Загрузил postolkuposkolku

Сборник по математическому анализу Демидович

Реклама
УДК 517(076.1)
ББК 22.161я73
3-15
Коллек тававт оров :
Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко,
С. М. Коган, Г. С, Лунц, Е. Ф . Поршнева, Е. П. Сычева,
С. В. Фролов, Р. Я. Ш остак, А. Р. Янпольский
Задачи и упраж нения по математическому анализу для
3-15 втузов: Учеб, пособие для студентов выеш. техн. учеб, заве­
дений / Г. С, Бараненков, Б. IL Демидович, В. А, Ефименко и др.;
Под ред. Б* П. Демидовича. — М.: ООО «Издательство Астрель*:
ООО «Издательство ACT*, 2004 — 495, [1] с.: ил.
ISBN 5-17-002965-9 (ОСЮ «Издательство ACT*)
ISBN 5-271-01118-6 (ООО «Издательство Астрель*)
Данный сборник содержит свыше 3000 задач и охватывает все раз­
делы втузовского курса высшей математики- В сборнике приводятся
основные теоретические сведения * определения и формулы к каждому
разделу курса, а также решения особо важных типовых задач.
Задачник предназначен для студентов втузов, а такж е для лиц,
занимающихся самообразованием.
УДК 517(076.1)
ББК 22.161я73
Подписано в печать с готовых диапозитивов 08.12.2003.
Формат 60X90*/»- Бумага офсетная. Печать офсетная.
Уел. печ. л. 31,0. Тираж 8000 акз. Заказ 15.
ISBN 5-17-002965-9 (ООО «Издательство ACT*)
ISBN 5-271-01118^6 (ООО «Издательство Астрель*)
© ООО «Издательство Астрель*, 2001
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............................................................................................................. 6
Глава I. Введение в а н а л и з ...............................................................................7
§ 1, Понятие функции...........................................................................................7
§2. Графики элементарных ф у н к ц и й ........................................................... 12
§ 3, П ределы .........................................................................................................17
§ 4. Бесконечно малые и бесконечно большие............................................. 28
§5. Непрерывность ф у н к ц и й ...........................................................................31
Глава IL Д и ф ф ерен ц и рован и е ф у н к ц и й ................................................... 37
§ 1. Непосредственное вычисление производных.........................................37
§ 2. Табличное дифференцирование............................................................... 41
§ 3, Производные функций, не являющихся явно заданны м и................51
§ 4. Геометрические и механические приложения производной............. 54
§ 5. Производные высших порядков............................................................... 60
§ 6, Дифференциалы первого и высших порядков...................................... 65
§ 7. Теоремы о среднем...................................................................................... 69
§ 8. Формула Тейлора.........................................................................................71
§ 9. Правило Л опиталя—Бернулли раскрытия неопределенностей........72
Глава III. Экстремумы ф ун кци и и геом етрические
п р и л о ж ен и я п р о и зв о д н о й ......................................................................77
§ 1, Экстремумы функции одного аргумента................................................77
§ 2. Направление вогнутости. Точки перегиба............................................. 85
§3. А симптоты....................................................................................................87
§ 4. Построение графиков функций по характерным то ч к а м ..................89
§ 5. Дифференциал дуги. К ривизна................................................
94
Глава IV. Н еопределенны й и н т е г р а л ...................................................... 100
§1. Непосредственное интегрирование.........................................................100
§ 2. Метод подстановки.................................................................................... 107
§ 3. Интегрирование по частям.....................................................*............... 110
§4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный тр ех ч л ен ........112
§ 5, Интегрирование рациональных ф ун кц и й ........................................... 116
§ 6 . Интегрирование некоторых иррациональных ф ункций.................. 121
§ 7. Интегрирование тригонометрических ф у н к ц и й ................................124
§ 8. Интегрирование гиперболических ф ункций.......................................129
§9» Применение тригонометрических и гиперболических подстановок
для нахождения интегралов вида
*jax2 + b x + c ) d x ,
где R — рациональная ф у н к ц и я ........................................................... 130
1 10. Интегрирование различных трансцендентных ф у н к ц и й ................ 131
| И - Применение формул приведения........................................................... 132
§ 12, Интегрирование разных ф ункций......................................................... 132
4
Глава V. О пределенны й и н т е г р а л .............................................................135
§ 1. Определенный интеграл как предел с у м м ы ........................................135
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью
неопределенных.......................................................................................... 137
§ 3, Несобственные интегралы ........................................................................140
§ 4. Замеыа переменной в определенном интеграле................................... 144
§ 5, Интегрирование по частям........................................................................146
§ 6. Теорема о среднем зн ачен и и ................................................................... 147
§ 7. Площади плоских ф и гур.......................................................................... 149
§ 8. Длина дуги кривой......................................................................................154
§9, Объемы тел ................................................................................................... 157
§10, Площадь поверхности вращ ения.............................................................161
§11. Моменты, Центры тяжести. Теоремы Гульдена................................. 163
§12, Приложения определенных интегралов к решению физических
задач.............................................................................................................. 168
Глава VL Ф ункции нескольких п е р е м е н н ы х ......................................174
§ 1, Основные п о н я т и я ..................................................................................... 174
§ 2, Непрерывность............................................................................................ 178
§ 3. Частные производны е...............................................................................179
§ 4, Полный дифференциал функции.............................................................182
§ 5, Дифференцирование сложных ф ункций............................................... 185
§ 6, Производная в данном направлении и градиент ф ункции............... 189
§ 7. Производные и дифференциалы высших п о р яд к о в.......................... 192
§8, Интегрирование полных дифференциалов.......................................... 198
§9. Дифференцирование неявных ф у н к ц и й ...............................................200
§ 10. Замена переменных................................................................................... 207
§11, Касательная плоскость и нормаль к поверхности...............................213
§12, Формула Тейлора для функции нескольких перем енны х...............217
§13, Экстремум функции нескольких переменных......................................219
§ 14. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений
ф ункций........................................................................................................225
§15. Особые точки плоских к р и в ы х ...............................................................227
§ 16. Огибающая................................................................................................... 229
§17, Длина дуги пространственной кривой................................................... 231
§18, Вектор-функции скалярного аргумента.................................................231
§ 19. Естественный трехгранник пространственной кри во й ......................235
§ 20. Кривизна и кручение пространственной кривой....................
239
Глава VII. К р атн ы е и криволин ейн ы е и н т е гр а л ы .............................242
§ 1, Двойной интеграл в прямоугольных координатах.............................242
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле............................................ 248
§ 3, Вычисление площадей фигур................................................................... 251
§ 4, Вычисление объемов т е л .......................................................................... 253
§ 5. Вычисление площадей поверхностей..................................................... 255
§ 6. Приложения двойного интеграла к механике..................................... 256
§ 7, Тройные интегралы ................................................................................... 258
§ 8. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Несобственные кратные интегралы........................................................264
§9. Криволинейные и нтегралы ......................................................................268
§10. Поверхностные интегралы........................................................................279
g 11. Формула Остроградского—Г аусса.......................................................... 282
§ 12. Элементы теории п о ля...............................................................................283
Глава VIII. Р я д ы ...............................................................................................288
§ 1. Числовые ряды ............................................................................................ 288
§2. Функциональные р я д ы ............................................................................ 300
§ 3. Ряд Т ейлора.................................................................................................307
§4. Ряды Ф у р ь е .................................................................................................315
Глава IX. Д и ф ф ерен ц и ал ьн ы е у р а в н е н и я ............................................ 319
§ 1, Проверка решений. Составление дифференциальных уравнений
семейств кривых. Начальные у с л о в и я ................................................. 319
§ 2. Дифференциальные уравнения 1-го п о р я д к а ......................................322
§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися
переменными. Ортогональные траектории.......................................... 324
§4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го п о р я д к а ...............327
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Уравнение Б ер н у л л и ................................................................................. 329
§ 6. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий
м нож итель................................................................................................... 332
§ 7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные
относительно производной........................................................................ 334
§ S. Уравнения Лагранжа и К леро................................................................. 337
§9, Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка................. 339
§ 10. Дифференциальные уравнения высших п орядков.............................343
§ 11. Линейные дифференциальные уравнения.............................................347
§ 12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
с постоянными коэффициентами.............................................................349
§13, Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами порядка выше 2-го......................................................355
§ 14. Уравнения Э й л ер а......................................................................................356
§ 15. Системы дифференциальных уравнений...............................................358
§ 16. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов.......................................................................................... 360
§17. Задачи на метод Ф у р ь е .............................................................................362
Глава X. П ри б ли ж ен н ы е в ы ч и с л е н и я ................................................... 366
§ 1. Действия с приближенными числам и................................................... 366
§2. Интерполирование ф у н к ц и й ................................................................... 371
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений................................. 375
§ 4. Численное интегрирование функций......................................................382
§ 5, Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных
уравнений......................................................................................................385
§ 6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье............................ 394
Ответы, реш ен и я, у к а з а н и я ........................................................................396
П р и л о ж е н и я ........................................................................................................484
I- Греческий алфавит..................................................................................... 484
II. Некоторые постоянные...............................................................................484
Ш. Обратные величины, степени, корни, логариф м ы ............................ 485
IV. Тригонометрические функции .............................................................. 487
V. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции488
VI. Некоторые кривы е.................................................................................... 489
ПРЕДИСЛОВИЕ
В сборнике подобраны задачи и примеры по математическому ана­
лизу применительно к программе общего курса высшей математики
высших технических учебных заведений* Сборник содержит свыше
3000 задач, систематически расположенных в главах (I—X), и ох­
ватывает все разделы втузовского курса высшей математики (за иск­
лючением аналитической геометрии}* Особое внимание обращено на
важнейшие разделы курса, требующие прочных навыков (нахожде­
ние пределов, техника дифференцирования, построение графиков
функций, техника интегрированйя, приложения определенных ин­
тегралов, ряды, решение дифференциальных уравнений)* Вклю­
чены, кроме того, задачи на теорию поля, метод Фурье и прибли­
женные вычисления* Приведенное количество задач, как показыва­
ет практика преподавания, не только с избытком удовлетворяет по­
требности студентов по практическому закреплению соответствую­
щих разделов курса, но и дает возможность преподавателю
разнообразить выбор задач в пределах данного раздела и подбирать
задачи для итоговых заданий и контрольных работ*
В начале каждой главы дается краткое теоретическое введение и
приводятся основные определения и формулы, относящиеся к соот­
ветствующему разделу курса* Здесь ж е показаны образцы решений
особо важных типовых задач. Это обстоятельство в значительной ме­
ре облегчит студенту пользование задачником в самостоятельной ра­
боте. На все вычислительные задачи даны ответы; в задачах, отме­
ченных звездочкой (*) или двумя звездочками (**), в ответах при­
ведены соответственно краткие указания к решениям или решения*
Для наглядности часть задач иллюстрируется чертежами.
Сборник сложился в результате многолетнего преподавания ав­
торами высшей математики в высших технических учебных заведениях
г. Москвы. В нем кроме оригинальных задач и примеров помещены
общеизвестные задачи*
Глава I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Понятие функции
1°. Д е й с т в и т е л ь н ы е ч и с л а . Числа рациональные и ирраци­
ональные носят название действительных или вещественных чисел. Под
абсолю т ной величиной действительного числа а понимается неотрицатель­
ное число \а\, определяемое условиями: \а\ - а, если а > 0, и \а\ = - а, если
а < Q. Для любых вещественных чисел а и 5 справедливо неравенство
|л + Ь| ^ \а\ 4- |Ь |.
2°. О п р е д е л е н и е ф у н к ц и и . Если каждому значению *) перемен­
ной величины х, принадлежащему некоторой совокупности (множеству) Е ,
соответствует одно и только одно конечное значение величины у, то у на­
зывается функцией (однозначной) от х или зависимой переменной, опреде­
ленной на множестве Е; х называется аргументом или независимой пере­
менной. То обстоятельство, что у есть функция от х , кратко выражают за­
писью: у = f(x) или у = F(x) и т , п,
Если каждому значению х , принадлежащему некоторому множеству Е,
соответствует одно или несколько значений переменной величины у , то у
называется многозначной функцией от х, определенной на множестве Е .
В дальнейшем под словом «функция* мы будем понимать только о д н о ­
з н а ч н ы е функции, если явно не оговорено противное,
3°, О б л а с т ь с у щ е с т в о в а н и я ф у н к ц и и . Совокупность зна­
чений х, для которых данная функция определена, называется областью
существования или областью определения этой функции.
В простейших случаях область существования функции представляет со­
бой: или отрезок (сегмент) [а; £>], т. е. множество вещественных чисел х,
удовлетворяющих неравенствам а < х <
или промежуток {интервал)
(а, Ь), т, е, множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенст­
вам а < х < Ъ. Но возможна и более сложная структура области существо­
вания функции (см., например, задачу 21),
П р и м е р 1. Определить область существования функции
1
У= .
*
J x 2- 1
Р е ш е н и е . Функция определена, если
*)
В дальнейшем все рассматриваемые значения величин будут предполагаться ве­
щественными, если явно не оговорено противное.
8
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
т. е. если \х\ > 1. Таким образом, область существования функции представ­
ляет собой совокупность двух интервалов: —■
оо < х < ~ 1 и 1 < х <
4°. О б р а т н ы е ф у н к ц и и . Если уравнение у = f(x) может быть од­
нозначно разрешено относительно переменного т. е. существует функция
х = g(y) такая, что у з f[g(y)]7 то функция х = g(y), или в стандартных обо­
значениях у = g(x), называется обратной по отношению к у = f(x). Очевидно,
что £[/(:с)] = х+ т. е. функции f(x) и £(#) являются взаимно обратными*
В общем случае уравнение у = f(x) определяет многозначную обратную
функцию х = f JQ/) такую, что у = f(f 1{у)) для всех у , являющихся значе­
ниями функции f(x).
П р и м е р 2. Для функции
,-х
У~ 1 - 2
(1)
определить обратную.
Р е ш е н и е . Решив уравнение (1) относительно x t будем иметь
l g ( 1 - U) *)
2О - * = 1л - и и ЛС= --2-4—--—
,
( 2)
Область определения функции (2), очевидно, следующая: -со < у < 1.
5°. С л о ж н ы е и н е я в н ы е ф у н к ц и и . Функция у от х , заданная
цепью равенств у = /(и), где и = ф(я) и т . п., называется сложной или функ­
цией от функции.
Функция, заданная уравнением, не разрешенным относительно завйси3
3
мой переменной, называется неявной. Например, уравнение х + у = 1 оп­
ределяет у как неявную функцию от х.
6°. Г р а ф и ч е с к о е и з о б р а ж е н и е ф у н к ц и и . Множество то­
чек (я, у) плоскости X O Y, координаты которых связаны уравнением у = {{х),
называется графиком данной функции.
1**- Д о к азать, что если а и Ъ — действительны е числа, то
\\а\ - |&|| < \а - Ь\ < \а\ + |6|.
2. Д о казать следую щ ие равенства:
а) |аб| = \а\ • |&|;
I |2
в)
2
г) а/ ц
б) \а\ = а ;
3. Р еш и ть неравенства:
а) \х - lj < 3;
= |а|.
в) \2х + 1| < 1;
б) \х + 1| > 2;
г) \х - 1| < |дг + 1|.
4. Н а й т и /(-1 ), f(0), Д1), /(2), f(3), f(4), если f(x) = х 3 - 6 х 2 + И х - 6 .
5. Най™ «0), f ( - | ) , /(-« ),
i
, если fix ) = J l +
lg х = logJ0 x , как всегда, обозначает десятичный логарифм числа х.
'ЯГ
I
9
§ 1. Понятие функции
6. Пусть Дх) “ arccos (lg х). Найти
* /(!)> /(Ю).
7. Функция f(x) — линейная. Найти эту функцию, если Д -4) = 2
и /(2) - -3 ,
8. Найти целую рациональную функцию Дх) второй степени, если
ДО) - 1, Д1) ^ 0 и ДЗ) - 5.
9. Известно, что Д4) = - 2 , Д5) = 6. Найти приближенное значение
Д4, 3), считая функцию Дх) на участке 4 < х < 5 линейной (линейная
интерполяция функции).
10. Функцию
№
О, если х < О,
х, если х > О,
записать при помощи одной формулы, пользуясь знаком абсолютной
величины*
Определить области существования функций:
11* а) у = J l + x ; б) у = У1 + х .
17* у = lg ij —X .
12. у = - Ц .
18* I/ = lg
13. а) у ■= J x 2 - 2 ; б) I/ = х J x 2 - 2 *
19. t/ = arccos
4 -х
2
х 2 - Зх + 2
х +■1
2х
1+ х *
20. arcsin
14*** у =
+х- х
15. у =
+ — Х— •
21. у = Уsin 2 л; .
J2 + х
16. у = J x - х3 .
22. Пусть Дх) = 2х4 - Зх3 ^ 5х2 + 6х - 10* Найти
ф(*) =
+ f(-x)] и \|/(х) = 1[/(х) - f(-x)].
23. Функция Дх), определенная в симметричной области -I < х < I,
называется четной, если Д -х) = Дх), и нечетной, если Д -х ) = -Д х).
Выяснить, какие из данных функций являются четными и какие
нечетными:
а) fix) = \ (ах + а х);
г) fix) = lg
;
б) fix) = J l + х + х 2 - V l “ х + х 2 ; д) f{x) = lg {дг + J l + x 2 ).
в) f( x) = J ( x + l ) 2 + zJ { x ~ ~ l f ;
10
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
24*. Доказать, что всякую функцию Дх), определенную в интер­
вале - I < х < lt можно представить в виде суммы четной и нечетной
функций.
25* Доказать, что произведение двух четных функций или двух
нечетных функций есть функция четная, а произведение четной
функции на нечетную есть функция нечетная.
26. Функция f(x) называется периодической, если существует по­
ложительное число Т (период функции) такое, что f(x -f Т) ^ f(x)
для всех значений х >принадлежащих области существования функ­
ции f(x).
Определить, какие из перечисленных ниже функций являются
периодическими, и для периодических функций найти наименьший
их период 7":
а) f(x) = 10 sin Зх;
г) f(x) = sin2 х ;
б) f(x) = asin Хх + dcos Хх;
д) f(x) = sin {J x ).
в) f{x) = J ig X ;
27. Выразить длину отрезка у = M N и площадь S фигуры A M N
как функции от х —A M {рис. 1). Построить графики этих функций.
------ >*...&-—S+e-C----- ^
Рис. 1.
Рис, 2.
28. Линейная плотность (т, е. масса единицы длины) стержня
А В = I (рис. 2) на участках АС = lv CD “ 12 я DВ = Z3 (il + l2 + Z3 ^ Z)
равна соответственно qv q2i q3* Выразить массу m переменного от­
резка A M = x этого стержня как функцию от х . Построить график
этой функции.
2
29. Найти Ф[у(*)] и у[ф(х)], если ф(х) = х и у(х) = 2х.
30. Найти f{f [/(х)]}, если f(x) =
1- х
.
31. Найти f(x + 1), если f(x - 1) = х 2.
32. Пусть f(n) есть сумма п членов арифметической прогрессии.
Показать, что
f(n+3) - Щ п + 2) + Zf(n + 1) - f(n) - 0.
33. Показать, что если
f(x) = hx 4- b
и числа Хр х 2, х 3 образуют арифметическую прогрессию, то числа
ft*!)* А х 2)> А х 3) также образуют арифметическую прогрессию.
И
§ 1. Понятие функции
34* Доказать, что если f{x) есть показательная функция* т, е,
f(x) = а (а > 0), и числа хг х 2, х3 образуют арифметическую про­
грессию, то числа /(ле1)* Дх2) и Дх3) образуют геометрическую прогрессию.
35* Пусть
Показать, что
36. Пусть ф(х) = Ь а* + а х) и ф(х) = h a x - а х). Показать, что
ф(х + у) = ф(х)ф(у) + ф(х)ф(у)
и
Ф(Х + у) = ф(х)ф(у) + Ф(уМ *)37. Найти Д -1), ДО), Д1), если
arcsin х при -1 < х < 0,
№ = arctg х при 0 < х < +°°.
38. Определить корни (нули) области положительности и области
отрицательности функции у, если:
а) у = 1 + х;
г) у = х3 - Зх;
б) у = 2 + х - х2;
д) У = lg
•
в) у = 1 - х + х2;
39. Для функции у найти обратную, если:
а) у = 2х + 3;
г) у - lg | ;
б) у = х2 - 1;
Д) У = arctg Зх.
в) у =
;
В каких областях будут определены эти обратные функции?
40, Для функции
х , если х < 0,
У
х 2, если х ^> п0,
найти обратную.
41.
Данные функции записать в виде цепи равенств, каждое звено
которой содержит простейшую элементарную функцию (степенную,
показательную, тригонометрическую и т* п*):
а) у = (2х - 5)ш;
в) у = lg tg | ;
б) у = 2
г) у ™ arcsin
;
Глава L ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
42. Сложные функции, заданные цепью равенств, записать в виде
одного равенства:
\
г
а) У = и , и = sm х ;
б) у = arctg и, и — *Jv , v “ lg х;
2г/, если и < О,
2
в) у = ■А
н= х- 1 .
*
I0, если и > 0;
43. Записать в явном виде функции у t заданные уравнениями:
а)
х 2 - arccos у = к; б) 10х -I- 10у = 10; в) х + \у\ = 2у.
Найти области определения данных неявных функций.
§ 2. Графики элементарных функций
Построение графиков функцийу = Д я)в основном производится путем на­
метки достаточно густой сетки точек М ^ х г у.), где у{ = f(x.) {i = 0, 1, 2, ...),
и соединения последних некоторой линией, характер которой учитывает по­
ложение промежуточных точек.
Построение графиков облегчает знакомст­
во с графиками основных элементарных функ­
ций (см, приложение VI). Исходя из графика
У(Г)
с помощью простых геометрических по­
строений получаем графики функций: I) у х =
= -f(x) — зеркальное отображение графика Г
относительно осп ОХ; 2) у2 = f(—x ) — зеркаль­
ное отображение графика Г относительно оси
OY; 3) i/3 = f{x - а) — график Гт смещенный
вдоль оси ОХ на величину а; 4) у4 = Ь 4- fix) — график Гт смещенный вдоль
оси OY на величину Ь (рис. 3).
П р и м е р , Построить график функции
у = sill (ж - 5
Р е ш е н и е , Искомая линия есть синусоида у = sin х , сдвинутая вдоль
оси ОХ вправо на величину - (рис, 4).
4
Рис. 4.
§ 2 , Графики элементарных функций
13
Построить графики линейных функций (прямые линии):
44. у = кх, если к = 0 , 1, 2, ^ , - 1 , -2.
45. у = х + Ь, если b — 0, 1, 2, - 1 , -2 .
46. у - 1,5 х + 2.
Построить графики целых рациональных функций 2-й степени
(параболы):
2
1
47. у = ах , если а — 1, 2, - , -1 , -2 , 0.
£
2
48. у = х + с, если с = 0, 1, 2Г-1*
49. у = (х - х 0)2, если
= 0, 1, 2, -1 .
50. у = у0 + (х - 1) , если у0 = 0, 1, 2, -1 .
2
51*. у — ах + Ьх ч- с, если;
1) а = 1, Ь = -2 , с = 3;
2) а - 2, Ъ — 6, с — 0.
2
52. у = 2 + х - х . Найти точки пересечения этой параболы с осью О Х .
Построить графики целых рациональных функций степени выше
второй:
53*. у = х Ъ (кубическая парабола).
56. у “ х 4.
54. у = 2 -3- (я - I)3.
57. у - 2х3 ~ х 4.
55. у — х 3 - Зх -f 2.
Построить графики дробно-линейных функций (гиперболы):
58*. у = - .
61*. у = у0 + —
X
59. у =
*
60.1/ =
1-ДГ
ДГ”■Xп
.
62*. I/
, если х0 = 1, у0 = -1 , т = 6.
2д: - 3
Зх + 2 '
х-2
jc + 2
Построить графики дробных рациональных функций:
63, у = х + - .
67*. у =
64. у = *
68, у =
*
д:
вб* У = 1 .
,
10 (локон Аньези).
х 2 +1
2х
(серпантин Ньютона).
г 2 ■+1
69. у = х + — .
X
66. у = 1 .
я
2
1
70. у = х + - (трезубец Ньютона).
ОС
14
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Построить графики иррациональных функций:
71*. у = 4 х .
72. у = V* аГ 2
73*- у = У х (парабола Нейля).
74, у = ± x j x (полукубическая парабола).
75*. у = ± | J25 - х 2 (эллипс).
76. у = ± Ух2 - 1 (гипербола).
77' ^ 7 г Ь '
78*. у - ±х
4-х
(циссоида Диоклеса),
79* у « ±хУ2{5 - х
Построить графики тригонометрических функций:
80*. у = sin х.
83*, у = ctg х.
81*. у = cos х.
84*, у —sec х*
82*, у — tg х.
85*. у = cosec х,
86. у — A sin х т если А = 1, 10, | , -2 .
87*. у = sin пх, если n = 1, 2, З т ^ .
7Т
4*77
-гг
и
^
4
88. у = sin (х - <р), если ф = 0, - , — , п, - - .
89*. у = 5 sin (2х - 3).
90*, у = a sin х + &cos х, если а = 6, &= -8 .
91. у = sin х + cos х.
96. у “ 1 —2cos х.
97. у = sin х - - sin Зх.
92*. у = cos2 х.
93*. у = х + sin х,
98. у = cos х -f i cos 2x.
94*. у — х sin х.
99*. у ~ cos - .
95. у = tg2 X.
X
100, у = + * / s i n x .
Построить графики показательных и логарифмических функций:
101. у = а , если а = 2, ^ , е (е = 2,718...) К
102*. у = loga х,если а ~ 10, 2, ^ , е.
О числе e подробнее см. с. 19.
§ 2 . Графики элементарных функций
1 / х
15
-хх
103*. у = sh х, где sh х = 1(е - е ).
104*. у = ch х, где ch х =
105*. у = th х, где th х =
1 ( X . -ДСч
2 6 + е >•
sh я
ch х
1
106. у = 10х .
107*. у = е х (кривая вероятностей).
108. у = 2 х .
113.i/ = I g i .
109. у = lg х 2.
110. у = lg3 х.
111. у = lg (lg х).
114. у = lg (—ас).
115. у = log2 (1 + х).
116. у = lg (cos х).
112.
117. у = 2~х sin х.
X
у =
lg X
Построить графики обратных тригонометрических функций:
118** у = arcsin х,
122. у ” arcsin - ,
119*. у = arccos х,
123* у ™arccos i *
х
124. у — х + arcctg х*
120*. у = arctg х *
121** I/ = arctg х.
Построить графики функций:
125. е/ = \х\.
126. у = | ( х + |х|).
127. а) у = х\х\; б) г/ = lo g ^ |х| .
128. а) у = sin х + |sin х|; б) у = sin х - |sin х|.
2
I I
3 - х при |х| < 1;
129. у = \ 2
, , п
^
Ij—г при |х| > 0.
130. а) у = |х|, б) у = х ~ |х|, где |х| — целая часть числа х, т. е.
наибольшее целое число, меньшее или равное х.
Построить графики функций в полярной системе координат (г, ф)
(г > О):
131. г = 1 (окружность)*
132*. г = 5 (спираль Архимеда).
2
16
Глава L ВВЕДЕНИИ В АНАЛИЗ
133*. г = еф {логариф м ическая сп и р а ль).
■ГГ
Ф
134*. г = - {гиперболическая спираль).
135. г “ 2 cos ф (окрржпоспгь).
136. г = - Л - (прямая линия).
sin(p
137. г = sec2 5 (парабола).
138*. г = 10 sin Зф (т рехлепест ковая роза).
139*. г — а(1 + cos ф) (а ^ 0) (кардиоида).
2
2
140*. г —а cos 2ф (а > 0) (лелшиската).
Построить графики функций, заданных параметрическим способом:
141*. х
142*. х
143*. х
144*. x
3
2
— t , р “ t (п о лукуб и ческа я парабола).
= 10 cos t t у — sin t (эллипс).
3
3
= 10 cos t t у = 10 sin t (аст роида).
= a(cos t + t sin t), у — a(sin t — t cos t) (разверт ка круга).
2
145*. x = -■a Q, у = ——- (декарт ов ли ст ).
1 + f1
a
146. x
7
147.
148.
ЛАП
149.
150.
У=
1+f
1+Г
at
7
(полро/сррлспость).
l + tJ
x = 2 * - f - 2 * , p = 2 * - 2 * (ве/пвь гиперболы).
x — 2 cos t r у = 2 sin £ (отрезок прям ой л и н и и ).
x = £. - £,2 , p “ t. 2 -, 3f .
х = а(2 cos t - cos 2t), у — a(2 sin t - sin 21) (кардиоида ),
Построить графики функций, заданных неявно:
151*. х2 + у 2 = 25 {окруж ност ь ). 155. у 2 = х 2(100 - х2).
2
.
3
2
2
3 3
+ у — а (астроида).
152. х у — 12 (гипербола).
156*. х
153*. у 2 = 2х (парабола).
157*. х + у = 10 lg у.
154.
100
+ У— — 1 (элли п с).
64
Г г ----- г
159*. *]х + у
v
= е
Arcte f
/
158. х —cos у.
*
(логарифмическая спираль).
160*. х + у — 3 х у = 0 (декарт ов ли ст ).
161, Составить формулу перехода от шкалы Цельсия (°С) к шкале
Фаренгейта (°F), если известно, что 0° С соответствует 32 °F и 100 °С
соответствуют 212 °F.
Построить график полученной функции.
17
§ 3* Пределы
162* В треугольник, основание которого Ь = 10 и высота h = 6,
вписан прямоугольник (рис. 5).
Выразить площадь этого прямоугольника у как функцию от ос­
нования его х.
Построить график этой функции и найти наибольшее ее значение.
163. В треугольнике АСВ сторона ВС = а, сторона АС = Ь и пере­
менный угол А АСВ = х (рис. 6).
Выразить у = пл. Д АВС как функцию от х . Построить график этой
функции и найти наибольшее ее значение.
В
Рис. 6,
Рис. 5.
164. Решить графически уравнения:
г) 10 х = х;
а) 2х2 - 5х + 2 = 0;
д) х = 1 + 0,5 sin х ;
б) x s + х - 1 = 0;
е) ctg х = х (0 < х < л).
в) lg х = ОДх;
165. Решить графически системы уравнений:
§ 3- Пределы
1°. П р е д е л п о с л е д о в а т е л ь н о с т и . Число а называется преде­
лом последоеателькости д; х 2,
х
lim х а = а,
п—
►
ис
если для любого г > 0 суа^ествует число N = N( e) такое, что
\х —а\ < £ при п > N.
П р и м е р 1. Показать, что
Л аО П+ 1
(1)
18
Глава I* ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Р е ш е н и е . Составим разность
2п-\-1 _ 2 = - 1
п+ 1
п+1*
Оценивая эту разность по абсолютной величине, будем иметь
2ть+ 1
1
/1 + 1
п + 1 < £>
если
I
(2)
п > - - 1 = N(z).
г
Таким образом, для каждого положительного числа е найдется число
N = 1 - 1 такое, что при п > N будет иметь место неравенство (2). Следо£
вател ьн о, число 2 является пределом последовательности х л = (2/i + 1)/(п + 1),
т* е* справедлива формула (1).
П р е д е л ф у н к ц и и * Говорят, что функция f(x) —> А при х —>а
(А и а — числа), или
lim f(x) = А,
х —а
если для любого
е
> О существует 5 = 5(e) > 0 такое, что
|Ддс) - А] < е при 0 < \х - а\ < Ь.
Аналогично,
lim f(x) “ А,
х — СО
если |Ддс) - А| < £ при \х\ > Ще).
Употребляется также условная запись
lim f(x) = ОО*
х—
1•а
которая обозначает, что |/(#)| > £ при 0 < \х - а\ < 6(E), где Е — произвольное
положительное число*
3°. О д н о с т о р о н н и е п р е д е л ы . Если х < а и х —> о, то условно
пишут х —> а - 0; аналогично, если х > а и х —> а, то это записывается так:
х —>а + 0, Числа
/(а - 0) = lim f(x) и f(a + 0) = lim f(x)
x —а - 0
jf-o +O
называются соответственно пределом слева функции f(x) в точке а и преде­
лом справа функции f(x) в точке а (если эти числа существуют).
Для существования предела функции Цх) при х -+ а необходимо и до­
статочно, чтобы имело место равенство
/(а - 0) = f(a + 0).
Если существуют lim fAx) и lim f Jx) , то имеют место следующие теох —1' а
х -+ а
ремы:
1) lim [/,(*) + /„(х)] = lim f Лх) + lim f Jx);
x
a
x
' a
x -*• a
2) lim [/,(*) • /"„(jc)] = lim f J x ) ■ lim f 2(x);
i
- ia
x —a
x —1h a
3) lim \ f l(x)/f (x)]= lim f ^ x ) / lim f 2(x) ( lim f 2(x) Ф 0).
§ 3. Пределы
19
Частое применение находят следующие пределы:
lim
- 1;
X
л: —' О
lim f 1 + —j = lim (1 + a )u = e = 2,71828.,, ,
V XJ
a —0
x * со
П р и м е р 2, Найти пределы справа и слева функции
fix) = arctg -
X
при х —>О,
Р е ш е н и е . Имеем:
Д +0) = lim farctg - 1 = 5
х^-о\
х)
2
и
Д -0) = lim farctg - ) = - 5 .
х *—
0\
2
Предела же функции /(*) при х —>0 в этом случае, очевидно, не существует.
166, Доказать, что при п
1 I
со предел последовательности
i
’ 4’ 9’
1
п2 ’ ■"
равен нулю. Для каких значений п будет выполнено неравенство
А
п (е — произвольное положительное число)?
Произвести численный расчет, если: а) £ = ОД; б) £ = 0,01;
в) £ = 0,001,
167, Доказать, что предел последовательности
х
*
= -Д !_ (л = 1, 2, „ ,)
л+1
при п —> оо равен 1. При каких значениях п > N будет выполнено
неравенство
Ьг
1 л “ 1|1 < Е
(£ — произвольное положительное число)?
Найти N, если: а) е = ОД; б) г = 0,01; в) с = 0,001,
168. Доказать, что
lim х 2 ™4.
JT- 2
Как подобрать для заданного положительного числа е какое-ни­
будь положительное число 5, чтобы из неравенства
\х — 2| < 8
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
20
следовало неравенство
I*2 - 4| < е?
Вычислить б, если: а) г = 0,1; б) е = 0,01; в) £ = 0,001.
169. Выяснить точный смысл условных записей:
a) lim 1g x = -оо;
х —+0
б) lim 2х = +оо;
х —+0
в) lim f(x)
х
=
П О
со
170. Найти пределы последовательностей:
п—1
1 1 _1
(-I)"
' > *♦►
'I
'-'I
2’ 3’ 4
п
4 6
2п
3’ 5’ '
2п- 1 ’
У
1 . . ,
,
в) 72 ;
J2J2т !
, ...;
г) 0,2; 0,23; 0,233; 0,2333; ... .
Найти пределы:
{1 2
3
------\------ + — 4*
2
2
п -* со ^Л Л « 2
171. lim
'
+
л- 1
2
П j
172. lim
(га+
173. lim
1 + 3+ 5 + 7 + .,. + (2ге-1)
Г
174. lim
га+ ("1)П.
п —>
■СО
+ %)(п + 3)
л3
п~> оо |_
2 л 4-1
л+ 1
175. lim 2" +1+ 3™+1
» - 00
п-(-!)“
2Л+ Зп
' ' i l l
1л
Л~ 00 V2 + 4 + 8 + "' + z2")j
176. lim
л-Г
. 1 1 1
(-1)
177. lim 1 - = +
7Г= + ... +
п- 1
3 9 27
П—OQ
1а 4*2г + Зг + .,. + л 2
П—00
п
178. lim
179. lim ( J n 4-1 - л/л).
180. lim л sin л!
л -о с
п.6 4. 1
При отыскании предела отношения двух целых многочленов относитель­
но х при х —> сю оба члена отношения полезно предварительно разделить на
хпу где ri — наивысшая степень этих многочленов.
Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей,
содержащих иррациональности.
21
§ 3* Пределы
П р и м е р 1.
2 “ - ' 8 + 5 V 4 -«
х ^
( 2 х - 3 ) ( 3 х + 5 )(4 х -6 ) = ]im
Hm
я -- сс
х «
Зх 4- X - 1
х
П р и м е р 2, Ит
* 00 3 /3 + 10
x -*
Ш
±
JC2 —11
10
3/1 + -Й
х
I
2x - 3 x - 4
x -*■ оо
187. lim
г
X —*
°
x - 5x + 1
jf —
►
со 3 jc+■7
188. lim
184, lim
2x - x + 3
x3 -8 x 4 -5
189. lim
18 5 . lim
( 2 » + a ) '( 8 , - 2 )x +5
190, lim
183. lim
.r —* QO
2 3 -4 = 8,
= 1,
= lim
х +1
1
х
s +~
X 2 ~Xh
186. lim
181. Ига..
*182. lim
х ,\
jc —* оо
X
-»
+
1
2x + 3
x+y+
X
jE
2
± I.
X + 1
Jx
—............
/
r~
/
л/х + * J X + a/X
Если P(x) и Q(x) — целые многочлены и Р(л) Ф 0 или Q(a) ф 0, то предел
рациональной дроби
lira Щ
- a Q(x)
jc
находится непосредственно,
Р ( JT\
Если же Р(а) = Q(a) = 0, то дробь —-—- рекомендуется сократить один
Q(x)
или несколько раз на бином х - а.
П р и м е р 3.
2
J
,
r t w
.
гъч
..
.
п
hn 1 “5---------- = lim b------ --------i =
j - 2 (x - 2)(x - 1)
2 x - 3x + 2
X
—
x3 + 1
191. lim
JC—-1 x* + 1
192. lim jc2- 5 x +10
x —
- 5 x 2 - 25
+а
196. lim х “ (яз + 1)х
з
x ra
х -а
x 2- 1
193. lim
i - i x2 + 3 x + 2
197. lim (х 4- h f - х 3
h
o
x3 - 2x
jc - 2 x l - 4x + 4
194. lim
195. lim х - ЗХ4- 2
JC- 1
h
198. lim
X
l
3 ■
X
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
22
Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональ­
ному виду во многих случаях путем введения новой переменной*
П р и м е р 4. Найти
lim
.
V l + .r - 1
Р е ш е н и е . Полагая
1 + ж = y6,
имеем
lim ' K + l l 1 - lim У ' - 1 - lim У2 + У ^
y 2- 1
У+1
* J T 7 x -l
201. lim
199. lim ^ ~ 1 .
jr —1 x - l
- 8
2
3^ - l .
Их- 1
202. lim ^ “ 2^ + l
200. lim ^ “ 8 .
(x - 1)г
x 64 Mx - 4
Другим приемом нахождения предела от иррационального выражения
является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, на­
оборот, из знаменателя в числитель.
П р и м е р 5*
203* lim
х
7
204. lim
х-*В
205. lim
206. lim
.c “ * 4
207* lim
x^0
h- 0
to
1
* —а х —а
х-а
= lim
х '*а (х - a){Jx + Ja)
= lim
1
!со
lim
(a > 0).
2 Ja
210. lim -J x 2 - 2x + 6 - V*2 + 2x - 6
* 3
x2 - 4x + 3
x 2 - 49
* -8
sJ i - 2
Ji-l
У 5 -1
Z-JW+x
1-J5~x
*fl + x - *Jl - X
X
J x + h - 4x
k
211.
212.
213.
lim
(J x +a - Jx),
lim
[ J x ( x + a) - xl.
lim
( J x 2 - 5x + 6 - x).
lim
x ( J x 2 +1 - x).
x -*• +°°
x -*■+ou
x ->+CO
214.
*
X
215. lim (x + л/ l - x 3).
x
^
CO
Vx + ft ft ^ 0
n
При вычислении пределов во многих случаях используется формула
sinx
Hm
*-*о
х
~ 1
§ 3. Пределы
23
и предполагается известным, что lim sinx = sin а и lim cosx = cosn.
1-*а
x
П р и м е р 6. lim sin5* - lim f sin5* . 5'’
x —0 X
X—о V x
;
216. a) lim
X *2
; б) lim sin* .
x —oo X
X
229.
a
= 1 ■5 = 5.
lim c tg
x н0
2x
c tg
(- - х Л
\X
■)
1 “ sin -
217. lim sin3x
* ->0 X
218. lim sin5x
2x
230.
lim
X— я
231.
lim
2
71 - X
1 - 2 cosx
n-3x
я
*
219. lim sinnx
X - 1 sinSrcx
232.
220* lim ( n sin
.
71 '* V
n)
221. lim 1 - cosx
2
x >0
X
222. lim sinx - sina
x-a
x ■■-*■a
223* lim cosx - cosa
x- a
x —*a
224. lim tg nx
x —-2 X + 2
233.
CO
234.
3
lim
x -* 0
lim
x - 0
lim
x -0
co sm x
- cosnx
2
X
tg x - sin x
X
о
a rc sin x
X
a rc tg 2 x
235.
lim
x 10
236.
lim
X 1
237.
lim
x -* 0 x -f s i n 3 x
sin S x
1l
- X2
s in n x
x - sin 2 x
■ M
l
л
^nx
cos —
2
225. lim sin(x + Л) - sinx
h
A- 0
238.
lim
x - 1 1 - Ух
226* lim sinx - cosx
n 1 - tg ж
239.
lim
x ■■|r 0
x^ 4
227. a) lim x sin A ; 6) lim x sin - .240.
x
Q
X
x -+<*>
X
lim
x -0
1 -
J cosx
X
2
J l -t s i n x —J l —s i n x
X
228. lim (1 - *)tg Цр -
x -* 1
2
При нахождении пределов вида
lim [ф(х)]4^ = С
следует иметь в виду, что:
1) если существуют конечные пределы
lim ф(х) = Л и lim \)/(х) = В ,
х -* а
'ГО С = Ав;
х —а
(3)
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
24
2) если lim ф{#) " А * 1 и Нш ф(;г) = ±оо, то вопрос о нахождении прех
а
х —1- а
дела (3) решается непосредственно;
3} если lim <р(х) = 1 и lim ф(лг) —£*\ то полагают Ф(х) = 14- сс(х), где
х —а
х — a
а{х) -^Оприлс-^аи, следовательно,
,
С - lim
х —a
1 ,а(х)у(г)
е
[1 + а(* )]а<"
Hm 1 ф (х )- llitr(jc)
lim а { х ) ф ( х )
Г
d
eJ °
где e —2,718,.. — неперово число.
П р и м е р 7. Найти
lim sin 2 а:
1+x
x^Q
Р е ш е н и е . Здесь
lim
x )
= 2 и lim (1 + *) = 1;
x^O
следовательно,
lim sin 2 s
1+x
x —о
П р и м е р 8. Найти
x + 1V
lim
X-> OQ 2 T T lJ
Р е ш е н и е . Имеем
lim * + 1
x - > ° ° 2x + l
lim
x -*■ oo
1
2
и
lim x2 —+oo.
x -*• OO
Поэтому
lim
X—
* + 1 y 2 = 0,
2* + l j
П р и м е р 9. Найти
lim
x-lV
x -■* CQ
Р е ш е н и е . Имеем
lim x - 1
x -•» OO
х+Л
lim
x —oo
= 1.
§ 3. Пределы
25
Произведя указанное выше преобразование, получим
lim
lim
\х + 1
X — Оа
х+1
- -2
'1 + (4* + l
2х
1 х
+
JJ
Нт
J " w х+1
= е
= Иш
х -* «
= е-г
В данном случае, не прибегая к общему приему, можно найти предел проще:
fi-ir
LA. .
lim
[ K
lim f * Z ± r - lim
х -» ооГ 1Ч*
x —* w VX + 1 j
1+ -
- е
-2
lim f l + Г '
X
Вообще, полезно помнить, что
Иш f 1 + ^
X-* »
= е\
Найти следующие односторонние пределы:
241. lim . 2 + x Y
247. lim ( 1 +
ж - 1 V +1
242. lim
248. lim f-fL _
\X
X —* оо V.X + l r
* -i V -V
2х
1 \х + 1
243. lim
.
X—оо
х —о V3 - х
,x + 2
249. lim f
X оо
!i
X—
►
oo ^X + 3,
sin x
244. lim /V - 2 s + 3>| 1
x^O
245. lim
x 4со
x 2 - 3x + 2)
(
x 3 +-2V
2x + l j
1 + х ^.л
250, lim
П оо V.
nj
251. lim (1 + sin*)
246. lim ( 1 - i l .
252**. a) lim (cosx) ; 6) lim (cosx)
n ~*oo
*-*■ 0
x—
h0
.
При вычислении приведенных ниже пределов полезно знать, что если
существует и положителен lim / ( х ) , то
х—
*а
lim [1п/(х)] = In [lim /(х )1 .
X—а
|_х—
1а
J
П р и м е р 10. Доказать, что
lim М 1 ± £ > - 1.
х—
*0
(*)
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
26
Р е ш е н и е , Имеем
X
х —О
Ем
х -> 0
г
11
г
И
lim Ы<1 + *) = lim 1п(1+ я)х
1~\
lim (1+х)х = In е - 1,
х —0
_
_
Формула (*) часто используется при решении задач.
253. lim [In (2х + 1) - In (х + 2)]. 259*. lim а - 1 (а > 0).
х -* ОО
X ■■' О
260*. lim n(Va - 1) (а > 0).
254. lim
х
О
X -> оо
X
ах
261. lim е - е
255. lim Гi In /1 + *
1 -х
0 \х
256. lim
X +оо
1 -е
262. lim
x - 0 smx
263. a) lim ^
257. lim ln(cosr).
x^O
X
-X
х 'О
jcfln {х + 1) - In х].
x -0
X
X
eX - 11
(см. Ш
x—
*0 x
Найти следующие односторонние пределы:
258*- lim
б)
264. a) lim
х
’•» - О О
265. a) lim
х -*■-оо
266. a) lim
х - -о
267. a) lim
th х;
б) lim
1>
X
1 -ьег
б) lim
X +0
х -*• - 0
lim
б)
103 и 104).
J 7 7
I
th
х -х
е
- е
где th jc =
ех + е~*
lim М 1 ± ё!>.
х—
**+■со
х
х
jc - 1
lim
х -2 -0
x
б) lim
;
*
б)
1-0 \ х - 1Г
270. a)
x>0
1+е
х
268. a) lim
269. a)
г - +00
1п(1+<;Г)
X ->
; 6) lim ch * ~ 1
lim
* ^ +”
Jx + 1
Ьх
б)
;
Х - 2
*+0
X
lim
х - 1+0 \х " 1
.
lim
х - 2 +О Х -2
Построить графики функций:
271**. у = lim (cos
71 *СО
272*. у -
2л
lim —
1+х
273. у = lim
а
Vx2 + а
jc).
(х > 0).
274. у = lim (arctg п х ).
71 -*■со
275. у = lim nJ 1 + х* (х > 0).
71 ^ СО
§ 3. Пределы
27
276. Превратить в обыкновенную дробь данную смешанную пе­
риодическую дробь
а = 0,13555.
рассматривая ее как предел соответствующей конечной дроби.
277. Что делается с корнями квадратного уравнения
ах -Ь Ьх 4- с = О,
если коэффициент а стремится к нулю* а коэффициенты б и с по­
стоянны, причем Ь Ф О?
278. Найти предел внутреннего угла правильного л-угольника
при п
00,
279. Найти предел периметров правильных л-угольников, впи­
санных в окружность радиуса R и описанных вокруг нее, при л —>оо.
280. Найти предел суммы длин ординат кривой
у = е *cos юс,
проведенных в точках х = 0, 1, 2, ..., л, при п —>
281. Найти предел суммы площадей квадратов, построенных на
ординатах кривой
П1 - х
У“ 2
как на основаниях, где х “ 1, 2, 3,
л, при условии, что л —>
282. Найти предел при л —> со периметра ломаной М^Му.шМ ,
вписанной в логарифмическую спираль
-<р
Г“ е \
если вершины этой ломаной соответственно имеют полярные углы
пп
Фо
Т *
283. Отрезок АВ = а (рис, 7) раз­
делен на п равных частей, и на
В
а
каждой получившейся части, как
Рис. 7.
на основании, построен равнобед­
ренный треугольник с углами при
основании, равными а = 45°. Показать, что предел периметра обра­
зовавшейся ломаной линии отличен от длины отрезка АВ, несмотря
на то что в пределе ломаная линия «геометрически сливается с от­
резком АВ*'.
284. Точка С1 делит отрезок АВ = I пополам; точка С2 делит от­
резок АСг пополам; точка С3 делит отрезок С2С1 пополам, точка С4
делит отрезок С2С3 пополам и т, д. Определить предельное положе­
ние точки С , когда п —> оо.
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
28
285. К атет а прямоугольного треугольни ка
разделен н а п равн ы х частей, и на п олучи вш и хся
отрезках построены вписанны е п рям оугольн и ки
(рис. 8). О пределить предел площ ади образовав­
ш ейся ступенчатой ф игуры , если п —> °о.
286. Н айти постоянны е к и Ь из уравнения
(
Нш
х ■*00 V
Рис. 8.
kx + Ь -
+ 1
2 1
X + 1
= 0.
(1 )
В ы яснить геом етрический смысл равенства (1).
287*. Н екоторы й хим ический процесс протекает так , что прирост
количества вещ ества за к аж д ы й пром еж уток времени т из бесконеч­
ной последовательности пром еж утков (£т, (i 4- 1)т) (i = 0, 1, 2,
пропорционален наличном у количеству вещ ества, им ею щ ем уся в н а­
чале этого п ром еж утка, и величине п ром еж утка. П редполагая, что
в н ачальн ы й момент времени количество вещ ества составляло Q0,
определить количество вещ ества
через пром еж уток времени
если прирост коли чества вещ ества происходит каж дую п -ю часть
п ром еж утка времени т = £
п
Н ай ти Q = lim
X -* сс
Q[n) .
§ 4. Бесконечно малые и бесконечно большие
1°г Б е с к о н е ч н о м а л ы е . Если
lim а(х) = О,
X
*(7
т. е. если |а(х)| < г, при 0 < \х - а\ < 5(e), то функция а(х) называется беско­
нечно малой при х —>а. Аналогично определяется бесконечно малая а(х)
при х —>
Сумма и произведение ограниченного числа бесконечно малых при х —> а
есть также бесконечно малые при х —>а.
Если <х(х) и р(х) — бесконечно малые при х —>а и
Нш а(х) = с,
х —■а р(*)
где С — некоторое число, отличное от нуля, то функции а(х) и (i(.v) называются бесконечно малыми одного и того же порядка; если же С = 0, то
говорят, что функция а(х) есть бесконечно малая высшего порядка по срав­
нению с Р(х). Функция а(х) называется бесконечно малой порядка п по срав­
нению с функцией Р(х), если
lim J & L
1-0 1Р(*)1"
где 0 < \С\ < Н'<хзр
- С,
§ 4, Бесконечно малые и бесконечно большие
29
Если
то функции а(я) и Р(я) называются равносильными (эквивалентными) бес­
конечно малыми при х
а:
СЕ(*) ~ И * ).
Например, при х
0 имеем:
sin х - х; tg х - х\ In (1 Н- я) - х
и т, п.
Сумма двух бесконечно малых различных порядков равносильна тому
из слагаемых, порядок которого ниже.
Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если члены от­
ношения заменить равносильными им величинами, В силу этой теоремы при
нахождении предела дроби
где а(д:) ч Ои Р(д:) —> 0 при х —> а, в числителе и знаменателе дроби можно
откидывать (или добавлять) бесконечно малые высших порядков, подобран­
ные так, чтобы оставшиеся величины были равносильными прежним.
П р и м е р 1,
х —о in (l + 2х)
х—
^о 2х
2
2°, Б е с к о н е ч н о б о л ь ш и е . Если для любого сколь угодно боль­
шого числа N существует такое 5(Л0> что при 0 < \х - а\ < 5(N) выполнено
неравенство
;Д*)| > N,
то функция /(х) называется бесконечно большой при х —>а.
Аналогично определяется бесконечно большая f{x) при х —> 00, Подобно
тому, как это сделано для бесконечно малых, вводится понятие бесконечно
больших различных порядков,
288, Доказать, что функция
является бесконечно малой при х
полнено неравенство
со, Для каких значений х вы­
[A*)l < е,
если £ — произвольное число?
Произвести расчет для: а) £ = ОД; б) £ = 0,01; в) г - 0,001,
289. Доказать, что функция
f(x) = 1 - X2
Глаза I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
30
является бесконечно малой при л: —^ 1 - Для каких значений х вы­
полнено неравенство
\f(x)\ < Е,
если £ — произвольное положительное число? Произвести числен­
ный расчет для: а) £ — ОД; б) в —0,01; в) г — 0,001*
290. Доказать, что функция
является бесконечно большой при х
\х - 2] < 5 выполнено неравенство
2. В каких окрестностях
|« * ) | > * ,
если N — произвольное положительное число?
Найти 5, если: а) N = 10; б) N = 100; в) N = 1000.
291. Определить порядок малости: а) поверхности шара; б) объема
шара, если радиус шара г есть бесконечно малая
D
1-го порядка. Каковы будут порядки малости раА
В диуса шара и объема шара по отношению к поверх­
ности этого шара?
292.
Пусть центральный угол а кругового сек­
тора АВО (рис. 9) радиуса R стремится к нулю. Оп­
ределить порядки бесконечно малых относительно
бесконечно малой а: а) хорды АВ; б) «стрелки» CD;
Рис, 9,
в) площади Д ABD.
293.
Определить при х —* 0 порядки малости относительно х функ­
ций:
г) 1 - cos х ;
д) tg х - sin х .
294. Доказать, что длина бесконечно малой дуги окружности по­
стоянного радиуса равносильна длине стягивающей ее хорды.
295. Являются ли равносильными бесконечно малый отрезок и
бесконечно малая полуокружность, построенная на этом отрезке,
как на диаметре?
Пользуясь теоремой об отношении двух бесконечно малых, найти:
298. lim
296. lim sin3x ■sin5x
x - 0 1- x
arcsin
297. lim
In (1 - x)
299. lim cos* “ cos2x
1 - COS X
§ 5, Непрерывность функций
300* Доказать, что при х
31
0 величины ^ и JT+ x - 1 равно-
си л ь н ы между собой* Пользуясь этим результатом, показать, что при
\х\ малом имеет место приближенное равенство
Л + ^ “ 1 + |.
(1)
Применяя формулу (1), приближенно найти:
а) Д Л 6 ; б) У0Д)7 ; в) Л 0 ; г) * / Ш
и сравнить полученные значения с табличными данными*
2
301* Доказать, что при х —» 0 с точностью до членов порядка х
имеют место приближенные равенства:
а) —
= 1 - х;
1+ X
б) J a 2 + х ~ а + ™ (а > 0);
в) (1 + x)n = 1 + п х (п — натуральное);
г) lg (1 + х) = М х, где М = lg е = 0,43429***
Исходя из этих формул, приближенно вычислить:
D Т ог ; 2) o l 7 ; 3) Ш Б: 4) ^
; 5) 1,043; 6) 0,9з4; 7) lg 1 Д *
Сравнить полученные значения с табличными данными*
302* Показать, что при х —» оо целая рациональная функция
Р(х) = aQx n + ахх п 1 +
+ ап К *
есть бесконечно большая величина, равносильная старшему члену
п
а^х *
303* Пусть х —» оо, Принимая х за бесконечно большую величину
1-го порядка, определить порядок роста функций:
а) х2 - ЮОдс - 1000;
б )
Х \
в) ,Jx + J x ;
r ) i S/x - 2 x 2 .
;
§ 5. Непрерывность функций
I й* О п р е д е л е н и е н е п р е р ы в н о с т и * Функция f(x) называется
непрерывной при х ^ (или
точке £ 0 , если: 1) эта функция определена
в точке I;, т. е. существует число Д£); 2) существует конечный предел lim f(x);
3) э т о т предел равен значению функции в точке
т* е.
—
lim /(х) = ft£).
Полагая
г - £+Д
(1)
32
Глава L ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
34
где Д£-> 0, можно переписать условие (1) так:
1ип0 Л т
Я
=
т
4- Л {;) - Д Е ) ] = О,
(2)
гг
точке бесконоч^малому приращению
* Т0ЛЬК0 Тогда’ когДа в этой
малое приращение функции.
W мента соответствует бесконечно
» ,
П р и м е р 1 . Д1 3а Г “
"и
Г
ке
т °ри°*ш *
°6л“ ™
O ta,™ ,.
У ^ sin х
непрерывна для любого аргумента х.
Р е ш е н и е , Имеем
Ау
sin (х + Ах) - sin х - 2 sin — cos х + Ах
sin Дх
Ах
cos X+ Дх'
Дх.
2
Так как
sin Ах
Нш
Д*- *о Ах
2
- 1 и cosj^x
I. +
<и
то при любом х имеем
lim Ay = о.
Ах ^ 0
Следовательно, функция sin .г непрерывна при - о о < х < +со
* ' 1 о ч к и р а з р ы в а <bv и к тты-w г-л
разрыв непрерывности при значении х - г , ®°РЯТ’ ЧТ0 Функция Дх) терпит
области пп™ 1 оц *
значении х (или в точке xQ), принадлежащем
оласти определения функции или являющимся гпаничн*.™^™
- с
™ ' ™ ™ е “ РУ“ »™« у с ™ , „ т р е р ы , ™ ™ ™ " ™
Пример
« ш в д и Л*) - —
(рис. 10, а) разрывна при « . 1
^
.
(1-х)
f Ta Ф У Н К Ц И Я не определена в точке х = 1 „ „ в„ «
Е с л и Г ' Г 8" ФУВК,? И”
Ее 6™6T »e«Pe“ ..Hb»” “ pH
» V “ 6lP" ‘' ™ “ °
для функции Я*) существуют к о н е ч н ы е пределы
J i m o /(*) = Ях0 - 0) и ^ Hm fl /(х) = Я*0 + 0),
причем не все три ч и с л а Дх ) f(r - m
_l m
п» и
"
/(Х0 - 0) = Дх0 + 0),
жду - * • ™ *°
то х0 называется устранимой точкой разрыва.
Для непрерывности функции ffri в
„
,
чтобы
^
К6 Х° нео®ходимо и Достаточно,
Ахп) = Дх0 - 0) = f(xQ + 0).
§ 5. Непрерывность функции
33
П р и м е р 3. Функция f(x) = sin
, ,X имеет разрыв 1-го рода при х —0,
ы
В самом деле, здесь
f(+0) = lim
*0
= +1,
X
Л-0) = lim
X —
-О
= -1.
X
П р и м е р 4. Функция у = £(дг), где 2?(я) обозначает целую часть числа
х (т. е, £(я) есть целое число, удовлетворяющее равенству х — Е(х) + д, где
О < q < 1), разрывна (рис. 10, б) в каждой целочисленной точке: х = О, +1,
±2,
причем все точки разрыва 1-го рода,
В самом деле, если п — целое, то Е(п - 0) = п - 1 и Е(п + 0) = л* Во всех
остальных точках эта функция, очевидно, непрерывна.
Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва 1-го рода, на­
зываются точками разрыва 2-го рода,
К точкам разрыва 2-го рода относятся также точки бесконечного разрыва, т, е, такие точки дг0, для которых хотя бы один из односторонних пре­
делов f(xQ - 0) или f(xQ + 0) равен
(см, пример 2).
71
П р и м е р 5. Функция у = cos - (рис. 10, в) в точке х = 0 имеет разрыв
х
2’го рода, так как здесь не существуют оба односторонних предела:
lim co s-71 и lim cos 7-1 .
х
-О
X
X — +0
X
3°, С в о й с т в а н е п р е р ы в н ы х ф у н к ц и й . При исследовании
функции на непрерывность нужно иметь в виду следующие теоремы:
1)
сумма и произведение ограниченного числа функций, непрерывных в
некоторой области, есть функция, непрерывная в этой же области;
2
Задачи и у п р аж н ен и я
34
Глава Ь ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
2) частное от деления двух непрерывных в некоторой области функций
есть непрерывная функция при всех значениях аргумента из этой области,
не обращающих делитель в нуль;
3) если функция f(x) непрерывна в интервале (а, Ь), причем множество
ее значений содержится в интервале (А, В), и функция (рСг) непрерывна в
интервале (А, В ), то сложная функция ф[Дя)] непрерывна в интервале (а , &).
Функция f{x), непрерывная на отрезке [а, £>], обладает следующими свой­
ствами:
1) f[x) ограничена на [а, £], т, е* существует некоторое число М такое,
что \f(x)\ < М при а < х К Ь\
2) f(x) имеет на [а, Ь] наименьшее и наибольшее значения;
3) fix) принимает все промежуточные значения между двумя данными,
т. е, если /(а) - А и /(Р) = В {а < а < Р < Ъ) и А Ф В, то, каково бы ни было
число С, заключенное между числами А и В, найдется по меньшей мере одно
значение х = у (ct < у < Р) такое, что Яу) - С,
В частности, если Лс&)/(|3) < О* то уравнение
fix) - О
имеет в интервале (а, р) но меньшей мере один вещественный корень.
304* Показать, что функция у = х непрерывна при любом зна­
чении аргумента х.
305. Доказать, что целая рациональная функция
Р(х) = аьх п + аАхя ~ 1 -Г ... + ап
непрерывна при любом значении х .
306. Доказать, что дробная рациональная функция
Щх) = a°x* + a' x*~- L - + aJL
b0x m + bl x m~1+ . . . +bm
непрерывна для всех значений х , за исключением тех, которые обращают знаменатель ее в нуль*
307*. Доказать, что функция у = J x непрерывна при х > О,
308* Доказать, что если функция f(x) непрерывна и неотрицатель­
на в интервале (а, Ь), то функция
Fix) = ТЯХ)
также непрерывна в этом интервале.
309** Доказать, что функция у —cos х непрерывна при любом х.
310. Для каких значений х непрерывны функции: a ) t g x и
б) c tg х?
311*. Показать, что функция у = |х| непрерывна. Построить гра­
фик этой функции.
312. Доказать, что модуль непрерывной функции есть функция
непрерывная.
§ 5. Непрерывность функций
35
313- Функция задана формулами
х 2 - 4j
fix) = х - 2 при хФ 2,
А
при х = 2.
Как следует выбрать значение функции А ^ /(2), чтобы пополненная
таким образом функция f(x) была непрерывна при х = 2? Построить
график функции у = Дх).
314- Правая часть равенства
х sin -
№
х
теряет смысл при х = 0, Как следует выбрать значение /(0) для того,
чтобы функция f(x) была непрерывна при х = 0?
315. Функция
fix) = arctg
теряет смысл при х = 2* Можно ли так определить значение /(2),
чтобы пополненная функция была непрерывной при х = 2?
316- Функция f(x) не определена при х = 0. Определить /(0) так,
чтобы f{x) была непрерывна при х = 0, если:
X -X
г
- е
г) f(x) =
а)/(дг)= (1 + * ) " - 1 {п — натуральное);
X
1
б) f(x)
- COSX
X
д) fix) = лс2 sin i ;
2
X
в) fix) = in(l + *) - 1п(1 - х) .
е) Дя) = х ctg х-
Исследовать на непрерывность функции:
2
317318-
у =
324- у = In t g £
1у+=хэ
325- е/ = arctg - -
х-2
* 2
1+х
х
319. у = V ^ - 3
326. у = (1 + х) arctg
х 2 - 4Л
320. у = *
327. у = е
Ы
321. а) у - sin - ; б) у = х sin ~ .
328. у = е
322. у = ^. х
smx
329, у = -
х
х
1+е
2
323. у = In (cos х)-
1 -х
\
X+1
1
1
-
*
330. у = \ А
при * ^ 3>
| 2х + 1 при х > 3.
Построить график этой функции.
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
36
331* Доказать, что функция Дирихле x(x)t равная нулю при х ир­
рациональном и равная 1 при х рациональном, разрывна для каж­
дого значения х.
Исследовать на непрерывность и построить графики функций:
332. у = lim
1 + ХЛ
(х > 0).
333. у = lim (дг arctg п х ).
П «>
334. а ) у = sgn х , б ) у = х sgn х , в ) у = sgn (sin дг), где функция sgn х
определяется формулами
+ 1, если х > 0,
sgn х = < 0, если х = О,
- 1 , если х < О*
335* а) у = х - Е(х), б) у = хЕ(х), где £ (х ) есть целая часть числах.
336, Привести пример, показывающий, что сумма двух разрыв­
ных функций может быть функцией непрерывной.
337*. Пусть сс — правильная положительная дробь, стремящаяся
к нулю (0 < а < 1)* Можно ли в равенство
Е( 1 + а) *= £(1 “ а) + 1,
справедливое для всех значений а, подставить предел величины а?
338. Показать, что уравнение
X3 — 3* + 1 = О
имеет в интервале (1, 2) действительный корень* Вычислить при­
ближенно этот корень.
339* Доказать, что любой многочлен Р(х) нечетной степени имеет
по меньшей мере один действительный корень*
340. Доказать, что уравнение
tg х = х
имеет бесконечное множество действительных корней*
Глава II
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
§ 1. Непосредственное вычисление производных
1°. П р и р а щ е н и е а р г у м е н т а и п р и р а щ е н и е ф у н к ц и и .
Если х и Xj — значения аргумента х, а у = f(x ) и у х = !(хг) — соответст­
вующие значения функции у = f(x ), то
Ах - х х - х
называется приращением аргумента х на отрезке
[х, x j , а
&У —У\ ~У
или
Ау = /(хг) ~ /(*) = f(x + Д х) - fix)
(1)
— приращением функции у на том же отрезке [х, хд]
(рис, 11 , где Дх = М А и Ay —AN). Отношение
Ау
tga
Ах
представляет собой угловой коэффициент секущей М N графика функции
У = f(x) (рис. 11) и называется средней скоростью изменения функции у на
отрезке [х, х н- Дх1*
П р и м е р 1. Для функции
у = х 2 - 5х + 6
вычислить А х и Д у, соответствующие изменению аргумента:
а) от х = 1 до х = 1,1;
б) от х = 3 до х = 2.
Р е ш е н и е , Имеем:
*) Л* = 1,1 - 1 = 0,1,
Лу = (1Д г - 5 ■1,1 + 6) - ( I 2 - 5 • 1 4 6) = -0,29;
б)Д* = 2 - 3 = -1 ,
= (22 - 5 ■2 + 6) - (З2 - 5 ■3 + 6) = 0.
П р и м е р 2. Для гиперболы у = i найти угловой коэффициент секуX
Щси, проходящей через точки с абсциссами х —3 и х = 10.
Р е ш е н и е . Здесь Дх = 10 - 3 - 7, у ** 1 , у = ^ t- Ау = — - - =
у 3 У1 ю
у 10
3
Следовательно, k = ^
Дх
30
30
.
Глава
38
2
U.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
П р о и з в о д н а я . Производной у' = ^ от функции у = Дх) по арdx
гументу х называется предел отношения — , когда Ах стремится к нулю, т, е.
Ах
у'
" dir
lim
~ >
-*■о Ах
если этот предел существует.
Величина производной дает угловой коэффициент касательной М Т к гра­
фику функции у = Дх) в точке х (рис. 11):
У' = tgcp.
Нахождение производной y f называют дифференцированием функции.
Производная у ' = f \ x ) представляет собой скорость изменения функции в
точке х.
П р и м е р 3. Найти производную функции
2
У= х .
Р е ш е н и е . По формуле (1) получаем:
Д У = (# + А х}2 - х2 — 2хА х + (Д х)2
и
*М. = 2х + А х .
Ах
Следовательно,
у = lim ^ = lim (2х + Дх) = 2х.
Лг —о Ах
Дх -- о
3°. О д н о с т о р о н н и е п р о и з в о д н ы е . Выражения
П х)=
lim
дх -* -о
№
lim f(* + A * )-/(* )
Дх -*•- о
Дх
Ах
и
называют соответственно левой и л и правой производной функции Дх) в точ­
ке х. Для существования f{x ) необходимо и достаточно, чтобы
f'Ax) = f'Ax).
П р и м е р 4. Найти f (0) и
(0) для функции
f(x) = |х[.
Р е ш е н и е . Имеем по определению
= 1
lim !£*! - -1 , f\ (0) = lim ^
Дх—-0 Дх
Дх —+оДх
4°. Б е с к о н е ч н а я п р о и з в о д н а я . Если в некоторой точке имеем
lim f(x + A x ) - f ( x ) = оо
Дх -- о
Дх
то говорят, что непрерывная функция Дх) имеет бесконечную производную
в точке х, В этом случае касательная к графику функции у = Дх) перпен­
дикулярна оси ОХ.
Г (0) -
§ 1. Непосредственное вычисление производных
39
П р и м е р 5. Найти /'(0) для функции
у = 3J x .
Р е ш е н и е . Имеем
ПО) - Нт
= lim —L= =
2
341.
Найти приращение функции у = х , соответствующее пере­
ходу аргумента:
а) от х = 1 до x i = 2;
б) от х = 1 до х г = 1Д;
в) от х = 1 до х г — 1 + Л.
342, Найти Ду для функции у = \[х , если:
а) х = 0, Дх = 0,001;
б) х = 8, Лх = -9;
в) х = a, Дх = h>
343, Почему для функции у — 2х + 3 можно определить прира­
щение Ду, зная только, что соответствующее приращение Дх = 5, а
2
для функции у = х этого сделать нельзя?
344, Найти приращение Ду и отношение ^ для функций:
Дх
а) у = — - — - при х = 1 и Дх - 0,4;
О 2-2)
б) у = J x при х = 0 и Дх = 0,0001;
в) у = lg х при х = 100 000 и Дх — —90000,
345. Найти Дг/и ^ соответствующие изменению аргумента от х
* Дх
до х + Дх для функций:
а) у ~ ах + Ъ\
г) у = J x ;
б ) у = *3;
д)У = 2*;
в) У = —2 \
е)у = In ж.
X
346, Найти угловой коэффициент секущей к параболе
о - х 2,
у = 2х
если абсциссы точек пересечения равны:
а) х х = 1, х 2 * 2;
б) х г = 1, х3 = 0,9;
в) х 1 = 1, х 2 = 1 + Л.
К какому пределу стремится угловой коэффициент секущей в пос­
леднем случае, если k —> 0?
347, Какова средняя скорость изменения функции у — х 3 в про­
межутке 1 < х < 4?
40
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
2
348* Закон движения точки есть s = 2t + 3£ + 5, где расстояние s
дается в сантиметрах, а время £ — в секундах. Чему равна средняя
скорость точки за промежуток времени от t — 1 до t — 5?
349. Найти средний подъем кривой £ = 2 на отрезке 1 < х < 5.
350. Найти средний подъем кривой у = Дх) на отрезке [х, х 4- Дх].
351. Что понимают под подъемом кривой у = Дх) в данной точке х?
352. Дать определение: а) средней скорости вращения; б) мгно^
венной скорости вращения.
353. Нагретое тело, помещенное в среду с более низкой темпера­
турой, охлаждается. Что следует понимать под: а) средней скоростью
охлаждения; б) скоростью охлаждения в данный момент?
354. Что следует понимать под скоростью реагирования вещества
в химической реакции?
355. Пусть т — f(x) — масса неоднородного стержня на отрезке
[0, х]. Что следует понимать под: а) средней линейной плотностью
стержня на отрезке [х, х + Дх]; б) линейной плотностью стержня в
точке х?
356. Найти отношение ^ для функции у = i в точке х = 2, если:
Дх
х
а) Дх = 1; б) Дх - ОД; в) Дх = 0,01* Чему равна производная у' при
х - 2?
357**. Найти производную от функции у = tg х.
358- Найти у' = lim
^ для функций:
Ах—о Л*
а) у = JC3;
б) у = \ ,-
в) у = Vx ;
г) ctg х.
X
359. Вычислить /'(8), если Дх) = sJ x .
360. Найти ПО), П 1), П 2), если Дх) = х(х - 1)2(х - 2)3.
з
361. В каких точках производная от функции f(x) = х численно
совпадает со значением самой функции, т. е, Дх) = /Дх)?
2
362. Закон движения точки есть s = 5^ , где расстояние s дано в
метрах, а время t — в секундах. Найти скорость движения в момент
времени t = 3.
363. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у —0 Д х ,
проведенной в точке с абсциссой х = 2.
364. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = sin х
в точке (тс; 0)*
365. Найти значение производной от функции Дх) = А в точке
х
X = х0 (х0 Ф 0).
§ 2. Табличное дифференцирование
41
366** Ч ем у равны угловы е коэф ф ициенты касательн ы х к кривы м
1
2
Ij = L и у =* х в точке их пересечения? Н айти угол м еж ду этими
у
х
кас ате л ь н ы м и .
367**. П оказать, что следую щ ие ф ун кци и не имею т конечны х
производны х в у к азан н ы х точках:
о / 2
а) у = У х в точке х = 0^
б) у = Ух - 1 в точке х = 1;
в) у = |cos xj в точках х =
и
л (к — 0, ± 1, ± 2,
§ 2. Табличное дифференцирование
1°. О сновны е п р а в и л а н а х о ж д е н и я п р о и зво д н о й . Если с — посто­
янная и и = ф(х), v = \|/(лг) — функции, имеющие производные, то
1) (с)' = 0;
5) (ut>)' = u'v + v ’u;
2} (х)' = 1;
6) [ Z) - ц V - Ш (v * 0);
v)
у*
3) (u ± v)f = и' ± v*\
7 ) 1-1
v.
4) (cu)' - си';
v
(»*0).
2°, Т а б л и ц а п р о и з в о д н ы х о с н о в н ы х ф у н к ц и й
XIII. (In*)' = - (* > 0).
I. (хпу = пх11 \
X
и. ( Л ) ' = ~
(* > о ).
2л
III. (sin хУ = cos х .
IV. (cos х)' - - sin х.
v. (tg ху
=- L - .
1 _ l°gue
XIVШ -а
x
(x > 0, a > 0).
XV. (sh x )' = chx.
XVI. <ch x)f = sh x .
COS X
VI. (ctg x )' =
1
, 2
sin X
VII, (arcsin xY =
XVII* (th x y = ,2 .
ch x
(|x| < 1).
XVIII. (cth
sh x
Vl - x 2
VEIL (arccos xY = -
1
(W < 1).
Vl - x J
i
IX. (arctg x )' =
1 + x1
X, (arctg xY = - 1
x 2+ 1
XIX. (A rshx)' =
XI. (a1)' = a Jln a.
ХХЛ. (Arcth x)' = - — — (W>Dx 2- 1
XII. (exY = e \
XX. (Arch xY =
V1 + x
1
(W>1).
Vx2 1
XXL (Arth x)' =
(N < l).
1- X
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
42
3°* П р а в и л о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я с л о ж н о й ф у н к ц и и . Если
у = f { u ) и и - ф(я), т. е. у = /[<р(я)]5 гДе функции у и и имеют производные, то
у \ = у 'У х
о
или в других обозначениях
dy = dy
dx
du
dи
dx ’
Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа диф­
ференцируемых функций.
П р и м е р 1. Найти производную функции
у = (х2 - 2х + З)5.
5
2
Р е ш е н и е , Полагая у —и , где и = х - 2х + 3, согласно формуле (1)
будем иметь
у' = (ц5)'(д:2 - 2х + 3); - Ьи{2х - 2) = 10{х - 1)(х2 - 2х + З)4.
П р и м е р 2, Найти производную функции
* з 4х>
л
у = sm
Р е ш е н и е . Полагая
у - и ;
w e sm о;
v = 4х,
находим
2
2
у ' = За * cos v * 4 —12sin 4# cos 4*.
Найти производные следующих функций (в ШШ 368—408 пра­
вило дифференцирования сложной функции не используется):
А. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
369. У = 1 - 1 х + х ‘ - 0,5х4.
4
3
370. У = ах2 + Ъх + с.
v
371. У = _ 5 х 3
а
,т
372. У = at
-3
' 375. У =
368. У = х5 - 4а;3 + 2х - 3.
376* • У =
v 377. У =
а
Ух2
xlfx
J 378. У = a + bx
c +d x *
2х + 3
379. У =
*S
,.т
+ at
+п
лс2 - 5 ;с + 5
373. У =
ах 6 + о1.
Ja2+
374. У “ 5 + In 2.
2
380. У =
2х-1
381. У =
1 - Jz
1
х
43
§ 2. Табличное дифференцирование
Б. ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ КРУГОВЫЕ
382. у = 5 sin х + 3 cos х.
383. у = tg * - ctg x.
sin* + cos*
386* у — arctg x + arcctg x.
387* у = x ctg x.
384. у = sin x - cos*
388. у — x arcsin x*
385. у * 2tsin t - (t - 2) cos £.
389 у = (1 + x 2)a rc tg * -x
p .
Ч ' О ' Х и Ъ Ц П П
L lV iV J
390. у = х ‘еж.
396. у
391. у = (x - l)e*.
397. у -
392. у = ^ ■
398. у = x3ln *
393. у = — .
399, у = ! + 21n * - ^
y
.
In *
*
,J
*
X
0
*
.
400. у = In * lg * - In a 10 £ x.
394* f(x) = ex cos x,
Jt? .
395. уt/ = (*2 - 2x T
+ 2)e
I\ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
401.
401. i/и = х* sh х.
in s уи = arctg хy —Arth x.
405*
402. у ~ —1 .
406. у — arcsin x Arsh x*
403. у = th х - х
407. у =
404. [/ - 3cthx .
408. у
chx
lnx
X
.
Arcthx
2~
1 - X
Д. СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ
Н айти производны е следую щ их ф у н кц и й (в № № 4 0 9 —466 необ­
ходимо использовать правило диф ф еренцирования слож ной ф у н к ­
ции с одним пром еж уточны м аргументом):
409**. у = (1 + Зх - 5*2)30.
Р е ш е н и е * Обозначим 1 4- 3* —5х2 = и; тогда у = г/30* Имеем:
у'и = 30и29, и'х = 3 - 10*;
•ь
у'х - 30и2Э ■(3 - 10*) = 30(1 + 3* - 5*2)29 • (3 - 10*).
410. у
Глава IL ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
44
411. f(y) = (2а + ЗЬу) .
412. у = (3 + 2я2)4.
3
5 6 (2 х -1 У
413. у = -
40{ 2 лс - 1)
24(2х - 1)
414. у = J l - x 2 .
415.. уи = 3J a + 6 х \
лла
/ 2 / 3
416. I/ - (а
2 / З чЗ / 2
- X
)
.
417. у = (3 - 2sin х)&.
Р е ш е н и е , у = 5(3 - 2sin я)4 * (3 - 2sin х)' = 5(3 - 2sin #)4(-2cos х ) =
4
= -lOcos х (3 - 2sin x) .
418. у = tg х - i tg3 л: + i tg5 x. 425. у = 3Vsin2x + — 3 .
О
О
COS X
419. у = л/ctgJG - VctgOC.
426. u = J l + arcsmx .
420. у = 2x + 5cos3 x .
427. у = VarctgJf - (arcsin x) .
2
2
421*. # —cosec t + sec t.
428. у =
1
arctg*
429, у — *jxex + a:.
6(1 - 3cosx)'
1
о3cos 3x
1
cosx
430. у = 37 2 ex - 2 * + 1 + In5 x.
|3sinjc -- 2cosx
431. i/ = sin 3* + cos ^ + tg У х ,
5
Р е ш е н и е . y r = cos 3x * (3*)' - sin g
- ( J x )' =
cos2J x
—3cos 3x - - sin* -h
^
5
5
2,/xcos2J x
. п л
‘
, - 2
c
\ i 4 j n p
1 "bcos2^
432.
и = sm
(x
- 5x
+i i 1)
+ tg a- . 435.
у = -—
433. f(x) = cos (ax + P).
436. f( x) — a ctg - .
434. f(x) = sin t sin (£ + cp).
437. y = -J L cos{5x2)
a
1
T COS X
4
2
§ 2. Табличное дифференцирование
45
438. у = arcsin 2х.
Решеш
439.
■(2 л;)'
arcsin
у =
.
447* i/ = arccos e*.
X
440. f(x) = arccos V i .
448. i/ = In (2x + 7),
441. у = arctg - .
449. у — lg sin x,
х
450* у = In (1 —x 2)*
442.
arcctg
у =
443.
у =
451. t/ — In2 x - In (In x )*
444.
у =
452. r; = In (e + 5sin x - 4arcsin x),
1- x
*
21n2x
445. у = x 10 .
453. у = arctg (In x) + In (arctg x).
446. f(t) = fsin2*.
454. у = J i n x + 1 + In ( V i + 1)*
E* РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ
. 3 455**. у = sin
5x cos2 X- .
и
11
4 5 6 .у =
_
2(x - 2)2
15
457. у =
4
*“ 2
_
4(x - З)4
10
_
З (х -З )3
1
2(x - 3)2 '
8
458.
у =x 2 4
8(1 - x 2)
459.
J 2 x 2- 2x + 1
у =
--------------------------- -- «
X
460. у =
X
2 ГТ “ 2 *
a Ja +x
461.
у =
з7<1+*2)3
462 .у =
463. у =
2
О
464* у = ^4/---- ~ .
3 \x + 2
7
5
- I ’h + x * ? .
О
13
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
46
465.
*у4/(а
=~ л
2х 3.2
) .
466.
+ bх
уа =
а - Ьх'
467.
у =9
\т
+
5(х + 2)3
(х + 2)
(* + 2)3
2(х + 2)2
468. у = (о + x ) J a - x .
Jу( x= + а)(х + Ъ)(х + с ) .
469.
4 7 0 .2 =
lfy +Jy .
471. f(x) = (2f + 1)(3( + 2 ) Ш Т + 2 .
472. х =
1
л/2 а у - у 2
473. у = In (V l + е* - 1) - In ( J l + e* + 1 ).
474. у = Г cos3 х (3cos2 x - 5).
475. у =
15
(tg 2x - l) ( tg 4x + 10tg2;c + 1)
3tg 3x
476.
у =5x.
tg
477.
-у sm
= {x ).
478.
sуm= (t ).
487. у = arccos x
Jl - x z
1
488.
—
у =arcsin X
1
Jb
1 / 2 .
I
2
489. у = da - x
2
/-
.
+ aarcsin
X
а
Г2 2
2
x
479. у = 3sin a1cos2 x + sin3 x, 490. у = x da - x H- a arcsin - .
а
1, з
,
480. у = - tg * - tg х + х.
481. у =
cos X
+ 5 ctg х.
3sin*x
*
j
2
2
in (1 - х) + J 2 х - х 2 .
491. у = arcsin
492. у
x -ila rcsm T ^ + - J x - x 2 ♦
2j
482. у = d a sin x + 3 cos x ,
493. у In (arcsin 5x),
483.
у = x + arccos x . 494. у arcsin (In x),
arcsin
i
2
484. у = - (arcsin x) arccos x. 495. у = arctg x sin q
1 - x cos а
2 i
485. у = arcsin x - 1
486.
у =
arcsin
a/ 1 + X
496. у =
2
5 tg - + 4
2
a rc tg ---------3
*
2
§ 2, Табличное дифференцирование
497. у = ЗЬ2arctg
(3f> + 2 x ) 4 b x
498. у = ~ 42 arcctg
х,
42
47
- X2 .
2
508* у “ In (ах + ftx + с)*
499. у = 4 е ах .
509. у - In (х + Va2 + х 2 )♦
. 2X
„ ЛЛ
Й1Л
500.у = е
510. у - х - 2 7 # + 2 In (1 + 7 х ).
501. В Д = {2татх + b f .
511. у — In fa + х + V2 ax + x 2-V
502. F(t)
503.
= (автРж-РсоаРлОе^ _
513>
_ ]n CQS £ - 1 _
a 2 + p2
*
504. у — 4- e *(3sin 3x - cos 3x). 514*. у = In ^ ~ ^ .
10
(x+l)3
505. у — x na x
515. уV - In (* ~ 1)3(
* - 2>.
xv _- .34
506. у = Vcos
516. у = — -Ц
L -- + In tg X.
2sin x
507. у = З ^ .
517. y = -x J x 4 - a 2 - у In x + J x 2 - a 2 ■j .
518. у = In In (3 - 2x3),
524. f(x) = J x 2+ 1 - In 1 +
X
519. у = 5 In3 (ax + b).
525. у = h n ^
d
520. у = In £ ' ± Z + * .
Г~2 2
л/х + a —x
со е
X
2x+ l .
+ X + 1
« arcsin 3 * .
526. y = 2
/л
shiax
521.
2
0
.2
+ (1 - arccos 3x) .
у = ™1п(х3- а2) + " 1 п ^527.
. у = 3™*bx + i sin3QX .
2a x + a
^ 3cos36x
,
Л
522. у = x ' sin f In x - 5 1.
1
4J
1
tg i + 2 - Л
528, у = — In —- — — .
4s tg§ + 2 + -/3
523- У = i In tg £ - |
.
2
2
2 sin2x
529. у = arctg In x.
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
48
1 2
530. у = In arcsin х + - In х + arcsin In х ,
La
531. у = a rc tg In - *
533. у = In 1 +
+ 2arctg
.
1 - J s in x
534. у = \ In
4
+ hn
r-1
^
x+ 1
+ ia r c tg * .
л
535. f{x) = I In (1 + x) - \ In (x2 - x + 1) + - L arctg ^£^1
3
6
Уз
Jl
536. f{x) = * arcsin * + In J l ^ ? .
yC 7 z
537. у = sh 2x.
542. у = Arch In х,
538. у = e^ch fix.
539. у = th 3 2x.
543. у —Arth (tg х).
544. у = Arctg (sec х).
540. у = In sh 2x.
545. у = Arth
.
