Ekinshi tártipli iymek sízíqlardíń ulíwma teńlemesin ápiwayílastíríw 1. Ekinshi tártipli iymek sízíqtíń ulíwma teńlemesi hám oní kanonikalíq kórinisine keltiriwde qollanílatuġín túrlendiriwler. Ekinshi tártipli iymek sízíqtíń (ETIS)) ulíwma teńlemesin tekseriw hám oní ápiwaylastíríw (kanonik túrge keltiriw) analitikalíq geometriyaníń tiykarġí máseleleriniń biri bolíp tabíladí. Biz ETIS ulíwma teńlemesin, yaġníy x, y ózgeriwshilerine qarata ekinshi dárejeli teńlemesi Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 (3.1) Kórnisine iye boladí. (3.1) teńlemedegi koefficientlerdiń ózgeriwine qarap, 1. (x − x 0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = R 2 sheńberdiń teńlemesi; 2. x2 y 2 + = 1 ellipstiń teńlemesi; a 2 b2 3. x2 y 2 − = 1 giperbola teńlemesi; a 2 b2 4. y 2 = 2 px parabola teńlemesi (Bul teńlemelerde a > 0, b > 0, p > 0 hám 1,2 teńlemeler ushín a ≥ b ) ETIS kanonik teńlemelerin aldínġí paragrioplarda kórgen edik. Tegisliktegi tuwrímúyeshli dekart koordinatalar sistemasínda ekinshi dárejeli algebralíq teńlemesi menen berilgen sízíqlar ekinshi tártipli algebralíq sízíqlar dep ataladí. Bul jerde A, B, C lardíń keminde birewi nolden ózgeshe. Kópshilik waqítlarí ápiwayílíq ushín ekinshi tártipli iymek sízíqtíń (ETIS) ulíwma teńlemesi a11 x 2 + 2 ⋅ a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 (3.1’) kóriniste beriledi, bul jerde a11 , a12 , a22 koefficientleriniń úshewi birden nolge teń emes. ETIS (3.1) teńlemesi berilgen bolsa, bul iymek sízíq eń ápiwayí kórniste dep oylaw nadurís, biraq sonday koordinatalar sistemasí bar bolíp, (3.1) teńleme tablitcadaġí sízíqlardíń birine keledi. (3.1) teńleme tablitcadaġí sízíqlardíń birine alíp keltiriw ushín tómendegi pikirlewler júrgiziledi: 1) tuwrímúyeshli koordinatalar sistemasín ϕ múyeshke buríw = x x 'cos ϕ − y 'sin ϕ = y x 'sin ϕ + y 'cos ϕ 2) Tuwrí múyeshli koordinatalar sistemasín parallel kóshiriw x x0 + x ' = y y0 + y ' = x = x′ 3) Koordinata kósherleriniń baġítín qarama-qarsí baġítqa ózgertiw: ordinata kósherlerin y = − y′ x = − x′ x = − x′ abstcissa kósherin eki kósherdi y = y′ y = − y′ 4) Koordinata kósherleriniń atamasín ózgertiw x = y′ y = x′ (3.1’)-túrindegi teńlemeniń dara jaġdaylarí bolíp tabílatuġín a22 y 2 + a33 = 0, a22 ≠ 0 , (3.2) a22 y 2 + 2a13 x = 0, a22 ≠ 0, a13 ≠ 0 , (3.3) a11 x 2 + a22 y 2 + a33= 0, a11 ≠ 0, a22 ≠ 0 , (3.4) túrindegi teńlemeler keltirilgen teńlemeler dep ataladí. Bunday teńlemeler elementar túrlendiriwler arqalí kanonikalíq túrge alíp kelinedi. 