Примеры решения задач по механике и молекулярной физике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. БЕРБЕКОВА»
МЕХАНИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ЗАДАЧИ ПО МЕДИЦИНСКОЙ
И БИОЛОГИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Специальности:
060101.65 Лечебное дело
060105.65 Стоматология
060109.65 Сестринское дело
Нальчик – 2012 г.
УДК 61:53(07)
ББК 5:22.3я73
К - 88
Рецензент:
доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий отделом ГУ ВГИ
Б.А. Ашабоков
Составители: Кумыков В.К., Абазова З.Х., Петросян Э.О., Борукаева И.Х.
Механика. Молекулярная физика. Задачи по медицинской и биологической
физике. Методические рекомендации по решению задач. – Нальчик: Каб.-Балк.
ун-т, 2012.
Настоящие методические рекомендации по решению задач соответствуют
разделам «Механика» и «Молекулярная физика» курса медицинской и
биологической физики. Всего в издание
включено подробное описание
решений 70 наиболее типичных задач различной степени сложности. В начале
каждого раздела приводятся теоретические сведения и формулы по тематике
раздела, а в конце – задачи для самостоятельного решения.
Методические рекомендации предназначены для студентов, обучающихся
по медицинским специальностям 060101.65 Лечебное дело, 060105.65
Стоматология и 060109.65 Сестринское дело.
Рекомендовано РИС университета
УДК 61:53(07)
ББК 5:22.3я73
 Кабардино-Балкарский государственный
университет им. Х.М. Бербекова, 2012
2
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие …………………………………………………………………………4
1. Механика ……………………………………………………………………...5
1.1. Деформации ……………………………………………………………..5
1.2. Вращательное движение ………………………………………………10
1.3. Колебания и волны …………………………………………………….16
1.4. Звук ……………………………………………………………………..22
1.5. Эффект Доплера ……………………………………………………….27
2. Молекулярная физика ………………………………………………………33
2.1. Свойства жидкостей ………………………………………………….33
2.1.1. Влажность воздуха ……………………………………………...33
2.1.2. Поверхностное натяжение ……………………………………...38
2.1.3. Вязкость ………………………………………………………….45
2.2. Движение идеальной жидкости……………………………………..50
2.3. Кровообращение ……………………………………………………..61
Таблица соответствия номеров задач, приведенных в пособии, с номерами
задач, приведенных в сборнике задач А.Н. Ремизова и А.Г. Максиной ……….71
Литература …………………………………………………………………….........72
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемые
вашему
вниманию
методические
рекомендации
предназначены для проведения занятий по решению задач (в рамках часов,
отводимых
на
самостоятельную
работу)
со
студентами
медицинских
специальностей 060101.65 Лечебное дело, 060105.65 Стоматология и 060109.65
Сестринское дело. Они охватывают материал, соответствующий разделам
«Механика»
и
«Молекулярная
физика»,
изучаемым
в
рамках
курса
медицинской и биологической физики. Настоящие рекомендации являются
одной из первых попыток частичного восполнения существующего пробела в
отечественной учебно-методической литературе, посвященной описанию
методов решения задач по медицинской и биологической физике.
В пособии приводятся подробные решения 70 наиболее типичных задач
различной сложности. При отборе задач преимущество отдавалось тем,
которые имеют непосредственное отношение к будущей специальности.
Примерно 60 % задач, приведенных в «решебнике» отобраны из «Сборника
задач по медицинской и биологической физике» А.Н. Ремизова и А.Г.
Максиной, рекомендованного в 2001 году Министерством образования РФ в
качестве основного учебного пособия (задачника) для студентов медицинских
специальностей. Остальные задачи составлены авторами.
Каждый параграф предваряет необходимый студентам для решения задач
теоретический материал с формулами, который соответствует основному
учебнику по физике для медицинских специальностей «Медицинская и
биологическая физика» А.Н. Ремизова и др., выпущенного в 2008 году
издательством
«Дрофа».
Все
параграфы
самостоятельного решения студентами.
4
завершаются
задачами
для
1. МЕХАНИКА
1.1. ДЕФОРМАЦИИ
Деформация
твердого
тела
является
результатом
изменения
под
действием внешних сил взаимного расположения частиц, из которых состоит
тело, и расстояний между ними.
Существует несколько видов деформаций твердых тел. Простейшим видом
деформации является деформация растяжения или сжатия. Ее можно
характеризовать абсолютным удлинением
внешней силы
F.
Связь между
l
и
F
l ,
возникающим под действием
зависит не только от механических
свойств вещества, но и от геометрических размеров тела (его толщины и
длины).
Отношение абсолютного удлинения
l
к первоначальной длине
l
образца
называется относительным удлинением или относительной деформацией  :
l
l0
.
F
к площади

Отношение модуля внешней силы
механическим напряжением

S
сечения тела называется
:

F
S
.
За единицу механического напряжения в СИ принят паскаль (Па).
При малых деформациях связь между

и

оказывается линейной. При этом
при снятии напряжения деформация исчезает. Такая деформация называется
упругой. В пределах упругой деформации сила упругости
пропорциональна абсолютной деформации
l
F
прямо
(закон Гука):
F  kl .
Знак минус означает, что сила упругости противоположна направлению
смещения при деформации;
kE
S
l0
– жесткость,
l0
– начальная длина стержня,
5
E
– модуль упругости (модуль Юнга). Модуль Юнга численно равен
напряжению, при действии которого длина тела при деформации удваивается.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
№ 1.1
Модуль Юнга поясничного позвонка составляет примерно
Найдите силу
равна
a  2,5
l  1,35
F,
E  1,4 10 8
Н/м2.
действующую на позвонок, если его абсолютная деформация
мм, длина костной пластинки
l  2,7
см, толщина
h4
см, ширина
см.
Решение
По определению напряжение деформации костной пластинки

равно
силе, действующей на единицу площади сечения костной пластинки S , т.е.

F
S
,
(1)
где
S  ah .
(2)
С другой стороны, напряжение деформации определяется выражением:
 E
l
l
.
(3)
Объединяя (1), (2) и (3), можно выразить искомую силу:
F
Elah
.
l
(4)
Подставляя численные значения величин, входящих в (4), получим:
F
1,4 10 8 1,35 10 3  2,5 10 2  4 10 2
2,7 10 2
 7000
Н.
№ 1.2
При операции в кость помещена стальная скоба (стержень) сечением
S 1
мм2. Считая стенки кости неподвижными и абсолютно жесткими, рассчитайте
силу давления
6
F
скобы на стенки кости при нагревании на 5 К. Между скобой и
костью зазор отсутствует. Коэффициент линейного расширения стали
К-1, модуль упругости
E  2 10 11
  1,1 10 5
Н/м2.
Решение
Костная ткань обладает упругими свойствами, поэтому сила давления
скобы будет равна силе упругости ткани. Силу упругости можно найти из
закона Гука:
F  kl ,
где
k
ES
l0
– коэффициент жесткости кости,
(1)
l
– ее деформация,
l0
– начальная
длина.
С учетом этого (1) можно переписать:
F 
Для нахождения
l
l0
ESl
l0
.
(2)
используем формулу для линейного расширения при
нагревании:
l
 T .
l0
(3)
Подставляя (3) в (2), получим:
F  EST .
(4)
Подставляя численные значения величин, входящих в (4), найдем модули
искомой силы:
F  2 10 11 10 6 1,110 5  5  11
Н.
№ 1.3
Упругость мышцы пропорциональна ее поперечному сечению и составляет
в среднем
  98 10 4
сокращении на
Н/м2. Определите мощность, развиваемую мышцей при
l  0,05
м, если ее поперечное сечение
продолжительность сокращения
t 5
S  5 10 4
м2, а
с.
Решение
Мощность, развиваемая мышцей при ее сокращении, определяется как
7
N
где
A
A F  l

t
t
,
(1)
– работа, совершаемая мышцей при ее сокращении,
F
– усилие,
развиваемое мышцей при ее сокращении.
Поскольку упругость мышцы
F

F
S
, то
F  S .
Подставляя выражение для
в (1), получим выражение для мощности:
N
  S  l
t
.
(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:
N
98 10 4  5 10 4  0,05
 4,9
5
Вт.
№ 1.4
Определите абсолютное удлинение сухожилия длиной
площадью поперечного сечения
Модуль упругости сухожилия
м2 под действием силы
S  10 6
E  10 9
l  4
мм и
F  320
Н.
Па. Считать сухожилие абсолютно
упругим телом.
Решение
Согласно закону Гука
  E ,
где

F
S
(1)
– механическое напряжение, возникающее в сухожилии под
действием силы
F,  
l
l
– относительное удлинение сухожилия длиной l . С
учетом этого (1) можно переписать:
F l

E.
S
l
Выражая из (2)
l ,
(2)
получим:
l 
Fl
SE
.
(3)
Подставляя численные значения величин, входящих в (3), получим:
l 
8
320  4 10 3
10 6 10 9
 128 10 5
м.
№ 1.5
Нагрузка на бедренную кость, составляющая
вызывает относительную деформацию
  3 10 4 .
F  1800
Н, при сжатии
Найдите эффективную площадь
поперечного сечения кости, если ее модуль упругости
E  23 10 9
Па.
Решение
В соответствии с законом Гука
  E ,
где

F
S
– механическое напряжение, возникающее в бедренной кости под
действием силы
l.
(1)
F,  
l
l
– относительное удлинение бедренной кости длиной
С учетом этого (1) можно переписать:
F l

E.
S
l
(2)
Выражая из (2) S , получим:
S
F
l
E
l
.
(3)
Подставляя численные значения величин, входящих в (3), получим:
S
1800
3 10
4
 23 10
9
 26 10 5
м2.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Для растяжки кости при переломе к металлической проволоке
подвешивается груз массой 3 кг. На сколько при этом удлинится
проволока, если ее жесткость составляет 100 кН/м?
2. Какое
напряжение
возникает
в
металлической
проволоке
цилиндрической формы, используемой в травматологии для растяжки
костей при переломах, при подвешивании к ней груза массой 5 кг?
Диаметр проволоки – 1 мм, жесткость – 140 кН/м.
9
3. Определите модуль Юнга позвонковой кости, если при воздействии на
нее силы 4000 Н ее абсолютная деформация составляет 1,2 мм. Длина
костной пластинки – 2,7 см, толщина – 4 см, ширина – 2,5 см.
4. Во сколько раз изменится модуль упругости берцовой кости человека
при увеличении нагрузочного напряжения на нее от 10 Па до 20 Па, если
при этом относительная деформация кости возросла с 0,03 до 0,08?
5. Определите сечение костной ткани, если механическое напряжение,
возникающее в ней при ее растяжении силой 100 Н, составляет 104 Н/м2.
1.2. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного
движения. Наряду с вектором перемещения
перемещение

S
удобно рассматривать угловое
(или угол поворота), измеряемое в радианах. При малых углах
поворота длина дуги связана с углом поворота соотношением:
S  R ,
где
R
– радиус вращения.
Угловой скоростью

тел в данной точке круговой траектории называют
отношение малого углового перемещения к малому промежутку времени:


t
.
Угловая скорость измеряется в рад/с.
Связь между модулем линейной скорости

и угловой скоростью
выражается формулой
  R .
При равномерном движении тела по окружности величины

