Векторы в пространстве вход Содержание I. II. III. IV. V. Понятие вектора в пространстве Коллинеарные векторы Компланарные векторы Действия с векторами Разложение вектора Выход Понятие вектора в пространстве Вектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом. В А AB a M MM 0 Длина вектора AB – длина отрезка AB. AB AB 0 0 Коллинеарные векторы Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Среди коллинеарных различают: • Сонаправленные векторы • Противоположно направленные векторы Сонаправленные векторы Сонаправленные векторы - векторы, лежащие по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. a a b b Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором. • Равные векторы Равные векторы Равные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны. a a b a b, a b b От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. Противоположно направленные векторы Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала. a a b b • Противоположные векторы Противоположные векторы Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны. a a b a b, a b b Вектором, противоположным нулевому, считается нулевой вектор. Признак коллинеарности Если существует такое число k при котором выполняется равенство a k b и при том вектор b 0, то векторы a и b коллинеарн ы. Определение компланарных векторов Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости. Пример: B1 A1 C1 D1 B А C D BB1 , AC,AC 1 компланарн ы, т.к. BB1 AA1 , а векторы AA1 , AC , AC1 лежат в плоскости (AA1C) О компланарных векторах Любые два вектора всегда компланарны. α a b a b a b a и b компланарн ы Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. a, b и c компланарн ы если a, b, c a kb Признак компланарности Если вектор c можно разложить по векторам а и b, т.е. представить в виде с xa yb где х и у некоторые числа, то векторы a, b и c компланарн ы. Доказательство признака компланарности B1 OC x OA y OB С c b B A A1 O a Дано : с x a yb x, y некоторые числа Доказать : a, b и с компланарны Доказатель ство : Пусть a и b не коллинеарн ы О произвольн ая точка OA a , OB b OA ,OB ,OA1 ,OB1 (OAB) OA1 x OA OB1 y OB OC c OA1 OB1 x OA y OB OA a ,OB b ,OC c лежат в одной плоскости a ,b , c компланарн ы ч.т.д Свойство компланарных векторов Если векторы a, b и c компланарн ы, то один из них можно выразить линейным образом через два других, т.е. представить в виде : с xa yb причем коэффициен ты разложения определяются единственным образом. Действия с векторами • • • • Сложение Вычитание Умножение вектора на число Скалярное произведение Сложение векторов • • • • • Правило треугольника Правило параллелограмма Правило многоугольника Правило параллелепипеда Свойства сложения Правило треугольника Для сложения двух векторов необходимо : 1. отложить от какой нибудь точки А вектор AB, равный а 2. от точки В отложить вектор BC , равный b 3. вектор AC называется суммой векторов a и b B a a А b ab b C Правило треугольника B a А ab b C Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство: AB BC AC Правило параллелограмма Для сложения двух векторов необходимо : 1. отложить от какой нибудь точки А вектор AB, равный а 2. от точки А отложить вектор AC, равный b 3. достроить фигуру до параллелограмма , проведя дополнительные линии параллельно данным векторам 4. диагональ параллелограмма сумма векторов B a a b А с b сab C Свойства сложения Для любых векторов a , b и c справедливы равенства : ab ba a b с а b с переместительный закон сочетательный закон Правило многоугольника Сумма векторов равна вектору, проведенному из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании). a B b C A abcd e e c E d Пример D AB BC C D DE AE Пример B1 A1 C1 D1 B A C D AA1 D1C1 A1 D BA CB 0 Правило параллелепипеда Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда. B A1 C1 1 d AB b D1 с bB C А a AD a D AC1 AD AB AA1 AA1 c AC1 d Свойства B1 A1 C1 d D1 с aB А C b D d a b c для любого параллелеп ипеда d 2 a 2 b 2 c 2 для прямоуголь ного параллелеп ипеда Вычитание векторов • Вычитание • Сложение с противоположным Вычитание Разностью векторов a и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору a . Вычитание Для вычитания одного вектора из другого необходимо : 1. отложить от какой нибудь точки А вектор AB, равный а 2. от этой же точки А отложить вектор AC, равный b 3. вектор CB называется разностью векторов a и b B a b Правило трех точек a ab A b C Правило трех точек Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки. B BK AK AB А BK K Сложение с противоположным Разность векторов как сумму вектора a a и b можно представить и вектора, противоположного вектору b. ab a b a B b ab b O А a Умножение вектора на число Произведением ненулевог о вектора a на число k называется такой вектор b , длина которог о равна к а , при чем векторы a и b сонаправле ны при k 0 и противоположно направлены при k 0. a 2a b 1 b 3 Свойства • Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. 0n 0 • Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. n0 0 Свойства Для любыхвект оровa и b и любых чисел k, l справедливы равенст ва: (kl)a k(la ) сочет ат ельный закон k( a b ) k a k b 1 ый распределит ельный закон (k l)a k a l a 2 ой распределит ельный закон