1+ г2
2
546. у = 1 ( х 2 - l)Arth х + ± х .
541. у = Arsh ^-=.
a
547. у = Q x 2 +
Arsh x - ^ x*/l + * *
548. Найти y \ если:
а) у = |x|;
б) у = x|x|.
Построить графики функций у и у'.
549. Найти у \ если
у = In \х\
(х Ф 0),
550. Найти f'(x), если
fix) =
1 -х
при х < О,
при х > О,
551. Вычислить f { 0), если
f{x) = е *cos Зх.
Р е ш е н и е . f\ x) —е *(-3 sin Зх) - е-XAcos Зх.
/'(0) = е°(-3 sin 0) - e°cos 0 - -1.
49
§ 2. Табличное дифференцирование
552. Д х) — In (1 -f х ) + arcsin ^ . Н ай ти /'(!)*
£
553.
• Найти ( j g ^ .
554. Н ай ти /+ (0) и fl(0 ) д ля ф ун кци й:
а) Я*) = 7 s i n ( x 2) ;
б) Я*) = arcsin
;
а +х
в) Дх) =* —
, х * 0; ДО) = 0;
1 +е
г) Дх) = х sin - , х * 0; ДО) = 0;
х
д) Дх) - x sin - , х * 0, ДО) = О,
х
555, Для функции Дх) = е х найти ДО) + хД(0),
556. Для функции Дх) — J ( l + х) найти ДЗ) + (х - З)Д(З).
557* Даны функции Дх) = tg х и ср(х) = In (1 - х), найти
558. Для функций Дх) = 1 - х и <р(х) = 1 - sin Н найти
ф (U)
*
.
559. Доказать, что производная четной функции — функция не­
четная, а производная нечетной функции — функция четная.
560. Доказать, что производная периодической функции есть
функция также периодическая.
561. Показать, что функция у = хе удовлетворяет уравнению
ху' = (1 - х)у.
562. Показать, что функция у — хе
X
2
удовлетворяет уравнению
ху' = (1 - Хй)у.
563. Показать, что функция у = , ■■ V .
1 + X + In X
удовлетворяет уравне-
нию ху ' = у(у In X - 1).
Ж . Л О ГА РИ Ф М И ЧЕСКА Я П РО И ЗВ О Д Н А Я
Логарифмической производной функции у —Дх) называется производная
от логарифма этой функции, т. е.
Г(х)
Я*) '
Применение предварительного логарифмирования функции иногда упрощает нахождение ее производной.
(In у)' — £
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
50
П р и м е р . Найти производную сложно-показательной функции
v
У= U,
где и - <р(х) и и = \|/(х).
Р е ш е н и е , Логарифмируя, получим
In у = pin и.
Дифференцируем обе части последнего равенства по х:
(In уУ = i/ln и + а(1п и)\
или
- у' = v'ln и 4 о - и \
у
и
отсюда
у 1= y h /ln i*
4- ^ и ' \ ,
или
у ' = и (u'ln ц 4 - u j ,
564. Найти у \ если
/2 1 -х . з
у — з>Jx:
----- - sin х cos 2 х.
1 + х2
2
2
Р е ш е н и е , In у —- In х 4 In (1 - х) ~ In (1 + х ) + 3 In sin х 4 2 In cos х;
3
- у' ~ - - + —li I/
3 х 1 -х
откуда
2х
4- 3
smx
1 + х2
COS X -
2sinx
cosx
+ 3ctgJ: ” 2tgJf) '
£
565. Найти у', если у - (sin х) *
Р е ш е н и е . In у = xln sin х; i у' —In sin х 4 xctg х;
У
у' = (sin x)*(ln sin х 4 х ctg х).
Найти у \ применяя предварительно логарифмирование функции
У = fix):
566. у = (х + 1)(2х + 1)(3* + 1). 569. у = х 3 - £ — .
\ х +1
567. у = — ( £ ± l L ,
(* + 1)'V + 3)
_
568. у =
х{х~1)
х- 2 '
570.у =
(* -
2)
У(л:-1)3( * - З ) и
571. у = _____-Л_______
3J (7+2)2J(7+з ?
§ 3* Производные функций» не являющихся явно заданными
«г _ _
51
sin Л'
577. у = х
572. у = Xх.
2
573.
578. у = (соэхГ 11*.
у = Xх
574. у = Х4 х
579. „ - ( l + i ) \
575. y = x Jx
580* у = (arctg *)*.
576. у = х хХ
§ 3* Производные функций, не являющихся явно заданными
1°, П р о и з в о д н а я о б р а т н о й ф у н к ц и и . Если для функции y = f(x)
производная у ' ^ О, то производная обратной функции х = f (у) есть
X -
1_
Ух
или
dx
J_
Ay
d*
П р и м е р 1. Найти производную х 'S если
у = х + In х.
1
JC+ 1
t
х
Р е ш е н и е . Имеем и' = 1 Ь - ~ ------; следовательно, х* ~ ----- - г
х х
9 х +■1
2°. П р о и з в о д н ы е ф у н к ц и й , з а д а н н ы х п а р а м е т р и ч е с к и *
Если зависимость функции у и аргумента х задана посредством параметра t
Ф(0*
у * v(0>
то
,
yt
Ух * — .
или в других обозначениях
Ay
dy _ At
dx
dx
dt
П р и м е р 2, Найти Ay , если
dx
x = a cos i t
у = a sin t.
Глава II, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
52
Р е ш е н и е . Находим ^ = -a sin t и ^ —a cos t. Отсюда
dx
df
a cos t = -Ctg
, t.,
dу
-----—
dx
—a
Sint
3°, П р о и з в о д н а я н е я в н о й ф у н к ц и и . Если зависимость между х и у задана в неявной форме
F(x, у) = 0,
(1)
то для нахождения производной у' “ у* в простейших случаях достаточно:
1) вычислить производную по х от левой части уравнения (1), считая у функ­
цией от х\ 2) приравнять эту производную нулю, т. е. положить
А р ( з с , j/) = 0,
(2)
dx
и 3) решить полученное уравнение относительно у \
П р и м е р 3. Найти производную у 'х, если
х3 + у3 - 3аху = 0.
(3)
Р е ш е н и е . Составляя производную левой части равенства (3) и при­
равнивая ее нулю, получим
Зх2 + 3у 2у' ~ 3а(у + х у г) = О,
отсюда
, ^ х -ау
У
2
ах - у
581. Найти производную x^t если:
з
а) у = Зх + х ;
1
&
в) у = 0 ,1 л: -1- е *
б) у = х - - sin х;
Определить производную y f = ^
ад:
для функций у, заданных па-
рам етр ичес ки:
3 at
3'
1+ t
3 at
У
l + f:
X =
582.
* = 2f - 1,
X=
583.
t + 1’
t
У= t + 1
585.
586. {EX
y=\Tt.
2at
2'
1+1
584. j
У=
ail-t )
2
1+ Г
X
587.
+ 1,
t -1
2
J (2 + 1
§ 3* Производные функций, не являющихся явно заданными
53
х — arccos
588, \
х = a (cos t 4- t sin £),
у = a {sin t - t cos f).
J l + fJ
592. <!
\ у — arcsin
Vl + (s
-t
x = a cos £,
589.
r . 2.
у = b sin t.
x=e
2i
y=e
593.
S
590.
x
lx = a(ln Ig s + cos * - sin 0,
x = cos t y
594. ^
2
*y = a(sin t + cos 0*
X . з .
у = 0 sin t ,
X = cos t
591. <
У
Jcas2t
♦ a t.
sin
Vcos2f
595. В ычислить ^
dx
при t = - t если
2
x = a(f - sin £),
у = a ( l - cos 0-
Р е ш е н и е , 6у _
dx
a sinx
_
a ( l “ cost)
sinf
и dy
1 -c o s?
■ ^--2
s ♦in n-
2
1 - cos
= 1.
71
x = t In 0
596, Найти
при t = 1, если \ _ Inf
dx
—
597, Найти ^
dx
при t — ^ , если
"
4
x = e cos 0
г . ,
у = e sin t.
598, Доказать, что функция у, заданная параметрически уравне­
ниями
I х = 2t + З г ,
jy = f2 + 2f3,
удовлетворяет уравнению
- Г
" - IS
, of dy43
+ 2 W«
599, При х — 2 справедливо равенство
х = 2х.
б е д у е т ли отсюда, что
при х = 2?
{xZY = 2х'
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
54
600, Пусть у = *]а2 - х 2 . Можно ли почленно дифференцировать
равенство
*
2 .2
2п
х + у =а ?
Найти производную у' = ^
ах
от неявных функций у:
601, 2х - Ъу + 10 = 0*
610, tg у = ху.
602. ~ + у- 2 = 1.
а
b
603. X s + у г = а3.
604. зс3 +
+ у2 = 0.
611, од - arctg - ,
605. J x + J y = */а.
614, In х + е
606. У*
615, In z/ + — — с.
+ Уу
607. у3 = ^
зс + у
= Уа
.
у
612, arctg (х + у) = х,
613,
= х + у.
—с.
У
У -— i1 In (х2 + у2),
616, arctg ^
хX
2и
608. у - 0,3 sin у = х.
617, J x 2 + у 2 = с arctg ^ ,
609. a cos2 (х + у) = Ь,
618, х* = у \
619, Найти у ' в точке М(1; 1), если
2у = 1 + *у3.
3
2 г
Р е ш е н и е , Дифференцируя, имеем 2у' = у + Зод у \ Полагая х = 1 и
у = 1, получим 2yf = 1 + З у \ откуда у' = -1,
620, Найти производные у ' заданных функций I/ в указанных точ­
ках:
а) (х + y f =* 27(х - I/) при х - 2 и у = 1;
б) уеу = е* + 1 при х = 0 и у = 1;
в) у2 = х 4- In ^ при х — 1 и у = 1 ,
§ 4, Геометрические и механические приложения производной
1°, У р а в н е н и я к а с а т е л ь н о й и н о р м а л и . Из геометрического
смысла производной следует, что уравнение касательной к кривой у = /(х)
или F(x, у) = 0 в точке М{х0, yQ) будет
У ~ У0 = y'o<* "
где у'0 сеть значение производной у' в точке М(д;0, у0). Прямая, проходящая
через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью
к кривой, Для нормали получаем уравнение
*-
+ У'0(У ~ У0) =
§ 4. Геометрические и механические приложения производной
2°. У г о л м е ж д у к р и в ы м и . Под
у г л о м между кривыми
55
у
у = М *)
И
у = f 2(x)
Б их общей точке Мд(*01 у0) (рис, 12) пони—------------^ ----мается угол ш между касательными JVf^A и
р ис ^
M qB к э т и м кривым в точке M Q.
По известной формуле аналитической геометрии получаем
3°. О т р е з к и , с в я з а н н ы е с к а с а т е л ь н о й и н о р м а л ь ю , д л я
с л у ч а я п р я м о у г о л ь н о й с и с т е м ы к о о о р д и н а т . Касательная
и нормаль определяют следующие четыре отрезка (рис, 13):
£ = Т М — так называемый отрезок к а*
сательной,
Y
S t - ТК — подкасательная,
п = N M — отрезок нормали,
S n = KN — поднормаль.
Так как К М - |р0| и tg ф = у'0, то
О Т
S
К Sn N X
Р и с. 13.
Уо
4е, О т р е з к и , с в я з а н н ы е с к а с а ­
тельной и нормалью, д л я с л у ч а я
полярной системы координат.
Если кривая задана в полярных координа­
тах уравнением г = /(ф), то угол \х, образо­
ванный касательной М Т и полярным ради­
усом г = ОМ (рис, 14), определяется следую­
щей формулой:
X
Т
Рис. 14.
Касательная М Т и нормаль M N в точке М вместе с полярным радиусом точ­
ки касания и перпендикуляром к полярному радиусу, проведенным через
полюс О, определяют следующие четыре отрезка (см, рис. 14):
£ = М Т — отрезок полярной касательной,
п = M N — отрезок полярной нормали,
S f = ОТ — полярная под касательная,
S = O N — полярная поднормаль.
56
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Эти отрезки выражаются следующими формулами:
t = M T - Ji. J r 2 + ( r ' f ; S, = ОТ - 4 ;
|г |
[г |
n = M N = J r 2 + ( r ' f ; S n = ON = |r'|.
621. Какие углы (p образуют с осью ОХ касательные к кривой у —
- х - х 2 в точках с абсциссами: а) х - 0; б) х = i ; в) х = 1?
Р е ш е н и е . Имеем у' — 1 - 2х. Отсюда: a) tg ф - 1,
Ф= 45°; б) tg Ф= 0, ф = 0°; в) tg Ф- -1 , Ф* 135* (рис. 15).
622. Под какими углами синусоиды у = sin х
и у = sin 2х пересекают ось абсцисс в начале ко­
ординат?
623. Под каким углом тангенсоида у = tg х пе­
ресекает ось абсцисс в начале координат?
О
624. Под каким углом кривая у = е
Пересе*
кает прямую х = 2?
625. Найти точки, в которых касательные к кривой
у = Зх4- + 4х3 - 12х2 + 20
параллельны оси абсцисс.
626. В какой точке касательная к параболе
у = х 2 - 7х + 3
параллельна прямой 5х + у - 3 = 0?
627. Найти уравнение параболы у = х 2 + Ьх + с, касающейся пря­
мой х = у в точке (1; 1).
628. Определить угловой коэффициент касательной к кривой
х3 + у^ - х у - 7 = 0 в точке (1; 2).
629. В какой точке кривой у 2 = 2 х 3 касательная перпендикулярна
прямой 4х - Зу + 2 = 0?
630. Написать уравнение касательной и нормали к параболе
У= Л
в точке с абсциссой х — 4.
1 отсюда угловой коэффициент касательной
Р е ш е н и е . Имеем у ' = -----;
2 Jx
к ™[у г]х ^ 4 = i . Так как точка касания имеет координаты х = 4, у = 2, то
уравнение касательной есть у - 2 = i (х - 4), или х - 4у + 4 = 0.
В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент нормали
Ъг = -4 ,
откуда уравнение нормали у -2 ——4{х - 4), или 4х + у - 18 —0.
§ 4, Геометрические и механические приложения производной
57
631. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
у - х 3 + 2х2 - 4 х - 3 в точке {-2; 5).
632* Найти уравнение касательной и нормали к кривой
у = У х-1
в точке (1; 0).
633. Составить уравнения касательной и нормали к кривым в ука­
занных точках:
а) У = tg 2х в начале координат;
б) у = arcsin х - 1 в точке пересечения с осью ОХ;
в) у = arccos Зх в точке пересечения с осью OY;
г) у = In х в точке пересечения с осью ОХ;
1-х2
д) у = е
в точках пересечения с прямой у = 1*
634. Написать уравнения касательной и нормали в точке (2; 2)
к кривой
X = 1 +*
<
У
-
2t 2
+
—
2t'
635* Написать уравнения касательной к кривой
х = t cos t, у = t sin t
в начале координат и в точке t = - .
4
636, Написать уравнения касательной и нормали к кривой
х 3 + у 2 + 2х - 6 = 0
в точке с ординатой у — 3.
5
5
637, Написать уравнение касательной к кривой х + у - 2ху = 0
в точке (1; 1).
638, Написать уравнения касательных и нормалей к кривой
У - (х - 1)(я - 2){х - 3) в точках ее пересечения с осью абсцисс.
639, Написать уравнения касательной и нормали к кривой
У4 = 4я4 + Qxy в точке (1; 2).
640** Показать, что отрезок касательной к гиперболе ху - а2,
заключенный между осями координат, делится в точке касания по­
полам*
641,
Показать, что у астроиды х 2^ + у2^ —а2/3 отрезок касатель­
ной, содержащийся между координатными осями, имеет постоян­
ную величину, равную а.
58
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
642. Показать, что нормали к развертке окружности
х = a (cos t + fsin f), у “ a (sin t - tcos t)
2
2
2
являются касательными к окружности х + у = а .
2
643. Найти угол, под которым пересекаются параболы у = (х - 2)
2
и и = - 4 + 6х - х .
^
2
3
644* Под каким углом пересекаются параболы у ^ х и у = х У
645* Показать, что кривые у = 4х2 + 2 х - 8 и у = * х
дс + 10
касаются друг друга в точке (3; 34)* Будет ли то же самое в точке
(-2; 4)?
646. Показать, что гиперболы
2
2
2
,2
ху = а и х - у = О
пересекаются под прямым углом.
647. Дана парабола у2 = 4х. Вычислить в точке (1; 2) длины от­
резков касательной, нормали, под касательной и поднормали.
648. Найти под касательную кривой у = 2 в любой ее точке.
2
2
2
649. Показать, что у равносторонней гиперболы х —у —& длина
отрезка нормали в любой точке равна полярному радиусу этой точки.
650. Показать, что поднормаль гиперболы х - у = а в любой
ее точке равна абсциссе этой точки*
2
651. Показать, что под касательные эллипса ^
а
2
^ ^ 1 и окружЬ
ности х + у2 = а в точках, имеющих одинаковые абсциссы, равны
между собой. Какой прием построения касательной к эллипсу отсюда
вытекает?
652. Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасатель­
ной и поднормали у циклоиды
х - a (t - sin £)>
у = а (1 - cos 0
в произвольной точке ^ = fQ.
653. Найти угол между касательной и полярным радиусом точки
касания у логарифмической спирали
fccp
г — ае .
654. Найти угол между касательной и полярным радиусом точки
2
2
касания у лемнискаты г = a cos 2<р.
655. Найти длины отрезков полярных касательной, нормали, под­
касательной и поднормали, а также угол между касательной и по­
лярным радиусом точки касания у спирали Архимеда
г = а<р
в точке с полярным углом (р = 2л.
§ 4. Геометрические и механические приложения производной
59
656. Найти длины отрезков полярных подкасательной, поднор­
мали, касательной и нормали, а также угол между касательной и
полярным радиусом у гиперболической спирали г =■ - в произвольФ
ной точке ф = фп; г = rQ.
657. Закон движения точки по оси ОХ есть
x = 3t - t3.
Найти скорость движения точки для моментов времени:
= 0, f = 1
и t2 — 2 (х выражается в сантиметрах, t — в секундах),
658. По оси ОХ движутся две точки, имеющие законы движения
х = 100 + 5*
и
где t > 0, С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в
момент встречи (х выражается в сантиметрах, t — в секундах)?
659.
Концы отрезка АВ = 5 м скользят по перпендикулярным пря­
мым ОХ и OY (рис. 16). Скорость перемещения конца А равна 2 м/с.
Какова скорость перемещения конца В в тот момент, когда конец А
находится от начала координат на расстоянии ОА = 3 м?
660*. Закон движения материальной точки, брошенной в верти­
кальной плоскости X O Y (рис. 17) под углом а к горизонту с началь­
ной скоростью vQi дается формулами (без учета сопротивления воз­
духа)
х = vQt cos а, у
vQt sin а -
2
,
где у — время, g — ускорение свободного падения. Найти траекто­
рию движения и дальность полета. Определить также скорость дви­
жения и ее направление.
661. Точка движется по гиперболе у = — так, что ее абсцисса х
растет равномерно со скоростью 1 единица в секунду. С какой скоростью изменяется ее ордината, когда точка проходит положение (5; 2)?
Р и с . 16.
Р и с . 17,
60
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
2
662. В какой точке параболы у = 1&х ордината возрастает вдвое
скорее, чем абсцисса?
663. Одна сторона прямоугольника имеет постоянную величину
а = 10 см, а другая b изменяется, возрастая с постоянной скоростью
4 см/с. С какой скоростью растут диагональ прямоугольника и его
площадь в тот момент, когда Ь = 30 см?
664. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/с.
С какой скоростью растут площадь поверхности шара и объем шара
в момент, когда радиус его становится равным 50 см?
665. Точка движется по архимедовой спирали
г —аф
(а = 10 см) так, что угловая скорость вращения ее полярного радиуса
постоянна и равна 6 град/с. Определить скорость удлинения поляр­
ного радиуса г в момент, когда г = 25 см*
666* Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см* Масса его
части A M растет пропорционально квадрату расстояния текущей
точки М от конца А и равна 10 г при A M = 2 см. Найти массу всего
стержня АВ и линейную плотность в любой его точке М* Чему равна
линейная плотность стержня в точках А и В ?
§ 5* Производные высших порядков
1°. О п р е д е л е н и е в ы с ш и х п р о и з в о д н ы х . Производной вто­
рого порядка или второй производной функции у = f(x) называется произ­
водная от ее производной, т. е.
{у УОбозначается вторая производная так:
у ”, или
у",
, или
dx
Если х = ДО — закон прямолинейного движения точки, то — - есть ус-
dr
корение этого движения.
Вообще, производной п-го порядка от функции у = f(x) называют про­
изводную от производной порядка (п - 1). Для п-й производной употребля­
ются обозначения
dx
П р и м е р 1. Найти производную 2-го порядка от функции
У = 1п(1 - х).
Р е ш е н и е , у* =
§ 5. Производные высших порядков
61
2°. Ф о р м у л а Л е й б н и ц а , Если функции и = ф(я) ии = \(/(jc) имеют
производные до тт-го порядка включительно, то для вычисления п-й про­
изводной произведения этих функций можно пользоваться формулой
Лейбница
(uv)ini =
+ пиы ~ V + n ( n ~ l) и{п~ \ " + ... + uvin\
1 '2
Зг, П р о и з в о д н ы е в ыс ши х п о р я д к о в фу н к ц и й , з а д а н н ы х
п а р а м е т р и ч е с к и . Если
х = <р(#),
У = ¥(0i
то производные у ' =
х
d#
вычислены по формулам
ц
1
= о
dx2
XX
последовательно могут быть
..Г _
Ух
, ft
/ t\r
( yx)t
rrt _ ( у;; j;
.....
и т, д.
ух - —
г ' 1■#у , , = (уХ =
” ххх
xi
xf
Для производной 2-го порядка имеет место формула
Ю
УЛ
ГЛ
Г
П р и м е р 2, Найти у "если
х “ a cos t y
у “ Ь sin L
Реитекио. Имеем
, = (ft sinf);
(a cosOj
ft - costf
-a sini
—- cos t
a
и
(а cosJJJ
ft -1
а sin2t
-a si nt
b
a2sin3f
А. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
Найти производные 2-го порядка от следующих функций;
667. у = х 8 + 7х6 - 5х + 4.
671. у = In ( х + J a 2 + х 2) .
668, у = ех .
672, f(x) = (1 + х 2) arctg х.
669, у = sin2 х.
673, у = (arcsin х)2>
670, у = In V l T 7 2
674, у ** a ch - ,
а
Глава IL ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
62
675. Показать, что функция у — х 2 + 2х + 2 удовлетворяет диффе2
2
ренциальному уравнению 1 4 у' + 2y y tf.
1 2 х
676. Показать, что функция у — - х е удовлетворяет дифференZ
циальному уравнению у ,т - 2у' 4 у = е 677. Показать, что функция у = Схе + С2е
при любых посто­
янных Сг и С2 удовлетворяет уравнению y /r 4
4 2г/ = 0.
678* Показать, что функция у = е sin 5л1удовлетворяет уравне­
нию у " - 4у' 4 29i/ = 0.
679. Найти у " \ если у = х 3 - 5х2 4 7х - 2.
680. Найти Г ”(3), если f(x) = (2* - З)5.
681. Найти yV от функции |/ = In (1 4 х).
682. Найти у 1 от функции у = sin 2х.
683- Показать, что функция у = е cos х удовлетворяет диффе­
ренциальному уравнению yW 4 Ay — 0684. Найти /(0), ПО), /"(0) и /'"(О), если
/(лг) = ех sin я.
685. Уравнение движения точки по оси ОХ есть
х = 100 + 5t - 0,001f3.
Найти скорость и ускорение точки для моментов времени £0 = 0,
t l - 1; t 2 = 10.
2
2
2
686,
По окружности х 4 у = а движется
Y
точка М с постоянной угловой скоростью со. Най­
-о и
ти закон движения ее проекции
на ось ОХ,
/ 1 т
если в момент t = 0 точка занимает положение
/
1 \
М0(а, 0) (рис. 18). Найти скорость и ускорение
М, М 0 X
0
движения точки М у
Чему равны скорость и ускорение точки М г
Рис. 18.
в начальный момент и в момент прохождения
начала координат?
Каковы максимальные значения скорости и ускорения точки М^!
,
V
687. Найти производную п-го порядка от функции у — (ах 4 Ь)п
(п — натуральное число).
688. Найти производные н-го порядка от функций;
а) у =
1
‘
1-х*
б) у = J x .
§ 5. Производные высших порядков
63
689- Найти п*ю производную от функций:
а) у “ sin х;
д) у - I 1 f
+X
1+ X t
6) у = cos 2х;
е) у =
-х
-Зх
2
в) # = е
ж) I/ = sin* х;
г) г/ — In (1 + х);
з) у = In (ах + Ь),
690- Применяя формулу Лейбница, найти у^п\ если:
1 + ж.
а) у = х е*;
Г) у =
~Ж '
2 -2 х
б) у = х е ;
д ) у = X In X.
2
в) у = (1 - х ) cos ж;
691. Найти f (п)(0), если f(x) = In —1 - .
1 -х
J
Б . П РО И ЗВ О Д Н Ы Е ВЫ СШ И Х П О РЯДКО В Ф У Н К Ц И Й , ЗА Д А Н Н Ы Х
ПА РАМ ЕТРИЧЕСКИ, И НЕЯВНЫ Х Ф УНКЦИЙ
,2
Найти —| от следующих функций:
dx
х = In t,
692. а)
,з
y =t ;
6)
x = arcsin ty
в) {
Г ~2
у = Vi - 1 .
x = arctg f,
x ~ a cos t,
у = a sin t;
3
x = a cos t y
б)
■ 3 .
у = a sin
t\
x = a (f - sin f)t
у = a (1 - cos f);
693. а)
r)
x = a (sin t - t cos t ),
у = a (cos t + t sin t),
-a t
x = cos 2t,
694. а)
у = sin2 t;
\x = arctg t,
695. а) i
1 „2
x=e
at
6)
y =e
X — In ty
1
6)
У 1-t
696. Найти ^ , если X e* C0S/ 5
dy2
y =e sin L
X = In (1 + t ),
697. Найти
при t = Oy если
y = t 2.
dx'
698. Показать, что у как функция от х, определяемая уравнения­
ми х = sin ty у =
+ be ^ , при любых постоянных а и b удов­
летворяет дифференциальному уравнению
(1 - Х2) ^ Л
dx
-
x dy = 2 у.
d*
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Найти у ' " = ^ 4 от следующих функций:
dx‘
699.
х = е cos t,
700, у = е (sin t.
х = sec f,
у
= tg t.
-t
х =е ,
701. y - f 3.
ж —In t,
702. Найти 5-4 . если
dx
»У = *' "
703. Зная функцию у = f(x), найти производные х , х
функции X = f Чу)*
704. Найти у", если х + У = 1 -
обратной
. .
Р е ш е н и е. На основании правила дифференцирования сложной функ-
ции имеем 2# +
Л , Л
,
х
__ (х)
= 0; отсюдаI/ —- - т у
-
\
- - У~ ХУ-, Подставляя
вместо у' его значение, окончательно получим
2
М _ У+Х
2
У =
^ - 1
л
г~
“ 3*
У
У
Определить производные у" от следующих функций у - Я*), за
данных неявно:
705. у2 = 2рх.
706. ^ + £ = 1а
0
707. у = ж + arctg у.
,2
л2
dУ„ dх
708. Имея уравнение у = х + \п у, найти
и
709. Найти у " в точке (1; 1), если
х2 + 5ху + у2 - 2х + у - 6 = 0.
710. Найти у ” в точке (0; 1), если
4.
*
4
«
X - х у + у = 1711. а) Функция у задана неявно уравнением
х2 + 2ху + у2 ~ 4х + 2у - 2 = 0.
,3
Найти 5-4 в точке (1; 1)*
ds3
,3
2
2
2
б) Найти —^ , если х + у = а *
Ахг
§ б, Дифференциалы первого и высших порядков
65
§ 6. Дифференциалы первого и высших порядков
1°, Д и ф ф е р е н ц и а л п е р в о г о п о р я д к а . Дифференциалом пер*
вого порядка функции у = f(x) называется главная часть ее приращения,
линейная относительно приращения Ах - dx независимой переменной х ,
Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифферен­
циал независимой переменной:
dy = y'dx.
Отсюда
dy
иу = —
у
dx
Если M N — дуга графика функции у = f(x)
(рис. 19), М Т — касательная в точке М (х, у) и
PQ = Ах —d xf
то приращение ординаты касательной
АТ = dy
и отрезок A N = Ay.
П р и м е р 1. Найти приращение и дифференциал функции у = Зх - х.
Р е ш е н и е . 1-й с п о с о б :
Ау = 3(х + Ах)2 “ (х + Ах) “ Зх2 4- х
или
Ду = (6х - 1)Ах + 3(Дх)2.
Следовательно,
dy = (6л: - 1}Ах = (6х - 1)dx.
2-й с п о с о б :
у' = 6х - 1; dy = y'dx = (6л: - l)dx.
П р и м е р 2. Вычислить Ду и dy функции у = Зх2 - х при х = 1 и Дх = 0,01.
Р е ш е н и е . Ду = (6х - 1) • Дх + 3(Дх)2 = 5 *0,01 + 3 ■(0,01)2 = 0,0503 и
dy - (6х - 1)Дх = 5 ■0,01 = 0,0500,
2°. О с н о в н ы е с в о й с т в а д и ф ф е р е н ц и а л о в :
1) dc = 0, где с = const.
2) dx = Дх, где х — независимая переменная.
3) d(cu) - cda.
4) d(a ± l>) = du ± do.
5) d(uu) —ado + uda.
6) d(“1 = цДц- * du (v * 0).
7) df(u) «= f r(u)du.
<3Задача и упражнения
Глава II- ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
66
3°. П р и м е н е н и е
д и ф ф е р е н ц и а л а
к п р и б л и ж е н н ы м
в ы ч и с л е н и я м . Е с л и п р и р а щ е н и е Ах а р г у м е н т а х п о м о д у л ю м а л о , т о
д и ф ф е р е н ц и а л d у ф у н к ц и и у = f(x) и п р и р а щ е н и е Д у ф у н к ц и и п р и б л и ж е н н о
р а в н ы м е ж д у собой:
ДУ “ &У*
т. е.
fix 4- Ах) ~ f(x) * f{x)Ах.
откуда
fix ^ Лх) = fix) + f\x)Ax.
(1)
П р и м е р 3, Насколько приблизительно изменится сторона квадрата,
2
если площадь его увеличилась от 9 до 9Д м ?
Р е ш е н и е , Если * — площадь квадрата, у — сторона его, то
у =
J x .
По условию задачи, х = 9; А х " ОД,
Приращение А у стороны квадрата вычисляем приближенно:
Ау ~ & у
=
1
у 'А х =
ОД = 0,016 м.
2*/9
4 °. Д и ф ф е р е н ц и а л ы в ы с ш и х п о р я д к о в . Д и ф ф е р е н ц и а л о м
вт орого п о р я д к а н а з ы в а е т с я д и ф ф е р е н ц и а л о т д и ф ф е р е н ц и а л а п е р во го п о ­
ряд ка:
d 2У
=
d (d у).
А н а л о г и ч н о о п р е д е л я ю т с я д и ф ф е р е н ц и а л ы т р е т ь е го и т . д. п о р я д к о в .
Е с л и у - f{ x ) и х — н е з а в и с и м а я п е р е м е н н а я , то
d 2y
= y " ( d x ) 2,
dV =
y ' i d x ) 3,
,ЛУ = У (л)/л
\Л
(d jf) .
d
Если ж е
d 2y
f{u),
гд е
y " (d u f
+
у =
=
и
= ф (Д , то
у ' й 2и ,
d 3y =
y ” 'id u f +
3y"d u
• d 2u +
y ' d Zu
и т. д. (Здесь штрихами обозначено дифференцирование по и.)
*
712. Найти приращение Ау и дифференциал dy функции у = 5х + х
при х = 2 и Ах = 0,001.
713. Не вычисляя производной, найти
d(l - X3)
714. Площадь S квадрата со стороной, равной х, выражается по
формуле S = х3. Найти приращение и дифференциал этой функции
и выяснить геометрическое значение последнего.
§ 6- Дифференциалы первого и высших порядков
67
715* Дать геометрическую интерпретацию приращения и диффе­
ренциала следующих функций:
Н
2
3
а) площадь круга S = пх ;
б) объем куба v — х *
716. Показать, что при Ах
0 приращение функции у = 2х, со­
ответствующее приращению я на величину Дх, при всяком х экви­
валентно выражению 2хАх In 2.
717. При каком значении х дифференциал функции у = х 2 не эк­
вивалентен приращению этой функции при Ах —> О?
718* Имеет ли функция у = х\ дифференциал при х ~ О?
719* Пользуясь производной, найти дифференциал функции
и - cos х при х = - и Ах = — *
г
у
6
36
720* Найти дифференциал функции
при х - 9 и Д х — -0,01*
721* Вычислить дифференциал функции
У “ tg *
при х = ^ и Ах = JL. *
3
180
Найти дифференциалы следующих функций для произвольных
значений аргумента и его приращения:
722, у = Л *
727* у = х In х - х,
** Xт
723, у =
* .
1-х
728. у = In 1—^ .
1 -ЬX
724* у — arcsin - ,
729* г = ctg ср + cosec ф*
725* у - arctg 2 *
а
726, у = е -jt
730* s — arcctg е*.
731. Н айти dy, если х + 2ху - у = а 2,
Р е ш е н и е . П о л ь з у я с ь и н в а р и а н тн о с ть ю ф о р м ы д и ф ф ер ен ц и ал а, получ и м 2 x d x 4- 2 ( y d x + x d y ) - 2ydy = 0 . О т с ю д а
_ _# + Уdx*
dy =
x-y
Найти дифференциалы следующих функций, заданных неявно:
732* (х + у)2(2х + у)3 = 1*
X
У
733* У
734. In J x 2 + y* = arctg l .
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
68
3
2
735* Найти dу в точке (1; 2), если у - у = 6х *
736* Найти приближенное значение sin 31°.
Р е ш е н и е . Полагая х = arc 30° = ~
= arc 1° =
6
(см. 3°) имеем sin 31е = sin 30° +
loU
, из формулы (1
П cos 30° = 0 ,5 0 0 + 0 ,0 1 7 • ^
180
2
= 0 ,5 1 5
737. Заменяя приращение функции дифференциалом, прибли
женно вычислить:
a) cos 61°;
б) tg 44°;
в) е0,2;
г) lg 0,9;
д) arctg 1,05.
738. Насколько приблизительно увеличится объем шара, если его
радиус Д — 15 см удлинится на 2 мм?
739. Вывести приближенную формулу (для \Ах\, малых по срав­
нению с х )
J x + Ах ~ J x 4- Ах
2 Jx
и с ее помощью найти приближенные значения для 75 ; J V f ; д/70
7640*
740. Вывести приближенную формулу
и найти приближенные значения для %fl0, V^O , V 2 0 0 .
741. Найти приближенные значения функций:
а) у = х 3 - 4 х 2 + 5х + 3 при х = 1,03;
б) f(x) = Д + ~ х при х = 0,2;
в) ^
=
прИ Х = ° ,1;
г) у = е1 г при х = 1,05.
742. Найти приближенное значение tg 45°3'20".
743. Найти приближенно arcsin 0,54.
744. Найти приближенно \fl7 *
745. Показать, основываясь на формуле закона Ома / = —, чт
малое изменение тока, обусловленное малым изменением сопротив
ления, может быть найдено приближенно по формуле
д / —- 4 д д .
R
§ 7* Теоремы о среднем
69
746. Показать, что относительная погрешность в 1% при опреде­
лении длины радиуса влечет за собой относительную погрешность
приблизительно в 2% при вычислении площади круга и поверхности
шара.
2
747. Вычислить d у> если у = cos Ъх.
р е ш е н и е , d2 у = £/"(dx)2 = -25cos 5x(dx) 2 .
- х , найти d и ,
749. у — arccos х, найти d2p.
750. г/ = sin х In х , найти d у *
751. г - — , найти d2z*
х
752. г = х 2е
найти d32 .
753. г = — — , найти d г ,
2 -х
754. и = 3 sin (2х + 5), найти drtu.
755. г/ —е
sin (х sin а), наити а г/.
§ 7. Теоремы о среднем
1°. Т е о р е м а Р о я л я , Если функция f{x) непрерывна на отрезке
а < х < bf имеет производную /'(х) в каждой внутренней точке этого отрезка и
т
-
то для аргумента х существует по меньшей мере одно значение
такое, что
№
где а < £ < £>,
= о-
2°. Т е о р е м а Л а г р а н ж а . Если функция f(x) непрерывна на отрезке а < х < Ъи имеет производную в каждой внутренней точке этого отрезка, то
Ш - № - (* - а)Г&),
где а < £ < Ь.
З2. Т е о р е м а К о ш и . Если функции f(x) и F(x) непрерывны на отрез­
ке а ^ х < & при а < х < Ь и имеют производные, не обращающиеся в нуль
одновременно, причем F(b) ФF(a), то
К Ь)-/(о)
F{b)-F{a)
ш
п о
где а < 4 <
2
756.
Показать, что функция f(x) —х - х на отрезках -1 < х < О
и 0 < х < 1 удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти соответствующие значения
Р е ш е н и е , Функция /(х) непрерывна и дифференцируема для всех значений х; кроме того, Д-1) = ДО) = Д1) = 0. Следовательно, теорема Ролл я
Глава И. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
70
применима на отрезках
1, Для нахождения числа £
2
составляем уравнение: f \ x ) = 1 - Вх = 0* Отсюда
-1 < ^ < 0; 0 <
/1
=
< 1.
757.
Функция f(x) = Щ х - 2)2 на концах отрезка [0, 4] принимает
разные значения:
т = № ) = V 4.
Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на отрезке [0, 4]?
758. Выполнены ли условия теоремы Ролля для функции
f(x) = tg х
на отрезке [0, л]?
759. Пусть
f(x) = х(х + 1)(х + 2)(х + 3).
Показать, что уравнение
Г(х) = 0
имеет три действительных корня.
760. Уравнение
е = 1 И- х,
очевидно, имеет корень х = 0. Показать, что это уравнение не может
иметь другого действительного корня.
761. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа для
функции
f{x) = х - х 3
на отрезке [-2 ,1 ] и найти соответствующее промежуточное значение 4*
Р е ш е н и е . Функция f{x) — х — х непрерывна и дифференцируема
для всех значений х щпричем / У(х) = 1 - Зх . Отсюда по формуле Лагранжа
имеем /(1) - /(-2) = 0 - 6 = [1 - (-2)]f'(E)* т ' е. f'i%) =
Следовательно,
1= - 2 и ^ = ±1; годится только значение £ = -1 , для которого спра­
ведливо неравенство -2 < £> < 1.
762. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа и найти
соответствующую промежуточную точку £, для функции f(x) = x4j/3
на отрезке [-1 , 1].
2
763. Д л я отрезка параболы у = х , заключенного между точками
А{ 1; 1) и В(3; 9), найти точку, касательная в которой параллельна
хорде АВ.
764. Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать формулу
sin (х + h) - sin х = h cos
где x < ^ < x + Л.
765. а) Для функций f(x) = х 2 + 2 и В(х) = х 3 - 1 проверить вы­
полнение условий теоремы Коши на отрезке [1, 2] и найти
б) то же для f(x) = sin х и S(x) = cos х на отрезке
Гб,
.
§ 8. Формула Тейлора.
71
§ 8. Формула Тейлора
Если функция f(x) непрерывна и имеет непрерывные производные до
(я - 1)-го порядка включительно на отрезке а < х < Ь (или Ь ^ х < а), причем
в каждой внутренней точке этого отрезка существует конечная производная
то на этом отрезке справедлива формула Тейлора
2
3
fix )
- /00 I 1х
а )П а )
+ !£^2- Г ( а )
... + (Г ° > : ; 1/ - 1’(-) +
( л - 1)!
‘* ^ 2 . /'"(«I + ...
+
л!
где £ = а + Q(x - а) и 0 < 0 < 1*
В частности, при а - 0 имеем (формула Маклорена)
Их) = ДО) + хПО) + %- г щ
2!
+ ... +
(л-1)!
Тf in ' ”(0) + ^
л!
где ^ —0лст 0 < 0 < 1.
3
2
766.
Многочлен f(x) “ х - 2х + Зх + 5 разложить по целым по­
ложительным степеням бинома х - 2.
Р е ш е н и е . f'(x) ™Зх2 - Ах Н- 3; /"(х) = 6х - 4; /"'(#) = 6; / л)(я) = О
для л > 4. Отсюда
f(2) = 11; /'(2) = 7; f" ( 2) - 8; /'"(2 ) - 6.
Следовательно,
*3 - 2х2 + Ьх + 5 - 11 + (х - 2) • 7 + £ . Г.2> * 8 +
•6
или
X3 - 2х + Зх + 5 = 11 + 7(г - 2) + 4(х - 2)2 + (х - 2)3.
767. Функцию f(x) = ех разложить по степеням бинома х + 1 до
з
члена, содержащего (ле + 1) .
Р е ш е н и е , f ^ \ x ) = е* для всех п, /*"*(-1) = - . Следовательно,
ег
I + (х + 1,1 + f» ± i) : I + ( * + i ) 3 1 + ( * + * / е$
е
е
2!
е
3!
е
4!
где ^ = -1 + 0(ж + 1), 0 < 0 < 1.
768.
Функцию fix) = In х разложить по степеням х - 1 до члена
С (х ~ I)2.
769* Функцию f{x) —sin х разложить но степеням х до члена с х
и До члена с д:5.
770. Функцию f{x) “ е* разложить по степеням я до члена с х п 1.
72
Глава И. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
771, Показать, что sin (а + К) отличается от
sin а -f h cos а
не более чем на - Л3*
2
772- Выяснить происхождение приближенных формул:
а) УТТх = 1 + i х - | x 2f |х| < 1,
б) V l + х ~ 1 4-
“ \ x2y \х \ < 1*
о
9
— и оценить их погрешность,
773, Оценить погрешность формулы
e ^ 2 + i + l
2!
3!
+ i.
4!
774* Тяжелая нить под действием собственного веса провисает по
.у*
> >
цепной линии у — a ch - . Показать, что для малых лс форма нити
а
приближенно выражается параболой
у =а + х
2а
Л 2
775** Показать, что при \х\ ^ а с точностью до aj
приближенное равенство
а _
имеет место
а + дг
4 а - х
§ 9* Правило Лопиталя—Бернулли
раскрытия неопределенностей
1Л Р а с к р ы т и е н е о п р е д е л е н н о с т е й типа - и — . Пусть од0 °°
позначные функции f(x) и ф(л:) дифференцируемы при 0 < \х - а\ < ht причем
производная ф'(;г) не обращается в нуль.
Если f(x) и ф(я) — обе бесконечно малые или обе бесконечно большие
f( х)
при х —» а, т. е. если частное /х ' представляет в точке х = а неопределенФ (*)
О
оо
ность типа - или — , то
О
сю
Пт
Щ
= Ит
х -щ ф(х)
дг-а ф (х)
при условии, что предел отношения производных существует (правило Ло­
питаля—Бернулли), Правило применимо и в случае, когда а —
§ 9- Правило Лопиталя—Бернулли раскрытия неопределенностей
73
Пх)
в н о в ь д а е т н е о п р е д е л е н н о с т ь в т о ч к е х —а о д н о го и а
Ф '(я )
д в у х у п о м я н у т ы х т и п о в и f'(x) и ф '(# ) у д о в л е т в о р я ю т в с е м т р е б о в а н и я м , ра^
н ее с ф о р м у л и р о в а н н ы м д л я f t# ) и ф (# ), т о м о ж н о п е р е й т и к о т н о ш е н и ю в т о ­
р ы х п р о и з в о д н ы х и т . д.
Е сли частн ое
f(x)
О д н а к о с л е д у е т п о м н и т ь , ч т о п р е д е л о т н о ш е н и я ■■^
м ож ет сущ ество­
вать в то в р е м я , к а к о т н о ш ен и я п р о и зв о д н ы х не с т р е м я т с я н и к к а к о м у п р е ­
д е л у (см . № 809)*
2°. П р о ч и е н е о п р е д е л е н н о с т и . Д л я р а с к р ы т и я н е о п р е д е л е н ­
ностей т и п а 0 •
п р е о б р а з у е м с о о т в е т с т в у ю щ е е п р о и з в е д е н и е f ^ x ) * / 2(# ),
f^x)
где lim
= 0 и
lim
х —а
f 2(x)
оо, в ч а с т н о е
fz(X)
—
V
х -* а
oj
или —-—
Ш )
/*<*>
СО
ТИ П
оо
В с л у ч а е н е о п р е д е л е н н о с т и т и п а оо - оо с л е д у е т п р е о б р а з о в а т ь с о о т в е т ствую щ ую р азн о сть
f ^ x) - f 2(x)
hi*)
в п р о и з в е д е н и е / L(# )
f 2(x )
г
f2<X)
fi(x)
и раскры ть
,
с н а ч а л а н е о п р е д е л е н н о с т ь --------; е с л и h m - -------- = 1 , т о п р и в о д и м в ы р а ж е -
fi(x)
fi(x)
кие к виду
f z(x )
fl(x)
0
ТИП -
/l(* )
Н е о п р е д е л е н н о с т и т и п о в 1™, 0 °, °о° р а с к р ы в а ю т с п о м о щ ь ю п р е д в а р и ­
тельного л о га р и ф м и р о в а н и я и н а х о ж д е н и я п р ед ел а л о гар и ф м а степ ен и
[ / \( # } ]
А
(ч т о п о т р е б у е т р а с к р ы т и я н е о п р е д е л е н н о с т и т и п а 0 ■ со),
В н еко то р ы х сл у ч ая х п р ави л о Л о п и т а л я — Б ер н у л л и п олезн о к о м б и н и ­
ровать с н а х о ж д е н и е м п ределов э л е м е н т а р н ы м и ср едствам и .
П р и м е р 1. В ы ч и с л и т ь
......
lim
Реш ение.
In#
оо\
, неопределенность ти п а —
ctg х \.
cxv
,
П р и м ен я я п р ави л о Л о п и т а л я — Б ер н у л л и , им еем
2
In #
1.
(in # )' =
Итп
= lim
j - o c tg x
x о (c tg # } '
П олучили неопределенность ти п а
s in #
lim
1
x^O
x
тоднако при м ен ять правило Л о п и тал я—
Б ер н у л ли нет надобности, т ак к а к
. 2
s in х
,♦
h m -------- = lim
о
s in #
о
s in
x
= 1 * 0 = 0.
Глава П. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
74
Таким образом, окончательно находим
liiri I n а: = 0.
х - о ctg х
П р и м е р 2. Вычислить
lim
х—о sin 2 х
*
х
2
(неопределенность типа оо - оо).
Р е ш е н и е , Приведя дроби к общему знаменателю, получим
lim
х ^о sin х
2
, 2
х
—
sin
- lim — ----—X неопределенность типа -0 .
х^О х 2sm х ^
W
х
Прежде чем применить правило Лопиталя—Бернулли, заменим знаме­
натель последней дроби эквивалентной ему бесконечно малой (гл. I, § 4)
х 2sin 2 х ~ х3 . Получим
\
vlim х2
- sin2х
( неопределенность типа -0" ,
=
---------lim , 2
0
х - о V^Sin X X2
х -* 0
По правилу Лопиталя—Бернулли,
{
\
= lim
^
Нт , 2
2
х^0
х
0 ^Sin X X )
4х'
=
iim 2 - 2 cqs2 jc
12 х
х —Q
Далее, элементарным путем находим
/
\
l - c o s=—
2 x = lim
v ----2sin —
х
= lim -----lim
2
2
х *О^sin X X )
6xJ
fix1
П р и м е р 3. Вычислить
lim (cos2x)x (неопределенность типа 1 ).
x
*0
Логарифмируя и применяя правило Лопиталя—Бернулли, получим
з
3 In cos 2* = -6 lim tg 2х =
_ -6.
_
Нтп ln(cos2#) = Нт
i-*o 2х
х —0
х -* С
Следовательно, lim (cos2я)* = е
х
Q
Найти указанные пределы функций:
776, lim
X '1
х
*-2
х
2-
х
+ 2
я3 “ 1х + 6
Р е ш е н и е . Нт х'А- 2х2 - х + 2 = lim Зх - А х - 1
X 1 Зх2 - 7
х —F 1
*3- 7 * + 6
§ 9. Правило Лопиталя—Бернулли раскрытия неопределенностей
777. lim
х -*о
778. Ит
у—
*1
х
779
xcosx - sin л:
хз
1 -х
783. lim
-|
* пх
1 - sin---
x
2
. И т f 1х ~ 1 .
784. lim
г--™ зfa
Я
л: — О 1 - C O S X
780. Иш j g i L j * .
х
782. lim tg x
я tg 5я
"^2
>0
785. lim - J L x *0
Ctg nx
X -sinX
781. lim g g L J ir..^ * .
л
1 + cos4x
786. lim
x^o
In sin x
.
787. lim (1 - cos x) ctg я.
x —0
Р е ш е н и е . Нш (1 - cos x)ctg x = Hm ——
oosx ^
x^O
x ■*о
sinx
1 - --cosx
i. cos x - hm
t
sinx
= t;
hm —
---- * lim
----x f0 Sinx
x—
'0
x * 0 COS X
1-0,
788. lim (1 - x)tg — .
x -* l
2
791. lim x sin - .
X• oo
X
789. lim arcsin x ctg x .
x
790. lim (xn& x), n > 0.
792. lim x n sin - , n > 0*
X-* oo
x
x —* 0
794. lim f — ,
.
X—
►
1 {x “ 1
Решение,
793. lim In x In (я - 1).
X 1
..
Inx j
lim f X■■■= lim x ln x -x -f- 1
x -* i \ x - 1 lnx,
*- l (x-l)lnx
1
x <-1 + Inx - 1
lnx
- lim _ * ____ ___ = lim
= lim X
x- 1
X—
'11 1
1 lnx + -(x - 1)
l nx--- + 1
X
795. lim
x -»з
x-3
X
796. lim
i [2(1--Jx)
X
-
x- 6
3(1
1
2
X + x2
x
797. lim
Tt Vctg x
X ~2
n
2cosx
75
76
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
798. lim
х —О
Р е ш е н и е . Имеем х* = у\ In у = х In х; lim In у = lim х In х = lim
х
О
X— о
х -*О
lxi л:
“Г
х
I
ОС
— lim ——
—О, откуда lim у — 1, т. е. lim х х =1*
х —* О
1
х —О
X
1
X
799.
*
О
1-х
804. lim
х
lim X .
х -*■-\-оо
3
4 + lux
800. lim X
х--*о
805. lim
X—
'1 * * т .
1
806. lim ( c t g x ) ln\
х-0
sin х
801. lim X
х —0
802. Hm ( 1 - х )
X *1
2.
807. lim
х ->0
г
1
803. lim (1 + X ) ♦
дг-*0
808. lim (Ctg x f * x.
x^O
809. Доказать, что пределы;
2, 1
х s in -
a) Urn ------ ^ - 0;
х ~*0
81ПХ
б) lim
X+S1HX
- 1
— не могут быть найдены по правилу Лопиталя—Бернулли, Найти
эти пределы непосредственно.
810*. Показать, что площадь кругового сег­
мента с малым центральным углом а, имеющего
хорду АВ ™Ь и стрелку CD = h (рис. 20), прибли­
женно равна
s - \ bh
Рис- 20,
со сколь угодно малой относительной иогрешностью при а —> 0.
Глава III
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 1. Экстремумы функции одного аргумента
1°. В о з р а с т а н и е и у б ы в а н и е ф у н к ц и й . Функция у = f(x)
называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале (отрезке),
если для любых точек х г и х 2, принадлежащих данному интервалу (от­
резку), из неравенства *1 < * 2 следует неравенство f(x^} f(x2) (рис. 21, а)
(«*!> > f(x2) (рис, 21, {>)). Если функция /(#) непрерывна на отрезке [а, &]
и Г(х) > О (Г(х) < 0) при а < х < Ь, то f(x) возрастает (убывает) на отрезке
[а, Ь],
Рис. 21,
Рис. 22.
В простейших случаях область существования функции f(x) можно раз­
бить на конечное число промежутков возрастания и убывания функции {про­
межутки монотонности). Эти промежутки ограничены критическими точ~
камн х (где Г(х) = 0 или же f \ x ) не существует).
П р и м е р 1. Исследовать на возрастание и убывание функцию
у = х2 - 2х + 5,
Р е ш е н и е , Находим производную
у '= 2 х - 2 = 2 ( х - 1).
(1)
Отсюда у ! = 0 при х = 1. На числовой оси получаем два промежутка моно­
тонности: (-oot 1) и (1, +оо). Из формулы (1) имеем: 1) если -сю < х < 1, то
У < 0 и, следовательно, функция f(x) убывает в промежутке (~°°t 1); 2) если
1 < * < + с ю ,т о у '> 0 и, следовательно, функция f(x) возрастает в промежутке
(1, +оо) (рИС. 22).
78
Глава III, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
П р и м е р 2. Определить промежутки возрастания и убывания функции
1
У
х+2
Р е ш е н и е , Здесь х = -2 — точка разрыва функции, у' = -
<0
(х ■+■2)
при х Ф-2 . Следовательно, функция у убывает в промежутках
< х < ~2
и -2 < х <
П р и м е р 3, Исследовать на возрастание и убывание функцию
15
1 з
и = - х - -х .
* 5
3
Р е ш е н и е . Здесь
У
,
-
х
4
~ X
2
(2 )
Решив уравнение х 4 - х 2 = 0 , найдем точки х х = -1 , х 2 = 0, jc3 —1, в которых
производная у ' обращается в нуль. Так как у ' может изменять знак только
при переходе через точки, в которых она обращается в нуль или терпит разрыв непрерывности (в данном случае точки разрыва для у ' отсутствуют), то
в каждом из интервалов (-°°, -1), (~1, 0), (0, 1) и (1, +°°) производная со­
храняет постоянный знак, поэтому в каждом из этих интервалов исследуе­
мая функция монотонна. Чтобы выяснить, в каких из указанных интервалов
функция возрастает, а в каких — убывает, нужно узнать, каков знак про­
изводной в каждом из этих интервалов. Для того чтобы выяснить, каков
знак у ' в интервале ( - 00, -1), достаточно узнать знак у ' в какой-нибудь одной
точке этого интервала; взяв, например, х = -2 , получим из (2) у' = 12 > 0,
следовательно, у 1> 0 в интервале (—°°, -1) и функция в этом интервале воз­
растает, Аналогично найдем, что у' < 0 в интервале (-1, 0) ^для проверки
можно, например,
взять # = - i j , i / < 0 B
интервале
(0 , 1) ^ з д е с ь
можно
использовать x = - j V t y f > Q n интервале (1, +°°).
Таким образом, исследуемая функция возрастает в промежутке (-°°, -1),
убывает в промежутке (-1, 1) и опять возрастает в промежутке (1, -t °°).
2°. Э к с т р е м у м ы ф у н к ц и и . Если существует такая двусторон­
няя окрестность точки х что для всякой точки х Ф# q этой окрестности
имеет место неравенство {(х) > /(#0)> то точка х0 на­
зывается точкой минимума функции у *=f(x)> а число
/(лг0) — минимумом функции у - f(x). Аналогично, ес­
ли для всякой точки х Ф некоторой окрестности точ­
ки х 1 выполняется неравенство f(x) < /{хг)7 то х г на­
зывается точкой максимума функции f{x), a /( jCj) максимумом функции (рис, 23). Точка минимума иля
максимума функции называется ее точкой экстре:
мума, а минимум или максимум функции — экстреРис. 23.
мумом функции. Если x Q— точка экстремума функ:
§ 1. Экстремумы функции одного аргумента
79
ции /(#)I то Г (х0) = О (стационарная точка) или же /'(х 0) не существует
(необходимое условие существования экстремума). Обратное предложение
не верно: точки, в которых f'{x) = О или же f'(x) не существует (критические
точки), не обязательно являются точками экстремума функции f(x).
Достаточные признаки существования и отсутствия экстремума непрерыв­
ной функции f(x) даются следующими правилами:
1. Если существует такая окрестность (г0 “ ду x Q+ б) критической точ­
ки
нто f \ x ) > 0 при
- 5 < х < х0 и f'(x) < 0 при х0 < х < xQ + 6, то
х0 — точка максимума функции f(x); если же f'(x) < 0 при х0 - 5 < х < х 0
и Г М > 0 при
с х < Xq + $, то -— точка минимума функции f(x).
Если, наконец, найдется такое положительное число 5, что Г М сохра­
няет неизменный знак при 0 < \х ~ xQ\ < 6, то точка #0 не является точкой
экстремума функции f(x).
2. Если f f(xQ) = 0 и Г'(Хц) < 0, то х0 — точка максимума функции f(x)\
если f'(x0) - 0 и f \ x 0) > 0, то х0 — точка минимума функции /(я); если же
Г М ) = 0» Г '(* 0) = 0, a Г "(* 0) Ф 0, то точка не является точкой экстремума
функции f(x}.
В более общем виде: пусть первая из не равных нулю в точке х0 произ­
водных функции f(x) имеет порядок к. Тогда если к — четное, то точка х0
является точкой экстремума, а именно точкой максимума, если /
< О,
к точкой минимума, если f (rQ) > 0. Если же к — нечетное, то точка х 0
не является точкой экстремума.
П р и м е р 4. Найти экстремумы функции
у = 2х + 3 3J j ? .
Р е ш е н и е , Находим производную
у' = 2 + 4 : = — ($/* + 1).
\[х
1/х
Приравнивая производную у ' нулю, получаем
\[х + 1 = 0,
Отсюда находим стационарную точку х г = -1 . Из формулы (3) имеем: если
х^
^ h t где h — любое достаточно малое положительное число, то у ' > 0;
если же х = -1 + Н, то у' < 0 \ Следовательно, х х = -1 есть точка максимума
Функции у , причем
= 1,
Приравнивая нулю знаменатель выражения у ' из (3), получаем
1/х = 0;
отсюда находим критическую точку функции х 2 - 0, где производная у ’ не
существует. При х = -К, очевидно, имеем у ' < 0; при х = h имеем y f > 0,
Если определение знака производной у ' затруднительно, то можно произвести
арифметический расчет, взяв в качестве h достаточно малое положительное число.
80
Глава Ш* ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ, ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Следовательно, х 2 “ 0 есть точка минимума функции у 7 причем y min = О
{рис. 24)* Исследование поведения функции в точке а:1 = —1 можно также
провести с помощью второй производной
У
2
3 x \ jx
Здесь у " < 0 при ху — -1 и, следовательно, х^ = -1 есть точка максимума
функции*
3°. Н а и м е н ь ш е е и н а и б о л ь ш е е з н а ч е н и я . Наименьшее
(наибольшее) значение непрерывной функции f(x) на данном отрезке [а, Ь]
достигается или в критических точках функции, или на концах отрезка [а, £>].
П р и м е р 5. Найти наименьшее и наибольшее зиаче- .
ния функции
у = х3 - Zx + 3
на отрезке
< х < 2^ .
Р е ш е н и е . Так как
у' = З*2 - 3,
то критическими точками функции у являются
= -1 и
х 2 —L Сравнивая значения функции в этих точках и зна­
чения функции на концах заданного отрезка
„(-1) - 5; „(1) - 1; » ( - l i )
- 111,
заключаем (рис. 25), что наименьшее значение функции
т — 1 достигается в точке х = 1 (в точке минимума), а
наибольшее М = 11 i достигается в точке х = 2 - (на правом конце отрезка).
8
2
Определить промежутки убывания и возрастания функций:
X
811. у = 1 - 4я - х
819. у
X,
3
820* у = х + sin х .
812. у = (х - 2 ) \
821. у = х In лс*
813. у = (х + 4)3.
822. у = arcsin (1 + х).
814. у = х 2(х - 3).
815. у « Л — .
*
х- 2
816. у =
817. у =
1
х
х* -6а; - 16
818. у = (я - Z ) Jx .
8 2 3. у = 2е
824. у = 2
х - 4*
х-а
825. у = L .
X
§ 1. Экстремумы функции одного аргумента
81
Исследовать на экстремум следующие функции:
826- у = х 2 + 4х + 6*
Р е ш е н и е , Находим производную данной функции у* = 2х + 4. При­
равняв у' нулю, получаем критическое значение аргумента х = -2 , Так как
y f < 0 при х < - 2 и у' > 0 при х > "2, то х = -2 является точкой минимума
данной функции, причем ymiii = 2- Тот же результат мы получим, используя
знак второй производной в критической точке: у" = 2 > О-
827. у = 2 + х - х 2.
828. у = xs - Зх2 + Зх + 2.
829. у = 2х3 + Зх2 - 12х + 5.
Р е ш е н и е , Находим производную
у' = 6хг + 6х - 12 = 6(х2 + х - 2).
Приравнивая производную у* нулю, получаем критические точки х 1 ——2
и х 2 = 1- Для определения характера экстремума вычисляем вторую про­
изводную у " = 6(2х + 1). Так как у ' \ - 2 ) < 0, то ^ = -2 есть точка максимума
функции у, причем у
= 25. Аналогично имеем у"(1) > 0; поэтому х2 = 1
есть точка минимума функции у и ymitt = ” 2.
8 3 0. у = х2(х - 12)2.
840. у ™2 cos 5 + 3 cos 5
2
3
831. у = х(х - 1)2(х - 2)3.
841. у = х - In {1 + х).
832. у =
х3
х2 + 3 '
833. у = х2 - 2х + 2
х- 1
- х)
834. у = (х - 2)(8
X2
16
8 3 5. у =
х(4 - х2)
4
836. у =
842. у = X In X843. у = х 1in2 X.
844. у = ch x.
X
845. х = xe .
2 -x
846. у = x e *
J x 2+ 8
837. у =
X
3Л 2 * 4
8 3 8. у - sJ ( x 2- l f .
839. у = 2 sin 2х + sin 4х.
X
_
e
847. у
X
848. у = x - arctg x .
82
Глава III, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ, ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Определить наименьшие и наибольшие значения функции на ука
занных отрезках (если отрезок не указан» то следует определить на
именьшее и наибольшее значения функции во всей области сущест
вования):
849. у =
* .
1 +х
853. у = х на отрезке [-1 , 3].
854. у = 2х3 + З*2 - 12л: + 1;
850. у = J x ( 1 0 - я ) .
851. у — sin4 х + cos4 х ,
852. у = arccos х .
а) на отрезке [-1 , 5];
б) на отрезке [-1 0 , 12].
855. Показать, что при положительных значениях х имеет место
неравенство
X + I >2.
X
856. Определить коэффициенты р и q квадратного трехчлена
у = х + р х 4- q так, чтобы этот трехчлен имел минимум у — 3 при
х = 1. Объяснить полученный результат геометрически.
857. Доказать неравенство
ех > 1 + х при х ^ 0 .
Р е ш е н и е . Рассмотрим функцию
f(x) = е* - (1 + *).
Обычным приемом находим, что эта функция имеет единственный минимум
f(0) = 0. Следовательно,
f(x) > f(0) при х * О,
т. е.
е* > 1 4- х при х Ф 0,
что и требовалось доказать.
Доказать неравенства:
з
858. х - fL < sin х < х при х > 0.
6
2
859. COS X > 1 - — при X ■£ 0.
2
2
860. х - — < In (1 + х) < х при х > 0.
2
861. Данное положительное число а разложить на два слагаемых
так, чтобы их произведение было наибольшим.
862. Кусок проволоки данной длины I согнуть в виде прямоуголь­
ника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.
§ 1, Экстремумы функции одного аргумента
83
863, Какой из прямоугольных треугольников с заданным пери­
метром 2р имеет наибольшую площадь?
864, Требуется устроить прямоугольную площадку так, чтобы с
трех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой
стороной примыкала к длинной каменной стене. Какова наивыгод­
нейшая (в смысле площади) форма площадки, если имеется I погон­
ных метров сетки?
865, Из квадратного листа картона со стороной а требуется сде­
лать открытую прямоугольную коробку наибольшей вместимости,
вырезав но углам квадраты и загнув выступы получившейся крес­
тообразной фигуры.
866* Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен
вмещать V литров. При каких размерах на изготовление бака потре­
буется наименьшее количество жести?
867. Какой из цилиндров с данным объемом имеет наименьшую
полную поверхность?
868. В данный шар вписать конус с наибольшим объемом.
869. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой по­
верхностью.
870. В данный шар вписать конус с наибольшим объемом.
871. В данный шар вписать прямой круговой конус с наибольшей
боковой поверхностью.
872. Около данного цилиндра описать прямой конус наименьшего
объема (плоскости и центры их круговых оснований совпадают).
873. Какой из конусов, описанных около данного шара, имеет на­
именьший объем?
874. Полоса жести шириной а должна быть со­
гнута в виде открытого цилиндрического желоба
(рис. 26), Каков должен быть центральный угол ф,
чтобы вместимость желоба была наибольшей?
875. Из круглого листа вырезать такой сектор,
чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей
вместимости.
876. Открытый сосуд состоит из цилиндра, заканчивающегося
снизу полусферой; толщина стенок постоянна. Каковы должны быть
размеры сосуда, чтобы при данной вместимости на него пошло ми­
нимум материала?
877- Определить наименьшую высоту h = ОБ две­
ри вертикальной башни ABCD, чтобы через эту
Дверь в башню можно было внести жесткий стер­
жень M N длины /, конец которого М скользит вдоль
горизонтальной прямой А В . Ширина башни d < 1
(рис. 27).
878.
На координатной плоскости дана точка
Л^0(хо, у0), лежащая в первой четверти. Провести
Рис. 27.
84
Глава IIL ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ, ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
через эту точку прямую так, чтобы треугольник, образованный ею
с положительными полуосями координат, имел наименьшую пло­
щадь.
879. В данный эллипс вписать прямоугольник наибольшей пло­
щади со сторонами, параллельными осям эллипса.
880. В сегмент параболы у = 2 р х , отсекаемый прямой х = 2а,
вписать прямоугольник наибольшей площади.
881. На кривой у = —
найти точку, в которой касательная со1 +х 2
ставляет с осью ОХ наибольший по модулю угол.
882. Гонцу нужно добраться из пункта А, находящегося на одном
берегу реки, в пункт В, находящийся на другом. Зная, что скорость
движения на берегу в k раз больше скорости движения по воде, оп­
ределить, под каким углом гонец должен пересечь реку для того,
чтобы достичь пункта В в кратчайшее время. Ширина реки — h,
расстояние между пунктами А и В (вдоль берега) — d> Скоростью
течения реки пренебречь.
883. На прямолинейном отрезке А В = а, соединяющем два ис­
точника света А (интенсивность 1^) и В (интенсивность / 2), найти
точку М, освещаемую слабее всего (освещенность обратно пропор­
циональна квадрату расстояния от источника света).
884, Лампа висит над центром круглого стола радиуса г. При ка­
кой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на
краю стола, будет наплучшая? (Освещенность прямо пропорциональ­
на косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна
квадрату расстояния от источника света.)
885, Из круглого бревна диаметра d требуется вырезать балку пря­
моугольного сечения. Каковы должны быть ширина х и высота у
этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление:
а) на сжатие, б) на изгиб?
П р и м е ч а н и е . Сопротивление балки на сжатие пропорционально
площади ее поперечного сечения, а на изгиб — произведению ширины этого
сечения на квадрат его высоты.
886.
Однородный стержень АВ, который может
Р
вращаться около точки А (рис. 28), несет груз
В массы М на расстоянии а от точки А и удержива­
ется в равновесии вертикальной силой Р, прило­
женной к свободному концу В стержня. Погонная
Рис. 28.
плотность стержня д. Определить длину стержня х
так, чтобы сила Р была наименьшей,r и найти Рiron. .
887*. Центры трех упругих шаров А, В, С расположены на одной
прямой. Шар А массы М со скоростью v ударяет в шар В, который,
получая известную скорость, ударяет в шар С массы т . Какова долж­
на быть масса шара В, чтобы скорость шара С оказалась наибольшей?
85
§ 2 , Направление вогнутости* Точки перегиба
888.
Имея N одинаковых электрических элементов, мы можем
различными способами составить из них батарею, соединяя по п эле­
ментов последовательно, а затем полученные группы числом
параллельно. Ток, даваемый такой батареей, определяется формулой
Nng
NR + n2r '
где Ж — электродвижущая сила одного элемента, г — его внутреннее
сопротивление, R — внешнее сопротивление.
Определить, при каком значении п батарея даст наибольший ток.
889. Определить, при каком диаметре у круглого отверстия в пло­
тине секундный расход воды Q будет иметь наибольшее значение,
если Q = су J h - у , где h — глубина низшей точки отверстия (h и
эмпирический коэффициент с постоянны).
890. Если
х 2У
х п — результаты равноточных измерений ве­
личины х 7 то ее наивероятнейшим значением является то, при ко­
тором сумма квадратов погрешностей
I=1
имеет наименьшее значение (принцип наименьших квадратов).
Доказать, что наивероятнейшее значение величины х есть среднее
арифметическое результатов измерений.
§ 2. Направление вогнутости. Точки перегиба
1°. В о г н у т о с т ь г р а ф и к а ф у н к ц и и - Говорят, что график диф­
ференцируемой функции у = f(x) вогнут вниз на интервале (а, Ь) (вогнут
вверх на интервале (ар i^)), если при а < х < Ь дуга кривой расположена ниже
(или соответственно при а1< х< Ь1— выше) касательной, проведенной в любой
точке интервала (a, Ь) (или интервала (а^ ))
(рис. 29). Достаточным условием вогнутости вниз
у
(вверх) графика у = f(x) является выполнение на
,
соответствующем интервале неравенства
*
f \ x ) < 0 (Г (х) > 0).
Вместо того чтобы сказать, что график вогнут
вниз, говорят также, что он направлен выпукло­
стью вверх. Аналогично график, вогнутый
вверх, называют также направленным выпукло­
стью вниз,
b Xq (ij1 bi X
Рис, 29.
86
Глава III. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
2°. Т о ч к и п е р е г и б а . Точка (jc0, f(xQ))t в которой изменяется направ­
ление вогнутости графика функции, называется /почкой перегиба (рис, 29).
Для абсциссы точки перегиба xQ графика функции у = f{x) вторая про­
изводная f"{xQ) - 0 или f" (x 0) не существует. Точки, в которых f"(x) — О
или f ' \ x Q) не существует, называются критическими точками 2-го рода.
Критическая точка 2-го рода х 0 является абсциссой точки перегиба, если
Г*{х) сохраняет постоянные знаки в интервалах х0 - Ь < х < х0 к х0 < х <
< х0 + 5, где 5 — некоторое положительное число, причем эти знаки про­
тивоположны, и не является точкой перегиба, если знаки f"[x) в указанных
выше интервалах одинаковы.
П р и м е р 1. Определить интервалы вогнутости и выпуклости, а также
точки перегиба кривой Гаусса
-X2
у = е .
Р е ш е н и е . Имеем
у' = -2хе *
и
у " = {Ах2 - 2 W X\
Приравняв вторую производную у*' нулю, находим критические точки 2-го рода:
х1
Эти точки разбивают числовую ось —1со < х < +°°
натри интервала: 1(-°°, Xj), II (хг х2) и III (х2, Н-оо).
Знаки у" соответственно будут +, + (в этом можно
убедиться, взяв, например, по одной точке в каж­
дом из указанных интервалов и подставив соответ­
ствующие значения х в у"). Поэтому: 1) кривая вог­
нута вверх при -оо < # < - _ L и ~
■h
л л
Л
2) вогнута вниз при
Рис. 30.
(
±1
ч д/2 Jej
л
< х <
< х < +<*>;
л
. Точки
точки перегиба (рис. 30).
Заметим, что ввиду симметрии относительно оси OY кривой Гаусса ис­
следование знака вогнутости этой кривой достаточно было производить
лишь на полуоси 0 < х < +оо.
П р и м е р 2. Найти точки перегиба графика функции
У = Ух + 2 .
Р е ш е н и е . Имеем
У" = -§<х + 2) Я =
9
лзi](x- + 2)'
Очевидно, у** в пуль нигде не обращается.
(1)
§ 3, Асимптоты
87
П р и р авн и вая нулю зн ам ен атель дроби в правой части
р а в е н с т в а (1 ), п о л у ч а е м , ч то y,f н е су щ е с т в у е т п р и х = -2.
Т а к к а к у " > 0 п р и х < - 2 и у" < 0 п р и х > - 2 , т о ( - 2 , 0)
е с т ь т о ч к а п е р е г и б а (р и с , 3 1 ), К а с а т е л ь н а я в э т о й т о ч к е
п а р а л л е л ь н а оси о р д и н ат , т а к к а к п е р в а я п р о и зв о д н а я
у' при х —-2 бесконечна.
Рис. 31.
Н ай ти и н тер вал ы вогн утости и то ч к и перегиба
граф иков ф ун кций:
891.
у = х 3 - 6х2
892.
у
893.
у =
894,
у =
-
{х
895. у =
896.
у = cos х .
897.
у
=
898.
у
™х 2 In
899.
у =
a rc tg
900.
у =
(1 +
-3- 4 ,
+ I ) 4,
*
X 4- 3
*
12х
-+
*
х -
s in
х.
х.
х
-
х.
+12
sj 4 x S - 1 2 x .
х 2) е .
§ 3. Асимптоты
I е. О п р е д е л е н и е . Е с л и т о ч к а (* , у) н е п р е р ы в н о п е р е м е щ а е т с я по
к р и в о й у = f{x ) т а к , ч т о х о т я б ы о д н а и з к о о р д и н а т т о ч к и с т р е м и т с я к б е с ­
кон ечн ости , и при этом р ассто ян и е то ч к и от н екоторой п р ям о й стрем и тся
к н у л ю , т о э т а п р я м а я н а з ы в а е т с я асимптотой к р и в о й ,
2й. В е р т и к а л ь н ы е а с и м п т о т ы . Е с л и с у щ е с т в у е т ч и с л о а т а ­
кое, что
lini f{x) = oot
х
>а
то п р я м а я х = а я в л я е т с я а с и м п т о т о й (вертикальная асимптота).
3 °. Н а к л о н н ы е а с и м п т о т ы . Е с л и с у щ е с т в у ю т п р е д е л ы
Нш
Г — \ со
X
= к.
i
И
Нш
I'»
[/(я )
- k.x] = Ь, у
1
1
у = к хх +
б у д е т а с и м п т о т о й (правая наклонная,
правая горизонтальная асимптота).
то п р я м а я
= 0,
Е сли сущ ествую т пределы
lim
х — -со
fix) = k
2
X
И
lim
х
—
- СО
ГД*) - k х] - b2>
^
и л и , в случае
88
Глава III. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
то прямая у = к2х + Ь2 — асимптота (левая наклонная или* в случае к2 — О,
левая горизонтальная асимптота). График функции у — f(x) (функция
предполагается однозначной) не может иметь более одной правой (наклон­
ной или горизонтальной) и более одной левой (наклонной или горизонталь­
ной) асимптоты.
П р и м е р 1, Найти асимптоты кривой
х
У=
2
Р е ш е н и е . Приравнивая знаменатель нулю, получаем две вертикаль*
ные асимптоты:
X = -1
И X = 1.
+°о получаем:
Ищем наклонные асимптоты. При х —* +с
2
= lim
fr. = Нш
X
- = lim
ч
(у - x) — lim
следовательно, правой асимптотой является прямая у = х, Аналогично при
х —*
имеем
К
Л
i \ / ^
-i О
I
X
Таким образом, левая асимптота есть у = - х (рис. 32),
Исследование на асимптоты данной кривой упрощается, если учесть симметрию этой кривой.
lim у = -со,
X —* 4 Q
то прямая х - 0 является вертикальной асимптотой (нижней). Исследуем
кривую только на наклонную правую асимптоту (так как х > 0),
Имеем:
k = Нш
2-1,
х -* 4СО X
Ь=
lim
(у - х) = lim
X
In х =
4 СО
Следовательно, наклонной асимптоты нет.
Если кривая задана параметрическими уравнениями х = cp(f); у “ \|/(t)*
то сперва исследуют, нет ли таких значений параметра i, при которых одна
§ 4. Построение графиков функций по характерным точкам
89
и з ф у н к ц и й ф (() и л и ф(£) о б р а щ а е т с я в б е с к о н е ч н о с т ь , а д р у г а я о с т а е т с я к о ­
н е ч н о й . П р и ф(^0) = ° ° , a w (t0) ” с к р и в а я и м е е т г о р и з о н т а л ь н у ю а с и м п т о т у
у = с.
П р и ф(£ф) ~
а ф(£д) ”
с кривая
им еет вер ти кальн у ю асим п тоту
х = с.
Е с л и ф{£0) = \|/(fQ) = ° ° и п р и т о м
lirn
ф(*)
= ft; Нш [1|/(0 - fe<p(f)] = ь,
'-'о
то к р и в а я и м е е т н а к л о н н у ю а с и м п т о т у у = кх + Ъ,
Е сл и к р и в а я з а д а н а п о л я р н ы м у р а в н е н и е м г —/ ( ф), т о м о ж н о н а й т и ее а с и м п ­
тоты по п р е д ы д у щ е м у п р а в и л у , п р е о б р азо в ав у р а в н е н и е к р и в о й к п а р а м е т р и ­
ч е с к о м у в и д у п о ф о р м у л а м х ~ г cos ф — / ( ф) c o s ф; у = г s i n ф = / ( ф) s in ф.
Найти асимптоты кривых:
901.
1
У=
908.
у
= - -
9 +
(*-2)2
902.
У=
X
х2-
J x 2+ 9
909.
у =
910.
у =
911.
у =
р
912.
у =
s in #
913.
у
е"*2+ 2 .
4# + 3
2
903.
X
У= 2 .
х -4
904.
X3
2 +9
У=
х
905.
У = J x 2-
906.
у
=
*
'
1 .
X
1
11 - е
1
х
X
X
= I n (1 + х ) .
J x 2+ 3
907.
У=
х 2+1
J x 2-
914. х =
t\ у
=
t
+ 2 a rc tg
t•
1
915. Найти асимптоту гиперболической спирали г = - *
Ф
§ 4. Построение графиков функций по характерным точкам
П р и п о с т р о е н и и г р а ф и к а ф у н к ц и и с л е д у е т п р е ж д е в с е го н а й т и о б л а с т ь
о п р е д е л е н и я э т о й ф у н к ц и и и в ы я с н и т ь п о в е д е н и е ф у н к ц и и н а г р а н и ц е ее
области о п р е д е л е н и я . П о л езн о т а к ж е п р е д в а р и т е л ь н о о т м е ти т ь н е к о то р ы е
о с о б е н н о с т и ф у н к ц и и (е с л и о н и и м е ю т с я ), к а к - т о : с и м м е т р и я , п е р и о д и ч ­
н о с ть , п о с т о я н с т в о з н а к а , м о н о т о н н о с т ь и т . п .
Д алее, н у ж н о н ай ти точки р азр ы ва, точки экстр ем у м а ф у н к ц и и , точки
п е р е г и б а , а с и м п т о т ы и т . д , Н а й д е н н ы е э л е м е н т ы п о з в о л я ю т в ы я с н и т ь обЩ ии х а р а к т е р г р а ф и к а ф у н к ц и и и п о л у ч и т ь м а т е м а т и ч е с к и п р а в и л ь н ы й э с ­
к и з его.
90
Глава III. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
П р и м е р 1. Построить график функции
У=
Р е ш е н и е * а) Функция существует всюду, кроме точек х — ±1.
Функция — нечетная, поэтому график функции симметричен относи­
тельно точки 0(0; 0). Это обстоятельство упрощает построение графика,
б) Точками разрыва являются точки х “ —1 и х = 1, причем lim у ~
х — И-*»
=
и
Нт_
дг—
►
-1+°о
у = +°°, следовательно, прямые х = ±1 являются верти-
и**
lim
X
— *
| о с
>1 = х lim
—■ТОО
Л_. ___ь
-У
=
0
,
X
1!
8
1
кальными асимптотами графика,
в) Ищем наклонные асимптоты. Имеем
* гЧ^ N
следовательно, правой наклонной асимптоты нет. Из симметрии графика
следует, что левая наклонная асимптота также отсутствует.
г)
Находим критические точки 1-го и 2-го рода, т, е, точки, в которы
обращается в нуль или не существует первая или соответственно вторая: про­
изводная данной функции.
Имеем
,
У =
x 2- Z
■,
S3J ( x 2- 1)
,, _ 2 д;(9 - х 2)
(1)
(2)
9 Щ х 2- 1 ) 7
Производные у' и у ” не существуют только при х = ±1, т, е, только в тех
точках, где не существует и сама функция у, поэтому критическими точками
будут лишь те точки, где у *или у" обращается в нуль.
Из (1) и (2) следует;
у' - 0 при х = ± л/3 ;
у // = 0 при х = 0 п х = ±3,
Таким образом, у / сохраняет постоянный знак в каждом из интервалов
( - 7 3 . -1)» (-1» 1), (1, 7 3 ) и ( 7 3 , +°о), а у" — в каждом из
интервалов (-со, -3), (-3, -1), (-1, 0), (О, 1), (1, 3) и (3, +°°).
Для того чтобы выяснить, каковы именно знаки у ' (или соответственно у")
в каждом из указанных интервалов, достаточно определить знак у' (или у")
в какой-нибудь одной точке каждого из этих интервалов.
Результаты такого исследования удобно свести в таблицу (табл, I), вы­
числив также ординаты характерных точек графика функции. Заметим, что
ввиду нечетности функции у вычисление достаточно провести лишь при
х £ 0; левая половина графика восстанавливается по принципу нечетной
симметрии.
§ 4. Построение графиков функций по характерным точкам
91
Таблица I
(0, 1)
1
X
0
У
0
-
-
—
не сущ.
-
не сущ.
f
У
!>
У
0
а,
=1,73 (7з. з)
3
(3, +со)
=1,37
+
1,5
+
—
0
+
-f
+
+
+
0
Л
Л )
+
Выводы Точка
Функция Точка
перегиба убывает; разрыва
график
вогнут
вниз
+
Функция
убывает;
график
вогнут
вверх
V2
Точка
Функция Точка
минимума возрастает; перегиба
график вог­
нут вверх
Функция
возрастает;
график вог­
нут вниз
д)
Пользуясь результатами исследования,
строим график функции (рис. 33).
Рис. 33.
П р и м е р 2. Построить график функции
1пх
Р е ш е н и е , а) Область существования функции: 0 < х <
б)
В области существования точек разрыва нет, но при приближении к
граничной точке (я = 0) области существования имеем
lim у = lim —
х —0
х -* 0
X
- -оо.
Следовательно, прямая х = 0 (ось ординат) является вертикальной асимп­
тотой.
в) Ищем правую наклонную или горизонтальную асимптоту (левая на­
клонная асимптота отсутствует, так как невозможно, чтобы х —►-оо);
k ™ Нт
^ = 0,
Ъ = Цт
х — I™ X
jc -*•
+со
у = 0.
Следовательно, правой горизонтальной асимптотой является ось абсцисс:
У - 0.
г) Находим критические точки.
Имеем
^ 1 - In х
У
2 7
х
Jt,f _ 2 Inя - 3 .
я
’
х
У
92
Глава IIL ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
у* и у" существуют во всех точках области существования данной функции и
y f ™0 при In х = 1, т. е. при х = е;
3
у " = 0 при In х = - , т* с. при х = е
3/2
&
.
Составляем таблицу, включая характерные точки (табл. II)* При этом
кроме найденных характерных точек полезно найти также точки пересечен
ния графика с осями координат. Положив у = 0, находим х — 1 (точка пе­
ресечения кривой с осью абсцисс); с осью ординат график не пересекается*
Т а б л и ц а II
X
0
1
(0 ,1 )
У
—оо
—
у'
не сущ.
-Ь
У"
не сущ.
-
Выводы Гранич­ Функция
ная точка возрастает;
области
график
определе­ вогнут
ния функ­ вниз
ции. Вер­
тикальная
асимптота
0
—
Функция
возрастает;
график
вогнут
вниз
3
/(е, е 2 ).
3
2
3
{е* , +=°)
(1, е)
е ~ 2,72
+
1
е
“ 0,37
+
2J ?
<*0,33
+
0
-
-
—
-
-
-
0
+
Функция
возрастает;
график
вогнут
вниз
Точка
макси­
мума.
функции
е «
~ 4,49
3
Функция Точка
убывает; перегиба
график
вогаут
вниз
+
Функция
убывает;
график
вогнут
вверх
д)
Пользуясь результатами исследования, стро­
им график функции (рис. 34).
Построить графики указанных ниже функ­
ций, определив для каждой функции область
ее существования, точки разрыва, точки экс­
тремума, интервалы возрастания и убыва­
ния, точки перегиба ее графика, направление
вогнутости, а также асимптоты графика*
Рис. 34.
2
916. у = x S - З х 2.
920. у
917. у = бл:2 - г4 .
921. у
918. у = (х - 1)2(* + 2),
922. у
х4-3
Э 1 9 . ^ ( * - 2> ^ + 4>.
923. у
я 4+ 3
4
3
(я - 5 )
125
х 2 - 2х + 2
х -1
х
§ 4. Построение графиков функций по характерным точкам
924. у
925. у
926. у
927. у
928. у
.
2
2
X + - .
Я
946* у
я2 + 3
8
947. у
я2 - 4,
4#
,4 + я2 '
4.x - 12
( * -
2)2
945. у
37( я - 2 ) :
-я
хе .
л
X \I е а *
а +, —
а
8лг 948. у = е
,0 .
