РІШЕННЯ В УМОВАХ РИЗИКУ. ФУНКЦІЯ ПОЛЕЗНОСТИ.
Якщо яка-небудь неприємність може статися, вона трапляється.
закон Мерфі
Якщо ми не будемо управляти ризиками, ризики почнуть керувати нами.
(Головна концепція ризик-менеджменту).
Сучасне суспільство часто називають «суспільством ризику». Сьогодні
ризик є атрибутом повсякденності і стосується будь-якої людини. Кожен день
людям доводиться приймати ризиковані рішення, оскільки стохастичний
характер природних і суспільних явищ не дає можливості однозначно
передбачити розвиток подій.
Ризик - інтегральний показник, що поєднує в собі оцінки як
ймовірностей реалізації рішення, так і кількісних характеристик його
наслідків. Ризикуючи, ЛПР вибирає альтернативу, яка є результатом
прийнятого ним рішення, хоча можливий результат в точності йому не
відомий.
Найпростішим способом, що дозволяє враховувати як ймовірності
можливих подій, так і пов'язані з ними наслідки (втрати, збитки, виграш), є
множення ймовірності можливої події на його результат, виражений в
кількісних характеристиках. Мовою теорії ймовірностей цей твір називається
математичним очікуванням можливої випадкової події. Саме так стали
оцінювати ризик в азартних іграх, коли математична теорія ймовірностей
тільки зароджувалося.
Залежно від ставлення до ризику рішення задачі може виконуватися з
позицій «об'ективістів» і «суб'єктивістів». Нехай пропонується лотерея: за 30
рублів (вартість лотерейного квитка) гравець з однаковою ймовірністю р = 0,5
може нічого не виграти або виграти 100 руб. Один індивід пошкодує і 30
рублів за право участі в такій лотереї, тобто просто не купить лотерейний
квиток, інший готовий заплатити за лотерейний квиток 50 рублів, а третій
заплатить навіть 60 рублів за можливість отримати 100 руб. (Наприклад, коли
ситуація складається так, що, тільки маючи 100 рублів, гравець може досягти
своєї мети, тому можлива втрата останніх грошових коштів, а у нього їх рівно
60 рублів, не змінює для нього ситуації).
Безумовним грошовим еквівалентом (БГЕ) гри називається максимальна
сума грошей, яку гравець готовий заплатити за участь в грі (лотереї), або, що
те ж, та мінімальна сума грошей, за яку він готовий відмовитися від гри. Кожен
індивід має свій БГЕ.
Очікувана грошова оцінка (ОГО) тобто середній виграш у грі,
розраховується як сума добутків розмірів виграшів на ймовірності цих
виграшів. Наприклад, для нашої лотереї ОГО = = 0,5 * 0 + 0,5 * 100 = 50 рублів.
Гравця, для якого БГЕ збігається з ОГО гри умовно називають об'єктивістом.
Гравця, для якого БГЕ НЕ дорівнює ОГО, - суб'єктивістом. Якщо суб'єктивіст
схильний до ризику, то його БДЕ> ОГО. Якщо не схильний, то БГЕ < ОГО.
Досліджуємо реалістичність критерію вибору рішення, заснованого на
розрахунку ОГО. Розглянемо дві альтернативи (лотереї):
1) виграш 1 000 000 дол. з ймовірністю 1;
2) гра (лотерея): виграш 2 100 000 дол. з ймовірністю 0,5 і програш 50
000 дол. з ймовірністю 0,5. В цьому випадку
ОГО = 0,5 * 2 100 000 - 0,5 * 50 000 = 1 025 000 дол.
Щодо одержуваного середнього виграшу зазначені альтернативи
практично еквівалентні, і якщо гравець байдужий до ризику, він вибере другу
альтернативу. Якщо він до ризику не байдужий, а переважна кількість людей
саме такими є, то вибір буде залежати головним чином від фінансового стану
гравця. Гравці, які мають скромний грошовий дохід, вважатимуть за краще не
ризикувати і виберуть гарантований виграш. Для ОПР, що володіє досить
2
великим капіталом, програш в 50 000 дол. невеликий, і він віддасть перевагу
ризикнути. Ризикувати будуть також гравці, патологічно схильні до
фінансових авантюр.
