diss Kostina

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД Уральского отделения Российской академии наук На правах рукописи Костина Анастасия Андреевна МОДЕЛИРОВАНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ ПРИ НЕУПРУГОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ И РАЗРУШЕНИИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ 01.02.04 – механика деформируемого твёрдого тела Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: доктор физико-математических наук, Плехов Олег Анатольевич Пермь-2016 2 Оглавление Введение………………………………………………………………………………..6 Глава 1. Экспериментальное исследование и теоретические модели расчета баланса энергии при неупругом деформировании и разрушении металлов Введение……………………………………………………………………………16 1.1 Экспериментальное исследование баланса энергии в процессе неупругого деформирования металлов………………………………………………………...17 1.2 Теоретические подходы к описанию баланса энергии в процессе неупругого деформирования металлов…………………………………………..26 1.2.1 Макрофеноменологические деформирования металлов, модели позволяющие упругопластического рассчитывать баланс энергии…………………………………..………………………………………….26 1.2.2 Определение баланса энергии в металле при неупругом деформировании на основе дислокационных моделей………………………………………………31 1.2.3 Комбинированный подход к определению баланса энергии в процессе неупругого деформирования гетерогенных материалов………………………...36 1.2.4 Некоторые модели расчета баланса энергии при циклическом деформировании металлов………………………………………………………...37 1.3 Энергетические соотношения для описания скорости роста усталостной трещины в металле…………………………………………………………………43 1.4 Накопленная энергия как критерий разрушения материалов……………….47 Выводы……………………………………………………………………………...50 Глава 2. Термомеханическая модель упруго-пластической среды с дефектами Введение…………………………………………………………………………….53 2.1 Общие соотношения термодинамики…………………………………………55 2.2 Общие принципы построения определяющих соотношений с внутренними переменными для описания упруго-пластической среды……………………….56 3 2.3 Общие принципы построения определяющих соотношений упругопластической среды с помощью нескольких диссипативных функций………..59 2.3.1 Определяющие соотношения для материалов с механическим поведением, слабо зависящим от скорости деформирования………………………………….60 2.3.2 Определяющие соотношения для материалов с механическим поведением, зависящим от скорости деформирования………………………………………...61 2.4 Определяющие соотношения упруго-пластического деформирования металлов, построенные с помощью линейной термодинамики необратимых процессов…………………………………………………………..……………….62 2.5 Модификация определяющих соотношений для описания упруго- пластического деформирования металлов с учетом двух диссипативных функций……………………………………………………………………………..66 2.6 Анализ предложенных определяющих соотношений……………………….73 2.6.1 Определение производства энтропии в процессе неупругого деформирования образца из армко-железа ……………………………………....73 Оценка 2.6.2 структурно-чувствительного параметра при одноосном растяжения образца из армко-железа……………………………………………..80 Выводы……………………………………………………………………………...82 Глава 3. Методы численного моделирования баланса энергии при деформировании и разрушении Введение…………………………………………………………………………….84 3.1 Алгоритм реализации в пакете Simulia Abaqus термомеханической модели для описания упруго-пластического деформирования и разрушения металлов…………………………………………………………………………….85 3.1.1 Построение модели поведения материала с использованием технологии UMAT (User Material)………………………………………………………………85 3.1.2 Построение критерия разрушения материала на основе функции UDMGINI (User Damage Initiation)………………………………………………..89 4 3.2 Моделирование поведения трещин в металлах с помощью расширенного метода конечных элементов (XFEM)……………………………………………..91 3.2.1 Основные соотношения расширенного метода конечных элементов…….92 3.2.2 Моделирование процесса распространения трещины когезионным методом……………………………………………………………………………...92 3.2.3 Метод функции уровня………………………………………………………93 3.3 Расчет параметров линейной механики разрушения………………………...94 3.3.1 Прямой метод расчета J-интеграла для плоских задач…………………….95 3.3.2 Прямой метод расчета J-интеграла для трехмерных задач……………….97 3.3.3 Расчет J-интеграла методом податливости………………………………...99 3.3.4 Пример расчета J-интеграла для образца с боковой трещиной…….........101 Выводы………………………………………………………………………….....103 Глава 4. Численное моделирование диссипации и накопления энергии при деформировании и разрушении металлов Введение…………………………………………………………………………...105 4.1 Моделирование напряженно-деформированного состояния при квазистатическом деформировании металлов…………………………………..106 4.1.1 Постановка задачи о расчете напряженно-деформированного состояния при квазистатическом деформировании с учетом эволюции дефектов……….106 4.1.2 Примеры расчета напряженно-деформированного состояния для стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титана ОТ4-0……………………………………..109 4.2 Моделирование баланса энергии при квазистатическом растяжении металлов…………………………………………………………………………...114 4.2.1 Постановка задачи расчета баланса энергии в металлах при квазистатическом деформировании……………………………………………..115 4.2.2 Примеры расчета баланса энергии в процессе деформирования стали 03Х18Н11, 08Х18Н10, титана ОТ4-0…………………………………………….115 4.3 Моделирование процесса разрушения металлов……………………………122 4.3.1 Моделирование процесса зарождения трещины в стали 08Х18Н10…….123 5 4.3.2 Моделирование скорости роста усталостной трещины в титановом сплаве ОТ4-0……………………………………………………………………………….127 4.3.3 Моделирование пути распространения трещины при кручении цилиндрического образца и разрушения опоры подшипника из стали 08Х18Н10………………………………………………………………………….133 Выводы…………………………………………………………………………….136 Заключение………………………………………………………………………….138 Список литературы………………………………………………………………...140 6 Введение Актуальность темы исследования. Необходимость повышения экономической эффективности разработки современных машин и механизмов требует перехода от натурного к виртуальному проектированию и введения в инженерную практику таких понятий, как компьютерная модель изделия или электронный виртуального прототип. Получение проектирования достоверных требует создания результатов на адекватных основе моделей деформирования и разрушения материала, описывающих процессы эволюции его структуры. При этом разрабатываемые модели должны иметь простую алгоритмическую реализацию и быть адаптированными для использования в коммерческих конечно-элементных пакетах. Одним из перспективных подходов к построению моделей деформирования и критериев разрушения материала является подход, основанный на анализе баланса энергии в материале в процессе его деформирования. Диссертационная работа посвящена анализу существующего состояния развития моделей деформирования и разрушения металлов, описывающих процессы накопления энергии в материале, построению модели упруго-пластического деформирования и разрушения металлов и сплавов, позволяющей описывать эволюцию структурных дефектов в материале на основе принципов термодинамики необратимых процессов и ее адаптации для использования в конечно-элементном пакете Simulia Abaqus. Степень разработанности темы исследования. При создании термомехнических моделей неупругого деформирования металлов необходимо учитывать тот факт, что только часть работы пластической деформации превращается в тепловую энергию, вызванную движением и аннигиляцией дефектов различных структурных уровней. Оставшаяся доля энергии запасается в упругих полях дефектов. Начало исследования вопроса накопления энергии в металлах при неупругом деформировании было положено в работах А. Треска, G.I. Taylor, W.S. Farren и 7 M.A. Quinney. В 60е-80е годы прошлого столетия значительный вклад в развитие данной тематики внесли такие советские ученые, как В.Е. Панин, М.А. Большанина, В.В. Федоров, В.С. Иванова. Современные экспериментальные исследования в этой области представлены в работах D. Rittel, P. Rosakis, A. Chrysochoos, W. Oliferuk, J. Hodowany, О.А. Плехова. Критерии разрушения, основанные на величине накопленной энергии, развиваются А.Р. Арутюняном, V.V.C. Wan и J.P. Crete. Еще в 1973 году M.B. Bever отметил, что существует проблема, связанная с большим разбросом величины накопленной энергии для одного и того же материала, полученной разными исследователями. В связи с этим возникает необходимость построения модели, способной предсказывать величину накопленной энергии в процессе неупругого деформирования металлов с учетом истории деформирования, влияния начальной структуры материала, и объяснять механизмы, ответственные за это явление. В результате анализа работ J.-L. Chaboche, P. Rosakis, L. Stainnier, M. Brunig, Y. Xiao, J. Chen, D. Helm, S. Dumoulin, A. Saai, M. Gurtin, L. Anand, H. Schreyer можно сделать вывод об отсутствии подхода, обладающего термодинамической строгостью, описывающего эффекты «насыщения» накопленной энергии, и удобного для компьютерной реализации. Таким образом, прогнозировать проблема построения величину накопленной и модели, способной диссипированной адекватно энергии при неупругом деформировании металлов, до сих пор не является решенной в полном объеме. Особенно актуальным является разработка модели, описывающей баланс энергии при квазистатическом и циклическом нагружениях, как наиболее часто встречающихся в инженерной практике. Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка феноменологической модели неупругого деформирования и разрушения металлов, позволяющей рассчитывать баланс энергии в материале при произвольном трехмерном квазистатическом или циклическом нагружении, и 8 ее адаптация для использования в коммерческих пакетах конечно-элементного моделирования. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: 1. Определение тензорных параметров, описывающих эволюцию структуры материала, законов их изменения в процессе деформирования и построение термодинамической модели, позволяющей проводить расчет баланса энергии в деформируемом материале. 2. Разработка критериев разрушения материала на основе расчета величины и скорости накопления энергии. 3. Разработка алгоритмов адаптации модели и критерия прочности для использования в конечно-элементном пакете Simulia Abaqus. 4. Расчет баланса энергии при:  квазистатическом растяжении образцов из стали 03Х18Н11, стали 8Х18Н10, титана ОТ4-0;  зарождении и распространении трещины в образце из стали 08Х18Н10 при квазистатическом растяжении и в условиях сложного напряженно-деформированного состояния;  распространении усталостной трещины в образце из титанового сплава ОТ4-0. Научная новизна. Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем: • построена термодинамическая модель расчета баланса энергии при неупругом деформировании металлов и сплавов; • проведена оценка вида скорости изменения введённого структурного параметра на основе результатов численного моделирования и результатов обработки экспериментальных данных о балансе энергии в материале в процессе деформирования; • установлена связь между коэффициентом упрочнения и скоростью накопления энергии, описан эффект «насыщения» энергии, как предвестник разрушения металла; 9 • показано преимущество энергетического подхода к описанию скорости распространения усталостной трещины по сравнению с традиционными феноменологическими. Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в построении модели деформирования и разрушения металлов, позволяющей определять величину накопленной и диссипированной энергии при различных историях нагружения. Практическая значимость работы заключается в адаптации модели для использования в конечно-элементном пакете, что позволит проводить с ее помощью расчет прочности реальных металлических конструкций. Разработанный математический аппарат позволяет определять скорость диссипации энергии в металлических материалах при деформировании и разрушении. Полученные результаты могут быть использованы как при анализе результатов метода теплового неразрушающего контроля, так и для проведения уточненных расчетов напряженно-деформированного состояния металлов с учетом эффекта саморазогрева. Методология и методы исследования. В рамках диссертационной работы использовались подходы теории определяющих соотношений для разработки уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние материала и позволяющих рассчитывать баланс энергии. Численное моделирование проводилось методом конечных элементов (FEM) и расширенным методом конечных элементов (XFEM). Положения, выносимые на защиту: 1. Математическая модель, позволяющая рассчитывать величины накопленной и диссипированной деформированного энергий, состояния с при учетом многоосного квазистатическом и напряженноциклическом нагружении металлов и сплавов. 2. Алгоритмы адаптации модели накопления и диссипации энергии и критерия разрушения, основанного на величине накопленной энергии, для 10 использования в коммерческих пакетах конечно-элементного моделирования. 3. Результаты численного моделирования эволюции накопленной энергии и эффекта ее «насыщения» при переходе к макроскопическому разрушению в процессе квазистатического растяжения стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титана ОТ4-0. 4. Результаты численного моделирования процессов зарождения и распространения трещины в образцах из стали 08Х18Н10 с использованием критерия разрушения, основанного на величине накопленной энергии. 5. Результаты численного моделирования баланса энергии в вершине усталостной трещины и прогнозирование скорости ее распространения в титановом сплаве ОТ4-0. Степень полученных достоверности результатов и апробация обуславливается результатов. соблюдением Достоверность фундаментальных физических принципов при построении модели деформирования, выполнением требований проведения численного эксперимента, хорошим согласованием результатов численного моделирования как с оригинальными экспериментальными данными, полученными в ИМСС УрО РАН, так и экспериментальными данными других авторов. Результаты работы были представлены на следующих международных и российских научных конференциях: XVIII Зимняя школа по механике сплошных сред (18-22 февраля 2013 г., Пермь, Россия), 13th International Conference on Fracture (Beijing, China, 16-21 June, 2013), 7th International Conference on Materials Structure & Micromechanics of Fracture (Brno, Czech Republic, July 1–3, 2013), International Workshop “Failure of Heterogeneous Materials under Intensive Loading: Experiment and Multi-scale Modeling”(10-14 February, 2014, Perm, Russia), XXI Петербургские чтения по проблемам прочности (Санкт-Петербург, Россия, 15-17 апреля 2014), 11th World Congress on Computational Mechanics (July 20-25, 2014, Barcelona, Spain), XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, Россия, 20-24 августа 2015), 11 «Перспективные материалы с иерархической структурой для новых технологий и надежных конструкций» (Томск, Россия, 21-25 сентября 2015). Личный вклад автора заключается в участии в разработке термодинамческой модели для описания баланса энергии в процессе неупругого деформирования металлов, разработке, написании и отладке всех численных алгоритмов, представленных в работе, проведении численных экспериментов и сопоставлении их результатов с результатами других авторов и результатами экспериментов. Публикации. Результаты диссертации представлены в 19 научных публикациях, 11 из которых проиндексированных в международных системах цитирования и, входят в список журналов, рекомендованных ВАК. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 153 страницы и содержит 52 рисунка, список цитированной литературы состоит из 128 наименований. Во введении обсуждается актуальность диссертационной работы, степень разработанности темы исследования, формулируется цель и задачи, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, перечисляются методы исследования, отмечается личный вклад автора, представляются положения, выносимые на защиту, описываются апробация результатов и структура диссертации. Первая глава диссертации носит обзорный характер. В ней приведены основные экспериментальные и теоретические результаты исследования баланса энергии в металлах и сплавах в процессе их неупругого деформирования. Во второй главе диссертации получены определяющие соотношения для описания неупругой деформации, основанные на обобщении разработанной ранее в ИМСС УрО РАН статистико-термодинамической модели среды с дефектами. Для характеристики дефектной структуры материала вводится тензор плотности дефектов, который определяется усреднением по статистическому ансамблю микросдвигов и совпадает по смыслу с деформацией, обусловленной дефектами. Введение такого параметра позволяет разделить неупругую деформацию на 12 диссипативную (пластическую), связанную с движением дефектов, и структурную, ответственную за зарождение и рост дефектов. Кроме того, тензор плотности дефектов выступает в качестве независимой термодинамической переменной, что позволяет получить термодинамический потенциал системы «твердое тело с дефектами» и, как следствие, определить величину накопленной энергии. В параграфах 2.1 и 2.2 приводятся основные термодинамические соотношения для описания упруго-пластической среды с дефектами. В параграфе 2.3 рассмотрены общие принципы построения определяющих соотношений для описания процессов неупругой деформации с помощью введения нескольких диссипативных функций, разделяющих процессы пластического деформирования и накопления повреждений. В параграфе 2.4 рассмотрено построение определяющих соотношений для определения баланса энергии в материале на основе гипотезы локального равновесия и линейной связи между термодинамическими силами и потоками. Параграф 2.5 посвящен модификации уравнений, полученных в разделе 2.4 с помощью введения нескольких диссипативных функций для расчета неупругого поведения материалов, слабо чувствительных к изменению скорости деформации. На основе разработанной модели, в параграфе 2.6 проведен теоретический анализ, направленный на определение величины энтропии и структурной деформации при неупругом деформировании металлов по данным эволюции температурных полей. Предложенный подход проиллюстрирован на примере расчета величины энтропии и структурной деформации при квазистатическом растяжении образца из армко-железа. В третьей главе приведено описание разработанных алгоритмов и методов численного моделирования, использованных в данной работе. Параграф 3.1 посвящен разработке алгоритмов реализации термомеханической модели, полученной во второй главе, и критерия разрушения, основанного на величине накопленной энергии, для расчета в пакете конечноэлементного моделирования Simulia Abaqus. Для определения напряженно- 13 деформированного состояния, возникающего в материале в процессе неупругого деформирования, была использована функция UMAT. Для реализации критерия разрушения, основанного на величине накопленной энергии, применялась функция UDMGINI. Параграф 3.2 посвящен описанию расширенного метода конечных элементов (XFEM), используемого в работе для моделирования процессов зарождения и распространения трещин. Данный метод позволяет преодолеть недостатки метода конечных элементов при моделировании трещин. Главным достоинством расширенного метода конечных элементов является возможность моделирования процесса распространения трещины без перестраивания сетки с помощью использования дополнительных (разрывных) функций для элементов, содержащих трещину. В параграфе 3.3 приведено описание методов, используемых в работе для определения параметров линейной механики разрушения, в частности, для расчета J-интеграла. Рассмотрены методы расчета данного параметра в трехмерном и плоском случаях, а также метод податливости, сформулированный Д. Райсом. Проведено сравнение этих методов на примере расчета J-интеграла для образца с боковой трещиной. Четвертая глава посвящена численному моделированию процессов диссипации и накопления энергии при деформировании и разрушении металлов, на основе полученных во второй главе соотношений, и алгоритмов реализации, описанных в третьей главе. Параграф 4.1 посвящен моделированию напряженно-деформированного состояния металлов и сплавов. Для решения этой задачи были использованы следующие уравнения: геометрическое соотношение для определения полных деформаций, закон Гука, связывающий тензор напряжений с тензором упругих деформаций, определяющие соотношения для структурной и пластической деформаций, уравнения равновесия. Данная система уравнений применялась для расчета кривых зависимости напряжения от деформации при квазистатическом нагружении образцов из стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титанового сплава 14 ОТ4-0. Результаты моделирования количественно совпадают с экспериментальными данными. В параграфе 4.2 проиллюстрировано применение разработанной модели, для описания баланса энергии при квазистатическом нагружении металлов и сплавов. Представлены результаты расчета скорости накопления энергии в зависимости от величины деформации для стали 03Х18Н11. Исследована взаимосвязь характера упрочнения материала и скорости накопления энергии для стали 03Х18Н11. Для образца из стали 08Х18Н10 проведен расчет накопленной энергии в зависимости от величины деформации с помощью модели, описанной во второй главе и геометрического метода, представленного в работе W. Oliferuk. Для образца из титанового сплава ОТ4-0 рассчитаны величины работы пластической деформации, накопленной и диссипированной энергий при его квазистатическом растяжении. Модель позволила описать экспериментальные результаты, согласно которым, значительная часть работы пластической деформации запасается в материале. В параграфе накопленной 4.3 энергии приведены для примеры задач применения разрушения расчета металлов. величины Рассмотрено моделирование зарождения и распространения трещины при квазистатическом растяжении гладкого образца из стали 08Х18Н10 на основе критерия достижения скорости накопления энергии нулевого значения. Показана возможность применения разработанных множественного зарождения алгоритмов трещин и расчета отклонения для пути моделирования трещины от прямолинейного распространения. Для образца из титанового сплава ОТ4-0 проведен расчет скорости роста усталостной трещины согласно энергетическому уравнению, предложенному в работах A. Chudnovsky, J. Short. Проведено сравнение полученных результатов с законом Пэриса. Показано, что уравнение, учитывающее баланс энергии, лучше описывает экспериментальные данные. Результаты моделирования пути распространения трещины при циклическом кручении цилиндрических образцов из стали 08Х18Н10 находятся в согласовании с результатами, опубликованными в работе F. Rabold и M. Kunа. 15 В заключении сформулированы следующие основные результаты диссертационной работы. 1. Построена математическая модель, описывающая механическое и термодинамическое поведение металлов и сплавов, а также эволюцию накопленной и диссипированной энергий при квазистатическом и циклическом деформировании. 2. С целью верификации модели, построена зависимость, описывающая изменение величины структурной деформации в процессе квазистатического нагружения металлов. 3. Предложен подход, позволяющий определить изменение энтропии при неупругом деформировании металлов, на основе анализа экспериментальных данных эволюции температуры поверхности образца в процессе деформирования. 4. Предложены и реализованы алгоритмы на языке программирования FORTRAN, позволяющие моделировать процессы неупругого деформирования и разрушения металлов с учетом баланса энергии в их структуре, с использованием конечно-элементного пакета Simulia Abaqus. 5. Решена задача определения напряженно-деформированного состояния и баланса энергии в структуре материала при квазистатическом нагружении образцов из стали 08Х18Н10, стали 03Х18Н11, титанового сплава ОТ4-0. 6. Проведено численное распространения моделирование трещины в образце процессов зарождения из 08Х18Н10 стали и при квазистатическом деформировании и в условиях сложного напряженнодеформированного состояния с помощью критерия, основанного на величине накопленной энергии. 7. Проведено численное моделирование процесса распространения усталостной трещины в титановом сплаве ОТ4-0 на основе расчета баланса энергии в зоне разрушения. 16 Глава 1. Экспериментальное исследование и теоретические модели расчета баланса энергии при неупругом деформировании и разрушении металлов Введение Исследованию вопроса накопления энергии в металлах при неупругом деформировании посвящено большое количество работ. Треска в 1874 году обнаружил, что 90% работы, затраченной на пластическое деформирование поликристаллической меди, превращается в тепловую энергию [1]. В дальнейшем, интерес к исследованию генерации тепла в процессе неупругого деформирования был проявлен в 1925 году в работе Тейлора и Фаррена [2], которые заинтересовались наблюдениями доктора Синната. Опыты Синната показали, что только десятая часть работы переходит в тепло, оставшаяся часть работы предположительно идет на изменение структурного состава материала. Тейлор и Фаррен в опытах на растяжение стали, меди и алюминия получили противоположные результаты, повторившие выводы Треска. Проведенные в 1934 году эксперименты на кручение и сжатие чистой меди и мягкой стали показали сравнимые с Треска результаты [3]. Несмотря на интерес к определению баланса энергии в процессе неупругого деформирования, проявляемый исследователями с первой четверти ХХ века, этот вопрос до сих пор остается недостаточно выясненным и требует дальнейшего изучения. Обзор работ, выполненных до 1973 года, представлен в [4]. В настоящее время существует острая необходимость подготовки аналитического обзора теоретических и экспериментальных работ, выполненных после выхода обзора [4]. В первом параграфе данной главы приведен обзор экспериментальных исследований баланса энергии при различных видах нагружений. Во втором параграфе приведен анализ теоретических работ, посвященных моделированию процессов диссипации и накопления энергии при квазистатическом и циклическом деформировании. В третьем параграфе рассмотрены уравнения, 17 описывающие скорость роста усталостных трещин, полученные с помощью рассмотрения баланса энергии в вершине трещины. Заключительный параграф посвящен обзору критериев разрушения металлов, основанных на критической величине накопленной энергии. 