RGZ Optika

ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ
РОССИИ
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра общей и технической физики
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
По дисциплине
Физика
(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)
Тема работы:
Выполнил: студент гр.
Элементы волновой оптики
ТНГ-20
(шифр группы)
(подпись)
Казакбаев Б.Р.
(Ф.И.О.)
Оценка:
Дата:
Проверил
руководитель работы:
доцент
(должность)
Кожокарь М.Ю.
(подпись)
Санкт-Петербург
2022
(Ф.И.О.)
Теоретическая справка
Электромагнитные волны
Векторы напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля в бегущей
плоской гармонической волне взаимно ортогональны и изменяются синфазно в
соответствии с уравнениями
⃗ ∙ 𝑟 + 𝜑0 ),
𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) = ⃗⃗⃗⃗
𝐸0 ∙ cos(𝜔 ∙ 𝑡 − 𝑘
⃗ ∙ 𝑟 + 𝜑0 )
⃗ (𝑟, 𝑡) = ⃗⃗⃗⃗
𝐵
𝐵0 ∙ cos(𝜔 ∙ 𝑡 − 𝑘
⃗ . Модуль волнового
Направление распространения волны задаётся волновым вектором 𝑘
вектора называется волновым числом и определяется по формуле
𝑘=
2∙𝜋
λ
где: 𝜔 – угловая или циклическая частота, λ – длина волны, 𝜑 – фаза волны.
Интерференция света – явление перераспределения интенсивности света в результате
наложения нескольких световых волн, ведущее к образованию светлых и тёмных полос.
Скорость света в среде:
𝜗=
𝐶
𝑛
где С – скорость света в вакууме; n – абсолютный показатель преломления среды.
Оптическая длина пути световой волны:
𝐿 = 𝑛𝑙
Оптическая разность хода двух световых волн:
∆= 𝐿1 − 𝐿2
где 𝑙– геометрическая длина пути световой волны в среде.
Условие максимумов и минимумов интенсивности света при интерференции:
∆𝑚𝑎𝑥 = ±𝑘λ,
λ
∆𝑚𝑎𝑥 = ±(2𝑘 + 1) (𝑘 = 0,1,2,3 … )
2
где λ – длина волны.
Разность фаз колебаний:
∆𝜑 =
2𝜋∆
λ
Оптическая разность хода световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей
тонкой плоскопараллельной пластины или пленки:
2
∆= 2𝑑 √𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 +
λ
2
где d – толщина пластинки, λ – угол падения.
Радиусы темных и светлых колец Ньютона в отраженном свете или светлых и темных в
проходящем:
𝑟к = √к𝑅λ
𝑟к = √(2𝑘 − 1)𝑅
λ
2
где к – номер кольца; R – радиус кривизны поверхности линзы.
Дифракция света – отклонение волны от прямолинейного распространения.
Дифракция света на одной щели при нормальном падении лучей. Условие минимумов
интенсивности света
𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜑 = ±𝑘𝜆 (𝑘 = 1,2,3 … )
где а – ширина щели; 𝜑 – угол дифракции; к – номер минимума.
Дифракция света на дифракционной решетке при нормальном падении лучей. Условие
главных максимумов интенсивности
𝑑 𝑠𝑖𝑛𝜑 = ±𝑘𝜆 (𝑘 = 1,2,3 … )
где d – период решетки, к – номер главного максимума;  – угол между нормалью к
поверхности решетки и направлением на соответствующий максимум.
Поляризация света – процесс упорядочения колебаний вектора напряженности
электрического поля и вектора индукции магнитного поля световой волны.
Степень поляризации света:
𝑃=
𝐼𝑚𝑎𝑥 − 𝐼𝑚𝑖𝑛
𝐼𝑚𝑎𝑥 − 𝐼𝑚𝑖𝑛
где Imax и Imin – максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного
света пропускаемого анализатором.
Закон Малюса.
𝐼 − 𝐼0 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
где Io, I – интенсивности падающего на анализатор и прошедшего через него
плоскополяризованного света;  – угол между плоскостью пропускания анализатора и
направлением колебаний светового вектора.
Закон Брюстера:
𝑡𝑔𝛼Б = 𝑛21
где Б – угол падения, при котором отраженная световая волна полностью поляризована;
3
n21
–
относительный
показатель
преломления.
Угол поворота  плоскости поляризации оптически активными веществами: в твердых
телах  = d
где  – постоянная вращения, d – длина пути света в веществе; в чистых жидкостях  =
[]d,
где  – плотность жидкости, [] – удельное вращение; в растворах  = []Сd,
где С – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.