и

остаются неизменными. Равномерное движение тела по окружности является
движением с ускорением. Ускорение направлено по радиусу к центру
окружности.
Его
называют
нормальным
или
центростремительным
ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной
угловой
10

скоростями соотношениями:

и
an 
2
R
 2R .
Центростремительная сила определяется выражением:
F  ma n 
m 2
 m 2 R .
R
Для периода вращения тела справедливо выражение:
T
2R


2

.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
№ 1.6
Применяемая в медицине центрифуга состоит из металлического ротора и
прикрепленных к нему цилиндров для пробирок. Цилиндры закреплены
шарнирно и при вращении ротора занимают почти горизонтальное положение.
Более тяжелые частицы, находящиеся в пробирке, например, форменные
элементы крови, осаждаются при этом на дне пробирок. Для ряда других
исследований, например для отделения белков в коллоидном состоянии,
применяют ультрацентрифугу (с большей скоростью вращения). Определить
угловую

и линейную
мин она совершает

n  60000
скорости вращения ультрацентрифуги, если за
оборотов, а радиус вращения равен
r  20
t 1
см.
Решение
Угловая скорость вращения ротора центрифуги определяется выражением
  2  2
где

n
t
,
(1)
– частота вращения ротора. Подставляя численные значения величин,
входящих в (1), получим:
  2  2  3,14 10 3  6280
рад/с.
Используя формулу, связывающую между собой линейную и угловую
скорости, найдем:
  r  6280  0,2  1256
м/с.
11
№ 1.7
В
медицине
для
получения
безбелкового
фильтрата
применяют
центрифуги. Найти отношение нормального (центростремительного) ускорения
к ускорению свободного падения, если центрифуга совершает
расстояние до оси вращения
  4800
об/мин, а
м.
r  0,15
Решение
Центростремительное ускорение может быть найдено следующим образом:
a
2
r

r 2
r

 2r 2
r
  2 r  (2 ) 2 r  4 2 2 r ,
(1)
где  – линейная скорость центрифуги на участке, где расположен раствор,

–
угловая скорость вращения центрифуги.
Отношение центростремительного ускорения к ускорению свободного
падения запишется в виде:
a 4 2 2 r

g
g
.
(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:
a 4  9,86  6400  0,15

 3800
g
10
.
№ 1.8
Определить линейную и угловую скорости вращения центрифуги,
применяемой для исследования крови человека, при частоте
Расстояние до оси вращения
r  20
  1000
см.
Решение
По определению угловая скорость равна
  2  2  3,14 1000  6280
рад/с.
По формуле, связывающей линейную и угловую скорости вращения,
найдем линейную скорость:
    r  6280  0,2  1256
12
м/с.
об/с.
№ 1.9
Найти силу, действующую при центрифугировании на ядра клеток печени
радиусом
r4
мкм и плотностью
  1300
кг/м3, считая ядра правильными
сферическими частицами. Радиус ротора центрифуги
R  0,05
м, частота
вращения ротора   2 кГц.
Решение
Сила, действующая на ядра клеток печени при вращении в центрифуге,
определяется выражением
F  V 2 R ,
где
V
– объем ядра,

(1)
– угловая скорость вращения центрифуги.
Учитывая, что объем сферической частицы
  2
4
V  r 3 ,
3
а угловая скорость
, (1) можно переписать:
4
16
F  r 3   4 2 2 R   3r 3 2 R .
3
3
(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:
F
16
 31  64 10 18  4 10 6 1300  5 10 2  2,75 10 6
3
Н.
№ 1.10
Определить угловую скорость вращения ротора ультрацентрифуги, в
которой под действием силы
вещества лизосомы
ультрацентрифуги
  1200
R  0,045
F  43
нН осаждаются лизосомы. Плотность
кг/м3, радиус лизосомы
r  0,7
мкм, радиус ротора
м.
Решение
Сила, действующая на лизосому при вращении в ультрацентрифуге,
определяется выражением
F  V 2 R ,
где
V
– объем ядра,

(1)
– угловая скорость вращения ультрацентрифуги.
Учитывая, что объем сферической частицы
4
V  r 3 ,
3
(1) можно переписать:
13
4
F   r 3 2 R .
3
(2)
Из (2) можно выразить угловую скорость вращения ротора центрифуги:

3F
4 r R
3

1
3F
2r  rR
.
(3)
Подставляя численные значения величин, входящих в (3), получим:

1
3  43 10 9
2  0,7 10 6
3,14 1200  0,7 10 6  0,045
 23548
(рад/с).
№ 1.11
Найдите скорость полного оседания сферических частиц радиусом
мкм (плотность вещества
1  2,5
г/см3) в слое воды толщиной
l 3
r2
см в двух
случаях: а) при действии силы тяжести; б) при центрифугировании с частотой
оборотов
n  500
с-1. Радиус ротора центрифуги
R  10
см. Действием силы
тяжести пренебречь. Вязкость воды   103 Па·с, плотность –
 2  103
кг/м3.
Решение
а) Равномерное оседание частиц происходит при условии:
mg  F1  F2  0 ,
где
4
mg  1  r 3 g
3
(1)
– сила тяжести, действующая на частицу,
F1  6r
– сила
сопротивления, действующая на частицу со стороны воды вследствие ее
вязкости,
F2   2
4 3
r g
3
– сила Архимеда, действующая на частицу. Тогда
соотношение (1) перепишется:
4
4
1  r 3 g  6r   2 r 3 g  0 .
3
3
(2)
Отсюда
4 3
r g( 1   2 )  6r .
3
Из последнего выражения найдем скорость оседания частиц:

14
2 g ( 1   2 )  r 2 2  10  1,5  10 3  4  10 12

 0 ,0133
9
9  10 3
мм/с.
б) Скорость оседания частиц при центрифугировании определяется из
условия равенства центростремительной силы, действующей на частицу при ее
вращении, и силы вязкости:
m12
 6r ,
R
(3)
где 1  2nR – линейная скорость частиц при их вращении в центрифуге.
Подставляя выражение для
в (3), получим:
1
m
4 2 R 2 n 2  6r .
R
(4)
Подставляя в (4) выражение для массы частицы
4
m  1  V  1  r 3 ,
3
получим
4
3
1  r 3  4Rn 2  6r .
(5)
Из последнего соотношения выразим скорость оседания частиц при
центрифугировании:

 16   2 R  n 2 r 2
18
.
(6)
Подставляя численные значения величин, входящих в (6), получим:

2,5 10 3 16 10 10 1  25 10 4  4 10 12
18 10 3
 2,22
м/с.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Определить угловую скорость вращения центрифуги, применяемой для
фракционирования крови, если за время, равное 1 мин она совершила 9000
оборотов.
2. Две гематокритные центрифуги имеют радиусы 5 см и 7 см. Сравнить
нормальные ускорения частиц, находящихся на расстояниях равных радиусам
центрифуг, полагая, что их линейные скорости одинаковы.
3. При фракционировании фармацевтической суспензии на центрифуге на
сферические частицы радиусом 2 мкм действует сила 3 мкН. Определить
плотность частиц, считая, что радиус ротора центрифуги равен 8 см, а частота
вращения – 6000 об/мин.
15
4. Скорость оседания сферических частиц радиусом 3 мкм при их
центрифугировании составляет 1,2 м/с. Определить частоту вращения
центрифуги, полагая, что радиус ее ротора равен 10см. Вязкость воды – 10-3
Па·с, плотность частиц – 2 г/см3.
5. Найдите время полного оседания в воде сферических частиц радиусом 3
мкм и плотностью 2 г/см3 при центрифугировании с частотой оборотов 100 Гц.
Радиус ротора центрифуги – 10 см, длина пробирки – 6 см, вязкость воды – 10-3
Па·с, плотность воды – 103 кг/м3. Действием силы тяжести пренебречь.
1.3. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся
величина изменяется в зависимости от времени по закону синуса или косинуса.
Период колебаний – это время, за которое совершается одно полное
колебание.
Частота колебаний – это число колебаний, совершаемых за единицу
времени.
Фаза
колебания
–
это
величина,
характеризующая
положение
колеблющегося тела в данный момент времени.
Амплитуда колебания – это максимальное значение колеблющейся
величины.
Уравнение гармонических колебаний имеет вид:
2
T
амплитуда колебаний,
  2 
частота колебаний,
– период колебаний,
(t   0 )  
T
x  A sin(t  0 ) ,
– круговая частота колебаний,
0

где
A
–
– линейная
– начальная фаза колебаний,
– фаза колебаний. В уравнении гармонических колебаний наряду с
синусом используется и косинус.
Частота
колебаний
математического
выражением:

16
1
2
g
l
,
маятника
определяется
где l – длина маятника
Частота колебаний пружинного маятника определяется выражением:

где
k
– жесткость пружины,
m
1
2
k
m
,
– масса груза.
Механическая волна – это механическое возмущение, распространяющееся в пространстве и несущее энергию.
Уравнение волны:
x
S  A cos  (t  ) ,

где
S
– смещение точки, участвующей в волновом процессе,
волны,

– ее круговая частота,
произвольная координата,

x
   (t  )

– фаза волны,
t
A
– амплитуда
– время,
x
–
– скорость распространения волны.
Связь между длиной волны и скоростью ее распространения выражается
формулой:



,
где  – частота волны.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
№ 1.12
Материальная точка массой
x  10 cos(2t   0 ) .
m5
г колеблется согласно уравнению
Найдите максимальную силу, действующую на точку, и ее
полную энергию. Величина смещения
x
задается в сантиметрах.
Решение
В соответствии со вторым законом Ньютона сила, действующая на
материальную точку, определяется выражением
F  ma ,
где
a
(1)
– ускорение точки, которое может быть найдено как вторая производная
смещения
x
по времени
t
. Найдем первую производную:
17
x  10  2 sin(2t  0 ) .
(2)
Найдем вторую производную:
x   10  2  2 cos(2t   0 ) .
(3)
Максимальное значение косинуса – 1. Поэтому абсолютное значение
ускорения
равна:
a  40 см/с
2
. Тогда максимальная сила, действующая на точку, будет
F  0,005  0,4  0,002
Н.
Максимальная энергия точки определится как
E
где
x ,

m 2
2
,
(4)
– максимальная скорость колебаний, которая равна первой производной
максимальное значение которой равно 20. Т.е.
E
0,005  0,04
 10  4
2
  20
см/с. Тогда
Дж.
№ 1.13
Для проверки слуха применяется камертон. Какова частота его колебаний,
если наименьшее расстояние между точками волны, колеблющимися в
одинаковых фазах,
  340
  0,5
м? Скорость распространения звука в воздухе принять
м/с.
Решение
Наименьшее расстояние между точками, колеблющимися в одинаковых
фазах, равно длине волны, которая определяется выражением
  T 
где
T
– период колебаний камертона,



,
– частота. Отсюда определим частоту
колебаний:

18

 680 с-1.

№ 1.14
Определите разность фаз в пульсовой волне между двумя точками артерии,
расположенными на расстоянии
волны
  10
y  20
см друг от друга. Скорость пульсовой
м/с, колебания сердца считать гармоническими с частотой   2 Гц.
Решение
Длине волны
фаз
 ,

соответствует разность фаз
2
, а расстоянию
y
– разность
которую следует определить. Составим пропорцию:
  2
y  
Учитывая, что



.
(1)
, из пропорции (1) найдем:
 
2  y


2  y 
.

