выражения и их преобразования

Тождественные преобразования рациональных выражений
1. Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения,
вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля, называют целыми
выражениями. Произведение одинаковых множителей может быть записано в виде
степени. Например, выражения a 2  3ab  2b 2 , x  y 2x  y 2 , m  , а 2 : 7 - целые.
n
3
2. Выражения, составленные из чисел и переменных, в которых, кроме действий сложения,
вычитания и умножения, используется деление на выражение с переменными, называют
дробными выражениями. Например, выражения х 
1
а2
,
х 1
b
, 5m : n дробные.
3. Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями. Целое выражение
имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных. Дробное выражение при
некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение а 
3
не имеет смысла при x  y .
x-y
не имеет смысла при а=2, выражение
1
а2
Значения
переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями
переменных.
4. Тождество - равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него
переменных. Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых для
них значениях переменных, называют тождественно равными. Замена одного выражения
другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием
выражения.
5. Одночленами называют произведения чисел, переменных и их степеней, а также сами
числа, переменные и их степени. Например, 8а 3 b ,  1,5xy 2 z 8 , 12, с, m 8 - одночлены.
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него
переменных. Например, степень одночлена 9 а 7 b равна 8.
6. Многочленом
называется
сумма
одночленов.
Например,
y4  8y3  2y  3 ,
4a 4 b  11a 2 b 2  ab  3b  1
- многочлены. Степенью многочлена стандартного вида
называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Например, степень
многочлена 18а 6  5а 4 b 3  1 равна степени одночлена  5a 4 b 3 , т.е. 7.
7. При сложении (вычитании) многочленов пользуются правилом раскрытия скобок и
правилом приведения подобных слагаемых:
 Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак
каждого слагаемого, заключенного в скобки;
 Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак
каждого слагаемого, заключенного в скобки;
 Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить коэффициенты и умножить на
общую буквенную часть. Подобные слагаемые – слагаемые, имеющие общую
буквенную часть.
8. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член
многочлена и полученные произведения сложить.
9. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена
умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
Например:
 5x 2  3xy  4 xy  2 x 2  1  5x 2  3xy  4 xy  2 x 2  1  3x 2  xy  1;
 8a 2  3ab  7a 2  4ab  5  8a 2  3ab  7a 2  4ab  5  a 2  ab  5;
 2 x 2  3x 3  xy  5 y 2   6 x 5  2 x 3 y  10 x 2 y 2 ;
 2а  33а 2  а  4  6а 3  2а 2  8а  9а 2  3а  12  6а 3  7а 2  11а  12.
1
10. Формулы сокращенного умножения
1. a 2  b 2  a  b a  b 
2. a  b   a 2  2ab  b 2
2
3. a  b   a 2  2ab  b 2
2
4. a  b  c   a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ac
5. a 3  b 3  a  b a 2  ab  b 2
6. a 3  b 3  a  b a 2  ab  b 2
2




7. a  b   a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3  a 3  b 3  3aba  b 
3
8. a  b  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3  a 3  b 3  3aba  b
11. Разложением многочлена на множители называют представление многочлена в виде
произведения многочленов. Для разложения многочленов на множители применяют
следующие способы:
 Вынесение общего множителя за скобки;
 Способ группировки;
 Использование формул сокращенного умножения;
 Квадратный трехчлен раскладывается на множители по следующей формуле:
ах 2  bx  c  ax  x1 x  x 2  , где х – переменная, х1, х2 – корни соответствующего
квадратного уравнения.
3
12. Рациональной дробью называется выражение вида
a
, где а и b – многочлены. Основное
b
свойство дроби – числитель и знаменатель можно умножать на одно и тоже выражение, т.е.
a ac
. Сокращение дроби – деление числителя и знаменателя на общий множитель. Если

b bc
изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим
выражение, тождественно равное данному: 
а a
a
a
 , 
 .
b
b
b b
13. Действия над рациональными дробями.
 Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить
(вычесть) числители дробей, а знаменатель оставить тем же, т.е. если с  0, то
a b ab
3x  8y 2 x  7 y 3x  8 y  2 x  7 y 5x  15 y 5x  3 y  x  3 y
, например,
;
 





c c
c
5xy
5xy
5xy
5xy
5xy
xy
x2
4
x 2  4 x  2x  2 x  2




.
3x  6 3x  6 3x  6
3x  2
3

Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, нужно привести их к
общему знаменателю и затем применить правило сложения (вычитания) дробей с
одинаковыми
знаменателями.
Например:
a2
b2
b
a2
b2
b
a2
b2
b a 2  a  b 2  b  b  ba  b 










aba  b 
ab  b 2 ab  a 2 a ba  b  ab  a  a ba  b  aa  b  a



a  b a  b   a  b .
a 3  b 3  ab 2  b 3 a a 2  b 2


aba  b 
aba  b 
b( a  b)
b
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их
знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем
дроби. Например:



с2  4
с
с 2  4  с с  с  2с  2 с  2




.
3с  6 с 2 3с  6
3с
с2
3с 2 с  2
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь,
обратную
второй.
Например:


х3  8 х  2 х3  8 6
6х  2 х 2  2 х  4 х 2  2 х  4
:




.
12 х
6
12 х х  2
12 хх  2
2х
2