ФИЗИКА В ЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ
Новосибирск 2020
Содержание
Кинематика..................................................................................................................................... 3
Задачи на кинематику ................................................................................................................. 14
Динамика ...................................................................................................................................... 17
Задачи на динамику ..................................................................................................................... 22
Законы сохранения энергии и импульса ................................................................................... 25
Задачи на законы сохранения энергии и импульса .................................................................. 33
Примеры задач контрольных работ по физике прошлых лет ................................................. 36
Алгоритм решения задачи по физике ........................................................................................ 39
2
Кинематика
Физика – это наука о природе. Механика – это раздел физики, в котором изучается
движение тел в пространстве и во времени. Кинематика – это раздел механики, в котором
изучается движение тел и не рассматриваются причины, вызвавшие это движение. Для
описания тел применяются понятия материальной точки и абсолютно твёрдого тела.
Материальная точка – это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной
задачи (например, Землю можно считать материальной точкой при изучении её движения
вокруг Солнца, так как размеры Земли значительно меньше расстояния от неё до Солнца).
Далее материальную точку для краткости будем называть частицей. Абсолютно твёрдое
тело – это тело, форма и размеры которого не изменяются при взаимодействии с другими
телами. В природе абсолютно твёрдых тел не существует, однако это абстрактное понятие
полезно при рассмотрении ряда задач механики.
Движение тел рассматривается в системе отсчёта. Система отсчёта – это тело
отсчёта, относительно которого рассматривается движение выбранного тела, и часы, по
которым отсчитывается время. С телом отсчёта связана система координат. Часто
применяется прямоугольная (декартова) система координат XYZ, изображённая на
рисунке 1. Декартовой такая система названа в честь учёного Рене Декарта.
Рисунок 1. Прямоугольная (декартова) система координат.
Положение частицы в пространстве в определённый момент времени однозначно
определяется в выбранной системе отсчёта заданием её координат. В трёхмерном случае
декартовой системы положение частицы задаётся тремя координатами x, y, z. Положение
частицы удобно задавать с помощью её радиус-вектора r, проведённого из начала
координат к частице. При этом проекции rx, ry, rz радиус-вектора на оси X, Y, Z совпадают
с координатами x, y, z частицы: r = xi + yj + zk, где i, j, k – единичные векторы,
направленные вдоль координатных осей.
3
Многие физические величины можно разделить на два типа – скалярные и
векторные. Скалярная величина (скаляр) – это величина, для задания которой (в
правильных единицах измерения) достаточно одного числа. Например, путь, высота,
площадь, масса, коэффициент трения – скаляры. Векторная величина (вектор) – это
величина, для задания которой (также в правильных единицах измерения) нужно задать
число и направление (рисунок 2). Например, перемещение, скорость, ускорение, сила,
импульс – векторы. Вектор – это направленный отрезок – стрелка. Число, которым
задаётся вектор, характеризует длину стрелки – это число называется модулем вектора.
Заметим, что модуль вектора – это скаляр. Векторы в теоретической части данного
пособия обозначаются жирным курсивом.
Рисунок 2. Вектор a.
Для сложения двух скаляров достаточно сложить числа, характеризующие эти
скаляры (при этом важно, чтобы размерность складываемых скаляров была одинаковой).
Сложение двух векторов осуществляется немного сложнее. А именно, для сложения
векторов применятся правило треугольника. Если нужно сложить вектор a с вектором b,
то необходимо поместить начало вектора b в конец вектора a: вектор a+b при этом
соединит начало вектора a с концом вектора b. Применение правила треугольника для
сложения векторов показано на рисунке 3.
Рисунок 3. Сложение векторов.
Вектор (-a) – это вектор, направленный в противоположную сторону по отношению к
вектору a. Соответственно, для того чтобы вычислить разность двух векторов a-b
достаточно прибавить к вектору a вектор (-b). С другой стороны, если прибавить к
вектору a вектор (-(a-b)), то мы получим вектор b. Таким образом, процедуру вычитания
векторов можно представить так, как показано на рисунке 3. Векторы можно умножать на
скаляры – при этом будет меняться длина вектора, но не его направление.
4
Рисунок 3. Вычитание векторов.
Если поместить начало некоторого вектора b в начало выбранной системы
координат XY, то конец вектора будет иметь некоторые координаты, которые могут быть
выражены через модуль вектора b и угол α между вектором b и осью X (рисунок 4).
Проведём перпендикуляры из конца вектора b на оси X и Y. В этом случае проекция
вектора b на ось X будет равна bx = b cos(α), а его проекция на ось Y будет при этом равна
by = b sin(α), где b = |b| – модуль вектора b.
Рисунок 4. Вектор b и его проекции на координатные оси.
Та или иная физическая величина может либо изменяться с течением времени,
либо оставаться неизменной. Любые два разных момента времени можно упорядочить,
назвав более ранний момент времени – начальным, а более поздний – конечным.
Изменением (приращением) величины x называется величина Δx = x2 – x1, где x1 – это
начальное значение x, x2 – конечное значение x. Приращение можно вычислять для
скалярных, векторных и любых других величин. Во многих случаях нас будет
интересовать то, как изменилась величина за бесконечно малое время. Рассмотрение
изменения некоторой величины за бесконечно малое время удобно тем, что в этом случае
любая непрерывная величина меняется либо линейно, либо не меняется. Линейное
изменение величины x с течением времени t означает, что x = αt где α = const. Константа
(const) – это величина, которая (с течением времени) не меняется.
5
Вернёмся к кинематике. При движении частицы её координаты и радиус-вектор
меняются со временем, а сама частица описывает в пространстве некоторую линию,
которая называется её траекторией. Законом движения или уравнением траектории
частицы в векторной форме называется зависимость радиус-вектора частицы от времени:
r = r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
которой эквивалентны три уравнения:
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Для получения уравнения траектории частицы в явном виде необходимо получить
зависимость координат друг от друга, то есть, исключить из системы уравнений время. По
форме траектории бывают прямолинейными и криволинейными. Траектория всегда
непрерывна, что соответствует невозможности мгновенного перемещения частицы между
двумя точками, расположенными друг от друга на конечном расстоянии.
Скалярная величина, равная расстоянию вдоль траектории, пройденному частицей
за данный промежуток времени, называется отрезком пути частицы или её путём. Путь
не может принимать отрицательные значения. С течением времени путь не может убывать.
Путь либо возрастает (в случае движения), либо не меняется (в случае покоя).
Пусть за время Δt частица переместилась из точки A в точку A’, пройдя вдоль
траектории отрезок пути ΔS (рисунок 5). Вектор Δr, проведённый из начальной точки A в
конечную точку A’, называется вектором перемещения частицы за время Δt:
Δr = r(t + Δt) - r(t)
Рисунок 5. Расстояние вдоль траектории частицы (синяя линия) – это путь, пройденный
телом за рассматриваемое время; красный вектор – перемещение тела.
6
Вектор средней скорости за время Δt – это отношение вектора перемещения
частицы ко времени, за которое это перемещение совершено:
⟨𝒗⟩ =
𝛥𝒓
𝛥𝑡
Средней путевой скоростью (средней скоростью) за время Δt называется
отношение отрезка пути ΔS к Δt:
𝑣𝑐𝑝 =
∆𝑆
∆𝑡
Средняя путевая скорость является скалярной величиной.
Вектор мгновенной скорости (вектор скорости) частицы 𝒗(𝑡) в данный момент
времени t определяется как предел, к которому стремится вектор средней скорости ⟨𝒗⟩ за
время от t до Δt при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt.
Движения разнообразны. Рассмотрим вначале равномерное прямолинейное
движение. Если частица движется прямолинейно с некоторой постоянной скоростью 𝑣, то,
задав ось X, совпадающую с направлением движения тела, и задав 𝑥0 – координату
частицы в начальный момент времени 𝑡 = 0, получим, что с течением времени координата
тела 𝑥 меняется в соответствии с уравнением:
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣𝑡
График зависимости пути, пройденного частицей от начального момента 𝑡 = 0 до
некоторого момента 𝑡 = 𝑇, представлен на рисунке 6. График зависимости скорости от
времени представлен на рисунке 7. Площадь под графиком зависимости скорости от
времени равна пути, пройденному частицей и, в данном случае, путь 𝑆 = 𝑣𝑇.