1.1 Экспериментальное исследование баланса энергии в процессе неупругого деформирования металлов В данном разделе приведен краткий обзор ключевых работ (по мнению автора), посвященных экспериментальному определению накопленной энергии. В работе [4] отмечается, что существует проблема, связанная с большим разбросом значений накопленной энергии, полученных разными исследователями при деформировании одного и того же материала. На рисунке 1.1 представлены экспериментальные данные о величине накопленной энергии меди, полученные в процессе ее неупругого деформирования разными исследователями. Автор обзора связывает разброс в значении накопленной энергии с применением разных методов ее определения, а также с различной внутренней структурой материала. Рисунок 1.1 – Экспериментальные значения накопленной энергии для меди в зависимости от затраченной работы, полученные разными исследователями [4] 18 В работах Федорова В. В. [5] было высказано предположение, что накопленная энергия является интегральным параметром, характеризующим внутреннюю структуру материала. Работа пластической деформации и выделенное тепло при всех (в том числе и круговых) процессах отличны от нуля. Следовательно, эти величины не являются функциями состояния, а являются функциями процесса. С точки зрения Федорова В. В., функцией однозначно характеризующей состояние материала, является накопленная энергия. Экспериментальные результаты Федорова В. В. также показали, что критическое значение накопленной энергии может рассматриваться в качестве критерия разрушения металла. На рисунке 1.2 представлены критические значения зависимости от амплитуды циклических плотности накопленной напряжений энергии в для различных видов сталей. Можно отметить, что амплитуда циклических напряжений практически не влияет на критическую величину накопленной энергии, следовательно, она также не зависит от числа циклов до разрушения. Таким образом, Федоров делает вывод, что критическое значение накопленной энергии является постоянной величиной для заданного материала и может быть использовано в качестве критерия его разрушения. (а) (б) Рисунок 1.2 – Критические значения изменения плотности накопленной энергии E*s для сталей при различных значениях амплитуды напряжений a : (а) сталь 25(о), сталь 2Х13(о), сталь 40Х(о); (б) сталь 45(о), сталь 45(н), сталь 45(у)[5] 19 Интересным является также развитие Федоровым В. В. идеи об аналогии между процессами разрушения кристаллических тел и их плавлением. Суть этой гипотезы заключается в сопоставлении энергии, затраченной на разрушение образца, с одной из термодинамических характеристик материала (скрытой теплотой плавления, энтальпией материала в твердом или жидком состояниях). Федоровым В. В. было экспериментально показано [5], что критическое значение изменения плотности накопленной энергии для сталей в отожженном состоянии близки к энтальпии железа при температуре плавления в твердом состоянии. Расчет доли накопленной или диссипированной энергии обычно выполняется с помощью введения коэффициента Тейлора-Квинни  . В этом случае уравнение баланса энергии имеет вид: kT    3  2  Te0   : p  cT , где k - коэффициент теплопроводности, расширения, (1.1)  - коэффициент теплового  ,  - постоянные Ламе,  - плотность материала, c - удельная теплоемкость, T - абсолютная температура. Точка над буквой означает полную производную по времени,   2 2 2   . Здесь предполагается, что полная x 2 y 2 z 2 деформация (  ) состоит из упругой (  e ) и пластической (  p ) составляющих,  e0 шаровая часть тензора упругих деформаций,  - тензор напряжений. В уравнении (1.1) величина  представляет собой отношение скорости совершенной работы к мощности диссипированной энергии. При адиабатических условиях ( kT  0 ) и при малости упругих деформаций по сравнению с пластическими, уравнение (1.1) можно переписать в более простом виде: diff ()Wp  cT , (1.2) где Wp   : p - скорость работы пластической деформации. В уравнении (1.2) нижний индекс «diff» подчеркивает тот факт, что величина diff представляет собой отношение скоростей рассматриваемых величин: 20 diff  cT . Wp Необходимо также отметить, что некоторыми авторами вводится интегральная величина int [6], представляющая собой следующее отношение: int  cT . dW  p Большинство экспериментальных подходов к определению величины int (или diff ) сводятся к расчету работы пластической деформации с помощью кривой нагружения и определения диссипированного тепла с помощью измерения температуры различными методами (с использованием калориметра, термопар, инфракрасных камер). В работе [7] нагрев образца в процессе деформирования имитировался пропусканием через него электрического тока, что позволяло с высокой степенью достоверности определить мощность тепловыделения по данным измерения температуры. Величина накопленной энергии при этом определялась как разность работы пластической деформации и диссипированной энергии. Результаты измерения накопленной энергии при квазистатичнском деформировании для отожженных (Т – сплав силицида железа, В – аустенитная сталь) и предварительно деформированного (2Т – сплав силицида железа) образцов представлены на рисунке 1.3. 21 Рисунок 1.3 – Зависимость накопленной энергии от работы пластической деформации в процессе однородного растяжения отожженных (Т – сплав силицида железа, В – аустенитная сталь) и предварительно деформированного (2Т – предварительно деформированный образец из сплава силицида железа) образцов [7] На рисунке 1.4 представлены скорости накопления энергии (величина (1- diff )) для тех же образцов. На начальной стадии пластического деформирования эти зависимости имеют максимум. В работе отмечается, что существует, по крайней мере, два механизма, ответственных за появление максимума скорости накопления энергии: образование высокоэнергетических дислокационных структур и внутренние напряжения, возникающие вследствие несовместности сдвигов в зернах разной ориентации. связан с изменением режима Максимум накопления энергии также деформирования. Возникновение полос локализованного сдвига вызывает уменьшение скорости накопления энергии. 22 Рисунок 1.4 – Зависимость скорости накопления энергии от работы пластической деформации при однородном деформировании (сплошная линия) и при неоднородном деформировании (маркеры) (T – сплав силицида железа, B – аустенитная сталь, 2T – предварительно деформированный образец из сплава силицида железа) [7] Представленные результаты показывают, что скорость накопления энергии в процессе пластического деформирования не является постоянной величиной и зависит от деформации, а также от истории нагружения (предварительного деформирования образца). В работе [8] для оценки баланса энергии в стали без атомов внедрения (interstitial free) используются методы корреляций цифровых изображений и инфракрасной термографии. На рисунке 1.5 (а) представлена зависимость работы пластической деформации, диссипированной и накопленной энергий от величины деформации для различных сечений образца (A, B и C). Отмечается, что кривые, соответствующие трем различным сечениям обладают качественным, но не количественным совпадением. С приближением к зоне локализации деформации наблюдается увеличение всех видов энергии. 23 На рисунке 1.5 (б) показана зависимость величины (1- int ) от деформации в различных сечениях образца A, B и C. Отрицательные значения на начальном этапе деформирования авторы объясняют недооцениванием интенсивности термоупругого источника. На начальном этапе деформирования наблюдается быстрый рост величины (1- int ) до достижения максимума, за которым следует небольшое уменьшение этой величины. (а) (б) Рисунок 1.5 – (а) Баланс энергии, рассчитанный для разных сечений образца (A,B и C): ws – величина накопленной энергии, wd – величина диссипированной энергии, win – работа пластической деформации. (б) Величина (1- int ) для разных сечений образца (A,B и C)[8] Результаты работы [8] отличаются от результатов [7], в которых наблюдается значительное уменьшение величины накопленной энергии с ростом приложенных деформаций. Авторы [8] отметили это различие и высказали предположение, что оно может быть вызвано использованием другого экспериментального метода и констатировали необходимость дальнейшего исследования данного вопроса. В работе [9], было установлено, что величина diff может зависеть не только от величины деформации, но и от ее скорости. Для определения эволюции тепла в процессе деформирования использовалась экспериментальная установка, 24 включающая в себя высокоскоростной фотопроводящий детектор и инфракрасную оптику. На рисунке 1.6 представлена зависимость diff от пластической деформации, полученная в процессе квазистатического сжатия  -титана с различными скоростями. При увеличении скорости деформации, способность материала накапливать энергию уменьшается. Материал не может накапливать энергию бесконечно, и при достижении некоторого критического уровня деформации, вся энергия диссипирует в тепло. Рисунок 1.6 – Зависимость величины diff от пластической деформации  p для -1 -1  -титана, полученная при разных скоростях деформирования (1 с , 3000 с )[9] В работе [10] предложен геометрический способ расчета накопленной энергии с помощью экспериментально определяемой кривой зависимости напряжения от деформации. По мнению авторов, площадь заштрихованной области на рисунке 1.7 представляет собой величину накопленной энергии. 25 Рисунок 1.7 – Схема расчета накопленной энергии при помощи геометрического метода Однако в работе [11] показано, что таким образом может быть определена только часть накопленной энергии, связанная с неоднородной пластической деформацией (энергия, представляющая собой сумму энергии растяжения решетки, энергии геометрически необходимых дислокаций и энергии внутренних напряжений, вызванных неоднородным распределением дислокаций). Таким образом, определение накопленной энергии, связанной с однородной деформацией, требует использования данных непосредственного измерения локальной температуры образца (например, с использованием инфракрасной термографии). В результате анализа приведенных экспериментальных исследований, можно сделать вывод об актуальности и необходимости разработки теоретических подходов для описания баланса энергии в процессе неупругого деформирования металлов. 26 1.2. Теоретические подходы к описанию баланса энергии в процессе неупругого деформирования металлов 1.2.1 Макрофеноменологические модели упругопластического деформирования металлов, позволяющие рассчитывать баланс энергии В данном разделе рассмотрены макроскопические модели, позволяющие рассчитывать баланс энергии в процессе неупругого деформирования металлов. Одним из возможных вариантов учета накопления энергии при пластическом деформировании металлов является введение коэффициента Тейлора-Квинни. Тогда величина скорости диссипации энергии Q будет определяться выражением: Q  diff Wp , где Wp - мощность пластической деформации, diff  const - коэффициент Тейлора-Квинни, являющийся постоянной величиной, лежащей в пределах от 0 до 1. Такой подход к учету накопления энергии можно встретить в работах [1216]. Однако, как показывают экспериментальные данные, приведенные в параграфе 1.1, величина diff зависит от скорости деформации, величины деформации и истории нагружения, поэтому гипотеза ее постоянства справедлива только для ограниченного класса задач. В работе [17] для описания деформационного поведения металлов применяется термодинамически согласованная упругопластическая модель, основанная на модели, предложенной в работе [18], включающая в себя критерий текучести Мизеса, ассоциированный закон течения, и две внутренние переменные нелинейного закона изотропного упрочнения для описания поведения высокопрочных сталей. Вследствие того, что кинематическое упрочнение обычно связывают с изменением пути деформирования и циклическим упрочнением, в данной работе оно не рассматривается. Показано, что эта простая модель способна описывать мощность локальных источников тепла, распространение 27 полос Людерса, эволюцию накопленной и диссипированной энергий. Для определения величины βdiff предлагается использовать следующее выражение: diff  Qp Wp   y   R i2 QRi i y   R i , i где  y – предел текучести, R i - параметр упрочнения, QRi - постоянная материала, связанная с его упрочнением, i  1,2 . С помощью данной модели не удалось описать эволюцию накопленной и диссипированной энергий в начале пластического режима, что связано со значительными диссипативными эффектами, вызванными распространением полос Людерса. Для того чтобы преодолеть этот недостаток, авторы предлагают использовать более сложные модели. В работе [19] рассматривается связанная термомеханическая вариационная теория вязкопластических деформаций и ее экспериментальная верификация. Величина накопленной энергии определяется путем явного задания выражения для определения пластической части свободной энергии W p , являющейся функцией скалярной внутренней переменной, ответственной за накопленную пластическую деформацию  p и температуры T : W p  W p   p ,T  . Выражение для определения коэффициента Тейлора-Квинни имеет вид: diff 1  W p p  c p   ,  (   ) :    p  : p   где  - тензор напряжений,  p - тензор скорости пластической деформации,  c  Tc   p , T c - тензор остаточных микронапряжений,  p - транспонированный T T тензор пластической деформации,  p - скорость накопленной пластической деформации. Полученные с помощью данной модели коэффициенты ТейлораКвинни для рассматриваемых в статье материалов (алюминия,  -титана и 28 тантала), находятся в хорошем согласовании с экспериментальными данными и зависят от величины деформации и скорости деформации. В работе [20] также использовалось разделение свободной энергии на две части: упругую и неупругую (ответственную за накопление энергии). Неупругая часть свободной энергии  s имеет вид: s (y, ye ,T)  где  (T) 2 ye  (T)k(T) y , 2 y - внутренняя переменная деформационного типа, y e - скалярная внутренняя переменная, характеризующая абсолютная температура. Слагаемое изотропное упрочнение, T -  (T) 2 ye необходимо для учета нелинейного 2 изотропного упрочнения. Функция (T) представляет собой наклон функции R , где R  (T) ye - термодинамическая сила, характеризующая изотропное упрочнение. Зависящая от температуры функция k(T) характеризует радиус поверхности текучести без изотропного упрочнения. Слагаемое (T)k(T) y определяет величину деформирования, в накопленной то время как энергии в процессе 1  (T)  k(T) y пластического определяет долю диссипированной энергии. Соотношение для  s позволяет записать накопленную энергию в виде: Es  1 R(y)2   ky , 2 где  , k ,  - параметры материала. В случае, когда функция R , характеризующая изотропное упрочнение, зависит только от внутренней переменной y , ее можно представить в виде:  R  y     1  Exp  my   , m где m - параметр упрочнения. В [21] эволюция накопленной энергии также связывалась с изменением пластической части свободной энергии  p , которая определялась выражением: 29  p  X :   Rp , где X и  - внутренние переменные, отвечающие за кинематическое упрочнение, R и p - внутренние переменные, отвечающие за изотропное упрочнение. В [22] предложен относительно простой (по мнению автора диссертационной работы) вариант расчета параметра βdiff : βdiff где  ( p ) 1 1 ,  p E (1.3)  - эквивалентное напряжение при одноосном растяжении, p - эквивалентная пластическая деформация, E - модуль Юнга. Использование степенного закона упрочнения позволяет переписать выражение (1.3) в следующем виде: βdiff  p  1 n   0  n 1 , где  0 - величина деформации, при которой в материале достигается предел текучести, n - показатель упрочнения. В работе [23] для вычисления коэффициента Тейлора-Квинни использована эмпирическая функция, позволяющая учитывать зависимость от скорости деформации  :    . diff  0.45  0.45tanh 0.6log  50   В работе [24] показано, что накопленная энергия E s является функцией некоторой внутренней переменной  . Коэффициент Тейлора-Квинни diff для случая одноосного нагружения имеет вид: diff  1    Es      p , где  - напряжение,  p - скорость пластических деформаций. В предположении, что   p выражение для определения diff принимает вид: diff  1    Es  p  p , 30 Функцию Es  p  можно определить из экспериментов на одноосное растяжение с помощью соотношения: p Es  p       p  d p  cT   p  , 0 где c - удельная теплоемкость, T - абсолютная температура. Величина p      d p p представляет собой работу пластической деформации (площадь под 0 кривой зависимости напряжения от пластической деформации). Температура определяется путем прямого измерения (например, с помощью инфракрасной камеры). Выражение для определения коэффициента Тейлора-Квинни с учетом конечных деформаций было предложено в работе [25]: diff  (1  2 T)  J 1 0 3 i F  , 2H i  p где  - коэффициент линейного температурного расширения, T - абсолютная температура,   J  I3 F - третий главный инвариант градиента места F , 0 - плотность материала в начальной конфигурации,  i - интенсивность напряжений, H - модуль пластического упрочнения,  - структурный параметр, F - часть t свободной энергии, связанная со структурным параметром, p   Din ( ) : Din ( )d 0 - накопленная мера пластической деформации, Din - тензор деформации скорости неупругих перемещений, t - время. На основании анализа экспериментальных данных, предложено два варианта   зависимости   p :   cA   (1A)exp 1A (p p 0 ) ,p p 0   1   ,   1  A exp  c    ,      p p0  p p0    31 и 2  a 0  p ,0p p1  a 1  b1p c1 2 p ,p1 p p 2 2   , a 2  b 2 p c 2  2 p ,p 2 p p 3  2  a 3  b3p c3 p ,p 3 p p 4 где c , A , a 0 , a1 , a 2 , a 3 , b1 , b 2 , b3 , c1 , c 2 , c3 , p0 , p1 , p2 , p3 , p4 - материальные параметры. В работе отмечается, что использование первой   зависимости имеет недостаток, связанный с поведением функции 1  p при p  0 . 1.2.2 Определение баланса энергии в металле при неупругом деформировании на основе дислокационных моделей Данный раздел посвящен рассмотрению теоретических подходов, позволяющих рассчитать баланс энергии на основании различных дислокационных моделей. В широком классе дислокационных моделей предполагается, что параметром, описывающим эволюцию накопленной энергии, является плотность дислокаций. В работе [26] для расчета мощности неупругой энергии Q p использовано выражение: 1 Qp   s  s  b2 . 2 s Здесь, первое слагаемое представляет собой скорость работы пластической деформации, зависящую от напряжений сдвига s на активных системах скольжения s и от скорости деформации  s на активных системах скольжения s . Второе слагаемое представляет собой скорость изменения накопленной энергии, связывающую ее с эволюцией плотности дислокаций  , модулем сдвига  и вектором Бюргерса b . Адекватность предложенного выражения для расчета мощности источников тепла проверялась с помощью моделирования эксперимента по 32 квазистатическому растяжению бикристалла алюминия. Начальные углы Эйлера для первого и второго зерна составляли:  1  193.20 , 1  48.500 , 1  10.700 ,  2  317.70 , 2  36.600 , 2  60.500 . Сравнение предложенной модели и экспериментальных результатов показало, что модель способна предсказывать основной тренд эволюции локальных источников тепла. Однако значение диссипации в материальных точках внутри первого зерна, рассчитанного с помощью модели, оказалось заниженным, а значение диссипации во втором зерне - завышенным. Модель также правильно предсказала локализацию высокодиссипативной зоны во втором зерне. В работе [27] приведено разделение механизмов, отвечающих за накопление энергии за счет разделения плотности дислокаций на плотность накопленных дислокаций acc и плотность дислокаций леса f . Таким образом, авторы выделяют два типа накопленной энергии:   acc  и   f  :   acc    f   acc   f       tan      tan    ,    tan  bn   f l   tan    ,  f bn где acc - вектор плотности накопленных дилоскаций, f - вектор плотности   дислокаций леса, f acc   acc    acc , f f    f  f - термодинамические силы,  tan    - касательный градиент скорости сдвига на системе скольжения  ,  - система скольжения, взаимодействующая с  , b n - величина нормальной компоненты вектора Бюргерса, l  - вектор кристаллографического действия (crystallographic action vector). Авторами работы [28] предложен аналогичный подход, в основе которого лежит термомеханическая градиентная модель пластичности монокристалла. Особое внимание авторы уделили определению энергии дефектов  p : 33  p (T, )   E CW ( )  T NCW ( ) ,   где  - вектор, характеризующий плотность дислокаций, величины  E CW ( ) ,  N  CW ( ) - внутренняя энергия и энтропия, связанные со статистически- накопленными и геометрически необходимыми дислокациями, T - абсолютная температура, индекс  обозначает систему скольжения по которой ведется суммирование. Для определения ECW ( ) величины авторы предлагают использовать следующее выражение: ECW ( )  0.5b2 , где  - модуль сдвига, b - величина вектора Бюргерса. Как отмечается в данной работе, энтропия дислокаций мала при умеренных и низких температурах, поэтому величиной T N CW ( ) можно пренебречь. Таким образом, энергия  дефектов будет иметь вид:  p  0.5b2   .  Для расчета коэффициента Тейлора-Квинни было предложено следующее выражение: diff  cT cT  cw p   div(   )  divq  q  M : E e ,  где c - удельная теплоемкость,   - скорость сдвига по системе скольжения  ,  - вектор микроскопических напряжений на системе скольжения  , q - вектор потока тепла, q - мощность источника тепла, M - температурный коэффициент модуля упругости, E e - скорость упругих деформаций, cw p   f cw    ,  fcw  0.5b2 - термодинамическая сила, связанная с внутренней энергией. При пренебрежении градиентными эффектами (  div(   )  0 ),  теплопроводностью ( q =0) и в предположении отсутствия внешних источников 34 тепла ( q =0), выражение для определения коэффициента Тейлора-Квинни принимает более простой вид: diff  cT . cT  cw p В работе [29] для определения βdiff предлагается следующее выражение: diff D  1  eff ,  где  D - эффективные напряжения диссипации, Σ eff - эффективные напряжения. Авторы конкретизируют выражения для определения  D и Σ eff , как функции безразмерной плотности дислокаций ρ :    / s , где s - параметр, характеризующий уровень насыщения дислокаций. В этом случае соотношение для определения коэффициента Тейлора-Квинни имеет вид: diff  1  Сd 1    0y  my  , где  , Сd - параметры материала, 0y - предел текучести материала в отожженном состоянии (  = 0),  my - максимально возможный предел текучести материала (при  = 1) . В работе [30] рассмотрена модель, предсказывающая почти линейный рост накопленной энергии с ростом плотности дислокаций. Предложена относительно простая модель для определения энергии, запасенной краевыми дислокациями:  1 N iGb2   P  Es   ln  Q   ,  N i1 4(1  )m   1/2 b i   где  – коэффициент Пуассона, m – средняя плотность дислокаций, b – величина вектора Бюргерса, G – модуль сдвига, Q – безразмерный параметр, характеризующий энергию дислокационного ядра, P – безразмерный параметр, принимающий значение 1, i – плотность дислокаций в зерне i, N – число зерен. 35 В результате расчетов показано, что эта модель способна адекватно описывать эволюцию накопленной энергии. A.A. Benzerga и соавт. [31] предложили прямой способ определения величины накопленной энергии с использованием модели дискретной дислокационной пластичности. Модель дискретной дислокационной пластичности позволяет получать положение дислокации в каждый конкретный момент времени, а значит, и получить распределения деформаций и напряжений на каждом шаге по времени. Наколенная энергия при таком подходе определяется как разность внутренней энергии, связанной с дислокационной структурой в текущем состоянии и начальном. Если в момент времени t1  0 свободная энергия  также равна нулю, то накопленная энергия в момент времени t 2 будет определяться выражением: Es    t 2   W e , где W e   2h  2l  2 2E - упругая энергия для плоско-деформированного состояния,   2h , 2l - размеры ГЦК – кристалла,  - тензор напряжений, E  E / 1   2 , E - модуль Юнга,  - коэффициент Пуассона. Свободная энергия  определяется выражением:    1 ˆ ˆ 1 1  : dV   ˆ :    : ˆ dV     j :  k   2V 2V 2 jk v   1 i i   1 i i i   :  dV  t  u dS  E     c 2 Ci i 2 V ˆ     i    , где  ̂  обозначает поля, являющиеся суперпозицией индивидуальных полей дислокаций в бесконечной среде, а    - поля изображений, обеспечивающие соблюдение граничных условий,  - тензор напряжений,  - тензор деформаций, V – объем рассматриваемого тела, Сi - поверхность дислокационного ядра i, исключенная из рассмотрения, V̂i  V \ Vi , Vi - объем дислокационного ядра i, исключаемый из рассмотрения, t - вектор усилий, u - вектор перемещений, E ic - 36 добавка, характеризующая расширение ядра дислокации. Данное выражение учитывает энергию ядра дислокации, энергию взаимодействия дислокаций, энергию поля изображения и энергию взаимодействия поля изображения и индивидуальных полей дислокации. Предложенный подход позволил авторам учесть влияние деформации, дислокационной структуры и ориентации кристаллита на эволюцию накопленной энергии. 