Практическое занятие №1
по теме «Формулы комбинаторики»
Без повторений
С
повторениями
Размещения
n!
Ank
( n k )!
k
n
A nk
Перестановки
Сочетания
n!
Cnk
k!(n k )!
Pn n!
P n ( n1 ,n2 ,n3 ,..., nk )
n!
n1!n 2 !n3!... n k !
n1 n 2 n3 ... n k n
k
C n Cnk k 1
( n k 1)!
k!(n 1)!
Пример 1. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове:
а) СОЛНЦЕ;
б) ТЕАТР;
в) ЛИЛИИ?
Решение:
а) Так как в слове 6 различных букв, то P6 6! 720 .
5!
120
б) Так как в слове 5 букв и буква «Т» повторяется 2 раза, то P 5( 2,1,1,1)
60 .
2!1!1!1!1!
2
в) Так как в слове 5 букв, буква «Л» повторяется 2 раза и буква «И» повторяется 3 раза, то
5! 120
P 5( 2 , 3)
10 .
2!3! 12
Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если
а) цифры не повторяются;
б) цифры могут повторяться.
Решение:
5!
120
а) Выбрать 3 цифры из 5 без повторений можно A53
60 способами.
(5 3)!
2
3
б) Выбрать 3 цифры из 5 с повторениями можно A5 53 125 способами.
Пример 3. В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно
выбрать из нее:
а) 3 гвоздики;
б) 6 гвоздик одного цвета;
в) 4 красных и 3 розовых гвоздики?
Решение:
а) Выбрать 3 гвоздики из имеющихся ( 9 7 16 ) можно
16!
16! 14 15 16
C163
560 способами
3!(16 3)! 3!13!
6
б) Выбрать 6 гвоздик одного цвета можно
9!
7!
9!
7! 7 8 9 7
C96 С76
84 7 91 способами
6!(9 6)! 6!(7 6)! 6!3! 6!1!
6
1
в) Выбрать 4 красных и 3 розовых гвоздик можно
9!
7!
9! 7!
6 7 8 9 5 6 7
C94 С73
4410 способами
4!(9 4)! 3!(7 3)! 4!5! 3!4! 1 2 3 4 1 2 3
Пример 4. В цветочном киоске 7 видов цветов. Сколькими разными способами можно
составить букет, содержащий 3 цветка?
Решение: Так как при выборе 3 цветков можно повторять их виды, то различных способов
3
9!
9! 7 8 9
выбора цветов будет C 7 C93
84 .
3!(9 3)! 3!6!
6
Задания для закрепления материала
1. Составить различные перестановки из элементов множества Е={2;7;4} , подсчитать их
число.
2.Сколькими способами можно взять 3 книги из 5 книг?
3. Составить различные размещения по 2 элемента из элементов множества Д={а,б,с}.
Подсчитать их число.
4. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три
горизонтальных полосы), если имеется материя 5 различных цветов?
5. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать
для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?
6. Сколько различных слов можно составить из слова «БУРАН»
а) состоящих из трех букв;
б) если слова содержат не менее трех букв?
7. Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из
десяти кандидатов?
8. Группа шахматистов сыграла между собой 28 партий. Каждые два из них встречались
между собой один раз. Сколько шахматистов участвовало в соревновании?
9. Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жребию 5 человек для
приготовления ужина. Сколько существует способов при которых в эту «пятерку»
попадут:
а) одни девушки;
б) 3 юноши и 2 девушки;
в) 1 юноша и 4 девушки;
г) 5 юношей?
10. Пять человек вошли в лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами
пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах?
11. Сколько существует различных перестановок букв в слове «ТРАКТАТ»?
12. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколькими способами можно
приобрести в ней: а) 3 пирожных одного вида;
б) 5 пирожных?
13. Группа студентов изучает 10 различных дисциплин. Сколькими способами можно
составить расписание занятий в понедельник, если в этот день должно быть 4 занятия?
14. * Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, нужно выбрать 6 человек так, чтобы
среди них было не менее 2-х женщин. Сколькими способами это можно сделать?
15. * Сколько прямых линий можно провести через 7 точек, из которых лишь 3 лежат на
одной прямой?
16. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные
должности из десяти кандидатов?
17. Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 5 человек?
18. Игральная кость (на ее гранях нанесены цифры от 1 до 6) бросается 3 раза. Сколько
существует вариантов выпадения очков в данном опыте? Напишите некоторые из них.
19. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове: а) ГОРА; б) ИНСТИТУТ ?
20. У одного школьника имеется 7 различных книг, а у другого - 16. Сколькими способами
они могут осуществить обмен: книга на книгу? Две книги на две книги?
21. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров,
чтобы среди них было: а) 5 черных; б) 3 белых и 2 черных?
22. Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по трем районам, если в
одном из них имеется 8, в другом - 5 и в третьем 2 вакантных места?
23. Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на хорошо и отлично.
Сколькими способами могли быть поставлены им оценки?
Задания для домашней работы
1. Составить различные размещения по два элемента из элементов множества
А={3,4,5} и подсчитать их число.
2. Составить различные сочетания по 2 элемента из элементов множества Д={а,б,с}.
Подсчитать их число.
3. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: замок, ротор, топор,
колокол?