(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:
 
2  0,2 1,2
 0,048 
10
.
№ 1.15
Разность хода звуковых волн, приходящих в левое и правое ухо человека,
составляет
y  1
см. Определите сдвиг фаз

между обоими звуковыми
ощущениями для тона частотой   1000 Гц.
Решение
Длине волны
фаз
 ,

соответствует разность фаз
2
, а расстоянию
y
– разность
которую следует определить. Составим пропорцию:
  2
y  
Учитывая, что



.
(1)
, из указанной пропорции найдем:
 
2y


2  y

.
(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:
 
2  0,01 1000 

340
17
.
19
№ 1.16
Определите разность фаз двух точек волны, отстоящих друг от друга на
расстоянии
y  20
см. Скорость волны   4 м/с, частота –   5 Гц.
Решение
По аналогии с предыдущей задачей
 
2  y


2  y


2  0,2  5 
 .
4
2
№ 1.17
Число сердечных сокращений у пациента при брадикардии составило
  40
ударов в минуту. Какова длина математического маятника, имеющего такую же
собственную частоту колебаний?
Решение
Частота колебаний математического маятника определяется выражением:

где
g
1
2
– ускорение свободного падения,
g
l
l
,
(1)
– длина маятника. Возводя обе части
(1) в квадрат и подставляя численные значения входящих в (1) величин, найдем
длину маятника:
l
g
4 
2
2

10
 40 
4  9,86   
 60 
2
 0,57
м.
№ 1.18
Число сердечных сокращений у пациента при тахикардии составляет
  120
ударов в минуту. Груз какой массы следует подвесить к пружине жесткостью
k  16
Н/м, чтобы он совершал колебания с такой же частотой?
Решение
Частота колебаний пружинного маятника определяется выражением

20
1
2
k
m
,
(1)
где
m
– масса груза. Возводя обе части (1) в квадрат и выражая массу груза,
получим:
m
k
4 2 2
.
(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:
m
16
 120 
4  9,86  

 60 
2
 0,1
кг.
№ 1.19
Пики электрокардиограммы на миллиметровой ленте имеют амплитуду
A  15
мм при частоте сердечных сокращений
уравнение
колебаний,
которому
  120
ударов в минуту. Записать
подчиняется
сердце,
считая
их
гармоническими.
Решение
Воспользуемся уравнением гармонических колебаний в виде:
x  A cos 2 t .
(1)
Подставляя численные значения величин, входящих в (1), получим:
x  0,015 cos 2
120
t  0,015 cos 4t .
60
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Какова периодичность сердечных сокращений, если сердце за одну
минуту совершает 80 ударов?
2. Разность фаз в пульсовой волне между двумя точками артерии,
расположенными на расстоянии 0,1 м друг от друга, составляет 90 0.
Какова при этом скорость пульсовой волны, если частота сердечных
сокращений составляет 2 Гц?
3. Запишите уравнение колебаний, описывающее сердечные сокращения
при частоте 2 Гц. Амплитуду сигнала электрокардиографа считать равной
1 см.
21
4. Сигнал, регистрируемый электрокардиографом, изменяется
x  10 cos 2t .
по закону
Какова при этом частота сердечных сокращений у пациента?
5. Какова длина математического маятника, колеблющегося с частотой
равной частоте сердечных сокращений при 80 ударах в минуту?
1.4. ЗВУК
Звук – это упругие колебания и волны в газах, жидкостях и твердых
телах, воспринимаемые человеческим ухом (частота от 16 до 20 кГц). Тембр
звука определяется его спектральным составом.
Громкость звука – субъективная оценка звука, которая характеризует
уровень слухового ощущения.
Интенсивность звука – энергетическая характеристика
звука, которая
может быть выражена также и в виде вектора Умова:
I
где


S
,
– поток энергии волн, отнесенный к площади
S
, ориентированной
перпендикулярно распространению волн. Обычно пользуются величиной
L  lg
где
I0
I
I0
,
– порог слышимости.
Закон Вебера-Фехнера:
E  k lg
где
E
I
I0
,
– громкость звука (измеряется в фонах).
Согласно этому закону, если увеличить раздражение в геометрической
прогрессии, то ощущение этого раздражения увеличится в арифметической
прогрессии.
Связь интенсивности звука и звукового давления для плоской волны:
I
22
p2
2 
,
где

– плотность среды, в которой распространяется звук,
Выраженный в децибелах уровень интенсивности
I

– его скорость.
звука относительно
I0 ,
принятого за начальный уровень шкалы, записывается как
L  10 lg
I
I0
.
Из последних двух выражений следует, что
lg
I
p
 2 lg
I0
p0
.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
№ 1.20
Человеческое ухо воспринимает упругие волны в интервале частот от
 1  20
Гц до
 2  20
кГц. Каким длинам волн соответствует этот интервал в
воздухе? Скорость звука в воздухе
  340
м/с.
Решение
Для того чтобы рассчитать длины волн, соответствующие заданным
частотам, воспользуемся формулой

где



,
(1)
– длина волны звука. Подставляя в (1) численные значения частоты и
скорости звука, получим:
1 
2 
340
 17
20
340
20  10 3
м.
 17  10 3
м.
№ 1.21
Два звука одинаковой частоты отличаются по громкости на
E  20
фон. Во
сколько раз отличаются их интенсивности?
Решение
Уровень громкости в фонах
относительно
I0 ,
E,
выраженный через интенсивность
I
звука
принятого за начальный уровень шкалы, записывается как
23
E  10 lg
I
I0
.
(1)
Запишем (1) для двух значений громкости:
E1  10 lg
I1
I0
.
(2)
E 2  10 lg
I2
I0
.
(3)
Вычтем (3) из (2), получим:
I1
 I1
I0
I2 
I
E  10  lg  lg   10 lg
 10 lg 1
I2
I0 
I2
 I0
I0
Подставим в (4) значение
E  20 ,
.
(4)
получим:
I1
I2
20  10 lg
.
Из последнего выражения найдем отношение интенсивностей звуков:
I1
 100 .
I2
№ 1.22
Два звука одинаковой частоты отличаются по интенсивности на
L  30
дБ.
Найдите отношение амплитуд звукового давления.
Решение
Связь интенсивности звука в децибелах со звуковым давлением
p
определяется выражением:
L  20 lg
p
p0
.
(1)
Записывая (1) для двух значений интенсивности, получим:
24
L1  20 lg
p1
p0
.
(2)
L2  20 lg
p2
p0
.
(3)
В (1), (2) и (3)
интенсивностям
L1
p1
и
и
L2 ,
p2
– значения звукового давления, соответствующие
p0
– звуковое давление, принятое за начальный
уровень шкалы. Вычитая (3) из (2), получим:
p1
 p
p
p 
p
L  20  lg 1  lg 2   20 lg 0  20 lg 1
p
p
p
p
2
0
0 
2

p0
Подставляя в (4) значение
L  30 ,
.
(4)
получим:
p1
p2
30  20 lg
.
Из последнего выражения найдем отношение амплитуд звукового
давления:
3
p1
 10 2  32 .
p2
№ 1.23
Шум на улице, которому соответствует уровень интенсивности звука
дБ, слышен в комнате так, как шум
интенсивностей звука
I1
на улице и
I2
L2  30
L1  50
дБ. Найдите отношение
в комнате.
Решение
Выраженный в децибелах уровень интенсивности
I
звука относительно
I0 ,
принятого за начальный уровень шкалы, записывается так:
L  10 lg
I
I0
.
Записывая (1) для двух значений интенсивности
(1)
I1
и
I2 ,
получим:
L1  10 lg
I1
I0
.
(2)
L2  10 lg
I2
I0
.
(3)
Вычитая (3) из (2), получим:
25
I1
 I
I
I 
I
L  10  lg 1  lg 2   10 lg 0  10 lg 1
I
I
I
I
2
0
0 
2

I0
Подставляя в (4) значение
L  20 ,
.
(4)
получим:
20  10 lg
I1
I2
.
Из последнего выражения найдем отношение интенсивностей звуков:
I1
 100
I2
.
№ 1.24
Звук частотой 200 Гц проходит некоторое расстояние в поглощающей
среде. Интенсивность звука при этом уменьшается с
I1  10 4
Вт/м2 до
I 2  10 8
Вт/м2. На сколько при этом уменьшится уровень громкости?
Решение
Уровень громкости в фонах, выраженный через интенсивность
относительно
I0 ,
I
звука
принятого за начальный уровень шкалы, записывается как
E  10 lg
I
I0
.
(1)
Запишем (1) для двух значений громкости:
E1  10 lg
I1
I0
.
(2)
E 2  10 lg
I2
I0
.
(3)
Вычтем (3) из (2), получим:
I1
 I
I
I 
I
E  10  lg 1  lg 2   10 lg 0  10 lg 1
I
I0 
I2
2
 I0
I0
.
Подставляя в (4) значения интенсивностей звука, получим:
E  10 lg
26
10 4
10 8
 10 lg 10 4  40
фон.
(4)
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Какой длине волны соответствует звук, воспринимаемый человеком в
воздухе при частоте 10000 Гц? Скорость звука в воздухе принять
равной 330 м/с.
2. Во
сколько
раз
увеличится
громкость
звука
при
увеличении
интенсивности звука от 20 дБ до 40 дБ? Уровень громкости,
соответствующий интенсивности 20 дБ, принять равным 10 фон.
3. Какова
интенсивность
звука,
испускаемого
камертоном
при
аудиометрическом обследовании пациента, если при частоте 800 Гц
уровень громкости составляет 10 фон?
4. Во сколько раз изменилась интенсивность сигнала, испускаемого
аудиометром на частоте 2000 Гц, если пациент ощутил изменение
громкости сигнала в 0,5 фон?
5. Определите давление на барабанную перепонку, возникающее при
воздействии на нее звука на пороге болевого ощущения на частоте 2000
Гц.
1.5. ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА
Суть эффекта заключается в изменении частоты звука вследствие
относительного движения источника и приемника звука. Когда звук отражается
от движущегося объекта, частота отраженного сигнала изменяется (происходит
сдвиг частоты).
Частота колебаний, воспринимаемых наблюдателем, определяется
выражением:
' 
где
н
среды,
и
и

  н

  и
,
– скорости наблюдателя и источника упругой волны относительно
– скорость распространения волны в этой среде,
испускаемых
колебаний.
Верхние
знаки
в
приведенном

– частота
выражении
27
соответствуют встречному движению наблюдателя и источника, нижние – в
противоположные стороны.
Доплеровский сдвиг частоты определяется выражением:
 
2 0


,
где  0 – скорость движущегося объекта,  – скорость волны. Это выражение
справедливо при
   0 .
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
№ 1.25
Доплеровский сдвиг частоты при отражении ультразвукового импульса от
движущихся эритроцитов равен
Гц, частота излучения ультразвукового
  50
генератора равна   10 5 Гц. Определить скорость кровотока в сосуде.
Решение
Доплеровский сдвиг частот при отражении ультразвукового сигнала от
движущихся эритроцитов определяется выражением:
 
где
0
– скорость кровотока,
2 0


,
(1)
м/с – скорость распространения
  1500
ультразвука в крови. Отсюда можно выразить скорость кровотока:
0 
  
