ТОЭ МУ КуР Анализ ЛЭЦ синусоидального тока (Курбатов И. А., Горбенко Ю. М.) Владивосток 2020 Дальрыбвтуз
advertisement
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет И.А. Курбатов, Ю.М. Горбенко ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов направления подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» всех форм обучения. Владивосток Дальрыбвтуз 2020 УДК 621.3(075.8) ББК 31.21я73 К93 Утверждено ученым советом Дальневосточного государственного технического рыбохозяйственного университета Авторы: И.А. Курбатов, к.ф.-м.н., старший преподаватель кафедры «ЭЭиА» Дальневосточного государственного технического рыбохозяйственного университета Ю.М. Горбенко, к.т.н., доцент кафедры «ЭЭиА» Дальневосточного государственного технического рыбохозяйственного университета Рецензент – Д.Г. Туркин, доцент департамента энергетических систем Дальневосточного федерального университета ©Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет, 2020 ВВЕДЕНИЕ Дисциплина «Теоретические основы электротехники» имеет логическую и содержательно-методическую взаимосвязь с дисциплинами основной образовательной программы. Для студентов направления 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» дисциплина «Теоретические основы электротехники» формирует общепрофессиональные компетенции: ОПК-2 – способность применять соответствующий физикоматематический аппарат, методы анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при решении профессиональных задач; ОПК-3 – способность использовать методы анализа и моделирования электрических цепей и электрических машин. Курсовая работа «Анализ линейной электрической цепи синусоидального тока» является итоговой самостоятельной работой, выполняемой обучающимися дневной и заочной форм обучения по дисциплине «Теоретические основы электротехники». Она включает в себя задачи по анализу сложной электрической цепи с использованием основных методов: по законам Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и метод эквивалентного генератора. По завершению основных расчетов студентам необходимо выполнить проверку с помощью векторных диаграмм и уравнений баланса активных и реактивных мощностей (теорема Телледжена). В приложении 1 указано рекомендуемое содержание пояснительной записки. В приложении 2 приведен список контрольных вопросов выносимых на защиту. 3 1 Методы анализа сложных линейных электрических цепей 1.1 Общие сведения Методы анализа сложных линейных электрических цепей базируются на применении закона Ома, законов Кирхгофа и метода наложения. На выбор метода анализа существенное влияние оказывают соотношения между числом ветвей и узлов цепи и формулировка задачи. Ветвью электрической цепи называется участок цепи, состоящий из последовательно включенных элементов цепи, по которым протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место соединения не менее трёх ветвей. Контур электрической цепи представляет собой замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов электрической цепи. При анализе электрической цепи в качестве исходных данных задают схему электрической цепи с известными значениями параметров всех элементов (пассивных и активных). Требуется найти значения токов во всех ветвях схемы, кроме ветвей с источниками тока. Иногда требуется найти ток или напряжение только для одной ветви или элемента. Первый закон Кирхгофа для узла электрической цепи синусоидального тока формулируется следующим образом: Алгебраическая сумма комплексных значений токов в узле равна нулю: ̇ = 0, (1.1) где ̇ – ток в n-й ветви; N – число ветвей, сходящихся в узел. Токи, имеющие одно направление по отношению к рассматриваемому узлу, берутся с одинаковыми знаками. Например, токи, направленные к узлу, берутся со знаком «плюс», а направленные от узла – со знаком «минус». При наличии источников тока, присоединенных к узлу, в выражении (1.1) нужно также учитывать токи источников тока: ̇ + ̇ = 0, 4 (1.2) где ̇ – ток k-го источника, присоединенного к узлу; K – число источников тока. Второй закон Кирхгофа для контура электрической цепи формулируется следующим образом: алгебраическая сумма комплексных значений напряжений на всех элементах контура равна нулю: ̇ = 0, (1.3) где ̇ – напряжение на n-м элементе контура; N – число элементов, входящих в контур. Напряжение элемента контура ̇ считается положительным, если произвольно выбранное направление обхода этого контура совпадает с направлением напряжения. Наряду с (1.3) часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных значений напряжений на всех пассивных элементах контура равна алгебраической сумме комплексных значений ЭДС источников, которые находятся в контуре: ̇ ̇ , = (1.4) где ̇ – напряжение на n1 пассивном элементе контура; N1 – число пассивных элементов в контуре; ̇ – ЭДС k-го источника; K – число источников ЭДС в контуре. В (1.4) знак перед напряжениями на пассивных элементах контура ̇ выбирается так же, как и в предыдущем случае; ЭДС источников контура ̇ берутся со знаком «плюс», если направления этих сил совпадают с направлением обхода контура, или со знаком «минус», если не совпадают. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа комплексные напряжения на пассивных элементах контура ̇ обычно записывают через комплексные токи ̇ и комплексные сопротивления этих элементов ̇ = ̇ : ̇ ̇ , = 5 (1.5) Число искомых токов n равно числу ветвей электрической цепи в без ветвей с источниками тока вит: (1.6) = в − вит Для нахождения всех искомых токов необходимо составить систему уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных n. Обязательным и достаточным условием единственности решения системы уравнений является линейная независимость уравнений: ни одно из уравнений не должно быть линейной комбинацией других. Выбор независимых узлов и контуров перед составлением уравнений обеспечивает линейную независимость составляемых уравнений. При этом если составленное уравнение содержит хотя бы одну переменную, не входящую в другие уравнения, то его можно считать линейно независимым. 1.2 Анализ электрической цепи по законам Кирхгофа Для непосредственного применения законов Кирхгофа при анализе состояния электрических цепей необходимо придерживаться следующих этапов решения: 1. Выбор и нанесение на схему условных положительных направлений токов во всех ветвях электрической цепи. 2. Определение числа искомых токов n. 3. Определение числа независимых узлов цепи, число которых равно суммарному числу узлов nу без единицы: (1.7,а) н.