СМОКИ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ
Кафедра Геодезии
Практическая работа №1
по дисциплине: «Современные методы контроля и обработки измерений»
На тему: «Уравнивание нивелирной сети по методу наименьших квадратов
рекурентным способом»
Клыпин И.А.
Исходные данные:
Рисунок 1 - схема нивелирной сети
Таблица 1 - Высоты реперов
№
M21
M22
M23
H, м
272,214
271,774
265,991
Таблица 2 - Измеренные превышения
№
h, м
S, км
1
5,067
13,8
2
4,617
16,3
3
-0,096
13,6
4
-5,194
13,5
5
-0,187
19,3
6
4,453
14,8
7
-6,549
10,1
10
7,699
15,7
1. Параметрические уравнения связи в нивелирных сетях имеют вид:
разность отметок начального и конечного пунктов хода — и для уравненных
значений искомых и измеренных величин их можно переписать как:
̅̅̅
ℎ1 = 𝐻𝑅𝑝3 − 𝐻𝑀3
̅̅̅
ℎ2 = 𝐻𝑅𝑝1 − 𝐻𝑅𝑝3
̅̅̅
ℎ3 = 𝐻𝑅𝑝4 − 𝐻𝑅𝑝3
̅̅̅
ℎ4 = 𝐻𝑅𝑝4 − 𝐻𝑅𝑝1
̅̅̅
ℎ5 = 𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻𝑅𝑝1
̅̅̅
ℎ6 = 𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻𝑅𝑝4
̅̅̅
ℎ7 = 𝐻𝑀1 − 𝐻𝑅𝑝1
̅̅̅
ℎ8 = 𝐻𝑀2 − 𝐻𝑅𝑝4
Параметрические уравнения поправок будут иметь вид:
𝑉1 = 𝛿𝐻𝑅𝑝3 + 𝑙1
𝑉2 = 𝛿𝐻𝑅𝑝1 − 𝛿𝐻𝑅𝑝3 + 𝑙2
𝑉3 = −𝛿𝐻𝑅𝑝3 + 𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙3
𝑉4 = −𝛿𝐻𝑅𝑝1 + 𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙4
𝑉5 = −𝛿𝐻𝑅𝑝1 + 𝛿𝐻𝑅𝑝2 + 𝑙5
𝑉6 = 𝛿𝐻𝑅𝑝2 − 𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙6
𝑉7 = −𝛿𝐻𝑅𝑝1 + 𝑙7
𝑉8 = −𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙8
Матрица А примет вид:
А=
-1
-1
0
1
1
0
1
0
0
0
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
1
[−]
Будем полагать априорные значения отметок определяемых пунктов
равными средней отметке в сети.
xj(0) =Hj(0)=( 272,214м+ 271,774м+ 265,991м)/3= 269,993 м
Обратные веса определения этих априорных значений назначим
равными 108, тогда его обратная весовая матрица будет равна:
(0)
𝑄𝑋 = 108 𝐸
(0)
𝑄𝑋
100000000
0
0
0
0
100000000
0
0
0
0
100000000
0
0
0
0
100000000
Учитывая первое измерение, запишем для него исходное уравнение
связи, соответствующее ему параметрическое уравнение поправок, векторстроку коэффициентов и вычислим свободный член этого уравнения:
𝑦1 = ̅̅̅
̅̅̅
ℎ1 = 𝐻𝑅𝑝3 − 𝐻𝑀3
𝑉1 = 𝛿𝐻𝑅𝑝3 + 𝑙1
A1
-1
0
0
0
Последовательно реализуя рекуррентные формулы, получим:
(0)
𝑙1 = 𝐻𝑅𝑝3 − 𝐻𝑀3 − ℎ1
l
-2,846 м
(0)
𝑍1 = 𝐴1 ∙ 𝑄𝑋
0
0
Z
100000000
𝑁1 = 𝑞1 + 𝐴1 ∙ 𝑍1𝑇
N
100000014
ΔX1 = −
𝑍1𝑇𝑙1
м
𝑁1
ΔX1 (м)
-2,846
0,000
0
0,000
0,000
x1(1)=HRp1(1)= 269,993 м+(-2,846м)=267,147 м
x2(1)=HRp2(1)= 269,993 м+0м=269,993м
x3(1)=HRp3(1)= 269,993 м+0м=269,993м
x4(1)=HRp4(1)= 269,993 м+0м=269,993м
Ф(0) = 0 м2
Ф
=Ф
𝑙12
+
𝑁1
(1)
𝑄𝑋
(0)
𝑄𝑋
𝑍1𝑇 ∙ 𝑍1
−
𝑍1
(1)
=
(0)
(1)
𝑄𝑋
100000000
0
0
0
0
100000000
0
0
0
0
11,79999861
0
0
0
0
100000000
Полученные значения отметок определяемых пунктов, обратная весовая
матрица их вычисления и квадратичная форма соответствуют ситуации, когда
при уравнивании сети учтено лишь одно, первое измерение.
