הפקולטה למדעים מבחן סוף הסמסטר " -טורים והתמרות אינטגרליות" ()20173 המרצים :דר' יוסף בביצ'נקו ,דר' סרגי לוקסיאביץ' ,דר איליה ליטיצר ,פרופ' בן ציון שקליאר סמסטר ב' ,תשע"ה ,מועד א' ,תאריך המבחן 06/07/2015 : הוראות: משך הבחינה 3 :שעות ( 081דקות). אין להשתמש בדפי נוסחאות חוץ ממחולקים ע"י המשגיחה. מותר להשתמש במחשבון פשוט ,לא גרפי. פתור 4שאלות בלבד מתוך . 6כל השאלות הן שווה ערך ל 55 -נקודות. במידה ופתרת יותר מ 4-שאלות ,הציון יחושב מ 4 -השאלות הראשונות בטופס המבחן. שאלה :1 א) בדוק האם הטורים הבאים מתכנסים( .בהחלט או בתנאי). n 1 1 n 1 ( 05נק') 1 )( 1 ln n 3 n n 1 5 n n 2 n ln n n 0 n 2 x3 f x 2לטור טיילור סביב הנקודה . x0 1 ב) פתח את הפונקציה x x6 ציין את תחום ההתכנסות של הטור. n n3 שאלה :2 k א) מצא את רדיוס ותחום ההתכנסות של הטור: ( 1) 2 x 1 )5k (k 1 k 1 k . ב) פתח את הפונקציה f ( x ) x sin 2 xלטור טיילור סביב הנקודה 2 2 2015 fכאשר f x ג) מצא את ערך הנגזרת 2 ( 01נק') ( 05נק') . x0 הפונקציה מהסעיף ב) . ( 01נק') ( 3נק') שאלה 3 x , x 0 א) פתח את הפונקציה 0, 0 x f ( x ) לטור פורייה כללי בקטע x (בסינוסים וקוסינוסים ביחד). 1 ב) חשב את הסכום : 2 ( 51נק') 2n 1 ( 5נק') n 1 1 הפקולטה למדעים שאלה :4 2 x , f ( x) 0, x 1, א) מצא את התמרת פורייה F של הפונקציה x 1. ב) מצא את התמרת פורייה הפוכה של הפונקציה F שקיבלנו בסעיף א'. ( 05נק') ( 5נק') ג) מצא התמרת פורייה של הפונקציה , g ( x) f (3x 2) cos xכאשר ) f ( xמסעיף א) 8( .נק') שאלה :5 0 x , 3 2 x , f x נתבונן בפונקציה: 3 2 x, x 0. א) פתח את הפונקציה f x הנ''ל לטור פורייה. ( 05נק') ב) לאיזה פונקציה מתכנס את הטור? האים הוא מתכנס במידה שווה? ג) תוך שימוש בשוויון פרסבל מצא את הסכום 1 4 ( 5נק') 2n 1 . ( 5נק') n 1 שאלה :6 3 א) פתח את הפונקציה 2x x 3 2 f ( x) לטור טיילור סביב הנקודה . x0 0 מצא את רדיוס התכנסות ותחום התכנסות של הטור שקיבלת. ב) הוכח כי הטור nx 3 1 n x 3 מתכנס במידה שווה בתחום . 1 x n 1 בהצלחה! 2 ( 01נק). ( 8נק).