у. = у − 1. Другими словами все узлы электрической цепи, за исключением одного (любого), являются независимыми. Зависимый узел цепи называется базисным узлом. Электрический потенциал базисного узла ̇ обычно принимается равным нулю. В качестве базисного узла удобно выбирать заземленный узел или узел, в котором сходится наибольшее число ветвей. 4. Составление уравнений по 1 закону Кирхгофа для выбранных независимых узлов цепи. 5. Выбор независимых контуров электрической цепи. Контур, содержащий хотя бы одну ветвь, неиспользованную при поиске других независимых контуров, будет независимым. Число независимых контуров н.к. определяется числом неизвестных токов n за вычетом числа независимых узлов н.у. : − н.у. = в − вит − у + 1. (1.7,б) н.к. = 6 6. Составление уравнений по 2 закону Кирхгофа для выбранных независимых контуров цепи. Последовательное выполнение этапов 1 – 6 позволяет формально правильно сделать всю работу по составлению системы линейно независимых уравнений. Пример 1 Условие. Применяя законы Кирхгофа, составить систему линейно независимых уравнений для схемы на рис. 1.1. Решение. 1. Выбор и нанесение на схему условных положительных направлений токов во всех ветвях электрической цепи. Положительные направления токов выбираются произвольно и изображены на рис. 1.2. Рис. 1.1. Схема электрической цепи 2. Определение числа искомых токов = 7. 3. Определение числа независимых узлов цепи н.у. = у − 1 = 5 − 1 = 4. 4. Составление уравнений по первому закону Кирхгофа для выбранных независимых узлов цепи: Уравнения для выбранных узлов a, b, d, k составляются в соответствии с (1.2). ̇ − ̇ − ̇ = 0; Для узла : ̇ + ̇ − ̇ = 0; Для узла : (1.8,а) Для узла : ̇ − ̇ − ̇ − ̇ = 0; ̇ − ̇ + ̇ = 0. Для узла : 7 5. Выбор независимых контуров показан на рис. 1.3. Число независимых контуров равно в − вит − у + 1 = 8 − 1 − 5 + 1 = 3. Рис. 1.2. Схема цепи с положительными направлениями токов ветвей Направление обхода независимых контуров выбирается произвольно и указывается круговыми стрелками. Рядом со стрелками римскими цифрами указывается порядковый номер контура I, II, III (см. рис. 1.3). 6. Составление уравнений по второму закону Кирхгофа для выбранных независимых контуров цепи. Уравнения для выбранных независимых контуров I, II, III составляются в соответствии с (1.4): ̇ + ̇ + ̇ + ̇ = ̇ ; Для контура ∶ ̇ ̇ ̇ ̇ (1.8,б) Для контура ∶ + − =− ; ̇ − ̇ − ̇ − ̇ = ̇ . Для контура ∶ Рис. 1.3. Выбор независимых контуров на графе электрической цепи (каждая ветвь заменена отрезком линии, ветвь с источником тока убрана) 8 Уравнения (1.8,а), составленные по первому закону Кирхгофа, и уравнения (1.8,б), составленные по второму закону Кирхгофа, образуют систему из семи линейно независимых уравнений: ̇ − ̇ − ̇ = 0, ⎧ ̇ + ̇ − ̇ = 0, ⎪ ⎪ ̇ − ̇ − ̇ = ̇, ⎪ ̇ − ̇ =− ̇ , (1.9) ⎨ ̇ + ̇ + ̇ + ̇ = ̇ , ⎪ ⎪ ̇ + ̇ − ̇ =− ̇ , ⎪ ̇ − ̇ − ̇ = ̇ . ⎩ ̇ − Решение системы (1.9) дает искомые комплексные действующие значения токов ̇ , ̇ , ̇ , ̇ , ̇ , ̇ , ̇ в ветвях электрической цепи. 1.3 Метод контурных токов Порядок системы уравнений можно значительно уменьшить, если воспользоваться, например, обобщенной формой записи второго закона Кирхгофа – методом контурных токов. Метод контурных токов основан на использовании понятия о контурном токе – условном (абстрактном) токе, который протекает во всех ветвях независимого контура. При этом комплексный ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы комплексных значений контурных токов, протекающих по этой ветви. Введя понятие контурных токов, мы можем свести систему уравнений, составляемую относительно токов ветвей для независимых узлов и контуров, к системе уравнений, составленной только для независимых контуров. Таким образом, число уравнений будет равно числу независимых контуров н.к. (1.7,б). Правила и последовательность составления уравнений для контурных токов (контурных уравнений) легко уяснить, воспользовавшись электрической цепью, приведенной на рис. 1.1, и результатами, полученными при расчете этой цепи с помощью законов Кирхгофа. Пример 2 Условие. Составить контурные уравнения для электрической цепи, рассмотренной в примере 1 (рис. 1.1). Обобщить полученные 9 правила составления контурных уравнений на случай электрической цепи, содержащей K независимых контуров. Решение. Решение задачи, как обычно, начинается с выбора и нанесения на схему условных положительных направлений токов во всех ветвях цепи. Сохранив выбранные в примере 1 направления, перейдем к схеме, показанной на рис. 1.2. Преобразуем источник тока ̇ на рис. 1.2 в эквивалентный источник ЭДС ̇ = ̇ . Преобразование источника тока в эквивалентный источник ЭДС приводит к уменьшению числа узлов схемы на один. После преобразования схема примет вид, приведенный на рис. 1.6. Рис. 1.6. Схема цепи с эквивалентным источником ЭДС ̇ Уравнения, записанные по 2 закону Кирхгофа для трех независимых контуров (рис. 1.6), с учетом замены источника тока ̇ на эквивалентный источник ЭДС ̇ = ̇ будут иметь вид: ̇ + ̇ + ̇ = ̇ − ̇ , + ̇ + ̇ − ̇ =− ̇ , (1.10) ̇ − ̇ − ̇ = ̇ + ̇ . + Для трёх независимых узлов a, b, c можно записать три линейно независимых уравнения по первому закону Кирхгофа: ̇ = ̇ − ̇; Для узла ∶ ̇ = ̇ − ̇; (1.11) Для узла ∶ ̇ = ̇ − ̇. Для узла ∶ В результате подстановки (1.11) в (1.10) получим: 10 + + − + ̇+ ̇− + ̇ − + + ̇ − ̇ = ̇ − ̇ ̇ =− ̇ , , (1.12) ̇− ̇ + ̇ = ̇ + ̇ . − + + + + Полученная система уравнений составлена относительно токов в ветвях, принадлежащих только одному из независимых контуров. Следовательно, будем считать, что данные токи равны контурным токов соответствующих независимых контуров. Контурные токи принято обозначать с двойными индексами: ̇ , ̇ и ̇ – контурные токи в первом, втором и третьем контурах соответственно. С учетом принятых обозначений система уравнений (1.12) примет вид: ̇ − ̇ − ̇ = ̇ − ̇ , + + + + ̇ − ̇ =− ̇ , (1.13) − ̇ + + + ̇ − ̇ + ̇ = ̇ + ̇ . − + + + + После решения системы уравнений (1.13) искомые значения токов в ветвях, принадлежащих только одному независимому контуру, равны соответствующим контурным токам: ̇ = ̇ , ̇ = ̇ , (1.14) ̇ = ̇ . Остальные токи определяются как алгебраическая сумма контурных токов: ̇ = ̇ − ̇ , ̇ = ̇ − ̇ , (1.15) ̇ = ̇ − ̇ . Если контурные токи совпадают по направлению с искомым током ветви, тогда в выражениях (1.14) и (1.15) они записываются со знаком «плюс», если не совпадают – со знаком «минус». Ток ̇ (рис. 1.2) определяется на основании первого закона Кирхгофа, записанного для узла k: ̇ = ̇ + ̇. (1.16) Обобщим полученные результаты на случай анализа состояния электрической цепи, имеющей K независимых контуров. Для этого выберем произвольно условные положительные направления 11 контурных токов и запишем систему уравнений K-го порядка относительно K контурных токов аналогично (1.13): ̇ ± ̇ ± ̇ ±⋯± ̇ = ̇ , ⎧ ⎪± ̇ + ̇ ± ̇ ± ⋯± ̇ = ̇ , (1.17) … … … … … … … … … … … … … … … … … … ………, ⎨ ⎪± ̇ ± ̇ ± ̇ ± ⋯+ ̇ = ̇ . ⎩ Сопоставим теперь системы уравнений (1.13) и (1.17). В правой части уравнений записана алгебраическая сумма ЭДС источников, входящих в независимые контуры схемы. При этом все источники тока, образующие параллельные ветви с элементами контуров, учитываются в виде эквивалентных источников ЭДС. ЭДС источников учитывается со знаком «плюс», если её направление совпадает с направлением контурного тока этого контура; если не совпадает, то со знаком «минус». Алгебраическая сумма ЭДС источников контура, в том числе эквивалентных источников ЭДС, называется контурной ЭДС. Видно, что при = , есть не что иное, как сумма сопротивлений элементов, входящих в контур. Сопротивления , , и т.