МММФ-7. Занятие 1. Знакомство. Ответы и решения (25.09.2021) Это занятие — вводное. Оно не посвящено какой-то одной теме, а собрано из задач с разнообразными сюжетами. 1.1. Ответ: нельзя. Решение. Число, не кратное 6, не делится либо на 2, либо на 3. Но если только 2 числа нечётны, а 3 числа не кратны 3, то чисел, не кратных 6, может быть не более 5. Комментарии. Можно или нет писать несколько одинаковых чисел — не важно, решение от этого не зависит. 1.2. Ответ: в 20:00 со скоростью 75 км/ч. Решение. На электровенике лететь втрое быстрее, чем в ступе, и при этом экономится 4 часа времени. Значит, две трети времени полёта в ступе составляют 4 часа, весь полёт в ступе занял бы 6 часов, а весь полёт на электровенике — втрое меньше, то есть 2 часа. При этом Баба-Яга вылетела бы за 6 часов до двух часов ночи, то есть в 20:00. Чтобы прилететь точно вовремя, Бабе-Яге нужно провести в полёте 4 часа, то есть вдвое больше, чем на электровенике. Значит, лететь на метле нужно вдвое медленнее, чем на электровенике, то есть со скоростью 75 км/ч. Комментарий. Можно решить задачу и алгебраическим способом. 1.3. Ответ: 20 см. Решение. У трёх прямоугольников одна из сторон одинакова и равна 7,5 см. Сумма длин двух таких сторон у одного из прямоугольников равна полусумме длин всех таких сторон у двух других. Значит, другая сторона этого прямоугольника также равна полусумме других сторон двух других прямоугольников. Значит, она равна 7,5 : 3 = 2,5 см, а периметр этого прямоугольника равен 2 · (7,5 + 2,5) = 20 см. Комментарии. 1. Если предположить, что два других прямоугольника равны, ответ, конечно, получится таким же, но такое решение будет неполным. 2. Можно решить задачу и алгебраическим способом. 1.4. Ответ. Запишем одну из возможных последовательностей действий в виде таблицы: каждая строка — количество литров воды в каждой бочке после очередного переливания. 15 15 6 6 11 11 2 2 9 0 9 4 4 0 9 8 5 0 0 5 0 4 4 5 Комментарии. 1. Важно, что при переливании из бочки в бочку отмерить объём переливаемой воды «на глаз» нельзя: при переливании можно либо выливать из бочки всю имеющуюся воду, либо переливать до тех пор, пока не наполнится бочка, в которую переливаем. 2. Решение, конечно же, не единственно (хотя приведённое здесь — возможно, одно из самых коротких). 1.5. Ответ: не могут. Решение. Во всех хороших грибах как минимум по 0 червей, а во всех плохих — как минимум по 10. Тогда всего как минимум 10 · 0 + 91 · 10 = 910 червей и ровно 91 + 10 = 101 гриб. Если все грибы станут хорошими, то есть в каждом из них будет не более 9 червей, то всего будет не более 101 · 9 = 909 червей, а их должно быть хотя бы 910. Противоречие. 1.6. Ответ: 11 дней. Решение. Каждый день Винни-Пух суммарно съедал одно и то же число банок, а всего он их съел 264 + 187 = 451 = 11 · 41. Значит, либо он ел по 11 банок в течение 41 дня, либо по 41 банке в течение 11 дней. Первый случай невозможен, так как количество банок мёда каждый день увеличивалось на 1, и уже на 12-й день (или даже раньше) точно стало бы больше 11. Комментарии. 1. Второй случай в решении на самом деле возможен: он получается, если в первый день было 12 банок мёда и 29 банок варенья. 2. Предъявить пример, удовлетворяющий условию задачи, для решения недостаточно. 1.7. Ответ: 26 учеников. Решение. Знакомств «мальчик – девочка» в 6 раз больше, чем количество девочек, и в 7 раз больше, чем количество мальчиков. Значит, это количество делится и на 6, и на 7. Поэтому количество девочек делится на 7, а количество мальчиков — на 6. Поскольку тех и других в кружке не 0, девочек должно быть минимум 7, а мальчиков — минимум 6. Если девочек всего 7, то каждая из них не может быть знакома ровно с 5 другими: тогда знакомств «девочка – девочка» было бы 7 · 5 : 2, то есть нецелое число. Значит, девочек должно быть больше 7 (и к тому же чётное число). Если девочек минимально возможное в таких условиях число, то есть 14, то знакомств «мальчик – девочка» будет 84, а мальчиков тогда 84 : 7 = 12, и всего 26 учеников. Покажем, что 14 девочек и 12 мальчиков действительно может быть. Например, разобьём девочек на две группы по 7, а мальчиков — на две группы по 6, и пусть все девочки из первой группы знакомы со всеми мальчиками из первой группы и не знакомы ни с какими мальчиками из второй, а все девочки из второй группы знакомы со всеми мальчиками из второй группы. Знакомства мальчиков устроим внутри каждой группы так: не знакомы первый и четвёртый, второй и пятый, третий и шестой, а остальные знакомы. Знакомства девочек можно устроить так: есть 6 девочек, знакомые каждая с каждой (и не знакомые с другими девочками), и ещё 8 девочек, при рассадке которых за круглым столом каждая будет не знакома с двумя девочками, сидящими от неё через одно место, и знакома со всеми остальными. Комментарии. Доказать, что школьников не может быть 13, недостаточно для решения задачи — это оценка, пример всё равно нужен. 1.8. Решение. Докажем, что найдётся прямоугольник, длина и ширина которого — числа одинаковой чётности (тогда его периметр будет делиться на 4). Предположим, что это не так, то есть у каждого из прямоугольников длина и ширина выражаются числами разной чётности. Тогда площадь каждого прямоугольника — чётное число, следовательно, и площадь квадрата также должна быть чётным числом, а на самом деле площадь квадрата равна 20212 . Противоречие. Комментарии. Рассмотрение частных случаев не является решением.