я - 14
2Ч - х ‘
949. у
(2 + х )е
‘
929. у
Я
"1
я - 47 *
950. у
2jx| - х ,
930. у
16
х 2(х - 4)
951. у
lnx
Jx
2
931. у
Зя4 + 1
932. у
J x + J4z - х .
933. у
JS + х ~ JS - х .
^ ln *.
2
a
x
953. у
lnx
954. у —(х ~Ь 1) In" (д: + 1).
934.
Ял/яТЗ
у
.
955. у = In (х2 - 1) +
935. у
J x 3 - Зх *
956. у = In ^
936. у
^/l - я 2 .
957. у = In (1 + e“*).
937. у
ill - x * .
958. у
938. у
2x + 2 - 3 l ] ( x + l f .
959. у
939.
Vу T T i - Vac - 1.
940. у
V(ac + 4}a - 37(ac - 4)2 961. у — cos x - cos x.
. з
з
lj(x-2)2 +
. 962. у S i n X т COS X .
4
963. у =
smx + cosx
74-я2
sin я
у 8
941. у
942. у
943.
+
у X
V+-1
1 i
2
x -1
1-1
НУ
sin x + cos x.
960. у = sin х + sin2x
2
2
x*jx2 - 4
944.
952. у
sin( * + i)
965. у = sin x ' cos
93
94
Глава III. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
966. у = cos х ■cos 2х.
A H M
Sill JT
967. у = х + sill х.
978. у = e ™ 7*.
977. у = e
j 2
968. у = arcsin (1 - У х ).
9 7 9 . y = earctgJC.
969. у _ arcsin x
980. у = In sin x .
Q
7 r
7
'
970. у = 2x - tg x .
981. у = l nt g ( j - | ) ,
971. у = x arctg x.
982. у = In x - arctg x.
972. у = x arctg А при x
oc
и у = 0 при x = 0,
973.
= xу + 2 arctg x ,
0
983. у = COS X - In COS X.
984. г/ = arctg (In x).
985. у = arcsin in (x -f 1)*
974. у = | + arcctg x,
986. у = xx.
975.
1
987. у = x x .
у sh x*
= In
976. у = Arch f x + ij .
Рекомендуется также построить графики функций, указанных в
№№ 826—848.
Построить графики функций, заданных параметрически:
988. х “ t2 - 2t, у = t 2 + 2f.
989. х = a cos t, у = a sin t (a > 0).
990. x - t e \ у = te A
991. x = t + e у = 2t + e 2t.
992. x = a(sh £ - f), у = a(ch J - 1) (a > 0).
§ 5. Дифференциал дуги. Кривизна
I е. Д и ф ф е р е н ц и а л д у г и . Дифференциал дуги s плоской кривой,
заданной уравнением в декартовых координатах х и у, выражается форму­
лой
ds = V(dx)2 + (dу)2 ;
при этом, если уравнение кривой имеет вид:
а) у *= f(x), то ds = J1
6) х = f x(y), то ds =
dx при dx > 0;
dy при dy > 0;
§ 5, Дифференциал дуги. Кривизна
95
при di > 0;
в) я = W h У = ¥(0* то ds
Обозначая через а угол, образованный положительным направлением ка­
сательной (т. е. направленной в сторону возрастания дуги кривой s) с поло­
жительным направлением оси O Xi получим:
cos а =
dx
ds ’
sin а = dy
ds
В полярных координатах
Обозначая через Р угол между полярным радиусом точки кривой и ка­
сательной к кривой в этой точке, имеем
cos r
р = dr
sin р =
ds
.
2й, К р и в и з н а к р и в о й . Кривизной К кри­
вой в ее точке М называется предел отношения уг­
ла между положительными направлениями каса­
тельных в точках М n N кривой {угол смежности)
к длине дуги M N = As, когда N
М (рис. 35), т. е.
де - о As
da
ds '
где а — угол между положительными направлениями касательной в точке
М и оси ОХ,
Радиусом кривизны R называется величина, обратная модулю кривизны,
т. е,
Линиями постоянной кривизны являются окружность [ К = - , где а — раV
а
Диус окружности j и прямая (Jf = 0).
96
Глава III, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Формулы для вычисления кривизны в прямоугольных координатах сле­
дующие (с точностью до знака):
1) если кривая задана уравнением в явной форме у = f{x)t то
К =
У
< w V / 2’
2) если кривая задана уравнением в неявной форме F(x^ у) = 0, то
F"
XX F"
*ху
F
Ахf
F"
* ух F”
УУ Ff
F' п
0
К =
(Fi2 + F f >3/
3)
если кривая задана уравнениями в параметрической форме х — ф(£),
у = \|/(f), то
х' У'
К =
У"
,2,3/2
(X +У )
где
* ' - ^ , у' = $ Е , *» =
, у" = Ё 4 .
d£
dt
df'
df
В полярных координатах, когда кривая задана уравнением г = Дф), имеем
К =
г 2 + 2 г ,г -
, 2
г г
"
,2,3/2
(г +г )
где
г*
d r и г'
,2
d г
dф
3 ° . О к р у ж н о с т ь к р и в и з н ы . Окружностью кривизны (соприка­
сающейся окружностью) кривой в ее точке М называется предельное положение окружности, проведенной через точку М и две другие точки кривой
Р и Q, когда Р М и Q —* М .
Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны, а центр окруж­
ности кривизны (центр кривизны) находится на нормали к кривой, прове­
денной в точке М в сторону вогнутости кривой.
Координаты X и Y центра кривизны кривой вычисляются по формулам:
,
х = х - У'(1+/
,2
», у - y + ± ± J L .
2.
У
У
Эволютой кривой называется геометрическое место ее центров кривизны.
Если в формулах для определения координат центра кривизны рассмат­
ривать X и Y как текущие координаты точки эволюты, то эти формулы дают
параметрические уравнения эволюты с параметром х или у (или же t t если
сама кривая задана уравнениями в параметрической форме).
§ 5. Дифференциал дуги. Кривизна
97
П р и м е р 1. Найти уравнение эволюты парабо-
лы у
х
2
р е ш е н и е , X = -4 х а, У = ^
х , Исключив
М
параметр х, найдем уравнение эволюты в явном виде:
Эвольвентой (инволютой) кривой называется та­
Рис, 36.
кая кривая, для которой данная кривая является эво­
лютой.
Нормаль МС эвольвенты Г2 является касательной к эволюте
длина
дуги ССХэволюты равна соответствующему приращению радиуса кривизны
CCj = \№1С1 ” MCI поэтому эвольвенту Г2 называют также разверткой кри­
вой
получающейся разматыванием натянутой нити, намотанной на Гг
(рис, 36), Каждой эволюте соответствует бесчисленное множество эвольвент,
отвечающих различным первоначальным длинам нити.
4° , В е р ш и н ы к р и в о й . Вершиной кривой называется точка кривой,
в которой кривизна имеет максимум или минимум. Для определения вер­
шин кривой составляется выражение кривизны К и находятся ее точки экс­
тремума* Вместо кривизны К можно взять радиус кривизны R ~ рЦ и искать
\Щ
его точки экстремума, если в этом случае вычисления проще,
у
П р и м е р 2. Найти вершину цепной линии у “ а ch - (а > 0),
а
Р е ш е н и е * Так как y f = sh * , а у ,г = - ch - , то К —
а
а
а
и, сле-2
а
2х
6Я
2X
доватслъно, Я ~ a ch - . Имеем — = sh — . Приравнивая производную
а
ах
а
а
точку х = 0. Вычисляя вторую производную — - и подставляя в нее знаdx
a R
чение х = 0, получаем — dx
=■
аа
2
аа х = о
= - > 0, Следовательно, х ~ О
а
есть точка минимума радиуса кривизны (или максимума кривизны) цепной
линии. Вершиной цепной линии у = a ch —, таким образом, является точка
а
А(0) а).
4 Зецлйчи и уп р аж н е н и я
98
Глава III. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
---------------------------------------------------------------------------- ■
------------------------------------------ 7
Найти дифференциал дуги, а также косинус и синус угла, обра­
зованного с положительным направлением оси ОХ касательной ц
каждой из следующих кривых:
2 2
2
]
993. х -f у “ а {окружность).
2
2
994.
+ V- - 1 {эллипс).
в
ь
2
995. у — 2р х (парабола).
ппа
2/3 ,
2/3
2/3 ,
* V
996. х
+ у
=а
(астроида).
J
-3
\
997. у = a ch - (ценная лалшг).
а
998. д: = а(£ - sin £); У = й(1 - cos 0 (циклоида).
3
3
999. д: = а cos £, у = a sin t (астроида).
Найти дифференциал дуги, а также косинус или синус угла, об-;
разованного полярным радиусом и касательной к каждой из еле-,
дующих кривых:
1000, г = аф (архимедова спираль).
1001, г = 5 (гиперболическая спираль).
Ф
1002, г = a sec2 5 (парабола).
2
2 (fi
1003. г = a cos х (кардиоида).
Z
1 0 0 4 . г = аф (логарифмическая спираль).
2
2
1 0 0 5 . г = а cos 2ф (лелшшжаяга).
Вычислить кривизну данных кривых в указанных точках:
■i
3
2
1006. у = дс - 4;е “ 18л: в начале координат.
1007. х 2 + ху + у 2 = 3 в точке (1; 1).
2
2
„
1008. i £л + ^
= 1 в вершинах А(а, 0) и £J(0, Ь).
л £к
а
о
I
1009. х = t2, у = t3 вточке (1; 1).
>
2
2
1010. г —2а cos 2ср в вершинах с полярными углами ф = 0 и ф —я.
2
1
1011. В какой точке параболы у = 8х кривизна равна 0,128?
1012. Найти вершину кривой у = е .
ч
Найти радиусы кривизны (в любой точке) данных линий:
3
1013. у = х (кубическая парабола).
2
2
1014. ^- + ^- = 1 (эллипс).
а
Ь2
\
s
-А
\
§ 5, Дифференциал дуги. Кривизна
99
1015
3
3
1016. х = a cos t\ у = a sin t (а ст р о и д а ).
1017. х = a(cos t + t sin t); у = a(sin t - t cos t) (э в о л ь в е н т а к р у га ).
1018* г = ае*ф (л о г а р и ф м и ч е с к а я с п и р а л ь ).
1019* г = a (l + cos <р) (к а р д и о и д а ).
1020. Найти наименьшее значение радиуса кривизны параболы
У 2 ~
2р х .
1021. Доказать, что радиус кривизны цепной линии у — a ch a
равен длине отрезка нормали.
Вычислить координаты центра кривизны данных кривых в ука­
занных точках:
1022. х у — 1 в точке (1; 1).
1023. а у = х в точке (а; а).
Написать уравнения окружностей кривизны данных кривых в
указанных точках:
1024. у = х 2 - Gx + 10 в точке {3; 1).
1025. у = е* в точке (0; 1).
Найти эволюты кривых:
2
1026. у — 2р х (п а р а б о л а ).
2
г
1027* ^ + У- = 1 ( э л л и п с ) .
аг
Ъ
1028. Доказать , что эволютой циклоиды
х = a ( t - sin f); у “ а( 1 - cos f)
является смещенная циклоида,
1029. Доказать, что эволютой логарифмической спирали
feu
г = ае
является также логарифмическая спираль с тем ж е полюсом*
ЮЗО, Показать, что кривая (р а з в е р т к а о к р у ж н о с т и )
х = a{cos t + t sin f); у = a(sin t - t cos f)
является эвольвентой окружности x — a cos t\ у = a sin t.
Глава IV
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Непосредственное интегрирование
1D. О с н о в н ы е п р а в и л а и н т е г р и р о в а н и я .
1) Если Е'(х) = /(х), то
J /(х) dx = Д х ) + С,
где С — произвольная постоянная.
2) |
а Я*)<1*
-
aJ
/(х) dx, где А — постоянная величина.
3) | [^(х) ± /2(х)] dx = | f^x) dx ± J / 2(x) dx.
4) Если j* f(x) dx = Д х ) + С и и = ф(х), то
| /(и) du = Д и) + С.
В частности,
f(ax 4 Ь) dx = - F(ax + 5) + С {аФ 0).
а
2°. Т а б л и ц а п р о с т е й ш и х и н т е г р а л о в .
j
п+1
I. I x"dx = х
I
IL
I
III,
1
п -\-1
1
1
ф -1.
dx “ In \х\ 4 С.
х
dx - - arctg - 4 С = -_1 arctg X
2
2
х +а
dx
IV.
+ С, п
2
х - а
dx
2
2
а -х
dx
а
а
а
а
1 1п X- а
+ с (а Ф 0);
' 2а
X+ а
1 1п а + X 4 С (а ^ 0).
2а
а- X
J I х 2 + а = In х 4 J ? + а | 4 С (а Ф0)
VI,
J л/а/ 2- х = arcsin -а 4 С = -arccos —а 4 Cj
V.
(а > 0).
§ 1 „ Непосредственное интегрирование
V41.
V III.
IX .
f dx — In а + С (а >
J
j* s i n х dx = “ c o s х 4- С.
J
cos
101
= e + C.
x dx —s in x + C .
= tg x + C.
X
j COS X
XI . Г - Щ - = -ctg x + C.
J sin x
Г dx = In
+ C ; hi [cosec x - ctg x| 4 C.
XII
' J si
smx
-I
dx - In , \ X n 4- C = In |tg x 4 sec x\ + C.
XIII
« ' V 4
■j cos*
XIV. J sh * dx = ch * + C.
XV. J ch x dx = sh * 4 C.
XVI. f dx = th x + C,
J ch2 x
dx
x ™ . j sh2 x
= -cth x + C.
П р и м е р 1.
| (ax2 + frx + c) dx = J ax2 dx + J bx dx 4 J* c dx =
= aj* x2 dx 4 ftj* x dx 4 c j dx =
+ b^
4 cx 4 C.
Применяя основные правила I), 2)s 3) и формулы интегрирова­
ния, найти следующие интегралы:
1- n
1031. J 5a2x6 dx.
1037.
1032. | (6х2 + 8* + 3) dx.
1038.
1033. J х(х + а)(х + f>) dx.
1039.
Jx + 1) dx.
1040.
dx.
■1034. | (а + &х8)3 dx.
1035, j" J l p x dx.
1041.
1036. f
.
J nJx
1042.
102
Глава IV, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1043. jГ dx
1 x 2 + 7*
f V2 + x —J 2 —x
10^7
^
1 0 4 4 . jГ dx
1 x2 - 10
1 0 4 5 . jГ dx
dx.
j4 -x4
1048*. a) | tg 2 x dx; 6 ) J th 2 x dx.
1049, a)
' J i + x2
1046. jГ dx
' J&-x2
J ctg2x
dx*
6) J
cth 2 x dx
1050. | 3 V dx.
3°, И н т е г р и р о в а н и е п у т е м п о д в е д е н и я под з на к диф­
ф е р е н ц и а л а . Правило 4) значительно расширяет таблицу простейших
интегралов. А именно* в силу этого правила таблица интегралов оказывается
справедливой независимо от того, является переменная интегрирования не­
зависимой переменной или дифференцируемой функцией.
Пример
1
5
J
1 J (5а: - 2)“I/a d(5x - 2) =
du = 1
5
и 1/ 2 + С
1/2
1(5д:-2)1/2
+С
5 1/2
§ 7 5 * -2 + С,
ь
где было положено и - 5дс - 2. Использовались правило 4) и табличный
интеграл I.
Примера, f
*d*
- i f
J V Su7
d(* *
= i In (x2 + J l + x4) + C.
2j T H v ?
2
2
Неявно подразумевалось и - x t причем применялись правило 4) и таб­
личный интеграл V.
П р и м е р 4.
J
х2е* dx =
^J
е* d(x3) =
+С
в силу правила 4} и табличного интеграла VII.
В примерах 2, 3, 4, прежде чем использовать тот или иной табличный
интеграл* мы приводили данный интеграл к виду
| Дф(*:))ф'(*) йх = Гf(u) du, где и ** <р(х).
Такого рода преобразование называется подведением под знак диффе­
ренциала.
Полезно отметить часто применяемые преобразования дифференциалов,
которые, в частности, использовались в примерах 2 и 3:
a) dx = - d(ax + Ь) (о ф 0); б) х dx - ^ d(x2) и т. п.
а
&
103
§ 1* Непосредственное интегрирование
Применяя основные правила и формулы интегрирования, найти
следующие интегралы:
1051**. Г
J
x2 + 2
2х + 1
J a -x
1 - Зх
dx,
3 + 2х
J
а х
1071.
8x
+ 6
1057. | x +- 5x + 7 dx.
x+3
1058. | X4 4- X 2 + 1 dx.
1061,
1075. 1 3* +1 - dx.
2 1
X 4-1
J
1
6 ^ dx.
x-a
x
lo s e *
ГJ ( x+1)
1077.
dx.
1065. |
1066.
1
1079. f - 2ax2+ &
dx.
т2
J a X +6
1080.
dx.
xdx
i
/“ 4
4'
Va - x
x
dx.
1081. f j 1 4- x6
X
dx
3x +5
1082.
dx
1083
l x
xdx
x 2 - 5c
xdx
|
2x^ + 3
+ 1— dx.
....
j
1078.
J,x 24 1
1064. f
J
dx.
^ Vx2 -
1062. J Ja - bx dx.
X
s
1076. f J L t j
frdy
i Jl-y
1063
J l - 5x
1073. |
x- 1
1059. J a +
i
2x - 5 dx.
3x - 2
3 - 2x dx,
1074. f i
J ox
n
-f 7
x 4 l dx.
x -
dx
1072.
dx.
ax + p
1056. J
' - 5x + 6 dx.
x +4
dx
J
1070. | *
xdx
Ю54. | J
+ bx
1055. |
dx.
1069. Г - X
1052**. | 2* + 3 dx.
1053.
dx.
1068. J
.
а - х
J X
d*
J x b■i
-8
jarcsin x
T T ~ dx.
1- x
arctg: |
1067. r
I
dx
(a
b) - (a - b ) x
- (0 < b < a) .
2
1084. f ------- 1 dx.
J 4 + x2
104
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1085. f x - J a r c tg 2х А„
"
1 + 4х2
1101. f a*dx
, 2**
} i1 +a
1086. |*
4
1102. f - e -2bx Q
dr
' '
J 1- e
1087.
Г
dx
J(1 + х 2)\п(х + Jl-\- х 2}
ае
-тх *
ах*
f.
-bx
U 0 3 . jf e*d£
1 J l - e2t
1088. [ 42 “ 3* dx.
И 0 4 . jJ*sin (a + b x ) dx.
1089. Г(ef - е () dt.
1105. jГcos — dx.
1
Д
2
1090.
rf
~
~
dx.
1091. f (a - b xf dx.
1 axbx
- 2л ,
1092.
*ja
1093.
e
+1)x dx.
1106. j1*(cos a x + sin a x ) 2 dx.
1 1 0 7 .jГCOS fifx — .
1
Ji
1 1 0 8 .j sin (lg x) — .
X
1109*. J sin 2 x dx.
1094. ' x ■ 7*’ dx.
1110*. J* cos2 x dx.
1
m Jf
1095. ^ d x .
m i . j sec2 (ax + b ) dx.
1096. 1
1 1 1 2 .j ctg2 ax dx.
dx
S '
5
1097.
•
x
e
dx.
e *~l
1 1 1 3 .j * dx
sin^
a
1098.
е*л/а - be* dx.
1114. j '
dx
3 cos ^5x 1099. | (е а + 1) еа dx.
'
1 1 1 5 .J
dx
sin (ax + £>)
n o o * . f dx .
J 2*-нЗ
1 1 1 6 .j 1 xdx
2 2'
cos X
105
§ 1. Непосредственное интегрирование
1117, | х sin (1 - х 2) dx.
1 + 3cos x sin 2x dx*
1131
£,
1118.
f
1
^sinxV2
1119.
tg x dx.
1]
^
dx.
Г,
1132. i tg
J|
1133. f
*
3
X
-
3
Л * *
1 CQSd X
„
2 j
sec :
dx.
x 2/3
ctg
* dx
sin x
1120, ctg x dx.
1134.
1121. f ctg
dx.
J
a —o
1135. f 1 + sf 3* dx.
J cos 3x
1122
H 36. Г (cosax+ sinflx)2 dx
J
sinax
dx
■i , x
tg 5
1123. | tg J i
1137.
1124. | x ctg (x2 + 1) dx
1138.
cosec 3x dx.
b - actg 3x
I
(2sh 5x - 3ch 5x)dx,
1
1125.
dx
b sinxcosx
I
1140.
J
1141.
I
1142.
I
sh2 x dx.
1143.
th x dx*
1139.
1126. f cos - sin - dx.
J
a
a
1127. | sin3 6x cos 6x dx.
1128. f *cos — dx.
J sin
Я1 ax
1129. | sin3x dx.
3 + cos3x
sinxcosx
dx*
1130
• j l cos 2 x - sin 2 x
dx
sh x
dx
ch x '
dx
sh xch x
1
1144.
■
J
cth x dx.
Найти неопределенные интегралы:
Ш5. J x^/s 1146.
x 2 dx.
1148.
3 1
dr
J - 1
;c4 —4x + 1
1149.
X
3
dv
1147. f *
x8 + 5
1150.
I х
e x dx.
3 “ J 2 + 3x‘ dx.
2 + 3x
x з - 1л dx.
X 4- 1
106
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1151.
arclg x , л , t
da:
2.
.,
e______ + x l n ( l + X ) + 1 ^
1 4- X
1152.
1 - sinac da:.
X + cos#
1153.
tg Зас- ctg 3 asin 3a:
2
smx —cos я dx.
smx + cosx
/
\
1 - sin
д
dx.
1169.
X
sin
72
1154.
da:
1155.
ae In2 x
sec x
1170.
dx.
1171. [ I i ± £ L da:.
j x (l + X )
tg x - 2
1156.
1157.
2+
dx.
л
dx
2 x + l ) 2x2 +1
X
sm x
cos x d x .
1172. j* eEin *sin 2x dx.
1173.
5 - 3x
dx.
J T - 3x
1158.
1159.
dx.
xdx
1174,
1175.
x
1160.
ax dx.
1176.
1161.
? dx.
1177.
1162.
sec x dx
dx
(0 < b < a)
(a + b) + (a - b)x‘
dx.
sinaxcosax
1 1 7 8 , J s i n ( ^ + cp0) df.
1163.
1179.
1164.
VI + lnx dx.
1165.
tg J x - 1
1166.
xdx
sm(x )
X
dx
Jx - 1
arccos —
1180. f
2 '
j
2
J4 - x
f -tg x 2
1181. e
sec
1182. f sin x cos x dx.
■ 4x
J/о2 - sm
107
§ 2. Метод подстановки
1183. j
1184. j
Г
dx
2
2
1 sin x cos x
Г
dx
1187. j
1 -1 + cos 2 X '
Г a rc sin x + x d x
p l\n(x+ J x 2 + 1)
1 1 8 8 .J
!♦.'
^
U
л/ l - X2
Г sec x tg x ^
1185. j
1 / 2 ^Vsec x + 1
1189. |J*x 2ch (x 3 + 3) dx.
* rtth x
dr
1190. \ J
1 ch2 X
^
1186. jГ cos2x
2
’’
1 4 + cos 2x
§ 2, Метод подстановки
1°, З а м е н а
Полагая
переменной
в неопределенном
интеграле*
X = ср(О*
где t — новая переменная, ф — непрерывно дифференцируемая
функция, будем иметь
| fix) dx - J Я фСО]ф'(0 df.
(1)
Функцию ф стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть форму­
лы (1) приобрела более удобный для интегрирования вид*
П р и м е р 1* Найти
\ * j ^ 1 dx.
------
2
Р е ш е н и е * Естественно положить t * J x - 1 , отсюда х = t + 1 и d# —
= 2t
Следовательно,
J
1 dx = J (t2 + l)f ■ 2f df = 2 J (f4 + f2) df =
= 2 ts + 2 f + c = 2 ( x _ 1)z + 2 (X_ 1)S + c .
Иногда применяются подстановки вида
и = ф(*)*
Допустим, что нам удалось подынтегральное выражение f(x) dx преоб­
разовать к такому виду:
f(x) dx = g(u) du, где и = ф(л;)*
Если J g(u) dи известен, т* е*
| g(u) dи = F(u) + С,
то
| fix) dx = Р1ф(х)] + С.
108
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Этим способом мы уже, собственно говоря, пользовались в § 1, 3й.
Примеры 2, 3, 4 (§ 1) можно было решить следующим образом:
П р и м е р 2, и = 5х - 2; du = 5cLc; dx = - du.
5
1
2
dx
-
j J5x - 2
51
9
+С- ^
5
+ C.
2
П р и м е р 3. и — x 2; du = 2x djr; x dx = ^ .
z
Г xdx
J 1+*
= | f
dlj
= 1 In (u + J l + ii2 ) + C = | I n (*2 + >Jl + x 4 ) + C.
,/l + u2 ^
Z
П р и м е р 4. u = j:3; du = 3x2 da:; x 2 d# = — .
3
J* x 2ex dx = i J eu du = - e “ + C = -1 e*3 + C.
3
3
2°, Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е п о д с т а н о в к и .
Г~2
2
1) Если интеграл содержит радикал 4 а - х , то обычно полагают х = a sin
отсюда
/ 2
2
Va - а: = a cos
2) Если интеграл содержит радикал
сюда
, то полагают х = a sec i \ отa tg i.
2 (
2
3) Если интеграл содержит радикал I х + а , то полагают х = a tg f; отсюда
+а
2
= a sec t.
Заметим, что тригонометрические подстановки не всегда оказываются
выгодными.
Иногда вместо тригонометрических подстановок удобнее пользоваться
гиперболическими подстановками, которые имеют аналогичный характер
(см. Кг 1209).
О тригонометрических и гиперболических подстановках более подробно
см. в § 9.
П р и м е р 5. Найти
гS
+ i
J
X
109
§ 2. Метод подстановки
р е ш е н и е . Полагаем x = tg t. Следовательно, d x =
J77I ^
f 7 tg 2 f + 1
----- 5---— I
xT
J
tg
t
dt
2,
cos t
dt _ f sec (cos2 t d£ _ Г
df
__
2
I
“ 2
" 2
I . 2
cos t
J
sin t
cos t
J sm t cost
f sin N + cos^t d( _ f A L -|. f
dt « In |tg t + sec t\ - - ± - + C J sin2 t ■cost
J cost J sin2 t
sint
= In |tg t + J l + tg2 t \ - l
1
1 + C = ln|* + 7 ? + l l -
+C.
1191. Применяя указанные подстановки, найти интегралы:
а )}
,_
___ , х = - - ;
**
Г
t
Цх Т- ^2
« г - р - , х = -In t ;
1 е* + l
г) f
, t = & 7 1 ;
J Jx+l
cosxdx , t = sin х .
д )
!
Я + sin x
в) | х(5х2 - З)7 dx, 5х2 - 3 = t;
Применяя подходящие подстановки, найти интегралы:
1192. j"х(2х + 5)10 dx.
1193. Г 1 + х dr
1 1+ Jx
,
Jl - x2
n2x
1198. J
e
dx.
л/е* +1
1199. j ‘ sin2 x dx.
Vcosx
j4 dx
1200*.
J x * j/1l + x 2
J—
1
1195.
Г
dx
) xj2x +1
f dx
cTH~]
1
1194.
1197. j
, (aresm
/
■ x}ч2
1196. Г ln2x dx
J ln4x x
Применяя тригонометрические подстановки, найти интегралы:
1201. f‘ x2dx
J
1205. [ Я 2 + 1 dx<
J
*
J l-x 2
1 2 0 2 .J1 x3dx
1206*
1203.
J
2
4x - a
1204*. Г
cLr
^ x 2J 4 - x 2
J2- x2
>/ 2
f
X
dx.
dx
x j x 2- 1
1207. | J l - x 2 d x .
no
Глава IV, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1208. Вычислить интеграл
dx
j J x ( l - х)
. 2
с помощью подстановки X = sin t,
1209. Найти
J
*Ja2 + х 2 dx,
применяя гиперболическую подстановку х = a sh f .
Р е ш е н и е . Имеем *ja2+ x 2 = Va2 + a2 sh2 t = a ch t и dx —a ch dt. От
сюда
J
*ja2 + x 2 dx
J a ch t • a ch t di = a f ch2 t dt = a2 f
^ + ^ df =
2 /1
\
2
- — f ish 2t + tj + C = (sh t ch t + () + C.
Так как
sh f - * , ch t - £
и
e* = ch t + sh t - * + № + **
a
то окончательно получаем
J
*ja2 + x2 d* - ^ J a 2 + x 2 +
In ^x + Ja2^ 2^ + Clt
где C; = C - a— In a — новая произвольная постоянная.
1210. Найти
Га
*jx
-а 2 *
полагая х = a ch t.
§ 3. Интегрирование по частям
Ф о р м у л а и н т е г р и р о в а н и я по ч а с т я м . Если и = ф(я)
и=
— дифференцируемые функции, то
du = u v — \ v dn.
111
§ 3. Интегрирование по частям
П р и м е р 1. Найти
х 1п х ch:.
I
Полагая и = In х; dp = х dx, имеем da — d
—х ; и = х— . Отсюда
х
2
2
,
2
2
x dx
t лC.
f х in х dx = — In х - f —
— = x—, ln x - x— 44
J
2
J 2 x 2
Иногда, чтобы свести данный интеграл к табличному, приходится при­
менять формулу интегрирования по частям несколько раз. В некоторых слу­
чаях с помощью интегрирования по частям получают уравнение, из которого
определяется искомый интеграл.
П р и м е р 2. Найти
I
в' “ 8 * d*■
Имеем
J
е* cos х d x =
—е sin х +
Г
J
е* d(sin х) = е* sin х у»
J
е* sin х dx =
I
.ц*
pg
с d(cos х) “ с sin х + е cos х — е cos х dx.
Следовательно,
J
e*cos х dx
=
e^sin х 4- e*cos х -
J* e*cos x dx,
откуда
i
e*cos x dx =
(sin x 4- cos x) 4 C.
Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы:
Г 2 3x ,
1211. Г In х dx.
1218**. x e dx.
•f
j
1212. j*arctg x dx.
1219*. | (x 2 - 2x 4- 5)e x dx.
1213. J*arcsin x dx.
1220*. j|*x 3e 3 dx.
1214.
1221. j x sin x cos x dx.
f * sin * d x -
1215. J*x cos 3x dx.
1222*. j|*(x 2 + 5x + 6)cos 2x dx,
1216. f i d * .
} e
1223. j x 2 In x dx.
1217. f x ■2 * d x .
1224. f In2 x dx.
112
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1225. f i i f dx.
J x
1231. Г х а я х dx.
J sin x
1226.
1232. J e* sin x dx.
1
f x d*1227. J* x arctg x d x ,
1233. f 3* cos x dx.
1228. J*x arcsin x dx.
1234. J* eax sin bx dx.
1229. f In (x + V l + * 3 ) dx.
1235. Гsin (In x) dx.
1230. Г xdx
" sin2 x
J
Применяя различные методы, найти интегралы:
1236. [ x 3e~x dx.
dx.
1
1—
>
1246. f arcsin ^
%
1237. J*
dx.
1247. J x tg 2 2x dx*
1238. J*(x 2 - 2x + 3) In x dx*
1248. J sin2 * dx.
1239. f x In 1 “ x dx.
1249. J* cos2 (In x) dx.
1240. f ln> dx.
J1 хг
1241. C In(lnx) ^
X
J1
1250**. f
1
1242. j[*x 2 arctg 3x dx.
1252*. J
Ja 2-
1243. jj*x(arctg x )2 dx.
1253*. , J
*]a +
1244.
1254*. j* x 2dx
Г (arcsin
Ji
1251* Г
dx
^ (x2 + a 2)2
x )2 dx.
^
1245. jr arcsin
1
J
**
dx
9
2
(X + 1}
x 2 dx.
x 2 dx*
J9~x2
X dx_
V
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
j — + п dx. Основной прием вычислеJ ах + Ьх-\- с
ния — приведение квадратного трехчлена к виду
1°, И н т е г р а л ы в и д а
ах2 + Ьх + с = а(х Н к)2 4-
( 1)
113
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
где h и / — постоянные. Для выполнения преобразования (1) удобнее всего
3 квадратного трехчлена выделить полный квадрат. Можно также пользо­
ваться подстановкой
2 ах + Ь = t.
Если пь = 0, то, приводя квадратный трехчлен к виду (1), получаем таб­
личные интегралы III или IV (см. § 1 ,2 ° , таблицу простейших интегралов).
П р и м е р 1-
1
dlx-j
dx
dx
2х -5 x 4 - -7
-if
-
и
4j
16
x_5
i - J — arctg
+ C = -J L arctg —— - + C.
2731
ДТ
Л l
751
Если m Ф0, то из числителя выделяется производная 2а х + Ь квадратного
трехчлена
I
тх + п
_ г га
-I
ах + £>х + с
v
&а
ах +Ъх+с
f
= — In lax2 + frx + с\ +
2а
dx —
dx
i>x + с
и таким образом мы приходим к интегралу, разобранному выше.
П р и м е р 2.
5(2jc- ------1J- i dx
, “ -i In
, Ix г - x ~
X
2
1
df* ~ 2
ч- i l n
_
- X - 1
*
2Л
—
,2
2
_
5
4
III 2x - 1 - V5 + C.
= i In |x2 - x - l| 2\ И н т е г р а л ы вида
-
2X- 1 + V&
тх + n — dx.
J Jtfax +£>x + c
Методы вычислений аналогичны разобранным выше. В конечном итоге ин­
теграл приводится к табличному интегралу V, если а > 0, и VI, если а < 0.
П р и м е р 3,
/
dx
J 2 + Зх - 2х‘
я/
Л
dx
125 (
3'
16 [Х 4
— arcsin — —~ + С.
5
Л
114
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
П р и м е р 4.
Г
х +3
*[х2 2 х
2х + 2
dx —
-н 2
dx
d* + 2
^ J J x 2 + 2л: + 2
^ *1(х + 1)г + 1
= J x 2 + 2 x + 2 + 2 In (jc + 1 + J x 2 + 2 x + 2 ) + С.
dx
3°, И н т е г р а л ы в и д а J
. С помощью обратной
(тпх + n)Ja x2 + bx + c
подстановки
1
=t
тпх + п
эти интегралы приводятся к интегралам вида 2°,
П р и м е р 5, Найти
da:
(х +1 )Jx
+
1
Р е ш е н и е » Полагаем
отсюда
Имеем
dx
df
х + 1 )J;
X
2t + 2t
f
dt
V2 J К
= _ J _ In
l ,2 1
= - J_ln
1
- X
+ J2 (x 2+T) 4- C.
X
4
+c =
J2
4- 1
. И н т е г р а л ы в и д а J* Jax + bx + c da:» Путем выделения из квад­
ратного трехчлена полного квадрата данный интеграл сводится к одному
из следующих двух основных интегралов (см. №№ 1252 и 1253):
1) f Ja2 - х 2 dx = ^ Ja2- х 2 -f- 2- arcsin - + С (a > 0);
J
*
2
a
2) | >jx2+A dx = ^,jx2+A + ^1п|лс + J x ^T a I 4- C.
115
g 4. Простейшие интегралы* содержащие квадратный трехчлен
П р и м е р 6.
= | 7г^( Г + * ) d(l + х) =
1+ x , r
arcsm —— + C.
l±±jl-2x-x2
+
2
л
! Я —2 л: —
dx
Н айти интегралы:
1255. |
dx
x2 + 2x + 5
1256.
dx
x2 + 2x
1257
f
d*
J (х - 1 ) Л 2-2
xdx
дс2 —7лг + 13
1271
f
3 x ~ 2 dx.
x2 - 4x + 5
1272. | */x2 + 2x + 5 dx.
t * - 1)2 dx.
x2 + 3 x + 4
1273. | J x - x z dx.
xadx
xz- 6x+ 10
1274. | V 2 - x - x 2 dx.
■J
1261. j
1275.
V2 + 3x - 2x2
dx
1264. J
1265.
1266
1267.
1276
j r -
dx
Vx2 +/)X +
f
■
J x4- 4 x z + 3
x
2
i
1278.
2xr S
1279.
•j
Hv
Jl- x- xz
+1
dx*
x
cosx
e*dx
dv
|3*-6
- 4x + 5
Jx2
d
■ i sin x - 6sinx + 12
1277.
q
I Jsx2~2x
dx
^ (x + l)7 x 2 + 2x
dx
1262. |
1263' f
-
1270
1259.
1260
Ax
J xjl-x2
f
d*
^ x j x 2+ x - 1
dx
■1 3x2 —x + 1
1258.
f
126R
i
v r +, ex +, e2x
sinx dx
Jco s2 x + 4cosx + 1
lux dx
xjl-41nx - In2 X
dx,
116
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 5. Интегрирование рациональных функций
1°. Ме т о д н е о п р е д е л е н н ы х к о э ф ф и ц и е н т о в . Интегри­
рование рациональной функции после выделения целой части сводится к
интегрированию правильной рациональной дроби
где Р(я) и Q(x) — целые многочлены, причем степень числителя Р(г) ниже
степени знаменателя Q(x), Если
Q{x) - (х - a f
(х - 0 \
где а,
I — различные действительные корни многочлена <?(#); а,
X—
натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение дроби
(1) на простейшие дроби:
Р(х) ^
+
Q(*) х - а
(# - а)2
И-... 4-
/ - а)Ч«
(х
■ (2)
Для вычисления неопределенных коэффициентовЛг Л2, * Lk обе части тож­
дества (2) приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при
одинаковых степенях переменной х ( пе рвый способ) . Можно также ош
ределять эти коэффициенты, полагая б равенстве (2), или ему эквивалентном,
х равным подходяще подобранным числам ( вт о ро й способ) .
П р и м е р 1. Найти
Р е ш е н и е , Имеем
х
(х - 1)(д: + I)2
х-1
х+1
(x + i f
Отсюда
х =A(JC + I)2 4 В ^Х - 1)(* + 1) + B Z(X - 1).
а)
( 3) в виде
(3)
Первый способ определения коэффициентов. Перепишем тождество
х = (А + B J x 2 + (2А 4- Вг)х + { А - Вх - В2).
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:
О- А 4
1 = 2А 4 Б2; 0 * А - Вх ~ Вг
Отсюда
б)
Второй способ определения коэффициентов, Полагая х ~ 1 в тождестве
(3), будем иметь
1 - А *4 , т.е.Л = - .
4
117
§ 5. Интегрирование рациональных функций
Полагая х = -1 , получим
-1 = - В г • 2, т . е. £ 2 =
1
2'
Д алее, п о лагая х = 0, будем и м еть
1
т . с.
0 =А -*1-
вг^ А
~в^ ~ \
-
С лед овательно,
dx
X- 1
1- \ \
-1 Г d* ^ 1 Г dx
=
4J х+1
2 J (х + 1 )2
1
4- Г ---1
+ * In х - 1 + С,
= - 111 \х - 1| - - In \х -1-1| - 2(х + 1)
4
2(х + 1)
X+ 1
4
4
П р и м е р 2* Найти
dx
= I,
! х?>- 2х2 + *
Р е ш е н и е . Имеем
1
1
д: —2 jc + л:
х(х-1) 2
=4 + i +
*
х- 1
с
и
1 = А(х - I)2 + Вх(х - 1) + Сх.
(4)
При решении этого примера рекомендуется комбинировать два способа
определения коэффициентов. Применяя второй способ, полагаем х = 0 в тож­
дестве (4); получим 1 = А. Затем, полагая х = 1, получим 1 - С. Далее, при­
меняя первый способ, приравняем в тождестве (4) коэффициенты при х .
Будем иметь
О = А + В, т. е. В = -1 .
Таким образом,
А - 1 , В = - 1 и С = 1.
С лед овательно*
'-Jd
T "Jrr
Если многочлен Q(x) имеет комплексные корни а ± tb кратности А, то в
разложение (2) дополнительно войдут простейшие дроби вида
M lx + N 1
х 2 + рх +q
|
M kx + N к
(х 2 +px + q)
где
хг + рх + q = Г* - (о + ib)][x - (а - lb)]
5
( )
118
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
и Afj, N v
М р N k — неопределенные коэффициенты» определяемы
способами* указанными выше* При к = 1 дробь (5) интегрируется непорительно квадратный трехчлен х 2 + рх + q рекомендуется представить
(х2 + 4х + 5)
Р е ше н и е * Так как
х + 4х + 5 = (х + 2)2 + 1,
то, полагая х + 1 —г, получаем
gdz
_ Г (1 +22) - 2 2
г
2(гг + 1)
“• “
=———----- - 5 arctg (х + 2 ) + С.
2(х +4эс + 5) 2
2°. Ме т о д О с т р о г р а д с к о г о * Если Q(x) имеет кратные корни, то
(6)
где Q2(x) — общий наибольший делитель многочлена Q{x) и его производной
в г(х) - Q (x): Q^x);
Х(х) и У(х) — многочлены с неопределенными коэффициентами, степени ко­
торых соответственно на единицу меньше степеней QL(x) и Q2(x).
Неопределенные коэффициенты многочленов Х(х) и У(х) вычисляются
при помощи дифференцирования тождества (6)*
П р и м е р 4. Найти
Р е ше н и е *
dx
j
_ А х2 + Вх + С
j
D x 2+ E x +F
119
§ 5. Интегрирование рациональных функций
Д и ф ф ер ен ц и р у я это тождество, получаем
I
—
^
(х3-'1)
= (2А х + В)(*3 - 1) - 3x Z(Ax2 + В х + С) + D x 2 + E x + F
1
2
(х - 1 )
3- 1
ИЛИ
+ В)(х3 - 1) - 3х 2( А х 2 + Вх + С) + (Dx + Ex + F)(x - 1).
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, будем иметь:
D = 0; е - А = 0; F - 2В - 0; D 4- ЗС = 0; Е 4 2А = 0; Б 4 F = -1;
1 = (2 А х
отсюда
А = 0; В = - 4 С = 0; D = 0; £ = 0; F =
3
й
и, следовательно,
Г
dx
1 X
Q 3 Т
6* -
2
( xv ~ l ) .
2 Г dx
(7)
Для вычисления интеграла в правой части равенства (7) разлагаем дробь
___ на элементарные дроби:
х '5- 1
L + Mx+-N
х-1
х 2+ х + 1
т. е*
(S)
1 = L(x2 -4- х + 1) 4 Мх(х - 1) + Щх 4 1).
Полагая X = li получаем L = - .
о
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и ле
вой частях равенства (8), находим:
L 4 М = 0; L - N - 1.
т. е.
Поэтому
= 1 Г _d%_ _ I f x + 2 d;e =
3J *- 1
3 J X + X 4- 1
Г dx
J _i
2.
= - In |jtr - 1| - - In (x2 + x + 1) -- 4 arctg ?■- + 1 + C
3
6
Js """л/3
[I
Г
dx
X
3(x - 1 )
+ b n * + x ±l
9
(x —1)
+- 2 arctg2 £ + l f c
3^3
Уз
120
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Найти интегралы:
1280. Г____dx
J (х + а )(* + *>)
J х (х 2+1)
1281. [ £ - 5# + 9 dx.
J хГ - 5х + 6
dx
1282. Г —
J (я - 1)(х + 2)(х - 4 ) '
1283. Г
J
3 с 2 .
i- 3 ,
1286. Г Л^ £ zL±l. dx.
j 4х3 - д
х
1288.
1289.
1290.
/
1293.
I
dx
(x 2- 4 x + 3)( xz + 4 x + 5)
5х + бх + 9
( х - 3 ) 2(х+ I)2
х 2 - 8х + 7
j {х2 - З х - 10)2
2х - 3
j (х2 - Зх + 2)3
1294. Г - 4 ^ - ■
J x +1
1295. Г dx
J x4 + Г
1296. Г
dx
J x 4 x 2+ l
1297. f - dx
J (1 +x2)2
4 - 6х3 + 12х2 + 6
dx.
3 - 6х2 + 12х ~ 8
1287.
1292.
2
2х + 41 jc - 91
( х - 11)(х + 3 ) ( х - 4 ) d x .
5xrf + 2
dx*
1 х - 5 * + 4х
dx
1285. н
J х(х + 1)
1284.
f *3+*+ 1 dx.
1291.
dx.
1298.
J 3x + 5
dx.
(x 2+ 2x + 2}2
1299.
|
dx
(x+ l)(x 2 + x + l ) 2
dx.
*+1
1300. f
dx.
■* (x2- 4 x + 5)2
dx.
Применяя метод Остроградского, найти следующие интегралы:
dx
1301.
1303. Г __ dx
(x + l ) 2(x2 + l ) Z
J fx2
+;
(ЛГ +1)
J
1302.
Ь (x
dx
1304. 1 * - 2 * Z+ 2 dx.
-1)
i z( хг - 2 х
+ 2)2
Применяя различные приемы, найти интегралы:
1305. f — — *—§—
j (х + l)(x 2 + 8)
1306.
7 ( 3
-I- X
dx-
f _ 12£ rt 4 - dx.
J rx 13
- 2x + 1
х - х + 14
1307. Г *
dx.
J (x
' ~ 4) (x - 2)
dx
1308 f
J xV V i/
§ 6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
dx
x3 - 4x2 + 5* - 2
t
dx
1310*.
J x(x7+ 1)'
dx
1311.J
x{x* + l) 2
1309. |
121
dx
1312.
(* г + 2* + 2)(х2 + 2 * +5 )
^ 10
1313. Г хх 2dx
J (* - 1
1314. Г dx
J х8 + х
§ 6* Интегрирование некоторых иррациональных функций
1°, И н т е г р а л ы в и д а
1
Pi
Pi
R х , ах + b\9i ах + bY*
\cx + d) \cx + d
dx,
( 1)
гдеЛ — р а ц и о н а л ь н а я фу н кц ия ; pv qv р2, q2, ... — ц е л ые числа.
Интегралы вида (1) находятся с помощью подстановки
п
ах + b
=2,
cx + d
где п — общее наименьшее кратное числе qv qr
dx
П р и м е р 1. Найти J
7 2 7 ^ 1 - 1 /2 ^ 1
4
Р е ш е н и е . Подстановка 2х - 1 = г приводит интеграл к виду
i ^ d j . 2j ^ , 2j ( 2 + i + r i Tj d2 .
dx
72* - 1 - if2x
= (г + l)2 + 2 ln|z - 1| + С = (1 + ij2x - 1 f + I n ( V2 x - l - l)2 + C.
I
Найти интегралы:
Jxx dx.
J x +2
dx
1322.
I (j t2 .- x ) J l - x
1315. J - + L dx.
7* - 1
xdx
1316.
%fax + b
dx
1317 ■ f —
J 7771 + J(x + 1)
1321
1318.
1324
J
j
4x + ifx
1319. I
1
dx.
V* + i
1320. f — ' ^ y i + 2 dx.
J (ДГH- 1) - Jx + 1
i3 2 s - J
d x -
+J+
1325. |
dx.
x+3
dx.
* 727+3
122
Глава IV, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2MI и т е г р а л ы в и д а
РЛ%)
1
где
J a x 2 + bx -нс
d#,
( 2)
— м н о г о ч л е н с т е п е н и п.
Полагают
P nW
i
Ja x
d.r
_ ^(.x) Jctx* -f b x + с + A. f —
+ bx +~c
dx
^J ^ал:й+ 6^-Ьс
( 3)
ГД0
_ ](#) — многочлен степени (n - 1) с неопределенными коэффициен­
тами; л — число.
Коэффициенты многочлена Qn _j (je) и число X находятся при помощи диф­
ференцирования тождества (3),
П р и м е р 2,
. 4 , г
__
f x 2J x 2 + 4 dx = f x + i x dx = (Ax* + Bx2 + Cx + D)Jx* + 4 + A f dx
J
J >Jx2 + 4
J J:
Отсюда
= (3A x 2 + 2Bx + C) Jx2 + 4 + <Л*3 + .Вз:2+ С:с + .Р)я: + __ '
x +4x
^
^
,/7
Умножая на лД-2 +■4 и приравнивая коэффициенты при одинаковых степе­
нях х, получаем:
А=
4
В = 0; С - I ; D = 0 ; а = -2,
2
Следовательно,
J
х2J x 2 + 4
dx = * ^ .? Л 2+ 4 - 2 Ь (х + Т?+4
) + С.
3°. И и т е г р а л ы в и д а
1 —
7 % = =
(* - a) *Jax +bx + с
(«
приводятся к интегралам вида (2) с помощью подстановки
1 - 1.
x- a
Найти интегралы:
x 2dx
1326. IГ
1 2- X + 1
J *JX
1329. Г
1327. I!
1330. |Г
** dx.
J J1-x2
1328, I
*6
L
2
J VI
+X
dx.
dx
x*Jx2- 1
dx
(x + l f j x 2 + 2x
1331. 1г У +%+ 1 dr
J1 x/J 2x - X 4- 1 *
g 6* Интегрирование некоторых иррациональных функций
123
4°. И н т е г р а л ы от д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х б и н о м о в
хт(а + ЪхV d x ,
<5>
1
где т , п п р — р а ц и о н а л ь н ы е чи с ла .
У с л о в и я Ч е б ы ш е в а . Интеграл (5) выражается через конечную
комбинацию элементарных функций лишь в следующих трех случаях:
1) если р — целое число;
2) если т + ^ — целое число- Здесь применяется подстановка а + Ьха = г л
п
где s ’— знаменатель дроби р\
3) если т + 1 + р — целое число. В этом случае используется подстановка
п
ах п + Ъ = г \
П р и м е р 3. Найти
V1+
Jx
I
dx ” L
1
_Р е ш е н и е . Здесь
о
m + 1-------_ 2з—
/п = - -1; п - т1 (; р_ = l t -----^
4
о
/I
1
2* Следо­
вательно, имеет место случай 2) интегрируемости.
Подстановка
1 +А х 4 - г
3
дает: х = (г3 - I)4; dx = 12г2(з3 - 1)Эdг. Поэтому
1(
Л
1
где г = Vi + \ j x
dx = 12 г У - 1 ) 3 dz = 12 J
I
(23- 1 ) 2
(г6- г3) dz = i7? z T- 3 z 4 + C,
.
Найти интегралы:
_з
2Ч 2
1332. J V ( l + 2 x )
1333 .
Г У — .
dx.
I
1336.
I
1337.
I
' i j l +х
1334. f — ЁЗЕ— .
^ x4J l + х2
Ах
1335.
xHjl + x*
Ах
х 2(2 + хя)
Ах
V ? V i+ V ?
124
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 7, Интегрирование тригонометрических функций
Г, И н т е г р а л ы в и д а
J
sinmх cos* х dx — I
,
<1>
л
где т и п — ц е л ы е ч и с л а .
1)Если т = 2k + 1 — нечетное положительное число, то полагают
J sin2* sxos” х d(cos х) = - J (1 - cos2 x)kcosn x d(cos x).
от, п
Аналогично поступают, если n — нечетное положительное число.
П р и м е р 1.
J
sin10 х cos3 х dx =
J
. и
J3
sin10 x(l - sin2 x) d{sin x ) = sin _ x. - _ ? _ x + C.
11
13
2)
Если т и п — четные положительные числа, то подынтегральное вы­
ражение (1) преобразуют с помощью формул:
sin2 jc = 1 (1 ^ cos 2x)t cos2 х = i (1 4- cos 2x),
^
sin * cos # = - sin 2x.
2
2
П р и м е р 2.
| cos2 3 r sin4 3 r d r =
J
(cos 3r sin 3 r)2sin2 3 r d r =
= 1 1 (sin2 6 r - sin2 6 r cos 6r) d r = 1 |
_ 1 (x
sin 12r
_ 8 1,2
~24
J
Sln^
1 ~ c° sS* ^ -
~ C°sl2jC - sin2 6 r cos6rj d r =
1 . з„ ^
„
18Sm 6"J + C '
3)
Если m = -p и n = -v — целые отрицательные числа одинаковой чет­
ности, то
d.x
_ Г--------------dx
Г
д
= cosec х sec
пг п Y r .n < lV Y
J
J
tg X)
V
- 2
,,,
х a(tg х) =
А 1 П ^
(1 + tg 2 x)
d (tg r )
2
* /л
, 2
(HV- 1
, ” 2“
_= JГ (1 + tg x )
d(tg x).
t g MX
В частности, к этому случаю сводятся интегралы
dx
и
д
sin X
П р и м е р 3,
Г dx
cos х
= | sec2 г d(tg г) =
^
J (1
1
sm Ех + ^
+ tg 2 г) d(tg г) = tg г + I tg3 x + C.
125
§ 7. И нтегрирование тригонометрических ф ункций
П р и м е р 4,
dx
Г dx ^ 1 Г
j Sin з X
л *j' sin
ei. зxcos зх
*o3J
-
11 + 1 г1
- и
1 Г , -з х sec6 X
I
- clx
2
8§ Г г 2
If
-3X
+ 2 +, tj g -x
sec2 * dx =
tg
2
2
2
8J
й2
tg3^"
ё 2
, 2X
tg ^
2
1 + 2 In tgg +
2
2
2ojt g2X
5
1
4
d t 4
+ C,
tgm x dx ИЛИ 1 ctgmx dx J, где m
жительное число, вычисляются с помощью формулы
. 2 х —sec2 х - 1,
tg
2
2
(или соответственно ctg х = cosec х - 1).
П р и м е р 5.
д
| tg4 х dx = | tg2 x (sec2 x - 1) dx = Ц р - | tg2 x dx
_ tg3x _ |Г(sec2
/_„2 x - 1) dx -= tg3* -_ tg x - tg x + x + C.
3
1'
3
5) В общем случае интегралы 1щ п вида (1) вычисляются с помощью формул приведения (рекуррентных формул) 9 выводимых обычно интегриро­
ванием по частям.
П р и м е р 6,
2
2
dx
sinx
sin X + cos X dx —
dx
+
— j* sin x •
3”
3
i cosx
COS X
cos x
J COS X
J
.
—sin x ■
1__ _ i f C0SJC dx + f
- sin* + i In [tg X t- sec x| + C<
2u JJ ^ns2r
J cosx
2 cos2x
^
2cos x
cos x
Найти интегралы:
1338. J cos3 x dx,
1341. |1*sin3 ^ cos
1339, J sin5 x dx,
*
1342. f cos
. 3
' sin X
- 1340. | sin2 x cos3 x dx.
dx
1343. f sin4 x dx.
5X
2
126
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1344. J sin2 х cos2 х dx.
1355. J sec5 4 x dx.
1345. J sin2 x cos4 x dx.
1356. J tg2 5x dx.
1346. J cos6 3x dx.
1357. J ctg3 x dx.
1347. Г
J
1348.
-Ц-.
Qtn
sin
1358. J c tg 4 x dx.
X
dx
J COS6~
1359.
/ ( * ’£ . * « £ ) d*.
X
1349. f c *o s6x d x .
sin X
1360. J x sin2 x2 dx.
J
1350.
J sin
♦ 2
!
1353.
1361. f ®2L* dx.
J sin x
4
XCOS X
dx
1351.
1352.
dx
1362. J sin5 xV cosx dx.
. 5
a
sin xcos x
dx
J sin 2- cos3 -2
Г
b
sinfx + jj
V
4)
I sin x cosx
dx
1363.
dx«
sinxcos^x
1364*J dx
Ttix
1354. If ■*? •
J1 sin5x
2°. И н т е г р а л ы в и д а
J sin mx cos nx dx, J sin mx sin nx dx и J cos mx cos nx dx.
В этих случаях применяются формулы;
1) sin mx cos нх = i [sin (m + n)x 4- sin {m - я)х];
2) sin mx sin nx = ~ [cos (m - n)x - cos (m + n)x];
u
3) cos mx cos nx - i [cos (m - n)x + cos (m 4- n)x].
П р и м е р 7.
Г sin 9x sin x dx = Г ~ [cos 8x - cos lOx] dx = -1 sin 8x - J - sin Юх + C
J
J £
16
20
127
§ 7. Интегрирование тригонометрических функций
Н айти интегралы :
1365- f sin 3x cos 5x dx.
1369. J*cos (ax + b) cos (ax - 6 ) dx.
1366. !J*sin lO x sin 15x dx.
1370. j* sin tot sin (tot + tp) d t.
1367. f cos ^ cos ^ dx.
]
Li
О
1371. J1cos x cos2 3x dx*
1368. Г sin | cos ^ dx*
1
d
d
1372. j* sin x sin 2x sin 3x dx*
3°. И н т е г р а л ы в и д а
( 2)
j" J?(sin х, cos х) dx,
где Я — р а ц и о н а л ь н а я ф у н к ц и я ,
1) С помощью подстановки
откуда
sm х =
2t
1+ t
2 * cos X
1-t
1 +t
2 9
dx “ 2df
l + t:
интегралы вида (2) приводятся к интегралам от рациональных функций но
вой переменной t.
П р и м е р 8. Найти
Г
dx
- 1.
J г + sm x + cosx
Р е ш е н и е . Полагая tg ~ = t, будем иметь
Li
2d*
Г
J
1+-*_____ = Г —L = In |1 + t\ + С - In 1 + ц
2t
1-t2
1 + t2 1 + t2
1 +- У - . +
-b C*
J l +f
2) Если имеет место тождество
R (-sin x T-cos x) s Л(яin x Tcos x)t
то для приведения интеграла (2) к рациональному виду можно применить
подстановку tg х = t.
Здесь
t
t
COS X =
sm х =
1-bf
Я +t
и
dx
x —arctg t, dx =
J
l + t'
128
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
П р и м е р
9* Н а й т и
Jr
Р е ш е н и е .
dx
„ * 2
- 1.
(3)
4 S in X
П олагая
= t,
tg x
sin2 x = ——- ,
1+f
dx = —— 2 ’
14 t
будем и м еть
dt
- j
(l + O
7
T
i
i +r
i f _ d(fT2) =
72 J 1 + ( t j 2 } 2
r
J l + 2ta
= 4 arctg ( t j 2 ) + C = — arctg (72 tg x) + C.
72
72
Заметим, что интеграл (3) вычисляется более быстро, если предваритель­
но числитель и знаменатель дроби разделить на cos2 х.
В отдельных случаях полезно применять искусственные приемы (см., на­
пример, № 1379).
Найти интегралы:
dx
1373.
dx
2
2
3sin x 4 5cos x
dx
1383*. |
J 3 4 5 cosx
1374.
1375.
1376.
1377.
1378.
1379
"
J
dx
s in x 4 c o s x
cosx
* 2X, 40о *sinx cosx sin
dx.
J
1 4- c o s x
J
sinx dx.
1 - sinx
J
1382*. |
J sin x - 5sinxcosx
sinx
1385 f
dx.
J (1 “ cosx)'
dx
8 - 4 sinx 4 7cosx *
dx
s in 2 x
1386. J -
!
cos2x
J c o s x 4 2s in x 4 3 "
3 s in x 4 2 c o s x
i 2 s in x 4 3 c o s x
1388. f _
1381*. f
d* .
J 14 3cos X
dx.
dx.
~
4 s in x
1387. J -
1380. f' 1 + tg * d r .
J 1 - tg r
dx
1384**. Г —
4
. 4
dx.
cos x 4 sm x
cosx
J sin x - 6sinx4 5
dx
1389*,
dx.
j (2 - sinx)(3 - sinx)
1390*. I * ~ sin*+CQS3: d x
J
11
4 s in x - c o s x
2
COS X
§ 8. Интегрирование гиперболических функций
129
§ 8. Интегрирование гиперболических функций
Интегрирование гиперболических функций вполне аналогично интегри­
рованию тригонометрических функций.
Следует помнить основные формулы:
1) ch2 х - sh2 х = 1;
3) ch2 х - i (ch
z
-h 1);
2) sh3 x = i (ch 2x - 1);
4) sh x ch x = ^ sh 2x.
П р и м е р 1. Найти
i
ch x dx.
Р е ш е н и е . Имеем
j* ch22 x dx - J i(ch 2x -1- 1)dx - is h 2x + ^ x + C.
П р и м е р 2. Найти
!
ch x dx.
Р е ш е н и е . Имеем
J ch3 x dx = J ch2 x d(sh x) = J (1 + sh2 x) d(sh x) =
= sh x +
+ C.
Найти интегралы:
1 3 9 1 . jj"s h 3 x dx.
1 3 9 7 . J th 3 x dx.
1 3 9 2 . jj" ch4 x d x .
1398.
J
c th 4 x d x .
1 3 9 3 . jJ*sh 3 x ch x d x .
1 3 9 9 .j
dx
sfr2x ch2x
1394. jJ"s h 3x ch2 x dx.
1 4 0 0 .j*
dx
2 shx + 3chx "
1395. Г
1401*. f
dx
> shx ch2x
1396. Г
dx
f sh2x ch2x
^ Задачи и упражнения
J
dx
th x - 1 '
1402. J‘ sh x d x
л/ch 2x
130
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 9* Применение тригонометрических и гиперболических
подстановок для нахождения интегралов вида
( 1)
где Л - р а ц и о н а л ь н а я ф у н к ц и я .
2
Преобразуя квадратный трехчлен ах
Ьх -f с в сумму или разность квадратов, сводим интеграл (1) к одному из интегралов следующих типов:
Последние интегралы берутся соответственно с помощью подстановок:
1) 2 = т sin t или 2 = т tg I,
2 ) z = т t g t или z = т sh t>
3) z = т sec f или z = т ch t.
П р и м е р 1. Найти
Р е ш е н и е . Имеем
X2 + 2х + 2 = (х + i f + 1.
2
Положим х -+- 1 —tg f, тогда dx *= sec t dt и
dx
f scc2^d^
( r - i 1 ) V ( a:+
r - 1I}2
* 11
)2 +
J t g 2( s e c f
j
■ 2 f,
sin
П р и м е р 2. Найти
Р е ш е н и е . Имеем
Полагая
и
dr
— ch t
2
получим
1=
ch t d£ = s S J sh t ch2 t dt
8
3 J ch2 t df
8
§ 10* Интегрирование различных трансцендентных функций
131
Так как
ah t =
—J 3 f[' х + iV
ch t = ~ J x 2 x + 1
д/3
t = In ( x + “ + J x 2 + x + l ) + In ^ ,
V
2
/
^3
то окончательно имеем
з
I =
i (x2 + x + i f -
l^x+ ^jjx2+ x+ 1 - ^
_______
ln|^x + | +
Jx2+ x + l j
+ C.
Найти интегралы:
1403. | V 3 - 2 х - х 2
1404. | ^ 2 +
1405
f
dx.
х2dx.
dr.
х2
+
j9 x2
1406* j* Jx2-2х + 2 dx*
1407. J
1408. |
Jx2-
4 dx.
1409. J*
j*
1410. 1
1411.
Jx2-
(x2 + x+ 1)
f
3
2
dx.
dx
(x - 1
1412.
6 x - 7 dx.
Г
)Jx2- 3x + 2
dx
J (xZ- 2x + 5)3/2
1413.
f
dx
(1 + x 2) J l ~ x 2
Jx2+ x dx.
1414.
Г
dx
^ (1 - x2)^! + x2
§ 10* Интегрирование различных трансцендентных функций
Найти интегралы:
1415. j*(x 2 +
l)2e2xdx.
1416. j*x 2cos2 3x dx.
x
1417. J" sin x cos 2x dx.
1418.
C 2x , 2
e sin
,
xdx*
1419. j e*sin x sin 3x dx.
1420. |"xe*cos
xdx.
1421. 1r 2x
, d*x л .
ft' e
+e - 2
1422. r ,
ft
Je
d*
....
+e +1
132
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1423. f х г 1п 1 ± £ dx.
1425. J x arccos {5x - 2) dx.
1424. ГIn2 (х 4- J l + х 2 ) dx.
1426. | sin x sh x dx.
J
1 -х
§ 1 1 , Применение формул приведения
Вывести формулы приведения для интегралов:
1427.
1п Г1 , 2 , 2 . *
* (х + а )
L6.
= Гsu\n х dx; найти 1л и / 5.
1428.
1429.
; наити / , и
£
1я= f
'
^х
cos*X
; найти 13 и 1г
1 4 3 0 . / „ = Г х пе х d x ; найти / 1(Г
§ 12. Интегрирование разных функций
dx
1431. IГ .
J1 2x - 4 x + 9
1440. IГ 3 - 4 r
J (1 “ 2 Jx)
^
U 3 2 . jГ * “ 5
dr
1 x 2- 2 x + 2
1 4 4 1 .jf (V * + l)
з
dr
U'1■
**
dx.
1433. jГ
\ 2
1
X +X+-
1442. Г
1434. If
d*
.
J1 x(x +5)
dx
1435. jГ
' ( r + 2)2( r + 3)2
1443. I
J1
dx
1436. Г
1 (x+ l f ( x 2 + 1)
1445. Г
1437. jГ dx
' (x 2 +2 ) 2
1438. Г 4 dx
~ 2 - ’
1 x - 2x + 1
1439
f
f
J
x dx
(x2 -
X + l)3
f
X
UA,
dx
/a
*Jx + x + 1
>/2x
1 4 4 4 ,JГ
dx
{^Jx2 +
2^ +1
Hv
J (4 x 2 - 2x4- l ) 3
dx
1 4 4 6 .jf
^ У5 - x + V5 - x
1447. Г
**
dx.
1 j ( x 2- l)3
1448. !Г
d*
.
(1 + x2) J 1 - x4
133
§ 12, Интегрирование разных функций
х dx
1449. Г
^ J l - 2 x 2- х 4
1 4 6 6 .J sin ^ - xj sin ( j + xj dx.
* + 1, dx.
1450. f
J (Xй+1)
Г
dx
1451*
J (x2 + 4 x ) J i - x 2
1467. j
1452. | J x 2 - 9 d x .
d* _
1469. |Г
^ 2 4 3 cos2 x
1453. j* J x - 4 x 2 d x .
dr
1468. JГ
1 2sinx 4 3cosx - 5
dx
1470. Г 2
, 2
1 cos x 4 2sinx cosx 4 2sin
dx
1471. Г
| sinxsin2x
*
1454. r
dx
/ 2 4 X4 1
Хл/х
J
1456. Г
dx
1473. f
1457. Г
dx
1
C
M
dx
1472. f
| (2 + cosx)(3 4 cosx)
'ft
*
1455. | x j x 2 + 2x + 2 dx.
1458. г d*
J V i + x3
'
1459. f 5* dx.
^ J l + X4
J
f
cosa*
dx.
/
2
2
4a 4 sin ax
1475. Г x dx
* cos 20
3x
1474.
x j l —x3
1460.
sec2jc
dx.
7tg2X4 4tgX 4l
1476. j* x sin2 x dx.
1477. Гx 2e
cos1 x dx.
jdx.
1461. r
d* 5 .
J cos x sin x
1478. f xe3x dx.
1s
1462. f 1 +
J sin x
1479. f x2ln J l - x dx.
1}
dx.
1463. f Sin-3-X Hr
^ Vcos3x
1464.
J
cosec5 o x dx.
1465. Jf si° f>
2* dr
J cos x
1480. Г xarctgx ^
* J l + x2
1481. f sin2 - cos ~ d x .
J
2
2
dx
1482. If
J ( Sill X4 COSX) 2 ’
.
.
.
134
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
dx
1483. f
J {tgx + 1) s i n 2x
1492. | ( x z - 1)10 Z x d x .
1484. J*sh x ch x d;t.
1493. j* J e 2 + 1 dx.
1485. f
1494. f arc\ g x d x .
J X
f
dx.
Jl
- X
1486. Г shxch* ^
* sh2x + ch2x
1495. 1 x 3arcsin - d x .
1487. jf
1496. J* cos (In *) dac.
i
* d*-
' sh2x
1 4 8 8 . Г 2xj dx~ x ’
r e - 2e
1489. Г j
1497. J (x2 - 3x) sin 5x dx.
dr
e*
' e 2x - 6e* + 13
1 4 9 0 .jГ
1 4 9 1 . j[ 21 d*.
11-41
x
d*
1498. | x a rctg (2x 4- 3) dx.
1499. J arcsin J x d x .
1500. J x| dx*
Глава V
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы
1°, И н т е г р а л ь н а я с у мма . Пусть функция f{x) определена на от­
резке а < л : < Ь й = х0 < ^ <
< хп = Ь ■
— произвольное разбиение этого
отрезка на п частей (рис. 37). Сумма вида
п- 1
S„ = ^ f(i) Д*,->
(1 )
i =О
где xt < % < xt +г; Ах{ = х. + д г = 0, 1, 2,
, п - 1,
называется интегральной суммой функ­
К
ции /(#) на [а, Ь], Геометрически Sn пред­
ставляет собой алгебраическую сумму
площадей соответствующих прямоуголь­
Рис. 37.
ников (см, рис. 37),
2°, О п р е д е л е н н ы й и н т е г р а
л. Предел суммы S n при условии, что число разбиений п стремится к бесконечности, а наибольшая из разностей Дя. — к нулю, называется опреде­
ленным интегралом функции f{x) в пределах от х —а до х = Ъ, т. е.
п-i
Иш
max A*j —
*В
V
i =0
п
/(£.)Дх. = f f{x) dx.
J
(2 )
a
Если функция f{x) непрерывна на [a, ft], то она интегрируема на [а, ft], т. е.
предел (2) существует и не зависит от способа разбиения промежутка ин­
тегрирования [а, ft] на частичные отрезки и от выбора точек на этих от­
резках. Геометрически определенный интеграл (2) представляет собой ал­
гебраическую сумму площадей фигур, составляющих криволинейную тра­
пецию аАБЬ, в которой площади частей, расположенных выше оси ОХ, бе­
рутся со знаком плюс, а площади частей, расположенных ниже оси ОХ, —
со знаком минус (см. рис. 37),
Определения интегральной суммы и определенного интеграла естествен­
но обобщаются на случай отрезка [а, ft], где а > ft.
136
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
П р и м е р 1, Составить интегральную сумму S n для функции
f(x) = 1 + х
на отрезке [1, 10], деля этот отрезок на п равных частей и выбирая точки
совпадающими с левыми концами частичных отрезков [xr я + 1]* Чему
равен lim S ?
п-кю
п
Р е ш е н и е . Здесь Ах. = — Г 1 - В и L = ж. = ж. + iAx. = 1 + — . Отсюда
п
п
1 1 и
1
п
= 1+ 1
I
S I*
+
т
2 + — . Следовательно (рис, 38),
п
п- 1
п- \
к = 1 т ъ х. - I I
1=0
i =0
к
(0 + 1 + ...+ д
) ? = Нп д + Н
п2
- 18 + 81 п(п -- 1) _ 18 + " f l - i ' l - 6 8 i
п2
2
2 V nj
2
2п*
lim S„ = 58^ .
Л.—
'СО
2
П р и м е р 2, Найти площадь криволинейного треугольника, ограни2
ченного дугой параболы у = х , осью ОХ и вертикалью х = а (а > 0).
Р е ш е н и е , Разобьем основание а на а равных частей Ах = - . Выбирая
п
значение функции в начале каждого промежутка, будем иметь:
2
у1
у2
г-
(j|) i Уя ~ [2( ^ ] : - i уп
г
m2
( « - 1)2
пл
•
Площади вписанных прямоугольников вычисляются умножением каждого
yk на основание Ах - - (рис, 39), Суммируя, получим площадь ступенчатой
фигуры
S n - 2 f 2 j [1 + 2г + З2 + ... н-(п - I)2].
§ 2. Вычисление определенных интегралов
с
помощью неопределенных
137
Пользуясь формулой суммы квадратов целых чисел
2 _ п(п + 1)(2л + 1 )
X * .
* =1
находим
с _ а3(л —1)п(2п - 1)
6 л3
отсюда, переходя к пределу, получим
я3(ге - 1)п{2п - 1) = а3
S = lim S.. = lim
3
6п
п-* <х>
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как пре­
делы соответствующих интегральных сумм.
10
ь
1504. | 2х dx.
1501. | dx.
О
а
Т
1502.
J
(и0 + gt) сU, v0 и £ постоянны.
1505*. | х* dx
0
1
1503. J х2 dx.
-2
1506*. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной
гиперболой
1
У= X
- ,
осью ОХ и двумя ординатами: х = а и х = Ь ( 0 < а < { ? ) .
1507*. Найти
Ях) = j sin
si t dt.
§ 2. Вычисление определенных интегралов
с помощью неопределенных
1°. О п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л с п е р е м е н н ы м в е р х н и м
п р е д е л о м . Если функция /(£) непрерывна на отрезке [а, Ь], то функция
X
F(x) = J ДО d t
а
есть первообразная для функции f(x)t т. е.
F'(x) = f{x) при а < х < Ь.
138
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2°. Ф о р м у л а Н ь ю т о н а—Л е й 6 н и ц
Если Р'{*) - /(г), то
и
| f(x) da: - F(x) £ = F(&) - Да).
Первообразная ^(д;) вычисляется путем нахождения неопределенного ин*
теграла
|л * ) 4 е = Дх) + С.
3
Найти интеграл Г x 4 dx ,
J
-l
3
Р е ш-е ние.
3
f X4 dx
J
_
X
5 -l
-1
_ з 5_ (- - - 4 8- .
5
5
5
1508* Пусть
1= f _Ё£ (6 > а > 1).
J 1пх
Найти: 1) Ё£ ; 2) Ц .
da
dЬ
Найти производные следующих функций:
X
1509. F(x) = | In t d t ( x > 0).
1511, Д х ) =
1
0
Jx
1510. Д х ) = J Vl + *4 dt.
1512. I = J
X2
J е- '* dt.
*
cos (t2) dt (x > 0).
1513. Найти точки экстремума функции
х
у = |
dt в области > 0.
о
Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти интегральЬ
1514. f Л * - ■
j
1516.
e! dt.
-X
X
1517. J cos t
-2
о
dt•
$ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных
0
помощью определенных интегралов наити пределы сумм:
1
2
1518**. Иш { ~2
П* +
п > со V.nz * ~2
1
1519**. lim
Л+ 1
л ^ со
1520. lim
п -* СО
+
+
1
/1 + 2
+ ... +
а+л
1р + 2р + . . . + пр ( Р > 0 ).
лр +1
Вычислить интегралы:
2
1521. | (х2 - 2х + 3) dx.
1530.
1
I3
8
1
1522. | ( - Д х + I f x ) dx.
о
1531 Г Z3 dz.
‘ Jо 2Я+ 1
я
4
1523. [
J
1
х 2- З х + 2
4
^
у 22
1532. f sec2 a da.
J
n
6
Vs
2
6
1524. J J x - 2 d x .
2
-3
d*
1525. f
J -J25 + 3X
1533. Г dx
J д/l - x 2
3,5
dx
1534. Г
Jь V5 + 4 x - x a
1
-3
1526. Г dx
J x2 -
1
-2
l
1527. Г
J0
1535. Г y2dy
J Vy6 + 4
Я
4
xdx
x 2 + $x + 2
1536. J cos2 a da*
0
я
i
1528. f i/5dy
J У+ 2
2
1537.
J
sin 3 ф d(p.
-1
0
1
e2
1538. Г dx
J xlnx
1529. Г
J0
dx
x2 + dx + 5
e
139
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
140
i
1543* | ch x d x .
о
1539. | sin<ln*> d*.
]n3
dx
1540. } tt eg x djf.
1544*
1541. | ctg* ф dtp.
1545 * j* sh2 x dx
о
1542.
J r + e 2x
J
Jn 2 ch x
,2
dx*
§ 3* Несобственные интегралы
1°. И н т е г р а л ы о т н е о г р а н и ч е н н ы х ф у н к ц и й . Если
функция f{x) не ограничена в любой окрестности точки с отрезка [щ Ь] и
непрерывна при а < х < с и с < д ; < Ь , топо определению полагают
Ь
£
С
ь
Г f(x) dx = lim f f(x) dx + lim
J
i- o J
a
f
n-*o J
a
f(x) dx*
(1)
c+
Если пределы в правой части равенства (1) существуют и конечны, то не­
собственный интеграл называется сходящимся, в противном случае ■
— рас­
ходящимся. При с = а или с = Ь определение соответствующим образом уп­
рощается*
Если существует непрерывная на [а, 6] функция Е(х) такая, что Е'(х) = f(x)
при х Ф с (обобщенная первообразная), то
ь
J f(x)d x = F(b)-F(a).
И
Ь
Если |/(х)|
<
при а
^х ^
Ъи
j* G(x) dx
(2)
сходится, то интеграл
(1)
а
также сходится (признак сравнения).
Если f(x) > 0 и lim {/(я) |с - х\т] = А
х • >с
ф °о, А
* 0, т. е. fix) -
А
\С - х\т
при
х —^ с, то: 1) при т < 1 интеграл (1) сходится, 2) при т ^ 1 интеграл о )
расходится*
§ 3- Несобственные интегралы
141
23. И н т е г р а л ы с б е с к о н е ч н ы м и п р е д е л а м и . Если функ­
ция /(х) непрерывна при а < х < оо( то полагают
со
b
JU
dx = lim
dx
fr—
■<к \ т
(3 )
Cl
и в зависимости от существования или несуществования конечного предела
в правой части равенства (3) соответствующий интеграл называется сходя­
щимся или расходящимся.
Аналогично,
^
оо
Ь
Ь
J f(x) dx и | ft*) dx = lim J «») dx.
| Дат) dx = t lim
t- * K
a -«
—
1• +«= a
Если |/(x)| < F(x) и интеграл J*
dje сходится, то интеграл (3) тоже
сходится.
Если f(x) > 0 и lim {/(x)xm) = А ^ оо, А
^—
»со
ф 0,
т, е. f(x) ^ — при х —*■
х^
то: 1) при m > 1 интеграл (3) сходится, 2) при т < 1 интеграл (3) расходится.
П р и м е р 1.
1
Г
J
-I
1
dje= |.
hm Сdx
— .+ !■
lim Г dx
— = lim f i —1) 4 lim f i - 1 I =
x^ t —o
J x*
- l
t —о J
x^
- l
интеграл расходится,
П р и м е р 2,
J0 i
dx
4- X
= lim
‘
h-- 20
^x
Ju i
4X
= lim (arctg b - arctg 0) = ^ .
b
—ac
П р и м е р 3. Исследовать сходимость интеграла Эйлера—Пуассона
ос
J* 2
dx.
(4)
I е"1
0
Р е h i е н и с. Положим
ОО
1
Л 2
Л 2
dx 4 Г е х dx.
f е * dx =
J
J
К
0
0
1
Первый из двух интегралов в правой части не является несобственным,
я второй сходится, так как е
со
-I2
<е
-х
при х > 1 и
Ь
j" е * dx = lim J е dx = lim [ е
Ь — OS J
ь •* »-•
1i
i1
следовательно, интеграл (4) сходится.
-Ь
.
4 е
-1
-1
] =е ;
Глава
142
\\
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
П р и м е р 4. Исследовать на сходимость интеграл
□о
dx
dx
f
(5)
J J x 3+ 1
Р е ш е н и е . При x —* -f<« имеем
1
1_
3/2
1
J x а+ 1
3/2
х3
1
+А
X*
Так как интеграл
f
dx
y Z<2
сходится, то наш интеграл (5) также сходится.
П р и м е р 5. Исследовать на сходимость эллиптический интеграл
1
1
dx
J 1 “ х‘
(6)
/
Р е ш е н и е . Точка разрыва подынтегральной функции: х - 1, Применив формулу 1 - X = ( 1 —х ) ( 1 + jc) ( 1 + х ), получим
4
2
1
1
1
J1-х4
V u - * ) ( 1 + * ) ( 1 + * 2)
1
(! —JC)1' 3 j ( l + x)(l + X2)
Следовательно, при дс —►1 будем иметь
1
1 г 1 У /2
2 VI - х .
х‘
Так как интеграл
1/ 2
/С тЬ
dx
сходится, то данный интеграл (6 ) также сходится.
Вычислить несобственные интегралы (или установить их расхо­
димость):
1
3
1546. Г dx
J
л
'
2
1547. Г dx
J *
-l
l
1548. f * * .
J
0
xP
1549. f
J
Q
1
1550. f dx
J J1 “х
0
00
1551. f dx
J х
1
§ 3, Несобственные интегралы
143
1552. Г dx
1560
dx (a > 1 ).
• j xln 2x
dx
х?
1561
.L
1553
■J
1
о
oo
1562. J e~kx dx (k >
со
1554
dx
+ х:
■—Оh
С
0
oo
СО
J
1555*
—СО
dx
х2 + 4.x + 9
1563
со
1556*
x dx.
Г a rc tg x
' Jо
x2 + l
dx.
QO
1564. f — ——- .
!0 sin
si х d x .
J (x 2- 1)2
1
2
I. V
1557 Г d x
J xlnx
о
1565
Г
J
dx
x 3+ 1
2
1558. Г
J
0
1559,
d*
x In “X
1566 Г
.
J
dx
x3- 5x2
0
dx
j xlnx
(a >
1)
Исследовать сходимость интегралов:
100
1567. f
dx
* Ух + 2 4Vx + x 3
—CC
1568. f
. -d x .
■j 2x + Ух3 + 1 + 5
ос
1569. f
dx
у x 2 + Ух4 + 1
1
1571. Г dx
J 3Л ^ x J
0
2
1572.
Jf
lnx
1
oo
1573.
r
J
Я
2
1570. f xdx
J Jx 5 + 1
dx
sinx dx,
0
)
144
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1574*, Доказать, что эйлеров интеграл 1-го рода (бета-функция)
в(р, g) = J V - 1* ! - * ) 9 " 1dx
О
сходится при р > 0 и q > О,
1575*, Доказать, что эйлеров интеграл 2-го рода (гамма-функция)
оо
Г(р) = | з? ~ *е * dx
о
сходится прир > 0 .
§ 4. Замена переменной в определенном интеграле
Если функция /(я) непрерывна на отрезке а < х ^ &и х = ф(() — функция,
непрерывная вместе со своей производной ф'(£) на отрезке а < t < р, где
а = ф(а) и Ь = ф(Р), причем Яф(0 ] определена и непрерывна на отрезке
а < t < р, то
ь
3
J f(x) dx = | Яф (*)]ф' ( 0 df.
а
П р и м е р 1. Найти
U
J* х Ja2 - х2 dx (а > 0 ).
Р е ш е н и е . Положим
х = a sin #;
dx = a cos t df.
Тогда t = arcsin ~X и, следовательно, можно принять ct = arcsin 0 = 0,
а
(3 = arcsin 1 = 5 , Поэтому будем иметь
£к
J* г 1 J a 7 - х 2 d x = J a2sin2 t j a z - a 2sin * t a cos t dt
a* f sin2 1 cos2 ( dt -
.
cos 40 dt = ~ I t - ~1 sin4f
I
о
о
1576, Можно ли интеграл
8 l
2
| л/ l - x * dx
вычислить с помощью подстановки x —cos t ?
4
)
na4
16
145
§ 4 . З а м е н а п ер ем ен н ой в о п р ед ел ен н о м и н тегр ал е
Преобразовать определенные интегралы с помощью указанных
подстановок:
1577 .
f
v m
J
dx, x = 2 t - \ .
1579.
f
= sh f.
3 \jX^ "b1
4
л
2
1578.
j1
da , x — sin t>
Jl-X'
1580. J Дх) dx, x = arctg t.
0
2
1581. Для интеграла
j* f{x) dx
(b > a)
a
указать целую линейную подстановку
х = at + (J,
в результате которой пределы интегрирования сделались бы соот­
ветственно равными 0 и 1 *
Применяя указанные подстановки, вычислить следующие интег
ралы:
4
1582. f
dx
J 1 + *fx
Jx
1583.
dt
,x = t
(x 2 ^ ' 8 dx, x - 2 = 2 3.
. (x - 2)2'3 + 3
tJ
= z
3 + 2 cos t ’ 6 2
1586. f ——
J
1
+ a 2sin 2x
, tg x = t.
С помощью подходящих подстановок вычислить интегралы:
in 5
X
146
Глава V* ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вычислить интегралы;
3
1591. J
x j x 2ч-'бх + 1
dx
1593,
a x - x 2 dx.
1
dx
1592.
1594.
J ( 1 + x 2)2
J
dx
5 - 3cosx
о
1595* Доказать, что если f(x) — четная функция, то
а
а
| fix) dx = 2 J f(x) dx.
-a
f)
Если же f(x) ■
— нечетная функция, то
-1
J fix) dx =
0
.
-а
1596. Показать, что
сс
50
е * dx — 2 J е ;i d x = J ~ dx,
n
ftо ^
1597. Показать, что
l
dx
1598. Показать, что
*
i arccos x
о
| ^
j x
о
dx.
£
J /(sin x) dx ~ J* /(cos x) dx.
§ 5. Интегрирование по частям
Если функции ф ) и ф ) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, fc], то
ь
| u(x)v'(x) dx « u(x)t)(x)|*
U(jc)u'(x)da-.
( 1)
Применяя формулу интегрирования по частям, вычислить интег­
ралы:
гг
2
1599. | х cos х dx.
1
1601. f х 3е2л dx.
Е_.
1600 . J In х dx.
1602, J e^sin x dx.
о
147
§ 6, Теорема о среднем значении
1605* J е axsin Ьх dx (а >
1603. | хе х dx»
о
0
)*
со
1604.
| e '“*cos Ъх dx (о > 0).
1606**. Показать, что для гамма-функции (см. № 1575) справед­
лива формула понижения
Г(р + 1) = рГ(р) (р > 0).
Отсюда вывести, что Г(п + 1) = п\, если п — натуральное.
1607. Показать, что для интеграла
In
=|
sin * х dx = Jj cos x dx
о
о
справедлива формула понижения
i
= п~г1
"
a n ~ 2'
Найти 7 , если n — натуральное. Пользуясь полученной форму­
лой, вычислить / 9 и / 10*
1608. Применяя многократное интегрирование по частям, вычис­
лить интеграл (см. № 1574)
В(р, q) = | Xя 1(1 - х)4 1 dx,
о
где р и q — целые положительные числа.