д. называются собственными сопротивлениями контура. Они всегда входят в уравнения со знаком «плюс». При ≠ , равно сумме сопротивлений элементов ветви, являющейся общей для контуров k и n. Сопротивления (при ≠ ) называются общими сопротивлениями контуров. Если условные положительные направления контурных токов ̇ и ̇ в общих ветвях одинаковы, то общие сопротивления контуров учитываются в уравнениях со знаком «плюс»; если противоположны, то со знаком «минус». Правила выбора знаков собственных и общих сопротивлений контуров легко понять из уравнений (1.12), (1.13). Общие сопротивления контуров, по определению, обладают симметрией: = . 1.4 Метод узловых потенциалов Метод узловых потенциалов основан на применении обобщенной формы записи 1 закона Кирхгофа и закона Ома для участка цепи. Рассмотрение метода, как и в предыдущем случае, начнем с решения частной задачи, а затем обобщим полученные результаты. Пример 3 12 Условие. Составить методом узловых потенциалов систему уравнений для электрической цепи, рассмотренной в примере 1 (см. рис. 1.1). Обобщить полученные результаты на случай электрической цепи, содержащей N независимых узлов. Решение. После выбора и нанесения на схему условных положительных направлений токов, перейдем от исходной схемы к схеме, приведенной на рис. 1.2. Для уменьшения числа узлов цепи заменим источник тока ̇ на эквивалентный источник ЭДС ̇ (см. рис. 1.6). Запишем уравнения для трёх независимых узлов a, b и c: ̇ − ̇ − ̇ = 0; Для узла ∶ ̇ + ̇ − ̇ = 0; (1.18) Для узла ∶ ̇ + ̇ − ̇ = 0; Для узла ∶ Токи в ветвях согласно закону Ома для участка цепи: ̇ − ̇ + ̇ ̇ = = ̇ − ̇ + ̇ , ̇ = ̇ = ̇ − ̇ − ̇ ̇ − ̇ + ̇ = ̇ − ̇ − ̇ , = ̇ − ̇ + ̇ , ̇ − ̇ − ̇ ̇ = = ̇ − ̇ − ̇ + ̇ − ̇ ̇ = =( ̇ − ̇ ) , ̇ = ̇ − ̇ (1.19) , =( ̇ − ̇ ) , где ̇ , ̇ , ̇ – комплексные значения потенциалов независимых узлов a, b и c соответственно; ̇ – потенциал базисного узла; – проводимость k-й ветви. Полагая ̇ = 0 , подставим (1.19) в (1.18), получим систему уравнений третьего порядка относительно потенциалов независимых узлов. Порядок системы определяется числом независимых узлов: 13 + + − ̇ + ̇ − + ̇ − + ̇ =− ̇ ̇ − ̇ = ̇ + ̇ − ̇ + ̇ , , (1.20) − ̇ − ̇ + + + ̇ =− ̇ − ̇ . Определив из решения системы (1.20) потенциалы независимых узлов и воспользовавшись (1.19), получим токи ̇ , ̇ , ̇ , ̇ , ̇ , ̇ . Ток ̇ (см. рис. 1.2) определяется на основании первого закона Кирхгофа, записанного для узла k: ̇ = ̇ + ̇ (1.21) Обобщим рассмотренный метод решения задачи на случай электрической цепи, имеющей N независимых узлов. В общем виде систему уравнений можно записать аналогично системе (1.20): ̇ − ̇ − ̇ − ⋯− ̇ = ̇ , ⎧ ⎪− ̇ + ̇ − ̇ −⋯− ̇ = ̇ , (1.22) ⎨ ……………………………………………………, ⎪− ̇ − ̇ − ̇ − ⋯+ ̇ = ̇ . ⎩ В этих уравнениях проводимости : , , , …, представляют собой сумму проводимостей ветвей, присоединенных к узлу n: 1, 2, 3-му и т.д. Такие проводимости называют собственными узловыми проводимостями узла n. Проводимость (при ≠ ) равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой узлы k и n, и называется общей узловой проводимостью узлов k и n. Очевидно, что = . Правая часть системы уравнений (1.22) представляет собой алгебраическую сумму токов источников тока в ветвях, присоединенных к соответствующему независимому узлу n. Если ток источника направлен к узлу, то он учитывается в правой части уравнения со знаком «плюс», если от узла, то со знаком «минус». Если в ветвях, присоединенных к независимому узлу n, есть источники ЭДС, то их необходимо преобразовать в эквивалентные источники тока (1.20) и также учесть в правой части уравнения. 1.5 Метод эквивалентного генератора Метод эквивалентного генератора целесообразно применять, когда значение тока нужно определить только для одной ветви. Метод эквивалентного генератора основан на применении теоремы Гельмгольца – Тевенена, которая формулируется следующим образом: любая линейная электрическая цепь, рассматриваемая относительно двух выводов (зажимов), 14 эквивалентна реальному эквивалентному генератору с ЭДС, равной напряжению между этими выводами при размыкании внешнего участка цепи, подключенного к этим выводам (режим холостого хода) и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника, получаемого при равенстве нулю всех ЭДС и токов источников тока. Таким образом, если необходимо определить ток только в одной ветви электрической цепи, то эта ветвь принимается за внешний участок цепи и размыкается, а вся оставшаяся цепь замещается на эквивалентный источник ЭДС ̇ Э.Г. с внутренним сопротивлением Э.Г. (рис. 1.8). Нагрузкой этого источника является внешний участок цепи, т.е. ветвь с сопротивлением в и искомым током в̇ . Рис. 1.8. Схема электрической цепи по методу эквивалентного генератора Ток в ветви в̇ определяется по схеме замещения: ̇ Э.Г. ̇ (1.23) . в = в + Э.Г. ЭДС ̇ Э.Г. равна напряжению холостого хода ̇ Х.Х. на разомкнутой ветви, а сопротивление эквивалентного генератора Э.Г. – сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов разомкнутой ветви. Пример 4 Условие. Определить методом эквивалентного генератора ток ̇ в электрической цепи, приведенной на рис. 1.6. Решение. Схема замещения электрической цепи для решения задачи методом эквивалентного генератора приведена на рис. 1.9 и имеет вид, аналогичный рис. 1.8. Искомый ток ̇ определяется по закону Ома. Для схемы замещения (см. рис. 1.9): ̇ + ̇ ̇ = Э.Г. (1.24) . + Э.Г. 15 Для определения параметров эквивалентного источника ЭДС разомкнем внешний участок цепи (ветвь 3) на рис. 1.6. После этого схема цепи примет вид, изображенный на рис. 1.10. На основании 2 закона Кирхгофа для схемы (рис. 1.10) можно записать следующее уравнение: ̇ Х.Х. = ̇ + + ̇ + ̇ . (1.25) ЭДС эквивалентного генератора ̇ Э.Г. = ̇ Х.