Але виявляється, що підхід, при якому «ціна ризику» обчислюється в
грошах, далеко не досконалий і призводить до парадоксу. У 1738 р Д. Бернуллі
опублікував в «Звістки Імператорької Санкт-Петербурзької Академії наук»
свою статтю «Виклад нової теорії про вимірювання ризику. Д. Бернуллі піддав
критиці загальноприйняте припущення про те, що очікуване значення
випадкової величини обчислюється множенням всіх можливих значень на
число випадків, в яких ці значення можуть мати місце, і діленням суми цих
творів на загальне число випадків. Д. Бернуллі вважав, що крім математичного
очікування необхідно враховувати ставлення до імовірнісних наслідків
особистості, яка повинна прийняти рішення в умовах невизначеності. Д.
Бернуллі виходив з розуміння того, що ризик, що сприймається кожним посвоєму, не може оцінюватися однаково. На основі цього він висунув гіпотезу
про те, що користь від приросту багатства обернено пропорційна величині
наявного багатства, що з'явилася одним з найбільших інтелектуальних
досягнень в історії ідей. Що використовується Бернуллі поняття корисності
визначає мотивацію особистості, яка вибирає ту чи іншу альтернативу при
прийняття рішень в різних життєвих ситуаціях.
ФУНКЦІЯ КОРИСТНОСТІ НЕЙМАНА - МОРГЕНШТЕРНА
ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ І АКСІОМИ
Далі ідеї Бернуллі отримали розвиток в сучасній теорії корисності
Джона фон
Неймана і
Оскара Моргенштерна (1947). Методологія
раціонального прийняття рішень в умовах невизначеності, заснована на
функції корисності індивіда, спирається на п'ять аксіом, які відображають
3
мінімальний набір необхідних умов несуперечливої і раціональної поведінки
гравця. Для компактного викладу аксіом нам буде потрібно наступне
визначення.
Визначення 1. Припустимо, що конструюється гра, в якій індивід з
імовірністю α отримує грошову суму х і з ймовірністю (1 – α)- суму z. Цю
ситуацію будемо позначати G (x, z:α).
Аксіома 1. Аксіома порівнянності (повноти). Для всієї множини S
можливих результатів індивід може сказати, що або х
у (результат х краще
результату у), або у х, або х у (індивід байдужий в ставленні до вибору між
х і у). Запис х у означає, що результат х краще результату у яких індивід
байдужий в ставленні до вибору між х і у.
Аксіома 2. Аксіома транзитивності (спроможності). Якщо х у й у z, то
х z. Якщо х
уіу
z, то х
z.
Аксіома 3. Аксіома сильної незалежності. Припустимо, що ми
конструюємо гру (в якій індивід з імовірністю а отримує грошову суму х і з
ймовірністю (1 - α) - суму z)- G(x, z: α). Якщо індивід байдужий в ставленні до
вибору між х і у (х у), то він також буде байдужий в ставленні до вибору між
грою (лотереєю) G (x, z: α) і грою G (y, z: α), тобто. з х у слід G (x, z: α) G (y,
z: α).
Аксіома 4. Аксіома вимірності. Якщо х у z або х у z, то існує єдина
можливість α, така, що у G (x, z: α).
Аксіома 5. Аксіома ранжирування. Якщо альтернативи у і знаходяться
по перевагу між альтернативами х і z (z
{y, u}
x) і можна побудувати гри,
такі, що індивід байдужий в ставленні до вибору між у і G (x, z: α2), a також до
вибору між і G (x, z: α2), то при 𝑎1 > 𝑎2 - у
и.
4
Пояснимо сенс цієї аксіоми. Нехай існують такі альтернативи: х = 1000; у =
500; і = 200; z = -10. Нехай еквівалентні дві пари ситуацій, одна з яких
неігрова, а інша ігрова:
1) гарантовано отримати 500 або гра: з ймовірністю α1, виграти 1000 і з
ймовірністю (1 – α1) програти 10, тобто
500
G(1000, -10: α1);
2) гарантовано отримати 200 або гра: з ймовірністю α2 виграти 1000 і з
ймовірністю (l - α2) програти 10, тобто
200
G(1000, -10: α2).
