введение

Введение
Одним из основных этапов научного исследования в большинстве естественных
наук (физика, биология, химия, …, а сейчас и во многих других областях, таких, как
экономика, социология, языкознание, …) является математическое моделирование. Это
математическое описание процессов с помощью известных законов. Оно предполагает
введение в рассмотрение неизвестных величин, которые есть функции параметров (или
переменных). Эти функциональные зависимости, если они найдены, позволяют делать
количественные и качественные выводы, расчеты, прогнозы. Таким образом,
физический процесс один, а математических моделей может быть много (простых и
сложных), и какая из них лучше - определяется тем, что мы хотим получить. Ни один
реально протекающий физический процесс не может быть описан математически
абсолютно точно. Есть факторы, которые при построении данной конкретной модели
считаются малосущественными и не принимаются в расчет. Математическое решение
– функциональная зависимость одних величин от других – это не копия реальности, а
описание, подробное или схематическое, как, например, рисунок. Одно очевидно:
математическое решение должно быть единственным, так как оно описывает
протекающий при заданных условиях конкретный физический процесс. Набор
очевидных условий адекватности (не абсурдности) математической модели называется
корректностью постановки задачи, а именно:
1.
Решение существует.
2.
Решение единственно
3.
Решение устойчиво (малое изменение условий задачи ведет к малому
изменению решения или, что - тоже самое, решение непрерывно зависит от данных).
Понятие корректности (правильности) постановки задачи математической
физики было сформулировано французским математиком Адамаром. Обычно данные
задачи считаются принадлежащими некоторому замкнутому пространству в линейном
нормированном пространстве, например, C p . Тогда, согласно условию 1, решение
должно существовать и принадлежать пространству того же типа. По условию 2
решение единственно в заданном пространстве. По условию 3 бесконечно малым
вариациям в пространстве данных соответствуют бесконечно малые вариации в
пространстве решений.
Сформулировав понятие корректности, Адамар привел пример некорректной
задачи, который стал называться примером Адамара. Сформулировав понятие
корректности, Адамар привел пример некорректной задачи для дифференциального
уравнения, которая, по его мнению, не соответствовала никакой реальной физической
постановке. Этот пример — задача Коши для уравнения Лапласа. Классическая
математическая физика имеет дело с корректно поставленными задачами. Но в
настоящее время активно развивается теория некорректных задач и оказывается, что
некорректные задачи также могут быть связаны с реальными объектами и явлениями.
Наука математическая физика включает в себя как проблемы постановки задач,
так и построения методов их решения. При этом в математической физике важно и
первично именно построение и обоснование общего метода решения, а потом уже
получение результатов для конкретных задач. То есть математическая физика все-таки
в большей степени - математика. Если рассмотреть с одной стороны многообразие
явлений, а с другой – многообразие описывающих их моделей (задач), то оказывается,
что различные по природе явления моделируются одинаковыми уравнениями.
Например,
уравнение
U  0 описывает:
стационарное
температурное
поле,
стационарный поток идеальной жидкости, электростатическое поле, распределение
упругих напряжений и многое другое. И методы решения этого уравнения можно будет
применять
в
различных
по
физической
природе
задачах.
Таким
образом,
математическая физика даст метод решения уравнения, а, следовательно, и множества
связанных с ним конкретных физических задач.
Предмет математической физики
1. Постановка задач: вывод уравнений, постановка граничных и начальных
условий.
2. Классификация и исследование уравнений с точки зрения корректности задач.
3. Построение аналитических методов решения задач.
4. Построение численных методов решения задач.
Заметим, что аналитические решения конкретной задачи предпочтительнее
численных,
но
в
сложных,
например,
нелинейных,
многопараметрических
(многомерных) задачах построить подобное решение удается весьма редко.
Понятия и соотношения, используемые при постановке задач. Физические

величины: A(x, y,z, t)  векторные (сила, скорость, напряженность электрического и
магнитного полей …) u (x, y,z, t)  скалярные (температура, концентрация вещества,
потенциал электрического поля, потенциал скоростей потока жидкости.)
Открытое связное множество, граница области В : γВ
 множество открытое, если каждая точка входит в него со своей
окрестностью;
 множество связное, если две его любые точки можно соединить гладкой
кривой, все точки которой  данному множеству.