Х. . Рис. 1.9. Схема замещения электрической цепи по методу эквивалентного генератора для примера 4 Рис. 1.10. Схема электрической цепи с разомкнутой внешней цепью Токи ̇ и ̇ в данном случае удобно найти методом узловых потенциалов. Если положить ̇ = 0, то ̇ − ̇ ̇ 1 1 1 (1.26) ̇ + + = + . + + + + + + Вычислив ̇ и воспользовавшись законом Ома, получим: ̇ − ̇ + ̇ − ̇ − ̇ + ̇ − ̇ ̇ = = , + + + + ̇ − ̇ − ̇ ̇ − ̇ ̇ = = + + 16 Чтобы определить сопротивление эквивалентного генератора Э.Г. из электрической цепи (рис. 1.10) нужно удалить все источники. Для этого источники ЭДС необходимо закоротить, а ветви с источниками тока, если бы таковые имелись, разомкнуть (рис. 1.11). Рис. 1.11. Схема электрической цепи для расчета Э.Г. В данном случае необходимо звезду сопротивлений , , заменить эквивалентным треугольником (рис. 1.12): = + + = + + + = + + + + + + , , , Рис. 1.12. Схема электрической цепи после эквивалентного преобразования «звезда-треугольник» 17 + (1.27) Эквивалентное входное сопротивление электрической цепи (рис. 1.12) есть не что иное, как + ∙ , Э.Г. = + + где = + = + 18 , . 2 Анализ электрических цепей, содержащих индуктивносвязанные элементы Если в электрической цепи учесть магнитные связи между индуктивными элементами, тогда ток в любой ветви, содержащей индуктивно-связанные элементы, зависит не только от ЭДС и токов источников, но и от тока другой ветви, который наводит ЭДС взаимной индукции. Поэтому без использования специальных приемов нельзя выразить токи ветвей через потенциалы узлов, ЭДС и токи источников, следовательно, нельзя применить метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора (кроме случая, когда анализируемая ветвь, не содержит индуктивно связанных элементов) и метод эквивалентного преобразования пассивных участков цепи, таких, как преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и наоборот. При наличии индуктивно-связанных элементов, анализ цепи по законам Кирхгофа и метод контурных токов не требуют специальных приемов. В качестве примера запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для цепи, схема которой приведена на рис. 2.1: − − ̇ − ̇ + ̇ = 0, ̇ + ̇ − ̇ = 0, ̇ + ̇ − ̇ = 0, ̇ + ̇ − ̇ + ̇ + ̇ + ̇ = ̇ − ̇ , ̇ + ̇ − ̇ − ̇ + ̇ − ̇ − ̇ = ̇ , ̇ + ̇ − ̇ + ̇ + ̇ − ̇ + ̇ = ̇ + ̇ . (2.1) Если направление обхода контура в элементе k совпадает с положительным направлением тока в элементе s, то комплексное напряжение взаимной индукции на элементе k записывается со ̇ . Если не совпадает, то со знаком знаком «плюс» ̇ =+ ̇ ̇ «минус» – =− . При расчете цепи методом контурных токов слагаемые входят в собственные и общие взаимные сопротивления со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того, совпадают или не совпадают по отношению к одноименным выводам элементов цепи k и s направление обхода контура через элемент k и положительное направление тока через элемент s. 19 Рис 2.1. Схема электрической цепи с индуктивно связанными элементами Для электрической цепи (рис. 2.1) уравнения по методу контурных токов, имеют вид: ̇ − ̇ − ̇ = ̇ − ̇ , ̇ + ̇ − ̇ = ̇ , (2.2) − ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ − − + = + , где = + + + , = + + + − , = + + + − , = = − , = = + , = = + − − . Для того чтобы использовать методы узловых потенциалов, эквивалентного генератора и эквивалентного преобразования для цепи с индуктивно-связанными элементами, нужно произвести «развязывание» магнитных связей и заменить исходную цепь эквивалентной цепью без индуктивно-связанных элементов. «Развязывание» магнитных связей используется, если индуктивно-связанные элементы присоединены к одному узлу (рис. 2.2) и значительно упрощает анализ электрической цепи. В этом случае электрическую цепь заменяют эквивалентной цепью без индуктивно-связанных элементов. 20 а б Рис 2.2. Индуктивно связанные элементы: а - согласно включение; б встречное включение Система уравнений, составленная по второму закону Кирхгофа для схемы, приведенной на рис. 2.2, будет иметь вид ̇ ± ̇ = ̇ , (2.3) ̇ ± ̇ = ̇ . В уравнениях (2.3) верхний знак «плюс» относится к рис. 2.2,а, а нижний знак «минус» – к рис. 2.2,б. Если прибавить и отнять от левой части первого уравнения ̇ и прибавить и отнять от левой части второго уравнения ̇ , то система примет следующий вид: ̇ ± ̇ ± ̇ ∓ ̇ = ̇ , (2.4) ̇ ± ̇ ± ̇ ∓ ̇ = ̇ . Подставив в (2.4) = , = , = и выполнив приведение подобных, получим: ̇ + ̇ = ̇ , ( ∓ ) ̇ ± (2.5) ̇ ̇ ( ∓ ) ± + ̇ = ̇ . Системе уравнений (2.5) можно поставить в соответствие схему электрической цепи, не содержащую индуктивно-связанных элементов (рис. 2.3). Эта цепь эквивалентна исходной цепи (рис. 2.2), содержащей индуктивно-связанные элементы. Рис 2.3. Эквивалентная схема без индуктивно-связанных элементов Анализ системы уравнений (2.5) и схемы (рис. 2.3) показывает, что все три индуктивности ∓ , ∓ и± , входящие в схему замещения, будут положительны только при согласном 21 включении индуктивных элементов на схеме (рис. 2.2) и только при относительно малом коэффициенте магнитной связи: > , > . Если коэффициент связи относительно велик, то при < будет отрицательная индуктивность ∓ , а при < будет отрицательная индуктивность ∓ . В случае встречного включения всегда будет отрицательна индуктивность ± . Очевидно, что приведенная эквивалентная схема электрической цепи без индуктивно-связанных элементов может рассматриваться только как чисто расчетная схема, так как ей нельзя поставить в соответствие цепь, состоящую из идеализированных индуктивных элементов. 22 3 Методы контроля и оценки численных результатов Решение любой задачи включает в себя обязательную проверку полученных результатов на правильность решения. Независимая проверка состоит в подстановке полученных комплексных значений токов и напряжений в уравнения, записанные для цепи на основании законов Кирхгофа. Если комплексные значения токов и напряжений во всех ветвях электрической цепи найдены верно, то и соответствующие алгебраические суммы в уравнениях Кирхгофа должны при подстановке расчетных значений обращаться в нуль. При практических расчетах значение, получаемое при проверке, не всегда равно нулю. Это может быть связано или с ошибкой расчета, или обусловлено расчетной погрешностью, неизбежно возникающей при выполнении вычислений. Исходя из этого, в каждом конкретном случае необходимо оценить погрешность вычислений. Требуемая на практике разумная величина погрешности почти никогда не превышает значений порядка единиц процентов. Поэтому если при проверке по законам Кирхгофа полученное значение алгебраической суммы не равно нулю, но меньше меньшего из значений токов (напряжений), подставляемых для проверки, примерно на два порядка, то результат можно считать правильным с точностью до погрешности расчета. Текущий контроль вычислений и проверку решения задачи более удобно выполнять путем построения векторных диаграмм токов и напряжений. Это связано с тем, что векторная диаграмма является графической интерпретацией математических соотношений, устанавливаемых законами Кирхгофа. Процедура построения диаграммы состоит из последовательного построения комплексных векторов этих величин на одной и той же координатной плоскости. Векторная диаграмма токов представляет собой графическое отображение на комплексной плоскости соотношений, записываемых на основании первого закона Кирхгофа, а векторная диаграмма напряжений – графическое отображение соотношений, записываемых на основании второго закона Кирхгофа. Если сумма векторов (токов или напряжений) образует замкнутый многоугольник, т.