Б.П.Кондратьев, Н.Г.Трубицына. Самосогласованная

САМОСОГЛАСОВАННЫЕ МОДЕЛИ РЕЗОНАНСНЫХ ЗВЁЗДНЫХ
СИСТЕМ: ФАЗОВЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ СФЕРОИДОВ
Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г.
Удмуртский государственный университет
Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория
Исследован новый класс аналитических моделей звёздных систем с неэллипсоидальной
фазовой функцией, зависящей от четырёх интегралов движения звезды. Особые свойства
моделям придаёт дополнительный резонансный интеграл, который состоит из чётной и
нечётной частей относительно определённой группы переменных. Обе его части по
отдельности также являются интегралами. В качестве примера построена фазовая модель
«звёздного» сфероида с нечётным интегралом, отвечающая резонансу частот 1: 2 . В ней
существуют вихревые течения центроидов на семействе вложенных друг в друга торов со
сложными геометрическими сечениями. Аналоги таких течений ранее были выявлены и в
численных экспериментах. Для данной модели найдены все шесть независимых компонент
тензора дисперсии скоростей.
1. 1859 г. Дирихле. Оригинальная постановка задачи: допускают
ли… Этот подход с единых позиций дал (Дедекинд,Риман)
новые классы фигур равновесия (эллипсоиды с внутренними
течениями, включая неизвестные ранее фигуры с наклонным
вращением).
2. 1987-1996. Оригинальный подход (Кондратьев, Малков) к
проблеме фигур равновесия однородных звездных систем:
допускают ли законы механики… Открыты три новых класса
самосогласованных фазовых моделей. «Одиночный» эллипсоид
модели Фримана (1967) стал всего лишь частным случаем
новых классов. Центральной идеей явилось представление
звездной системы эллипсоидом в 6-мерном фазовом
пространстве (движение как канонические преобразования в в
пространстве с псевдоэвклидовой метрикой)
 0
g 
 E
1 0 0
E


, E  0 1 0
0
0 0 1


Замыкание
системы
одночастичных
уравнений на уравнениях третьего порядка
кинетических
Одно из следствий новой теории: существуют только
вырожденные в фазовом пространстве эллипсоиды. Пример:
пятимерный

x2 
x2
x2 x2 x2
f    xi   1  m2  1  3  , m2  12  22  32 .
2 11 2 33 
a1 a2 a3

Шестимерных эллипсоидов, вопреки книге Поляченко и
Фридмана от 1976 г не существует!
Постановка задачи
Стационарное скопление звёзд, образующих однородный
(сжатый или вытянутый) сфероид с границей
x
r
(1)

 1,
где r  x  x .
2
2
1
a
2
3
2
3
2
2
1
a
2
2
Звёзды скопления движутся в квадратичном потенциале
  x    G  I  A r  A x  ,
(2)
где коэффициенты выражаются элементарными функциями от
эксцентриситета меридионального сечения сфероида.
Уравнения движения отдельной звезды в цилиндрических
координатах   ,  имеют решение
2
1
r t  
2
2
3 3
E  E2   L2 sin  21t   
x3  C3 sin 3t    .
12
,
(3)
Здесь величины
L    L3   r ,
r2  2
1 2
r  2  12 r 2  ,

2
2
2
x
1
1
E3  3  A3 x32   x32  32 x32   32C32
2
2
2
E 
(4)
 A1r 2 
являются однозначными первыми интегралами движения
звезды, а квадраты частот колебаний звезды в плоскости Ox x и
вдоль оси Ox соответственно равны
  2A ;   2A .
(5)
1 2
3
2
1
1
2
3
3
Вместо первых двух интегралов из (4) удобно взять нормированные максимальное и минимальное значение r t  :
2
2
2 2
 m  E  E  1 L3

.
 