Очевидно, що при зазначених умовах α1
α2. Якщо α1 = α2, то у
и.
Затвердження аксіоми цілком відповідає здоровому глузду: чим більша
ймовірність великого виграшу, тим більше гра «коштує», тобто тим більша
плата буде потрібно за придбання права брати участь в цій грі.
Якщо прийняти наведені аксіоми і припустити, що люди вважають за
краще більшу кількість деякого блага меншому, то все це в сукупності
визначає раціональну поведінку ОПР.
При названих припущеннях американськими вченими Дж. Нейманом і
О. Моргенштерном було показано, що ЛПР при ухваленні рішення буде
прагнути до максимізації очікуваної корисності. Іншими словами, з усіх
можливих вирішень він вибере те, яке забезпечує найбільшу очікувану
корисність.
Сформулюємо
визначення
корисності
по
Нейману-
Моргенштерну.
Визначення 2. Корисність - це деяке число, яке приписують особою, яка
приймає рішення, кожного можливого результату. Функція корисності
Неймана - Моргенштерна для ОПР показує корисність, яку він приписує
кожному можливого результату. У кожного ОПР своя функція корисності, яка
5
показує його перевагу до тих чи інших наслідків в залежності від його
ставлення до ризику.
Визначення 3. Очікувана корисність події дорівнює сумі творів
ймовірностей результатів на значення корисностей цих результатів.
Проілюструємо практичну реалізацію введених понять на прикладі
розрахунку ТДВ і зіставлення цього значення з корисністю.
Завдання 1. Нафтопереробна фірма вирішує питання про буріння
свердловини. Відомо, що якщо фірма буде бурити, то з ймовірністю 0,6
нафти знайдено не буде, з ймовірністю 0,1 запаси родовища складуть 50 000
т; з ймовірністю 0,15 -100 000 т; з ймовірністю 0,1 - 500 000 т; з ймовірністю
0,05 -1 000 000 т. Якщо нафта не буде знайдена, то фірма втратить 50 000
дол .; якщо потужність родовища складе 50 000 т, то втрати знизяться до 20
000 дол .; потужність родовища в 100 000 т принесе прибуток 30 000 дол .;
500 000 т-430 000 дол .; 1 000 000 т - 930 000 дол. Дерево рішень даної задачі
представлено на рис. 1. Неважко розрахувати очікуване значення виграшу:
ОДО = 0,6(-50 000) + 0,1 (-20 000) + 0,15*30 000 + + 0,1*430 000 + 0,05*930
000 = 62 000 дол.
Мал. 1. Дерево рішень для задачі 1 (прибуток вказан в доларах)
6
Якщо ОПР, який представляє фірму, байдужий до ризику і приймає
рішення про проведення бурових робіт на підставі розрахованого ТДВ, то він
сприймає очікувану корисність як пропорційну ТДВ, вважаючи U = 62. З
огляду на, що U - індивідуальне число, що характеризує ОПР, нулі, що
відповідають розрахунку ТДВ, можна відкинути. У цьому випадку функція
корисності U (v), де v - прибуток, одержуваний при різних випадках, є прямою
з позитивним нахилом. Нижче буде показано, що U можна задавати з точністю
до деякого монотонного перетворення.
Для прийняття рішення в разі небайдужості ОПР до ризику необхідно
вміти оцінювати значення корисності кожного з допустимих результатів.
Дж. Нейман і О. Моргенштерн запропонували процедуру побудови
індивідуальної функції корисності, яка (процедура) полягає в наступному:
ОПР відповідає на ряд питань, виявляючи при цьому свої індивідуальні
переваги, що враховують його ставлення до ризику. Значення корисностей
можуть бути знайдені за два кроки.