е. равна нулю, то можно рассчитывать на правильный результат. 23 Если для всех уравнений, записанных на основании законов Кирхгофа для данной цепи, будут получены аналогичные результаты, то расчет токов и напряжений выполнен верно. Следует заметить, что для проверки правильности расчета токов часто достаточно проверить выполнимость 2 закона Кирхгофа для найденных значений напряжений только в одном из контуров. В качестве примера рассмотрим построение векторной диаграммы для контура I электрической цепи, приведенной на рис. 3.1. Соотношения, связывающие напряжения на элементах контура, удовлетворяют второму закону Кирхгофа: ̇ + ̇ − ̇ + ̇ + ̇ + ̇ (3.1) = ̇ − ̇ , а связь между токами, протекающими в контуре, устанавливается из первого закона Кирхгофа, записанного для узлов a и b: ̇ = ̇ + ̇, (3.2) ̇ = ̇ + ̇, (3.3) Рис 3.1. Схема электрической цепи Построение диаграммы начнем с токов ̇ и ̇ . Положение векторов в комплексной системе координат определяется начальными фазами и действующими значениями откладываемой величины. Начальные фазы откладываются от положительного направления действительной оси, а длины векторов соответствуют действующим значениям токов в выбранном масштабе. Предположим, что расчетным значениям ̇ и ̇ соответствуют векторы ̇ и ̇ (рис. 3.2). Если теперь построить вектор ̇ , то он 24 должен занять положение, указанное на рис. 3.2, так как векторная диаграмма для токов ̇ , ̇ и ̇ должна удовлетворять уравнению (3.2). Если векторы ̇ , ̇ и ̇ не образуют замкнутого треугольника, т.е. их сумма не равна нулю, то можно сделать заключение об ошибке в расчете токов ̇ , ̇ и ̇ или хотя бы одного из них. Рис 3.2. Векторная диаграмма токов и напряжений Построим теперь векторы токов ̇ и ̇ . Они должны занять положение, указанное на рис. 3.2, в том смысле, что их сумма в соответствии с уравнением (3.3) также должна быть равна ̇ . Если расчетные комплексные значения токов были получены без применения 1 закона Кирхгофа и удовлетворяют уравнениям (3.2) и (3.3), то с большой долей уверенности можно предположить, что расчет токов выполнен верно. Если же при расчете токов использовались уравнения Кирхгофа (3.2) и (3.3), то очевидно, что эти уравнения будут удовлетворяться тождественно и не могут быть использованы для проверки. После построения векторной диаграммы и выполненной оценки правильности расчета токов приступим к построению векторной диаграммы напряжений в этой же координатной системе. При построении векторов напряжения, как и при построении векторов токов, необходимо выбрать удобный масштаб. ̇ на Первый вектор, соответствующий напряжению резистивном элементе в уравнении (3.1), должен совпадать по направлению с вектором тока ̇ , так как на резистивном элементе ток и напряжение совпадают по фазе. 25 ̇ в соответствии с (3.1) необходимо прибавить К вектору ̇ . Этот вектор должен вектор напряжения самоиндукции опережать вектор ̇ на 90° , так как на идеальном индуктивном элементе напряжение опережает ток на 90°. Следующее слагаемое-вектор напряжения взаимной индукции ̇ имеет отрицательный знак, поэтому этот вектор будет − отставать от вектора тока ̇ на 90°. К нему прибавляется вектор ̇ , который должен напряжения взаимной индукции ̇ опережать вектор тока на 90°. Вектор напряжения самоиндукции ̇ должен опережать ток ̇ на 90°, а вектор напряжения ̇ ̇ должен совпадать по направлению с током . Правая часть уравнения (3.1) представляет собой векторную сумму ЭДС ̇ и ̇ , действующих в контуре. Вектор ̇ строится из начала системы координат. Алгебраическая сумма векторов ̇ и ̇ должна замкнуть (рис. 3.2) многоугольник, образованный векторами напряжений, стоящих в левой части уравнения (3.1). Если все векторы токов и напряжений, построенных в системе координат на комплексной плоскости по расчетным значениям, удовлетворяют уравнениям (3.1) – (3.3), а угловые сдвиги между напряжениями и токами – свойствам пассивных элементов, то можно сделать вывод о правильности расчета значений токов и напряжений контура. Кроме этого, оценку правильности расчетов можно выполнять по уравнениям баланса мощностей. Если электрическая цепь, содержит N идеальных источников ЭДС, M идеальных источников тока и H идеальных пассивных элементов, тогда исходя из закона сохранения энергии, сумма мгновенных мощностей всех элементов в каждый момент времени равна нулю: = = 0, (3.4) где , – мгновенные значения напряжения и тока для k-го элемента цепи. Сгруппировав члены в уравнении (3.4), соответствующие идеальным активным элементам ( а ) и идеальным пассивным элементам ( п ), получим: 26 − а = а п . (3.5) п Уравнение (3.5) называет уравнением (условием) баланса мгновенных мощностей электрической цепи. Здесь следует предостеречь от возможной ошибочной трактовки баланса мгновенных мощностей: «сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми активными элементами, равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми пассивными элементами». Дело в том, что пассивные реактивные элементы (емкостные и индуктивные) обладают способностью запасть энергию в электрическом и магнитном полях соответственно. Поэтому в зависимости от момента (мгновения) времени мгновенная мощность реактивного элемента может быть или положительна, или отрицательна. Исходя из этого, условие баланса мощностей можно трактовать как равенство мгновенных мощностей, потребляемых элементами электрической цепи, мгновенным мощностям, отдаваемым элементами электрической цепи, в том числе пассивными реактивными элементами, в каждый момент времени. Последняя формулировка позволяет пояснить запись уравнения баланса комплексных мощностей элементов электрической цепи в виде: − а = а п , (3.6) п где а , п – комплексные мощности активных и пассивных элементов электрической цепи. Активная мощность учитывает