1.2.3. Комбинированный подход к определению баланса энергии в процессе неупругого деформирования гетерогенных материалов Кроме вышеописанных подходов можно выделить комбинированный подход к определению баланса энергии, связывающий классическую термодинамику и процессы, происходящие на микроуровне. Такой подход описан в [32]. Рассматривается область  , включающая в себя трещины, а также другие несовершенства. Для определения коэффициента Тейлора-Квинни в данной работе предлагается следующее выражение: diff  D , D  Wi где D - диссипация, определяемая выражением: D   : Ei  Wi . Здесь,  - макроскопический тензор напряжений, E i - макроскопический тензор неупругих деформаций, W i - накопленная энергия, для которой справедливо соотношение, следующее из аддитивного разложения свободной энергии на обратимую и необратимую части: Wi  1 1 i 1 i  : C :  dV , V  2 где  - область, включающая в себя трещины, а также другие несовершенства, V - объем, соответствующий этой области, i - поле остаточных напряжений, C 37 - тензор упругих модулей, индексом i обозначены значения соответствующих величин при отсутствии внешних нагрузок (т.е. в точке разгрузки). Применение подобного подхода позволяет учитывать накопление энергии при деформировании гетерогенных сред (т.е., содержащих трещины и другие неоднородности). 1.2.4. Некоторые модели расчета баланса энергии при циклическом деформировании металлов В настоящем разделе рассмотрены модели, позволяющие рассчитывать баланс энергии при циклическом деформировании твердых тел. В работе [18] получены выражения, определяющие величину накопленной энергии для разных типов упрочнения на основе общих принципов термодинамики необратимых процессов. В качестве термодинамических микронапряжений независимых сил выступают тензор остаточных X , который может быть представлен в виде суммы переменных Xi ( X   Xi ), переменная, характеризующая i увеличение предела текучести R и напряжение торможения дислокаций D . Этим силам соответствуют термодинамические потки  , r ,  , эволюция которых представима в виде:   p , r  p,  n v p , n 1 D  где  p - скорость вязкопластических деформаций, p  2 p : p 3  1/2 - накопленная пластическая деформация,  v - параметр, характеризующий вязкие напряжения, v p - мощность вязкопластических деформаций, n - постоянная материала. 38 Эволюция накопленной энергии определяется путем дифференцирования по времени пластической части свободной энергии  p , определяемой выражением: p  1  Cii : i , 3 i где Ci - параметры материала, характеризующие скорость упрочнения. Скорость накопления энергии E s для случая чистого растяжения ( X11  2 X ) имеет вид: 3    Es    Xi p  i Xi2 p  , Ci i   где  i - коэффициенты динамического возврата. В данной работе также предложена конкретизация этих соотношений для разных типов уравнений, описывающих упрочнение в материале. В случае использования эволюционного уравнения поверхности текучести возможны два варианта, удовлетворяющие термодинамическим ограничениям. Первый вариант заключается в сопоставлении переменной r с накопленной пластической деформацией. В этом случае эволюция накопленной энергии определяется, как: Es  Rp . Второй вариант предполагает представление пластической части свободной энергии в виде квадратичной функции от внутренней переменной r . В этом случае скорость накопления энергии определяется, как:  R2  Es   R  p , Q   где Q – параметр материала. В случае использования эволюционного уравнения для напряжений торможения дислокаций, также имеется два варианта получения соотношений для определения накопления энергии, удовлетворяющих термодинамическим ограничениям. Первый случай предполагает следующий вид эволюционного уравнения для параметра  : 39 D    с 1   p ,  Q'  где с , Q' - параметры материала, и выражение для определения скорости накопления энергии принимает вид: Es  k D D 1 p ,  Q'  Q'  где k - начальный предел текучести. Во втором случае эволюционное уравнение для  имеет вид: D  p    1   v ,  Q'  D тогда эволюция накопленной энергии определяется, как: D  Es  1    v p .  Q'  В работе [33] рассмотрено применение макроскопических и поликристаллических моделей для описания накопления энергии в процессе циклического нагружения. Анализируется феноменологическая модель, предложенная Ohno и Wang [34] и, представляющая собой обобщение модели Chaboche [35]. Согласно этой модели скорость диссипации энергии  и скорость накопления энергии E s при кинематическом упрочнении в общем виде определяются соотношениями:   S: p   X(i) : (i) , i Es   X(i) : (i)   C(i)(i) : (i) , i i где S - девиаторная часть тензора напряжений Коши,  p - тензор пластических деформаций,  (i) - переменные изотропного упрочнения, X (i) - ассоциированные с ними термодинамические силы, C(i) - материальные параметры. При моделировании усталостного эксперимента на растяжение-сжатие, модели такого типа предсказывают полную диссипацию энергии, так как накопленная 40 энергия является одинаковой для всех циклов. Для моделей, содержащих одну переменную кинематического , упрочнения минимальное значение накопленной энергии, равное нулю, достигается при   0 , где   i : i . Учет нескольких переменных кинематического упрочнения, хотя бы одна из которых эволюционирует нелинейно, приводит к тому, что минимальное значение накопленной энергии за цикл становится отличным от нуля. Таким образом, величина накопленной энергии может зависеть от числа переменных кинематического упрочнения. Эволюция накопленной энергии в процессе усталостного испытания может быть учтена с помощью введения переменной изотропного упрочнения. Предположим, что начальное значение термодинамической силы R0 , определяемой переменной изотропного упрочнения R , равно пределу текучести. В этом случае потенциал диссипации имеет вид:   S: p   X(i) : (i)  Rr  S:  p   X(i) : (i)  R 0p , i i где r - параметр нелинейного изотропного упрочнения, R 0 - параметр материала, p - накопленная вязкопластическая деформация. При пренебрежении вкладом переменных, характеризующих кинематическое упрочнение, выражение для накопленной энергии может быть записано в следующем виде: Es  R 0 p . Расчет накопленной энергии при использовании моделей, содержащих разное количество кинематических переменных упрочнения, показывает, что ее величина существенно зависит от выбранного предела текучести. Чем выше предел текучести, тем больше величина накопленной энергии по отношению к полной работе пластической деформации. Чем больше количество переменных кинематического упрочнения, тем ниже значение переменной, характеризующей изотропное упрочнение, и тем ниже отношение накопленной энергии к работе пластической деформации. 41 В моделях неупругого деформирования поликристаллов правильный выбор необходимого числа переменных кинематического упрочнения становится еще более существенным. Рассмотрим модель, описанную в работе [36]. При таком подходе скорость диссипации энергии g в зерне определяется выражением: g   (s  st   s )   (s  s  Xss  R s rs ) , s s где s - проекция локального вектора напряжений на систему скольжения s ,  скорость вязкопластической деформации, X - термодинамическая сила, соответствующая кинематическому упрочнению,  st - общая скорость сдвига,  потенциал состояния, R - термодинамическая сила, соответствующая изотропному упрочнению,  - переменная кинематического упрочнения, r переменная изотропного упрочнения, нижний индекс s обозначает систему скольжения, по которой ведется суммирование. Скорость накопления энергии на уровне зерна E s g определяется выражением: Es g   (Xss  R s rs ) . s Накопленная энергия, определяемая переменными изотропного упрочнения, больше накопленной энергии, определяемой переменными кинематического упрочнения и, что более важно, возрастает от одного цикла к другому, как и в макроскопических моделях. Число переменных кинематического упрочнения слабо влияет на уровень накопленной энергии. Эволюция накопленной энергии, полученная с помощью поликристаллической модели, соизмерима с полученной при использовании макроскопической модели, в том случае, если макроскопическая модель содержит по крайней мере две переменных кинематического упрочнения. На макроскопическом уровне диссипация и накопленная энергия определяются выражениями (1.4) и (1.5) соответственно:      f g   (s  s  Xss  R s rs )  , g  s  (1.4) 42   Es   f g  gr : ge  gr : gp   (Xss  R s rs )  , g s   (1.5) где g - номер зерна, f g - определяет объем зерна g ,  e - тензор скорости упругой деформации,  p - тензор скорости пластической деформации,  r - тензор остаточных напряжений. Расчеты показали, что нет существенного различия в значениях int , полученных с помощью макроскопической и поликристаллической моделей. Однако поликристаллические модели позволяют разделить накопление энергии на внутризеренном и межзеренном уровнях, что может быть полезно при создании вероятностных моделей поврежденности. В этой работе также было приведено сравнение трех макроскопические моделей: модели линейного кинематического упрочнения с одной переменной, модели нелинейного кинематического упрочнения с одной переменной и модели нелинейного кинематического упрочнения с тремя переменными. Идентификация этих моделей проводилась с помощью результатов усталостного испытания, проведенного при частоте 8 кГц и числе циклов, равном 30000. Все модели корректно описывают зависимость напряжения от деформации, а также работу пластической деформации, но при расчете int наблюдаются количественные расхождения. Причина такого расхождения заключается в разных значениях переменной изотропного упрочнения для разных моделей, что ведет к разным значениям величины накопленной энергии, так она прямо пропорциональна переменной изотропного упрочнения. Отмечается, что существенным недостатком моделей такого типа являются сложности при описании других видов нагружения (например, растяжения). Экспериментально установлено, что в процессе растяжения аустенитной нержавеющей стали происходит «насыщение» величины накопленной энергии при достижении деформации определенного уровня [37,38]. Этот эффект не может быть адекватно описан при таком выборе функции состояния и диссипативного потенциала, так как накопленная энергия всегда возрастает, в то 43 время как пластическая деформация появляется как только переменная изотропного упрочнения становится отличной от нуля. Полное насыщение накопленной энергии может быть асимптотически описано, когда переменная изотропного упрочнения достигает некоторого критического значения при использовании других потенциалов. Однако это может противоречить экспериментальным результатам, показывающим, что часть работы пластической деформации продолжает накапливаться в материале, даже если петля гистерезиса является стабильной. 1.3 Энергетические соотношения для описания скорости роста усталостной трещины в металле Одной из задач, поставленных в данной работе, является описание процесса распространения усталостной трещины в металлах. Расчет баланса энергии позволяет описать процесс деформирования и разрушения в вершине усталостной трещины и его влияние на скорость ее распространения. Поскольку при распространении усталостной трещины в ее вершине формируется зона пластической деформации, то наиболее очевидным параметром, характеризующим скорость роста трещины, является работа пластической деформации. Существует множество работ, посвященных описанию скорости роста трещины с помощью такого параметра. В работе [39] показано, что в условиях плоского деформированного состояния, скорость роста усталостной трещины da пропорциональна квадрату размера dN зоны пластической деформации: da  CR 2 , dN где C - параметр материала, R - размер зоны пластической деформации. Работа пластической деформации W в вершине усталостной трещины может быть представлена, как: 44 W  0.1 y  0,2  R 2 , где  y - предел текучести материала, 0,2 - условный предел текучести материала. Тогда работа пластической деформации оказывается линейно связанной со скоростью роста усталостной трещины: WQ где Q  93  y  0.3 1.3 y da , dN - постоянная материала, характеризующая сопротивление материала к росту трещины. N.W. Klingbeil [40,41] предложил закон, согласно которому скорость роста усталостной трещины пропорциональна диссипации энергии за цикл: da 1 dW ,  dN G c dN (1.6) где dW / dN - диссипация энергии за цикл, G c - критическая скорость освобождения энергии. Диссипация энергии определяется с помощью интегрирования работы пластической деформации за цикл по зоне пластической деформации радиуса rp : dW    : d pdA , dN rp где  - тензор напряжений,  p - тензор пластической деформации, rp - радиус области A , по которой ведется интегрирование. Соотношение (1.6) может быть переписано в терминах безразмерной работы пластической деформации dW *: dN da K 4 dW  *, dN 2y EG c dN (1.7) 45 где E - модуль упругости,  y - предел текучести, K - размах коэффициента интенсивности напряжений, dW * - безразмерная величина диссипации энергии. dN Уравнение (1.7) аналогично уравнению, предложенному в 1973 году Weertman [42]: da K 4 , M 2 dN  yU где  - модуль сдвига, U - энергия, необходимая для продвижения усталостной трещины, M - безразмерная постоянная материала. В работе [43] для вывода закона распространения усталостной трещины применяются принципы термодинамики необратимых процессов. Производство энтропии S может быть записано, как: TS  D  aX , где T - температура, X   G a - термодинамическая сила, G - потенциал Гиббса, a - термодинамический поток, D - скорость диссипации энергии, связанная с образованием дефектов. Применение принципа минимального производства энтропии ( S  0 ), подстановка выражения для определения X и D позволяет получить закон распространения трещины в виде: a 1J d , R  J где 1 - диссипативный коэффициент, J - поток энергии в вершину трещины, d - характерный размер активной зоны (зоны, окружающей вершину трещины, в которой плотность дефектов отлична от нуля),  - удельная энтальпия поврежденности, R - сопротивление росту трещины. В работе [44] уравнение для описания скорости роста усталостной трещины получено на основе рассмотрения баланса энергии, который имеет вид: 46   ij W  u i     dV  Wn  T dSa  Q     ij 1 i 1     t t     x1 dVa1 , x1  (1.8) где ij - компоненты тензора напряжений, ij - компоненты тензора деформаций, n1 - единичная внешняя нормаль к поверхности S , ограничивающей окрестность вершины трещины, Ti - компоненты вектора поверхностных усилий, u i компоненты вектора перемещений, t - время, W - энергия упругих деформаций, a1 - скорость перемещения рассматриваемого элемента среды в направлении x1 ,  - плотность, Q - скорость производства тепла,  - энергия, затрачиваемая на разрушение материала, V - объем материала, ограничивающий вершину трещины. В выражении (1.8): W p   ij ij t  W dV t - скорость работы  u   пластической деформации, J    Wn1  Ti i dS - J-интеграл,      dV x1  x1  энергия разрушения на единицу продвижения трещины. Таким образом, уравнение (1.8) может быть переписано в более удобном виде: Wp  Q a . J (1.9) Подобный подход к описанию скорости роста трещины можно встретить в работе [45]: da W p  Q  , dN   J max где W p - работа пластической деформации, Q - выделенное тепло,  - параметр, характеризующий сопротивление материала росту трещины, J max - значение Jинтеграла, соответствующее максимальной силе. Введение коэффициента Тейлора-Квинни int  Q / W p позволяет переписать данное соотношение в виде: da 1  int  W .  dN   J max p (1.10) 47 Соотношения, определяющие величину циклического J-интеграла, а также предположение, что   J c , позволяют записать выражение (1.9) в виде: da J m A , dN J c  J max где A , m – постоянные материала, J - циклический J – интеграл, J c критическое значение J - интеграла. 1.4 Накопленная энергия как критерий разрушения материалов С точки зрения прогнозирования процесса разрушения, наиболее актуальной задачей механики деформированного твердого тела является поиск критерия прочности, подходящего для широкого класса материалов, находящихся под действием различных нагрузок. Критерии разрушения, основанные на энергетических принципах, являются наиболее универсальными, поскольку не требуют детального знания особенностей физических процессов, протекающих при деформировании и разрушении твердых тел [5,46]. Кроме того, такие критерии имеют ясный физический смысл и позволяют более полно учесть влияние, как напряжений, так и деформаций на процесс разрушения. В работе Ламберта 1779 года, посвященной энергетическому подобию процессов механического разрушения твердых тел и плавления, впервые было высказано предположение, что разрушение в твердых телах наступает, когда относительная деформация хотя бы в одном направлении достигает величины, равной линейному тепловому расширению в точке плавления. В дальнейшем, подобные идеи развивались в работах Фюрта [47] и Сайбеля [48]. На основе этой идеи, Ивановой В.С. была развита структурно-энергетическая теория разрушения металлов [49]. Согласно данной теории, работа, затраченная на процессы неупругого деформирования и разрушения A , складывается из работы, затрачиваемой на образование дефектов в материале A u и работы, связанной с разрушением межатомных связей A p : 48 A  Au  Ap . Энергия, расходуемая на нагревание металла до температуры плавления Ts , определяется величиной Ts Q1   cpdT , T где T - температура, c p - удельная теплоемкость. Энергия, необходимая для разрушения межатомных связей Q 2 , определяется скрытой теплотой плавления Ls : Q2  Ls . Тогда, согласно гипотезе энергетического подобия процессов плавления и механического разрушения твердых тел, общая энергия, поглощенная металлом в процессе деформирования, определяется выражением: Ts A   cpdT  T где Vp V Ls , (1.10) Vp - объем разрушенной части материала, V - исходный объем материала. Для усталостного разрушения выражение (1.10) может быть записано в виде: Ts R k N k   cpdT  Ls , T где R k - энергия, затраченная на усталостное деформирование за половину цикла, N k - число полуциклов до разрушения под действием амплитуды  k . В работе Федорова В. В. [5] отмечается, что такие термодинамические характеристики, как работа и теплота (а также характеристики их определяющие) при всех процессах (в том числе и круговых) отличны от нуля, поэтому не могут быть использованы в качестве критериев разрушения. Федоров предлагает использовать величину накопленной (скрытой) энергии в качестве параметра интегрально характеризующего состояние тела. Кроме того, цикл экспериментов по усталостному разрушению стальных образцов, показал, что критическое значение накопленной энергии не зависит от числа циклов до разрушения и 49 является постоянной величиной для данного материала (рис. 1.2). Следовательно, эта величина может быть использована в качестве критерия разрушения. Анализ экспериментальных данных также показал, что критическое значение накопленной энергии близко к энтальпии материала в твердом состоянии соответствующей температуре плавления, что подтверждает гипотезу энергетического подобия процессов разрушения и плавления металла. В работах Арутюняна А. Р. [50,51] предложена связь между предельной величиной деформации  * и критическим значением накопленной энергии E *s : *   k  E *s  1 ln   1   , СE *s 1  k  E 0s  где С , k - постоянные, E 0s - начальное значение накопленной энергии. На основе данного выражения Аратюняном А. Р. был предложен критерий усталости в виде: 1         e k E *   s ln   , m N f  T ln  1  1     BE   1  k    W0     где m ,  , B - постоянная, N f - число циклов до разрушения, E - модуль Юнга, T - предел текучести,  - амплитуда напряжения. В работе [52] на базе физической теории пластичности предложен критерий зарождения усталостной трещины, основанный на величине критической накопленной энергии: E  * s где 1  β diff ~σ : d~ε p N ρ SSD  ρ GND f , diff - коэффициент Тейлора-Квинни, являющийся постоянным в данной работе и принимающий значение 0.95,  - тензор напряжений,  p - тензор пластических деформаций, SSD - плотность накопленных дислокаций, GND плотность геометрически необходимых дислокаций, N f - число циклов до разрушения, интегрирование ведется по замкнутому установившемуся циклу. Критическое значение накопленной энергии подбиралось таким образом, чтобы 50 число циклов до разрушения N f совпадало с экспериментальным значением. Для ферритной стали 08Х17Т эта величина составила 580 Дж/м2 . Вторым параметром данного критерия является масштаб, на котором определяется плотность геометрически необходимых дислокаций. В данной работе этот параметр вычислялся с помощью экспериментальных данных по зарождению трещины и составлял 50 мкм. В работе [53] критерий, основанный на критической величине накопленной энергии применялся для моделирования зарождения трещины при растяжении пластины с отверстием и пластины с двумя ассиметричными отверстиями. Величина накопленной энергии усредняется в области вершины трещины, содержащей p элементов: Es  где 1 p i i  sA , A i1 E s - среднее значение накопленной энергии is - накопленная энергия в p элементе i, A - площадь элемента i, A   Ai - общая площадь области по i i 1 которой ведется осреднение. Считается, что трещина растет, если выполняется соотношение: 1 E *s  0. Es В данной работе использовались следующие значения констант: критическое значение накопленной энергии E *s =4 МДж/м3; радиус области, по которой велось осреднение, r=5 мм. Применение такого подхода позволило авторам повысить сходимость решаемых задач. Выводы Экспериментальные исследования показывают, что Квинни, характеризующий долю работы коэффициент Тейлора- пластической деформации 51 диссипируемую в тепло, не является постоянной величиной, а представляет собой функцию, зависящую от величины деформации, скорости деформации и истории нагружения. В связи с этим, актуальным является вопрос разработки моделей, описывающих баланс энергии в материале. Чаще всего, величину накопленной энергии моделируют с помощью введения одной или нескольких внутренних переменных. В некоторых работах делается попытка использовать в качестве такой переменной пластическую деформацию. Данный подход является не корректным с термодинамической точки зрения, поскольку при этом накопленная энергия становится функцией процесса. Применение параметров, характеризующих упрочнение, не позволяет адекватно описывать накопление энергии при растяжении (в частности, такой эффект, как «насыщение» накопленной энергии при достижении некоторого значения пластической деформации). Использование плотности дислокаций в качестве внутренней переменной ответственной за накопление энергии имеет ясный физический смысл, однако связано с большими вычислительными затратами. Адекватный расчет величины энергии, накопленной в процессе деформирования, может быть полезен при анализе процессов зарождения и распространения усталостных трещин. Построение универсальных критериев разрушения на основе величины накопленной энергии не закончено по настоящее время. Несмотря на ряд работ, показавших эффективность такого подхода, вопрос о теоретическом расчете предельной величины накопленной энергии до сих пор не является решенным. При анализе процесса распространения усталостных трещин, величина накопленной (диссипированной) энергии позволяет предложить альтернативный традиционному подходу Пэриса метод прогнозирования скорости роста усталостной трещины, по-видимому, эффективно работающий как при простом, так и при сложном напряженно-деформированном состоянии в вершине трещины. Таким образом, разработка термодинамической модели, способной адекватно и непротиворечиво описывать экспериментальные процессы накопления и 52 диссипации энергии в металлах при квазистатическом и циклическом деформировании представляется важной и актуальной задачей. 53 Глава 2. Термомеханическая модель упруго-пластической среды с дефектами Введение В процессе деформирования металлов наблюдается эволюция структурных дефектов на всех масштабных уровнях, что приводит к необратимой деформации и разрушению [54, 55]. Для того чтобы разработать модель эволюции дефектов при пластическом деформировании необходимо выбрать физический уровень описания микроструктуры, описать геометрию элементарного дефекта и определить переменную, которая будет интегрально охватывать структурные изменения на более низких масштабных уровнях [56]. Для описания процессов локализации деформации и разрушения, разрабатываемая модель должна учитывать зарождение новых структурных дефектов, их взаимодействие и развитие. Эволюция ансамблей мезодефектов сопровождается поворотами мезообъемов материала и разрушением материала, что приводит к образованию высоких внутренних напряжений и, как следствие, к увеличению доли накопленной энергии в металле. Проблема накопления энергии тесно связана с проблемой определения энтропии при пластическом деформировании материалов. Измерение накопленной энергии в процессе механического испытания позволяет получать данные о текущем состоянии структуры материала, а также развивать новые эффективные модели неупругого деформирования металлов и критерии разрушения. Более детальную информацию об эволюции структуры материала дает определение энтропии. Кроме того, этот параметр является ключевым при создании термодинамических моделей деформирования материалов. Результаты многочисленных экспериментальных исследований показали стохастический характер процесса разрушения [57,58]. Таким образом, его адекватное описание требует привлечения методов статистической физики и построения моделей, описывающих накопление дефектов [59, 60]. 