12 a12
n
(6)
Вдоль оси Ox частица-звезда совершает гармонические
колебания; в совокупности же она движется по поверхности
эллиптического цилиндра.
Свойства модели определяются видом функции фазовой
плотности и числом независимых интегралов, от которых эта
функция зависит. В связи с этим важно заметить, что при
несоизмеримости частот  и  не существует других
однозначных интегралов, кроме приведённых в (4). В этом, с
арифметической точки зрения наиболее вероятном случае,
каждая звезда за достаточно длинный промежуток времени
всюду плотно покрывает поверхность данного цилиндра.
Альтернативным является случай резонансов, т. е.
соизмеримостей частот колебаний  и  . Характерным для
него является замкнутость пространственной орбиты звезды и
появление ещё одного однозначного (из числа прежде
неоднозначных!), четвёртого по счёту и независимого от (4)
интеграла движения звезды. Этот четвёртый интеграл, который
назовём резонансным, вместе с интегралами (4) должен входить
в фазовую функцию распределения и через неё определять
свойства новой самосогласованной модели сфероида. Такие
самосогласованные модели с резонансными интегралами
движения ранее не рассматривались (кроме сугубо специального случая шара). Между тем, резонансные модели
представляют несомненный интерес при исследовании
динамики галактики.
3
3
1
1
3
Дополнительный (резонансный) интеграл движения
Если частоты колебаний  и  соизмеримы между собой,
то существует ещё один однозначный первый интеграл
1
3
движения.
1
A1 1


3
A2 2
 e  0.956  .
(8)
Для нахождения интересующего нас дополнительного интеграла движения представим третий
из интегралов (4) в виде произведения
(9)
2E3   x3  i3 x3  x3  i3 x3   32C32 ,
причем, с учетом известного из (3) выражения для x3  t  , имеем
x3  i3 x3  C33 exp i 3t     ,
(10)
x3  i3 x3  C33 exp  i 3t     .
С другой стороны, записав первое из (3) выражение в виде
E  r 2  t  12
sin  21t     
E2  12 L2
и дифференцируя его, найдем
1rr
cos  21t     
.
E2  12 L2
Следовательно,
1rr  i  E  r 212 
exp i  21     
.
E2  12 L2
(11)
Исключим время t из полученных выражений: для этого выражение (11) перемножим крест-накрест со
вторым выражением из (10). Так как


exp i t  21  3        ei    ,
(12)
где мы учли условие резонансности (8), то
e
i    
2 2
 x3  i3 x3   1rr  i  E  r 1  
.



E2  12 L2
 C33  

(13)
Приравнивая вещественную и мнимую части в правой и левой части (13), получим два
дополнительных однозначных первых интеграла движения
1rx3r  213  E  r 212 
(14)
J 4  cos     
;
C33 E2  12 L2
J 5  sin     
x3  E  r 212   212 x3rr
C33 E2  12 L2
.
(15)
Между интегралами J и J есть одно существенное различие.
Именно, если J  x ,  является «чётной» функцией компонентов
скорости звезды x и  , т. е.
4
4
3
r
3
r
5
J 4   x3 , r   J 4  x3 ,r  ,
(16)
то интеграл J оказывается, наоборот, «нечетной» функцией
этих переменных:
5
J 4   x3 , r   J 4  x3 ,r  .
J
(17)
J
Такое различие между 4 и 5 указывает на то, что и в фазовой плотности каждый из этих интегралов
будет играть существенно разную роль.
К слову, в силу очевидного соотношения
J 42  J 52  1,
(18)
только один из этих двух дополнительных интегралов является независимым. Поэтому в
фазовую функцию может входить только один из них — J 4 или J 5 .
Новые фазовые функции распределения
Для построения модели «звёздного» сфероида предстоит найти функцию распределения
звёзд в фазовом пространстве. В нашем случае эта функция должна зависеть от четырёх первых
интегралов движения звезды:
f  ,r ,3 , r , x3   f  E , E3 , L, J i  ,
(19)
где J i  i  4,5 есть один из «резонансных» интегралов (14) или (15).
Из двух возможных здесь случаев сейчас остановимся на том, когда в функцию входит
Один из самых простых вариантов
модели с дополнительным «нечётным» интегралом будет тот, в
котором фазовая функция берётся в виде
«нечётный» интеграл
J 5 из (15).
f  E , E3 , L, Ji   1 K  L5   f rx 3   E , E3, L .