2
.
(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:
0 
50 1500
2 10 5
 0,375
м/с.
№ 1.26
Доплеровский сдвиг частоты при отражении ультразвукового импульса от
движущихся со скоростью
 0  75
см/с эритроцитов равен
частоту излучения ультразвукового генератора.
Решение
28
  50
Гц. Определить
Доплеровский сдвиг частот при отражении ультразвукового сигнала от
движущихся эритроцитов определяется выражением:
 
где
  1500
2 0


,
(1)
м/с – скорость распространения ультразвука в крови,

– частота
ультразвука. Отсюда можно выразить частоту  :

 
2 0
.
(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:

50 1500
 50
2  0,75
кГц.
№ 1.27
Источник звука частотой
кГц приближается к неподвижно
 0  18
установленному резонатору, настроенному на акустическую волну длиной
  1,7
см. С какой скоростью должен двигаться источник звука, чтобы
возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора? Температура
воздуха
T  290
К.
Решение
В соответствии с принципом Доплера частота звука, воспринимаемого
резонатором, определяется выражением:

где

  1
0,
  2
– скорость звука в данной среде,
1
(1)
– скорость движения прибора,
–
2
скорость движения источника звука. Учитывая, что резонатор остается
неподвижным ( 1  0 ), из формулы (1) получим:  
 2   (1 

0,
  2
откуда
v0
).
v
В этом выражении неизвестны значения скорости звука
(2)

и частоты

.
Скорость звука в газах зависит от природы газа и температуры и определяется
по формуле:
29
RT


где
  1,4 ,
  0,029
,
(3)
кг/моль – молярная масса воздуха,
R  8,3
Дж/моль∙К –
универсальная газовая постоянная.
Чтобы волны, приходящие к резонатору, вызвали его колебания, частота
воспринимаемых резонатором волн должна совпадать с частотой резонатора,
т.е.
 
где



,
(4)
– длина волны собственных колебаний резонатора.
Подставляя выражения для

и  из (3) и (4) в формулу (2), получим:
 2   (1 
 0

)    0 
,
или
2 
RT
 0  .

(5)
Подставляя численные значения величин, входящих в выражение (5),
получим:
2 
1,4  8,3  290
 18 10 3 1,7 10 2  35
0,029
м/с.
№ 1.28
На сколько процентов изменится частота ультразвука при отражении его от
движущихся эритроцитов в артерии? Среднюю скорость движения эритроцитов
принять равной
 0  40
см/с.
Решение
Доплеровский сдвиг частот при отражении ультразвукового сигнала от
движущихся эритроцитов определяется выражением:
 
30
2 0


,
где
  1500
м/с – скорость распространения ультразвука в крови,

– частота
ультразвука. Тогда относительное изменение частоты ультразвукового сигнала,
выраженное в %, будет:



2 0


2  0,4
100 %  0,05 % .
1500
№ 1.29
Какие частоты зафиксирует приемник ультразвука в условии предыдущей
задачи, если частота генератора равна
 1
МГц? Рассмотрите случаи движения
крови к технической системе и от нее.
Решение
Доплеровский сдвиг частот определяется выражением:
 
где
  1500
2 0


,
(1)
м/с – скорость распространения ультразвука в крови,
0
– скорость
кровотока.
Подставляя численные значения величин, входящих в (1), получим:
 
2  0,4 10 6
 0,5333 10 3
1500
Гц.
При движении крови к технической системе будет зафиксирован сигнал
частотой
    1000533
Гц. При движении крови в обратном направлении будет
зафиксирована частота     999467 Гц.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Ультразвуковая волна, имеющая частоту 0,5 МГц и амплитуду 0,01 мм,
распространяется в упругой среде. Определите длину ультразвуковой
волны, если скорость ее распространения равна 1500 м/с.
2. Определите
разность
фаз
колебаний
ультразвукового
датчика,
находящегося в жидкой среде, и точки этой среды, отстоящей на
расстоянии 0,3 м от источника. Частота колебаний равна 5 МГц; волны
распространяются со скоростью 1500 м/с.
31
3. Для определения скорости
кровотока
используется доплеровский
флоумер. Оцените абсолютную погрешность измерения скорости
кровотока, считая ее равной 0,5 см/с, если погрешность в определении
доплеровского сдвига частот составляет 0,1%.
4. В доплеровском флоумере используется частота генератора 80 кГц. Какие
частоты зафиксирует прибор при отражении от движущихся со
скоростью 0,6 м/с эритроцитов в двух случаях: при движении кровотока
по направлению к датчику и по направлению от датчика. Скорость
распространения ультразвука в крови принять равной 1500 м/с.
5. Некоторый объект, движущийся со скоростью 20 м/с, издает звуковой
сигнал в течение 2 с. Какова продолжительность звука, воспринятого
неподвижным наблюдателем? Рассмотреть два случая: а) источник звука
приближается к наблюдателю; б) источник звука
наблюдателя.
32
удаляется от
2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
2.1. СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ
2.1.1. ВЛАЖНОСТЬ ВОЗДУХА
Влажность воздуха. Абсолютной влажностью
f
воздуха называется масса
водяных паров, содержащихся в 1 м3 воздуха при данных условиях.
Значение
f
оценивается по плотности водяного пара в воздухе или по
давлению.
Относительной влажностью воздуха называется отношение абсолютной
влажности к тому количеству водяного пара, которое необходимо для
насыщения 1 м3 воздуха при данной температуре.
Из этого определения следует, что относительную влажность можно
определять как отношение давления водяного пара
воздухе, к давлению
p1
p,
содержащегося в
насыщенного водяного пара при данной температуре:
p
100 %
pн

Относительную влажность можно определить и как отношение плотности
водяного пара, содержащегося в воздухе, к плотности насыщенного водяного
пара при данной температуре:
Точкой росы называется температура, при которой водяные пары, не
насыщавшие ранее воздух, становятся насыщающими.
Насыщенный пар – это пар, находящийся в динамическом равновесии с
собственной жидкостью. Это означает, что количество испаряющихся молекул
жидкости равно количеству конденсирующихся.
При некоторых допущениях для описания воздуха используется
уравнение состояния идеального газа:
pV 
где
p
– давление газа,
V
m

– его объем,
универсальная газовая постоянная,
T
RT
,
m
– масса,

– молярная масса,
R
–
– абсолютная температура.
33
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
№ 2.1
Гемостатическая губка, используемая в офтальмохирургии, просушивалась
в вакуумной камере при давлении
 1
Па и температуре
p  103
t  17
0
С в течение
ч. Какое количество воды было удалено из губки, если скорость откачки
составляла
л/мин?
q  16,6
Решение
Запишем уравнение
состояния
идеального
газа для
паров
воды,
образовавшихся в результате просушки губки:
m
pV 
В (1)
V
RT
.
(1)
– объем, занимаемый водяными парами,
кг/моль – их молярная масса,
постоянная,

R  8,31
m
– их масса,
  18 103
Дж·моль/К – универсальная газовая
– их абсолютная температура. Выразим из (1) массу
T  t  273 0
водяного пара:
m
Учитывая,
выражением
что
V  q
объем,
pV
RT
.
(2)
занимаемый
водяным
паром,
определяется
, (2) можно переписать:
m
pq
RT
.
(3)
Подставляя численные значения величин, входящих в (3), рассчитаем
массу воды, содержавшейся в губке:
m
pq 10 3 16 ,6 10 3  60 18 10 3

 7,45 10 3
RT
8,3  290
кг.
№ 2.2
В зимнее время года в больничной палате объемом
температуре
t  20
0
V  40 м
С относительная влажность воздуха составляет
3
при
1  15 % .
Какое количество воды следует испарить в увлажнителе воздуха для доведения
34
влажности воздуха до нормы
 2  50 % ?
Температура воздуха в комнате
постоянна. Плотность насыщенного пара при 20 0С принять
  17,3
г/м3.
Решение
Запишем выражения для относительной влажности воздуха в помещении
для начального
В (1) и (2)
1
и конечного
1
и
2
 2 состояний:
1 
1
100 % .

(1)
2 
2
100 % .

(2)
– плотности водяного пара начального и конечного
состояний. Из (1) и (2) выразим плотности водяных паров начального и
конечного состояний:
1 
2 
1 
100 %
2 
100 %
.
(3)
.
(4)
Вычитая (3) из (4), получим:
2  1 

100 %
(2  1 ) .
(5)
Тогда для массы испарившегося водяного пара можно записать:
m  V (  2  1 ) 
V
( 2  1 ) .
100 %
(6)
Подставляя численные значения величин, входящих в (6), получим:
m
40 17 ,3 10 3  35 %
 0,242
100 %
кг.
№ 2.3
В соответствии с установленными для операционного блока регламентами
температура воздуха в помещении должна составлять 21 0C при относительной
влажности 60 %. Какое количество воды необходимо испарить из увлажнителя
воздуха в помещении объемом
V  60
м3 для доведения влажности воздуха до
нормы, если температура воздуха повысилась с
t1  17
0
C до
t 2  21
0
C, а его
35
влажность увеличилась с
t1  17
0
1  40 %
p1  1,94
C составляет
до
 2  60 % ?
кПа, а при
t 2  21
0
Давление насыщенных паров при
C–
p 2   2,49
кПа.
Решение
Запишем выражения для относительной влажности воздуха в помещении
для начального и конечного состояний:
1 
p1
100 % .
p
(1)
1
2 
p2
100 % .
p 
(2)
2
Из (1) и (2) выразим давления водяных паров начального
p1
и конечного
p2
состояний:
1 p1
p1 
100 %
 2 p 2
p2 
100 %
.
(3)
.
(4)
Запишем уравнение состояния идеального газа для начального и конечного
состояний водяного пара:
В (5) и (6)
m1
и
конечного состояний,
  18 103
m2
T1
p1V 
m1
RT1 .
(5)
p2V 
m2
RT2 .
(6)


– соответственно массы водяных паров начального и
и
T2
– соответствующие им абсолютные температуры,
кг/моль – их молярная масса,
газовая постоянная,
T  t  273 0
R  8,31
Дж·моль/К – универсальная
– их абсолютная температура.
Из (5) и (6) выразим массы водяных паров в комнате при начальной
конечной
T2
T1
температурах:
m1 
p1V
RT1
.
(7)
m2 
p 2V
RT2
.
(8)
Из (7) и (8) с учетом (3) и (4) можно выразить массу испарившейся воды:
36
и
m 2  m1 

1 p1
V p 2 p1
V  2 p 2
(
 )
(

).
R T2 T1
R T2 100 % T1 100 %
(9)
Подставляя численные значения величин, входящих в (9), получим:
m 2  m1 
60 18 10 3 60 %  2490 40 % 1940
(

)  0,44
8,3 100 %
294
290
кг.
№ 2.4
Во сколько раз больше влаги содержится в 1 м3 воздуха кавказского
побережья Черного моря, чем крымского, если при температуре 27
0
С
влажность воздуха на кавказском побережье составляет 90 %, а на крымском –
45 %?
Решение
Запишем выражения для относительной влажности воздуха на Кавказе
в Крыму
1
и
2 :
В (1) и (2)
соответственно,
1

и
2
1 
1
100 % .

(1)
2 
2
100 % .