54 Основополагающими для континуальной механики поврежденности следует считать известные работы Л.М. Качанова [61] и Ю.Н. Работнова [62]. Развитие этих идей процессов позволило предложить упруго-пластического статистико-термодинамическую деформирования [63-66]. Данная модель глава посвящена обобщению статистико-термодинамического подхода для описания процесса накопления энергии при неупругом деформировании металлов. Для построения модели расчета баланса энергии при неупругом деформировании металлов, принимаются следующие гипотезы: • рассматриваемые материалы на макроуровне считаются изотропными, температура деформирования существенно меньше температуры плавления, скорости нагружения соответствуют квазистатическому интервалу деформирования (10-3-10-4 с-1); • деформации в точках тела, а также приращения деформаций на каждом шаге деформирования считаются малыми; • свободная энергия системы твердое тело с дефектами определяется упругой деформацией, температурой и внутренней переменной, ответственной за изменение структуры материала; • структурные изменения, вызванные зарождением и ростом дефектов описываются симметричным тензором второго ранга; • накопление энергии в материале описывается в терминах структурного параметра, отвечающего за зарождение и рост дефектов, диссипация энергии в материале происходит за счет движения дефектов и описывается в терминах пластической деформации; • материал является пластически несжимаемым; • предполагается линейная связь между тензором напряжений и тензором упругой деформации; • тензор, описывающий структурные изменения в материале, соосен тензору напряжений. Для оценки производства энтропии и величины структурной деформации в металле при пластическом деформировании, предложен метод, основанный на 55 результатах измерения термомеханических характеристик образца, при квазистатическом растяжении. Эффективность и практическая значимость модели показана на примере анализа процесса пластического деформирования в армкожелезе. 2.1 Общие соотношения термодинамики Любой термомеханический процесс может быть описан с помощью вектора перемещения u(x, t) и поля абсолютной температуры T(x, t) , где x - вектор положения частицы в фиксированной отсчетной конфигурации, t - время. В случае малых деформаций, первый и второй законы термодинамики включают в себя следующие величины: плотность  , удельную внутреннюю энергию e , тензоры напряжений  и деформаций  , мощность источников тепла r ' , вектор потока тепла q , удельную свободную энергию Гельмгольца F , удельную энтропию S . В частности,   1 u  u T  ,  - тензор напряжений Коши,   2 оператор Гамильтона. Данные параметры удовлетворяют уравнению баланса энергии [67]: :  q  r'  e (2.1) и второму закону термодинамики в форме неравенства Клаузиуса-Дюгема [67]: S    (q / T)  (r '/ T)  0 . (2.2) С учетом (2.1), (2.2) можно переписать в виде: TS  e   :   1 q  T  0 . T Принимая во внимание, тот факт, что свободная энергия в форме Гельмгольца может быть записана в виде F  e  TS , второй закон термодинамики может быть переписан, как F  TS   :   1 q  T  0 . T (2.3) 56 Уравнения (2.1) и (2.3) представляют собой первый и второй законы термодинамики в общем виде для описания процессов деформирования материалов и будут использованы ниже при выводе определяющих соотношений. 2.2 Общие принципы построения определяющих соотношений с внутренними переменными для описания упруго-пластической среды Следуя [67], получим определяющие соотношения для описания упругопластического деформирования материалов. Предположим, что скорость деформации мала. В этом случае полная скорость деформации представима в виде суммы упругой (  e ) и пластической (  p ) составляющих:   e   p . (2.4) Термодинамическое состояние системы может быть описано набором макроскопических переменных состояния, среди которых можно выделить внешние переменные (или наблюдаемые) и внутренние (т.е. те, которые невозможно измерить прямыми методами извне). Внутренние переменные отражают внутреннее состояние материала (например, конфигурацию дислокаций или геометрию распределения микропор). В качестве внешних переменных, описывающих рассматриваемый процесс, выберем тензор полных деформаций  и температуру T . Пусть внутренние переменные описываются с помощью набора симметричных тензорных переменных Vk , k  1,n . Для того чтобы воспользоваться вторым законом термодинамики в форме (2.3), необходимо определить независимые переменные, определяющие свободную энергию F . Такими переменными являются тензор упругих деформаций  e , температура T и внутренние переменные Vk : F  F(e ,T,Vk ) . (2.5) 57 Тензор пластических деформаций (  p ) не может рассматриваться в качестве независимой термодинамической переменной, поскольку в этом случае термодинамческий потенциал систмы F становится зависимым от истории процесса деформирования. Дифференцирование по времени выражения (2.5) дает: F F e F F :   T  : Vk . e T Vk (2.6) Подставляя соотношения (2.4) и (2.6) в (2.3) получим неравенство: F  e F  F T   p : Vk  q  0.    e  :    :   S  T    T  V T     k (2.7) Условие выполнения неравенства (2.7) для любых  e и T эквивалентно выполнению соотношений:  F , e (2.8) F . T (2.9) S Подстановка (2.8) и (2.9) в (2.7) дает  : p  F T : Vk  q  0. Vk T (2.10) Введем следующее обозначение: Ak   F . Vk (2.11) Подстановка (2.11) в (2.10) позволяет свести (2.10) к неравенству    :  p  A k : Vk  q  T  0. T (2.12) Соотношение (2.12) называется диссипативным неравенством и говорит о том, что диссипация материала вследствие изменения его внутренней структуры всегда неотрицательна. Определим вектор обобщенных сил X и вектор потоков J , как X  {,A k ,  T } , T (2.13) 58 J  {p ,Vk ,q} . (2.14) Тогда неравенство (2.12) примет вид:   X J  0. Постулируем существование скалярной функции обобщенных сил X , т.е. диссипативной функции:    X , (2.15) такой, что вектор обобщенных потоков определяется с помощью  , как: J   . X (2.16) Предполагается, что  - выпуклая неотрицательная функция X и   0 при X  0 . Символ  представляет собой неопределенный множитель. Подставляя в (2.16) обобщенные силы (2.13) и потоки (2.14) получим соотношения: p    ,  (2.17) Vk    , A k (2.18)  .  T ( ) T (2.19) q   Другими словами, определяющие соотношения для скорости пластической деформации, потока тепла и внутренних переменных, определяются внешней нормалью к поверхности   0 , т.е. нормальным законом (ассоциированный закон пластического течения). Для существования диссипативной функции  дифференциал J k dX k должен быть полным дифференциалом. Это требование может быть удовлетворено в следующих двух случаях, рассмотренных ниже. В первом случае рассматривается необратимый процесс, близкий к равновесию. Тогда, мы имеем линейную связь между J и X , и, воспользовавшись принципом Онсагера [68], можем записать, что: J k  Lkm Xm , (2.20) 59 где кинетические коэффициенты L km - симметричны: Lkm  Lmk . (2.21) Если выполняются соотношения (2.20) и (2.21), то J k dX k является полным дифференциалом и  имеет вид квадратичной функции [69]: (X;Vk ,T)  1 LkmX k X m . 2 (2.22) Второй пример существования функции  - это случай, когда компонента J k обобщенного потока J зависит только от соответствующей компоненты X k обобщенного вектора сил X и может быть выражена, как [70]: J k  J k  Xk ;Vk ,T  . (2.23) В случае выполнения (2.23), J k dX k является полным дифференциалом и,   следовательно, существует функция    X;Vk ,T . 2.3 Общие принципы построения определяющих соотношений упругопластической среды с помощью нескольких диссипативных функций Подход к построению определяющих соотношений, описанный выше, подразумевает одновременную эволюцию процессов неупругой деформации и поврежденности. Однако, для моделирования неупругого поведения реального материала, постулирование существования одной диссипативной функции и одного неопределенного множителя может оказаться недостаточным. Это ограничение может быть преодолено с помощью введения нескольких независимых диссипативных функций и соответствующих им неопределенных множителей. Для примера рассмотрим процесс пластического деформирования материала с учетом накопления повреждений. В этом случае, внутренние переменные Vk можно разделить на переменные деформационного упрочнения   j  1,2,3,...,m  и переменную, отвечающую за накопление повреждений j D: 60 V    ,D . k j Тогда, свободная энергия имеет вид:   F  F e ,  j ,D . Введем следующие обозначения: Aj   F ,  j Y F . D Тогда, функция  может быть разделена на две независимые (  p и  D ), отвечающие за неупругую деформацию и поврежденность. 2.3.1 Определяющие соотношения для материалов с механическим поведением, слабо зависящим от скорости деформирования В случае материала, деформирования, поведение эволюция которого пластической не зависит деформации и от скорости поврежденности описывается следующим набором соотношений [71]:  p   p (,A j ) , (2.24)  p   p (,A j )  0 , (2.25)  D   D (Y) , (2.26)  D   D (Y)  0 , (2.27)  p   ,  (2.28)  p , j   A j (2.29)  D D , Y (2.30) p p p D 61 где множители  p и  D определяются независимо из условий согласования Прагера, которые означают, что при нейтральном нагружении точка в пространстве напряжений остается на поверхности текучести: p  p  0 , (2.31) D  D  0 . (2.32) 2.3.2 Определяющие соотношения для материалов с механическим поведением, зависящим от скорости деформирования В случае материала, поведение которого зависит от скорости деформирования, эволюция пластической деформации и накопление дефектов не удовлетворяют ограничениям (2.31) и (2.32). Таким образом, система уравнений, описывающая процессы пластического деформирования и поврежденности, имеет вид [72]:  p   p (,A j ) , (2.33)  p   p ,A j ,  (2.34)  D   D (Y) , (2.35)    (2.36)  p ,  (2.37)  p , j   A j (2.38)  D D . Y (2.39) D  D Y , p   p p D Соотношения для определения множителей  p и  D постулируются в виде степенных зависимостей [67]: p   k p v , (2.40) 62 D   L D s , (2.41)  0, x  0 где v , s , L , k - параметры материала, а x   . x, x  0  2.4 Определяющие соотношения упруго-пластического деформирования металлов, построенные с помощью линейной термодинамики необратимых процессов Рассмотрим вариант построения трехмерной конститутивной модели упругопластического деформирования и разрушения металлов, основанной на применении принципов линейной неравновесной термодинамики [68]. Ключевым вопросом при построении модели является выбор независимых термодинамических переменных, описывающих эволюцию структуры материала в процессе деформирования. В настоящей работе в качестве такой переменной выбирается симметричный тензор плотности дефектов p , совпадающий по смыслу с деформацией, обусловленной дефектами [63]. Симметрия тензора p следует из способа его введения, как осреднения по размерам и ориентациям симметричного тензора, характеризующего дефекты сдвигового типа [63]. Таким образом, неупругая пластическую деформация (диссипативную) разделяется деформацию, на две части обусловленную «чистую» движением дефектов и структурную (недиссипативную), связанную с зарождением и ростом дефектов. Гипотеза аддитивности скорости полной деформации  в таком случае имеет вид:   e   p  p , (2.42) где  e - тензор упругих деформаций,  p - тензор скорости пластических деформаций, p - тензор скорости структурных деформаций. Предположим, что свободная энергия является функцией температуры, упругих деформаций и структурного параметра: 63 F  F(e ,p,T) , тогда производная свободной энергии по времени имеет вид: F F e F F :  :p  T , e  p T (2.43) Неравенство (2.3) с учетом (2.42), (2.43) принимает вид: F  e  F F 1    S   T   :  p  p  : p  q  T  0   e :     p T   T    (2.44) Условие справедливости неравенства (2.44) для любых значений температуры и упругой деформации, позволяет получить классические соотношения для определения упругой деформации и энтропии:  F , e S F . T (2.45) (2.46) Используя уравнения (2.45) и (2.46), соотношение (2.44) может быть записано в виде:  F  1  : p      : p  q  T  0 . p  T  (2.47) Расчет баланса энергии, из которого следует справедливость выполнения неравенства (2.47), выполнен в главе 4. Для термодинамического процесса определяемого соотношением (2.47), величины  p и p представляют собой термодинамические потоки, а величины  и  F соответствующие им термодинамические силы. При малом отклонении от p равновесия [68], соотношения между потоками и силами могут быть представлены в следующей форме:  F  p     p     , p   (2.48)  F  p   p       p , p   (2.49) 64 где   ,  p ,  p - кинетические коэффициенты. Из диссипативного неравенства (2.47) и физического смысла соотношений (2.48)-(2.49) следуют ограничения, накладываемые на кинетические коэффициенты: 2   0 ,  p  0 ,  p  0 , p  p  0 . Из решения статистической задачи поведения ансамблей дефектов и гипотезы соосности между тензорами  и p следует, что для 1  F      можно записать 2G  p  следующее выражение [57,71]: 1  F  1  1   f1  p        p    p  1 p , 2G  p    2G   (2.50) где G - модуль сдвига, p - интенсивность тензора деформации, обусловленной дефектами,   L3n /L3c – параметр структурного скейлинга, представляющий собой куб отношения характерного размера дефекта L n и радиуса взаимодействия между дефектами Lc [63]. Функция f1  p  определяется соотношением: f1  p   m p , n (2.51) и характеризует степенное упрочнение. Параметры m и n - постоянные материала. Для описания перехода от линейного участка упругости к участку упрочнения, наблюдаемых на экспериментальных диаграммах растяжения металлов, предложена аппроксимация кинетических коэффициентов в виде функций активации:   p  1 1 , 2G 1  exp     2  / a2  (2.52)  1 1 , 2G p 1  exp   H(  , p , )  1  / a1   p  0 ,  (2.53) (2.54) 65 где τ σ , τ p , τ pσ - характерные времена релаксации,  - интенсивность тензора напряжений,  1 ,  2 - параметры материала, a1 , a2 - нормирующие множители. Условие (2.54) деформирования, характеризует вследствие независимость движения процессов дефектов, и пластического структурного деформирования, вследствие зарождения дефектов. Из решения одномерной статистической задачи поведения ансамблей дефектов, приведенной в [57], следует, что условие  F p (    xx , p  p xx ) эквивалентно условию  F  равновесной концентрации дефектов. Это означает, что функцию H      p   можно рассматривать, как «степень неравновесности системы». Обобщение функции H на случай трехмерного нагружения может быть записано в виде:   H  p ,  ,      2G  f1  p   p   p . (2.55) Уравнения (2.48)-(2.49) совместно с (2.50)-(2.55) определяют кинетику пластической деформации и деформации, обусловленной дефектами. Предполагается, что упругие деформации связаны с тензором напряжений с помощью закона Гука, поэтому для шаровой и девиаторной частей тензора напряжений можно записать следующие соотношения в скоростной форме:  0  K 0e ,  d  2G de , где K - модуль всестороннего сжатия, G - упругий модуль сдвига,  0 - шаровая часть тензора напряжений  ,  0e - шаровая часть тензора упругих деформаций  e ,  d - девиаторная часть тензора напряжений,  de - девиаторная часть тензора упругих  de   e  деформаций,   1 3 0   : E, 1 e  : E E , E - единичный тензор. 3 1 3  0e   e : E , d   1 3   : E , E 66 Уравнение баланса энергии (2.1) с учетом (2.42), (2.43) (2.45), (2.46) принимает вид   q  r  Qe  Qp  cT , где  2F c  T 2 , T Qe  T  e : , T  F  F  2F   2F  p Qp   :  p  p    T : p  W   T   : p.  p  T  p  p  T  p       (2.56) Здесь c - удельная теплоемкость, Q e - мощность источников тепла, связанная с термоупругим эффектом, Q p - мощность неупругого вклада в генерацию тепла. Первое слагаемое в выражении для определения Q p представляет собой скорость работы неупругой деформации:   W p   : p  p . По аналогии с работами Rosakis [24], введем величину  , определяемую как соотношение следующего вида: F  T  2 F :p Tp  Q  p   p 1  . p W  : (  p) p (2.57) Параметр 1  характеризует скорость накопления энергии. Соотношения (2.48)-(2.55) позволяют описывать эволюцию структурной и пластической деформаций, а уравнения (2.56)-(2.57) будут использованы для расчета баланса энергии при неупругом деформировании. 2.5 Модификация определяющих соотношений для описания упругопластического деформирования металлов с учетом двух диссипативных функций 67 Применение подхода, основанного на введении диссипативной функции, описанного выше, позволяет модифицировать определяющие соотношения (2.48)(2.49) для того, чтобы описать поведение материалов слабо чувствительных к скорости деформирования. Для простоты приведем вывод этих соотношений для одномерного изотермического случая, а затем, обобщим их на трехмерный. В качестве внутренних переменных выступают деформация, обусловленная дефектами p , и дополнительная переменная r , отвечающая за изотропное упрочнение: Vk  p,r . Таким образом, свободная энергия является функцией упругих деформаций  e , структурных деформаций p и переменной r : F  F  e ,p,r  . Тогда, неравенство Клаузиуса-Дюгема в изотермическом случае имеет вид:  F  e F  F  p    e          p  r  0 .   p  r   (2.58) Выполнение данного неравенства для любых  e означает, что:  F . e (2.59) Подстановка (2.59) в (2.58) дает:  F  F p      p  r  0 . p  r  (2.60) Введем следующие обозначения: R F , r P F . p Для диссипативного процесса, описываемого неравенством (2.60), мы определим термодинамические силы и потоки, как: 68 X  ,P, R , J  p ,p,r . Для построения рассмотренный в диссипативной разделе 2.3. функции Таким используем подход, диссипативная функция (2.15) образом,   , описывающую процесс p представляет собой сумму двух функций: пластического деформирования и  P , ответственную за эволюцию структуры материала:     ,R,P       P . p (2.61) Определяющие соотношения (2.16) для введенных выше термодинамических сил и потоков имеют вид:   ,    (2.62)   , r   R (2.63) p p p p p p  p  p . P (2.64) Предположим, что свободная энергия представляет собой сумму свободной энергии, обусловленной упругой деформацией Fe , пластической деформацией Fr и структурной деформацией FP : F  e ,r,p   Fe  e   Fr  r   FP  p  . Пусть для Fe выполняется соотношение: 1 Fe  e   E(e )2 , 2 (2.65) где E - модуль упругости. Отметим, что из соотношений (2.59) и (2.65) вытекает закон Гука. Предположим, что для Fr справедливо: r2 F r  c , 2 r (2.66) 69 где c - константа. Соотношение (2.66) обеспечивает линейную связь между r и R. Таким образом, свободная энергия имеет вид: 1 r2 F  e ,r,p   E(e ) 2  c  FP  p  . 2 2 Диссипативная функция    ,R  может быть представлена в виде суммы p двух функций:    , p характеризующую процесс пластического деформирования и    R  , связанную с изотропным упрочнением: p    ,R            R  . p p p (2.67) Функция      подчиняется следующему соотношению, вид которого p определяется согласно (2.52), как: 2      d  2 ba 2 ln 1  1  e a 2 1/2      2    1  Exp     a 2    b p  ,   где b - параметр материала. В простейшем случае    R  имеет вид линейной функции: p   R   R . p Таким образом, диссипативная функция    ,R  имеет вид: p 2    ,R    d  R  2 ba 2 ln 1  1  e a 2 1/2      2    1  Exp     a  2   p b  Как отмечалось выше, параметр p  .   (2.68) определяется из условия (2.31). Дифференцирование по времени (2.67) дает:        R  0.  R p p p (2.69) 70 В условие (2.69) входит производная по времени от функции R , которую в общем виде можно записать в виде соотношения: R  f rr , (2.70) где f  r  - некоторая функция. Для того чтобы получить соотношение (2.52), будем считать функцию f  r  постоянной, т.е.: f r  c , (2.71) где c - константа. Подставляя в (2.70) соотношение (2.63), получим:   R   f r. R p p (2.72) Подстановка (2.72) в (2.69) дает следующее соотношение:     p     R   p p 2   f  r   0 ,  из которого   можно определить, как: p   p   p  . 2    f r  R     (2.73) p     Из соотношения (2.68) можно получить частные производные и :  R p   b ,  1/2      2   1  Exp    a 2    p p    1. R (2.74) p (2.75) Подстановка соотношений (2.71), (2.74) и (2.75) в (2.73) позволяет определить неопределенный множитель   : p 71    p b . c 1/2     2   1  Exp    a 2    Зная выражение для   мы можем получить определяющие соотношения для p  p и r с помощью (2.62) и (2.63): p   b ,    2  c 1  Exp    a2   r  1/2     2   1  Exp    a 2    (2.76) b . c (2.77) Для определения  p воспользуемся соотношением (2.40): p   k v p , где  p  P - часть диссипативной функции, связанная с изменением структуры материала. Из соотношения (2.64) можно получить уравнение для определения эволюции структурного параметра: p p k  ,p,   Принимая v  1, выражения для v  p . P   H  ,p,    1   k  ,p,    2Gp 1  Exp     и подставляя a1     p и P , получим соотношение для определения скорости P структурной деформации в виде, согласующемся с (2.53), (2.55): p 1 2Gp  1 F    . p   H  ,p,    1   1  Exp    a1   (2.78) 72 Обобщение термодинамического потенциала (2.68) на трехмерный случай имеет вид:  2a 2 be  2a 2 e 2 a2 p    2   2a a a 2 2  e ln e  e  e 2    a2 1 e ( 2   ) a2   2     R  2 ba ln 1  1  e a 2 2    ,   где  - интенсивность тензора напряжений. Это позволяет записать соотношения (2.76), (2.77) и (2.78) в виде выражений: p  r p d : d  1  d ,  2G     2    1  Exp     a 2    d : d 1/2     2    1  Exp    a2     1 2Gp  1 , 2G  1 F   d  p  ,  H  p ,  ,    1    1  Exp      a1   G - модуль сдвига,  , p , 2 , a 2 , a1 , 1 - параметры материала. определения выражения (2.79) (2.80) (2.81) Для 1  F   d   воспользуемся выражением (2.50): 2G  p  1  F  1  1   f1  p        p d d    p  1 p , 2G  p    2G   (2.82) где функция f1  p  определяется соотношением: f1  p   m p , n (2.83) Функция H  p ,  ,   характеризует «степень неравновесности системы» и определяется выражением: 73   H  p ,  ,      2G  f1  p   p   p . (2.84) 2.6 Анализ предложенных определяющих соотношений 2.6.1 Определение производства энтропии в процессе неупругого деформирования образца из армко-железа Проблеме определения энтропии при неупругом деформировании, посвящены работы авторов [28, 73-77]. Klamecki [73] показал существование двух различных режимов производства энтропии. Один из них связан со структурными изменениями, происходящими в материале вследствие зарождения новых дефектов, а другой – с диссипацией тепла вследствие аннигиляции дефектов. В работе [74] производство энтропии связывается с деградацией материала вследствие его износа. Beghi [75] предложил способ определения производства энтропии в случае упругого и начала пластического режимов деформирования. Он показал, что предел текучести связан с переходом скорости производства энтропии от более низкого уровня (близкого к нулю) к более высокому уровню. В работе [76] для определения энтропии в сплавах Sn3.8Ag0.7Cu и Sn3.0Ag0.5 использовалась теория информации и понятие «информационная энтропия Шеннона». При таком подходе энтропия определяется через вероятность наступления определенного события. Для физической системы такими событиями являются наборы микроструктурных состояний от неповрежденного до полностью разрушенного. В работе. [77] производство энтропии связывается с тремя необратимыми процессами: образованием дислокаций, их скольжением и аннигиляцией. Anand и др. [28] разработали градиентную термомехническую скоростно-нечувствительную модель пластичности монокристалла и получили выражения для определения внутренней энергии и энтропии. Данный раздел посвящен разработке метода определения энтропии в процессе пластического деформирования на основе вышеописанной модели. Определение 74 этой функции состояния термодинамической системы позволяет получать другие термодинамические потенциалы системы и может быть использовано впоследствии для уточнения вида свободной энергии. Предложенный подход проиллюстрирован на примере расчета производства энтропии при пластическом деформировании армко-железа. Так как определение энтропии основано на использовании экспериментальных данных по одноосному квазистатическому растяжению армко-железа, то для простоты будем считать, что рассматриваемый процесс описывается скалярными уравнениями. Предположим, что переменных p , ε e , T . удельная теплоемкость c  -T( 2F / T 2 ) зависит от В работе [4] обсуждался вопрос влияния структурных дефектов на величину удельной теплоемкости. Измерения удельной теплоемкости в отожженных и деформированных образцах показали, что разница удельных теплоемкостей составляет менее одного процента. В предлагаемом нами подходе, структурные дефекты определяются величиной структурной деформации p . Следуя работам [24, 28, 78], предположим, что удельная теплоемкость процесса c зависит от упругих деформаций ε e , температуры T и не зависит от структурночувствительного параметра p : c=c(ε e ,T) . Тогда справедливо следующее соотношение:    2F   0 p  T 2  и частная производная F может быть представлена, как линейная функция p температуры T : F  Tf(ε e ,p)+g(ε e ,p) . p (2.85) Предположим также, что напряжения σ не зависят от структурного параметра p , тогда: σ   F   e    0. p ε  p  (2.86) 75 Учитывая (2.86), (2.85) может быть представлено в виде:  F f (ε e ,p) g(ε e ,p)  T   0. ε e p ε e ε e (2.87) Так как (2.87) справедливо для любого T, мы можем записать, что: f g  e  0. e ε ε Таким образом, (2.85) сводится к выражению: F  Tf(p)+g(p) , p (2.88) где F / p представляет собой линейную функцию температуры T и не зависит от упругих деформаций. Введем функции s1 (p) , E1 (p) , такие, что s1'(p)=-f(p) , E1'(p)=g(p) (здесь и далее символ “ ' ” означает производную). Интегрирование (2.88) позволяет получить выражение для определения свободной энергии F , энтропии S и напряжения σ : F(εe ,p,T)=  Ts1 (p)+E1 (p)+Φ(ε e ,T) , (2.89) F Φ(ε e ,T)  s1 (p)  , T T (2.90) S(ε e ,p,T)=  F(ε e ,T) (ε e ,T) σ(ε ,T)   , ε e ε e e (2.91) где функция s1 (p) представляет собой величину структурной энтропии. Предположим также, что удельная теплоемкость не зависит от упругих деформаций при малых упругих деформациях [24]. Следовательно, c=c(T) и из (2.89) можно получить:    2 F     2       0. ε e  T 2  ε e  T 2  Интегрирование последнего соотношения позволяет получить для функции (ε e ,T) следующее разложение: Φ(ε e ,T)=F(T)  Ts2 (ε e )+E 2 (ε e ) . 