1609** Выразить через В (бета-функцию) интеграл
л
2
I m, п = JГsinm х cos* х dx,
О
если т и п — целые неотрицательные числа,§*
§ 6 . Теорема о среднем значении
I й, О ц е н к и и н т е г р а л о в * Если fix) ^ Fix) при а К х ^ Ь, то
ь
ь
j* f(x) dx С j* F(x) dx*
a
a
Если f{x) и ф{*) непрерывны при a < х < Ь и, кроме того, ф(х) > 0, то
ь
ь
(1)
ь
m j ф(х) dx < j* f{x) ф(х) dx ^ JVf| ф(х) dx,
(2)
148
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
где т — наименьшее, а М — наибольшее значение функции f(x) на отрезке [а
В частности, если ср{х) = 1, то
т(Ь - а) < | f(x) dx < M{b - а).
Cl
Неравенства (2) и (3) можно соответственно заменить эквивалентными
равенствами:
ь
ь
J fix) ф(я) dx = f(c) J ф(х) dx
Д
И
а
ь
J fix) d* =
- а),
а
где с и £ — некоторые числа, лежащие между а и Ъ*
П р и м е р 1. Оценить интеграл
г.
2
/ =
I
'1 + -$in2x dx.
2
Р е ш е н и е . Так как 0 ^ sina х < 1, то имеем
71
2
< /< 5 I ,
2 42 ’
т, е.
1,57 < I < 1,91,
2е, С р е д н е е з н а ч е н и е ф у н к ц и и . Число
h
i
f(x) dx
называется средним значением функции f(x) на отрезке а К х < Ъ.
1610*. Не в ы ч и сл яя интегралов, определить их знак:
а) | х 3 dx;
-1
б) J
о
хcos х dx;
2л
в) Г
{ Х
dx.
1611. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
1
1
а) | V l +
х2dx или J* х dx;
о
2
б) J х sin 2
в) J
1
х d x или J* х sin 2 х dx;
ех d x или J е* dx,
1
149
§ Ч. Площади плоских фигур
Найти средние значения функций на указанных промежутках:
1 6 1 2 . f(x) = х , 0 < * < 1.
1 6 1 3 . f(x) = а + Ь cos х, - п
х < л.
1614. f(x) = sin 2 ж, 0 < х < л,
1615. f(x) = sin 1 л, 0 < х < я.
1
1616. Доказать, что f
d*
заключен между | ~ 0,67 и
J j2 +x - x 2
3
0,70. Найти точное значение этого интеграла.
Л
Оценить интегралы:
71
л
1620*. | x j t g x Ах.
о
1
1617. J J i + x 2 dx.
О
л
+1
1618
•j
2
dx
8 +
1621.
sin X d x „
1
Я
-1
4
2п
1619
■ОJ
10
dx
-f 3cos*
1622. Интегрируя по частям, доказать, что
200 к
0< J
SBH. d x <
1
100л
100л
§ 7. Площади плоских фигур
1°. П л о щ а д ь в п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т а х . Если не­
прерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением у = f(x)
[/(х) ^ 0], то площадь криволинейной трапеции, ог­
раниченной этой кривой, двумя вертикалями в точ­
ках х = а м х = Ь к отрезком оси абсцисс и < я < £>
(рис. 40), определяется формулой
s
=| т
dx.
(1 )
Рис, 40.
150
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
П р и м е р 1* Вычислить площадь, ограниченную параболой у = ~
прямыми # = 1 и х = 3 и осью абсцисс (рис. 41),
Р е ш е н и е . Искомая площадь выражается интегралом
Я- f
J 2
3
i
П р и м е р 2. Вычислить площадь, ограниченную кривой х « 2 - у - if
и осью ординат (рис. 42).
Р е ш е н и е . Здесь изменены роли осей координат и поэтому иском;
площадь выражается интегралом
1
(2
- у-
= 41 ,
-2
где пределы интегрирования у^ = —2 и у2 = 1 найдены как ординаты^точек
пересечения данной кривой с осью ординат.
В более общем случае, если площадь S ограничена двумя непрерывными
кривыми у = / г(х) и у = f2{x) и двумя вертикалями х = а и х = 6, где
/i(*) ^
ЦРИ а ^ х ^ ^ (рис. 43), будем иметь
ь
S = J t/2(*) - /i(*)] й*.
( 2)1
П р и м е р 3. Вычислить площадь S, заключенную между кривыми
У = о2 - Х
2
и у 3 = X2
(3 )
(рис. 44).
Р е ш е н и е . Решая совместно систему уравнений (3), находим пределы
интегрирования: х г = -1 и х2 — 1. В силу формулы (2) получим
S = j (2 - х2 - x2/s) Ax = {2 x -^ j - 1 х ъ''3
=
-i
-1
2
15
Если кривая задана уравнениями в параметрической форме х = <р(/), у =
то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вер*
Рис, 41,
Рис. 42.
Рис. 43.
Рис. 44.
§ 7, Площади плоских фигур
151
^калями, соответствующими х = а п х = Ьщи отрезком оси ОХ, выражается
интегралом
^2
где
11 *2
s = J у(£)ф' ( 0
*1
определяются из уравнений
а = (p{t1) и &- ф(^2) [\|/(£) >
0
на отрезке [fp t2]].
П р и м е р 4. Найти площадь эллипса S (рис, 45), используя его параметрические уравнения
\х = a cos£,
1 у = b sinf,
р е ш е н и е . Ввиду симметрии достаточно вычислить площадь одной
четверти, а затем учетверить результат. Полагая в уравнении х ~ a cos t сна7t
чала х = 0 , затем х - а, получим пределы интегрирования £, = - и t2 = 0 .
Z
Поэтому
я
0
2
1 5 = J Ь sin a (-sin t) dt = ab j* sin2 t dt n
о
2
и, следовательно, S = nab.
2°. П л о щ а д ь в п о л я р н ы х к о о р д и н а т а х . Если непрерывная
кривая задана в полярных координатах уравнением г = /(ф), то площадь
сектора ЛОВ (рис, 46), ограниченного дугой кривой и двумя полярными ра­
диусами ОА и ОВг соответствующими значениям cpj = а и ф2 —р, выразится
интегралом
Р
S = | J [/(Ф)]2 dcp.
«
П р и м е р 5. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бер­
нулли 2 = a2 cos 2ср (рис. 47),
Рис, 46,
Рис, 47.
;
i
152
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Р е ш е н и е * В силу симметрии кривой определяем сначала одну
верть искомой площади!
\ S=± \ \ a2 oos 2tpdtp = у £|sin2(pj = ^ о
J l°
Отсюда S = а2.
1623* Вычислить площадь, ограниченную параболой у = 4х —
и осью абсцисс*
1624* Вычислить площадь, ограниченную кривой у = In х, о
ОХ и прямой х = е*
1625** Найти площадь, ограниченную кривой у — х(х - 1)(х и осью О Х *
1626* Найти площадь, ограниченную кривой у = х, прямой у =
и вертикалью х = 8 *
1627* Вычислить площадь, ограниченную одной полуволной с
нусоиды у = sin х и осью ОХ,
1628* Вычислить площадь, заключенную между кривой у = tg
осью О Х и прямой х — 5 *.
1629, Найти площадь, заключенную между гиперболой х у = щ
вертикалями х = а и х — За (а > 0) и осью ОХ*
1630* Найти площадь, содержащуюся между локоном Анье
дЗ
у = —---- - и осью абсцисс,
х г + а2
1631. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у
прямой у = 8 и осью OY*
2
о
1632, Найти площадь, ограниченную параболами у = 2рх и х =2р
1633* Вычислить площадь, ограниченную параболой у = 2х и прямой у = —х*
1634* Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у = 3 от параболы у = х2*
1635, Вычислить площадь, заключенную между параболами у = х
х2
у = — и прямой у - 2 х*
1636* Вычислить площадь, заключенную между параболами у =
и и = 4А - 2- х 2 ,
^
3
1637* Вычислить площадь, заключенную между локоном Анье
2
У-
1
+ X-
и параболой у = 5- *
153
§ 7. Площади плоских фигур
1638. Вычислить площадь, ограниченную кривыми у - е , у = е
-х
и п р я м о й X = 1.
1639. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой — - ^ = 1
а
и прямой х *= 2 а.
1640*. Найти площадь, ограниченную астроидой
*2/3
+
у 2/я
«
а т
ш
1641. Найти площадь между цепной линией
у - a ch^ ,
а
осью ОТ и прямой у = ~ ( е 2 + 1).
2, 2
2 2
1642. Найти площадь, ограниченную кривой а у = х (а - х ).
1643. Вычислить площадь, содержащуюся внутри кривой
* \ 2 , (у'ш
1.
+ |1
1644. Найти площадь между равнобочной гиперболой х - у
осью ОХ и диаметром, проходящим через точку (5; 4).
-9 ,
1645. Найти площадь между кривой у = Д ,, осью О Х и ординатой
я - 1 (х > 1).
2
1646*. Найти площадь, ограниченную циссоидой у =
*3
и ее
2а - х
асимптотой х = 2а (а > 0 ).
2
х( х _а\^
1647*. Найти площадь между строфоидой у = -А------— и ее
2а- х
асимптотой (а > 0 ).
1648. Вычислить площади двух частей, на которые круг х + у = 8
2
разделен параболой у — 2 х .
1649. Вычислить площадь, содержащуюся между окружностью
я3 + у2 - 16 и параболой х 2 = 12(у - 1 ).
1650. Найти площадь, содержащуюся внутри астроиды
3
3
х = a cos t; у = b sin t .
1651. Найти площадь, ограниченную осью О Х и одной аркой цик­
лоиды
х = a(t “ sin t), у = а{ 1 - cos t).
1652. Найти площадь, ограниченную одной ветвью трохоиды
'X = a t - b s l n t , ( 0 < Ь € а )
у = а —Ь cos f
касательной к ней в низших ее точках.
154
Глава V, ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1653. Найти площадь, ограниченную кардиоидой
х = a(cos£ - cos2t),
у ^ a(sin£ - sin 2 f).
1654*. Найти площадь петли декартова листа
= 3at r
Г+7®р у
= Sat2
i + t®
1655*. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
г = а( 1 + cos ф).
Рис, 48,
1656*. Найти площадь, содержащуюся м
ду первым и вторым витками спирали Архиме.
г = аср (рис. 48)*
1657* Найти площадь одного лепестка кр
вой г = acos 2ф.
1658. Найти площадь, ограниченную крив
2
2
г = a sin 4ф*
1659*- Найти площадь, ограниченную кривой г = a sin Зф.
1660. Найти площадь, ограниченную улиткой Паскаля
г = 2 + cos ф.
у = “- ,ч
лупрямыми ф = 5* J1
и ф
1662. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом
1663. Найти площадь, ограниченную кривой г = 2а cos Зф и
жащую вне круга г = а.
§ 8. Длина дуги кривой
1°. Д л и н а д у г и в п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т а х . Длина
дуги гладкой кривой у = f(x)y содержащейся между двумя точками с а;
циссами х —а и х = равна
ь
а
155
§ 8 , Д л и н а д уги к р и в о й
2/3
2/3
2/3
П р и м е р 1. Н а й т и д л и н у а с т р о и д ы х
+ у
= а
( р и с * 4 9 )*
Р е ш е н и е * Д иф ф ер ен ц и р уя ур авн ен ие астроид ы , получаем
У 1
1/3
П о это м у д л я д л и н ы д уги одной четвер ти астр о и д ы
имеем
о
о
Отсюда s = 6а.
Д л и н а д у г и к р и в о й , з а д а н н о й
п а р а м е т р и ч е с к и .
Е с л и к р и в а я з а д а н а у р а в н е н и я м и в п а р а м е т р и ч е с к о й ф о р м е х = c p (t) и у — i / ( t )
(ф {£ ) и
— н е п р е р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м ы е ф у н к ц и и ), то д л и н а д у г и & к р и ­
вой р а в н а
h
s - J" J x '2 + у'2 dt,
<1
гд е
и
t2
— з н а ч е н и я п а р а м е тр а , с о о т в е т с т в у ю щ и е к о н ц а м д уги*
П р и м е р
2* Н а й т и д л и н у о д н о й а р к и ц и к л о и д ы (р и с * 5 0 )
a (i
- sinf),
х
=
у
= а(1 -
co st).
dx - а(1
(мд:t - —
df
= a sin t * Поэтому
2?r
S '= J
2л
д / а 3 ( 1 - c o s f ) 3 + a 2 s i n 2 1 d i = 2 a j* s i n ~ d t
=
8a*
о
Пределы интегрирования t x = 0 и t 2 — 2 n соответствуют крайним точкам
арки циклоиды.
Если гладкая кривая задана уравнением г —f(ф) в полярных координатах
г и (р, то длина дуги s равна
Р
___ _
S = J" д/г2 + F*
a
гДс а и Р — з н а ч е н и я п о л я р н о г о у г л а в к р а й н и х т о ч ­
ках д уги.
П р и м е р 3* Н а й т и д л и н у в с е й п р я м о й г =
a
. зф
3
sin
( р и с . 5 1 )* В с я к р и в а я о п и с ы в а е т с я т о ч к о й ( г , ф ) п р и
И зм е н е н и и ф о т 0 до Зя*
156
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Р е ш е н и е . Имеем г* = a sin2 5 cos ^ т поэтому длина всей дуги криво]
о
о
Зл
Згг
S =
fa2sin62 + a 2sin4*^ c o s 2<^^ dtp = a f sin2 ^ d(p
о
J
Зла
и
1665- Вычислить длину дуги полукубической параболы у2 — х*
от начала координат до точки с координатами х = 4, = 8,
1666*. Найти длину цепной линии у = a ch - от вершины А(0; а]
а
до точки В(Ь; fr).
1667. Вычислить длину дуги параболы у = 2 J x отх = 0 д о х = 1 |
1668. Найти длину дуги кривой у = е*, содержащейся между точт
ками (0; 1) и (1; е),
1669. Найти длину дуги кривой г/ = In х от х = */3 до х = J b .
1670. Найти длину дуги у = arcsin (е х ) от х = 0 до х — 1.
1671. Вычислить длину дуги кривой х — In sec у, содержащейся]
между у = 0 и у =
О
^
1 2 1
1672. Найти длину дуги кривой х — ~ у - i In у от у — 1 до у — е.
4
2
1673. Найти длину дуги правой ветви трактриссы
х " J a 2 - у 2 + a In а+ J a 2 - и2 от у = а до у = Ь (0 < Ь < а).
У
1674. Найти длину замкнутой части кривой 9ау 2 = х(х - За) 2 ,
1675. Найти длину дуги кривой у ~ In [ c t g - ] от х — а до х = Ь
(О < о < Ъ).
4 2
1676*. Найти длину дуги развертки окружности
х = a(cost + tsinff),
у = a(sin£ - fcosf)
от t — 0 до t “ Т.
1677. Найти длину эволюты эллипса
3
с2 ■ 3 , 2
2
,2,
х = С2
—cos i; у = T sm £ (с = а - 6 ).
а
Ь
1678. Найти длину кривой
х = fl(2cosf - cos2£),
у = a(2sin£ “ sin 2f),
1679. Найти длину первого витка спирали Архимеда г = сир.
157
§ 9. Объемы тел
1680. Найти всю длину кардиоиды г = а{1 + cos ф),
2и
1681. Найти длину дуги части параболы г = a sec ^ * отсекаемой
far
0т параболы вертикальной прямой, проходящей через полюс.
1682. Найти длину дуги гиперболической спирали гср = 1 от точки
(2; I) ДО точки Ц-’ 2) •
1683. Найти длину дуги логарифмической спирали г = ает<р (т > 0),
находящейся внутри круга г = а.
1684. Найти длину дуги кривой ф = i fr + *j от г = 1 до г = 3,
§ 9. Объемы тел
I е, О б ъ е м т е л а в р а щ е н и я . Объемы тел, образованных вращени­
ем криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = /(#), осью ОХ и двумя
вер ти калям и х = а и х = £>, вокруг осей ОХ и ОУ, выражаются соответственно
формул ами;
ь
1) Vx = п J у2 dx;
ъ
2) Уу - 2 л | ху d**\
a
a
П р и м е р 1. Вычислить объемы тел, образуемых вращением фигуры,
ограниченной одной полуволной синусоиды у = sin х и отрезком 0 < х < п
оси ОХ вокруг: а) оси ОХ и б) оси OY.
Решение.
Иг
ГS1H
■ 2X 1
Л
* vx =
d*
6)V,
" 2я/
п*
=
х sin х dx —2к(-х cos х + sin я)
= 2п ,
Объем тела, образованного вращением около оси ОУ фигуры, ограничен­
ной кривой х = g{y)t осью ОУ и двумя параллелями у = с и у — d, можно
определять по формуле
Пусть тело образовано вращением около оси ОУ криволинейной трапеции,
ограниченной кривой у - f{x) и прямыми х = a, х = b и у = 0. Зъ элемент объема этого
тола принимают объем части тела, образованного вращением около оси ОУ прямо­
угольника со сторонами у и dx, отстоящего от оси ОУ на расстоянии х> Тогда элемент
ь
объема dVj,. = 2пху dx, откуда Vy *=2п\ ху dx.
158
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
получающейся из приведенной выше формулы 1) путем перестановки
ординат х и у.
Если кривая задана в иной форме (параметрически, в полярных ко
динатах и т. д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответств
щую замену переменной интегрирования.
В более общем случае объемы тел, образованных вращением фигуры,
раниченной кривыми ух = f y(x) и у2 = f 2{x) (причем ^(дг) < f 2(x}) и прямы
х = а, х — £>, вокруг координатных осей ОХ и 0Y, соответственно равны
£>
ь
(у2 ~ уЬ ^ х ,
vx =
v y = 2 л | х(у2 - yt) dx.
П р и м е р 2. Найти объем тора, образованного вращением кру
я2 + (У ~ Ь)2 < а2 (Ь > а) вокруг оси ОХ (рис. 52).
Р е ш е н и е . Имеем
У1 = Ь - Ja2 - x 2 и у2 = b + Ja2 - х 2 .
Поэтому
а
vx = л |
+ J a ^ T 2)2 - (Ь - J a 2- x 2 П d.r =
-а
и
= АпЪj* J a 2- х 2 dx = 2тi2a2b
(последний интеграл берется подстановкой х = a sin f).
Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дуг
кривой г ™^(ф) и двумя полярными радиусами ф = ос, ср - р, вокруг поляры
оси, может быть вычислен по формуле
л J* г3 sin ф бф.
Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, п
лученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной некот
рой замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.
П р и м е р 3. Определить объем, образованный вращением криво
г = a sin 2ф вокруг полярной оси.
Решение.
&
&
2 f з
4 зГ з
* - п Г s in ф йф = - ла I sin 2фs in ф tkp
32 з Г . 4
з ,
64
з
= — па
sin ф cos фаф= ---- па .
о
J
105
159
§ 9. Объемы тел
В ы ч и с л е н и
н ы м с е ч е н и я м .
перпенд икулярной к
точке с абсц иссой х,
2°.
е о б ъ е м о в тел но и з в е с т н ы м п о п е р е ч ­
Есл и S = S{x) — площ адь сечен и я тела плоскостью ,
н е к о т о р о й п р я м о й (к о т о р у ю п р и н и м а е м з а о с ь О Х ) , в
то о б ъем этого те л а р авен
dx,
V =
гд е
и х 2 — а б сц и ссы к р а й н и х с е ч е н и й тела*
П р и м е р 4* О п р е д е л и т ь о б ъ е м к л и п а , о т с е ч е н н о г о о т к р у г л о г о ц и л и н д ­
р а плоскостью, п р о х о д я щ е й ч е р е з д и а м е т р о с н о в а н и я и н а к л о н е н н о й к о с ­
нованию п о д у г л о м а * Р а д и у с о с н о в а н и я р а в е н R ( р и с , 6 3 )*
р е ш е н и е . П р и м ем за ось О Х д и ам етр о сн о ва­
ния, по котором у се кущ а я п ло ско сть пересекает осно­
ван ие, и за о сь O Y д и а м е тр о с н о в а н и я , е м у п е р п е н ­
дикулярный. У р а в н е н и е о к р у ж н о с т и о с н о в а н и я б у д е т
X- у ^ Кх
П лощ ад ь сечен и я А Б С , отстоящ его на р асстоянии
от н ачала коорд инат О , равна
S (* ) = п л. Д
А В С
- 1
Li
А В
■ В С
-
\ уу
tg
jL
а
= ^ tg
а.
Li
П оэтом у и ско м ы й объем кл и н а есть
R
R
V = 2 ♦ 1 J у2 tg a dx = tg a J (R2 - х 2) dx = | Я4 tg а.
о
О
1685* Найти объем тела, получающегося от вращения вокруг оси
2
ОХ площади, ограниченной осью ОХ и параболой у — ах - х {а > 0),
1686* Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипv2
,,2
са — + 2 - = 1 вокруг оси ОХ*
а2
Ь2
1687* Найти объем тела, получающегося при вращении вокруг
X
оси ОХ площади, ограниченной цепной линией у — a sh - , осью ОХ
CL
и прямыми х = ±а*
1688* Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси
2
ОХ кривой у = sin х в промежутке от х = 0 до х = л*
1689* Найти объем тела, образованного вращением площади, ограниченной полукубической параболой у = х , осью ОХ и прямой
“т = 1, вокруг оси ОХ*
1690* Найти объем тела, образованного вращением той же пло­
щади, что в задаче 1689, вокруг оси OY*
1691* Найти объемы тел, образуемых вращением площади, огра­
ниченной линиями у = ег, х — 0, у = 0, вокруг: а) оси О Х и б) оси OY.
160
t
Глава V- ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1692, Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
той части параболы у = 4ах, которая отсекается прямой х —а.
1693, Найти объем тела, образованного вращением вокруг ц
мой х = а той части параболы у = 4 a x t которая этой прямой от
кается,
1694, Найти объем тела, образованного вращением вокруг прям
2
п.
у = —р фигуры, ограниченной параболой у — 2р х и прямой х = £
2
1695, Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси О
площади, содержащейся между параболами у - х 2 и у — J x ,
1696, Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси О
2
петли кривой (х - 4а)у = а х (х - За) (а > 0).
1697* Найти объем тела, производимого вращением циссоид
2
У = 2 а - х вокруг ее асимптоты х = 2а*
1698. Найти объем параболоида вращения, радиус основания к
торого R , а высота Н .
1699. Прямой параболический сегмент, основание которого 2а
высота Л, вращается вокруг основания* Определить объем тела вра
щения, которое при этом получается (*лимона Кавальери)*
1700. Показать, что объем части, отсекаемой плоскостью х = 2а
тела, образованного вращением равнобочной гиперболы х — у = а
вокруг оси ОХ у равен объему шара радиуса а,
1701. Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, oj
раниченной одной аркой циклоиды х = a(t - sin t), у = а(1 - cos t
и осью ОХу вокруг: а) оси ОХ, б) оси OY, в) оси симметрии фигуры
1702* Найти объем тела, образованного вращением астроид’
3
3
х = a cos у, у =* a sin f вокруг оси OY.
1703. Найти объем тела, которое получается от вращения кардн
оиды г = а( 1 + cos ср) вокруг полярной оси*
1704. Найти объем тела, образованного вращением криво
я
г = a cos ф вокруг полярной оси.
1705. Найти объем обелиска, параллельные основания которого
прямоугольники со сторонами А, В и а, Ь, а высота равна Л,
1706. Найти объем прямого эллиптического конуса, основани
которого есть эллипс с полуосями а и Ь, а высота равна Л.
2/3
2/3
2/3
1707. На хордах астроиды х
+ у
= а , параллельных ос
ОХ, построены квадраты, стороны которых равны длинам хорд
плоскости которых перпендикулярны плоскости XOY. Найти объе
тела, образованного этими квадратами.
§10. Площадь поверхности вращения
161
1708. Деформирующийся круг перемещается так, что одна из
точек его окружности лежит на оси OY, центр описывает эллипс
х* + У- = 1, а плоскость круга перпендикулярна плоскости X O Y .
а2
^
Найти объем тела, образованного кругом.
1709. Плоскость движущегося треугольника остается перпенди­
кулярной неподвижному диаметру круга радиуса а. Основанием тре­
угольника служит хорда круга, а вершина его скользит по прямой
параллельно неподвижному диаметру на расстоянии h от плоскости
круга. Найти объем тела (называемого коноидом)г образованного
движением этого треугольника от одного конца диаметра до другого,
М
2
2
2
1710. Найти объем тела, ограниченного цилиндрами х + z = а
2 ,
2
И I/ т 2
2
О,
1711. Найти объем сегмента, отсекаемого от эллиптического па2
2
раболоида У— + — < х плоскостью х = а.
^
2р
2q
1712. Найти объем тела, ограниченного однополостным гипербоЛОЙДОМ
2
а2
2
Ь2
2
с2
= 1 и плоскостями X = 0 и 2 = h t
2
2
2
1713. Найти объем эллипсоида ^ + Ml + Ц = 1.
а*
о*
§ 10. Площадь поверхности вращения
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги
гладкой кривой у = f(x) между токами х = а и х = выражается формулой
ъ
ь
Sx = 2 я |
dx - 2л | y j 1 +
dx
(1)
(ds — диференциал дуги кривой).
В случае иного задания уравнения кривой площадь поверхности Sx по­
лучается из формулы (1) путем соответствующей замены переменных.
П р и м е р 1. Найти площадь поверхности, образованной вращением во2
2
круг оси ОХ петли кривой 9у - #(3 - х) (рис. 54).
Ре ше ние . Для верхней части кривой при 0 < х < 3 имеем у —^ (3 - д:) Jx .
d
О тсю да д и ф ф е р е н ц и а л д у г и d s = ------- d * . Н а о с н о в а н и и ф о р м у л ы (1 ) п л о -
2jx
Щадь поверхности
4J
S = 2к f 1 (3 - x)Jx
J 3
6 Задачи в упраж нения
2Jx
dx = Зл.
162
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
П р и м е р 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением о;
ной арки циклоиды х = а(£ - sin f), у = а{ 1 - cos t) вокруг ее оси симметрн
(рис. 55).
Р е ш е н и е . Искомая поверхность образуется вращением дуги ОА
круг прямой АВ, уравнение которой х = па* Принимая у за независим]
переменную и учитывая, что ось вращения АВ сдвинута относительно к*
ординатной оси OY на расстояние па, будем иметь
2а
S = 2п Г (па - л:)
Ф/.
J
dy
о
Переходя к переменной t , получим
ГС
jv
—
г
S = 2лJ" {т - at + a « п t)
о
п
= 2п Г (па ~ at
J
= Ana
a s in t) 2а s in -t
2
»
+ ( g f df -
т
я
d£
= Ana2 Г ( r c s i n t- J \
2
2Г
t
t
t
- 2 n cos - + 2f cos - - 4sin
L
2
2
2
a
A
- sin'
3
t + s i n t s i n t- \ dt = ■'
2
2)
^
ts in -
= 8л( п _ ) “2,
t
•j
1714* Размеры параболического зеркала ЛОВ указаны на рис. 56*^
Требуется найти площадь поверхности этого зеркала.
1715, Найти площадь поверхности «веретенак ото­
рое получается в результате вращения одной полуволн*^
синусоиды у = sin х вокруг оси ОХ*
1716* Найти площадь поверхности, образованной вр!
щением части тангенсоиды у = tg х от х = 0 до х = ^
Рис. 56.
вокруг оси О Х .
1717. Найти площадь поверхности, образованной вра­
щением вокруг оси ОХ дуги кривой у — е от х = 0 д:
х = 1-м.
1718* Найти площадь поверхности (называемой Kt
у
теноидом), образованной вращением цепной линии у — a ch - в
а
круг оси ОХ, в пределах от х ~ 0 до х — а.
163
§11. Моменты* Центры тяжести. Теоремы Гульдена
Л „
„
1719. Наити площадь поверхности вращения астроиды х
2/ 3 *
+у
2/3
=
^ a ‘ i вокруг оси OY.
1 2
1т
4
и
1720. Найти площадь поверхности вращения кривой х — - у - - т у
вокруг оси ОХ, от у = 1 до у = е.
1721*. Найти поверхность тора, образованного вращением окруж2
2
2
ности х + (у - (?) = а вокруг оси О Х (Ь > а).
1722. Найти площадь поверхности, образованной вращением э л ­
л и п са ^
а1
^ = 1 вокруг: 1) оси ОХ; 2) оси OY (а > Ь).
Ь1
1723. Найти площадь поверхности, образованной вращением од­
ной арки циклоиды х = a{t - sin f), у — а(1 - cos t) вокруг: а) оси
ОХ; б) оси OY; в) касательной к циклоиде в ее высшей точке.
1724. Найти площадь поверхности, образованной вращением во­
круг оси О Х кардиоиды
х - a(2cost - cos2f),
у = a ( 2 si n t - sin2£).
1725. Определить площадь поверхности, образованной вращени2
2
ем лемнискаты г = a cos 2ф вокруг полярной оси,
1726. Найти площадь поверхности, образованной вращением кар­
диоиды г = 2п(1 + cos ф) вокруг полярной оси.
§ 1 1 , Моменты, Центры тяжести.
Теоремы Гульдена
I3.
С т а т и ч е с к и й мо ме н т . Статическим моментом относитель­
но оси Zматериальной точки А , имеющей массу т и отстоящей от оси I на
расстоянии d, называется величина Мг = md.
Статическим моментом относительно оси I системы п материальных
точек с массами mv
тп называется сумма
п
mi
-
X
i=
1
m‘di’
(1)
причем расстояния точек, лежащих по одну сторону оси I, берутся со знаком
плюс (+), а по другую — со знаком минус (-). Аналогично определяется ста­
тический момент системы точек относительно плоскости.
Если массы непрерывно заполняют линию или фигуру плоскости XOY,
то статические моменты М х и М у относительно координатных осей ОХ и
вместо сумм (1) выражаются соответствующими интегралами. Для случ&я геометрических фигур плотность считается равной единице.
164
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В частности: 1) для кривой х = *(з); у —у(з)л где параметр $ есть длщ
дуги, имеем
мх -
l ^ * ‘,
о
ds; M v = J *(«) dx
(21
о
(ds = J(dx)2 + (dy)2 — дифференциал дуги);
2)
для плоской фигуры, ограниченной кривой у = у(х), осью ОХ и двум
вертикалями х —а и у = 6, получаем
ь
ь
i j* у\у\ dx; M Y = | х |i/j dx.
(3);
a
a
П р и м е р 1. Найти статические моменты относительно осей ОХ и OY |
треугольника, ограниченного прямыми — -h ^ = 1, лс = 0, у = 0 (рис. 57),- 1
а
b
Р е ш е н и е , Здесь у = frf 1 - —j . Применяя формулы (3), получаем
мх =
Ь2
а
б
и
2°. М о м е н т и н е р ц и и . Моментом инерции относительно оси I ма­
териальной точки массы т, отстоящей от оси / на расстоянии dt называется
число I I = md2.
Моментом инерции относительно оси / системы п материальных точек
с массами mv т2,
тп называется сумма
п,
Jl =
2
i~1
m‘dr
где dv d2,
dn — расстояния точек от оси L В случае сплошной массы
вместо суммы получаем соответствующий интеграл.
П р и м е р 2. Найти момент инерции треугольника с основанием Ък вы- \
сотой h относительно его основания.
Р е ш е н и е , Основание треугольника примем за ось ОХ, а его высоту — |
за ось OY (рис. 58).
Рис, 57,
Рис, 58.
165
§ 11. Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена
Разо бьем тр еуго л ьн и к на бесконечно то н ки е гори зонтальн ы е полоски
т о л щ и н ы d у у и г р а ю щ и е р о л ь э л е м е н т а р н ы х м а с с d/n. И с п о л ь з у я п о д о б и е т р е ­
угольников, получаем :
dm
=
b^1
и
d 1Х “
У
dm
h
dy
У
Ъ 2
=
- у
(h -
у) dy.
О тсю д а
1х
==
l ] y 2i h - y ) d y = X b k 3.
3 °. Ц е н т р т я ж е с т и . К о о р д и н а т ы ц е н т р а т я ж е с т и п л о с к о й ф и ­
г у р ы (д у г и и л и п л о щ а д и ) м а с с ы М в ы ч и с л я ю т с я п о ф о р м у л а м
X =
М,
м
М х
’
у
м
’
гд е Ы х и М у — с т а т и ч е с к и е м о м е н т ы м а с с ы , В с л у ч а е г е о м е т р и ч е с к и х ф и г у р
м асса М чи сл ен н о р авн а со о тветствую щ ей д уге и л и п ло щ ад и .
Д л я ко о р д и н ат ц ен тр а т я ж е с т и ( х , у ) д уги п л о ско й кр и во й у = f(x)
(а < х < & )т с о е д и н я ю щ е й т о ч к и А ( а ; { { а ) ) и В ( Ь ; f i b ) ) , и м е е м
в
ь
Jx d s
jW
l
+ ( У ' ) 2d
*
__ a
x =±
в
ь
JV d s
j y * J l + ( y ' ) 2d x
у =A
-
о
_ a
ii
jV l +(/)*d.
p l + (y')2d:
К о о р д и н а т ы ц е н т р а т я ж е с т и {x , у ) к р и в о л и н е й н о й т р а п е ц и и
О< У < f(x), м о г у т б ы т ь в ы ч и с л е н ы п о ф о р м у л а м
ь
а
^
х ^
Ь,
ь
J^ydjc
X = S-
IjVd*
, У - -*■
U
где S - |
У Ах
— площ ад ь ф игуры .
а
А н а л о ги чн ы е ф о р м ул ы и м ею т м есто д ля коор д и н ат ц ен тр а т я ж е с т и тела.
П р и м е р
3. Н а й ти ц ентр тя ж е с ти д уги по­
луокруж ности х2 + у2 =
Р е ш е н и е . И меем
У =
J a 2
-
х
* ;
а
(у
у' =
> 0 ) (р и с . 5 9 ).
-х
J a 1- х
и
ds = J l + (у')2 dx =
,
Рис. 59.
166
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Отсюда
М у =
а
f.rds- Г
-а
-а
а
djc -
х
to
1
*
t:
а
а
мх =
Г
J
0,
а
_ Х 2
_
adx
2я2
№
/а 2
a
-а
-
х 2
.
М
-
[
J
—па.
-а
Следовательно,
х —0; у = - а .
я
4°, Т е о р е м ы Гу л ь д е н а *
Т е о р е м а 1* Площадь поверхности, полученной от вращения дуги
плоской кривой вокруг некоторой оси, лежащей в одной плоскости с кривой
и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окруж­
ности, описываемой центром тяжести дуги кривой.
Т е о р е м а 2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры
вокруг некоторой оси, лежащей в плоскости фигуры и ее не пересекающей,
равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описы­
ваемой центром тяжести фигуры*
1727.
Найти статические моменты относительно осей координат
отрезка прямой
заключенного между осями координат*
1728. Найти статические моменты прямоугольника со сторонами
а и b относительно его сторон*
1729. Найти статические моменты относительно осей ОХ и OY и
координаты центра тяжести треугольника, ограниченного прямыми
х + у = a f х = 0 и г/ = 0.
1730. Найти статические моменты относительно осей ОХ и OY и
координаты центра тяжести дуги астроиды
2 /3
.
2 /3
2 /3
*
+ Е/ = а ,
лежащей в первом квадранте*
1731. Найти статический момент окружности
г =■ 2а sin ср
относительно полярной оси*
1732* Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии
у = a ch а
от х = - а до х = а.
167
§ 1 1 . М ом ен ты . Ц ен тр ы т я ж е с т и , Т еорем ы Г ул ьден а
1733* Найти центр тяжести дуги окружности радиуса а, стягивающей угол 2а.
1734. Найти координаты центра тяжести дуги первой арки цик­
лоиды
х — a(t - sin t); у = а{ 1 - cos t)
(О
2л).
1735. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
2
2
а2
Ъг
эллипсом — + У- = 1 и осями координат ОХ и OY {х > 0, у > 0).
1736. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
кривыми
у = %\ у = J x .
1737. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
первой аркой циклоиды
х — a(t - sin it), у = а( 1 - cos t)
и осью О Х ,
1738*** Найти центр тяжести полусферы радиуса а с центром в
начале координат, расположенной над плоскостью XOY.
1739**. Найти центр тяжести однородного кругового конуса с ра­
диусом основания г и высотой k .
1740**. Найти центр тяжести однородного полушара радиуса а с
центром в начале координат, расположенного над плоскостью XOY.
1741. Найти момент инерции окружности радиуса а относительно
ее диаметра.
1742* Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а и
Ь относительно его сторон.
1743. Найти момент инерции прямого параболического сегмента
с основанием 2Ъ и высотой h относительно его оси симметрии*
2
1744. Найти моменты инерции площади эллипса ^
2
^
= ^
относительно его главных осей*
1745**. Найти полярный момент инерции кругового кольца с ра­
диусами Е г и R 2
< R 2), т * е* момент инерции относительно оси,
проходящей через центр кольца и перпендикулярной к его плоскости.
1746**, Найти момент инерции однородного прямого кругового
конуса с радиусом основания R и высотой Н относительно его оси,
1747**. Найти момент инерции однородного шара радиуса а и
массы М относительно его диаметра.
1748. Найти поверхность и объем тора, получающегося от вра­
щения круга радиуса а вокруг оси, расположенной в плоскости круга
и отстоящей от центра его на расстоянии b ф > а).
168
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1749* а) Определить положение центра тяжести дуги астроид
2 /3 _
2 /3
х
-г у
—а , лежащей в первой четверти,
2 /3
б)
Найти центр тяжести фигуры, ограниченной кривыми у2 - 2р
и х 2 = 2ру.
1750**. а) Найти центр тяжести полукруга, пользуясь теоремой
Гульдена,
б)
Доказать, пользуясь теоремой Гульдена, что центр тяжести тре
угольника отстоит от его основания на одну треть высоты.
§ 12, Приложения определенных интегралов
к решению физических задач
1°, П у т ь, п р о й д е н н ы й т о ч ко й. Если точка движется по некоторой кривой и скорость ее v — f(t) есть известная функция времени f, то
путь, пройденный точкой за промежуток времени [( f ], равен
ГГр и м е р 1, Скорость точки равна
v = 0 ,lt3
(г выражена в м/с). Найти путь s, пройденный точкой за промежуток вре­
мени Т —10 с, протекший от начала движения. Чему равна средняя скорость
движения за этот промежуток?
Р е ш е н и е , Имеем
10
1 п
И
% = f = 25 (м/с).
2°, Р а б о т а с илы. Если переменная сила X = f(x) действует в направлении оси ОХ, то работа силы на отрезке [хг х2] равна
П р и м е р 2. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину
на 6 см, если сила 1 Н растягивает ее на 1 м?
Р е ш е н и е , Согласно закону Гука сила X t растягивающая пружину на
х * равна X = kxt где к — коэффициент пропорциональности.
§ 12, Приложения определенных интегралов к решению физических задач 169
Полагая х = 0,01 м и Х = 1 Н 1получим к - 100 и, следовательно, X = 100#,
Отсюда искомая работа
о,ос
0,00
« 0,18 <Дж).
100* dx = 50*
Л=
J
3°. К и н е т и ч е с к а я э н е р г и я . Кинетической энергией материала
н о й точки, имеющей массу т и обладающей скоростью и, называется вы­
ражение
К -
т и1
Кинетическая энергия системы п материальных точек с массами m v m2,
т обладающих соответственно скоростями vv v2>
равна
о
( 1)
К =
i =l ^
Для подсчета кинетической энергии тела его надлежащим образом раз­
бивают на элементарные частицы (играющие роль материальных точек), а
затем, суммируя кинетические энергии этих частиц, в пределе вместо суммы
(1) получают интеграл.
П р и м е р 3, Найти кинетическую энергию однородного кругового ци­
линдра плотности 5 с радиусом основания Я и высотой Л, вращающегося с
угловой скоростью to вокруг своей оси.
Р е ш е н и е , За элементарную массу dm при­
нимаем массу полого цилиндра высоты Л, с внут­
ренним радиусом г и толщиной стенок dr (рис, 60),
Имеем
dm = 2пг * kb dr.
Так как линейная скорость массы dm равна и = гео,
то элементарная кинетическая энергия есть
,„
v2dm
з 2, z ,
dtf - ------- = nr to ho dr.
2
Отсюда
Рис. 60.
A
3 ,
n<i)2bR4h
К = Tito hb\ r dr = -----*
о
T_
2l C f
43. Д а в л е н и е ж и д к о с т и . Для вычисления силы давления жид­
кости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жид­
кости на площадку S с глубиной погружения h равна
Р = уghS,
где у — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения.
170
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
П р и м е р 4, Найти силу давления, испыты-1
ваемую полукругом*) радиуса гу погруженным!I
вертикально в воду так, что его диаметр совпа-.i
дает с поверхностью воды (рис. 61).
|
Р е ш е н и е . Разбиваем площадь полукругана элементы — полоски, параллельные поверх­
ности воды. Площадь одного такого элемента (от­
брасывая бч м. высшего порядка), находящегося
на расстоянии h от поверхности, равна
О
Рис. 61.
dS = 2xdh = 2 Jr2 - h2 dh.
Сила давления, испытываемая этим элементом, равна
dP = ygh dS = 2ygk J r 2 - h 2 dht
где у — плотность воды.
Отсюда вся сила давления есть
г
Р - 2yg\ h j r 2- h 2 dft = ~ \ l g ( r 2 - h2)5% = | g r .
J
О
О
о
1751.
Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной
скоростью Oq, без учета сопротивления воздуха, дается формулой
v = и0 - gt
где t — протекшее время, g — ускорение свободного падения. На ка­
ком расстоянии от начального положения будет находиться тело че­
рез время t от момента бросания?
1752.
Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной
скоростью и0, с учетом сопротивления воздуха, дается формулой
где t — протекшее время, g — ускорение свободного падения, с —
постоянная. Найти высоту поднятия тела.
1753.
Точка оси ОХ совершает гармонические колебания вокруг
начала координат, причем скорость ее дается формулой
V =
L>0COS Ш
где t — время, vQt ш — постоянные.
Найти закон колебания точки, если при t = 0 она имела абсциссу
х = 0. Чему равно среднее значение скорости точки за период коле­
баний?
1754. Скорость движения точки о = te °,<Ш(о — в м/с). Найти путь,
пройденный точкой от начала движения до полной «остановки».
*)
В этом примере, а также в задачах № № 1768—1771 под плоскими поверхностими понимаются тонкие тела (оболочки), у которых один из характерных размеров
много меньше двух других.
;
g 12. Приложения определенных интегралов к решению физических задач 171
1755,
Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. Считая,
что при постоянной силе тяги ускорение ракеты за счет уменьшения
ее веса растет по закону j =
А -- (а - Ы > 0), найти скорость ракеты
d pi
в любой момент времени t , если начальная скорость ее равна нулю.
Найти также высоту, достигнутую ракетой к моменту времени £ = t y
1756*, Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы вы­
к а ч а т ь воду из вертикальной цилиндрической бочки, имеющей ра­
диус основания R и высоту Н .
1757. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
вы качать воду из конического сосуда, обращенного вершиной вниз,
радиус основания которого равен R и высота Н .
1758. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы вы­
качать воду из полусферического котла, имеющего радиус Л,
1759. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать масло через верхнее отверстие из цистерны, имеющей фор­
му цилиндра с горизонтальной осью, если плотность масла Y* длина
цистерны Н и радиус основания Д.
1760**. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы т под­
нять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту hi Чему рав­
на эта работа, если тело должно быть удалено на бесконечность?
1761**. Два электрических заряда q0 = 1 Кл и qx = 2 Кл находятся
на оси О Х соответственно в точках x Q = 0 и х 1 — 1 см. Какая работа
будет произведена, если второй заряд переместится в точку х 2 ” Ю см?
1762**. Цилиндр с подвижным поршнем диаметра D — 20 см и
длины I = 80 см заполнен паром при давлении р - 10 Па. Какую ра­
боту надо совершить, чтобы при неизменной температуре (изотер­
мический процесс) объем пара уменьшить в два раза?
1763**. Определить работу, произведенную при адиабатном расз
ширении воздуха, имеющего начальные объем Г0 " 1 м и давление
з
р0 = 1 Па, до объема У1 = 10 м ?
1764**. Вертикальный вал веса Р и радиуса а опи­
рается на подпятник АВ (рис. 62). Сила трения между
небольшой частью а основания вала и прилегающей к
ней поверхностью опоры равна F = црст, где р — const
есть давление вала на поверхность опоры, а ц — коэф­
фициент трения. Найти работу силы трения при одном
обороте вала,
1765**. Вычислить кинетическую энергию диска
массы М и радиуса Д, вращающегося с угловой скоро­
стью ш около оси, проходящей через центр диска пер­
Рис. 62.
пендикулярно его плоскости.
172
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1766. Вычислить кинетическую энергию прямого круглого кону- '■$
са массы М, вращающегося с угловой скоростью ы около своей оси, v
если радиус основания конуса R , а высота Н,
1767*. Какую работу надо затратить, чтобы остановить ж елез­
ный шар радиуса R - 2 м, вращающийся с угловой скоростью
ш = 1000 об/мин вокруг своего диаметра? (Плотность железа
Y= 7,8 * 103кг/м3).
1768. Вертикальный треугольник с основанием Ь и высотой h по­
гружен в воду вершиной вниз так, что его основание находится на
поверхности воды. Найти силу давления воды.
1769. Вертикальная плотина имеет форму трапеции. Вычислить :
силу давления воды на всю плотину, если известно, что верхнее ос*
новаыие плотины а = 70 м, нижнее основание Ь = 50 м, а высота пло­
тины h = 20 м.
1770. Найти силу давления жидкости, удельный вес которой у,
на вертикальный эллипс с осями 2а и 2Ь, центр которого погружен
в жидкость на уровень /г, причем большая ось 2а эллипса парал­
лельна уровню жидкости (h > Ь).
1771. Найти силу давления воды на вертикальный круговой конус
с радиусом основания R и высотой Н , погруженный в воду вершиной
вниз так, что его основание находится на поверхности воды.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1772. Найти массу стержня длины / = 100 см, если линейная плот­
ность стержня на расстоянии х (см) от одного из его концов равна
5 = 2 -Г 0,001х2(г/см ).
1773. Согласно эмпирическим данным удельная теплоемкость во­
ды при температуре t°C (0 < t < 100°) равна
с = 0,9983 - 5,184 ■10' 6 £ + 6,192 • 1 0 ' ¥ ,
где с выражена в Дж / (г >СС). Какое количество теплоты нужно за­
тратить, чтобы 1 г воды нагреть от температуры 0 °С до температуры
100 °С?
1774. Ветер производит равномерное давление р на дверь, ширина
которой Ь и высота h. Найти момент силы давления ветра, стремя­
щейся повернуть дверь на петлях,
1775.
С какой силой притяжения действует материальный стер­
жень длины I и массы М на материальную точку массы т , находя­
щуюся на одной прямой со стержнем на расстоянии а от одного из
его концов?
V.
1776**. При установившемся ламинарном (струйном) течении
жидкости через трубу круглого сечения радиуса а скорость те-
§12, Приложения определенных интегралов к решен и ю физических задач 173
чения и в точке, находящейся на расстоянии г от оси трубы, дается
формулой
v —
2
Г ),
где р — разность давлений жидкости на концах трубы, р — коэф­
фициент вязкости, / — длина трубы* Определить расход жидкости
Q, т. е. количество жидкости, протекающей через поперечное сече­
ние трубы в единицу времени,
1777”*Условие то же, что и в задаче № 1776, но труба имеет пря­
моугольное сечение, причем основание а велико по сравнению с вы­
сотой 2Ь. В этом случае скорость течения и в точке М(х, у) опреде­
ляется формулой
v =
Ф - У)2].
Определить расход жидкости Q.
1778**. При изучении динамических свойств автомобиля часто
используется построение диаграмм специального вида; на оси абс­
цисс откладываются скорости щ на оси ординат — величины, обрат­
ные соответствующим ускорениям а . Показать, что площадь S , ог­
раниченная дугой этого графика, двумя ординатами и = иг и и = и2
и осью абсцисс, численно равна времени, необходимому для того,
чтобы увеличить скорость движения автомобиля от
до v2 (время
разгона).
1779, Горизонтальная балка весом Q и длиной I находится в рав­
новесии под действием направленной вниз вертикальной нагрузки,
равномерно распределенной по длине балки, и опорных реакций
А л В (А - В = Q
направленных вертикально вверх. Найти изги­
бающий момент М в поперечном сечении х, т. е. момент относительно
точки Р с абсциссой х всех сил, действующих на часть балки АР.
1780. Горизонтальная балка длины / находится в равновесии под
действиехМ опорных реакций А и Б и распределенной по длине балки
нагрузки с интенсивностью q = kx, где х — расстояние от левой опо­
ры, к — постоянный коэффициент. Найти изгибающий момент М х
ъ сечении х.
П р и м е ч а н и е . Интенсивностью распределения нагрузки называется
нагрузка (сила), отнесенная к единице длины.
1781*. Найти количество теплоты, выделяемое переменным си­
нусоидальным током
I = /„sin
t - ф
течение периода Т в проводнике с сопротивлением Б.
Глава VI
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1* Основные понятия
1°. П о н я т и е ф у н к ц и и н е с к о л ь к и х п е р е м е н н ы х . О б о«>
з н а ч е н и я ф у н к ц и й . Переменная величина г называется однознач-.
ной функцией двух переменных х, у, если каждой совокупности их зна­
чений {х, у) из данной области соответствует единственное определенное
значение г. Переменные л\ у называются аргументами или независимыми 1
переменными. Функциональная зависимость обозначается так:
z = f{xy у), или г = F(x, у) и т. п*
Аналогично определяются функции трех и большего числа аргументов.
Пр и ме р 1. Выразить объем конуса V как функцию его образующей х
и радиуса основания у.
Решение. Из геометрии известно, что объем конуса равец
v =i
I 2 —у 2 „ Следовательно,
где h — высота конуса. Но k = *Jx
T
Vr = -1п у 2 Г 2 - у 2 .
V
• й
Это и есть искомая функциональная зависимость.
^
Рис. 63.
Значение функции z - f(xt у) в точке Р(а, ft), т. е. пр
х = а и у = ft, обозначается /(д, ft) или /(Р ). Геометрическим
изображением функции г = = f{x, у) в прямоугольной системе координа
Z, вообще говоря, является некоторая поверхность (рис. 63).
’Р?
2 2
П р и м е р 2. Найти ft2, -3) и f( 1, ¥■) , если f(x, у) = * +у
X,
2ху
Р е ш е н и е . Подставляя х - 2 и у - -3, находим
Д2, -3) = .......... . 2
2-2 (-3)
11
Подставляя х = 1 к заменяя у на ^ , будем иметь
2
пи
Т. е.
1,
= fix, у).
у.
,
= х +у
2 ху
2
175
§ 1, Основные понятия
2й. О б л а с т ь с у щ е с т в о в а н и я ф у н к ц и и . Под областью су­
ществования (определения) функции г = {{х, у) понимается совокупность
точек (я, у) плоскости X Q Y y в которых данная функция определена (т. е.
принимает определенные действительные значения). В простейших случаях
область существования функции представляет собой конечную или беско­
нечную часть координатной плоскости XOY* ограниченную одной или не­
сколькими кривыми {граница области).
Аналогично для функции трех переменных и = f(x t у, z) областью су­
ществования функции служит некоторое тело в пространстве OXYZ.
П р и м е р 3. Найти область существования функции
1
2= t
■
44.-Х - у
Г
а
2
2
2
2
Р е ш е н и е . Функция имеет действительные значения, если 4 - х - у > О
или х + у < 4 . Последнему неравенству удовлетворяют координаты точек,
лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале координат. Об­
ласть существования функции есть внутренность этого круга (рис. 64),
П р и м е р 4. Найти область существования функции
г — arcsin ^ + J x y .
Р е ш е н и е . Первое слагаемое функции определено при 1 < - < 1 или
2
-2 < х < 2. Второе слагаемое имеет действительные значения, если ху > О,
\ х >0,
х < 0Т
т. е. в двух случаях: при | ^ q или при у ^ q
Область существования всей функции изображена на рис. 65 и включает
границы области.
3°. Л и н и и и п о в е р х н о с т и у р о в н я ф у н к ц и и . Линией уров­
ня функции г = f(х, у) называется такая линия f(x t у) — С на плоскости
XOY, в точках которой функция принимает одно и то же значение г “ С
(обычно проставляемое на чертеже в виде отметки).
Поверхностью уровня функции трех аргументов и —f(x r у, г) называется
такая поверхность f(x y у , z) = С, в точках которой функция принимает по­
стоянное значение и - С,
2
П р и м е р 5. Построить линии уровня функции z = х у.
С_
Р е ш е н и е . Уравнение линий уровня имеет вид х у —С или у = 2 '
Полагая С = 0, ±1, ±2,
получим семейство линий уровня (рис. 66).
X
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
176
1782. Выразить объем V правильной четырехугольной пирамиды
как функцию ее высоты х и бокового ребра у,
1783. Выразить площадь S боковой поверхности правильной шес­
тиугольной усеченной пирамиды как функцию сторон х н у основа­
ний И ВЫ СО ТЫ Z .
1784. Найти f g ,
I
-1 ) , если
f(x, у) = ху + | .
1785. Найти f{x, у), f ( - x t -у), f
i ] , — Ц - , если
\х у) /Сх,у)
1786. Найти значения, принимаемые функцией
fix, у) = 1 + х - у
2
в точках параболы у = х t и построить график функции
2,
F(x) = f(x, х ).
1787. Найти значение функции
4 * 2 2( 4
„
. ^ х +2X у +у
2
2
1-Х -у
2
2
2
в точках окружности х + у = R .
1788*. Определить f(x), если
.
Г~2 1
f (yЯ ^ V* +у (ху > 0).
у
1789*. Найти
у), если
f{x + у, * - у) = ху + у .
1790*- Пусть z = J z + f { J x - 1). Определить функции / и г , если
г = х при у = 1.
1791**-Пусть г — хЛ Ч . Определить функции / и z, если
- *fl + у
при х = 1,
2
=*
177
§ 1*Осноин^е понятия
1792.
функций:
Найти и изобразить области существования следующих
а) z = V1 - х 2 - у 1 ;
и) z = 4у sin х ;
б) г = 1 + 7 - 0 - у )2 ;
к)
в) г = 1п (х + у);
л) г = arctg
г) г = х + arccos у;
м) г =
г = In (х2 + у );
2
,
* ~У .
11 +, х 2у 2 9
2 1
* +У
д)
2
=
J
l
-
X
2
+
J
l
- у2;
н) 2 -
е) г = arcsin ^ ;
*
ж) г — J x 2 - 4 + *[<1- у 2 ;
з ) г = у(х + у - а )(2а - я
(а > 0);
1793. Найти области существования следующих функций трех
аргументов:
a) u = J x + J y + * f z ;
б ) и = In (xyz);
в) и = arcrsin х + arcsin у 4- arcsin г;
ч
ГГ 2 2 2
г) и = ^/1 - JC - у - г .
1794. Построить линии уровня данных функций и выяснить ха­
рактер изображаемых этими функциями поверхностей:
а) г = х + у;
r) z — Л у ;
ж) Z = у2 *’
я
2
L
2
3) 2 = У ,
о) z = х + у ;
Д) г = (1 + х + у)2;
Л ’
,
2
2
и) Z — 2 2
в) г = JC - у ;
е) г = 1 - \х\ - !у|;
х +у
1795. Найти линии уровня следующих функций:
а) г = I n (х2 + у);
т) г = f(y - ах);
б) г = arcsin х у ;
в)
2
Д) г = f У
х
= f{ J x 2+ y 2\ ;
1796.
Найти поверхности уровня функций трех независимых пе­
ременных:
2
2
2
2
2
2
а) и = л: + г/ + г,
б) и = х + у 4- г ,
в) и — х + у - 2 .
178
Глана VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 2. Непрерывность
1°.Пре д е л функции- Число А называется пределом функции z = f(x, у)
при стремлении точки Р'(х, у) к точке Р(а, Ь), если для любого е > 0 су­
ществует такое 5 > О, что при 0 < р < 5, где р —J ( x - а)2 + ( у - Ь ) 2 — рас­
стояние между точками Р и Р \ имеет место неравенство
Ifl*, У ) - А | < е.
В этом случае пишут:
lim f(xt y ) = A .
j-*a
У" Ь
2°. Н е п р е р ы в н о с т ь и т о ч к и раз рыва* Функция z = f(x, у)
называется непрерывной в точке P(a, b), если
lim f{xt у) = f(a, b).
х —а
у
b
Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется
непрерывной в этой области,
Нарушение условий непрерывности для функции {{х, у) может происхо­
дить как в отдельных точках (изолированная точка разрыва)у так и в точ­
ках, образующих одну или несколько линий {линии разрыва), а иногда и
более сложные геометрические образы.
П р и м е р 1. Найти точки разрыва функции
_ ху+
1■
z
.
* -у
Р е ш е н и е , Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в
нуль, Нод:2 - у = 0 или у = х 2 — уравнение параболы. Следовательно, данная
2
функция имеет линией разрыва параболу у - х *
1797*, Найти следующие пределы функций:
а) lim (х 2 + t/2)sin— ;
х- о
ху
у -о
х +у
б) lim
, :
X-* X2+у
ос
г) Нш 1+2
£ DG
X
у h
X
д) П т
* - О X+ у
у- о
2
2
е) lim —У—,
в) Um “ Щ?;
*—
*О X
* +у
у- 2
1798. Исследовать на непрерывность функцию
f(x* У) *=
д/ l “ х 2
О
у 2 при х 2 + у 2 < 1,
2
2
при X + у > 1,
§ 3. Частные производные
179
1799* Найти точки разрыва следующих функций:
1
в) Z ”
a) z = In J x 2 + у 2 ;
ч
1 - х
2
- у
2 ’
1
Г ) 2 — COS
2’
ху
(х-у)
1800*, Показать, что функция
I 2ху
2
2 ,Л
] ,2 ■
„
при ЯГ + у ? О,
,
2
+у
* “ \ Х +
О при х = у = О
б) Z =
непрерывна по каждой из переменных х и р отдельности, но не яв­
ляется непрерывной в точке (0, 0) по совокупности этих переменных.
§ 3* Частные производные
1°. О п р е д е л е н и е ч а с т н ы х п р о и з в о д н ы х . Если z = f(x, у),
то, полагая, например, у постоянной, получаем производную
^
.
lim
Я х + Д ^ у ) - / ( х , у ) _ f (Xt
дл- - о
ох
Ах
h
*
которая называется ч а с т н о й п р о и з в о д н о й функции г по переменной х . Ана­
логично определяется и обозначается частная производная функции г но пе­
ременной у . Очевидно, что для нахождения частных производных можно
пользоваться обычными формулами дифференцирования.
П р и м е р 1, Найти частные производные функции
z = In tg - .
У
Р е ш е н и е . Рассматривая у как постоянную величину, получим
Э£ = J _
1
1 ^
2
дх
, х
. 2х*
tg - cos2 -х уу
у sin
—
У
У
У
Аналогично, рассматривая х как постоянную, будем иметь
дг = 1
ди
1
2д;
п 2)
cos г -х V У
i
х
tg
-
*
f яЛ =
У
у
У
2
. 2х
sm
—
"
У
П р и м е р 2. Найти частные производные функции трех аргументов
и
=
+
х 3у г г
Р е ше н и е .
ди
—
2х -
+
Зу
о 2 2
. 0
= З Х £/ 2 i 2 ,
ОХ
ди
V- =
о 3
2х уг -
г>
3,
ду
ди
—
=
3 2 ,-
X у
+1.
z
4- 5 .
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
180
2°. Т е о р е м а Э й л е р а . Функция {(х, у) называется однородной функ­
цией измерения пт если для любого действительного множителя к имеет мес­
то равенство
f{hx, ку) = knf(x, у).
Целая рациональная функция будет однородной, если все члены ее одного
и того же измерения.
Для однородной дифференцируемой функции измерения п справедливо >
соотношение (теорема Эйлера)
xf'x(x* У) + уГу{*< У) =
У)■
Найти частные производные функций:
1801. z = х 3 + у 2 - З а х у .
1807.
1802. z =
1808. 2 - х*.
х +у
.
1803. 2 - У- „
л:
1804.
z =*]х2- у 2 .
1805. 2 = 1806.
1809.
z = In
*
1810.
2
2
= acrtg ^ ■
х
sin£
= е 1.
z = arcsin
2_
2
^
ж +у
1811 . 2 = In sin х + а
.
{jc+ J x 2 +
у2).
и= {xy)!.
1813. и= zxy.
1812.
1814. Найти f'r(2; 1) и f'y(2; 1), если f(x, у) =
+- ■
1815. Найти Гх( 1; 2; 0), f'y(l; 2; 0), Г zi 1; 2; 0), если
f(x, у, z) = In (лгу + г).
Проверить теорему Эйлера об однородных функциях (№№ 1816—
1819):
1816. fix, у) = А х 2 + 2В х у + Су2.
1817. г =
1820. Найти Д- (-1 , где
дх г)
г = Jx2+ у2+z2.
§ 3- Частные производные
1822. Показать, что х
дх
ч-
ду
181
= 2 , если
2
2
z = 1п (х + х у + у ),
'Ч
Л
1823. Показать, что х ~ 4= ху + г, если
дх
бу
z = ху + хе .
1824. Показать,
что ^ 4- ^
Эх
ду
^ = О, если
дг
и * (ж - УК*/ - * )0 - х).
1825. Показать,
что
Эх
^
ду
^ = 1 , если
дг
и —х +
1826. Найти z = z(x, у), если
dz
Ьу
х
2 , 2
х +у
1827. Найти z — z(x, у), зная, что
^ “ — V. и 2 (хт г/) - sin у при х - 1 .
Эх
х
1828. Через точку М( 1; 2; 6) поверхности z = 2х + у проведены
плоскости, параллельные координатным плоскостям XO Z и YOZ.
Определить, какие углы образуют с осями координат касательные
к получившимся сечениям, проведенные в их общей точке М.
1829. Площадь трапеции с основаниями а, Ь и высотой Л равна
S = - { а 4- Ь)Л. Найти ^ ^
^ и, пользуясь чертежом, выяснить
2
Эа db dh
их геометрический смысл.
1830*. Показать, что функция
fix, у) =
2ху если х 2 4-, у2 ^. л
О,
X2 +у 2 ’
О,
если х “ у = О,
имеет частные производные /'" (х, у) и /'У(х, у) в точке (0; 0), хотя и
Разрывна в этой точке. Построить геометрический образ этой функ­
ции вблизи точки (0; 0),
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
182
§ 4. Полный дифференциал функции
1°. П о л н о е п р и р а щ е н и е ф у н к ц и и . Полным приращением
функции z = f(x, у) называется разность
Дг = Дf{x, у) = f(x + Дя, у + Ду) ~ f(x , у),
2°. П о л н ы й д и ф ф е р е н ц и а л ф у н к ц и и . Полным дифферен­
циалом функции г = f(x> у) называется главная часть полного приращения
Дг, линейная относительно приращений аргументов Дг и Д#.
Разность между полным приращением и полным дифференциалом функI
2
2
ции есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с р —*JAx *+ Д</ .
Функция заведомо имеет п о л н ы й дифференциал в случае непрерывности
ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то
она называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых перемен­
ных, по определению, совпадают с их приращениями, т. е. dx = Ах и dy = Др.
Полный дифференциал функции г = f(x, у) вычисляется по формуле
dz = ^ dx + ^ dу.
ох
ау
Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов и = f(x, у , г)
вычисляется по формуле
d u = ^ dr + ^ d z / + ^ d 2 .
ox
oy
dz
П р и м е р 1, Для функции
f(x, у) = x 2 -V xy - у2
найти полное приращение и полный дифференциал.
2
2
Р е ш е н и е . f(x 4- Ах> у 4- Д у) ~ (х 4- Дат) 4- (х 4- Д#){1/ 4 Ду) - (у + Ау) ;
bf(x, У) =
= 2х
&х)(У + Ду) - (У + &yf] ~ (х2 + ху - у 2)
2
* Д * 4- Ах + х * Ау + у • Ах + Ах • Ау - 2у 1 Ау - Ау =
- [(2я 4- у)Ах + (х - 2у)Ау] + (Ах2 4- Ах щАу ~ Ду 2).
[(* +
+ (* +
=
2
Здесь выражение df = (2х 4- у)Ах 4 (х - 2у)Ау есть полный дифференциал "
функции, а (Ах 2 + Ах • Ау - Ау 2 ) есть бесконечно малая высшего порядка ,
по сравнению с бесконечно малой р = J~'Ах2
i + Ау2
П р и м е р 2. Найти полный дифференциал функции
z = *[:х 2 4-, у 2
dz =
x
„ dz
dx
I 2 2 dy
+у
dz -
У
у/л;2 -ft/ 2
x . Hr + - у . н„
/ 2 2
/ 2 2
у X
+у
лlx +у
jcd* 4- ydy
l
2
2
yjC 4- U
183
§ 4. Полный дифференциал функции
3°. П р и м е н е н и е п о л н о г о д и ф ф е р е н ц и а л а ф у н к ц и и к
п р и б л и ж е н н ы м в ы ч и с л е н и я м . При достаточно малых \Ах\ и |Ду|,
а значит, при достаточно малом р = J a P + Ду 2 для дифференцируемой
функции г = /(х, у) имеет место приближенное равенство Az ~ dг или
Az - ^ Ах + ^ Ау.
ох
ду
П р и м е р 3, Высота конуса Н = 30 см, радиус основания R = 10 см. Как
изменится объем конуса, если увеличить Н на 3 мм и уменьшить Л на 1 мм?
1
3
2
Р е ш е н и е . Объем конуса равен V= - uR Н, Изменение объема заменим
приближенно дифференциалом
Д V « d v = i n(2RH AR + Д2 dtf) =
= i п(-2 • 10 • 30 • 0,1 + 100 • 0,3) = -10л = -31,4 (см3).
и
.3,01
П р и м е р 4, Вычислить приближенно 1,02'
Р е ш е н и е , Рассмотрим функцию z —х* * Искомое число можно считать
наращенным значением этой функции при х — 1, с/ = 3, Ах = 0,02, Ау = 0,01,
з
Первоначальное значение функции г - 1 —1,
Az ~ dz = у х v Ах + лЛп хАу = 3 ■1 ■0,02 + 1 *In 1 * 0,01 = 0,06.
3,01
Следовательно, l,0 2 w,wi ~ 1
4-
0,06 = 1,06,
2
1831, Для функции Дх, у) = х у найти полное приращение и пол­
ный дифференциал в точке (1; 2); сравнить ихт если:
а) Ах = 1, Ау — 2;
б) Ах = 0,1, Ау = 0,2*
1832, Показать, что для функций и и и нескольких (например,
двух) переменных справедливы обычные правила дифференцирова­
ния:
а) d{n + и) = dw -f- du;
б ) d (uv) = vdu 4 - udv;
udbt - udi>
B)d 5 -
v
Найти полные дифференциалы следующих функций:
1837, z ™ у х У
1833. z = х3 4 - у3 - Зхр*
1838. z = \п ( х 2 + у 2).
1834. г — х 2у 3>
1835. г =
2
X +у
2
.
1839, Дх, jO = l n ( l + i J.
1840* z - arctg ^ + arctg - .
х
у
184
Глава VI* ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1841. z = In tg ^ .
х
1842. Найти df(l; 1),
Z
если Дх, у) =
1843* и = хуг.
1846. и = arctg Щ *
У
1844* и = J x 2 + у 2 + z 2*
1847. Найти d/(3; 4; 5),
если Дх, г/, г) —
г
1848* Одна сторона прямоугольника а = 10 см, а другая 6 = 24 см* |
Как изменится диагональ I прямоугольника, если сторону а удли­
нить на 4 мм, а сторону 6 укоротить на 1 мм? Найти приближенную
величину изменения и сравнить с точной*
1849* Закрытый ящик, имеющий наружные размеры 10 см, 8 см i
и 6 см, сделан из фанеры толщиной 2 мм* Определить приближенно j
объем затраченного на ящик материала.
!
1850** Центральный угол кругового сектора, равный 80°, желают |
уменьшить на 1°. На сколько надо удлинить радиус сектора, чтобы
площадь его осталась без изменения, если первоначальная длина ра­
диуса равна 20 см?
1851. Вычислить приближенно:
!
в) sin 32° • cos 59°
(при переводе градусов в радианы и при вычислении sin 60° брать
три значащие цифры; последний знак округлить),
1852. Показать, что относительная ошибка произведения приближенно равна сумме относительных ошибок сомножителей*
1853. При измерении на местности треугольника АВС получены
следующие данные: сторона а = 100 м ± 2 м, сторона 6 = 200 м ±
± 3 м, угол С = 60° ± 1°* С какой степенью точности может быть вы­
числена сторона с?
1854. Период Т колебания маятника вычисляется по формуле
где I — длина маятника, g — ускорение свободного падения* Найти
погрешность в определении Т , получаемую в результате небольших
ошибок А1 = а и Ag = Р при измерении I и g.
1855. Расстояние между точками P0(xQ, yQ) и Р(х, у) равно р, а
угол, образованный вектором Р0Р с осью О Х , равен а* На сколько
изменится угол а, если точка Р, при неизменной точке Р0, займет
положение Р^х + dx, у + dt/)?
|
|
\
i
I
§ 5. Дифференцирование сложных, функций
185
§ 5. Дифференцирование сложных функций
1°, Слу ча й о д но й н е з а в и с и м о й п е р е ме н н о й . Если г = f{x, у)
есть дифференцируемая функция аргументов х и у, которые в свою очередь
являются дифференцируемыми функциями независимой переменной £:
х = ф(0> У = ф(*)>
то производная сложной функции г = /[ф{£)> \|/(£)] может быть вычислена
по формуле
dz _ 3zd;c
di
3xd£
dzdy
dydt
( 1)
В частности, если t совпадает с одним из аргументов, например х , то ^пол­
ная ^ производная функции z но х будет
dz = dz ^dzdy
( 2)
dx
dx dydx
П р и м е р 1. Найти dz
— , если
dt
z^ = e3jt r 2у, где x = cos ±£, у = (2t ,
Р е ш е н и е . По формуле (1) имеем
2°. Слу ча й н е с к о л ь к и х н е з а в и с и м ы х п е р е м е н н ых . Если
г есть сложная функция нескольких независимых переменных, например
z=
у)> где х = ф(&> и), у = ф(п, и) (и и v — независимые переменные; Д
Ф, 1(/— дифференцируемые функции), то частные производные г по и и и
выражаются так:
( 3)
к
3z
dv
_
дг дх
3*3с>
+
dzdy
3 i/3 u '
(4)
186
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Во всех рассмотренных случаях справедлива формула
dz =
Ох
dx + ^ dy
оу
(свойство инвариантности полного дифференциала),
П р и м е р 3. Найти ^ и ^ , если
ди
до
z = f(x, у), где х = ио, у = ~ .
v
Р е ш е н и е , Применяя формулы (3) и (4), получим
^ = f'y (*, y)v + f' (x, у) ~
ди
»
v
и
£д - П ( * . у ) и - г ^ , « ) ± .
V
2 2
П р и м е р 4, Показать, что функция г = ф(х + у ) удовлетворяет уравдг
г
л
нению и—
- х Ъ—
—0.
*дх
ду
Р е ш е н и е . Функция ф зависит от х и у через промежуточный аргумент
X2 + у 2 - t, поэтому
р.
дх = dtax
^
+ у2)2х
= ф^
+ /) 2 ,.
и
£
оу
а toy
Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь
у ^г
+■ у 2)2 у
ду у ф ' ^ 2 + у 2)2х ~
= 2хуц>'(х2 + у2) - 2ху<р'{х2 + у2) = О,
т. е. функция г удовлетворяет данному уравнению.
дх
~ х 1г =
=
1856. Найти ^ , если
dt
z = - у где х = е , у = hi t.
У
1857. Найти — t если
dt
и — In sin -* , где х = 312, у = J t 2 + 1 ,
Jy
1858. Найти ^ , если
dt
2
и = x y z , где х — t + 1, у = In £, z = tg t.
§ 5- Дифференцирование сложных функций
1859. Найти ~ , если
dt
и—
, где х = R cos t, у = R sin
z = Н.
J x 2+У
1860, Найти dz
— , если
а*
z = и , где и = sm х, и = cos х .
1861. Найти $£ и Ё£, если
оде
dx
z = arctg ^ и у = х 2.
х
1862. Найти ~ и ~ , если
ox
dx
2 = хУ, где у = ф(х).
1863, Найти ^ и ^ , если
ох
оу
z = f(ut о), где и = х 2 - у2, и = е *У
1864. Найти ^ и ^ , если
ди
ди
z = arctg - ,
У
где х = и sin и, у = ucos и.
1865. Найти ^ и
, если
ох
оу
z = f(u)t где и = ху + У- *
X
1866* Показать, что если
а ,
г ,
2
V
и = Ф(х + у + г ),
где х = R cos ср cos ф, у = Л cos cpsin V|/3 z = i? sin ф, то
^ = 0 и ^ = 0.
оф
Эф
1867. Найти — , если
dx
и = f(x, у , z)> где у = ф(х), z - \|/(х, е/).
187
188
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1868. Показать, что если
г = f(x + ayК
где f — дифференцируемая функция, то
±
ъ = а±
ь ,
ду
дх
1869. Показать, что функция
to - f{u> v),
где и = х + at, и = у + btt удовлетворяет уравнению
дги
дw , udw
7 i ~ a 31 + V
1870. Показать, что функция
г = уц)(х2 - у2)
удовлетворяет уравнению
ldz _j_ 1. Э£ =
хдх
уду
у2
1871. Показать, что функция
z = ху 4- £tpf £
удовлетворяет уравнению
1872. Показать, что функция
\
еу(р
удовлетворяет уравнению
(*2 - s 2) g +
^
1873. Сторона прямоугольника х — 20 м возрастает со скоростью
5 м/с, другая сторона I/ = 30 м убывает со скоростью 4 м/с. С какой
скоростью изменяются периметр и площадь прямоугольника?
1874. Уравнения движения материальной точки
X = *t , у - t+2 , Z = t+3 .
С какой скоростью возрастает расстояние этой точки от начала ко­
ординат?
1875. Два теплохода, вышедшие одновременно из пункта А, дви­
жутся один на север, другой на северо-восток. Скорости движения
теплоходов; 20 км/ч и 40 км/ч, С какой скоростью возрастает рас­
стояние между ними?
§ 6* Производная в данном направлении и градиент функции
189
§ 6. Производная в данном направлении
и градиент функции
1°. П р о и з в о д н а я ф у н к ц и и в д а н н о м н а п р а в л е н и и . Производной функции z = f(x, у) в данном направлении 1 = Р Р 1 называется
дг
31
lim
о
>
р,р
где f(P) и /(Pj) — значения функции в точках Р и Р г Если функция г диф­
ференцируема, то справедлива формула
Ъг dz
, dz .
-вг; = г- cos a -f
sin а,
о1
ох
оу
/1Л
(1)
где а — угол, образованный вектором 1 с осью ОХ
(рис. 67),
Аналогично определяется производная в данном направлении / для функция трех аргументов и —f(x, уЛг).
В этом случае
du
du
„ . du
о , Зи
= тг—cos а + — cos р + — cos у,
Ы
ох
ду
дг
П
p i(xr*yi)
Р(х;у)
X
О
Рис. 67.
(2)
где а, р, у — углы между направлением I и соответствующими координат­
ными осями. Производная в данном направлении характеризует скорость
изменения функции в этом направлении,
о
2
2
П р и м е р 1. Найти производную функции z = 2х - Zy в точке Р(1; 0)
в направлении, составляющем с осью ОХ угол 120°.
Р е ш е н и е . Найдем частные производные данной функции и их зна­
чения в точке Р:
дг
“ 4;
дх. р
dz
= 0,
6у;
ду
Здесь
1
2*
cos а = cos 120°
sin а = sin 120°
Применяя формулу (1), получим
dz = 4
Ы
1
+ 0 ■^
2
-
2.
Знак минус показывает, что функция в данной точке и в данном направле­
нии убывает.
190
Глава VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2°* Г р а д и е н т ф у н к ц и и * Градиентом, функции г = f{x, у) называ­
ется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответ­
ствующие частные производные данной функции:
grad z = ~ i -l- ^ j.
дх
оу
(3)
Производная данной функции в направлении I связана с градиентом функ­
ции следующей формулой:
дг
л
gj = ПРi grad
т, е* производная в данном направлении равна проекции градиента функции
на направление дифференцирования*
Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответст­
вующей линии уровня функции* Направление градиента функции в данной
точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой
точке, т* е* при I = grad z производная
dz принимает наибольшее значение,
dl
равное
дг\2
Аналогично определяется градиент функции трех переменных и ~ f(x, у , z):
л
ди . , ди ; , ди ,,
(4)
‘ , Ы и ~1Гх1 + Ту>+ Г г к -
Градиент функции трех переменных в каждой точке направлен по нормали
к поверхности уровня, проходящей через эту точку*
П р и м е р 2, Найти и построить градиент функции z - х у в точке Р( 1; 1)*
Р е ш е н и е , Вычислим частные производные и их
значения в точке Р:
дг
" 2ху\
дх
= 2;
dz
= 1,
ду
Следовательно, grad z — 2i + j (рис* 68)*
2
2
1876* Найти производную функции г = х - ху - 2у в точке Р(1; 2)
в направлении, составляющем с осью О Х угол 60°*
3
2
2
1877. Найти производную функции z = х - 2х у -f ху + 1 в точке
М(1; 2) в направлении от этой точки к точке N(4; 6)*
I 2
2
1878* Найти производную функции z = In *]х + у в точке Р(1; 1)
в направлении биссектрисы первого координатного угла*
§ 6* Производная в данном направлении и градиент функции
191
2
1879. Найти производную функции и — х - 3уг + 5 в точке
М( 1; 2; -1 ) в направлении, составляющем одинаковые углы со всеми
координатными осями,
1880. Найти производную функции и *= ху + yz + г х в точке
М(2; 1; 3) в направлении, идущем от этой точки к точке N(5; 5; 15),
1881. Найти производную функции и = In (е* 4 - еу + е* ) в начале
координат в направлении, образующем с осями координат ОХ, ОУ,
OZ углы, соответственно, а, р, у.
1882. Точка, в которой производная функции в любом направле­
нии равна нулю, называется стационарной точкой этой функции.
Найти стационарные точки следующих функций:
а) г = х + ху + у - 4х - 2у;
б) г - х3 + / - 3ху;
в) и = 2у2 + г 2 - х у - уг + 2х.
г
1883. Показать, что производная функции z — V~ , взятая в любой
*
2
2
2
точке эллипса 2х + у = С вдоль нормали к эллипсу, равна нулю.
1884. Найти grad г в точке (2; 1), если
з ,з
о
2 = х + у - 3ху.
1885. Найти grad г в точке (5; 3), если
1886. Найти grad и в точке (1; 2; 3), если и = х у г .
1887. Найти модуль и направление grad и в точке (2; -2 ; 1), если
2 - 2 .2
и =X + у + 2 .
1888. Найти угол между градиентами функции z = In ^ в точках
х
1 ).
1889. Найти угол наклона наибольшего подъема поверхности
z = х + 4у
в точке (2; 1; 8).
1890. Построить векторное поле градиента следующих функций:
а) z - х + у;
в) г = х2 + у2;
б) z = х у ;
г) и =
1 2
л/ X
1 ..... - т ,
+ If
2
+Z
2
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
192
§ 7* Производные и дифференциалы высших порядков
1°, Ч а с т н ы е п р о и з в о д н ы е в ы с ш и х п о р я д к о в . Частны­
ми производными 2-го порядка функции г “ Дг, у) называются частные
производные от ее частных производных 1-го порядка.
Для производных 2-го порядка употребляются обозначения
Э ( дг
дх V0X
t±
дх2
XX
(х* у);
2 .2
U
Z __ г// (х, у)
дхду
ху
1 (§*
Ъу 1.0х
И Т . Д.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка }■
выше 2-го.
Если частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то
результат многократного дифференцирования не зависит от порядка
дифференцирования.
П р и м е р 1, Найти частные производные 2-го порядка от функции
z - arctg х- ,
У
Р е ш е н и е . Найдем сначала частные производные 1-го порядка:
1
dz
дх
. 1
У
2
2*
У
X
+1/
i я*
У
__ X
dz _
1 (
2 2
ъ \ 2
ду
х
1 х v УJ
1+^
х)
У
Теперь дифференцируем вторично:
^2
д 2
дх'
^2
0Z
У
дх
, 2
х +у
ду2
О,2Z
Элгй(/
2
_ _
2ху
, 2 ( 2ча*
(X +у )
2ху
, 2 , 2,2 ’
дУ ^ х2+у
(X + у )
, , 2 2, „
2 2
0 { у ) _ 1 ( х +у ) - 2 у у = X - у
, 2 , 2,2
, 2 , 2,2
Эу ' X3+у 2
(X + у )
(*+{/)
Заметим, что так называемую «смешанную* частную производную моЖ’
но найти и иначе, а именно:
дхду
дудх
дх I д2+ у
§ 7* Производные и дифференциалы высших порядков
193
2°. Д и ф ф е р е н ц и а л ы в ы с ш и х п о р я д к о в . Дифференциалом
2-го порядка функции г = f(x, у) называется дифференциал от дифферен­
циала (1-го порядка) этой функции
d2z “ d(dz).
Аналогично определяются дифференциалы функции г порядка выше
2-го, например
d3z = d(d2z)
и, вообще,
dnz = d(dn гг).
Если z = f(xt у), где х и у — независимые переменные и функция / имеет
непрерывные частные производные 2-го порядка, то дифференциал 2-го по­
рядка функции 2 вычисляется по формуле
d2z =
Эх2
<lxZ + 2 .Э Л
2 dx dy 4- ^-4 dy2.
(1 )
Вообще, при наличии соответствующих производных справедлива сим­
волическая формула
i"‘ -{dxh +dyf J 1'
которая формально развертывается по биномиальному закону.
Если z = f(xf у), где аргументы х и у суть функции одного или нескольких
независимых переменных, то
2
2
2
п2
Э
Z Л 2 . 0 д Z ,
,
, Э2 1 2 . dz
Эг
/(чч
d г = — dx + 2^— dx d y + ^ - d y + — d ,2x + . —
d ,2у.
(2)
дх
дхдУ
ду
дх
ЪУ
2
2
Если х и у — независимые переменные, то d д: = О, d у = 0 и формула (2)
становится тождественной формуле (1).
Пр и ме р 2. Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
= 2х2 - 3ху - у2.
Р е ш е н и е , 1-й с п о с о б . Имеем
2
^ - 4х - Зу, ^ = -3.V - 2у.
од:
ду
Поэтому
dz = ~ dx + ^ dy = (4х - Зу) dx - (Зх + 2у) dy,
дх
ду
Далее,
-ч2
^4
= 4,
Зд:'
A i . = -з, А ? = -2,
Эхду
3if-
откуда следует
.2
dZz =
dx2 1 2 d ^ dx dp +
дх*
‘
Задачи и укряжження
дхду
^ 2
Ъу
dy2 ~ 4dx2 - 6dx dy - 2dу
194
Глава VI* ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2-й с п о с о б . Дифференцированием находим
dz = 4# dx - 3(у dx + xdy) - 2ydу == (4х - Зу) dx - (Зх + 2y)dy,
Дифференцируя еще раз и помня, что dx и dy не зависят от х и у, получим
d2z = (4dx - 3dy) dx - (3dx 4- 2dy) dy = 4dx2 - 6dx dy - 2dy2,
1891, Найти t l ,
, t l , если
dx2 « d y
dy2
z = c
2
2
2
1892. Найти 3 4 * -d z . §_f
если
2
’
dx2 ’ ЭлгЭУ ’ Эу:
2 = In (х + у).
1893* Найти 3 z , если
ЗхЭу
= J lx y + /■
-%
22
3
1894. Найти
' , если
охоу
z = arctg х +-^ ,
1 -х у
1895. Найти —~ , если
Эх2
/2
2~“ 2
Г = *}X + у +2 .
1896, Найти все частные производные 2-го порядка функции
и = ху + уг + гх.
1897. Найти
ЭхЭуЭг
1898. Найти
3x3yJ
, если
«Ру
и =х у г .
, если
z = sin (ху),
1899. Найти f " x (0, 0), f'x'y (0, 0),
(0, 0), если
/(х, у ) - ( 1 + х)т(1 + у )"•
1900. Показать, что
2
2
охоу
оуох
z — arcsm
, если
х-у
§ 7. Производные и дифференциалы высших порядков
-»2
2 .2
d
z
1901. Показать, что
a z
d x d z/
, если
дудх
у
2 = X\
1902*- Показать, что для функции
f(x, у) = х у х 2~ у2
х +у
о добавочным условием ДО, 0) *= 0 имеем
/;„< о, о) = - I , с » , о) = + i
2
2
2
1903. Найти Ъ
— л, J L l > Ъ
- Л , если
Эх2 ’ дхдУ ' ду2
Z =
f{u , и ),
2
2
где и = х + у , и = х у *
1904- Найти —^ , если
Э*2
и = f( x, у , г), где
1905. Найти
д~\2г
Эх2 ’
z =
f(u
■ч2
= ф(я, у).
2
".2
0 2 о г , если
дхдУ ’ Эу‘
, и), где и = ф(х, у),
l>
= ф{х, у).
