23)
(11.18)-(11.20) va (11.21-11.23) masalalarning yechimini aniqlashda klassik
Lagranj usulini (X bob, 4-§) chegaraviy shartlari orasida tengsizliklar
qatnashgan masalalar uchun umumlashtirishga ko‘maklashuvchi Kun – Takker
teoremasi markaziy o‘rinni egallaydi. Kun – Takker teoremasi (11.18) – (11.20)
yoki (11.21) – (11.23) masalaning optimal yechimi va bu masala uchun tuzilgan
Lagranj funksiyasining egar nuqtasi orasidagi munosabatni o‘rgatadi. (11.18) –
(11.20), (11.21) – (11.23) masalaga mos keluvchi Lagranj Funksiyasini yuqorida
(X bob, 4-§) ko‘rilgan usul yordamida tuzamiz:
m
F  x1 , x2 ,, xn , 1 , 2 ,, m   0 f ( x1 , x2 ,, xn )   i bi  g i  x1 , x2 ,, xn 
i 1
yoki vektor formada:
m
F  X ,    0 f  X    i g i  X ,
(11.24)
i 1
274
i i  0, m 
Lagranjning

  0 , 1 ,, m , X   x1 , x2 ,, xn  .
bu
yerda
noma’lum
ko‘paytuvchilari
bo‘lib,

nuqtada F X 0 ,   funksiya
X 0  x10 , x20 ,, xn0 

minimumga erishib, 0  00 , 10 ,, 0m  nuqtada F X , 0  nuqta Lagranj
1-ta’rif. Agar
funksiyasi (11.24) ning egar nuqtasi deyiladi.
Agar ( Х 0 , 0 ) nuqta (11.18) – (11.20) masala uchun tuzilgan Lagranj
funksiyasi F  X ,   ning egar nuqtasi bo‘lsa, Х 0 ning kichik musbat 
atrofidagi  Х 0   X / Х  Х 0   


ixtiyoriy x j  0 uchun va 0 ning 

atrofidagi  0    /   0   ixtiyoriy   0 uchun
F X 0 ,    F X 0 , 0   F X , 0 
(11.25)
munosabat o‘rinli bo‘ladi.
F  X ,   Lagranj funksiyasi (11.21) – (11.23) masala uchun tuzilgan
bo‘lsa, bu munosabat quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
F X , 0   F X 0 , 0   F X 0 ,  
(11.26)
(11.25), (11.26) munosabatlar Lagranj funksiyasi (11.24) ning egar nuqtasining
mavjudligi haqidagi, f  X  va g i  X  i  1, m funksiyalar differensiallanuvchi


bo‘lmagan hol uchun zaruriy va yetarlilik shartlaridan iborat.


f  X  va g i  X , i  1, m funksiyalar differensiallanuvchi bo‘lgan holda
Lagranj funksiyasi (11.24) ning egar nuqtasi mavjudligining zaruriy va yetarlilik
shartlari (11.18) – (11.20) masala uchun quyidagicha ifodalanadi:
x 0j
 F X 0 , 0 
 0,
 xj
(11.27)
 F X 0 , 0 
 0, x 0j  0,
 xj
(11.28)
 F X 0 , 0 
 0,
 xj
(11.29)
275
 F X 0 , 0 

 0, 0j  0.
 j
0
j
(11.30)
Maqsad funksiyaning maksimumi qidiriladigan (11.21) – (11.23) masala
uchun esa bu shartlar quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
 F X 0 , 0 
 0,
 xj
(11.31)
 F X 0 , 0 
x
 0, x 0j  0,
 xj
0
j
(11.32)
 F X 0 , 0 
 0,
 xj
(11.33)
 F X 0 , 0 