76 Тогда для (2.89), (2.90) и (2.91) справедливы соотношения: F(εe ,p,T)=F(T)  T  s1 (p)+s2 (ε e )  +E1 (p)+E 2 (ε e ) , (2.92) S(εe ,p,T)=s1 (p)  F'(T)+s2 (ε e ) , (2.93) σ(ε e ,T)=  Ts2'(ε e )+E 2'(ε e )=E 2'(ε e )+TM(ε e ) , M(ε e )=  s2'(ε e ) , где M(ε e )=  s2'(ε e ) Предположим, что зависит только E 2''(ε e )=E=const от величины (модуль Юнга) упругих и (2.94) деформаций. s2'(ε e )=M=const (температурный коэффициент модуля упругости) и введем коэффициент термического расширения    M . E Если предположить, что удельная теплоемкость – постоянная величина при комнатной температуре [24, 28] c(T)=c=const , то мы можем получить для функции F(T) выражение:   T F(T)=  c  Tln  (T  T0 )  . T0   Если также предположить, что в отсчетной конфигурации σ=0 и ε e =0 при T=T0 , то мы можем переписать соотношения (2.92) – (2.94) в виде: 2  T F=c  (T  T0 )  Tln  +E1 (p)  Ts1 (p)+E(ε e /2  (T  T0 )αε e ) , T0   S=s1 (p)+cln T +αEε e , T0 σ=E  ε e  α(T  T0 )  . (2.95) (2.96) (2.97) Уравнение баланса энергии в одномерном случае имеет вид: e=σε  q x +r' , (2.98) где q x  q / x , точка над символом означает производную по времени. Свободная энергия системы определяется, как: F=e  TS , (2.99) Подстановка (2.99) в (2.98) позволяет записать первый закон термодинамики в виде: 77 TS=σε-F-ST-q x +r' . (2.100) Производные по времени функций (2.95) и (2.96) имеют вид: F=σε  W p  cTln T +E1 (p)  Ts1 (p)  Ts1 (p)  ETαε e , T0 T S=s1 (p)+c +αEε e . T (2.101) (2.102) Подстановка (2.101) и (2.102) в (2.100) позволяет получить выражение: cT+αTEε e =W p  E1(p)  q x +r'=W p  E1'(p)p  q x +r' , (2.103) где W p =σ(p+ε p ) - мощность неупругих деформаций. Из (2.101) можно получить выражения для определения частных производных свободной энергии: Fp =E1'(p)  Ts1'(p) и: FTp =  s1'(p) . Подстановка этих выражений в (2.57) позволяет получить уравнение для определения коэффициента Тейлора-Квинни: β=1  E1'(p)p , Wp (2.104) и из (2.104) следует, что E'(p)p=(1  β)Wp . Подстановка этих выражений в (2.103) приводит к соотношению: p S  s (p)  β W  q x  r' . 1 T T Согласно исследованиям, проведенным в [4], энтропия, связанная со структурным параметром достаточно мала и может не учитываться при определении полной энтропии системы. Предполагая, что FTp =0 , мы можем получить следующие уравнения для определения производства энтропии: p S  s (p)  β W  q x  r' (2.105) 1 T T или 78 T S=с +αEε e . T Уравнения (2.105) и (2.106) будут (2.106) использованы для обработки экспериментальных данных и получения производства энтропии системы при пластическом деформировании. На рисунке 2.1 представлены результаты (механическая кривая, скорость накопления энергии и эволюция температуры) испытания на квазистатическое растяжение образца и армко-железа при скорости деформирования 103 с -1 . Эволюция температуры записывалась с помощью инфракрасной камеры. Детальное описание эксперимента приведено в [79]. Будем рассматривать только однородную часть пластической деформации, соответствующую временному интервалу от 50 до 140 секунды (рис. 2.1). Рост скорости накопленной энергии на начальном этапе пластического деформирования может быть связан с зарождением новых структурных дефектов [7]. Уменьшение скорости накопления энергии обуславливается преобладанием диссипативных процессов (движения и аннигиляции структурных дефектов). Особенностью диссипации энергии в армко-железе является наличие трех линейных участков на кривой зависимости температуры от времени. Второй линейный участок соответствует образованию плато на кривой скорости накопления энергии. Эта особенность наблюдалась для всех исследованных скоростей деформирования. Рисунок 2.1 – Эволюция температуры (1), механическая кривая (2), скорость накопленной энергии (3) для армко-железа. Напряжения и температура нормированы на максимальные значения. 79 На рисунке 2.2 представлено производство энтропии, вычисленное с помощью подстановки экспериментальных данных в формулы (2.105) и (2.106). Можно заметить, что полученные зависимости практически идентичны. Небольшие расхождения могут быть объяснены погрешностями измерения. Рисунок 2.2 – Зависимость производства энтропии от времени ((1) – производство энтропии, рассчитанное по формуле (2.105), (2) – производство энтропии, рассчитанное по формуле (2.106)) t2 Эволюция энтропии с точностью до начального значения  S   Sdt t1 (приращение энтропии) представлена на рисунке 2.3. Приращение энтропии возрастает со временем, что согласуется с тем фактом, что энтропия закрытой системы возрастает при необратимых процессах. Это можно интерпретировать, как все более разупорядоченное поведение дефектов при приближении момента разрушения. Кривая производства энтропии (рис. 2.2) и кривая приращения энтропии с точностью до начального значения (рис. 2.3) отражают переход от участка плато к убывающей ветви на кривой скорости накопления энергии (рис. 2.1). Производство энтропии достигает постоянного значения при уменьшении скорости накопления энергии (т.е. при преобладающих диссипативных процессах в системе). В этом случае наблюдается линейный участок на кривой зависимости приращения энтропии от времени (рис. 2.3), соответсвующий временному интервалу от 130 до 200 секунды. 80 60 50  S, J/K 40 30 20 10 0 40 60 80 100 120 t, s 140 160 180 200 Рисунок 2.3 – Зависимость приращения энтропии от времени 2.6.2 Оценка структурно-чувствительного параметра при одноосном растяжении образца из армко-железа В данном разделе предложен способ качественной оценки зависимости структурного параметра с помощью экспериментальных данных скорости накопления энергии в материале. При слабом влиянии пластической деформации на формирование зародышей мезодефектов, уравнение (2.49) имеет вид:  F  p=Γ p  σ   . p   (2.107) Из (2.107) мы можем получить квадратное уравнение относительно p : p2   p σp   p F p  0. p Подстановка (2.104) в (2.108) позволяет получить соотношение: p2   p (σ  (1  β)σ)p+ p (1  β)σε p  0 . Решение этого уравнения имеет вид: (2.108) 81 p1  p   σ  (1  β)σ   2    p2  p  σ  (1  β)σ  + 2  Как показывают 4(1  β)σε p  , p  (2.109) 4(1  β)σε p   . p  (2.110)  σ  (1  β)σ   2  σ  (1  β)σ  экспериментальные 2 данные, на начальной стадии пластического деформирования, кривая накопления энергии имеет возрастающую ветвь. После достижения некоторого значения деформации, наблюдается падение накопленной энергии с ростом пластической деформации. Следовательно, в качестве первого приближения для качественного анализа, можно воспользоваться функцией логнормального распределения [80]: 1  β(ε)  1 εk 2π   Exp   lnε  a  /  2k 2  , 2 (2.111) где k = 1.9, a = 0. Для простоты аппроксимируем деформационное упрочнение и зависимость пластической деформации от деформации линейными функциями: σ=φε , (2.112) ε p =αε , (2.113) где α = 0.05, φ = 7 × 108. Подстановка (2.111)-(2.113) в (2.109) и (2.110) позволяет получить два различных решения с точностью до параметра  p – убывающее и возрастающее. В процессе деформирования наблюдается увеличение плотности дефектов и диссипация энергии вследствие движения и аннигиляции структурных дефектов. Второе решение описывает случай неограниченного роста плотности дефектов, что не соответствует реальности. С физической точки зрения, наличие убывающей ветви означает, что скорость роста дефектов не является постоянно возрастающей величиной. Результаты расчета p с точностью до  p , полученные при помощи подстановки функций (2.111)-(2.113) в (2.109) представлены на рисунке 2.4 82 (красная кривая). Результаты подстановки реальных экспериментальных данных в (2.109) имеют тот же качественный вид (синяя кривая). Черная кривая представляет собой функцию p(ε) , полученную в результате моделирования квазистатического нагружения образца из армко-железа при скорости деформирования 10−3 с−1 с помощью соотношений (2.48)-(2.55). Рисунок 2.4 – Зависимость скорости структурной деформации от величины полной деформации ((1) – результаты численного моделирования, (2) – экспериментальные результаты, (3) – теоретический расчет) Результаты полученными моделирования качественно с вышеописанного помощью согласуются подхода. с результатами, Количественное расхождение обуславливается определением p с точностью до величины Γ p . Выводы В работе предложено обобщение математической модели эволюции ансамбля дефектов, развиваемой в лаборатории Физических основ прочности ИМСС УрО РАН. Основным достоинством модели является возможность моделирования баланса энергии в материале при его пластическом деформировании, что 83 открывает возможности для разработки и верификации критериев разрушения, основанных на учёте величины накопленной энергии в процессе пластической деформации. Рассмотрены общие принципы построения определяющих соотношений для описания упругопластической среды. Приведен вывод определяющих соотношений для описания среды с дефектами с помощью принципов линейной термодинамики и с помощью введения диссипативных функций. Полученные определяющие соотношения будут использованы в последующем для моделирования процессов деформирования и разрушения металлов. Для повышения практической значимости модели предложен подход, позволяющий определить вид эволюции структурной деформации и энтропии в процессе деформирования металлов, проиллюстрированный на примере квазистатического растяжения армко-железа. Проведенный теоретический анализ упругопластической среды с дефектами в сочетании с результатами экспериментальных исследований эволюции температуры при квазистатическом растяжении позволили: получить аналитические выражения для определения структурной деформации и производства энтропии металлов при пластическом деформировании; рассчитать производство энтропии и энтропию с точностью до начального значения, а также оценить с точностью до порядка величины структурную деформацию для армко-железа. Для проверки полученных результатов была рассмотрена модельная ситуация. Сравнительный анализ модельной ситуации и результатов экспериментальных исследований эволюции температуры армко-железа качественное согласование. при квазистатическом растяжении показали 84 Глава 3. Методы численного моделирования баланса энергии при деформировании и разрушении Введение Настоящая глава посвящена описанию методов численного моделирования, использованных для расчета напряженно-деформированного состояния, баланса энергии и разрушения металлических образцов. В последнее время большую популярность приобретают пакеты конечноэлементного моделирования для расчета широкого класса задач различной сложности. Методы конечно-элементного анализа используются в качестве альтернативы экспериментальным методам моделирования конструкций практически при испытаний. Возможности любых условиях позволяют снизить затраты на проектирование новых деталей, а также на устранение неисправностей уже существующих. В данной работе, для моделирования процессов упруго-пластического деформирования и разрушения металлов, применялся конечно-элементный программный комплекс Simulia Abaqus с использованием академической лицензии1. Данный пакет предоставляет обширный набор функций, позволяющих адаптировать Abaqus для специфических требований пользователя. Для описания напряженно-деформированного состояния материала, определяемого соотношениями (2.48)-(2.55) (или (2.79)-(2.84)) использовался программный модуль UMAT, написанный на языке Fortran. Для реализации энергетического критерия зарождения и распространения трещины применялась функция UDMGINI, также написанная на языке Fortran. Кроме того, для моделирования зарождения и распространения трещины, использовался расширенный метод конечных элементов (XFEM), позволяющий моделировать данные процессы без перестраивания конечно-элементной сетки, что способствует уменьшению вычислительных затрат. Энергетические уравнения скорости роста усталостной 1 002683342125_ABQ12620_0000_1 85 трещины (например, (1.9)) требуют расчета параметров механики разрушения, который также может быть осуществлен с помощью данного конечноэлементного пакета. 3.1 Алгоритм реализации в пакете Simulia Abaqus термомеханической модели для описания упруго-пластического деформирования и разрушения металлов Для реализации пользовательских механических моделей деформирования материалов и критериев разрушения, в пакете Abaqus предусмотрено применение программных модулей UMAT (User Material) и UDMGINI (User Damage Initiation), описание которых представлено ниже. 3.1.1 Построение модели поведения материала с использованием технологии UMAT (User Material) Функция UMAT позволяет пользователю задавать собственные механические модели деформирования твердых тел. Данная процедура вызывается для каждого узла элемента. Использование этой функции требует определения следующих переменных [81]:  якобиана  , где  - приращение тензора напряжений,   приращение тензора деформаций. Якобиан определяет изменения приращения i-й компоненты напряжения, вызванной бесконечно малыми приращениями j-й компоненты тензора деформации;  тензора напряжений  ;  переменных состояния, в качестве которых выступают тензоры p ,  p . Ниже перечислены некоторые переменные, передаваемые в процедуру UMAT, и используемые для решения системы уравнений (2.48)-(2.55) (и (2.79)-(2.84)), совместно с законом Гука (полный список переменных описан в [81]):  массив, содержащий компоненты тензора полных деформаций  ;  массив компонент приращений тензора полных деформаций  ; 86  шаг по времени t ;  размер массива, содержащего компоненты тензора напряжений и деформаций;  определяемый пользователем массив материальных констант;  размер массива материальных констант. Модуль Abaqus/Standard основан на пошаговом методе решения краевых задач. Общий процесс получения решения в этом случае можно описать следующим образом: на каждом шаге по времени необходимо вычислить значения ряда переменных (тензора напряжений  и переменных состояния), а также значение якобиана  , необходимого для оценки сходимости глобального решения  методом Ньютона-Рафсона. Для вычисления якобиана можно воспользоваться приближенными методами, поскольку его значение влияет только на скорость сходимости решения. Алгоритм применения функции UMAT для реализации уравнений (2.48)-(2.55) и закона Гука, записанного для шаровых и девиаторных частей тензора напряжений и тензора упругих деформаций (для уравнений (2.79)-(2.84) использовался аналогичный алгоритм) в конечно-элементном пакете представлен на рисунке 3.1. Реализация данного алгоритма осуществлялась на языке программирования Fortran. В качестве неизвестных величин, которые требовалось определить в рамках этой функции, выступали компоненты тензора напряжений, тензора пластических деформаций, тензора структурных деформаций и якобиан параметрами алгоритма являлись значения компонент  . Входными  тензора полных деформаций, приращения компонент тензора полных деформаций, шаг по времени и константы материала. Для решения системы дифференциальных уравнений применялся метод средней точки, при котором значение неизвестной функции f , а также производная этой величины f определяются, как: 87 f t t/2  f t  f / 2 , f t t/2  f , t где f t - значение функции f , полученное на предыдущем шаге по времени, f неизвестное значение приращения функции f , t - шаг по времени. ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: константы материала, тензор полных деформаций, приращение тензора полных деформаций, шаг по времени Интегрирование системы дифференциальных уравнений: f t t/2  f t  f / 2 f t t/2  f / t  ,  p , p  new   old   p p  new   old   p pnew  pold  p  /  ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: p  new ,  new , p new  /  Рисунок 3.1 – Блок-схема функции UMAT 88 Подстановка этих соотношений в систему уравнений (2.48)-(2.55) и закон Гука, записанный в скоростной форме для шаровых и девиаторных частей тензора напряжений и тензора упругих деформаций, дает следующую систему уравнений:  pij    t   t  0  K 0 , (3.1)  ij  2G   dij  pij   pij  , (3.2)  ij  ij   t   2       p    1  1  ij  ij   ij pij    f1 p t  ij  p    1  p t    t     pt          2G  2   2  pt 2       pij  t   p pt, t  , (3.3)    1  1    ij   ij pij    f1 p t p   ij ij      p    1 p     t   t    t    , (3.4)   2G 2 2 p 2          t    ij  ij   p   t   2   где верхние индексы ij означают компоненты соответствующих величин, нижний индекс t указывает на значение величины, полученное на предыдущем шаге по времени, шаровая часть тензора приращений полных деформаций, определяется выражением  0  1  11   22   33  , тогда как для девиаторной части  3 справедливо равенство  dii   ii   0 . Необходимо отметить, что данные соотношения получены в предположении того, что пластические и структурные деформации являются изохорными. Из системы уравнений (3.1)-(3.4) определяются неизвестные значения приращений компонент тензоров напряжений  , пластических  p и структурных p деформаций. Кроме того, данная система позволяет определить 89 якобиан  . Новые значения тензоров напряжений  new , структурных p new и  p пластических деформаций  new определяются следующим образом:  new   t   , p  new   tp   p , pnew  pt  p , где  t ,  pt , p t - известные значения тензоров напряжений, пластических и структурных деформаций на предыдущем шаге по времени;  ,  p , p - приращения тензоров напряжений, пластических и структурных деформаций, определенные на текущем шаге по времени. 3.1.2 Построение критерия разрушения материала на основе функции UDMGINI (User Damage Initiation) Функция UDMGINI позволяет пользователю задавать собственные критерии разрушения материалов. С помощью этой процедуры можно определить более одного механизма разрушения для элемента. Для использования этой функции необходимо определить значения двух переменных [81]:  вектора FINDEX, задающего условия разрушения каждого из механизмов. В настоящей работе рассматривается только один механизм разрушения, поэтому вектор FINDEX имеет только одну компоненту FINDEX(1). Предполагается, что разрушение элемента наступает при условии: FINDEX(1)=1;  массива FNORMAL , определяющего направление нормали к плоскости трещины для рассматривается каждого из механизмов разрушения. только один механизм разрушения, Поскольку то массив FNORMAL имеет размерность FNORMAL(3,1), определяющую три компоненты вектора нормали. 90 Среди множества переменных, передаваемых в функцию UDMGINI, для задания критерия разрушения, основанного на критическом значении накопленной энергии (описание критерия приведено в параграфе 1.3 главы 1), необходимы следующие [81]:  массив, содержащий переменные состояния;  определяемый пользователем массив материальных констант, связанных с критерием разрушения. Алгоритм применения функции UDMGINI для задания критерия разрушения, основанного на критической величине накопленной энергии, представлен на рисунке 3.2. ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: E sc , p , E s Максимальное главное значение тензора p Максимальное главное направление FNORMAL(3,1) FINDEX(1)  Es / Ecs ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ: FINDEX(1), FNORMAL(3,1) Рисунок 3.2 – Алгоритм функции UDMGINI 91 Входными параметрами служили значения компонент тензора структурных деформаций p , накопленной энергии E s и критического значения накопленной энергии E sc . Следующим шагом было определение главных значений и главных направлений тензора p и выбор максимального среди них. Максимальное главное направление тензора p присваивалось массиву FNORMAL (3,1) и представляло собой нормаль к плоскости трещины. Далее, рассчитывалось значение переменной FINDEX (1), сопоставляемой с условием разрушения: FINDEX(1)  Es / Ecs . Таким образом, все необходимые переменные для задания функции UDMGINI , были определены с помощью данного алгоритма. 3.2 Моделирование поведения трещин в металлах с помощью расширенного метода конечных элементов (XFEM) Расширенный метод конечных элементов (XFEM) был предложен Belytschko, Black [82] для преодоления недостатков обычного метода конечных элементов при моделировании трещин. Главным достоинством метода расширенных конечных элементов является распространения трещины вычислительные затраты. без В возможность перестраивания связи с этим, моделирования сетки, XFEM что получил процесса уменьшает широкое распространение при решении различных задач механики разрушения [83-99]. Основная идея метода заключается в использовании дополнительных (разрывных) функций для элементов, содержащих трещину. В качестве дополнительных функций применяются разрывные функции, описывающие скачок вектора перемещений через берега трещины, и асимптотические функции, характеризующие перемещения в вершине трещины. 92 3.2.1 Основные соотношения расширенного метода конечных элементов В методе конечных элементов (МКЭ) неизвестные перемещения в элементе u выражаются через узловые перемещения u i с помощью соотношения: n u   Ni  x  u i , i 1 где Ni  x  - функции формы (интерполяционные) функции, n - число узлов в элементе. В XFEM вектор перемещений принимает вид: n 4   u   Ni  x   u i  H(x) ai   F (x) bi  , i 1  1   (3.5) где H(x) - разрывная функция (функция Хэвисайда), F(x) - асимптотические функции в вершине трещины, ai , bi - добавочные векторы узловых перемещений. Первое слагаемое в правой части (3.5) справедливо для всех узлов модели, второе - для узлов элементов с трещиной, третье - для узлов элементов, включающих в себя вершину трещины. Для изотропно упругого материала функции F в полярных координатах имеют вид [81]:      F   r sin , r cos , r sin  sin , r sin  cos  , 2 2 2 2  где  r,  - полярные координаты с началом в вершине трещины. 3.2.2 Моделирование процесса распространения трещины когезионным методом При моделировании распространения трещины когезионным методом использование асимптотических функций для описания сингулярности в вершине трещины становится необязательным, поскольку трещина растет поэлементно, и вершина трещины всегда совпадает с границей элемента. Таким образом, 93 рассматривается только разрывная функция (функция Хэвисайда), характеризующая скачок вектора перемещений через берега трещины. Для моделирования разрыва элемента, вводится понятие «фантомного» узла, который накладывается на реальный узел. При отсутствии в элементе повреждений, «фантомный» узел полностью блокируется соответствующим ему реальным узлом. При появлении трещины в элементе, он распадается на две части. Каждая часть элемента представляет собой комбинацию «фантомных» и реальных узлов. Каждый «фантомный» узел и соответствующий ему реальный узел больше не связаны друг с другом, поэтому становится возможным разделение элемента на две части. Степень разделения элемента на части определяется когезионным законом сцепления, до тех пор, пока когезионные силы элемента, содержащего трещину, не обращаются в нуль, после чего «фантомные» и реальные узлы движутся независимо друг от друга. Процесс зарождения трещины определяется условием достижения переменной FINDEX(1) единицы: FINDEX(1)  1. После выполнения этого критерия элемент считается поврежденным. Для характеристики степени поврежденности элемента вводят скалярную переменную, принимающую значения от нуля (отсутствие поврежденности в элементе) до единицы (элемент считается полностью разрушенным). Эволюция этой скалярной переменной определяется когезионным законом. 3.2.3 Метод функции уровня Применение моделировать метода процесс функции уровня совместно распространения трещины с XFEM без позволяет необходимости перестраивания сетки. В рамках этого метода вводятся две функции -  и  . Первая функция описывает поверхность трещины, а вторая, представляет собой ортогональную к 94 ней поверхность. Таким образом, пересечение функций  и  описывает фронт трещины. Значение функции  в узле элемента представляет собой расстояние от этого узла до берега трещины, взятое с определенным знаком. Функция  принимает положительное значение на одном береге трещины и отрицательное – на другом. Значение функции  в узле элемента представляет собой расстояние от этого узла до ортогональной поверхности, проходящей через фронт трещины, взятое с определенным знаком. Функция  принимает нулевое значение на этой поверхности и отрицательна в узлах элементов, находящихся на той же стороне, что и трещина. Вычисление функций  и  можно проиллюстрировать на следующем примере. Пусть имеется трещина, проходящая через три конечных элемента, имеющих форму квадрата с единичной стороной (рис. 3.3). Тогда в узлах 1 и 2 функция  будет принимать значение +0.5, а в узлах 3 и 4 ее значение будет равно -0.5. Функция  в узлах 1 и 3 будет принимать значение -3, а в узлах 2 и 4 ее значение будет равно -2. Рисунок 3.3 – Иллюстрация к вычислению функций уровня 3.3 Расчет параметров линейной механики разрушения Для расчета скорости распространения усталостной трещины часто требуется знание параметров линейной и нелинейной механики разрушения. Для применения энергетического уравнения (1.9) необходимо значение величины Jинтеграла в зависимости от длины трещины. Ниже рассмотрены три метода, использованные в работе для расчета этого параметра. 