(2)
– плотности водяного пара на Кавказе и в Крыму
– плотность насыщенных паров при температуре 27 0С.
Из (1) и (2) выразим соответствующие плотности водяных паров:
1 
2 
1 
100 %
2 
100 %
.
(3)
.
(4)
Поскольку плотность водяного пара определяется как масса водяного пара,
содержащегося в 1 м3 воздуха, искомую величину можно найти, разделив (3) на
(4):
1 1  н 100 % 1


2.
 2 100 %  2  н  2
37
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. В помещении операционной объемом 60 м3 установлен кондиционер.
Какое
количество
избыточной
влаги
будет
удалено
из
помещения
кондиционером для доведения влажности воздуха до 50 %, если начальная
влажность воздуха в помещении составляла 75 %? Температура воздуха в
помещении постоянна и равна 20 0С. Плотность насыщенного пара при 20 0С
принять равной 17,3 г/м3.
2. В больничной палате объемом 200 м3 при температуре 20
0
С
относительная влажность составляет 65 %. Найдите массу водяного пара в
палате, полагая, что давление насыщенного водяного пара при 20 0С составляет
2,33 кПа.
3. В аппарате искусственной вентиляции воздуха используется баллон с
воздухом объемом 10 л. Для осушки воздуха в баллон ввели хлорид кальция,
который поглотил 1 г воды. Какова была относительная влажность воздуха в
баллоне при температуре 20 0С? Давление насыщенного водяного пара при 20
0
С принять равным 2,33 кПа.
4. Влажный термометр психрометра, установленного в помещении,
показывает температуру 16
0
С, а сухой – 22
0
С. Какова относительная
влажность воздуха в помещении?
5. Какова масса водяных паров, содержащихся в больничной палате
площадью 20 м2 и высотой потолка 3,3 м при температуре 22
0
С и
относительной влажности 60 %?
2.1.2. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
Коэффициент поверхностного натяжения (поверхностное натяжение)

равен изохорно-изотермической работе
площади поверхности жидкости
S
на единицу:
 
38
A ,
A
.
S
необходимой для увеличения
Следовательно, молекулы поверхностного слоя жидкости обладают
избыточной по сравнению с молекулами внутри жидкости потенциальной
энергией. Потенциальная энергия
поверхности жидкости пропорциональна
Ep
ее площади.
Коэффициент поверхностного натяжения
модуль силы поверхностного натяжения
F,

может быть определен как
действующей на единицу длины
линии l , ограничивающей поверхность:

F
l
.
Вблизи границы раздела между жидкостью, твердым телом и газом форма
свободной поверхности жидкости зависит от сил взаимодействия молекул
жидкости с молекулами твердого тела. Если эти силы больше сил
взаимодействия между молекулами самой жидкости, то жидкость смачивает
поверхность твердого тела. В этом случае жидкость подходит к поверхности
твердого тела под некоторым острым углом  , называемым краевым углом.
Если силы взаимодействия между молекулами жидкости превосходят силы
их взаимодействия с молекулами твердого тела, то краевой угол

оказывается
тупым. В этом случае говорят, что жидкость не смачивает поверхность
твердого тела. При полном смачивании
 0,
при полном несмачивании
  180 0 .
Над
давление
искривленной
p ,
поверхностью
r
возникает
избыточное
называемое лапласовским:
p 
где
жидкости
2 cos
r
,
– радиус кривизны мениска жидкости.
Под действием лапласовского давления происходит подъем или опускание
жидкости в трубках малого диаметра – капиллярах. Смачивающие жидкости
поднимаются по капиллярам, несмачивающие – опускаются.
Подъем жидкости в капилляре продолжается до тех пор, пока лапласовское
давление не станет равным гидростатическому давлению столба жидкости:
39
2 cos
 gh ,
r
где

– плотность жидкости,
h
– высота капиллярного подъема.
Отсюда следует:
h
При полном смачивании
2 cos
gr
  0 , cos   1 .
h
При полном несмачивании
2
gr
.
В этом случае
.
  180 0 , cos   1
и, следовательно,
h0.
Уровень
несмачивающей жидкости в капилляре опускается ниже уровня жидкости в
сосуде, в которую опущен капилляр. Вода практически полностью смачивает
чистую поверхность стекла.
Условием отрыва капли от капиллярной трубки является равенство ее веса
в момент отрыва силе поверхностного натяжения, действующей вдоль ее
шейки:
  2r  mg,
где
r
– радиус перетяжки капли,
m
– масса капли.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
№ 2.5
Какой диаметр имеет перетяжка при отрыве капли дистиллированной воды
массой
  1000
m  50
мг? Поверхностное натяжение воды
  72 ,6
мН/м, плотность –
кг/м3.
Решение
Отрыв капли произойдет в момент равенства ее веса силе поверхностного
натяжения, действующей вдоль ее шейки:
2r  mg,
где
r
– радиус перетяжки капли,
g
– ускорение свободного падения.
Из (1) можно выразить радиус перетяжки капли:
40
(1)
mg
2
r
.
(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:
r
50 10 6 10
2  3,14  72,6 10
Диаметр перетяжки будет
3
d  2r  2,19
 1,095 10 3
м.
мм.
№ 2.6
В ряде случаев лекарство дозируют каплями. На сколько процентов
изменится доза водного раствора лекарства при изменении температуры от
t1  25
0
C
до
0
t 2  10
Этим
C?
поверхностного натяжения
 1  71,78
температурам
мН/м и
 2  74,01
соответствуют
значения
мН/м.
Решение
На основе рассуждений, приведенных в предыдущей задаче, можно
записать:
2r  mg,
(1)
откуда можно выразить массу капли:
m
2r
g
.
(2)
Запишем выражение (2) для температур
значения масс капель
m1
и
t1
и
t2 ,
которым соответствуют
m2 :
m1 
2r 1
g
.
(3)
m2 
2r 2
g
.
(4)
Из (3) и (4) определим изменение дозы раствора:
m2  m1
  1
100 %  2
100 % .
m1
1
(5)
Подставляя численные значения величин, входящих в (5), получим:
 2 1
(74,01  71,78)
100 % 
100 %  3 % .
1
71,78
41
№ 2.7
В горизонтально расположенный капилляр набирают
что длина столбика составляет
l  12
V  0,3
мл крови, так
см. Сколько крови останется в капилляре,
если его поставить вертикально? Учесть, что верхний конец капилляра остается
открытым. Поверхностное натяжение крови
  58 10 3
Н/м, плотность
  1060
кг/м3.
Решение
Высота подъема жидкости по вертикальному капилляру определяется
выражением:
2
gr
h
где
r
,
(1)
– радиус капилляра.
Для нахождения радиуса капилляра воспользуемся соотношением:
V  Sl  r 2 l
где
S  r 2
,
(2)
– сечение трубки. Из последнего соотношения выразим радиус
трубки:
r
V1
l
.
(3)
Подставляя выражение для радиуса из (3) в (1), получим:
2
h
V
g 1
l
.
(4)
Подставляя численные значения величин, входящих в (4), получим:
h
2  58 10 3
1060 10 
0,3 10
6
 1,2 10  2
м.
3,14 12 10  2
№ 2.8
Предметное стекло микроскопа имеет вид круга диаметром
него нанесли капельку крови массой
42
m  0,1
d  16
мм. На
г и наложили другое такое же
стеклышко. В результате оба стеклышка слиплись. С какой силой
F,
перпендикулярной поверхности стеклышек, надо растягивать их, чтобы
разъединить? Считать, что проба крови полностью смачивает стекло, и поэтому
меньший радиус
r
половине расстояния
  58 10 3
кривизны боковой поверхности
кровяного слоя равен
между стеклышками. Поверхностное натяжение крови
h
Н/м, плотность
  1060
кг/м3.
Решение
При растягивании стеклышек к ним прилагается сила
F  PS ,
где
P
2
r
(1)
– избыточное давление над искривленной поверхностью жидкости
радиусом r ,
S
– площадь поверхности стеклышек. Поскольку в разъединении
стеклышек участвует 2 поверхности, выражение (1) следует переписать в виде:
F
PS
2
.
(2)
Масса крови, находящейся между стеклышками, равна:
m  V  Sh 
где
V
d 2
4
h
,
(3)
– объем слоя крови между пластинками. Из (3) можно выразить h :
h
4m
d 2 
.
(4)
По условию задачи
r
h
2m

2 d 2 
.
(5)
Из выражения для избыточного давления, а также соотношения (5) можно
найти искомую силу
F:
F
 2 d 4 
8m
.
(6)
Подставляя численные значения величин, входящих в (6), получим:
F
58 10 3  3,14 2 16 4 10 12 1060
8 10  4
 50 мН.
43
№ 2.9
Кровь в капилляре поднялась на высоту
h  22
мм. Определите
коэффициент поверхностного натяжения крови, если внутренний диаметр
трубки
d 1
мм.
Решение
Подъем крови в трубке будет продолжаться до тех пор, пока избыточное
P
2
r
не уравняется
В этих соотношениях

– коэффициент
давление над искривленной поверхностью жидкости
гидростатическим давлением
P  gh .
поверхностного натяжения крови,

– ее плотность,
r
– радиус капиллярной
трубки.
Таким образом, можно записать:
gh 
2
r
.
Из последнего соотношения можно выразить

ghr
2
(1)

:
.
(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:

1060 10  22 10 3  0,5 10 3
 58,3
2
мН/м.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Каково поверхностное натяжение физраствора, если масса 50 капель,
вытекших из капельницы диаметром 2 мм, составила 2 г?
2. Определите, во сколько раз изменится поверхностное натяжение
физраствора при его нагревании, если при одной и той же дозировке до
нагревания раствора образовалось 50 капель, а после нагревания – 60?
3. На какую высоту поднимется кровь плотностью 1060 кг/м3 в
капиллярной трубке диаметром 0,5 мм? Поверхностное натяжение крови
принять равным 58 мН/м.
44
4. Определите диаметр иглы капельницы, если при инфузии жидкого
препарата плотностью 950 кг/м3 масса отрывающейся капли составляет 4 мг.
Поверхностное натяжение раствора принять равным 40 мН/м.
5. Какова плотность жидкого раствора, поднимающегося в капиллярной
трубке диаметром 1 мм на высоту 2 см? Поверхностное натяжение раствора
принять равным 65 мН/м.
2.1.3. ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТИ
Вязкость жидкостей (внутреннее трение) обусловлена сцеплением между
ее молекулами.
Уравнение Ньютона:
Fтр  
где

– коэффициент вязкости,
d
dx
d
S
dx
,
– градиент скорости течения жидкости,
S
–
площадь соприкосновения слоев жидкости.
Ламинарное и турбулентное течения. Слоистое течение жидкости
называют ламинарным. Наличие скорости течения вязкой жидкости вследствие
неоднородности давления по поперечному сечению трубы создает завихрения,
и движение становится вихревым или турбулентным.
Характер течения жидкости по трубе зависит от свойств жидкости,
скорости её течения, размеров трубы и определяется числом Рейнольдса:
Re 
где

– плотность жидкости,
D
D

,
– диаметр трубы.
Если число Рейнольдса больше некоторого критического, то движение
жидкости будет турбулентным. Например, для гладких цилиндрических труб
критическое значение числа Рейнольдса составляет 2300.
На шарик, движущийся в вязкой жидкости, действуют три силы:
сила тяжести
4
P  r 3 g ,
3
45
выталкивающая сила (сила Архимеда)
Fa 
4 3
r 0 g ,
3
сила вязкого трения, которая выражается формулой Стокса
Fc  6r
где
r
– радиус шарика,
жидкости,