 0, 0j  0.
 j
0
j
(11.34)
Osonlik bilan ko‘rsatish mumkinki, agar (11.27) – (11.30) va (11.31) –
(11.34) munosabatlar bajarilsa, (11.25) – (11.26) munosabat o‘z-o‘zidan
bajariladi. Shuning uchun, bundan keyin Lagranj funksiyasining egar nuqtasi
mavjudligi haqida Kun – Takker shartlari sifatida (11.27) – (11.30) va (11.31) –
(11.34) shartlarni tushunamiz. Bunda quyidagi teorema o‘rinli bo‘ladi.
Teorema. F  X ,   funksiya egar nuqtaga ega bo‘lishligi uchun maqsad
funksiyaning minimumi qidiriladigan (11.18) – (11.20) masala uchun (11.27) –
(11.30) shartlarning, maqsad funksiyaning maksimumi qidiriladigan (11.21) –
(11.23) masala uchun (11.31) –(11-34) shartlarning bajarilishi zarur va
yetarlidir. (teoremani isbotsiz qabul qilamiz.)
Qavariq programmlash masalasi (11.18) – (11.20) ning ekstremumi
mavjudliginining zaruriy va yetarlilik shartlari qanday hosil bo‘lishi Bilan
tanishamiz. Buning uchun masalaga m  n ta S i (i  1, m) va t j ( j  1, n)
qo‘shimcha o‘zgaruvchilar kiritib, uni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
g i ( x1 , x2 ,..., xn )  Si  bi , i  1, m
(11.35)
x j  t j  0, j  1, n,
(11.36)
276
Si  0, t j  0,
(11.37)
Z  f  x1 , x2 , , xn   min .
(11.38)
(11.37) tengsizliklar berilgan masalaning chegaraviy shartlaridan iborat bo‘lib,
noma’lumlarga nomanfiylik sharti qo‘yilganligidan dalolat beradi. (11.35) –
(11.38) masala uchun lagranj funksiyasini tuzamiz:
m
F  X .    0 f  x1 ,, xn    i bi  Si  gi  x1 ,, xn  
i 1
   j t j  x j 
n
(11.39)
j 1
Lokal ekstremum mavjudligining zaruriy shartidan:




F X 0 , 0
 0,
x j
j  1, n,

(11.40)

F X 0 , 0
F X 0 , 0
 0,
 0, i  1, m, j  1, n. (11.41)
 j
 j
(11.40) tenglikni analiz qilamiz. Uni quyidagicha yoyib yozish mumkin:
 
 
0
m
f X 0
0 g i X

  i
  0j  0.
x j
x j
i 1
0
0
(11.42)
Bundan tashqari


bi  Si  gi x10 , x20 ,, xn0  0,

0
t j  x j  0
(11.43)
tengliklar o‘rinli.
t 0j noma’lumlar bilan bog‘liq bo‘lgan  0j Lagranj ko‘paytuvchisi uchun
0j t 0j  0
shart bajarilishi kerak (X bob, 4-§ ga qarang).
277
t 0j  0 (demak 0j  0 bo‘lganda  0j  0 bo‘ladi va (11.42) ga asosan
 
 
0
m
f X 0
0 g i X
0
  i
 0.
x j

x
i 1
j
(11.44)
Agar t 0j  0 (demak x 0j  0 ) bo‘lsa, u holda 0j noldan farqli bo‘lishi ham
mumkin uning ishorasi quyidagi mulohaza orqali aniqlanadi: agar x j  t j  0
tenglikning o‘ng tomonini manfiy songa o‘zgartirsak, (11.18) – (11.20)
masalaninig aniqlanish sohasi kengayadi, chunki ixtiyoriy x j  0 miqdor
x j  b j b j  0 tengsizliklarni qanoatlantiradi va
Z 0  f X 0 
miqdor
F X 0 
 0 yoki   0. shunday qilib, x j  0
o‘zgarmaydi (ortmaydi), demak,
b j
da zaruriy shart quyidagidan iborat bo‘ladi:
F X 0 , 0  0 f X 0  m 0 g i X 0 
 0
  i
0,
x j
x j
x j
i 1
(11.45)
F X 0 , 0   0 f X 0  m 0 g i X 0  0
x
 0
  i
 X  0.
x j
x j
x j 
i 1