в комплексной мощности свойства активных и пассивных резистивных элементов, а реактивная мощность – свойства пассивных реактивных элементов. Сумма комплексных мощностей, отдаваемых всеми идеальными активными элементами, равна сумме комплексных мощностей всех идеальных пассивных элементов. Уравнение баланса комплексных мощностей часто записывают в виде: ̇ ∗̇ + ̇ ∗̇ = п п 27 п . (3.7) Слагаемые в левой части уравнения (3.7) представляют собой суммы комплексных мощностей идеальных источников ЭДС (первое слагаемое) и идеальных источников тока (второе слагаемое). Правая часть уравнения представляет собой сумму комплексных мощностей всех пассивных элементов. Слагаемые в левой части уравнения (3.7) берутся со знаком «плюс», если выбранные положения векторных величин соответствуют рис. 3.3. В противном случае со знаком «минус». Из условия баланса комплексных мощностей следует условие баланса активных и реактивных мощностей: два комплексных числа равны между собой, если равны их действительные и мнимые части. Сумма активных мощностей всех источников равна активной мощности всех потребителей: ̇ ∗̇ ̇ + ∗̇ = , п (3.8) п где – вещественная составляющая комплексного сопротивления k-го пассивного элемента. Сумма реактивных мощностей всех источников равна реактивной мощности всех потребителей: ̇ ∗̇ + ̇ ∗̇ = п , (3.9) п где – мнимая составляющая комплексного сопротивления k-го пассивного элемента. а б Рис 3.3. К определению знаков комплексных мощностей: а – отдаваемой идеальным источником ЭДС; б – отдаваемой идеальным источником тока Если в расчетах необходимо учесть индуктивно-связанные элементы, то в баланс мощностей необходимо добавить мощности, обусловленные взаимной индукцией. Выразим полную мощность, обусловленную магнитной связью между двумя 28 включенными согласно индуктивно-связанными элементами (рис. 2.2,а). Считая, что ̇ = , ̇ = , получим ∗ ∗ ̇ = ̇ ̇ = = ̇ = =− sin − + cos − , (3.10) ∗̇ ∗̇ ̇ ̇ = = = = =− sin − + cos − . Пример 5 Условие. Составить уравнение баланса комплексных мощностей для схемы электрической цепи, приведенной на рис. 3.4. Решение. Условные положительные направления токов, напряжений и ЭДС указаны на рис. 3.4. Для удобства уравнение баланса комплексных мощностей запишем отдельно для активной и реактивной составляющих в виде (3.8) и (3.9) соответственно. Уравнение баланса для активной мощности составляется в соответствии с (3.8). При этом знаки перед слагаемыми определяются по правилам, приведенным выше. ̇ ∗̇ + ̇ ∗̇ + ̇ ∗̇ − ̇ ∗̇ + ̇ ∗̇ = ̇ ∗̇ = + + + + + − ∗ ̇ ̇ + + − ∗ ̇ ̇ ̇ ∗̇ + ̇ ∗̇ + + + + − ∗ ̇ ̇ . + − Рис 3.4. Схема электрической цепи с индуктивно связанными элементами Уравнение баланса для реактивной мощности составляется в соответствии с (3.9) и имеет вид: 29 ̇ ∗̇ + ̇ ∗̇ + ̇ ∗̇ − ̇ ∗̇ + ̇ = + + + + − + − ̇ ∗̇ + + + − 30 ∗̇ + − ̇ ∗̇ + ̇ ∗̇ + − ̇ ̇∗ . = ̇ ∗̇ ̇ ∗̇ 4 Задача 1. Составить схему электрической цепи в соответствии с графом, приведенным на рис. 4.1, и данными табл. 4.1. Указание. Исходные данные содержат 50 вариантов. Для студентов очной формы обучения номер варианта определяется их номером в списке группы. Для студентов заочной формы обучения номер варианта определяется числом, образованным двумя последними цифрами номера зачетной книжки, поделенным на два и округленным до целого в большую сторону. Например, если номер зачетной книжки заканчивается цифрами 45, то номер варианта равен 45/2=22,5=23. Если номер зачетной книжки заканчивается цифрами 00, то выбирается вариант № 50. Рис 4.1. Граф электрической цепи 2. Определить мгновенные значения токов в ветвях цепи. 2.1. По законам Кирхгофа. 2.2. Методом контурных токов. 2.3. Методом узловых потенциалов. Указание. За базисный узел принять узел 0(табл. 4.2). 3. Определить ток ̇ в ветви n методом эквивалентного генератора. Номер ветви n для индивидуального варианта указан в табл. 4.2. 4. Проверить баланс активных и реактивных мощностей. 5. Построить векторные диаграммы токов и напряжений на одной координатной плоскости. 6. Введя индуктивную связь между тремя элементами цепи, рассчитать мгновенные значения токов во всех ветвях. Указание. Выбрать и указать на схеме одноименные зажимы индуктивно-связанных элементов так, чтобы обеспечивалось их встречное включение. Сопротивление взаимной индуктивности для всех случаев принять равным 1 Ом. 7. Проверить баланс активных и реактивных мощностей. 31 8. Построить векторные диаграммы токов и напряжений на одной координатной плоскости. Таблица 4.1 Код Схемы замещения ветвей Схема Код Схема 1 6 2 7 3 4 8 5 9 Примечание: k – код ветви. Исходные данные. Исходные данные к расчетно-графической работе содержит 50 вариантов. Во всех вариантах электрическая цепь задается одним и тем же графом (рис. 4.1). Схемы замещения ветвей цепи выбираются по данным табл. 4.1 и 4.2. Всего предусмотрено девять вариантов схем замещения ветвей электрической цепи (табл. 4.1). Значения полных сопротивлений ветвей электрической цепи , , , , и приведены в табл. 4.3. 32 Параметры источников ЭДС ( ) = sin + ( )= sin + приведены в табл. 4.4 и 4.5. и тока Таблица 4.2 Коды схем ветвей электрической цепи Коды схем ветвей Вариант Ветвь n № 1 1 9 2 5 3 1 6 2 2 1 5 3 1 8 2 3 9 1 3 5 1 2 5 4 6 1 1 2 4 1 5 5 3 8 1 1 5 3 1 6 1 7 3 1 4 3 6 7 6 3 1 2 1 9 4 8 2 6 1 8 1 3 2 9 1 9 2 3 1 6 6 10 8 2 1 3 5 1 4 11 2 9 1 1 4 2 1 12 1 2 7 1 4 2 3 13 6 3 1 3 1 5 4 14 4 3 1 6 2 5 1 15 1 7 2 1 2 5 6 16 9 2 1 5 1 2 6 17 1 6 2 1 7 1 1 18 3 1 4 8 3 1 2 19 9 2 1 2 5 1 4 20 1 6 1 1 7 3 5 21 5 1 2 3 8 1 1 22 1 8 1 4 4 1 2 23 5 1 3 2 6 2 6 24 2 1 2 7 2 7 4 25 8 1 8 1 3 1 2 26 2 2 8 1 5 1 2 27 6 1 3 1 4 3 3 28 7 2 1 4 1 4 6 29 6 1 3 3 2 4 3 30 9 3 1 3 4 1 5 31 2 1 1 3 7 3 1 32 2 7 4 1 4 1 2 33 5 1 2 2 1 9 3 34 3 1 9 3 4 1 5 35 9 3 1 4 2 1 6 33 Узел 0 3 1 2 1 2 3 2 4 2 1 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 3 1 2 2 3 3 4 6 1 3 2 1 3 2 Окончание таблицы 4.2 Вариант № 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Коды схем ветвей 1 7 3 1 3 5 8 5 7 5 6 5 2 3 1 5 2 6 5 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 1 1 1 4 9 4 2 3 3 1 2 1 2 8 1 4 8 4 3 1 3 9 2 1 1 2 1 2 1 1 5 34 2 1 1 5 6 2 1 9 4 8 2 1 3 5 2 1 3 1 1 1 1 5 1 3 1 4 9 1 9 7 Ветвь n Узел 0 1 4 6 4 5 3 2 6 1 5 2 1 3 2 3 1 4 1 4 1 2 3 4 1 2 4 3 1 2 3 Таблица 4.3 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 , Ом 4 1 2 1 3 5 4 3 4 1 5 2 1 4 2 6 2 6 2 1 2 6 ,° 90 -30 0 90 0 90 90 45 0 -90 0 60 -90 0 45 0 90 0 45 90 45 90 Параметры пассивных элементов электрической цепи ,° ,° ,° , Ом , Ом , Ом , Ом 2 -30 6 60 2 45 4 2 60 4 -45 2 0 2 4 30 2 -60 3 60 6 2 0 4 60 5 -30 2 6 90 2 0 3 45 6 6 -90 2 45 6 60 2 6 -45 2 30 4 0 3 2 0 4 60 3 -30 6 4 60 2 -30 6 90 2 2 0 4 45 5 30 2 4 -45 6 -90 2 60 1 1 0 4 30 4 -90 1 4 60 2 -30 4 0 4 5 30 4 -90 3 90 1 4 -60 2 0 1 90 2 4 30 2 -30 5 90 4 1 0 6 30 4 -90 2 2 30 4 -30 5 900 4 6 0 2 90 5 -90 4 2 -90 6 0 4 60 2 1 0 2 30 4 -90 4 2 -90 5 60 6 -45 1 35 ,° 0 90 -90 0 -45 0 60 90 -30 -60 90 45 90 0 30 45 45 90 90 0 60 90 , Ом 5 1 2 4 3 5 4 2 2 4 3 2 2 1 6 2 4 2 6 5 1 2 ,° -60 45 90 90 60 -60 -45 -90 90 45 45 -30 45 90 -30 -90 -90 0 -45 30 0 0 № 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 , Ом 4 2 6 5 2 6 2 5 3 6 5 6 2 4 5 6 2 4 6 5 4 2 6 1 ,° 60 -90 30 90 30 90 0 45 60 45 -30 45 60 0 90 0 30 30 0 0 30 90 90 30 , Ом 2 4 2 1 4 1 4 3 2 2 6 2 4 6 4 2 4 2 4 6 5 4 4 2 ,° 0 90 90 0 -30 0 60 -60 0 60 90 90 -90 90 -90 90 90 0 -90 -60 0 -90 60 90 , Ом 6 2 4 4 2 2 3 4 2 1 1 1 2 2 2 4 2 4 2 4 2 2 1 4 ,° -90 30 0 30 90 30 -90 0 90 -90 60 0 0 60 0 -45 0 0 90 45 -90 0 -90 -30 36 , Ом 4 1 5 6 4 5 4 2 4 6 2 2 4 3 4 1 4 6 5 2 4 4 2 2 ,° -30 0 -60 -45 0 45 90 30 -30 90 -90 -90 45 45 60 90 0 90 60 90 45 30 90 0 , Ом 1 4 4 2 5 2 2 1 1 1 1 5 2 5 2 6 2 5 2 2 6 6 4 2 Продолжение таблицы 4.3 ,° ,° , Ом 90 2 30 0 5 60 45 1 0 0 1 60 90 6 -30 -90 4 0 -90 1 60 0 6 90 45 2 0 0 6 0 90 1 0 90 4 0 30 2 0 -90 2 -90 45 2 0 -90 5 60 90 4 -45 -90 2 90 -60 4 45 0 5 90 0 5 30 60 4 0 0 2 -30 60 4 -90 № 47 48 49 50 , Ом 2 5 4 2 ,° 0 0 60 30 , Ом 4 6 2 3 ,° 60 90 0 90 , Ом 2 2 5 3 ,° 0 -90 90 -90 , Ом 6 2 6 4 ,° 30 -90 30 0 , Ом 2 6 1 5 Окончание таблицы 4.3 ,° ,° , Ом -90 6 45 60 6 45 0 3 -30 60 2 -30 Таблица 4.4 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ,В 20 16 16 15 17 11 15 16 20 15 17 21 19 14 18 21 ,° 0 -90 -90 180 -45 0 180 0 45 180 0 45 0 -45 0 45 ,В 12 20 19 20 18 20 20 25 15 10 21 16 21 18 21 14 Параметры синусоидальных источников ЭДС ,° ,° ,° ,В ,В 45 10 180 12 -45 -45 12 0 18 -180 -45 10 90 13 45 -90 16 45 13 0 90 19 180 10 -90 -90 17 45 13 -90 0 15 90 20 0 90 15 -180 16 180 90 16 -90 20 180 90 12 -45 20 -90 90 23 45 11 0 180 17 -45 13 90 90 16 45 14 45 -90 10 0 20 45 45 11 -45 21 45 0 17 90 11 -90 37 ,В 15 15 18 15 13 12 17 19 20 17 13 15 12 12 13 16 ,° 180 90 0 90 45 180 45 -45 -45 0 -45 -90 180 90 0 180 ,В 20 14 10 19 17 16 20 20 16 13 14 16 12 16 14 12 ,° 90 45 -45 0 0 0 -45 0 180 45 0 180 -45 180 180 -90 № 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 ,В 15 16 12 15 15 16 21 13 20 13 15 17 17 13 18 20 11 18 17 10 11 15 16 19 ,° 180 -90 -45 0 90 180 90 180 180 90 -90 45 -45 90 -45 180 90 180 -45 0 90 0 -90 -90 ,В 21 17 13 21 21 22 11 10 16 11 21 20 19 15 19 16 16 17 16 12 13 17 18 16 ,° 90 0 0 90 -45 45 0 -90 0 180 45 0 0 -90 0 90 45 90 0 45 -45 90 0 180 ,В 16 19 11 16 16 10 13 18 21 20 14 11 21 21 21 17 17 11 18 14 15 21 20 17 ,° 0 45 90 45 0 90 -45 45 45 45 0 180 180 0 90 45 0 180 45 180 180 45 90 90 38 ,В 19 10 10 17 17 11 16 19 11 19 16 20 16 20 17 19 19 13 15 16 19 13 13 18 ,° -45 0 180 0 -90 -45 -90 0 -45 0 -45 45 90 180 45 -90 -45 45 90 90 45 -45 -90 -45 ,В 11 11 14 18 21 16 21 20 16 17 13 19 17 16 20 11 10 16 10 18 21 15 21 10 Продолжение таблицы 4.4 ,° ,° ,В 0 13 90 -45 13 0 90 16 -90 -90 21 -45 0 22 0 180 21 -90 180 10 45 180 19 0 0 19 90 -45 15 -90 90 18 180 -90 16 90 -90 19 45 45 17 -90 180 15 45 0 13 -45 180 13 0 -90 21 180 -45 16 90 -45 20 -90 90 16 -90 180 19 0 45 11 -45 45 13 0 № 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 ,В 17 20 11 19 21 18 15 16 15 17 ,° -45 0 45 -90 180 -90 180 90 30 -30 ,В 21 11 13 16 14 20 10 21 20 22 ,° -90 180 90 180 -90 180 90 0 90 0 ,А 1 2 2 1 4 2 2 3 1 2 Параметры синусоидальных источников тока ,° ,° ,° ,А ,А -30 4 90 3 0 0 1 90 5 -90 0 3 270 6 90 90 2 -90 5 60 60 1 90 2 270 90 3 0 1 30 0 4 30 5 60 90 2 60 1 0 90 2 30 2 270 270 4 -90 3 60 ,В 11 21 16 11 12 15 12 11 21 17 ,° 45 45 0 45 -45 90 -45 45 60 -90 ,В 16 19 17 13 18 11 20 14 22 13 ,° 180 90 -90 90 90 45 -90 -90 -45 45 ,В 15 17 20 14 16 16 17 20 11 19 Окончание таблицы 4.4 ,° ,° ,В 45 20 90 -45 16 45 180 14 -45 0 21 -45 45 10 0 180 13 -45 0 13 45 180 10 -45 -30 25 0 180 25 45 Таблица 4.5 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ,А 2 3 1 4 5 4 1 4 5 1 ,° 30 60 30 270 -30 270 90 30 0 90 39 ,А 2 4 4 4 2 4 3 4 3 5 ,° -90 30 60 30 30 -30 -90 270 60 30 ,А 1 1 5 2 1 5 1 3 2 2 ,° 60 0 -90 0 0 60 30 -30 -90 0 № 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 ,А 2 4 6 2 5 1 3 1 2 1 1 2 4 3 4 6 2 2 2 5 1 6 2 4 ,° 270 0 -30 60 0 30 90 270 0 60 0 60 30 60 30 90 0 30 60 -90 90 60 30 0 ,А 3 5 5 3 4 2 4 4 3 2 2 4 5 2 2 4 1 3 3 2 2 2 1 5 ,° 60 30 270 30 90 0 0 60 270 270 60 30 60 0 -30 0 90 60 30 -60 -30 90 60 60 ,А 4 4 3 6 3 3 5 5 4 3 4 1 2 4 5 2 4 4 6 3 3 3 3 1 ,° -30 30 90 0 -90 270 60 0 60 -30 30 90 0 90 60 30 30 270 0 270 60 270 270 30 40 ,А 5 1 1 5 1 6 1 3 5 5 3 2 3 5 1 1 5 5 5 6 4 6 5 2 ,° -60 90 0 -30 30 90 -90 -30 90 -60 90 270 -90 -60 90 -30 -30 90 -30 0 -90 0 90 -90 ,А 1 2 4 4 2 4 2 2 1 4 5 1 1 2 4 3 6 6 4 4 4 1 4 1 Продолжение таблицы 4.5 ,° ,° ,А 0 2 90 -90 3 270 60 2 30 270 1 90 60 3 0 60 5 -30 -30 6 -90 90 6 30 -90 5 30 -90 2 0 -90 1 0 -30 2 -90 90 4 270 -90 1 270 60 2 0 60 2 270 0 3 -90 60 3 0 270 1 90 -30 5 0 270 5 30 30 5 -30 -60 2 0 90 6 270 № 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 ,А 5 1 6 5 1 2 4 5 1 2 6 4 2 1 1 2 ,° 0 90 30 0 270 30 60 0 90 60 30 0 60 -60 60 -30 ,А 6 2 4 4 3 4 1 1 4 4 2 5 1 2 2 3 ,° 30 270 0 90 60 60 90 30 -60 90 -60 60 30 -30 90 270 ,А 1 3 5 2 6 2 6 2 2 5 1 2 4 1 4 2 ,° 90 60 -30 -60 -30 90 0 30 30 -30 90 30 90 -90 -30 60 41 ,А 5 5 1 3 2 4 2 4 4 1 2 1 3 5 6 1 ,° 270 30 90 30 30 30 -90 -90 90 30 -90 -30 0 60 30 90 ,А 2 4 2 4 4 2 3 2 5 2 4 2 5 4 2 5 Окончание таблицы 4.5 ,° ,° ,А 60 1 30 -30 2 0 -90 1 60 30 2 0 90 5 0 -60 1 270 30 2 -60 60 4 -30 -30 2 0 -90 2 0 0 5 -30 90 1 -90 270 2 -30 30 2 90 -90 1 60 -90 6 0 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Содержание пояснительной записки к курсовой работе (рекомендуемое) Введение 1. Исходные данные 2. Расчет по законам Кирхгофа 3. Расчет методом контурных токов 4. Расчет методом узловых потенциалов 5. Метод эквивалентного генератора 6. Проверка баланса активных и реактивных мощностей 7. Построение векторной диаграммы 8. Расчет схемы при наличии индуктивной связи 9. Проверка баланса активных и реактивных мощностей для схемы с индуктивной связью 10. Построение векторной диаграммы для схемы с индуктивной связью 42 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Список контрольных вопросов выносимых на защиту курсовой работы 1. Чему равно действующее значение синусоидального тока, если его амплитудное значение равно 14,1 А? 2. В узел электрической цепи втекают токи ( ) и ( ) и вытекает ток ( ). Записать выражение для ( ) , если ( ) = 5√2 sin , ( ) = 14,1 sin( + 90°). 