,
– плотность материала шарика,
0
– плотность
– коэффициент внутреннего трения (вязкость) жидкости,
–

скорость движения шарика.
При увеличении скорости падающего тела сила
Fc
возрастает, и если путь
падения шарика внутри жидкости достаточно велик, то при условии
движение шарика будет равномерным со скоростью
.
Fc  P  Fa
Для установившегося
равномерного движения справедливо равенство
6r 
4 3
4
r g  r 3  0 .
3
3
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
№ 2.10
Во сколько раз увеличится скорость оседания эритроцитов у людей,
больных сфероцитозом, по сравнению с нормой, если средний радиус
эритроцита при этом заболевании возрастает в 1,5 раза?
Решение
Равномерное оседание эритроцитов происходит при следующем условии:
mg  F1  F2  0 ,
где
mg   1
4 3
r g
3
плотностью
1
(1)
– сила тяжести, действующая на эритроцит массой
и радиусом r ,
F1  6r
m,
– сила сопротивления, действующая на
эритроцит со стороны воды плотностью
2
и вязкостью  ,
F2   2
4 3
r g
3
– сила
Архимеда, действующая на эритроцит. Тогда соотношение (1) перепишется:
1
Отсюда
46
4 3
4
r g  6r   2 r 3 g  0 .
3
3
(2)
4 3
r g( 1   2 )  6r .
3
Из последнего соотношения выразим скорость оседания эритроцитов:

2 g ( 1   2 )r 2
9
.
(3)
Запишем (3) для эритроцитов радиусом
радиусом
r2
r1
в норме и для эритроцитов
при сфероцитозе:
1 
2 g ( 1   2 )r1 2
9
.
(4)
2 
2 g ( 1   2 )r2 2
9
.
(5)
Деля (5) на (4) и подставляя значения радиусов
r2
и r1 , получим:
2
 2  r2 
    2,25 .
1  r1 
№ 2.11
Определите максимальное количество крови, которое может пройти через
аорту в 1 с, чтобы течение сохранялось ламинарным. Диаметр аорты
вязкость крови
5
мПа∙с, плотность крови
  1060
D2
см,
кг/м3.
Решение
Число Рейнольдса
Re  2300
, устанавливает границу между ламинарным и
турбулентным течениями жидкости. По определению
Re 
где

D D

,


– скорость течения крови через аорту,
(1)
v


– кинематическая вязкость
крови. Из (1) выразим скорость:

Re 
D
.
(2)
Тогда, учитывая выражение (2), а также то, что объем крови, протекающей
через сосуд,
V  St ,
где
S
– сечение аорты, масса крови, протекающей через
аорту, будет равна:
47
m  V  St 
D 2 Re t
4
D
.
(3)
Подставляя численные значения величин, входящих в (3), получим:
m
3,14  2 10 2  2300  5 10 3
 0,18
4 1060
кг.
№ 2.12
При прямых измерениях артериального давления в артерию вводится игла,
соединенная
гибким
шлангом
со
стеклянной
вертикально. На какую максимальную высоту
если систолическое артериальное давление
1  1060
кг/м3, плотность ртути
 2  13600
трубкой,
установленной
h1
поднимется кровь в трубке,
p  120
мм рт. ст.? Плотность крови
кг/м3.
Решение
Высоту подъема крови в стеклянной трубке
h1
можно определить из
условия:
P  1 gh1 .
(1)
Отсюда
h1 
P
1 g
.
(2)
Для проведения расчетов следует перевести значение систолического
давления в Паскали по формуле:
P   2 gh2 ,
где
h2  120
(3)
мм – соответствующая этому давлению высота столба ртути.
Подставляя (3) в (2), получим:
h1 
 2  h2
1
.
(4)
Подставляя численные значения величин, входящих в (4), получим:
h1 
48
13600 120 10 3
 1,54
1060
м.
№ 2.13
При некоторых заболеваниях критическое число Рейнольдса в сосудах
принимает значение
Re  1160 .
Найдите скорость движения крови, при которой
возможен переход ламинарного течения в турбулентное в сосуде диаметром
D2
мм. Плотность крови
кг/м3, вязкость крови
1  1060
5
мПа∙с.
Решение
Число
Рейнольдса
устанавливает
границу
между
ламинарным
и
турбулентным течениями жидкости. По определению
Re 
где

– скорость течения крови,
кинематическая вязкость крови,
D
D D

,


(1)
– диаметр кровеносного сосуда,
v


–
– ее плотность. Из (1) выразим скорость

кровотока:

Re 
D
.
(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:

1160  5  10 3
1060  2  10 3
 2,5
м/с.
№ 2.14
Вследствие потери упругих свойств сосудов при атеросклерозе число
Рейнольдса
Re
существенно изменяется. Определите число Рейнольдса в сосуде
диаметром
D3
плотность крови
мм, в котором скорость движения крови
  1060
  1,8
м/с. Принять
кг/м3, а вязкость крови   5  103 Па·с.
Решение
Число Рейнольдса может быть рассчитано по известной формуле:
Re 
 D


1060  1,8  3  10 3
5  10 3
 1145
.
49
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Определите гидравлическое сопротивление аорты диаметром 1,75 см на
участке длиной 3 см.
2. При ламинарном течении через сечение артерии равное 0,5 см2 за 2 с
проходит 10 мл крови. Какова при этом вязкость крови?
3. Определите скорость оседания эритроцитов диаметром 6 мкм в растворе
плотностью 103 кг/м3 и вязкостью 4 мПа, полагая, что плотность крови
составляет 1060 кг/м3.
4. Рассчитайте число Рейнольдса для крови при линейной скорости
кровотока 0,5 м/с, вязкости крови 5 мПа и диаметре сосуда 0,6 см.
Плотность крови принять равной 1060 кг/м3.
5. Во сколько раз изменилась вязкость крови при патологии по сравнению с
нормой, если линейная скорость кровотока уменьшилась в 1,5 раза, а
плотность крови возросла на 10%? Число Рейнольдса постоянно.
2.2. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Воображаемая
жидкость,
совершенно
не
обладающая
вязкостью
называется идеальной.
Гидростатическое давление столба жидкости высотой
h
и плотностью

определяется выражением:
p  gh .
Согласно закону Паскаля давление, производимое на жидкость или газ,
передается по всем направлениям без изменения.
На тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила
(сила Архимеда), направленная вертикально вверх и равная весу жидкости
(газа), вытесненной телом.
Движение идеальной жидкости описывается уравнением Бернулли:
p 
50
 2
2
 gh  const ,
где
p
– статическое давление,
движения,
h

– плотность жидкости,
V
– скорость ее
– высота трубы.
Т.е. сумма статического, динамического и гидравлического давлений в
движущейся жидкости постоянна.
Уравнение неразрывности струи:
S  const ,
т.е. произведение площади сечения трубы
S
на скорость течения жидкости

есть величина постоянная.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
№ 2.15
В конструкции зубоврачебного кресла предусмотрен
подъемник,
действующий по принципу гидравлического пресса. Какое усилие должен
приложить врач-стоматолог к педали кресла для подъема пациента массой
m  70
S 2  500
кг, если площадь малого поршня подъемника
S1  5
см2, а большого –
см2?
Решение
Сила
F1 ,
прилагаемая к педали подъемника, относится к весу пациента
mg
как площадь малого поршня относится к площади большого поршня:
F1
S
 1
mg S 2
.
(1)
Из (1) можно выразить искомое усилие:
F1  mg
S1
S2
.
(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:
F1  mg
S1
5
 70 10 
7
S2
500
Н.
51
№ 2.16
Малый поршень гидравлического подъемника зубоврачебного кресла под
действием усилия на педаль
этом кресло поднялось на
F  160
H 2
Н опустился на расстояние
см. Определите массу
m
h  10
см. При
пациента с креслом.
Решение
Сила
креслом
F1 ,
mg
прилагаемая к педали подъемника, относится к весу пациента с
как ход большого поршня
H
относится к ходу малого поршня h :
F1 H

mg h
.
(1)
Из (1) можно выразить массу пациента с креслом:
m
F1 h
.
Hg
(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:
m
160 10
 80
2 10
кг.
№ 2.17
При прыжке с трамплина в воду ныряльщик погружается на глубину
h  2,5
м. Какое давление, избыточное над атмосферным, испытывает при этом его
барабанная перепонка? Плотность воды
  103
кг/м3.
Решение
Избыточное
давление
на
барабанную
перепонку
определяется
гидростатическим давлением столба воды:
p  gh ,
где
g
– ускорение свободного падения.
Подставляя численные значения величин, входящих в приведенное
выражение, получим:
p  103 10  2,5  25
52
кПа.
№ 2.18
Для промывания наружного слухового прохода используется шприц Жанэ.
Струя раствора фурацилина падает на барабанную перепонку со скоростью
 1
м/с и стекает по ней. Каково давление струи раствора на перепонку? Плотность
раствора принять
  1000
кг/м3.
Решение
Давление струи на перепонку может быть записано в виде
p
где
F
– сила давления на перепонку,
S
F
S
,
(1)
– ее площадь.
При этом изменение количества движения струи при ее попадании на
поверхность барабанной перепонки равно импульсу силы, действующей на
перепонку:
m  Ft ,
где
m
(2)
– масса раствора, попадающего на перепонку за время
t .
Масса раствора может быть записана как
m  V  St ,
где
V
(3)
– объем, занимаемый раствором.
Объединяя (2) и (3), найдем F:
F  S 2 .
Подставляя
F
(4)
из (4) в (1), получим выражение для давления струи:
p   2 .
(5)
Подставляя численные значения величин, входящих в (5), получим:
p   2  10001  1000
Па.
№ 2.19
При проведении водной процедуры «душ Шарко» используется струя воды
сечением
  60 0
S  10 см2,
которая, попадая на поверхность тела пациента под углом
к нормали, отскакивает от нее без потери скорости. Найдите силу,
действующую на пациента, если скорость течения воды в струе
  10
м/с.
53
Решение
Из предыдущей задачи следует, что
F  S 2 cos2  .
Множитель
человека
cos 
появляется вследствие того, что давление струи на тело
определяется
составляющей
скорости,
направленной
перпендикулярно телу человека. Подставляя численные значения величин,
входящих в приведенное выражение, получим:
F  10 3 10 10 4 100  0,25  25
Н.
№ 2.20
Скорость течения воды в некотором сечении горизонтальной трубы
 5
см/с. Найдите скорость течения в той части трубы, которая имеет вдвое
меньший диаметр.
Решение
Запишем уравнение неразрывности струи:
S11  S 2 2 .
В (1)
S1
(1)
– сечение той части трубы, в которой скорость течения воды
составляет
1 , S 2
составляет
2 .
– сечение той части трубы, в которой скорость течения воды
Учитывая, что
соответствующие сечениям
S1
S1 
и
d12
4
S2 ,
,а
S2 
d 2 2
4
, где
d1
и
d2
– диаметры трубы,
(1) можно переписать:
d12
4
1 
d 2 2
4
2 .
(2)
Выразим из (2) скорость  2 :
2 
d 1 21
d22
d
  1
 d2
2

 1 .

