Загрузил oleg shalman

מועד א טורים והתמרות

Реклама
‫הפקולטה למדעים‬
‫מבחן סוף הסמסטר ‪" -‬טורים והתמרות אינטגרליות" (‪)20173‬‬
‫המרצים‪ :‬דר' יוסף בביצ'נקו‪ ,‬דר' סרגי לוקסיאביץ'‪ ,‬דר איליה ליטיצר‪ ,‬פרופ' בן ציון שקליאר‬
‫סמסטר ב'‪ ,‬תשע"ה‪ ,‬מועד א'‪ ,‬תאריך המבחן ‪06/07/2015 :‬‬
‫הוראות‪:‬‬
‫משך הבחינה‪ 3 :‬שעות (‪ 081‬דקות)‪.‬‬
‫אין להשתמש בדפי נוסחאות חוץ ממחולקים ע"י המשגיחה‪.‬‬
‫מותר להשתמש במחשבון פשוט‪ ,‬לא גרפי‪.‬‬
‫פתור ‪ 4‬שאלות בלבד מתוך ‪ . 6‬כל השאלות הן שווה ערך ל‪ 55 -‬נקודות‪.‬‬
‫במידה ופתרת יותר מ‪ 4-‬שאלות‪ ,‬הציון יחושב מ‪ 4 -‬השאלות הראשונות בטופס המבחן‪.‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א) בדוק האם הטורים הבאים מתכנסים‪( .‬בהחלט או בתנאי)‪.‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫(‪ 05‬נק')‬
‫‪ 1 ‬‬
‫)‪( 1‬‬
‫‪ln n‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪5 n‬‬
‫‪n  2 n ln n‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪n 2‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ f  x   2‬לטור טיילור סביב הנקודה ‪. x0  1‬‬
‫ב) פתח את הפונקציה‬
‫‪x  x6‬‬
‫ציין את תחום ההתכנסות של הטור‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n3‬‬
‫‪‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫‪k‬‬
‫א) מצא את רדיוס ותחום ההתכנסות של הטור‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪( 1)  2 x  1‬‬
‫)‪5k (k  1‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב) פתח את הפונקציה ‪ f ( x )    x  sin 2 x‬לטור טיילור סביב הנקודה‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2015   ‬‬
‫‪ f‬כאשר ‪f  x ‬‬
‫ג) מצא את ערך הנגזרת ‪  ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫(‪ 01‬נק')‬
‫(‪ 05‬נק')‬
‫‪. x0  ‬‬
‫הפונקציה מהסעיף ב) ‪.‬‬
‫(‪ 01‬נק')‬
‫(‪ 3‬נק')‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫‪ x  ,    x  0‬‬
‫א) פתח את הפונקציה‬
‫‪0, 0  x  ‬‬
‫‪ f ( x )  ‬לטור פורייה כללי בקטע ‪  x  ‬‬
‫(בסינוסים וקוסינוסים ביחד)‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ב) חשב את הסכום ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪ 51‬נק')‬
‫‪‬‬
‫‪  2n  1‬‬
‫(‪ 5‬נק')‬
‫‪n 1‬‬
‫‪1‬‬
‫הפקולטה למדעים‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x ,‬‬
‫‪f ( x)  ‬‬
‫‪ 0,‬‬
‫‪x  1,‬‬
‫א) מצא את התמרת פורייה ‪ F  ‬של הפונקציה‬
‫‪x  1.‬‬
‫ב) מצא את התמרת פורייה הפוכה של הפונקציה ‪ F  ‬שקיבלנו בסעיף א'‪.‬‬
‫(‪ 05‬נק')‬
‫(‪ 5‬נק')‬
‫ג) מצא התמרת פורייה של הפונקציה ‪ , g ( x)  f (3x  2) cos x‬כאשר ) ‪ f ( x‬מסעיף א) ‪ 8( .‬נק')‬
‫שאלה ‪:5‬‬
‫‪0  x ,‬‬
‫‪3  2 x ,‬‬
‫‪f  x  ‬‬
‫נתבונן בפונקציה‪:‬‬
‫‪3  2 x,   x  0.‬‬
‫א) פתח את הפונקציה ‪ f  x ‬הנ''ל לטור פורייה‪.‬‬
‫(‪ 05‬נק')‬
‫ב) לאיזה פונקציה מתכנס את הטור? האים הוא מתכנס במידה שווה?‬
‫ג) תוך שימוש בשוויון פרסבל מצא את הסכום‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪ 5‬נק')‬
‫‪ 2n  1‬‬
‫‪.‬‬
‫(‪ 5‬נק')‬
‫‪n 1‬‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫‪3‬‬
‫א) פתח את הפונקציה‬
‫‪2x  x  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f ( x) ‬לטור טיילור סביב הנקודה ‪. x0  0‬‬
‫מצא את רדיוס התכנסות ותחום התכנסות של הטור שקיבלת‪.‬‬
‫ב) הוכח כי הטור‬
‫‪nx‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 n x‬‬
‫‪3‬‬
‫מתכנס במידה שווה בתחום ‪. 1  x  ‬‬
‫‪n 1‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪2‬‬
‫(‪ 01‬נק‪).‬‬
‫(‪ 8‬נק‪).‬‬
Скачать