3. Указать соотношение между активным и реактивным сопротивлениями цепи, ток и напряжение которой ( ) = sin( − 106°) А и ( ) = sin( − 61°) В соответственно. 4. Задана цепь синусоидального тока, состоящая из последовательно соединенных резистивного сопротивлением = 12 Ом и емкостного сопротивлением = 16 Ом элементов. Определить мгновенное значение тока в цепи, если приложенное к ней напряжение ( ) = 240 sin( − 23°10 ) В. 5. Цепь синусоидального тока состоит из последовательно соединенных резистивного сопротивлением = 32 Ом и индуктивного сопротивлением = 24 Ом элементов. Определить мгновенное значение приложенного к цепи напряжения, если ток в цепи ( ) = 4 sin( − 120°) А. 6. Известны входной ток и входное напряжение цепи: ( ) = ( ) = 1,41 sin(1000 − 60°) 1,41 sin(1000 + 30°) А, В. Определить активную и реактивную мощности цепи. 7. Записать выражение для комплексного сопротивления электрической цепи, ток и напряжение которой ( ) = 147 sin(200 + 102°) А, ( ) = 14,2 sin(200 + 155°) В. ° 8. Входной ток приемника электрической энергии ̇ = 10 А, ° входное напряжение ̇ = 100 В. Определить активную и реактивную мощности приемника. 9. Как изменится значение действующего тока, протекающего по двум последовательно включенным индуктивно-связанным катушкам индуктивности без сердечника, если их согласное включение заменить на встречное? 10. Как изменится значение активной мощности цепи синусоидального тока, состоящей из двух последовательно соединенных индуктивно-связанных катушек индуктивности, если изменить их способ включения со встречного на согласное? 43 11. Задана ветвь AB цепи. Выразить ток в этой ветви, через ̇ , и ̇ . 12. Задана ветвь AB цепи. Выразить ток в этой ветви, через ̇ , и ̇ . 13. Задана ветвь AB цепи. Выразить ток в этой ветви, через ̇ , и ̇ . 14. Задан контур, входящий в сложную цепь. Выразить напряжение ̇ через величины ̇ , , ̇, ̇ , и ̇. 15. Задан контур, входящий в сложную цепь. Выразить ̇ напряжение через величины ̇ , , ̇, и ̇. 16. Заданный контур входит в состав сложной цепи. Составить уравнение по второму закону Кирхгофа. 44 17. Заданный контур входит в состав сложной цепи. Составить уравнение по второму закону Кирхгофа. 18. Найти напряжение ̇ 19. Определить напряжение ̇ 20. На рисунке показана часть сложной цепи постоянного тока. Составить уравнения по законам Кирхгофа и найти значения токов в ветвях, если = 100 В, = 130 В, = 8 А, = 3 Ом, = 5 Ом, = 70 В. . . 45 21. Определить напряжение ̇ 22. Определить, какие из трех источников ЭДС работают в режиме генератора, а какие потребителя, если = 6 Ом, = 8 Ом, = 3 Ом, = 10 В, = 20 В, = 30 В. Определить, какие из трех источников ЭДС работают в режиме генератора, а какие потребителя, если = 6 Ом, = 8 Ом, = 3 Ом, = 10 В, = 30 В, = 30 В. Определить, какие из трех источников ЭДС работают в режиме генератора, а какие потребителя, если = 6 Ом, = 8 Ом, = 3 Ом, = 10 В, = 40 В, = 10 В. Составить систему уравнений по методу контурных токов. 23. 24. 25. . 46 26. Составить систему уравнений по методу узловых потенциалов, приняв за базисный узел точку 0. 27. Составить систему уравнений по методу узловых потенциалов, приняв за базисный узел точку 0. Составить систему уравнений по методу узловых потенциалов, приняв за базисный узел точку 0. 28. 29. Составить систему уравнений по методу узловых потенциалов, приняв за базисный узел точку 0. 47 30. Выразить ̇ напряжение через параметры цепи. 31. К зажимам двухполюсника, внутренняя схема которого неизвестна, подается постоянное напряжение, измеряемое вольтметром. При двух различных значениях этого напряжения измерены два соответствующих значения тока (см. таблицу). Определить параметры генератора (RГ, EГ), эквивалентного двухполюснику. U, В I, А 10 5 40 2 32. Определить ток I в ветви ab, если известна вольт-амперная характеристика = ( ) активного двухполюсника, а также = 10 Ом, = 50 В. 33. Найти ЭДС Г генератора, эквивалентного цепи. 34. Зажимы двухполюсника, внутренняя схема которого неизвестна, замкнуты на сопротивление R. При двух различных значениях этого сопротивления измерены соответствующие значения тока I. Определите параметры генератора, эквивалентного двухполюснику. 48 R, Ом I, А 35. 36. 37. 38. 3 6 8 3,5 Дано = 50 В, = 70 В, = 15 Ом, =9 Ом. Определить ЭДС Г генератора, эквивалентного заданной цепи. Дано = 54 В, =9 В, = 18 Ом, =5 Ом, = 12 В. Определить ЭДС Г генератора, эквивалентного заданной цепи. Определить ЭДС Г генератора, эквивалентного заданной цепи, если = 50 В, = 4 В, = 16 Ом, = 7 Ом, = 18 Ом. Выразить показание вольтметра через параметры цепи постоянного тока. 39. Определить показание вольтметра, если = 100 В, = = = = = 5 Ом. 49 = = 50 В, Библиографический список 1. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи: учеб. пособие / Г.И. Атабеков. -6-е изд., стер. - СПб: Лань, 2008. – 592 с. 2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 1996. – 638 с. 3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: учебное пособие для бакалавров; сборник задач.- 5-е изд., испр. и доп. – Юрайт, 2015. – 527 с. 4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи.- Учебник для бакалавров.- 12-е изд., испр. и доп. – Юрат, 2016. – 701 с. 5. Кузнецова Е.В., Павин Н.Я. Методы анализа линейных электрических цепей синусоидального тока: Уч. пос. – Владивосток: Дальрыбвтуз, 1999. – 56 с. 6. Кузнецова Е.В., Павин Н.Я. Анализ стационарных состояний линейных электрических цепей переменного тока: Уч. пос. – Владивосток.: Дальрыбвтуз, 1998. – 132 с. 7. Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для энерг. и приборст. спец. вузов.- 3-е изд., перераб. и доп./ Л.А. Бессонов, И.Г. Демидова, М.А. Заруди и др.; Под ред. Л.А. Бессонова.- М.: Высш. Шк., 1988. – 543с. 8. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. проф. П.А. Ионкина.- М.:Энергоатомиздат, 1982. – 768 с. 9. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1.- 4-е изд./ К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин.- СПб.: Питер, 2003. – 463 с. 10. Шебес М.Ф., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. – М.: Высш. шк., 1990. – 544 с. 50 Оглавление ВВЕДЕНИЕ 1 Методы анализа сложных линейных электрических цепей 1.1 Общие сведения 1.2 Анализ электрической цепи по законам Кирхгофа 1.3 Метод контурных токов 1.4 Метод узловых потенциалов 1.5 Метод эквивалентного генератора 2 Анализ электрических цепей, содержащих индуктивносвязанные элементы 3 Методы контроля и оценки численных результатов 4 Задача Приложение 1 Приложение 2 Библиографический список 51 3 4 4 6 9 12 14 19 23 31 42 43 50