Крок 1. Присвоюються довільні значення корисностей виграшів для
гіршого і кращого результатів, причому першою величиною (найгірший
результат) ставиться у відповідність менше число. Наприклад, для наведеної
вище завдання U(-50 000 дол.) = 0, а U(930 000 дол.) = 50. Тоді корисності
проміжних виграшів будуть перебувати в інтервалі від 0 до 50. Корисність
результату навіть для одного індивіда визначається не однозначно , а з
точністю до монотонного перетворення. Нехай, наприклад, маємо x1, х2,..., хn корисності, приписувані п очікуваним значенням виграшів. Тоді α+βx1,
α+βх2,..., α+βхn (де (β> 0) також будуть корисними. Якщо в задачі 1 при
розрахунку корисності відкинути останні нулі, це буде еквівалентно лінійному
перетворенню функції корисності при α = 0 і β = 0,001.
Крок 2. Гравцеві пропонується на вибір: отримати деяку гарантовану
грошову сумму v, що знаходиться між кращим і гіршим значеннями S і s, або
7
взяти участь в грі, тобто отримати з імовірністю р найбільшу грошову суму S
і з ймовірністю (1 - р) - найменшу суму s. При цьому ймовірність слід
змінювати (знижувати або підвищувати) до тих пір, поки ОПР стане байдужим
у ставленні до вибору між отриманням гарантованої суми і грою. Нехай
вказане значення ймовірності рівно р0. Тоді корисність гарантованої суми
визначається як середнє значення (математичне очікування) корисностей
найменшою і найбільшою сум, тобто
U( ) = p0 U(S) + (1 – p0)U(s).
(1)
Розрахуємо корисність результатів будь-якого з можливих результатів
для завдання 1. Нехай для ОПР байдуже: втратити 20 000 дол. або взяти
участь в грі (виграш 930 000 дол. з ймовірністю 0,1 або програш 50 000 дол. з
ймовірністю 0,9). Відповідно до формули (4.1) маємо:
U(-20) = 0,1 U(930) + 0,9 U(-50) = 5,
при цьому за визначенням прийнято, що U(-50) = 0, U(930) = 50, звідки
випливає, що U(-20) = 5.
Таким чином, якщо визначена шкала вимірювання, то може бути
побудована функція корисності ОПР (рис. 4.2).
8
У загальному випадку графік функції корисності може бути трьох типів
(рис. 3):
• для ОПР, не схильну до ризику, - строго увігнута функція, у якій кожна
дуга кривої лежить вище своєї хорди (рис. 3 а);
• для ОПР, байдужого до ризику, - пряма лінія (рис. 3 б),
• для ОПР, схильного до ризику, - строго опукла функція, у якій кожна дуга
кривої лежить нижче своєї хорди (рис. 3 в).
Індивіди, для яких безризиковий варіант вибору краще ризикового з тим
же самим математичним очікуванням досягається багатства, називаються не
схильними
до
ризику (або
ризикофобами).
Відповідно,
індивіди
з
протилежним характером переваг називаються схильними до ризику (або
ризикофілами). Нарешті, індивіди, для яких рівноцінні варіанти поведінки з
однаковими
математичними
очікуваннями
багатства,
називаються
нейтральними по відношенню до ризику (або ризиконейтральними). Отже,
функція корисності в теорії - це зростаюча неперервна функція, опукла вгору
для осіб, які не схильні до ризику, опукла вниз для тих, хто любить ризик, і
пряма для людей, нейтральних до ризику.
Слід зазначити, що перераховані типи є "чистими". Люди, які
стосуються виключно до одного чистого типу, в житті зустрічаються рідко.
Залежно від віку, ситуації, настрою, рівня багатства, величини можливих втрат
або виграшів одна і та людина може демонструвати як "ризикофобну"
поведінку, так і схильність до ризику, або "нейтралітет".
Згідно з дослідженнями, основна частина людей в економічному плані в
більшій чи меншій мірі демонструють неприйняття ризику.
Розглянемо докладніше функцію корисності індивіда, не схильну до
ризику (рис. 7.2). Візьмемо лотерею з двома наслідками, 𝐼1 і 𝐼2 і нехай pймовірність успішного результату. Сіра лінія, що з'єднує точки кривої
9
корисності, що відповідаючим цим двом наслідкам, показує можливі лінійні
комбінації очікуваної корисності лотереї в залежності від значень ймовірності:
𝐸𝑈(𝑝, 𝐼1 , 𝐼2 ) = 𝑝𝑈(𝐼1 ) + (1 − 𝑝)𝑈(𝐼2 ).