4
Задание 4.1
Два источника излучают линейно-поляризованные электромагнитные волны. Вдали
от источников в некоторой рассматриваемой ограниченной области поле излучения
распространяется в виде плоских волн в положительном направлении оси 0x:
𝐸⃗1 (𝑥, 𝑡) = 𝐸10 𝑒𝑦 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑1 )
𝐸⃗2 (𝑥, 𝑡) = 𝐸20 𝑒𝑧 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑2 )
Изобразить графически в плоскости y0z положение результирующей
электромагнитной волны в точке с координатой 𝑥0 в последовательные моменты времени
𝑇
𝑡𝑛 = 𝑛 12 (𝑛 = 0, 1, 2, … , 11); 𝜔1 = 3,14 ∙ 106 с−1 .
Определить
тип
поляризации
результирующей волны.
Исходные данные:
Решение
Период колебаний электромагнитной волны:
𝑇=
2𝜋
2𝜋
=
= 2 ∗ 10−6 с.
𝑤
3,14 ∙ 106
Две плоские волны распространяются в одном направлении вдоль оси Ox.
Следовательно, 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡) = 3𝑒𝑦 cos(3,14 ∙ 106 𝑡 − 𝑘𝑥).
Для оси z: 𝐸𝑧 (𝑥, 𝑡) = 1𝑒𝑧 cos (3,14 ∙ 106 𝑡 − 𝑘𝑥 +
2𝜋
3
).
В результате сложения этих волн образуется волна, характеризующаяся вектором 𝐸⃗ = 𝐸⃗𝑦 +
𝐸⃗𝑧 и углом 𝛼 между направлением вектора 𝐸⃗ и осью Oy.
𝑡𝑔𝛼 =
𝐸𝑧
cos(3,14 ∙ 106 𝑡 − 𝑘𝑥).
=
𝐸𝑦 cos (3,14 ∙ 106 𝑡 − 𝑘𝑥 + 2𝜋)
3
𝐸 = √𝐸𝑦2 + 𝐸𝑧2
Вычислим волновое число 𝑘:
2𝜋 𝑤 3,14 ∙ 106
рад
𝑘=
= =
= 0,010466
.
8
𝜆
𝑐
3 ∙ 10
м
Расчеты приведены в таблице 1 с учетом, что
𝑇
𝑡𝑛 = 𝑛 (𝑛 = 0,1,2 … 11)
12
5
Таблица 1 – Данные для построения графика результирующей электромагнитной волны
В
В
Ey, м
Ez, м
𝑡𝑛 , с ∙ 10−6
𝐸, В/м
n
-1,55
0,999
0
1,815
0
-0,018
0,869
0,17
0,869
1
1,484
0,506
0,33
1,568
2
2,588
0,007
0,50
2,588
3
2,999
-0,493
0,67
3,040
4
2,608
-0,862
0,83
2,747
5
1,519
-0,999
1,00
1,818
6
0,022
-0,870
1,17
0,871
7
-1,479
-0,508
1,33
1,565
8
-2,586
-0,009
1,50
2,586
9
-2,999
0,492
1,67
3,039
10
-2,611
0,861
1,83
2,749
11
Положение результирующей электромагнитной волны в плоскости y0z:
1,5
Ez
1,0
n=2
0,5
Ey
0,0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-0,5
-1,0
-1,5
Рисунок 1 – Положение электромагнитной волны
Вывод: на основании полученного графика можно сделать вывод о том, что данная
поляризация является эллиптической, так как описывает эллипс при проходе периода
колебаний. Также, полученная поляризация является правой, так как изменение вектора 𝐸⃗
происходит по часовой стрелке.
6
Задание 4.2
На поверхности стекла (nс=1.75) находится плёнка жидкости с показателем
преломления
n=1,6.
На
неё
падает
свет
с
длиной
волны
−6
λ=0,42∙ 10 м под углом 𝛼 = 5° к нормали. Найти скорость, с которой уменьшается
толщина плёнки (из-за испарения), если интенсивность отражённого света меняется так,
что промежуток времени между последовательными максимумами отражения равен ∆t =3
мин. Построить график зависимости скорости от показателя преломления жидкости.