1906, Показать, что функция
и
— a rc tg ^
х
удовлетворяет уравнению Лапласа
2,2
^2
в U | 0 U
-------- 9
+
дх2
---------9
_
п
~
U <
Ъу
1907. Показать, что функция
и = In - ,
г
где г -
# - а) 2 + (у - Ь) 2 , удовлетворяет уравнению Лапласа
а^ и _|_ оз2и- =
Эх'
q
195
196
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1908- Показать, что функция
и(х, t) = A sin (aAt + ф) sin Ах
удовлетворяет уравнению колебаний струны
Э2и _
Т
2 д 2и
^
dt2
э*
2
*
1909. Показать, что функция
[X-xQ}2т{у- Уъ)2+(Z-Zyf
4
и(х, у , 2 , t) =
a 2t
(2ajnt)
(xQS у z Qi a — постоянные) удовлетворяет уравнению теплопровод­
ности
ди
2 ( д 2и
_
^
U * 2
а
д 2и
Э 2o '
ЭИ
3 z 2/
1910. Показать, что функция
и = ф(х - at) + ip(x + at),
где (р и ф — произвольные дважды дифференцируемые функции,
удовлетворяет уравнению колебаний струны
д2и
=
а гд ги
dtz
дх2 '
1911. Показать, что функция
z=*n £ i
У
+ ¥ 1х
удовлетворяет уравнению
х 2? 4 + 2 х у ^ - + у ^
дх*
~ дхЭУ
1912. Показать, что функция
и = ф(агу) + , f x y y (£
удовлетворяет уравнению
х
и
дх2
_2'д2и
« О*
У
ду2
= О,
§ 7. Производные и дифференциалы высших порядков
197
1913. Показать, что функция z = f[x + (р(у)] удовлетворяет урав­
нению
dz д2z __ дг д2г
дхдхду
д у $х 2
1914* Найти и = и{ху у), если
± J L = 0.
дхду
1915* Определить вид функции и = и(х, у), удовлетворяющей
уравнению
Зх2
= о.
1916. Найти dгг, если
2
1917* Найти d иу если
и - xyz*
2
1918. Найти d z, если
а = ф(1), где t = х 2 + у 2.
1919* Найти dz и d 2 , если
= и°, где и = - t и = х у .
У
2
1920* Найти d22 , если
z “ /(и, о), где I/ = а х , и = /нл
2
1921* Найти d 2 , если
z = f(u, и), где u = xev, и = уех.
1922. Найти d3z, если
z = ех cos у*
1923. Найти дифференциал 3-го порядка функции
z = х cos у + у sin х ,
определить все частные производные 3-го порядка.
1924. Найти df(l, 2) и d2/( l , 2), если
2
2
f(x> у) = х л- ху + у - 4 In X “ 10 In Е/.
1925. Найти d2/(0, 0, 0), если
f(x, у , z) — х2 + 2i/2 + 3z2 - 2xi/ -f 4xz + 2z/z.
198
Глава VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 8. Интегрирование полных дифференциалов
1 °. У с л о в и е п о л н о г о д и ф ф е р е н ц и а л а . Д л я т о г о ч т о б ы в ы ­
р а ж е н и е Р (х , у) d x 4 Q (x , у ) d у, гд е ф у н к ц и и Р ( х , у ) и Q ( x , у ) н е п р е р ы в н ы
в о д н о с в я з н о й о б л а с т и D в м е с т е с о с в о и м и ч а с т н ы м и п р о и з в о д н ы м и 1-го п о ­
р я д к а , п р е д ста вл ял о собой в о б л а сти D п о л н ы й д и ф ф ер ен ц и ал н еко то р о й
ф у н к ц и и и ( х , у)^ н е о б х о д и м о и д о с т а т о ч н о в ы п о л н е н и е у с л о в и я
dQ ^ дР
дх
П р и м е р
ду
1, У б е д и т ь с я в то м , ч т о в ы р а ж е н и е
4-
(2х
4
у) dx
4
(х
2у)
dу
есть п о лн ы й д иф ф еренциал некоторой ф ун кц и и , и н айти эту ф ун кц и ю .
П о условию ,
=
2х
4
y t
след овательно,
|(2ж + у) d x - х 1 + х у + Ф(0-
(2 х 4
2 °. С л у ч а й
dx 4
у)
т р е х
Р(х, у
(х
4
2у)
dу
= d{x2
п е р е м е н н ы х .
,
г) d x
4 Q (x ,
у
,
z)
4
ху
4
у2
4 С ).
А налогично, вы раж ен и е
dу +
R (x , у, z)
dz,
гд е £ (х , у , z ), (? (х , у У z ), Я (х , у у г ) — н е п р е р ы в н ы е , в м е с т е с о с в о и м и ч а ­
с т н ы м и п р о и з в о д н ы м и 1 - го п о р я д к а , ф у н к ц и и п е р е м е н н ы х х , у и z , т о г д а
и то л ько тогд а п р ед ставл яет собой п о л н ы й д и ф ф ер ен ц и ал н еко то р о й ф у н к ­
ц и и ц (х , у , г) в п р о с т р а н с т в е н н о о д н о с в я з н о й о б л а с т и D , к о г д а в D в ы п о л ­
нены условия
dQ =дР
Эх
ду
П р и м е р
dR ^ dQ
ду
dz
ЭЯ = ЭД
дг
дх
2. У б е д и т ь с я в то м , ч т о в ы р а ж е н и е
(З х 2 4
Зу
- 1) d x 4 (z 2 4 3 z ) d у 4
{2yz
4 1) dz
есть п о л н ы й д иф ф еренц иал некоторой ф ун кц и и , и н ай ти эту ф ун кц и ю .
199
§ 8. И н т егр и р о в ан и е п о л н ы х д и ф ф ер ен ц и ал о в
Р е ш е н и е . Здесь Р =* Зх2 + Зу - 1, Q - г + Зх, R = 2yz + 1. Устанав­
ливаем, что
5Q ЭР _ п дЯ _ dQ _ л
ЭР _ ЭР _ ^
to
' 5?
Э?
дг
дх
н, следовательно,
(Зх2 + Зу - 1) dx -h (z2 + Зя) dy н- (2yz 4* 1) dz =
= — dx + ^ dy + — dz,
дх
dy
dz
где и — искомал функция.
Имеем
^ = 3*® + Зу - 1,
дх
значит,
ll = | (3jc2 4- 3# - 1) dx = д:3 -f Здч/ ~ х + ф{ЕЛ 2 ).
С другой стороны,
^ - Зх + *£ = г2 + Зх,
ду
ду
dz
= Л
д = 2уг + 1.
Эг
откуда ^ = z2 и
^ 2*/z + 1. Задача сводится к отысканию функции двух
ду
дг
переменных <р(у, г), частные производные которой известны и выполнено
условие полного дифференциала.
Находим <р:
Ф( У ,
г)
= |
г2
dy = у2 2 + \(/{z),
^ = 2уг + V'(z) = 2i/2 + 1,
dz
\p'(z) =
t
. e . <p(i/,
2
) =
yz
1, ф (г ) -
z
+ C,
+ z H- С . О к о н ч а т е л ь н о п о л у ч и м
ц =
+
Zxy
-
x
+
yz2
4-
z
+ C.
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными
дифференциалами некоторых функций, найти эти функции.
1926. у dx + х dy.
1929.
X +у
dx -
1927. (cos х + Зх2у) dx + (х3 - у2) dy. 1930. i dx - 4
у
У
1928. (* + 2У)д* + У<»у
1931. __ х
dx+
( * + у)2
J 7 7 ?
^ ^ 4
х+у
аУ-
-J L .. dy.
V 7V
200
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1932. Определить постоянные а и b так, чтобы выражение
( а д : 2 4- 2 х у + y 2) d x - ( х 2 + 2 х у 4- Ь у 2)<\у
(х
+ j/ )
было полным дифференциалом некоторой функции в, и найти по­
следнюю.
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными
дифференциалами некоторых функций, найти эти функции.
1933. (2х + у + z ) d x + (х + 2у + z ) d y + (х + у + 2z) d z .
1934. (Зх2 + 2у2 + Зг) dx -f (4ху + 2у - г) dy + (Зх - у - 2) dz.
1935. (2xyz - Зу2г + 8ху2 + 2) dx + (х2г - 6xyz + 8х 2у + 1) dy +
+ (х2у - Зху2 + 3) dz.
1936, f ± - 4 dx +
- У3 l d» + { l - 5
У
xdx + ydy + zdz
j 2
л/Х
+1/
2
+ Z
dz.
2
1938*. Даны проекции силы на оси координат:
У
X =
Y = Хх
(х + уУ
(Х + У )'
где X — постоянная величина. Каков должен быть коэффициент X,
чтобы сила имела потенциал?
1939.
Какому условию должна удовлетворять функция Дх, J/),
чтобы выражение
f(x, у) (dx + dy)
было полным дифференциалом?
1940. Найти функцию и, если
du —f(xy)(ydx + xdy).
§ 9. Дифференцирование неявных функций
1°. С л у ч а й о д н о й н е з а в и с и м о й п е р е м е н н о й . Если урав­
нение f ( x , у ) = 0, где f ( x t у ) — дифференцируемая функция переменных х
и у , определяет у как функцию от х , то производная этой неявно заданной
функции при условии, что /' (х, у ) Ф 0, может быть найдена по формуле
dy
dx
_
f'x ( x >y )
m
fy (x,y)-
{L)
Производные высших порядков находятся последовательным дифференци­
рованием формулы (1).
201
§ 9, Дифференцирование неявных функций
d^ и —
d
П р и м е р 1* Найти —
dx
если
dx
+ у 2)* - 3 ( х 2 f у 2) + 1 - 0 .
Р е ш е н и е , Обозначая левую часть данного уравнения через
найдем частные производные
(х2
(х, у) -
3 ( х 2 + у 2) 2 * 2 х - 3 ' 2 х
f{x> у ) ,
= 6 х [ ( * 2 + у 2)2 - 1],
Г {х, у) = 3(х2 + у2)2 - 2 у - 3 - 2 у = 6у[(*2 + у2)2 - 1].
7f
Отсюда, применяя формулу (1), получим
dу
= _ f x\x * y )
= Ь х \ ( х 2 + у 2) 2 - 1 1 = _ х
fyi^y)
6 t / l (jca 4- i / 2>2 _ l ]
^
Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную пер­
вую производную, учитывая при этом, что у есть функция х:
( А
dx ^ V'
d j / = _d_
dx2
1и -
У
у2
=
*
2
У +*
da:
2
3
У
2°. С л у ч а й н е с к о л ь к и х н е з а в и с и м ы х п е р е м е н н ы х .
Аналогично, если уравнение F(x, у, г) = 0, где F(xt у , г) — дифференцируе­
мая функция переменных х, у и в, определяет 2 как функцию независимых
переменных х к у и Е'г (х, у , 2) * 0, то частные производные этой неявно
заданной функции могут быть найдены по формулам
дг
дх
=
_ К
(*■
У* г )
dz
Р г {х9у , г ) 7 ду
=
_ К
(*>
{2 )
У> * )
F '(jc ,i/f 2 ) ‘
Другой способ нахождения производных функции г следующий: дифферен­
цируя уравнение F{x^ у , з) = 0, получим
3F dz = 0.
SF dx + 0F
dy +
дг
Эх
ду
dz и 02
Отсюда можно определить d2, а следовательно
’ дх
ду'
П р и м е р 2. Найти ^ и
если
дх
ду
х 2 - 2у2 + З22 - yz + у = 0.
Р е ш е н и е * 1-й с п о с о б . Обозначая левую часть данного уравнения
через F(x, у , г), найдем частные производные:
f ; (*, у, г) = 2х, F'y {х, у, г) = ~4у - г + 1, Р'г (х, у, г) = 6г - у.
Применив формулы (2), получим
дг
дх
F'x (х,у, 2 ) _
2х . 02 _ _$у (*>У. г ) в
F'z {х,у, z)
6 z - y ' ду
F'z (х, у, 2 )
l-^y-z
6г--у
202
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2-й с п о с о б . Дифференцируя данное уравнение, получаем
2х dx - 4у dy + 6z dz - у dz - z dy -I- dt/ = 0,
Отсюда определяем dz, т. e. полный дифференциал неявной функции:
dz ^ 2xdx + { l - 4 y - z ) d y
у-бг
Сравнивая с формулой dz = dz
тД dx + 3^ dy, видим, что
дх
ди
dz_ = 2х
dz = 1 - 4 y - z
Эх y - f t z ' d y
у - 6z
3°. С и с т е м а н е я в н ы х ф у н к ц и й . Если система двух уравнений
F(xt у, и, и) = О,
0{х, у, u, v) = О
определяет пип как дифференцируемые функции переменных х и у и якобиан
О)
D(u, о)
3F
ди
до
ди
Э£
ди
до
ди
*0,
то дифференциалы этих функций (а следовательно, и их частные производ­
ные) могут быть найдены из системы уравнений
Э*\
_ d x + _ d p +dFA
— du +ЭР,
—do = л0,
dx
dy
au
do
3G.dx + ^~dy +dGA
— du +dGA
-=r-dv = 0,
dx
d;/
du
du
(3)
П р и м е р 3. Уравнения
u + v = x + yJ x u 'Y y v = l
определяют и к и как функции от х к у; найти ^ ^ ^ и ™ .
дх ду дх ду
Р е ше н и е . 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения по х, получим
Эи , Эи = ^
Эх Э£ “ ’
и +x f
dx
dx
=0,
отсюда
Эи = _ и + t; Эи = и 4-Х
Эх
х - р * Эх
х - I/
Аналогичным образом найдем
Эи
и+ и Эо
v+
203
§ 9. Дифференцирование неявных функций
2-й с п о с о б . Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е м н а х о д и м д в а у р а в н е н и я , с в я з ы в а ю ­
щ ие д и ф ф ер ен ц и алы всех че ты р е х п ер ем ен н ы х :
du + du = dx + dy,
xdu + udx + t/du + vdy = 0.
Ре ш и в эту си стем у относительно диф ф еренциалов du и do, п о лучи м :
d __ ( u + y)dx + ( v
x-y
О тсю д а
+
y)dy
dy = ( u + x ) d x + ( u + x ) d y
'
х-У
Эи = _ u + у Эи _ _ и + £/
Эх
х - у
* ду
Эи _ ц + х
Эх
х —у
х - у*
Эи _
* ду
v-\-y
х - у
4 й* П а р а м е т р и ч е с к о е з а д а н и е ф у н к ц и и * Е с л и д и ф ф е р е н ц и ­
р уем а я ф у н к ц и я г от п ер ем ен н ы х х н у зад ан а п ар ам етр и чески ур а вн е н и ям и
х = х{и, и), у = у(и, и),
z
= z(u, и)
и
дх
дх
Р(хуу)
ди
dv
D (u , v)
ду
ду
ФО,
ЭП ЭЭ
то д и ф ф е р е н ц и а л это й ф у н к ц и и м о ж е т б ы т ь н ай д ен и з с и с т е м ы у р а в н е н и й
d x = ^ d u + ^ d t> .
ди
dy =
d
z
З н а я д и ф ф е р е н ц и а л d z = p d x 4-
dv
(4 )
^ d u + ^ d u ,
du
dv
= ^ d u + |^ d u ,
du
pdy,
dv
dz
н аход им частн ы е производ ны е —
=
p
ду
П р и м е р
z
аргум ентов
у
=
4* Ф у н к ц и я
х
=
и
4-
V,
и
4- и 2 ,
х
и у
зад ан а у р а в н е н и я м и
z = и 3 4- о 3 ( и * у ) .
Н а й ти — и |^ *
Эх
Эг/
Р е ш е н и е . 1-й с п о с о б . Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е м н а х о д и м т р и у р а в н е ­
н и я, связы ваю щ и е д иф ф еренц иалы всех п яти п ерем енны х:
[ dx = du 4 du,
J
d y = 2u du
+ 2u du,
d z = 3 u 2 d u + 3 u 2 du*
204
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Из первых двух уравнений определим du и du:
du _ ^ d x - d y di) _ лл 2 2и&х _
2(u-u)
2(u-u)
Подставим в третье уравнение найденные выражения du и du:
_ ^ a 2 u d x - dt/ + g^2di/ “ 2udx _ 6uv(u - u)dx + 3(и 2 - и 2 )dу
2 (v —u)
2 (и - и)
2 ( v -u )
—-3uu
dx
+
- ( u + u)
dy.
Отсюда
dz
п
i
—
= -3uu,
~d z = -3 (и
+| v).ч
ox
ay
2
2-й с п о с о б . Из третьего заданного уравнения можно найти:
dz
0 2 ди
dz
Эи . г, 2 dl>
= Зи
— +, оЗи2 d v ; ^
— = оЗи2 ^
— + Зи т—.
ох
дх
ах ду
ду
ду
Продифференцируем первые два уравнения сначала по х, затем по у:
- Э и Эи
~dx + t e ’
0 = 2ы ~ + 2 ^ ,
Эх
Эх
1 _ Эи Эи
О= 2и— + 2 V— ,
ду
ду
Из первой системы найдем
Эи
v
Эи
Эх
и - и * Эх
Из второй системы найдем
Эи
1
Эи
ду 2 ( u - v ) ' ду
и
и- и
2 (и-и)
(5)
§ 9. Дифференцирование неявных функций
205
1942. Пусть у есть функция > определяемая уравнением
х2 + у2 +
Показать, что
,2
2аху = 0 (а > 1)н
= 0, и объяснить полученный результат.
dx
1943. Найти ^ , если у = 1 + у*.
ах
1944. Найти ^ и
, если у = х + In у.
dx
dx2
( ,2 Л
если
1945. Найти ^
и dу
d x x =1
dx'
д 2 - 2 х у + у 2 + х + у - 2 = 0.
Пользуясь полученными результатами, приближенно изобразить
график данной кривой в окрестности точки х — I*
1946. Функция у определяется уравнением
In J x 2 + и2 = a arctg ^ (а Ф 0).
X
Найти — и
.
dx2
1947, Найти ^ и ^-4 , если
dx
' = 0,
1 + х у - In (ёху 4- е -*У
Ау)
1948. Функция г переменных х и у задана уравнением
х3 + 2 у 3 + г - 3 х у г - 2 у + 3 = 0.
«
Э
z „и дг
№ ити
—
—.
ах
ду
1949. Найти ^ и ~ , если
дх
ду
X cos у + у
COS
2 + Z
COS
X =
1.
1950. Функция z задана уравнением
2
2
х + у —z
Найти
2
- х у = О,
и ^ для системы значений х = —1* у = 0, z = 1.
ду
-,2
2
2
Э
3
Э
2
,
если
*
+
IL
+ 52 = 1
1951. Найти
L?
Эд ’ Эу ’
’ йдЭу ’
а
ох
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
206
1952* Дх, е/, г) = 0* Показать, что
1953.
' д- *
“ -1-
&
г = ф(х, I/), где I/ есть функция х , определяемая уравнением
ф(х, I/) = 0. Найти ^ .
Ц«1
1954. Найти dz и d z, если
2 . 2 . 2
2
X + Е/ + 2 = а ,
1955. Пусть г есть функция переменных х и у, определяемая урав­
нением
2х2 + 2t/2 + г2 - 8xz
+ 8 = 0.
- 2
2
Найти dz и d г для системы значений х = 2, у = 0, г = 1,
1956* Найти dz и d z, если ln z = x + i/ + z - l* Чему равны про­
изводные 1-го и 2~го порядков функции z?
1957. Пусть функция г определяется уравнением
2
2
2
х + у + 2 = ф(ах +
+ cz),
где ф — произвольная дифференцируемая функция, а, й, с — посто­
янные* Показать, что
(су - fez) ^ + {az - сх) ^ = Ьх - at/.
Эх
Эу
1958. Показать, что функция z, определяемая уравнением
i?(x —az, у - bz) = 0,
где F ~ произвольная дифференцируемая функция своих аргумен­
тов, удовлетворяет уравнению
л дг , hdz
“ к + b5
1959. Р\ 5t2] —0, Показать, что
+ у ^dz- = 2 .
z/
ох
ду
1960. Показать, что функция г, определяемая уравнением у
= хф{2 ) + г|/(г), удовлетворяет уравнению
dz\2 _
dzdz д22 + t l
2
\ду)
дхдудхду
(<tY = О*
^у2 \дх)
1961. Функции у и z независимой переменной х заданы системой
уравнении
2
,
2
х + у -
2
2
п
2
0
2
0
2
*
= 0, х + 2у + 3z = 4 .
dz d2y d2z при x = 1, у = 0, z “ 1*
Найти dy
^
,
dx ’ dx
^ 2 ’ ax
, 2 ’ dx
, 2
§ 10. Замена, переменных
207
1962. Функции у vlz независимой переменной х заданы системой
уравнений
xyz = а, х + у + z — Ь.
2
2
Найти dy, dz, d у, d z.
1963. Функции и и v независимых переменных х и у заданы не­
явно системой уравнений
и = х + у, uv = у.
Вчтги/чтиФг.
ди
Эд: Эе/
д2и д2и д2и dv dv д2v Э2и
дх2 дхЗу
дх ду э* дхду
д2v TiriTjrv = f\
У = !■
1964. Функции и и v независимых переменных х и у заданы не­
явно системой уравнений
и 4- v = х, и —yv = 0.
2
2
Найти du, do, d е/, d v.
1965. Функции и и v переменных х и у заданы неявно системой
уравнений
х = ф(и, о), у - ф(ц, о).
Найти Эц Эц ду dv
д х ’ ду f
* ду
1966. Найти:
а) ^ и ^ , если д: = ц cos u, t/ = и sin о, z = со;
о#
ду
д и Д
д если i ~ u + uJii/ = u ^ u , 2 = цо;
б) —
дх
ду
в) dz, если х = е
,у =е
, 2 = но.
1967. z = F(r, ср), где г и ф — функции переменных х н у , опре­
деляемые системой уравнений
х = г cos ф, i/ = r sin ср.
Найти ^ и ^ .
од:
ду
u
fig
dz
1968. Рассматривая z как функцию х и у, найти — и — , если
од:
о!/
х “ a cos ф cos ф, I/ = й sin ф cos \|/, z = с sin ф.
§ 10. Замена переменных
При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие в
них производные следует выразить через производные по новым перемен­
ным, используя правила дифференцирования сложных функций.
208
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1°,З а м е н а п е р е м е н н ы х в в ы р а ж е н и я х , с о д е р ж а щ и х
обыкновенные производные.
П р и м е р 1. Преобразовать уравнение
х2* 4 4 2 х ^ 4 ^ у = 0,
dx
dx
х
полагая х = - ,
t
Ре ше н и е , Выразим производные от у по х через производные от у по £,
Имеем
dУ
dx
dx
dy
dt
dx
dt
d ( dy'
dtldxv
dx
dt
dx Vdx,
dy
dt = - t ‘
1
dt ’
*2
,2 'N
[ 2*$!
z & U+ (2 M
dt
dt
{- t2) = 2 t * ^ + t * ± 4 . .
dt
dt‘
Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и за­
меняя х через - , получим
#
*С*
ч
.rtf
\ d y +t ^ £ '
I dt
dt2)
+2
' 7
4
, ! afl + «v ‘' - °
ИЛИ
j2 у , 2
d
—f 4- а у = О,
dt2
П р и м е р 2, Преобразовать уравнение
2
^ хй
dx‘
+ fdx
Ё^у - dx
Ё2 = о.
приняв у за аргумент, а х за функцию.
Р е ш е н и е . Выразим производные от у по х через производные от л: по у:
dy № A dx
dx ’
dy
* d 3x ^
4*1
dx2
f 1'
dx dx
(d yj
d
dy
f i " dy _
dx dx
,dyj
d y2
IW J
1
dx
dy
dy
f
§ 10. Замена переменных
Подставив эти выражения производных
dj 2х
209
данное уравнение, будем иметь
б
-
dy2 + — ~
dj:^3
fdx^
d y)
'dy
= 0,
i
dx
dy
или окончательно
&У
П р и м е р
3* П р е о б р а з о в а т ь у р а в н е н и е
d x
_
х ± у
dy
х - у ’
перейдя к п о л яр н ы м коор д инатам
х
Р е ш е н и е .
dx
= г c o s ф , у = г s in ф .
Рассм атривая
г
(1 )
к а к ф у н к ц и ю ф т и з ф о р м у л (1 ) п о л у ч и м
= co s ф d r - r s in ф d ф т
dy =
s in ф
dr
+ гсов ф dф т
отсюда
,
dу
_
d*
dr
.
_
sln ф d r + гcosф dф
5111 ID —— + ГСОБф
=
d ф __________
c o s ф d r - г s in ф d ф
Y
Y т
dr
с о э ф — — r s im p
d($
П о д ставляя в данное уравнение вы р а ж е н и я д ля
х,
у и ^ , будем и м еть
dx
dr
Б Ш ф — + ГС О Вф
dф
COS ф
=
dr
dф
-
ГСОЭф + Г Б Ш ф
гсовф -гэш ф *
-TSUM p
или после упрощении
d r = г.
вф
2°. З а м е н а п е р е м е н н ы х в в ы р а ж е н и я х , с о д е р ж а щ и х
частные производные.
П р и м е р 4. Уравнение колебаний струны
Ц
эг
= а ^
Эх
« ,*
0)
Преобразовать к новым независимым переменным сс и р, где а = х — at,
Р *= х 4- at.
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
210
Р е ш е н и е . Выразим частные производные от и по х и t через частные
производные от и по а и р. Применяя формулы дифференцирования сложной
функции
Эи duda + du dp du duda du
dadt
dt
dP dt '
dadx
dx
dP
получим
du __ du
dt da Ы
)
+
du4^
Чэр" ЭаГ
(du
du
эра
du _ du ■1 + du . = + du
dx da
dp '
da эрДифференцируем вторично, применяя те же формулы:
д2и _ д fdu'b = j5_ ^
dt 2
а
( о^2 и
ЭаЭ(3
Vу
da * d fdu"j ЭР =
da LdtJ dt
,2
\
f -Л
^2 \
о.2 и (-а) + а О U О U
Эа2
чЭр2 ЗаЭр
эЧ/ = Э_
dpldtjdt
а =
= д_ (Э1Л Эа
да LdxJ Эх
Эх \dx
а*'
(
-\2 Л
{^2
о и D
о2 иЛ 1 + а и + о U
Э«ЭР Зр:
da dadp
а
2 ъ^2
2,Л
2fsд*и
д и d_u
Эа2 dadp др2
(й Л Эр =
Эр чЭху Эх
<\2
^ = d и
,
Эа2
-.2
о^ и
+ d и
ЭаЭр
эр2
2ц
Подставив д—^
и d 2 и в данное уравнение, будем иметь
dt
Ъх<ч2
"i2
"\2
2
■2,2
2 d и _ 2 d и , d_u = 2 d_u __ 2 а и
о и
За*
ИЛИ
Э^Эр
Эр2
Эа 2
.г
ЭаЭр
--,2
W
•ч<
•I
•й
эр 2
if-
I
§ 10* Замена переменных
Ре ше н и е * Выразим частные производные
211
ох
и
ду
через частные про-
изводные ^ и ^ * Для этого продифференцируем данные соотношения
ди
до
между старыми и новыми переменными:
du = dx, du = ^ 2 - —2 , du»
х
У
С другой стороны,
dw = ^ du +
ОН
OV
dz
dz
2*
Z
dt).
Поэтому
dw du
ч +t dw
I = —
dx
— du
OU
OV
x2
dz
2
~
ИЛИ
dw .
du
, dw (dx _ dy\ = dx _ dz
dt)
yzJ
x2 ~ z 2 '
Отсюда
dw
du
dz
1 Эи; dx + z 2dw
dy
?
и, следовательно,
dz
dx
z2(
~ \ x2 du x 2^vs
dz = z2dw
dy
y2dv*
Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим
a i f 1 dw 1 ЗиЛ , 2dw
2
+z S, ' г
ИЛИ
^
- о.
ди
1969* Преобразовать уравнение
dx
Полагая х —е*.
+ 2 х ^ - + у = О,
^
212
Глава VI, ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1970, Преобразовать уравнение
_ у Ау
а -
d x
dx
=
О,
полагая х = cos t .
1971, Преобразовать следующие уравнения, приняв за аргумент у:
Г ,2 Л2
w
=
б)
- 3 А У = О,
О,
а) ^ + 2у\
dx)
Ах
d^dx3
dx
1972. Тангенс угла щ образованного касатель­
ной М Т и радиусом-вектором ОМ точки касания
(рис. 69), выражается следующим образом:
У
х
tgju
1+
I
Преобразовать это выражение, перейдя к поляр­
ным координатам: х = г cos ф, у = г sin ф.
1973, Формулу кривизны линии
У
u + ( / ) Y /2
выразить в полярных координатах х = гсоБф, у = ГБтф.
1974. Преобразовать к новым независимым переменным и и v
уравнение
дг
= О,
УЭх
2
g
если и = х, v = х + у .
1975. Преобразовать к новым независимым переменным и и v
уравнение
х дг + у ' р - Z = 0,
Эх
ду
К =
если и — х, v ~ ^ ,
х
1976. Уравнение Лапласа
dи2и , д-^2и _
Эх2
Ьу2
q
преобразовать к полярным координатам г и ф , полагая
X
=
г
COS ф ,
у
=
Г
S in ф .
§ 1 1 . Касательная плоскость и нормаль к поверхности
213
1977, Преобразовать уравнение
‘Ц - у Ц
дх
ду
- О,
полагая и = х у и и = - .
1978, Преобразовать уравнение
«I
-
- <» -
введя новые независимые переменные
Ц = X
2
2
1 , 1
+ Ц у V — - + -
X
У
и новую функцию IV = In 2 - {х + у).
1979. Преобразовать уравнение
^2
;ч2
0 2 _ 9 С7 Z
+ s- i - О ,
ЭхЭу
приняв за новые независимые переменные и = х + у, о = У и за новую
ж
функцию w = - ,
х
1980. Преобразовать уравнение
о-i2г . о о-\2г < -\2
о 2 _ п
а7 + 2 г ^ + э7
“■
полагая u = x + y y V ;= x — у, w = x y - z , где ш = w{u, о).
§ 11, Касательная плоскость и нормаль к поверхности
1Э, У р а в н е н и я к а с а т е л ь н о й п л о с к о с т и и н о р м а л и
для
с л у ч а я я в н о г о з а д а н и я п о в е р х н о с т и . Касательной
плоскостью к поверхности в точке М (точка касания) называется плоскость,
в которой лежат все касательные в точке М к различным кривым, прове­
денным на поверхности через эту точку.
Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плос­
кости в точке касания.
Если уравнение поверхности в декартовой системе координат задано в
явной форме z - f(x, у)г где f(x, у) — дифференцируемая функция, то урав­
нение касательной плоскости в точке М(х0,
z0) поверхности есть
Z - z0 = f'x(xQ, у0)(Х - я 0) + fy(xw у0)(У - у0).
(1)
Здесь zQ= f(xQ, у0), а X, У, Z — текущие координаты точки касательной
п л о с к о с т и
.
214
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Уравнения нормали имеют вид
X —xQ
f ' x
(
х
О ’
У
о
Y — y$
_
)
?
у
(
Щ
,
У
о
__ Yi
—
2
0
( 2)
)
где X, У, Z — текущие координаты точки нормали.
П р и м е р 1. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к
2
X
2
поверхности г =
- у в ее точке М(2; -1 ; 1).
z
Р е ш е н и е * Найдем частные производные данной функции и их зна­
чения в точке М:
Отсюда, применяя формулы (1) и (2), будем иметь г - 1 - 2(х - 2) I 2(у + 1)
**
х —2
и ~\~1
или 2 # + 2# —г - 1 = 0 — уравнение касательной плоскости и —-— =
—=
2 - 1 — уравнения нормали,
= ——
2°. У р а в н е н и я к а с а т е л ь н о й п л о с к о с т и и н о р м а л и
д л я с л у ч а я н е я в н о г о з а д а н и я п о в е р х н о с т и * В том случае,
когда уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме
F(x, у, z) = 0
и ^(*0, у0, 20) = 0, соответствующие уравнения будут иметь такой вид:
— уравнение касательной плоскости и
Х - х а
К (*о>
(х0>Уо<2о)
_
Y ~у0
Fl (* 0’ Уо- zo)
{х0,Уа,г0)
КК (*о>
У0, гй)
(4 )
— уравнения нормали*
П р и м е р 2* Написать уравнения плоскости и нормали к поверх ностй
3
3
Зхуг - г = а в точке, для которой х = 0, у = а.
Р е ш е н и е * Найдем аппликату точки касания, подставив х = 0, у —й
3
з
в уравнение поверхности: - г = а , откуда г = -а* Таким образом, точка
касания есть М(0, а, -а).
Обозначив через F(%, у, г) левую часть уравнения, найдем частные про­
изводные и их значения в точке М:
§ 1 1 . Касательная плоскость и нормаль к поверхности
215
Применяя формулы (3) и (4), получим
~ 3 а \ х - 0) + 0 ( у - а) - 3 a \ z
+
а)
=
0
уравнение касательной плоскости,
х - 0 _ у - а __ z + a
0
-За
-3 а
и - а = 2+а
или тх - L
уравнения нормали,
или х + г + а = О
1981. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к следующим поверхностям в указанных точках:
а) к параболоиду вращения г = х + у
2
2
в точке (1; -2 ; 5);
2
б) к конусу ~
- L. = 0 в точке (4; 3; 4);
16
9
8
2
2
2
в) к сфере х ' + У + г = 2Rz в точке (R cos a; R sin а; Д).
1982, Е каких точках эллипсоида
2
2
2
* + У. + 2 = 1
а 2 , 2Ь
с 2
нормаль к нему образует равные углы с осями координат?
1983. Через точку М ( 3; 4; 12) сферы х + у + г = 1 6 9 проведены
плоскости, перпендикулярные осям О Х и O Y * Написать уравнение
плоскости, проходящей через касательные к получившимся сечени­
ям в их общей точке М (
1984, Показать, что уравнение касательной плоскости к цент­
ральной поверхности 2-го порядка
2 . т 2 . 2 ,
ах + Ьу 4- cz = к
в ее точке М(х0, г/0, z Q) имеет вид
axQx -f by^y + czQz — k .
'
2
2
2
1985* К поверхности x + 2 у + Зх = 2 1 провести касательные
плоскости, параллельные плоскости х + 4у + 6г “ О,
2
1986. К эллипсоиду
i
2
-Ь
2
= 1 провести касательные плос-
а
Ъ
с
кости, отсекающие на координатных осях равные по величине от­
резки.
2
2 2
1987. На поверхности х + у - z - 2х = 0 найти точки, в которых
касательные плоскости параллельны координатным плоскостям*
1988. Доказать, что касательные плоскости к поверхности хуг =
^ т3 образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного объ­
ема.
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
216
1989. Показать, что касательные плоскости к поверхности J x +
+ J y + J z = Ja отсекают на осях координат отрезки, сумма которых
постоянна.
1990. Показать, что конус
а2
+ у_ = L,
1.2
Ь
с2
и сфера
.2
х + у + [г -
2Ч 2
Ь2 ,.2
Ь +С Л
=
-
Л
Ь
+
О
I-
касаются друг друга в точках (0, ±6, с).
1991. Углом между двумя поверхностями в точке их пересечения <
называется угол между касательными плоскостями, проведенными
к данным поверхностям, в рассматриваемой точке.
Под каким углом пересекаются цилиндр
2 ,2
„2
х + у =R
и сфера
(х - R f + у2 + з2 - Л2
в точке М ^ ,
о) ?
1992. Поверхности называются рртогональнылш, если они пе- 1
ресекаются под прямым углом в каждой точке линии их Пересе-1чения.
2
2
2
2
Показать, что поверхности х + у + г = г (сфера), у = x t g i f
(плоскость) и г 2 = (х2 + y 2)tg2 У (конус), являющиеся координатными поверхностями сферических координат г, £р, ц/, взаимно ор--|
тогональны.
|
1993. Показать, что все плоскости, касательные к конической
J
верхности
2
= x f ( ^ ) Б ее точке М (х0, у0, z Q)f где * Ф0, проходят череФ]
начало координат.
1994*. Найти проекции эллипсоида
2 . 2 , 2
-*
х + у + z ~ ху " 1 = 0
на координатные плоскости.
1995. Доказать, что нормаль в любой точке поверхности враЩв^
ния z
-nJ х
+ у ) {ff Ф 0) пересекает ось вращения.
§12. Формула Тейлора для функции нескольких переменных
217
§ 12. Формула Тейлора для функции нескольких переменных
Пусть функция f(x, у) имеет в окрестности точки (а, b) непрерывные ча­
стные производные всех порядков до (л 4- 1)-го включительно. Тогда в рас­
сматриваемой окрестности справедлива формула Тейлора:
fix* У) = f(a >ь) +
+ I [№
+
[ / '( а ,
Ь)(х - а)
+
fya, Ь)(у - Ь)]
+
Ь){х - а)2 + 2/"(а, £>)(х - а)(у - Ь) + /"(а, й)(у - fr)2] +
+ 1 (х ~ й) ^ + (if п\ L
...
Да, &) + ЯЛ(х, у),
( 1)
где
*) = (^ Т )!
“ а)^ + ^ ~
(О < 0 < 1).
В других обозначениях:
f tQ + G(X "
Ь+
" ft)l
f(x + h, у + fe) = Дх, у) + i . [Л/^(х, у) + А/^(х, у)] +
+ ^ [А 2№ , У) + 2А*/"(х, у) + * '/" (* , У)] + - +
( д
Д\« +1
h
~
+
k
~
+ ^л! iVh ^ох~ + k ду)
i ~ ) К х ' У ) + (гс
(—Цч,
Д ■-ду
д 1 Дх + 0А; у = 0*), (2)
+ 1)!11 -Эх
или
Art*. У) =
+ I
п\
у) +
У) + jidVte* р) + .*■ +
(п
(й +
+ 1)!
drt""V(x + Qh; у + Ok),
(3)
Частный случай формулы (1) при а —Ь —0 называется формулой Мак­
ларена.
Аналогичные формулы справедливы для функции трех и большего числа
переменных.
u
3
3
Пр и м е р . Найти приращение, получаемое функцией Дх, у) = х —2р 4Зху при переходе от значений х = 1, у = 2 к значениям х^ = 1 4- К, yY= 2 4- k.
Р е ш е н и е . Искомое приращение можно найти, применяя формулу (2).
Вычислим предварительно последовательные частные производные и их
значения в данной точке (1; 2):
/; (х, у) = 3*г + 3у,
rx (1; 2) = 3 • 1 + 3 ■2 - 9,
/; (*. У) - “бу + Зле.
О * . У) “ 6 * ,
/;;<*. у) - з.
/" < * > У) = - 1 2 у ,
Гу (1; 2) = -6 • 4 + 3 ■1 - -21.
/" а ; 2) = 6 ■1 = 6,
г;»а-,2) - з.
С (1; 2) - -12 ■2 = -24,
218
Глава VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Вес дальнейшие производные тождественно равны нулю. Подставляя
найденные результаты в формулу (2), полупим
ДДх, у) = f( 1 + h, 2 -1- ft) - f( 1, 2) = ft ■9 + ft(^21) +
-ь — [ft2 - 6 + 2кк ■3 4- ft2(-24)] + i [ft3 16 + 3ft2ft *0 + 3ftft2 -ОН- k*( 12)] - 1
2!
3!
3
= 9ft - 21ft + 3ft2 + 3ftft - 12ft2 + ft3 - 2ft3.
1996. Разложить f{x + ft, у + ft) по целым положительным степе-J
ням h и ft, если
f ( x , y) = ая2 + 2bxy + cy2.
1997. Функцию
f(x, у ) = -л:2 + 2xy + 3y2 - 6* - 2y - 4
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки ( 2; 1).
1998.
Найти приращение, получаемое функцией f ( x , у) - переходе от значений х = 1, у = 1 к значениям
л,1 = 1 + Л, у 1 = 1 + k.
1999. Функцию
j
fix, у, г) = х + У2 + г2 + 2ху - уг - 4* - Зу - г + 4
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1; 1)Sj
2000. Разложить Дх + h, у + ft, г + I) по целым положительным^
степеням h , ft и если
Л
fix, у, z) = *2 + у2 + г2 - 2xy - 2хг - 2yz.
2001. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го поряд
включительно функцию
f(x, у) = е* sin у .
2002. Разложить по формуле Маклорена до членов 4-го порядк
включительно функцию
fix, у) = cos х cos у,
2003. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1
до членов 2-го порядка включительно функцию
f i x , y) = y*.
2004.
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; до членов 3-го порядка включительно функцию
fix,
У)
= ех + у
§ 1 3 , Экстремум функции нескольких переменных
219
2005- Вывести приближенные формулы с точностью до членов
2-го порядка относительно величин а и |3 для выражений:
если |а[ и |Р| малы по сравнению с 1.
2006*. Используя формулу Тейлора до членов 2-го порядка, вы­
числить приближенно:
а) Л , 03 , 'VO, 98 ;
б) (0,95)2,01.
2007, Пусть 2 есть та неявная функция от х и у, определяемая
g
уравнением z - 2xz -Ь у = 0, которая принимает значение 2 = 1 при
я = 1 и у = 1- Написать несколько членов разложения функции г
по возрастающим степеням разностей х — 1 и у = -1 .
§ 13. Экстремум функции нескольких переменных
1°, О п р е д е л е н и е э к с т р е м у м а ф у н к ц и и . Говорят, что функ­
ция f(x, у) имеет максимум (минимум) f(a, Ъ) в точке Р(а> £>), если для всех
отличных от Р точек Р'(х, у) в достаточно малой окрестности точки Р вы­
полнено неравенство f(a, b) > f(x, у) (или соответственно {{а, Ь) < {(х, у)).
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Аналогично
определяется экстремум функции трех и большего числа переменных,
2°. Н е о б х о д и м ы е у с л о в и я э к с т р е м у м а . Точки, в которых
дифференцируемая функция f(x, у) может достигать экстремума (так назы­
ваемые стационарные точки), находятся путем решения системы уравнений
fM
’ , у) - 0, Гу{х, у) = 0
( 1)
(необходимые условия экстремума). Система (1) эквивалентна одному уравне­
нию d/(#, у) = 0. В общем случае в точке экстремума Р(а, Ь) функции /(#, у)
или df(a, Ь) = 0, или dДа, fr) не существует.
3°. Д о с т а т о ч н ы е у с л о в и я э к с т р е м у м а . Пусть Р(а, Ь) — стаци­
онарная точка функции f(x, у), т. е. d/(a, fr) * 0. Тогда:
2
2
2
а) если d {{а, &) < 0 при dx 4- dp > 0> то Да, Ь) есть максимум функции
fix, у)-,
2
2
2
б) если d f(a, Z>) > О при dx + dy > 0, то f(a, Ь) есть минимум функции
уУ
2
в) если d f(a, b) меняет знак, то /(а, Ь) не является экстремумом функции
у).
Приведенные условия эквивалентны следующим: пусть f (а, b) = f (а, Ь) = 0
11 А ~ f'x'x(&, Ь), В = f'xy(ai b), С = /j^(a, (>)- Составим дискриминант
А = А • С - В 2.
Тогда: 1) если А > 0, то функция имеет экстремум в точке Р(а, £>), а именно
Максимум, если А
<
0 (или
С
< 0), и минимум, если А
>
0 (или С > 0); 2) если
Глава VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
220
Д < 0, то экстремума в точке Р(а, Ь) нет; 3) если Д = 0* то вопрос о наличии
экстремума функции в точке Р(а, &) остается открытым (требуется дальней­
шее исследование).
4°. С л у ч а й ф у н к ц и и м н о г и х п е р е м е н н ы х . Для функции
трех и большего числа переменных необходимые условия существования
экстремума аналогичны условиям 1°, (1), а достаточные условия аналогичны
условиям 3°, а), б), в).
П р и м е р 1. Исследовать на экстремум функцию
х = я 3 + 3ху2 - 15# - 12у,
Р е ш е н и е . Найдем частные производные и составим систему уравне­
ний (1):
^ = Зхг + 3у2 - 15 = 0, ^ = бху —12 = О
ах
оу
или
j *2 + у2 - 5 = 0.
ху - 2 = 0.
Решая систему, получим четыре стационарные точки:
^ ( 1 ; 2);
Р2{2; 1);
Р 3(-1; -2);
Р / - 2 ; -1).
Найдем производные 2-го порядка
Ц -Ъ *.
дх
д z
= 6у,
дхд у
-\2
Й
Z
Ъу
2
и составим дискриминант Д = А ■С - В для каждой стационарной точки.
1) Для точки P j :Л
Д - АС - Ь2 — 36 -
( ол z
дх
114 < 0.
= 6, В =
(/ d^ z \\ _= 12 ,С = :'aV
\дхду)р1
Jty2
= 6;
Значит, в точке Р 1 экстремума нет.
2)
Для точки Р2\ А = 12, В = 6, С = 12; Д - 144 - 36 > О, А > 0. В точке Р
функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции при х = 2,
У = 1:
2 . = 8 + 6 - 30 - 12 = -28.
3) Для точки Р Э:А = -6 , В = -12, С = - 6 ; Д= 3 6 - 114 < 0. Экстремума нет.
4) Для точки Р 4: А = -12, В = -6 , С = -12; Д = 144 - 36 > О, А < 0.
В точке Р 4 функция имеет максимум, равный
z шах - -8 - 6 + 30 + 12 = 28.
5й. У с л о в н ы й э к с т р е м у м . В простейшем случае условным экстремумом функции Дх, у) называется максимум или минимум этой функ­
ции, достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением
ф(х, у) = 0 (уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции
§13. Экстремум функции нескольких, переменных
221
f(x, у) при наличии соотношения ф(х, у) = 0, составляют так называемую
функцию Лагранжа
F(x, у) = f(х, у) + А ' ф(я, у),
где А — неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстре­
мум этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сво­
дятся к системе трех уравнений:
ЭF_'df .Эф п
Э* Эх+Лэ ^ “ ° ’
!^ = ^ + j ^ = 0
Зу
Зу
ду
Ф(*. У) = О
с тремя неизвестными x t у, Л, из которой можно, вообще говоря, определить
эти неизвестные.
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на
основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
dV (x, #) - ^ d2 * ! + 2 , & d * d l, + * ! ' d /
дхд у
дх
Ъу‘
для испытуемой системы значений x t у , X, полученной из (2) при условии,
что dx и ей/ связаны уравнением
^ dx + ^ dy = 0 (dx2 + di/a * 0).
ох
ду
А именно, функция f(x, у) имеет условный максимум, если d F < 0, и условпый минимум, если d F > 0. В частности* если дискриминант Д для функ­
ции F(x, у) и стационарной точке положителен, то в этой точке имеется ус­
ловный максимум функции ftx, у)> если А < 0 (или С < 0), и условный ми­
нимум, если А > 0 (или С > 0).
Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего
числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи
(число которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь
приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множи­
телей, сколько имеется уравнений связи.
П р и м е р 2. Найти экстремум функции
z = 6 - 4х - Зу
при условии, что переменные г и у удовлетворяют уравнению
х 2 д-, 2у = 1-.
Р е ш е н и е . Геометрически задача сводится к нахождению наибольше­
го и наименьшего значений аппликаты z плоскости z = 6 - 4х - Зу для точек
2
2
пересечения ее с цилиндром х + у = 1 .
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
222
С оставляем ф ун кц ию Л агр ан ж а:
- 6
у)
И меем —
Эд:
= '4 4
2Хх
, ^
4.x -
4
Зу
Х(х2
4 у 2 - 1 ).
- -3 4 2Яу. Н еобх о д и м ы е усл о ви я д аю т си стем у
Эу
уравнении
-4 + 2Хя = О,
<
- 3 4 2 X i/ - О ,
2.2
* 4- у - 1 ,
.1
р еш ая ко то р ую найдем :
, _ 5
^1
4
5 ’ »i
о ’ *1
b f
и
Х2
4
0 7 *2
к * ^2
к
Так как
д 2Г
=
Э2Р = 2Х,
Эу
3aF - О,
дд:Эу
2Х,
дх
4
$
то
d 3F - 2 X ( d *
Е с л и А. = - , х = - и у = - , т о
2
5
5
d‘F
имеет условн ы й м иним ум . Есл и
+ < Ц Г ).
> 0 и, след овательно, в этой то чке ф ун кц и я
5
X —
, х
=
2 7'
- -
5
и i/ =
*
2
5
то d F < 0 и,
след овательно, в этой то чке ф у н к ц и я и м еет усл о вн ы й м акси м ум .
Т а к и м обр азом ,
■$
- , 16 , 9 _ -!
2_..,
max = 6 4 — 4 - - 11,
5
5
16
2min. = 6й —■
—
—59— —, 1,
5
6 °, Н а и б о л ь ш е е и н а и м е н ь ш е е з н а ч е н и я ф у н к ц и и .
Ф у н к ц и я , д и ф ф ер ен ц и р уем ая в о гр ан и чен н о й за м кн уто й области, д остигает
с в о е го н а и б о л ь ш е г о (н а и м е н ь ш е г о ) з н а ч е н и я и л и в с т а ц и о н а р н о й т о ч к е , и л и
в то чке гр ан и ц ы области.
П р и м е р
3. О пред елить н аи бо льш ее и н аи м ен ьш ее зн ачен и я ф ун кц и и
в области
х <
0, и <
0, х
+
у >
-3.
х&
?£•
§13* Экстремум функции нескольких переменных
223
Р е ш е н и е , Указанная область есть треуголь­
ник (рис. 70).
1) Найдем стационарные точки:
zx = 2х - у + 1 = О,
- 2у - * + 1 = 0;
отсюда х = -1, у = -1; получаем точку М{-1; -1),
В точке М значение функции zM = -1. Иссле­
дование на экстремум не обязательно,
2) Исследуем функцию на границах области.
При х = 0 имеем z = у + у и задача сводится к отысканию наибольшего
и наименьшего значений этой функции одного аргумента на отрезке
-3 < у < 0, Проведя исследование, найдем, что {zttal^)x =0 = 6 в точке (0; -3);
(г™ Л = о = ~ \ в точке
.
2
При у - 0 получаем z = х + х. Аналогично найдем, что (г
Л “• 0 = 6 в
' натгб'|/
точке (-3; 0);
, 0 = “ j в точке j-i;o ) .
__
П
При х + у ~ -3 или у = - Z - х будем иметь z = Зх +
образом найдем, что ( z ^ J , +, _ 3 =
в точке
+ 6.Аналогичным
;(гнаи6)ж+ „ _ _3 = 6
совпадает с (гНгш6)* = 0 и (^наиб)у = 0* На прямой х + у — -3 можно было бы
исследовать функцию на условный экстремум, не приводя к функции одного
аргумента.
3) Сопоставляя все полученные значения функции z, заключаем, что
гнапб ™® в точках № '“3) и (-3; 0); £нанм = ”1 в стационарной точке М .
Исследовать на экстремум следующие функции двух переменных:
2008. z = ( x - i f + 2 у 2.
2009. г = (х - I)2 - 2у .
2010. z
= х 2 + х у + у 2 - 2 х - у.
2011. г = аЛ Д б - х - у ) ( х > 0, у > 0).
2012. z = х 4 + у4 ~ 2 х г + 4х у - 2у 2.
2013. г = x y j l - ^ - ?
2014. г = 1 - { х 2 + у 2) т .
2015. г = (х ‘2 + у 2) е
2016. г = - 1 + * ~ ^
Л 7 7 7 ?
+J' \
_
224
Глава VI, ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2016.1. г = ** + £ + у (х > 0, у > 0).
*
У
2016.2. г = e*_i/(x2 - 2 у \
Найти экстремумы функций трех переменных:
2017. и = х 2 + у2 + г 2 - ху + х - 2г.
2
Г!
2
2018. и = х + М - + - + - (х > 0, у > 0, г > 0).
4х
у
2
Найти экстремумы функций г, заданных неявно:
2019*. х + у2 + г - 2х + 4у - 6г - 11 = 0.
2020. х3 - у2 - Зх + 4у + г 2 + г - 8 = 0.
Определить условные экстремумы функций:
2021* z = ху при х + у = 1*
2022. z = х + 2у при х2 + J/2 ™ 5.
I
. в■X
:
2023. г - х 2 + у 2 при
2024* z = cos2 х + cos2 у при у - х = | .
t
■i
2025. ц - х - 2у + 2г при х2 + у2 + z2 = 9*
2
2
2
2026. и = х2 + у2 + г при ^ + £ L + S _ = l ( a > b > c > 0 ).
а
Ь
с
2027. и = х у 2г 3 при х + у + г — 12 (х > 0, у > 0, г > 0).
2028. и = хуг при условиях х + у + г = 5, ху + yz + z x = 8.
2029. Доказать неравенство
> \& Г г ,
I
если х > 0, у > 0, 2 > О*
Ук а з а н и е . Искать максимум функции и = хуг при условии х 4 у + 2 = 5*
2030, Определить наибольшее значение функции 2 = 1 + х + 2у
в областях:
а )х > 0, у > 0, х + у < 1; б) х > 0, у < 0, х - у < 1.
^
2031. Определить наибольшие и наименьшие значения функции
2
2
2
2
2
L
S i ) z ^ x y n 6 ) z = x - у в области х + у < 1 .
2032* Определить наибольшее и наименьшее значения функции ,
TL
7^
z = sin х + sin у + sin (х + у) в области 0 < х < ~ , 0 < у < - .
2033. Определить наибольшее и наименьшее значения функции ;
z = х + у - Зху в области 0 < х < 2, -1 < у < 2.
|
§14, Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций
225
§ 14. Задачи на отыскание наибольших
и наименьших значений функций
П р и м е р 1. Положительное число а требуется разбить на три неотри­
цательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
Р е ш е н и е . Пусть искомые слагаемые будут x t у,
а - х ~ у. Ищем максимум функции f(xt у) = ху(а - х - у).
По смыслу задачи функция f(x4 у) рассматривается
внутри замкнутого треугольника х > 0 , у > 0 , х + у < а
(рис. 71).
Решая систему
Гх (*. У) =
- 2 х - у) = О,
"fy (*, У) = х ( а - Х - 2у) = О,
получим для внутренности треугольника единственную стационарную точку
( l'
' Для нее пР°веРяем выполнение достаточных условий. Имеем
f'xx(x ' У)----2У’ f'xp(x>у) = а ~ 2х - 2у,
fyy(x, у) = -2х.
Следовательно,
А - f хх. а а
,3’ 3,
\а,
3
В = f " (-, *ПЗ 3
-а
С — f" I 2 3 ’
'« 4 3’ 3
-1 “
И
Д = А- С - В2 > О, А < 0.
Итак, в точке
функция достигает максимума. Так как на контуре тре­
угольника функция f{x%у) = 0, то этот максимум будет наибольшим значением
функции, т, е. произведение будет наибольшим, если х — у = а - х - у = - ,
причем наибольшее значение произведения равно
.
П р и м е ч а н и е . Задачу можно было решать методами условного экс­
тремума, отыскивая максимум функции и = xyz при условии х + у 4- г = а.
2034. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих дан­
ный объем V, найти тот, полная поверхность которого наименьшая.
2035. При каких размерах отрытая прямоугольная ванна данной
вместимости V имеет наименьшую поверхность?
2036. Из всех треугольников данного периметра 2р найти тот, ко­
торый имеет наибольшую площадь.
& Эадачи к упраж нения
226
Глава VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2037. Найти прямоугольный параллелепипед с данной площадью
поверхности S f имеющий наибольший объем,
2038. Представить положительное число а в виде произведения
четырех положительных сомножителей так, чтобы их сумма была
наименьшей.
2039. На плоскости X O Y найти точку М(х, у), сумма квадратов
расстояний которой от трех прямых л; = 0, у = О, х “ у + 1 = 0 была
бы наименьшей.
2040. Найти треугольник данного периметра 2р, который при вра­
щении около одной из своих сторон образует тело наибольшего объ­
ема.
2041. На плоскости даны три материальные точки
1^),
Р 2(я2, у2), Р 3(х3, у3) массами m v m v mz. При каком положении точки
Р(x t у) квадратичный момент (момент инерции) данной системы точек относительно точки Р (т. е. сумма /п1|Р 1Р | + т 2\Р2Р \ 4- т й]Р3Р | )
будет наименьшим?
2042. Через точку М(а, b, с) провести плоскость* образующую с
плоскостями координат тетраэдр наименьшего объема.
2043* В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед на­
ибольшего объема.
2044. Определить наружные размеры открытого прямоугольного
ящика с заданной толщиной стенок 5 и емкостью (внутренней) V так,
чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество
материала.
2045. В какой точке эллипса
касательная к нему образует с осями координат треугольник на­
именьшей площади?
2046*. Найти оси эллипса
5л;2 + 8ху 4- 5^3 = 9.
2047. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей полной по­
верхностью.
2048. Русла двух рек (в пределах некоторой области) приближенно представляют параболу у = х и прямую х - у — 2 = 0. Требуется
соединить данные реки прямолинейным каналом наименьшей дли­
ны. Через какие точки его провести?
2049. Найти кратчайшее расстояние от точки М(1; 2; 3) до прямой
* = JL = I
1
-3
2'
227
§ 15. Особые точки плоских кривых
2050*. Точки А и В расположены в различ­
ных оптических средах, отделенных одна от
другой прямой (рис. 72). Скорость распрост­
ранения света в первой среде равна
во вто­
рой — vr Пользуясь принципом Ферма, со­
гласно которому световой луч распространя­
ется по линии А М В , для прохождения вдоль
Рис. 72.
которой требуется минимум времени, вывести
закон преломления светового луча.
2051. Пользуясь принципом Ферма, вывести
закон отражения светового луча от плоскости в
однородной среде (рис, 73).
2052*. Если в электрической цепи, имеющей
сопротивление R, течет ток I, то тепловая
мощность в цепи равна / R . Определить, как
Рис. 73.
следует разветвить ток / на токи I v / 2,
при
помощи трех проводов, сопротивления которых fij, R2, R%, чтобы
тепловая мощность была бы минимальной.
§ 15. Особые точки плоских кривых
1°. О п р е д е л е н и е о с о б о й т о ч к и . Точка Л/(«г0, у0) плоской кри­
вой /(я, у) —0 называется особой точкой, если ее координаты одновременно
удовлетворяют трем уравнениям:
2°. О с н о в н ы е т и п ы о с о б ы х т о ч е к . Пусть в особой точке М(х0, у0)
производные 2-го порядка
А ^ fxх
В ~ f Ху (хо*
^=
У®}
2
не все равны нулю и Д = А ■С - В , тогда:
а) е с л и Д > 0 , т о М — изолированная точка ( р и с . 7 4 ) ;
б) если Д < 0, то М — узел (двойная точка) (рис. 75);
в ) е с л и Д - 0 , т о М — и л и точка возврата 1 - го р о д а ( р и с . 7 6 ) , и л и 2 - г о р о д а
( р и с . 77), и л и изолированная точкат и л и точка самоприкосновения ( р и с . 7 8 ) ,
Рис. 74.
Рис. 75.
Рис. 76»
Рис. 77.
Рис. 78.
228
Глава VI, ФУНКЦИИ НИСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
При решении задач этого раздела предполагается обязательным постро­
ение кривых,
2
2
3
П р и м е р , Показать, что кривая у = ах + х имеет: узел, если а > 0;
изолированную точку, если а < 0; точку возврата 1-го рода, если а * О,
2 з 2
Р е ш е н и е , Здесь f(xy у) = ах + х - у >Найдем частные производные
и приравняем их нулю:
ГХ(X, у) = 2ах + З*2 = О,
f'y ix, у) = ~2у = 0.
Эта система имеет два решения: 0(0; 0) и N
, но координаты точ­
ки N не удовлетворяют уравнению данной кривой. Значит, имеется един­
ственная особая точка 0(0; 0).
Найдем вторые производные и их значения в точке О:
у) = 2а + 6#, А = 2а,
r xfi(x, у) = О,
В = О,
f'' Jx . у) = -2 ,
С - -2,
Д = А - С - В2 = -4а.
Следовательно,
если а > 0, то Д < 0 и точка О — узел (рис. 70);
если а < 0, то Д > 0 и точка О — изолированная точка (рис, 80);
2
3
если а —0, то Д = 0* Уравнение кривой в этом случае будет у = х или
касательной. Следовательно, точка М — точка возврата 1-го рода (рис. 81).
Рис. 79.
Рис, 81.
Выяснить характер особых точек кривых:
f t nco 2
2 ( 4
„лкк
12
24
6
2053. у = - х + х ,
2055. а у = а х - х .
ллеп
2054. /(у - х 2.2
) = х 5.
2056. х2 у2 - х2 - у2 = 0п .
3
3
2057. х + у - 3аху = 0 {декартов лист),
2058. у2(а - х) - х г (циссоида).
§ 1 6 . Огибающая
229
2059- (х2 4- у2)2 — a2(x2 - у2) (лемниската).
2060. (а 4 х)у2 = (а - х ) х 2 {строфоида},
2061. (х2 4 у2){х - а)2 = Ь2х 2 (а > О, Ь > 0) (конхоида). Рассмотреть
три случая: 1) а > 6, 2) а = Ьу 3) а < Ь.
2062. Выяснить изменение характера особой точки кривой
у2, = (х “ а)(х - Ь)(х - с) в зависимости от значений а, Ь, х (а < Ъ < с
вещественны).
§ 16. Огибающая
1°. О п р е д е л е н и е о г и б а ю щ е й . Огибающей семейства плоских
кривых называется кривая (или совокупность нескольких кривых), которая
касается всех линий данного семейства, причем в каждой своей точке ка­
сается какой-нибудь линии рассматриваемого семейства.
2°. У р а в н е н и е о г и б а ю щ е й . Если зависящее от одного перемен­
ного параметра ct семейство кривых
fix, у, а) = О
имеет огибающую, то параметрические уравнения последней определяются
из системы уравнений
f(x, у, а) = О,
Исключая из системы (1) параметр а, получим уравнение вида
П(х, у) = 0.
(2)
Следует отметить, что формально получаемая кривая (2) (так называемая
дискриминантная кривая) наряду с огибающей, если таковая имеется, мо­
жет содержать геометрическое место особых точек данного семейства, не
входящее в состав огибающей этого семейства.
При решении задач этого параграфа рекомендуется делать чертежи.
Пр и м е р . Найти огибающую семейства прямых
х cos a 4 ^ s i n a - p = 0 (р = const, р > 0).
Р е ш е н и е . Данное семейство прямых зависит от параметра а. Соста­
вим систему уравнений (1):
х cos a 4 у sin а - р = 0,
| - х sin a 4 у cos a —0.
Решив систему относительно хиу, получим параметрические уравнения
огибающей:
х = р cos ct, у = р sin a.
Возводя оба уравнения в квадрат и складывая, исключим параметр ct:
230
Г лава VL Ф У Н К Ц И И Н Е С К О Л Ь К И Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х
Таким образом, огибающей данного семейства
прямых служит окружность радиуса р с центром в
начале координат. Данное же семейство прямых
есть семейство касательных к этой окружности
(рис. 82),
2063.
ностей
Найти огибающую семейства окруж­
а2
(* “ а)2
2
2064. Найти огибающую семейства прямых
У
* =
+ Г
ТТ
2k
(k — параметр, р = const),
2065. Найти огибающую семейства окружностей одинакового ра­ '•*
диуса R f центры которых находятся на оси ОХ.
2066. Найти кривую, которую огибает отрезок длины I, когда его
концы скользят по осям координат.
2067. Найти огибающую семейства прямых, образующих с осями
координат треугольник постоянной площади S .
2068. Найти огибающую эллипсов постоянной площади S, оси
симметрии которых совпадают.
2069. Исследовать характер «дискриминантных кривых* се­
мейств следующих линий (С — параметр):
а) кубических парабол у = {х —С) ;
2
3
б) полукубических парабол у = (х - С) ;
3
2
в) парабол Нейля у = {х - С) ;
2
2
г) строфоид (а + х)(у - С) — х (а - х ),
2070.
Уравнение траектории движения снаряда, выпущенного из
точки О с начальной скоростью vQпод углом а к горизонту (без учета
сопротивления воздуха), будет
у = х tg а
Рис. 83.
gx‘
2
2
2i>0cos
а
Принимая угол а за параметр, найти
огибающую всех траекторий снаряда, рас­
положенных в одной и той же вертикаль­
ной плоскости (парабола безопасности)
(рис. 83).
231
§ 17. Длина дуги пространственной кривой
§ 17* Длина дуги пространственной кривой
Дифференциал дуги пространственной кривой в прямоугольных декар­
товых координатах равен
где х, у у г — текущие координаты точки кривой*
Если
х = x(t )> у = y ( t )* 2 = z ( t )
параметрические уравнения пространственной кривой, то длина дуги уча­
стка ее от t — t x до t = t2 равна
i.
В задачах № № 2 0 7 1 — 2076 найти длину дуги кривой:
2071. * = t, у = Л
2
= Ц . от t = 0 до t = 2.
и
2072. х = 2 cos t, и = 2 sin t, z ” - 1 от t = 0 до t = ft.
n
2073* x = e^cos t, у = e s i n t, г = e от t = 0 до произвольного t *
2074. у = — , z = ^ от х = 0 до х = 6.
2
о
2075* х = 3у, 2ху = 9z от точки 0(0; 0; 0) до точки М ( 3; 3; 2)*
2076* и = a arcsin - , z = - In
а
4
а- х
от точки 0 ( 0 ; 0; 0) до точки
У& «0>2077* Положение точки для любого момента t (t > 0) определяется
уравнениями
Найти среднюю скорость движения между моментами t x = 1 и t 2 - 10*
§ 18* Вектор-функции скалярного аргумента
1°, П р о и з в о д н а я в е к т о р - ф у н к ц и и с к а л я р н о г о а р г у м е н т а .
Век/пор-фь/я/сция а - а(0 может быть определена путем задания трех ска­
лярных функций ajt)* a j t ) и a Jit) —- ее проекций на координатные оси:
а = a j t ) i + ajt)i +- a j t ) lc.
Производная вектор-функции а = a(t) по скалярному аргументу t есть
новая вектор-функция, определяемая равенством
da = ].m a<t + A f ) - a ( Q „ ^ д( 0 . + dflg(*>j +
di
Lt- о
if
df
d*
dt
Г л а в а VI. Ф У Н К Ц И И Н Е С К О Л Ь К И Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х
232
Модуль производной вектор-функции равен
da
dt
dt
Конец переменного радиуса-вектора г = r(t) описывает в пространстве кривую
г = *(i)i + y(t)j + z(f)k,
называемую годографом вектора г.
Производная dr
—^ представляет собой вектор, касательный к годографу в
dt
соответствующей точке, причем
dr
dt
ds
a t’
где s — длина дуги годографа, отсчитываемая от некоторой начальной точ­
ки. В частности,
= 1.
Ids
Если параметр t есть время, то dr
— —v — вектор скорости конца век*
dt
d2r = dv
тора г, а —— = о) — вектор ускорения конца вектора г,
df
dt
2°, О с н о в н ы е п р а в и л а д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я вектор*
ф у Н К Ц 1и и с к а л я р н о г о а р г у м е н т а .
d (а+ b + c ) = da
dc■
,
_1 г, db
_
-1)
dt
dt
dt
dt
da , где m — постоянный скаляр;
2) А (ma) =
m ~dt ’
dt
d (фа) =
a + (p^ , где cp(t) — скалярная функция >
3)
dt
at
dt
d <ab) = d a i . db
— b + a— ;
4)
dt
dt
dt
d (a x b) _ da xb + a x ^ b ;
dt
dt
dt
_d
_ da . d<pt
6)
а
[ф(0]
dt
d(p dt ’
5)
7) а
= 0 , если ja| ™const,
at
П р и м е р 1. Радиус-вектор движущейся точки в любой момент време­
ни задан уравнением
г = i - 4f2j + 3t2k.
Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения.
a)
§ 18. Вектор-функции скалярного аргумента
23 3
Р е ш е н и е , Из уравнения (1) имеем:
х = 1, у - -4f2, г = St2.
Исключая время t , находим, что траектория движения есть прямая
х - 1 _ е/ _ г
-4
О
Из уравнения (1), дифференцируя, находим скорость движения
— - -8tj + 6(k
df
и ускорение движения
Л = -8 j 4* 6k.
dt
Скорость равна
dr =
dt
+
= 10|t|.
Отметим, что ускорение постоянно и равно
j 2Г
О
- V<-8)2 + 6 2 - 10.
dtJ
2078. Показать, что векторное уравнение г - г2 = (r2 - r1)t, где гг
и г2 — радиусы-векторы двух данных точек, является уравнением
прямой.
2079. Определить, какие линии являются годографами следую­
щих вектор-функций:
а) г = at + с;
б) г = at2 + h t ;
в) г = a cos t + b sin t ;
г) г = a ch t + b sh f,
где a, b и с — постоянные векторы, причем векторы а и b перпен­
дикулярны друг другу.
2080. Найти производную вектор-функцию от функции a(f) = а(0*°(t),
где a(t) — скалярная функция, a a°(t) — единичный вектор, в слу­
чаях, когда вектор а(#) изменяется: 1) только по длине, 2) только по
направлению, 3) по длине и по направлению (общий случай). Выяс­
нить геометрический смысл полученных результатов.
2081. Пользуясь правилами дифференцирования вектор-функЦии по скалярному аргументу, вывести формулу для дифференци­
рования смешанного произведения трех вектор-функций а, Ъ и с.
234
Г л ав а VL Ф У Н К Ц И И Н Е С К О Л Ь К И Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х
2082. Найти производную по параметру t объема параллелепипе­
да, построенного на трех векторах:
а —i + fj + f^k;
b = 2ti - j + t3k;
c = - t 2i + t3j + k.
2083. Уравнение движения
г — 3i cos t 4- 4j sin
где t — время. Определить траекторию движения, скорость и уско­
рение движения. Построить траекторию движения и векторы скорости и ускорения для моментов t = 0, t — 7t
- H i = 71- .
2084. Уравнение движения
г = 21 cos t + 2j sin t + 3kt.
Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения.
Чему равны скорость и ускорение движения и каковы их налравления для моментов f = 0 и f = - ?
2085. Уравнение движения
г *= i cos a cos tof -г j sin a cos tof + k sin ш/,
где а и О) — постоянные, t — время. Определить траекторию движе­
ния, скорость и ускорение движения и их направления.
2086. Уравнение движения снаряда (без учета сопротивления воз­
духа)
г - v0f -
g
t
‘
к,
где v0{u0jfS
, uQz} — начальная скорость. Найти скорость и ускоре­
ние снаряда в любой момент времени.
2
2087. Доказать, что если точка движется по параболе у = — * ■
О
z —0 таким образом, что проекция скорости на ось ОХ остается noda:
= const , то и ускорение точки остается постоянным.
стояннои
l i t
2088. Точка, находящаяся на нарезке винта, завинчиваемого
балку, описывает винтовую линию
х = a cos 0, у = a sin 0, z = А0,
где 0 угол поворота винта, а — радиус винта, а А — высота подъема
при повороте на один радиан. Определить скорость движения точки*
2089. Найти скорость точки на окружности колеса радиуса а, вращающегося с постоянной угловой скоростью со так, что его центр прй
этом движется прямолинейно с постоянной скоростью
§ 1 9 . Е стествен н ы й т р е х г р а н н и к п ростран ствен н ой кри вой
235
§ 19. Естественный трехгранник пространственной кривой
Во всякой неособенной точке М ( х , у, z) пространственной кривой г = r(f)
можно построить естественный трехгранник ( триэдр)Усостоящий из трех
взаимно перпендикулярных плоскостей
(рис. 84):
норм альная
1) соприкасающейся
плоскости
плоскость
,2
d г;
содержащей векторы dr
— и —1 £
dt
dt
спрямляющая
плоскость
2) нормальной плоскости ММ2М 3,
перпендикулярнойо вектору dr ;
df
3) спрямляющей плоскости М М ^ М ^
соприкасающ аяся
плоскость
перпендикулярной двум первым плос­
костям.
В пересечении получаются три прямые: 1) касательная ММ^\ 2) главная
нормаль ММ2; 3) бинормаль М М 3, определяемые соответственно векторами:
dr (вектор касательной);
1) Т = —
dt
d
dt
2) В = ™
х
d2
— (вектор бинормали);
dt
3) N = В х Т (вектор главной нормали).
Соответствующие единичные векторы
-г
Т; J■ Р
А = —В
^ = ;—
|Т|
|В|
v= А
|N|
могут быть вычислены по формулам
di
v = ds
dx
Т- 4 Г ;
ds
P = x x v.
ds
Если X 7 Y, Z — текущие координаты точки касательной, то уравнения
касательной в точке M{xt у , г) имеют вид
X - x Y - u Z - z
мv
=
где Т = — , Т =
х
dt
У
dt
7+, ~ = -= r-i
( 1)
Т = — ; из условия перпендикулярности пря~
z
dt
моЙ и плоскости получаем уравнение нормальной плоскости
Тх{Х - х ) + Ty(Y - у ) + Tz(X - z) = 0.
(2)
Заменяя в уравнениях (1) и (2) Т Т , Тг на Вх, В , В г и N
^ ^ полУчим уравнения бинормали и главной нормали и, соответственно, сопри­
касающейся плоскости и спрямляющей плоскости.
236
Г л ав а VI. Ф У Н К Ц И И Н Е С К О Л Ь К И Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х
П р и м е р 1. Найти основные единичные векторы т, v и Р кривой
х
X = t,
у = х2
t ,
2 = t.3
в точке t —1,
Написать уравнения касательной, главной нормали и бинормали в этой
точке.
Р е ш е н и е . Имеем:
г = ti + t2} + t \
и
~ = i + 21\ + 3f2k,
d*
— = 2j + 6ik.
d t2
Отсюда при t ~ 1 получим
T=
В
dr
dt
A
di
d r
dt
= i + 2j + 3k;
i
*■
i
к
12 3
= 6i - 6j -l- 2k;
0 2 6
i j k
N = В x T = 6-6 2
12 3
= —22i - 16j -1- 18k,
Следовательно,
x _ i + 2j + 3k p = 3i - 3j + k
Л 4
’
Jl9
v = - H i - 8j + 9k
V266
Так как при t = 1 имеем x = 1, i/ = 1, 2 = 1, то
JC—1 _ У~ 1 _ 2 - 1
“T “
2
3
— уравнение касательной,
х —1 _ у - 1 _ г - 1
"3
~Т~
— уравнение бинормали,
X- 1
У- 1 _ 2 - 1
-11
-8
9
— уравнение главной нормали.
Если пространственная кривая задана как пересечение двух поверхностей
F(x, у, г) = 0, G(x, у, z) = О,
§ 19. Е стествен н ы й т р е х г р а н н и к п ростран ствен н ой кри вой
237
г можно брать векторы dr{cLr, dy, d*r} к
го вместо векторов d—r и d*
---df
dt2
d2r{d2x, d2y, d2z}, причем одну из переменных х , у, г можно считать неза­
висимой и полагать ее второй дифференциал равным нулю.
П р и м е р 2, Написать уравнение соприкасающейся плоскости окруж­
ности
х 4 у2 4- г1 = 6, х + у 4- z = 0
(3)
в точке ее М(1; 1; -2).
Р е ш е н и е . Дифференцируя систему (3), считая х независимой пере­
менной, будем иметь:
xdx + ydy + zdz - О,
dx + dy + dz — 0
и
dx2 + dy2 + yd2у
4- dz2 4- 2 d2z —0,
d2y 4- d2z = 0.
Полагая x — l t у = 1, 2 = ~2, получим:
dy = -dx; dz = 0;
,2
2 1 2 ,2
2 , 2
d и = - - d.r ; d г = - dx .
*
3
3
Следовательно, соприкасающаяся плоскость определяется векторами
{djc, -dx, 0} и jo, - ^ d x 2, | d x 2
^
&
о
ИЛИ
{1, -1 , 0} и {0, -1 , 1}.
Отсюда нормальный вектор соприкасающейся плоскости есть
В
i j k
1 - 1 0 = -i - i - k
0-11
и, следовательно, ее уравнение
-1(* - 1) - {у - 1) -- (z 4 2) - 0,
т. е,
х ± у + z = 0,
что и должно быть, так как наша кривая расположена в этой плоскости
2090. Найти основные единичные векторы т, v, р кривой
х - 1 - cos t , у “ sin t, z = t
в точке t = - .
2
238
Плана VI. Ф У Н К Ц И И Н Е С К О Л Ь К И Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х
2091. Найти единичные векторы касательной и главной нормали
конический спирали
г = ef(i cos t -f j sin t -f k)
в произвольной точке. Определить углы, составляемые этими прямыми с осью OZ.
2092. Найти основные единичные векторы т, V, р кривой
у = г 2, z = 2х
в точке х = 2.
2093. Для винтовой линии
х = a cos f, у = a sin t, z = Ы
написать уравнения прямых, составляющих ребра естественного
трехгранника в произвольной точке линии. Определить направляю­
щие косинусы касательной и главной нормали.
2094. Написать уравнения плоскостей, образующих естествен­
ный трехгранник кривой
2 , 2 , 2
е
2
2 . 2
.
х + у + z =6, х - у + £ =4
в точке ее М( 1; 1; 2).
2095. Составить уравнения касательной, нормальной плоскости
и соприкасающейся плоскости кривой
х = t t у = t 2, 2 = f3 в точке М{2\ 4; 8).
2096. Составить уравнения касательной, нормальной плоскости
и соприкасающейся плоскости кривой
Найти точки, в которых касательная к этой кривой будет парал­
лельна плоскости х + З Е / + 2 г - 1 0 = 0.
2097. Составить уравнения касательной, соприкасающейся плос­
кости, главной нормали и бинормали кривой
х = t, у = - t , г = -г
в точке t = 2. Вычислить направляющие косинусы бинормали в этой
точке.
2098. Написать уравнения касательной и нормальной плоскости
к следующим кривым:
а) х — R cos2 t f у = R sin t cos t, z = R sin t при t — ^ ;
б) z = x 2 + y 2t x = у в точке (1; 1; 2).
в) х2 + у2 + z 2 = 25, х + г = 5 в точке (2; 2 j S ; 3).
239
§ 20. Кривизна и кручение пространственной кривой
2
2
2099. Найти уравнение нормальной плоскости к кривой г ~ х - у ,
у = х в начале координат.
2100. Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кривой
х —
у = в гч г = t j 2 в точке t = 0.
2101* Найти уравнения соприкасающейся плоскости к кривым:
а) х 2 + у2 + г 2 = 9, х 2 - у2 = 3 в точке (2; 1; 2);
б) хй — 4у, х 3 = 24г в точке (б; 9; 9);
2
2
2
2
2
2
в) х + z = а , у -V г = Ь в любой точке кривой (xQ> z/0, 2 0).
2102. Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной
нормали и бинормали к кривой
у 2 “ х, х 2 = г в точке (1; 1; 1).
2103. Составить уравнения соприкасающейся плоскости, глав­
ной нормали и бинормали к конической винтовой линии x = t cos t ,
у = t sirt t, z = bt в начале координат. Найти единичные векторы ка­
сательной, главной нормали и бинормали в начале координат.
§ 20. Кривизна и кручение пространственной кривой
1°. К р и в и з н а. Под кривизной кривой в точке М понимается число
1
R
lim
As- 0
±,
Д$
где ф — угол поворота касательной {угол смежности) на участке кривой
As “ длина дуги этого участка кривой. R называется радиусом кривизны.
Если кривая задана уравнением г —r(s), где s — длина дуги, то
1
R
j 2г
d
dsJ
Для случая общего параметрического задания кривой имеем
dr х d^r
d* dt2
dr з
dt,
1
R
( 1)
2°. К р у ч е н и е . Под кручением (второй кривизной) кривой в точке
М понимается число
Т
1
Р
lim — ,
As - О AS
240
Г л ав а VI. Ф У Н К Ц И И Н Е С К О Л Ь К И Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х
где 0 — угол поворота бинормали (угол смежности второго рода) на участке
кривой ^M N . Величина р называется радиусом кручения и л и радиусом вто­
рой кривизны. Если г = r(s), то
dr d2r d3r
ds ds2 ds3
1
dg
>
ds
Р
dV
ds2
где знак минус берется в том случае, когда векторы
и v имеют одинаковое
ds
направление, и знак плюс — в противоположном случае.
Если г = г(£), где £ — произвольный параметр, то
dr d2r d3r
d£ d r df
1
( 2)
Р
dr d V |2
** d£2J
П р и м е р 1. Найти кривизну и кручение винтовой линии
г = ia cos t + ja sin £ + kbt (a > 0).
Р е ш е н и е . Имеем:
dr = -ia sin £ + ja cos t + kb,
dt
d*r = - ia cos £ —ja sin £,
dt2
djr = -ia sin £ - ja cos £.
d£3
Отсюда
d£ x d^T
d£ d£
i
J k
asin£ acosf b
-a cos £ -asinf 0
* cos £ + aZk
= iab sin t - jab
и
asm t acos£ b
acosf -asint 0
asin£ -acos£ 0
dr d2r d3r
d£ d£2 d£3
= a2,b.
,
2
+
з-
1
R
I
в
Следовательно, на основании формул (I) и (2) получим
3 /2
(a +b )
_
Я
a 2 +( bL'
1
a2b
b
Р a2{a2 + b2)
a +b
т, е. для винтовой линии кривизна и кручение постоянны.
§ 20* К р и в и зн а и к р у ч е н и е п ростран ствен н ой к р и в о й
3 е.
Ф о р м у л ы
24
1
Ф р е п е
dr = V dy _ _ 2 + Р dp = _v
ds
R* ds
R
p 1 ds
p'
2104. Доказать, что если кривизна во всех точках линии равна
нулю, то линия — прямая*
2105. Доказать, что если кручение во всех точках кривой равно
н улю , то кривая —- плоская*
2106. Показать, что кривая
х - 1 + 3* + 2 Д
у = 2 - 2t + 5t2, г = 1 - t2
плоская; найти плоскость, в которой она лежит,
2107* Вычислить кривизну линий;
а) х - cos t, у = sin t, z = ch f при t = 0;
б) x 2 - y2 + z 2 = 1, y2 - 2x + z — 0 в точке (1; 1; 1),
2108, Вычислить кривизну и кручение в любой точке кривых:
а) х — е cos t, у = е sin t, z = e ;
б) x = a ch f, у —a sh f, 2 = at (гиперболическая бинтовая л и *
гшя),
2109, Найти радиусы кривизны и кручения в произвольной точке
(х, г/, з) линий:
а ) х 2 = 2ау, х 3 = 6а2г;
б) х3 = Зр2*/, 2хг —р 2>
2110, Доказать, что тангенциальная и нормальная составляющие
вектора ускорения w выражаются формулами
Wt
dv
dt Tf Wv
о
где v — скорость, R — радиус кривизны траектории, т и V — еди­
ничные векторы касательной и главной нормали к кривой,
2111. По винтовой линии г = ia cos t + ja sin t + fctk движется рав­
номерно точка со скоростью и, Вычислить ее ускорение до.
2112. Уравнение движения есть
г = ti + t 2} + f3k.
Определить в моменты времени t — 0 и t — 1:
1) кривизну траектории;
2) тангенциальную и нормальную составляющие вектора ускоре­
ния движения.
Глава VII
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах
1°. Не по с р е д с т в е нно е вычис ле ние дво йных интегралов.
Двойным интегралом от непрерывной функции f{xt у), распространенным|
на ограниченную замкнутую область S плоскости XOY, называется предел !
соответствующей двумерной интегральной суммы
lim
Xi Xk
д%-л^(S)
uiaJcAi^где Ax. = x.' i 4 1 ~ xf, Дy k — y k + : - ук и сумма распространена на те значения
i и к, для которых точки (х.т у ^ принадлежат области S*
2°, Р а с с т а н о в к а п р е д е л о в и н т е г р и р о в а н и я в д в о й н о м
и н т е г р а л е * Различают два основных вида области интегрирования*
1) Область интегрирования S (рис, 85) ограничена слева и справа пря­
мыми х = х1 и х = х2 (х2 > Xj), а снизу и сверху — непрерывными кривыми
у ~ ср1(х) (АЙ) и у = ф2(х) (CD) [ф2(х) > ф^х)], каждая из которых пересекается |
с вертикалью х =
< X < х2) только в одной точке (см* рис. 85)* Е области
S переменная х меняется от до х2, а переменная у при постоянном х ме- |
няется от
—ф2{х) до у2 = ф2(х)* Вычисление интеграла (1) может быть
произведено путем сведения к повторному интегралу по формуле
J
f(x7 у) dx dу -
тахДлс.-
X,
f
{
x
<'
У
к )
у 2{х)
1 1 f{x, у) (Ь dy = J da: J
fix, у) dу,
iPj (дс)
(S )
Фг(*)
где при вычислении
f(x, у) dу величину х полагают постоянной*
Фх(х)
Рис* 85.
Рис* 86.
243
§ 1. Д вой н ой и н т егр ал в п р я м о у го л ь н ы х к о о р д и н атах
2) Область интегрирования S снизу ограничена прямыми у = у 1 и у —у2
(у2> Уг)* а слева и справа — непрерывными кривыми х = 1|/д(1/) (АВ) и х = у 2(у)
{CD)
^
каждая из которых пересекается с горизонталью у —У
{у < Y < у2) только в одной точке (рис- 86).
Аналогично предыдущему имеем
У2
JJ
iS)
f{x, у) dx dy = | dy
У}
Vj(tf)
J
f(xf y) dx,
Vliy)
Уъ(у)
J
где при вычислении интеграла
fix, у) dx величина у считается постоянной.
Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из разобран­
ных выше видов, то ее стараются разбить на части, каждая из которых от­
носится к одному из этих двух видов.