Безризиковий еквівалент лотереї відповідає сумі грошей, яка приносить
індивіду ту ж корисність, що і очікувана корисність, що і очікувана корисність
ризикової ситуації. Це точка В на графіку з величиною доходу 𝐼0
Малюнок 7.2 - Премія за ризик для індивіда, не схильну до ризику.
В силу опуклості і зростання даної функції корисності безризиковий
еквівалент менший за очікувану прибутковість лотереї:
𝐼0 < 𝐸𝐼 = 𝑝𝐼1 + (1 − 𝑝)𝐼2
Різниця
між
очікуваною
прибутковістю
ризикового
проекту
(очікуваного виграшу лотереї) і безризиковим грошовим еквівалентом
називається премією за ризик. Ця величина показує, яку суму грошей готовий
заплатити індивід, щоб уникнути ризику. На графіку премія за ризик
представлена лінією AB-I_0.
Приклад 1.
10
У Оксани є 30 рублів. Вона хоче купити шоколадки «Шок» ціною 3 р.
Корисність від цієї покупки вона оцінює функцією:
𝑈(𝑥, 𝑦) = 12 ∗ √𝑥 + 𝑦
х - придбане кількість шоколадок,
y - решта доходу.
Скільки купить шоколадок «Шок» раціональна Оксана?
Рішення:
Раціональна поведінка споживача можна визначити, як прагнення
максимізувати надлишок споживача. Споживач буде купувати додаткові
одиниці до тих пір, поки вони приносять додатковий надлишок, тобто поки
ціна, яку споживач готовий сплатити за одиницю блага, перевершує реальну
ціну:
MU> P
Однак кожна наступна одиниця споживання зазвичай приносить
зменшений приріст корисності, тобто при покупці благ «одне за іншим» рано
чи пізно гранична корисність якогось блага зрівняється з його ціною:
MU = P
Після того як гранична корисність зрівняється з ціною, споживач
припинить подальші покупки: оптимальний обсяг споживання досягнутий.
Знайдемо граничну корисність MU, як похідну функції загальної
корисності по аргументу х:
𝑀𝑈𝑋 =
𝜕𝑈(𝑥, 𝑦)
1
6
= 12 ∗
=
𝜕𝑥
2 √𝑥 √𝑥
Оптимальний обсяг споживання буде досягнутий при Мu = P:
11
6
√𝑥
= 3 ⟹ √𝑥 = 2 ⟹ 𝑥 = 4
Таким чином, раціональна Оксана купить 4 шоколадки, витративши на
цю покупку 12 рублів.
Приклад 2.
Споживач свій наявний дохід у розмірі 90 руб. витрачає на придбання
кефіру і картоплі.
Вартість продуктів харчування:
Ркеф = 15 руб. за 1 л.
Ркар = 3 руб. за 1 кг.
