1 2021г. Контрольная работа по математической логике В контрольной работе каждый студент обязан письменно выполнить один вопрос из теоретической части работы. Номер вопроса равен последней цифре в зачетной книжке. Каждый студент выполняет все задания практической части. Вопросы теоретической части, не вошедшие в контрольную работу, студент должен прочитать и выучить. Теоретическая часть 1. Высказывания. Логические операции (логические связки) над высказываниями. Формулы логики высказываний. Понятие тождественно истинных (тавтологии) и тождественно ложных формул логики высказываний. Основные равносильные формулы логики высказываний (таблица основных равносильных формул). 2. Алгебра Буля. Выражение основных равносильных формул в терминах алгебры Буля. Закон двойственности. 3. Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ и СДНФ). 4. Конъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ и СКНФ). 5. Правила вывода. Производные правила вывода. 6. Предикаты. Логические операции над предикатами. 7. Теоретико-множественный смысл логических операций над предикатами. Непротиворечивость исчисления предикатов. 8. Квантор всеобщности и квантов существования. Кванторные операции. Связь между кванторными операциями. Формулы логики предикатов. 9. Определение алгоритма. Свойства алгоритма. 10. Устройство машины Тьюринга. Работа машины Тьюринга. Практическая часть Задание №1. Доказать тождественную истинность или тождественную ложность формул логики высказываний, выполнив тождественные преобразования на основе основных равносильных формул (строить таблицы истинности не надо): 1) x y x; 2) x (x y); 3) (x y) ( y x; 4) ( y x) (x y); 2 5) (x y) (x y) x; 6) x (x y) (x y); 7) x x y y; 8) (x (y z)) ((x y) (x z)); 9) (z x) ((z y) (z x y)); 10) (x z) ((y z) ((x y) z)); 11) (x (y z)) (x y z); 12) (x y z) (x (y z)). Задание № 2. Выполнить тождественные преобразования и изобразить на диаграммах ЭйлераВенна области истинности для следующих предикатов: 1) P(x) Q (x); 2) P(x) Q (x); 3) (P(x) Q (x)) R(x) Q(x); 4) P(x) (Q (x) Q(x)); 5) P(x) Q (x) R(x). Задание №3. Изобразить на координатной истинности предикатов: 1) (x > 2) (x < y); 2) (x y) (x 1); 3) (x 3) (y < 5); 4) ((x > 2) (y 1)) ((x < -1) (y < -2)); 5) ((x > 2) (y > 1)) ((x < -1) (y < -2)). плоскости области Задание №4. Построить машину Тьюринга с алфавитом < a0 , > ٭, которая из n записанных звездочек ( )٭оставляла бы на ленте n-2 звездочки, так же записанных подряд, если n 2, и работала бы вечно, если n=0 или n=1. Задание №5. Построить машину Тьюринга, вычисляющую функцию f(n) = n/2 в десятичной системе счисления с отбрасыванием остатка. Задание №6. Построить машину Тьюринга с алфавитом < a0 , > ٭, вычисляющую функцию f(n)=0. Задание №7. Построить машину Тьюринга с алфавитом < a0 ,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 >, вычисляющую функцию f(n)=5n. Задание №8. Дана машина, которая имеет два входа – a (первый операнд) и b (второй операнд), b≠0. Машина выполняет только одну 3 функцию – f(a,b) = 1 – a/b. Запрограммировать на такой машине вычисление: a + b, a – b, ab, a/b. Задание №9. Записать на языке предикатов: «Друг моего друга — мой друг». Изобразить на диаграмме Эйлера-Венна множество истинности предиката. Задание №10. Найти отрицание формул: 1.x( A( x) y ( B( x)) 2.x( P( x) Q( x)) Литература 1. Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева. Математическая логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения. С.-Петербург, 2008г.-288с.