Подставляя численные значения величин, входящих в (3), получим:
 2  (2) 2  0,05  0,2
54
м/с.
(3)
№ 2.21
Из выходного патрубка капельницы вытекает инфузионный раствор.
Найдите наибольшую скорость струи, если известно, что высота сосуда с
раствором над катетером составляет
h  0,2
м. Гидравлическим сопротивлением
магистрали пренебречь.
Решение
Гидростатическое
давление
столба
жидкости
в
сосуде
равно
динамическому давлению жидкости, вытекающей из отверстия:
gh 
где
– плотность жидкости,

 2
2
,
– скорость ее вытекания через отверстие.

Выражая из этого соотношения скорость и подставляя численные значения,
получим:
  2 gh  4  2
м/с.
№ 2.22
В широкой части горизонтальной трубы вода течет со скоростью
  50
см/с. Определите скорость течения воды в узкой части трубы, если разность
давлений в широкой и узкой ее частях равна
p  1,33
кПа.
Решение
Запишем уравнение Бернулли
p1 
где
p1
и
2 2
2
p2
1 2
2
 p2 
 2 2
2
,
(1)
статические давления воды в широкой и узкой частях трубы,
– соответствующие им динамические давления,
течения воды в широкой и узкой частях трубы,
Выражая из (1) скорость
2

1
и
2
1 2
2
и
– скорости
– плотность воды.
и подставляя в полученное выражение
численные значения, получим величину скорости течения воды в узкой части
трубы:
55
2 
2p

 1 2  1,7 м/с.
№ 2.23
Медицинская сестра давит на поршень шприца диаметром
D4
см с силой
Н. Определите скорость вытекания струи жидкости из шприца, если он
F  0,01
расположен горизонтально. Трением пренебречь. Плотность жидкости
  1000
кг/м3.
Решение
Считая струю вытекающей из шприца жидкости стационарным потоком,
рассмотрим полное давление в двух сечениях: внутри шприца и вне его. В
первом сечении скорость жидкости
p2  0 .
1  0 ,
во втором статическое давление
Поскольку поток жидкости горизонтальный,
h1  h2 ,
а уравнение Бернулли
запишется в виде:
p1 
где
p1
1 2

2
 2 2
2
– давление жидкости внутри шприца,
,
2
(1)
– скорость вытекания струи из
шприца. Давление, создаваемое внутри шприца, равно:
p1 
где
S
D 2
4
F
S
,
(2)
– сечение шприца. Подставляя (2) в (1), можно найти скорость
истечения жидкости из шприца:
2 
Подставляя
численные
8F
D 2
значения
.
величин,
выражение, получим:
2 
56
8  0,01
1000  3,14 (0,04 ) 2
 0,13
м/с.
входящих
в
последнее
№ 2.24
Площадь поперечного сечения медицинского шприца
выходного отверстия
S 2  0,2
S1  1
см2. Площадь
мм2. Шприц расположен горизонтально. На
поршень действует постоянная горизонтальная сила
F  0,5
Н. Ход поршня
l4
см. Найдите время вытекания жидкости из шприца, если ее плотность жидкости
  900
кг/м3.
Решение
Полагая жидкость в шприце идеальной, запишем для нее уравнение
Бернулли:
p
где
2
p
F
S1
12
2

2 2
2
,
– давление, оказываемое на поршень,
(1)
1
– скорость движения поршня,
– скорость вытекания жидкости.
Из уравнения неразрывности струи
1 
S11  S 2 2
2 S2
S1
выразим
1 :
.
(2)
Подставляя (2) в (1), получим:
2
2
2 2
F 2 S 2


S1
2
2S12
.
(3)
Из (3) выразим  2 :
2 
Учитывая, что
S 2  S1 ,
2 FS1
S12  S 2 2
.
(4)
(4) можно переписать:
2 
2F
S1
.
(5)
Поскольку объем жидкости, находившейся в шприце, равен объему
вытекшей жидкости, можно записать:
S1l   2tS 2 .
Подставляя выражение для
2
(6)
из (5) в (6), можно найти время t :
57
t
S1l
2 S2
S1
S1l
S2

2F
.
(7)
Подставляя численные значения величин, входящих в (7), получим:
t
10 4  4 10 2
900 10 4
6
2  0,5
0,2 10 6
с.
№ 2.25
Из горизонтально расположенного медицинского шприца диаметром
см выдавливается физиологический раствор силой
F  10
d  1,5
H. Найдите скорость
вытекания жидкости из иглы шприца. Плотность физиологического раствора
  1,03
г/см3. Сечение поршня значительно больше сечения иглы.
Решение
В соответствии с определением давление
равно силе
F,
p,
производимое на жидкость,
действующей на единицу площади поршня шприца S :
F
S
p
Учитывая, что
S
d 2
4
.
(1)
, (1) можно переписать:
p
F
F
4F


S d 2 d 2
4
.
(2)
В соответствии с законом Паскаля давление в струе вытекающего из
шприца физраствора равно давлению раствора внутри шприца и определяется
выражением:
p
где

– скорость истечения струи,

 2
,
2
(3)
– плотность физраствора. Из (2) и (3)
следует, что
4F
d 2

 2
2
.
(4)
Из последнего соотношения выразим скорость струи:
2 
58
8F
d
2

1
d
8F

.
(5)
Подставляя численные значения величин, входящих в (5), получим:
2 
1
8 10
 10,5
0,015 1030  3,14
м/с.
№ 2.26
Трубка Пито позволяет по высоте столба жидкости измерять полное
давление
p.
Статическое давление
p1
в движущейся жидкости измеряется
трубкой, нижнее сечение которой параллельно линиям тока. Вычислите
скорость
течения
диализирующего
раствора
«искусственная почка», если известно, что
диализирующего раствора
  800
p  13,3
в
кПа,
магистрали
p1  2,66
аппарата
кПа. Плотность
кг/м3.
Решение
Полное давление диализирующего раствора при указанных условиях
определяется как сумма статического и динамического давлений:
p  p1 
2
2
,
(1)
где  – скорость течения диализирующего раствора.
Выразим из (1) скорость течения раствора:
( p  p1 )  2


.
( 2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:

( 13 ,3  2,66 )  10 3  2
 5,2
800
м/с.
№ 2.27
Из выходного патрубка капельницы вытекает инфузионный раствор.
Найдите наибольшую скорость струи, если известно, что высота сосуда с
раствором над катетером составляет
h  0,2
м. Гидравлическим сопротивлением
магистрали пренебречь.
Решение
59
Гидростатическое
давление
столба
жидкости
в
сосуде
равно
динамическому давлению жидкости, вытекающей из отверстия:
gh 
где

– плотность жидкости,

2
2
,
– скорость ее вытекания через отверстие.
Выражая из этого соотношения скорость и подставляя численные значения,
получим:
  2 gh  4  2
м/с.
№2.28
По горизонтальной трубке переменно го сечения протекает инфузионный
раствор. Статическое давление в точке
воды
0  4
трубки равно
p 0  0,3
Па, а скорость
см/с. Найдите статическое и динамическое давления в точке
отношение сечений трубки в точках
  103
x0
x0
и
x1
равно
S0
 0,5 .
S1
x1 ,
если
Плотность раствора
кг/м3.
Решение
Из уравнения неразрывности струи
0 S 0  1 S1
найдем скорость воды в точке
x1 :
1 
0  S 0
 4  0,5  2
S1
см/с.
(1)
Запишем уравнение Бернулли для данных условий:
p0 
0 2
 2
 p1  1
2
2
.
(2)
В уравнении (2) вторые слагаемые левой и правой частей представляют
собой динамические давления воды в точках
x0
и
x1 ,
а
p0
и
p1
–
соответствующие им статические давления. Найдем динамическое давление в
точке
x1 :
12
2

10 3  4  10 4
 0,2
2
Па.
Выразим из уравнения (2) статическое давление в точке
60
(3)
x1 :
p1  p 0 
0 2
2

1 2
2
.
(4)
Подставляя численные значения величин, входящих в (4), получим:
p1  0,3 
10 3  16  10 4
 0,2  0,3  0,8  0,2  0,9
2
Па.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Определите разность давлений на концах горизонтальной трубы
переменного сечения, если в широкой части трубы вода течет со скоростью 0,4
м/с, а в узкой – со скоростью 1,2 м/с.
2. С какой силой давит медсестра на поршень медицинского шприца
диаметром 2 см, если скорость вытекания струи физраствора из шприца
составляет 0,2 м/с? Плотность физраствора принять равной 103 кг/м3.
3. На какой глубине давление на барабанную перепонку ныряльщика будет
вдвое больше атмосферного?
4. Идеальная жидкость течет по трубе диаметром 4 см со скоростью 2 м/с.
Какую скорость она будет иметь на участке трубы, имеющем сужение
диаметром 3 см?
5. Рассчитайте динамическое давление в струе воды, движущейся в трубе
со скоростью 2 м/с.
2.3. КРОВООБРАЩЕНИЕ
Кровь представляет собой вязкую жидкость, которая прогоняется сердцем
через сложную систему артерий и вен. Скорость течения крови достаточно
мала, так что поток можно считать ламинарным без турбулентностей.
Кровеносные сосуды можно считать цилиндрическими.
Объем жидкости, протекающий за 1с через горизонтальную трубку,
выражается формулой Пуазейля:
Q
R 4 ( P1  P2 )
,
8l
61
где
R
– радиус трубки,

– вязкость жидкости,
l
– длина трубки,
( p1  p 2 )
–
разность давлений на её концах. Здесь видно, что при увеличении радиуса
трубки в два раза,
Q
возрастает в 16 раз. Если что-либо приведет к утолщению
артериальных стенок, что уменьшит
R,
ослабевший поток крови может вызвать
грудную жабу. Наиболее распространенная причина грудной жабы –
артериосклероз, повреждение артерий.
Гидравлическое
сопротивление.
Величина
x
8l
R 4
называется
гидравлическим сопротивлением. Оно тем больше, чем больше вязкость  ,
длина трубы l , и меньше площадь поперечного сечения трубы.
Пульсовая волна – это распространяющаяся по аорте и артериям волна
повышенного давления, вызванная выбросом крови из левого желудочка в
период систолы.
Скорость
пульсовой
волны
в
крупных
сосудах
определяется
выражением:

где
E
Eh
d
,
– модуль упругости стенки сосуда,  – плотность вещества сосуда,
толщина стенки сосуда,
d
h
–
– диаметр сосуда.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
№ 2.29
Определите среднюю линейную скорость кровотока в сосуде радиусом
r  1,5
см, если во время систолы через него протекает
длительность систолы
t  0,25
V  60
мл крови. Считать
с.
Решение
Объем крови, протекающей через кровеносный сосуд, определяется
выражением:
V   t  s ,
62
(1)
где
- линейная скорость кровотока,

s  r 2
- сечение сосуда. Выражая из (1)
скорость кровотока и подставляя численные значения величин, заданных в
условии задачи, получим:

V
tr 2

60 10 6
0,25  3,14  2,25 10 4
 0,34
м/с.
№ 2.30
Наблюдая под микроскопом движение эритроцитов в капилляре, можно
измерить скорость течения крови ( 1  0,5 мм/с). Средняя скорость тока крови в
аорте составляет
 2  40
cм/c. На основании этих данных определите, во сколько
раз сумма поперечных сечений всех функционирующих капилляров больше
сечения аорты.
Решение
Запишем уравнение неразрывности струи:
S11  S 2  2 ,
где
– сечение капилляра,
S1
S2
(1)
– сечение аорты. Выразим из (1) отношение
S1
S2
:
S1  2

S 2 1
.
(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:
S1 40 10

 800 .
S2
0,5
№ 2.31
Найдите объемную скорость кровотока в аорте, если радиус просвета
аорты
r  1,75
см, а линейная скорость крови в ней
  0,5
м/с.
Решение
Объемная скорость кровотока может быть выражена через линейную
скорость течения крови соотношением:
Q  S ,
63
где
S  r 2
– сечение аорты. Учитывая это и подставляя численные значения,
можно получить:
Q  r 2  3,14  3,06  0,5 104  4,81104  0,48 103
м3/с.
№ 2.32
Средняя линейная скорость кровотока в сонной артерии радиусом
равна
 5
r  1,5
см
мм/с. Какова объемная скорость кровотока в этом сосуде?
Решение
Объемная скорость кровотока может быть выражена через линейную
скорость течения крови соотношением:
Q  S ,
где
S  r 2
– сечение артерии. Учитывая это и подставляя численные значения,
можно получить:
Q  r 2  3,14  2,25  104  5  103  3,53  106
м3/с.
№ 2.33
Скорость течения крови в капиллярах составляет
скорость крови в аорте
2 ,
1  0,005
м/с. Чему равна
если суммарная площадь сечения капилляров
800 раз больше площади сечения аорты
S1
в
S2 ?
Решение
Запишем уравнение неразрывности струи для кровотока:
1S1   2 S 2 .
Отсюда выразим и рассчитаем скорость кровотока в аорте:
2 
1 S 1
S2
 0,005  800  4
м/с.
№ 2.34
Каково гидравлическое сопротивление кровеносного сосуда длиной
м и радиусом
64
r  0,1
мм? Вязкость крови принять равной   5000 мкПа·с.
l  0,12
Решение
Из
формулы
Пуазейля
запишем
выражение
для
гидравлического
сопротивления:
X
8l
r 4
.
Подставляя численные значения величин, входящих в приведенное
выражение, получим:
X
8  5 10 3  0,12
3,14 10 16
 1,53 10 13
Па·с/м3.
№ 2.35
При чуме артерия сужается в 2 раза. Во сколько раз при этом изменится
объемная скорость кровотока?
Решение
Согласно формуле Пуазейля объемная скорость кровотока определяется
выражением
Q
где
R
– радиус артерии,
( p1  p 2 )
коэффициент вязкости крови,
значений радиусов артерии
R 4 ( p1  p 2 )
8l
R1
и
l
.
– разность давлений на ее концах,
(1)

–
– длина артерии. Запишем (1) для двух
R2 :
Q1 
R14 ( p1  p 2 )
.
8l
(2)
Q2 
R2 4 ( p1  p 2 )
.
8l
(3)
Деля (2) на (3) и подставляя численные значения величин, заданных в
условии задачи, находим искомую величину:
Q1 R14
R
 4  ( 1 ) 4  2 4  16 .
Q2 R2
R2
65
№ 2.36
При некоторых заболеваниях критическое число Рейнольдса в сосудах
становится равным
Re  1060
. Найдите скорость движения крови, при которой
возможен переход ламинарного течения в турбулентное в сосуде диаметром
мм.
D2
Решение
Число
Рейнольдса
устанавливает
границу
между
ламинарным
и
турбулентным течениями жидкости. По определению
Re 
где

– скорость течения крови,
кинематическая вязкость крови,
D

D D



,
(1)
– диаметр кровеносного сосуда,
v


–
– ее плотность. Из (1) найдем скорость
кровотока:

Re  1160  5  10 3

 2,74
D 1060  2  10 3
м/с.
№ 2.37
Вследствие потери упругих свойств сосудов при атеросклерозе число
Рейнольдса
Re
существенно изменяется. Определите число Рейнольдса в
сосуде диаметром
D3
Принять плотность крови
мм, в котором скорость движения крови
  1060
  1,8
м/с.
кг/м3, а вязкость крови   5  103 Па·с.
Решение
Число Рейнольдса может быть рассчитано по известной формуле:
Re 
 D


1060  1,8  3  10 3
5  10 3
 1145
.
№ 2.38
Во сколько раз изменяется модуль упругости стенки аорты при
атеросклерозе, если известно, что скорость пульсовой волны возросла в три
раза?
66
Решение
Скорость пульсовой волны определяется по формуле Моенса – Кортевега:
Eh
2r

где
E
,
– модуль упругости стенки сосуда,
плотность,
r
(1)
h
– толщина стенки сосуда,

– ее
– внутренний радиус сосуда. В норме (1) запишется:
1 
E1h
2r
.
(2)
E2 h
2 r
.
(3)
При атеросклерозе (1) запишется:
2 
Деля (3) на (2) и проводя сокращения, получим:
2

1
E2
E1
.
(4)
Возводя обе части (4) в квадрат и подставляя численные значения,
получим:
2
E2   2 
  9.
E1  1 
№ 2.39
Скорость пульсовой волны в артериях составляет
модуль упругости
просвета
r
E
 8
м/с. Чему равен
этих сосудов, если известно, что отношение радиуса
к толщине стенки сосуда
h
равно 6, а плотность стенок сосуда
  1,15
г/см3?
Решение
Скорость пульсовой волны в кровеносных сосудах определяется по
формуле Моенса-Кортевега:

Eh
2 r
.
Выражая из указанного соотношения модуль упругости и подставляя
численные значения, получим:
67
E  2  2
r
 2 1,15 10 3  64  6  8,8 10 5
h
Па
№ 2.40
Определите работу, совершаемую сердцем при сокращении левого
желудочка, если в аорту со скоростью
при давлении в сосуде
p  13
м/с выбрасывается
  0,5
V0  60
мл крови
кПа.
Решение
Динамическое давление, при котором происходит выброс ударного объема
крови в артерию, равно давлению в сосуде:
2
 p.
2
(1)
При этом сердцем совершается работа:
A  V0 ( P 
 2
2
).
(2)
Подставляя численные значения величин, входящих в выражение (2),
получим:
A  60 10 6 (13 10 3 
1060  0,25
)  0,788
2
Дж.
№ 2.41
Найдите мощность, развиваемую сердцем человека при его сокращении
продолжительностью
аорте
  0,5
t  0,3
с. Ударный объем крови
V0  60
мл, скорость крови в
м/с. Среднее давление, при котором кровь выбрасывается в аорту
левым желудочком,
p  13,3
кПа. Учесть, что работа правого желудочка
составляет 20 % работы левого. Плотность крови
  1060
кг/м3.
Решение
Работа сердца
A
желудочком, и работы
складывается из работы
A2 ,
A1 ,
совершаемой левым
совершаемой правым желудочком:
A  A1  A2 .
Работа, совершаемая левым желудочком, определяется выражением
68
(1)
 2
A1  V0 ( p 
2
).
(2)
Поскольку работа, совершаемая правым желудочком
A2  0,2 A1 ,
полная
работа сердца
A  1,2 A1 .
Подставляя значение
A1
(3)
из (2) в (3), получим:
 2
A  1,2V0 ( p 
).
2
(4)
Подставляя численные значения величин, входящих в (4), получим:
A  1,2  60 10 6 (13,3 10 3 
1060  0,25
) 1
2
Дж.
Теперь легко рассчитать мощность сердца:
N
A 1

 3,33
t 0,3
Вт.
№ 2.42
Найдите кинетическую энергию
время
t 1
мин со скоростью
  0,4
объема крови
W
V
, протекающего за
м/с через артерию диаметром
D3
мм.
Решение
Кинетическая энергия крови массой
m 2
2
W
Учитывая, что
m  V
, где

m
определяется выражением:
.
(1)
– плотность крови, (1) можно переписать:
W
V 2
2
.
Объем крови определяется выражением
(2)
V  St ,
где
S
D 2
4
– сечение
сосуда. С учетом этого (2) можно переписать:
W
St 2
2

D 2 t 3
42
.
(3)
Подставляя численные значения величин, входящих в (3), получим:
W
1060  3,14  9 10 6  60  64 10 3
 0,014
8
Дж.
69
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Гидравлическое сопротивление кровеносного сосуда длиной 2 см
составляет 1013 Па·с/м3. Определите радиус сосуда.
2. Определите скорость пульсовой волны в артериях, полагая, что модуль
упругости этих сосудов равен 9·105 Па, отношение радиуса просвета к толщине
стенки сосуда равно 6, а плотность стенок сосуда 1 г/см3.
3. Объемная скорость кровотока при склерозе сосудов уменьшилась в 2
раза. На сколько процентов уменьшился при этом внутренний диаметр сосуда?
4. Рассчитайте объемную скорость кровотока в сосуде длиной 6 см и
диаметром 2 мм, если разность давлений на его концах составляет 16 Па.
Вязкость крови принять равной 5000 мкПа∙с.
5. Под каким давлением выбрасывается в аорту кровь из левого желудочка,
если при этом сердце совершает работу в 1 Дж? Ударный объем крови принять
равным 50 мл, скорость кровотока в аорте – 0,5 м/с.
70
ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЯ НОМЕРОВ ЗАДАЧ, ПРИВЕДЕННЫХ В
ПОСОБИИ, С НОМЕРАМИ ЗАДАЧ, ПРИВЕДЕННЫХ В СБОРНИКЕ ЗАДАЧ
А.Н. РЕМИЗОВА И А.Г. МАКСИНОЙ
Номера задач по
пособию
Номера задач по
пособию
№1.4
Номера задач по
задачнику
А.Н. Ремизова
2-174
№2.11
Номера задач по
задачнику
А.Н. Ремизова
2.145
№1.5
2-177
№2.13
2.181
№1.9
2-35
№2.14
2.186
№1.10
2-36
№2.20
2.130
№1.11
2.144
№2.22
2-134
№1.12
2-42
№2.25
2.132
№1.14
2-83
№2.26
2.135
№1.15
2-84
№2.28
2.137
№1.16
2-111
№2.29
2-152
№1.20
2-86
№2.30
2.131
№1.21
2-92
№2.31
2.170
№1.22
2-93
№2.32
2.180
№1.23
2-99
№2.33
2.188
№1.24
2-102
№2.34
2-167
№1.25
2-104
№2.35
2.158
№1.28
2.171
№2.36
2.181
№1.29
2.172
№2.37
2.186
№2.5
2-146
№2.39
2-169
№2.6
2-147
№2.40
2.156
№2.7
2-150
№2.41
2.160
№2.10
2-161
№2.42
2.157
71
ЛИТЕРАТУРА
1. Ремизов А.Н., Максина А.Г., Потапенко А.Я. Медицинская
и
биологическая физика: Учебник для вузов. – М.: Дрофа, 2008.- 558 с.:
ил.
2. Ремизов А.Н., Максина А.Г. Сборник задач по медицинской и
биологической физике: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:
Дрофа, 2001.- 192 с.: ил.
3. Фарбер Ф.Е. Физика. - М.: Высшая школа, 1979, - 320 с.
72