Лекция №1 Геометрические преобразования (16 лекций, 18 лабораторных занятий) Лекции написаны в соответствии с учебными пособиями С.А.Анищенко, они есть в библ: 1. Лекции по геометрии. Ч.2, Красноярск: Издательство КГПУ, 1999. – 175 с. 2. Лекции по геометрии. Ч2, Глава 5, Преобразования. РИО КГПУ, 2005.-114 с. Введение В этом семестре мы будем изучать преобразования множества, его свойства и применения. В качестве множества в нашем курсе мы будем рассматривать, как правило, точки евклидова пространства, точки евклидовой плоскости, точки евклидовой прямой, точки определённой геометрической фигуры в евклидовом пространстве. Пусть М – одно из таких множеств. Опр. Взаимно однозначное отображение f множества М на себя называется преобразованием этого множества. Если в преобразовании f множества М точке А поставлена в соответствие точка А, то говорят, что А - образ точки А, а А – прообраз точки А. Записывают этот факт следующими способами: f: А А или f(A) = A. В соответствии с определением, f – преобразование множества М, если каждая точка множества М имеет точно один образ и точно один прообраз. Большой вклад в развитие теории геометрических преобразований внес выдающийся немецкий математик Феликс Клейн (1849 - 1925). В своей речи при вступлении в должность профессора кафедры геометрии в университете города Эрланген (1872 г.) он призывал переосмыслить геометрию на основе рассмотрения групп преобразований. Эта точка зрения (Эрлангенская программа) очень важна не только в геометрии, но и во многих других теоретических и практических исследованиях. Примеры преобразований плоскости и пространства. 1. Осевая симметрия (отражение от оси). Определение 1. Преобразование плоскости, при котором любая точка некоторой фиксированной прямой m отображается на себя, а любая другая c1 D' A F' B E' C m c 1' E C' A' B' F D точка А отображается на такую точку А, что отрезок АА перпендикулярен прямой m и делится ею пополам, называется осевой симметрией с осью m (Sm) или отражением от оси m. В определении указано правило, по которому каждой точке А находится ее образ и прообраз. Из определения следует, что образ А – точка А. Точки, которые отображаются сами на себя, называются неподвижными точками преобразования. По определению осевой симметрии ее неподвижными точками являются точки оси и только эти точки. Осевая симметрия меняет ориентацию плоскости, т.к. у произвольного треугольника и его образа обход вершин выполняется по разному: если у одного из них – по часовой стрелке, то у другого – по часовой стрелке. Аналогом осевой симметрии на случай всего пространства является: 2. Зеркальная симметрия (отражение от плоскости). Определение 2. Зеркальной симметрией относительно плоскости П (отражением относительно плоскости П) называется такое преобразование пространства, при котором любая точка плоскости П отображается сама на себя, а произвольная точка А, не принадлежащая П, отображается на такую точку А, что отрезок АА перпендикулярен П и делится ею пополам. A П A' Из этого определения следует, что если при зеркальной симметрии фигуре Ф соответствует фигура Ф, то фигуре Ф соответствует фигура Ф. Фигуры Ф и Ф называются симметричными друг другу относительно плоскости П. Некоторые фигуры в этом преобразовании отображаются сами на себя, они называются симметричными относительно плоскости П. 3. Поворот плоскости (вращение) вокруг точки. Определение 3. Поворотом (вращением) плоскости вокруг центра О на ориентированный угол называется такое преобразование плоскости, при котором точка О отображается сама на себя, а любая другая точка А отображается на такую точку А, что ОА = ОА и АОА = . Обозначается RO. Очевидно, что RO180º - центральная симметрия, которая произвольную точку отображает на точку, симметричную ей относительно центра О. F' A' H' φ О G' F A G H Поворот плоскости, в отличие от осевой симметрии не меняет ориентации плоскости и имеет единственную неподвижную точку – О – центр поворота. 