Добавим теперь второе измерение. Запишем для него исходное
уравнение связи, соответствующее ему параметрическое уравнение поправок,
вектор-строку коэффициентов и вычислим свободный член этого уравнения:
𝑦2 = ̅̅̅
̅̅̅
ℎ2 = 𝐻𝑅𝑝1 − 𝐻𝑅𝑝3
𝑉2 = 𝛿𝐻𝑅𝑝1 − 𝛿𝐻𝑅𝑝3 + 𝑙2
A2 ид
0
A2
0
1
0
-1
𝑙2 =
(1)
𝐻𝑅𝑝1
0
−
(1)
𝐻𝑅𝑝3
− ℎ2
l
0,010 м
(1)
𝑍2 = 𝐴2 ∙ 𝑄𝑋
0
Z
-1,4E+01
0
0
0
𝑁2 = 𝑞2 + 𝐴2 ∙ 𝑍2𝑇
N
30,09999809
ΔX2 = −
𝑍2𝑇𝑙2
м
𝑁2
ΔX2 (м)
0,005
0,000
0,000
0,000
x1(2)=HRp1(2)=269,993 м+0,005м=267,152 м
x2(2)=HRp2(2)= 269,993 м+0м=267,993м
x2(2)=HRp3(2)= 269,993 м+0м=267,993м
x2(2)=HRp4(2)= 269,993 м+0м=267,993 м
(2)
Ф
(1)
=Ф
𝑙22
+
𝑁2
Ф, м2
3,46E-06
(2)
𝑄𝑋
=
(1)
𝑄𝑋
𝑍2𝑇 ∙ 𝑍2
−
𝑍2
(2)
𝑄𝑋
7,47
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00E+08
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00E+08
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00E+08
Аналогичные вычисления производятся для последующих измерений:
Третье измерение:
𝑦3 = ̅̅̅
̅̅̅
ℎ3 = 𝐻𝑅𝑝4 − 𝐻𝑅𝑝3
𝑉3 = −𝛿𝐻𝑅𝑝3 + 𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙3
a3= (0 -1 0 0 )
l3= 𝐻𝑅𝑝4 − 𝐻𝑅𝑝3 − ℎ3 =2,317 м
Z3=Qx(2)a3= (-11,80 0 -11,80 108)
N3 = q3 +a3Z3T= 100000014
ΔX3 =−
𝑍3𝑇𝑙3
𝑁3
м
ΔX3 (м)
0,000
2,317
0,000
0,000
x1(3)=HRp1(3) =267,152 м+0м=267,152 м
x2(3)=HRp2(3) =269,993м+2,317м=272,310м
x2(3)=HRp3(3) =269,993м+0м=269,993м
x2(3)=HRp4(3) =269,993м-0,009м=269,993м
Ф(3)=Ф(2)+l32/N3=1,6∙10-7 м2
Qx
7,47
0
0,00
0,00
0
1,36E+01
0
0
0,00
0,00
0
0
1,00E+08
0,00
0,00
1,00E+08
Четвертое измерение:
𝑦̅4 = ̅̅̅
ℎ4 = 𝐻𝑅𝑝4 − 𝐻𝑅𝑝1
𝑉4 = −𝛿𝐻𝑅𝑝1 + 𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙4
a
1
-1
0
0
l4= 𝐻𝑅𝑝4 − 𝐻𝑅𝑝1 − ℎ4 =0.036 м
7,47E+00
T
N4 = q4 +a4Z4 = 34.573
Z
-1,36E+01
0,00E+00
0,00
ΔX4 =−
𝑍4𝑇𝑙4
𝑁4
м
ΔX4 (м)