П р и м е р 1* Вычислить интеграл
1
1
/ = | dx | (х + у) dy.
Р е ше н и е .
1
1
2^ У= 1
XV + У~
dx =
/ *
2
1
у =*
о
о
I Х+
1
X2 \ н dx ” - .
X2 +. —
2
2
П р и м е р 2. Определить пределы интегрирования интеграла
ftx, y ) d x d y ,
и
W
v
2
2
если область интегрирования S (рис. 87) ограничена гиперболой у - х — 1
и двумя прямыми х = 2 и х = -2 (имеется в виду область, содержащая начало
координат)*
Р е ш е н и е . Область интегрирования ABCD (рис. 87)
ограничена прямыми х ^ - 2 и х = 2 и двумя ветвями
гиперболы:
У = J l + X2 и у — - J l + X
т, ет принадлежит к первому виду. Имеем
2
JiCV2
1 1 /{х, У) dx dy = | dx J
fix, y) dy.
-Ji
Вычислить следующие повторные интегралы:
1
1
2
i
dx Г x 2 dy
2115.
2113, J d.i/ J (x2 + 2y) dx
J l +y2
0
0
о
□
2
x 2 dy
dx
2116.
J У2
+у У
1
+ X ‘
2u4-J I or“-
I
I
X
X
2
244
Г л ав а V II. К Р А Т Н Ы Е И К Р И В О Л И Н Е Й Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы
л
2
Зсозф
2119. Г dtp I г sin cpdr.
J
J
л
0
~о
,1
*
1^
2л
а
2118. | dcp Г г dr.
0
аатф
1—
1
1
3
5
2117. [ dy Г (х + 2у) dx.
J
J
-3
2120. 1 dx
0
J l - x 2~ y 2 dy.
0
Написать уравнения линий, ограничивающих области, на которые
распространены нижеследующие двойные интегралы, и вычертить эти
области:
3
2х
2
2~у
2121. [ dy [ f(x, у) dx.
2124. f dx f fix, y) dy.
J
J
J
J
1
Ml 1
3
4 1
3
x +9
з
4‘i b - x 2
2122. f dy f fix, y) dx.
2125. f dx
I* fix, y) dy.
J
J
J
J
0
0
1
4
10-y
2
x +2
2123. [ dy f ftx, y) dx.
2126. f dx f fix, y) dy.
-t
X2
о
у
X
ш
■•4s:
■
•is*-
J
t-
Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в
■
:&
■:.К
двойном интеграле
И
iS)
f(x, у) dx dу
*
для указанных областей £.
2127. S — прямоугольник с вершинами
0(0; 0), А(2; 0), Б(2; 1), 0(0; 1).
2128. S — треугольник с вершинами 0(0; 0),
А( 1; 0), В( 1; 1),
'-т
2129. S — трапеция с вершинами 0(0; 0), v
А(2, 0), Б( 1; 1), С(0; 1).
2130. S — параллелограмм с вершинами
А( 1; 2), Б(2; 4), С(2; 7), 0(1; 5).
2131. S — круговой сектор ОАВ с центром в :
точке 0(0; 0), у которого концы дуги А( 1; 1) и
Б(—1; 1) (рис. 88).
2132. S — прямой параболический сегмент
АОВ, ограниченный параболой ВОА и отрез­
ком прямой БА, соединяющим точки Б(—1; 2)
и А(1; 2) (рис. 89),
-У it
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах
245
2133, S — круговое кольцо, ограниченное окружностями ради­
усов г = 1 и й = 2 , с общим центром 0(0; 0).
2134, S ограничена гиперболой у - х = 1 и окружностью х + у = 9
(имеется в виду область, содержащая начало координат),
2135, Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
1 1 f( x7 у) dx dy,
(s>
если область S определяется неравенствами:
а) х > 0; у > 0; х + у < 1; г) у > х; х > -1; у < 1;
2 , 2 ^ -2
д) у < х < у + 2а;
б) х + у < а ;
0 ^ у < а*
в) х + у
х;
Переменить порядок интегрирования в следующих двойных ин­
тегралах:
4
2а
12х
2140. J dJC
2136, J djc J f(x, у) dy,
0
J \a x
Зх2
0
j
f(x, y) dy,
J2ax - x ‘
Ja2- хг
2138. J djc |
f(x, y) dy.
1
l-y
2141, | dy |
f(x, £/)dx,
0
l
7s-y2
2142. Jdy J /(x, y)dx.
g2~
Ml
1
Зх
2137. J dx J fix, у) Ay.
2x
X 2
2a
J*2ax - x '
2139 . J dx
J
f(x, y) dy
R j2
Jr 2- x'
2143, | dx | f(x, y) dy + | dx
J f(x, y)dy,
0
0
R j2
R
9
sin#
2144. | dx J f(x, у) dy.
0
0
tt
Вычислить следующие двойные интегралы:
2145,1 1 jcdx dy, где S — треугольник с вершинами 0(0; 0), A(l; 1)
<S)
и B{0; 1),
246
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
t
2146. J I х dx dу, где область иитегри- |
№
рования S ограничена прямой* проходя­
щей через точки А{2; 0), В(0; 2), и дугой
окружности с центром в точке С(0; 1), ра­
диус 1 (рис. 90).
— , где S — часть
2147 • f Г
J J J a 2 - х- У
(S )
круга радиуса а с центром в точке 0(0; 0),
лежащая в первой четверти.
2148. J j" J Д'2 “ г/3 dx
(S)
А( 1; -1 ) иВ( 1; 1).
где S — треугольник с вершинами 0(0; 0),
2 1 4 9 .1 1 J x y - у 2 dx dу, где S — треугольник с вершинами 0(0; 0),
(S)
А(10; 1) иВ( 1; 1).
2 1 5 0 .1 1 exiydxdy* где S — криволи(S)
нейный треугольник ОАВ, ограниченный
параболой у = х и прямыми х = 0, у = 1
(рис, 91),
2151. f f х
, где S — параболиJ J x 2 ч- ц2
(S)
чес кий сегмент, ограниченный параболой
У
и прямой у = X.
2152. Вычислить интегралы и вычертить области, на которые они
распространены:
я
1 + совят
a) J dx
J
у2 sin х dу;
'1Г
3?
ч
$
и
§ 1. Д вой н ой и н т егр ал в п р я м о у го л ь н ы х к о о р д и н атах
247
При решении задач № № 2153—2157 рекомендуется предвари­
тельно делать чертеж.
2153. Вычислить двойной интеграл
J J х у 2 dx dу,
<S)
2
если S есть область, ограниченная параболой у —2р х и прямой х
2154** Вычислить двойной интеграл
J
j x y dxdy,
($)
распространенный на область S, ограниченную осью О Х и верхней
2
2
полуокружностью (х - 2) + у =f 1 .
2155. Вычислить двойной интеграл
dx dу
9
>/2а х
где S — круг радиуса а, касающийся осей координат и лежащий в
первом квадранте.
2156*, Вычислить двойной интеграл
J J у dxdy,
(S)
где область S ограничена осью абсцисс и аркой циклоиды
X ™i?(£ - sin £),
у ы R( 1 - cos t) (0
2л).
2157. Вычислить двойной интеграл
| J х у d * dy t
(S)
в котором область интегрирования S ограничена осями координат
и дугой астроиды
х ** R cos3 £, у = R sin3 t ^0 < t < ^ .
2
2158» Найти среднее значение функции f(x> у) — х у в области
S { Q < x < 1; 0 < v < 1}'
У к а з а н и е . Средним значением функции f{xf у) в области £ называв
ется число
1
=
f f f{x , j/)dzd{/.
пл. S J J
(S )
2159, Найти среднее значение квадрата расстояния точки М ( х г у)
2
2
2
к РУга (я - а) + у < R от н ач ал а координат.
248
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле
1°. Д в о й н о й и н т е г р а л в п о л я р н ы х к о о р д и н а т а х . При
переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат х , у к полярным
г, <р, связанным с прямоугольными координатами соотношениями
х = rcos ф, у = rsin ф,
имеет место формула
| /<*, у) d* dy =
и
f(rcos Ф, rsin ф) г dr dф.
U)
(S)
Если область интегрирования S ограничена лучами г = а и г “ (3(сх<р)
и кривыми г = г^ф) и г = г2(ф), где гг(ф) и г£(ф) (гДф) < гг(ф)) — однозначные
функции на отрезке си К ф < |3, то двойной интеграл может быть вычислен
по формуле
Р
rz(V)
гг(<р)
где
г) —f(r cos ф, rsin ф). При вычислении интеграла
величину ф полагают постоянной.
Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду*
то ее разбивают на части, каждая из которых является областью данного
вида.
2°. Д в о й н о й и н т е г р а л в к р и в о л и н е й н ы х к о о р д и н а т а х .
В более общем случае, если Дх* у) непрерывна, и в двойном интеграле
требуется от переменных х л у перейти к переменным и, V, связанным с х ,
у непрерывными и дифференцируемыми соотношениями
х “ ф(и, и), у - ф(а, о).
устанавливающими взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное со­
ответствие между точками области S плоскости XOF и точками некоторой
области S' плоскости UO'V, при атом якобиан
дх ду
1 = Р{х,у) = Ьи ди
Р(и, t>)
дх
дv dv
сохраняет постоянный знак в области S , то справедлива формула
J 1
у) dx dy = | J / [ф(щ
(S')
v),
ф(щ
v
)]
j/f d и dy.
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле
%
249
Пределы нового интеграла определяются по общим правилам на основа­
м и вида области S'.
П р и м е р 1. Перейдя к полярным координатам, вычислить
| J J l - х 2- у 2 dxdy,
(5)
где область S — круг радиуса R = 1 с центром в на­
чале координат (рис. 92).
Р е ш е н и е . Полагая х = rcos ср, у = rsin ф, по­
лучаем
J l - х 2- у 2 — J l - (гcosip)2 - (г5П1ф)2 = J l - г2 .
Так как в области S координата г при любом ф
изменяется от 0 до 1, а ф изменяется от 0 до 2л, то
2я
г
J J J l - х 2- у 2 dx dy = J dtp J* r j l - r 2 dr « -71.
3
(S)
о
о
Перейти к полярным координатам г, фи расставить пределы ин­
тегрирования по новым переменным в следующих интегралах:
1
1
2X60, J cbe | f{x, у) dу.
2161. | dx j f ( J x 2 + у 2) dy.
О
о
2X62. Г f f ( x r у) dx di/, где S — треугольник, ограниченный пряМЫМИ
у
2163.
(S)
= X,
у = —X, у ”
j j
d*
-1
1.
/ ( g dp.
*2
2164. f J m , y) d* dу. где область S о т р а ж е н а лемнискатой
S)
, 2 ,
(x
2.2
2d 2
2.
+ у ) = a (x “ у ).
2165. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной ин­
теграл
1 1 У d x dy,
(S)
где S — полукруг диаметра а с центром в точке
С( | ; 0 j (рис. 93).
Рис, 93.
250
^ л а в а V II. К Р А Т Н Ы Е И К Р И В О Л И Н Е Й Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы
2166, Переходя к полярным координатам, вычислить двойной ин­
теграл
(х2 + y2) d x d y ,
($)
2
2
распространенный на область, ограниченную окружностью х + у =
—2 ах.
2167* Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл
и
1 1 J a 2 - х 2- у 2 dx dy,
(S)
где область интегрирования S — полукруг радиуса а с центром в на­
чале координат, лежащий выше оси О Х .
2168, Вычислить двойной интеграл от функции ft г, ср) = г по об­
ласти, ограниченной кардиоидой г = а( 1 + cos ф) и окружностью
-т;
г —а. {Имеется в виду область, не содержащая полюса.)
Ч
2169. Переходя к полярным координатам, вычислить
$
а
J dx |
J x 2 + y 2 dу,
О
О
2170. Переходя к полярным координатам, вычислить
J J J a 2 - х 2 - у 2 dx dy t
(5)
где область S ограничена лепестком лемнискаты
t 2 .
2^2
2/
2
2ч
>
а
\
(лс + У ) = а (а: - у ) (х > 0).
2171*. Вычислить двойной интеграл
v2 1/2
ш
(S )
2
2
распространенный на область S, ограниченную эллипсом — + ^ ~
переходя к обобщенным полярным координатам г и ф по формулам |
- = г cos ф, & = г sin ф.
а
о
2172**. Преобразовать
с
J dx | /(*, у) dу
О
аж
(0 < а < Р и с > 0), введя новые переменные и — х + у, uv —у*
§ 3* Вычисление площадей фигур
2173*- Выполнить замену переменных и
теграле
г
1
| dx j f(x, у) dу.
О
о
2174**. Вычислить двойной интеграл
j l
251
х + у , и = х - у в ин-
dX
(S)
где S — область, ограниченная кривой
( ^ + У1)2 =
U 2 ЪУ
_ ut
Ь2
к2'
У Ка з а н и е, Произвести замену переменных
х —ar cos ф, у = hr sin ф.
§ 3. Вычисление площадей фигур
1°. П л о щ а д ь в п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т а х . Площадь
плоской области S равна
-Л
пл. S =
йхйу-
{S)
Если область S определена неравенствами а < х < £>, ф(х) < у <
Ь
то
Щх)
пл. $ = J* dx J* dу.
а
Ф(х)
2°, П л о щ а д ь в п о л я р н ы х к о о р д и н а т а х . Если область S в по­
лярных координатах гиф определена неравенствами а < ф< [X f(ф) < г < Е(ф), то
Е*
Л ф)
пл. S = J* J* г dtp dr = J* dtp J* r d/\
IS)
«
тчф)
2175* Построить области, площади которых выражаются интег­
ралами:
2
хт2
a
J a 2- у2
а) | dx | dу;
б) | dy J* dx.
О
а-у
-1
ВьЧислить эти площади и изменить порядок интегрирования*
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
252
2176,
ралами:
Построить области, площади которых выражаются интег­
a rc tg 2
а)
|
rt
3sec<p
d(p |
0
2
Гdr;
<з{1 + costp)
6) J dtp
_n
4
J
a
г dr*
2
Вычислить эти площади*
2177.
Вычислить площадь* ограниченную прямыми х = у, х “ 2^,
я + у = а, л1 -г Зу = а (а > 0).
2178* Вычислить площадь, лежащую над осью О Х и ограниченную этой осью, параболой у = 4ах и прямой х + у = За.
2179*. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом
(у - JC)2 + X2 = 1.
2180. Найти площадь, ограниченную параболами
у 2 = Юх + 25
I
I
и У2 = -6 х + 9.
2181. Переходя к полярным координатам, наити площадь, огра­
ниченную линиями
X2 + у2 = 2х,
х 2 + у2 = 4х,
у = х, у = 0.
2182. Найти площадь, ограниченную прямой г cos (р = 1 и окружностью г = 2. (Имеется в виду площадь, не содержащая полюса.)
2183* Найти площадь, ограниченную кривыми
г = а( 1 + cos ф) и г = a cos ф (а > 0).
2184. Найти площадь, ограниченную линией
(zl +ld )2 = ^ - ill
\ 4
9)
4
9 ■
2185*. Найти площадь, ограниченную эллипсом
■;
( х - 2 у + 3 f + (8х + 4 у - I ) 2 = 100.
2186. Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограни- :
ченного дугами парабол х 2 = ay, х 2 = by, у2 = 0.x, у = fix (0 < а < Ь, |
0 < а < (3).
У к а з а н и е . Ввести новые переменные и и г, полагая
,|:
.■*
X = иу, у = ох,
|
2187. Найти площадь криволинейного четырехугольника, огра- ^
2
2
й
Ь
ничейного дугами кривых у — ах, у = Ьх, ху = а, ху = р (0 < а <0 < а < Р).
У к а з а н и е . Ввести новые переменные и к v t полагая
ху =* и, у2 - ох.
§ 4. Вычисление объемов тел
253
§ 4. Вычисление объемов тел
Объем V цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью
z - f(x, у), снизу плоскостью z —0 и с боков прямой цилиндрической по­
верхностью, вырезающей на плоскости XOY область S (рис. 94), равен
Рис* 94.
Рис. 95,
2188.
Выразить при помощи двойного интеграла объем пирамиды
с вершинами 0(0; 0; 0), А{ 1; 0; 0), В(1; 1; 0) и С(0; 0; 1) (рис. 95).
Расставить пределы интегрирования.
В задачах №№ 2189—2192 нарисовать тела, объемы которых вы­
ражаются данными двойными интегралами:
0
2
0
2-х
0
2
0
2
2193, Нарисовать тело, объем которого выражается интегралом
J a 2 - х 2 - у 2 di/, и из геометрических соображений найти
о
о
значение этого интеграла.
2194. Найти объем тела, ограниченного эллиптическим парабо2
2
Бойдом г = 2х
е/ + 1 , плоскостью х + у = 1 и координатными
плоскостями.
2195. Тело ограничено гиперболическим параболоидом г — х 2 - у2
4 плоскостями (/ = 0, 2 = 0, 2 = 1. Вычислить его объем.
2196. Тело ограничено цилиндром х 2 + г2 = а2 и плоскостями у = 0,
г ' 0, у = х. Вычислить его объем.
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
254
Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:
2197. аг = у2, х 2 + у 2 = г2, г = 0.
2198. у = J x , у ^ 2 j x , х + г = 6, г = 0.
2199. г = дг2 + у 2, у = х 2, у = 1, z = 0.
2200. х + у + z = а, Зх + у = а, ^ х + у = а, у = 0, г = 0.
2201. ^
^ = 1, у - - х , у - 0, г = 0.
а1
сг
а
2202. х 2 + у2 = 2ах,
2
=* ах, г - fix (а > (3).
Б задачах №№ 2203—2211 использовать полярные и обобщенные
полярные координаты*
2
2
2203. Найти весь объем, заключенный между цилиндром х + у =
2
2
2
2
2
= а и гиперболоидом х + у - г = - а .
2
2
2204. Найти весь объем, заключенный между конусом 2{х + у ) 2
^
2 . 2
2
2
~ г = 0 и гиперболоидом х + у - 2 = —а .
2
2
2205* Найти объем, ограниченный поверхностями 2аг = х + у ,
2 .2
2
2
п
X Л- у - 2 = ( 2 , 2 = 0.
2206. Определить объем эллипсоида
у2
ij 2
2L + й- +
а
ь*
= 1*
2
2
’
2207. Найти объем тела, ограниченного параболоидом 2аг = х
у
и шаром х 2 + у2 + 2 2 = За2. (Подразумевается объем, лежащий внутри
параболоида.)
2208. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью XOY*
2
2 л
2 2
2
цилиндром л: + ^ = 2ах и конусом д: + у = z .
2209. В ы ч и с л и т ь объем тела, ограниченного плоскостью X O Y , по*-;.
2 .2
верхностью г =
+^ и цилиндром х* +
= Д*.
2210. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью X O Y , па- .
раболоидом
2
=
2
2
+ Si = 2 5 .
+ У— и цилиндром
а
Ь2
а2
Ь2
ГП1
а2
2
2
2
2
2211. В каком отношении гиперболоид х + у — z = а делит,
2
2
2
2
'
объем шара j c + ( / + z < 3 a ?
2212*. Найти объем тела, ограниченного поверхностями г = х + y t]
ху = 1, ху = 2, у = х, у = 2х, г = 0 (л > 0, у > 0).
§ 5, Вычисление площадей поверхностей
255
§ 5, Вычисление площадей поверхностей
Площадь а гладкой однозначной поверхности z = f(xt у), имеющей своей
проекцией на плоскость XOY область S , равна
CF=
dx dy.
2213* Найти площадь части плоскости - + ^ + - — 1, заключена
Ь с
ной между координатными плоскостями.
2
2
2
2214. Найти площадь части поверхности цилиндра х 4* у = R
(z > 0), содержащейся между плоскостями г ~ т х и г = п х (т > п > 0).
2215*. Вычислить площадь части поверхности конуса х - у = 2 ,
расположенной в первом октанте и ограниченную плоскостью у 4- г = а.
2216. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х + у = ах,
2
2
2
2
вырезанной из него сферой х + у + г — а .
2
2
2
2
2217. Вычислить площадь части поверхности шара х + у + г = а ,
у2
t/2
вырезанной поверхностью — 4
=1.
а2
Ь2
2
2
2218. Вычислить площадь части поверхности параболоида у 4 г =
= 2а х у содержащейся между цилиндром у 2 - ах и плоскостью х = а.
2219. Вычислить площадь части поверхности цилиндра# + у ^ 2 а х ,
2
2
2
содержащейся между плоскостью X O Y и конусом х 4 у = z ,
2
2
2
2220.1*. Вычислить площадь части поверхности конуса х - у = z ,
2
2
лежащей внутри цилиндра х 4 у = 2ах.
2*. Найти площадь части цилиндра у = 4х, вырезанной сферой
*2 + у2+ г 2 - 5х.
3*, Найти площадь части конуса г = У.г2 4 у2 , вырезанной ци­
линдром (я2 4- г/2)2 = а2(х2 - у 2).
2221*. Доказать >что площади частей поверхностей параболоидов
2
2
2
2
2
2
2
х 4- у = 2az и х - у = 2аг, вырезаемых цилиндром х + у = В ,
равновелики.
2222*. Шар радиуса а прорезан двумя круглыми цилиндрами,
Диаметры оснований которых равны радиусу шара и которые каса­
ется друг друга вдоль одного из диаметров шара. Найти объем и
площадь поверхности оставшейся части шара.
2223*. В шаре радиуса а вырезан просвет с квадратным основа­
нием, сторона которого также равна а. Ось просвета совпадает с диа­
256
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
метром шара. Найти площадь поверхности шара, вырезанной про­
светом*
2224*. Вычислить площадь части винтовой поверхности z =
= с arctg ^ , лежащей в первом октанте и заключенной между циX
2
2
2
2
2
2
линдрами х + у = а и х 4-у = b ,
§ 6. Приложения двойного интеграла к механике
1°, Ма с с а и с т а т и ч е с к и е м о м е н т ы п л а с т и н к и . Если S
область плоскости XOY, занятая пластинкой, и р(дгт у) — поверхностная
плотность пластинки в точке (я, г/), то масса М пластинки и ее статические^
моменты Мх и M Y относительно осей ОХ и OY выражаются двойными ин­
тегралами
М = J | р(х, у) dx dy,
(S)
Му =
Я у Р (х , у) d* dy, Му = 1 1 *р(х, у) d* dу.
(5)
(1)
(S)
Если пластинка однородна, то р(х, у) - const.
2й. К о о р д и н а т ы ц е н т р а т я ж е с т и
С{х , у ) - центр тяжести пластинки, то
М у
_
пластинки.
Если
М у
я " м ’ у = а Г*
I
где Af — масса пластинки,
Му — ее статические моменты относительно "
осей координат (см. 1°). Если пластинка однородна, то в формулах (1) можно
положить р = 1.
3°. Мо м е н т ы и н е р ц и и п л а с т и н к и . Моменты инерции пластинки относительно осей ОХ и OY соответственно равны
| J* у2р(х, у) dx dy, Iу = | J x2p{x, у) d* dy.
(SI
<S)
Момент инерции пластинки относительно начала координат
IQ- \ j
4 У2)Р(Х>У)
dy = I x + I y.
( 3 ||
(5)
l
Полагая
у) = 1 в формулах (2) и (3), получаем геометрические мо*;
менты инерции плоской фигуры.
д
2225. Найти массу круглой пластинки радиуса Д, если плотност^д
ее пропорциональна расстоянию точки от центра и равна 5 на краю |
пластинки.
4
Оц*.
§ 6. Приложения двойного интеграла к механике
257
2226* Пластинка имеет форму прямоугольного треугольника с ка­
тетами ОВ = а и ОА = Ь, причем плотность ее в любой точке равна
расстоянию точки от катета ОА* Найти статические моменты плас­
тинки относительно катетов ОА и ОВ *
2227* Вычислить координаты центра тяжес­
ти фигуры ОпгАпО (рис* 96), ограниченной кри­
вой у —sin х и прямой ОА, проходящей через на­
чало координат и вершину
; 1 j синусоиды*
2228. Найти координаты центра тяжести фи­
гуры, ограниченной кардиоидой г —а{1 + cos ф).
2229* Найти координаты центра тяжести
кругового сектора радиуса а с углом при вер­
шине 2а (рис* 97)*
2230* Вычислить координаты центра тяжести
фигуры, ограниченной параболами у = 4х + 4 и
у2 = - 2 х + 4,
2231* Вычислить момент инерции треуголь­
ника, ограниченного прямыми х + у = 2, х — 2, у = 2, относительно
оси О Х .
2232* Найти момент инерции кругового кольца с диаметрами d
и D (d < D): а) относительно его центра и б) относительно его диа­
метра*
2233* Вычислить момент инерции квадрата со стороной а отно­
сительно оси, проходящей через его вершину перпендикулярно плос­
кости квадрата,
2234** Вычислить момент инерции сегмента, отсекаемого от па2
раболы у = ах прямой х = а, относительно прямой у “ —а *
2235** Вычислить момент инерции площади, ограниченной ги­
перболой ху = 4 и прямой х + у = 5, относительно прямой х = у,
2236** В квадратной пластинке со стороной а плотность пропор­
циональна расстоянию от одной из ее вершин* Вычислить момент
инерции пластинки относительно стороны, проходящей через эту
вершину*
2237* Найти момент инерции кардиоиды г = а(1 + cos ф) относи­
тельно полюса.
2
2238* Вычислить момент инерции площади лемнискаты г =
= 2а cos 2ф относительно оси, перпендикулярной ее плоскости в по­
люсе*
2239*. Вычислить момент инерции однородной пластинки, огра­
ниченной одной аркой циклоиды х ~ a(t ~ sin t), у — а(1 ~ cos t) и
осью О Х , относительно оси О Х *
& Задачи н упраж нения
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
258
§ 7. Тройные интегралы
ЗЛ Т р о й н о й и н т е г р а л в п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т а х .
Тройным интегралом от функции f(xy у, z)t распространенным на область И,
называется предел соответствующей трехкратной суммы:
JJJИх, у, » i x i y i 2 -Jlrn^ Y
V
max
hid» Лл.
-*fl0
Z L
^
*Г
^
max A z k — 0
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению
трех обыкновенных (однократных) интегралов или к вычислению одного
двойного и одного однократного.
Пр и м ер 1. Вычислить
I —
111
^2|
(V)
где область У определяется неравенствами
О < х < 1, 0 < у <: х, 0 < z < хуг
Р е ш е н и е . Имеем:
1
х
ху
1
х
xy
1 J dx | dy J* х у г dz =- J dx J х У ^
Ay =
о
о
о
о
1
10
l
= г
dx Г
dx = 1
M
M
i 25
110
J ю
о
0
о
П р и м е р 2. Вычислить
X
J* J J* x2 dx dy dz,
(У)
22 = 1.
распространенный на объем эллипсоида — + я! +■ —
а
b2
Ре ше ние ,
a
1 *, d i f j
{У)
-a
£
уг
i>2
X*
a2
dy dz
-а
( S yi)
z2
+ — = 1
c2
• c
h
У
-
—2
a2
=
--
a2
a-
Поэтому окончательно имеем
ш
а
х2 dx dy dz = nbc J" x2l 1 - ^ 5 ) dx = 1ia3bc.
a1)
15
~a
(V>
259
§ 7* Т р о й н ы е и н т егр ал ы
2°. З а м е н а п е р е м е н н ы х
тройном интеграле
ш
в тройном интеграле.
Если в
fix , у, 2) dx dу d2
(У)
от переменных х , у, г требуется перейти к переменным и, v, до, связанным
с х, у* * соотношениями х = ф(и, и, до), у = ф(и, v, w), 2 =
vt w)t где
функции ф, ф, х:
1) непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка;
2) устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное со­
ответствие между точками области интегрирования V пространства OXYZ
и точками некоторой области V * пространства O'UVW;
3) функциональный определитель (якобиан) этих функций
Эх дх дх
ди dv Эдо
j = D(xt yt z) =
D(u, v, до)
ди Эу Эдо
dz dz dz
Эи dv dw
ш
сохраняет в области V постоянный знак, то справедлива формула
}{х, у, г) dz dy dz = | J J m u . vt до), ф(и, о, до), %{и, v, до)] \l\ du dv dдо.
ПО
(V1)
В частности:
1) для цилиндрических координат г, ф, к (рис. 98), где
х - rcos ф, у — rsin ф, z - hy
получаем, что I — г;
2) для сферических координат ф, ф, г (ф — долгота, ф — широта, г — ра­
диус-вектор) (рис. 99), где
х = rcos ф cos ф, у rcos ф sin ф, z = rsin ф,
_ 2
имеем I = г cos ф.
Рис. 98.
ш
П р и м е р 3. Переходя к сферическим координатам, вычислить
где V __ шар радиуса R.
*Jx2 + у 2 + z 2 dx dy dZi
Глаза VfL КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
260
Р е ш е н и е , Д л я ш ар а пред елы и зм ен ени я сф ерических координат
( д о л г о т ы ) , ц/ ( ш и р о т ы ) и г ( р а д и у с а - в е к т о р а ) б у д у т :
0 < Ф < 2л, - 5 < ¥ < ^ .
о< r<
R.
П о это м у будем и м еть
Д
2л
I J I
J x 2 + yz + z 2 d x dy dz = J йф |
(V)
0
3°. П р и л о ж е н и я т р о й н ы х
м е р н о г о п р о с т р а н с т в а OXYZ р а в е н
V=
_K
rr2cos ¥
dr
= nR4.
0
интегралов*
Я1
У)
ш
d¥ I
Объем о б л а с т и
трех^|
dz.
Масса т е л а , з а н и м а ю щ е г о о б л а с т ь V *
М гд е
у{ху у, z ) d x d y d z ,
у(х, у, z) — п л о т н о с т ь т е л а в т о ч к е ( х ; у; г ) .
л
Статические моменты т е л а о т н о с и т е л ь н о к о о р д и н а т н ы х п л о с к о с т е й : ч
у(х,
ш
У1 z)z d x
dу
dz;
(у)
/ Я
м У7 =
у(х
, у, z)x dx dy
dz;
У)
M ZX
=
Ш
У(#, у, z)y d x d y dz.
<П
Ядордыиа/тхы цвдлгра тяжести:
”х _
~ _ ^ -z ..x
М
__ * у
Af
7
< *
v
_ ^ХУ
М
Е с л и те л о од но р о д н о , то в ф о р м у л а х д л я к о о р д и н а т ц е н тр а т я ж е с т и м о ж ­
н о п о л о ж и т ь у ( х , у , z) = 1*
Моменты инерции о т н о с и т е л ь н о о с е й к о о р д и н а т :
J
Ix
=
1 1
Iy
=
1 1 1
У)
(П
^
+
Y^
^
Y^
^ d* d^ d2;
/ z ^ J J J ( * 2 + И ) Y (*>
dX
г) d x dy d z .
m
П о л о ж и в в э т и х ф о р м у л а х у ( х т у , г ) = 1 , п о л у ч и м г е о м е т р и ч е с к и е мо<
м е н ты и н ер ц и и тела.
§ 7. Тройные интегралы
261
А. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ш
Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле
f ( x t у , z) dx dy dz
(Г)
для указанных областей V:
2240, V — тетраэдр, ограниченный плоскостями
х -г у + z — 1, х = 0, */ = 0, г s= 0.
2241, V — цилиндр, ограниченный поверхностями
х 2 + у 2 = R 2, z = 0, г = Н .
2242*. V — конус, ограниченный поверхностями
х^ + Цм =__ 2—*ч , 2 С
а1
Ь“
сг.2
2243. V — объем, ограниченный поверхностями
ч
2
2
п
2 = 1 - Х ~У * 2 = 0.
Вычислить следующие интегралы:
1
dz
м
sjx + у + Z 4- 1
0
2
0
J4x-f
2Jx
f
2245. | dx f ^
О
0
Ja2- x2
а
Ja2- x2- y2
Г
0
0
l-x
J
0
dy
I
f
x dz ,
dг
+Ja2 - х 2 - у2 - г2
l - x - ij
dy
0
2248. Вычислить
Г
xyz
d
0
ш
ш
dr dy dz
(х-\-у-\-г-\-1)3
{У)
где V — область интегрирования, ограниченная координатными
плоскостями и плоскостью х + у -f z = 1.
2249. Вычислить
(х + у + z f dx dy dz.
00
2
2
2
2
где V — общая часть параболоида 2az > х + у и шарах + у
2
2
<3а.
262
Глава VII, КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2250, Вычислить
J J J г 2 dx dy dz,
(У)
2
2
2
2
где V — общая часть шаров х + у + г < R и х
2251. Вычислить
ш
2
2
2
+ у + г ^ 2Rz.
z dx dy dz,
(V)
где V — объем, ограниченный плоскостью г = 0 и верхней половиной
X2 II2
эллипсоида — +
+ — =1,
а2 Ь2
с2
2252. Вычислить
(V)
х 2 „2
22
где V — внутренность эллипсоида — + *— -f — = 1.
а2 Ь2
с2
2253. Вычислить
ш
z dx dy dz,
(У)
где V — область, ограниченная конусом г 2 = ~ (х 2 + у2) и плоскостью
R2
2 = Л.
2254. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить
ш
dx dy dz,
{У)
2
2
2
где V"— область, ограниченная поверхностями х + у + z = 2R z r
2
2
2
х + у = z и содержащая точку {0; 0; Я).
2255. Вычислить
*/2хJ dx J
dy J* Za/ x 2 + у 2 dz,
преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам.
2256. Вычислить
2r
J2
*Jir2“
f dx
f
dy
f
dz,
о
о
преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам.
Г Х -
Х ‘
§ 7. Тройные интегралы
263
2257. Вычислить
J r * - х2
r
J
dx
J
J r 2 - х 2 - у1
d9
(x2 + y2) dz,
J
-R
-JR2-ar*
0
преобразовав его предварительно к сферическим координатам.
2258. Перейдя к сферическим координатам, вычислить интеграл
J* J* J *jx2 + у 2 + z 2 dx dy dz,
tv)
2
где V — внутренность ш ара х 4- у
2
2
f z < х.
Б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ С ПОМОЩЬЮ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
2259.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ог­
раниченного поверхностями
2
2
2
у = 4а - 3ах, у = ах, z - +Л.
2
2
2260*. Вычислить объем части цилиндра х Л-у — 2 ах, содержа2
2
щейся между параболоидом х 4 - у = 2az и плоскостью X O Y .
2
2
2
2261*. Вычислить объем тела, ограниченного сферой х 4 у + z =
2
2
2
2
= а и конусом z = х 4- у (внешнего по отношению к конусу).
2
2
2
2262*. Вычислить объем тела, ограниченного сферой х 4 - у 4- г ~
2
2
- 4 и параболоидом я + у = 3z (внутреннего по отношению к па­
раболоиду).
2263. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью XOY,
2
2
2
2
2
2
цилиндром х 4 - у — ах и сферой х 4 у 4- z = а (внутреннего по
отношению к цилиндру).
2264. 1. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом
сН
+ — = 2 - и плоскостью а: = а.
с2
а
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
(* 1
+ л!
+ — ')2 — х ‘2 + у 2 _
2-2
Ь2
а1
Ь2
\.а3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
v?
1>2
ч2
-v 2
1/2
+ Г + £ ! = 2 , ^ + Г - ^ = 0, г > 0 .
а1
а
г?2
В. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
2265.
Н айти массу М прямоугольного параллелепипеда 0 < х < а,
0 у < Ь, 0 < z < с, если плотность р(х, у, z) в точке (х , у, z) численно
Равна х 4- у 4 z.
264
Глава VII, КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2266,
Из октанта шара х 2 + у2 + z 2 < с2,
z > 0 вырезано тело ОАВС, огра­
ниченное координатными плоскостями и плос­
С
костью - + ^ = 1 (а < с,Ь < х) (рис, 100). Найти
а b
массу этого тела, если плотность его в каждой
точке (х, г/, z) равна аппликате этой точки.
2267*. В теле, имеющем форму полушара
2. 2 , 2^ 2
^ -
X
Рис. 100.
пропорционально расстоянию точки от центра. Найти центр тяжести
этого тела,
2268. Найти центр тяжести тела, ограниченного параболоидом
2
2
у + 2 2 = 4х и плоскостью х = 2.
2269.
Найти момент инерции круглого цилиндра, высота которо­
го h и радиус основания а, относительно оси, служащей диаметром
основания цилиндра.
2270*. Найти момент инерции круглого конуса, высота которого А,
радиус основания а и плотность р, относительно диаметра основания.
2271**, Найти силу притяжения однородного конуса высоты h с
углом а при вершине (в осевом сечении) к материальной точке еди­
ничной массы, расположенной в вершине конуса.
2272**. Показать, что сила притяжения, действующая со стороны
однородного шара на внешнюю материальную точку, не изменится,
если всю массу шара сосредоточить в его центре.
§ 8* Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Несобственные кратные интегралы
1°. Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е по п а р а м е т р у . При
некоторых
ограничениях , налагаемых на функции /(х, а),
(х, а) и на соответст­
вующие несобственные интегралы, имеет место правило Лейбница
оо
_d^ | f(xy a) dx = | /' (x, a) dx.
da
a
a
П р и м е р 1. С помощью дифференцирования по параметру вычислить
0
* См +: JI. Д. К у д р я в ц е в . Краткий курс математического анализа, т. 2, гл. 5,
§ 49, 50. — Висагинас: «Alfa#, 1998.
265
§ 8* Несобственные интегралы
Р е ш е н и е . Пусть
j
е-а*а_
X
d* - F(a, р).
Тогда
dF(a, р) =
Эа
I
со
хе'а*2 dx = _1_ хе -их2 О
2а
_1_
2а *
Отсюда F(a, Р) = - М п а + С(р). Чтобы найти С(Р), полагаем в последнем
равенстве а = (3, Имеем 0 =
и
In J3 + С(р).
Отсюда С(Р) = ^ In Р, Следовательно,
и
Р(а, Р) =
In а + 1 1» Р = | In | .
2°. Н е с о б с т в е н н ы е д в о й н ы е и н т е г р а л ы , а) Сл у ч а й
б е с к о н е ч н о й о б л а с т и . Если функция f(x, у) непрерывна в неогра­
ниченной области S , то полагают
1 1 f{x, у) dx dу « liin 1 1 /(x, у) dx dу,
(1)
(S)
(<Я
где n — конечная область, целиком лежащая в S , причем ст —* S означает,
что мы расширяем область о по произвольному закону, так чтобы в нее во­
шла и осталась в ней любая точка области S . Если предел в правой части
существует и не зависит от выбора области ct, то соответствующий несобст­
венный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходя­
щимся.
Если подынтегральная функция f(x, у) неотрицательна {f{x, у) > 0), то
для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы
предел в правой части равенства (1) существовал хотя бы для одной системы
областей а, исчерпывающих область S ,
б) С л у ч а й р а з р ы в н о й ф у н к ц и и . Если функция /(х, у) непре­
рывна в ограниченной замкнутой области S всюду, за исключением точки
Р(а; Ь), то полагают
1 1 f(xt у) dx di/ = Игл | | f(x, у) dx dy,
(2)
(S)
tsp
где S — область, получаемая из S путем удаления малой области диаметра
г, содержащей точку Р. В случае существования предела (2), не зависящего
от вида удаляемых из области S малых областей, рассматриваемый несоб­
ственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае — расхо­
дящимся.
Если f(xt у) > 0, то предел в правой части равенства (2) не зависит от
266
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
вида удаляемых из области S областей; в частности, в качестве таких об­
ластей можно брать круги радиуса ^ с центром в точке Р.
Понятие несобственных двойных интегралов легко переносится на слу­
чай тройных интегралов.
Пр и м е р 2. Исследовать на сходимость
dx 6у
(3 )
(1 + х 2 + у2у ’
где S “ вся плоскость XOY.
Р е ш е н и е , Пусть а — круг радиуса р с центром в начале координат.
Переходя к полярным координатам, при р Ф1 имеем
2п
,(°) -J(я)I
1 (1
2
+
dx dp
(1 + х 2 4- у2)р
г
2 ) 1 ~
dtp
р
1-р
Если р < 1, то lim Да) =
0 —S
р
l i m
г dr
(1 -hr2)?
л
-р
[(1
+
р 2) 1
1].
До) = оо и интеграл расходится. Если же
р
р> 1, то Ит Да) = 71 и интеграл сходится. При р = 1 имеем
р ■«
р —1
2it
1(c) =
I*
J
р
dtp
Г
J
г
2
d г
------ = л In (1 + р ); lim Да) = оо, т. е. интеграл расходится.
1 + г2
р- ~
о
о
Таким образом, интеграл (3) сходится при р > 1.
2273. Найти /'( jc), если
эо
f(x) == J е ху dу (х > 0).
X
2274, Доказать, что функция
+СС
xf(z)
dz
X2 Л~(у ~ 2)2
- ocj
удовлетворяет уравнению Лапласа
д2и + д2и = 0.
дх2
ду2
2275.
Преобразование Лапласа F(p) для функции f(t) определяет­
ся формулой
“=I
F(p) = J e~ptf(t) df.
Vil
Найти F(p), если: a) /(f) = 1; 6) /(f) " e ; в) /(f) = sin Bf; г) /(f) = cos 6f.
§ 8, Несобственные интегралы
267
2276- Пользуясь формулой
1
Г х п 1 dx = i (п > 0),
J
п
о
вычислить интеграл
1
| х п 11п х d x .
о
2277*. Пользуясь формулой
со
f e-pt dt = i (p > 0),
J
P
вычислить интеграл
j0
.2 -pf .
t e dt,
Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следую­
щие интегралы:
со
2278
е - Н 1 _ е -Р*
X
•I
о
dx (а > 0, р > 0).
со
2279. | е ( д.6
о
sin т х dx (а > 0, Р > 0).
со
2280. f a--'-gaf dx.
J я(1 + X 2)
2281. f 1п( 1- « 2^г) dx (|aj < i).
j0
X 2f J\ - X 2
CO
2282. |
dx (a > 0).
0
Вычислить следующие несобственные интегралы:
СО
2283. |
СО
1
dx J e <x +l,)dy.
0
2285- f f
0
J J x4 + y1
(£)
ц'1
2284. J dy J
0
dx.
0
, где 5 — область, определяемая неравенствами
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
268
ос
2286*.
ос-
|
djc
J
*2.
(а > 0).
(х 2+ и2+ а 2)2
О
о
2287, Ин теграл Эйлера— Пуассона, определяемый формулой
сс
СО
dy. ПеI = J* е~*2 d x 7 может быть записан также в виде / = J*
о
о
ремножая эти формулы и переходя затем к полярным координатам,
вычислить I .
оо
2288, Вычислить
J
со
dx
о
J*
о
оо
dy
J
о
dz
(х2 + у 2 4- Z2 + I ) 2
Исследовать на сходимость несобственные двойные интегралы:
2289**. 1
J
In J x 2 + у 2 djc dу 7 где S — круг х Ч /
< 1.
(S)
2290. f Г ^х ^
J J (х 2 +у 2 У*
7 где S — область, определяемая неравенством
(£)
х + у > 1 («внешностью круга).
2
2
2291*. f f
dx -^-У- , где S — квадрат \х\ < 1, |у| < 1.
J J У (х - у)2
(S)
2292.
ГГ Г—
— j Где V — область, определяемая неравенJ J J (х2 +у2f и2 f z2 2)a
*) §
00
2
2
2
ством я Н- у + 2 > 1 («внешностью шара).
§ 9. Криволинейные интегралы
1 °. К р и в о л и н е й н ы й и н т е г р а л
п е р в о г о
т и п а . П усть
f { x y у ) — н е п р е р ы в н а я ф у н к ц и я , у « ф [а < х С Ь] — н е к о т о р а я г л а д к а я
кр и вая С.
П о с т р о и м с и с т е м у т о ч е к М ^ х . , у {) (г — 0 , 3 , 2 ,
л ), р а з б и в а ю щ и х к р и ­
вую С н а элем ен тар н ы е д уги
S n
^
f ( X p 1/ .)Д
М t _ 1M i =
A
sr
s .. П р е д е л э т о й с у м м ы п р и
и составим и н тегр альн ую сум м у
п
m и m a x Д у. ^ 0 н а з ы в а е т с я
криволинейным интегралом первого типа
п
lira
f(x., у.) Д s. = Г f(x, у) ds
f- 1
^
269
§ 9. Криволинейные интегралы
(ds — дифференциал дуги) и вычисляется по формуле
ь
| f(x, у) ds = | fix,
С
+ (ф'(х))2 dx.
а
Б случае параметрического задания кривой С: х = ф(£), у =
имеем
Р
[а < t < Р]
__________ _
| fix, у) ds = J Я ф ( 0 , v(0)«y<p'2( t) + v ' 2(i ) d t -
С
а
Рассматривают также криволинейные интегралы первого типа от функ­
ции трех переменных f(x t у , 2), взятые по пространственной кривой, которые
вычисляются аналогично. Криволинейный интеграл первого типа не зависити от направления пути интегрирования\ если подынтегральную функ­
цию / интерпретировать как линейную плотность кривой интеграции О, то
эт от интеграл представляет собой массу кривой С.
П р и м е р 1, Вычислить криволинейный интеграл
I (х + у) ds,
где С — контур треугольника АВО с вершинами А(1; 0),
В(0; 1) и 0(0; 0) (рис, 101).
Р е ш е н и е , Здесь уравнение АВ: у = 1 —х, уравнение
ОБ: х = 0Ууравнение ОА\ у ~ 0.
Поэтому будем иметь
(х + у) ds =
J
с
J
J
(х 4- у) ds +
J
(я -г у) ds Н-
ВО
АВ
1
1
(х + у) ds = j* J2 dx + J у dy 4- J x dx = J2 + 1.
ОЛ
2°. К р и в о л и н е й н ы й и н т е г р а л в т о р о г о т и п а . Если Р(х, у)
и Q(x, у) — непрерывные функции, у = ф(х) — гладкая кривая С, пробегае­
мая при изменении х от а до £?, то соответствующий кривая иней кьш интег­
рал второго типа выражается следующим образом:
I
Р (ж, у) dx + Q(x, у) dy =
1[Р(Ху ф(х)) 4- ср'(x)Q{x, ср(л))] dx.
В более общем случае, когда кривая С задана параметрически: х = ср{1),
У =■ ф(0т где * изменяется от а до Р, имеем
&
J
С
Р(х, y)dx т- Q(x, y)dy =
J
и
[Р(ф(*),
ф(0 ф '(0
4 Ф(Ф(0> Ч'(0)У'(0] df.
270
Глава VIL КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Аналогичные формулы справедливы для криволинейного интеграла второго
типа, взятого по пространственной кривой.
Криволинейный интеграл второго типа м е н я е т с в о й з н а к на
о б р а т н ы й при и з м е н е н и и н а п р а в л е н и я п у т и и н т е г р и ­
р о в а н и я . Механически этот интеграл можно интерпретировать как ра­
боту соответствующей переменной силы {Р(х, у), Q(xy у)} вдоль кривой ин­
теграции С,
П р и м е р 2, Вычислить криволинейный интеграл
с
где С — верхняя половина эллипса х —a cos t, у = Ь sin t, пробегаемая по
часовой стрелке.
Р е ш е н и е . Имеем
о
2
dy - Г [62 sin 2 t * (-a sin t) + a2 cos 2 t ■b cos t] dt =
c
Л
3°. С л у ч а й п о л н о г о д и ф ф е р е н ц и а л а . Если подынтеграль­
ное выражение криволинейного интеграла второго типа есть полный
дифференциал некоторой однозначной функции U = Е / ( х , t/ K т. е.
Р(х, у) dx -I- Q(x, у) di/ - dZ7(x, y)t то этот криволинейный интеграл не зависит
от пути интегрирования и имеет место формула Ньютона—Лейбница
{*2' Vt)
P(x, y) cbc 4- Q(*. y) dy = U(x2, y2) - U(xv y j .
(1)
где
ух) — начальная и (х2; у2) — конечная точки пути. В частности, если
контур интегрирования С замкнут, то
c
стными производными 1-го порядка непрерывны в области S, то необходи­
мым и достаточным условием для существования функции U является тож­
дественное выполнение в области S равенства
9Q = "dP
(3
Э*
dy
(см, § 8 гл, VI). При невыполнении условий 1) и 2) соотношение (3) еще В
гарантирует существования однозначной функции U и формулы (1) и (
могут оказаться неверными (см. задачу № 2332). Укажем способ нахожденИ
функции U{xy у) но ее полному дифференциалу, основанный на испоЛ
зовании криволинейных интегралов (т. е. еще один способ интегрирован:»
§ 9. Криволинейные интегралы
271
полного дифференциала). За контур интегриро­
вания С возьмем ломаную Р ^ Р - ^ М (рис. 102), где
Р 0( х 0; i/0) — фиксированная точка, М ( х ; у ) — пе­
ременная точка. Тогда вдоль Р 0Р ^ имеем У = У0 и
dy = 0, а вдоль P LM имеем d x = 0. Получаем
1Д*. у ) - Щх0, У0)
U; у)
= |
Р {Х , у )
dx + Q { x ,
у)
di/ =
Уо)
1
У
= J
У0)
d* + J
Q ( x t у) dy.
Уо
ха
Аналогично, интегрируя по ломаной PQP2M , имеем
у
t/(x,
у)
- 1/(х0,
у 0)
х
= | Q(x0,
у)
dу + |
Уп
Р (х , у)
dx.
г0
П р и м е р 3. (4 .x -I- 2у) d r 4- ( 2 х - 6у) dy « dZA Найти U.
Р е ш е н и е . Здесь Р ( х ч у ) = 4 х 4 2у и Q ( x t у ) = 2 х - 6у; причем условие
(3), очевидно, выполнено. Пусть x Q = 0, у 0 = 0, Тогда
2 г2 4 2х у
-
3у 2 4 С
или
а
Щ х у у)
*
- J - 6 у dy 4 |
(4 г 4 2у) d r 4 С
-
- 3 у 2 4 2 г 2 4 2х у 4 С ,
где С = 27(0; 0) — произвольная постоянная.
4°. Ф о р м у л а Г р и н а д л я п л о с к о с т и . Если С — граница облас­
ти S и функции Р (г, у), <?(гт у) непрерывны, вместе со своими частными
производными 1-го порядка, в замкнутой области S 4 С, то справедлива ф о р ­
мула Грина
p c u
+ e d j- J J
(jg
(5)
с
где обход контура С выбирается так, чтобы область S оставалась слева.
5°, П р и л о ж е н и я к р и в о л и н е й н ы х и н т е г р а л о в . 1) П л о щ а д ь ,
ограниченная замкнутым контуром С, равна
S
=-
у dx
“
(направление обхода контура выбирается обратным движению часовой
стрелки).
272
Глава VIL КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Более удобна для приложений следующая формула площади:
s = | j> (л: dy - у dx) - | jj хг
.
С
2) Работа силы, имеющей проекции X = Х(х, у , 2 ), Y — У(х, у %г),
Z = Z(x, у, z) (или соответственно работа силового поля)* вдоль пути С вы­
ражается интегралом
А = J X dx 4- У dy + Z dz.
Если существует функция V = £/(#, у, г) (потенциальная или силовая
функция)такая, что
ЙУ = у
dU _ у
Эи
„
дх
' ду
' дг
то работа, независимо от вида пути С, равна
Zz)
У2- г2)
А =
J
X &х + Y dy + Zdz =
J
dt / = U(x2, y2, z2) - U(xv yv z j ,
где (д^, y v 2 j) — начальная, (x2, y2, x2) — конечная точки пути.
А. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ТИПА
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
2293. | х у ds, где С — контур квадрата \х\ + \у\ = а (а > 0).
с
ds
2 2 9 4 .J
, где С — отрезок пряной, соединяющей точки
J x z + у2 + 4
0(0; 0) и А{ 1; 2),
2295*
Г
J
-ь-2
1-2
a2
fc>2
яу ds, где С — четверть эллипса — +
с
первом квадранте.
= 1, лежащая в
2296. | у 2 ds, где С — первая арка циклоиды х — a(t - sin £),
с
у = а(1 - cos О*
2297. J J x 2 + у 2 ds,
где
С — дуга
развертки окружности
с
х = a(cos t -г t sin £), у = a{sin t - t cos t) [0 < t < 2я].
2298.
Г
2
2 2
(x + у ) ds, где С — дуга логарифмической спирали
г = аетц> {т > 0) от точки А(0; а) до точки 0 (-°°; 0),
§ 9. Криволинейные интегралы
273
2299, J (х + y)d s, где С — правый лепесток лемнискаты
с
2
2
г.
г —a cos 2<р.
t t у = 3t2 г = f
2300 , | (х + z) ds, где С — дуга кривой х
[О < t < 1],
2301, J
с
ds
, где С — первый виток винтовой линии
х 2+ у2 + г2
х == acos t, у = a sin
z —&£,
2302, Г 72 j/2 + 2 2 ds, где С — окружность * + у + 2 *= a , я = у.
с
2303*, Найти площадь боковой поверхности параболического цио 2
а
линдра у = - х , ограниченной плоскостями 2 = 0, х = 0, z = я, у = 6.
8
2304, Найти длину дуги конической винтовой линии х = ае cos t ,
у = ае sin t y г =* ае от точки 0(0; 0; 0) до точки А(а; 0; а).
2305, Определить массу контура эллипса х—2 Н- и2
f - = 1, если лиа* Ьл
нейная плотность его в каждой точке М(х, у) равна \у\.
2306, Найти массу первого витка винтовой линии х = acos t ,
у = a sin t, z = bt, если плотность в каждой точке численно равна
значению радиуса-вектора этой точки,
2307, Определить координаты центра тяжести полуарки циклоиды
х - a(t - sin t),y = a(l “ cos t) [0 < t < я].
2308, Найти момент инерции относительно оси OZ первого витка
винтовой линии х — a cos f, у = a sin t, г = bt.
2309, С какой силой масса М, распределенная с постоянной плот­
ностью на окружности х2 + у2 = a 2, z = 0, воздействует на массу т 9
помещенную в точней (0; 0; Ь)?
Б. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
2310, | (х2 - 2ху) dx + (2х у + у 2) dy, где А В — дуга параболы
лв
У — х от точки А( 1; 1) до точки В(2; 4),
2311, | (2а - у) dx + х dy, где С — дуга первой арки циклоиды
Q
х = a(t - sin £), у = а{ 1 - cos t),
пробегаемая в направлении возрастания параметра £,
274
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2312. |
2х у dx - х 2 dy t взятый вдоль раз-
ОА
личных путей, выходящих из начала коор^
динат 0(0; 0) и заканчивающихся в точке
А{2; 1) (рис. 103):
а) прямой ОтА;
б) параболы ОпА осью симметрии которой
является ось OY;
в) параболы ОрА, осью симметрии кото­
рой является ось ОХ;
г) ломаной линии ОВА\
д) ломаной линии ОСА,
2ху dx 4- х dy в условиях задачи № 2312,
2313.
ОА
(х + у) й х - ( х - у ) dy
2
2
2
ВЗЯТЫЙ ВДОЛЬ окружности X + у = Q'
X2+ у 2
против хода часовой стрелки,
2314
Г
2
2
2315. \ у dx + х dу, где С есть верхняя половина эллипса
с
х —a cos t, у = b sin t, пробегаемая по ходу часовой стрелки,
2316,
cos у dx - sin х dу, взятый вдоль отрезка АВ биссектрисы
АВ
второго координатного угла, если абсцисса точки А равна 2 и орди­
ната точки В равна 2,
2317. £
, где С — правый лепесток лемнискаты
j
х г + у1
с
2
2
г = a cos 2ср, пробегаемый против хода часовой стрелки.
2318. Вычислить криволинейные интегралы от выражений, яв­
ляющихся полными дифференциалами:
(2'3)
а)
Г
х dy + у dxT
( - 1 ; 2)
б)
Г х dx -f у dyi
(0; 1}
(1: 1)
в) J (х + у) (dx + dz/),
(0; 0)
(2' 1)
г) [ У dx - х dy ^ п о пути, не пересекающему ось ОХ),
J
у
(1:2)
§ 9- Криволинейные интегралы
275
(*; у)
д) Г
J
(1-1)
W г)
- dy (п0 ПуТИ> не пересекающему прямую х 4- у = 0),
х +у
е)
ф(х) dx + ф(у) dy.
j
(*2> Ы
2319,
Найдя первообразные функции подынтегральных выраже­
ний, вычислить интегралы:
(3,
а)
0)
Г (х4 + 4х у 3) dx 4- (бх2у2 - 5у4) dy,
С-2; -1)
(1;
б)
0)
f
J
(0 , - 1)
х d y - y dx ^ПуТЬ интегрирования не пересекает пря(х - у ) 2
мой у = х),
(3:
Б)
1)
f
J
(^ + 2у) dx + y dy (путь интегрирования не пересекает
(* + у) 2
О; 1)
прямой у = -х ),
(i;D
У + х dy*
г) [ f , *
+ у dx 4* J r 2^„2
'X* + у
J ^л/х2 + у2
(0;0)
2320, Вычислить
J = Г X d x - у dj/
J
г З 4+ X*
+ у1/2
±
2^2 м2
взятый по ходу часовой стрелки вдоль четверти эллипса — 4- ^ = 1т
лежащей в первом квадранте,
2321,
Показать, что если f(u) есть непрерывная функция н е ­
замкнутый кусочно-гладкий контур, то
j) f ix 2 + у2)(х dX + у dy) = 0.
с
2322. Найти первообразную функцию U, если:
а) dи = (2х + 3у) dx + (Зх - 4у) dy;
б) dи = (Зх2 - 2ху + у2) dx - (х2 - 2ху + Зу2) dy;
в) du = е1 “ у[(1 + х + у) dx + (1 - х - у) dy];
г) du =
X+ у
+ J iL .
X+ у
276
Глава VI1. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль пространст­
венных кривых:
2323. J {у - 2) clar + (2
х) dy -г (х - у) <12, где С — виток винтовой
С
ЛИНИИ
х = a cos t %
< у ~ a sin t t
z = bt,
соответствующий изменению параметра t от 0 до 2п.
:$■
rrHt
2324, р у dx + z 6у + х dz, где С — окружность
с
t
\ х ™Л cos a cos £,
I/ = R cos а sin
\ z = R sin а (а = const).
!?'
•Я
пробегаемая в направлении возрастания параметра,
2325. J
ху Ъ с + угАу + г П г . т ОА - д у г а окружности
ОА
И■ 2 | 2
х т у + 2 = 2Rx, г = х у
расположенная по ту сторону от плоскости X O Z y где у > О,
2326,
Вычислить криволинейные интегралы от полных диффе­
ренциалов:
(G; 4 : 8j
х dx Л- у 6у - z dz,
I
а)
(1: 0 ; -3)
(о \Ь\О
t/z dx 4- zx dy -l- x y dz,
б)
\
(1: 1; 1)
(3; -1:
в)
э)
Г
J
[0; 0; 0)
x dx + у di/ -h z dz
J x 2 A y- 4- 22
“ I
ху)
■
>fl; J1: 1
yz dx + zx clzy + xy dz (путь интегрирования распололуг
§ 9- Криволинейные интегралы
277
В. ФОРМУЛА ГРИНА
2327. С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный
интеграл
I = ^ J x 2 + у 2 dx Ч- у[ху + In (х - л/х^+ у 2)] dу,
с
где контур С ограничивает область S .
2328. Применяя формулу Грина, вычислить
I
£ 2(х2 + у2) dx + (х + у)2 dу,
с
где С — пробегаемый в положительном направлении контур тре­
угольника с вершинами в точках А(1; 1), В(2; 2) и С(1; 3). Проверить
найденный результат, вычисляя интеграл непосредственно.
2329. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
Г
2
2
ф - х у dx Ч xy dy ,
с
где С — окружность х + у = R , пробегаемая против хода часовой
стрелки.
2330. Через точки А( 1; 0) и В(2; 3) проведены парабола АтВ,
осью которой является ось ОУ, и хорда ее А п В , Найти
j)
(х + y ) d x - (х - у) dy
А т Ни А
непосредственно и применяя формулу Грина.
2333, Найти
Г е ху\у* dx + (1 + xy)d;/], если точки А и Б лежат
А т В
на оси ОХ, а площадь, ограниченная путем интеграции АтВ и от­
резком АВ, равна S.
2332*. Вычислить £ х ^
^
. Рассмотреть два случая:
J
х.2 + у г
с
а) когда начало координат находится вне контура С,
б) когда контур окружает п раз начало координат.
2333**. Показать, что если С — замкнутая кривая, то
£ cos (X, п) ds = 0,
с
где s — длина дуги, п — внешняя нормаль.
278
!
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
•г i
2334. Применяя формулу Грина, найти интеграл
/ = £ [х cos (X, п) + у sin (X, п)] ds,
с
?
Л
где ds — дифференциал дуги, п — внешняя нормаль к контуру С. ;
2335*. Вычислить интеграл
с
взятый вдоль контура квадрата с вершинами в точках А( 1; 0), Б{0; 1)5
С("1; 0) и Б(0; —1), при условии обхода контура против часовой стрелки.
Г. ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНОЮ ИНТЕГРАЛА
Вычислить площади фигур, ограниченных следующими кривыми:
1
2336. Эллипсом х = a cos t t у = Ь sin t ,
3
3
i
2337. Астроидой х — a cos1 у — a sin f.
j
2338. Кардиоидой х - а(2 cos t - cos 2£), у = a(2sin t - sin 2t).
i
3
3
i
2339*. Петлей декартова листа x + у - 3аху — 0 (a > 0),
2340. Кривой (х + у)г —а х у .
j
2341й. Окружность радиуса г катится без скольжения по непо- !
движной окружности радиуса Л, оставаясь вне нее. Предполагая, что !
Ft
1
— — целое число, найти площадь, ограниченную кривой (эпицик- : j
^
1
лоидой), описанной какой-нибудь точкой подвижной окружности. \
Разобрать частный случай г —R (кардиоида).
I
2342*. Окружность радиуса г катится без скольжения по непо­
движной окружности радиуса Л, оставаясь внутри нее. Предполагая,
R
что - — целое число, найти площадь, ограниченную кривой (гипо­
.'vf.T
,-£г•.
циклоидой), описанной какой-нибудь точкой подвижной ОКРУЖНОС­
ТИ
1
ти. Разобрать частный случай, когда г = — (астроида).
4
2343. Поле образовано постоянной силой F, направленной вдоль
положительной полуоси ОХ. Найти работу поля, когда материаль­
ная точка описывает по ходу часовой стрелки четверть окружности "
2
2
2
х + у = R , лежащую в первом квадранте.
2344. Найти работу, производимую силой тяжести при переме­
щении материальной точки массы т из положения А{ хх\ у г; г^) в
положение В ( х ^ у2; г 2) (ось OZ направлена вертикально вверх).
§ 10- Поверхностные интегралы
279
2345.
Найти работу упругой силы, направленной к началу коор­
динат и пропорциональной удалению точки от начала координат, ес­
ли точка приложения силы описывает против часовой стрелки четверть эллипса — Н= 1, лежащую в первом квадранте.
а2 Ь1
2346.
Найти потенциальную функцию силы i?{X, У, Z} и опреде­
лить работу силы на данном участке пути, если:
а) X = О, У = 0, Z
-nig (сила тяжести) и материальная точка
перемещается из положения А(х^9 у 1У 2 г) в положение Б(х2, у2, г 2);
б) X =
р+41
, У - -Щ
,Z =
J+4J
, где ц - const и г “ J x 2 + у 2 + z 2
(сила ньютоновского притяжения) и материальная точка из поло­
жения А(а, Ь, с) удаляется в бесконечность;
2
2
2
в) X “ —k х, У = - к у, Z = - к 2 , где k = const (упругая сила), причем
2
2
2
2
начальная точка пути находится на сфере х + у ' + z = R , а
2
2
2
2
конечная — на сфере х + у + z - г {R > г).
§10. Поверхностные интегралы
Г . П о в е р х н о с т н ы й
и н т е г р а л
п е р в о г о
ти п а.
П усть
, у , z) — н е п р е р ы в н а я ф у н к ц и я , г = ф (^с, у) — г л а д к а я п о в е р х н о с т ь S .
П о в е р х п о с т н ы й и н т е гр а л первого т и п а п р е д с та в л я е т со бо й п р ед ел и н ­
тегральной сум м ы
fix
п
S
i
=1
г д е Д S . — п л о щ а д ь £-го э л е м е н т а п о в е р х н о с т и £ , т о ч к а (д г , у г 2 .) п р и н а д л е ­
ж и т это м у эл ем ен ту, п р и чем м а кси м а л ьн ы й д иам етр элем ентов р азби ен и я
стрем ится к нулю .
З н а ч е н и е этого и н тегр ал а не за в и си т от вы б о р а сто р о н ы п о вер х н о сти S ,
по которой п р о и зво д и тся и нтегр ир овани е.
Е с л и п р о е к ц и я а п о в е р х н о с т и S н а п л о с к о с т ь X O Y о д н о з н а ч н а , т . е. вся*
к а я
п р ям а я, п ар ал л е л ьн ая оси O Z f п ер есекает п о вер хн о сть S л и ш ь в одной
т о ч к е , го с о о т в е т с т в у ю щ и й п о в е р х н о с т н ы й и н т е г р а л п е р в о г о т и п а м о ж е т
бы ть вы чи сл ен по ф орм уле
| | f(x, у, г) dS - | | f[x, у, Ф(*, (/)] Д + Ф;2 (х , У) + 1 + ф'/
П р и м е р
гд е
S
1, В ы ч и с л и т ь п о в е р х н о с т н ы й и н те гр а л
— п о ве р х н о с ть к у б а 0 < х < 1, 0 С у < 1, 0 <
2
^
1,
у) dx dy.
Глава VIL КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
280
Вычислим сумму поверхностных интегралов по верхней грани куба (z = 1)
и но нижней грани куба (z = 0):
11
11
11
| | (х + у + 1) dx Ау + | | (ас + у) dac Ay = | | (2ас + 2у + 1) dac Ау = 2.
оо
оо
Оо
Очевидно, что искомый поверхностный интеграл в три раза больше и
равен
| | ( * + У + z)ds = 9.
|
§
I
|
|
■£
S
По в е р х но с т ный инте г рал второго типа. Если Р = Р(х, у, z)t ■■
Q = Q(r, у, z)TR = Р(г, у уг) — непрерывные функции, S — сторона гладкой С
поверхности S , характеризуемая направлением нормали njcos a, cos (3, cos у}, ;;
то соответствующий поверхностный интеграл второго типа выражается 5
следующим образом:
5
JJ
Р
dу
d2
4- Q d 2 d r 4- R d r
(Pcos a 4- Qcos |3 4- R cos y) dS.
s'
При переходе на другую сторону S поверхности этот интеграл меняет +
свой знак на обратный.
Если поверхность S задана в неявном виде Р(г, у, z) = 0, то направляющие
косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам
1 3F cos у = 1 3F
cos a ~ I ^
COS р =
D dz *
D Зх 9
D Зу'
где
D=±
02 J
и выбор знака перед радикалом должен быть согласован со стороной по- .V
верхноети S.
3°. Ф о р м у л а Ст о кс а . Если функции Р - Р(х, у, z), Q = Q(r, у, z),
R = R(x, у, z) непрерывно дифференцируемы и С — замкнутый контур, оп- :
раничивающий двустороннюю поверхность S, то имеет место формула Сто­
кса
Р dx 4- Q dy 4- R dz =
с
- я
s
3R _ 3Q%
j cos a 4- 3P
3R\
a , (dQ
3y
dz)
5 " 5 i J со,р + 1з?
ЭР1
d S,
где cos ctTcos p, cos у — направляющие косинусы нормали к поверхности
причем направление нормали определяется так, чтобы со стороны нормали
обход контура С совершался против часовой стрелки (в правой системе №
ординат).
§ 10, Поверхностные интегралы
281
Вычислить следующие поверхностные интегралы первого типа:
2347- J*J {х2 + у2) dS, где S — сфера х 2 + у 2 + z 2 “ а2.
s
2348- J"J J x 2 + у 2 dS, где S — боковая поверхность конуса
s
а2
- ^ = 0 [0 < 2<Ь ].
Ь2 с2
1
J
Вычислить следующие поверхностные интегралы второго типа:
2349. JJ yz dу dz + x z dz dx + ху dx dy, где S — внешняя сторона
s
поверхности тетраэдра, ограниченного плоскостями х = 0, у = О,
z = Ot x + y + z = a .
2350. Л z dx dy, где S — внешняя сторона эллипсоида
5
Ях
X2 U2 22
— + *4 + — = 1.
Ъ2
2
2
2
dy dz + у dz dx + z dx dy, где S — внешняя сторона
s
2
2
2
2
поверхности полусферы x + у + z = a (z > 0).
2352, Найти массу поверхности куба 0 < х < 1, O ^ y < l , 0 < z < l ,
если поверхностная плотность в точке М(х; у; г) равна xyz.
2353, Определить координаты центра тяжести однородной пара2
2
болической оболочки аг ~ х + у (0 ^ < а),
2354- Найти момент инерции части боковой поверхности конуса
I 2 2
г = *Jx + у [0 < z < h] относительно оси OZ.
2355* Применяя формулу Стокса, преобразовать интегралы:
a) j) (х2 - yz) dx + (у2 - zx) dу + (z2 - ху) dz;
С
б)
у dx -f
2
dу + х dz,
с
Применяя формулу Стокса, найти данные интегралы и проверить
результаты непосредственным вычислением:
2356. £ (у + z) dx + (z + х) dy + (х + у) dz, где С —* окружность
с
9
9
9
2
х + у + z = а , х + у + г = 0.
2357, j> (у - z) dx + (z - х) dy -f (х - у) dz, где С — эллипс
с
2 , 2 .
.
X + у = 1 , X + 2 = 1,
Глава VII, КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
282
№
J
2358* £ X dx Н- (х + у) dy -I- (х + у + z) dz, где С — кривая х ^ a sin 11
с
i/ = a cos f, ^ = a(sin t т- cos t) [0 < t < 2n],
2359* | у 2 dx + z dy -f x2 dz, где ABCA — контур Д ЛВС с верши3с
■*
if.
нами А{а\ 0; 0), Б(0; а; 0), С(0; 0; а)*
2360. В каком случае криволинейный интеграл
1=
f Р dx + Q dy -Г Я dz
по любому замкнутому контуру С равен нулю?
§11. Формула Остроградского—Гаусса
Если S — замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая объем V, и
Р = Р{х, у, 2 ), Q = Q(x, у, z), Я ^ В(х, у, х) — функции, непрерывные вместе
со своими частными производными 1-го порядка в замкнутой области V* то
имеет место формула Остроградского—Гаусса
дВ dx dy d^,
J J (Р cos а + ф cos р f- R cos у) dS
dx
s
где cos ct, cos [3, cosy — направляющие косинусы внешней нормали к по­
верхности S.
Применяя формулу Остроградского—Гаусса, преобразовать еледующие поверхностные интегралы по замкнутым поверхностям S,
ограничивающим объем V (cos a, cos Р, cos у — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S ).
2361. J J ху dx dy + yz dy dz + zx dz dx.
s
2362. JJ x 2 dy dz “f- y2 dz dx + z2 dx dy.
s
2363 f f ХС05а + УCQSP + zcosy
J X* + yl + 2 '
2364
• t f d
;■
{■
(
;г
■
1 r'
cos а + ^ cos P + — cos у ) dS.
ay
dz
J
ё
С помощью формулы Остроградского—Гаусса вычислить следую'if,
'Г
щие поверхностные интегралы:
2365
dz + у dz dx + z dx dy, где S — внешняя сто р о н а
поверхности куба 0 ^ х < a, О ^ у ^ а ,
■&.
§12» Элементы теории поля
283
2 3 6 6 . j j х dy dz + у dz dx + z dx dy, где S — наружная сторона пиs
рамиды, ограниченной поверхностями x + y + z =
=a9x=^0,y = 0 , z = 0.
Яs
2
3
1?
3
х dy dz + у dz dx + z dx dyt где S — внешняя сторона
2
2
2
сферы x + у + z = а .
Я(
2
jc
2
2
cos а + у cos Р + г cos у) diS, где S — внешняя полная
s
поверхность конуса
v2
jj2
у
2
-2
h - 0й
h = 0 f° < г < ча* + а*
2369» Доказать, что если S — замкнутая поверхность и I — любое
постоянное направление, то
JJ* cos (н, i) dS — О,
s
где п — внешняя нормаль к поверхности S.
2370» Доказать, что объем тела V, ограниченного поверхностью
5, равен
V = | JJ (х cos а + у cos р + z cos у) dS,
s
где cos a, cos Р, cosy — направляющие косинусы внешней нормали
к поверхности S.
§ 12* Элементы теории поля
1Э. С к а л я р н о е и в е к т о р н о е поля. Скалярное поле определя­
ется скалярной функцией точки и = f{P) = f(u, у, г), где Р(х, у, г) — точка
пространства. Поверхности f(x, у, z) = С, где С = const, называются поверх­
ностями уровня скалярного поля*
Векторное поле определяется векторной функцией точки а = а(Р) = а(г),
где Р
точка пространства, г - xi + у\ + zk — радиус-вектор точки Р»
В координатной форме а = aj. + a j 4- azk, где ах = ах(х , у, z), ау =
у, г),
—аг(дг, у уz) — проекции вектора а на координатные оси» Векторные линии
(силовые линии, линии тока) векторного поля находятся из системы диф­
ференциальных уравнений
dx _ dy _ dz
ах
ау
аг
Скалярное или векторное поле, не зависящее от времени t, называется
СтЩионарным, а зависящее от времени — нестационарным*
284
Глава VI1. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2°. Г р а д и е и т. Вектор
J 77/ in
dГ ■ I (JГ '
grad ЩР) - — 1 + — ]
Ш
da
к й Ч!
где у = i ~ -Г jA_ + к — — оператор Гамильтона (паб л а), называется гра■|
Э:г
ау
dz
диеитом поля U = f(P) в данной точке Р (ер. гл. VI, § 6)* Градиент направлен |
по нормали п к поверхности уровня в точке Р в сторону возрастания ф ункции^
U и имеет длину, равную
f
dU ^
dп
1 ^ и ] 2+ ( Щ 2 + [ЭС7]2
^кдх;
\Эг J
\ dyj
Если направление задано единичным вектором l{cQ&at cos [3, cos у}, то
— = grad U ■1 = grad, V - W- cos a -f
dl
dx
oy
cos [i + ^ cos у
dz
{производная функции U no направлению l).
3е. Д и в е р г е н ц и я и в и х р ь , Дивергенцией векторного поля
а(Р) = axi 4- V J
daz
дах + < 4
= Va.
называется скаляр div а “■
dz
дх
ду
Вихрем векторного поля а(Р) = a vi + a j -fназывается вектор
rot а ~
да_
ду
да,'-,
dz
{да
v
dz
.
<da
) + чдх
dx J
da Л
„
riksVXa.
Эр
4°. П о т о к в е к т о р а . Потоком векторного поля а(Р) через по­
верхность S в сторону, определяемую единичным вектором нормали г
п{соз a, cos (3, cosy} к поверхности S, называется интеграл
an dS ^ J J ап dS ^ J J (arcos а + a^cos |3 + azcos у) dS,
Js
s
s
Если S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем Г , а п — единич­
ный вектор внеIпней нормали к поверхности S, то справедлива формула-f
Остроградского—Гаусса, которая в векторной форме имеет вид
Я й" d S = ш
div а dj: dу dz.
?
s
{Vi
f.
5е, Ц и р к у л я ц и я в е к т о р а ; р а б о т а н о л я . Линейный интег*
рал от вектора а по кривой С определяется формулой
^
(l.Xi
a dr = JI as-4. ds ^ JГ a v dx 1 a dy l a dz
с
с
с
у
и представляет собой работу поля а вдоль кривой С {а;<— проекция вектора
а на касательную к С),
.<£;
Если кривая О - замкнутая, то линейный интеграл (1) называется цир-'/&
куляцией векторного поля а вдоль контура С.
J
§12. Элементы теории моля
285
Если замкнутая кривая С ограничивает двустороннюю поверхность S,
то справедлива формула Стокса7 которая в векторной форме имеет вид
f a dr
n rot a d£ —
(ro ta )n dS,
где и — вектор нормали к поверхности S, направление которого должно быть
выбрано так, чтобы для наблюдателя, смотрящего по направлению п, обход
контура С совершался в правой системе координат против часовой стрелки.
6°. П о т е в ц и а л ь н о е и с о л е н о и д а л ъ н о е п о л я . Векторное
поле а(г) называется потенциальным, если
а = grad U,
где U — /(г) — скалярная функция (потенциал поля)*
Для потенциальности поля а, заданного в односвязпой области, необхо­
димо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т. е. чтобы rot а = О, В атом
случае существует потенциал U, определяемый из уравнения
d£7 = a dx V a d^/ + a_dz.
Если потенциал U — однозначная функция, то J a dr = U(B)
£7{Л);
* Б
Д
в частности, циркуляция вектора а равна нулю:
ф
a dr - О*
Векторное поле а(г) называется соленоидальным, если к каждой точке
поля div а = 0; в этом случае поток вектора через любую замкнутую поверх­
ность равен нулю*
Если поле является одновременно потенциальным и соленойдальным, то
div(grad V) = О и потенциальная функция является гармонической, т* е*
Э2U
д 2U
д2U
удовлетворяет уравнению Лапласа
+ ггтг +
г ^ 0, или A U = 0,
'дх2
ду
dz
I2
d^ + -------Э^ оператор Лапласа,
где Д = V2 —_i!L -г- ----
dx2 ду2 dz2
2371, Определить поверхности уровня скалярного поля U = f(r),
где г = *Jx2 + у 2 + 2 2 *Каковы будут поверхности уровня поля U = F(p)t
где р = J x 2 + y 2 ?
2372, Определить поверхности уровня скалярного поля
U = arcsin
*
J x 2+ y 2
2373, Показать, что векторными линиями векторного поля
а(Р) = с, где с — постоянный вектор, являются прямые, параллель­
ные вектору с,
2374. Найти векторные линии поля а = -сш/i -г шгеj , где ц>— по­
стоянная,
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2375* Вывести формулы:
а) grad (CjU + C2V) = Cjgrad U + C2grad V, где Сг и C2 — постоянные;
б) grad (UV) - t/grad V + Kgrad U;
в) grad (U2) = 2Ugrad U\
д) grad <р(17) = q)'([/)grad U.
2376. Найти модуль и направление градиента поля
Г7
з . з . з
0
U « х + у + z - 3хуг
в точке A(2; 1; 1), Определить, в каких точках градиент поля пер­
пендикулярен оси OZ и в каких точках равен нулю.
2
2377. Вычислить grad U, если U равно соответственно: а) г, б) г ,
в) - , г) f(r) (г = J x 2 + y z + г 2).
г
2378. Найти градиент скалярного поля U - с г, где с — постоян­
ный вектор. Каковы будут поверхности уровня этого поля и как они
расположены относительно вектора с?
2379. Найти производную функции U = ^
^ + ~ в данной
а2
Ь2
с
точке
у, г) в направлении радиуса-вектора г этой точки. В каком
случае эта производная будет равна величине градиента?
2380. Найти производную функции U = -
в направлении
l{cos a, cos Р, cosy}. В каком случае эта производная равна нулю?
2381. Вывести формулы:
посто­
a) div (С1а1 + С3а3) = C\div а г + C2div а2, где С] и С2 — посто
янные;
б) div ([7с) = grad U ■с, где с — постоянный вектор;
в) div (t/a) = grad U * а + Udiw а.
2382. Вычислить div f-^1.
KrJ
fr
2383. Найти div а для центрального векторного поля а(Р) = /(г) где г = J x 2 + у 2 + г 2 .
2384. Вывести формулы:
явные;
б) rot (t/с) = grad U X с, где с — постоянный вектор;
в) rot (t7a) = grad [ г Х а + Urot а.
2385. Вычислить дивергенцию и вихрь вектора а, если: а) а = г;
б) а = гс; в) а = Дг)с, где с — постоянный вектор.
§12* Элементы теории поля
287
2386- Найти дивергенцию и вихрь поля линейных скоростей то­
чек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью ш вокруг
оси OZ в направлении против хода часовой стрелки,
2387, Вычислить вихрь поля линейных скоростей v = со X г точек
тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью ш вокруг не­
которой оси, проходящей через начало координат,
2389. Доказать, что div (rota) = 0.
2390. Пользуясь теоремой Остроградского—Гаусса, доказать, что
поток вектора а —г через замкнутую поверхность, ограничивающую
произвольный объем V, равен утроенному объему.
2391. Найти поток вектора г через полную поверхность цилиндра
X2 + у 2 « л 2, о < г < Я .
3
3
3
2392. Найти поток вектора & = x i + y j + z k через: а) боковую
^2 у2
^2
поверхность конуса ""дг " ^ Jj 2 * ® ^ z ^
б) через полную поверх­
ность этого конуса.
2393*. Вычислить дивергенцию и поток силы притяжения F = - ~
г3
точки массы т, помещенной в начале координат, через произволь­
ную замкнутую поверхность, окружающую эту точку.
2394. Вычислить линейный интеграл вектора г вдоль одного вит­
ка винтовой линии х = R cos f ; у = R sin t; z = ht от t ~ 0 до t = 2n.
2395. С помощью теоремы Стокса вычислить циркуляцию векто22
2
2 г>2
p a a = JCE/i + j + 2k вдоль окружности х + у = i r ; г ^ 0, приняв
z
в качестве поверхности полусферу = J R 3 - х 2 - у 2 ,
2396. Показать, что если сила F — центральная, т, е, направлена
к неподвижной точке 0 и зависит только от расстояния г до этой
точки: F = f ( r ) г, где.Д г)— однозначная непрерывная функция, то
поле — потенциальное. Найти потенциал U поля.
2397. Найти потенциал U гравитационного поля, создаваемого
материальной точкой массы т , помещенной в начале координат:
TTL
а'
г. Показать, что потенциал U удовлетворяет уравнению Лапга
ласа At7 = 0.
2398. Выяснить, имеет ли данное векторное поле потенциал Г/, и
Найти [/, если потенциал существует:
а) а = (5х2у - Axy)i + (Зх2 - 2у)у,
б) а = угi + гх\ + дгук;
в) а = (у + z)i + (х + г)j + (х + у)к.
2399. Доказать, что пространственное центральное поле а = f(r)г
будет соленоидальным только при f(r) = \ , где k = const.
г3
2400. Будет ли соленоидальным векторное поле а — г(с X г), где
с — постоянный вектор?
Глава VIII
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды
Iе. О с н о в н ы е п о н я т и я . Числовой ряд
CD
Л- 1
называется сходящимся, если его частичная сумма
S
Л
= а ,1
+
Z
+ ... +
ап
имеет предел при п —1*со. Величина S = Пт S n называется при этом суммой
|
л >эо
ряда, а число
— остатком ряда. Если предел lim Sn не существует, то ряд называется
л — со
расходящимся.
Если ряд сходится, то lim ап = 0 (необходимый признак сходимости)*
Л — °0
Обратное утверждение неверно.
^
Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для всякого
положительного числа г можно было подобрать такое N, что при п > N и
любом положительном р выполнялось неравенство
\
а
+а
п
4- 2
+ ... + а
<г
(критерий Коши).
Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или
отбросить конечное число его членов,
2°, П р и з н а к и с х о д и м о с т и и р а с х о д и м о с т и з н а к о п о л о ж и т е л ь пых ряд ов.
а) П р и з н а к с р а в н е н и я I. Если 0 < ап < Ьп начиная с некоторого
п = 710 и ряд
j
•••
( 2)
сходится, то ряд (1) также сходится. Если ряд (1) расходится, то расходится
и ряд (2).
§ 1, Числовые ряды
289
В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать геомет­
рическую прогрессию
OD
ЯП (а * О),
П=О
которая сходится при \q\ < 1 и расходится при ]g| > 1, и гармонический ряд
со
y i,
п =1
являющийся рядом расходящимся,
П р и м е р 1* Ряд
1
1
1
+ ----- =+ ----- г +
1 2 2■2“ 3- 2
1
+ ----- г +
п ■2
сходится, так как здесь
1
^ —
1
а = -----<
"
п ■2"
2п
причем геометрическая прогрессия
IX?
Y
1и 2п '
п. = 1
знаменатель которой q = - , сходится*
П р и м е р 2* Ряд
In 2 1пЗ
—
— + ——+
2
3
. . .
nn
+I----+
п
. . *
In п больше соответствующего члена
расходится, так как его общий член ---п
i гармонического ряда (который расходится).
п
б) П р и з н а к с р а в н е н и я IL Если существует конечный и отличный от нуля предел lim - ~ ) (в частности, если ап - Ьп), то ряды (1) и (2)
п —со \ b nJ
сходятся или расходятся одновременно.
П р и м е р 3. Ряд
- , 1 1
1 А
1 + 3 + 5 + - + 2^Т1 + расходится, так как
лИ—т ( 2Нгс -—г
1 :■
п)) = £1 * 0>
в то время как ряд с общим членом ~ расходится*
Tt
10 Задачи н упраж нения
290
Глава VIII. РЯДЫ
П р и м е р 4. Ряд
1 • 1
2 - 1 2" - 2
Л-
23 - 3
2л - п
...
сходится» так как
lim '
1 : 1^
п » 2л- л * 2Л
11, т, е, —---1 ~ —
1 ,
2 - а
2Л
а ряд с общим членом — сходится.