B  B  B - замкнутое множество

U  C 0 ( B) - решение принадлежит классу непрерывных функций в области,
включающей границу.

U  C 2 ( B) - решение принадлежит классу непрерывных вместе со вторыми
производными функций в области, включающей границу.
Решения одной и той же задачи на различных классах функций могут быть
разными, то есть оно может существовать в одном классе функций и не существовать в
другом.
Дифференциальные операторы и интегральные тождества
Понятие оператора – это обобщение функциональной зависимости
Пример оператора y  Ax, x  D, y  P
D - область определения А
P - область значения оператора А
Пример 1: A   лапласиан y  x  x  C 2 , y  C 0
Лапласиан - дифференциальный оператор II порядка
b
Пример 2: y   K (t, )  x( )d -интегральный оператор, x  C 0 , y  C 0
a
Дифференциальные операторы в физике
1. dradu 

2. div A 
u  u
u
 i   j  k
x
y
z
Ax Ay Az


x
y
z
u – скаляр, u  C1 (B)

Ax , Ay , Az – проекции A
u
u
u
 2u  2u  2u
Пусть A  gradu  Ax  , Ay  , Az  , div (gradu)  2  2  2  u
x
y
z
x y
z
A
– Лапласиан, примененный к скалярному полю u(x, y,z),u  C2 (B)
3. rot A 
i
j

x
Ax
u
y
Ay
k
u
, A  C1
z
Az
Интегральные тождества
1. Теорема Остроградского-Гаусса
 div Adw  
An dS
S B
B
dw  dxdydz – элемент объема, dS – элемент поверхности, dl – элементы дуги
A  ( A; n) – проекция, A на n , A  C 1 (B)
2. Следствие теоремы Остроградского-Гаусса
A  gradu  div A  u
 udw  
B
S
u
dS , u  C1 (B)
n
B
3. Следствие теоремы Остроградского-Гаусса
1 2
U
U  2U
 2U  U 
U 

U



U

,

U



ЭЛЕМЕНТЫ
2
x ПЕРЕХОДЫ
x x 2
x 2  x 
 2U
 2U  U 
U  2  

y 2
y
 y 
2
2
 2U
 2U  U 
U  2  

z 2
z
 z 
2
2
2
 U   U   U 
u  u  u   gradu  , где 
 
   gradu    gradu  gradu 
 
 x   y   z 
2
2
2
u
 u  u  grad u dw   u  nds
2
B
B
4. Формула Грина
5. Пусть A  v  gradu , u , v – скалярные
 u v u v u v 
u
        u  ds
x x y y z z   B n
B
1.  v  udw   
B
div A
Пусть A  u  gradv
 u v u v u v 
u
        v  ds
x x y y z z   B n
B
 2.  u  vdw   
B
 u v u v u v 
         gradu, gradv 
 x x y y z z 
u
u
 v  udw   v  nds   u  vdw u  nds
B
B
div A
B

u

v

v

u
dw




 u 
B
B

div A
B
v
u 
 v ds, u.v  C 2 (B), u.v  C1 (B)
n
n 
Замечание: если область В – плоская (двумерная), то B - контур.
Криволинейные координаты
Рассмотрим произвольную криволинейную систему координат, т.е
x  x(q1 ,q 2 ,q 3 )
y  y (q1 ,q 2 ,q 3 ) – заданные однозначные функции
z  z (q1 ,q 2 ,q 3 )
J
Якобиан

x
q1
x
q2
x
q3
y
q1
y
q2
y
 0 – преобразование координат не вырожденное.
q3
z
q1
z
q2
z
q3
Квадрат линейного элемента:
2
d
2
2
 x
  y

x
x
y
y
 dx  dy  dz  
dq1 
dq2 
dq3   
dq1 
dq2 
dq3  
q2
q3
q2
q3
 q1
  q1

2
2
2
 z
 3 3
z
z
dq

dq

dq

1
2
3    g ik dqi dqk

q

q

q
2
3
 1
 i 1 k 1
если система ортогональна e1  e2  e3 , то  gik  0, при i  k
ds12
d
2
ds32
ds22
 H12dq12  H 22dq22  H 32dq32
2
2
2
 x   y   z 
dii  H i  
 