95 3.3.1 Прямой метод расчета J-интеграла для плоских задач Согласно определению, формула вычисления J – интеграла имеет вид [81]: J  lim  n  H  qd , 0 (3.6)  где  - замкнутый контур, берущий начало на нижнем берегу трещины, и заканчивающийся на верхнем (рис. 3.4); q - единичный вектор в направлении распространения трещины; n - внешняя нормаль к контуру  . Выражение для определения H имеет вид: H  WE    u , x где W - энергия деформации, E - единичный тензор,  - тензор напряжений, u вектор перемещений в направлении оси x . Рисунок 3.4 – Контур  Уравнение (3.6) может быть переписано в виде [100]: J  CC  ΓC u ~ m  H  q' dΓ   t   q' dΓ , x C C   где q ' - гладкая весовая функция в области, окружающей замкнутый контур C  C    C и, принимающая значения q '  q на  и q '  0 на C; m - внешняя нормаль к области, окружающей замкнутый контур (рис. 3.5) , m  n на  и t  m   - вектор поверхностных сил на берегах трещины C и C . 96 Рисунок 3.5 – Замкнутый контур C  C    C , окружающий область A и включающий в себя вершину трещины Использование теоремы Остроградского – Гаусса, уравнения равновесия и представления тензора полных деформаций в виде суммы    m   th (  m механические деформации,  th - деформации, вызванные тепловым расширением) позволяет получить следующее соотношение для определения J - интеграла [81]:  q '  u  th   u J   H : f   :   q ' d   t   q 'd , x  x x   x A C  C где A - область, окруженная замкнутым контуром C  C    C , f - вектор сил, действующих на тело. Для вычисления J-интеграла методом конечных элементов определяется область интегрирования, представляющая собой «кольцо», состоящее из элементов, окружающих вершину трещины. Первый контур состоит из элементов, непосредственно связанных с узлами вершины трещины. Следующий контур включает в себя элементы, имеющие общие узлы с элементами первого контура, а также, элементы первого контура. Каждый последующий контур определяется добавлением «кольца» элементов, содержащих общие узлы с предыдущим контуром. Вектор q ' необходимо выбрать таким образом, чтобы его значение было равно нулю во всех внешних узлах контура, а во всех узлах внутри контура в направлении распространения трещины его значение было бы равно единице. 97 3.3.2 Прямой метод расчета J-интеграла для трехмерных задач При рассмотрении трещины с непрерывным касательным фронтом (рис.3.6) становится возможным вычисление J-интеграла для трехмерных задач [81]. Рисунок 3.6 – Локальные ортогональные декартовы координаты в точке s на фронте трещины (трещина находится в плоскости x1  x 3 ) Направление распространения трещины определяется вектором q, перпендикулярным фронту трещины, и лежащим в плоскости трещины. Для расчета J-интеграла, определенного в плоскости x1  x 2 , справедлива формула [81]: J(s)  lim  n  H  qd . 0  Для продвижения трещины (s) , скорость освобождения энергии определяется по формуле: J '   J(s)(s)ds  lim  (s)n  H  qdA , L 0 (3.7) At где L - рассматриваемый фронт трещины, dA - бесконечно малый элемент цилиндрической поверхности, окружающей вершину трещины (т.е. dA  dsd ), n - внешняя нормаль к dA . Для вычисления J ' необходимо преобразовать поверхностный интеграл в уравнении (3.7) в объемный. Это становится возможным благодаря введению внешней поверхности A 0 , внутренней поверхности, окружающей трещину A t , поверхностей Aends , характеризующих 98 края фронта трещины, а также поверхности, характеризующей берега трещины Acracks (рис. 3.7). Рисунок 3.7 – Поверхность A  At  A0  Aends  Acracks , ограничивающая область объемом V [81] Поверхность A, представляющая сумму A  At  A0  Aends  Acracks ) ограничивает объем всех поверхностей, ( V . Весовая функция q', определяется таким образом, что q '  0 на A 0 и q '  (s)q на A t . Уравнение (3.7) может быть записано в виде: ~ J'    m  H  q' dA  A где m - внешняя нормаль к  t A ends  A cracks u  q' dA , x (3.8) A ( m  n на A t ), t  m   - вектор усилий на поверхностях Aends и Acracks . Применение теоремы Остроградского – Гаусса, уравнения равновесия и выражения, для определения энергии деформации, позволяет получить выражение для J ' в виде:  q '  u  th   u J '   H : f   : t   q 'dA .   q 'dV   x  x x   x V Aends  Acracks (3.9) 99 Для того чтобы получить значение J(s) в каждом из множества узлов P элементов фронта трещины, используется дискретное представление функции (s) через интерполяционные функции NQ (s) , используемые в конечных элементах, расположенных вдоль фронта трещины: (s)  NQ (s)Q , где Q  1 во всех узлах множества P (3.10) и Q  0 во всех других узлах. Подстановка выражения (3.10) для определения (s) в (3.9) позволяет получить значения J – интеграла в каждом узле множества P вдоль фронта: J P  J 'P /  N Pds . L 3.3.3 Расчет J-интеграла методом податливости Райсом было показано, что для определения J-интеграла справедлива формула [101]: J где U - потенциальная энергия, интеграла позволяет U , a (3.11) a - длина трещины. Такое определение J- проводить его расчет достаточно простым способом, описанным ниже [102]. Рассмотрим нагружение двух одинаковых тел, содержащих трещину. Длина трещины в первом теле равна a . Длина трещины второго тела отличается от длины трещины первого на некоторую бесконечно малую величину a и равняется величине a  a . Характерный вид диаграмм нагружения этих тел в случае действия на них постоянной силы F1 представлен на рисунке 3.8 (а). На рисунке 3.8 (б) изображены диаграммы нагружения для случая кинематических граничных условий, задаваемых перемещениями u1 . 100 (а) (б) Рисунок 3.8 – Характерный вид диаграмм нагружения для тел с длинами трещин a и a  a : (a) при силовых граничных условиях, (б) при кинематических граничных условиях Площадь под кривой деформирования представляет собой потенциальную энергию деформирования тела. Разница потенциальных энергий U тел с длинами трещин a и a  a представляет собой заштрихованную область на рисунке 3.8 (а) и (б). Для случая нагружения, изображенного на рисунке 3.8(а), формула (3.11) позволяет рассчитать величину J-интеграла (для рисунка 3.8 (б) формула будет отличаться лишь знаком): J U U U  Ua .   lim   lim a a a 0 a a 0 a a (3.12) Знак минус в формуле (3.12) характеризует тот, факт, что величина U определяется с помощью дополнительной энергии деформации, определяемой разностью площади прямоугольника F1u1 , и площади под кривой деформирования. Таким образом, рассматривая нагружение определенного числа одинаковых тел с трещинами, отличающихся только длинами, можно рассчитать значения Jинтеграла и получить зависимость J(a). 101 3.3.4 Пример расчета J-интеграла для образца с боковой трещиной Рассмотрим пример применения описанных выше методов для расчета зависимости J-интеграла от длины трещины в образце, геометрия которого изображена на рисунке 3.9. Толщина образца составляла 4 мм. Рисунок 3.9 – Геометрия образца. Все размеры указаны в миллиметрах Для расчета были использованы следующие значения параметров материала: модуль упругости E  2 1011 Па, коэффициент Пуассона   0.38 , предел текучести  y  3.2 108 Па. На рисунке 3.10 представлена конечно-элементная модель образца для плосконапряженной постановки задачи расчета J-интеграла. Вследствие симметрии образца, рассматривалась только его половина с соответствующими граничными условиями. При построении геометрии начальный концентратор напряжений не учитывался. Для расчета использовались прямоугольные конечные элементы. В области вершины трещины применялась существенно более мелкая сетка с минимальным размером элемента 6 105 м. Рисунок 3.10 – Конечно-элементное представление образца в двумерном случае 102 На рисунке 3.11 представлена конечно-элементная модель образца для задачи в расчета J-интеграла в трехмерной постановке. В этом случае также рассматривалась половина образца с соответствующими граничными условиями. В окрестности вершины трещины использовались более мелкие конечные элементы с минимальным размером 1 104 м. Рисунок 3.11 – Конечно-элементное представление образца в трехмерном случае Расчет с помощью метода податливости проводился в трехмерной постановке с силовыми граничными условиями, что соответствует случаю, представленному на рисунке 3.8 (а). Величина a при этом составляла 0.0002 м. На рисунке 3.12 представлены результаты расчета J-интегралов для разных длин трещин, с помощью описанных выше методов. Все методы расчета хорошо согласуются между собой. Однако, расчет J-интеграла прямым методом в трехмерной постановке задачи, имеет отклонение от прямого метода расчета для плоской задачи. Это может быть вызвано различием размера и формы зоны пластической деформации для плоско-напряженной и трехмерной задачи. 103 15 x 10 4 1 2 3 J, N/m 10 5 0 0 2 4 a, m 6 8 x 10 -3 Рисунок 3.12 – Зависимость J-интеграла от длины трещины, рассчитанная различными методами: (1) прямым методом для плоской постановки задачи, (2) прямым методом для трехмерной постановки задачи, (3) методом податливости Выводы В данной главе приведено описание используемых в работе методов для моделирования напряженно-деформированного состояния и разрушения материалов в пакете Simulia Abaqus. Моделирование напряженно-деформируемого состояния осуществлялось с помощью функции UMAT (User Material), позволяющей пользователю реализовывать в пакете собственные определяющие соотношения. Для задания критерия разрушения, основанного на критической величине накопленной энергии, применялась функция UDMGINI (User Damage Initiation). Моделирование распространения трещины осуществлялось расширенным методом конечных элементов (XFEM). Основным отличием XFEM от обычного метода конечных элементов, является использование дополнительных функций для элементов, через которые проходит трещина. Описание скачка вектора перемещений достигается за счет введения разрывной функции (функции 104 Хэвисайда). Описание сингулярности в вершине трещины осуществляется использованием аналитических функций. Рассмотрены три метода расчета величины J-интеграла, необходимой для описания скорости роста усталостной трещины, согласно энергетическому уравнению (1.9): прямой метод расчета для плоских задач, прямой метод расчета для трехмерных задач и метод податливости, основанный на расчете потенциальной энергии с помощью диаграммы нагружения. Для иллюстрации возможностей этих методов, была решена задача нагружения постоянной силой F образца с боковой трещиной. 105 Глава 4. Численное моделирование диссипации и накопления энергии при деформировании и разрушении металлов Введение Построение модели баланса энергии и расчёт доли накопленной энергии, представляет интерес при исследовании различных явлений, сопровождающих процесс пластического прогнозирование деформирования момента образования и разрушения. локализованных Например, полос сдвига, возникновения шейки и других видов неустойчивости процесса деформирования. Расчет накопленной энергии также позволяет моделировать процессы зарождения и распространения трещин в металлах на основе энергетического критерия разрушения и энергетического уравнения распространения трещины. Моделирование накопленной энергии становится возможным благодаря введению дополнительной внутренней переменной, совпадающей по смыслу с деформацией, обусловленной дефектами. Характер введения этой переменной позволяет её использовать в качестве независимого термодинамического параметра при определении термодинамического потенциала системы. В данной главе продемонстрированы возможности определяющих соотношений, полученных во второй главе, для моделирования процессов диссипации и накопления энергии при деформировании и разрушении металлов. В настоящей главе представлено численное решение следующих задач:  расчет напряженно-деформированного состояния при квазистатическом нагружении металлов с учетом эволюции дефектов (в стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титановом сплаве ОТ4-0);  расчет баланса энергии при квазистатическом деформировании металлов (в стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титановом сплаве ОТ4-0);  моделирование процесса разрушения металлов на основе энергетического критерия зарождения трещины и энергетического уравнения для 106 определения скорости распространения трещины (в стали 08Х18Н10, титановом сплаве ОТ4-0) . Результаты решения этих задач опубликованы в работах [103-121]. 4.1 Моделирование напряженно-деформированного состояния при квазистатическом растяжении металлов Данный параграф посвящен моделированию напряженно-деформированного состояния (НДС) металлов, на основе определяющих соотношений, полученных во второй главе. Проведен расчет зависимости напряжения от деформации при кинематическом растяжении следующих металлов: 08Х18Н10, титана ОТ4-0. Полученные стали 03Х18Н11, стали зависимости сравнивались с экспериментальными данными, полученными в лаборатории Физических основ прочности ИМСС УрО РАН и с данными, взятыми из литературных источников. Расчет напряженно-деформированного состояния проводился в конечно- элементном пакете Simulia Abaqus с использованием пользовательской функции UMAT. 4.1.1 Постановка задачи о расчете напряженно-деформированного состояния при квазистатическом деформировании с учетом эволюции дефектов Рассматривалось нагружение образца в виде лопатки, геометрия которого приведена на рисунке 4.1. Рисунок 4.1 – Геометрия образца. Все размеры указаны в миллиметрах 107 Предполагается, что полная скорость деформаций  состоит из скорости упругих деформаций  e , скорости пластических деформаций  p , скорости структурных деформаций p :    e   p  p, (4.1) Шаровая часть тензора напряжений  0 , девиаторная часть тензора напряжений  d связаны с шаровой частью  0e и девиаторной частью  de тензора упругих деформаций с помощью линейного закона Гука: где 1 3 0   : E, d      0  K 0e , (4.2)  d  2G de , (4.3)  1  :E E, 3 1 3  0e   e : E ,  de   e    1 e  :E E, 3 E - единичный тензор, K - модуль всестороннего сжатия, G - модуль сдвига. Для скорости пластических деформаций и скорости структурных деформаций справедливы соотношения, полученные в п. 2.5 второй главы:  p    d : d  d ,    (4.4)  F  p   p  d   , p   где  - интенсивность тензора напряжений, p (4.5) - интенсивность тензора структурной деформации,   ,  p - материальные функции. Для тензора полных деформаций в случае малых деформаций справедливо геометрическое соотношение:  1 u   u T  ,  2 (4.6) где  - оператор Гамильтона. Данная система уравнений дополняется уравнением равновесия:    0 , Силовые граничные условия имеют вид: (4.7) 108 n  F F, (4.8) где n - вектор внешней нормали к поверхности, F - вектор поверхностных сил,  F - граница тела, на которой заданы поверхностные нагрузки. Кинематические граничные условия задаются соотношением: u U  u*, (4.9) где u - вектор перемещений, u * - заданные перемещения, U - граница тела, на которой заданы перемещения. Начальные условия системы имеют вид:  0e t 0  0 , (4.10)  de t 0  0 , (4.11)  p t 0  0 , (4.12) p t 0  0 . (4.13) Для оценки сходимости задачи квазистатического кинематического нагружения образца, геометрия которого изображена на рис. 4.1, проводилась серия расчетов с разным количеством конечных элементов N : 800, 1400, 3000, 5800, 7600, 15500. Относительная погрешность  определялась согласно формуле: m  im   15500 i   100% , m  15500 m где  15500 - значения напряжения по Мизесу в рабочей части образца, полученное при расчете задачи, содержащей 15500 конечных элементов, индекс i принимает значения 800, 1400, 3000, 5800, 7600, 15500 и указывает на число элементов, используемое при определении напряжения по Мизесу  im . На рисунке 4.2 приведена зависимость относительной погрешности от числа конечных элементов, используемых при расчете. Из представленных результатов можно сделать вывод о том, что размер конечного элемента существенно не влияет на значение напряжения для рассматривемой геометрии и относительная 109 погрешность расчета даже на крупной сетке составляет 1%. Это связано с тем, что геометрия, изображенная на рисунке 4.1, не содержит концентраторов. 1.4 1.2 , % 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 N 1.5 2 x 10 4 Рисунок 4.2 – Зависимость относительной погрешности  от числа конечных элементов N 4.1.2 Примеры расчета напряженно-деформированного состояния для стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титана ОТ4-0  Сталь 03Х18Н11. Исходя из предположения о том, что в каждом малом элементе объема среды существует локальное равновесие, а также учитывая тот факт, что пластическая деформация слабо влияет на изменение объема, мы можем записать соотношения (4.4)-(4.5) в виде:  p    d , (4.14)  F  p   p  d  .  p   (4.15) Подробный вывод этих соотношений представлен в п. 2.4 главы 2. 110 Соотношения (4.14)-(4.15) получены в предположении независимости процессов пластической деформации и накопления дефектов (кинетический коэффициент  p  0 ). Материальные функции  ,  p имеют вид:   p  1 2G  1 2G p 1   2  1  Exp    a2   , (4.16) 1 ,  H (  , p ,  , pc , c )   1  1  Exp    a1   (4.17) где   ,  p ,  2 , a2 ,  1 , a1 ,  c , pc - материальные параметры,  - параметр структурного скейлинга [63]. Функция H (  , p , , pc ) имеет вид: H (  , p , , pc )    2G c  ( f  1) p pc  p pc  , (4.18) и может быть рассмотрена, как «степень неравновесности» системы. Предположение соосности тензора структурных деформаций и тензора напряжений, позволяет записать для термодинамической силы 1  F   d   2G  p  следующую аппроксимацию [63, 72]: 1  F   1   d p          d   2G  p     2G c pc   где f ( p) -  p  pp f   c  1  ,  pc  p  pc  (4.19) функция, позволяющая моделировать степенное упрочнение. Функция f ( p ) может быть записана в виде: n  p  p f    k  ,  pc   pc  (4.20) где k , n - постоянные материала. Данные соотношения дополнялись уравнениями (4.1)-(4.3), (4.6)-(4.7), начальными условиями (4.10)-(4.13) и кинематическими граничными условиями (4.9). 111 Расчет проводился при следующих значениях материальных параметров:    0.0589 ,  p  3.5 ,  c  0.001, pc  3.11 ,   1 , 1  240 106 ,  2  280 106 , a1  107 , a 2  107 , k  33.32 , n  1. На рисунке 4.3 представлено сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными данными по растяжению стали 03Х18Н11 при скорости деформирования   4.3 103 с1 , представленными в работе [122]. Результаты моделирования хорошо согласуются с экспериментальными данными. 400 , MPa 300 экспериментальные данные численные результаты 200 100 0 0 0.02 0.04  0.06 0.08 0.1 Рисунок 4.3 – Зависимость напряжения от деформации (сплошная линия – результаты моделирования, маркерные точки – экспериментальные данные) для стали 03Х18Н11  Сталь 08Х18Н10. Для моделирования кинематического квазистатического растяжения образца из стали 08Х18Н10 использовались уравнения (4.1)-(4.3), (4.6)-(4.7), (4.14)-(4.20), начальные условия (4.10)-(4.13), граничное условие (4.9). Расчет проводился при следующих значениях материальных постоянных:   0.027 ,  p  3 , c  0.0253 , pc  0.1 ,   1, 1  29  107 , a1  106 , a 2  4 107 , 112 2  56 107 , n  1 , k  1 . На рисунке 4.4 представлены результаты моделирования НДС и экспериментальные результаты, полученные в лаборатории Физических основ прочности ИМСС УрО РАН. Результаты численного моделирования (сплошная линия на рис. 4.4) хорошо согласуются с экспериментальными данными (круглые маркеры на рис. 4.4). 600 500 численные результаты экспериментальные результаты , MPa 400 300 200 100 0 0 0.02 0.04  0.06 0.08 0.1 Рисунок 4.4 – Зависимость напряжения от деформации (сплошная линия – результаты моделирования, маркерные точки – экспериментальные результаты) для стали 08Х18Н10  Титан ОТ4-0. подобно Поведение материала, описываемого уравнением (4.14), Максвелловской моделировании жидкости, квазистатического что представляет нагружения. Для проблемы преодоления при этого недостатка, при расчете НДС титана ОТ4-0, соотношение (4.14) было заменено на более общее соотношение (4.4). Материальные функции  p и   имеют вид: 113 p    1 ,    2  2G  1  Exp    a2     1 2G p 1 ,  H  p ,  ,    1  1  Exp     a1   (4.21) (4.22) где функция H  p ,  ,  определяется, как:   H  p ,  ,     2G   f  p   p   p . (4.23) Для определения термодинамической силы применялась аппроксимация: 1  F  1  1   f  p       p d d    p  1 p , 2G  p    2G   (4.24) Функция f  p  определяется уравнением: f  p   k p  m, n (4.25) где m - параметр материала. Данные соотношения дополнялись уравнениями (4.1)-(4.3), (4.6)-(4.7), начальными условиями (4.10)-(4.13) и кинематическим граничным условием (4.9). Моделирование НДС параметров:  p  0.003 , ОТ4-0 проводилось при следующих значениях    0.003 , 1  3 108 , a1  108 ,  2  625 106 , a2  105 , n  0.85 , k  0.007 , m  0.004 ,   1 . На рисунке 4.5 представлены зависимости напряжений от величины деформации для титана ОТ4-0, полученные с помощью уравнений (4.1)-(4.7), (4.21)-(4.25) и результаты экспериментов растяжения титана ОТ4-0 при скорости деформации в рабочей части образца 1.5  10-3 с-1, проведенных в лаборатории Физических основ прочности ИМСС УрО РАН. Предложенная модель позволила хорошо описать экспериментальные данные. 114 700 600 , MPa 500 экспериментальные результаты результаты моделирования 400 300 200 100 0 0 2 4 , % 6 8 10 Рисунок 4.5 – Зависимость напряжения от деформации для титановго сплава ОТ4-0 (сплошная линия – результаты моделирования, маркерные точки – экспериментальные результаты) 4.2 Моделирование баланса энергии при квазистатическом деформировании металлов Обзор литературы, представленный в первой главе, показывает необходимость учета накопленной и диссипированной энергий в процессе пластического деформирования металлов. Основным достоинством модели, описанной во второй главе, является возможность моделирования баланса энергии в материале при его пластическом деформировании. Накопление энергии в материале описывается эволюцией внутреннего полевого параметра модели p, определяющего объёмную концентрацию и ориентацию дефектов, и, совпадающего по смыслу с 115 деформацией, обусловленной дефектами. В данном параграфе приведены примеры определения доли накопленной и диссипированной энергии для квазистатических экспериментов, рассмотренных в п. 4.1.2. 4.2.1 Постановка задачи расчета баланса энергии в металлах при квазистатическом деформировании Для расчета баланса энергии в процессе пластического деформирования материалов, необходимо к системе уравнений (4.1)-(4.7), описывающих напряженно-деформированное состояние, добавить соотношение:   Qp  :  p  p  F : p  W p  Es . p (4.26) Здесь, W p - скорость работы неупругой деформации, E s - скорость накопления энергии. Для расчета коэффициента Тейлора-Квинни применяется соотношение: F :p Q p   p 1 . W  : ( p  p) p (4.27) 4.2.2 Примеры расчета баланса энергии в процессе деформирования стали 03Х18Н11, 08Х18Н10, титана ОТ4-0  Сталь 03Х18Н11. Зависимость работы пластической деформации Wp  Wp dt , накопленной энергии Es   Es dt и выделенной теплоты Q   Qdt в процессе квазистатического растяжения стали 03Х18Н11, описанного в п. 4.1.2, приведены на рисунке 4.6. Результаты расчета показывают, что приблизительно равные доли работы пластической деформации диссипируют в тепло (около 51%) и накапливаются в материале (49%). 116 30 Es Q Wp 25 MJ/m 3 20 15 10 5 0 0 0.02 0.04  0.06 0.08 0.1 Рисунок 4.6 – Зависимость работы пластической деформации W p (сплошная линия), накопленной энергии Es (пунктирная линия) и выделенного тепла Q от деформации (штрих-пунктирная линия) для стали 03Х18Н11 Результаты моделирования эволюции доли накопленной энергии в процессе деформирования образца (1   ) в случае однородной пластической деформации показаны на рисунке 4.7. Представленная зависимость имеет максимум, соответствующий деформации (0.05) что согласуется с экспериментальными данными [122]. Согласно результатам структурных исследований [122] на начальном этапе пластической деформации (до 0.05) наблюдается подготовка структуры материала, связанная с образованием новых структурных дефектов, что приводит к росту относительной доли накопленной энергии. При достижении некоторого уровня деформации, преобладающими процессами становиться рост, движение и аннигиляции структурных дефектов, что приводит к росту доли диссипированной энергии. 