2Л
в) П р и з н а к Д а л а м б е р а . Пусть ап > 0 (начиная с некоторого л) и
существует предел
<1-
п -> =■= а„
Тогда ряд (1) сходится, если q < 1, и расходится, если q > 1. Если q = 1, то
вопрос о сходимости ряда остается открытымП р и м е р 5. Исследовать сходимость ряда
1 3 5
2гс-1
- Н + —т + ... + -------2 пг о3
оп
Р е ш е н и е . Здесь
2л - 1
аПАX
2л + 1
4- 1
И
1+
lim ЬхХ = Иш J Q ± M L - i Um
*->сс ап
П
2 ч+1(2 л - 1)
2л
1
2
2л
Следовательно, данный ряд сходится.
г) П р и з н а к К о ш и . Пусть ап > 0 (начиная с некоторого л0) сущест­
вует предел
lim
п —сс
= д.
Тогда ряд (1) сходится, если q < 1, и расходится, если q > 1. В том случае,
когда q = 1, вопрос о сходимости ряда остается открытым,
д ) И н т е г р а л ь н ы й п р и з н а к К о ш и . Еслиад = /(л), где функция
f{x) положительна, монотонно убывает и непрерывна при х Р а > 1» то ряд
(1) и интеграл
f(x) dx
сходятся или расходится одновременно,
§ 1. Числовые ряды
291
С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле
I
1
tv
(3)
сходится, если р > 1, и расходится, если р < 1. Сходимость многих рядов
можно исследовать при помощи сравнения с соответствующим рядом Ди­
рихле (3).
П р и м е р 6. Исследовать сходимость ряда
1
1
1
1
1 ■2 + 3 ■4 + 5 - 6 + " + ( 2 п - 1 ) 2 л + "'
Р е ш е н и е , Имеем
=
л
1________ 1
(2rt-l)2*
1
1
4па! _ А - ~ 4 д2 ‘
2л
Так как ряд Дирихле при р “ 2 сходится, то на основании признака
сравнения II можно утверждать, что и данный ряд сходится*
3°* П р и з н а к и с х о д и м о с т и з н а к о п е р е м е н н ы х р я д о в *
Если ряд
|а2| + \а2\ + ,.. + |a j + ...»
(4)
составленный из модулей членов ряда (1), сходится, то ряд (1) также схо­
дится и называется абсолютно сходящимся* Если же ряд (1) сходится, а
ряд (4) расходится, то ряд (1) называется условно (неабсолютно) сходящим­
ся.
Для исследования на абсолютную сходимость ряда (1) можно использо­
вать для ряда (4) известные признаки сходимости знакоположительных ря­
дов* В частности, ряд (1) сходится абсолютно, если
lim
п -*•
gn+ * < 1 или lim
,lJ \ a J <
1.
В общем случае из расходимости ряда (4) не следует расходимость ряда (1),
Но если Пт
п -> со
а,
1 > 1 или lim nJ\&n\ > 1, то расходится не только ряд
(4), но и ряд (1).
П р и з н а к Л е й б н и ц а , Если для знакочередующегося ряда
Ьг - Ь2 +
(б)
- Ь4 + **. {Ьп > 0)
выполнены условия: 1) Ь, > Ь2 > in >
2) И т Ъ ~ 0, то ряд (5) сходится.
Для остатка ряда Rfi в этом случае справедлива оценка
IM
П р и м е р 7. Исследовать сходимость ряда
п(п - 1)
‘ - ' J H
- M
b - ' - »
п
2п-1
+
... *
Глава V111. РЯДЫ
2Я2
Р е ш е н и е *
С о ста ви м р яд и з м о д улей чл е н о в д анного р яд а:
2
/о\3
/ л\ 4
/
„ п >i /г
- 1 Г
+Ш
+(!'
2ft- 1*
+
Так как
l i m ,г
П
п
l__
im
к -* со 2 71 — 1
=
п■
—Ж 2 п - I
^ Нш
п
■' со
2 -1
ft
то д ан н ы й р яд сх о д и тся абсолю тно*
П р и м е р 8* Р я д
i-1
1
+ i- ...- M - ir 1 п
сход ится, так к а к вы п о л н ен ы усл о ви я п р и зн ака Л ейбниц а* Этот ряд схо­
д и т с я н е а б с о л ю т н о (у с л о в н о ), т а к к а к р я д
1 Н -
2
I- -
3
.** +
-
ft
4-
р а с х о д и т с я ( г а р м о н и ч е с к и й р я д )*
П р и м е ч а н и е * Д л я сход им ости зн ако чер ед ую щ его ся р яд а н ед о ста­
то чн о , ч то б ы его о б щ и й ч л е н стр е м и л ся к н улю * П р и з н а к Л е й б н и ц а у т в е р ж ­
д ает л и ш ь , ч то зн а к о ч е р е д у ю щ и й ся р яд сх о д и тся, е сл и м о д ул ь общ его ч л е н а
ряд а стр ем и тся к н ул ю м о н о т о н н о . Т а к , н ап р и м ер , ряд
i - i + i - 1
5
2
+ i - ... + i - i ,
3
k 5*
5г
р а с х о д и т с я , н е с м о т р я н а то ч т о е го о б щ и й ч л е н с т р е м и т с я к н у л ю (м о н о ­
т о н н о с т ь и з м е н е н и я м о д у л я о б щ е го ч л е н а зд е с ь , к о н е ч н о , н а р у ш е н а ). Д е й ­
с т в и т е л ь н о , з д е с ь S 2k = S 'k + jS ^ ( г д е
Qf
_ 1 I 1 j 1 I
I 1
Qft
S» - 1 + 2 + 3 + - + *'
причем
Hm
fr—
*т
^
к а к п р е д е л lim
_
S‘ ~
f1
1
^
5 Т^ + - + Д '
= 00 ( S ^ — ч а с т н а я с у м м а г а р м о н и ч е с к о г о р я д а ), в т о в р е м я
S 'l
к - СО Н
сущ ествует и кон ечен (S * — ча стн а я сум м а сх о д ящ ей ся
г е о м е т р и ч е с к о й п р о г р е с с и и ), с л е д о в а т е л ь н о ,
Hm
к »со
S 2k =
С д ругой сто р о н ы , д л я сх од и м ости зн ако чер ед ую щ его ся р яд а вы п о л н ен и е
п р и зн ака Л ей бн и ц а не необходимо: зн ако чер ед ую щ и й ся ряд м о ж ет сх од и ть­
с я , е с л и а б с о л ю т н а я в е л и ч и н а его о б щ е го ч л е н а с т р е м и т с я к н у л ю н е м о н о ­
тонно.
Т а к , ряд
1 +. ~1
1- —
2г
3Я
~1 .
4Я
-I- -
1
(2п-1)
1 +
(2л)'
...
сх од и тся, и притом абсолю тно, х о тя п р и зн ак Л ей б н и ц а и не вы п о лн ен : аб­
§ 1. Числовые ряды
293
солютная величина общего члена ряда хотя и стремится к нулю, но не мо­
нотонно,
4°. Р я д ы с к о м п л е к с н ы м и ч л е н а м и . Ряд с общим членом
2
с = &п + ibtt (i = -1) сходится тогда и только тогда, когда одновременно
оо
( 6)
Ряд (6) заведомо сходится и называется абсолютно сходящимся, если схо­
дится ряд
членами которого являются модули членов ряда (6).
5°, Д е й с т в и я н а д р я д а м и ,
а) Сходящийся ряд можно умножать почленно на любое число к, т. е. если
£/1 Н~ £^2 “Р *** +
+ ,,, —£,
то
ка^ -s- кй2 + ... + ка^ +
—kS.
б) Под суммой (разностью) двух сходящихся рядов
-г а2 +
+ ап + ... = S 1,
bi + Ь2 +
(7)
(8)
+ Ьп + ■■■ =
понимается соответствующий ряд
(Oj ± ьг) + (а2 ± ь2) + ... + (ап + ьп) + ... = S { ± S 2.
в) Произведением рядов (7) и (8) называется ряд
С1 + С2 Н
где
(9)
+ СП+ ■■■’
= а 1Ьп + а 2Ън _ j + ... + а Ь 1 (и = 1, 2 , ...).
Если ряды (7) и (8) сходятся абсолютно, то ряд (9) сходится также абсо­
лютно и имеет сумму, равную S^S2.
г)
Если ряд сходится абсолютно, то его сумма не изменяется при пере­
становке членов ряда. Это свойство не имеет места в случае, если ряд схо­
дится неабсолютпо.
сп
Н аписать простейш ую формулу га-го чл ен а ряда по указанн ы м
членам:
2401. 1 +■ 1 + 1 + 1 + ... .
2403.
2402.1 + I + I + 1 + ... .
2404. 1 + 1 + 1 + -L
3
2
4
5
6
7
8
1 +
?
2
4
+
5 + 4 ..
4
9
8
16
294
Глава VIIL РЯДЫ
2405.
5
!4 +
i9 +
2407.
I + 1 +
2
6
2408.
1 +
16
1
25
1 - 3 5 ,
+
1-4
8
т* --+ ± + f
5
8
11
14
+ J _ + J L + J L
20
30
42
12
1 ■3
2406. 2
— +. . . .
+
1 - 4 7
1
3
+
S
..
7
1 >4 * 7 ' 1 0
2409* 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... *
2410* l + i + 3 - r ± + 5 + ± + „ . .
2
4
6
В примерах №№ 2411—2415 требуется написать 4—5 первых чле­
нов ряда по известному общему члену а .
2411. а п = -3 2-1
П +1
2414. а Л =
[3 + (-1)л]"
2 + s i n ^ (cosия
2412. а /1 =
.
2415. а ft =
и!
_ 2 + (-1)'
2413* а п =
п
Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения
(или необходимый признак):
2416. 1 - 1 + 1 - 1 + ... + (-1 )" -1 + ... .
2417. ? +
5
1 f-V
2
2418. 2 4- 3 + |
3
5
7
1
2419.
■
+
f
2421* i
21
1 0 / t 4* 1
+
Jl
■2
2423. 2
+
2 4 2 4 .1
+ -L
—
2
Л
+ *.. +
Т гП
ЛГъ
+ —233 + . .. + —2;n з
+
-L
л
+
+
+ ....
2n
31
2422,
1У + --
n
(-1 Г 1
+ -L + -L + ..* +
11
I
n+V io
+ i
6
4
+
_L
,
+ -L
VTo
3Л о
2420. l + 1 + i +
2
n 4- 1
2n + 1
1
J lO
...
Г2У +
3 IsJ
U;
... + J _
J it
-
+
,**
*
*}п{п 4- 1)
+ **. *
§ 1. Числовые ряды
2425.
4 ... 4 -----^— - 4 ... .
4 А. 4 \
2
5
8
(3 /1 -1 )
2426. - 4 ^
2
+ ... + — У^-
з7 2
295
4V3
+ ... .
(n + l ) J n
С помощью признака Даламбера исследовать сходимость рядов:
2427. -L + 3 + J L + ... +
Л
2428
-
2
2Д
4 ^
‘1
^ 4 ^
1 >5
+ ... .
(72)"
^
^ н-
4 2 ' ^ ' 8 . . .(3 r t - 1 ) ^
1 ‘ 5 -9
1 - 5- 9. . . (4л-3)
1—
1
1
Й
CM
С помощью признака Коши исследовать сходимость рядов:
/ 4У
2429. 2 4 73>2 4 4 ... + ( n + 1 V 4 ... .
1
\ 5/
Ы
2430.
1
2
4 (-X + r ils + .
v5./
\s)
" ,Г "
13л - l)
4
.
Исследовать сходимость знакоположительных рядов:
2431. 1 + 1Л I+ ОI I + ... + 1 I + ... .
2!
243Ч +!
2433.
1-4
3!
+ й + - + (л + 1) - 1
4 ^
4
7
4
1
7 ■10
4 ... 4
(3 п - 2)(3гс4 1)
+
п
2434. 1 4 ^ 4 А 4 ... 4
3 9
19
2п+1
2435. i + - + 4
2
5
2436.
10
+
22 -З2
+ ... + _JL_ + ... .
32 -4 2
7
+ 1
+
+ ... +
4 2 ■52
2/1+1
(л + 1 )2(л + 2)г
2437. ? + 4 V + ( A V + ... + ('-1 2 -V
4
\7)
vioJ
U n + i;
1
з
V + ... f ^ n + l'j3 +
2438. I 23^
Г + 5 + f J 7- Y
7
110/
',3 л + 1.)
2439. -о + —2 + —n + ... + n + ...
e
n- 1
2440. 1 + — + — + ... 42 2 3J
n"
... .
...
.
Глава VIII. РЯДЫ
296
2! + 3! + . . . + п Е
2+1
2" + 1
22 + 1 23+1
п- 1
+ , *♦ *
2442. 1 + 1 + 1 +...+ 2
1!
2441.
+
I f
2443. 1 +
(л-1)!
2!
+ 13 5 + _ +
4 -8
4-812
2444. Q ! l ! + (2 !j!+ (3!)^+
2!
4!
(21^-1) + _ .
4 - 8 - 12. .А п
+ (п\)2 +
6!
2п\
2445. Ю 00 + 1000 1002 + ЮОО-Ю02 1004 +
1- 4- 7
14
, 1000-1002-1004,..(998+2/1) ,
1- 4- 7 ...(3 /1 -2 )
2 , 2-5-8 +
+ 2-5-8-11-14.,.(6л-7)(6п-4) +
2446.
1 + 1-5-9
” ■ 1 ■5 - 9 - 13 - 1 7 ...(8 я -1 1 )(8 п -7 )
+
1 - 5 - 9 . , . ( 4п- 3)
+ ... .
2447. 1 + 1 ■5 +
2
2-46
2-4-6-8..,(4п-4)(4п-2)
+ 1 ■11 ■21. ..(10/1-9) +
2448. 1 + 1 ■11 + 1 - 1 1 - 2 1 +
1!
3!
5!
■"
(2 и -1 )!
2449. 1 + J - L +
1 3 5
14
1 -4Л
1
9
.
. U
1 -3- 5- 7 9... (4п - 3)
1 ■3 ■5 - 7 - 9
<
w
“M
2450.
arcsm
I
л
л= 1
2457 ■ У
- -*In In п.
Аи п- --Inn
л =2
OQ
оо
2458
2451.
п ™.1
П
- 1 тп :- -п
71 = 2
00
со
2452.
П)
п= 1
1
п =1
п 2 4- 1
п
2460
1
■ I
л =1
оо
ос
2454.
У —
In п .
2461.
I
п =2
л=2
оо
со
2455. у _J__.
a In п
п =2
2462.
X 4 v
л=2
S
л =2
оо
оо
2456.
1
1
п =] Jn(n + 1)
сс
In
2453.
2459.
2463.
у
Jn(n + 1 )(7t + 2)
1
п \ п п + л/ i n
1
n\Jn - J7l
(2 п - 1 )(5 3J n - 1)
+ ... ,
§ 1. Числовые ряды
2464.
297
3 Пп\
2467. £
I
п= 1
Л =
п
1
ръч
сс
UbJ
n)
2465. 2 , n
п =1 n
2468*. £
Л
-
1
п
оо
2466.
2пп!
I
п =1 П
2469. Доказать, что ряд V —- — :
п =2
1) сходится при произвольном q , е с л и р > 1, и при q > 1, е с л и р = 1;
2) расходится при произвольном <j, если р < 1, и при q < 1, если
Р “ 1*
Исследовать сходимость следующих знакопеременных рядов. В слу­
чае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимости.
1 + 1
3
5
2n-l
1 f i
-... +
3
72
1
i +
4
9
+...
Jn
+
+....
n
-1- LtD ___2 +
2 + 3 ^
7
13
6 /1 -5
5 + 7 - . . . + (- i)n "
—
+
2474.
1 -2
2 ’3
3 *4
п(п +1)
...
.
« +и
1 2 3 4
, ., з
2 4 7 5 .- ± - ^ + § + - ^ - ...+ ( - 1 ) 2
2 4 8 16
2 4 7 6 .-
2
272-1
+,
3
зТз-i 475-1
2478 - - —
+ 1 ~4 ' 7 -
2
2-5-8
2 -5
2479. - - —
7
7 -9
+ 1'4 7
7-9-11
2480 s*na + sin2ct _|_
in l°
+ ... .
( In 10):
+ ... + (-1)"
П+ 1
+
(Л + 1)л//Г+1 - 1
... .
+ (-1)" " 1 3- 5- 7 ...(2л + 1) +
V
2 - 5 - 8 . ..(Згг-1)
- ... + ( - i f 1 1 4 7-- (3fl~ 2) + ... .
7 - 9 ■11... (2л + 5)
_j_ sin лa
( In 1 0)
Глава VIII, РЯДЫ
298
2481
. уЛши (-1)"и I nггn
2482- X
п- 1
( - и " ' Jtg
п =1
n jn
2483- Убедиться в том, что признак сходимости Даламбера не ре­
шает вопроса о сходимости ряда ^ а ^ где
п =1
о ^ —1
а 2k-1
г' 1
gft-i , а2к= ^ .к
(к = 1, 2, ...),
в то время как с помощью признака Коши можно установить, что
этот ряд сходится2484*. Убедиться в том, что признак Лейбница неприменим к зна­
кочередующимся рядам а) — г). Выяснить, какие из этих рядов рас­
ходятся, какие сходятся условно, какие сходятся абсолютно:
1
1
+
1
11 ,4 1 1
1
+ ...
а)
72-1
72 + 1
а,2 к
-
1
7з-1
7з + 1
1
Jk
’ a2k
+ 1- 1
7 5 -1
75 + 1
1
7k + 1 + 1
б) 1 - 1 + i - Л- + -L - 1 + ...
3
2
у
в)1
“ 2k - 1
2Ь
1
1
+
з Зз 5
1
3
1
i * “ 2к
1_
+ ...
З3
1
2 h - 1 * а 2к
1 .1 + 1 1 +
7 5 11 9
/
1
а 2к - 1 _
а 2к =
A k~ 1 ’
( ( a 2k - 1
г) ;3
nk
4.к - 3/
Исследовать сходимость рядов с комплексными членами:
2485. \
+
§ 1. Числовые ряды
2489. V
.
.^ Л + 1
299
2491. V - ------ ^------- [n + ( 2 n - l ) i j 2
по
2492. £
П=1
2490. £
П= 1
77(2-0+1
Г
fi(3-2i)-3ij
2493. Между кривыми у = О и у = 6 , справа от точки из перея
х
сечения, построены отрезки, параллельные оси OY и отстоящие один
от другого на одинаковом расстоянии. Будет ли сумма длин этих от­
резков конечной?
2494. Будет ли конечной сумма длин отрезков, о которых шла речь
в предыдущей задаче, если кривую у =
заменить кривой у = - ?
х
х
1_ ч_1
| _А.'
2495. Составить сумму рядов V* * + 71 и
п =1
л- 1
ли эта сумма?
^ ---- - . Сходится
со
оо
2496. Составить разность расходящихся рядов 'V - ^ - и
—
^ 2л - 1
w 2л
л =1
п =1
и исследовать ее сходимость.
2497. Сходится ли ряд, образованный вычитанием ряда
из ряда
2
I
Л
+
1
2л- 1
=
1
4= 1
2498. Подобрать такие два ряда, чтобы их сумма сходилась, а раз­
ность расходилась.
VC
со
2499, Составить произведение рядов V — и 'V —Ц . Сходит„ Гп
Аи
пцп
— оп~1
2
4=1
4=1
ся ли это произведение?
i i
f l + i + 1 +
V
22
V
44
...+
\2
1
1 + ... , Сходится ли
2;г_к
2"'
этот ряд?
+
п\
допускаемую при замене суммы этого ряда суммой первых его че­
тырех членов, суммой первых пяти членов - Что можно сказать о зна­
ках этих ошибок?
_1 _
_1
2!
31
Н~ . . .
+
t i l !
Глава VHL РЯДЫ
300
2502*. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
1 + 1 г ! ,2 + 1 m 3 + ... + 1 r i r + . . .
п\ \2j
2! ^2
3! V2J
суммой его первых п членов.
2503. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
1 4- —
2!
3!
а\
суммой его первых п членов. В частности, оценить точность такого
приближения при п = 10.
2504**. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
1 + Л + А + ■** + А + ***
22
З2
п
суммой его первых п членов. В частности, оценить точность такого
приближения при а 1000.
2505**. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
2п-2
+
1+2|гУ+з(1
* - + п{\
. . .
суммой его первых я членов,
1
2506. Сколько членов ряда X 1 -— ----- нужно взять, чтобы выjLj
п
/
•. \ л
а- 1
числить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001?
п
нужно взять, чтобы вы" ( 2 п +1)5
числить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001? до 0,0001?
2507. Сколько членов ряда
2508*. Найти сумму ряда
1 ■ 1 + J - +... +
1
+
2 -3
3 -4
п(п + 1)
1 -2
... .
2509. Найти сумму ряда
х 4-
х - VX
х - Ух) + . . . + ( 2k +1 X - 2k~lfc) + . . . .
§ 2, Функциональные ряды
1°. О б л а с т ь с х о д и м о с т и . Множество значений аргумента х, для
которых функциональный ряд
лоо + /2(*) + •■• + t j x ) + ■•■
(1)
сходится, называется областью сходимости этого ряда. Функция
S(x) = lim £?л(х),
rt •’СС
где S n(x) ^ / L(x) H / 5(х) + ... и- f n(x), а х принадлежит области сходимости,
называется суммой ряда, a R (х) ^ S(x) - S (х) — остатком ряда.
§ 2.
301
Ф ун к ц и о н а льн ы е ряды
В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1) до­
статочно применить к этому ряду известные признаки сходимости, считая х
фиксированным.
П р и м е р 1. Определить область сходимости ряда
х + 1 + (а: + I)2 + (х + I ) 3 +
1 -2
2 ■22
3 ■2а
Р е ш е н и е .
О бозн ачив через
1и« + 11
lim
л — оо
и л|
=
..
пт
u ti
+ (ж + 1)" +
п - 2Л
общ и й член р яд а, будем и м еть
| jc + 1 | п + 12 Пп
_
|jc + l j
11 , т 2л*1(я + 1)!а:+1Г
На основании признака Даламбера можно
утверждать, что ряд сходится (и притом аб\х
(2)
Расход.
+ 1|
Сход.
-3
солютио), если 1—-—- < 1, т. е. при -3 < х < 1;
Z
-10 1
Расход.
'И
Рис, 104.
):г -н1| ^ -
ряд расходится, если -—-—1 ^ 1, т. с. если
< х < -3 или 1 < х < со (рис. 104). При х = 1 получаем гармонический ряд
+ i + ... , который расходится, а при х = - 3 — ряд - 1 4- ^ “ - -I- . . .
2
3
2
3
который (в соответствии с признаком Лейбница) сходится (неабсолютно).
Итак, ряд сходится при -3 < л: < 1.
2е. С т е п е н п ы е р я д ы . Для всякого степенного ряда
1 + i
cQ+ сг(х - а) + с2(х - а)2 4 ... 4- сп[х - a)rt 4- ...
,
(3)
(с и а — действительные числа) существует такой интервал (интервал схо­
димости) \х - а\ < R с центром в точке х = а, внутри которого ряд (3) сходится
абсолютно; при \х - а\ > R ряд расходится. Радиус сходимости R может быть
в частных случаях равен также 0 и со. В концевых точках интервала схо­
димости х = а ± R возможна как сходимость, так и расходимость степенного
ряда. Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Дадамбера или Коши, применяя их к ряду, членами которого являются абсо­
лютные величины членов данного ряда (3).
Применив к ряду модулей
Sc.J
' U14- 1Ic:Jar
Ы -• а\1 I- ... + 1Iсл"\\х - а\п
1 + ...
признаки сходимости Даламбера и Коши, получим для радиуса сходимости
степенного ряда (3) соответственно формулы
и R = lim
lim “Л С ,
л. • > сс
71*1
Л — =О
О д нако п о льзо ваться и м и следует весьм а осторож но, так к а к пределы , сто я­
щ ие в п р авы х ча стях эти х ф орм ул, часто не сущ ествую т. Т а к, наприм ер,
е с л и б е с к о н е ч н о е м н о ж е с т в о к о э ф ф и ц и е н т о в с о б р а щ а е т с я в н у л ь (э т о , в
частн о сти , и м еет м есто, если р яд со д ер ж и т ч л е н ы то л ько с ч е тн ы м и и л и
то лько с н ечетн ы м и степ ен ям и (х
а)), то п о л ь з о в а т ь с я у к а з а н н ы м и ф ор-
Глава VIII. РЯДЫ
302
мулами нельзя. В связи с этим рекомендуется при определении интервала
сходимости применять признаки Даламбера или Коши непосредственно, как
это сделано выше при исследовании ряда (2), не прибегая к общим формулам
для радиуса сходимости.
Если г = х 4- iy — комплексное переменное, то для степенного ряда
С0 4- с,(г - г0)
с2(г - zQ)2 + ... + cn(z - zQ)n + ...
(4)
(сн - ап + ibn, zQ= xQ 4- й/0) существует некоторый круг (круг сходимости)
|z - г0| < Я с центром в точке г —г0, внутри которого ряд сходится абсолютно;
при \г - zQ\ > R ряд расходится, В точках, лежащих на самой окружности
круга сходимости, ряд (4) может как сходиться, так и расходиться. Круг
сходимости обычно определяют с помощью признаков Даламбера или Коши,
примененных к ряду
|с01 + lcil ■I2 - 2ol + 1е21' N - z f +
+ k j • k “ гоГ + **■>
членами которого являются модули членов данного ряда. Так, например, с
помощью признака Даламбера легко обнаружить, что круг сходимости ряда
Z+ 1
+ (Z + 1 )2 +
12
2 ■22
(г + 1
)3 + _
+ (Z + 1 ) '1 + _
3 ■23
п- 2 П
определяется неравенство jz 4- l| < 2 (достаточно повторить приведенные на
с, 301 выкладки, служившие для определения интервала сходимости ряда
(2), заменив лишь х на z). Центр круга сходимости находится в точке
z — —1, а радиус R этого круга (радиус сходимости) равен 2,
3°, Р а в н о м е р н а я с х о д и м о с т ь . Функциональный ряд (1) сходится
на некотором промежутке равномерно, если, каково бы ни было г > 0, можно
найти такое N t не зависящее от х, что при n > N для всех х из данного проме­
жутка имеет место неравенство [#п(#)[ < с, где Rn(x) — остаток данного ряда.
Если\f„(x)\ < cn (п = 1, 2,
при а < х < Ь и числовой ряд
сп сходится,
п=1
то функциональный ряд (1) сходится на отрезке [а, Ь] абсолютно и равно­
мерно (признак Вейерштрасса).
Степенной ряд (3) сходится абсолютно и равномерно на всяком отрезке,
лежащем внутри его интервала сходимости. Степенной ряд (3) можно по­
членно дифференцировать и интегрировать внутри его интервала сходимос­
ти (при \х - а\ < /?), т, е, если
С0 + Сх( х - 1) + С2( х - а ) 2 + . . . + Сп(х - a f + . . . = f ( x ) ,
(5)
то для любого х из интервала сходимости ряда (3) имеем:
с2 + 2с2(х - а) 4- ,,, псп(х - a f 1 +
- f'(x),
х
х
х
(6 )
х
J c0 dx + J c1(x - a) dx + J c2(x - a)2 dr -+■... 4- J cn(x - a f dx + ,,
,
,n +
s cл, (" - a)
n =0
1,
rt+1
4
<X° - “ J
n + 1
x
- J(rt*)d*
*□
(7)
§ 2. Функциональные ряды
303
(число х 0 также принадлежит интервалу сходимости ряда (3)), При атом ря­
ды (6) и (7) имеют тот же интервал сходимости, что и ряд (3),
Найти область сходимости ряда:
2510. У - .
Л
"
2518
л"
=г 1
■ У Л!Л, ГЛ■
/
j
—
л =1
□о
OQ
2511. У н Г + 11 .
^
2519. У ------i------.
"
71х
и=1
□О
2512. 1 < - 1 >
л=1
rt+1 1
п In*
2520. У
д=1
4
E
2521
zn
2п + 1
/
rf v 5 2/7
— (rt+i)
(п + 1 *
2522.
У
*
2514. У 2* sin *- .
Zw
оп
/1 = 0
"'Р - .
“—1 ( х - 2 ')л
Л
со
2513. Х 1 s^n(2n - 1) *
(2п -1)*"
(-
1)
п - З я{х-5)*
^
СО
2515**.
cos п X
I
пх
11 =
—11
/г
л =0
2516.
я + 1 - п sin х
е
1 (-ч
п =о
Со
2517. X 1 Hi.
zL *
л= 1
у У-
2523.
оо
2524*. У
Zwl
+
п •- 1
О
С
/1
2525. £ лс .
2ях п/
'
/I =—
1
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать схо­
димость на концах интервала сходимости:
ос
по
2526
2530.
л =0
00
2527.
1
2528.
2531.
2'
2л~ 1
л - 1
2529.
у
=
Т1
1
СО
X
zL 2 п - 1
оо
I
Л
л=1 71
оо
/ 1 чЛ ^ 1 п
( - 1)
X
2 - 1ДГ2/г- 1
Е
(п +1 yJx 2rt
2л+ 1 ‘
л =0
оо
2532. £ ( - 1 ) я(2л + 1 ) V .
л=0
2533. У
^ лЛ
п =1
Глава VIII. РЯДЫ
304
_iV* ' 1 ( ^ 2 )
2548.
2и
I '- »
/1=1
2534. £ л!хп.
л= 1
со
oo
It
_
(х+3)Л
/1=1 П
I
2549.
2535. I - л= 1 rt
со
2536.
CO
f
I
Л= 1
п
у ^ 1х * .
12п + 1/
2550 , ^
«=l
+ 3)"
oo
DO
2537.
2/t
г
м2
X
2551. V
Л- 1
X 3 *
л=О
со
2538. V
La
1
2n 4'
oo
2552.
п + 1
л = 1
{x-2 У
*-*
Л
= 1 ( 2 n - 1)2
'
У
Со
2539.
Х
п\х
п =1 пя
2553. у
^
n =1
oo
0О
п- 1
X
2540.
I
п =2 п Зп ■lnrt
2554. У Г1’(-—3)
X
11=1
oo
со
2541.
<*~1) ,
(3n - 2)2n
ftl
X
S
2555.
.
/1=1
(* + 1)1
X
( n + 1 } ln ^ (^ + 1)
оо
2556.
2542* У л!*"1.
г*
(x-2)n
2557. y ( -_1
l )V1+ 1
(n + l)ln (n +
fi = 1
УLmi —
—1-rtЛI
2^ И
Л ~Д
Л- — 1
л
2558.
2544* 1 4 п =1
2545. у ( - i f
/1=1
3
W
Л- 1
П ГТ 1
OO
( *- з У
X
Л= 1
2560
Л * o '1
UO
2547.
X
2559*. X l 1 + n)" ( х “ 1)П'
СЮ
I
(x + 2)‘
n
л=1
CO
Со
2546.
(rt + 1 ) l n ( n + 1 )
oo
□О
____
со
X
2 rt
л = I
П 4= 1
2543*
(*-3)
( * -
1)
л ■9 f
(2 rt - l) ;*(jc + 1)
■X
л- 1
2 rt
2
.n - 1
•n
n
2561. У (-D n^/rt 4- 2 (x - 2) .
Jmmwi
Л4 - 1
л=0
1)
§ 2. Функциональные ряды
305
( * + 3 )'
2563 ■ X < -_i1>\ л
(2п + 1 )Jn + 1
п =о
2562. Y (Зп - 2 ) ( х - 3)"
, h ( « + d 22'!+i
Определить круг сходимости:
2564.
Z
л=0
.n Л
12
2566.
I
п =1 п ■8'
оа
СО
2к
2565. ^Г(1 + ш)гп.
2567. ^
л—0
л=0 ^
2568. (1 + 2i) + (1 + 20(3 + 21)г + ... + (1 + 20(3 + 20...
П
...(2п + 1 + 2i)z -Ь
,
+
2 5 69.1 +
2ет°- i
ш
{
1- 0(1-20
+
+
...
( l- i) ( l- 2 i) ,„(1 -п 0
+
. . .
.
)■■■ ■
л =О
2571* Исходя из определения равномерной сходимости, доказать,
что ряд
1 + х + х 2 + ... + х п + ...
не сходится равномерно в интервале (-1 , 1), но сходится равномерно
на всяком отрезке, лежащем внутри этого интервала.
Р е ш е н и е . Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии,
получим при \х\ < 1
п+\
ПУ1
л
-f
1
.
п
2
.
X
RJx) = X
+X
+ ... = ----- .
л
1-х
Возьмем лежащий внутри интервала (-1, 1) отрезок (-1 + а, 1 - а], где а —
сколь угодно малое положительное число* На этом отрезке \х\ ^ 1 —ct,
!1 - х\ > а и, следовательно,
i wп i <
а
■
Для того чтобы доказать равномерную сходимость данного ряда на отрезке
[-1 + а, 1 - а], нужно показать, что к любому е > 0 можно подобрать такое
*V, зависящее только от с, что при всяком п > N будет иметь место нера­
венство |й (jc)| < £ для всех г из рассматриваемого отрезка.
Взяв любое е > 0, потребуем, чтобы ------- ----- < е; отсюда (1 - а)п < Ш,
а
ln(ect) (т а к к а к In (1 — c t) < 0) и
(л f l ) l n {1 - а ) < In (са), т. е. п + 1 >
In (1 —Gt)
306
Глава VIII. РЯДЫ
п > ^ ( Е0С) Положив, таким образом, N = 1п(£а) _ ^
убеж1п(1 - а)
ln(l-ct)
у
даемся, что при п > N, действительно, [/?л(х)| < е для всех х из отрезка
[-1 + а, 1 - сс] и равномерная сходимость данного ряда на любом отрезке,
лежащем внутри интервала (-1, 1), тем самым доказана.
Что же касается всего интервала (-1, 1), то он содержит точки, сколь
п+1
угодно близкие к точке х = 1, а так как lim R (*) = Пт ----- - оо Т0 как
дг — 1
л
1 -1
1 -Х
велико бы ни было п, найдутся точки х, для которых /?п(;с) больше любого,
сколь угодно большого числа. Следовательно, нельзя подобрать такое N, что­
бы при п> N неравенство |Лл(д;)| < е имело место во в с е х точках интервала
(-1, I), а это и означает, что сходимость ряда в интервале 1, I) не является
равномерной.
2572, Исходя из определения равномерной сходимости, доказать, что:
а) ряд
сходится равномерно во всяком конечном интервале;
б) ряд
/ * чл- 1 2/1
X2
ж
+ (-1 )
1
П
сходится равномерно во всем интервале сходимости (—1, 1);
в) ряд
1+
2"
3х
пх
сходится равномерно в интервале (1 + 6,
тельное число;
г) ряд
где 5 — любое положи­
(х2 - XА) + (х4 - Xе) + Ос6 - X8) + ... + (х2п - х 2п + 2) + ...
сходится не только внутри интервала (-1, 1), но и на концах этого ин­
тервала, однако сходимость ряда в интервале (-1, 1) — неравномерная*
Доказать равномерную сходимость функциональных рядов в ука­
занных промежутках:
ос
2573, ^
— на отрезке [-1; 1].
2574. £ sin/ia: на всей числовой оси.
«=1 2Л
се
2575. V
н а о т р е з к е [ 0 , 1 ].
307
§ 3. Ряд Тейлора
Применяя почленное дифференцирование и интегрирование, най­
ти суммы рядов:
г
2576. х + %
и + 4О + •
2 5 7 7 .x - ^
+ (-1)"
\
2578. х +
^
3
3
2579. х - X
п
I х
+ т
+
+
5
1— + ... .
п
X2л- 1
I
2п-1
4 4 4
4
п - I х 2л- 1 И- .,**
+ с-1»
2/t-l
5
-•
2580. 1 + 2х + Зх2 + ... + (п + l)x n + ... .
+ (-1 )" ' \ 2 п - 1 ) х п ~ 2 + ... .
2581. 1 - Зх2 + 5х4 2582. 1 • 2 + 2 • Зх + 3 ■4хй + ... + п{п + 1)хп 1 + ... .
Найти суммы рядов:
2583. - + \
X
2584. х + -
5
2585*4 1 -
+ i л + ....
х
+
X
+ х
+ ^ +
3-3
4п - 3
9
1
+
О*
+
,4 , 4
(-
+ 44. И"
7 ■3й
5 ‘3
2586. I + - + - + ■ ■ ■ +
2
4п - 3
2 /1 - 1
1)
п-1
п- 1
+
4. 44
( 2 л - 1)3
+ ,44 4
О 6
§ 3, Ряд Тейлора
1°. Р а з л о ж е н и е ф у н к ц и и в с т е п е н н о й р я д . Если функция
f(x) допускает в некоторой окрестности \х - а\ < R точки а разложение в
степенной ряд по степеням х - а, то этот ряд (ряд Тейлора) имеет вид
/(х) = Па) i f(a)(x - а) +
(х - af + ... +
(х - a f + ... . (1)
При a ^ 0 рад Тейлора называют также рядом Маклорена. Равенство (1)
справедливо, если при \х —а\ < R остаточный член ряда Тейлора
о
R i x ) - f(x) ~
k =1
при п —*
Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой
R a(x) =
(форма Лагранжа).
f in ' ''[о + 0(х - а)1, где 0 < 6 < 1
(2)
308
т
Глава VIIГ. РЯДЫ
П р и м е р 1. Разложить функцию f(x) = eh х в ряд по степеням х.
Р е ш е н и е . Находим производные данной функции /(х) = ch x t f'(x) ^ sh я,
f (#) = ch к* f "'(x) = sh х, ♦*«; вообще
—ch х , если п — четное, и
f *{■*) = sh х, если п — нечетное. Полагая а = 0, получим /(0) = 1, /'(0)
О, f"(0 ) = 1, Г '(0) = 0,
вообще f^n\ 0) = 1, если п — четное, и / (л>(0) =
0, если п — нечетное* Отсюда на основании (1) имеем
х
c h .t = 1 + — + —
2)
4!
\-
х 2п +
( 3)
.
(2п)\
и
Для определения интервала сходимости ряда (3) применим признак Даламбера. Имеем
х 2ft = Jim
х
=0
(2п + 2)! (2ц)!
Л— (2п-г 1)(2/н 2)
2л + 2
lim
при любом х. Следовательно, ряд сходится в интервале
точный член в соответствии с формулой (2) имеет вид
|
< х < °о* Оста- ’if'
п+ J
К (*) =
X
(л + 1)!
ch 0х, если л — нечетное,
и
П-¥1
RAx) -
(п+1)!
sh Ох, если п — четное.
Так как 0 > 0 > 1, то
|ch Gx| = — ' ~^е—
и поэтому |Д (лг)[
| ^ | п '* 1
< с'"1', jsh 0х| =
е
Ох
| I
- е
-Ох
<г
2
I Iл
——777 е ■РяД с общим членом
{п -Ь1)!
л!
сходится при любом
х (Б этом можно легко убедиться с помощью признака Даламбера), поэтому
в соответствии с необходимым признаком сходимости
п+1
к
lim
= О,
л^ (я + 1)!
а следовательно, и lim /?л(х) = 0 при любом х* Это означает, что сумма ряда
Л
— » «=
(3) для любого х действительно равна ch х.
2°. П р и е м ы , п р и м е н я е м ы е п р и р а з л о ж е н и и
ные ряды.
Пользуясь основными разложениями:
2
X -1- X
„ _ 4 ..
ГХЗо,
П
2[
3
5
X
II. sin х = — 3! Н 5!"
2
4
X
1
+ 4!
в степен­
309
§ 3. Ряд Тейлора
х -4 ,.. т(т -
(-1 < х < i A
V. In (1 + х) = х -
2 , X3
л- 1 X
- ... + (-1)
- п + 1)
п\
\ ... (-1 < X ^ 1),
п
а также формулой для суммы геометрической прогрессии, можно во
многих случаях просто получать разложение данной функции в сте­
пенной ряд, причем отпадает необходимость исследования остаточ­
ного члена* Иногда при разложении полезно использовать почленное
дифференцирование или интегрирование* При разложении в степен­
ные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать эти
функции на простейшие дроби*
П р и м е р 2. Разложить по степеням х
функцию
(1 - х ) { 1 + 2х) ‘
Р е ш е н и е , Разложив функцию па простейшие дроби, будем иметь
2
Так как
ос-
(4)
«^о
и
ос
— — = 1 - 2х + (2x f
(5)
1 + 2*
п
=
0
то окончательно
Геометрические прогрессии (4) и (5) сходятся соответственно при \х\ < 1 и
т. е. при
На границах интервала сходимости (т. е. при х ^ -1 и при х = 1) разложение IV
недет себя следующим образом: при т ^ 0 абсолютно сходится но обеих границах: при
0 > щ > -1 расходится при х —-1 и условно сходится при .г = 1; при т < -1 расходится
на обеих границах.
■>.!:
Здесь и в дальнейшем подразумевается «по целым и положительным степеням» .
310
Глава VIII♦ РЯДЫ
3°. Р я д Т е й л о р а д л я ф у н к ц и и д в у х п е р е м е н н ы х . Разложение функций двух переменных Дх, у) в ряд Тейлора в окрестности точ~
ки (а; Ь) имеет вид
f(x, у) = Да, Ь) + — < * - « ) ! ; +<»-»> | ; j /(“- ъ) + ±
( х - а)
+
ох
+ ( у -Ь ) — ]* fta, Ь) + ... + Г
• (7)
оу J
гс! { х ~ а) h + { y ~ b) i y ] Па* Ь ) +
Если а = b - 0, ряд Тейлора называют также рядом Маклорена* Здесь
приняты следующие обозначения:
(х - а)^- + ( у - Ь ) ~ f(a, b) - f e z y )
(х дх
ду}
Эх
*“ы
а)
4-
_
Эу
х =а
Эх
У*
У
)
jf = а (У - Ь );
У= ь
(дг-а) +
*
+ <>'d2f{x.y) ^ а ( х - а)(у - Ь) + ?
У) * = а (х - а) и т. д.
дхду л
у = f>
Ф
^ ^ *
Разложение (7) имеет место, если остаточный член ряда
RJx, У) = /(*> У ) при п —>
я ,(*,
у)
ГL Да, 6) +
V Г (ас - а)
+ (у - 6)
'Да. *)} ^ О
Н\
дх
оу J
*= 1
Остаточный член может быть представлен в виде
П+1
- <Т7Т)! 1( д : _ 0 , Я
f{x>y) х = а •+0(х - а)
У
= fr+
- &)
гд е 0 < 8 < 1.
Разложить но целым положительным степеням х указанные
функции, найти интервалы сходимости полученных рядов и иссле­
довать поведение их остаточных членов:
2587. а (а > 0).
2590. sin х.
2588. s i n( * + | ) .
2591* In (2 + х).
2589. cos (х + а).
Пользуясь основными разложениями I—V и геометрической про­
грессией, написать разложение по степеням х следующих функций
и указать интервалы сходимости рядов:
2592. 2 х - 3
2593.
Зх-5
х 2 -
4х + 3
2594, хе
2595. е
-2х
311
§ 3. Ряд Тейлора
2596. sh х.
2600. —
2597. cos 2х.
2601.
2598. cos2 х.
2602. In ■
; ~г х .
1-х
2599. sin Зх + х cos Зх.
2603. In (1 + * - 2х2).
9+х
.
1.....
Применяя дифференцирование, разложить по степеням х следую­
щие функции и указать интервалы, в которых эти разложения име­
ют место:
2604. (1 + х) In (1 + х).
2606. arcsin х.
2605. arctg х.
2607. In {х + *j1 + х 2).
Применяя различные приемы, разложить по степеням х заданные
функции и указать интервалы, в которых эти разложения имеют место:
1
2614.
2608. sin2 х cos2 х.
4*. - х 2 '
2615. In (х2 + Зх + 2).
2609. (1 + х)е“\
Д
sm x dx*
2616.
2610. (1 + е У .
1
0
х
2617.
2611. 378 + х .
-X
dx.
1
0
х
2612 ж2_3:,!: + 1
х
2618.
- ЭХ + 6
О
х
2619.
2 6 1 3 .ch3 х.
J
dx
о 7l - x
Написать три первых отличных от нуля члена разложения в ряд
по степеням х функций:
2620. tg х.
2623. sec х.
2621. th х.
2624. In cos x.
2622. ecos
2625. e* sin x.
2626*. Показать, что для вычисления длины эллипса можно поль­
зоваться приближенной формулой
,
s
~ 2 па
2.
\ 1 - ^г] ,
\
4J
где а — э к с ц е н т р и с и т е т , 2 а — б о л ь ш а я о с ь э л л и п с а .
312
Глава VIIL РЯДЫ
2627. Тяжелая нить под влиянием собственного веса провисает по
у
цепной линии у = ach - , причем а — Н
— , где Н — продольное натя&
g
жение нити, а д — масса единицы длины. Показать, что при малых
4
х, с точностью до величин порядка х , можно принять, что нить провисает по параболе у ™а + X
2 а
3
2
2628. Разложить функцию х - 2 х - 5х - 2 в ряд по степеням х + 4,
2629. f(x) = 5х3 - 4 х 2 - Зх + 2. Разложить /(х + Л) в ряд по
степеням h.
2630. Разложить In х в ряд по степеням х - 1.
2631. Разложить - в ряд по степеням х - 1.
X
2632. Разложить
X
в ряд по степеням х + 1.
2633. Разложить
в ряд по степеням х + 4.
* -нЗх + 2
2634. Разложить
1
в ряд по степеням х + 2.
х2+ 4х + 7
х
2635. Разложить е в ряд по степеням х + 2.
2636. Разложить J x в ряд по степеням х - 4 .
2637. Разложить cos х в ряд по степеням х я
2
тт
2638. Разложить cos х в ряд по степеням х - - .
4
2639*. Разложить In х в ряд по степеням 1 - х
1+х
х
в ряд по степеням X
1+х
TIT
2641. Какова величина допущенной ошибки, если приближенно
положить
2640. Разложить
е = 2 + + + 1 + 1?
2!
3!
4!
2642. С какой точностью будет вычислено число ~ , если восполь4
зоваться рядом
I
arctg х — х -
3
™
5
в зя в су м м у его п ер вы х п яти ч л ен ов п р и
х =
1?
§ 3, Ряд Тейлора
313
2643*. Вычислить число -тг с точностью до 0,001 при помощи раз6
ложения в ряд по степеням х функции arcsin д: (см. № 2606).
2644. Сколько нужно взять членов ряда
2
cos х = 1 - — + ***»
чтобы вычислить cos 18° с точностью до 0,001?
2645. Сколько нужно взять членов ряда
з
sin х = х - — -I- ... ,
3!
чтобы вычислить sin 15° с точностью до 0,0001?
2646. Сколько нужно взять членов ряда
X 1 , X . X2 ,
6 = 1 + 1! + 2!
чтобы найти число е с точностью до 0,0001?
2647. Сколько нужно взять членов ряда
2
In (1 + х) = х - y
+
чтобы вычислить In 2 с точностью до 0,01? до 0,001?
2648. Вычислить 1/7 с точностью до 0,01 с помощью разложения
функции 1/8 + х в ряд по степеням х .
2649. Выяснить происхождение приближенной формулы
Г:
*Ja + х = а
4-
— (а > 0),
2а
вычислить с ее помощью л/23 , положив а = 5, и оценить допущенную
при этом ошибку.
2650. Вычислить 1/19 с точностью до 0,001,
2651. При каких значениях х приближенная формула
2
cos X = 1 - —
Дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001? 0,0001?
2652. При каких значениях х приближенная формула
sin х = х
Дает о ш и б к у , не п р е в ы ш а ю щ у ю 0 ,0 1 ? 0 ,0 0 1 ?
Глава VI1L РЯДЫ
314
1/2
2653. Вычислить J
2654. Вычислить
втх
е
dx с точностью до 0,0001.
dx с точностью до 0,0001.
1
о
cos x d x c точностью до 0,001.
2655. Вычислить
4
7ч4л-
2656. Вычислить Г
J0 Jx
dx с точностью до 0,001.
1/4
1 + х dx с точностью до 070001.
2657. Вычислить
1
О
1/9
2658. Вычислить j* Ухе* dx с точностью до 0,001.
$
о
2659. Разложить в ряд по степеням х и у функцию cos (х - у), ||
найти область сходимости полученного ряда и исследовать остаточ- #
ный член.
'■
Написать разложения по степеням х и у следующих функций и |
указать области сходимости рядов:
|
2660. sin х * sin у .
%
2661. sin (х2 4- у 2).
Л
44
2662*. 1 ~ Х + У .
1 +х - у
2663*. 1 п ( 1 - х - у 4 х у ).
2664*. arctg
l-xy
2
.
Iуг­
■
2
2665. f(x, у) = ax 4 2bxy 4 су . Разложить f(x 4 Л, у 4 k) по сте­
пеням h и k.
2666. f{x, у) “ х3 - 2i/3 4 Зху. Найти приращение этой функции
при переходе от значений х = 1, у = 2 к значениям x = 1 4 f r , y = 2 + f t .
2667. Разложить функцию е* +у по степеням х - 2 и у 4 2.
2668. Разложить функцию sin (х 4 у ) по степеням х и у -
нали с ать три — четыре первых члена разложения в ряд по
степеням х и у функций:
2669. e*cos у.
2670. (1 4 х)
§ 4 . Ряды Фурье
315
§ 4. Ряды Фурье
Iй. Т е о р е м а Д и р и х л е , Говорят, что функция f(x) удовлетворяет
условиям Дирихле в интервале (a, ft), если в этом интервале функция:
1) равномерно ограничена, т. е. \f(x)\ ^ М при а < х < Ь, где М — посто­
янная;
2) имеет не более чем конечное число точек разрыва и все они 1-го рода
(т. е, в каждой точке разрыва с, функция f(x) имеет конечный левый предел
Дс —0) ™lim Дс е) и конечный правый предел
1 = lim Д^ 4-е] ^ 0));
£—о
е—о
3) имеет не более чем конечное число точек строгого экстремума.
Теорема Дирихле утверждает, что функцию f(x), удовлетворяющую в ин­
тервале {—л, 7i) условиям Дирихле, во всякой точке х этого интервала, в ко­
торой f(x) непрерывна, можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:
<4
4-fr.sin
-a cos пх 4-ЪПsin пх + .,.,(1)
№ = 2 +л.cosх
1
1 х ^ ancos 2х 1 sin 2х 4’ ... 4
т4 '
А
А.
П
где коэффициенты Фурье ап и Ьп вычисляются по формулам:
a
ая = - J/(x)cos пх d x {п = 0, 1, 2, ...);
Я
Ьп = - J*/r(x)sin п х dx (п = 1, 2, ...).
-к
Если х — принадлежащая интервалу (-л, я) точка разрыва функции f(x),
то сумма ряда Фурье S(x) равна среднему арифметическому левого и правого
пределов функции:
S(*> = | [«г - 0) + А* + 0)1.
В концах интервала х =* - к и х —п
s(-n) = s m = | [rt-я + о) + f{n - о)].
2°, Н е п о л н ы е р я д ы Фу р ь е . Если функция f{x) — четная (т. е.
f(-x) = /(*)), то в формуле (1)
Ьп = 0 (п = U 2, ...)
и
а = -2 \Г/(^)cos пх dx (п = О, I, 2,
п
п J
о
Если функция f(x) — нечетная (т. е. f(~x) = -/(х)), то
ап = 0 (п = 0, 1, 2, ...)
и
л
2
Г
Ь = - \f(x)$in
пх dx (п = 1, 2,
4 TtJ
Глава VI1L РЯДЫ
316
Функция, заданная в интервале (О, я), может быть по нашему усмотрению
продолжена в интервал (-я, 0) либо как четная, либо как нечетная; следо­
вательно, ее можно по желанию разложить в интервале (О, л) в неполный
ряд Фурье по синусам или по косинусам кратных дуг*
3°. Р я д ы Фу р ь е п е р и о д а 2L Если функция f(x) удовлетворяет
условиям Дирихле в некотором интервале (—/, /) длины 21, то в точках не­
прерывности функции, принадлежащих атому интервалу, справедливо раз­
ложение
а|
- 2пх Нbr,sin
fix) =
-Ь a1cos ~ + b1sin ~ 4- а2cos 2 п}х г« ^2
ш
I
L
т . M ix ,
+, Лancos -П71Х
у +, oflsni
—— +
где
•■ -и
-t
!
Д
х ) сой
~
d x ( n = 0 , 1, 2 , ...),
( 2)
>
К = -т I m , i л
dx(ji = 1, 2, **.)*
В топках разрыва функции f(x) и в концах х = ±/ интервала сумма ряда
Фурье определяется аналогично тому, как это имеет место при разложении
в интервале (—71, я).
В случае разложения функции f(x) я ряд Фурье в произвольном интервале
(а, а -г 21) длины 21 пределы интегрирования в формулах (2) следует заменить
соответственно через а н а + 2L
Указанные ниже функции разложить в ряд Фурье в интервале
(-л, я), определить сумму ряда в точках разрыва и на концах ин­
тервала (х = -я, х = я), построить график самой функции и суммы
соответствующего ряда (также и вне интервала (-я, я)):
с1 при -я < х < 0,
2671. f{x)
с2 при 0 < х < л.
Рассмотреть частный случай, когда с1 = —1, с2
2672* fix) -
1.
ах при —я < х < 0,
! Ьх при 0 < х < л.
Рассмотреть частные случаи: а) a = b = 1; б) а = - ! , & = 1;
в) а = О, Ь = 1; г) a = 1, 6 ™ 0.
2676* f(x) = cos ах.
2673* fix) = х .
2674, /(х) = е*г .
2677* f(x) = sh a x *
2675* f(x) = sin а х *
2678* f(x) = ch ax.
л —X р а з л о ж и т ь в р яд Ф у р ь е в и н т е р в а л е
2 6 7 9 . Ф у н к ц и ю /(x )
2
§ 4, Ряды Фурье
317
2680. Разложить в интервале (0, к) по синусам кратных дуг функJT
цию /(х) = - - Полученное разложение использовать для суммиро­
вания числовых рядов:
1
1
3
5
+
1
5
_
1
- i
1
7
-Ь
5
7
+
.
- A .
11
+
- A
и
+
1
7
4 14
7
1
17
13
1
13
Указанные ниже функции разложить в интервале (0, к) в непол­
ные ряды Фурье: а) по синусам кратных дуг; б) по косинусам крат­
ных дуг. Нарисовать графики функций и графики сумм соответст­
вующих рядов в области их существования.
2681, f(x) = х, Найти с помощью полученного разложения сумму
ряда
1+1
+ 1 +
З2
52
2682, f( x) = х . Найти с помощью полученного разложения суммы
числовых рядов:
1)1 + \
2
\
3
2) 1 - 1 + \ - \ + ... .
2
3
4
ах
2683, f(x) = е .
1 при 0 < х < T
-t
2
2684, f{x) = i
;0 при 7-Z К х < п.
л
;х при 0 < х < - ,
2685, f(x) —
п - х при ^ < X < к.
Разложить в интервале (0, л) по синусам кратных дуг функции:
х при 0 < х < 7-Z,
£
2686. /(*) = {
2687. f(x)
О при 7-Z < х < л.
д-(л - х).
2688, Я*) = sin | .
318
Глава VIII* РЯ ДЫ
Разложить в интервале (0* л) по косинусам кратных дуг функции:
1 при 0 < х < Л,
2689* f(x) - О при h < х < л.
X при 0 < х < 2Л,
1- —
2h *
2690, Дх) = <
О при 2k х < 71.
2691* f(x) — х sin х .
cos х при 0 < х < 2 ?
2692, Дх) =
71
“ COS X П р и -
< X < Л.
2693. Используя разложение функций х и х в интервале (0, л)
по косинусам кратных дуг (см. №№ 2681» 2682), доказать равенство
cos пх
Z x2 - 6лх + 2тг2
(О < х < л).
2
I
12
п= 1 п
2694**. Доказать, что если функция Дх) — четная и при этом
+
= ^(l " j то ее РЯД Фурье в интервале (-л, л) представляет
собой разложение по косинусам нечетных кратных дуг, а если функция Дх) — нечетная и f - + х = / - - х ,т о она разлагается в ин\*
/
\2
J
тервале (-л, л) по синусам нечетных кратных дуг.
В указанных интервалах разложить в ряд Фурье функции:
2695. Дх) = |х| (-1 < х < 1),
2696. Дх) = 2х (0 < х < 1).
2697. f{x) = е (-1 < х < I).
2698. f{x) = 10 - х (5 < а: < 15).
Разложить в указанных интервалах в неполные ряды Фурье: а) по си­
нусам кратных дуг, б) по косинусам кратных дуг следующие функции:
2699. Дх) = 1(0 < х < 1).
2700. Дх) = х(0 < х < I).
2701. /(*) = *2(0 < * < 2я).
2702. Дх) =
х
при 0 < х < 1,
2 - х при 1 < х < 2.
2703. Разложить по косинусам кратных дуг в интервале
функцию
fix) = <
3 - х при 2 < х < 3.
Глава IX
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1, Проверка решений* Составление дифференциальных
уравнений семейств кривых* Начальные условия
1°, Ос н о в н ые п о н я т и я . Уравнение вида
(1)
где у —у{х) — искомая функция, называется дифференциальным уравне­
нием п-го порядка. Любая функция у = ср(х), обращающая уравнение (1) в
тождество, называетсярешекиеж этого уравнения, а график этой функции —
интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде Ф(#, у) = 0, то
оно обычно называется интегралом.
П р и м е р 1* Проверить, что функция у “ sin х является решением урав­
нения
Р е ше н и е . Имеем
у' = cos х , у" = sin х
и, следовательно,
у " 4- у = - sin х + sin х ^ О,
Интеграл
Ф(х, у, Cv ..., Сп) = О
( 2)
дифференциального уравнения (1), содержащий п независимых произволь­
ных постоянных С.,
С и эквивалентный (в данной области) уравнению
(1), называется общим интегралом этого уравнения (в соответствующей об­
ласти), Придавая в соотношении (2) постоянным Ср
Сп определенные
значения, получаем частный интеграл уравнения (1)*
Обратно, имея семейство кривых (2) и исключая параметры Сг
СЛ
из системы уравнений
получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение вида{1), общим ин­
тегралом которого в соответствующей области является соотношение (2)*
320
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
П р и м е р 2. Найти дифференциальное уравнение семейства парабол
У = с г(х - с / .
(3)
Р е ш е п и е. Дифференцируя два раза уравнение (3), будем иметь
у' = 2С1( х - С 2) и у ' ' = 2Сг
(4)
Исключая из уравнений (3) и (4) параметры Cj и С2, получим искомое диф­
ференциальное уравнение
Легко проверить, что функция (3) обращает это уравнение в тождество.
2е. Н а ч а л ь н ы е у с л о в и я . Если для искомого частного решения
у = у(х) дифференциального уравнения
(Л - ]),
j*/ у, у *,
У(л) = f(x,
уI" " Jк)
(5)
!•'<?.■?ч:iv;е-
2уу" - У'2.
заданы начальные условия (задача Коиш)
У(х0) = J/0' У'(хо) = У'о.......У П V 0) = Уо" " П
и известно общее решение уравнения (5)
у = Ф(*, Cj...... с п),
то произвольные постоянные Ср
Сп определяются, если это возможно,
из системы уравнении
y0 = (p(xQyCv ...*СП),
У о —Ф
Сл),
>
УоЛ~1) = <Р(П~1\ х 0,С 1......Сй).
П р и м е р 3. Найти кривую семейства
У - С\е + С2е
,
(6) i-
для которой у(0) = 1, г/ДО) = -2.
Р е ше н и е , Имеем
у = Cje - 2С2е
,
(?)
Полагая в формулах (6) и (7) х = 0, получим
1 = С1 + С2, -2 = q - 2СГ
откуда
С, - 0, С2 - 1
и, следовательно,
р -е
-
2
*
.
Выяснить, являются ли решениями данных дифференциальных
уравнений указанные функции:
2704, Jсу' — 2у, у = 5х *
2705. у ” «= х2 + у2, у = I .
§ 1. Проверка решений* Составление дифференциальных уравнений
2706, (х + у) dx + xdy = 0, у = С-
2х
321
—.
2707* у" + у = 0, у = 3 sin л: - 4 cos х.
у
9
2708. —- -Ь ш х = 0, х = С.cos wt + C„sin cot.
df2
1
2
2709. у" - 2y' -4- у = 0; а) у = xe*> 6 ) y = x 2ex*
2710. y " - (Aj + X2)y' + \ ; к 2у = 0 , y = C ^ ' * + С2еЛг" .
Показать, что для данных дифференциальных уравнений указан­
ные соотношения являются интегралами:
2711. (х - 2у)у' = 2х - у, х 2 - ху + у2 = С2.
2712. {х - у + 1)у' — 1, у = х + Сеи.
2713. (лгу - х) у " + х у ' 2 + уу' - 2у' = 0, у = In (лгу).
Составить дифференциальные уравнения заданных семейств кри­
вых (С, Cj, С2, С3 — произвольные постоянные):
2714. у = Сх.
2715.
2716.
2717.
2718.
2719.
у - Ох2.
у2 = 2Сх.
х2 + у2 = С2.
у = Се1.
х3 - С(х2 - у2).
2
2720. у2 + ± = 2 + Се 2 .
2721. In - = 1 + ay (a — параметр).
У
2
2722. (у - у0) = 2р х (у0, — параметры).
2723. у = С^е2* + С2е~х.
2724. у - C1cos 2я + C2sin 2д\
2725. у = (С, + С2х)ех + С3.
2726. Составить дифференциальное уравнение всех прямых на
плоскости XOY.
2727. Составить дифференциальное уравнение всех парабол с вер­
тикальной осью на плоскости XGY.
2728. Составить дифференциальное уравнение всех окружностей
на плоскости XOY.
И Задачи и упражнения
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
322
Для данных семейств кривых найти линии, удовлетворяющие за­
данным начальным условиям:
А2729. х2 - у2 = С, i/(0) = 5.
2730. у = (С1 + С2х)е2\ у(0) = 0, y'(0) = 1.
2731. у = CjSin (х - С2), у(л) = 1, у'(п) = 0.
V*-
2732. у = Cje"* + С2ех + С3е2х у(0) = 0, у'(0) = 1, у"(0) = -2 .
§ 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
1”*В и д ы д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и и 1-г о п о р я д к а .
Дифференциальное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией у , раз­
решенное относительно производной у \ имеет вид
у ’ = fix, у),
(1)
где /(х, у) — данная функция. В некоторых случаях выгодно за искомую
функцию считать переменную х и записывать уравнение (1) в виде
х ’ = g{x, у),
где g{x, у) =
(1')
1 ■■■■.
fix, у)
Учитывая, что у' — ^ и х' = 4^ , дифференциальные уравнения (1) и
dx
dу
(!') можно записать в симметрической форме:
Р(Х, у) dx + Q(x, у) dу = 0,
(2)
где Р(х, у) и Q(x+ у) — известные функции.
Под решениями уравнения (2) понимаются функции вида у “ ф(#) или
х = Щу), удовлетворяющие этому уравнению. Общий интеграл уравнений
(1) и (!'), или уравнения (2), имеет вид
Ф(х, гд С) = О,
где С — произвольная постоянная.
2°. П о л е н а п р а в л е н и й . Совокупность направлений
tg а = Дх, у)
называется полем направлений дифференциального уравнения (1) и обыч­
но изображается при помощи системы черточек или стрелок с углом на­
клона а.
Кривые f{x7у) = k, в точках которых наклон поля имеет постоянное зна­
чение, равное к, называются изоклинами. Построив изоклины и поле на­
правлений, в простейших случаях можно приближенно нарисовать поле ин­
тегральных кривых, рассматривая последние как кривые, которые в каждой
своей точке имеют заданное направление поля.
.if.
§ 2, Уравнения 1-го порядка
323
П р и м е р 1. Методом изоклин постро­
ить ноле интегральных кривых уравнения
у' = хР е ш е н и е . Построив изоклины х = к
(прямые линии) и поле направлений, при­
ближенно получаем поле интегральных
кривых (рис* 105). Общим решением явля­
ется семейство парабол
2
у = — + С.
Методом изоклин построить прибли­
женно поле интегральных кривых для
указанных ниже дифференциальных
уравнений:
2733. у 1 = - х .
2736. у' =
2734. у' =
2737. у' = х 2 + у2.
У
х-у
2735. у' = 1 + у .
3°. Т е о р е м а К о ш и . Если функция f(x, у) непрерывна в некоторой об­
ласти U{a < х < А, Ь < у < В] и имеет в этой области ограниченную произ­
водную / ' (я\ у), то через каждую точку (л:0, yQ), принадлежащую U, проходит
одна и только одна интегральная кривая у = ф(я) уравнения (1) (ф(х0) = i/0).
4е*М е т о д л о м а н ы х Э й л е р а . Для приближенного построения
интегральной кривой уравнения (1), проходящей через заданную точку
yQ), эту кривую заменяют ломаной с вершинами Af (jc|( yt), где
х . ^ , = лг. 4- А х., и , = I/, 4 Ду..
А х. = h (шаг процесса),
А у : = hf{x., у .) (i = О, I, 2, .„),
П р и м е р 2* Методом Эйлера для уравнения
найти е/{1)т если у(О) - 1 (h = 0, 1).
Составляем таблицу:
J
2
3
0 од
0,2
0,3
1 1
1,005 1,015 1,030 1,051 1,077 1,109 1,148 1,194 1,248
/
0
х,
yt
20
1
4
од
5
6
0,5
0,6
7
0,7
8
9
0,8
0,9
10
1.0
0 0,005 0,010 0,015 0,021 0,026 0,032 0,039 0,046 0,054
Итак, //(1) = 1,248* Для сравнения приводим точное значение г/(1) = е 1 4 ~ 1,284*
324
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методом Эйлера найти частные решения данных дифференциаль­
ных уравнений для указанных значений х:
2738. у г — у у у{0) — 1; найти t/(l) {h = ОД).
2739. у ' - х + у, у(1) = 1; найти у(2) (h = ОД).
2740. у г = -
^ , у(0) = 2; найти у( 1) (h = ОД),
2741. у' — у - — , у{0) = 1; найти у(1) (h = 0,2).
У
§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории
1°. У р а в н е н и я 1-го п о р я д к а с р а з д е л я ю щ и м и с я пе ре - Д
мо и н ым и. Уравнением с разделяющимися переменными называется
уравнение 1-го порядка вида
У1=ft*)g{y)
(1) i
или
X(x)Y(y) d* v X ^ Y ^ y ) dу = 0.
(Г)
Разделив обе части уравнения (1) на g ( y ) и умножив на d x ^ будем иметь
—^ = f(x) d*. Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (1)
£(У)
в виде
j ^
- J я») d* + С.
Аналогично, разделив обе части уравнения (1') на
рировав, получим общий интеграл уравнения (1') в виде
Х(х) da; -f
f -
Y,(y)
( 2)
и проинтег­
dу = С.
( Г )
У ( У )
Если для некоторого значения у = у0 мы имеем g(y0) = 0, то функция
у - yQявляется также, как непосредственно легко убедиться, решением урав­
нения (1). Аналогично, прямые .г = а и у = Ь будут интегральными кривыми
уравнения (1Д если а и Ъ являются соответственно корнями уравнений .
Х^я) = 0 и Y{y) = 0, на левые части которых приходилось делить исходное Г
уравнение.
П р и м е р 1. Решить уравнение
( 3) 1
у
*■
В частности, найти решение, удовлетворяющее начальному условию:
У(1) = 2.
§ 3- Уравнения 1 ’ГО порядка с разделяющимися переменными
325
Р е ш е н и е . Уравнение (3) можно записать к виде
= -У
dx
х
Отсюда, разделяя переменные, будем иметь
dу _ _ d x
У
х
и, следовательно,
In \у\ = -In jx| + In Cr
где произвольная постоянная hi С : взята в логарифмическом виде* После
потенцирования получим общее решение
(4)
где С = ±СГ
При делении на у мы могли потерять решение у = 0, но последнее со­
держится в формуле (4) при С = 0.
Используя заданное начальное условие, получим С = 2, и, следовательно,
искомое частное решение есть
2°. Н е к о т о р ы е д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я , п р и ­
водя щие с я к у р а в н е н и я м с р а з д е л я ю щ и м и с я переменн ы м и. Дифференциальные уравнения вида
у ' = f ( a x + b y + с ) ( Ь ф 0)
приводятся к уравнениям вида (1) при помощи замены и = а х + by + с, где
и
новая искомая функция*
3°. О р т о г о н а л ь н ы е т р а е к т о р и и — кривые, пересекающие ли­
нии данного семейства Ф(я, у , а ) = 0 ( а — параметр) под прямым углом.
Если F ( x t у , у ' ) = 0 есть дифференциальное уравнение семейства, то
— дифференциальное уравнение ортогональных траекторий*
П р и м е р 2. Найти ортогональные траектории семейства эллипсов
х
2
~
г 2у
2
2
= а ,
(5)
Р е ш е н и е * Дифференцируя обе части уравнения (5), находим диффе­
ренциальное уравнение семейства
х + 2 у у ' = 0.
Отсюда, заменяя
у'
на
~ —г ,
У
получим дифферен
Циалыюе уравнение ортогональных траекторий
Интегрируя, будем иметь
^°л) (рис* 106).
у — Сх2
(семейство пара
Рис. 106.
326
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4°. С о с т а в л е н и е д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й . При
составлении дифференциального уравнения в геометрических задачах часто
может быть использован геометрический смысл производной как тангенса
угла, образованного касательной к кривой с положительным направлением
оси О Х ; это позволяет во многих случаях сразу установить соотношения
между ординатой у искомой кривой, ее абсциссой х и у \ т. е, получить диф­
ференциальное уравнение, В других случаях (см.
2783, 2890, 2895) ис­
пользуется геометрический смысл определенного интеграла как площади
криволинейной трапеции или длины дуги. При этом непосредственно из ус­
ловия задачи получается простейшее интегральное уравнение (поскольку ис­
комая функция содержится под знаком интеграла), однако путем диффе­
ренцирования обеих его частей можно легко перейти к дифференциальному
уравнению.
П р и м е р 3. Найти кривую, проходящую через точку (3; 2), для кото­
рой отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными ося­
ми, делится пополам в точке касания.
Р е ш е н и е . Пусть М ( х , у ) есть середина касательной АВ> по условию
являющаяся точкой касания (точки А и В — это точки пересечения каса­
тельной с осями O Y и ОХ). В силу условия ОА = 2 у и ОВ = 2 х , Угловой
коэффициент касательной к кривой в точке М(х, у ) равен
dу = _ОА = у
dx
ОВ
х '
Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой. Преобразовав,
получим
— \
х
=О
у
и, следовательно,
1п х 4- In у = In С или х у = С.
Используя начальное условие, определим С = 3 ■2 ^ 6. Итак, искомая
кривая есть гипербола х у = 6.
Решить дифференциальные уравнения:
2742. tg х sin у dx + cos х ctg у dy = 0,
2743. ху' - у = у3.
2744. хуу' = 1 - х 2.
2745. у - ху' = а(1 + х у ’).
2746. Зе* tg у ebr + (1 - е*) sec3 у dy = 0.
2747. y ' t g x = у.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указан­
ным начальным условиям:
2748. (1 + ех) ■у • у' = ех; у — 1 при х = 0,
2
2
2749. (ху + х) dx + (х у - у) dy = 0; у = 1 при х = 0.
2750. t/'sin х = yin у; у = 1 при х = - .
§ 4, Однородные уравнения 1-го порядка
327
Решить дифференциальные уравнения, использовав замену пере­
менных:
2751. у' = (х + у)2.
2752. у' = (8х + 2у + I)2.
2753. (2х + Зу - 1) dx + (4 л- + 6у - 5) dy = 0.
2754. (2х - у) dx Н- (dx - 2у + 3) dy = 0.
В № № 2755 и 2756 перейти к полярны м координатам:
2755. у ' =
+У* ~ х .
2756. (х 2 + у2) dx - ху dy - 0.
2757** Найти кривую, у которой отрезок касательной равен рас­
стоянию точки касания от начала координат.
2758. Найти кривую, у которой отрезок нормали в любой точке
кривой, заключенный между осями координат, делится пополам в
этой точке.
2759. Найти кривую, у которой подкасательная имеет постоян­
ную длину а .
2760. Н айти кривую , у которой п одкасательная вдвое более абс­
циссы точки касан ия.
2761*. Найти кривую, у которой абсцисса центра тяжести пло­
ской фигуры, ограниченной осями координат, этой кривой и орди­
натой любой ее точки, равна 3 /4 абсциссы этой точки.
2762. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3; 1),
для которой отрезок касательной между точкой касания и осью ОХ
делится пополам в точке пересечения с осью OY.
2763* Н ай ти уравнение кри вой , проходящ ей через точку (2; 0),
если отрезок касательной к кривой м еж ду точкой к асан и я и осью
OY имеет постоянную длину 2*
Найти ортогональные траектории данных семейств кривых (а —
параметр), построить семейства и их ортогональные траектории,
2764. х 2 + уг = а .
2766. ху = а.
2765. у2 = ах.
2767. (х - a f + i f = а .
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
1е. О д н о р о д н ы е у р а в н е н и я . Дифференциальное уравнение
Р ( х , у ) d* + Q ( x , у ) d y = 0
(1)
называется о д н о р о д н ы м , если Р ( х , у ) и С2(я, у ) — однородные функции оди­
накового измерения. Уравнение (1) может быть приведено к виду
Г л ав а IX . Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
328
и при помощи подстановки у = хи, где и — новая неизвестная функция,
преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными* Можно также
применять подстановку х = уи.
П р и м е р 1. Найти общее решение уравнения
У = е*/г + 2
Ре ше н и е * Полагаем у —их; тогда и + хи' —еи + и или
е и du = dx
Интегрируя, получим и = -In In - t откуда
х
и = - х In In - .
X
У р а в н е н и я , п р и в о д я щ и е с я к о д н о р о д н ым * Если
y' =f
агх + Ь1у-\-с1
агх + Ь2у + с2)
( 2)
а\ Ьх Ф 0, то, полагая в уравнении (2) х - и + а, у = v 4- |3, где
а2 Ь2
постоянные а и (3 определяются из системы уравнений
и5=
a 1ct + blР + сг = 0, а 2а + &2Р +
с2
= О,
получим однородное дифференциальное уравнение относительно перемен­
ных и и р* Если 5 = 0, то, полагая в уравнении (2) а^х 4- Ъ^у —и, получим
уравнение с разделяющимися переменными.
Проинтегрировать дифференциальные уравнения:
2768. у' = И - 1.
X
2769. у' = ~-*±3L.
X
2770. (х - у)у dx - х 2 dу — 0.
2771. Для уравнения (х2 + у2) dx - 2ху dy = 0 найти семейство
интегральных кривых, а также выделить кривые, проходящие со­
ответственно через точки (4; 0) и (1; 1).
2772. у dx 4- (2 J x y - х) dy - 0.
2773. х dp - у dx — J x 2 + у 2 dx.
2774. {Ax2 + 8*y 4- y2) dx + {Ay2 + 3xy + x 2) dy = 0.
§ 5, Линейные уравнения 1-го порядка* Уравнение Бернулли
329
2775. Найти частное решение уравнения
(х2 - 3у 2) d* + 2ху dy = О
из условия, что у = 1 при х = 2.
Решить уравнения:
2776. (2х - у + 4) dy + {х - 2у + 5) dx = 0.
2777. у' = 1 ~ 3 х ~ 3У .
1+ * +у
2779. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0) и
обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на
оси ОУ, равен полярному радиусу точки касания.
2780**. Какую форму следует придать зеркалу прожектора, что­
бы лучи от точечного источника света отразились параллельным
пучком?
2781* Найти уравнение кривой, у которой подкасательная равна
среднему арифметическому координат точки касания.
2782. Найти уравнение кривой, для которой отрезок, отсекаемый
на оси ординат нормалью в любой точке кривой, равен расстоянию
этой точки от начала координат.
2783*. Найти уравнение кривой, для которой площадь, заклю­
ченная между осью абсцисс, кривой и двумя ординатами, одна из
которых постоянная, а другая — переменная, равна отношению куба
переменной ординаты к соответствующей абсциссе.
2784* Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат, отсе­
каемой любой касательной, равен абсциссе точки касания.
§ 5, Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Уравнение Бернулли
1°. Л и н е й н ы е у р а в н е н и я . Дифференциальное уравнение вида
у' + Р(х)у = QW
(1)
относительно у и у' называется линейным.
Если функция Q(x) = 0, то уравнение (1) принимает вид
У' + Р(х)у = О
( 2)
и называется однородным линейным дифференциальным уравнением. В
этом случае переменные разделяются и общее решение уравнения (2) есть
Для решения неоднородного линейного уравнения (1) применяем так на­
зываемый метод вариации произвольной постоянной* этот метод состоит в
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
330
том, что сначала находим общее решение соответствующего однородного ли­
нейного уравнения, т. с, соотношение (3).Затем, полагая в атом соотношении
величину С функцией от *, ищем решение неоднородного уравнения (1) н
виде (3)* Для этого подставляем в уравнение (1) у и у \ определяемые из (3),
и из полученного дифференциального уравнения определяем функцию С(х).
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1) получаем в виде
У = С(х)е
Р(х) dx
П р и м е р 1, Решить уравнение
cos х .
Р е ш е н и е . Соответствующее однородное уравнение есть
у 1 - tg х - у = 0.
Решая его, получим
у' = tg х • у +
(4)
1
У = С
COS X
Считая С функцией от х, дифференцируя, находим
1
У
Подставляя
dC
cos* dx
sin*
q
cos *
уравнение (4), получим
sin*
,
C
J4 cos*, или dC
1 dC +. ---— —cos X,
r ~ C = tg л:---cos*
dx
cos* d*
COS
*
у и у' в
откуда
C(x)
= J* cos 2 x d x = - x 4 - sin 2x + Cr
2
4
1
Следовательно, общее решение уравнения (4) имеет вид
а (1 ■ о
К2 4
i
V cos*
Для решения линейного уравнения (1) можно также применить подста­
новку
У = uv,
(5)
где
Тогда уравнение (1) примет вид
[ u ' + P(*) u]l>4 v ' u = Q(x).
(6)
Если потребовать, чтобы
и ' 4 Р ( х ) и = 0,
(7)
то из (7) найдем щ затем из (6) найдем и, а следовательно, из (5) найдем у .
2 ° . У р а в н е н и е Б е р н у л л и . Уравнение 1-го порядка вида
и и v
— функции от
х.
у'
4- Р ( х ) у - Q f*)i/\
где а Ф 0 и а ф 1, называется у р а в н е н и е м Б е р н у л л и t Оно приводится к ли­
нейному с помощью подстановки г — у 1 н. Можно также непосредственно
§ 5. Линейные уравнения 1-го порядка* Уравнение Бернулли
331
применять подстановку у = ии, или метод вариации произвольной постоян­
ной ,
П р и м е р 2* Решить уравнение
4
У' = х У + Х' ^ '
Р е ше н и е . Эго — уравнение Бернулли а “ -1\ . Полагая
к £)
У
=
UV,
получим
4
(
4
4
и'и -4 v'u = - u v -V х ~[йл) или v [ и' - - ы
I + v'u = Хдfav ,
X
\
X j
(8)
Для определения функции и потребуем выполнения соотношения
и' - - и = О,
х
откуда
и —х л.
Подставляя это выражение в уравнение (8), получим
V
,
/
4
X4 = Xtjvx
,
отсюда находим о:
v =
П
[jM x l-f-C ] ;
следовательно, оощее решение получим в виде
л
ч2
у = X\ ( ^1п|х[
+ cj
\
Найти общие интегралы уравнений:
2785 .
йа - а = х.
ах
х
2786. йМ + Ч = х \
dx
х
2787*. (1 + у2) dx — ( J l + у 2 sin у - ху) 6у.
2788. у2 dx - (2ху + 3) dy = О*
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указан­
ным условиям:
2789. х у ' + у - ех == 0; у = Ь при х - а.
2790.
у' -
— г - 1
)-х
--
х
=
0;
у =
0 при х = 0.
2791. у' - у tg х - —— ; у = 0 при х = 0.
COS X
Главе IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
332
Найти общие решения уравнений:
2792. ^
d:r
2
+ У- = - ххуу 2..
х
2793. 2х у ^ - у 2 + х = 0.
2795. Зле dy = t/(l + х sin х - 3у2 sin д:) dx.
2796. Даны три частных решения у, у г, у 2 линейного уравнения.
и9 - у
Доказать, что выражение 1------ сохраняет постоянное значение при
У- У I
любом х . Каков геометрический смысл этого результата?
2797. Найти кривые, для которых площадь треугольника, обра­
зованного осью ОХ, касательной и радиусом-вектором точки каса­
ния, постоянна.
2798. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси абсцисс, равен квадрату ординаты точки каса­
ния.
2799. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси ординат, равен поднормали.
2800. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси ординат, пропорционален квадрату ординаты
точки касания.
2801. Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной
равен расстоянию точки пересечения этой касательной с осью ОХ
от точки М ( 0, а).
§ 6. Уравнения в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель
1е. У р а в н е н и я я п о л н ы х д и ф ф е р е н ц и а л а х . Если для диф­
ференциального уравнения
Р{х, у) dx 4- Q(x, у) dy = 0,
(1)
_ уравнение
_ _ _ (1) может быть записано в виде
выполнено тождество 'SP_dQ
^ , то
ду
ох
d[/(#, у ) = 0 и называется у р а в н е н и е м в п о л н ы х
интеграл уравнения (1) есть U { x , у } = С. Функция
собом, указанным в гл. VI, § 8, или по формуле
{см. гл. VII, § 9).
д и ф ф е р е н ц и а л а х . Общий
U { x , у ) определяется спо­
§ 6. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
333
П р и м е р 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
(Зх2 4-
d x y 2)
dx 4- (6х2г/ + 4у3) dp = О.
Р е ш е н и е . Это — уравнение в полных дифференциалах, так как
3(3х2+ бху2) = д ( Ь х 2у + 4jy3) _
12х у и, следовательно, уравнение имеет вид
Эх
Э*
dU= 0.
Здесь
dU
с %и $U
~ 2
, з
-г— = пo x 2 +> бху
— = 6х
у +, 4i/
;
Эх
dy
отсюда
U
^ J (Зх2 4- 6хуЙ) dx 4- (р(у)
Дифференцируя
отсюда <р'(у) ™ 4
2 2
V
3 \-1
2
по у, найдем — = 6х
у
= х2
4- Зл:гу 2 4- ф(у).
2
и ф(у) = у4 + CQ. Окончательно получим
d
3
^
3
4- ф'(у) = 6% у + 4у (по условию);
2
Щ х , у)
= х3 4-
4
h Зд: £/ + у -= С0, следовательно, х 4 Зх“у 4- у = С есть искомый общий
интеграл данного уравнения.
2°, И н т е г р и р у ю щ и й м н о ж и т е л ь . Если левая часть уравнения (1)
не является полным дифференциалом и выполнены условия теоремы Коши, то
существует функция р. = ц(х, у ) ( и н т е г р и р у ю щ и й м н о ж и т е л ь ) такая, что
р(Р d x
4- Q
dy) =
d!7.
(2)
Отсюда получаем, что функция р удовлетворяет уравнению
А и±р) = A
оу
дх
(nQ).
Интегрирующий множитель р легко находится в двух случаях:
=F(X)’ ™ и = ц(*);
2) К | г 1 Э
=
F№> тог^
=
№■
П р и м е р 2. Решить уравнение 2ху + хгу + ^
ti-t + (х 2 +
у 2) d y
= 0.
;
з
Р е ш е п и е. Здесь
-
+
Р •=*
2х у + х 2у -г
3
,
Q
^ х2 + у2 и i
+ у2- 2 х = 1, следовательно, р —р,(х).
X 4-у 2
2
Т11К
М
оу
. г м
dx
или „ 3 ? , „ й и
ду
ад:
( ~
<2 \ а у
sa
dx
——
дх
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
334
Умножая уравнение на р = е , получим
з\
л
2
у
2ху + х у + ^ dx '* е*(х2 + у2) dy = О
— уравнение в полных дифференциалах. Проинтегрировав его, будем иметь
общий интеграл
г
2\
2
У
+ а— = С.
У* X
Х 3J
V
Найти общие интегралы уравнений:
2802. (х + у) dx + (х + 2у) dу = 0.
2803. (х2 + у2 + 2х) dx + 2ху dу = 0.
2804. (х3 - 3х у 2 + 2) dx - (Зх^у - у2) dу = 0.
2805. х dx + у dy = Х^ - У д х _
X
2806.
+ У ~ 43х dy = О,
У
У
2807. Найти частный интеграл уравнения
3
(
х + е у dx + е
1 - “ dy = О,
У.
\
удовлетворяющий начальному условию у(0) — 2.
Решить уравнения, допускающие интегрирующий множитель ви­
да ц - \х(х) или \х = Ц(у):
2808. (х + у2) dx - 2ху dy = 0.
2809. у( 1 + ху) dx - х dy = 0.
2810. 2 dx + (у3 - hi x) dy = 0.
x
2811. (xcos у - у sin у) dy + (xsin у + у cos у) dx = 0.
§ 7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка,
не разрешенные относительно производной
1 ° . Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я Ьго п о р я д к а в ыс ши х
с т е п е н е й . Если дано уравнение
F{x, у, у') - О,
(Ц
например, второй степени относительно у \ то, разрешая уравнение (1) от­
носительно у \ получим два уравнения:
у' = fj(x, У), у' =■ f2{x, у).
(2
§ 7.Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
335
Таким образом, через каждую точку M Q{ x ^ y G) некоторой области плос­
кости проходят, вообще говоря, две интегральные кривые. Общий интеграл
уравнения (1) в этом случае имеет вид
Ф(*, у , С) е Ф^зс, у , С ) Ф 2 { Х , у , С) = О,
(3)
где Oj и Ф2 — общие интегралы уравнения (2).