4. Поворот пространства вокруг оси. Определение 4. Поворотом пространства вокруг ориентированной оси а (ориентация задана вектором а ) на некоторый угол называется такое преобразование пространства, при котором произвольная точка оси а отображается на себя, а любая точка А, не лежащая на оси отображается на такую точку А, которая строится по следующему a правилу: 1) через точку А проводится плоскость П, перпендикулярная прямой а; 2) φ находится точка О A' φ пересечения плоскости П и O прямой а; 3) в плоскости П A П выбирается такая точка А, что ОА = ОА, АОА = и a тройка векторов ОА , ОА и а имеет постоянную ориентацию, т.е. вне зависимости от выбора точки А является либо правой, либо левой тройкой, так например, на рисунке - правая. Поворот пространства вокруг оси на угол 180º представляет собой отражение от оси. 5. Параллельный перенос. Дадим определение параллельного переноса сразу для плоскости и пространства. Определение 5. Параллельным переносом плоскости (пространства) на вектор а называется такое преобразование плоскости (пространства) при котором произвольной точке А ставится в соответствие такая точка А, что вектор АА = а . А' D' а F' D E' А F E Очевидно, что если вектор переноса не является нулевым, то параллельный перенос на этот вектор не имеет неподвижных точек. 6. Гомотетия. Определение 6. Гомотетией с центром в точке О и коэффициентом k, отличным от нуля, называется такое преобразование плоскости (пространства), при котором произвольная точка А отображается на такую точку А, что OA k OA . Задать гомотетию можно центром и коэффициентом, отличным от нуля, или тремя точками, лежащими на одной прямой: центром и парой соответственных точек. k= m n m = 1,93 n m n m = 5,27 см n = 2,73 см O A A' Композиция преобразований Пусть f и g – преобразования множества М. Определим с помощью этих преобразований новое преобразование. Пусть А произвольная точка М. Обозначим через А – образ А под действием преобразования f и через А – образ А под действием преобразования g. Рассмотрим новое преобразование множества М, которое точке А сразу ставит в соответствие точку А. Определение 7. Композицией преобразований f и g множества М называется последовательное выполнение сначала преобразования f, затем преобразования g. Обозначим композицию преобразований f◦g. Примеры композиций преобразований. 1) композиция двух поворотов плоскости вокруг общего центра; A'' g f О I K R •R O = R f O g A' L L'' A f•g O J K'' J'' I'' 2) композиция двух параллельных переносов; Тa•Tb = Ta + b b a A' G'' F'' A'' G F A H J a+b H'' J'' I'' I 3) скользящая симметрия. Определение 8. Скользящей симметрией называется композиция параллельного переноса и осевой симметрии с осью параллельной вектору переноса. K a А А' M J L N a N'' L'' А'' J'' M'' K'' Группа преобразований Рассмотрим множество всех преобразований данного множества М. На этом множестве мы определили бинарную операцию – композицию преобразований. Докажем следующую теорему. Т е о р е м а. Множество всех преобразований некоторого множества является группой относительно операции композиции. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства достаточно проверить выполнимость всех аксиом группы, т.е. ассоциативность, существование нейтрального элемента (единицы группы), существование для каждого элемента обратного к нему элемента. 1) Ассоциативность. Пусть f, g и h – три произвольных преобразования множества М. Пусть А – произвольный элемент множества М, А - образ элемента А в преобразовании f, А - образ А в преобразовании g, А - образ А в преобразовании h. В преобразовании f◦(g◦h) точка А под действием f отображается в А, а точка А под действием g◦h отображается на А (т.к. А под действием g отображается на А, а А под действием h отображается на А). В преобразовании (f◦g)◦h точка А под действием f◦g отображается на А, а точка А под действием h отображается на А. Таким образом, операция композиция ассоциативна, т.к. f◦(g◦h) = (f◦g)◦h. 2) Существование нейтрального элемента. В качестве нейтрального элемента возьмём тождественное преобразование ε, которое каждый элемент множества М отображает на себя. В этом случае f ◦ ε = ε ◦ f = f. 3) Существование для каждого элемента обратного. Действительно, для произвольного преобразования f рассмотрим преобразование, которое любую пару соответственных точек прообраз – образ меняет местами, т.е. если f точку А отображает на точку А, рассматривается новое преобразование, отображающее А в точку А, которое обозначается f-1. очевидно композиция f◦f-1 = ε. Т е о р е м а д о к а з а н а.
