Бессонов Л. А. - Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. Изд. 11-е, испр. и доп., 2007

Л. А. Бессонов
Теоретические основы электротехники
Электрические цепи
издание одиннадцатое, исправленное и дополненное
Допущено Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебника
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки
дипломированных специалистов «Электротехника,
электромеханика и электротехнологии»,
«Электроэнергетика», «Приборостроение»
МОСКВА
ГА РДА РИ К И
2007
УДК 621.3.01^(078.5)
ББК 31.21
Б53
Р ец ен зен ты :
доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ В. Г. Миронов;
доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РАН П. А. Бутырин
Б53
Бессонов, Л. А.
Теоретические основы электротехники. Электрические це­
пи : учебник / JI. А. Бессонов. — 11-е изд., перераб. и доп. —
М.: Гардарики, 2007. — 701 с . : ил.
ISBN 5-8297-0159-6 (в пер.)
Рассмотрены традиционные и новые вопросы теории линейных и нели­
нейных электрических цепей. К традиционным относятся методы расчета то­
ков и напряжений при постоянных, синусоидальных, импульсных и других ви­
дах воздействий, теория двух- и четырехполюсников, электрические фильтры,
электрические и магнитные линии с распределенными параметрами, расчет
переходных процессов классическим, операторным методами, методом интег­
рала Дюамеля, обобщенных функций, методом пространства состояний, пре­
образования Фурье, аналоговый и цифровой сигналы, основы теории сигна­
лов, цифровые фильтры, имитированны е элементы и их применение,
преобразование Брутона, преобразование Гильберта, установившиеся и пере­
ходные процессы в нелинейных электрических цепях, устойчивость различных
видов движений, субгармонические колебания.
К числу новых вопросов, включенных в курс, относятся физические при­
чины, условия возникновения и каналы действия нелинейной, неявно выра­
женной обратной связи в нелинейных электрических цепях переменного тока,
приводящие к возникновению в них колебаний, получивших название «стран­
ные аттракторы», метод расчета установившегося режима работы обобщенной
цепи переменного тока с учетом высших гармоник, использующий принцип
диакоптики, макрометод расчета переходных процессов в мостовой вы прями­
тельной схеме с предвключенным сопротивлением в цепи переменного тока,
магнитотранзисторный генератор напряжения типа меандра, основные поло­
жения вейвлет-преобразования сигналов, новый подход к составлению урав­
нений для приращений при исследовании устойчивости периодических про­
цессов в нелинейных цепях с источником синусоидальной ЭДС, позволяющий
простым путем свести уравнение для приращений к уравнению Матье, и ряд
других новых вопросов.
По всем вопросам курса даны примеры с подробными решениями. В кон­
це каждой главы — вопросы и задачи для самопроверки.
Книга предназначена для студентов и преподавателей вузов, инженеров,
аспирантов и научных работников электротехнических и близких к ним специ­
альностей.
УДК 621.3.013(078.5)
ББК 31.21
ISBN 5-8297-0046-8
© «Гардарики», 2006, 2007
© Л.А. Бессонов, 2006, 2007
П РЕ Д И С Л О В И Е
Одиннадцатое переработанное и дополненное издание учебника по курсу «Те­
оретические основы электротехники» J1.A. Бессонова образуют два тома. Пер­
вый том — «Электрические цепи», второй — «Электромагнитное поле». Курс
ТОЭ является базовым курсом, на который опираются многие профилирующие
дисциплины высших технических учебных заведений.
Учебник соответствует программе курса ТОЭ, утвержденной Министерством
образования и науки Российской Федерации. В него включены самые последние
разработки по теории цепей и по теории электромагнитного поля.
В учебник «Электрические цепи» кроме т рад ицион ны х вопр о со в т еории элек­
т р и ч ес ки х цеп ей — свойств цепей, их топологии, методов расчета токов и на­
пряжений при постоянных, синусоидальных, периодических несинусоидальных,
многофазных, импульсных воздействиях, теории двухполюсников, четырехполюс­
ников и многополюсников, резонансных явлений, частотных характеристик, це­
пей со взаимоиндукцией, теории графов, электрических фильтров к, т и R C - типа,
линий с распределенными параметрами, различных методов расчета переходных
процессов (классического, операторного, интеграла Дюамеля по мгновенным
значениям величин и по огибающим, метода пространства состояний, метода
обобщенных функций), частотных преобразований цепей, преобразований Фу­
рье, цепей с переменными во времени параметрами, включены следующие но­
вые вопросы: свойства нелинейных цепей постоянного и переменного тока и
методы их расчета в установившихся и переходных процессах работы, вопросы
устойчивости автоколебаний и периодических процессов под воздействием пе­
риодических вынуждающих сил, субгармонические колебания, фазовая плос­
кость, случайные процессы.
В кн и ге р а с см о т р е н ы т акж е основы теории сигналов, аналоговый, цифро­
вой и аналитический сигналы, преобразования Фурье цифровых сигналов, дис­
кретная свертка, цифровые фильтры, обобщенные формулы для расчета переход­
ных процессов в линиях с распределенными параметрами при произвольных
сопротивлениях генератора и нагрузки и многократных отражениях, магнитные
линии с распределенными параметрами, имитированные элементы электричес­
ких цепей и их применение, преобразование Гильберта, преобразование Бруто­
на, основы устойчивости сложных типов движений, электромоделирование, пе­
реходные процессы в цепях с управляемыми источниками напряжения и тока с
учетом их нелинейных и частотных свойств, в цепях с термисторами, в электро­
механических системах, передаточные функции активных ЯС-фильтров и мето­
дика их расчета.
К ром е п ер еч и сл ен н ы х вы ш е в н а ст о я щ ем , од инн а д ц а т о м и здан ии р а с с м о т ­
р е н ы след ую щ и е новы е во п р о с ы , о т с ут ст вовавш ие во всех п р е д ы д ущ и х и зд а н и ­
я х у ч е б н и к а : работа часто встречающихся на практике мостовых выпрямитель­
ных схем с элементами R L и R C в цепи выпрямленного тока, анализ работы маг­
нитотранзисторного генератора прямоугольного напряжения в виде меандра,
теория линейного активного автономного четырехполюсника применена к рас­
чету нелинейных цепей с двумя нелинейными элементами в двух удаленных друг
от друга ветвях схемы; объяснено, почему в нелинейных электрических цепях
переменного тока возможно возникновение большого числа различных типов
движений; для цепи с двумя разнохарактерными нелинейностями выведены фор­
мулы для определения условий перехода от предыдущих типов движений к нос-
6
Предисловие
ледующим. Рассмотрены физические причины, условия возникновения и кана­
лы действия внутренней нелинейной, неявно выраженной обратной связи, при­
водящей к автомодуляции и хаосу (к странным аттракторам) в нелинейных элек­
трических цепях переменного тока.
Причины возникновения этих явлений и каналы действия внутренней нели­
нейной обратной связи пояснены на конкретных схемах. Странные аттракторы
в нелинейных цепях переменного тока сопоставлены с автоколебаниями в нели­
нейных цепях с источниками постоянной ЭДС, показано, в чем между ними есть
сходство и в чем различие, рассмотрен математический критерий Фейгенбаума
возникновения хаоса в нелинейных недиссипативных системах, конвергентные
и неконвергентные электрические цепи, дуальные нелинейные цепи. Предложен
макрометод расчета переходных процессов в мостовой выпрямительной схеме с
предвключенным сопротивлением в цепи переменного тока. Изложен аналити­
ческий метод расчета нелинейных цепей переменного тока, позволяющий, ис­
пользуя принцип диакоптики, проводить расчет токов и напряжений в обобщен­
ной цепи с учетом высших гармоник. В раздел синтеза цепей включен синтез
четырехполюсников по передаточной функции с помощью схем с операционным
усилителем в цепи обратной связи. Раздел теории сигналов дополнен основны­
ми положениями вейвлет-преобразования сигналов. Раздел исследования устой­
чивости различных видов движений дополнен методом исследования устойчи­
вости периодических процессов в линейных электрических цепях с переменны­
ми во времени параметрами, находящихся под воздействием синусоидальной
ЭДС, основанным на сведении уравнений для приращений к уравнению Матье.
Предложен и иллюстрирован примером новый подход к составлению уравнений
для приращений при исследовании устойчивости периодических процессов в
нелинейных цепях с источником синусоидальной ЭДС, позволяющий учесть вли­
яние на устойчивость четных гармоник и простым и удобным путем привести
уравнение для приращений к уравнению Матье. Рассмотрен метод исследования
устойчивости работы рекурсивных цифровых фильтров.
Как и в предыдущих изданиях, весь материал учебника разделен на обяза­
тельный для изучения студентами всех специальностей, в учебном плане кото­
рых имеется курс ТОЭ или родственный курс с несколько иным названием (этот
материал является ядром курса и набран нормальным шрифтом), и на специаль­
ный, или дополнительный, который в неодинаковой степени необходим студен­
там различных специальностей (выделен петитом). Какую часть специального
материала рекомендуется изучить студенту, зависит от специфики института,
факультета и кафедры.
Известно, что теория усваивается легче и прочнее, когда она по ходу изло­
жения сопровождается решением задач на рассматриваемые темы. Исходя из
этого, во всех главах и приложениях автор приводит решения с пояснениями
достаточно полных комплектов задач по всем основным вопросам всех глав и
приложений. Кроме того, в конце каждой главы приведены вопросы и задачи для
самопроверки.
Выражаю благодарность официальному рецензенту книги д. т. н., профессо­
ру Московского энергетического института (государственный университет)
В.Г. Миронову за обстоятельную рецензию и полезные замечания, способство­
вавшие улучшению книги. Благодарю моих товарищей по работе в Московском
государственном институте радиотехники, электроники и автоматики (техничес­
кий университет) к. т. н., доцента А.В. Штыкова и доцента С.Э. Расовскую за
помощь в подготовке книги к изданию и за высказанные ими замечания по
рукописи, учтенные мной.
А вт о р
Глава первая
О С Н О ВН Ы Е П О Л О Ж ЕН И Я
Т Е О РИ И ЭЛ Е К Т РО М А ГН И ТН О ГО П О ЛЯ
И И Х П РИ М Е Н Е Н И Е
К Т Е О Р И И ЭЛ Е К Т РИ Ч Е С К И Х Ц Е П Е Й
§1.1. Э лектромагнитное поле как вид материи. Под электромаг­
нитным полем понимают вид материи, характеризующийся совокупнос­
тью взаимосвязанных и взаимообусловливающих друг друга электриче­
ского и магнитного полей. Электромагнитное поле может существовать при
отсутствии другого вида материи — вещества, характеризуется непрерыв­
ным распределением в пространстве (электромагнитная волна в вакууме)
и может проявлять дискретную структуру (фотоны). В вакууме поле рас­
пространяется со скоростью света, полю присущи характерные для него
электрические и магнитные свойства, доступные наблюдению.
Электромагнитное поле оказывает силовое воздействие на электриче­
ские заряды. Силовое воздействие положено в основу определения двух
векторных величин, описывающих поле: напряженности электрического
поля Ё (В /м ) и индукции магнитного поля В (Тл = В с / м 2). На заряд
q (Кл), движущийся со скоростью v в электрическом поле напряжен­
ности Ё и магнитном поле индукции В, действует сила Лоренца
F - q Ё + q[v В].
Электромагнитное поле обладает энергией, массой и количеством
движения, т.е. такими же атрибутами, что и вещество. Энергия в едини­
це объема, занятого полем в вакууме, равна сумме энергий электричес Е~ В2
ской и магнитной компонент поля и равна Жэм = ~ -----+ ------ , здесь
j
2
2 Ио
£о = ----------- Н" — электрическая постоянная, Ф / м; ц 0 = 4тх -10~7 — маг471-9 *10
нитная постоянная, Гн / м. Масса электромагнитного поля в единице объе­
ма равна частному от деления энергии поля fV3M на квадрат скорости
распространения электромагнитной волны в вакууме, равной скорости
света. Несмотря на малое значение массы поля по сравнению с массой
вещества, наличие массы поля указывает на то, что процессы в поле
являются процессами инерционными. Количество движения единицы
объема электромагнитного поля определяется произведением массы
единицы объема поля на скорость распространения электромагнитной
волны в вакууме.
Электрическое и магнитное поля могут быть изменяющимися и
неизменными во времени. Неизменным в макроскопическом смысле элек­
трическим полем является электростатическое поле, созданное совокуп­
ностью зарядов, неподвижных в пространстве и неизменных во време­
8
Гл. J. Основные положения теории электромагнитного поля
ни. В этом случае существует электрическое поле, а магнитное отсутст­
вует. При протекании постоянных токов по проводящим телам внутри и
вне их существуют электрическое и магнитное поля, не влияющие друг
на друга, поэтому их можно рассматривать раздельно. В изменяющемся
во времени поле электрическое и магнитное поля, как упоминалось, взаи­
мосвязаны и обусловливают друг друга, поэтому их нельзя рассматри­
вать раздельно.
§ 1.2. И н тегр альн ы е и диф ф еренциальны е соотнош ения между
основными величинами, характеризующ ими поле. Электромагнитные
поля могут быть описаны интегральными или дифференциальными со­
отношениями. Интегральные соотношения относятся к объему (длине,
площади) участка поля конечных размеров, а дифференциальные —
к участку поля физически бесконечно малых размеров. Они выражают­
ся операциями градиента, дивергенции, ротора
(раскрытие операции grad, div и rot в различных
системах координат см. во втором томе книги).
В макроскопической теории поля описывают
свойства поля, усредненные по бесконечно
малому физическому объему и во времени. Этот
объем, в отличие от математически бесконечно
малого объема, может содержать большое
число атомов вещества. Дифференциальные
уравнения макроскопической теории поля не
описывают поля внутри атомов, для чего, как
известно, служат уравнения квантовой теории
поля.
В электростатическом поле поток вектора
напряженности электрического поля Е через
замкнутую поверхность (рис. 1. 1) равен свободному заряду дсв6, находя­
щемуся внутри этой поверхности, деленному на є 0 є,, (теорема Гаусса):
$EdS
Ясвб
( 1. 1)
80 Є,.
где dS — элемент поверхности, направленный в сторону внешней нор­
мали к объему; в,.— относительная диэлектрическая проницаемость
диэлектрика.
В дифференциальной форме теорему Гаусса записывают так:
d iv £ =
Рсвб
Єп £ г
( 1.2)
(Рсвб — объемная плотность свободного заряда, Кл / м3).
Переход от ( 1. 1) к (1.2) осуществляют делением обеих частей (1.1) на
объем V, находящийся внутри поверхности 5, и стремлением объема V к
нулю.
Физически div Е означает исток вектора в данной точке.
§ 1.2. Интегральные и дифференциальные соотношения.
9
В электростатическом и стационарном электрическом полях на заряд
q действует сила F = q Е. Отсюда следует, что Е может быть определе­
на как силовая характеристика поля Е - lim F fq. Если q под действием
сил поля переместится из точки 1 в точйу*
2 (рис. 1.2 ), то силы поля совершат работу
A = q ^ E d J , где d l — элемент пути из 1
в 2.
Ноя разностью потенциалов U]2 меж­
ду точками / и 2 понимают работу, совер­
шаемую силами поля при переносе заряда
q = 1 Кл из точки 1 в точку 2,
2
^ ,2 = Ф і -Ч>2 = } E d f ;
(1.3)
_.
1
Рис. 1.2
СУj2 не зависит от того, по какому пути
происходило перемещение из точки 1 в точ­
ку 2. Выражению (1.3) соответствует дифференциальное соотношение
Ё ~ -gradcp.
(1.4)
Градиент ф ( § ^ ф ) в некоторой точке поля определяет скорость
изменения ф в этой точке, взятую в направлении наибольшего его возрас­
тания. Знак минус означает, что Ё и gradф направлены противоположно.
Электрическое поле называют потенциальным, если для него
j E d l = 0. Электрическое поле поляризованного диэлектрика описыва­
ется вектором электрического смещения (индукции)
D = 80 £ + Я,
(1.5)
где Р — поляризованность диэлектрика, равная электрическому момен­
ту единицы объема поляризованного диэлектрика.
В стационарном неизменном во времени электрическом поле в про­
водящей среде в смежные моменты времени распределение зарядов оди­
наково, поэтому для этого поля справедливо определение разности
потенциалов по формуле
2
U n ='\EdJ.
I
Внутри источника постоянной ЭДС результирующая напряженность
электрического поля £ рез равна векторной сумме потенциальной (кулоновой) составляющей £ пот и сторонней составляющей £ стор :
F
‘-'рез
= ^пот
F
чF
П ^стор
’
стор разделяет заряды внутри источника; она обусловлена химически­
ми, электрохимическими, тепловыми и другими процессами неэлектро­
Гл. 1. Основные положения теории электромагнитного поля.
10
статического происхождения и направлена встречно £ пот. Внутри источ­
ника ЭДС при e(t), являющейся функцией времени, напряженность элек­
трического поля имеет две составляющие: £ стор и £ пот, но £ стор, разде­
ляющая заряды внутри источника, обусловлена электромагнитными про­
цессами, а не перечисленными выше. В электромагнитном поле могут
протекать электрические токи. Под электрическом током понимают
направленное (упорядоченное) движение электрических зарядов. Ток в
некоторой точке поля характеризуется плотностью 8 (А /м ). Известны
три вида^тока: ток проводимости (плотностью 5пр), ток смещения (плот­
ностью 5СМ) и ток переноса (плотностью 5пер). Ток проводимости про­
текает в проводящих телах под действием электрического поля, плотность
его пропорциональна £:
8 пр= у £ ,
( 1.6 )
где у — удельная проводимость проводящего тела, Ом ”1 - м '1. В метал­
лах ток проводимости представляет собой упорядоченное движение
свободных электронов, в жидкостях — движение ионов.
Плотность тока смещения в диэлектрике равна производной по вре­
мени от вектора электрического смещения D = є 0 £ + Р.
-
dD
dE
dP
dE
( l ' 7 )
Слагаемое є 0
— составляющая тока смещения, обусловленная из­
менением во времени напряженности поля £ в вакууме. Под вакуумом *1
в курсе ТОЭ будем понимать не просто сверхразреженную среду, не
пустоту, где ничего нет, а мировую материальную среду с особыми свой*’ Из чего состоят вакуум и электрические заряды, создающие в нем ток смещения,
какие в вакууме и в самих зарядах происходят физические процессы и по каким зако­
нам — достоверно пока неизвестно.
Изучение процессов в вакууме в настоящее время проводится по нескольким направ­
лениям. Наиболее известны два из них. Первое направление исследования (первая гипо­
теза) основывается на квантовой теории и на теории относительности [Физическая
энциклопедия. Т. 5. 1998. С. 317; БСЭ. 3-є изд. Т. 27. С. 337]. Второе направление иссле­
дований [Ацюковский В.А. Общая эфиродинамика. М.: Энергоатомиздат. 1990] основыва­
ется на предположении о том, что процессы в микромире вакуума подчиняются всем из­
вестным в настоящее время законам макромира газовой динамики реального вязкого сжи­
маемого газа и что ограничение скорости различных физических процессов в физи­
ческом вакууме величиной скорости света 3-Ю 8 м /с справедливо только для электромаг­
нитных процессов и не справедливо для гравитационных.
Согласно первому направлению исследования под вакуумным состоянием понимают
состояние поля, в котором оно вовсе не имеет частиц (квантов), когда его энергия, оста­
ваясь огромной, минимальна. В этом состоянии электромагнитные и другие виды полей
испытывают флюктуации, при которых в вакууме рождаются электронно-позитронные
пары.
Эти пары ведут себя как связанные заряды и под действием электрического поля
смещаются, подобно тому как смещаются связанные заряды в диэлектрике. Процесс
смещения электронно-позитронных пар под действием электрического поля называют
поляризацией вакуума.
.соотношения меж ду основными величинами, характеризующими поле
11
ствами. В течение многих столетий эту среду называли эфиром, а в последние десятилетия ее стали именовать физическим вакуумом, самим
названием подчеркивая, что она обладает физическими свойствами. Сла­
гаемое d P I d t обусловлено изменением поляризованности во времени
(изменением расположения связанных зарядов в диэлектрике при изме­
нении Е во времени). В качестве примера тока смещения может быть
назван ток через конденсатор. Ток переноса вызывается движением элек­
трических зарядов в свободном пространстве. Примером тока переноса
может служить ток в электронной лампе. Если положительный заряд
объемной плотности р + движется со скоростью v+ и отрицательный
заряд объемной плотности р_ со скоростью v_, то плотность тока пе­
реноса в этом поле 5пер = р+ v+ + р_ v_ в явном виде не зависит от напря­
женности Е в данной точке поля. Если в некоторой точке поля одновре­
менно существовали бы все три вида тока, то полная плотность тока
5пол = $пр + 5 СМ+ $ пер. Для большинства задач ток переноса отсутствует.
Ток — это скаляр алгебраического характера. Полный ток через по­
верхность S равен
( 1.8)
Если в электромагнитном поле выделить некоторый объем, то ток,
вошедший в объем, будет равняться току, вышедшему из объема, т. е.
(1.9)
где d S — элемент поверхности объема, он направлен в сторону внеш­
ней по отношению к объему нормали к поверхности. Последнее уравне­
ние выражает принцип непрерывности полного тока: линии полного тока
представляют замкнутые линии, не имеющие ни начала, ни конца. ЭлекВторым основным процессом в вакууме является испускание фотона свободным элек­
троном (позитроном) с последующим его поглощением другим или тем же электроном за
очень короткое время А/, равное, примерно, КГ 21 с. За это время заряды перемещаются
на расстояние Ах. Процесс называют виртуальным, а сами заряды — виртуальными.
Для каждой пары виртуальных частиц выполняется закон сохранения заряда, но в
рамках соотношения неопределенностей наблюдаются местные нарушения закона сохра­
нения энергии и закона сохранения импульса. Эти нарушения состоят в том, что каждая
виртуальная частица во время ее существования обладает разбросом энергии AW > h ! At
и разбросом импульса А т > И /А х, где постоянная Планка И - 6,626-10"34 Дж с.
Согласно второму направлению исследования вакуума: в нем образуются тороидальные
вихри уплотненного эфира, обладающие огромной кольцевой и тороидальной скоростью.
Эти вихри и являются электрическим зарядами. Тороидальная составляющая винтового
движения создает магнитное поле, кольцевая — электрическое. Знак заряда зависит оттого,
является ли вихревое движение по отношению к кольцевому лево- или правовинтовым.
Фотон — это двухрядная цепочка линейных (не кольцевых) вихрей, в которой вихри одного
ряда вращаются в одну сторону, а другого ряда — в противоположную. Во втором
направлении исследования установлено, что плотность физического вакуума численно
равна величине электрической постоянной є 0 = 8 ?8 6 Ю
к г /м 3 (Ф а р а д /м в системе
МКСА — эквивалент к г / м3 в системе МКС).
Носителями тока электрического смещения в физическом вакууме согласно первому
направлению исследования вакуума являются электронно-позитронные пары, согласно
второму — свободные электрические заряды (электроны и протоны).
Гл. 1. Основные положения теории электромагнитного поля.
12
трические токи неразрывно связаны с магнитным полем. Эта связь в
неферромагнитной среде определяется интегральной формой закона пол­
ного тока
( 1. 10)
і " dl =j — d U l n
Vo
циркуляция вектора напряженности магнитного поля Н (А /м ) по зам­
кнутому контуру равна полному току / пол, охваченному этим контуром;
d l — элемент длины контура (рис. 1.3). Таким образом, все виды токов,
хотя и имеют различную физическую природу, обладают свойством со­
здавать магнитное поле. В неферромагнитной
среде магнитная индукция
( 1.11)
Ферромагнитные вещества обладают спон­
танной намагниченностью. Характеристикой ее
является магнитный момент единицы объема ве­
щества J (его называют намагниченностью).
Для ферромагнитных веществ
£ = М / У + ^ ) = ц0 иг я = ц а я ,
( 1. 12)
где
jua — относительная и абсолютная маг­
нитная проницаемость, соответственно.
Напряженность магнитного поля в ферромагнитной среде
Н =
В_
-J
(1.13)
Ио
равна разности двух векторных величин: £ / ц 0 и J.
Закон полного тока в интегральной форме для любой среды принято
записывать в виде
$H dT =i v
(1.14)
или в дифференциальной форме
rot Н = у Ё +
dD
(1.15)
dt
Запись (1.15) закона полного тока получили
из (1.14), поделив обе части его на площадь AS,
охваченную контуром интегрирования, устремив
AS к нулю и учтя плотность тока смещения
Рис. 1.4
Физически ротор (rot) характеризует
dt
поле в данной точке в отношении способности
к образованию вихрей.
.соотношения между основными величинами, характеризующими поле
13
Плотность тока переноса в правой части последнего уравнения
не учтена, так как он обычно отсутствует в задачах, решаемых с помо­
щью этого уравнения. Магнитный поток через некоторую поверхность S
(рис. 1.4) определяют как поток вектора В через эту поверхность:
0 =
(1.16)
S
Поток Ф — это скаляр алгебраического характера, измеряется в ве­
берах (Вб = В-с). Если поверхность S замкнутая и охватывает объем V,
то поток, вошедший в объем, равен потоку, вышедшему из него, т. е.
§ B d S = 0.
(1.17)
Это уравнение выражает принцип непрерывности магнитного потока.
Линии магнитной индукции — это замкнутые линии.
В 1831 г. М. Фарадей сформулировал закон электромагнитной индук­
ции: ЭДС еинд, наведенная в некотором одновитковом контуре изменя­
ющимся во времени магнитным потоком, пронизывающим этот контур,
определяется выражением
еи„ л = Я „ д ^ = - ^ ,
(1-18)
где £ инд — индукционная составляющая напряженности электрическо­
го поля. Знак минус обусловлен пра­
вой системой отсчета: принято, что
положительное направление отсче­
та для ЭДС и направление потока
при его возрастании связаны прави­
лом правого винта (рис. 1.5).
Если контур многовитковый (ка­
тушка с числом витков w), то
направление
направление
наведенной ЭДС
еи„д
(U 9>
отсчета ЭДС
Рис. 1.5
Здесь Т — потокосцепление катушки, равное сумме потоков, пронизы­
вающих отдельные витки катушки,
у = Ф 1 + Ф 2 + ... + Ф и..
(1.20)
Если все витки w пронизываются одинаковыми потоками Ф, то
¥ = Н’Ф,
где Т — результирующее потокосцепление, оно может создаваться не
только внешним по отношению к данному контуру потоком, но и соб­
ственным потоком, пронизывающим контур, при протекании по нему
тока. В проводнике длиной d l , пересекающем магнитные силовые ли-
14
Гл. 1. Основные положения теории электромагнитного поля.
нии неизменного во времени магнитного ПОЛЯ
индукции В (рис. 1.6), вследствие силы Лорен­
ца наводится ЭДС
d eKWX= B [d iv ],
( 1.21 )
где v — скорость перемещения проводника от­
носительно магнитного поля. В (1.21) В скаляр­
но умножается на векторное произведение d l
и v. Если в результате расчета по (1.21)
d eинд> 0 , то d emд направлена по d l.
В 1833 г. русский академик Э.Х. Ленц установил закон электромагнит­
ной инерции. При всяком изменении магнитного потока, сцепляющего­
ся с каким-либо проводящим контуром, в нем возникает индуктирован­
ная ЭДС, стремящаяся вызвать в контуре ток, который:
1) препятствует изменению потокосцепления контура;
2 ) вызывает механическую силу, препятствующую изменению линей­
ных размеров контура или его повороту.
Закон электромагнитной индукции, примененный к контуру бесконеч­
но малых размеров, записывают так:
rot Ё =
R
( 1.22 )
dt
(в последней формуле индукционную составляющую напряженности поля
£ инд принято обозначать Ё). Обобщая, можно сказать, что электромаг­
нитное поле описывают четырьмя основными уравнениями в интеграль­
ной форме:
d l —/ пол ,
<jBdS = 0 ,
^инд —^^ИНД dl —
dФ .
’ dt ’
(1.23)
jE d S = -^ є 0 єг
Этим уравнениям отвечают четыре уравнения в дифференциальной
форме:
§1.3. Подразделение электротехнических задач на цепные и полевые
15
Они сформулированы в 1873 г. Дж. Максвеллом в его «Трактате об
электричестве и магнетизме». Их называют уравнениями Максвелла или
уравнениями макроскопической электродинамики.
Уравнение (1.24) означает, что вихревое магнитное поле создается то­
ками проводимости и токами смещения. Уравнение (1.25) свидетельству­
ет о том, что изменение магнитного поля во времени вызывает вихревое
электрическое поле. Уравнение (1.26) — что магнитная индукция в нефер­
ромагнитной среде не имеет истоков и уравнение (1.27) — что истоком
линий Е являются свободные заряды. Частные производные в уравнени­
ях (1.24) и (1.25) учитывают, что уравнения записаны для неподвижных
тел и сред в выбранной системе координат.
Джеймс Максвелл обобщил и дополнил работы предшествующих уче­
ных А. Ампера, М. Фарадея, Д. Генри, Э. Ленца, Г. Гельмгольца, ввел
понятие об электрическом смещении в диэлектрике, о токе смещения в
диэлектрике и создал систему уравнений (1.24)—(1.27), с помощью кото­
рых могут быть исследованы процессы в изменяющихся во времени элек­
тромагнитных полях и электрических цепях.
§ 1.3. Подразделение электротехнических задач на цепные и по­
левы е. Задачи, с которыми приходится встречаться на практике, могут
быть подразделены на две большие группы. Первая группа — цепные
задачи. Они могут быть решены с помощью уравнений поля в интеграль­
ной форме. В этой группе используются понятия «ток», «магнитный по­
ток», «электрическое» и «магнитное напряжение», «потенциал», «ЭДС»,
«МДС» (магнитодвижущая сила), «резистивное», «индуктивное» и «ем­
костное сопротивление». Для решения задач второй группы — полевых
задач — применяют уравнения поля в дифференциальной и интеграль­
ной формах. Цепные задачи рассматривают в I томе учебника ТОЭ
(курса теории цепей), задачи теории поля — во II томе учебника ТОЭ.
Четкой границы между двумя группами задач нет, так как любая цепная
задача с увеличением частоты перерастает в полевую (все более прояв­
ляются малые (паразитные) параметры и резко возрастает излучение
энергии в окружающее пространство).
Основными уравнениями теории электрических цепей являются урав­
нения (законы) Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа для электрических
цепей следует из принципа непрерывности полного тока, а для магнит­
ных цепей — из принципа непрерывности магнитного потока.
Покажем, что уравнение второго закона Кирхгофа для цепи перемен­
ного тока вытекает из основных уравнений электромагнитного поля. С
этой целью обратимся к рис. 1.7. Цепь образована источником сторон­
ней ЭДС e(t), являющейся функцией времени (область / с проводимос­
тью у,), проводящей средой (область 2 с проводимостью у2) и конден­
сатором (область 5, электрическая проницаемость єа).
В источнике ЭДС за счет работы механической силы при вращении
ротора электрического генератора возникает сторонняя ЭДС e(t). Она со­
здает внутри источника стороннюю напряженность электрического поля
£стор> непрерывно разделяющую электрические заряды внутри источни-
16
Гл. /. Основные положения теории электромагнитного поля
5
ю
7 2 ’ 52
т \
Проводящая среда
Источник сто,
ронней ЭДС e{t) f'
dl\ /
Конденсатор
Рис. 1.7
ка, так что на одном зажиме источника в некоторый момент времени
создается плюс заряд, а на другом зажиме в тот же момент времени та­
кой же по величине минус заряд. Эти заряды создают в цепи потенци­
альное электрическое поле с напряженностью £ пот и изменяющийся во
времени электрический ток /. Одновременно с разделением зарядов и
протеканием тока по цепи возникает изменяющееся во времени магнит­
ное поле индукции В, охватывающее проводник и по закону электромаг­
нитной индукции создающее в цепи и диэлектрике индукционную
составляющую электрического поля £ инл. Электрические заряды,
перемещающиеся по проводнику, создают в диэлектрике, окружающем
проводник, потенциальную составляющую напряженности электрическо­
го поля £ пот = -grad(p (где Ф— электрический потенциал), направлен­
ную перпендикулярно к поверхности проводника.
Будем исходить из непрерывности полного тока / через попереч­
ные сечения трех областей. Полагаем, что излучение энергии в окру­
жающее пространство отсутствует (частота относительно невелика).
В первой области напряженность электрического поля Ех состоит из
трех компонент (сторонней, потенциальной и индукционной):
ft = £стор, + |пот 1 + £и»д1> во второй — Ё2 = £ пот2 + £ инд2, в третьей —
£ 3 = £ пот3 + £ индз; S X,S 2,S 3— площади поперечного сечения областей;
d l — элемент длины, совпадающий по направлению с d S \ п ° — еди­
ничный вектор, совпадающий с направлением d l и S.
Для первой области
(1.28)
(1.29)
І
» (^потЗ
^индз)*^3
£аР(^потЗ + ^индз)*^3’ Р
§ 1.4. Конденсатор
17
Умножим уравнения (1.28-1.30) на элемент длины пути d l = п° d l,
учтем, что S - п ° S, и перепишем их так:
^ПОТІ “*■^ИНДІ)<// =
(^стор 1
(1.31)
У|5,
(4от2 + £ инд2 ) ^ = ----^ ~ d l;
Ї 2 *^2
(1.32)
-dl.
Р г a S3
(1.33)
(^потЗ
^индЗ ) ^1
Проинтегрируем (1.31) по длине 1-го участка, уравнение (1.32) по дли­
не 2-го участка и уравнение (1.33) по длине 3-го и сложим их.
Получим
J^CTopl dl + /^поті dl + /^пот2 dl + |^потЗ dl +
<?(/)
о
+ \ £„„ді d l + J £ инд2 d l + J £ индз d l =
!\
^2
h
=I
, dl
/, ЇІ^І
/?,
| , dl
/, У2^2
Л,
і , dl
+ - f — ; ± = .И >
dl
-W
С /, єа 5 3
(V
Окончательно,
/•(Л, + Л2) + ^ + - і | / Л = е(0 ,
at
С
(1.34)
где /?, и /?2 — резистивные сопротивления участков 1 и 2 ; С — емкость
конденсатора.
Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей следует из закона пол­
ного тока.
Рассмотрим свойства элементов электрической цепи конденсатора и
индуктивной катушки.
§ 1.4. Конденсатор. Между двумя любыми?проводящимидадаади, раз­
деленными диэлектриком, существует Электрическая емкость, Для созда­
ния определенного значения емкости служат конденсаторы, На Рис<- 1*8
изображен плоский конденсатор, на рис. 1.9 — цилиндрический. Если
заряд на одной обкладке (электроде) конденсатора + q, на другой - q, то
18
Гл. 1. Основные положения теории электромагнитного поля..
б
а
Рис. 1.8
б
а
Рис. 1.9
в пространстве между обкладками существует электрическое поле и меж­
ду обкладками имеется напряжение U. Заряд q пропорционален U:
q - С U.
Коэффициент пропорциональности С называют емкостью
(1.35)
Емкость зависит от геометрических размеров конденсатора и от элек­
трических свойств диэлектрика между обкладками. От напряжения U ем­
кость, как правило, не зависит. Исключение составляют конденсаторы, у
которых между обкладками находится сегнетодиэлектрик (у сегнетодиэлектрика е г является функцией £). Единицей емкости является фарад
(Ф) или более мелкие единицы микро-, нано- и пикофарад: 1 мкФ =
= 10- 6 Ф; 1 нФ = 10-9 Ф; 1 пФ = 10' 12 Ф.
П рим ер 1. Вывести формулу для емкости плоского конденсатора (рис. 1.8, а). Пло­
щадь его каждой пластины (с одной стороны) 5, расстояние между пластинами а, относи­
тельная диэлектрическая проницаемость диэлектрика г г .
Р е ш е н и е . На рис. 1.8 , б (вид сбоку) показаны силовые линии. В основной области
поле однородно. На краях имеется некоторая неоднородность, которую здесь учитывать
не будем. Е направлена от заряда + g к заряду - q. Напряжение между электродами
U = J2Ё d l - j 2 Е cosO° d l - Е а. Охватим верхний электрод замкнутой поверхностью (ее
след на рис. 1 .8 , б показан штриховой линией) и применим к ней теорему Гаусса:
iE d S = £ S =- 9 —
Е 0 Ег
§ 1.5. Индуктивность. Явление самоиндукции
19
Следовательно,
Е=
є0 z rS
..
U
П ример 2. Вывести формулу емкости цилиндрического конденсатора (рис. 1.9, а). На
внутреннем электроде радиусом г, находится заряд + q, на наружном электроде радиусом
г2 — заряд - q.
Р е ш е н и е . Окружим внутренний электрод цилиндрической замкнутой поверхностью
радиуса г (г, < г< г2). След этой поверхности показан штриховой линией на рис. 1.9, 6.
Поток вектора Е проходит через боковую поверхность, через торцы поток отсутствует,
так как на торцах d S и Е взаимно перпендикулярны:
§EdS=
fEcosO * d S = E 2 n r l =
Я
Отсюда
Е =2 п г 1 е0 г г
Напряжение между электродами
Г2 »„
Г2
U = f E d r = ------2------f — = -------і ------ ln-2'
2 я 8 0 єг / • г
2 я б0 ег /
г,
Емкость
п
с _ q _ 2 Яgp sr
in І ‘
В конденсаторе емкостью С, между электродами которого напряже­
ние м, запасена электрическая энергия
= ^ - = -2 І.
(1.36)
2
2С
При изменении заряда g во времени через конденсатор по диэлект­
рику течет ток смещения
3
/ = — = С— .
(1.37)
dt
dt
Положительное направление отсчета тока / совпадает с положитель­
ным направлением отчета напряжения и.
Из (1.37) следует, что
§ 1.5. Индуктивность. Я вление самоиндукции. Если по какой-либо
катушке (контуру) будет протекать ток, то он создаст магнитное поле и
катушка будет пронизываться магнитным потоком. Потокосцепление ка­
тушки
будет пропорционально току /: 4/ = L/. Коэффициент пропор­
циональности L между Т и / называют индуктивностью:
(1.39)
20
Гл. 1. Основные положения теории электромагнитного поля.
Индуктивность L (Гн) зависит от геометрических размеров катушки,
числа ее витков и от магнитных свойств сердечника, на котором она на­
мотана. Если ток / будет изменяться во времени, по закону электромаг­
нитной индукции в катушке наведется ЭДС eL, которую называют ЭДС
самоиндукции:
d%V= - Lг—
d i.
п(1.40)
ЛЫ
е - ------1
dt
dt
Положительные направления отсчета для / и eL совпадают (eL про­
порциональна скорости изменения тока /).
Если сердечник, на который намотана катушка, ферромагнитный, то
Ч? — нелинейная функция тока /. В этом случае
dffi)
.
, т , ) di
,
di
<L4I)
( £ ДИф называют дифференциальной индуктивностью, она является нели­
нейной функцией тока /).
В магнитном поле уединенной катушки индуктивностью L, по кото­
рой течет ток /, запасается магнитная энергия
I
I
г /2
Wu = \id 'V = \ L i d i = ------.
0
о
2
(1.42)
Из (1.42) следует, что
2
W
L =^ J T '
П ример 3. Вывести формулу для индуктивности L двухпроводной линии передачи дли­
ной /, расположенной в воздухе, при расстоянии между осями проводов d и радиусе прово­
да г
d. Полагать / » d и нс учитывать магнитный поток поперечных сторон петли.
Р е ш е н и е . Двухпроводная линия (рис. 1.10, а, о) представляет собой как бы один
большой виток. Пропустим по ней ток /. Напряженность поля в произвольной точке меж­
ду проводами на расстоянии * от левого провода на линии, соединяющей оси проводов,
по закону полного тока равна / 1{2пх), а результирующая напряженность поля равна сумме
напряженностей от каждого из проводов:
/ / = —L— + ------ ------ ,
2пх 2n (d -x)
Рис. 1.10
d - г > х > г.
§1.5. Индуктивность. Явление самоиндукции
21
Поток через заштрихованную площадку d S = / d x равен
\_
2
її
кх
d- х
. Но 11 . d - r
Ф = — — In--------.
dx,
При d » г
П ример 4. Определить индуктивность катушки (рис. 1.11, а) с числом витков w, = 1000,
равномерно намотанной на сердечник прямоугольного сечения, внутренний радиус которо­
го /?,= 4 см, наружный R2 ~ 6 см, высота h = 2 см, цг сердечника равна 80.
Рис. 1.11
Р е ш е н и е . Пропустим по катушке ток / и определим напряженность поля в сердеч-
I н*
нике по закону полного тока Н = —
2пR
рис. 1 . 1 1 , 0 ,
d O -B h d R
Поток через полосу И dR, заштрихованную на
ji 0 [ir h I Wj dR
2 її R
Потокосцепление
Rt
it I ^
W\2 jJ0/Jr hI\n-~
4' = ІГ, Ф = U, J(M>: ______________ilL
"r
(1.44)
2n
Подстановка числовых значений дает Z, = 4 V / = 0,131 Гн.
П рим ер 5. Вывести формулу для индуктивности цилиндрического провода длиной /
радиусом /?, обусловленной потокосцеплением в теле самого провода. На рис. 1.12 пока­
зан вид провода с торца.
Р е ш е н и е . Пропустим вдоль провода постоянный ток /.
,
По закону полного тока напряженность поля Н на расстоянии
г от оси провода равна току
•я г ,
ті/?2
охваченному окруж­
ностью радиусом г и деленному на длину этой окружности
2 її г :
Iг
2
л-Я 2
Индукция
Д = ц а Н.
Рис. 1.12
22
Гл. 1. Основные положения теории электромагнитного поля.
Магнитная энергия, запасенная в теле провода,
Воспользовавшись (1.43), получим:
/ 2
8
я ‘
§ 1.6. В заим ная и ндуктивность. Я влени е взаим оиндукции. На
рис 1.13, а изображены два контура. По первому течет ток /І9 по второ­
му — *2 - Поток Ф 1? создаваемый первым контуром, частично замыка­
ется, пронизывая только первый контур Ф и , минуя второй, частично про­
низывая и второй контур Ф 12. Чтобы рисунок был более понятным, на
нем изображено только по одной силовой линии каждого потока
Ф] = Фц + Ф |2.
Аналогично поток, создаваемый вторым контуром:
Ф
2=
Ф
22 +
Ф 2і •
Если первый контур имеет w, витков, то потокосцепление первого
контура
W] ( Ф | І Ф j ) — VVj Ф 1І Wj Ф -j j — Т J І Т | .
Потокосцепление второго контура (число витков w2)
W2 (Ф 2 ± Ф]2) =
Ф 2 ± W2 Фі2 = % ± Т |2.
Знаки «+» соответствуют согласному направлению потока от своего
тока и потока, создаваемого током в соседнем контуре. Знаки «-» соот­
ветствуют несогласному (встречному) направлению потоков (для этого
А
І2
а
-2 6 2 В
Ф 22
е2мк65*5 В
Л^С
-1 3 1 В
Рис. 1.13
§1.6. Взаимная индуктивность. Явление взаимоиндукции
23
один из токов должен изменить направление). Потокосцепление 4 ^ про­
порционально току /2, а Т 12 — току /j
4^1 = wx Ф2] = М /2,
*Р12 = w2 Ф]2 - М /'].
Коэффициент пропорциональности А/(Гн) называют взаимной индук­
тивностью
^21
%2
М= — =— .
(1.45)
h
h
Она зависит от взаимного расположения, числа витков, геометриче­
ских размеров контуров (катушек) и от магнитной проницаемости jia сер­
дечников, на которых они намотаны. Если ца = const, то от величины
токов М не зависит.
Явлением взаимоиндукции называют наведение ЭДС в одном контуре
при изменении тока в другом. Наводимую ЭДС называют ЭДС взаимо­
индукции и обозначают ем . Для рис. 1.13 полная ЭДС, наводимая в пер­
вом контуре,
е, =
at
± '*21) =
dt
h ± М І 2) =
= ~L\ ^77± M ^ r = e\L±e\M
at
at
( 1.46)
и во втором
*2 = - j W
2 ± * 12) =
h ±M h) =
—~L2 ~ ~ —M
—є2і. ± е2м
at
at
(1.47)
В формулах (1.46) и (1.47) принято, что А/ > 0. В то же время в лите­
ратуре можно встретиться с тем, что знак минус у ем в этих формулах
относят не к ЭДС взаимоиндукции, а к А/, т. е. записывают формулы (1.46)
и (1.41) в виде
е\ = е\1.+е\М
и e2 = e2I,+e2М-
Под коэффициентом связи двух магнитосвязанных катушек пони­
мают отношение М к квадратному корню из произведения Ц L2 этих
катушек
(1-48)
Всегда ксъ < 1; ксъ = 1, если весь магнитный поток, создаваемый
первой катушкой, пронизывает и вторую, а весь поток, генерируемый
второй катушкой, пронизывает и первую.
24
Гл. /. Основные положения теории электромагнитного поля.
Магнитная энергия двух магнитосвязанных катушек с токами /, и / 2
равна
W „ = ^ - +^ - ± M
1, 12.
(1.49)
Знак «+» относится к согласному, «-» — к встречному направлению
потоков.
П рим ер 6 . На сердечнике примера 4, кроме катушки с числом витков w, = 1000, рав­
номерно намотана и вторая катушка \v2 - 500. Определим М между катушками.
Р е ш е н и е . Весь поток Ф, создаваемый в сердечнике первой катушкой, пронизыва­
ет и вторую. Поэтому
. , R2
НОIV '•’! н’2 h ІП“
у
= ----------------------- = 0,0655 Гн.
М =—
/,
2 71
П ример 7. Определить магнитную энергию, запасаемую в магнитном поле двух кату­
шек примера 6 , если по первой катушке течет ток /, = 1 А, по второй — ток / 2 = 0,5 А.
Магнитные потоки направлены согласно.
Р е ш е н и е . По формуле (1.44), заменив в ней w, на \v2, определяем L2 = 0,0327 Гн.
По формуле (1.49)
W =
+
°-5
+ 0.0655 ■1■0,5 = 0,1387 Дж.
П рим ер 8 . По первой катушке примера 7 течет ток
изменяющийся во времени в
соответствии с рис. 1.13, 6. Вторая катушка разомкнута. Построить кривые ЭДС самоин­
дукции еи и ЭДС взаимоиндукции е2М (время дано в мс).
Р е ш е н и е . График еи (рис. 1.13, в) строим по формуле
di\
график е2М (рис. 1.13, г) — по формуле
•ж
§ 1.7. Схемы замещения реальных электротехнических устройств.
В элементах реальных электротехнических устройств (электрических
цепях) происходят достаточно сложные процессы протекания токов про­
водимости, токов смещения, выделения тепловой энергии, наведения
ЭДС, накопления и перераспределения энергии электрического и магнит­
ного полей и т. п. Для того чтобы можно было математически описать
эти процессы, в теории цепей пользуются расчетными схемами (схемами
замещения), вводя в них резистивные, индуктивные и емкостные элемен­
ты. С помощью резистивного элемента учитывают выделение теплоты
в реальном элементе; с помощью индуктивного элемента — наведение
ЭДС и накопление энергии в магнитном поле; с помощью емкостного эле­
мента — протекание токов смещения и накопление энергии в электри­
ческом поле.
§1.7. Схемы замещения реальных электротехнических устройств
25
Каждый элемент реальной электрической цепи на схеме замещения
можно представить той или иной совокупностью идеализированных схем­
ных элементов.
Так, резистор для низких частот можно представить одним резистив­
ным элементом R (рис. 1.14, а). Для высоких частот тот же резистор дол­
жен быть представлен уже иной схемой
(рис. 1.14, б). В ней малая (паразитная)
индуктивность Ln учитывает магнит­
ный поток, сцепленный с резистором, а
малая паразитная емкость Сп учитыва­
ет протекание тока смещения между
зажимами резистора. Конденсатор на
низких частотах замещают одним емко­
стным элементом (рис. 1.14, в), а на вы­
соких частотах конденсатор представля­
ют схемой, где резистор Rn учитывает
потери в неидеальном диэлектрике
конденсатора, a Ln — паразитная
индуктивность подводящих контактов
(рис. 1.14, г).
Индуктивную катушку в первом приближении можно представить
одним индуктивным элементом L (рис. 1.14, д). Более полная схема за­
мещения может быть представлена на рис. 1.14, г). В ней Rn учитывает
тепловые потери в сопротивлении обмотки и в сердечнике, на котором
она намотана, а паразитная емкость Сп учитывает токи смещения меж­
ду витками катушки.
Обобщенно можно сказать, что при составлении схемы замещения ре­
альных элементов цепи и цепи в целом в нее входят те идеализированные
схемные элементы, с помощью которых описываются основные процес­
сы в реальных элементах цепи, а процессами, являющимися относительно
второстепенными в этих элементах для рассматриваемой полосы частот
и амплитуд воздействий, обычно пренебрегают. Реальную электрическую
цепь, представленную в виде совокупности идеализированных схемных
элементов, в дальнейшем будем называть схемой замещения электричес­
кой цепи или, короче, схемой электрической цепи.
Если можно считать, что напряжение и ток на всех элементах реаль­
ной цепи не зависят от пространственных координат, то такую цепь
называют цепью с сосредоточенными параметрами, если зависят —
цепью с распределенными параметрами.
Процессы в цепи с сосредоточенными параметрами описывают алгеб­
раическими или обыкновенными дифференциальными уравнениями; про­
цессы в цепях с распределенными параметрами описывают уравнениями
в частных производных. Дальнейшее подразделение типов цепей будет
дано по ходу изложения. Соответствие расчетной модели реальной элект­
рической цепи проверяют, сопоставляя расчет с экспериментом. Если
расчетные данные недостаточно сходятся с экспериментом, модель уточ­
няют.
26
Гл. 1. Основные положения теории электромагнитного поля..
В курсе ТОЭ используют общие физические принципы, формирующие
диалектическое мышление, такие, как принцип симметрии, принцип
минимума энергии, закон сохранения заряда, принцип непрерывности маг­
нитного потока. При выполнении лабораторных работ студент ощущает
реальность явлений, о которых шла речь в теории. Методы расчета элект­
рических цепей можно излагать по крайней мере двумя способами. Соглас­
но первому их излагают одновременно с теорией электрических цепей си­
нусоидального тока. Согласно второму методы расчета рассматривают по
отношению к резистивным цепям постоянного тока, а затем эти методы
распространяют на цепи синусоидального тока. Второй способ, с нашей
точки зрения, методически более целесообразен — материал, разделенный
на две самостоятельные части, усваивается легче и прочнее. Кроме того,
студент приобретает навык в расчете цепей постоянного тока, область
применения которых достаточно широка.
Вопросы для самопроверки
-
1. Дайте определение электромагнитного поля. Какими основными величинами его
характеризуют и каковы его свойства? 2. Что положено в основу определения напряжен­
ности электрического поля Е и индукции магнитного поля В ? Каковы единицы их из­
мерения? 3. Какой смысл вкладывается в понятие потенциальной, вихревой и сторонней
составляющих напряженности электрического поля? 4. Как связаны векторы Е и D\ Н
и В ? 5. Дайте определение плотности тока проводимости, смещения, переноса. 6 . Запи­
шите уравнение непрерывности полного тока. 7. Какие проявления магнитного поля вам
известны? 8 . Как определить магнитный поток Ф и потокосцепление Ч^? В каких
единицах их измеряют? 9. Как записать принцип непрерывности магнитного потока?
10. Прокомментируйте формулу е = -d^V / dt. Чем объяснить наличие знака минус в ней?
11. Запишите и поясните смысл четырех уравнений Максвелла. 12. Покажите, что урав­
нение первого закона Кирхгофа следует из принципа непрерывности полного тока. 13. Ис­
ходя из основных уравнений электромагнитного поля выведите уравнение, записанное по
второму закону Кирхгофа для цепи переменного тока. 14. Что понимают под явлением
самоиндукции и явлением взаимоиндукции? 15. Дайте определение индуктивности L и
взаимной индуктивности Л/. От каких факторов они зависят? 16. Прокомментируйте три
4у
е,
2W
способа определения индуктивности: L - — , L - - — , L = —
17. Как следует
/
d il dt
Iі
расположить две цилиндрические катушки по отношению друг к другу, чтобы М между
ними была равна нулю? 18. Поясните, почему коэффициент связи между двумя магнито­
связанными катушками kCB < 1. 19. В опыте было получено Ц = L2 - 0,1 Гн, М = 0,11 Гн.
Можно ли верить этим данным? 20. Чем физически можно объяснить, что внутренняя ин­
дуктивность цилиндрического провода не зависит от его радиуса? 21. Какие функции
выполняют L и М как элементы схем замещения реальных электрических цепей? 22. Про­
комментируйте формулу для подсчета магнитной энергии магнитосвязанных контуров.
23. Как связаны потенциал ср и напряженность £ ? 24. Какие поля называют потенци­
альными и какие вихревыми? 25. Дайте определение понятию «емкость» конденсатора. От
каких факторов она зависит? 26. Прокомментируйте три способа определения емкости кона
і
2W
денсатора: С = ~ , С - --------- , С = —
27. Какие функции выполняет емкость как
U
d q ld t
q2
элемент схемы замещения реальной электрической цепи? 28. Выведите формулы для ем­
кости плоского и цилиндрического конденсаторов. 29. Выразите 0,1 нФ в пикофарадах.
30. Как связано положительное направление отсчета напряжения на конденсаторе С с по­
ложительным направлением тока через него? 31. Чем отличаются электрические цепи с
сосредоточенными параметрами от цепей с распределенными параметрами? 32. Зависит
ли схема замещения реальной электрической цепи от частоты?
Глава вторая
СВ О Й С ТВ А Л И Н Е Й Н Ы Х Э Л Е К Т РИ Ч Е С К И Х Ц Е П Е Й
И М ЕТО ДЫ И Х РАСЧЕТА. Э Л Е К Т РИ Ч Е С К И Е Ц Е П И
П О С Т О Я Н Н О ГО ТО КА
§ 2.1. Определение линейных и нелинейных электрических цепей.
Электромагнитное устройство с происходящими в нем и в окружающем
его пространстве физическими процессами в теории электрических
цепей заменяют некоторым расчетным эквивалентом — электрической
цепью.
Электрической цепью называют совокупность соединенных друг с
другом источников электрической энергии и нагрузок, по которым
может протекать электрический ток. Электромагнитные процессы в
электрической цепи можно описать с помощью понятий «ток», «напря­
жение», «ЭДС», «сопротивление» («проводимость»), «индуктивность»,
«емкость».
Постоянным током называют ток, неизменный во времени. По­
стоянный ток представляет собой направленное упорядоченное движе­
ние частиц, несущих электрические заряды.
Как известно из курса физики, носителями зарядов в металлах яв­
ляются свободные электроны, а в жидкостях — ионы. Упорядоченное
движение носителей зарядов в проводниках вызывается электрическим
полем, созданным в них источниками электрической энергии. Источни­
ки электрической энергии преобразуют химическую, механическую и
другие виды энергии в электрическую. Источник электрической энергии
характеризуется величиной и направлением ЭДС, а также величиной внут­
реннего сопротивления.
Постоянный ток принято обозначать буквой /, ЭДС источника — Е,
сопротивление — R, проводимость — g. В Международной системе еди­
ниц (СИ) единица тока — ампер (А), единица ЭДС — вольт (В), едини­
ца сопротивления — ом (Ом), единица проводимости — сименс (См).
Изображение электрической цепи с помощью условных знаков назы­
вают электрической схемой (рис. 2 . 1, а).
Зависимость тока, протекающего по сопротивлению, от напряжения
на этом сопротивлении называют вольт-амперной характеристикой (ВАХ).
/
/
а
б
Рис. 2.1
и
в
и
28
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей..
По оси абсцисс на графике обычно откладывают напряжение, а по оси
ординат — ток.
Сопротивления, ВАХ которых являются прямыми линиями
(рис. 2 . 1, б), называют линейными, электрические цепи только с линей­
ными сопротивлениями — линейными электрическими цепями.
Сопротивления, ВАХ которых не являются прямыми линиями
(рис. 2 . 1, в), т. е. они нелинейны, называют нелинейными, а электриче­
ские цепи с нелинейными сопротивлениями — нелинейными электриче­
скими цепями.
§ 2.2. И сто чн и к ЭДС и и сточник тока. Источник электрической
энергии характеризуется ЭДС Е и внутренним сопротивлением RB. Если
через него под действием ЭДС Е протекает ток /, то напряжение на его
зажимах U - Е - I RB при увеличении / уменьшается. Зависимость на­
пряжения U на зажимах реального источника от тока / изображена на
рис. 2 .2 , а.
р
II
о
Jг_
^ит
а = 90°
с
Е
и
U
б
Рис. 2.2
Обозначим через т{, — масштаб по оси U, через mf — масштаб по
оси /. Тогда для произвольной точки на характеристике рис. 2.2, а
ab mLJ ~ I RB', bcm j = / ; tg a = a b/bc = RB т} /т и . Следовательно, tg a
пропорционален RB. Рассмотрим два крайних случая.
1. Если у некоторого источника внутреннее сопротивление RB = 0, то
ВАХ его будет прямой линией (рис. 2.2, б). Такой характеристикой обла­
дает идеализированный источник питания, называемый источником ЭДС.
Следовательно, источник ЭДС представляет собой такой идеализирован­
ный источник питания, напряжение на зажимах которого постоянно (не
зависит от тока Г) и равно ЭДС Е, а внутреннее сопротивление равно
нулю.
2. Если у некоторого источника беспредельно увеличивать ЭДС Е и
внутреннее сопротивление RB, то точка с (рис. 2.2, а) отодвигается по
оси абсцисс в бесконечность, а угол а стремится к 90° (рис. 2.2, в).
Такой источник питания называют источником тока.
Следовательно, источник тока представляет собой идеализированный
источник питания, который создает ток J = /, не зависящий от сопротив­
ления нагрузки, к которой он присоединен, а его ЭДС £ ит и внутреннее
§2.2. Источник ЭДС и источник тока
29
сопротивление Rm равны бесконечности. Отношение двух бесконечно
больших величин ЕИТ / /?ит равно конечной величине — току J источ­
ника тока.
При расчете и анализе электрических цепей реальный источник
электрической энергии с конечным значением RB заменяют расчетным
эквивалентом. В качестве эквивалента может быть взят:
а) источник ЭДС Е с последовательно включенным сопротивлением
/?в, равным внутреннему сопротивлению реального источника
(рис. 2.3, а\ стрелка в кружке указывает направление возрастания потен­
циала внутри источника ЭДС);
б) источник тока с током J = Е / RB и параллельно с ним включенным
сопротивлением RB (рис. 2.3, б; стрелки в кружке указывают положитель­
ное направление тока источника тока, а небольшой разрыв между ними
напоминает, что внутреннее сопротивление источника тока равно беско­
нечности).
Рис. 2.3
Ток в нагрузке (в сопротивлении R) для схем на рис. 2.3, а, б одина­
ков: / = Е /(R+ RB), т. е. равен току в схеме на рис. 2.1, а. Для схемы
рис. 2.3, а это следует из того, что при последовательном соединении зна­
чения сопротивления R и RB складываются. В схеме на рис. 2.3, б ток
J = E /R B распределяется обратно пропорционально значениям сопротив­
лений R и RB двух параллельных ветвей. Ток в нагрузке R
I = J-
R.
R + Rn
Ra
Rn R + Rn
R + R„
Каким из двух расчетных эквивалентов пользоваться, совершенно
безразлично. В дальнейшем используется в основном первый эквивалент.
Обратим внимание на следующее:
1) источник ЭДС и источник тока — идеализированные источники,
физически изготовить которые, строго говоря, невозможно;
2) схема на рис. 2.3, б эквивалентна схеме на рис. 2.3 а в отношении
энергии, выделяющейся в сопротивлении нагрузки /?, и не эквивалентна
ей в отношении энергии, выделяющейся во внутреннем сопротивлении
источника питания RB;
3) идеальный источник ЭДС без последовательно соединенного с ним
RB нельзя заменить идеальным источником тока.
зо
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей..
На примере схемы рис. 2.3 осуществим эквивалентный переход от
схемы с источником тока к схеме с источником ЭДС. В схеме рис. 2.3, б
источник тока дает ток J - 50 А. Шунтирующее его сопротивление
RB = 2 Ом. Найти ЭДС эквивалентного источника ЭДС в схеме на
рис. 2.3, а.
ЭДС Е - J Rb - 100В. Следовательно, параметры эквивалентной схе­
мы на рис. 2.3, а таковы: Е = 100 В, Rb = 2 Ом.
§ 2.3. Н еразветвлен ны е и разветвлен н ы е электри чески е цепи.
Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвленные.
На рис. 2.1, а представлена схема простейшей неразветвленной цепи. Во
всех элементах ее течет один и тот же ток. Простейшая разветвленная
цепь изображена на рис. 2.4, а\ в ней имеются три ветви и два узла.
г
а
Рис. 2.4
В каждой ветви течет свой ток. Ветвь можно определить как участок
цепи, образованный последовательно соединенными элементами (через
которые течет одинаковый ток) и заключенный между двумя узлами. В
свою очередь, узел — это точка цепи, в которой сходятся не менее трех
ветвей. Если в месте пересечения двух линий на электрической схеме по­
ставлена точка (рис. 2.4, 6 ), то в этом месте есть электрическое соедине­
ние двух линий, в противном случае (рис. 2.4, в) его нет.
Кроме термина «узел» иногда используют термин «устранимый узел».
Под устранимым узлом понимают точку, в которой соединены два пос­
ледовательных сопротивления (рис. 2.4, <?)• Этим понятием пользуются
при введении данных в ЭВМ о значении и характере сопротивлений.
§ 2.4. Напряжение на участке цепи. Под напряжением на некотором
участке электрической цепи понимают разность потенциалов между край­
ними точками этого участка.
На рис. 2.5 изображен участок цепи, крайние точ­
ки которого обозначены буквами а и Ь. Пусть ток I те---- ►u ah
чет от точки а к точке b (от более высокого потенциаL -%—□ —•—
ла к более низкому). Следовательно, потенциал точки
a
r
Ь
а (фа) выше потенциала точки b (ф^) на значение,
равное произведению тока / на сопротивление R:
Рис' 2,5
Ф„ = Фh + I R.
§2.4. Напряжение на участке цепи
31
В соответствии с определением напряжение между точками а и b
Uab =Ф 0 -ФЛСледовательно,
Uab = / Я,
т. е. напряжение на сопротивлении равно произведению тока, протекаю­
щего по сопротивлению, на значение этого сопротивления.
В электротехнике разность потенциалов на концах сопротивления
называют либо напряжением на сопротивлении, либо падением напря­
жения. В дальнейшем разность потенциалов на концах сопротивления,
т. е. произведение / R, будем именовать падением напряжения.
Положительное направление падения напряжения на каком-либо уча­
стке (направление отсчета этого напряжения), указываемое на рисунках
стрелкой, совпадает с положительным направлением отсчета тока, про­
текающего по данному сопротивлению.
В свою очередь, положительное направление отсчета тока I (ток — это скаляр алгеб­
раического характера) совпадает с положительным направлением нормали к поперечному
сечению проводника при вычислении тока по формуле / = |б dS, где § — плотность тока;
dS — элемент площади поперечного сечения (подробнейсм. § 2 0 . 1 ).
Рассмотрим вопрос о напряжении на участке цепи, содержащем не
только сопротивление, но и ЭДС.
На рис. 2.6 показаны участки некоторых цепей, по которым протека­
ет ток /. Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками а и
с для этих участков. По определению,
и а с=Ц>„-Ц>с-
(2 . 1)
Выразим потенциал точки а через потенциал точки с. При перемеще­
нии от точки с к точке b встречно направлению ЭДС Е (рис. 2.6, а) по­
тенциал точки b оказывается ниже (меньше), чем потенциал точки с,
на значение ЭДС Е: фА = <рс. - Е. При перемещении от точки с к точке Ь
согласно направлению ЭДС Е (см. рис. 2.6, б) потенциал точки b оказы­
вается выше (больше), чем потенциал точки с, на значение ЭДС Е:
<рь = фс. + Е.
Так как по участку цепи без источника ЭДС ток течет от более высо­
кого потенциала к более низкому, в обеих схемах рис. 2.6 потенциал точки
а выше потенциала точки Ь на значение падения напряжения на сопро­
тивлении R: ф0 = (р/, + / R.
■е-
a
Рис. 2.6
R
Ь
■е
32
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
Таким образом, для рис. 2.6, а
(ра = ф с. - £ + / Я,
Uac =<ра -(рс = / Д - £ ,
(2.2)
для рис. 2 .6 , £
Фл = Фс. + £ + / Д
или
£Л,С= Ф * -Ф , = / * + £.
(2.3)
Положительное направление напряжения Uac показывают стрелкой
от а к с. Согласно определению, Uca = фс. - ф 0, поэтому
т. е.
изменение чередования (последовательности) индексов равносильно
изменению знака этого напряжения. Следовательно, напряжение может
быть и положительной, и отрицательной величиной.
§ 2.5. Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника
ЭДС. Закон (правило) Ома для участка цепи, не содержащего источник
ЭДС, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке.
Применительно к рис. 2.5
Uah = I R,
ИЛИ
/ = U ah/R = (4>a - y h)/R .
(2.4)
§ 2.6. Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС.
Обобщенный закон Ома. Закон (правило) Ома для участка цепи, содер­
жащего источник ЭДС, позволяет найти ток этого участка по известной
разности потенциалов (ф 0 - ф с) на концах участка цепи и имеющейся
на этом участке ЭДС £. Так, по уравнению (2.2) для схемы рис. 2.6, а
/ = ( Ф * - Ф 6. + £ )/ / ? = « Л * . + £)//?;
по уравнению (2.3) для схемы рис. 2.6, б
/ = (ф 0 - ф , - £ ) / я = ( ^ с - £ ) / Д .
В общем случае
. = (ф„ -Ф С)± Е _ и ос± Е
R
R
п „
^
Уравнение (2.5) математически выражает закон Ома для участка цепи,
содержащего источник ЭДС; знак плюс перед £ соответствует
рис. 2.6, я, знак минус — рис. 2.6, б. В частном случае при £ = 0 урав­
нение (2.5) переходит в уравнение (2.4).
§2.7. Законы Кирхгофа
33
Пример 9. К зажимам а и с схемы рис. 2.7 подклю­
чен вольтметр, имеющий очень большое, теоретически
бесконечно большое сопротивление (следовательно, его
подключение или отключение не влияет на режим рабо­
ты цепи).
Если ток / = 10 А течет от точки а к точке с, то пока­
зание вольтметра U'ac - -18 В; если этот ток течет от точ­
ки с к точке а , то U*ac - -20 В. Определить сопротивле­
ние R и ЭДС £.
Р е ш е н и е . В первом режиме
■©"
a
R
b
у
с
Рис. 2.7
У'ас =-18 = -£ + / Я = -£ + 10 Я,
во втором
Uас - - 2 0 = —£ - / R = - Е - \ 0 R.
Совместное решение дает £ = 19 В, R = 0,1 Ом.
§ 2.7. Законы Кирхгофа. Все электрические цепи подчиняются пер­
вому и второму законам (правилам) Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко:
1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы,
равна нулю\
2 ) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утекающих
от узла токов.
Применительно к рис. 2.8, если подтекающие к узлу
токи считать положительными, а утекающие — отрица­
тельными,
то
согласно
первой
формулировке
/, ~ / 2 - / 3 - / 4 - 0 ; согласно второй — /, = / 2 + / 3 + / 4.
Физически первый закон Кирхгофа означает, что дви­
жение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном
из узлов они не скапливаются.
Если мысленно рассечь любую схему произвольной плоскостью
и все находящееся по одну сторону от нее рассматривать как некоторый большой «узел», то алгебраическая сумма токов, входящих в этот
«узел», будет равна нулю.
Рис- 2 . 8
Второй закон Кирхгофа также можно сформулировать двояко:
1) алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом
контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура:
Х /я= 1 £
(2 .6 )
(в каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс,
если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус,
если они не совпадают с ним);
2 ) алгебраическая сумма напряжений {не падений напряженияі) вдоль
любого замкнутого контура равна нулю:
£ * /* /= 0.
2 - 4657
(2 .7 )
34
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
Для периферийного контура (рис. 2.9)
U ае + U ес + U a i + U da = 0.
Законы Кирхгофа справедливы для ли­
нейных и нелинейных цепей при любом
характере изменения во времени токов и
напряжений.
Сделаем два замечания:
1)
запись урав
Рис. 2.9
Кирхгофа в форме (2.6) может быть полу­
чена, если обойти какой-либо контур неко­
торой схемы и записать выражение для потенциала произвольной точки
этого контура через потенциал этой же точки (взяв ее за исходную при
обходе) и падения напряжения и ЭДС;
2)
при записи уравнений по второму закону Кирхгофа в форме (2.7)
напряжения и м участков цепи включают и падения напряжения участков,
и имеющиеся на этих участках ЭДС.
§ 2.8. С оставление уравнений для расчета токов в схемах с помо­
щью законов Кирхгофа. Законы Кирхгофа используют для нахождения
токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы в, число
ветвей, содержащих источники тока, — вИТ и число узлов у. В каждой
ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока
известны, то число неизвестных токов равняется в - в т . Перед тем как
составить уравнения, необходимо произвольно выбрать:
а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схе­
ме;
б) положительные направления обхода контуров для составления урав­
нений по второму закону Кирхгофа.
С целью единообразия рекомендуется для всех контуров положитель­
ные направления обхода выбирать одинаковыми, например по часовой
стрелке.
Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону
Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно числу узлов без
единицы, т. е. у - 1.
Уравнение для последнего >>-го узла не составляют, так как оно со­
впало бы с уравнением, полученным при суммировании уже составлен­
ных уравнений для у - 1 узлов, поскольку в эту сумму входили бы дваж­
ды и с противоположными знаками токи ветвей, не походящих к у -му
узлу, а токи ветвей, подходящих к >>-му узлу, входили бы в эту сумму со
знаками, противоположными тем, с какими они вошли бы в уравнение
для у-го узла.
По второму закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых
равно числу ветвей без источников тока ( в - в ИТ), за вычетом уравнений,
составленных по первому закону Кирхгофа, т. е.
(<?-ви т) - ( . у - 1) = в - 8 ит - у + 1.
§ 2.8. Составление уравнений для расчета токов в схемах.
35
Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа, следует охватить
все ветви схемы, исключая лишь ветви с источниками тока.
Если попытаться составить уравнение по второму закону Кирхгофа в
форме (2 .6 ) для контура, в который входит источник тока, то в него
вошли бы бесконечно большие слагаемые и оно не имело бы смысла.
При записи линейно независимых уравнений по второму закону
Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого состав­
ляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в пре­
дыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму
закону Кирхгофа. Такие контуры условимся называть независимыми.
Требование, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна
новая ветвь, является достаточным, но не необходимым условием, а
потому его не всегда выполняют. В таких условиях часть уравнений по
второму закону Кирхгофа составляют для контуров, все ветви которых
уже вошли в предыдущие контуры.
Пример 10. Найти токи в ветвях схемы на рис. 2.9, в которой Ех =80 В, Е2 =64 В,
/?і = 6 0 м, /?2 = 4 0 м, /?3 =ЗО м , /? 4 = 1 0 м.
Р е ш е н и е . Произвольно выбираем положительные направления тока в ветвях. В схеме
на рис. 2.9 в = 3; вит =0; у - 2 .
Следовательно, по первому закону Кирхгофа, можно составить только одно уравне­
ние:
/| + /2 = /з-
(2.8)
Нетрудно убедиться, что для второго узла получили бы аналогичное уравнение. По
второму закону Кирхгофа составим ( в - в и т )-(>> -1) = 3 - 0 - ( 2 - 1 ) = 2 уравнения. Поло­
жительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке.
Для контура R\E xR2E2
l 2 R2 + / 3 (/?з + /?4 ) = - Е 2.
(2.9)
Знак плюс перед /, Rx взят потому, что направление тока совпадает с направлением
обхода контура; знак минус перед / 2 R2 — потому, что направление / 2 встречно обходу
контура.
Для контура E2R2R3R4
/2 Д2 -/з(/г 3 + Л4) = -£,.
(2. 10)
Совместное решение уравнений (2.8 )-(2 .10) дает / , =1 4 А, /2 = -1 5 А , / 3 = -1А .
Поскольку положительные направления токов выбирают произвольно, в результате
расчета какой-либо один или несколько токов могут оказаться отрицательными. В рассмот­
ренном примере отрицательными оказались токи / 2 и / 3, что следует понимать так: на­
правления токов / 2 и / 3 не совпадают с направлениями, принятыми для них на рис. 2.9
за положительные, т. е. в действительности токи / 2 и / 3 протекают в обратном направ­
лении.
Для выбора контура таким образом, чтобы в каждый из них входило по одной ветви,
не входящей в остальные контуры, используют понятие дерева. Под деревом понимают
совокупность ветвей, касающихся всех узлов, но не образующих ни одного замкнутого
контура. Из одной и той же схемы можно образовать несколько деревьев. При составле­
нии системы уравнений по второму закону Кирхгофа можно взять любое дерево из воз­
можных. Одно из возможных деревьев схемы рис. 2.10, а изображено на рис. 2.10, б, а на
рис. 2 . 1 0 , в — четыре независимых контура, в каждый из которых входит по одной ветви,
показанной штриховой линией, не входящей в остальные. Более подробно о топологии
электрических схем см. §2.31-2.35 и П1.5-П1.10.
36
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
\
/
/
/
\
\
\
А
б
а
в
Рис. 2.10
§ 2.9. Заземление одной точки схемы. Заземление любой точки схе­
мы свидетельствует о том, что потенциал этой точки принят равным
нулю. При этом токораспределение в схеме не изменяется, так как ника­
ких новых ветвей, по которым могли бы протекать токи, не образуется.
Иначе будет, если заземлить две или большее число точек схемы,
имеющих различные потенциалы. В этом случае через землю (любую
проводящую среду) образуются дополнительные ветви, сама схема
становится отличной от исходной и токораспределение в ней меняется.
§ 2.10. П отенциальная диаграмма. Под потенциальной диаграммой
понимают график распределения потенциала вдоль какого-либо участка
цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс на нем откладывают со­
противления вдоль контура, начиная с какой-либо произвольной точки,
по оси ординат — потенциалы. Каждой точке участка цепи или замкну­
того контура соответствует своя точка на потенциальной диаграмме.
Рассмотрим последовательность построения потенциальной диаграм­
мы по данным примера 2 .
П рим ер 11. Построить потенциальную диаграмму для контура abcea (рис. 2.9).
Р е ш е н и е . Подсчитаем суммарное сопротивлен^іе контура: 4 + 3 +1 = 8 Ом. Выберем
масштабы по оси абсцисс (ось х) и по оси ординат (ось у).
Произвольно примем потенциал одной из точек, например точки а,
= 0. Эту точку
на диаграмме (рис. 2 . 1 1 , а) поместим в начало координат.
а
б
Рис. 2.11
§ 2.11. Энергетический баланс в электрических цепях
37
Потенциал точки b : ц>ь = фЛ + / 2 4 = фа - 6 0 = - 6 0 В; ее координаты: х - 4 . у = - 6 0 .
Потенциал точки с: <рс = Ф/, + Е2 = 4 В; ее координаты: х = 4, = 4. Потенциал точки е:
= Фс + h Я4 = 4 -1 х 1 = 3 В; ее координаты: х = 5, у = 3.
Тангенс угла а , наклона прямой а аЬ к оси абсцисс пропорционален току / 2, а тан­
генс угла а 2 наклона прямой се — току / 3; tga = /-—Ц где тп тф— масштабы по осям
т(п
JCи у.
ф
Обратим внимание на различие в знаках, с которыми входит падение напряжения I R
при определении потенциала какой-либо точки схемы через потенциал исходной точки и
при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа. При вычислении потенциала
последующей точки через потенциал предыдущей 1 R берут со знаком минус, если пере­
мещение по сопротивлению R совпадает по направлению с током, тогда как при сос­
тавлении уравнений по второму закону Кирхгофа I R некоторого участка цепи берут
в сумме £ / R со знаком плюс, если обход этого участка совпадает с направлением тока
/ на нем.
§ 2.11. Энергетический баланс в электрических цепях. При проте­
кании токов по сопротивлениям в последних выделяется теплота. На ос­
новании закона сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся
в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться энергии,
доставляемой за то же время источником питания.
Если направление тока /, протекающего через источник ЭДС Е,
совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь энер­
гию в единицу времени (мощность), равную Е /, и произведение Е /
входит в уравнение энергетического баланса с положительным знаком.
Если же направление тока / встречно направлению ЭДС £, то источ­
ник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается
аккумулятор), и произведение Е I войдет в уравнение энергетического
баланса с отрицательным знаком.
Уравнение энергетического баланса при питании только от источни­
ков ЭДС имеет вид
х /2^
Когда схема питается не только от источников ЭДС, но и от источни­
ков тока, т. е. к отдельным узлам схемы подтекают и от них утекают токи
источников тока, при составлении уравнения энергетического баланса
необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока.
Допустим, что к узлу а схемы подтекает ток J от источника тока, а от
узла Ь этот ток утекает. Доставляемая источником тока мощность равна
U ah J.
Напряжение Uah и токи в ветвях схемы должны быть подсчитаны с
учетом тока, подтекающего от источника тока. Последнее проще всего
сделать по методу узловых потенциалов (см. § 2.22). Общий вид уравне­
ния энергетического баланса:
£ / 2 R = Z E I + Z U ahJ.
Для практических расчетов электрических цепей разработаны мето­
ды, более экономичные в смысле затраты времени и труда, чем метод
расчета цепей по законам Кирхгофа. Рассмотрим эти методы.
38
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
§ 2.12. М етод пропорциональны х величин. Согласно методу про­
порциональных величин, в самой удаленной от источника ЭДС ветви
схемы (исходной ветви) произвольно задаемся некоторым током, напри­
мер током в 1 А. Далее, продвигаясь к входным зажимам, находим токи
в ветвях и напряжения на различных участках схемы. В результате рас­
чета получим значение напряжения Uтп схемы и токов в ветвях, если в
исходной ветви протекает ток в 1 А.
Так как найденное значение напряжения Umn в общем случае окажет­
ся не равным ЭДС источника, то следует во всех ветвях изменить токи,
умножив их на коэффициент, равный отношению ЭДС источника к най­
денному значению напряжения в начале схемы.
Метод пропорциональных величин, если рассматривать его обособ­
ленно от других методов, применим для расчета цепей, состоящих толь­
ко из последовательно и параллельно соединенных сопротивлений и при
наличии в схеме одного источника. Однако этот метод можно использо­
вать и совместно с другими методами (преобразование треугольника в
звезду, метод наложения и т. п.), которые рассмотрены далее.
П рим ер 12. Найти токи в ветвях схемы (рис. 2.11, б) методом пропорциональных ве­
личин. Сопротивления схемы даны в омах.
Р е ш е н и е . Задаемся током в ветви с сопротивлением 4 Ом, равным 1 А, и подсчиты­
ваем токи в остальных ветвях (числовые значения токов обведены на рисунке кружками).
Напряжение между точками т и п равно 1-4 + 3- 3 + 4*3 = 25В. Так как ЭДС Е = 100 В, все
токи следует умножить на коэффициент к = 100/25 = 4.
§ 2.13. Метод контурны х токов. При расчете методом контурных
токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой кон­
турный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, пос­
ле чего через них определяют токи ветвей.
Таким образом, метод контурных токов можно определить как ме­
тод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число
неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо
было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа.
Следовательно, метод контурных токов более экономен при вычисли­
тельной работе, чем метод на основе законов Кирхгофа (в нем меньше
число уравнений).
Вывод основных расчетных уравнений приведем применительно
к схеме с двумя независимыми контурами (рис. 2.12). Положим, что
в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток / п , а в правой
§2.13. Метод контурных токов
39
(также по часовой стрелке) — контурный ток / 22. Для каждого контура
составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем,
что по смежной ветви (с сопротивлением Rs ) течет сверху вниз
ток / п - / 22. Направления обхода контуров примем также по часовой
стрелке.
Для первого контура
(Rl + R2) I u +R5 (/,, - / 22) = £, + Е5
(2.11)
(Я, + R2 + Rs) /,, + (-R 5) / 22 = £, + Es.
(2.12)
или
Для второго контура
~^5 (Л I ” h i ) + (Лз + ^4 ) ^22 = ~^5 ~ ^4
ИЛИ
( - / ? 5 ) / J J + ( / ? з + /?4 + /? 5 ) / 22 = - £ 5 - £ 4 .
В уравнении (2.12) множитель при токе / п , являющийся суммой
сопротивлений первого контура, обозначим через R]X множитель при
токе / 22 (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус) —
через Rl2Перепишем эти уравнения следующим образом:
j/?,, / , j + /?!2 / 22 = £ п ;
(2 13)
\ r 2\ ^)]+ R22 ^22 ~ ^22 *
Здесь
/?1 j = Rx + R2 + /?5;
R22 =
£j j = £j + £ 5;
+ /?4 + /?$;
/?12 = /?21 = —R^\
£ 22 = “ £4 —£ 5,
где Яп — полное, или собственное, сопротивление первого контура;
R \ 2 — сопротивление смежной ветви между первым и вторым конту­
рами,взятое со знаком минус; £ п — контурная ЭДС первого контура,
равная алгебраической сумме ЭДС этого контура (в нее со знаком плюс
входят те ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода
контура); R22 — полное, или собственное, сопротивление второго
контура; R2] — сопротивление смежной ветви между первым и вторым
контурами, взятое со знаком минус; £ 22 — контурная ЭДС второго кон­
тура.
В общем случае можно сказать, что сопротивление смежной ветви между А- и w-контурами (Ль») входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных токов
h k и ^тт вдоль этой ветви встречны, и со знаком плюс, если направления этих токов
согласны.
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
40
Если в схеме больше двух контуров, например три, то система урав­
нений выглядит следующим образом:
*■ 1 Л. + Rn / 22 + *.з
*21 'и + * 2 2 h i + * 2 3
*з> /|> + * 3 2 h i + * 3 3
/З З
/З З
= е 22 ;
/З З
= £зз,
(2.14)
или в матричной форме
и [/]= г а
[*] =
' * 1.
*12
* .з '
*2.
*22
*23
_Л31
*32
*33.
£ц
;
Ш
=
hi ;
[Е} = Е ц
(2.15)
*33.
J».
Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными
индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, на­
пример по часовой стрелке.
В результате решения системы уравнений какой-либо один или
несколько контурных токов могут оказаться отрицательными.
В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами
(например, в ветви с сопротивлениями R\ R2 на Рис- 2.12), найденный
контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях
через контурные токи определяют токи ветвей. Например, в ветви с со­
противлением Rs протекающий сверху вниз ток равен разности /, j - / 22.
Если в электрической цепи имеется п независимых контуров, то чис­
ло уравнений тоже равно п.
Общее решение системы п уравнений относительно тока
:
+ ^Е3 3
hk ~ Е\ і zAL + Ej2
+
Д
д
. + ...4
Д
(2 . 16)
где
А=
* 1«
*11
* ,2
*13
*21
*22
*23
-
*2 и
*3.
*32
*33
-
*3п
*nl
*л2
*«з
••• *ш
(2.17)
есть определитель системы.
Алгебраическое дополнение Акт получено из определителя А путем
вычеркивания /;-го столбца и т-й строки и умножения полученного оп­
ределителя на ( - 1)*+/,\
§ 2.13. Метод контурных токов
41
Если из левого верхнего угла определителя провести диагональ в его
правый нижний угол (главная диагональ) и учесть, что Rkm = Rmk, то
можно убедиться в том, что определитель делится на две части, являю­
щиеся зеркальным отображением одна другой. Это свойство определи­
теля называют симметрией относительно главной диагонали. В силу
симметрии определителя относительно главной диагонали Akm =A W*.
П рим ер 13. Найти токи в схеме (рис. 2.13)
методом контурных токов. Числовые значения
сопротивлений в омах и ЭДС в вольтах указа­
ны на рисунке.
Р е ш е н и е . Выберем направления всех
контурных токов / п , / 22, / 33 по часовой
стрелке. Определяем:
/?и =5 + 5 + 4 = 140м ;
R22 = 5 + 10 + 2 = 17 Ом;
Д33 = 2 + 2 + 1= 5 Ом;
R\3 ~ Язі ~ О,
R\2 —Rj\ ~ —5 Ом;
Язз = Яз2 = - 2 Ом;
£ 22= 10 В;
£ 33
£ П =- 10В;
Рис. 2.13
= - 8 В.
Записываем систему уравнений:
14/, , - 5 / 22
- 5 /, і + 17 / 22 - 2
/3
Определитель системы
14
-5
0
д = -5
17
-2
0
-2
= 1009.
5
Подсчитаем контурные токи
-1 0
-5
0
10
17
-2
-8
2
5
<
-640
—
1009
/ 22
Ток в ветви cm 1ст = /,, Ток в ветви am 1ат - / 22 -
/ 22
/ 33
= 0,224 А;
/ 33
= -0,634 А;
= -1,51 А.
= -0,63 - 0,224 = -0,86 А.
= 0,224 +1,51 = 1,734 А.
Формула (2.16) в ряде параграфов используется в качестве исходной
при рассмотрении таких важных вопросов теории линейных электриче­
ских цепей, как определение входных и взаимных проводимостей ветвей,
принцип взаимности, метод наложения и линейные соотношения в элек­
трических цепях.
Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с
источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае по-
42
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
лагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкаю­
щийся через ветви с источниками ЭДС и сопротивлениями, и что токи в
этих контурах известны и равны токам соответствующих источников тока.
Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными контурными
токами. Если для схемы на рис. 2.14, а принять, что контурный ток
а
б
Рис. 2.14
в
/ п = J течет согласно направлению часовой стрелки по первой и вто­
рой ветвям, а контурный ток /22 = /3 замыкается также по часовой стрел­
ке по второй и третьей ветвям, то, согласно методу контурных токов, по­
лучим только одно уравнение с неизвестным ТОКОМ /22 :
(/?-> 4- /?з) / 2? ~ R-2 J ~ Е.
г\
Е + J R->
„
t i l
- /-п.
Отсюда / ?? = --------- — и ток второй ветви / ? =
“
/?2 + л3
§ 2.14. Принцип наложения и метод наложения. Чтобы составить
общее выражение для тока в &-ветви сложной схемы, составим уравне­
ния по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы &-ветвь вхо­
дила только в один А-контур (это всегда возможно). Тогда согласно (2.16)
ток в &-ветви будет равен контурному току l kk. Каждое слагаемое пра­
вой части (2.16) представляет собой ток, вызванный в /:-ветви соответст­
вующей контурной ЭДС. Например, Еи А*,/А есть составляющая тока
ветви, вызванная контурной ЭДС £ п . Каждую из контурных ЭДС мож­
но выразить через ЭДС ветвей Еи Е2,Е Ъ, ..., Ек9..., Еп, сгруппировать
коэффициенты при этих ЭДС и получить выражение следующего вида:
h
- Е\ 8 к \
+ ^ 2 8к2
+£3
g*3 + •••+£* gkk + Еп 8кп-
(2.18)
Если контуры выбраны таким образом, что какая-либо из ЭДС, напри­
мер Ет , входит только в один м-контур, а в другие контуры не входит,
то g km= A km/A.
Уравнение (2.18) выражает собой принцип наложения.
Принцип наложения формулируется следующим образом: ток в
k-ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из ЭДС
схемы в отдельности. Этот принцип справедлив для всех линейных элек­
трических цепей.
§2.15. Входные и взаимные проводимости ветвей. Входное сопротивление
43
Принцип наложения положен в основу метода расчета, получившего
название метода наложения.
При расчете цепей данным методом поступают следующим образом:
поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждой из
ЭДС, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя в схеме внут­
ренние сопротивления источников, и затем находят токи в ветвях путем
алгебраического сложения частичных токов. Заметим, что методом на­
ложения нельзя пользоваться для подсчета выделяемых в сопротивлени­
ях мощностей как суммы мощностей от частичных токов, поскольку
мощность является квадратичной функцией тока (Р = R / 2).
Если через некоторое сопротивление R протекают согласно направ­
ленные частичные токи 1} и / 2, то выделяемая в нем мощность
р = R (/j + / 2)2 и не равна сумме мощностей от частичных токов:
P*RI?+Rlj.
Пример 14. Для схемы (рис. 2.14, а) методом наложения найти токи в ветвях, опре­
делить мощности, отдаваемые в схему источником тока и источником ЭДС, полагая
Я, = 2 0 м ; /? 2 = 4 Ом; Я3 - 6 0 м ; J = 5 А: £ = 20В.
Р е ш е н и е . Положительные направления токов в ветвях принимаем в соответствии с
рис. 2.14, а. С помощью схемы на рис. 2.14, б (источник ЭДС удален, зажимы cd закоро­
чены) найдем токи в ветвях от действия источника тока:
R
6
/;=2А.
/ ; = / ; -------г— = 5— — = ЗА;
/? 2 + Д3
4+6
Используя рис. 2.14, в, подсчитываем токи в ветвях от действия источника ЭДС (за­
жимы ab разомкнуты, так как внутреннее сопротивление источника тока равно бесконеч­
ности):
l[ = J = 5А:
/ ’ = 0;
/,’ = / ; = — - — = 2 А.
Результирющие токи в ветвях вычислим, алгебраически суммируя соответствующие
частичные токи этих двух режимов:
/, = /( + /Г = 5 + 0 = 5 А;
/2
= / ; - / £ = 3 - 2 = 1A;
Ф« = Фа + 7 2 Ri + J\ R\ '<
/3
= /J + /J = 2 + 2 = 4 А;
и ah = 1• 4 + 5 • 2 = 14 В.
Мощность, отдаваемая в схему источником тока, Uah J = 14 •5 = 70 Вт. Мощность, от­
даваемая в схему источником ЭДС, Е / 3 = 2 0 -4 = 80 Вт.
Уравнение баланса мощности /,2 /?, + i \ R2 + l j Я3 = Uah J + Е / 3
§ 2.15. Входные и взаимные проводимости ветвей. Входное сопро­
тивление. На рис. 2.15, а изображена так называемая скелетная схема
пассивной цепи. На ней показаны ветви и узлы. В каждой ветви имеется
сопротивление. Выделим в схеме две ветви: т и к . Поместим в ветвь т
ЭДС Ет (других ЭДС в схеме нет). Выберем контуры в схеме так, что­
бы к-ветвь входила только в А-контур, а ю-ветвь — только в w-контур.
ЭДС Ет вызовет токи в ветвях к и т :
Iк ~
&кт ’
/*т = Е
*^т я
&тт‘
(2Л9)
44
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
Рис. 2.15
Коэффициенты g имеют размерность проводимости.
Коэффициент g с одинаковыми индексами (g mm) называют входной
проводимостью ветви (ветви т). Он численно равен току в ветви т, воз­
никшему от действия ЭДС Ет = 1 В (единичной ЭДС): /,„ = 1 g mm.
Коэффициенты g с разными индексами называют взаимными прово­
димостями. Так, g km есть взаимная проводимость к- и т-ветвей. Вза­
имная проводимость g km численно равна току в к-ветви, возникающему
от действия единичной ЭДС в w-ветви^.
Входные и взаимные проводимости ветвей используют при выводе
общих свойств линейных электрических цепей (см. § 2.16 и 2.18) и при
расчете цепей по методу наложения (см.формулу (2.18)).
Входные и взаимные проводимости могут быть определены расчет­
ным и опытным путями.
При их расчетном определении составляют уравнения по методу
контурных токов, следя за тем, чтобы ветви, взаимные и входные прово­
димости которых представляют интерес, входили каждая только в свой
контур. Далее находят определитель системы д и по нему необходимые
алгебраические дополнения:
( 2 .20)
г*»=Д*»/Д-
(2-21)
По формуле (2.21) g km может получиться либо положительной, либо
отрицательной величиной. Отрицательный знак означает, что ЭДС Ет,
направленная согласно с контурным током в m-ветви, вызывает ток в
&-ветви, не совпадающей по направлению с произвольно выбранным на­
правлением контурного тока 1к по А-ветви.
При опытном определении g mm и g km в w-ветвь схемы (рис. 2.15, б)
включают источник ЭДС
а в £-ветвь — амперметр (миллиампер­
метр). Поделим ток 1к на ЭДС Ет и найдем значение g km. Для опреде­
ления входной проводимости g mm ветви т необходимо измерить ток в
этой ветви, вызванной ЭДС Ет. Частное от деления тока w-ветви на ЭДС
/w-ветви и дает g mm.
*’ Входные и взаимные проводимости ветвей можно определить и иначе, входная
проводимость m-ветви — это коэффициент пропорциональности между током и ЭДС
этой ветви (при отсутствии ЭДС в других ветвях схемы); взаимная проводимость ветвей к
и т — коэффициент пропорциональности между током ^г-ветви и ЭДС w-ветви при отсут­
ствии ЭДС в других ветвях схемы.
§2.16. Теорема взаимности
45
Выделим w-ветвь, обозначив всю остальную
часть схемы (не содержащую ЭДС) некоторым пря­
моугольником (рис. 2.16). Вся схема, обозначенная
прямоугольником, по отношению к зажимам ab об­
ладает некоторым сопротивлением. Его называют
входным сопротивлением. Входное сопротивление тветви обозначим Явхт. Тогда
Ra.
1
к
(2 .22)
s„
Таким образом, входное сопротивление т-ветви есть величина, обрат­
ная входной проводимости этой ветви. Его не следует смешивать с пол­
ным сопротивлением w-контура в методе контурных токов.
Пример 15. Определить входную
и взаимную g n проводимость в схеме рис. 2.13.
Р е ш е н и е . Контуры выбраны так, что ветвь 1 (ветвь cbm) с источником ЭДС £, вхо­
дит только в первый контур, а ветвь 2 (ветвь са) с источником ЭДС Е2 — во второй.
Поэтому можно воспользоваться определителем системы Д и алгебраическими допол­
нениями Д,, и Д12, составленными поданным примера 13:
-5
-2
О
5
Z\2:
( - 1) "
1009
17
-2
-2
5
(-0
1009
25
1009
81
1009
%0,025 Ом
= 0,025 См;
%0.081 Ом " 1 = 0.081 См.
§ 2.16. Теорема взаимности. Теорема взаимности формулируется
следующим образом: для любой линейной цепи ток в k-ветви, вызван­
ный источником ЭДС Ет , находящимся в т-ветви, Ik = Ет g km равен
току 1т в т-ветви, вызванному источником ЭДС Ек (численно равной
ЭДС £ ш), находящимся в й-ветви, /,„ = Ек g mk.
Для доказательства теоремы взаимности обратимся к рис. 2.15, а. Как
и при выводах в § 2.15, выделим две ветви схемы: к- и w-ветви. Включим
в ветвь т источник ЭДС Ет, в ветвь к — амперметр Л. Амперметр для
измерения тока 1к включаем только для наглядности; сопротивление ам­
перметра полагаем равным нулю. Пусть каждая из ветвей к и т входит
соответственно только в к- и /77-контуры. Поэтому по методу контурных
токов 1к - Е т Акт! А. Поменяем местами источник ЭДС и амперметр,
т. е. источник ЭДС переместим из rn- в &-ветвь и назовем теперь £*, а
амперметр — из к- в w-ветвь. В этом случае ток 1т - Ек А тк / А.
Так как Ек = Епп а Атк = Акт в силу симметрии определителя систе­
мы А относительно главной диагонали (см. § 2.13), то ток 1к в схеме
на рис 2.15, б равняется току 1т в схеме на рис. 2.15, в.
При практическом использовании теоремы взаимности важно иметь
в виду взаимное соответствие направлений токов и ЭДС в схемах на
рис. 2.15, б, в.
46
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
Так, если ЭДС Ек источника ЭДС, находящегося в к-ветви схемы
(рис. 2.15, в), направлена согласно с контурным током 1к (рис. 2.15, б),
то положительное направление отсчета для тока 1т (рис. 2.15, в) будет
совпадать с положительным направлением контурного тока по ветви т
(ЭДС Ет в схеме на рис. 2.15, б направлена по 1т).
Для нелинейных цепей теорема (принцип) взаимности невыполнима.
Цепи, для которых не выполняется принцип взаимности, называют
необратимыми.
П рим ер 16. В схеме на рис. 2.17 переключатели
Р2, P3, и Р4 могут находиться
в первом или во втором положении. Если они находятся в положении /, то включен толь­
ко один источник ЭДС £ 4. Под действием ЭДС Е4 протекают токи /, = 1,5 А, / 2 = ЗА,
Рис. 2.17
/ 3 = 1 А. Найти ток / 4, если все переключатели находятся в положении 2. полагая, что
£ , = 2 0 В, Е2 = 40 В, £ 3 = 50 В. £ 4 = 10В.
Р е ш е н и е . Для определения тока / 4 воспользуемся принципом наложения и прин­
ципомвзаимности. Если бы в схеме был включен один источник ЭДС £, = 10 В, а осталь­
ные( £ 2 и £ 3) отсутствовали, то в ветви 4’’ по принципу взаимности протекал бы сверху
вниз ток в 1,5 А. Так как ЭДС £ , = 2 0 В, то в ветви 4 протекает гок, равный
1.5-20/10 = 3 А. Аналогичным образом найдем токи в ветви 4 при включении источников
ЭДС £-> и £ 3 и произведем алгебраическое сложение частичных токов (с учетом их
направления):
с 20
0
ч 50
— = 5СА.Л
/, = ,1,5—
+ 3И----------------------2
4
10
10
10
§ 2.17. Теорема компенсации. Рассмотрим два варианта этой теоре­
мы. В любой электрической цепи без изменения токораспределения
сопротивление можно заменить:
1) источником ЭДС, ЭДС которого численно равна падению напряже­
ния на заменяемом сопротивлении и направлена встречно току в этом
сопротивлении;
2 ) источником тока J, ток которого численно равен току в этом сопро­
тивлении и имеет то же направление, что и ток /.
#) Номер ветви соответствует индексу ЭДС.
§2.17. Теорема компенсации
а
47
д
в
г
Рис. 2.18
Для доказательства теоремы компенсации выделим из схемы одну
ветвь с сопротивлением R, по которой течет ток /, а всю остальную часть
схемы условно обозначим прямоугольником (рис. 2.18, а).
Если в выделенную ветвь включить два одинаковых и противоположно
направленных источника ЭДС £, ЭДС которых равна падению напряже­
ния на сопротивлении R под действием тока / (£ = //? ; рис. 2.18, б),
то ток / в цепи от этого не изменится. Убедимся, что разность потенциа­
лов между точками д и е н а рис. 2.18, б при этом равна нулю. Действи­
тельно,
Фс. = с р в - / Д + £ = Фа - / / ? + / Д = Фв .
Если фс. = ф а, то точки а и с можно объединить в одну, т. е. закоро­
тить участок ас и получить схему, где вместо сопротивления R включен
источник ЭДС £ (см. рис. 2.18, в).
Схема, соответствующая второму варианту теоремы, изображена на
рис. 2.18, г. Чтобы прийти к ней, заменим последовательно соединенные
R и £ на участке ас (см. рис. 2.18, б) параллельным соединением источ­
ника тока У = £ //? = / и сопротивления R. Так как Uac = 0, то ток через
R будет отсутствовать и потому R можно удалить из схемы.
Если ЭДС £ участка Ьс включить в состав источника тока, то полу­
чим схему, где напряжение Uba = - / R (рис. 2.18, г).
П ример 17. На схеме (рис. 2.19, а) даны значения R (Ом), ЭДС £ , (В) и токов / (А).
Заменить /? 3 источником ЭДС и источником тока.
Р е ш е н и е . На рис. 2.19, б изображена схема с источником ЭДС Е = 2 В, а на
рис. 2.19, в — с источником тока J - 2 А.
1
-О Л =1
Л= 3
ф £1
£ ,= 5
£ =2В
Л =2
I Д2 =2 I *3 = 1
©
Т £>
й
I R2
Рис. 2.19
Ф
Г -О -
Ф.
І
48
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей..
§ 2.18. Л инейны е соотнош ения в электрических цепях. Если в ли­
нейной электрической цепи изменяется ЭДС или сопротивление в какойлибо одной ветви, то две любые величины (токи и напряжения) двух
любых ветвей связаны друг с другом линейными зависимостями вида
у - а + Ьх.
Функцию х выполняет ток или напряжение одной ветви, функцию
у — ток или напряжение другой ветви.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно методу контурных токов, общее вы­
ражение для тока в к-ветви записывают в виде (2.18). Если в схеме изме­
няется только одна ЭДС, например ЭДС £ w, то все слагаемые в (2.18),
кроме слагаемого Ет g km, постоянны и могут быть для сокращения
записи заменены некоторым слагаемым Ак.
Следовательно,
I к ~~ ^ к
(2.23)
Е я Sknf
Аналогично, для / 7-ветви
fр
~
Ар
gрт
.
(2.24)
Найдем Ет из (2.24):
£
-L
eZ
A
l
& рт
и подставим в (2.23). Получим
h ~ ак +bk Iр,
(2.25)
где ак - Ак - Ар g km; bk = g km / g pm.
Коэффициенты ак и Ьк могут быть $0. В частном случае либо ак,
либо Ьк может быть равно нулю.
Равенство (2.25) свидетельствует о том, что при изменении ЭДС Ет
токи 1к и Iр связаны линейной зависимостью. Из теоремы компенса­
ции известно, что любое сопротивление можно заменить источником
ЭДС. Следовательно, изменение сопротивления в w-ветви эквивалентно
изменению ЭДС Ет. Таким образом, линейное соотношение между дву­
мя любыми токами (2.25) имеет место при изменении не только ЭДС Епп
но и сопротивления некоторой т-ветви.
Если обе части (2.23) умножить на сопротивление £-ветви Rk и про­
делать аналогичные выкладки, то можно убедиться в том, что напряже­
ние &-ветви линейно связано с током в /?-ветви.
Коэффициенты ак и Ьк из (2.25) и в других подобных выражениях
могут быть найдены расчетным или опытным путем.
При опытном определении коэффициентов достаточно найти значе­
ния двух токов (соответственно напряжений) при двух различных режи­
мах работы схемы и затем решить систему из двух уравнений с двумя
§2.18. Линейные соотношения в электрических цепях
49
неизвестными. Пусть, например, в первом опыте Ik = Ik] и
ВО втором l k - l k2 И I р = Iр2'
Тогда
а
h i - a k + b k I Р2 ,
Если в схеме одновременно изменяются ЭДС или сопротивления в
каких-либо двух ветвях, то любые три величины в этой схеме (токи, на­
пряжения) связаны друг с другом линейным соотношением вида
у - а + Ь х + с z.
Доказательство этого соотношения проводится аналогично приведен­
ному ранее.
П ример 18. На рис. 2.20, а изображена схема, в которой выделены три ветви. В вет­
ви 1 включен амперметр Аь в ветви 2 — амперметр А2. В ветви 3 имеются ключ К и
сопротивление Я3. Если К разомкнут, то амперметр Ах показывает 1 А, амперметр
А2 — 5 А. При замкнутом ключе амперметр
показывает 2 А, а амперметр А2 — 4 А.
При замкнутом ключе сопротивление Я3 изменили так, что показание амперметра А2
стало 4,5 А. Каково показание амперметра А| в этом режиме?
Р е ш е н и е . Выразим /, через / 2 : / } =а + Ь 12. Составим уравнение для определе­
ния а и Ь.
1= я + 5 6 ;
Отсюда а =
6
и ^ = -1 . При
/2
= 4,5 А;
2 ~ a + 4b.
/, = 6 - 4,5 = 1,5 А.
П рим ер 19. В схеме (рис. 2.20, б) сопротивление R изменяется от нуля до бесконеч­
ности. Вывести зависимость напряжения Ucd от напряжения Uah.
U , j = j r J + ± U ah.
1
о
a
Рис. 2.20
50
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
§ 2.19. Изменения токов ветвей, вызванные приращением сопро­
тивления одной ветви (теорема вариаций). На рис. 2.21, а выделим
ветви 1 и 2 с токами /, и / 2, заключив остальную часть схемы вместе с
а
б
в
Рис. 2.21
источниками энергии в прямоугольник А (активный); проводимости g 12
и g 22 полагаем известными. Пусть сопротивление ветви 2 изменилось
на AR (рис. 2.21, б), в результате чего токи стали
/ ! н- Л / j
и
/ 2 + Д / 2.
В соответствии с теоремой компенсации заменим AR на ЭДС
АЕ = AR ( / 2 + Л/2),
направленную встречно току / 2. На основании принципа наложения
можно сказать, что приращения токов Д/, и Д/ 2 вызваны ЭДС АЕ в
схеме (рис. 2 .21 , в), в которой часть схемы, заключенная в прямоуголь­
ник, стала пассивной (буква П). Так как схема внутренних соединений и
значения сопротивлений в схеме прямоугольника остались без измене­
ний, то проводимости g ,2 и g 22 в схеме на рис. 2 .21 , в имеют те же зна­
чения, что и на рис. 2.21, а. Для схемы на рис. 2.21, в имеем:
Д/j - -А Е g 12 - -g\2 ЛЯ (^2 + ^ 2 )’
A I 2 ——АЕ g 22 = ~§22
(^2 + А/ 2 ).
Знаки минус поставлены потому, что ЭДС АЕ2 направлена встречно
току / 2. Отсюда
д/
1 2 2 _ Д R h _ .
1+
Д / ? Я 22
д /
g
1+
n
M
_
h
_
( 2 2 6 )
A t f g 22
Соотношения (2.26) позволяют определить изменение токов в ветвях
/ и 2 , вызванные изменением сопротивления в ветви 2 .
П ри м ер 20. В схеме (рис. 2.21) £ 22 = 5 /2 6 С м , £ 12= 3 /2 6 С м . Токи /, —7 А.
= 3 А. Определить токи /, и / 2 после того, как сопротивление ветви 2 возросло на
AR = 1Ом.
/2
§ 2.20. Замена нескольких параллельных ветвей... одной эквивалентной
51
Р е ш е н и е . По формулам (2.26), Д/, = -0,29 А, Д / 2 = -0,483 А :
![ = /, + Д/, = 6,71 А,
Г2 = / 2 + Д / 2 = 2,517 А.
§ 2.20. Замена нескольких параллельны х ветвей, содержащих ис­
точники ЭДС и источники тока, одной эквивалентной. Расчет слож­
ных схем упрощается при замене нескольких параллельно включенных
ветвей, содержащих источники ЭДС, источники тока и сопротивления,
одной эквивалентной ветвью.
Участок цепи на рис. 2.22, б эквивалентен участку цепи на рис. 2.22, а,
если при любых значениях тока /, подтекающего из всей остальной, не
показанной на рисунке части схемы, напряжение на зажимах а и Ь (Uab)
*эМ
,©
о
Рис. 2.22
в обеих схемах одинаково. Для того чтобы выяснить, чему равняются /?э
и £ э, составим уравнения для обеих схем.
Для схемы на рис. 2.22, а
/ | + /•) +
+ J г 4* J s = / ,
_ £ . -U a b
={EX- U ah) g ^
но
,
1\ -
R
I 2 = (E 2 - U oh) g 2;
(2.27)
К =(£» ~ Uah)gn
Следовательно,
i = Z l k = Z £ * gk + iL J k - u ahY.gk>
k=\
k=1
k=\
Ы1
(2.28)
где n — число параллельных ветвей с источниками ЭДС; q — число па­
раллельных ветвей с источниками тока.
Для схемы на рис. 2.22, б
1 = E ^ g , - U ab
где
(2 .2 9 )
52
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
Равенство токов / в схемах (см. рис. 2.22, я, б) должно иметь место
при любых значениях Uabi а это возможно только в том случае, когда
коэффициент при UаЬ (2.29) равен коэффициенту при Uah в (2.28).
Следовательно,
g, = t s k -
(2-30)
Если слагаемые с Uah в (2.28) и (2.29) равны и токи / по условию
эквивалентности двух схем также равны, то
п
п
Z Еk Sk
ИИ^к ~ Еэ g 3,
Ы \
Ы \
откуда
Sk + Х Л
£ э = - -----;-----(2.31)
ig k
к=\
Формула (2.30) дает возможность найти проводимость g 3 и по ней /?э
в схеме на рис. 2.22, б. Из этой формулы видно, что проводимость g 3
не зависит от того, есть в ветвях схемы (рис. 2.22, а) ЭДС или нет.
При подсчетах по формуле (2.31) следует иметь в виду следующее:
1) если в какой-либо ветви схемы ЭДС отсутствует, то соответствую­
щее слагаемое в числителе (2.31) выпадает, но проводимость этой ветви
в знаменателе (2.31) остается;
2) если какая-либо ЭДС в исходной схеме имеет направление, обрат­
ное изображенному на рис. 2 .22 , а, то соответствующее слагаемое вой­
дет в числитель формулы (2.31) со знаком минус.
Ветви схемы (рис. 2.22, а, б) эквивалентны только в смысле поведе­
ния их по отношению ко всей остальной части схемы, не показанной на
рисунке, но они не эквивалентны в отношении мощности, выделяющей­
ся в них.
Качественно поясним это. В ветвях схемы на рис. 2.22, а токи могут
протекать даже при / = 0 , тогда как в ветви ab на рис. 2 .22 , б при / = 0
ток и потребление энергии отсутствуют.
П рим ер 21. Заменить параллельные ветви (см. рис. 2,22, в) одной эквивалентной. Дано.
Е\ - 10 В; Е”= 30 В; £->=40 В; £ 3 = 60В ; Я, = 2 Ом; / Ь = 4 0м; Я3 = Юм; Я4 = 5 0 м;
J = 6 А.
Р е ш е н и е . Находим:
£ ,= 0 ,5 С м ;
#2= 0,25 См;
#3
= 1 См;
# 4 = 0 ,2 См;
R, =-^—
0,513 Ом;
± =----------!-----------=
0,5 + 0.25 + 1+ 0,2
Пік
*=i
4
J:lbk8k~J
S ft
(10-30)0.5-40 0,25 + 60 1-6
1-95
Таким образом, для эквивалентной ветви (рис. 2.22. б) Яэ =0,513 Ом;
£ э = 18,4 В.
§2.22. Метод узловых потенциалов
53
§ 2.21. Метод двух узлов. Часто встречаются схемы, содержащие все­
го два узла (рис. 2.23). Наиболее рациональным методом расчета токов
в них является метод двух узлов.
Под методом двух узлов понимают метод
расчета электрических цепей, в котором за ис­
комое (с его помощью определяют затем токи
ветвей) принимают напряжение между двумя
узлами схемы.
Расчетные формулы этого метода получают
на основе формул (2.28) и (2.27); их также мож­
но просто получить из более общего метода —
метода узловых потенциалов (см. § 2 .22 ).
В отличие от схемы на рис. 2.21, а ток / к
узлам а и b схемы на рис. 2.23 не подтекает.
Поэтому если в формуле (2.28) принять I = О, то из нее может быть най­
дено напряжение между двумя узлами:
£ Е-к gk
Zgk
U ah
(2.32)
После определения напряжения Uah находят ток в любой (и-й) ветви
по формуле /„ = (£„ - U ah) g„.
Пример 22. Найти токи в схеме иа рис. 2.23 и сделать проверку баланса мощности,
если £, =120 В, £ 3 = 50 В, /? ,= 2 0 м , R2 = 4 0 м , Я3 = Ю м, /?4 =ЮОм.
Р е ш е н и е . Определим токи в схеме:
120 0,5 - 50* 1
10
0.5 + 0.25 + 1 + 0 ,1
1,
E \~ U ah
120-5,4
*i
2
= -55,4 А;
= 57,3 А;
її
/3
~ Uah
R2
</*>
1
о
и
_
= 5,4 В;
4
/4
= -0,54 А.
В схеме потребляется мощность
/,2
Л| + / 2 2 Л2 + /з 2 R} + I42 R4 = 57,3 2 -2 + 1,352 ■4+55, 4 2 1+ 0,542 -10 = 9647 Вт.
Источники ЭДС доставляют мощность £| /} -
£ 3 /3
= 120 -57,3 + 50 -55,4 = 9647 Вт.
§ 2.22. Метод узловых потенциалов. Ток в любой ветви схемы можно
найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того что­
бы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы
узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвест­
ные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых
потенциалов.
54
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
Допустим, что в схеме п узлов. Так как любая (одна) точка схемы
может быть заземлена без изменения токораспределения в ней, один из
узлов схемы можно мысленно заземлить, т. е. принять потенциал его
равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с п до п - 1.
Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу урав­
нений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирх­
гофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа неза­
висимых контуров в схеме, данный метод является более экономным, чем
метод контурных токов.
Обратимся к схеме (рис. 2.24), которая имеет довольно большое чис­
ло ветвей (11) и сравнительно небольшое число узлов (4). Если узел 4
мысленно заземлить, т. е. принять ср4 = 0 , то необходимо определить
потенциалы только трех узлов: фи ф2, ф3. Для единообразия в обозна­
чениях условимся в § 2.22 токи писать с двумя индексами: первый
индекс соответствует номеру узла, от которого ток утекает, второй ин­
декс — номеру узла, к которому ток подтекает. Проводимости ветвей
также будут снабжаться двумя индексами. Необходимо заметить, что эти
проводимости не имеют ничего общего с входными и взаимными про­
водимостями ветвей, которые рассматривались в § 2.15.
В соответствии с обозначениями токов на рис. 2.24 составим уравне­
ние по первому закону Кирхгофа для первого узла:
Лі “
+ І2\ - І'п + ^21 + h \ = 0 »
или
{ Е \ х ~ ( ф ] - ф 4 )) g \ \ - ( £ j 4 - ( ф 4 - ф і ) ) g f l + ( 0 - ( ф ] “ Ф 2 )) £ І 2 ~ (£ і2
(Ф г “" Ф і ) ) £12 + ( ^ 2 і *~(Фі ~ Ф 2 ) ) £12 + ( £ з і “ (Фі ““ Ф з ) ) £ іЗ =
0*
§ 2.22. Метод узловых потенциалов
55
Перепишем последнее уравнение следующим образом:
(2.33)
ФіСіІ+ Ф2^12 + ФЗ^ІЗ = «^11»
где
G \\
= &41 + &13 + g \2 + &41 +^12
^12 = *“(gi 2 + g\2 + sh)*
G,3 = - g 13;
^11 = -^41^41 + ^ |& 1 + ^21 £21 ~ E\4 g 14 ~ E\2g\2-
Подобные же уравнения могут быть записаны и для остальных узлов
схемы. Если схема имеет п узлов, то ей соответствует система из п - 1
уравнений:
Фі G,,
+ . . . + ф„_і G] n_x -
Jn;
ф, G2\ + ф 2 G22 + . . . + Фи-l ^ 2, л-l =
*^22»
Фі
+ ф 2 Gn
(2.34)
+ Ф2 C„-l,2 + ... + ф„_, Gn_] n_{ -
В общем случае Gkk — сумма проводимостей ветвей, сходящихся в
узле к; Gkm — сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяю­
щих узлы к и т , взятая со знаком минус. Если между какими-либо дву­
мя узлами ветвь отсутствует, то соответствующая проводимость равна
нулю. В формировании узлового тока £-узла J kk участвуют те ветви, под­
ходящие к этому узлу, которые содержат источники ЭДС и (или) тока.
Если ЭДС Ер / 7-ветви направлены к £-узлу, то ее вклад в формирование
J kk равен Ер g p , а если эта ЭДС направлена от Л-узла, то ее вклад со­
ставляет - Е р g p. Если к к-узлу подтекает ток от источника тока, то он
должен быть введен в J kk со знаком плюс, если этот ток от источника
тока утекает, то он должен входить в J kk со знаком минус. После реше­
ния системы (2.34) относительно потенциалов определяют токи в ветвях
по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.
В том случае, когда в схеме имеются два узла, соединенных ветвью,
в которой имеется ЭДС, а сопротивление ее равно нулю, перед состав­
лением системы уравнений по методу узловых потенциалов один из этих
узлов рекомендуется устранить в соответствии с приемом, рассмотрен­
ным в § 2.24.
Система уравнений (2.34) может быть представлена в матричной фор­
ме записи:
(2.35)
[С][ф] = [J kkl
G \\
Фі
G \2
;
Фз
; У кк} =
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
56
Ее реш ение
[ф] = [С Г '[Л * ]-
(2.36)
Еще Максвеллом было установлено, что распределение токов в электрических цепях
всегда происходит так, что тепловая функция системы
Р =\
I
I
(£МИ-<ФЛ'-Фт))2«№*
1 N=1,2,3,... т=1,2,3,...
минимальна. Коэффициент 1/2 обусловлен тем, что при двойном суммировании мощность
каждой ветви учитывается дважды. Доказательство основано на том, что совокупность
уравнений (2.34) является совокупностью условий минимума функций Р, т. е. совокупно­
стью условий
2 дц>х
=
1 -^ = 0
2 дф2
и т. д. Так как вторые производные
1 д2Р
„ Л
------ г = с , , > о
2 ар,2
1 д2Р
г
л
, -------- = G?? > о
2 £)ф, 2
22
положительны, то это и является доказательством минимума тепловой функции Р.
П рим ер 23. Найти токи в ветвях схемы (рис. 2.24) и сделать проверку по второму
закону Кирхгофа. Дано: £ 41 = 10 В; Е{4 = 6 В;
£ , '2 - 20 В;
£", = 30 В;
£ 31 = 14 В;
£ 24 = 10 В;
£ 43 = 8 В;
£J 3 = 12B;£J 2 = 7B ;
Я'А] = 1 0 м ;
/?f4 = 2 0M; / ? ( 2 = 10 0м ;
/?2, = 10 Ом; /?2, = 5 Ом; /?3, —2 Ом; /? 24 = 4 Ом; /? 34 = 2 Ом; /? 23 —4 Ом;
/? 32 = 2 Ом.
Источник тока, включенный между узлами 5 и 2, дает ток J 32 = 1,5 А.
Р е ш е н и е . Записываем систему уравнений:
Фі G j, +ф 2 Gj2 + Фз G , 3 = J| j;
І
ф| G2I + ф2 С 22 + Ф2 G 23 —^22'
Фі G3, +ф 2 G 32 +ф 3 G 33 = */33.
Подсчитываем проводимости:
«31
«21
^ і = -------------+
1
1 ---1+ -+1--+ ----------+
1
1 -= 2,4 См;
О,
Кн RU Rn
~1
1
1
1,4 См:
с1 , 1 , 1
22 = л;2 +
+ лт,
« 2 4 + *3 2 + « 2 3
С , 2 =- - 0 2 1
С 33 = - 4 - + — + — + — = 1,75См;
^32 ^23 * 31 ^43
0 , 3 = С ,, = — — = -0,5 См;
- а
=
- + 4 - + - L = -0 .4 С м :
«12
«2 1 J
С 23 = С 32 = -(0,25 + 0.5)= -0,75 См.
«31
При подсчете G22, G 33 и G 23 учтено, что проводимость ветви с источником тока
равна нулю (сопротивление источника тока равно бесконечности).
Узловые токи:
£ 4, £f4 £ 3| Е\ 2 . ££■
§ 2.23. Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду
57
Система уравнений
f 2,4 ф, - 0,4 ф2 - 0,5 фз = 15;
і - 0,4 ф, +1,4 ф2 - 0,75 Фз = -1,5;
[ - 0,5 ф| - 0,75 ф2 +1,75 фз = -5
имеет решение ф, = 6 В; ф2 =0,06В ; ф3 = -1,07В .
Заключительный этап расчета состоит в подсчете токов по закону Ома. Перед опреде­
лением токов в ветвях схемы следует эти токи обозначить и выбрать для них положитель­
ные направления:
£;1-(ф|-ф4) _ 10—(б—о)
1
R \x
- = 4 А;
/J, = ^ 2 _ _ 2 1 = -1,185 Д; .
Д21
7j , = 2 iZ 2 l ± S 2. = 2,92A;
R\,
* 4,55 А.
Сделаем проверку решения по второму закону Кирхгофа для периферийного контура.
Алгебраическая сумма падений напряжений 4 • 1+1,185 •5 - 2,92 •2 - 4,55 • 2 * -5 В.
Алгебраическая сумма ЭДС 1 0 - 7 - 8 = -5 В.
Покажем, что основная формула (2.32) метода двух узлов получается как частный слу­
чай (2.34). Действительно, если один узел схемы (рис. 2.23), например узел b, заземлить,
то остается найти только один потенциал ф£, = Uah. Для получения формулы (2.32) из (2.34)
следует положить Фі = Фй = Uah\ ф2 = фз = ф4 = ... = 0 .
§ 2.23. П реобразование звезды в треугольник и треугольни ка
в звезду. Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звез­
ды (рис. 2.25), называют звездой, а соединение трех сопротивлений так, что
они образуют собой стороны треугольника (рис. 2.26), — треугольником.
В узлах /, 2, 3 (потенциалы их ф}, ф2 и ф3) треугольник и звезда
соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках).
Обозначим токи, подтекающие к узлам /, 2, 3, через /,, / 2 и / 3.
Часто при расчете электрических цепей оказывается полезным пре­
образовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник.
Практически чаще бывает необходимо преобразовать треугольник в звез­
ду. Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых
значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды под­
текающие к этим точкам токи одинаковы, то вся внешняя схема «не за­
метит» произведенной замены.
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
58
Выведем формулы преобразований. С этой целью выразим токи 1Ь
/ 2 и / 3 в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и
соответствующие проводимости.
Для звезды
/ 1 + / 2 + / 3 = О,
(2.37)
но
h =( Фі - Фо ) 2 і ;
h = (Фг - Фо)&2;
/з = (Ф з-Ф о )?з-
(2-38)
Подставим (2.38) в (2.37) и найдем ф0 :
Фі £ l + Ф 2 S i + Ф З ? 3 - Ф 0 ( g i + g 2 + g 3 ) = °>
откуда
Ib g i+ V U l+ b tL '
(2 .39 )
g l + g2+^3
Введем фо в выражение (2.38) для тока / j :
/ , Ч Ф , - Ф , ) г , - ( <| , | ( * ; + * 3 > ~ <І’г * 1 ~ ‘І’д * , ) * ' .
g i + g 2 +%'.
(2.40)
Для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 2.26
Л = / | 2 - / 31 = (ф | - Ф
2 > Я і2
“ (Фз - Ф і ) £ і 3 =
= Фі (&12 + £із)~Ф з £|3 ~Ф 2 S 12-
(2.41)
Так как ток /, в схеме рис. 2.25 равен току /, в схеме рис. 2.26 при
любых значениях потенциалов ф,, ф2, ф3, то коэффициент при ф2
в правой части (2.41) равен коэффициенту при ф2 'В правой части (2.40),
а коэффициент при ф3 в правой части (2.41) — коэффициенту при ф3
в правой части (2.40).
Следовательно,
g,2 =
g i3 =
---- ;
g\ + &2 + £з
(2.42)
---- •
(2-43)
g l + g 2 + S3
Аналогично
g 23=
-------------•
g\ + g i + Яз
(2-44)
Формулы (2.42)-(2.44) дают возможность определить проводимости
сторон треугольника через проводимости лучей звезды. Они имеют лег­
ко запоминающуюся структуру: индексы у проводимостей в числителе
правой части соответствуют индексам у проводимости в левой части; в
знаменателе — сумма проводимостей лучей звезды.
§2.23. Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду
59
Из уравнений (2.42)-(2.44) выразим сопротивления лучей звезды
/?! = 1/g ,; R2 = 1/&2 и
=U
через сопротивления сторон треуголь­
ника: Rl2 = 1/ ^ 12» ^23= ^Я23І ^ 13 = l / £ l 3С этой целью запишем дроби, обратные (2.42)-(2.44):
1 ^ 1 ^ 1
/г,
л2
Л|2_
/?| /?2 + R2 Ri + tf3
/?, /?2 *з
я3
_ i _ j _ ------------------j ~
R\ R2
_ /я
_
---------(245)
R\ R2
где
m = /?і R2 + /?2 Д3 + Л3
*
(2.46)
R23= m /R x;
(2.47)
Ru = m /R 2.
(2.48)
Подставив (2.45), (2.47) и (2.48) в (2.46), получим
1
_ т 2 R\2 + *23 + ^13
1
т - т 2
V ^ 2 3 /?13Л, з fi12
^12 ^ 2 3 у
*12 * 2 3 « ІЗ
Следовательно,
_
/?12 /?23 *13
*12 + * 2 3 + *1 з
Подставив т в (2.47), найдем
R = ------ X 'j J M ------ .
( 2 .4 9 )
*12 + * 2 3 + *13
Аналогично
* 2 3 *12
R, = -------—
;
(2.50)
* . 2 + * 2 3 + *13
*13 * 2 3
Д3 = ------и—^ ------------------------------------------ .(2.51)
* , 2 + *23 + *13
Структура формул (2.49)—(2.51) аналогична структуре формул
(2.42М 2.44).
Преобразование треугольника в звезду можно пояснить, рассмотрев,
например, рис. 2.27, д, б. Схема до преобразования изображена на
рис. 2.27, я, штриховой линией обведен преобразуемый треугольник. На
рис. 2.27, 6 представлена та же схема после преобразования. Расчет то­
ков произвести для нее проще (например, методом двух узлов), чем для
схемы на рис. 2.27, а.
60
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
в
Рис. 2.27
В полезности преобразования звезды в треугольник можно убедить­
ся на примере рис. 2.27, в, г. Схема до преобразования изображена на
рис. 2.27, в, штриховой линией обведена преобразуемая в треугольник
звезда. На рис. 2.27, г представлена схема после преобразования, кото­
рая свелась к последовательному соединению сопротивлений^.
Пример 24. Найти значения сопротивлений /?,, R2. Д3 в схеме (см. рис. 2.27, о), если
сопротивления Я]2, Л|з, Я32 в схеме на рис. 2.27, а равны соответственно 2?3, 5 Ом.
Р е ш е н и е . По формуле <2.49), /?, = 2 - 3/(2 + 3 + 5) = 0 .6 Ом; по формуле (2.50),
R2 = 5- 2/10 = 1Ом; по формуле (2.51), /? 3 = 3-5/ 10 = 1,50м.
§ 2.24. Перенос источников ЭДС и источников тока. На участке
цепи рис. 2.28, а между узлами а и Ъ имеется источник ЭДС Е. Этот ис­
точник можно перенести в ветви I и 2 , а узел а устранить и в результате
получить участок на рис. 2.28, б. Эквивалентный переход поясняется
рис. 2.28, в . Точки с, d, b имеют одинаковый потенциал и потому могут
быть объединены в одну точку Ь.
Участок abc на рис. 2.28, г, между крайними точками а и с которого
включен источник тока, может быть заменен участком рис. 2.28, д, отли­
чающимся от участка рис. 2.28, г тем, что источник тока между точками
а и с заменен на два источника, присоединенных параллельно R{ и R2.
Эквивалентность замены следует из неизменности значений токов в каж­
дом из узлов. Ток в узле b не изменился, так как в этот узел добавили и
*’ В §3.31 рассмотрен еще один вид преобразований — преобразование последовательно-параллельного соединения в параллельное.
§2.25. Активный и пассивный двухполюсники
61
Рис. 2.28
вычли ток J. Практически источники переносят при преобразованиях
схем с целью их упрощения и при записи уравнений по методу контур­
ных токов и узловых потенциалов в матрично-топологической форме
записи (см. § 2.33).
§ 2.25. А ктивны й и пассивный двухполюсники. В любой электри­
ческой схеме можно мысленно выделить какую-то одну ветвь, а всю ос­
тальную часть схемы независимо от ее структуры и сложности условно
изобразить некоторым прямоугольником (рис. 2.29, а). Такой прием был
Рис. 2.29
использован в § 2.17 без специальных объяснений. По отношению к
выделенной ветви вся схема, обозначенная прямоугольником, представ­
ляет собой так называемый двухполюсник.
Таким образом, двухполюсник — это обобщенное название схемы,
которая двумя выходными зажимами (полюсами) присоединена к выде­
ленной ветви.
62
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей...
Если в двухполюснике есть источник ЭДС или (и) тока, то такой двух­
полюсник называют активным. В этом случае в прямоугольнике ставят
букву А (рис. 2.29, а-в).
Если в двухполюснике нет источника ЭДС и (или) тока, то его на­
зывают пассивным. В этом случае в прямоугольнике либо не ставят
никакой буквы, либо ставят букву П (рис. 2.29, г).
§ 2.26. М етод экв и в ал ен тн о го генератора. По отношению к вы­
деленной ветви двухполюсник можно заменить эквивалентным генера­
тором, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах
выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопро­
тивлению двухполюсника.
Пусть задана некоторая схема и требуется найти ток в одной ее вет­
ви. Мысленно заключим всю схему, содержащую ЭДС и сопротивления,
в прямоугольник, выделив из нее ветвь ab, в которой требуется найти
ток I (рис. 2.29, а).
Ток / не изменится, если в ветвь ab включить две равные и противо­
положно направленные ЭДС £, и £ 2 (см. рис. 2.29, б).
На основании принципа наложения ток можно представить в виде
суммы двух токов— / ' и Г : 1 = 1' + Г .
Под током V будем понимать ток, вызванный источником ЭДС £, и
всеми источниками ЭДС и тока активного двухполюсника, заключенны­
ми в прямоугольник. Ток Г вызывается только одним источником ЭДС
£ 2. В соответствии с этим для нахождения токов / ' и Г используем
рис. 2.29, в, г. В прямоугольнике П (рис. 2.29, г) отсутствуют все источ­
ники, но оставлены их внутренние сопротивления.
ЭДС £j направлена встречно напряжению Uah. По закону Ома для
участка цепи, содержащего ЭДС,
Г
V g b -E 1
R
(2.52)
Выберем £j так, чтобы ток Г был равен нулю. Отсутствие тока в
ветви ab эквивалентно ее размыканию (холостому ходу). Напряжение на
зажимах ab при холостом ходе ветви обозначим Uab\Следовательно, если выбрать £, = Uahx, то / ' = 0. Так как I = / ' + /",
а / ' = 0 , то / = /". Но ток Ґ в соответствии со схемой (см.
рис. 2.29, г) определяется так:
_ Uabx
(2.53)
где RBX— входное сопротивление двухполюсника по отношению к зажи­
мам ab\ R — сопротивление ветви ab. Уравнению (2.53) отвечает экви­
валентная схема на рис. 2.30, я, где вместо двухполюсника изображены
источник ЭДС Uabx ~ ^ 2 и сопротивление RBX (схема Гельмгольца—
Тевенена).
§2.26. Метод эквивалентного генератора
R
63
J =
K x \R
Рис. 2.30
Совокупность источника ЭДС Е2 ~ U abx и сопротивления RBX мож­
но рассматривать как некоторый эквивалентный генератор (RBX являет­
ся его внутренним сопротивлением, а и аьх — его ЭДС).
Таким образом, по отношению к выделенной ветви (ветви ab на
рис. 2.29, а) всю остальную часть схемы можно заменить эквивалентным
генератором с перечисленными значениями параметров.
Метод расчета тока в выделенной ветви, основанный на замене ак­
тивного двухполюсника эквивалентным генератором, принято называть
.методом эквивалентного генератора (активного двухполюсника), а так­
же методом холостого хода и короткого замыкания.
В дальнейшем чаще используется первое название.
Рекомендуется такая последовательность расчета тока этим методом:
а) найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви ab\
б) определить входное сопротивление RBX всей схемы по отношению
к зажимам ab при закороченных источниках ЭДС и разомкнутых ветвях
с источниками токаФ);
в) подсчитать ток по формуле
/ =-
(2.54)
Если сопротивление ветви ab равно нулю R = 0, то для нее имеет
место режим короткого замыкания, а протекающий по ней ток есть ток
короткого замыкания ( / к). Из (2.54) при R = 0
L = U ahJ R BX,
(2.55)
*вх = U ab*/l к*
(2.56)
или
Из формулы (2.56) следует простой метод опытного определения вход­
ного сопротивления активного двухполюсника. Для этого необходимо
измерить напряжение холостого хода на зажимах разомкнутой ветви
Uahx и ток короткого замыкания / к ветви, а затем найти RBX как част­
ное от деления Uahx на / к.
’'Если среди источников питания схемы есть источники тока, то при определении вход­
ного сопротивления всей схемы по отношению к зажимам ab ветви с источниками тока
следует считать разомкнутыми. Это станет понятным, если вспомнить, что внутреннее
сопротивление источников тока равно бесконечности (см. § 2 .2 ).
64
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
Название метода — метод холостого хода и короткого замыкания —
объясняется тем, ЧТО при решении ЭТИМ методом ДЛЯ нахождения U abx
используется холостой ход ветви ab, а для определения входного сопро­
тивления двухполюсника RBX — короткое замыкание ветви ab.
Заменив источник ЭДС источником тока, получим схему эквивалент­
ного генератора (рис. 2.30, б).
Пример 25. Определить ток в диагонали ab мостовой схемы рис. 2.31, а, полагая
Я, e R4 = 1 Ом; /? 2 = 4 Ом; Я3 = 2 0м ; Д5 = 2 0 м £ ,= 1 0 В.
>
4
1
4
ь
/ 2
\ J >
..........................
б
Рис. 2.31
Р е ш е н и е . Размыкаем ветвь ab (рис. 2.31, б) и находим напряжение холостого хода:
Фл = Фа + h ^2 ~ Л Я\ = Фл +
£, /?2
R4
^1
Л,
Uaf,x = Ф„ ~Ф/> = Е\
/?2 + ^4
Я»
д.
Л,
Я] + Rj
10 — -------- — =4,67 В.
4+1 1 + 2 ,
Подсчитываем входное сопротивление всей схемы по отношению зажимам ab при за­
короченном источнике ЭДС (рис. 2.31, в).
Точки с и d схемы оказываются соединенными накоротко. Поэтому
/?, +
/?2
+ R4
12
4 1
1+ 2
4+1
= 1,47 Ом.
Определяем ток в ветви по формуле (2.54):
/ =/?5
4,67
+ /?вх
2 + 1.47
= 1.346 А.
§ 2.27. Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке.
Если нагрузка R подключена к активному двухполюснику (рис. 2.29, а),
то через нее потечет ток I = U аЬх /(/? + RBX) и в ней выделится мощность
Р =Г R =
Uab,
R.
(2.57)
(Д +Д вх)2
Выясним, каково должно быть соотношение между сопротивлением
нагрузки R и входным сопротивлением двухполюсника /?вх, чтобы в со­
противлении нагрузки выделялась максимальная мощность; чему она
§ 2.28. Передача энергии по линии передачи
65
равна и каков при этом КПД передачи. С этой целью определим первую
производную Р по R и приравняем ее к нулю:
dР
(R + RKX)2 - 2 R ( R + RBX)
d/?
(R + Rtx)4
0
Отсюда
Я = ДВХ.
(2.58)
Нетрудно найти вторую производную и убедиться в том, что она от­
рицательна (d2P /d R 2 <0). Следовательно, соотношение (2.58) соответ­
ствует максимуму функции Р =/(/?)• Подставив (2.58) в (2.57), получим
максимальную мощность, которая может быть выделена в нагрузке R:
^max = £/«Ах/4 Л вх.
(2.59)
Полезную мощность, выделяющуюся в нагрузке, определяют по урав­
нению (2.57). Полная мощность, выделяемая эквивалентным генератором,
Р
1 полн
2х
і — и ah
~ 11
^ ah х 1
Коэффициент полезного действия
Р
R
Л = -------= ---------- •
^полн
(2.60)
Я+Двх
Если /?= /?вх, то rj = 0,5.
Если мощность Р значительна, то работать с таким низким КПД, как
0,5, недопустимо. Но если мощность Р мала и составляет всего несколь­
ко милливатт (такой мощностью обладают, например, различные датчи­
ки устройств автоматики), то с низким КПД можно не считаться, посколь­
ку достигнута главная цель — в этом режиме датчик отдает нагрузке
максимально возможную мощность. Выбор сопротивления нагрузки R,
равного входному сопротивлению RBX активного двухполюсника, назы­
вают согласованием нагрузки.
П ример 26. При каком значении сопротивления
максимальная мощность и чему она равна?
Р е ш е н и е . Из условия (2.58) находим
/?5 = Явх = 1,47 0 м; ;
/>т і х =
/? 5
(рис. 2.31, а) в нем выделяется
^ = і ^ _ = з,71Вт.
4 RBX 4-1,47
§ 2.28. Передача энергии по линии передачи. Схема линии переда­
чи электрической энергии изображена на рис. 2.32, где £/, — напряже­
ние генератора в начале линии; U2— напряжение на нагрузке в конце
3 - 4657
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей..
66
линии; Rn — сопротивление проводов линии; R2 — сопротивление на­
грузки.
а
Напряжение U \ - U ab (рис. 2.32) направлено про­
тивоположно ЭДС Е. Объясняется это тем, что напряже­
ние имеет направление от точки с более высоким
потенциалом к точке с более низким, тогда как ЭДС
направлена от точки с более низким потенциалом к точ­
ке с более высоким, т. е. стрелка внутри источника ЭДС
указывает направление возрастания потенциала внутри
источника.
К
Ъ
При передаче больших мощностей (напри­
мер, нескольких десятков мегаватт) в реальных линиях передач КПД л = 0,94-г 0,99, а напряжение U2 лишь на не­
сколько процентов меньше U|. Ясно, что каждый процент повышения
КПД при передаче больших мощностей имеет существенное экономичес­
кое значение.
Характер изменения мощности в начале линии Ри мощности в
нагрузке Р2, КПД л и напряжения на нагрузке U2 в функции от тока по
линии при С/, = const, Rn ~ const иллюстрируется кривыми на
рис. 2.33, а. По оси абсцисс отложен ток /, по оси ординат — Р}, P2,U 2, ЛРис. 2.32
П
1,0 -
0,90 ,8 -
/
0,7-
2'
б
а
3
Рис. 2.33
Максимальное значение тока / тах - Ux! Rn имеет место при коротком
замыкании нагрузки. Кривые построены по уравнениям
/» ,= ! /,/;
Р2 = £ / , / - / 2/?л;
(2.61)
Если по линии передачи с сопротивлением Rn и сопротивлением на­
грузки R2 должна быть передана мощность
(2.62)
то КПД передачи тем выше, чем выше напряжение Ux в начале линии.
§2.30. Основные свойства матриц и простейшие операции с ними
67
П ример 27. Вывести формулу, показывающую, как при заданных Р2 и Rn КПД за­
висит от напряжения в начале линии.
Р е ш е н и е . Из (2.62) определим R2 = р2 / / 2. Так как / = Ux/(R n + R2), то
2
(2.63)
и?
Решим уравнение (2.63) относительно R2 (знак минус в формуле (2.64) перед корнем
отброшен, так как он соответствует правой части кривой Р2 - / { / ) с меньшим г|):
\2
" l2 Р2
R
-Я.
л
(2.64)
Таким образом,
П=
R2
_ R2 + Rn - Rn
(2.65)
Здесь а =
V2 Р2 к '
На рис. 2.33, 6 изображена зависимость л = / ( ( / , / ^2Рг R„ ), построенная по формуле (2.65). Из рисунка видно, что Л возрастает с увеличением Ux.
§ 2.29. Некоторые выводы по методам расчета электрических
цепей.
1. Наиболее эффективными являются метод узловых потенциалов
(МУП) и метод контурных токов (МКТ).
2. Методика составления уравнений этими методами, рассмотренная
в § 2.13 и 2.22, проста, упорядочена и позволяет легко контролировать
правильность подсчета коэффициентов левой и правой частей уравнений
непосредственно по схеме.
3. Системы уравнений МУП и МКТ решают обычно с помощью мик­
рокалькулятора, а относительно сложные схемы рассчитывают на ком­
пьютере.
4. Уравнения теории цепей могут быть составлены и матрично-топологическим методом, использующим некоторые топологические понятия
и соответствующие им матрицы. Рассмотрим, как это делается. Но сна­
чала напомним некоторые сведения о матрицах.
§ 2.30. О сновны е свойства м атриц и простейш ие операции с ними. Матрица —
)то совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Чтобы отличать
матрицу по внешнему виду от определителя, ее заключают в квадратные скобки. Каждый
элемент матрицы снабжают двумя индексами: первый соответствует номеру строки, вто­
рой — номеру столбца.
Матрицу называют квадратной, если число строк в ней равно числу столбцов
аи а, 2
М1 = а2\ а22
« зі
«31
0,3
#23
« зз
Диагональной называют матрицу, у которой элементы главной диагонали не равны
нулю, а все остальные — нули, например:
3*
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
68
<*\\
О
О^
а 22_
Матрицу, у которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные —
нули, называют единичной:
1 О О
О 1 о
О 0 1
Неопределенной называют матрицу, у которой сумма элементов любой строки и лю­
бого столбца равна нулю.
Две матрицы равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.
М атрица [А] =
*11
<>\2
а-уг
а 22
^ii Ьг
равна матрице [£] =
если
0
ц = 6 ц,
Ь22
а Х2 —Ь]2
и ?>
2 \у» а'
и 22
а2\ ~ Ь
>'>=и 22 ■
У равных матриц равны определители. В рассматриваемом примере аи а 22 ~ а 12 а 21 ~
~Ь\ \ Ъ22 ~Ь \2 Ь2\, но из равенства двух определителей еще не следует равенства самих
матриц. Операции над матрицами (их сложение, умножение) постулированы из соображе­
ний рациональности. При сложении (вычитании) матриц следует сложить (вычесть) соот­
ветствующие элементы этих матриц:
[Л] + [С] =
а\\
_а2\
а\2 + сп
а12_
_С 21
^12
_
С22
аи +с,,
а12 + с\2
_а2\ + с 2.
а 22 + £*22
При умножении двух матриц (число столбцов первой должно быть равно числу строк
второй) /-Ю строку первой матрицы умножают на к-й столбец второй. Умножим две мат­
рицы, элементами которых являются числа
“1
2
" '5
1
6
1-5 + 2 • 7
1 -6
8
3*54-4-7
3-6 + 4-8
+ 2 -8 "
Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что [Л ][£] * [£][Л ],
т. е. результирующая матрица зависит от последовательности расположения матриц сомно­
жителей. По отношению к матрице [А], когда ее определитель не равен нулю, можно со­
ставить обратную матрицу [А]~\ Для этого необходимо:
а) каждый элемент исходной матрицы [А] заменить его алгебраическим дополнением;
б) транспонировать полученную матрицу, т. е. строки сделать столбцами;
в) разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы [А].
П рим ер 28. Составить [А]~ для [А]
а\1 0\2
Lа2] а22_
Р е ш е н и е .:. Заменив элементы на аалгебраические дополнения, получим матрицу
а 22
- а }2
~ а 2\
После транспонирования имеем
ач .
О22
~ а 2\
а 22
[А }-'= .
-<*21
~®\2
. Следовательно,
аи
~а\2
а\\
а \ I а 22 ~ а \2 а 2\
Произведение [Л][Л ] * 1 =[1].
Для решения уравнения [Л ][5] = [С] относительно матрицы [Л] следует обе части
этого уравнения умножить на [А \ 1: [А]~х\А][В] = [А]~Х[С] и учесть, что [Л ] ' 1 [А] = [1].
§ 2.31. Некоторые топологические понятия и топологические матрицы
69
В результате получим
[5] = [ ^ Г 1 [С].
В матричном уравнении [А][Х] = 0 можно переставлять столбцы в матрице [А] при
одновременной перестановке строк в матрице [X].
§ 2.31. Н екоторы е топологические понятия и топологические
м атрицы . Положим, что в схеме имеется у узлов, в ветвей и каждая пара
узлов соединена одной ветвью. Если в исходной схеме между каким-то
двумя узлами имеется несколько параллельных ветвей, то их следует
заменить одной эквивалентной. Перед составлением топологических мат­
риц ветви схемы (графа) нумеруют и ставят стрелки, указывающие
положительные направления для отсчета тока и напряжения на каждой
ветви. Перед нумераций ветвей графа нужно выбрать дерево. Как ука­
зывалось в § 2.8, дерево представляет такую совокупность узлов схемы
и соединяющих их ветвей, когда ветви касаются всех узлов, но не образуют
Рис. 2.34
ни одного замкнутого контура. Число ветвей дерева равно (у - 1). Нуме­
рацию ветвей графа начинают с нумерации ветвей дерева, используя но­
мера с 1 по у - 1. Номера с «у» по «в» придают ветвям графа, не вошед­
шим в выбранное дерево. Их называют ветвями связи, или хордами. В
качестве примера на рис. 2.34, а изображена схема, а на рис. 2.34, б —
соответствующий ей граф. Схема имеет четыре узла и шесть ветвей. Узлы
обозначены цифрами 1-4 (рис. 2.34, б). На рис. 2.34, в показано дерево,
которое положено далее в основу формирования топологических матриц.
Ветви дерева обозначим цифрами /, 2, 5, остальные ветви графа (вет­
ви связи) — цифрами 4, 5, 6. Ветви дерева (рис. 2.34, г) вычерчены утол­
щенными линиями, ветви связи — тонкими. На ветвях графа ставим стрел­
ки, направление их произвольно (см. рис. 2.34, в, г). Узловую матрицу [А]
составляют для всех узлов графа, кроме одного. В этой матрице номер /-й
строки соответствует номеру узла, а номер у-го столбца — номеру ветви.
В ячейки матрицы [А] ставят числа 1, - 1, 0. Если узел, для которого
составляется строка матрицы, охватить некоторой поверхностью, след
которой показан кружком, то в соответствующую ячейку матрицы [А]
ставят 1, если стрелкау'-ветви направлена из кружка, ставят - 1, если стрел­
ка направлена в кружок, и 0, если ветвь не затронута кружком.
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей..
70
При заземленном узле 4 (рис. 2.34, б):
Ветви
М =
Узлы
1
1
' 1
2
3
3
0
4
-1
5
0
6
-1
-1
1 0
0
1
0
0
0
0
-1
1
2
0
1
Заметим, что матрица [А] может быть представлена двумя подматри­
цами:
Ветви
Узлы
1
[А)= ;
1 ...(у -1 )
у ...в
у -1
Матрицу сечений [Q] составляют для любых сечений графа, а матрицу
главных сечений [Qr] — для главных сечений выбранного дерева. След се­
чений на рисунках показывают овалами, вычерченными тонкими линиями.
Главными сечениями называют сечения, каждое из которых рассека­
ет несколько ветвей связи и только одну ветвь выбранного дерева. Глав­
ные сечения нумеруют. Номер главного сечения соответствует номеру
рассекаемой этим сечением ветви дерева. Для графа на рис. 2.34, б глав­
ные сечения показаны на рис. 2.34, г и обозначены цифрами /, 2, 3. Се­
чение 1 рассекает ветвь / и ветви связи 4 и 6, сечение 2 — ветвь 2 и ветви
связи 4, 5, 6 (ветвь / целиком входит в овал 2 и не рассекается им), се­
чение 3 — ветвь 3 и ветви связи 5 и 6. Строки матрицы [Qr ] соответ­
ствуют сечениям, а столбца — ветвям графа.
В ячейках соответствующей строки матрицы [Qr] ставят 1 для рас­
секаемой этим сечением ветви дерева и для всех ветвей связи, стрелки
на которых ориентированы относительно поверхности этого сечения
(след этого сечения на плоскости — овал), так же как и стрелка на
рассекаемой этим сечением ветви дерева. Когда стрелка на ветви связи
направлена относительно овала иначе, чем стрелка на ветви дерева, ста­
вят - 1, когда ветвь связи не рассечена — 0.
Применительно к дереву рис. 2.34, в для главных сечений
(см. рис. 2.34, г):
Ветви
Сечения
1
1 2
"1 0
3
0
4
-1
5
0
6
-1
2
0
1
0
-1
1
-1
3
0
0
-1
0
-1
1
§ 2.31. Некоторые топологические понятия и топологические матрицы
71
В общем случае матрица [Qr ] может быть представлена в виде двух
матриц:
Ветви
Сечения
1
1 ...( у - 1 ) 1
1
II
г*—
1
£й
Q]
У-1
у ...в
!і
1
а
Каждая строка [Qx] имеет только по одному элементу 1 и находится
он на главной диагонали, поэтому [Qx] представляет собой единичную
матрицу [1] и [@r ] = [l ! Q2l
Главными контурами называют контуры, в каждый из которых вхо­
дит только по одной ветви связи. Нумеруют главные контуры теми же
номерами, какие присвоены ветвям связи в них. Главные контуры 4, 5, 6
дерева на рис. 2.34, в изображены на рис. 2.35. Толстыми линиями пока­
заны ветви дерева, тонкими — ветви связи.
Матрицей главных контуров [К Г] называют матрицу, составленную
из чисел 1, - 1,0, строки которой соответствуют номеру главного конту­
ра, а столбцы — номеру ветви.
Главные контуры при составлении матрицы [Кг ] обходят в направ­
лении стрелки на ветви связи соответствующего контура. Если при та­
ком обходе контура направление стрелки на какой-либо ветви этого кон­
тура совпадает с направлением обхода контура, то в соответствующую
ячейку [К г] ставят 1, если не совпадает, то - 1, если ветвь не обходит­
ся, то 0.
Для контуров 4, 5, 6 на рис. 2.35:
Ветви
Контуры
4
[К г]=
1 2
1 1
3
0
5
0
-1
1 0
6
1
1
-1 0
4 5 6
10 0
1 0
0
1
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей..
72
В общем виде матрица [/Сг] может быть представлена в виде двух
подматриц и имеет следующую нумерацию строк и столбцов:
Ветви
Контуры
У
1 ...(у -1 )
[Кг] =
у ...в
!
*2
в
Так как номер строки (номер контура) в [ £ 2] определяется номером
его ветви связи и обход контура осуществляется в соответствии со стрел­
кой на ветви связи, то каждая строка подматрицы [К2] имеет только один
элемент 1, расположенный на ее главной диагонали, т. е. [АГ2 ] представ­
ляет собой единичную матрицу [1], а [АГг] = [АГ| j 1].
§ 2.32. Запись уравнений по законам Кирхгофа с помощью топо­
логических матриц. Совокупность уравнений по первому закону Кирх­
гофа может быть записана следующим образом:
(2 .66)
[ Л ] [ /в] = о,
где [ /в] — матрица-столбец (транспонированная матрица-строка) токов
ветвей. Для графа на рис. 2.34, г
О О -1
0
-1
-1
1 О
О
1
О
О
0
О
-1
1
1
1
= 0.
Совокупность уравнений по второму закону Кирхгофа может быть
записана так:
(2.67)
[Кг] [и в] = о,
где [UB]— матрица-столбец (транспонированная матрица-строка) напря­
жения ветвей. Для графа на рис. 2.34, г
і
1
0
1 0
1
1
-1 0
1 0
0
1 0
0
1
U2
и,
= 0.
U4
^5
и.
§ 2.34. Вывод уравнений метода контурных токов..
73
§ 2.33. Обобщ енная ветвь электрической цепи. В литературе,
использующей матрично-топологическое направление теории цепей,
вводят понятие обобщенной ветви электрической цепи (рис. 2.36). Она об­
разована двумя параллельными ветвями. Первая состоит из сопротивления
ветви RB (проводимость g B) и источника ЭДС £ в, вторая — из источни­
ка тока Ув. Для принятых на рис. 2.36 положительных направлений токов
ток через сопротивление RB равен / в +*/в.
Напряжение между точками а и b ветви
и
обозначим UB. Тогда, по закону Ома для
у
Л +Л
участка цепи с ЭДС,
-О
Rn
< Л + £ „ » Я , ( '. + Л )
(2.68)
или
&
Рис. 2.36
§ 2.34. Вывод уравнений метода контурных токов с помощью то­
пологических матриц. Уравнение (2.68) справедливо для любой обоб­
щенной ветви схемы, а также и для совокупности ветвей, входящих в
любой главный контур. Запишем совокупность уравнений (2.68) для всех
ветвей, входящих во все главные контуры:
[Kr}[UB] + [Kr]lEa] = [Kr)[RB){[IB] + [JB]},
(2.70)
Я,
где [Л„] =
— диагональная матрица сопротивлении ветвей.
R.
Учтем, что по второму закону Кирхгофа сумма напряжений любого
замкнутого контура электрической цепи равна нулю, поэтому
[ £ г] [UB] = 0. Кроме того, матрица-столбец токов ветвей [ /в] может быть
записана через матрицу-столбец контурных токов [Ikk] и транспониро­
ванную матрицу главных контуров [АГг ]т :
[ / . ] = [ * г ] Т [/**]•
(2.71)
При этом полагаем, что контурный ток каждого главного контура на­
правлен в соответствии со стрелкой на ветви связи этого контура. Кон­
турные токи / 44, / 55, / 66 схемы на рис. 2.34, г показаны на рис. 2.35.
Для этой схемы
V
' i o
Г
h
h
і
-і
і
0
1
-1
h
1
0
0
Is
0
1
0
Л.
0
0
1
144
155
' 66.
74
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
Отсюда /j - / 44 + / 66; / 2 - / 44 - / 55 + / 66; / 3 - / 55 - / 66; / 4 - / 44; / 5 - / 55;
^6 = ^66Подставив (2.71) в (2.70), получим
[ * г ] [Лв] [ЛГГ]Т [/**] = [ * г ] [ £ . ] - [АГГ] [Л, J [У. ].
(2.72)
Произведение [/Сг] [/?„] [/^г]т = [Л]— матрица контурных сопротивлений метода контурных токов. Так как контуры нумеруем от «у» до «в», то
[R]=
^У,У
^у. у+1
"
Ry.*
Я у +1. У
^у+1,у+1
* *’
^у+1.в
*в.у
^в.у+1
-
.
К* .
где Rm m -— полное сопротивление /w-контура; Rm п — сопротивление
ветви (ветвей), смежной между /77- и я-контурами; берется со знаком плюс,
если контурные токи 1т т и /„ п текут через смежную ветвь согласно,
и со знаком минус, если встречно.
Для рис. 2.34, г, полагая сопротивления ветвей Rx - R6, имеем
R\ ■+■R j
^44
^45
*46
[Д]= /?54
*55
*56 =
_^64
*65
*66 _
.
^4
r2
R\ + R2
~ r2
R\ + R 2
R2 + R$ + R^
~ ( R 2 + R3)
~ ( R2 +R3)
Rj + Rj ■+■R ^ + R(j
Запишем решение (2.72) относительно [/**]:
[/**] = {[Kr ] [ tf J [ K r ]TГ [ к г] { [£ „ ]-[ * „ ][Л]}-
<2-73)
§ 2.35. Вывод уравнений метода узловых потенциалов с помощью
топологических матриц. Совокупность уравнений (2.69) для у - 1 уз­
лов схемы заменим матричным уравнением
По первому закону Кирхгофа, [А] [ /в] = 0. Матрицу-столбец напряже­
ний ветвей [и ъ] можно записать через транспонированную матрицу [А]
и матрицу-столбец потенциалов незаземленных узлов [<р], т. е. в виде
[£/в] = [А]Т [ф]. Для рис. 2.34, г, полагая узел 4 заземленным, имеем
' U \ ~
U ,
и
.u
,
6.
' 1
-1
0"
0
1
0
0
0
1
-1
0
0
0
1
-1
-1
0
1
§2.36. Соотношения между топологическими матрицами
75
Действительно,
Ц
= фі - ср2 ; и 2 = ф 2; ^ з ==Ф з ’ ^ 4 ~ ~ Ф і’ ^ 5 = Фг
Ф з > ^ б = Ф з “~Фі-
Таким образом, система уравнений метода узловых потенциалов за­
пишется так:
(2.74)
[А] [g t } [А]г [Ф] = -[A] [gB] [Е. } + [A] [J, ],
где [>4][gB][/3(]T = [G ]— матрица узловых проводимостей метода узло­
вых потенциалов. При заземленном jy-узле
G]12
G \,y-\
722
Gi.y-x
Gy- 1,2
G y-\,y-\
72 \
[ Ф
Gy- i,i
Для рис. 2.34,
"С„
б
G\2
[G}= С21 ^22
<7,3
g\ + # 4 + £б
~g\
-8 6
~g\
g l+ g 2 + 8 s
—gs
~ 8б
-g $
g i + g$ + £б_
<^23 =
.Сз> С.Ї2 <?зэ_
§ 2.36. С оотнош ения между топологическим и м атрицам и. Полагаем, что при со­
ставлении матриц [,4], [6 >г], [А'г] выполнены условия, оговоренные в § 2.31. Тогда
Ветви
Ветви
Узлы
Н=
1••*(У—1)
1
:
Сечения
У-, в
1 ...(у -1 )
у ...Ь
1
А,
Ог
у- 1
у-1
Ветви
Контуры
[КГ] =
У
1**•(У ~ 1)
К,
У -в
і
1
Представим матрицу-столбец токов ветвей [ /в] в виде подматрицы токов ветвей де­
рева [ /д] и подматрицы токов ветвей связи [/с ]
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
76
М атрицу-столбец напряжений ветвей [£/в] также представим в виде подматрицы
напряжений ветвей дерева [Ua] и подматрицы напряжений ветвей связи [(/с]:
Уп
.У-1
ис
По первому закону Кирхгофа [Л ][/в] = 0 или
Mi][/J +M2][/c] = 0.
(2.75)
Алгебраическая сумма токов в любом сечении схемы равна нулю, поэтому [Qr ] [/в] = 0.
Следовательно,
=Ш[/л1 + [й][/с]=0.
Ql
(2.76)
По второму закону Кирхгофа [К г][(Ув] = 0, поэтому
(2.77)
Учтем, что столбец [А',] соответствует строкам [ 0 ?], если у всех ненулевых элемен­
тов изменить знаки. Следовательно,
[Кі] = - Ш Т
и
102]=-[К i f
(2.78)
Обозначим
(2.79)
Тогда
(2.80)
[* r] =
ю г] =
-
F
(2.81)
Умножив (2.75) слева на [А] К получим
[/,] = 4 ^ r , f^][/*]-
(2.82)
§ 2.37. Сопоставление матрично-топологического и традиционного направлений..
11
Но из (2.76) имеем [1][/д] = - [ 6 2 НАЛ» поэтому
(2.83)
[& ] =[А Т 'Ш Дадим обоснование еще одному соотношению
(2.84)
И [К г]т =о.
/
В каждой строке этого матричного произведения
складываются произведения элементов /-строки ау на
элементы ^-столбца bkj. Произведение ciy bkj не будет
нулем, если у ветвь подходит к узлу і и входит в контур к
(рис. 2.37). Но в контуре к узел / соединен не с одним, а
с двумя узлами ветвями т и / , поэтому всегда будет еще
ненулевое произведение aim bknn отвечающее ветви т,
независимо от того, как направлены стрелки на ветвях и
Рис. 2.37
каково направление обхода контура к. Следовательно,
каждая строка (2.84) ау bkJ +aim bkm = 0.
Соотношения между топологическими матрицами существенны для формализации рас­
чета цепей на ЭВМ. Например, записав [(?2] = -[/П 1 , определяем [Z7] и по ней -[/Гг].
§ 2.37. Сопоставление матрично-топологического и традиционно­
го направлений теории цепей. В § 2.29 указывалось, что основными ме­
тодами расчета электрических цепей являются МУП и МКТ. Оба эти ме­
тода могут быть применены в своей традиционной записи: [G] [ф] = [J kk ]
для МУП и [/?][/**] = [£**] для МКТ либо в матрично-топологической в
виде уравнений (2.72) и (2.74). Для задач, встречающихся в курсе ТОЭ,
составление систем уравнений традиционным способом (см. § 2.13; 2.22),
осуществляемое непосредственно по схеме, значительно проще, быстрее,
удобнее и надежнее. Проще и быстрее выполняется и проверка состав­
ленных уравнений. Что касается решения составленных уравнений, то
системы с относительно небольшим числом уравнений, записанные в тра­
диционной форме, могут быть решены с помощью микрокалькулятора.
Системы с большим числом уравнений в том и другом случае решают с
помощью ЭВМ.
Положительная сторона матрично-топологического направления тео­
рии цепей заключается в большой степени упорядоченности составления
систем уравнений. Если ввести определенную иерархию ветвей электри­
ческих цепей по наличию и отсутствию в них источников питания, ин­
дуктивных и емкостных элементов, индуктивных сечений и емкостных
контуров, то могут быть составлены алгоритмы, позволяющие осуществ­
лять с их помощью так называемое машинное проектирование. Под
машинным проектированием понимают числовые расчеты на ЭВМ
относительно сложных систем на оптимальный в том или ином смысле
режим их работы. Совокупность вопросов, относящихся к машинному
проектированию, в настоящее время усиленно разрабатывается, однако
многие из них выходят за рамки курса ТОЭ и составляют предмет
специальных курсов. В заключение можно сказать, что традиционное и
матрично-топологическое направления теории цепей дополняют друг
друга и потому студент должен владеть обоими направлениями. При
выполнении повседневных инженерных расчетов и решении задач, встре­
78
Гл. 2. Свойства линейных электрических цепей.
чающихся в курсе ТОЭ, целесообразнее пользоваться уравнениями тео­
рии цепей в их традиционной форме записи, при машинном проектиро­
вании — в матрично-топологической форме.
Вопросы для самопроверки
1.
Определите понятия «электрическая цепь», «электрическая схема», «узел», «устр
нимый узел», «ветвь», «источник ЭДС» и «источник тока». 2. Как выбирают положитель­
ные направления для токов ветвей и как связаны с ними положительные направления
напряжений на сопротивлениях? 3. Что понимают под ВАХ? 4. Нарисуйте ВАХ реального
источника, источника ЭДС, источника тока, линейного резистора. 5. Сформулируйте за­
кон Ома для участка цепи с ЭДС, первый и второй законы Кирхгофа. Для двух законов
Кирхгофа дайте по две формулировки. 6 . Чем следует руководствоваться при выборе кон­
туров, для которых следует составлять уравнения по второму закону Кирхгофа? Почему
ни в один из этих контуров не должен входить источник тока? 7. Поясните этапы постро­
ения потенциальной диаграммы. 8 . В чем отличие напряжения от падения напряжения?
9. Охарактеризуйте основные этапы метода контурных токов (МКТ) и метода узловых
потенциалов (МУП). При каком условии число уравнений по МУП меньше числа уравне­
ний по МКТ? 10. Сформулируйте принцип и метод наложения. 11. Сформулируйте и до­
кажите теорему компенсации. 12. Запишите и поясните линейные соотношения в элект­
рических цепях. 13. Что понимают под входными и взаимными проводимостями? Как их
определяют аналитически и как опытным путем? 14. Покажите, что метод двух узлов есть
частный случай МУП. 15. Приведите примеры, показывающие полезность преобразова­
ния звезды в треугольник и треугольника в звезду. 16. Сформулируйте теорему компенса­
ции и теорему вариаций. 17. Дайте определение активного двухполюсника, начертите две
его схемы замещения, найдите их параметры, перечислите этапы расчета методом экви­
валентного генератора. 18. Запишите условие передачи максимальной мощности нагруз­
ке. Каков при этом КПД? 19. Покажите, что если в линейной цепи изменяются сопро­
тивления в каких-то двух ветвях, то три любых тока (напряжения) связаны линейной
зависимостью вида г = а + b х + с у. 20. Выведите формулы преобразования треугольни­
ка в звезду, если в ветвях треугольника кроме резисторов имеются и источники ЭДС.
21. В электрической цепи известны токи в двух ветвях — к а т (1к и 1т). Сопротивле­
ния в этих ветвях получили приращения ARk и ДRm. Полагая известными входные и
взаимные проводимости ветвей к, /я, г, определите приращения токов в ветвях к, т, г,
т. е. Д/*, Д/т , А/г . 22. Какие топологические матрицы вы знаете? 23. Запишите урав­
нения по законам Кирхгофа с использованием матриц [А] и [/Г,.]. 24. Что понимают под
обобщенной ветвью? 25. Выразите токи ветвей через контурные токи и матрицу [Кг].
26. Выразите напряжения ветвей через потенциалы узлов и матрицу [А]. 27. Выведите урав­
нения метода узловых потенциалов, используя матрицы [Л], [g B] и [л ]т . 28. Выведите
уравнения метода контурных токов, используя матрицы [ЛГГ], [# в] и [/Сг]т . 29. Охарак­
теризуйте сильные и слабые стороны матрично-топологического направления теории це­
пей. 30. Решите задачи 1.2. 1.7, 1.10, 1.13, 1.10, 1.24, 1.33, 1.40, 1.41, 1.45 из сборника
задач [39].
Глава третья
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
§ 3.1. С инусоидальный ток и основные характеризую щ ие его ве­
личины . Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся
во времени по синусоидальному закону (рис. 3.1):
/ = l m sinf
+ у = l m sin(co / + V|/).
(3.1)
Максимальное значение функции называют амплитудой. Амплитуду
тока обозначают /,„. Период Т — это время, за которое совершается одно
полное колебание.
Частота / равна числу колебаний в 1 с (единица частоты / — герц
(Гц) или с"1):
/ =f
(3-2)
Угловая частота со (единица угловой частоты — рад / с или с-1)
0 = 271 / = 2 п /Т .
(3.3)
Аргумент синуса, т. е.(co/ + ij/), называют фазой. Фаза характеризует
состояние колебания (числовое значение) в данныймомент времени /.
Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя
величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.
В странах СНГ и Западной Европы наибольшее распространение по­
лучили установки синусоидального тока частотой 50 Гц, принятой в энер­
гетике за стандартную. В США стандартной является частота 60 Гц.
Диапазон частот практически применяемых синусоидальных токов очень
широк: от долей герца, например в геологоразведке, до миллиардов герц
в радиотехнике.
80
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот (до несколь­
ких килогерц) получают с помощью синхронных генераторов (их изучают
в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких
частот получают с помощью различных полупроводниковых генераторов
(подробно рассматриваемых в курсе радиотехники и менее подробно —
в курсе ТОЭ). Источник синусоидальной ЭДС и источник синусоидаль­
ного тока обозначают на электрических схемах так же, как и
источники постоянной ЭДС и тока, но обозначают их е и j (или e(t) и j(t)).
§ 3.2. Среднее и действую щ ее значения синусоидально изм еня­
ющейся величины. Под средним значением синусоидально изменяющей­
ся величины понимают ее среднее значение за полпериода. Среднее зна­
чение тока
772
(3.4)
0
т. е. среднее значение синусоидального тока составляет 2/тт = 0,638 от
амплитудного. Аналогично, £ср = 2 Ет / я; Ucp = 2 U m/n.
Широко применяют понятие действующего значения синусоидально
изменяющейся величины (его называют также эффективным или сред­
неквадратичным). Действующее значение тока
Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно
0,707 от амплитудного. Аналогично
Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с теп­
ловым действием постоянного тока, текущего то же время по тому же
сопротивлению.
Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным
током,
о
Выделенная за то же время постоянным током теплота равна R I 20CT Т.
Приравняем их:
Я
\ = R АІст
ПОСТ Т
или
/,пост
Таким образом, действующее значение синусоидального тока / чис­
ленно равно значению такого постоянного тока, который за время, рав-
§ 3.4. Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами..
81
ное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теп­
лоты, что и синусоидальный ток.
Большинство измерительных приборов показывают действующее зна­
чение измеряемой величины**.
§ 3.3. Коэффициент амплитуды и коэффициент формы. Коэффи­
циент амплитуды кЛ— это отношение амплитуды периодически изме­
няющейся функции к ее действующему значению. Для синусоидального
тока
*a = / „ , / / = V2.
(3.6)
Под коэффициентом формы кф понимают отношение действующего
значения периодически изменяющейся функции к ее среднему за полпе­
риода значению. Для синусоидального тока
к = — = L u ll! = _ ! = = 1,11.**)
/ср
2 /„ ,/л
(3.7)
2 л/2
§ 3.4. Изображение синусоидально изменяющихся величин векто­
рами на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. Комплекс
действую щ его значения. Комплексная плоскость, на которой можно
изобразить комплексные числа, дана на рис. 3.2. Комплексное число
имеет действительную (вещественную) и мни­
мую части. По оси абсцисс комплексной плос­
кости откладывают действительную часть ком­
плексного числа, а по оси ординат — мнимую
часть. На оси действительных значений ставим
+ 1, а на оси мнимых значений + j (j = V-T).
Из курса математики известна формула Эй­
лера
Рис. 3.2
qjcl
= c o s a + j sin a.
(3.8)
Комплексное число e /a изображают на комплексной плоскости век­
тором, численно равным единице и составляющим угол а с осью веще­
ственных значений (осью + 1). Угол а отсчитываем против часовой
стрелки от оси + 1. Модуль функции
| е7 a | = Vcos2 а н- sin2 a = 1.
*’ Действующее значение измеряют приборами электромагнитной, электродинамичес­
кой и тепловой систем. Принцип действия измерительных приборов различных систем
изучают в курсе электротехнических измерений.
Для несинусоидальных периодических токов ка * V2 , кф * 1 ,1 1 . Это отклонение
косвенно свидетельствует о том, насколько несинусоидальный ток отличается от синусо­
идального.
82
Г7. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
Проекция функции еуа на ось + 1 равна cos а , а на ось + j равна
sin а. Если вместо функции eja взять функцию /„,еу а, то
L eja = !п,
COS а
+ 7 /„, sin а.
На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция еу а ,
изображается под углом а к оси + 1, но длина вектора будет в 1т раз
больше.
Угол а в формуле (3.8) может быть
любым.Положим, что
а = со t + yj/, т. е. угол а изменяется прямо пропорционально времени.
Тогда
l meJ
= /„, cos(co/ + ці) + j /„, sin(co t+ 1|/).
(3.9)
Слагаемое l m cos(co t + ці) представляет собой действительную часть
(Re) выражения l m ey(t0/+v,/)
l m cos(co/ + vj/) = Re l m
(3.10)
а функция Im sin(co/ + \|;) есть коэффициент при мнимой части (Im) вы­
ражения 1т е7(0)' +ч/)
/= /„ , sin(co/ + vj;) = Im Im QJ ^ t+v \
(3.11)
Таким образом, синусоидально изменяющийся ток / (ср. (3.1) и (3.11))
можно представить как Im 1т е7(ы/+м,) или, что то же самое, как проек­
цию вращающегося вектора l m ey((0/+v,/) на ось + j (рис. 3.3).
Исторически сложилось так, что в радиотех­
нической литературе за основу обычно принима+J 1
/me>(t0/+4/)
ют не синусоиду, а косинусоиду и потому пользу­
ются формулой (3.10).
С целью единообразия принято на комплекс­
ной плоскости изображать векторы синусоидаль­
но изменяющихся во времени величин для момен+1
та времени (о / = 0. При этом вектор
Рис. 3.3
t ,
\
/ m e ''(M' +4'> = / m e ' v = /,H,
(3.12)
где 1т — комплексная величина, модуль которой равен
У — угол,
под которым вектор 1т проведен к оси + 1 на комплексной плоскости,
равный начальной фазе.
Величину 1т называют комплексной амплитудой тока /. Комплекс­
ная амплитуда изображает ток / на комплексной плоскости для момента
времени со/ = 0. Точка, поставленная над током / или напряжением 0 ,
означает, что эта величина во времени изменяется синусоидально.
Поясним сказанное. Пусть ток / = 8 sin(co t + 20°) А. Запишем выраже­
ние для комплексной амплитуды этого тока. В данном случае 1т =8 А,
v|/ = 20°. Следовательно, / т = 8 е /20°А . Пусть комплексная амплитуда
тока /„, = 2 5 е “' 30° А.
§3.5. Сложение и вычитание синусоидальных функции времени.
83
Запишем выражение для мгновенного значения этого тока. Для пере­
хода от комплексной амплитуды к мгновенному значению умножим 1т
на е;й)/ и возьмем коэффициент при мнимой части от полученного про­
изведения (см. формулу (3.11)):
/ = Im 25 е~-/ 30° е7 “ ' = 1 т2 5 е~ /(й>'~30°) = 25sin(oH -30°).
Под комплексом действующего значения тока или комплексом тока
(комплексным током) / понимают частное от деления комплексной
амплитуды на 4 Ї-.
- /
/ е7>
/ = і ^ = .-.^ -- = / е 7М'.
П рим ер
29.
•
/„=^ «8е-У20ГА.
Записать
выражение
комплекса
действующего
(3.13)
значения
тока
Р е ш е н и е . Комплекс действующего значения тока / = 8 е 7 20°/ Л = 5,67 е 7 20° А.
§ 3.5. Сложение и вы чи тан ие синусоидальных функций времени
на комплексной плоскости. Векторная диаграмма. Положим, что не­
обходимо сложить два тока (/j и /2) одинаковой частоты. Сумма их дает
некоторый ток той же частоты:
/ = /, + /2;
/, = l Xm sin(co / + \|/,);
i2 = 12msin(o) t + v|/2);
/ = /„, sin(0) t + Ці).
Требуется найти амплитуду /,„ и начальную фазу Ц> тока /. С этой
целью ток /j изобразим на комплексной плоскости (рис. 3.4) вектором
=>УЧ'і а ток /2 — вектором 12п1 = 12т е
1\т - Л,
Геометрическая сумма векторов 1Хт и 12т даст ком­
плексную амплитуду суммарного тока 1т = 1т е7М' .
Амплитуда тока /,„ определяется длиной суммарно­
го вектора, а начальная фаза Ц/ — углом, образован­
ным этим вектором и осью + 1.
Для определения разности двух токов (ЭДС,
напряжений) следует на комплексной плоскости про­
извести не сложение, а вычитание соответствующих
векторов.
Обратим внимание на то, что если бы векторы
/ 2т и 1т стали вращаться вокруг начала
координат с угловой скоростью со, то взаимное рас­
положение векторов относительно друг друга оста­
лось бы без изменений.
Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплекс­
ной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции
84
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
времени одной и той же частоты и построенных с соблюдением правиль­
ной ориентации их относительно друг друга по фазе. Пример векторной
диаграммы дан на рис. 3.4.
§ 3.6. М гновенная мощ ность. Протекание синусоидальных токов по
участкам электрической цепи сопровождается потреблением энергии от
источников. Скорость поступления энергии характеризуется мощностью.
Под мгновенным значением мощности, или под мгновенной мощностью,
понимают произведение мгновенного значения напряжения и на участке
цепи на мгновенное значение тока /, протекающего по этому участку:
P ^ u i,
(3.14)
где р — функция времени.
Перед тем как приступить к изучению основ расчета сложных цепей
синусоидального тока, рассмотрим соотношения между токами и напря­
жениями в простейших цепях, векторные диаграммы для них и кривые
мгновенных значений различных величин. Элементами реальных цепей
синусоидального тока являются резисторы, индуктивные катушки и кон­
денсаторы. Протеканию синусоидального тока оказывают сопротивление
резистивные элементы (резисторы) — в них выделяется энергия в виде
теплоты — и реактивные элементы (индуктивные катушки и конденса­
торы) — они то запасают энергию в магнитном (электрическом) поле,
то отдают ее. Рассмотрим поведение этих элементов.
§ 3.7. Р езистивны й элем ент в цепи синусоидального тока. Как
говорилось в § 1.7, резистивный элемент — это идеализированный схем­
ный элемент, учитывающий выделение теплоты в том или ином элемен­
те реальной электрической цепи. Его характеризуют зависимостью
напряжения и на нем от протекающего по нему тока / (вольт-амперной
характеристикой) или сопротивлением R = и / і. На схемах его изобража­
ют, как и резистор, в виде прямоугольника (рис. 3.5, а). Положительные
направления отсчета и и / совпадают.
Пусть
/ = /,„ sin со/.
По закону Ома,
и - і R = R /,„ sin со/ = Um sin cor;
(3.15)
U,„ = R I m.
Векторная диаграмма комплекса тока / и совпадающего с ним по
фазе комплекса напряжения V показана на рис. 3.5, б.
На рис. 3.5, в даны кривые мгновенных значений тока /, напряжения и
и мощности
р - U т I m sin 2 со / =
(1 - cos 2 со t).
§3.8. Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока
85
/
U
R
б
а
со/
в
Рис. 3.5
Мгновенная мощность р имеет постоянную составляющую т.
и
// /
^
составляющую п}- т cos2 со/, изменяющуюся с частотой 2 со. Потреб­
ляемая от источника питания за время dt энергия равна р d t.
§ 3.8. И ндуктивны й элемент в цепи синусоидального тока. Индук­
тивный элемент позволяет учитывать явление наведения ЭДС изменяю­
щимся во времени магнитным потоком и явление накопления энергии в
магнитном поле реальных элементов электрической цепи. Его характери­
зуют зависимостью потокосцепления У от тока / (вебер-амперной харак­
теристикой) или индуктивностью L = \\f / і. На электрических схемах ин­
дуктивный элемент изображают, как показано на рис. 3.6, а. На схеме
замещения реальную индуктивную катушку можно представить в виде
последовательно соединенных индуктивного и резистивного элементов.
Выделим индуктивный элемент (рис. 3.6, а). Положительные направ­
ления тока / через него, ЭДС самоиндукции eL и напряжение на нем иаЬ
указаны на рис. 3.6, а.
Если / = l m sinco/, то
eL - -L — = -со L l m cosco/ = со L l m sin(co/ -90°).
dt
Определим разность потенциалов между точками а и Ь. При переме­
щении от точки Ъ к точке а идем встречно ЭДС
, поэтому
Фа = Фл - Є/.
И
di
Uah = ф0 - Ф/, = ~е,. = L —
а/
В дальнейшем напряжение на индуктивном элементе будем обозна­
чать и і или, просто, и без индекса
uah = « , . = « = - е ,.
( 3 . 16)
86
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
U
Рис. 3.6
Следовательно,
и = со L /,„ sin(co / + 90°) = Uт sin(co / + 90°);
Um = со L lm.
(3.17)
Произведение сoL обозначается X f , называется индуктивным сопро­
тивлением и измеряется в омах (Ом):
X , = со L.
(3.18)
Таким образом, индуктивный элемент (индуктивная катушка, у кото­
рой R = 0) при синусоидальном токе обладает сопротивлением, модуль
которого X і =со L прямо пропорционален частоте со (см. (3.17)) — на
рис. 3.6, б вектор напряжения 0 опережает вектор тока / на 90°. Ком­
плекс ЭДС самоиндукции Е} находится в противофазе с комплексом
напряжения U.
Графики мгновенных значений /, и, р изображены на рис. 3.6, в.
Мгновенная мощность
p - u i - U m cosco t l m sin со/ = У™ - sin 2 со/
(3.19)
проходит через нулевое значение, когда через нуль проходит либо /, либо
и. За первую четверть периода, когда и и / положительны, р также поло­
жительна. Площадь, ограниченная кривой р и осью абсцисс за это вре­
мя, представляет собой энергию, которая взята от источника питания на
§ 3.9. Емкостный элемент в цепи синусоидального тока
87
создание энергии магнитного поля в индуктивной катушке. Во вторую
четверть периода, когда ток в цепи уменьшается от максимума до нуля,
энергия магнитного поля отдается обратно источнику питания, при этом
мгновенная мощность отрицательна. За третью четверть периода у ис­
точника снова забирается энергия, за четвертую отдается и т. д. Следо­
вательно, энергия периодически то забирается индуктивной катушкой от
источника, то отдается ему обратно.
Падение напряжения на реальной индуктивной катушке равно сумме
напряжений на L и на R (рис. 3.6, д). Как видно из этого рисунка, угол
между напряжением 0 на катушке и током / равен 90° - 5 , причем
tgS = R /& L = MQi> где Qi — добротность реальной индуктивной ка­
тушки. Чем больше QL тем меньше 8.
§ 3.9. Емкостный элемент в цепи синусоидального тока. Емкост­
ный элемент — это идеализированный схемный элемент, позволяющий
учесть протекание токов смещения и явление накопления энергии в элек­
трическом поле реальных элементов электрической цепи. Его характери­
зует зависимость заряда q от напряжения и (кулон-вольтная характерис­
тика) или емкость C = q / u . Графическое изображение емкостного
элемента такое же, что и изображение конденсатора (рис. 3.7, а). Полои
С
Пт
6-
а
б
о/
в
U
д
Рис. 3.7
жительные направления отсчета и и і совпадают. Если приложенное к кон­
денсатору напряжение и не изменяется во времени, то заряд q - C и на
88
Г 7. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
одной его обкладке и заряд - q на другой (С — емкость конденсатора)
неизменны, и ток через конденсатор не проходит { i - d q l d t - 0). Если
же напряжение на конденсаторе изменяется во времени, например по
синусоидальному закону (рис. 3.7, а):
w=
sinco/,
(3.20)
то по синусоидальному закону будет меняться и заряд qконденсатора:
q = С и = С Uт sin со/,т. е. конденсатор будетпериодически перезаря­
жаться. Периодическая перезарядка конденсатора сопровождается про­
теканием через него зарядного тока:
/ = — = т С U cos со/ =
dt
1/со С
sin(co/ + 90°).
(3.21)
Из сопоставления (3.20) и (3.21) видно, что ток через конденсатор опе­
режает по фазе напряжение на конденсаторе на 90°. Поэтому на вектор­
ной диаграмме (рис. 3.7, б) вектор \ т опережает вектор напряжения Um
на 90°. Амплитуда тока 1т равна амплитуде напряжения Unn деленной
на емкостное сопротивление:
Лс
(3.23)
Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте. Единица
емкостного сопротивления — Ом. Графики мгновенных значений и, /, р
изображены на рис. 3.7, в. Мгновенная мощность
р - — ----- sin 2 со/.
2
(3.24)
За первую четверть периода конденсатор потребляет от источника
питания энергию, которая идет на создание электрического поля в нем.
Во вторую четверть периода напряжение на конденсаторе уменьшается
от максимума до нуля, и запасенная в электрическом поле энергия отда­
ется источнику (мгновенная мощность отрицательна). За третью четверть
периода энергия снова запасается, за четвертую отдается и т. д.
Если проинтегрировать по времени обе части равенства
/=С— ,
dt
то получим
(3.25)
§ 3 .11. Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока
89
Равенство (3.26) позволяет определить напряжение на конденсаторе
через ток по конденсатору. Ток через реальный конденсатор, пластины
которого разделены твердым или жидким диэлектриком, в котором име­
ются тепловые потери, обусловленные вязким трением дипольных моле­
кул и другими причинами, в расчете можно учесть по схеме (рис. 3.7, г).
Результирующий ток / = /, + / 2.
Ток /j опережает U на 90°, а ток / 2 совпадает с U по фазе
(рис. 3.7, д). У гол 5 называют углом потерь: tg5 = l/<2c , где Qc — доб­
ротность конденсатора, tg 5 зависит от типа диэлектрика и от частоты и
изменяется от нескольких секунд до нескольких градусов.
§ 3.10. Умножение вектора на j и -у . Пусть есть некоторый вектор
А - А е /Фя (рис. 3.8). Умножение его на у дает вектор, по модулю рав­
ный А, но повернутый в сторону опережения (против часовой стрелки),
по отношению к исходному вектору А на 90°. Умножение A m - j по­
ворачивает вектор А на 90° в сторону отставания (по часовой стрелке)
также без изменения его модуля. Чтобы убедиться в этом, представим век­
торы у и - у в показательной форме:
(3.27)
оО
1'
<L)
II
о
О
О
1
(3.28)
II
1
j - 1-е790" = е-/90°;
А
Тогда
+1
A j = A e J ф" е /90° = А е-/(ф‘’+90°);
(3.29)
- A j = A e J*° е - '90° = Л е /(ф“- 9(П.
(3.30)
~J'A
Рис.3.8
Из (3.29) следует, что вектор у А, по модулю равный А, составляет с
комплексной ПЛОСКОСТИ угол фя+90°, т. е. повернут против часо­
вой стрелки на 90° по отношению к вектору А. Согласно (3.30) умноже­
ние вектора А на -у дает вектор, по модулю равный А , но повернутый
по отношению к нему на 90° по часовой стрелке.
ОСЬЮ
§3.11. О сновы символического метода расчета цепей синусои­
дального тока. Очень широкое распространение на практике получил
символический, или комплексный, метод расчета цепей синусоидально­
го тока.
Сущность символического метода расчета состоит в том, что при
синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для
мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями
(см., например, (3.31)), к алгебраическим уравнениям, составленным от­
носительно комплексов тока и ЭДС. Этот переход основан на том, что в
уравнении, составленном по законам Кирхгофа для установившегося про­
цесса, мгновенное значение тока / заменяют комплексной амплитудой
тока 1т\ мгновенное значение напряжения на резисторе сопротивлением
90
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
R, равное R i — комплексом R Іт9 по фазе совпадающим с током 1т\
, di
мгновенное значение напряжения на индуктивнои катушке
= L ------dt
комплексом Im j со L, опережающим ток на 90°; мгновенное значение
напряжения на конденсаторе
uc - — ^ i d t — комплексом
1т —
отстающим от тока на 90°; мгновенное значение ЭДС е — комплек­
сом Ет. Справедливость замены uI = L — на Im j со L следует из § 3.8
и 3.10.
dt
В § 3.8 было показано, что амплитуда напряжения
на L равна произведению амплитуды тока на
X L = со L. Множитель j свидетельствует о том, что
вектор напряжения на индуктивной катушке опере­
жает вектор тока на 90°.
Аналогично, из § 3.9 следует, что амплитуда на­
пряжения на конденсаторе равна амплитуде тока, ум­
ноженной на Х с = 1/ со С. Отставание напряжения на
конденсаторе от протекающего по ней тока на 90°
объясняет наличие множителя -у'.
Например, для схемы рис. 3.9 уравнение для мгновенных значений
можно записать так:
ИЛИ
• о ш di
1 г. .
//? + /, —
+—
11 dt - е.
Л*
п
dt С J
(3 .3 1 )
Запишем его в комплексной форме:
R + L j ю 1 + {т —тг = Ек
со С
Вынесем /
за скобку:
L
R + j to L -
юС
Е,„.
(3.32)
Следовательно, для схемы рис. 3.9
(3.33)
R + j со L — —
со С
Это уравнение позволяет найти комплексную амплитуду тока 1т че­
рез комплексную амплитуду ЭДС Ет и сопротивления цепи R, со/, и
1/со С.
§3.13. Комплексная проводимость
91
Метод называют символическим потому, что токи и напряжения заме­
няют их комплексными изображениями или символами. Так, R 1т — это
изображение или символ падения напряжения / R; j со L 1т— изображение или символ падения напряжения W/
-
г ^L’
J і
со С
— изобра­
жение или символ падения напряжения на конденсаторе
§ 3.12. Комплексное сопротивление. Закон Ома для цепи синусо­
идального тока. Множитель R + j со L —(у / со С) в уравнении (3.32)
представляет собой комплекс, имеет размерность сопротивления и обо­
значается числом Z. Его называют комплексным сопротивлением:
Z = z e J(tl- R + j (£>L — J— .
со С
(3.34)
Как и всякий комплекс, Z можно записать в показательной форме.
Модуль комплексного сопротивления принято обозначать через z. Точку
над Z не ставят, потому что принято ставить ее только над такими комп­
лексными величинами, которые отображают синусоидальные функции
времени.
Уравнение (3.32) можно записать так:
K ,Z = Em.
Разделим обе его части на 4 Ї и перейдем от комплексных амплитуд \ т
и Ет к комплексам действующих значений / и Е :
I - Е ! Z.
(3.35)
Уравнение (3.35) представляет собой закон Ома для цепи синусоидаль­
ного тока.
В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и неко­
торую мнимую часть j X :
Z - R +j X ,
(3.36)
где R — активное сопротивление; X — реактивное сопротивление.
Для схемы (рис. 3.9) реактивное сопротивление
Х = ш L ---со С
§3.13. Комплексная проводимость. Под комплексной проводимос­
тью У понимают величину, обратную комплексному сопротивлению Z:
У = \/ Z = g - j b = у
.
(3.37)
Единица комплексной проводимости — См (Ом-1). Действительную
часть ее обозначают через g, мнимую — через Ь.
92
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
Так как
1
1
R +j X
2
R -jX
R2 + X 2
R
r2+x
X
2
j r 2 +x
2
=g - j b ,
то
R
8
X
b=
r 2 +x
R2 + X 2
2
’ = ylg2 + b2
(3.38)
Если X положительно, то и b положительно. При X отрицательном b
также отрицательно.
При использовании комплексной проводимости закон Ома (3.35) за­
писывают так:
(3.39)
I=U Y9
или
I = U g - J U b = Ia +Jr9
где 1а — активная составляющая тока; 1Г— реактивная составляющая
тока; U — напряжение на участке цепи, сопротивление которого равно Z.
§ 3.14. Треугольник сопротивлений и треугольник проводимостей.
Из (3.36) следует, что модуль комплексного сопротивления
z
=J
r2
+x z.
(3.40)
Следовательно, z можно представить как гипотенузу прямоугольного
треугольника (рис. 3.10) — треугольника сопротивлений, один катет ко­
торого равен R, другой — X. При этом
(3.41)
tg ф = X / R.
Аналогичным образом модуль комплексной проводимости в соответ­
ствии с (3.38) у -
g 2 +b2. Следовательно, у есть гипотенуза прямо­
угольного треугольника (рис. З.П ),
катетами которого являются активная
g
g и реактивная b проводимости:
tg4> = b / g .
(3.42)
Треугольник сопротивлений дает
графическую интерпретацию связи
между модулем полного сопротивле­
ния z и активным и реактивным со­
Рис. З І I
противлениями цепи; треугольник
проводимостей — интерпретацию
связи между модулем полной проводимости у и ее активной и реактив­
ной составляющими.
§3.16. Законы Кирхгофа в символической форме записи
93
§ 3.15. Работа с ком плексны м и числам и. При расчете цепей переменного тока при­
ходится иметь дело с комплексными числами: сопротивление участка цепи или цепи в
целом — это комплекс; проводимость — комплекс; ток, напряжение, ЭДС — комплексы.
Для нахождения тока по закону Ома нужно комплекс ЭДС разделить на комплекс сопро­
тивления.
Из курса математики известно, что комплексное число можно представить в трех
формах записи: алгебраической— a + j b , показательной— с е 7Ф и тригонометричес­
кой — с cos(p + j с sin ф.
Сложение двух и большего числа комплексов удобнее производить, пользуясь алгеб­
раической формой записи. При этом отдельно складываются их действительные и мни­
мые части:
(<7 j + у bl ) + (a 2 + j b2) + (a 3 - j b3) = (a{ + a 2 + a3) + j { b { +b 2 - b 3).
Деление и умножение комплексных чисел целесообразно производить, пользуясь по­
казательной формой записи. Например, нужно разделить комплекс с 1 е 7Ф| на комплекс
с 2 е 7Ф2. В результате деления будет получен комплекс
С /Фч -
С
3
С 1 с7Ф|
с 2 е 7Ф 2
-
q7 (Фі ~Ф?)
с2
Модуль результирующего комплекса с 3 равен частному от деления с] на с2, а аргу­
мент Фз = ф, - ф2При умножении двух комплексов а е 7Фі и с 2 е 7 Ф 2 результирующий комплекс
С4 Є7' ф* = C j Є /Ф1 С 2 Є7Ф2 = С]
с 2 Є7(фі+ф2>.
При расчетах электрических цепей часто возникает необходимость в переходе от ал­
гебраической формы записи комплекса к показательной или наоборот_____
Пусть задано комплексное число а + у‘ 6 = с е 7Ф. Здесь с = у]а2 + b2 ; tg ф = 6 /я ;
я ^ с с о б ф : 6 = с sin ф.
Чтобы не совершить ошибку при записи показательной формы комплекса, рекомен­
дуется сначала качественно изобразить заданный в алгебраической форме комплекс на
комплексной плоскости, что позволит правильно выразить угол Ф между осью + 1 и век­
тором. Углы, откладываемые против часовой стрелки от оси + 1, считают положительны­
ми. по часовой стрелке — отрицательными.
П ри м ер 30. Перевести в показательную форму следующие комплексы: а) 3 + 2у;
б) 2 + 3у; в) 4 - 5 у: г) - 6 - 2 у; д) -0,2 + 0.4у; е) 10-у0,8.
Решение
пояснено
на
рис. 3.12. а - е:
а) 3 + 2 у = 3 , 6 е 7 33 °40 ;
б) 2 + 3 у = 3 ,6 е /56°20': в) 4 - 5 у = 6.4 е~75,°20'; г) - 6 - 2 у = 6,32 е _/16,°25' = 6.32 е 7 198°35';
Д) - 0,2 + 0,4 у = 0,448 е 7 116°35; е) Ю ~у 0,8 а 10е~/4 °4О\
§ 3.16. Законы Кирхгофа в символической форме записи. По пер­
вому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений то­
ков, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:
0.
(3.43)
Подставим вместоikв (3.43) Ik е70)' ивынеся е7(0'за скобку, полу­
чим е /0)/ ]Г /А
. - Так как
не Равно нулюприлюбом /, то
1 /* = 0 .
(3.44)
Уравнение (3.44) представляет собой первый закон Кирхгофа в сим­
волической форме записи.
94
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
Для замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи
синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону
Кирхгофа для мгновенных значений токов, напряжений и ЭДС.
Пусть замкнутый контур содержит п ветвей и каждая £-ветвь в общем
случае включает источник ЭДС ек, резистор Rk, индуктивный Lk и
емкостный Ск элементы, по которым протекает ток ik. Тогда, по второ­
му закону Кирхгофа,
кшЛ
‘к R k + h
-ff +7г- J'*
at
dt
=Y
ek-
(3-45)
Но каждое слагаемое левой части уравнения в соответствии с § 3.12
можно заменить на l k Zk , а каждое слагаемое правой части — на Ек.
Поэтому уравнение (3.45) переходит в
£ i k Z k = £ E k.
к=\
А=1
(3.46)
Уравнение (3.46) представляет собой второй закон Кирхгофа в сим­
волической (комплексной) форме записи.
§ 3.17. Применение к расчету цепей синусоидального тока мето­
дов, рассмотренных в главе «Электрические цепи постоянного тока».
Для анализа и расчета электрических цепей постоянного тока разрабо­
тан ряд методов и приемов, облегчающих решение по сравнению с
решением системы уравнений при непосредственном использовании за­
конов Кирхгофа. Из гл. 2 известно, что к числу таких методов относятся
методы контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генера­
тора и т. д. Известно также, что окончательные расчетные формулы этих
методов получают в результате выводов, в основу которых положены
первый и второй законы Кирхгофа.
§3.18. Применение векторных диаграмм при расчете электрических цепей.,
95
Поскольку первый и второй законы Кирхгофа справедливы и для це­
пей синусоидального тока, можно было бы записать уравнения для мгно­
венных значений величин цепей синусоидального тока, перейти от них
к уравнениям в комплексах и затем повторить вывод всех формул гл. 2
для цепей синусоидального тока. Понятно, что проделывать выводы за­
ново нет необходимости.
В том случае, когда отдельные ветви электрической цепи синусоидаль­
ного тока не связаны между собой магнитно, все расчетные формулы
гл. 2 пригодны и для расчета цепей синусоидального тока, если в этих
формулах вместо постоянного тока I подставить комплекс тока /, вмес­
то проводимости g — комплексную проводимость Y, вместо сопротивле­
ния R — комплексное сопротивление Z и вместо постоянной ЭДС Е —
комплексную ЭДС Ё.
Если же отдельные ветви электрической цепи синусоидального тока
связаны друг с другом магнитно (это имеет место при наличии взаимо­
индукции), то падение напряжения на каком-либо участке цепи зависит
не только от тока данной ветви, но и от токов тех ветвей, с которыми
данная ветвь связана магнитно. Расчет электрических цепей синусоидаль­
ного тока при наличии в них магнитно-связанных ветвей приобретает ряд
особенностей, которые не могут быть учтены, если в формулах гл. 2 не­
посредственно заменить Е на £, R на Z и g на Y. Особенности расчета
магнитно-связанных цепей рассмотрены в § 3.36.
§ 3.18. Применение векторны х диаграмм при расчете электриче­
ских цепей синусоидального тока. Ток и напряжения на различных уча­
стках электрической цепи синусоидального тока, как правило, по фазе
не совпадают. Наглядное представление о фазовом расположении раз­
личных векторов дает векторная диаграмма токов и напряжений. Ана­
литические расчеты электрических цепей синусоидального тока рекомен­
дуется сопровождать построением векторных диаграмм, чтобы иметь
возможность качественно контролировать эти расчеты.
Качественный контроль заключается в сравнении направлений различ­
ных векторов на комплексной плоскости, которые получают при анали­
тическом расчете, с направлением этих векторов, исходя из физических
соображений. Например, на векторной диаграмме напряжение UL дол­
жно опережать ток / на 90°, а напряжение 0 Г — отставать от тока I
на 90°.
Если аналитический расчет дает результаты, не совпадающие с таки­
ми очевидными положениями, то, следовательно, в него вкралась ошиб­
ка. Кроме того, векторную диаграмму часто используют и как средство
расчета, например в методе пропорциональных величин.
П ри м ер 31. В схеме (рис. 3.13, а) е = 141 sinco/ В;
Я, = 3 Ом;
L = 0.00955 Гн. Угловая частота о = 314 рад/с.
Определить ток и напряжение на элементах цепи.
Р е ш е н и е . Запишем уравнение для мгновенных значений
/(Л, +/?,) + £ — = <;.
di
R2 - 2 Ом;
96
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
Перейдем от него к уравнению в комплексах:
/( /? ! +
/? 2
)+j
L І = Е или / Z - £,
где Z = Я, + R 2 + у соL = 3 + 2 + У 3 14 •0,00955 = 5 + 3 у = 5,82 е ' 3|° .
Комплекс действующего значения ЭДС £ = 141/V2 =100 В.
Ток 1 = E / Z = 100/5,8 е-' 3|° = 17,2 е " 7 3|° А.
Напряжения на/?|
U Kl = U ab = / Rt = 5 І,6 е _' ЗІ° В;
на Л2 UR l = 0 b c - І R 2 =
= 34,4 e - ' JI‘ В, на L U L
= 0 Ы = j о і / = 3 j ■17,2 е “узг = 51,6 е / 59°В.
Векторная диаграмма изображена на рис. 3.13, б. Вектор Е направлен по оси + 1 .
Вектор тока / отстает от него на 31°.
Рис. 3.13
П рим ер 32. Решить задачу примера 31 методом пропорциональных величин.
Р е ш е н и е . Зададимся током в цепи в 1 А и направим его на векторной диаграмме
(рис. 3.13, в) по оси + 1 ( / = 1 ). Напряжение на /?| совпадает по фазе с током и численно
равно 1*3 = 3 В. Напряжение на R 2 также совпадает с током и равно 2 В. Напряжение
на L равно 3 В и опережает ток на 90°. Из прямоугольного треугольника следует, что
при токе / = 1А на входе Е - V52 +3 2 - 5,82 В. Так как на входе действует ЭДС в
100/5,82 = 17,2 раза больше, то все токи и напряжения должны быть умножены на коэф­
фициент 17,2. На рис. 13.3, в все векторы повернуты на 31° против часовой стрелки по
сравнению с соответствующими векторами на рис. 3.13, б. Ясно, что взаимное располо­
жение векторов на диаграмме при этом не изменилось.
П рим ер 33. В цепи (рис. 3.14, а) /? = 4 Ом; w = 105 рад/с. Определить емкость кон­
денсатора С, если Е = 10 мВ; 1 - 2 мА.
Решение.
Комплексное
сопротивление
цепи
Z = /? -y /c o C ,
его
модуль
г = ^ R 2 + (1/соС ) 2 . По закону Ома l - E i z , отсюда z = у = 10-10~3 /2 • 10~ 3 = 5 Ом.
Следовательно, Х (' = l/a )C = V^ 2 - ^ 2 = л/52 —4 2 = З О м ; С = 1/(10 5 -3) = 3,33 мкФ.
Векторная диаграмма изображена на рис. 3.14, б.
§3.18. Применение векторных диаграмм при расчете электрических цепей..
97
П рим ер 34. На участке ab разветвленной цепи (рис. 3.15, а) параллельно включены
индуктивное X j - a i L и активное сопротивление R, численно равное X / . Показание
амперметра Аг - 5 А. Определить показание амперметра А3, полагая сопротивления
амперметров настолько малыми, что их можно не учитывать.
Рис. 3.15
Р е ш е н и е. На рис. 3.15, б качественно построим векторную диаграмму. Напряже­
ние Uab совпадает по фазе с током / 2. Ток / к отстает от тока / 2 на 90 ° и равен ему по
величине. Ток в неразветвленной части схемы / 3 = /, + / 2 . Модуль тока / 3 = 5 > / 2 = 7 , 0 7 А.
Амперметр
покажет 7 , 07 А.
П ри м ер 35. Построить векторную диаграмму токов и напряжений для схемы на
3 . 1 6 , я, если /, = 1 A,
R\ = 1 0 Ом. (о /.|= Ю О м , 1/соС = 14,1 Ом, coZ,3 = 2 0 0 m ,
= 2 . 5 Ом.
рис.
Я3
Рис. 3.16
4 - 4657
98
Гл. З. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
Р е ш е н и е . Обозначим токи и примем положительные направления для них в соот­
ветствии с рис. 3.16, а. Выберем масштаб для токов /и7 =0,5 А /см и для напряжений
ти = 4 В /см . Ток /, направим по оси + 1 (рис. 3.16, б). Падение напряжения
= 10 В
и по фазе совпадает с током /j. Падение напряжения в индуктивном сопротивлении соL
также равно 10 В, но опережает ток /, на 90°. Геометрическая сумма
по мо­
дулю равна 10^2 =14,1 В. Емкостный ток / 2 опережает это напряжение на 90°. Модуль
тока / 2 = 14,1/14,1 = 1 А.
Ток в неразветвленной части цепи равен геометрической сумме токов: / 3 = / , + / 2.
Модуль его равен - 0,8 А (найден графически). Падение напряжения на сопротивлении
#з равно 2 В и совпадает по фазе с током / 3. Падение напряжения на индуктивности
Z/з опережает ток / 3 на 90° и численно равно 0,8-20 = 16 В. Напряжение на входе схе­
мы равно ЭДС и составляет около 18,3 В.
П ри м ер 36. Решить задачу, обратную рассмотренной в примере 35. В схеме
рис. 3.16, а опытным путем найдены значения токов
/ 2 и / 3 (в ветви схемы включи­
ли амперметры и записали их показания), /, = 1 А, / 2 = 1 А, / з = 0,8 А и определены три
напряжения: напряжение на входе схемы U - Е = 18,3 В, напряжение на конденсаторе
Uc = 14,1 В (оно же напряжение на первой ветви) и напряжение на третьей ветви (на Я3
и Z,3) и ъ «16 В. Напряжения были определены путем подключения вольтметра пооче­
редно к зажимам а и е, а и с, е и с.
По опытным данным (по значениям трех токов и трех напряжений) построить вектор­
ную диаграмму.
Р е ш е н и е . На рис. 3.16, в отложим вектор Uc% по модулю равный 14,1 В. Для со­
поставления с рис. 3.16, б расположим его на диаграмме так же, как он расположен на
рис. 3.16, б.
Изобразим на диаграмме ток / 2. Он на 90° опережает напряжение 0 С и по модулю
равен 1 А. После этрго построим на диаграмме токи 1Х и / 3, воспользовавшись тем, что
три тока ( / ,, І 2 и / 3) образуют замкнутый треугольник (см. рис. 3.16, б).
Для построения треугольника по трем сторонам (т. е. фактически для определения
третьей вершины его) из конца вектора тока (из одной вершины треугольника) проведем
дугу радиусом, равным току /,, а из начала вектора тока / 2 (т. е. из второй вершины
треугольника) проводим дугу радиусом, равным току / 3.
Точка пересечения этих дуг дает искомую третью вершину треугольника, т. е. точку, в
которой оканчиваются векторы токов / 3 и 1Х. После того как на диаграмме определено
положение вектора тока / 3, можно изобразить на ней векторы напряжения 0 3 и ЭДС £.
Напряжения 0 (•, (У3 и ЭДС Е также образуют замкнутый треугольник. Его постро­
ение осуществляется аналогично построению треугольников токов.
Из конца вектора Uc проводим дугу радиусом, равным (У3, а из начала вектора 0 (—
дугу радиусом, равным Е. Дуги пересекаются в точках е и /
Так как напряжение С/ 3 представляет собой падение напряжения от тощ / 3 на
последовательно соединенных Ry и £3, то оно по фазе должно опережать ток / 3 , а не
отставать от него.
Поэтому из точек е й /в ы б и р а ю т точку е (если бы выбрали точку / , то в этом случае
напряжение Uу — штриховая линия на рис. 3.16, в — отставало бы от тока / 3, а не опе­
режало его).
В заключение отметим, что в треугольнике токов дуги тоже пересекаются в двух точ­
ках, но вторая (лишняя) точка на рис. 3.16, в не показана.
§ 3.19. Изображение разности потенциалов на комплексной плос­
кости. Потенциалы цепи переменного тока являются комплексными чис­
лами. На комплексной плоскости комплексное число можно изображать
либо точкой, координаты которой равны действительной и мнимой час­
тям комплексного потенциала, либо вектором, направленным от начала
координат к данной точке плоскости.
На рис. 3.17 представлены два вектора, изображающие собой комп­
лексные потенциалы:
= -2 + 5 / и
= 4 + /.
§3.20. Топографическая диаграмма
99
По определению, разность потенциалов
й аь = Ф0 - Ф/, = -6 + 4 у; Uah изобразится
вектором, направленным от Ъ к а. Первый
индекс у напряжения (в нашем примере ин­
декс а) указывает, к какой точке следует на­
править стрелку вектора напряжения. Есте­
ственно, что Uha = -U ah.
§ 3.20. Т оп ограф ическая диаграм м а.
Каждая точка электрической схемы, в кото­
рой соединяются элементы схемы, имеет
свое значение комплексного потенциала.
Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих комплек­
сные потенциалы одноименных точек электрической схемы, называют
топографической диаграммой.
Термин «топографическая» объясняется тем, что диаграмма напоми­
нает топографическую карту местности, где каждой точке местности
отвечает определенная точка карты. Расстояние между двумя точками на
местности можно определить, измерив расстояние между одноименны­
ми точками на карте.
Аналогичные измерения можно проводить и на топографической диа­
грамме. Напряжение между любыми двумя точками электрической схе­
мы, например между точками а и 6, по значению и направлению опре­
деляется вектором, проведенным на топографической диаграмме от точ­
ки b к точке а.
При построении топографической диаграммы, как и потенциальной
(см. § 2.10), потенциал любой точки схемы может быть принят равным
нулю. На диаграмме эту точку помещают в начало координат. Тогда по­
ложение остальных точек схемы на диаграмме определяется параметра­
ми цепи, ЭДС и токами ветвей. Рассмотрим несколько примеров.
П ример 37. По данным примера 35 построить топографическую диаграмму для схе­
мы рис. 3.16, а.
Р е ш е н и е . Обозначим буквами а , b, с,... точки схемы на рис. 3.16, я, которые хо­
тим отобразить на топографической диаграмме. Примем потенциал точки а равным нулю:
фв = 0 .
Выразим потенциал точки b через потенциал точки а:
Фл =Ф<1 + h R\ = Ф„ + Ю.
Знак плюс перед слагаемым /, /?, обусловлен тем, что при переходе от точки а к точ­
ке Ь перемещение происходит навстречу току /, (при этом потенциал увеличивается на
/, /?,). Точка b на диаграмме имеет координату по оси абсцисс + 10. Аналогично
Фс = Ф/> + Л J ®Ц =Ю + у 10;
Фс/ =Фс +Л
Фіг = Фс/ + ^3 j(0Ly
Совокупность точек а , b, с, d, е на комплексной плоскости (рис. 3.18) представляет
собой топографическую диаграмму схемы на рис. 3.16, а. По ней удобно определять на4*
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
100
пряжение между любыми двумя точками схемы и сдвиг по фазе этого напряжения отно­
сительно любого другого напряжения.
П рим ер 38. Найти точки в схеме (рис. 3.19) методом узловых потенциалов. Положи­
тельные направления ЭДС указаны
на схеме стрелками, е] = 120 V J sin со/ В;
е} = 1 0 0 ^ 2 cos(co/-120°) В; Я = 2 Ом; 1 / и С 2 = 10 Ом; f f l i j = 5 Ом.
Р е ш е н и е . Запишем ЭДС в комплексной форме: £, = 120. Ег = 100е“^ зо°.
Выберем положительные направления для токов в ветвях к узлу а. Определим прово­
димости ветвей:
У, = 1/ Z, = 1/2 = 0,5 См;
У'з = 1/Z 3 =
У2 = 1/Z 2 = 1 / (-Ю у) = 0,1 у См;
1/ (5у ) = -0,2 у См.
Заземлим точку Ь. Уравнение по методу узловых потенциалов
Ф«
~~ ^ аа '
_ 120 0.5 + 100е ~ 7 30° 0.2 e~j 900 _
0,5+ 0 ,1 у - 0 , 2 у
[ 0 4 е - 7 8°
в.
Токи в ветвях
■ = £, -ф„ = 120-104с у8 =
1
Z,
+ 7
=п
40*75' д
2
-
z2
= .1 1 9 1 1 ^ 1 = 1 0 . 4 А;
—10 еу
;
Е ,_- ф„
_ 1 0 0 e ' 3O°_- I 0 4 e ~ /8'' _= 1 0 0 (c o s3 0 °-y sin3 0_° )-1 0 4 (cos8 °- у sin 8 °) =
_
/з=_
_ =
39.1 е 7
245030
_
^
/155СЗО-
- = 7,82 е 7
А.
5 е 7 90°
П рим ер 39. Найти токи в схеме (рис. 3.20, а) методом контурных токов и построить
топографическую диаграмму, если £ ,= 1 0 0 В; Ё 2 - 100е/ 9О° В; Х с - 1/со С = 2 Ом;
R ~ со L = 5 Ом.
Р е ш е н и е . Выберем направления контурных токов / п и / 22 по часовой стрелке.
Запишем в общем виде уравнения для контурных токов (ср. с уравнениями (2.13))
Іи Z\ \ + hi %\2 =
/ 11 Z2, + 122
^22
~
^
22 '
где Zn — собственное сопротивление первого контура; Z,,
= 5 - 2 у;
Z 22 —
§3.21. Активная, реактивная и полная мощности
101
собственное сопротивление второго контура, Z 22 = R + j w L = 5 + 5 j \ Z n = Z 2\ — сопро­
тивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус,
Z , 2 = - R = - 5 ; Ёп — алгебраическая сумма ЭДС первого контура, £ ,, = £, = 1 0 0 ; Ё 22 —
алгебраическая сумма ЭДС второго контура, Ё 22 - - Ё 2 = -1 0 0 j.
Следовательно,
/ц (5 —2 у) —5 122 = 100;
~5 / j j +
/2 2
(5 + 5 у) = -100 j .
Определитель системы
Д=
100
А» =
-5
-1 0 0 У 5 + 5 у
5 -2 j
-5
-5
5+5j
= 500;
Д->
= 10 + 15 у = 18 еу 56°20’.
5-2 j
100
-5
-1 0 0 у
= 3 0 0 -5 0 0 j = 582e~/S6°20'.
Токи в схеме
/ ,, = Д| / Д = 500/18 е 7
56° 20
= 27,8 е " ' 56”20’ Л;
І 22 = Д : /Д = 582 е~ ' 5Ч° / 18 е ' 56”20' = 32.3 е " ' " 5°20’ А;
= Л| “ /’2 =30с-/1,,>43'.
Топографическая диаграмма изображена на рис. 3.20, б.
§ 3.21. А ктивная, реактивная и полная мощности. Под активной
мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности р за
период Т:
4о
(3 .4 7 )
#0
Гхли ток і = /,„ sin со/, напряжение на участке цепи и =
Р ~ — J7/w £/,„ sin со/ sin(o)/ + ф ) dt =
Г о
sin(o)/ + ф ), то
cos ф.
(3 .4 8 )
2
Активная мощность физически представляет собой энергию, которая
выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи в сопро-
102
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
тивлении R. Предполагается, что в 1 с укладывается целое число перио­
дов Т. Действительно, произведение £/coscp = / R. Следовательно,
Р = U coscp I = I 2 R.
(3.49)
Единица активной мощности — ватт (Вт).
Под реактивной мощностью Q понимают произведение напряжения
U на участке цепи на ток / по этому участку и на синус угла ср между
напряжением U и током / :
(3.50)
<2 = U 1 sin ф.
Единица реактивной мощности — вольт-ампер реактивный (ВАР).
Если sin ф > 0, то g > 0 , если 5 Іп ф < 0 , то Q< 0.
Рассмотрим, что физически представляет собой реактивная мощность.
С этой целью возьмем участок цепи с последовательно соединенными R,
L и С. Пусть по нему протекает ток / = l m sin со/. Запишем выражение для
мгновенного значения суммы энергий магнитного и электрического по­
лей цепи:
с til
Lr
L
. ->
СІ
---- — Sin" СО/ +
COS" соt =
2 (со С )2
L /2
------ (1 - cos 2со/) +
/2
« (l + cos2co/).
2 со С
Из полученного выражения видно, что WM3 имеет постоянную
составляющую ^мэо> неизменную во времени, и переменную составляю­
щую wM3 изменяющуюся с двойной угловой частотой:
^МЭ - ^МЭ 0 ' •щмэ>
где
/2
IIі
r LI2
мэ
2 со2 С
cos 2 соЛ
2 со- С
На создание постоянной составляющей Wu эо была затрачена энер­
гия в процессе становления данного периодического режима. В дальней­
шем при периодическом процессе энергия (VM30 остается неизменной
и, следовательно, от источника питания не требуется энергии на ее со­
здание.
Среднее значение энергии IVM3 , поступающей от источника за ин­
тервал времени t от - 7 7 8 до + Т/8,
/ =778
Ж,МЭср
1
| МЭ d t = п
/*-778
=- 1 2 (Хг - Х с ) =
(О2 С
2
2
71 СО
71 СО
= -----U 1 sin ф = — Q.
71 СО
(3 .5 1 )
§ 3.22. Выражение мощности в комплексной форме записи
103
Таким образом, реактивная мощность Q пропорциональна среднему
за четверть периода значению энергии, которая отдается источником
питания на создание переменной составляющей электрического и маг­
нитного полей индуктивной катушки и конденсатора.
За один период переменного тока энергия И/МЭср дважды отдается ге­
нератором в цепь и дважды он получает ее обратно, т. е. реактивная мощ­
ность является энергией, которой обмениваются генератор и приемник.
Полная мощность
S = U /.
(3.52)
Единица полной мощности — В-А.
Мощности Р, Q и S связаны следующей зависимостью:
P2 + Q 2 = S 2.
(3.53)
Графически эту связь можно представить в виде прямоугольного тре­
угольника (рис. 3.21) — треугольника мощности с катетами P , Q w гипо­
тенузой S.
На щитке любого источника электрической энергии
переменного тока (генератора, трансформатора и т. д.)
указывается значение S, характеризующее ту мощ­
ность, которую этот источник может отдавать потреби­
телю, если последний работает при coscp = 1 (т. е. если
Р
потребитель представляет собой чисто активное сопро­
тивление).
Рис-321
§ 3.22. Выражение мощности в комплексной форме записи. Пусть
задан некоторый комплекс
А = A е 1ф1 = A cos ер4 + j A sin ц>А.
*
Под комплексом А, сопряженным с комплексом А, будем понимать
А = А е ~ /(?А = A coscp 4 - j A sincp^.
Рассмотрим простой прием определения активной и реактивной мощ­
ностей через комплекс напряжения и сопряженный комплекс тока. На­
пряжение на некотором участке цепи U = U е7Ф,\ токпо этому участку
/ = / е /ф/ .Уголмежду напряжением и током ср = ср;/ -срг
, Умножим комплекс напряжения на сопряженный комплекс тока
/ = / e~J<p' и обозначим полученный комплекс через S :
S = и / = и / е ' <(р" ' ф' >= и I е ' ф =
= U / coscp + j U / sin<p = Р + j Q.
(3.54)
Значок - (тильда) над S обозначает комплекс (а не сопряженный ком­
плекс) полной мощности, составленный при участии сопряженного ком­
плекса тока /.
104
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
Таким образом, активная мощность Р есть действительная часть (Re),
а реактивная мощность Q — мнимая часть (Im) произведения U I :
P = R qUJ;
(3.55)
Q =lmUI.
П ри м ер 40. Определить активную, реактивную и полную мощности по данным при­
мера 31.
Р е ш е н и е . Напряжение на входе всей схемы равно ЭДС 0 - Ё - 100 В. Ток в цепи
/ = 17,2е 7 3 1 А. Сопряженный комплекс тока / = 17,2 с -7 3,° А. Комплекс полной мощности
£ = (У / = 100 ■17,2 е ' 3 10 = 1720 cos 3 1° + У і 720 sin 3 10 = 1475 + у 8 8 6 ; Р = 1475; Q = 8 8 6 .
Следовательно, активная мощность Р - 1475 Вт, реактивная Q = 8 8 6 ВАР и полная
S = 1720 В -А.
§ 3.23. И змерение мощ ности ваттм етром . Измерение мощности
производят обычно с помощью ваттметра электродинамической системы,
в котором имеются две катушки — неподвижная и подвижная.
Подвижная катушка, выполненная из очень тонкого провода, имеет
практически чисто активное сопротивление и называется параллельной
обмоткой. Ее включают параллельно участку цепи, подобно вольтметру.
Жестко скрепленная со стрелкой (указателем), она может поворачивать­
ся в магнитном поле, создаваемом неподвижной катушкой.
Неподвижная катушка, выполненная из довольно толстого провода,
имеет очень малое активное сопротивление и называется последователь­
ной обмоткой. Ее включают в цепь последовательно, подобно амперметру.
На электрической схеме ваттметр изображают, как по­
казано на рис. 3.22. Одна пара концов (на рисунке распо­
ложена горизонтально) принадлежит последовательной
обмотке, другая пара концов (на рисунке расположена
Ь
вертикально) — параллельной. На концах одноименных
зажимов обмоток (например, у начала обмоток) принято
Рис. 3.22
ставить точки.
Вращающий момент ваттметра, а следовательно, и его
показания пропорциональны действительной части произведения комплексного напряжения й ар на параллельной обмотке ват­
тметра на сопряженный комплекс тока /, втекающего в конец последо­
вательной (токовой) обмотки ваттметра, снабженной точкой:
Напряжение на параллельной обмотке берут равным разности потен­
циалов между ее концом, имеющим точку (точка а), и ее концом, не име­
ющим точки (точка Ь). Предполагается, что ток втекает в конец после­
довательной обмотки, у которого поставлена точка.
Цена деления ваттметра определяется как частное от деления произ­
ведения номинального напряжения на номинальный ток (указывают на
лицевой стороне прибора) на число делений шкалы.
§ 3.24. Двухполюсник в цепи синусоидального тока
105
П рим ер 41. Номинальное напряжение ваттметра 120 В. Номинальный ток 5 А. Шка­
ла имеет 150 делений. Определить цену деления ваттметра.
Р е ш е н и е . Цена деления ваттметра равна 120-5/150 = 4 Вт/дел.
§ 3.24. Д вухполю сник в цепи синусоидального тока. На схеме
(рис. 3.23) изображен пассивный двухполюсник, подключенный к источ­
нику ЭДС. Входное сопротивление двухполюсника ZBX = £ / / . В общем
случае
Z „ = ^ +7
При Х вх > 0 входное сопротивление имеет индуктив­
ный характер (ф > 0 ), при Х вх < 0 — емкостный и при
Х вх - 0 — чисто активный.
Входная проводимость Квх представляет собой вели­
чину, обратную входному сопротивлению: Квх = 1/ ZBX.
Входное сопротивление можно определить расчет­
ным путем, если известна схема внутренних соединений
двухполюсника и характер и значения сопротивлений, либо опытным
путем.
При опытном определении входного сопротивления двухполюсника
собирают схему (рис. 3.24, а), в которой амперметр измеряет ток /, вольт­
метр — напряжение Uah- U на входе двухполюсника. Ваттметр
!/ ф > 0
Рис. 3.24
измеряет Re(£/w6 /), т. е. активную мощность Р - U I соэф. Модуль вход­
ного сопротивления z —U / 1. При делении Р на произведение U I поР
лучают косинус угла между напряжением и током: со$ф = -^-у. По
косинусу угла находят sin ф и затем находят RBX = z со 5 ф и Х вх = z sin ф.
Так как косинус есть функция четная, т. е. со$(-ф) = со 5 ф, то изме­
рения необходимо дополнить еще одним опытом, который позволил бы
путем сопоставлений показаний амперметра в двух опытах выявить знак
угла ф. Для определения знака угла ф можно воспользоваться специаль­
ным прибором — фазометром — либо, при его отсутствии, проделать
следующий опыт: параллельно исследуемому двухполюснику замыканием
ключа К подключают небольшую емкость С (рис. 3.24, а).
106
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
Если показания амперметра при замыкании ключа К станут меньше,
чем они были при разомкнутом ключе, то угол Ф положителен и вход­
ное сопротивление Z = zqj <
p имеет индуктивный характер (рис. 3.24, б).
Если показания амперметра при замыкании ключа станут больше, то ф
отрицательно и входное сопротивление имеет емкостный характер
(рис. 3.24, в).
На векторных диаграммах (рис. 3.24, б, в) / — ток через двухполюс­
ник; 1С — ток через емкость, который опережает напряжение U на вхо­
де двухполюсника на 90°. Штриховой линией показан ток через ампер­
метр при замкнутом ключе. Сопоставление этого тока с током I и под­
тверждает приведенное заключение.
П рим ер 42. В схеме рис. 3.24, a U - 120 В; / = 5 А; Р = 400 Вт. Замыкание ключа К
приводит к уменьшению показаний амперметра. Определить входное сопротивление двух­
полюсника.
Р е ш е н и е . Модуль входного сопротивления
* = { / / / = 24 Ом;
COS ф = •
sin ф = 0,745.
Таким образом,
/?вх = z соэф = 24 • 0,666 = 16 Ом;
Л'вх = z sin ф = 24 • 0,745 = 17,9 Ом.
Комплекс входнот сопротивления ZBX =16 + j 19,9 Ом.
§ 3.25. Резонансный режим работы двухполюсника. Пусть двухпо­
люсник содержит один или несколько индуктивных элементов и один или
несколько конденсаторов. Под резонансным режимом (режимами)
работы такого двухполюсника понимают режим (режимы), при котором
входное сопротивление двухполюсника является чисто активным. Следо­
вательно, для определения условий наступления резонанса необходимо
приравнять к нулю мнимую часть комплекса входного сопротивления
двухполюсника. Такой способ справедлив, если не пренебрегать актив­
ными сопротивлениями индуктивных катушек.
По отношению к внешней цепи двухполюсник в резонансном режи­
ме ведет себя как активное сопротивление, поэтому ток и напряжение на
его входе совпадают по фазе. Реактивная мощность двухполюсника при
этом равна нулю.
Различают две основные разновидности резонансных режимов: резо­
нанс токов и резонанс напряжений.
§ 3.26. Резонанс токов. Явление резонанса в схеме (рис. 3.25, а), об­
разованной двумя параллельными ветвями с разнохарактерными реактив­
ными сопротивлениями, называют резонансом токов.
Пусть первая ветвь содержит активное сопротивление Rx и индуктив­
ное со L, а вторая ветвь — активное R2 и емкостное 1/соС.
Ток /j в первой ветви отстает от напряжения U = Uah (рис. 3.25, б)
и может быть записан как
§ 3.26. Резонанс токов
107
Рис. 3.25
i^UY,=U{g,-jb,).
Ток / 2 во второй ветви опережает напряжение:
i 2 = U Y 2 = U ( g 2 - j b 2).
Ток в неразветвленной части цепи
/ = / 1+ / 2 = i / ( f t + g 2) - y t / ( 6 l + 6 2).
По определению резонансного режима ток / должен совпадать по
фазе с напряжением U. Это будет при условии, что сумма реактивных
проводимостей ветвей равна нулю: 6, + Ь2 = 0.
В соответствии с (3.38)
со L
^ = ^ 2 — гтт;
R2 + o r Lr '
.
1/со С
ь2 = ■
*
Л22 + 1/со2 С 2 '
Следовательно, условие наступления режима резонанса токов в схе­
ме на рис. 3.25, а можно записать так:
' /ШС
fi| + l/(o2C 2 '
+w :
(3.56)
На рис. 3.25, б изображена векторная диаграмма для резонансного
режима. Из (3.56) следует, что если R2 =0, то резонанс наступит при
со L
_
= со С.
R2 + со2 L2
В еще более частном случае, когда R2 = 0 и /?,
ступит при
со2 Z, С * 1.
/_
(3.57)
соL, резонанс на­
(3.58)
Резонанса можно достичь изменением со, L, С или /?, и R2. Число­
вое значение тока в неразветвленной части схемы может быть меньше
токов в ветвях схемы. При R2 = 0, R\ * 0 ток / может оказаться ничтож­
но малым по сравнению с токами /, и / 2.
108
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
В идеализированном, практически не выполнимом режиме работы,
когда Rx = R2 = 0, ток в неразветвленной части схемы на рис. 3.25, а
равен нулю и входное сопротивление равно бесконечности.
Обратим внимание на следующее. В формулу (3.56) входит пять
величин (L, С, /?J, /?2, со). Если определять из нее L или С, то может
оказаться, что для искомой величины будут получены одно или два дей­
ствительных значения либо мнимое значение.
Получение двух действительных значений для L и С свидетельствует
о том, что при неизменных четырех параметрах вследствие изменения
пятого можно получить два резонансных режима. (Пояснения к возник­
новению двух резонансных режимов при изменении одного параметра и
неизменных остальных даются в примере 54.)
Получение мнимых значений L и С свидетельствует о том, что при
данных сочетаниях параметров резонанс невозможен.
Определим со из (3.56):
(3.59)
где
резонансная частота в контуре без потерь при
R} = R 2 = 0.
Поскольку угловая частота действительна и положительна, то числи­
тель и знаменатель формулы (3.59) должны быть с одинаковыми знака­
ми. Это имеет место при
а) L / C > R2; L/ C>R%;
б) L / C < R ? ; L / C < R l
При /?! = R2 частота со = со0. При L I C - R \ - R2
со = соо VoTo,
(3.60)
т. е. со получается величиной неопределенной. Физически это означает,
что резонанс может возникать при любой частоте. Сопротивление параллельного контура равно
= R{ = R2.
П рнм ер 43. В схеме (рис. 3.25, а) /?, = 30 Ом; со/. = 4 0 0 м ; R 2 = 0; со=10 3 рад/с.
При каком значении емкости конденсатора в схеме будет резонанс токов?
Р е ш е н и е. По формуле (3.56)
xr =
(о С
R\ + (o)L ) 2 _ ЗО2 + 4 0 2
= 62,5 Ом;
со L
40
= 16 мкФ.
С=
<аХс
103
-62,5
§ 3.27. Компенсация сдвига фаз. Входное сопротивление большин­
ства потребителей электрической энергии имеет индуктивный характер.
Для того чтобы уменьшить потребляемый ими ток за счет снижения его
§ 3.28. Резонанс напряжении
109
реактивной составляющей и тем снизить потери энергии в генераторе и
подводящих проводах, параллельно приемнику энергии включают бата­
рею конденсаторов.
Уменьшение сдвига фаз между напряжением на приемнике и током,
потребляемым от генератора, называют компенсацией сдвига фаз.
Компенсация сдвига фаз существенна для энергоемких потребителей,
например крупных заводов. Осуществляется она в месте ввода линии
питания в распределительном устройстве. Экономически выгодно
подключать конденсаторы на возможно более высокое напряжение (ток
через конденсаторы Ic = U со С). Сдвиг фаз ср между напряжением и
током, потребляемым от источника питания, доводят до значения, при
котором cosф « 0,9 -г 0,95.
§ 3.28. Резонанс напряжений. Резонанс в схеме последовательного
соединения R, L, С (рис. 3.26, а) называют резонансом напряжений.
Рис. 3.26
При резонансе ток в цепи должен совпадать по фазе с ЭДС £. Это
возможно, если входное сопротивление схемы Z = R + / (со L - 1/соС)
будет чисто активным. Условие наступления резонанса в схеме
(рис. 3.26, а)
щ L =- ! — ,
о)0 С
где со0 — резонансная частота.
(3.61)
110_Г 7. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
При этом / = £ //? . Модуль напряжения на индуктивном элементе при
резонансе равен напряжению на емкостном элементе:
UL = U C =со0 L I = ^ - E .
R
Отношение
^
=
=
(3.62)
называют добротностью резонансного контура. Добротность показыва­
ет, во сколько раз напряжение на индуктивном (емкостном) элементе
превышает напряжение на входе схемы в резонансном режиме. В радио­
технических устройствах Q может доходить до 300 и более. Векторная
диаграмма для режима резонанса изображена на рис. 3.26, б.
Характеристическим сопротивлением р для схемы (см. рис. 3.26, а)
называют отношение напряжения на L или С в режиме резонанса к току
в этом режиме: p = Q R = ^ L / С.
§3.29. Исследование работы схемы (рис. 3.26, а) при изменении
частоты и и ндуктивности. Пусть в этой схеме параметры R, L, С и
ЭДС Е постоянны, а меняется частота со. Рассмотрим характер измене­
ний модулей тока / и напряжений Uj и Uc в функции от со.
Ток в цепи
________ Е
(
r2+
При
изменении
л
со L ------шСу
Е
1
R
і
+ Q2
СО
СОл
со меняется реактивное сопротивление
цепи
Х = ( о L --------: при со -» 0*> сопротивление Х - + с о и ток / - > 0 ; при
__ со С
(0 = 1/ y[~LC сопротивление X = 0, ток 1 = E / R ; при со -» оо сопротивле­
ние X -> оо, ток /
0.
Напряжение
бы
- 0)° U, = a L I = E ■■■-■-..
I
■■■■ л.
При со-» 0 напряжение U{ =0; при со->оо напряжение U { -> Е
(рис. 3.26, в). При Q > \ / y [ l кривая UL (и кривая Uc ) проходит через
максимум, при £)<1/л/2 кривая UL монотонно стремится к Е.
■’ Стрелка -> заменяет слово «стремящийся» или, соответственно, «стремится».
§ 3.29. Исследование работы схемы при изменении частоты и индуктивности
111
При со —> О
Uc ~ I --------- > Е, при со -> оо Uc -» 0.
со С
Из рис. 3.26, в видно, что максимумы напряжений и j и Uc имеют
место при частотах, не равных резонансной частоте со0 = 1/ лjjLC : мак­
симум UL имеет место при частоте со7 >со0, а максимум Uc — при
частоте сог < со0 :
соL =со0
2-
—з— ; сог =
R2C
С05
СО;
На рис. 3.26, г изображены две кривые, характеризующие зависимость
^ = / (w) Для чепи с неизменными
С и Е при двух различных значе­
ниях R. Для кривой 2 сопротивление R меньше (а добротность Q боль­
ше), чем для кривой /.
Обычно кривые изображают в относительных единицах: ток в долях
от тока при резонансе, частота — в долях от резонансной частоты. Гра­
фики тока в относительных единицах изображены на рис. 3.26, д. Они
построены по формуле
/
1
^ 1+ Q2 (со/ со0 - со0 / со)2
Чем меньше активное сопротивление резонансного контура при не­
изменных остальных параметрах схемы, т. е. чем больше добротность
контура Q, тем более острой (пикообразной) становится форма кривой
/ = / ( со).
Полосой пропускания резонансного контура называют полосу частот
со2 - со, =соq /Q, на границах которой отношение — ■ составляет 0,707
Е IR
(рис. 3.26, д).
Граничные частоты со, 2 =
± l j . Аргумент входного со­
противления схемы (рис. 3.26, а) ф = arctg (?(со/со0 -со0 / со).
Если в данной схеме изменять не частоту, а индуктивность L, то за­
висимости /, UL в функции от X/ = coL (со = const) будут иметь вид
кривых рис. 3.26, е.
Так как (Уг = —~ /, а —!— = const, то кривая Uc = f ((oL) качесоС
соС
ственно имеет такой же вид, что и кривая / = / (со L).
П рим ер 44. В схеме (рис. 3.26, а) Я = 10 Ом; / = 1Гн; С = 1 мкФ.
Определить резонансную частоту со0, добротность Qt а также напряжение Ur , если
на вход схемы подано напряжение ЮмВ при резонансной частоте.
Р е ш е н и е . Резонансная частота со0 = - т = =
= 103 рад/с.
J lc J ut *
Добротность Q = со0 L / R = (103 • I)/ 10 = 100. Ток в цепи / = £ / /? = 0,01/10= 1 мА.
Напряжение на конденсаторе U(' = Q E = 1 00 *0,01 = 1 В.
112
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
§ 3.30. Ч астотны е характеристики двухполюсников. Входное со­
противление и входная проводимость двухполюсника в общем случае
являются функциями частоты со. Под частотными характеристиками
(ЧХ) понимают следующие типы характеристик:
1) зависимость модуля входного сопротивления (проводимости) от
частоты со;
2) зависимость действительной или мнимой части входного сопротив­
ления (проводимости) от частоты со.
ЧХ могут быть получены расчетным путем (если известны схема, ха­
рактер элементов и их числовые значения) либо опытным (в этом слу­
чае схему двухполюсника и характер составляющих ее элементов мож­
но и не знать).
При снятии ЧХ опытным путем на вход двухполюсника подают на­
пряжение, частоту которого изменяют в широких пределах, начиная с
нуля, и по результатам измерений подсчитывают модуль входного сопро­
тивления (проводимости) или действительную (мнимую) часть входного
сопротивления (проводимости).
В общем случае двухполюсники содержат резистивные и реактивные
элементы. В частном случае двухполюсники могут состоять только из
реактивных элементов, тогда их называют реактивными двухполюсника­
ми. Применительно к ним под ЧХ понимают зависимости X - f (со) или
b - f (со). ЧХ для несложных двухполюсников, содержащих резистивные
и реактивные элементы, иногда можно качественно строить на основа­
нии простых физических соображений о характере изменения сопротив­
ления отдельных элементов этого двухполюсника в функции частоты.
Если это сделать затруднительно, то прибегают к аналитическому расче­
ту либо к снятию ЧХ опытным путем.
Качественно построим характеристику г = / (со) для двухполюсника
на рис. 3.27, а (рис. 3.27, б). При со = 0 (конденсатор представляет со­
бой разрыв)
При со—>оо сопротивление конденсатора
я,
L
Рис. 3.27
1 / со С -» 0, а индуктивное сопротивление со L -» оо. Поэтому при со —>оо
z = /? + /?2. При со = c0q имеет место режим резонанса токов и потому
входное сопротивление имеет максимум. В области частот O-coJj г име­
ет индуктивный характер, в области со|) - оо — емкостный.
§ 3.30. Частотные характеристики двухполюсников
113
Если Rx = R2 « VZTc, то при
1
СОп = с о Л =
J
l c
R+
’
L /C _ L /C
2 /?, ~ 2 Я, ’
Рассмотрим вопрос о построении частотных характеристик реактив­
ных двухполюсников, не содержащих резистивных сопротивлений.
Входное сопротивление их Z = j X , а входная проводимость
Y = ~ = - j — = - j b, b ~ — . Частотнаяхарактеристика таких двухпоZ
X
X
люсников — это зависимость -Л"(со) или 6(со).
Эти зависимости взаимно обратны.
Для индуктивного элемента Дсо) = со L (рис. 3.28, а), а Ь{со) = ----со L
(рис. 3.28, б). Для емкостного элемента 6(со) = -соС (рис. 3.28, в), а
Li
Сг
Н
Х(со) = ------- (рис. 3.28, г). Если учесть, что при последовательном
со С
соединении элементов сопротивления элементов складывают, то ясно, что
114
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
для получения Х(( 0 ) последовательно соединенных элементов надо сло­
жить ординаты кривых ^(со) этих элементов.
ЧХ последовательно соединенных L, и С, (рис. 3.28, д) построена
на рис. 3.28, е в виде кривой 3 (прямая 1 — это ЧХ Lu а кривая 2 —
ЧХ С,). Зависимость £(со) для схемы рис. 3.28, д изображена на
рис. 3.28, ж. При частоте со0 = ~ = г
кривая Лґ(со) пересекает ось
абсцисс, а кривая Ь{со) претерпевает разрыв от -о о д о + о о . При этой ча­
стоте имеет место резонанс напряжений.
Если учесть, что при параллельном соединении элементов проводи­
мости их надо сложить, то ясно, что для получения кривой £>(со) парал­
лельно соединенных элементов необходимо сложить ординаты кривых
&(со) этих элементов. Зависимость Ь(со) для схемы рис. 3.28, з изобра­
жена на рис. 3.28, /с, а обратная ей зависимость Х ( ы ) — на рис. 3.28, и.
При частоте coq = —======■ кривая Ь(со) пересекает ось абсцисс, а -ЛГ(со)
претерпевает разрыв от + о о до -оо. При этой частоте имеет место резо­
нанс токов в цепи (рис. 3.28, з). На рис. 3.28, л последовательно соеди­
нены два двухэлементных ранее рассмотренных двухполюсника. Так как
А"(со) каждого из них построена, то результирующее Х(со) схемы на
рис. 3.28, л получим, суммируя ординаты этих двухполюсников (т. е. кри­
вых рис. 3.28, е, и). Зависимость Х(со) для схемы на рис. 3.28, л приве­
дена на рис. 3.28, м, а Ь{со) — на рис. 3.28, //. При плавном увеличении
частоты в схеме (рис. 3.28, л), начиная с со = 0, сначала возникает резо­
нанс напряжений при частоте со1? затем резонанс токов при со2, после
этого резонанс напряжений при со3. При дальнейшем увеличении со ре­
зонансов возникать не будет.
Сделаем следующие выводы при плавном увеличении частоты со:
1) режимы резонанса токов и резонанса напряжений чередуются;
2) число резонансных частот для канонических схем (см. § 3.31) на
единицу меньше числа реактивных элементов;
3) если в схеме есть путь для прохождения постоянного тока, то при
плавном увеличении частоты, начиная с нуля, первым наступит резонанс
токов, если нет — резонанс напряжений.
Это следует из того, что если есть путь для постоянного тока, то при
со = 0 характеристика X = / (со) начинается с нуля, затем X увеличива­
ется ( d X ! d со > 0), а при некоторой со кривая претерпевает разрыв, ко­
торый и соответствует резонансу токов. При аналитическом определении
резонансных частот в реактивном двухполюснике сопротивление его сле­
дует представить в виде отношения двух полиномов по степеням со,
т. е. X = /V(co)/A/((o). Корни уравнения N ( со) = 0 соответствуют часто­
там, при которых возникает резонанс напряжений, корни уравнения
М ( со) = 0 — частотам, при которых имеет место резонанс токов.
§ 3.31. Канонические схемы. Эквивалентные двухполюсники.
Путем эквивалентных преобразований отдельных частей сложных схем
последние можно привести к более простым схемам с минимально воз-
§ 3.32. Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке
115
можным числом R, L, С в них — к каноническим схемам. Так, схемы на
рис. 3.28 являются каноническими. Преобразования осуществляют либо
путем перехода от звезды к треугольнику (или наоборот) или от параллельно-последовательного соединения (рис. 3.29, а) к параллельному
bZ\
cZi
dZ\
-О
Рис. 3.29
(рис. 3.29, б), либо от параллельного соединения (рис. 3.29, в) к последовательно-параллельному (рис. 3.29, г) и последующего упрощения схе­
мы. Значения коэффициентов перехода: для рис. 3.29, а, б Ь = а{\ + а)\
с = (1 + a)2; d = \ + a; для рис. 3.29, в, г Ь = а 2 / (\ +а)\ с = 1/(1 + а )2;
d = а! (\ + а).
Двухполюсники на рис. 3.29, я, б, как и на рис. 3.29, в, г, называют
эквивалентными, так как они имеют равные входные сопротивления при
всех частотах.
§ 3.32. Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке.
К зажимам ab активного двухполюсника (рис. 3.30, а) подключена нагруз­
ка ZH = Rtt + j Х н. Требуется выяснить, при соблюдении каких условий
в нагрузке выделяется максимальная активная мощность.
По методу эквивалентного генератора (см. § 1.25) ток в нагрузке
/
-
H" 4 x + V
где ZH = /?н + j Х н — входное сопротивление двухполюсника по отноше­
нию к зажимам ab, поэтому
, Согласующий
трансформатор
«Ж
lz „
Рис. 3.30
116
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
________ U ab х_________
j
н ~ Rex+RH+ j ( X m + X tt)'
По условию /?вх и Х ъх заданы и изменять их нельзя. Изменять мож­
но лишь RH и Х н. Выберем такое Х н, чтобы ток в цепи был максималь­
ным; это возможно, если Х вх + Х н = 0. При этом двухполюсник работает
в резонансном режиме — ток через нагрузку по фазе совпадает с напряжением u ah х : /„ = Uahx / (/?вх + RH).
Как и в цепи постоянного тока (см. § 2.27), если взять RH = /?вх, вы­
деляющаяся в нагрузке мощность максимальна:
=
Р
max
4 Д ВХ*
Таким образом, чтобы выделить в нагрузке, присоединяемой к актив­
ному двухполюснику с входным сопротивлением RBX + j Х вх, максималь­
но возможную мощность, необходимо выбрать следующие сопротивле­
ния нагрузки: Х н = - Х йХ> RH = RBX.
§ 3.33. С огласую щ ий трансф орм атор. Нагрузкой двухполюсника
может быть какое-либо уже существующее устройство, сопротивление
которого ZH, так же как и входное сопротивление двухполюсника ZBX,
задано и не может быть изменено. В этом случае согласование нагрузок
с двухполюсником осуществляют, присоединяя нагрузку не непосред­
ственно к зажимам двухполюсника, а через согласующий трансформа­
тор (рис. 3.30, б). Обозначим через w, и w2 число витков первичной и
вторичной обмоток трансформатора. Активные сопротивления и индук­
тивности рассеяния обмоток весьма малы и при расчете не учитываем.
Сердечник трансформатора (на рисунке не показан) выполнен из высо­
кокачественного магнитного материала с малыми потерями, поэтому ток
холостого хода трансформатора мал по сравнению с током по обмотке
w, при нагрузке. Такой трансформатор по своим свойствам приближа­
ется к трансформатору, который называют идеальным (см. § 3.34). Для
него справедливы соотношения (обозначения соответствуют рис. 3.30, б)
/ v v j - / H w2 « 0, Uahf U u = w,/ w 2. Пояснения к этим формулам см. в
§ 15.67 (обозначения согласуются так: Uah = £/,, / н = / 2 и / = /,) . Вход­
ное сопротивление изображенной штриховой линией части схемы по
отношению к зажимам ab
7
_
^ RV “
11
аЬ ..
и н —W2
;
*н
^
7
2
W,1 _ D
н
2
н
w2
W,
\2
С
wl
W
/
+
JX
\
W,
н
{w7j
В соответствии с § 3.32 это сопротивление должно быть комплексно­
сопряженным с сопротивлением двухполюсника: ZBX = RBX + j Х вх.
§ 3.36. Расчет... цепей при наличии в них магнитно-связанных катушек
117
Отсюда следует, что для согласования по активному сопротивлению
^вх = *н (wi / w2)2’ а для согласования по реактивному сопротивлению
Х вх = ~ Х Н (Wj / W2)2. Отношение чисел ВИТКОВ Wj / w 2 определим из пер­
вого условия w]/ w 2 = y]RBX / RH. При выборе числа витков w, и площа­
ди поперечного сечения сердечника трансформатора S должно быть уч­
тено, что в установившемся режиме работы амплитудное значение пото­
ка в сердечнике не должно достигать потока насыщения этого сердечни­
ка, иначе будет нарушено условие Ix wx - /„ w2 « 0. Для выполнения со­
гласования по реактивному сопротивлению последовательно с нагрузкой
включают дополнительное сопротивление соответствующего характера.
§ 3.34. И деальный трансформатор. В качестве элементов схем за­
мещения электрических цепей наряду с /?, L, С, М в литературе исполь­
зуют идеальный трансформатор (ИТ).
Идеальным называют трансформатор без потерь, у которого входные
и выходные токи и напряжения связаны соотношениями Ux = K U 2,
I2 = K / j , где К = wj / w2 — коэффициент трансформации. Идеальный
трансформатор трансформирует напряжение (У, в напряжении U2, ток
/, — в ток / 2, сопротивление нагрузки Z — в сопротивление К 2 Z
(см. § 3.33).
§ 3.35. Падение и потеря напряжения в линии передачи энергии. Генератор
соединен с приемником энергии линией передачи, которая обладает активным Rn и ин­
дуктивным X л = со Ln сопротивлениями.
Построим векторную диаграмму для цепи, состоящей из генератора, линии передачи
и приемника. Для определенности положим, что нагрузка приемника имеет индуктивный
характер. Вектор напряжения в конце линии (на приемнике) направим по оси + 1
(рис. 3.31); вектор тока / отстает от него в силу индук­
тивного характера нагрузки. Падение напряжения в ак­
тивном сопротивлении линии / Rn совпадает по фазе
с током, падение напряжения в индуктивном сопротив­
лении / j Х л опережает ток на 90°.
Под падением напряжения в линии передачи пони­
мают модуль геометрической разности векторов в на­
чале (£/,) и конце (U2) линии:
/ , / я яг +(<о L„)2 .
Потеря напряжения в линии передачи равна разности модулей напряжения в начале и
конце линии, т. е. | U\ | - 10-> | . Потеря напряжения показывает, на сколько вольт напря­
жение в конце линии меньше, чем напряжение в ее начале.
Как правило, падение напряжения больше потери напряжения.
§ 3.36. Расчет электрических цепей при наличии в них магнитно­
связанны х катуш ек. В состав электрических цепей могут входить
катушки, магнитно-связанные с другими катушками. Поток одной из них
пронизывает другие и наводит в них ЭДС взаимоиндукции, которые дол­
жны быть учтены при расчете. При составлении уравнений для магнит­
но-связанных цепей необходимо знать, согласно или встречно направле­
ны потоки самоиндукции и взаимоиндукции.
118
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
Правильное заключение об этом можно сделать, если известно направ­
ление намотки катушек на сердечнике и выбрано положительное направ­
ление токов в них.
На рис. 3.32, а катушки включены согласно, на рис. 3.32, б — встреч­
но. Чтобы не загромождать чертеж, сердечники катушек на электриче­
ских схемах обычно не изображают, ограничиваясь тем, что одноименные
шб
о
б
б
о
Рис. 3.32
зажимы (например, начала катушек) помечают одинаковыми значками,
например точками.
Схема на рис. 3.32, в эквивалентна схеме на рис. 3.32, а, а схема на
рис. 3.32, г — схеме на рис. 3.32, б.
Если на электрической схеме токи двух магнитно-связанных катушек
одинаково ориентированы относительно одноименно обозначенных за­
жимов, например оба направлены к точкам
или оба направлены от точек, то имеет мес­
то согласное включение, в противном слу­
чае — встречное.
Если магнитно связано несколько кату­
шек, то начало и конец размечают для каж­
дой пары катушек отдельно.
На примере рис. 3.33 рассмотрим мето­
дику составления уравнений для расчета
Рис. 3.33
магнитно-связанных цепей. Произвольно
выберем положительные направления токов
в ветвях схемы. Направления обхода контуров выберем по часовой стрел­
ке. Составим уравнения для мгновенных значений: /, = /2 + /3.
Для левого контура (первая и вторая ветви)
di± -.+ ЬА d h + — \i2 dt + i2 R2 =e v
'I/, R]
'ч +т—
С, Jj'i' dt + 1 dt
dt С2
(3.63)
_
. . ddhi-i
, dix
Перед слагаемым М —- поставлен тот же знак, что и перед Lx
L —
dt
dt
так как токи /, и /3 входят в одноименные зажимы магнитно-связанных
катушек, т. е. имеет место согласное включение. Сумма слагаемых
§ 3.37. Последовательное соединение двух магнитно-связанных катушек
119
представляет собой падение напряжения на первой
катушке.
Слагаемые левой части уравнения (3.63) взяты со знаком плюс, так
как на всех участках первого контура положительные направления токов
совпадают с направлением обхода контура.
Составим уравнение для правого контура (вторая и третья ветви). На­
правление тока /2 встречно направлению обхода контура, поэтому
сумма падений напряжений во второй ветви войдет в уравнение со зна­
ком минус:
- —
dt - i2 R2 + і з
J /2
+
M -jj- + /3 Л 3 = -e3.
dt
В комплексной форме записи:
/, - / 2 + / 3;
/
+ /?
(3.64)
+ / 3 усоЛУ = £ 1;
(3.65)
со С
со С,
/j j со М -
/ 2
R, -
+
со С 2 У
h (* з + У ш ^ з ) = - 4 .
(3.66)
§ 3.37. П оследовательное соединение двух м агнитно-связанны х
катуш ек. На рис. 3.34 изображена схема последовательного согласного
включения двух катушек, а на рис. 3.35 — последовательного встречно­
го включения тех же катушек.
о
©
Рис. 3.34
Рис. 3.35
При согласном включении
• п
/ R\
1
г di
di
di х. di
\ ------ н M ------н L 2 ------ к M ------ 1- /
1 dt
dt
2 dt
dt
4 *L
. _
2
R j — e.
В комплексной форме записи:
/ ( Л, + R 2 + j со ( L, + L 2 + 2 M )) = £ ;
/ Z corjl = £ ;
^согл = R \ + ^2 + j 03 ( i | + ^2 + 2 AO-
( 3 .67 )
120
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
Рис. 3.36
Рис. 3.37
Векторная диаграмма для согласного включения изображена на
рис. 3.36, где (У,— напряжение на первой катушке; U 2 — на второй.
При встречном включении
Отсюда
где
(3.68)
Векторная диаграмма для встречного включения при Ц > М
L2 > М изображена на рис. 3.37.
и
§ 3.38. Определение взаимной индуктивности опытным путем.
Обсудим два практически важных способа опытного определения взаим­
ной индуктивности М двух магнитно-связанных катушек.
Первый способ. Проделаем два опыта.
В первом включим катушки последовательно и
согласно. Измерим ток и напряжение на входе и
активную мощность цепи. Во втором те же ка­
тушки включим последовательно и встречно и
также измерим /, U, Р. По результатам измере­
ний найдем:
Рис. 3.38
-^согл - W(А, + L2 +2 М)\
*
bctp=
0 ) ( L 1 +
Z,2 - 2 M ) .
Разность Х С
ОГЛ - ^ встр = 4 со М, следовательно,
согл
ду _
У согл — У встр
(3.69)
4 (0
Второй способ. Подключим первую катушку к источнику синусои­
дальной ЭДС через амперметр (рис. 3.38), а к зажимам второй катушки
присоединим вольтметр с большим внутренним сопротивлением. Изме­
рим ток /j и напряжение U2.
§ 3.39. Трансформатор. Вносимое сопротивление
121
Мгновенное значение напряжения и2 = М
чение U 2 ~(о М /j. Следовательно,
^
Его действующее зна­
М = ^~ .
со/.
(3.70)
П рим ер 45. В схеме (см. рис. 3.38) вольтметр показал 100В, амперметр 10А:
со = 3 14рад/с. Определить А/.
Р е ш е и и е. По формуле (3.70), М = 100/(314-10) = 0,0319Гн.
§ 3.39. Трансформатор. Вносимое сопротивление. Трансформатор
представляет собой статическое (т. е. не имеющее подвижных частей)
устройство, служащее для преобразования числового значения перемен­
ного во времени напряжения, а также для электрического разделения
цепей и преобразования числовых значений сопротивлений. Передача
энергии из одной цепи в другую производится трансформатором благо­
даря явлению взаимоиндукции.
Трансформатор имеет две обмотки, находящиеся на общем сердечни­
ке. Магнитную проницаемость сердечника будем полагать постоянной.
Параметры первичной обмотки— R{ и Lj, вторичной— R2 и L2 . Вза­
имная индуктивность между обмотками — М (рис. 3.39, а). Сопротивле­
ние нагрузки, подключенной к зажимам вторичной обмотки, равно ZH.
/,
/, / СО М
І2 j
W ^2
Выберем положительные направления токов /, и
Обозначим на­
пряжение на нагрузке 0 Н. Запишем уравнения в комплексной форме —
для первичной цепи:
/, Rl + il j ( o L l + i 2 ja>M = E;
(3.71)
/ 2 R2 + i 2 j a L 2 + /, j со М +1/н = 0.
(3.72)
для вторичной цепи:
На рис. 3.39, б качественно построим векторную диаграмму,полагая,
что нагрузка ZH= -н е /Фн имеет индуктивный характер. Ток / 2 напра­
вим по оси + 1. Напряжение на нагрузке UH опережает ток / 2 на угол
Фн. Падение напряжения / ? R-, совпадает по фазе с током І1. Вектор
j со /о опережает вектор тока /-> на 90°.
122
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
В соответствии с уравнением (3.72) вектор /, проводим так, чтобы
геометрическая сумма падений напряжений во вторичной цепи равнялась
нулю.
Вектор тока /, отстает от вектора /, j со М на 90°. Вектор Ix Rx со­
впадает с вектором тока 1 Х по фазе, а вектор /, j со L, опережает вектор
/j на 90°. .
Вектор / 2 j (д М опережает вектор / 2 на 90°. В соответствии с урав­
нением (3.71) геометрическая сумма I x Rx + І х j со Zq + / 2 j со М дает
Подставим в (3.72) UH= / 2 ZH= / 2 (RH+ j X H) и решим уравнения
(3.71) и (3.72) относительно /, :
/
1
Ё'
(A + Rm) + j ( x , - x my
где RBH и Х т — вносимые из вторичного контура в первичный актив­
ное и реактивное сопротивления. При этом
со2 М 2
RBH -
(R 2 + Rh) 2 +(<s> L2 + X h)
~(R2 + R„)\
со2 М 2
, ,
v .
------------ 5-------------------Т (со L-, + Х н).
(R 2 + R„ )2 +(а> L2 + X „ ) 2
Вносимые сопротивления представляют собой такие сопротивления,
которые следовало бы «внести» в первичную цепь (включить последо­
вательно с Rx и Х х), чтобы учесть влияние нагрузки вторичной цепи
трансформатора на ток в его первичной цепи (рис. 3.39, в).
П рим ер 46. Определить токи в схеме (рис. 3.40. а) и построить топографическую ди­
аграмму, совместив се с векторной диаграммой токов, полагая со Ц = 2 Ом;
L-, = 3 Ом;
со Л / = 10м ; R = 4 Ом; £ = 100 В.
Рис. 3.40
Р е ш е н и е . Составим уравнения по законам Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа, /, = / 2 + / н.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа обход контуров будем совер­
шать по часовой стрелке. Тогда
/, j со L, + І 2 j со М + / н RH - Ё\
/| j со М + І 2 j со L 2 - /„ RH -
0
.
§ 3.40. Резонанс в магнитно-связанных колебательных контурах
В двух последних уравнениях заменим / н на
/, (RH+ у со £,) + І 2 (у со Л/-/?„) = Е2\
123
- /2 :
/, (у со М -
RH)+I 2 (Лн +У со L2) = 0-
Подставим числовые значения:
/, (4 + 2 у) + / 2 ( у - 4 ) = 100;
/, (у - 4)+
/2
(4 + 3 у) = 0.
Решение уравнений дает:
/, = 1 7 ,7 е ^ 63' А;
/2
= 14,6е~; ||4 ° А;
/ н = /, —/ 2 = 14,12 е '
; 9 ” 54
А.
На рис. 3.40, б изображены топографическая диаграмма и совмещенная с ней вектор­
ная диаграмма токов.
П ример 4 7 . Построить топографическую диаграмму для схемы (рис. 3 . 4 1 , а), совме­
стив ее с векторной диаграммой токов. Две ветви схемы связаны магнитно. Значения па­
раметров: со Z , j = 3 Ом; c o L 2 = 4 0 m ; со Л / = 3 Ом; Я, = /?2 = 2 0 м ; Ё = 100 В.
+1
б
а
Рис. 3.41
Р е ш е н и е . Обозначим токи в ветвях через /, и / 2 и ток в неразветвленной части
схемы — через /. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для согласного вклю­
чения катушек:
/, (/?, + у СО Ц ) + І 2 у
со М
-
Е\
/, у СО М + І 2 (/?2 + j С° ^2 ) -
Совместное их решение дает: /, = 16 е“/60° А; /? = 1 6 е '/86°30 А.
Топографическая диаграмма, совмещенная с векторной диаграммой токов, изображе­
на на рис. 3.41, б.
Рассмотрим вопрос о переносе мощности из одной ветви в другую
вследствие магнитной связи. Если ветвь к с током 1 к и ветвь q с током
1 Ц связаны магнитно и взаимная индуктивность между ветвями М, то
магнитный поток из ветви к в ветвь q переносит комплексную мощность,
равную произведению ЭДС взаимоиндукции в д-ветви + j со М 1к, на
♦
сопряженный комплекс тока q-ветви, т. е. / ;
S =(+]Ф М Ік)ї„.
Знак минус соответствует согласному, плюс — встречному соедине­
нию.
§ 3.40. Резонанс в м агнитно-связанны х колебательны х контурах. В § 3.23-3.27
были описаны резонансные явления в параллельном, последовательном и последовательно­
параллельном резонансных контурах. Рассмотрим резонанс в магнитно-связанных
124
/л, 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
контурах, например в схеме (рис. 3.42, а), часто применяемой в радиотехнике. Для
упрощения выкладок положим Lx - L 2 - L
С, = С 2 = С;
/?, = У?2 = /?, что дает
возможность относительно легко выявить основные закономерности резонанса в этой
схеме.
L\ + М L} + М
Рис. 3.42
Составим уравнения по второму закону Кирхгофа:
/, \ R + j (О L — — \ 1
со С
12 j соМ = £;
■/, у со М + / 2 \ R + j со L — —
J
сос ;
1
= 0.
Ток
/, =R + j u L - ^ - I +и>2 М 2
(о С j
Напряжение на конденсаторе второго контура
1
j соС
Лм
С
R +j
L — — I +(о 2 М 2
о Сj
Пусть 0 C2f Ё - k(f, тогда
=—-----
М /С
(3.73)
,+а^
§3.41. “Развязывание” магнитно-связанных цепей
125
Обозначим
2
1
ш0 = ----- ;
LC
R
R
,
------- = —= = = d\
a 0 L J l /C
к-
М
VM7
г;
. Ю2
є = 1 -------- .
“о
С помощью параметра є учитывается отклонение текущей частоты со от резонанс­
ной со0. Рассмотрим работу схемы при относительно малых отклонениях со от со0. По­
ложим со = со0 —Дсо. Тогда
со2 _ со0 2 -с о 2 _ (со0 -со) (со0 +со)
со02
С002
ООО2
2 Дсо
0)0
В свою очередь,
со0 2
22 ’
2 Дсо
«О = ~Є
При малых отклонениях со от со0, вынеся в знаменателе выражения (3.73) за скобку
со2 L2 = со0 2 L2 и использовав указанные обозначения, получим
ь
кп = к +d - є " - j l z d
Модуль
1Ы =
,----------
к
............. ■
J(k2+d2-є2)2+4t2d2
(3.74)
При фиксированных к и d можно исследовать | ки | на экстремум в функции є для
двух случаев: к > d и к <d.
При k > d имеются три экстремума: минимум при є = 0, т. е. при со = со0, и два мак­
симума при 8 , 2 = ±yjк 2 - d 2 , которым соответствуют частоты СО, 2 = СО0 ^ 1-Є | 2 •
Резонансная кривая при этом имеет два горба (кривая / на рис. 3.42, б построена при
к = 3d). С увеличением к горбы кривой раздвигаются.
При k < d имеется только один экстремум: максимум при є = 0 (кривая 2 на
рис. 3.42, б). По оси абсцисс на этом рисунке отложено z l d , по оси ординат
где l*(/max 1= U ( 2 d) = ч/ L IС / 2 R .
Ток первичного контура в функции от z l d при к > 0,49 ^ имеет двугорбую форму.
§ 3.41. «Развязы вание» магнитно-связанных цепей. Иногда в ли­
тературе можно встретить расчетный метод, который называют развязы­
ванием магнитно-связанных цепей (катушек). Метод состоит в том, что
исходную схему с магнитно-связанными индуктивностями путем введе­
ния дополнительных индуктивностей и изменения величины имевшихся
преобразуют так, что магнитная связь между всеми индуктивностями в
преобразованной схеме будет отсутствовать.
Так как преобразования осуществляют на основе составленных по
законам Кирхгофа уравнений для исходной схемы, то вновь полученная
и исходная схемы в расчетном смысле полностью эквивалентны, а рас­
чет схемы после развязывания упрощается за счет возможности приме­
нения метода узловых потенциалов.
Составим, например, схему, эквивалентную схеме на рис. 3.33. С этой
целью в уравнении (3.65) заменим / 3 на /, - / 2 и в уравнении (3.66) —
/j на Д + /3. Замену одних токов другими производим так, чтобы в каж-
126
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
дое из получающихся после замены уравнений входили только те токи,
которые текут в ветвях рассматриваемого контура.
В результате получим:
/.
Л.
J
со С,
*2 -
+ y'co(Z,| + М ) + / ,
СО С-
Я2 -
со С-
— У со Л/
- - j со М + / 3 (R 2 + j со Ц + j со А/) = - £ 3.
(3.76)
Уравнениям (3.75) и (3.76) соответствует схема на рис. 3.42, в. Сопо­
ставляя схемы на рис. 3.33 и рис. 3.42, в, замечаем, что L} заменена на
(L{ + A/), L3 — на (Z,3 +М) , а во вторую ветвь введена отрицательная
индуктивность L2 = -Л / (физически осуществить полученную расчетным
путем отрицательную индуктивность в цепи только с линейными элемен­
тами невозможно). Таким образом, участок цепи, изображенный на
рис. 3.42, г, в расчетном смысле может быть заменен участком, показан­
ным на рис. 3.42, д. Если катушки будут включены встречно, то
на рис. 3.42, д следует изменить знак перед А/. Покажем, как можно
осуществлять развязывание, не составляя полных уравнений по второму
закону Кирхгофа. В основу положим неизменность потокосцепления
каждого контура до и после развязывания. Пусть в схеме (рис. 3.33) после
развязывания х — индуктивность первой ветви, у — второй,
г — третьей. Условие неизменности потокосцепления левого контура:
/j Ц + /3 М = /, Ц + (/'j - /2) М = /j х + /2 у ,
откуда х - L, + М и у = -Л /.
Условие неизменности потокосцепления правого контура
/, М + /3 Ц = (і2 + /3) М + /'з Z-з = /3 z - /2 у,
откуда ^ = -Л / и z - M л-L y Знак минус поставлен потому, что при об­
ходе контура по часовой стрелке перемещаемся встречно току /2.
§ 3.42. Теорема о балансе акти в н ы х и реактивны х мощностей (теорема Лонжевена). В любой линейной электрической цепи сумма активных мощностей источников ЭДС
равна сумме активных мощностей приемников, а сумма реактивных мощностей источни­
ков ЭДС — сумме реактивных мощностей приемников энергии.
Пусть схема содерж ит / узлов, b ветвей и все ветви или часть их связаны друг с
другом магнитно. По первому закону Кирхгофа сумма токов в любом узле равна нулю.
Например, для к-узла, в котором сходится п ветвей,
/*/; = 0 или
р- 1
. /'=і
Умножим каждое слагаемое этой суммы на потенциал к-узла ф*:
// щ
Ф* X hp - 0/>=!
Просуммируем аналогичные выражения для всех /-узлов схемы:
tv = o .
*=i
р-\
= 0.
§ 3.43. Теорема Теллегена
127
В двойную сумму любой ток схемы, например ток !тч, входит дважды и притом с
разными знаками. Действительно, при к - т и р - Я слагаемое равно фот 1т({У а при
к = q и р = m равно ф l qm. Так как ]qm = - 1 т(Г то эти слагаемые можно объединить
и получить / w<7 (фт -ср^). Положим, что какая-то
ветвь схемы, например ветвь kq магнитно связана с вет­
вью sr так, что сопротивление взаимоиндукции между
zk
j
у
ними Х М
(рис. 3.43)
В соответствии с рис. 3.43
q
I
к
для ветви qk
\ м кч/$г
•
•
1 7
1
Ф7
*Ф
* = EF kq ~ і kq
Zkq " '.sr У
У
і'
£r
для ветви sr
/
рис
£*•
3 43
Фг “ Фл = ^.vr “ і sr Zsr ~ hq J ^ M kqJsr ■
ЕСЛИ
П РИНЯТЬ
h q -h q
Qj(Pkt}’
Л г = / л г е7ФлГі
Л«- = / лг е ‘ /Фл' . то сумма двух слагаемых
1кц /,,
И
УЧЄСТЬ
= I kq
Q' J ^
+ /*, / „ У х м кч,„
И
Лг =
• У
^ i'> tr'P'r>^ ' J{'>k" ' <fsr)) = j 2 X Mkii^ I kq / , с о з ( ф * , - ф л г ).
Таким образом, попарное рассмотрение слагаемых двойной суммы позволяет перепи­
сать ее в виде:
= 4 , /»
U kq h q ~ ^ L u h q ^ kq + J ‘^ ' jj^ h q h r
С0^Ф*</ *“ Фат)’
(3-77)
где
— квадрат модуля тока ветви kq\ Z kq - Rk(/ + j Х к„.
Левая и правая части формулы (3.77) представляют собой комплексы. Равенство дей­
ствительных частей комплексов
R e l^ /V Z ^ V
(3.78)
равенство мнимых частей
lm
Ч = Z ;*</ х к + 2 £ 7*</ ; -«г
cos(4>*</ " <р^
(ЗЛ9)
В этом выражении Х м к<1, г принято положительным при согласном направлении по­
токов взаимоиндукции и самоиндукции ветвей kq и sr и отрицательным при встреч­
ном их направлении. Формулы (3.78) и (3.79) являются математической записью сформу­
лированной теоремы.
Пример 48. По данным примера 46 убедиться в справедливости теоремы о балансе
мощности применительно к схеме на рис. 3.40, а.
Р е ш е н и е . Активная мощность, доставляемая источником ЭДС,
Re £ / = Re 100 • 17,7 eJ 63° = 1770 cos 63° = 800 Вт.
Активная мощность, потребляемая приемниками, /jj RH = !4 ,I2 2 -4 = 800 Вт. Следовательно. равенство активных мощностей действительно выполнено. Реактивная мощность
• *
источника ЭДС Im Е I = 1770 sin 63° = 1582 ВАР. Реактивная мощность приемников энер­
гии с учетом согласного включения катушек
/,2
со/ ., + / ? со £ 2 + 2 /, h ® М cos(9 /i - ф/2) =
17.72 • 2 +14.62 ■3 + 2 • 17,7 • 14,6 cos(63° -144°) = 1582 ВАР.
Таким образом, баланс реактивных мощностей тоже удовлетворяется.
§ 3.43. Теорема Теллегена. Пусть в некоторой схеме имеется п ветвей и узловая мат­
рица ее [А]. Матрицу-столбец комплексно-сопряженных токов ветвей обозначим [/# ], а
матрицу-столбец комплексных напряжений на ветвях (включая ЭДС ветвей и падение на­
пряжения на них) обозначим [0 И].
128
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
В соответствии с законом сохранения энергии
(3.80)
Соотношение (3.80) можно записать так:
(3.81)
и„]
/„
Но в соответствии с § 2.35 [ 0 в ] = [А]! [ф], где [ф]— матрица-столбец потенциалов
незаземленных узлов.
В свою очередь,
[U„\r =[ф]г М].
(3.82)
Подставим (3.82) в (3.81):
(3.83)
В формуле (3.83) произведение [А] [ I И] = 0 физически выражает собой систему урав­
нений по первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов схемы, составленную для ком­
плексно-сопряженных токов ветвей.
Из (3.83) следует, что если в одной и той же схеме с неизменной [Л]-матрицей создать
два режима, отличающихся сопротивлениями и ЭДС ветвей, и всем величинам, относя­
щимся к первому режиму, присвоить один штрих, а ко второму — два, то
іи 1в]г ІГв ] =іи'в ?ІГИ].
(3.84)
Соотношение (3.84), получившее название теоремы Теллегена, справедливо и по от­
ношению к режимам в двух разных схемах, лишь бы у них были одинаковые узловые
[Л]-матрицы.
§ 3.44. Определение дуальной цепи. Две электрические цепи назы­
вают дуальными, если закон изменения контурных токов в одной из них
подобен закону изменения узловых потенциалов в другой. В качестве про­
стейшего примера на рис. 3.44 изображены две дуальные цепи.
Рис. 3.44
Схема на рис. 3.44, а состоит из источника ЭДС Е и последователь­
но с ним включенных активного, индуктивного и емкостного элементов
(/?, L, С). Схема на рис. 3.44, б состоит из источника тока J 3 и трех па­
раллельных ветвей. Первая ветвь содержит активную проводимость g 3,
вторая — емкость Сэ, третья — индуктивность Ц.
§3.44. Определение дуальной цепи
129
Для того чтобы показать, какого рода соответствие имеет место в
дуальных цепях, составим для схемы на рис. 3.44, а уравнение по мето­
ду контурных токов:
/ R + j со L +
1
j со С
= £,
(3.85)
а для схемы на рис. 3.44, б — по методу узловых потенциалов, обозна­
чив потенциал точки а через ф0, положив равным нулю потенциал вто­
рого узла:
1
£ ,+
•+ j со Сэ
(3.86)
Если параметры g 3, /,э. Сэ, схемы (рис. 3.44, 6 ) согласовать с па­
раметрами R, I , С схемы (рис. 3.44, а) таким образом, что
R/ g^ = L / C 3 = L J C = k,
(3.87)
где к — некоторое произвольное число (масштабный множитель преоб­
разования), Ом2, то
1
1
+ j со L
+ і со С = — R + £э+“
j со L3
к
j со С
(3.88)
С учетом равенства (3.88) перепишем уравнение (3.86) следующим об­
разом:
1
/? + j со С
- к Уэ.
(3.89)
Из сопоставления уравнений (3.85) и (3.89) следует, что если ток j 3
источника тока в схеме на рис. 3.44, б изменяется с той же угловой час­
тотой, что и ЭДС Е в схеме на рис. 3.44, а, и численно равен £, а пара­
метры обеих схем согласованы в соответствии с уравнением (3.87), то
при к - 1 Ом2, закон изменения во времени потенциала (ра в схеме на
рис. 3.44, б совпадет с законом изменения во времени тока / в схеме на
рис. 3.44, а.
Если свойства какой-либо из схем изучены, то они полностью могут
быть перенесены на дуальную ей схему.
Между входным сопротивлением ZHCX исходного двухполюсника и
входной проводимостью Кдуал дуального ему двухполюсника существует
соотношение ZHCX = к Кдуал.
Из (3.88) получаем соотношение между частотной характеристикой
чисто реактивного исходного двухполюсника ^ ^ ( с о ) и частотной харак­
теристикой дуального ему тоже чисто реактивного двухполюсника
5 - 4657
130
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
^дуал(ш)* Действительно, так как ZHCX = j Х исх(со), а Удуал = ~ j Ьдугл(и>),
то Х ИСХ = - к Ьдуал(со), т. е. частотная характеристика дуального двухпо­
люсника получается из исходной частотной характеристики путем опро­
кидывания ее относительно оси и деления на масштабный множитель к.
Каждому элементу исходной схемы (схемы с источниками ЭДС Е и
параметрами R, L, С) отвечает свой элемент эквивалентной дуальной
схемы (схемы с источниками тока j 3 и параметрами # э, Сэ, Z3 ).
§ 3.45. Преобразование исходной схемы в дуальную. Каждому не­
зависимому контуру исходной схемы, а также области, являющейся внеш­
ней по отношению к схеме, соответствует свой узел дуальной схемы.
Если в какой-либо ветви исходной схемы, являющейся смежной между
двумя контурами, имеется п последовательно включенных элементов, то
этой ветви соответствует п параллельных ветвей, соединяющих узлы ду­
альной схемы, которые отвечают этим контурам.
Так, источнику ЭДС Е исходной схемы (рис. 3.45, а) отвечает в ду­
альной схеме источник тока У3 (рис. 3.45, б), а источнику тока J 3 — ис­
точник ЭДС Е; активному сопротивлению
R — проводимость £ э; индуктивности
- 0 £
-© £
L — емкость Сэ; емкости С — индуктив­
ность L3. Для преобразования исходной
—с # схемы в дуальную поступают следующим
образом. Внутри каждого независимого
С
контура (и во внешней области) ставят
- i h
точки и называют их. Эти точки являются
узлами эквивалентной дуальной схемы.
Рис. 3.45
В схеме на рис. 3.46, а три независи­
мых контура, поэтому внутри них ставим
точки /, 2 , 3 (точка / соответствует первому контуру, точка 2 — второ­
му, точка 3 — третьему). Будем считать, что все контурные токи направ­
лены по часовой стрелке.
Во внешней относительно схемы области ставим точку 4. Между по­
лученными четырьмя узлами проводим штриховые линии — ветви ду­
альной схемы. Эти линии проходят через элементы исходной схемы
(/?, L, С, Е), и в дуальной схеме (рис. 3.45, б) включаем в них соответ­
ствующие эквиваленты.
Узел / на схеме (рис. 3.46, а) соединен с узлом 4 одной штриховой
линией, так как в ветви, являющейся смежной между первым контуром
и внешней областью, включено лишь одно сопротивление (активное со­
противление /?,).
На схеме (рис. 3.46, б) между узлом 1 и узлом 4 включена активная
проводимость £ э1 = Я, / к.
Узлы 1 и 2 на схеме на рис. 3.46, а соединены двумя штриховыми
линиями (одна из них проходит через источник ЭДС Ё5, другая —
через индуктивность 1 5), поскольку в ветви, являющейся смежной меж­
ду контурами / и 2 , последовательно соединены два элемента схемы (Ё 5
И Ls).
Вопросы для самопроверки
ч
\ R,
С, /
131
/
\
2
>4
\
4
4
б
а
Рис. 3.46
Узлы / и 2 на схеме (рис. 3.46, 6 ) соединены двумя ветвями. В одну
из них включен источник тока Уэ5, а в другую — конденсатор емкос­
тью C .}5 = L5 / k (элементы дуальные Ё 5 и Ls).
Положительные направления токов источников тока в дуальной схе­
ме должны быть согласованы с положительными направлениями ЭДС
источников ЭДС в исходной схеме. Если при обходе /;-контура по часо­
вой стрелке направление какой-то ЭДС этого контура совпадает с направ­
лением обхода контура, то ток эквивалентного ей источника тока должен
быть направлен к к-узлу. Если ток по некоторой ветви исходной схемы
совпадает по направлению с направлением обхода ^-контура, то в дуаль­
ной схеме стрелку на соответствующей ветви направляют к к-узлу.
Исходную и дуальную ей схемы называют взаимно обратными.
Вопросы для самопроверки
1. Какими тремя величинами характеризуют синусоидально изменяющуюся функцию?
2. Каков смысл стрелки, указывающей положительное направление для тока ветви и
напряжения на элементе цепи? 3. Почему среднее значение синусоидального тока опреде­
ляют за полпериода, а не за период? 4. Что понимают под действующим значением тока
(напряжения)? 5. Поясните процесс прохождения синусоидального тока через индуктив­
ную катушку. 6 . Поясните процесс прохождения синусоидального тока через конденсатор.
7. Изложите основы символического метода расчета. На каком основании все методы рас­
чета цепей постоянного тока применимы к цепям синусоидального тока? 8 . Дайте опреде­
ление векторной и топографической диаграммам. 9. Какому моменту времени соответствует
положение векторов токов и напряжений на векторной диаграмме? 10. Как определить на­
пряжение между двумя точками схемы по топографической диаграмме? 11. Физически
і'Д-п^хреи^>уйіЕЛ Q, S. 12. Выразите комплексную мощность S через комплексы напря­
жения и тока. 13. Запишите условие резонансного режима двухполюсника. Постройте реюнансные кривые для рис. 3.26, а при изменении Х с и неизменных Е, L, со. 14. Что
понимают под добротностью индуктивной катушки, конденсатора и резонансного конту­
ра? Что физически характеризует каждая из них? 15. Дайте определение режиму резонанса
гоков и режиму резонанса напряжений. 16. Какие двухполюсники называют реактивны­
ми? 17. Как по виду частотной характеристики Л'(со) реактивного двухполюсника можно
определить, какие и в каком количестве будут возникать в нем резонансные режимы при
изменении со? 18. Какой должна быть взята нагрузка, присоединяемая к активному двух­
5*
132
Гл. 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
полюснику, чтобы в ней выделялась максимальная мощность? 19. Дайте определение
согласующего и идеального трансформаторов. 20. Как в расчете учитывают наличие маг­
нитной связи между индуктивными катушками? 21. Какой смысл имеют вносимые сопро­
тивления в трансформаторе? 22. Что понимают под развязыванием магнитно-связанных це­
пей? С какой целью его осуществляют? 23. Покажите на примере, как практически осу­
ществить развязывание цепей, положив в основу принцип неизменности потокосцепления
Рис. 3.47
каждого контура до и после развязывания. 24. Запишите выражение для комплексной мощ­
ности, переносимой магнитным путем из одной ветви в другую, с ней магнитно-связан­
ную. 25. Сформулируйте теорему о балансе активных и реактивных мощностей. 26. Сфор­
мулируйте алгоритм преобразования исходной схемы в дуальную. 27. Даны параметры схе­
мы
на
рис.
3.47,
а:
£, = 1 В;
Ё2 - j В;
£,3 = { 1 + у )В ;
Rx = о Z,, = 1Ом;
R2 = 1/соС = 2 Ом ; /?з = 1 Ом. Определите комплексные значения токов в ветвях и пока­
зание ваттметра. Постройте топографическую диаграмму (считая заземленной точку 0).
совместив
ее
с
векторной
диаграммой
токов.
(Ответ:
/, = 1,08еу165° А;
/ 2 = 0,632е ' 121°40, А;
/ 3 = 0,715е7'19020 А;
ф, = 0,83е~/],2°40 В. Показание ваттметра
0,83• 1,08(-97°40') = -0,155 Вт. Топографическая диаграмма изображена на рис. 3.47, б.)
28. Выведите соотношения между модулями и аргументами комплексных сопротивлений
Z, = z, е7Ф|, Z-, - z-, е /Ф2, Z 3 = z 3 е /ф- , Z 4 = z 4 е /ф 4 мостовой схемы на рис. 3.47, в.
служащей для измерения одного из сопротивлений по трем известным. Равновесие моста
фиксируется
по нулевому показанию вольтметра. (Ответ:
г, / г 2 = г 3 / z 4
и
Ф, - ф 2 = Фз ~Ф4.) 29. Решите задачи 5.1, 5.5, 5.9, 5.11, 5.14, 5.22, 5.34, 5.38, 5,44, 5.54.
Глава четвертая
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ.
ЦЕПИ С УПРАВЛЯЕМЫМИ ИСТОЧНИКАМИ.
КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ
§ 4.1. Определение четырехполю сника. Четырехполюсник — это
обобщенное наименование электрической цепи, рассматриваемой по от­
ношению к четырем ее зажимам.
Трансформатор, линию передачи энергии, мостовую схему и т. п. мож­
но рассматривать как четырехполюсники.
Принято изображать четырехполюсник в виде прямоугольника с
выходящими из него концами (полюсами) тп и pq (рис. 4.1, а). Если че­
тырехполюсник содержит источники электрической энергии, то в прямо­
угольнике ставят букву А (активный); если буква А отсутствует, то это
значит, что четырехполюсник пассивный.
/.
\о,
л|
к
О-----п
q
а
Л р
<>4
т
IV, /.
1
1- п
------ о
q
п
б
^1
Ь
о-----п
------ о
Я
в
Рис. 4 .1
В общем, практически мало распространенном случае рабочими па­
рами зажимов четырехполюсника могут быть три пары зажимов. При­
менительно к рис. 4.1, я это, например, пары тп, рт и pq. В этом случае
режим работы четырехполюсника определялся бы тремя независимыми
уравнениями, в которые входили бы три независимых напряжения (что
следует из второго закона Кирхгофа) между упомянутыми парами зажи­
мов и тремя независимыми токами (что следует из первого закона Кирх­
гофа). На практике четырехполюсник обычно работает в режиме, когда
одна пара зажимов, например, тп, является входной, а другая пара,
например pq — выходной. Четырехполюсник, у которого рабочими
являются две пары зажимов, называют проходным. В данной главе рас­
сматривается теория проходного четырехполюсника. (Термин «проход­
ной» далее упоминаться не будет.)
Входной ток обозначают /,, входное напряжение— (/,; ток и напря­
жение на выходе — І 2 и (jv
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками.
134
Четырехполюсник является передаточным звеном между источником
питания и нагрузкой. К входным зажимам тп, как правило, присоединя­
ют источник питания, к выходным зажимам pq — нагрузку.
Предполагается, что нагрузка четырехполюсника и напряжение на
входе при работе четырехполюсника в качестве связующего звена могут
изменяться, но схема внутренних соединений четырехполюсника и со­
противления в ней остаются неизменными.
§ 4.2. Ш есть форм записи уравнений четырехполюсника. Четырех­
полюсник характеризуется двумя напряжениями У, и ()2 и двумя тока­
ми /j и / 2. Любые две величины из четырех можно определить через
остальные. Так как число сочетаний из четырех по два равно шести, то
возможны следующие шесть форм записи уравнений пассивного четы­
рехполюсника:
Л-форма
(У, = A U 2 + B i 2;
(4.1)
/, = C (7 2 + D / 2;
(4.2)
I \ - Y n U , + Y X2 U2-
(4.3)
i 2 = r 2 \ U \ + Y 2 2 U2-,
(4.4)
U} = ZM /j + Z ]2 / 2;
(4.5)
0 2 = Z 2l / , + Z 22 / 2;
(4.6)
У-форма
Z-форма
//-форма
- H u /, + H n U 2 9
(4.7)
/ 2 = H 2\ IX+ H 2 2 U2\
(4.8)
/, = Gn
+G ]2 / 2;
(4.9)
U 2 = G 21 Ux + G22/ 2;
(4.10)
U 2 = BU U] +B ]2 /,;
(4.11)
i 2 = B2 { Ul + B 22 /,.
(4.12)
G-форма
5-форма
Обратим внимание на попарную инверсию Y- и Z-форм, А- и /?-форм,
Я- и G-форм.
Исторически сложилось так, что для /4-формы (ее будем считать
основной)положительные
направления для токов
инапряжений
соответствуют рис. 4.1, а; для У-, Z-, //-, G-форм — рис. 4 .1 ,6 , для
5-формы — рис. 4.1, в.
§ 4.3. Вывод уравнений в А-форме
135
Обратим внимание на то, что ток / 2 на рис. 4.1, б направлен проти­
воположно току / 2 на рис. 4.1, а.
На рис. 4.1, в /j и / 2 изменили направление по сравнению с токами
/j и І 2 на рис. 4.1, а.
Рассмотрение уравнений начнем с Л-формы.
§ 4.3. Вывод уравнений в / 1-форме. Комплексные коэффициенты А ,
В ,С , D в уравнениях (4.1) и (4.2) зависят от схемы внутренних соедине­
ний четырехполюсника, значений сопротивлений схемы и частоты. Для
каждого четырехполюсника их можно определить расчетным или опыт­
ным путем. Для четырехполюсников, удовлетворяющих условию взаим­
ности, коэффициенты связаны соотношением
A D - B C = 1.
(4.13)
Выведем уравнения (4.1) и (4.2). С этой целью к зажимам тп подклю­
чим источник ЭДС Е = 0 тп = и и а к зажимам pq — нагрузку Z 2
(рис. 4.2, а).
h
*г р
* .( Ы < Г
р
о'\ [|з
Рис. 4.2
Напряжение на нагрузке U 2 = / 2 Z 2 = Uр(]. Согласно теореме компен­
сации (см, § 2.17), заменим нагрузку Z 2 источником ЭДС с ЭДС Ё 2 = 0 2
и направленной встречно току / 7 (рис. 4.2, б). Запишем выражения для
токов /, и / ?, выразив их через ЭДС £, Ё 2 и входные, и взаимные
проводимости ветвей у и , у ]2, у 2Х, у 22
А “ Ё\ У] \ - Ё 2 у х2\
(4.14)
І 2 ~ Ё\ У21 —Ё 2 у 22 •
(4.15)
Если токи /, и / 2 рассматривать как контурные, то ЭДС контуров,
совпадающие с направлением контурных токов, войдут в уравнения, по­
добные уравнению (2.7), со знаком плюс, а ЭДС, не совпадающие с на­
правлением соответствующих контурных токов, — со знаком минус.
ЭДС Ё{ направлена согласно с /,, поэтому она вошла в уравнения
(4.14) и (4.15) со знаком плюс; ЭДС Е 2 направлена встречно / 2, поэто­
му она вошла в эти уравнения со знаком минус.
Для линейных четырехполюсников, не содержащих нелинейных эле­
ментов (для взаимных четырехполюсников), согласно принципу взаим-
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками
136
ности (см. §2.16), у п = У2 \• Из (4.15) найдем
£ 1 = £ 2Z21+ /2_ L .
У2 \
(4.16)
У2 \
Подставив (4.16) в (4.14), получим
^ 11-^22 ~ У\2 У2 \ + / 2'г —
У\\
/,і -- ьг 2 --------------------У2 \
У2 \
(4.17)
Обозначим:
А ~ У 2 2 ^Уг\> В - М у 2\, С = (^ц >>22 ~ Уп Уг\)!У 2 \> & = у и IУг\* (4-18)
В уравнениях (4.16) и (4.17) заменим £, на (У, и
на U 2 и, вос­
пользовавшись обозначением (4.18), получим уравнения в Л-форме
U i = A U 2 +B / 2;
/, = C U 2 + D i 2.
Проверим выполнение соотношения (4.13) для взаимного четырехпо­
люсника:
Л В - В С . % ^ - У" >”~ 7 а П ' = 1.
Уг\
Уг\
Для невзаимного четырехполюсника
У\~> У*>\
^
AD
Z?C=vp / у 2\
1•
Рассмотрим соотношения, которые имеют место между иJ И /j и 02
и
если источник ЭДС £, присоединен к зажимам pq, а нагрузка —
к зажимам w /7 (рис. 4.3, я).
т
*2
}Ь
'i Р
■;<t
Рис. 4.3
Как и в предыдущем выводе, заменим нагрузку Z 2 на источник ЭДС
с ЭДС £ 2, направленный встречно току / 2, и запишем выражения для
токов /, и / 2 :
§ 4.4. Определение коэффициентов A -формы записи уравнений четырехполюсника
I 2 _ - £ 2 j;n +
137
д;)2;
(4.19)
/, = - Ё 2 У2\ + ^1 ^ 22*
(4.20)
Из (4.19) найдем
(4.21)
Подставим (4.21) в (4.20):
Заменив Ех на £/, и Е2 на U 2 и воспользовавшись обозначениями
(4.18), перепишем две последние строчки следующим образом:
U} = D U 2 + B / 2\
(4.22)
/, = c u 2 + a i 2.
(4.23)
Таким образом, уравнения (4.1) и (4.2) характеризуют работу четы­
рехполюсника при питании со стороны зажимов тп и присоединении на­
грузки к зажимам pq , а уравнения (4.22) и (4.23) — при его питании со
стороны зажимов pq и присоединении нагрузки к зажимам тп.
Четырехполюсник называют симметричным, если при перемене ме­
стами источника питания и нагрузки токи в источнике питания и нагруз­
ке не изменяются. В симметричном четырехполюснике А = D.
Уравнения (4.1) и (4.2) иногда записывают так:
U | — Ахj U 2 + ЛХ2 12\
(4.24)
А = А2j 0 2 ■+■ А22 і 2,
(4.25)
где Ах, —А\ АХ2 —В\ A2j —С; А22 —D.
Частный случай четырехполюсника, у которого зажимы п и q схемы
рис. 4.3, б имеют одинаковый потенциал (например, когда оба они соеди­
нены с заземленной точкой схемы), называют трехполюсником. Изобра­
жение трехполюсника показано на рис. 4.3, б.
Если в четырехполюснике отсутствует общая для входа и выхода точ­
ка, то такой четырехполюсник также можно рассматривать как трехполюсник, если схема внутренних соединений его окажется симметричной
относительно мысленно проведенной посередине четырехполюсника
горизонтальной линии (она и будет общим для входа и выхода «зажи­
мом»).
§ 4.4. Определение коэффициентов /(-формы записи уравнений
четырехполюсника. Комплексные коэффициенты А, В, С, Д входящие
и уравнения (4.1) и (4.2), можно определить по формулам (4.18), если схе­
ма внутренних соединений четырехполюсника и ее параметры известны,
138
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками
либо используя входные сопротивления четырехполюсника, полученные
опытным или расчетным путем.
Комплексные входные сопротивления находят опытным путем с по­
мощью ваттметра, амперметра и вольтметра по схеме, подобной схеме
на рис. 3.24, а, с тем отличием, что вместо двухполюсника к зажимам тп
и pq (в зависимости от определяемого входного сопротивления) подклю­
чают испытуемый четырехполюсник.
Определим комплексное входное сопротивление четырехполюсника
при трех различных режимах его работы.
1.
При питании со стороны зажимов тп и разомкнутой ветви pq
{І 2 = 0 , индекс «х»):
(4.26)
2. При питании со стороны зажимов тп и коротком замыкании ветви
(0 2 = 0 , индекс «к»):
3. При питании со стороны зажимов pq и коротком замыкании зажимов тп (U 2 = 0 ):
(4.28)
Таким образом, для определения четырех неизвестных коэффициен­
тов А , В, C,D взаимного четырехполюсника располагаем четырьмя урав­
нениями: A D - B C = 1, Z ] x= A / C ; Z ]K = B / D ; Z 2k = B / A . Составим
разность
Zlx
AD
Z\%
AD
AD
(4.29)
Имеем
(4.30)
Умножим (4.29) на (4.30):
(Zlx ~^1к) ^2r _ J L
Zlx Z|K
Отсюда
A2
§ 4.5. Т- и П-схемы замещения пассивного четырехполюсника
139
Формула (4.31Я позволяет через Z|x, Z1k и Z2k определить коэффициент А;
после этого коэффициент С находят из (4.26), В — из (4.28) и D — из (4.27).
Коэффициенты А и D имеют нулевую размерность, коэффициент В
имеет размерность Ом, коэффициент С — См.
Заметим, что вместо формулы (4.31) коэффициент А может быть оп­
ределен по формуле:
(4.32)
П рим ер 49. Опытным путем было найдено, что Z lx = 7,815е” /5П2 Ом;
ZlK = 12,5е у 6 6 °23 Ом; Z2lc = 3,33е / 2 7 °33 Ом. Определить коэффициенты А у В, С, D четы­
рехполюсника.
Р е ш е н и е . Найдем Z,x - Z ]K - 5 - 6 j -1 2 j - 5 = -1 8 у.
По формуле (4.31) подсчитаем:
B = A Z U = 4 ,2 6 е '67 Ом;
0 = й / 2 |к =0.34.
Пример 50. К зажимам pq (рис. 4.1) четырехполюсника примера 49 подсоединена
нагрузка Z 2 = 6 + у 6 Ом; к зажимам тп — источник ЭДС. Найти 0 ] и /, если / 2 = 1 А.
Р е ш е н и е. По формуле (4.1)
и, = л и 2 +в
/ 2
= / , (A Z 2 + В)
= I ■(1.28с-/4*° -b -j2 e j 4 y
+ 4 .2 6 с '67” ) = 14,85e^79°4S’ В.
По формуле (4.2)
/, = C U 2 + D i 2 = i 2 ( C Z ,+ D) = 1,165е ' 123” Л.
§ 4.5. Т- и П-схемы замещения пассивного четырехполюсника.
Функции пассивного взаимного четырехполюсника как передаточного
звена между источником питания и нагрузкой может выполнять Т-схема
(схема звезды рис. 4.4, а) или эквивалентная ей П-схема треугольника
(рис. 4.4, б).
Предполагается, что частота со фиксирована. Три сопротивления
Т- или П-схемы подсчитывают с учетом того, что схема замещения дол­
жна обладать теми же коэффициентами А, В, С, Д что и заменяемый ею
четырехполюсник.
’■В формулах (4.31) и (4.32) перед корнем взят знак плюс. Эгому знаку соответствует
отсчет 0 2 и І 2 по рис. 4.2, а. Знак минус перед корнем отброшен, так как он соответ­
ствует отсчету U 2 и І 2 и в противоположном направлении.
140
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками.
т
11
^4
о-*— - О
U 2
Рис. 4.4
Задача эта однозначна, так как схема замещения содержит три эле­
мента и четырехполюсник характеризуется тоже тремя параметрами (одна
связь между А, В, С, D задана уравнением A D - В С = 1 )*>.
Выразим напряжение Ux и ток /, Т-схемы (рис. 4.4, а) через напря­
жение U 2 и ток / 2 :
7 Л
і у = і г + Ч і± 1 і Ь . = и г ± - + і г 1 + ^
Z3
Ґ
Ut = U 2 + 12 Z 2 + /, 2, = t / 2 (■1 + —z A
11 + /2 Zj 4- 2Г-) +
1
(4.33)
z. z,
. (4.34)
\
Z 3j
Сопоставим (4.33) с (4.2) и (4.34) с (4.1). При сопоставлении найдем
1
С = -г-;
Z3
D = 1+ ^ - .
(4.35)
Следовательно,
с
Z,=
Z ,= ± li:
1 с
D -1
(4.36)
Формулы (4.36) позволяют определить сопротивления Zh Z 2 и Z 3
(рис. 4.4, а) по коэффициентам четырехполюсника А, С, D. Аналогичные
выкладки для П-схемы (рис. 4.4, б) дают:
А = 1+ — ;
Z6
Я = Z4;
С = Zi - * Z? + 2б-;
Z5z6
D =fU l;
■^5
(4.37)
z4=B;
(4.38)
£
D -1
(4.39)
В
A-l'
(4.40)
Z5 =
*' У невзаимного четырехполюсника y12 * у 21 < поэтому для него схема замещения об­
разована не тремя, а четырьмя элементами (см., например, схему замещения транзистора
в § 13.35).
§4.7. Определение коэффициентов одной формы уравнений.
141
Если четырехполюсник симметричный, то А = D и в Т-схеме заме­
щения Zj = Z2, а в П-схеме Z 5 = Z6.
§ 4.6. Определение коэффициентов F-, Z-, G- и Я-форм записи
уравнений четырехполюсника. Комплексные коэффициенты Хп , Г12,
^>1» ^22 в уравнениях (4.3) и (4.4) найдем следующим образом:
Yu = /, /t/j при t / 2 = 0; К12 = Іх/ 1/ 2 при (), = 0; У22 = / 2 Ш 2 при ^ = 0.
Обозначим Yu = y u , У22 = Уіг* но Yn = ~У\і и У і\= -У гі*
Коэффициенты Zu , Z12, Z21, Z 22 в уравнениях (4.5) и (4.6) опре­
делим так: Zj j = t / t / / t при / 2 = 0; Z ,2 - U 2 i \ х при / 2 = 0; Z 2 2 - U 2 ! ї 2
при /, = 0 .
Аналогичным образом определим коэффициенты и других форм за­
писи, например //-формы: H U =UXI I X при U2 ~ 0 ; И 2 2 - 1 2 / и 2 при
/j = 0; Я 21 = U / /, при ІД = 0. Обратим внимание на то, что для взаим­
ного четырехполюсника
Уп = Y2], . ZI2 = Z 21, но
# i 2 = ” # 2i>
G]2 = - G 21, а В12 не равно В2Х даже по модулю.
П рим ер 51. Вывести формулы Z-параметров для Т-схемы замещения четырехполюс­
ника (рис. 4.4, а).
Р е ш е н и е . Для T-схемы замещения
Z \2 ~ ? 2 \ “ -Г
= 2 3;
Ч
Z 22 = &
'2
= Z 2 + Z3.
/,=о
§ 4.7. Определение коэффициентов одной формы уравнений через
коэффициенты другой формы. На практике возникает потребность в
переходе от одной формы записи уравнений к другой.
Для того чтобы коэффициенты одной формы записи найти через
коэффициенты другой формы, необходимо выразить какие-либо две
одинаковые величины в этих двух формах и сопоставить их, учтя направ­
ления токов /, и / ? в них.
Для А -формы
(4.41)
(4.42)
для Z-формы
(4.43)
и2—/ j z 2l + / 2 z 22.
(4.44)
Сопоставляя правые части (4.41) и (4.43) и учитывая, что ток / 7 в
выражении (4.43) равен току - /-> в выражении (4.41), получим
142
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками.
Из (4.42) и (4.44)
Z 21 =1 /С ,
Z 2 2 = D/ C .
При переходе от коэффициентов Л-формы к коэффициентам других
форм найдем:
YU = D / B ,
Yn = >2i = - 1 / 5 ,
Y22 = A/ B;
Н и - BI D,
Н 12 = ~ Я 2І = 1 / Д
Н 22 = С / D;
Gu = С / А ,
G12 =-<?2І = -1 /Л ,
G22 = В/ А\
В\ \ = D,
5 12 = В,
# 2і = С,
5 22 - А.
П рим ер 52. Определить У'-параметры четырехполюсника через Z-параметры.
Р е ш е н и е . Решим уравнения (4.5) и (4.6) относительно 1Х и / 2, сопоставим полу­
ченные уравнения с уравнениями (4.3) и (4.4). В результате получимK |,= Z 2 2 /A ^ ;
^22 -
^12
=
^21
=“
^12
I
&7 = Z ,, Z 22 - Z}2-
Для T-схемы (рис. 4.4, а)
~ (Z| + Z y ) (Z 2 + Z у) —Z 22 = Zj Z 2 + Z\ Z 3 + Z 2 Z-j*
= ( Z j + Z3 )/A^;
Y22 = (Zj + Z j ) / Д^;
Y^2 —~ Z 3 I Д;?.
В табл. 4.1 даны соотношения для перехода от одной формы уравнений к любой дру-
§ 4.8. Применение различных форм записи уравнений четырехпо­
лю сника. Соединения четырехполюсника. Условия регулярности. Ту
или иную форму записи уравнений применяют, исходя из соображений
удобства. Так, в теории синтеза цепей (см. § 10.5-10.8) используют обыч­
но Y- или Z-форму записи. Параметры транзисторов для малых перемен­
ных составляющих (см. § 15.35) дают в К-, или
или Z-форме, так как
в этих формах их удобнее определить опытным путем.
При нахождении связи между входными и выходными величинами
различным образом соединенных четырехполюсников (при определении
коэффициентов эквивалентного четырехполюсника) используют Z-, //-,
G-, У- и А -формы.
При последовательно-последовательном соединении четырехполюс­
ников а и b (рис. 4.5, а) применяют Z-форму, при параллельно-параллель­
ном соединении (рис. 4.5, б) — У-форму, при последовательно-параллельном (рис. 4.5, в) — Я-форму, при параллельно-последовательном
(рис. 4.5, г) — G-форму, при каскадном (рис. 4.5, д) — /4-форму.
Форму записи уравнений выбирают, исходя из удобств получения мат­
рицы составного четырехполюсника. Так, Z-матрица последовательно­
последовательно соединенных четырехполюсников равна сумме Z-матриц этих четырехполюсников, так как напряжение на входе (выходе)
эквивалентного четырехполюсника равно сумме напряжений на входе
(выходе) составляющих его четырехполюсников, а токи, соответственно,
§4.8. Применение различных форм записи уравнений четырехполюсника..
143
Т а б л и ц а 4.1
От матрицы
К матрице
т
m
[Z]
m
Д/
- Z 2,
1
z„
^21
^11
С
D
у„
А
1
Д/
ill
Д,
"н
1
А
В
С
D
/4
д
с
D
С
- С .2
Си
А,,-
С
С„
с„
С
Ас;
с 22
D
-Д
С ,,
В
д„
_ С 21
1
-1
в
Л
«п
G,,
Gn
В
в
"в.
я„
1
Я„
1
^12
і
Gv
-C.2
В
Д
^22
I'm
Ун
Ay
д7
- C 2I
Д<;
D
Яи.
D
С
>и
Уи
Д<;
Д<;
l"
Z 22
В
-у«
д,
Н22
Ни
#v
Н»
* 2.
z„
- 2 г,
А
-У ,2
д,
*22
Д/
IG]
У22
йу
[G]
-Z,2
г„
Д*
z„
Г
п.
Ди
Д»
«И
Д»
"21
н„
«2,
п,
-^1
г„
д*
-К ,
-1
г 2,
і
*2,
Г:і
>2,
-А ,
-у»
2!22
- я ;:
-1
«21
Уг,
D
с
я ,.
д«
“ «И
2к
-1
1
D
-д
С22
О:, с 2,
с„ ДоС2. 02,
d
Рис. 4.5
на входе (выходе) последовательно-последовательно соединенных четы­
144
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками.
Ч Л +Ва Ch
A„ &h + Вa Dh
£
Со Ah + Da Ch
Ca Bh +AvA _
1
1
1
в?
.с*
I
ч
сР в*
рехполюсников одинаковы. У-матрица параллельно-параллельно соеди­
ненных четырехполюсников равна сумме их К-матриц, так как ток на
входе (выходе) эквивалентного четырехполюсника равен сумме токов на
входе (выходе) параллельно-параллельно соединенных четырехполюсни­
ков, а напряжения на входе (выходе) у них одинаковы. Аналогично и в
отношении Я-матрицы при последовательно-параллельном и G-матрицы
при параллельно-последовательном соединениях четырехполюсников.
При каскадном соединении ток и напряжение на выходе первого четы­
рехполюсника равны входным току и напряжению второго четырехполюс­
ника, поэтому /4-матрица двух каскадно соединенных четырехполюсни­
ков а и b равна произведению /4-матриц этих четырехполюсников:
При параллельно-параллельном, последовательно-последовательном,
параллельно-последовательном и последовательно-параллельном со­
единениях необходимо соблюдать условие регулярности соединения
четырехполюсников — через оба первичных зажима каждого четырех­
полюсника должны течь равные по значению и противоположные по на­
правлению токи; то же и по отношению к вторичным зажимам каждого
четырехполюсника.
При регулярном соединении матрица каждого четырехполюсника
должна оставаться такой же, какой она была до соединения четырехпо­
люсников.
Пример нарушения условия регулярности при последовательно-по­
следовательном соединении показан на рис. 4.6, а. Так соединять
четырехполюсники / и 2 нельзя, поскольку входные зажимы второго
четырехполюсника оказались накоротко соединенными с его выходны­
ми зажимами.
Регулярное соединение тех же четырехполюсников показано на
рис. 4.6, б — перекрещены обе пары концов второго четырехполюсника
(при перекрещивании обеих пар концов все элементы любой матрицы
остаются неизменными).
§ 4.9. Х арактеристические и повторные сопротивления четы рех­
полю сников. В случае несимметричного четырехполюсника (А * D)
рассматривают два характеристических сопротивления— Zcl и Zc2, где
Zcl — входное сопротивление со стороны зажимов тп, когда нагрузка
подключена к зажимам pq и равна Z c2 (рис. 4.7, а):
§ 4.9. Характеристические и повторные сопротивления четырехполюсников
145
Рис. 4.6
о
Рис. 4.7
Z c2 — входное сопротивление со стороны зажимов pq, когда нагрузка Zc)
подключена к зажимам тп (рис. 4.7, б)\ при этом коэффициенты А и D
меняются местами:
D 0 2 + В І2 _
z
с2
С U2 + А / 2
o z c, + g
с zcl+а'
(4.46)
Совместно решая (4.45) и (4.46), найдем
zcl = J a b /CD-,
zc2= J d b /c a .
(4.47)
Учитывая, что A / C - Z lx, £ / D = Z,K, Z?M = Z2k, D /C = Z2x, noлучим
Zci - yjZ\xZ ]K;
Z c2 - ^/Z2xZ2k .
(4.48)
Если четырехполюсник симметричен (Л = Z>), то
Zcl = Zc2 = Zc = л / І 7 с ,
где Zc равно входному сопротивлению четырехполюсника, когда он на­
гружен на Zc (рис. 4.7, в).
В теории цепей иногда пользуются понятием повторного сопротив­
ления четырехполюсника Zn0B. Под ним понимают входное сопротивле­
ние со стороны зажимов тп, если к выходным зажимам pq присоедине­
но Zn0B. Из формулы (4.45), заменив в ней Zc, и Z c2 на Zn0B, получим
146
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками.
(4.49)
Решив (4.49) относительно Zn0B, найдем
В_
С
= Л~ °
пов
2С +
Если четырехполюсник симметричный (A = D), то Zn0B = yj BIC,
т. е. оно совпадает с характеристическим сопротивлением Zc. Сопротив­
ление ZnoB называют повторным потому, что оно повторяет сопротивле­
ние нагрузки на выходе четырехполюсника.
§ 4.10. Постоянная передача и единицы измерения затухания. Для
симметричного четырехполюсника, нагруженного на Zc,
t), = A U 2 + В І 2 = 0 2(А + т[вС);
Комплексное
число
А+JbС
/, = І2 (А + у[вС).
полагают
равным
где
g = а + j b = \ п(А + у]ВС) — постоянная передачи.
Из формул 0 , = t / 2
/j = 1 2 е" еуЛ следует, что модуль и }
в еа раз больше модуля U2, а модуль /, в е" раз больше модуля / 2.
По фазе (7 j опережает U 2 на угол 6 , ток /j опережает / 2 также на угол b,
Величина я характеризует затухание четырехполюсника. Единицами
затухания являются неперы (Нп) и белы (Б). Неперы определены на
основе натуральных логарифмов, а белы — на основе десятичных. Зату­
хание в неперах
Ц !\
^Нп = — 1п-3- = —In
и, U
При согласованной нагрузке
Zr
г и ± ' = 1п ^ а Нп ~ 2 ^П
\ U 2j
Если Ц /(У2 = е, то затухание равно 1 Нп. Затухание в белах
«б = lg (5 ,/ S 2) = lg(t/, / t / 2)2 = 2 Igjy,/U 2\,
а в децибелах адБ = 20 lg((/j / U 2).
Если U, больше U 2 в 10 раз, то затухание равно 20 дБ, если
=100, то а = 40 дБ.
§4.12. Конвертор и инвертор сопротивления
147
Выразим
неперы
через
белы.
Если
|*S, / *S2| = 10,
то
я Нп = 0,5 In 10 = 1,15;
tf5 = lg l 0 = l. Таким образом, 1 Б = 1,15 Нп,
1 Нп = 0,868 Б = 8,68 дБ.
§ 4.11. Уравнения четырехполюсника, записанные через гипербо­
лические функции. Для симметричного четырехполюсника Л-форму
уравнений (4.1) и (4.2) записывают иногда через гиперболические функ­
ции от аргумента g, полагая А = D = ch g, В = Zc sh g, С = sh g / Zc. При
этом A D - ВС = ch 2g - s h 2g = 1 и
Ux = c h g U 2 + Z Csh g I2\
h = ^ - U 2 + chg І2.
(4.50)
Убедимся в справедливости замены А на chg:
е^ = A + J
b
C,
е~^ = ------т= = -; ch g = ~ (e ^ + е~^) = А
A +J b C
2
Форму записи через гиперболические функции используют, например,
в теории фильтров (см. гл. 5).
Для несимметричного четырехполюсника уравнения через гиперболические функции
запишем следующим образом:
и , = J z ci/ Z c2 ch Г U г + J z cl Z c2 sh Г / , ;
/, = - = = L = = sh Г U , + J z ^ T z ^ ch Г / , ,
\ Z c) Z c2
і де Г — мера передачи; ch Г =D; sh Г =
C.
Если несимметричный взаимный четырехполюсник нагружен на Zc2, то U 2 = / 2 Zc2;
6 ', = U 2 <JZc]/ Z c2 (ch Г' —sh Г)
и /, = / 2 <jzc2 /Z c, ( c h r + shT). Имея в виду, что
е г = c h r + shT, получим
(У, = t ) 2 J Z CX/ Z C2 е Г;
/, =
/ 2
д/Z c2 / Zc\ е г .
Мера передачи Г - а* + j b' = \ n (^A D + yjBC). Если четырехполюсник симметричный,
то Zcl = Z c2 D - А, Г = g. Гак как yZ d /Z c2 ~ 4 a / D , то передача по напряжению для
несимметричного взаимного четырехполюсника, нагруженного на Zc2, составляет
In
- = In~ + ln(V A D + ,J b С ) и передача по току
U2
D
\n-i^- = \n — + \ n { < jA D + ^ B C ) .
/ 2
А
§ 4.12. Конвертор и инвертор сопротивления. Если у невзаимного
четырехполюсника = С = 0 и он нагружен на зажимах pq на сопротив­
ление ZH, то входное сопротивление со стороны зажимов тп
= А ZH+ В _ ZH
7
вх
C Z H+ D
’
где к\ =D / А, т. е.четырехполюсник преобразует (конвертирует) сопро­
тивление ZH в сопротивление ZH
Коэффициент &j называют коэф­
148
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками
фициентом конвертирования. Если А и D имеют одинаковые знаки, то
ZBX имеет тот же знак, что и ZH (конвертор положительного сопротив­
ления), если разные, то знак ZBX противоположен знаку ZH (конвертор
отрицательного сопротивления).
Если у конвертора А = 1, то kx - D; Ux = U2; 1\ = кх / 2. В этом слу­
чае конвертор называют идеальным конвертором с преобразованием тока
(при неизменном напряжении).
Если у конвертора D = 1, то kx = 1/ A; V x - U 2 /k x; /, = / 2. Такой кон­
вертор называют идеальным конвертором с преобразованием напряже­
ния.
У конвертора есть И- и G-матрицы, но отсутствуют Z- и У-матрицы.
Если у невзаимного четырехполюсника А = D - 0, то ZBX = BI (С ZH)
и четырехполюсник называют инвертором сопротивления, а В /С - к 2 —
коэффициентом инвертирования.
Если В w С имеют одинаковые знаки, то ZBX = 1/Z H (инвертор поло­
жительного сопротивления), если знаки у В \\С разные, то ZBX = —1/ ZH
(инвертор отрицательного сопротивления).
У идеального инвертора входное сопротивление не зависит от того, к
каким зажимам {pq или тп) подключена нагрузка.
У инвертора есть Y- и Z-матрицы, но отсутствуют Н- и G-матрицы.
§ 4.13. Гиратор. Гиратором называют инвертор положительного со­
противления, имеющий следующую К-матрицу:
где G —- проводимость гиратора. Для идеального гиратора G — веще­
ственное число. Для гиратора /, = G £/?; /? = -G 0 Х.
Гиратор не поглощает энергию. Он преобразует напряжение в ток.
Если на выходе гиратора включено сопротивление ZH, то его входное
сопротивление ZBX =1/(G 2 Zh).
/ А
\о,
) С
Рис. 4.8
Представим гиратор как трехполюсник (зажим 3 на рис. 4.8, а —
общий для входной и выходной цепей). Его К-матрица остается неизмен­
ной, если, оставив гиратор неподвижным, в направлении стрелки после­
довательно изменять нумерацию его зажимов. Гиратор является невзаим-
§ 4.14. Операционный усилитель
149
ным (необратимым) четырехполюсником, так как для него Уп *У 2\- В
настоящее время гиратор чаще обозначают в соответствии с рис. 4.8, б.
Практически осуществить гиратор можно, например, по схеме
(рис. 4 .8 , в), в которой использованы два управляемых напряжением ис­
точника тока: G U 2 и G U V или по схеме (рис. 4.8, г) с двумя управля­
емыми источниками напряжения. Воспользовавшись табл. 4.1, можно
перейти от К-параметров гиратора к его Z- и Л-параметрам:
[о -11
G
[Z} = 1
1
.G
;
[А] =
0
Го 11
G
G
°.
§ 4.14. Операционный усилитель. Операционный усилитель (ОУ) —
это усилитель с очень большим входным сопротивлением, очень малым
выходным сопротивлением и очень большим коэффициентом усиления
к (теоретически к -> оо, практически Л« 1 0 4 -И0 ). ОУ выполняют по
интегральной технологии в виде отдельного кристалла, поэтому его мож­
но считать самостоятельным активным элементом схем, подобно тран­
зистору. Коэффициент усиления к = - к 0 /(1 + j от). Знак минус обуслов­
лен тем, что вход 1 является инвертирующим. Постоянная времени т
учитывает инерционные свойства ОУ.
ОУ имеет обычно восемь выводов: два входных, или управляющих,
один выходной (5), один заземленный (0), два вывода для источника пи­
тания и два для регулировки. Четыре последних вывода на схемах не
показывают. На электрических схемах ОУ изображают в виде треуголь-
а
6
в
г
Рис. 4.9
ника с тремя выводами /, 2, 3 (рис. 4.9, а), потенциалы которых относи­
тельно заземленной точки соответственно ф,, ф2, Фз (рис. 4.9, б). При
включении ОУ по дифференциальной схеме его входное напряжение
()вх = ф 1 - ф 2. При использовании одного входа и заземлении второго
UbK = ф,. Выходное напряжение ОУ равно разности потенциалов между
точкой І и заземленной точкой 0 : 0 КЫХ = ф3 - 0 = ф3, оно в к раз больше
входного, т. е. / : ( ф ,- ф 2) = фз или £ф, = ф 3 соответственно. Значение
коэффициента усиления к записывают рядом с ОУ либо внутри его. Зна-
150
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками..
ние числового значения к при анализе схем с ОУ не всегда требуется, важ­
но, что к велико и стремится к бесконечности. Так как к -> оо, а £/ВЬ1Х величина конечная, то в зависимости от способов включения
(ф, - ф 2) - » 0 или ф, - » 0 .
Таким образом, входные напряжения ОУ можно полагать в первом
приближении равными нулю. Для облегчения анализа схем, содержащих
ОУ, последние в ряде случаев будем заменять их расчетными эквивален­
тами. Выходную цепь ОУ будем заменять ветвью (рис. 4.9, в), присоеди­
ненной между выходной точкой 3 и заземленной точкой 0 и содержащей
источник ЭДС £ = Л (ф! - ф 2) или Е = к ф,, соответственно, и последо­
вательно с ним включенным сопротивлением порядка десятков или со­
тен Ом (точное числовое значение его обычно не задано), по которой
проходит некоторый ток / (рис. 4.9, в). Значение тока / в расчетах, как
правило, не требуется, а если и потребуется, то всегда может быть опре­
делено по законам Кирхгофа. Входное сопротивление ОУ в первом при­
ближении полагают стремящимся к бесконечности.
После замены входной и выходной цепей ОУ на расчетные эквивален­
ты схему рассчитывают по законам Кирхгофа, имея в виду в первом при­
ближении, что входные напряжения и входные токи всех ОУ равны нулю.
Расчет схем с операционными усилителями, когда необходимо учесть
конечное (не бесконечное) значение к и конечное значение входных со­
противлений, производят обычно методом узловых потенциалов.
Зависимость ивых = / (wBX) для ОУ линейна только до некоторого
максимального значения ивых «10-Н 5 В, после чего наступает насыще­
ние. В дальнейшем будем полагать, что работа схем с ОУ происходит на
линейном участке характеристики ОУ (рис. 4.9, г). Заметим еще, что ско­
рость изменения выходного напряжения duRblx I dt у ОУ ограничена ве­
личиной порядка 10 6 В /с. В последнее время минусовый вход ОУ обо­
значают кружком, как на рис. 4.10, а.
Рассмотрим три примера.
Сначала рассмотрим схему (рис. 4.10, б), являющуюся схемой источника напряжения,
управляемого напряжением. Резисторы Rj и R 2 могут регулироваться. Через резистор R2
осуществляется обратная связь. Расчетная схема изображена на рис. 4.10, в. Так как вто­
рой вход схемы (рис. 4.10, б) заземлен (ф 2 = 0), а напряжение на входе ОУ должно быть
равно нулю, то ф| * 0 .
Потенциал на входе схемы ф| = - / / ? ,. Потенциал на выходе ОУ ф3 = / / ? 2, отсюда
0
а
б
Рис. 4.10
в
§4.14. Операционный усилитель
151
т. е. действительно схема на рис. 4.10, б может выполнять функции источника напряже­
ния (внутреннее сопротивление которого стремится к нулю), управляемого напряжением.
Рассмотрим схему преобразователя сопротивлений на ОУ, изображенную на
рис. 4.11, а. В схеме имеется два ОУ и пять сопротивлений Z} - Z 5. Покажем, что вход­
ное сопротивление схемы относительно зажимов АВ для малых переменных составляю­
щих Z AH = (Zj Z 3 Z 5 ) /Z 2 Z4. Обозначим токи в ветвях в соответствии с рис. 4.11, а. На
Рис. 4.11
рис. 4.11, б изображена схема, в которой выходные цепи ОУ заменены ихрасчетными эк­
вивалентами. Для схемы рис. 4.11, б приравняем к нулю входные напряжения ОУ:
^вх! = Фа - Фс- = Л Z, + (/, + и ) Z 2 = 0 ;
(4.51)
U вх2 = Ф с“ Ф* = (/| + / 6 ) Zj + (Л + и + h ) Z 4 = 0 .
(4.52)
Из (4.51)
(4.53)
/2
Из (4.52) с учетом (4.53) получим /, +
/6
+ / 7 = /]
входное напряжение схемы
/)
- //
, /
, J )-?
U АН - V \ + * 6 + h ) ^ S
Z Z
2
i
-
Z l Z 3 Z S.
'
Z2
^-4
Так как
•
+Uce = 0, то
4
7
_ й АН
£ ъхА В - ~ .
/ 1
_
-
Z \Z 3 Z 5
у
у ----•
^24
Применение ОУ для реализации гиратора иллюстрирует рис. 4.12. В этой схеме три
ОУ и четыре резистора. Проводимости резисторов /?, и R2 выполняют функции прово­
димостей гиратора. Обозначим потенциалы узлов и токи ветвей в соответствии с рис. 4.12.
Учтем, что напряжение и токи на входе каждого ОУ стремятся к нулю, а точки, обозна­
ченные цифрой 0, и точка С практически имеют нулевой потенциал. В этой схеме ток
/ 4 = 0 ВЫ
Х / R,
потенциал точки
/
<р, = - / 4 R = - 0 ВЫХ.
Потенциал точки С
ф(, = 0 = ф, - 73 R2.
Отсюда / 3 = ф , / Я 2 = -£ /вых/Д 2. Но /, = - / 3 , поэтому
(4.54)
152
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками.
Ri /,
к
л
Рис. 4.12
Потенциал точки А ф^
~ - / 2 К\- Входное напряжение
(4.55)
^вх = Фґ ” Ф/* - h R\-
Имея в виду, что для К-формы записи уравнений четырехполюсника ток / 2 должен
иметь направление, противоположное указанному на рис. 4.12, установим, что уравнение
(4.54) и (4.55) являются уравнением гиратора. Недостатком схемы на рис. 4.12 является
то, что источник сигнала и нагрузка ZH непосредственно не соединены с заземленной точ­
кой.
§ 4.15. У правляемы е источники напряжения (тока). Управляемый
источник напряжения (тока) представляет собой невзаимный четырех­
полюсник (трехполюсник), выходное напряжение (ток) которого пропор­
ционально входному напряжению (току) этого четырехполюсника, а сам
он обладает свойством источника напряжения (ЭДС) (напряжение на его
зажимах не зависит от протекающего через него тока) или источника тока
(его ток не зависит от нагрузки). Управляемый источник обозначают ча­
сто в виде ромба, в котором указана стрелка (если это источник напря­
жения), либо двойная стрелка (если это источник тока). Рядом записы­
вают управляющую величину, умноженную на некоторый масштабный
множитель. Управляющими величинами могут быть также интеграл и
производная по времени от тока или напряжения.
Известны четыре типа идеализированных управляемых источников:
1) источник тока, управляемый напряжением (ИТУН). Схема его
изображена на рис. 4.13, а. Входной ток /, = 0, выходной ток пропорци­
онален входному напряжению: / ? =G
входное и выходное сопротивГо 0 ]
ления бесконечно велики. Матрица У ИТУН такова:
[G О
2) источник напряжения, управляемый током (ИНУТ). Схема его
представлена на рис. 4.13, б. Входное напряжение
=0, выходное
напряжение пропорционально входному току:
входное и
^
^
выходное сопротивления равны нулю. Его Z-матрица имеет вид:
Го
^
о]
^
§4.15. Управляемые источники напряжения {тока)
CU,
153
R i\
Рис. 4.13
3) источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН). Схе­
ма дана на рис. 4.13, в. Входной ток /, =0, выходное напряжение про­
порционально входному: U 2 = kx Uj, входное сопротивление бесконечно
^
велико, а выходное равно нулю. Его G-матрица такова:
Г0
0"
кх 0
4) источник тока, управляемый током (ИТУТ). Схема изображена на
рис. 4.13, г. Входное напряжение Ux =0, выходной ток пропорционален
входному: / 2 = к 7 / 1? входное сопротивление равно нулю, выходное —
оесконечности. Матрица Я-параметров его равна
Г0
0"
к2 0
Каскадное соединение ИНУТ с ИТУН обладает свойством ИТУТ, а
каскадное соединение ИТУН с ИНУТ — свойством ИНУН.
Для всех перечисленных управляемых источников выходная величи­
на не влияет на входную, а входная мощность равна нулю, так как вход­
ной ток либо входное напряжение равны нулю.
Управляемые источники часто осуществляют на основе операционных усилителей. Так,
схема ИТУТ на двух ОУ — на рис. 4.14.
Убедимся, что схема на рис. 4.14 обладает свойствами ИТУТ. Воспользуемся обозна­
чениями на этой схеме.
Входное напряжение первого ОУ равно нулю, ф, = 0, ф2 * 0. Входной ток первого
ОУ ^ =0, входной ток второго ОУ / 2 = 0. Входной ток схемы / вх = - ф 3//?, отсюда
Фз = - / вх R. Выходной ток первого ОУ обозначим /. Тогда для узла 3 по первому закону
Кирхгофа / 3 = / вх + /. Так как / 2 =0, то
/ 4 = Ф 4 / < Я | + * 2 ),
а потенциал точки
( 4 5 6 )
6 ф6 = ф3 —/ 3 /?, = ф3 - ( / вх + 1)К\- Входное напряжение второго ОУ
154
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками..
равно нулю, поэтому ф5 = ф6. Так как сопротивление между точками 4 и 5 равно сопро­
тивлению между точками 4 и б, то
/
- <І >4-Фб
4
Ф4 + / . « Д + ( / « х + 0 R \
r2
л.
(4.57)
Приравняв (4.56) к (4.57), определим
Ф4 -
1
*1
ах ( /? + / ? ,) ( / ? . + Я 2 ) - / /?j (/? i + /?2 )).
(4.58)
Подставим (4.58) в (4.56)
/ -- _ /'вх Л~-----+ /?1 1 ■і
М
(4.59)
Для узла б, по первому закону Кирхгофа,
RxI У
Так как / вых пропорционально / вх, 0 ВХ = 0 , а выходной ток / вых не зависит от
сопротивления нагрузки ZH, то схема рис. 4.14 по отношению к выходной цепи
обладает свойствами источника тока, управляемого током /
На рис. 4.15, а представ-
Рис. 4.15
лена одна из возможных схем ИНУТ (U 2 = R\ І \ ), на рис. 4.15, б — одна из возможных
схем ИНУН, а на рис. 4.15, в — схема конвертора отрицательного сопротивления
(Z BX = - Z H R 2 / R\ )•
Как имитировать элементы R, С, заземленную и незаземленную L, частотно зависи­
мые сопротивления, высокоомные резисторы — см. приложение П2.
£
В § 4 Л 4-4.15 было принято, что для ОУ К = ----- ^------ » оо за счет того, что к0 -> оо.
1 + усот
Практически же / :0 10 4 -г-106, а т % 10" *10" . Поэтому при относительно высоких ча­
стотах со при рассмотрении схем с управляемыми источниками следует учитывать зави­
симость К от со.
§ 4.16. А ктивны й четырехполюсник. Под активным четырехполюс­
ником будем понимать линейный четырехполюсник, содержащий источ­
ники энергии, за счет которых на разомкнутых зажимах его появляется
напряжение. Следует иметь в виду, что в понятие «активный четырехпо­
люсник» в литературе вкладывают также и иной смысл, а именно —
такой четырехполюсник, активная мощность на выходе которого превы­
шает (может превышать) активную мощность на входе. Этот эффект
§4.16. Активный четырехполюсник
155
достигается обычно за счет того, что в состав четырехполюсника входят
активные невзаимные элементы, такие, как операционные усилители,
транзисторы, электронные лампы, туннельные диоды и др. Чтобы раз­
личать эти два класса активных четырехполюсников, условимся рассмат­
риваемый четырехполюсник называть активным автономным (по
зажимам тп и (или) p q ), а четырехполюсник, обладающий свойством
усиливать мощность, — активным неавтономным в направлении усиле­
ния мощности.
Рассмотрим уравнения, описывающие связь между входными и вы­
ходными величинами активного автономного четырехполюсника и его
схему замещения.
Положим, что в первой ветви тп активного четырехполюсника
(рис. 4.16, а) есть источник ЭДС
во второй ветви p q — нагрузка ZH,
а в остальных ветвях (3-/?), находящихся внутри четырехполюсника,
її
ф
і,
й *.
-« J
я
ф
£)
п
q
б
Рис. 4.16
имеются или могут иметься источники ЭДС Ек (индекс к может прини­
мать значения от 3 до р). Тогда, заменив по теореме компенсации сопро­
тивление ZH на источник ЭДС
(рис. 4.16, б), запишем выражения для
токов /, и І2 :
Іх = Е х у п - Е 2 у п + ^ Е к у хк;
(4.60)
к=3
Р .
h ~ Е\ Уі\ ~ &2 Уп + X
У2к**з
(4.61)
Осуществим короткое замыкание одновременно на зажимах тп и pq.
При этом по первой ветви будет протекать ток /,к = ^ Е к у ]к, а по второй — ток j 2K = ]>]£* y 2k.
*=3 р
Р
.
В (4.60) вместо
y\k, подставим / 1Ь а в (4.61) вместо ^ Е к у 1к
к=.з
.
.
.
.
к-3
иодставим 1 2к. Кроме того, заменим £, на U{ иЕ на U~>. В результа­
те получим
І і - І ік = У и 0 1 - у ]2 и 2-,
(4.62)
^2 ~ ^2к ~ Уі\ U\ ~ У27 U2'
(4.63)
156
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками.
Уравнения (4.62) и (4.63) отличаются от уравнений (4.14) и (4.15) толь­
ко тем, что в их левых частях находятся соответственно I x - I xk и / 2 - I2k
вместо /j и / 2. Отсюда следует, что все уравнения, получающиеся из
(4.14) и (4.15) в результате их преобразований, справедливы и для актив­
ного четырехполюсника, только в них /, следует заменить на /, - / 1А., а
І2— на І 2 - І2к. Так, /4-форме уравнений пассивного четырехполюсни­
ка (Ux = A Uг + В / 2, /, = С U 2 + D / 2) соответствует Л-форма уравнений
активного четырехполюсника:
Ux - A U 2 + В ( ї 2 - Ї2к)\
I\~ hk = С U2 + D (І2 - І2к)Коэффициенты А , В, С активного автономного взаимного четырехпо­
люсника удовлетворяют условию A D ~ ВС = \ и определяют их так же,
как и для пассивного.
На рис. 4.16, в изображена одна из возможных Т-схем замещения
активного четырехполюсника. Сопротивления Z,, Z 2 и Z 3 находят че­
рез коэффициенты А, В, С, так же как для пассивного четырехполюсни­
ка, а ЭДС £ 3 и £ 4 вычисляют по значениям токов / хк и 1 1к и сопро­
тивлениям из уравнений, составленных для режима одновременного ко­
роткого замыкания входа и выхода (показано штриховой линией на
рис. 4.16, в):
l\k (Z\ + Z3) - І2к Z 3 = £ 3;
*“ І\к
+ І 2k
(%2 + Z 3) =
£4
•
§ 4.17. М ногополю сник. На рис. 4.17, а изображена пассивная схема, в которой вы­
делено т ветвей (т пар зажимов). Условимся называть такую схему многополюсником.
Будем полагать известными входные Уц - у„„„ и взаимные y km,
у ткпроводимости вет­
вей. Они определены в соответствии с § 2.15 (А-ветвь входит только в А-контур:направле­
ния всех контурных токов при составлении уравнений по методу контурных токов одина­
ковы).
Включим в ветвь 1 ЭДС £, = £/,, а в ветви 2- т нагрузки Z 2- Z m (рис. 4.17, б). Токи
в ветвях 2 -т обозначим / А—/«,^ а в ветви / обозначим /,. Все токи направлены по часо­
вой стрелке.
а
б
в
Рис. 4.17
§4.18. Построение дуги окружности по хорде и вписанному углу
157
На основании теоремы компенсации заменим нагрузки Z 2- Z m на источники ЭДС
Е 2- Е т, направленные встречно токам 12- Г т (рис. 4.17, в). На основании принципа
наложения запишем выражения для токов ветвей:
rl =U t y u - U 2y l2 - U } y n - . . . - U my im,
І2 = Ut У 21 -U2у22
~ У2т<
(4.64)
I'm = U \ Ут 1- U 2 У т і - ^ Ъ У „ Ъ ~ - - U m Ут
Изменим направления токов в ветвях 2-т на противоположные и назовем их токами
І 2- І т 0 2 =-І'г* •••» im - ~ ^ т ) (Рис- 4.17, г). Для того чтобы все слагаемые уравнений
имели положительные знаки, введем следующие обозначения: Ykk - y kk>
У\к =-У \к=-У кь
Ург = Угр = Ург = УГ,, ( р * г * \ ) .
Тогда система уравнений многополюсника (4.64) будет иметь вид
У\2
»1Э
•
_Г<
3
і
(4.65)
У21
Уа
-
•••
Угт
.Уш 1
Уm2
...
••• У»ШК
'У и
М=
'< V
:
V
;
((>! =
У * .
Ш=
/2
Л .
Если систему уравнений многополюсника (4.65), записанную в К-форме, решить отно­
сительно [£/], то получим систему уравнений многополюсника, записанную в Z-форме:
(4.66)
[U) =[Z)[iY
Zm\
Z„,2
^ mm _
£
N
2ц
Z|2 .
Z22 •••
Z 2m
= [Y Y]
Если у многополюсника Ykm * Ymk% его называют невзаимным. Если многополюсник
содержит источники энергии (активный автономный многополюсник), то его уравнения в
)- или Z-форме запишутся подобно тому, как это сделано в § 4.16 для четырехполюсника:
І У ) 0 ] = и - І кк)
ИЛИ
| 2 ] [ / - / M] = lt/].
Исследование работы электрических цепей часто проводят графическими методами
путем построения круговых и линейных диаграмм. Перед тем как приступить к изучению
круговых диаграмм, рассмотрим вопрос о построении дуги окружности по хорде и впи­
санному углу.
§ 4.18. Построение дуги окружности по хорде и вписанному углу.
Из курса геометрии известно, что вписанным углом называют угол,
вершина которого находится на окружности, а стороны являются
хордами.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирает­
ся. Так, ZABC = \y (рис. 4.18, а) измеряется дугой ADC/ 2, a ZADC —
дугой A B C /2. Сумма ZADC + ZABC - п.
158
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками..
Рис. 4.18
Угол Z.EDC дополняет до п угол ZADC, поэтому ZEDC = \у.
Какое бы положение ни занимала точка D в интервале от А до С, угол
между продолжением хорды AD (т. е. линией DE) и хордой DC остается
неизменным и равным УУгол между продолжением хорды АС и касательной (полукасательной)
к окружности в точке С также равняется углу Ц/.
Центр окружности О находится на пересечении перпендикуляра к
середине хорды и перпендикуляра к касательной (рис. 4.18, б).
Из изложенного следует, что если заданы хорда и вписанный угол ЦЛ
то для нахождения центра окружности необходимо:
1) восставить перпендикуляр к середине хорды;
2 ) под углом Vj/ к продолжению хорды провести прямую, которая бу­
дет являться касательной к окружности;
3) восставить перпендикуляр к касательной; пересечение перпендику­
ляра к хорде и перпендикуляра к касательной даст центр окружности.
§ 4.19. Уравнение дуги окружности в векторной форме записи.
Построения, аналогичные построениям на рис. 4.18, а, могут быть вы­
полнены и на комплексной плоскости. В этом случае все хорды, напри­
мер, СА, DA, DC являются векторами.
На комплексной плоскости (рис. 4.18, в) совместим хорду СА = F с
осью + 1. Если угол у >0, то от продолжения хорды его откладывают
против часовой стрелки; если v|/< 0 , угол откладывают по часовой
стрелке.
Обозначим D A - G и CD = Н. Тогда
G + Н = F.
(4.67)
Вектор Н опережает вектор G на угол У- Пусть модуль вектора Н
будет в к раз больше модуля вектора G. Тогда
И = kG e /VJ/.
(4.68)
Если к - 0, то И - 0 и G = F. При к =оо И = F и С = 0. Подста­
вив (4.68) в (4.67), получим
§4.21. Круговая диаграмма тока двух... сопротивлений
159
G (l + £ e 7M,) = f \
ИЛИ
(4.69)
Уравнение (4.69) называют уравнением дуги окружности в вектор­
ной форме записи.
При изменении коэффициента к от 0 до оо меняются оба вектора G
и Я , но так, что угол Ц/ между ними остается неизменным, а сумма
векторов равна вектору F. Конец вектора G скользит по дуге окружно­
сти, хордой которой является вектор F. Поэтому можно сказать,_что дуга
окружности является геометрическим местом концов вектора G.
Рабочей частью окружности, или рабочей дугой, является та часть
окружности, которая по отношению к хорде лежит по обратную сторону
от полукасательной (рабочая дуга на рис. 4.18, в вычерчена сплошной
линией, нерабочая — штриховой линией).
Рабочая дуга меньше половины окружности при \ у \ < 90° и больше
половины окружности при | \у | > 90°.
§ 4.20. Круговые диаграммы . Из § 3.4 известно, что синусоидально
изменяющиеся функции времени (токи, напряжения) могут быть изоб­
ражены векторами на комплексной плоскости. Если процесс в электри­
ческой цепи описывается уравнением, по форме тождественным уравне­
нию (4.69), то геометрическим местом концов вектора тока (напряжения),
выполняющего в уравнении электрической цепи те же функции, что и
вектор G в уравнении (4.69), является окружность.
Под круговой диаграммой тока или напряжения понимают дугу
окружности, являющуюся геометрическим место концов вектора тока
(напряжения) при изменении по модулю какого-либо сопротивления элек­
трической цепи и сохранении неизменными остальных сопротивлений,
частоты и ЭДС источников энергии.
С помощью круговых диаграмм производят графический анализ ра­
боты электрических цепей.
§ 4.21. Круговая диаграмма тока двух последовательно соединен­
ных сопротивлений. Пусть к источнику ЭДС подключены последо­
вательно Z, = Z je 7(Pl и Z = z e 7(p (рис. 4.19). Сопротивление Z, неиз­
менно, a Z может меняться лишь по модулю, так что угол ф остается
постоянным. Ток в цепи
£/ Z,
qJ
(4.70)
(ф-фі )
где £ /Z , = Ік - ток в цепи при коротком замыкании сопротивления Z.
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками.,
160
Обозначим ф - ф | = у. Тогда
(4.71)
/ =■
1+
-
a./V
Уравнение (4.71) тождественно (4.69). Роль вектора F выполняет ком­
плекс Ik \ роль коэффициента к — отношение z ! z x\ роль G — вектор
/. При изменении z вектор / будет скользить по дуге
окружности, хордой которой является Ік.
На круговой диаграмме рис. 4.20 вектор ЭДС на­
правлен по оси + 1. Ток Ik = £ / z , е7Фі отстает от
ЭДС Е на угол ф). Для определенности построим
диаграмму при vj/ < 0. Выберем масштаб токов: пусть
отрезок ас в масштабе mf выражает собой модуль
тока 1к. Отрезок da характеризует модуль тока /,
отрезок cd в соответствии с уравнением (4.71) — мо­
дуль произведения / — е; ¥ . Отложим по направлеzi
нию 1 к отрезок ае в произвольном масштабе т: , выражающии модуль
постоянного сопротивления г, {zx = a e m : ).
Из точки е под углом -Ц/ к линии ае проводим прямую efs которая
является (как будет показано далее) линией модуля переменного сопро­
тивления z при отсчете от точки е. На ней в масштабе т: нанесем деле­
ния для измерения Z.
Из подобия треугольников adc и aef следует
ad _ ае
dc
ef'
f _
dc_
ad
I—
_£]__ £]_
m, I
Рис. 4.20
или
z = e f mz.
§ 4.23. Круговая диаграмма тока активного двухполюсника
161
Следовательно, отрезок e f в масштабе т: определяет модуль пере­
менного сопротивления Z.
Проекция / на направление Е (отрезок ag) в масштабе тр - E m i
измеряет активную мощность:
РГ> = ag т
Г
с 1
= ag Е
mf - ag Ь
— = ГЕ гI coscp;
ad
т} = —I ;
ad
-Щ2- = cos ср.
aq
Проекция І на направление, перпендикулярное Ё (отрезок ah), в мас­
штабе тр определяет реактивную мощность:
Q = ah тр - ah Е (1/ad) - E l sin<p.
§ 4.22. Круговая диаграмма напряжения двух последовательно
соединенных сопротивлений. Умножив обе части уравнения (4.71) на
Z, = z, е7ф| и учтя, что /Z , = U z], получим
0 Л = ----- - Л --------.
(4.72)
1 + _ ± е Лф-<Р,>
z\
Уравнение (4.72) свидетельствует о том, что геометрическим место
концов вектора Uz] является дуга окружности, хорда которой Ё.
§ 4.23. Круговая диаграмма тока активного двухполюсника. Ток
в цепи нагрузки ZH= zHе /Фн активного двухполюсника (рис. 3.30, а)
и*
/н =
^
= ------- ^ а Ь ІІМ --------5
ВХ
J
**Н
(4 .7 3 )
q J (Ф и - Ф в х )
7
~ ВХ
где ZBX = zBXе;Фйх — комплексное входное сопротивление двухполюсни­
ка по отношению к зажимам ab выделенной ветви.
Из уравнения (4.73) следует, что при изменении модуля сопротивле­
ния нагрузки zH ток / н скользит по дуге окружности.
П рим ер 53. В схеме (рис. 4.19) Е = 120 В; Z, = /?j = 24 Ом; сопротивление Z — чис­
то емкостное, модуль его изменяется от 0 до оо. Построить круговые диаграммы тока и
напряжения на сопротивлении Z,.
Р е ш е н и е . Ток Ik = 120/24 = 5 А. Выберем масштаб для токов (mj - 1,39 А /см ) и
напряжений (т{; = 26 В / см).
Найдем угол
У = Ф -Ф , =
-90°
-
0° = -90°.
На рис. 4.21 построены круговая диаграмма тока на токе 1к как на диаметре и круго­
вая диаграмма напряжения на ЭДС Е как на диаметре. Масштаб для сопротивлений
т, = 13 О м/см. Для любого значения сопротивления г по диаграмме находим ток / и на­
пряжение £Л|. Так, при г = 9,5 Ом / = 4,65 A, U:] - 111,5 В.
162
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками.
П рим ер 54. Построить геометрическое место концов вектора тока / неразветвленной части схемы (рис. 4.22) и графически исследовать возможность возникновения резо­
нансных режимов при следующих данных: Е = 30 В; R2 = 6 Ом; Х с = 8 Ом; /?, = 3 Ом;
X і изменяется от 0 до оо.
Р е ш е н и е . Ток / 2 в схеме остается неизменным: / \ = 30 /(6 —у 8 ) = 3 c Jf>r]0 А. Он
на 53°10' опережает ЭДС Е (рис. 4.23).
Вектор тока /, при изменении Л', меняется так, что конец его скользит по дуге ок­
ружности, диаметром которой является вектор тока. I xk - Е ! Rx - 10 А, т{ = 2,65 А /см.
Ток в неразветвленной части схемы / = / 1 +
Геометрическим местом его является так­
же дуга окружности а 12 Ь. В режимах, соответствующих точкам 1 и 2, ток / совпадает по
фазе с ЭДС Е. Следовательно, в этих режимах в схеме имеет место резонанс токов.
Выберем масштаб сопротивлений /п. = 2 О м/см . Графически найдем X L для точек
/ и 2. Для точки 2 X j * 0,8 Ом, для точки / X L * 10,6 Ом. При этом ток / = 11,1 и 2.4 А.
§4.24. Круговая диаграмма напряжения четырехполюсника
163
§ 4.24. Круговая диаграмма напряж ения четырехполюсника. Пусть напряжение U x
на входе четырехполюсника на рис. 4.2, а неизменно по модулю, фазе и частоте, а нагруз­
ка Z 2 = г 2 е УФ2 на выходе его изменяется только по модулю, так что характеризующий ее
угол ф 2 остается постоянным. В этом случае для тока / 2, напряжения 0 2, тока /, мо­
гут быть построены круговые диаграммы. Сначала рассмотрим круговую диаграмму тока
/ 2. С этой целью схему четырехполюсника (рис. 4.2, а ), исключая нагрузку Z2, заменим
активным двухполюсником и по методу эквивалентного генератора найдем ток / 2 в
ветви pq:
h = 7 U'Hlу .
^вх /х/ ^2
(4 ™>
где Upqx — напряжение между точками р w q при размыкании ветви pq\
^вх/л/ = ^ 2 к е7Ф2к — входное сопротивление по отношению к зажимам pq при короткозам­
кнутых зажимах тп (в схеме на рис. 4.2, а к зажимам тп присоединен источник ЭДС).
Разделив числитель и знаменатель правой части (4.74) на Zb x w = Z 2k и учтя, что
Upqx I ^ 2 к = ^2 к> где / 2к — ток короткозамкнутой ветви pq, получим
/ 2к
А>=-
(4.75)
£ 2 _ ее./(Ф2 -<Р2к )
1+ —
г 2к
Из уравнения (4.75) следует, что вектор тока / 2 скользит по дуге окружности, хордой
которой является ток / 2к.
Построим круговую диаграмму тока /, на входе четырехполюсника. Из предыдущего
(см. формулу (2.25)) известно, что при изменении сопротивления в одной из ветвей ли­
нейной электрической цепи два тока в любых двух ветвях этой цепи связаны соотноше­
нием 1т - а + Ы„. Следовательно, ток /, может быть линейно выражен через ток / 2 :
/| = а + b / 2.
Определим коэффициенты а и Ь. Если ветвь pq разомкнута, то
этом из(4.76) найдем
Поэтому
(4.76)
/2
=0 и /, = / 1х. При
< /= /2х. Если ветвь pq короткозамкнутая, то / 2= /->к
и
/, = / , к.
/ „ - / „ + * /а,-
И .77)
= — ^ - '-V
(4.78)
Отсюда
6
^2 к
Подставив (4.77) и (4.78) в (4.76), получим
/ ,= / , „ + -------' j i Z b * -------
{4.79)
1 + _ £ 2 _ е 7(Ф2-Ф2к>
Г 2к
Уравнение (4.79) свидетельствует о том, что геометрическим местом концов вектора
юка /, также является дуга окружности. Хордой ее является разность / 1к - / 1х; вектор
/,х смещает начало отсчета.
Аналогичным образом строят круговую диаграмму напряжения. Так, если в какой-то
схеме изменяется по модулю сопротивление z«> = z 2 е /ф 2 в одной, например второй,
исгви, то для напряжения на участке ab этой схемы можно записать выражение, анало­
164
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками.
гичное (4.79):
Оаь = и аН +
и °»* - U
1+ _±2_е./(ф2-Ф2к)
,
(4.80)
?2к
где Uabx — напряжение на зажимах ab при z 2 = оо; 0 af)K — напряжение на зажимах ab
при z 2 = 0; Z-,K - г 2 к е-/ф2к — выходное сопротивление схемы относительно зажимов, к
которым присоединено сопротивление Z2.
Формула (4.80) выведена на основании выражения Uah = я, +£, / 2 и (4.74).
П ример 55. Построить круговую диаграмму тока 1Х схемы (рис. 4.24, а ), в которой
^ = 5 Ом; /? = 5 0 м ; £ = 100 В. Нагрузкой четырехполюсника является индуктивное
сопротивление X і , которое может изменяться от 0 до со.
Четырехполюсник
Рис. 4.24
Р е ш е н и е . Найдем ток холостого хода при разомкнутой выходной ветви:
/ 1х = E ! ( R - j Х ( ) = 100/(5 —у 5) = 14.15е/45° А.
Определим ток короткого замыкания при коротком замыкании нагрузки:
/ ,к = ------------ Е ------
= 12.82е'7 г а ' А.
R - j X c
Рассчитаем входное сопротивление Z2k
кании зажимов тп:
z 2„ = ~2 к
=-JX
(.
♦
со
стороны зажимов pq при коротком замы­
К- J Лс
=К
С -'™
Ом.
Следовательно, ф 2 к = - 7 Р 2 0 \ Угол
= ф 2 - ф 2к = 9 0 °-(-7 1 °2 0 ') = 161°20\
Круговая диаграмма тока /, построена на рис. 4.24, б. Хордой окружности является
разность / )к - / 1х. Угол у > 0, поэтому для определения положения касательной он отло­
жен от продолжения хорды против часовой стрелки. Диаграмма носит несколько необыч­
ный характер: рабочая часть дуги занимает почти целую окружность.
Для определения положения конца вектора /, из конца вектора / 1х через точку на
линии X / , соответствующую заданному значению Л '/, проводят прямую до пересече­
ния с рабочей частью дуги окружности. При X L = 5 Ом ток /j опережает ЭДС Е на 90°.
I
Вопросы для самопроверки
165
§ 4.25. Л инейны е ди аграм м ы . Под линейными диаграммами понимают диаграммы,
в которых геометрическим местом концов вектора тока (напряжения) является прямая
линия. По существу, линейная диаграмма является частным случаем круговой, поскольку
прямая есть дуга окружности с бесконечно большим радиусом.
П рим ер 56. Построить геометрическое место концов вектора тока в схеме на
рис. 4.25, а при изменении Х с . Напряжение Uah = const, /?, и X L неизменны.
Р е ш е н и е. На рис. 4.25, б изображаем вектор Uah. Вектор тока /, отстает от него
Рис. 4.25
на угол ф = arctg X L / /?,.
Ток / 2 опережает Uah на 90°. Геометрическим местом концов вектора тока
/ = /, + / 2 будет прямая линия pq. Она и является линейной диаграммой тока /.
Вопросы для самопроверки
I.
Запишите шесть форм записи уравнений четырехполюсника, покажите для них по­
ложительные направления отсчета токов и напряжений и поясните, в каких случаях каж­
дая форма записи имеет преимущества перед остальными. 2. Какие четырехполюсники
называют взаимными, невзаимными, симметричными и несимметричными? 3. Как опыт­
ным путем определить коэффициенты А-, Z-, Х-, //-, G-, #-форм записи? 4. Каким обра­
зом, зная коэффициенты одной формы записи, определить коэффициенты другой формы?
5. Прокомментируйте схемы замещения пассивных четырехполюсников. 6 . Какое соеди­
нение четырехполюсников называют регулярным? 7. Что понимают под Zcl и Z c2 несим­
метричного четырехполюсника и как их определить через коэффициенты А , В, С, D и
через входные сопротивления? 8 . Что понимают под повторным сопротивлением четырех­
полюсника? 9. Запишите уравнения для симметричного четырехполюсника через гипер­
болические функции. 10. Запишите уравнения для несимметричного четырехполюсника
через гиперболические функции. 11. Что понимают под постоянной передачи симметрич­
ного и под мерой передачи несимметричного четырехполюсников? 12. В каких единицах
измеряют затухание? Как эти единицы связаны между собой? 13. Охарактеризуйте свой­
ства конвертора, инвертора и гиратора. 14. Дайте характеристику операционному усилиіслю как элементу электрической цепи. 15. Каким расчетным схемным эквивалентом
может быть замещен ОУ? 16. Охарактеризуйте свойства управляемых источников напря­
жения и тока. 17. Покажите, что схема на рис. 4.12 может выполнять функции гиратора.
18. Поясните, почему схема на рис. 4.14 может выполнять функции ИНУТ, схема на
рис. 4.15, а — функции ИНУТ, схема на рис. 4 .1 5 ,6 — функции ИТУН, а схема на
рис. 4.15, в — функции конвертора отрицательного сопротивления. 19. В схеме на
рис. 4.11 Z 2 = Z 4 = Z 5 = R. Какими следует взять Zj = Z3, чтобы входное сопротивление
схемы Z AH было отрицательным, чисто резистивным и пропорциональным I / со2? 20. Ка­
ким следует взять сопротивление Z 2 = Z 4 в схеме на рис. 4.11 (Z, = Z3 = Z5 = R), чтобы
ичодное сопротивление схемы
было отрицательным, чисто резистивным и пропор­
166
Гл. 4. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источниками.
циональным со2 ? 21. Какой четырехполюсник называют активным автономным и какой
активным неавтономным? 22. Запишите систему уравнений многополюсника в У-форме и
поясните, как определить его Ykk- и Ypr- параметры. 23. Дайте определения активного
автономного и активного неавтономного многополюсника. 24. Запишите уравнение дуги
окружности в векторной форме и поясните его. 25. Сформулируйте условия, при которых
можно строить круговую диаграмму. В чем преимущества исследований цепей с помощью
круговых диаграмм? 26. Поясните последовательность построения круговой диаграммы
двухполюсника и четырехполюсника. 27. Как определить рабочую часть дуги окружнос­
ти? 28. Как определить масштаб на линии переменного сопротивления? 29. При каком
условии круговая диаграмма переходит в линейную? 30. Решите задачи 6.4; 6.9; 6.13; 6.23;
6.35; 6.38.
Глава пятая
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
§ 5.1. Назначение и типы фильтров. Под электрическими фильт­
рами понимают четырехполюсники, включаемые между источником
питания и приемником (нагрузкой), назначение которых состоит в том,
чтобы беспрепятственно (без затухания) пропускать к приемнику токи
одних частот и задерживать или пропускать, но с большим затуханием,
токи других частот.
Диапазон частот, пропускаемых фильтром без затухания, называют
полосой прозрачности; диапазон частот, пропускаемых с затуханием, —
полосой затухания.
Электрические фильтры собирают обычно из индуктивных катушек
и конденсаторов. Исключение составляют #С-фильтры (см. § 5.6-5.9).
Фильтры используют главным образом в радиотехнике и технике связи,
где применяют токи довольно высоких частот.
При высоких частотах индуктивные сопротивления со L индуктивных
катушек во много раз больше их активных сопротивлений. Поэтому
будем полагать, что активные сопротивления индуктивных катушек и
активная проводимость конденсаторов равны нулю, т. е. что фильтры
составлены только из идеальных реактивных элементов.
Фильтры обычно собирают по симметричной Т- или П-схеме
(рис. 4.4, а, б), т. е. при Z 2 = Zj и Z6 = Z5.
При изучении фильтров будем пользоваться понятием коэффициента
затухания и коэффициента фазы (см. § 4.10).
Условимся сопротивление Z, в схеме (см. рис. 4.4, а) и сопротив­
ление Z 4 в схеме (см. рис. 4.4, б) называть продольными, а сопро­
тивление Z 3 в схеме (см. рис. 4.4, а) и сопротивление Z 5 в схеме
(рис. 4.4, б) — поперечными.
Фильтры, в которых произведение продольного сопротивления на
соответствующее поперечное сопротивление представляет собой некото­
рое постоянное для данного фильтра число (число А), не зависящее от
частоты, принято называть к-фильтрами.
Сопротивление нагрузки ZH, присоединяемой на выходе фильтра,
должно быть согласовано с характеристическим сопротивлением фильт­
ра Zc (ZH= Z C). Входное сопротивление ^-фильтра при этом также
равно Zc. В Л-фильтрах Zc существенно изменяется в зависимости от
частоты со, находящейся в полосе прозрачности. Это обстоятельство
вызывает необходимость изменять сопротивление нагрузки в функции
частоты (особенно при приближении к границе полосы прозрачности),
что нежелательно. В /w-фильтрах при определенных значениях коэффи­
циента т сопротивление Zc мало изменяется от частоты (в пределах
Гл. 5. Электрические фильтры
168
полосы прозрачности), поэтому нагрузка практически может быть одна
и та же по модулю для различных со, находящихся в этих пределах.
Качество фильтра тем выше, чем более резко выражены его фильтрую­
щие свойства, т. е. чем более резко возрастает затухание в полосе
затухания.
Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены возникно­
вением в них резонансных режимов — резонансов токов или резонан­
сов напряжений.
§ 5.2. О сновы теории /г-фильтров. Из § 4.10 известно, что если на­
грузка ZH согласована с характеристическим сопротивлением Zc четы­
рехполюсника, то напряжение 0 2 и ток в нагрузке / 2 связаны с напря­
жением L/j и током /j на входе четырехполюсника следующими соот­
ношениями:
t / 2 = t / | e - 8,
/ 2 = / , e - g,
где g = \n(A + j B C ) = a + j b .
Тогда
0 2 = (/, е"“ е - ' \
/ 2 = / , е 'а е*уА.
Множитель е~а определяет, во сколько раз модуль напряжения (тока)
на выходе фильтра меньше модуля напряжения (тока) на его входе.
Если а - 0, то е~" = е° = 1 и фильтр пропускает колебания без зату­
хания. Таким образом, в полосе прозрачности а - 0.
В полосе затухания я > 0 . Множитель е_//\ по модулю равный 1,
свидетельствует о том, что напряжение U 2 и ток h отстают соответ­
ственно от (У, и /, на угол Ь.
Фильтрующие свойства четырехполюсника рассмотрим, сравнивая
выражения для коэффициента А четырехполюсника с равным ему выра­
жением гиперболического косинуса от аргумента а + j Ь:
А = ch (а + j b).
Гиперболический косинус от суммы двух аргументов (с учетом того,
что ch j b = cos 6 и sh j b - j sin b ) можно представить следующим обра­
зом:
ch (а + j b) = ch a cos b + j sh a sin b.
Для любого фильтра, собранного по Т-схеме (см. § 4.5),
^ = 1+ ( Z ,/Z 3).
Для фильтра, собранного по П-схеме (см. § 4.5), А = 1ч- (Z 4 /Z 5). Из
каких бы реактивных сопротивлений ни был собран фильтр, отношения
Z, /Z 3 в Т-схеме и Z 4 / Z 5 в П-схеме всегда будут действительными (не
мнимыми и не комплексными) числами — отношение двух мнимых чи­
сел всегда есть число действительное. Следовательно, всегда будет дей-
§5.2. Основы теории к-фильтров
169
ствительным и коэффициент Л. Но если коэффициент Л действителен, то
действительным должно быть и выражение равного ему ch (а + j b ) :
ch(a + j 6 ) = c h a c o s 6 + j sh я sin& = A.
Это выражение действительно, если
sh я sin 6 = 0.
(5.1)
c\\acosb-A.
(5.2)
При этом
Уравнения (5.1) и (5.2) используют для определения границ полосы
прозрачности и характера изменения угла b в этой полосе, а также
характера изменения коэффициента затухания в полосе (полосах) зату­
хания.
Равенство (5.1) для полосы прозрачности (а = 0) удовлетворяется, так
как sh а = sh 0 = 0. В силу того что chO = 1, уравнение (5.2) для полосы
прозрачности переходит в следующее:
cos Ь = А.
(5.3)
Круговой косинус (cos b) может изменяться в пределах от + 1 до - 1.
Поэтому крайние значения коэффициента А (являющегося функцией ча­
стоты - / 1(0 )) в полосе прозрачности равны±1. Полосапрозрачности
в общемслучае лежит вдиапазоне частот отсо, до со2.Значения со, и
со2 для фильтров НЧ и ВЧ (подробнее см. § 5.3) определяют решением
уравнений
А (со) = ± 1.
(5.4)
Для полосовых и заграждающих фильтров (см. § 5.3) со, и со2 нахо­
дят как корни уравнения Л(со) = - 1.
Частоту, являющуюся граничной между полосой прозрачности и по­
лосой затухания, называют частотой среза.
Характер изменения угла b в функции со для полосы прозрачности
определяют в соответствии с уравнением (5.3) следующим образом:
Ь = arccos Л(со).
(5.5)
Определим а и Ь для полосы затухания. В полосе затухания а > 0.
Уравнение (5.1) удовлетворяется при условии
sin b = 0,
(5.6)
6=0
(5.7)
Ь = ±к.
(5.8)
і. е. при
и(или) при
Гл. 5. Электрические фильтры
170
Согласно уравнению (5.2), при Ь = 0
cha = Л(со).
(5.9)
ch а = - А ( со).
(5.10)
а при Ь = ± п
Уравнения (5.9) и (5.10) позволяют по значениям А как функции со
рассчитать ch o в полосе затухания, а по ch а определить а и, таким
образом, построить кривую а = /(со). Из уравнений (5.7) и (5.8) следу­
ет, что в полосе затухания напряжение 0 2 на выходе фильтра находится
либо в фазе (при 6 = 0 ), либо в противофазе (при Ь = ± я ) с напряжени­
ем (/, на входе фильтра.
В заключение необходимо отметить два важных положения:
1) с изменением частоты со меняются коэффициенты В и С четырех­
полюсника, поэтому изменяется и характеристическое сопротивление
Zc = УІВ/С. Для того чтобы фильтр работал на согласованную нагрузку
(только в этом случае справедлива изложенная теория фильтров), при
изменении частоты необходимо менять и сопротивление нагрузки;
2 ) в полосе прозрачности характеристическое сопротивление Ж-фильтров (§ 5.3) активное, а в полосе затухания — чисто реактивное (индук­
тивное или емкостное).
Если нагрузка фильтра не чисто активная или не согласована с харак­
теристическим сопротивлением фильтра и если требуется учесть
влияние активного сопротивления индуктивных катушек на работу
фильтра (что существенно для низких частот), то для построения зави­
симости U{/ U 2 = /(со) и зависимости сдвига фаз между (У, и U 2 в
функции частоты можно воспользоваться, например, методом пропорци­
ональных величин (см. пример 57). Характеристическое сопротивление
фильтра берут равным внутреннему сопротивлению источника сигнала
(генератора). При этом и генератор и фильтр работают в режиме согла­
сования.
§ 5.3. /Г-фильтры НЧ и ВЧ, полосно-пропускающие и полосно-заграж даю щ ие А-фильтры. Фильтрами НЧ (ФНЧ) называют фильтры,
пропускающие в нагрузку лишь низкие частоты: с coj = 0 до со2. Поло­
са их затухания находится в интервале от со2 до оо
Схемы двух ФНЧ приведены на рис. 5.1, а, б. Характер изменения
коэффициента затухания а и коэффициента фазы b качественно иллюст­
рируют кривые рис. 5.1, в.
Под фильтром В Ч (ФВЧ) понимают фильтры, пропускающие в нагруз­
ку лишь высокие частоты: с со, до оо Полоса затухания их находится в
интервале от 0 до со,.
Схемы двух ФВЧ приведены на рис. 5.2, а, б. Характер изменения
коэффициентов а и b для них иллюстрируют кривые рис. 5.2, в.
Рассмотрим вопрос об изменении модуля характеристического сопро­
тивления Zc в полосе прозрачности для Т-фильтра НЧ (см. рис. 5.1, а)
§ 5.3. К-фильтры Н Ч и ВЧ.
171
С
С
н ьнь
а
с
L
11- —
■ х т х ;
и
х
и
:
2сП
Zcп
\
Е м к.
I
\Г ез.
Инд. j
/
L
д
д
Рис. 5.1
Рис. 5.2
и для Т-фильтра ВЧ (см. рис. 5.2, а), а также для П-фильтров. С этой
целью в выражение Zc = уіВ/С подставим значения Я и С в соответствии
с формулами (4.35), (4.37) и проанализируем полученные выражения.
Для Т-фильтра НЧ (см. рис. 5.1, a) ZcT =
- w2 L2. График
ZeT = / ( о ) представлен нарис. 5.1, г.
’
При со = о), = 0 ZcT = yjl L / C. С увеличением частоты ZcT уменьша­
ется, сначала мало отличаясь от значения ^ 2 L / С . При достижении зна­
чения о = со2 = ^ 2 / L С Zc = 0.
/2с
\~o.5
Для П-фильтра НЧ (см. рис. 5.1, б) ZcI1 = ( -------со2 С 2 J . График
А’П = / (ш) дан на Рис- 5.1, д.
^ ^
'
172
Гл. 5. Электрические фильтры
2L
1
Для Т-фильтра ВЧ (см. рис. 5.2, a) ZcT= J ---- -— j . График
ЛС
со С
ZcT = /(со) дан на рис. 5.2, г.
В этом случае характер изменения ZcT отличен от характера измене­
ния ZcT для Т-фильтра НЧ, а именно ^сТ = 0 при со = со, = 1Д/2 L С .
С увеличением со сопротивление ZcT увеличивается и при СО—> ОО
ZcT= j 2 L / C .
(2 С
1 У 0’5
Для П-фильтра ВЧ (см. рис. 5.2, б) Zcn ~ ” 7
ТІЇ
. График
Zcn = Д 03) представлен на рис. 5 .2 , д.
'
со Z, J
Если фильтр предназначен для работы на частотах, находящихся внут­
ри полосы прозрачности данного фильтра и относительно далеко отсто­
ящих от значения со, при котором Zc = 0, то сопротивление нагрузки ZH
на выходе фильтров НЧ выбирают равным Zc, которое соответствует
со = со, =0. Для Т-фильтра НЧ (см. рис. 5.1, a) Zc = ^ 2 L / C .
Для фильтров ВЧ обычно нагрузку согласовывают со значением Zc
при со —>оо. Для Т-фильтра ВЧ (см. рис. 5.2, а) Z cT = ^J2L/C. В полосе
(полосах) затухания Zc оказывается чисто реактивным для всех типов
А-фильтров.
Для того чтобы выяснить, индуктивный или емкостный характер име­
ет Zc в полосе затухания, следует определить характер входного сопро­
тивления этого фильтра (фильтр всегда работает в режиме согласован­
ной нагрузки) для предельного режима, а именно для фильтров НЧ
(см. рис. 5.1, а, б) при очень высокой частоте, а для фильтров ВЧ
(см. рис. 5.2, а, б) при очень низкой частоте (теоретически при со -» 0),
считая выходные зажимы схем закороченными. Тот же результат будет
получен, если считать их разомкнутыми. В результате определим, что в
зоне затухания Zc имеет индуктивный характер для Т-фильтра НЧ (см.
рис. 5.1, а) и П-фильтра ВЧ (см. рис. 5.2, б) и емкостный характер для
П-фильтра НЧ (см. рис. 5.1, б) и Т-фильтра ВЧ (см. рис. 5.2, а).
Попосно-пропускающие фильтры представляют собой фильтры, про­
пускающие в нагрузку лишь узкую полосу частот от со, до со2. Слева от
со, и справа от со2 находятся полосы затухания. Схема простейшего полосно-пропускающего А-фильтра изображена на рис. 5.3, а. Параметры
схемы должны удовлетворять условию L, С, = L2 С2.
Характер изменения а и b для полосно-пропускающего фильтра ил­
люстрируют кривые рис. 5.3, б.
Без вывода дадим формулы для определения параметров фильтра
рис. 5.3, а по заданным частотам / и / 2 и сопротивлению нагрузки
фильтра Zc при резонансной частоте / р = сор / 2 я :
о /р = V7T7T;
4) с
‘
2) с, =
-£--А — ; з)л,=
2 n f , f 2 Zc '
= -------- !-------- ;
я Zc ( / , - / , )
Z,
2п (/2- / , ) ’
5) L2 = Zc С / 2 - / і \
4 л /| / 2
§ 5.3. К-фильтры НЧ и ВЧ..
С,
С,
Ч1-НІС2 !
173
с,
с,
чн чн
h
Сг
Рис. 5.4
Под полосно-заграждающими фильтрами (рис. 5.4, а) понимают
фильтры, в которых полоса прозрачности как бы разрезана на две части
полосой затухания (рис. 5.4, б). Слева от со, и справа от ш2 находятся
две части полосы прозрачности.
В схеме простейшего заграждающего фильтра на рис. 5.4, а
L\ C j = L 2 C j -
Обозначим cop = 1 1^ L x C,, k - Lx! L2 и запишем формулы для определения
7.с фильтров (см. рис. 5.3, ау 5.4, а).
Для рис. 5.3, а
и
174
Гл. 5. Электрические фильтры
Для фильтра рис. 5.3, а в области частот от 0 до
в области частот от со2 до оо — индуктивный. Для
от со, до (Op Zc имеет индуктивный характер, а в
Характер изменения Zc иллюстрируют кривые
cot Zc имеет емкостный характер, а
фильтра рис. 5.4, а в области частот
области от юр до со2 — емкостный.
на рис. 5.3, в и 5.4, в.
П рим ер 57. В схеме рис. 5.5, а £ = 10мГн; С = 10мкФ. Определить Ь = /(со ) и
а —f (со) в полосе затухания. Построить векторную диаграмму при со = 2000 р а д /с и токе
/ 2 = 0,2 А при согласованной нагрузке. Вывести формулу расчета фильтра (рис. 5.5, а) при
работе его в несогласованном режиме.
Р е ш е н и е . Частота среза со2 =
= 4470рад/с. В полосе пропускания а - 0,
b = arccos А - arccos(l - со2 L С). При со = 2000 рад/ с, b - 53° 15\ со L - 20, ----- = 50 Ом,
со С
-co~Z, = 4 0 0 м .
Векторная диаграмма изображена на рис. 5.5, б:
■ W -
=h
В, (У. - 0 2 е" еу Л - U 2 е / 5 3 ° 15 В. В полосе затухания при согласованной
нагрузке a - Arch(oT L С -1 ). Если ZH будет не согласована с Zc, то расчет фильтра в
полосе пропускания и в полосе затухания можно проводить, используя соотношения
U f = U C + / , j сз L ,
Uc = { /,+ ^ 1 j a L ,
^Н
;
Л
;
= / 2
;
^
^
У^ £
___ L__
j со (
л
— і— U 2'
+ /с = ~ +— Г ~ +
7
____ -___
j со С
(У, = m U 2 ,
где
,
2 /со /,
у со Z-
( / со Z, ) 2
у со С
у со С
rr I + —-----+ -£—— + —----г—•
Если взять со = 2 со2 = 8940 рад/с (работа в полосе затухания) и ZH = 40 Ом (вместо
у 77,5 Ом, исходя из условия согласованности), то т - 13,37 t J 1 ,2 ° 50 , т. е. затухание
будет 1п(£/, I U 2)~ In 13,37 = 2,59 Нп (вместо 2,53 при согласованной нагрузке).
Аналогичные формулы для несогласованного режима можно вывести для любого дру­
гого фильтра.
П ример 58. Определить параметры полосового фильтра рис. 5.3, а, исходя из того,
что он должен пропускать полосу частот от / , = 750 Гц до / 2 = 850 Гц и что при резо­
нансной частоте / р сопротивление нагрузки ZH = Zc = 1130 Ом.
§ 5.5. Основы теории т-фильтров. Каскадное включение фильтров
175
Ре ше ни е .
О / р = V/i
/2
= л/750-850 = 798 Гц;
„
8 5 0 -7 5 0
^
2) С. = ------------------------- = 0,022 мкФ;
1
2 я - 750-850-1130
3) £,=----- — ----- = 1,8 Гн;
1
4
2 я (850-750)
) с 2 = ------- ---------= 2,825 мкФ;
2 7Г 1130-100
5)
і
2
1130-100
ЛА1„ |Г .
------------------- = 0,0141 Гн.
4я-750-850
§ 5.4. Качественное определение А-фильтра. По схеме ^-фильтра без
проведения подробного математического анализа можно судить о том, к
какому из перечисленных типов может быть отнесен тот или иной фильтр.
Заключение основывается на характере продольного сопротивления фильтра.
Характер продольного сопротивления /:-фильтра, как правило, прямо
противоположен характеру поперечного сопротивления. В этом можно
убедиться, рассмотрев схемы на рис. 5.1, а, 5.2, а и 5.3, а. Действитель­
но, если продольное сопротивление индуктивное, то поперечное — ем­
костное. Если продольное сопротивление образовано последовательно
соединенными L и С, то поперечное — параллельно соединенными L и
С и т. д. Если продольное сопротивление состоит только из индуктивно­
стей, то фильтр относится к категории НЧ; если продольное сопротив­
ление чисто емкостное, то фильтр — ВЧ.
Если продольное сопротивление состоит из последовательно
соединенных L и С, то фильтр полосового типа. Если продольное сопро­
тивление состоит из параллельно соединенных L и С, то фильтр — за­
граждающего типа.
§ 5.5. О сновы теории m -фильтров. Каскадное вклю чение ф ильтров. Для увеличе­
ния крутизны характеристики а - /(со) в начале полосы затухания, получения заданного
значения затухания при определенной частоте (частотах) и меньшей зависимости Zc от
час готы в полосе прозрачности применяют полузвенья w-фильтров, каскадно включаемые
с А-фильтрами.
На рис. 5.6 в качестве примера изображены две возможные схемы каскадного вклю­
чения “]-полузвена w- и ^-фильтров. На практике обычно применяют также схемы, в кото­
рых Л-фильтр находится между двумя полузвеньями т-фильтра.
1 -полузвено
т-фильтра
П-фильтр
murta к
Г -полузвено
т-фильтра
а
Рис. 5.6
Т-фильтр
типа к
176
Гл. 5. Электрические фильтры
Входное сопротивление фильтра Zcl берут равным сопротивлению источника
сигнала (источника питания) ZM. Схемы, приведенные на рис. 5.6, применяют, когда
сопротивление нагрузки на выходе фильтра ZH не может быть взято равным Z H. Схему
на рис. 5.8, о и ей подобные используют, когда ZH = Zcl = Z H.
Рассмотрим свойства полузвеньев /«-фильтров и каскадных соединений их с Л-фильтрами. На рис. 5.6, а “ (-полузвено m-фильтра, состоящее из сопротивлений Z 7 и Z8, кас­
кадно соединено с Г1-фильтром типа к (сопротивления Z4, Z5, Z5 ). На рис. 5.6, б
|” -полузвено m-фильтра из сопротивлений Z 9 и Z l0, каскадно соединено с Т-фильтром
типа к (сопротивления Z,, Z,, Z3 ). Сопротивления Z 7 и Z 8 зависят от Z 4 и Z5, а
сопротивления Z 9 и Z 10 — от Z, и Z3. Поэтому говорят, что прототипами “|- или
-полузвеньев m-фильтров являются каскадно соединенные с ними /:-фильтры.
При каскадном соединении фильтров друг с другом всегда соблюдают принцип согла­
сованности. Входное сопротивление /с-фильтра должно быть равно сопротивлению нагрузки
на выходе этого фильтра: Z c 2 - z ; . Для левого полузвена m-фильтра Z c 2 является сопро­
тивлением нагрузки. Несимметричный четырехполюсник, каким является полузвено
m-фильтра, описывается двумя характеристическими сопротивлениями Zcl и Zc2. Сопро­
тивление Zcl в w-фильтре рис. 5.6, а определяется как входное сопротивление схемы
рис. 5.7, а , в которой нагрузкой является Z c2 (входное сопротивление Аг-фильтра). Сопро­
тивление Z c2 для полузвена т-ф ильтра представляет собой входное сопротивление
схемы рис. 5.7, б, в которой нагрузкой является Zcl.
Коэффициенты А , #, С, D “|-полузвена m-фильтра рис. 5.6, а вычислим по формулам
§ 4 .5 , полагая в них Z, = Z 7. Z 2 =0, Z 3 = Z 8. В результате получим А - 1+ (Z 7 /Z 8 ),
# = Z7, С = 1/Zg, D = I.
Подставим найденные значения А, В, С, D в формулы для Zc, и Zc2.
ZC,= V Z 7 Z8 (I + Z 7 / Z 8);
z
=
c2
c2
I Z’ ,ZZ8
(5.11)
,
(5.12)
,V+
l , ' Z7j,// Zo
Входное сопротивление второго каскада схемы на рис. 5.6, а
Zc, = /—
с- у 1+ Z 4 / Z 5
(5. 13)
Сопротивление Z 8 в "]-пол уз вене m-фильтра (см. рис. 5.6, я) берут равным Z 5 /m.
где числовой коэффициент m находится в интервале от 0 до 1. Подставляя в (5.12) Z 5 / т
вместо Z 8 и приравнивая подкоренные выражения формул (5.12) и (5.13), получим урав­
нение для определения Z 7 :
z, - 1
___
m
z
5
1
2
+z 4 /z 5
z7
«
z
2
*
5i _m2
Последнее выражение свидетельствует о том, что сопротивление Z 7 образовано дву­
мя параллельно соединенными сопротивлениями Z 4 — и Z 5 —
2
1- т‘
(рис. 5.7, в). Так как
Z 7 образовано параллельно соединенными сопротивлениями, которые являются зависи­
мыми (производными) or сопротивлений Z 4 и Z 5 ^-фильтра, m-фильтр (см. рис. 5.6, а)
называют фильтром параллельно-производного типа.
Заменим в схеме на рис. 5.6, а сопротивление Z*H - Z c2 на второе полузвено т-ф и л ь­
тра, на входе которого включим согласованную нагрузку ZH = Zcl (рис. 5.8, а). Если пер­
вое полузвено m-фильтра схемы на рис. 5.6, а представляло собой “]-полузвено, состоя­
щее из сопротивлений Z 7 и Z8, то второе полузвено m-фильтра должно представлять
собой Г-полузвено, состоящее из тех же сопротивлений Z 7 и Z8, но как бы переверну­
тых относительно вертикальной прямой. Для второго полузвена m-фильтра входное сопро-
§5.5. Основы теории т-фильтров. Каскадное включение фильтров
177
---- о с
1
bo­
- т~
rn
-о d
Рис. 5.7
тивление слева равно Zc2, а входное сопротивление справа (со стороны нагрузки ZH ) —
Zcl. Практически Zcl для фильтра НЧ берут равным его значению при о )-> 0, а для
фильтра ВЧ — его значению при со -> оо. Для m-фильтра (см. рис. 5.6, а) в обоих случаях
z c| = J T n c . где L и С — индуктивность и емкость /:-фильтра, являющегося прототи­
пом m-фильтра. Для фильтра НЧ — это значения і и С в схеме на рис. 5.1, о, а для филь­
тра ВЧ — в схеме на рис. 5.2, б.
Границы полосы прозрачности у m-фильтра определяют так же, как и у /г-фильтра,
т. е. полагая Д о ) = ± 1 для фильтров НЧ и ВЧ. В полосе затухания для т-ф ильтра
ch а - ±Л(со).
Знак минус относится к полосе частот от с>р до сос, знак плюс — к полосе частот от
Юр до со для фильтров НЧ и к полосе частот от сор до 0 для фильтра ВЧ (объясняется
это тем, что сопротивление Z 7 изменяет знак при резонансной частоте шр ). Границы
полосы прозрачности по частоте для А’-фильтра и діїя каскадно и согласованно с ним со­
единенного m-фильтра совпадают. Результирующее затухание всего фильтра а равно сум­
ме затуханий т(а,„)- и k{ak )-фильтров:
-ак.
---------- , г -
- o
Z7
z4
И z* zM
1 -полузвено
m-филыпра
К-фильтр
z
7
I Z H- z c
П Z$
Г -полузвено
т-фильтра
0 )р
0)
Рис. 5.8
178
Гл. 5. Электрические фильтры
Характер зависимости ат = /(со) для m-фильтров НЧ и ВЧ показан на рис. 5.8, б, я,
где сос — частота среза (граничная частота полосы прозрачности). На рис. 5.8, б
т „
сор — резонансная частота, при которой противоположного характера сопротивления ~ ^ 4
и -------- Z 5 в схеме на рис. 5.7, в вступают в резонанс, так что Z 7 = <ю (при частоте « р )
1- т
при этом бесконечно велико затухание m-фильтра. В области частот от сос до сор затуха­
ние ат резко возрастает, что существенно, так как получается большое затухание в нача­
ле полосы затухания, где ак мало. Уменьшение ат при со > сор компенсируется ростом
ак . Напряжение на входных зажимах фильтра опережает напряжение на нагрузке на угол
b = Ьт + Ьк , где Ьт — угол сдвига фаз от m-фильтра, а Ьк — угол сдвига фаз от А-фильтра. Зависимость Ьк = / ( со) рассмотрена в § 5.3. Зависимость Ьт = /(со ) показана на
рис. 5.8, г для фильтра НЧ и на рис. 5.8, д — для фильтра ВЧ. Зависимость Zc, = /(со/сос )
для фильтра НЧ показана на рис. 5.9, б при трех значениях т. При т * 0,5 *0,6 сопро­
тивление Zc, остается приблизительно постоянным почти по всей полосе прозрачности,
резко уменьшается только вблизи частоты среза.
Рассмотрим свойства р-полузвена m-фильтра на рис. 5.9, а, являющегося составной
частью фильтра на рис. 5.6, б. Опуская промежуточные выкладки, запишем окончатель­
ные выражения для Zc, и Zc 2 этого фильтра:
97
2 c I = / f / z~ z ~ ;
z‘2=
9
( i + z / z , 0 ).
Входное сопротивление А-фильтра (см. рис. 5.6, о)
Z c2 = л/Zi Z 3 (2 + Zj / Z 3).
-
(“-полузвено m-фильтра на рис. 5.9, а называют последовательно-производным, так как
его сопротивление Zjo состоит из двух последовательно соединенных сопротивлений
2
1- т “
— z 3 и Z j, являющихся производными от сопротивлений Z, и Z 3 А-фильтра.
т
т
Рис. 5.9
Сопротивления Zj и Z 3 имеют противоположный характер (одно — индуктивный, дру­
гое — емкостный), поэтому при некоторой частоте сопротивление Z l0 = 0 (резонанс на­
пряжений). Для полосы прозрачности зависимость Zc, = /(со/сос ) для фильтра НЧ (от
сос / со для фильтра ВЧ) при трех значениях т показана на рис. 5.8, е. При т * (0,5 + 0,6)
Zc1 относительно мало изменяется в полосе прозрачности, что важно для практики. За­
висимости ат - /(со ) и Ь„, = /(со) для m-фильтра на рис. 5.6, б такие же, как и для соот­
ветствующего ему m-фильтра на рис. 5.6, а. Обобщенно можно сказать, что теоретически
бесконечно большое затухание в m-фильтре на частоте <ор создается либо за счет того,
что на этой частоте в последовательной ветви полузвена m-фильтра оказывается участок
с бесконечно большим сопротивлением (возникает резонанс токов), либо за счет того, что
параллельная ветвь m-фильтра образует короткое замыкание при возникновении в ней
§ 5.6. RC-фильтры
179
режима резонанса напряжений. При каскадном соединении нескольких /и-фильтров
значения L, С выбирают различными, чтобы создавать большие затухания на нескольких
заданных частотах (сор1, сор2 и т. п.). При этом зависимость а = /(со), например, для
фильтра НЧ имеет вид гребенки (рис. 5.9, в). Фильтр с такой характеристикой иногда на­
зывают гребенчатым.
Г -полузвено
К-фильтр
т-фильтра
т-фильтра
Л-полузвено
а
Г -полузвено
т-фильтра
К-фильтр
1 -полузвено
т-фильтра
б
Рис. 5.10
На рис. 5.10, а показана схема последовательно-производного полосно-пропускаюшего
фильтра. Параметры ее соответствуют соотношениям, указанным на рис. 5.9, а\
q = (] - т 2)1т. Продольные элементы т і и і могут быть заменены одним [т + 1)L, а
элементы С / т и С — на С /(/и + 1). На рис. 5.10, б представлена схема последовательно-производного полосно-заграждаюшего фильтра (q имеет тот же смысл). В обоих схе­
мах сопротивление нагрузки берут равным Zcl, но для фильтра на рис. 5.10, а при о = сор,
а для фильтра на рис. 5.10, б при о -> 0.
§ 5.6. /?С-фильтры. Если сопротивление нагрузки, на которую включен фильтр, очень
велико, т. е. теоретически стремится к бесконечности (например, входное сопротивле­
ние лампового усилителя или входное сопротивление полевого транзистора), то часто ис­
пользуют ЯС-фильтры. На рис. 5.11, a- в изображены схемы НЧ, ВЧ и полосно-пропускающего /?С-фильтров, а на рис. 5.11, г -е — соответствующие им зависимости
а = In U XI U 2 - / ( « ) . Для НЧ-фильтра на рис. 5.11, a a = l n |l + j<&RC\, для ВЧ-фильтра
на рис. 5.11, б а = In 11- j /{о RC) | . Для всех ^С-фильтров в рабочей зоне а * 0. Рабочая
юна НЧ-фильтра, при которой я = ЗдБ, простирается от (о = 0 до о> = с)с = 1//?С (при­
нято условно). Для ВЧ-фильтра рабочая зона находится в диапазоне от о = шс = 1/ RC, ког­
да а = 3 дБ, до оз = оо, когда я -> 0. В по/юсно-пропускающем фильтре минимальное
180
Гл. 5. Электрические фильтры
§ 5.7. А ктивны е /?С -ф ильтры . Обычные А- и w-фильтры формируют из конденсато­
ров и индуктивных катушек. Но индуктивные катушки — элементы громоздкие и их нельзя
изготовить методами интегральной технологии. Кроме того, при очень низких (инфранизких) частотах, применяемых, например, в гидролокации и акустике, очень трудно изгото­
вить индуктивные катушки с высокой добротностью. Требования миниатюризации аппа­
ратуры вызвали интерес к активным /?С-фильтрам. Они представляют собой фильтры,
состоящие из элементов R и С и активных элементов (ОУ или транзисторов); индуктивные
элементы в них не входят. Известны два направления реализации активных /?С-фильтров.
Первое основано на применении схемы с активными элементами с обратными связями,
второе — на использовании обычных схем А- и w-фильтров, в которых индуктивные эле­
менты заменены на имитированные (позволяющие осуществить их в миниатюрном испол­
нении).
Рассмотрим основы построения активных ЯС-фильтров с обратными связями. На
рис. 5.12, сг изображена одна из схем низкочастотного активного /?С-фильтра. Она состоит
из двух конденсаторов, четырех резисторов и ОУ, использованного в инвертирующем вклю­
чении.
Рис. 5.12
Сопротивление нагрузки, включаемой на выходе активных /?С-фильтров, обычно во
много раз больше малого выходного сопротивления самого фильтра, поэтому можно счи­
тать, что фильтры работают в условиях, близких к холостому ходу. Исходя из этого, ана-
§5.7. Активные RC-фильтры
181
лиз схемы на рис. 5.12, а проведем для режима холостого хода. Обозначим токи в ветвях
(/, - / 5, / вх) и узлах (1-5) в соответствии с рис. 5.12, а и выведем формулу для затухания
фильтра.
При выводе учтем, что / 5 * 0 , поэтому ф2 «ф! * 0 . Ток / j = j со2 С ф 3; потенциал
Ф4 = - / j R2 = - j соС 2 R2 Фз- Ток / 2 = (ф 3 - ф 4 )/Я 3 =
= ф3 (1 + у'со / ? 2 С 2 )/Д 3. Ток
/3
= ф 4 у со Cj =: ф 3 С| С 2 R2 со .
Входной ток фильтра
Кх ~ h ~ K ~
^2 ~ “ ФзС г
^2
(о2 + у о )С 2
+ (1
+ >/, о)С 2 R2)/ /?3).
Входное напряжение
ф5 = ф4 + /„ Я, = -Фз
С, С, л, R2 со2 + j со^Д, + Нг )С2 +
^
Затухание фильтра в децибелах
«дБ
=
Ф5 : 2 0 lg
Фз
2 0
с, С, Я, Я2 со2 j +>«/(*, + R2)C2 + Д М г
Если принять /?| = R2 = /?з = /? и обозначить со0 = \ / R у]С\ С2 , то зависимость
л = / (со) (выраженная в долях от со0 ) может быть проиллюстрирована кривыми на
рис. 5.12, б при С ,/С 2 =1:9;36. Отношение С ,/С 2 определяет вид затухания в полосе
частот от 0 до со0. За счет ОУ при некоторых С, /С 2 затухание может быть отрицатель­
ным (вместо затухания имеет место усиление). На рис. 5.13, а приведена схема высокоча­
стотного активного ЯС-фильтра, образованная из схемы (см. рис. 5.12, а) перестановкой
конденсаторов и резисторов. Резисторы R4 в схеме на рис. 5.12, а и R4 в схеме на
рис. 5.13, а выполняют функции сопротивлений, регулирующих работу ОУ, поэтому при
упомянутой замене их не следует принимать во внимание. Для этой схемы (выкладки опус­
каем) затухание фильтра в децибелах
“дБ = 2 0
lg
1
R] R, С, С, от
С, С2 R2 со
С
со0 =
1
^ R l R2 С. 2с 3
Зависимости а = /(со) для схемы на рис. 5.13, а можно качественно получить из кри­
вых а - f (со) для схемы на рис. 5.12, а, если последние зеркально отразить относитель­
но вертикальной оси, проведенной через со0. Схема полосно-пропускающего активного
ЯС-фильтра изображена на рис. 5.13. б. Затухание этого фильтра в децибелах
■( п ґ "
R] + R->
*лБ=201& “а i l l 1+ 7СГі ^\+А
R 2 C 2 U ------—
С.
Сз
Рис. 5.13
R2 Ry С| со
182
Гл. 5. Электрические фильтры
При этом
имеет место при частоте со0.
Отношение выходного напряжения четырехполюсника к входному как функция час­
тоты со называют передаточной функцией четырехполюсника. Для схемы рис. 5.12, а
л: = ф3/ф5.
Схема полосно-заграждающего фильтра изображена на рис. 5.13, в.
Второе направление реализации активных /?С-фильтров основано на замене обычных
индуктивных элементов в к- или /и-фильтрах на имитированные. При замене учитывают,
является ли или может ли быть заземленным один из концов имитируемого индуктивного
элемента. Если один из концов заземлен, то выбирают одну схему имитации, если нет,
то другую. Так, в схеме фильтра ВЧ (см. рис. 5.2, а) нижний зажим индуктивного элемен­
та соединен с землей, т. е. элемент I является заземленным. В схеме фильтра НЧ (см.
рис. 5.1, б) ни один из зажимов L не заземлен (т. е. L не заземлена). Поэтому индуктивные
элементы в схемах на рис. 5.2, а , 5.1, 6 должны быть имитированы различно (см. Прило­
жение П2).
§ 5.8. Передаточные функции активных /?С-фильтров в нормированном виде.
Будем различать обычную частоту со и нормированную сон, выраженную в долях от
частоты среза сос для НЧ-фильтра (рис. 5.14, а) и в долях от центральной частоты поло­
а
а
о
С0с
(0,1 С0А,
СО,
С0Л2 <0,2
б
а
Рис. 5.14
сы пропускания сог (рис. 5.14, б) полосно-пропускаюшего фильтра. То есть для
НЧФсон = со/ сос, для ППФ сон = со/сог . Передаточные функции одного звена НЧ-, ПП-,
ВЧ- и ПЗ-фильтров в нормированном виде записывают так:
резонансная угловая частота одного звена фильтра (copH< ij. Степень р н в числителях
этих выражений различна. У низкочастотного она нулевая, у ППФ — первая, у ВЧФ и
ПЗФ — вторая. Уравнение М ( р н) = 0 имеет комплексно-сопряженные корни (полюса
§ 5.10. Получение передаточной функции... RC-фильтра
183
К ( р н)). Под добротностью полюсов <7 Р одного звена фильтра понимают величину
2 а / t J а 2 + р 2 . Она показывает, насколько острой является частотная характеристика звена
(полюса равны - а ± j Р ).
При q < 2 звено фильтра считают низкодобротным, при qp < 2 0 — среднедобротным,
при qp > 20 — высокодобротным. Схемы звеньев фильтров с различной величиной <7 Р
приведены в [ 1 0 ].
§ 5.9. Получение передаточной функции низкочастотного активного /?С-фильтра, выбор схемы и определение ее параметров. На рис. 5.14, а изображена зависимость
затухания а НЧ-фильтра от частоты со; сос — частота среза, со*— частота, начиная с
которой НЧ-фильтр имеет относительно большое затухание a min. В полосе пропускания
допустимо небольшое затухание а тах. Порядок расчета — следующий: сначала опреде­
лим отношение cos /coc, затем по величинам cos /coc, #min и amax по таблицам, помещен­
ным в [ 1 0 ], при выбранном способе аппроксимации частотной характеристики фильтра
(см. § 10.12) определяем знаменатель М {р И) всего фильтра. В таблицах он представлен,
как правило, в виде произведения полиномов второго порядка вида р н~ + т р н +п. Каж­
дому полиному соответствует свое звено активного /?С-фильтра. Все звенья соединяют кас­
кадно. Для каждого полинома определяем добротность qp и по ее величине подбираем
схему каждого звена по [10]. После этого передаточную функцию каждого звена денормируем, заменяя сорн на сор /сос, а р н на усо/сос. Затем определяем параметры Я, С каж­
дого звена. С этой целью сопоставляем почленно выражение передаточной функции
звена (например, выражения Фз / Ф5 схемы на рис. 5.12) с полученной функцией АГ(у со)
звена. Часть параметров в схеме может быть взята произвольно (резисторы — по нескольку
килоом, а конденсаторы — доли микрофарад), другую часть находим из сопоставления.
Так как вариантов решения может быть несколько, то выбираем по тем или иным сообра­
жениям наиболее целесообразное.
§ 5.10. Получение передаточной функции полосно-пропускающего активного
/?С-фильтра. Положим, что требуется получить ПП-фильтр с относительно большим за­
туханием <?min в полосах затухания (от со = 0 до covl и от cov2 до оо ) — рис. 5.14, б — и
небольшим допустимым затуханием а тах в полосе пропускания от соЛ1 до сод2. Цент­
ральная частота в полосе пропускания обозначена сог (в относительных единицах cor = 1 ).
Передаточную функцию ПГ1-фильтра получают на основе частотных преобразований
(см. Приложение П6 ) следующим образом: сначала подсчитывают нормированную частоС 0 у 7 — СО VI
гу cov = ——------ — НЧ-фильтра прототипа. Затем по со¥ и заданным значениям атт и а тах
<*Ь2 “
полосового фильтра, при заданном способе аппроксимации частотной характеристики (по
Чебышеву, Баттерворту. Бесселю и т. д.) по таблицам, приведенным в [10], определяем
нормированную передаточную функцию НЧ-фильтра прототипа. После этого подсчитыСО/,2 -С О /,1
ваем коэффициент Ь = ------------- и в передаточной функции НЧ-фильтра прототипа замесог
S
*>
‘ + 0
">
“
5
ч ,
“ -f 1
няем р н на —--------------------------------------------------------------------------------------------------^—= —-- , т. е. осуще
bsH
bsH
рованному фильтру (см. Приложение П 6 ).
Здесь 5 Н = j сон, сон — текущее значение нормированной угловой частоты. Для пере­
хода от нормированной частоты сон к ненормированной со заменяем сон на со/сог
Со
нснорм
и сопн на ---------- .
Р
сог'нснорм
Обратим внимание на то, что степень полинома знаменателя передаточной функции
1 1 1 1 -фильтра увеличивается при этом в два раза по сравнению со степенью полинома зна­
менателя передаточной функции НЧ прототипа. Другими словами, каждое квадратичное
тено НЧ прототипа заменяется на два каскадно включенных квадратичных звена ПП-филь-
(ра
184
Гл. 5. Электрические фильтры
Вопросы для самопроверки
1. Что понимают под электрическими т- и А-фильтрами? 2. Дайте определение поло­
сы прозрачности и полосы затухания. Как расчетным путем найти границы полосы про­
зрачности для фильтров НЧ и ВЧ, а также полосно-пропускающих и полосно-заграждающих фильтров? 3. Начертите графики изменения Zc, а и b в функции частоты со для всех
известных вам типов фильтров. 4. Из чего следует исходить при выявлении характера Zc
фильтра в полосе затухания? 5. Как по схеме /г-фильтра определить, к какому типу он при­
надлежит? 6 . В чем недостатки А-фильтров? 7. Как согласовывают полузвенья ди-фильтра
с А:-фильтром? За счет чего в m-фильтрах при некоторых частотах возникает бесконечно
большое затухание? 8 . В чем преимущества т- перед /;-фильтрами? 9. Что послужило ос­
нованием подразделять полузвенья /я-фильтров на параллельно-производные и на после­
довательно-производные? 10. Чем объяснить, что коэффициент т берут равным 0,55-0,6?
11. Чем принципиально отличается /?С-фильтр от к- и т-фильтров? 12. Что понимают под
активными /?С-фильтрами и каковы их достоинства? 13. Какие вы знаете два основных
направления реализации активных ЯС-фильтров? 14. Какие способы создания имитиро­
ванной индуктивности вы знаете? 15. Выведите формулы зависимости затухания а от ча­
стоты со: а) для фильтра на рис. 5.12, а ; б) для фильтра на рис. 5.13, б; в) для фильтра на
рис. 5.13, в. 16. Решите задачи 14.1; 14.4; 14.6; 14.7; 14.18; 14.21; 14.22.
Глава шестая
ТРЕХФ АЗН Ы Е Ц ЕП И
§ 6.1. Трехфазная система ЭДС. Под трехфазной симметричной
системой ЭДС понимают совокупность трех синусоидальных ЭДС оди­
наковой частоты и амплитуды, сдвинутых по фазе на 120°. Графики их
мгновенных значений изображены на рис. 6.1, векторная диаграмма —
на рис. 6.2. Принцип получения трехфазной системы ЭДС иллюстрирует
рис. 6.3. В равномерном магнитном поле с постоянной угловой скорос­
тью со вращаются три одинаковые жестко скрепленные друг с другом
катушки.
+1
Рис. 6 .1
Рис. 6.2
*11 П П
Рис. 6.3
Плоскости катушек смещены в пространстве друг относительно дру­
га на 120°. В каждой катушке наводится синусоидальная ЭДС одинако­
вой амплитуды. По фазе ЭДС катушек сдвинуты на 120°.
Аналогичным путем можно получить двух- и четырехфазную систе­
му ЭДС и более фазную. Наибольшее практическое применение получи­
ла трехфазная система.
ЭДС трехфазного генератора обозначают следующим образом: одну
из Э Д С — ЕЛ, отстающую от нее на 120° ЭДС— Ев , а опережающую
на 120° — Ес .
Последовательность прохождения ЭДС через одинаковые значения
(например, через нулевое значение) называют последовательностью фаз.
§ 6.2. Принцип работы трехфазного маш инного генератора.
В машинном генераторе (рис. 6.4) обмотки неподвижны (помещены в
пазы статора); на рисунке они обозначены буквами А, В, С. Магнитное
моле в генераторе создается вращающимся ротором с намотанной на него
катушкой, по которой протекает постоянный ток. Если число пар полю­
сов ротора равно единице, то угловая частота вращения ротора равна уг­
ловой частоте вращающегося магнитного поля. Магнитная цепь в такой
конструкции почти замкнута (имеется только небольшой зазор между
статором и ротором), что позволяет получить значительный поток при
186
Гл. 6. Трехфазные цепи
относительно небольшой магнитодвижущей
силе обмотки ротора. При конструировании
генератора стремятся к тому, чтобы распре­
деление магнитной индукции по окружнос­
ти статора было практически синусоидально.
На рис. 6.4 штриховыми линиями показаны
магнитные силовые линии в некоторый мо­
мент времени.
§ 6.3. Трехфазная цепь. Расширение по­
нятия фазы. Совокупность трехфазной сис­
темы ЭДС, трехфазной нагрузки (нагрузок) и
соединительных проводов называют трех­
фазной цепью.
Токи, протекающие по отдельным участкам трехфазных цепей, сдви­
нуты относительно друг друга по фазе. Под фазой трехфазной цепи по­
нимают участок трехфазной цепи, по которому протекает одинаковый ток.
В литературе фазой иногда называют однофазную цепь, входящую в со­
став многофазной цепи. Под фазой будем также понимать аргумент си­
нусоидально меняющейся величины. Таким образом, в зависимости от
рассматриваемого вопроса фаза — это либо участок трехфазной цепи,
либо аргумент синусоидально изменяющейся величины.
§ 6.4. О сновные схемы соединения трехфазных цепей, определе­
ние линейны х и фазовых величин. Существуют различные способы
соединения обмоток генератора с нагрузкой. Самым неэкономичным спо­
собом явилось бы соединение каждой обмотки генератора с нагрузкой
двумя проводами, на что потребовалось бы шесть соединительных про­
водов. В целях экономии обмотки трехфазного генератора соединяют в
звезду или треугольник. При этом число соединительных проводов от
генератора к нагрузке уменьшается с шести до трех или до четырех.
На электрической схеме трехфазный генератор принято изображать в
виде трех обмоток, расположенных друг к другу под углом 120°. При
соединении звездой одноименные зажимы (например, концы х ,у , z) трех
обмоток объединяют в одну точку (рис. 6.5), которую называют нулевой
точкой генератора 0. Обмотки генератора обозначают буквами А, В, С;
буквы ставят: А — у начала первой, В — у начала второй и С — у начала
третьей фазы.
§ 6.4. Основные схемы соединения трехфазных цепей..
187
При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 6.6) конец
первой обмотки генератора соединяют с началом второй, конец вто­
рой — с началом третьей, конец третьей — с началом первой. Геометри­
ческая сумма ЭДС в замкнутом треугольнике равна нулю. Поэтому если
к зажимам Л, В, С не присоединена нагрузка, то по обмоткам генератора
не будет протекать ток.
Обратим внимание на то, что расположение звезды или треугольника
векторов фазовых ЭДС на комплексной плоскости не следует связывать
с расположением в пространстве осей трех обмоток генератора.
Пять простейших способов соединения трехфазного генератора с
трехфазной нагрузкой изображены на рис. 6.7-6.10.
А / Линейный провод
Рис. 6.7
Рис.
6 .8
Рис. 6.9
Рис. 6.10
Точку, в которой объединены три конца трехфазной нагрузки при
соединении ее звездой, называют нулевой точкой нагрузки и обознача­
ют 0 '. Нулевым проводом называют провод, соединяющий нулевые точ­
ки генератора и нагрузки. Ток нулевого провода назовем / 0. Положитель­
ное направление тока возьмем от точки 0 ' к точке 0 .
188
Гл. б. Трехфазные цепи
Провода, соединяющие точки А, В, С генератора с нагрузкой, назы­
вают линейными.
Схему на рис. 6.7 называют «звезда — звезда с нулевым проводом»;
на рис. 6.8 — «звезда — звезда без нулевого провода»; на рис. 6.9, а —
«звезда — треугольник»; на рис. 6.9, б — «треугольник — треугольник»;
на рис. 6.10 — «треугольник — звезда».
Текущие по линейным проводам токи называют линейными; их обо­
значают 1А, /д , /г . Условимся за положительное направление токов
принимать направление от генератора к нагрузке. Модули линейных то­
ков часто обозначают / л (не указав никакого дополнительного индекса),
особенно тогда, когда все линейные токи по модулю одинаковы.
Напряжение между линейными проводами называют линейным
и часто снабжают двумя индексами, например 0 АИ (линейное напря­
жение между точками А и В)\ модуль линейного напряжения обозна­
чают Un.
Каждую из трех обмоток генератора называют фазой генератора; каж­
дую из трех нагрузок — фазой нагрузки; протекающие по ним токи —
фазовыми токами генератора /ф или, соответственно, нагрузки, а напря­
жения на них — фазовыми напряжениями (^ф)§ 6.5. Соотнош ения между линейны ми и фазовыми напряж ения­
ми и токам и . При соединении генератора в звезду (см.
рис. 6.7; 6.8; 6.9, а) линейное напряжение по модулю в л/з раз больше
фазового напряжения генератора ( ^ ф). Это следует из того, что Un есть
основание равнобедренного треугольника с острыми углами по 30°
(рис. 6.11):
ил= UАН=U$2 c o s 3 0 °
=
-s/з (Уф.
(6. 1)
В основу формирования ряда трехфазных напряжений, когда после­
дующее напряжение больше предыдущего в 7 з раз, положен л/з = 1,73.
Приведем часть этого ряда при относительно низких напряжениях: 127,
220, 380, 660 В.
Линейный ток / л при соединении генератора в звезду равен фазово­
му току генератора: / л = / ф.
При соединении генератора в треугольник линейное напряжение равно
фазовому напряжению генератора (см. рис. 6.6; 6.9, б):
(6 .2)
При соединении нагрузки в звезду (см. рис. 6.7; 6.8; 6.10) линейный
ток равен фазовому току нагрузки: / л = / ф.
При соединении нагрузки треугольником положительные направления
для токов выбирают по ч асо во й стрелке. Индексы у токов соответствуют
выбранным для них положительным направлениям: первый индекс от­
вечает точке, от которой ток утекает, второй — точке, к которой ток при­
текает.
§6.8. Соединение «звезда — звезда с нулевым проводом»
189
При соединении нагрузки треугольником (см. рис. 6.9, а, 6 ) линейные
токи не равны фазовым токам нагрузки и определяются через них по
первому закону Кирхгофа:
я
г
- ^АН- h'A>
- 1не~ IАВ>
= ІСА " he-
§ 6.6. Преимущ ества трехфазных систем. Широкое распростране­
ние трехфазных систем объясняется главным образом тремя основными
причинами:
1) передача энергии на дальние расстояния трехфазным током эконо­
мически более выгодна, чем переменным током с иным числом фаз;
2) элементы системы — трехфазный синхронный генератор, трехфаз­
ный асинхронный двигатель и трехфазный трансформатор — просты в
производстве, экономичны и надежны в работе;
3) система обладает свойствами неизменности значения мгновенной
мощности за период синусоидального тока, если нагрузка во всех трех
фазах трехфазного генератора одинакова.
§ 6.7. Расчет трехфазных цепей. Трехфазные цепи являются разно­
видностью цепей синусоидального тока, и потому расчет и исследование
процессов в них производят теми же методами и приемами, которые рас­
сматривались в гл. 3 и 4. Для цепей трехфазного тока применим также
символический метод расчета и можно строить векторные, топографи­
ческие и круговые диаграммы.
Аналитический расчет трехфазных цепей рекомендуется сопровождать
построением векторных и топографических диаграмм. Векторные диаг­
раммы облегчают нахождение углов между токами и напряжениями, де­
лают все соотношения более наглядными и помогают находить ошибки
при аналитическом расчете, если последние возникнут.
§ 6.8. Соединение «звезда — звезда с нулевым проводом». Если ну­
левой провод в схеме (см. рис. 6.7) обладает весьма малым сопротивле­
нием, то потенциал точки 0 ' практически равен потенциалу точки 0 \
точки 0' и 0 фактически представляют собой одну точку. При этом в
схеме образуются три обособленных контура, через которые проходят
токи
= Ёд / Z
І ^ = Eft / Z ^\ /(' = Ё(' IZ(-.
По первому закону Кирхгофа ток в нулевом проводе равен геометри­
ческой сумме фазовых токов:
/0 =
+ /« + /(••
(6.3)
Если Z A = Zfi - Z c (такую нагрузку называют равномерной), то ток
/0 равен нулю и нулевой провод может быть изъят из схемы без изме­
нения режима ее работы.
190
Гл. 6. Трехфазные цепи
При неравномерной нагрузке фаз ток / 0 в общем случае не равен
нулю.
При наличии в нулевом проводе некоторого сопротивления расчет
схемы производят методом узловых потенциалов.
П рим ер 59. В схеме (рис. 6.12, а) ЭДС каждой фазы трехфазного генератора равна
127 В. Сопротивления фаз нагрузки равны по модулю (6,35 Ом), но имеют различный
характер: Z A - /?, Z B = j со Z,, Zc - - j / a С. Определить ток в нулевом проводе.
Рис. 6.12
Рис. 6.13
Р е ш е н и е . Построим векторную диаграмму (рис. 6.12, б). Токи всех фаз по моду­
лю равны 127/6.35 = 20 А. Ток 1А совпадает по фазе с ЕЛ. Ток 1В на 90° отстает от
Ев . Ток / (* опережает Ес на 90°. Сумма 1А +1В +1С дает вектор тока / 0. По модулю
он равен 14,6 А.
рис.
П ри м ер 60. Какое значение должно иметь сопротивление в фазе А схемы (см.
6 . 1 2 , а ), чтобы ток в нулевом проводе стал равным нулю?
Р е ш е н и е . Геометрическая сумма токов / в + 1С по модулю равна
2-20 cos30° = 20 VT А.
Ток в нулевом проводе равен нулю, если ток j At направленный противоположно сум­
ме 1В + / г по модулю равен 20>/з А. При этом сопротивление фазы А
Д = £ / 2 0 VJ = 127/20 VJ = 3.66 Ом.
П рим ер 61. Определить ток в нулевом проводе схемы на рис. 6.12, а. если в фазу А
включить активное сопротивление 3,66 Ом, а индуктивность и емкость фаз В и С поме­
нять местами: со L = ----- = 6,35 Ом.
соС
Р е ш е н и е . Векторная диаграмма изображена на рис. 6.13. Из нее следует, что
/ 0 = 34,6 + 34,6 = 69,2 А.
§ 6.9. Соединение нагрузки треугольником. Выберем направление
токов в фазах треугольника в соответствии с рис. 6.9, а. Ток 1 АВ вызы­
вается напряжением UАВ. Модуль и фаза его относительно напряжения
ОАВ определяются сопротивлением нагрузки Z AB. Ток 1 ВС вызван
напряжением U BC. Модуль и фаза его относительно U BC определяются
сопротивлением Z BC. Ток 1 ( А вызван напряжением UCA и зависит от
§6.10. Оператор а трехфазной системы
191
сопротивления *СЛ.Линейные токи вычислим через фазовые токи по пер­
вому закону Кирхгофа:
IА - 1AB~ U'A»
[в=[вс-[лв\
(6.4)
I q = I qa ~ h e •
При равномерной нагрузке фаз линейные токи по модулю в >/з раз
больше фазовых токов нагрузки. При неравномерной нагрузке линейные
токи могут быть и больше и меньше фазовых токов нагрузки.
П ример 62. В схеме (рис. 6.14, a) Z AB = - 1 9 j: Z HC =19 j \ ZCA =19 Ом. ЭДС каж­
дой фазы генератора 220 В. Определить все токи и построить векторную диаграмму.
Рис. 6.14
Р е ш е н и е . Векторная диаграмма построена на рис. 6.14, б. Напряжения на фазах на­
грузки в >/з раз больше фазовых ЭДС генератора и равны 220 >/з =380 В. Ток f AJi опе­
режает напряжение UAH на 90° и равен 380 / 19 = 20 А. Ток І ИС отстает от U
на
90° и также равен 20 А. Ток 1СА по модулю равен 20 А и совпадает по фазе с напряже­
нием UCA. Линейные токи } А% /д , 1С найдем графическим путем, используя соотно­
шения (6.4). По модулю І А * 1С = 10 А; 1В = 20 А.
§6.10. О ператор а трехфазной системы. Условимся комплексное
число еу120 , по модулю равное единице, обозначать а и называть опе­
ратором трехфазной системы. Тогда
е^ 2400 = (еЛ20°)2 = а 2.
Три вектора — 1, а и а 2 — образуют симметричную трехфазную
систему (рис. 6.15):
1+ д + а 2 = 0.
(6.5)
Умножение какого-либо вектора на а поворачивает его без изменения
модуля на угол 120° против часовой стрелки. Умножение вектора на а 1
поворачивает его на угол 240° против часовой стрелки, или, что то же
самое, поворачивает его по часовой стрелке на 120°.
192
Гл. б. Трехфазные цепи
С помощью оператора а можно выразить ЭДС
Ев и Ес симметричной трехфазной системы через ЭДС ЁА :
Ёв - а 2 ЁА;
(6.6)
Ес = а ЕЛ.
§ 6.11. Соединение «звезда — звезда без ну­
левого провода». На рис. 6.8 представлена схема
с двумя узлами (точки 0 и O'). Для расчета токов
в ней целесообразно пользоваться методом двух узлов (см. § 2.21). На­
пряжение между двумя узлами
•
U°'°
Е а Уа + Ен Ув + Ес Yc
Ya + Yb + Yc
Е а (Ya +а* YB + a Yc )
YA + YB + YC
•
(6-7>
Если нагрузка равномерна (YA = YB = Yc \ то (см. соотношение (6.5))
EA YA (l + a + a2)
_ --------— ---------- —u
3Y4
и напряжение на каждой фазе нагрузки равно соответствующей ЭДС:
й АО’ -
U ВО' = ^в\
йсо' = Ес-
Если нагрузка неравномерна, то U(yo * 0 и
U АО' = Е а ~ U o'QiU во* = &в “ Uo'fh
U со' = Ес - U q'O’
Токи в фазах нагрузки:
І а = VАО' IZA\
&во' I %в*Іс ~ ^со' I %с •
Если в двух фазах нагрузка одинакова, например Z B - Z c * Z A, то
формула (6.7) после преобразований имеет следующий вид:
%В ~ ^А
Z d +2 Z л
(6.8)
§ 6.12. Трехфазные цепи при н аличии взаимоиндукции. Расчет
трехфазный цепей, содержащих магнитно-связанные катушки, осуществ­
ляют так же, как и расчет магнитно-связанных цепей однофазного сину­
соидального тока.
П рим ер 63. Определить показания амперметра и вольтметра в схеме (рис. 6.16, а). По­
строить топографическую диаграмму, совместив ее с векторной диаграммой токов. Дано:
£ ф = 1 2 7 В ; о L = 1/ю С = 4 0 м ; а М = 2 0 м .
Р е ш е н и е . Выберем положительные направления токов в соответствии с рис. 6 .1 6 , а.
По первому закону Кирхгофа /,*+ //? + / с - О.
§6.13. Активная, реактивная и полная мощности трехфазной системы
193
О’
М
Рис. 6.16
Примем ЭДС ЁА, направленной по оси + 1. Составим уравнение по второму закону
Кирхгофа для контура ОАО'ВО :
}А j со L + \ в j со М - О в j® L + І А у со М ) = UAB.
После подстановки числовых значений получим
2
J О А “ /# ) = 2 2 0 е у30в
или
JA ~ h ~ ------= 110 е “ 7 60° А.
2 е790°
Для контура ОС0' ВО
k
j
- О в j ^ L + i A j a M ) = UCB
соС
- 4 j I c - 2 j I A - A j I B = 2 2 0 j.
Совместное решение трех уравнений дает
/,, =
110;
j B = 1 Ю еу60°;
/ г = 1 1 0 л /З е '-'|5О° д.
Топографическая диаграмма, совмещенная с векторной диаграммой токов, изображе­
на на рис. 6.16, б. Амперметр показывает 110 А, вольтметр — приблизительно 640 В. Пос­
ледний результат получен после подсчета Фо- по формуле
Фо' - Vo + &А ~ j A j ( o L - i B j ( o M .
§ 6.13. А кти вн ая, р еакти вн ая и полная мощ ности трехфазной
системы . Под активной мощностью трехфазной системы понимают
сумму активных мощностей фаз нагрузки и активной мощности в сопро­
тивлении, включенном в нулевой провод:
р
= ра + рв + рс + р0.
(6.9)
Реактивная мощность трехфазной системы представляет собой сум­
му реактивных мощностей фаз нагрузки и реактивной мощности в со­
противлении, включенном в нулевой провод:
Q - Q a +Q b + Qc + бо7 - 4657
(6.10)
194
Гл. б. Трехфазные цепи
Полная мощность
(6 . 11)
s = J p 2 + q 2.
Если нагрузка равномерная, то
Qo ~ 0;
=
Q a= Q b= Q c
С08Ффі
ф /ф їіп ф ф ,
где фф— угол между напряжением Оф на фазе нагрузки и током /ф фазы
нагрузки.
При равномерной нагрузке фаз
^ = ЗС/ф /фСоэфф;
«2 = 3 t /ф / ф sin фф;
( 6. 12)
5 = 31/ф / ф.
При равномерной нагрузке фаз независимо от способа ее соединения
(звездой или треугольником)
з £ /ф /ф = 7 з 7 з і / ф / ф = 7 з (у л / л)
(6.13)
где Un — линейное напряжение на нагрузке; / л — линейный ток на­
грузки.
Поэтому вместо формул (6.12) часто используют следующие:
Р = І Ї и л І П с о эф ф ;
Q = 4b Un / л sin фф;
(6.14)
s = S u „ i n.
§ 6.14. Измерение активн ой мощности в трехфазной системе. Для
измерения активной мощности трехфазной системы в общем случае
(неравномерная нагрузка и наличие нулевого провода) необходимо вклю­
чить три ваттметра (рис. 6.17). Активная мощность системы равна сум­
ме показаний трех ваттметров. Если нулевой провод отсутствует, то
измерение мощности производят двумя ваттметрами (рис. 6.18). Сумма
показаний двух ваттметров при этом определяет активную мощность всей
системы независимо от того, звездой или треугольником соединена
нагрузка (треугольник нагрузки всегда может быть преобразован в экви­
валентную звезду).
§6.15. Круговые и линейные диаграммы в трехфазных цепях
Показание первого
R eU BC І в , но
ваттметра
равно
*
R gUa c I a ,
195
второго
—
R e ( ^ c IA+UBC / в ) = R e ^ -£/«.) 1 А+ ф в - и с ) 1 В] =
= Rc(Ua I a + U b I b +U c і с ),
*
*
*
так как I A+ Ів = -/< :•
При равномерной нагрузке фаз достаточно измерить мощность одной
фазы и результат утроить.
§ 6.15. Круговые и линейные диаграммы в трехфазных цепях.
Если изменяется модуль сопротивления одной из фаз трехфазной цепи,
а аргумент его постоянен, то геометрическим местом концов векторов
напряжения (тока) любой фазы цепи является окружность или прямая
линия.
Для примера рассмотрим круговую диаграмму напряжений по схеме
(рис. 6.19, а), если Z B - Z c = r = const и изменяется только модуль со­
противления фазы A (Z a).
Рис. 6.19
Используем формулу (4.80), заменив в ней индексы а и b на 0' и 0. В
режиме холостого хода ток по фазе А равен нулю, а напряжения на двух
сопротивлениях Z B = Z C = г равны UBC/ 2. При этом точка 0' находится
посередине вектора UBC (точка/ на рис. 6.19, б)\ U0>
0x = -0 ,5 ЕА. При
коротком замыкании сопротивления Z A потенциал точки 0' равен потенТ
196
Гл. 6. Трехфазные цепи
циалу точки А. Поэтому О0>
0к = £ а• Хордой искомой окружности яв­
ляется разность векторов (рис. 6.19, в) U0>
0k - U 0'0 X = ЁА - ( -0 ,5 ЁА) =
= 1,5 Еа. Для определения входного сопротивления ZBXотносительно
точек А и 0' служит схема на рис. 6.20, а (источники ЭДС закорочены).
Два сопротивления г включены параллельно, поэтому ZBX = /7 2 и
Фвх =0-
Рис. 6.20
Рассмотрим три случая, отличающихся характером сопротивления ZA.
1. Если Z A— изменяющееся емкостное сопротивление, то
Z A - - j l a y C \ фн = -90°; vy = фн - Фвх = -90°. Круговая диаграмма на­
пряжения и ою построена на рис. 6.20, б, где линия Х с проведена по
отношению к хорде под углом —vj/ = 90°. Масштаб для Х с соответству­
ет масштабу, в котором отрезок f d выражает входное сопротивление
ZBX - г 12. Геометрическим местом точки 0' является полуокружность
f p A . Для определения модуля и фазы U(yo при некотором произвольном
значении Х с его следует отложить на линии т d и провести луч fm . Точ­
ка пересечения луча f m с полуокружностью f p A обозначена р. Напря­
жение и (У0, соответствующее взятому значению Х с , изобразится век­
тором, проведенным из точки 0 в точку р.
2. Если Z A — изменяющееся индуктивное сопротивление, то н/ = 90°
и геометрическим местом концов вектора 0 (У() является полуокружность
fq A (штриховая линия на рис. 6.20, б). Линия переменного параметра в
этом случае будет справа от точки d.
3. Если Z A— чисто активное сопротивление, то у = фн - ф вх =0° и
геометрическим местом концов вектора 0 (У() является прямая A f
§ 6.16. У казатель последовательности чередования фаз. Определе­
ние последовательности чередования фаз в трехфазной симметричной
системе ЭДС (напряжений) осуществляют с помощью указателя после­
довательности чередования фаз. В простейшем исполнении он состоит
из двух одинаковых ламп накаливания и конденсатора (рис. 6.21).
Емкость С выбирают такой, чтобы емкостное сопротивление равня­
лось резистивному сопротивлению каждой лампы.
Если три конца указателя подключить к трем концам симметричной
трехфазной системы ЭДС, то потенциал нулевой точки схемы на рис. 6.21
§6.18. Получение кругового вращающегося магнитного поля
197
В
О
г
г
В
а
Рис. 6.21
б
Рис. 6.22
будет соответствовать положению точки 0 ' на векторной диаграмме
рис. 6.20, б.
На диаграмме рис. 6.20, видно, что напряжение на лампах накалива­
ния будет различно. На лампе, включенной в фазу В, оно определяется
вектором Uво,\ на лампе, включенной в фазу С, — вектором IJco,. Так
как Uво>> Осо>, то лампа в фазе В будет гореть более ярко, чем лампа в
фазе С. Следовательно, если фазу трехфазной системы ЭДС, к которой
подключен конденсатор, принять за фазу Л, то фаза, к которой ока­
жется подключенной ярко горящая лампа, есть фаза В, а фаза с туск­
ло горящей лампой — фаза С.
Одним из важнейших свойств многофазных, в частности, трехфазных,
токов является их способность создавать круговое вращающееся магнит­
ное поле.
§ 6.17. М агнитное поле катуш ки с синусоидальным током. Маг­
нитное поле одной катушки, по которой протекает синусоидальный ток,
представляет собой пульсирующее** (не вращающееся) магнитное поле.
На рис. 6.22, а изображена катушка, по которой проходит синусоидаль­
ный ток / = Im sin со t. Магнитное поле характеризуется вектором магнит­
ной индукции В. Направление В определяется направлением намотки
катушки и направлением тока в ней в данный момент времени. Пусть
буква Н означает начало, а К — конец катушки. Если ток входит в
зажим Я и выходит из зажима К (это направление тока будем считать по­
ложительным: ему соответствует интервал времени от 0 до я ), то век­
тор магнитной индукции направлен вверх по осевой линии катушки.
В следующий полупериод, когда ток отрицателен, вектор В направлен
вниз (штриховая линия на рис. 6.22, а). Таким образом, геометрическим
местом концов вектора В является ось катушки.
§6.18. П олучение кругового вращ аю щ егося магнитного поля.
Круговое вращающееся магнитное поле представляет собой магнитное
поле, вектор результирующей магнитной индукции которого имеет
постоянное значение и вращается с постоянной угловой скоростью со (см.
рис. 6.22, б).
в)Под пульсирующим полем понимают поле, вектор магнитной индукции которого из­
меняется (пульсирует) вдоль оси, создающей его катушки с током.
Гл. 6. Трехфазные цепи
198
+1
1* 'К
К
+2
н
2
Рис. 6.23
Расположим три одинаковые катушки так, чтобы их оси были смеще­
ны на 120° относительно друг друга (рис. 6.23, а). Присоединим катуш­
ки к симметричной трехфазной системе ЭДС. Пусть токи входят в нача­
ле катушек Н и изменяются следующим образом:
/j = I m sin со /;
/2 = l m sin(co t - 120°);
/3 = Im sin(co t + 120°).
Графики токов изображены на рис. 6.23, б. Каждый из токов создает
пульсирующее поле, направленное вдоль оси своей катушки.
Положительное направление оси первой катушки обозначим + 1, вто­
рой — + 2, третьей — + 3. Магнитную индукцию первой катушки обо­
значим Ви второй— В2, третьей— Ву Тогда
В] = Вт sin со /;
В 2 = Вт sin(co / —120°);
Въ = Вт sin(co / + 120°).
Изобразим векторами в пространстве мгновенные значения Ви В2,
В3 И результирующую индукцию ДЛЯ моментов времени СО / = 0, 71/2,
71, З 71/ 2 (рис. 6.24, а-г). Запишем алгебраическую сумму проекций
векторов магнитных индукций Вх, В2, Вг на оси х и у декартовой
Рис. 6.24
§6.18. Получение кругового вращающегося магнитного поля
199
системы координат (см. рис. 6.23, в), совместив ось х с осью 1 и ось у с
осью + у:
Вх = В2 cos30° - Въ cos 30° = 1,5 Вт j ;
Ву = £ , - В 2 cos60°-2?3 cos60° = 1,5 Вт.
Мгновенные значения проекций векторов магнитной индукции на оси
х иу
Вх = -1,5 Вт cos со /;
Ву = 1,5 Вт sin со t.
По модулю результирующая индукция В = <Jb2 + В2у = 1,5 Вт и состав­
ляет угол р с осью
tgp = - ^ /
= tgco /,
т. е. угол Р = со г.
С увеличением времени вектор результирующей магнитной индукции,
оставаясь по модулю равным 3 Вт / 2, вращается с угловой скоростью со
по направлению от начала первой катушки с током к началу второй ка­
тушки с током Im sin(co t -120°), т. е. вектор результирующей магнитной
индукции вращается в сторону катушки с отстающим током.
Если ток Im sin(cor-120°) пропустить по третьей, а ток
l m sin(co ( +120°) — по второй катушке, то направление вращения поля из­
менится на противоположное.
Если произойдет обрыв одной из фаз или ток в ней по амплитуде не
будет равен току в какой-либо другой фазе или сдвинут по фазе не на
120°, то образуется эллиптическое враща­
ющееся поле. При его возникновении конец век­
тора результирующей магнитной индукции
будет скользить по эллипсу.
Для того чтобы усилить вращающееся маг­
нитное поле, внутрь катушек помещают полый
или сплошной ферромагнитный цилиндр, а сто­
роны катушек заключают в пазы внешнего фер­
ромагнитного цилиндра (рис. 6.25).
Вращающееся магнитное поле используют в
электрических двигателях.
Обратим внимание на то, что пульсирующее
поле (см. § 6.17) можно представить в виде сум­
мы двух вращающихся в противоположные стороны с угловой скорос­
тью со магнитных полей. Действительно,
Вт sin<0 / = A ( e J<0' - е " у<0') = 0,5 Вт
2j
Вектор 0,5 Вт е ' (0)'- 90О) вращается против часовой стрелки, вектор
0,5 Вт е"-/(0)/"90°) — по часовой.
Гл. б. Трехфазные цепи
200
§ 6.19. П ринцип работы асинхронного двигателя. В промышлен­
ности наиболее распространенным типом двигателя переменного тока
является трехфазный асинхронный двигатель. В нем имеется неподвиж­
ная часть — статор, в пазах которого помещены три катушки, создаю­
щие круговое вращающееся магнитное поле, и подвижная часть —
ротор, в пазах которого находятся три замкнутые на себя или на внеш­
нее сопротивление катушки. На рис. 6.25 катушки даны в разрезе, их тор­
цовые части не показаны; каждая из катушек занимает лишь небольшую
часть окружности статора (или ротора). В действительности каждая из
катушек (прямые и обратные провода ее) занимает около 1 / 3 окружно­
сти расточки статора (или окружности ротора). Вал ротора двигателя
соединен с валом рабочей машины.
Допустим, что сначала ротор неподвижен. При этом вращающееся
магнитное поле, созданное обмотками статора, пересекает провода ка­
тушек неподвижного ротора с угловой частотой со и наводит в них ЭДС.
В свою очередь, ЭДС вызовут токи в катушках ротора. По закону Ленца,
эти токи стремятся своим магнитным полем ослабить вызвавшее их маг­
нитное поле.
Механическое взаимодействие токов ротора с вращающимся магнит­
ным полем приведет к тому, что ротор начнет вращаться в ту же сторо­
ну, в какую вращается магнитное поле (в этом можно убедиться, приме­
нив правило левой руки).
В установившемся режиме частота вращения ротора сор составляет
(0,98 * 0,95) со. Двигатель называют асинхронным потому, что его ротор
вращается не синхронно с вращающимся полем; сор не может равнять­
ся угловой частоте вращающегося поля. Это станет понятно, если учесть,
что при сор = о) вращающееся поле не пересекало бы провода катушек
ротора, в них отсутствовал бы ток и ротор не испытывал бы вращающе­
гося момента.
В курсе ТОЭ ограничимся качественным рассмотрением основных
положений, характеризующих принцип работы асинхронного двигателя.
Подробнее эти вопросы изучают в курсе электрических машин.
§ 6.20. Разлож ение неси м м етричн ой систем ы на систем ы прям ой, обратной и
нулевой последовательностей фаз. Любую несимметричную систему трех токов, напря­
жений, потоков одинаковой частоты (обозначим их А, В, С) можно однозначно пред­
ставить в виде трех систем: нулевой, прямой и обратной последовательностей фаз.
Система прямой последовательности (рис. 6.26, а) состоит из трех векторов — Ах,
Вх, С,, равных по модулю и повернутых относительно друг друга на 120°, причем век­
тор Вх отстает от вектора Ах на 120°. Используя оператор а трехфазной системы
(см. § 6 . 1 0 ), можно записать:
Вх = а 2 Ах\
С, =а Л, .
(6.15)
Система обратной последовательности (рис. 6.26, б) состоит из векторов Аг , В2, С2,
равных по модулю и повернутых относительно друг друга на 120°, причем вектор В2
опережает вектор А2 на 1 2 0 °:
В2 —а А2\
С2 —а 2 А2.
(6.16)
§6.21. Основные положения метода симметричных составляющих
201
QВо'
А) ~
б
Рис. 6.26
Система нулевой последовательности (рис. 6.26, в) образована тремя векторами, со­
впадающими по фазе:
Л = 4 = 0 ,.
(6.17)
Выразим заданные три вектора А, В, С через векторы симметричных систем сле­
дующим образом:
А —Aq + А| -ь А2 і
В = В0 + ВХ+В 2\
(6.18)
С = Cq + 0
Перепишем (6.18) с учетом (6.15) и (6.16):
А = А0 + А} +А 2;
(6.19)
В = А0 л-а2 Ах +а А2\
(6.20)
С = А0 + а Ах + а 2 Аг.
(6.21)
Из системы уравнений (6.19)—(6.21) найдем А0, Аь
А2,через заданные векторы А,
В, С. Дляопределения Aqсложим уравнения (6.19)—(6.21) и учтем, что \ + а + а 2 = 0.
В результате получим
Л о = у ( Л + г + С).
(6.22)
Таким образом, для нахождения Aq следует геометрически сложить три заданных
вектора и взять 1 / 3 от полученной суммы.
Для нахождения Ах к уравнению (6.19) прибавим уравнение (6.20), умноженное на <я,
и уравнение ( 6 .2 1 ), умноженное на а2:
/I, = ^ ( А + а В + а г С).
(6.23)
Следовательно, 1 / 3 суммы, состоящей из вектора А плюс вектор В (повернутый
против часовой стрелки на 120°) и плюс вектор С (повернутый по часовой стрелке на
120°), дает вектор Av
Для вычисления А 2 к уравнению (6.19) прибавим уравнение (6.20), предварительно
умноженное на а 2у и уравнение (6 .2 1 ), умноженное на а\
Аг = ^ ( А + а 2 В + аС).
(6.24)
§ 6.21. О сновны е положения метода симм етричны х составляю щ их. Трехфазные
системы передачи электрической энергии состоят из источников энергии, линий переда­
чи, трансформаторов и электродвигателей. В результате какой-либо аварии (например,
короткого замыкания или обрыва провода) или при несимметричной нагрузке на элемен-
202
Гл. б. Трехфазные цепи
тах системы (электродвигателях, трансформаторах, самой линии передачи) возникают
несимметричные напряжения.
Расчет токов и напряжений в таких системах производят с помощью схем замещения,
на которых все элементы системы должны быть представлены комплексными сопротив­
лениями. Но сопротивление на фазу одного и того же элемента не одинаково для разных
последовательностей. Поэтому расчет следует вести для каждой из последовательностей
отдельно, а затем искомую величину (ток или напряжение) определить как сумму токов
или соответственно напряжений нулевой, прямой и обратной последовательностей.
Рассмотрим причины, обусловливающие различные значения сопротивления одного
и того же элемента для разных последовательностей фаз (при относительно низких часто­
тах).
Сопротивление на фазу трехфазной линии передачи для прямой, обратной и нулевой
последовательностей фаз обозначим соответственно ^ 1л» ^*2 л» ^ 0 л- Сопротивление на
фазу линии передачи для прямой последовательности Z ln равно сопротивлению на фазу
линии для обратной последовательности Z 2n, но не равно сопротивлению на фазу линии
для нулевой последовательности фаз вследствие различных значений индуктивности на
фазу трехфазной линии для систем прямой и нулевой последовательностей фаз.
Различные значения индуктивностей на фазу линии для прямой и нулевой последова­
тельностей фаз объясняются двумя причинами. Во-первых, индуктивность на фазу линии
для прямой и обратной последовательностей определяется только геометрическими раз­
мерами петель, образованных линейными проводами, тогда как индуктивность на фазу
линии для нулевой последовательности зависит не только от геометрических размеров
петель, образованных линейными проводами, но и от геометрических размеров петель,
образованных линейными проводами и нулевым проводом. Во-вторых, ЭДС, наводимые в
петлях провода линии для прямой и обратной последовательностей, представляют собой
геометрическую сумму ЭДС, наводимых сдвинутыми по фазе на 120° токами в линейных
проводах, тогда как ЭДС, наводимые в петлях проводов линии для нулевой последователь­
ности, созданы совпадающими по фазе токами нулевой последовательности.
Ярмо
Сердечник
Рис. 6.27
В трехфазном трехстержневом трансформаторе (магнитная система его изображена на
рис. 6.27) сопротивление на фазу для нулевой последовательности Z0t не равно сопро­
тивлению на фазу для прямой последовательности ZlT, но ZlT = Z 2T, ^ e Z2 t —
сопротивление на фазу для обратной последовательности.
Объясняется это главным образом тем, что магнитные потоки нулевой последователь­
ности Ф 0 всех трех фаз находятся в фазе и поэтому не могут замыкаться по соседним
стержням магнитной системы и замыкаются по воздуху (см. рис. 6.27). Магнитные пото­
ки трех фаз прямой Ф, и, соответственно, обратной последовательностей по фазе сдвину­
ты на 120° и поэтому могут замыкаться по соседним стержням магнитной системы. Так
как магнитное сопротивление по пути в воздухе много больше магнитного сопротивления
по пути в стали, то при одинаковых токах нулевой и прямой последовательностей Ф 0 < Ф |.
Поэтому Z0t < Z 1t. Еще большее различие имеют сопротивления прямой Zlfl, обратной
2 1й и нулевой Z 0n последовательностей асинхронного двигателя.
Если к выходным зажимам трехфазного асинхронного двигателя (см. рис. 6.25) одно­
временно подвести напряжения прямой, нулевой и обратной последовательностей фаз, то
§ 6.21. Основные положения метода симметричных составляющих
203
входное сопротивление на фазу двигателя для прямой последовательности Zla не будет
равно входному сопротивлению на фазу для обратной последовательности Z 2jx и оба они
будут отличны от входного сопротивления для нулевой последовательности
Разбе­
рем, чем это объясняется.
Под действием напряжения прямой последовательности в двигателе создается круго­
вое вращающееся магнитное поле. Оно увлекает за собой ротор двигателя. Ротор вращается
с угловой частотой сор. Система напряжений обратной последовательности также созда­
ет круговое вращающееся поле, но направление вращения его обратно направлению вра­
щения поля прямой последовательности.
Система напряжений нулевой последовательности вращающегося магнитного поля не
создает. Вокруг статорных обмоток ею создаются пульсирующие потоки, замыкающиеся
по воздушному зазору между статором и ротором, подобно тому как в трехстержневом
трехфазном трансформаторе (см. рис. 6.27) потоки от нулевой последовательности, выхо­
дя из сердечника, замыкались по воздуху.
Входное сопротивление на фазу двигателя для данной последовательности зависит не
только от активного и реактивного сопротивлений фазы статорной обмотки, но и от
активного и реактивного сопротивлений роторной обмотки (подобно тому как в трансфор­
маторе входное сопротивление определяется не только собственным сопротивлением
первичной обмотки, но и сопротивлением, вносимым вторичной обмоткой (см. § 3.39)).
Индуктивное сопротивление фазы ротора прямо пропорционально частоте. ЭДС прямой
последовательности создают в роторе токи частоты (со-сор), что составляет примерно от
0,02 до 0,05 со, тогда как токи ротора от обратно вращающегося поля имеют частоту
со + сор «(1,98 + 1,95) со. Так как частоты токов в роторе, создаваемые прямой и обратной
последовательностями, различны, то различны и входные сопротивления на фазу для пря­
мой (Zu ) и обратной (Z 2 a ) 'последовательностей.
Магнитные потоки нулевой последовательности фаз замыкаются, минуя ротор, а по­
токи прямой и обратной последовательностей фаз проходят через ротор. При одном и том
же токе прямой и нулевой последовательностей соответствующие им потоки различны.
Поэтому для асинхронного двигателя ZQn * Zla * Z 2jx.
Расчет по методу симметричных составляющих состоит в следующем. На основании
принципа наложения, применимого к линейным цепям, заданный несимметричный режим
работы схемы представляют как результат наложения трех симметричных режимов.
В первом симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат только со­
ставляющие прямой последовательности фаз, а линии передачи, вращающиеся машины и
трехфазные трансформаторы представлены на схемах их сопротивлениями для прямой
последовательности.
Во втором симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат составляю­
щие только обратной последовательности, а машины и трансформаторы представлены их
сопротивлениями обратной последовательности.
В третьем симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат только со­
ставляющие нулевой последовательности, а машины и трансформаторы представлены
соответствующими сопротивлениями нулевой последовательности.
Для того чтобы от симметричной исходной схемы прийти к трем симметричным схе­
мам, поступают следующим образом: в том месте схемы, где создается несимметрия, в
схему вводят сумму трех несимметричных напряжений — и А> Uв , О?. Система этих
напряжений (ЭДС) на основании теоремы компенсации заменяет три неодинаковых сопро­
тивления, образовавшихся в месте аварии и приведших к несимметрии во всей схеме. Далее
три несимметричных напряжения, в соответствии с § 6 .2 0 , раскладывают на три симмет­
ричных, основные векторы которых U0, 0 1, U2 надлежит определить. Точно так же три
несимметричных тока І Аі /
1С раскладывают на три симметричные системы токов,
основные векторы которых / 0, /,, і 2 следует найти.
В методе симметричных составляющих неизвестными являются шесть величин: три
напряжения (0 о, (),, U 2) и три тока ( / 0, /,, / 2), через которые могут быть выраже­
ны любые напряжения и токи в цепи.
Для определения шести неизвестных составляют шесть уравнений: по одному урав­
нению составляют для каждой из трех симметричных систем; остальные три уравнения
записывают для того участка схемы, где создается несимметрия. Вид трех последних урав­
нений зависит от характера несимметрии в схеме.
204
Гл. б. Трехфазные цепи
0,5 Z n\
a 0 ,5 Z p і
—
- О
и7
Z,2
0,5 Zjto
а
0>5 Z.k)
-с=ь
Оо
3Zn £ 3 £дз
Рис. 6.28
Рассмотрим два примера. Первый пример иллюстрирует расчет при коротком замы­
кании линейного провода на землю, второй — расчет при разрыве линейного провода. Оба
примера приведены для одной и той же схемы до аварии. В первом случае схема изобра­
жена на рис. 6.28, а.
Сопротивления на фазу трехфазного генератора Zrl для прямой, обратной и нулевой
последовательностей обозначены Zrl, Zr2, Z ^ , сопротивления асинхронного двигателя
на ф а зу — Zfll, Z a2> ZaQy сопротивления линии передачи на ф а зу — Z nl, Z n2, Z n0.
Нулевые точки генератора, двигателя, нагрузки заземлены. Сопротивление заземления ге­
нератора— Zr3, общее сопротивление заземления двигателя и нагрузки обозначено 2 лзБудем считать, что короткое замыкание линейного провода на землю произошло по­
средине линии, а фазу, к которой это произошло, назовем фазой А.
Место аварии на рис. 6.28, а окружено штриховой линией в форме прямоугольника.
Несимметричные напряжения, образовавшиеся в месте аварии, обозначены и А,, UBx Uc ,
а токи на землю в месте аварии і Aj ІВч Іс . Из рисунка видно, что V А - 0, и 1В = 1с =0.
В соответствии с § 6.18 эти три напряжения и три тока представим через их симметрич-
§6.21. Основные положения метода симметричных составляющих
205
ные составляющие:
Анализ процессов в несимметричной схеме на рис. 6.28, а методом симметрич­
ных составляющ их сводится к анализу процессов в трех схемах, изображенных на
рис. 6.28, 6 , в, г. Схема на рис. 6.28, б составлена для токов и напряжений прямой после­
довательности в фазе Л, схема рис. 6.28, в — для обратной последовательности, схема
рис. 6.28, г — для нулевой. Так как генератор дает симметричную систему ЭДС прямой
последовательности ЕЛ, Ев , Ес (а ЭДС обратной и нулевой последовательностей не
содержит), то ЭДС Е а имеется только в схеме рис. 6.28, б, а в схемах рис. 6.28, в и г ЭДС
генератора отсутствует.
Напряжения между точками а и b в этих схемах £/lf U2, У о обозначают напряже­
ния на источниках ЭДС соответственно прямой, обратной и нулевой последовательнос­
тей, через которые текут токи /,, / 2, / 0 этих последовательностей в месте аварии.
Все сопротивления в схеме на рис. 6.28, б имеют дополнительный индекс 1 , в схеме
рис. 6.28, в — индекс 2 , в схеме рис. 6.28, г — индекс 0 или 3.
Утроение сопротивления заземления генератора и двигателя в схеме на рис. 6.28, г для
нулевой последовательности объясняется тем, что по нулевому проводу течет ток, в три
раза больший, чем по фазовому проводу.
Схемы на рис. 6.28, б, в, г заменяем их эквивалентами на рис. 6.28, д, е, ж , не затра­
гивая при этом источники ЭДС, напряжение на которых равно U{, U2, U0.
Параметры схемы на рис. 6.28, д:
Параметры схемы на рис. 6.28, е:
Параметры схемы на рис. 6.28, ж:
Затем для схем рис. 6.28, d, е, ж составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:
U\ +Л гэ1 =
(6.25)
a J + /2 z ,2 = 0;
(6.26)
00+ /0 Zjq = о
(6.27)
и дополняем их тремя уравнениями, выражающими через их симметричные составляю­
щие UA, / в , /(•:
206
Гл. 6. Трехфазные цепи
■©^
3Zn
3Zjxi
Рис. 6.29
UA = U 0 +Ul + и 2 = 0;
=
/ 0 + flf2
А
+ а
^2 *
Iq —І^+аІ^+а ї2.
(6.28)
(6.29)
(6.30)
Решив систему уравнений (6.25)-(6.30), определим / 0, / ь / 2, (70, ^7,, £/2, а по
ним все токи и напряжения в исходной схеме на рис. 6.28, а.
Рассмотрим теперь последовательность расчета при другом виде аварии — обрыве ли­
нейного провода фазы А (рис. 6.29, а). Трехфазный генератор по-прежнему дает симмет­
ричную трехфазную систему ЭДС. В месте аварии вводим систему трех несимметричных
напряжений UА, 0 В 0 (' и систему трех несимметричных токов I А% / й , 1С Перехо­
дим от них к симметричным системам напряжений и токов:
Вопросы для самопроверки
207
U A = U 0 + U x+ U i ,
и в = 0 0 + а 2 0 , + a U 2;
+ Ів ~ Iq+
Ос = U 0 + a U l
+ а2 U 2;
І \ +я І2*Іс ~ Іо ^ ^ І\ +а2 І2.
После этого от трехфазной несимметричной системы (см. рис. 6.29, а) переходим к трем
схемам на рис. 6.29, б-г. Схема на рис. 6.29, 6 составлена для прямой последовательнос­
ти в фазе А, схема на рис. 6.29, в — для обратной и схема на рис. 6.29, г — для нулевой.
Схемы на рис. 6.29, б - г заменяем схемами на рис. 6.29, д-ж, соответственно.
Для схемы д:
^*э1 “ -^ГІ +^л1 +-
ZH
nІ
НІl Z Д
.
НІ +
для схемы е :
Z H2 Z -о
z, 2=zr2+z„2+--±2- f -,
Zh2+^д2
для схемы лс:
- ^гО +
+ 3 Z r3 +3 Z -з + -
ZM
o Z,
н0
^д0
^н0 + ^д0
Для схем на рис. 6.29, д - ж составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:
< ),+ /, Z3 l = £ A;
(6.31)
и 2 + і 2 Z 32 = 0 ;
(6.32)
U0 + i 0 Z y0=0.
(6.33)
Дополняем их тремя уравнениями, выражающими / л ,
рез их симметричные составляющие:
U(* в месте аварии че­
І л = І о + / і + / 2 =0;
(6-34)
UH = и о + а 2 О і + a U2 = 0;
(6.35)
0 с = U0 + a U ] + a 2 U2 =0.
(6.36)
Решаем систему уравнений (6.31)—(6.36) относительно /,, / 2, / 0, U0, £/,, £ / 2 и по
ним определяем все токи и напряжения в схеме на рис. 6.29, а .
В заключение обратим внимание на то, что сопротивления на фазу для различных
последовательностей для генератора, двигателя и трансформатора зависят от степени на­
сыщения их магнитных систем во время аварии. Заводские данные о них должны быть
известны перед проведением расчета.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение трехфазной симметричной системы ЭДС. Какими достоинства­
ми объясняется широкое распространение систем в энергетике? 2. Что понимают под ли­
нейным и нулевым проводами, линейными и фазовыми напряжениями и токами? 3. Как
вы объясните, что напряжения, которые получают от трехфазных цепей, могут быть пред­
ставлены следующим рядом: 127, 220, 380, 660 В? 4. Каковы функции нулевого провода
в системе «звезда— звезда при несимметричной нагрузке»? 5. При каких способах соеди­
нения генератора с нагрузкой линейный ток равняется фазовому? 6 . При каких способах
соединения генератора с нагрузкой линейное напряжение равняется фазовому? 7. На рас­
пределительном щитке выведены три конца симметричной трехфазной системы ЭДС. Как
208
Гл. 6. Трехфазные цепи
определить зажимы фаз А, В, С? 8 . Что понимают под активной и полной мощностями
трехфазной системы? 9. Почему при симметричной нагрузке расчет можно вести на одну
фазу? 10. Почему активную мощность трехфазной системы при наличии нулевого прово­
да нельзя измерять с помощью схемы рис. 6.19? И . Охарактеризуйте условия получения
трехфазного кругового вращающегося магнитного поля. 12. Начертите кривую, по кото­
рой будет перемещаться конец вектора результирующей магнитной индукции вращающе­
гося магнитного поля, которое образуется при обрыве фазы А трехфазной симметричной
системы на рис. 6.23, а. 13. Что свойственно прямой, нулевой и обратной последователь­
ностям фаз? 14. Как разложить несимметричную трехфазную систему на три симметрич­
ные? 15. Объясните, почему сопротивление на фазу элементов трехфазных систем (линии
передачи, трехстержневого трансформатора, асинхронного двигателя) неодинаково для
различных последовательностей. 16. Решите задачи 6.4; 6.13; 6.15; 6.21; 6.28.
Глава седьмая
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
§ 7.1. О пределение периодических несинусоидальны х токов и
напряжений. Периодическими несинусоидальными токами и напряже­
ниями называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени по пе­
риодическому несинусоидальному закону.
Они возникают при четырех различных режимах работы электричес­
ких цепей (и при сочетаниях этих режимов):
1) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС
(несинусоидальный ток), а все элементы цепи — резистивные, индуктив­
ные и емкостные — линейны, т. е. от тока величины не зависят;
2) если источник ЭДС (источник тока) дает синусоидальную ЭДС (си­
нусоидальный ток), но один или несколько элементов цепи нелинейны;
3) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС
(несинусоидальный ток), а в состав электрической цепи входят один или
несколько нелинейных элементов;
4) если источник ЭДС (тока) дает постоянную или синусоидальную
ЭДС (ток), а один или несколько элементов цепи периодически изменя­
ются во времени.
В данной главе рассматриваются методика расчета и особеннос­
ти работы линейных электрических цепей при воздействии на них
несинусоидальных ЭДС и токов — первый из перечисленных режимов
работы.
Второй и частично третий режимы работы обсуждаются в гл. 15, чет­
вертый — в гл. 18.
§ 7.2. Изображение несинусоидальных токов и напряжений с по­
мощью рядов Фурье. Из курса математики известно, что любую перио­
дическую функцию J[x) с периодом 2 я, удовлетворяющую условиям
Дирихле**, можно разложить в ряд Фурье.
Переменная величина х связана со временем / соотношением
где Т — период функции во времени.
Таким образом, период функции по jc равен 2 я, а период той же функ­
ции по времени равен Т.
’’ Все периодические функции, с которыми имеют дело в электротехнике, условиям
Дирихле удовлетворяют. Поэтому производить проверку на выполнение условий Дирихле
не требуется.
210
Гл. 7. Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях
Ряд Фурье записывают так:
/ ( я ) = Aq + А{ sin х + А2 sin 2 jc + А!ъ sin 3 jc + А\ sin 4 л: + ...
... + /41'rcosjc + Aj cos2 JC+ /I3 cos3 jc+ ^ 4 cos4 jc + ...,
где Aq — постоянная составляющая; A[ — амплитуда синусной (изме­
няющейся по закону синуса) составляющей первой гармоники; А\ —
амплитуда косинусной составляющей первой гармоники; А2 — ампли­
туда синусной составляющей второй гармоники и т. д.
Здесь
1 2п
Aq = - — \ f { x ) dx;
2 ж 0J
^ 2к
A{ = — \ f (x) sin x dx;
* о
j 2л
A’ - — f /(x ) cosx dx;
л о
і *■“
Ak = — [/(x ) sin k x dx\
71 0J
I
Ank ~ — f/ (jc) cos A: jc dx.
(7.2)
(7.3)
о
Так как
Ak sin k jc + Ak cosk x - Ak sin(A x + \\fk ) 9
где
Ak - yJ(Ak ) 2 + (A k ) 2 и tg \\Jk - Ak / Ak,
то ряд Фурье (7.1) можно записать в другой форме:
/(jc) = Aq + Al sin(jc +
+ A2 sin(2 x + vj/2) + ... =
00
= /*0 + J]/l*sin(A x + v|/*),
*=1
(7.4)
где Ak — амплитуда ^-гармоники ряда Фурье.
Гармоники, для которых к — нечетное число, называют нечетными;
для которых к — четное число, — четными.
§ 7.3. Н екоторы е свойства периодических кривы х, обладающих
симметрией. На рис. 7.1 изображены три кривые, обладающие некото­
рыми специфическими свойствами. Кривая рис. 7.1, а удовлетворяет
условию: - /(jc + 7i) = /( * ) .
Кривые, для которых выполнимо это условие, называют симметрич­
ными относительно оси абсцисс. Если кривую рис. 7.1, а сместить по оси
х на полпериода и зеркально отразить относительно оси х , то получен­
ная кривая совпадет с кривой /(jc).
§ 7.4. О разлож ении в ряд Фурье кривых...
211
А*У
Л * )>
X
б
а
в
Рис. 7.1
При разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют постоянная
составляющая и четные гармоники, т. е. равны нулю коэффициенты
Aq = А\ = А2 - Л\ = А\ - ... = 0. Поэтому кривые типа кривой на
рис. 7.1, а раскладывают в ряд так:
/ (лг) = А[ sin х + A"cosjc-f А!ъ sin3 х+ А\ cos3 х + ....
Каждое слагаемое этого ряда удовлетворяет условию - / ( jc + тс) = / ( jc),
например - sin(jc + п) - sin(x).
Кривая, подобная кривой на рис. 7.1, б, обладает симметрией отно­
сительно оси ординат и удовлетворяет условию — / ( - * ) = / ( jc).
Если кривую, лежащую левее оси ординат, зеркально отразить
относительно оси ординат, то полученная кривая совпадает с кривой,
лежащей правее оси ординат. При разложении таких кривых в ряд Фу­
рье отсутствуют синусные (А{ = А2 = А!ъ = ... = 0) составляющие, т. е.
присутствуют лишь косинусные и постоянная составляющие.
Таким образом, кривые типа кривой рис. 7.1, б можно разложить в ряд
/ (
Кривые
jc)
типа
= Aq + A{ co sjc + A '2 c o s 2
кривой
jc +
A3 c o s 3
jc
+ ...
на рис. 7.1, в удовлетворяют условию
- / ( —jc) = / ( jc), их называют кривыми, симметричными относительно
начала координат. Разложение их в ряд Фурье имеет такой вид:
/ ( jc) = A{ sin jc + A2 sin 2 jc + Аъ sin 3 jc + ...
§ 7.4. О разложении в ряд Фурье кривых геометрически правиль­
ной и неправильной форм. Встречающиеся в электротехнике периоди­
ческие кривые можно подразделить на две группы:
1) кривые геометрически правильной формы, например трапецеидаль­
ной, треугольной, прямоугольной и т. п.; разложение их в ряд Фурье дано
в табл. 7.1, где вместо jc записано со t;
2) кривые произвольной (геометрически неправильной) формы; чаще
всего они заданы в виде графика; разложение их в ряд Фурье произво­
дят графически (графоаналитически).
212
Гл. 7. Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях
Таблица
f \ am\
»аа о^[
лг
/ со/
2
7.1
у ((о/) - d ^ 2 L| sin а sin « , + 1 sin За sin 3©/ + — sin 5а sin 5со/ + ... |
ал V
9
25
J
f (со/) = ~ г * ( sin со/ - —sin Зсо/ + — sin 5ю/ - — sin 7со/ + ... |
л2 1
9
25
49
)
Qm,
я
" I T 0"
О*.
2\
со/
/ (со/) =
Л
л (
г/ ч 4 а м Л . а л
1 . Зал
Л
/(со/) = — —I (sm-— cosco/ + —sm ------cos Зсо/ +
л V
2
3
2
Г ф*
I . 5ал
.
1 . 7ал
_
^
2ж
+ ~ s m ----- cos5co/ + —sin------ cos7co/ + ...
5
2
7
2
J
,я
.
f (со/) =
\ л /
^
/
y
3
2
^
\ж /
. У\
/
\ /■/ і \ \Ь /
X * X
sin со/ + —sin Зсо/ + —sin 5со/ + —sin 7со/ + ... 1
3
5
7
J
л
w/
C
$
\
+ —!—cos 6 c o /-... 1
5-7
J
W/
/ (CO/) ss . i ^ f —+ — cos 2co/---- 1- cos 4co/ + —— cos 6 co/ - . . . I
л ^2 1-3
3-5
5-7
j
СО/
J
v
W
/
X
/"//4 #\ _ 3>T fff ^
*3
^rt P/\/,\ t _l
ЛЛЇ1Ол\ 1
^
/ ( СО/ ) = ———— — ----- 1--------- COS J C l)/----------- COS OCOi T------------COS УС0/ . . .
}
л
U
2-4
5-7
8-Ю
J
\ .
у((о/) =
' У X X X * 2 Л /'<
^.■■y..y.ry :x ...v p x )
—+ — cos со/ + — cos 2co/ — — cos 4co/ +
л \2 4
1-3
3-5
1 д „,
t
m
1 ^ 2 і.[ l
л ^
2
+ ----------- co sl 8 ©
1719
+ - ^ - c o s 6 co/------- -— c o sl 2 co/ +
5-7
11-13
/- ...
^
J
§ 7.5. Графический (графоаналитический) метод определения гармоник ряда
Фурье. Графический метод определения гармоник ряда Фурье основан на замене опреде­
ленного интеграла суммой конечного числа слагаемых. С этой целью период функции/(х),
равный 2 л, разбивают на п равных частей Дх = --^- и интегралы заменяют суммами.
По определению, постоянная составляющая п
J/W^
£"/ , ( *) Л* = ^
или
± / Р(х)
Р=I
о
„
■4o = i E / P W .
(7-5)
где р — текущий индекс, принимающий значения от 1 до л; / р(х) — значение функции
j {x) при х = ( р - 0.5) Дх, т. е. в середине р-го интервала.
§ 7.5. Графический метод определения гармоник ряда Фурье
213
Амплитуда синусной составляющей ^-гармоники ряда
(7.6)
амплитуда косинусной составляющей ^-гармоники
..
A"k
f
2
п ~
_____________
f ( x ) cosp к х,
Ґ
(7.7)
где sinp & х и cosр к х — соответственно значения функций s in * * и cosк х при
х - ( р - 0,5) Дх, т. е. в середине p -то интервала.
При расчетах по (7.5)—(7.7) обычно достаточно разделить период на « = 24 или 18
частей, а в некоторых случаях и на меньшее число.
Перед тем как производить графическое разложение в ряд, необходимо выяснить, не
обладает ли раскладываемая функция симметрией относительно осей координат (см. § 7.3).
Наличие того или иного вида симметрии позволяет до проведения разложения предска­
зать, какие гармоники следует ожидать. Так, если кривая / ( * ) симметрична относитель­
но оси абсцисс, то постоянная составляющая Aq и все четные гармоники отсутствуют, а
вычисляя А'к и Ак при нечетных к, следует учесть, что ^ f p (x)s \np k x за первый полу­
период равна сумме ^ f p (x)s\np k x за второй полупериод.
Знак углов у* в формуле (7.4) зависит от знаков А'к и Ак. При построении гармо­
ник на общем графике необходимо учитывать, что масштаб по оси абсцисс для А-гармоники должен быть взят в к раз большим, чем для первой гармоники.
Так, если некоторый отрезок на оси абсцисс для первой гармоники выражает собой
угол л /3 , то тот же отрезок для третьей гармоники выражает собой угол, в 3 раза боль­
ший, т. е. 3 я /3 = л.
П ри м ер 64. Найти первую и третью гармоники функции /( * ) , изображенной на
рис. 7.2, а. Значения ординат функции / ( х ) за первый полупериод при разбивке периода
на п - 24 части — следующие:
р
1
2
3
4
5
6
/ р (х)
7
11
13,5
15,4
17,4
20,5
7
8
25,4 32,5
9
10
11
12
27,7
19,2
10
5
Р е ш е н и е . Так как кривая симметрична относительно оси абсцисс, то Л0 = 0 и ряд
будет состоять только из нечетных гармоник.
214
Гл. 7. Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях
Амплитуда синусной составляющей первой гармоники
2 "
4 ^2
А\ —
Л />=і
sin^ х — ^ *f р (■*) sin р х ,
п р=і
Л' = — (7 sin 7°30' +11 sin 22°30' +13,5 sin 37°30' +
1
24 v
+15,4 sin 52°30' +17,4 sin 67°30' + 20,5 sin 82°30' +
+ 25,4 sin97°30' + 32,5 sin 112°30' + 27,7 sin 127°30' +
+19,2 sin 42°30' +10 sin 157°30' + 5 sin 172°30') * 25,3.
Амплитуда косинусной составляющей первой гармоники
4 "/2
А[ = - £ / , , ( * ) cos,, х * -5,23.
” Р=і
Амплитуда синусной составляющей третьей гармоники
4 12
А }' ~ 2 4 % S p ( x ) ш р З х * З А 7 р =1
Амплитуда косинусной составляющей третьей гармоники
Аз = ^ - ] ^ / р ( х ) cos,, З х * 5,1.
Р=1
Амплитуда первой гармоники Ах
= 25,9. Тангенс угла у ,, на который
начало первой гармоники смещено относительно начала кривой / ( х ) ,
tg y , =А\1 А; = -5,23/25,3 = -0,206;
у , = -1 1 °4 0 \
Амплитуда третьей гармоники
A} = J ( A t f + ( A 3’ f
= 6;
t g y 3 = A j / А'} = 1,47;
ч/3 =55°50'.
Следовательно, если ограничиться третьей гармоникой, то
/(со /) = 25,9sin(co t - 1 1°40') + 6sin(3 со / + 55°50').
На рис. 7.2, б изображены первая и третья гармоники полученного ряда, а также ре­
зультирующая (суммарная) кривая. Ее можно сопоставить с кривой на рис. 7.2, а.
§ 7.6. Расчет токов и напряжений при несинусоидальных источ­
никах питания. До проведения расчета вынуждающие силы (ток источ­
ника тока или ЭДС источника ЭДС) должны быть представлены рядами
Фурье.
Согласно принципу наложения, мгновенное значение тока любой вет­
ви схемы равно сумме мгновенных значений токов отдельных гармоник.
Аналогично мгновенное значение напряжения на любом участке схемы
равно сумме мгновенных значений напряжений отдельных гармоник на
этом участке. Расчет производят для каждой из гармоник в отдельности
с помощью уже известных приемов. Сначала рассчитывают токи и на­
пряжения, возникающие от действия постоянной составляющей ЭДС или
источника тока, затем токи и напряжения от действия первой гармони­
ки, после чего от второй, третьей и т. д.
§ 7.6. Расчет токов и напряжений при несинусоидальных источниках питания
215
При расчете токов и напряжений, возникающих от действия постоян­
ной составляющей ЭДС, необходимо иметь в виду, что падение напря­
жения на L при постоянном токе равно нулю, а также что постоянный
ток через конденсатор С не проходит.
При расчете следует учитывать, что индуктивное сопротивление X L
растет прямо пропорционально частоте. Поэтому для Л-гармоники X Lk
в к раз больше, чем для первой гармоники X L] :
X L k= k (o L = k Х и ;
Х 1Л = со L.
(7.8)
Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты, поэтому для
^-гармоники Х ск в к раз меньше, чем для первой гармоники Х сл :
1 _ Хс\
к со С
Х сл -■
(7.9)
соС
Для каждой гармоники можно построить векторную диаграмму. Од­
нако откладывать на векторной диаграмме токи и падения напряжения
различных частот и тем более векторно складывать токи и падения на­
пряжения различных частот недопустимо, поскольку угловые скорости
вращения векторов разных частот неодинаковы.
Резистивные сопротивления, если частоты не очень велики, полага­
ют от частоты не зависящими.
При расчете каждую гармонику выражают комплексным числом. Сум­
мирование одноименных гармоник производят сложением комплексных
чисел или векторов на комплексной плоскости, т. е. так же, как это дела­
лось в гл. 3.
П ример 65. В левой ветви схемы рис. 7.3, а имеется источник тока у(/) = l km cos 2 со /,
в средней (второй) — источник ЭДС е(/) = Е0 + Ет sin со /. Катушка индуктивностью Ц
магнитно связана с катушкой индуктивностью Ц . Взаимная индуктивность между ними
М. Определить мгновенное значение тока / 3 и напряжения и ^ на зажимах Ц . Дано:
1кт = 5 А; со = 1000 рад/с; £ 0 = З В; Ет =6 В; /?, = 3 Ом; Ц = 3 мГн; Л/ = 1мГн.
/< 2 >
JL
j(oL
Я, П
]j2<aL
Р е ш е н и е . Положительные направления для токов выберем в соответствии с
рис. 7.3, а. По второму закону Кирхгофа
diA
, , di\
216
Гл. 7. Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях
Воспользуемся принципом наложения и найдем составляющие тока
от каждого
источника в отдельности.
Схема рис. 7.3, б служит для расчета токов от действия постоянной составляющей ЭДС.
Левая ветвь схемы разомкнута, так как в ней включен источник тока с бесконечным со­
противлением. Правая ветвь короткозамкнута, так как индуктивность для постоянного тока
имеет нулевое сопротивление. При ЭТОМ /^0) = Е0 //?! = 1 А.
Первую гармонику тока
найдем, используя схему на рис. 7.3, в:
/|2
Зт
Вторую гармонику тока
= — ~— = 1.41 е'-,45°.
3+ 3j
вычислим в соответствии со схемой на рис. 7.3, г:
/( 2 ) = 5 е / 9 0 - _ 3 ------ 2,23 е-/26"40'
Зт
Мгновенное значение тока
;3
/3
3+ уб
равно сумме мгновенных значений.
= ;<0) + i\]) + /<2) =1 + 1,41 sin(co / - 45°) + 2,23 sin(2 со I + 26°40’) А.
Напряжение
иЬа ~ - М
dt
- 1,41 cos(co t - 45°) - 4,46 cos(2
со/ + 26°40') В.
§ 7.7. Резонансны е явл ен и я при несинусоидальны х токах. Как
известно из гл. 3, резонансным режимом работы электрической цепи,
содержащей один или несколько индуктивных и один или несколько
емкостных элементов, называют такой режим, при котором ток на входе
совпадает по фазе с действующей на входе ЭДС.
Если действующая ЭДС несинусоидальна, то в электрической цепи
могут возникать резонансные режимы (резонансы токов или напряжений)
не только на первой, но и на высших гармониках.
Условимся под резонансом на /г-гармонике понимать такой режим
работы, при котором ток /с-гармоники на входе цепи по фазе совпадает с
^-гармоникой, действующей на входе ЭДС (но при этом токи остальных
гармоник не совпадают по фазе с вызвавшими их ЭДС).
Если учитывать активные сопротивления индуктивных катушек, то
условие возникновения резонанса для какой-либо гармоники заключает­
ся в том, что реактивная составляющая входного сопротивления для этой
гармоники должна быть равна нулю.
Исследование резонансных явлений при несинусоидальных токах ча­
сто производят, полагая активные сопротивления индуктивных катушек
равными нулю. В этом случае входное сопротивление при резонансе
токов равно бесконечности, а входное сопротивление при резонансе на­
пряжений равно нулю.
При возникновении резонансного и близкого к нему режима на какойлибо высшей гармонике токи и (или) напряжения этой гармоники могут
оказаться большими, чем токи и напряжения первой гармоники на этих
участках цепи, несмотря на то что амплитуда соответствующей высшей
гармоники ЭДС на входе схемы может быть в несколько раз меньше ам­
плитуды первой гармоники ЭДС.
§ 7.8. Действующие значения несинусоидального тока и... напряжения
П рим ер 6 6 . В схеме (рис. 7.4) катушка обладает индуктивно­
стью L2. Полагая активное сопротивление индуктивной катушки
равным нулю, найти, при каких значениях емкостей С\ и С2 вход­
ное сопротивление схемы для первой гармоники равняется нулю,
а для девятой — бесконечности.
217
г
Ll
-КРі
Ре ше ни е :
Рис. 7.4
j 9 со L2
9со С,
j
9o>V
9 саС,
9 CO C j
Совместное решение дает — -— = 81 со Ц ; —-— = — со L?.
со С2
со С,
80
§ 7.8. Действую щие значения несинусоидального тока и несину­
соидального напряжения. По определению (см. § 3.2), квадрат дейст­
вующего значения тока / выражают через мгновенное значение тока /
следующим образом:
/ 2 = - J/2 dt.
Т
1 оJ
Если ток
/ = / 0 + / !m Sin(<B/ + H /,)+ /2m sin(2 0H + l|/2) + ...,
TO
* = / 0! + I]4 m sin (А СО/
*=1
+ V|/^) +
/7 = 0
q=0,p*q.
Ho
T
T
Jsin2(£ со t + \yk) dt = у ;
о
(7.10)
J s i n ( p со t + \yp)s\n(q со / + \y4) dt = 0.
0
P*4
Поэтому
I 2 = Iq + / i « / 2 + / | т
/2 + / 32ш/2 + ...
или
/ = V/02 + /,2т /2 + / | т /2 +.
(7.11)
218______ Гл. 7. Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях
Так как амплитуда Л-гармоники тока Ikm в
щего значения тока ^-гармоники Ik, то
^ km _ 1km ^ km
раз больше действую­
_ г2.
2 “ V2 V2
І = УІІ2 + І Ї + І І + І І + . . . .
(7.12)
Следовательно, действующее значение несинусоидального тока рав­
но корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей
тока и действующих значений отдельных гармоник. От угла сдвига фаз
\\jk действующее значение тока не зависит.
Аналогично действующее значение несинусоидального напряжения U
равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей
и действующих значений отдельных гармоник:
и =
+ U\ + U 2 +U* +■■■ •
(7ЛЗ)
П ри м ер 67. На входе двухполюсника и = 100 + 80sin(co/ + 30°) + 60sin (Зсо/+ 20°) +
+50 sin(5co / + 45°) В; і = 33,3 +17.87 sin(co /-1 8 ° ) + 5,59 sin(5co t +120°) А. Найти их дей­
ствующие значения.
Решение.
и = VlOO2 + 802 /2 + 602 /2 + 502 /2 = 127,1 В;
1 = д/зЗ,22 + 17,872 / 2 + 5,592 / 2 = 35,6 А.
§ 7.9. Среднее по модулю значение несинусоидальной функции.
Под средним по модулю значением функции понимают среднее значение
модуля этой функции за период:
1 2я
— f|/(co/)|rf<»f.
2 71 о
(7.14)
В отличие от действующего значения оно зависит от значений цік.
П рим ер 6 8 . Дана функция, не содержащая постоянной составляющей и четных гар­
моник и не изменяющая знака в течение каждого полупериода. Определить ее среднее по
модулю значение.
Р е ш е н и е . Разложим заданную функцию в ряд Фурье:
/ = 1Хт sin(co/ + vj/1) + / 3w sin(3co/ + \|/3) + / 5m sin(5co/ + i|/5) + ...
После интегрирования получим
/ср по мод
C0SV*'| + ^ h m COSV| / 3 + j / 5m COS4/5 +•••]■
(7 1 5 >
§ 7.11. Активная и полная мощности несинусоидального тока
219
§ 7.10. Величины, которые измеряют амперметры и вольтметры
при несинусоидальных токах. Несинусоидальные токи и напряжения
измеряют приборами различных систем. Принципы действия этих при­
боров рассматривают в курсе электрических измерений. Поэтому здесь
упомянем лишь, какие величины измеряют вольтметры и амперметры
различных систем.
Приборы электромагнитной, электродинамической и тепловой систем
реагируют на действующее значение, магнитоэлектрические приборы с
выпрямителем — на среднее по модулю значение величины, магнитоэлек­
трические без выпрямителя — на постоянную составляющую, амплитуд­
ные электронные вольтметры — на максимальное значение функции.
Напомним, что на лицевой стороне измерительного прибора всегда
имеется условный значок, свидетельствующий о том, к какой системе
относится данный прибор. На рис. 7.5 приведены некоторые из них:
а — магнитоэлектрическая с подвижной рамкой; б — магнитоэлектри­
ческая с подвижным магнитом; в — электромагнитная; г — электроди­
намическая; д — ферродинамическая; е — тепловая; ж — электроста­
тическая; з — магнитоэлектрическая с выпрямителем.
□ f t
f 11 J
+ Q
-ы -
Рис. 7.5
В настоящее время обозначения несколько изменены: измерительные
приборы электромагнитной системы стали обозначать
тепловой си­
стемы — значком < 0 , электростатической —
детекторной----§ 7.11. Активная и полная мощности несинусоидального тока. Под
активной мощностью Р несинусоидального тока понимают среднее зна­
чение мгновенной мощности за период первой гармоники:
Если представить напряжение и и ток і рядами Фурье:
U = U0 +Ulm sin(co/ + У\) + и 2т sin(2co/ + V|/2) + (73m sin(3 со / ч - ) -к...;
/ = / 0 + / lw sin(o)/ + і|/, - ф 1) + / 2т sin(2 со/ + \у2 - ф 2) +
+ / Зда sin(3 со / + V|/3 —фз) + ...,
подставить эти ряды под знак интеграла и проинтегрировать, учтя соот­
220
Гл. 7. Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях
ношения (7.10), то можно получить
Р = U 0 / 0 +£/, /j coscpj +U 2 I 2 cosф2 + и ъ / 3 совфз + ....
(7.16)
Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна
сумме активных мощностей отдельных гармоник.
Полная мощность S равна произведению действующего значения
несинусоидального напряжения на действующее значение несинусоидаль­
ного тока:
5 = £/ / ,
(7.17)
где
и =^ u l+ u } + u l+ u l
/ = V/ o + л2 + / | + / 32
-
Пример 69. Определить Р и 5, если
U = 25,9 sin(o) / - 1 1°40') + 6 sin(3 со t + 53°50') В;
/ = 3 sin(co t - 40°) + 0,9
sin(3 со / +125°) A.
Решение.
Щ = 2 5 ,9 /> /2 = 1 8,3 В;
/, = 2,13 А;
U3 = 6 / Vi* = 4,26 В;
/ 3
=0,9 A;
ф, = - 1 1 ° 4 0 ' - ( - 4 0 ° ) = 2 8 °4 0 ';
ф 3 = - 7 1 ° 1O';
P = 18,3 • 2,13 cos 28°40' + 4,26 • 0,9 cos 71 ° 10' = 3 5,5 Вт;
U =
J u f+ L /f = 18,55 В;
I = ^2,132 +0,9 2 = 2,31 A;
S = U I = 18,55 • 2,31 = 42,8 BA.
§ 7.12. Замена несинусоидальных токов и напряжений эквивалентными синусо­
идальными. При изучении некоторых простейших свойств нелинейных электрических
цепей (см. гл. 15) несинусоидальные токи и напряжения, не содержащие постоянных со­
ставляющих и в которых высшие гармоники выражены слабо, заменяют эквивалентными
синусоидальными. Действующее значение синусоидального тока принимают равным
действующему значению заменяемого несинусоидального тока, а действующее значение
синусоидального напряжения — равным действующему значению несинусоидального
напряжения.
Сдвиг фаз ф эк между эквивалентными синусоидами напряжения и тока берут таким,
чтобы активная мощность эквивалентного синусоидального тока была равна активной
мощности несинусоидального тока, т. е.
«>s <p„< = J j-j-
(7 1 8 )
Пример 70. Заменить несинусоидальный ток и напряжение из примера 69 эквивалент­
ными и найти сдвиг фаз ф эк между ними.
§ 7.13. Особенности работы трехфазных систем, вызываемых гармониками..
221
Р е ш е н и е . Действующее значение синусоидального напряжения U = 18,55 В; дей­
ствующее значение синусоидального тока / = 2,31 A; cos <рэк = 35,5 /(18,55 • 2,31) = 0,828;
Ф « = 3 4 °.
§ 7.13м. Особенности работы трехфазных систем, вызываемых гармониками,
кратными трем.
ЭДС каждой фазы трехфазного трансформатора или трехфазного генератора часто
оказываются несинусоидальными. Каждая ЭДС (еА, ев , ес ) повторяет по форме осталь­
ные со сдвигом на одну треть периода 773 и может быть разложена на гармоники. По­
стоянная составляющая обычно отсутствует.
Пусть /r-гармоника ЭДС фазы А
ekA = Ект sm(k
о / + V* )•
Так как ЭДС фазы В отстает от ЭДС фазы А на Г /3 , а ЭДС фазы С опережает ЭДС
фазы А на 773, то ^-гармоники ЭДС фаз В и С соответственно
Ч в = Е кп sin(* w ^ - у
j + V* ) = Е кт sin(* <*>1 - 120° * + V* );
екС = Ект s‘n(*
05
1 + 1 2 0 ° к + \|/* );
• _
, 2пТ
, 2л
Ап .
к (х>Т2 = к ------- = /с----- = 120° к.
3
Г3
3
Если Л = 1,4,7,10, то ^-гармоника ЭДС фазы В отстает на 120° от /:-гармоники ЭДС
фазы А. Следовательно, 1-, 4-, 7-, 10-я гармоники образуют систему прямой последова­
тельности фаз (что понимают под прямой
последовательностью фаз — см. § 6 .2 0 ).
Если А: = 2 ,5 , 8 ,11, то ^-гармоника
ЭДС фазы В опережает Л-гармонику ЭДС
фазы А на 120°. Следовательно, 2-, 5-,
8 -я и т. д. гармоники образуют систему
обратной последовательности.
Гармоники,
кратные
трем
(к = 3 , 6 ,9 ,...), образуют систему нуле­
вой последовательности, т. е. третьи гар­
моники ЭДС всех трех фаз совпадают по
фазе (3 -120° = 360°):
*3 А = езв = еъс = ЕЪт sin(3 0 ) t + 4/ 3 ).
Шестые гармоники ЭДС также со­
впадают по фазе и т. д.
Совпадение по фазе третьих гармо­
ник ЭДС всех трех фаз проиллюстриру­
ем графически. На рис. 7.6 ЭДС еА, еВу
ес представляют собой три фазные ЭДС
трехфазного генератора. Они имеют пря­
моугольную форму и сдвинуты относи­
тельно друг друга на одну треть периода
(Г /3 ) основной частоты. На том же рисунке показаны 1 -я и 3-я гармоники каждой ЭДС.
Из рисунка видно, что третьи гармоники ЭДС действительно находятся в фазе.
Рассмотрим особенности работы трехфазных систем, вызываемые гармониками, крат­
ными трем.
‘‘Материал § 7.13 особенно необходим студентам электроэнергетических и электро­
механических специальностей.
222
Гл. 7. Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях
1.
При соединении обмоток трехфазного генератора (трехфазного трансформатора) тре­
угольником (рис. 7.7, а) по ним протекают токи гармоник, кратных трем, даже при отсут­
ствии внешней нагрузки. Алгебраическая сумма третьих гармоник ЭДС равна 3 2Г3. #) Обо­
значим сопротивление обмоток каждой фазы для третьей гармоники Z3, тогда ток тре­
тьей гармоники в треугольнике / 3 = 3 Е3 /3 Z 3 = £ 3 /Z 3. Аналогично, ток шестой гармо­
ники / 6 = £ 6 /Z 6, где Ё6 — действующее значение шестой гармоники фазовой ЭДС;
Z 6 — сопротивление фазы для шестой гармоники.
А
А
а
6
Рис. 7.7
Действующее значение тока, протекающего по замкнутому треугольнику в схеме на
рис. 7.7, а:
/=
+ / |+ / |+ ....
2. Если соединить обмотки трехфазного генератора (трехфазного трансформатора) в
открытый треугольник (рис. 7.7, б), то при наличии в фазовых ЭДС гармоник, кратных
трем, на зажимах т и п будет напряжение, равное сумме ЭДС гармоник, кратных трем:
U = ЕЪт sin(3 со / + у 3) + ЕЬт sin(6 cof + ц/6) + . . . .
Показание вольтметра в схеме рис. 7.7, б
U
.
3. В линейном напряжении независимо от того, звездой или треугольником соедине­
ны обмотки генератора (трансформатора), гармоники, кратные трем, отсутствуют, если
нагрузка равномерна.
Рассмотрим сначала схему соединения трехфазного источника ЭДС треугольни­
ком (рис. 7.7у а) при отсутствии внешней нагрузки. Обозначив ф ^ 3 потенциал точки А ,
Флз 7 ~ потенциал точки В по третьей гармонике, получим ф ^ = Фя3 + £ 3 - / 3 Z3. Но
£ 3 = / 3 Z3; следовательно, ф ^ 3 = ф д 3. При наличии равномерной нагрузки, соединенной
треугольником, каждая фаза генератора (трансформатора) и параллельно ей присоединен­
ная нагрузка могут быть заменены эквивалентной ветвью, с некоторой ЭДС £ 3 и сопро­
тивлением Z3. На полученную схему можно распространить вывод, сделанный для слу­
чая отсутствия внешней нагрузки.
При соединении звездой трехфазного источника ЭДС (рис. 7.8) линейное напряжение
третьей гармоники равно разности соответствующих фазовых напряжений. Так как тре­
тьи гармоники в фазовых напряжениях совпадают по фазе, то при составлении этой раз­
ности они вычитаются.
В фазовом напряжении могут присутствовать все гармоники (постоянная составляю­
щая обычно отсутствует). Следовательно, действующее значение фазового напряжения
^Алгебраическая сумма первых гармоник ЭДС и всех гармоник ЭДС, не кратных трем,
равна нулю, поэтому от перечисленных гармоник при отсутствии нагрузки по замкнуто­
му треугольнику ток протекать не будет.
§ 7.13. Особенности работы трехфазных систем, вызываемых гармониками..
223
Рис. 7.9
Рис. 7.8
u$=ijuf+ul+ui+ul+....
В линейном напряжении схемы (см. рис. 7.8) отсутствуют гармоники, кратные трем,
поэтому
4.
При соединении генератора и равномерной нагрузки звездой и отсутствии нулевого
провода токи третьих и других гармоник нулевой последовательности не могут протекать
по линейным проводам. Поэтому между нулевыми точками приемника 0' и генератора О
(рис. 7.9) при Z0 = оо возникает напряжение
Щ'О = £ 3 rn sin(3со/ + vj/3)+ Е6т sin(6co/ + i|/6) + ...,
действующее значение которого
5.
Если в схеме «звезда—звезда» при равномерной нагрузке фаз сопротивление нагруз­
ки для третьей гармоники обозначить Zh3, а сопротивление нулевого провода для
третьей гармоники — Z03 (см. рис. 7.9), то по нулевому проводу будет протекать ток
третьей гармоники:
По каждому из линейных проводов будет протекать ток третьей гармоники / 03 /3.
Аналогично находят токи и других гармоник, кратных трем.
П рим ер 71. Мгновенное значение напряжения фазы А трехфазного генератора
иА = 127 sin(co / +10°) + 30 sin(3 со / + 20°) + 20 sin(l 1 со / +15°) В.
Определить мгновенное значение линейного напряжения при соединении генератора
звездой.
Р е ш е н и е . В линейном напряжении третья гармоника отсутствует. Первые гармо­
ники фаз А и В по фазе сдвинуты на 120°. Поэтому линейное напряжение U АВ первой
гармоники в V3 раз больше фазового напряжения первой гармоники UА и на 30° опе­
режает его по фазе.
Одиннадцатая гармоника (обратная последовательность фаз) линейного напряжения
отстает по фазе от одиннадцатой гармоники напряжения фазы А на 30° и в V3 раз боль­
ше ее:
илв = 127 л/з sin(co t + 40°) + 20 7 з sin(l 1 m l - 15°) B.
224
Гл. 7. Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях
Рис. 7.11
П ример 72. ЭДС фазы А в схеме (рис. 7.10) еА = 170 sin со / + 80 cos 3 со / + 34 cos 9 со / В;
Ом; c o Z, = 2 0 m .
Определить показания всех приборов (приборы электродинамической системы).
Р е ш е н и е . Действующие значения ЭДС
/? = 9
£, = 1 7 0 /7 2 = 1 2 1 В;
£ 3 = 56,5В ;
£ 9 = 24,2В.
По линейным проводам течет первая гармоника тока:
/, = £ ,/,//? * + (со Л)2 =121/9,2 = 13,2 А.
Показания вольтметров:
= у] е ? + Е] + Eg =136 В;
Vy
= ч/J • 118,5 = 205 В;
V2 = /, /Є, = 13,2-9 = 118,5 В;
V4 = /, со L = 26,4 В;
Vs = J e ? + E \ = 61,4B .
П рим ер 73. ЭДС каждой фазы генератора (рис. 7.11) изменяется по трапецеидально­
му закону: ат - 220 В; а = Т /36; нагрузка равномерная; R - 6 Ом; со L = 0,5 Ом;
1/со С = 12 Ом. Определить мгновенное значение тока по нулевому проводу, пренебрегая
гармониками тока выше седьмой.
Р е ш е н и е . С помощью табл. 7.1 запишем разложение трапецеидальной ЭДС:
4 220
1
1
1
е А = ---------(sin 10° sin со / + —sin 30° sin 3 со / + — sin 50° sin 5 со / + — sin 70° sin 7 co /).
я
9
25
49
---- 7U
18
Следовательно,
eA - 274 sinco/ + 89,3 sin3 co t + 49,5 sin 5 со / + 30,9 sin 7 со/.
По нулевому проводу протекает только третья гармоника тока:
/оз -■
А__
где
£ 3 = 8 9 ,3 /7 2 = 63,3 В;
Z03 = 1,5 ;;
Zh3 = 6 - 4 v;
Z„ / 3 = 2 - y 1,33;
/ 03 = 63,3 / (1,5 у + 2 - у 1,33) = 31,8 е ' 4”40' А.
Мгновенное значение тока /03 = 44,8 sin(3 со / - 4°40') А.
§ 7.15. Модулированные колебания
225
§ 7.14. Биения. Колебательный процесс, получающийся в результате
сложения двух синусоидальных колебаний с равными амплитудами А и
близкими, но не равными частотами и>{ и со2, дает колебание, которое
называют биением. Пусть / ( / ) = A sin со1 / + A sin со2
Воспользуемся известным тригонометрическим преобразованием
. п '
ос-В . а + р
sin а + sm В = 2 cos----- sin ----
2
2
Следовательно, / ( / ) можно представить
следующим образом:
f i t ) = 2 A cos Q t sin со г,
где
Q - (со! -со2)/2 ;
со =
( c o j + со2 ) / 2
(Q
со).
График результирующего колебания изображен на рис. 7.12. Ампли­
туда колебания изменяется по закону 2 A cos Q /. Огибающая колебаний
показана штриховой линией.
Возникновение биений при сложении двух синусоидальных колебаний с равными ам­
плитудами и близкими (но не равными) частотами используется на практике в различных
целях, в частности для того, чтобы установить, что складываемые колебания имеют
неодинаковые частоты.
§ 7.15. М одулированные колебания. При передаче информации
широко применяют модулированные колебания. Модулированным коле­
банием / ( / ) = A sin(co t + ці) называют колебание, в котором амплитуда А ,
частота со, фаза v;/ или те и другие вместе изменяются во времени.
Колебание, в котором изменяется только амплитуда А , а угловая час­
тота со и фаза у неизменны, называют колебанием, модулированным по
амплитуде.
Колебание с изменяющейся угловой частотой со, но неизменными
амплитудой А и фазой іу называют колебанием, модулированным по ча­
стоте .
Колебание, в котором изменяется только фаза \|/, а амплитуда А и
угловая частота со неизменны, называют колебанием, модулированным
по фазе.
Простейшим амплитудно-модулированным (AM) является колебание,
в котором амплитуда модулирована по закону синуса:
f i t ) = Aq (1 + т sin Г2 /) sin(co t + у),
где т — глубина модуляции (как правило, т < 1), Q — частота модуля­
ции (Q с со).
График АМ-колебания показан на рис. 7.13, а (огибающая показана
штриховой линией).
8 - 4657
226
Гл. 7. Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях
JLL
_1_е
JL ii
(Оо
(Оо
д
Рис. 7.13
Если воспользоваться известным из тригонометрии тождеством
sin a sin р = ~ cos(a - Р) - ~ cos(a + р),
то колебание
Aq( 1+ т sin Q /) sin(co / + у )
можно представить в виде суммы трех колебаний:
/( О = Aq sin(co t + v|/) +
cos((co - Q) t + ці) - m^ - cos((co + Q) t + ц/).
Частоту со называют несущей, а частоты (co-Q ) и (co + Q) — боко­
выми. Спектр АМ-колебания изображен на рис. 7.13, б. Действующее
значение функции / ( / ) в соответствии с формулой (7.11) равно
^ ф
+ (т 2 / 2 ).
П рим ер 74. Разложить на составляющие функцию / ( / ) = 20(1 + 0,6 sin 103 /) sin 105 /.
Р е ш е н и е . Боковые частоты
со - П = 99 ■103;
со + О = 101103;
т Aq /2 = 6.
Следовательно,
/ ( / ) = 20 sin 105 / + 6 cos(99 • 103 /) - 6 cos(l 01 • 103 /).
Амплитуды колебания боковых частот при АМ-колебании зависят от
глубины модуляции т, но не зависят от частоты модуляции Q.
Ширина полосы частот, занимаемой АМ-колебанием, не зависит от т
и равна (co + Q ) - ( c o - Q ) = 2 f l
§ 7.15. Модулированные колебания
227
Рассмотрим спектры частотно-модулированных (ЧМ) и фазомодулированных (ФМ) колебаний. Форма колебаний качественно показана на
рис. 7.13, в.
Аргумент синусоидально изменяющейся функции f { t ) обозначим
а (/). Тогда
/ ( / ) = ^sin(cc(0),
(7.19)
а (0 можно интерпретировать как угол, на который повернется враща­
ющийся вектор на комплексной плоскости за время /. Угловая частота
поворота этого вектора со = da( t ) / dt. В том случае, когда со = со0 = const,
а(/) = Jco0 dt = соо г;
/ (/) = A sin со0 t.
При частотной модуляции частота со изменяется и равна со0 + Дсо ср(/).
При этом
a(t) = J(co0 + Дсо ф(/)) dt = со0 / + Дсо |ф (/) dt.
При ф(/) = cosQ /
а ( 0 = со0 t + у sin Q /,
(7.20)
где у = Дсо/Q — глубина модуляции.
Таким образом,
/ ( / ) / A - sin(o)0 + у sin Q /) = sin со t cos(y sin Q t) + cos co0 t sin(y sin Q t),
HO
oo
sin(y sin £10 = 2 £ ^ 2п+\(У) s’n(2 n +1) О t\
n=0
oo
cos(y sin Q /) = J 0 (y) + 2 Y, J 2n (y) cos 2 n Q /,
n=о
где J k (y^) — бесселева функция і - го порядка от действительного аргу­
мента у*\ Графики трех бесселевых функций при А: = 0 ,1,2 изображе­
ны на рис. 7.14.
После преобразований
оо
f ( t ) / A = J 0(y)sinco0 / + £ ( - 1 ) * J k(y)sin(o)0 - k Q ) t +
оо
*=1
(7.21)
+ £ Л ( У ) sin(0)0 - k Q ) t .
Ы1
Теоретически полоса частот, занимаемых ЧМ-колебанием, равна бес­
конечности. Однако если учесть, что с ростом к значение J к (у) быстро
уменьшается, и в равенстве (7.21) отбросить слагаемые рядов, амплиту'Ю бщее выражение для бесселевых функций приведено в § 15.14.
228
Гл. 7. Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях
ды которых меньше 0,01, чему соответствует к > у, то ЧМ-колебание
практически занимает полосу частот:
(о)0 + к Q) - (со0 ~ k Q ) ~ 2 k Q ~ 2 y Q = 2(А со/ Q) Q = 2 Асо.
Ширина ее зависит от глубины модуляции Асо и не зависит от часто­
ты модуляции Q. Амплитуды боковых частот зависят от Асо и Q. Спектр
ЧМ-колебания при у = 5 показан на рис. 7.13, г.
При фазовой модуляции угловая частота со0 неизменна и меняется
только фаза ц/(/). Следовательно,
а(() = со0 / + v|/(/).
Приняв
vj/(/) = v]/m соs Q t ,
получим
/( О = A sin(co0 t + \\Jm cos Qt ).
Амплрітуда фазы ц/т от частоты модуляции Q не зависит.
Опустив выкладки, определим, что амплитуды боковых частот зави­
сят от
, а ширина полосы частот 2 к 0 , » 2 \ут Q — от \\)т и Q.
Спектр ФМ-колебания при к Q = 5 изображен на рис. 7.13, д.
Из рис. 7.14 видно, что если х с
то J 0 (x)& 1, a J l( x ) &x / 2 . От­
сюда следует, что в ЧМ-колебании при у с 1, а в ФМ-колебании при
v|/w
1 можно ограничиться только основной гармоникой со0 и двумя
боковыми со0 ± Q, т. е. в этом случае имеет место почти такая же ситуа­
ция, что и в АМ-колебании.
Вопросы для самопроверки
229
Различие будет в том, что при ЧМ и ФМ на комплексной плоскости
два вращающихся вектора боковых частот дают в сумме вектор, направ­
ленный перпендикулярно неподвижному вектору частоты со0, тогда как
при AM векторная сумма двух вращающихся векторов боковых частот
будет направлена вдоль неподвижного вектора частоты со0. Это разли­
чие вызвано разными знаками у временных компонент гармоники час­
тоты co0 -Q .
§ 7.16. Расчет линейных цепей при воздействии модулированных
колебаний. Расчет токов и напряжений в линейных электрических це­
пях при воздействии на них модулированных колебаний производят для
мгновенных значений величин либо для мгновенного значения огибаю­
щей. В первом случае расчет проводят путем разложения модулирован­
ных колебаний на составляющие, вычисления токов и напряжений от каж­
дой из них в отдельности и последующего суммирования соответствую­
щих токов и напряжений на основании принципа наложения. При этом
ограничиваются теми составляющими, которые существенны в форми­
ровании выходной величины.
При воздействии АМ-колебания на какую-либо систему точный рас­
чет огибающей выходной величины может быть осуществлен по форму­
ле интеграла Дюамеля для огибающей (см. § 8.67).
Вопросы для самопроверки
1.
В каких случаях следует ожидать возникновения несинусоидальных токов и напря­
жений в электрических цепях? 2. Какие виды симметрии несинусоидальных кривых вы
знаете и как они сказываются на гармоническом составе? 3. Изложите основные положе­
ния, на которых основывается методика расчета линейных цепей при периодических
несинусоидальных воздействиях. 4. Входное напряжение квх(/) (рис. 7.15, а) содержит
2а
1А
П ф
Г.
\ .... п
-2 А
''А .
Ян
6
Umcos о)/
в
Рис. 7.15
постоянную составляющую, первую и третью гармоники. Определите С\ и С3 через со
и Z,3, чтобы в нагрузку RH проходила неизменной только первая гармоника, а остальные
отсутствовали. (Ответ: Сх - 8 / (9 со2 L3); С3 = 1 / (9 со2 L3) . ) 5. Охарактеризуйте физи­
ческий смысл действующего значения несинусоидального тока. 6. Всегда ли самым корот­
ким расчетным путем при определении действующего значения несинусоидального тока /
является нахождение его по гармоническому составу, по формуле (7.10)? Определить / на
рис. 7.15, б. (Ответ: 0,707 А .) 7. Приборами каких систем можно измерять: а) действую­
щее значение несинусоидального тока; б) среднее по модулю значение; в) амплитудное зна­
чение? 8. Определить действующее значение тока / = 5(1 - 0,8 sin 100 /) sin 1000 /. (Ответ:
4,075 А .) 9. Почему нельзя складывать действующие значения токов различных частот?
230
Гл. 7. Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях
10. Могут ли отдельные слагаемые в формуле активной мощности (7.16) быть отрицатель­
ными? 11. При каких ограничениях несинусоидальные токи и напряжения приближенно
могут быть заменены эквивалентными синусоидальными? 12. Чем можно объяснить, что
при равномерной нагрузке трехфазной системы «звезда—звезда» для протекания токов тре­
тьих гармоник необходим нулевой провод? 13. В каком случае возникают колебания, на­
зываемые биениями? 14. Охарактеризуйте виды модулированных колебаний и занимаемые
ими полосы частот. 15. Нарисуйте графики колебаний, модулированных: а) по амплитуде;
б) частоте; в) фазе. 16. На рис. 7.15, в изображена функция f ( t ) = ( - U 0 +Um c o so )/)> 0
(Um > U0). Она имеет вид положительных косинусоидальных импульсов. Угол отсечки
а = arccos(£/0 Ш т). Вывести формулы для постоянной составляющей и амплитуды £-гармоники ряда Фурье. (Ответы: А0 =
(sin а - а cos а). А\ = —
— (sin к а cos а тс
п к ( к -1 )
к coska s i n a ) .) 17. Решите задачи 9.9; 9.12; 9.13; 9.15; 9.16; 9.19; 9.21; 9.25.
Глава восьмая
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
§ 8.1. Определение переходных процессов. Под переходными
процессами понимают процессы перехода от одного режима работы элек­
трической цепи (обычно периодического) к другому (обычно также
периодическому), чем-либо отличающемуся от предыдущего, например
амплитудой, фазой, формой или частотой, действующей в схеме ЭДС, зна­
чениями параметров схемы, а также вследствие изменения конфигурации
цепи.
Периодическими являются режимы синусоидального и постоянного
тока, а также режим отсутствия тока в ветвях цепи.
Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Коммута­
ция — это процесс замыкания (рис. 8.1, дг) или размыкания (рис. 8.1, б)
выключателей.
Физически переходные процессы представляют собой процессы
перехода от энергетического состояния, соответствующего докоммутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствующему послекоммутационному режиму.
Переходные процессы обычно являются быстро протекающими; дли­
тельность их составляет десятые, сотые, а иногда даже миллиардные доли
секунды; сравнительно редко длительность переходных процессов дос­
тигает секунд и десятков секунд. Тем не менее изучение переходных
процессов важно, так как оно дает возможность установить, как дефор­
мируются по форме и амплитуде сигналы при прохождении их через уси­
лители и другие устройства, позволяет выявить превышения напряжения
на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изо­
ляции установки, увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки
раз превышать амплитуду тока установившегося периодического процес­
са (и вызвать недопустимые механические усилия), а также определить
продолжительность переходного процесса.
§ 8.2. Приведение задачи о переходном процессе к решению л и ­
нейного дифференциального уравнения с постоянными коэффици­
ентам и. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для схемы
(рис. 8.2) при замкнутом ключе. Сумма падений напряжений на элемен­
тах L и R равна ЭДС Е:
uL + /?/ = £,
или
L — + R i = E.
dt
( 8. 1)
232_______________________ Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Рис. 8.2
Как известно из курса математики, уравнение, содержащее неизвест­
ную функцию (в нашем случае /) и ее производные (в нашем случае
L — ), называют дифференциальным уравнением.
dt
Таким образом, определение тока как функции времени, по сути дела,
есть решение дифференциального уравнения.
Известно, что решение дифференциального уравнения — это отыс­
кание функции, удовлетворяющей ему. Подстановка этой функции и ее
производных превращает дифференциальное уравнение в тождество.
Решение линейных дифференциальных уравнений будем проводить в
основном четырьмя методами: классическим, операторным, методом
интеграла Дюамеля и методом пространства состояний.
Перед тем как изучать эти методы, необходимо рассмотреть общие
свойства линейных цепей при переходных процессах, а также общие за­
коны, которым подчиняются переходные процессы в линейных электри­
ческих цепях. § 8.3-8.25 посвящены вопросам, имеющим отношение ко
всем перечисленным методам расчета переходных процессов; однако
часть этих параграфов (см. § 8.3, 8.8, 8.10 и 8.12) следует рассматривать
так же, как введение к классическому методу расчета переходных про­
цессов.
§ 8.3. Принужденные и свободные составляю щ ие токов и напря­
жений. Известно, что общий интеграл линейного дифференциального
уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения плюс
общее решение однородного уравнения. Частное решение уравнения (8.1)
равно Е / R (Е — постоянная ЭДС).
Однородное уравнение получаем из исходного, если в нем возьмем
правую часть равной нулю. В нашем случае
L — + R і = 0.
dt
(8.2)
Решением однородного уравнения является показательная функция
вида А е р‘.
Для всех переходных процессов условимся, что момент / = 0 соответ­
ствует моменту коммутации.
Постоянные А и р не зависят от времени. Без вывода дадим их значе­
ния для рассматриваемого примера:
А = -E l R
и
p = -R/L.
§ 8.3. Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений
233
Следовательно, решение уравнения (8.1) запишется так:
Е Е —я '
/=- - - е * ,
R R
(8.3)
R
Е —*
где E / R — частное решение неоднородного уравнения (8.1); — е 1 —
R
общее решение однородного уравнения (8.2). Подстановка (8.3) дает тож­
дество
ґ
р \
F Е
F. - т '
Е
Е Е -т '
L * - -------- е L + R -------- е 1
R R
dt R R
п \ ----I
R
----I
- - е 1 +£-£е 1
R . L
=Е.
Следовательно, (8.3) действительно является решением уравнения
(8. 1).
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения бу­
дем называть принужЬенной составляющей тока (напряжения), а пол­
ное решение однородного уравнения — свободной составляющей. При­
менительно к рассмотренному примеру принужденная составляющая тока
„
R
Е —^
/пр = E / R , а свободная составляющая /св = ---- е 1 . Полный ток
R
1
~ *пр
*св*
Кроме индексов «пр» (принужденный) и «св» (свободный) токи и на­
пряжения могут иметь и дополнительные индексы, соответствующие но­
мерам ветвей на схеме.
Принужденная составляющая тока (напряжения) физически представ­
ляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и
действующая в схеме принуждающая ЭДС. Если в схеме действует
принуждающая синусоидальная ЭДС с частотой со, то принужденная
составляющая любого тока и любого напряжения в схеме является,
соответственно, синусоидальным током (синусоидальным напряжением)
частоты со.
Определяются принужденные составляющие в цепи синусоидально­
го тока с помощью символического метода (см. гл. 3). Если в схеме дей­
ствует источник постоянной ЭДС (как, например, в схеме рис. 8.2), то
принужденный ток есть постоянный ток и находят его с помощью мето­
дов, рассмотренных в гл. 2.
Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому принужден­
ная составляющая тока через него в цепях с источниками постоянной
ЭДС равна нулю. Кроме того, напомним, что падение напряжения на
индуктивной катушке от неизменного во времени тока равно нулю.
В линейных электрических цепях свободные составляющие токов и
напряжений затухают во времени по показательному закону ер/. Так, в
Е
рассмотренном примере /св = ---- е 1 . С увеличением времени t мноR
234
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
житель е 1 быстро уменьшается. Название «свободная» объясняется
тем, что эта составляющая есть решение уравнения, свободного от вы­
нуждающей силы (однородного уравнения без правой части).
Из трех токов (полного, принужденного и свободного) и трех напря­
жений (полного, принужденного и свободного) основное значение име­
ют полный ток и полное напряжение.
Полный ток является тем током, который в действительности
протекает по той или иной ветви при переходном процессе. Его можно
измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, полное напряже­
ние — это напряжение, которое в действительности имеется между не­
которыми точками электрической цепи при переходном процессе. Его
также можно измерить и записать на осциллограмме.
Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений во
время переходного процесса играют вспомогательную роль; они являются
теми расчетными компонентами, сумма которых дает действительные
величины.
Здесь следует еще раз обратить внимание на тот факт, что при лю­
бых переходных и установившихся процессах соблюдают два основных
положения: ток через индуктивную катушку и напряжение на конденса­
торе не могут изменяться скачком**.
§ 8.4. Обоснование невозможности скачка тока через индуктив­
ную катуш ку и скачка напряжения на конденсаторе. Доказательство
того, что ток через индуктивную катушку не может изменяться скачком,
проведем на примере схемы на рис. 8.2. По второму закону Кирхгофа
L — + R i = E.
dt
Ток / и ЭДС Е могут принимать конечные (не бесконечно большие)
значения.
Допустим, что ток / может измениться скачком. Скачок тока означа­
ет, что за бесконечно малый интервал времени At -> 0 ток изменится на
di
конечное значение А/. При этом Д//Д/-Ю О. Если вместо L — в уравdt
нение ( 8 .1 ) подставить оо, то его левая часть не будет равна правой
части и не будет выполнен второй закон Кирхгофа.
Следовательно, допущение о возможности скачкообразного измене­
ния тока через индуктивную катушку противоречит второму закону Кирх­
гофа.
Ток через L не может изменяться скачком, но напряжение на I ,
равное Z,— , скачком измениться может. Это не противоречит второму
dt
закону Кирхгофа.
**Иногда эти положения формулируются так: потокосцепление индуктивной катушки
и заряд конденсатора могут изменяться только плавно, без скачков. Дальнейшее обобще­
ние законов коммутации дано в § 8.28.
§8.6. Второй закон (правило) коммутации
235
Доказательство того, что напряжение на конденса­
торе не может изменяться скачком, проводится анало­
гично.
Обратимся к простейшей цепи с конденсатором
(рис. 8.3). Составим для нее уравнение по второму
закону Кирхгофа при замыкании ключа:
Рис g 3
R і + ис = Е,
где Е — ЭДС источника, конечная величина; ис — напряжение на кон­
денсаторе.
п —
duC
Так
как і• = С
—, то
dt
R C ^ - + uc =E.
dt
с
(8.4)
Если допустить, что напряжение ис может измениться скачком, то
оо и левая часть (8.4) не будет равна правой части. Отсю­
да
dt
с
да следует, что допущение о возможности скачкообразного изменения
напряжения на конденсаторе противоречит второму закону Кирхгофа.
Однако ток через конденсатор, равный С - ^ - , может изменяться скач­
ком; это не противоречит второму закону Кирхгофа.
Из указанных двух основных положений следуют два закона (прави­
ла) коммутации.
§ 8.5. П ервы й закон (правило) коммутации. Ток через индук­
тивный элемент L непосредственно до коммутации iL(0_) равен току
через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммута­
ции iL( 0+):
/,(0_) = /,(0 +).
0.
0
О *
Рис. 8.4
(8.5)
Время t = 0_ представляет собой время непосредственно до коммутации, / = 0+ — после коммутации
(рис. 8.4). Равенство (8.5) выражает собой первый закон коммутации.
§ 8.6. Второй закон (правило) коммутации. Обозначим напряжение
на конденсаторе непосредственно до коммутации мс (0_), а напряжение
на нем непосредственно после коммутации ис (0+).
В соответствии с невозможностью скачка напряжения на конденса­
торе
М 0 - ) = ис (0+).
Равенство (8.6) выражает собой второй закон коммутации.
(8.6)
236
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Перед тем как приступить к изучению методов расчета переходных
процессов, необходимо условиться о некоторых дополнительных опре­
делениях,
§ 8.7. Н ачальны е значения величин. Под начальными значениями
величин (в литературе их называют еще начальными условиями) пони­
мают значения токов и напряжений в схеме при t - 0.
Как уже отмечалось, токи через индуктивные элементы и напряжения
на конденсаторах непосредственно после коммутации равны их значени­
ям непосредственно до коммутации. Остальные величины — напряже­
ния на индуктивных элементах, напряжения на резисторах, токи через
конденсаторы, токи через резисторы — могут изменяться скачком, сле­
довательно, их значения после коммутации чаще всего оказываются не
равными их значениям до коммутации. Поэтому следует различать докоммутационные и послекоммутационные начальные значения.
Докоммутационными начальными значениями называют значения
токов и напряжений непосредственно до коммутации (при/ = 0_); послекоммутационными начальными значениями — значения токов и напря­
жений непосредственно после коммутации (при / = 0+).
§ 8.8. Независимые и зависимы е (послекоммутационные) началь­
ные значения. Для любой схемы после коммутации в ней можно запи­
сать уравнения по законам Кирхгофа и из этих уравнений определить
значения токов во всех ветвях и напряжений на любых участках схемы в
послекоммутационном режиме (при t = 0+).
С этой целью значения токов в ветвях, содержащих индуктивные эле­
менты, и значения напряжений на конденсаторах берут равными тем зна­
чениям, которые они имели до коммутации при / = 0_, а остальные токи
и напряжения после коммутации при t = 0+ находят из уравнений Кирх­
гофа, поскольку часть слагаемых в них известна.
Значения токов через индуктивные элементы и напряжений на
конденсаторах, известные из докоммутационного режима, условимся
называть независимыми начальными значениями.
Значения остальных токов и напряжений при / = 0+ в послекоммута­
ционной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из
законов Кирхгофа, будем называть зависимыми начальными значениями.
§ 8.9. Н улевы е и ненулевы е н ач альн ы е условия. Если к началу
переходного процесса непосредственно перед коммутацией все токи и
напряжения на пассивных элементах схемы равны нулю, то в схеме име­
ют место нулевые начальные условия. Если же к началу переходного про­
цесса хотя бы часть токов и напряжений в схеме не равны нулю, то в
схеме имеют место ненулевые начальные условия.
При нулевых начальных условиях токи в индуктивных элементах и
напряжения на конденсаторах начнут изменяться с нулевых значений, при
ненулевых условиях — с тех значений, которые они имели непосред­
ственно до коммутации.
§8.11. Алгебраизация системы уравнений для свободных токов
237
§ 8.10. Составление уравнений для свободных токов и напряж е­
ний. Для послекоммутационной схемы составляют уравнения по законам
Кирхгофа для полных токов и напряжений, так же как это делалось и
раньше: сначала обозначают токи в ветвях и произвольно выбирают для
них положительные направления, затем составляют уравнения по первому
и второму законам Кирхгофа. Так, для схемы рис. 8.5 после выбора
положительных направлений для токов
имеем:
ь
d
Рис. 8.5
В этих уравнениях
/2, и /3 — полные токи. Каждый из них состо­
ит из свободного и принужденного токов. Для того чтобы от этой систе­
мы уравнений перейти к уравнениям для свободных токов, “освободим”
систему от вынуждающих ЭДС (в нашем случае от ЭДС Е) и вместо ix
запишем /1св, вместо /2— *2св и т. д. В результате получим:
(8.7)
Заметим, что для любого контура любой электрической цепи сумма
падений напряжений от свободных составляющих токов равна нулю.
§ 8.11. Алгебраизация системы уравнений для свободных токов.
В § 8.3 говорилось о том, что свободный ток представляет собой реше­
ние однородного дифференциального уравнения (уравнения без правой
части). Как известно из курса математики, решение однородного диффе­
ренциального уравнения записывают в виде показательных функций
A e pf . Таким образом, уравнение для каждого свободного тока можно
представить в виде /св = A ept .
Постоянная интегрирования А для каждого свободного тока своя.
Показатели же затухания р одинаковы для свободных токов ветвей. Фи­
зически это объясняется тем, что вся цепь охвачена единым (общим)
переходным процессом.
Составим производную от свободного тока:
238
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Следовательно, производную от свободного тока можно заменить на
/?/св,а свободное напряжение на индуктивном элементе L —— на
L р /св. Найдем интеграл от свободного тока:
|/ св d t = \ A ^ dt = —
J
J
P
=V
P
Постоянная интегрирования взята здесь равной нулю, так как свобод­
ные составляющие не содержат не зависящих от времени слагаемых.
Следовательно, интеграл от свободного тока можно заменить на
/св / р> а свободное напряжение на конденсаторе ~ J/CB dt — на
icJ ( C p ) .
С
В систему дифференциальных уравнений для свободных токов под­
ставим L р /ги вместо L
И св
dt
и
Ср
вместо — f/CB dt. Следовательно,
С
J
Асв —^2 св —*3св —
( 8 -8 )
( I , Р + Л ) ', с в + ' 2 св я
2
=
0
;
Ср
Уравнения (8.8) представляют собой систему алгебраических уравне­
ний относительно /1св» ^св» 73св и, в отличие от исходной системы, не
содержат производных и интегралов.
Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к
системе алгебраических уравнений называют алгебраизацией системы
дифференциальных уравнений для свободных токов. Можно сказать, что
система (8.8) есть результат алгебраизации системы дифференциальных
уравнений (8.7).
§ 8.12. Составление характеристического уравнения системы.
Число алгебраических уравнений равно числу неизвестных свободных
токов. Положим, что р известно (в действительности оно пока не найде­
но и будет определено в дальнейшем) и решим систему (8.8) относитель­
но *1св> *2св И *3св •
_Д]_.
А’
• _ ^2 .
2св
Д ’
: _ Аз
Зсв Д
где Д — определитель системы. В рассмотренном примере
1
-1
-I
Д = L, р + Rx R2
0
0
-1 / ( С р )
R2
§8.12. Составление характеристического уравнения системы
239
Определитель Aj получим из выражения для определителя А путем
замены первого столбца правой частью уравнений (8.8):
О -1
-1
А = О R2
О
О R2
- \/(С р)
Определитель А2 получим из выражения для А путем замены вто­
рого столбца правой частью системы (8.8) и т. д.
Так как в правой части системы (8.8) находятся нули, то в каждом
определителе А1? А2 и А3 один из столбцов будет состоять из нулей.
Известно, что если в определителе один из столбцов состоит из ну­
лей, то этот определитель равен нулю. Следовательно,
Aj =0,
Д2 = 0,
А3 = 0.
Из физических соображений ясно, что каждый из свободных токов не
может быть равен нулю, ибо в этом случае не будут выполнены законы
коммутации. Однако из предыдущего следует, что
•
-
*1св
J
L
А »
А
.
s
o .
*2св “
А »
А
.
_
0_
*3св — А •
А
Свободные токи могут быть не равны нулю в том случае, когда опре­
делитель системы
А = 0.
(8.9)
Таким образом, определитель А алгебраизированной системы урав­
нений должен равняться нулю.
Уравнение А = 0 называют характеристическим уравнением. Един­
ственным неизвестным в нем является р.
П ример 75. Используя уравнение (8.9), составить характеристическое уравнение для
схемы (см. рис. 8.5) и найти его корни.
Р еш ен и е.
ИЛИ
р 2 R 2 L \ С + р (/? ] R 2 С + /> |) + R \ + R 2 _ ф
С
р
Если дробь равна нулю, то равен нулю ее числитель. Следовательно,
р 2 R 2 L \ C + р ( R \ R 2 С + L \ ) + R \ + R 2 — 0.
(8 . 10)
Корни квадратного уравнения
-(Л ,
Р\Л =
R2 C + Li) ± J ( R l R2
2
С + І | ) г - 4 ( Я ,+ Л 2 )Л 2 і , С
R2 Ц С
(8.11)
240
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
В начале § 8.11 говорилось о том, что решение для свободного тока
берется в виде A e p t. Если характеристическое уравнение имеет не один
корень, а несколько, например п, то для каждого свободного тока (напряп
жения) нужно взять
Ak ePk 1.
*=1
П рим ер 76. Найти корни характеристического уравнения схемы на рис. 8.4, а при:
1) С = 1 мкФ; 2) С = 10 мкФ; 3) С = 100 мкФ; Л, = R2 = 100 Ом; i , = 1 Гн.
Р е ш е н и е . 1) При С = 1 мкФ
Rx R2 C + t , = 100 100-1-10-6 +1 = 1,01;
4 (Л ,+ Л 2)Л 2 І, С = 4• 200-100-10-6 =0,08;
2 R2 і , С = 2 -100 10-* = 2 -1 0-4;
-1,01 ± J 1,012 - 0,08
р ] 2 - ----------------------------- ;
2-Ю ' 4
/?! = —250 с
;
= —9850 с
,
2) При С = 10 мкФ Рх = -230 с "1; р 2 = -870 с -1.
3) При С = 100 мкФ pi = -100 + 100 у; р 2 = - 1 0 0 - 1 0 0 /
§ 8.13. С оставлен и е характери сти ческого уравнения путем
использования вы раж ен и я для входного сопротивления цепи на
переменном токе. Характеристическое уравнение для определения р
часто составляют более простым способом, чем обсуждавшийся в пре­
дыдущем параграфе. С этой целью составляют выражение входного со­
противления двухполюсника на переменном токе (обозначим его Z ( j со)),
заменяют в нем j со на р (получают Z{p)) и приравнивают Z(p) к нулю.
Уравнение Z{p) - 0 совпадает с характеристическим. Такой способ
составления характеристического уравнения предполагает, что в схеме
отсутствуют магнитно-связанные ветви. Если же магнитная связь между
ветвями имеется, то предварительно следует осуществить развязывание
магнитно-связанных ветвей (см. § 3.41).
Поясним сказанное. Как отмечалось в § 2.15, если для некоторой цепи
на постоянном токе составить систему уравнений по методу контурных
токов, то входная проводимость относительно m-ветви g m = Д т /Д, а
входное сопротивление Rm = Д /Д т . Для режима синусоидального тока
Д(У-—(°)
входное сопротивление Z7 BXm = —
ЛтС/ю)
Комплексное число р = а + j b в соответствии с § 8.41 представим в
виде р - j ( b - j а) = j Q, где Q — комплексная угловая частота. Сопро­
тивление Z{p) — это сопротивление цепи на комплексной частоте;
Z { j со)— это частный случай Zip), когда Q = со. Имея это в виду, запи­
шем
А(-Р ^
^7 ъ х т(\ Рп \) — А
/ ч»
Ат(Р)
где А{р) — определитель системы уравнений, составленных по методу
контурных токов.
§8.13. Составление характеристического уравнения..
241
Таким образом, уравнение ZBxm(p) = 0 имеет те же корни, что и
уравнение А(р) = 0.
При составлении Z(p) следует учитывать внутреннее сопротивление
источника питания.
Характеристическое уравнение можно составить так же, взяв за ос­
нову не метод контурных токов, а метод узловых потенциалов. В этом
случае следует приравнять к нулю определитель матрицы узловых про­
водимостей, полагая при составлении матрицы один из узлов схемы за­
земленным.
П ример 77. Для схемы рис. 8.5 составить характеристическое уравнение.
Р е ш е н и е . Входное сопротивление относительно зажимов аЪ при переменном токе
ZabUv>) =j®L\ +Я, +
j со С
У со С
Заменим в нем у со на р и приравняем его к нулю:
^ab(P)- Р
L1
+Я | +
Отсюда
р 2 Ц С R2 + р (L\ + R\ R 2 С) + R\ + R2 _ q
1+ R 2 С p
или
p 2 Ц С R2 + p (L| + R\ R 2 C) + R) + R2 —0.
( 8 . 12 )
Уравнение (8.12) совпадает с уравнением (8.10), составленным иным путем, и полу­
чено оно с помощью выражения для входного сопротивления первой ветви схемы (см.
рис. 8.5) относительно зажимов аЬ. Точно такое же уравнение можно получить, если за­
писать выражение для входного сопротивления любой другой ветви.
Следует иметь в виду, что во избежание потери корня (корней) нельзя сокращать А(р)
и Дк {р) на общий множитель, если он имеется. Однако на общий множитель р сокра­
щать Д(р) и Д*(р), как правило, возможно, но не всегда. Сокращение на р допустимо
для схем, в которых исследуемая величина из физических соображений не может содер­
жать незатухающую свободную составляющую. Если же исследуемая величина в рассмат­
риваемой схеме может иметь незатухающую свободную составляющую, то сокращать
числитель и знаменатель 1{р) на р (терять корень р - 0) нельзя. Для иллюстрации недо­
пустимости сокращения на р рассмотрим два примера. В послекоммутационной схеме (см.
рис. 8 .6 , а) имеется контур из индуктивных элементов, активное сопротивление которого
242
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
равно нулю. В нем теоретически может протекать незатухающая свободная составляющая
тока, которая не будет учтена в решении, если сократить числитель и знаменатель
Z( p) - на р. В схеме на рис. 8 .6 , б, дуальной схеме на рис. 8 .6 , а после
2р L
коммутации на конденсаторах возможно возникновение равных по значению и противо­
положно направленных незатухающих свободных составляющих напряжений. Свободный
заряд каждого конденсатора не сможет пройти через сопротивление R, так как этому ме­
шает второй конденсатор с противоположно направленной незатухающей свободной со­
ставляющей напряжения.
Для схемы на рис. 8 .6 , б характеристическое уравнение получим, приравняв к нулю
входную проводимость относительно зажимов источника тока:
2р С
2р С
где g - 1 / R.
В качестве примера цепи, для которой можно сокращать числитель и знаменатель Z(p)
на р , приведем схему на рис. 8 .6 , в. Для нее
R
Z(p)-R і
Р
r
рС
+J L
рС
-
( r c p + 2) : R ( R C p + 2)
C p ( R C p + 1)
R C p +\
r c p
§ 8.14. Основные и неосновные зависимые начальные значения.
Для сложных схем со многими накопителями энергии число независи­
мых начальных значений (начальных условий) может оказаться больше,
чем порядок характеристического уравнения, и, следовательно, больше
числа постоянных интегрирования. В этом случае при определении по­
стоянных интегрирования используем не все независимые начальные
значения, а часть из них.
Основными независимыми начальными значениями называют те токи
в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах, которые мо­
гут быть заданы независимо от других. Остальные независимые началь­
ные значения называют неосновными.
В качестве иллюстрации обратимся к схеме на рис. 8.7. Она содержит три индуктив­
ных элемента и один емкостной. В схеме всего четыре независимых начальных значения
(начальных условия):
1) i'i(0+) = 0; 2) /2 (0+) = 0; 3 ) / 3 (0+) = 0; 4) ыг (0+) = 0.
Из них три являются основными и одно — неосновным. Выбор основных значений
здесь произволен. Если за основные взять первое, второе и четвертое значения, то неос­
новным будет третье.
П ример 78. Убедимся в том, что для
схемы на рис. 8.7 характеристическое урав­
нение имеет не четвертую, а третью степень.
Р е ш е н и е . Составляем выражение
для входного сопротивления:
[ р' ^ Т с - ] рЦ
Z( p) = Л, + р і , + - ---------- г
1J
р і 2+рЛз + ——
Р
п
=0.
§8.15. Определение степени характеристического уравнения
243
Отсюда
(/?! + р L])
(1
+ р 2 С 2 (L2 + L})) + р
(1 + С2 І 2 р 2) - 0.
Следовательно, характеристическое уравнение имеет третью степень.
§ 8.15. Определение степени характеристического уравнения. Сте­
пень характеристического уравнения цепи необходимо уметь оценивать,
взглянув на схему, в которой исследуется переходный процесс. Быстрая
ориентация позволяет определить трудоемкость предстоящих выкладок
и способствует выявлению ошибки, если она возникает при составлении
характеристического уравнения.
Степень характеристического уравнения равна числу основных неза­
висимых начальных значений в послекоммутационной схеме после мак­
симального ее упрощения и не зависит от вида ЭДС источников ЭДС в
схеме.
Упомянутое упрощение состоит в том, что последовательно соединен­
ные индуктивные элементы должны быть заменены одним эквивалент­
ным; конденсаторы, включенные последовательно и параллельно, тоже
должны быть заменены эквивалентными.
Применительно к схеме на рис. 8.8, а последовательно включенные L[
и 1 2 следует заменить на L, = Ц + Ц ± 2 М, если между ними есть маг­
нитная связь (если нет магнитной связи, то А/ = 0), а конденсаторы ем-
Рис.
8 .8
С' С”
костью Сз, Сз, С4 — на конденсатор емкостью С5 = С 4 + —р—
Сз +С3
Начальное значение напряжения на С5 равно начальному значению на­
пряжения на С4.
В результате упрощений схемы рис. 8.8, а получаем схему рис. 8.8, 6,
в которой два индуктивных элемента и один конденсатор. Все три неза­
висимых начальных значения — основные. Следовательно, характерис­
тическое уравнение будет третьей степени.
Обратим внимание на то, что степень характеристического уравнения
не зависит от того, имеется ли магнитная связь между индуктивными
элементами схемы или она отсутствует.
Условимся под емкостным контуром понимать контур, в каждой из
ветвей которого имеются либо только конденсаторы (рис. 8.9, а), либо в
одни ветви входят только конденсаторы, а в другие — только источники
ЭДС (рис. 8.9, б). Положим, что после максимального упрощения схемы
244
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
а
б
в
г
Рис. 8.9
в емкостный контур входит п конденсаторов. Если учесть, что по второ­
му закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на ветвях конту­
ра равна нулю, то только на п -1 конденсаторах контура напряжения
могут быть заданы произвольно. Условимся под индуктивным узлом по­
нимать узел, в котором сходятся ветви, в каждой из которой имеются
индуктивности (рис. 8.9, в), либо часть ветвей с индуктивностями, а дру­
гая с источниками тока (рис. 8.9, г). Положим, что в индуктивный узел
сходится /я-ветвей, содержащих индуктивности. Если учесть, что по пер­
вому закону Кирхгофа сумма токов в узле равна нулю, то только в т -1
индуктивностях токи могут быть заданы произвольно.
Обобщенно можно сказать, что после максимального упрощения
схемы степень характеристического уравнения может быть определена
путем подсчета величины nL + пс - y L - kc , где nL— число индуктив­
ных элементов в схеме; пс — число конденсаторов; у с — число индук­
тивных элементов, токи в которых не могут быть заданы произвольно;
кс — число конденсаторов, напряжения на которых не могут быть зада­
ны произвольно.
З а м е ч а н и я . I. Если схема с источником тока имеет несколько последовательных
участков, содержащих параллельно соединенные ветви с /?,
С, то для каждой группы
параллельных ветвей будет свое характеристическое уравнение со своими корнями (сво­
бодные токи не могут замыкаться через источник тока, поскольку его сопротивление рав­
но бесконечности).
2. Если в схеме будут иметься так называемые дополняющие двухполюсники
(см. § 8.63), содержащие элементы R, L, С, между которыми выполняются определенные
соотношения, то при упрощении схемы они должны быть заменены на эквивалентные им
резисторы. Это значительно упрощает выкладки (на эту тему рекомендуется решить при­
мер 30 из вопросов для самопроверки).
§ 8.16. С войства корней характеристического уравнения. Число
корней характеристического уравнения равно степени этого уравнения.
Если характеристическое уравнение представляет собой уравнение пер­
вой степени, то оно имеет один корень, если второй степени — два кор­
ня и т. д. Уравнение первой степени имеет всегда отрицательный действи­
тельный (не мнимый и не комплексный) корень.
Уравнение второй степени может иметь: а) два действительных нерав­
ных отрицательных корня; б) два действительных равных отрицательных
корня; в) два комплексно-сопряженных корня с отрицательной действи­
тельной частью.
§ 8.17. Отрицательные знаки действительных частей корней..
245
Уравнение третьей степени может иметь: а) три действительных
неравных отрицательных корня; б) три действительных отрицательных
корня, из которых два равны друг другу; в) три действительных равных
отрицательных корня; г) один действительный отрицательный корень и
два комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью.
§ 8.17. О трицательны е знаки действительны х частей корней ха­
рактеристических уравнений. Свободный процесс происходит в цепи,
освобожденной от источника ЭДС. Он описывается слагаемыми вида
Л е р '. В цепи, освобожденной от источников ЭДС, свободные токи не
могут протекать сколь угодно длительно, так как в ней отсутствуют ис­
точники энергии, которые были бы способны в течение сколь угодно
длительного времени покрывать тепловые потери от свободных токов,
т. е. свободные токи должны затухать во времени.
Если свободные токи (выраженные слагаемыми ер / ) должны затухать
(спадать) во времени, то действительная часть р должна быть отрицатель­
ной.
Значения функции e ~at = f ( a t \ где a t ^ x , приведены в табл. 8.1.
Рассмотрим характер изменения свободных составляющих для про­
стейших переходных процессов в цепях с характеристическим уравне­
нием первой и второй степеней.
Если число корней характеристического уравнения больше двух, то
свободный процесс может быть представлен как процесс, составленный
из нескольких простейших процессов.
Таблица
X
ег
е"х
sh*
0
1 ,0
1 ,0
0 ,0
1 ,0
0 ,1
1 ,1 0
0,905
0,819
0,741
0,670
0,606
0,549
0,497
0,449
0,407
0,368
0,333
0,301
0,272
0,247
0,223
0 ,1 0
1,005
0 ,2
1 ,2 2
0,3
0,4
0,5
0 ,6
1,35
1,49
1,65
1,82
0,7
2 ,0 1
0 ,8
2 ,2 2
0,9
1 ,8
2,46
2,72
3,00
3,32
3,67
4,05
4,48
4,95
5,47
6,05
1,9
6 ,6 8
2 ,0
7,39
1 ,0
1 ,1
1 ,2
1,3
1,4
1,5
1 ,6
1,7
0 ,2 0 2
0,183
0,165
0,150
0,135
X
ch*
0 ,2 0
1 ,0 2
0,30
0,41
0,52
0,64
0,76
0,89
1,03
1,17
1,34
1,51
1,70
1,90
2,13
2,38
2,65
2,94
3,27
3,63
1,04
1,08
1,13
1,18
1,25
1,34
1,43
1,54
1,67
1,81
1,94
2,15
2,25
2,58
2,83
3,11
3,42
3,76
2 ,1
2 ,2
2,3
2,4
2,5
2 ,6
2,7
2 ,8
2,9
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
6 ,0
е'
8,17
9,02
9,97
1 1 ,0 2
12,18
13,46
14,88
16,44
18,17
20,08
24,53
29,96
36,60
44,70
54,60
66,69
81,45
99,48
121,5
184,4
400
е' г
0 ,1 2 2
0 ,1 1 1
0 ,1 0 0
0,090
0,082
0,074
0,067
0,061
0,055
0,050
0,041
0,033
0,027
0 ,0 2 2
0,018
0,015
0 ,0 1 2
0 ,0 1 0
0,0082
0,0067
0,0025
shx
4,02
4,46
4,94
5,47
6,05
6,7
7,41
8,19
9,06
chx
12,25
14,96
18,28
22,34
27,29
33,33
40,72
49,74
60,75
74,2
4,14
4,56
5,04
5,56
6,13
6,77
7,47
8,25
9,11
10,07
12,29
15,00
18,31
22,36
27,30
33,35
40,73
49,75
60,76
74,21
200
200
1 0 ,0 2
8 .1
246
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
§ 8.18. Характер свободного процесса при одном корне. Когда
характеристическое уравнение имеет один корень, свободный ток
ісв= Л е р1 = A e ~at,
(8.13)
іде р = - а зависит только от параметров цепи, А — от параметров цепи,
величины ЭДС. Характер изменения /св при А > 0 показан на рис. 8.10.
За интервал времени t = х = 1/ а функция
A z ~ pt уменьшится в е = 2,72 раза. Действитель­
но, при t = x = \ / a a t - а \ - а / а - \ \ e~at =
= е ' /,т = е _| = 1/е = 1/2,72.
Величину х = 1/ а = 1/ \р\ называют постоян^
ной времени цепи; х зависит от вида и парамет­
ров схемы. Для цепи на рис. 8.2 х = L / Л, для цепи
на рис. 8.3 т = R C , для цепи на рис. 8.18
х = (Я, R3 С) / (/?, + R3) и т. д.
Название «постоянная времени» отражает постоянство подкасательной к экспоненте:
подкасательная к экспоненте е~1/т численно равна т (см. рис. 8 . 1 0 ).
§ 8.19. Характер свободного процесса при двух действительных
неравных корнях. Пусть р х = -а , р 2 = -Ъ (для определенности поло­
жим b > а). Тогда
/св = А\ ePl 1 + А2 е * 1 = Ai t~ai + А2 е-*'.
(^-14)
Характер изменения свободного тока при различных по значению и
знаку постоянных интегрирования Ах и А2 качественно иллюстрирует­
ся кривыми на рис. 8.11, а-г\ кривая 1 представляет собой функцию
Ах е"в/, кривая 2 — функцию А2 е_/,/; результирующая («жирная») кри­
вая получена путем суммирования ординат кривых 1 и 2.
Рис. 8.11
Для рис. 8.11, а: Ах > 0 А2 >0; для рис. 8.11,6: А{ >0, А2 <0,
\А2 \ > А }; для рис. 8.11, в: А} >0, А2 <0, \А2 \ < А Х\ для рис. 8.11, г:
А\ > 0, А2 < 0, | А21= Aj.
§ 8.22. Некоторые особенности переходных процессов
247
§ 8.20. Х арактер свободного процесса при двух равны х корнях.
Известно, что если среди корней характеристического уравнения есть два
равных корня р \ - р 2 - - а , то соответствующие слагаемые решения дол­
жны быть взяты в виде
A, ep , +A 2 t e p' =(А ,+Л 2 t)Q~a‘.
(8.15)
На рис. 8.12 построены пять кривых. Они показывают возможный
характер изменения функции (Ах +Л 2 t)e~at при различных значениях
постоянных интегрирования Ах и Л2, а также при равенстве нулю од­
ной из постоянных.
Кривая 1 построена при Ах > 0 и Л2 > 0; кривая 2 — при ^ < 0
и
А2 > 0; кривая 3 — при Ах > 0 и А2 < 0; кривая 4— при
Ах = 0 и
А2 > 0; кривая 5 — при Ах > 0 и Л2 = 0.
§ 8.21. Х арактер свободного процесса при двух комплексно-сопря­
женных корнях. Комплексные корни всегда встречаются попарно-сопряженными. Так, если р х = - 5 + j ш0, то р 2 = - 5 - j со0. Соответствующее
им слагаемое решения должно быть взято в виде
/св = А е~8/ sin(co0 / + v).
(8.16)
Формула (8.16) описывает затухающее синусоидальное колебание
(рис. 8.13) при угловой частоте со0 и начальной фазе v. Огибающая ко­
лебания описывается кривой Ле~8/. Чем больше 8, тем быстрее зату­
хает колебательный процесс; А и v определяются значениями парамет­
ров схемы, начальными условиями и ЭДС источника; (о0 и 5 зависят
только от параметров цепи после коммутации; со0 называют угловой
частотой свободных колебаний; 5 — коэффициентом затухания.
§ 8.22. Некоторые особенности переходных процессов. Как известно
из предыдущего, полное значение любой величины (тока, напряжения,
заряда) равно сумме принужденной и свободной составляющих. Если
248
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
среди корней характеристического уравнения есть комплексно-сопряженные корни Р\ 2 = -5 ± j 0)0 и значение угловой частоты свободных коле­
баний со0 почти равно угловой частоте со источника синусоидальной
ЭДС (источника питания), а коэффициент затухания 5 мал (цепь с ма­
лыми потерями), то сложение принужденной и свободной составляющих
дает колебание, для которого характерно биение амплитуды (рис. 8.14, а).
1
Рис. 8.14
Колебание (см. рис. 8.14, а) отличается от колебаний, рассмотренных
в § 7.14, тем, что здесь у одной из составляющих колебания амплитуда
медленно уменьшается.
Если угловая частота свободных колебаний со0 точно равна угловой
частоте источника синусоидальной ЭДС, то результирующее колебание
имеет форму, изображенную на рис. 8.14, 6 .
Простейшим примером колебаний такого типа является колебание,
возникающее на конденсаторе схемы (рис. 8.15) в результате сложения
принужденного и<Гт cos со t и свободного— UCm е~ ' cos со t колебаний:
Uc = UCm ( 1 - е '8') cosco t.
Рис. 8.15
Рис. 8.16
Амплитуда результирующего колебания нарастает по экспоненциаль­
ному закону.
При наличии конденсатора (конденсаторов) в схеме могут возникать
большие начальные броски токов, в несколько раз превышающие
амплитуды тока установившегося режима. Так, в схеме на рис. 8.16 при
нулевых начальных условиях в первый момент после замыкания ключа
напряжения на конденсаторах равны нулю и ток в неразветвленной час­
ти цепи равен Uт sin у ! Rx. Если у =90°, то в первый момент после
замыкания ключа ток равен Umf Rx. При размыкании ключа в индуктив­
ных цепях возникают опасные увеличения напряжения на отдельных уча­
стках (см. § 8.24).
§ 8.24. Опасные перенапряжения, вызываемые размыканием ветвей в цепях..
249
§ 8.23. Переходные процессы, сопровождающиеся электрической
искрой (дугой). Если переходный процесс вызывается размыканием клю­
ча в электрической цепи, содержащей индуктивные катушки, то между
его расходящимися контактами при определенных условиях может воз­
никнуть электрическая искра (дуга). При этом расчет переходного про­
цесса усложняется и, строго говоря, не может проводиться методами, изу­
чаемыми в данной главе. Объясняется это тем, что сопротивление элек­
трической искры является нелинейной функцией протекающего через нее
тока. В этом случае, если известна ВАХ дуги, для расчета переходных
процессов могут применяться методы, излагаемые в гл. 16.
Попытаемся выяснить, можно ли ожидать возникновения электрической искры при
размыкании ключа в схеме на рис. 8.17.
До размыкания ключа в цепи был установившийся режим:
R + 0,5 R
3R
223R
Допустим, что при размыкании ключа искра не возникает. При этом ток /, почти мгно­
венно уменьшается до нуля, а /(0+) должен равняться /2 (0+). Но каждый из токов (/, и
/2) по первому закону коммутации не может измениться скачком. Следовательно, между
достаточно медленно расходящимися контактами ключа при определенных условиях можно
ожидать возникновения электрической искры. Расчет переходного процесса в схеме на
рис. 8.17 дан в § 8.28.
§ 8.24. О пасны е перенапряжения, вызы ваемые размыканием вет­
вей в цепях, содержащих индуктивны е катуш ки. При размыкании
ключей в электрических цепях, содержащих катушки с большой индук­
тивностью, на отдельных участках могут возникать напряжения, во много
раз превышающие установившиеся. Напряжения, превышающие устано­
вившиеся, называют перенапряжениями. Они могут оказаться настоль­
ко значительными, что при определенных условиях вызовут пробой изо­
ляции и выход из строя измерительной аппаратуры.
П ример 79. К зажимам индуктивной катушки с /? = ЮООм; £ = 10Гн; подключен
вольтметр (рис. 8.18). Сопротивление вольтметра Ry =3000 Ом; £ = 100 В. Найти при­
ближенное значение напряжения на зажимах вольтметра при / = 0 +, если допустить, что
размыкание ключа произойдет мгновенно и искры не возникнет.
Р е ш е н и е. До размыкания ключа через L протекает ток / = Е / R = 1 А. В индук­
тивной катушке была запасена магнитная энергия і / 2 / 2 . Если допустить, что размыка­
ние ключа произошло мгновенно и искры не появилось, и учесть, что ток через L должен
оставаться равным 1 А, то по замкнутому контуру, составленному вольтметром и катуш­
кой, за счет запаса энергии магнитного поля индуктивной калушки в первое мгновение
будет протекать ток в 1 А. При этом на вольтметре возникнет пик напряжения 2 кВ. Про­
250
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
хождение большого импульса тока через вольтметр может вызвать перегорание катушки
прибора и выход его из строя.
При размыкании ключа с конечной скоростью между его расходящимися контактами
возникнет электрическая искра. Это приведет к тому, что увеличение напряжения на вольт­
метре будет меньше, чем в только что рассмотренном идеализированном случае, когда ключ
размыкался мгновенно без искры.
При более детальном рассмотрении процесса необходимо еще учесть влияние межвитковых емкостей и емкостей на землю (см. § 11.1). Если не учитывать возникновение
искры, распределенные емкости и индуктивности, то приведенный расчет является гру­
бым и носит иллюстрированный характер.
Чтобы не «сжечь» вольтметр в цепи (см. рис. 8.18), сначала следует отключить вольт­
метр, а затем разомкнуть ключ. Перенапряжения проявляются тем сильнее, чем больше
индуктивность в цепях. Особенно опасны они в цепях постоянного тока, содержащих ин­
дуктивности порядка единиц и десятков генри. В таких цепях при отключениях соблюда­
ют специальные меры предосторожности (ключ размыкают после введения дополнитель­
ных резисторов в цепь).
§ 8.25. О бщ ая характеристика методов анализа переходных про­
цессов в линейны х электрических цепях. Расчет переходных процес­
сов в любой линейной электрической цепи состоит из следующих основ­
ных операций:
1) выбора положительных направлений токов в ветвях цепи;
2) определения значений токов и напряжений непосредственно до
коммутации;
3) составления характеристического уравнения и нахождения его кор­
ней;
4) получения выражения для искомых токов и напряжений как функ­
ции времени.
Широко распространенными методами расчета переходных процес­
сов являются:
1) метод, называемый в литературе классическим;
2) операторный метод;
3) метод расчета с помощью интеграла Дюамеля.
Для всех этих методов перечисленные операции (этапы расчета) яв­
ляются обязательными. Для всех методов первые три операции соверша­
ют одинаково, и их необходимо рассматривать как общую для всех ме­
тодов часть расчета. Различие между методами имеет место на четвер­
том, наиболее трудоемком этапе расчета.
Чаще используют классический и операторный методы, реже — ме­
тод расчета с применением интеграла Дюамеля. В дальнейшем будут
даны сравнительная оценка и рекомендуемая область применения каж­
дого из них (см. § 8.56).
В радиотехнике, вычислительной и импульсной технике, электрони­
ке, автоматике и в технике, связанной с теорией информации, кроме этих
трех методов применяют метод анализа переходных процессов, основы­
вающийся на интеграле Фурье. (Об интеграле Фурье и спектральном
методе, основывающемся на интеграле Фурье, см. гл. 9.) Для исследова­
ния характера переходного процесса, описываемого уравнениями высо­
ких порядков, используют моделирующие установки, а также метод про­
странства состояний (см. § 8.66).
§ 8.27. Определение постоянных интегрирования в классическом методе
251
§ 8.26. Определение классического метода расчета переходных
процессов. Классическим методом расчета переходных процессов
называют метод, в котором решение дифференциального уравнения пред­
ставляет собой сумму принужденной и свободной составляющих.
Определение постоянных интегрирования, входящих в выражение для
свободного тока (напряжения), производят путем совместного решения
системы линейных алгебраических уравнений по известным значениям
корней характеристического уравнения, а также по известным значениям
свободной составляющей тока (напряжения) и ее производных, взятых
при г = 0+.
§ 8.27. Определение постоянных интегрирования в классическом
методе. Как известно из предыдущего, любой свободный ток (напряже­
ние) можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых.
Число членов суммы равно числу корней характеристического уравне­
ния.
При двух действительных неравных корнях
при трех действительных неравных корнях
/св = Л, еЛ ' +Л 2 еРг' +Аг еР}1.
Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов комму­
тации можно найти: 1) числовое значение искомого свободного тока при
/ = 0+, обозначим его /св(0+); 2) числовое значение первой, а если пона­
добится, то и высших производных от свободного тока, взятых при t = 0+.
Числовое значение первой производной от свободного тока при t - 0+
обозначим /’сВ(0+); второй— 4,(0+) и т*Д*
Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования
полагая известными /св(0+), 4,(0+), /сВ(0+) и значения кор­
ней р и р 2, .. ..
Если характеристическое уравнение цепи представляет собой уравне­
ние первой степени, то /св = A z pt. Постоянную интегрирования А опре­
деляют по значению свободного тока /св(0+):
(8.17)
Л = /Св(0+).
Если дано характеристическое уравнение второй степени и его корни
действительны и не равны, то
(8.18)
(8.19)
Запишем уравнения (8.18)
- ] при t = 0).
е Р, I - е Р г ‘
и (8.19)
при
/=0
(учтем,
что
252
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
В результате получим:
jcb(^+) - А + Аъ
( 8.20)
4 ( ° + ) = Р \ А + Р 2 А 2-
(8.21)
В ЭТОЙ системе уравнений известными ЯВЛЯЮТСЯ /св(0+), /*св(0+), Р\
и р 2\ неизвестными— Ах и А2.
Совместное решение (8.20) и (8.21) дает
, _ £■(<>+)- f t ' « « и .
'і >
4 =/«(<>+)-Л ,.
(8.22)
Если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, то в (8.18) сопряжены не только р х и р 2 (Р\ 2 = -8 ± j со0),
но и Ах и А2. Поэтому свободный ток
0
/ св = Л е 8 ' s i n ( c o * + v ) .
(8.23)
Угловая частота со0 и коэффициент затухания 5 известны из реше­
ния характеристического уравнения.
Определение двух неизвестных А и v производят и в этом случае по
значениям /св(0+)и і'св(0 +).
Продифференцировав по времени уравнение (8.23), получим
/св = - А 5 е"6/ sin(co0 t + v) + А со0 е~5/ cos(co0 t + v).
(8.24)
Запишем уравнение (8.24) при / = 0+ :
/'B(0+) = -> l8 s in v + /4o)0 cosv.
Таким образом, для нахождения неизвестных А и v имеем два урав
нения:
A sin v;
y'B(0+) = -/* 6 s in v + /4 co0 cosv.
,с в (® + ) =
(8.25)
Для цепи, имеющей характеристическое уравнение третьей степени,
свободный ток
ict = At ePl' + A2 е Рг' + A3 е Рг'
(8.26)
Найдем первую, а затем вторую производную от левой и правой час­
тей уравнения (8.26):
(8.27)
(8.28)
§ 8.27. Определение постоянных интегрирования в классическом методе
253
Запишем (8.26)-(8.28) при t = 0+ :
/св(0+) = А +Л 2 +А3;
'c«(°+) = Pi А\ +Рг л 2 + Рг А3;
(8.29)
С = р] А + p i А2 + р \ Ау
Система уравнений (8.29) представляет собой систему трех линейных
алгебраических уравнений с тремя неизвестными: Аи А2 и Аъ. Все
остальные входящие в нее величины (р\, р 2 Рз, /св(0+), 4,(0+), 4Д0+))
известны.
Сначала, пока еще не накоплено опыта в решении задач, для облег­
чения расчета величины и ее производной (производных) при / = 0+ ре­
комендуется решать задачу относительно тока через L или напряжения
на С и только затем, используя законы Кирхгофа, определять любую
другую величину через найденную.
Рассмотрим несколько примеров расчета переходных процессов клас­
сическим методом в цепях первого и второго порядков с источниками
постоянной и синусоидальной ЭДС при ненулевых начальных условиях.
П ример 80. В схеме на рис. 8.19 до замыкания ключа был установившийся режим:
/?j =
= / ? 3 = 50 Ом; С = 100 мкФ; Е = 150 В. Требуется найти: 1) полные, принужден­
ные и свободные составляющие токов
/2, /3 и ис при / = 0 +, а также начальное зна­
чение производной от свободного напряжения на конденсаторе; 2 ) токи /,, /2, / 3 и на"
пряжение ис в функции времени.
Р е ш е н и е п е р в о й ч а с т и з а д а ч и . До
коммутации
/ 2 (0 _) = 0
и
*i(0 _) = /3 (0 _) =
Напряжение на конденсаторе равно напряжению на
резисторе Я3 : ис (0_) = /3 (0_) /? 3 = 1- 50 = 50 В.
Найдем принужденные значения токов и напряжений
после коммутации:
Рис. 8.19
wr np(0+) = /Зпр(0+) Я3 = 1,5-50 = 75 В.
По второму закону Кирхгофа составим уравнение для контура, образованного первой
и второй ветвями при / = 0 + :
Поэтому
R3 получим
*з (0+) = ис(0+) / Л
Из уравнения 1/^(0+) = /3(0+)
3
= 1А.
По первому закону Кирхгофа /|(0+) = /2 (0+) + ,з(°+)Следовательно,
/2(0+) = /,(0+) - / 3(0+) = 2 - 1 = 1А.
254
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Свободные составляющие тока и напряжения при
t - 0 + определим как разности между полными и принуж­
денными величинами:
«Сс. (0+) = «с (0+) ~ ис „р(0+) = 50 - 75 = -2 5 В;
<1„(0+) = » i« U -i',„ p (0 +) = 2 -1 ,5 = 0,5 А;
<2 св (0+) = /2 (0+) - /2пр (0+) = 1- 0 = 1 А;
<3св(0+) = <з(0+) - /Зпр(0+) = 1-1,5 = -0,5 А.
Так как свободный ток через конденсатор
.
_ п d u C ca
d u C ct
'а = С ~ 1 Г >
то
ic,
~ d T =T '
В рассматриваемом примере
du.С св
dt
B(0J
- = 10 В/с.
100 - 10 "
/ = 0+
Р е ш е н и е в т о р о й ч а с т и з а д а ч и . Харак­
теристическое уравнение для послекоммутационной схемы
р Rx R3 С + /?! + /? 3 = 0 имеет один корень
R] + /?з
_і
р - -----1----- L = _400 с .
Rx R} С
Каждый ток равен сумме принужденной и свободной
ооспавпяощ®! а е;,/, где А равно значению свободной со­
ставляющей при / = 0 + (рис. 8 .2 0 ):
/, =1,5 + 0,5 е '400' А;
i2 =е~400' А;
<з = 1,5 - 0,5 е
-400/.
ис = 7 5 -2 5 е"400' В.
П рим ер 81. В схеме (рис. 8.21) до замыкания ключа был установившийся режим:
д, = д 2 = 2 0м ; coL = 3 0 m ; е(/) = 127 sin(co/ —50°) В; со = 314 рад/с. Требуется опреде­
лить: 1 ) /св(0 +); 2 ) закон изменения тока в цепи после коммутации.
Р е ш е н и е п е р в о й ч а с т и з а д а ч и . Комплексная амплитуда тока в цепи
до коммутации
іщ = —————
——
— = 25,4 е- -' 86°50 А.
4+3j
Мгновенное значение тока до коммутации / = 25,4 sin(o / - 86°50') А.
В момент коммутации (при со / = 0)
/(0_) = 25,4 sin(-86°50') = -25,35 А.
Принужденный ток после коммутации
.
т е ''"
2+3
j
5 ,2 е - ;|06‘20, А.
Мгновенное значение принужденного тока
/пр =35,2sin(co/-106°20') А;
/Пр(0+) = 35,2 sin(-106°20') = -33,8 А.
По первому закону коммутации ;(0_) = /(0+) = -25,35 А. Но /(0+) = /пр(0+) + /св(0+).
Следовательно, *Св(0+) = '(0 + ) - *Пр(0+) = “ 25,35 + 33,8 = 8,45 А.
§ 8.27. Определение постоянных интегрирования в классическом методе
Решение
второй
р L + R 2 = О имеет корень
части
задачи.
255
Характеристическое уравнение
R.
а------ І211.-2Ю С-*.
со Z,/co
По данным первой части задачи ток в цепи до коммутации (кривая / на рис. 8.22 до
со / = 0 )
/ = 25,4 sin(co / - 86°50') А.
Мгновенное значение принужденного тока после коммутации (кривая 2 на рис. 8.22)
=35,2 sin(co / - 106°20') А;
/св(0+) = 8,45 А.
Следовательно,
'
= 'пр
+ 'св
= 35,2 sin(co / - 106°20') + 8,45 е"210' А.
Кривая 3 на рис. 8.22 определяет характер изменения свободного тока, кривая 4 —
полного тока после коммутации (ординаты кривой 4 при со / > 0 равны сумме ординат
кривых 2 и 3).
П рим ер 82. Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения и(-(0), при замы­
кании ключа К разряжается на L и R (рис. 8.23, а ). Вывести формулы и построить графи­
ки изменения во времени ис , /, uL, когда корни характеристического уравнения: а) дей­
ствительные; б) комплексно-сопряженные.
R
1
Корни
уравнения
р 2 + р — +---------------------------- = 0равны
».
.
Они действительны
при
LС
Рис. 8.23
r- —
s f >> -7 '-^:c
2L
LC
и комплексно-со-
256
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
пряжены при [ — -] < — . При | ~ ~ ] = —~ корни равны. Соответствующее этому
12 L )
LС
I2 LJ
LС
случаю R называют критическим. При решении учтем, что /(0) = 0, /Пр - 0, ис пр =
а) Полагаем P\t 2 — действительные корни. Тогда
«Св = Я ,е й '+ ^ в Л ';
І С с г = С ^ - =р]Аі с'}' , +рг А2^ ' .
Составим два уравнения для определения
А х + А 2 = H f(0 );
и Аг :
P i А\ + p i А 2 = 0 .
Отсюда
, _ ис (0 ) р 2
л \ -- --------------------------------»
, _ ис ( 0 ) р ,
л 2 ------------------------------------•
Р 2 ~ Р)
Рг ~ Р\
Следовательно,
ис=л А
(Р2Є* ' _ Рі е/>2<);
Рг-Р\
I<-Ср 1 А,(ер,' - е Р2‘);
uL = L C p l Al ( p l e'," - p
2 с * ') .
Графики ис , /, uL для случая а) даны на рис. 8.23, б.
Для случая б) корни р,
= - Ь ± j со0, где Ь = R / 2 L\ со0 =
2
-----I
] . Напряже­
ние иСса = А е " 5 ' sin(co0 / + v).
Ток
сі Uf £|g
'св = C ---------= A C e
dt
(-6
sin(co0 / + v) + co0 cos(co0 / + v)) = A С e
Є.С
.
sin(co0 /+ v + p).
Здесь tg p = co0 / (-5), угол P находится во второй четверти. Из начальных условий
1/^ ( 0
)= Л sin v и *св(0) = А С sin(v + р) = 0.
Отсюда
v + р = 180°;
tg v = со0 / б;
tgV
СОа
sin v = - = —= = = - = £ = = .
Постоянная
A=
sin V
= uc (0) Vl + CS/fflo)2 .
Графики
uc - A e~6' sin(co0 / + v);
i = - A C yjd2 +Oq e"6/ sinco0 / = - A J c i L e~5/ sinca0 /;
и і = ( 6 2 + ©л) A С L e - 6 1 sin(co0 / - v) = —f - - e " 5 ' sin(co0 / - v)
sm v
изображены на рис. 8.23, в; Ыд(0 +)= -и с (0).
П рим ер 83. В схеме (рис. 8.24) ключ замыкается в третьей ветви. До этого был уста­
новившийся режим: е(/) = £ = 120В. Требуется найти: 1) /2 СВ( 0 +);
№ 2 с в ^ О о +>
wCcb(0+)> ( d u c C9fdt)o+* 2) i2( t \ если /?,= 5 0 О м , /? 2 = ЮОм, 1 2 = 2Г н, /? 3 =50 0м ,
С = 150 мкФ.
§ 8.27. Определение постоянных интегрирования в классическом методе
257
ис
Рис. 8.24
Решение
первой
Рис. 8.25
части
з а д а ч и . До замыкания ключа
i , « U = /2 « U *
120
= 2 А.
50 +10
/?і + R 2
Принужденный ток после коммутации /1пр = /2пр = 2 А. Постоянный ток через конден­
сатор не проходит, поэтому /Зпр = 0 .
От постоянного тока на индуктивном элементе нет падения напряжения, следователь­
но, Uі 2пр “ 0 .
Принужденное напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на R2 от тока
/2пр : ис - 2 • 10 = 20 В. По первому закону коммутации /2 (0_) = /2 (0+) = 2 А. Но
'2 ( ° + ) = ' 2 пр (°+ ) + ' 2 св ( 0 + ), откуда
/2св(0+) = /2(0+) - / 2пр(0+) = 2 - 2 = 0;
/ і ( 0 + ) = /2 ( 0 + ) + / з ( 0 + ) г
A(0+) = 2 + /3 ( 0 J .
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образован­
ного первой и третьей ветвями:
1,( 0
+) Л, + /3 (0+) R3 + ис ( 0+) = Е.
Так как 1/^( 0 +) = 0 и /і(0ч.) = 2 + /3 (0+), то
£ Z 2A = l
Д, + Д3
3
50 + 50
Свободная составляющая
= /3 (0+) - /Зпр(0+) = 0,2 - 0 = 0,2 А.
Чтобы определить uLсв(0+) составим уравнение для свободных составляющих по
контуру, образованному первой и второй ветвями:
/1сВ(0+)Л, + /2св(°+) Я2 + u LcB( 0 + ) = 0,
откуда
Чсв(0+) = -Асв(0+) Rx - /2св(0+) R2 = -0,2• 5 0 - 0 * -10 В.
Но uLcB = L2
Следовательно,
= ц(-св(°+) __ —1^. —_ 5 А /с
0+
12
2
258
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Свободное напряжение на конденсаторе при / = 0+ подсчитаем по второму закону
коммутации:
ис(0_)=ис (0+);
«с ( 0 +) = «спР<0 +) + иссв(0 +);
0
= 2 0 + иСсь( 0 +),
отсюда мСсв(0+) = -2 0 В.
Определим скорость изменения свободной составляющей напряжения на конденсато­
ре при / = 0+. С этой целью воспользуемся тем, что /Зсв = С
dt о*
Решение
второй
р 2 L 2 С (/?j +
Следовательно,
: ' 3c,(0 t) = ---- = 1333 В/С.
с
части
/? 2 )
dt
*Ьр (С
15010
з а д а ч и . Характеристическое уравнение
4- /?,
(/? 2
/? 2
+
) ■+■1*2)+•/?,+
/? 2
=0
имеет два комплексно-сопряженных корня:
р, = -4 2 ,1 + у 15,2 с ' 1,
р 2 = -4 2 ,1 - у 15,2 с ' 1.
Поэтому свободная составляющая должна быть взята в виде
А е '6' sin(co0 / + v),
где 5 = 42,1; со0 = 15,2; А и v определяем по значению свободной составляющей и ее пер­
вой производной при / = 0 +. П оданны м первой части задачи, / 2 = 2 А; /2св( 0+) = 0;
' 2 с в ( 0 + ) = -5 А /с ; иСпр = 20 В;
цГсв(0+) - 2 0 В ; и'Ссв(0+) = 1333 В /с.
При / = 0 А е 5' sin(co0 / + v) = sin v. Производная функция А е 5' sin(co0 t + v):
А д е ' 5ґ sin(co0 t + v) + A e~5/ co0 cos(co0 t + v).
-
Значение этой производной при t = 0 равно - 6 A sin v + ю0 A cos v.
Найдем значения А и v для свободной составляющей тока /2. Для этого составим
два уравнения:
/2 св(0 +) = 0 или Л sin v = 0 ;
/2 св(0+) = -5 или -5 A sin v + со0 A cos v = -5.
Совместное решение их дает А = -0,328 А и v = 0. Следовательно,
/2
= /2пр + /2с, = 2 - 0,328 е '« - '' sin 15,21 А.
Кривая 1 на рис. 8.25 выражает собой график
составляющей напряжения ис :
/2
= / ( /) . Найдем А и v для свободной
исСв(0+) = -20 или A sin v = -20;
wCcb(0+) = 1333 или
-6
A sin v + o 0 A c o s v = 1333.
Отсюда A = 37,9; v = З Г52'.
Таким образом,
uc = ttfnp + иГс, = 20 + 37,9 e-42-1' sin 15,2 1 A.
Кривая 2 на рис. 8.25 изображает и(- = /(О -
§ 8.27. Определение постоянных интегрирования в классическом методе
259
П рим ер 84. В схеме на рис. 8.24 e(t) = 127 sin(314 / + 40°) В. Параметры схемы те же,
что и в примере 83. До замыкания ключа в схеме был установившийся режим.
Требуется найти: 1) /2 св(0+);
Решение
первой
/
; 2)«(/), uc (t).
dt
dl 0+
части
=/
1т
2т
з а д а ч и . До коммутации
П7 я.У40°
= i± Z f ------ = о,202
60 + j 628
44°30' А;
/, = / 2 = 0,202 sin(co / - 44°30');
/»(0_) = /2 (0_) = 0,202 sin(-44°30') = -0,1415 А.
Определим принужденные токи и напряжения на конденсаторе после коммутации.
Входное сопротивление цепи
ZBX= Л, + -------------------і -------= 104,8 e ' j 9°50' Ом.
Л2 + У0) L2 + Л3 —
со С
Тогда / 1т = £ lm/Z BX = 127 е; 40° /104,8 е * ' 9°50' = 1,213 е ' 49°50'.
Мгновенное значение принужденного тока после коммутации
/1пр =l,213sin(co/ + 49°50');
'і пр (0+) = 1,213 sin(49°50') = 0,923 А.
Комплексное сопротивление параллельно соединенных второй и третьей ветвей
(R2+ j соL2)[ /?з
Z23
— ~
,
= ----------------- і --- 2 L i = 56,3 е ' у 18°35' Ом.
Л2 + j ш L 2 + Л3 —
соС
Комплексное напряжение на параллельном участке
£>23т = / 1я Z23 =1,213е''49°50' 56,3 е ' /18°зг = 6 8 , 2 е;3|“15' В.
Отсюда
.
= lb*L =
2/”
Z2
10
-------= одо85 е - ' 5Г4У,
+ У 628
р у31°15'
/ З т = - ^ ---------= 1,253 е> 54°20 .
3w
50 + j 21,3
Мгновенные значения принужденных токов
/2
и /з после коммутации:
/2пр = 0,1085 sin(co t - 58°45')і
/Зпр = 1,253 sin(co / + 54°20');
^2 пр(0 +) = 0,1085 sin(-58°45') = -0,0928 А;
'Зпр(°+) = ^253 sin 54°20' = 1,016 А.
Принужденное напряжение на конденсаторе
260
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Мгновенное значение принужденного напряжения на конденсаторе после коммутации
мСпр = 2 6 ,7 sin (aw -3 5 °4 0 '); иСпр (0+) = 26,7 sin(-35°40') = -15,57 В.
По первому закону коммутации,
/2 (0 -) * '2(0+) = -0,1415 = /2 пр(0+) + /2 св(0+);
hnp (° +) = ° > 0 9 2 8 А; <2 с>(0+) = -0,1415 + 0,0928 = -0,0487 А.
Свободное напряжение на конденсаторе иГсв(0+) найдем по второму закону комму­
тации:
ис(0.) = иСпр(0+) + ис„(0+);
Ис» (0+) « "с (0-) ■-"Спр <0+) = 0 - (-15,57) = 15,57 В.
Для определения /зсв(0+) составим уравнение по контуру, образованному первой и
третьей ветвями:
,1св(0+ ) R\ + *3св(0+) Яз + WCB(0+) = 0.
Заменим в нем /ісв(0+) на (-0,0487 + /Зсв(0 +)), и, учтя, что мС’св(0+) = 15,57 В, полу­
чим
. /Л ч -15,57 + 2,43
Л1„ , А
*v*(0+) = ------------------ = -0,1314 А;
Зсв +
50 + 50
Асв(0+) = /2 « ( 0 +) + 'зсв(0+) = -0,18 А.
Чтобы найти w/cB(0+) = L
di 2cв
dt
первой и второй ветвями:
, составим уравнение для контура, образованного
0+
Асв(°+) R\ + '2св(0+) ^2 + w/.cb(0+) = О,
откуда
wAcb(0+) = 9,487 В;
;2св
dt
=
i W
о .
0 ± )
*
=
9 ;4 8 7
=
2
d u Cc
dt
Решение
первой части,
второй
0+
части
з а д а ч и . По данным, полученным при решении
/2пр = 0,1085 sin(co / - 58°45'), /2 св(0+) = -0,0487 А;
4св(0+ ) = 4 ,7 4 А /с;
испр = 26,7 sin(co/-35°40'), иСсв(0+) = 15,57 В;
wrcB(0+) = -876 В/с;
Корни характеристического уравнения те же, что и в предыдущем примере. Опреде­
лим А и v для /2св, составим два уравнения:
A sin v = -0,0487;
откуда А = 0,184 A; v = -15°20\
6
A sin v + о>0 A cos v = 4,74,
§ 8.28. О переходных процессах... Обобщенные законы коммутации
261
Следовательно,
'2
= ' 2 пР + ' 2 о = 0,1085 sin(o) / - 58°45') + 0,184 е ^ 2-' ' sin(l 5,2 / - 1 5°20') А.
Найдем А и v для мссв* составим два уравнения:
A sin v = 15,57;
- 5 /I sin v + cd0 A cos v = -876.
Их совместное решение дает А = 21,3; v = 136°50\
Таким образом,
«с = «СпР + «Се» = 26,7 sin(co t - 35°40') + 21,3 e"42J / sin(l 5,2 / + 136°50') В.
§ 8.28. О переходных процессах, при макроскопическом рассмот­
рении которых не выполняю тся законы коммутации**. Обобщенные
законы коммутации. На практике встречаются схемы, переходные про­
цессы в которых состоят как бы из двух стадий резко различной продол­
жительности. Длительность первой стадии в тысячи и миллионы раз ко­
роче второй. В течение первой стадии токи в индуктивных элементах и
напряжения на конденсаторах изменяются настолько быстро (почти скач­
кообразно), что если считать / = 0_ началом, a t = 0+ — окончанием пер­
вой стадии, то создается впечатление, что при переходе от / = 0_ к t = 0+,
т. е. за время, например, в несколько микросекунд, как бы нарушаются
законы коммутации.
Для иллюстрации нарушения второго закона коммутации рассмотрим
переходный процесс в схеме (рис. 8.26) с начальными условиями
wc i(0_) = Е, иС2 (0_) = 0.
Сначала при замыкании ключа через конден­
саторы возникают очень большие броски токов
(ограничиваемые хотя и очень малыми, но все
же конечными сопротивлениями соединитель­
ных проводов /?пр), прохождение которых при­
hUC2
водит почти к мгновенному уравниванию напря­
жения на конденсаторах до значения, меньше­
го Е. (Строго говоря, если учесть сопротивле­
ние /?пр, то для первой стадии переходного про­
цесса в схеме на рис. 8.26 характеристическое уравнение будет уравне­
нием второго порядка, один корень которого при Rnp -> 0 стремится к
бесконечности.)
После этого начинается вторая стадия, когда параллельно соединен­
ные конденсаторы относительно медленно заряжаются до напряжения Е.
Длительность переходного процесса практически определяется второй
стадией.
В качестве примера нарушения первого закона коммутации рассмот­
рим переходный процесс в схеме на рис. 8.17. Быстрое размыкание
ключа в первой ветви, например за 10” с, приводит к тому, что сопро­
тивление этой ветви быстро увеличивается, ток ^ почти скачком умень­
шается до нуля и почти скачком изменяются токи в остальных ветвях.
’'Имеются в виду ранее рассмотренные законы коммутации.
262
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Таким образом, за очень малое время порядка 1СГ5 с (от t = 0_ до t = 0+ )
токи резко изменяются, а /(0+) ф /(0_); і2 ( 0 +) ф
Нарушение законов коммутации в формулировке § 8.5, 8.6 при пере­
ходе от t = 0_ до t = 0+ объясняется тем, что процессы в быстро проте­
кающей первой стадии и их зависимость от времени не рассматривают­
ся. Если же первую стадию не исключать при рассмотрении, то ранее
исследуемые законы коммутации выполняются.
Для того чтобы можно было рассчитать переходные процессы сразу
во второй стадии, как бы перешагнув через первую, надо, во-первых,
примириться с тем, что при переходе от t = 0_ до t = 0+ в рассматрива­
емых задачах законы коммутации в том виде, как они сформулированы
в § 8.5, 8.6, не будут выполнены; во-вторых, принять исходные положе­
ния, которые позволяют определить значения токов через индуктивнос­
ти и напряжений на конденсаторах (а если потребуется, то и их произ­
водные) при t = 0+ через значения токов и напряжений при / = 0. Таких
положений (правил) два. При решении задач рассматриваемого типа они
заменяют законы (правила) коммутации, о которых шла речь в § 8.5, 8.6,
и потому их называют иногда обобщенными законами (правилами) коммутации.
1. При переходе от / = 0 . до / = 0+ суммарное потокосцепление ]Г У
каждого замкнутого контура послекоммутационной схемы не должно
претерпевать скачкообразных изменений. Это положение следует
из второго закона Кирхгофа и доказывается от противного: если допус­
тить, что ]Г\|/ некоторого контура изменится скачком, то в уравнении
для этого контура, составленном по второму закону Кирхгофа, появилось
бы слагаемое Д]Г у / Д/| д
и второй закон Кирхгофа не был бы вы­
полнен.
Суммарное потокосцепление ]Гі|/ представляет собой алгебраичес­
кую сумму произведений токов ветвей этого контура на индуктивности
их индуктивных элементов (в общем случае с учетом магнитной связи с
другими ветвями). Со знаком плюс в эту сумму входят слагаемые вет­
вей, направление токов в которых совпадает с произвольно выбранным
направлением обхода контура.
2. При переходе от t = 0_ до t = 0+ суммарный заряд
на обклад­
ках конденсаторов, присоединенных к любому узлу послекоммутацион­
ной схемы, должен остаться неизменным. Если этого не выполнить, то
суммарный ток, проходящий через конденсаторы, был бы бесконечно
большим (стремился бы к бесконечности), бесконечно большими были
бы токи и через другие ветви, присоединенные к этому узлу. Это также
привело бы к нарушению второго закона Кирхгофа.
П ри м ер 85. В схеме рис. 8.17 до размыкания ключа был установившийся режим.
Определить ток в цепи после коммутации.
Р е ш е н и е . Послекоммутационная схема (см. рис. 8.17) имеет всего один контур. По
первому закону (правилу) коммутации:
L <(0_)+
/- 2
/ 2 ( 0 .) = і(0+) ( і + І 2);
<'(0+) = —
( L i ( 0 . ) + L 2 »2 (0 .)).
\ L+ L2)
§8.29. Логарифм как изображение числа
263
Закон изменения тока при / > 0 +, если считать, что до коммутации был установив­
шийся режим,
2R
Е 2 L + L 2 __ £_
13 R L + L 7
2R
На рис. 8.27, а у б показан характер изменения токов для схемы на рис. 8.17 в долях от
Е / R при Z, = 3Z ,2 (L 2 в правой ветви).
UC2
ud0+)
Рис. 8.27
П ример 8 6 . Определить закон изменения напряжений иС1 и иС2 при замыкании клю­
ча в схеме на рис. 8.26.
Р е ш е н и е . В схеме известны wci(O-) = £; м^2 (0 +) = 0. По второму закону (прави­
лу) коммутации составляем одно уравнение (т. е. столько, сколько необходимо составить
уравнений для послекоммутационной схемы по первому закону Кирхгофа):
^ п (0 _ )С ! = м г(0+ )(С | + С2),
отсюда
иг (0+) = ип (0+) = иГ2(0+) =
При / > 0 + и = иСпр + и Ссв = Е + А е р ‘.
ЕС-2...
2
..
ис
А =—
C,+C2 ’
. . с2
=Е-Ес ,+ с 2
/
ЕС,
С, + с 2
Определим А: при / = 0
ис (0+) = Е + А и
Характер изменения ип и иС2 показан на рис. 8.27, в, г.
В заключение обратим внимание на то, что, допустив при переходе
от / = 0_ к / = 0+ скачкообразное изменение токов через индуктивный
элемент и скачкообразное изменение напряжений на конденсаторах, тем
самым допускаем скачкообразное изменение энергии магнитного поля
индуктивных элементов и энергии электрического поля конденсаторов.
Суммарная энергия электрического и магнитного полей при / = 0+
всегда меньше суммарной энергии при t = 0_, так как часть запасенной
энергии расходуется на тепловые потери в резисторах, искру при ком­
мутации, электромагнитное излучение в окружающее пространство.
Прежде чем перейти к изучению основ второго метода расчета пере­
ходных процессов в линейных электрических цепях — операторного
метода, вспомним некоторые известные положения.
§ 8.29. Логарифм как изображение числа. Известно, что для выпол­
нения операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения
корня из многозначных чисел целесообразно пользоваться логарифмами.
264
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Действительно, операция умножения сводится к сложению лога­
рифмов, операция деления — к вычитанию логарифмов и т. д. Таким
образом, произвести расчет легче в силу того, что сравнительно слож­
ная операция сводится к более простой. Каждому числу соответствует
свой логарифм, поэтому логарифм можно рассматривать как изображе­
ние числа. Так, 0,30103 есть изображение (логарифм) при основании
10 числа 2.
§ 8.30. К ом плексны е изображения синусоидальны х функций.
С понятием изображения встречаются также при изучении символичес­
кого метода расчета цепей синусоидального тока. Согласно символичес­
кому методу, комплексная амплитуда есть изображение синусоидальной
функции. Так, \ т — изображение синусоидального тока I m sin(o)/ + v|/).
Между изображением числа в виде логарифма и изображением синусо­
идальной функции времени в виде комплексного числа имеется суще­
ственная разница. В первом случае речь идет об изображении числа (не
функции), во втором — об изображении функции времени.
Подобно тому как ведение логарифмов упростило проведение опера­
ций над числами, введение комплексных изображений синусоидальных
функций времени позволило упростить операции над функциями време­
ни (свести операции расчета цепей синусоидального тока к операциям,
изученным в гл. 2).
§ 8.31. Введение в операторны й метод. Операторный метод тоже
основан на использовании понятия об изображении функций времени.
В операторном методе каждой функции времени соответствует функция
новой переменной, обозначаемой буквой /?, и наоборот — функции пе­
ременной р отвечает определенная функция времени.
Переход от функции времени к функции р осуществляют с помощью
преобразования (прямого) Лапласа.
Таким образом, операторный метод расчета переходных процессов
представляет собой метод расчета, основанный на преобразовании Лап­
ласа.
Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования
к умножению, а операцию интегрирования — к делению. Это облегчает
интегрирование дифференциальных уравнений.
§ 8.32. Преобразование Л апласа. Условимся под р понимать комп­
лексное число
p = a +j b ,
(8.30)
где а — действительная, a j b — мнимая части комплексного числа (в ряде
книг вместо буквы р пишут s).
В дальнейшем в соответствии с установившейся практикой коэффи­
циент Ь с учетом знака условимся называть не коэффициентом при мни­
мой части комплекса (чем он в действительности является), а мнимой
частью. Функцию времени (ток, напряжение, ЭДС, заряд) обозначают
§ 8.34. Изображение показательной функции еш
265
/ ( f ) и называют оригиналом. Ей соответствует функция F(p), называ­
емая изображением, которая определяется следующим образом:
(8.31)
F( p) = J / ( / ) e - " dt.
Соответствие между функциями F(p) и /( f ) записывают так:
F{p)±f(t).
(8.32)
Знак «=» называют знаком соответствия.
Верхний предел интеграла (8.31) равен бесконечности. Интегралы с
бесконечным верхним пределом называют несобственными. Если в ре­
зультате интегрирования и подстановки пределов получают конечное
число (не бесконечность), то говорят, что интеграл сходится.
В курсе математики доказывается, что интеграл (8.31), в состав кото­
рого входит функция е 'р/ =e~at t j b t 9 сходится только в том случае,
когда модуль функции /(f) . если и увеличивается с ростом f, то все же
медленнее, чем модуль функции ер /, равный efl/.
Практически все функции / (f), с которыми имеют дело в курсе ТОЭ,
этому условию удовлетворяют.
Составим изображения некоторых простейших функций.
§ 8,33. Изображение постоянной. Требуется найти изображение фун­
кции / ( f ) = А, где А — постоянная величина. С этой целью в (8.31) вме­
сто / ( f ) подставим А и проведем интегрирование:
F(P)=
-pi
dt = А
_1_
Ac~ p'
А_
Р
Р)
Следовательно, изображение постоянной равно постоянной, деленной
на р:
А = А! р.
(8.33)
§8.34. Изображение показательной функции ea t . Вместо / ( f ) в
(8.31) подставим еа ' :
1
F (p) = Jea ' е_/" dt = Je“' (p“a) dt =
p-а
1
p-a
p-a
( 0
-
1)
=
-
1
p-a
Таким образом,
ea ' = -
(8.34)
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
266
При выводе формулы (8.34) (при подстановке пределов) было учте­
но, что действительная часть оператора р больше, чем а , т. е. а > а.
Только при этом условии интеграл сходится.
Из формулы (8.34) вытекает ряд важных следствий. Положив в ней
а = у со, получим
еу“ ' = — ?— .
p - j со
(8.35)
Формула (8.35) дает возможность найти изображение комплекса си­
нусоидального тока:
;
Лт с
у ( a w + iy )
;
“ лт с
j
со/
С этой целью обе части (8.35) умножим на постоянное число /
:
_1
.
(8.36)
P -j®
Аналогично, изображение комплекса синусоидального напряжения
(8.37)
p - j (0
Функции е~“ ' соответствует изображение 1/ (р + а ) :
е-
а
( 838)
/? + а
§ 8.35. Изображение первой производной. Известно, что функции
/ ( / ) соответствует изображение F(p). Требуется найти изображение
первой производной d f ( t ) l d t , если известно, что значение функции
/ ( 0 при / = 0 равно /(0 ).
Подвергнем функцию d f ( t ) ! d t преобразованию Лапласа:
J
a t/m
Интегрирование произведем по частям ju dv = и v - Jv du. Обозначив
e~pl = и и d f ( t ) / d t = dv, получим
}е‘ " d ( f ( t ) ) = е " " т \ - j / ( f ) d { e ' p t ).
0
оо
Но
Є ' " / ( ' ) ? = 0 - / ( 0 ) = -Д О ),
0
] / ( 0 d<fp' = р } / ( / ) e“" dt = p Ftp).
§8.38. Изображение интеграла
267
Таким образом,
е -п> d t = p F ( p ) - / ( 0 ) ,
(8 .3 9 )
о dt
или
d f(t)/d t= p F (p )-m .
(8.40)
§8.36. Изображение напряжения на индуктивном элементе. Изоб­
ражение тока / равно /(/?). Запишем изображение напряжения на L :
. По формуле (8.40), —
=р /(/? )-/(0 ), где /(О)**—
dt
dt
тока / при t = 0_. Следовательно,
u l
= L —
L ^ - - L p l ( p ) - L i ( 0).
значение
(8.41)
dt
Если
/(0) = 0, то
L ~ r ^ L р 1(р).
(8.42)
dt
§ 8.37. Изображение второй производной. Без вывода дадим фор­
мулу
d 2m _ .
- р г ^ - ї р 1 F( P) - P m - £ £ p dr
dt
(8.43)
(=0
Следовательно, изображение второй производной тока /
^ - = р 2 і{р)-р т - і щ .
dt1
§ 8.38. Изображение интеграла. Требуется найти изображение фунt
кции Jf ( t ) d t , если известно, что изображение функции / ( / ) равно
Ftp)*
Подвергнем функцию Jf { t ) d t преобразованию Лапласа:
о
°°/'
^
1 °°//
^
J j f ( t ) d t е~я' dt = - — j \ f ( t ) d t
04°
/
Р 0 \°
>
в>Для сокращения записи вместо /(0 _) пишем /(0 ); /(0 ) может быть и положитель­
ной, и отрицательной величиной; /( 0 ) положительно, когда направление тока совпадает с
произвольно выбранным положительным направлением послекоммутационного тока в
индуктивном элементе L.
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
268
Примем J / ( f ) dt = и; d(e~pl ) = d v и возьмем интеграл по частям:
0
.
- 1 J/ ( Оdt
р
і
U
jm d t
ко
*- pt I
] / ( ') е - " А
F(P)
Первое слагаемое правой части при подстановке верхнего и нижнего
пределов обращается в нуль. При подстановке верхнего предела нуль
получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию / ( / )
(см. § 8.32) функция / ( / ) если и растет с увеличением /, то все же мед­
леннее, чем растет функция efl/, где а — действительная часть р. При
подстановке нижнего предела нуль получим за счет обращения в нуль
/
J/(0 dt. Следовательно, если f ( t ) = F ( p ), то
J/(0 dt = F(p)
(8.44)
§ 8.39. Изображение напряжения на конденсаторе. Напряжение на
конденсаторе ис часто записывают в виде ис = ~ j/ d t , где не указаны
пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая
запись:
1 '
«с = М ° ) + —
с о
где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе опре­
деляется не только током, протекшим через него в интервале времени от
О до /, но и тем напряжением мс (0), которое на нем было при f = 0.
j і
В соответствии с формулой (8.44) изображение — J/ dt равно
С о
К р ) ! (С р), а изображение постоянной мс (0) есть постоянная, делен­
ная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе записыва­
ют следующим образом:
. 1 {Р)
"C = c
7
^ .( о Я
+_V
_ -
<8 -4 5 >
Приведем простейшие операторные соотношения; часть их была вы­
ведена ранее, другая дается без вывода:
Ж)Для сокращения записи вместо mc(CL) пишем ис (0 ); ис (0 ) может быть и поло­
жительной, и отрицательной величиной. В формуле (8.45) ис (0) считают положительной
величиной, если направление w<~(0 ) совпадает с произвольно выбранным положительным
направлением послекоммутационного тока через конденсатор.
§8.39. Изображение напряжения на конденсаторе
-= е
16)
1
sh я /;
2 - a2 =—
а
1
-= е -at.
/> + а
17)
P
2 - a 2 = ch at\
1
о
2)
3)
4)
269
р-а
___1_
18)
p - j со
а
=1 - е
р ( р + а)
19)
1
2
/>
„ j.
2
.
„z.
р +а
і
20)
5) -----Ц - = * е - “ ';
(/> + а ) 2
і
( р 2 + а 2) (р 2 +Ь2) ' Ь2 - а 2
x (c o s a /-c o s ft/);
6)
21)
(/7 + а Г
*
= —е-0 ' sin ft/;
(р + а) 2 +Ь 2 Ь
22) 1=5(/);
7) — 1— 2 - - - V o - e~a ' а + « ') ) ;
р ( р +а ) 2 а
1
^
9)
=-L__L+ e~°'
р 2 ( р + а)
а
а2
1
(р + а ) ( р + Ь)
а -Ь
1
p ( p + a ) ( p + b)
1 V й'
+ -----b- a
Р'ІР
l
є- оГр
a );
27 )
14)
15)
=i
ф
p
?=J0( j at);
yjp 2 - a '
(
\
n
U
U V7 J
, где Ф - -
ИН
теграл ошибок Гаусса;
. /./i-l
p"
■=у0(« 0;
26)
12) - V = /;
13)
1
25)
1
ab
e'e,>
b
1
24) - Л = = 2 л/ГТтг;
( а е ~а1 - Ь е ~ ь');
1
. 1
10)
(е'* ' -е ~ а');
(р + а ) ( р + Ь) а - Ь
И)
1 .
23)
а2
28)
< ‘ Гг
■
1
c-f7 .
(« - D i
p
( p + a) 3
1
- i j p 2+2bp
at
29)
?=e'*' J 0( j b-Jt 2 - T 2),
лір 2 + 2 ft р
1
( p + a)" ' (и-1)!
е“ ” ;
t > Т.
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
270
§ 8.40. Некоторые теоремы и предельные соотношения.
1. Теорема смещения в области оригиналов (теорема запаздывания).
Если изображение функции f ( t ) равно F(/?), то изображение функции
f ( t - х) равно е~р/ F(p).
Теорема доказывается путем подстановки f ( t - т) в формулу пре­
образования Лапласа и введения новой переменной / —т = /j, dt = dt ]9
е-р ' = е ^ т e~pt' :
Je~p ' / ( / - т ) < / т = е"рт J e 'p'' f ( t x) d t x = e - pt F(p).
0
о
Пример на применение теоремы см. в § 8.60.
2. Теорема смещения в области изображений. Если изображению
функции F(p) соответствует функция / ( / ) , то изображению F ( p - X ) —
функция еХ/ f i t ) .
Доказательство проводят путем подстановки функции еХ/ f ( t ) в фор­
мулу преобразования Лапласа:
со
оо
Je -p< е Х< Д , ) d t _ Je -«(P-X) д ц d t = р ( р _
о
П рим ер 87. Найти оригинал
Р е ш е н и е : \ / ( р + Х)2
о
1/(р
+ Х)2, если известно, что \ / p 2 =t.
t.
3. Теорема об изменении масштаба {теорема подобия). Если функ­
ции f { t ) соответствует изображение F ( p ), то функции f ( k t ) — изоб-
1 гг I( —
р \I.
ражение —
а
Vа /
Теорема доказывается следующим образом:
00
1 00 - — ( а / )
о
а о
U - P > е Х/ д а
!
Ге ‘ а
д а ,)
,) = _
]
(
f £
'N
а
Л. Нахождение начального значения функции времени / ( 0+) по изоб­
ражению функции F ( p ) :
/ ( 0 +) = lim р F(p).
р—
>00
Это соотношение получим, если в (8.39) р устремим к бесконечнос­
ти. При этом левая часть (8.39) равна нулю.
5.
Нахождение установившегося значения функции времени /(оо) по
изображению функции F ( p ) :
§ 8.40. Некоторые теоремы и предельные соотношения
271
Соотношение получим, если в (8.39) р устремим к нулю и учтем, что
г-Н
=1.
•р—
^0
В результате имеем
W(0 =/(«) - /(0) = Игар Пр) - /(0),
п
Р-+°
или
/ ( 0 ) = lim р F{p).
/—
>•00 /?”>0
Если искомая функция / ( / ) в послекоммутационном режиме содержит в своем со­
ставе периодическую составляющую (принужденную или свободную), то понятие / (оо)
для нее оказывается неопределенным. Например, не имеет определенного смысла функ­
ция sin о) t при / = оо. В соответствии с этим к цепям с синусоидальными источниками
не следует применять предельное соотношение п. 5. Точно так же не следует пользовать­
ся им для цепей без синусоидальных источников, если эти цепи чисто реактивные и не
содержат резисторов. Так, при подключении последовательно соединенных і и С (при
нулевых начальных условиях) к единичному напряжению !(/) по цепи протекает свобод­
4cTLsin( l / - J ' l C ) .
ная составляющая тока, численно равная
/(оо) как lim р F(p) также не имеет смысла.
р-+ о
В этом случае определять
6 . Дифференцирование в области изображений. Если F ( p ) = f i t ) , то
dF(p) _
-=t f{t). Доказательство:
dp
d
dp
J /(0 <
, - P>
d
dp
dt
Например, если f ( t ) = e a / ; F(p) =
, c-«/
_pi
dt = - \ t f ( t ) e ~ pt dt.
1
p +a
TO
1
dF{p)_
dp
(p + a ) 2
7. Интегрирование в области изображений. Если при / > 0 / ( / ) и
00
f i t ) I t преобразуемы по Лапласу и J F ( p ) d p существует, то
р
\ F i p ) d p =Jit
~)
Доказательство:
272
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Например, если f ( t ) = 1 - е"“ ' (а > 0), F ( p) = ——^ — -,
р(р + а)
1 ^ 1 Л —
t
Jp( p + a )
р
dp= ¥ 1 - _1_] ^
. щ < £ ± “ >.
/? + a j
р
р
§ 8.41. Закон О м а в операторной форме. В нутренние ЭДС. На
рис. 8.28 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи.
Между узлами а и b этой цепи включена ветвь, содержащая Л, Z,, С и
источник ЭДС e(t). Ток по ветви обозначим через /.
Замыкание ключа К в схеме приводит к переходному процессу. До
коммутации ток / = /(0_) и напряжение на конденсаторе ис = м(0_). Вы­
разим потенциал точки а через потенциал точки Ь для послекоммутационного режима:
Фа = Ф* + «С + UL +
uR
- КО;
u ab = Фа - Фі> = UR + «/. + UC ~ < 0 -
Вместо
и,
запишем
і '
uc (0) + —J/ dt. Тогда
Z,— ,
вместо
ur
соответственно
dt
uah=i R + L — + uc {0) + ~
J/ dt - e(t).
(8.46)
К уравнению (8.46) применим преобразование Лапласа. Преобразо­
вание Лапласа является линейным, поэтому изображение суммы равно
сумме изображений.
Каждое слагаемое уравнения (8.46) заменим операторным изображе­
нием: вместо i R запишем R I ( p ) \ вместо uab — Uah( p);
§8.41. Закон Ома в операторной форме. Внутренние ЭДС
273
В результате найдем
Uab(p) = I ( p) R + р L +
Ср
Смысл проведенного преобразования состоит в том, что вместо диф­
ференциального уравнения (8.46) получили алгебраическое уравнение
(8.47), связывающее изображение тока /(/?) с изображением ЭДС Е(р)
и изображением напряжения Uab(p). Из уравнения (8.47) следует, что
/(/>) =
Uab(p) + L i ( 0 ) - ^ + E(p)
_________________Р________
(8.48)
Z{p)
где Z( p) = R + р L + --------- операторное сопротивление участка цепи
Ср
между точками а и Ь. Структура его аналогична структуре комплекса
сопротивления того же участка цепи переменному току, если j о> заме­
нить на р (см. с § 8.13).
Как указывалось в § 8.13, комплексное число р = а + j b может быть
записано в виде р = j ( b - j а) = j Q, где Q = b - j а — комплексная ча­
стота; Z(/?) = Z(y Q ) — сопротивление, оказываемое рассматриваемой
цепью воздействию U qj Qi =U е'7', подобно тому как Z ( j со) есть со­
противление, оказываемое воздействию U e J(at. Поэтому Z (p) называ­
ют сопротивлением на комплексной частоте.
Уравнение (8.48) может быть названо законом Ома в операторной
форме для участка цепи, содержащего ЭДС. Оно записано при ненуле­
вых начальных условиях.
Слагаемое L /(0) представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловлен­
ную запасом энергии в магнитном поле индуктивной катушки вследствие
протекания через нее тока /(0) непосредственно до коммутации. Слага­
емое ис (0)1 р представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную
запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие напря­
жения на нем ис (0) непосредственно до коммутации.
В соответствии с формулой (8.40) на рис. 8.29 изображена оператор­
ная схема замещения участка цепи рис. 8.28. Операторные сопротивле­
ния ее R, р L, 1/ (С р). Как следует из формулы (8.48), внутренняя ЭДС
L /(0) направлена согласно с направлением тока /(/?), внутренняя ЭДС
(/с (0)/ р — встречно току /(/?).
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
274
В частном случае, когда на участке ab отсутствует ЭДС e{t) и к мо­
менту коммутации /(0) = 0 и мс (0) = 0, уравнение (8.48) приобретает
более простой вид:
(8.49)
Уравнение (8.49) есть математическая запись закона Ома в оператор­
ной форме для участка цепи, не содержащего источник ЭДС при нуле­
вых начальных условиях.
§ 8.42. П ервы й закон Кирхгофа в операторной форме. По перво­
му закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов,
сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. Так, для узла а схемы на
рис. 8.28
(8.50)
Применим преобразование Лапласа к уравнению (8.50) и воспользу­
емся тем, что изображение суммы равно сумме изображений:
/,( /> ) + /( / > ) + / 2
( р ) = о.
В общем случае
(8.51)
Уравнение (8.51) выражает собой первый закон Кирхгофа в оператор­
ной форме.
§ 8.43. Второй закон Кирхгофа в операторной форме. Для любого
замкнутого контура любой электрической цепи можно составить уравне­
ние по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений. Предвари­
тельно необходимо выбрать положительные направления для токов в ветвях и направление обхода контура.
Запишем уравнение по второму закону
Кирхгофа для контура на рис. 8.30. Контур
обходим по часовой стрелке. Учтем, что индук­
тивности Lj и L 2 связаны магнитно. При вы­
бранных положительных направлениях для
токов /j и /2 между Ц и L 2 имеет место со­
гласное включение.
Падение
напряжения
на
Lx равно
Рис. 8.30
При составлении уравнения учтем, что начальное напряжение на конденсаторе равно мс (0). Пусть оно действует со­
гласно с током /3. Начальное значение = /j(0), тока i2 = /*2(^)-
§8.44. Составление уравнений для изображений..
275
Имеем
(8.52)
- і2 Щ - L, l b - М Q = « , ( / ) - Sj(l).
at
at
Каждое из слагаемых (8.52) заменим операторным изображением:
ц
М ( р ) - А /.(0);
м ^ Ф М р 1 2 { р ) - м /2(0);
(8.53)
l 2
^
1
2
р
I 2 (p) - L 2 і2 (0);
ex{t)=Ex(p)\
М р 1х(р) - М /,(0);
ег(1 )=Е 3 (р).
Подставив (8.53) в (8.52), объединим слагаемые с /,(/?), / 2(р), 1^(рХ
перенесем в правую часть ис (0)/ р, L} /ДО) и другие внутренние ЭДС.
В результате получим
/ ,( Р) Z x(p) + / 2(р) Z2(р) + / 3{ р ) 2 ъ{р) =
(8.54)
= Ех( р ) - Е , ( Р ) + Ет (р),
где
Z ,(/;) = /> (£ ,- Л /) ;
Z 2 (p) = р ( М - L2);
2 ъ{р) = 1 /(С р);
Е(р) = (I, - М ) /,(0) + ( M - L 2) і2 (0) - ис (0)/ р.
В более общем виде уравнение (8.54) можно записать так:
^ I k( p ) Z k(p) = ^ E k(p).
(8.55)
Уравнение (8.55) представляет собой математическую запись второ­
го закона Кирхгофа в операторной форме. В состав Ек(р) в общем
случае входят и внутренние ЭДС.
§ 8.44. С оставление уравнений для изображений путем использо­
вания методов, рассмотренных в третьей главе. Из уравнений, состав­
ленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений, вытекают соот­
ветствующие уравнения для изображений.
Уравнения для изображений по форме аналогичны уравнениям,
составленным для той же цепи с помощью символического метода для
комплексов токов и напряжений.
276
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Но если каждому уравнению для комплексов отвечает соответству­
ющее уравнение для изображений, то все основанные на законах Кирх­
гофа приемы и методы составления уравнений (методы эквивалентного
генератора, контурных токов, узловых потенциалов, наложения и т. п.)
можно применить и при составлении уравнений для изображений.
При составлении уравнений для изображений ненулевые начальные
условия учитывают путем введения «внутренних» ЭДС, обусловленных
начальными токами через индуктивные элементы и начальными напря­
жениями на конденсаторах.
§ 8.45. П оследовательность расчета операторным методом. Расчет
операторным методом состоит из двух основных этапов:
1) составления изображения искомой функции времени;
2) перехода от изображения к функции времени.
На нескольких примерах покажем, как производится первый этап.
Второй этап будет рассмотрен в § 8.47.
П рим ер 8 8 . В схеме на рис. 8.31 при нулевых начальных условиях замыкают ключ.
Составить операторные изображения токов ix и /3, пользуясь методом контурных токов.
Р е ш е н и е . Направления контурных токов /п и / 22 показаны на схеме.
Имеем:
h і R\ + А ~~7~
а / + fyO) і “ *22)=
~
)»
/ '2 2 d i + ^ 2 ('2 2 “ ' 1! ) = 0 .
Переходим к изображениям:
1\\(р) (Р L\ + R\ + &г)~ ^ 22(Р)
^2 = £(P)i
1
“ Лі ( р ) ^2 +І22ІР) &2 + —ТГ -ОI
Рс )
Совместное решение двух уравнений с двумя неизвестными дает:
Л .(Р ) = — ----------- Е{ р) ( \ + ^ С р ) ---------------.
р R2 L] С + р (R\ R2 С + L]) + R] + R2
/ 22Ы = — ---------------В р ),Ь . £ ± -------------------.
р R 2 Lx C + р (Rx R 2 С + Lx) + Rx + R 2
(8
56)
(8.57)
Изображение контурного тока 1Х]( р) равно изображению тока 1х( р \ изображение
/ 22( р ) — изображению / 3 (р). В (8.56) и (8.57) Е( р) есть изображение ЭДС е(/). Если
e(t) = £ , то Е(р) - Е ! р у если е(/) = Ет sin(oo / + ф), то Е(р) = Ет — !----- и т. д.
/ ? - у со
П рим ер 89. Составить операторные изображения токов /, и / 3 схемы на рис. 8.31,
пользуясь законом Ома и Кирхгофа.
Р е ш е н и е . Так как в схеме нулевые начальные условия и нет магнитно-связанных
индуктивных катушек, то составить уравнение можно проще, чем по методу контурных
токов.
§ 8.46. Изображение функции времени в виде отношения N(p) / М(р).
277
Изображение тока
!ЛР) =-
Е(р)
,
Z , K( p)
где Z BX(p) — входное сопротивление схемы в операторной форме относительно зажимов
ab. Его определяют так же, как входное сопротивление для переменного тока, только j а>
заменяют на р.
Входное операторное сопротивление
R —
z . %(p) = /?,+/>/,+--■£■?.. = p l . b S A i ± P l k +R' r 2 Q + A + & .
\ + r 2c p
r 2 + - L
Сp
Следовательно,
---------------- ;
p L \ C R2 + p (L] + R\
^bx(p)
/?2
C) + R\ +
(8.58)
/? 2
уравнение (8.58) совпадает с уравнением (8.56).
Найдем изображение / 3 (р). С этой целью выразим / 3 (р) через 1{( р) и операторные
сопротивления второй и третьей ветвей. Воспользуемся аналогией с переменным током.
Для переменного тока
/ =/
3
1
Ri
Л2 + 1/(У <оС)'
Следовательно,
h (Р) = Л(Р)
Л*
R2 + \ / ( C p )
Если в последнее выражение подставить 7j(/?) из уравнения (8.58), то будет получе­
но уравнение (8.57).
Таким образом, безразлично, каким способом составлять изображение токов: резуль­
тат будет одинаков.
П рим ер 90. Для схемы (см. рис. 8.31) составить изображение напряжения на зажимах
се, если считать, что начальные условия нулевые (как в примере 89).
Р е ш е н и е . Изображение напряжения на зажимах се равно произведению изображе­
ния тока 1г(р) на операторное сопротивление конденсатора:
UcAP) = h ( P ) - ^ ~ = —2----------------- --------------------------------•
Ср
р
/?2 L\ С + р (/?| /?2 С + L\ ) + /?, + /? 2
(8
59)
§ 8.46. Изображение функции времени в виде отношения
N(p) / М(р) двух полиномов по степеням р.
Для тока /,,(/?) в примере 89 если принять Е ( р ) - Е 1 р , то
N (p) = E(\ + R2 C р);
Л/(/?) = (р 2 R2
С + р (Rx R2 С + L|) + Rx ч- R2) p.
Если в том же примере принять e(t) = Ет sin(co / + ц/), то
а д =£«^7—■
и
а д = £ т (1 + /г2 С р );
M ( p ) = ( p - j v>)(p2 R2 L\ С + р(Л , л 2 C + Lx) + R x + r 2).
278
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Обозначим высшую степень оператора р в полиноме N ( p ) через п, а
высшую степень р в полиноме М ( р ) — через т.
Часть корней уравнения М ( р ) = 0 обусловлена характером измене­
ния во времени возмущающей силы, воздействующей на
систему; остальные корни обусловлены свойствами са­
мой цепи, ее конфигурацией и значениями параметров.
Если исключить из рассмотрения сверхпроводящие
электрические цепи, то во всех физически осуществи­
мых электрических цепях при воздействии любых ЭДС
всегда
п <т . Лишь для физически неосуществимых
Рис. 8.32
электрических цепей степень п может оказаться равной
т. Пример цепи, для которой степень п равна степени
т, дан на рис. 8.32. Если считать, что сопротивление проводов и внут­
реннее сопротивление источника нулевые, то
1 (р) =
Е /р
_ ЕС р
1/ (С р ) ~
р
§ 8.47. Переход от изображения к функции времени. В § 8.45 ука­
зывалось, что вторым этапом расчета переходных процессов с помощью
операторного метода является переход от изображения к функции вре­
мени. Эту операцию можно осуществить различными путями.
Первый путь состоит в применении формул соответствия между фун­
кциями оператора р и функциями времени /. Часть формул соответствия
приведена в § 8.39. В научной литературе имеются специальные иссле­
дования, содержащие большое число формул соответствия (1518), охва­
тывающих все возможные практические задачи. Формулами соответствия
рекомендуется пользоваться в том случае, когда среди корней уравнения
М ( р ) = 0 есть несколько одинаковых (кратные корни).
Второй путь состоит в применении так называемой формулы разло­
жения. Формула разложения в § 8.49 выведена исходя из предположения,
что уравнение М ( р ) = 0 не имеет кратных корней (при наличии крат­
ных корней формула разложения записывается иначе — см. § 8.50).
Третий путь — непосредственное применение формулы обратного
преобразования Лапласа с использованием теории вычетов (см. § 8.50).
Формулой разложения широко пользуются на практике, и ее принято
рассматривать как основную формулу для перехода от изображения к
функции времени.
Рассмотрим два примера на применение формул соответствия, а за­
тем — после рассмотрения вопроса о разложении сложной дроби на
простые — перейдем к выводу формулы разложения.
П рим ер 91. В схеме рис. 8.33, а ток источника тока линейно нарастает во времени:
j(t) = 2,5 / А (рис. 8.33, б)\ R - 50 кОм, С = 2 мкФ. Определить закон изменения во вре­
мени тока /, через резистор R.
Р е ш е н и е . Изображение тока j (t) равно 2,5/ р 2 (см. соотношение 12, § 8.39).
Сопротивление параллельно соединенных R, С: Z (p) = -------------.
§ 8.48. Разложение сложной дроби на простые
279
ло
Рис. 8.33
Рис. 8.34
Изображение тока через R
Лр)А
R
р)
2,5
R C р 2 (р + а )
/, (0 = 2,5 (/ - 0,08 (1 - е -12-5')) А,
где а = 1 / (Л С) = 12,5 с "1.
Согласно соотношению
8,
§ 8.39
р
П ри м ер 92.
£ = 4Гн. Найти
Решение.
жение 1/ ( р + а).
2
1
(р + а)
= - —U l-e-" ');
а
а
В схеме на рис. 8.34 м(0 = Ю0е~а/ В, где а - 0,5с-1; Я = 2 0 м ;
/ = / ( / ) и uL = / ( / ) , а также значения / и uL при / = 1с.
Согласно соотношению 2, § 8.39, функции е"а/ соответствует изобра­
Следовательно,
Z( p) = R + р L;
U(p) =
/(Р) =
100
Щр),
100
100-1
Z( p)
( р + а ) ( р L + R)
L ( p + a ) ( p + b) ’
b =j =Q,5 =a-
f ( p ) - 25 -
= 25 А/с;
По соотношению 5, § 8.39
0? + а)
2‘
- = /е " а / . Поэтому /(/) = 2 5 1 е~°,5/.
( р + а)
Напряжение на L:
и. = L — = 100 е - 0 5 (1 -0 ,5 ) = 20,3 В.
dl
При / = 1с / = 25* 1 е - 0 ’ 5 = 15,15 A; uL = ЮОе- 0 *5 (1 -0 ,5 ) = 30,3 В.
§ 8.48. Разложение сложной дроби на простые. Из курса математи­
ки известно, что дробь
N(x) _ ап х п + ап_х х п 1 + ... + ах х + а0
А/(дг)
Ьт х т + ЬтХ х т * + ... +
х + Ь$
(8.60)
при условии, что п < т и полином М(х) = 0 не имеет кратных корней,
может быть представлена в виде суммы простых дробей:
М{х)
х~хх
1
1
■+ . . . + А»
X
—
X
х-х?
Л
л ш
(8.61)
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
280
ИЛИ
=УА
М(х)
——
t i * * -* * ’
где хк — корни уравнения М(х) = 0.
Для определения коэффициента Ах умножим обе части уравнения
(8.61) на (* - * !). В результате получим
^ ( x - x . ^ + ^ - x , ) ] ^ —
М (х)
П=1
х-хк
.
(8.62)
Рассмотрим выражение (8.62) при х ~ + х х. Правая часть уравнения
равна Ах, а левая представляет собой неопределенность, так как множи­
тель ( jc —jcj ) при
равен нулю и знаменатель М( х) при х = х х
также равен нулю ( jcj есть корень уравнения М( х) = 0).
Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой целью про­
изводную от числителя разделим на производную от знаменателя и най­
дем предел дроби:
lim (х - х,) N(x)
Х-ЇХі
N(x) + ( х - х , ) N'(x)
Щ х)
М \х)
N(xt)
М' (х хУ
гдеМ \ х ) — производная от М(х) по х, М \ х х) — значение М \ х ) при
х ~ х х, N ( x x) — значение N(x) при * = *,.
Следовательно, из (8.62) при х -> х х получаем
N{xx) I M ' { x x) = Ax,
(8.63)
Ax = N ( x x) / M ’(xx).
(8.64)
Ak = N ( x k ) / M X x k).
(8.65)
или
Аналогично
Таким образом,
N(x)
М{х)
ЛГ(х,)
1
М ' ( х ,) х - х ,
1
М ’(х2) х - х 2
N (x 2)
( _ | N (x m)
1
М' (хт) х - х т ’
или
N(x)
А/(х)
A N(xk)
fa}М'(хк)
1
к х - х к'
( 8.67)
§ 8.49. Формула разлож ения
281
П рим ер 93. Найти коэффициенты разложения дроби
Р е ш е н и е . Корни уравнения М{х) = 0:
+ 5 х + 6 ).
х 2 = -3;
= - 2,
М \ х ) = 2 * + 5;
1 /(* 2
М' ( х х) = -2 • 2 + 5 = +1;
М \ х 2) = -1;
N ( x x) = N( x 2) = 1.
По формуле (8.65)
Ах = N ( x x) I M \ x x) = \ l (+1) = +1;
А2 = N( x 2) I M' { x 2) = -1.
§ 8.49. Ф ормула разложения. Переход от изображения N ( p ) I М ( р )
к функции времени часто производят с помощью формулы
Ш і Л
W . е * ',
М \ р ) £ хМ \ р к)
(8.68)
которую называют формулой разложения.
Левая часть формулы является функцией /?, правая часть — соответ­
ствующей ей функцией времени f.
Вывод формулы можно осуществить следующим образом. Пусть изоб­
ражение какой-либо функции времени, например тока,
/(/> ) = N ( p ) / М(р).
Для получения тока как функции времени /(/) представим сначала
N ( p ) / M ( p ) в виде суммы простых дробей — разложим N ( p ) f M ( p ) . C
этой целью в формуле (8.67) заменим х на р:
М( р )
*.,А1 ( р к) р - р к
Перейдем от изображения к оригиналу. Оригиналом левой части
является /(/). Оригинал правой части равен сумме оригиналов ее слага­
емых.
Учтем, что множители N ( p k ) f М \ р к) у слагаемых суммы правой
части (8.69) есть постоянные числа (не функции pi). Кроме того, функ­
циями р в правой части являются только множители I /(/? - р к)\ им со­
ответствуют функции времени вида ел*' (см. формулу (8.34)). Поэтому
=
(8.70)
ы \ М \ р к)
Переход от изображения (функции р) к оригиналу (функции f) с
помощью формулы разложения (8.70) основан на том, что изображение
представлено в виде суммы простых дробей -У-—- ------ 1— , а оригина­
л / ь ) Р-Рк
лами их являются показательные функции
сРк 1.
М \ р к)
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
282
Число слагаемых
еРк '
равно числу корней уравнения
м ( Рк )
М ( р ) - 0. Коэффициенты N ( p k ) / М'(Рк) можно сопоставить с постоян­
ными интегрирования дифференциального уравнения (уравнений) цепи
в классическом методе расчета.
Если среди корней уравнения М ( р ) = 0 есть нулевой корень ( р = 0),
то ему в правой части уравнения (8.70) соответствует слагаемое
л ю 0)
е0/ = „:У(в)_ Слагаемое N ( 0 ) / М' ( р) представляет собой состав­
М\0)
ляющую искомого тока (напряжения), обусловленную постоянными вы­
нуждающими силами. Если постоянных вынуждающих сил в схеме нет,
то N ( 0 )! М ' ( 0 ) = 0.
Важно сделать некоторые замечания к формуле (8.70).
1. Формула разложения применима при любых начальных условиях
и при любых практически встречающихся формах напряжения источни­
ка ЭДС или тока, воздействующего на схему.
2. Если начальные условия не нулевые, то в состав N ( p ) войдут внут­
ренние ЭДС.
3. Если уравнение М ( р ) = 0 имеет комплексно-сопряженные корни,
то слагаемые, соответствующие им в формуле (8.70), оказываются так­
же комплексно-сопряженными и в сумме дают действительное слагаемое.
4. Если воздействующая на схему ЭДС синусоидальна: Ет sin(co t + \y)
и изображение ЭДС взято в виде Ет — Ї-----, где комплексная амплитуp - j со
да Ет = Ет еу(р, то при использовании формулы разложения из правой
части ее для перехода от комплекса к мгновенному значению следует
взять коэффициент при j (взять мнимую часть)**. В соответствии с этим
внутренние ЭДС, которые появляются в правой части формулы разложе­
ния при ненулевых начальных условиях в цепях с синусоидальной ЭДС,
должны быть умножены на коэффициент у.
Умножить внутренние ЭДС на j необходимо потому, что только в этом
случае наличие этих ЭДС будет учтено при взятии мнимой части от пра­
вой части формулы разложения. В цепях с постоянной ЭДС внутренние
ЭДС умножать на j не нужно.
5. Если воздействующее на схему напряжение синусоидально, то при­
нужденная составляющая решения входит в число слагаемых
y M j ? k ) _ QPk i и определяется корнем р - j со. Вычисление принужденМ \ р к)
ной составляющей в виде члена этой суммы, соответствующего корню
р = j со, для сложных схем в большинстве случаев более громоздко, чем
непосредственное вычисление ее с помощью символического метода.
Поэтому для сложных схем переменного тока принужденную составляю­
щую рекомендуется вычислять символическим методом.
Мнимую, а не действительную часть из формулы разложения берут потому, что за­
данная ЭДС Ет sin(co/ + \|/) есть мнимая часть комплекса Ет е^ш' (см. гл. 3).
§ 8.49. Формула разложения
283
С помощью формулы, подобной формуле (8.70), можно определять не
только токи и напряжения, но и многие другие функции времени: заряд
конденсатора, скорость перемещения какого-либо тела механической
системы и т. п.
П рим ер 94. Определить ток ij(/) в схеме на рис. 8.19 с помощью формулы разложе­
ния и сравнить с результатом решения классическим методом (см. пример 80), если
£ = 150В; /? = /?{ = Л3 = 5 0 Ом; С = 100мкФ; ис (0) = 50В.
Р е ш е н и е . Составим послекоммутационную операторную схему (рис. 8.35), имея в
виду, что начальные условия ненулевые. Внутренняя ЭДС ис (0)/ р позволяет учесть, что
до коммутации конденсатор был заряжен до напряжения ис (0 ) током /2, поэтому она на­
правлена встречно току / 2 ( р ). Узел 0 схемы заземлим. По­
тенциал узла 1 обозначим ср,(р) и определим его по мето­
hip) Ri
ду узловых потенциалов:
фі (р)--
р R\
і ~ рл---і
----\-С
R,
У
R}
По закону Ома для участка цепи с ЭДС,
R\
После преобразований
{ E - u c {0))R3 C р + Е
Л(Р) = Р (R\ R3 C
p + R\ + R3)
N( p)
Мір)
Уравнение М{ р) = 0 имеет корни
р} = 0
п
и
R\ + R~i
_]
р 2 = ----------- —= -400 с ,
2
/?! Д3 С
поэтому
N { p 0 = £ = 150;
N ( p 2) = (150 - 50) •50 • 100 (-400) • 10 - 6 +150 = -50;
М \ р ) = 2 Rx R2 С p + R\ + Ry\
M \ p x) ~ 100;
M \ p 2) = -100.
Ток в схеме на рис. 8.19
/і(0 =
150
100
(-5 0 )е~
( - 100)
- = 1,5+ 0,5 е"
что совпадает с результатом примера 80.
П ример 95. Найти /(/) в схеме (см. рис. 8.21), применяя формулы разложения, и срав­
нить результат с результатом решения той же задачи классическим методом (см. пример 81).
Р е ш е н и е . Изображение синусоидальной ЭДС 127 sin(314/ —50°)
1
284
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
В схеме ненулевые начальные условия:
К р ) (Д22 + Р L) = Е(Р) + 1 '№) /(0_) = -25,35 А.
Так как действующая в схеме ЭДС синусоидальна и изображение ее взято в виде
Ет — ——
( Е т — комплексная амплитуда), то в дальнейшем от правой части формулы
p - у 0)
разложения следует взять коэффициент при мнимой части (см. п. 4 § 8.49), поэтому умно­
жим внутреннюю ЭДС L /(0) на j .
После небольших преобразований найдем
/( ч ^ E m + j L * Ш Р - j <й) _ N( p )
( р - j o )(R 2 + p L)
ЩрУ
Следовательно,
N (P ) = Em + j 1 m
(P - j ©); M (p ) = ( p - j o>) (R 2 + p L).
Уравнение M ( p ) = 0 имеет корни p x - j со с ' 1 и p 2 = - R 2 / L - -210 с-1, поэтому
M' ( p) = R2 + p L ( p - j a > y ,
M ' ( P\) = 2 + 3 j = 3,61 e' 56°20';
M ' ( p 2) = -3,61 e-^ 56°20 = 3,61
l2r40’;
W(p1) = 127e'-/50°;
N ( p 2) = 127 e ~ '50° + j (-2 1 0 -У 314) - ( - 2 5 3 5 ) = 5,4 - j 46,4 = 47,1 e'-'83”24'.
314
Ток
i « o /- 5 0 ° )
/(/) = Im
3,61e-'56°2<r
4 7 t p - y 8 3°24’
3,61 e"y 123”40'
= 35,2 sin(to / - 1 06°20') +13,1 sin 40°16' e ' 210' A;
13,1 sin40°16' = 8,45.
Результат совпадает с результатом примера 81.
§ 8.50. Дополнения к операторному методу.
1.
Для перехода от изображения F(p) к функции времени f ( t ) мо­
жет быть использовано обратное преобразование Лапласа:
V + J 00
/(/) = - Ц
J f ( / > ) e " « /p .
(8.71)
Функция F (p ) аналитична в области Re р > v и стремится к нулю
при | / 7 1—> оо. При практическом использовании этой формулыинтеграл
по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, заменяют контурным
интегралом, охватывающим все полюсы функции F ( p ) :
А О = ^ - j F ( p ) e p' d p .
2n j J
(8.72)
Полюсами называют значения /?, при которых F(p) обращается в
бесконечность. В том случае, когда F(p) = N ( p ) f М ( р ) у полюсами явля­
ются корни уравнения М ( р ) = 0. В теории функций комплексного пере­
§8.51. Переходная проводимость
285
менного доказывается, что правая часть формулы (8.72) равна сумме
вычетов (Res) подынтегральной функции во всех ее полюсах, т. е.
1
2пj J
ер ' d p = £ R e s F( p) е " .
Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, на кото­
рую уменьшается разделенный на 2 п j контурный интеграл от этой
функции, когда контур при его стягивании пересечет этот полюс. Но
вычет функции —^ Qpt в простом полюсе р к равен
Щ р)
Поэтому
Л:=1
QPk‘.
м (Рк)
м \р)
Таким образом, используя обратное преобразование Лапласа, вывели
формулу разложения (8.70).
2.
Запишем формулу разложения при наличии кратных корней. Поло­
жим, что уравнение Л/(р) = 0 имеет q простых корней
корень р г кратности г и корень p s кратности s. Тогда
N ( p ) . X N ( p k)
Pkl
1
d r- 1 N ( p ) ( p - p rY є "
(г-1 )! d p r~]1
М{р)
P=Pr
М(Р)' h ^ \ P k )
1
d'~'
N ( p ) ( p - p s)s t p>
M(p)
(5-1)! d p ° - x
П ример 96. Найти оригинал
Nip)
1
М( р )
р 2 {р + а)
Р е ш е н и е . Корню р - - а соответствует оригинал
ню р = 0 второй кратности — оригинал
d
/>2 e "
d
d p p 2 (p + a)
P=Ps
Ni p )
- e / " = - U - ° ' , кор.
М\р)р м
_ t e pl {p + a ) - e pl
ер‘
dp p + a p*о
(P + a ?
2'
р=о а а
1
Следовательно,
р
i p + a)
а2
а
а
§ 8.51. Переходная проводимость. В § 2.15 указывалось, что ток / в
любой ветви схемы может быть представлен в виде произведения напря­
жения U на входе схемы на собственную или взаимную проводимость g:
i =Ug.
При переходных процессах это соотношение также имеет силу. Если
на вход какой-либо цепи в момент t = 0 включается постоянное напря-
286
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
жение U (ЭДС £), то ток /(/) в любой ветви этой схемы равен произведе­
нию постоянного напряжения U на проводимость g ( t ) :
git).
(8.73)
При переходном процессе проводимость является функцией времени,
поэтому в скобках указывается время /; g(t) называют переходной про­
водимостью. Она измеряется в тех же единицах (См), что и обычная
проводимость.
Если в формуле (8.73) принять U = 1 В, то /(0 = g(0>т- е. переходная
проводимость какой-либо ветви схемы численно равна току /(/) в этой
ветви при подключении цепи к источнику постоянного напряжения
в 1 В . Индексы у g(t) указывают на то, какую именно переходную
проводимость имеют в виду. Если индексы одинаковы, то имеют в виду
собственную переходную проводимость ветви, номер которой соответ­
ствует цифре, указанной в индексе; если индексы разные, то — прово­
димость между теми ветвями, номера которых указаны в индексе. Напри­
мер, если источник постоянного напряжения U при нулевых начальных
условиях включают в первую ветвь, то ток первой ветви ix(t) = U g w ( t \
а ток третьей ветви /3(/) = U g^\(t).
Переходную проводимость можно определить расчетным либо опыт­
ным путем. При расчете g kk(t) классическим или операторным методом
ток А-ветви находят при включении источника постоянного напряжения
в к-ветвь; g km(t) ток /:-ветви вычисляют при включении источника по­
стоянного напряжения U в w-ветвь. Далее, в полученных формулах по­
лагают U = 1 В. При опытном определении переходной проводимости ток
/(/) соответствующей ветви находят путем осциллографирования.
В § 2.16 было доказано, что g ^ = g mk- Это свойство вытекает из симметрии опреде­
лителя относительно главной диагонали.
Аналогично можно доказать, что операторное изображение проводимости gbni p)
равно операторному изображению g mk(p)- Но если равны изображения двух переходных
проводимостей, то равны и сами переходные проводимости, т. е. gjb» ( 0 = £тк(ОДанное равенство свидетельствует о том, что на переходные процессы распространя­
ется теорема взаимности. Для переходных процессов теорема взаимности формулируется
следующим образом (см. «скелетные» схемы рис. 8.36): в любой линейной электрической
ek(t)
Рис. 8.36
§ 8.52. Понятие о переходной функции
287
цепи ток переходного процесса ^-ветви /*(/), вызываемый включением источника ЭДС
em(t) в /я-ветвь (рис. 8.36, а), равен току переходного процесса im(t) в m-ветви, вызыва­
емому включением источника ЭДС ek (t) в £-ветвь (рис. 8.36, б), при условии, что
(О “ ««(О§ 8.52. П онятие о переходной функции. При подключении линейной
электрической цепи с нулевыми начальными условиями к источнику по­
стоянного напряжения U между какими-то двумя точками а и b схемы
возникает напряжение uab(t), являющееся функцией времени и пропор­
циональное воздействующему напряжению U:
uab(t) = Uh(t),
(8.74)
где h(t) — переходная функция. Это безразмерная величина, численно
равная напряжению между точками а и b схемы, если на ее вход подать
постоянное напряжение в 1 В; h ( t\ так же как и g(t), можно опреде­
лить расчетным либо опытным путем.
П рим ер 97. Определить переходную проводимость схемы на рис.
Р е ш е н и е . При замыкании ключа
8.2.
Е
i(t) = —( 1 - е L ).
R
По определению, переходная проводимость равна току в цепи при Е -1 В. Следова-
і
тельно, g(/) = — ( 1 - е
R
1 ).
Пример 98. Найти собственную переходную проводимость первой ветви # п (/), взаим­
ную переходную проводимость между третьей и первой ветвями # 3 1 (/) и переходную
функцию напряжения на конденсаторе h„c (t) для схемы на рис. 8 .3 7 . Параметры схемы:
/?, = 1 0 0 0 Ом; / ? 2 = 2 0 0 0 0 м ; С = 5 0 м к Ф .
Р е ш е н и е. По определению,
'i = £ g n ( ' ) ;
'з = £
231( 0 ;
Л.
"с- = Е V U).
С помощью классического метода определим:
Рис. 8.37
pm- J k U L
RXR2 C
Полагая в этих формулах Е = 1 В, найдем:
Подстановка числовых значений дает:
g , ,(0 = 0,00033+0,00067 е ' 30' См;
g 22(;) = 0 , 0 0 1 е ‘30' См;
288
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
П ример 99. Определить взаимную переходную проводимость между первой и третьей
ветвями схемы на рис. 8.5 при включении источника ЭДС в первую ветвь и следующих
значениях параметров: /?j = / ? 2 = 100 Ом; Lx = 1 Гн; С = 100 мкФ.
Р е ш е н и е . Изображение тока третьей ветви
, ( )=___________ ________________ =Ш .
3
р 2 R2 Ll C + p ( R l R2 C + Ll ) + Ri + R 2
М (Р)'
Корни уравнения М ( р ) = 0 (см. пример 76):
Pi =
-1 0 0
+j
100
с"1;
р2= -
100
- j
100
с"1.
Полагая Е = 1 В, в соответствии с формулой разложения найдем
.
________ R 2 С е р' '_________+ _________ R 2 C c P2‘_________
'3
2 р х R 2 Lx С + (Д, R 2 C + Lx) + 2 p 2 R 2 Lx С + (RX R2 C + Lx)
После подстановки значений параметров, корней р х и р 2 и использования формулы
{е^х - e ~ j x ) l 2 j - s m x получим
g 31(/) = 0,01e‘ l0°'sin l0 0 /C M .
Таким образом, взаимная переходная проводи­
мость между третьей и первой ветвями схемы на
рис. 8.5 при данных значениях параметров как
функция времени представляет собой затухающую
синусоиду.
П ример 100.
В
схеме
на
рис. 8.38
u(t) = 170 sin(314/ + 30°) В; Я, =10 Ом; Д2 = 5 Ом;
Л3 =15 0м ; L, = 30 мГн; Л /= 3 0 м Г н ; С = 50мкФ.
Найти /,(/) с помощью формулы разложения.
Р е ш е н и е . Сначала устраним в схеме магнит­
ную связь между Z., и L2, затем составим уравнения по методу контурных токов:
h i p ) {Rx + R 2 + Р (Lx + 1 2 + 2 М ))-
12{р) (R 2 + р ( l 2 + М )) = U(p);
- I \ ( p ) ( R 2 + p ( L 2 + М)) + I 2( p ) ( R 2 + /?з + р L i ) - 0.
Совместное их решение дает
/ (n)
1
(20 + 0,05 р)
N( p)
(p - j о ) (0,000875 р 2 + 2,6 р + 275) " М ( р ) '
Корни уравнения М ( р ) = 0:
р 2 ~ -2860
р х =314 у,
и
/ 73 = —114 с " 1;
М' ( р ) = 0,000875 р 2 +2,3 р + 275 + ( р - j ш) (0,00175 р + 2,6);
ЛЧр, ) = 4301 е ' 68°20';
Л/’(Р і) = 838е;77°;
N ( p 2) = 123- 170eJ2lo°;
ЛЧр3) = 14,29-17 0 е '30°;
М \ р 2) = 6930eJ 6°16 ;
А ґ(р з) = 8 0 6 е '" ° ° 40'.
Ток
^ ( P l)
,Л Г (р ,)
I
с р; »
W '(p 2)
!
* (Р з )
W '(p 3)
: Im (5 ,1 3 e^ffl'- 8°40'> + 3,03e-/203°44’ є ' 2860' +3,01e^l4O° e- ,,4 ') =
= 5,13 sin(o) t - 8°40') -1,16 e ' 2860' +1,97 e*114' A.
§ 8.53. Интеграл Дюамеля
289
§ 8.53. И н теграл Д ю амеля. Познакомимся с третьим методом
расчета переходных процессов в линейных электрических цепях — рас­
четом с помощью интеграла Дюамеля.
При использовании интеграла Дю­
амеля переменную, по которой
производится интегрирование, обозна­
чим т а под t по-прежнему будем по­
нимать тот момент времени, в который
требуется найти ток в цепи. Пусть к
цепи с нулевыми начальными услови­
ями в момент времени t = О подключа­
ется напряжение и(т) (рис. 8.39).
Для того чтобы найти ток в цепи в
момент времени t, заменим плавную
кривую ступенчатой и просуммируем
токи от начального напряжения w(0) и
от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во
времени.
Напряжение н(0) в момент времени / вызовет в цепи ток w(0)g(0),
где g (0 )— переходная проводимость. В момент времени т + Ат
(см. рис. 8.39) возникает скачок напряжения
Аи « — Ат = м'(т) Ат.
d\
Для того чтобы найти составляющую тока в момент времени /, вызы­
ваемую этим скачком напряжения Aw, необходимо и \ т) Ат умножить на
значение переходной проводимости с учетом времени действия скачка до
момента времени /. Из рис. 8.39 видно, что это время равно / - т -А т .
Следовательно, приращение тока от этого скачка составляет
w'(T) g{t - т - Ат) Ат.
Полный ток в момент времени / получим, если просуммируем все
частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току w(0) g(t):
/(О = w(0) g(t) + ^ u ' ( x ) g{t - t - Дт) Дт.
Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевидно, что
ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем больше
число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени Ат
на бесконечно малый dx и перейдем от суммы к интегралу:
t
1(0 = и(0) g(t) + /и'(х) g(t ~ Т) dx.
О
(8.75)
Формулу (8.75) называют интегралом Дюамеля.
С помощью интеграла Дюамеля можно найти не только ток, но и
любую другую физическую величину, например напряжение. В этом
случае в формулу вместо переходной проводимости g(t) будет входить
переходная функция /?(/), если на входе цепи действует источник ЭДС
10-4657
290
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
(напряжения), и переходное сопротивление /?(Г), если на входе цепи дей­
ствует источник тока.
§ 8.54. Последовательность расчета с помощью интеграла Дюа­
меля. Расчет с помощью интеграла Дюамеля проводят в четыре этапа:
1) определение переходной проводимости g(t) (переходной функции
h(t)) для исследуемой цепи;
2) нахождение g(t - т) (h(t - т)). С этой целью в формуле для g(t)
(Л(0) заменяют t на (/ - т);
3) определение и\х). Для этого находят производную от заданного
напряжения u(t) по времени t и в полученном выражении заменяют t
на х;
4) подстановка найденных на этапах 1-3 функций в формулу (8.75),
интегрирование по переменной т и подстановка пределов.
П ри м ер 101. Найти /j = / ( / ) и и 2 = / ( / ) при замыкании ключа на схеме рис. 8.40.
Напряжение источника ЭДС u(t) = 1 0 0 (1 -е "а / ) В; д = 0,25с-1; Я = 0,5 0 м ; £ | = 1 Гн;
М = 0,5 Гн.
Р е ш е н и е . Переходная проводимость цепи,
состоящей из последовательно включенных R и L,
g(t) = ^ V - e ~ b'),
R
где
b - R / L x\
5( , - Т) = 1 (1 -е-»('- ')).
А
Первое слагаемое в формуле (8.75) выпадает, так как м(0) = 0. При этом
u\t) = —
K
dt
1 0 0 (1
і/(т) =
- е ‘а ' ) =
100
100
a t ' a ';
я e’flT;
100a
R
о
о
При интегрировании учитываем, что е -А/ от т не зависит:
/, (/) = 200 (1 + е-°'5' - 2 е-°-25') А.
Напряжение на зажимах вторичной обмотки
u 2(l) = М
= 50 (е‘°’25' - е-°-5' ) В.
§ 8.55. П рименение интеграла Дю амеля при сложной форме на­
пряж ения. Пусть напряжение u(t) изменяется во времени по сложному
закону, например в соответствии с рис. 8.41. Начальное напряжение равно
и(0). В интервале от / = 0 до t = tx напряжение плавно растет, и закон
§ 8.55. Применение интеграла Дюамеля при сложной форме напряжения
291
его изменения Wj(/). В момент t = оно ме­
няется скачком от иа до иь, а затем снова
изменяется, но уже по другому закону u2 (t)
во времени. При t = t 2 напряжение скачком
уменьшается от ис до нуля.
Требуется найти ток в каждом из трех ин­
тервалов времени. Под первым интервалом
будем понимать интервал времени от t = 0 до
t = tx (не включая скачка напряжения от иа
до иь)\ под вторым — от Г, до /2» включая
скачок от иа до иь, но не включая скачок от
ис до 0; под третьим — при t > / 2, включая скачок от ис до 0.
Интегрирование по-прежнему проводим по т, понимая под t фикси­
рованный момент времени, в который требуется найти ток. На основании
принципа наложения ток в любой момент времени t определится как сум­
ма токов от всех напряжений, воздействовавших на цепь до момента /.
В первый интервал времени
/■(О = и(0) g{t) + |м[ (т) g(t - т) dx.
о
Во второй интервал времени
'i
t
i(f) = м(0) g(t)+ \ u \ { x ) g i t - x ) d x + iuh - u a) g i t - t x)+ \u'2ix) git - t ) dx,
о
/,
где слагаемое (ub - u a) g(t - / ] ) обусловлено скачком напряжения от иа
и иь в момент времени /j.
В третий интервал времени
1\
i(t) = и(0) git) + $иЦх) git - x ) d x + iuh - U a) g ( t - t x) +
о
h
+ ju'2ix) g { t - x ) d x + i 0 - u c) g { t - t 2).
'i
П ример 102. В электрической цепи (см. рис. 8.40) в момент времени t = 0 замыкает­
ся ключ и напряжение u{t) изменяется в соответствии с рис. 8.41; м(0) = 50В. В первый
интервал времени от / = 0 до / = /, = 4 с напряжение w,(/) = 150-100e~a /l, где
<з = 0,25 с "1.
Во
второй
интервал
времени от
t - t x=4 с
до
t - t 2= 6 с
w2(/) = 50 + 100e"c(/" ll\ где с = 0 ,4 с-1. Параметры схемы (см. рис. 8.40) /? = 0,50м ;
Ц = 1 Гн (вторичная цепь разомкнута).
Найти закон изменения тока /, во времени для обоих интервалов времени, а также
значения тока ix при г, равном 2 и 5 с.
Р е ш е н и е . В соответствии с § 8.54 переходная проводимость
g ( 0 = - jr ( l- e ~ * ') ;
A
* = 4 = 0 ,5 с - 1;
L
g (/ - T) = i ( i - e-* ('-t»).
А
292
Гп. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
В первый интервал времени */'(т) = 100 ае~ ох. Поэтому
\
h О) = ч(0) g(0 + ]«'(*) g(/-T)dx =
о
=!!Ш.(1- е-*')+1£2£ fe-ai (i-e -A(" T,)rfT =
R
R «J
о
= !0 0
(1
- e ' 0-5') + 2 0 0
(1
+ є ’ 0-5' - e -0-25').
При / = 2 с /, = 1 0 0 ( l - e '') + 2 00(l + e _1 - 2 e"0'5) = 94,9 A.
Во второй интервал времени (включая скачок иъ ~ и а = 36,9 В )
'і
'
/, (/) = и(0) g(l)+ Jk,' ( т )
g(t - 1) dx+(иь- ua) g(t - 1,)+ J«2 (t) g(t - dx;
t)
о
,,
и^(т) = -
100
с е “ : т ес ' 1;
/, (/) = 1 00 (1 - e -°’5' ) + 200 (0,632 -1,718 e ' ° 5') +
(1
-
e -° -5
<'-'i >) -
----100£ _ (_ * e-c/ + * ^ £ e-c/| +e-*», e-c(,-,l))e-c,l
(b-c)R
с
с
При t = 5 с /, = 204,32 A.
§ 8.56. С равнение различны х методов расчета переходных процес­
сов. Классический и операторный методы расчета теоретически можно
применять для решения задач любой сложности. Каким из них пользо­
ваться, во многом зависит от навыка и привычки.
Однако классический метод физически более прозрачен, чем опера­
торный, в котором решение уравнений во многом формализовано.
Если при сравнении методов исходить из объема вычислительной
работы, то решение уравнений первого, второго, а иногда и третьего
порядков для источников постоянной (синусоидальной) ЭДС или тока
целесообразно проводить классическим методом, а решение уравнений
более высоких порядков — операторным. Объясняется это тем, что чем
выше порядок характеристического уравнения, тем более громоздкой и
трудоемкой оказывается операция нахождения постоянных интегрирова­
ния в классическом методе. Операторный метод имеет перед классичес­
ким явное преимущество при решении задач, в которых определение
принужденной компоненты искомой величины оказывается затруднитель­
ным вследствие сложного характера вынуждающей силы, а также при
решении уравнений в частных производных (см. § 12.13-12.15). Если
воздействующее напряжение изменяется во времени, например линейно
или в виде всплеска одной или нескольких экспонент, рекомендуется
применять операторный метод или интеграл Дюамеля. Но основной об­
ластью применения интеграла Дюамеля являются случаи, когда напря­
жение изменяется по сложному закону во времени, например при нали­
чии скачков напряжения (см. § 8.55), или когда переходная проводимость
g(t) и (или) воздействующее на схему напряжение заданы графически
§ 8.57. Дифференцирование электрическим путем
293
(в последнем случае интеграл Дюамеля берется путем численного интег­
рирования).
Рассматриваемый в § 8.66 метод расчета переходных процессов,
получивший название метода пространства состояний, используется глав­
ным образом, когда расчет осуществляется с применением ЭВМ. Для
ручного счета этот метод громоздок.
Классический и операторный методы, а также метод пространства
состояний в аналитической форме и интеграл Дюамеля имеют общий
недостаток: необходимость определения всех корней характеристического
уравнения, что для уравнений высоких степеней (например, 5-, 6-,
7-й, ...) требует много времени. В этих случаях может быть рекомендо­
вано числовое решение на ЭВМ уравнений, составленных по методу про­
странства состояний; может быть применен и спектральный метод в том
виде, в каком он рассмотрен, например, в гл. 9. Кроме того, в этих слу­
чаях используют моделирующие установки.
§ 8.57. Дифференцирование электрическим путем. Для четырехпо­
люсников (рис. 8.42) при определенных условиях выходное напряжение
и2 ( 0 пропорционально производной от входного напряжения ux( t \
а
б
Рис. 8.42
т. е. u 2 (t) « d u x(t)f dt. Схему на рис. 8.42, а применяют чаще схемы на
рис. 8.42, 6, так как при практическом осуществлении она обладает мень­
шими габаритами, массой и более удобна при регулировке.
Если ux(t) = Ux(p), то du x(t)f dt = p U x{p). Отсюда следует, что четы­
рехполюсник осуществляет дифференцирование, если для него
s Р U\(p)- Для схемы на рис. 8.42, a U 2 (p) = Ux(p) --- -.
RC р + 1
Чтобы схема осуществила дифференцирование, необходимо выполнить
условие |Л С р | « 1 , тогда U 2 ( p ) * R C p U x( p ). Для синусоидального
процесса заменим р на j со и тогда схема на рис. 8.42, а будет выпол­
нять свои функции, если со R С « 1.
Аналогично доказывается, что для схемы на рис. 8.42, б необходимо
выполнить условие (со Z,//?) « 1. Если Wj(r) — несинусоидальная пери­
одическая функция, то эти условия должны выполняться для наивысшей
частоты функции ux(t).
При дифференцировании импульсных воздействий длительностью /н
параметры схем на рис. 8.42 должны удовлетворять условиям R С « /н
и LI R « /н. Эти условия получим из двух предыдущих, если в первом
приближении будем считать, что поступление на вход четырехполюсни-
294
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
ка импульса длительностью tH соответствует воздействию на вход од­
ной полуволны синусоиды частотой со = 2 я / ( 2 / н) = я / / н.
§ 8.58. И нтегрирование электрическим путем. Для четырехполюс­
ников (рис. 8.43) при определенных условиях выходное напряжение
«2(0 s jwi(0 dt.
I Ul
Ul j
Рис. 8.43
Схема на рис. 8.43, а предпочтительнее схемы на рис. 8.43, 6 по при­
чинам, упомянутым в § 8.57.
Если ux(t)=Ux(p), то Jt/|(/) dt =Ux( p ) / р. Отсюда следует, что схема
выполняет свои функции, если соотношение между ее параметрами обес­
печивает выполнение соотношения и 2 (р) = U \ ( p ) / р.
Для схемы на рис. 8.43, a U 2 (p) = Ux( p ) l ( R C р + 1), т. е. для нее дол­
жно быть \ R C р \ » I. Заменив р на у со, найдем условие со R C » 1,
при котором схема на рис. 8.43, а будет выполнять функции интегриру­
ющего звена при синусоидальном процессе. Для схемы на рис. 8.43, б
со L / R » 1.
При интегрировании импульсных воздействий длительностью /н дол­
жны быть выполнены следующие условия: R C y > t H для схемы на
рис. 8.43, а и L /Я » /н для схемы на рис. 8.43, б.
Напряжение с выхода интегрирующего (дифференцирующего) устрой­
ства подается для наблюдения (записи) на электронный осциллограф.
§ 8.59. Передаточная функция четырехполюсника на комплексной
частоте. Под передаточной функцией четырехполюсника К ( р ) на ком­
плексной частоте р понимают отношение выходного напряжения U 2 (p)
ко входному Ux(p) (рис. 8.44, а):
(8.76)
V\ (p)
|К(Усо)|
иы |
ф(С0)
\ и 2(р)
Рис. 8.44
§ 8.59. Передаточная функция четырехполюсника на комплексной частоте
295
К( р) зависит от схемы четырехполюсника, числового значения элемен­
тов схемы и от частоты р. Для четырехполюсника (рис. 8.43, б)
R
К ( р ) = ---------- . Из уравнения (8.76) следует, что
R +р L
U 2 (p) = K ( p ) U ](p).
(8.77)
Под передаточной функцией четырехполюсника для синусоидально­
го процесса на частоте со понимают отношение
(8-78>
tfi О ® )
K ( j со) получают из К(р) заменой р на j со, | АГ(у со) | — модуль, а
ф(со)— аргумент K ( j со). Для схемы на рис. 8.43, б K ( j со) = ------------ ,
,
ч
R + j со L
И - / ®) | = " г г
JR2+ со L2’
ф((0)=arctgf " " ^ г г
\ RJ
Зависимости | K ( j со) | и ф(со) изображены на рис. 8.44, б, в. Если не­
сколько четырехполюсников, например три, соединены каскадно
(рис. 8.44, г) и известны передаточные функции каждого четырехполюс­
ника, то передаточная функция каскада в соответствии с формулой (8.77)
равна произведению передаточных функций этих четырехполюсников:
К( р) = К 1 ( р ) К 2 ( р ) К 3 (р).
(8.79)
П ри м ер 103. На рис. 8.45 изображена замкнутая система (система с обратной
связью). Она состоит из основного четырехполюсника с передаточной функцией К( р) и
четырехполюсника обратной связи с К о с (р). Функцию последнего часто выполняет уси­
литель, работающий в режиме пропорционального усиления. Вывести формулу передаточ­
ной функции всей системы Кзс(р).
Р е ш е н и е . На вход основного четырехпо­
люсника поступает основной сигнал Ux(p) и
сигнал с выхода четырехполюсника обратной свя­
зи, поэтому
V 2{p) = ( U , ( p ) ± U 0C( p) ) K( p) .
(8.80)
Ux
Кроме того,
Uoc ( P) = K o c ( P ) U 2(P)-
(8 8 1 )
Подставим (8.81) в (8.80). Получим
УгІР) _
*зс (Р) = U\ ( p)
К(Р)
\ ± К ( р ) К 0С(р)
(8.82)
Если 1- К( р ) К о с (р) = 0 , т о в системе возникнут автоколебания, амплитуда их будет
оіраничиваться нелинейностью системы. Плюс в формуле (8.80) и минус в формуле (8.82)
соответствуют положительной обратной связи. Минус в формуле (8.80) и плюс в (8.82) —
отрицательной.
296
___________________/л. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
§ 8.60. Переходные процессы при воздействии импульсов нап ря­
жения. Ток в любой схеме при действии на нее импульса напряжения (риc. 8.46, а) можно найти, например, тремя способами:
1) применяя интеграл Дюамеля;
2) определяя ток при t < tx так же, как от действия постоянного на­
пряжения U\ при t < tx действующее на систему напряжение равно нулю.
Следовательно, система освобождается от вынуждающих ЭДС и по ней
протекают свободные токи, обусловленные запасом энергии в индуктив­
ных и емкостных элементах системы;
3) представляя импульс в виде двух постоянных напряжений. Поло­
жительное напряжение U действует начиная с t = 0, отрицательное —
начиная с t = tx. При t <tx токи в цепи определяются одним напряжени­
ем U; при t > tx — обоими напряжениями с учетом сдвига второго на­
пряжения на время
/
и2>
■
*
tx
и і
г
tі
t
і
U
і"
h
\
-и
и і
6
к
...........
0
1
Uu
в
к
t
о
Рис. 8.46
Рассмотрим третий способ. Положим, что требуется найти ток в цепи
при подключении ее к источнику напряжения, имеющего форму равно­
бедренного треугольника (рис. 8.46, б). Задача решается в три приема.
Сначала определяем ток в интервале времени от / = 0 до t < t x
от действия напряжения щ - k t (рис. 8.46, в). Затем для интервала
времени t2 > t > t x находим ток в цепи от действия двух напряжений
(рис. 8.46, в, г): от продолжающего действовать напряжения щ = k t и от
вступающего в действие при t = tx дополнительного напряжения
и2 ~ - 2 k { t - t x).
Для интервала времени t > t 2 ток определяется действием трех напря­
жений: продолжающих действовать напряжений их и и 2 и вновь всту­
пающего в действие при t - t 2 напряжения и2 - k { t - t 2) (при t > t 2 сум­
ма напряжений щ , и 2 и м3 (рис. 8.46, д) даст нуль).
§ 8.61. Дельт а-функция, единичная функция и их свойства..
297
Из трех перечисленных способов наиболее экономным является пер­
вый.
При воздействии серий импульсов переходный процесс рассчитыва­
ют часто операторным методом.
Пример 104. На последовательно соединенные R n L поступает серия прямоугольных
импульсов напряжения единичной амплитуды; длительность импульса т и длительность
паузы также т (рис. 8.46, е). Используя третий способ в сочетании с теоремой запаздыва­
ния (см. § 8.40), определить ток в цепи.
Р е ш е н и е . Найдем изображение напряжения:
U (p ) = - (1 - е ' рт + е ' 2 р 1 - е ' 3р 1 +...).
Р
Выражение в скобках представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию
со знаменателем — е-/7Т. Сумма членов ее равна -----!-----. Изображение тока
1 + е _/,х
П р ) -----------------!---------------.
p { l + e -px) ( R + p L )
Применим формулу разложения. Корни знаменателя:
р ' - 0;
р ” = - R l L:
т p k = (ак + j bk ) т = j
Группируя член к - 0 с к = - 1, член Ы
я
е” '
1
л (2
к
+
1)
< к <сю).
(-о о
с членом к = - 2 и т. д., получим
t
2 * sm(7c(2* + l ) — q>2 *+1)
/(/) —-------------- — і— / -------------- —
2R
7 х 71
z2 k+\
■■■;
R (\ + c L )
I
„9
*2*+i = J*
( ( 2 t + l ) n L ) 2
---- 7 — J :
_
.
(2
1
ч - ) 7Г Z,
ф2*+1 =arctg---- Tx---- ‘
§ 8 .6 1 . Дельта-функция, единичная функция и их свойства.
Импульсная переходная проводимость. Под дельта-функцией или еди­
ничным импульсом 5(0 (рис. 8.47, а) понимают короткий импульс амп­
литудой 1/Ат, длительностью Д т-> 0 , действующий от / = -Д т /2 до
/ = Д т/2. Единичным его называют потому, что площадь импульса
А т/2
|б ( 0 dt равна единице. Единицей измерения 5-функции является се-Д т /2
кунда в минус первой степени. Если импульс действует при некотором
1(01
J
іH )i
Ат / 2
Лт
1
,
t
« Дт
1 1 / Ат
Ат / 2
t
1
б
в
Рис. 8.47
г
298
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
времени t = t l9 то он обозначается как 5 ( / - / ,) , т. е. импульс действует,
когда аргумент 6 -функции равен нулю.
Единичной функцией 1(0 (рис. 8.47, б) называют функцию, равную
единице при t > О и равную 0 при / < 0. Единичной функцией 1(~0
(рис. 8.47, в) называют функцию, равную 1 при / < 0 и равную 0 при
t > 0. Функции 1(0 и 1(-/) имеют нулевую размерность. Рассмотрим
свойства перечисленных функций:
— производная по времени функция 1(0 равна 5-функции, т. е.
^
at
- т
— 5 -функция обладает фильтрующим действием:
Л 0 5 ( / - г 1) = / ( / 1) 6 ( / - / 1);
— изображение 5-функции по Лапласу равно единице:
\Q~pt dt = 1,
о
а изображение функции 5 (/-/j)H a основании теоремы смещения рав­
но e”p /l;
—
единичные функции 1(0 и 1(-/) также обладают фильтрующим
действием.
Умножение произвольной функции f i t ) на 1(0 обращает произведе­
ние f i t ) 1(0 в f { t ) при / > 0 и в нуль при /< 0 . Аналогично произве­
дение Л 0 К “ 0 обращается в нуль при / > 0 и в f { t ) при / < 0 . Им­
пульсное (игольчатое) напряжение или ток в виде 5-функций единичной
площади записывают так: 5(0 *1. Здесь единица имеет размерность вольтсекунда или ампер-секунда соответственно.
Если на электрическую цепь, входная проводимость которой равна
g ( 0 , при нулевых начальных условиях воздействует единичный импульс
напряжения 5(0*1 Вс (рис. 8.47, а), то для определения вызванного им
тока в цепи представим импульс в виде двух прямоугольных напряже­
ний (положительного и отрицательного) с одинаковыми числовыми значе­
ниями 1/Дт, сдвинутых во времени на величину Ат -> 0 (рис. 8.47, г).
Ток в цепи после окончания действия импульса
КО = Ат < « ( ' +
/ 2) -
8(1 - А * / 2 ) ) -
Разложим функции g(/ + А т/2) и g i t - А т/2 ) в ряд Тейлора по сте­
пеням А т/2 , учтем малость Ат и получим
КО =
(g W + -у-
g'(0 - g( 0 + - у - g'(0 j = і • g'(0-
Здесь и далее 1 имеет размерность Вс.
§ 8.61. Дельта-функция, единичная функция и их свойства.
299
Величину g (/) = —- — называют импульсной переходной проводимоdt
стью. При t> Ат (А т-> 0) g (О, умноженная на 1 Вс, численно равна
току в цепи при воздействии на нее единичного импульса напряжения
5(0*1 Вс. Аналогично величину h \t) =
называют импульсной
переходной функцией четырехполюсника. При / > Ат (Ат -» 0) h'(t), ум­
ноженная на 1 Вс, численно равна напряжению на выходе четырехпо­
люсника при воздействии на его вход единичного импульса напряжения
5(0• 1 Вс. В интервале времени от / = -А т /2 до t = Ат/2 (во время дей­
ствия импульса 5(0*1 Вс) напряжение на выходе четырехполюсника
w2(0 = А(0 ) 5(0 *1 + h'(t) • 1,
а ток на входе двухполюсника
/(0 = g(0)5(0*l + g '( 0 *l.
Наряду с понятиями «переходная проводимость» g(t) и «импульсная
переходная проводимость» g'(t) применяют дуальные им понятия: пе­
реходное сопротивление r(t) и импульсное переходное сопротивление
r\t). Переходное сопротивление rab{t) численно равно напряжению на
входе цепи uah(t) при воздействии на ее вход единичного тока:
иаА( 0 = 1 0 0 /•„*(/).
Импульсное переходное сопротивление r'ah(t) численно равно напря­
жению на входе цепи uah(t), после того как на ее вход воздействовал
импульс тока в виде 5-функции единичной площади:
иаЬ (0
= S(0 *К А *с) • r'ah (/).
Величины r(t) и r'(t) могут быть входными и взаимными, однако
g (0 и R(t) не являются взаимно-обратными величинами; g(t) опреде­
ляется при питании схемы от источника ЭДС, a R(t) — при питании
схемы от источника тока.
Подчеркнем, что в литературе по переходным процессам в зависимо­
сти от рассматриваемого вопроса под одним и тем же названием — им­
пульсная переходная функция — понимают функцию либо h \ t \ либо
hb{t). Между этими функциями имеется зависимость
hb(t) = А (0 + ) 8(/) + h'(t);
А'(0 характеризует реакцию четырехполюсника (его выходное напряже­
ние) после окончания воздействия на его вход единичным импульсом
напряжения 1 -5(0 В-с, a hb(t) — напряжение на выходе четырехполюс­
ника и во время действия импульса, и после окончания.
Аналогичные соотношения существуют между двумя импульсными
переходными проводимостями:
300
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
g \ t ) = g{ 0 +)b(t) + g'(t)
и между двумя импульсными переходными сопротивлениями:
Л8(О = Л(0+)б(О + Л'(О
при воздействии на вход схемы единичным импульсом тока. С помощью
hb(/) интеграл Дюамеля запишется так:
t
“2(О = JW(T) hb(t- х) dx.
о
Здесь hb{t - х) = й(0) 5(/ - х) + h\t - х).
Формулу интеграла Дюамеля в математических работах называют
формулой свертки двух функций, в данном случае функций и(() и Л5 (ґ).
§ 8.62. Определение h(t) и hb(t) через К (р). Как упоминалось, при
воздействии на вход четырехполюсника единичного напряжения
w1(0 = КО напряжение на выходе его и2( 0 " h{t). Если это положение
записать относительно изображений, учитывая, что 1(0 - — и обозначив
р
изображение h{t) через Н {р ), то Н ( р ) - К (р ) / р.
Отсюда
К (р) = р Н ( р ) .
(8.83)
Определим теперь h(t) через К{р). Поскольку h(t) = H ( p ), а Н ( р )
определено предыдущей строкой, то
(8.84)
'
Р
При воздействии на вход четырехполюсника единичным импульсом
напряжения М|( 0 = 1*5(0 = 1 = щ(р) напряжение на выходе его
u 2 (t) = h \ t ) = U]{ p ) K ( p ) = \ - K { p \
таким образом,
h \t)= K (p ).
П ри м ер 105. Запишем h(t), h'(t), hb(t) для схемы на рис. 8.42, а:
(8.85)
§ 8.63. Метод пространства состояний
301
§ 8.63. Метод пространства состояний. Метод пространства состо­
яний (метод переменных состояния) представляет собой упорядоченный
способ нахождения состояния системы в функции времени, использу­
ющий матричный метод решения системы дифференциальных уравнений
первого порядка, записанных в форме Коши (в нормальной форме). При­
менительно к электрическим цепям под переменными состояния пони­
мают величины, определяющие энергетическое состояние цепи, т. е. токи
через индуктивные элементы и напряжения на конденсаторах. Значения
этих величин полагаем известными к началу процесса. Переменные со­
стояния в обобщенном смысле назовем х. Так как это некоторые функ­
ции времени, то их можно обозначить л:(/).
Пусть в системе п переменных состояния. Матрицу-столбец переменных состояния в «-мерном пространстве состояний обозначим [jc] =
*1
:
3
т выходных величин (токи, напряжения) обозначим у , матрицу-столбец
выходных величин [у] =
"л
:
Уп _
Источники воздействий (источники ЭДС и тока) будем именовать z.
Матрица-столбец источников воздействий [z ] =
я.
Для электрических цепей можно составить матричные уравнения вида
М = [М ]М + [Л Ч М ;
( 8 .86 )
[Я = № ] + [ £ ] М .
(8.87)
где [Л/], [Л/], [У5], [Q] — некоторые матрицы, определяемые структурой цепи и значениями ее параметров.
На основании принципа наложения решение ( 8 .86 )
/
[лс(0] = е[Л/)' [х(0 )]+
Je[M ](' _l)
[TV] [z(t)J dx,
(8.88)
о
где [jc(0 )] — матрица начальных значений х.
Первое слагаемое в формуле ( 8 .88 ) описывает свободные процессы в
системе, второе — принужденные и свободные при нулевом исходном
состоянии (вывод формулы ( 8 . 88 ) см. в конце параграфа).
Из (8.87) и ( 8 .88 ) находим
LK01 = И
е '" 1' МО)! +
J[P] е ^ К '- ^ Л Ч [ 2 (т)]
о
dx + [Q] [2 (0 ]. (8.89)
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
302
Рис. 8.48
Систему уравнений 8.86 составляют либо на
основании законов Кирхгофа, либо путем при­
ведения схемы к резистивной (без элементов L
и С). Как это можно сделать, пояснено в при­
мере 100 .
Поясним формулу ( 8 .88 ) на простом приме­
ре. Ток в схеме на рис. 8.48 до коммутации был
/(0_) = Е / (2 R). Уравнение состояния для этой
схемы d i! dt = - ( R f L) і + ( Е / L), т. е.
=
[ЛГ] = 1 ;
[z] = £;
Матричную функцию е1Л^ ' в формуле ( 8 . 88 ) вычисляют по формуле
(теореме) Сильвестра:
е1М]< = eV [Л,] + еХ2' [А2] + ... + ек ' [А„],
(8.90)
где
(8.91)
Здесь Хг — собственные значения (характеристические числа) квад­
ратной матрицы [Л/], т. е. корни уравнения
d e t ( [ M ] - X [ l] ) = 0.
(8.92)
Из уравнения (8.92) следует, что уравнение относительно X состав­
ляют, приравнивая к нулю определитель матрицы [Л/], в котором все
элементы этой матрицы атт(т = \ , . . . 9 п )9 расположенные по главной
диагонали, заменяют на элементы атт - X.
Характеристические числа X — это не что иное, как корни характе­
ристического уравнения послекоммутационной схемы. Запись решения
в виде ряда (8.90) предполагает, что все характеристические числа раз­
личны (нет кратных корней).
Если же среди корней уравнения det([M] - ЦІ]) = 0 будет кратный
корень Xs кратности s, то составляющая е ^ * , обусловленная этим кор­
нем, имеет вид
§8.63. Метод пространства состояний
303
1
(8.93)
(5-1)! dX■v-l
y=і
j*r
x=xs
где A d j ІХ [\\-[М ] ) — присоединенная матрица к матрице Ц 1]-[М ].
В ней все элементы dy заменены на алгебраические дополнения, а за­
тем проведено транспонирование. Составляющие решения по формуле
(8.93) соответствуют части решения по формуле разложения (см. § 8.50),
учитывающей кратные корни.
При машинном счете функцию е ^ ' , подсчитывают разложением в
ряд:
AM]t _
w f /2
2!
П рим ер 106. Методом пространства состояний исследовать переходный процесс в
схеме на рис. 8.49, а. До коммутации был установившийся режим: £ = 4 В; J - 1 А;
/? = 2 0м ; 1 = 1Гн; С = 1Ф.
Р е ш е н и е . Обозначим токи и напряжения в соответствии с рис. 8.49, а. До комму­
тации
/ ( 0 .) = — - — = 0,5 A;
1
2R
2
ur ( 0 J = /?[ — + — 1= 3 В.
(
{2
2 R)
В качестве переменных состояний выбираем ток и напряжение на конденсаторе ис .
Известно несколько способов составления уравнений состояния. Рассмотрим иногда
применяемый, основанный на сведении послекоммутационной схемы к резистивной с ис­
точниками ЭДС и тока. С этой целью индуктивные элементы в послекоммутационной схеме
заменяем на источники тока, которые доставляют ток в том же направлении, что и в ис­
ходной схеме (в рассматриваемом примере L заменяем на источник тока ix с напряжени­
ем на нем L d i x I d t ) , г. конденсатор С — на источник ЭДС, причем в соответствии с тео­
ремой компенсации ЭДС этого источника должна быть направлена встречно току в ветви
с конденсатором, т. е. встречно напряжению ис на конденсаторе (в рассматриваемом при­
мере конденсатор С с напряжением на нем ис заменен на источник ЭДС Е х = и с ).
В результате схема окажется без индуктивных и емкостных элементов (чисто резис­
тивной), но с дополнительными источниками тока и ЭДС (рис. 8.49, б).
а
а
Рис. 8.49
304
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
В полученной резистивной схеме один из узлов заземлим. Составим уравнения по
методу узловых потенциалов и определим потенциалы незаземленных узлов. В рассмат­
риваемом примере не заземлен всего один узел а . Поэтому
(/') + J ) 4- (ис / R)
Фа
■(/j -f */) R + U q
MR
.
По известным потенциалам узлов рассчитаем напряжения на источниках тока
Lk d i k ! d t эквивалентирующих индуктивные элементы Lk, и токи im = Ст d u Cm/ d t че­
рез источники ЭДС, эквивалентирующие емкостные элементы емкостью Ст.
Для первой ветви схемы на рис. 8.49, б
Фа = 0i + J ) R + UC - Е - A R - L
dt
Отсюда
2R
d i \
Е R ,
+-------J.
ис
dt
L
L
Ток второй ветви /2 можно определить по первому закону Кирхгофа или по закону Ома
для участка цепи с источником ЭДС:
duc = Фа ~ иС = (■1\+J)R +UC-UC —/j + J.
dt
R
R
Следовательно,
d u c ! dt - (/j /C ) + ( J /C ) .
Таким образом, уравнения переменных состояния для послекоммутационной схемы на
рис. 8.49, а таковы:
dh
dt
2 R . ------1u + —\£ ------j
R = ------.
L 1L C L
L
duc
dt
— /, + 0 • uc + 0 • E + — У,
С 1
c
С
-
И = [Л/]М + [А^]М,
где
и =
dt
duc
dt
W=
2R
[ M ] =
' L
\_
-4
-1
1
0
С
1
[N) = L
0
_ R
L
1
С .
'l
0
1
"4"
~E
- 2
;
_
W =
J
—
1
;
M 0)] =
0,5’
3
§ 8.63. Метод пространства состояний
305
Составим уравнение для определения характеристических чисел X:
det([A/]-?w[i])=
-4-Х
\ '
1
-1
; = 0.
-X
Таким образом,
А? + 4 X +1 = 0;
X, = -0,27;
Х2 = -3 ,7 3 с ~ ‘.
По формуле (8.91),
М|] = [ М Н г Р ! .
А.» - Х')
"-4
-Г
1
°.
+ 3,73
“1 0'
0
1
3,46
1Щ -Ы П
- А.1
1,077
-0 ,2 8 9
-0 ,0 7 8
-0 ,2 8 9
0,289
1,077
0,289 ‘
-0,078
По формуле (8.88),
И
7' М . ] * * '3-73' ш ) \ ° ( \ + j(e-°-27(,- T) И ,] + е -3'73< - ) [Л2])
'1
0
-2 V
d т.
1_ 1
Выполнив подсчеты, получим
/, = - 1 + 0,75 е “027'+ 0,75 е '373/ А;
ис = 6 - 2 ,8 е ‘°’27' - 0 , 2 е ' 3 ” ' В.
Если за выходную величину .у принять напряжение udj между точками d и / , то
к л /М -я
-Ч
'і
ь[1 0]
Lwc J
Поясним переход от (8.86) к (8.88).
Решение неоднородного уравнения (8.86) можно получить в виде суммы полного ре­
шения однородного уравнения и частного решения неоднородного.
Полное решение однородного уравнения
(8.94)
где т — постоянная величина, найдем по аналогии с решением скалярного дифференци­
ального уравнения х = т х, x = em('~ T) jc( t ), в виде
[*#,(*)]•
(8.95)
Подставив (8.95) в (8.94), убедимся в справедливости решения однородного уравне­
ния (8.94). Функцию е ^ > ' обозначим [<р(0], a е1АУ1(/“х) = [ф (/-т )]. Так как
] + [W] I + I " L L + ...,
[Ф(0)] = [1].
306
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
В соответствии с методом вариации произвольных постоянных частное решение неод­
нородного уравнения представим в виде
[* ,(/)]= [<р( ' - т)3 W 0 ] Wx)].
Общее решение
W 0] = [ф(/ - х)] Wx)] + [ф(/ - X)] Ш ) W01 =
= [ф(' - X)] [1] + [«(/)] Wx)] = [сР(/ - т)] [/?(/)],
где R{t) требуется определить.
Подставим
W 0 M 9 ( '- x ) ] [ / ? ( 0 ]
(8.96)
([ф(/ - х)] - [М] [Ф(/ - х)]) [/?(/)] + [Ф(/ - х)] [О Д ] = [N] [2 ].
(8.97)
в уравнение (8.86):
Поскольку [ф(г —т)] есть матрица, столбцы которой являются решением уравнения
(8.94), то первый член выражения (8.97) — нулевая матрица. Следовательно,
[Л(0] = [ ф ( /- т ) Г '[ Л '] Ы .
(8.98)
Проинтегрируем (8.98) от х до /:
/
[Л (0 ]-[Л (т )]= J[tp (X -T )r' [ЛГ][2 ]ЛХ.
(8.99)
Т
Из уравнений (8.96) и (8.99) следует
t
[ ф ( /- т ) Г ' [*(/)] = [ф(0)Г' [4 т )]+ |[ф (А .-т)Г ' [A^][z(M]rfA,
(8.100)
Т
но [ф(0)] = [1]. Умножая (8.100) слева на [ф (/-х )] и учитывая, что
[ф (< -т )][ф (/-т )Г '
= е[м)('-*.> =[ф(?-Х )],
получим
I
[JC(/)] =
[ф(/ -
Т)]
[х(т)1 +
| [Ф (Х - T ) ] [ , V ] [.-(X )] d x .
(8.101)
т
Полагая в (8.101) х = 0 и заменяя затем переменную к на х, получим формулу (8.88).
§ 8.64. Дополняю щ ие двухполюсники. Два двухполюсника, содер­
жащие элементы R, L, С, называют дополняющими, если входное сопро­
тивление при их последовательном (параллельном) соединении оказы­
вается чисто активным, не зависящим от комплексной частоты р. Так,
двухполюсник из параллельно соединенных L и R2 и двухполюсник из
параллельно соединенных С и Rx (рис. 8.50, а) являются дополняющи­
ми при их последовательном соединении и выполнении условия
R
= R
= R =
4 Ї ЇС .
§ 8.65. Системные функции и понятие о видах чувствительности
О- ---------- ---------
------------ -----
а
307
о-------------------------------------------6
в
Рис. 8.50
Двухполюсники R2, С и
L при их параллельном соединении
(рис. 8.50, б) являются дополняющими при том же условии.
Элементы двух дополняющих двухполюсников взаимно-дуальны. Эле­
ментам
Cj, R\ одного соответствуют такие дуальные элементы С2,
L2, R2 дополняющего, что произведение сопротивлений двух взаимно
дуальных элементов должно быть равно R2, где R — произвольное
активное сопротивление.
Последовательное соединение Ц и Сх в исходном двухполюснике
заменяют на параллельное соединение С2 = 1^1 R 2 и L2 - C x R 2 в допол­
няющем.
Параллельное соединение Сх и Lx в исходном двухполюснике заме­
няют на последовательное соединение L2 =CXR 2 и С2 = Ц / R 2 в допол­
няющем.
§ 8.65. Системны е функции и понятие о видах чувствительнос­
ти. Системные функции Н(р) — это обобщенное название функций,
характеризующих четырехполюсник. Ими могут быть, например, пере­
даточная функция напряжения U 2 (p ) /U l( p \ передаточная функция тока
12 (р)! 1\(р) и т. п. Если какой-либо параметр (R, L, С) в схеме четырех­
полюсника изменяется, то изменяются модуль и аргумент системной
функции и можно говорить о чувствительности системной функции к
изменению этого параметра.
Под классической чувствительностью понимают отношение относи­
тельного изменения функции А Н ( р )/ Н (р) к относительному измене­
нию параметра А х / х :
S HIP) = y j М . : A ff L _ Л _ ± В Л
VН
х ) Н (р)
dx
Применительно к установившемуся синусоидальному режиму
рассматривают чувствительность модуля и чувствительность аргумента
ни0).)
Для резонансных систем с высокой добротностью пользуются поня­
тием корневой чувствительности, имея в виду чувствительность Н (р)
к изменению положения нуля или полюса этой функции, находящегося
вблизи мнимой оси плоскости комплексной частоты.
Понятие чувствительности используют главным образом в задачах
синтеза. Электрические цепи стремятся сформировать так, чтобы они
308
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
были по возможности малочувствительны к изменению параметра. Если
Н (р ) зависит от многих параметров и все они могут изменяться, то верх­
ней границей возможной ошибки считают сумму модулей чувствитель­
ностей по всем параметрам. При определении классической чувствитель­
ности можно воспользоваться теоремой вариаций (см. § 2.19) и теоремой
Теллегена (см. § 3.43).
§ 8 .66 . Обобщенные функции и их применение к расчету переход­
ных процессов. Обобщенными функциями (ОФ) называют функции
времени /(О , которые терпят разрыв, например при / = 0. Значение
функции при / < 0 обозначим /_(/)> при / > 0 / +(0 (рис. 8.50, в).
Имея в виду фильтрующее свойство единичных функций, можно
записать
В общем случае / ( / ) может содержать также 8 -функцию и ее про­
изводные. Производная от / ( / )
Ц atг - =
1(~'> + f + (t) 1(,) +
= / . (О K- 0 + f
+
dl (- t) d ( - t ) [
d ( - t ) dt
+
d\(t)
dt
( 0 1 ( 0 + 6 ( 0 [ f +(0 ) - / . ( 0 )].
Используя ОФ, можно решать задачи на переходные процессы, о ко­
торых говорилось в § 8.28, а также задачи на импульсные воздействия.
В этом случае необходимо составить уравнения для послекоммутационной схемы, выразить токи, напряжения и их производные через ОФ и,
воспользовавшись фильтрующим свойством 1(-0, КО» и 5(0, прирав­
нять в этих уравнениях коэффициенты, содержащие только 1( - 0 , толь­
ко 1(0 и только 5(0, затем решить их совместно.
Пример 107. Путем использования обобщенных функций решить задачу примера 86
(см. рис. 8.26).
Р е ш е н и е . В уравнении для послекоммутационной схемы
(8.102)
подставим
ua = wn _ ( 0 1(-/) + нп + (0 КО;
UC2 ~ UC2-0 ) K“*) + UC2+V) K*)i
u'c\ = wn (0 H”0 + «ri+(0 К0 + б(0[«сі(°+)~мсі(0-)1;
«С2 * «Г2(0 U-0 + WC2+(0 K0 + 6(0 [ur2(0+) - ttr2(0. )];
§ 8.67. Интеграл Дюамеля для огибающей
309
Коэффициенты при 1(—/),
КО, и 5(0 дают три уравнения:
R (Q
и'с\+(0 + С2 «с2-( 0 ) + uci-(0 - Е*
(8.103)
u'C2+(0) + uci +( 0=E;
(8.104)
Я
(С,
и а Д 0 + С2
MCl(®+)(Q + ^ 2 ) = ^1 иСі(0-) + С2 Uq 2(0_).
(8.105)
Из (8.103) исх (0 = £ , 'и з (8.105) ип (0+) = С, £ /((? ]+ С 2); далее решаем (8.104) клас­
сическим или операторным методом, имея в виду, что ыС1 ( t ) - u C2 (0- В результате
получаем тот же ответ, что и в примере 86.
§ 8.67. И н теграл Д ю ам еля для огибающей. Положим, что на вход четырехполюс­
ника, имеющего переходную функцию Л(0, воздействует синусоидальное напряжение
единичной амплитуды
Mj(0 = 1 sin со t - 1ше-/и<.
Тогда, используя формулу интеграла Дюамеля, определим напряжение на выходе четырех­
полюсника:
і
u2(t) = Im((A(0) + J/7'(x)e~j' tt)t d x ) e J(ol) = Іт(а(со,О еуо)/).
Здесь
(8.106)
о
/
я(со,0 = h(0) + ^h'{x) е_70)Х dx = w(co,/) + j «(со,/) = ?(со,0 е7Ф(оМ).
(8.107)
о
где а(со,/) — огибающая выходного напряжения при воздействии синусоидального ux(t).
Воздействуем на вход четырехполюсника амплитудно-модулированным синусоидальным
напряжением
«/,(/) = Im({/m(0 е /ои)
и определим
і
«2(/) = Im((/;(0) Um(l)+ j h' ( x) Um(t) (/ —т)
“ т d i ) e J°>').
о
Учтем, что - а —
dt
= И\х) е~' ют = а'(со, т) и Л(0) = д(со, 0). Тогда
u2{t) - Іт(Л(со,0 є7 0 '),
где
(8.108)
/
/4(co,0 = a(co,0)t/w(r)+ Jflr'(o>,T)
о
(/ —т)
(8.109)
Л(со, 0 — огибающая выходного напряжения. Формулу (8.105) называют интегралом Д ю ­
амеля для огибающей, она позволяет, не вдаваясь в мелкие детали, выявить макрострук­
туру переходного процесса.
П ри м ер 108.
Определим огибающую тока в цепи,
соединенных R иLвоздействует напряжение их(/) = к t sin со /.
когда на вход последовательно
1
В место//(0 используем g(/) = — ( 1 - е L ).
R
В соответствии с формулой (8.107)
a(ffl,/) = g(0)+
*г
\g'(x)c~Jaz dx=—
— :— -(1 -е * ’ ');
R + j <a L
J
1R
q=L—
+j ш.
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
310
Учтем, что g(0) = 0,
а\<ь, /) = — z~q т, Uт ( t - x ) = k ( t - т).
Огибающая тока в цепи по формуле (8.109):
kl
Д2+(со L)2 *
2
Rt
Rt
х и[ — + е 1 cos(co / + 2 ф) - cos2 ф
L
2
Rt
со/ + е L $іп(со/ + 2 ф ) -5 Іп 2 ф 1
Rji
р(со,/) = arctg
со/4-е
1 sin((o / + 2 ф) - sin 2 ф
Ф
со L
= arctg----- .
Вопросы для самопроверки
1.
Дайте определение переходному процессу. 2. Что понимают под принужденными и
свободными токами и напряжениями? 3. Сформулируйте законы (правила) коммутации.
4. Дайте определение зависимым и независимым начальным условиям. 5. Какие вы знае­
те способы составления характеристического уравнения? 6. Объясните, почему при состав­
лении характеристического уравнения путем приравнивания к нулю входного сопротив­
ления Z ( p ) = N ( p ) / М{Р) в общем случае нельзя сокращать числитель и знаменатель
дроби на общий множитель. 7. Чем определяется число корней характеристического урав­
нения? 8. Изложите сущность классического метода расчета и принцип составления урав­
нений для определения постоянных интегрирования. 9. Переходный процесс в некоторой
цепи сопровождается биениями. О чем это может свидетельствовать? 10. Дайте обосно­
вание обобщенным законам коммутации. 11. Запишите известные вам соотношения меж­
ду / ( О и Г(р), а также теоремы операторного метода и предельные соотношения. 12. По­
чему р называют комплексной частотой? 13. Охарактеризуйте этапы расчета операторным
методом. 14. В чем особенности расчета переходных процессов операторным методом при
синусоидальном источнике и ненулевых начальных условиях? 15. Охарактеризуйте свой­
ства единичной функции 1(f) и свойства дельта-функции 8(f). 16. Определите переход­
ную и импульсную переходную проводимости (сопротивления). Укажите, с какой целью
они используются. 17. Охарактеризуйте идею расчета с помощью интеграла Дюамеля.
18. Прокомментируйте известные вам формы записи интеграла Дюамеля. 19. Какими спо-
Вопросы для самопроверки
311
/і R\
собами можно определить отзвук системы, когда на нее воздействует импульс напряже­
ния или тока? 20. Поясните принцип работы интегрирующих и дифференцирующих це­
пей. Запишите условия, при которых эти цепи выполняют свои функции. 21. Чем следует
руководствоваться при формировании дополняющих двухполюсников? 22. Поясните идею
расчета переходных процессов с помощью обобщенных функций. 23. Перечислите основ­
ные этапы расчета методом переменных состояния. 24. Как составляют уравнения пере­
менных состояния путем сведения послекоммутационной схемы к чисто резистивной?
25. Охарактеризуйте сильные и относительно слабые стороны известных вам методов рас­
чета переходных процессов. 26. Что понимают под системными функциями? Какие виды
чувствительности системных функций вы знаете? 27. В схеме на рис. 8.51, а с источни­
ком тока J 0 в момент t —0 одновременно размыкается ключ К 2 и замыкается К х. По­
казать, что заряды, протекающие через сопротивление /?, и Я2 за время от 0 до
не
зависят от емкостей С) и С2. Определить величины этих зарядов. {Ответ:
LJ 0
-•)
l + (/?j / к2)
0
1+ (Л2/*і)
28. В схеме рис. 8.6, а при размыкании ключа происходит переходный
процесс. Определить законы изменения во времени напряжений ип и иС2 на конденса­
торах. Задано
j ( t ) = 1 sin(co/ +90°) А,
# = 1/соС = 10м ,
со = 100 рад/с.
{Ответ:
ип = 0,447 sin(co / + 63°27') - 0,253 - 0,15 е-у200/ В;
иС2 = 0,447 sin(co / + 63°27') + 0,253 —0,15 е “ /200/ В.) 29. Покажите, что в симметричной мостовой схеме (рис. 8.51, в), в
1
которой выполняется условие L / C = R 2 переходная функция /?(/) = —~
е L
30. В схе-
ме рис. 8.51, б R = L - С = 1. Покажите, что входная переходная проводимость равна / е _/.
31. Покажите, что энергия, запасаемая в L схемы рис. 8.51, г (начальные условия нулевые),
равна тепловым потерям в R. 32. Первичная обмотка трансформатора рис. 8.51, д при ну­
левых начальных условиях подключается к источнику постоянной ЭДС £, Rx = R2 = R\
l x = l 2 = М. Определите /j(0+), i2{0+). (Ответ: /,(0 +) = - / 2(0+) = E / ( 2 R ) . ) 33. Опре­
делите степень характеристического уравнения для схемы рис. 8.52. (Ответ: пятая.)
1
34. Как определить К( р ) через h(t) и через Л6 (/) ? 35. По h{t) = — (1 + 2 е
рехполюсника
определите
его
K ( j со).
(Ответ:
R + j со L
3 R + j со L
—'
1 ) четы­
)
36. По
(О2 R L C
.
некоторого четырехполюсника определите его h(t) при
R - R С m L +j & L
R = 0,2 Ом, С = 5Ф , L - 1Гн. (Ответ: h{t) = 1,62 е -0,724' -0 ,6 2 е"0,276/. ) 37. На вход чеАГ(/ со) =
тырехполюсника с K( j ( o) =
j<*
1+ j 2 со
воздействует единичный импульс напряжения в виде
312
Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
б-функции. Определите напряжение на выходе четырехполюсника после окончания дей­
ствия импульса. (Ответ: 0,25е"°,5/.) 38. В схеме на рис. 8.53, а до коммутации был уста­
новившийся режим; £ = 20В , lim р / ,( р ) = 2 А и lim р 1х( р) = 5 А. Определите Rx
р-><х>
р —уО
и R2. (Ответ: Rx = 4 Ом, R2 = 6 Ом.) 39. В схеме на рис. 8.53, б до коммутации был ус­
тановившийся режим; Е - 10 В, lim р 12{р) - 2 А и lim р 12(р) - 1,428 А. Определите
р —у-Х)
р -t о
Rx и /?3, если/?3 = /?2. (Ответ: Rx = 4 Ом, R2 = 3 О м .) 40. Решите задачи 11.4; 11.12;
11.15; 11.26; 11.29; 11.32; 11.38; 11.40; 11.47; 11.50; 11.55; 11.57.
Глава девятая
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД. СИГНАЛЫ
§ 9.1. Ряд Ф урье в комплексной форме записи. Как известно из
предыдущего (см. § 7.2), в ряд Фурье можно разложить любую периоди­
ческую функцию / ( / ) , удовлетворяющую условиям Дирихле.
Обозначим период функции Т, а основную частоту — о)0 = 2 п /Т . Ряд
Фурье можно записать двояко.
Первая форма записи:
00
/ ( / ) = A + Z 4 sin( * 0> o'+ 4'*);
(9.1)
к=\
вторая форма записи:
00
/ ( / ) = Aq +
(Ак sin к со0 / + ЛІ cos к со0 /),
(9.2)
к =і
где Aq — постоянная составляющая ряда; Ак — амплитуда ^«гармони­
ки ряда; \ук — начальная фаза ^-гармоники;
Ак = Ак cosy*;
л ; = 4 sin у*;
До » ! 7 } / ( / ) * ;
(9.3)
1 - тп
4 = |-
j/(O s in * c o 0 /<*;
(9.4)
1 -Т /2
7 7/2
Ак = -z
J / ( 0 cos к со0 t dt.
(9.5)
1 - тп
е 7* - e ~ JX
Из курса математики известно, что sin х = ------------- . Следовательно,
27
е>(* Щ+Vic) _ е"(* +V* )
sin(A со0 / + у*) = ------------------------------- .
2j
(9.6)
Подставив правую часть формулы (9.6) в выражение (9.1), получим
Л О = Ль + — У 4 (е 7
2 У *=i
+**) _ е"(* “• +'"*) >
(9.7)
Гл. 9. Интеграл Фурье. Спектральный метод. Сигналы
314
Обозначим
(9.8)
Л - * = - 4 е ~ >ч" .
(9.9)
Тогда ряд (9.7) можно записать так:
=
(9.10)
1
J * = -00
Формула (9.10) представляет собой комплексную форму записи ряда
Фурье. Текущий индекс к может принимать всецелыечисловые значе­
ния от -о о до+со, но не может равняться нулю, так какпостоянная
составляющая ряда выделена в виде отдельного слагаемого.
П ри м ер 109. Представить функцию / ( 0 = 2 + 3sin(co0 / + 30°) + 2 sin (2 со0 /- 4 5 ° ) в
комплексной форме записи.
Р е ш е н и е . ^ 0 = 2 ; Ах = З е я °°; Ач = - 3 e~j30°\ А2 = 2 е " 7’45°; А_2 = - 2 еу45°;
/ ( / ) = 2 і ^ (3 e ^ w° *+30°) - 3 е“-^(0° “+30<>) + 2 е ' (2"° /-45°) - 2 е ' л2й>0 /_45°^)
2j
Составим выражение для комплексной амплитуды Ак. По определе­
нию (см. формулу (9.8)),
Л = Л* еУЧ,‘ = Л c o s y k + j Ак sin цік =А'к + j Ак ,
(9.11)
где Afk определяется формулой (9.4), Ак — формулой (9.5).
Подставим правые части формул (9.4) и (9.5) в формулу (9.11):
2 7/2
А = —
1
J / ( 0 (sin А со0 / + j cosk со0 t) d t =
-772
2 ' 7/2
= —- J / (t) (cos к щ t - j sin к ©о 0 d t,
Т _TJ2
или
7 /2
dt.
Т
(9.12)
_ т12
Подставим правую часть формулы (9.12) в формулу (9.10):
оо
/( О = Л0 + S
* = -0 0
і
Г /2
^
{ /( /) е "' * ■"•' dt.
*
(9.13)
-7 7 2
§ 9.2. С пектр функции и интеграл Фурье. Ряд Фурье — это триго­
нометрический ряд, представляющий собой изображение периодической
функции суммой синусоид, амплитуды которых конечны, а аргументы
кратны основной частоте со0.
§ 9.2. Спектр функции и интеграл Фурье
315
Под интегралом Фурье понимают тригонометрический ряд, представ­
ляющий непериодическую функцию суммой бесконечно большого
числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргументы
соседних синусоид отличаются на бесконечно малые значения.
Формулу для интеграла Фурье получают из формулы для ряда Фурье
(из формулы (9.13)) предельным переходом при стремлении периода Т к
бесконечности.
На функцию / ( 0 при представлении ее интегралом Фурье наклады4-00
вают ограничение, а именно, полагают, что
есть величина
-оо
конечная (не бесконечно большая). Это серьезное ограничение. Ряд фун­
кций этому условию не удовлетворяет^.
J 77 2
Так как по определению (см. формулу (9.3)), Aq = — J/(0 d t, а при
+оо
Т -77 2
Т -> оо f / ( 0 dt есть величина конечная, то Aq = 0.
іI 77/*2
**■ІоО
.(
Преобразуем выражение — 1 /(0 е "7 0)0 dt, стоящее под знаком
^ -772
суммы в формуле (9.13). С этой целью произведение к со0 заменим на
со (под со будем понимать изменяющуюся (текущую) частоту). В ряде
Фурье разность двух смежных частот Дсо = со0 = 2 л /7 \ Следовательно,
1/ Г = Дсо /(2 тг).
При Г -» о о , заменив Дсо дифференциалом </со, получим
1 772
і
,
]■/(/)е ''* 10»' Л = | ^
T
J
' -772
77 2
| Д / ) е - ' и'Л .
2 7^1-772
Обозначим
5 (;о ))= } / ( 0 е - '“ ' Л .
(9.14)
-00
Формула (9.14) дает возможность преобразовать функцию времени
/( О в функцию частоты S ( j со); преобразование (9.14) называют я/?я.мьш преобразованием Фурье, а 5(у со) — спектром функции f ( t ) . Это
комплексная величина, зависящая от вида функции /( /) . В соответствии
1
с (9.14) в (9.13) заменим — Г /(/) е 7 ш/
Т _>/г
’’ Среди функций f ( t ) , для которых интеграл
772
н а — S(j(o)dco и учтем, что
2я
расходится, наиболее важной
для практики является функция / ( / ) = А, где Л — "постоянное число. Для того чтобы эту
функцию представить интегралом Фурье, пользуются следующим приемом. Находят
интеграл Фурье для функции / ( / ) = А е " ^ , где р > 0 и / ( 0 = 0 при / < 0 . Для этой функ­
ции
j
сходится, поэтому она может быть представлена интегралом Фурье.
—
00
Далее в полученном выражении устремляют р к нулю.
1
316
Гл. 9. Интеграл Фурье. Спектральный метод. Сигналы
при изменении к от -оо до +00 со = к оз0 также изменяется ОТ —оо до
-и». Следовательно,
1 СО=+0О
/ ( ') = т ~
£
S ( j ® ) e ~ Jkao‘ da.
Заменив сумму интегралом, найдем
*
/ ( ') “
+00
|Я / с о ) е - '“ ' Ло.
2 я - 0J0
(9.15)
Формула (9.15) представляет собой запись интеграла Фурье {форму­
лу обратного преобразования Фурье). Она выражает непериодическую
функцию /( О в виде бесконечно большого числа синусоидальных
колебаний с бесконечно близкими частотами и бесконечно малыми амп­
литудами S ( j со) d a (S ( j со) конечно, но произведение S ( j со) d © бес­
конечно мало, так как бесконечно мало значение ^©).
В соответствии с формулой (9Л 5) для нахождения реакции системы
на любое воздействие следует его представить в виде бесконечно боль­
шого числа гармонических воздействий, символическим методом найти
реакцию системы на каждое из воздействий и затем просуммировать
реакцию на все воздействия.
Преобразования (9.14) и (9.15) являются взаимно обратными.
Отметим, что представление функции /( О в комплексной форме в
виде интеграла Фурье (формулы (9.15)) привело к необходимости фор­
мально ввести отрицательную угловую частоту. При этом сумма слага­
емых подынтегральной функции (9.15) при ±© дает синусоидальные
колебания частоты со.
Сопоставим формулу (9.14) с формулой преобразования по Лапласу:
00
F (p )= l f ( t ) e - p ' d t ,
О
(9.16)
когда / ( 0 = 0 при / < 0 .
Если учесть, что / ( 0 = 0 при /< 0 , и заменить р на У©, то (9.16)
переходит в (9.14). Следовательно, формулы для спектра функции S ( j ©)
могут быть получены из соответствующих выражений для изображений
по Лапласу, если в последних р заменить на у со.
Пользуясь соотношениями § 8.39, найдем спектр функции / ( / ) = е"а / ,
полагая, что / ( 0 = 0 при t < 0 .
Изображение ее по Лапласу 1/ (сх + р). Заменим р на у© и получим
спектр 5(усо) = 1/(а + у©); S { j ©) есть комплексная величина, равная
5(© )еУФ\ Модуль ее равен l / V a 2 +со , аргумент <рд. = arctg(-© / а).
Графики для экспоненциального импульса изображены на рис. 9.1, а, б.
П ри м ер 110. Найти S( со) и <р(со) для прямоугольного импульса (рис. 9.1, в) ампли­
тудой А и длительностью /и.
§ 9.2. Спектр функции и интеграл Фурье
317
/
Рис. 9.1
Р е ш е н и е. По формуле (9.14) определим спектр:
і_ е-У°>'и
А
S{ j ( о ) - А Ге"'® ' d = А ----------------------(1 —co so /„ + у sin со /и);
о
J
J
©
> /(1-cos с о / , , ) 2 -нsin 2 со / и = >/2 (1 - cosco /и) = ^ 4 sin
=2
со/м
Модуль
0/
.
2 /4 / и
.
с о / |(
.
I .
5(со) = — —£■ sm — ^ = /4 /и sin
со /и
2
I
с о /,,
2
/с о /,,
/ 2
— и-,
График этой функции приведен на рис. 9.1, г. Штриховой линией показана огибающая.
Аргумент
для прямоугольного импульса вычислим по формуле
cos со /и -1
1 ЕФ, =—
J =
sin со /и
со /„
- t g — JL.
2
График фА
. дан на рис. 9.1, д . При значениях со /и = ти, 3 л , ... ф.т возрастает скачком
на п.
Обратим внимание на то, что при определении S ( j со) путем замены
р на у со в формуле для F (p) следует соблюдать некоторую осторож­
ность, если функция / ( / ) имеет импульсный характер, иначе можно
потерять импульсную компоненту в S ( j со) в виде дельта-функции. На­
пример, изображение функции 1(/) по Лапласу равно 1/ р, тогда как
спектр S ( j со) функции 1(/) равен не 1/ у со, а 7т 5(со) н— ^—. Чтобы
у со
показать это, определим спектр функции 1(/) е~р' (Р > 0 ), а затем устре­
мим Р - * 0 :
со
1
Р + усо
р 2 + (0 2
^ р 2 ^-©2 '
318
Гл. 9. Интеграл Фурье. Спектральный метод. Сигналы
Первое слагаемое правой части при Р -> 0 и при со —> 0 стремится к
бесконечности, т. е. имеет вид дельта-функции а 5(со), второе слагаемое
правой части при Р -> 0 равно 1/ j со. Чтобы вычислить коэффициент а,
проинтегрируем р /( р 2 +со2) = а 5 (со) по со от - о о до + о о :
00
= я, а JS(co) </со = 1.
-оо
Поэтому я = п и спектр 5(у со) функции 1(/) равен я5(со) + -----.
j со
В примере 110 при определении S(yco) функции / ( / ) (см. рис. 9.1, в)
слагаемое в виде дельта-функции в спектре отсутствует, так как у функ­
ции имеются два равных по значению, но противоположных по знаку
тс 5(со) выпадают.
§ 9.3. С пектр функции, смещ енной во времени. С пектр суммы
функций времени. Если функции времени / ( 0 соответствует спектр
S ( j со), то функции / ( / - т) соответствует спектр е";сот S ( j со), что сле­
дует из теоремы смещения в области оригиналов (см. § 8.40), если заме­
нить р на j со.
Так как модуль функции
равен единице, то модуль спектра
функции / ( / - т) равен модулю спектра функции / ( / ) , т. е. равен 5(со),
однако аргумент спектра функции / ( / - т) отличается от аргумента спек­
тра функции / ( / ) на -со т.
Если / ( 0 представляет собой сумму нескольких функций времени,
например / ( / ) = / ( / ) + Л ( 0 > а каждая из них имеет спектр соответствен­
но (у со) и S 2( j со), то спектр S ( j со) функции / ( / ) равен сумме спек­
тров этих функций, т. е. S ( j со) = S}( j со) + S 2( j со). Это следует из линей­
ности преобразования (9.14). Однако модуль S(co)*S 1(cd) + S 2(co) и
аргумент фЛ.(со) ф фл1(со) + фл2 (со).
§ 9.4. Теорема Рейли. Теорему Рейли (Релея) записывают следующим
образом:
(9.17)
Функция / ( / ) = 0 при /< 0 ; S(co) представляет собой модуль спект­
ра S ( j со) функции / ( / ) :
§9.5. Применение спектрального метода
319
Если принять, что f i t ) есть напряжение, приложенное к активному
сопротивлению 10м, то левая часть в (9.17) представляет собой энер­
гию, выделяющуюся в этом сопротивлении.
Таким образом, площадь квадрата модуля спектра •S'(co), разделенная
на я, является энергией, рассеиваемой в активном сопротивлении, на
которое воздействует / ( /) .
Основой при выводе теоремы Рейли служит обратное преобразование
Фурье:
1
/(0 “
+00
2 71
Г Я /ю ) е ''" 'Л в .
Умножим обе части последнего равенства на f ( t ) и проинтегрируем
по / от -о о до + о о :
+00
1 +Ср
l f2{t)dt = 2
Ґ +00
я J/ ( 0
l S(J &)eJa' d&
dt.
В правой части изменим порядок интегрирования:
+г
( +<°
}
_
\-оо
/
J/W
— 00
|5 (_ /с о )е 7 “ ' Л о
+г
( +х
dt= J S ( y o > )
— 00
Л
dt\da>.
\ —00
J
В соответствии с формулой (9.18)
+00
j f ( t ) e J a ' dt = S ( - j Іо),
следовательно,
+00
f
+00
I
+00
\ / 2 ( t)d t = —
fS(y со) S ( - j to) d® =
| S 2(co)</co.
2 n -CJO
2 n -00
J
J
-00
Для перехода к формуле (9.17) учтем, что при t < 0 функция / ( / ) = 0.
Это дает возможность заменить в левой части нижний предел с -о о на
0. Приняв во внимание, что квадрат модуля S 2 (со) есть четная функция
+оо
частоты, заменим
+со
J в правой части последнего уравнения на 2 J. В
-со
О
результате получим формулу (9.17).
Величину S 2 (co) называют спектральной плотностью энергии сиг­
нала, а функцию S 2 (со) = /(с о )— энергетическим спектром.
§ 9.5. Применение спектрального метода. Спектральный (частот­
ный) метод исследования процессов в электрических цепях основан на
использовании понятий спектров воздействующих импульсов и частот­
ных свойств цепей. Особенно широко его применяют в радиотехнике при
Гл. 9. Интеграл Фурье. Спектральный метод. Сигналы
320
рассмотрении вопросов прохождения модулированных колебаний через
усилители, фильтры и другие устройства, в импульсной технике при рас­
смотрении вопросов прохождения через четырехполюсники коротких
импульсов длительностью порядка нескольких микросекунд, а в некото­
рых случаях даже нескольких наносекунд. Допускается, что модулиро­
ванное колебание или, соответственно, импульс, пройдя через четырех­
полюсник, изменился по амплитуде, на некоторое время t0 запоздал во
времени, но недопустимо, чтобы существенно изменилась форма импуль­
са (колебания) на выходе по сравнению с формой импульса (колебания)
на выходе. Недопустимость изменения формы импульса (колебания)
следует из того, что именно в форме импульса (колебания) заключена
информация, которую он несет.
Положим, что на вход некоторого четырехполюсника с передаточной
функцией K ( j со) = ЛГ(со) qj ф(0)) при нулевых начальных условиях воздей­
ствует сигнал /j( 0 , имеющий спектр SBX( j со). На выходе четырехпо­
люсника появится сигнал / 2 (0 > спектр которого
5 выхО*со) = /СО*со)5вхО о )),
(9.19)
+О0
где S n U со)= } /,(/) е - ^ ' dt.
-0 0
Так как сигнал / 2(0 может отличаться от сигнала f x(t) позначенню
(по амплитуде), положим в а раз, и запаздывать на некоторое время t0,
но по форме должен быть таким же, как и / , (/), то можно записать, что
f z ( 0 = a f i ( t - 10).
Если к функции f 2 (t) применить преобразование Фурье, то окажет­
ся, что спектр функции / 2(г) равен
a S n (J
(9.20)
Сравнивая (9.19) и (9.20), замечаем, что
K(J со) = К (со) еу<р(ш) = а е '7й>'" .
Рис. 9.2
Следовательно, для прохождения импуль­
са или модулированного колебания через
четырехполюсник без искажения формы
необходимо, чтобы модуль передаточной
функции был постоянен (не зависел от час­
тоты), а аргумент ф(со) = -со /0 линейно из­
менялся в функции частоты (рис. 9.2, а).
В реальных четырехполюсниках эти ус­
ловия могут быть выполнены лишь прибли­
женно в некоторой полосе частот, которую
называют полосой пропускания. Полоса про­
пускания ограничена значениями со, при
которых отношение максимального значения
§ 9.5. Применение спектрального метода
321
К(а>) к минимальному равно V2 (рис. 9.2, б). Такой характеристикой
обладает, например, схема рис. 3.42, а. Для этой полосы приближенно
полагают, что К (со) = const; ср(со) = -со /0.
Для того чтобы сигнал при прохождении через четырехполюсник не
изменил своей формы, необходимо, чтобы важнейшие гармонические
составляющие частотного спектра сигнала находились внутри полосы
пропускания четырехполюсника. Для импульсных сигналов треугольной,
трапецеидальной, прямоугольной, колоколообразной и некоторых других
форм принимают, что они занимают полосу частот от со = О до со = 2 7Г/ /и,
где /и — длительность импульса.
Если же необходимо передать через четырехполюсник основную часть
энергии сигнала (например, 90 % энергии сигнала), то полосу частот
можно сузить примерно до 0 -і-Ши.
Так как в полосе пропускания идеальные условия для прохождения
импульса все же не выполняются, то, проходя через четырехполюсник,
импульс в какой-то степени искажается. Определить степень искажения
можно двумя способами, основанными на частотных представлениях.
Первый способ состоит в непосредственном применении прямого и
обратного преобразований Фурье.
Основные этапы этого способа таковы:
1) нахождение спектра Ux( j w ) входного сигнала Н](0 ;
2) определение передаточной функции четырехполюсника K ( j со);
3) получение спектра выходного сигнала U2( j со) = K ( j со) Ux( j со);
4) вычисление u 2 (t) по U2( j со).
Последнюю операцию можно осуществить с помощью форму­
лы (9.15), но практически ее удобнее выполнить, используя таблицу изоб­
ражения по Лапласу, заменив у со на р в U2( j со).
Такое решение мало чем отличается от решения той же задачи опе­
раторным методом и для сложных схем оказывается малопригодным,
поскольку решение излишне громоздко, и, пользуясь им, трудно сделать
вывод о том, как тот или иной конкретный элемент схемы при неизмен­
ных остальных влияет на фронт и на вершину импульса. Пользуясь этим
методом, трудно также судить о том, какие элементы схемы в наиболь­
шей степени влияют на деформацию фронта, какие — на деформацию
вершины импульса.
В литературе по импульсной технике получил распространение второй
способ решения, также основанный на спектральных представлениях.
В основу его положено то обстоятельство, что искажение формы фронта
выходного импульса по сравнению с формой фронта входного импульса
зависит от свойств передаточной функции четырехполюсника на высо­
ких (теоретически на бесконечно больших) частотах, а искажение вер­
шины импульса определяется свойствами передаточной функции на низ­
ких частотах (теоретически на частотах, близких к нулю). Эти положения
соответствуют предельным теоремам операторного метода (см. § 8.40).
Для того чтобы выяснить влияние отдельных элементов схемы на
искажение формы импульса, прежде всего составляют полную схему
322
Гл. 9. Интеграл Фурье. Спектральный метод. Сигналы
замещения четырехполюсника, учитывая в ней все факторы, влияющие
на частотные свойства (паразитные емкости ламп, импульсных трансфор­
маторов, индуктивности рассеяния трансформаторов, емкостные свойства
р — «-переходов транзисторов, зависимость коэффициентов усиления
транзисторов от скорости процесса (от частоты со)).
Затем из полной схемы замещения образуют две расчетные схемы.
Первая схема представляет собой расчетную схему для высоких частот
и позволяет определить степень искажения фронта импульса. Эту схему
получают из полной схемы замещения путем закорачивания последова­
тельно включенных конденсаторов по пути следования сигнала (относи­
тельно больших по сравнению с паразитными) и разрыва индуктивных
элементов, включенных параллельно резистивным элементам схемы.
Вторая схема представляет собой расчетную схемы для низких
частот и служит для выяснения степени деформирования вершины
импульса. Эту схему получают из полной схемы замещения, оставляя в
ней последовательно включенные конденсаторы по пути следования
сигнала, а также индуктивные элементы, включенные параллельно рези­
стивным сопротивлениям, и закорачивая последовательные индуктивные
элементы по пути следования сигнала. Паразитные емкости в низкочас­
тотной схеме не учитывают.
В каждой из этих расчетных схем с учетом упрощений, рассмотрен­
ных в § 8.16, число оставшихся индуктивных элементов и конденсаторов
оказывается значительно меньше, чем в полной схеме замещения.
Для каждой из схем характеристическое уравнение оказывается часто
первой или второй, редко третьей степени, и поэтому влияние каждого из
элементов схемы на искажение фронта и вершины импульса может быть
выявлено относительно легко. Расчет переходного процесса в высокочас­
тотной и низкочастотной схемах проводят обычно операторным методом.
Окончательный результат (кривую всего переходного процесса) полу­
чают, сопрягая решения этих двух схем. Вопрос об искажении заднего
фронта импульса принципиально решается так же, как и вопрос об ис­
кажении переднего фронта импульса.
Проиллюстрируем сказанное примером. На рис. 9.3, а изображена
схема лампового усилителя, где RH — нагрузочное сопротивление;
Ср — относительно большая разделительная емкость (через нее прохо­
дит только переменная составляющая выходной величины); С2 — отно­
сительно малая емкость нагрузки и (или) емкость второго каскада уси­
ления. Штриховой линией показаны источник анодного напряжения Ен
и малые по сравнению с Ср (по нескольку пикофарад) межэлектродные
емкости анод— сетка Са_с, сетка— катод Сс_к и Сх (емкость анод— ка­
тод и емкость монтажа). В дальнейшем емкости Сс_а и Сс_к не учиты­
ваем, как оказывающие малое влияние на работу схемы.
Схема замещения для расчета переходного процесса при воздействии
относительно малых по амплитуде переменных составляющих представ­
лена на рис. 9.3, б. Она является схемой третьего порядка. Укороченные
схемы для формирования фронта (рис. 9.3, в) и вершины импульса
(рис. 9 .3 , г) являются схемами первого порядка.
§9.5. Применение спектрального метода
*»ї
а
С,
-Н Ь
323
-о
I
|С,
С с-
ф .
---- W ------) ]" ЛнП =}={".
И*
с2
0 Л
і Сс. к
М /? а
= Т= С ,
[]Д „
= t c
3
С
С\ + С
П
Ra
- т -
2
П
л„
Рис. 9.3
Для схемы рис. 9.3, в
Л р)
$
Язі
+р(С\+с2)
і
і
і
+ -£- + -£-•
К, Ла Лн
Для схемы рис. 9.3, г
где £э!
.
и выЛ р ) -
Ми
1
Р Се и *ЛР)
Ri 8 i2 1 + l i i tfH p C .
g 3 2 "
1
+
я а
£э2
Если входное напряжение представляет собой прямоугольный импульс
рис. 9.3, д, то фронт выходного напряжения будет в виде нарастающей
экспоненты рис. 9.3, е, а вершина — в виде спадающей экспоненты
рис. 9.3, ж. Результирующая кривая мвых изображена на рис. 9.3, з. Под­
бор параметров усилителя осуществляют, исходя из допустимой дефор­
324
Гл. 9. Интеграл Фурье. Спектральный метод. Сигналы
мации фронта и вершины выходного импульса по сравнению с входным
импульсом.
§ 9.6. Текущ ий сп ектр функции времени. За последние годы в
литературе стали использовать понятие текущего спектра S t ( j со) функ­
ции времени / ( / ) :
5 ,0 'ю )= ] А О е - у в , Л .
(9.21)
-оо
Формула (9.21) отличается от выражения (9.14) тем, что верхний пре­
дел интеграла в ней t, а не оо. В соответствии с этим St ( j со) является
функцией не только со, но и времени t.
Таким образом, S(( j со) характеризует спектр в различные моменты
времени /. Функция St ( j со) имеет модуль 5(со) и аргумент фЛ/(со).
И модуль, и аргумент текущего спектра видоизменяются по мере увели­
чения t. Модуль спектра изображают обычно в виде семейства кривых в
функции со, каждой из которых соответствует фиксированное время /.
Если / ( 0 — периодическая функция, a t -> оо, то спектр S, ( j со) будет
дискретным. Если / ( / ) = 0 при t < О, то текущий спектр определяют по
формуле
5 ,О со) = ) f ( t ) c - ja l dt.
о
(9.22)
§ 9.7. О сновны е сведения по теории сигналов. Сигналы подраз­
деляют на детерминированные и случайные. Детерминированный сиг­
нал — это такой сигнал, мгновенное значение которого можно предска­
зать для любого момента времени. Случайный сигнал — это, как правило,
помехи, мешающие получать информацию из принятого сообщения.
Импульсный сигнал действует только определенный интервал времени.
Сигналы в виде единичных функций 1(/), 1(-/) и дельта-функция 5(0
рассмотрены в § 8.61. Сигналы в виде модулированных колебаний рас­
смотрены в § 7.15. Сигнал называют одномерным, если он может быть
описан одной функцией времени (например, напряжением на входе цепи).
Сигнал называют многомерным, если он образован совокупностью
нескольких одномерных сигналов (например, напряжениями на зажимах
многополюсника).
Непрерывный временной сигнал / ( / ) (см. рис. 9.4, а) принято назы­
вать аналоговым. Название обусловлено тем, что его можно рассматри­
вать как аналог некоторых физических процессов в рассматриваемом
устройстве. Аналоговому сигналу соответствует сигнал в дискретной
форме. Дискретные сигналы — это сигналы в виде совокупности сле­
дующих друг за другом с интервалом Л дискретных импульсов (см. риc. 9.4, б). Ширина каждого импульса одинакова, а площадь равна мгно­
венному значению сигнала в момент действия импульса.
§9.7. Основные сведения по теории сигналов
325
Рис. 9.4
Цифровой сигнал — это нормированный по уровню дискретный
сигнал, представленный в цифровом виде (в двоичной форме записи).
Например, 30 = 1• 2 4 +1 •2 3 +1 •2 2 +1 •2 1 + 1•2°
11110. Переход от ана­
логового сигнала к цифровому осуществляют с помощью аналого-циф­
рового преобразователя (АЦП), выполненного в виде микросхемы.
Обратный переход, с помощью цифроаналогового преобразователя
(ЦАП). Обработка цифровых сигналов рассмотрена в приложении П5, а
цифровая фильтрация в приложении П7. Сигнал можно рассматривать как
вектор в пространстве сигналов. В математике длину вектора принято
называть нормой. Квадрат нормы аналогового сигнала J{t) равен
-ОО
Он характеризует энергию сигнала (см. § 9.4). Энергией сигнала назы­
вают энергию, которую сигнал выделяет при воздействии на резистор в
1 Ом. Норма аналогового сигнала
| | / 1 = j } / 2(О Л .
Норма не чувствительна к изменению формы сигнала.
Линейным нормированным пространством сигналов называют про­
странство, в котором каждому сигналу соответствует свой вектор со своей
нормой.
Метрикой двух сигналов f x(t) и / 2(/) называют норму разности двух
сигналов ||/і (0 ~ /г (0 1|- По метрике можно судить, например, насколько
первый сигнал аппроксимирован вторым.
Энергия суммы двух сигналов f x(t) + f 2 (t) равна
] ( / ! « + /> (О)2 d t= ] / i 2(r) dt+ | / 22(/) dt + 2 ] f x( t ) f 2 {t)di.
-00
-00
-00
—00
00
Величину 2 ^f\(t) f 2 {t) dt называют взаимной энергией двух сигналов.
—00
Если вещественные сигналы f x(t) и f 2 (t) имеют спектры S x( j со) и
326
Гл. 9. Интеграл Фурье. Спектральный метод. Сигналы
S 2 (у со), то взаимная энергия двух сигналов равна
оо
2
\т[тJs20'®)ey
—00
\
^
-0 0
оо
= - | s 2(yo>)f J/i(0e-'“' ЛІЛ> =
'
^
^
— СО
' — СО
'
(9.23)
= — fs 20 ’ со) «Si( j со) с / со —
П
fRe(5 2 0 ‘ со) S A j со) do).
71
J
-0 0
J
-0 0
*
Функцию Re(S2(y со) SjQ* со) с/со называют взаимным энергетическим
спектром двух вещественных сигналов. Взаимная энергия определяется
перекрывающимися частями спектров этих сигналов. Формула
00
J/, (0
Л
h (0 dt = —
—0 0
со
jRe(S
2(Jш) 5 ,и со) Леа
(9.24)
—00
получила название обобщенной теоремы Рейли.
Сигналы называют ортогональными, если их взаимная энергия рав­
на нулю. Ряд Фурье — пример совокупности ортогональных сигналов.
Т Т
Функции Уолша, принимающие на и н тервал е---- значения ±1, —
2 2
второй пример ортогональных сигналов.
Автокорреляционная функция сигнала / ( / ) имеет вид
00
Л(т)= j f ( t ) f ( t - T ) d x .
-0 0
Взаимной корреляционной функцией двух сигналов f }(t) и f 2 (t) на­
зывают функцию
оо
Л12(т)= f / , ( 0 / 2('-T )£/T .
(9.25)
-оо
Свойства этих функций рассмотрены в приложении П4, а примене­
ние к помехам и дискретным сигналам — в приложениях П4, П5, П7, П 8 .
Перечислим преимущества цифровых сигналов перед аналоговыми:
1. К шумовым помехам при передаче сигналов по линиям передачи циф­
ровой сигнал практически нечувствителен — он либо есть, либо его нет.
2. Цифровой сигнал может передаваться в компрессированном виде,
что значительно снижает требуемую для передачи полосу частот, увели­
чивает пропускную способность канала передачи и дает возможность
передавать по одному каналу несколько компрессированных сигналов от
разных источников, если осуществить разделение передачи сигналов по
времени.
§ 9.8. У зкополосный и аналитический сигналы . В теории переда­
чи сигналов используют понятия узкополосного и аналитического сиг­
налов. Узкополосный сигнал занимает узкую полосу частот и может быть
представлен как сигнал, у которого во времени медленно изменяется
§ 9.8. Узкополосный и аналитический сигналы
327
амплитуда a(t) и фаза cp(r): s(t) = a(t) cos(o)0 1 + ф(/)). Условия медлен­
но)
1
dq>(t) 1
і и — -------- с і; ГдЄ (0о — опорная
ности изменения:
dt ©0
dt со0 a(t)
частота, co0 (t) = ©0 +
— мгновенная частота. При обработке узкоdt
полосного сигнала огибающая его воспроизводится амплитудным детек­
тором.
Положим, что сигнал $(0 = cosco/, но cosco/= —(е7Ш/+ e “'-/w /). Таким образом, сиг­
нал $(/) можно представить в виде суммы двух сигналов. Один содержит только положи­
тельные, другой только отрицательные частоты. Запишем произвольный сигнал s(/) че­
рез его частотный спектр S ( j со):
О
оо
4(0 = - ! -
fso -® )e -'“ '</<» + - ! - fsO co)ej a 'd m = 1 ( ^ ( 0 + 2,(0),
2 ти J
2 пJ
2
-0 0
(9.26)
О
где
1 00
zs (t) - —
jsu со)
d со,
(9.27)
z.vM = — f-S'O со) e-i®1 daa\
71 J
(9.28)
71 о
1 0
z T(/) соответствует интегрирование при со > 0, z v(/) — при со < 0.
zs(t) = s(t) + j s ( t )
(9.29)
называют аналитическим сигналом, a s(/)= Rez^(/) условимся называть исходным сигна­
лом, s(t) = \ m z s(t) — сопряженным. На комплексной плоскости zs(t) представляет собой
вектор, проекция на ось +1 которого z s(t), а на ось +j = s{t) (рис. 9.5, а). Сигнал zs(t)
называют аналитическим потому, что если время t рассматривать как комплексную пере­
менную t - t ' + j t " , то
zs(t) будет являться аналитической функцией в верхней
полуплоскости. Пусть исходный сигнал zs(/) имеет спектр S ( j со) = А0 в узкой области
частот — от со = -со, до со = +со, (узкополосный сигнал рис. 9.5, б). Ему соответствует ана­
литический сигнал
А °і
а
^ s (0 ~ —
7С
Ге7 ®* ^со = —
(s in со, / + У ( 1 - COS со, /)).
7С/
J
о
Исходный временной сигнал s(t) = RezA
.(/) = - ° 0)1 — - 1 ■
71
кривая / на рис. 9.5, в. Со-
СО, /
п
пряженный сигнал s(t) = Im z s(t) = -
со, t
Рис. 9.5
— кривая 2 на рис. 9.5, в.
328
Гл. 9. Интеграл Фурье. Спектральный метод. Сигналы
Обратим внимание на то, что когда s{t) проходит через максимум, s(t) проходит че­
рез нуль.
§ 9 .9 . Частотный спектр аналитического сигнала. Так как zs ( t ) - s ( t ) + j s(/), то
спектр z s(t) равен сумме спектров функций j( /) и j s(t), Если спектр $(/) равен S( J со),
то спектр s(/) равен
- j
fJ
©)>
при со < 0;
sgn(o>) Я / со) = j
[ ~ j S ( j c o ), присо>0.
(9.30)
4
'
Соотношение (9.30) следует из формулы (9.27) и из определения
1 90
$(/) - — Г$(у (о) qJ<ЛІ do.
2л
J
-00
Способ получения s(t) с помощью квадратурного фильтра вытекает из (9.30). На вход
этого фильтра подают сигнал $(/). Фильтр, сохраняя модули S ( j со) при всех частотах
неизменными, изменяет аргументы всех спектральных составляющих на -90° при со>0
и на +90° при со < 0.
§ 9.10. Прямое и обрауное преобразования Гильберта. Поскольку спектр сопряжен­
ного сигнала s(t) равен S { j со) = - j sgn(co) S { j со), то сам сигнал s(t) может быть опре­
делен как свертка функций s(t) и некоторой функции времени / ( / ) , которая определяет­
ся по обратному преобразованию Фурье от функции - j sgn(co).
Последнюю представим так:
—j sgn(co) = lim (-y sgn(co)e‘ e(co))
е-*0
Тогда
(рис. 9.5, г).
0
-ню '
J - Klim(
m t fe(e+^ ')m d a - f.(-e+y/)o
JL .
/(/) = —
fe("e+' ,)<0 rfco) = —
2лє~»0 J
J
-oo
nt
(9.31)
0
По формуле свертки
S(/) = -
f f ilia l.
71 j
t- I
(9.32)
Из (9.30) следует
Я / со) = у sgn(co) S { j со).
Поэтому, по формуле свертки,
=
71
J
x-t
(9.33)
Формулу (9.32) называют формулой прямого, а формулу (9.33) — обратного преоб­
разования Гильберта. Для них приняты обозначения Н и Н ~ х. Так, s(t) = H(s(t)),
s(t) = H ~ l{s(t)). Ядра подынтегральных функций (9.32) и (9.33) при т = / терпят разрыв,
поэтому интегралы следует понимать в смысле главного значения. Например, интеграл
(9.32) вычисляют так:
/ ( / ) = — lim
71 Е->0
§ 9.11. В ейвлет-преобразование сигн алов. Под вейвлет-преобразованием понимают
преобразование сигнала / ( / ) путем воздействия на него малой всплесковой функцией,
называемой вейвлет-функцией --=?\yah\~-----1 (параметры а и b которой изменяются во
л/а
\ a J
§ 9.11. Вейвлет-преобразование сигналов
329
времени), с целью выявления в сигнале низкочастотных и высокочастотных составляю­
щих и фиксации времени появления этих составляющих.
Применяют прямое и обратное вейвлет-преобразования. Прямое вейвлет-преобразо­
вание позволяет получить вейвлет спектр Wj-(a,b) функции / ( /) :
Wf (a,b) = - j = ] f ( t ) y ab\ l Z ^ d t ,
(9.34)
а обратное вейвлет преобразование — образовать функцию / ( / ) по ее вейвлет спектру
Wf {a, Ь):
Л ') = т М
Постоянная
О
-ао-оо
<9 -3 5 >
х
Су = J M c ^ I M ' 1</со,
-00
где ц/(со)— преобразование Фурье вейвлета vj/(/); когда норма каждого вейвлета равна 1,
C v = l.
Вейвлет-преобразование применяют к аналоговым и цифровым, к одно- и многомер­
ным сигналам.
Под материнским вейвлетом понимают функцию у (0 , принятую при конкретном
вейвлет-преобразовании. Множитель 1 / 4 ^ в вейвлет-функции
\уаЬ\ -—- ] устанавлиыа
v а )
вает зависимость нормы вейвлет функции от параметра а. Изменением коэффициентов а
и b по специальной программе формируют вейвлеты, которыми последовательно воздейст­
вуют на сигнал / ( / ) , и которые следуют друг за другом при вейвлет преобразовании (9.32).
Наиболее распространенным материнским вейвлетом, по международной классифи­
кации называемый МНАТ второго порядка, является вейвлет (1 —/ 2) е -/ /2, являющийся
второй производной по времени от функции Гаусса е~' 12. Он по форме напоминает мек­
сиканскую шляпу (рис. 9.6, а). По сравнению с другими известными типами вейвлетфункций он лучше других характеризует сигнал / ( / ) по времени и частоте.
Масштаб во времени функции vj/a i(/) изменяют коэффициентом а (рис. 9.6, б), сдвиг
во времени изменяют коэффициентом b (рис. 9.6, в).
На рис. 9.7, а изображены три функции vj/aA(/) с различными значениями коэффици­
ента а и различной длительностью импульса. По отношению к каждому из них можно
говорить об эффективной длительности импульса тэ и об эффективной ширие соответст­
вующей ему части частотного спектра Дсоэ. Произведение тэ Дсоэ (площадь прямоугольни­
ка на рис. 9.7, в) характеризует большую часть энергии импульса. Благодаря свойствам
самого вейвлета, площади прямоугольников во всех трех случаях, изображенных на
рис. 9.7 б, оказываются одинаковыми. При вейвлет-преобразовании (9.34) эти прямоуголь­
ники выполняют роль окон, через которые «просматривается» сигнал / ( /) . Вейвлет-спектр
сигнала W j ( a s Ъ) содержит в себе информацию о частотно-временном произведении сиг­
нала тэ Дсоэ, в котором содержится большая часть энергии сигнала. С помощью преоб­
разования Фурье получить подобную частотно-временную информацию о случайном сигна­
ле либо затруднительно, либо невозможно, когда сигнал случайный и нестационарный (т. к.
вероятностные свойства последнего зависят от момента начала отсчета времени). За это
Рис. 9.6
Гл. 9. Интеграл Фурье. Спектральный метод. Сигналы
330
ау
А
,
аг
а\
Л
а
□
Асоэ
D
б
Рис. 9.7
в
вейвлет-анализ в литературе иногда называют математическим микроскопом сигнала.
Подробнее о теории вейвлет-преобразования и его применении в различных областях
техники можно узнать из следующих источников: учебного пособия под ред. А.Н. Яков­
лева «Радиотехнические цепи и сигналы» (М.: Инфра, 2003), книги В.И. Воробьева и В.Г.
Горбушина «Теория и практика вейвлет преобразования» (СПб: ВУС, 1999), статьи В.Г. Миронова и М.К. Чобану «Состояние и перспективы цифровой обработки многомерных
сигналов» (Электричество. 2002. № И ).
Вопросы для самопроверки
1. Чем принципиально отличается ряд Фурье от интеграла Фурье? Запишите и про­
комментируйте формулы прямого и обратного преобразования Фурье. 2. Чем объяснить,
что при обратном преобразовании Фурье кроме положительной угловой частоты исполь­
зуется и отрицательная? 3. Любая ли функция может быть преобразована по Фурье? 4. Для
функции / ( / ) известна F{p). Как записать S ( j со) этой функции? 5. Постройте графи­
ки модуля и аргумента спектров функций t e~al и ( 1 - а / ) е " а / ; функции равны нулю при
/ < 0. {Ответ: для / е “й' |£(У ю)| = - 4 - -----— г , У = - arctg і?*0 - - . ) 6. Сформулируйте и
а . со
а - со
1+ —
а
докажите теорему Рейли, дайте ей физическое толкование. 7. На резистор сопротивлени­
ем R - 10 Ом воздействует импульс напряжения, модуль спектра которого S ( j со) = 2 4%
при 0 < со < 103. В остальной области частот 5(со) = 0. Определите энергию, выделившую­
ся в резисторе. (Ответ: 400 Дж.) 8. Что понимают под полосой пропускания реального
четырехполюсника? 9. Определите полосу частот, занимаемую прямоугольным импульсом
длительностью 1 мкс. (Ответ: 6,28 106 р а д /с .) 10. Чем руководствуются при составле­
нии укороченных схем четырехполюсника при исследовании деформации фронта и вер­
шины проходящего через него короткого импульса? И . Определите текущий спектр S(( j со)
функции / ( / ) = е"а / , полагая, что / ( / ) = 0 при / < 0 . (Ответ: ----------------- . ) 12. Про^ »
а + j со
верьте правильность формулы 5(/) = —
fcosco / dt. 13. Покажите, что спектр б-функции
2 п - XJ
равен 1. 14. Покажите, что если функция / ( / ) имеет спектр S ( j со), то спектр функции
a f ( a t ) равен S(/co/a). 15. Покажите, что если сигнал s(t) представляет собой амплитудно-модулированное колебание U (1 + т sin Q /) sin со /, то при со » О сопряженный
сигнал s(t) £ U (1 + т sin Q ) cosco /. 16. Определите автокорреляционную функцию пря­
моугольного сигнала / ( / ) , рис. 9.1, в. (Ответ: R(т) = А 2 / и ( 1 - |т | / / и).) 17. Определите
2,23
энергию и норму сигнала симметричной треугольной формы рис. 8.46, б. (Ответ:
*\
Глава десятая
СИНТЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 10.1. Х арактеристика синтеза. Синтезом линейной электрической
цепи называют определение структуры цепи и числовых значений состав­
ляющих ее элементов R, L, С по известным операторным или времен­
ным характеристикам этой цепи при воздействии на вход напряжения
определенной формы. Одному и тому же операторному выражению, при­
нятому в качестве исходного при синтезе, могут соответствовать несколь­
ко различных схем разной структуры. Поэтому, после того как получено
несколько решений, выбирают из них наиболее подходящее. Чаще всего
критериями при окончательном выборе схемы являются стоимость,
габариты и масса устройства, а также чувствительность при изменении
того или иного параметра схемы.
Задачи синтеза ставят и решают в теории сложных фильтров,
в теории корректирующих контуров в автоматике, связи, радиотехнике,
а также в кибернетике при создании предсказывающих и сглаживающих
устройств.
Синтез развивался главным образом по двум направлениям:
1) известным операторным функциям (по Z (p) для двухполюсников
и передаточной функции для четырехполюсников);
2 ) временным характеристикам, т. е. по известному временному откли­
ку системы при воздействии единичного напряжения.
Эти два направления взаимно дополняют и развивают друг друга.
В настоящее время наибольшие результаты достигнуты на первом из упо­
мянутых направлений.
В § 10.2-10.9 даны основные сведения о синтезе цепей по заданной
операторной функции (более полно об этом см., например, [6 ]). Методи­
ка синтеза цепей по заданным временным функциям здесь не рассмат­
ривается (для ознакомления с ней следует обратиться к специальным
руководствам).
В теории автоматического регулирования распространен синтез, ос­
нованный на использовании логарифмических частотных характеристик,
в импульсной технике подбор параметров электронных и полупроводни­
ковых схем, т. е. в известном смысле синтез этих схем, производят, ис­
пользуя спектральный метод, рассмотренный в гл. 9.
§ 10.2. Условия, которым должны удовлетворять входные сопро­
тивления двухполюсников. Если представить входное сопротивление
двухполюсника в виде отношения двух полиномов, расположенных по
убывающим степеням оператора р ,
Т/-Х
N (p) _ а„ р п +а„.| р п А +... + ах р + а0
М(Р)
Ья р т +Ът А р т* + . . . + Ь р + Ьь'
332
Гл. 10. Синтез электрических цепей
то должны выполняться следующие пять условий:
1) все коэффициенты а и b в числителе и знаменателе должны быть
неотрицательны (в дальнейшем будет ясно, что условие 1 следует из
условия 3);
2 ) наивысшая (наименьшая) степень полинома числителя (п) не
может отличаться от наивысшей (наименьшей) степени полинома знаме­
нателя (т) более чем на единицу;
3) если условиться значения р , при которых Z (p ) = 0, называть нуля­
ми функции Z(/?), а значения р, при которых Z (p ) = оо, — полюсами
Z (p), то нули и полюсы должны быть расположены только в левой час­
ти плоскости р\
4) нули и полюсы, расположенные на мнимой оси плоскости р, дол­
жны быть только простые, не кратные;
5) если вместо р в выражение Z (p) подставить j со, то при любом
значении со должно быть R eZ (yco)>0.
Поясним эти требования. Из § 8.11 известно, что свободные процес­
сы описываются слагаемыми вида Лк еРк 1 и обязательно должны
затухать во времени; рк — корни уравнения Z (p) = 0. Но затухать сво­
бодные процессы (слагаемые вида Лк еРк‘) могут только в том случае,
когда действительная часть р к отрицательна. Отсюда следует, что нули
уравнения Z (p) = 0 должны обязательно находиться в левой части плос­
кости р.
Поскольку каждому планарному двухполюснику соответствует дуаль­
ный, а входная проводимость дуального двухполюсника У(р) = Z ( p ) / к,
где к — некоторый коэффициент, имеющий размерность Ом в квадрате
(см. § 3.43), то входное сопротивление дуального двухполюсника равно
к / Z(p). Нули дуального двухполюсника, являющиеся полюсами исход­
ного, также должны быть расположены в левой части плоскости р.
Из курса математики известно, что если имеются два кратных корня
уравнения N (p ) = 0, то соответствующие им слагаемые в решении бе­
рут в виде (С, + С 2 /) ер /. Если допустить, что на мнимой оси могут быть
два кратных корня р = j Р, то соответствующая им свободная составля­
ющая (С, + С 2 / ) е 7Р/ нарастала бы до бесконечности, чего физически
быть не может. Коэффициенты а и b в числителе и знаменателе Z (p)
должны быть положительны. Если бы это условие нарушилось, то на
основании леммы, вытекающей из теоремы Гурвица (см. § 17.2), среди
корней уравнения Z(/?) = 0 появились бы корни с положительной дей­
ствительной частью.
Поясним, почему степень т не может отличаться от степени более чем
на единицу. Допустим, что степень т больше степени п на два. Тогда
р - > оо является нулем второй кратности для Z(p), а то, что происхо­
дит при р - » °°, можно считать происходящим на мнимой оси плоско­
сти р (мнимая ось простирается в бесконечность). Но тогда на мнимой
оси получается кратный корень, чего быть не может.
Проведя такое же рассуждение для дуального двухполюсника, убе­
димся, что степень п не может быть больше степени т более чем на
единицу.
§ 10.2. Условия, которым должны удовлетворять входные сопротивления..
333
Если в Z (p ) вместо р подставить j со, то Z ( j со) будет представлять
собой комплексное сопротивление двухполюсника в установившемся
синусоидальном режиме при частоте со, a ReZ(yco)— действительную
часть входного сопротивления. В том случае, когда двухполюсник содер­
жит резистивные сопротивления, его ReZ(y со) > 0 (он потребляет актив­
ную мощность / 2 ReZ(y со)). Если же двухполюсник чисто реактивный,
то ReZ(y со) = 0. В общем случае для пассивного двухполюсника всегда
должно быть ReZ(y со) > 0.
В литературе по синтезу цепей иногда пользуются термином «поло­
жительная действительная (вещественная) функция». Под ней понима­
ют функцию:
1) действительная часть которой положительна, если положительна
действительная часть р\
2 ) действительная при действительном (не комплексном) р. Посколь­
ку Z (p) этим свойствам удовлетворяет, оно является положительной дей­
ствительной функцией.
П ример 111. Задано несколько выражений вида N ( p ) l М(р). Выяснить, могут ли они
представлять собой входные сопротивления некоторых двухполюсников:
1)
5Р~6
25 />2 +12/> + 2 ’
3)
З р 2 + р +\
2)
20 р 2 + \2 р + 6
1 2 p 4 + 8 p 3 + l2 /? 2 + 13/7 + l ’
.
2 р 2+р + 1
р 3 + р 2 + р + 1’
(р + 1)(/>2 + !)
Р е ш е н и е . Первое выражение не может представлять собой Z(p), так как один из
коэффициентов в числителе отрицателен. Второе и третье выражения также не моїуг пред­
ставлять собой Z ( p ): второе потому, что максимальная степень р в знаменателе больше
максимальной степени р числителя на два, третье потому, что
Re
p-j G
З р + 1+ 1
(1 -ш2) (І - 2 о 2)
р ъ + р 2 +/? + !
{1-а»2)2 (І + о>2)
при значениях со от 0,707 до 1 отрицательно. Четвертое выражение всем требованиям
удовлетворяет и потому может представлять собой Z{p) некоторого двухполюсника.
Кроме названных общих свойств перечислим свойства Z (p) двухпо­
люсников, состоящих только из R и С, только из R и L и только из L и С.
Двухполюсники типа R C и R L имеют чередующиеся простые нули и
полюсы на отрицательной вещественной оси плоскости р. Для R С «двух­
полюсников ближайшей особой точкой к началу координат является
полюс, в бесконечности полюс отсутствует. Для двухполюсников типа
R L ближайшей к началу координат особой точкой является нуль, при
р = 0 полюс отсутствует. Двухполюсники типа L С имеют череду­
ющиеся простые нули и полюсы на мнимой оси. Степени полиномов чис­
лителя и знаменателя отличаются на единицу.
Нули и полюсы Z(p) можно изобразить условными значками на
комплексной плоскости, скажем, нули кружками, полюсы крестиками.
Полученную картину называют картой нулей и полюсов. Эта карта на­
глядно характеризует частотные свойства двухполюсника и реакцию его
при воздействии единичного напряжения.
334
Гл. 10. Синтез электрических цепей
По расположению и количеству нулей на ней можно определить
число апериодических и колебательных компонент, которое содержит
свободная составляющая, и быстроту затухания той или иной из них во
времени. Чем ближе к мнимой оси расположены нули, тем медленнее
затухает соответствующая им свободная составляющая.
Существует несколько способов реализации двухполюсников по
заданной Z(p), удовлетворяющей^теречисленным в § 10.2 условиям. Три
основных способа реализации рассмотрены в § 10.3-10.5.
§ 10.3. Реализация двухполюсников лестничной (цепной) схемой.
Познакомимся с понятием непрерывной дроби. Непрерывной называют
дробь вида
Ь+
с+
£/ + . . .
Входное сопротивление или входная проводимость лестничной (цеп­
ной) схемы по типу рис. 10 . 1, а, в которой продольные сопротивления
названы Zx, Z3, Z5,..., а поперечные проводимости — У2, У4, Ув ,..., —
могут быть представлены непрерывной дробью.
Для того чтобы убедиться в этом, проделаем небольшие выкладки.
Найдем входную проводимость правой части схемы по отношению к за­
жимам тп. Она равна
Z5 + \ / y 6
Суммарная проводимость правой части схемы по отношению к зажимам
тп с учетом ветви с проводимостью У4 равна
Входное сопротивление по отношению к тем же зажимам
Z 5 + \/Y 6
/
d
п
а
б
в
Рис. 10.1
г
§ 10.3. Реализация двухполюсников лестничной (цепной) схемой
335
Входное сопротивление всей схемы равно
( 10.2 )
Z ,+ Ъ+-
Z ,+ -
1
Z s + \/Y 6
Таким образом, возникает задача о переходе от (10.1) к (10.2),
т. е. задача о последовательном упорядоченном определении элементов
лестничной схемы ((Z j, Z3, Z5, ...; Y2, Y4, Y6, ...) по выражению (10.1).
С этой целью:
1) располагаем полиномы N(p) и М (р ) по убывающим либо по воз­
растающим степеням р\
2 ) делим многочлен на многочлен, следя за тем, чтобы в процессе
деления получались положительные (не отрицательные) слагаемые и что­
бы они не содержали р в степени больше 1 и меньше - 1;
3) учитываем, что если в процессе деления возникнет необходимость
перейти от расположения полиномов по убывающим степеням к распо­
ложению их по возрастающим степеням, то эта операция вполне допус­
тима.
При делении полинома N на полином М будут получены частное Z x
и остаток Ох / Л/, т. е.
^
_
0\
_
1
Z = — = Zi + — —Z, ~i----------.
Л/
А/
м/ох
При делении М / Ох будет получено частное Y2 и остаток
1
О,
о хю г '
Но
- ^ = z 3 + - ^ . = z 3 + — ?— .
ог
о2
о2/ ог
Поэтому
M
=
r 2
+
1
.
z3+
1
о 2/ о 3
На основании изложенного процесс последовательного определения
элементов можно представить следующей схемой:
336
Гл. 10. Синтез электрических цепей
N Ж
M Z } Z\
м Ох
0\ Уг
у2
0 \ Ог
02z,
Z3
0 2 Оэ
о , У4 У а
Ог 9±
04 Z5 Z 5
П ри м ер 112.
71p)\ = -Р*
Z(
—
Определить
параметры
лестничных
схем,
для
которых
Л
убывающим,
------------ , располагая сначала при делении полиномы по
а затем
р 3+Зр
(для реализации второй схемы) по возрастающим степеням р. Как будет видно из даль­
нейшего, в процессе деления в обоих случаях не возникнет необходимости в переходе от
расположения по убывающим к расположению по возрастающим степеням р.
Р е ш е н и е . Выполним деление, расположив слагаемые по убывающим степеням р\
На рис. 10.1, б изображена схема, где указаны значения индуктивностей (Гн) и емкос­
тей (Ф), полученные при делении, когда слагаемые были расположены по убывающим
степеням. Так как примеры имеют чисто иллюстративный характер, то не следует обра­
щать внимание на то, что индуктивности и емкости в примерах достигают практически
трудно осуществимых значений. Кроме того, реализуемые здесь Z( p) можно рассматри­
вать как нормированные по частоте и значению (см. § 10.9). В этом случае от нормиро­
ванных RH, LH, Сн параметров переходят к действительным, осуществить которые прак­
тически уже не составит труда.
Схема и параметры для второго случая, когда при делении слагаемые расположены
по возрастающим степеням р, даны на рис. 10.1, в.
§ 10.4. Реализация двухполюсников путем последовательного выделения.
337
Рассмотрим пример, который является иллюстрацией того, что иногда в процессе де­
ления возникает необходимость изменения порядка расположения слагаемых.
П ример 113. Требуется реализовать лестничной схемой
2 р + 2 р +\
Р еш ен и е.
2р*+ Зр2+2р +\
2 р г +2 р +1
2 р >+ 2 р 1 + р
p-*Z|
2 р 2 +2 р +\
р 2 +р + 1
2 р г + 2 р +2
2
-1
Так как получаем отрицательные слагаемые, дальнейшее деление прекращаем и пере­
ходим к расположению по возрастающим степеням
На рис. 10.1, г изображена соответствующая схема.
В заключение отметим, что могут встретиться такие Z ( p \ которые
невозможно представить лестничной схемой. В этом случае применяют
второй способ реализации, описанный в § 10.4. (Второй способ при­
меняют не только в случае невозможности представления Z (p ) лест­
ничной схемой.) Если и он окажется неприменимым (например, при
комплексных нулях и полюсах), то следует воспользоваться методом
Бруне (см. § 10.5) или другими методами.
§ 10.4. Р еализация двухполю сников путем последовательного
выделения простейших составляющих. В качестве введения ко второму
способу реализации двухполюсника запишем операторные сопротивле­
ния для простейших одно- и двухэлементных двухполюсников. На
рис. 10.2 , а-д изображены простейшие двухполюсники и записаны соот-
338
Гл. 10. Синтез электрических цепей
-
4
—
z (p ) = ^
z w -ъ р
Р
7 7
-і» -'
ax= L
р -L
д р )= — ^ =
Оо= 1
0 с
р+т
4^*4
/> + «> *
п г + ... . ! . _
а
і
б
Л
-с Ч Ь
~ 4 F ~
і
.С . .
Р +^
RC
о - £ -
' +
-
р+щ
*
вг
г—ш Д
Z (p )=
* *
Z (p ) = - £ % - = - ^
I
2 Ы
і
Р+1 ^
= ---------Л £
r < ,) .- J L _
LRС Lk
-~ Ч Ь
,1
y R
1
Р'1
Y(p) = ------ £ —
У(
і
рт
) = ------------ L
?+-*■
l k Ck
2 ak p
P 2 +<*k
Р + -
И
RC
Рис. 10.2
ветствующие им операторные сопротивления; на рис. 10.2 , е, ж — сопро­
тивления и проводимости и на рис. 10.2, з — проводимость. Для
рис. 10.2, а С - 1/я0, для рис. 10.2, б L = ab для рис. 10.2, в 2 ак = \/С к
и
= \ / ( L k Ск), для рис. 10.2,г ак - Rk и mk = R k /L k, для рис.
10 .2 , д Ь = \ / С и d = \ / R С.
Сущность метода состоит в том, что заданное Z (p ) представляют в
виде (рис. 10.3, а)
Z (p ) = а, р + ^ + X \ - -к р2 + г , (р).
Р
Р+Щ
(10.3)
Первому слагаемому ах р соответствует последовательно соединен­
ный индуктивный элемент индуктивностью аь второму — последова­
тельно соединенный емкостный элемент емкостью 1/ а0. Каждому
2°к
слагаемому вида —~
-----Рj соответствует последовательно соединенный
р + со^
2а р
параллельный резонансный контур (слагаемому — — гг — пара полюР +Щ
сов P\t2 = ±7
» находящихся на мнимой оси плоскости р). Сопротив­
ление Zj(/?) уже не содержит полюсов на мнимой оси. Функцию Z x(p),
среди полюсов которой нет полюсов, находящихся на мнимой оси, на­
зывают функцией минимального реактивного сопротивления. Возможны
следующие варианты для Z x{p)
В пунктах а - в полагаем, что коэффициенты ак> Ьк и Ь0 действительны и поло­
жительны.
§ 10.4. Реализация двухполюсников путем последовательного выделения.
339
осуществляют последовательным соединением
Р +Щ
двухполюсников (рис. 10 .2 , г);
б) Z j(p) = Y ——— реализуют в виде резистора сопротивлением Ь0
P + dk
и последовательно с ним соединенных двухполюсников (рис. 10 .2 , д);
в) Z x(p) = b0 осуществляют в виде резистора сопротивлением Ь0.
Z ip )
Индуктивность ах = lim
(рис. 10.3, а).
p-wо
р
С = а\
2а}р
2 ат р
2----------------------------- 2
2
2
.---------------- ------------------Рис. 10.3
Величину а0 в схеме на рис. 10.3, а определяют как интегральный
вычет функции Z (p ) = N (p )f М (р) в полюсе р - 0:
aQ = ResZ(p) = jV(0)/A/'(0), или а0 = lim р Z(p).
р=о
/?-*0
2 # z?
Коэффициент ак в выражении — —у равен интегральному вычеР +Щ
ту функции Z (p) в полюсе р - у со* (ему же равен вычет функции Z (p)
при р = -у со*, так как они оба действительны):
ак = Res Z(/?) = —
/>«/<»*
М ( j СО*)
После того как найдено а*, можно определить I* и С* двухполюс­
ника (см. рис. 10.2, в): Ск = 1/(2 a*); Lk = 1/(со* С*).
Реализацию двухполюсника можно осуществлять не только по его
входному сопротивлению Z(p), но и по его входной проводимости
K(p) = l/Z (p ). Входную проводимость Г(р) представляют в виде схе­
мы на рис. 10.3, б\
Y(p) = а[ Р + — + і 4 ^ Ц - + Y2 (p).
р
р г + а к2
(10.4)
340
Гл. 10. Синтез электрических цепей
В соответствии с правой частью (10.4) двухполюсник осуществляют
в виде параллельного соединения емкостного элемента а[, индуктивно­
го 1/яо, двухполюсников на рис. 10 .2 , з (им соответствуют слагаемые
2 a'k Р ч
вида —5------ j ) и двухполюсника минимальной реактивной проводимосР +Щ
ти У2 (р), не содержащего полюсов на мнимой оси. Коэффициенты а '0 и
ак находят путем вычисления интегральных вычетов функции Y(p)
соответственно при р = 0 и p = j ® k , а С = а[ = lim Y (p )/p .
т
Е
------- , то ее реализуют в виде параллельнор +п
го соединения двухполюсников (см. рис. 10.2, е). Если функция
У2 (р) - X
то ее реализуют параллельным соединением двухпоp +s
люсников (см. рис. 10.2, ж)*К Следует иметь в виду, что при реализации
двухполюсника по его Z(p) в виде последовательного соединения про­
стейших двухполюсников начиная с некоторого этапа, может оказаться
целесообразным перейти от сопротивления к проводимости и дальней­
шую реализацию осуществлять уже параллельно соединенными двухпо­
люсниками. Потребность в таком переходе может возникнуть, например,
когда остающаяся для реализации часть Z(p) имеет нуль при р = 0.
Этому нулю соответствует полюс Y(p) при р = 0, который реализуют
индуктивным элементом.
П ри м ер 114. Реализовать Z( p) =
.
р ( р + 2 р + р)
Р е ш е н и е . Так как Z( p ) имеет полюс при р - 0, то в схеме может быть выделен
последовательно включенный конденсатор емкостью С = 1/ а 0, где а0 = ResZ( p ) = 2 /2 = 1.
p -о
Функция Z{p) не имеет полюсов, лежащих на мнимой оси. Поэтому в состав его не вхо­
дят последовательно включенные двухполюсники (см. рис. 10.2, в). Определим, какое Z (p)
осталось реализовать, обозначим его
7.у(р) = 7.(р)
а° Р
р2 + 1 р
р 1 +2 р + 2
Функция 2 3(/?) имеет нуль при р - 0. Для реализации оставшейся части схемы
>2 + 2 р + 1
перейдем к проводимости Уз(р)= ^ .—
Полюс у этой проводимости при р = 0
р ( р + 2)
соответствует индуктивный элемент индуктивностью CJq = ResY3{p) = 1.
О сталось реализовать
Р
Р
Р І Р + 2)
р +2
р +2
Слагаемому /?/(/? + 2) в соответствии с рис. 10.2, ж отвечает ветвь из последовательно
соединенных Я = 1 0м и С = 5Ф. В соответствии с рис. 10.2, е проводимости \ / ( р + 2)
отвечает ветвь с Z, = 1 Гн и R = 2 Ом. Полученная схема изображена на рис. 10.4, а.
г? + р 2 + 2 р
П ри м ер 115. Реализовать Z{p) = —г----------------*+_L р***>_+Р + 1
РГУ
в) Полагаем, что коэффициенты т и г действительны и положительны.
§ 10.4. Реализация двухполюсников путем последовательного выделения.
1
1
R\
341
Rn
R”
а
д
Рис. 10.4
Р е ш е н и е . При /7 = 0 у Z( p) нет полюса, поэтому последовательно включенный
конденсатор у искомого двухполюсника отсутствует. Функция Z{p) имеет два полюса
Р\Л = ± Л расположенных на мнимой оси. Выделим параллельный резонансный контур
(см. рис. 10.2, в), соответствующий этим полюсам:
ак = R esZ (p) = Res
p =j
р ъ+ рг +2р
3 /? + 2 /? + 1
(й/с =1;
:.J L L t2J = 1 ;
- 3 + 2 у +1
2
Q = —
*
= 1Ф.
2ак
Lk - 1/(со* Ск ) = 1 Гн.
Найдем функцию минимального реактивного сопротивления:
Z x(p) = Z ( p ) - - 4 - = - ? р ”+ 1 р + 1
В соответствии с рис. 10.2, г реализуем Z,(/?) в виде параллельного соединения
R = 1 Ом и L = 1 Гн. Схема искомого двухполюсника изображена на рис. 10.4, б .
Двухполюсники, состоящие только из R и С, могут быть реализова­
ны, например, канонической схемой на рис. 10.4, в, а состоящие из R и
Z, — схемой на рис. 10.4, г. Для схемы на рис. 10.4, в
z ( p ) = r ’+ ^ + j : - Ьк ,.
Р к=\Р + “к
а0 = lim /? Z(p);
p-+о
6* = Res Z(p).
P-~^k
Для схемы на рис. 10.4, г
Z (p) = R’ + p L 0 + f j - ^ P - - ,
кшіР + Шк
R ’ = lim Z(p);
L0 = lim Z (p )/ p.
p -+ 0
p —>oO
342
Гл. 10. Синтез электрических цепей
Параметры Rk и Lk находим, имея в виду, что сопротивление
соответствует параллельному соединению
mk = R k / L k \ ак = Res Z ( p ) / p.
р + тк
Rk и Lk, где ак = Rk;
p = -m k
§ 10.5. М етод Бруне. Основные этапы метода Бруне следующие.
1.
Прежде всего проверяют, не содержит ли заданное Z ( p ) (назовем е г о 2 зад( р ) )
полюсов на мнимой оси. Если они имеются, то из состава Z ^ i p ) выделяют соответст­
вующие этим полюсам один или несколько последовательно включенных параллельных
резонансных контуров. В результате получают
^зад ( / > ) - ! -
2 я* - = Z(p).
(Ю.5)
р 2 +<*к
Этот этап соответствует переходу от рис. 10.5, а к 10.5, б.
Коэффициент ак = Res Z3aa(/?). Функция Z{p) не имеет полюсов на мнимой оси и
p=j<ok
представляет собой функцию минимального реактивного сопротивления.
2. Полагая р = j со, в Z(y со) выделяют действительную часть, т. е. находят ReZ(y со)
и определяют частоту со, при которой Re = ReZ(y со) — минимальна. Эта частота может
быть равна нулю, бесконечности или иметь некоторое конечное значение (в последнем
случае ее будем называть со0 ). Подсчитывают также минимальное значение ReZ(yco),
которое называют Rm[n.
3. Из Z ( p ) вычитают Rmin и находят Z ,(p). Этой операции соответствует переход
от рис. 10.5, б к 10.5, в. Заметим, что степени числителя и знаменателя Z x(p) одинаковы.
4. Если частота, при которой имеет место минимум Rc Z ( j со), равна нулю или беско­
нечности, то уже на этой стадии делается попытка реализовать Z (p) лестничной схемой.
Если же минимум ReZ(y co) имеет место при некоторой со = со0, отличающейся от 0
и оо, то дальнейшую реализацию производят в соответствии с п. 5-12.
5. Подсчитывают Z ,(p ) при р - у со. Так как при частоте р - j со0 действительная
часть Z (p ) = /?min, то действительная часть разности Z ( j со0) - Rmin равна нулю,
т. е. Z,(y со0) представляет собой чисто реактивное сопротивление j X v
6. Возможны два случая. Первый, когда Х х > 0, второй, когда Х х < 0. Будем полагать
Х х =со0 Ц > 0 (случай Х х < 0 рассмотрен в п. 12). Тогда
L\ - Х х / со0.
(Ю.6)
(p)
--------------- ,
^зад (Р)
Рис. 10.5
§ 10.5. Метод Бруне
343
7. Составляют разность Z x( p ) - p L x и приводят ее к общему знаменателю. Например,
если исходить из того, что
ZiW = 4 ±£lE 1 £ i,
р + ЬХр + Ь0
то проводимость оставшейся для реализации части двухполюсника
Y (р)
__________ р2+Ь' Р +Ь°__________
1
Z\(p)~ Р А
- р*
(10 7)
+ р 2 (1 —^ Z-i) + р (Д| —bo Z/j) + а$
Обратим внимание на то, что в знаменателе ^о(р) имеется слагаемое - р 3 ц , кото­
рое при дальнейшей реализации приведет к появлению в схеме отрицательной индуктив­
ности.
8. Поскольку при р = j coj Z x{p) - р Lx - 0, то Y0{p) =
т. е. р - j со0 является по­
люсом >о(р)- Наличие полюса у Y0(p) позволяет представить оставшуюся часть двух­
полюсника ветвью из последовательно соединенных L2 и С2, настроенной в резонанс
на частоту со0, и параллельно ей присоединенного двухполюсника сопротивлением Z 2(p)
(рис. 10.5, г):
W
)г, л ! Ь _ + _ \
= 'T ' J V + T 7 T '
р 2 + ч>0
(10-8>
2 г (р)
9.
Полагают Z 2( p ) = N 2( p ) / М 2(р). Степени полиномов N 2(p) и М 2( р) должны
быть такими, чтобы после приведения правой части (10.8) к общему знаменателю степень
полинома числителя левой части равнялась степени полинома числителя правой части; то
же и в отношении степеней знаменателей. Так, если Y0(p) соответствует выражению (10.7),
то Z 2( p ) = N 2( p ) f M 2(p).
Методом неопределенных коэффициентов можно найти сь с0, dQ и Л2. В рассмат­
риваемом случае
с, = - L x coq;
do - b$\
(Ю.9)
L2
Разность
Im
(b0 -
р 2 +а | р + а0
o) q )
> 0;
= L x ©о /(Аз “ ^o )’
это
c2 ~
^ 2 )'
следует из того, что условие
> 0 , а при р = ] Щ
^ > 0
означает, что
Re Z,(р ) = 0.
{ p 2 +bt p + d0 )
10. Реализацию Z 2( p) производят, как правило, лестничной схемой. В рассматрива­
емом примере Z 2(p) реализуют индуктивным {Ц = c x/ d Q = -о>о
и резистивным
(Л3 = а 0 /Ь0) элементами (рис. 10.5, д). Важно обратить внимание на то, что L$ оказалась
отрицательной.
11. Так как физически осуществить отрицательную Ц в линейной цепи невозможно,
то дальнейший этап реализации в методе Бруне состоит в том, чтобы три магнитно не
связанные индуктивные катушки, имеющие индуктивности L4, Lb и L3, заменяют транс­
форматором, состоящим из двух катушек — [ 4 и [ 5, между которыми имеется магнит­
ная связь (взаимная индуктивность М). Это действие является обратным по отношению к
операции «развязывания» магнитно-связанных цепей.
На рис. 10.5, е изображены два участка цепи: левый — до преобразования, правый —
после преобразования; показаны положительные направления токов в ветвях и указаны
одноименные зажимы катушек.
Напряжения между точками / и 2 для обоих участков цепи в силу их эквивалентнос­
ти должны быть одинаковы, т. е.
р Lx /j + р L2 12 = р Ц 1Х- р М / 3;
~ р L2 / 2 + р L3 / 3 = р Ц / 3 - р М 1Х.
344
Гл. 10. Синтез электрических цепей
Подставляя в эти две строки 1Х= / 2 + / 3 и учитывая, что каждая из них должна удов­
летворяться при любых значениях токов, получают
М
-
L5 = L 2 +L),
L2\
( 10. 10)
где La и Ls положительны. Окончательная схема изображена на рис. 10.5, ж.
12. Если условиться сумму степеней полиномов в числителе и знаменателе Z 3JUl(p )
называть порядком Z 3iW(p), то совокупность перечисленных операций («цикл Бруне»)
позволяет снизить порядок на четыре. Естественно, что потребность в каком-либо одном
или нескольких этапах в любом конкретном примере может и не возникнуть (например, в
этапах 1 или 3).
Для Z vux( p \ порядок которых достаточно высок, может возникнуть потребность при­
менить эту последовательность операций не один раз. В заключение отметим, что если в
п. 5 Х х < 0, то Lx < 0, а вычитание, согласно п. 7, сопротивления - р | Lx | сводится к
прибавлению сопротивления + р | ^ | .
Некоторым недостатком метода Бруне является его относительная сложность и необ­
ходимость введения в схему идеального трансформатора с коэффициентом связи
k 1 = М 2 / ( L 4 L5) = 1.
§ 10.6. Понятие о минимально-фазовом и неминимально-фазовом
четырехполюсниках. У минимально-фазовых (м. ф.) четырехполюсни­
ков все нули передаточной функции расположены в левой части плоско­
сти р. У неминимально-фазовых (н. ф.) четырехполюсников хотя бы часть
нулей находится в правой части плоскости р.
Название объясняется тем, что при одинаковом значении модулей
передаточной функции м. ф. и н. ф. четырехполюсников аргумент пере­
даточной функции м. ф. четырехполюсника меньше аргумента передаточ­
ной функции н. ф. четырехполюсника. Поясним сказанное.
Сравним выражения для двух передаточных функций:
k x P)
=£ z £l
Р~Рг
и
к \ р ) = р ~ рК
Р -Р г
Положим, что р х и р\ равны по модулю и действительны. Нуль пер­
вого выражения находится в левой части плоскости р (рис. 10.6, а), а нуль
второго р\ = - р х — в правой части плоскости р (рис. 10.6, б). Пусть на
вход обоих четырехполюсников воздействует синусоидальное напряже­
ние частотой со. Некоторой конкретной частоте на комплексной плоско­
сти соответствует точка а на оси+ j. Образуем разности р - р х и р - р 2
на рис. 10.6, а и разности р - р\ ир - р 2 на рис. 10.6, б:
Р~~ Р\
Р ~Р г
_
Р±_ е у ( Ф і- Ф 2).
Рг
Р~~ Р\
’
_
Р\_ е >(ф'|-ф2)
Р~Рг
Рг
Модули этих передаточных функций одинаковы и равны р \ / р 2 тог­
да как аргументы различны. Аргумент ф! - ф 2 первого четырехполюс­
ника меньше аргумента ф! - ф2 второго четырехполюсника. Четырехпо­
люсник с передаточной функцией К \ р ) — м. ф., а четырехполюсник с
К"(р) — н. ф. Пример н. ф. четырехполюсника — на рис. 10.7. Для него
Л 1- R C р
§ 10.8. Синтез четырехполюсников Г-образными RC-схемами
Рис. 10.6
345
Рис. 10.7
В м .ф . четырехполюснике существует однозначная зависимость
между модулем и аргументом передаточной функции. В н. ф. четырех­
полюсниках между модулем и аргументом передаточной функции нет
однозначной зависимости.
§ 10.7. Типы задач по синтезу четырехполюсников. Синтез четы­
рехполюсников включает в себя рассмотрение различных способов
решения следующих групп задач:
1) синтез четырехполюсников по их передаточным функциям К ( р );
2 ) синтез четырехполюсников, которые могут осуществлять либо толь­
ко фазовую, либо только амплитудную коррекцию;
3) синтез четырехполюсников, обеспечивающих устойчивость рабо­
ты системы.
Решение задач первой группы выполняется в два этапа. Первый этап
состоит из аппроксимации частотной характеристики К ( р ), которую
хотят получить от четырехполюсника (два различных способа осуществ­
ления этого этапа применительно к фильтрам рассмотрены в § 10 . 12).
Второй этап состоит в реализации либо схемой с пассивными элемента­
ми (например, схемой, рассматриваемой в § 10.8 ), либо схемой, содер­
жащей и пассивные, и активные элементы (§ 10.9). Подход к решению
задач второй группы рассмотрен в § 10.10 (фазовая коррекция) и в § 10.11
(амплитудная коррекция). Алгоритм решения задач третьей группы рас­
смотрен, например, в [33].
§ 10.8. С интез четы рехполю сников Г-образными /?С-схемами.
Г-образный четырехполюсник (рис. 10.8) является делителем напряжения.
Его передаточная функция по напряжению при холостом ходе
v 2(p)
U\(p)
=
z 2(p)
Z x(p) + Z 2 (p)
В дальнейшем вместо Z {(p) и Z 2 (p) будем
писать соответственно Zx и Z2.
Положим, что с помощью Г-образного четырех­
полюсника, состоящего из /?С-элементов, требуется
реализовать передаточную функцию по напряжению
при холостом ходе:
( 10. 11)
z
о—і—to4ZU-f—
о
■ГЗП и7
о----------#----- о
Рис. 10.8
Гл. 10. Синтез электрических цепей
346
U 2 ( p ) / U {(p) = N / M 9
(10.12)
где N и М — полиномы по степеням р\ N / М удовлетворяет условиям,
которые предъявляются к передаточной функции /?С-четырехполюсника.
Приравняем правые части (10.11) и (10.12):
— =
м
Zl
z,+ z2
.
(10.13)
Разделим числитель и знаменатель правой части (10.13) на некоторый
полином Q = Q (p ), имеющий тот же порядок, что и полиномы N и М;
корни его чередуются с корнями уравнений N = 0 и М = 0. Тогда
Z2 _ N / Q
Z ,+ Z 2 M / Q
(10.14)
Из уравнения (10.14) находим Z 2 = N /Q и Zj =(А / - N ) / Q. Реали­
зуем двухполюсники Z, и Z 2 по найденным операторным сопротивле­
ниям**. Реализацию двухполюсников производят в соответствии с § 10.3
и 10.4.
§ 10.9. С интез четырехполю сников по их К (р ) схемами с ОУ в
цепи обратной связи. Рассмотрим схему рис. 10.9, а, содержащую два
линейных пассивных RC-четырехполюсника (7 и 2) и идеальный опера­
ционный усилитель (ОУ). В цепь обратной связи включены ОУ и второй
четырехполюсник. Положительные направления отсчета токов и на­
пряжений на элементах схемы показаны стрелками. Один штрих в обо­
значениях токов, напряжений и К-параметров четырехполюсников
показывает, что рассматриваемая величина относится к первому четырех­
полюснику, а два штриха — ко второму.
Запишем уравнения четырехполюсников в У-форме:
ДЛЯ
первого
/( = Y{J U[ + У,2 U 2 ,
/ 2 = >21 Щ
ДЛЯ
второго
Ї; = у;х и х”+ Ух2 и 2 ,
і 2 = У2 \ V* + >22 Щ-
+ *22
Ц»
(10.15)
Напряжение на входе схемы UBX равно напряжению на входе перво­
го четырехполюсника, т. е. UBX = U{> а напряжение на выходе первого
четырехполюсника U '2 равно напряжению на входе второго С/*, и оба
эти напряжения равны нулю, так как являются напряжениями на входе
ОУ. Кроме того, напряжение на выходе схемы 0 ВЫХ равно напряжению
на выходе второго четырехполюсника U2, а ток Г2 = -/*, так как вход­
ной ток ОУ равен нулю. Из (10.15) следует, что
вых *
Предполагаем, что полином Q(p) может быть найден и Z, и Z2 удовлетворяют усло­
виям, перечисленным в § 10.2.
§ 10.9. Синтез четырехполюсников по их К{р) схемами с ОУ..
347
0-j-<*
" г г
о
J—
O
|у.ы х =£>2
-о
а
Рис. 10.9
Учтем, ЧТО четырехполюсник / ---взаимный, поэтому >21 = ^12» и по'
лучим передаточную функцию схемы по напряжению
(10.16)
Знак минус в (10.16) свидетельствует, что напряжения 0 ЬЫХ и {/вх на­
ходятся в противофазе (ОУ в инвертирующем включении). Поскольку
параметры Уп четырехполюсников могут быть выражены через параметр
В и определитель А = 1 уравнений четырехполюсников, записанных в
Л-форме (см. § 4.7), т. е.
В
то К (р) можно записать и так:
(10.17)
В качестве примера составим К(р) для случая, когда первый
четырехполюсник собран по схеме рис. 10.9, б, а второй — по схеме
рис. 10.9, в. Учтем, что проводимость двух параллельно соединенных эле­
ментов равна сумме их проводимостей, а при последовательном соеди­
нении двух элементов проводимость равна произведению проводимос­
тей этих элементов, разделенному на их сумму:
Подставим полученные выражения в (10.16):
К(р) = -
р 2 /?] R2 С] С2 + р (R\
Cj + R2 С2) +1
348
Гл. 10. Синтез электрических цепей
§ 10.10. Четы рехполю сник для фазовой коррекции. На рис. 10.9
изображена симметричная скрещенная схема из чисто реактивных
двухполюсников Zj и Z2, на выходе которой включен резистор сопро­
тивлением R. Положительные направления токов и напряжений указаны
на схеме.
В уравнении U 2 + IQZ X- Ib Z 2 заменим U 2 на / 2 R и учтем, что
/ 2 = Іа - 1 Ь. Это дает возможность выразить 1 Ь через Іа :
1*
-і
h
' л
r+z2
Подставим Іь в / 2 = 1 а - \ ь и найдем
/ =/
0
/
z2-z,
h
/ 2 1 ±Z }_'
z2-z,
Составим уравнение для периферийного контура:
£), = 2 Z , \ а + U 2 = U 2 R (Z\ + Z J + 2 Z
1
,Z 2
f l(Z 2 - Z , )
Передача напряжения
К
^2
"
U\
R { Z 2 ~ Z x)
R(Zf + Z 2) + 2Z , Z 2
Входной ток
h - i . + h - h 2 Ry z ' $ h Z2 - Z j
Входное сопротивление
BX
_ U t _ R{ Z l + Z 2) + 2 Z l Z 2
/,
2 /? + Zj + Z2
Приравняв ZBX = /?, получим соотношение Z, Z 2 - R2. Из него сле­
дует, что реактивные сопротивления Z, и Z 2 взаимно обратны.
В формулу для Ки подставим Z 2 = /? 2 / Z , :
= А4 +- Zj
l L = ^ ( (B) e><p(“)-
<10Л8>
Так как Zl — чисто реактивное сопротивление, то модули числителя
и знаменателя формулы (10.18) одинаковы и потому Ки {со) = 1. При из­
менении частоты со меняется только аргумент ф(со)*). Четырехполюсник
на рис. 10.10 служит для фазовой коррекции. С этой целью его включа­
ют между источником питания с внутренним сопротивлением R и активОбратим внимание на то, что знак ф(со) противоположен знаку аргумента b в выра­
жении постоянной передачи g ~ a + j b четырехполюсника.
§ 10.11. Четырехполюсник для амплитудной коррекции
349
С2
Cj
Рис. 10.12
Рис. 10.11
ной нагрузкой R, и он, не изменяя напряжение источника питания по мо­
дулю, поворачивает его на требуемый угол ср(со) по фазе, осуществляя
этим фазовую коррекцию.
Имея в виду, что К [ ^ = 1; е7 Ф(й>) = cos<p(co) + j sin(p(co), определим из (10.18):
z = R l ~ Ku = R 1- c ° s 9(co)-y sincp(0)) ^
1
1+ Кц
1+ cos ф(со) + j sin ф(ш)
JR
ф(о) =
x
2
Сопротивление Z 2 = R 2 f Z ]. Сопротивление Z, = j X чисто реактивное. График
X = /(<*>) имеет вид тангенсоиды. При ф(со) = тс, 2 л , ... А" изменяет знак. Иногда Zj реа­
лизуют схемой на рис. 10.11. Для определения параметров данной схемы составляют
столько уравнений, сколько параметров неизвестно, и затем эти уравнения совместно ре­
шают. Положим, что ф(со) корректирующего четырехполюсника должна иметь значения
Ф1(со) при О ], ф2(со) при со2 и т. д. Тогда уравнения, которые нужно совместно решить
относительно L, Lj, L2,
С2, получают, если входное сопротивление схемы (см.
рис. 10.11)
j о> L + 1“
со
Z/j Cj
последовательно приравнивать к Z, = - j R tg
1— со L2 С2
ф(СО)
при выбранных частотах. В результа­
те система уравнений относительно L, Lb С,, С2 имеет вид
R 1£Ф(ср|)
со,
2
L +1-cof L\ С,
§ 10.11, Ч еты рехполю сник для амплитудной коррекции. Схема
четырехполюсника, осуществляющая амплитудную коррекцию, изобра­
жена на рис. 10.12. Корректор нагружен на резистор сопротивлением R,
входное сопротивление его также равно R. Сопротивления Z, и Z 2 вза­
имно обратны (Z} Z 2 = R2). Постоянную передачу g = а + j b
(см. § 4.10) в этом случае определяют по формуле
е* = ea+jb = 1+ Z ,//?.
Так как |е у* | = 1, то e ° = |l + Z1/ ^ | . Последняя формула связывает
параметры схемы на рис. 10.12 и частоту со с затуханием а. В зависимо­
сти от того, что представляет собой сопротивление Zj, характер зависи­
мости д = /(со) оказывается различным. В качестве примера на
350
Гл. 10. Синтез электрических цепей
п
П ^2
LxІ Г П ^
У
Ri
Рис. 10.13
рис. 10.13, а-г изображены четыре схемы с различными 2 Х и Z 2 и гра­
фики соответствующих им зависимостей.
Схему амплитудного корректора выбирают в соответствии с той
зависимостью а = /(со), которую необходимо реализовать. Параметры
схемы корректора (например, сопротивление R{9 емкость конденсатора
Cj для схемы на рис. 10.13, а) определяют путем совместного решения
системы уравнений, полученных приравниванием модуля величины
j 1+ Zj / R J значению ea при фиксированной частоте со. Уравнений со­
ставляют столько, сколько в Zj неизвестных параметров. Уравнения
имеют вид:
ІІ + г . / Л Ц
|1 + г , / Л | Ма = e ete*>........
Частоты соj, со2,... выбирают для характерных точек зависимости
а ~ /(ю ) либо через равные интервалы.
§ 10.12. А ппроксим ация частотны х характери сти к . Аппроксимация — это прибли­
женная замена заданной частотной зависимости другой частотной зависимостью, которая
точно совпадает с заданной в ограниченном числе точек, отклоняется от нее в допусти­
мых пределах вне этих точек, давая в то же время физически реализуемую функцию. На­
пример, кривая \ к и со) | на рис. 10.14, а — это частотная характеристика идеального
фильтра НЧ \ K{J *)] = / ( * ) , где K ( j х) — передаточная функция; * = с о /с о с , где сос —
безразмерная величина, равная частоте среза.
1 * 0 * )Н
1
1
і
1
I
х
б
а
Рис. 10.14
х
§ 10.12. Аппроксимация частотных характеристик
351
В диапазоне изменения х от 0 до 1 | K ( j х) I = 1; при х > 1 I K ( j х) | = 0. Штриховая
линия (рис. 10.14, б) повторяет кривую на рис. 10.14, а, кривая 2 характеризует гладкую
аппроксимацию, при которой отклонение от кривой 1 неодинаково в диапазоне аппрокси­
мации. Кривая 3 иллюстрирует равноволновую аппроксимацию, при которой абсолютные
значения максимальных отклонений от средней линии в обе стороны одинаковы. Гладкую
аппроксимацию осуществляют обычно полиномами Батгерворта, равноволновую — поли­
номами Чебышева. Известны и другие способы аппроксимации [10], у каждого из них име­
ются свои достоинства и недостатки.
Гладкая аппроксимация. Применительно к фильтру НЧ аппроксимацию квадрата
модуля передаточной функции четырехполюсника осуществляют так:
Принимают, £то при х = 1 | K ( j х) | = 1/V J, откуда т - 1. Полагая р - j х, найдем
полюсы | K ( j * )| :
K ( j х) K ( - j х) = -----------l + (/>/7)2"
При нечетных п
Рк
=1,/2 " = e J k n l " к = 0, \ .......л;
при четных п
j ( 2 k+\ ) n
р* = ( - ! ) '/(2п)= е
2"
, * = 0 ,1 ,...,л.
Полюсы расположены симметрично по окружности единичного радиуса. Полиномы
( р - Р \ ) - - А р - Р „ ) образуют знаменатель K ( j х) и называются полиномами Баттерворта. При составлении их используют значения р , находящиеся в левой полуплоскости. Это
обеспечивает физическую осуществимость К(р). Запишем полиномы: при п - 1 — р + 1;
при /7 = 2 — р + J 2 р + \; при /7 = 3 — р ъ + 2 р г + 2 р + \.
Задаваясь требуемым затуханием фильтра в децибелах (обычно при х = 2 )
а = 10 !g(t/, / ( / 2)2. определим л:
И
2 0 1 g |t/,/t/j
у *)|=
20 >82
Например, при а = 18дБ п - 18/(20 lg2) = 2,98* 3. В рассматриваемом примере
1
p 3 +2 p 2 + 2 p + l'
Функцию К( р) реализуют известными методами.
Равноволновая аппроксимация. Полиномы Чебышева порядка п записывают в триго­
нометрической форме:
Т„(х) = cos п arccos х.
Полагая arccosх = 0 и имея в виду, что cosп 0 = cos" 0 -
V———»
—— cos" 2 0 sin2 0 + ..., а
1•2
1- х 2 , получим алгебраическую форму записи полиномов:
Т„{х) = х" + С 2 х " - 2 (*2 -1 ) + С^ х "-4 (х2 - I ) 2 + ....
Например, при и = 5 Г5(х) = 16 х2 - 20 Xі + 5 х.
Так, Тп{х) колеблется от 1 до -1 в интервале дг = 0-И (рис. 10.15, а) и монотонно
возрастает при х > I .
352
Гл. 10. Синтез электрических цепей
Рис. 10.15
Квадрат модуля нормированной передаточной функции фильтра НЧ с помощью поли­
номов Чебышева аппроксимируют так:
И ; * > 12 = 7 ...г т!— I + Y Т„(х)
Максимальное отклонение | А."(у х) | от 1 равно у2 / 2
1— ; = * 1-
I?' = 0,5 у2.
1- 2 -
2/
Vі + г2
При .г > 1, т. е. в области затухания фильтра НЧ,
у2 Г „ М » 1
и | К О *)| = — у Т„ (х )
у ch(/7 Arch х)
Примерный вид аппроксимирующей кривой | K { j л:) | показан на рис. 10.15, б.
Для
заданного
отклонения
у
и
затухания
а
в
децибелах
при
х —І а —20 lg| U j I U 2 | = 20 lg |l//f(> 2 )| порядок полинома Чебышева определяют по фор­
муле
1
10а/2°
п = ----- Arch---------- ,
1,32
у
где 1,32 = Arch 2.
Например, для у = 0,4 и д = 30дБ при х - 2
|АТ(у дг)| = 0,0318;
1 Л
. 1 0 й 5,06
п ------- Arch------- = -------= 3,84.
1,32
0,41,32
Принимаем п - 4.
2
Для составления K { j х) следует определить полюсы | K ( j х)\ , находящиеся в левой
полуплоскости. Подставим в | ^ О ' дг) | x = p k / j и приравняем к нулю знаменатель
|ЛГ(удг)|
;\+ y 2 TtU p k / j ) = 0или T„(pk / j ) = ± j / у.
При
0<jc < 1 r w(x)= r w^— j = c o s a r c c o s —
j
= ± y7у.
При х > \ Тп{ х ) - Tn( pk / j ) - ch л Arch(/?* / j).
Так как p k — комплексное число, то arccos p k / j — тоже комплексное число, кото­
рое положим равным а* + j р*. Тогда
Тп( р к / j ) = cos(w а к + j п р*) = cos п а к ch п р* - j sin п а к sh л р* = ± j f у.
Отсюда
cos л a* сЬлр* = 0,
sin л а* sh лр* = ± 1/у.
§ 10.12. Аппроксимация частотных характеристик
353
Так как сЬлр* * 0 , то
coswa*=0
и
a k = ( 2 k + \ ) ---- ,
2 п
к = 0 , 1 , п.
При этом
sin л a* =±1;
sh«p*=l/y;
Р* = — Arsh(l/y).
Так как
a r c c o s ( p * /y ) = a * + ./Р * ,
Рк =а к + j h = j
COS(a*
+ J p* ).
Действительные и мнимые части полюсов Р к , лежащих в левой полуплоскости:
ак = —sh рЛ sin(2 к +1)
(2 к +\)п
2п
р* = chp* cos-
2п
к = 0 , 1 , п.
Из последней строчки следует, что ак /sh2 р* +bk /ch2 р* = 1, т. е. полюсы р к распо­
ложены на эллипсе, одна полуось которого равна shpb другая — chp*.
sh Р* =0,421;
В рассматриваемом примере при п - 4 и у = 0,4 р*= 0,412;
chp* =1,08.
Для построения эллипса чертим две окружности,
одну радиусом sh p b
другую радиусом
chp*
(рис. 10.16), и через начало координат проводим прямые
до пересечения с окружностями под углами
а* = (2 к + 1) ( л / 2 п), где к = 0 ,1 ,..., п. В примере
а к ^ 22,3; 67; 111; 156°.
Из точек пересечения лучей с окружностью мень­
шего радиуса проводим вертикали, а из точек пересе­
чения с окружностью большего радиуса — горизонта­
ли. Точки пересечения соответствующих горизонталей
и вертикалей на левой полуплоскости дают искомые
полюсы.
В
примере
Ро з = -0,164± у 0,995;
р, 2 = -0 ,3 8 8 ± j 0,416. Нормированная передаточная
функция
К( р) =
1
(P-P0)(P-P1)(P-P\)(P~P2)
________________ |_______________
((р + 0,164)2 + 0,9952) ((р + 0,388)2 + 0,4162) '
По К( р) определяют схему и ее нормированные параметры LH, Сн. Таблицы поли­
номов знаменателя нормированного К{р) низкочастотных фильтров, аппроксимирован­
ных различными способами, даны, например, в [10]. Для перехода от нормированных к
действительным параметрам L, С пользуются соотношениями L = LH/сос и С = СН/сос.
Какому способу синтеза схемы и какой конкретной схеме следует отдать предпочте­
ние, зависит не только от стоимости и габаритов при практическом осуществлении схе­
мы, но и оттого, насколько фазочастотные характеристики получающихся четырехполюс­
ников удовлетворяют поставленной задаче.
В заключение отметим, что нормирование распространяется не только на передаточ­
ную функцию четырехполюсника, но и на другие функции, в частности на входное сопро­
тивление или проводимость двухполюсников.
Если аппроксимируют не передаточную функцию, а входное сопротивление (прово­
димость) некоторого двухполюсника, то оно обычно нормируется не только по частоте со0,
354
Гл. 10. Синтез электрических цепей
но и по его числовому значению. При нормировании Z( p ) по числовому значению вход­
ное сопротивление (проводимость) делят на некоторую безразмерную величину RH. При
переходе от схемы, реализующей нормированное сопротивление Z H(ее параметры RH, LH,
С„ и частота х), к той же схеме, но с ненормированными параметрами (ее сопротивление
Z, а параметры R, L, С), последние определяют, сопоставив почленно одинаковые слагаZ
R
jcaL
1
п
. ,
1 /
/ ч
емые — = — + — — + ----и ZH = RH+ j X LH+ --------- (x = со/C0 q).
Ло
До
Яо
j a C Rq
"
н
В результате получим R = RH Rq;
чина безразмерная.
L = Lh (,R0 / a 0); С = Сн /(/Jo e>o)> где <a0 — вели-
Вопросы для самопроверки
1. Укажите два основных направления развития синтеза электрических цепей. 2. Оп­
ределите задачи синтеза, перечислите условия, которым должны удовлетворять Z( p ) фи­
зически реализуемых двухполюсников. 3. Поясните идею реализации двухполюсников
лестничной схемой. Покажите, как следует упорядоченно определять ее элементы. Любое
ли Z{ p ) может быть реализовано лестничной схемой? 4. Как осуществить реализацию
путем последовательного выделения простейших составляющих? 5. Нарисуйте две кано­
нические схемы двухполюсников, отображающие идеи реализации методом выделения
простейших составляющих. 6. В чем идея реализации методом Бруне? 7. Какой четырех­
полюсник называют минимально-фазовым? 8. Сформулируйте, какие типы задач возникают
при синтезе четырехполюсников. 9. Поясните этапы вывода формулы (10.17) для схемы
рис. 10,9, а. 10. Определите К{р) четырехполюсника рис. 10.9, а, если в четырехпо­
люснике Z, (рис. 10.9, б) последовательно соединены
Ct и I ,, а второй четырех­
полюсник оставлен без изменений. 11. Начертите схему четырехполюсника для фазовой
коррекции и поясните, как определить ее элементы, если известна зависимость ср(со).
12. Изобразите схему амплитудного корректора и расскажите, как определить ее элемен­
ты, если известна зависимость а(со). 13. В чем состоит задача аппроксимации и как она
реш ается? 14. Поясните идею составления К( р ) четырехполюсника, если в основу
положена: а) гладкая аппроксимация; б) равноволновая аппроксимация. 15. Как от норми­
рованных параметров перейти к ненормированным, задавшись некоторыми
и ©0 ?
16. Решите задачи 12.3; 12.6; 12.10; 12.7; 12.14; 12.17; 12.28.
Глава одиннадцатая
УСТАНОВИВШИЕСЯ ПРОЦЕССЫ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ, СОДЕРЖАЩИХ ЛИНИИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
§11.1. О сновные определения. В данной главе рассмотрены осно­
вы теории установившихся процессов в электрических цепях, содержа­
щих линии с распределенными параметрами.
Электрическими линиями с распределенными параметрами называ­
ют такие линии, в которых для одного и того же момента времени ток и
напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точки
(сечения) линии к соседней точке, т. е. являются функциями времени и
пространственной координаты.
Эффект непрерывного изменения тока и электрического напряжения
вдоль линии имеет место вследствие того, что линии обладают распре­
деленными в пространстве продольными и поперечными элементами
(рис. 11. 1, а).
На рис. 11.1, а изображен участок линии с распределенными парамет­
рами, через d x обозначен бесконечно малый элемент длины линии.
Сопротивления Z ,, Z2, Z3, ... называют продольными, в них включе­
ны сопротивления прямого и обратного проводов; сопротивления
Z4, Z5, Z6,... называют поперечными.
В результате утечки тока через сопротивление Z4 ток /2 * i\. Анало­
гично, ток /3 * /2 и т. д. Напряжение между точками а и Ь не равно на­
пряжению между точками с и d и т. д.
н
б
а
в
Рис. 11.1
356
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях.
В электрических линиях с распределенными параметрами продольные
сопротивления образованы активными сопротивлениями проводов линии
и индуктивностями двух противостоящих друг другу участков линии
длиной dx. Поперечные сопротивления состоят из сопротивлений утеч­
ки, появляющейся вследствие несовершенства изоляции между провода­
ми линии, и емкостей, образованных противостоящими друг другу эле­
ментами (участками) линии.
Линию с распределенными параметрами называют однородной, если
равны друг другу все продольные сопротивления участков линии одина­
ковой длины и равны друг другу все поперечные сопротивления участ­
ков линии одинаковой длины. Участок линии на рис. 11.1, а однороден,
если Zj = Z 2 = Z 3 = ... и Z4 = Z 5 = Z 6 = ....
Линию с распределенными параметрами называют неоднородной, если
продольные сопротивления в ней различны или поперечные сопротив­
ления неодинаковы.
Кроме того, линии с распределенными параметрами можно подраз­
делить на две большие группы: нелинейные и линейные. В нелинейных
линиях с распределенными параметрами продольные и (или) поперечные
сопротивления являются функциями протекающих по ним токов, в линей­
ных продольные и поперечные сопротивления не являются функциями
протекающих через них токов.
Кроме электрических диний с распределенными параметрами суще­
ствуют и магнитные линии с распределенными параметрами. Под маг­
нитными линиями с распределенными параметрами понимают такие ли­
нии, магнитный поток и магнитное напряжение вдоль которых непрерыв­
но меняются при переходе от одной точки линии к соседней (см. § 14.24).
В магнитных линиях с распределенными параметрами продольные
сопротивления представляют собой магнитные сопротивления самих
магнитных стержней, образующих магнитную линию, а поперечные со­
противления обусловлены утечкой магнитного потока по воздуху между
противостоящими друг другу участками линии.
Примером нелинейной электрической линии с распределенными па­
раметрами является электрическая линия передачи высокого напряжения
при наличии между проводами линии тихого электрического разряда
(явление короны на проводах). В этом случае емкость между противо­
стоящими друг другу участками линии является функцией напряжения
между этими участками.
Примером нелинейной магнитной линии с распределенными парамет­
рами является линия, образованная параллельно расположенными маг­
нитными сердечниками, которые в процессе работы линии могут насы­
щаться.
Когда используют термин «линия с распределенными параметрами»,
то обычно его мысленно связывают с мощными линиями передачи элек­
трической энергии на большие расстояния, с телефонными и телеграф­
ными воздушными и кабельными линиями, с рельсовыми линиями авто­
блокировки на железнодорожном транспорте, с антеннами в радиотех­
нике и другими родственными линиями и установками. В то же время с
§ 11.2. Составление дифференциальных уравнений для однородной линии ..
357
линиями с распределенными параметрами имеют дело, когда «линий» в
буквальном смысле слова, казалось бы, вовсе нет. Так, обычная индук­
тивная катушка при достаточно высоких частотах представляет собой
линию с распределенными параметрами. Картина электрического и маг­
нитного полей катушки показана на рис. 11.1,6. Линии напряженности
электрического поля Е показаны штриховой линией, линии напряжен­
ности магнитного поля Н — сплошными линиями.
Схема замещения катушки показана на рис. 11.1, в. Из рисунка вид­
но, что кроме индуктивностей в схеме есть межвитковые емкости и ем­
кости на корпус прибора (на землю). Если по катушке проходит перемен­
ный ток, то через межвитковые емкости и емкости на землю также идет
ток. При одном и том же напряжении между соседними витками ток
через емкости тем больше, чем выше частота переменного тока. При низ­
кой частоте (десятки, сотни, тысячи герц) ток через емкости несоизме­
римо мал по сравнению с токами через витки катушки и наличие емкос­
тей можно не учитывать в расчете (что и делалось до сих пор). Если же
частота тока очень велика, например сотни миллиардов герц, то токи
через емкости могут во много раз превышать токи через витки катушки.
В этом случае вся катушка в целом будет оказывать прохождению пере­
менного тока емкостное, а не индуктивное сопротивление (количествен­
ные изменения перешли в качественные). При промежуточных частотах
порядка нескольких мегагерц (когда линейные размеры катушки соизме­
римы с длиной волны) индуктивная катушка является типичной линией
с распределенными параметрами. Если индуктивная катушка намотана
на стальной сердечник, который способен насыщаться, и частота тока
достаточно велика, то все устройство в целом представляет собой слож­
ную совокупность из электрической и магнитной нелинейных цепей с
распределенными параметрами.
В главе 11 рассмотрены основы однородных линейных цепей с рас­
пределенными параметрами. Вся теория излагается применительно к
электрическим линиям с распределенными параметрами на переменном
токе. Теория однородных линейных электрических цепей с распределен­
ными параметрами на постоянном токе непосредственно следует из тео­
рии цепей переменного тока, если принять угловую частоту равной нулю.
Теория однородных линейных магнитных линий на постоянном токе
в значительной мере аналогична теории однородных линейных электри­
ческих линий с распределенными параметрами, только вместо тока в
уравнении должен быть подставлен магнитный поток, электрическое
напряжение заменено магнитным напряжением, продольное активное
сопротивление — продольным магнитным сопротивлением, поперечная
электрическая проводимость — поперечной магнитной проводимостью
(см. главу 14). Теория магнитных линий с распределенными параметра­
ми на переменном токе рассмотрена во втором томе учебника.
§ 11.2. С оставление дифференциальных уравнений для однород­
ной линии с распределенными парам етрам и. Пусть Rq — продоль­
ное активное сопротивление единицы длины линии; L0 — индуктивность
358
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях...
Рис. 11.2
единицы длины линии; С0 — емкость единицы длины линии; G0 — по­
перечная проводимость единицы длины линии. Поперечная проводимость
G0 не является обратной величиной продольного сопротивления Rq.
Разобьем линию на участки длиной d x (рис. 11.2), где х — расстоя­
ние, отсчитываемое от начала линии. На длине d x активное сопротив­
ление равно Rq d x , индуктивность — L0 d x , проводимость утечки —
G0 dx. Обозначим ток в начале рассматриваемого участка линии через
/, а напряжение между проводами линии — через и. И ток, и напряже­
ние являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии х и
времени /. Поэтому в дальнейшем в уравнениях использованы частные
производные от и и / по времени t и расстоянию х.
Если для некоторого момента времени ( ток в начале рассматрива­
емого участка равен /, то в результате утечки через поперечный элемент
. ді ,
ток в конце участка для того же момента времени равен / + — d x , где
дх
д і ї дх — скорость изменения тока в направлении*. Скорость, умножен­
ная на расстояние dx, является приращением тока на пути dx.
Аналогично, если напряжение в начале участка и, то в конце участка
ди
для того же момента времени напряжение равно м + — dx.
дх
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого кон­
тура, образованного участком линии длиной dx, обойдя его по часовой
стрелке:
—u + Rq d x i+ Lq d x — + и + — d x = 0.
dx
dx
После упрощения и деления уравнения на d x получим
ди
Т ді
- L q — + Rq L
дх
dt
/ ї ї їх
(И Л )
По первому закону Кирхгофа,
/ = di + i + — дх.
дх
(11.2)
§ 11.3. Решение уравнений линии с распределенными параметрами..
359
Ток di (см. рис. 11.2) равен сумме токов, проходящих через прово­
димость G0 d x и емкость С0 d x :
di =
и + — d x I Gq d x + — C0 d x \ u + — d x
У dx
J
dt
\
dx
Пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости. Тогда
di = u G 0 d x + C0 d x — .
dt
(11-3)
Подставим (11.3) в (11.2), упростим и поделим уравнение на d x :
~ S ~ = G0 и + Со
dx
dt
(11.4)
Уравнения (11.1) и (11.4) являются основными дифференциальными
уравнениями для линии с распределенными параметрами.
§ 11.3. Решение уравнений линии с распределенными парам етра­
ми при установивш емся синусоидальном процессе. Пусть напряжение
и ток в линии изменяются по синусоидальному закону во времени. Вос­
пользуемся символическим методом.
Изображение тока
/ = lmsin(c) / + <ру) -> / еj
где І = 1т е ' ф' / Л .
Изображение напряжения
u = Um sin((0 / + <pu)-» {7 eJ0>(,
где U = Um e ' V V S ,
Комплексы U и / являются функциями расстояния х 9 но не являют­
ся функциями времени. Множитель е'® ' есть функция времени Г, не за­
висящая ОТ X.
Представление изображений тока и напряжения в виде произведения
двух множителей, из которых один является функцией только х , а дру­
гой — функцией только /, дает возможность перейти от уравнений в ча­
стных производных (уравнений (11.1) и (11.4)) к уравнениям в простых
производных. Действительно,
360
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях.
ді
дх
*
д /.
ах’
( 11.6)
CQ^ - * j G > C 0 U e Ja>'.
Ot
Подставим (11.5) и (11.6) в (11.1) и (11.4), сократив в полученных
уравнениях множитель е j со/.
dU
= z0 /;
dx
(11.7)
di_
= Y0 U,
dx
( 11.8)
где
Z0 —Ro + j ® Lq;
Y0 =G0 + j
ф
C0.
(11.9)
( 11. 10)
Решим систему уравнений (11.7) и (11.8) относительно U. С этой
целью продифференцируем (11.7) по л::
d 2U _ _ d l
- “Т У " - z 0 "ГГ-
( 1 1 .1 1 )
В (11.11) вместо d l / d x подставим правую часть уравнения (11.8):
d 2U
= Z0 Y0 U.
(11.12)
dx
Уравнение (11.12) представляет собой линейное дифференциальное
уравнение второго порядка. Его решение
0 = А еу х + А e~YJ:.
(11.13)
Комплексные числа А1 и Л2 есть постоянные интегрирования, кото­
рые в дальнейшем определим через напряжение и ток в начале или че­
рез напряжение и ток в конце линии.
Комплексное число
y - y JZ o Y o
(11.14)
называют постоянной распространения; его можно представить в виде
Y = ос + у р,
(11.15)
где а — коэффициент затухания, характеризующий затухание падающей
волны на единицу длины линий, например на 1 м (км); Р — коэффици­
§ 11.4. Постоянная распространения и волновое сопротивление
361
ент фазы, характеризующий изменение фазы падающей волны на еди­
ницу длины линии, например на 1 м (км). Следовательно,
[у] = [ а ] = [р] = 1 /м .
Ток / найдем из уравнения (11.7):
Z0 dx
(„л б )
Z0/y
Отношение Z0 /у = Z0/ 7 z 0 Y0 = y]z0 /Y0 , имеющее размерность сопротивления, обозначают ZB и называют волновым сопротивлением:
Z„ =
=
PS- =
Ко
VGo+ycoC0
Jv.
(]117)
8
где z B— модуль; ф в — аргумент волнового сопротивления ZB.
Следовательно,
/ = А е- г * . А ег \
2В
zB
(11Л8)
§ 11.4. Постоянная распространения и волновое сопротивление. Как указывалось
ранее, постоянная распространения
У = a + j р = y j ( R 0 + j со Lq ) (Gq+усо С0).
(11.19)
Для линии постоянного тока со = 0 и потому
У
&о •
( П . 20)
Для линии синусоидального тока без потерь (R0 = G0 = 0)
Y= ;coV^oC0.
(11.21)
Запишем формулы для приближенного определения р и а в линии с малыми поте­
рями, когда V cdZq « 1 и G0 /со С0 « 1 . С этой целью перепишем формулу (11.19) сле­
дующим образом:
V
V
и разложим биномы в ряды, ограничившись двумя членами каждого ряда (т. е. воспользу­
емся соотношением VI + х * 1+ 0,5 х )• В результате получим
Следовательно,
362
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях..
Рассмотрим вопрос о волновом сопротивлении. Для постоянного тока (со = 0) из
(11.17) следует, что
2»=V «o/G 0.
Для линии синусоидального тока без потерь (Rq - G
(11.25)
q-
0)
Z ,= V V C 0-
(11.26)
Для линии синусоидального тока с малыми потерями, когда
J0_ «
_О0_<<: 1;
со Ц
со С 0
(П27>
Для
реальных
воздушных
линий
| Z B | *300 + 600 Ом,
|ZB| * 5 0 -г-200 Ом. Угол Ф имеет емкостный характер.
для
кабельных
§ 11.5. Ф ормулы для определения комплексов напряжения и тока
в любой точке линии через ком плексы напряж ения и тока в начале
линии. Как и раньше, через х будем обозначать расстояние от начала
линии до текущей точки на ней. Пусть в начале линии при х = 0 напря­
жение Ux и ток /j. Составим уравнения для определения постоянных Ах
и Л2 через Ux и /,. Из (11.13) и (11.18) следует (* = 0):
UX= A 2 +AX;
(11.28)
/ XZ B = A 2 - A X.
(11.29)
Для определения Ах из (11.28) вычтем (11.29):
Ах = 0,5 ф х - / , Z B) = AXеУм/°;
(И.ЗО)
А2 = 0,5 (t/, + /| Zt ) = А2
(11.31)
Vn,
где Аі — модуль; v^0 — аргумент комплексаАх\ Аг — модуль; у п—
аргумент*1 комплекса А2.
Подставим (11.30) и (11.31) в (11.13):
C /.- /Z ,
ух
О , + / Z B _у х
U = —!------- S-er + —-------- е '
2
2
rV
е ^ + е - 1' "
і „
е ^ - е ' 1"
= U , ---------------- /, Z . ---------------.
1
2
1 *
2
Введем гиперболические функции. Известно, что
ch х = 0,5 (е* + е~*),
shx = 0,5 (е* - е~* )•
в) Индексы «о» и «п» — начальные буквы слов «отраженная» и «падающая» волны
(см. § 11.8).
§ 11.6. Графическая интерпретация гиперболических синуса и косинуса..
363
Поэтому
0,5 (еух + e 'YJr) = chy х;
(11.32)
0,5(eY* - e ~ YJr) = shy x.
(11.33)
t/ = £/, ch у x - /j ZBsh у x.
(11.34)
Следовательно,
Аналогичные преобразования, примененные к (11.16), дают
7 = /| c h y x - — shy*.
(11.35)
Формулы (11.34) и (11.35) позволяют найти комплексы напряжения и
тока в точке линии, расположенной на расстоянии х от ее начала. Сле­
дует иметь в виду, что аргументом гиперболических функций в этих
формулах является комплексное число у х = а х + j $ x .
§ 11.6. Граф ическая интерпретация гиперболических синуса и
косинуса от комплексного аргумента. Гиперболические функции от
комплексного аргумента сами являются комплексами и могут быть изоб­
ражены векторами на комплексной плоскости.
Заменим у л; в уравнениях (11.32) и (11.33) на а х + j Р х :
ch у * = і (еа V р * + е 'а xt ~J р *);
shYx = i ( e a V pj;- e - a V ' pj:).
По таблицам показательных функций найдем значение е ° и е"ах и
на комплексной плоскости (рис. 11.3) отложим векторы ea V Px и
e 'a V M . Первый из них по модулю равен еах и относительно оси дей­
ствительных значений повернут на угол Р х против часовой стрелки; вто­
рой по модулю е"а * и относительно оси действительных значений по­
вернут на угол р х по часовой стрелке.
Рис. 11.3
364
Гл. И. Установившиеся процессы в электрических цепях..
Гиперболический косинус равен полусумме этих векторов, а гипер­
болический синус — их полуразности.
§ 11.7. Ф орм улы для определения н апряж ения и тока в любой
точке линии через комплексы напряж ения и тока в конце линии.
Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии у , а
длину всей линии (рис. 11.4) /:
у -1-х.
начало
линии
(11.36)
конец
линии
Рис. 11.4
Пусть известны напряжение и ток в конце линии U 2 и / 2. Подста­
вим х = /, V - U 2, 1 - 1 2 в ( И . 1 3 ) и ( 1 1 . 1 8 ) и составим два уравнения
для определения постоянных интегрирования Ах и А2 :
0 2 =Л 2 е"т/ +А Хег /;
/? Z.
А2 е- у1- А х е у/
Отсюда
[ 4 = 0 ,5 (U2 - i 2 ZB) e - r / = 4 e ^ » ;
(11.37)
U = 0 , 5 ( t > 2 + / 2 Z„) еу/ = А2 e ' v".
Если подставить (11.37) в (11.13) и (11.18), заменить 1 - х на у и пе­
рейти к гиперболическим функциям, то получим
0 = 0 2 ch у >>+ / 2 Z„ shy у,
(11.38)
1 = ^ s b y у + І2 ZB chy у.
^я
(11.39)
Зная 0 2 и І2 с помощью формул (11.38) и (11.39), можно найти
комплексы напряжения и тока в точке, находящейся на расстоянии у от
конца линии.
§ 11.8. П адаю щ ие и отраж енны е волны в лин и и . Подставим в
формулу (11.13) i e iVo вместо Ах, A2 eJKVn вместо А2 (см. (11.34)), за­
менив У на а + j р, получим
+ A Q-<*xcJ(Vn-V>x)
U ~ Ах е а^ЛЧ'о+Р*)
^ ле
(11.40)
§ 11.8. Падающие и отраженные волны в линии
365
Аналогичную операцию проделаем с формулой (11.18), причем в до­
полнение заменим ZB на zBeycpB (см. формулу (11.17)):
/ = _ А еахеХ м/°+р^ Фв) + ^ е ~ ахе-/(ч'п~Р'х~Фв).
z.
(11.41)
Для перехода от комплексов напряжения и тока к функциям времени
умножим правые части формул (11.37) и (11.38) на v2 е-7®' и от про­
изведений возьмем мнимую часть:
и = А1л/2еа * sin J((ot + у о + Р * )+ А2 V2 е~адг sin у(со/ + v|/0 —Р jc); (11.42)
А г~
и = — V2 еа * sin(co/ + <р0 + Р* - Ч/в) +
(11.43)
е aJrsin(( 0 / + V|/n - р х - 1|/в).
Падающей электромагнитной волной называют процесс переме­
щения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от ис­
точника энергии к приемнику, т. е. в нашем случае в направлении
увеличения координаты х. Электромагнитное состояние определяется
совокупностью электрического и магнитного полей, обусловливающих
друг друга. Падающая волна, распространяясь от источника энергии к
приемнику, несет энергию, заключенную в ее электрическом и магнит­
ном полях.
Отраженной электромагнитной волной называют процесс перемеще­
ния электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от прием­
ника к источнику энергии, т. е. в нашем случае в сторону уменьшения
координаты х.
Падающая электромагнитная волна образована падающей волной на­
пряжения (второе слагаемое формулы (11.42)) и падающей волной тока
(второе слагаемое формулы (11.43)). Отраженная электромагнитная вол­
на образована отраженной волной напряжения (первое слагаемое фор­
мулы (11.42)) и отраженной волной тока (первое слагаемое формулы
(11.43)).
Знак минус отраженной волны тока свидетельствует о том, что поток
энергии, который несет с собой отраженная электромагнитная волна,
движется в обратном направлении по сравнению с потоком энергии,
который несет с собой падающая волна.
Каждая компонента падающей волны (волны напряжения или волны
тока) представляет собой синусоидальное колебание, амплитуда которо­
го уменьшается по мере ростах (множитель е~а х \ а аргумент является
функцией времени и координаты jc.
366
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях...
Каждая компонента отраженной электромагнитной волны затухает по
мере продвижения волны от конца линии к началу (множитель еа х ).
Физически эффект уменьшения амплитуд падающей и отраженной волн
по мере их продвижения по линии объясняется наличием потерь в
линии.
На рис. 11.5 изображены графики распределения падающей волны
напряжения вдоль линии (в функции х ) для двух смежных моментов вре­
мени: tx и /2 > tx. Падающая волна распространяется слева направо. При
построении принято со /, + 1|/п = 0.
На рис. 11.6 представлены графики распределения отраженной вол­
ны напряжения для двух смежных моментов времени: /, и /2 > /|. Отра­
женная волна распространяется справа налево.
§ 11.9. К оэффициент отраж ения. Отношение напряжения отражен­
ной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии
называют коэффициентом отражения по напряжению и обозначают Ки.
В соответствии с формулой (11.40)
к
"
Л.Є*' _ ZH-Z „
А2 e ' Y/ ZH + ZB-
При согласованной нагрузке К и = 0 9 при холостом ходе Ки - 1.
Коэффициент отражения по току K t = - К и.
§ 11.10. Ф азовая скорость. Фазовой скоростью
называют
скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать
одну и ту же фазу колебания, или иначе: фазовая скорость — это
скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния. Если
фаза падающей волны напряжения неизменна, то в соответствии с фор­
мулой (11.42)
со/ + \|/п - р л: = const.
§ 11.12. Линия без искажений
367
Возьмем производную по времени от обеих частей последнего равен­
ства:
d ,
„ ч
Л dx
—
(со/ + v|/n ~(3х) = 0,
или
со-р — = 0.
dt
dt
Отсюда
d x со
иф=^ Г р П рим ер 116. Найти фазовую скорость для воздушной двухпроводной линии с малы­
ми потерями.
Р е ш е н и е. Из формулы (11.24) следует, что (3 = со <Jl 0 С0 . Поэтому
О)
1
О ф = - = -т=----- -
Р
(И 44)
С0
Индуктивность единицы длины двухпроводной воздушной линии
Ті
г
где |!0 — магнитная постоянная; d — расстояние между осями проводов; г — радиус каж­
дого провода.
Емкость единицы длины воздушной двухпроводной линий [1]:
Г - пг°
In —
г
где є0 — электрическая постоянная.
Фазовая скорость
1
1
300000 км /с.
Vl.256• 10-6 Г н /с - 8 ,8 6 1 0 '12 Ф /м
§ 11.11. Длина волны. Под длиной волны X понимают расстояние, на
которое распространяется волна за один период Т = 1/ / :
X =v T =j .
(11.45)
П рим ер 117. Найти длину электромагнитной волны при / = 50 и 50 *106 Гц.
п
п
, гпг ,
300000 к м /с
Р е ш е н и е . При/ = 50 Гц X = ------------------ = 6000 км.
50 с
При / = 50 - Ю6 Гц А. = 6 м.
§ 11.12. Л иния без искажений. Линия без искажений представляет
собой линию, вдоль которой волны всех частот распространяются с оди­
наковой фазовой скоростью и затухают в равной степени.
368
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях...
При движении электромагнитной волны по линии без искажений
волны напряжения и тока уменьшаются по амплитуде, но формы волн
напряжения в конце и начале линии подобны; точно так же подобны фор­
мы волн тока в начале и конце линии.
Неискажающие линии находят применение в телефонии. При телефон­
ном разговоре по таким линиям не искажается тембр голоса, т. е. не
искажается спектральный состав голоса.
Для того чтобы линия была неискажающей, коэффициент затуха­
ния ос и фазовая скорость иф не должны зависеть от частоты; а и о ф
не зависят от частоты, если между параметрами линии имеет место
следующее соотношение:
Яр _ Gp
(11.46)
Для сокращения записи обозначим Rq I Lq = G0 /С 0 = к. По определе­
нию,
Z q - Rq + j ® Lq - Lq {k + j со);
Y0 =G q + j (йС0 = C0 (к + j со);
у = (k + j со) -JL0 C0 .
Следовательно,
a - к VLq
C
q
-
V R
q
G
q
\
(11.47)
p - со VA) О) *
Оф -
CO /
P - 1/ V L q
C q .
(11.48)
Из формул (11*47) и (11.48) следует, что коэффициент затухания а и
фазовая скорость иф в линии без искажений действительно не зависят
от частоты.
В линии без искажений волновое сопротивление
является действительным числом и также не зависит от частоты.
Чтобы убедиться, что форма волны напряжения в конце линии и2 полностью подоб­
на форме волны напряжения в начале линии их, возьмем напряжение на входе линии в
виде суммы двух синусоидальных колебаний, одно из которых имеет частоту со, а другое
2 со, и составим выражение для и2. Пусть
ux - U Xm sin(co / + \|/1 ) + (У2m sin(2 CO/ + V}/2).
Так как для линии без искажения коэффициент затухания а не зависит от частоты
(см. формулу (11.47)), то амплитуды обоих колебаний на расстоянии / уменьшаются в оди­
наковой степени и становятся равными U Xm е"а / и U 2m е~а / .
§ 11.13. Согласованная нагрузка
369
Для линии без искажения коэффициент фазы р прямо пропорционален частоте, по­
этому для частоты 2 со коэффициент р в два раза больше, чем для частоты со.
Следовательно, мгновенное значение напряжения в конце линии
и2
=У\т
Є <ї/ s in(C*> t + У ! ~ Р / ) + U l m e -Ct/ S in (2 (0 / + VJ/2 - 2 Р / ) =
= и 1т е~а 1 sin(co
j + у , ) + и 2т е~а 1 sin(2 со
j + ц/2 )•
и2 =е al(UlmSin(C0 Т + V | / j) - f t / 2 OT sin(2c0 T + V|/2).
Если сопоставить последнее выражение с
то можно сделать вывод, что напряже­
ние в конце линии имеет ту же форму, что и напряжение в начале линии. Однако оно уменьр/
/
шено по амплитуде за счет затухания и смещено во времени на — = —
— на время
движения волны по линии длиной /.
В реальных линиях передачи сигналов соотношение (11.46) обычно
не соблюдается, так как L0 < Rq С0 IG0. Для того чтобы было достигну­
то это соотношение, принимают меры по увеличению L0. Практически
устранения частотных искажений сигнала во всем передаточном тракте
часто достигают не за счет использования линий без искажения, а вклю­
чением в тракт специальных корректирующих четырехполюсников.
§ 11.13. Согласованная нагрузка. Линия с распределенными пара­
метрами, как правило, служит в качестве промежуточного звена между
источником энергии (сигнала) и нагрузкой.
Обозначим сопротивление нагрузки Z2 (Z2 = t / 2/ / 2) (рис. 11.7, а).
Если Z2 * Z B, то падающая волна частично пройдет в нагрузку, частич­
но отразится от нее (возникает отраженная волна). При Z2 = ZB —
такую нагрузку называют согласованной — отраженная волна отсут­
ствует. В этом можно убедиться с помощью формулы (11.46). Действи­
тельно, отраженная волна отсутствует, так как Ах = 0.
и
©I".
|й
"■
У
а
б
Рис. 11.7
В линиях передачи информации кроме согласования Z2 с ZB согла­
совывают также ZB с внутренним сопротивлением источника сигнала
ZH. При ZH, немного не равном ZB, кроме истинного сигнала через
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях..
370
некоторое время после него может появиться ложный сигнал типа эха;
наличие последнего затруднит обработку получаемой информации.
§ 11.14. Определение напряж ения и тока при согласованной на­
грузке. Чтобы получить формулы для определения напряжения и тока в
любой точке, удаленной от конца линии на расстояние у , в формулы
(11.38) и (11.39) вместо ZB подставим Z2, заменим / 2 Z2 на U2 и
U2 I Z 2 на / 2. Получим
О = U2 (chу у + sh у у) = и 2 егу ;
(И .49)
/ = / 2 (chy jy + shy >>) = / 2 еуу.
(11.50)
В начале линии при у = /
(U = U2 еуу = U2 qJVUi еа/ еур/;
[/ = / 2
(11.51)
= 12 еУф'2 еа / еу(5/,
где U 2 — модуль; Ф(/2 — аргумент комплекса U2\ h — модуль; Ф/2 —
аргумент комплекса / 2.
График зависимости действующего значения напряжения U от рассто­
яния у для линии с потерями при согласованной нагрузке иллюстрирует
рис. 11.7, б, кривая /, при несогласованной, например, кривая 2.
§ 11.15. К оэффициент полезного дей ствия линии передачи при
согласованной нагрузке. Коэффициент полезного действия линии пере­
дачи равен отношению активной мощности в конце линии Р2 к актив­
ной мощности в начале линии Рх:
Р2 = U2 l 2 COs(<pt/2 - ф , г ) = и 2 / 2 C0S 9 B,
где фв — аргумент волнового сопротивления ZB.
При согласованной нагрузке угол между Ux и /, также равен фв,
поэтому в соответствии с формулами (11.51)
Р{ =£/, /, С08(ф,;г - ф , г ) = и 2 / 2 е2а/ С08 фв,
Следовательно,
л = />2 //>| = е-2“ / .
(11.52)
§ 11.16. Входное сопротивление нагруженной линии. На рис. 11.7, а
изображена схема, состоящая из источника напряжения Ub линии с рас­
пределенными параметрами длиной / и нагрузки Z2. Входное сопротив­
ление ZBX ==£/, / /j. В формулах (11.38) и (11.39) вместо .у подставим / и
заменим U2 на / 2 Z2.
§ 11.17. Определение напряжения и тока в линии без потерь
371
Получим
,
вх
_ / 2 Z2 c h y / + / 2 ZB sh y /
.7
.
’
/ 2 — shy / + / 2 chy /
или
Z " ,h i
(П .53)
- sh у / + ch у /
Если нагрузка согласована (т. е. Z2 = Z B), то из (11.53) следует, что
входное сопротивление равно волновому: ZBX = Z B.
§ 11.17. Определение напряжения и тока в линии без потерь. Стро­
го говоря, линий без потерь не существует. Однако можно создать линию
с очень малыми потерями (с очень малыми Rq и G0 по сравнению с © L0
и со С0 соответственно) и распространить на нее теорию линий без
потерь.
Из предыдущего (см. формулу (11.21)) известно, что если R0 = G0 = О,
то
У = а + у р = у со V
С0,
т. е. коэффициент затухания а = 0, а коэффициент фазы Р = со л]L0 С0.
При ЭТОМ волновое сопротивление ZB = ^Lq/Cq является чисто ак­
тивным (см. формулу (11.26)).
Для определения напряжения U и тока / в любой точке линии об­
ратимся к формулам (11.38) и (11.39):
U = U2 chy у + І 2 ZBshy >>;
/ = — sh у у + / 2 ch у у.
^в
Учтем, что у у = (а + j р) у = j Р у.
Гиперболический косинус от мнимого аргумента j х равен кругово­
му косинусу от аргумента х:
ch j х = 0,5 (eJX + е ‘у *) = 0,5 (cos jc + j sin jc + cosjc~ j sin jc) = cosjc.
Гиперболический синус от аргумента j х равен круговому синусу от
аргумента jc, умноженному на j:
shy
jc =
0,5 (е7 х - е " 7*) = 0,5 (cos х + j sin jc-
Следовательно, sh у jc = sh j P у = j sin p y.
cosjc +
j sin jc) = j sin x.
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях...
372
Поэтому для линии без потерь формулы (11.38) и (11.39) перепишем
следующим образом:
U = U2 cosP>> + у / 2 ZBsinp>>;
/= у —
Zn
sin p jK + /2 c o s p ^ .
(11.54)
(11.55)
§ 11.18. Входное сопротивление линии без потерь при холостом
ходе. При холостом ходе І2 = 0. Поэтому
I
й} а я * ’>
. U2
sin р 3/
( „ . 56)
tg $ у
tgP >-
Исследуем характер изменения Z m х при изменении расстояния у от
конца линии до текущей точки на ней и проиллюстрируем это рис. 11.8, а.
В интервале значений р у от 0 до я / 2 tg р у изменяется от 0 до оо,
поэтому ZBXх имеет емкостный характер (множитель - j ) и по модулю
изменяется от оо до 0. Расположение кривой выше оси абсцисс соответ­
ствует индуктивному характеру реактивного сопротивления линии х, ниже
оси — емкостному. В интервале значений f i y от я / 2 до п tgP>> отри­
цателен и изменяется ОТ -00 до 0, поэтому ZBXх изменяется по модулю
от 0 до оо и имеет индуктивный характер (множитель + у) и т. д.
Конденсаторы или индуктивные катушки, изображенные на
рис. 11.8, а, иллюстрирует характер входного сопротивления х .
Таким образом, изменяя длину отрезка линии без потерь, можно ими­
тировать емкостное и индуктивное сопротивления любой величины.
§ 11.20. Входное сопротивление линии без потерь при реактивной нагрузке
373
Практически это свойство используют при высокой частоте в различных
радиотехнических установках.
§ 11.19. Входное сопротивление линии без потерь при коротком
зам ы кан ии на конце линии. При коротком замыкании на конце линии
U2 =0 и из формул (11.54) и (11.55) следует, что входное сопротивле­
ние
ZBXх = J ZB tgp
=j W Q
tgp у,
(11.57)
где р = ш Л/і 0 / С 0 -
Будем изменять длину отрезка линии у и исследуем характер входно­
го сопротивления.
В интервале значений Р у от 0 до я /2 tgP у положителен и изме­
няется от 0 до оо, следовательно, в этом интервале входное сопротивле­
ние имеет индуктивный характер и по модулю изменяется от 0 до оо
(рис. 11.8, б).
В интервале f i y от 71/2 до п входное сопротивление имеет емкост­
ный характер и изменяется по модулю от оо до 0 (в точке $ у = п / 2
tg р у скачком изменяется от +оо до -оо).
Таким образом, изменяя длину отрезка короткозамкнутой на конце
линии, также можно создавать различные по величине индуктивные и
емкостные сопротивления. Отрезок короткозамкнутой на конце линии без
потерь длиной в четверть длины волны теоретически имеет входное со­
противление, равное бесконечности. Это позволяет применять его при
подвеске проводов в качестве изолятора.
§ 11.20. Входное сопротивление линии без потерь при реактивной
нагрузке. Определим входное сопротивление линии без потерь при чис­
то реактивной нагрузке ZH = j Х н :
7
x
„
7
-
j z „cospy(tgpy + - ^ )
0
ZH c o s p ^ + ZBs in p y __________________ J Z„
z
z
COSp y + j — S inP у COSp у (1 + j —- tg P y)
Обозначим -у ZH/ Z B= tg v и учтем, что
tg(Py + v) = -
tgP>> + tgv
1 —tg P .У tg V
Получим
z 8x = j z„
tg V = j
1 - tg v tg P у
z„ tg(p у + V),
(11.58)
т. e. входное сопротивление изменяется по тангенсоиде, начало которой
смещено на угол v.
374
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях..
При индуктивной нагрузке
^
г
X H =a>L;
.
L со L
tg v = - ■j j+<°
—— = —
;
v >0;
при емкостной
1
Х„=—
со С
. У(-1/со С)
-1
■■■■■;
tgv = - y ^ —----- - =
Z„
со С Z-
v<0.
§ 11.21. О пределение стоячих электром агнитны х волн. В линиях
без потерь при холостом ходе, коротком замыкании, а также при чисто
реактивных нагрузках возникают стоячие электромагнитные волны.
Стоячая электромагнитная волна образована стоячими волнами
напряжения и тока. Математически такие волны описываются произве­
дением двух периодических (в нашем случае — тригонометрических)
функций. Одна из них — функция координаты текущей точки на линии
(в нашем случае — р у \ другая — функция времени (со t). Стоячие вол­
ны напряжения и тока всегда сдвинуты по отношению друг к другу в про­
странстве и во времени.
Сдвиг во времени между стоячими волнами напряжения и тока равен
90°, сдвиг в пространстве — четверти длины волны (см. формулы (11.62)
и (11.63), (11.65) и (11.66)).
Точки линии, где периодическая функция координаты проходит через
нуль, называют узлами, а точки линии, в которых периодическая функ­
ция координаты принимает максимальные значения, — пучностями.
При возникновении стоячих волн электромагнитная энергия от нача­
ла к концу линии не передается. Однако на каждом отрезке линии,
равном четверти длины волны, запасена некоторая электромагнитная
энергия.
Эта энергия периодически переходит из одного вида (энергии элект­
рического поля) в другой (энергию магнитного поля).
В моменты времени, когда ток вдоль всей линии оказывается равным
нулю, а напряжение достигает максимального значения, вся энергия пе­
реходит в энергию электрического ПОЛЯ.
В моменты времени, когда напряжение вдоль всей линии равно нулю,
а ток достигает максимального значения, вся энергия переходит в энер­
гию магнитного поля.
§ 11.22. С тояч и е волны в линии без потерь при холостом ходе
линии. Из формул (11.54) и (11.55) следует, что при холостом ходе
U - V 2 cosP y;
(11.59)
(11.60)
§ 11.23. Стоячие волны в линии без потерь при коротком замыкании...
375
Для перехода к функциям времени умножим правые части формул
(11.59) и (11.60) на V2 е7<0/ и от полученных произведений возьмем мни­
мые части:
и =Л и 2 cos Р у sin со /;
fr y
і-
J Т
-f-Уі - sin р у sin(o) t + 90°).
у/ L q
(11.61)
(11.62)
/ Cq
Угол 90° в аргументе у синуса в формуле (11.62) соответствует мно­
жителю j в формуле (11.60).
В точках (Зу - к п , где £ = 0 ,1 ,2 ,..., будут узлы тока и пучности
напряжения.
о_________ ________ Л
______ 2 . 2 -
чвт<
Л иния <
ъ
в
Рис. 11.9
График стоячих волн напряжения и тока для трех смежных моментов
3
времени со /, = 0, со г2 = я /2 , со /3 = —п показан на рис. 11.9: а — напря­
жения, б — тока. Сплошными линиями обозначена волна при со /j = 0,
3
тонкими — при со /2
/2, штриховыми — при со /3 = —я для напря­
жения и при со /3 = п для тока.
§ 11.23. С тоячие волны в линии без потерь при коротком зам ы ­
кании на конце линии. Из формул (11.54) и (11.55) следует, что при ко­
ротком замыкании на конце линии
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях...
376
U = j i 2 j L 0 / C 0 sin р у;
(11.63)
/ = / 2 cos Р у.
(11.64)
Для перехода к мгновенным значениям умножим правые части
формул (11.63) и (11.64) на Л е у(й' и от произведений возьмем мнимые
части:
U = л/2 / 2 -у/V С0 sin р у sin(co t + 90°);
(11.65)
/ = V I / 2 cosP у sinco t.
(11.66)
В правой части формулы (11.65) — в формуле для напряжения — есть
множитель sin Р у sin(co / + 90°), как и в формуле (11.62) для тока /.
Следовательно, картина стоячей волны напряжения при коротком за­
мыкании на конце линии качественно повторяет картину стоячей волны
тока при холостом ходе линии.
§ 11.24. Ч етвертьвол н овы й трансф орм атор. Для согласования
линии без потерь, имеющей волновое сопротивление ZBl, с активной на­
грузкой ZH = RH ф Z b1 применяют четвертьволновый трансформатор
(ЧВТ). Он представляет собой отрезок линии без потерь длиной четверть
волны Х / 4 с волновым сопротивлением Zb2. Сопротивление Zb2 рас­
считывают так, чтобы входное сопротивление в схеме рис. 11.9, в по
отношению к точкам а и Ь оказалось равным ZBl (при этом на линии с
ZBl практически установится режим бегущей волны):
_ К cos90° + Zb2 sin 90° _ v2 , D _ 7
7
вх a b
О
^в2 ' “ н
^в і*
cos 90° + і — sin 90°
^в2
Отсюда
^в2 = л/^н
•
На линии с Zb2 есть и падающие, и отраженные волны.
Если
нагрузочное
сопротивление
не
чисто
резистивное
(ZH- RH+ j X H\ то для согласования ZBl с ZH на заданной частоте к
зажимам ab на рис. 11.9, в кроме четвертьволновой линии подключают
еще отрезок короткозамкнутой линии, длину которой берут такой,
чтобы суммарная входная проводимость четвертьволновой и дополни­
тельной короткозамкнутой линий равнялась l / Z Bl.
§ 11.25. Бегущ ие, стоячие и смеш анны е волны в линиях без по­
терь. К оэффициенты бегущей и стоячей волн. При согласованной на­
грузке на линии имеются только бегущие волны напряжения
(U = U2 eJ^ y ) и тока ( / = / 2 cJ ^ y ). Так как при любом у \eJ^ y \ = 1, то
для бегущей волны действующее значение напряжения и тока вдоль ли­
нии неизменно (рис. 11.10, а). При возникновении на линии стоячих волн
§ 11.26. Аналогия между уравнениями линии с распределенными параметрами...
действующее значение напряжения на линии
изменяется в функции расстояния у пропор­
ционально | sin Р у\ при коротком замыкании
(см. формулу (11.63)).
При несогласованной активной нагрузке
на линии возникает смешанная волна — ком­
бинация бегущей и стоячей волн. Если обо­
значить т —ZB/ ZH, то
U = U2 cosfi у + j т U2 s'mfi у =
» у
377
e
0
і U
Ґ \ Г
PУ
\ Г
\
0
6
- I J 2 cosр у + j U2 sin Р у + j U2 ( m - 1)sinр у ,
w
или
U = U2 QJ ^ y + j ( m - \ ) U 2 sinp>\
tr
v
,
"
0
Рис. 11.10
Первое слагаемое определяет бегущую,
второе — стоячую волну.
Распределение напряжения на линии в функции расстояния у
U = U2 Vcos2 Р у + т2 sin2 p>>.
При т > 1 напряжение на конце линии минимально, а через четверть
длины волны р>> = л /2 максимально (рис. 11.10,6). При т< 1 напря­
жение на конце линии максимально, а через Р у = п / 2 минимально
(рис. 11.10, в).
Коэффициентом бегущей волны называют отношение минимума на­
пряжения смешанной волны к ее максимуму:
в.
^ m in /^ m a x *
Коэффициент стоячей волны
К , в . = 1 / К б .в,
§ 11.26. А налогия между уравнениями линии с распределенными
парам етрам и и уравнениями четырехполюсника. Напряжение и ток
на входе линии с распределенными параметрами (£/1э /]) связаны с
напряжением и током в конце этой линии (U2, / 2) следующими уравне­
ниями (получены из (11.38) и (11.39), в которые вместо >> подставлена
длина всей линии I):
Ux = U 2 c h y / + / 2 ZB shy/;
/, = ^ - s h y l + i 2 chy/.
В
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях..
378
Сопоставим их с известными уравнениями четырехполюсника:
UX= A U 2 +B / 2;
/, = C U 2 + D I 2.
Из сопоставления следует, что уравнения по форме полностью ана­
логичны, а если принять, что
А = D = chy I;
(11.67)
£ = ZBsh y /;
( 11.68)
C = s h y / / Z B,
(11.69)
то зависимость между [/, и (/2, / 2 и зависимость между 1Х и t / 2,
/ 2 в линиях с распределенными параметрами точно такие же,
как и в четырехполюснике. Другими словами, при соблюдении условий
(11.67)—(11.69) четырехполюсник эквивалентен линии с распределенны­
ми параметрами в отношении связи между входными и выходными
токами и напряжениями.
Напомним, что обратная постановка вопроса, т. е. запись уравнений
четырехполюсника через гиперболические функции, рассматривалась
в §4.11.
§ 11.27. Зам ена четы рехполю сника эквивалентной ему линией с
распределенны м и п арам етрам и и обратная зам ена. При перемене
местами источника и нагрузки в схеме (см. рис. 11.7) токи в источнике и
нагрузке не изменятся. Таким же свойством обладает симметричный
четырехполюсник. Поэтому однородная линия с распределенными пара­
метрами может быть заменена симметричным четырехполюсником и,
наоборот, симметричный четырехполюсник можно заменить участком
однородной линии с распределенными параметрами. При замене будем
исходить из уравнений (11.67)—(11.69) и зависимостей, с помощью кото­
рых параметры симметричного четырехполюсника связаны с коэффи­
циентами А , В, С.
Для симметричной Т-схемы замещения четырехполюсника
(11.70)
(11.71)
или
(11.72)
(11.73)
§ 11.27. Замена четырехполюсника эквивалентной ему линией..
379
(11.74)
Для симметричной П-схемы
(11.75)
Z4 =B ;
(11.76)
или
(11.77)
(11.78)
S = Z4;
(11.79)
Рассмотрим сначала последовательность операций при замене Т- и
П-схем замещения четырехполюсника эквивалентной ему линией с
распределенными параметрами (имеется в виду замена при фиксирован­
ной частоте).
Пусть известны параметры Z, и Z3 в Т-схеме (Z4 и Z5 в П-схеме).
Требуется найти ZB и у / для эквивалентной линии.
По формулам (11.72)—(11.74) или соответственно (11.77)—(11.79) на­
ходим коэффициенты А, В, С.
Для определения волнового сопротивления ZB разделим (11.68) на
(11.69):
(11.80)
ZB= уіВ / С .
Для определения у / составим выражение для th y /, использовав
(11.67), (11.68) и (11.80):
В
th T / _ sh у 1 _ У д 7 с
chy /
А
А
( 11.81)
но
Умножив и числитель, и знаменатель последней формулы на еу/,
получим
380
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях..
Отсюда
e 2v/ = е 2а / е > 2р / _
1 + th У
у
1 —th у у
(11.82)
Правую часть формулы (11.82) переведем в показательную форму.
Пусть она будет равна М еу v. Тогда
и так как
e >v __ е У(v+ 2пк) = е У 2р/
где к — целое ЧИСЛО, то
2 р / - 2 & я у = у.
Отсюда
р / = - + * л.
2
(11.83)
Для реальных линий R0, L0, С0, G0 > 0. Это накладывает условие
на определение к. Следует подсчитать Р / по приближенно известному
значению фазовой скорости в линии
(11.84)
и затем, сопоставив значения р /, найденные по (11.83) и (11.84), опре­
делить к, округлив его значение до ближайшего целого числа.
Рассмотрим теперь последовательность операций при замене линии
с распределенными параметрами эквивалентным ей четырехполюсником.
Известны у / и ZB. Требуется найти сопротивления Z x и Z3 вТ-схеме (Z4 и Z5 в П-схеме). С этой целью по (11.67)—(11.69) находим зна­
чения коэффициентов А , В, С, а затем по (11.70) и (11.71) определяем
Z, и Z3 для Т-схемы (или по (11.75) и (1 1 .7 6 )— сопротивления Z4 и
Z5 для П-схемы).
Возникает вопрос: любой ли симметричный четырехполюсник мож­
но заменить участком линии с распределенными параметрами и любую
ли линию с распределенными параметрами можно заменить четырехпо­
люсником?
Очевидно, подобную замену можно осуществить, если полученные в
результате расчета параметры таковы, что заменяющее устройство
физически можно выполнить. Как правило, замена участка линии с рас­
пределенными параметрами четырехполюсником возможна всегда, а
обратная замена — не всегда. Она невозможна в тех случаях, когда в
результате расчета волновое сопротивление окажется чисто мнимым чис­
лом; в реальных линиях этого не бывает.
§ 11.29. Цепная схема
381
§ 11.28. Четырехполюсник заданного затухания. Включаемый меж­
ду источником сигнала и нагрузкой четырехполюсник, предназначенный
для ослабления амплитуды сигнала в заданное число раз, называют че­
тырехполюсником заданного затухания (аттенюатором). Его собирают
обычно по симметричной Т- или П-схеме и нагружают согласованно.
Положим, что требуется найти сопротивления Zj и Z3 такого четы­
рехполюсника, собранного по Т-схеме, полагая известными затухание а
(в неперах) и характеристическое сопротивление Zc. Исходим из двух
соотношений:
ch а = 1+ —
Z3
и
Zc = J B / C = ^ 2 Z, Z3 + Z,2.
Из первого находим Z x/ Z3 = ch a -1 и подставляем во второе.
П рим ер 1 1 8 . Дано: а - 0,963 Нп; Zc =700
Р е ш е н и е . Z ,/ Z 3 = ch0,963, ) -1 = 0,5;
Z3 = 622 Ом.
Найти Z x и Z3.
Z ,= 0 ,5 Z 3; ZC = 2,25Z,;
0 m.
Z, = 3 1 1 0 м ;
§ 11.29. Ц епная схема. На практике приходится встречаться со схе­
мой, представляющей собой каскадное включение нескольких одинако­
вых симметричных четырехполюсников (рис. 11.11).
Рис. 11.11
Такую схему принято называть цепной. Исследование распределения
тока и напряжения вдоль цепной схемы удобно проводить, используя
теорию линий с распределенными параметрами. Действительно, в пре­
дыдущем параграфе говорилось о замене одного четырехполюсника
отрезком линии длиной /, имеющей постоянную распространения у и
волновое сопротивление ZB. Если число четырехполюсников равно п, то
длина отрезка линии с распределенными параметрами будет в п раз боль­
ше, т. е. равна п /.
Обозначим напряжение и ток на выходе п четырехполюсника через
0 п+] и / я+1; тогда напряжение и ток на входе первого четырехполюсника
U{ = t / n+I chy n l + / nU ZBshy л /;
(11.85)
h = % tLc h y « / + / n+, Z„ chyw/.
(11.86)
В
Таблицу гиперболических функций см. в § 8.18.
382
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях..
Напряжение и ток на входе к от начала четырехполюсника (к < п) :
йк =^«+1 сЬ(и-Л + 1) у / + /„+, ZB sh(« - А: -н 1) у /;
(11.87)
h ~ ~ z ~ ~ sh(/i- к + ї ) у І + / п+1 Z„ ch(«- A +1) у /.
(11.88)
В
Рассмотрим несколько числовых примеров на материал, изложенный
в § 11.1~11.28.
П ри м ер 119. Для некоторой линии длиной 5 км на частоте 1000 Гц были проведены
опыты по определению ее входного сопротивления при холостом ходе и короткеє замы­
кании на конце линии. Оказалось, что Z BXX = 5 3 5 е ”у 64° Ом и ZBXK = 467,5
Тре­
буется найти волновое сопротивление ZB и постоянную распространения у этой
линии.
Р е ш е н и е. Из формулы (11.53) следует, что при холостом ходе, когда Z2 = °о
^вх х = Z B/ th у /.
При коротком замыкании, когда Z2 = 0,
Z BXk = 2 . th y /,
отсюда
z, =
, = д/535 є'-' 64* 467,5 e ';1°” = 500 e' J 37° Ом;
thy l = JZKK/ Zt„ = 0,935 e>27”.
По формуле (11.82),
е 2 а / ey 2P/ _ 1-Ь0,935 еУ2711 c7 81°10f _ CM14 e 1.4l4.
~ 1-0,935 e ' 27°
4,11 = e1,414;
2 a / = 1,414;
81°10' = 1,414 рад;
a = 0,1414/(2 /) = 0,1414;
у = 0,2 e /45° km' 1;
P = 0,1414.
П ри м ер 120. Определить /?q, £0>
и Q> Для л и н и и примера 119, полагая
2 В = 500е~-/37° Ом и у = 0,2 е ^ 45° км’ 1.
Р е ш е н и е . В соответствии с формулами (11.17) и (11.19)
У Z B = Rq + j (О Lq.
Следовательно,
Яо + j ш io = 0,2 е; 45° 500 е '; 37° = 100 е ' 8° = 99 + j 13,9,
ИЛИ
/?о = 99 Ом / км
и
£0 = 1 3 ,9 /(2 я -1 0 0 0 ) = 0,00222Гн/км;
Таким образом,
О0 + у о) С0 = 0,2 е ; 45° / (500 е - ' 37° ) = 0,0557 • 1 0 '3 + j 0,369 • 10 '3.
П ри м ер 121. Линия примера 120 подключена к постоянному напряжению (со = 0).
Определить напряжение и ток в начале линии, если на конце линии включена нагрузка
300 Ом и ток в нагрузке 0,5 А.
§ 11.29. Цепная схема
383
Р е ш е н и е. По формуле (11.25) находим волновое сопротивление линии ZB для по­
стоянного тока:
Z „ = V 99/0,0557 1 0 '3 = 13300м .
Постоянная распространения (см. формулу (11.20))
у=
G0 = л/99 0,0557 10-3 = 0,0743 к м '1.
По формулам (11.38) и (11.39), при у - I
£/, = l / 2 c h y / + / 2 Z , sh y /;
/, = / 2 c h y / + ^ 2 .s h y /.
^В
По условию / 2 = 0,5 A; U2 = / 2 Я2 = 0,5-400 = 200 В; у / = сх / = 0.0743-5 = 0,371;
ch а / = ch 0,371 = 1,07; sh а / = sh 0,371 = 0,379. Следовательно,
Ux = 200 • 1,07 + 0,5 • 1330* 0,379 = 466 В;
/, = 0,5 • 1,07 +
0,379 = 0,694 А.
1
1330
П рим ер 122. Линия примера 119 короткозамкнута на конце и присоединена к источ­
нику синусоидального напряжения частотой 1000 Гц. Определить напряжение и ток в
начале линии, если ток в конце линии / 2 = 1А.
Р е ш е н и е . При коротком замыкании
^ = / 2 ZBsh y /; / , = / 2 ZBch y /.
По данным примера 119,
у = а + у р = 0,1414 + у 0,1414 км "1;
/ = 5 км;
у / = 0,707 + у 0,707;
eyi _
е 0.707
ej
_ 2 Q2
0.707
e- r / = e -o .w e-yo.7°7
( c o s 4 0 o2 0 - + j
= 0 ,4 9 5
sin 40°20') = 1,54 + j 1,305;
(cos 40°20' - у sin 40°20') = 0,377 - j 0,32;
chy / = 0,5 (еу/ + е~у ) = 0,96 + j 0,4925 = 1,07 е-'27’20';
Z , = 500е'-/37° Ом;
sh у / = 0,5 (еу/ - е”г/) = 0,582 + j 0,812 * e j54°20'.
Следовательно,
и , = І 2 z , sh у / = 1• 500 e ' J 37° eJ 54°20' = 500 eJ 11°20' В;
/, = / 2 c h y / = 1,07 е>27’20' А.
П рим ер 123. Линия примера 119 замкнута на активное сопротивление Z2 = 400 Ом.
Определить 0 \ и
если по нагрузке протекает ток / 2 = 0,5 А; / = 1000 Гц.
Решение.
(У, = 0 2 ch у / + / 2 Z , sh у / = 200 • 1,07 eJ 27°20' + 0,5 • 500 e ' J 37° eJ 54°20' = 463 eJ 22° В;
/, = / 2 ch у / + — sh у / = 0,8 е-*53°38 А.
П рим ер 124. По данным примера 123 определить комплекс действующего значения
падающей волны в начале линии (А2).
384
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях..
Р е ш е н и е . В соответствии с формулой (11.31)
=
= 4 3 1 е-'|9°30 В.
П ример 125. Записать выражение для мгновенного значения падающей волны напря­
жения в начале и конце линии по данным примера 124.
Р е ш е н и е . Мгновенное значение падающей волны напряжения в начале линии при
*=0
л/2 • 431 sin(co t +19°30').
щей волны напряжения їв конце линии при х - l в общем
Мгновенное значение падающей
виде
V2 А2 е~а ' sin(co t + vyn - р /);
определяем
е*®' =е"°-707 =0,495;
р / = 0,707 рад = 40°20';
V I Аг е-" ' = 4 І •431 • 0,495 = 301 В;
V)/„ - р / = 19°31 '- 40°20'= -20°50'.
Следовательно, мгновенное значение падающей волны напряжения в конце линии
301sin(G>/-20°50') В.
П ример 126. Определить затухание в неперах для линии примера 119, если на конце
ее включена согласованная нагрузка.
Р е ш е н и е . Затухание в неперах равно а .
Так как произведение а / = 0,1414-5 = 0,707, то затухание линии равно 0,707 Нп.
П рим ер 127. Какую дополнительную индуктивность L0aon нужно включить на каж­
дом километре телефонной линии с параметрами: /?0 = З О м /к м ; Lq = 2 1 0 ~ 3Г н/км ;
G0 = Ю_6Ом к м " 1; С0 - 6 10"9Ф /к м , чтобы линия стала неискажающей?
Р е ш е н и е . Для того чтобы линия была неискажающей, ее параметры должны удов­
летворять уравнению (11.46). Следовательно,
Lo лоп +
*о Ср
Go
= 3 •6 • Ю '9 / 10‘6 = 18 • 10’ 3Гн / км;
Ор
А)доп = 18 - 2 = 16 м Г /км ;
П ример 128. Определить наименьшую длину короткозамкнутой на конце двухпровод­
ной воздушной линии, чтобы при частоте 108 Гц входное сопротивление ее равнялось
800 j Ом. Расстояние между осями проводов d = 20 см, радиус каждого провода
г - 2 мм.
Р е ш е н и е . В соответствии с формулой (11.57)
•Z.XK = v V V Q tgpy.
Для двухпроводной линии
Вопросы для самопроверки
385
1р
Но р п ( < //г П 2.
C0
є0
V
я
1 ^ - = 377 Ом;
V є0
По условию 800 / = у 553 tg р
IL q
In(d ir ) ІЦ о .
у
\С 0
= 377 '"{??- - - ? ■= 553 Ом.
л
Отсюда
tgP .у = 800/553 = 1,445;
Р ^ = 55°20' = 0,963 рад;
р = со V^-o Со = 2,09-10~2 с м '1.
Искомая длина линии
> = 0,963 /(2,092 10_2) = 46,1 см.
П рим ер 129. В Т-схеме рис. 4.4, a Z x = 100 Ом, Z3 = -500 j Ом. Определить харак­
теристическое сопротивление четырехполюсника и произведение у / эквивалентной ему
линии с распределенными параметрами.
Р е ш е н и е . В соответствии с формулами (11.72)—(11.74)
Л = | + -^- = 1+
Z3
100
-5 0 0 j
=1 + 0,2 j
=1,02 е '" ° 18;
B = 2 Z , + ^ - = 200 + —— — = 200+ 20 j * 2 0 0 e ' s°40';
1 Z3
-5 0 0 j
1
І
Л
С = — = ---- :---- = 0,002 e
Z3 -5 0 0 j
J 90°
По формуле (11.80)
Z„ = V fi/C = V2 0 0 e-/5M0’ / (0,002 e J 900) =316 e - 42”10' Ом.
По формуле (11.81)
,
,
ЛЇЇС
tg^ = —
ТІІООe J 5 °w
0,002e ' 90°
. .... .
= *— f-^Л ТЇЇ?-------- = °-498 + °>396^
По формуле (11.82)
е2у/ = е 2а/ е 7 2р/ ^ 1+ th у I _ 1,498 + j 0,369 __ 2 175 с / 50°Ю'.
І -th у /
0,502 - j 0,369
’
а / = 0,5 In 2,475 = 0,454;
р / = 25°5'» 0,437 рад;
у / = 0,454 + у 0,437.
Вопросы для сам опроверки
1.
Чем принципиально отличаются цепи с распределенными параметрами от цепей с
сосредоточенными параметрами? 2. За счет чего токи и напряжения вдоль линии с рас­
пределенными параметрами неодинаковы для одного и того же момента времени? 3. По­
386
Гл. 11. Установившиеся процессы в электрических цепях..
ясните переход от уравнений для мгновенных значений и и / уравнений (11.1) и (11.4) к
уравнениям для комплексных значений О н 1 (уравнениям (11.7) и (11.8)). 4. Каков фи­
зический смысл постоянной распространения у и волнового сопротивления Z B? 5. Если
два провода двухпроводной линии с малыми потерями раздвинуть по сравнению с их
исходным состоянием, то как это скажется на ZB и у? 6. Как определить ZB и у опыт­
ным путем? 7. Из каких условий определяют постоянные А х и А2? 8. Как показать, что
сигнал, проходя по линии без искажений, не изменяет своей формы? 9. Почему в линии
передачи информации стремятся брать ZH = Z B? 10. Линия без потерь нагружена несо­
гласованно. Коэффициент отражения по напряжению ки = 1 /3 . Чему равно ZH в долях
от ZB? 11. В чем различие между бегущей и стоячей волнами в физическом и математи­
ческом отношениях? Какую волну называют смешанной? 12. Покажите, что линия без по­
терь является неискажающей. 13. При каком соотношении между параметрами можно
считать реальную линию с R0 * 0 и G0 * 0 как линию без потерь? 14. Линия длиной Х /2
нагружена согласованно, у = 0,1 + 0,314 j . Определите КПД линии. (Ответ: 0,133.) 15. Ли­
ния имеет длину 10 км и у = 0,2+ 0,314у. В середине линии ц п = 100еу30° В,
£/отр = 5 0 е "у 30° В. Запишите мгновенные значения ип и и0 в начале линий. (От­
вет: ип = 272 sin(co / +120°), и0 - 36,8 sin(co / -1 2 0 °).) 16. В каком смысле четырехполюсник
может быть эквивалентен линии с распределенными параметрами? 17. Как рассчитать
элементы аттенюатора по известным а и ZB? 18. Каково назначение четвертьволнового
трансформатора? 19. Решите задачи 13.3; 13.11; 13.23; 13.31; 13.37; 13.43.
Глава двенадцатая
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ,
СОДЕРЖАЩИХ ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
§ 12.1. Общие сведения. В гл. 8 рассматривались переходные процес­
сы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами.
Для электроэнергетики, телефонии, телеграфии, счетной техники, радио­
техники, электроники и импульсной техники существенное значение
имеют также переходные процессы в электрических цепях, содержащих
линии с распределенными параметрами.
В тех участках цепей, которые могут быть представлены как участки
с сосредоточенными параметрами, расчет переходных процессов выпол­
няют с помощью методов, изложенных в гл. 8. В данной главе обсуждают­
ся особенности переходных процессов в самих линиях с распределенны­
ми параметрами, вопросы согласования и увязки их с переходными
процессами на участках цепей с сосредоточенными параметрами.
Как уже говорилось в § 11.2, основными уравнениями для линий с
распределенными параметрами являются уравнения (11.1) и (11.4). Они
справедливы для установившихся и переходных процессов.
В силу того что интегрирование двух совместных дифференциальных
уравнений в частных производных (уравнений (11.1) и (11.4)) в общем
виде представляет собой довольно сложную в математическом отно­
шении задачу, в курсе ТОЭ переходные процессы на первом этапе
изучают несколько упрощенно, а именно: рассматривают переходные
процессы в однородных линиях без потерь, т. е. при R q = О и G 0 = 0.
Практически это вполне оправдано, поскольку реальные линии с распре­
деленными параметрами, как правило, обладают относительно малыми
потерями.
Изучение переходных процессов при Rq = 0 и G0 = 0 дает возмож­
ность качественно исследовать основные черты процессов. В количе­
ственном отношении неучет
и G0 для начальных стадий переходно­
го процесса существенного влияния обычно не оказывает, однако для
последующих стадий учет Rq и G0 желателен и даже необходим.
После того как основные черты переходных процессов в линиях с
распределенными параметрами будут изучены, в § 12.11-12.15 будет
рассмотрено применение операторного метода, позволяющее учесть
затухание волн в линиях (учесть наличие Rq и G0).
В энергетических, телефонных и телеграфных устройствах, содержа­
щих линии с распределенными параметрами, переходные процессы воз­
никают при подключении линий к источнику ЭДС (источнику сигнала),
при отключении от источника ЭДС, при подключении и отключении на­
грузки, а также при атмосферных (грозовых) разрядах.
1 о*
388
Гл. 12. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих линии с РП
В радиотехнических устройствах и устройствах, используемых в
вычислительной технике, также происходят переходные процессы типа
рассматриваемых в данной главе, например, в линиях задержки и фор­
мирующих линиях.
§ 12.2. Исходные уравнения и их решение. Из уравнений (11.1) и
(11.4) при R q - О и G0 = 0 следует, что
-£ = ■ * .§ ;
дх
dt
(а д
~-сЛ.
(12.2)
дх
dt
Ток и напряжение являются функциями двух переменных: расстояния
х от начала линии и времени t. Продифференцируем (12.1) по х и (12.2)
ПО V.
д 2и - /
а ? ’
а 2/
дх dt
д%і ■
0 дх dt ’
^
д 2и
(12.3)
(12.4)
0 dt 2
В соответствии с (12.4) в правую часть (12.3) вместо d 2i / d x d t подд 2и
ставим - Сп — г и обозначим
Ln Сп
1/ и2 :
м L0
C0 = 1/и
dt
оо
д2и
1 д2и
dt 2
и2 dt 2
(12.5)
Из предыдущего (см. §11.10, формула (11.44)) известно, что
= i / 7 Z 7 q есть скорость распространения электромагнитной волны
по линии. Если уравнение (12.2) продифференцировать п о*, а (12.1) —
по / и в правую часть продифференцированного уравнения (12.2) под­
ставить правую часть продифференцированного уравнения (12.1), то
получим
u
д 2і
1 д 2і
д х 2 ~ и2 d t 2 '
( 12.6 )
Уравнения (12.5) и (12.6) — это уравнения второго порядка в част­
ных производных. Из курса математики известно, что уравнения такого
вида называют волновыми.
Решением уравнения (12.5) является сумма любых функций / , и / 2,
причем аргументом функции /j является ( t - х ! и), а аргументом функ­
ции / 2 является (t + х / и):
и = f x { t - x l x ) ) + f 2 (t + xl'6).
(12.7)
§ 12.3. Падающие и отраженные волны на линиях
389
Для сокращения записи в дальнейшем будем обозначать:
«П = А ( 1 - х / V);
(12.8)
ио = / 2 0 + х/м).
(12.9)
Следовательно,
w = wn +w0,
(12.10)
где индексы «о» и «п» означают «отраженная» и «падающая» (волны).
Вид функций f x и / 2 определяется граничными условиями в начале
и конце линии. Функции /і и / 2 в общем случае должны позволять
дважды дифференцировать их по х и /.
Подстановка функций f x ( t - x l v ) и / 2 (/ + * /и ) в (12.5) дает тожде­
ство.
Решение уравнения (12.6):
/ = Ф, ( /- л :/и ) + ф2 (/ + jc/ o ).
(12.11)
Для сокращения записи обозначим:
іп = Ф і( / - ; с/и);
(12.12)
(t+ x/v).
(12.13)
'о = ф 2
Тогда
/ = /п + / 0 .
(12.14)
§ 12.3. Падающ ие и отраженные волны на линиях. В соответствии
с формулами (12.7) и (12.11) напряжение и ток в линии могут быть пред­
ставлены в виде двух функций: функции f x ( t - x / v ) и ф] (/ —л:/о) —
падающие волны; функции / 2 (/ + х /и ) и ф2 (/ + х /и ) — отраженные
волны.
Падающие волны перемещаются со скоростью v по направлению от
источника энергии к приемнику, т. е. в сторону увеличения координаты х;
отраженные волны — от приемника энергии к источнику, т. е. в сторо­
ну уменьшения координаты х.
Обсудим, как следует понимать, что аргументом функции f x является
( / - х /u ) (аналогичные выводы можно сделать и по отношению к дру­
гим функциям).
Пусть в некоторой точке линии при X - х ] и / = /j значение функции
/і (*і - * і / і ) ) равно Fx. Это значение функция /j будет принимать во
всех точках линии, где х > хх с запозданием во времени, равным
(jc-jc ])/u и обусловленным конечной скоростью перемещения волны по
линии.
390
Гл. 12. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих линии с РП
Так, в точке х = х 2 значение функции / ,
/ = /2 = t\ + (х2 - х х) / и. Действительно,
будет равно Fx при
/і (/2 - * 2 / и ) = у;
=
F l .
Таким образом, каков бы ни был закон изменения напряжения пада­
ющей волны f x в начале линии, по такому же закону, но с запозданием
во времени изменяется напряжение падающей волны в любой точке ли­
нии.
§ 12.4. Связь между функциями f v / 2 и функциями <Pj, Ф2.
Найдем связь между функциями f x и ф,, а также / 2 и ф2. С этой це­
лью в (12.1) и (12.2) подставим (12.7) и (12.11) и для сокращения записи
обозначим:
d f \ ( 1 - х / у) =
d( t - x l x >)
"
с/ф| (t - x / v ) =
d(t - х / о)
d f 2 (t + x / и)
rf(/ + x /o ) “ 2’
,.
"
d(p2 (t + х /о ) __ ,
d(t + x / v ) _Ф2'
Тогда уравнение (12.1) дает
Из (12.2) следует, что
— ф|
и
и
ф2 - С0 /j'+ С0 / 2.
(12.16)
Перепишем (12.15) и (12.16):
/Г -Я ^ М
ф і + ф і );
( 12Л7)
У І ' + / 2 = - 7 г ( ф і - ф '2)-
( 12Л 8>
и с 0
Но
X) L q — L q /
Lq C q =
= ZgJ
1/ (u C 0) = V L0 Q / C0 = V V Q =
где ZB — волновое сопротивление однородной линии без потерь (см.
формулу (11.26)).
Таким образом,
/ Г - / 2 = 2 в ( ф; +
ф і );
(12.19)
/і' + Л = ZB(ФІ-Фз).
(12.20)
§ 12.5. Электромагнитные процессы при движении прямоугольной волны по линии
391
Следовательно,
q>;=/i,/ Z B;
(12.21)
Ф'2 = - / 2'/ Z B.
(12.22)
Если производные двух функций (например, ф| и / / ) при любых
значениях х и t равны, то это значит, что сами функции ( ф] и f x ) равны
с точностью до постоянной. Поэтому
Фі ( t - x / v ) = ^ r f ]( t - x / v ) ;
(12.23)
Ф2 (/ + лг/и) = - ^ - / 2 (/ + х /и ).
(12.24)
Постоянные интегрирования опустили, так как полагаем, что в токах
и напряжениях падающей и отраженной волн отсутствуют постоянные
составляющие, не зависящие от х и от t. Два последних уравнения мож­
но переписать с учетом (12.8), (12.9), (12.12), (12.13):
i „= un / Z b\
(12.25)
/0 = - k0 / Z b.
(12.26)
Из (12.25) следует, что ток падающей волны для любого момента вре­
мени и для любой точки на линии равен частному от деления напряже­
ния падающей волны для того же момента времени и для той же точки
линии на волновое сопротивление.
Из (12.26) вытекает, что ток отраженной волны для любого момента
времени и для любой точки линии равен взятому с обратным знаком ча­
стному от деления напряжения отраженной волны в той же точке линии
и для того же момента времени на волновое сопротивление. Знак минус
в (12.26) означает, что ток отраженной волны направлен встречно поло­
жительному направлению отсчета тока, показанному на рис. 11.2.
§ 12.5. Э лектром агнитны е процессы
при движении прямоугольной волны по
линии. Пусть источник постоянного на­
пряжения и, имеющий внутреннее сопро­
тивление, равное нулю, подключается к
%
незаряженной однородной линии с распре­
dx = и dt
Ф “
деленными параметрами, у которой
Rq = Gq = 0 (рис. 12.1).
По линии перемещается падающая
электромагнитная волна. Начальный уча­
сток волны, первым продвигающимся по
линии, принято называть фронтом волны. В данном случае волна имеет
прямоугольный фронт.
392
Гл. 12. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих линии с РП
Двигаясь по линии, волна создает между проводами линии электри­
ческое и магнитное поля.
Приращение магнитного потока (потокосцепления) на фронте волны
за время dt равно произведению тока / на индуктивность участка линии
длиной dx: d y = і L0 dx; оно вызывает ЭДС
і
мп
и.
Таким образом, на фронте волны возникает ЭДС самоиндукции, чис­
ленно равная напряжению генератора. На фронте волны происходит за­
рядка проводов линии: один провод, например верхний, присоединенный
к плюсу источника ЭДС, приобретает положительный заряд, другой (ниж­
ний) — отрицательный заряд (такой же величины).
Кроме того, на фронте волны возникает ток смещения /см = d q ! d t ,
где d q — приращение заряда на одном из проводов линии за время dt:
d q = С0 и d x - С0 и и dt.
Проходящий по диэлектрику на фронте волны ток смещения равен
току падающей волны, проходящему по проводам линии:
Электромагнитная волна, продвигаясь по линии, каждой единице дли­
ны ее сообщает энергию электрического поля С0 и 2 12 и энергию маг­
нитного поля L0 і2 12. Можно показать, что эти количества энергий рав­
ны. Действительно,
Следовательно,
С0 и2п / 2 = С0 /п2 Ц /(2 С0) = A) i l l 2.
Когда падающая волна достигает конца линии, к которому в общем
случае присоединена некоторая нагрузка или другая линия (с другим
волновым сопротивлением), то часть падающей волны проходит в нагруз­
ку (или соответственно во вторую линию), а часть отражается — возни­
кает отраженная волна.
Чтобы выяснить, какова форма волны, проходящей в нагрузку, како­
ва форма отраженной волны и как они деформируются во времени, при­
меняют расчетную схему, которую принято называть схемой замещения
для исследования волновых процессов в линии с распределенными пара­
метрами.
§ 12.6. Схема замещения для исследования волновых процессов в линиях...
393
§ 12.6. Схема замещ ения для исследования волновых процессов
в линиях с распределенными параметрами. Для обоснования методики
составления схемы замещения обратимся к рис. 12.2, а. На нем изобра­
жена линия с распределенными параметрами, на конце которой включе­
на некоторая нагрузка. Начиная с того момента, когда падающая волна
дойдет до конца линии, по нагрузке пойдет ток /н и на ней будет напря­
жение мн.
Рис. 12.2
На рис. 12.2, а изображены эпюры волн и и / на линии для момента
времени, непосредственно предшествующего подходу волны к концу
линии.
В соответствии с формулами (12.10) и (12.14) напряжение и ток в
любой точке линии можно представить в виде суммы падающих и отра­
женных волн. Это справедливо также в отношении напряжения и тока в
конце линии. Следовательно,
и „ + и 0 = и н -,
( 1 2 .2 7 )
' п + і 0 = , Н-
( 1 2 .2 8 )
Заменив /п на un / Z b, а /0 на -w 0 /Z B, получим
ио ~
> wn
wo ~~ *н
,
ИЛИ
2 « n = w H + / H Z B*
( 1 2 .2 9 )
Таким образом, напряжение на конце линии мп и ток в нагрузке /п
независимо от характера нагрузки связаны с напряжением падающей
волны ип уравнением (12.29). Последнему соответствует схема с сосре­
доточенными параметрами, изображенная на рис. 12.2, б. В ней к источ­
нику ЭДС напряжением 2 иП подключают последовательно соединенные
2 ь И ZH.
Расчет переходного процесса в схеме с сосредоточенными парамет­
рами (рис. 12.2, б) выполняют любым из методов, рассмотренных в гл. 8.
Расчет дает возможность определить /н = / ( / ) и ин = f ( t ). После того
как эти зависимости найдены, можно определить характер изменения во
394
Гл. 12. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих линии с РП
времени напряжения и тока отраженной волны: и0 = / ( 0 и i0 = /(/)*
Действительно, из уравнений (12.27) и (12.26) следует, что
ио(0 =ин(0-«п(0;
^0 (О I ZB,
Z B = j L J C ~ 0.
(12.30)
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение схе­
мы замещения.
§ 12.7. П одключение разомкнутой на конце линии к источнику
постоянного напряж ения. В линии без потерь, так же как и в колеба­
тельном контуре без потерь, при подключении к источнику постоянной
ЭДС возникают незатухающие колебания. Период колебаний состоит из
четырех частей или стадий (рис. 12.3, а-г) одинаковой продолжительноUnl
—
!л1___
и
---- -
1Г
........
и
—
/'
1----
а
в
и
Wol
u
^
Wnl
и ----
/пі
И
1
1
/о!
V
б
г
Рис. 12.3
сти //и , где / — длина линии, и — скорость распространения волны.
Для рассмотрения этих стадий воспользуемся двумя различными схема­
ми замещения. Первая схема (рис. 12.4, а) соответствует разомкнутому
Рис. 12.4
концу линии (ZH = оо), когда к нему подходит падающая от начала ли­
нии волна. Вторая схема (рис. 12.4, б) соответствует моменту времени,
когда отраженная волна подошла к началу линии, где включен генератор
§ 12.7. Подключение разомкнутой на конце линии к источнику... напряжения
395
постоянного напряжения, внутреннее сопротивление которого полагаем
равным нулю (ZH= 0).
Рассмотрим каждую из стадий процесса в отдельности.
Первая стадия. От генератора к концу линии распространяются вол­
на напряжения ипХ = и и волна тока /п1 = wnl /Z B = і (см. рис. 12.3, а).
Вторая стадия заключается в том, что от конца линии к ее началу
движется отраженная волна (wol, іо]). Для определения иоХ и служит
схема рис. 12.4, а. Она составлена в соответствии с общим методом,
изложенным в § 12.6. В ней к напряжению 2 ипХ = 2 и подключаются вол­
новое сопротивление линии ZB и сопротивление нагрузки ZH= 00 (ли­
ния на конце разомкнута!).
Согласно рис. 12.4, а напряжение на нагрузке равно удвоенному
напряжению падающей волны. Действительно, при ZH -> оо
Z
“z„ = 2 иП! -Z .........= 2 ип1 = 2 и.
В соответствии с формулой (12.30) отраженная волна напряжения
«о! = " н - “ п1 = 2 мп1 - « п1 = ";
в соответствии с формулой (12.26) отраженная волна тока
*о1 ~~ ~wol / ZB- -*nl “
Таким образом, в течение второй стадии процесса от конца линии к
началу продвигается отраженная волна иоХ = и, /о1 =
Результирующее
состояние на линии определяется наложением первой падающей волны
( wni> *пі) и пеРв°й отраженной волны (мо1, /о1). На рис. 12.3, б дана
эпюра распределения напряжения и тока по линии для некоторого мо­
мента времени во второй стадии. (В этой стадии для участков линии, на
которые прошли отраженные волны, результирующее напряжение равно
2 и , а результирующий ток равен нулю.)
Третья стадия процесса состоит в том, что волна иоХ, /о1, дойдя до
начала линии, отразится от генератора, как от короткозамкнутого конца
линии (внутреннее сопротивление генератора принято равным нулю), и
вызовет распространение в направлении от генератора к концу линии
второй падающей волны (мп2, /п2), являющейся, по существу, отражен­
ной ВОЛНОЙ ПО отношению К волне (м0|, /о1).
Для определения характера отражения волн от начала линии исполь­
зуем схему рис. 12.4,6. В ней ZH=0, 2w0 l=2w. Так как нагрузка
ZH =0, то и напряжение на ней равно нулю. Но напряжение на нагрузке
в соответствии с (12.27) равно сумме напряжения падающей волны
(в данном случае и0] = и ) и напряжения отраженной от начала линии вол­
ны, распространяющейся от генератора к концу линии и потому назван­
ной второй падающей волной. Следовательно, 0 = и + ип2. Отсюда
« п 2 = -« ;
'п2 = “ n 2 / Z „ = - ' •
396
Гл. 12. Переходные процессы в электрических цепях, содерж ащих линии с РП
Результирующее состояние на линии по время третьей стадии процес­
са изображено на рис. 12.3, в. Оно получено в результате наложения трех
волн: первой падающей волны (и п1, /п1), первой отраженной от конца
волны (и о1, /о1) и второй падающей волны (мп2, /п2).
Четвертая стадия процесса заключается в том, что на три предыду­
щие волны накладывается четвертая волна, представляющая собой отра­
жение от разомкнутого конца линии второй падающей волны.
Отражение второй падающей волны от конца линии произойдет в
соответствии со схемой замещения рис. 12.4, ау только вместо 2 ип1 = 2 w
в схеме будет напряжение 2 ип2 = -2 и.
Вторая отраженная волна имеет ио2 = -м, /о2 = /. Результирующее
состояние на линии во время четвертой стадии (рис. 12.3, г) есть резуль­
тат наложения четырех волн:
Мп1 + мо1 + м п2 + мо2 = и + и - и - и = 0;
'п! +'о1 +'п2 +'о2 = І - І - І + І = 0 .
Таким образом, к концу четвертой стадии напряжение и ток вдоль всей
линии равны нулю — линия приобретает такое же состояние, какое у нее
было к началу первой стадии. Затем процесс повторяется до бесконечно,
так как R q и С0 были приняты равными нулю. В действительности бла­
годаря наличию сопротивления Rq и утечки G0 колебательный процесс
постепенно затухает и вдоль линии устанавливается режим, соответству­
ющий установившемуся процессу в линии при постоянном напряжении.
В рассмотренном примере линия на конце была разомкнута, поэтому
отраженные волны имели такую же прямоугольную форму, как и падающие.
Отраженные волны будут иметь форму, в общем случае не похожую
на форму падающей волны, если в состав нагрузки на конце линии вхо­
дят емкости и (или) индуктивности, а также в том случае, если в месте
перехода с одной линии на другую есть сосредоточенные индуктивнос­
ти и (или) емкости.
§ 12.8. Переходный процесс при подключении источника посто­
янного напряж ения к двум последовательно соединенным лин и ям
при наличии емкости в месте сты ка линий. Пусть первая линия име­
ет длину /, и волновое сопротивление ZBl, вторая линия — длину /2 и
Напряжение источника ЭДС равно и (рис. 12.5, а). В месте
стыка линий есть сосредоточенная емкость С.
а
б
Рис. 12.5
§ 12.8. Переходный процесс при подключении источника...
397
Требуется определить форму волны, проникающей во вторую линию,
характер изменения тока через сосредоточенную емкость, а также резуль­
тирующее распределение напряжения и тока вдоль первой линии при
движении по ней отраженной от стыка линий волны.
Переходный процесс начинается с того, что от генератора по первой
линии распространяется падающая волна с прямоугольным фронтом
Для определения характера изменения токов и напряжений, когда па­
дающая волна дойдет до стыка линий, обратимся к схеме замещения с
сосредоточенными параметрами рис. 12.5, б. В этой схеме нагрузка
образована двумя параллельными ветвями — емкостью С и волновым
сопротивлением второй линии Zb2.
Две параллельные ветви появились в схеме замещения потому, что в
исходной схеме рис. 12.5, а падающая волна, дойдя до места стыка ли­
ний, встречает два пути для своего дальнейшего распространения: пер­
вый путь — через емкость С, второй путь — по второй линии с волно­
вым сопротивлением Zb2.
Расчет переходного процесса в схеме рис. 12.5, б дает:
(12.31)
(12.32)
(12.33)
(12.34)
(12.35)
Характер изменения /2, /3, ix и ис в функции от времени изобра­
жен на рис. 12.6, а-г. В первый момент после подхода волны к месту
стыка линий напряжение падает до нуля, так как незаряженный конден­
сатор для этого момента времени представляет собой как бы короткое
замыкание.
Начальное значение тока через конденсатор равно 2 w /Z Bl. Затем
конденсатор заряжается, напряжение на нем растет, а ток через него
уменьшается. Ток /2 в схеме замещения представляет собой ток элект­
ромагнитной волны, распространяющейся по второй линии; напряжение
волны, распространяющейся по второй линии, равно h ^в2*
Для получения отраженной волны напряжения, распространяющейся
по первой линии в направлении от стыка линий к генератору, из ординат
кривой рис. 12.6, г нужно вычесть соответствующие ординаты напряже-
398
Гл. 12. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих линии с РП
«о
XI
б
Стык линий
\
10 кВ
13,05 кВ4
п
в
400
і __
200
а "]-
138,7
N А ►32,7
Падающая з 8 Падающая по
второй линии
по первой
линии
волна
волна
'Э
*
а а:
* 8
11
ис
II
о
1
г
г
Рис. 12.6
Рис. 12.7
ни я падающей волны и затем перенести полученную кривую на линию,
зная скорость отраженной волны.
На рис. 12.7, а, б изображены, соответственно, отраженные волны на­
пряжения и тока.
Эпюра распределения напряжения и тока вдоль первой и второй ли­
ний для момента времени, когда отраженная от стыка волна дошла до
середины первой линии, представлена, соответственно, на рис. 12.7, в, г.
Перепад тока e f в кривой рис. 12.7, г равен току через конденсатор для
данного момента времени. По второй линии волна продвинулась на рас­
стояние, вдвое большее, чем прошла отраженная волна по первой линии.
Это объясняется тем, что первая линия — кабельная, а вторая — воздуш­
ная. Скорость продвижения волны по воздушной линии — 300 ООО км/с,
а по кабельной — около 150 000 км/с (формула для скорости и движе­
ния волны по линии и входящие в нее L0 и С0 приведены в § 11.10).
П ри м ер 130. В схеме на рис. 12.5, a ZB, = 50 Ом; Zb2 =400 0 m ; /,= 1 0 0 к м ;
С = 5,62 мкФ; /, = 60 км; и = 10 кВ. Первая линия — кабельная, вторая — воздушная. По­
строить эпюры распределения волн напряжения и тока вдоль линий для момента време­
ни, когда распространяющаяся по второй линии волна дойдет до конца второй линии.
Р е ш е н и е. По формуле (12.35) р - ------------- ------------- = -4000 с " 1.
50-400-5,62 -10
Ток падающей волны по первой линии /п = и / ZBl = 104 /5 0 = 200 А.
§ 12.9. Линия задержки
399
По формуле (12.31), /2 =44,5(1 - е " 4000') А. (Рис. 12.6, а.)
По формуле (12.32),
/3 = 4 0 е '‘1000'
А. График
/3 = /(f).
(Рис. 12.6,6.)
По формуле (12.33), /2 = 44,5 (1 + 8 е~4000') А. (Рис. 12.6, в.)
По формуле (12.34), ис = uz,i = 17750( 1 - е -4000') В. (Рис. 12.6, г.)
По условию, падающая по второй (воздушной) линии волна должна дойти до конца
второй линии. Расстояние /2 = 100 км она пройдет за время
/ = /2 / о = 100/300000 = 1/3000 с.
За это время отраженная от стыка волна пройдет по первой кабельной линии рассто­
яние, в два раза меньшее.
Графики распределения и и / вдоль линии изображены на рис. 12.7, а, б.
Перепад е/ н а рис. 12.7, б равен току /3 при / = 1/3000с; и = 400е"4/3 = 106 А.
Отрезок Н р а в е н току /2 при / = 1 /3000с ; /2 = 44,5 (1 - е
) = 32,7 А.
Отрезок тп на рис. 12.7, а равен напряжению ис при / = 1/3000с ; ис = 13,05 кВ.
В рассмотренном примере электрическая цепь, содержащая линию с
распределенными параметрами, подключалась к источнику постоянного
напряжения.
Однако часто встречаются цепи, в которых ЭДС источника изменяет­
ся по синусоидальному закону во времени. Если длина линии с рас­
пределенными параметрами и частота синусоидальной ЭДС таковы, что
время пробега волны по линии (/ = / / о) много меньше периода перемен­
ного тока Г, например составляет величину порядка
7\ то при
исследовании первых стадий переходного процесса в первом грубом
приближении можно принять, что линия подключается к источнику по­
стоянной ЭДС, которая равна амплитуде синусоидальной ЭДС (расчет на
наиболее тяжелый случай). Если же время пробега волны по линии со­
ставляет большую, чем
, часть периода, то при расчетах учи­
тывают изменение ЭДС источника при перемещении падающей волны по
линии.
При отключении нагрузки или ее части в линиях также возникают
переходные процессы. Расчет их производят на основании принципа
наложения, включая в размыкаемую ветвь источник тока, который дает
ток, равный и противоположно направленный току в размыкаемой
ветви.
Результирующие волны тока и напряжения на всех участках линии
находят наложением на волны тока и напряжения, которые были на ли­
нии до отключения ветви, волн тока и напряжения, продвигающихся от
места размыкания в остальные участки линии.
При подключении в каком-либо месте линии новой ветви токи и на­
пряжения в этой ветви находят методом эквивалентного генератора, а
токи в остальных участках линии — методом наложения.
§ 12.9. Л иния задержки. Под линией задержки, применяемой в им­
пульсной технике, понимают устройство, которое включают между ис­
точником сигнала и нагрузкой, служащее для задержки поступления сиг­
нала в нагрузку на некоторое заданное время /3. В простейшем случае
Гл. 12. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих линии с РП
400
(при малом /3) линию задержки выполняют в виде куска коаксиального
кабеля длиной /. Он создает задержку h = / / иф. Если хотят получить
относительно большое /3, то используют цепочку из каскадно соединен­
ных одинаковых фильтров низкой частоты (см. рис. 5.1, а), выбирая па­
раметры L и С фильтров так, чтобы полоса частот сигнала 0 * сос нахо­
дилась ів__полосе прозрачности фильтра и чтобы сос < со2, где
о)2 = л]2/ L С — частота среза фильтра. Параметры фильтра согласуют
с нагрузкой RH = ^ 2 L / C . Время задержки /3 « п ( db / t/co)(0=0 = п ^ 2 L С.
Содержание, вкладываемое в термин «время задержки» (ВЗ) линии и
четырехполюсника, различно. ВЗ линии — это время прохождения ли­
нии электромагнитной волной. ВЗ, оказываемое четырехполюсником, —
это время, отсчитываемое от момента поступления сигнала на вход че­
тырехполюсника до момента, когда напряжение на выходе его нарастает
от нуля до некоторого определенного значения, скажем до 0,5 от ампли­
тудного, при относительно небольшом изменении формы сигнала по срав­
нению с входным. Физически это время обусловлено переходным про­
цессом в самом четырехполюснике и нагрузке. Выведем записанную
формулу для /3.
В
§ 9.5
было
показано,
что
передаточная
функция
четырехполюсника
K ( j со) = — ■ ■ -■=| K ( j со) | е /ф(ю), пропускающего сигнал без искажения, но с задержкой
(/,(./<о)
/0 =
во времени, должна обладать двумя свойствами:
1) модуль \ K{ j со)|= const (в частности, равен единице);
2) аргумент ф(у со) = -со /'.
Применительно к фильтру K ( j со) = 1/е* = 1 /(е а е / А). Сопоставление характеристик
фильтра с характеристиками четырехполюсника для зоны прозрачности дает
| АГ(у со)|= 1/еа = 1, £ = -ф(со) = со/;.
Для фильтра НЧ (см. рис. 5.1, я) в зоне прозрачности
b - arccos А - arccos(l - со2 L С)
нелинейно зависит от СО. Для определения времени задержки приближенно заменим эту
нелинейную зави<:имость прямой с угловым коэффициентом, равным (
I */со
t
Г db
ложим Ь - со ----V^co
Тогда время задержки, создаваемое одним фильтром,
db]
_
db
da>)a ^ o ~ d (\-< a 2 L C )
-
< /(l-co2 L C ) _
da
, --- ____ =
( - 2 o > £ C ) « -------= = = • (-2 (o L C ) = -J T T c .
V l-O -c a 2 L C )2
u>i]2 L С
Если каскадно соединены п фильтров НЧ, то время задержки в п раз больше:
t3 - п yfl L C.
Если сигнал, проходящий через четырехполюсник, представляет собой короткий импульс,
то его частотный спектр весьма широк и четырехполюсник, в отличие от линии с распреде­
ленными параметрами, не в состоянии пропустить без затухания колебания всех частот.
В этом случае можно только условно говорить о времени задержки, понимая под ним усdb
редненную производную — , подсчитанную для основной части частотного спектра.
d со
§ 12.11. Исходные положения по применению операторного метода..
401
§ 12.10. И спользование лини й для ф орм ирования кратковрем енны х импульсов.
На рис. 12.8, а изображена схема, позволяющая формировать прямоугольные импульсы тока
в нагрузке RH. В схеме имеется источник постоянного тока I и три линии. При размыка-
Рис. 12.8
нии ключа от источника тока I по первой линии длиной /, с волновым сопротивлением
ZB распространяется прямоугольная падающая волна тока / / 2 и волна напряжения
/ ZB/2. Дойдя до узла а, волна частично пройдет во вторую и третью линии и частично
отразится. Для определения волн, проходящих во вторую и третью линии, служит схема
замещения на рис. 12.8, б. Из нее следует, что / 2 = / / 4 и / 3 = / / 2 .
По второй линии распространяется волна U2 = h ^в> по третьей — U3 - / 3 0,5 ZB.
Волна U 2> дойдя до конца второй линии, где включена нагрузка RH = ZB, поглощается в
ней без отражения.
Волна U3, дойдя до короткозамкнутого конца третьей линии, отразится от него с пе­
ременой знака у напряжения. Отраженная от конца третьей линии волна напряжения
—/ 0 - 0,5 ZB = - / Z B/2, дойдя до узла а , вызовет токи / 2 = /[ = - / / 4 в первой и второй
линиях в соответствии со схемой замещения (рис. 12.8, в). Волна тока /{ поглощается без
отражения в сопротивлении ZB, шунтирующем источник тока. Как только волна тока Г2
дойдет до конца второй линии, импульс тока в нагрузке RH прекратится, поскольку токи
/ 2 и / 2 равны по величине и противоположны по знаку. Прямоугольный импульс тока
через нагрузку появится через время (/, + /2) / о и протекает в течение времени 2 /3 /о ,
равного удвоенному времени движения волны по линии длиной /3.
До сих пор в гл. 12 рассматривали переходные процессы в линии, используя метод
наложения падающих и отраженных волн, продвигающихся по линиям без затухания (так
как было принято, что R0 - G0 = 0 ). Теперь рассмотрим, как рассчитывают переходные
процессы с учетом R0 и С0.
§ 12.11. Исходные положения по применению операторного мето­
да к расчету переходных процессов в линиях. В линии с распределен­
ными параметрами ток / и напряжение и являются функциями времени
и расстояния от начала линии, т. е. / = /(*, /); и = и(х, /). Току /(*, t) со­
ответствует операторное изображение /(дг, /?), а напряжению и(х, /) —
операторное изображение U(x, р ).
Кроме того, имеют место соотношения
Lo(dldt) /'О, t ) ± L 0 р /(*, р)\
О0( д / dt) и(х, t ) ± G 0 р U(x, р).
Имея это в виду, запишем уравнения (11.1) и (11.4) в операторной
форме:
402
Гл. 12. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих линии с РП
_ d l (x , P) = yoU(X)P)>
ах
(12.37)
где
~
+Р
r 0 =G0 + p C 0.
(12.38)
(12.39)
Уравнения (12.36) и (12.37) отличаются от уравнений (11.7) и (11.8)
тем, что j со заменено на комплексную частоту р. Из (12.36) и (12.37)
следует, что
d2u} ^ p ) = Z 0 У0 U(x, р);
ах
(12.40)
А
d /(Х’ Р) = Z0 Y0 I(x, р).
dx
(12.41)
Решение (12.40) и (12.41):
U(x, р) = Ах eY* + А2 е~ух;
=
(12.42)
(12.43)
где Ах и А2 — постоянные интегрирования, зависящие от граничных
условий. Постоянная распространения У и волновое сопротивление яв­
ляются функциями комплексной частоты р:
y = J ( R 0 + p L 0)( G0 + p C 0);
_ IЪ) + Р А»
! О0 + р С0
(12.44)
° 2А5)
Если линия бесконечно протяженная, то отраженная волна отсутствует
и Ах =0; Л2 = U X(0, р) = Ux(p), где Ux(p) — операторное изображение
напряжения на входе линии (при д: = 0). В этом случае
U ( x , p ) = Ul ( p ) ^ x;
(12.46)
К х , р ) = Щ ^ - ^ х.
(12.47)
На рис. 12.9изображена линия длиной /, нагруженная наZH(p). На­
пряжение в начале линии — Ux(p), в конце линии — V 2(p). Напряже­
ние генератора Ur( p ). Внутреннее сопротивление генератора— Zr (p);
х — расстояние текущей точки на линии от начала линии. Операторное
§ 12.11. Исходные положения по применению операторного метода..
403
1 -х
h (p )I(x ,p )
а д Ш
Z.(p)
в д
J
а д Г ,
ад (Г
,
Yf
Рис. 12.9
изображение напряжения и тока в точке х запишем аналогично уравне­
ниям (11.38) и (11.39), заменив в них у на 1 - х :
U(x, р ) = U2(р) ch у ( / - * ) + I2(p) Z„ sh у (/ - х);
/(jc, р ) =
Ток в нагрузке 12(р) =
sh у (/ - *) + / 2(р) ch у (/ - х).
^
( 12.48)
(12.49)
.
Положим х = 0 и из (12.48), (12.49) получим
1(р) = ^ 2 (р) (ch у / + -ф- sh у /);
Z2
(12.50)
iM -U M
Напряжение генератора
Ur(p) = Ul(p) + Ix( p ) Z r = U 2(p)
1+ — I ch у / +
shy / .(12.51)
Из (12.51) определим U2(p) и затем I2(p) и подставим их в (12.48)
и (12.49):
404
Гл. 12. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих линии с РП
2
/
Ч
^
/
Ч 2
/\
Обозначим а = — ■; Ь = г
; с = - г ' . И введем эти обозна^н(Р)
Z hO )
Z b(P)
чения в (12.52) и (12.53). Получим
(1 + а ) е т(/
+(1 - а ) е ~ т(/ х)
U{x,p) = Ur{p) „ У -- "/'- ■ -y7- v “/ ------— -J-;
(1 + а + 6 + с) er/ + (1 + 6 - а - с)е~
(12.54)
п +6 -а -с )е Y •
ZB(p ) (1 + я + 6 + с ) е у + (1
(І2 -55>
9 І‘4.П4.Л-Л-
'1
Поделив числитель на знаменатель формулы (12.55), получим изоб­
ражения падающих и отраженных волн напряжения в точке, удаленной
на расстояние х от начала линии:
Щ х , р ) = Ur(p) (F((p) е '» ' + F2(p) е - ^ 2' ^ - а д
е-у(2/+х) -
- F 4 ( p ) e - ^ * ' - x) + FS e -Y(4/+Jt) + F6( p ) e - r(6/- ^ - ...) .
(12-56)
Аналогично для тока:
(,
і х р ) = ^ 4 4 ( В Д e"r * - f
z b( p )
^p ) е"г(2/"Л) -
а д е-^<2/-> +
(12.57)
+ F4(p) е-?<4/-*> + F5 e-Y(4,+Jc) - F6(p) e_lr(6,- x) - ...) .
Здесь
г? / \
\ +a
Fi (p) = --------- г— ;
\ + a +b +c
(1 + д ) ( 1 + & - * - с ) .
■
^ >
(1 + b 4- a + с)
г ( п л - (\ + a)(} + b - a - c ) 2 .
t 5( p ) ~ ---- - ---------- —
,
(1 + b + a + с)
1 -а
а д - - --------г— ;
1+ a + b + c
, (\~a)(\ +b - a - c ) t
*4 \ P ) ------------------------ t----?
(1 + b + a + c)2
( \- а ) ( \ +Ь - а - с ) 2
r 6( P ) ~ ----- -— ---------- з -----•
(1 + b + a + c)
Нахождение функций времени, соответствующих уравнениям (12.56)
и (12.57) с учетом того, что /7j, У, Zr, ZB и Z2 являются функциямир,
в общем случае оказывается довольно громоздким делом. Поэтому ог­
раничимся рассмотрением лишь нескольких задач.
§ 12.12. Подключение линии без потерь конечной длины /, разом­
кнутой на конце, к источнику постоянного напряжения. В этом слу­
чае Rq = Gq = 0 и в соответствии с (12.44) и (12.45)
у = р ^[Lq ~Cq = р I u;
ZB = ^[Lq 1~Cq \
U\(p) ~ U / р.
§ 12.13. Подключение линии без искажения конечной длины /...
405
Обозначим время прохождения волной расстояния / через
(т0 = / / о) и время х /и через т. Тогда из (12.52) следует, что
т0
Ц(х
) - ^ Ch( t 0 “*т) _ U
Х, Р
р
ch р т0
Р
+е~Я(То-т)
е рт° + е ~ рх
Поделив почленно числитель на знаменатель, получим
U(x, р) = — (Q- Рт + е~р(2 т° - х) - е- р(2 т°+t) - e '^ '4 т“_t) + е ' р (4 т°+t) +...).
Р
(12.58)
В соответствии с теоремой смещения в области оригиналов
(см. § 8.40) от (12.58) перейдем к функции времени
и(лг,/) = t / (I (Г- т) +1 ( / - ( 2 т0 - т))-1 (/ - (2 т0 + т)) +1 (/ - (4 т0 + т)) - ...) .
( 12’59>
Таким образом, решение для напряжения в произвольной точке запи­
сано как сумма падающих и отраженных волн напряжения (что совпада­
ет с решением, полученным в § 12.7 волновым методом), не затухающих
по амплитуде. Каждое слагаемое решения вступает в действие, когда
аргумент соответствующей единичной функции становится > 0.
§ 12.13. Подключение линии без искажения конечной длины /,
разомкнутой на конце, к источнику постоянного напряжения U.
В этом случае
R0 f L0 =G0 / C 0 =5,
y = ( p + 5 ) j L 0 С0 = (р + 8 ) / и;
Z B =yjL0 / C 0 .
Из (12.52) следует, что
щ х р)
U ch(Q> + 8 )V Z ^ Q ( 1 - х ))
Р
ch((p + 5 ) V Z 7 Q /)
_ U
ch(p + S)(T0 - т )
~ р
ch(/? + 5)T0
U e(p+S)(T”~T) + е - (р+8)(т”- т)
р
( 12-6°)
e(/,+8)tn+ e '(/7+s>T“
Поделим почленно числитель на знаменатель и перейдем к функции
времени:
u(x,t) = U(e~6' l(/-T ) + e‘(2t»"t)5 1(/- ( 2 т0 —т)) —
_ е - ( 2 т 0 + т)8
1(;_ ( 4 т 0 _ т ) ) +
у
О 2 -6 1 )
Падающие и отраженные волны теперь затухают по амплитуде по
экспоненциальному закону в зависимости от пройденных ими расстоя-
406
Гл. 12. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих линии с РП
ний. Установившееся значение напряжения в конце линии при t -» оо в
соответствии с п. 5 § 8.40:
rm
UchO
U
lim р U{1, р) = -------- —
= ----------Р -*о ch(5 VA) Со /)
Ch/ Яо V Q A Z ,0
(12.62)
§ 12.14. Подключение бесконечно протяженного кабеля без индук­
тивности и утечки к источнику постоянного напряжения U. Полага­
ем, что прямой и обратный провода кабеля близко расположены друг к
другу (поэтому L0 « 0 ) и его изоляция между проводами очень хорошая
(G0 « 0 ). Тогда согласно (12.44) и (12.45) у = J r C р; ZB = J r / C p.
Обозначим а = х ^ R C и учтем, что V x(p) = U I р.
По (12.52) и (12.53)
, (хг, р„)л =
^ :У.&
рК ц Ж :
u(x,p) = - z - ° 4 p \
Ц
.......................
zB
Mr
Р
В соответствии с табл. § 8.39:
Л-аЦр
1
- -------= 1 -Ф
2 л/7 J
у[р
- а 2/4 t
Є
' yfnt
Функция
O(z) = - jL [е~г d z
УІП о
(в нашем случае z - х y/R С 12 V/ = а ! 2 V7) представляет собой интег­
рал ошибок Гаусса (рис. 12.10, а).
Решение для напряжения и тока:
!/(*,/) = £/(1-Ф (г));
(12.63)
i(x,t) = U ^ ~ е
я R Vt ’
(12.64)
Отметим, что решение, полученное в предположении, что у кабеля
0, имеет два недостатка:
1)
напряжение и ток передаются от точки к точке не с конечной, а с
бесконечно большой скоростью;
Рис. 12.10
§ 12.15. Подключение бесконечно протяженной линии без утечки.,
407
2) ток в начале линии в момент включения достигает бесконечно боль­
шого значения (в действительности он ограничивается хотя и малым, но
конечным сопротивлением источника питания).
§ 12.15. Подключение бесконечно протяженной линии без утечки
к источнику постоянного напряж ения. Полагаем G0 = 0 и из формул
(12.44) и (12.45), обозначив и = 1/ yjbC; b= Rq/2 L0, определим
y = J( R0 + p L 0) p C 0 = ~ 4 р 2 + 2 b р\
и
z
Ш
К
,
рС0
V
11 Со Р
Изображение напряжения в начале линии Ux(0, р) = U / р. В соответ­
ствии с формулами (11.37) и (11.38) изображение напряжения и тока в
точке, удаленной на расстояние х от начала линии,
U
- * /р * + 2 ~ р
£/(*,/?) = — е и
Р
;
и
—
в
« і» -----------------у]р2 + 2Ь р
Для определения тока /( jc, /) как функции времени t и расстояния х
(для / > х / о = т ) воспользуемся табличным соотношением:
p -t
у іР
2+2 b р
/ ■
г
---------
=е~ ' J 0 ( j b J t 2 - X і ),
VP + 2 b p
где J q (j b л//2 - і 2) — бесселева функция нулевого порядка от мнимо­
го аргумента. Значения ее приведены в табл. 15.1. Следовательно,
i{x' t ) = u i t
e~h' J ° J b \ e
(12.65)
В соответствии с (12.65) на рис. 12.10, б изображена зависимость
urt
= / Ф t) = f А 2и
Из рисунка видно, что при малых х (малых Rq х / (2 и L0)) ток /, по­
лучив большой начальный толчок, уменьшается во времени. При боль­
ших значениях х ток / после скачка сначала возрастает, а затем умень­
408
Гл. 12. Переходные процессы в электрических цепях» содержащих линии с РП
шается. Так как для линии с распределенными параметрами, у которой
п
л дії
1 ді
Gn = 0 , — = ----------- , то
0
dt
С0 дх
=-_L
( 12.66)
"0 дг/о 3 jc
Возьмем частную производную от i(x,t) (см. (12.65)) по х, подста­
вим ее в (12.66) и учтем также напряжение, обусловленное скачком тока
на фронте волны. В результате получим
Ьх
ц (*,0
=е
и
j Ь X *с
-bt
Jb&
х
d t , (12.67)
- ш
/о
где J x — функция Бесселя первого порядка от мнимого аргумента
(см. табл. 15.1). Слагаемое е‘Лдг/и в (12.67) соответствует скачку тока на
фронте волны. На фронте волны в точке х в момент х / и ток равен
U
fc~
LJL е и , а в соседней точке х + Ах в тот же момент времени ток
еще отсутствует. Поэтому напряжение, вызванное скачком тока на фрон­
те волны,
jc +
x /v
U Сс
i(x,t)
дх
и
и Сп
и $
-0 + — i - ^ - e
оС п
Д
дг
j di (x, t) =
Ьх
° =U е ~ .
Вопросы для самопроверки
1. При каких допущениях на первом этапе изучения рассматривают переходные про­
цессы в линиях с распределенными параметрами? Какими дифференциальными уравне­
ниями описывают эти процессы? 2. Как понимать, что аргументами функций, являющих­
ся решением, оказываются ( / - х / о ) и (/ + jc /u )? 3. Как показать, что для линии без
потерь характер изменения и или / падающей волны в любой точке линии повторяет
характер изменения и и / в начале линии, но с запозданием во времени? 4. Как согласовы­
вают переходные процессы в линиях с распределенными параметрами с переходными про­
цессами в нагрузке на конце линии? 5. Обосновать методику составления схем замеще­
ния для исследования волновых процессов, когда волна дойдет до нагрузки. 6. Как из
временных графиков напряжения ин на нагрузке и тока /н в нагрузке получить графики
отраженных волн и0 и /0 на линии? 7. Какова идея расчета переходных процессов в ли­
нии с распределенными параметрами при отключении нагрузки или части ее? 8. Охарак­
теризуйте стадии волнового процесса при подключении разомкнутой на конце линии дли­
ной / к источнику постоянного напряжения, полагая сначала для линии Rq - G0 = 0, а
затем, что линия является линией без искажения. 9. Как от уравнений для мгновенных
значений тока и напряжения перейти к уравнениям, записанным для операторных изоб­
ражений этих величин? 10. В каком случае в качестве линии задержек используют линию
с распределенными параметрами, а в каком — каскадное соединение фильтров НЧ?
11. Объясните идею формирования кратковременных импульсов с помощью линии с рас­
пределенными параметрами. 12. Решите задачи 15.5; 15.6; 15.12; 15.17.
Глава тринадцатая
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
§ 13.1. О сновны е определения. Как уже говорилось в § 2.1, под
нелинейными электрическими цепями принято понимать электрические
цепи, содержащие нелинейные элементы. Нелинейные элементы подраз­
деляют на резистивные, индуктивные и емкостные.
Нелинейные резисторы (HP), в отличие от линейных, обладают нели­
нейными вольт-амперными характеристиками. Напомним, что вольт-амперная характеристика (ВАХ) — это зависимость тока, протекающего
через резистор, от напряжения на нем. Нелинейные резисторы могут быть
подразделены на две большие группы: неуправляемые и управляемые.
В управляемых HP, в отличие от неуправляемых, кроме основной
цепи, как правило, есть еще по крайней мере одна вспомогательная
или управляющая цепь, воздействуя на ток или напряжение которой
можно деформировать ВАХ основной цепи. В неуправляемых HP ВАХ
изображается одной кривой, а в управляемых — семейством кривых.
В группу неуправляемых HP входят лампы накаливания, электрическая
дуга, бареттер, газотрон, стабиловольт, тиритовые сопротивления, полу­
проводниковые выпрямители (диоды) и некоторые другие.
В группу управляемых HP входят трехэлектродные (и более) лампы,
транзисторы, тиристоры, терморезисторы, фоторезисторы, фотодиоды,
магниторезисторы, магнитодиоды, магнитотранзисторы и другие эле­
менты.
§ 13.2. ВАХ нелинейных резисторов. На рис. 13.1 изображено четыр­
надцать типов наиболее часто встречающихся ВАХ неуправляемых ре­
зисторов.
ВАХ на рис. 13.1, а имеют, например, лампы накаливания с металли­
ческой нитью. Чем больше протекающий через нить ток, тем сильнее
нагревается нить и тем больше становится ее сопротивление.
Если величину, откладываемую по оси абсцисс, обозначить х , а вели­
чину, откладываемую по оси ординат, Дх), то характеристика рис. 13.1, а
подчиняется условию
/(* )= -/(-* ).
Нелинейные резисторы, для которых выполняется это условие, назы­
вают HP с симметричной вольт-амперной характеристикой.
ВАХ на рис. 13.1, б обладают варисторы, некоторые типы терморези­
сторов и лампы накаливания с угольной нитью. Для данной группы
характерно, что с увеличением протекающего тока сопротивление их
уменьшается. ВАХ их симметрична.
Гл. 13. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
410
Iі
Y~
и
'
-j\k и
__ іJь *и
и-
і
11 ^Ui. .и
!i
\
U
U
h
)
/Ч
и
II
------
[\
U
л /.
и
и
и
и
/V
Рис. 13.1
ВАХ на рис. 13.1, в обладает, например, бареттер. Бареттер выполня­
ют в виде спирали из стальной проволоки, помещенной в стеклянный
сосуд, заполненный водородом при давлении порядка 80 мм рт. ст.
В определенном диапазоне изменения тока ВАХ бареттера расположена
почти горизонтально. Бареттер используют, например, для стабилизации
тока накала электронных ламп при изменении напряжения питания. ВАХ
на рис. 13.1, в также симметрична.
ВАХ на рис. 13.1, г, в отличие от предыдущих, несимметрична. Ею
обладают полупроводниковые диоды (кремниевые, германиевые), широко
применяемые для преобразования переменного тока в постоянный. Они
способны пропускать ток практически только в одном, проводящем
направлении. Широко используют их также в различных датчиках и пре­
образователях устройств автоматики.
ВАХ на рис. 13.1, д имеют электрическая дуга с разнородными элек­
тродами, газотрон и некоторые типы терморезисторов. Если напряжение
повышать начиная с нуля, то сначала ток растет, но остается весьма ма­
лым, после достижения напряжения Ux (напряжения зажигания) проис­
ходит резкое увеличение тока в цепи и снижение напряжения на элект­
рической дуге или газотроне. Для верхнего участка ВАХ приращению
тока соответствует убыль напряжения на нелинейном сопротивлении.
Участок ВАХ типа верхнего участка кривой рис. 13.1, д называется
падающим участком вольт-амперной характеристикиФ).
Электрическую дугу широко применяют при сварке металлов, в элек­
тротермии (в дуговых электропечах), а также в качестве мощного источ­
ника электрического освещения, например в прожекторах.
в) Падающий участок ВАХ представляет собой такой ее участок, на котором положи­
тельному приращению тока через HP соответствует отрицательное приращение напряже­
ния на нем.
§ 13.3. Общая характеристика методов расчета
411
Газотрон представляет собой лампу с двумя электродами, заполнен­
ную благородным газом (неоном, аргоном и др.) или парами ртути.
ВАХ на рис. 13.1, е имеет двухэлектродная выпрямительная лампа —
кенотрон. По нити накала лампы пропускают ток. Этот ток разогревает
катод (один из двух электродов лампы) до высокой температуры, в ре­
зультате чего с поверхности катода начинается термоэлектронная эмис­
сия. Под действием электрического поля поток электронов направляется
ко второму, холодному, электроду — аноду. В начальной части ВАХ за­
висимость тока от напряжения подчиняется закону трех вторых:
/ = а м 3/2. ВАХ кенотрона несимметрична, это объясняется тем, что по­
ток электронов направляется с катода на анод только в том случае, если
анод положителен по отношению к катоду.
ВАХ на рис. 13.1, ж обладают лампы с тлеющим разрядом. К числу
их относятся стабиловольты (стабилитроны) и неоновые лампы. При
тлеющем разряде благородный газ, которым заполнена лампа, светится.
ВАХ на рис. 13.1, ж свидетельствует о том, что в определенном диапа­
зоне значений токов напряжение на лампе остается практически неизмен­
ным.
Некоторые типы точечных германиевых и кремниевых диодов имеют
ВАХ на рис. 13.1, з.
Электрическая дуга между электродами, выполненными из одного и
того же материала и находящимися в одинаковых условиях, имеет ВАХ
подобную приведенной на рис. 13.1, и.
ВАХ четырехслойного германиевого (кремниевого) диода — динистора — изображена на рис. 13.1, л; ВАХ туннельного диода — на
рис. 13.1, к (о принципах работы тринистора см. § 15.43 и туннельного
диода см., например, [20]).
ВАХ лямбда-диода изображена на рис. 13.1, л^, ВАХ диодного огра­
ничителя тока — на рис. 13.1, н и ВАХ полупроводникового стабилиза­
тора тока — на рис. 13.1, о. На рис. 13.1, и- — ВАХ двух одинаковых
встречно включенных туннельных диодов. ВАХ управляемых нелиней­
ных элементов рассмотрены в гл. 15.
§ 13.3. О бщ ая характеристика методов расчета нелинейных элек­
трических цепей постоянного тока. В гл. 13 рассматривается методи­
ка расчета простейших нелинейных электрических цепей с последова­
тельно, параллельно и последовательно-параллельно соединенными HP
и источниками ЭДС. Кроме того, изложена методика расчета сложных
цепей, в основу которой положена диакоптика.
Обратим внимание на то, что с линейной частью любой сложной
разветвленной цепи, содержащей HP, можно осуществлять любые пре­
образования, рассмотренные в гл. 1, если они облегчают расчет всей
сложной схемы. Одно из таких преобразований — от треугольника
сопротивлений к звезде для облегчения нахождения входного сопротив­
ления линейной части схемы — использовано при расчете в § 13.9.
Из методов расчета, приведенных в гл. 1, к нелинейным цепям при­
менимы следующие: метод двух узлов; замена нескольких параллельно
412
Гл. 13. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
включенных ветвей одной эквивалентной; метод эквивалентного генера­
тора и диакоптики и др.
До проведения расчета нелинейных цепей должны быть известны
ВАХ HP, входящих в схему. Расчет нелинейных цепей постоянного тока
производят, как правило, графически. Могут применяться и ЭВМ.
§ 13.4. П оследовательное соединение HP. На рис. 13.2, а изображе­
на схема последовательного соединения HP с заданной ВАХ, линейного
сопротивления R и источника ЭДС Е.
Рис. 13.2
Требуется найти ток в цепи. ВАХ HP обозначена на рис. 13.2, б как
/ = f ( U нр), ВАХ линейного сопротивления — прямая линия. ВАХ всей
цепи, т. е. зависимость тока в цепи от суммы падений напряжений на НР
и R, обозначена через / = f ( U HC+UR). Расчет основывается на законах
Кирхгофа. Обсудим два способа расчета. Первый способ иллюстрирует
рис. 13.2, б, второй — рис. 13.2, в.
При расчете цепи по первому способу строим результирующую ВАХ
всей пассивной части схемы, исходя из того, что при последовательном
соединении через НР и R проходит одинаковый ток. Для построения ре­
зультирующей ВАХ задаемся произвольным током — точкой т, прово­
дим через нее (рис. 13.2, б) горизонталь и складываем отрезок тп, рав­
ный напряжению на НР, с отрезком тр, равным напряжению на R:
тп + т р = т q \
Тогда q принадлежит результирующей ВАХ всей схемы. Аналогично
строят и другие точки результирующей ВАХ. Определение тока в цепи
при заданной ЭДС Е выполняют графически по результирующей ВАХ.
С этой целью следует заданное значение ЭДС Е отложить по оси абсцисс
и через полученную точку провести вертикаль до пересечения с резуль­
тирующей ВАХ в точке q. Ордината точки q равна искомому току.
При расчете цепи по второму способу нет необходимости строить
результирующую ВАХ пассивной части схемы. Учитывая, что уравнение
/ R + UHр - Е в координатах I и UHP представляет собой уравнение пря­
мой, проходящей через точки
/ = £ //? ;
U = U НР = 0;
/ = 0;
в) Здесь и далее черта над отрезком означает, что речь идет о его длине.
§ 13.5. Параллельное соединение HP
413
Um - U = Е, проводим на рис. 13.2, в эту прямую. Тангенс угла а на­
клона ее к вертикали, умноженный на отношение ти / т1 масштабов по
осям, численно равен R. Точка пересечения прямой с ВАХ HP опреде­
ляет режим работы цепи. Действительно, для этой точки ток, проходя­
щий через HP и R, одинаков, а сумма падений напряжений £/НР + UR = Е.
При изменении ЕДС от Е до Ех прямую I = f ( U R) следует переместить
параллельно себе так, чтобы она исходила из точки 1 = 0, U = Ех (штри­
ховая линия на рис. 13.2, в).
Аналогично рассчитывают цепи при последовательном соединении
двух и большего числа HP. В этом случае сначала находят ВАХ двух HP,
затем трех и т. д.
Обсудим применение второго способа для расчета цепи (рис. 13.3, а)
с двумя различными HP. ВАХ HPj и НР2 изображены на рис. 13.3, 6. Так
как НР2 имеет нелинейную ВАХ, то вместо прямой / = f ( U R), как это
Рис. 13.3
было на рис. 13.2, в, теперь нужно построить нелинейную зависимость
I = f ( U 2). Начало ее (рис. 13.3, в) расположено в точке / = О, Ux = Е.
Отсчет положительных значений U2 ведется влево от этой точки. Так как
положительные значения U2 на рис. 13.3,6 откладываем вправо от
начала координат, а на рис. 13.3, в — влево, то кривая / = f ( U 2) на
рис. 13.3, в представляет собой зеркальное отображение кривой 2
(рис. 13.3, 6) относительно вертикальной оси, проведенной через точку
Ux = £ .
§ 13.5. П араллельное соединение HP. Схема параллельного соеди­
нения двух HP изображена на рис. 13.4, а\ ее ВАХ — на рис. 13.4, 6. При
построении результирующей ВАХ исходят из того, что напряжение на
HPj и НР2 равны в силу их параллельного соединения, а ток в нераз­
ветвленной части схемы / = 1Х+12.
Кривая 3 на рис. 13.4,6 представляет собой ВАХ параллельного
соединения. Строим ее следующим образом. Задаемся произвольно на­
пряжением U, равным отрезку От. Проводим через точку т вертикаль.
Складываем отрезок тп, равный току в НР2, с отрезком тр, равным току
в HP, : т п л - т р - r n q .
414
Гл. 13. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
I
/
НР,
UI
НР2
Т
и
б
а
Рис. 13.4
Отрезок mq равен току в неразветвленной части цепи при напряже­
нии От. Аналогично определяют и другие точки результирующей ВАХ
параллельного соединения.
§ 13.6. Последовательно-параллельное соединение сопротивлений.
На рис. 13.5, а изображена схема последовательного соединения НР3 и
двух параллельно соединенных HPj и НР2. Требуется найти токи в вет­
вях схемы. Заданы ВАХ нелинейных резисторов (кривые 1 , 2 , 3 на
рис. 13.5, б) и ЭДС Е. Сначала строим ВАХ параллельного соединения в
соответствии с методикой, рассмотренной в § 13.5 (кривая 1 + 2 на
рис. 13.5, б). После этого цепь сводится к последовательному соедине­
нию НР3 и НР, имеющего ВАХ 1 +2 .
Um
а
, , U* .
U
JL
б
Рис. 13.5
Применяем второй способ построения (см. § 13.4). Кривая 3 '
(рис. 13.5, б) представляет собой ВАХ НР3, зеркально отраженную от­
носительно вертикали, проведенной через точку U = Е. В точке пересе­
чения кривой 3' с кривой 1 + 2 удовлетворяется второй закон Кирхго­
фа: и ъ +U \2 = Е. Сумма токов 1Х+ / 2 = / 3.
§ 13.7. Р асчет разветвленной нелинейной цепи методом двух
узлов. Для схем, содержащих только два узла или приводящихся к ним,
применяют метод двух узлов. Рассмотрим его на примере схемы
§ 13.7. Расчет разветвленной нелинейной цепи методом двух узлов
415
(рис. 13.6). В схеме три HP и три источника ЭДС. Пусть ВАХ HP изоб­
ражаются кривыми (рис. 13.7, a-в). Для определенности положим, что
Ех > Е2 > Е3. Выберем положительные направления для токов. Пусть,
например, все токи направлены к узлу а. Тогда, по первому закону Кирх­
гофа,
/ , + / 2 + / з= 0.
(13.1)
])"■ Ш и
:♦>. с Ь а ( Ы
Рис. 13.7
Каждый из токов является нелинейной функцией падения напряжения
на своем HP. Так, I х является функцией Uх, / 2
функцией U 2 и
/ 3 — функцией Uy
Выразим все токи в функции одного переменного • напряжения Uah
между двумя узлами.
Для этого выразим (/,, t / 2, U 3 через ЭДС и U ab
t *
V , = E , - U ab-,
(13.2)
U2 = E 2 - U ab-,
(13.3)
t / 3 = £ , - £ / ,ab *
(13.4)
Таким образом, возникает задача о том, как перестроить кривую
А = Л ^ і ) в кривую I x = f( U ab), кривую I 2 = f ( U 2) — в кривую
/ 2 = f ( U ab) и т- дРис* 13.8 показано, как из кривой /, = f ( U x)
(рис. 13.7, а) получить кривую Ix = f ( V ab) — точки соответственно обо­
значены одинаковыми цифрами.
Для точки 5 кривой (рис. 13.7, а) 1Х= 0 и Ux = 0; при этом Uab = Ех
(см. (13.2)), т. е. начало кривой /, = f ( U ab) сдвинуто в точку UаЪ - Ех.
Росту Uj при Ux > 0 соответствует убыль Uab. Для точки 2 при
и оЬ = 0. Росту Ux при ^ < 0 отвечает рост Uabi причем
и аь> ЕхНа основании изложенного рекомендуется поступать следующим об­
разом:
1) сместить кривую /] = f ( U x) параллельно самой себе так, чтобы ее
начало находилось в точке UаЬ - Ех (кривая, полученная в результате
переноса, представлена штриховой линией на рис. 13.8);
2) провести через точку Uab = Ех вертикаль и зеркально отразить
штриховую линию относительно вертикали.
416
Гл. 13. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
\
Рис. 13.8
Рис. 13.9
Аналогичным образом перестраивают кривые и для других ветвей
схемы. Нанесем кривые /, = f ( U ab), / 2 = f ( U ab) и / 3 = f ( U ab) на од­
ном рисунке (кривые /, 2,3 на рис. 13.9) и построим кривую
I\ + / 2 + / 3 = f ( U ah) (кривая 4 на рис. 13.9), просуммировав ординаты
кривых /, 2, 5. Точка т пересечения кривой 4 с осью абсцисс дает зна­
чение V аЬ, при котором удовлетворяется уравнение (13.1). Восставим в
этой точке перпендикуляр к оси абсцисс. Ординаты точек пересечения
перпендикуляра с кривыми /, 2, 3 дадут соответственно токи /,, / 2 и / 3
по величине и по знаку.
§ 13.8. Замена нескольких параллельны х ветвей, содержащих НР
и ЭДС, одной эквивалентной. Положим, что имеется совокупность не­
скольких параллельных ветвей, содержащих НР и источники ЭДС
(рис. 13.10). Параллельные ветви входят в состав сложной схемы, не
показанной на рис. 13.10. Каковы должны быть ЭДС и ВАХ эквивалент­
ного нелинейного резистора НРЭК участка схемы (рис. 13.11), чтобы он
был эквивалентен параллельным ветвям (рис. 13.10)?
а
/
Рис. 13.10
I
Рис. 13.11
Рис. 13.12
§ 13.9. Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора
417
Одна ветвь (рис. 13.11) будет эквивалентной ветвям (см. рис. 13.10) в
том случае, если ток / в неразветвленной части цепи на рис. 13.10 при
любых значениях напряжения Uab будет равен току / в ветви на
рис. 13.11.
Воспользуемся построениями на рис. 13.9. Кривая 4 представляет
собой зависимость Ix + / 2 + / 3 = f ( U ab), т. е. является результирующей
ВАХ трех параллельных ветвей. Такую же ВАХ должна иметь ветвь
(рис. 13.11). Если ток / в схеме на рис. 13.11 равен нулю, то UаЬ = Еъ.
Следовательно, £ 3 на рис. 13.9 определяется напряжением Uab, при
котором кривая 4 пересекает ось абсцисс. Для определения ВАХ НРЭК
необходимо кривую 4 (см. рис. 13.9) зеркально отразить относительно
вертикали, проведенной через точку т.
ВАХ НРЭК изображена на рис. 13.12. Важно подчеркнуть, что вклю­
чение ЭДС в параллельные ветви привело к тому, что ВАХ НРЭК стала
несимметричной, несмотря на то что ВАХ нелинейных сопротивлений
7, 2, 3 в схеме (см. рис. 13.6) были взяты симметричными.
Таким образом, изменяя ЭДС в ветвях параллельной группы, можно
изменять ее результирующую ВАХ и как бы искусственно создавать НР
с самыми причудливыми ВАХ.
§ 13.9. Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного гене­
ратора. Если в сложной электрической цепи есть одна ветвь с НР, то оп­
ределить ток в ней можно методом эквивалентного генератора. С этой
целью выделим ветвь с НР, а всю остальную линейную схему предста­
вим в виде активного двухполюсника (рис. 13.13, а).
J
А
и р
k
ф
К
У»
=
Я нр
,Г
Рис. 13.13
Как известно из § 2.25, схему линейного активного двухполюсника по
отношению к зажимам а и b выделенной ветви можно представить в виде
последовательного соединения источника ЭДС с ЭДС, равной напряже­
нию на зажимах ab при разомкнутой ветви ab (Uabx)> сопротивления,
равного входному сопротивлению /?вх линейного двухполюсника, и не­
линейного сопротивления ветви ab (рис. 13.13, б).
Определение тока в схеме (рис. 13.13, б) не представляет труда и мо­
жет проводиться в соответствии с § 13.4.
П ример 131. Определить ток в ветви ab схемы (рис. 13.14) по методу эквивалентного
генератора при Rx - R0 = 27 Ом; /? 2 = ^ 8 0м ; Д3 = 8 1 0 м ; /? 4 = 54 0м ; £ = 70 В. ВАХ
НР изображена на рис. 13.15, а.
Р е ш е н и е . Размыкаем ветвь и определяем напряжение холостого хода: Uabx = 20 В.
14-4657
418
Гл. 13. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
б
Рис. 13.14
Рис. 13.15
Для подсчета входного сопротивления /?вх линейной части схемы относительно за­
жимов аЪ необходимо преобразовать треугольник сопротивлений /?,, /?2, Rq ( или /?4,
/?0 , Л3) (рис. 13.14, б) в эквивалентную звезду (рис. 13.14, в) по формулам (2.49-2.51):
Я,
R\ +
/? 2
Re ~ 4,45 Ом;
л
“
- = 180м ;
+ Rq
/? 7
= 18 Ом;
(Я б + М И і± М = 57 0м.
+Ry +R-j + /?4
Для определения тока в ветви ab схемы (см. рис. 13.14, а) на рис. 13.15, а проводим
прямую, проходящую через точки U = Uab х = 20 В, / = 0 и U - О,
/= tW * B x = 0 ,3 5 1 A
(угол у наклона этой прямой к вертикали с учетом масштабов по осям равен /?вх ). Точка
пересечения этой прямой с ВАХ НР (точка п) определяет рабочий режим схемы. Ток
I = 0,22 А.
§ 13.10. С татическое и дифф еренциальное сопротивления. Свой­
ства нелинейного резистора могут быть охарактеризованы либо его ВАХ,
либо зависимостями его статического и дифференциального сопротив­
лений от тока (напряжения).
§ 13.11. Замена нелинейного резистора эквивалентным... сопротивлением и ЭДС
419
Статическое сопротивление Rcr характеризует поведение HP в
режиме неизменного тока. Оно равно отношению напряжения на HP к
протекающему по нему току:
RCT = у -
(13.5)
Сопротивление R численно равно тангенсу угла а между осью
ординат и прямой, идущей в точку b (рис. 13.15, а), умноженному на от­
ношение масштабов по осям ти / тг
При переходе от одной точки ВАХ к соседней статическое сопротив­
ление изменяется.
Под дифференциальным сопротивлением Rwф принято понимать
отношение малого (теоретически бесконечно малого) приращения напря­
жения d U на HP к соответствующему приращению тока dl:
Л д „ф = ^ -.
(13.6)
Дифференциальное сопротивление численно равно тангенсу угла (3
(см. рис. 13.15, а) наклона касательной к ВАХ в рабочей точке, умножен­
ному на mLJ / т 7. Оно характеризует поведение HP при достаточно малых
отклонениях от предшествующего состояния, т. е. приращение напряже­
ния на HP связано с приращением тока, проходящего через него, соот­
ношением dU = Rmф d l.
Таким образом,
— это сопротивление HP по постоянному току, а
Ядиф — по малой переменной составляющей.
Если ВАХ HP имеет падающий участок, т. е. такой участок,
на котором увеличению напряжения на AU, соответствует убыль тока
на Д /, чтоимеет место,например, для электрической дуги (см. ее ВАХ
на рис. 13.1, д), тодифференциальное сопротивлениена этом
участке
отрицательно.
Из двух сопротивлений (Лст и Ддиф) чаще применяют Rmф. Его
используют, например, при замене HP эквивалентным линейным сопро­
тивлением и источником ЭДС (см. § 13.11), а также при исследовании
устойчивости режимов работы нелинейных цепей (см. § 17.3).
Пример 132. Построить кривые зависимости Лст и /?диф в функции тока / для нели­
нейного сопротивления, ВАХ которого изображена на рис. 13.15, а.
Р е ш е н и е . Кривые построены на рис. 13.15, б.
§ 13.11. Замена нелинейного резистора эквивалентны м линейным
сопротивлением и ЭДС. Если заранее известно, что изображающая точка
будет перемещаться лишь по определенному участку ВАХ HP и этот уча­
сток может быть с известной степенью приближения заменен прямой
линией, то HP при расчете может быть заменен эквивалентным линей­
ным сопротивлением и источником ЭДС.
420
Гл. 13. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
Положим, что рабочая точка перемещается лишь по участку ab
(см. рис. 13.15, а и 13.16, а). Для этого участка
t/ = i/0 + / t g P = - £ + / - ^ ^
т,
(13.7)
Уравнению (13.7) удовлетворяет участок цепи (рис. 13.16, б). На нем
Е = -U 0 и линейное сопротивление R = Rw ф.
U
П л=Дд,
м .
Ф *
(2
б
Рис. 13.16
Замена HP линейным сопротивлением и источников ЭДС удобна тем,
что после нее вся схема становится линейной и ее работа может быть
исследована методами, разработанными для линейных цепей. Однако при
этом необходимо внимательно следить за тем, чтобы рабочая точка не
выходила за пределы линейного участка ВАХ.
П ри м ер 133. Выразить аналитически участок ВАХ (см. рис. 13.15, а) в интервале
между точками д и с .
Р е ш е н и е . Из рис. 1 3 . 1 5 , а находим ( J 0 - 4 5 В и /?диф = 220 Ом. Следовательно,
U * - 4 5 + 220 /.
*
*
*
Нелинейные резисторы в ряде случаев придают электрическим цепям
свойства, принципиально недостижимые в линейных цепях; например,
с их помощью можно осуществить стабилизацию тока, стабилизацию на­
пряжения, усиление постоянного напряжения и др.
§ 13.12. С табилизатор тока и стабилизатор напряжения. Стаби­
лизатором тока называют устройство, которое способно поддерживать
в нагрузке неизменный ток при изменении сопротивления нагрузки и
напряжения на входе всей схемы.
Стабилизацию постоянного тока можно производить с помощью
различных схем. Простейшей схемой стабилизатора тока является схема
на рис. 13.17, а. В ней последовательно с нагрузкой Rn включен барет­
тер Б. На рис. 13.17, б приведена ВАХ бареттера.
П ри м ер 134. Бареттер используют для стабилизации тока накала электронной лампы.
Номинальный ток накала 0,3 А, напряжение 6 В. Определить, в каких пределах можно
§ 13.12. Стабилизатор тока и стабилизатор напряжения
421
/, A-і
Б
0,4-
о,з0, 20,110
20
30
40
U, В
б
а
Рис. 13.17
изменять напряжение U на входе схемы, чтобы ток нити накала лампы оставался неиз­
менным и равным 0,3 А.
Р е ш е н и е . Сопротивление нити накала лампы Rn = 6/0,3 = 20 Ом.
Проводим через точки а и b (рис. 13.17, б), ограничивающие участок бареттирования,
две прямые под углом a ( tg a с учетом масштабов по осям численно равен 2 0 ) к
вертикали. По рис. 13.17, б определяем, что напряжение U можно изменять в интервале
22-41 В.
П ри м ер 135. В схему предыдущей задачи введено последовательное сопротивле­
ние Rv Полагая напряжение на входе схемы неизменным и равным 41 В, найти, до како­
го максимального значения Я, в схеме имеет место стабилизация тока.
Р е ш е н и е . Если /?, = 0 и U - 41В, то рабочий режим характеризуется положени­
ем точки b (см. рис. 13.17, б). С увеличением сопротивления Л, рабочая точка на ВАХ
перемещается по направлению к точке а. В граничном режиме (точка а)
R \max
+ R] = t g a 2 —
= 80 Ом.
Следовательно, R\ тах = 80 - 20 = 60 Ом.
Стабилизатором напряжения называют устройство, напряжение на
выходе которого UH поддерживается постоянным или почти постоянным
при изменении сопротивления нагрузки RH или напряжения U] на вхо­
де устройства.
Схема простейшего стабилизатора напряжения приведена на
рис. 13.18. В качестве НР используется стабилитрон; R6 — балластное
сопротивление. На рис. 13.19 изображена ВАХ стабилитрона.
50 100 150
Рис. 13.18
200
Рис. 13.19
250 U9В
Гл. IS. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
422
При анализе работы стабилизатора определяют пределы допустимых
изменений Ux при RH= const, а также исследуют работу стабилизатора
при одновременном изменении Ux и RH.
Для оценки качества работы стабилизатора иногда пользуются поня­
тием коэффициента стабилизации. Под ним понимают отношение от­
носительного приращения напряжения на входе стабилизатора ( Ш х Ш х)
к относительному приращению напряжения на выходе стабилизатора
W j u и).
Пример 136. В схеме на рис. 13.18 RH = 5 кОм; /?б = 2 кОм. ВАХ стабилитрона со­
ответствует рис. 13.19. Определить границы допустимого изменения Uh при которых на
выходе стабилитрона поддерживается стабилизированное напряжение 150 В.
Р е ш е н и е . Воспользуемся методом эквивалентного генератора. Разомкнем ветвь ста­
билитрона и найдем напряжение холостого хода:
Uabx
=И T ^ V = 0’713t/';
Ян + /<б
/?вхаЛ = - ^ 4 - = И270М.
Ан +
На рис. 13.19 проведем две прямые (сплошные) линии через точки т и п ВАХ стаби­
литрона так, чтобы тангенс угла (образованного ими с вертикалью), умноженный на
ти І ті , был равен ЯвхаЬ = 14270м.
Отрезки, отсекаемые этими прямыми на оси абсцисс, равны Uabx. Из рис. 13.19 на­
ходим 0,713£/lmin = 2 2 0 В, или (7lmin= 2 2 0 B . Аналогично 0,713(У1тах = 192 В, или
Ujтах “ ^69 В. Следовательно, напряжение U x может изменяться от 220 до 269 В.
Пример 137. Для схемы на рис. 13.18 при R§ = 2,5 кОм (ВАХ стабилитрона см. на
рис. 13.19) и Ux - 250 В определить, в каких пределах можно изменять сопротивление на­
грузки Лн, чтобы стабилизатор мог выполнять свои функции по стабилизации выходного
напряжения.
Р е ш е н и е . Составим уравнение по второму закону Кирхгофа: / б R6 +U = Uj. Под­
ставив в него
/6 = /H+ / = -J -+ /.
получим
U (\+ R$ / RH)+ I Rq - U ] .
(13.8)
Из (13.8) следует, что при V - 0 / = Ux IR 6 = 250/2000 = 125 мА.
Отметим положение этой точки на оси ординат (рис. 13.19) и штриховой линией про­
ведем из нее два луча, чтобы они проходили через точки т и п , ограничивающие участок
стабилизации. Решим уравнение (13.8) относительно RH :
Л„ = --------- ------------ •
(13.9)
Уравнение (13.9) применим дважды: один раз, используя координаты точки т, другой
раз — точки п. Для точки т I = 5 мА; (У = 150 В; и RhX = 4,28 кОм. Для точки п
I - 30 мА; U = 157 В; / ? н2 = 9,52 кОм. Таким образом, сопротивление можно изменять от
4,28 до 9,52 кОм.
Пример 138. В схеме на рис. 13.20, а к источнику ЭДС Е присоединены туннельный
диод (его ВАХ — кривая на рис. 13.20, б) и линейный резистор R.
Построить зависимость: 1) тока I от изменения R при Е = 0,5 В; 2) тока / от ЭДС Е
при /? = ЮООм.
Р е ш е н и е . Построение для случая 1 дано на рис. 13.20, в и для случая 2 — на
рис. 13.20, г. Кривые построены по точкам пересечения ВАХ диода (кривой а
§ 13.13. Применение теории... четырехполюсника к расчету нелинейных цепей
423
’Js3
©
і
Рис. 13.20
рис. 13.20, б) с ВАХ резистора R (прямая b, ее координаты U = 0, / = Е / R, и U = £,
/ = 0). В случае 1 проводим несколько прямых при различных /?, в случае 2 прямую b
переносим параллельно самой себе.
§ 13.13. П рименение теории линейного активного автономного четырехполю сни­
ка к расчету нелинейны х цепей. На рис. 13.21, а штриховой линией обведен линейный
активный автономный четырехполюсник, в двух удаленных друг от друга ветвях / и 2
которых имеются нелинейные резисторы H3j и НЭ2, вольт-амперные характеристики
которых известны. Требуется определить токи /, и / 2 в ветвях / и 2.
С этой целью в соответствии с § 4.5 и 4.16 линейную часть схемы на рис. 13.21, а
заменим линейной активной T-схемой замещения (рис. 13.21,6). Она состоит из трех
резисторов— /?,, Д2, Я3 и двух источников постоянной ЭДС — £ | и £ 2. Чтобы опре­
делить параметры схемы на рис. 13.21, бу поступим следующим образом.
1 . В схеме на рис. 13.21, а разомкнем ветви / и 2, содержащие НЭ, и образовавшую­
ся после этой процедуры линейную часть схемы сделаем пассивной, мысленно разомкнув
в образовавшейся схеме ветви с источниками тока и закоротив ветви с источниками ЭДС.
2. Затем определим три входных сопротивления для образовавшейся пассивной схе­
мы на рис. 13.21, в: входное сопротивление Rlx по отношению к зажимам 1— 1 при ра­
зомкнутой второй ветви, входное сопротивление Л] к по отношению к зажимам / — / при
коротком замыкании второй ветви и входное сопротивление R2x по отношению к зажи­
мам 2— 2 при разомкнутой первой ветви.
3. Располагая значениями R]x, RlK, R2x по формулам (4.32) определим А, В, С, D
параметры пассивного четырехполюсника:
424
Гл. 13. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
-CD— ?— О
4.
По А , В, С, D параметрам определим сопротивления /?,,
пассивной схемы на рис. 13.21, г:
D-I
эквивалентной
(13.11)
5.
Для определения ЭДС £, и £ 2 в схеме на рис. 13.21,6 осуществим короткое
замыкание в ветвях / и 2 (см. рис. д и е) и расчетным путем определим токи /, кк и / 2кк
в схеме на рис. 13.21, д> которые равны токам в схеме на рис. 13.21, е. Для схемы на
рис. 13.21 ,е составим два уравнения:
/|кк * i + ( / i « - / 2 « ) * 3 = £ |
^2 кк ^ 2 - ( Лк к ~ ^ 2 кк)
^3
= Е2
(13.12)
(13.13)
и из них определим £, и Е2. Расчет токов в схеме на рис. 13.23, б рассмотрен в § 13.7.
§ 13.14. Построение ВАХ участков цепей, содержащих узлы с подтекающими из­
вне токами. На рис. 13.22, а изображен участок цепи, между точками а и Ь которого име­
ются НР, и Н Р2, а к узлу т подтекает ток I от непоказанной на рисунке части схемы.
ВАХ НР, и НР 2 известны (рис. 13.22, б). Требуется построить семейство ВАХ
Л = f ( U ab) при нескольких фиксированных значениях то к а /. При любом и аь ток ^ б о л ь ­
ше тока / 2 на ток I. Это учтено при построениях на рис. 13.22, г тем, что начало кривой
/ 2 = f ( U 2) смещено выше начала кривой /, = f ( U x) на ток /. Из рис. 13.22, а следует,
Ч Т 0 Ub a=lJ\+ и 2 или Uab = - ( U l +U2).
Для построения кривой 1\(0аь) при / = const задаемся произвольным током /,,
проводим через это значение /, горизонталь и суммируем абсциссы пересечения этой
горизонтали с абсциссами кривых / и 2. Получаем кривую 3. Кривая /, = f ( U ab) (кри­
вая 3 *) на рис. 13.22, д получается из кривой 3 (рис. 13.22, г)зеркальным отражением
относительно вертикальной оси. При ином значении / будет новая кривая /, = f { U ab)Если на участках У и 2 будут включены ЭДС £, и
£ 2 (рис. 13.22, в), то
Uab = -(tJx + U 2) + Ex + E2.
ВАХ /, =г f ( U ab) в этом случае получаем параллельным переносом кривой 3
(рис. 13.22, д) на (£, + £ 2) — кривая 4.
§ 13.16. Терморезисторы
425
HP.
/і
т
їй
НРЇ
b
Рис. 13.22
§ 13.15. Д и акоп ти ка нелинейны х цепей постоянного тока. Под диакоптикой по­
нимают расчет сложных цепей по частям, с учетом влияния частей друг на друга.
Проиллюстрируем идею метода на примере схемы (рис. 13.23, а). Это мостовая схема
с шестью ветвями и шестью HP. Всю схему, за исключением ветви 5 с током / 5, предста­
вим на рис. 13.23, б некоторым нелинейным двухполюсником /, а ветвь 5 — двухполюс­
ником 2. Общим для них является ветвь ab с током / 5 .
d
/5і
а
/з
2
1
Ь
h
4
^
- 0
Va.
б
Рис. 13.23
Если на рис. 13.23, в построить кривую /5 = f ( V ab) — кривую I — для двухполюс­
ника / и кривую / 5 = f ( U ab) — кривую 2 — для двухполюсника 2 , то точка пересечения
кривых / и 2 удовлетворяет работе обеих частей схемы, т. е. является решением задачи.
Для получения кривой 1 необходимо в соответствии с § 13.14 сначала построить
семейство ВАХ ветвей / и 2 l\ = f ( U cJ) и ВАХ ветвей 3 и 4 / 3 = f ( U cd) при различных
/ 5. Затем учесть, что / , + / 3 + / 6 = 0 для каждого / 5. Из этого условия определить (/<*/,
/ |, / з для каждого фиксированного /5 и по ним построить /5 = f ( U ab).
§ 13.16. Терморезисторы. Терморезисторы представляют собой HP, сопротивление
которых сильно зависит от температуры Т тела терморезистора. Так как эта температура
зависит не только от тока, проходящего по терморезистору, но и от температуры окружаю­
щей среды 0, то они представляют собой температурно управляемые HP. Другими слова­
ми, один и тот же терморезистор обладает различными ВАХ при различных 0 . Ток,
426
Гл. 13. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
нагревающий терморезистор, может проходить по самому терморезистору либо по нагре­
вательной обмотке, электрически изолированной от него.
Терморезисторы подразделяют на два класса: термисторы (с отрицательным темпера­
турным коэффициентом) и позисторы (с положительным температурным коэффициентом).
Термисторы изготовляют из оксидов меди и марганца, позисторы — из титаната бария,
легированного редкоземельными металлами. Постоянная времени нагрева терморезисто­
ров составляет обычно несколько десятков секунд. Обозначают терморезисторы в соот­
ветствии с рис. 13.24, а , ставя соответственно букву Т или П.
Рис. 13.24
На рис. 13.24, б изображены ВАХ термистора типа ММТ-4, а на рис. 13.24, в — позистора СТ5-1.
§ 13.17. Ф оторезистор и фотодиод. Фоторезистор — это резистор, управляемый
световым потоком Ф. Действие его основано на внутреннем фотоэффекте. ВАХ при неиз­
менном потоке показана на рис. 13.25, а, люкс-амперная#) характеристика при неизменном
напряжении — на рис. 13.25, б, спектральная характеристика 1 - f ( X ) (ток — в относи­
тельных единицах, X — длина волны) при неизменном U и Ф — на рис. 13.25, в, частот­
ная характеристика <р(/) при неизменном Ф и ( / — на рис. 13.25, г.
/, % і
100
0,75 X, мкм
в
0
4
8
/к Г ц
г
Рис. 13.25
Фотодиод (ФД) — это германиевый или кремниевый диод, обратный ток р-п -перехо­
да которого зависит от освещенности перехода. Работа его основана на вентильном фото­
эффекте.
ФД могут работать с внешним источником (схема на рис. 13.26, а) и без него
(рис. 13.27, а). ВАХ одного из типов серно-таллиевого ФД при различных Ф изображена
на рис. 13.26, б.
При работе без внешнего источника питания фотогальваническая ЭДС достигает
0 ,1 -0 ,2 В и более. Схема замещения для рис. 13.27, а изображена на рис. 13.27,6.
ФД на нем представлен источником ЭДС холостого хода £ х и внутренним сопротивлени­
ем RB. ЭДС £ х — нелинейная функция светового потока Ф. ВАХ Ra — кривая 1 на
Люкс — это люмен / м 2 — единица измерения освещенности.
§ 13.19. Магниторезисторы и магнитодиоды
427
*
и*
П
RU
Рис. 13.26
а
б
Рис. 13.27
рис. 13.27, в, а прямая 2 — ВАХ RH при £ х = 0,2 В и RH =250 Ом. Пересечение / с 2
определяет рабочий режим.
§ 13.18. Передача м ак сим альной мощ ности линейной нагрузке от источника с
нелинейны м внутренним сопротивлением . В схеме на рис. 13.27, б линейной нагрузке
сопротивлением RH передается мощность от источника ЭДС через резистор /?в, имеющий
нелинейную ВАХ (кривая / на рис. 13.27, в). Обозначим через UR^ — напряжение на не­
линейном резисторе. Мощность, выделяющаяся в нагрузке,
Рн = /Л н / = (£х -< /*)/.
Возьмем производную — dl
и приравняем ее нулю:
dP
dU R
— *-= Ех - Ug - 1 -----— = 0.
d l
*
**
d l
dU R
Учтем, что Ex - Uj^ = / RH, a
~ ~ = Rmф представляет собой дифференциальное
сопротивление нелинейного резистора. Следовательно, максимальная мощность передается
нагрузке, когда в рабочей точке RH = /?диф.
Если в схеме на рис. 13.27, б нелинейным будет не только внутреннее сопротивление
источника питания, но и сопротивление нагрузки, то нагрузке будет передаваться макси­
мальная мощность (энергия), когда в рабочей точке статическое сопротивление нагрузки
равно дифференциальному сопротивлению источника питания (доказывается аналогично).
§ 13.19. М агниторезисторы и магнитодиоды. Магниторезисторы — это резисто­
ры, сопротивлением которых управляют внешним магнитным полем индукции В, направ­
ленным перпендикулярно направлению протекания тока через резистор. Электроны в теле
магниторезистора находятся в перекрестных магнитном поле индукции В и электриче-
Гл. 13. Нелинейные электрические цепи постоянного т о т
428
а
б
в
Рис. 13.28
ском поле напряженностью Е и движутся не по напряженности поля £ , а по кривой,
напоминающей циклоиду, за счет чего путь их, а следовательно, и сопротивление увели­
чиваются. Выполняют их в виде дисков или пленок. На рис. 13.28, а изображена ВАХ
магниторезистора из антимонида индия, а на рис. 13.28, б — из арсенида индия.
Магнитодиоды — это диоды, в которых магнитное поле изменяет подвижность и на­
правление движения электронов и дырок. На рис. 13.28, в изображена ВАХ магнитодиода
КД301Ж при В - 0 (кривая У) и при £ = 0,ЗТл (кривая 2).
Вопросы для самопроверки
1.
Дайте определения следующим понятиям: нелинейный резистор, нелинейная элек­
трическая цепь, статическое и дифференциальное сопротивления. 2. Дайте определение
неуправляемых НР. 3. Качественно изобразите ВАХ известных вам типов неуправляемых
и управляемых НР. 4. Для каких известных вам типов НР дифференциальное сопротивле­
ние может быть отрицательным? 5. Может ли для реальных НР статическое сопротивле­
ние быть отрицательным? 6 . В чем заключается препятствие, затрудняющее применять
метод контурных токов или метод узловых потенциалов для расчета сложных разветвлен­
ных нелинейных цепей? 7. Как заменить несколько параллельных ветвей с НР и источни­
ками ЭДС на одну эквивалентную? Определите характеристики элементов эквивалентной
ветви. 8 . Перечислите этапы расчета нелинейных цепей (НЦ) методом двух узлов и мето­
дом эквивалентного генератора. 9. В чем ограниченность метода замены НР эквивалент­
ным линейным сопротивлением и источником ЭДС? 10. Перечислите свойства, которыми
при определенных условиях могут обладать НЦ и не обладают линейные цепи. И . Оха­
рактеризуйте свойства термисторов и позисторов, фото- и магниторезисторов. 12. Пояс­
ните идею расчета схем с применением диакоптики. 13. В чем отличие условий передачи
активной мощности нагрузке от источника с нелинейным внутренним сопротивлением
и от источника с линейным сопротивлением? 14. Решите задачи 2.4, 2.8, 2.13, 2.14, 2.15,
2 . 20 , 2 . 22 .
Глава четырнадцатая
М АГНИТНЫ Е ЦЕПИ
§ 14.1. Подразделение вещ еств на сильномагнитные и слабомаг­
нитны е. Из курса физики известно, что все вещества по их магнитным
свойствам подразделяют на диамагнитные, парамагнитные, ферромагнит­
ные, ферримагнитные и антиферромагнитные. У диамагнитных веществ
относительная магнитная проницаемость \xr < 1, например для висмута
= 0,99983, у парамагнитных веществ jur > 1, например для платины
ц г = 1,00036. У ферромагнитных веществ (железо, кобальт и их сплавы)
ц г много больше единицы (например, ю 4, а у некоторых материалов
даже до 106). У ферримагнитных веществ \хг того же порядка, что и у
ферромагнитных, а у антиферромагнитных веществ jur того же поряд­
ка, что и у парамагнитных.
При решении большинства электротехнических задач достаточно
подразделять все вещества не на перечисленные группы, а на сильномаг­
нитные, у которых \ir » 1, и на слабомагнитные (практически немагнит­
ные), у которых ц г « 1.
§ 14.2. О сновные величины , характеризующие магнитное поле.
Основными векторными величинами, характеризующими магнитное
поле, являются магнитная индукция В и намагниченность J* \
Магнитная индукция — это векторная величина, определяемая по
силовому воздействию магнитного поля на ток (см. гл. 21).
Намагниченность J — магнитный момент единицы объема вещества.
Кроме этих двух величин магнитное поле характеризуется напряжен­
ностью магнитного поля Н.
Три величины — В, J , Н — связаны друг с другом следующей
зависимостью"*:
5=
+Л
(14.1)
В СИ единица индукции В — тесла (Тл): 1 Тл = 1 В с / м 2 = 1 В б /м 2,
а в системе СГСМ — гаусс (1 Гс = 10'8 В б/см 2).
Единица намагниченности J и напряженности поля Н — ампер на
метр (А / м), а в системе СГСМ — эрстед (Э).
Намагниченность J представляет собой вектор, направление которого
полагают совпадающим с направлением И в данной точке:
(14.2)
Стрелка над буквой характеризует вектор в пространстве.
*в> Пояснения к формуле (14.1) см. в § 14.24.
430
Гл. 14. Магнитные цепи
Коэффициент х Для ферромагнитных веществ является функцией Я.
Подставив (14.2) в (14.1) и обозначив l + x ^ r * получим
В = Но Иг Н = Ца Н,
(14.3)
где ji0— постоянная, характеризующая магнитные свойства вакуума;
ц а— абсолютная магнитная проницаемость.
В СИ ц0 = 4 я -1 0 ~ 7 Г н /м = 1,257-10-6 Г н /м ; в СГСМ ц0 = 1. Для
ферромагнитных веществ \хг является функцией Я.
Магнитный поток Ф через некоторую поверхность S — это поток век­
тора магнитной индукции через эту поверхность:
(14.4)
S
где d S — элемент поверхности S.
В СИ единица магнитного потока — вебер (Вб); в СГСМ — максвелл
(Мкс); 1 Мкс = 1 ( Г 8 Вб; 1 кМкс = 1 0 3 Мкс.
При расчетах магнитных цепей обычно применяют две величины:
магнитную индукцию В и напряженность магнитного поля Я.
Намагниченность J в расчетах, как правило, не используют (при не­
обходимости значение J, отвечающее соответствующим значениям В и
Я, всегда можно найти по формуле ( 1 4 . 1 ) ) .
Ферромагнитные вещества имеют кристаллическую структуру. Каж­
дый кристалл состоит из самопроизвольно намагниченных областей —
доменов. Магнитное состояние каждого домена характеризуется векто­
ром намагниченности. Решающую роль в формировании ферромагнит­
ных свойств играет спиновый магнитный момент атома, обусловленный
наличием нескомпенсированных спинов на одной из внутренних оболо­
чек атома. В ферромагнетиках электроны одного атома расположены
настолько близко к ядру другого атома, что между соседними атомами
имеет место как бы обмен электронами. При этом между соседними ато­
мами действуют не только магнитные силы, обусловленные взаимодей­
ствием спинов, но и силы, вызванные наличием обменных электронов.
Последним соответствует обменная энергия (обменный интеграл).
Ферромагнитные свойства проявляются в том случае, когда обменный
интеграл положителен. Обменные силы стремятся установить соседние
атомы так, чтобы их магнитные моменты были параллельны, тогда как
магнитные силы взаимодействия между соседними спинами стремятся
установить соседние атомы так, чтобы их магнитные моменты были антипараллельны. Эти два взаимодействия определяют размер доменов.
В размагниченном в макросмысле теле при отсутствии внешнего поля
векторы намагниченности доменов направлены неупорядоченно. При
воздействии на тело внешнего магнитного поля по мере увеличения ин­
тенсивности последнего сначала возрастают объемы доменов, векторы
намагниченности которых наиболее близки к вектору внешнего поля.
Этот процесс, происходящий за счет соседних доменов, получил назва­
ние «смещение границ». Затем ориентация доменов скачкообразно изме­
§ 14.3. Основные характеристики ферромагнитных материалов
431
няется в том направлении легкого намагничивания, которое ближе всего
к направлению вектора внешнего поля («скачки Баркгаузена»). При даль­
нейшем увеличении интенсивности внешнего поля векторы намагничен­
ности отдельных доменов поворачиваются по внешнему полю. Если фер­
ромагнитное тело неоднородно по структуре, то эти три процесса могут
происходить одновременно.
§ 14.3. Основные характеристики ферромагнитных материалов.
Свойства ферромагнитных материалов принято характеризовать зависи­
мостью магнитной индукции В от напряженности магнитного поля Н.
Различают два основных типа этих зависимостей: кривые намагничива­
ния и гистерезисные петли.
Под кривыми намагничивания понимают однозначную зависимость
между В и Н. Кривые намагничивания подразделяют на начальную, ос­
новную и безгистерезисную (что будет пояснено далее).
Из курса физики известно, что ферромагнитным материалам прису­
ще явление гистерезиса — отставание изменения магнитной индукции В
от изменения напряженности магнитного поля Н. Гистерезис обусловлен
необратимыми изменениями энергетического состояния под действием
внешнего поля Н. При периодическом изменении напряженности ПОЛЯ
зависимость между В и Н приобретает петлевой характер.
Различают несколько типов гистерезисных петель — симметричную,
предельную и несимметричную (частный цикл).
На рис. 14.1 изображено семейство симметричных гистерезисных
петель. Для каждой симметричной петли максимальное положительное
значение В равно максимальному отрицательному значению В и, соот-
в
Ві
Несимметричные
гистерезисные
петли или
частные циклы
Основная
Начальная
I■у J
Безгистерезисная
Безги
Н
Рис. 14.1
Рис. 14.2
Геометрическое место вершин симметричных гистерезисных петель
называют основной кривой намагничивания. При очень больших Н вбли­
зи ± Я тах восходящая и нисходящая ветви гистерезисной петли практи­
чески сливаются.
Предельной гистерезисной петлей, или предельным циклом, называ­
ют симметричную гистерезисную петлю, снятую при очень больших
432
Гл. 14. Магнитные цепи
# тах. Индукцию при Я = О называют остаточной индукцией и обозна­
чают Вг.
Напряженность поля при В - 0 называют задерживающей или коэр­
цитивной силой и обозначают Н с.
Участок предельного цикла Вг Н с (см. рис. 14.1) принято называть
кривой размагничивания или «спинкой» гистерезисной петли.
Этот участок используют при расчетах магнитных цепей с постоян­
ными магнитами и магнитных элементов запоминающих устройств вы­
числительной техники.
Если изменять Я периодически и так, что + Я тах * | - / / тах1> Т0 зави­
симость между В и Я будет иметь вид петли, но центр петли не совпада­
ет с началом координат (рис. 14.2). Такие гистерезисные петли называ­
ют частными петлями гистерезиса или частными циклами.
Когда предварительно размагниченный ферромагнитный материал
( В - 0, Я = 0 ) намагничивают, монотонно увеличивая Я, получаемую
зависимость между В и Я называют начальной кривой намагничивания.
Начальная и основная кривые намагничивания настолько близко рас­
положены друг к другу, что практически во многих случаях их можно
считать совпадающими (см. рис. 14.2).
Безгистерезисной кривой намагничивания называют зависимость меж­
ду В и Я, возникающую, когда при намагничивании ферромагнитного
материала его периодически постукивают или воздействуют на него по­
лем, имеющим кроме постоянной составляющей еще и затухающую по
амплитуде синусоидальную составляющую. При этом гистерезис как бы
снимается.
Безгистерезисная кривая намагничивания резко отличается от основ­
ной кривой.
В различных справочниках, а также в ГОСТе в качестве однозначной
зависимости между В и Я дается основная кривая намагничивания.
§ 14.4. П отери, обусловленные гистерезисом. При периодическом
перемагничивании ферромагнитного материала в нем совершаются необ­
ратимые процессы, на которые расходуется энергия от намагничивающего
источника. В общем случае потери в ферромагнитном сердечнике обус­
ловлены гистерезисом, макроскопическими вихревыми токами и магнит­
ной вязкостью. Степень проявления различных видов потерь зависит от
скорости перемагничивания ферромагнитного материала. Если сердечник
перемагничивается во времени замедленно, то потери в сердечнике обус­
ловлены практически только гистерезисом (потери от макроскопических
вихревых токов и магнитной вязкости при этом стремятся к нулю).
Физически потери, обусловленные гистерезисом, вызваны инерцион­
ностью процессов роста зародышей перемагничивания, инерционностью
процессов смещения доменных границ и необратимыми процессами вра­
щения векторов намагниченности.
Площадь гистерезисной петли <^Н d В характеризует энергию, выде­
ляющуюся в единице объема ферромагнитного вещества за один цикл
перемагничивания.
§ 14.5. Магнитомягкие и магнитотвердые материалы
433
Представим площадь гистерезисной петли (рис. 14.3) в виде суммы четырех площа­
дей: <^Н d B = »S'j + S2 *+•*S*3 +«£4 .
Площадь
соответствует движению от
точки / до точки 2 ; так как на этом участке
Н > 0 и d B > 0 , то произведение H d B > О
и S, > 0 . Площадь S2 характеризует движе­
ние от точки 2 до точки 3\ так как в этом ин­
тервале Н > 0 и d B < 0 , то S2 < 0. Площадь
5 3 — движение от точки 3 до точки 4\ так как
Н < 0 и d B <0, то S3 > 0. Площадь S4 —
движение от точки 4 до точки У; так как
Я < 0 и d B > 0 , то 5'4 <0.
в
у2
1" T L
X
н
н
і
Если ферромагнитный сердечник
подвергается периодическому намаг­
ничиванию (например, в цепях пере­
менного тока), то для уменьшения
потерь на гистерезис в нем он должен
быть выполнен из магнитомягкого
материала (см. § 14.5).
§ 14.5. М агнитомягкие и магниРис 14 3
то твер д ы е м атери алы . Ферромаг­
нитные материалы подразделяют на магнитомягкие и магнитотвердые.
Магнитомягкие материалы обладают круто поднимающейся основ­
ной кривой намагничивания и относительно малыми площадями гисте­
резисных петель. Их применяют во всех устройствах, которые работают
или могут работать при периодически изменяющемся магнитном потоке
(трансформаторах, электрических двигателях и генераторах, индуктивных
катушках и т.п.).
Некоторые магнитомягкие материалы, например перминвар, сплавы
68НМП и др., обладают петлей гистерезиса по форме, близкой к прямо­
угольной (рис. 14.4, а). Такие
материалы получили распрос­
транение в вычислительных
устройствах и устройствах ав­
томатики.
В группу магнитомягких
материалов входят электро­
технические стали, железони­
келевые сплавы типа пермал­
лоя и др.
Магнитотвердые матери­
Рис. 14.4
алы обладают полого подни­
мающейся основной кривой
намагничивания и большой площадью гистерезисной петли. В группу
магнитотвердых материалов входят углеродистые стали, сплавы магнико, вольфрамовые, платино-кобальтовые сплавы и сплавы на основе рсд-
Гл. 14. Магнитные цепи
434
поземельных элементов, например самарий-кобальтовые. У последних
Вг * 0,9Тл и # с = 6 6 0 к А /м .
На рис. 14.4, б качественно сопоставлены гистерезисные петли для
магнитомягкого материала типа пермаллоя (кривая 7) и для магнитотвер­
дого материала (кривая 2).
§ 14.6. М агнитодиэлектрики и ф ерриты . В радиотехнике, где ис­
пользуют колебания высокой частоты, сердечники индуктивных катушек
изготовляют из магнитодиэлектриков или ферритов.
Магнитодиэлектрики — материалы, полученные смешением мелкоизмельченного порошка магнетита, железа или пермаллоя с диэлектри­
ком. Эту смесь формуют и запекают. Каждую ферромагнитную крупин­
ку обволакивает пленка из диэлектрика. Благодаря наличию таких пле­
нок сердечники из магнитодиэлектриков не насыщаются; ц г их находится
в интервале от нескольких единиц до нескольких десятков.
Ферриты — ферримагнитные материалы. Магнитомягкие ферриты
изготовляют из оксидов железа, марганца и цинка или из оксидов желе­
за, никеля и цинка. Смесь формуют и обжигают, в результате получают
твердый раствор. По своим электрическим свойствам ферриты являют­
ся полупроводниками. Их объемное сопротивление р = 1-ь 107 Ом • м, тог­
да как для железа р « 10~6 Ом • м.
Можно получить ферриты с различными магнитными свойствами. В
отличие от магнитодиэлектриков ферриты могут насыщаться. Коэрцитив­
ная сила магнитомягких ферритов составляет примерно 10 А /м . Мар­
кируют их буквами и цифрой. Например, феррит 6000 НМ означает никель-марганцевый феррит, у которого на начальном участке кривой на­
магничивания
= 6000. Магнитотвердые ферриты выполняют на основе
феррита бария. Например, у феррита ЗБА Вг = 0,38 Тл; Н с - 145 А /м .
§ 14.7. Закон полного тока. Магнитное поле создается электричес­
кими токами. Количественная связь между линейным интегралом от век­
тора напряженности магнитного поля Н вдоль любого произвольного
контура и алгебраической суммой токов
/, охваченных этим контуром,
определяется законом полного тока:
jH dl =Y,L
(14-5)
Положительное направление интегрирования d l связано с положи­
тельным направлением тока 1 правилом правого винта. Если контур ин­
тегрирования будет проходить внутри катушки с числом витков w, по ко­
торой протекает ток /, то
£ / = /w
и
d l = I w.
Закон полного тока является опытным законом. Его можно экспери­
ментально проверить путем измерения <j"Н dl с помощью специально­
го устройства (известного из курса физики), называемого магнитным
поясом.
§ 14.9. Разновидности магнитных цепей
435
§ 14.8. М агнитодвижущая (намагничиваю щ ая) сила. Магнитодви­
жущей силой (МДС), или намагничивающей силой (НС), катушки или
обмотки с током называют произведение числа витков катушки w на
протекающий по ней ток /.
МДС / w вызывает магнитный поток в магнитной цепи подобно тому,
как ЭДС вызывает электрический ток в электрической цепи. Как и ЭДС,
МДС — величина направленная (положительное направление на схеме
обозначают стрелкой).
Положительное направление МДС совпадает с
\ д /
\ л /
движением острия правого винта, если винт вра- * \ \
/
I
щать по направлению тока в обмотке.
1w
1w
Для определения положительного направления
\
/
\
/
МДС пользуются мнемоническим правилом: если ) \ \
* г\ \
1
сердечники мысленно охватить правой рукой, рас— Iw
— /w
положив ее пальцы по току в обмотке, а затем
Pup 1ЛС
отогнуть большой палец, то последний укажет
направление МДС.
На рис. 14.5 дано несколько эскизов с различным направлением на­
мотки катушек на сердечник и различным направлением МДС.
§ 14.9. Разновидности магнитных цепей. Магнитной цепью в об­
щем случае называют совокупность катушек с током, ферромагнитных
тел или каких-либо иных тел (сред), по которым замыкается магнитный
поток.
Магнитные цепи могут быть подразделены на неразветвленные и раз­
ветвленные. Примером неразветвленной цепи может служить цепь, по­
казанная на рис. 14.6. Разветвленные цепи делятся на симметричные и
несимметричные. Магнитная цепь на рис. 14.7 симметрична: в ней
h w2
Рис. 14.6
Рис. 14.7
Oj = Ф2, если обе части ее, расположенные слева и справа от вертикаль­
ной пунктирной линии, одинаковы в геометрическом отношении, изго­
товлены из одного и того же материала и если /j Wj = / 2 и>2.
Достаточно сделать l x wx * / 2 w2, изменить направление тока в одной
из обмоток или сделать воздушный зазор в одном из крайних стержней
магнитопровода, чтобы магнитная цепь (рис. 14.7) стала несимметрич­
ной. Если цепь (см. рис. 14.7) окажется несимметричной, то
* Ф 2.
Гл. 14. Магнитные цепи
436
§ 14.10. Роль ф ерром агнитны х м атериалов в м агнитной цепи.
Электрические машины, трансформаторы и другие аппараты конструи­
руют так, чтобы магнитный поток в них был по возможности наиболь­
шим. Если в магнитную цепь входит ферромагнитный материал, то по­
ток в ее ветвях при одной и той же МДС и одинаковой геометрии цепи
оказывается во много раз больше, чем в случае отсутствия ферромагнит­
ного материала.
Пример 139. Даны два одинаковых в геометрическом отношении кольцевых сердеч­
ника (рис. 14.8). Радиус их средней магнитной линии Л = 11см, поперечное сечение
S - 2 см2. Один сердечник неферромагнитный, например деревянный, а другой — фер­
ромагнитный (кривая намагничивания представлена на рис. 14.9). На каждый кольцевой
Неферромагнитный
Ферромагнитный
сердечник намотана обмотка с числом витков w = 2 0 0 и через них пропущен одинаковый
ток / = 1 А. Определить потоки в сердечниках.
Р е ш е н и е. По закону полного тока, напряженность поля одинакова в обоих сердеч­
никах и не зависит от материала:
/w
1*200
, 10 А,
Н ----------= ---------- - = 318 А /м .
2 п R 2 тг -0,1
Магнитный поток в неферромагнитном сердечнике
Ф„ф = B S = ii0 n H S = 1,257 10 " 6 -318-2-10-4
= 8
Ю- 8 Вб.
По кривой намагничивания (рис. 14.9) находим, что при Н =318 А /м
Магнитный поток в ферромагнитном сердечнике
/?^1,02Т л.
Ффм= В S = 1,02-10 ' 4 - 2 = 20,4 - 1 0 ~ 5 Вб.
Таким образом, поток в ферромагнитном сердечнике в 2550 раз больше, чем в нефер­
ромагнитном.
Ферромагнитные материалы вводят в магнитную цепь также с целью сосредоточения
магнитного поля в заданной области пространства и придания ему определенной конфи­
гурации.
§ 14.11. П адение магнитного напряжения. Падением магнитного
напряжения между точками а и b магнитной цепи называют линейный
интеграл от напряженности магнитного поля между этими точками:
Uuoh = \ H d l .
(14.6)
§ 14.13. Построение вебер-амперных характеристик
437
Если на этом участке Н ^постоянна и совпадает по направлению с
элементом пути d i , то Н d l = Н d l cosO° и Н можно вынести из-под
знака интеграла. Тогда
Uuab = H ) d l = H l ab,
(14.7)
а
где 1аЬ — длина пути между точками а и Ь.
Единица падения магнитного напряжения — ампер (А).
В том случае, когда участок магнитной цепи между точками а и b
может быть подразделен на п отдельных частей так, что для каждой ча­
сти Н —H k —const, то
и » а ь = І н к Ік.
&=1
(14.8)
§ 14.12. Вебер-амперные характери сти ки . Под вебер-амперной
(максвелл-амперной) характеристикой (ВАХ)*} понимают зависимость
потока Ф по какому-либо участку магнитной цепи от падения магнитно­
го напряжения на этом участке: Ф =
Она также важна при расче­
тах и исследовании магнитных цепей, как и ВАХ нелинейных сопротив­
лений при расчетах и исследовании электрических цепей с нелинейны­
ми резисторами (см. гл. 13).
ВАХ при расчетах магнитных цепей в готовом виде на задаются. Пе­
ред расчетом их нужно построить с помощью кривых намагничивания
ферромагнитных материалов, входящих в магнитную цепь.
§ 14.13. Построение вебер-амперных характеристик. Нарис. 14.10
изображен участок магнитной цепи, по которому проходит поток Ф. Пусть
участки 1} и /2 сечением S выполнены из ферромагнитного материала,
кривая В = / ( / / ) для которого дана на рис. 14.9. На участке длиной 8
магнитный поток проходит по воздуху. Требуется построить ВАХ участ­
ка цепи между точками а и Ь.
При построении допустим, что:
1) магнитный поток вдоль всего участка от а до Ъ постоянен (отсут­
ствует рассеяние);
2) сечение магнитного потока в воздушном зазоре такое же, как и на
участках /, и /2 (отсутствует боковой распор силовых линий в зазоре).
В действительности оба допущения справедливы лишь в известной
мере и чем больше воздушный зазор, тем менее они выполняются.
Построение ВАХ производим следующим образом. Задаемся рядом
значений индукции В, например для электротехнических сталей 0; 0,5;
0,8; 1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5 Тл, и для каждого значения В находим на­
пряженности поля на всех участках 1и /2 и 5.
На участках из ферромагнитного материала (/, и /2) напряженность
Н\ = Н 2 (так как В{ = В2 ) определяем по кривой намагничивания.
гл. 14 (в отличие от гл. 13) под ВАХ понимается вебер-амперная характеристика.
438
Гл. 14. Магнитные цепи
Для неферромагнитных участков (участок 8)
Н = — = ------ -— т-«0,8 106 В,
Но 1,256 1(Г6
где Н — в А /м ; Л — в Тл; ц0 — в Гн / м.
Таким образом, для определения Н в воздухе следует умножить ин­
дукцию, выраженную в теслах, на коэффициент 0,8-106.
Для каждого значения В вычисляем поток Ф = В S и находим
и иаЬ= Н , 1\ + Н 2 /2 + Я 5 8.
По результатам подсчетов строим кривую Ф =
П рим ер 140. Построить ВАХ для участка цепи
(рис. 14.10) при б = 0; 0,005; 0,05 см;
/ , =1 0 см;
/ 2 = 5 см; 5 = 5 см2.
Ф
Ф
Р е ш е н и е . Определим падение магнитного
напряжения между точками а и b участка магнитной
Рис. 14.10
цепи (см. рис. 14.10) при 6 = 0,005см и £ = 0,5Тл.
Из кривой (см. рис. 14.9) находим, что индукции
£ = 0,5Тл
соответствует напряженность поля
Н = 4 0 А /м . Таким образом, при £ = 0,5Тл Я , = Я 2 = 4 0 А / м .
Падение напряжения между точками а и b
V»ab = H\ 1\ + н 2 <2 + Иь
8
= 40-0,1 + 40■ 0,05 + 0,8• 0,5 -10 6 ■5■ 1(Г5 = 26 А.
Значения U Mab при иных зазорах и индукциях рассчитываем аналогичным образом
(табл. 14.1).
Таблица
В, Тл
0,5
0 ,8
1 ,0
1 ,1
1 ,2
1,3
1,4
Ф,
Вб • 10‘ 5
я , = я 2,
А/ м
Нь
А /м - 105
25
40
50
55
60
65
70
40
130
300
440
700
1080
1800
4
6,4
8
Us4ab, А, при 5, см
0
0,005
0,05
6
19,5
45
26
51,5
85
ПО
153
214
326
206
339,5
445
506
585
682
830
8 ,8
66
9,6
10,4
105
162
270
1 1 ,2
Рис. 14.11
14.1
§ 14.14. Законы Кирхгофа для магнитных цепей
439
По данным табл. 14.1 построены ВАХ при трех значениях 5
(рис. 14.11). Из построений видно, что если участок, для которого стро­
ят ВАХ, не имеет «воздушного» включения, то ВАХ круто поднимается
вверх. При наличии воздушного включения ВАХ спрямляется и идет бо­
лее полого.
§ 14.14. Законы Кирхгофа для м агнитны х цепей. При расчетах
магнитных цепей, как и электрических, используют первый и второй за­
коны (правила) Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма магнитных потоков
в любом узле магнитной цепи равна нулю:
Е ф к=0-
(14.9)
Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей следует из принципа
непрерывности магнитного потока, известного из курса физики (см. так­
же том 2 учебника).
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений магнитного
напряжения вдоль любого замкнутого контура равна алгебраической
сумме МДС вдоль того же контура:
£ t / M= £ / W.
(14.10)
Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей, по сути дела, есть иная
форма записи закона полного тока.
Перед тем как записать
уравнения по законам Кирх­
гофа, следует произвольно
выбрать положительные на­
правления потоков в ветвях
и положительные направле­
V
ния обхода контуров.
Если направление маг­
нитного потока на некото­
ром участке совпадает с на­
правлением обхода, то паде­
ние магнитного напряжения
этогоучастка входит в сум­
му
со знаком плюс,
если встречно ему, то со
знаком минус.
Аналогично, если МДС
Рис. 14.12
совпадает с направлением
обхода, она входит в
I w
со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус.
В качестве примера составим уравнения по законам Кирхгофа для раз­
ветвленной магнитной цепи, изображенной на рис. 14.12.
Гл. 14. Магнитные цепи
440
Левую ветвь назовем первой, и все относящиеся к ней величины за­
пишем с индексом / (поток Ф], напряженность поля Н х, длина пути в
стали /1# длина воздушного зазора 8j, МДС I x COj).
Среднюю ветвь назовем второй, и все относящиеся к ней величины
будут соответственно с индексом 2 (поток Ф2, напряженность ПОЛЯ # 2 ,
длина пути в стали /2, длина воздушного зазора S2, МДС / 2 w2 ).
Все величины, относящиеся к правой ветви, имеют индекс 3 (поток
Ф3, длина пути на вертикальном участке /3, суммарная длина пути на
двух горизонтальных участках /3 ).
Произвольно выберем направление потоков в ветвях. Положим, что
все потоки (Ф ,, Ф2, Ф3) направлены вверх (к узлу а). Число уравне­
ний, которые следует составить по законам Кирхгофа, должно быть рав­
но числу ветвей цепи (в рассматриваемом случае нужно составить три
уравнения).
По первому закону Кирхгофа необходимо составить столько уравне­
ний, сколько в цепи узлов без единицы (см. § 2.8).
В цепи (рис. 14.12) два узла; следовательно, по первому закону Кирх­
гофа составим одно уравнение:
Ф, + Ф 2 + Ф3 =0.
(4.11)
По второму закону Кирхгофа следует составить число уравнений,
равное числу ветвей, за вычетом числа уравнений, составленных по пер­
вому закону Кирхгофа. В рассматриваемом примере по второму закону
Кирхгофа составим 3 - 1 = 2 уравнения.
Первое из этих уравнений составим для контура, образованного пер­
вой и второй ветвями, второе — для контура, образованного первой и
третьей ветвями (для периферийного контура).
Перед составлением уравнений по второму закону Кирхгофа необхо­
димо выбрать положительное направление обхода контуров. Будем обхо­
дить контуры по часовой стрелке.
Уравнение для контура, образованного первой и второй ветвями, имеет
вид:
Н\ А +
5| - Н 2 І2 -Н&2
~ h w\ ~ h w2’
(4.12)
где # 51 и Н Ъ2 — напряженности поля соответственно в воздушных за­
зорах 8j и 82.
В левую часть уравнения вошли слагаемые Н Х1Х и Н ъх 6Х со знаком
плюс, так как на первом участке поток Фхнаправлен согласно с обходом
контура, слагаемые Н 2 12 и Н Ъ2 Ъ2 — со знаком минус, так как по­
ток Ф2 направлен встречно обходу контура.
В правую часть уравнения МДС Ix wx вошла со знаком плюс, так как
она направлена согласно с обходом контура, а МДС / 2 w2 — со знаком
минус, так как она направлена встречно обходу контура.
Составим уравнение для периферийного контура, образованного пер­
вой и третьей ветвями:
/ / , / , + / / * , 8 , - # з /3 - # 3 /3 = /, Wj.
(4.13)
§ 14.16. Определение МДС неразветвленной магнитной цепи по заданному потоку
441
Совместно решать уравнения (4.11)—(4.13) с тремя неизвестными (Ф ,,
Ф2, Ф3) не будем, так как в § 14.8 дается решение рассматриваемой
задачи более совершенным методом, чем метод на основе законов Кир­
хгофа, — методом двух узлов.
§ 14.15. Применение к магнитным цепям всех методов, использу­
емых для расчета электрических цепей с нелинейными резистора­
ми. В гл. 13 подробно рассматривались различные методы расчета элек­
трических цепей с HP. Эти методы полностью применимы и к расчету
магнитных цепей, так как и магнитные и электрические цепи подчиня­
ются одним и тем же законам — законам Кирхгофа.
Аналогом тока в электрической цепи является поток в магнитной цепи,
аналогом ЭДС — МДС, аналогом вольт-амперной характеристики нели­
нейного резистора — вебер-амперная характеристика участка магнитной
цепи.
§ 14.16. Определение МДС неразветвленной магнитной цепи по
заданному потоку. Заданы конфигурация и геометрические размеры
магнитной цепи, кривая (кривые) намагничивания ферромагнитного ма­
териала и магнитный поток или индукция в каком-либо сечении. Требу­
ется найти МДС, ток или число витков намагничивающей обмотки.
Расчет проводим в такой последовательности:
1) разбиваем магнитную цепь на участки постоянного сечения и оп­
ределяем длины lk (м) и площади поперечного сечения Sk (м2) участ­
ков (длины участков берем по средней силовой линии);
2) исходя из постоянства потока вдоль всей цепи, по заданному пото­
ку и сечениям Sk находим магнитные индукции на каждом участке:
вк =Ф/£*;
3) по кривой намагничивания определяем напряженности поля Нк
для ферромагнитных участков магнитной цепи; напряженность поля в
воздушном зазоре
/ / = 0,8 • 106 В,
(14.14)
где Я — в А / м; В — в Тл;
4) подсчитываем сумму падений магнитного напряжения вдоль всей
магнитной цепи ^ Н к 1к и на основании закона полного тока прирав­
ниваем эту сумму к полному току I w: ]ГЯ* 1к = / ж
Основным допущением при расчете является то, что магнитный по­
ток вдоль всей магнитной цепи полагаем неизменным. В действительно­
сти небольшая часть потока всегда замыкается минуя основной путь.
Например, для магнитной цепи (см. рис. 14.6) поток, выйдя из левого
сердечника, в основном направляется по пути macbn, но небольшая часть
потока идет по воздуху по пути mqn.
Поток, который замыкается минуя основной путь, называют потоком
рассеяния. При малом воздушном зазоре поток рассеяния относительно
мал; с увеличением воздушного зазора поток рассеяния может стать со­
измеримым с основным потоком.
442
Гл. 14. Магнитные цепи
Пример 141. Геометрические размеры магнитной цепи даны на рис. 14.13 в милли­
метрах; кривая намагничивания показана на рис. 14.9. Какой ток должен протекать по
обмотке с числом витков w = 500, чтобы магнитная индукция В в воздушном зазоре 5
была £ = 1 Тл?
100
Рис. 14.13
Р е ш е н и е . М агнитную цепь разбиваем на три участка: /, « /[ + /,' = 30 см;
S] =4,5 см2; / 2 = 13,5 см; S 2 = 6 см2.
Воздушный зазор 5 = 0,01 см;
= S x = 4,5 см2. Индукция Вх - Вь - 1Тл.
Индукция на участке / 2 В2 = Ф ! S 2 = Вь
/ S 2 = 1• 4,5/6 = 0,75 Тл.
Напряженности поля на участках 1Х и / 2 определяем согласно кривой намагничива­
ния (см. рис. 14.9) по известным значениям Вх и В2 : Я. =300 А/ м; Я 2 =115 А/ м.
Напряженность поля в воздушном зазоре Я 5 =0,8 10' - Вь = 0,8-10 6 *1 = 8 *10 5 А/ м.
Падение магнитного напряжения вдоль всей магнитной цепи:
£ Я * ik = я , /, + Я
2 /2
+ Я б 6 = 300-0,3 + 115-0,135 + 8 - 1 0 5 - 1 0 4 = 185,6А.
Ток в обмотке / = £ Я*
85,6/500 = 0,371 А.
§ 14.17. О пределение потока в неразветвленной магнитной цепи
по заданной МДС. Заданы геометрические размеры магнитной цепи,
кривая намагничивания и полный ток. Определить поток.
Для решения задачи необходимо построить зависимость потока в
функции от ^ Н к 1к и на ней найти рабочую точку.
П ример 142.
мера 141, если /
Решение.
считаем ^ Я * 1к
Найти магнитную индукцию в воздушном зазоре магнитной цепи при­
w = 350 А.
Задаемся значениями В = 0,5; 1,1; 1,2; 1,3 Тл — и для каждого из них под­
так же, как в предыдущей задаче. В результате получим:
в5, Тл
Вх, Тл
Вг> Тл«
Я 5 -105, А/м
Я ь А/м
Я 2, А/м
I Н к 1к9 А
Ф -10"5, Вб
0,5
0,5
0,375
4
50
25
58,3
22,5
1 ,1
1 ,2
1 ,1
1 ,2
0,825
0,9
9,6
700
8 ,8
460
150
246,3
49,5
200
333
54
1,3
1,3
0,975
10,4
1020
300
450,5
58,5
По полученным данным строим зависимость Ф = f C Z j ^ k /*)> изображенную на
рис. 14.14, и по ней находим, что при / i v = 350A ф = 5 5 1 0 ~ 5 Вб. Следовательно,
Ф_ 55-10"
- = 1,21 Тл.
4,5-10"
§ 14.18. Расчет разветвленной магнитной цепи методом двух узлов
443
§ 14.18. Расчет разветвленной магнитной цепи методом двух уз­
лов. Ранее отмечалось, что для расчета разветвленных магнитных цепей
применимы все методы, рассмотренные в гл. 13.
Рассчитаем разветвленную магнитную цепь (см. рис. 14.12) методом
двух узлов.
П ример 143. Геометрические размеры магнитной цепи рис. 14.12 даны в миллимет­
рах; кривая намагничивания представлена на рис. 14.9; / , w , = 8 0 A ; I 2 w2 - 3 0 0 А;
6 1 = 0,05 мм; б 2 = 0,22 мм. Найти магнитные потоки в ветвях магнитной цепи.
Р е ш е н и е . Как и в схеме на рис. 13.6, узловые точки обозначим буквами а и Ь. Вы­
берем положительные направления потоков Ф ,, Ф 2, Ф 3 к узлу а. Построим зависимость
потока Ф 1 от падения магнитного напряжения первой ветви UmX. Для этого произвольно
задаемся рядом числовых значений Вх. Для каждого значения Вх по кривой намагничи­
вания находим напряженность на пути в стали по первой ветви.
Падение магнитного напряжения на первом участке Цм] = я , /, ч- 0,8 *10 6 Вх
где
/, = 0,24 м — длина пути в стали по первой ветви. Выбранному значению Вх соответ­
ствует Ф, = Вх S x.
Таким образом, для каждого значения потока Ф, подсчитываем и мХ и по точкам стро­
им зависимость Ф, =
— кривая / на рис. 14.15.
Аналогично строим зависимость Ф 2 = f { U M2) — кривая 2 на рис. 14.15;
Uм2 = Н 2 / 2 + 0,8 • 106 • В2 Ъ2, где / 2 = 0,138 м — длина пути в стали во второй ветви.
Кривая 3 есть зависимость Ф з = / ( ^ мз)’ ^ м з =
+ HI /3, где /3 * 0 ,1 и
* 0,14 м. Им соответствуют участки третьей ветви, имеющие сечения 9 и 7,5 см2.
Магнитная цепь (см. рис. 14.12) формально аналогична нелинейной
электрической цепи (см. рис. 13.6). Аналогами /, и / 2 электрической
цепи (см. рис. 13.6) являются магнитные потоки Фх и Ф2 магнитной
цепи (см. рис. 14.12), аналогом ЭДС Ех — МДС l x w}, аналогом зависи­
мости тока в первой ветви от падения напряжения на сопротивлении
первой ветви (/j = /(£ /,)) — зависимость магнитного потока Ф] в пер­
вой ветви магнитной цепи от падения магнитного напряжения UuX вдоль
первой ветви (Oj = f( U 1м)) и т. д.
Воспользуемся аналогией с нелинейной электрической цепью для
определения потоков Ф,, Ф 2, Ф3. С этой целью выполним графические
построения, подобные построениям на рис. 13.6.
Вспомним, что кривые (см. рис. 13.6) представляют собой зависимо­
сти токов в ветвях схемы не от падений напряжений ( Ц , U2, U 3 ) вдоль
444
Гл. 14. Магнитные цепи
этих ветвей, а от напряжения Uab между узлами а и b схемы (см.
рис. 13.6).
В соответствии с этим введем в расчет магнитное напряжение — раз­
ность магнитных потенциалов — между узлами а и Ь: Умаь = Фмо ~ФМ
Выразим магнитный потенциал точки я(фМд) через магнитный потен­
циал точки 6(фм/)), следуя от точки b к точке а сначала по первой ветви,
затем по второй и, наконец, по третьей. Для первой ветви
Фма = Ф м А - ( Я !
h + H81 8 l ) + / l
w l>
где Н х /, + Я 51 5j = UM] — падение магнитного напряжения по первой
ветви. Знак минус перед скобкой обусловлен тем, что при перемещении
согласно с направлением потока магнитный потенциал (как и электри­
ческий при перемещении по току) снижается (если бы двигались против
потока, то магнитный потенциал возрастал и нужно было бы ставить
плюс). Плюс перед Ix w, свидетельствует о том, что при перемещении
от точки b к точке а идем согласно с направлением МДС I x wx. Таким
образом, для первой ветви
=Фм0 -Ф м*= -^ м 1 + ^1 w,;
(14.15)
для второй ветви (перемещаясь от b к а по потоку Ф2 и согласно с на­
правлением МДС / 2 w2 )
^ М2 = - ^ м2 + / 2 ^ 2;
(14.16)
для третьей ветви (на ней МДС отсутствует)
(14.17)
Графическое решение задачи приведено на рис. 14.16. На нем
зависимость Ф] = / ( ^ Моь) представлена кривой /; Ф2 = f ( U Mab) —
кривой 2; Ф3 = f ( U Mab) — кривой 3. Построение их производилось так
же, как и построение соответствующих кривых на рис. 13.9. Начало
кривой 1 смещено в точку UMab - A w\ = 800 А; начало кривой 2 — в
точку
UMab = h w2 =300 А.
Кривая
123 представляет собой
Рис. 14.16
§ 14.19. Дополнительные замечания к расчету магнитных цепей
445
Ф, + Ф2 + Ф з = / ( ( / маь)- Она пересекает ось абсцисс в точке т. Прове­
дем через точку т вертикаль и найдем потоки в ветвях:
Ф, = 126,2-10-5 Вб;
Ф2 = - 2 5 -10~5 Вб;
Ф3 = -101,2-10 '5 Вб.
В результате расчета потоки Ф2 и Ф3 оказались отрицательными. Это
означает, что в действительности они направлены противоположно по­
ложительным для них направлениям, показанным стрелками на
рис. 14.12.
Рассмотрим, какие изменения произошли бы в построениях на рис. 14.16, если бы
какая-либо из МДС изменила направление на противоположное, например в результате
изменения направления протекания тока в этой обмотке. Допустим, что изменилось на
противоположное направление МДС / 2 w2. В уравнение (14.16) МДС / 2 w2 вошла бы
теперь с отрицательным знаком. При построениях это нашло бы свое отражение в том,
что кривая 2 переместилась влево параллельно самой себе так, что пересекла бы ось абс­
цисс не в точке UMah =300 А, а в точке UMab = -300 А (штриховая линия 2'). Кривые 1
и 3 останутся без изменений, но суммарная кривая Ф, + Ф 2 + Ф 3 = f { U Mab) будет иная.
§ 14.19. Д оп олн ительн ы е зам ечания к расчету магнитны х цепей. 1. При построе­
нии ВАХ участков магнитной цепи в § 14.12 и далее явление гистерезиса не учитывалось.
Поэтому ВАХ выходили из начала координат, не зависели от предыдущих процессов на­
магничивания и размагничивания и удовлетворяли соотношению Ф ( - 0 М) ~ -Ф((УМ). Если
учитывать гистерезис, то у ВАХ каждой ветви будут неодинаковые восходящий и нисхо­
дящий участки, которые, в свою очередь, зависят от магнитного состояния, предшеству­
ющего рассматриваемому (от магнитной предыстории). В этом случае Ф(-(УМ) * - Ф ( ^ м )•
Для получения более правильных результатов при построении ВАХ следует учитывать
гистерезис, что практически возможно, если известны гистерезисные зависимости исполь­
зуемого материала.
2. В логических устройствах и устройствах, применяемых в вычислительной техни­
ке, используют элементы, имеющие разветвленные магнитные цепи, выполненные из фер­
рита с почти прямоугольной петлей гистерезиса (трансфлюксоры, биаксы, леддики и др.).
Изложенную в § 14.18 методику расчета, если ее несколько видоизменить, можно при­
менить и при нахождении потокораспределения в упомянутых элементах в установившихся
режимах работы. В этом случае расчет следует начинать с определения положения узлов
магнитной цепи этого элемента (в таких элементах узлы, как правило, выражены в неяв­
ном виде). Каждую ветвь следует представить как две параллельные со своими длинами
и рассматривать их как самостоятельные ветви со своими потоками. Это необходимо по­
тому, что магнитные потоки в двух параллельных участках каждой ветви могут замыкать­
ся по различным путям. Например, магнитные потоки двух параллельных участков при
определенных условиях могут замыкаться в пределах одной ветви. Расчет выполняют так
же, как и в § 14.18. Однако ВАХ каждого участка должны
быть взяты в виде прямоугольной (ромбовидной) петли с ис­
ходящими из двух ее противоположных углов горизонталь­
ными (почти горизонтальными) прямыми. Для каждого со­
четания МДС (они могут и отсутствовать) будет по крайней
мере по два решения, так как ВАХ имеют петлевую форму.
3. Если число узлов магнитной цепи больше двух, то потокораспределение в ней можно найти методом постепенно­
го приведения ее к магнитной цепи с двумя узлами. Так, в
трехотверстном трансфлюксоре (рис. 14.17) цифры в круж­
ках I, 2, 3 означают узлы. Восемь тонких линий — это сред­
ние магнитные линии ветвей. Стрелки на них указывают про­
извольно выбранные направления потоков. Провода с токаРис. 14.17
ми /, и / 2 проходят через отверстия трансфлюксора.
Сначала строим зависимость суммы потоков ветвей 5 и б от магнитного напряжения
между узлами 3 и 2, учитывая ток / 2. Затем строим зависимость Ф 4 7 = f { U M2 ,). Имея
446
Гл. 14. Магнитные цепи
в виду, что Ф 5 6 = Ф 4 7 , суммируем абсциссы полученных кривых и находим
^ 5 ,6 - f ( V мз.і)' После этого задача оказывается сведенной к задаче с двумя узлами —
/ и 3. В более сложных задачах можно воспользоваться методом, рассмотренным в [24].
4.
Методика расчета разветвленных магнитных цепей в историческом плане развива­
лась постепенно и усовершенствовалась по мере возникновения новых практических за­
дач. Сначала расчет проводили, используя магнитные сопротивления участков магнитной
цепи RM (см. § 14.23). Однако ввиду того что Ru является нелинейной функцией маг­
нитного потока, который перед проведением расчета неизвестен, на второй стадии пере­
шли к расчету магнитных цепей с использованием однозначных нелинейных ВАХ
(см. § 14.13). Впоследствии появилась необходимость использовать петлевые зависимос­
ти потоков от магнитных напряжений. В настоящее время при расчете магнитных цепей,
работающих при больших скоростях перемагничивания, оказывается необходимым не толь­
ко принимать во внимание зависимость магнитного состояния от предшествующих про­
цессов намагничивания, но и учитывать магнитную вязкость и поверхностный эффект
(см. § 16.14).
§ 14.20. Получение постоянного магнита. Возьмем замкнутый коль­
цевой сердечник из магнитотвердого материала. Сделаем в нем два очень
тонких (бесконечно тонких) радиальных пропила на расстоянии 8
(рис. 14.18, а). Выпиленный кусок оставим пока на месте. Затем намо-
Рис. 14.18
таем на сердечник обмотку и пропустим по ней такой ток, чтобы намаг­
нитить сердечник до насыщения. После этого ток выключим и обмотку
смотаем. Сердечник оказывается намагниченным. Намагниченность его
есть следствие того, что магнитные моменты областей самопроизволь­
ного намагничивания сохранили свою ориентацию, вызванную предше­
ствующим воздействием внешнего ПОЛЯ.
Магнитный поток в теле сердечника определяется суммой магнитных
моментов всего сердечника. Удалим выпиленный кусок (рис. 14.18, б).
Объем намагниченного вещества уменьшится на объем вынутой части.
Кроме того, магнитному потоку придется проходить через воздушный
зазор. Все это приведет к уменьшению магнитного потока в теле сердеч­
ника.
В воздушном зазоре сердечника при отсутствии на нем обмотки с
током проходит магнитный поток — устройство представляет собой по­
стоянный магнит.
§ 14.21. Расчет магнитной цепи постоянного магнита
447
§ 14.21. Расчет магнитной цепи постоянного магнита. Магнитная
индукция в зазоре магнита (Въ) зависит от соотношения между длиной
воздушного зазора 5 и длиной ферромагнитной части магнита /с
(рис. 14.18, б). Обозначим: Н ъ — напряженность поля в воздушном за­
зоре; Вс — магнитная индукция в теле магнита; # с — напряженность
магнитного поля в теле магнита.
Найдем две неизвестные величины — Вс и # с, полагая известными
кривую размагничивания ферромагнитного материала, зазор 8 и длину
/с. Одна связь между ними (нелинейная) дается кривой размагничива­
ния (рис. 14.18, в). Другая связь (линейная) следует из закона полного
тока.
Действительно, если воспользоваться законом полного тока, то мож­
но записать
j H d l = # с /с + Я 5 8 = 0.
(1 4 .1 8 )
Нуль в правой части уравнения (14.18) объясняется тем, что на по­
стоянноммагните нет обмотки с током. Но Я 8 =0,8-106 Вь, где Н ъ —
в А / м, Въ — в Тл.
Если зазор достаточно мал, то можно в первом приближении принять,
что рассеяние потока отсутствует и Вс Sc = Въ S5, где Sc — площадь
поперечного сечения магнита;
— площадь поперечного сечения воз­
душного зазора. Отсюда
В5 = В С f s
*^8
# 8 =0,8-106 В&= 0,8 •10б — ■Вс.
*^5
Подставив Н ъ в уравнение (14.18), получим
H C= - N B C,
(14.19)
= 0,8-106 А^£_.
(14.20)
где
lc Ss
Коэффициент N, зависящий от геометрических размеров, называют
размагничивающим фактором Ф): [jV] = А • м / (В •с).
Для определения Н с и Вс на рис. 14.18, в следует нанести прямую
0а, построенную по (14.19). В точке пересечения прямой с кривой раз­
магничивания удовлетворяются обе связи между Вс и # с, которым дол­
жно быть подчинено решение.
Приведенный расчет дает достаточно точный результат, если зазор 8
очень мал по сравнению с длиной /. Если это условие не выполнено, то
значительная часть магнитных силовых линий замыкается, как показано
пунктиром на рис. 14.18, б. В этом случае поток, индукция и напряженв) Название коэффициента N показывает, что с его помощью можно определить то раз­
магничивание (уменьшение магнитного потока в теле магнита), которое происходит при
введении воздушного зазора в магнитную цепь постоянного магнита.
448
Гл. 14. Магнитные цепи
ность вдоль сердечника изменяются. Это учитывают при расчете, вводя
некоторые поправочные коэффициенты, определяемые из опыта.
Пример 144. Найти Вс, 2?§, Я с и Я 5, если постоянный магнит (см. рис. 14.18, 6)
имеет R = 5 см, б = 1 см. Кривая размагничивания изображена на рис. 14.18, в.
Р е ш е н и е . Если пренебречь боковым распором магнитных силовых линий в зазоре, то S z = S c. При этом размагничивающий фактор
106
N = 0,8 ------------ = 263 *102. На
2 л-5-1
рис. 14.18, в проводим прямую 0а по уравнению Я с = —263 -102. Точка а ее пересечения
с кривой размагничивания дает Вс =0,ЗТл и Я с = -8000 А/ м. Такая же индукция будет
в воздушном зазоре. Я 6 = 0,8 • 106 • 0,3 = 24 • 10 4 А / м.
§ 14.22. П рям ая и коэффициент возврата. Частично заполним за­
зор 5 на длине /мс (рис. 14.18, б) куском магнитомягкого материала. Под
действием поля постоянного магнита внесенный кусок намагнитится и
поток в теле магнита возрастет.
Ввиду наличия гистерезиса магнитное состояние постоянного магнита
будет изменяться не по участку ab (см. рис. 14.18, в) кривой размагни­
чивания, а по нижней ветви adc частного цикла.
Для упрощения расчетов принято заменять частный цикл прямой ли­
нией, соединяющей его вершины. Эту прямую линию ас называют пря­
мой возврата.
Тангенс угла наклона прямой возврата к оси абсцисс называют коэф­
фициентом возврата. Его числовые значения для различных магнито­
твердых материалов даются в руководствах по постоянным магнитам.
Обозначим длину оставшегося воздушного зазора (см. рис. 14.18, б)
5j = 8 - / мс и на основании закона полного тока запишем
Я с /с + Я 81 5, + /мс Н ыс = 0.
Напряженность поля в магнитомягком материале # мс много меньше
напряженности поля в магнитотвердом материале и в воздушном зазоре
при одном и том же значении магнитной индукции, поэтому слагаемым
Я мс /Мс пренебрегаем по сравнению с остальными. При этом
Н = -0,8• 106
— Вс.
(14.21)
Магнитное состояние постоянного магнита определяется пересечени­
ем прямой возврата с прямой, построенной по (14.21).
Пример 145. Воздушный зазор магнита из примера 155 уменьшен вдвое. Найти ин­
дукцию в нем.
Р е ш е н и е . Находим N = 131,5-102. Прямая О А (см. рис. 14.18, в) пересекается с пря­
мой возврата в точке d. Поэтому Вс =0,42Тл. Такая же индукция будет и в воздушном
зазоре, так как 5б = Sc.
Следовательно, уменьшение зазора со значения б до б, привело к увеличению маг­
нитной индукции в нем с 0,3 до 0,42 Тл.
Если же зазор 6 j получить не путем его уменьшения со значения б до бь а путем
выемки из намагниченного сердечника куска длиной бь то магнитное состояние магни­
та определится пересечением луча АО с кривой размагничивания b a f в точке е .
§ 14.23. Магнитное сопротивление и магнитная проводимость
449
О4 8 - 0 4
В этом случае Вс = В5 - 0,48 Тл, т. е. возрастет на —--------— 100 = 20 %.
0,4
Таким образом, магнитный поток в постоянном магните зависит не только от размера
воздушного зазора, но и от предыстории установления этого зазора.
§ 14.23. М агнитное сопротивление и м агнитная проводимость
участка магнитной цепи. Закон Ома для магнитной цепи. По опре­
делению, падение магнитного напряжения UM= Н /, но
г;
В
Ф
Ho Иг
Но И г5 ’
где S — площадь поперечного сечения участка.
Следовательно,
(14.22)
откуда
(14.23)
Уравнение (14.22) называют законом Ома для магнитной цепи. Это
уравнение устанавливает связь между падением магнитного напряже­
ния t / M и потоком Ф; RM называют магнитным сопротивлением участ­
ка магнитной цепи. Величину, обратную магнитному сопротивлению,
называют магнитной проводимостью:
1 _ Но Hr S
(14.24)
Из предыдущего известно, что вебер-амперная характеристика учас­
тка магнитной цепи в общем случае нелинейна. Следовательно, в общем
случае Ru и GM являются функциями магнитного потока (непостоянны­
ми величинами). Поэтому практически понятиями RM и GM при расче­
тах пользуются в тех случаях, когда магнитная цепь в целом или ее уча­
сток, для которых определяются RM и GM, не насыщены. Чаще всего это
бывает, когда в магнитной цепи имеется достаточно большой воздушный
зазор, спрямляющий вебер-амперную характеристику магнитной цепи в
целом или ее участка.
Магнитное сопротивление участка цепи RM можно сопоставить со
статическим сопротивлением нелинейного резистора /?ст (см. § 13.10) и
так же, как последнее, RM можно использовать при качественном рас­
смотрении различных вопросов, например вопроса об изменении пото­
ков двух параллельных ветвей при изменении потока в неразветвленной
части магнитной цепи (как в § 13.2 относительно электрической цепи).
П ри м ер 146. Найти RM воздушного зазора постоянного магнита и магнитный
поток, если 6 = 0,5 см, площадь поперечного сечения воздушного зазора 5 = 1,5 см2,
U M -1 9 2 0 А.
Гл. 14. Магнитные цепи
450
Решение:
/
5-Ю"
Но Hr S
1,257-Ю-6 *1-1,5 • 10“ 4
Ф=
UM
1920
RM
0,256-108
: 0,256 10 8 Гн"1;
7230-10 '8 Вб,
где / — в мм; S — в м2.
В заключение отметим, что если воспользоваться понятием магнит­
ного сопротивления, то второй закон Кирхгофа (см. формулу (14.10)) для
любого контура магнитной цепи, содержащей п участков, может быть
записан так:
RMk
к=\
^ Ik wk .
Ы
(14.25)
1
Практически формулой (14.25) как расчетной удается воспользовать­
ся, когда магнитная цепь не насыщена и RMk не является функцией Ф*.
Если же имеет место насыщение, то
является функцией Фк
(т. е. неизвестны RMk и Фк ) и при использовании формулы (14.25) воз­
никают известные трудности.
§ 14.24. М агнитная линия с распределенными парам етрам и. На
рис. 14.19, а изображена магнитная линия, образованная двумя протяжен­
ными ферромагнитными стержнями, расположенными в воздухе, дли-
ФМ2
п
Рис. 14.19
ной /, радиусом а, расстояние между осями стержней d « /, короткие
вертикальные участки линии имеют длину 1аЬ. На левом участке распо­
ложена обмотка w, сопротивлением R, по которой протекает постоянный
ток / от источника постоянной ЭДС Е. На конце линии нагрузка RMH.
Еw
Магнитное напряжение в начале линии UMl = --------Н lah [А], в конце
линии Um2• Вдоль стержней проходит постоянныи^во времени магнитный
поток Фм [В-с]. Продольное магнитное сопротивление единицы длины
линии для магнитного потока Фм обозначим Rm0 = — г—
л я ца м- В- с
§ 14.25. Пояснения к формуле В = ji0 (Н + J )
451
поперечную
7 м0
проводимость единицы длины линии обозначим
В-с
_ гс Но
Схема замещения линии изображена на
1ln ----d- і A m
рис. 14.19, б. Расстояние от начала линии до произвольной точки обозна­
чим jc, от конца линии — у , поток — Фм, магнитное напряжение — UM.
Используя аналогию с электрической линией с распределенными па­
раметрами (см. гл. 11) запишем два уравнения:
V m = V h 2 c h v + Ф2м Rm s h v y ;
(14.26)
У М2
sh v у + Ф2м
Л,мв
(14.27)
v У-
Здесь Rm = д/Лмо I ^мо — волновое магнитное сопротивление линии
' А ■
для магнитного потока
постоянная распростра' - л/^мО ^мО
В-с
нения [м”1].
§ 14.25. Пояснения к формуле В = ji 0 ( # + J)* Контур с током /, охватывающий пло­
щадку A S создает магнитный момент M = i S (рис^ 14.20, а). Вектор ДS численно ра­
вен площади Д5, а положительное направление A S связано с положительным направ­
лением тока /' правилом правого винта.
Ферромагнитная
среда
Поверхностный ток
с линейной плотностью §
численно равной J
Среда с м«
г
5
м
Рис. 14.20
Ферромагнитный кольцевой сердечник (рис. 14.20, б) имеет обмотку с числом витков
w, по которой проходит ток /. Каждая единица объема ферромагнитного материала обла­
дает некоторым вектором намагниченности J , что при расчете можно рассматривать как
результат наличия в ферромагнитном материале контуров с молекулярными токами. Эти
токи показаны в сечениях сердечника по линиям Ьа на рис. 14.20, в (намагничивающая
обмотка с током не показана).
Среднюю линейную плотность молекулярного тока, приходящегося на единицу дли­
ны сердечника в направлении Д/, обозначим §м ( А/ см) . Единичный вектор, совпадаю­
щий по направлению с направлением 5 м> обозначим п°. Молекулярный ток 5 м А1 п°
охватывает площадку AS. Положительное направление вектора A S = A S S 0 связано с по­
ложительным направлением этого тока правилом правого винта. Через S0 обозначен еди­
ничный вектор по направлению AS.
По определению, намагниченность J представляет собой магнитный момент едини­
цы объема вещества. Среднюю по объему намагниченность вещества J можно найти
делением магнитного момента контура с током §м д/ Я°* охватывающим площадку A S ,
Гл. 14. Магнитные цепи
452
на объем AV = Al A S :
-
5 МA I A S -
-
J - ~ A l~ A r S°~ " S°
Следовательно, средняя по объему намагниченность J численно равна средней линей­
ной плотности молекулярного тока и направлена по S0.
Как видно из рис. 14.20, в, на участках, являющихся смежными между соседними кон­
турами, молекулярные токи направлены встречно и, если ферромагнитное тело намагни­
чено равномерно, взаимно компенсируют друг друга. Нескомпенсированными остаются
только токи по периферийному контуру (рис. 14.20, г).
Наличие областей самопроизвольной намагниченности в ферромагнитном теле при
расчете можно эквивалентировать протеканием по поверхности этого тела, считая его не­
ферромагнитным, поверхностного тока с линейной плотностью 5 м причем по модулю
5
Запишем уравнение по закону полного тока для контура, внутри равномерно намаг­
ниченного сердечника рис. 14.20, б. При этом учтем, что после введения поверхностного
тока сердечник станет неферромагнитным и будет намагничиваться не только током /, про­
текающим по обмотке с числом витков w, но и поверхностным током с линейной плотно­
стью 6 М.
На длине d l поверхностный ток равен bu d l = J d l . На длине всего сердечника он
равен <jy d l . Таким образом,
Величину — - J
d l = / w + <j*J d l . Отсюда
- J ^ j d l - 1 w.
обозначают H и называют напряженностью магнитного поля.
Ho
В отличие от магнитной индукции В и намагниченности J напряженность поля Н не
зависит от магнитных свойств намагничиваемого тела (см. пример 139). Это и явилось
основанием для того, чтобы закон полного тока для любых сред записывать в виде
$ H d l = 1 w.
Если ферромагнитное тело намагничено неравномерно по высоте и толщине, то плот­
ность молекулярных токов смежных контуров на рис. 14.20, в неодинакова, а токи на смеж­
ных между соседними контурами участках компенсируются не полностью. Отсюда следу­
ет, что неравномерно намагниченное ферромагнитное тело при расчете можно заменить
таким же в геометрическом смысле неферромагнитным телом, по поверхности которого
течет поверхностный ток, плотность которого изменяется по высоте тела, а во внутрен­
них точках тела течет объемный ток, плотность которого также изменяется от точки к точке.
Вопросы для сам опроверки
1.
Дайте определения В, J, Н, Ф, Ца > Ио> ц г . Как они связаны между собой и в
каких единицах выражаются? 2. В чем отличие начальной, основной и безгистерезисной
кривых намагничивания? 3. Что понимают под частным и предельным циклами, прямой
возврата, остаточной индукцией, коэрцитивной силой, магнитомягкими и магнитотвердыми
материалами? 4. Чем физически объясняются потери на гистерезис? Как их определить,
располагая петлей гистерезиса? 5. Сформулируйте закон полного тока. 6 . Дайте определе­
ние следующим понятиям: МДС, магнитная цепь, магнитопровод, ветвь магнитной цепи.
7. Как определить направление МДС? 8 . С какой целью стремятся выполнить магнитную
цепь с возможно меньшим воздушным зазором? 9. Как выбирают направление магнитных
потоков в ветвях? 10. Сформулируйте первый и второй законы Кирхгофа для магнитных
цепей. 11. Поясните, как построить вебер-амперную характеристику участка цепи. 12. Пе­
речислите этапы расчета цепей методом двух узлов. 13. В чем отличие магнитного напря­
жения от падения магнитного напряжения? 14. Как экспериментально получить постоян­
ный магнит? 15. Как рассчитывают магнитную цепь с постоянным магнитом? 16. Что
понимают под магнитным сопротивлением RM участка цепи? магнитной проводимостью?
От каких факторов они зависят? Зависят ли они от магнитного потока по участку цепи?
Запишите второй закон Кирхгофа с использованием понятия RM. 17. Сформулируйте за­
кон Ома для участка магнитной цепи. 18. Могут ли В и Н в ферромагнитном материале
быть направлены встречно? 19. Решите задачи 3.2; 3.10; 3.13; 3.15; 3.19.
Глава пятнадцатая
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
§ 15.1. Подразделение нелинейных элементов. Нелинейными элек­
трическими цепями переменного тока называют электрические цепи
переменного тока, в состав которых входит один или несколько нелиней­
ных элементов.
Как известно, прохождению переменного тока оказывают сопротив­
ление не только резистивные, но и индуктивные и емкостные элементы.
В соответствии с этим нелинейные элементы для переменного тока мож­
но подразделить на три группы:
1) резистивные;
2) индуктивные;
3) емкостные.
Каждую из этих групп можно подразделить на управляемые и неуп­
равляемые.
Управляемые нелинейные элементы обычно имеют один или несколь­
ко управляющих электродов (зажимов) или управляющих обмоток, вклю­
чаемых в управляющую цепь (цепи), воздействуя на ток или напряжение
которых можно управлять сопротивлением в главной цепи. При отсут­
ствии специальных управляющих электродов или обмоток управляющий
ток или напряжение могут воздействовать на нелинейный элемент через
электроды или обмотки главной цепи.
§ 15.2. О бщ ая характеристика нелинейных резисторов. Широкое
распространение в качестве управляемых нелинейных резистивных эле­
ментов получили трех- (и более) электродные лампы, транзисторы и ти­
ристоры. Свойства, принцип работы, характеристики и применение их
рассмотрены в § 15.27-15.43.
Неуправляемыми нелинейными резистивными элементами в упомя­
нутом смысле являются электрическая дуга, германиевые и кремниевые
диоды, тиритовые сопротивления, терморезисторы, бареттеры, лампы
накаливания и др. Их основные свойства и ВАХ рассматривались в гл. 13.
Нелинейные резистивные элементы можно классифицировать также
по степени влияния температуры нагрева, обусловленной протекающи­
ми по ним токами, на форму ВАХ.
Так как тепловые процессы (процессы нагрева и остывания) являют­
ся процессами инерционными, то резисторы, нелинейность ВАХ кото­
рых в основном обусловлена изменением температуры в результате на­
грева протекающим через них током, принято называть инерционными.
Резисторы, нелинейность ВАХ которых обусловлена иными (не теп­
ловыми) процессами, принято называть безынерционными или почти
безынерционными.
454
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
К группе инерционных резисторов относят электрические лампы на­
каливания, терморезисторы, бареттеры; к группе безынерционных или
почти безынерционных — электронные лампы, полупроводниковые ди­
оды, транзисторы и др.
Если постоянная времени нагрева инерционного резистора много больше периода пе­
ременного тока, то значение сопротивления его за период переменного тока практически
не меняется, так как оно определяется не мгновенным, а действующим значением пере­
менного тока. Если к такому резистору подвести синусоидальное напряжение (при усло­
вии, что постоянная времени нагрева его значительно больше периода синусоидального
напряжения), то ток через него будет практически синусоидальным.
Можно сказать, что такие резисторы занимают промежуточное положение между ли­
нейными и нелинейными. К нелинейным они тяготеют вследствие того, что сопротивле­
ние их является функцией действующего значения тока; к линейным — потому, что в
установившемся режиме работы их сопротивления для различных моментов времени внут­
ри периода воздействующей на схему ЭДС остаются практически неизменными.
§ 15.3. О бщ ая характеристика нелинейных индуктивны х элемен­
тов. Под нелинейными индуктивными элементами понимают индуктив­
ные катушки (индуктивности) с обмотками, намотанными на замкнутые
сердечники из ферромагнитного материала, для которых зависимость
магнитного потока в сердечнике от протекающего по обмотке тока
нелинейна. Индуктивное сопротивление таких катушек, оказываемое про­
хождению переменного тока, не постоянно; оно зависит от значения пе­
ременного тока. Условимся называть их нелинейными индуктивными
катушками или нелинейными индуктивностями.
Нелинейные индуктивности подразделяют на управляемые и неуправ­
ляемые, но деление на безынерционные и инерционные на них не рас­
пространяется, так как их нелинейность обусловлена свойствами ферро­
магнитного материала, а не тепловым эффектом.
На электрических схемах нелинейную индуктивную катушку изобра­
жают в виде замкнутого сердечника с обмоткой (рис. 15.1, ^зг) или как
показано на рис. 15.1, б.
Сердечники нелинейных индуктивных катушек
при относительно низких частотах делают обычно
двух типов: пакетные и спиральные.
Пакетные сердечники состоят из тонких пластин
ферромагнитного материала кольцевой, П- или
я
б
LLI-образной формы.
Рис. 15.1
Спиральные сердечники изготовляют из тонкой
ферромагнитной ленты. По форме они напоминают
туго навитую часовую пружину.
Пластины пакетного и отдельные витки спирального сердечников
изолируют друг от друга эмалевым лаком, жидким стеклом или каким-либо иным изолирующим составом и запекают. Изоляция необходи­
ма для уменьшения потерь энергии в сердечнике от вихревых токов
(см. § 15.4).
При высоких частотах резко возрастают потери в листовых сердеч­
никах, поэтому сердечники, предназначенные для работы на высоких
частотах, выполняют обычно из магнитомягкого феррита.
§ 15.5. Потери в ферромагнитном сердечнике, обусловленные гистерезисом
455
§ 15.4. Потери в сердечниках нелинейных индуктивных катуш ек,
обусловленные вихревыми токами. Если по индуктивной катушке со
стальным сердечником проходит переменный ток, то в сердечнике воз­
никает переменный магнитный поток, под действием которого в листах
сердечника образуются вихревые токи. На рис. 15.2 изображен один лист
сердечника. Пусть магнитный поток, увеличиваясь, направлен вверх
(вдоль листа). В плоскости листа, перпендикулярной
магнитному потоку, по закону электромагнитной ин­
дукции наводится ЭДС. Эта ЭДС вызывает в нем ток, ^
который называют вихревым. Контур, по которому
замыкается вихревой ток, изображен штриховой лини­
ей на рис. 15.2. Вихревые токи, по закону Ленца, стре­
мятся создать поток, встречный по отношению к вы­
звавшему их потоку.
Потери энергии в листе на вихревые токи пропор­
циональны квадрату наведенной в контурах листа ЭДС
и обратно пропорциональны сопротивлению контуров.
ЭДС, наводимые в контурах, по которым замыкаются вихревые токи, при
заданной ширине листа b пропорциональны толщине листа а, амплитуд­
ному значению индукции и частоте. В свою очередь, сопротивление кон­
тура пропорционально его периметру и удельному сопротивлению. При
b » а периметр контура почти не зависит от толщины листа.
Поэтому потери энергии на вихревые токи пропорциональны квадрату
амплитудного значения индукции, квадрату частоты и квадрату толщи­
ны листа.
Уменьшить потери в листовом сердечнике на вихревые токи можно
двумя путями:
1) изготовлением сердечника из тонких изолированных друг от друга
листов (см. § 15.3);
2) добавлением в ферромагнитный материал примесей, увеличива­
ющих его удельное сопротивление.
При частоте 50 Гц толщина листов обычно 0,35-0,5 мм; при высоких
частотах — до 0,005 мм.
Кроме потерь от вихревых токов в сердечнике есть еще потери, обус­
ловленные гистерезисом и магнитной вязкостью.
§ 15.5. Потери в ферромагнитном сердечнике, обусловленные ги­
стерезисом. Как известно (см. § 14.4), ферромагнитным материалам свой­
ственно явление гистерезиса, которое вызвано отставанием изменения
магнитной индукции от изменения напряженности магнитного поля.
Площадь гистерезисной петли в координатах В, Н (В — индукция, Н —
напряженность поля), снятая при достаточно медленном изменении маг­
нитного поля во времени (когда вихревые токи практически отсутству­
ют), характеризует энергию, выделяющуюся в единице объема ферромаг­
нитного материала за один период переменного тока (за одно перемаг­
ничивание). Потери в сердечнике, обусловленные гистерезисом, пропор-
456
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
циональны объему сердечника, первой степени частоты и площади гистерезисной петли. От толщины листов потери на гистерезис не зависят**.
Гистерезисные петли при достаточно быстром изменении магнитно­
го поля во времени называют динамическими. Динамические петли шире
соответствующих статических за счет вихревых токов и магнитной вяз­
кости.
Степень отличия динамической петли от соответствующей статиче­
ской зависит от скорости перемагничивания (от частоты), удельного элек­
трического сопротивления материала, толщины листов, температуры и
наличия в магнитном потоке высших гармоник.
§ 15.6. Схема замещ ения нелинейной индуктивности. В расчетном
отношении нелинейную индуктивную катушку (рис. 15.1, а) можно
представить в виде схемы на рис. 15.3, а. В ней параллельно с идеали­
зированной (без потерь) нелинейной индуктивностью включено сопро­
тивление /?гв, потери в котором имитируют потери энергии в сердечни­
ке на гистерезис и вихревые токи, а последовательно включено резис­
тивное сопротивление самой обмотки /?об; U — напряжение на нелиней­
ной индуктивности.
Как уже отмечалось, потери энергии на гистерезис и вихревые токи
/?гв зависят от качества ферромагнитного материала и толщины листов
сердечника.
Если сердечник выполнен из низкокачественного магнитного матери­
ала, то потери в нем относительно велики, а сопротивление /?гв доста­
точно мало и ток / гв = U / RrB может оказаться соизмеримым с током / ц,
протекающим по идеализированной (без потерь) нелинейной индуктив­
ности; в этом случае ветвь с сопротивлением RrB необходимо учитывать
в расчете.
Если же сердечник изготовлен из тонких листов высококачественно­
го магнитомягкого материала, то потери в сердечнике малы, а сопротив­
ление /?гв = U 2 / Рп очень велико, и потому ветвь с сопротивлением Ягв
можно не учитывать.
Часто вводят еще одно упрощение: полагают резистивное сопротив­
ление обмотки Ro6 настолько малым, что с падением напряжения в нем
можно не считаться. Аналогичное упрощение часто делалось и при рас­
с е л е н и е поверхностного эффекта (см.: Бессонов Л.А. Теоретические основы элект­
ротехники. Электромагнитное поле: Учебник. М.: Гардарики, 2001) здесь не учитываем.
§ 15.7. Общая характеристика нелинейных емкостных элементов
457
чете цепей с линейными индуктивностями. В этом случае сопротивле­
ние катушки со стальным сердечником оказывается чисто индуктивным
(соответствующая схема замещения представлена на рис. 15.3, б).
Переход от схемы замещения на рис. 15.3, а к схеме замещения на
рис. 15.3, б вызван стремлением облегчить расчет цепей. При этом учи­
тывают основной полезный нелинейный эффект (нелинейность между
индукцией В и напряженностью Я, приводящая к усилению магнитного
потока за счет свойств ферромагнитного материала) и пренебрегают по­
бочным вредным эффектом (потерями, обусловленными гистерезисом и
вихревыми токами в сердечнике).
При периодическом процессе нелинейность между В и Н учитывают,
ведя расчет по кривой, абсциссы которой равны полусумме абсцисс
восходящей и нисходящей ветвей предельной гистерезисной петли
(рис. 15.4).
§ 15.7. Общ ая характеристика нелинейных емкостных элементов.
В обычных конденсаторах обкладки разделены веществом, диэлектриче­
ская проницаемость которого не является функцией напряженности элек­
трического поля. Для них зависимость мгновенного значения заряда q на
одной обкладке от мгновенного значения напряжения и между обклад­
ками (кулон-вольтная характеристика) представляет собой прямую линию
(рис. 15.5), а их емкость не зависит от напряжения и. Для нелинейных
конденсаторов зависимость q от и нелинейна (рис. 15.6).
б
а
Рис. 15.5
Рис. 15.6
Рис. 15.7
Нелинейные конденсаторы называют еще варикондами> На электри­
ческих схемах вариконды изображают в соответствии с рис. 15.7, а. Про­
странство между обкладками вариконда заполняют сегнетодиэлектриком.
Сегнетодиэлектриками называют вещества, диэлектрическая проница­
емость которых является функцией напряженности электрического поля.
Название «сегнетодиэлектрики» им присвоено потому, что впервые это
свойство было обнаружено у кристаллов сегнетовой соли.
Сегнетодиэлектрики, подобно ферромагнитным веществам, обладают
гистерезисом. Электрическим гистерезисом называют явление отстава­
ния изменения электрического смещения D от изменения напряженнос­
ти поля Е. Как и в ферромагнитных веществах, площадь гистерезисной
петли в координатах D, Е при медленном изменении поля характеризует
потери на электрический гистерезис в единице объема сегнетодиэлектрика за один период изменения Е.
458
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Кроме потерь на гистерезис в варикондах есть еще потери, обуслов­
ленные тем, что проводимость сегнетодиэлектрика не равна нулю, а также
вязкостью процессов поляризации.
На схеме замещения вариконд можно представить в виде параллель­
ного соединения идеализированного (без потерь) вариконда и ветви с
резистивным сопротивлением /?гп, потери в котором имитируют в рас­
четном отношении активные потери в вариконде (рис. 15.7, б).
Наличие потерь в варикондах является вредным побочным эффектом.
Чем выше качество сегнетодиэлектрика, тем уже петля гистереза и мень­
ше потери в нем. Для облегчения исследования свойств электрических
цепей, содержащих вариконды, гистерезисом и потерями обычно пре­
небрегают и зависимость q - f ( u ) принимают в виде штриховой линии
на рис. 15.6. Абсциссы ее равны полусумме абсцисс восходящей и нис­
ходящей ветвей предельной гистерезисной петли. Однако при исследо­
вании схем, в основе действия которых лежит явление гистерезиса,
например при анализе работы некоторых запоминающих и счетных
устройств, гистерезис необходимо учитывать.
§ 15.8. Н елинейны е элементы как генераторы высш их гарм оник
тока и напряжения. Если нелинейный элемент, например резистор, при­
соединить к генератору синусоидального напряжения, то проходящий
через него ток будет иметь несинусоидальную форму и потому нелиней­
ный резистор будет являться генератором высших гармоник тока. Для
того чтобы убедиться в этом, рассмотрим рис. 15.8, где кривая / — ВАХ
HP; кривая 2 — синусоидальное напряжение на нем; кривая 3 — ток
через HP.
/', и
Рис. 15.8
Рис. 15.9
Для построения кривой i - f ( ® t ) последовательно придает со/ зна­
чения, равные, например, 0, п /6 , я / 4 , п /3 , п /2 и т. д.; для каждого из
них находим напряжение и, переносим соответствующее значение и на
кривую и = /( /) и из нее определяем значение тока / для взятого момента
§ 15.9. Основные преобразования, осуществляемые с помощью.
459
времени. Найденное значение тока і откладываем на той ординате, кото­
рой соответствует выбранный момент времени.
Эти операции показаны на рис. 15.8 стрелками. Так, по точкам стро­
им кривую 3. Она имеет пикообразную форму и может быть разложена
на гармоники.
Аналогично, если через нелинейный резистор пропустить синусои­
дальный ток, то напряжение на нем будет иметь несинусоидальную фор­
му. Соответствующие построения приведены на рис. 15.9. Следователь­
но, нелинейный резистор является генератором высших гармоник напря­
жения.
Амплитуды первой и высших гармоник токов нелинейно зависят от
амплитуд первой и высших гармоник напряжений на нелинейных элемен­
тах. Это затрудняет анализ и расчет нелинейных цепей и в то же время
позволяет осуществить с их помощью ряд важных в практическом отно­
шении преобразований, принципиально невыполнимых с помощью ли­
нейных электрических цепей при неизменных во времени параметрах.
§ 15.9. О сновные преобразования, осущ ествляемые с помощью
нелинейных электрических цепей. На рис. 15.10, а схематически изоб­
ражен четырехполюсник, в состав которого входят одно или несколько
нелинейных элементов. Будем называть такой четырехполюсник нелиней­
ным (НЧ).
Вход
0—
НЧ
Выход
— 0
Вход
0—
HLU
тт
Выход
---- 0
Цепь управления
а
б
Рис. 15.10
На рис. 15.10,6 представлен нелинейный шестиполюсник (НШ).
В отличие от четырехполюсника он имеет еще два зажима («полюса»), к
которым присоединяется источник управляющего напряжения или тока.
С помощью нелинейных четырех- и шестиполюсников можно осуще­
ствить ряд практически важных преобразований:
1) преобразовать переменный ток в постоянный. Устройства, предна­
значенные для этого, называют выпрямителями (см. § 15.54);
2) преобразовать постоянный ток в переменный с помощью устройств,
которые называют автогенераторами (см. § 15.55) и инверторами;
3) осуществить умножение частоты, т. е. получить на выходе четырех­
полюсника напряжение, частота которого в несколько раз больше часто­
ты входного напряжения. Четырехполюсники, с помощью которых про­
изводят умножение частоты, называют умножителями частоты; устрой­
ство, удваивающее частоту, — удвоителем частоты; устройство, утраи­
вающее частоту, — у троит ел ем и т. д.;
460
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
4) произвести деление частоты, т. е. выполнить операцию, обратную
умножению частоты. Четырехполюсники, используемые для этого, назы­
вают делителями частоты;
5) стабилизировать напряжение (ток), т. е. получить на выходе четы­
рехполюсника напряжение (ток), почти не изменяющееся по модулю при
значительном изменении входного напряжения. Такие четырехполюсни­
ки называют стабилизаторами напряжения (тока). Устройства для ста­
билизации напряжения в цепях постоянного тока рассмотрены в гл. 13;
6) осуществить триггерный эффект, т. е. эффект резкого (скачкообраз­
ного) изменения выходной величины при незначительном изменении
входной. Триггерный эффект рассмотрен в § 15.58 и 15.60;
7) произвести модуляцию. Как указывалось в § 7.15, модуляция есть
процесс, при котором амплитуда (фаза или частота) высокочастотного
колебания, поступающего на вход четырехполюсника, преобразуется та­
ким образом, что характер изменения ее повторяет характер изменения
управляющего низкочастотного сигнала. Устройства, предназначенные
для этого, называют модуляторами;
8) осуществить демодуляцию, т. е. выделить из высокочастотного
модулированного колебания запечатленный в нем низкочастотный управ­
ляющий сигнал. Устройства для демодуляции называют демодуляторами
или детекторами;
9) преобразовать желаемым образом форму входного напряжения.
Например, при подаче на вход нелинейного четырехполюсника напряже­
ния синусоидальной формы на его выходе можно получить напряжение
прямоугольной или пикообразной формы;
10) произвести усиление напряжения (тока), т. е. получить на выходе
нелинейного устройства напряжение значительно большее, чем управля­
ющее напряжение на его входе. Управляющее напряжение может быть
постоянным или переменным. С помощью трансформаторов также можно
усиливать напряжение, однако в усилителях напряжения на нелинейных
элементах энергия, потребляемая управляющей цепью, может быть в
сотни, тысячи и даже сотни тысяч раз меньше энергии на выходе усили­
теля, тогда как в обычных трансформаторах эти энергии почти равны.
Усилители напряжения на нелинейных элементах позволяют усиливать
не только переменное, но и постоянное напряжение и притом с плавным
изменением коэффициента усиления;
11) осуществить усиление мощности, т. е. выделить на выходе устрой­
ства (в нагрузке) мощность, значительно большую мощности, поступа­
ющей в управляющую цепь. Когда говорят об усилении мощности, то
имеют в виду, что приращение мощности, выделяющейся в нагрузке,
оказывается больше приращения мощности, потребовавшейся для изме­
нения режима работы нелинейного элемента;
12) произвести степенное и логарифмическое преобразования вход­
ного напряжения (тока).
С помощью нелинейных электрических цепей кроме перечисленных
можно осуществить и другие нелинейные преобразования. К их числу
§ 15.10. Некоторые физические явления, наблюдаемые в нелинейных цепях
461
относится, например, плавное преобразование частоты с помощью не­
линейных четырех- и шестиполюсников, не содержащих подвижных ча­
стей. Рассмотрение этого преобразования выходит за рамки курса
(см. [21]).
Нелинейные устройства широко применяют для умножения электри­
ческим путем двух, трех функций и более, а также в электрических счет­
ных и запоминающих устройствах, в качестве нелинейных фильтров,
логических устройств и т.п. Несомненно, что по мере развития техники
и изучения свойств нелинейных цепей последние будут находить приме­
нение для выполнения и других функций.
Если зависимость выходной величины от входной в относительно
небольшом диапазоне может быть линейной или близкой к линейной, то
в большинстве случаев стремятся выбрать режим работы преобразова­
теля таким образом, чтобы работа его проходила именно на линейном
участке (если это не противоречит назначению преобразователя).
§ 15.10. Некоторые физические явления, наблюдаемые в нелиней­
ных цепях. В электрических цепях переменного тока, содержащих не­
линейные индуктивности и линейные или нелинейные конденсаторы и
линейные индуктивности, а также нелинейные индуктивности и нелиней­
ные конденсаторы, при определенных условиях (далеко не всегда!) воз­
никают физические явления, которые невозможны в линейных цепях*).
Таких явлений довольно много. Ограничимся кратким рассмотрением
только некоторых, наиболее важных из них.
1. Возникновение интенсивных колебаний в цепи на высшей гармони­
ке при отсутствии этой гармоники во входном напряжении. В линейных
цепях возникновение интенсивных колебаний на высшей гармонике мо­
жет быть только при наличии этой гармоники во входном напряжении.
2. Возникновение субгармонических колебаний. Под субгармоникой
понимают гармонику, частота которой в целое число раз меньше часто­
ты источника ЭДС. Субгармонические колебания представляют собой
колебания на какой-либо из субгармоник. Чаще всего они наблюдаются
на частотах со/3; со/2; со/5 и т. д. (со — частота источника ЭДС) (см.
§ 15.69).
3. Возникновение колебаний в цепи на гармонике с частотой т со/л,
где ш и п — целые числа.
4. Зависимость характера установившегося режима в нелинейной цепи
переменного тока от предшествовавшего этому режиму состояния цепи
и начальной фазы источника ЭДС. Это явление может наблюдаться в
нелинейных электрических цепях в зоне существования триггерного эф­
фекта, о котором было упомянуто в § 15.9. Суть явления состоит в том,
что при подключении нелинейной резонансной цепи к источнику ЭДС в
ней может возникнуть один из двух возможных режимов. Какой из ре­
жимов возникнет, зависит от начальной фазы генератора и состояния
цепи, предшествовавшего включению (см. § 15.58).
Имеются в виду обычные линейные цепи, параметры которых не являются функци
ей времени. О линейных цепях с непостоянными во времени параметрами см. гл. 18.
462
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
5. Возникновение автомодуляции. Автомодуляция представляет собой
процесс почти периодического изменения амплитуд токов и напряжений
в нелинейных электрических цепях без воздействия на них внешнего
модулирующего фактора, т. е. без воздействия на них низкочастотного
сигнала (см. § 15.70).
6. Хаотические колебания, перемежающиеся резонансы и другие типы
движений.
Перечисленные физические явления имеют место в резонансных це­
пях только в определенных для каждой цепи диапазонах параметров,
которые, как правило, оказываются такими, что практически эти явления
наблюдаются сравнительно редко. Кроме того, исследование условий
возникновения этих явлений часто связано с громоздкими математиче­
скими выкладками. В настоящей книге они рассмотрены в § 15.58,
15.60, 15.69, 15.70 и в Приложении П9. Подробно можно ознакомиться
с этими явлениями также по [24, 25].
§ 15.11. Разделение нелинейных элементов по степени симметрии
характери сти к относительно осей координат. Кроме деления на рези­
стивные, индуктивные и емкостные, управляемые и неуправляемые
(а резистивных — еще на безынерционные и инерционные) нелинейные
элементы можно классифицировать еще по одному признаку — по сте­
пени симметрии характеристик для мгновенных значений относительно
осей координат.
Пусть х и у — величины, характеризующие режим работы нелиней­
ного элемента. Условимся х обозначать величину, откладываемую по оси
ординат декартовой системы, а у — величину, откладываемую по оси
абсцисс.
Характеристики, для которых выполняется условие у (-х ) = у{х), на­
зывают симметричными; характеристики, не удовлетворяющие этому
условию, — несимметричными.
Симметричными характеристиками обладают нелинейные индуктив­
ности и емкости, а из резистивных — тиритовые сопротивления, элект­
рическая дуга с однородными электродами и некоторые другие.
Однако основные типы нелинейных резистивных элементов — элек­
тронная лампа, транзистор и тиристор — имеют несимметричные харак­
теристики. Особенности работы нелинейных элементов с несимметрич­
ными характеристиками — электронной лампы и транзистора — излага­
ются в § 15.27-15.43.
§ 15.12. А ппроксимация характери сти к нелинейных элементов.
Для проведения математического анализа нелинейных цепей переменного
тока и изучения их общих свойств целесообразно выразить аналитиче­
ски зависимость между мгновенными значениями и и / для нелинейного
резистора, зависимость между В и Н для нелинейной индуктивности,
зависимость q и и для нелинейного конденсатора. Приближенное анали­
тическое описание характеристик нелинейных элементов называют ап­
проксимацией характеристик.
§ 15.13. Аппроксимация симметричных характеристик..
463
§ 15.13. Аппроксимация симметричных характеристик для мгно­
венны х значений гиперболическим синусом. При исследовании
свойств электрических цепей явлением гистерезиса, как правило, мож­
но пренебречь. Лишь при исследовании цепей, в основе действия кото­
рых лежит это явление (например, работы
запоминающих магнитных устройств с прямохл
угольной петлей гистерезиса), гистерезис необ­
ходимо учитывать.
На рис. 15.11 изображена типичная симмет­
ричная характеристика у = /(* ).
Для нелинейной индуктивности роль х иг­
рает мгновенное значение индукции В; роль
у — мгновенное значение напряженности поля
Я. Для нелинейного конденсатора у — это на­
пряжение і/, х — заряд q. Для нелинейных
резисторов (например, тиритовых сопротивле­
ний) роль д; играет напряжение, у — ток.
Существует большое число различных аналитических выражений, в
той или иной мере пригодных для аналитического описания характерис­
тик нелинейных элементов [24, 30]. При выборе наиболее подходящего
аналитического выражения для функции у = f ( x ) исходят не только из
того, что кривая, описываемая аналитическим выражением, должна дос­
таточно близко всеми своими точками расположиться к опытным путем
полученной кривой в предполагаемом диапазоне перемещений рабочей
точки на ней, но учитывают и те возможности, которые выбранное ана­
литическое выражение дает при анализе свойств электрических цепей.
В дальнейшем для аналитического описания симметричных характерис­
тик по типу рис. 15.11 будем пользоваться гиперболическим синусом:
y = ashp*.
(15.1)
В этом выражении а и ( 3 — числовые коэффициенты; а выражает­
ся в тех единицах, что и у\ р — в единицах, обратных единицам jc, так
что произведение р х есть величина безразмерная. Для определения
неизвестных коэффициентов а и р следует на полученной опытным
путем зависимости у = f ( x ) в предполагаемом рабочем диапазоне про­
извольно выбрать две наиболее характерные точки, через которые долж­
на пройти аналитическая кривая, подставить координаты этих точек в
уравнение (15.1) и затем решить систему из двух уравнений с двумя
неизвестными.
Пусть координаты этих точек у ь хь и у 2, х 2 (см. рис. 15.11). Тогда
у { = a sh р jc, ;
у 2 = a sh Р х2.
Отношение
у 2 / У\ = s h p * 2 /sh Р ДГ|.
(15.2)
464
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Трансцендентное уравнение (15.2) служит для определения коэффи­
циента (3.
Следовательно,
ос = у 2 /sh Р х2.
(15.3)
П рим ер 147. Кривая намагничивания трансформаторной стали Э41 изображена на
рис. 15.12. Найти коэффициенты а и р .
Р е ш е н и е . Выбираем две точки на кривой:
Я, = 200 А/ м;
Вх = 1,1 Тл;
Я 2 = 2400 А/ м;
В2 = 1,532 Тл.
По уравнению (15.2) имеем sh(l,532 p)/sh(l,l р) = 12.
Задаемся произвольными значениями Р и производим
подсчеты:
р
6
5,22
9,2 8
р в2
6 ,6
5,74
р в,
sh р В2 /sh р Вх ... 13,5 9,58
Рис. 15.12
4,57
3,92
3,26
7
6
5
5,03
4,32
3,59
7,25
6,24
4,1
подсчетов
По
результатам
строим
кривую
sh p 2 /shp, = / ( р ) и по ней находим р = 5 ,7 5 Тл"
Далее определяем
Н7
sh р 2
2400
sh 8,82
1200
1690
0,71.
Штриховая линия на рис. 15.12 построена по уравнению Я = 0,71sh(5,75 В).
Таблица
X
Joijx)
- jJ\{jx)
jJyijx)
15.1
J 4(Jx)
0
1 ,0
0
0
0
0
0,4
1,04
1,16
1,39
1,75
2,28
3,05
4,16
5,75
8,03
11,30
16,01
22,79
32,58
46,73
67,23
168,60
427,56
1093,59
2815,70
7288
18948
0 ,2 0
0 ,0 2
0,13110~2
0,671-10-*
0 , 1 1 -1 0 ‘ 2
0,58 10“ 2
0,019
0,051
0,114
0,234
0,446
0,81
1,416
2,405
3,992
6,51
10,468
16,63
51,0
150,5
433,3
1226
3430
9507
0 ,8
1 ,2
1 ,6
2 ,0
2,4
2 ,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6 ,0
7,0
8 ,0
9,0
1 0 ,0
1 1 ,0
1 2 ,0
0,43
0,72
1,08
1,59
2,30
3,30
4,73
6,79
9,76
14,04
20,25
29,25
42,32
61,34
156
399,87
1030,91
2671
6948,9
18142
0,08
0 ,0 1
0 ,2 0
0,04
0,39
0,69
1,13
1,80
2,79
4,25
6,42
9,63
14,35
21,33
31,62
46,78
124
327,6
864,5
2281
6025
15924
0 ,1
0 ,2 1
0,41
0,73
1,25
2,07
3,34
5,29
8,29
12,84
19,74
30,15
85,17
236,07
646,69
1758
4758
12834
§ 15.15. Разложение гиперболических синуса и косинуса.
465
§ 15.14. П онятие о ф ункциях Бесселя. При анализе нелинейных цепей широко ис­
пользуют функции Бесселя, которые являются решением уравнения Бесселя
d 2y
dx2
х dx
y =0.
(15.4)
Функции Бесселя выражают степенными рядами, и для них составлены таблицы. Фун­
кцию Бесселя от аргумента х обозначают J р { х \ где р — порядок функции Бесселя.
Общее выражение для J р {х) в виде степенного ряда можно записать так:
J p (x) =
( x /2 ) p
0! p\
( х /2 ) р+г | ( х /2) р +а
( х / 2)р+6
1 ! (p
3! (p + 3)!
+ 1 )! + 2!(p + 2 )!
(15.5)
Для гл. 15 наибольший интерес представляют фун­
кции Бесселя от чисто мнимого аргумента (табл. 15.1).
Для их получения в общее выражение (15.5) вместо х
следует подставить j х , где j = л/^Т. Обратим внима­
ние на то, что в табл. 15.1 даны функция - j J x( j х)
вместо J x{ j х) и функция j
х) вместо J ^ i j х).
Сделано это потому, что без дополнительного мно­
жителя j или -у эти функции, как правило, не исполь­
зуют.
При х = 0 не равна нулю только функция Бесселя
нулевого порядка: У0 (0) = 1. По данным табл. 15.1 на
рис. 15.13 построены кривые функции Бесселя. Отку­
да видно, что с ростом jc значения функций увеличи­
ваются. Чем выше порядок функции Бесселя, тем мень­
ше ее значение при одном и том же х.
Рис. 15.13
§ 15.15. Разлож ение гиперболических синуса и
косинуса от периодического аргумента в ряд Ф урье. Если аргумент х изменяется по
периодическому закону, например по закону синуса х = хт sin о / , где хт — амплитуда
колебаний, то по периодическому закону изменяются и функции sh(xw s in o /) и
c h ( ^ sin со /).
Так как периодические функции можно представить рядами Фурье, то разложим в ряд
Фурье эти функции. С этой целью в (15.5) вместо * подставим хт sinco/. Учтем извест­
ные из тригонометрии формулы
sin а = 0 ,5 -0 ,5 cos 2 а;
(15.6)
sin 3 а = -0,25 sin 3 а + 0,75 sin а;
(15.7)
sin 4 а = 0,375-0,5 cos2 а + 0,125 cos4 а ,
(15.8)
сгруппируем все слагаемые с sinco /, cos 2 со /, sin3 со / и т. д., а также отдельно выделим
постоянную составляющую. В результате оказывается, что коэффициентами при тригоно­
метрических функциях являются ряды, которыми изображают функции Бесселя различ­
ных порядков от чисто мнимого аргумента j хт.
Окончательно получим
sh(ATm sin со /) = 2 ( - j У, ( j xm)) sin co / —2 j J 3( j xm) sin 3 co t - 2 j J 5 ( j xm) sin 5 co I - . . . ;
(15.9)
ch{xm sm co/) = J 0 ( j x m) + 2 j J 2( j x„,) cos 2 & t + 2 j J 4 (J xm) cos4 co / + .... (15.10)
Ряд для sh(xOT sin co /) состоит только из нечетных гармоник и не имеет постоянной
составляющей. Ряд для ch(xm sinco/) имеет постоянную составляющую и четные гармо­
ники.
466
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Пример 148. Разложить в ряд Фурье sh(4 sin со /) и ch(4sinco/).
Р е ш е н и е . Значения функций Бесселя берем из табл. 15.1:
~j A U 4) = 9,76;
j
- j J 5 U 4) = 0,505;
U 4) = 3,34;
J 4 (j 4) = 1,416;
J 0 (j 4) = 11,3;
J 2 ( j 4) = -6,42.
В соответствии с (15.9) и (15.10) получим
sh(4 sin со /) = 2 •9,76 sin со / - 2 •3,34 sin 3 со / + 2 •0,505 sin 5 со / - . . . ;
ch(4 sin со/) = 11,3 - 2 • 6,42 cos2 со/ + 2-1,416 cos4 g>/ + ....
§ 15.16. Разлож ение гиперболического синуса от постоянной и синусоидально
м еняю щ ейся составляю щ их в ряд Ф урье. Из § 15.13 известно, что мгновенное значе­
ние функции у связано с мгновенным значением х формулой (15.1). В этой формуле аргу­
ментом гиперболического синуса является не х, как было в § 15.14, а произведение рх.
В соответствии с этим для разложения sh(P хт sin со /) и ch(P хт sin со/) в (15.9) и (15.10)
следует заменить дг на f ix m.
Если х - х0 + хт sin со /, где х0 — постоянная составляющая, хт — амплитуда сину­
соидальной составляющей, то
у - a sh(P х 0 -ь р х т sin со /) = a sh р x Qch(p хт sin со /) + а ch р х 0 sh(p хт sin со /).
Следовательно,
у = a sh р х 0 ((J 0 ( j р х т)) + 2 J 2 ( j р хт) cos 2 со / + 2 J A ( j р хт) cos 4 со / + ...) +
+2 а ch р дг0 { { - j
( j р хт)) sin со / -
j
( j p xm) sin 3 со / - ...) .
(15.11)
Из (15.11) следует, что постоянная составляющая функции^
Уо = сх sh Р дг0 J 0 (у р * да).
(15.12)
Первая гармоника функции у
у х = 2 a c h p xQ( - j J ] О Р
)) sin со /;
(15.13)
вторая гармоника
у 2 = 2 a sh р д:0 J 2 ( j р хт) cos2 со /;
(15.14)
третья гармоника
Уз = 2 сх ch р х0 ( - j j 3 ( j Р
)) sin 3 со /.
(15.15)
и т. д.
П рим ер 149. Разложить в ряд Фурье функцию у / а = sh(2 + 4 sin со /).
Р е ш е н и е. По табл. 8.1 находим sh2 = 3,63; ch2 = 3,7. Значения функций Бесселя
берем из табл. 15.1. В соответствии с (15.11)
у / а = sh(2 + 4 sin со /) = 3,63 (11,3-12,844 cos 2 со / + 2,832 cos 4 со / - . . . ) +
-ьЗ,76 (19,52 sin со t - 6,674 sin 3 со / +1,01 sin 5 со t - ...) .
Таким образом, >>0 / а = 4Ц ;
>>lm/ a = 73,4; у 2т I а = 46,7.
§ 15.17. Н екоторы е общ ие свойства сим м етричны х нелинейны х элементов.
I.
Если нелинейный элемент с симметричной характеристикой работает в условиях,
когда одна из определяющих его состояние величин, например величина х, изменяется во
времени по закону х = х 0 + хт sin со/, то в отношении другой определяющей его состоя­
§ 15.17. Некоторые общие свойства симметричных нелинейных элементов
467
ние величины (величины у) можно сделать следующие выводы:
1 ) постоянная составляющая функции у 0 зависит не только от дг0, но и от хт, что
следует из (15.12);
2 ) в кривой у = / ( с о / ) появляются четные гармоники, которые исчезают при х 0 = 0 .
Фаза четных гармоник зависит от знака постоянной составляющей (от знака *0);
3) путем изменения х 0 или jv0 можно изменять амплитуды первой и высших гармо­
ник функций.
Рис. 15.14
Первое из этих свойств поясним графически. Пусть нелинейный элемент работает при
отсутствии синусоидальной составляющей (хт = 0). Тогда изображением этого процесса
на характеристике нелинейного элемента будет точка а (рис. 15.14, а). Для нее
У = Уо;
Р * - Р *0
= Arsh
уЯ ^а -■■■.
•/о U Р*о)
(15.16)
Этот результат следует из (15.12), если учесть, что Уо(0) = 1Если же нелинейный элемент работает при хт * 0, то, для того чтобы постоянную
составляющую функции у 0 сохранить прежней, постоянная составляющая х0 должна
быть снижена (или снизится сама) со значения *о Д° Не­
постоянная составляющая
Р *о = Arsh
Ц ,а .
(15.17)
Л> (У Р * т )
где Xq определяется ординатой точки b, расположенной ниже точки а (рис. 15.14, б).
Первое и третье из этих свойств широкоиспользуют в теории управляемых нелиней­
ных элементов, второе свойство — в теории умножителей и делителей частоты.
П ример 150. Нелинейный элемент с характеристикой у = a sh Р х сначала работал при
у 0 / а = 41,1 и отсутствии переменной составляющей (Р хт - 0 ). Затем режим работы его
изменился: постоянная составляющая У о/а осталась прежней, но появилась переменная
составляющая рх, амплитуда которой p x w =4. Найти постоянные составляющие Р дг0
в этих двух режимах.
Решение.
В первом режиме Р *о = Arsh 41,1 = 41,1. Во втором режиме
р *5 = Arsh(41,1 / J 0( j 4)) = Arsh 3,63 = 2.
Таким образом, при переходе от первого режима ко второму постоянная составляю­
щая Р дг0 изменилась с 4,41 до 2 , т. е. более чем в два раза.
II.
В энергетическом отношении общие свойства нелинейной цепи, содержащей одну
нелинейную катушку (конденсатор) с безгистерезисной симметричной характеристикой,
в которой действуют генераторы синусоидальных колебаний с частотами / , и / 2 и воз­
никают токи и напряжения частот f m%n = т f \ + п / 2 ( т и п — простые числа, принимаю­
щие положительные, отрицательные и нулевые значения), для периодических процессов
описываются теоремой Мэнли и Роу.
468
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Если через Wmn - Umn f m>„ + Umn 1тп обозначить среднюю за период мощность,
поступающую в нелинейную индуктивную катушку (конденсатор) на частоте
f mn =т / \ + п / 2, то теорема устанавливает связь между мощностями, поступающими в
нелинейный элемент на различных частотах. Эту теорему записывают в виде двух соот­
ношений (доказательство см., например, в [24]):
«А
тW
І І Г m7 ixт+ тп г/о = 0;
“
m=0w=-« J1 J1
™ ™ mW .
S Е гт7J \т+ гn т/•> = а
w=-oo w=0 J 1 JL
<1 51 8 >
§ 15.18. П оявление постоянной составляю щ ей тока (напряж ен ия, потока, зар я­
да) на нелинейном элементе с симм етричной характеристикой. Если к нелинейному
резистору с симметричной ВАХ, например i - a u , подвести напряжение в виде двух
компонент u - U x sinco/ + ( / 2 sin(2co/ + (p), частоты которых относятся как 1:2 (в более
общем случае как 2 к 1(2 р + 1 ), где к и р — целые положительные числа), то в токе, про­
ходящем через HP, несмотря на отсутствие выпрямителей, появится постоянная составля­
ющая, равная - 0,75 a Uх U2 sintp. Ее значение зависит не только от U x и t / 2, но и от
угла Ф- Сам факт возникновения постоянной составляющей в этих условиях называют
селективным выпрямлением. Селективно оно потому, что возникает не при любом соот­
ношении частот двух напряжений, а при вполне определенном. Сходное явление имеет
место в нелинейных индуктивных катушках и конденсаторах. Так, если на нелинейную
индуктивную катушку с ВАХ / = a sh р Ф воздействовать потоками частот со и 2 со, то
при отсутствии постоянной составляющей в МДС в потоке кроме указанных гармоник
появится
и
постоянная
составляющая.
Для
ее
определения
положим
Ф = Ф 0 + Ф, sin(co / + ф) + Ф 2 sin 2 со /, подставим в формулу для тока и, разложив ток в ряд
Фурье, приравняем постоянную составляющую тока нулю. В результате получим форму­
лу для определения Ф 0 :
JvU bJJvU h)
где Ь0 = РФ0; Ь2 = р ф 2.
Если через нелинейный конденсатор проходят первая и вторая гармоники тока, а угол
Ф * 0 , то на нем будет постоянная составляющая заряда при отсутствии постоянной со­
ставляющей напряжения.
§ 15.19. Типы характеристик нелинейных элементов. При анали­
зе и расчете электрических цепей с нелинейными элементами в зависи­
мости от рассматриваемого вопроса используют различные типы ха­
рактеристик одного и того же нелинейного элемента:
а) характеристики для мгновенных значений;
б) ВАХ по первым гармоникам тока и напряжения;
в) ВАХ для действующих значений.
§ 15.20. Х арактери сти ки для мгновенны х значений. Основным
типом характеристик являются характеристики, связывающие мгновен­
ные значения основных определяющих величин: тока и напряжения на
нелинейном резисторе, индукции и напряженности в сердечнике нели­
нейной индуктивности, заряда и напряжения на нелинейном конденса­
торе. Будем называть их характеристиками для мгновенных значений.
Иногда перед этим названием добавляют, соответственно, следующие
слова: вольт-амперные, вебер-амперные или кулон-вольтные. В силу ряда
причин, обусловленных различными физическими процессами в самих
нелинейных элементах, форма характеристик меняется с увеличением
скорости изменения определяющих величин во времени.
§ 15.21. ВАХ по первым гармоникам
469
§ 15.21. ВАХ по первым гармоникам. Под ВАХ по первым гармо­
никам понимают графическую или аналитическую связь между ампли­
тудой (действующим значением) первой гармоники тока и амплитудой
(действующим значением) первой гармоники напряжения на нелинейном
элементе.
Этот тип характеристик подразделяют на две подгруппы. В первой
подгруппе напряжение (поток или заряд) на нелинейном элементе изме­
няется по синусоидальному закону, а во второй по синусоидальному за­
кону во времени меняется ток через нелинейный элемент (напряженность
в сердечнике нелинейной индуктивной катушки или напряжение на
нелинейном конденсаторе).
Если воздействующее на нелинейный элемент синусоидальное напря­
жение (синусоидальный ток) не содержит постоянной составляющей, то
ВАХ для первых гармоник данного элемента изображают какой-то одной
кривой. Если же воздействующее напряжение (ток) содержит постоян­
ную составляющую, то вольт-амперные, вебер-амперные или кулон-вольтные характеристики изображают семействами кривых, на которых по­
стоянная составляющая тока, напряжения, потока или заряда является па­
раметром.
Этот тип характеристик получают расчетным аналитическим или гра­
фическим путем по соответствующим характеристикам для мгновенных
значений или снимают экспериментально.
При графическом построении задаются различными значениями ам­
плитуды воздействующего на нелинейный элемент напряжения (тока,
индукции, заряда), по точкам строят кривую тока (напряженности, напря­
жения) в функции времени и путем разложения ее в ряд Фурье находят
соответствующие амплитуды первой гармоники тока (напряженности,
напряжения). (Пример графического построения кривой тока в функции
времени для управляемой нелинейной индуктивной катушки
см. на рис. 15.17.)
Аналитически построение точек обсуждаемой характеристики произ­
водят, используя формулы (15.12) и (15.13) или иные, подобные им.
В § 15.23 рассмотрено применение формул (15.12) и (15.13) для по­
лучения единых характеристик по первым гармоникам для управляемых
симметричных нелинейных элементов.
Для нелинейной индуктивной катушки ВАХ по первым гармоникам
можно получить опытным путем с помощью схемы рис. 15.15, а, где
ИТ} — источник синусоидальной ЭДС; ИТ2 — источник постоянной
ЭДС; ab — зажимы управляемой цепи НЭ; cd — зажимы управляющей
цепи НЭ. Измерительный прибор F, реагирует на первую гармонику на­
пряжения, а измерительный прибор Ах — на первую гармонику тока.
На рис. 15.15, б качественно изображены ВАХ управляемой нелиней­
ной индуктивной катушки по первым гармоникам. Параметром является
ток управления / 0. ВАХ по первым гармоникам для управляемого нели­
нейного конденсатора изображены на рис. 15.15, в. Параметром являет­
ся управляющее постоянное напряжение U0.
470
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Снятие характеристик (рис. 15.15, б) производят следующим образом.
Устанавливают некоторое произвольное значение тока / 0 в цепи управ­
ления, затем плавно повышают напряжение Ux и для каждого его значе-
б
в
Рис. 15.15
ния записывают значение тока 1Х. Затем то же проделывают при новом
значении / 0 и т. д. Результаты измерений наносят на график и соответ­
ствующие точки соединяют плавной кривой.
ВАХ для первых гармоник используют при расчете установившихся
режимов в нелинейных цепях, который называют расчетом по пер­
вой гармонике (см. § 15.47). При расчете применяют ВАХ той подгруп­
пы, которая более подходит по условию работу данного нелинейного
элемента.
§ 15.22. ВАХ для действующих значений. Под ВАХ для действую­
щих значений понимают зависимость между действующим значением
синусоидального (несинусоидального) напряжения на нелинейном эле­
менте и действующим значением тока, протекающего через него. Если
напряжение (ток) содержит постоянную составляющую, то ВАХ для дей­
ствующих значений изображают семейством кривых, на которых посто­
янная составляющая тока (потока, напряжения или заряда) является
параметром.
Эти характеристики получают графическим или аналитическим пу­
тем из характеристик для мгновенных значений или снимают опытным
путем с помощью схемы (см. рис. 15.15, а), но приборы Ух и Ах в этом
случае должны измерять действующие значения.
ВАХ для действующих значений зависят от формы напряжения на
нелинейном элементе и (или) от формы протекающего через него тока,
поэтому необходимо указывать, при каких условиях они получены.
§ 15.23. Получение аналитическим путем обобщенных характеристик..
471
При качественном и грубом количественном анализах полагают, что
характеристики, снятые при одной форме напряжения на нелинейном
элементе, близки к характеристикам, снятым при другой форме напря­
жения. В действительности же количественное различие в характерис­
тиках может оказаться значительным. ВАХ для действующих значений
используют при расчете, называемом расчетом по ВАХ для действующих
значений (см. § 15.48).
§ 15.23. Получение анали тическим путем обобщенных характеристик у п рав л я­
емы х нелинейны х элементов по первы м гарм они кам . Как отмечалось, нелинейные
индуктивности и конденсаторы, а также большая группа нелинейных резисторов имеют
характеристики для мгновенных значений, которые могут быть приближенно описаны
формулой у = a sh р х. Для каждого нелинейного элемента под х и у следует понимать свои
величины (см. § 15.13).
Таким образом, х и у — обобщенные обозначения величин, определяющих работу
нелинейного элемента. Для всех перечисленных нелинейных элементов можно построить
единые характеристики по первым гармоникам. С этой целью положим х = х0 + хт sin со /.
Тогда в соответствии с (15.13) амплитуда первой гармоники функции
У\т =
2
а сЛР * 0 (-У j \ и Р Хт)).
(15.19)
Формула (15.19) устанавливает связь между амплитудой у ]т первой гармоники >>,
амплитудой хт первой гармоники х и постоянной составляющей x0.
На рис. 15.16, а изображены характеристики управляемого нелинейного элемента
Р хт - / ( У \т /2 а ) при р дг0 = 0,1, 2, 3, 4,5, построенные по (15.19). Кривыми можно
пользоваться при известном значении параметра {3 3с0. Если известна не $ х 0, а постоян­
ная составляющая у 0 / сх, то семейство кривых р
= / ( у ]т / ( 2 а )) при параметре У о /а
может быть построено следующим образом. Из (15.12) находим sh р jc0 = — — а — и
вместо c h p x 0 в (15.19) подставим
J o U f i xm)
II
W oI O
O PP*«)
*,
В результате получим
7 ^ =У,+( / X а J (-М О 'Р »*»2а V UoOP*m)J
(15.20)
20 40 60 80 100 120 140 у 1т
2а
2а
б
Рис. 15.16
472
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Кривые (см. рис. 15.16, б), построенные по формуле (15.20), являются характеристи­
ками
управляемого
нелинейного
элемента
при
значениях
параметра
/ а = 0,50,100,150 и 200. Обратим внимание на то, что у 1т /2 а , р х т, у 0 / а — вели­
чины с нулевой размерностью. Если масштабы по оси уменьшить в ^ 2 Р33» 70 кривые
на рис. 15.15, б будут представлять собой характеристики по действующим значениям
первых гармоник. Характеристика неуправляемого нелинейного элемента соответствует
кривой, для которой у 0 / а = 0.
§ 15.24. Простейшая управляемая нелинейная индуктивность.
Простейшая управляемая нелинейная индуктивность изображена на
рис. 15.17. Она образована обмотками Wj и w2, намотанными на замк­
нутый ферромагнитный сердечник. Площадь поперечного сечения сер­
дечника — S (м2), длина средней магнитной линии — / (м).
Обмотка Wj включена в цепь переменного
тока, и по ней проходит переменный ток /, со­
держащий первую и высшие гармоники.
Обмотка управления (подмагничивания) w0
присоединена к источнику постоянной ЭДС Е0
через дополнительную индуктивность Lq и ре­
гулируемое резистивное сопротивление Rq. По
обмотке
w0 протекает постоянный ток
А) =
I ЛЬ.
Хотя переменный магнитный поток и наводит
в обмотке и>0 переменную ЭДС, но переменный
Рис. 15.17
ток по ней практически не проходит, так как до­
полнительная индуктивность Lq образует для
переменного тока достаточно большое индуктивное сопротивление.
Пусть приложенное к обмотке >Vj напряжение равно Um cosco/. Это
напряжение равно ЭДС самоиндукции, взятой с обратным знаком (актив­
ное сопротивление обмотки Wj считаем весьма малым):
= Um cos со t.
Отсюда магнитный поток
(15.21)
(15.22)
где Фш — амплитуда переменной составляющей магнитного потока;
Ф0 — постоянная составляющая магнитного потока.
Управляемая нелинейность позволяет путем изменения постоянного
тока / 0 в обмотке wQ управлять переменным током /.
Принцип управления режимом ее работы и характер изменения во вре­
мени отдельных величин поясним с помощью рис. 15.18, а, б, где
кривые Ф = / ( Я / ) представляют собой зависимости потока Ф в сер­
дечнике от произведения напряженности магнитного поля Я на длину
средней магнитной линии / сердечника.
§ 15.24. Простейшая управляемая нелинейная индуктивность
473
Построения на рис. 15.18, а соответствуют случаю, когда / 0 = 0, а на
рис. 15.18, б — когда / 0 * 0. На обоих рисунках переменная составляю­
щая потока Фт sin со / одинакова. Для рис. 15.18, а постоянная состав­
ляющая потока Ф0 = 0, для рис. 15.18, б Ф0 ф 0. На кривых Ф = / ( с о /),
Рис. 15.18
Ф = / ( Я /) и / W\ = /(со /) наиболее характерные соответствующие друг
другу точки обозначены одинаковыми буквами.
Построения производим в такой последовательности.
Сначала откладываем значения постоянной составляющей потока Ф0
и строим кривую Фт sin со/. Затем произвольно задаемся различными
моментами времени, например равными со/ = 0; л/ 2; л ; 3 / 2 я ; 2 л , и для
каждого значения соt с помощью кривой Ф = / ( Я / ) находим соответ­
ствующие значения H I и строим кривую / wx -ь/0 w0 = /(с о /) (для
рис. 15.18, а 10 w0 =0). Ось времени для этой кривой направлена верти­
кально вниз и проходит через точки а, с, г в нижней части рисунка.
Ток / не содержит постоянной составляющей, так как в цепи обмотки
Wj нет источника постоянной ЭДС и выпрямителей.
Прямая А— А (рис. 15.18,6) является нулевой линией для кривой
/ Wj = /(со /). Ток і изменяется относительно этой прямой так, что сред­
нее значение его за период от со/ = 0 до со/ = 2 я равно нулю.
Другими словами, проводим прямую А— А так, чтобы площадь Sx
была равна площади S2. Расстояние, на которое удалена прямая А— А
от оси ординат, равно / 0 w0.
Полезно сопоставить выводы § 15.17, сделанные в общей форме, с теми выводами,
которые применительно к нелинейному индуктивному элементу следуют из рассмотрения
рис. 15.18, а, б. Сопоставимыми величинами являются х - Ф ; у-(ім>\ + / 0 w0); дг0 - Ф 0;
Х т - Ф т У 0 - І 0 ™0 * >> = /(СО/ ) “ ( / 'WJ + / 0 W0 ) = / ( ( О /);
а)
в § 15.17 утверждалось, что путем изменения у 0 можно влиять на амплитуды пер­
вой и высшей гармоник функции у - /(с о /) этот вывод подтверждается построениями на
рис. 15.18, а, б — амплитуды первой и высших гармоник функции і iv, = /(с о /) зависят
474
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
от / 0 w0 (чем больше / 0 w0, тем больше амплитуда первой гармоники тока /');
б) у 0 зависит не только от Ф0 но и от ФтУ из построений рис. 15.18, а, б следует,
что / 0 w0 зависит не только от Ф0, но и от Фм ;
в) при наличии постоянной составляющей в составе функции х в кривой у - f ( ( o t )
появляются четные гармоники. Из рис. 15.18, б следует, что при наличии постоянной со­
ставляющей в составе магнитного потока Ф в кривой i w x = / ( « / ) появляются четные
гармоники — кривая і wx = /(ю /) несимметрична относительно прямой А—А.
Запишем потоки через индукции и сечения:
Ф m = Bm S;
(15.23)
Ф о=*ой
(15.24)
где Вт — амплитуда переменной составляющей индукции; В0 — по­
стоянная составляющая индукции.
Из (15.22) и (15.23) следует, что
Вт = - ^ ~ .
co W] S
(15.25)
Если магнитную индукцию Вт выражать в Гс; S — см2, Um заме­
нить на U >/2, где U — действующее значение напряжения на обмотке
Wj, то
w
2 n f w xS
4,44 f w x S
Формула (15.25) дает возможность найти амплитуду переменной со­
ставляющей магнитной индукции по амплитуде синусоидального напря­
жения Um, ч а с т о т е / числу витков и>, и сечению S. По закону полного
тока произведение напряженности поля Н на длину средней магнитной
линии / должно быть равно алгебраической сумме МДС:
Н / = / w j + / 0 w0.
(15.27)
Так как ток / содержит первую и высшие гармоники, то уравнение
(15.27) распадается на ряд уравнений: уравнение для постоянных состав­
ляющих, уравнения для первой гармоники, второй гармоники и т. д.
Уравнение для постоянных составляющих
I0 w0 = H 0 l9
(15.28)
где Н0 — постоянная составляющая напряженности поля.
Переменный ток / содержит первую, вторую и другие высшие гармо­
ники, но постоянной составляющей не содержит, так как в цепи обмот­
ки Wj нет источника постоянной ЭДС и выпрямителей.
Уравнение для первой гармоники
Л«
(15.29)
где 1]т — амплитуда первой гармоники тока /; Н]т — амплитуда пер­
вой гармоники напряженности поля.
§ 15.25. ВАХ управляемой нелинейной индуктивности по первым гармоникам
475
Аналогично
(15.30)
Из (15.28)—<15.29) следует, что
Н 0 = 10 щ /1 ;
(15.31)
Н\т ~ I\m w\ //;
(15.32)
Н 1т=І2т V *
(15.33)
и т. д.
Формула (15.31) позволяет определить постоянную составляющую
напряженности поля # 0 через постоянную составляющую тока / 0. Фор­
мула (15.32) позволяет найти Н Хт через 1]т и т. д.
§ 15.25. ВАХ управляемой нелинейной индуктивности по первым
гармоникам. Под ВАХ управляемой нелинейной индуктивности по пер­
вым гармоникам будем понимать зависимость действующего значения
первой гармоники переменного напряжения U] на обмотке Wj от дей­
ствующего значения первой гармоники переменного тока 1Х при посто­
янном токе / 0, взятом в качестве параметра.
Как уже указывалось в § 15.21, ВАХ нелинейной индуктивности мож­
но получить опытным путем с помощью схемы (рис. 15.15, а) или рас­
четным.
Рассмотрим расчетный путь, основанный на использовании обобщенных характерис­
тик (см. § 15.23).
Пусть зависимость между мгновенным значением напряженности магнитного поля И
и мгновенным значением магнитной индукции В выражается гиперболическим синусом:
Н = a sh р Я.
(15.34)
В (15.34) Н выполняет ту же функцию, что у в (15.1), а В — ту же, что и х.
На основании аналогии между (15.34) и (15.1) ясно, что характеристики управляемой
нелинейной индуктивной катушки по первым гармоникам полностью совпадают с харак­
теристиками на рис. 15.16,6, если рх„, заменить на р Впп у Хт! 2 а — на Н 1т/ 2 а ,
параметр у 0 / а — на Н 0 /а.
Из (15.25) следует, что
_ |Шт _ р V2 U
с
(ОWj ос - (ОWjO
Р &т ~
Кроме того, из (15.32) имеем
и =$Вт? ^ £ - .
(W 2
(15.35)
/,„ = > /2 /,= - ^ .
(15.36)
W,
Следовательно,
/, =
На основании (15.31)
Ны
2а
а /У 2
wj
/ о = Я1 а_/
a w0
(15.37)
(15.38)
476
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Таким образом, для перехода от семейства кривых в безразмерных единицах
к семейству кривых Ux = f ( I x) при пара­
метре / 0 нужно масштаб по оси ординат изменить в со S / Л раз, масштаб по оси
абсцисс — в a l / w 0 раз.
р Вт = f ( H Xm/ 2 а ) при параметре Н 0 / а
Пример 151. Управляемая нелинейная индуктивность (см. рис. 15.17) имеет следую­
щие данные: S = 2,2 см2; / = 25 см; w, = 250; w0 = 1775. Аналитическое выражение кри­
вой намагничивания Я = 0,71 s h 5,75 В. Воспользовавшись кривыми Р хт = / ( у Хт/(2 а ))
при параметре У о / а (см. рис. 15.16, б), построить семейство ВАХ по первым гармони­
кам Ux = f ( l x) при параметре / 0.
Р е ш е н и е . Подсчитаем коэффициент для перехода от р хт к напряжению U:
о
Вл/2
з и ^ о - г д ю -4 2
5 ,7 5 - Л
Таким образом, при переходе от $ х т к напряжению U масштаб по оси ординат на
рис. 15.16, б должен быть увеличен в 2,13 раза. Определим коэффициент для перехода от
Н Хт /(2 а ) к действующему значению первой гармоники тока:
g /У г
= 0,71 0 , 2 5 - У ? =
w,
250
_з
Следовательно, масштаб по оси абсцисс должен быть изменен в 10~3 раз. Коэффици­
ент для перехода от Н 0 / а к току / 0
а / _ 0,71 0,25
w0 ~
1775
4
Семейство
ВАХ
изображено
на
рис. 15.19.
12,78
В литературе, посвященной электричес­
ким цепям с нелинейными индуктивными
10,65
элементами, используют термин «индуктив­
8,52
ное сопротивление» нелинейной индуктив­
ности по первой гармонике.
6,39
Под индуктивным сопротивлением по
первой гармонике понимают отношение дей­
4,26
ствующего значения первой гармоники
2,13
напряжения U х на зажимах индуктивной
катушки, включенной в цепь переменного
0
0,02
0,06
0,1
0,14/, А
тока, к действующему значению первой гар­
моники тока 1Х, протекающего через нее:
Рис. 15.19
X x = U x/ 1Х, где Х х — функция напряжения
Uj и тока подмагничивания / 0. Изменение
Х х в функции U x при / 0 = c o n s t и Х х в функции /о при U | = c o n s t можно проанализи­
ровать, воспользовавш ись кривыми на рис. 15.19. Если Ux = 8,52 В, то при / 0 " 0
/| = 0,01 А , следовательно, Х х = 8,52/0,01 = 85 2 Ом.
При / 0 = 0,01 А Х х =8,52/0,084 = 101 Ом. При / 0 =0,015 А Х х = 66,5Ом.
Таким образом, изменяя ток подмагничивания / 0, можно управлять сопротивле­
нием Х х.
U; В
Пример 152. Обмотка w, управляемой индуктивной катушки примера 152 подключе­
на к источнику синусоидального напряжения Ux = 12,2 В ( / = 50 Гц). Обмотка управле­
ния w0 подключена к источнику постоянной ЭДС £ 0 = 1 В. Резистивное сопротивление
цепи подмагничивания Rq = 50 Ом. Определить амплитуду переменной составляющей Вт
и постоянную составляющую В0 магнитной индукции.
§ 15.26. ВАХ управляемого нелинейного конденсатора по первым гармоникам
477
Р е ш е н и е. По формуле (15.25),
В„ = ----------12’2 ^ --------^ = >Тл;
2 я-50-250-2,2 10
р г я =5,75.
Постоянные составляющие тока / 0 = Е0 / /?0 = 1/50 = 0,02 А и напряженности поля
Я 0 / а = / 0 w0 / / = 141,5 А /м .
Параметр Я 0 / а = 141,5/0,71 = 200. По формуле (15.17),
р В0 = Arsh-----— -----= 1,86;
°
J 0 U 5,75)
В0
= 0,324 Тл.
р
§ 15.26. ВАХ управляемого нелинейного конденсатора по первым гармоникам.
Кулон-вольтную характеристику нелинейного конденсатора приближенно можно описать
гиперболическим синусом:
w= a s h p ^ .
(15.39)
Пусть заряд
Я = Qo+ Qm sin СО/,
где Q0 — постоянная составляющая заряда; Qm — амплитуда первой гармоники заряда.
При этом напряжениенаконденсаторе имеет постоянную составляющую U0, а так­
же первую и высшие гармоники. Формулы (15.12)—(15.15)можно распространить на не­
линейный конденсатор, если заменить у 0 на U0\ у 1т на U\m\ хт на Qm\ х0 на Q0.
В соответствии с этим постоянная составляющая напряжения на конденсаторе
£/0 = a shpQ o Л) U Р £?/»)•
Первая гармоника напряжения
2 a ch р 2о ( - М
(15.40)
(у Р й»»)) sin <о/.
Ток через конденсатор равен d q ! d t . Следовательно, первая гармоника тока через него
4 ~ ( Q m S in < D /) = C O ft, COSOИ .
at
Ее амплитуда ®Qm = pQ m /р, а действующее значение в
раз меньше:
( 15 .4 1 )
Под ВАХ управляемого нелинейного конденсатора по первым гармоникам будем по­
нимать зависимость действующего значения первой гармоники тока через конденсатор /,
от действующего значения первой гармоники напряжения Ux при параметре U0.
На основании записанного соответствия между Uq и у 0 и Ulm и у 1т и т. д. можно
утверждать, что семейство кривых Р Qm = f ( U lm /(2 а )) при параметре (J0 / a полностью
повторяет семейство кривых рх„, - / ( У \ т /(2 а )) при параметре у 0 / а , изображенное на
рис. 15.16, б.
Для перехода от семейства кривых Р Qm - f ( U lm /2 а ) к семейству ВАХ управляемо­
го нелинейного конденсатора по первым гармоникам следует учесть формулу (15.41) и то,
что действующее значение первой гармоники напряжения на конденсаторе
t / , = ^ a V 2;
Lа
и 0 = — а.
а
Следовательно, для перехода от семейства кривых р Qm = f ( U Xm1(2 а)) при парамет­
ре UQ/ а к семейству кривых /, = f ( U x) при параметре U0 необходимо масштаб по оси
ординат изменить в со/(рл/2) раз, по оси абсцисс — в а й раз, параметр — в а раз.
Подобно тому как для нелинейной индуктивной катушки вводят понятие индуктивного
сопротивления по первой гармонике (см. § 15.25), для нелинейного конденсатора вводят
478
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
понятие емкостного сопротивления по первой гармонике: Х х = Ux I I j , где U j — действу­
ющее значение первой гармоники напряжения на конденсаторе; /, — действующее зна­
чение первой гармоники тока через нелинейный конденсатор; Х х — функция U x и U0.
Рассмотрим элементы теории транзисторов и применение последних
в электрических цепях. В настоящее время применяют транзисторы двух
типов: биполярные и полевые. Физические основы работы их различны.
Сначала обсудим вопросы, относящиеся к биполярным транзисторам,
а затем (см. § 15.35-15.37) — к полевым.
§ 15.27. Основные сведения об устройстве биполярного тран зи с­
тора. Биполярным его называют потому, что его работа обусловлена но­
сителями обеих полярностей. Транзистор представляет собой трехслой­
ную структуру р — п—р- или «—р —«-типа. Схематически структура
р— «—/?-типа пояснена на рис. 15.20, а, где знаком плюс в p -области обоПервая p -область
Вторая р-область
-
К ++
V
у
++
++
р —п-переходы
Рис. 15.20
значены носители положительных зарядов, знаком минус в «-области —
носители отрицательных зарядов. Оба переходных слоя между /?- и
«-областями обладают односторонней проводимостью. Ток через каждый
из этих слоев может проходить практически в том случае, когда потен­
циал р-области выше потенциала «-области.
У транзистора имеется три вывода. В транзисторе р —«—/ 7-типа пер­
вый вывод — от первой р-области — называют коллектором, второй
вывод — от второй p -области — эмиттером, третий вывод — от «-об­
ласти — базой.
На электрических схемах транзистор р —«—p -типа изображают, как
показано на рис. 15.20, б, а транзисторы «—р —«-типа — в соответствии
с рис. 15.20, в.
§ 15.28. Основные способы вклю чения биполярных транзисторов
в схему. Различают три основных способа включения триодов в схему в
зависимости от того, какой из электродов транзистора является общим
для управляющей и управляемой цепей.
На рис. 15.21, а изображена схема с общей базой, на рис. 15.21, б —
схема с общим эмиттером, на рис. 15.21, в — схема с общим коллек­
тором.
§ 15.29. Принцип работы биполярного транзистора
479
Во всех схемах Ен — источник ЭДС в цепи нагрузки; Еу — источ­
ник ЭДС в цепи управления. Для всех схем, в которых используют тран­
зисторы р —п - р - типа, полярность источников ЭДС должна быть такой,
Рис. 15.21
чтобы коллектор имел отрицательный, а эмиттер положительный потен­
циал относительно базы.
Для создания смещения на базе транзистора (напряжение ^ Эбо) вме­
сто отдельной ЭДС Еу (рис. 15.21, б) используют делитель напряже­
ния — резисторы /?! и R2, подключенные к Ен (рис. 15.21, г). В этом
случае ^360 = ^2 0 ^ 2> ^эбО + Ао ^1 = ^н> ^б0 + ^20 = Л0> ГДе Ао> ^20>
/ б0 — постоянные составляющие токов /|, /2, /б. Сигнал на базу по­
ступает через конденсатор С.
§ 15.29. Принцип работы биполярного транзистора. Если в крис­
талл чистого германия или кремния (элементов четвертой группы таб­
лицы Менделеева) внести ничтожное количество элементов пятой (мы­
шьяк или сурьма) или третьей (бор или индий) группы, то в результате
реакции замещения электрические свойства германия (кремния) резко
изменятся. В месте внесения в германий (кремний) элементов пятой груп­
пы (их называют донорами) образуются свободные электроны, а изме­
ненный таким образом германий называют полупроводником «-типа.
В месте внесения в германий элементов третьей группы (их называют
рецепторами) будет недоставать электронов или, что то же самое, обра­
зуется избыток дырок, выполняющих роль положительных зарядов. По­
лучившийся при этом полупроводник называют полупроводником /7-типа.
Под р—«-переходом понимают переход полупроводника / 7-типа в по­
лупроводник «-типа. У транзистора р— «—/?-типа два р —«-перехода
(рис. 15.20, а). Через р —«-переход из «- в / 7-область диффундируют элек­
троны, а из /7- в «-область — дырки, образуя на границах перехода при­
граничные избыточные заряды (на рис. 15.20, а они обозначены значка­
ми + и -). Эти заряды создают на переходе потенциальный барьер,
напряженность электрического поля которого Е0 направлена от пригра­
ничных избыточных плюс-зарядов к приграничным избыточным минусзарядам. Если в схеме рис. 15.21, а ЭДС Еу и Ен не включены, то
потенциальный барьер правого перехода будет препятствовать переме­
щению дырок от эмиттера к базе, а потенциальный барьер левого —
480
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
перемещению электронов от базы к коллектору. Распределение потен­
циала вдоль транзистора в этом случае иллюстрирует кривая 1 на
рис. 15.20, г. Если же ЭДС в схеме рис. 15.21, а включены, то ЭДС £ у
будет создавать на правом р —«-переходе напряженность поля Еу, направ­
ленную против напряженности поля потенциального барьера Е0. При
этом потенциальный барьер снизится и энергетический уровень части
дырок окажется достаточным для того, чтобы они начали двигаться от
эмиттера в тонкий слой базы. Там они частично рекомбинируют с элек­
тронами базы и затем под действием ЭДС Ен через левый р — «-переход
направляются к коллектору и эмиттеру (коллектор имеет отрицательный
потенциал по отношению к эмиттеру и базе). Одновременно из базы дви­
гаются электроны в направлении коллектора и эмиттера. Ток эмиттера
равен сумме токов коллектора и базы /э = /к + *б- Отношение
/к / /э = 0,95 * 0,99 зависит от типа транзистора и режима его работы. Рас­
пределение потенциала Ф вдоль транзистора в рабочем режиме иллюс­
трирует кривая 2 на рис. 15.20, г.
Принцип действия транзистора «—р — «-типа аналогичен принципу
действия транзистора р— «—/?-типа, но полярности ЭДС и направления
протекания токов меняются на противоположные.
§ 15.30. ВАХ биполярного транзистора. Свойства каждого транзис­
тора определяются двумя основными семействами его ВАХ. Первое
семейство характеристик — зависимость тока выходной цепи от напря­
жения между электродами транзистора, включенными в выходную цепь,
при каком-либо из остальных токов транзистора, взятом в качестве
параметра. В качестве параметра может быть взята и любая другая
величина, например напряжение между электродами транзистора,
включенными в цепь управления. Это семейство описывает свойства
транзистора по отношению к выходной цепи. Второе семейство харак­
теристик — зависимость тока входной цепи (цепи управления) от напря­
жения между электродами транзистора, включенными во входную цепь,
при напряжении между электродами, включенными в выходную цепь (или
при токе выходной цепи), взятом в качестве параметра. Это семейство
характеристик описывает свойства транзистора по отношению к цепи
управления.
На рис. 15.22, а качественно изображено семейство выходных харак­
теристик /к = f ( u 3K) при параметре /э для схемы с общим эмиттером
(см. рис. 15.21, а). Правее вертикальной штриховой линии А— А кривые
начинают круто подниматься. Это свидетельствует о том, что в данной
зоне может произойти пробой транзистора. Поэтому в зоне правее пря­
мой А— А работать нельзя.
Расположенная в третьем квадранте кривая 0В иллюстрирует потерю
управляемости транзистора при изменении полярности ЭДС в выходной
цепи.
При протекании тока по транзистору он нагревается выделяющейся
в нем теплотой. Каждый транзистор в зависимости от размеров и усло­
вий охлаждения может отдавать в окружающее пространство определен-
§ 15.31. Биполярный транзистор в качестве усилит еля..
481
ное количество теплоты. Допустимое количество теплоты, выделяющейся
в транзисторе, характеризуется мощностью рассеяния р к = иж /к (дает­
ся в каталогах). На рис. 15.22, а пунктиром нанесена гипербола
/к = р к /и ж = f ( u 3K). Транзистор не перегревается в условиях длительно­
го режима в том случае, если рабочая точка находится внутри заштрихо­
ванной области (кратковременно можно работать и в области, находящей­
ся выше штриховой). На рис. 15.22, б качественно изображено семейство
входных характеристик транзистора /б = /(w 36) при параметре иж в схе­
ме с общим эмиттером (см. рис. 15.21, 6).
Важно обратить внимание на то, что любой ток транзистора (напри­
мер, /к или /б) является функцией не одной, а двух переменных. Так,
ток /к является функцией иэк и /э, ток /б — функцией иэб и иэк.
(В § 15.34 это положение будет учтено.)
В радиотехнике свойства транзистора иногда описывают еще так
называемой проходной характеристикой /к = / ( и эб) (рис. 15.22, б). Ее
используют, например, когда ток /к имеет форму косинусоидальных им­
пульсов с отсечкой (в резонансных усилителях мощности, умножителях
частоты и других устройствах). Формулы разложения тока /к на гармо­
ники в этом случае приведены в п. 16 вопросов гл. 7 (S — крутизна
характеристики).
§ 15.31. Биполярны й транзистор в качестве усилителя тока, напряж ения, мощ ­
ности. Транзистор может служить усилителем тока, когда приращение тока управляемой
цепи (той, где включен источник ЭДС Ен ) во много раз больше приращения тока управ­
ляющей цепи (той, где включен источник ЭДС Еу). Из трех схем на рис. 15.21 в каче­
стве усилителя тока могут быть использованы две: схема с общим эмиттером (см.
рис. 15.21,6) и схема с общим коллектором (см. рис. 15.21, в). В обеих схемах током
управления является ток базы /'g. Током управляемой цепи в схеме с общим эмиттером
является ток коллектора /к, а в схеме с общим коллектором — ток эмиттера /э.
Так как /к = а /э (см. § 15.29) и /э = /к + /g, то % = /э - /к = ( 1 - а ) /э.
При нахождении связи между малыми приращениями токов можно в первом прибли­
жении принять а = const. Тогда Д/к = а Д/э; Д/б = (1 - а ) Д/э.
1fi-4fi57
482
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Коэффициент усиления по току kt равен отношению приращения тока на выходе к
приращению тока на входе. Для схемы с общим эмиттером
t
Д,К
Д/б
а
1 -а ’
для схемы с общим коллектором
Так как коэффициент а = 0,95 + 0,99, то А, » 20 +100.
При работе транзистора в качестве усилителя напряжения важно, чтобы приращение
напряжения на нагрузке Дивых включенной в выходную цепь, было больше приращения
напряжения на входе управляющей цепи Дмвх.
Коэффициент усиления по напряжению ки = Дывых/Д и вх. При использовании тран­
зистора в качестве усилителя напряжения его включают по схеме с общей базой (см.
рис. 15.21, а) или по схеме с общим эмиттером (см. рис. 15.21, б).
Для схемы с общей базой ки составляет несколько сотен, для схемы с общим эмитте­
ром — несколько десятков или сотен.
Усиление по мощности достигается во всех схемах включения на рис. 15.21. Коэффи­
циент усиления по мощности кр равен отношению приращения мощности в нагрузке Д Рн
к приращению мощности на входе транзистора АРу .
Наибольшее усиление по мощности достигается в схеме с общим эмиттером. Для нее
кр может достигать значений 104 и более.
§ 15.32. С в язь между приращ ениям и входных и выходных величин биполярного
тр ан зи сто р а. Напряжение на входных щ и напряжение на выходных и2 зажимах яв­
ляются функциями входного /] и выходного /2 токов, т. е.
“і =и \ (<і.'2);
(15.42)
и2 = и 2 ( /|,/2).
(15.43)
Условимся исходные значения токов и напряжений обозначать большими буквами
(U, /), а приращения — малыми (Ды, Д/). Пусть токи получили малые приращения Д/, и
Д/2 и стали равными /, + Д/, и / 2 + Д /2. При этом напряжения также получили прира­
щения и стали равными Ux + Дм, и 1)2 + &и2. Следовательно,
(У| + Диі - U\ ((/| + Д/|), (/j + д<г));
(15.44)
и 2 + ДU2 ~ U2(U\ + Д/1 )» (^2
(15.45)
Д/2))-
Найдем связь между приращениями напряжений Ді^ и Ди2 и приращениями токов
Д/i и Д/2. С этой целью разложим правые части равенств (15.44) и (15.45) в ряд Тейло­
ра для функции от двух переменных по степеням приращений Д/j и Д/2 и воспользуем­
ся тем, что в силу малости приращений можно пренебречь слагаемыми, содержащими д/,
и Д/2 в степенях выше первой. В результате получим
U\ + Д w, —U j (/], / 2) + Д і] • R\ j + Д/2 /?j2i
U 2 +А и 2
=■U 2 (/j,/2) + A/j •R2j + Д/2 R 22,
где
Обратим внимание на то, что R2X ф R]2.
Значения Ru> /?12, R2b R22 могут быть найдены графически из характеристик транзи­
стора или опытным путем, поэтому в дальнейшем будем полагать их известными. Если из
§ 15.33. Схема замещения биполярного транзистора для малых приращений..
483
(15.44) вычесть (15.42), а из (15.45) — (15.43), то
Ащ = Лп Д/j + Rl2 k i 2\
(15.46)
Ди2 = ^21
(15.47)
+ ^22 Д^2*
Из (15.46) и (15.47) следует, что по отношению к малым приращениям транзистор
можно заменить эквивалентной линейной схемой замещения.
§ 15.33. Схема зам ещ ен ия би полярного транзистора для м алы х п ри р ащ ен и й .
Методика расчета схем с управляем ы м и источниками с учетом их частотны х свойств.
В схемы замещения для малых приращений часто вводят не сопротивле­
ния /?п , /?12, R2), # 2 2 » которые рассматривались ранее, а некоторые расчетные сопротив­
л ения— сопротивления базы Rq, коллектора RK, эмиттера R3 и некоторый управляемый
источник, ЭДС которого равна произведению тока управляемой цепи на расчетное сопро­
тивление Rm.
Значения Лб, Лк, Дэ и Rm определяют через Д ц,Л і 2 >Я21 и ^ 2 2 Рассмотрим схему замещения транзистора, когда общим электродом является база
(рис. 15.23, а). Входной ток в ней i\ = /э, выходной ток /2 = - / к (положительное направ­
ление для тока /2 принято противоположным положительному направлению тока /к на
рис. 15.21, д). Схема на рис. 15.23, б заменяет схему на рис. 15.23, а для малых прираще­
ний.
а Д/э
RmД/э
Д
О*—CD-
-О
Д/2
R*
Ды2
j Ди:
Л“21С1}
|Д/1+ Д/2
ПЛб
j
б
Рис. 15.23
По второму закону Кирхгофа составим уравнения для двух контуров схемы
(рис. 15.23, б):
Ди, =(Л э + Лб)Д/, + R6 Д/2;
&и2 “
=
Д*1 + (*« + ^б)
(15.48)
(15.49)
= «*» = Ф » . - Ф Я Д " 2 = " / х? = Ф / ) -Ф</-
где
— потенциал точки т\
— потенциал точки q и т. д.
Сопоставляя (15.48) и (14.49) с (15.46) и (15.47), определим
/?э + Лб = / ? п ;
Яб = Л 12І
Rm +
- ^21» + ^ б = Л22>
Последние уравнения дают возможность найти сопротивления Яб, Дэ,
и Rm по
известным сопротивлениям /?,,, R\2, R2\, Rn- Источник ЭДС Rm Д/э введен в схему за­
мещения (рис. 15.23, б) для того, чтобы учесть в расчете усилительное действие транзис­
тора; ЭДС этого источника пропорциональна входному току.
Таким образом, для расчета малых приращений входных и выходных токов в
нелинейной схеме (см. рис. 15.23, а), определения коэффициентов усиления и входных со­
противлений следует произвести расчет линейной схемы (см. рис. 15.23, б), подключив к
ее входным зажимам источник малой, обычно синусоидальной, ЭДС, а к выходным зажи­
мам — нагрузку RH. Источник ЭДС Rm Д/э в этой схеме является зависимым источни­
ком ЭДС.
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
484
В заключение остановимся еще на двух положениях.
1. В схемах замещения транзисторов вместо зависимого источника ЭДС и последова­
тельно с ним включенного резистора часто используют зависимый источник тока и шун­
тирующий его резистор. Так, в схеме на рис. 15.23, в вместо источника ЭДС Rm Д/э и резистора RK можно включить управляемый источник тока -~ ^ Д /Э = а Д/э и зашунтировать его резистором RK.
^к
2. При относительно высоких частотах и быстро протекающих процессах р — л-пере­
ходы проявляют свои емкостные свойства и имеет место инерционность основных носи­
телей зарядов. Емкостные свойства учитывают в расчете, шунтируя в схеме замещения кол­
лекторный р — я-переход некоторой емкостью Ск, а инерционность носителей заряда —
вводя зависимость коэффициента усиления а транзистора от комплексной частоты р
а - ----- Ї 5 ----- ^ где
— коэффициент усиления транзистора на постоянном токе;
\ +р 0 /ы 0
щ 1 - RKCK.
Емкость эм и ттерн от перехода обычно не учитывают, так как она шунтирует относи­
тельно малое по сравнению с RK сопротивление Лэ.
Для высокой частоты схема замещения транзистора, собранного по схеме с общей
базой, изображена на рис. 15.24, а с общим эмиттером — на рис. 15.24, 6. В зависимости
Рис. 15.24
от типа транзистора RK имеет значение от нескольких десятых МОм до нескольких МОм;
Лэ — несколько десятков Ом; R6 — несколько десятков или сотен Ом; Ск — от несколь­
ких единиц до нескольких десятков или сотен пФ.
Рассмотрим методику расчета схем с управляемыми источниками
для малых переменных составляющих на примере схемы (рис. 15.24, б).
Штриховой линией на ней показаны генератор сигнала (ЭДС £ г, внут­
реннее сопротивление Rr) и нагрузка Ru. Для синусоидального процесса
р = j со, поэтому а =
а0
со
Воспользуемся методом узловых потен-
і+j
СОп
циалов. Незаземленных узлов — два (3 и 2). Поэтому
^33 Фз + *32 Ф2 = Л з і
(15.50)
+ * 2 2 Ф2
(15.51)
*23 Фз
1
>зз=-
Rr + R5
1
1
+ Т~ + T~ +j
R, Rk
*32= *23=
■+
Я.
7
со С к
§ 15.34. Графический расчет схем на транзисторах
485
1
1
• /Ч
*22 ~ 1 Г + 1 Г + J “ к’
н
к
£г
Фз
Л з - — -- ------ОСА/' = — С— . + а ХА/?г
+
/?б
/?э
3 *6 +*r
jJ 22 -~ - аа —п '
Фз
Слагаемые а Фз
1--, содержащиеся в У33, и - а —
, содержащиеся в
R3
R3
j 22, перенесем в левые части уравнения (15.50) и (15.51) и заменим а
«о
на
(О
1+ 7
-
со0
Получим
KRr +R6
^к+ —1 + —1 + у• со С
R3
RK
+ j (0 C K
otn
сх0
R3 (1 +
RK
co/ coq)
\\
1 + j CO/ CO,0 / /
— + j
y
4>3-
г
Ф2 =
со CK---------- —-------Rj ( l + j со/co0) Фз+( і _ + г
(15.52)
Лб + ЛГ
+ -/' (йСкі ф2 =0 - (15,53)
Решив совместно (15.52) и (15.53), определим ф3 и ф2, а по ним все
токи и напряжения.
§ 15.34. Графический расчет схем на транзисторах. Схемы на тран­
зисторах при относительно низких частотах на практике иногда рассчи­
тывают не с помощью рассмотренных схем замещения, при использова­
нии которых необходимо знать Яэ, Яб, RK и Rm, а путем непосред­
ственного применения семейства характеристик транзистора. Этот спо­
соб расчета показан на примере 153.
П рим ер 153. Определить коэффициенты усиления по току, напряжению и мощности
схемы (рис. 15.25, а), предназначенной для усиления слабых синусоидальных колебаний.
Входные характеристики использованного в схеме транзистора изображены на
рис. 15.25, б, выходные — на рис. 15.25, в. Параметром на рис. 15.25, в является ток / б.
Сопротивление нагрузки RH = 500 Ом. ЭДС смещения в выходной цепи Ек0 = 10 В. ЭДС
смещения в цепи управления £ у0 = 0,25 В.
Р е ш е н и е. На рис. 15.25, в проводим прямую, представляющую собой ВАХ нагрузки
Дн =500 0м . Эта прямая пройдет через точку /к =0, нэк = £ к0 = ЮВ и через точку
/к = £ кО/Л „ = 2 0 м А , их =0.
Семейство входных характеристик транзистора П14, как это видно из рис. 15.25, б,
обладает той особенностью, что в интервале значений иж = 0,2-5-10 В зависимость тока
базы /б от напряжения между эмиттером и базой изображается одной и той же кривой.
Найдем значение тока /§ = h o в режиме, когда на входе действует только ЭДС
-у0
Из рис. 15.25, б следует, что при иэб = 0,25 В ток /б = ho ~ 250 мкА (точка п). Далее
найдем ток /к = / к0 и напряжение иж = (Уэк0 в этом режиме.
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
486
Рис. 15.25
На семействе кривых рис. 15.25, в режим работы при Еу = Еу0 определяется точ­
кой
полученной в результате пересечения ВАХ нагрузки с той кривой семейства
/к = / ( и эк), для которой параметром является /б = 250 мкА.
В точке п /к = / к0 = 13,1 мА, мэк = 1/эк0 = 3,5 В. Линеаризуем входную характеристику
в рабочей точке. С этой целью проведем в окрестности точки п (см. рис. 15.25, б) прямую
так, чтобы она на возможно большем участке совпала с касательной к кривой /g = /(Ыэб)
в точке п. Крайними точками проведенной прямой будем считать точки р и т. В точке р
ток % = 350 мкА и мэб = 0,23 В. В точке т ток % = 150 мкА и и ^ = 0,23 В. Этим точкам
соответствуют одноименные точки р и т на рис. 15.25, в.
В точке р (см. рис. 15.25, в) /к = 18,6 мА, в точке т /к =8,5 мА. Таким образом, при
подаче на вход схемы синусоидального напряжения амплитудой Цэбт =0,02 В в цепи
управления появится синусоидальная составляющая тока, имеющая амплитуду
hm ~ Іут ~ 100 мкА, а в выходной цепи кроме постоянного тока / к0 возникает синусои­
дальный ток амплитудой / ш = 5,0 мА**. При этом на выходных зажимах транзистора дей­
ствует синусоидальная составляющая напряжения, имеющая амплитуду и экт =2,45 В.
Тогда коэффициент усиления по току
£ _ А/'вых _ ^к/я _ 5,0 мА
'
Д'«х
_
Jym 100 мкА
Коэффициент усиления по напряжению
k
•
_ Ацвых _ _ 500 • 5,0 • 10~3
" Д«вх " и ут 0,02
_ п
Коэффициент усиления по мощности
- АР,ЫХ
k
Р
&рвх
K i l n
500 (5,0 10 -3)2
б:5?
0,02 100 1О*6
^ Берем первую гармонику переменной составляющей коллекторного тока.
§ 15.35. Принцип работы полевого транзистора
487
Входное сопротивление транзистора между зажимами эмиттер— база для синусоидаль­
ной составляющей
RBX э6 =
= .° ’02 В = 200 Ом.
вхэб
1ут
100 мкА
Выходное сопротивление между зажимами эмиттер— коллектор для синусоидальной
составляющей
д вых ЭК = ^ 2В2- =
= 490 Ом.
выхэк
1т
5,0 мА
В тепловом отношении транзистор работает в ненапряженных условиях, так как мощ­
ность, выделяемая в нем в режиме, соответствующем точке п (см. рис. 15.25, б),
£/Эк0 А<о = 3,5 В • 13,1 мА = 45,8 мВт,
что значительно меньше допустимой для данного транзистора мощности рассеяния
150 мВт.
§ 15.35. Принцип работы полевого транзистора. Полевыми назы­
вают транзисторы, управляемые электрическим полем. Их работа обус­
ловлена в основном носителями одной полярности, поэтому их называ­
ют иногда униполярными.
Принцип действия полевого транзистора поясняет рис. 15.26, а.
В полупроводнике «-типа создается небольшая / 7-область. У «-области
имеется два электрода: исток И и сток С. Электрод / 7-области называют
затвором 3. С помощью электрода 3 создается электрическое поле в
w-области, примыкающей к / 7-области. Это поле влияет на распределе­
ние в ней основных носителей (электронов).
39
Обедненная Ширина
область
канала
f
И b 6с
И b *>С
Изиі
/Г
Ызи
|«си
Изи
Иси
г
Рис. 15.26
Если потенциал затвора 3 станет меньше потенциалов истока и сто­
ка С, то упомянутая часть «-области (границы ее показаны точками) ока­
жется обедненной электронами. Вследствие этого ширина канала, по
которому могут проходить основные носители от электрода истока к элек­
троду стока, уменьшится.
Если потенциал стока С будет выше потенциала истока И (ит > 0),
то током от истока к стоку можно управлять, изменяя напряжение меж­
ду истоком и затвором иш. При некотором мзи = ишх проводимость кана­
ла стремится к нулю и ток /с = 0 .
В полевом транзисторе / 7-типа «- и / 7-области меняются местами по
сравнению с транзистором «-типа. Условные обозначения полевого тран­
зистора «-типа показаны на рис. 15.26, б, а / 7-типа — на рис. 15.26, в.
488
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
§ 15.36. ВАХ полевого транзистора и схемы его вклю чения. Вход­
ные (стокозатворные) ВАХ /с = Д нзи) при некоторой фиксированной тем­
пературе показаны на рис. 15.26, г. Параметром является напряжение
между стоком и истоком мси. При некотором напряжении нзи = нЗИ1 про­
водящий канал перекрывается и ток /с = 0 .
Семейство выходных (стоковых) характеристик /с = ./(мси) ПРИ па“
раметре ызи изображено на рис. 15.26, д.
На обоих рисунках в направлении стрелки параметр возрастает.
Три основных способа включения полевых транзисторов /7-типа изоб­
ражены на рис. 15.27. На рис, 15.27, а показана схема с общим истоком,
на рис. 15.27, б — с общим затвором, на рис. 15.27, в — с общим сто-
Рис. 15.27
ком. Полярности источников для транзисторов / 7-типа следует изменить
на противоположные по сравнению с указанными.
Полевые транзисторы имеют очень большое (теоретически бесконечно
большое) входное сопротивление (во много раз больше, чем у биполяр­
ных), и потому схема их замещения (рис. 15.27, г) при относительно ма­
лых переменных составляющих для области относительно низких час­
тот напоминает схему замещения электронной лампы (см. рис. 15.31). На
ней изображен источник тока S мзи, где S = А /с / А иЗИ — крутизна
характеристики; ызи — малая переменная составляющая входного напря­
жения; g, = А /с / А иЗИ — внутренняя проводимость. При высоких час­
тотах на схеме рис. І 5.27, г надо учесть частичные емкости между
электродами 3 и С и И и С.
Достоинством полевых транзисторов является также большое усиле­
ние по току и мощности.
§ 15.37. Основные сведения о трехэлектродной лампе. Трехэлект­
родная лампа (триод) имеет три электрода: катод, анод и сетку. Эти элек­
троды находятся в вакуумированном стеклянном или металлическом
баллоне.
Катод, подогреваемый нитью накала от вспомогательной батареи
(обычно не показываемой на схемах), испускает электроны вследствие
явления термоэлектронной эмиссии. Поток электронов направляется ко
второму (холодному) электроду — аноду — только в том случае, если
потенциал анода выше потенциала катода. Если же потенциал анода сде­
лать ниже потенциала катода, то потока электронов от катода к аноду не
§ 15.38. ВАХ трехэлектродной лампы для мгновенных значений
489
будет (в этом случае анод не притягивает электроны, а отталкивает их).
В результате этого электронная лампа обладает несимметричной ВАХ.
Третий электрод — сетка — расположен ближе к катоду, чем анод.
Поэтому электрическое поле, создаваемое между сеткой и катодом, даже
при малых напряжениях между ними оказывает сильное влияние на по­
ток электронов с катода на анод. Сетка является управляющим электро­
дом. Путем изменения потенциала сетки можно управлять анодным то­
ком лампы. Как и транзистор, электронная лампа может быть включена
в схему тремя основными способами: с общим катодом, с общей сеткой
и с общим анодом (в зависимости от того, какой
из электродов является общим для анодной и се­
точной цепей).
На рис. 15.28 изображена наиболее часто ис­
пользуемая схема — схема с общим катодом. Как
и транзистор, электронная лампа может служить
в качестве усилителя тока, напряжения и мощ­
ности. Возможность выполнения лампой всех
этих функций основывается на том, что измене­
ние разности потенциалов между сеткой и катодом оказывает более силь­
ное влияние на поток электронов с катода на анод, чем изменение (на то
же значение) разности потенциалов между анодом и катодом.
§ 15.38. ВАХ трехэлектродной лампы для мгновенных значений.
Цепь, образованную анодом и катодом трехэлектродной лампы, источни­
ком ЭДС £ а и нагрузкой Ян, называют анодной цепью. Цепь, образо­
ванную сеткой и катодом электронной лампы и источником ЭДС £ с, на­
зывают сеточной цепью.
Напряжение между анодом и катодом ма называют анодным напря­
жением, между сеткой и катодом ис — сеточным напряжением.
Ток в анодной цепи /а и ток в сеточной цепи /с нелинейно зависят
от анодного иЛ и сеточного ис напряжений.
Под анодными характеристиками трехэлектродной лампы понима­
ют зависимость анодного тока /а от анодного напряжения иа при сеточ­
ном напряжении мс, взятом в качестве параметра.
На рис. 15.29, а изображено семейство анодных характеристик лам­
пы. Стрелка на рис. 15.29, a-в указывает направление, в котором возра­
стает параметр.
а
б
Рис. 15.29
в
490
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Если семейство анодных характеристик рассечь прямыми wa = const,
то можно получить семейство кривых /а = f ( u c) при параметре ма. Та­
кие кривые называются сеточными (анодно-сеточными) характеристи­
ками трехэлектродной лампы (рис. 15.29, б). Для них характерно, что ток
/а * 0 при ис = 0 ; кроме того, имеется область насыщения, в которой
ток /а почти не увеличивается с ростом ис.
Семейство кривых /с = / ( « с) при различных значениях анодного на­
пряжения и положительных значениях ис для одного из типов ламп изоб­
ражено на рис. 15.29, в.
В общем случае при работе лампы одновременно меняются ия и ис
и изображающая точка на семействах анодных и сеточных характерис­
тик перемещается с одних кривых на другие. В частном случае работы,
когда ма остается неизменным или почти неизменным, /а = f ( u c) изоб­
ражается одной кривой семейства кривых (см. рис. 15.29, б).
Если электронная лампа работает при отрицательных или сравнитель­
но малых положительных напряжениях на сетке, то сеточный ток имеет
малое значение и его в расчете, как правило, не учитывают.
Следует отметить своеобразие сеточной характеристики по сравнению
с обычными ВАХ: сеточная характеристика дает связь не между током
через нелинейный элемент и напряжением на нем, что характерно для
обычных ВАХ, а между мгновенным значением тока через нелинейный
элемент и мгновенным значением управляющего напряжения на нем.
§ 15.39. Аналитическое выражение сеточной характеристики электронной лам­
пы. Связь между малыми приращениями входных и выходных величин электрон­
ной лампы. Сеточная характеристика при ыа = const может быть приближенно представ­
лена отрезками прямых (рис. 15.30). Часть сеточных характеристик, например характери­
стика, выделенная жирной линией на рис. 15.29, б, может быть описана полиномом тре­
тьей степени:
'а =іл0+ а и с - Ь и І ,
где /а0 — значение тока /а при wc =0; а (А ZT1) и
Ь{А • В~3) — числовые коэффициенты.
Для определения коэффициентов а и Ъ следует выбрать
на характеристике две точки с координатами (/аі,м с1) и
(Uh ud ) и решить систему двух уравнений с двумя неизве­
стными:
'a l = ' a 0 + a “ cl
'•2 = ' а 0 +
~ btllu
а “ с 2 - * ы с2-
Характеристика по типу пунктирной кривой на рис. 15.28, б может быть приближен­
но описана полиномом пятой степени:
'a
= U o + Р ис + Я и
1~ г и 1’
где р, г и q — числовые коэффициенты.
Как упоминалось, анодный ток /а является функцией не только анодного, но и сеточ­
ного напряжения: /а = / а (ма,мс). Если по отношению к некоторому исходному состоянию
((7а ,(Ус) сеточное напряжение получит небольшое приращение Дмс, то оно вызовет при­
ращение анодного напряжения Дма и анодного тока Д/а.
Проделав выкладки, аналогичные выкладкам § 15.32, получим
Д/а = gi Диа + 5 Дис,
(15.54)
§ 15.40. Схема замещения электронной лампы для малых приращений
где gi = I — —I
491
— внутренняя проводимость лампы (проводимость между анодом и
^ ди*'и..ис
катодом).
Величину, обратную g,, называют внутренним сопротивлением лампы (сопротивле­
ние между анодом и катодом):
_1_
(15.55)
Si
Крутизна характеристики лампы S имеет размерность проводимости:
5 = д1Л
(15.56)
дис ' и я,и.
Проводимость gi и крутизна характеристики S зависят от вида характеристик лампы
и исходных напряжений (/а и Uc. Отношение S к g , называют коэффициентом усиле­
ния лампы:
(1 5 .5 7 )
4 = S / g i-
Коэффициент ц показывает, во сколько раз приращение напряжения между сеткой и
катодом Дис оказывается более эффективным, чем приращение напряжения между ано­
дом и катодом Аий в отношении получения одинакового приращения анодного тока Д/а.
С учетом сказанного имеем
Диа = /?, Д/а - ц Дис.
(15.58)
§ 15.40. Схема замещ ения электронной л ам п ы для малы х приращ ений. На схеме
(рис. 15.31, а) через UH, £/а, (Jc, / а обозначены постоянные составляющие напряже­
ний и тока, соответствующие исходному состоянию схемы. Положительные направления
для приращений Дмс, Диа, Д/а те же, что и для исходных напряжений и токов.
/а + Д/а
Д/а
J
*\х Аис
*
fj _ Ц Д"с
= S Аис
Рис. 15.31
Запишем уравнение для приращений напряжений в анодной цепи, вызванных прира­
щением напряжения Аис на сетке лампы. С этой целью составим два уравнения по вто­
рому закону Кирхгофа для анодной цепи. Одно из них — для режима до получения при­
ращений:
и ,+ и и = Е;
другое — для режима после получения приращений:
и л +Аий +UH +AUH =Е.
Если в последнем уравнении и л + UH заменить на £, то окажется, что
Д ма + Д wH = 0,
где А ин — приращение напряжения на нагрузке RH,
(15.59)
492
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
В уравнение (15.59) вместо Дмн подставим RH Д/а и вместо Дма в соответствии с
уравнением (15.58) /?, Д/а - ц Дмс. В результате получим
(Лн + /^ )Д /а = 1хДис.
(15.60)
Уравнению (15.60) отвечает схема на рис. 15.31, б. В этой схеме к управляемому ис­
точнику ЭДС ц Дмс присоединены нагрузка RH и внутреннее сопротивление электрон­
ной лампы
Таким образом, для малых приращений анодную цепь электронной лампы
замещают (имитируют) источником ЭДС ц Дис и последовательно с ним включенным ре­
зистором сопротивлением
ЭДС этого источника пропорциональна изменению напря­
жения на сетке лампы (т. е. это зависимый источник ЭДС; ср. с § 15.35).
На рис. 15.31, в изображена другая часто используемая схема замещения. В ней вмес­
то источника ЭДС включены управляемый источник тока s Дис и шунтирующий его ре­
зистор Rj (напомним, что переход от источника ЭДС к источнику тока рассмотрен в § 2.2).
В схемах на рис. 15.31, б, в не учтены межэлектродные емкости, поэтому такие схемы
применимы для относительно низких частот. Схема замещения для высоких частот изоб­
ражена на рис. 9.3, б.
П ри м ер 154. Между сеткой и катодом триода 6С2С приложено напряжение
Uc + Дмс - U c + 0 ^ sin со/ = -2 + 0,05 sin со/ (рис. 15.31, а). Зависимость fa = /( w a ) при
параметре ис изображена на рис. 15.32, где £Га = 150 В; RH~ 15 кОм. Найти параметры
схемы замещения триода и определить с помощью этой схемы амплитуду синусоидаль­
ной составляющей тока в анодной цепи.
Р е ш е н и е. Определим положе­
ние рабочей точки на характеристиках
лампы по постоянному току. На
рис. 15.32 наносим прямую, характе­
ризующую нагрузочное сопротивле­
ние анодной цепи. Ее часто называют
нагрузочной прямой. Прямая прохо­
дит через точки /а = 0, ма - 150 В и
/а - Ег ! RH~ 10 мА; ма = 0.
Рабочей точкой в рассмотренном
режиме будет точка пересечения пря­
мой с той кривой семейства, для ко­
торой параметр Uc - -2 В. Координа­
ты
этой
точки:ма = 9 4 В ;
/а = 3,67 мА.
По определению (см. форму­
180
0 20
60
100
140
Ыа, в
лу (15.4)), для нахождения gi следу­
Рис. 15.32
ет, считая за исходное положение най­
денную рабочую точку, при неизмен-2 В дать приращение анодному напряжению Дма, найти соответствующее ему
ном U,
приращение анодного тока Д/а и разделить Д/а на Дма :
4
.
д/а ^ Мг 5 мА
g, = — ~= — — = Ю См;
/? ,= д и я Дм
1
• = 10 Ом.
8,
Проводимость gj пропорциональна тангенсу угла наклона касательной в рабочей точке
к кривой /а = / ( м а ), для которой Uc = -2 В.
Для определения крутизны характеристики S при ма = 94 В даем приращение сеточ­
ному напряжению Дмс = - 1 - ( - 2 ) = 1 В и из рисунка находим соответствующее ему при­
ращение Д/а = 4,67 -3 ,6 7 = 1 мА. Следовательно, S’ = д/а / д и с « Д/а /Дмс = 10“3 А /В .
Коэффициент усиления ji = S / g j =10. Амплитуда синусоидальной составляющей тока в
анодной цепи, согласно (15.60),
- = 2 • 1(Г5 А.
R» + R,
Анодный ток /а = 3,67 + 0,02 sin со / мА.
§ 15.41. Тиристор — управляемый полупроводниковый диод
493
§ 15.41. Тиристор — управляем ы й полупроводниковый диод. На
рис. 15.33, а изображена простейшая схема включения тиристора.
Тиристор — это четырехслойный полупроводниковый прибор с тремя
Управляющий электрод
I
,■,..' l U .
Щ
Щаж
Щ
Рис. 15.33
р— «-переходами (1,2, 3). Напряжения на них обозначены ии ы2, м3, ВАХ
р— «-переходов 1 и 3 изображены на рис. 15.32, б, ВАХ перехода 2 —
на рис. 15.33, в (включен встречно р —/7-переходам 1 и 3). При и2 = мзаж
в переходе 2 происходит лавинная ионизация (штриховая линия на
рис. 15.33, в). Суммарная ВАХ трех переходов і = /(и ), т. е. ВАХ всего
тиристора, изображена на рис. 15.33, г. Она получена сложением абсцисс
(рис. 15.33, в) и двух абсцисс (рис. 15.33, б). Участок / — 2 на ней соот­
ветствует участку лавинной ионизации второго р—«-перехода.
Если при замкнутом ключе К (см. рис. 15.33, а) ЭДС Е станет
немного больше изаж, тиристор зажжется, т. е. перейдет в открытое
состояние. Ток в цепи станет равным току ір на рис. 15.33, д. Прямую 1
(рис. 15.33, д) называют нагрузочной. Для погашения тиристора необхо­
димо, чтобы ток через него уменьшился до / < / 2 (рис. 15.33, г). До сих
пор рассматривалась работа тиристора при отсутствии управляющего
сигнала (так работает динистор). При воздействии управляющего сигна­
ла (импульса тока или напряжения) на управляющий электрод (располо­
женный вблизи р — «-перехода 2 на рис. 15.33, а) от вспомогательной
цепи, не показанной на рис. 15.33, а, происходит лавинная ионизация р—
«-перехода 2. Подавая импульсы управления, можно снижать напряже­
ние зажигания (т. е. зажигать прибор при более низком мзаж).
Штриховой линией на рис. 15.33, д показано положение нагрузочной
прямой 2 в управляемом тиристоре. Переход от закрытого состояния к
открытому происходит за доли микросекунды. Тиристоры выполняют на
токи от долей миллиампер до нескольких килоампер. На рис. 15.33, е, ж
494
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
показано условное изображение тиристора на схемах: рис. 15.33, е соот­
ветствует управлению тиристором со стороны анода, рис. 15.33, ж — со
стороны катода.
§ 15.42. О бщ ая характеристика методов анализа и расчета нели­
нейных электрических цепей переменного тока. Анализ нелинейных
явлений и получение числовых соотношений в нелинейных цепях пере­
менного тока являются более сложным и трудоемким, чем анализ и рас­
чет линейных электрических цепей.
Как правило, в нелинейных электрических цепях содержатся либо
нелинейные индуктивности, либо нелинейные конденсаторы, либо
безынерционные в тепловом отношении нелинейные резисторы. Токи и
напряжения в таких цепях в той или иной степени несинусоидальны.
Токи и напряжения в большей степени синусоидальны в цепях,
содержащих только инерционные в тепловом отношении нелинейные ре­
зисторы.
Все методы анализа нелинейных цепей можно разделить на две боль­
шие группы: аналитическую и графическую. Аналитические методы в
отличие от графических дают возможность проводить анализ в общем
виде, а не только для частных значений параметров.
Недостатком аналитических методов является то, что приходится
выражать аналитически характеристики нелинейных элементов, а это
всегда связано с некоторой погрешностью. Расчет сколько-нибудь слож­
ных нелинейных электрических цепей переменного тока можно провес­
ти лишь с известной степенью приближения.
Наиболее широко распространены следующие методы анализа и рас­
чета нелинейных цепей переменного тока:
1) графический при использовании характеристик нелинейных элемен­
тов для мгновенных значений;
2 ) аналитический при использовании характеристик нелинейных эле­
ментов для мгновенных значений при их кусочно-линейной аппроксима­
ции;
3) аналитический или графический при использовании ВАХ по пер­
вым гармоникам;
4) аналитический или графический при использовании ВАХ по дей­
ствующим значениям несинусоидальных величин;
5 ) аналитический путем расчета по первой и одной или нескольким
высшим или низшим гармоникам;
6 ) с помощью линейных схем замещения;
7) малого параметра;
8 ) интегральных уравнений;
9) моделирования.
В дальнейшем кратко охарактеризован каждый метод. Тот или иной
метод целесообразно применять в зависимости от числа нелинейных
элементов, формы их характеристик, а также от того, какое нелинейное
явление в цепи исследуется. Чем сложнее характер нелинейного явления,
тем более сложным и громоздким оказывается метод его анализа. И на­
§ 15.44. Аналитический метод расчета..
495
оборот, анализ грубых нелинейных явлений выполняется простыми сред­
ствами.
§ 15.43. Графический метод расчета при использовании характе­
ристик нелинейных элементов для мгновенных значений. Этот ме­
тод применим, как правило, к цепям, в которых известен закон измене­
ния во время какой-либо одной определяющей работу нелинейного эле­
мента величины, например тока, напряжения, заряда.
Последовательность расчета данным методом такова:
1) исходя из физических предпосылок, положенных в основу анали­
за, считают известным закон изменения во времени одной из определя­
ющих работу нелинейного элемента величины;
2 ) используя характеристики (характеристику) нелинейного элемента
для мгновенных значений, путем графических построений находят закон
изменения во времени второй величины, определяющей работу нелиней­
ного элемента;
3) по результатам п. 2 путем вспомогательных графических построе­
ний и простейших расчетов определяют выходную величину и искомое
соотношение между параметрами схемы.
Достоинствами метода являются простота и наглядность, а также лег­
кость учета гистерезисных явлений. Примеры см. в § 15.8 и 15.24.
§ 15.44. А налитический метод расчета при использовании харак­
теристик нелинейных элементов для мгновенных значений при их
кусочно-линейной аппроксимации. Основой метода является сведение
задачи о нахождении периодического решения нелинейных уравнений к
определению периодического решения системы линейных уравнений.
Основные этапы метода следующие:
1) замена вольт-амперной (вебер-амперной, кулон-вольтной) характе­
ристики нелинейного элемента для мгновенных значений отрезками пря­
мых линий;
2 ) подстановка в нелинейные дифференциальные уравнения уравне­
ний прямых п. 1 (этим нелинейные дифференциальные уравнения будут
сведены к линейным). Каждому нелинейному уравнению будет соответ­
ствовать столько линейных уравнений, сколько отрезков прямых заменя­
ют характеристику нелинейного элемента;
3) решение системы линейных дифференциальных уравнений. Каж­
дому линейному участку характеристики нелинейного элемента будет
соответствовать свое решение со своими постоянными интегрирования;
4) определение постоянных интегрирования исходя из согласования
решения на одном линейном участке с решением на другом линейном
участке.
Наиболее эффективен этот метод, когда характеристику нелинейного
элемента с известной степенью приближения можно заменить отрезка­
ми прямых, расположенных таким образом, что когда одна величина,
определяющая режим работы нелинейного элемента, например ток, ме­
няется, то другая, например потокосцепление, неизменна.
496
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Еще более эффективен метод, если отрезки прямых, заменяющие ВАХ
нелинейного элемента, могут быть взяты совпадающими с осями коор­
динат. Пример решения задачи для этого случая см. в § 15.51-15.53.
§ 15.45. А налитический (графический) метод расчета по первым
гармоникам токов и напряжений. В этом методе по сложному закону
изменяющиеся токи и напряжения на нелинейном элементе заменяют их
первыми гармониками. В расчете используют ВАХ по первым гармони­
кам в аналитической форме или в виде графической зависимости.
Основные этапы расчета в аналитическом варианте:
1) выражают аналитически ВАХ нелинейного элемента для мгновен­
ных значений;
2 ) путем подстановки в нее первой гармоники напряжения или тока
получают формулу, которая дает нелинейную связь между амплитудой
первой гармоники тока через нелинейный элемент и амплитудой первой
гармоники напряжения на нем (в качестве примера такой связи можно
назвать формулу (15.19));
3) в уравнение, составленное для исследуемой цепи по второму зако­
ну Кирхгофа, подставляют вместо мгновенных значений тока и напря­
жения на нелинейном элементе мгновенные значения их первых гармо­
ник, а высшими гармониками пренебрегают;
4) уравнение разбивают на два уравнения: одно из них выражает со­
бой равенство коэффициентов при синусных слагаемых левой и правой
частей уравнения, другое — равенство коэффициентов при косинусных
слагаемых обеих частей уравнения;
5) совместно решают эти два уравнения.
Основные этапы расчета в графическом варианте:
1) в качестве зависимости между амплитудой первой гармоники на­
пряжения на нелинейном элементе и амплитудой первой гармоники тока
через него берется нелинейная зависимость в виде графика. Эта зависи­
мость может быть получена любым путем, в том числе и опытным;
2 ) произвольно задаются амплитудой 1Хт первой гармоники тока
через нелинейный элемент, из графика находят соответствующую ей
амплитуду первой гармоники напряжения на нем и затем путем по­
строения векторной диаграммы по первой гармонике для всей схемы
определяют амплитуду UXm первой гармоники напряжения на входе
схемы. Векторная диаграмма строится так же, как и для обычных
линейных цепей синусоидального тока, а именно: если не учитывать
потери в сердечнике, то первая гармоника напряжения на нелинейной
индуктивной катушке опережает первую гармонику протекающего через
нее тока на 90°, первая гармоника напряжения на нелинейном кон­
денсаторе отстает от протекающего через него тока на 90°, первые
гармоники напряжения и тока на нелинейном резисторе по фазе совпа­
дают;
3 ) построением нескольких векторных диаграмм для различных зна­
чений 1Хт находят соответствующие им Ulm и строят ВАХ всей схемы
§ 15.46. Анализ нелинейных цепей переменного тока..
497
Данный метод позволяет рассматривать такие нелинейные явления,
как преобразование постоянного тока в переменный и обратное преоб­
разование, явление резонанса на основной гармонике, триггерный эффект
на первой гармонике, некоторые типы автомодуляционных процессов. Но
он не позволяет исследовать более сложные явления, как, например, ре­
зонанс на высших, низших или дробных гармониках и др.
Если пользоваться аналитическим вариантом этого метода, то реше­
ние можно получить в общем виде, что существенно, так как становится
возможным исследовать решение при изменении любого из параметров
цепи. Этот метод будет применен для анализа работы автогенератора
(см. § 15.56) и для анализа работы разветвленной цепи с нелинейной
индуктивной катушкой (см. пример 159).
§ 15.46. А нализ нелинейных цепей переменного тока с использо­
ванием ВАХ для действующих значений. В этом случае графический
расчет проводят с помощью ВАХ нелинейных элементов для действую­
щих значений, полученных расчетным или опытным путем.
При этом полагают, что в действительности несинусоидально изме­
няющиеся токи и напряжения могут быть заменены эквивалентными им
синусоидальными величинами (эквивалентность в смысле действующе­
го значения).
Все этапы расчета рассматриваемым методом полностью совпадают
с перечисленными в § 15.45 этапами графического расчета методом пер­
вой гармоники. Отличие между методами состоит только в том, что в
данном случае используется ВАХ не для первых гармоник, а для действу­
ющих значений.
Метод применен в дальнейшем для исследования простейших явле­
ний в феррорезонансных цепях (см. § 15.57-15.62).
Если исследуют нерезонансные электрические цепи или резонансные,
но для которых по тем или иным соображениям заранее известно, что в
изучаемых режимах работы в них не могут возникать резонансные явле­
ния на высших и низших гармониках, то амплитуда первой гармоники
тока, как правило, оказывается больше амплитуд высших гармоник тока.
При этом действующее значение тока в цепи сравнительно мало отлича­
ется от действующего значения первой гармоники тока.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий пример: пусть ток в
цепи содержит первую и третью гармоники и действующее значение тре­
тьей гармоники тока составляет 40 % действующего значения первой
гармоники ( / 3 =0,4 1Х). Действующее значение несинусоидального тока
будет д/ / 2 + / 32 = 1,075 /j, т* е* всего на 7,5 % больше действующего зна­
чения первой гармоники /j.
Метод позволяет изучать некоторые свойства нерезонансных электри­
ческих цепей, как, например, эффект усиления мощности. Для исследо­
вания свойств резонансных нелинейных цепей метод пригоден в ограни­
ченной степени. Так, им можно приближенно исследовать простейший
триггерный эффект (см. § 15.59), но нельзя, например, исследовать ре­
зонансные явления на высших гармониках.
498
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Рассмотрим, как можно получить аналитическое выражение ВАХ не­
линейного элемента по действующим значениям величин с учетом выс­
ших гармоник при описании характеристики для мгновенных значений
функцией у - a sh Р х и когда под д: ==л:т sin со / будем понимать напря­
жение на нелинейном элементе, а под>> — ток через него. Действующее
значение х равно хт / ^ 2 , а действующее значение функции у по опре­
делению подсчитаем по формуле
ch 2 В х —1
Учтем, что sh 2 Р* = ------------- , что ch(2 Р хт sin со /) определен формулой (15.10), если аргумент бесселевых функций в ней удвоить. При­
мем во внимание также, что интеграл от всех косинусоидальных функ­
ций в ней за период первой гармонии равен нулю. Получим формулу
(15.61)
Если опытным путем снять ВАХ нелинейного элемента по действую­
щим значениям и учесть, что аналитически она описана формулой
(15.61), то по двум точкам ее (пусть координаты их х х = хт1 Ы 2 и у д{ и
Х2 = хт2/ V2 и y a2 ) можно определить коэффициенты а И Р в формуле
аналитического описания характеристики НЭ у = a sh Р х для мгновен­
ных значений. Действительно, коэффициент р может быть определен из
трансцендентного уравнения
а коэффициент
л /л (у Р 2 дст2) -1
§ 15.47. А н ал и ти ч ески й метод расчета цепей по первой и одной или нескольки м
вы сш им гарм они кам . Основные этапы расчета следующие:
1) составляют систему дифференциальных уравнений цепи;
2) аналитически выражают характеристики нелинейных элементов и полученные вы­
ражения подставляют в дифференциальные уравнения цепи.
Искомую величину выражают в виде ряда, состоящего из первой и одной или несколь­
ких высших или низших гармоник, например в виде
X - Х\т sineо/ + дг3т sin(3со/ + \j/3).
Предполагаемое решение подставляют в уравнение системы. В результате этой под­
становки оказывается возможным разбить уравнения системы на несколько трансцендент­
ных алгебраических уравнений, составленных относительно амплитуды первой гармони­
ки, амплитуд высших (соответственно низших) гармоник и их фаз.
Число трансцендентных уравнений в общем случае в два раза больше числа учитыва­
емых гармоник, поскольку для каждой из гармоник уравнение разбивается на два уравне­
ния с синусной и косинусной составляющими.
Далее совместно решают систему трансцендентных уравнений. Трудность состоит в
том, что каждое из трансцендентных уравнений обычно содержит все неизвестные. По­
этому при решении часто используют метод последовательных приближений.
§ 15.49. Расчет цепей, содержащих индуктивные катушки..
499
Расчет этим методом, как правило, громоздок. Однако метод позволяет исследовать
такие сложные явления в нелинейных цепях, как резонанс на высших, низших и дробных
гармониках. Метод рассмотрен в § П9.4.
Рассматриваемый метод в литературе называют также методом гармонического ба­
ланса. Частным случаем его является метод первой гармоники (см. § 15.47).
§ 15.48. Р асчет цепей с помощ ью линейны х схем замещ ения. Этот метод приме­
ним к расчету нелинейных электрических цепей, на которые воздействуют постоянные и
синусоидально изменяющиеся ЭДС, если переменные составляющие токов и напряжений
относительно малы, например во много раз меньше соответственно постоянных состав­
ляющих токов и напряжений.
Последовательность расчета такова:
1) определяют положение рабочей точки на характеристике нелинейного элемента по
постоянному току. В окрестности этой точки будет перемещаться изображающая точка под
воздействием малой переменной ЭДС;
2) через рабочую точку по постоянному току проводят касательную к характеристике
нелинейного элемента и производят замену участка его характеристики отрезком касатель­
ной;
3) составляют линейную схему замещения для расчета переменной составляющей. Вид
схемы зависит от характера нелинейного элемента, а ее параметры — от тангенса угла,
составленного касательной к характеристике и одной из осей координат.
ЭВМ применяют для:
а) табулирования решений систем трансцендентных уравнений и систем алгебраиче­
ских уравнений высоких степеней;
б) табулирования решений, выраженных в виде медленно сходящихся рядов;
в) интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, к которым сводят­
ся нелинейные дифференциальные уравнения при кусочно-линейной аппроксимации ха­
рактеристик нелинейных элементов;
г) численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, в которых
ВАХ нелинейных элементов представлены аналитически, а также в некоторых других слу­
чаях.
§ 15.49. Расчет цепей, содержащих индуктивные катушки, сердеч­
ники которых имеют почти прямоугольную кривую намагничива­
ния. Кривые намагничивания некоторых высококачественных магнито­
мягких материалов, например 65НП, 68 НМП и др., близки по форме к
прямоугольной: на участке 0—а (рис. 15.34, а) кривая почти совпадает с
осью ординат, а на участке а— Ь расположена почти параллельно оси
абсцисс.
На рис. 15.34, а штриховой линией показана предельная петля гисте­
резиса. Коэрцитивная сила Нс для таких материалов очень мала и
составляет 1-10 А/м.
Расчет электрических цепей переменного тока, содержащих индуктив­
ности, сердечники которых выполнены из упомянутых магнитных мате­
риалов, обычно производят с помощью метода кусочно-линейной
аппроксимации (см. пример 155). Для облегчения расчета кривую намаг­
ничивания заменяют идеально прямоугольной (рис. 15.34, б). Участки
4— 1 и 2— 3 параллельны оси абсцисс, а участок 1— 2 совпадает с осью
ординат.
Если изображающая точка перемещается по участку 1—2, то изме­
няется только индукция в сердечнике при напряженности поля в сердеч­
нике, почти равной нулю. При движении изображающей точки по участ­
кам 4— 1 и 2— 3 меняется только напряженность поля Я, а индукция в
500
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
я
Ы
3) 1Рис. 15.34
сердечнике остается неизменной.
П ри м ер 155. Схема (рис. 15.34, в) состоит из источника синусоидальной ЭДС
е - Е т sin со/, индуктивности с заданной зависимостью потокосцепления у от тока / и
резистора сопротивлением R. Вывести формулу для определения у и і и построить гра­
фики изменения Ч/ и / в о времени в установившемся режиме.
Р е ш е н и е . Так как потокосцепление у равно произведению индукции в сердеч­
нике В на площадь поперечного сечения сердечника и на число витков обмотки: у = В S м\
а по закону полного тока ток і - Н И w, т. е. пропорционален напряженности магнитного
поля в сердечнике, то зависимость потокосцепления ч/ оттока / (рис. 15.34, г) качественно
такая же, как и зависимость В - / ( / / ) (рис. 15.34, б). Имеем
R i = Ет sin со /.
dt
(15.62)
В интервале времени от со/ = 0 до со / = со /j (назовем его первым) ток / = 0, все
напряжение приходится на индуктивную катушку d y / d t = Ет sin со/ и потокосцепление
V/ изменяется от - ц /т до +ц/т (изображающая точка на рис. 15.34,6 перемещается от
1 к 2).
В этом интервале dyi = Ет sin со / dt; следовательно,
^
—is L c o s c >/ + С,
со
(15.63)
где С — постоянная интегрирования.
Во втором интервале времени от со / = со tx до со / = я потокосцепление у остается
постоянным и равным vj/m; d \ \ t l d t - 0; из уравнения (15.62) получим
£
R i - E m sin со /,
или
/ = —^ sin со /.
R
(15.64)
Таким образом, во втором интервале времени ток і изменяется по закону синуса, по­
токосцепление V постоянно и равно vj/m. При этом изображающая точка перемещается
по участку 2— 3 (рис. 15.34, б).
§ 15.50. Расчет цепей, содержащих нелинейные конденсаторы..
501
Найдем постоянную интегрирования С и значение co/j. Для определения С запишем
уравнение (15.63) при со/ = 0. Для этого момента времени
=
поэтому
-i|im - Ет I © + С. Отсюда С = -\j/m + Ет 1со.
Для нахождения со tx воспользуемся также уравнением (15.63), учтя, что при со / = со tx
у = \\Jm. Получим
Е
Е
у т = — ^coscof,-Ц1т+—
ш
со
Отсюда
2 со
cos со /j = 1 --------- —,
Ет
или
(
2 со хут Л
со /j = arccosl 1----------- — І.
v
Ет )
Характер изменения тока /, потокосцеплен ия у и d \ \ i / d t , когда <о\у т / Ет <\, по­
казан на рис. 15.34, д.
Если амплитуда ЭДС Ет < со ц/ш, то второго интервала времени не возникнет, т. е. ток
/ = 0 в течение всего периода.
Отметим, что если учитывать гистерезис, то перемагничивание сердечника будет про­
исходить при токе і * 0. При d \ y / d t > 0 / =
при d \ y / d t < Q i = - i c (см. пунктир на
рис. 15.34, с)). Ток /с соответствует коэрцитивной силе Н с (см. рис. 15.34, а).
§ 15.50. Расчет цепей, содержащих нелинейные конденсаторы с
прямоугольной кулон-вольтной характеристикой. Метод расчета рас­
смотрим на примере цепи (рис. 15.35, а), которая состоит из источника
синусоидальной ЭДС е = Ет sin со /, нелинейного конденсатора с почти
Яі
+ Ят
l
Uc
2
-
я™
прямоугольной кулон-вольтной характеристикой (рис. 15.35, б) и резис­
тора сопротивлением R. Задача эта близка рассмотренной в § 15.49. По
второму закону Кирхгофа ис + R
= е. При перезарядке конденсатоdt
ра изображающая точка движется по участку 2— / характеристики
Я - f ( uc)> при этом ис =0. Когда перезарядка закончится, все напряже­
ние источника окажется приложенным к конденсатору. При t - 0
q - - q nv Во время перезарядки, когда ис =0,
R ~ г ~ Ет sin со /; q = —^-cosa> t - q m + —2r dt
co R
юR
502
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
К концу перезарядки при со /j <7 достигает значения qm\
В интервале времени от со ^ до л ис = Ет sin со /.
Графики /, q, ис изображены на рис. 15.35.
Если учесть гистерезис (см. рис. 15.35), то перезарядка конденсатора
происходит при напряжении на нем, немного не равном нулю (см. шт­
риховая линия на рис. 15.35, г, д, е).
§ 15.51. Выпрямление переменного напряжения. Под выпрямлением
переменного напряжения понимают процесс преобразования переменно­
го напряжения в постоянное или пульсирующее. Выпрямление произво­
дят с помощью полупроводниковых, ламповых или других типов диодов.
Неуправляемый диод изображают на схемах в виде большой треуголь­
ной стрелки с поперечной чертой у острия. Стрелка показывает прово­
дящее направление. Сопротивление диода в проводящем направлении в
тысячи раз меньше, чем в непроводящем.
По числу фаз выпрямленного переменного напряжения выпрямитель­
ные схемы делят на одно- и многофазные. Однофазные схемы подразде­
ляют на схемы одно- и двухполупериодного выпрямления.
В однополупериодных схемах выпрямление производится, грубо
говоря, в течение одного полупериода питающего напряжения, в двухполупериодных — в течение обоих полупериодов.
Мостовая схема однофазного двухполупериодного выпрямления пред­
ставлена на рис. 15.36, а. Она состоит из четырех полупроводниковых
диодов (/, 2, 3 и 4), источника выпрямляемого синусоидального напря­
жения e(t) и нагрузки RH. На рис. 15.36, в показаны положительные
направления тока / и напряжения мд на диоде.
г
а
Г У У У У \ ъ.
д
6
Рис. 15.36
На рис. 15.36, г изображена ВАХ диода. В целях облегчения анализа
вместо нее будем пользоваться идеализированной ВАХ, изображенной на
рис. 15.36, д.
§ 15.51. Выпрямление переменного напряжения
503
В соответствии с этой идеализированной характеристикой, когда че­
рез диод проходит ток, падение напряжения на нем равно нулю и, следо­
вательно, сопротивление самого диода равно нулю. Когда напряжение на
диоде отрицательно (т. е. отрицательна взятая в направлении стрелки
рис. 15.36, в разность потенциалов на самом диоде), диод не проводит
тока (/ = 0 ) и сопротивление его равно бесконечности.
Диод открывается, когда напряжение на нем, увеличиваясь, стано­
вится равным нулю, и закрывается, когда ток через него, уменьшаясь,
становится равным нулю.
Рассмотрим работу мостовой схемы (см. рис. 15.36, а). Источник ЭДС
включен в одну диагональ этой схемы, а нагрузка RH — в другую. Дио­
ды работают попарно.
В первый полупериод, когда ЭДС е(() действует согласно с положи­
тельным направлением напряжения на диодах 1 и 5, эти диоды проводят
ток, а диоды 2 и 4 тока не проводят. Во второй полупериод, когда
ЭДС e(t) изменит знак и действует согласно с положительным направ­
лением напряжения на диодах 2 и 4, эти диоды проводят ток, а диоды 1
и 3 не проводят. Направление
прохождения тока через нагрузку
показано на рис. 15.36, а стрел­
кой. Ток через нагрузку протека­
ет все время в одном и том же
направлении. Форма напряжения
на нагрузке иллюстрируется кри­
вой на рис. 15.36,6. Через U0
обозначено среднее значение на­
пряжения на нагрузке.
П ри м ер 156. Рассмотреть работу
схемы однополупериодного выпрямле­
ния, когда нагрузка /?н шунтирована
конденсатором
емкостью
С
(рис. 15.37, а).
Р е ш е н и е. По законам Кирхгофа,
Ыд + ис = <?(/);
ис :
і - h +12'
В соответствии с ВАХ (рис. 15.37, в)
диод закрыт и сопротивление его теоре­
тически равно бесконечности, когда на­
пряжение на нем иа отрицательно. Диод
открывается в момент со/,, когда напря­
жение на нем иа = е (/)-ы с , увеличива­
ясь, становится равным нулю. Как толь­
ко диод откроется, напряжение на
конденсаторе становится равным ЭДС
ис - Е т sin со / и ток через конденсатор
станет
изменяться
по
закону
'2 = С
dt
= а С Е„ , cos со/ (штриховая
линия на рис. 15.37, б ), а ток через наис
Ет .
грузку — по закону
= — = — sin со /
(штриховая
линия
с
*н
точкой
на
Рис. 15.37
504
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
рис. 15.37,6). Ток через диод / = /, + /2 = Ет (co C co sco / + — sin со г) (рис. 15.37, г) в
момент со і 2 становится равным нулю и диод закрывается; tgco /2 = -со С /?н;
со /2 = arctg(-co С RH).
В интервале от со/2 до 2 7u+ co/j конденсатор разряжается на RH (рис. 15.37, в) и
напряжение
на
нем
изменяется
во
времени
по
показательному
закону
й)/-(й/2
ис = Ет sin со /2 е °>CRh ; (см. гл. 8). При этом i, =uc f RH (кривые на рис. 15.37, д, е). За­
висимость ид(со/) изображена на рис. 15.37, ж. Момент открытия со^ диода определим
из условия wc(co/1) = ^(co/1). Из этого условия получаем трансцендентное уравнение от­
носительно со / | :
(2 я+ю/j -<оti)
sinco/2 e
шС/?н
= sin СО/,.
В следующий период процесс повторяется. Чем больше значение RH С по сравнению
с периодом 2 л/со, тем меньше пульсация напряжения на нагрузке RH.
§ 15.52. М остовая схема вы прям ления с нагрузкой Л, L. Схема
изображена на рис. 15.38, а. На входе моста ЭДС e(t) = Ет sin со /. Поло­
жительные направления отсчета токов и напряжений на элементах схе­
мы показаны стрелками. Диоды работают попарно. В первом полупериоде
открыты (пропускают токи) диоды 1 и 3 и напряжения на них мд, и мд3
равны нулю, а диоды 2 и 4 закрыты (не пропускают токи) и на каждом
из них напряжение равно -0,5 Ет sin со Л Во втором полупериоде отк­
рыты диоды 2 и 4 и закрыты диоды / и 3. Временные кривые изображе­
ны на рис. 15.38, б -ж . На рис. б — ЭДС e ( t\ на рис. в — напряжение
на зажимах аЪ моста, на рис. г — принужденный /пр, свободный /св и пол­
ный ток і через R и L; рис. д — ток L через источник ЭДС; рис. е —
напряжения на диодах / и 5; рис. ж — напряжения на диодах 2 w 4.
Для обоих полупериодов справедливо уравнение (15.65), составлен­
ное по второму закону Кирхгофа,
L — + R i = Em sin со/.
dt
(15.65)
Решение уравнения (15.65) классическим методом для первого полупериода
/=/
+ /св = — sin(cor*-9 ) + ^le/?/. Здесь
cor
2
z = V /?2 +(со/,)2,
arctg— .
Характеристическое уравнение R + р L = 0 имеет корень р ~ - R f L.
Из условия периодичности процесса /(0) = /(я), поэтому
Ф=
_
_
Rn
Е
Е
—
---- —sin ф + А = ~ —sin ф + А е " .
z
z
Следовательно, постоянная интегрирования
§ 15.53. Мостовая схема выпрямления с нагрузкой RC
505
Для определения среднего за полупериод значения тока / (обозначим
его /) проинтегрируем уравнение (15.65) за интервал времени (0 + 772)
712 d i
и учтем, что J — d t = i(ri) - /(0) = 0. Результат интегрирования поделим
о dt
на 772 и получим
/ер
=
-
—
И п R
(1 5 .6 7 )
■
Из формулы (15.67) следует, что ток / ср в схеме на рис. 15.38, а не
зависит от величины индуктивности L. Однако L выполняет важную роль,
снижая пульсации выпрямленного тока.
а
а
§ 15.53. М остовая схема выпрямления с нагрузкой RC. Схема изоб­
ражена на рис. 15.39, а. К входным зажимам моста cd присоединена ЭДС
e{t) = Ет sin со /, к выходным зажимам ab — нагрузочное сопротивление
Я, шунтированное конденсатором С. Обозначения токов и напряжений
на элементах схемы показаны на рис. 15.39, а. Как и в предыдущей
506
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
схеме, диоды работают попарно. Временные графики изображены на
рис. 15.39, 6-е. Запишем систему уравнений по законам Кирхгофа:
uR - u c ;
и д\
ur
Ir ~ — >
.
_ duc
l c ~ ~~dT'
- и л2 = E m sin ю U
. .
l ~ lR + l C'>
«ді + Ид2 = - U C.
Из двух последних уравнений следует, что
ид\ = илЗ = °>5
( Е т
sin СОt - u c )
И
Нд2 = Ид4 = -0,5 ( Ет sin СОt + Uc ).
В первом полупериоде в интервале со / = 0 со / = со и в интервале
со t2 п все диоды закрыты, т. е. не пропускают тока, так как напряже­
ния на них отрицательны (в эти интервалы ис > e (t)). В интервале вре­
мени 0 - со tx конденсатор разряжается на R. При со tx напряжение на
конденсаторе ис становится равным Ет sin со /, и диоды 1 и 3 открыва­
ются, но диоды 2 и 4 остаются закрытыми. В интервале от со /j до со t2
ис = Ет sin со t
и конденсатор подзаряжается током /с = со С Ет cosco /, а через резистор
течет ток
Ет .
sinco t.
R
R
При со t2 ток / = iR + ic становится равным нулю, диоды / и 3 закры­
ваются и зарядка конденсатора прекращается. Время со t2 определим из
уравнения со R C cosco t2 + sin со t2 = 0. Из него находим
і к = - JIL
со t2 = -a rc tg со R С.
(Сравните с определением со/2 в примере 156.)
В интервале от со /2 до (тс + со tx) конденсатор разряжается на R, на­
пряжение ис уменьшается от ис (со t2) ~ Ет sin со t2 до значения
ис (я + со / |) = Ет sin со /,. В этот момент времени
(тг+со/, -с0/2)
£ „ s in ® r 2 e
“ ЛС
= £ OTsincor,.
(15.68)
Из (15.68) получим трансцендентное уравнение для определения ю tx:
( 7Ї + С 0 / , — СО / 2 )
sinco/2 e
(oRC
= sinco/,.
После определения со tx можно определить ис(0) по уравнению
со/,
Ет sinco^ = wc (0 )е <oRC ,
(15.69)
§ 15.54. Анализ работы магнитно-транзисторного генератора..
507
При со t = я + со /j открываются ДИОДЫ 2 И 4 И выполняют во втором
полупериоде ту роль, которую в первом полупериоде выполняли диоды
1 и 3. С увеличением емкости конденсатора С пульсация напряжения ис
уменьшается.
Среднее за полпериода значение выпрямленного напряжения
71+ С0Ґ, ~ 0 ) / 2
~•і
«Сер =
77 2
ш
Ет J sin со/ dt + Em sin со/2
(О/.
Е
2RС
= —— (cos со/j -cosco/2) + ------- sin со
n
T
J е RC dt
_
K+W/j -o)/2
11- е
w
RC
§ 15.54. Анализ работы магнитно-транзисторного генератора пря­
моугольного напряжения. Схема генератора изображена на рис. 15.40, а.
Она содержит трансформатор, два биполярных транзистора Л и В
р — п—.p-типа и источник постоянной ЭДС Е. Пермаллоевый сердечник
Рис. 15.40
трансформатора имеет почти прямоугольную динамическую петлю гис­
терезиса. Зависимость магнитной индукции В сердечника от напряжен­
ности магнитного поля Я в нем изображена на рис. 15.40, б. Остаточная
индукция в сердечнике при Я = 0 обозначена Вт . Коэрцитивная
сила — Я 0. Площадь поперечного сечения сердечника назовем 5, дли­
ну средней магнитной линии его — /. На сердечник нанесено пять об­
моток (катушек) с числами витков w ] -t- w 5 . Катушка с числом витков
управляет режимом работы транзистора А , катушка с числом витков w4
управляет режимом работы транзистора В. Катушка с числом витков w2
508
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
является основной рабочей обмоткой, на которую работает транзистор А
в первом полупериоде. Катушка с числом витков w3 — основная рабо­
чая обмотка, на которую работает транзистор В во втором полупериоде.
Катушка с числом витков w5 — выходная обмотка, в ней генерируется
напряжение щ в виде меандра (см. рис. 15.40, в), и к ней присоединено
нагрузочное сопротивление RH.
Начала всех катушек обозначены точкой на рис. 15.40, а. Направле­
ния намотки на сердечник всех катушек одинаково.
Резистивные сопротивления катушек W| -5- w5 обозначим Rl +Rs, чис­
ла витков Wj = w4, RX= R A, w2 =w 3 и R2 = R 3. Катушка с числом
витков
имеет сопротивление Rs. Числа витков w x и w4 много мень­
ше чисел ВИТКОВ И>2 и w3.
Обозначим токи и напряжения транзистора А:
— ток базы;
—
ток эмиттера, i£ — ток коллектора, и^Б — напряжение между эмитте­
ром и базой; г/эк — напряжение между эмиттером и коллектором. Тран­
зистор А находится в рабочем состоянии
> 0, если и^Б > 0 (при этом
база транзистора А имеет отрицательный потенциал по отношению к
эмиттеру транзистора А). Токи и напряжения транзистора В обозначим
аналогично: / f ,
и
к . Транзистор В будет находиться в
рабочем состоянии (и * > 0), когда м |Б > 0. Составим систему уравне­
ний по второму закону Кирхгофа:
иЭБ + *б R \-W \ S
= 0;
(15.70)
иж + *к Я2 + w2 S
= £;
(15.71)
+ *б ^4 + w 4 S
= 0;
(15.72)
= Е.
(15.73)
и ЭБ
« э к +i?
dВ
Здесь w S — ------напряжение на соответствующей обмотке w между
ее началом и концом. В первом полупериоде изображающая точка по
петле гистерезиса сначала перемещается по участку 2— 3, на котором
Ґ dB
индукция В возрастает
> 0 I от - В т до Вт (т. е. на 2 Вт) и затем
dt
перемещается по почти горизонтальному участку 3— 4, на котором
dВ
---- < 0. При движении по участку 2— 3 и > 0 , а и^Б < 0, поэтому транdt
зистор А находится в рабочем состоянии
> 0, а транзистор В — в не­
рабочем и ток /* = 0 в соответствии с уравнениями (15.70) и (15.72).
§ 15.54. Анализ работы магнитно-транзисторного генератора...
509
Так как величина Е практически много больше суммы изк + /* R2,
то при движении по участку 2— 3 можно в первом приближении принять
wi S ~ ^ a E -
(15.74)
В уравнении (15.74) разделим переменные и проинтегрируем его
по индукции от ~Вт до
Лт , а по времени от0 доТ І 2,гдеТ — пе­
риод движения по гистерезисной петле. Получим w2 S 2 B m = E T / 2 .
Отсюда
Т = ^ —— , а частота / = ------------—------.
Е
4 Bm w2 S
(15.75)
Хотя при быстром движении по участку 3— 4 гистерезисной петли
dB
производная
отрицательна и мала по величине, но числовые значе­
ния иЭБ обоих транзисторов при этом оказываются достаточными, что­
бы закрыть транзистор А (его мЭБ станет меньше нуля) и открыть тран­
зистор В (его иЭБ станет больше нуля).
После этого начнется вторая половина процесса, когда при Иэб < 0
под действием транзистора В происходит движение изображающей точ­
ки по участку 4— / — 2 гистерезисной петли. Определим теперь положе­
ние рабочих точек для обоих транзисторов на общем для них семействе
кривых /б = Я иЭ)д Рис- 15.40, д при движении изображающей точки по
участку 2— 3 гистерезисной петли для двух случаев:
1) к зажимам обмотки w5 присоединено сопротивление RH;
2) случай холостого хода.
По закону полного тока магнитодвижущая сила катушек с токами
трансформатора должна быть равна произведению напряженности маг­
нитного поля Н0 на длину / средней магнитной линии сердечника,
т. е. в первом полупериоде
'к w2 - ‘б W, + /н w5 = Я 0 /.
Так как /g w2 «
Но w5 S
dt
Поскольку
w2, то
(15.76)
w2 + /н w5 = Н0 1.
+ / (Rs + R ) = 0, поэтому і = — ^ _ S _ d B _
н
RS + RH dt
w2 S
« £, то в первом случае (при нагрузке)
dt
.А Я 0 /
Е
ґи П 2
.
s Н0 1
1 * = —— + ---------- —2- , а во втором (при холостом ходе) I* = —— .
w2
R5 +R h \ w2)
w2
В первом полупериоде рабочая точка для транзистора А будет нахо­
диться на семействе кривых (рис. 15.40, д) при нагрузке в точке 7, а при
холостом ходе — в точке 2.
а
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
510
Точка 3 (/к = 0, иЭБ = 2 Е) определяет положение рабочей точки тран­
зистора В в первом полупериоде. Во втором полупериоде транзисторы
меняются положениями своих рабочих точек.
Частоту / можно изменять, варьируя величину ЭДС Е или число вит­
ков w5. Практически частоту можно изменять от долей герца до несколь­
ких килогерц.
§ 15.55. А втоколебания. Автоколебания (АК) — это периодические
колебания, возникающие в системах, находящихся под воздействием по­
стоянных во времени вынуждающих сил. АК-системы подразделяют на
почти гармонические (см. § 15.55) и релаксационные (см. § 17.5).
АК-система на полевом транзисторе изображена на рис. 15.41, а. В ней
имеются источник постоянной ЭДС £, колебательный контур Ц , Сх и
взаимная индуктивность М между L x и 1с, за счет которой в системе
осуществляется отрицательная обратная связь.
б
а
Рис. 15.41
При анализе АК-систем почти гармонического типа требуется выяс­
нить частоту и амплитуду возникающих колебаний и характер возбужде­
ния (мягкий или жесткий). На рис. 15.41, б изображена схема замещения
для переменных составляющих токов и напряжений. Источник постоян­
ной ЭДС закорочен. Транзистор представлен источником тока S U m ,
управляемым напряжением £/зи, и шунтирующим его резистором Rx.
Составим уравнения по методу контурных токов. В схеме три неиз­
вестных контурных тока — / с, / к, / 3 — и один ток источника тока —
S U зи ( ^ з и = / з * з ) :
/ с (Л, + р Lc) - р М / к - Л, S Я, / 3 = 0;
1-і - 0 ;
(15.77)
§ 15.56. Мягкое и жесткое возбуждение автоколебаний
511
При АК токи не равны нулю, это может быть только в том случае, если
главный определитель системы (15.77) равен нулю:
А (р) = р 4 (Л3 к С 2 С13) + р ъ (к С ,2 + Я, Л3 Ц С,2 С,з) +
+ р 2 (Л3 Lc Сх С13 + Я, L, С,2 - R , S R 3 M C , С13) +
+р
/?з С,
С]з + £с ( Q -
С 3))
+ /?} (С ,
- C j3)
(15.78)
= 0.
Здесь к = L, Lc - М 2, С., = С| Сз ■
С ,+ С 3
В А(/?) подставим р = j со, выделим из него действительную и мни­
мую части и приравняем их нулю. После деления всех членов уравне­
ния ReA(yco) = 0 на /?3С 2 С13 получим
к о / - со2 ( Ь . + А А . _ M i l ] + *L(C
J - £ n l =о,
U ,
Л3 С |3
с,
J
(15.79)
R3 С, С |3
После деления всех членов уравнения 1шА(у со) = 0 на С 2 С13 и со­
кращения на со имеем
со2
с, з
)
с,
с, с ,
Отсюда
При весьма больших R3 со = 1/у/Ц Сх и крутизна
S = M /( R } Lx).
(15.81)
§ 15.56. М ягкое и жесткое возбуждения автоколебаний. Ток стока
транзистора /с является функцией напряжения мзи. Эта функция может
быть представлена кривой рис. 15.42, а, приближенно описываемой
зависимостью
*с = *о
ит
Рис. 15.42
^зи>
(15.82)
512
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
либо кривой рис. 15.42, б, описываемой формулой
7с = h + а иъи + b ит ” с ит •
(15.83)
При возникновении АК иш =U m sin со/. Подставим это иш в (15.82)
и (15.83) и определим амплитуду первой гармоники тока /с. Из
формулы (15.82) она равна Icm= a U m - 0 ,1 5 b U 3m, а из (15.83)
Icm= a U m + 0 ,7 5 b U 3m - ^ c U l
Под средней крутизной по первой гармонике в режиме автоколеба­
ний понимают 5ср = l cm !U m. Она выполняет роль крутизны S в форму­
лах (15.79) и (15.80). Для первого случая (рис. 15.42, в)
Scp = a ~ 0 J 5 b U 2m.
(15.84)
Для второго (рис. 15.42, г)
S ^ a +W b U l - j U i , .
(15.85)
Кривые рис. 15.42, в, г используем для определения амплитуды Um
возникшего колебания. С этой целью из (15.79) или при Л3 -»оо из
М
S -- --- ---- определим S и положим его равным S , а по 5ср из кривой
А
рис. 15.42, в или г найдем Um. В первом случае каждому Scp соответ­
ствует одно Uт, во втором могут соответствовать либо два режима
(в области Scр ОТ q ДО ScpmaK точки т и л), либо один режим (при
*$ср < я)- Режим работы на левой ветви кривой рис. 15.42, г неустойчив,
на всей правой («жирной») ветви — устойчив.
Если Scр определяется кривой рис. 15.42, в, то колебания возбужда­
ются мягко, их амплитуда плавно нарастает от сколь угодно малого
начального значения флуктуационного происхождения до установивше­
гося Umy. Для Scp по рис. 15.42, г колебания возбуждаются жестко —
скачком от нуля до установившегося значения Umy.
Обратим внимание на то, что генератор, рассматриваемый в
§ 15.55-15.56, является автоколебательной системой, принципиально
отличной от рассмотренной в § 15.54. Действительно, основными эле­
ментами схемы рис. 15.41, а являются: источник постоянной ЭДС, управ­
ляемый нелинейный резистивный элемент (полевой транзистор), накопи­
тели энергии Ц и С] и резистор R3. В схеме есть явно выраженная
обратная связь, колебания имеют почти синусоидальную форму, частота
колебаний равняется собственной частоте системы.
В АК-системе (рис. 15.40, а) основными элементами являлись источ­
ник постоянной ЭДС, два управляемых нелинейных элемента (два бипо­
лярных транзистора), нелинейный индуктивный элемент (трансформатор
с ферромагнитным сердечником). В схеме рис. 15.40, а нет линейных
индуктивностей и емкостей, возникающие колебания имели не синусои­
дальную, а прямоугольную форму, частота колебаний определялась вре­
§ 15.58. Построение ВАХ последовательной феррорезонансной цепи
513
менем перемагничивания сердечника, обратная связь проявляла себя не­
явным образом — процесс перемагничивания ферромагнитного сердеч­
ника управлял работой транзисторов.
§ 15.57. Определение феррорезонансных цепей. Рассмотрим груп­
пу довольно грубых явлений, которые имеют место в цепях, содержащих
нелинейную индуктивность и линейный конденсатор. Такие цепи назы­
вают феррорезонансными. Аналогичные явления имеют место в цепи с
линейной индуктивностью и нелинейным конденсатором.
Для анализа этих явлений можно воспользоваться методом первой
гармоники (см. § 15.47) или методом расчета по действующим значени­
ям (см. § 15.48). В § 15.59-15.62 будет применен метод расчета по дей­
ствующим значениям. При этом будем пользоваться ВАХ нелинейной
индуктивности для действующих значений тока и напряжения. В этом
методе в действительности несинусоидальные токи и напряжения заме­
няют их эквивалентными синусоидальными величинами (эквивалент­
ность в смысле действующего значения по § 7.12).
Когда в § 15.59-15.62, 15.65, 15.68 рассматривается сдвиг фаз между
током и напряжением на каком-либо элементе схемы, то под ним пони­
мают угол между эквивалентным синусоидальным током и эквивалент­
ным синусоидальным напряжением.
§ 15.58. П остроение ВАХ последовательной феррорезонансной
цепи. В схеме на рис. 15.43, а последовательно включены нелинейная ин­
дуктивность Z,, линейный резистор сопротивлением R и линейный кон­
денсатор емкостью С. ВАХ нелинейной индуктивности UL - / ( / ) изоб­
ражается кривой / на рис. 15.43, б; ВАХ конденсатора Uc - I — -----со С
прямой 2; ВАХ резистора UR = R I — прямой 3.
Точки, принадлежащие результирующей ВАХ схемы — кривой 4, по­
лучаем следующим образом.
Произвольно задаемся некоторым током /, находим для него разность
напряжений UL - Uc (напряжения на индуктивности и на конденсаторе
находятся в противофазе) и напряжение UR; результирующее напряже­
ние U равно гипотенузе треугольника, построенного на катетах UR и
UL - U C (рис. 15.43, в).
514
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
При сравнительно малом R на результирующей ВАХ цепи имеется
падающий участок, а сама ВАХ имеет N-образную форму. С увеличени­
ем R падающий участок на ВАХ исчезает.
§ 15.59. Т риггерны й эффект в последовательной феррорезонанс­
ной цепи. Ф еррорезонанс напряжений. На рис. 15.44, а отдельно пред­
ставлена кривая 4 рис. 15.43, б. Будем начиная с нуля плавно увеличи-
Рис. 15.44
вать напряжение источника ЭДС в схеме 15.43, а. При этом изображаю­
щая точка на рис. 15.44, а перемещается от точки 0 через точку 1 к точ­
ке 2. Если напряжение и дальше повышать, то изображающая точка скач­
ком переместится из точки 2 в точку 4, а затем движение будет происхо­
дить по участку 4— 5.
При уменьшении напряжения изображающая точка перемещается от
точки 5 через 4 к точке І, затем произойдет скачок в точку 1 и далее от
точки 1 к точке 0. Таким образом, при увеличении напряжения и дости­
жении им значения U2 в цепи происходит скачкообразное увеличение
тока со значения / 2 до / 4. При этом резко изменяется сдвиг фаз между
током в цепи и общим напряжением: в точке 2 ток отстает от напряже­
ния {UL >UCX в точке 4 ток опережает напряжение (Uc > U L). При
плавном уменьшении напряжения источника ЭДС и достижении им зна­
чения Ux ток в цепи скачком уменьшается со значения / 3 до 1Х.
Явление резкого изменения тока в цепи при незначительном измене­
нии напряжения на входе будем называть триггерным эффектом в
последовательной феррорезонансной цепи.
Если схему рис. 15.43, а подключить к источнику напряжения U, на­
пряжение которого находится в интервале между Ux и U2i то в схеме
установится один из двух возможных режимов. Первый режим соответ­
ствует положению рабочей точки на участке между точками 1 и 2 , вто­
рой — на участке между точками 3 и 4.
На каком из двух участков окажется рабочая точка, зависит от харак­
тера переходного процесса в цепи при подключении ее к источнику ЭДС.
§ 15.60. ВАХ параллельного соединения... Феррорезонанс токов
515
Феррорезонансом напряжений называют режим работы цепи (см.
рис. 15.43, а), при котором первая гармоника тока в цепи совпадает по
фазе с напряжением U источника ЭДС. На рис. 15.43, б построены ВАХ
для действующих значений: феррорезонанс напряжений приблизитель­
но соответствует точке р (находится немного левее ее).
Феррорезонанса напряжений можно достичь изменением величины
напряжения или частоты источника питания схемы, а также изменением
емкости и параметров нелинейной индуктивности.
Пример 157. Кривая 1 на рис. 15.44, б представляет собой ВАХ нелинейной индук­
тивности. Полагая R -> 0, определить емкость конденсатора, который следует включить
последовательно с нелинейной индуктивностью (см. рис. 15.43, а), чтобы триггерный эф­
фект происходил при 60 В. Во сколько раз после скачка / 4 будет больше тока до скачка
/ 2, если со = 314 с-1?
Р е ш е н и е. Из точки U = 60 В, / = 0 проводим касательную к ВАХ индуктивнос­
ти. Касание произойдет в точке а. ВАХ конденсатора (прямая) должна быть проведена из
начала координат параллельно касательной. Тангенс угла наклона ее к оси абсцисс чис­
ленно равен 1/(соС).
Из рис. 15.44, б находим 1/(со С) = 6 00Ом; С = 106 /(314-600) = 5,32 мкФ.
Ток при скачке изменяется с / 2 = 0,06 А до /4 = 0,315 А; / 4 / / 2 = 5.
§ 15.60. ВАХ параллельного соединения конденсатора и нелиней­
ной индуктивности. Феррорезонанс токов. В схеме на рис. 15.45, а
параллельно соединены нелинейная индуктивная катушка L и конденса­
тор емкостью С. ВАХ катушки со стальным сердечником изображена
кривой 1 на рис. 15.45, б, а конденсатора — прямой 2.
По первому закону Кирхгофа / = Ic + / L. Так как токи / с и / 7 нахо­
дятся в противофазе, то точке р пересечения кривой 1 и прямой 2 соот­
ветствует режим феррорезонанса токов — ток 1 = 0. Результирующая
ВАХ всей схемы изображена в виде штриховой линии 3 рис. 15.45, б (аб­
сциссы кривой 3 равны модулю разности абсцисс кривой 1 и прямой 2).
Кривая 3 рис. 15.45, б повторена на рис. 15.45, в с тем отличием, что на
рис. 15.45, в учтено, что в режиме феррорезонанса токов (точка d на
рисунке) ток / в неразветвленной части схемы до нуля не снижается за
счет наличия высших гармоник и активной составляющей первой гар­
моники в токе / 7.
516
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
§ 15.61. Триггерный эффект в параллельной феррорезонансной
цепи. Если схему (см. рис. 15.45, а) питать от источника напряжения,
плавно увеличивая напряжение этого источника при неизменной часто­
те, то изображающая точка пройдет без скачков по всем участкам ВАХ
схемы. Если же схему питать от источника тока, то при плавном увели­
чении тока этого источника и неизменной угловой частоте со изобража­
ющая точка будет сначала перемещаться по участку 0 — е— а, затем про­
изойдет скачок из а в Ь, после этого движение будет происходить по уча­
стку b— с. При последующем плавном уменьшении тока движение будет
происходить от с через Ь к dy затем произойдет скачок из d в е и далее
от е к 0. Обратим внимание на то, что режим феррорезонанса токов
в схеме на рис. 15.45, а и режим феррорезонанса напряжений в схеме
на рис. 15.43, а могут быть достигнуты изменением входного напряже­
ния U при фиксированных угловой частоте со, емкости С и неизменной
ВАХ нелинейной индуктивности.
П ри м ер 158. ВАХ катушки со стальным сердечником в схеме на рис. 15.45, а изобра­
ж ена в виде кривой 1 на рис. 15.46. Пренебрегая резистивным сопротивлением и высши­
ми гармониками, определить емкость конденсатора С, который нужно включить в схеме
на рис. 15.45, я, чтобы триггерный эффект имел
место при токе / 2 = 0,15 А; со = 314 с-1.
и л
Р е ш е н и е . На рис. 15.46 откладываем
значение тока / 2 влево от точки 0; получаем
п>
S
7У
^
точку г. Из нее проводим штриховой касатель­
ную к кривой / в точке п. Через точку п прово­
/
А
дим горизонталь. Ордината ее равна напряже­
/ /
/
і
/
нию U 2 ~ 112 В, при котором произойдет
/ /
і
•
/ /
1
/
триггерный скачок. Из точки 0 проводим пря­
г '
^ / о ?1 о?2 |о,з
мую 2, параллельную касательной гп. Прямая 2
Ч
°(
представляет собой ВАХ конденсатора. Абсцис­
/2
1,А
са точки q (0,265 А) равна току через конденса­
0,235
тор при напряжении U2. Следовательно,
Рис. 15.46
1 / (со С) = 112 / 0,265 = 422 Ом; С = 7,54 мкФ.
§ 15.62. Частотные характеристики нелинейных цепей. Под амп­
литудно-частотной характеристикой (АЧХ) понимают зависимость
амплитуды какой-либо величины, определяющей работы нелинейного
элемента, от изменения угловой частоты при неизменной амплитуде
внешнего воздействия.
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) — зависимость фазы этой
величины от со при неизменной амплитуде и фазе внешнего воздействия.
В отличие от линейных цепей формы АЧХ и ФЧХ нелинейных цепей
зависят от амплитуды внешнего воздействия, т. е. можно рассматривать
семейства АЧХ и ФЧХ, для которых амплитуда внешнего воздействия
является параметром.
Построим АЧХ цепи (рис. 15.47, а), полагая, что вебер-амперная ха­
рактеристика нелинейной индуктивности описывается формулой
/2 = а \|/3, ток источника тока j k - l m sin со /, 1т = const, со = var, R = 0.
г»
. . .
^ duc
d 2 ц/
з
В уравнении /, + /2 = j k подставим іх = С
= С -- - -- - и і2 = а ц / .
§ 15.63. Применение символического метода для расчета нелинейных цепей...
517
Рис. 15.47
Примем Vj/ = V|/m sinCO/ и в токе і2 удержим** только первую гармони­
ку — 0,75 а ц/Зт sin со/. Получим уравнение, в которое входят со и \|/да :
0,75 Vm - © 2 С 'Vm = ± L Плюс в правой части соответствует режиму до резонанса, минус —
после резонанса. Решим уравнение относительно со:
„
З см к в .
/.
U с
СУт
При построении зависимости v|/w(со) учтем, что угловая частота со > 0
и действительна, а также что при х « 1 *J\±x « 1± 0,5 х.
Если со = 0, то у т = з/4 / т /(3 а ). При 0,75 а ц>1, » 1т
3 а
I*!
I
" mV” l 4 C
при 1т > 0,75 а v|/„
Ґ
с
Л
8
/.
Характер зависимости ц/т (со) показан на рис. 15.47, б. Если не учи­
тывать резистивное сопротивление R второй ветви, то
теоретически
могла бы возрастать до бесконечности. С учетом небольшого R этой ветви
зависимость vj/m(со) имеет ^V-форму (рис. 15.47, в).
При плавном увеличении со имеет место скачок из точки 1 в точку 2;
при последующем плавном уменьшении со — скачок из точки 3 в точ­
ку 4. При значительном R зависимость у т (со) приобретает вид кривой
нарис. 15.47, г.
§ 15.63. Применение символического метода для расчета нелиней­
ных цепей. Построение векторных и топографических диаграмм.
В § 15.56-15.62 были рассмотрены некоторые явления, которые анали­
зировались графически с помощью ВАХ, по действующим значениям или
/2 = a ( \ |/ m sin со/)3 = а — ij/^ sin с о / - а 0,25 ii/jj, sinco /, так как sin3p = 0,75 sinp 0,25sin3p.
518
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
по первым гармоникам. Приближенное исследование режимов работы
сложных разветвленных нелинейных цепей переменного тока, особенно
когда высшие гармоники выражены слабо, часто проводят с помощью
векторных или топографических диаграмм.
Диаграммы строят отдельно для каждой из гармоник. Построения
выполняют в принципе так же, как и для линейных цепей (см. § 3.18).
Отличие состоит в том, что зависимость первой гармоники напряжения
на нелинейном элементе от первой гармоники тока через него является
нелинейной и берется из графика или ее подсчитывают, пользуясь ана­
литическим выражением.
Если не учитывать потери в ферромагнитном сердечнике и потери от
высших гармоник тока, то первая гармоника напряжения на нелинейной
индуктивности по фазе на 90° опережает первую гармонику тока через
нее. Если же учитывать потери в стали сердечника и (или) потери в ре­
зистивных сопротивлениях цепи от высших гармоник тока, то этот угол
меньше 90° (см., например, рис. 15.50, в). Аналогично, если не учиты­
вать наличие потерь в сегнетодиэлектрике и потерь в цепи от высших гар­
моник тока, то первая гармоника напряжения на нелинейном конденса­
торе на 90° отстает от первой гармоники тока через него.
При учете потерь в сегнетодиэлектрике и потерь от высших гармо­
ник й сХ отстает от / с1 на угол меньше 90°.
При построении векторных диаграмм для высших и дробных гармо­
ник на частоте v / следует иметь в виду, что при синусоидальном ис­
точнике питания частоты / нелинейный индуктивный (емкостной) эле­
мент схемы является источником энергии на частоте v / , поэтому
напряжение UIvj- на частоте v / на нелинейном индуктивном элементе
будет опережать протекающий через него ток / Уу частоты v / на угол
больше 90° (а на емкостном напряжении UCvj- будет отставать от l Vf
на угол больше 90°).
Обобщенно можно сказать, что комплексное сопротивление нелиней­
ного элемента НЭ на частоте v / (v ф 1) при частоте источника пита­
ния / равно взятому со знаком минус входному сопротивлению линейно­
го двухполюсника на частоте v / , к зажимам которого присоединен НЭ.
В случае линейного активного четырехполюсника (см. рис. 4.16, а) с
внутренними источниками частоты f заменив источник ЭДС ч асто ты /в
ветви 1 на нелинейный элемент Н ^ и линейную нагрузку Z H в ветви 2
на НЭ 2 на любой гармонике v / (v ф 1) в схеме установится режим, при
котором Z BxH31( v ) = - Z cl( v / ) И Z BX НЭ2 (v ) = ”~^с2 (V У)» ГДЄ Z cl( v / ) И
Z c2(v / ) — характеристические сопротивления линейного четырехпо­
люсника по отношению к ветвям 1 и 2 на частоте v / определяемые по
(4.47).
П рим ер 159. Для цепи (рис. 15.48, а) построить топографическую диаграмму по пер­
вой гармонике при /, = 0,2 А. ВАХ по первой гармонике для нелинейной индуктивности
изображена на рис. 15.48, б. Емкостное сопротивление по первой гармонике Х с = 229 Ом;
Я, = 250 Ом; R2 = 407 Ом; Я3 =122 0м .
Р е ш е н и е . Обозначим токи в ветвях и узловые точки схемы в соответствии с
рис. 15.47, а. На рис. 15.48, в направим ток /, = 0,2 А по оси +1. Потенциал точки е при­
мем равным нулю. Находим ф«/= ф«. +
. Напряжение на нелинейной индуктивности
§ 15.64. Применение метода эквивалентного генератора
а
ь
519
б
Рис. 15.48
UL\ при токе /j =0,2 А по модулю равно ПО В (найдено из кривой на рис. 15.48, б) и
по фазе на 90° опережает ток /,; фс =
+ /, Rx\ /, Rx - 0,2• 250 = 50 В и по фазе со­
впадает с /,.
Под действием напряжения 0 се> по модулю приблизительно равного 122 В, протека­
ет ток / 2, численно равный 1 22/407» 0,3 А и по фазе совпадающий с Uce. Ток
/ 3 =/ , + / 2.. По модулю ток / 3 « 0,41 А; ф* = фс + / 3 Д3;
/ 3 R3 = 0,41 • 122 = 50 В;
Фа =Ф*+Л (“УХс ).
Напряжение на конденсаторе 0 аЬ численно равно 0,41-229 = 94 В и по фазе на 90°
отстает от тока / 3.
Напряжение на входе схемы (см. рис. 15.48, а) в рассматриваемом режиме работы по
модулю равно 164 В.
Из рис. 15.48, в можно определить углы между любыми токами и напряжениями цепи
рис. 15.48, а. Проделав аналогичные подсчеты и построения при других значениях тока
/j (например, равных 0,5; 1; 2; 3 А и т.д.), можно определить в этих режимах значения
всех токов, напряжений и сдвигов фаз, свести данные в таблицу и затем, пользуясь ею,
построить кривую зависимости любого тока, напряжения, сдвига фаз в функции от моду­
ля входного напряжения или от модуля какого-либо другого напряжения (тока).
§ 15.64. П рименение метода эквивалентного генератора. Расчет
нелинейных цепей переменного тока иногда осуществляют, используя
метод эквивалентного генератора (МЭГ). Рассмотрим применение этого
метода к цепи с управляемым нелинейным элементом.
На рис. 15.49, а изображена схемы, состоящая из источника синусо­
идальной ЭДС £, двух резисторов R и управляемой индуктивности (УИ),
семейство ВАХ которой по первым гармоникам изображено на
рис. 15.49, б. Ток управления / 0 является параметром на этом семействе.
Ток через УИ обозначен I. В соответствии с МЭГ разомкнем ветвь, по
которой течет ток /, и определим напряжение Uabx = Ё / 2 в режиме хо­
лостого хода. Определим входное сопротивление ZBX в цепи перемен­
ного тока относительно зажимов а и Ь. В соответствии с рис. 15.49, в оно
равно R /2 . На рис. 15.49, г показана эквивалентная схема цепи, а на
рис. 15.49, д изображена векторная диаграмма для этой цепи. Геометри-
520
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Рис. 15.49
ческая сумма вектора / Л /2 и напряжения на нелинейной индуктивнос­
ти UL равна Ё / 2. Так как Е ! 2 является гипотенузой прямоугольного
треугольника, катеты которого равны UL и I R / 2, то по теореме Пифа­
гора
( / R /2 )2 + U l = ( E / 2 ) 2.
(15.86)
Поделив обе части (15.86) на ( Е /2 ) 2, получим уравнение эллипса:
E /R
= 1.
(15.87)
U IK J
Одна полуось эллипса равна (E / R ), другая— Е /2 . Нанесем эллипс
на семейство ВАХ индуктивности (рис. 15.49, б). По точкам пересечения
эллипса с ВАХ можно определить ток / и напряжение UL на индуктив­
ности при любом значении управляющего тока / 0.
При рассмотрении характеристик управляемой индуктивности
(см. § 15.24), феррорезонансных схем (см. § 15.57-15.63) индуктивность
полагали идеализированной, а именно не учитывали потери в ее сердеч­
нике, наличие потока рассеяния и падение напряжения в резистивном
сопротивлении обмотки. Это делалось с той целью, чтобы основные свой­
ства упомянутых схем и устройств не были завуалированы относитель­
но второстепенными факторами.
§ 15.65. В екторная диаграм м а нелинейной индуктивности с уче­
том потока рассеяния и резистивного сопротивления обмотки. Не­
линейная индуктивность изображена на рис. 15.50, а. Резистивное сопро­
тивление обмотки
обозначим R.
Проходящий по обмотке ток создает в сердечнике магнитный поток.
Большая часть этого потока (поток Фш) замыкается по сердечнику, а
меньшая часть (поток Ф5) — по воздуху. Поток Фт называют основ­
ным, а Ф 5 — потоком рассеяния.
Обычно поток Ф у составляет всего несколько процентов от потока
Ф т . Однако могут быть и такие режимы работы, в которых поток Ф 5
оказывается соизмеримым с потоком Фт . Такие режимы имеют место,
если сердечник работает при большом насыщении или когда в сердеч­
нике имеется относительно большой воздушный зазор 5.
§ 15.65. Векторная диаграмма нелинейной индуктивности.
b
а
521
А
б
Ф
в
Рис. 15.50
При построении векторной диаграммы заменим в действительности
несинусоидальный ток и несинусоидальный поток эквивалентными си­
нусоидальными величинами.
Отношение потокосцепления рассеяния цjs = Wj Фл к току / называ­
ют индуктивностью рассеяния:
Индуктивное сопротивление X s = со Ls называют индуктивным сопро­
тивлением рассеяния.
Схема замещения нелинейной индуктивности изображена на
рис. 15.50, б. Она отличается от схемы на рис. 15.3, а тем, что в ней до­
бавлено сопротивление X s. В неразветвленной части схемы включены
резистивное сопротивление R обмотки w, и индуктивное сопротивление
рассеяния X s.
На участке cb есть две ветви. Правую ветвь образует идеализирован­
ная нелинейная индуктивность, по которой проходит намагничивающий
ток / ц. Левую ветвь образует активное сопротивление /?с, потери в ко­
тором равны потерям Ps на гистерезис и на вихревые токи в сердечнике
нелинейной индуктивности. По левой ветви течет ток
i c = Pc / u ch.
(15.89)
На рис. 15.50, в изображена векторная диаграмма нелинейной индук­
тивности в соответствии со схемой на рис. 15.50,6. Эта векторная
диаграмма строится так же, как и для обычных линейных схем.
Начнем ее построение с потока Фш.
Потоки Фт и Фх пронизывают обмотку wx (см. рис. 15.50, а) и на­
водят в ней ЭДС самоиндукции.
Напряжение UаЬ на зажимах идеализированной нелинейной индук­
тивности равно по величине и противоположно по знаку ЭДС самоин­
дукции, возникающей в обмотке wx схемы (рис. 15.50, а) под действием
основного потока Фт :
(15.90)
522__________________________Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Деление Фт на л/2 объясняется переходом от амплитудного значе­
ния потока к действующему. Напряжение Ucb на 90° опережает поток
Ф т'.
Ток / — это ток через идеализированную нелинейную индуктив­
ность, в сердечнике которой нет потерь энергии; он на 90° отстает от
напряжения Ucb и по фазе совпадает с потоком Фт . Ток \ с совпадает
по фазе с напряжением Ucb. Определение токов / и / с рассмотрено в
§ 15.67 и 15.68.
По первому закону Кирхгофа,
/ = / ц + / с.
(15.91)
Напряжение Uab на входе схемы равно геометрической сумме напря­
жения Ucb, падения напряжения / R в резистивном сопротивлении и
падения напряжения j І X s в индуктивном сопротивлении рассеяния.
Токи / ц и / с не пропорциональны напряжению Uab, а следователь­
но, и напряжению UаЬ на входе схемы, т. е. если напряжение UаЬ уве­
личить, например, в 1,3 раза, то токи / ц и / с увеличатся не в 1,3 раза, а
в большее число раз.
При построении векторной диаграммы исходили из того, что напряжение Ucb извест­
но. По напряжению Ucb определили токи
и / с. и затем нашли напряжение Uab на
входных зажимах индуктивности.
Обычно известно напряжение Uab, а напряжение Ucb неизвестно. Поэтому при по­
строении векторной диаграммы при заданном UаЬ сначала следует разобраться, может ли
напряжение Ucb в исследуемом режиме работы схемы значительно отличаться от напря­
жения Uab.
Если падения напряжения в сопротивлениях R и Х 5 малы по сравнению с Uab, на­
пример 3-8 % и аЬ, то можно в первом приближении считать, что Ucb * U ah. Если же
падения напряжения в сопротивлениях R и X s соизмеримы с напряжением Ucb, то для
расчета напряжения Ucb необходимо построить векторные диаграммы для нескольких
значений Ucb, например равных 1; 0,9; 0,8; 0,7 от Uab> для каждого из этих значений
Ucb находят Uab, по полученным результатам строят вспомогательную кривую
Vcb - f(Uab)> по которой определяют Ucb при заданном Uab, и затем строят искомую
векторную диаграмму.
§ 15.66. Определение намагничиваю щ его тока. Ток / и его состав­
ляющие / и 1С находят опытным или аналитическим путем, а также с
помощью графических построений.
Рассмотрим их аналитическое определение. Если через / (м) обозна­
чить длину средней магнитной линии на пути в стали (рис. 15.51, а),
8 (м) — длину «воздушного» зазора в магнитной цепи, В (Тл) — мгно­
венное значение магнитной индукции, Н (А/м) — мгновенное значение
напряженности поля в сердечнике, то на основании закона полного тока
мгновенное значение намагничивающего тока
н и ъ м л 01
щ
На векторной диаграмме откладывают действующее значение намаг­
ничивающего тока / ц.
§ 15.67. Определение тока потерь
523
Рис. 15.51
Для определения действующего значения намагничивающего тока нужно в выражении
(15.92) подставить £ m sinco/ вместо В (Bm =<Pm /S), Я заменить на a sh(p Вт sin со /),
разложить гиперболический синус от периодического аргумента в ряд по функциям Бес­
селя (см. формулу (15.9)). Воспользовавшись формулой (7.12), с помощью которой опре­
деляют действующее значение тока через амплитуды отдельных гармоник, получим
a lJ l
w,
0,8 8 Вт -106
2 ct/p
+ U J і U Р Вт))2 + (-J У5 U Р Вт )):2 +....
(15.93)
На
рис. 1 5.51,6
изображена
кривая,
выражающая
....
____
зависимость
/ ц lv,/(*^2 а 1) = / ф Вт) и построенная по (15.93) при 6 = 0. С помощью этой зависи­
мости по Р Вт находят / й W, /(^2 а /), а затем определяют /ц (w ,, а и / известны).
Когда зазор 5 * 0 под корнем в (15.93) надо учесть соответствующее слагаемое.
§ 15.67. Определение тока потерь. Ток 1С, обусловленный потеря­
ми в стальном сердечнике, находят как частное от деления потерь в сер­
дечнике вследствие вихревых токов и гистерезиса на ЭДС, наведенную
рабочим потоком Фт в обмотке wx и равную напряжению Ucb:
lc = PctUcb>
Uch = 0) W, Фт / л/2 = 4,44 / W, Фт,
(15.94)
(15.95)
где Рс = т р с — полные потери в стали от вихревых токов и гистерези­
са, Вт; т — масса сердечника, кг; р с — потери в 1 кг сердечника,
Вт/кг.
Потери в 1 кг электротехнической стали при индукциях 1,0 и 1,5 Тл и частоте 50 Гц
нормированы ГОСТом. Обозначим: р\$ — потери в 1 кг стали при Вт = 1Тл и / = 50 Гц;
Pi ,5 — потери в 1 кг стали при £ = 1,5Тл и / = 50 Гц. Значения Р\чо и Pis приведены
в табл. 15.2.
Таблица
Марка
стали
1511
1512
1513
Р 1.о, Вт/кг, при толщине листа, мм
15.2
Р 1.5, Вт/кг, при толщине листа, мм
0,5
0,35
0,5
0,35
1,6
1,4
1,25
1,35
1,2
1,05
3,6
3,2
2.9
3,2
2,8
2,5
524
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Потери при других индукциях и частотах, мало отличающихся от 50 Гц, определяют
с помощью следующей эмпирической формулы:
Рс = Р\ о В" ( / / 5 0 ) 1-3,
П = 5,69 lg - ^ 1 .
Pi,О
§ 15.68. Основные соотношения для трансформатора со стальн ы м
сердечником. В § 3.39 рассматривались соотношения, характеризующие
работу трансформатора, для которого зависимость между напряженнос­
тью поля и потоком в сердечнике была линейной, а потери в сердечнике
отсутствовали.
Для улучшения магнитной связи между первичной (wj) и вторичной
(>v2) обмотками трансформатора его сердечник выполняют из ферромаг­
нитного материала (рис. 15.51, в)*\
В данном параграфе рассмотрены соотношения, характеризующие
работу трансформатора с учетом того, что зависимость между напряжен­
ностью поля и потоком в ферромагнитном (стальном) сердечнике нели­
нейна и что в сердечнике есть потери, обусловленные гистерезисом и
вихревыми токами.
Для уменьшения тока холостого хода сердечник трансформатора стре­
мятся изготовить таким образом, чтобы он имел возможно меньший воз­
душный зазор, расположенный перпендикулярно магнитному потоку,
либо совсем не имел его.
В силу нелинейной зависимости между потоком и напряженностью
поля в сердечнике по обмоткам трансформатора протекают несинусои­
дальные токи"*.
Анализ работы трансформатора будем проводить, заменив несинусо­
идальные токи и потоки их эквивалентными в смысле действующего зна­
чения величинами: 1Х — комплекс действующего значения тока первич­
ной обмотки; / 2 — комплекс действующего значения тока вторичной
обмотки; Ф1у — комплексная амплитуда основного магнитного потока,
проходящего по сердечнику трансформатора, пронизывающего обмотки
Wj и w2 и наводящего в них ЭДС.
Вследствие наличия рассеяния небольшой по сравнению с Фт по­
ток — поток рассеяния первичной обмотки Ф ь. — замыкается по воз­
духу, образуя потокосцепление только с обмоткой и>,. Другой, также
небольшой по сравнению с Фт поток — поток рассеяния вторичной об­
мотки Фъ — замыкается по воздуху, сцепляясь только с обмоткой w2.
Полагают, что потокосцепление потока Ф)у с обмоткой wx пропор­
ционально току /j :
V
i
( 15. 96)
^Н а рис. 15.51, в и 15.52 для большей наглядности обмотки w, и w2 показаны нахо­
дящимися на разных стержнях. Практически их располагают обычно на одном и том же
стержне.
Несинусоидальность проявляется главным образом в режимах работы, близких к
холостому ходу.
§ 15.68. Основные соотношения для трансформатора со стальным сердечником
525
Коэффициент пропорциональности
между потокосцеплением vjJls
и током 1Х называют индуктивностью рассеяния первичной обмотки;
зависит от числа витков и конструкции обмотки.
Принимают также, что потокосцепление
потока Ф 25 обмот­
кой w2 пропорционально току вторичной цепи / 2 :
vj,2s = w2 Ф2, = Lis h -
(15.97)
Коэффициент пропорциональности Lls между потокосцеплением
v|/2j, обусловленным потоком рассеяния Ф2і., и током І 2 называют ин­
дуктивностью рассеяния вторичной обмотки; L2s зависит от числа
витков и конструкции вторичной обмотки.
Индуктивное сопротивление первичной обмотки, обусловленное по­
током рассеяния Фь.,
хх
, = 0)Li,.
(15.98)
Аналогично, индуктивное сопротивление вторичной обмотки, обус­
ловленное потоком рассеяния Ф25,
Х 2д.=со L2s.
(15.99)
Пусть Rx — резистивное сопротивлениепервичной обмотки; R2 —
резистивное сопротивление вторичной обмотки; ZH — сопротивление
нагрузки.
На рис. 15.52, а изображена схема того же трансформатора, что и на
рис. 15.51, в, но на ней резистивные и индуктивные сопротивления, обус­
ловленные потоками рассеяния, представлены отдельно выделенными
/?!, X Xs, R2, Х ъ . Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для
обеих цепей.
Для первичной цепи
/j Rx 4*j Х хs /j + у со Wj
Д = U\,
л/2
(15.100)
для вторичной цепи
/ 2 R2 + j X 2s i 2 + i 2 Z H+j m w 2 ^ - = 0,
Рис. 15.52
(15.101)
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
526
Ф
где j со wx —ГШг — напряжение, численно равное ЭДС, наводимой в
г объяс­
обмотке wx ^основным рабочим потоком Фт . Деление Фт на V2
няется переходом от амплитудного значения к действующему. Аналогично
Ф
j со н>2 —Д- — напряжение, численно равное ЭДС, наводимой в
^2
обмотке w2 основным рабочим потоком Фт.
Обозначим ток 1Х при холостом ходе трансформатора через / 0. МДС
трансформатора при холостом ходе равна / 0 wx. МДС трансформатора
при наличии тока / 2 составляет I x wx + / 2 w2. Трансформаторы конст­
руируют обычно таким образом, что падения напряжения 1Х Rx и j I x X Xs
ф» Если это учесть,
были много меньше, чем падение напряжения со wx —
Л '
то для правильно сконструированных трансформаторов уравнение
(15.100) запишем так:
j <ow,
(15.102)
л /2
Уравнение (15.102) справедливо как при холостом ходе, так и при на­
грузке, т. е. при переходе от холостого хода к режиму работы при нагрузке
поток Ф т практически остается неизменным по модулю.
Но если в этих двух режимах поток Фт один и тот же, то должны
быть равны и создающие его МДС, т. е.
l\ wx + 12 w2 = / 0 Wj.
(15.103)
Поделив обе части равенства на wx, получим
/,= /0+ 4,
(15.104)
І'і = ~ h — •
wx
(15.105)
где
Таким образом, ток первичной цепи 1Х может быть представлен как
геометрическая сумма двух токов: тока холостого хода / 0 и тока / 2. Ток
/ 2 называют приведенным (к числу витков первичной обмотки) вторич­
ным током. Он численно равен току / 2, измененному в w2 fw x раз.
Кроме того, в правильно сконструированных трансформаторах падеф
ния напряжений / 2 R2 и j / 2 X 2s малы по сравнению с j со w2
поэтому из уравнения (15.101) следует, что
У® w2
(15.106)
§ 15.69. Векторная диаграмма трансформатора со стальным сердечником
527
Если почленно разделить (15.102) на (15.106) и перейти к модулям,
то
U \IU H* w xlw 2,
(15.107)
т. е. отношение напряжения на входе трансформатора к напряжению на
его выходе (на нагрузке) приблизительно равно отношению числа вит­
ков первичной обмотки к числу витков вторичной обмотки.
В правильно сконструированных трансформаторах при нагрузке, близ­
кой к номинальной, ток / 0 составляет 1-10 % тока /,, поэтому уравне­
ние (15.103) можно приближенно представить так:
/] Wj « - 1 2 w2.
Между модулями токов /j и / 2 при нагрузке, близкой к номиналь­
ной, имеет место следующее приближенное соотношение:
/j / / 2 « w2 / W],
(15.108)
т. е. ток /, почти пропорционален току / 2. Эта пропорциональность
немного нарушается за счет тока холостого хода / 0.
В резистивных сопротивлениях вторичной цепи выделяется энергия,
которая переносится магнитным потоком из первичной цепи во вторич­
ную и восполняется источником питания схемы. На рис. 15.52, б изоб­
ражена схема замещения трансформатора со стальным сердечником. Для
ее обоснования уравнение (15.101) умножим на w]/w 2, заменим в нем
ток / 2 на / 2 (wj / w2) в соответствии с (15.105) и у всех слагаемых урав­
нения изменим знаки. В результате получим
/ 2 R2 + / 2 j X's2 + І2 ZH- j со Wj
= 0.
(15.109)
Приведенные сопротивления
R2 = R2 (w, / w2)2;
X ’s2 = X s2 (wj / w2)2;
Z' = ZH(wj / w2)2.
Схема (рис. 15.52, б) удовлетворяет уравнениям (15.100), (15.103) и
(15.109).
§ 15.69. В екторная диаграм м а трансформатора со стальн ы м сер­
дечником. На рис. 15.53, а изображена векторная диаграмма при индук­
тивной нагрузке ZH = RH+ j Х н.
Построение диаграммы начнем с тока / 2, расположив его произволь­
но. Под углом фн = arctg Х н / RH к нему расположим вектор напряжения
на нагрузке UH. Прибавим к вектору 0 Н векторы / 2 R2 и / 2 j X s2. Сум­
ма падений напряжения во вторичной цепи равна нулю, что дает возможФ
ность построить вектор j со w2 —рг. Далее строим вектор Фт (он на 90°
ф
отстает от вектора j со w2 —¥=).
V2
*2
528
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
t / l 1\Л j *s\
, «0 W, фт
J
ГЛД.
Я
со1
ij/j
y v l
h
h J xs i \
. Ч
Ф,
Фт
' U*
'
л
a
Рис. 15.53
В ферромагнитном сердечнике трансформатора, как и в сердечнике
нелинейной индуктивности, есть потери, обусловленные гистерезисом и
вихревыми токами. Вследствие этого ток холостого хода / 0 состоит из
геометрической суммы намагничивающего тока / м и тока потерь / с
(рис. 15.53, б): / 0 = / м + / с.
Ток /„ совпадает по фазе с потоком Фш, а ток 1С опережает поток
определяют так же, как для нелинейной инФт на 90°. Токи
дуктивности с ферромагнитным сердечником.
Ток холостого хода / 0 опережает поток Фт на некоторый угол у.
В соответствии с уравнением (15.104) ток 1Х равен геометрической
W1
Геометрическая сумма падений
сумме тока / 0 и тока / ; = - / 2
Ф„
напряжений 1Х /?!, I x j X sl и j со w x
дает напряжение на входе пер­
вичной цепи (У,.
С целью удобочитаемости на рис. 15.53, а не выдержаны имеющие
место в действительности соотношения между модулями напряжений, а
также между модулями токов.
П ри м ер 160. Повышающий трансформатор имеет сердечник из трансформаторной
стали 1511 при толщине листов 0,5 мм. Кривая намагничивания Н = 0,71sh(5,75 В). Сер­
дечник выполнен из пластин, имеющих кольцевую форму без воздушного зазора; w, = 250,
w2 = 1750, S = 2,2 см2, / = 2 5 см. Пренебрегая Rx и X sX, определить ток холостого
хода / 0 при £/, = 10 В и / = 50 Гц.
Р е ш е н и е . Амплитуда индукции
Вт = —
----- - = 1,22 Тл.
4,44 / w, S
Произведение р Вт = 5,75 • 1,22 = 7,02.
По кривой (рис. 15.51, б) при р Вт = 7,02 находим wx / ц /(а / **2) = 185. Но
а / v 2 / w, =0,71-0,25 V 2 / 250 = 10"J. Следовательно, / ц = 0,185 А.
М асса сердечника при плотности 7,8 г /с м 2 = 7,8 2,2 см2 -25 см = 0,428 кг. Из
табл. 15.2 находим р х0 = 1,6 В т/кг; р х>5 = 3,6 В т/кг; п = 5,69 lg(3,6/l,6) * 1,13.
Удельные потери в стали при Вт = 1,22 Тл р с = 1,6 • 1,22і*13 • 1 = 2,1 Вт / кг. Полные по­
тери в сердечнике массой 0,428 кг Рс = 0,428 •2,1 = 0,9 Вт. Ток, обусловленный потерями
р
в стали, / с * — = 0,9/15 = 0,06 А. Ток холостого хода / 0 практически равен току V
У\
§ 15.70. Субгармонические колебания. Многообразие типов движений..
529
§ 15.70. Субгармонические колебания. Многообразие типов дви­
жений в нелинейны х цепях. Субгармоническими называют колебания,
период которых Гск больше периода Т - 2 т вынуждающей силы e(t).
Число к = Тск/ Т характеризует порядок субгармонических колебаний
(СК). В цепи рис. 15.54, а с нелинейной индуктивностью и нелинейным
конденсатором, имеющими идеально прямоугольные характеристики
R
—
e{t)
ЕГ J
цI
т
J
Uc
/
V
1 ГІk
•
П £ І/Л
лЯ
+ Уп
Л
и!
/
‘
/
1L-f
ис
-V-.
и
Г
н
1
іL
1,5
2,0 \\fm/x Е
E
\
2т
<
4x
3t
5t
6t |
0,5
1,0
*■ckA 1
128-
^
QC
1
и
1
из
II
е
<N
сп
из
і
*-«
rs
II
И
*
1
из
II
из
II
rs
из
II
s
Э1
<N из
1 II
из ьЗ
II
*5
/
Яср Ят 1
1
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
4»
0,1
0,2
1
0,3
і
0,4 0,5
і
0,6
і
0,7 Е0/ Е
3
Рис. 15.54
0,25
0,5
0,75
•__ і__ і__ і__ і_.
530
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
(рис. 15.54, б, в) и резистором R, при воздействии ЭДС e(t) = ±Е. в виде
меандра (рис. 15.54, г) (а в дальнейшем также еще и постоянной ЭДС Е0 )
возникают СК нечетного порядка.
Обозначим а = 2 ц)т /(т Е) и b = 2 R q m/(xE ). Сначала рассмотрим
работу схемы при замкнутом К х и разомкнутом К 2 случае, когда дей­
ствует только e(t) - ±Е. При b > 1 и а < 1 возникает тип движений, по­
казанный на рис. 15.54, г (для этого рисунка а = 0,25 и 6 = 1,5), когда
Г = 2 т и ис - 0 в течение всего периода Т.
При Ь < 1 и a + b < 1 тип движений (назовем его тип Н) иллюстриру­
ет рис. 15.54, д (для этого рисунка а = 0,25 и 6 = 0,5), период Т - 2 т.
Для существования СК в цепи (рис. 15.54, а) необходимо, чтобы а> 1,
b < 1. Порядок к равен сумме смежных чисел натурального ряда, в ин­
тервале между которыми находится сумма а + 6 .
Так, для существования колебаний третьего порядка необходимо, что­
бы 1 < а + b < 2. Физически СК возникают потому, что за время т потокосцепление VJ/ нелинейной индуктивности не успевает измениться на
величину 2 ц /т. Условие 6 < 1 означает, что перезарядка нелинейного
конденсатора на 2 qm должна происходить за время, меньшее т.
Графики ЭДС e ( t\ заряда q, напряжения на конденсаторе ис , тока /
и потокосцепления Ч> при СК третьего порядка ( к = 3, а = 1,25, Ь - 0,5 )
изображены на рис. 15.54, е. При построении кривых учтено, что увели­
чение заряда может иметь место только после того, как У достигло зна­
чения \ут, а уменьшение заряда — только после того, как Ч/ достигло
значения
Дадим пояснения к кривым на рис. 15.54, е. Период СК третьего по­
рядка составляет шесть интервалов длительностью т. К началу первого
интервала е(/) = £ , заряд q = - q m и потокосцепление
=
За пер­
вый интервал времени длительностью т у изменяется от -ц /т до
0,6i|/m. Так как V не достигло значения ц/ш, то перемагничивание сер­
дечника осталось незаконченным. Во второй интервал времени e(t) = - Е
оказывается приложенной к нелинейному конденсатору ис = -Е . В тре­
тий интервал времени под действием ЭДС e(t) = Е происходит три каче­
ственно различных процесса. Сначала заканчивается перемагничивание
сердечника нелинейной индуктивности, когда потокосцепление у изме­
няется от 0,6 ц/т до \\Jm (на это затрачивается время 0,25 т ). После это­
го за 0,5 т заряд нелинейного конденсатора изменяется от - q m до qm
(при этом по цепи течет ток Е ! R)', в оставшуюся часть времени третье­
го интервала (1 — 0,25 — 0,5) т = 0,25 т на нелинейном конденсаторе
появляется напряжение ис = Е. В последующие три интервала времени
каждый длительностью т имеют место процессы качественно такие же,
что и в трех рассмотренных, но движения происходят в обратном направ­
лении.
Диаграммы возможных типов движений в схеме (на рис. 15.54, а),
когда в ней действует ЭДС е (г)~ ± Е , изображены на рис. 15.54, ж.
Заштрихованная область ис - 0 соответствует типу движения
по рис. 15.54, г, область Н — движению по рис. 15.54, д, области
5, 5, 7, Р, 11 — это области субгармонических колебаний соответствен-
§ 15.71. Определение условий перехода от одного типа движений к другому..
531
но 3 - 1 1-го порядка. Если на рис. 15.53, ж провести из начала координат
прямую под углом а к оси абсцисс ( tg a = R q ! \ут; на рисунке
tg a = 0 ,2 ) так, чтобы она прошла через все области, то при плавном
увеличении Е изображающая точка будет двигаться в направлении стрел­
ки, последовательно проходя области / / , 9, 7, 5, 3 ис = О, Я, т. е. при этом
будут получены 7 различных типов движений и все они будут устойчи­
вы. Переход из предыдущей области в последующую обусловлен невоз­
можностью при измененной Е осуществить смену состояний, характер­
ную для предыдущей области.
§ 15.71. О пределение условий перехода от одного типа движ ений к другому. Хаос
субгарм оник. Рассмотрим теперь СК в схеме рис. 15.54, а, когда в ней кроме ЭДС в виде
меандра действует еще и постоянная ЭДС £ 0 (ключ К 2 замкнут,
разомкнут).
Величину £ 0 будем в дальнейшем изменять от 0 до значения Е. Полагаем сначала,
что все возникающие при этом типы движений будут устойчивыми.
Суммарная ЭДС в цепи е в положительный полупериод равна £ + £ 0, в отрицатель­
ный - £ + £ 0. Поэтому процесс перемагничивания и перезарядки в положительный полу­
период происходит быстрее, чем в отрицательный. Для иллюстрации процессов времен­
ными графиками положим Е = 1,6 В; R = 0,4 Ом; х = 1 с;
= 1 В •с; qm = 1 К.
На рис. 15.55, a- ж приведены изменения ЭДС е, у , q, ис , і в функции времени для
нескольких значений Е0 : а — при £ 0 = 0,2; б — при £ 0 =0,3; в — при £ 0 = 0,6; г —
при E q = 0,5; д — при Е0 = 0,55; е — при Е0 = 0,8; ж — при Е0 = 1,2 В.
Используя построения и при других значениях £ 0, можно получить графики
зависимости среднего за период субгармонического колебания Гск значения заряда
1 Гск
<7 ср = ----- ^ q d t (рис. 15.55, а) и среднего за период СК потокосцепления нелинейной
|
СК
индуктивности \|/ср = ----- JV d t (рис. 15.55, б).
о
По оси абсцисс рис. 15.55, а и б отложена постоянная составляющая напряжения на
конденсаторе UCcp, которая в каждом рассматриваемом режиме равна постоянной ЭДС Е0.
При £ 0 = £ (в примере при Е0 = 1,6 В ) qcp становится равным qm (в примере 1 К),
Vcp = П'ю, а /ср — равным нулю.
Зависимость qcp = f(J J cp) имеет //-форму и в диапазоне значений Eq о т £ 7 3 до
Е-
т
на этой зависимости имеется падающий участок,
Кривая vj/cp = f ( U 0) интересна тем, что при относительно малых значениях Е0 по­
токосцепление \уср > 0, а при больших Е0 у ср < 0. При дальнейшем увеличении Е0 (при
Е0 > 1,5 В) у ср снова становится положительным.
На зависимости у ср = f ( E 0) в той же области значений Е0 также имеется падаю­
щий участок.
Так как в схеме рис. 15.54, а есть нелинейный конденсатор НК, то среднее значение
тока за период Тск равно нулю. Период Гск зависит от величины Е0 (см. рис. 15.55, в).
При плавном увеличении Е0 он то увеличивается, то уменьшается.
Каждое очередное изменение периода вызвано невозможностью сохранять смену со­
стояний, которая характерна при меньшем значении Е0. Первое увеличение период от 6 т
до 8 т происходит при £ 0 = 0,2В . Из сопоставления рис. 15.55, а и б видно, что при
Е0 < 0,2 В во второй отрицательный полупериод заряд НК успевает измениться до значе­
ния - qm, Благодаря этому в третий отрицательный полупериод НК оказывается подго­
товленным к принятию на себя отрицательного напряжения - £ + £ 0. Если же £ 0 будет
больше 0,2 В, например 0,3 (см. рис. 15.55, б), то к концу второго отрицательного полупериода заряд q не успевает достичь значения - qm, и потому НК оказывается не подго­
товленным к принятию на себя отрицательного напряжения в третий отрицательный
полупериод. Это и вызывает затягивание процесса.
532
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Рис. 15.55 (начало)
На рис. 15.55, а показан режим непосредственно до перехода от Тск = 6 т к Тск = 8 т.
Для аналитического определения значения Е0, при котором происходит первое изме­
нение периода (с 6 т до 8 т ), учтем, что за время (2 т —А/!) в два первых отрицатель­
ных полупериода (см. рис. 15.55, а) потокосцепление изменяется на 2 vj/m, а з а время A/j
заряд изменяется на 2 qm.
Следовательно,
Д /,= 2 т--^Е - Е0
и
R
h = 2 g m.
Отсюда
Ео = £-Vm /T-<7m Л/тВторое изменение периода (с 8 т до 6 т ) происходит при Е0 = 2 ціm / т - Е = 0,4 В.
Объясняется это тем, что во второй положительный полупериод (см. рис. 15.55, б) за вре­
мя т потокосцепление изменяется на
2 ут =(£ + £0)т.
Отсюда
Е0 = ^ 2 — Е.
Т
§ 15.71. Определение условий перехода от одного типа движений к другому...
533
Рис. 15.55 (окончание)
Третье изменение периода (с 6 т до 4 т ) происходит при £ 0 = £73. Это соотноше­
ние получаем, исходя из того, что всплески токов на рис. 15.55, г имеют место только за
время Д/, и Д/2. Изменения заряда по абсолютной величине равны, поэтому
Е
Eq
Е + Eq
R
------ - Д/, = ------ - Д/л.
R
Здесь
Дл = 2 т-
2 V*,
2у„
Е -Е а
Е + Er\
Увеличение периода с 4 т до 8 т имеет место при Е 0 = 0,6 В. Это увеличение обус­
ловлено тем, что за два отрицательных полупериода вольт-секундная площадь
( Е - Е 0)2 т р а в н а 2 у от.
Последующие изменения периода происходят при
£<>= £ - 72 —т
2 4/ffi
Eq - E - - :
E q - E ! 2,
Е0
З
т
и т. д.
Таким образом, при плавном увеличении Е 0 период субгармонических колебаний
меняется скачками, а сами колебания становятся то четного, то нечетного порядка.
За исключением области значений Е 0 от Е / 3 до £ - \ j/,„ / t , колебания при взятых
сочетаниях параметров оказываются устойчивыми. Можно взять начальные условия
534
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
в
г
Рис. 15.56
существенно отличающимися от тех, которые должны быть к началу установившегося ре­
жима, и через некоторое относительно небольшое время режим становится таким, каким
он был до получения возмущения. Процесс возвращения к установившемуся режиму ил­
люстрируется левой частью рис. 15.55, б.
Воспользуемся рис. 15.56, а, б , в, кривыми рис. 15.55 a - ж и соотношениями, связы­
вающими Е0, Е , \ут/х Е и qm R l x E в каждом интервале изменения Е 0 нарис. 15.55,
для построения областей возможных типов движений в схеме рис. 15.54, а, изображен­
ных на рис. 15.56, г. При nq ! 2 > 0,5 (рис. 15.56, г) субгармонические колебания (СК) от­
сутствуют. Наклонные прямые, отделяющие соседние области, построены по уравнению
ij/т / Е т + qm R! Е х = а
или
п^ 12 + nq 12 = а.
Цифры на рис. 15.56, г указывают порядок возникающих СК. Область, заключенная
между прямыми а - 1 и а - 0,875, соответствует СК третьего порядка; между прямыми
а = 0,875 и а - 0,75 — СК четвертого порядка и т.д.
При определении граничных значений а исходим из того, что для рассматриваемых
на рис. 15.55 типов движений изменение заряда нелинейной емкости только в предельном
случае может достигать значения 2 qm. Граничное значение а = 1 следует из условия су­
ществования СК, рассмотренных в начале § 15.72. Значение а = 0,875 соответствует скач­
кообразному изменению Тск /т на рис. 15.56, в при Е 0 =0,2, когда при Е = 1,6 постоян­
ная ЭДС Е 0 = E - \ \ i m/ x - q m R/x. Отсюда
\\fm / x E + R q m / x E = \ ~ E 0 / E = 0,875.
Граница перехода от СК четвертого порядка к СК третьего порядка ( £ 0 = 0,4, а = 0,75)
определена с учетом того, что за время х + х под действием напряжения Е ~ Е 0 потоко­
сцепление уменьшается со значения +vj/m до значения - у т.
§ 15.72. Автомодуляция. Хаотические колебания {странные аттракторы)
535
Отсюда
х ш 2 Ъ и . Т.
Е -Е
0
За время т + X заряд в пределе может измениться на величину 2 qm при протекании
через нелинейный конденсатор тока ------- т. е.
R
Поэтому
Ет
Ет
=
1-
Ео
0,4
= 0,75.
1,6
В интервале значений Е 0 от Е / 3 до Е - ^ - режим работы цепи неустойчив — ра­
бочая точка находится на падающих участках кривых qcp = f ( U cp) и vj/cp = f ( U cp). Вме­
сто СК второго порядка в цепи возникает хаос. В макросмысле рабочая точка при хаосе
будет перемещаться по штриховой линии на рис. 15.56, а.
§ 15.72. Автомодуляция. Х аотические колебания (стран ны е ат­
тр ак то р ы ). Автомодуляцией называют режим работы нелинейной элек­
трической цепи, находящейся под воздействием периодической вынуж­
дающей силы частотой со, при которой амплитуды токов и напряжений
в цепи периодически изменяются без воздействия внешнего модулирую­
щего фактора. Автомодуляция возникает вследствие неустойчивости пе­
риодического режима работы на частоте вынуждающей силы со. Процесс
оказывается почти периодическим для огибающих амплитуд первых гар­
моник и непериодическим (хаотическим) для мгновенных значений.
Выведем основные зависимости, описывающие процесс автомодуля­
ции в схеме (на рис. 15.57, а) с нелинейным конденсатором, кулон-вольтную характеристику которого в соответствии с § 15.26 выразим в виде
ис = a sh Р q.
Р0
5
4
3 -ft
S
2
1
р
20 40 60 80 UCQ
со t
Рис. 15.57
536
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Так как в цепи действуют постоянная Е и синусоидальная
Ет sin(co / + ф) ЭДС, то заряд q имеет постоянную и синусоидальную
компоненты:
4 = Qo+Qm s i n С И .
Постоянная составляющая напряжения на конденсаторе (см. § 15.16)
Uсо —o t s h р
J 0 (j Р Qm).
Первая гармоника исх = 2 a ch р Q0 ( - j J x (j p Qm)) sin со t, первая гар­
моника тока ix = со Qm cos со t. Если в уравнение цепи
і R + L — + uc = £ 0 + Em sin(o) / + (p)
dt
подставить записанные выражения для /1? UCQ +wc и разбить его в со­
ответствии с методом гармонического баланса на уравнения для посто­
янной составляющей, а также для синусной и косинусной компонент, а
затем два последних уравнения возвести в квадрат и сложить для устра3 Em
R
нения угла Ф, то, введя обозначения а= 7 ™, b = ----- , P i2 o = n >
© L
©L
Р Qm = т> получим два следующих уравнения:
a sh п J 0 (J т) = Е0 = Uco;
(15.110)
b 2 т 2 + (c(~j J | ( j т) ch п - т))2 = а 2.
(15.111)
Решим (15.111) относительно ch«:
с i - j J\ O' т))
(15.112)
Уравнение (15.112) дает связь между п и т , обусловленную парамет­
рами цепи по первой гармонике частоты со, а уравнение (15.110) — по
постоянной составляющей. На рис. 15.57, б изображена зависимость п от
т, построенная по соотношению (15.112) при а. = 0,5; 6 = 0,1; с = 0,054.
Верхний участок кривой соответствует знаку плюс, а нижний — знаку
минус перед радикалом в формуле (15.112).
Задаваясь значениями п в интервале 0-ьб и беря соответствующие им
значения т из рис. 15.57, б, по формуле (15.110) строим зависимость
Р Qo = W c o /° 0 (рис. 15.57, в). Из рисунка видно, что в области значе­
ний £/с о / а = 35-ь60 имеется падающий участок, не прикрытый восхо­
дящими участками.
Из рис. 15.57, в видно, что дифференциальная емкость нелинейного
конденсатора по приращениям постоянных составляющих заряда AQ0
и напряжения ДUCQ на падающем участке зависимости Р Q0 - f ( U C0)
§ 15.72. Автомодуляция. Хаотические колебания {странные аттракторы)
537
отрицательна: Сд0 = ----- ~ < 0 . В соответствии с § 17.2, исследуем,
Л£/Со
устойчиво ли будет положение изображающей точки, если она окажется
на падающем участке этой зависимости, не прикрытом восходящими
ветвями. В исходном положении Uco = Е и среднее за период Т = 1 / /
значение среднего тока /ср = 0. Положим, что Uco получило малое при­
ращение AUC0 > 0 флюктуационного происхождения. Ему будет соответ­
ствовать отрицательное приращение заряда Д<2со = Q o Д^со и отрица­
тельное
приращение
среднего
за
период
тока
в
цепи
Д/ср = Сдо-----< 0- Запишем дифференциальное уравнение для приdt
d
ращений постоянных составляющих L
А/ср + R Д/ср + Аисо = 0.
После алгебраизации ему соответствует характеристическое уравне­
ние
^ Q o р 2 + ^ Q o Р +1 = 0.
Один из двух корней его положителен (т. к. Сд0 < 0)
Р іг = -Т Т Ч \Т Г
что свидетельствует о неустойчивости положения рабочей точки на па­
дающем участке на рис. 15.57, в. Изображающая точка на этом рисунке
будет двигаться по штриховой линии. Движение по штриховой линии
описывает макропроцесс в схеме. Для мгновенных значений тока,
заряда, напряжений на элементах схемы процесс будет являться непери­
одическим. Такого рода непериодические процессы в нелинейных элек­
трических цепях переменного тока, причины возникновения которых
представляются непонятными, в зависимости от степени их упорядочен­
ности, условимся называть автомодуляцией, или хаосом. Если высшие
гармоники в этих процессах в токах и напряжениях будут выражены сла­
бо, то такие процессы будем именовать автомодуляцией, если сильно —
хаосом. Автомодуляцию и хаос можно рассматривать как катастрофу ожи­
даемого периодического режима. В иностранной литературе последних
лет подобные колебания стали называть странными аттракторами (атт­
рактор — это путь от одного типа движения к другому**), самим назва­
нием подчеркивая, что природа его непонятна.
Основная причина возникновения такого рода процессов — проявле­
ние ряда малоизвестных физических явлений, приводящих к возникно­
вению нелинейной неявно выраженной обратной связи, осуществляемой
в той или иной схеме, чаще всего через взаимодействие гармоник раз­
ных частот. При возникновении обратной связи через нелинейное взаи9) Термин «странные аттракторы» предложен в 1971 г. Руэлем и Тиксеном в работе,
посвященной турбулентным движениям в вязкой несжимаемой жидкости при большом
числе Рейнольдса.
538
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
модействие гармоник тока (напряжения) различных частот входная цепь
(для протекания тока одной частоты) и выходная цепь (для протекания
тока другой частоты) могут быть либо совмещены, либо быть раздель­
ными. Выявлению каналов действия такой обратной связи в схемах с
различными управляемыми и неуправляемыми нелинейными элемента­
ми посвящено Приложение П10. В нем показано также, в чем отличие
этих колебаний от автоколебаний в цепях с постоянными во времени
источниками ЭДС или тока.
§ 15.73. К онвергентны е и неконвергентны е электрические цепи.
Познакомимся с понятиями конвергентная и неконвергентная электри­
ческая цепь, используемыми в литературе. Под конвергентной будем по­
нимать цепь, в которой при любых значениях ее элементов, любых на­
чальных условиях и любых периодических источниках питания устанав­
ливается единственно возможный вынужденный режим работы, период
которого равен периоду источника питания. Если же в цепи при некото­
рых значениях ее элементов возможно существование нескольких различ­
ных вынужденных режимов при одном и том же значении входного на­
пряжения или тока, либо в цепи возникает нежелательный режим рабо­
ты, период которого не равен периоду источника питания схемы, или в
цепи возникает хаос или автомодуляция, то такая цепь неконвергентна.
Все линейные электрические цепи с неизменными во времени пара­
метрами конвергентны. Однако некоторые нелинейные электрические
цепи с периодическими источниками при определенных значениях пара­
метров могут оказаться неконвергентными (примеры см. в § 15.58, 15.60,
15.69, 15.70 и в Приложении П10).
Неконвергентными при определенных значениях параметров могут
оказаться и нелинейные цепи, содержащие постоянные во времени
источники ЭДС или тока. К их числу могут быть отнесены некоторые
автоколебательные системы, а также цепи, содержащие нелинейные
резистивные элементы, вольт-амперные характеристики которых имеют
S - или А-образную форму. В ряде автоколебательных систем неконвергентность приводит к тому, что вместо ожидаемого периодического ре­
жима работы в схеме возникают перерывы в работе, биения, автомоду­
ляция или хаос. В системах, содержащих нелинейные элементы с S- или
jV-образными вольт-амперными характеристиками, установившийся ре­
жим работы схемы может оказаться зависящим от предыстории.
§ 15.74. Д уальны е нелинейные цепи переменного тока. Две нели­
нейные электрические цепи (схемы) переменного тока условимся назы­
вать дуальными, если:
1) каждому независимому контуру исходной схемы, а также области,
являющейся внешней по отношению к схеме, соответствует узел в ду­
альной;
2) независимые контуры составлены так, что каждая ветвь исходной
схемы, содержащая нелинейный элемент, входит только в один незави­
симый контур (не входит в соседние) и является периферийной (пункт 2
§ 15.74. Дуальные нелинейные цепи переменного тока
539
в общем случае необязателен, он имеет существенное значение при рас­
чете цепей, если его предполагается провести);
3) образование ветвей дуальной схемы между ее узлами производит­
ся так же, как и для линейных цепей (§ 3.44-3.45) — каждому элементу
исходной схемы соответствует своя ветвь в дуальной;
4) заполнение ветвей дуальной схемы схемными элементами, дуаль­
ными элементам исходной, осуществляется по тому же принципу, что и
в линейном случае с одинаковым масштабным множителем для линей­
ных и нелинейных элементов.
Если это будет выполнено, то физические процессы, происходящие в
исходной схеме по отношению к напряжениям на ее элементах, будут с
точностью до масштабного множителя сопровождаться аналогичными
процессами по отношению к токам в соответствующих ветвях дуальной
схемы.
В качестве примера на рис. 15.58, а изображена исходная схема. В ней
три ветви и два независимых контура. Она содержит два линейных
резистора— Rx и /?2, нелинейное резистивное сопротивление И}^), ли­
б
а
Рис. 15.58
нейную индуктивность 1Ъ и нелинейный конденсатор с вольт-кулоновой
характеристикой uC2(q2). Для образования дуальной схемы в каждом
независимом контуре исходной схемы ставим по точке, обозначив их циф­
рами 1 и 2. Во внешней по отношению к схеме области исходной схемы
ставим точку и обозначаем ее 0. Эти точки будут узлами дуальной схе­
мы, изображенной на рис. 15.58, б. Точки 1 и 0 на рис. 15.58, а соединя­
ем тремя штриховыми линиями, проведенными через элементы первой
ветви, и в дуальной схеме на рис. 15.58, б в эти ветви включаем источ­
ник тока j u нелинейную проводимость ів (фі) и линейную проводимость
g3l дуальные элементам первой ветви. Точки 1 и 2 на рис. 15.58, а со­
единяем двумя штриховыми линиями и на рис. 15.58, б в соответствую­
щие им ветви включаем линейный конденсатор С3 и источник тока у3.
Точку 2 на рис. 15.58, а соединяем с точкой 0 тремя штриховыми линия­
ми, проходящими через резистор R2, нелинейный конденсатор, вольткулоновая характеристика которого uC2(q2), и источник ЭДС е2.
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
540
В дуальной схеме между узлами 2 и 0 включены, соответственно, нели­
нейная индуктивность, вебер-амперная характеристика которой /*(і|/), ли­
нейная проводимость g 32 и источник тока j 2. Если направление обхо­
да к контура совпадает с направлением стрелки на источнике ЭДС ет ,
то в дуальной схеме ток источника тока должен быть направлен к £-узлу,
если не совпадает, то от к -узла. Чтобы выявить соответствие между эле­
ментами исходной схемы и элементами дуальной, составим уравнения по
второму закону Кирхгофа для исходной схемы на рис. 15.58, а (см. урав­
нения (15.113) и (15.114)) и уравнения по первому закону Кирхгофа для
дуальной схемы на рис. 15.58, б (см. уравнения (15.115) и (15.116)) и за­
тем сопоставим их:
tti(/,) + /, Rx+Z,3 —r ( i \ ~ h ) ~ e \ ~ ез>
(15.113)
at
~ L 3 - J - 0 'l ~ ‘2) + u c2 J/2
^2 = ^ 3 - e2;
at
(15.114)
Ів (Фі) + Фі Язі + с з - т : ( Ф і ~ Ф 2) = У і-У з ;
(15.115)
- С з 4 - ( Ф і - ф 2 ) + '<7 ( | ф 2 ^ 0 + ф2 #32 = У з - У 2-
(15.116)
at
at
При составлении уравнений (15.113) и (15.114) учтено, что /3 = іх - / 2
и что заряд q2 = { /‘2 d*- При составлении уравнений (15.115) и (15.116)
учтено, что напряжение на линейном конденсаторе С3 равно q>j -(р 2, а
потокосцепление Ц1 нелинейной индуктивности в схеме на рис. 15.58, б
равно J(p2 d t , поскольку потенциал точки 0 принят равным нулю.
Для того чтобы потенциал точки /, т. е. ср15 изменялся во времени так
же, как ток /\, а потенциал точки 2, т. е. ср2, как /2, отношение анало­
гичных слагаемых в уравнениях (15.113) и (15.115) должно быть одина­
ково и равно произвольно выбранному масштабному числу т (Ом):
13 — (/, - / 2>
d t ---------=
u1 W L = _ii R1_ =
U Фі)
Ф. Яэ.
с 3 А ( ф | _ ф2)
У.
Уз
dt
Отношение аналогичных слагаемых в уравнениях (15.114) и (15.116) так­
же равно т:
=А 3 . =
- с 3 — ( ф , - ф 2)
dt
'« ( /ф г ^ )
^2 231
= ^S L =
Уз
( | 5. 118)
~ h
Из (15.117) следует, что ВАХ нелинейного резистора исходной схе­
мы М](/'і) и АВХ нелинейной проводимости дуальной схемы ів( у х) свя­
заны соотношением
(/j) = m i e (cpj), причем ординаты АВХ /e(q>i)
Вопросы для самопроверки
541
уменьшены в т раз по сравнению с ординатами ВАХ щ ^ ) . Так, если
ВАХ исходной схемы соответствует рис. 15.59, а, то АВХ /Дф]) дуаль­
ной схемы соответствует рис. 15.59, б (т взято равным 10).
и, В
2
1
/, А
-
0 ,2 '
Г
/
исг, В-
J
/
Іа, /
0 ,2
-
2
0,1
о ,г
У
/
1
2
а
/,, А
1
2
U, В
б
1
2
в
<?2, Кл
г
Рис. 15.59
Из (15.118) следует, что вольт-кулоновая характеристика uC2(q2)
нелинейного конденсатора исходной схемы связана с ампервеберной
характеристикой /а(у ) нелинейной индуктивности зависимостью
иС2 (Й2 ) = т *а (чО (см- Рис- 15.59, в и г).
Вопросы для самопроверки
1.
Охарактеризуйте известные вам типы нелинейных резистивных, индуктивных и
емкостных элементов. 2. Как понять выражение «нелинейные элементы являются генера­
торами высших гармоник тока (напряжения)»? 3. Какие преобразования можно осуще­
ствить с помощью нелинейных электрических цепей? 4. Какие физические явления могут
наблюдаться в нелинейных и не могут в линейных цепях с постоянными параметрами?
5. Как из характеристик для мгновенных значений можно получить ВАХ для первых гар­
моник и ВАХ для действующих значений величин? 6 . Проанализируйте зависимость ин­
дуктивного сопротивления для нелинейной индуктивной катушки от амплитуды приложен­
ного напряжения при неизменной частоте со. 7. Качественно начертите семейство ВАХ уп­
равляемой индуктивности и управляемого нелинейного конденсатора и сопоставьте их.
8 . Чем объяснить, что ВАХ управляемой нелинейной индуктивности (см. рис. 15.15, б)
имеют насыщение по напряжению, а ВАХ управляемого нелинейного конденсатора (см.
рис. 15.15, в) — по току? 9. Чем можно объяснить, что постоянная составляющая заряда
0о на нелинейном конденсаторе зависит от амплитуды Qm первой гармоники заряда?
10. Начертите схемы замещения электронной лампы и биполярного и полевого транзис­
торов для малых переменных составляющих. 11. Охарактеризуйте основные положения
известных вам методов расчета периодических процессов нелинейных цепей. 12. Сфор­
мулируйте условия нахождения моментов времени открытия и закрытия диодов. 13. По­
кажите, что для перемагничивания сердечника нелинейной индуктивности от - у т до
+vj/m под действием напряжения u(t) необходимо выполнить условие 2 у т = j^u(t) dt,
а для перезарядки нелинейного конденсатора от - q m до +?т под действием протекаю­
щего через него тока i(t) необходимо выполнить условие 2 qm =f^l i(t)dt, где у*, —
амплитуда потокосцепления; qm — заряд; tx — время перемагничивания (перезарядки).
14. Что понимают под автоколебаниями? Как выявить условия, когда они возникают?
15. В чем причина возникновения субгармонических колебаний? 16. В чем причина воз­
никновения автомодуляции? 17. В чем отличие субгармонических колебаний от автомодуляционных? 18. В чем принципиальное отличие феррорезонанса напряжений и токов от
соответствующих резонансов в линейных цепях? 19. При каких условиях в электричес­
ких цепях могут возникать триггерные явления? 20. Возможны ли триггерные явления в
схеме (см. рис. 15.43, а), если источником питания схемы будет не источник ЭДС, а
источник тока? 21. Можно ли ожидать возникновения триггерных явлений в схеме
542
Гл. 15. Нелинейные электрические цепи переменного тока
(см. рис. 15.45, а ), если на входе ее будет источник ЭДС? 22. Что понимают под частот­
ными характеристиками нелинейных цепей? 23. Чем принципиально отличаются частот­
ные характеристики нелинейных цепей от частотных характеристик аналогичных линей­
ных? 24. В чем сходство и в чем различие в построении векторных диаграмм по первым
гармоникам для линейных и нелинейных цепей? 25. Дайте определение понятий «индук­
тивность рассеяния», «намагничивающий ток», «ток потерь». 26. Постройте векторную
диаграмму трансформатора со стальным сердечником при активно-емкостной нагрузке.
27. Составьте алгоритм расчета нелинейной цепи с учетом первой и одной из высших гар­
моник. 28. К нелинейному резистору с симметричной характеристикой приложено перио­
дическое напряжение без постоянной составляющей. Можно ли утверждать, что протека­
ющий через него ток не может содержать постоянную составляющую? 29. Электрическая
цепь без потерь состоит из последовательно соединенных линейной индуктивности L
и нелинейного конденсатора, кулон-вольтная характеристика которого описана выражением
ис = ashbq. Вывести формулу для угловой частоты свободных колебаний со0 в цепи,
полагая, что при
/=0
ток
/ = 0,
а заряд q равен
<7 (0 ).
(Ответ:
со0 =
—■
—- , где К — эллиптический интеграл первого рода.) 30. Решите
ch—
2
задачи 10.9; 10.10; 10.20; 10.23; 10.37; 10.38; 10.39; 10.41; 10.48; 10.58; 10.61.
Глава шестнадцатая
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
§ 16.1. Общ ая характеристика методов анализа и расчета переход­
ных процессов. Методы анализа и расчета переходных процессов в
нелинейных цепях могут быть классифицированы:
а) по виду основных операций, которые необходимо выполнять для
интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, — на гра­
фические (графоаналитические) и аналитические;
б) по характеру величины, для которой производится расчет (по мгно­
венным значениям токов и напряжений), по мгновенным значениям оги­
бающих токов и напряжений (их первых гармоник) либо по мгновенным
значениям медленно меняющихся средних за период внешнего воздей­
ствия значений.
Под графическими {графоаналитическими) понимают такие методы,
в которых основными операциями при определении зависимости от вре­
мени искомых токов и напряжений являются графические построения,
нередко сопровождаемые и некоторыми вспомогательными числовыми
подсчетами.
В графических методах характеристики нелинейных элементов обыч­
но не требуется выражать аналитически (см. § 16.2 и 16.3).
Аналитическими называют такие методы, в которых основной опера­
цией при определении зависимости искомых токов и напряжений от вре­
мени является точное (приближенное) интегрирование дифференциаль­
ных уравнений цепи, с использованием аналитических выражений харак­
теристик нелинейных элементов.
Рассмотрены следующие аналитические методы:
1) метод интегрируемой нелинейной аппроксимации (см. § 16.3);
2) метод кусочно-линейной аппроксимации (см. § 16.4);
3) метод медленно меняющихся амплитуд (см. § 16.6);
4) метод малого параметра (см. § 16.7);
5) метод интегральных уравнений (см. § 16.8).
Графические методы (§ 16.2 и 16.3) имеют следующие преимущества
перед аналитическими:
а)
нет необходимости выражать характеристики нелинейных элемен­
тов аналитически, что позволяет избавиться от погрешностей, связанных
с аналитическим представлением характеристик;
6) простота учета гистерезиса и других сложных нелинейных зависи­
мостей.
В свою очередь, аналитические методы также имеют перед графиче­
скими преимущества. Из них основным является то, что они дают воз­
можность получить решение в общем виде, а не для какого-то одного
конкретного сочетания параметров. Получить решение в общем виде
544
Гл. 16. Переходные процессы в нелинейных электрических цепях
желательно потому, что анализ его позволяет выяснить все особенности
процесса при изменении всех параметров.
Как упоминалось, все методы расчета могут быть подразделены на две
подгруппы:
1) расчет по мгновенным значениям токов и напряжений;
2) расчет по мгновенным значениям огибающих токов и напряжений.
Расчет по огибающим важен тем, что он дает возможность, не вд