(20)
Здесь К — постоянная, a f rx 3  — некоторая вспомогательная фазовая функция от извест
ных интегралов (4), чётная относительно x3 и r . . В качестве последней мы можем взять любое
из известных уже решений типа (13.106) для однородного стационарного «звёздного»
сфероида. Тогда в (20) будем иметь дело с существенно неэллипсоидальной фазовой функцией
распределения.
Далее в качестве примера остановимся на той модели, где все звёзды обязаны касаться
граничной поверхности сфероида (13.1) (см. §13.13). Само условие касания дано в (7), где т
берётся из (7), а величина l согласно третьей из формул (4), равна
2 E3
x32
x32
l 2 2  2 2  2.
(21)
3 a3 3 a3 a3
В том случае, когда все частицы обращаются вокруг оси Ox3 в одном и том же направлении,
вспомогательная фазовая функция имеет вид
f rx3 
8
1
m
  m  1  l   .
  3 a a m  n 
2
2
1
(22)
2
1 3
Здесь интегралы движения т и п даны в (6), пределы интегрирования из (13.33), причём для
краткости мы опять (ср. с (13.34)) обозначили
x2
r2
(23)
  32 ;   1  2 .
a3
a1
Якобиан перехода J дан в (13.35), так что «результирующая» вспомогательная функция

распределения (  J f rx 3  ) есть
f rx3 

2
1
1
 l      l 
n 1    n 
(24)
.
Здесь и далее учитывается равенство (7), что отражено в наличии дельта-функции в (22).
Как уже известно из §13.5, переход от переменных  ,r , x3  3 к переменным m, n, l то,
п, I приводит к некоторой потере информации о состоянии системы звёзд. В виду этого мы
опять разделим все частицы на составляющие по признакам того или иного знака у каждого
компонента скорости. Каждая из четырёх составляющих описывается своей фазовой функцией
f rx3 . Условимся обозначать их так:
f1x3 при r  0 и
f 2 x3 при r  0,
f r1 при r  0 и
f r 2 при r  0.
(25)
Запись индекса в буквенном виде означает суммирование по нему. Очевидно,
компоненты полной функции распределения (20) будут такими:
1
f rx 1  KJ11 
4 3
1
f12  f rx3 1  KJ12 
4
1
f 21  f rx3 1  KJ11 
4
1
f 22  f rx3 1  KJ11 
4
f11 
r  0, 3  0  ,
r  0, 3  0  ,
(26)
r  0, 3  0  ,
r  0, 3  0  .
Здесь J ij — значение «резонансного» интеграла J 5 из (15) для соответствующих знаков
r и 3 , причём, согласно (17)
J11   J 22 ; J12   J 21.
(27)
Так как
2E  12a12  m  n   12a12 1  l  n  ,
L2  12a14mn,
(28)
То
r2 
12 a14
r2
   l 1    n  .
(29)
Кроме того, очевидно,
x3  3  3a3 1   .
(30)
Учитывая эти вспомогательные формулы, запишем выражение дополнительного интеграла J 5 в
виде, удобном для предстоящих выкладок:
l      l   1    n    2  x3 a3     l 1    n 
;
l    l   1    n  
J11 
J12 
 l      l   1    n    2  x3 a3     l 1    n 
.
l    l   1    n  
(31)
При этом мы использовали очевидное следствие из (14.4)
E2  12 L2 
12 a12
2
m  n 
12 a12
2
1  l  n  .
(33)
Азимутальное вращение
Согласно (6)
 
1a1
1 
(34)
mn.
Мы рассматриваем здесь вариант модели, где все звёзды обращаются вокруг оси Ох3 в одном и
том же направлении, поэтому
1
1
(35)
u      f rx3 d 3 x     f11  f12  f 21  f 22  d 3 x


или, согласно (26),
1
u    f rx3 d 3 x.

(36)
Итак, на азимутальное вращение модели дополнительный интеграл не оказывает никакого влияния. Это объясняется тем, что нами был использован нечётный относительно x3 и r
резонансный интеграл J5. Подставляя в (36) известные нам величины  из (24) и функцию
распределения из (24), находим

1 
a
1 l
dn
u  2 1 1 
dl 

 1     l      l  0 1    n
(37)
    
41a1

1   E  ;
 ,
2
2
1




где  и  даны в (23). Формула (37) задаёт дифференциальное вращение (13.109),
рассмотренное нами ранее.
Меридиональное поле скоростей центроидов
Если присутствие в фазовой плотности «нечётного» резонансного интеграла никак не
отражается на азимутальном вращении модели, то на компоненты u3 и ur он оказывает сильное
влияние: появляется неизвестная ранее в теории самосогласованные моделей меридиональная
циркуляция центроидов. В самом деле, напомним, что в моделях гл. 13, где «резонансного»
интеграла не было, обе указанные компоненты были просто равны нулю. Иначе обстоит дело
сейчас.
Нахождение u3
По определению, имеем
1
u3     3 f r1  3 f r 2  d 3 x.