Уподобання споживача описуються наступною функцією корисності:
𝑈(𝑋кеф ; 𝑋кар ) =
1
2
𝑋кеф
∗
1
2
𝑋кар
Наскільки зміниться оптимальний набір споживача, якщо його переваги
стануть описуватися функцією корисності виду:
1)
𝑈(𝑋кеф ; 𝑋кар ) =
1
3
𝑋кеф
𝑈(𝑋кеф ; 𝑋кар ) =
1
2
𝑋кеф
∗
1
3
𝑋кар
∗
1
4
𝑋кар
2)
Рішення:
Оптимальний набір споживача повинен задовольняти умові другого закону
Госсена:
𝑀𝑈(𝑋кеф ) 𝑃кеф
=
𝑀𝑈(𝑋кар ) 𝑃кар
12
Знайдемо граничну корисність кефіру і картоплі як приватні похідні від
загальної корисності:
1
2
𝑋кар
1
2
𝑋кеф
∗
∗
𝑀𝑈 = (𝑋кеф ) =
1
2
𝑋кар
∗
𝑀𝑈 = (𝑋кар ) =
1
2
𝑋кеф
∗
1
1
2
2𝑋кеф
1
1
2
2𝑋кар
1
1
2
2𝑋кеф
1
=
15
⟹
3
1
2
2𝑋кар
2
1
2
𝑋кар
1
2
∗ 𝑋кеф
=
1
2
5 ∗ 𝑋кеф
1
2
2 ∗ 𝑋кар
⟹ 𝑋кар = 5 ∗ 𝑋кеф
На основі формули 𝐼 = 𝑃кеф ∗ 𝑋кеф + 𝑃кар ∗ 𝑋кар
отримаємо рівняння бюджетного обмеження: 90 = 15 * хкеф + 3 * хкар
Складемо і вирішимо систему рівнянь:
Хкар = 5 ∗ Хкеф
Хкар = 5 ∗ Хкеф
{
⟹{
90 = 15 ∗ Хкеф + 3 ∗ Хкар
90 = 15 ∗ Хкеф + 5 ∗ 3 ∗ Хкеф
⟹{
Хкар = 5 ∗ Хкеф
Х = 5 ∗ Хкеф
⟹ { кар
90 = 30 ∗ Хкеф
90 = 3
Оптимальний набір споживача складається з 15 кг картоплі і 3 літрів кефіру.
Знайдемо оптимальний набір споживача, якщо його переваги стануть
описуватися функцією корисності виду:
𝑈(𝑋кеф ; 𝑋кар ) =
1
3
𝑋кеф
∗
1
3
𝑋кар
Граничну корисність кефіру і картоплі знайдемо як приватні похідні від
загальної корисності:
13
𝑀𝑈(𝑋кеф ) =
1
3
𝑋кар
∗
𝑀𝑈(𝑋кар ) =
1
3
𝑋кеф
∗
1
2
3
3𝑥кеф
1
2
3
3𝑥кар
Підставами ці вирази в умова другого закону Госсена:
1
3
𝑋кар
∗
1
3
𝑋кеф
1
2
3
3𝑥кеф
∗
1
=
15
⟹
3
2
3
3𝑥кар
1 2
+
3 3
𝑋кар
1 2
+
3 3
𝑋кеф
=
5
⟹ 𝑋кар = 5 ∗ 𝑋кеф
1
Дана рівність нічим не відрізняється від попереднього випадку, отже,
оптимальний набір споживача не зміниться.
Знайдемо тепер оптимальний набір споживача, якщо його переваги
стануть описуватися функцією корисності виду:
1
2
1
4
𝑈(𝑋кеф ; 𝑋кар ) = 𝑋кеф ∗ 𝑋кар
Гранична корисність при цьому буде дорівнює:
𝑀𝑈(𝑋кеф ) =
1
4
𝑋кар
1
∗
2∗
𝑀𝑈(𝑋кар ) =
1
2
𝑋кеф
1
2
𝑥кеф
1
∗
4∗
3
4
𝑥кар
Тоді
1
4
𝑋кар
1
∗
2∗
1
2
𝑋кеф
1
2
𝑥кеф
1
∗
4∗
3
4
𝑥кар
=
15
⟹
3
1
4
𝑋кар
2∗
3
4
∗ 4 ∗ 𝑥кар
1
1
2
2
𝑥кеф ∗ 𝑋кеф
=
5
⟹
1
1 3
+
4 4
2 ∗ 𝑥кеф
1 1
+
2 2
𝑋кеф
=
5
1
14
⟹
2 ∗ 𝑋кар
= 0.4 ∗ Хкар
Хкеф
Рівняння бюджетного обмеження не змінилося і так само: 90 = 15 * Хкеф
+ 3 * Хкар
Складемо і вирішимо систему рівнянь:
Хкеф = 0.4 ∗ Хкар
{
90 = 15 ∗ Хкеф + 3 ∗ Хкар
Хкеф = 0.4 ∗ Хкар
⟹{
90 = 15 ∗ 0.4 ∗ Хкар + 3 ∗ Хкар
Хкеф = 4
Хкеф = 0.4 ∗ Хкар
⟹{
⟹{
90 = 9 ∗ Хкар
Хкар = 10
Оптимальний набір споживача тепер складається з 10 кг картоплі і 4
літрів кефіру.
