Перевод чисел из одной системы счисления в другую 1. Перевод из десятичной системы счисления в любую другую. Перевод целых чисел. 1.1. Чтобы перевести целое число из одной системы счисления с основанием р1 в другую с основанием р2 необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на основание р2 новой системы до тех пор, пока не получится частное – меньше основания р2. Последнее частное – старшая цифра числа в новой системе счисления с основанием р2, а следующие за ней цифры – это остатки от деления, записываемые в последовательности, обратной их получению. Примечание. При выполнении переводов чисел из одной системы счисления в другую все необходимые арифметические действия выполняются в той системе счисления, в которой записано переводимое число. Пример 1.1. Перевести число 2510 в двоичную и восьмеричную системы счисления: _25 2 24 _12 1 2 12 _6 0 2 6 _3 2 0 1 - последнее частное 2 направление чтения 1 Искомые числа запишутся в виде (25)10 = (11001). 1.2. Перевод правильных дробей. Чтобы перевести правильную дробь из системы счисления с основанием р 1 в систему с основанием р , необходимо последовательно умножать исходную 2 дробь и дробные части получающиеся произведений на основание р новой 2 системы счисления. Правильная дробь числа в новой системе счисления с основанием р формируется в виде целых частей получающихся произведений 2 начиная с первого. При переводе правильных дробей из одной системы счисления в другую можно получить дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда. Процесс перевода можно закончить, если появится дробная часть, имеющая во всех разрядах нули, или будет достигнута заданная точность перевода, т.е. получено требуемое количество разрядов результата. Пример 1.2. Десятичную дробь 0,3126 перевести в двоичную систему счисления с точностью 2ˉ⁴. 0,3126 2 0,6252 0,6252 0,2504 0,5008 2 1,2504 2 0,5008 2 1,0016 направление чтения Следовательно, искомое число запишется в виде: (0,3126)10 = (0,0101)2. 1.3. Перевод смешанных чисел. При переводе смешанных чисел из одной системы счисления в другую необходимо в новую систему перевести отдельно целую и дробную части по правилам перевода целых и правильных дробей, а за тем оба полученных результата объединить в одно смешанное число новой системы счисления. Пример1.3. Перевести десятичное смешанное число 159,75 в двоичную систему счисления с точностью 2ֿ³. (159)10 = (10011111)2 (0,75)10 = (0,11)2, следовательно, (159,75)10 = (10011111,11)2. 2. Перевод чисел в десятичную систему счисления из любой другой. Чтобы перевести число в десятичную систему счисления, необходимо пронумеровать разряды числа вправо и влево от запятой, начиная с 0 (вправо от запятой – начиная с -1, затем -2 и т.д.) и умножить каждую цифру числа на основание старой системы счисления. Результаты сложить. Пример 2.1 Перевести двоичное число 10011101,011 в десятичную систему счисления. 7 6 5 4 3 2 1 0-1-2-3 10011101,0112 =1*27+0*26+0*25+1*24+1*23+1*22+0*21+1*20+ 0*2-1+1*2-2+ 1*2-3=128+0+0+16+8+4+0+1+0+0,25+0,125=157,37510 3. Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и наоборот. Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать в трехразрядном двоичном числом (триадой). Пример 3.1. Записать число (325,27)8 в двоичной системе счисления. (325,27)8 = (011 010 101, 010 111)8 – 2 =(11010101,010111)2. Для перевода числа из двоичной системе счисления в восьмеричную необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на группы по три разряда – триады и представить каждую группу цифрой в восьмеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняют нулями. Пример 3.2. Записать число (10111011, 01101)2 в восьмеричной системе счисления. (10111011, 01101)2 = (010 111 011, 011 010)8 – 2 = (273,32)8. 4. Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную и наоборот. Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа заменить тетрадой четырехразрядным двоичным числом. Пример 4.1. Записать число (С876,F3)16 в двоичной системе счисления. (C876,F3)16 = (11001000111110,11110011)2. – Для перевода числа из двоичной системе счисления в шестнадцатеричную, необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на тетрады и представить каждую тетраду цифрой в шестнадцатеричной системе счисления. Пример 4.2. Записать число (1011101101, 101101101)2 в шестнадцатеричной системе счисления. (1011101101, 101101101)2 = (2ED,B68)16. 5. Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную и наоборот. Для перевода из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную и наоборот необходим промежуточный перевод в двоичную систему счисления. Решение примеров 1) (248,426)10→ х2, х8, х16 а) (11111000,011)2 б) (370,332)8 в) (F8,6D0)16 2) (100110001101,0010111011)2→ х8, х16, х10 а) (4615,1354)8 б) (98D,2EC)16 в) 1ּ2¹¹+ 0ּ2¹º+ 0ּ2⁹ + 1ּ2⁸ + 1ּ2⁷ + 0ּ2⁶ + 0ּ2⁵ + 0ּ2⁴ + 1ּ2³ + 1ּ2² + 0ּ2¹ + 1ּ2º + 0ּ2ֿ¹ + 0ּ2ֿ² + 1ּ2ֿ³ + 0ּ2ֿ⁴ + 1ּ2ֿ⁵ + 1ּ2ֿ⁶ + 1ּ2ֿ⁷ + 0ּ2ֿ⁸ + 1ּ2ֿ⁹ + 1ּ2ֿ¹º = 2048 + 256 + 128 + 8 + 4 + 1 + 0,125 + 0,03125 + 0,015625 + 0,0078125 + 0,0019531 + 0,00097655 = 2445,1826171510 3) (7B48,AD3)16→ х10, х2 а) 7ּ16³ + 11ּ16² + 4ּ16¹ + 8ּ16º + 10ּ16ֿ¹ + 13ּ16ֿ² + 3ּ16ֿ³ = 28672 + 2816 + 64 + 8 + 0,625 + 0,005078125 + 0,000742421875 = 31560,63142054687510 б) (0111 1011 0100 1000, 1010 1101 0011)2 4) (C7F1,E82)16→ х10, х2 а) 12ּ16³ + 7ּ16² + 15ּ16¹ + 1ּ16º + 14ּ16ֿ¹ + 8ּ16ֿ² + 2ּ16ֿ³ = 49152 + 1792 + 240 + 1 + 0,875 + 0,03125 + 0,00048828125 = (51185,90693828125)10 б) (1100 0111 1111 0001, 1110 1000 0010)2 5) (324,37)8→ х10, х2, х16 а) 3ּ8² + 2ּ8¹ + 4ּ8º + 3ּ8ֿ¹ + 7ּ8ֿ² = 192 + 16 + 4 + 0,375 + 0,109375 = (212,484375)10 б) (011 010 100, 011 111)2 в) (D4,7C)16
