тригонометрические неравенства

Тригонометрические
неравенства
Неравенство cos t
y
1
arccosa
a
По определению cos t – это абсцисса
точки единичной окружности, т.е. сos t = x.
Алгоритм решения неравенства:
1. Отметить на оси абсцисс
интервал x > a.
1
-1
a
0
x
2. Выделить дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
-arccosa
-1
t   arccos a  2n; arccos a  2n, n  Z 
Решить неравенство:
2
 3
arccos( 
)   
2
4
4
2
cos x  
2
3
4
Алгоритм решения неравенства:
1. Отметим на оси абсцисс
2
интервал x
.
2
2. Выделим дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Запишем числовые значения
граничных точек дуги.
4. Запишем общее решение
неравенства.
y
1
1
-1
 2/2

3
4
0
x
-1
3
3

 2n  x 
 2n, n  Z
4
4
Неравенство cos t
y1
arccosa
a
Алгоритм решения неравенства:
1. Отметить на оси абсцисс
интервал x ≤ a.
2. Выделить дугу окружности,
соответствующую интервалу.
-1
a
0
1
x 3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
2π-arccosa
-1
t  arccos a  2n;2  arccos a  2n, n  Z 
Решить неравенство:
y
1 
arccos 
2 3

1
3
Алгоритм решения неравенства:
1. Отметим на1оси абсцисс
интервал x 2 .
1
-1
0
1/2
x

5
2 

3
3
-1
1
cos x 
2
2. Выделим дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Запишем числовые значения
граничных точек дуги.
4. Запишем общее решение
неравенства.

3
 2n  x 
5
 2n, n  Z
3
Неравенство sin t
y
a
По определению sin t – это ордината
точки единичной окружности, т.е. sin t = y.
1
Алгоритм решения неравенства:
π-arcsina
arcsina
a
-1
1
0
x
1. Отметить на оси ординат
интервал y > a.
2. Выделить дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
-1
4. Записать общее решение
неравенства.
t  arcsin a  2n;   arcsin a  2n, n  Z 
Решить неравенство:
y
2
sin x  
2
Алгоритм решения неравенства:
1
1. Отметим на оси абсцисс
2
интервал y
.
2
1
-1
0
5
4
x
 2 / 2.


4
-1
π arcsin(
2
π
) π
2
4


4
arcsin(
2
)
2
 2n  x 
π
4
2. Выделим дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Запишем числовые значения
граничных точек дуги.
4. Запишем общее решение
неравенства.
5
 2n, n  Z
4
Неравенство sin t
a
y
1
π-arcsina
Алгоритм решения неравенства:
2π+arcsina
a
-1
0
1
x
1. Отметить на оси ординат
интервал y a.
2. Выделить дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
-1
t    arcsin a  2n; arcsin a  2  2n, n  Z 
Решить неравенство:
arcsin

1 

2 6
y
1
sin x 
2
1

6
2 
-1
1
0

1. Отметим на оси абсцисс
1
.
интервал y
2
x
-1
6
Алгоритм решения неравенства:
2. Выделим дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Запишем числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
5
13
 2n  x 
 2n, n  Z
6
6
Неравенство tgt
a
tgt
Алгоритм решения неравенства:

2
y
arctga  
1. Отметить на линии тангенсов
интервал tgt < a
2. Выделить дуги окружности,
соответствующую интервалу.
-1
x
0
a


2
arctga
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
 

t     n; arctga  n n  Z
 2

Неравенство tgt  a
tgt

2
y
arctga  
Алгоритм решения неравенства:
1. Отметить на линии тангенсов
интервал tgt > a
2. Выделить дуги окружности,
соответствующую интервалу.
-1
0


arctga
x
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
a
4. Записать общее решение
неравенства.
2



t   arctga  n;  n n  Z
2


Решить неравенство:
tgt

2
y
3

3
 arctg 3
-1
0


2
x
tgx  3
Алгоритм решения неравенства:
1. Отметим на линии тангенсов
интервал tgx  3
2. Выделим дуги окружности,
соответствующую интервалу.
3. Запишем числовые значения
граничных точек дуги.
4. Запишем общее решение
неравенства.



t    n;  n n  Z
2
3

Неравенство ctgt < a
y
a ctgt
arcctga

arcctga  
0
0
x
Алгоритм решения неравенства:
1. Отметить на линии
котангенсов интервал ctgt < a
2. Выделить дуги окружности,
соответствующую интервалу.
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
t  arcctga  n;   nn  Z
Неравенство ctgt > a
Алгоритм решения неравенства:
y
a
ctgt
arcctga

arcctga  
0
0
x
1. Отметить на линии
котангенсов интервал ctgt > a
2. Выделить дуги окружности,
соответствующую интервалу.
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
t  n; arcctga  nn  Z
ctgx   3
Решить неравенство:
y
 3
ctgt
Алгоритм решения неравенства:
1. Отметить на линии
котангенсов интервал ctgx   3

0
0
2. Выделить дуги окружности,
соответствующую интервалу.
x
arcctg ( 3 )  

6
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
 

t  
 n; n n  Z
 6