Рисунок 6. Зависимость пути от времени при движении с постоянной скоростью.
7
Рисунок 7. Зависимость скорости от времени при движении с постоянной скоростью.
Далее рассмотрим равноускоренное движение. Если 𝑥0 – начальная координата
частицы, 𝑣0 – начальная скорость частицы, 𝑎 – ускорение частицы, то координата частицы
меняется в соответствии с уравнением:
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 +
𝑎𝑡 2
2
При этом зависимость скорости от времени выглядит следующим образом:
𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑎𝑡
Ускорение частицы – это отношение изменения мгновенной скорости частицы ∆𝒗
ко времени ∆𝑡, за которое это изменение произошло (∆𝑡, как обычно, предполагается
бесконечно малым):
𝒂=
∆𝒗
∆𝑡
График зависимости пути, пройденного частицей от начального момента 𝑡 = 0 до
некоторого момента 𝑡 = 𝑇, представлен на рисунке 8. График зависимости скорости от
времени представлен на рисунке 9. Площадь под графиком зависимости скорости от
времени так же, как и в предыдущем случае, равна пути, пройденному частицей. Если
посчитать площадь фигуры под графиком скорости от времени (площадь трапеции), то
получим путь:
𝑆=
𝑣0 + (𝑣0 + 𝑎𝑇)
𝑎𝑇 2
𝑇 = 𝑣0 𝑇 +
2
2
8
Рисунок 8. Зависимость пути от времени при движении с ускорением.
Рисунок 9. Зависимость скорости от времени при движении с ускорением.
9
Продолжая рассмотрение равноускоренного движения, обозначим скорость
частицы в момент 𝑡 = 𝑇 буквой 𝑣1 . Тогда:
𝑣(𝑇) = 𝑣1 = 𝑣0 + 𝑎𝑇
Выразим отсюда время 𝑇:
𝑇=
𝑣1 − 𝑣0
𝑎
Подставим 𝑇 в формулу для пути частицы:
𝑆 = 𝑣0 𝑇 +
𝑎𝑇 2
2
Получим выражение для пути через начальную, конечную скорость и ускорение:
𝑣12 − 𝑣02
𝑆=
2𝑎
Полученная формула исключительно полезна при решении огромного множества
кинематических задач. Особенностью формулы является то, что она не содержит явно
время движения и позволяет при этом рассчитать путь. Заметим также, что аналогичная
формула справедлива и для случая равнозамедленного движения.
Часто оказывается, что тело совершает одновременно несколько типов движения.
Например, брошенный камень движется в горизонтальном направлении (с постоянной
скоростью) и равноускоренно в вертикальном. В этом случае удобно воспользоваться
принципом независимости движения: если тело участвует одновременно в нескольких
движениях, то каждое из них совершается независимо от остальных. Например, движение
камня вдоль горизонтали не зависит от его движения вдоль вертикали.
При решении задач часто сложное и запутанное движение становится простым,
если перейти в подходящую систему отсчёта. При этом выполняется правило
преобразования скоростей при переходе из одной системы отсчёта в другую, называемое
преобразованием Галилея: если в системе отсчёта K скорость тела равна v, то в системе
отсчёта K', движущейся относительно K со скоростью u, его скорость выражается
соотношением v' = v - u. Подчеркнём, что v', v и u являются векторами.
Представим движущийся поезд. В поезде находится человек. Он начинает идти в
сторону движения поезда. Если мы прибавим к скорости поезда относительно земли
скорость человека относительно поезда, то получим скорость человека относительно
земли. Таким образом, зная скорость поезда и скорость человека относительно поезда, мы
нашли скорость человека относительно земли – выполнили преобразование Галилея из
системы отсчёта поезда в систему отсчёта земли. Подобные простые иллюстрации
полезно представлять при решении задач на тему преобразований Галилея.
В декартовой системе координат оси направлены перпендикулярно друг другу,
поэтому движение тела можно рассматривать независимо по этим осям. Под
независимостью понимается то, что при движении тела только вдоль оси X, координата Y
10
этого тела не меняется. И, аналогично, при движении тела только вдоль оси Y, координата
X этого тела не меняется. Ключевым для независимости движения вдоль осей X и Y
является их перпендикулярность, что можно понять из рисунка 10.
Рисунок 10. Перемещая шар вдоль оси X, его Y-координата не меняется. Перемещая шар
вдоль оси Y, его X-координата не меняется. Координаты X и Y перпендикулярны и
движения вдоль этих координат независимы.
Рассмотрим движение небольшого тела, брошенного под углом к горизонту вблизи
поверхности Земли (рисунок 11). Сопротивление воздуха учитывать не будем. Движение
тела будет происходить с постоянным ускорением g = 9,8 м/с2. Для описания движения
введём систему координат, центр которой будет находиться в месте начального
расположения тела, ось Y будет направлена вверх, а ось X перпендикулярна оси Y. Таким
образом, мы можем рассматривать движения по осям X и Y независимо.
Рисунок 11. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
11
Если 𝑣0 – начальная скорость тела, 𝛼 – угол между осью X и направлением
начальной скорости, то проекции начальной скорости на оси координат X и Y будут
равны, соответственно, 𝑣0 cos(𝛼) и 𝑣0 sin(𝛼).
Запишем последовательно, как меняются параметры движения (ускорение,
скорость, координата в проекциях на оси) с течением времени:
𝑎 =0
{𝑎 𝑥= −𝑔
𝑦
{
𝑣𝑥 = 𝑣0 cos(𝛼)
𝑣𝑦 = 𝑣0 sin(𝛼) − 𝑔𝑡
𝑥 = 𝑣0 cos(𝛼) 𝑡
{
𝑔𝑡 2
𝑦 = 𝑣0 sin(𝛼)𝑡 −
2
Написанные уравнения описывают движение тела от момента начала полёта (t = 0)
и дальше. То, что полёт тела прекращается на земле, описывается не уравнениями, а
граничными условиями. Граничные условия могут быть разнообразными: например, на
пути тела можно поставить стену или в земле вырыть яму. Уравнения от этого
не поменяются – они в любом случае будут описывать движение, пока тело не встретится
с препятствием. Напомним, что рассматривается движение вблизи поверхности Земли и
поэтому траекторией движения является парабола. То, что траекторией является парабола,
явно следует из системы уравнений для координат – исключая время из этой системы,
получаем уравнение траектории:
𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑡𝑔(𝛼) −
𝑔
𝑥
2𝑣02 𝑐𝑜𝑠 2 (𝛼)
2
Полученное уравнение описывает параболу с ветвями, направленными вниз.
Если мы считаем, что тело падает на землю и останавливается, то мы можем
посчитать такие характеристики движения, как время, дальность и максимальную высоту
полёта. Существует много способов нахождения указанных характеристик. Приведём
конкретный пример одного такого способа. Заметим, что в верхней точке траектории (на
максимальной высоте) вертикальная компонента скорости (то есть проекция скорости на
ось Y) равна нулю. Отсюда находим время подъёма тела до максимальной высоты:
𝑡подъёма =
𝑣0 sin(𝛼)
𝑔
Если теперь 𝑡подъёма подставить в уравнение для y-координаты, то мы получим
максимальную высоту подъёма тела над его начальным уровнем:
𝐻 = 𝑦(𝑡подъёма ) =
12
𝑣02 si𝑛2 (𝛼)
2𝑔
Для нахождения дальности полёта найдём вначале полное время полёта. Для
нахождения полного времени полёта заметим, что в начале и в конце полёта y -координата
тела равна нулю:
0 = 𝑣0 sin(𝛼)𝑡0 −
𝑔𝑡02
2
Написанное уравнение имеет два решения, одно из которых нулевое (соответствует
начальной точке полёта), а второе равно полному времени полёта:
𝑡полёта =
2𝑣0 sin(𝛼)
𝑔
Сравнивая 𝑡подъёма и 𝑡полёта делам вывод, что:
𝑡полёта = 2𝑡подъёма
Таким образом, полное время полёта равно удвоенному времени подъёма.
Следовательно, время подъёма равно времени спуска. Заметим, что данный факт следует
также из симметрии параболической траектории. Но мы его показали явно.
Подставив величину 𝑡полёта в выражение для x-координаты, находим дальность
полёта:
𝐿 = 𝑥(𝑡полёта ) = 𝑣0 cos(𝛼) 𝑡полёта =
2𝑣02 sin(𝛼) cos(𝛼) 𝑣02 sin(2𝛼)
=
𝑔
𝑔
где в последнем выражении применено тригонометрическое тождество:
sin(2𝛼) = 2 sin(𝛼) cos(𝛼)
Из формулы для дальности полёта следует, что максимальная дальность полёта
осуществляется при угле броска 𝛼 = 45° . Данное условие справедливо только в
конкретном случае, когда точки старта и финиша тела находятся на одном уровне.
13
Задачи на кинематику
1.1. Велосипедист и пешеход одновременно отправились из Академгородка
в Бердск. Доехав до Бердска, велосипедист развернулся и поехал в обратном
направлении, пока не встретил пешехода. После этого он снова развернулся
и опять поехал в Бердск. Так велосипедист "челночил", пока пешеход не
пришёл в Бердск. Сколько километров проехал велосипедист, если его
скорость 20 км/час, скорость пешехода 5 км/час, а расстояние между
Академгородком и Бердском 10 км?
1.2. Спортсмены бегут колонной длиной L со скоростью v. Навстречу бежит
тренер со скоростью u < v. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером,
разворачивается и начинает бежать назад с той же по модулю скоростью.
Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернутся?
1.3. Учащийся ЛШ Иван с некоторого расстояния наблюдает за колоколом,
язык которого совершает один удар в секунду. При этом школьник
одновременно видит и слышит удар. На каком минимальном ненулевом
расстоянии от колокола находится школьник? Скорость звука принять равной
300 м/с. Для скорости света рассмотреть два случая: бесконечная и 3∙108 м/с.
1.4. Два тела движутся навстречу друг другу и расстояние между ними
уменьшается на S1 за каждый интервал времени t1. Если эти тела с такими же
скоростями движутся в одну сторону, то расстояние между ними
увеличивается на S2 за каждый интервал времени t2. Найти скорость каждого
тела.
1.5. Двое велосипедистов стартовали одновременно из одной точки и поехали
в одном направлении. Первый проехал 2 км, а затем ещё 4 км прошёл пешком.
Второй велосипедист всё это расстояние проехал. Конечной точки они достигли
вместе. Скорость езды первого велосипедиста в 4 раза больше скорости его
ходьбы. Во сколько раз скорость езды первого велосипедиста больше скорости
езды второго?
1.6. Красная Шапочка выдвинулась к бабушке со скоростью v1 и планировала
успеть до заката. В некоторый момент времени пошёл дождь, и Красной
Шапочке пришлось снизить скорость до v2. Когда до дома бабушки
оставалось расстояние S, дождь прекратился, Красная Шапочка увеличила
14
скорость до v3 и успела добраться до бабушки как раз в запланированное
время. Какое время шёл дождь?
1.7. Система состоит из двух блоков – подвижного и
неподвижного. Нерастяжимая нить перекинута через блоки,
как показано на рисунке. К подвижному блоку прикреплён груз.
Скорость конца нити в некоторый момент равна u. Определить
скорость груза v.
1.8. Система, состоящая из трёх тел: блока и
нерастяжимых нитей, равномерно движется по
прямой. Скорости 1-го и 2-го тела равны v1 и v2
соответственно. Найти скорость 3-го тела.
1.9. Муха Бяка начинает двигаться из точки A
с начальной скоростью v0 и через некоторое время
оказывается в точке B, находящейся на расстоянии L.
Какой путь проползла Бяка, если она двигалась с
ускорением, численно равным a?
1.10. Гном на вагонетке заезжает, двигаясь по инерции, на длинную горку с
уклоном 30 градусов к горизонтали с начальной скоростью 10 м/с. Какой путь
проедет вагонетка к моменту, когда гном увидит на спидометре скорость 6 м/с?
Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с2.
1.11. Муха Бяка начинает движение из точки A без начальной скорости и
движется сначала равноускоренно в течение времени t0, а затем с тем же по
модулю ускорением – равнозамедленно. Через какое время от начала
движения муха вернётся в точку A? Нарисовать графики зависимости
ускорения, скорости и координаты мухи от времени.
1.12. Первый вагон поезда проехал мимо мухи Бяки, сидящей на платформе,
за время t1, а второй – за время t2. Длина вагона L. Найти ускорение поезда и
его скорость в начале наблюдения.
1.13. Поезду, двигавшемуся со скоростью v, понадобилось расстояние S,
чтобы полностью остановиться. На каком расстоянии от места остановки
находился поезд в тот момент, когда его скорость была v/3? Считать
движение поезда равноускоренным.
15
1.14. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности Земли
вертикально вверх с ускорением a. Через время t0 от начала движения из
корзины выпадает яблоко. Через какое время яблоко упадёт на Землю после
того, как оно выпало из корзины? Ускорение свободного падения g.
1.15. От движущегося поезда отцепляют последний вагон. Поезд продолжает
двигаться с прежней скоростью, а вагон начинает двигаться
равнозамедленно. Найти отношение путей, пройденных поездом и вагоном
от момента отцепления до момента остановки вагона.
1.16. Начальная скорость брошенного камня v0 = 10 м/с, а спустя t0 = 0,5 с при
движении вверх его скорость v1 = 7 м/с. На какую максимальную высоту над
начальным уровнем поднимется камень? Ускорение свободного падения
g = 10 м/с2.
1.17. ЛШата Петя и Вася играют в мяч, бросая его друг другу. Какой
наибольшей высоты достигает мяч во время игры, если он летит от одного
ЛШонка к другому 2 с? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
1.18. Под углом α = 600 к горизонту брошено тело с начальной скоростью
v0 = 20 м/с. Через какое время t от начала броска оно будет двигаться под
углом β = 450 к горизонту? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
1.19. С дерева с высоты H начинает свободно падать ботинок. Под каким
углом к горизонту ЛШонку, находящемуся на расстоянии L от дерева, нужно
одновременно с этим бросить тыкву с начальной скоростью v0 так, чтобы
попасть в ботинок?
1.20. У основания длинного склона, составляющего угол β с горизонтом,
находится пушка. Снаряд из пушки вылетает со скоростью v0 под углом α к
поверхности склона. Определите дальность полёта снаряда вдоль склона и
максимальную высоту подъёма снаряда над склоном. Ускорение свободного
падения g.
16
Динамика
Динамика – это раздел механики, изучающий движение тела под действием других
тел. Из опыта известно, что все тела взаимодействуют друг с другом. Меру
взаимодействия тел, в результате которого тела деформируются или приобретают
ускорение, называют силой. Сила является векторной величиной: она характеризуется
числовым значением, направлением действия и точкой приложения.
Движение любого тела всегда рассматривается относительно какой-либо
выбранной системы отсчёта. В разных системах отсчёта движение тел будет выглядеть
по-разному. Естественно выбирать такую систему отсчёта, в которой движение тела
выглядело бы наиболее просто.
Свободное (свободно движущееся) тело – это тело, находящееся настолько далеко
от всех остальных тел, что воздействием последних на него можно пренебречь. Если
теперь с таким телом связать систему отсчёта, то в такой системе движение других
свободных тел является прямолинейным и равномерным или, другими словами,
происходит с постоянной по величине и направлению скоростью. Это утверждение
составляет содержание закона инерции, открытого Галилеем. Система отсчёта, связанная
со свободным телом, называется инерциальной системой отсчёта.
Закон инерции называют также первым законом Ньютона. Существует
бесконечное множество инерциальных систем отсчёта, потому что любая система отсчёта,
движущаяся относительно выбранной инерциальной системы равномерно и
прямолинейно, также будет инерциальной. Законы физики одинаковы во всех
инерциальных системах отсчёта – это утверждение называется принципом
относительности.
Следует понимать, что фактически применяемые в физических экспериментах
системы отсчёта являются инерциальными лишь с определённой точность. Часто в
качестве инерциальной выбирают систему отсчёта, связанную с Землёй. Строго говоря,
эта система отсчёта не является инерциальной хотя бы из-за вращения Земли вокруг своей
оси и вокруг Солнца. Однако в силу сравнительно медленного изменения направления
скоростей при таких движениях мы совершаем пренебрежимо малую ошибку,
несущественную для большинства физических экспериментов, принимаю, что система
отсчёта Земли является инерциальной.
Изучение законов движения логично начать с движения наиболее простого тела, а
именно, массивной частицы, так как при этом не рассматривается вращение тела, а также
перемещение различных частей тела друг относительно друга.
Из первого закона Ньютона следует, что при свободном движении частицы, когда
она не взаимодействует с другими телами, скорость её в инерциальной системе отсчёта
остаётся неизменной. Если же частица взаимодействует с другими телами, то её скорость
изменяется и она приобретает ускорение 𝒂:
𝒂=
17
𝑭
𝑚
где 𝑚 – масса частицы, 𝑭 – суммарная сила, действующая на частицу. Это
уравнение является математической формулировкой второго закона Ньютона. Сила
является векторной величиной, поэтому при сложении сил нужно складывать
соответствующие вектора. Зная равнодействующую сил (суммарную силу) и массу
частицы, автоматически определяется ускорение тела.
Зная начальное положение и скорость частицы, а также действующую на неё силу,
можно рассчитать траекторию частицы в последующие моменты времени. В классической
механике знание начальных условий и закона движения полностью и однозначно
определяет то, где будет находиться частица в любой последующий промежуток времени,
какими у неё будут скорость и ускорение.
Все силы в природе являются силами взаимодействия. Если какое-либо тело 1
действует на тело 2 с силой F12, то тело 2 обязательно действует на тело 1 с некоторой
силой F21, причём
𝑭𝟏𝟐 = −𝑭𝟐𝟏
Другими словами, сила, с которой второе тело действует на первое, равна по
абсолютной величине и противоположна по направлению силе, с которой первое тело
действует на второе. Это утверждение называется третьим законом Ньютона.
Терминологически все силы в природе можно разделить на фундаментальные и
нефундаментальные. Но последние, в конечном, итоге, всегда сводятся к действию
фундаментальных сил. К фундаментальным силам относятся те силы, которые
соответствуют следующим взаимодействиям: гравитационному, электромагнитному,
сильному и слабому. К нефундаментальным силам относятся, например, сила упругости,
сила реакции опоры, сила натяжения нити, сила трения, сила Архимеда, сила
поверхностного натяжения.
Любые два массивных тела взаимодействуют гравитационно и, в общем случае,
притягиваются друг к другу. Рассмотрим две массивные частицы с массами 𝑚1 и 𝑚2 ,
расположенные на расстоянии 𝑅 друг от друга (рисунок 12).
Рисунок 12. Сила притяжения между двумя частицами.
18
Абсолютная величина силы, с которой первая частица притягивает вторую, равна:
𝐹=𝐺
𝑚1 𝑚2
𝑅2
где 𝐺 – гравитационная постоянная, равная приближённо:
𝐺 = 6,67 × 10−11
Н ∙ м2
кг2
По третьему закону Ньютона вторая частица притягивает первую ровно с той же
силой, что и первая притягивает вторую.
Земля притягивает человека с той же силой, что и человек притягивает Землю.
Запишем эту силу для случая, когда человек находится на поверхности Земли:
𝐹=𝐺
𝑀𝑚
𝑅З2
здесь 𝑅З – радиус Земли. Сила, действующая на человека, направлена к центру масс
Земли, который, в силу её формы и плотности, может считаться находящимся в
геометрическом центре планеты. Заметим, что написанную формулу можно переписать в
виде:
𝐹 = 𝑚𝑔
где введено обозначение:
𝑔=𝐺
𝑀
𝑅З2
Величина 𝑔 является ускорением свободного падения вблизи поверхности Земли.
Она зависит от гравитационной постоянной, массы Земли и её радиуса. С удалением от
поверхности Земли ускорение свободного падения уменьшается. Любое тело, брошенное
на Земле в случае отсутствия сопротивления воздуха, будет падать с одинаковым
ускорением, равным 𝑔. То, что пушинка и металлический шарик, если их отпустить, будут
набирать скорость неодинаково – связано с сопротивлением воздуха. Если бросать их в
колбе без воздуха, они будут падать одинаково. На Луне такой опыт может быть
поставлен и без колбы, так как там нет атмосферы. На Луне ускорение свободного
падения в шесть раз меньше, чем на Земле.
Итак, мы ввели силу тяжести F = mg, m – масса тела, g – ускорение свободного
падения.
В задачах нам также будут встречаться следующие силы.
Сила реакции опоры N – возникает из-за взаимодействия соприкасающихся тел,
действует перпендикулярно поверхности соприкосновения. Часто рассматривается сила
реакции опоры, действующая на тело со стороны плоскости, на которой находится тело.
Плоскость при этом может быть горизонтальной или наклонной.
19
Сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес, называется весом тела.
Если тело не давит на опору и не растягивает подвес, то оно находится в невесомости.
Сила натяжения нити Т. Часто рассматривается невесомая и нерастяжимая нить.
Нерастяжимость нити приводит к тому, что два тела, прикреплённые к её концам, будут
двигаться с одинаковой скоростью в случае, когда нить натянута. Невесомость нити
приводит к тому, что на каждое из двух тела, прикреплённых к её концам, будет
действовать одинаковая сила натяжения; при этом для сохранения натяжения вдоль длины
нити важно, чтобы вдоль нити по всей её длине не действовали никакие внешние
продольные силы.
Сила трения: скольжения F = µN, где µ – коэффициент трения, N – сила реакция
опоры. Сила трения направлена вдоль поверхности соприкасающихся тел. Часто
рассматривается случай движения тела по шероховатой поверхности. Сила трения
скольжения направлена против вектора скорости. В случае покоя говорится о силе трения
покоя. Сила трения покоя направлена против той компоненты силы, которая стремится
сдвинуть тело из состояния покоя, и направлена вдоль поверхности соприкосновения.
Рассмотрим движение бруска по шероховатой наклонной плоскости, составляющей
угол α с горизонтом. На брусок действует сила тяжести mg, сила реакции опоры N, сила
трения Fтр. Коэффициент трения бруска о плоскость равен μ.
Рисунок 13. Движение бруска по шероховатой наклонной плоскости.
Предположим, что брусок движется равноускоренно и обозначим его ускорение
буквой a. Введём координатные оси так, как показано на рисунке 13: ось X направим
вдоль наклонной плоскости вниз, ось Y – перпендикулярно оси X вверх. Найдём проекции
20
сил на оси координат. Наибольшую сложность представляет нахождение проекций силы
тяжести: на рисунке 14 показано, как именно поиск этой проекция осуществляется.
Запишем второй закон Ньютона для бруска в проекциях на координатные оси:
{
𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 ∙ sin(𝛼) − 𝐹тр
0 = 𝑁 − 𝑚𝑔 ∙ cos(𝛼)
Если брусок действительно скользит, то Fтр = μN. Выражая N из второго равенства
и подставляя в первое, получим ускорение:
𝑎 = 𝑔(sin(𝛼) − 𝜇cos(𝛼))
Рисунок 14. Показано, как проецировать вектор силы тяжести на выбранные оси.
Зададимся вопросом: всегда ли брусок будет скользить? Ответ понятен: не всегда.
Он может просто лежать на наклонной плоскости и не двигаться. Найдём, при каких
условиях он не будет двигаться. Для этого приравняем ускорение нулю и получим, что
sin(𝛼)
при 𝜇 = cos(𝛼) = 𝑡𝑔(𝛼) его ускорение будет равно нулю. Ускорение. Но не скорость.
Может ли брусок двигаться с постоянной скоростью при 𝜇 = 𝑡𝑔(𝛼)? В нашей модели
может. Но если начальной скорости у него не было и он покоился, то он будет покоиться
и дальше. Что же будет, если 𝜇 > 𝑡𝑔(𝛼)? Если 𝜇 > 𝑡𝑔(𝛼), брусок будет покоиться, а
удерживать его на плоскости будет сила трения покоя, которая уже не равна μN. Сила
трения покоя в точности равна той компоненте силе тяжести, что направлена вдоль оси X.
Направлена сила трения покоя против оси X. Таким образом, в случае „большого”
коэффициента трения 𝜇 > 𝑡𝑔(𝛼) сила трения равна 𝐹тр = 𝑚𝑔 sin(𝛼).
21
Далее рассмотрим силу упругости пружины и запишем закон Гука:
𝐹упр = −𝑘𝑥
где 𝑘 – коэффициент жёсткости пружины, x – деформация пружины. Деформация – это
разность длин деформированной и недеформированной пружин:
𝑥 = 𝐿деформ − 𝐿недеформ
Если пружина растянута, она стремится сжаться. Если пружина сжата, она
стремится растянуться. Знак минус в формуле означает, что сила, действующая на то, что
растягивает пружину, направлена против вектора перемещения пружины из
недеформированного состояния в деформированное состояние. Пример действия силы
упругости показан на рисунке 15.
Рисунок 15. Верху – пружина в недеформированном состоянии. Внизу – пружина сжата и
действует с силой на прикреплённый к ней брусок.
При решении задачи на динамику необходимо сделать рисунок, на котором указать
силы, действующие на каждое тело в системе. Если тел несколько, можно для удобства
сделать дополнительные рисунки для каждого тела. Ввести систему координат, а ещё
лучше – удобную систему координат или системы. (Для всех тел в системе совершенно
необязательно использовать одну и ту же систему координат.) Указать на рисунке
направления ускорений. После этого можно приступить к записи второго закона Ньютона
в проекциях на выбранные оси. Не забыть, что ускорения некоторых тел иногда бывают
связаны друг с другом условиями задачи и здравым смыслом (ускорение человека в
автомобиле обычно не больше ускорения самого автомобиля, а ускорение косточки в
22
летящей вишенке равно ускорению вишенки), выразить эту связь в виде математических
соотношений. Решить получившуюся систему уравнений.
23
Задачи на динамику
2.1. Человек массой m стоит в лифте, движущимся с ускорением a,
направленным вверх. Ускорение свободного падения g. Найти силу реакции
опоры, действующую со стороны лифта на человека. Найти вес человека.
2.2. Два груза разной массы, связанные невесомой нерастяжимой нитью,
движутся по гладкой поверхности под действием силы, приложенной к
одному из них. Когда сила F = 100 Н была приложена к правому грузу,
натяжение нити было равно T = 30 Н. Каким будет натяжение нити, если
приложить эту силу к левому грузу?
2.3. Ракета имеет 4 одинаковых двигателя. Если работают сразу все, то ракета
движется вертикально вверх с ускорением 3g относительно Земли. С каким
ускорением будет подниматься ракета, если один из двигателей перестанет
работать? Ускорение свободного падения g.
2.4. Однородный стержень длиной L тянут с
силой F. Какая сила действует в поперечном
сечении стержня на расстоянии x от того конца,
за который его тянут?
2.5. Два одинаковых бруска массой M подвешены на невесомой и
нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок. На один из них
положен грузик массой m. Определить силу давления грузика на брусок M. И
силу, действующую на ось блока. Ускорение свободного падения g.
2.6. Верёвка выдерживает груз массой 30 кг при подъёме его с ускорением
по вертикали и груз массой 120 кг при опускании его с таким же ускорением.
Какова максимальная масса, которую можно поднять с помощью этой
верёвки?
2.7. Брусок массой m = 1 кг лежит на горизонтальной плоскости.
Коэффициент трения μ = 0,1. На брусок действует горизонтальная сила F.
Определить силу трения для двух случаев: F = 0,5 Н и F = 2 Н.
2.8. Брусок массой m = 2 кг лежит на горизонтальной поверхности.
Коэффициент трения при скольжении бруска равен μ = 0,2. Изобразить
графически зависимость силы трения от силы тяги, приложенной к бруску
вдоль плоскости скольжения. Явлением застоя пренебречь.
24
2.9. Брусок массой m находится на плоскости, угол наклона которой может
меняться от 0о до 90о. Построить график зависимости силы трения бруска о
плоскость от угла наклона плоскости к горизонту. Явлением застоя
пренебречь. Коэффициент трения бруска о плоскость равен μ. Ускорение
свободного падения g.
2.10. Система из двух шаров с массами m1 и m2,
скреплённых пружиной, висит на нити. Нить пережигают.
Найти ускорения шаров сразу после пережигания нити.
Ускорение свободного падения g.
2.11. К двум одинаковым пружинам, соединённым один раз
последовательно, а другой раз – параллельно,
подвешивают один и тот же груз массой m. Найти
удлинение пружин x в обоих случаях, если жёсткость
каждой пружины k. Будет ли одинаковым в обоих случаях расстояние L, на
которое опустится груз? Ускорение свободного падения g.
2.12. Если к пружине поочерёдно подвешивать грузы с массами m1 и m2, то
её длина оказывается равна соответственно L1 и L2. Определить жёсткость
пружины и её собственную длину.
2.13. На подставке лежит тело, подвешенное к потолку с помощью пружины.
В начальный момент пружина не растянута. Подставку начинают опускать
вниз с ускорением a. Через какое время t тело оторвётся от подставки?
Жёсткость пружины k, масса тела m. Ускорение свободного падения g.
2.14. За какое время t тело соскользнёт с наклонной плоскости высотой h,
наклонённой под углом α к горизонту, если по наклонной плоскости с углом
наклона β оно движется равномерно? Ускорение свободного падения g.
2.15. Из одной точки на длинной наклонной плоскости одновременно
пускают два тела с одинаковыми скоростями: первое вверх вдоль плоскости,
второе – вниз. Найти отношение расстояний, пройденных телами к моменту
остановки первого тела. Трения нет, сопротивлением воздуха пренебречь.
2.16. Брусок массой m находится на наклонной плоскости, составляющей
угол α = 450 с горизонтом. На брусок действует горизонтальная сила F,
прижимающая его к плоскости. При каких значениях F брусок будет
покоиться? Коэффициент трения μ = 0,5. Ускорение свободного падения g.
25
2.17. Два одинаковых груза массой m соединены
невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через
неподвижный невесомый блок, как показано на
рисунке. Расстояние между грузами по вертикали
равно h. К грузам присоединены пружины жёсткости
k1 и k2. Пружины изначально не деформированы.
Левый груз опускают вниз так, что оба груза
оказываются на одной высоте. И затем без толчка
отпускают. Найти ускорения грузов сразу после того,
как левый груз отпустили. Ускорение свободного падения g.
2.18. На гладком горизонтальном столе
лежит брусок массой М, на котором
находится брусок массой m. Оба бруска
соединены лёгкой нитью, перекинутой
через невесомый блок, как показано на
рисунке. С какими ускорениями будут
двигаться бруски, если к верхнему бруску приложили силу F? Коэффициент
трения между брусками μ. Трением между нижним бруском и столом
пренебречь. Ускорение свободного падения g.
2.19. На гладкой наклонной поверхности с углом наклоном α к горизонту
находится доска массой M, на которой лежит брусок массой m. Коэффициент
трения между бруском и доской μ. С какой минимальной силой надо
действовать на брусок, чтобы доска не двигалась? Ускорение свободного
падения g.
2.20. На тело массой m, лежащее на горизонтальной шероховатой
поверхности с коэффициентом трения μ, в некоторый момент времени
начинает действовать сила, направленная под углом α к горизонту и
пропорциональная времени: F = A∙t. Определите скорость движения тела
через время t. Ускорение свободного падения g.
26
Законы сохранения энергии и импульса
Импульсом частицы называется векторная величина, равная произведению её
массы 𝑚 на скорость 𝒗:
𝒑 = 𝑚𝒗
Из первого закона Ньютона следует, что импульс свободной частицы не меняется
ни по величине, ни по направлению.
Исследуем, как меняется импульс частицы массой 𝑚, на которую действуют силы.
Для этого обратимся ко второму закону Ньютона и запишем его:
𝑚𝒂 = 𝑚
∆𝒗 ∆(𝑚𝒗) ∆𝒑
=
=
∆𝑡
∆𝑡
∆𝑡
где мы воспользовались правилом работы с приращениями в случае их
бесконечной малости: ∆(𝑎𝑏) = 𝑎∆𝑏 + 𝑏∆𝑎 и тем, что приращение константы равно нулю.
Второй закон Ньютона в его более общей форме (импульсной) форме выглядит
следующим образом:
∆𝒑
𝑭=
∆𝑡
Причиной изменения импульса тела является внешняя сила. Если внешних сил нет,
то импульс тела не меняется.
Теперь рассмотрим систему, состоящую из множества взаимодействующих друг с
другом частиц. Импульсом системы называется векторная сумма импульсов тел,
составляющих эту систему. Если частицы, входящие в систему, взаимодействуют только
между собой и не взаимодействуют с другими телами, то такая система называется
замкнутой. Если тела системы не взаимодействуют с другими телами, то сила,
действующая на тела системы со стороны внешних тел рана нулю или, эквивалентно,
внешняя сила равна нулю. Таким образом, система тел, на которую не действуют внешние
силы, является замкнутой. Следовательно, мы делаем вывод, что в замкнутой системе
импульс не меняется или, другими словами, импульс сохраняется. Это и является
содержанием закона сохранения импульса: импульс замкнутой системы в инерциальной
системе отсчёта не меняется со временем.
Рассмотрим движение частицы под действием постоянной силы F. Если частица
прошла путь S, то работой силы F на пути S называют величину A= F S cos(α), где α – угол
между векторами силы перемещения S, где |S| = S. Работа ненулевой силы F в случае
ненулевого перемещения тела S может быть положительной, отрицательной или равной
нулю. Это зависит от угла α между векторами F и S. Движение бруска под действием
силы F показано на рисунке 16.
27
Рисунок 16. Движение бруска по поверхности под действием силы.
Если тело массой 𝑚 движется со скоростью 𝑣, то его кинетическая энергия равна:
𝐸=
𝑚𝑣 2
2
Кинетическая энергия не зависит от того, куда направлена скорость. Кинетическая
энергия зависит от величины скорости, поэтому она зависит и от системы отсчёта,
относительно которой рассматривается движение.
В силу того, что импульс тела равен 𝑝 = 𝑚𝑣 , кинетическую энергию можно
представить в виде:
𝐸=
𝑝2
2𝑚
В природе существуют консервативные (потенциальные) силы, которые обладают
следующим свойством: если частица, на которую действует консервативная сила,
движется по любому замкнутому пути так, что в результате этого движения она
возвращается в исходное положение, то работа, совершаемая при этом консервативной
силой, будет равна нулю.
Из этого свойства следует эквивалентное утверждение: работа консервативной
силы при перемещении частицы из положения 1 в положение 2 не зависит от формы
траектории её движения, а определяется только положением начальной и конечной точек
траектории (рисунок 17).
Рисунок 17. Две точки и множество траекторий, ведущих из одной точки в другую.
28
Примеры консервативных сил:
неконсервативных сил: сила трения.
сила
тяжести,
сила
упругости.
Примеры
Если не тело действуют консервативные (потенциальные) силы, то говорят, что
тело находится в консервативном (потенциальном) поле. Любое однородное стационарное
поле является потенциальным. К потенциальным относятся также и центральные поля,
например, гравитационное поле.
Рассмотрим работу, совершаемую над телом силами потенциального поля при его
перемещении из точки O в точку P (рисунок 18). Точка O – начало отсчёта работы. В силу
потенциальности поля, работа потенциальных сил при перемещении тела из точки O в
точку P равна по модулю и противоположна по знаку работе потенциальных сил при
перемещении тела из точки P в точку O. Работа силового поля при перемещении частицы
из точки P в точку O называется потенциальной энергией частицы в точке P. Она является
функцией координат точек P(x, y, z) и O(x0, y0, z0): U = U(x0, y0, z0, x, y, z).
Рисунок 18. Две точки в пространстве и некоторая траектория, соединяющая эти точки.
В точке O потенциальная энергия равна нулю U(O) = 0, поэтому точка O
называется нулевым уровнем потенциальной энергии. Выбор нулевого уровня
потенциальной энергии произволен. Обычно он выбирается так, чтобы выражение для
потенциальной энергии выглядело наиболее просто.
Выразим работу консервативной силы при перемещении частицы из произвольной
точки 1 в произвольную точку 2. Нулевой уровень потенциальной энергии при этом будет
находиться в некоторой точке O (рисунок 19). Так как эта работа не зависит от вида пути,
переместим частицу из точки 1 в точку 2 через нулевой уровень O. Тогда:
𝐴12 = 𝐴10 + 𝐴02
Так как 𝐴02 = −𝐴20 , то на основе определения потенциальной энергии получим:
𝐴12 = 𝑈1 − 𝑈2
где 𝑈1 , 𝑈2 – значения потенциальной энергии частицы в точках 1 и 2 соответственно.
29
Рисунок 19. Пути из точки 1 в точку 2, один из которых проходит через точку O.
Следовательно, работа потенциальной силы рана убыли потенциальной энергии:
𝐴12 = −(𝑈2 − 𝑈1 ) = −∆𝑈
Для примера определим потенциальную энергию частицы массой 𝑚, находящейся
вблизи поверхности Земли. На эту частицу действует консервативная сила притяжения
Земли (сила тяжести), направленная к центру Земли. Находясь вблизи поверхности Земли,
мы говорим, для простоты, что сила тяжести, действующая на частицу, направлена
вертикально вниз. Возьмём нулевой уровень потенциальной энергии на уровне
поверхности Земли. Медленно (чтобы кинетическая энергия стремилась к нулю)
переместим частицу на высоту ℎ (рисунок 20). Сила тяжести совершит при этом
отрицательную работу 𝐴 = −𝑚𝑔ℎ. Потенциальная энергия частицы (тела) на высоте ℎ от
поверхности Земли, таким образом, окажется равной
𝑈 = 𝑚𝑔ℎ
Рисунок 20. Потенциальная энергия тела, поднятого над Землёй вблизи её поверхности.
30
К потенциальным силам относится также сила упругости, возникающая при малых
деформациях (сжатии или растяжении) твёрдого тела или пружины (рисунок 21), когда
выполняется закон Гука. Потенциальная энергия растянутой (сжатой) на величину x
пружины равна:
𝑈=
𝑘𝑥 2
2
Рисунок 21. Вверху – пружина в недеформированной состоянии. Внизу – пружина в
деформированном (сжатом) состоянии. В обоих случаях показано значение
потенциальной энергия пружины.
В силу того, что потенциальная энергия растянутой пружины зависит от квадрата
деформации x, той же самой потенциальной энергией будет обладать пружина, сжатая на
величину x. Другими словами, если пружина сжата или растянута, скажем, на 1 см, то
потенциальная энергия этой пружины будет одинакова.
Сумма кинетической и потенциальной энергии называется полной механической
энергией. Если мы рассматриваем систему, на которую не действуют внешние силы, то её
полная механическая энергия будет оставаться неизменной. То же выполняется, если
работа внешних сил равна нулю. При этом подразумевается, что энергия системы
не теряется за счёт трения (в случае наличия трения энергия будет уходить в тепло) и к
системе не подводится тепло.
При соударениях тел происходит перераспределение кинетических энергий и
импульсов взаимодействующих тел. При этом суммарный импульс тел после соударения
равен их суммарному импульсу до столкновения. Для упругих соударений кинетическая
энергия непосредственно до и после удара также не меняется. Но если соударение
неупругое, то часть кинетической энергии переходит в тепло.
31
Законы сохранения энергии и импульса применяются в расчётах параметров
движения при столкновении тел. Столкновения бывают упругие и неупругие. При
упругих столкновениях не меняется внутренняя энергия тел – энергия не переходит в
тепло. При неупругих столкновениях часть механической энергии переходит в тепло.
Абсолютно неупругим столкновением называется столкновение, при котором тела
слипаются и движутся (или покоятся) вместе. Заметим, что термин „абсолютно упругое
столкновение”, как правило, не применяется, потому что любое упругое столкновение
является „абсолютно упругим”. Если речь идёт о неупругих столкновениях, то такие
столкновения не обязательно являются абсолютно неупругими – в частности, тела
не обязательно слипаются при столкновениях – они могут при столкновении разлететься,
но часть их механической энергии при этом перейдёт в тепло.
Рассмотрим упругое центральное столкновение двух шаров, один из которых
вначале покоился (рисунок 22). Столкновение является центральным, поэтому вектор
скорости налетающего шара в момент удара направлен вдоль линии, соединяющей
центры шаров. Массу налетающего шара обозначим буквой 𝑚1 , его скорость – 𝑣, а массу
покоящегося шара – 𝑚2 .
Рисунок 22. Движущийся шар налетает на покоящийся шар.
Система шаров является замкнутой, поэтому импульс системы остаётся
неизменным: импульс системы до удара равен импульсу системы после удара. Запишем
закон сохранения импульса в проекциях на ось X, направленную вдоль скорости
налетающего шара:
𝑚1 𝑣 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2
здесь 𝑣1 и 𝑣2 – проекции скоростей на ось X для первого и второго шара после удара.
Запишем закон сохранения энергии:
𝑚1 𝑣 2 𝑚1 𝑣12 𝑚2 𝑣22
=
+
2
2
2
Найдём скорости 𝑣1 и 𝑣2 . Для этого вначале выразим 𝑣1 из первого уравнения:
𝑣1 = 𝑣 −
32
𝑚2
𝑣
𝑚1 2
Обозначим, для краткости, отношение масс буквой 𝛽:
𝛽=
𝑚2
𝑚1
Тогда:
𝑣1 = 𝑣 − 𝛽𝑣2
Подставим это выражение для 𝑣1 в закон сохранения энергии и после небольшого
преобразования получим:
𝑣 2 = (𝑣 − 𝛽𝑣2 )2 + 𝛽𝑣22
Отсюда находим скорость второго шара после удара:
𝑣2 =
2𝑣
1+𝛽
Для нахождения скорости первого шара после удара достаточно подставить
полученное выражение для 𝑣2 в закон сохранения импульса и выразить оттуда 𝑣1 :
𝑣1 = 𝑣
1−𝛽
1+𝛽
Подведём итог: если шар массой 𝑚1 со скоростью 𝑣 налетает на покоящийся шар
массой 𝑚2 и между ними происходит центральное упругое столкновение, то скорости
шаров 𝑣1 (для шара массой 𝑚1 ) и 𝑣2 (для шара массой 𝑚2 ) после удара будут следующими:
1−𝛽
1+𝛽
2𝑣
𝑣2 =
1+𝛽
𝑚2
𝛽=
{
𝑚1
𝑣1 = 𝑣
Проанализируем результат. Пусть масса покоящегося шара меньше массы
налетающего шара, то есть 𝑚2 < 𝑚1 или, эквивалентно, 𝛽 < 1 . Тогда первоначально
покоящийся шар после удара станет двигаться в ту же сторону, что и налетающий шар.
Налетающий шар при этом продолжит двигаться в том же направлении, в каком и
двигался до удара. Если 𝛽 = 0 (налетающий шар бесконечно тяжелее покоящегося шара),
то из полученных формул следует, что после удара налетающий шар не изменит свою
скорость („не заметит” покоящийся шар); а первоначально покоящийся шар приобретёт
удвоенную скорость налетающего шара.
Теперь рассмотрим случай, когда масса покоящегося шара больше массы
налетающего шара, то есть 𝑚2 > 𝑚1 или, эквивалентно, 𝛽 > 1 . Тогда первоначально
покоящийся шар приобретёт некоторую скорость в направлении вектора скорости
налетающего шара до удара. Налетающий шар при этом будет двигаться в
противоположном направлении к своему направлению до удара („отразится назад”). Если
33
𝛽 = ∞ (покоящийся шар бесконечно тяжелее налетающего – лёгкий шарик ударяется о
тяжёлую стену), то из полученных формул следует, что после удара налетающий шар
полетит обратно с той же по модулю скоростью, что и была у него изначально; а
первоначально покоящийся шар (стена) останется в покое.
Наконец, рассмотрим случай, когда масса покоящегося шара равна массе
налетающего шара, то есть 𝑚2 = 𝑚1 или, эквивалентно, 𝛽 = 1 . Тогда после удара
налетающий шар остановится, а первоначально покоящийся шар приобретёт скорость
налетающего шара. Такое явление часто наблюдается при игре в бильярд.
34
Задачи на законы сохранения энергии и импульса
3.1. В далёкой галактике находятся два тела с массами m и M и
соответствующими скоростями u и v, направленными вдоль одной прямой в
одну сторону. Изначально на эти тела не действуют никакие силы, но в
некоторый момент времени эти два тела начинают взаимодействовать
между собой с силой F. Найти начальный суммарный импульс системы,
скорости тел через время t и суммарный импульс системы в конце.
3.2. На тело массой m в течение времени Δt действует сила F. Найти
изменение скорости тела. Найти изменение импульса тела.
3.3. Частица массой m движется со скоростью v, а частица массой 2m
движется со скоростью 2v в направлении, перпендикулярном направлению
первой частицы. На каждую частицу начинают действовать одинаковые силы.
После прекращения действия сил первая частица движется со скоростью 2v в
направлении, обратном первоначальному. Определить скорость второй
частицы.
3.4. Тележка массой M вместе с человеком массой m движется со
скоростью u. Человек начинает идти с постоянной скоростью по тележке в
том же направлении. При какой скорости v человека относительно тележки
она остановится? Колёса движутся по земле без проскальзывания.
3.5. Космический корабль летит с постоянной скоростью в облаке
микрометеорных частиц, которые испытывают с ним абсолютно неупругие
соударения. Во сколько раз нужно увеличить силу тяги двигателя, чтобы
скорость корабля увеличить в три раза? Во сколько раз нужно увеличить силу
тяги двигателя, чтобы при попадании в область частиц с плотностью, в три
раза большей, скорость корабля не изменилась?
3.6. Тело массой M переместилось из точки A в точку C
(расстояния даны на рисунке). Найти работу, которую при этом
совершила сила тяжести.
3.7. Тело массой M под действием силы F начинает движение из
состояния покоя. Какую работу совершит сила F к тому моменту,
когда у тела будет скорость v?
35
3.8. Тело прикреплено к нерастянутой
пружине жёсткости k. Тело перемещают
на небольшое расстояние x. Чему при
этом
равна
работа,
совершённая
пружиной?
3.9. Чему равна минимальная работа по подъёму цепи массой m, взятой за
один конец и лежащей на плоскости, на высоту, равную её длине L?
3.10. Со снежной горы высотой h и основанием b съезжают санки, которые
затем останавливаются, пройдя по горизонтали путь L от основания горы.
Найти коэффициент трения между снегом и санками.
3.11. Однородный брусок, скользящий по
гладкой горизонтальной поверхности, попадает
на шероховатый участок этой поверхности
шириной L, коэффициент его трения о который
равен μ. При какой начальной скорости он преодолеет этот участок?
Ускорение свободного падения g.
3.12. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте H на две
одинаковые части. Через время t после взрыва одна часть падает на Землю под тем
местом, где произошёл взрыв. На каком расстоянии от места выстрела упадёт вторая
часть снаряда, если первая упала на расстоянии S.
3.13. На невесомой нерастяжимой нити
длиной L висит белочка массой M. На неё
со скоростью v горизонтально летит
орешек массой m. Белочка хватает орешек.
Найти максимальный угол, на который
отклонится нить от вертикали. Ускорение
свободного падения g.
3.14. На неподвижный шар налетает со скоростью v шар, масса которого в
k раз больше массы неподвижного шара. Найти отношение скорости шаров
после центрального упругого удара к скорости v. Построить графики
зависимости этих отношений от числа k.
36
3.15. Тело массой m, летящее со скоростью v, налетает на покоящееся тело
массой M и застревает в нём. Найти скорость тел u сразу после столкновения
и количество выделившейся теплоты Q. Построить график зависимости
Q от M.
3.16. Детская пружинная пушка массой M закреплена на краю стола. Из неё
производят горизонтальный выстрел шариком – снарядом массой m. До
удара о пол шарик пролетает расстояние L0 по горизонтали. Какое
расстояние L по горизонтали пролетит шарик при повторном выстреле, если
пушку поставить на колёса и вновь поместить на край стола?
3.17. На какое минимальное расстояние
сблизятся два шарика с массами m,
соединённые пружиной жёсткости k, если
одному из них в некоторый момент времени
сообщить скорость v0? Первоначальная длина
пружины L.
3.18. В нижней части пещеры на рельсах стоят две пустые, не сцепленные между
собой, вагонетки массой m. С горки высотой H спускают вагонетку, гружённую
рудой. Какую массу руды нужно загрузить в вагонетку, чтобы хотя бы одна из
пустых вагонеток после столкновений въехала на горку высотой 2H? На какую
максимальную высоту может въехать вагонетка? Считать удары между
вагонетками упругими.
3.19. С какой силой нужно надавить на верхний груз массой m1,
чтобы нижний груз массой m2, соединённый с верхним грузом
пружиной, оторвался от пола после прекращения действия
этой силы? Ускорение свободного падения g.
3.20. На длинной доске массой М находится шайба массой m. Шайбе щелчком
сообщают скорость v0. Какое расстояние по доске проедет шайба, если
коэффициент её трения о доску равен μ, а доска может скользить по поверхности
без трения? Какую работу совершит сила трения? Ускорение свободного
падения g.
37
Примеры задач контрольных работ по физике прошлых лет
Физика, 8 класс
1. На движущийся горизонтально со скоростью v конвейер с высоты h падают
капли воды с интервалом времени Δt. Определите расстояние между
каплями на ленте конвейера.
2. Найдите, сколько кругов по стадиону успеет пробежать КОмсенок Саша со
скоростью v = 4 м/с за время, пока ЛШонок Петя идет на зарядку от общежития
со скоростью u = 1 м/с. Расстояние от общежития до стадиона S = 600 м, длина
дорожки стадиона L = 400 м.
3. Два автомобиля, стартующие с начальной нулевой скоростью, проезжают
расстояние S за времена t1 и t2 соответственно (t2 < t1). Сколько времени
потребуется второму автомобилю, чтобы догнать первый, если он будет
стартовать на время T позже первого из той же точки? Считать движение
автомобилей равноускоренным.
4. Тело, находящееся на горизонтальном столе, тянут с горизонтальной
силой F. Найдите коэффициент трения тела о стол, если оно движется с
ускорением a. Ускорение свободного падения g.
5. Даны два одинаковых грузика и две пружины, длина
каждой из которых в недеформированном состоянии равна
8 см. Если подвесить грузик к первой пружине, то она
растягивается на 2 см. А если подвесить этот же грузик ко
второй пружине, то она растягивается на 1 см. Далее первую
пружину крепят к потолку, к ней – грузик, затем к нему –
вторую пружину и второй грузик, как показано на рисунке.
Каким будет расстояние между точкой крепления пружин к
потолку и нижним грузиком в этом случае? Размером грузиков пренебречь.
Ускорение свободного падения g.
38
Физика, 9 класс
1. Семейство бобров, сидя на плоту, гребет вниз по течению реки. Скорость плота с
гребущими бобрами относительно воды v1. В тот момент, когда семейству бобров до
моста оставалось расстояние S1, перпендикулярно реке к мосту побежала белка со
скоростью v2. Начальное расстояние от белки до моста S2. Моста они достигли
одновременно. Чему равна скорость реки?
2. Вертикально взлетающий снаряд в момент остановки разорвался на
множество мелких осколков, разлетающихся во все стороны. Скорости всех
осколков при взрыве равны v. Определите промежуток времени, в течение
которого осколки будут падать на Землю. Сопротивлением воздуха
пренебречь. Ускорение свободного падения g.
3. Тормозной путь тепловоза массой m1 с некоторой начальной скорости до
остановки равен L1. Тормозной путь электровоза массой m2 с той же
начальной скорости равен L2. Найдите тормозной путь сцепленных тепловоза
и электровоза с той же начальной скорости.
4. Два одинаковых тела массой m находятся на горизонтальном столе и
соединены невесомой нерастяжимой нитью, которая может выдерживать
максимальное натяжение T. С какой максимальной силой можно тянуть за одно
из тел, чтобы нить не порвалась, если коэффициент трения каждого тела о
поверхность стола равен μ?
5. С гладкого подвижного клина массой M,
стоящего
на
гладкой
горизонтальной
поверхности, с высоты H из состояния покоя
соскальзывает тело массой m. Поверхность
клина плавно переходит в горизонтальную
поверхность. На какую максимальную высоту
h заедет тело на клин после упругого удара о
выступ, закреплённый на горизонтальной
свободного падения g.
39
поверхности?
Ускорение
Физика, 10 класс
1. Лодочник, переправляясь через реку шириной H из пункта A в пункт B
(расположенный напротив A), всё время направляет лодку перпендикулярно
берегу. Определите скорость лодки относительно воды v, если скорость
течения u, а лодку снесло ниже пункта B на расстояние L.
2. Орех бросили с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту. Найдите
скорость ореха в тот момент времени, когда его высота равна половине от
максимальной высоты подъема. Во сколько раз тангенс угла между
скоростью и горизонтом в этой точке отличается от тангенса начального угла?
3. Когда брусок подвесили на закреплённой к нему пружине,
составило Δx. Найдите удлинение пружины в случае, если
тянуть за пружину с постоянным ускорением а по
горизонтальной плоскости. Коэффициент трения бруска о
Ускорение свободного падения g.
её удлинение
брусок будут
шероховатой
плоскость µ.
4. Два бруска массами m и 3 m связаны невесомой
нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, как
показано на рисунке. Бруски находятся на гладкой
наклонной плоскости с углом к горизонту α. Какую
минимальную силу нужно приложить к нижнему
бруску, чтобы он двигался вдоль плоскости вверх?
Коэффициент трения между брусками µ. Ускорение свободного падения g.
5. Два шара одинаковой массы, один из которых двигался со скоростью v, а
второй покоился, сталкиваются таким образом, что первый шар после удара
летит под углом 60° к первоначальному направлению движения со
скоростью v/2. Найдите количество теплоты, выделившееся при ударе, если
массы шаров равны m.
40
Алгоритм решения задачи по физике
0. Прочитать условие задачи.
1. Прочитать условие задачи ещё раз.
2. Записать поле с данными.
- Указать, какие величины даны.
- Указать, что требуется найти.
- Оставить место для записи обозначений вспомогательных величин.
3. Придумать модель.
- Не забыть все существенные детали.
- Не бояться использовать величины, отсутствующие в условии.
- Модель должна соответствовать условию задачи.
4. Сделать рисунок.
- Рисунок должен соответствовать придуманной модели.
- Рисунок должен содержать величины, записанные в поле данных.
- Декоративные элементы рисунка не должны мешать пониманию.
5. Записать уравнения.
- Уравнения должны отражать связи между величинами в соответствии
с придуманной моделью и физическими законами.
- К уравнениям должны быть указаны краткие комментарии.
6. Решить уравнения.
7. Проанализировать результат.
- Проверить размерность.
- Проверить разумность возможных значений.
- Понять, что в ответе может не быть какой-либо величины из условия.
8. Записать ответ в соответствии с условием задачи.
41
Автор-составитель: Мальцев Тимофей Владимирович, младший научный сотрудник ИЯФ СО РАН, старший преподаватель СУНЦ НГУ
42