0
j
(11.46)
F X 0 , 0 
Endi
 0, i  1, m, tenglikni xudi yuqoridagidek analiz qilib,
i
quyidagi zaruruiy shartlarni hosil qilamiz:
F X 0 , 0 
 0,
i
(11.47)
F X 0 , 0 

 0, 0i  0.
i
(11.48)
0
i
(11.45) – (11.48) shartlar (11.21) – (11.25) masala uchun quyidagi ko‘rinishda
bo‘ladi:
278
F X 0 , 0 
 0,
i
x 0j

(11.49)

F X 0 , 0
 0, x 0j  0,
x j

(11.50)

F X 0 , 0
 0,
xi

(11.51)

F X 0 , 0

 0, 0j  0
xi
0
j
(11.52)
Yuqoridagi (11.45) – (11.48), (11.49) – (11.52) shartlar berilgan
qavariq programmalash masalasining ekstremumi mavjudligining zaruriy
va yetarlilik shartidan iboratdir.
Kun – Takker teoremasi
gi  X   gi x1 , x2 ,, xn   bi , i  1, m,
(11.21)
x j  0, j  1, n,
(11.22)
Z  f  X   f  x1 , x2 , , xn   max
(11.23)
qavariq programmalash masalasini ko‘raylik.
Agar kamida bitta X  G nuqtada
gi  X   bi i  1, m tengsizlik
bajarilsa (bunga Sleyter sharti deyiladi), Kun Takkerning quyidagi teoremasi
o‘rinlidir.
Teorema. Х  0 nuqta (11.21) – (11.23) masalaning optimal yechimi
bo‘lishi uchun bu nuqtada (11.49) – (11.52) shartlarning bajarilishi va yetarlidir.
0
Isboti. Zarurligining isboti 3-§ dagi (11.45) – (11.48) va (11.49) – (11.52)
shartlarni keltirib chiqarish jarayonida ko‘rsatilgan.
279
0
Yetarliligi. Faraz qilaylik, Х nuqtada (11.49) – (11.52) shartlar
bajarilsin. U holda shunday   0 mavjud bo‘lib, ( Х ,  ) nuqta
F  X ,   Lagranj funksiyasining egar nuqtasi bo‘ladi, ya’ni bu nuqtada (11.26)
0
0
0
munosabat o‘rinli bo‘ladi:

 
 

F X , 0  F X 0 , 0  F X 0 ,  ,
(11.26)
bu yerda
F X ,    f  X     g  X   b ,
m
0
i 1
i
i
(11.53)
i
(11.53) dan foydalanib, (11.26) ni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
m
     g X   b   f X  
f  X     gi  X   bi   f X
i 1
m
0
i
m
0
0
i
i 1
0
0
i
i
   
  i gi X 0  bi , X  0,   0.
i 1
(11.54)
(11.54) ning o‘ng tomonidagi
     g X   b   f X     g X   b 
f X
0
m
i 1
0
i
0
m
0
i
i
i 1
0
i
i
i
munosabat ixtiyoriy   0 uchun o‘rinli. Bunda (11.51) va (11.52) ga asosan
   b  0,   g X   b   0.
gi X
m
0
i
i 1
0
i
0
i
i
Endi (11.54) ning chap tomonidagi tengsizlikdan, (11.55) ga asosan,
   f  X     g  X   b ,  X  0,
f X
0
m
i 1
0
i
i
i
Bu yerda g i  X   bi (Sleyter shartiga ko‘ra) va
m
 0i gi  X   bi   0,
i 1
Shuning uchun
280
0i  0, demak,
(11.55)
 
f X 0  f  X ,  X  0.
Bundan Х berilgan masalaning optimal yechimi ekanligi ko‘rinadi. Shu bilan
teorema isbotlandi.
0
1- misol.
2 x1  x2  2,
2 x1  x2  8,
x1  x2  6,
x1  0, x2  0,
Z  f x1, x2    x12  x22  max .
Masalani grafik usulda yechib, uning optimal yechimi Х  0, 8; 0, 4 va
0
f  0, 8, 0, 4  0,8 ekanini ko‘rish mumkin.
Endi shunday   0 mavjud bo‘lib,
shartlarining bajarilishini ko‘rsatamiz.
0
X
0