(38)
Подставляя сюда 3 из (30) и учитывая (8), а также функции распределения из (26),
получим
K
2K
(39)
u3 
3 f rx3  J11  J12  d 3 x  2 1a3  A  B  .

2

Здесь
1 



dn
l 

(40)
A 
dl

2


E

F

,
0
0


 
n 1    n   l    l 
0

и несколько сложнее выглядит

1 
1   n
l 
dn
(41)
B  2
dl 
.
l   l 0
n
n  1  l 

Так как внутренний интеграл в (41) равен
1 
  l

1   n
dn
  
 1 ,
(42)
0
n
n  1  l 
 1 l

то для В находим выражение

1         .
(43)
B  2 A  4  E  , k    F  , k  




Подставляя А и В в (39), в итоге получим
 

1          .
4K
u3 
1a3 
F0   E0  2  E  , k    F  , k  
(44)




 
 
Здесь и ниже через




F0  F  , 1   , E0  E  , 1  
(45)


2
2
мы обозначили полные, а через F  , k  и E  , k  — неполные эллиптические интегралы 1-го и
2-го рода соответственно, причём для последних
 
(46)
  arcsin
, k  1 .
 1   
График функции u3 показан на рис. 138. Смена знака этой величины для x3  0 при
r
 0,599... ) означает, что именно эти две точки являются центрами
a1
меридиональных вихревых движений центроидов в сфероиде.
Нахождение ur
Очевидно,
1
(47)
ur  r   r f1x3  r f 2 x3  d 3 x

  0, 6402 ,
(
или, после известных нам подстановок,
K
ur 
r f rx3  J11  J12  d 3 x 

2

2 K 1a12 x3
 l
 2
dl


r a3  l  l   
1 

0
1    n dn
.
n
1 l  n
(48)
Рис. 1. Линии тока меридиональных течений центроидов. Центры двух вихрей имеют
координаты x3  0, r a1  0.6. Направление течений зависит от знака постоянной К в формулах
(44) и (49), однако они всегда носят «защемляющий» характер с равным нулю угловым
моментом. Сжатие сфероида при резонансе 1 : 2 равно е = 0.707. Масштаб на осях выбран при
нормировке a1  1.
Рис.
2.
Графики
компоненты
(по формуле
ur
1  0.01 (1), 0.21 (2), 0.41 (3), 0.61 (4), 0.81 (5). Нормировка a1  1.
(49))
для
значений
Рис. 3. Графики компоненты ur (по формуле (44)). Значения i и обозначения кривых те
же, что на рис. 2 .
Интегрируя в (48), находим
ur 

4 K 1a12

    F0  E0    F  , k   E  , k  
 1 


1        




(49)
с теми же обозначениями эллиптических интегралов, что и выше.
Компоненты u3 и ur оказались пропорциональными постоянной K; в частном случае К =
О мы снова возвращаемся к прежней модели без дополнительного интеграла с u3  ur  0.
Некоторые графики ur показаны на рис. 2. Сами меридиональные линии тока с найденными
компонентами u3 и ur показаны на рис. 1. Мы видим, что меридиональное поле скоростей
центроидов отзывается двухвихревым. В целом, с учётом азимутального движения, движение
центроидов в данной модели сфероида будет происходить по торам со сложными
геометрическими сечениями. Сам факт существования указанных тороидальных течений
представляет несомненный интерес.
Компоненты тензора дисперсии скоростей
Одной из самых характерных особенностей моделей звёздных систем, отличающих их от
классических жидких фигур равновесия, является то, что внутренние напряжения у первых
описываются не скалярной величиной (паскалевым давлением в жидкости), а тензором
напряжений (9.6). Здесь тензор дисперсии скоростей  ij имеет симметричную матрицу (9.5). В
цилиндрической системе координат эта матрица имеет вид
  rr  r  r 3 


 ij    r     3  .
(50)


 r 3   3  3 
Находим вначале компоненту
1
2
2
 rr   r  ur  f1x3  r  ur  f 2 x3  d 2 x 