d
nc
Рисунок 2 – Схематичный рисунок
Решение
Разность оптических длин двух путей интерферирующих лучей при условии, что оба луча
отражаются от оптически более плотной среды:
∆= 2𝑑𝑛𝑐𝑜𝑠𝛽
𝛽 − угол преломления,
По закону преломления:
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑠𝑖𝑛2 𝛼
= 𝑛 => 𝑐𝑜𝑠𝛽 = √1 −
𝑠𝑖𝑛𝛽
𝑛2
∆= 2𝑑𝑛√1 −
𝑠𝑖𝑛2 𝛼
= 2𝑑 √𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
𝑛2
7
Условие максимумов интерференции:
∆= 𝑚λ, m = 1,2 …
2𝑑√𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 𝑚λ => d =
𝑚λ
2√𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
За время ∆t толщина пленки уменьшится на величину ∆d и наблюдается максимум
интерференции предыдущего порядка m-1:
d − ∆d =
∆d =
𝑚λ
2√𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
−
(𝑚 − 1)λ
2√𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
(𝑚 − 1)λ
2√𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
=>
=
λ
2√𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
Найдем скорость, с которой уменьшается толщина плёнки за время ∆𝑡:
∆𝑑
λ
=
= 𝑉исп
∆𝑡 2∆𝑡√𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
𝑉исп =
4,2 ∙ 10−7
2 ∙ 180 ∙ √1,62 − 𝑠𝑖𝑛2 5°
= 0,73 ∙ 10−9
м
нм
мкм
= 0,73
= 2,6
с
с
ч
Графический материал:
Таблица 2 – Зависимость скорости испарения от показателя преломления
№
Значение показателя
преломления жидкости n
Скорость преломления
𝑉исп , нм/с
1
1,1
1,06
2
1,2
0,97
3
1,3
0,90
4
1,4
0,83
5
1,5
0,78
6
1,6
0,73
7
1,7
0,69
8
1,8
0,65
9
1,9
0,61
10
2
0,58
11
2,1
0,56
8
12
2,2
0,53
13
2,3
0,51
14
2,4
0,49
15
2,5
0,47
16
2,6
0,45
17
2,7
0,43
18
2,8
0,42
19
2,9
0,40
20
3
0,39
В соответствии с данными был получен график.
1,2
V, нм/с
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
n
0,0
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
3,2
Рисунок 3 – График зависимости скорости испарения от показателя преломления
жидкости
𝑉исп
Вывод: в результате расчетов было получено значение скорости испарение жидкости
мкм
= 2,6 ч ; построен график зависимости скорости испарения от показателя
преломления жидкости – зависимость гиперболическая. При увеличении показателя
преломления среды скорость испарения будет все быстрее стремиться к 0.
Задание 4.3
Плоско-выпуклая стеклянная линза соприкасается со стеклянной пластинкой
сошлифованным на вершине сферической поверхности плоским участком радиуса r0=2 мм.
9
Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R=100 см. Найти радиус светлого кольца
номер К=3 при наблюдении в отражённом свете с длинной волны λ=650 нм.
Решение
Рисунок 4 – Изображение плоско-выпуклой стеклянной линзы
Воздушный зазор между линзой и стеклянной пластиной:
𝑏к = √𝑅 2 − 𝑟02 − √𝑅 2 − 𝑟𝑘2
Учитывая, что 𝑏к мало, получим:
𝑟 2 − 𝑟0 2
𝑏к =
2𝑅
В отраженном свете оптическая разность хода (с учетом потери полуволны при отражении
от более плотной среды):
Δ = 2𝑏к +
𝜆
2
Радиус k-го светлого кольца соответствует разности хода (условие максимума):
∆= 𝑘λ
Получим:
2(𝑟 2 − 𝑟0 2 ) 𝜆
1
+ = 𝑘λ ⇒ 𝑟 = √𝑅λ (𝑘 − ) + 𝑟0 2
2𝑅
2
2
10
1
𝑟 = √1 ∙ 650 ∙ 10−9 (3 − ) + (2 ∙ 10−3 )2 = 2,372 ∙ 10−3 м
2
Проверка на размерность: [𝑟] = √м2 = м
Графический материал:
Таблица 3 – Зависимость радиуса колец от длины волны
№
Длина волны, λ, м ∙ 10−7
Радиус кольца r, м
1
3,8
2,225
2
4
2,236
3
4,2
2,247
4
4,4
2,258
5
4,6
2,269
6
4,8
2,280
7
5
2,291
8
5,2
2,302
9
5,4
2,313
10
5,6
2,324
11
5,8
2,335
12
6
2,345
13
6,2
2,356
14
6,4
2,366
15
6,6
2,377
16
6,8
2,387
17
7
2,398
18
7,2
2,408
19
7,4
2,419
20
7,6
2,429
11
В соответствии с табличными данными был получен график.