2. Ekinshi tártipli iymeklikler teńlemesin kanonikalíq túrge alíp keliw tártibi Meyli tuwrímúyeshli Oxy koordinatalar sistemasínda ekinshi tártipli iymeklik a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 (3.5) teńlemesi menen berilgen bolsín. (3.5) teńleme menen berilgen ETIS joqarída kórsetilgen tiplerdiń biri túrinde beriliwi múmkin. Buní «ETIS haqqíndaġí tiykarġí teorema» dep atawġa boladí. Buní dálillew jolí, koordinatalardí túrlendiriw arqalí (3.5) teńlemeni ápiwayí túrge alíp keliw, sonda iymek sízíqtíń qaysí tipke jatatuġíní aníq boladí. Haqíyqattanda da, koordinata sistemasí teńlemege baylaníslí bolmaġanlíqtan, teńleme quramalí bolíwí múmkin. Berilgen iymek sízíq ushín «taqminan» alínġan koordinata sistemasínan «tábiyġíy» koordinatalar sistemasína ótiw máselesin qaraymíz. ′ ≠ 0 )bolsa, onda x′ ( y ′) tutíwshí aġzaní Lemma (A). Eger (3.5) teńlemede a11′ ≠ 0 ( a22 koordinata basín parallel kóshiriw arqalí joġaltíwġa boladí. Dálillew. Koordinatalar sistemasín parallel kóshiriw arqalí túrlendiriw jasaymíz, (eger teńlemede a′ sízíqlí aġzalar qatnaspasa, bul túrlendiriwdi de jasawdíń keregi joq). Koordinata basín − 13 ;0 ( a11′ ′ a′ a′ a23 x′′ − 13 , y′ = y ′′ ( x=′ x′′, y=′ y ′′ − 23 ). 0; − ) noqatína kóshiremiz. x′ = ′ ′ a22 a11′ a22 Onda 2 2 a′ a′ a11′ x′2 + 2a13′ x′ = a11′ x ′+ 13 − a11′ 13 = a11′ a11′ 2 a′ a′ a′ a′ 2 ′ x′′ − 2a13′ 13 = a11′ ( x′′ ) − a11′ 13 a11′ ( x′′ ) − 2a11′ 13 x′′ + a11′ 13 + 2a13 a11′ a1′1 a11′ a11′ 2 2 yaġníy teńlemede x′ tí tutíwshí aġza joq. (Koordinata basín parallel kóshirgende, yaġníy x= x′ + p , hám ( y= y ′ + q ), x 2 , y 2 -lardíń koefficientleri ózgermeydi). Lemma (A) dálillendi. Koordinata kósherlerin parallel kóshirip ETIS ulíwma teńlemesi (3.5) ápiwayí túrge alíp keleyik. ETIS ulíwma teńlemesi (3.5) tegi x, y ornína x= x′ + x0 , y = y ′ + y0 (3.6) túrlendiriwindegi x, y mánislerin qoyíp taza sistemadaġí ETIS ulíwma teńlemesine iye bolamíz. ′ y ′ + a33 ′ = a11 x′2 + 2a12 x′y ′ + a22 y ′2 + 2a13′ x′ + 2a23 0 (3.7) Bul jerdegi ′ a= ′ a22 , = a11′ a= 11 , a12 12 , a22 a′ = a x + a y + a , 13 11 0 12 0 13 ′ a23 = a12 x0 + a22 y0 + a23 , a ′ = a x 2 + 2a x y + a y 2 + 2a x + 2a y + a . 11 0 12 0 0 22 0 13 0 23 0 33 33 (3.8) (3.5) teńleme menen (3.7) teńlemelerdi salístíríp biz tómendegi juwmaqqa kelemiz. Koordinata kósherlerin parallel kóshirgende bas bóleginiń koefficientleri ózgerissiz qaladí, tek ġana sízíqlí bólegi koefficientleri ózgeredi eken. ′ koefficientlerin (3.8) degi ańlatílíwínan paydalaníp, nolge teńep sízíqtíń (3.7) teńlemede a13′ , a23 orayíníń koordinatalarín tabamíz. a13′ = a11 x0 + a12 y0 + a13 = 0, ′ = a12 x0 + a22 y0 + a23 = 0. a23 (3.9) Kramer qádesinen paydalaíp sistemaníń sheshimlerin aníqlaymíz. = x0 a12 a23 − a13 a22 a13 a12 − a11a23 = , y0 2 a11a22 − a 12 a11a22 − a 212 Bul tabílġan x0 , y0 taza koordinata sistemasíníń O′ orayíníń koordinatalarí. (3.5) teńleme tómendegi túrge keledi: ′ = a11 x′2 + 2a12 x′y ′ + a22 y ′2 + a33 0 ETIS ulíwma teńlemesi berilgen (3.5) teńlemege qaraġanda ápiwayí túrge iye boldí. (3.10) Lemma (B). Barlíq waqítta xy kóbeymesin tutatuġín aġza joq