Таким чином, обсяг споживання картоплі знизиться на 5 кг, а
споживання кефіру зросте на 1 літр.
Приклад 3.
Підприємство має тимчасово dільні кошти - 10 000 грн и вірішує питання
про їх використання за двома варіантами.
По-перше, можна вкласти гроші в деякий інвестиційний проект. У
випадку невдачі підприємство втрачає свои гроші, а у випадку успіху - через
рік отримує 40 000 грн.
По друге, альтернативний варіант - вкластись грошима в банк під 9%
річніх без ризику. У випадку вкладання коштів у інвестиційний проект
спеціаліст з маркетингу вважає, что ймовірність успіху - 0,3.
15
Щоби
прийняти
рішення
стосовно
використання
підприєм-
ством грошей, потрібно врахувати думки директора та бухгалтера. Відомості
про погляди директора й бухгалтера щодо корисності різних сум доходів
подано в табл. 1.
Таблиця 1
Корисність різних сум доходів на думку директора й бухгалтера
підприємства
Корисність із
погляду
Дохід, тис. грн
0
10
20
30
40
Директора
0
10
25
50
100
Бухгалтера
0
45
75
90
100
Потрібно: визначити варіант вкладання коштів за допомогою критерію
сподіваного доходу; побудувати два графіки корисності та визначити за ними
відношення до ризику обох спеціалістів; визначити корисність доходів за
умовами директора і бухгалтера та вказати, що порадить кожен із них за
правилом сподіваної корисності.
Розв’язання
Спочатку розрахуємо сподівані доходи для обох варіантів вкладання
коштів (табл. 2).
Таблиця 2
Розрахунок сподіваного доходу, грн
Можливі результати
Успіх
Невдача
Сподіваний дохід
Можливі рішення
Інвестиції
Банк
Імовірність
успіху
40 000
10 900
0,3
0
10 900
0,7
40 000 · 0,3 = 12 000
10 900
16
Дисперсія (2)
Ризик ()
Коефіцієнт варіації
151 400 000
0
12 304,5
0
1,03
0
Дисперсія за умов впровадження інвестиційного проекту становитиме:
2 = (40 000 – 12 000)2 · 0,3 + (0 – 12000)2 · 0,7 = 151 400 000,
ризик — 𝜎 = √151400000 = 12 304,5
У разі вкладання грошей у банк ризику немає.
За сподіваним доходом потрібно обрати варіант вкладання грошей в
інвестиційний проект, але, якщо врахувати ризик і розрахувати коефіцієнт
варіації, то більш привабливим буде варіант вкладання коштів у банк.
Побудуємо два графіки корисності доходів, відповідно, за поглядами
бухгалтера (рис. 1) та директора (рис. 2), користуючись шкалою корисності
(див. табл. 1).
Рис. 1. Графік корисності доходів за бухгалтером
17
Рис. 2. Графік корисності доходів за директором
Згідно з графіками можна дійти висновку, що директор підприємства
схильний до ризику, так як його графік корисності доходів опуклий. Це
також підтверджується умовою схильності до ризику:
ТАБЛИЦЯ 3
U(M(x)) < M(U(x)),
де U(M(x)) — корисність сподіваного результату; M(U(x)) — сподівана
корисність результатів.
M(x) = 12 000; U(M(x)) = 12; M(U(x)) = 30. Звідси 12 < 30.
Бухгалтер, за графіком, не схильний до ризику, оскільки його графік —
увігнутий. Це підтверджується умовою несхильності до ризику: ТАБЛИЦА 4
U(M(x)) > M(U(x)).
M(x) = 12 000; U(M(x)) = 52; M(U(x)) = 30. Звідси 52 > 30.
Тепер розрахуємо сподівану корисність доходів відповідно до поглядів
директора та бухгалтера. Для цього потрібно перетворити шкалу доходів на
шкалу
корисностей
за
бухгалтером
та
директором,
користуючись
відповідними графіками.
18
Розрахунки сподіваної корисності згідно з поглядами бухгалтера й
директора подано, відповідно, в табл. 3 і табл. 4.