3,0
r*10-3
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
𝜆*10-7
0,0
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
Рисунок 5 – График зависимости радиуса кольца от длины волны
Ответ: радиус кольца под номером K=3 равен 𝑟 = 2,372 ∙ 10−3 м
Задание 4.4
На вершине сферической поверхности плоско-выпуклой стеклянной линзы имеется
сошлифованный плоский участок высотой 𝑏0 =0,5 мм, которым она соприкасается со
стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R=100 см. Найти
радиус тёмного кольца номер К=3 при наблюдении в отражённом свете с длинной волны λ
=650 нм. Построить график зависимости радиуса кольца от высоты сошлифованного
участка.
Решение
Рисунок 6 – Изображение плоско-выпуклой стеклянной линзы
12
Плоский участок радиуса между линзой и стеклянной пластиной по теореме Пифагора:
𝑅 2 = (𝑅 − 𝑏)2 + 𝑟𝑘2
Так как 𝑏 мало в сравнении с 𝑅, то
𝑟𝑘2
ℎ=
2𝑅
𝑟𝑘2
𝑏𝑘 = 𝑏 − 𝑏0 =
− 𝑏0
2𝑅
Оптическая разность хода первоотраженного луча и луча, отраженного от стеклянной
пластины:
∆= 2𝑏𝑘 +
𝜆
2
Радиус к-го светлого кольца соответствует разности хода (условие минимума):
∆=
(2𝑘 + 1)λ
2
Получим:
𝑟к = √𝑘𝜆𝑅 + 2𝑅𝑏0
𝑟к = √3 ∙ 650 ∙ 10−9 ∙ 1 + 2 ∙ 1 ∙ 0,5 ∙ 10−3 = 0,0317 м
[𝑟] = √м2 = м
Графический материал:
Таблица 4 – Зависимость радиуса колец от высоты сошлифованного участка
№
Высота сошлифованного
участка; 𝑏0 , м
Радиус кольца r, м
1
0,0005
0,0317
2
0,001
0,0447
3
0,002
0,0633
4
0,003
0,0775
5
0,004
0,0895
6
0,005
0,1000
13
В соответствии с табличными данными был получен график.
0,12
r, м
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
b, м
0,00
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
Рисунок 7 – График зависимости радиуса кольца от высоты сошлифованного участка
Ответ: 𝑟к = 0,0317 м
Задание 4.5
На вершине сферической поверхности плоско-выпуклой стеклянной линзы имеется
сошлифованный плоский участок радиуса r0=2 мм, которым она соприкасается со
стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R=100 см. Найти
радиус тёмного кольца номер К=3 при наблюдении в отражённом свете с длинной волны
λ=555 нм. Построить график зависимости радиуса кольца от радиуса сошлифованного
участка.
Решение
Воздушный зазор между линзой и стеклянной пластиной:
𝑏к = √𝑅 2 − 𝑟02 − √𝑅 2 − 𝑟𝑘2
Учитывая, что 𝑏к мало, получим:
𝑟𝑘 2 − 𝑟0 2
𝑏к =
2𝑅
В отраженном свете оптическая разность хода (с учетом потери полуволны при отражении
от более плотной среды):
Δ = 2𝑏к +
𝜆
2
Условие максимума интерференции для тёмных колец:
14
∆= (2𝑘 + 1)
𝜆
2
Радиус темного кольца можно выразить из уравнения:
(2𝑘 + 1)𝜆 𝑟к2 − 𝑟02 𝜆
=
+
2
𝑅
2
𝑟к = √𝑘𝜆𝑅 + 𝑟02
𝑟к = √3 ∙ 555 ∙ 10−9 ∙ 1 + (2 ∙ 10−3 )2 = 2,38 ∙ 10−3 м
[𝑟] = √м2 = м
Графический материал:
Таблица 5 – Зависимость радиуса колец от радиуса сошлифованного участка
№
Радиус сошлифованного
участка; 𝑟0 , м
Радиус кольца r, м
1
0,001
0,0016
2
0,002
0,0024
3
0,003
0,0033
4
0,004
0,0042
5
0,005
0,0052
В соответствии с табличными данными был получен график.
rk, м
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
r0,м
0,000
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
Рисунок 8 – Зависимость радиуса кольца от радиуса сошлифованного участка
15
Ответ: 𝑟к = 2,38 ∙ 10−3 м
Вывод
В результате данной работы была изучена теория по поставленным темам и полученные
знания были применены на практике при решении задач. В процессе решения задач были
отработаны навыки по анализу физических явлений, применению соответствующих
законов, выводу формул и составлению графиков.
16