(51)
1
2
2
2
2
2
  f rx3 r  ur  K  J11  J12 r ur  d x  r  ur ,

где мы учли явный вид функций из (26) и формулу (48). С учётом (29) находим

 2a4
 l
  12 12 
dl
 r  l 
2
r
1 

0
 2a2
1   n
dn  1 1      .
n
4
(52)
Поэтому
12 a12
 rr 
      ur2 .
4
(53)
где ur берётся из (49). Аналогично находим и две другие диагональные компоненты матрицы
(50):
 2a2      2
(54)
   2  u2  1 1 1 
  u ,
2 
2 
 33    u 
2
3
2
3
32 a32
2
      u32 ,
(55)
причём u и u3 даны выше в (37) и (44). Поскольку диагональные компоненты должны быть
неотрицательными, формулы (53)—(55) дают ограничения на коэффициент К.
Вычисление недиагональных компонент тензора дисперсии проводится аналогично и
даёт следующие результаты:


 r  ur u  2  a

1   
4K
2 2
1 1
1  l    l   

l l   


1      l arctg

1  
 dl ,
  l 
(56)
  3  u u3 
2K
2


2
 1 

13a1a3 



1  l  l   
l

arctg
1 
dl  
 l

1  l  l    dl  ,

l   l


(57)
и
 r 3  ur u3 .
(58)
В частном случае, при К = О, обращаются в нуль величины u3 и ur , и все недиагональные
элементы
 r   r 3   3  0
(59)
также исчезают (известная нам модель оез резонансного интеграла,).
Обсуждение результатов
Итак, введение резонансного интеграла в фазовую
функцию распределения радикально изменяет некоторые
глобальные свойства самосогласованной модели «звёздного»
сфероида. Прежде всего, в модели появляются меридиональные
течения, описываемые нелинейным полем скоростей. В
совокупности с азимутальным, эти меридиональные течения
приводят к пространственному движению центроидов на
семействе
вложенных
друг
в
друга
тороидальных
поверхностей. Торы имеют общую ось симметрии Ox и каждый
из них обладает сложным геометрическим сечением. Данная
модель является первым примером самосогласованной
звёздной системы, обладающей резонансным интегралом и
демонстрирующей течения указанного типа.
С точки зрения практического использования построенной
модели заметим следующее. Хотя реальные галактики
представляют собой существенно неоднородные системы, в
них, как показывает опыт, также могут существовать замкнутые
периодические орбиты. Об этом говорят результаты многих
численных экспериментов по расчёту орбит в различных
силовых полях. Например, в невращающихся трёхосных
неоднородных эллипсоидах ранее было обнаружено шесть
типов замкнутых орбит звёзд (Меррит, 1980). Сходная картина
3
орбит была обнаружена и в неоднородных «звёздных»
эллипсоидах, обладающих слабым общим вращением
(Шварцшильд, 1982; Вилкинсон и Джеймс, 1982). Любопытно,
что существование таких орбит оказалось связанным с
появлением в численных моделях сложных течений
центроидов. Сравнение наших выводов с результатами
численных экспериментов свидетельствует о том, что
появление торообразных течений отнюдь не случайный или
искусственный результат, а закономерное явление в семействе
разнообразных звёздных орбит. Более того, можно конкретно
сказать, что одной из главных причин появления сложных
течений центроидов как в моделях, так и в самих галактиках
могут быть именно резонансы частот (или периодов) между
отдельными составляющими движения звёзд в пространстве.
Здесь мы построили только одну резонансную модель из
множества потенциально возможных. Новые интересные
модели галактик могут быть построены не только при замене
нечётного резонансного интеграла на чётный, но и в обоих
случаях при других резонансах между частотами. Так, при
резонансе частот 1 : 3 в модели с нечётным интегралом
появятся, как показывает анализ, ещё более сложные
торообразные течения центроидов.
Таким образом, построение резонансных моделей
открывает новые возможности в объяснении глобальной
динамики галактик.
Список литературы и замечания
Первоисточник:
Кондратьев Б. П. Самосогласованные модели резонансных
звёздных систем: фазовые решения для сфероидов. // Астрон. журн. —
1997. — Т. 74. — С. 845.
Ссылки на статьи
Merritt М. II Astrophys. J. Suppl. — 1980. — V. 43. — P. 435.
Schwarzschild М. II Astrophys. J. — 1982. — V. 263. — P. 599.
Wilkinson A., James R. II Monthly Notices Roy. Astron. Soc. — 1982.
— V. 199. — P. 171.