-0,008
0,014
0,000
0,000
x2(4)=HRp1(4) =267,152 м+0.008м=267,144м
x2(4)=HRp2(4) =272,310м+0,014м=272,324м
x2(4)=HRp3(4) =269,993м+0м=269,993м
x2(4)=HRp4(4) =269,993м-0,001м=269,993м
Ф(4)=Ф(3)+l42/N4=3,6∙10-7 м2
Qx
22,20
0
11,80
17,13
0
100000000
0
0
11,80
0
11,80
11,80
17,13
0
11,80
21,36
Пятое измерение:
𝑦5 = ̅̅̅
̅̅̅
ℎ5 = 𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻𝑅𝑝1
𝑉5 = −𝛿𝐻𝑅𝑝1 + 𝛿𝐻𝑅𝑝2 + 𝑙5
a
1
0
-1
0
l5= 𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻𝑅𝑝1 − ℎ5 =-2,662 м
z
-5,86
-2,94
-25,16
N5 = q5 +a5Z5T= 39,96
ΔX5 =−
𝑍5𝑇𝑙5
𝑁5
м
ΔX5 (м)
0,000
0,000
-2,662
0,00
0,000
x2(5)=HRp1(5) =267,144м+0м=267,144 м
x2(5)=HRp2(5) =272,324м+0м=272,324м
x2(5)=HRp3(5) =269,993м-2,662м=267,331м
x2(5)=HRp4(5) =269,993м+0м=269,993м
Ф(5)=Ф(4)+l52/N5=3,6∙10-7 м2
Qx
5,86
2,94
5,86
0,00
2,94
8,25
2,94
0,00
5,86
2,94
25,16
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00E+08
Шестое измерение:
𝑦6 = ̅̅̅
̅̅̅
ℎ6 = 𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻𝑅𝑝4
𝑉6 = 𝛿𝐻𝑅𝑝2 − 𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙6
a
0
0
-1
0
l6=𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻𝑅𝑝4 − ℎ6 =-0.010 м
z
-5,86
-2,94
-25,16
T
N6 = q6 +a6Z6 = 39,96
ΔX6 =−
𝑍6𝑇𝑙6
𝑁6
м
ΔX6 (м)
-0,001
-0,001
-0,006
0,000
x2(6)=HRp1(6) =267,144 м-0.001м=267,142 м
x2(6)=HRp2(6) =272,324м-0.001м=272,323м
0,00
x2(6)=HRp3(6) =267,331м-0,006м=267,325м
x2(6)=HRp4(6) =269,993м+0.000м=269,993м
Ф(6)=Ф(5)+l62/N6=5,6∙10-6 м2
Qx
5,00
2,51
2,17
0,00
2,51
8,03
1,09
0,00
2,17
1,09
9,32
0,00
0,00
0,00
0,00
1,0E+08
Седьмое измерение:
𝑦7 = ̅̅̅
̅̅̅
ℎ7 = 𝐻𝑀1 − 𝐻𝑅𝑝1
𝑉7 = −𝛿𝐻𝑅𝑝1 + 𝑙7
а
1
0
0
-1
l7= 𝐻𝑀1 − 𝐻𝑅𝑝1 − ℎ7 =0.013 м
5,00
2,51
z
2,17
-1,00E+08
N7 = q7 +a7Z7T=100000015,10