bolatuġínday etip koordinata kósherin buríw múmkin. π Dálillew. Meyli teńlemede a12 ≠ 0 bolsín. Koordinata kósherlerin ϕ 0 < ϕ < múyeshke 2 buríw arqalí x′, y ′ taza koordinatalar kiritemiz. Onda = x x′ cos ϕ − y ′ sin ϕ , = y x′ sin ϕ + y ′ cos ϕ . (3.11) Bul ańlatpalardí (3.5) ge aparíp koyíp, x′y ′ kóbeymesiniń koeffitcenti 2a12′ tabamíz. Ol 2 = = ϕ) 2a12′ 2a22 sin ϕ cos ϕ − 2a11 sin ϕ cos ϕ + 2a12 (cos 2 ϕ − sin = ( a22 − a11 ) sin 2ϕ + 2a12 cos 2ϕ. a12 ≠ 0 dep alġanímíz ushín, ϕ múyeshin a11 − a22 cos 2ϕ teńligin qanaatlandíratuġínday 2ϕ = ctg = sin 2ϕ 2a12 etip saylap alsaq, onda x′ ⋅ y ′ kóbeyme aldíndaġí koefficient 2a12 = 0 alamíz. Lemma (B). dálillendi. (3.5) teńlemege lemma(B) daġí (3.11) túrlendiriw formulasíndaġí x, y mánislerin aparíp qoyġanímízda teńlemedegi koefficientler ushín a11 + a22 a −a 2 2 + a12 sin 2ϕ + 11 22 cos 2ϕ , a11′ =a11 cos ϕ + 2a12 cos ϕ sin ϕ x′y ′ + a22 sin ϕ = 2 2 a a − a′ = 22 11 sin 2ϕ + a12 cos 2ϕ , − a11 cos ϕ sin ϕ + a12 (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) + a22 sin ϕ cos ϕ = 12 2 a′ =a sin 2 ϕ + 2a cos ϕ sin ϕ + a cos 2 ϕ = a11 + a22 + a sin 2ϕ + a22 − a11 cos 2ϕ , 11 12 22 12 22 2 2 a′ a13 cos ϕ − a23 sin ϕ , = 13 a23 ′ = − a13 sin ϕ + a23 cos ϕ , ′ = a33 . a33 (3.12) (3.12) júdá áhmiyetli juwmaq jasawmízġa boladí. Koordinata kósherlerin burġanda (3.11) teńlemedegi ′ koefficientleri (3.5) teńlemeniń a11 , a12 , a22 koefficientleri hám ETIS ulíwma teńlemesindegi a11′ , a12′ , a22 ′ , a33 ′ koefficientleri (3.5) teńlemeniń a13 , a23 , a33 koefficientleri buríw múyeshin ϕ arqalí, al (3.11) a13′ , a23 hám buríw múyeshi ϕ arqalí aníqlanadí. 2 Eskertiw. Eger biz 1 1 a122 + (a11 − a 22 ) = A , (a11 + a 22 ) = B hám 2 2 2 a132 + a23 = C . Eger A ≠ 0 1 (a11 − a 22 ) a a12 bolsa, cos α = , sin α = 2 hám eger A = 0 hám α = 0 hám eger C ≠ 0 cos β = 23 , A C A sin β = a13 hám eger C = 0 hám β = 0 teńliklerin qanaatlandíratuġín α , β múyeshlerin kiritemiz, . C a12′ = 0 den tabílġan ϕ múyeshiniń mánisin (3.12) degi basqa koefficientlerdiń mánisin tabíwġa qollansaq biz (3.12) x′, y ′ ke qarata ′ y ′2 + 2a13′ x′ + 2a23 ′ y ′ + a33 = a11′ x′2 + a22 0 (3.13) túrine iye boladí dep qarawmízġa boladí. Eger a12 = 0 bolsa, onda bul túrlendiriwdi jasawdíń keregi joq. Endi (3.13) teńlemedegi a11′ , ′ koefficientleriniń eń keminde birewi nolьden ózgeshe a22 ′ ≠ 0 bolsín. Onda «A ámelin» qollaníp, yaġníy lemmada(A) da bolatuġínín kóriwge boladí. Meyli a22 qórsetilgen, koordinata basín parallel kóshiriw ámelin qollaníp, biz teńlemeden y ′ tí tutíwshí aġzaní joġaltamíz. Solay etip, berilgen ETIS ′ ( y ) + 2a13′′ x + a33 ′ = a11′ ( x ) + a22 0 2 2 (3.14) (ápiwayílíq ushín jazíwda x, y dep alamíz) Bul teńlemeden x′′ kósheri simmetriya kósheri ekeni kórinip tur. Biz ETIS eń keminde bir simmetriya kósherine iye ekinin dálilledik.