 
 – коэффициенты Ляме.

q

q

q
 1  1  1
Дифференциальные операторы в произвольной криволинейной
ортогональной системе координат
Градиент: A  gradu 
1 u
1 u
1 u
e1 
e2 
e3 , u  C1
H1 q1
H 2 q2
H 3 q3
Дивергенция: Определение дивергенции вектора в точке М : V – объем,
ограниченный поверхностью B , стягивающийся в точку М
  A ds
n
div A  lim
B
V
V M
Рассмотрим элементарный объем в виде куба в криволинейной системе
V  ds1ds2 ds3  H1H 2 H 3dq1dq2dq3 , т. к. ds1  H1dq1 , ds2  H 2 dq2 , ds3  H 3dq3
Поток вектора A через площадку с нормальною q1 :
Aq1ds1ds2 q dq  Aq1ds1ds2 q 
1
1
1
  Aq1H 2 H 3 
dq2 dq3dq1 ,
q1
аналогично для площадок с нормалями q2 , q3 в результате получаем:
   Aq1H 2 H 3    Aq2 H1H 3    Aq3 H 2 H1  
div A  


 / H1 H 2 H 3
q1
q2
q3


Лапласиан:
A  gradu, Aqi 
1 u
H qi
u  divgradu 

1
   H H u    H1H 3 u    H1H 2 u  

  2 3





H1 H 2 H 3 
 q1  H1 q1  q2  H 2 q2  q3  H 3 q3  

Примеры:
1. Цилидрическая система координат
0  r  ,      ,   z  
 x  r  cos 

Формулы перехода  y  r  sin 
 zz

Квадрат линейного элемента в цилиндрической системе координат:
dVx
xyz  Fx xyz  P x  x yz  P x  x yz
dt
2
2
dV
 y xyz  Fy xyz  P y  y xz  P y  y xz
dt
2
2
dV
 z xyz  Fz xyz  P z xy  P z  z xy
z
dt
2
2

dVx
P 
  Fx 
dt
x 

dVy
P  dV
1

  Fy   ,
 F  gradP
dt
y 
dt

уравнение динамики
dV
P 
идеальной жидкости
 z   Fz 

dt
z 
u
cn  0 
0
V0
, P t 0  P0
B
n  B
скорость

невозмущенного
потока
V  V (x, y,z)
div(gradu)  0  u  0
  const
rot V  0  V  gradu ,
V
Vx ,Vy ,Vz , P.
G
 Vn  0
t
B
Vn  Vx , cos(n, x)  Vy cos(n, y )  Vz cos(n, z)
G
y
V
x 2  y 2  z 2 
G
y
G
z
 V
V
I   U
I


rI

L
x
x
t   x
2
2
t
 можно решать
 
U   I  gU  C U
I  x  I  x  g xU  C   x
t
x
x
t   x
2
2
U
(1
x
U
x
 r xI  L   x
u1
u
  2 2 )  
n
n 
u  0V  V1 , u  u  u1
 H r  1 H  r H z  1
 gradu 
u
1 u
u
er 
e  ez
r
r 
z
1   (A r  r)  (A )  (A z  z ) 


 div A  
r  r

z 
1    u    1 u    u   1   u  1   2u   2u
  r  
 u    r  

r   r
r  r  r    r   z  z   r r  r  r 2   2  z 2
2. Сферическая система координат
0  r  ,      ,0    
 x  r  cos  sin 

Формулы перехода  y  r  sin  cos
 z  z cos

Квадрат линейного элемента в сферической системе координат:
d
2
  dr cos sin   r sin  sin  d  r cos cos d    dr sin  sin   r cos d  r sin  cos d  
2
2
(dr cos  r sin  d )2  dr 2  r 2d 2  dz 2
H r2 1
H2  r 2
H2 1
 H r  1 H  r sin  H  r
 gradu 
u
1 u
u
er 
e 
e
r
r sin 

1   (A r  r 2sin  )  (A ) (A rsin  ) 


 div A  

r
r



  2u
1  
u    1 u   
u   1   2
u 
1
u 

  r sin   
 sin     2  r sin    2 2  2
r sin   r 
r    sin     
z   r r 
r  r sin   