117 0.4 1- 0.3 экспериментальные результаты результаты моделирования 0.2 0.1 0 0 0.02 0.04  0.06 0.08 0.1 Рисунок 4.7 – Зависимость скорости накопления энергии от деформации для стали 03Х18Н11 (сплошная линия – результаты численного моделирования, маркерные точки – экспериментальные данные) Смена механизмов структурной релаксации материала соответствует смене характера процесса упрочнения. На рисунке 4.8(а) показано сопоставление экспериментальной зависимости скорости накопления энергии и скорости деформационного упрочнения d / d . Из анализа данных приведённых на рисунке 4.8(а) можно сделать вывод о том, что при переходе через точку максимума скорости накопления энергии, скорость деформационного упрочнения выходит на постоянное значение (наблюдается переход от параболического к линейному упрочнению), что подтверждается результатами численного моделирования (рисунок 4.8(б)). Начальный этап параболического упрочнения соответствует росту относительной скорости накопления энергии в материале, сопровождающимся ростом значения параметра модели, описывающего плотность дефектов. С физической точки зрения это соответствует росту плотности дислокаций в границах и внутри зерен, а также разориентировке зерен и интенсивному накоплению энергии в материале. Данный процесс неоднократно экспериментально наблюдался в [123, 124]. 118 (а) (б) Рисунок 4.8 – Зависимость скорости накопления энергии (точки) и скорости деформационного упрочнения (сплошная линия) от деформации для стали 03Х18Н11 (экспериментальные данные (а), результаты численного моделирования (б)) Построенная математическая модель позволяет исследовать взаимосвязь характера упрочнения материала и скорости накопления энергии в его структуре. В случае, если значение коэффициента Γσ превышает значение коэффициента Γp, что физически соответствует преимущественно диссипативному характеру развития пластической деформации без существенного увеличения плотности дефектов, диаграмма квазистатического растяжения соответствует идеально пластическому материалу, а накопленная энергия резко возрастает на начальном этапе деформирования и плавно убывает, выходя на постоянное (близкое к нулю) значение (рис. 4.9). При значениях Γσ<Γp, что физически соответствует росту плотности дефектов в процессе деформирования, скорость накопления энергии имеет только возрастающий участок кривой, а на деформационной кривой наблюдается линейное упрочнение (рис. 4.10). 119 2500 0.02  0.04 0.06 0.08 0.1 0.03 0.025 200 150 0.015 1- , MPa 0.02 100 0.01 50 0.005 0 0 0.02 0.04  0.06 0 0.1 0.08 Рисунок 4.9 – Зависимость скорости накопления энергии (точки) и напряжения (сплошная линия) от деформации при Γσ>Γp 0.9 0 0.01 0.02 0.03 0.04  0.05 0.06 0.07 0.08 0.8 0.09 700 600 0.7 500 400 1- 0.5 300 0.4 0.3 ,MPa 0.6 200 0.2 100 0.1 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04  0.05 0.06 0.07 0.08 0 0.09 Рисунок 4.10 – Зависимость скорости накопления энергии (точки) и напряжения (сплошная линия) от деформации при Γσ<Γp 120  Сталь 08Х18Н10. В работе [10] был предложен алгоритм расчёта величины накопленной энергии на основе зависимости напряжения от деформации в процессе деформирования (рис. 1.7, параграф 1.1 первой главы). На основе данного алгоритма может быть определена величина накопленной энергии, связанная с неоднородной пластической деформацией. Эта часть энергии складывается из энергии необходимых дислокаций растяжения и решетки, энергии энергии дальнодействующих геометрически внутренних напряжений, вызванных неоднородностью распределения дислокаций [11]. По данным [11], накопленная энергия, связанная с однородной деформацией не определяется с помощью геометрического алгоритма и требует использования данных непосредственного измерения локальной температуры образца (например, с использованием инфракрасной термографии). Под термином «накопленная энергия, связанная с однородной деформацией» авторы статьи [11] понимают энергию статистически запасенных дислокаций, которые аккумулируются в материале только взаимным захватом. На рисунке 4.11 показаны зависимость величины накопленной энергии в материале, рассчитанной на основе предложенной модели поведения ансамбля дефектов (сплошная кривая) и построенной при помощи геометрического алгоритма (пунктирная кривая) для квазистатического эксперимента по растяжению стали 08Х18Н10, описанного в п. 4.1.2. Накопленная энергия, связанная с неоднородной частью пластического деформирования, вычисленная по деформационной кривой, меньше, чем общая накопленная энергия, рассчитанная с помощью модели, что согласуется с экспериментальными результатами [11]. 121 5 x 10 6 4 Es J/m 3 3 2 1 0 0 0.02 0.04  0.06 0.08 0.1 Рисунок 4.11 – Зависимость энергии, накопленной в процессе деформирования от деформации для стали 08Х18Н10 (сплошная кривая результаты численного моделирования, пунктирная кривая – результаты геометрического анализа зависимости напряжения от деформации)  Титан ОТ4-0. На рисунке 4.12 представлены результаты численного моделирования (сплошные кривые) и экспериментальные данные (обозначены маркерными точками) величины работы пластической деформации, накопленной и диссипированной энергий при квазистатическом растяжении титана ОТ4-0, описанного в п. 4.1.2. Баланс энергии в образце рассчитывался согласно уравнению (4.26). В начале процесса деформирования (для значений деформации менее чем 6%) наблюдается зарождение новых дефектных структур. Это отражается в росте величины накопленной энергии. Аннигиляция и движение дефектов приводят к росту генерации тепла в процессе деформирования. Рисунок 4.12 показывает, что значительная часть работы пластической деформации запасается в материале. Эти результаты подтверждаются исследованиями других авторов [7, 125]. 122 90 80 Q (результаты моделирования) Wp(результаты моделирования) Es (результаты моделирования) Q (экспериментальные результаты) Wp (экспериментальные результаты) Es (экспериментальные результаты) Q, Wp , Es, J/cm 3 70 60 50 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 , % 6 7 8 9 10 Рисунок 4.12 – Зависимость работы пластической деформации, накопленной и диссипированной энергий от деформации для титана ОТ4-0 (сплошные кривые – результаты моделирования, маркеры – экспериментальные данные) 4.3 Моделирование процесса разрушения металлов Моделирование баланса энергии в материале при его пластическом деформировании, открывает возможности для разработки и верификации новых критериев разрушения, основанных на учёте величины накопленной энергии в процессе пластической деформации. Принимая во внимание анализ, выполненный в первой главе, для описания зарождения трещины был выбран критерий достижения накопленной энергии некоторой критической величины. Данный критерий также может быть выражен через коэффициент Тейлора-Квинни  . В этом случае предполагается, что зарождение трещины в материале происходит при скорости накопления энергии (величина (1-  )) стремящейся к нулю, что с физической точки зрения означает 123 превращение всей пластической работы в тепло, потерю материалом возможности формирования новых дефектных структур и диссипирование энергии только за счёт движения и аннигиляции дефектов. Еще одним возможным применением расчета величины накопленной энергии при разрушении металлов является объяснение физической природы усталостного разрушения на основе энергетического закона роста усталостной трещины, предложенного в работах [43,44]. В данном параграфе приведены примеры применения расчета величины накопленной энергии для задач разрушения металлов. В первом примере рассмотрено моделирование процесса зарождения и распространения трещины в образце из стали 08Х18Н10 при его кинематическом квазистатическом растяжении. Второй пример посвящен расчету скорости роста усталостной трещины в компактном образце из титанового сплава ОТ4-0 на основе энергетического уравнения, предложенного в работах [43,44]. В третьем примере рассматривается моделирование пути распространения трещины при силовом циклическом кручении цилиндрического образца из стали 08Х18Н10. Для моделирования процессов зарождения и распространения трещины использовался расширенный метод конечных элементов (XFEM), встроенный в программный комплекс Simulia Abaqus. Для реализации критерия разрушения использовалась функция UDMGINI. Описание метода XFEM и детали численной реализации критерия разрушения приведены в главе 3. 4.3.1 Моделирование процесса зарождения трещины в стали 08Х18Н10 Рассматривается кинематическое квазистатическое растяжение образца из стали 08Х18Н10, геометрия которого приведена на рисунке 4.13. 124 Рисунок 4.13 – Геометрия образца. Все размеры указаны в миллиметрах Предполагается, что разрушение материала наступает при равенстве скорости накопления энергии в материале нулю. При реализации численной процедуры для перехода к образованию трещины используется условие: 1   0 . (4.28) Нормаль к плоскости разрушения определялась как главное направление, соответствующее максимальному главному значению тензора плотности дефектов. Моделирование гетерогенности начальной структуры образца осуществлялось заданием случайного распределения величины   в уравнении (4.14). В процессе моделирования использовалось равномерное распределение   с функцией распределения задаваемое F( x)  ( x  a) / (b  a) , функцией распределения x   a, b и распределение k F( x)  1  Exp(( x / ) ) , Вейбулла, где   0- коэффициент масштаба, k  0 - коэффициент формы. Результаты моделирования зарождения трещины на основе критерия (4.28) для случая равномерного распределения случайной величины   представлены на рисунках 4.14 – 4.15. Перед образованием трещины в образце наблюдается локализация пластической деформации (рис. 4.14). 125 (а) (б) Рисунок 4.14 – Зона локализации пластической деформации: (а) перед образованием трещины; (б) после образования трещины На рисунке 4.15 (а) показан момент зарождения трещины, на рисунке 4.15 (б) – заключительная стадия разрушения. Переменная STATUSXFEM показывает состояние элемента, содержащего трещину, и принимает значения от нуля до единицы. Элемент считается полностью разрушенным при достижении этого параметра единицы. (а) (б) Рисунок 4.15 – Эволюция трещины в процессе деформирования: (а) зарождение трещины, (б) трещина в конце процесса деформирования Эволюция скорости накопления энергии в элементе с трещиной представлена на рисунке 4.16. На начальном этапе упругого деформирования (до достижения предела текучести) параметр (1-  ) не вычисляется. При пластическом деформировании материала происходит рост скорости накопленной энергии, обусловленный зарождением новых структурных дефектов, что соответствует экспериментальным данным по скорости накопления энергии на начальном этапе пластического деформирования [122]. 126 После достижения максимального значения скорость накопленной энергии падает, что связано с преобладанием диссипативных процессов. При приближении к нулю этого параметра в материале происходит образование трещины. Рисунок 4.16 – Эволюция параметра скорости накопления энергии в материале в процессе деформирования (1-  ) для элемента, содержащего трещину На рисунке 4.17 приведено распределение напряжений в образце с трещиной. В вершине трещины наблюдается характерное распределение напряжений, соответствующие экспериментальным данным. Рисунок 4.17 – Распределение напряжений в образце с трещиной При большем статистическом разбросе параметра   , что соответствует исходному наличию большого числа высоко дефектных областей в материале, можно наблюдать множественное зарождение трещин и отклонение магистральной трещины от прямолинейного распространения (рис. 4.18). 127 Рисунок 4.18– Распределение напряжений в образце с высокой гетерогенностью структуры, отклонение трещины от прямолинейного направления распространения На рисунке 4.19 представлены результаты моделирования процесса зарождения трещины при распределении случайной величины   по закону Вейбулла. Высокий статистический разброс свойств приводит к множественному зарождению трещин в образце (рис. 4.19). Рисунок 4.19 – Распределение напряжений в образце при множественном образовании трещин 4.3.2 Моделирование скорости роста усталостной трещины в титановом сплаве ОТ4-0 Рассматривается циклическое нагружение стандартного компактного образца из титанового сплава ОТ4-0 с коэффициентом асимметрии цикла R=0.1. Амплитуда приложенной растягивающей силы составляла 2.5 кН. Геометрия образца представлена на рис. 4.20. 128 Рисунок 4.20 – Геометрия компактного образца. Все размеры указаны в миллиметрах Вследствие симметрии компактного образца, при моделировании рассматривалась его половина. Конечно-элементная модель образца представлена на рисунке 4.21. Для моделирования применялись восьмиузловые четырехугольные элементы. В цилиндрической области, окружающей вершину трещины, использовалась более мелкая конечно-элементная сетка. Рисунок 4.21 – Конечно-элементная модель компактного образца Расчет скорости роста усталостной трещины основывался на энергетическом законе (1.9), предложенном в работах [43,44], и, рассмотренном более подробно в п.1.3 первой главы. Предположение того, что энергия разрушения, необходимая для неограниченного роста трещины, совпадает с критическим значением энергетического J-интеграла, позволяет записать (1.9) в виде: 129 da 1 dEs  , dN h  J c  J  dN В уравнении (4.29) (4.29) dE s da - скорость роста усталостной трещины, - значение dN dN накопленной энергии за один цикл деформирования, h - толщина образца, J энергетический J-интеграл, J c - критическое значение J-интеграла. Использование уравнения (4.29) требует знания величины J-интеграла в зависимости от длины трещины. На рисунке 4.22 (а) представлены значения Jинтеграла в зависимости от длины трещины для различной величины приложенных нагрузок. приложенных сил от Данные зависимости F  0.1Fapplied получены для F  Fapplied , где до значений Fapplied соответствует экспериментальному значению приложенной силы. На рисунке 4.22 (б) представлены значения J-интеграла для величины приложенной силы F  Fapplied , полученные прямым методом расчета для трехмерного случая, описанным в п. 3.3.2 главы 3 и методом, расчета J- интеграла, описанным в стандарте Американского общества по испытанию материалов (ASTM) [126]. Согласно этому стандарту, величина J интеграла рассчитывается, как: J  J el  J pl , где J el - упругая часть J-интеграла, J pl - пластическая часть J-интеграла. J el рассчитывается, как: J el  K 2 1  2  E , где E - модуль Юнга,  - коэффициент Пуассона. Для компактного образца величина K рассчитывается, как: K F f (a / w) , bw1/2 130   0.886  4.64  a / w   13.32  a / w 2     2   a / w     14.72  a / w 3  5.6  a / w 4      f (a / w)  , 3/2 1   a / w  где F - приложенная нагрузка, b - толщина образца, a - расстояние между точкой приложения нагрузки и вершиной трещины, w - расстояние между точкой приложения нагрузки и краем образца. Выражение для расчета пластической части J-интеграла имеет вид:  2  0.522  w  a  / w Apl J pl   bw  a , где Apl - работа пластической деформации, полученная из кривой одноосного деформирования материала. Результаты расчета J-интеграла, полученные двумя методами, хорошо согласуются между собой (рис. 4.22 (б)). x 10 4 F=Fapplied F=0.7Fapplied F=0.5Fapplied F=0.3Fapplied F=0.1Faplied 4 J, N/m 4 3 x 10 4 ASTM МКЭ 3 J, N/m 5 2 2 1 1 0 0 0.005 0.01 0.015 0.02 a, m (а) 0.005 0.01 0.015 0.02 a,m (б) Рисунок 4.22 – Значение J-интеграла в зависимости от длины трещины: (а) зависимости получены для приложенных нагрузок от F  0.1Fapplied до F  Fapplied , где Fapplied соответствует экспериментальной силе; (б) сплошная линия - результаты расчета J-интеграла методом конечных элементов (МКЭ), пунктирная линия – результаты расчета J-интеграла методом, описанным в стандарте Американского общества по испытанию материалов (ASTM) при F  Fapplied 131 При расчете величины накопленной энергии за цикл был использован подход стационарной трещины, описанный в [40,41]. Для каждой длины трещины моделируется два цикла нагружения. Два цикла нагружения являются необходимым минимумом, поскольку при таком рассмотрении процесса циклического деформирования, структурные деформации, ответственные за накопление энергии, ограничиваются зоной остаточных деформаций, только после первого цикла нагружения. Таким образом, предполагается, что изменение накопленной энергии за второй цикл деформирования, представляет стабилизированный отклик материала. Оценка сходимости полученного решения осуществлялась путем удвоения конечно-элементной сетки в каждом из направлений, что незначительно отразилось на значении накопленной энергии за цикл деформирования (рис. 4.23, кривые (2) и (3)). Применение существенно меньшего числа конечных элементов дает заниженной значение накопленной энергии за цикл при больших длинах трещин (рис. 4.23, кривая (1)). Рисунок 4.23 – Зависимость накопленной энергии за цикл от длины трещины, полученная при расчете с конечно-элементной сеткой, содержащей: (1) 8000 элементов, (2) 60000 элементов, (3) 30000 элементов Основным законом, определяющим рост усталостных трещин в металлах, является закон Пэриса [127]: 132 da  CK m , dN (4.30) где C , m – параметры материала. На рисунке 4.24 представлены результаты расчета скорости роста усталостной трещины для титанового сплава ОТ4-0 с помощью закона Пэриса (4.30) (рис. 4.24 (а)) и энергетического уравнения (4.29) (рис. 4.24 (б)). Можно заметить, что обе модели отличаются от экспериментальных данных при больших длинах трещин. При этом соотношение (4.29) лучше описывает экспериментальные данные. Закон Пэриса представляет собой линейную функцию в логарифмических координатах и может быть использован для описания стабильного роста трещины. Однако закон Пэриса представляет собой феноменологическое соотношение, построенное, как обобщение большого числа экспериментальных данных. С точки зрения физики процесса, уравнение (4.29) является более подходящим для объяснения роста усталостной трещины. Резкое увеличение скорости роста трещины для длинных трещин при расчете по формуле (4.29) обусловлено тем фактом, что J c   J при больших длинах трещин и скорость роста трещины стремится к бесконечности. Этот недостаток можно преодолеть при использовании функции для  в формуле (1.9) вместо константы J c . 10 10 -5 10 da/dN,m/cycle da/dN,m/cycle Закон Пэриса Экспериментальные результаты -6 10 10 10 10 -7 0 0.005 0.01 a,m 0.015 0.02 -4 Экспериментальные результаты Результаты моделирования -5 -6 -7 0 0.005 0.01 a,m 0.015 0.02 Р (а) (б) Рисунок 4.24 – Скорость роста усталостной трещины в зависимости от длины трещины в полулогарифмических координатах для титанового сплава ОТ4-0, рассчитанная по: (а) закону Пэриса (4.30); (б) уравнению (4.29) 133 4.3.3 Моделирование пути распространения трещины при кручении цилиндрического образца и разрушения опоры подшипника из стали 08Х18Н10 Построенные определяющие соотношения позволяют провести моделирование процесса распространения трещины при сложном напряженно-деформированном состоянии. Предполагается, что трещина начинает распространяться при достижении накопленной энергии критической величины E sc : Es  Esc . Реализация данного критерия в конечно-элементный пакет Simulia Abaqus 6.13 осуществлялась с помощью пользовательской функции UDMGINI. Нормаль к плоскости разрушения совпадала с главным направлением, соответствующим максимальному главному значению тензора структурной деформации p . По данным автора этой работы, в литературе отсутствуют сведения о критической величине накопленной энергии для стали 08Х18Н10. В связи с этим, целью рассматриваемой задачи является качественная оценка применимости описанного выше критерия распространения трещины. В качестве критического значения накопленной энергии было выбрано значение 1.7 МДж/м3. Рассмотрим циклическое кручение трех цилиндрических образцов из стали 08Х18Н10 с коэффициентом асимметрии цикла R=0. Каждый из образцов в исходном состоянии содержит трещину, ориентированную к оси цилиндра под разными углами: 150, 450, 750 (рис. 4.25). К одному из концов образца прикладывается крутящий момент, другой конец образца жестко закрепляется. M M (а) (б) 134 M (в) Рисунок 4.25 – Граничные условия и расположение трещины в начальный момент времени: (а) трещина расположена под углом 150 к оси цилиндра; (б) трещина расположена под углом 450 к оси цилиндра; (в) трещина расположена под углом 750 к оси цилиндра На рисунках 4.26, 4.27 приведены пути распространения трещины на основе предложенного критерия и распределение напряжения по Мизесу для разного начального расположения трещин. Как можно заметить, трещина, расположенная под углом 450 к оси цилиндра остается в своей плоскости при распространении, в то время как трещины, расположенные под углами 150 и 750, поворачивают. Результаты моделирования согласуются с данными, описанными в работе [128]. Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что предложенный критерий может быть применен для описания как момента зарождения, так и направления распространения трещины. (а) (б) (в) Рисунок 4.26 – Путь распространения трещины, расположенной под углом: (а) 150; (б) 450; (в) 750 (а) (б) 135 (в) Рисунок 4.27 – Распределение напряжения по Мизесу в цилиндрическом образце с трещиной, расположенной под углом: (а) 150; (б) 450; (в) 750 Кроме того, предложенный критерий может быть применен для определения «слабых мест» конструкций с помощью моделирования их эксплуатации в реальных условиях. На рисунке 4.28 представлено сложное нагружение опоры подшипника из стали 08Х18Н10, которое создается совместным действием кручения и внутреннего давления. В качестве кинематических граничных условий использовалось жесткое закрепление четырех отверстий, предназначенных для фиксации опоры подшипника. Рисунок 4.28 – Граничные условия, используемые при моделировании разрушения опоры подшипника 136 На рисунке 4.29 представлены результаты моделирования разрушения опры подшипника с использованием описанной в параграфе 2 модели и критерия разрушения, основанного на критической величине накопленной энергии. Результаты моделирования показывают, что наиболее «слабым местом» детали при таких условиях нагружения является соединение ее корпуса с цилиндрической частью. В этом месте опоры происходит зарождение и развитие трещины. Рисунок 4.29 – Распределение накопленной энергии в опоре подшипника из стали 08Х18Н10 Выводы В данной главе проиллюстрированы возможности определяющих соотношений, полученных во второй главе, для описания баланса энергии при деформировании и разрушении металлов. Предложенная модель не только позволяет описывать предсказывать величины напряженно-деформированное накопленной и состояние, диссипированной но энергий. и Это открывает возможности для разработки критериев разрушения, основанных на 137 величине накопленной энергии и описания процессов распространения усталостных трещин на основе энергетических уравнений. Предложенная модель позволила провести численное моделирование:  напряженно-деформированного состояния при квазистатическом нагружении металлов (стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титана ОТ4-0);  баланса энергии при квазистатическом нагружении металлов (стали 03Х18Н11, стали 08Х18Н10, титана ОТ4-0);  процесса зарождения и распространения трещины в образце из стали 08Х18Н10 при его квазистатическом нагружении;  скорости роста усталостной трещины в титановом сплаве ОТ4-0 на основе энергетического уравнения, предложенного в работах[43,44];  пути распространения трещины в цилиндрическом образце из стали 08Х18Н10 при циклическом кручении и опоре подшипника из стали 08Х18Н10. 138 Заключение В работе, на основе развития коллективного поведения соотношения, позволяющие статистико-термодинамической ансамблей дефектов, описывать построены баланс модели определяющие энергии в процессе деформирования и разрушения металлов. Расчет баланса энергии открывает новые возможности для разработки критериев разрушения и моделей роста усталостных трещин, основанных на учете величины накопленной энергии. К основным результатам работы можно отнести следующее. 1. Построена математическая модель, описывающая механическое и термодинамическое поведение металлов и сплавов, а также эволюцию накопленной и диссипированной энергий при квазистатическом и циклическом деформировании. 2. С целью верификации модели, построена зависимость, описывающая изменение величины структурной деформации в процессе квазистатического нагружения металлов. 3. Предложен подход, позволяющий определить изменение энтропии при неупругом деформировании металлов, на основе анализа экспериментальных данных эволюции температуры поверхности образца в процессе деформирования. 4. Предложены и реализованы алгоритмы на языке программирования FORTRAN, позволяющие моделировать процессы неупругого деформирования и разрушения металлов с учетом баланса энергии в их структуре, с использованием конечно-элементного пакета Simulia Abaqus. 5. Решена задача определения напряженно-деформированного состояния и баланса энергии в структуре мтериала при квазистатическом нагружении образцов из стали 08Х18Н10, стали 03Х18Н11, титанового сплава ОТ4-0. 6. Проведено численное распространения моделирование трещины в образце процессов зарождения из 08Х18Н10 стали и при квазистатическом деформировании и в условиях сложного напряженно- 139 деформированного состояния, с помощью критерия, основанного на величине накопленной энергии. 7. Проведено численное моделирование процесса распространения усталостной трещины в титановом сплаве ОТ4-0 на основе расчета баланса энергии в зоне разрушения. 140 Список литературы 1. Белл, Д. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть 2. Конечные деформации/ Д. Ф. Белл. – Москва: Наука, 1984. – 432 с. 2. Farren, W. S. The Heat Developed During Plastic Extension of Metals/ W. S. Farren, G. I Taylor// Proceedings of The Royal Society A. – 1925. – V.107. – P.422-451 3. Taylor, G.I. The latent energy remaining in a metal after cold working/ G.I. Taylor, H. Quinney // Proceedings of the Royal Society A. – 1934. – V. 143. – P. 307–326 4. Bever, M.B. The stored energy of cold work/ M.B. Bever, D.L. Holt, A.L. Titchener.