ΔX7 =−
𝑍7𝑇𝑙7
𝑁7
м
ΔX7 (м)
0,000
0,000
0,000
3,698
x2(7)=HRp1(7) =267,142 м+0.000м=267,142 м
x2(7)=HRp2(7) =272,323м+0.000м=272,323м
x2(7)=HRp3(7) =267,325м+0,000м=267,325м
x2(7)=HRp4(7) =269,993м+3,698м=273,691м
Ф(7)=Ф(6)+l72/N7=10-5 м2
Qx
5,00
2,51
2,17
5,00
2,51
8,03
1,09
2,51
2,17
1,09
9,32
2,17
5,00
2,51
2,17
15,10
Восьмое измерение:
𝑦8 = ̅̅̅
̅̅̅
ℎ8 = 𝐻𝑀2 − 𝐻𝑅𝑝2
𝑉8 = −𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙8
a
0
0
0
1
2,17
15,10
l8= 𝐻𝑀2 − 𝐻𝑅𝑝2 − ℎ8 =0.001 м
z
5,00
2,51
T
N8 = q8 +a8Z8 = 30,80
ΔX8 =−
𝑍8𝑇𝑙8
𝑁8
м
ΔX8 (м)
0,000
0,000
0,000
-0,001
x2(8)=HRp1(8) =267,142 м+0.000м=267,142 м
x2(8)=HRp2(8) =272,323м+0.000м=272,323м
x2(8)=HRp3(8) =267,325м+0,000м=267,325м
x2(8)=HRp4(8) =273,691-0.001м=273,690 м
Ф(8)=Ф(7)+l82/N8=1.1∙10-5 м2
Qx
4,19
2,10
1,82
2,55
2,10
7,83
0,91
1,28
1,82
0,91
9,17
1,11
2,55
1,28
1,11
7,70
Полученные при учёте восьмого измерения значения отметок
определяемых пунктов следует считать окончательными:
(8)
𝐻𝑅𝑝1 = 𝐻𝑅𝑝1 = 267,142 м
(8)
𝐻𝑅𝑝2 = 𝐻𝑅𝑝2 = 272,323 м
(8)
𝐻𝑅𝑝3 = 𝐻𝑅𝑝3 = 267,325 м
(8)
𝐻𝑅𝑝4 = 𝐻𝑅𝑝4 = 273,690 м
Оценка точности:
Средняя квадратическая ошибка единицы веса будет вычисляться по
формуле Бесселя:
𝜇=√
Ф(8)
1.1 ∙ 10−5
√
=
∙ 1000 = 3,3 мм
𝑛−𝑘
8−4
𝑛 − 𝑘 = 𝑟 – число избыточных измерений.
Она же будет равна средней квадратической ошибке измерения
превышения по ходу длиной 1 км, так как именно его мы рассматривали в
качестве единицы веса:
𝑚км = 𝜇 = 3,3 мм
Найдём теперь средние квадратические ошибки вычисленных отметок
определяемых пунктов как:
𝑚𝑥̃𝑗 = 𝑚км ∙ √(𝑄𝑋̅ )𝑗𝑗
Их расчётные значения будут равны:
𝑚𝐻̅𝑅𝑝1 = 3,3мм ∙ √4,19 = 6,7 мм
𝑚𝐻̅𝑅𝑝2 = 3,3мм ∙ √7,83 = 9,1 мм
𝑚𝐻̅𝑅𝑝3 = 3,3мм ∙ √9,17 = 9,9 мм
𝑚𝐻̅𝑅𝑝4 = 3,3мм ∙ √7,70 = 9,0 мм