Таблиця 3
Розрахунок сподіваної корисності ЗА бухгалтером
Можливі результати
Можливі рішення
Імовірність
Інвестиції
Банк
Успіх
100
52
0,3
Невдача
0
52
0,7
Сподівана корисність
100 · 0,3 + 0 · 0,7 = 30
52
Таблиця 4
Розрахунок сподіваної корисності ЗА директором
Можливі результати
Можливі рішення
Імовірність
Інвестиції
Банк
Успіх
100
12
0,3
Невдача
0
12
0,7
Сподівана корисність
100 · 0,3 + 0 · 0,7 = 30
12
Висновок: За сподіваною корисністю бухгалтер запропонує вкласти
гроші в банк без ризику (12 < 30), а директор — в інвестиційний проект (52 >
30).
Приклад 4.
Студент Васькін в 12 вечора розмірковує над непростим завданням, поспати
або НЕ поспати цієї ночі. Справа в тому, що на наступний день призначене
19
додаткове заняття і консультація перед контрольною роботою. У суєті
студентського життя Васькін забув підготуватися до цього заняття. Однак він
буде готовий, якщо витратить на це шість годин. Студент знає, що навіть якщо
він поспить, залишиться ймовірність заснути на консультації (30%). Якщо ж
він не поспить, ймовірність заснути на консультації зростає до 80%. Зазвичай,
якщо він не проспав консультацію, оцінка за контрольну підвищується на
чотири бали. Васькін, володіючи природною кмітливістю, може відповісти на
занятті і без підготовки. Однак імовірність цього становить всього лише 10%.
Жорстка конкуренція студентів за відповіді на заняттях привела до того, що
навіть якщо він буде готовий, Васькін зможе виступити і отримати позитивну
оцінку тільки в 90% випадків. Якщо ж він відповість успішно, то він збільшить
свою оцінку за семінари на п'ять балів. Відомо, що підсумкова оцінка за
курсом виставляється на основі трьох компонентів: іспит, контрольна робота і
робота на додатковому занятті. Традиційно склалося так, що вага іспиту
становить 0,4. Перед викладачем стоїть завдання розподілити ваги між
контрольною і семінарами. Яку вагу для додаткових занять в підсумковій
оцінці необхідно встановити викладачеві, щоб Васькіну було все одно,
проводити ніч у підготовці до заняття або спати? (Функція корисності
Васькина визначається виключно його підсумковою оцінкою: U = k).
Рішення. Запишемо в таблицю корисність (додаткову оцінку) при різних
сценаріях розвитку подій.
20
Тут 𝑈1 - збільшення підсумкової оцінки при відповіді на семінарі; 𝑈2 збільшення підсумкової оцінки після консультації, 𝜔𝑒 -вагу семінару в
підсумковій оцінці; 𝜔𝑘 - вага контрольної роботи в підсумковій оцінці.
Імовірність подій и випадку, якщо Васькин вибере сон, показана в таблиці 7.2
Додаткова оцінка (корисність) в разі відмови від підготовки до семінару буде
дорівнює:
∆𝑈1 = 0.03 ∗ 5 ∗ 𝜔𝑒 +0.27*0+0.07(5𝜔𝑒 +4𝜔𝑘 )+0.63*4*𝜔𝑘 ;
∆𝑈1 =
0.5𝜔𝑒 +2.8𝜔𝑘
Імовірність подій в разі підготовки до семінару протягом ночі наступна
(таблиця 7.3)
Додаткова корисність в цьому випадку складе:
∆𝑈 2 = 0.75 ∗ 5 ∗ 𝜔𝑒 +0.08*0+0.18(5𝜔𝑒 +4𝜔𝑘 )+0.02*4*𝜔𝑘 ;
∆𝑈 2 = 4.5𝜔𝑒 +0.8𝜔𝑘
Для пошуку оптимальних ваг необхідно вирішити систему рівнянь:
∆𝑈1 = ∆𝑈 2
{
}
𝜔𝑒 + 𝜔𝑘 = 0.6
Відповідь: ваги семінарських занять повинні скласти 0.2
21