–New York: Pergamon, 1973. – 192 p. 5. Федоров, В.В. Термодинамические аспекты прочности и разрушения твердых тел / В.В. Федоров. – Ташкент: ФАН, 1979. – 168 с. 6. Kapoor, R. Determination of temperature rise during high strain rate deformation/ R. Kapoor, S. Nemat-Nasser //Mechanics of Materials. – 1998. - N. 27. – P. 1-12 7. Oliferuk, W. Estimation of energy storage rate during macroscopic nonhomogeneous deformation of polycrystalline materials/W. Oliferuk, A. Korbel, W. Bochniak // Journal of theoretical and applied mechanics. – 2004. – V. 42. – N. 4. – P. 817-826 8. Chrysochoos, A. Fields Of Stored Energy Associated With Localized Necking Of Steel/ A. Chrysochoos, B. Wattrisse, J.-M. Muracciole, Y. El Kaim// Journal of Mechanics of Materials and Structures. – 2009. – V. 4. – N. 2. – P.245-262 9. Hodowany G. Partition of Plastic Work into Heat and Stored Energy in Metals/ J. Hodowany, G. Ravichandran, A. J. Rosakis, P. Rosakis//Experimental Mechanics. – 2000. – V.40. – N. 2. – P.113-120 141 10.Aravas, N. On the calculation of the stored energy of cold work/ N.Aravas, KS.Kim, F.A.Leckie//Journal of Engineering Materials and Technology. – 1990. – V.112. – P.465-470 11.Oliferuk, W. Stress-strain curve and stored energy during uniaxial deformation of polycrystals/ W.Oliferuk, M. Maj // European Journal of Mechanics A/Solids. – 2009. – N. 28. – P. 266-272 12.Simo, J.C. Associative coupled thermoplasticity at finite strains: formulation, numerical analysis and implementation/ J.C. Simo, C. Miehe//Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1992. – V.98. – P. 41–104 13.Camacho, G.T. Adaptive Lagrangian modelling of ballistic penetration of metallic targets/G.T. Camacho, M. Ortiz// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 1997. – V.142. – N.3–4. – P.269–301 14.Adam, L. Thermomechanical modeling of metals at finite strains: first and mixed order finite elements/ L. Adam, J.P. Ponthot// International Journal of Solids and Structures. – 2005. – V. 42. – N. 21–22. – P. 5615–5655 15.Rusinek, A. Constitutive relations in 3-D for a wide range of strain rates and temperatures – application to mild steels/ A.Rusinek, R. Zaera, J.R. Klepaczko// International Journal of Solids and Structures. – 2007. – V. 44. – N. 17. – P. 5611–5634 16.Bertram, A. On the introduction of thermoplasticity/ A.Bertram, A. Kraweitz // ActaMech. – 2012. – V.223. – P. 2257-2268 17.Dumoulin, S. Heat sources, energy storage and dissipation in high-strength steels: Experiments and modelling/ S.Dumoulin, H. Louche, O.S. Hopperstad, T. Borvik// European Journal of Mechanics A/Solids. – 2010. – V. 29. – P.461–474 18.Chaboche, J.-L. Cyclic viscoplastic constitutive equations, Part I: a thermodynamically consistent formulation/ J.-L. Chaboche//Journal of Applied Mechanics. –1993. – V.60. – P.813–821 19.Stainier, L. Study and validation of a variational theory of thermo-mechanical coupling in finite visco-plasticity /L.Stainier, M. Ortiz// International Journal of Solids and Structures. – 2010. – V. 47. – P.705–715 142 20.Helm, D. Stress computation in finite thermoviscoplasticity/ D. Helm // International Journal of Plasticity. – 2006. – V. 22. – P. 1699–1727 21.Xiao, Y. A generalized thermodynamic approach for modeling nonlinear hardening behaviors/ Y.Xiao, J. Chen, J. Cao// International Journal of Plasticity. – 2012. – V. 38. – P.102–122 22.Perez-Castellanos, J.-L. Temperature increase associated with plastic deformation under dynamic compression: application to aluminium alloy al 6082/ J.-L. Perez-Castellanos // Journal of Theoretical and Applied Mechanics. – 2012. – V.50. – N. 2. –P. 377-398 23.McAuliffe, C. A unified model for metal failure capturing shear banding and Fracture/ C. McAuliffe, H. Waisman // International Journal of Plasticity. – 2015. – V.65. – P.131–151 24.Rosakis, P. A thermodynamic internal variable model for the partition of plastic work into heat and stored energy in metals/ P.Rosakis, A.J.Rosakis, G. Ravichandran, J.Hodowany // Journal of the mechanics and physics of solids. – 2000. – V. 48, P.581-607 25.Роговой, А.А. Конечные деформации в материалах со структурными изменениями /А.А. Роговой// Ученые записки казанского университета. – 2010. – Т.152. – №. 4. – С. 210-224 26.Saai, A. Experimental and numerical study of the thermo-mechanical behavior of Al bi-crystal in tension using full field measurements and micromechanical modeling/A. Saai, H. Louche, L. Tabourot, H.J. Chang// Mechanics of Materials. – 2010. – N.42. – P.275–292 27.Gurtin, M. A gradient theory of small-deformation single-crystal plasticity that accounts for GND-induced interactions between slip systems/M. Gurtin, N. Ohno//Journal of the Mechanics and Physics of Solids. – 2011. – V. 59. – P. 320– 343 28.Anand, L.The stored energy of cold work, thermal annealing, and other thermodynamic issues in single crystal plasticity at small length scales/ L.Anand, 143 M. E. Gurtin, B. D. Reddy//International Journal of Plasticity. – 2015. – V. 64. – P. 1-25 29.Schreyer, H. Thermodynamically consistent relations involving plasticity, internal energy and thermal effects/ H. Schreyer, P. Maudlin // Phil. Trans. R. Soc. A. – 2005. – V. 363. – P. 2517–2541 30.Cebron, M. Stored Energy Predictions from Dislocation-Based Hardening Models and Hardness Measurements for Tensile-Deformed Commercial Purity Copper/ M. Cebron, F. Kosel // Journal of Mechanical Engineering. – 2014. – V. 60. – N.7-8. – P.462-474 31.Benzerga, A.A. The stored energy of cold work: Predictions from discrete dislocation plasticity/ A.A. Benzerga, Y. Brechet, A. Needleman, E. Vander Giessen// Acta Materialia. – 2005. – V. 53. – P. 4765-4779 32.Vivier, G. On the stored and dissipated energies in heterogeneous rateindependent systems/ G.Vivier, H.Trumel, F.Hild//Continuum Mechanics and Thermodynamics. – 2009. – V.20. – N. P.411-427 33.Vincent, L. On the ability of some cyclic plasticity models to predict the evolution of stored energy in a type 304L stainless steel submitted to high cycle fatigue/ L. Vincent// European Journal of Mechanics A/Solids. – 2008. – V. 27. – P.161–180 34.Ohno, N. Non-linear kinematic hardening rules with critical states of dynamic recovery. Parts I&II/ N. Ohno, J.D. Wang // International journal of plasticity. – 1993. – V. 9. – P. 375-403 35.Chaboche, J.-L. On some modifications of kinematic hardening to improve the description of ratchetting effects/ J.-L. Chaboche // International journal of plasticity. – 1991. –V.7. – P.661-678 36.Cailletaud, G. A. Micromechanical approach of inelastic behavior of metals/ G. A. Cailletaud // International Journal of Plasticity. – 1992. – V. 8. – P. 55-73 37.Oliferuk, W.Experimental analysis of energy storage rate components during tensile deformation of polycrystals/ W. Oliferuk, M. Maj, B. Raniecki // Material Science and Engineering A. – 2004. – V. 374. – P.77-8 144 38.Chrysochoos, A.Thermographic analysis of thermo-mechanical coupling / A. Chrysochoos, F. Belmahjoub //Archives of Mechanics. – 1992. – V. 44. – P. 5568 39.Iino, Y. Fatigue crack propagation work coefficient – a material constant giving degree of resistance to fatigue crack growth /Y. Iino // Engineering fracture mechanics. – 1979. – V.12. – P. 279-299 40.Klingbeil, N.W. A total dissipated energy theory of fatigue crack growth in ductile solids/ N.W. Klingbeil //International Journal of Fatigue. – 2003. – V. 25. – P.117–128 41.Daily, J.S. Plastic dissipation in fatigue crack growth under mixed-mode loading/ J.S. Daily, N.W. Klingbeil //International journal of fatigue. – 2004. – V. 26. – P.727-738 42.Weertman , J. Theory of fatigue crack growth based on a BCS crack theory with work hardening/ J. Weertman //International Journal of Fracture. - 1973. – V. 9. – N.2. – P. 125–131 43.Chudnovsky, A. Thermodynamics of translational crack layer propagation/ A. Chudnovsky, A. Moet //Journal of materials science. – 1985. – V. 20. – P. 630635 44.Short, J. S. A Global/local theory of fatigue crack propagation/ J. S. Short, D. W. Hoeppner //Engineering fracture mechanics. – 1989. – V.33. – N. 2. – P. 175-184 45.Chow, C. L. Cyclic J-integral in relation to fatigue crack initiation and propagation/ C. L. Chow, T. J. Lu // Engineering fracture mechanics. - 1991. V.39. - N.1. - P.1-20 46.Иванова, В.С. Природа усталости металлов/ В.С. Иванова, В.Ф. Терентьев. – Москва: Металлургия, 1975 47.Furth, R. A thermodynamical theory of the tensile strength of isotropic bodies/ R. Furth// Proceedings of the Royal Society A. – 1941. – V. 177. – N. 969 – P. 217227 48.Saibel, E. A thermodynamic criterion for the fracture of metals/ E.Saibel //Physical Review. – 1946. – V.69. – N.11-12. – P.667 145 49.Иванова, В.С. Усталостное разрушение металлов/В.С. Иванова. – Москва: Металлургия, 1963. – 272 с. 50.Арутюнян, А.Р. Приложение энергетических методов к решению проблемы многоцикловой усталости /А.Р. Арутюнян, Р.А. Арутюнян// Механика деформируемого твердого тела, Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – № 4. – С. 1359–1360 51.Арутюнян, А.Р. исследований Р.А.Арутюнян// Критерий по усталости, основанный энергии деформации скрытой 2010 Вестник Санкт-Петербургского на результатах /А.Р.Арутюнян, Университета. Механика. – 2010. – № 3. – С. 80-88 52.Wan,V.V.C. A stored energy criterion for fatigue crack nucleation in polycrystals/ V.V.C.Wan, D.W. MacLachlan, F.P.E. Dunne// International Journal of Fatigue. – 2014. – V. 68. – P. 90-102 53.Crete, J.P. Numerical modelling of crack propagation in ductile materials combining the GTN model and X-FEM/J.P. Crete, P. Longere, J.M. Cadou// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2014. – V. 275. – P. 204–233 54.Панин, В.Е./ В.Е. Панин, В.А. Лихачев, Ю.В. Гриняев. – Новосибирск: Наука, 1985. – 230 с. 55.Владимиров В.И./ В.И. Владимиров. – Москва: Металлургия, 1984. – 280 с. 56.Рыбин, В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов/ В.В. Рыбин. - Москва: Металлургия, 1986. - 224 с. 57.Бетехтин, В.И. Экспериментальное и теоретическое исследование эволюции дефектной структуры, пластической деформации и разрушения/ В.И. Бетехтин, О.Б. Наймарк, А.Г. Кадомцев, С.Н. Гришаев. - Пермь: ИМСС УрО РАН, 1997. - 56 с. 58.Albrecht, R. The damage process preceding semi-brittle fracture in dependence on deformation/R. Albrecht, V. Schmidt, V.I. Betechtin// Physica Status Solidi (a). – 1977. – V.39. – P. 621-630 146 59.Новожилов, В.В. О пластическом разрыхлении/В.В. Новожилов// Прикладная математика и механика. – 1965. – Т.29. – В.4. – С.681-689 60.Баренблатт, Г.И. Автомодельность усталостного разрушения. Накопление повреждаемости/Г.И. Баренблатт, Л.Р. Ботвина// Известия АН ССР. Механика твердого тела. – 1983. - №. 4. – С.161-165 61.Качанов, Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести/ Л.М. Качанов // Изв. АН СССР. – 1958 . – №8. – С. 26 – 31 62.Работнов, Ю.Н. О механизме длительного разрушения/ Ю.Н. Работнов //Сб. «Вопросы прочности материалов и конструкций». – 1957. – С. 5-7 63.Наймарк, О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения / О.Б. Наймарк // Физическая Мезомеханика. – 2003. – Т.6. - №4. – С. 45-72 64.Плехов, О.А. Теоретическое и экспериментальное исследование диссипации энергии в процессе локализации деформации в железе/ О.А. Плехов, О.Б. Наймарк // ПМТФ. – 2009. - Т.50. – №.1. - С. 153-164 65.Наймарк, О.Б. Структурно - скейлинговые переходы и некоторые термодинамические и кинетические эффекты в материалах в объемном субмикро–(нано-) кристаллическом состоянии/ О.Б. Наймарк, Ю.В. Баяндин, В.А. Леонтьев, И.А. Пантелеев, О.А. Плехов // Физическая Мезомеханика. – 2009. – Т.12. – №4. – С. 47 – 60 66.Plekhov, O.A. Failure wave as a resonance excitation of collective burst modes of defects in shocked brittle materials/ O.A. Plekhov, D.N. Eremeev, O.B. Naimark // Journal de Physique IV.- 2000.- N. 10.-P. 811-816. 67.Murakami, S. Continuum Damage Mechanics. A Continuum Mechanics Approach to the Analysis of Damage and Fracture/ S. Murakami. - Dordrecht, Heidelberg, London, New York: Springer, 2012. – 423 p. 68.Гленсдорф, П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций/П. Гленсдорф, И. Пригожин. – Москва: Мир, 1973. – 280 с. 69.Maugin, G.A. The thermomechanics of plasticity and fracture/ G.A. Maugin. – Cambridge: Cambridge University Press, 1992. – 372 p. 147 70.Rice, J.R. Inelastic constitutive relations for solids: an internal-variable theory and its application to metal plasticity/ J.R. Rice//Journal of the Mechanics and Physics of Solids. – 1971. – V. 19. – P. 433-455 71.Besson, J. Continuum models of ductile fracture: a review/ J. Besson//International Journal of Damage Mechanics. – 2010. – V.19. – P. 3-52 72.Bayandin, Yu.V. Numerical simulation of multiscale damage-failure transition and shock wave propagation in metals and ceramics/ Yu.V. Bayandin, N.V. Saveleva, O.B. Naimark, A.S. Savinykh// Journal of Physics: Conference Series. – 2014. – V. 500. – N.15. – Article number 152001 73.Klamecki, B.E. An entropy-based model of plastic deformation energy dissipation in sliding/B.E. Klamecki// Wear. - 1984. – V. 96. – P. 319–329 74.Bryant, M. On the thermodynamics of degradation/M. Bryant, M. Khonsari, F. Ling // Proceedings of the Royal Society A. - 2008. – V.464. – P. 2001–2014 75.Beghi, M. Measurement of the entropy production due to irreversible deformation of metals/M. Beghi// Il Nuovo Cimento D. - 1982. – V. 1. – P. 778–788 76.Tucker, J.P. Maximum entropy fracture model and its use for predicting cyclic hysteresis in Sn3.8Ag0.7Cu and Sn3.0Ag0.5 solder alloys/ J.P. Tucker, D.K. Chan, G. Subbarayan, C.A. Handwerker // Microelectronics Reliability. – 2014. – V. 54. – N. 11. – P. 2513–2522 77.Huang, M. Modelling the steady state deformation stress under various deformation conditions using a single irreversible thermodynamics based formulation/ M. Huang, P. Rivera-Diaz-del-Castillo, O. Bouaziz, S. van der Zwaag // Acta Materialia. – 2009. – V. 57. – P. 3431-3438 78.Lubliner, J. On the thermodynamic foundations of non-linear solid mechanics/ J. Lubliner// Journal of Non-Linear Mechanics. – 1972. – V. 7. – P. 237–254 79.Plekhov, O.A. Experimental study of energy accumulation and dissipation in iron in an elastic-plastic transition/ O.A. Plekhov, N. Santier, O. Naimark// Technical Physics. – 2007. – N.52. – P. 1236–1238 148 80.Johnson, N.L. Continuous Univariate Distributions. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics/ N.L.Johnson, S. Kotz, N. Balakrishnan. – New York: John Wiley & Sons, 1994. – 761 p. 81.ABAQUS/Standard User’s Manual, Version 6.13, ABAQUS, Inc., Providence, RI, 2013 82.Belytschko, T. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing/ T. Belytschko, T. Black// International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1999. - V. 45. - N. 5. - P. 601-620 83.Moes, N. A finite element method for crack growth without remeshing/ N. Moes J. Dolbow, T. Belytschko // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1999. – V. 46. – P. 131–50 84. Sukumar, N. Modeling quasi-static crack growth with the extended finite element method. Part I: Computer implementation/ N. Sukumar, J.H. Prevost // International Journal of Solids and Structures. - 2003. – V.40. – P.7513–7537 85.Ventura, G. Vector level sets for description of propagating cracks in finite elements/ G. Ventura, E. Budyn, T. Belytschko // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2003. – V.58. – P.1571–1592. 86. Haboussa, D. X-FEM analysis of the effects of holes or other cracks on dynamic crack propagations/ D. Haboussa, D. Gregoire, T. Elguedj, H. Maigre, A. Combescure // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2011. – V. 86. – P.618–636 87.Kumar, S. A homogenized XFEM approach to simulate fatigue crack growth problems/ S. Kumar, I.V. Singh, B.K. Mishra // Computers & Structures. – 2015. – V.150. – P.1–22 88.Shao, Q. An XFEM model for cracked porous media: effects of fluid flow and heat transfer/ Q. Shao, L. Bouhala, A.Y.P. Nunez, A. Makradi, S. Belouettar // International Journal of Fracture. - 2014. – V. 185. – P. 155–69. 89.Bouhala, L. An XFEM/CZM based inverse method for identification of composite failure parameters/ L. Bouhala, A. Makradi, S. Belouettar, A. Younes, S. Natarajan // Computers & Structures. - 2015. – V. 153. – P. 91–7 149 90.Hosseini, S. Thermo-mechanical XFEM crack propagation analysis of functionally graded materials/ S . Hosseini, H. Bayesteh, S. Mohammadi// Materials Science and Engineering: A. – 2013. – V. 561. – P.285–302 91.Daux, C. Arbitrary branched and intersecting cracks with the extended finite element method/ C. Daux, N. Moes, J. Dolbow, N. Sukumar, T. Belytschko // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2000. – V.48. – P.1741–60 92.Loehnert, S. Crack shielding and amplification due to multiple microcracks interacting with a macrocrack/ S. Loehnert, T. Belytschko // International Journal of Fracture. - 2007. – V.145. – P.1–8 93.Wyart, E. Substructuring FE-XFE approaches applied to three-dimensional crack propagation/ E. Wyart, M. Duflot, D. Coulon, P. Martiny, T. Pardoen, J.F. Remacle// Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2008. – V. 215. – P.626–638. 94.Singh, I.V. The numerical simulation of fatigue crack growth using extended finite element method/ I.V. Singh, B.K. Mishra, S. Bhattacharya, R.U. Patil // International Journal of Fatigue. - 2012. – V.36. – P.109–19 95.Pathak, H. Fatigue crack growth simulations of bi-material interfacial cracks under thermo-elastic loading by extended finite element method/ H. Pathak, A. Singh, I.V. Singh // European Journal of Computational Mechanics. - 2013. – V.22. – P.79–104 96.Elguedj, T. Appropriate extended functions for XFEM simulation of plastic fracture mechanics/ T. Elguedj, A. Gravouil, A. Combescure// Computers Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2006. – V. 195. – P. 501– 515. 97.Anahid M. New development in extended finite element modeling of large elastoplastic deformations/ M. Anahid, A.R. Khoei// International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2008. – V. 75. – P. 1133–1171 98.Shi, J. Abaqus implementation of extended finite element method using a level set representation for threedimensional fatigue crack growth and life predictions/ 150 J. Shi, D. Chopp, J. Lua, N. Sukumar, T. Belytschko //Engineering Fracture Mechanics. - 2010. – V. 77. – N. 14. – P. 2840–2863. 99.Rannou, J. Three dimensional experimental and numerical multiscale analysis of a fatigue crack/ J. Rannou, N. Limodin, J. Rethore, A. Gravouil, W. Ludwig, M.C. Baïetto-Dubourg // Computers Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2010. – V. 199. – N.21–22. – P.1307–1325 100. Shih, C. F., B. Moran, and T. Nakamura Energy Release Rate along a Three-Dimensional Crack Front in a Thermally Stressed Body/ C. F. Shih, B. Moran, T. Nakamura// International Journal of Fracture. –1986. – V. 30. – P. 79102 101.Rice, J.R. Mathematical Analysis in the Mechanics of Fracture/J.R. Rice // Fracture . – 1968. – V. 2. – P. 191-311 102.J-integral measurements on various types of specimens in AISI 304/ Montgomery R. – Italy: S.S. Joint Nuclear Research Centre Ispra Establishment, 1976. – 58 p. 103.Kostina, A. The entropy of an armco iron under irreversible deformation/A. Kostina, O. Plekhov // Entropy. – 2015. – V. 17. – P. 264-276 104.Костина, А.А. Моделирование баланса энергии в процессе деформирования и разрушения стали 8х18н10 при квазистатическом растяжении / А.А. Костина, О.А. Плехов // Математическое моделирование. - 2015. - Т. 27. - №8. - С. 85-95 105.Kostina, A. Energy dissipation and storage in iron under plastic deformation (experimental study and numerical simulation)/ A. Kostina, A. Fedorova, O. Plekhov. // Fracture and Structural integrity. – 2014. – N. 27. – P. 28-37. 106.Костина, А.А. Моделирование процесса накопления и диссипации энергии при пластическом деформировании металлов/ А.А. Костина, Ю.В. Баяндин, О.А. Плехов // Физическая мезомеханика. – 2014. – Т.17. – №1. – С. 43-49. 107.Kostina, A. Numerical simulation of damage to fracture transition in metals based on the statistical model of mesodefect evolution / A. Kostina, Y. 151 Bayandin, O. Naimark, O. Plekhov // Key Engineering Materials. – 2014. – V. 592-593. – P. 205-208. 108.Баяндин, Ю.В. Моделирование деформационного поведения ванадия при квазистатическом нагружении/ Ю.В. Баяндин, А.А. Костина, О.Б. Наймарк, И.А. Пантелеев // Вычислительная механика сплошных сред. – 2012. – Т.5. - №1. - С. 33 – 39 109.Kostina, A. Simulation of the dissipated and stored energy under deformation and failure of metallic materials/ A. Kostina, O. Plekhov //AIP Conference Proceedings. – 2015. – V. 1683. – P. 020098. 110.Kostina, A. Simulation of the energy balance in metals under irreversible deformation/ A. Kostina, O. Plekhov // Solid state phenomena. - 2016. – V. 243. – P. 43-50. 111. Iziumova, A. The study of energy balance in metals under deformation and failure process/A. Iziumova, A. Vshivkov, A. Prokhorov, A. Kostina, O. Plekhov // Quantitative InfraRed Thermography Journal. – 2016. – V.13. – P.242-256. 112.Plekhov, O. Theoretical and experimental study of strain localization and energy dissipation at fatigue crack tip/ O. Plekhov, A. Fedorova, A. Kostina, I. Panteleev // Procedia Materials Science. – 2014. – V. 3. – P. 1020-1025. 113.Kostina, A. Numerical simulation of the dissipated and stored energy in metals under cyclic loading / A. Kostina, O. Plekhov //Proceedings of the 11 th World Congress on Computational Mechanics, July 20-25, 2014, Barcelona, Spain. – P. 2981-2988. 114. Kostina, A. Modeling of Strain Localization and Failure in Vanadium under Quasistatic Loading/ A. Kostina, Yu. Bayandin, O. Naimark, O. Plekhov // Proceedings of the 13th International Conference on Fracture (ICF13), June 16-21, 2013, Beijing, China. – P.1007-1016 (CD_ROM) 115.Костина, А. Моделирование диссипации и накопления энергии при квазистатическом нагружении металлов/ А. Костина, О. Плехов // XXI 152 Петербургские чтения по проблемам прочности: сборник материалов, Санкт-Петербург, 15-17 апреля 2014. – СПб.: Соло, 2014. – С. 173-175 116.Костина, А.А. Математическое моделирование разрушения металлов с использованием критерия, основанного на величине накопленной энергии/ А. Костина, О. Плехов //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: Сб. статей, 20-24 августа 2015 г. - Казань: Россия. – С. 2017-2019. 117.Kostina, A. Numerical simulation of the storage energy process/ A. Kostina, O. Plekhov // Proceedings of International Workshop “Failure of Heterogeneous Materials under Intensive Loading: Experiment and Multi-scale Modeling”, 1014 February, 2014, Perm, Russia. – P. 34. 118.Kostina, A. Numerical Simulation of damage to fracture transition in metals based on the statistical model of mesodefect evolution/ A. Kostina, Y. Bayandin, O. Naimark, O. Plekhov //7th International Conference on Materials Structure & Micromechanics of Fracture, July 1–3, 2013. Abstract booklet. – P.183. 119.Kostina, A. Modeling of strain localization and failure in vanadium under quasistatic loading/ A. Kostina, O. Plekhov, Yu. Bayandin // Book of abstracts of the 13th International Conference on Fracture, Beijing, China, 16-21 June, 2013. –P. 80. 120.Костина, А.А. Моделирование процессов накопления и диссипации энергии при деформировании и разрушении металлов / А. Костина, О. Плехов // Междун. конф. «Перспективные материалы с иерархической структурой для новых технологий и надежных конструкций»: Тез. докл., 21-25 сентября 2015 г., Томск. – С. 312-313. 121.Костина, А.А. Численное моделирование процесса распространения трещины в металле в программном комплексе Abaqus/ А. Костина, О. Плехов // XVIII Зимняя школа по механике сплошных сред: Тез. докл., 1822 февраля 2013 г., Пермь. – Екатеринбург, 2013. - С. 202 122.Oliferuk, W. Energy storage rate in non-homogeneous deformation/ W. Oliferuk, M. Maj // Proceedings of the 21st International congress of theoretical 153 and applied mechanics (ICTAM04), 15-21 August, 2004, Warsaw, Poland. – 2005. – P. 11185 123.Конева, Н.А. Физическая природа стадийности пластической деформации/ Н.А. Конева, Э.В. Козлов // Известия высших учебных заведений. Физика. - 1990. - № 2. - С. 89-106. 124.Nes, E. Modeling of work hardening and stress saturation in FCC metals/ E. Nes // Progress in Materials science. – 1998. - V. 41. – P.129-193. 125.Plekhov, O.A. Elastic-plastic transition in iron: Structural and thermodynamic features / O. A. Plekhov, O. B. Naimark, N. Saintier, T. Palin-Luc // Technical Physics. – 2009. – V. 54. – N.8. – P. 1141-1146 126.ASTM E 1820-01 Standard test method for measurement of fracture toughness. - Philadelphia: ASTM, 2001. – 46 p. 127.Пэрис П. Критический анализ законов распространения трещины/ П. Пэрис, Ф. Эрдоган //Техническая Механика. – 1963. – №4. – С. 60-68 128.Rabold, F. Automated finite element simulation of fatigue crack growth in threedimensional structures with the software system ProCrack/F. Rabold, M. Kuna// Procedia Materials Science. – 2014. – V. 3. – P. 1099-1104

diss Kostina

Похожие документы

Разделы

Поддержка

diss Kostina

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib