Maxsus funksiyalar1

’ÇÁÅÊÈÑÒÎÍ ÐÅÑÏÓÁËÈÊÀÑÈ
ÎËÈÉ ÂÀ ’ÐÒÀ ÌÀÕÑÓÑ ÒÀÚËÈÌ ÂÀÇÈÐËÈÃÈ
ÔÀЁÎÍÀ ÄÀÂËÀÒ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÈ
À.‰. ’ÐÈÍÎÂ
ÌÀÕÑÓÑ
ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
ÂÀ
ÌÀÕÑÓÑ
ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
ÔÀЁÎÍÀ - 2011
ÓÄÊ 517.95
’ðèíîâ À.‰. Ìàõñóñ ôóíêöèÿëàð âà ìàõñóñ îïåðàòîðëàð. Ôàð¡îíà, 2011. - 108 áåò.
Ìàçêó𠲩óâ ©²ëëàíìà ìàãèñòðàòóðàíèíã 5À 460102 "Äèôôåðåíöèàë òåíãëàìàëàð"ìóòàõàññèñëèãè òàúëèì ñòàíäàðòè àñîñèäà
¼çèëãàí á²ëèá, áàúçè ìàõñóñ ôóíêöèÿëàð âà ìàõñóñ îïåðàòîðëàðíè
êèðèòèø âà ²ðãàíèøãà áà¡èøëàíãàí. Óíäàí þ©îðè êóðñ òàëàáàëàðè,
àñïèðàíòëàð âà èëìèé õîäèìëàð µàì ôîéäàëàíèøè ìóìêèí.
Ôàð¡îíà äàâëàò óíèâåðñèòåòè Èëìèé Êåíãàøè òîìîíèäàí íàøðãà
òàâñèÿ ©èëèíãàí (2011 éèë, 27 èþíü, 10 áà¼ííîìà).
Ìàñúóë ìóµàððèð:
Çèêèðîâ Î.C. ôèçèêà - ìàòåìàòèêà ôàíëàðè äîêòîðè.
Òà©ðèç÷èëàð:
Ýðãàøåâ Ò.Ã. ôèçèêà - ìàòåìàòèêà ôàíëàðè íîìçîäè, äîöåíò;
Êàðèìîâ Ø.Ò. ôèçèêà - ìàòåìàòèêà ôàíëàðè íîìçîäè, äîöåíò.
’çáåêèñòîí Ðåñïóáëèêàñè
ìóñòà©èëëèãèíèíã
20 éèëëèãèãà áà¡èøëàéìàí
Ѳç áîøè
Ìàìëàêàòèìèç ìóñòà©èëëèêêà ýðèøãàíèäàí ñ²íã ²òãàí 20 éèë äàâîìèäà âàòàíèìèçäà ìàúíàâèé-ìàúðèôèé, è©òèñîäèé âà ñè¼ñèé ñîµàëàð
á²éè÷à óëêàí èñëîµîòëàð àìàëãà îøèðèëäè âà íàòèæàäà ’çáåêèñòîí
Ðåñïóáëèêàñè æàµîí µàìæàìèÿòèäà ìóñòàµêàì ²ðèíãà ýãà á²ëäè. ’òêàçèëãàí èñëîµîòëàð è÷èäà, àéíè©ñà, ìàúíàâèé-ìàúðèôèé ñîµàäà, æóìëàäàí, òàúëèì ñîµàñèäà áàæàðèëãàí èøëàð ìóµèì àµàìèÿò êàñá ýòàäè.
×óíêè, áóíäà àñîñèé ýúòèáîð, êåëàæàêäà ìàìëàêàòèìèç ìóñòà©èëëèãèíè òàúìèíëàø âà óíè áóþê äàâëàòãà àéëàíòèðèøäåê óëêàí âàçèôàëàðíè áàæàðèøè çàðóð á²ëãàí áàðêàìîë àâëîä òàðáèÿñè âà òàúëèìèãà ©àðàòèëãàí. Øó íó©òàè íàçàðäàí êåëèá ÷è©èá, ²òãàí äàâð ìîáàéíèäà òàúëèì ñîµàñè æàµîí àíäîçàëàðèãà ìîñ µîëäà òóáäàí èñëîµ ©èëèíäè. Òàúëèìíèíã áàòàìîì ÿíãè êàñá-µóíàð êîëëåæè âà àêàäåìèê ëèöåé, áàêàëàâðèàò âà ìàãèñòðàòóðà êàáè ÿíãè áàñ©è÷ëàðè æîðèé ©èëèíäè. Óëàðãà
ìîñ òàúëèì ñòàíäàðòëàðè âà òàúëèì äàñòóðëàðè èøëàá ÷è©èëäè. ßíãè
òàëàáëàð àñîñèäà äàðñëèêëàð, ²©óâ ©²ëëàíìàëàð, ìàñàëàëàð ò²ïëàìëàðè, ýëåêòðîí äàðñëèêëàð âà áîø©à òàúëèìèé èøëàíìàëàð ÿðàòèø é²ëãà
©²éèëäè âà ÿðàòèëäè.
Ìàçêó𠲩óâ ©²ëëàíìà ìàãèñòðàòóðàíèíã 5À 460102 - "Äèôôåðåíöèàë òåíãëàìàëàð" ìóòàõàññèñëèãè òàúëèì ñòàíäàðòèãà ìîñ µîëäà
òóçèëãàí á²ëèá, ìóàëëèôíèíã Ôàð¡îíà äàâëàò óíèâåðñèòåòèäà 2000 éèëäàí áîøëàá µîçèðãà÷à ²©èëãàí ìàúðóçàëàðè àñîñèäà ¼çèëãàí. Ó èêêè
á²ëèìäàí èáîðàò á²ëèá, áèðèí÷è á²ëèìäà ìàõñóñ ôóíêöèÿëàð âà óëàðíèíã õîññàëàðè áà¼í ©èëèíãàí. Èêêèí÷è á²ëèì ýñà ìàõñóñ îïåðàòîðëàð
êèðèòèø âà ²ðãàíèøãà áà¡èøëàíãàí.
Áèðèí÷è á²ëèì áåø ïàðàãðàôäàí èáîðàò á²ëèá, óíäà Ýéëåðíèíã
ãàììà- âà áåòà-ôóíêöèÿëàðè, Áåññåë ôóíêöèÿëàðè âà Ãàóññíèíã ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿëàðè êàáè êëàññèê ìàõñóñ ôóíêöèÿëàð áèëàí áèð
©àòîðäà, µîçèðãè çàìîí èëìèé òàä©è©îò èøëàðèäà êåíã èøëàòèëà¼òãàí
F1 , F2 , F3 , H2 êàáè Ãîðí ôóíêöèÿëàðè âà H3 , Σ2 áóçèëãàí ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿëàð µàì áà¼í ©èëèíãàí. Áóíäà áàúçè çàðóðèé ôîðìóëàëàð
èñáîòñèç êåëòèðèëãàí.
Èêêèí÷è á²ëèì µàì áåø ïàðàãðàôäàí èáîðàò á²ëèá, óíäà äàñòëàá
Ãåëüäåð øàðòè, Àáåë èíòåãðàë òåíãëàìàëàðè êàáè ¼ðäàì÷è ìàúëóìîòëàð êåëòèðèëèá, óëàð ¼ðäàìèäà ôóíêöèÿíèíã Ðèìàí-Ëèóâèëë ìàúíîñè-
4
Ѳç áîøè
äàãè êàñð òàðòèáëè èíòåãðàëè âà êàñð òàðòèáëè µîñèëàñè òóøóí÷àëàðè
êèðèòèëãàí. Ѳíãðà çàìîíàâèé ìàòåìàòèê òàä©è©îòëàðäà ìóµèì ðîëü
²éíà¼òãàí Ðèìàí-Ëèóâèëë èíòåãðî-äèôôåðåíöèàë îïåðàòîðëàðè êèðèòèëãàí âà ²ðãàíèëãàí.
Ãèïåðáîëèê òèïäàãè ñïåêòðàë ïàðàìåòðëè òåíãëàìàëàðíè ²ðãàíèøäà ìóµèì ðîëü ²éíàéäèãàí
(ÿäðîñèäà Áåññåë ôóíêöèÿñè èøòèðîê ýòóâ
s,λ
s = 0, 1 îïåðàòîðëàð âà Ðèìàí-Ëèóâèëë äèôôåðåíöè÷è) As,λ
ax , Bax
s,λ
àë îïåðàòîðëàðèíè
Áåññåë ôóíêöèÿñè ¼ðäàìèäà óìóìëàøòèðóâ÷è Cax
s = 0, 1 îïåðàòîðëàð èêêèí÷è á²ëèìíèíã ò²ðòèí÷è ïàðàãðàôèäàí æîé
îëãàí. Á²ëèìíèíã îõèðãè ïàðàãðàôèäà ýñà Ðèìàí-Ëèóâèëë îïåðàòîðëàðèíè Ãàóññíèíã ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿñè ¼ðäàìèäà óìóìëàøòèðóâ÷è
Fax - óìóìëàøãàí êàñð òàðòèáëè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàë îïåðàòîðëàð
êèðèòèëãàí.
Øóíè òàúêèäëàá ²òèø çàðóðêè, ìàõñóñ ôóíêöèÿëàð âà îïåðàòîðëàð íàçàðèÿñè æóäà êåíã âà ÷ó©óð ²ðãàíèëãàí á²ëèá, áó ©²ëëàíìàäà
Ôàð¡îíà äèôôåðåíöèàë òåíãëàìàëàð ìàêòàáèäà ²òêàçèëà¼òãàí èëìèé
òàä©è©îòëàðäà ôîéäàëàíèá êåëèíà¼òãàí ìàõñóñ ôóíêöèÿëàð âà ìàõñóñ
îïåðàòîðëàð êåëòèðèëãàí.
Ìàçêó𠲩óâ ©²ëëàíìà ìàãèñòðàòóðà òàëàáàëàðèãà ì²ëæàëëàíãàí
á²ëñàäà, óíäàí áàêàëàâðèàòíèíã ìàòåìàòèêà é²íàëèøè á²éè÷à òàúëèì
îëà¼òãàí þ©îðè êóðñ òàëàáàëàðè, àñïèðàíòëàð âà èëìèé õîäèìëàð µàì
ôîéäàëàíèøè ìóìêèí. Ó ìóñòà©èë Âàòàíèìèç èëì-ôàíèíè ðèâîæëàíòèðèøãà ìóíîñèá µèññà ©²øàäè äåãàí óìèääàìàí.
Ìóàëëèô
ÁÈÐÈÍ×È Á’ËÈÌ
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
1-Ÿ. Õîñìàñ èíòåãðàëëàð
1. ×åãàðàëàíìàãàí ôóíêöèÿíèíã èíòåãðàëè.
×åêëè [a, b] îðàëè©äà áåðèëãàí âà áó îðàëè©äà èíòåãðàëëàíìàéäèãàí f (x) ôóíêöèÿíè ©àðàéëèê. Àíè©ðî© àéòãàíäà, áó ôóíêöèÿ èñòàëãàí [a, b − ε] îðàëè©äà (áó åðäà 0 < ε < b − a) èíòåãðàëëàíóâ÷è á²ëèá,
[b − ε, b] îðàëè©äà èíòåãðàëëàíìàéäèãàí á²ëñèí. Ó µîëäà b íó©òàíèíã
ÿ©èíèäà f (x) ôóíêöèÿ ÷åãàðàëàíìàãàí á²ëàäè, ÿúíè x → b äà f (x)
ôóíêöèÿ ÷åêñèçëèêêà èíòèëàäè. Áóíäàé µîëäà, b íó©òà ìàõñóñ íó©òà
äåá àòàëàäè.
b−ε
R
Àãàð ε → 0 äà
f (x) dx èíòåãðàë ó÷óí àíè© ÷åêëè ¼êè ÷åêñèç ëèa
ìèò ìàâæóä á²ëñà, áó ëèìèòíè f (x) ôóíêöèÿäàí a äàí b ãà÷à îëèíãàí
(õîñìàñ) èíòåãðàë äåéèëàäè âà
Zb
b−ε
Z
f (x) dx = lim
f (x) dx
ε→0
a
(1)
a
áèëàí áåëãèëàíàäè.
Áóíäàé ÷åêëè ëèèò ìàâæóä á²ëãàíäà (1) èíòåãðàë ÿ©èíëàøóâ÷è
äåéèëèá, f (x) ôóíêöèÿ [a, b] îðàëè©äà èíòåãðàëëàíóâ÷è äåéèëàäè. Àãàð
(1) ëèìèò ÷åêñèçãà òåíã ¼êè ìàâæóä á²ëìàñà, èíòåãðàë ò²¡ðèñèäà, ó
óçî©ëàøóâ÷è äåéèëàäè.
Ýíäè f (x) ôóíêöèÿ èñòàëãàí [a + ε, b] (0 < ε < b − a) îðàëè©äà
÷åãàðàëàíãàí âà èíòåãðàëëàíóâ÷è á²ëèá, a (ìàõñóñ) íó©òàäàí ²íãäàãè
µàð áèð [a, a + ε] îðàëè©äà èíòåãðàëëàíìàéäèãàí á²ëñèí.
Ó µîëäà f (x) ôóíêöèÿíèíã a äàí b ãà÷à îëèíãàí (õîñìàñ) èíòåãðàëè
óøáó
Zb
Zb
f (x) dx = lim
f (x) dx
(2)
a
òåíãëèê áèëàí àíè©ëàíàäè.
ε→0
a+ε
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
6
Àãàð a âà b íó©òàëàðíèíã èêêàëàñè µàì f (x) ôóíêöèÿ ó÷óí ìàõñóñ
íó©òà á²ëñà, ó µîëäà a äàí b ãà÷à á²ëãàí èíòåãðàëíèíã òàúðèôè
b−ε
Z 1
Zb
f (x) dx = lim
ε1 →0
ε2 →0
a
f (x) dx
(3)
a+ε2
òåíãëèê îð©àëè áåðèëàäè. (3) òàúðèôíè
Zb
Zc
Zb
f (x) dx =
f (x) dx +
a
a
f (x) dx
c
òåíãëèê áèëàí àëìàøòèðèø ìóìêèí, áó åðäà a < c < b âà ²íãäàãè
èêêàëà õîñìàñ èíòåãðàë ìàâæóä äåá ôàðàç ©èëèíàäè (øó áèëàí áèðãà
áóíäà c íó©òàíèíã ©àíäàé òàíëàíèøè àµàìèÿòãà ýãà ýìàñ).
Ìàõñóñ íó©òàëàð áèð ©àí÷à (÷åêëè) á²ëãàíäà, õîñìàñ èíòåãðàë
Zb
f (x) dx
a
©àíäàé òàúðèôëàíèøèíè òóøóíèø ©èéèí ýìàñ.
Àãàð c ∈ [a, b] á²ëèá, c íó©òà àòðîôèäà f (x) ôóíêöèÿ ÷åãàðàëàíìàãàí á²ëñà, ó µîëäà f (x) ôóíêöèÿíèíã [a, b] îðàëè© á²éè÷à èíòåãðàëè
[a, b] íè [a, c] âà [c, b] îðàëè©ëàðãà àæðàòèá, ñ²íãðà áó îðàëè©ëàð ó÷óí
(1) âà (2) òàúðèôëàðíè ©²ëëàø áèëàí àíè©ëàíàäè, ÿúíè
c−ε
Z 1
Zb
f (x) dx = lim
f (x) dx + lim
ε1 →0
a
Zb
ε2 →0
c+ε2
a
f (x) dx.
2. ×åãàðàëàðè ÷åêñèç á²ëãàí õîñìàñ èíòåãðàë.
Ôàðàç ©èëàéëèê, f (x) ôóíêöèÿ [a, +∞) îðàëè©äà, ÿúíè x ≥ a ëàð
ó÷óí àíè©ëàíãàí á²ëèá, îðàëè©íèíã èñòàëãàí ÷åêëè [a, A] ©èñìèäà èíRA
òåãðàëëàíóâ÷è á²ëñèí. Äåìàê, f (x) dx èíòåãðàë èñòàëãàí (A > a) äà
a
ìàúíîãà ýãà.
Àãàð A → +∞ äà áó èíòåãðàë ó÷óí àíè© ÷åêëè ¼êè ÷åêñèç ëèìèò
ìàâæóä á²ëñà, óíè f (x) ôóíêöèÿíèíã a äàí +∞ ãà÷à á²ëãàí îðàëè©äàãè
Õîñìàñ èíòåãðàëëàð
7
(õîñìàñ) èíòåãðàëè äåá àòàëàäè âà ©óéèäàãè÷à áåëãèëàíàäè:
+∞
Z
ZA
f (x) dx = lim
f (x) dx.
(4)
A→+∞
a
a
×åêëè ëèìèò ìàâæóä á²ëãàí µîëäà (4) èíòåãðàëíè ìàâæóä ¼êè
ÿ©èíëàøóâ÷è, f (x) ôóíêöèÿíè ýñà ÷åêñèç [a, +∞) îðàëè©äà èíòåãðàëëàíóâ÷è äåéèëàäè. Àãàð (4) ëèìèò ÷åêñèç ¼êè ìóòëî©î ìàâæóä á²ëìàñà, èíòåãðàë ò²¡ðèñèäà, ó óçî©ëàøóâ÷è äåéèëàäè.
f (x) ôóíêöèÿíèíã −∞ äàí a ãà÷à á²ëãàí îðàëè©äàãè èíòåãðàëè µàì
(4) ãà ²õøàø òàúðèôëàíàäè:
Za
Za
f (x) dx =
lim
f (x) dx
A0 →−∞
(A0 < a)
(5)
A0
−∞
f (x) ôóíêöèÿíèíã −∞ äàí +∞ ãà÷à á²ëãàí îðàëè©äàãè èíòåãðàëè
µàì õóääè øó ñèíãàðè òàúðèôëàíàäè:
+∞
Z
f (x) dx =
−∞
ZA
lim
f (x) dx.
A0 →−∞
A→+∞ A0
(6)
(4) èíòåãðàë êàáè (5) âà (6) ëàð µàì õîñìàñ èíòåãðàë äåéèëàäè.
(6) íèíã ²íã òîìîíèäàãè èíòåãðàëíè èñòàëãàí a îëèá ©óéèäàãè÷à ¼çà
îëàìèç:
ZA
Za
ZA
f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx.
A0
A0
a
Áó åðäà A → −∞, A → +∞ äà ÷àïäàãè èíòåãðàë ó÷óí ëèìèòíèíã ìàâæóäëèãè, ðàâøàíêè, ²íãäàãè èíòåãðàëëàð ó÷óí (4) âà (5) ëèìèòëàðíèíã
Ra
àéðèì-àéðèì ìàâæóäëèãèãà òåíã êó÷ëèäèð. Øóíäàé ©èëèá,
f (x) dx
0
−∞
âà
+∞
R
f (x) dx èíòåãðàëëàð àéðèì-àéðèì ìàâæóä á²ëãàíäà −∞ äàí +∞
a
ãà÷à á²ëãàí èíòåãðàëíè óøáó
+∞
+∞
Z
Za
Z
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
−∞
−∞
a
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
8
òåíãëèê áèëàí òàúðèôëàø ìóìêèí. Áó òàúðèô àñëèäà a íó©òàíèíã òàíëàíèøèãà áî¡ëè© ýìàñ.
2-Ÿ Ýéëåð èíòåãðàëëàðè
1. Áèðèí÷è òóð Ýéëåð èíòåãðàëè (áåòà-ôóíêöèÿ). Áåòà-ôóíêöèÿ
óøáó
Z1
B (a, b) =
b−1
xa−1 (1 − x)
dx
(7)
0
òåíãëèê áèëàí àíè©ëàíàäè. Áó òåíãëèêíèíã ²íã òîìîíèäàãè èíòåãðàë
Ýéëåðíèíã áèðèí÷è òóð èíòåãðàëè äåéèëàäè.
ʲðñàòèø ©èéèí ýìàñêè, a > 0 âà b > 0 á²ëãàíäà (7) èíòåãðàë ÿ©èíëàøóâ÷è, àãàð a âà b ïàðàìåòðëàðíèíã áèðîðòàñè íîëãà òåíã ¼êè íîëäàí
êè÷èê á²ëñà, óçî©ëàøóâ÷è á²ëàäè.
(7) èíòåãðàëäà x = 1 − t àëìàøòèðèø áàæàðèá,
Z1
B (a, b) =
a−1
tb−1 (1 − t)
dt = B (b, a)
0
òåíãëèêíè µîñèë ©èëàìèç. Äåìàê, áåòà-ôóíêöèÿ ²çèíèíã a âà b àðãóìåíòëàðèãà íèñáàòàí ñèììåòðèê ôóíêöèÿ ýêàí.
Ýíäè (7) èíòåãðàëíè á²ëàêëàá èíòåãðàëëàéìèç. Á²ëàêëàá èíòåãðàëëàø àìàëëàðèíè
b−1
u = (1 − x)
,
b−2
du = − (b − 1) (1 − x)
dv = xa−1 dx,
v=
dx,
1 a
x
a
êàáè áàæàðèá âà óøáó
xa = xa−1 − xa−1 (1 − x)
àéíèÿòíè ýúòèáîðãà îëñàê, b > 1 äà ©óéèäàãèãà ýãà á²ëàìèç:
B (a, b) =
(1 − x)b−1 xa
a
Z1
1
+
0
0
xa
b−2
(b − 1) (1 − x)
dx =
a
Ýéëåð èíòåãðàëëàðè
b−1
=
a
Z1
a−1
x
b−2
(1 − x)
b−1
dx −
a
0
Z1
9
b−1
xa−1 (1 − x)
dx =
0
b−1
b−1
B (a, b − 1) −
B (a, b) .
a
a
Áóíäàí óøáó ðåêóððåíò ôîðìóëà êåëèá ÷è©àäè:
=
B (a, b) =
b−1
B (a, b − 1) .
a+b−1
(8)
Áåòà-ôóíêöèÿ a âà b ãà íèñáàòàí ñèììåòðèê á²ëãàíè ó÷óí
B (a, b) =
a−1
B (a − 1, b) .
a+b−1
(9)
(8) âà (9) ôîðìóëàëàðãà àñîñàí
(a − 1) B (a − 1, b) = (b − 1) B (a, b − 1) .
Àãàð a − 1 = p, b − 1 = q äåñàê, ó µîëäà
q
B (p, q + 1) = B (p + 1, q) .
p
Àãàð b ïàðàìåòð áóòóí ñîíãà òåíã á²ëñà, ÿúíè b = n á²ëñà, B(a, n)
ôóíêöèÿãà (8) ôîðìóëàíè êåòìà-êåò ©²ëëàø íàòèæàñèäà
B (a, n) =
n−1
n−2
n−3
1
...
B (a, 1)
a+n−1a+n−2a+n−3 a+1
òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç. Àììî
Z1
B (a, 1) =
xa−1 dx =
1
a
0
á²ëãàíè ó÷óí
B (a, n) = B (n, a) =
1 · 2 · 3... (n − 1)
.
a · (a + 1) · (a + 2) · ... · (a + n − 1)
Àãàðäà a ïàðàìåòð µàì áóòóí ñîíãà òåíã á²ëñà, ÿúíè a = m ∈ N á²ëñà, (9) ôîðìóëàíè êåòìà-êåò ©²ëëàø íàòèæàñèäà ©óéèäàãè òåíãëèêíè
µîñèë ©èëàìèç:
B (m, n) =
1 · 2 · 3... (n − 1)
· B (m, 1) =
(m + 1) (m + 2) ... (m + n − 1)
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
10
=
m−1m−2 1
1 · 2 · 3... (n − 1)
·
... B (1, 1) ,
(m + 1) (m + 2) ... (m + n − 1)
m m−1 2
áóíäàí, B (1, 1) = 1 á²ëãàíè ó÷óí
B (m, n) = B (n, m) =
(n − 1) ! (m − 1) !
.
(m + n − 1) !
Ýíäè (7) ôîðìóëàäà a = b äåñàê,
Z1
B (a, a) =
a−1
x
a−1
(1 − x)
Z1 "
dx =
0
1
−
4
2 #a−1
1
−x
dx
2
0
¼êè
Z1/2"
B (a, a) = 2
1
−
4
2 #a−1
1
−x
dx.
2
0
Îõèðãè èíòåãðàëäà 1 − 2x =
B (a, a) = 2
√
t àëìàøòèðèø áàæàðàìèç. Ó µîëäà
1−2a
Z1
t−1/2 (1 − t)a−1 dt
0
¼êè
B (a, a) = 21−2a B
(7) èíòåãðàëäà
x=
1
,a .
2
(10)
y
x
¼êè y =
1+y
1−x
àëìàøòèðèøíè áàæàðñàê, áåòà-ôóíêöèÿ ©óéèäàãè ê²ðèíèøäà ¼çèëàäè:
+∞
Z
B (a, b) =
y a−1
a+b
0
(1 + y)
dy.
Áó ôîðìóëàäà 0 < a < 1 µèñîáëàá, b = 1 − a äåñàê,
+∞
Z
B (a, 1, −a) =
0
y a−1
dy.
1+y
(11)
Ýéëåð èíòåãðàëëàðè
11
•îñèë ©èëèíãàí èíòåãðàë ìàòåìàòèê àíàëèçäà Ýéëåð èñìè áèëàí
áî¡ëàíãàí èíòåãðàë á²ëèá, óíèíã ©èéìàòè π/sin(πa) ãà òåíãäèð. Øóíäàé
©èëèá, 0 < a < 1 äà
π
B (a, 1 − a) =
.
(12)
sin(πa)
Àãàð õóñóñèé µîëäà, a = 1 − a = 1/2 äåñàê,
1 1
B
,
=π
2 2
(13)
µîñèë á²ëàäè.
2. Èêêèí÷è òóð Ýéëåð èíòåãðàëè (ãàììà-ôóíêöèÿ).
Ãàììà- ôóíêöèÿ óøáó
Γ (a) =
+∞
Z
xa−1 e−x dx
(14)
0
èíòåãðàë áèëàí àíè©ëàíàäè âà áó èíòåãðàë èêêèí÷è òóð Ýéëåð èíòåãðàëè äåá àòàëàäè.
Áó èíòåãðàë a > 0 äà ÿ©èíëàøóâ÷è,a ≤ 0 äà ýñà óçî©ëàøóâ÷èäèð.
Á²ëàêëàá èíòåãðàëëàø íàòèæàñèäà óøáóíè
+∞
+∞
+∞
Z
Z
Z
a−1 −x
a −A
a −x
a
x
e dx = lim A e +
x e dx =
xa e−x dx,
A→+∞
0
0
0
ÿúíè
Γ (a + 1) = aΓ (a)
(15)
ðåêóððåíò ôîðìóëàíè µîñèë ©èëàìèç.
Áó ôîðìóëàíè êåòìà-êåò ©²ëëàá, ©óéèäàãèãà ýãà á²ëàìèç:
Γ (a + n) = (a + n − 1) (a + n − 2) ... (a + 1) aΓ (a) .
Àãàð áóíäà a = 1 äåñàê âà
+∞
Z
Γ (1) =
e−x dx = 1
(16)
0
á²ëèøèíè ýúòèáîðãà îëñàê, ó µîëäà
Γ (n + 1) = n!
(17)
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
12
êåëèá ÷è©àäè. n = 0 á²ëãàíäà (17) ôîðìóëà 0! = Γ (1) = 1 ê²ðèíèøãà
ýãà á²ëàäè.
Øó ïàéòãà÷à ãàììà - ôóíêöèÿäà a > 0 äåá µèñîáëàäèê âà óíèíã
©èéìàòè ñèôàòèäà (14) èíòåãðàëíèíã ©èéìàòèíè îëäèê. Ãàììà - ôóíêöèÿíèíã (15) õîññàñè óíè a íèíã ìàíôèé ©èéìàòëàðèäà µàì àíè©ëàøãà
¼ðäàì áåðàäè.
Ýíã àââàëî a > 0 äà Γ (a) > 0 âà Γ (1) = 1 á²ëãàíëèãè ó÷óí (15) äàí
lim Γ (a + 1) = +∞,
a→+∞
lim Γ (a) = lim
a→+0
a→+0
Γ (a + 1)
= +∞
a
ýêàíëèãè êåëèá ÷è©àäè.
Àãàð (−1) < a < 0 á²ëñà, (15) íèíã ²íã òîìîíè Γ (a + 1) ìàâæóä
á²ëèá, óíäàí êåëèá ÷è©óâ÷è
Γ (a) =
Γ (a + 1)
a
(18)
íèñáàò µàì ìàúíîãà ýãà á²ëàäè. Øóíèíã ó÷óí òàúðèô ñèôàòèäà (18)
òåíãëèêíèíã ²íã òîìîíèäàãè íèñáàòíèíã ©èéìàòèíè ãàììà-ôóíêöèÿíèíã
a ∈ (−1, 0) á²ëãàíäàãè ©èéìàòè ñèôàòèäà ©àáóë ©èëàìèç.
Ó µîëäà (18) äàí êåëèá ÷è©àäèêè,
lim Γ (a) = −∞,
a→−0
Γ (a) = −∞.
lim
(19)
a→(−1)+0
Àãàð (−2) < a < (−1) á²ëñà, (18) íèíã ²íã òîìîíè ìàúíîãà ýãà á²ëàäè âà øóíèíã ó÷óí óíèíã ©èéìàòèíè Γ (a) ôóíêöèÿíèíã a ∈ (−2, −1)
á²ëãàíäàãè ©èéìàòè ñèôàòèäà ©àáóë ©èëàìèç.
(19) òåíãëèêëàðíè ýúòèáîðãà îëñàê, (18) äàí êåëèá ÷è©àäèêè,
lim
Γ (a) = +∞,
a→(−1)−0
lim
Γ (a) = +∞.
a→(−2)+0
Õóääè øó êàáè, æàðà¼ííè äàâîì ýòòèðèá, (18) òåíãëèê ¼ðäàìèäà
ãàììà-ôóíêöèÿíè ∀a ∈ (−n, −n + 1) îðàëè©äà àíè©ëàéìèç, áó åðäà
n ∈ N . Áóíäà
lim
a→(−n)+0
Γ (a) = ±∞,
lim
Γ (a) = ∓∞
a→(−n)−0
á²ëèá, n æóôò ñîí á²ëãàíäà þ©îðè èøîðàëè, òî© ñîí á²ëãàíäà ýñà ©óéè
èøîðàëè òåíãëèêëàð ²ðèíëè á²ëàäè.
Ýéëåð èíòåãðàëëàðè
13
Ôàðàç ©èëàéëèê, a ∈ (−n, −n + 1) á²ëñèí, ó µîëäà a+n > 0 . Øóíèíã
ó÷óí Γ (a + n) (14) òàúðèô ìàúíîñèäà ìàâæóä. Óíãà (15) ôîðìóëàíè n
ìàðòà êåòìà-êåò ©²ëëàá,
Γ (a + n) = (n − 1 + a) (n − 2 + a) .... (1 + a) aΓ (a)
òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç. Áó åðäàí ýñà
Γ (a) =
Γ (a + n)
a (a + 1) ... (a + n − 2) (a + n − 1)
(20)
òåíãëèê êåëèá ÷è©àäè.
Äåìàê, èõòè¼ðèé áóòóí á²ëìàãàí ìàíôèé a ñîí ó÷óí Γ (a) íèíã ©èéìàòèíè (20) òåíãëèê á²éè÷à µèñîáëàø ìóìêèí ýêàí.
Áóëàðäàí òàø©àðè, (14) âà (20) òåíãëèêëàðäàí êåëèá ÷è©àäèêè Γ (a) ∈
C (+0, +∞) âà ∀n ∈ N ó÷óí Γ (a) ∈ C (−n, −n + 1) .
Þ©îðèäà êåëòèðèëãàíëàðãà àñîñàí Γ (a) ôóíêöèÿíèíã ãðàôèãè òàõìèíàí 1-÷èçìàäà òàñâèðëàíãàíäåê á²ëàäè, äåá õóëîñà ÷è©àðèø ìóìêèí.
3. Áåòà- âà ãàììà-ôóíêöèÿëàð îðàñèäàãè áî¡ëàíèø. Áåòà- âà
ãàììà-ôóíêöèÿëàðíèíã ²çàðî áî¡ëàíèøëàðèíè ²ðíàòèø ìà©ñàäèäà (8)
äà x = ty(t = const > 0) àëìàøòèðèø áàæàðàìèç, ó µîëäà
Γ (a)
=
ta
+∞
Z
y a−1 e−ty dy.
0
(21)
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
14
Áó åðäà a íè a + b áèëàí âà t íè t + 1 áèëàí àëìàøòèðèá, ©óéèäàãèíè
µîñèë ©èëàìèç:
Γ (a + b)
a+b
(1 + t)
+∞
Z
=
y a+b−1 e−(1+t)y dy.
0
Îõèðãè òåíãëèêíèíã µàð èêêè òîìîíèíè ta−1 ãà ê²ïàéòèðàìèç âà 0
äàí +∞ ãà÷à èíòåãðàëëàéìèç:
+∞
Z
Γ (a + b)
0
+∞
+∞
Z
Z
a+b−1 −y
dt =
y
e dy
ta−1 e−ty dt.
a+b
(1 + t)
ta−1
0
0
Áóíäàí (11), (21) âà (14) ãà àñîñàí
+∞
Z
Γ (a)
Γ (a + b) B (a, b) =
y a+b−1 e−y a dy =
y
0
+∞
Z
= Γ(a)
y b−1 e−y dy = Γ (a) Γ (b) .
0
Äåìàê,
B (a, b) =
Γ (a) Γ (b)
Γ (a + b)
(22)
Àãàð (22) ôîðìóëàäà b = 1 − a äåñàê, ó µîëäà (12) âà (16) ãà àñîñàí,
0 < a < 1 äà
π
Γ (a) · Γ (1 − a) =
(23)
sin(aπ)
√
ôîðìóëàãà ýãà á²ëàìèç. Áóíäàí a = 1/2 á²ëãàíäà Γ(1/2) = π êåëèá
÷è©àäè. Áó òåíãëèê (22) ãà àñîñàí (13) äàí µàì äàðµîë êåëèá ÷è©àäè.
Îäàòäà (23) ò²ëäèðèø ôîðìóëàñè äåá àòàëàäè.
(10) òåíãëèêäà èøòèðîê
ýòà¼òãàí áåòà-ôóíêöèÿëàðãà (22) ôîðìóëà√
íè ©²ëëàá, Γ(1/2) = π ýêàíëèãèíè ýúòèáîðãà îëñàê, èêêèëàíãàí àðãóìåíòíèíã ãàììà - ôóíêöèÿñè ó÷óí ²ðèíëè á²ëãàí óøáó
Γ (2a) = 22a−1 π −1/2 Γ (a) Γ (a + 1/2)
Ëåæàíäð ôîðìóëàñè êåëèá ÷è©àäè.
Ýéëåð èíòåãðàëëàðè
15
Ýñëàòèá ²òèø ëîçèìêè, ãàð÷è (23) òåíãëèê 0 < a < 1 ôàðàçäà êåëòèðèá ÷è©àðèëãàí á²ëñàäà, ó ∀a ∈
/ Z ó÷óí µàì ò²¡ðèäèð.
Ãàììà - ôóíêöèÿ ó÷óí óøáó èíòåãðàë ôîðìóëà
−1
α
Γ (a) = k [cos (απ/2)]
+∞
Z
tα−1 cos (kt) dt,
k > 0, 0 < α < 1
0
âà ò²ëäèðèø ôîðìóëàñèíèíã ©óéèäàãè àíàëîãëàðè µàì ²ðèíëèäèð:
Γ (a) Γ (−a) = −
Γ
π
,
a sin (πa)
1
1
π
+a Γ
−a =
.
2
2
cos (πa)
4. Πñè ôóíêöèÿ.
ʲï òàò©è©îòëàðäà ãàììà - ôóíêöèÿäàí òàø©àðè óíèíã ëîãàðèôìèê
µîñèëàñè, ÿúíè
Γ0 (a)
d ln Γ (a)
=
da
Γ (a)
µàì èøëàòèëàäè.
×åêñèç ê²ïàéòìàëàð ¼ðäàìèäàí ê²ðñàòèø ìóìêèíêè [6],
∞
X
Γ0 (a)
1
1
= −C − + a
,
Γ (a)
a
n
(n
+ a)
n=1
(24)
áó åðäà C = 0, 5772156649... - Ýéëåð ²çãàðìàñè.
a = 1 äà (24) òåíãëèê
∞
X
Γ0 (1)
1
1
= −C − 1 +
−
=1
Γ (1)
n
n
+
1
n=1
ýêàíëèãèíè ýúòèáîðãà îëñàê, Γ0 (1) = −C êåëèá ÷è©àäè.
(15) òåíãëèêíè ëîãàðèôìëàá, ñ²íãðà a á²éè÷à äèôôåðåíöèàëëàñàê,
ãàììà - ôóíêöèÿíèíã ëîãàðèôìèê µîñèëàñè ó÷óí ðåêêóðåíò ôîðìóëàãà
ýãà á²ëàìèç:
Γ0 (a + 1)
Γ0 (a) 1
=
+ .
(25)
Γ (a + 1)
Γ (a)
a
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
16
Áó ôîðìóëàäà a = 1, 2, ..., k äåñàê,
Γ0 (2)
Γ0 (1) 1
=
+ = −C + 1,
Γ (2)
Γ (1)
1
Γ0 (3)
Γ0 (2) 1
1
=
+ = −C + 1 + ,
Γ (3)
Γ (2)
2
2
..................................................
Γ0 (k + 1)
Γ0 (k) 1
1
1
=
+ = −C + 1 + + ... +
Γ (k + 1)
Γ (k)
k
2
k
òåíãëèêëàð êåëèá ÷è©àäè. Äåìàê,
k
X
1
Γ0 (k + 1)
= −C +
,
Γ (k + 1)
m
m=1
k = 1, 2, ....
(26)
Îäàòäà, ãàììà-ôóíêöèÿíèíã ëîãàðèôìèê µîñèëàñè ψ (a) áèëàí áåëãèëàíàäè âà ïñè ôóíêöèÿ äåá àòàëàäè, ÿúíè
ψ (a) =
Γ0 (a)
.
Γ (a)
(27)
Γ (a) ôóíêöèÿíèíã õîññàëàðèäàí êåëèá ÷è©àäèêè, ψ (a) ôóíêöèÿ a =
0, −1, −2, ... íó©òàëàðäà îääèé ©óòáëàðãà ýãà. (27) òàúðèôãà àñîñàí, ïñè
ôóíêöèÿ ó÷óí ²ðèíëè á²ëãàí ©óéèäàãè òåíãëèêëàð êåëèá ÷è©àäè:
ψ (1 + k) = 1 +
ψ (a + k) =
1
1
+ ... + − C,
2
k
k = 1, 2, ...;
1
1
1
+
+ ... +
+ ψ (a) , k = 1, 2, ...;
a a+1
a+k−1
1
ψ (a) = ψ (1 + a) − ;
a
ψ (a) − ψ (1 − a) = −πctg (πa) ;
1
ψ (a) − ψ (−a) = −πctg (πa) − ;
a
1
ψ (1 + a) − ψ (1 − a) = − πctg (πa) ;
a
1
1
ψ
+a −ψ
− a = πtg (πa) .
2
2
Áåññåë ôóíêöèÿëàðè
17
3-Ÿ Áåññåë ôóíêöèÿëàðè
1. Áèðèí÷è òóðäàãè Áåññåë ôóíêöèÿëàðè.
Óøáó
¼êè
x2 y 00 + xy 0 + x2 − ν 2 y = 0
(28)
ν2
1 0
y + y + 1− 2 y =0
x
x
00
òåíãëàìà Áåññåë òåíãëàìàñè äåéèëàäè, áóíäà ν ²çãàðìàñ ñîí (28) òåíãëàìàíèíã èíäåêñè äåá àòàëàäè.
ν ≥ 0 á²ëñèí. Êåéèíãè µèñîáëàøëàðíè ñîääàëàøòèðèø ìà©ñàäèäà
(28) òåíãëàìàäà
y = xν z
àëìàøòèðèø áàæàðàìèç. Ó µîëäà z ôóíêöèÿíè àíè©ëàø ó÷óí
z 00 +
2ν + 1 0
z +z =0
x
(29)
òåíãëàìàãà ýãà á²ëàìèç. Áó òåíãëàìàíèíã å÷èìèíè
z=
∞
X
cn xn
n=0
äàðàæàëè ©àòîð ê²ðèíèøèäà èçëàéìèç. Áóíäàí
z 0 = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + ... + (n + 2) cn+2 xn+1 + ...,
z0
c1
=
+ 2c2 + 3c3 x + ... + (n + 2) cn+2 xn + ...,
x
x
z 00 = 2c2 + 2 · 3c3 x + 3 · 4c4 x2 + ... + (n + 1) (n + 2) cn+2 xn + ... .
•îñèë á²ëãàí ©àòîðëàðíè (29) òåíãëàìàãà ©²éèá, ©óéèäàãè òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç:
2ν + 1
c1 + [2c2 + (2ν + 1) 2c2 + c0 ] + [2 · 3c3 + (2ν + 1) 3c3 + c1 ] x+
x
+ [3 · 4c4 + (2ν + 1) 4c4 + c2 ] x2 + ...
+ [(n + 1) (n + 2) cn+2 + (2ν + 1) (n + 2) cn+2 + cn ] xn + ... = 0.
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
18
Àíè©ìàñ êîýôôèöèåíòëàð óñóëèãà àñîñàí, x íèíã áàð÷à äàðàæàëàðè
îëäèäàãè êîýôôèöèåíòëàðíè íîëãà òåíãëàéìèç:
c1 = 0
(30)
(n + 1) (n + 2) cn+2 + (2ν + 1) (n + 2) cn+2 + cn = 0, n = 1, 2, ... .
Áóíäàí
cn+2 = −
cn
, n = 0, 1, 2, ...
(n + 2) (n + 2ν + 2)
(31)
êåëèá ÷è©àäè. (30) âà (31) ãà àñîñàí
c1 = c3 = c5 = ... = c2n−1 = ... = 0,
c0
,
2 (2ν + 2)
c2
c0
c4 = −
=
,
4 (2ν + 4)
2 · 4 (2ν + 2) (2ν + 4)
............................................................
c0
n
c2n = (−1)
=
2 · 4...2n (2ν + 2) (2ν + 4) ... (2ν + 2n)
c0
n
= (−1) 2n
.
2 · 1 · 2...n (ν + 1) (ν + 2) ... (ν + n)
c2 = −
Øóíäàé ©èëèá, (29) òåíãëàìàíèíã å÷èìè óøáó
"
#
∞
n
X
(−1) x2n
z = c0 1 +
22n · 1 · 2 · ... · n (ν + 1) (ν + 2) · ... · (ν + n)
n=1
(32)
©àòîð áèëàí èôîäàëàíàäè. Áóíäà c0 - ²çãàðìàñíè èõòè¼ðèé òàíëàá îëèø
ìóìêèí. Äàëàìáåð áåëãèñèãà àñîñàí, (32) ©àòîð x íèíã áàð÷à ©èéìàòëàðèäà ÿ©èíëàøóâ÷è á²ëèøèíè òåêøèðèá ê²ðèø ©èéèí ýìàñ.
Äàðàæàëè ©àòîðíè µàäëàá äèôôåðåíöèàëëàø (ÿ©èíëàøèø îðàëè¡è
è÷èäà) µàììà âà©ò ©îíóíèé á²ëãàíè ó÷óí (32) ©àòîð áèëàí èôîäàëàíãàí
z µà©è©àòäàí µàì (29) òåíãëàìàíèíã å÷èìè á²ëàäè. Îäàòäà c0 ²çãàðìàñ
c0 =
1
2ν Γ (ν + 1)
äåá òàíëàá îëèíàäè. Óøáó
1 · 2 · ... · n = n! = Γ (n + 1) ,
Áåññåë ôóíêöèÿëàðè
19
(ν + 1) (ν + 2) ... (ν + n) Γ (ν + 1) = (ν + 2) (ν + 3) ... (ν + n) Γ (ν + 2) =
... = (ν + n) Γ (ν + n) = Γ (ν + n + 1)
òåíãëèêëàðíè ýúòèáîðãà îëñàê, z ©óéèäàãè ê²ðèíèøäà ¼çèëàäè:
z=
∞
n
X
(−1) x2n
1
+
=
2ν Γ (ν + 1) n=1 22n+ν 1 · 2 · ... · n (ν + 1) (ν + 2) · ... · (ν + n) Γ (ν + 1)
=
∞
X
n
(−1) x2n
.
22n+ν Γ (n + 1) Γ (ν + n + 1)
n=0
(28) òåíãëàìàíèíã å÷èìè y = xν z ôóíêöèÿäàí èáîðàòäèð. Áó ôóíêöèÿíè Jν (x) îð©àëè áåëãèëàá îëàìèç. Äåìàê,
Jν (x) =
∞
X
n
2n+ν
(−1) (x/2)
.
Γ
(n
+ 1) Γ (ν + n + 1)
n=0
(33)
Jν (x) ôóíêöèÿ áèðèí÷è òóðäàãè ν èíäåêñëè ¼êè ν òàðòèáëè Áåññåë
ôóíêöèÿëàðè äåéèëàäè. Àéðèì àäàáè¼òëàðäà áó ôóíêöèÿëàð öèëèíäèðèê ôóíêöèÿëàð äåá µàì àòàëàäè.
Jν (x) ôóíêöèÿ (28) Áåññåë òåíãëàìàñèíèíã å÷èìëàðèäàí áèðèäèð.
Õóñóñàí, ν = 0 á²ëãàí µîëäà
J0 (x) =
ν = 1 äà ýñà
∞
∞
n
2n
n
2n
X
X
(−1) (x/2)
(−1) (x/2)
=
,
Γ2 (n + 1)
(n!)2
n=0
n=0
(34)
20
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
J1 (x) =
∞
n
2n+1
X
(−1) (x/2)
.
n ! (n + 1) !
n=0
Óìóìàí áóòóí ìóñáàò ν ëàðäà
Jν (x) =
∞
n
2n+ν
X
(−1) (x/2)
.
n! (n + ν) !
n=0
(35)
(34) âà (35) ôîðìóëàëàðäàí ê²ðèíàäèêè, ν = 0 ¼êè èõòè¼ðèé áóòóí
âà æóôò ν ëàð ó÷óí Jν (x) ôóíêöèÿ æóôò ôóíêöèÿäàí èáîðàòäèð.
Èçîµ. ν êàñð á²ëãàíäà x < 0 ëàð ó÷óí Jν (x) ôóíêöèÿ, óìóìàí àéòãàíäà, ìàâµóì ©èéìàòëàðíè ©àáóë ©èëàäè ((33) ãà ©àðàëñèí). Ìàâµóì
©èéìàòëàð áèëàí èø ê²ðìàñëèê ó÷óí Jν (x) íè (ν êàñð á²ëãàíäà) x ≥ 0
ëàð ó÷óí òåêøèðàìèç.
(28) òåíãëàìàäà ν 2 èøòèðîê ýòà¼òãàíëèãè òóôàéëè þ©îðèäàãè ìóëîµàçàëàð ν íè (−ν ) áèëàí àëìàøòèðãàíäà µàì (28) òåíãëàìàíèíã å÷èìèãà îëèá êåëàäè. (33) äà ν íè (−ν ) ãà àëìàøòèðñàê,
J−ν (x) =
∞
X
2n−ν
(−1)n (x/2)
Γ (n + 1) Γ (−ν + n + 1)
n=0
(36)
ôóíêöèÿ µîñèë á²ëàäè.
J−ν (x) ôóíêöèÿ õàì áèðèí÷è òóðäàãè (−ν ) èíäåêñëè ¼êè (−ν) òàðòèáëè Áåññåë ôóíêöèÿñè äåéèëàäè.
Jν (x) âà J−ν (x) ôóíêöèÿëàð ν èíäåêñ áóòóí á²ëìàãàíäà ÷èçè©ëè
áî¡ëè© á²ëìàéäè, ÷óíêè áó ôóíêöèÿëàðíè èôîäàëîâ÷è (33) âà (36) ©àòîðëàðíèíã áîøëàí¡è÷ µàäëàðè íîëäàí ôàð©ëè êîýôôèöèåíòëàðãà ýãà
á²ëèá, x íèíã òóðëè äàðàæàëàðèíè ²ç è÷èãà îëàäè.
Øóíäàé ©èëèá, áóòóí á²ëìàãàí èíäåêñ ó÷óí (28) òåíãëàìàíèíã óìóìèé å÷èìè ©óéèäàãèäàí èáîðàò:
y = c1 Jν (x) + c2 J−ν (x) ,
áó åðäà c1 , c2 - èõòè¼ðèé ²çãàðìàñëàð.
(37)
2. Èêêèí÷è òóðäàãè Áåññåë ôóíêöèÿëàðè. Àãàð ν áóòóí ñîí
á²ëñà, n = 0, 1, ..., ν − 1 ëàð ó÷óí −ν + n + 1 èôîäà íîëü ¼êè ìàíôèé áóòóí ©èéìàòëàðãà òåíã á²ëàäè. Äåìàê, n íèíã áó ©èéìàòëàðèäà
Áåññåë ôóíêöèÿëàðè
21
Γ (−ν + n + 1) = ∞ á²ëàäè. Øóíèíã ó÷óí µàì (36) ©àòîðíèíã ìîñ µàäëàðèíè íîëãà òåíã äåá µèñîáëàéìèç. Øóíäàé ©èëèá, áóòóí ν ëàð ó÷óí
J−ν (x) =
∞
X
n=ν
n
2n−ν
(−1) (x/2)
Γ (n + 1) Γ (−ν + n + 1)
¼êè, n = ν + k äåñàê,
ν
J−ν (x) = (−1)
∞
X
k=0
k
2k+ν
(−1) (x/2)
ν
= (−1) Jν (x) .
Γ (k + 1) Γ (ν + k + 1)
(38)
Äåìàê, ν ≥ 0 áóòóí ñîí á²ëãàí µîëäà (38) ãà àñîñàí Jν (x) âà J−ν (x)
ôóíêöèÿëàð ÷èçè©ëè áî¡ëè© á²ëàäè, ÿúíè áó µîëäà, àñëèíè îëãàíäà (28)
òåíãëàìà áèòòà õóñóñèé å÷èìãà ýãà á²ëàäè. Øóíèíã ó÷óí (37) - Áåññåë
òåíãëàìàñèíèíã óìóìèé å÷èìè á²ëà îëìàéäè.
(28) òåíãëàìàíèíã èêêèí÷è õóñóñèé å÷èìèíè àíè©ëàø ó÷óí, êàñð ν
ëàð ó÷óí (37) äàí c1 , c2 ²çãàðìàñëàðíè ìàõñóñ òàíëàá, óøáó
Yν (x) = ctg(νπ) Jν (x) − cosec(νπ) J−ν (x) =
=
Jν (x) cos(νπ) − J−ν (x)
sin(νπ)
(39)
ôóíêöèÿíè òóçàìèç. ν áóòóí ñîí á²ëãàíäà (39) ôîðìóëàíèíã ñóðàòè
ν
Jν (x) (−1) − Jν (x) ãà òåíã á²ëèá, áó èôîäà (38) ãà àñîñàí íîëãà òåíã;
ìàõðàæè µàì íîëãà òåíã á²ëàäè, ÿúíè (39) - àíè©ìàñëèêäàí èáîðàò
á²ëàäè. ν íè áóòóí ñîíãà èíòèëòèðèá, áó àíè©ìàñëèêíè î÷àìèç. Ëîïèòàë ©îèäàñèãà àñîñàí
Yn (x) = lim Yν (x) = lim
ν→n
ν→n
∂
∂ν
[Jν (x) cos(νπ) − J−ν (x)]
∂
∂ν
sin(νπ)
=
∂
∂
cos(νπ) ∂ν
Jν (x) − πJν (x) sin(νπ) − ∂ν
J−ν (x)
=
ν→n
π cos(νπ)
∂
n
∂
∂ν Jν (x) (−1) − ∂ν J−ν (x) ν=n
=
.
n
π (−1)
= lim
Îõèðãè èôîäàäà Jν (x) , J−ν (x) ²ðíèãà óëàðíè èôîäàëîâ÷è (33) âà
(36) ©àòîðëàðíè ©²éèá, ν á²éè÷à äèôôåðåíöèàëëàá, ñ²íãðà ν ²ðíèãà
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
22
áóòóí n ñîííè ©²éñàê, áèð ©àòîð µèñîáëàøëàðäàí êåéèí ©óéèäàãèíè
µîñèë ©èëàìèç:
x
1 n−1
X (n − k − 1) ! x 2k−n
2
−
Jn (x) ln + C −
π
2
π
k!
2
k=0
!
k
∞
n+k
k
2k+n
X
X 1
1
1 X (−1) (x/2)
−
+
,
(40)
π
k ! (n + k) !
m m=1 m
m=1
Yn (x) =
k=0
áó åðäà C = 0, 5772156649... - Ýéëåð ²çãàðìàñè.
Õóñóñèé n = 0 á²ëãàí µîëäà
∞
k
x
2X
(−1) x 2k
1
2
1 1
+
+
...
+
.
Y0 (x) = J0 (x) ln + C −
1
+
π
2
π
(k!)2 2
2 3
k
k=1
Yn (x) ôóíêöèÿíè ν = n á²ëãàíäà (28) òåíãëàìàãà ©²éèá, µà©è©àòàí
µàì áó òåíãëàìàíèíã å÷èìè ýêàíëèãèãà èøîí÷ µîñèë ©èëèø ©èéèí ýìàñ.
Øó áèëàí áèðãà Jn (x) âà Yn (x) ôóíêöèÿëàðíèíã ÷èçè©ëè áî¡ëè© á²ëèøè ìóìêèí ýìàñ, ÷óíêè áóëàðäàí áèðèí÷èñè x = 0 äà ÷åêëè ©èéìàòãà
ýãà, èêêèí÷èñè ýñà ÷åêñèçëèêêà àéëàíàäè. Äåìàê, Yn (x) ôóíêöèÿ (28)
òåíãëàìàíèíã èêêèí÷è õóñóñèé å÷èìè á²ëàäè.
(40) ôîðìóëà áèëàí àíè©ëàíãàí Yn (x) ôóíêöèÿ èêêèí÷è òóðäàãè n
- òàðòèáëè Áåññåë ôóíêöèÿ ¼êè Âåáåð ôóíêöèÿñè äåéèëàäè.
Äåìàê, Áåññåë òåíãëàìàñèíèíã óìóìèé å÷èìè ν = n ∈ N á²ëãàíäà
y = c1 Jn (x) + c2 Yn (x)
ôîðìóëà áèëàí àíè©ëàíàäè. Áóíäà, c1 , c2 - èõòè¼ðèé ²çãàðìàñëàð.
Áåññåë ôóíêöèÿëàðè
23
3.Áåññåë ôóíêöèÿëàðè ó÷óí äèôôåðåíöèàëëàø âà ©²øèø
ôîðìóëàëàðè. Èõòè¼ðèé ν ó÷óí óøáó
d ν
[x Jν (x)] = xν Jν−1 (x) ,
dx
(41)
d −ν
x Jν (x) = −x−ν Jν+1 (x)
(42)
dx
ôîðìóëàëàð ²ðèíëèäèð.
(41) ôîðìóëà Jν (x) ²ðíèãà óíèíã (33) èôîäàñèíè ©²éèø íàòèæàñèäà
äàðµîë êåëèá ÷è©àäè. •à©è©àòàí µàì,
∞
n
d ν
d X
(−1) x2n+2ν
[x Jν (x)] =
=
dx
dx n=0 22n+ν Γ (n + 1) Γ (n + ν + 1)
=
= xν
∞
X
n
(−1) 2 (n + ν) x2n+2ν−1
=
22n+ν Γ (n + 1) (n + ν) Γ (n + ν)
n=0
∞
X
n
2n+ν−1
(−1) (x/2)
= xν Jν−1 (x) .
Γ
(n
+
1)
Γ
[(ν
−
1)
+
n
+
1]
n=0
Õóääè øóíãà ²õøàø (42) ôîðìóëà èñáîòëàíàäè. Àãàð (42) ôîðìóëàäà ν íè (-ν ) áèëàí àëìàøòèðñàê, óøáó òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç:
d ν
[x J−ν (x)] = −xν J−ν+1 (x) .
dx
(43)
Õóääè øóíãà ²õøàø ôîðìóëàëàð èêêèí÷è òóðäàãè ìîñ ôóíêöèÿëàð
ó÷óí µàì ò²¡ðè á²ëàäè. •à©è©àòäàí µàì, ν íè êàñð ñîí µèñîáëàá, (41) íè
ctg(νπ) ãà, (43) íè ýñà cos ec(νπ) ãà ê²ïàéòèðèá, µîñèë á²ëãàí èôîäàëàðíè áèðèíè èêêèí÷èñèäàí àéèðàìèç. Ó µîëäà, cos[(ν − 1) π] = − cos(νπ),
sin[(ν − 1) νπ] = − sin(νπ) ôîðìóëàëàðíè ýúòèáîðãà îëñàê,
Jν (x) cos(νπ) − J−ν (x)
Jν−1 (x) cos[(ν − 1)π] − J−ν+1 (x)
d
xν
= xν
dx
sin(νπ)
sin[(ν − 1)π]
¼êè
òåíãëèê µîñèë á²ëàäè.
d ν
[x Yν (x)] = xν Yν−1 (x)
dx
(44)
24
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
(44) äà ν íè (−ν ) ãà àëìàøòèðñàê,
d −ν
x Y−ν (x) = x−ν Y−ν−1 (x)
dx
(45)
ôîðìóëàãà ýãà á²ëàìèç.
Àãàð (42) íè ctg(νπ) ê²ïàéòèðèá, ñ²íãðà óíäàí (41) äà ν íè (−ν)
ãà àëìàøòèðèø âà cosec(νπ) ãà ê²ïàéòèðèøäàí µîñèë á²ëãàí òåíãëèêíè µàäëàá àéèðèá, cos[(ν + 1) π] = −cos(νπ), sin[(ν + 1) π] = − sin(νπ)
òåíãëèêëàðíè ýúòèáîðãà îëñàê, êàñð ν ëàð ó÷óí
d −ν
x Yν (x) = −x−ν Yν+1 (x)
dx
(46)
ôîðìóëà êåëèá ÷è©àäè.
Áóòóí ν ëàð ó÷óí (44) âà (46) ôîðìóëàëàð ν íè áóòóí ñîíãà èíòèëòèðèá, ëèìèòãà ²òèø íàòèæàñèäà µîñèë á²ëàäè.
(41) âà (42) ôîðìóëàëàðíèíã íàòèæàñè ñèôàòèäà ©óéèäàãè ôîðìóëàëàð êåëèá ÷è©àäè:
xJν0 (x) + νJν (x) = xJν−1 (x) ,
xJν0 (x) − νJν (x) = −xJν+1 (x) ,
(47)
Jν−1 (x) − Jν+1 (x) = 2J 0ν (x) ,
Jν−1 (x) + Jν+1 (x) = (2ν/x)Jν (x) .
Áó ôîðìóëàëàðíèíã áèðèí÷è èêêèòàñè (41) âà (42) íè áåâîñèòà äèôôåðåíöèàëëàø íàòèæàñèäà, êåéèíãè èêêèòàñè ýñà àââàëãèëàðèíè ©²øèø âà àéèðèø íàòèæàñèäà µîñèë á²ëàäè.
(44) âà (46) ôîðìóëàëàðäàí ôîéäàëàíèá, Yν (x) ôóíêöèÿ ó÷óí µàì
(47)ãà ²õøàø òåíãëèêëàðíè êåëòèðèá ÷è©àðèø ìóìêèí.
Áèðèí÷è òóð Áåññåë ôóíêöèÿëàðè ó÷óí ©óéèäàãè
dm
Jν (x)
m Jν+m (x)
= (−1)
,
m ∈ N,
m
xν
xν+m
(xdx)
dm
ν
ν−m
Jν−m (x),
m [x Jν (x)] = x
(xdx)
m∈N
ðåêêóðåíò ôîðìóëàëàð âà óøáó
Jν (x1 − x2 ) =
+∞
X
k=−∞
Jν+k (x1 ) Jk (x2 ),
Áåññåë ôóíêöèÿëàðè
Jν (x1 + x2 ) =
+∞
X
25
k
(−1) Jν+k (x1 ) Jk (x2 ).
k=−∞
©²øèø ôîðìóëàëàðè ²ðèíëèäèð [2,6]. ‰²øèø ôîðìóëàëàðèäàí õóñóñèé
µîëäà ν = 0 á²ëãàíäà ©óéèäàãè
J0 (x1 − x2 ) = J0 (x1 ) J0 (x2 ) + 2
+∞
X
Jk (x1 ) Jk (x2 ),
k=−∞
J0 (x1 + x2 ) = J0 (x1 ) J0 (x2 ) + 2
+∞
X
k
(−1) Jk (x1 ) Jk (x2 )
k=−∞
ìóµèì òåíãëèêëàð êåëèá ÷è©àäè.
4.Áåññåë ôóíêöèÿëàðèíèíã àéðèì õóñóñèé µîëëàðè.
Ìàòåìàòèê ôèçèêàäà óøáó J0 (x) , J1 (x) , Y0 (x) âà Jn+1/2 (x) Áåññåë ôóíêöèÿëàðè ýíã ê²ï ó÷ðàéäè. (47) ôîðìóëàëàðíèíã îõèðãèñèäàí
ê²ðèíÿïòèêè, J2 (x) , J3 (x) âà õ.ê. ôóíêöèÿëàðíè µèñîáëàø J0 (x) ,
J1 (x) ôóíêöèÿëàðíèíã ìîñ ©èéìàòëàðèíè µèñîáëàøãà êåëàäè.
Ýíäè Jn+1/2 (x) , áóíäà n - áóòóí ñîí, ôóíêöèÿíè ©àðàéìèç. Àââàëî,
J1/2 (x) , J−1/2 (x) ôóíêöèÿëàðíèíã ©èéìàòëàðèíè µèñîáëàéìèç. (33) ãà
àñîñàí
1/2 X
∞
∞
n
2n+1/2
n
X
(−1) (x/2)
2
(−1) x2n+1
J1/2 (x) =
=
.
n!Γ (3/2 + n)
x
22n+1 n!Γ (3/2 + n)
n=0
n=0
Ìàúëóìêè,
√
1 · 3 · 5... (2n + 1)
1
1
3
+n =
,
Γ
= π.
Γ
Γ
n+1
2
2
2
2
Øóíäàé ©èëèá,
J1/2 (x) =
2
πx
1/2 X
∞
=
n
(−1) x2n+1
==
2n n!1 · 3 · 5... · (2n + 1)
n=0
2
πx
1/2 X
∞
n
(−1) x2n+1
.
(2n + 1) !
n=0
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
26
Áó åðäà îõèðãè éè¡èíäè sin x íèíã äàðàæàëè ©àòîðãà ¼éèëìàñèäàí
èáîðàòäèð. Äåìàê,
1/2
2
sin x.
J1/2 (x) =
πx
Õóääè øóíãà ²õøàø, (36) äàí
J− 1/2 (x) =
2
πx
1/2
cos x
òåíãëèêíè µîñèë ©èëàìèç.
(47) ôîðìóëàëàðíèíã îõèðãèñèãà àñîñàí
1/2 2
sin x
J3/2 (x) =
− cos x +
=
πx
x
=
J5/2 (x) =
2
πx
=
2
πx
1/2 π
π 1
+ cos x −
,
sin x −
2
x
2
1/2 π
3
π 1
− sin x +
sin x −
+ cos x −
=
x
2
x
2
2
πx
1/2 3
3
1 − 2 sin (x − π) + cos (x − π) .
x
x
Óìóìàí, Jn+1/2 (x) Áåññåë ôóíêöèÿñè áóòóí n äà ýëåìåíòàð ôóíêöèÿëàð îð©àëè èôîäàëàíàäè, ÿúíè ©óéèäàãè ê²ðèíèøãà ýãà á²ëàäè:
1/2 2
1
nπ 1
nπ Jn+1/2 (x) =
Pn
sin x x −
+ Qn−1
cos x −
,
πx
x
2
x
2
1
1
1
áó åðäà Pn
− ãà íèñáàòàí n - äàðàæàëè ê²ïµàä, Qn−1
ýñà,
x
x
x
n − 1 äàðàæàëè ê²ïµàä, øó áèëàí áèðãà Pn (0) = 1, Qn−1 (0) = 0.
Áóíäàí, x íèíã êàòòà ©èéìàòëàðèäà Áåññåë ôóíêöèÿñèíèíã àññèìïòîòèê èôîäàñè êåëèá ÷è©àäè:
1/2 h
i
2
νπ π (48)
Jν (x) =
cos x −
−
+ O x−1 ,
πx
2
4
Áåññåë ôóíêöèÿëàðè
27
áó åðäà O x−1 îð©àëè òàðòèáè x−1 á²ëãàí ìè©äîð áåëãèëàíãàí.
Ýñëàòèá ²òàìèçêè, (48) àñèìïòîòèê ôîðìóëà ôà©àò ν = n + 1/2 äà
ýìàñ, áàëêè ν íèíã áàð÷à ©èéìàòëàðèäà µàì ²ðèíëè á²ëàäè.
5. Áåññåë ôóíêöèÿëàðèíèíã îðòîãîíàëëèãè âà èëäèçëàðè.
Óøáó
x2 y 00 + xy 0 + k 2 x2 − ν 2 y = 0
(49)
òåíãëàìàíè òåêøèðàìèç, áóíäà k - íîëäàí ôàð©ëè èõòè¼ðèé ²çãàðìàñ.
x ²çãàðóâ÷è ²ðíèãà ÿíãè t = kx ²çãàðóâ÷è êèðèòàìèç. Ó µîëäà (43)
òåíãëàìà
d2 y
dy
t2 2 + t
+ t2 − ν 2 y = 0
dt
dt
Áåññåë òåíãëàìàñèãà àëìàøàäè. Äåìàê, y = Jν (kx) ôóíêöèÿ
x2
dJν (kx)
d2 Jν (kx)
+ k 2 x2 − ν 2 Jν (kx) = 0
+x
2
dx
dx
òåíãëàìàíèíã å÷èìèäàí èáîðàò á²ëàäè. Áó òåíãëàìàíè x ãà á²ëèá,
dJν (kx)
ν2
d
2
x
+ k x−
Jν (kx) = 0
dx
dx
x
ê²ðèíèøäà ¼çèá îëàìèç. k íèíã èêêèòà òóðëè ©èéìàòëàðèíè îëèá, óëàðãà ìîñ òåíãëàìàëàðíè ¼çèá îëàìèç:
dJν (k1 x)
ν2
d
2
x
+ k1 x −
Jν (k1 x) = 0,
dx
dx
x
dJν (k2 x)
ν2
d
2
x
+ k2 x −
Jν (kx) = 0.
dx
dx
x
Áó òåíãëèêëàðäàí áèðèí÷èñèíè Jν (k2 x) ãà, èêêèí÷èñèíè Jν (k1 x) ãà
ê²ïàéòèðèá âà áèðèäàí èêêèí÷èñèíè àéèðèá, ©óéèäàãè òåíãëèêíè µîñèë
©èëàìèç:
k22 − k12 xJν (k1 x)Jν (k2 x) =
dJν (k1 x)
dJν (k2 x)
d
xJν (k2 x)
− xJν (k1 x)
.
(50)
dx
dx
dx
Àãàð (33) ôîðìóëàäàí âà (47) ôîðìóëàëàðíèíã èêêèí÷èñèäàí ôîéäàëàíñàê, (50) òåíãëèêäàãè êâàäðàò ©àâñ è÷èäàãè èôîäàíè x íèíã äàðàæàëàðè á²éè÷à ©àòîðãà ¼éèø ìóìêèíëèãèãà âà áó ¼éèëìàäàãè x íèíã
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
28
ýíã êè÷èê äàðàæàñè x2(ν+1) ýêàíëèãèãà èøîí÷ µîñèë ©èëàìèç. Øóíãà
àñîñàí, àãàð ν > −1 á²ëñà, x = 0 äà áó èôîäà íîëãà òåíã á²ëàäè. Áóíè
ýúòèáîðãà îëèá, (50) òåíãëèêíè áèðîð (0, 1) ÷åêëè îðàëè© á²éè÷à èídJν (k2 x)
dJν (k1 x)
= k1 Jν0 (k1 x) âà
= k2 Jν0 (k2 x)
òåãðàëëàéìèç. Ѳíãðà
dx
dx
òåíãëèêëàðãà áèíîàí ©óéèäàãèãà ýãà á²ëàìèç:
k22
−
k12
Zl
xJν (k1 x) Jν (k2 x) dx =
0
= l [k1 Jν0 (k1 l) Jν (k2 l) − k2 Jν0 (k2 l) Jν (k1 l)] .
(51)
l = 1 á²ëãàí µîëäà, áó ôîðìóëà ©óéèäàãè ê²ðèíèøãà ýãà á²ëàäè:
k22
−
k12
Z1
xJν (k1 x) Jν (k2 x)dx =
0
=
k1 Jν0
(k1 ) Jν (k2 ) − k2 Jν0 (k2 ) Jν (k1 ) .
(52)
Ýíäè ν > −1 äà Jν (x) Áåññåë ôóíêöèÿñè êîìïëåêñ èëäèçëàðãà ýãà
á²ëìàñëèãèíè ê²ðñàòàìèç. Ôàðàç ©èëàéëèê, ó a + ib êîìïëåêñ èëäèçãà
ýãà âà øó áèëàí áèðãà a 6= 0, b 6= 0 á²ëñèí. Áåññåë ôóíêöèÿñèíè èôîäàëîâ÷è (33) ¼éèëìàíèíã µàììà êîýôôèöèåíòëàðè µà©è©èé á²ëãàíè ó÷óí
Jν (x) ôóíêöèÿ a + ib êîìïëåêñ èëäèçäàí òàø©àðè ©²øìà a − ib èëäèçãà
µàì ýãà á²ëèøè êåðàê. (52) ôîðìóëàäà k1 = a + ib âà k2 = a − ib äåá
µèñîáëàéìèç. Ó µîëäà k12 − k22 = 4abi 6= 0 á²ëãàíè ó÷óí
Z1
xJν (k1 x) Jν (k2 x)dx = 0
0
á²ëàäè. ʲðèëà¼òãàí µîëäà Jν (k1 x) âà Jν (k2 x) ìè©äîðëàð ©²øìà êîìïëåêñ, ÿúíè
Jν (k1 x) = A + iB, Jν (k2 x) = A − iB
á²ëàäè; äåìàê
2
Jν (k1 x) · Jν (k2 x) = A2 + B > 0.
Áóíãà àñîñàí, x ²çãàðóâ÷è 0 äàí 1 ãà÷à ²çãàðà¼òãàíëèãè ó÷óí
Z1
xJν (k1 x) Jν (k2 x) dx 6= 0.
0
Áåññåë ôóíêöèÿëàðè
29
Áó ©àðàìà-©àðøèëèê Jν (x) ôóíêöèÿ êîìïëåêñ èëäèçãà ýãà, äåãàí
ôàðàçèìèçíèíã íîò²¡ðè ýêàíëèãèíè ê²ðñàòàäè.
Jν (x) ôóíêöèÿ ν > −1 äà ñîô ìàâµóì (ÿúíè a = 0, b 6= 0) èëäèçãà
µàì ýãà á²ëèøè ìóìêèí ýìàñ. •à©è©àòàí µàì, ±ib íè (33) ôîðìóëàãà
©²éèá, ôà©àò ìóñáàò µàäëàðíè ²ç è÷èãà îëãàí ¼éèëìàãà ýãà á²ëàìèç:
ν
Jν (bi) = (bi)
∞
X
b2n
1
· ν+2n 6= 0,
n!Γ (n + ν + 1) 2
n=0
÷óíêè x > 0 äà Γ (x) ìóñáàò ©èéìàòëàðíè ©àáóë ©èëàäè.
Ýíäè Jν (x) ôóíêöèÿíèíã µà©è©èé èëäèçëàðãà ýãà á²ëèøèíè ê²ðñàòàìèç. Øó ìà©ñàääà Áåññåë ôóíêöèÿñèíèíã (48) àñèìïòîòèê ¼éèëìàñèíè ©àðàéìèç.
Áó ôîðìóëàãà àñîñàí, x ²çãàðóâ÷è Ox ²©èíèíã ìóñáàò ©èñìè á²éëàá ÷åêñèçëèêêà èíòèëãàíäà êâàäðàò ©àâñ è÷èäàãè èêêèí÷è ©²øèëóâ÷è
íîëãà èíòèëàäè, áèðèí÷èñè ýñà −1 äàí +1 ãà÷à ÷åêñèç ê²ï ìàðòà ²çãàðàäè âà, äåìàê, ÷åêñèç ê²ï ìàðòà íîëãà àéëàíàäè. Áóíäàí äàðµîë Jν (x)
ôóíêöèÿíèíã ÷åêñèç ê²ï µà©è©èé èëäèçëàðãà ýãà ýêàíè êåëèá ÷è©àäè.
Øóíäàé ©èëèá, ©óéèäàãè õóëîñàãà êåëäèê: àãàð ν > −1 á²ëñà, Jν (x)
ôóíêöèÿíèíã áàð÷à èëäèçëàðè µà©è©èéäèð.
Øó áèëàí áèðãà, ÿíà øóíè ó©äèðèá ²òàìèçêè, (33) ¼éèëìàäà xν íè
éè¡èíäè áåëãèñèäàí òàø©àðèãà ÷è©àðèá ¼çñàê, éè¡èíäè x íèíã ôà©àò
æóôò äàðàæàëàðèíè ²ç è÷èãà îëàäè, áóíäàí äàðµîë Jν (x) íèíã èëäèçëàðè àáñîëþò ©èéìàòè á²éè÷à æóôò-æóôò áèð õèë, èøîðàñè á²éè÷à
©àðàìà-©àðøèëèãè êåëèá ÷è©àäè. Øóíèíã ó÷óí µàì ìóñáàò èëäèçëàðíè ©àðàø åòàðëèäèð.
Ôàðàç ©èëàéëèê, ρm âà ρj ëàð óøáó
Jν (x) = 0
(53)
òåíãëàìàíèíã µàð µèë ìóñáàò èëäèçëàðè á²ëñèí. k1 = ρm /l, k2 = ρj /l
áåëãèëàøëàðíè êèðèòàìèç. Ó µîëäà (51) ôîðìóëàäàí áåâîñèòà Áåññåë
ôóíêöèÿëàðèíèíã ©óéèäàãè îðòîãîíàëëèê õîññàñè êåëèá ÷è©àäè:
Zl
x x
xJν ρm
J ν ρj
dx = 0, m 6= j.
l
l
(54)
0
(51) òåíëèêäàí ê²ðèíèá òóðèáäèêè, Áåññåë ôóíêöèÿëàðèíèíã (54)
îðòîãîíàëëèê õîññàñè ρm âà ρj ëàð Jν0 (x) = 0 òåíãëàìàíèíã èëäèçè
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
30
á²ëãàíäà µàì ²ðèíëè á²ëàäè. Ýíäè k = ρ/l á²ëñèí, áóíäà ρ - (53) òåíãëàìàíèíã ìóñáàò èëäèçè. (51) ôîðìóëàäà k1 = k äåá, k2 íè ýñà k ãà
èíòèëóâ÷è ²çãàðóâ÷è äåá µèñîáëàéìèç, ó µîëäà
Zl
xJν (kx) Jν (k2 x) dx =
0
lkJν0 (kl) Jν (k2 l)
.
k22 − k 2
Áó òåíãëèêíèíã ²íã òîìîíè k2 → k äà àíè©ìàñëèêêà àéëàíàäè, ÷óíêè
ñóðàòè µàì ìàõðàæè µàì íîëãà èíòèëàäè. Áó àíè©ìàñëèêíè Ëîïèòàë
©îèäàñè á²éè÷à î÷èá,
Zl
x
1
xJν2 ρ
dx = l2 Jν02 (ρ)
l
2
(55)
0
òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç.
(47) ôîðìóëàëàðíèíã èêêèí÷èñèäà x = ρ äåñàê, ρ ñîí (53) òåíãëàìàíèíã èëäèçè á²ëãàíè ó÷óí
Jν0 (ρ) = −Jν+1 (ρ)
òåíãëèêíè µîñèë ©èëàìèç âà (55) ôîðìóëà
Zl
x
1
2
xJν2 ρ
dx = l2 Jν+1
(ρ)
l
2
0
ê²ðèíèøäà ¼çèëàäè.
Øóíäàé ©èëèá, áèç ©óéèäàãè ôîðìóëàãà ýãà á²ëäèê:
(
Zl
x x
0,
m 6= j,
1 2 02
1 2 2
xJν ρm
J ν ρj
dx =
l J (ρj ) = l Jν+1 (ρj ) m = j,
l
l
2 ν
2
0
(56)
áó åðäà ρm âà ρj ëàð Jν (x) = 0 òåíãëàìàíèíã ìóñáàò èëäèçëàðè.
Ýíäè, ôàðàç ©èëàéëèê, ρm âà ρj ëàð
α Jν (x) + βx Jν0 (x) = 0
(57)
òåíãëàìàíèíã òóðëè ìóñáàò èëäèçëàðè á²ëñèí, áó åðäà α âà β ©àíäàéäèð
ñîíëàð á²ëèá, β 6= 0. Ó µîëäà
α Jν (ρm ) + βρm Jν0 (ρm ) = 0,
α Jν (ρj ) + βρj Jν0 (ρj ) = 0
Áåññåë ôóíêöèÿëàðè
31
òåíãëèêëàð ²ðèíëè á²ëèá, óëàðíèíã áèðèí÷èñèíè Jν (ρj ) ãà, èêêèí÷èñèíè ýñà Jν (ρm ) ãà ê²ïàéòèðèá, ñ²íãðà µàäìà-õàä àéèðñàê,
ρm Jν0 (ρm ) Jν (ρj ) − ρj Jν0 (ρj ) Jν (ρm ) = 0
òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç. Àãàð áó åðäà k1 = ρm /l, k2 = ρj /l áåëãèëàø
êèðèòñàê, (51) òåíãëèêíèíã ²íã òîìîíè, äåìàê, ÷àï òîìîíè µàì íîëãà
òåíãëèãè êåëèá ÷è©àäè.
Äåìàê, ρm âà ρj ëàð (57) òåíãëàìàíèíã òóðëè ìóñáàò èëäèçëàðè á²ëãàíäà µàì Áåññåë ôóíêöèÿëàðèíèíã (54) îðòîãîíàëëèê õîññàñè ²ðèíëè
á²ëàð ýêàí.
Ýíäè ρ - (57) òåíãëàìàíèíã áèðîð ìóñáàò èëäèçè á²ëñèí. k = ρ/l
áåëãèëàø êèðèòèá, (51) òåíãëèêäà k1 = k äåá, k2 íè ýñà k ãà èíòèëóâ÷è
²çãàðóâ÷è äåá µèñîáëàéëèê.
Ó µîëäà, (57) òåíãëèêíè µèñîáãà îëèá, (51) òåíãëèêäàí
Zl
(k2 + k)
x Jν (k x) Jν (k2 x) dx =
0
=−
l
α
Jν (kl)
Jν (k2 l) + k2 Jν0 (k2 l)
k2 − k
βl
òåíãëèêêà, áóíäàí ýñà k2 → k äà
Zl
2k
x Jν2
(k x) dx = −l Jν (kl)
lim
k2 →k
k2 l Jν0 (k2 l) − kl Jν0 (kl)
+
k2 l − kl
0
α
Jν (k2 l) − Jν (kl)
d
+ lim
= −l Jν (kl)
[k l Jν0 (kl)] +
k
→k
β 2
k2 l − kl
d (kl)
d
α
α
Jν (kl) = −l Jν (kl) kl Jν00 (kl) + Jν0 (kl) + Jν0 (kl)
+ ·
β d (kl)
β
(58)
òåíãëèêëàðãà ýãà á²ëàìèç.
(28) âà (57) òåíãëèêëàðäàí ìîñ ðàâèøäà êåëèá ÷è©óâ÷è ©óéèäàãè
#
"
ν2
1 0
00
Jν (kl) =
α Jν (kl) + β k l Jν0 (kl) = 0
2 − 1 Jν (kl) − kl Jν (kl) ,
(kl)
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
32
òåíãëèêëàðãà àñîñàí, (58) òåíãëèêäàí
Zl
2k
(
xJν2 (kx) dx = kl2
"
Jν02 (kl) + 1 −
0
#
ν2
2
(kl)
)
Jν2 (kl)
òåíãëèê âà áó åðäà kl = ρ ýêàíèíè µèñîáãà îëñàê,
Zl
xJν2
ρ 1 2 02
ν2
2
x dx = l Jν (ρ) + 1 − 2 Jν (ρ)
l
2
ρ
(60)
0
òåíãëèê êåëèá ÷è©àäè.
6. Ôóíêöèÿíè Ôóðüå - Áåññåë âà Äèíè ©àòîðèãà ¼éèø.
ρ1 , ρ2 , ..., ρn , ... ëàð Jν (x) = 0 òåíãëàìàíèíã ²ñèø òàðòèáè á²éè÷à
æîéëàøòèðèëãàí ìóñáàò èëäèçëàðè á²ëñèí.
Þ©îðèäà áèç ê²ðäèêêè,
x
x
x
, Jν ρ2
, ..., Jν ρn
...
J ν ρ1
l
l
l
ôóíêöèÿëàð [0, l] ñåãìåíòäà âàçíëè îðòîãîíàë ñèñòåìàíè òàøêèë ©èëàäè. Ôàðàç ©èëàéëèê, èõòè¼ðèé f (x) ôóíêöèÿ óøáó
f (x) =
∞
X
x
an Jν ρn
, ν > −1
l
n=1
(61)
©àòîð áèëàí èôîäàëàíãàí á²ëñèí.
x
Áó ©àòîðíè òåêèñ ÿ©èíëàøóâ÷è µèñîáëàá, (61) òåíãëèêíè xJν (ρj )
l
ãà ê²ïàéòèðàìèç âà µîñèë á²ëãàí èôîäàíè 0 äàí l ãà÷à èíòåãðàëëàéìèç:
Zl
l
xf (x) Jν
0
Z
n
x x
X
x
ρj
dx =
an xJν ρn
J ν ρj
dx.
l
l
l
n=1
0
Áóíäàí, (56) ôîðìóëàãà àñîñàí, óøáó òåíãëèê êåëèá ÷è©àäè:
aj =
Zl
2
2
l2 Jν+1
(ρj )
0
x
xf (x)Jν ρj
dx.
l
(62)
Áåññåë ôóíêöèÿëàðè
33
Êîýôôèöèåíòëàðè (62) ôîðìóëà áèëàí àíè©ëàíãàí (61) ¼éèëìà f (x)
ôóíêöèÿíèíã Ôóðüå-Áåññåë ©àòîðèãà ¼éèëìàñè äåéèëàäè. f (x) ôóíêöèÿíèíã (61) ©àòîðãà ¼éèëèøè ó÷óí ó ©àíäàé øàðòëàðíè ©àíîàòëàíòèðèøè êåðàê äåãàí ñàâîëãà ©óéèäàãè òåîðåìà æàâîá áåðàäè, áèç óíè
èñáîòñèç êåëòèðàìèç.
Àãàð f (x) ôóíêöèÿ (0, l) îðàëè©äà áåðèëãàí á²ëàê-á²ëàê óçëóêñèç
ôóíêöèÿ á²ëèá,
Zl
t1/2 |f (t) |dt
0
èíòåãðàë ìàâæóä á²ëñà, ν > −1/2 á²ëãàíäà Ôóðüå-Áåññåë ©àòîðè ÿ©èíëàøóâ÷è âà óíèíã éè¡èíäèñè (0, l) îðàëè©íèíã f (x) ÷åãàðàëàíãàí âàðè1
àöèÿãà ýãà á²ëãàí µàð áèð x íó©òàñèäà [f (x + 0) + f (x − 0)] ãà òåíã
2
á²ëàäè [2].
Àãàð ρ1 , ρ2 , ..., ρj , ... - (57) òåíãëàìàíèíã èëäèçëàðè á²ëñà, (61) ©àòîð Äèíè ©àòîðè äåéèëàäè âà áóíäà, (60) òåíãëèêêà àñîñàí,
Zl
xf (x) Jν
"
l2
x
dx = aj
Jν02 (ρj ) +
ρj
l
2
0
ν2
1− 2
ρj
!
#
Jν2
(ρj )
á²ëèá, áóíäàí aj êîýôôèöèåíòëàðíè òîïèø ôîðìóëàñè êåëèá ÷è©àäè:
2
aj = 2 02
l Jν (ρj ) + 1 − ν 2 /ρ2j Jν2 (ρj )
Zl
x
dx.
xf (x) Jν ρj
l
0
f (x) ôóíêöèÿíè Äèíè ©àòîðèãà ¼éèø ó÷óí, ó þ©îðèäà òàúêèäëàíãàí
Ôóðüå-Áåññåë ©àòîðèãà ¼éèëèø øàðòèíè ©àíîàòëàíòèðèøè âà (α/β) +
ν > 0 øàðò áàæàðèëèøè òàëàá ýòèëàäè [2].
7. Ìàâµóì àðãóìåíòëè Áåññåë ôóíêöèÿëàðè.
Óøáó äèôôåðåíöèàë òåíãëàìàäà
x2 ω 00 + xω 0 + k 2 x2 − ν 2 ω = 0
(k = const)
(63)
x = kx àëìàøòèðèø áàæàðñàê, (28) òåíãëàìàãà ýãà á²ëàìèç. Óíèíã
óìóìèé å÷èì ôîðìóëàñèãà àñîñàí, (63) òåíãëàìàíèíã óìóìèé å÷èìè
ω = c1 Jν (kx) + c2 Yν (kx)
(64)
34
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
äàí èáîðàò ýêàíëèãè êåëèá ÷è©àäè.
(63) âà (64) äà k = i (i - ìàâµóì áèðëèê) äåñàê,
x2 ω 00 + xω 0 − x2 + ν 2 ω = 0
(65)
òåíãëàìàíèíã óìóìèé å÷èìè
ω = c1 Jν (ix) + c2 Yν (ix)
ýêàíèíè òîïàìèç, áó åðäà (33) ãà àñîñàí,
Jν (ix) = iν
∞
X
ν+2n
(x/2)
.
Γ (n + 1) Γ (ν + n + 1)
n=0
Áó òåíãëèêíè èêêàëà òîìîíèíè i−ν ãà ê²ïàéòèðèá, µîñèë á²ëãàí òåíãëèêíèíã ²íã òîìîíèíè Iν (x) áèëàí áåëãèëàñàê, (65) òåíãëàìàíèíã ©àíîàòëàíòèðóâ÷è
∞
ν+2n
X
(x/2)
(66)
Iν (x) =
Γ (n + 1) Γ (ν + n + 1)
n=0
ôóíêöèÿãà ýãà á²ëàìèç âà áóíäà
Iν (x) = i−ν Jν (ix)
(67)
òåíãëèê ²ðèíëè á²ëàäè.
Îäàòäà (66) ν - òàðòèáëè ìàâµóì àðãóìåíòëè áèðèí÷è òóðäàãè
Áåññåë ôóíêöèÿñè ¼êè ìîäèôèêàöèÿëàíãàí Áåññåë ôóíêöèÿñè äåéèëàäè.
ν = n ∈ N á²ëãàíäà I−n (x) = In (x) òåíãëèê ²ðèíëè á²ëèá, (65)
òåíãëàìàíèíã In (x) áèëàí ÷èçè©ëè áî¡ëè© á²ëìàãàí å÷èìè ñèôàòèäà
Kν (x) =
π I−ν (x) − Iν (x)
·
2
sin (νπ)
(68)
ôóíêöèÿ îëèíàäè. Øóíèíã ó÷óí (65) òåíãëàìàíèíã óìóìèé å÷èìè
ω = c1 Iν (x) + c2 Kν (x)
ê²ðèíèøäà á²ëàäè, áó åðäà c1 âà c2 - èõòè¼ðèé ²çãàðìàñëàð.
Îäàòäà (68) ôóíêöèÿ ν - òàðòèáëè ìàâµóì àðãóìåíòëè èêêèí÷è
òóð Áåññåë ôóíêöèÿñè ¼êè Ìàêäîíàëüä ôóíêöèÿñè äåá àòàëàäè.
Òàúðèôãà àñîñàí K−ν (x) = Kν (x) òåíãëèê ²ðèíëè.
Áåññåë ôóíêöèÿëàðè
Õóñóñèé µîëäà
I0 (x) =
∞
X
1
2
n=0 (n!)
∞
X
x 2n
2
35
,
x
1 x 2n
1
1
K0 (x) = −I0 (x) ln + C +
1
+
+
...
+
2
2
2
2
n
n=1 (n!)
ìóíîñàáàòëàð ²ðèíëè á²ëèá, áó ôóíêöèÿëàðíèíã ãðàôèãè 4 - ÷èçìàäàãè
êàáè á²ëàäè.
(39), (67), (68) òåíãëèêëàð âà Jν (x) , Yν (x) ôóíêöèÿëàð ó÷óí ÷è©àðèëãàí ôîðìóëàëàðäàí Iν (x) âà Kν (x) ôóíêöèÿëàð ó÷óí ²ðèíëè á²ëãàí
©óéèäàãè ìóíîñàáàòëàð r
êåëèá ÷è©àäè:
r
2
2
shx,
I−1/2 (x) =
chx,
I1/2 (x) =
πx
πx
r
π −x
K1/2 (x) = K−1/2 (x) =
e ,
2x
dm
Iν (x)
Iν+m (x)
=
,
m
ν
x
xν+m
(xdx)
dm
ν
ν−m
Iν−m (x) ,
m [x Iν (x)] = x
(xdx)
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
36
dm
Kν (x)
m Kν+m (x)
= (−1)
,
m
ν
x
xν+m
(xdx)
dm
m ν−m
ν
Kν−m (x) .
m [x Kν (x)] = (−1) x
(xdx)
Îõèðãè ò²ðòòà òåíãëèêíèíã m = 1 á²ëãàí µîëèäàí ©óéèäàãè ðåêóððåíò ôîðìóëàëàð êåëèá ÷è©àäè:
x Iν0 (x) − νIν (x) = x Iν+1 (x) ,
x Iν0 (x) + νIν (x) = x Iν−1 (x) ,
2 Iν0 (x) = Iν+1 (x) + Iν−1 (x) ,
2νIν (x) = x [Iν+1 (x) + Iν−1 (x)] ,
x Kν0 (x) − νKν (x) = −xKν+1 (x) ,
x Kν0 (x) + νKν (x) = −xKν−1 (x) ,
−2 Kν0 (x) = Kν+1 (x) + Kν−1 (x) ,
2ν Kν (x) = x [Kν+1 (x) − Kν−1 (x)] .
Áèðèí÷è âà áåøèí÷è òåíãëèêëàðäà ν = 0 äåá,
I00 (x) = I1 (x) ,
K00 (x) = −K1 (x)
òåíãëèêëàðãà ýãà á²ëàìèç. Óøáó
ex Iν (x) = √
1 + O x−1 ,
2πx
r
π −x Kν (x) =
e
1 + O x−1
2x
àñèìïòîòèê òåíãëèêëàð µàì ²ðèíëèäèð [2,6].
8. Áåññåë ôóíêöèÿëàðè ó÷óí èíòåãðàë ôîðìóëàëàð.
Äàñòëàá
Jν (x) =
∞
X
n
ν+2n
(−1) (x/2)
Γ
(n
+ 1) Γ (ν + n + 1)
n=1
ôóíêöèÿ ó÷óí èíòåãðàë ôîðìóëà òîïàéëèê. 2 - Ÿ äà ÷è©àðèëãàí ôîðìóëàëàðãà àñîñàí ν > −1/2 á²ëãàíäà
1
1
B (n + 1/2, ν + 1/2)
=
=
=
Γ (ν + n + 1)
Γ [(ν + 1/2) + (n + 1/2)]
Γ (n + 1/2) Γ (ν + 1/2)
Áåññåë ôóíêöèÿëàðè
1
=
Γ (n + 1/2) Γ (ν + 1/2)
Z1
37
ν−1/2
z n−1/2 (1 − z)
dz =
0
Z1
1
=
Γ (n + 1/2) Γ (ν + 1/2)
t2n 1 − t2
ν−1/2
dt
−1
òåíãëèê ²ðèíëè. Áóíè ýúòèáîðãà îëñàê,
∞
X
ν+2n
(−1)n (x/2)
Jν (x) =
Γ (n + 1) Γ (n + 1/2) Γ (ν + 1/2)
n=0
ν
(x/2)
=
Γ (ν + 1/2)
Z1
1 − t2
Z1
ν−1/2
dt =
−1
∞
ν−1/2 X
−1
t2n 1 − t2
n
2n
(−1) (xt)
dt.
2n Γ (n + 1) Γ (n + 1/2)
2
n=0
√
Èíòåãðàë îñòèäà òóðãàí éè¡èíäè cos(xt)/ π ôóíêöèÿíèíã ÷åêñèç ©àòîðãà ¼éèëìàñè ýêàíèíè ýúòèáîðãà îëñàê, Jν (x) ôóíêöèÿíèíã èíòåãðàë
ê²ðèíèøèãà ýãà á²ëàìèç:
ν
(x/2)
Jν (x) = √
πΓ (ν + 1/2)
Z1
1 − t2
ν−1/2
cos (xt) dt,
ν > −1/2.
−1
Õóääè øó êàáè ê²ðñàòèø ìóìêèíêè [2,6],
ν
Iν (x) = √
(x/2)
πΓ (ν + 1/2)
Z1
1 − t2
ν−1/2
ch (xt) dt,
ν > −1/2,
−1
+∞
+∞
Z
Z
2
1 x ν
−xcht
Kν (x) =
e
· ch (νt) dt =
e−t−x /4t t−ν−1 dt
2 2
0
0
(x > 0, ν - èõòè¼ðèé ).
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
38
9. Áåññåë - Êëèôôîðä ôóíêöèÿëàðè.
Àìàëè¼òäà Áåññåë ôóíêöèÿëàðè áèëàí áèð ©àòîðäà Áåññåë - Êëèôôîðä ôóíêöèÿëàðè äåá àòàëóâ÷è óøáó ôóíêöèÿëàð µàì èøëàòèëàäè:
−ν
J¯ν (x) = Γ (ν + 1) (x/2) Jν (x) ,
−ν
I¯ν (x) = Γ (ν + 1) (x/2) Iν (x) ,
K̄ν (x) = 21−ν xν Kν (x)/Γ (ν)
(ν > 0).
Áó òåíãëèêëàð âà Áåññåë ôóíêöèÿëàðèíèíã òàúðèôëàðèäàí êåëèá
÷è©àäèêè, J¯ν (x) , I¯ν (x) âà K̄ν (x) ôóíêöèÿëàð −∞ < x < +∞ äà
àíè©ëàíãàí á²ëèá, èõòè¼ðèé ν (ν 6= −n, n ∈ N ) ó÷óí J¯ν (0) = 1, I¯ν (0) =
1, K̄ν (0) = 1 òåíãëèêëàð ²ðèíëè. Jν (x) âà Iν (x) ôóíêöèÿëàðíèíã èíòåãðàë ôîðìóëàëàðèäàí êåëèá ÷è©àäèêè, ν > −1/2 äà J¯ν (x) ≤ 1 ,
I¯ν (x) < chx < ex , x > 0. Áóíäàí òàø©àðè K̄ν (x) ≤ 1 òåíãñèçëèê µàì
ò²¡ðèäèð.
4-Ÿ Ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿ
1. Àñîñèé òàúðèôëàð.
Óøáó
x (1 − x) y 00 + [c − (a + b + 1) x] y 0 − aby = 0
(69)
ãèïåðãåîìåòðèê òåíãëàìà ¼êè Ãàóññ òåíãëàìàñè äåá àòàëóâ÷è òåíãëàìàíè òåêøèðàìèç. Áó åðäà a, b, c - ó÷òà èõòè¼ðèé ïàðàìåòðëàð á²ëèá,
µà©è©èé ¼êè êîìïëåêñ ©èéìàòëàðíè ©àáóë ©èëèøè ìóìêèí. Áóëàðäàí
èêêèòàñè: a âà b òåíãëàìàäà ñèììåòðèê èøòèðîê ýòàäè.
x = 0 âà x = 1 á²ëãàíäà òåíãëàìàíèíã òàðòèáè áóçèëèá, áèðèí÷è
òàðòèáëè òåíãëàìà µîñèë á²ëàäè, x = ∞ äà ýñà (69) òåíãëàìà óìóìàí
ìàúíîñèíè 鲩îòàäè. Øóíèíã ó÷óí áó íó©òàëàð ìàõñóñ íó©òàëàð µèñîáëàíàäè.
(69) òåíãëàìàíèíã x = 0 ìàõñóñ íó©òà àòðîôèäàãè å÷èìèíè
y=
∞
X
An xn
n=0
äàðàæàëè ©àòîð ê²ðèíèøèäà èçëàéìèç. Áóíäàí
y0 =
∞
X
n=1
nAn xn−1
(70)
Ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿ
¼êè
y0 =
∞
X
39
(n + 1)An+1 xn ,
n=0
∞
X
y 00 =
n(n + 1)An+1 xn−1 =
∞
X
(n + 1)(n + 2)An+2 xn .
n=0
n=1
Áó µîñèëàëàðíèíã ©èéìàòèíè âà y íè (69) òåíãëàìàãà ê²ÿìèç. Ó µîëäà
∞
X
x(1 − x) (n + 1) (n + 2) An+2 xn +
n=0
+
∞
X
[c − (a + b + 1) x] (n + 1)An+1 xn −
n=0
∞
X
abAn xn = 0.
n=0
Íîìàúëóì A1 , ..., An , ... ²çãàðìàñëàðíè òîïèø ó÷óí àíè©ìàñ êîýôôèöèåíòëàð óñóëèäàí ôîéäàëàíàìèç, áóíãà àñîñàí x íèíã áèð õèë äàðàæàëàðè îëäèäàãè êîýôôèöèåíòëàðíè íîëãà òåíãëàø êåðàê. xn îëäèäàãè
óìóìèé êîýôôèöèåíòëàðíè íîëãà òåíãëàá, óøáó
− (n − 1) nAn + n (n + 1) An+1 − n (a + b + 1) An +
+c (n + 1) An+1 − abAn = 0
òåíãëèêíè µîñèë ©èëàìèç. Áóíäàí
An+1 =
(n + a) (n + b)
An
(n + 1) (c + n)
ðåêóððåíò ôîðìóëàãà ýãà á²ëàìèç.
Áó åðäà A0 = 1 âà c 6= 0, −1, −2, ..., −n, ... äåá µèñîáëàéìèç. (69)
ãèïåðãåîìåòðèê òåíãëàìàíèíã áèðèí÷è õóñóñèé å÷èìè y1 íè F (a, b, c; x)
îð©àëè áåëãèëàá, An êîýôôèöèåíòëàðíèíã òîïèëãàí ©èéìàòëàðèíè (70)
©àòîðãà ©²ÿìèç. Ó µîëäà
y1 = F (a, b, c; x) = 1 +
∞
X
(a)n (b)n n
x .
(c)n (1)n
n=1
Áó åðäà
an = a (a + 1) ... (a + n − 1) = Γ(a + n)/Γ(a),
(71)
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
40
õóñóñèé µîëäà, (a)0 = 1 âà ∀n ∈ N ó÷óí (1)n = n!.
(71) ©àòîð ãèïåðãåîìåòðèê ©àòîð, áó ©àòîðíèíã éè¡èíäèñè á²ëãàí
F (a, b, c; x) ôóíêöèÿ ýñà ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿ äåéèëàäè.
Äàëàìáåð ïðèíöèïèãà àñîñàí,
lim
n→∞
un+1
(a + n) (b + n)
= lim
x = |x| .
n→∞ (n + 1) (c + n)
un
Äåìàê, (71) ©àòîð |x| < 1 äà àáñîëþò ÿ©èíëàøóâ÷è, |x| > 1 äà
óçî©ëàøóâ÷è á²ëàäè. Ðààáå áåëãèñèäàí ôîéäàëàíèá ê²ðñàòèø ìóìêèíêè, x = 1 á²ëãàíäà, àãàð c − a − b > 0 á²ëñà, (71) ©àòîð àáñîëþò ÿ©èíëàøóâ÷è, àãàð c − a − b ≤ 0 á²ëñà, óçî©ëàøóâ÷è; x = −1 á²ëãàíäà ýñà, àãàð
c − a − b > 0 á²ëñà, àáñîëþò ÿ©èíëàøóâ÷è, àãàð −1 < c − a − b ≤ 0 á²ëñà,
øàðòëè ÿ©èíëàøóâ÷è, àãàð c − a − b ≤ −1 á²ëñà óçî©ëàøóâ÷è á²ëàäè.
Àãàð (71) ôîðìóëàäà b = c á²ëñà,
−a
n
n
(a)n = (−1) (−a) (−a − 1) ... (−a − n + 1) = (−1)
n!
n
òåíãëèêêà àñîñàí
F (a, b, c; x) = 1 +
∞
X
n
(−1)
n=1
−a
n
−a
xn = (1 − x)
áèíîìèàë ©àòîð µîñèë á²ëàäè.
Àãàðäà a = 1, b = c á²ëñà, (71) ôîðìóëà óøáó
F (1, b, b; x) = 1 +
∞
X
n=1
xn =
1
1−x
ê²ðèíèøãà ýãà á²ëàäè, ÿúíè a = 1, b = c á²ëãàí µîëäà ãèïåðãåîìåòðèê
©àòîð ãåîìåòðèê ïðîãðåññèÿãà àéëàíàäè, øóíèíã ó÷óí µàì ó ãèïåðãåîìåòðèê ©àòîð äåá àòàëãàí.
(69) òåíãëàìàíèíã èêêèí÷è õóñóñèé, óìóìàí àéòãàíäà, (71) ãà ÷èçè©ëè áî¡ëè© á²ëìàãàí å÷èìèíè òîïèø ó÷óí (69) òåíãëàìàäà
y = xρ η
àëìàøòèðèøíè áàæàðàìèç. Ó µîëäà (69) ©óéèäàãè ê²ðèíèøäà ¼çèëàäè:
x (1 − x) η 00 + [(c + 2ρ) − (a + b + 1 + 2ρ) x] η 0 −
Ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿ
41
ρ (ρ + c − 1)
− ab + ρ (a + b + ρ) −
η = 0.
x
Áó òåíãëàìà (69) òåíãëàìà òèïèãà òåãèøëè á²ëèøè ó÷óí ρ = 1 − c
(¼êè ρ = 0, áó µîë áèçíè ©èçè©òèðìàéäè) á²ëèøè êåðàê. Ó µîëäà
x (1 − x) η 00 + {(2 − c) − [(a − c + 1) + (b − c + 1) + 1] x} η 0 −
− (a − c + 1) (b − c + 1) η = 0
òåíãëàìàãà ýãà á²ëàìèç. Øóíäàé ©èëèá, ρ = 1 − c á²ëãàíäà y = xρ η
àëìàøòèðèø (69) òåíãëàìàíè õóääè øó ê²ðèíèøäàãè òåíãëàìàãà ²òêàçàäè, áóíäà ôà©àò a, b, c ëàðíè ìîñ ðàâèøäà a − c + 1, b − c + 1, 2 − c
ëàðãà àëìàøòèðèø çàðóð. Äåìàê, áåðèëãàí (69) òåíãëàìà y1 ãà ÷èçè©ëè
áî¡ëè© á²ëìàãàí
y2 = x1−c F (a − c + 1, b − c + 1, 2 − c; x)
å÷èìãà ýãà á²ëàäè. Øó áèëàí áèðãà, y2 ôóíêöèÿ
2 − c 6= 0, −1, −2, ..., −n, ...
á²ëãàíäàãèíà ìàúíîãà ýãà á²ëàäè. Øóíäàé ©èëèá, (69) òåíãëàìàíèíã
óìóìèé å÷èìèíè ©óéèäàãè ê²ðèíèøäà ¼çèø ìóìêèí:
y = c1 F (a, b, c; x) + c2 x1−c F (a − c + 1, b − c + 1, 2 − c; x) ,
áó åðäà c1 âà c2 - èõòè¼ðèé ²çãàðìàñëàð.
Àãàð ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿãà ñèììåòðèê á²ëèá êèðãàí a âà b ïàðàìåòðëàðäàí áèòòàñè ìàíôèé áóòóí ñîí (−n) ãà òåíã á²ëñà, (71) ãèïåðãåîìåòðèê ©àòîð óçèëèá ©îëàäè âà ó n - äàðàæàëè ê²ïµàäãà àéëàíàäè.
Àãàðäà a = −n1 , b = −n2 á²ëèá, áóíäà n1 , n2 ∈ N á²ëñà, ó µîëäà ãèïåðãåîìåòðèê ©àòîð ê²ïµàäãà àéëàíèá, óíèíã äàðàæàñè n1 âà n2
ñîíëàðíèíã êè÷èãèãà òåíã á²ëàäè.
(69) òåíãëàìàíèíã x = 1 ìàõñóñ íó©òà àòðîôèäàãè å÷èìëàðèíè òîïèø ó÷óí t = 1 − x àëìàøòèðèø ©èëàìèç. Íàòèæàäà (69) òåíãëàìàäàí
ÿíà ²çèãà ²õøàø òåíãëàìà µîñèë á²ëèá, ÿíãè òåíãëàìà a1 = a, b1 = b,
c1 = a + b − c + 1 ïàðàìåòðëàðãà ýãà á²ëàäè. Áóíè ýúòèáîðãà îëèá, (69)
òåíãëàìàíèíã x = 1 ìàõñóñ íó©òà àòðîôèäàãè ÷èçè©ëè áî¡ëè© á²ëìàãàí
å÷èìëàðèíè ¼çèø ìóìêèí:
y3 = F (a, b, a + b − c + 1; 1 − x) ,
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
42
c−a−b
y4 = (1 − x)
F (c − a, c − b, c + 1 − a − b; 1 − x) ,
áó åðäà c − a − b ∈
/ Z âà |1 − x| < 1 .
Àãàð (69) òåíãëàìàäà t = x−1 , ω = t−a y àëìàøòèðèø áàæàðñàê, ω (t)
ôóíêöèÿãà íèñáàòàí, ïàðàìåòðëàðè a1 = a, b1 = 1 + a − c, c1 = 1 + a − b,
á²ëãàí òåíãëàìàãà ýãà á²ëàìèç. Áóíäà (69) òåíãëàìàíèíã x = ∞ ìàõñóñ
íó©òàñè ÿíãè òåíãëàìàíèíã t = 0 ìàõñóñ íó©òàñèãà àëìàøàäè. Áóëàðíè
ýúòèáîðãà îëèá, (69) òåíãëàìàíèíã x = ∞ ìàõñóñ íó©òàñè àòðîôèäàãè
÷èçè©ëè áî¡ëè© á²ëìàãàí èêêè å÷èìëàðèíè òîïàìèç:
y5 = x−a F (a, 1 + a − c, 1 + a − b; 1/x) ,
y6 = x−b F (b, 1 + b − c, 1 + b − a; 1/x) ,
áó åðäà a − b ∈
/ Z âà |x| > 1.
Øóíäàé ©èëèá, (69) òåíãëàìíèíã ïàðàìåòðëàðè c, c − a − b, a − b 6∈ Z
øàðòëàðíè ©àíîàòëàíòèðãàíäà óíèíã îëòèòà àñîñèé å÷èìëàðè ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿ îð©àëè ¼çèëèøèíè òîïäèê.
2. Àñîñèé òàúðèôëàðäàí êåëèá ÷è©óâ÷è ôîðìóëàëàð.
(71) ©àòîðíè µàäëàá äèôôåðåíöèàëëàø íàòèæàñèäà äàðµîë óøáó
d
ab
F (a, b, c; x) = F (a + 1, b + 1, c + 1; x)
dx
c
ôîðìóëàíè µîñèë ©èëàìèç.
(71) ©àòîðíè àââàë xa , xb ¼êè xc−1 ãà ê²ïàéòèðèá, ñ²íãðà µàäëàá
äèôôåðåíöèàëëàñàê, ©óéèäàãè ôîðìóëàëàð êåëèá ÷è©àäè:
d a
[x F (a, b, c; x)] = axa−1 F (a + 1, b, c; x) ,
dx
d b
x F (a, b, c; x) = bxb−1 F (a, b + 1, c; x) ,
dx
d c
[x F (a, b, c; x)] = (c − 1) xc−2 F (a, b, c − 1; x) .
dx
Õóääè øó êàáè ©óéèäàãè òåíãëèêëàð µàì ²ðèíëè:
1.
dn
(a)n (b)n
F (a, b, c; x) =
F (a + n, b + n, c + n; x),
n
dx
(c)n
2.
dn a+n−1
[x
F (a, b, c; x)] = (a)n xa−1 F (a + n, b, c; x),
dxn
Ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿ
43
dn c−1
[x F (a, b, c; x)] = (c − n)n xc−n−1 F (a, b, c − n; x),
dxnn
d
4.
[(1 − x)a+n−1 F (a, b, c; x)] =
dxn
3.
= (−1)n
5.
dn
[(1 − x)a+b−c F (a, b, c; x)] =
dxn
=
6.
(a)n (c − b)n
(1 − x)a−1 F (a + n, b, c + n; x),
(c)n
(c − a)n (c − b)n
(1 − x)a+b−c−n F (a, b, c + n; x),
(c)n
dn c−1
b−c+n
[x
(1 − x)
F (a, b, c; x)] =
dxn
b−c
= (c − n)n xc−n−1 (1 − x)
7.
F (a − n, b; c − n; x),
dn c−1
a+b−c
[x
(1 − x)
F (a, b, c; x)] =
dxn
a+b−c−n
= (c − n)n xc−n−1 (1 − x)
8.
F (a − n, b − n, c − n; x)
dn c−a+n−1
a+b−c
[x
(1 − x)
F (a, b, c; x)] =
dxn
= (c − a)n xc−a−1 (1 − x)a+b−c−n F (a − n, b, c; x).
Áó òåíãëèêëàð ò²¡ðèëèãèãà, ìàñàëàí, ìàòåìàòèê èíäóêöèÿ óñóëè áèëàí èøîí÷ µîñèë ©èëèø ìóìêèí.
Îäàòäà óøáó îëòèòà F (a ± 1, b, c; x) , F (a, b ± 1, c; x) , F (a, b, c ± 1; x)
ôóíêöèÿëàð F (a, b, c; x) ôóíêöèÿãà ©²øíè ôóíêöèÿëàð äåéèëàäè.
F (a, b, c; x) âà èõòè¼ðèé óíãà ©²øíè èêêè ôóíêöèÿëàð îðàñèäà êîýôôèöèåíòëàðè x ãà áî¡ëè© ÷èçè©ëè ôóíêöèÿ á²ëãàí ÷èçè©ëè êîìáèíàöèÿ ìàâæóä. Áóíäàé êîìáèíàöèÿëàð 15 òà á²ëèá, óëàðíè Ãàóññ òîïãàí.
‰óéèäà áèç óëàðíèíã ò²ëà ð²éõàòèíè êåëòèðàìèç. Áóíäà F, F (a ± 1) ,
F (b ± 1) , F (c ± 1) îð©àëè ìîñ ðàâèøäà F (a, b, c; x) , F (a ± 1, b, c; x) ,
F (a, b ± 1, c; x) , F (a, b, c ± 1; x) ôóíêöèÿëàð òóøèíèëàäè:
[c − 2a − (b − a) x] F + a (1 − x) F (a + 1) − (c − a) F (a − 1) = 0,
(b − a) F + aF (a + 1) − bF (b + 1) = 0,
44
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
(c − a − b) F + a (1 − x) F (a + 1) − (c − b) F (b − 1) = 0,
c [a − (c − b) x] F − ac (1 − x) F (a + 1) + (c − a) (c − b) xF (c + 1) = 0,
(c − a − 1) F + aF (a + 1) − (c − 1) F (c − 1) = 0,
(72)
(c − a − b) F − (c − a) F (a − 1) + b (1 − x) F (b + 1) = 0,
(b − a) (1 − x) F − (c − a) F (a − 1) + (c − b) F (b − 1) = 0,
c (1 − x) F − cF (a − 1) + (c − b) xF (c + 1) = 0,
[a − 1 − (c − b − 1) x] F + (c − a) F (a − 1) − (c − 1) (1 − x) F (c − 1) = 0,
[c − 2b + (b − a) x] F + b (1 − x) F (b + 1) − (c − b) F (b − 1) = 0,
c [b − (c − a) x] F − bc (1 − x) F (b + 1) + (c − a) (c − b) xF (c + 1) = 0,
(c − b − 1) F + bF (b + 1) − (c − 1) F (c − 1) = 0,
c (1 − x) F − cF (b − 1) + (c − a) xF (c + 1) = 0,
[b − 1 − (c − a − 1) x] F + (c − b) F (b − 1) − (c − 1) (1 − x) F (c − 1) = 0.
c·[c−1−(2a−a−b−1)x]F +(c−a)(c−b)xF (c+1)−c(c−1)(1−x)F (c−1) = 0
Èêêèòà ïàðàìåòðè ²çãàðìàñ á²ëãàí ©²øíè ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿëàð
îðàñèäà ýñà ©óéèäàãè áî¡ëàíèøëàð ìàâæóä:
(c − a) F (a − 1) + (2a − c − ax + bx) F + a (1 − x) F (a + 1) = 0,
(c − b) F (b − 1) + (2b − c − bx + ax) F + b (x − 1) F (b + 1) = 0,
c (c − 1) (x − 1) F (c − 1) + c [c − 1 − (2c − a − b − 1) x] F +
+ (c − a) (c − b) xF (c + 1) = 0.
Áó òåíãëèêëàðíèíã ò²¡ðèëèãèãà èøòèðîê ýòà¼òãàí ãèïåðãåîìåòðèê
ôóíêöèÿëàðíèíã ©àòîðãà ¼éèëìàñèäàí ôîéäàëàíèá, ²çãàðóâ÷è x íèíã
ìîñ äàðàæàëàðè êîýôôèöèåíòëàðèíè òà©©îñëàø óñóëè áèëàí èøîí÷ µîñèë ©èëèø ìóìêèí. Ìàñàëàí, (72) òåíãëèêíè ©àðàéëèê:
(c − a − 1)
= (c − a − 1)
(a)n (b)n
(a + 1)n (b)n
+a·
=
(c)n n!
(c)n n!
(a)n (b)n
(a)n (b)n
+ a · (a + n) ·
=
(c)n n!
a · (c)n n!
Ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿ
=
45
(a)n (b)n
(a)n (b)n
(a)n (b)n
[c − a − 1 + (a + n)] =
[(c − 1) + n] =
.
(c)n n!
(c)n n!
(c − 1)n n!
3. Ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿíèíã èíòåãðàë ê²ðèíèøè.
(71) ©àòîðíè
(a)n =
Γ (a + n)
Γ (a)
òåíãëèêíè ýúòèáîðãà îëèá, óøáó
F (a, b, c; x) = 1 +
∞
X
Γ(c)Γ(a + n)Γ(b + n) n
x =
Γ(a)Γ(b)Γ(c + n) n !
n=1
"
#
∞
Γ(c)
Γ(a)Γ(b) X Γ(a + n)Γ(b + n) n
=
+
x =
Γ(a)Γ(b)
Γ(c)
Γ(c + n)n!
n=1
=
∞
Γ(c) X Γ(a + n)Γ(b + n) n
x
Γ(a)Γ(b) n=0
Γ(c + n)n!
ê²ðèíèøäà ¼çèá îëàìèç.
Áóíäàí (22) ôîðìóëàãà àñîñàí
B (b + n, c − b) =
Γ(b + n)Γ(c − b)
Γ(c + n)
á²ëãàíëèãè ñàáàáëè, àââàëãè òåíãëèê
F (a, b, c; x) =
∞
X
Γ(c)
Γ(a + n) n
x B (b + n, c − b)
Γ(a)Γ(b)Γ(c − b) n=0
n!
ê²ðèíèøäà ¼çèëàäè ¼êè (7) ãà àñîñàí
1
Z
∞
X
Γ(c)
Γ(a + n) n
c−b−1
F (a, b, c; x) =
x
tn+b−1 (1 − t)
dt.
Γ(a)Γ(b)Γ(c − b) n=0
n!
0
Áó åðäàãè èíòåãðàë n íèíã áàð÷à ©èéìàòëàðèäà ÿ©èíëàøóâ÷è á²ëãàíè ó÷óí
b > 0, c − b > 0 ¼êè c > b > 0
(73)
øàðòëàðíèíã áàæàðèëèøè çàðóðäèð.
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
46
Àââàëãè òåíãëèêíè óøáó
1
Z
∞
X
Γ(c)
Γ(a + n)
c−b−1 n
F (a, b, c; x) =
tn+b−1 (1 − t)
x dt =
Γ(b)Γ(c − b) n=0 n! Γ(a)
0
Γ(c)
=
Γ(b)Γ(c − b)
Z1
"
t
b−1
c−b−1
(1 − t)
0
#
∞
X
(a)n
n
(xt) dt
n!
n=0
−a
ê²ðèíèøäà ¼çèá îëàìèç. Èíòåãðàë îñòèäàãè éè¡èíäè (1 − xt)
öèÿíèíã ÷åêñèç ©àòîðãà ¼éëìàñèäàí èáîðàò á²ëãàíè ó÷óí
Γ(c)
F (a, b, c; x) =
Γ(b)Γ(c − b)
Z1
c−b−1
tb−1 (1 − t)
−a
(1 − xt)
ôóíê-
dt
(74)
0
ôîðìóëàãà ýãà á²ëàìèç. Áó ýñà ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿíèíã èíòåãðàë
ê²ðèíèøèäèð.
(73) øàðòëàðíè áèòòà c−a−b > 0 øàðò áèëàí àëìàøòèðèø ìóìêèí.
•à©è©àòàí µàì, àãàð a < 0 á²ëñà,(−a) > 0 á²ëàäè âà áó òåíãñèçëèêíèíã
(73) òåíãñèçëèêíè èêêèí÷èñè áèëàí ©²øèá, c − a − b > 0 òåíãñèçëèêíè
µîñèë ©èëàìèç; àãàðäà a > 0 á²ëñà, áó òåíãñèçëèêäàí, (73) òåíãñèçëèêëàðíèíã èêêèí÷èñèäàí êó÷ëèðî© á²ëãàí c − b > a òåíãñèçëèêêà ýãà
á²ëàìèç.
4. Ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿíè àíàëèòèê äàâîì ýòòèðèøãà
îèä âà áîø©à áàúçè ôîðìóëàëàð.
Ýíäè ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿíèíã x = 1 äàãè ©èéìàòèíè µèñîáëàéìèç. Øó ìà©ñàääà, (74) ôîðìóëàäàãè èíòåãðàë b > 0, c > 0 âà |x| < 1
á²ëãàíäà òåêèñ ÿ©èíëàøóâ÷è á²ëãàíè ñàáàáëè x → 1 äà ëèìèòãà ²òàìèç:
lim F (a, b, c; x) =
x→1
Γ(c)
lim
Γ(b)Γ(c − b) x→1
Z1 h
c−b−1
tb−1 (1 − t)
−a
(1 − xt)
i
dt =
0
Γ(c)
=
Γ(b)Γ(c − b)
Z1
h
i
c−b−1
−a
lim tb−1 (1 − t)
(1 − xt)
dt =
x→1
0
=
Γ(c)
Γ(b)Γ(c − b)
Z1
0
c−a−b−1
tb−1 (1 − t)
dt =
Γ(c)
B (b, c − a − b) =
Γ(b)Γ(c − b)
Ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿ
47
Γ(b)Γ(c − a − b)
Γ(c)Γ(c − a − b)
Γ(c)
=
.
Γ(b)Γ(c − b)
Γ(c − a)
Γ(c − a)Γ(c − b)
=
Øóíäàé ©èëèá,
lim F (a, b, c; x) = F (a, b, c; 1) =
x→1
Γ(c)Γ(c − a − b)
.
Γ(c − a)Γ(c − b)
Àãàð (74) ôîðìóëàäàãè èíòåãðàëäà
t=
1−s
1 − xs
¼êè
s=
1−t
1 − xt
àëìàøòèðèø áàæàðñàê, èíòåãðàë ©óéèäàãè ê²ðèíèøäà ¼çèëàäè:
Z1
c−b−1
tb−1 (1 − t)
−a
(1 − xt)
dt =
0
c−a−b
Z1
= (1 − x)
b−1
sc−b−1 (1 − s)
−(c−a)
(1 − xs)
ds =
0
=
Γ(b)Γ(c − b)
c−a−b
(1 − x)
F (c − a, c − b, c; x) .
Γ(c)
Äåìàê,
c−a−b
F (a, b, c; x) = (1 − x)
F (c − a, c − b, c; x) .
(75)
Áó òåíãëèê àâòîòðàíñôîðìàöèÿ ôîðìóëàñè äåéèëàäè.
F (a, b, c; x) = F (b, a, c; x) òåíãëèêíè ýúòèáîðãà îëèá, (74) òåíãëèêíè
Γ(c)
F (a, b, c; x) =
Γ(a)Γ(c − a)
Z1
c−a−1
ta−1 (1 − t)
−b
(1 − xt)
dt
0
êàáè ¼çèá îëàìèç âà èíòåãðàëäà t = 1 − s àëìàøòèðèø áàæàðàìèç:
F (a, b, c; x) =
Γ(c)
−b
(1 − x)
Γ(a)Γ(c − a)
Z1
0
a−1
sc−a−1 (1 − s)
1−
−b
x
s
ds.
x−1
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
48
Áó åðäàãè èíòåãðàëíè (74) áèëàí òà©©îñëàá,
−b
F (a, b, c; x) = (1 − x) F c − a, b, c;
x
x−1
(76)
ôîðìóëàãà ýãà á²ëàìèç. Áóíäàí c = a äà
F (a, b, a; x) = (1 − x)−b
òåíãëèê êåëèá ÷è©àäè. Àãàð x < 1/2 á²ëñà, |x/ (x − 1)| < 1 á²ëàäè. Áóíäà (76) òåíãëèêíèíã ²íã òîìîíèäàãè ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿ, òåãèøëè
ãèïåðãåîìåòðèê ©àòîðíèíã éè¡èíäèñè ñèôàòèäà ©àðàëèøè ìóìêèí [1].
Äåìàê, (76) ôîðìóëà F (a, b, c; x) ôóíêöèÿíè −∞ < x < −1 îðàëè©©à
àíàëèòèê äàâîì ýòòèðàäè.
(76) òåíãëèêäà x íè (1 − x)ãà àëìàøòèðèá, óíèíã áîø©à ê²ðèíèøèãà
ýãà á²ëàìèç:
x−1
F (a, b, c; 1 − x) = x−b F c − a, b, c;
.
(77)
x
Ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿíè −1 ≤ x ≤ 1 êåñìàäàí òàø©àðèäà àíè©ëàøãà õèçìàò ©èëóâ÷è áîø©à ôîðìóëàëàðíè µàì êåëòèðèá ÷è©àðàéëèê.
Àââàë x âà 1 − x àðãóìåíòëè ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿëàð îðàñèäàãè ìóíîñàáàòíè òîïàìèç. |x| < 1 âà |1 − x| èíòåðâàëëàð êåñèøìàñèäà
(69) òåíãëàìàíèíã y1 (x) = F (a, b, c; −x) å÷èìè óíèíã y3 âà y4 å÷èìëàðè
÷èçè©ëè êîìáèíàöèÿñè ñèôàòèäà èôîäàëàíàäè, ÿúíè
F (a, b, c; x) = AF (a, b, a + b − c + 1; 1 − x) +
c−a−b
+B (1 − x)
F (c − a, c − b, c − a − b + 1; 1 − x) ,
c−a−b ∈
/ Z. (78)
Áó åðäà a, b, c ïàðàìåòðëàðíèíã (78) òåíãëèêäàãè áàð÷à ãèïåðãåîìåòðèê
ôóíêöèÿëàð ìàúíîãà ýãà á²ëàäèãàí ©èéìàòëàðè ©àðàëàäè.
x = 1 á²ëãàíäà (78) òåíãëàìàíèíã ²íã òîìîíè a, b, c ïàðàìåòðëàðíèíã èõòè¼ðèé ©èéìàòëàðèäà ìàúíîãà ýãà, ÷àï òîìîíè ÷åêëè á²ëèøè
ýñà c − a − b íèíã èøîðàñèãà áî¡ëè©. Àãàð c − a − b > 0 á²ëñà, (78) äàí
x = 1 äà
Γ (c) Γ (c − a − b)
(79)
A = F (a, b, c; 1) =
Γ (c − a) Γ (c − b)
êåëèá ÷è©àäè. Àãàð c − a − b < 0 á²ëñà, (78) íèíã ÷àï òîìîíèãà (75)
a+b−c
ôîðìóëàíè ©²ëëàá, ñ²íãðà µîñèë á²ëãàí òåíãëèêíè (1 − x)
ãà ê²ïàéòèðèá âà x = 1 äåá
B = F (c − a, c − b, c; 1) =
Γ (c) Γ (a + b − c)
Γ (a) Γ (b)
(80)
Ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿ
49
ýêàíëèãèíè òîïàìèç.
(79) âà (80) òåíãëèêëàðãà àñîñàí (78) òåíãëèêíè
F (a, b, c; x) =
+
Γ (c) Γ (c − a − b)
F (a, b, a + b − c + 1, 1 − x) +
Γ (c − a) Γ (c − b)
Γ (c) Γ (a + b − c)
c−a−b
(1 − x)
F (c − a, c − b, c − a − b + 1; 1 − x) ,
Γ (a) Γ (b)
c − a − b 6∈ Z
(81)
ê²ðèíèøäà ¼çèø ìóìêèí. (76) íèíã ²íã òîìîíèãà (81) ôîðìóëàíè ©²ëëàá, ©óéèäàãè ôîðìóëàãà ýãà á²ëàìèç:
Γ (c) Γ (b − a)
1
−a
F (a, b, c; x) =
(1 − x) F a, c − b, a − b + 1;
+
Γ (c − a) Γ (b)
1−x
+
Γ (c) Γ (a − b)
−b
(1 − x) F
Γ (c − b) Γ (a)
c − a, b, b − a + 1;
1
1−x
, a−b∈
/ Z. (82)
Àãàð (76) âà (81) òåíãëèêëàðíèíã ²íã òîìîíèãà ìîñ ðàâèøäà (82) âà
(77) ôîðìóëàëàðíè ©²ëëàñàê,
1
Γ (c) Γ (b − a)
−a
(−x) F a, a − c + 1, a − b + 1;
+
F (a, b, c; x) =
Γ (c − a) Γ (b)
x
1
b, b − c + 1, b − a + 1;
, a−b∈
/ Z; (83)
x
Γ (c) Γ (c − a − b) −a
x−1
F (a, b, c; x) =
x F a, a − c + 1, a + b − c + 1;
+
Γ (c − a) Γ (c − b)
x
Γ (c) Γ (a + b − c) a−c
x−1
c−a−b
+
x
(1 − x)
F c − a, 1 − a, c − a − b + 1;
,
Γ (a) Γ (b)
x
Γ (c) Γ (a − b)
−b
+
(−x) F
Γ (c − b) Γ (a)
c−a−b∈
/Z
(84)
òåíãëèêëàð êåëèá ÷è©àäè.
(81), (82), (83), (84) òåíãëèêëàð ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿíè ìîñ ðàâèøäà |1 − x| < 1, |1 − x| > 1, |x| > 1, |(1 − x) /x| < 1 òåíãñèçëèêëàð áèëàí àíè©ëàíóâ÷è îðàëè©ëàðãà àíàëèòèê äàâîìèíè áåðàäè. (81) - îäàòäà
Áîëüö ôîðìóëàñè äåá àòàëàäè.
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
50
‰óéèäàãè òåíãëèê c = a + b á²ëãàíäà ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿíèíã
x = 1 íó©òà àòðîôèäàãè õóë©èíè èôîäàëàéäè [1]:
F (a, b, a + b; 1 − x) = −
Γ (a + b)
F (a, b, 1; x) ln x+
Γ (a) Γ (b)
∞
Γ (a + b) X Γ (a + k) Γ (b + k)
×
2
2
Γ (a) Γ2 (b)
(k!)
k=0
Γ0 (1 + k) Γ0 (a + k) Γ0 (b + k) k
× 2·
−
−
x .
Γ (1 + k)
Γ (a + k)
Γ (b + k)
+
Ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿëàð ó÷óí ©óéèäàãè òåíãëèêëàð µàì ²ðèíëè [1]:
c−a c+a−1
c−1
,
, c; 4x (1 − x) ;
F (a, 1 − a, c; x) = (1 − x)
F
2
2
√ 2−2a−2c
c−1 √
F (a, 1 − a, c; −x) = (1 + x)
1+x+ x
×
h
p
√
√ −2 i
;
×F c + a − 1, c − 1/2, 2c − 1; 4 x (1 + x) 1 + x + x
1
1
F 2a, 2b, a + b + ; x = F a, b, a + b + ; 4x (1 − x) ;
2
2
1
1 1 1√
F a, b, a + b + ; x = F 2a, 2b, a + b + ; −
1−x =
2
2 2 2
√
−2a 1 1√
1
1−x−1
1
=
+
.
1−x
F 2a, a − b + , a + b + ; √
2 2
2
2
1−x+1
1−2a
1
1 1√
F a − , a, 2a; x =
+
1−x
2
2 2
Γ (a + b + 1/2) Γ (1/2)
1
1 1
=
, a+b+ 6= 0, −1, −2, ...
F 2a, 2b, a + b + ;
2 2
Γ (a + 1/2) Γ (b + 1/2)
2
Èçîµ. 2-, 3- âà 4- áàíääà êåëòèðèëãàí ôîðìóëàëàðíè {z} = {x +
iy} êîìïëåêñ ²çãàðóâ÷è òåêèñëèãèäà µàì ©àðàø ìóìêèí. Áóíäà áàúçè
ôîðìóëàëàðãà ©²øèì÷à ÷åêëàíèøëàð êåëèá ÷è©àäè [1,6].
Èêêè àðãóìåíòëè ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿëàð
51
5.Óìóìëàøãàí ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿëàð âà ©àòîðëàð.
Ãàóññíèíã ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿñè âà ©àòîðèíè ïàðàìåòðëàð ñîíè á²éè÷à óìóìëàøòèðóâ÷è óøáó ôóíêöèÿ (©àòîð) ëàð
m Fn (a1 , a2 , ..., am ; c1 , c2 , ..., cn , x) =
∞
X
(a1 )k · ... · (am )k xk
·
(c1 )k · ... · (cn )k k!
k=0
óìóìëàøãàí ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿ (©àòîð) ëàð äåá àòàëàäè, áó åðäà aj , bs 6= 0, −1, −2, ...., j = 1, m, s = 1, n. Áó áåëãèëàøëàðãà àñîñàí
F (a, b, c; x) =2 F1 (a, b, c; x) á²ëàäè.
Àìàëè¼òäà áèç F (a, b, c; x) ôóíêöèÿ áèëàí áèð ©àòîðäà 1 F1 (a, c; x)
âà 2 F2 (a, b; c, d; x) ôóíêöèÿëàðäàí µàì ôîéäàëàíàìèç. Æóìëàäàí, áó
ôóíêöèÿëàð ó÷óí ©óéèäàãè òåíãëèêëàð ²ðèíëè [1,10]:
Zx
δ−1 −cz
z a+c−1 (x − z)
e
I γ (cz)dz = xα+δ+γ+1
Γ (α + γ) Γ (δ)
×
Γ (α + δ) Γ (γ)
0
×2 F2
1
γ + , α + γ; 2γ + 1, α + δ + γ; −2cx ,
2
x, Reδ, Re (α + δ) > 0,
(85)
+∞
Z
x2β−1
z 2β−2 e−cz I β−1 (cz)dz =
1 F1 (β − 1/2; 2β; −2cx) ,
1 − 2β
c ≥ 0, x > 0,
x
(a, c; x) = ex 1 F1 (c − a, c; −x) ,
1
+ ν, 1 + 2ν; 2x = ex I ν (x) ,
1 F1
2
1 F1
1 F1
(86)
(87)
(a, a; x) = ex .
5-Ÿ. Èêêè àðãóìåíòëè ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿëàð.
Áóíäàé ôóíêöèÿëàð âà ©àòîðëàð íàçàðèÿñè æóäà êåíã âà ÷ó©óð ²ðãàíèëãàí á²ëèá [ 1,21 ], áèç áó åðäà óëàðäàí îëòèòàñè µà©èäà áàúçè
ìàúëóìîòëàðíè êåëòèðàìèç.
1. Òàúðèôëàðè.
F1 (α, β, β 0 , γ; x, y) =
∞
X
(α)m+n (β)m (β 0 )n m n
x y ,
(γ)m+n m!n!
m,n=0
52
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
F2 (α, β, β 0 , γ, γ 0 ; x, y) =
F3 (α, α0 , β, β 0 , γ; x, y) =
H2 (α, β, γ, δ, ε; x, y) =
Ξ2 (α, β, γ; x, y) =
H3 (α, β, δ, e; x, y) =
∞
X
(α)m+n (β)m (β 0 )n m n
x y ,
(γ)m (γ 0 )n m!n!
m,n=0
∞
X
(α)m (α0 )n (β)m (β 0 )n m n
x y ,
(γ)m+n m!n!
m,n=0
∞
X
(α)m−n (β)m (γ)n (δ)n m n
x y ,
(ε)m m!n!
m,n=0
∞
X
(α)m (β)m m n
x y ,
(γ)
m+n m!n!
m,n=0
|x| < 1,
∞
X
(α)m−n (β)m m n
x y ,
(δ)m m!n!
m,n=0
|x| < 1.
Áóëàðäàí äàñòëàáêè ò²ðòòàñè Ãîðí ôóíêöèÿëàðè, îõèðãè èêêèòàñè ýñà áóçèëãàí ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿ (©àòîð) ëàð äåéèëàäè. Ξ2 Ãóìáåðò ôóíêöèÿñè äåá µàì àòàëàäè.
Áó ©àòîðëàðíèíã ÿ©èíëàøèø ñîµàñè ©óéèäàãè÷à:
F1 , F3 − {(x, y) : 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1} ;
F2 − {(x, y) : 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1 − x} ;
H2 − {(x, y) : 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y ≤ 1/2} ∪ {(x, y) : 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1 − x/2} ;
Ξ2 , H3 − {(x, y) : −1 < x < 1 , −∞ < y < +∞} .
Èêêè àðãóìåíòëè ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿëàð
53
2. Äèôôåðåíöèàë òåíãëàìàëàðè.
x (1 − x) r + y (1 − x) s + [γ − (α + β + 1) x] p − βyq − αβz = 0,
y (1 − y) t + x (1 − y) s + [γ − (α + β 0 + 1) y] q − β 0 xp − αβ 0 z = 0;
x (1 − x) r − xys + [γ − (α + β + 1) x] p − βyq − αβz = 0,
y (1 − y) t − xys + [γ 0 − (α + β 0 + 1) y] q − β 0 xp − αβ 0 z = 0;
x (1 − x) r + ys + [γ − (α + β + 1) x] p − αβz = 0,
y (1 − y) t + xs + [γ − (α0 + β 0 + 1) y] q − α0 β 0 z = 0;
F2
F3
x (x − 1) r − xys + [(α + β + 1) x − ε] p − βyq + αβz = 0,
y (y + 1) t − xs + [1 − α + (γ + δ + 1) y] q + γδz = 0;
x (1 − x) r + ys + [γ − (α + β + 1) x] p − αβz = 0,
yt + xs + γq − z = 0;
H2
Ξ2
x (1 − x) r + xys + [δ − (α + β + 1)x] p + βyq − αβz = 0,
yt − xs + (1 − α) q + z = 0.
H3
Áó åðäà p = zx , q = zy , r = zxx, , s = zxy , t = zyy .
3. F (a, b, c, ; x) âà Jν (x) ôóíêöèÿëàð á²éè÷à ¼éèëìàëàðè.
F1 (α, β, β 0 , γ; x, y) =
=
∞
X
(α)m (β)m m
x F (α + m, β 0 , γ + m; y) =
(γ)
m!
m
m=0
∞
X
(α)n (β 0 )n n
y F (α + n, β, γ + n; x);
(γ)n n!
n=0
F2 (α, β, β 0 , γ, γ 0 ; x, y) =
=
∞
X
(α)m (β)m m
x F (α + m, β 0 , γ 0 ; y) =
(γ)
m!
m
m=0
∞
X
(α)n (β 0 )n n
y F (α + n, β, γ; x);
(γ 0 )n n!
n=0
F3 (α, α0 , β, β 0 , γ; x, y) =
∞
X
(α)m (β)m m
x F (α0 , β 0 , γ + m; y) =
(γ)
m!
m
m=0
F1
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
54
=
∞
X
(α0 )n (β 0 )n n
y F (α, β, γ + n, x);
(γ)n n!
n=0
H2 (α, β, γ, δ, ε; x, y) =
∞
X
(α)m (β)m m
x F (γ, δ, 1 − α − m; −y) =
(ε)m m!
m=0
∞
n
X
(−1) (γ)n (δ)n n
y F (α − n, β, ε; x);
(1 − α)n n!
n=0
=
∞
X
(α)m (β)m m
√
x J γ+m−1 (2i y) =
(γ)
m!
m
m=0
Ξ2 (α, β, γ; x, y) =
=
∞
X
yn
F (α, β, γ + n; x) ;
(γ)n n!
n=0
H3 (α, β, δ; x, y) =
=
∞
X
(α)m (β)m m
√
x J −α−m (2 y) =
(δ)m m!
m=0
∞
n
X
(−1)
yn
. F (α − n, β, δ; x) .
(1 − α)n n!
n=0
4. Èíòåãðàë ê²ðèíèøëàðè.
Γ (γ)
F1 (α, β, β , γ; x, y) =
Γ (α) Γ (γ − α)
0
Z1
γ−α−1
uα−1 (1 − u)
β0
β
0
(1 − ux) (1 − uy)
du,
Reα > 0, Re (γ − α) > 0;
F2 (α, β, β 0 , γ, γ 0 ; x, y) =
Z1 Z1
×
0
uβ−1 v β
0
−1
Γ (γ) Γ (γ 0 )
×
Γ (β) Γ (β 0 ) Γ (γ − β) Γ (γ 0 − β 0 )
γ−β−1
(1 − u)
γ 0 −β 0 −1
(1 − v)
−α
(1 − ux − vy)
0
Reβ > 0, Reβ 0 > 0, Re (γ − β) > 0, Re (γ 0 − β 0 ) > 0;
dudv,
Èêêè àðãóìåíòëè ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿëàð
F3 (α, α0 , β, β 0 , γ; x, y) =
55
Γ (γ)
×
Γ (β) Γ (β 0 ) Γ (γ − β − β 0 )
Z1 1−v
Z
0
γ−β−β 0 −1
−α
−α0
×
uβ−1 v β −1 (1 − u − v)
(1 − ux) (1 − vy)
dudv,
0
0
Reβ > 0, Reβ 0 > 0, Re (γ − β − β 0 ) > 0;
Γ (ε)
×
Γ (β) Γ (ε − β)
H2 (α, β, γ, δ, ε; x, y) =
Z1
ε−β−1
uβ−1 (1 − u)
×
−α
(1 − xu)
F [γ, δ, 1 − α; y (xu − 1)] du,
0
Reε > Reβ > 0;
Ξ2 (α, β, γ; x, y) =
Z1
×
γ−α−1
v α−1 (1 − v)
Γ (γ)
×
Γ (α) Γ (γ − α)
−β
(1 − vx)
h p
i
I γ−α−1 2 y (1 − v) dv,
0
Reγ > Reα > 0;
H3 (α, β, δ; x, y) =
Z1
×
δ−β−1
uβ−1 (1 − u)
Γ (δ)
×
Γ (β) Γ (δ − β)
−α
(1 − ux)
h p
i
J −α 2 y (1 − ux) du,
0
Reδ > Reβ > 0.
5. Ïàðàìåòðëàðíèíã õóñóñèé ©èéìàòëàðèäàãè ê²ðèíèøè.
−α
F1 (α, β, β 0 , β + β 0 ; x, y) = (1 − y)
F
α, β, β + β 0 ;
x−y
1−y
;
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
56
0
−α
0
F2 (α, β, β , β, γ ; x, y) = (1 − x)
−β
0
F2 (α, β, β , α, α; x, y) = (1 − x)
F
−β 0
(1 − y)
y
α, β , γ ;
1−x
0
F
α+β−γ
F3 (α, γ − α, β, γ − β, γ; x, y) = (1 − y)
0
;
xy
β, β , α;
(1 − x) (1 − y)
0
F (α, β, γ; x + y − xy) ;
−α
F [γ, δ, 1 − α; y (x − 1)] ;
−α
h p
i
J −α 2 y (1 − x) ;
H2 (α, β, γ, δ, β; x, y) = (1 − x)
H3 (α, β, β; x, y) = (1 − x)
6. ’çãàðóâ÷èëàðíèíã õóñóñèé ©èéìàòëàðèäàãè ê²ðèíèøè.
F1 (α, β, β 0 , γ; x, 1) =
=
Γ (γ) Γ (γ − α − β 0 )
F (α, β, γ − β 0 ; x) , Re (γ − α − β 0 ) > 0,
Γ (γ − α) Γ (γ − β 0 )
F1 (α, β, β 0 , γ; 1, y) =
=
Γ (γ) Γ (γ − α − β)
F (α, β 0 , γ − β; y) , Re (γ − α − β) > 0,
Γ (γ − α) Γ (γ − β)
F1 (α, β, β 0 , γ; x, x) = F (α, β + β 0 , γ; x) ,
H3 (α, β, δ; 1, y) =
Γ (δ) Γ (δ − α − β)
1 F2 (δ − α − β, 1 − α, δ − α; −y) ,
Γ (δ − α) Γ (δ − β)
Re (δ − α − β) > 0.
7. Äèôôåðåíöèàëëàø ôîðìóëàëàðè.
∂ m+n
F1 (α, β, β 0 , γ; x, y) =
∂xm ∂γ n
=
(α)m+n (β)m (β 0 )n
F1 (α + m + n, β + m, β 0 + n; γ + m + n; x, y) ;
(γ)m+n
∂ m+n
F2 (α, β, β 0 , γ, γ 0 ; x, y) =
∂xm ∂y n
;
Èêêè àðãóìåíòëè ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿëàð
=
57
(α)m+n (β)m (β 0 )n
F2 (α + m + n; β + m, β 0 + n; γ + m, γ 0 + n; x, y) ;
(γ)m (γ 0 )n
∂ m+n
F3 (α, α0 , β, β 0 , γ; x, y) =
∂xm ∂y n
=
(α)m (α0 )n (β)m (β 0 )n
F3 (α + m, α0 + n, β + m, β 0 + n, γ + m + n; x, y) .
(γ)m+n
x ∂
F1 (α, β, β 0 , γ; x, y) = F1 (α, β + 1, β 0 , γ; x, y) − F1 (α, β, β 0 , γ; x, y) ;
β ∂x
y ∂
F1 (α, β, β 0 , γ; x, y) = F1 (α, β, β 0 + 1, γ; x, y) − F1 (α, β, β 0 , γ; x, y) ;
β 0 ∂y
∂ m+n
H3 (α, β, δ; x, y) =
∂xm ∂y n
n
= (−1)
(α)m (β)m
H3 (α + m − n, β + m, δ + m; x, y) ;
(1 − α)n (δ)m
∂ n δ−1
n
x H3 (α, β, δ; x, y) = (−1) (1 − δ)n xδ−n−1 H3 (α, β, δ − n; x, y) ;
n
∂x
i
h p
i
∂ n h β+n−1
β−1
−α
x
H
(α,
β,
β
+
n;
x,
y)
=
(β)
x
(1
−
x)
J
2
y
(1
−
x)
.
3
−α
n
∂xn
8. ‰²øíè ôóíêöèÿëàð îðàñèäàãè ìóíîñàáàòëàð.
(γ − β − β 0 − 1) F1 (α, β, β 0 , γ; x, y) + βF1 (α, β + 1, β 0 , γ; x, y) +
+β 0 F1 (α, β, β 0 + 1, γ; x, y) = (γ − 1) F1 (α, β, β 0 , γ − 1; x, y) ;
(γ − α − 1) F1 (α, β, β 0 , γ; x, y) + αF1 (α + 1, β, β 0 , γ; x, y) =
= (γ − 1) F1 (α, β, β 0 , γ, γ − 1; x, y) ;
H3 (α, β, δ; x, y) − H3 (α, β, δ − 1; x, y) =
αβ
xH3 (α + 1, β + 1, δ + 1; x, y) ;
δ (1 − δ)
α
H3 (α, β + 1, δ; x, y) − H3 (α, β, δ; x, y) = xH3 (α + 1, β + 1, δ + 1; x, y) .
δ
=
9. Àíàëèòèê äàâîì ýòòèðèø ôîðìóëàëàðè.
0
F1 α, β, β 0 , γ; x, y = (1 − x)−β (1 − y)−β F1 γ − α, β, β 0 , γ;
x
y
,
x−1 y−1
=
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
58
x
y−x
= (1 − x) F1 α, γ − β − β , β , γ;
,
=
x−1 1−x
y
y−x
−α
,
=
= (1 − y) F1 α, β, γ − β − β 0 , γ;
y−1 y−1
x−y
γ−α−β
−β 0
=
= (1 − x)
(1 − y)
F1 γ − α, γ − β − β 0 , β 0 , γ; x,
1−y
x−y
−β
γ−α−β 0
0
= (1 − x) (1 − y)
,y .
F1 γ − α, β, γ − β − β , γ;
x−1
−α
0
0
F2 α, β, β 0 , γ, γ 0 ; x, y = (1 − x)−α F2 α, γ − β, β 0 , γ, γ 0 ;
−α
= (1 − y)
F2
x
y
,
x−1 1−x
x
y
α, β, γ − β , γ, γ ,
,
1−y y−1
0
0
0
=
=
y
x
,
,
= (1 − x − y) F2 α, γ − β, γ − β , γ, γ ;
x+y−1 x+y−1
x
−α
H2 (α, β, γ, ε; x, y) = (1 − x) H2 α, ε − β, γ, δ, ε;
, y(1 − x) ,
x−1
x
−α
H3 (α, β, δ; x, y) = (1 − x) H3 α, δ − β, δ;
, y(1 − x) .
x−1
−α
0
0
0
Èçîµ. Áó åðäà ©àðàëãàí ôóíêöèÿëàðíèíã òàúðèôëàðè âà êåëòèðèëãàí ôîðìóëàëàð ¼ðäàìèäà ÿíà ê²ïëàá ôîðìóëàëàð êåëòèðèá ÷è©àðèø
ìóìêèí.
ÈÊÊÈÍ×È Á’ËÈÌ
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
1-Ÿ. Ñèíãóëÿð èíòåãðàëëàð
1. üëüäåð øàðòè. H α (∆) ñèíô. f (x) ôóíêöèÿ a ≤ x ≤ b êåñìàäà
àíè©ëàíãàí á²ëñèí. Àãàð a ≤ x ≤ b êåñìàíèíã èõòè¼ðèé èêêèòà x1 âà
x2 íó©òàëàðè ó÷óí
α
|f (x1 ) − f (x2 )| ≤ K |x1 − x2 |
(1)
òåíãñèçëèê áàæàðèëñà, f (x) ôóíêöèÿ a ≤ x ≤ b êåñìàäà üëüäåð øàðòèíè (©èñ©à÷à, H α øàðòíè) ©àíîàòëàíòèðàäè äåéèëàäè, áóíäàãè α, K
- ìóñáàò ²çãàðìàñ ñîíëàð, øó áèëàí áèðãà 0 < α ≤ 1. Îäàòäà K üëüäåð ²çãàðìàñè, α - üëüäåð ê²ðñàòêè÷è äåá àòàëàäè.
Àãàð f (x) ôóíêöèÿíèíã (a, b) îðàëè©äà óçëóêñèç âà ÷åãàðàëàíãàí
µîñèëàñè ìàâæóä á²ëñà, áó ôóíêöèÿ [a, b] êåñìàäà H 1 øàðòíè ©àíîàòëàíòèðàäè. •à©è©àòàí µàì, (a, b) îðàëè©äà f 0 (x) µîñèëà óçëóêñèç á²ëãàíëèãè ó÷óí, ÷åêëè îðòòèðìàëàð µà©èäà òåîðåìàãà àñîñàí, [a, b] êåñìàäàãè èõòè¼ðèé x1 âà x2 (x1 < x2 ) íó©òàëàð ó÷óí øóíäàé x0 ∈ (x1 , x2 )
íó©òà òîïèëàäèêè,
f (x1 ) − f (x2 ) = f 0 (x0 ) (x1 − x2 )
òåíãëèê ²ðèíëè á²ëàäè. |f 0 (x0 )| ≤ K ýêàíëèãèíè ýúòèáîðãà îëñàê, áó
òåíãëèêäàí äàðµîë óøáó
|f (x1 ) − f (x2 )| ≤ K |x1 − x2 |
òåíãñèçëèê, ÿúíè H 1 øàðòíèíã áàæàðèëèøè êåëèá ÷è©àäè. Áàúçèäà H 1
øàðòíè Ëèïøèö øàðòè äåá µàì þðèòèëàäè.
Àãàð f (x) ôóíêöèÿ [a, b] êåñìàäà α > 1 ê²ðñàòêè÷ áèëàí üëüäåð
øàðòèíè ©àíîàòëàíòèðñà, ó ²çãàðìàñäèð. •à©è©àòàí µàì, áóíäà òàúðèôãà àñîñàí [a, b] êåñìàäàãè èõòè¼ðèé x , x0 (x 6= x0 , a < x0 < b )
íó©òàëàð ó÷óí
f (x) − f (x0 )
α−1
≤ K |x − x0 |
x − x0
60
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
òåíãñèçëèê ²ðèíëè. Áó òåíãñèçëèêäà x → x0 äà ëèìèòãà ²òñàê,
f 0 (x0 ) = 0 òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç. Áó òåíãëèêäà x0 - (a, b) îðàëè©íèíã èõòè¼ðèé íó©òàñè ýêàíëèãèíè ýúòèáîðãà îëñàê, óíäàí f (x) ≡ const
òåíãëèê êåëèá ÷è©àäè.
Î÷è© ¼êè ¼ïè© ÷åêëè ∆ îðàëè©äà üëüäåð øàðòèíè ©àíîàòëàíòèðóâ÷è ôóíêöèÿëàð ó÷óí ©óéèäàãè òàñäè©ëàð ²ðèíëè:
10 . Àãàð f (x) ôóíêöèÿ ∆ îðàëè©äà H α øàðòíè ©àíîàòëàíòèðñà, ó
µîëäà áó ôóíêöèÿ ∆ îðàëè©äà èõòè¼ðèé ìóñáàò β (0 < β < α) ñîí ó÷óí
H β øàðòíè ©àíîàòëàíòèðàäè.
20 . Àãàð f (x) âà g (x) ôóíêöèÿëàð ∆ îðàëè©äà ìîñ ðàâèøäà H α âà
β
H øàðòëàðíè ©àíîàòëàíòèðñà, ó µîëäà
f (x) ± g (x) , f (x) · g (x) ,
f (x)/g (x)
(g (x) 6= 0)
ôóíêöèÿëàð ∆ îðàëè©äà H γ øàðòíè ©àíîàòëàíòèðàäè, áó åðäà
γ = min (α, β).
30 . Àãàð f (x) ôóíêöèÿ ∆ îðàëè©äà H α øàðòíè ©àíîàòëàíòèðñà âà
β
0 < β < α á²ëñà, èõòè¼ðèé x0 ∈ ∆ íó©òà ó÷óí [f (x) − f (x0 )] /|x − x0 |
ôóíêöèÿ ∆ äà H α−β øàðòíè ©àíîàòëàíòèðàäè.
Îäàòäà ∆ îðàëè©äà α ê²ðñàòêè÷ëè üëüäåð øàðòèíè ©àíîàòëàíòèðóâ÷è áàð÷à ôóíêöèÿëàð ñèíôèíè H α (∆) áèëàí áåëãèëàíàäè. Àíè©êè,
H α (∆) ñèíôãà òåãèøëè µàð áèð ôóíêöèÿ ∆ äà óçëóêñèç á²ëàäè. Áóíè
âà 10 -òàñäè©íè ýúòèáîðãà îëãàí µîëäà H 0 (∆) = C (∆) äåá îëèíàäè.
Áóíäàí òàø©àðè ∆ îðàëè©äà k - òàðòèáãà÷à óçëóêñèç µîñèëàëàðãà ýãà âà f (k) (x) µîñèëàñè ∆ îðàëè©äà H α øàðòíè ©àíîàòëàíòèðóâ÷è ôóíêöèÿëàð ñèíôè C (k,α) (∆) êàáè áåëãèëàíàäè. Áó áåëãèãà àñîñàí
C (0,α) (∆) − ∆ îðàëè©äà H α øàðòíè ©àíîàòëàíòèðóâ÷è óçëóêñèç ôóíêöèÿëàð ñèíôèíè áèëäèðàäè.
2. Ñèíãóëÿð èíòåãðàëëàð. f (x) ôóíêöèÿ a ≤ x ≤ b êåñìàäà
©àðàëà¼òãàí á²ëèá, áó êåñìàíèíã c íó©òàñè àòðîôèäà ÷åãàðàëàíìàãàí,
a ≤ x ≤ c − ε1 , c + ε2 ≤ x ≤ b êåñìàëàðíèíã µàð áèðèäà èíòåãðàëëàíóâ÷è
á²ëñèí, áó åðäà ε1 âà ε2 - åòàðëè êè÷èê ìóñáàò ñîíëàð. Óøáó
c−ε
Z 1
Zb
f (x) dx +
a
f (x) dx
(2)
c+ε2
éè¡èíäèíè òóçàìèç. Àãàð áó éè¡èíäè ε1 âà ε2 ëàð áèð-áèðèãà áî¡ëè©
á²ëìàãàí µîëäà íîëãà èíòèëãàíäà ëèìèòãà ýãà á²ëñà, áèðèí÷è á²ëèìíèíã 1-Ÿèäà ó©òèðèá ²òèëãàíëàðãà àñîñàí, áó ëèìèò f (x) ôóíêöèÿíèíã
Ñèíãóëÿð èíòåãðàëëàð
61
õîñìàñ èíòåãðàëè äåéèëàäè, ÿúíè
 c−ε

Z 1
Zb
Zb
f (x) dx +
f (x) dx .
f (x) dx = lim 
ε1 →0
ε2 →0
a
a
c+ε2
(2) éè¡èíäè ε1 âà ε2 ëàð áèð-áèðèãà áî¡ëè© á²ëìàé íîëãà èíòèëãàíäà ëèìèòãà ýãà á²ëìàñëèãè, ëåêèí óëàð áèðîð ìóíîñàáàò áèëàí áî¡ëè©
á²ëèá íîëãà èíòèëãàíäà ëèìèòãà ýãà á²ëèøè ìóìêèí.
1
Ìèñîë ó÷óí f (x) = x−c
, a << b ôóíêöèÿíè òåêøèðàìèç. (2) éè¡èíäèíè òóçèá,
c−ε
Z 1
dx
+
x−c
a
Zb
dx
b−c
ε1
= ln
+ ln
x−c
c−a
ε2
(3)
c+ε2
òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç. (3) ìè©äîð ε1 âà ε2 ²çàðî áî¡ëè© á²ëìàé íîëãà
èíòèëãàíäà ëèìèòãà ýãà á²ëìàéäè, ÷óíêè áó µîëäà ε1 /ε2 íèñáàò èõòè¼ðèé ²çãàðèøè ìóìêèí. Àãàð ε1 âà ε2 áèð-áèðèãà áî¡ëè© á²ëñà, ìàñàëàí
ε1 = kε2 , áóíäà k - ìóñáàò ²çãàðìàñ, ó µîëäà (3) éè¡èíäè ëèìèòãà ýãà
á²ëèá, áó ëèìèò
b−c
ln
+ ln k
c−a
ãà òåíã á²ëàäè. Õóñóñèé µîëäà ε1 = ε2 = ε äåñàê,
 c−ε

Z
Zb
dx
b−c
dx 
lim 
+
= ln
ε→0
x−c
x−c
c−a
a
c+ε
òåíãëèêíè µîñèë ©èëàìèç. Áó ìèñîë àñîñèäà ©óéèäàãè òàúðèôíè êèðèòàìèç:
f (x) ôóíêöèÿ a ≤ x ≤ b êåñìàäà ©àðàëà¼òãàí á²ëèá, ìóñáàò ε ñîí
©àíäàé êè÷èê á²ëìàñèí áó ôóíêöèÿ a ≤ x ≤ c − ε âà c + ε ≤ x ≤
b êåñìàëàðäà èíòåãðàëëàíóâ÷è á²ëñèí. Óøáó ëèìèò (àãàð ó ìàâæóä
á²ëñà)
 c−ε

Z
Zb
lim 
f (x) dx +
f (x) dx
ε→0
a
c+ε
f (x) ôóíêöèÿäàí a ≤ x ≤ b îðàëè©äà îëèíãàí èíòåãðàëíèíã Êîøè ìàúíîñèäàãè áîø ©èéìàòè äåéèëàäè.
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
62
"Èíòåãðàëíèíã áîø ©èéìàòè"²ðíèãà ê²ïèí÷à ñèíãóëÿð (ìàõñóñ) èíòåãðàë äåá àéòèëàäè.
Îäàòäà ñèíãóëÿð èíòåãðàëíè µàì îääèé
Zb
f (x) dx
a
ñèìâîë áèëàí áåëãèëàíàäè. Ñèíãóëÿð èíòåãðàë áàúçè µîëëàðäà
Z·b
Zb
V.P.
f (x) dx;
Z∗b
f (x) dx;
a
a
f (x) dx
a
ñèìâîëëàð áèëàí µàì áåëãèëàíàäè, áóíäà V âà P - ôðàíöóç÷à valeur
principale ñ²çëàðèíèíã áèðèí÷è µàðôëàðè á²ëèá, ²çáåê÷àäà "áîø ©èéìàò"íè áèëäèðàäè. Àãàð îääèé (õîñ ¼êè õîñìàñ) èíòåãðàë ìàâæóä á²ëñà, ñèíãóëÿð èíòåãðàë áó îääèé èíòåãðàë áèëàí óñòìà-óñò òóøàäè. (3)
ôîðìóëàäàí óøáó
Zb
b−c
dx
= ln
(4)
x−c
c−a
a
ñèíãóëÿð èíòåãðàëíèíã ìàâæóäëèãè êåëèá ÷è©àäè.
Ýíäè, þ©îðèäà ê²ðãàí èíòåãðàëäàí óìóìèéðî©
Zb
ϕ (x)
dx
x−c
(5)
a
èíòåãðàëíè òåêøèðàìèç, áóíäà ϕ (x) - [a, b] êåñìàäà α ê²ðñàòêè÷ëè üëüäåð øàðòèíè ©àíîàòëàíòèðóâ÷è áèðîð ôóíêöèÿ. Áó èíòåãðàëíè
Zb
a
ϕ (x) dx
=
x−c
Zb
ϕ (x) − ϕ (c)
dx + ϕ (c)
x−c
a
Zb
dx
x−c
a
ê²ðèíèøäà ¼çèá îëàìèç. Áó òåíãëèêíèíã ²íã òîìîíèäàãè áèðèí÷è èíòåãðàë õîñìàñ èíòåãðàë ñèôàòèäà ìàâæóä, ÷óíêè üëüäåð øàðòèãà àñîñàí
ϕ (x) − ϕ (c)
K
<
1−α ,
x−c
|x − c|
Êàñð òàðòèáëè èíòåãðàëëàð âà µîñèëàëàð
63
èêêèí÷è èíòåãðàë ýñà (4) áèëàí óñòìà-óñò òóøàäè, ÿúíè ó ñèíãóëÿð
èíòåãðàëäèð.
Øóíäàé ©èëèá, ϕ (x) ôóíêöèÿ [a, b] êåñìàäà üëüäåð øàðòèíè ©àíîàòëàíòèðñà, (5) èíòåãðàëíèíã Êîøè ìàúíîñèäàãè áîø ©èéìàòè ìàâæóä
á²ëèá, ó ©óéèäàãèãà òåíã á²ëàäè:
Zb
ϕ (x)
dx =
x−c
a
Zb
b−c
ϕ (x) − ϕ (c)
dx + ϕ (c) ln
.
x−c
c−a
a
Ñèíãóëÿð èíòåãðàëëàð ó÷óí ©óéèäàãè òàñäè©ëàð ²ðèíëè:
10 . Àãàð f (t) ôóíêöèÿ [a, b] êåñìàäà üëüäåð øàðòèíè ©àíîàòëàíòèðóâ÷è ôóíêöèÿ á²ëñà, èõòè¼ðèé x ∈ (a, b) íó©òà ó÷óí
d
dx
Zb
Zb
ln |t − x| f (t) dt = −
a
f (t) dt
t−x
a
òåíãëèê ²ðèíëè [18].
20 . Àãàð f (t) ôóíêöèÿ [a, b] êåñìàäà óçëóêñèç âà (a, b) îðàëè©äà óçëóêñèç f 0 (t) µîñèëàãà ýãà (f 0 (t) ôóíêöèÿ t → a âà t → b äà áèðäàí êè÷èê
òàðòèáäà ÷åêñèçãà èíòèëèøè ìóìêèí) á²ëñà, [a, b] êåñìàíèíã èõòè¼ðèé
è÷êè c íó©òàñè ó÷óí óøáó
Zb
f (t) dt
= f (b) ln (b − c) − f (a) ln (c − a) −
t−c
Zb
f 0 (t) ln |t − c| dt
a
a
á²ëàêëàá èíòåãðàëëàø ôîðìóëàñè ²ðèíëè [18].
30 . Àãàð f (t, ξ) ôóíêöèÿ L êåñìàäà üëüäåð øàðòèíè ©àíîàòëàíòèðñà,
Z
Z
Z
Z
dt
f (t, ξ)
f (t, ξ) dt
dξ = −π 2 f (τ, τ ) + dξ
t−τ
ξ−t
(t − τ ) (ξ − t)
L
L
L
L
òåíãëèê ²ðèíëè á²ëàäè. Áó òåíãëèê ñèíãóëÿð èíòåãðàëëàð ó÷óí èíòåãðàëëàø òàðòèáèíè àëìàøòèðèø ©îèäàñèíè àíè©ëàá, óíè ÏóàíêàðåÁåðòðàí ôîðìóëàñè äåéèëàäè. Áó ôîðìóëàäàí, õóñóñèé µîëäà, f (t, ξ)
ôóíêöèÿ t ãà áî¡ëè© á²ëìàãàíäà ñèíãóëÿð èíòåãðàëëàð êîìïîçèöèÿñè
ó÷óí ²ðèíëè á²ëãàí
Z
Z
dt
f (ξ) dξ
= −π 2 f (τ )
t−τ
ξ−t
L
L
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
64
ôîðìóëà êåëèá ÷è©àäè [8].
2-Ÿ. Êàñð òàðòèáëè èíòåãðàëëàð âà µîñèëàëàð
1. Àáåë èíòåãðàë òåíãëàìàñè. Óøáó
1
Γ(α)
Zx
ϕ (t) dt
= f (x),
(x − t)1−α
0<α<1
(6)
a
ê²ðèíèøäàãè èíòåãðàë òåíãëàìà Àáåë èíòåãðàë òåíãëàìàñè äåéèëàäè.
(6) òåíãëàìà ©óéèäàãè óñóëäà å÷èëàäè. Áó òåíãëàìàäà x íè t áèëàí,
t íè s áèëàí àëìàøòèðèá, ñ²íãðà òåíãëàìàíèíã µàð èêêè òîìîíèíè (x −
t)−α èôîäàãà ê²ïàéòèðàìèç âà t á²éè÷à a äàí x ãà÷à èíòåãðàëëàéìèç:
Zx
dt
(x − t)α
a
Zt
ϕ (s) ds
= Γ(α)
(t − s)1−α
a
Zx
f (t) dt
.
(x − t)α
a
Äèðèõëå ôîðìóëàñèãà ê²ðà èíòåãðàëëàø òàðòèáèíè àëìàøòèðèá,
Zx
Zx
ϕ (s) ds
a
dt
= Γ(α)
α
(x − t) (t − s)1−α
s
Zx
f (t) dt
(x − t)α
(7)
a
òåíãëèêíè µîñèë ©èëàìèç. Òåíãëèêíèíã ÷àï òîìîíèäàãè è÷êè èíòåãðàëäà t = s + τ (x − s) àëìàøòèðèø áàæàðñàê,
Zx
(x − t)−α (t − s)α−1 dt =
s
Z1
=
τ
α−1
(1 − τ )−α dτ = B(α, 1 − α) = Γ(α)Γ(1 − α)
0
òåíãëèê êåëèá ÷è©àäè. Ó µîëäà, (7) ãà àñîñàí
Zx
a
1
ϕ (s) ds =
Γ(1 − α)
Zx
a
f (t) dt
.
(x − t)α
(8)
Êàñð òàðòèáëè èíòåãðàëëàð âà µîñèëàëàð
65
Áó òåíãëèêíèíã µàð èêêè òîìîíèíè äèôôåðåíöèàëëàá, Àáåë èíòåãðàë
òåíãëàìàñèíèíã å÷èìèíè µîñèë ©èëàìèç:
1
d
ϕ (x) =
Γ(1 − α) dx
Zx
f (t) dt
.
(x − t)α
(9)
a
Øóíäàé ©èëèá, àãàð (6) òåíãëàìàíèíã å÷èìè ìàâæóä á²ëñà, ó (9)
ê²ðèíèøäà èôîäàëàíàð ýêàí. Áó ôîðìóëàíè µîñèë ©èëèø æàðà¼íèäàí
êåëèá ÷è©àäèêè, àãàð å÷èì ìàâæóä á²ëñà, ó ÿãîíà.
Øó óñóëäà ê²ðñàòèø ìóìêèíêè, óøáó
Zb
1
Γ(α)
ϕ (t) dt
= f (x),
(t − x)1−α
0<α<1
(10)
x
èíòåãðàë òåíãëàìàíèíã å÷èìè
1
d
ϕ (x) = −
Γ(1 − α) dx
Zb
f (t) dt
(t − x)α
(11)
x
ôîðìóëà áèëàí àíè©ëàíàäè.
2. Êàñð òàðòèáëè èíòåãðàëëàð. Ìàòåìàòèê àíàëèç êóðñèäàí ìàúëóìêè, n - êàððàëè èíòåãðàë ó÷óí ©óéèäàãè ôîðìóëà ²ðèíëè:
dx1
a
xZn−1
Zx1
Zx
1
ϕ (t)dt =
(n − 1)!
dx2 ...
a
a
Zx
(x − t)n−1 ϕ (t)dt, n ∈ N. (12)
a
(n − 1)! = Γ (n) ýêàíëèãèíè ýúòèáîðãà îëèá, (12) òåíãëèêíèíã ²íã
òîìîíèíè n íèíã êàñð ©èéìàòëàðè ó÷óí µàì àíè©ëàø ìóìêèí.
(12) òåíãëèêêà ìîñ ðàâèøäà êàñð òàðòèáëè èíòåãðàëëàðíè ©óéèäàãè
òàðòèáäà àíè©ëàéìèç.
Òàúðèô. ϕ (x) ∈ L1 (a, b) (a < b < +∞) á²ëñèí. Óøáó
−α
Dax
ϕ (x)
1
=
Γ(a)
Zx
(x − t)α−1 ϕ (t) dt,
α > 0,
(13)
(t − x)α−1 ϕ (t)dt,
α>0
(14)
a
−α
Dxb
ϕ (x)
1
=
Γ(a)
Zb
x
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
66
ê²ðèíèøäàãè èôîäàëàð ϕ(x) ôóíêöèÿíèíã α (êàñð) òàðòèáëè (ÐèìàíËèóâèëë ìàúíîñèäà) èíòåãðàëëàðè äåéèëàäè.
−α
−α
ϕ (x) âà Dxb
ϕ (x) ôóíêöèÿëàð (a, b) îðàëè©íèíã äåÿðëè áàð÷à
Dax
íó©òàëàðèäà àíè©ëàíãàí á²ëèá, L1 (a, b) ñèíôãà òåãèøëè á²ëàäè.
Áó òàúðèôãà àñîñàí (6) âà (10) Àáåë èíòåãðàë òåíãëàìàëàðèíè
−α
Dbx
ϕ(x) = f (x)
−α
Dax
ϕ(x) = f (x),
(15)
ê²ðèíèøèäà ¼çèø ìóìêèí.
Àãàð 0 < α1 , α2 < +∞ á²ëñà, äåÿðëè µàììà x ∈ (a, b) ó÷óí
−α2 −α1
−α1 −α2
−(α1 +α2 )
Dax
Dax f (x) = Dax
Dax f (x) = Dax
f (x)
(16)
òåíãëèê ²ðèíëè á²ëàäè. •à©è©àòàí µàì,
1
(x) =
D−α2
Γ (α1 ) ax
−α2 −α1
Dax
Dax f
Zx
α1 −1
(x − s)
f (s) ds =
a
=
1
Γ (α1 ) Γ (α2 )


Zx Zt
α
−1
 (t − s) 1 f (s) ds (x − t)α2 −1 dt =
a
1
=
Γ (α1 ) Γ (α2 )
a
Zx
Zx
a
α2 −1
(x − t)
f (s) ds
α1 −1
(t − s)
dt.
s
Îõèðãè è÷êè èíòåãðàëäà t = s + (x − s) τ àëìàøòèðèø áàæàðèø
íàòèæàñèäà ©óéèäàãè òåíãëèêíè µîñèë ©èëàìèç:
Zx
α2 −1
(x − t)
α1 −1
(t − s)
s
α1 +α2 −1
Z1
ds = (x − s)
α2 −1
τ α1 −1 (1 − τ )
dτ =
0
=
Γ (α1 ) Γ (α2 )
α +α −1
(x − s) 1 2 .
Γ (α1 + α2 )
Áó ýñà (16) òåíãëèêíèíã ò²¡ðèëèãèíè ê²ðñàòàäè.
Òàúðèôãà àñîñàí,
0
Dax
f (x) = f (x)
äåá µèñîáëàéìèç.
(17)
Êàñð òàðòèáëè èíòåãðàëëàð âà µîñèëàëàð
67
3. Êàñð òàðòèáëè µîñèëàëàð.
Òàúðèô. ϕ (x) ôóíêöèÿ [a, b] êåñìàäà àíè©ëàíãàí á²ëñèí.
α
Dax
1
d
ϕ (x) =
Γ (1 − α) dx
Zx
ϕ (t) dt
α,
(x − t)
0 < α < 1,
(18)
a
α
Dxb
d
1
ϕ (x) = −
Γ (1 − α) dx
Zb
ϕ (t) dt
α,
(t − x)
0<α<1
(19)
x
ê²ðèíèøäàãè èôîäàëàð ϕ (x) ôóíêöèÿíèíã α (êàñð) òàðòèáëè (Ëèóâèëë
ìàúíîñèäàãè) µîñèëàëàðè äåéèëàäè.
Áó òàúðèôãà àñîñàí (6) âà (10) Àáåë èíòåãðàë òåíãëàìàëàðè å÷èìëàðèíè áåðóâ÷è (9) âà (11) òåíãëèêëàðíè ìîñ ðàâèøäà
α
ϕ (x) = Dax
f (x) ,
α
ϕ (x) = Dxb
f (x)
(20)
ê²ðèíèøèäà ¼çèø ìóìêèí.
Ýñëàòèá ²òàìèçêè, êàñð òàðòèáëè èíòåãðàëëàð èõòè¼ðèé α > 0 òàðòèáãà÷à àíè©ëàíãàí. Ëåêèí (18), (19) êàñð òàðòèáëè µîñèëàëàð ôà©àòãèíà 0 < α < 1 á²ëãàíäà àíè©ëàíãàí. Êàñð òàðòèáëè µîñèëàëàðíè α ≥ 1
á²ëãàíäà àíè©ëàøãà ²òèøäàí îëäèí êàñð òàðòèáëè µîñèëàëàð ìàâæóäëèãèíèíã åòàðëè øàðòèíè êåëòèðàìèç.
Ëåììà. Àãàð ϕ(x) ôóíêöèÿ [a, b] êåñìàäà àáñîëþò óçëóêñèç á²ëñà,
[a, b] êåñìàíèíã äåÿðëè áàð÷à íó©òàëàðèäà ϕ(x) ôóíêöèÿíèíã êàñð òàðòèáëè µîñèëàëàðè ìàâæóä á²ëèá, ©óéèäàãè ôîðìóëàëàð ²ðèíëè á²ëàäè:


Zx 0
1
ϕ (t)dt 
α
 ϕ(a) +
Dax
ϕ(x) =
, 0 < α < 1,
Γ(1 − α) (x − a)α
(x − t)α
a

α
Dxb
ϕ (x) =
1
 ϕ (b) −
Γ (1 − α) (b − x)α
Zb

0
ϕ (t) dt 
,
α
(t − x)
0 < α < 1.
x
Ìèñîë. ϕ(x) = (x − a)
α−1
α
Dax
á²ëñèí. Ó µîëäà, (18) òåíãëèêêà àñîñàí,
1
d
ϕ (x) =
Γ (1 − α) dx
Zx
−α
(x − t)
a
α−1
(t − a)
dt.
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
68
Èíòåãðàë ²çãàðóâ÷èñèíè t = a + (x − a) z ôîðìóëà áèëàí àëìàøòèðñàê,
α
Dax
ϕ (x) =
1
d
Γ (1 − α) dx
Z1
−α
z α−1 (1 − z)
dz =
0
=
1
d
B (α, 1 − α) = 0
Γ (1 − α) dx
òåíãëèê êåëèá ÷è©àäè. Äåìàê, ϕ(x) = (x − a)α−1 ôóíêöèÿ α ∈ (0, 1)
òàðòèáëè µîñèëà ó÷óí ²çãàðìàñ ñîí âàçèôàñèíè áàæàðàäè.
Ýíäè α ≥ 1 á²ëèá, [α] - óíèíã áóòóí ©èñìè, {α} - ýñà êàñð ©èñìè
á²ëñèí. Àãàð α - áóòóí ñîí á²ëñà, α òàðòèáëè µîñèëàëàð ñèôàòèäà îääèé
µîñèëàëàðíè îëàìèç:
α
α
d
d
α
α
Dax
=
,
Dxb
= −
, α = 1, 2, 3, ... .
dx
dx
Àãàð α - áóòóí ñîí á²ëìàñà, α òàðòèáëè µîñèëàëàðíè ©óéèäàãè÷à
àíè©ëàéìèç:
α
Dax
ϕ(x)
α
Dxb
ϕ(x) =
=
−
d
dx
[α]
d
dx
[α]
{α}
Dax
ϕ(x)
{α}
=
d
dx
Dxb ϕ(x) =
−
[α]+1
d
dx
Äåìàê, óìóìèé õîëäà, α ≥ 1 á²ëãàíäà
n
d
α−n
α
Dax
ϕ(x),
Dax ϕ(x) =
dx
α
Dxb
ϕ(x)
n
= (−1)
d
dx
n
α−n
Dxb
ϕ(x),
{α}−1
Dax
ϕ(x),
[α]+1
{α}−1
Dxb
ϕ(x).
n = [α] + 1,
n = [α] + 1.
(21)
(22)
Îäàòäà α (α > 0) êàñð òàðòèáëè èíòåãðàëëàð ê²ðèíèøèäà èôîäàëà−α
íóâ÷è ôóíêöèÿëàð ñèíôèíè Dax
(Lp ) áèëàí áåëãèëàíàäè, ÿúíè
−α
−α
Dax
(Lp ) = f (x) : f (x) = Dax
ϕ(x) , ϕ(x) ∈ Lp (a, b) , 1 ≤ p < ∞ .
‰óéèäàãè òåîðåìà ²ðèíëè.
Êàñð òàðòèáëè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàë îïåðàòîðëàð ....
69
Òåîðåìà. α > 0 á²ëñèí. Ó µîëäà
α
−α
Dax
Dax
ϕ(x) = ϕ(x),
−α
α
Dxb
Dxb
ϕ(x) = ϕ(x)
(23)
òåíãëèêëàð áàð÷à ϕ(x) ∈ L1 (a, b) ôóíêöèÿëàð ó÷óí,
−α α
Dax
Dax ϕ(x) = ϕ(x),
−α α
Dxb
Dxb ϕ(x) = ϕ(x)
(24)
òåíãëèêëàð ýñà ìîñ ðàâèøäà áàð÷à
−α
ϕ(x) ∈ Dax
(L1 ),
−α
ϕ(x) ∈ Dxb
(L1 )
ôóíêöèÿëàð ó÷óí áàæàðèëàäè.
Àãàð îõèðãè øàðòëàð ²ðíèãà ϕ(x) ∈ L1 (a, b) á²ëñà, (24) òåíãëèêëàð
óìóìàí îëãàíäà íîò²¡ðè á²ëàäè âà, ìàñàëàí, áèðèí÷èñè ©óéèäàãè ôîðìóëà áèëàí àëìàøàäè [9].
−α α
Dax
Dax ϕ(x) = ϕ(x) −
n−1
X
k=0
(x − a)α−k−1 (n−k−1)
ϕn−α
(a),
Γ(α − k)
α−n
ϕ(x).
áó åðäà n = [α] + 1, ϕn−α (x) = Dax
Äåìàê, Àáåë èíòåãðàë òåíãëàìàëàðèíè âà óëàðíèíã å÷èìëàðèíè èôîäàëîâ÷è (15) âà (20) òåíãëèêëàð áèëàí àíè©ëàíãàí f (x) âà ϕ(x) ôóíêöèÿëàðíè ìîñ ðàâèøäà (20) âà (15) òåíãëèêëàðãà ©²éèø ó÷óí þ©îðèäàãè
òåîðåìà øàðòëàðè áàæàðèëèøè çàðóð ýêàí.
3-Ÿ. Êàñð òàðòèáëè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàë îïåðàòîðëàð âà
óëàðíèíã áàúçè õîññàëàðè
’òãàí ïàðàãðàôäà ôóíêöèÿíèíã èõòè¼ðèé êàñð âà áóòóí òàðòèáëè
èíòåãðàëèãà âà µîñèëàñèãà òàúðèô áåðäèê. Ýíäè óëàð ¼ðäàìèäà ©óéèäàãè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàë îïåðàòîðëàðíè êèðèòàìèç âà ²ðãàíàìèç:

Zx

1


(x − t)−α−1 ϕ(t)dt, àãàð α < 0 á²ëñà,



Γ(−α)

a
α
Dax
ϕ(x) =
ϕ(x),
àãàð α = 0 á²ëñà,




n


 d Dα−n ϕ(x),
àãàð α > 0 á²ëñà,
dxn ax
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
70

Zb


1

−α−1

ϕ(t)dt, àãàð α < 0 á²ëñà,

 Γ(−α) (t − x)
α
Dxb
ϕ(x) =
x

ϕ(x),
àãàð α = 0 á²ëñà,


n


 (−1)n d Dα−n ϕ(x),
àãàð α > 0 á²ëñà,
dxn xb
áó åðäà n = [α] + 1.
4-Ÿ äà êåëòèðèëãàí òåîðåìàäàí êåëèá ÷è©àäèêè, α > 0 äà L1 (a, b)
−α
−α
−α
α
îïå(L1 ) ñèíôäà ýñà Dax
îïåðàòîðãà, Dax
îïåðàòîð Dax
ñèíôäà Dax
α
ðàòîð Dax îïåðàòîðãà òåñêàðèäèð. Áóíäàí òàø©àðè áó îïåðàòîðëàð ©óéèäàãè õîññàëàðãà µàì ýãà.
−α
−β
1) Àãàð 0 < α, β < 1 âà (x − a) f (x) , (x − a) f (x) ∈ L1 (a, b)
á²ëñà, ó µîëäà äåÿðëè µàììà x ∈ (a, b) ó÷óí
−β
−α
−β
Dax
(x − a)
−α
Dax
(x − a)
−α
−α
= Dax
(x − a)
f (x) =
−β
−β
Dax
(x − a)
f (x)
(25)
ìóíîñàáàò ²ðèíëè á²ëàäè.
Òàúðèôãà àñîñàí îïåðàòîðëàðíèíã ¼éèëìàñèíè ©²éèá âà èíòåãðàëëàø òàðòèáèíè ²çãàðòèðèø µà©èäàãè Äèðèõëå ôîðìóëàñèíè ©²ëëàñàê,
−β
−β
Dax
(x − a)
=
−β
Dax
1
Γ(α)
−β
(x − a)
−α
−α
Dax
(x − a)
Zx
−α
(t − a)
f (x) =
α−1
(x − t)
f (t) dt =
a
1
=
Γ (α) Γ (β)
Zx
−β
β−1
(s − a)
(x − s)
Zs
a
=
1
Γ (α) Γ (β)
−α
(t − a)
ds
α−1
(s − t)
f (t) dt =
a
Zx
−α
(t − a)
Zx
a
−β
β−1
(s − a)
f (t) dt
(x − s)
α−1
(s − t)
ds
t
òåíãëèê µîñèë á²ëàäè.
È÷êè èíòåãðàëäà s = t + (x − t) ξ àëìàøòèðèø áàæàðèá, ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿíèíã èíòåãðàë ê²ðèíèøèäàí ôîéäàëàíàìèç:
Zx
−β
(s − a)
t
β−1
(x − s)
α−1
(s − t)
ds =
Êàñð òàðòèáëè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàë îïåðàòîðëàð ....
−β
= (t − a)
α+β−1
Z1
(x − t)
ξ
α−1
β−1
(1 − ξ)
t−x
1−
ξ
t−a
71
−β
dξ =
0
Γ (α) Γ (β)
−β
α+β−1
=
(t − a) (x − t)
F
Γ (α + β)
t−x
α, β, α + β,
t−a
.
Øóíäàé ©èëèá,
−β
−β
Dax
(x − a)
Zx
1
=
Γ (α + β)
−α−β
−α
−α
Dax
(x − a)
α+β−1
(t − a)
(x − t)
f (x) =
f (t) F
t−x
α, β, α + β,
t−a
dt.
a
Áó òåíãëèêäàí, ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿ áèðèí÷è èêêè ïàðàìåòðãà
íèñáàòàí ñèììåòðèê á²ëãàíè ó÷óí, (25) àéíèÿò êåëèá ÷è©àäè.
−α
−α
2) Àãàð 0 < 2α < 1 âà (x − a) f (x) , (b − x) f (x) ∈ L1 (a, b)
á²ëñà, ó µîëäà äåÿðëè µàììà x ∈ (a, b) ó÷óí ©óéèäàãè àéíèÿòëàð ²ðèíëè
á²ëàäè:
−α
f (x) = (x − a)
−α
f (x) = (b − x)
2α−1
α−1
Dax
(x − a)
2α−1
α−1
Dxb
(b − x)
α
Dax
(x − a)
α
Dxb
(b − x)
α−1
2α−1
Dax
f (x) ,
(261 )
α−1
2α−1
Dxb
f (x) .
(262 )
(261 ) òåíãëèêíèíã ÷àï òîìîíèíè g (x) îð©àëè áåëãèëàá, (13) âà (18)
ôîðìóëàëàðãà àñîñàí
d
1
g (x) = 2
Γ (1 − α) dx
Zx
−α
2α−1
(x − t)
(t − a)
dt ×
a
Zt
−α
(s − a)
×
−α
(t − s)
f (s) ds =
a
d
1
= 2
Γ (1 − α) dx
Zx
−α
(s − a)
Zx
a
=
d
1
Γ2 (1 − α) dx
−α
(x − t)
f (s) ds
−α
(t − s)
s
Zx
α−1
(s − a)
a
1−2α
(x − s)
2α−1
(t − a)
f (s) ds×
dt =
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
72
Z1
×
ξ
−α
−α
(1 − ξ)
s−x
1−
ξ
s−a
2α−1
dξ = =
1
×
Γ (2 − 2α)
0
d
×
dx
Zx
α−1
(s − a)
1−2α
(x − s)
f (s) F
s−x
1 − α, 1 − 2α, 2 − 2α,
s−a
ds
a
òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç. Áóíäàí,
F (a, b, c; z) = (1 − z)−b F
ôîðìóëàíè ©²ëëàá,
d
×
dx
Zx
(s − a)−α
x−s
x−a
c − a, b, c;
g (x) =
1
×
Γ (2 − 2α)
1−2α
F
z
z−1
1 − α, 1 − 2α, 2 − 2α,
x−s
x−a
f (s) ds
a
òåíãëèêêà êåëàìèç. Ýíäè
1−2α d x−s
x−s
F 1 − α, 1 − 2α, 2 − 2α,
=
dx x − a
x−a
−2α x−s
x−s
s−a
F 1 − α, 2 − 2α, 2 − 2α,
= (1 − 2α)
,
x−a
x − a (x − s)2
−a
F (a, b, b; x) = (1 − x)
,
Γ (2 − 2a) = (1 − 2a) Γ (1 − 2a)
ìóíîñàáàòëàðäàí ôîéäàëàíñàê, óøáó
α−1
(x − a)
g (x) = 2
Γ (1 − 2α)
Zx
−2α
(x − s)
α−1
f (s) ds = (x − a)
2α−1
Dax
f (x)
a
òåíãëèêíè µîñèë ©èëàìèç. (261 ) àéíèÿò èñáîòëàíäè.
(262 ) àéíèÿò µàì øóíãà ²õøàø èñáîòëàíàäè.
β−1
β−1
3) Àãàð 0 < 2β < 1 âà (x − a)
f (x) , (b − x)
f (x) ∈ L1 (a, b)
á²ëñà, ó µîëäà äåÿðëè áàð÷à x ∈ (a, b) ó÷óí ©óéèäàãè àéíèÿòëàð ²ðèíëè
á²ëàäè:
1−2β
1−β
Dax
(x − a)
β−1
−β
Dax
(x − a)
−β
f (x) = (x − a)
1−2β
Dax
f (x) ,
(271 )
Êàñð òàðòèáëè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàë îïåðàòîðëàð ....
1−2β
1−β
Dbx
(b − x)
−β
Dbx
(b − x)
β−1
−β
f (x) = (b − x)
1−2β
Dbx
f (x) .
73
(272 )
(271 ) òåíãëèêíèíã ÷àï òîìîíèíè q (x) îð©àëè áåëãèëàá, (261 ) àéíèÿòíè èñáîòèäàãè êàáè
1
×
q (x) =
Γ (2β)
2β−1 Zx
d
x−s
x−s
β−1
×
F 2β − 1, β, 2β;
f (s) ds
(s − a)
dx
x−a
x−a
a
òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç.
‰óéèäàãè ôóíêöèÿíè ©àðàéëèê:
qε (x) =
d
×
dx
x−ε
Z
β−1
(s − a)
1
×
Γ (2β)
2β−1
x−s
x−a
F
x−s
2β − 1, β, 2β;
x−a
f (s) ds.
a
Áó åðäà äèôôåðåíöèàëëàø àìàëèíè áàæàðàìèç:
1
β−1
qε (x) =
(x − a − ε)
Γ (2β)
2β−1
ε
x−a
F
2β − 1
−β
(x − a)
×f (x − ε) +
Γ (2β)
x−ε
Z
ε
2β − 1, β, 2β;
x−a
2β−2
(x − s)
f (s) ds.
a
Òåêøèðèëèøè ©èéèí á²ëìàãàí óøáó
x−ε
Z
(2β − 1)
2β−2
(x − s)
f (s) ds =
a
d
=
dx
x−ε
Z
2β−1
(x − s)
f (s) ds − ε2β−1 f (x − ε)
a
òåíãëèêíè èíîáàòãà îëñàê, ©óéèäàãèãà ýãà á²ëàìèç:
qε (x) =
1
−β
ε2β−1 (x − a) ×
Γ (2β)
×
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
74
"
×
x−a
x−a−ε
1−β
F
ε
2β − 1, β, 2β;
x−a
1
−β d
(x − a)
+
Γ (2β)
dx
x−ε
Z
#
− 1 f (x − ε) +
2β−1
(x − s)
f (s) ds.
a
Áó åðäà ε → 0 äà ëèìèòãà ²òñàê,
−β
q (x) = lim qε (x) = (x − a)
ε→0
1−2β
Dax
f (x)
òåíãëèê êåëèá ÷è©àäè. (271 ) àéíèÿò èñáîòëàíäè.
(272 ) àéíèÿò µàì øó êàáè èñáîòëàíàäè.
4) f (x) ∈ C (0,γ) (a, b) , 0 < γ ≤ 1 âà 0 < α < 1 á²ëñèí. Ó µîëäà óøáó
−α
α
Dax
Dxb
f (x) = cos (απ) f (x) +
sin (απ)
π
Zb t−a
x−a
α
b−t
b−x
α
f (t) dt
,
t−x
(281 )
f (t) dt
t−x
(282 )
a
α
Dxb
−α
Dax
f
sin (απ)
(x) = cos (απ) f (x) −
π
Zb a
òåíãëèêëàð ²ðèíëè á²ëàäè.
•à©è©àòàí µàì, (18) âà (14) òåíãëèêëàðãà àñîñàí,
−α
α
p (x) = Dax
Dxb
f (x) =
=
1
d
Γ (α) Γ (1 − α) dx
Zx
−α
(x − t)
a
×
d
dx
Zx
a
d −(1−α) −α
D
Dxb f (x) =
dx ax
Zb
α−1
(s − t)
dt
f (s) ds =
sin (απ)
×
π
t
 x

Z
Zb
−α
α−1
α−1
(x − t) dt  (s − t)
f (s) ds+ (s − t)
f (x) ds .
t
x
Áó åðäà áèðèí÷è æóôò èíòåãðàëãà Äèðèõëå ôîðìóëàñèíè ©²ëëàéìèç, èêêèí÷èñèíèíã ýñà ²ðèíëàðèíè àëìàøòèðàìèç, ó µîëäà
 x
Z
Zs
sin (απ) d 
−α
α−1
p (x) =
f (s) ds (x − t) (s − t)
dt +
π
dx
a
a
Êàñð òàðòèáëè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàë îïåðàòîðëàð ....
Zb

Zx
−α
x
α−1
(x − t)
f (s) ds
+
75
(s − t)
dt .
a
È÷êè èíòåãðàëëàðäà ξ = (s − t)/(x − t) àëìàøòèðèøíè áàæàðèá,
©óéèäàãè òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç:

(s−a)/(x−a)
Zx
Z
sin (απ) d 
ξ α−1
p (x) =
f
(s)
ds
dξ −

π
dx
1−ξ
a
Zb
−
a

+∞
Z
α−1
ξ

dξ  .
1−ξ
f (s) ds
x
(s−a)/(x−a)
Óøáó
(s−a)/(x−a)
Z
x−ε
Z
pε (x) =
f (s) ds
a
ξ α−1
dξ −
1−ξ
Zb
+∞
Z
x+ε
0
ξ α−1
dξ
1−ξ
f (s) ds
(s−a)/(x−a)
èíòåãðàëíè ©àðàéìèç âà x á²éè÷à äèôôåðåíöèàëëàéìèç:
p0ε
(x−ε−a)/(x−a)
Z
(x) = f (x − ε)
0
x−ε
Z +
s−a
x−a
+∞
Z
ξ α−1
dξ+f (x + ε)
1−ξ
ξ α−1
dξ +
1−ξ
(x+ε−a)/(x−a)
α
f (s) ds
+
s−x
a
Zb s−a
x−a
α
f (s) ds
.
s−x
x+ε
Áó òåíãëèêíè ýòèáîðãà îëñàê,
p (x) =
sin (απ)
sin (απ)
lim p0ε (x) =
f (x)
ε→0
π
π
+∞
Z
0
sin (απ)
+
π
Zb a
s−a
x−a
α
f (s) ds
.
s−x
ξ α−1
dξ+
1−ξ
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
76
Ìàúëóìêè,
+∞
Z
ξ α−1
dξ = π ctg (απ) .
1−ξ
0
Áóíãà àñîñàí, àââàëãè òåíãëèê
sin (απ)
p (x) = cos (απ) f (x) +
π
Zb s−a
x−a
α
f (s) ds
s−x
a
ê²ðèíèøãà êåëàäè.
Áóíäàí (281 ) òåíãëèê êåëèá ÷è©àäè.
(282 ) òåíãëèê µàì õóääè øóíäàé èñáîòëàíàäè.
5) Àãàð v (x) ∈ C (0,γ) (−1, 1) , 0 < γ ≤ 1, 0 < 2β < 1 á²ëñà, ó µîëäà
©óéèäàãè àéíèÿòëàð ²ðèíëè á²ëàäè:
Zx
d
dx
2β−1
(x − ξ)
dξ
−1
Z1 h
− (1 − ξ t)
i
1
1
−
t − x 1 − xt
−2β
|ξ − t|
−2β
v (t) dt =
−1
Z1 = πtg (βπ) v (x) +
1+t
1+x
1−2β v (t) dt,
(291 )
−1
d
dx
Z1
2β−1
(ξ − x)
dξ
Z1 h
−2β
|ξ − t|
−2β
− (1 − ξt)
i
v (t) dt =
−1
x
Z1 = −π tg (β π) v (x) +
1−t
1−x
1−2β 1
1
+
t − x 1 − xt
v (t) dt.
−1
Óøáó èôîäàíè ©àðàéìèç:
d
l1 (x) =
dx
Zx
2β−1
(x − ξ)
Z1
−1

d 
=
dx
Zx
−1
−2β
|ξ − t|
dξ
v (t) dt =
−1
2β−1
(x − ξ)
Zξ
dξ
−1
−2β
(ξ − t)
v (t) dt+
(292 )
Êàñð òàðòèáëè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàë îïåðàòîðëàð ....
Zx
+

Z1
2β−1
(x − ξ)
−1
−2β
(t − ξ)
dξ
77

v (t) dt =
ξ
d −2β 2β−1
d −2β 2β−1
D−1x D−1x υ(x) +
D−1x Dx1 υ(x) .
dx
dx
= Γ(2β)Γ(1 − 2β)
(18), (23) âà Γ (2β) Γ (1 − 2β) = π/sin (2βπ) òåíãëèêëàðãà àñîñàí,
h
i
π
1−2β −(1−2β)
v (x) + D−1x
l1 (x) =
Dx1
v (x) .
sin (2βπ)
Áó òåíãëèêäàí (281 ) àéíèÿòãà àñîñàí (a = −1, b = 1, α = 1 − 2β ),
π
{v (x) + cos [(1 − 2β) π] v (x) +
sin (2βπ)

1−2β
Z1 sin [(1 − 2β) π]
1+t
v (t) 
+
dt =
π
1+x
t−x 
l1 (x) =
−1
Z1 1+t
1+x
= π tg (βπ) v (x) +
1−2β
v (t)
dt
t−x
(30)
−1
ôîðìóëà êåëèá ÷è©àäè. Ýíäè
Zx
d
l2 (x) =
dx
2β−1
(x − ξ)
−1
d
=
dx
Z1
−2β
(1 − ξ t)
dξ
v (t) dt =
−1
Z1
Zx
v (t) dt
−1
2β−1
(x − ξ)
−2β
(1 − ξ t)
dt
−1
ôóíêöèÿíè òåêøèðàìèç. x ∈ (−1, 1) á²ëãàíäà s = (x − ξ) / (1 − ξt) àëìàøòèðèøíè áàæàðàìèç. Ó µîëäà,
d
l2 (x) =
dx
(1+x)/(1+t)
Z
Z1
v (t) dt
−1
0
s2β−1
ds =
1 − ts
Z1 1+t
1+x
1−2β
v (t) dt
.
1 − xt
−1
(31)
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
78
(30) âà (31) òåíãëèêëàðäàí (291 ) àéíèÿò êåëèá ÷è©àäè.
(292 ) àéíèÿò µàì øóíãà ²õøàø èñáîòëàíàäè.
α
(0 < α < 1) îïåðàòîð ó÷óí ýêñòðåìóì ïðèíöèïè. [a, b]
6) Dax
êåñìàäà ω (t) - êàìàéìàéäèãàí ìóñáàò óçëóêñèç ôóíêöèÿ âà f (t) - óçëóêñèç ôóíêöèÿ á²ëñèí. Àãàð [a, b] êåñìàíèíã t = x, a < x < b, íó©òàñèäà f (t) ôóíêöèÿ ìóñáàò ìàêñèìóì (ìàíôèé ìèíèìóì)ãà ýðèøñà âà áó
íó©òàíèíã èõòè¼ðèé êè÷èê àòðîôèäà ω (t) f (t) ê²ïàéòìà γ(> α) ê²ðα
ωf > 0
ñàòêè÷ áèëàí üëüäåð øàðòèíè ©àíîàòëàíòèðñà, ó µîëäà Dax
α
(Dax ωf < 0) á²ëàäè.
•à©è©àòàí µàì,
α
Γ (1 − α) Dax
ωf = Γ (1 − α)
d
=
dx
Zx
d h −(1−α) i
Dax
ωf =
dx
x−ε
Z
d
ω (t) f (t)
α dt = lim
ε→0 dx
(x − t)
a
d
=
dx
Zx
ω(t)f (t)
dt =
(x − t)α
a
ω (t) f (t) − ω (x) f (x)
d
dt+
α
dx
(x − t)
a
Zx
ω (x) f (x)
α dt =
(x − t)
a


x−ε
Z
Z
 d x−ε
d
ω (t) f (t) − ω (x) f (x)
ω (x) f (x) 
dt +
=
= lim
α
α dt
ε→0  dx

dx
(x − t)
(x − t)
a
= lim
a

 ω (x − ε) f (x − ε) − ω (x) f (x)
εα
ε→0 
−
0
[ω (x) f (x)]
dt−
α
(x − t)
a
x−ε
Z
−α
ω (t) f (t) − ω (x) f (x)
1+α
(x − t)
a
x−ε
Z
+
0
[ω (x) f (x)]
dt−α
α
(x − t)
a
Ýíäè
x−ε
Z
x−ε
Z
a
x−ε
Z
dt
1+α
a
(x − t)
=
dt+
ω (x) f (x)
+
εα
ω (x) f (x)


1+α dt .
(x − t)
1
1
−
α
αεα
α (x − a)
(32)
s,λ
s,λ
As,λ
kx , Bkx âà Ckx îïåðàòîðëàð âà óëàðíèíã õîññàëàðè
79
òåíãëèêíè ýúòèáîðãà îëñàê, (32) íè ©óéèäàãè÷à ¼çèø ìóìêèí:
Γ (1 −
α
α) Dax
ωf
ω (x) f (x)
=
α +α
(x − a)
Zx
ω (x) f (x) − ω (t) f (t)
1+α
x0
Zx0
+α
(x − t)
ω (x) f (x) − ω (t) f (t)
1+α
(x − t)
a
dt,
dt+
(33)
áó åðäà x0 ∈ (x, a) á²ëèá, x ãà åòàðëè÷à ÿ©èí ñîí.
(33) àéíèÿòäàí þ©îðèäà áà¼í ©èëèíãàí ýêñòðåìóì ïðèíöèïè äàðµîë
êåëèá ÷è©àäè.
Àãàð ω (t) ôóíêöèÿ [a, b] êåñìàäà ²ñìàéäèãàí ìóñáàò âà óçëóêñèç
α
îïåðàòîð
á²ëñà, èñáîòëàíãàí ýêñòðåìóì ïðèíöèïèäà àéòèëãàí ôèêð Dxb
ó÷óí µàì ²ðèíëè á²ëàäè.
7) Êàñð òàðòèáëè èíòåãðàë îïåðàòîðëàð ó÷óí ©óéèäàãè òàñäè©ëàð
µàì ²ðèíëè [18]:
10 . Àãàð p > 1, (1/p) < α < 1 + (1/p) ¼êè p = 1, 1 ≤ α < 2 á²ëèá,
−α
f (x) ôóíêöèÿ (a, b) èíòåðâàëäà α −
f (x) ∈ Lp (a, b) á²ëñà, ó µîëäà Dax
(1/p) ê²ðñàòêè÷ áèëàí üëüäåð øàðòèíè ©àíîàòëàíòèðàäè;
20 . Àãàð γ ≥ 0, α > 0, γ +α < 1 âà f (x) (a, b) èíòåðâàëäà γ ê²ðñàòêè÷
áèëàí üëüäåð øàðòèíè ©àíîàòëàíòèðóâ÷è µàìäà åòàðëè êè÷èê x − a
γ
ëàð ó÷óí f (x) = O ((x − a) ) òåíãëèêíè ©àíîàòëàíòèðóâ÷è ôóíêöèÿ
−α
á²ëñà, ó µîëäà Dax
f (x) ôóíêöèÿ (a, b) èíòåðâàëäà γ + α ê²ðñàòêè÷
áèëàí üëüäåð øàðòèíè
©àíîàòëàíòèðàäè
âà åòàðëè êè÷èê x − a ëàð
γ+α
−α
ó÷óí Dax f (x) = O (x − a)
òåíãëèê ²ðèíëè á²ëàäè.
−α
30 . Àãàð g (x) ∈ C (0,γ) [a, b] á²ëñà, ó µîëäà g (x) = g (a) + Dax
f (x)
(0,γ−α)
ê²ðèíèøäà ¼çèø ìóìêèí, áó åðäà f (x) ∈ C
(a, b) , 0 < α < γ ≤ 1.
Îäàòäà 20 õîññà Õàðäè-Ëèòòëüâóä òåîðåìàñè äåéèëàäè.
s,λ
s,λ
s,λ
4-Ÿ. Akx , Bkx âà Ckx îïåðàòîðëàð
âà óëàðíèíã õîññàëàðè
Ôàðàç ©èëàéëèê, f (x) ∈ C(m, n)∩L1 (m, n), g(x) ∈ C 1 (m, n)∩L1 (m, n),
q(x) ∈ C (0,α) (m, n) ∩ L1 (m, n), α > 1 − 2β âà m < n, k ∈ [m, n], x ∈ (m, n)
á²ëñèí.
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
80
‰óéèäàãè îïåðàòîðëàðíè êèðèòàéëèê [14,22]:
As,λ
kx
Zx
[f (x)] = f (x) −
f (t)
t−k
x−k
s
h p
i
∂
J0 λ (x − k) (x − t) dt,
∂t
k
s,λ
Bkx
Zx
[f (x)] = f (x) +
f (t)
x−k
t−k
1−s
i
h p
∂
J0 λ (t − k) (t − x) dt,
∂x
k


Zx
 d

1
0,λ
g (x) + λ2 g (t) J 1 [λ (x − t)] dt ,
Ckx
[g (x)] = sign (x − k)
 dx

2
k
1,λ
Ckx
[q (x)] =
1
d
Γ (2β) dx
Zx
q (t)|x − t|2β−1 J¯β [λ (x − t)] dt+
k
λ2 sign (x − k)
+
2 (1 + β) Γ (1 + 2β)
Zx
q (t)|x − t|2β J¯β+1 [λ (x − t)] dt,
k
áó åðäà s = 0, 1.
s,λ
s,λ
‰èëèíãàí ôàðàçëàðäà As,λ
kx [f (x)] , Bkx [f (x)] , Ckx [f (x)] s = 0, 1
ôóíêöèÿëàð (m, n) îðàëè©äà ìàâæóä á²ëàäè âà C (m, n) ñèíôãà ©àðàøëè á²ëàäè.
Êèðèòèëãàí îïåðàòîðëàð
uxx − uyy + λ2 u = 0,
|y|m uxx − uyy + λ2 |y|m u = 0,
|y|m uxx − |x|n uyy + λ2 |x|n |y|m u = 0
òåíãëàìàëàð ó÷óí êîððåêò ìàñàëàëàð ©²éèøäà âà òåêøèðèøäà êåíã
ôîéäàëàíèëàäè. Øóíèíã ó÷óí óëàðíèíã õîññàëàðèíè ²ðãàíèø ìóµèì
àµàìèÿòãà ýãà.
s,λ
s,λ
As,λ
kx , Bkx âà Ckx (s = 0, 1) îïåðàòîðëàðíèíã òàúðèôèäàí áåâîñèòà
As,0
kx ≡ I,
s,0
Bkx
≡I
0,0
Ckx
≡ sign (x − k) ·
d
,
dx
s = 0, 1 ,
1,0
1−2β
Ckx
≡ Dkx
s,λ
s,λ
As,λ
kx , Bkx âà Ckx îïåðàòîðëàð âà óëàðíèíã õîññàëàðè
81
1−2β
òåíãëèêëàð êåëèá ÷è©àäè, áó åðäà I - áèðëèê îïåðàòîð, Dkx
ýñà - êàñð
òàðòèáëè äèôôåðåíöèàë îïåðàòîð.
Áóíäàí òàø©àðè, àãàð q (x) ∈ C 1 (m, n) ∩ L1 (m, n) á²ëñà,
1,λ
0,λ
lim Ckx
[q (x)] = Ckx
[q (x)]
β→0
(34)
òåíãëèê ²ðèíëè á²ëàäè.
1,λ
Áóíè èñáîòëàéìèç. Øó ìà©ñàääà Ckx
îïåðàòîðíè
1,λ
Ckx
[q(x)]
d
1
≡
Γ(2β) dx
Zx
q(t)|x − t|2β−1 J¯β [λ(x − t)] − 1 dt+
k
1−2β
+Dkx
λ2 sign(x − k)
[q (x)] +
2(1 + β)Γ(1 + 2β)
Zx
q(t)|x − t|2β J¯β+1 [λ(x − t)] dt (35)
k
ê²ðèíèøäà ¼çèá îëàìèç.
J¯β [λ (x − t)] − 1 = x − t2
+∞
X
2n
2(n−1)
λ
(x − t)
Γ (β + 1)
(−1)
·
2
n!
Γ (β + n + 1)
n=1
n
ôóíêöèÿíèíã x á²éè÷à µîñèëàñè (m, n) îðàëè©äà ìàâæóä âà èõòè¼ðèé
÷åêëè x, t, λ, β ëàð ó÷óí, õóñóñàí, β = 0 ó÷óí µàì ÷åãàðàëàíãàí.
Áóíè âà lim Γ (2β) = +∞ íè ýúòèáîðãà îëñàê, (35) äàãè áèðèí÷è ©²β→0
øèëóâ÷èíèíã β
0 äàãè ëèìèòè íîëãà òåíã. Áó õóëîñàíè,
d
lim Γ(1 + 2β) = 1 âà
[q (x)] ≡ sign (x − k) q (x) òåíãëèêëàðíè èíîβ→0
dx
áàòãà îëñàê, (35) äàí β → 0 äà (34) òåíãëèê êåëèá ÷è©àäè.
1,λ
Ckx
îïåðàòîðíè áîø©à÷àðî© ê²ðèíèøäà µàì ¼çèø ìóìêèí.
Øó ìà©ñàääà óíè ©óéèäàãè÷à ¼çèá îëàéëèê:
→
1
Dkx
1,λ
Ckx
[q(x)]
1
d
≡
Γ(2β) dx
Zx
J β−1 [λ(x − t)]
q(t)dt+
|x − t|1−2β
k
λ2 sign(x − k)
4β(β + 1)Γ(2β)
Zx
k
|x − t|2β J β+1 [λ(x − t)]q(t)dt + l(x, y),
(36)
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
82
áó åðäà
1
d
l(x, y) =
Γ(2β) dx
Zx
J β [λ(x − t)] − J β−1 [λ(x − t)]
q(t)dt.
|x − t|1−2β
k
òåêøèðèëèøè ©èéèí á²ëìàãàí
J¯β−1 (z) − J¯β (z) = − z 2 /4β (β + 1) J¯β+1 (z)
(37)
òåíãëèêêà àñîñàí,
λ2
d
l(x, y) =
4β(1 + β)Γ(2β) dx
Zx
|x − t|1+2β J β+1 [λ(x − t)]q(t)dt.
k
Äèôôåðåíöèàëëàø àìàëèíè áàæàðèá âà
J¯β0 (z) = − z 2 / (2β + 2) J¯β+1 (z)
(38)
òåíãëèêíè ýúòèáîðãà îëèá, òîïàìèç:
λ2 (1 + 2β)sign(x − k)
l(x, y) =
4β(β + 1)Γ(2β)
Zx
|x − t|2β J β+1 [λ(x − t)]q(t)dt−
k
−
λ2 sign(x − k)
2βΓ(2β)
Zx
|x − t|2β
λ2 (x − t)2
J β+2 [λ(x − t)]q(t)dt.
4(β + 1)(β + 2)
k
Áó åðäàãè J β+2 [λ(x − t)] ôóíêöèÿãà (37) ôîðìóëàíè ©²ëëàéìèç:
l(x, y) =
λ2 (1 + 2β)sign(x − k)
4β(β + 1)Γ(2β)
Zx
|x − t|2β J β+1 [λ(x − t)]q(t)dt+
k
+
λ2 sign(x − k)
2βΓ(2β)
Zx
|x − t|2β J β [λ(x − t)] − J β+1 [λ(x − t)] q(t)dt.
k
1,λ
Áóíè (36) ãà ©²éèá, Ckx
îïåðàòîðíèíã èêêèí÷è ê²ðèíèøèãà ýãà
á²ëàìèç:
1,λ
Ckx
[q(x)] ≡
1
d
Γ(2β) dx
Zx
k
J β−1 [λ(x − t)]q(t)
dt+
|x − t|1−2β
s,λ
s,λ
As,λ
kx , Bkx âà Ckx îïåðàòîðëàð âà óëàðíèíã õîññàëàðè
λ2 sign(x − k)
+
Γ(1 + 2β)
Zx
|x − t|2β J β [λ(x − t)]q(t)dt.
83
(39)
k
1-òåîðåìà. Èõòè¼ðèé f (x) ∈ C (m, n) ∩ L1 (m, n) âà k ∈ [m, n], x ∈
(m, n) ó÷óí
n
o
n
o
s,λ
s,λ
As,λ
Bkx
[f (x)] = f (x), Bkx
As,λ
(40)
kx
kx [f (x)] = f (x), s = 0, 1.
s,λ
òåíãëèêëàð ²ðèíëè, ÿúíè C (m, n) ∩ L1 (m, n) ñèíôäà As,λ
kx âà Bkx ²çàðî
òåñêàðè îïåðàòîðëàðäèð.
Èñáîò. Ôàðàç ©èëàéëèê,
s,λ
Bkx
[f (x)] = ϕ (x) .
(41)
s,λ
Bkx
îïåðàòîð èôîäàñèíè (41) ãà ©²éèá âà x − k = y, t − k = z,
s−1
s−1
˜
f (y) = f (x) (x − k)
, ϕ̃(y) = ϕ(x) (x − k)
áåëãèëàøëàðíè êèðèòèá,
©óéèäàãèãà ýãà á²ëàìèç:
f˜ (y) +
Zy
h p
i
∂
J0 λ z (z − y) dz = ϕ̃ (y).
f˜ (z)
∂y
0
Áó - Âîëüòåððà òèïèäàãè èíòåãðàë òåíãëàìà á²ëèá, ÿãîíà å÷èìãà ýãà
âà áó å÷èì
f˜ (y) = ϕ̃ (y) −
Zy
ϕ̃ (z)
h p
i
z ∂
J0 λ y (y − z) dz
y ∂z
0
ôîðìóëà áèëàí àíè©ëàíàäè [3]. Áóíäàí x, t ²çãàðóâ÷èëàðãà âà f (x), ϕ(x)
ôóíêöèÿëàðãà ©àéòèá,
Zx
f (x) = ϕ (x) −
ϕ (t)
t−k
x−k
s
h p
i
∂
J0 λ (x − k) (x − t) dt,
∂t
k
ÿúíè
f (x) = As,λ
kx [ϕ (x)]
As,λ
kx
(42)
s,λ
Bkx
ýêàíëèãèíè òîïàìèç. (41) âà (42) äàí
íèíã
îïåðàòîðãà òåñêàðè
îïåðàòîð ýêàíëèãè, ÿúíè (40) òåíãëèêëàðíèíã áèðèí÷èñè ò²¡ðè ýêàíëèãè êåëèá ÷è©àäè.
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
84
Òåîðåìàíèíã èêêèí÷è ©èñìè µàì µóääè øóíäàé èñáîòëàíàäè. Áóíäà
Zx
f (x) −
h p
i
∂
J0 λ x (x − t) dt = ϕ (x)
∂t
f (t)
0
òåíãëàìàíèíã å÷èìè
Zx
f (x) = ϕ (x) +
ϕ (t)
i
h p
x ∂
J0 λ t (t − x) dt
t ∂x
0
ôîðìóëà áèëàí áåðèëèøèäàí ôîéäàëàíèëàäè [3].
2-òåîðåìà. Èõòè¼ðèé f (x) ∈ C (m, n) ∩ L1 (m, n) ôóíêöèÿ âà k ∈
[m, n], x ∈ (m, n) ó÷óí
 x

Z
 Zx
0,λ
1,λ
Akx
Bkt [f (t)]dt = f (t) J0 [λ(x − t)] dt
(43)


k
k
òåíãëèê ²ðèíëè.
1,λ
Èñáîò. Bkt [f (t)] èôîäàíè
1,λ
Bkt
[f (t)]
d
=
dt
Zt
i
h p
f (z) J0 λ (z − k)(z − t) dz
k
ê²ðèíèøèäà ¼çèø ìóìêèíëèãèãà èøîí÷ µîñèë ©èëèø ©èéèí ýìàñ. Óíè
(43) íèíã ÷àï òîìîíèãà ©²ÿìèç âà A1,λ
kx îïåðàòîðíèíã ¼éèëìàñè á²éè÷à
¼çàìèç, ñ²íãðà µîñèë á²ëãàí òàêðîðèé èíòåãðàëäà èíòåãðàëëàø òàðòèáèíè ²çãàðòèðèá, òîïàìèç:
 x

Z
 Zx
h p
i
0,λ
1,λ
Akx
Bkt [f (t)]dt = f (z) J0 λ (z − k) (z − x) dz−


k
k
(44)
Zx
−
f (z)
k
 x
Z

z


h p
h p
i ∂
i
J0 λ (z − k) (z − t)
J0 λ (x − k) (x − t) dt dz.

∂t
(44) òåíãëèêíèíã ²íã òîìîíèäà ôèãóðàëè ©àâñ è÷èäà òóðãàí èôîäàíè Φ áèëàí áåëãèëàá, J0 (z) ôóíêöèÿ ¼éèëìàñèäàí âà ©àòîðëàðíè ê²-
s,λ
s,λ
As,λ
kx , Bkx âà Ckx îïåðàòîðëàð âà óëàðíèíã õîññàëàðè
85
ïàéòèðèøíèíã Êîøè ôîðìóëàñèäàí [20] ôîéäàëàíèá,
Φ=
Zx X
∞
z
j
(−1)
j=0
2j+2 X
j
l
j+1−l
λ
(z − k) (x − k)
l
j−l
(z − t) (x − t) dt
2
2
(l!) (j − l)!(j + 1 − l)!
l=0
òåíãëèêêà êåëàìèç.
Áó åðäàí ©àòîðíè µàäëàá èíòåãðàëëàá (÷óíêè ©àòîð òåêèñ ÿ©èíëàøàäè) âà
Zx
l
j−l
(z − t) (x − t)
Φ=
l
j+1
dt = (−1) (x − z)
B (l + 1, j + 1 − l)
z
òåíãëèêíè ýúòèáîðãà îëèá, òîïàìèç:
2j+2
j
∞
j+1 X
l
l
j+1−l
X
(x − z)
(−1) (z − k) (x − k)
λ
j
.
Φ=
(−1)
2
(j + 1) !
l ! (j + 1 − l) !
j=0
l=0
j+1
È÷êè éè¡èíäèãà
(−1)
j+1
(z − k)
(j + 1) !
p
l
l
p−l
X
(−1) (z − k) (x − k)
l=0
l ! (p − l) !
íè ©²øèá âà àéèðèá, ñ²íãðà
=
1
p
(x − z) , p ∈ N
p!
àéíèÿòíè âà J0 (z) ôóíêöèÿ ¼éèëìàñèíè ýúòèáîðãà îëñàê,
h p
i
Φ = J0 λ (z − k) (z − x) − J0 [λ (x − z)]
òåíãëèêêà êåëàìèç. Áóíè (44)ãà ©²éñàê, (43) òåíãëèê êåëèá ÷è©àäè. Òåîðåìà èñáîò á²ëäè.
3-òåîðåìà. Èõòè¼ðèé f (x) ∈ C 1 (m, n) ∩ L1 (m, n) ôóíêöèÿ âà k ∈
[m, n], x ∈ (m, n) ó÷óí
d 0,λ
0,λ
B
[f
(x)]
= sign (x − k) Ckx
[f (x)]
(45)
A1,λ
kx
dx kt
òåíãëèê ²ðèíëè.
Èñáîò. Ôàðàç ©èëàéëèê, f (x) ∈ C 1 (m, n) ∩ L1 (m, n) á²ëñèí. Ó µîëäà, (43) òåíãëèê ²ðèíëè Øóíèíã ó÷óí
Zx
f (t)J0 [λ(x − t)]dt = ϕ (x) ,
k
(46)
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
86
A0,λ
kx
 x
Z

1,λ
Bkx
[f (t)] dt


= ϕ(x)
(47)

k
áåëãèëàøëàð êèðèòèø ìóìêèí âà áóíäàí ϕ(k) = 0, ϕ(x) ∈ C[m, n] ∩
C 1 (m, n) âà ϕ0 (x) ∈ L1 (m, n) á²ëàäè.
(46) âà (47) òåíãëèêëàðäà ϕ(x) íè ìàúëóì äåá µèñîáëàá, f (x) íè
òîïàéëèê.
Àââàë (46) íè ©àðàéìèç. Ó Âîëüòåððà òèïèäàãè èíòåãðàë òåíãëàìà
á²ëãàíëèãè ó÷óí ÿãîíà å÷èìãà ýãà. Å÷èìíè òîïèø ó÷óí (46) íèíã èêêàJ1 [λ(y − x)]
ëà ©èñìèíè
ãà ê²ïàéòèðàìèç âà x á²éè÷à (k, y) îðàëè©äà
y−x
èíòåãðàëëàéìèç:
Zy
J1 [λ(y − x)]
dx
y−x
k
Zy
Zx
f (t)J0 [λ(x − t)] dt =
k
ϕ(x)
J1 [λ(y − x)]
dx.
y−x
k
Áó òåíãëèêíèíã ÷àï òîìîíèäà èíòåãðàëëàø òàðòèáèíè ²çãàðòèðèá,
ñ²íãðà µîñèë á²ëãàí òàêðîðèé èíòåãðàëäà z = y − x àëìàøòèðèø áàæàðèá âà
Zu
Jα (cξ)Jβ (cu − cξ)
1
dξ
= Jα+β (cu), Reα > 0, Reβ > −1
ξ
α
0
òåíãëèêíè [10] ýúòèáîðãà îëèá, òîïàìèç:
Zy
Zy
f (t)J1 [λ(y − t)] dt =
k
ϕ(x)
J1 [λ(y − x)]
dx.
y−x
(48)
k
(46) íè x á²éè÷à äèôôåðåíöèàëëàéìèç:
Zy
f (x) − λ
f (t)J1 [λ(x − t)] dt = ϕ0 (x).
(49)
k
0,λ
(48) òåíãëèê âà Ckx
îïåðàòîð ¼éèëìàñèíè ýúòèáîðãà îëèá, (49) äàí
òîïàìèç:
0,λ
f (x) = sign(x − k)Ckx
[ϕ(x)].
(50)
s,λ
s,λ
As,λ
kx , Bkx âà Ckx îïåðàòîðëàð âà óëàðíèíã õîññàëàðè
87
Äåìàê, (46) èíòåãðàë òåíãëàìàíèíã å÷èìè ìàâæóä âà ó (50) ôîðìóëà
áèëàí àíè©ëàíàäè.
0,λ
Ýíäè (47) òåíãëèêäàí f (x) íè òîïàìèç. Óíèíã èêêàëà òîìîíèãà Bkx
îïåðàòîð òàòáè© ©èëèá âà (40) òåíãëèêëàðíè ýúòèáîðãà îëñàê,
Zx
1,λ
0,λ
Bkt
[f (t)] dt = Bkx
[ϕ(x)]
k
òåíãëèêêà êåëàìèç. Áó òåíãëèêíè àââàë x á²éè÷à äèôôåðåíöèàëëàá,
ñ²íãðà µîñèë á²ëãàí òåíãëèêêà A1,λ
kx îïåðàòîð òàòáè© ýòèá âà (40) òåíãëèêëàðãà àñîñëàíèá òîïàìèç:
d 0,λ
1,λ
B [ϕ(x)] .
(51)
f (x) = Akx
dx kx
(50) âà (51) äàí (45) òåíãëèê êåëèá ÷è©àäè.
1,λ
0,λ
Ýñëàòìà. [14,15] äà (45) òåíãëèê Akx , Bkx âà Áåññåë ôóíêöèÿëàðèíèíã ¼éèëìàñèäàí ôîéäàëàíèá èñáîòëàíãàí.
4-òåîðåìà. Àãàð ν(x) ∈ C (0,α) (m, n), α > β âà [(x−m)(n−x)]−2β ν(x) ∈
L1 (m, n) á²ëñà, ó µîëäà ∀k [m, n] âà ∀x (m, n) ó÷óí
n
o
β−1 2β−1
β 1,λ
−β
A1,λ
|x
−
k|
D
|x
−
k|
B
ν
(x)
|x
−
k|
=
kx
kx
kx
−1
= sign (x − k) Γ
β−1
Zx
(1 − 2β) |x − k|
ν (t) |x − t|−2β J¯−β [λ (x − t)] dt
k
òåíãëèê ²ðèíëè á²ëàäè, áó åðäà 0 < β < 1/2.
5-òåîðåìà. Àãàð τ (x) ∈ C[m, n] âà (m, n) îðàëè©äà 1 − β äàí êàòòà
ê²ðñàòêè÷ëè üëüäåð øàðòèíè ©àíîàòëàíòèðñà, ó µîëäà ∀k ∈ [m, n] âà
∀x ∈ (m, n) ó÷óí
n
o
−β 1−2β
1−β 1,λ
β−1
A1,λ
|x
−
k|
D
|x
−
k|
B
τ
(x)
|x
−
k|
=
kx
kx
kx
1,λ
= |x − k|−β Ckx
[τ (x)]
òåíãëèê ²ðèíëè á²ëàäè, áó åðäà 0 < β < 1/2.
6-òåîðåìà. λ, δ ∈ R; p(x), f (x) ∈ C[m, n] ∩ C 1 (m, n) á²ëñèí. Àãàð
δ ≥ |λ|, p(x) ≥ 0, p0 (x) ≥ 0, sup |f (x)| = |f (ξ)| , m < ξ < n, f (ξ) > 0
[m,n]
(< 0) á²ëñà,
0,λ δξ
Cmξ
e p (ξ) f (ξ) ≥ 0 (≤ 0)
(52)
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
88
òåíãñèçëèê ²ðèíëè á²ëàäè.
Èñáîò. Òàúðèôãà àñîñàí
δx
0,λ
Cmx
e p (x) f (x) =
Zx
0 1
= eδx p (x) f (x) + λ2
2
eδt p (t) f (t) J 1 [λ (x − t)] dt =
m
1
= e [δp(x) + p (x)]f (x) + e p(x)f (x) + λ2
2
0
δx
0
δx
Zx
eδt p(t)f (t)J 1 [λ(x − t)] dt.
m
Èíòåãðàë îñòèäàãè èôîäàãà eδx p(x)f (x)/2 íè ©²øèá âà àéèðèá, ñ²íãðà x = ξ äåñàê,
0,λ δξ
Cmξ
e p (ξ) f (ξ) =




Zξ


1
= eδξ p0 (ξ) + p (ξ) δ − λ2 eδ(t−ξ) dt f (ξ) + p (ξ) f 0 (ξ) +


2
m
1
+ λ2
2
Zξ
eδt p (ξ) f (ξ) + p (t) f (t) J 1 [λ (ξ − t)] dt
(53)
m
òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç.
f (ξ) > 0 á²ëñèí. Ó µîëäà J 1 (z) ≤ 1, f (ξ) ≥ |f (t)| è p (ξ) ≥ p (t)
òåíãñèçëèêëàðãà àñîñàí, (53) òåíãëèêíèíã ²íã òîìîíèäàãè èêêèí÷è ©²øèëóâ÷è ìàíôèé ýìàñ. Áóíäàí òàø©àðè
1
δ − λ2
2
Zξ
eδ(t−ξ) dt ≥
i
1 h
δ 1 + eδ(m−ξ) > 0, δ ≥ |λ|.
2
m
Áóíè âà p (ξ) ≥ 0, p(ξ) ≥ 0 âà f 0 (ξ) = 0 ëàðíè ýúòèáîðãà îëñàê, (53) íèíã
²íã òîìîíèäàãè áèðèí÷è ©²øèëóâ÷èíèíã µàì ìàíôèé ýìàñëèãè êåëèá
÷è©àäè. Äåìàê, (52) òåíãñèçëèê ò²¡ðè.
Àãàð f (ξ) < 0 á²ëñà, (53) íèíã èêêàëà òîìîíèíè (-1) ãà ê²ïàéòèðèá,
ìóëîµàçàíè [−f (ξ)] ãà íèñáàòàí òàêðîðëàø êåðàê.
7-òåîðåìà. λ, δ ∈ R; p (x) , f (x) ∈ C [m, n] ∩ C 1 (m, n) á²ëñèí. Àãàð
δ ≥ |λ| , p(x) ≥ 0, p0 (x) ≤ 0, sup |f (x)| = |f (ξ)| , m < ξ < n, f (ξ) > 0(<
0
[m,n]
0) á²ëñà,
0,λ −δξ
Cnξ
e p (ξ) f (ξ) ≥ 0 (≤ 0)
(54)
s,λ
s,λ
As,λ
kx , Bkx âà Ckx îïåðàòîðëàð âà óëàðíèíã õîññàëàðè
89
òåíãñèçëèê ²ðèíëè á²ëàäè.
Áó òåîðåìà µàì 6-òåîðåìà êàáè èñáîòëàíàäè.
8-òåîðåìà. λ = λ1 · i; λ1 , δ ∈ R; p(x), f (x) ∈ C [m, n] ∩ C 1 (m, n)
á²ëñèí. Ó µîëäà, àãàð δ ≥ |λ1 | , p (x) ≥ 0, p0 (x) ≥ 0, sup f (x) = f (ξ) > 0,
[m,n]
inf f (x) = f (ξ) < 0 , m < ξ < n á²ëñà, (52) òåíãñèçëèê ²ðèíëè.
[m,n]
Èñáîò. J 1 [λ1 i (ξ − t)] = I 1 [λ1 (ξ − t)] òåíãëèêíè ýúòèáîðãà îëñàê,
0,λ1 i δξ
Cmξ
e p (ξ) f (ξ) = eδξ [δp (ξ) + p0 (ξ)] f (ξ) +
1
+e p (ξ) f (ξ) − λ21
2
0
δξ
Zξ
eδt p (t) f 0 (t) I 1 [λ1 (ξ − t)] dt.
m
Áóíè ©óéèäàãè÷à ¼çèá îëàìèç:
0,λ1 i δξ
Cmξ
e p (ξ) f (ξ) =



Zξ

1
δξ
0
2
δ(t−ξ)
p (ξ) + p (ξ) δ − λ1 e
=e
I 1 [λ1 (ξ − t)] dt f (ξ) +

2
m
1
+p (ξ) f 0 (ξ)} + λ21
2
Zξ
[p (ξ) f (ξ) − p (t) f (t)] eδt I 1 [λ1 (ξ − t)] dt.
m
Óøáó èôîäàíè ©àðàéëèê:
1
l1 = δ − λ21
2
Zξ
eδ(t−ξ) I 1 [λ1 (ξ − t)] dt.
m
Áó åðäà ξ − t = z àëìàøòèðèø áàæàðèá, òîïàìèç:
ξ−m
Z
e−δz z −1 I1 (|λ1 | z) dz.
l1 = δ − |λ1 |
0
0 < ξ − m < +∞ âà ©óéèäàãè
+∞
Z
e−δz z −1 I1 (|λ1 | z) dz ≤ 1,
0
δ ≥ |λ1 |
(55)
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
90
òåíãñèçëèêíè [10] ýúòèáîðãà îëñàê, l1 > 0 êåëèá ÷è©àäè.
f (ξ) > 0 á²ëñèí. Ó µîëäà l1 > 0, p(ξ) ≥ 0, p0 (ξ) ≥ 0 âà f 0 (ξ) =
0 ëàðíè ýúòèáîðãà îëñàê, (55) òåíãëèêíèíã ²íã òîìîíèäàãè áèðèí÷è
©²øèëóâ÷èíèíã ìàíôèé ýìàñëèãè êåëèá ÷è©àäè. f (ξ) ≥ f (t) âà I 1 (x) >
0 òåíãñèçëèêëàðãà àñîñàí èêêèí÷è ©²øèëóâ÷è µàì ìàíôèé ýìàñ. Äåìàê,
òåîðåìàíèíã òàñäè¡è ò²¡ðè.
Òåîðåìà f (ξ) < 0 á²ëãàí µîëäà µàì øóíäàé èñáîòëàíàäè.
9-òåîðåìà. λ = λ1 · i; λ1 , δ ∈ R; p(x), f (x) ∈ C [m, n] ∩ C 1 (m, n)
á²ëñèí. Ó µîëäà, àãàð δ ≥ |λ1 | , p(x) ≥ 0, p0 (x) ≤ 0, sup f (x) = f (ξ) > 0,
[m,n]
inf f (x) = f (ξ) < 0 , m < ξ < n á²ëñà, (54) òåíãñèçëèê ²ðèíëè.
[m,n]
Áó òåîðåìà µàì 8-òåîðåìà êàáè èñáîòëàíàäè.
Èçîµ. 6-9 òåîðåìàäà λ 6= 0 á²ëñà, (52) âà (54) äà ©àòúèé òåíãñèçëèê
²ðèíëè á²ëàäè.
10-òåîðåìà. λ, δ ∈ R; p (x) , f (x) ∈ C (0,α) [m, n] , α > 1 − 2β á²ëñèí. Ó µîëäà, àãàð δ ≥ |λ| , p (x) - êàìàéìàéäèãàí ìóñáàò ôóíêöèÿ âà
sup |f (x)| = |f (ξ)| , m < ξ < n, f (ξ) > 0 (< 0) á²ëñà,
[m,n]
1,λ δξ
Cmξ
e p (ξ) f (ξ) > 0 (< 0)
(56)
òåíãñèçëèê ²ðèíëè á²ëàäè.
Èñáîò. ‰óéèäàãè òåíãëèêíè ©àðàéëèê:
δx
1,λ
Γ (2β) Cmx
e p (x) f (x) =

Z
 d x−ε
2β−1
= lim
(x − t)
p (t) f (t) eδt J β [λ (x − t)] dt+
ε→0  dx
m
+ λ2 /4β (1 + β)
x−ε
Z
2β
(x − t)
p (t) f (t) eδt J β+1 [λ (x − t)] dt.
(57)
m
Ó ε ãà íèñáàòàí òåêèñ áàæàðèëàäè. (57) íè ©óëàé µîëãà êåëòèðàìèç.
Øó ìà©ñàääà ôèãóðàëè ©àâñ è÷èäàãè èôîäàíè l2 áèëàí áåëãèëàéìèç âà
äèôôåðåíöèàëëàø àìàëèíè áàæàðàìèç:
l2 = eδ(x−ε) p (x − ε) f (x − ε) J β (λε) ε2β−1 −
s,λ
s,λ
As,λ
kx , Bkx âà Ckx îïåðàòîðëàð âà óëàðíèíã õîññàëàðè
x−ε
Z
2β−2
(x − t)
− (1 − 2β)
91
p (t) f (t)eδt J β [λ (x − t)] dt−
m
x−ε
Z
λ2
−
2 (1 + β)
2β
(x − t)
p (t) f (t) eδt J β+1 [λ (x − t)] dt.
m
Áóëàêëàá èíòåãðàëëàá, ©óéèäàãè òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç:
x−ε
Z
2β−2
eδt (x − t)
(1 − 2β)
δ δ(x−ε) 2β
e
·ε −
2β
dt =eδ(x−ε) ε2β−1 +
m
δm
−e
δ δm
δ2
2β
−
e (x − m) −
2β
2β
2β−1
(x − m)
x−ε
Z
2β
eδt (x − t)
dt.
m
l2 ãà ©óéèäàãè
x−ε
Z
2β−2
eδt (x − t)
(1 − 2β) p (x) f (x)
dt
m
èôîäàíè ©²øèá âà àéèðèá µàìäà (58) íè ýúòèáîðãà îëèá, òîïàìèç:
l2 = eδ(x−ε) ε2β−1 p (x − ε) f (x − ε) J β (λε) − p (x) f (x) −
−
h
δ δ(x−ε)
2β−1
e
p (x) f (x) ε2β + eδm p (x) f (x) (x − m)
+
2β
x−ε
Z
δ
δ:2
2β
2β
+
(x − m)
+
p (x) f (x)
eδt (x − t) dt+
2β
2β
m
x−ε
Z
+ (1 − 2β)
p (x) f (x) − p (t) f (t) J β [λ (x − t)]
2−2β
(x − t)
m
λ2
−
2 (1 + β)
x−ε
Z
2β
(x − t)
m
eδt dt−
p (t) f (t) eδt J β+1 [λ (x − t)] dt.
(58)
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
92
l2 íèíã áó èôîäàñèíè (57) ãà ©²éèá, áàúçè àëìàøòèðèøëàðäàí ñ²íã,
α > 1 − 2β íè ýúòèáîðãà îëèá, ε → 0 äà ëèìèòãà ²òàìèç:
δx
1,λ
Γ (2β) Cmx
e p (x) f (x) =
δ
2β−1
2β
= p (x) f (x) eδm (x − m)
+
(x − m)
+
2β

"
# Zx
2

2
λ
2β
+ δ /4β (1 + β) 2 + 2β −
(1 − 2β) ·
eδt (x − t) dt +

δ
m
Zx
+ (1 − 2β)
2β−2 δt
p (x) f (x) − p (t) f (t) J β [λ (x − t)] (x − t)
e dt+
m
λ2 (1 − 2β)
+
4β (1 + β)
Zx
2β
p (x) f (x) + p (t) f (t) J β+1 [λ (x − t)] (x − t)
eδt dt. (59)
m
Ýíäè f (ξ) > 0 (< 0) á²ëñèí. Ó µîëäà p (ξ) ≥ p (t) > 0, ∀t ≤ ξ âà
J ν (z) ≤ 1, ∀z ∈ R, ν > −1/2 òåíãñèçëèêëàðãà àñîñàí,
p (ξ) f (ξ) − p (t) f (t) J β [λ (ξ − t)] ≥ 0 (≤ 0) , ∀t ≤ ξ,
p (ξ) f (ξ) + p (t) f (t) J β+1 [λ (ξ − t)] ≥ 0 (≤ 0) , ∀t ≤ ξ
ìóíîñàáàòëàð ²ðèíëè á²ëàäè.
Áóëàðíè âà δ ≥ |λ| , 1 − 2β > 0, Γ (2β) > 0 ëàðíè ýúòèáîðãà îëñàê,
(59) äàí (56) êåëèá ÷è©àäè.
11-òåîðåìà. λ, δ ∈ R; p(x), f (x) ∈ C (0,α) [m, n] , α > 1 − 2β (> 0)
á²ëñèí. Ó µîëäà, àãàð δ ≥ |λ| , p (x) - ìóñáàò ²ñìàéäèãàí ôóíêöèÿ,
sup |f (x)| = |f (ξ)| , m < ξ < n, f (ξ) > 0 (< 0) á²ëñà,
[m,n]
1,λ −δξ
Cnξ
e p (ξ) f (ξ) > 0 (< 0)
òåíãñèçëèê ²ðèíëè á²ëàäè.
Áó òåîðåìà µàì 10-òåîðåìà êàáè èñáîòëàíàäè.
12-òåîðåìà. Àãàð λ ∈ R, τ (x) ∈ C (0,α) [m, n], α > 1 − 2β(> 0),
sup |τ (x)| = |τ (x0 )| > 0, x0 ∈ (m, n) á²ëñà, ó µîëäà τ (x0 ) > 0 (< 0)
[m,n]
á²ëãàíäà åòàðëè êè÷èê λ ó÷óí
1,λ
Cmx
[τ (x)]|x=x0 > 0 (< 0),
1,λ
Cnx
[τ (x)]|x=x0 > 0 (< 0)
(60)
s,λ
s,λ
As,λ
kx , Bkx âà Ckx îïåðàòîðëàð âà óëàðíèíã õîññàëàðè
93
òåíãñèçëèêëàð ²ðèíëè á²ëàäè.
1,λ
îïåðàòîðíè (39) ê²ðèíèøäà îëèá, ©óéèäàãè÷à ¼çèá îëàÈñáîò. Cmx
ìèç:
x−ε
Z
1
J β−1 [λ(x − t)]
d
1,λ
Cmx
[τ (x)] = lim
τ (t)dt+
ε→0 Γ(2β) dx
(x − t)1−2β
m
+
λ2
Γ(1 + 2β)
Zx
(x − t)2β J β [λ(x − t)]τ (t)dt.
(61)
m
Äèôôåðåíöèàëëàø àìàëèíè áàæàðèá âà (37) ôîðìóëàäàí ôîéäàëàíèá, òîïàìèç:
1,λ
Γ(2β)Cmx
[τ (x)] = lim ε2β−1 J β−1 (λε)τ (x − ε)−
ε→0
x−ε
Z


m

(x − t)2β−2 J β−1 [λ(x − t)]τ (t)dt
−(1 − 2β)
Áó òåíãëèêíèíã ²íã òîìîíèãà (1 − 2β)τ (x)
.
x−ε
R
(x − t)2β−2 dt èôîäàíè ©²-
m
øàìèç âà àéèðàìèç:
1,λ
Γ(2β)Cmx
[τ (x)] = lim ε2β−1 [J β−1 (λε)τ (x − ε) − τ (x)]+
ε→0
τ (x)
+
+ (1 − 2β)
(x − a)1−2β
x−ε
Z
m

τ (x) − τ (t)J β−1 [λ(x − t)] 
dt .

(x − t)2−2β
(62)
τ (x) ∈ C (0,α) [m, n] è λ ∈ R á²ëãàíè ó÷óí
|τ (x) − τ (x − ε)J β−1 (λε)| = εα O(1),
|τ (x) − τ (t)J β−1 [λ(x − t)]| = (x − t)α O(1).
Áóëàðãà âà α > 1 − 2β ãà àñîñàí, (61) ëèìèò ìàâæóä âà
1,λ
Γ(2β)Cmx
[τ (x)]
2β−1
= τ (x)(x−m)
Zx
+(1−2β)
m
τ (x) − τ (t)J β−1 [λ(x − t)]
dt.
(x − t)2−2β
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
94
Áó åðäà x = x0 ©²ÿìèç. Ó µîëäà, àãàð τ (x0 ) > 0(< 0) âà λ åòàðëè÷à
êè÷èê á²ëñà, τ (x0 ) − τ (t)J β−1 [λ(x0 − t)] ≥ 0(≤ 0) òåíãñèçëèê ²ðèíëè
á²ëàäè. Áóíè âà τ (x0 ) > 0(< 0) íè ýúòèáîðãà îëñàê, (60) òåíãñèçëèêíèíã
áèðè÷èñè êåëèá ÷è©àäè.
(60) òåíãñèçëèêíèíã èêêèí÷èñè µàì øóíäàé èñáîòëàíàäè.
13-òåîðåìà. Àãàð iλ ∈ R, T (x) ∈ C (0,α)[m, n], α > 1 − 2β > 0 âà
inf T (x) = T (x0 ) < 0 , x0 ∈ (m, n) á²ëñà, ©óéè-
sup T (x) = T (x0 ) > 0
[m,n]
[m,n]
äàãè òåíãñèçëèêëàð ²ðèíëè á²ëàäè:
1,λ |λ|x
Cax
[e T (x)]|x=x0 > 0 (< 0),
1,λ −|λ|x
Cbx
[e
T (x)]|x=x0 > 0 (< 0).
(63)
Èñáîò. iλ ∈ R, J β−1 (ix) = I β−1 (|x|) ëàðíè âà (39) òåíãëèêíè ýúòèáîðãà îëèá, (62) êàáè ©óéèäàãèãà ýãà á²ëàìèç:

Z
 d x−ε
1,λ |λ|x
(x − t)2β−1 I β−1 [|λ|(x − t)]e|λ|t T (t)dt−
Γ(2β)Cmx [e T (x)] = lim
ε→0  dx
m
2
−
|λ|
2β
x−ε
Z


m

(x − t)2β I β [|λ|(x − t)]e|λ|t T (t)dt
.
Äèôôåðíöèàëëàø àìàëèíè áàæàðèá, (37) ôîðìóëàíè ©²ëëàéìèç:
n
1,λ |λ|x
Γ(2β)Cmx
[e T (x)] = lim ε2β−1 I β−1 (|λ|ε)e|λ|(x−ε) T (x − ε)−
ε→0
x−ε
Z


m

(x − t)2β−2 I β−1 [|λ|(x − t)]e|λ|t T (t)dt
−(1 − 2β)
.
(64)
Á²ëàêëàá èíòåãðàëëàá âà (37) òåíãëèêäàí ôîéäàëàíèá, òîïàìèç:
x−ε
Z
(x − t)2β−2 e|λ|t I β−1 [|λ|(x − t)]dt =
(1 − 2β)
m
= ε2β−1 e|λ|(x−ε) I β−1 (|λ|ε) − (x − m)2β−1 e|λ|m I β−1 [|λ|(x − m)]+
s,λ
s,λ
As,λ
kx , Bkx âà Ckx îïåðàòîðëàð âà óëàðíèíã õîññàëàðè
x−ε
Z
(x − t)2β−1
+|λ|
95
|λ|(x − t)
I β [|λ|(x − t)] − I β−1 [|λ|(x − t)] e|λ|t dt.
2β
m
Áóíè ýúòèáîðãà îëèá, (64) èôîäàíè ©óéèäàãè÷à ¼çèø ìóìêèí:
n
1,λ |λ|x
Γ(2β)Cmx
[e T (x)] = lim ε2β−1 I β−1 (|λ|ε)e|λ|(x−ε) [T (x − ε) − T (x)]+
ε→0
x−ε
Z
(x − t)2β−2 [T (x) − T (t)]I β−1 [|λ|(x − t)]e|λ|t dt+
+(1 − 2β)
m
2β−1 |λ|m
+T (x)(x − m)
e
x−ε
Z
(x − t)2β−1 ×
I β−1 [|λ|(x − m)] + T (x)
m
1
|λ|t
2
× |λ|I β−1 [|λ|(x − t)] −
|λ| (x − t)I β [|λ|(x − t)] e dt .
2β
Áó åðäàí ε → 0 ëèìèòãà ²òèá âà T (x) ∈ C (0,α) [m, n], α > 1 − 2β íè
ýúòèáîðãà îëèá, ©óéèäàãè òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç:
1,λ |λ|x
Γ(2β)Cmx
[e T (x)] =
Zx
= (1 − 2β)
(x − t)2β−2 [T (x) − T (t)]I β−1 [|λ|(x − t)]e|λ|t dt+
m
n
+T (x) (x − m)2β−1 e|λ|m I β−1 [|λ|(x − m)] +
Zx
+
m


1
(x − t)2β−1 |λ|I β−1 [|λ|(x − t)] −
|λ|2 (x − t)I β [|λ|(x − t)] e|λ|t dt .

2β
(65)
Áèðèí÷è á²ëèìäàãè (85) ôîðìóëàíè ©²ëëàá, òîïàìèç:
Zx
(x − t)2β−1 e|λ|t I β−1 [|λ|(x − t)]dt =
m
=
1
1
(x − m)2β e|λ|x 2 F2 β − , 2β; 2β − 1, 2β + 1; −2|λ|(x − m) , (66)
2β
2
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
96
Zx
(x − t)2β e|λ|t I β [|λ|(x − t)]dt =
m
=
1
1
(x − m)2β+1 e|λ|x 1 F1 β + ; 2 + 2β; −2|λ|(x − m) .
1 + 2β
2
(67)
Áèðèí÷è á²ëèìäàãè (87) òåíãëèêäàí êåëèá ÷è©óâ÷è
1
−z
e I β−1 (z) = 1 F1 β − ; 2β − 1; −2z ,
z>0
2
òåíãëèê âà 1 F1 , 2 F2 ôóíêöèÿëàðíèíã ©àòîðãà ¼éèëìàñèäàí ôîéäàëàíèá êîýôôèöèåíòëàðíè òà©©îñëàø óñóëè áèëàí ©óéèäàãè òåíãëèêíèíã
ò²¡ðèëèãèíè ê²ðñàòèø ìóìêèí:
z
1
−z
e I β−1 (z) +
2 F2 β − , 2β; 2β − 1, 2β + 1; −2z −
2β
2
z2
1
1
F
;
2
+
2β;
−2z
=
F
;
2β;
−2z
. (68)
−
β
+
β
−
1 1
1 1
2β(1 + 2β)
2
2
(66), (67), (68) ëàðãà àñîñàí, (65) äàí
1,λ |λ|x
Γ(2β)e−|λ|x Cmx
[e T (x)] =
Zx
= (1 − 2β)
T (x) − T (t) |λ|(t−x)
e
I β−1 [|λ|(x − t)]dt+
(x − t)2−2β
m
1
+T (x)(x − m)2β−1 1 F1 β − ; 2β; −2|λ|(x − m) .
2
òåíãëèê êåëèá ÷è©àäè.
sup T (x) = T (x0 ) > 0
[m,n]
(69)
inf T (x) = T (x0 ) < 0 , x0 ∈ (m, n) á²ëñèí.
[m,n]
Ó µîëäà, T (x0 ) − T (t) ≥ 0 (≤ 0), ∀t ∈ [m, n]; T (x0 ) > 0 (< 0), 1 − 2β > 0,
1 F1
[β − 1/2; 2β; −2|λ|(x0 − m)] > 0, I β−1 [|λ|(x − t)] > 0
á²ëãàíè ó÷óí, (69) äàí x = x0 äà (63) òåíãñèçëèêíèíã áèðèí÷èñè êåëèá
÷è©àäè. Óíèíã èêêèí÷èñè µàì øóíäàé èñáîòëàíàäè.
s,λ
Ýñëàòìà. Îäàòäà (6) - (13) òåîðåìàëàð Ckx
, s = 0, 1 îïåðàòîðëàð
ó÷óí ýêòðåìóì ïðèíöèïëàðè äåá àòàëàäè.
Fkx îïåðàòîð âà óíèíã õîññàëàðè
97
5-Ÿ. Fkx îïåðàòîð âà óíèíã õîññàëàðè
Ôàðàç ©èëàéëèê, a, b, c, m, n ∈ R, 0 < m < n, c 6= 0, −1, −2, ...;
k ∈ (m, n) ; f (x) , f 0 (x) ∈ C (m, n) ∩ L1 (m, n) á²ëñèí.
‰óéèäàãè îïåðàòîðëàðíè ©àðàéìèç [16, 17]:
Fkx
a, b
c; x
f (x) ≡
8
Zx
>
>
sign(x
−
k)
x−t
c−1
>
>
f (t) dt, c > 0;
|x
−
t|
F
a,
b,
c;
>
>
Γ(c)
x
>
<
k
f (x) ,
c = 0;
>
#
"
>
>
>
a, b + 1
d
>
a
−a
>
f (x), −1 < c < 0.
>
: sign(x − k)x dx x Fkx c + 1; x
(70)
(70) îïåðàòîðëàð êàñð òàðòèáëè óìóìëàøãàí èíòåãðî-äèôôåðåíöèàë
îïåðàòîðëàð äåá àòàëèá, óëàðäàí µóñóñèé µîëäà Ðèìàí-Ëèóâèëëíèíã
èíòåãðî-äèôôåðåíöèàë îïåðàòîðëàðè êåëèá ÷è©àäè, ÿúíè
0, b
a, 0
−c
Fkx
≡ Fkx
≡ Dkx
, c > 0;
c; x
c; x
d −(c+1)
0, b
a, 0
−c
D
≡ Dkx
, −1 < c < 0.
Fkx
≡ Fkx
≡
c; x
c; x
dx kx
α
Äåìàê, (70) - Ðèìàí-Ëèóâèëë ìàúíîñèäàãè êàñð òàðòèáëè Dkx
èíòåãðîäèôôåðåíöèàë îïåðàòîðëàðíè F (a, b, c; x) - Ãàóññ ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿñè ¼ðäàìèäàãè óìóìëàøìàñè ýêàí.
Êåéèíãè èøëàðäà k < x äà Fkx ≡ Fkx , k > x äà ýñà Fkx ≡ Fxk êàáè
¼çèøãà êåëèøèá îëàìèç.
1-òåîðåìà. Àãàð f (x) ∈ C (m, n) ∩ L1 (m, n) á²ëñà, èõòè¼ðèé a, b ∈
R, c ∈ (0, 1) âà x, k ∈ (m, n) ó÷óí
−a, b − c
a, b
Fkx
Fkx
f (x) = f (x)
(71)
−c; x
c; x
òåíãëèê ²ðèíëè á²ëàäè.
Èñáîò. Àíè©ëèê ó÷óí 0 < m < x < k < n äåá îëàéëèê. (70) ãà àñîñàí
(70)íèíã ÷àï òîìîíèíè ¼éèá ¼çàìèç:
−a, b − c
a, b
M = Fkx
Fkx
f (x) =
−c; x
c; x
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
98
−a
= −x
=−
d
dx
xa
d
dx
−a, b − c + 1
a, b
a
x Fxk
Fxk
f (x) =
1 − c; x
c; x
1
Γ (1 − c)
Zk
−c
(t − x)
−a, b − c + 1, 1 − c;
F
x−t
x
t−a ×
x

×
1
Γ (c)
Zk
c−1
(z − t)
F
t−z
t
a, b, c;

f (z) dz  dt


.

t
Òàêðîðèé èíòåãðàëãà Äèðèõëå ôîðìóëàñèíè ©²ëëàéìèç:

 z
Zk
Z
sin(cπ) d  a

M =−
x
f (z)
t−a (t − x)−c ×
π dx 
x
×F
x−t
−a, b − c + 1, 1 − c;
x
x
c−1
(z − t)
F
t−z
a, b, c;
t
dt dz .
Èêêèí÷è Ãàóññ ôóíêöèÿñèãà
−β
F (α, β, γ; z) = (1 − z)
F
z
γ − α, β, γ;
z−1
ôîðìóëàíè ©²ëëàá, ©óéèäàãèãà ýãà á²ëàìèç:

Zk
sin (cπ) d  a
M =−
x
f (z) z −b ×
π
dx 
x
 z
Z
t
−c
c−1
×  tb−a (t − x) (z − t)
F −a, b − c + 1, 1 − c; 1 −
×
x
x
×F
c − a, b, c; 1 −
t
z
dt dz .
Êâàäðàò ©àâñ è÷èäàãè èíòåãðàëãà
Zω
σ
c1 −1
xα (x − σ)
c0 −1
(ω − x)
x 0 0 0
x
F a1 , b1 , c1 ; 1 −
F a ,b ,c ;1 −
dx =
σ
ω
Fkx îïåðàòîð âà óíèíã õîññàëàðè
99
σ
,
σ A ω B F C, D, c1 + c0 ; 1 −
ω
áó åðäà 0 < σ < ω, Rec1 , Rec0 > 0; A = −a, B = b, C = c − a − b, D = 0,
ôîðìóëàíè ©²ëëàá [11, 331 áåò, 13 ôîðìóëà, 4-©àòîð]


Zk


π
d
M =−
xa z −b f (z) B (1 − c, c) x−a z b dz

sin (cπ) dx 
c1 +c0 −1
= B (c1 , c0 ) (ω − σ)
x
èôîäàãà ýãà á²ëàìèç.
B (1 − c, c) = Γ (1 − c) Γ (c) /Γ (1) = π/ sin (cπ) òåíãëèêíè ýúòèáîðãà
îëñàê, îõèðãè òåíãëèêäàí 11-òåîðåìàíèíã òàñäè¡è êåëèá ÷è©àäè.
Òåîðåìà ©îëãàí µîëëàðäà µàì øóíäàé èñáîòëàíàäè.
2-òåîðåìà [16]. Àãàð f (x) ∈ C (0,δ) (m, n) ∩ L1 (m, n) á²ëñà, èõòè¼ðèé a, b ∈ R, c ∈ (0, 1) δ ∈ (0, 1], k, x ∈ (m, n) , k < x ó÷óí
−a, b − c
a, b
Fmx
Fxn
f (x) = cos (cπ) f (x) +
−c; x
c; x
λ1
+
π
Zn t−m
x−m
c−a
f (t) dt λ2
+
t−x
π
m
Zn t−m
x−m
c−b
f (t) dt
, m<x<n
t−x
m
òåíãëèê ²ðèíëè á²ëàäè, áó åðäà
λ1 =
sin (bπ) sin [(c − a) π]
,
sin [(b − a) π]
λ2 =
sin (aπ) sin [(c − b) π]
.
sin [(a − b) π]
3-òåîðåìà [12]. Ôàðàç ©èëàéëèê, −1 < b < c < a < 0, l ≥ a + b − c
[−1 < l ≤ a + b − c] ; w(x), τ (x) ∈ C [0, 1] , w(x) - êàìàéìàéäèãàí (²ñìàéäèãàí) ìóñáàò ôóíêöèÿ âà x = x0 (0 < x0 < 1) íó©òàíèíã ©èñ©à àòðîôèäà τ (x)w(x) ê²ïàéòìà (−c) äàí êàòòà òàðòèáäà üëüäåð øàðòèíè
©àíîàòëàíòèðñèí. Àãàð [0, x0 ] îðàëè©äà τ (x) ôóíêöèÿ ýíã êàòòà ìóñáàò (êè÷èê ìàíôèé) ©èéìàòãà x = x0 íó©òàäà ýðèøñà, ó µîëäà
a, b
>0
(72)
F0x
xl w(x)τ (x)
c; x
x=x
0
F0x
a, b
c; x
!
l
x w(x)τ (x)
<0
x=x0
(73)
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
100
òåíãñèçëèê ²ðèíëè á²ëàäè.
Èñáîò. (70) òàúðèôãà àñîñàí
a, b
M1 = F0x
xl w(x)τ (x) =
c; x
=
d −a
xa
x
Γ(c + 1) dx
Zx
c
z l (x − z) w(z)τ (z)F
a, b + 1, c + 1;
x−z
dz.
x
0
‰óéèäàãè èôîäàíè ©àðàéìèç:
M1ε
xa
d −a
=
x
Γ(c + 1) dx
x−ε
Z
c
l
z (x − z) w(z)τ (z)F
x−z
a, b + 1, c + 1;
dz,
x
0
áó åðäà ε - åòàðëè÷à êè÷èê ìóñáàò ñîí. Àíè©êè, lim M1ε = M1 .
ε→0
Äèôôåðåíöèàëëàø àìàëèíè áàæàðèá,
M1ε =
n
1
ε
(x − ε)l w(x − ε)τ (x − ε) εc F a, b + 1, c + 1;
+
Γ(c + 1)
x
x−ε
Z
l
c−1
z w(z)τ (z)(x − z)
+c
F
x−z
a, b, c;
x
dz .
0
òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç. Áó òåíãëèêíè
M1ε =
n
1
ε
(x − ε)l w(x − ε)τ (x − ε) εc F a, b + 1, c + 1;
−
Γ(c + 1)
x
x−ε
Z
z a+b−c xl+c−a−b w (x) τ (x) − z l+c−a−b w (z) τ (z) ×
−c
0
c−1
×(x − z)
x−ε
Z
F
x−z
a, b, c;
x
z a+b−c xl+c−a−b (x − z)c−1 F
+cw(x)τ (x)
0
dz+
a, b, c;
x−z
x
dz
(74)
Fkx îïåðàòîð âà óíèíã õîññàëàðè
101
ê²ðèíèøäà ¼çèá îëàìèç. (74) äàãè îõèðãè èíòåãðàëíè M2 îð©àëè áåëãèëàá îëèá, ñ²íãðà Ãàóññ ôóíêöèÿñè ó÷óí àâòîòðàíñôîðìàöèÿ ôîðìóëàñèíè ©²ëëàéìèç:
l+c−1
x−ε
Z
M2 = x
c
x−z
x
c−1
F
c − a, c − b, c;
x−z
x
dz.
0
Óøáó
d c1 −1
θ
F (a1 , b1 , c1 ; θ) = (c1 − 1)θc1 −2 F (a1 , b1 , c1 − 1; θ)
dθ
ôîðìóëà ¼ðäàìèäà îõèðãè èíòåãðàëíè µèñîáëàéìèç:
ε
M2 = xl+c F (c − a, c − b, c + 1; 1) − xl εc F c − a, c − b, c + 1;
.
x
Áóíè (74) ãà ©²éèá, òîïàìèç:
M1ε =
1
−
Γ(c)
M3ε
xl+c
w(x)τ (x)F (c − a, c − b, c + 1; 1) +
−
Γ(c + 1)
Γ(c + 1)
x−ε
Z
z a+b−c xl+c−a−b w(x)τ (x) − z l+c−a−b w(z)τ (z) ×
0
×(x − z)c−1 F
a, b, c;
x−z
x
dz,
áó åðäà
ε
−
M3ε = (x − ε)l w(x − ε)τ (x − ε) εc F a, b + 1, c + 1;
x
ε
−xl w(x)τ (x) εc F c − a, c − b, c + 1;
.
x
M3ε èôîäàíè ©óéèäàãè÷à ¼çèø ìóìêèí:
ε
M3ε = (x − ε)l − xl εc w(x − ε)τ (x − ε) F a, b + 1, c + 1;
+
x
ε
+ [w(x − ε)τ (x − ε) − w(x)τ (x)] εc xl F a, b + 1, c + 1;
+
x
(75)
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
102
h ε
ε i
+xl w(x)τ (x)εc F a, b + 1, c + 1;
− F c − a, c − b, c + 1;
.
x
x
0 < δ1 < x − ε < x á²ëñèí, áó åðäà δ1 åòàðëè÷à êè÷èê ìóñáàò òàéèíëàíãàí ñîí. Ó µîëäà
w(x − ε)τ (x − ε) − w(x)τ (x) = ε · O(1),
(x − ε)l − xl = ε · O(1),
ε
ε
F a, b + 1, c + 1;
− F c − a, c − b, c + 1;
= ε · O(1).
x
x
Áóëàðíè ýúòèáîðãà îëñàê,
∀x ∈ (δ1 , 1].
lim M3ε = 0,
ε→0
(76)
(75) äàí ε → 0 äà ëèìèòãà ²òèá âà (76)íè èíîáàòãà îëèá, µàð áèð
x ∈ (δ1 , 1] ó÷óí
M1 =
Zx
−c
l+c
1
x
w(x)τ (x)F (c − a, c − b, c + 1; 1)−
Γ(c + 1)
z a+b−c xl+c−a−b w(x)τ (x) − z l+c−a−b w(z)τ (z) ×
0
×(x − z)c−1 F
a, b, c;
x−z
x
dz
òåíãëèêêà ýãà á²ëàìèç.
Áó åðäà x = x0 , x0 ∈ (0, 1) äåñàê,
M1 =
Zx0
−c
l+c
1
x
w(x0 )τ (x0 )F (c − a, c − b, c + 1; 1)−
Γ(c + 1) 0
z a+b−c xl+c−a−b
w(x0 )τ (x0 ) − z l+c−a−b w(z)τ (z) ×
0
δ
×(x0 − z)c−1 F
Zδ
−c
0
a, b, c;
x0 − z
x0
dz−
z a+b−c xl+c−a−b
w(x0 )τ (x0 ) − z l+c−a−b w(z)τ (z) ×
0
Fkx îïåðàòîð âà óíèíã õîññàëàðè
c−1
×(x0 − z)
F
x0 − z
a, b, c;
x0
103
dz
(77)
òåíãëèê êåëèá ÷è©àäè, áó åðäà δ - x0 ãà ÷àïäàí åòàðëè÷à ÿ©èí ñîí.
−1 < b < c < a < 0 øàðòãà àñîñàí
x0 − z
F (c − a, c − b, c + 1; 1) > 0,
F a, b, c;
>0
x0
òåíãñèçëèêëàð ²ðèíëè.
Áó âà l ≥ c − a − b > 0 òåíãñèçëèêëàðíè µàìäà w(x) âà τ (x) ôóíêöèÿëàðãà ©²éèëãàí øàðòëàðíè µèñîáãà îëñàê, (77) äàí äàðµîë (71) [(72)]
òåíãñèçëèê êåëèá ÷è©àäè. Òåîðåìà èñáîòëàíäè.
Îäàòäà 3- òåîðåìà F0x îïåðàòîð ó÷óí ýêòðåìóì ïðèíöèïè äåá àòàëèá, óíãà ²õøàø òåîðåìà [17] äà µàì èñáîòëàíãàí.
104
Ôîéäàëàíèëãàí àäàáè¼òëàð
1. Áåéòìåí Ã., Ýðäåéè À. Âûñøèå òðàíñöåíäåíòíûå ôóíêöèè. Ò.1.
-Ì.: Íàóêà, 1965. -296 ñ.
2. Âàòñîí Äæ.Í. Òåîðèÿ áåññåëåâûõ ôóíêöèé. Ò.1. -Ì.: Èçäàòåëüñòâî
ÈË, 1949. -798 ñ.
3. Âåêóà È.Í. Íîâûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ì.: Ãîñòåõèçäàò. 1948. -296 ñ.
4. Êàïèëåâè÷ Ì.Á. Î ñèíãóëÿðíûõ çàäà÷àõ Êîøè è Òðèêîìè //
Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1967, Ò. 177, 6. -Ñ. 1265-1268.
5. Êàïèëåâè÷ Ì.Á. Îá îäíîì êëàññå ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé
Ãîðíà // Äèôôåðåíöèàëíûå óðàâíåíèÿ. -Ìèíñê, 1968, Ò. 4, 8.
-Ñ.1465-1483.
6. Êóçíåöîâ Ä.Ñ. Ñïåöèàëüíûå ôóíêöèè. - Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1962.
- 424 ñ.
7. Ìèõëèí Ñ.Ã. Ëåêöèè ïî ëèíåéíûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ì.: Ôèçìàò÷èç. 1959. - 232 ñ.
8. Ìóñõåëèøâèëè Í.È. Ñèíãóëÿðíûå èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ. -Ì.:
Íàóêà, 1968. - 512 ñ.
9. Íàõóøåâ À.Ì. Äðîáíîå èñ÷èñëåíèå è åãî ïðèìåíåíèå. - Ì.: Ôèçìàòëèò, 2003. -272 ñ.
10. Ïðóäíèêîâ À.Ï., Áðû÷êîâ Þ.À., Ìàðè÷åâ Î.È. Èíòåãðàëû è
ðÿäû. Ñïåöèàëüíûå ôóíêöèè. -Ì.: Íàóêà, 1983. -752 ñ.
11. Ïðóäíèêîâ À.Ï., Áðû÷êîâ Þ.À., Ìàðè÷åâ Î.È. Èíòåãðàëû è
ðÿäû. Äîïîëüíèòåëüíûå ãëàâû - Ì.: Íàóêà, 1986. -800 ñ.
12. Ñàëàõèääèíîâ Ì.Ñ. Ìàòåìàòèê ôèçèêà òåíãëàìàëàðè. -Òîøêåíò:
’©èòóâ÷è,2002. -448 áåò.
13. Salohiddinov M.S. Integral tenglamalar. -Toshkent, 2007. -256 bet.
14. Ñàëàõèòäèíîâ Ì.Ñ., Óðèíîâ À.Ê. Êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé
ñìåøàííîãî òèïà ñî ñïåêòðàëüíûì ïàðàìåòðîì. -Òàøêåíò: Ôàí,
1997. -168 ñ.
105
15. Ñàëàõèòäèíîâ Ì.Ñ., Óðèíîâ À.Ê. Ê ñïåêòðàëüíîé òåîðèè óðàâíåíèé ñìåøàííîãî òèïà. - Òàøêåíò: Mumtoz So'z, 2010. -355 ñ.
16. Ñàëàõèòäèíîâ Ì.Ñ., Õàñàíîâ À. Çàäà÷è Òðèêîìè äëÿ óðàâíåíèÿ
ñìåøàííîãî òèïà ñ íåãëàäêîé ëèíèåé âûðîæäåíèÿ// Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. -Ìèíñê, 1983, Ò. XIX, 1. -Ñ. 110-119.
17. Ñàëàõèòäèíîâ Ì.Ñ.,Õàñàíîâ À. Ïðèíöèï ýêñòðåìóìà äëÿ îáîáùåííîãî îïåðàòîðà èíòåãðî-äèôôåðåöèðîâàíèÿ äðîáíîãî ïîðÿäêà
// Äîêëàäû ÀÍ ÓçÑÑÐ. - Òàøêåíò, 1988, 11. -Ñ.3-4.
18. Ñìèðíîâ Ì.Ì. Óðàâíåíèÿ ñìåøàííîãî òèïà. -Ì.: Âûñøàÿ øêîëà,
1985. -304 ñ.
19. Óðèíîâ À.Ê., Ðàôèêîâ À.Í. Ïðèíöèï ýêñòðåìóìà äëÿ îäíîãî
èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà äðîáíîãî ïîðÿäêà // Âåñòíèê Áàòêåíòñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. - Áàòêåíò, 2009,
5. -Ñ. 184-187.
20. Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ò. II. -Ì.:
Ôèçìàòãèç, 1960. - 440 ñ.
21. Appell P., Kampe de Feriet J. Functions Hypergeometrigues et
Hyperspheriques, Polunomes d'Hermite. -Paris, Gauthier-Villars.,1926,
440p.
22. Salakhitdiniov M.S., Urinov A.K. and Khaydarov I.U. An Extremum
Principle for a Class of Hyperbolic type equations and for Operators
Connected with Them // Modern Aspects of the Theory of Partial
Dierential Equations, Springer Basel AG, Vol. 216, - Ðð 211-231.
106
ÌÓÍÄÀÐÈÆÀ
Ѳç áîøè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
ÁÈÐÈÍ×È Á’ËÈÌ
ÌÀÕÑÓÑ ÔÓÍÊÖÈßËÀÐ
Ÿ 1.
Ÿ 2.
Ÿ 3.
Ÿ 4.
Ÿ 5.
Õîñìàñ èíòåãðàëëàð. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. ×åãàðàëàíìàãàí ôóíêöèÿíèíã èíòåãðàëè . . . . . . . . . . . . . . .
2. ×åãàðàëàðè ÷åêñèç á²ëãàí õîñìàñ èíòåãðàë . . . . . . . . . . . . .
Ýéëåð èíòåãðàëëàðè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Áèðèí÷è òóð Ýéëåð èíòåãðàëè (áåòà-ôóíêöèÿ) . . . . . . . . .
2. Èêêèí÷è òóð Ýéëåð èíòåãðàëè (ãàììà-ôóíêöèÿ) . . . . . . .
3. Áåòà- âà ãàììà ôóíêöèÿëàð îðàñèäàãè áî¡ëàíèø . . . . . . .
4. Πñè ôóíêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Áåññåë ôóíêöèÿëàðè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Áèðèí÷è òóðäàãè Áåññåë ôóíêöèÿëàðè . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Èêêèí÷è òóðäàãè Áåññåë ôóíêöèÿëàðè. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Áåññåë ôóíêöèÿëàðè ó÷óí äèôôåðåíöèàëëàø âà ©²øèø
ôîðìóëàëàðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Áåññåë ôóíêöèÿëàðèíèíã àéðèì õóñóñèé µîëëàðè . . . . . . .
5. Áåññåë ôóíêöèÿëàðèíèíã îðòîãîíàëëèãè âà óëàðíèíã èëäèçëàðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Ôóíêöèÿíè Ôóðüå-Áåññåë âà Äèíè ©àòîðèãà ¼éèø . . . . . .
7. Ìàâµóì àðãóìåíòëè Áåññåë ôóíêöèÿëàðè . . . . . . . . . . . . . . .
8. Áåññåë ôóíêöèÿëàðè ó÷óí èíòåãðàë ôîðìóëàëàð . . . . . . .
9. Áåññåë - Êëèôôîðä ôóíêöèÿëàðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Àñîñèé òàúðèôëàð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Àñîñèé òàúðèôëàðäàí êåëèá ÷è©óâ÷è ôîðìóëàëàð. . . . . .
3. Ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿíèíã èíòåãðàë ê²ðèíèøè . . . . .
4. Ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿíè àíàëèòèê äàâîì ýòòèðèøãà
îèä âà áîø©à áàúçè ôîðìóëàëàð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Óìóìëàøãàí ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿëàð âà ©àòîðëàð .
Èêêè àðãóìåíòëè ãèïåðãåîìåòðèê ôóíêöèÿëàð. . . . .
1. Òàúðèôëàðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Äèôôåðåíöèàë òåíãëàìàëàðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. F (a, b, c; x) âà Jν (x) ôóíêöèÿëàð á²éè÷à ¼éèëìàëàðè . . .
4. Èíòåãðàë ê²ðèíèøëàðè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Ïàðàìåòðëàðíèíã õóñóñèé ©èéìàòëàðèäàãè ê²ðèíèøè . .
6. ’çãàðóâ÷èëàðíèíã õóñóñèé ©èéìàòëàðèäàãè ê²ðèíèøè .
5
5
6
8
8
11
13
15
17
17
20
23
25
27
32
33
36
38
38
38
42
45
46
51
51
51
53
53
54
55
56
107
7. Äèôôåðåíöèàëëàø ôîðìóëàëàðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. ‰²øíè ôóíêöèÿëàð îðàñèäàãè ìóíîñàáàòëàð . . . . . . .
9. Àíàëèòèê äàâîì ýòòèðèø ôîðìóëàëàðè . . . . . . . . . . . . .
56
57
57
ÈÊÊÈÍ×È Á’ËÈÌ
ÌÀÕÑÓÑ ÎÏÅÐÀÒÎÐËÀÐ
Ÿ 1.
Ÿ 2.
Ÿ 3.
Ÿ 4.
Ÿ 5.
Ñèíãóëÿð èíòåãðàëëàð. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. üëüäåð øàðòè. H α (∆) ñèíô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Ñèíãóëÿð èíòåãðàëëàð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Êàñð òàðòèáëè èíòåãðàëëàð âà µîñèëàëàð. . . . . . . .
1. Àáåë èíòåãðàë òåíãëàìàñè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Êàñð òàðòèáëè èíòåãðàëëàð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Êàñð òàðòèáëè µîñèëàëàð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Êàñð òàðòèáëè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàë îïåðàòîðëàð âà óíèíã áàúçè õîññàëàðè . . . . . . . . . . . . . . . . .
s,λ
s,λ
As,λ
kx , Bkx âà Ckx îïåðàòîðëàð âà óëàðíèíã õîññàëàðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fkx îïåðàòîð âà óíèíã õîññàëàðè. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ôîéäàëàíèëãàí àäàáè¼òëàð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
60
64
64
65
67
69
79
97
104
108
.