, 0 da Kun – Gakker
Berilgan masala uchun Lagranj funksiyasini tuzamiz!
F  X ,     x12  x22  1 2 x1  x2  2  2 8  2 x1  x2   3 6  x1  x2 .
X 0 nuqtada masalaning 2-chegaraviy sharti qat’iy tengsizlikka aylanadi.
Demak, bu masala uchun Sleyter sharti bajariladi. Bu holda masala normal
bo‘lib, 0  0 bo‘ladi.
Shuning uchun 0  1 deb qabul qilindi.
Lagranj funksiyasidan х1 , х2 , 1 , 2 , 3 lar bo‘yicha xususiy hosilalar olamiz:
F
F
 2 x1  21  3 ,
 2 x2  1  2  3 ,
x1
x2
F
F
F
 2 x1  x2  2,
 8  2 x2  x2 ,
 6  x1  x2 .
x1
2
x2
281




F X 0 , 0
 8  2  0,8  0,4  6  0;
2
F X 0 , 0
 6  0,8  0,4  4,8  0.
3


F X 0 0

0
i
0
i
shartga ko‘ra

2 va 3 larning qiymatlari nolga teng.

F X 0 , 0
 2  0,8  0,4  2  0
1
bo‘lgani uchun i nolga teng bo‘lmagan qiymat qabul qilishi ham mumkin.
x 0j


F X 0 0
 0,
x j
x 0j  0.
Demak,


F X 0 , 0
 0, j  1,2 bo‘lishi kerak, ya’ni
 j
 2  0,8  21  8  0,

 2  0,4  1   2  3  0.
2 , 3  0
X
0

bo‘lgani
uchun
1  0,8
va
0  0,8,0,0.
Demak
, 0  0,8; 0,4; 0,8; 0,0 nuqtada, haqiqatan ham, Kun – Takker shartlari
bajarilyapti, ya’ni u egar nuqta bo‘layapti.
2-misol. Kun – Takker shartlaridan foydalanib, Х  1,0 nuqta
0
quyidagi chiziqsiz programmalash masalasining yechimi ekanligi ko‘rsatilsin:
4 x1  5 x2  8,
2 x1  x2  4,
x1  0, x2  0,
282
Z min  f  Х   x12  2 x1  3x22 .
Yechish.
X 0  1,0 nuqtada chegaraviy shartlar qat’iy tengsizlikka aylanadi, demak,
Sleyter sharti bajariladi. Bu holda 0  1 deb qabul qilishimiz mumkin.
Shuning uchun Lagranj funksiyasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.
F x1, x2 , 1, 2   x12  2 x1  3x22  1 4 x1  5x2  8  2 2 x1  x2  4,
(*)
x1  0, x2  0, 1  0, 2  0.
Kun – Takker shartlarining bajarilishini tekshiramiz:












F X 0 , 0
 2 х1  2  41  22 Х 0  0,
2
F X 0 , 0
 6 х2  51  2 Х 0  0,
2
F X 0 , 0
 4 х1  5 х2  8Х 0  4  0,
1


F X 0 , 0
F X 0 , 0 0
 2 х1  x2  4Х 0  2  0,
x1  0;
2
x1


F X 0 , 0 0
F X 0 , 0 0
x2  0, x1 , x2  0;
1  0   4  0  10  0,
x2
1
F X 0 , 0 0
2  0   202  0  02  0.
2
Shunday qilib,
X
0

, 0  1; 0; 0; 0 nuqta Kun – Takkerning hamma
shartlarini qanoatlantiradi. Demak, u Lagranj funksiyasining egar nuqtasi
bo‘ladi. Shuning uchun X 1,0
0
nuqta berilgan chiziqsiz programmalash
masalasining yechimidan iborat.
283
284