Кроме того, для уравнения (1) может существовать о с о б ы й и н т е г р а л , Гео­
метрически особый интеграл представляет собой огибающую семейства кри­
вых (3) и может быть получен в результате исключения С из системы урав­
нений
Ф ( х , у , С) = 0, Ф'с ( х , у 9 С) = 0
(4)
или в результате исключения р ~
у'
из системы уравнений
О, F '
Н х , У> Р) =
(х, у
*р )
=
0,
(5)
Заметим, что кривые, определяемые уравнениями (4) или (5), не всегда
являются решениями уравнения (1); поэтому в каждом отдельном случае
необходима проверка,
П р и м е р 1. Найти общий и особый интегралы уравнения
х у ,2 4- 2ху' - у = 0.
Р е ш е н и е , Решая относительно у \ имеем два однородных уравнения:
У -1 +
1 + 8.
х
У = -1 -
1+ I
х
определенных в области
х ( х + у) > О,
общие интегралы которых
или
( 2х + у - С) -2 J x 2 + х у = 0, ( 2 х + у
-
С) f 2 J x 2 + х у
=
О,
Перемножая, получаем общий интеграл данного уравнения
(2х + у - C f - 4 { х 2 + х у ) = О
или
(,У -
С)2 =
4Сх
(семейство парабол).
Дифференцируя общий интеграл no С и исключая С, найдем особый ин­
теграл
х 4- у “ О,
(Проверка показывает, что х 4 у = 0 есть решение данного уравнения.)
Особый интеграл можно также найти, дифференцируя х р 2 4- 2 х р - у = О
Uo Р и исключая р .
336
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
j
2°. Р е ш е н и е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я м е т о д о м
в в е д е н и я п а р а м е т р а . Если дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид
* = ф(у, у ' ) ,
то переменные у и х могут быть определены из системы уравнений
i
р
ду
+ |»
|
op ds
где р = у играет роль параметра*
Аналогично, если у = \у(х, у% то х и у определяются из системы урав­
нений
P - Рву
y-v(*,p).
op ах
П р и м е р 2, Найти общий и особый интегралы уравнения
2
У = у '2
-
ху'
+
J
.
Р е ш е н и е , Делая подстановку у г = р , перепишем уравнение в виде
У=Р
2
* + т-
Дифференцируя по х, считая р функцией от х, имеем
р =2р^ - р dx
dx
+ х,
или 4^(2р - х) = (2р - х), или — = 1. Интегрируя, получим р = х + С*
ах
'
ах
Подставляя в первоначальное уравнение, имеем общее решение:
у = (х + С) - х(х + С)
4- ~
2
и
2
или у =
&
+ Сх + С2.
Дифференцируя общее решение по С и исключая С, получаем особое реше2
2
X
X
ние: у = — . (Проверка показывает, что у = — есть решение данного урав*
4
4
некия,)
Если приравнять нулю множитель 2р - х, на который было произведено
сокращение, то получим р = - и, подставив р в данное уравнение,получим2
у ” — — то же самое особое решение,
4
Найти общие и особые интегралы уравнений (в №№ 2812, 2813
построить поле интегральных кривых):
2812. у ' 2 - ^ у ' + 1 = 0 .
2813. 4у' - 9х = 0.
j
я
|
S
337
§ 8. Уравнения Лагранжа и Клеро
2
2
2816. Найти интегральные кривые уравнения у ' + у — 1, про­
ходящие через точку М^О; |J .
Вводя параметр у 1 = р , решить уравнения:
2817. х = sin у' + In у',
2820. 4у = х 2 + у ' 2.
2818. у = y 'V '.
2821. е* = U - ±] fl .
**У
2819. у = у '2 + 21л у'.
§ 8. Уравнения Лагранжа и Клеро
1°. У р а в н е н и е Л а г р а н ж а , Уравнение вида
У = Щ(Р) + V(p),
(1)
гдср " у \ называется уравнением Лагранжа. При помощи дифференциро­
вания, учитывая, что dу = р d#, уравнение (1) сводится к линейному отно­
сительно х\
p d x = ф(р) dx + [л:ф'(р) + у'{р)] dp.
(2)
Еслир = tp(р), то из уравнений (1) и (2) получаем общее решение в парамет­
рическом виде:
* = С{{р) + g(p), у = [СДр) 4- g(p)]tp(p) + \|/(р),
где р — параметр, f(p), g{p) — некоторые известные функции. Кроме того,
может существовать особое решение, отыскиваемое обычным приемом.
2й, У р а в н е н и е Кле ро . Если в уравнении (1) ф(р) = р, то получаем
уравнение Клеро
У ~ Хр “f- Ф(р).
Общее решение его имеет вид у = Сх + ф(С) (семейство прямых). Кроме того,
существует особое решение (огибающая), получающееся в результате иск­
лючения параметра р из системы уравнений
| х** - фЧр),
j У = Р* + Ф(Р)Пр и м е р . Решить уравнение
У = 2У'х + - *
(3 )
Р е ш е н и е . Полагаем у' = р, тогда у = 2р х + - ; дифференцируя и заР
меняя dу на р dx, получим
р dx = 2р dx + 2х dp dp
или
dx
dp
338
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решив это линейное уравнение, будем иметь
Х=
(In Р + С ) .
Р
Следовательно* общий интеграл будет
Р'
Для нахождения особого интеграла по общему правилу составляем сис­
тему:
1
у - 2рх + - , 0 = 2х
Р
Р
Отсюда
и, следовательно,
у = ±2j2x.
Подставляя у в уравнение (3), убеждаемся, что полученная функция не
является решением и, следовательно, уравнение (3) не имеет особого интег­
рала.
Решить уравнения Лагранжа:
Найти общий и особый интегралы уравнений Клеро и построить
поле интегральных кривых:
2826. у = х у ' + у ' \
2827. у = х у ' + у'.
2829. у = ху' + -i .
У
2830. Найти кривую, для которой площадь треугольника, об­
разованного касательной в любой точке и осями координат* по­
стоянна.
2831. Найти кривую, если расстояние данной точки до любой ка­
сательной к этой кривой постоянно.
2832. Найти кривую, для которой отрезок любой ее касательной,
заключенный между осями координат* имеет постоянную длину L
339
§ 9. Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка
§ 9- Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка
2833. Определить типы дифференциальных уравнений и указать
методы их решения:
а) (х + у)у' = xarctg ^ ;
X
3) {у' - 2xy)Jij = X3;
6} ( х - у ) у ' = у2;
и ) у ' = (я + У)2;
к) xcos у ' + ysin у' = 1;
л) (Xй - ху)у' - г/ ;
м) (х2 -г 2xt/3) dx + {у2 + 3х 2у2) dy ~ 0;
2
в) у' = 2ху + х ;
г) у' = 2ху + у ;
д) ху' + у = sin у;
н) (х3 - 3ху) dx + (х2 + 3) dу = 0;
е) (у ~ ху ) = у ;
ж) у = хе ;
о) (XI/ + In х) dx = у dy.
Решить уравнения:
2834. а) [ х - у cos &\ dx +
х
cos ^ dy = 0;
2835. х dx = [ — - уМ dy.
VУ
'
б) х In * dy - у dx = 0.
2837. ху' + у = х у 2In х.
'
2836. (2х у 2 - у) dx + х dy = 0.
2838. у = ху' + у 'In у'.
2839. у = ху' + J - a y ' .
2840. х 2(у + 1) dx + (я3 -- 1)(у - 1) dy = 0.
2841. (1 + у2) ( е х dx - еу dy) - (1 + у) dy = 0.
2842. у' - у 2* ~ 1 = 1.
я
2845. (1 - х г)у' + ху = а.
2843. уеу = (у3 + 2хе¥)у'.
2846. ху' - -IL- - х = 0.
2844. у' + ycos х = sin х cos х. 2847. у'(х cos у + a sin
2у) = 1.
2848. (х у
2849.
у'' 1=+ 2х
■л
2
2854. y y f P r / —cos x.
2850. х у 3 dx - {х2у -f 2) dy.
2851. у'*
_
2852. 2 dx
Зх‘
X ■+у + 1
4-
dy -
2853. у' = Й + i g H .
X
X
2
2855. x dy + у dx = у dx.
2856. y'(x r sin y) = 1.
dx =■0.2857. y p = -p + p 2.
dy
2858. x 3 dx -■ (x4 + y3) cly = 0
340
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2859, х у л 4 гхуу* 4 2у 2 = 0,
2860, *d* + r dy 4
J77?
- 0,
2864, (2ех 4- у4) Ау - уе* Ах = 0,
2
2865 у' = г ( ^ 2 У
у
2861,
Кх + у - 1 )
■
Ах 4 (хоу - 2у) Ау = 0.
2862. у - 2ху' 4 VI + УЛ
2866. ху(ху2 4 1) Ay - dx —0.
2863. у' = Ц \ 4 In у - l ux).
2868. х Ау - у Ах = у2 dx.
2867. а{ху* 4 2у) - х у у \
2869. (х 2 - i f 2 Ay 4 (х3 4 3x y j x 2 - 1) dx = 0.
2870. tg x ^
dx
- у = a.
2871. J a 2 4 x 2 Ay 4 (x 4 у - f a 2 4 x 2 ) Ax = 0.
2872. x y y f2 - (x2 4 y A)if 4 xy = 0,
2873. y = x y * + ± .
y'2
2874. (3x 4 2xy - y2) dx 4 (x2 - 2xy — 3y 2) dу = 0.
2875. 2yp & = 3p2 4 4у 2.
Найти решения уравнений при указанных начальных условиях:
2876. у ' — ^ + ^ ; у = 0 при х = 1,
2877. е* yy f = 1; у = 1 при х = 1.
2878. y'ctg х 4 г/ = 2; г/ = 2 при х = О,
2879. еу(у' 4 Х) = 1;ау = 0 при х = О,
2880. у ' 4 у = cos х; у ™ i при х = 0.
2881. t/' - 2_у = - х 2; I/ = \ при х = О,
4
2882. у ' + у = 2х; у — -1 при х = 0.
2883. x y f ^ у; а)у = 1 при х = 1; 6) у = 0 при х = 0.
2884. 2x y f = у; aj у = 1 при х = 1; б) у = 0 при х = 0.
2885. 2x y y f 4 х 3 - / = 0 ; а ) р 0 при х = 0; 6) у = 1 при х = 0;
в) у — 0 при х — 1,
2886. Найти кривую, проходящую через точку (0; 1), у которой
подкасательная равна сумме координат точки касания.
2887. Найти кривую, зная, что сумма отрезков, отсекаемых касательной к ней на осях координат, постоянна и равна 2а.
2888. Сумма длин нормали и поднормали равна единице. Найти
уравнение кривой, если известно, что кривая проходит через начало
координат.
2889-. Найти кривую, у которой угол, образованный касательной
и радиусом-вектором точки касания, постоянен.
§ 9. Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка
341
2890. Найти кривую, зная, что площадь, заключенная между ося­
ми координат, этой кривой и ординатой любой точки на ней, равна
кубу этой ординаты.
2891. Найти кривую, зная, что площадь сектора, ограниченного
полярной осью, этой кривой и полярным радиусом любой ее точки,
пропорциональна кубу этого радиуса.
2892. Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной
на оси ОХ, равен длине этой касательной.
2893* Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключен­
ный между осями координат, делится пополам параболой у2 = 2х,
2894. Найти кривую, у которой нормаль в любой ее точке равна
расстоянию этой точки от начала координата.
2895*. Площадь фигуры, ограниченной кривой, осями координат
и ординатой какой-либо точки кривой, равна длине соответствую­
щей дуги кривой. Найти уравнение этой кривой, если известно, что
она проходит через точку (0; 1).
2896. Найти кривую, у которой площадь треугольника, образо­
ванного осью абсцисс, касательной и радиусом-вектором точки ка2
сания, постоянна и равна а .
2897* Найти кривую, если известно, что середина отрезка, отсе­
каемого на оси ОХ касательной и нормалью к кривой, есть посто­
янная точка (а; 0).
При составлении дифференциального уравнения 1-го порядка, особенно
в физических задачах, часто бывает целесообразно применять так называе­
мый метод дифференциалов, заключающийся в том, что приближенные со­
отношения между бесконечно малыми приращениями искомых величии,
справедливые с точностью до бесконечно малых высшего порядка, заменя­
ются соответствующими соотношениями между их дифференциалами, что
не отражается на результате.
З а д а ч а . В резервуаре находится 100 л водного раствора, содержащего
10 кг соли. Бода вливается в резервуар со скоростью 3 л в 1 мин, и смесь
вытекает из него со скоростью 2 л в 1 мин, причем концентрация поддер­
живается равномерной посредством перемешивания. Сколько соли будет со­
держать резервуар по истечении 1ч?
Р е ш е н а е. Концентрацией с данного вещества пазывается количество
его, заключенное в единице объема. Если концентрация равномерна, то ко­
личество вещества в объеме V равно cV.
Пусть количество соли, находящееся в резервуаре по истечении вре­
мени t (в минутах), есть х. Количество смеси в резервуаре б э т о т момент
будет (100 4 0 л и, следовательно, концентрация с =
х
J. U v
кг/л.
С
В течение промежутка времени dt из резервуара вытекает 2df литров сме­
си, содержащих соли 2с df кг. Поэтому изменение dx количества соли в ре­
зервуаре характеризуется соотношением
-d.r ^ 2с d£. или - d x =
df.
342
Глава ГХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Это и есть искомое дифференциальное уравнение* Разделяя переменные и
интегрируя, получим
In х = -2 In {100 + f) + In С
или
С
X=
(100 + 0
Постоянное С определится из условия, что при t = 0 х = 10, т. е.
С = 100 000* По истечении часа в резервуаре будет содержаться соли
х = 100000 кг ss 3,9 кг.
160
2898*. Доказать, что для тяжелой жидкости, вращающейся около
вертикальной оси, свободная поверхность имеет форму параболоида •Г!1
ж
вращения.
2899*. Найти зависимость давления воздуха от высоты, если из­
вестно, что это давление равно 10°Па на уровне моря и 9,2 * 104Па
на высоте 500 м.
+
•:
'Л
2900*. Согласно закону Гука, эластичный шнур длины I под дей­
ствием растягивающей силы F получает приращение длины klF
(k = const). На сколько увеличится длина шнура под действием его
веса Ж, если подвесить шнур за один конец? (Начальная длина шну­
ра L)
2901.
Решить ту же задачу при условии, что к концу шнура под­
вешен груз Р .
При решении задач №№ 2902—2903 использовать закон Ньюто­
на, по которому скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей его среды.
2902. Найти зависимость температуры Т от времени £, если тело,
нагретое до температуры Т0, внесено в помещение, температура ко­
торого постоянна и равна а.
2903. Через сколько времени температура тела, нагретого до
100qC, понизится до 30ЭС, если температура помещения равна 20°С
и за первые 20 мин тело охладилось до 60°С?
2904. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в
жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что
диск, начавший вращаться со скоростью 100 об/мин, по истечении
1 мин вращается со скоростью 60 об/мин.
2905w. Скорость распада радия пропорциональна наличному количеетву его. Известно, что по истечении 1600 лет остается половина
первоначального запаса радия. Найти, какой процент радия окажется распавшимся по истечении 100 лет.
Г
:
^
%
|
Ж
+
§ 10. Дифференциальные уравнения высших порядков
343
2906*. Скорость истечения воды из отверстия на расстоянии h по
вертикали от свободной поверхности определяется формулой
V = cj2gh ,
где с ~ 0,6 — безразмерный коэффициент, определяемый экспери­
ментально, и g — ускорение свободного падения*
В какое время вода, заполняющая полусферический котел диаметра
2 м, вытечет из него через круглое отверстие на дне радиуса ОД м?
2907** Интенсивность света, проходящего через тонкий слой
воды, уменьшается пропорционально интенсивности падающего све­
та и толщине слоя. Если при прохождении слоя воды толщиной 3 м
интенсивность света вдвое уменьшается, то какова будет интенсивность
на глубине 30 м?
2908*. Сила сопротивления воздуха при падении тела с парашю­
том пропорциональна квадрату скорости движения. Найти предель­
ную скорость падения тела.
2909*. Дно резервуара, вместимость которого 300 л, покрыто смесью
соли и нерастворимого вещества. Допуская, что скорость растворения
соли пропорциональна разности между концентрацией в данный мо­
мент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг соли на 3 л воды) и
что данное количество чистой воды растворяет 1/3 кг соли в 1 мин, най­
ти, сколько соли будет содержать раствор по истечении 1 ч.
2910*. Электродвижущая сила е в цепи с током £, имеющей со­
противление R и индуктивность L, складывается из падения напря­
жения Ri и электродвижущей силы самоиндукции
. Определить
at
ток i в момент времени f, если е — Е sin 0)t {Е и 0) — постоянные) и
i = 0 при t = 0*§*
§ 10. Дифференциальные уравнения высших порядков
1°.
С л у ч а й н е п о с р е д с т в е н в о г о и н т е г р и р о в а н и я . Если
уЫ) = fix),
то
п раз
2°. С д у ч а и п о н и ж е н и я п о р я д к а . 1) Если дифференциальное
Уравнение явно не содержит у, например
F i x , у ' , у " ) “= 0,
то, полагая у ' = р, получим уравнение порядка на единицу ниже
Ля-, р, р') = 0.
344
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
П р и м е р 1, Найти частное решение уравнения
ху" + у' + х = О,
удовлетворяющее условиям
у = О, у' = 0 при х = 0.
Р е ш е н и е . Полагая у* = р, имеем у” —р \ откуда
хр* -1- р + х = 0.
Решая последнее уравнение как линейное относительно функции р, получим
2
Из условия у' = р = 0 при х = 0 имеем 0 = CL—0, т. е. С1 = 0, Следовательно,
или
X
dx
откуда, интегрируя еще раз, получим
2
Полагая у —0 при х = 0, находим С2 = 0. Следовательно, искомое частное
решение есть
2) Если дифференциальное уравнение явно не содержит л:, например
F{xt у \ у”) = 0,
то, полагая y f —р, у " =
dy
, получим уравнение порядка на единицу ниже
Пр и м е р 2. Найти частное решение уравнения
при условии у - 1, у' = 0 при х = 0.
Р е ше н и е . Полагаем у' = р, тогда у" =
разуется в следующее:
d|/
и наше уравнение преоб-
§ 10. Дифференциальные уравнения высших порядков
345
Мы получили уравнение типа Бернулли относительно р (у считаем ар­
гументом). Решая его, найдем
Р = ±Ул/с, +у2 .
Из условия у' = р = 0 при у = 1 имеем С1 —-1. Следовательно,
р = ± y j y 2- 1
или
^
ах
= ± y j y 2- 1 .
Интегрируя, имеем
arccos - ± х - С,.
У
Полагая у = 1 и х = 0, получим С2 = 0, откуда - = cos х или у —sec х.
Решить уравнения:
2911.
у" =
1.
2 9 1 7 . (1 + х2)у" + у'2 + 1 = 0.
X
2912. у" = — Ц .
2 У3
2913.
= 1 2914. х у " + у' = 0.
у"
2918. у'{1 + у'2) = ау".
у'2.
2919. х 2у" + ху' = 1.
2920. у у " = у2у' + у2.
2921. у у " - у'(1 + у') = 0.
уу" = у'2.
2916. уу" + у'2 = 0.
2915.
2922. у " =
У
2923. (х + 1)у" - (х + 2)у' + х + 2 = 0.
2924. х у " =
у' In £
.
2925. у ' + 1 (у " )3 = *у".
4
2926. ху"' + у" = 1 + х.
2927. у ' " 2 + у " 2 = 1.
Найти частные решения при указанных начальных условиях:
2928, (1 + х 2)у" = 0; у - 0, у' = 3 при х = 0,
2929, 1 + г/'2 = 2уу"\ у = 1, у 1 = 1 при я = 1.
2930,
+ и'2 =
1, y r = 1 при х = 0,
2931,
=
у
у'
при х = 0.
2ху*
уу"
у'2; у =
ху** у'; = О, ^ 0
Найти общие интегралы уравнений:
2932, уу' = 7 У2 + У'2У" ~ У'У"- 2934. у '2 - у у " = у2у'.
2933, у у " = у '2 +
y'Jy2+y'2.
2935. у у " + у '2 - у '3 In у = 0.
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ УРАВНЕНИЯ
346
Найти решения, удовлетворяющие указанным условиям:
2936. у ”у 3 ---■ 1; у ----- 1, у' = 1 при х = | .
2937. у у " + у '2 = 1; у - 1, у' = 1 при х = 0.
/
^2
2
2938. ху" = л/1 т у' ; у = 0 при х = 1; у = 1 при х = е .
2939. у"( 1 - In х ) 4- “ ' у ' = 2 - In х;
х
у
= - , у' = 1 при
2
х
= 1.
2940. у " = — | 1 + In У- \ ; у = - , у* = 1 при х = 1.
х \
х)
2
2941. у " - у ’2 + у'(у - 1) = 0; у = 2, у' - 2 при х = О*
2942.
2943.
2944.
2945.
3у'у" = у + у ' 3 - 1; у
у 1 + у'2 - 2уу" - 0; г/
уу* + у' 2 + у у " ~ 0; у
2у' + (у'2 - 6х) * у "
= -2; у' - 0 при х = О,
~ 1, у' = 1 при х - 0.
— 1 при х = 0 и у ~ О при х = -1.
= 0; г/ = 2 при х = 2.
2946. у'у^ + г/г/' - г/'2 = 0; у = 1, y f = 2 прих = 0.
2947. 2уу" - 3у' 2 -• 4у2; у -- 1, у' ~ 1 при х = О,
2948. 2 y y ff - у2 - у '2 = 0; у = 1, у* = 1 прих - 0.
2949. у" - у ' 2 - у] у
2950. у 11 + -i
еу
у'
= , у' = i
при х = 1.
2у у Л = 0; у = 1, у' = е при х = - ~ .
г/
2951. 1 f у у " 4- у' 2 = 0; у = 0, у' = 1 при х = 1.
2952. (1 + уу')у" = (1 - у '2)у'; у = 1, у' = 1 при х = 0.
2953. (х - 1)у" + ху '2 ^ у'; у = - 2 , у* = 4 при х = 1,
Решить уравнения:
2954. у' - х у " 2 4- у"2.
2955. у' = ху" - у" - у"2.
2956. у'"2 - 4у".
2957. у у ' у " = у' + у" . Выделить интегральную кривую, проходящую через точку (0; 0) и касающуюся в ней прямой у + х = 0.
2958. Найти кривые постоянного радиуса кривизны.
2959. Найти кривую, у которой радиус кривизны пропорциона­
лен кубу нормали.
2960. Найти кривую, у которой радиус кривизны равен нормали.
2961. Найти кривую, у которой радиус кривизны вдвое больше
нормали.
§11, Линейные дифференциальные уравнения
347
2962. Найти кривые, у которых проекция радиуса кривизны на
ось OY постоянна.
2963, Найти уравнение каната подвесного моста, предполагая,
что нагрузка распределена равномерно по проекции каната на гори­
зонтальную прямую. Весом каната пренебречь.
2964*. Найти положение равновесия гибкой нерастяжимой нити,
укрепленной концами в двух точках и имеющей постоянную нагруз­
ку q (включая вес нити) на единицу длины.
2965*. Тяжелое тело без начальной скорости скользит по наклон­
ной плоскости. Найти закон движения, если угол наклона равен а,
а коэффициент трения ц.
У к а з а н и с. Сила трения равна цДг, где N — сила реакции плоскости,
2966*. Силу сопротивления воздуха при падении тела можно счи­
тать пропорциональной квадрату скорости. Найти закон движения,
если начальная скорость равна нулю,
2967*, Моторная лодка массой 300 кг движется прямолинейно со
скоростью 66 м/с. Сила сопротивления воды пропорциональна ско­
рости лодки и равна ЮН при скорости 1 м/с. Через сколько времени
после выключения мотора скорость лодки будет равна 8 м/с?
§ 11. Линейные дифференциальные уравнения
1°,Од н е р о д н ы е у р а в н е н и я . Функции у1 —фг{х), у2 = Ф2(*)*
Уп =
- ф (х) называются линейно зависимыми на (о, h)> если существуют посто­
янные
С , не все равные нулю, такие, что
C1i/L Н С2у2 + ... Спуп = 0 при и < х < Ь\
в противном случае данные функции называются линейно независимыми.
Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения
У0,) + Р 1(х)[/'1“
-Ь ... + Р п(х)у = 0
(1)
с непрерывными коэффициентами Р.(х) (/ - 1, 2.......п) имеет вид
У = С1У) + С2Уг + ■■■ +
где у 1?
уп — линейно независимые решения уравнения (1) (фунда­
ментальная система решений).
2°, Н е о д н о р о д н ы е у р а в н е н и я . Общее решение неоднородного
линейного дифференциального уравнения
У,!) -г р^х)у{п ~ 1} + ... + ря(х)у - fix)
(2)
с непрерывными коэффициентами Р.(х) и правой частью f(x) имеет вид
У “ Уа 1
где yQ— общее решение соответствующего однородного уравнения (1); У —
частное решение данного неоднородного уравнения (2).
348
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ УРАВНЕНИЯ
Если известна фундаментальная система решений y v t/2,
у однород­
ного уравнения (1), то общее решение соответствующего неоднородного урав^
нения (2) может быть найдено по формуле
у = Cl(x)yv + С2{х)у2 + ... + с п{х)уп,
где функции С.(х) (г = 1, 2,
п) определяются из системы уравнений
С[ (х)у1 + С' (х)уг + ... + С'п(х)у!1= О,
С'{ (х)у[ +С2(х)у’2 + ... +Сп(х)у'п = 0 ,
(3 )
с \ {х)У11а~2) + С' (х)у2{,1-2) + ... н с ; ( x)y ja~2) = о,
с ; (х)у11п ■L) f с ' (х)у2(п - + . . . + с ; ( х ) у ^ ■1} = f(x)
;
J
вариации произвольных постоянных).
П р и м е р . Решить уравнение
х у" + у' = Г
Р е ш е н и е . Решая однородное уравнение
ху" ■+■i/ “ 0,
получаем
{/ = Cj In х + C2.
Следовательно, можно принять
Е/х ~ 1п X И y,j = 1
(4)
(5)
и решение уравнения (4) искать в виде
у =-■Cj(x) In х -+- С2(х),
Составляя систему (3) и учитывая, что приведенный вид уравнения (4)
есть у " +
X
—х у получим
С^ (х)1п х + С'2 (х) 1 ^ 0 ,
С\ (Jt>i + С' ( х) - 0 = х.
1
X
*
Отсюда
Я
(\{х)
3
— ■[ А и С9(х) ^
3
2
-3
— In х + ™ + В
3
9
и, следовательно,
з
уу = —
9 -I A In г
Б,
где А и Б — произвольные постоянные.
2968. Исследовать на линейную зависимость следующие системы
функций:
а) х, х 4- 1;
в) 0, 1, х;
2
’?
б) я , -2.г ;
г) х, х -f 1, х 4- 2;
§12. Линейные уравнения 2-го порядка
349
.
2 3
ж) sin х, cos х , 1;
Д) X, X , X
2
2
х jc
2х
Зх
з) sin Xj cos x, 1.
е) е , е , е ;
2969* Составить линейное однородное дифференциальное уравне­
ние, зная его фундаментальную систему решений;
а) у х = sin х, у2 = cos х;
-ч
^
х
б ) Уу = е ,
У2 = xe
2
в)
= х,
у2 = x ;
x
г) у 1 = е*,
у 2 = ехвт х,
ys = eJcos х.
2970. Зная фундаментальную систему решений линейного одно­
родного дифференциального уравнения
2
з
у г ~ х %у2 = х , у3 = х ,
найти его частное решение у, удовлетворяющее начальным условиям
2971*. Решить уравнение
у" + V
х
+ y = o,
зная его частное решение у . = ----- *
2972. Решить уравнение
х2(1п х - 1)у" - x y f + у " О,
зная его частное решение у г = х*
Методом вариации произвольных постоянных решить неоднород­
ные линейные уравнения:
2973. х 2у " - ху ' = Зх3.
2974*. х у ” + ху' - у = х2.
2975. у"; + у' = sec х.
§ 12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
с постоянными коэффициентами
1°. О д н о р о д н о е у р а в н е н и е . Линейное уравнение 2-го порядка с
постоянными коэффициентами р и q без правой части имеет вид
У*
+ РУ' +
ЧУ
™0.
(1)
Если кг и k2 — корни характеристического уравнения
ф(/г) = к2 \-рк + q ™О,
(
2)
Я50
Глава IX. Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И А Л Ь Н Ы Е УРА ВН ЕН И Я
то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующих трех
видов:
1) у
2) у
=
=
Cte 1
+
hх
е 1
(С 1
+
С 2с * у
C 2x ) t
если
если
и
кг
^
к2
вещественны и
к г Ф к 2,
к 2\
3) у = e ^ C ^ o s (3# + C2sin Р#), если k x = а + рг и k 2 ^ а - Pi (Р ф 0),
2°. Н е о д н о р о д н о е у р а в н е н и е . Общее решение линейного неод­
нородного дифференциального уравнения
у " + р у ' + qy = f ( x )
(3)
можно записать в виде суммы
У = Уо 1 У,
где у 0 — общее решение соответствующего уравнения (1) без правой части,
определяемое по формулам (1)—(3), и У — частное решение данного урав­
нения (3).
Функция У может быть найдена м е т о д о м н е о п р е д е л е н н ы х к о э ф ф и ц и е н ­
т о в в следующих простейших случаях:
1. f ( x ) = QaxP ri{ x ) , где Р п( х ) — многочлен степени п .
Если а не является корнем характеристического уравнения (2), т. е.
ср(а) Ф 0, то полагают У ™еыг(? (я), где
— многочлен степени п с неоп­
ределенными коэффициентами.
Если а есть корень характеристического уравнения (2), т. е. ф(а) —0, то
У = х * е ах(} ( х ) , где г — кратность корня а (г = 1 или г - 2).
2* f ( x ) = eflT[Prt(^)cos b x + Qm(j:)sin
Если ф{а ± Ы) Ф 0, то полагают
У = c^[S v(x)cos
где
bx].
bx
+ r v(jic)sin b x ] ,
— многочлены степени
Если же ф(а У Ы) = 0, то
и
T n (x )
У=
v(#)cos
bx
N =
+
max {л,
т
}.
T N(x)$ in bx],
где г — кратность корней а + Ы (для уравнений 2-го порядка г —1),
В общем случае для решения уравнения (3) применяется метод вариации
произвольных постоянных (см, § 11),
2х
П р и м е р 1, Найти общее решение уравнения 2у" - у' - у = 4хе .
Р е ше н и е . Характеристическое уравнение 2k —k —1 = 0 имеет корни
k 1 1 и/г2 - 1 . Общее решение соответствующего однородного уравнения
2
(первый вид) yQ— С сJC+ С2е £». Правая часть заданного уравнения f(x) =
= 4хе2х = еякРп(л:), Следовательно, У = е?х(Ах + В), так как л = 1 и г = О,
Дифференцируя У два раза и подставляя производные в данное уравнение,
получаем
2еИг(-1Ах + 4Б + 4А)
§ 12. Линейные уравнения 2-го порядка
351
2х
Сокращая на е и приравнивая друг другу коэффициенты при первых сте­
пенях х и свободные члены в левой и правой частях равенства, имеем
ЪА = 4 и 7А + 5В = О, откуда А = ^ и В =
.
5
25
2х
Таким образом, У - е
а общее решение данного уравнения
есть
х
у = с ге + С2е
~2* + е 2 х
П р и м е р 2. Найти общее решение уравнения у " - 2у' + у = хе .
2
Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение к - 2к 4- 1 = 0 имеет двукратный корень к — 1. Правая часть уравнения имеет вид /(я) = are ; здесь
а = 1 и п - 1. Частное решение У = x 2g x( A x + В), так как а совпадает с
двукратным корнем к = 1 и, следовательно, г - 2*
Дифференцируя У два раза, подставляя в уравнение и приравнивая ко­
эффициенты, получимЛ
-z , В = 0. Следовательно, общее решение данного
б
уравнения запишется в виде
fj-\ +, Г
\ \ * 1 1 3X
у = (СА
с 2х ) е + g л: е .
П р и м е р 3. Найти общее решение уравнения у " + у — х sin х .
Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение к Н-1 = 0 имеет корни k Y= i
и k2 = -i. Общее решение соответствующего однородного уравнения будет
[см. (3), где ct = 0 и Р = 1]:
у0 ” C1cos х 4* C2sin х ,
Правая часть вида
f(x) = еа*[РДдг)соз bx + Qm(jr)sin bx],
где
а
— 0, b = 1, Рп(х) = О, Q (д;) = х. Ей соответствует частное решение
У - х[(Ах + В )cos дг + (Сх + Z>)sin х]
(здесь N = 1, а — О, b = 1, г = 1),
Дифференцируя два раза и подставляя в уравнение* приравниваем ко­
эффициенты в обеих частях равенства при cos х , х cos х, sin х и #sin х. В
результате получатся четыре уравнения 2А + 2D — 0* 40 = О, -2 В 4- 2С = О,
-4 А = 1т из которых и определяются^ ——1/4, В —О, С = О, D = 1/4. Поэтому
2
У=
4
cos ,г 4- - sin х.
4
Общее решение
у = CjCOS я + C2sin х
д—
:2 cos д: +, х- sin
■ х.
4
4
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
352
3°. П р и н ц и п н а л о ж е н и я р е ш е н и й . Если правая часть урав­
нения (3) есть сумма нескольких функций
/(*) = /i(*) + / 2(*) + •■■ + f n(x)
и У (i - 1, 2.......п) — соответствующие решения уравнений
у" + ру' + qy = f^x) (i = 1, 2, .... га),
то сумма
у
+У
является решением уравнения (3).
Найти общие решения уравнений:
2982.
2976. у " - 5у' + 6у = 0.
2983.
2977. у" - 9у = 0.
2984.
2978. у" - у' = 0.
2985.
2979. у" + у' = 0.
2980. у" - 2у' + 2у = 0.
2986.
2981. у" + 4у' + 13у = 0.
у" + 2у' + у = 0.
у" - 4у' + 2у = 0.
у" - ky = 0 (fe Ф 0).
у = у" + у'.
У
= 3.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указан­
ным условиям:
2987. у" - 5у' 4 4у = 0; у = 5, у' = 8 при х = 0.
2988. у " + Зу'4 2у = 0; у = 1, у' = -1 при х = 0.
2989. у " 4 4у = 0; у = 0, у ' = 2 при х = 0.
2990. г/" 4 2у' = 0; у = 1, у' = 0 при х = 0*
2991. у" =
; у = a, у' = 0 при х = О,
а
2992. у " -5- 3у' = 0; у = 0 при х = 0 и у = 0 при х = 3.
2993. у " 4 т12у= 0; у = О при х = 0 и у — 0 при х — 1.
2994. Указать вид частных решений для данных неоднородных
уравнений:
а) у - 4 у = х е ;
б) у " + 9у “ cos 2х;
в) y fT - 4у' 4 4у = sin 2х 4 е2х;
г ) у " 4 2у' 4 2у = ersin х;
Д) У" ~ 5у' 4 6у = (х2 4 1)е* 4 хе2х;
е)у" - 2у/ 4 5у = xe*cos 2х - x2e*sin 2х.
Найти общие решения уравнений:
2995. у" - 4у/ 4 4у =* х2.
2999.
3000.
2996. у " - у' 4 у = х3 4 6.
3001.
2997. у " 4 2у' 4 у = е2*.
2998. у " - 8у' 4 7у = 14.
3002.
у" “
у." 4
у" 4
у'" +
у = е*.
у = cos х,
у' — 2у = 8sin 2х.
у' — 6у = хе2х.
§ 12. Линейные уравнения 2-го порядка
353
3003* у ** - 2у' + у = sin х + sh х.
3004. у " + у' = sin2 л-.
3005* у " - 2y f f 5у = e^cos 2х,
3006* Найти решение уравнения у** + 4у = sin х , удовлетворяющее
условиям у = 1, z/' = 1 при х = О*
Решить уравнения:
d^х
2
3007* —£■ + со х = .Asin рГ Рассмотреть случаи; 1)р
dr
3008.
3009.
ЗОЮ.
ЗОН.
3012.
3013.
3014.
3015.
3016.
у"
у"
у"
у"
у"
у"
у"
у"
у"
+
+
-
7у' + 12у = —е4*.
2у' = х2 - 1.
2у' + у = 2 е .
2у' = е21 + 5.
2у' - 8 у = е1 - 8cos 2х.
у' = 5х + 2е*.
у' = 2х - 1 - Зе*.
2у' + у = е* + е-*.
2у' + 10у = sin Зх 4- е*.
3017. у" - 4у' + 4у = 2 е * + - .
2
3018* у" —3у' = х + cos х.
3019* Найти решение уравнения у " - 2у' = е
воряющее условиям; у = - >у' — 1 при х = 0.
8
Решить уравнения:
3020* у " - у = 2xsin х,
3021* у " - 4у = e2*sin 2х*
3022* у " Ч- 4у = 2sin 2х — 3cos 2х + 1*
3023* у " “ 2у' + 2у = 4e*sin х*
3024* у " = хе* + у .
3025* у " + 9у = 2xsin х + хе3т*
3026. у" - 2у' - Зу = х(1 + е3*).
3027. у" - 2у' = Зх + 2хе*.
3028. у" - 4у' +4у = х е 2г.
3029. у" + 2у' - Зу = 2хе~3т + (х + 1)е*.
3030** у " + у — 2xcos х cos 2х*
3031. у" - 2у = 2xe*(cos х - sin х)*
12 Задачи и упраж нения
ш; 2)р = to.
+ х
1, удовлет-
Глава IX. Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У РА ВН ЕН И Я
354
Применяя метод вариации произвольных постоянных, решить
уравнения:
3032. у " + у = tg х.
3036. у " + у = —
3033. у " + у = ctg х.
3037. у " + у = -Л - ■
smx
3034. у " - 2 у ' + у = £ .
3038. а) у ” - у = th х;
v
COS X
■
б) у ” - 2у = 4 x V 2.
3035. у " + 2 / + а = ^
3039. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины* Найти
уравнение движения, которое будет совершать один из этих грузов,
если другой оборвется.
Р е ш е н и е . Пусть увеличение длины пружины под действием одного
груза в состоянии покоя равно а и масса груза т. Обозначим через х коор­
динату груза, отсчитываемую по вертикали от положения равновесия при
наличии одного груза. Тогда
_j2
ггс—-— = mg - k(x 4- а),
df
где, очевидно, к —
х = Сл cos
1
d2 ———х. Общее решение есть
и, следовательно, —a
6t2
а
t + С., sin № f* Начальные условия дают х
1
ца
=
а и — = 0 при
dt
1 = 0; отсюда С: = а и С2 = 0, следовательно,
х = a c o s /- L
ча
3040*. К пружине с коэффициентом жесткости к подвешен груз
массой т . Найти период колебательного движения, которое будет
совершать этот груз, если его слегка оттянуть от положения равно­
весия и затем отпустить.
3041*. Груз массой М подвешен на пружине с коэффициентом
жесткости £. Найти уравнение движения груза, если верхний ко­
нец пружины совершает вертикальное гармоническое колебание
у = A s i n art и в начальный момент груз находился в покое (сопро­
тивлением среды пренебрегаем).
3042. Материальная точка массы т притягивается каждым из
двух центров с силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент
пропорциональности равен к). Найти закон движения точки, зная,
что расстояние между центрами 2Ь, в начальный момент точка на­
ходилась на отрезке, соединяющем центры, на расстоянии с от се­
редины его, и имела скорость, равную нулю.
§ 13. Линейные уравнения порядка выше 2-го
355
3043, Цепь длины 6 м скользит вниз с подставки без трения* Если
движение начинается с момента, когда свисает 1 м цепи, то во сколь­
ко времени соскользнет вся цепь?
3044*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой
скоростью оз около перпендикулярной к ней вертикальной оси. Ша­
рик, находящийся внутри трубки, скользит по ней без трения* Найти
законы движения шарика относительно трубки, считая, что:
а) в начальный момент шарик находился на расстоянии а от оси
вращения и начальная скорость шарика равна нулю;
б) в начальный момент шарик находился на оси вращения и имел
начальную скорость и[у
§ 13. Линейные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами порядка выше 2-го
Г. О д н о р о д н о е у р а в н е н и е . Фундаментальная система решений
y v У 2* ■'*> Уп однородного линейного уравнения с постоянными коэффици­
ентами
У {П)
+ я У "
^
+
стр о и тся на основе х ар актер а ко р н ей
hn
+
а лк ,г
1
ап
гу ' +
= 0
а пу
(1)
характ ерист ического
1 + ..* +
а
уравнения
пк 4-и а = 0 *
(у2 )1
А и м е н н о : 1 ) е с л и к е с т ь в е щ е с т в е н н ы й к о р е н ь у р а в н е н и я (2 ) к р а т н о с т и
то е м у с о о т в е т с т в у е т т л и н е й н о н е з а в и с и м ы х р е ш е н и й у р а в н е н и я (1 ):
kx
kx
Ух “ e * у2 = xe ......... ym = x
m
l
= е
cos
е s in р х , y z =
m — 1 cxjc
/г
* х
е cos p x t
рх,
у2 ^
xq
У2т -
1
у 2т =
Н е о д н о р о д н о е
уравнения
2°,
у Ы)
+
у р а в н е н и е *
а 1 У (п
' 11 + . . . +
ап
cos
х
s m Рдг,
xe
- 1 ах .
е
т
,
kx
рх, у 4 =
т
,
e ;
2 ) е с л и a ± P i — п а р а к о м п л е к с н ы х к о р н е й у р а в н е н и я (2 ) к р а т н о с т и
то е й с о о т в е т с т в у е т 2 т л и н е й н о н е з а в и с и м ы х р е ш е н и й у р а в н е н и я (1 ):
Ух
т
sm
0
р х
... ,
.
Ч а стн о е р е ш е н и е н еод нород ного
гу ' +
а пу =
fix )
отыскивается на основе правил § 12, 2° и 3°.
Найти общие решения уравнений:
3045. у ' " - 13у" 4- 1 2 / = 0.
3050.
3046. у ' " - у' = 0.
3051.
3047. у ' " + у = 0.
3052.
3048. y iv - 2 у" ■=■0.
3053.
3049. у ' " - 3у" + 3 / - у = 0. 3054.
у™ + Ау = 0.
yIV -г 8у " + 16у = 0.
у™ + у' = 0.
y lv - 2 у" + у = 0.
yIV - аЛу = 0.
(3 )
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
356
3055. yIV - 6у" + 9у - 0.
3056. у 4 + а у " = 0.
3057. yIV + 2у ' ” + у " = 0.
3058. y 1V + 2у" + у = 0.
3059. y(ft) + ~ у(п 1} + П{^ — 1) у <!‘ ~ 2 ) + ... + ^у' + у = 0.
3060.
3061.
3062.
3063.
y1V у 4у yIV +
3064. у"' + у" = х 2 + 1 + З х е \
3065. у ' " + у " + у ' + у = х е \
3066. у " ' + у ' = tgx sec я.
2у ' " + у" = е*.
2 у " ' + у " = х3.
у = х3 - 1.
у'" = cos Ах.
3067. Найти частное решение уравнения
y //f 2 у " + 2 у / + у — Ху
удовлетворяющее начальным условиям у(0) —у 4 0 ) = у ”($) = 0.
§ 14. Уравнения Эйлера
Линейное уравнение вида
(ад: + Ь)пу ^ +
+ &)* V" ^
+ Лп _ г(ах + Ь)у' + Afiy = /(х), (1)
где а, 6, Ар
А л _ v А п — постоянные, называется уравнением Эйлера.
Для области ад: + Ь > 0 вводим новую независимую переменную t, полагая
ад: + Ь = е*.
Тогда
у =ае tdR
dt
/Г г
У
У
/ -.2 dtr
ае о
dt2 dt ) ’
2 -2 t
азе-3t d У d У
кdt3 dt2
И
т. д.
j
и уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнепие с постоянными ко­
эффициентами. При ах + Ь < 0 полагаем ах + b = -е .
П р и м е р 1. Решить уравнение д: у'* + ху' + у - 1.
Р е ш е н и е . Полагая д: = е , получим
( ,2 dy
zt
d у
Он. =
*JL dx
dt 7 dt2
vdt2 dt
Следовательно, данное уравнение примет вид
dt 2
+ у = 1,
откуда
у = Cj cos t + С2 sin f + 1
§ 14* Уравнения Эйлера
357
или
у =
cos (In х) + С2 sin (In jx) -t- 1.
Для однородного уравнения Эйлера
x y {> + A lX
у{
’ + ... + A n ._lXy' + А лу = О
(2 )
при х > 0 решение можно искать в виде
у- х .
(3)
Подставляя в (2) у у у \
у'п\ определяемые из соотношения (3), получим
характеристическое уравнение, из которого можно найти показатель к ,
Если к — действительный корень характеристического уравнения крат­
ности т , то ему соответствуют т линейно независимых решений
У1 = * , У2 = х In х, У% = * (1пя) ,
, ут = х*(1п х)
т- 1
Если а ± р/ — пара комплексных корней кратности т уто ей соответствует
2т линейно независимых решений
Ух = X х
cos (P In х),
у2 = ха
sin (Р In х),
уг
“
х а In х
cos (Р1н х),
у4 = Xх In х sin (Р In х), ... , у 2т 1 = ха(1п х)т ~ 1 cos (pin х),
т
1
У2т = ^ 1п ХУ“ 1 Sin (Р 1п *)■
П р и м е р 2, Решить уравнение х 2у " - 3х у 1 + 4у = 0.
Р е ш е н и е. Полагая
у “ х ку у' = hxk \ у " = к(к - 1)х* ~ 2.
Подставляя в данное уравнение, после сокращения на х к получим характе­
ристическое уравнение
к - Ак 4- 4 = О,
Решая его, находим
= k2 = 2,
следовательно, общее решение будет
у = Схх 2 4 С2х21п х.
Решить уравнения:
2
3068. х 2$Л + Зл:^ + и = 0.
dx
dx'
3072. (Зх + 2)у" + 7у' = О,
= 2j/
зс
3069* х у " - х у ' - 3 у - О.
3073. у
3070. х 2у"}/ -г х у ' + 4у = 0.
3074. у" + if. + JL = 0.
х
2 „
2
3071. * У " - 3х*у" + 6ху' - 6у = 0. 3075. х*у"
- 4ху' + 6у = х.
.
>/
358
Глава IX. Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У РА ВН ЕН И Я
3076. (1 + x f y " - 3(1 + х ) у ' + 4 у - (1 + х)3.
3077. Найти частное решение уравнения
х у " - х у ' + у = 2х,
удовлетворяющее начальным условиям: у = 0, у'
1 при х “ 1.
§ 15* Системы дифференциальных уравнений
М е т о д и с к л ю ч е н и я . Для нахождения решения, например, нор­
мальной системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, т. е* сис­
темы вида
dy
f(x, у , 2),
dx
dг = g(x, р, 2),
dx
( 1)
разрешенной относительно производных от искомых функций у и z, диф­
ференцируем по х одно из них. Имеем, например,
&JI = К + K f + Ug.
дг
Эх
ду
dx 2
(2)
Определяя z из первого уравнения системы (1) к подставляя найденное вьь
ражение
z
( 3)
в уравнение (2), получим уравнение 2-го порядка с одной неизвестной функцией у. Решая его, находим
(4)
У=
Сг),
где Сг и С2 — произвольные постоянные. Подставляя функцию (4) в формулу
(3), определяем функцию z без новых интеграций. Совокупность формул (3)
и (4), где у заменено на у, дает общее решение системы (1).
П р и м е р * Решить систему
:
-f’ 2у 4- 4z —14- 4х,
dx
dz
— 4-, у —г^ ~ 3
- х2 .
dx
У
2
Р е ш е н и е . Дифференцируем первое уравнение по х:
d! у 4- 2 dy 4- 4 — = 4 .
dx
dx
dx2
Из первого уравнения определяется г = - f l + 4 x - ~ ^ - 2 y | и тогда из
4. К
dx
}
г
dz
3 2
1
3
lc ly
тт
dz
второго будем иметь — = - х -г х -<■ 2
4dx
dx
dx
2
4
359
§15. Системы дифференциальных уравнений
уравнение, полученное после дифференцирования, приходим к уравнению
2-го порядка с одной неизвестной у:
dy
dx 2
dа _
dx
= ..6jf2 _ 4х + з.
Решая его, найдем
^
2х , ^
у = Cte + С2е
Ъх .
2 .
+х +х
и тогда
* = 1 Г 1 + 4 , - ^ _ 2И = - C lC2 r + ^ С“31- ± х 2.
4\
dx
*)
1
4
2
Аналогично можно поступать и н случае системы с большим числом уран
пений.
Решить системы:
=
dx
2
dR = У + г,
dx
3 0 8 3 . < dz
= x -f у + z.
dx
к
,7
3078. < da
= -у.
dx
dx
3079. ii d, z
! dx
3080.
dH
dx
dz
dx
= У + 5г,
+ у + 3z = 0.
= -З у
=у
- z,
- z.
\ dx
г/.
| dt = .
dy
3081.
d; =
dz
— = x.
df
3082,
dx
df
du
dt
dz
d1
dу + 2y -f z = sin X,
dx
3 0 8 4 .<
dz — 4y — 2z = cos x .
dx
& + 3y + 4z = 2x,
dx
3085. *
! dz
- у - z - x;
dx
уy =
= 0, z = 0 при x = 0,
'
dy
dx
3086. < dz
dx
У+
X + 2,
X + y.
du
3087. I dx
dz
dx
2
JL
h
360
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
б) dх = ^
х-у
х +у
г
;
в) ALL = AlL. = А ? - , выделить интегральную кривую»
у-г
z-х
х-у
проходящую через точку (1; 1; - 2),
^
dx
& + г = 1,
+ 2у + 4г = е*,
3090. <
3091**. Снаряд вылетает из орудия с начальной скоростью v0 под
углом а к горизонту. Найти уравнение движения снаряда, принимая
сопротивление воздуха пропорциональным скорости*
3092*. Материальная точка М притягивается центром О с силой,
пропорциональной расстоянию* Движение начинается из точки А на
расстоянии а от центра с начальной скоростью перпендикулярной
отрезку ОА. Найти траекторию точки Л/.
§ 16* Интегрирование дифференциальных уравнений
с помощью степенных рядов
Если интегрирование дифференциального уравнения при помощи эле­
ментарных функций не удается, то его решение в некоторых случаях можно
искать в виде степенного ряда
а)
Неопределенные коэффициенты сп (п = 0, 1, 2, .**) находятся путем под­
становки ряда (1) в уравнение и приравнивания коэффициентов при одина­
ковых степенях бинома х - х^ в левой и правой частях полученного равен­
ства.
Можно также искать решение уравнения
у' = f(x. у),
где #{*(,) = у0,
( 2)
в виде ряда Тейлора
(3 )
§16. Интегрирование уравнений
361
гд е
= У0>
= Я*о* Уц) и д а л ь н е й ш и е п р о и з в о д н ы е у(п\ х 0) (п = 2 , 3, *.♦}
п о сл е д о в а те л ьн о н а х о д я т с я п р и п о м о щ и д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я у р а в н е н и я (2 )
и п о д стано вки вм есто х чи сл а
П р и м е р 1* Н а й т и р е ш е н и е у р а в н е н и я
у " - ху = О,
если у = у0, у ' - у'0 при х =* 0.
Р е ш е н и е. Полагаем
+ сгх
У =
. . . + спх п 4- . . . т
+
отсюда, дифференцируя, получаем
У** — 2 • 1с2 4- 3 ' 2с3х 4- . . . 4- п(п - 1 ) с д;ед " 2 + (п + l ) r c c rt + гх п 1 4Н- ( л + 2 ) ( л 4- 1 ) с п + 2х п +
.
П о д с т а в л я я у и i/, ; в д а н н о е у р а в н е н и е , п р и х о д и м к т о ж д е с т в у
[ 2 * 1 с 2 + 3 * 2 с 3х + . . . + л ( л - 1 ) с п х
+ ( л 4- 2 ) { п 4- 1 } с п
+ 2х п
4- . . . ] -
x lc 0
п
4-
2
4- ( л 4- 1 ) л с л + 2х л
4-
4-
с пх л
1 4-
+ ...] ^ 0.
Собирая в левой части полученного равенства члены с одинаковыми степе­
нями х и приравнивая нулю коэффициенты при этих степенях, будем иметь:
с2
0; 3 ^2с3
Со . 4 * Зс4 - Cj = 0,
3 ■2 ’
5 ■4с5 - с2 = 0, с5 _£г_ И т. д.
5-4
с0
О, с3
ci .
4 '3 ’
Вообще,
з* +1
2 - 3 ‘ 5 - 6 11(( 3 M ) 3 4
3-4-6-7...3А(8* + 1) ’
с3к +2 = 0 (А = 1, 2, Й, ...).
c 3k
Следовательно,
,г3 +
X6
4- ... 4У = со ( 1 + 2 -3
2-3 -5-6
/
4
Ч
3 -4
+ с / д: +
х Ък
2 -3- 5-6.„(ЗА-1)ЗА
н-1
____ X__________
7
4- ---- ---- — + ... 434-6-7
3 - 4 - 6 - 7...3fc(3fc + l)
4- ...
+
+ ■■•). (4)
где с0 - yQ и сг - у'0.
Применяя признак Даламбера, легко убедиться, что ряд (4) сходится при
< х < оо.
П р и м е р 2, Найти решение уравнения
у' = х + у; yQ= е/(0) = 1,
Р е ш е н и е . Полагаем
У = Ус + ! />
+
^
2!
*
2+
tfT з +
3! *
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
362
Имеем у0 = 1, у'0 = О - \ 1 = 1. Дифференцируя обе части уравнения у' ^ х -\ у,
последовательно находим у " — 1 + у \ у " 0 1 + 1 = 2, у'" = у ", у'" ' ^ 2 и
т. д. Следовательно,
У = 1 + х+
4
| х3 + - -
Для разбираемого примера найденное решение можно записать в конечном
виде
^ ^ 1 + х 4 2(е* - 1 —х) или у “ 2е*
1-х.
Аналогично следует поступать в случае дифференциальных уравнений
высших порядков. Исследование сходимости полученных рядов, вообще го­
воря, сложно и при решении задач этого параграфа обязательным не пред­
полагается.
Найти с помощью степенных рядов решения уравнений при ука­
занных начальных условиях,
Б №№ 3097, 3098, 3099, 3101 исследовать сходимость получен­
ных решений.
3093. у' = у 4- хЙ; у = -2 при х = 0.
3094. у' = 2у + х - 1; у = у0 при х = 1.
3095. у' = у2 + х д; у = | при х — 0.
3096. у' = х 2 - у2; у = 0 при х = 0.
3097. (1 - х)у' = 1 + х - у ; у = 0 при х = 0.
3098* х у " + у = 0; у = 0; у ' = 1 при х = 0,
3099. у " + ху = 0; у = 1; y f = 0 при х = 0.
3100*, y if + - 1/ -Ь у = 0;. у = 1, у г = 0 при х = 0.
3101*. у" 4- - у ' + у
'
X
3102.
у = 1, у' = 0 при х = 0.
+ xcos £ = 0; х = а, ^
= 0 при t = 0.§
§ 17. Задачи на метод Фурье
Для нахождения решения линейного однородного дифференциального
уравнения в частных производных по методу Фурье сначала отыскивают ча­
стные решения этого уравнения специального типа, каждое из которых
представляет собой произведение функций, зависящих только от одного ар­
гумента. В простейшем случае имеется бесконечная совокупность таких ре­
шений ип (п = 1, 2, ...), линейно независимых в любом конечном числе между
собой и удовлетворяющих заданным граничным условиям. Искомое ретпе-
§17, Задачи на метод Фурье
363
ние и представляется в виде ряда, расположенного по этим частным реше­
ниям:
(л
Остающиеся неопределенными коэффициенты С находятся из начальных
условий,
З а д а ч а . Поперечное смещение и — и(х, £) точек струны с абсциссой х
в момент времени t удовлетворяет уравнению
эt 2
( 2)
дх2 ’
пая плотность струны). Найти форму струны в
момент времени £, если концы ее х = 0 и х = I
закреплены и в начальный момент t = 0 струна
1/2
I X
Рис, 107,
и точки ее имели скорость, равную нулю.
Р е ш е н и е , Согласно условию задачи требуется найти решение и = и(х, £)
уравнения (2), удовлетворяющее граничным условиям:
u(0, t) = 0, и(1, £) = О
(3)
и начальным условиям:
и(х, 0) = — лг(/ - х),
и \ (xt
0) - О,
(4)
Ищем ненулевые решения уравнения (2) специального вида и = X(x)T(t).
Подставив это выражение в уравнение (2) и разделив переменные, получим
T"(t) = Х " ( х )
(5)
a2T ( t )
ВД '
Так как переменные х и t являются независимыми, то тождество (5) воз­
можно лишь в том случае, когда общая величина отношения (5) будет по2
стоянной. Обозначая эту постоянную через ~к , найдем два обыкновенных
Дифференциальных уравнения:
T"(t) + ( и л )2 T(t) = 0 и Х"{х) + л2Х(л:) = 0.
Решая эти уравнения, получим
!Г(0 = Ac os а/Л -\ Bsin а/Л,
Х(х) = Ceos а х + Dsin а х ,
где А, В , С, D — произвольные постоянные. Из условия (3) имеем Х(0) = 0 и
А'(П - О, следовательно, С = 0 и sin а 1 = 0 (так как D не может одновременно
Глава IX- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
364
диться, что мы не потеряем общности, взяв для к лишь положительные зна­
чения (к = 1, 2, 3,
Каждому значению kk соответствует частное решение
j
г ,
кап^ , г» « к а п А < п кпх
“* = | А к cos — М В к sin — t 3111 — •
удовлетворяющее граничным условиям (3),
Составим ряд
X
к =1
! ,
kant , п
kant ')
кпх
А к СОЙ ------- Н~ £>1. S in ------- I s in
l '
i
[
сумма которого, очевидно, удовлетворяет уравнению (2) и граничным усло­
виям (3),
Подберем постоянные A k и Вк так, чтобы сумма ряда удовлетворяла на­
чальным условия^ (4). Так как
г
ес
да
dt
*22 j -A t s i „ *22" + B l c„s * 2 “ J s i n * M .
к =3
то, полагая t = О, получим
X;
* * , 0 ) - J ^ A k s i n -k f =
k =1
И
Эйр, 0) = ^ — Б Sjn —
a*
Zj i к
i
k =1
=0
Следовательно, для определения коэффициентов А к и Rk надо разложить в
Ah
ряд Фурье по одним синусам функцию и(х, 0) - — *(/ - х) и функцию
£
0) = q
сН
По известным формулам (гл. УН1, § 4, 3°) имеем
л ‘ _ ! 1
7
1
sin йлд:
—— cijr
= 32ft
м ‘ ~ *>"
л3,3
к 1
если к — нечетное, и А. = 0, если к — четное;
>
§17, Задачи на метод Фурье
365
3103*. В начальный момент t = 0 струна, закрепленная на концах
х —0 и х — I, имела форму синусоиды и = A sin пх причем скорости
I
точек ее были равны нулю. Найти форму струны в момент времени t*
3104*. В начальный момент t —0 точкам прямолинейной струны
О < х < I сообщена скорость ви
1. Найти форму струны в момент
di
времени t, если концы ее х = 0 и х = I закреплены (см. № 3103).
3105*. Струна длиной I = 100 см, закрепленная на концах х = 0
и х “ /, в начальный момент оттянута в точке х = 50 см на расстояние
h = 2 см, а затем отпущена без толчка. Определить форму струны
для любого момента времени t,
3106*. При продольных колебаниях тонкого однородного прямо­
линейного стержня, ось которого совпадает с осью О Х , смещение
и - и(х, t) поперечного сечения стержня с абсциссой х в момент вре­
мени t удовлетворяет уравнению
Э
и
_
I
dt
„ 2'д и
а t)x 2 *
2 £
где а = — (Е — модуль Юнга, р — плотность стержня). Определить
продольные колебания упругого горизонтального стержня длины
I = 100 см, закрепленного на конце х = 0 и оттянутого на конце
х = 100 на длину Al = 1 см, а затем отпущенного без толчка.
3107*. Для прямолинейного однородного стержня, ось которого
совпадает с осью ОХ, температура и = и(х, t) в сечении с абсциссой
х в момент времени t при отсутствии источников тепла удовлетво­
ряет уравнению теплопроводности
ди
*
=
2 д 2и
Эх2 ’
где а — постоянная. Определить распределение температуры для лю­
бого момента времени t в стержне длины I = 100 см, если известно
начальное распределение температуры
и(х> 0) = 0,01х(100 - х).
Глава X
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1* Действия с приближенными числами
Iе. Л б с о л ю т п а я п о г р е ш н о с т ь . Абсолютной погрешностью (аб­
солютной ошибкой) приближенного числа а, заменяющего точное число/1,
называется абсолютная величина разности между ними. Число Д, удовлет­
воряющее неравенству
|А —о| ^ Д,
( 1)
называется предельной абсолютной погрешностью, Точное число А нахо­
дится в границах а —Д < А < а + Д или, короче, А = а + Д.
2°* О т н о с и т е л ь н а я п о г р е ш н о с т ь . Под относительной по­
грешностью (относительной ошибкой) приближенного числа а, заменяю­
щего точное числоА (А > 0), понимается отношение абсолютной погрешности
числа а к точному числу А . Число 5, удовлетворяющее неравенству
( 2)
называется предельной относительной погрешностью приближенного чис­
ла а. Так как на практике А - а, то за предельную относительную погреш­
ность часто принимают число
а
З^.Чис ло в е р н ы х д е с я т и ч н ы х з н а к о в . Говорят, что поло­
жительное приближенное число ау записанное в виде десятичного разложе­
ния, имеет п верных десятичных знаков (цифр) в узком смысле, если аб-
В этом случае при п > 1 за предельную относительную погрешность можно
принять число
где й — первая значащая цифра числа а, Обратно, если известно, что
п- 1
, то число а имеет п верных десятичных знаков в узком
2(k + l ) \ l Q )
смысле. В частности, число а заведомо имеет п верных знаков в узком смыс-
§ 1. Действия с приближенными числами
367
Если абсолютная погрешность приближенного числа а не превышает еди­
ницы последнего разряда (таковы, например, числа, возникшие при изме­
рении с точностью до соответствующей единицы), то говорят, что все деся­
тичные знаки этого приближенного числа верные в широком смысле* При
наличии большего числа значащих цифр в приближенном числе последнее,
если оно является окончательным результатом вычислений, обычно округ­
ляют так, чтобы все оставитеся цифры были верными в узком или широком
смысле,
Б дальнейшем мы будем предполагать, что в записи исходных данных
все цифры верные (если не оговорено противное) в узком смысле. Что ка­
сается результатов промежуточных вычислений, то они могут содержать од­
ну-две запасные цифры*
Заметим, что примеры этого параграфа, как правило, представляют
собой результат окончательных вычислений и поэтому ответы к ним да­
ются приближенными числами, содержавшими лишь верные десятичные
знаки.
4°, С л о ж е н и е и в ы ч и т а н и е п р и б л и ж е н н ы х ч и с е л * Пре­
дельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких чисел
равна сумме предельных абсолютных погрешностей этих чисел. Поэтому,
чтобы иметь в сумме небольшого количества приближенных чисел, все де­
сятичные знаки которых верны, лишь верные цифры (но меньшей мере в
широком смысле), следует подравнять все слагаемые по образцу того сла­
гаемого, десятичная запись которого обрывается ранее других, сохраняя в
каждом из них запасной знак. Затем сложить полученные числа, как точ­
ные, и округлить сумму на один знак*
Если приходится складывать пеокругленные приближенные числа, то их
следует округлить, сохраняя в каждом из слагаемых один-два запасных зна­
ка, а затем руководствоваться приведенным выше правилом сложения, удер­
живая соответствующие лишние знаки в сумме до конца выкладок.
П р и м е р 1* 215,21 114,182 + 21,4 = 215,2(1) -1 14,1(8) I 21,4 = 250,8.
Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не пре­
вышает наибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых.
Относительная погрешность разности не поддается простому учету. Осо­
бенно неблагоприятна в этом смысле разность двух близких чисел.
П р и м е р 2. При вычислении приближенных чисел 6,135 и 6,131, с че­
тырьмя верными десятичными знаками, получаем разность 0,004* Предель1 - 0,001
пая относительная погрешность ее равна 5 = ---------
+
1 - 0,001
---- = - =0,25;
0 ,004
4
следовательно, ни один знак разности не является достоверным* Поэтому
следует по возможности избегать вычитания близких между собой прибли­
женных чисел, преобразуя, в случае надобности, данное выражение так, что­
бы эта нежелательная операция отсутствовала,
5;\ У м н о ж е н и е и д е л е н и е п р и б л и ж е н н ы х ч и с е л . Пре­
дельная относительная погрешность произведения и частного приближен­
ных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей этих чи­
сел. Исходя из этого и применяя правило числа верных знаков (3°), мы со­
храняем в ответе лишь определенное количество знаков.
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
368
П р и м е р 3. Произведение приближенных чисел 25,3 ’ 4,12 = 104,236.
Предполагая, что все знаки сомножителей верные, получаем, что пре­
дельная относительная погрешность произведения
8 = — 0,01 + ~
ь 1^
4 ■£
0,01 = 0,003.
Отсюда число верных знаков произведения равно трем и результат, если он
является окончательным, следует писать так: 25,3 ' 4, 12 ^ 104 или точнее
25,3 • 4,12 « 104,2 ± 0,3.
6°, В о з в е д е н и е в с т е п е н ь и и з в л е ч е н и е к о р н я и з п р и ­
б л и ж е н н ы х ч и с е л . Предельная относительная погрешность m-й сте­
пени приближенного числа а равна ггс-кратной предельной относительной
погрешности этого числа.
Предельная относительная погрешность корня т-п степени из прибли­
женного числа а составляет — -ю часть предельной относительной погреш­
ат
ности числа а .
7°, В ы ч и с л е н и е п о г р е ш н о с т и р е з у л ь т а т а р а з л и ч н ы х
д е й с т в и й н а д п р и б л и ж е н н ы м и ч и с л а м и . Если Д а г
Д ап— предельные абсолютные погрешности приближенных чисел а г ...,
ап, то предельная абсолютная погрешность Д S результата
s = f(a1...... ап)
приближенно может быть оценена по формуле
Д S = Bf Д d.1 4- , . + Bf Д а .
дал
Предельная относительная погрешность S тогда равна
AS
|S|
Bf
Aan
д^ + . . . + Bf
дап 1Л
i/ i
ЭIn /
dal
Д
4- ... 4“
din f
dan Д ал*
П р и м е р 4. Вычислить 5 = 1п (10,3 4-^/4~4 ); приближенные числа 10,3
и 4,4 верны в написанных знаках.
Р е ш е н и е . Подсчитаем сначала предельную абсолютную погрешность AS
в общем виде: S = In (а + Jb ), AS = — -— (Аа +
а + 7 гл
ЛЛ
= 2,0976..
] . Имеем Аа —АЬ ^ ~ ;
20
мы оставляем 2,1, так как относительная погрешность
приближенного числа */4, 4 равна ~ \ ' ^
тогда равна = 2 ■ ^
^ ! абсолютная погрешность
^ ; за десятые доли можно поручиться. Следова­
тельно,
AS
1
J- + 1 ___
10,3 + 2, 1 20
2 20 *2, 1)
Значит, сотые доли будет верны.
13
12, 4 - 20
2604
^ 0,005.
§ 1. Действия с приближенными числами
369
Теперь ведем вычисления с одним запасным знаком:
lg (10,3 + J i , 4 ) * lg 12,4 = 1,093; In (10,3 +
) = 1,093 ■2,303 = 2,517,
Получаем ответ: 2,52*
8°. У с т а н о в л е н и е д о п у с т и м ы х п о г р е ш н о с т е й п р и ­
б л и ж е н н ы х чисел при з а д а н н о й п о г р е ш н о с т и р е з у л ь ­
т а т а д е й с т в и й н а д н и м и * Применяя формулы пункта 7 при задан­
ных нам величинах AS или 5St считая при этом равными друг другу все
bf А а. или величины bf Да* мы вычисляем
к
да1 1Л
dak
допустимые абсолютные погрешности Да1...... Д ап, ... приближенных чисел
av
ап, .**, входящих в действия (принцип равных влияний).
Следует отметить, что иногда при подсчете допустимых погрешностей
аргументов функции невыгодно пользоваться принципом равных влияний,
так как последний может предъявить практически невыполнимые требова­
ния* В этих случаях рекомендуется разумно перераспределить погрешности,
если это возможно, с таким расчетом, чтобы суммарная погрешность не пре­
вышала заданной величины. Таким образом, поставленная задача, строго
говоря, неопределенна.
П р и м е р 5. Объем «цилиндрического отрезка», т. е* тела, отсеченного
от кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания,
2 з
равный 2Я, под углом а к основанию, вычисляется по формуле V = - R tg а.
частные дифференциалы
U
С какой точностью следует измерять радиус R ~ 60 см и угол наклона а,
чтобы объем цилиндрического отрезка был известен с точностью до 1%?
Р е ш е н и е . Если AV, AR и Да — предельные абсолютные погрешности
величин К, R и а, то предельная относительная погрешность вычисляемого
объема V есть
ЗДR , 2Аа < 1 .
Ь = ----- *г
100
R
sin 2 a
Полагаем
3AR . 1
^ --- г и 2Да < 1 Отсюда
200
200
Я
sin 2 а
AR < Л = 60 см = 1 мм;
600
600
Да <
sin 2 a < 1 рад = 9'
400
400
Итак, мы обеспечим требуемую точность ответа в 1%, если будем изме­
рять радиус с точностью до 1 мм, а угол наклона а с точностью до 9'.
3108. В результате измерения получены верные в широком смыс­
ле в написанных знаках приближенные числа:
а) 12о07'14";
б) 38,5 см;
в) 62,215 кг.
3109. Вычислить абсолютные и относительные погрешности при­
ближенных чисел, ве рн ых в узк ом смысле в написанных знаках:
а) 241,7;
6)0,035;
в) 3,14.
370
Глава X. ПРИБЛИЖ ЕННЫ Е ВЫЧИСЛЕНИЯ
3110. Определить число верных знаков *и дать соответствующую
запись приближенных чисел:
а) 48 361 при точности в 1%;
б) 14*9360 при точности в 1%;
в) 592,8 при точности в 2%.
3111. Произвести сложение приближенных чисел, верных в на­
писанных знаках:
а) 25*386 4 0,49 4 3*10 4 0,5;
б ) 1,2 ■102 + 41,72 + 0,09;
в) 38,1 + 2,0 + 3,124.
3112. Произвести вычитание приближенных чисел, верных в на­
писанных знаках:
а) 148,1 - 63*871;
б) 29,72 - 11,25;
в) 34,22 - 34,21.
3113*. Вычислить разность площадей двух квадратов, стороны
которых по измерению равны 15*28 см и 15,22 см (с точностью до
0,05 мм).
3114. Вычислить произведение приближенных чисел, верных в
написанных знаках:
а) 3,49 - 8,6;
б) 25,1 * 1*734;
в) 0,02 ■16,5.
Указать возможные границы результатов.
3115. Стороны прямоугольника равны 4,02 м и 4,96 м (с точно­
стью до 1 см). Вычислить площадь прямоугольника.
3116. Вычислить частное приближенных чисел, верных в напи­
санных знаках:
а) 5,684 : 5,032;
б) 0,144 : 1*2;
в) 216 : 4.
3117. Катеты прямоугольного треугольника равны 12,10 см и
25,21 см (с точностью до 0,01 см). Вычислить тангенс угла, проти­
волежащего первому катету.
3118. Вычислить указанные степени приближенных чисел (осно­
вания степеней верны в написанных знаках):
а) 0,41582; б) 65,23;
в) 1,52.
3119. Сторона квадрата равна 45,3 см (с точностью до 1 мм). Най­
ти площадь квадрата.
3120. Вычислить значения корней (подкоренные числа верны в
написанных знаках):
а) 727715 ; б)
;
в) TsTTT .
3121. Радиусы оснований и образующая усеченного конуса рав­
ны: R = 23*64 см ± 0,01 см, г = 17,31 см 4 0,01 см; / = 10,21 см ±
4 0,01 см; число п = 3,14. Вычислить по этим данным полную по­
верхность усеченного конуса. Оценить абсолютную и относительную
погрешности результата.
*>Верные знаки понимаются в узком смысле.
371
§ 2. Интерполирование функций
3122. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15,4 см ±
- ОД см; один из катетов равен 6,8 см ± ОД см. Как точно могут быть
определены по этим данным второй катет и прилежащий к нему ост­
рый угол? Найти их значения,
3123. Вычислить плотность алюминия, если масса алюминиевого
цилиндра диаметром 2 см и высотой 11 см равна 93,4 г. Относитель­
ная погрешность измерения длин равна 0,01, а относительная по­
грешность взвешивания равна 0,001,
3124. Вычислить силу тока, если электродвижущая сила равна
221 В ± 1 В, а сопротивление равно 809 Ом ± 1 Ом.
3125. Период колебания маятника длины / равен
Т = 2л Д ,
где g — ускорение свободного падения. С какой точностью следует
измерить длину маятника, период колебаний которого близок к 2 с,
чтобы получить период его колебаний с относительной погрешно­
стью в 0,5% ? Как точно должны быть взяты числа н и ^ ?
3126. Требуется измерить с точностью в 1% площадь боковой по­
верхности усеченного конуса, радиусы оснований которого 2 м и 1 м,
а образующая 5 м (приближенно). С какой точностью следует изме­
рить радиусы и образующую и со сколькими знаками следует взять
число 71?
3127. Для определения модуля Юнга по прогибу стержня прямо­
угольного сечения применяется формула
г _ 1 1*Р
4 d*bs’
где I — длина стержня, b u d — основание и высота поперечного се­
чения стержня, s — стрела прогиба, Р — нагрузка. С какой точно­
стью следует измерить длину / и стрелу s, чтобы погрешность Е не
превышала 5,5% при условии, что Р известна с точностью до 0,1% ,
величины d и Ъ известны с точностью до 1%, I ~ 50 см, s ~ 2,5 см?
§ 2, Интерполирование функций
1°. И и т е р п о л я ц и о н н а я ф о р м у л а Н ь ю т о н а , Пусть #0,
♦ x r — табличные значения аргумента, разность которых h = А х .
(Д* = *
- дг; i =* 0, 1,
п -1) постоянна ( ш а г т а б л и ц ы ) , и i/0, y v
y r — соответствующие значения функции у. Тогда значение функции у для
промежуточного значения аргумента х приближенно дается и н т е р п о л я ц и ­
онной ф ормулой Н ью т она
. „ . Л„ a. g w - 1) Ди
ц{д - ! ) . . . ( ? -/i-t 1) A
А Г1
Ur.
п^
372
Плана X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
х - х0
л
2
где q — —-— и Ду0 —у х - у^, Д у0 = Ду 1 - AyQ, ... — последовательные ко-
I
I
нечные разности функции у. При х ™х. (i = 0, 1, ..., п) полином (1) принимает |
соответственно табличные значения у. (i ™0, 1, ..., п). Как частные случаи |
формулы Ньютона получаем: при п = 1 — линейное интерполирование; при %
п = 2 — квадратичное интерполирование. Для удобства пользования фор- *
мулой Ньютона рекомендуется предварительно составлять таблицу копечных разностей.
Если у = f{x) — многочлен п-й степени, то
Дпу. = const и Ап Уу. = О
и, следовательно, формула (1) является точной.
В общем случае, если f(x) имеет непрерывную производную f [n + ^(пг) на отрезке [а, Ь], включающем точки х 0, хЛ,
х и х, то погрешность формулы
(1) равна
я. м
-
У
- ^
- г +ч
д'г„-
~"У' 1"а. (2) (
i =О
где ^ — некоторое промежуточное значение между х. ( е = 0, 1, ,,,,
На практике пользуются более удобной приближенной формулой
те)
и я.
R„(*) = (71+
, 1)1 ч(ч ~ 1) ■■■С<7 - »)■
Если число п можно взять любым, то его следует выбирать так, чтобы
разность д" + у0 - 0 в пределах данной точности; иными словами, разности
Ап у0 должны быть постоянны в заданных десятичных разрядах.
П р и м е р 1. Найти sin 26° 15', пользуясь табличными данными sin 26й =
= 0,43837, sin 27° = 0,45399, sin 28° = 0,46947.
Р е ш е н и е , Составляем таблицу:
i
**
0
26°
0,43837
1562
1
27°
0,45399
1548
2
28J
0,46947
4
A
-14
26“ 15' - 26°
60'
4
Применяя формулу (1), используя первую горизонтальную строку таб­
лицы, имеем
Здесь k = 60', q =
sin 26rj15' “ 0,43837 f- i 0,01562 + —------ - • (-0,00014) = 0,44229.
4
2!
373
§ 2 . Интерполирование функций
Оценим погрешность Я2. Используя формулу (2) и учитывая, что если
у = sin х т то |г/(,1>|
1, будем иметь
4~ ^ ( i - 2 ) ( л у = _7_ _
1 = 1 . 10-б
3!
1,180,'
128 '5 7 , ЗЗ3 -1
Таким образом, нее приведенные знаки sin 26°15' — верные.
С помощью формулы Ньютона можно также по заданному промежуточ­
ному значению функции у находить соответствующее значение аргумента
# (обратное интерполирование). Для этого сначала определяем соответст­
вующее значение q методом последовательных приближений, полагая
(0) = У ~ Уо
4
ДУо
И
(/ - 1) = (0) _ д«>(д<» - 1) .
4
2
q
_
_ дУЦд1-»- 1)...(дМ-п + 1)ЛлУо
Д?;0
Ш
Д(/0
(i - 0, 1, 2, ...)■
За q принимаем общее значение (с заданной точностью!) двух последова­
тельных приближений q{jn) = q{m L\ Отсюда х = х 0 + q шh*
П р и м е р 2. Пользуясь таблицей
X
у = sh х
&У
А2у
А
2,2
4,457
1,009
0,220
2,4
5,466
1,229
2,6
6,695
приближенно вычислить корень уравнения sh х = 5.
Р е ш е н и е . Принимая yQ= 4,457, имеем
(0) _ 5 - 4 , 457 _ 0,543 = 0,538;
1, 009
1, 009
.(1) = Ю) + fjlO)(l -
4 4
= 0,538 4
2
&2Ур =
ДУо
538-0, 462 . ^ | | 0 = 0 528 + 0,О27 = 0,565;
2
1,009
0 .5 6 5 -0 .4 3 5
.(2)
« = ° ’538 + *
2
0.220 = 0,538 + 0,027 - 0,565.
Таким образом, можно принять
х — 2,2 -I 0,565 - 0,2 - 2,2 + 0,113 = 2,313.
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
374
2е. И н т е р п о л я ц и о н н а я ф о р м у л а Л а г р а н ж а , В общем
случае полином степени п, принимающий при х = х. заданные значения yi
(/ —0, 1,
гс), дается интерполяционной формулой Лагранжа
( х - х у) ( х - х 2) . . . ( х - х П)
+ ( х - х 0) { х - х 2)...(х - х п) у f
У (хй- х 1)(х<}- х 2)...{ха- х , 1) Уа { х ^ - x Q){xl - x 2)...(xl - x n)' 1
+
(ДС -
д С р К - ж г - a r i ) . . . ( 3 c
-
а :А -
i ) ( 3 C
-
дед.,
(* * -% )(* * -* i).4** +
i ) ■■ - ( д с
-
з с „ )
+
^ +-0-.Л**-*л) *
(д- - 3Cp)(3g - 3Ci)...<a; - a:,,- i)
(*п-яоХ*п-*1)---(*п-*л- 1 Г п'
3128, Дана таблица значений величин х н у :
X
1
2
3
4
5
6
У
3
10
15
12
9
5
Составить таблицу конечных разностей функции у.
3
2
3129,
Составить таблицу разностей функции у = х - 5х + х - 1
для значений х —1, 3, 5, 7, 9, 11. Убедиться в том, что все конечные
разности 3-го порядка равны между собой.
3130*. Используя постоянство разностей 4-го порядка, составить
4
3
2
таблицу разностей функции у = х - 10х + 2х + Зх для целых зна­
чений х, заключенных в промежутке 1 < х < 10.
3131. Дана таблица
lg 1 = 0,000,
lg 2 = 0,301,
lg 3 - 0,477,
lg 4 = 0,602.
lg 5 - 0,699.
Вычислить с помощью линейного интерполирования числа lg 1,7,
lg 2,5, lg 3,1 и lg 4,6.
3132. Дана таблица
sin 10° = 0,1736
sin 13° = 0,2250
sin 11Q= ОД 908
sin 14° = 0,2419
sin 12° = 0,2079
sin 15* = 0,2588
Уплотнить таблицу, вычислив по формуле Ньютона (при п = 2) зна­
чения синуса через полградуса.
3133.
Составить интерполирующий многочлен Ньютона для
функции, заданной таблицей
k
C
0
1
2
3
4
У
1
4
15
10
85
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений
375
3134*4 Составить интерполирующий многочлен Ньютона для
функции, заданной таблицей
X
2
4
6
8
10
У
3
11
27
50
83
Найти у при х = 5,5. При каком х величина у = 20?
3135. Функция задана таблицей
X
-2
1
2
4
У
25
-8
-1 5
-2 3
Составить интерполирующий многочлен Лагранжа и найти значение
у при х = 0.
3136.
Из опыта найдены удлинения пружины х в зависимости от
нагрузки Р на эту пружину:
X, мм
5
10
15
20
25
30
35
40
Р, н
49
105
172
253
352
473
619
793
Найти нагрузку, дающую укорочение пружины на 14 мм,
3137. Дана таблица величин х н у
X
0
1
3
4
5
У
1
-3
25
129
381
Вычислить значения у для х = 0,5 и для х = 2: а) с помощью ли­
нейного интерполирования; б) по формуле Лагранжа.
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений
1°. У с т а н о в л е н и е н а ч а л ь н ы х п р и б л и ж е н и й к о р н е й .
Приближенное нахождение корней данного уравнения
К *) = 0
(1)
складывается из двух этапов: 1) отделения корней, т. е. установления про­
межутков, по возможности тесных, внутри которых находится один и толь­
ко один корень ураннения (1); 2) вычисления корней с заданной степенью
точпости.
Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а, &] и f{x)' f(b) < 0,
то на отрезке [а, 5] находится по меньшей мере один корень £, уравнения
(])■ Этот корень будет заведомо единственным, если /'(я) > 0 или f'(x) < 0
при а < х < Ь*
Для приближенного нахождения корня £ рекомендуется на миллимет­
ровой бумаге построить график функции у = f{x), Абсциссы точек Пересе-
376
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
чения графика с осью ОХ и являются корнями уравнения f(x) = 0. Иногда I
удобно данное уравнение заменить равносильным ему уравнением ф(х) = }
~^(я). Тогда корни уравнения находятся как абсциссы точек пересечения !
графиков у = ф(я) и у =
|
2°. П р а в и л о п р о п о р ц и о н а л ь н ы х ч а с т е й ( ме т о д хорд), |
Если на отрезке [а, Ь] находится единственный корень ^ уравнения f(x) = О, |
где функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]t то, заменив кривую у —/(х) |
хордой, проходящей через точки (a; f{a)) и (b; f{b)), получим первое при- &
ближение корня
f
$
/(а)
с1 = а (Ь - а).
( 2 ) •Y.
т -т
Для получения второго приближения с2 формулу (2) применяем к тому
из отрезков [а, сJ или [с1Т Ь], на концах которого функция f(x) имеет зна­
чения противоположных знаков. Так же строятся и следующие приближе­
ния. Последовательность чисел с (га = 1, 2, ...) сходится к корню т. е.
П т са =
л—со
Вычисления приближений cv cv
вообще говоря, следует производить
до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые нами в ответе де- £
сятичные знаки (в соответствии с заданной степенью точности!); для про- \
межуточных выкладок надлежит брать один-два запасных знака. Это замечание имеет общий характер.
Если функция f(x) имеет отличную от нуля непрерывную производную
f'(x) на отрезке [a, fr], то для оценки абсолютной погрешности приближен­
ного корня сп можно воспользоваться формулой
£ ~ CJ <
гдец=
min
|/М
и
\Г{х)\.
а < х <■Ь
3°. С п о с о б Н ь ю т о н а ( м е т о д к а с а т е л ь н ы х ) . Если f(x) Ф 0
и f f(x) Ф0 при а < х < Ь7причем f(a)f(b) < 0, f(a)f"(b) > 0, то последовательные
приближения хп (га = 0, 1, 2,
корня с, уравнения f(x) — 0 вычисляются
по формулам
^0
Хп
Xn - l
f t
л (Л
1, 2,
При данных предположениях последовательность я; (га ~ 1, 2, ..
еотонная и
lim
Для оценки погрешностей можно воспользоваться формулой
:J
%
;
к
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений
377
Практически удобнее пользоваться более простыми формулами
^0
Хп
Хп - 1 а&Хп - 1^ ^
^
(30
-*■)*
дающими примерно ту же точность, что и формулы (3)*
Г (а)'
Если f(b)f"(b) > 0у то в формулах (8) и (3У
) следует положить х0 —Ь.
4°.С п о с о б и т е р а ц и и . Пусть данное уравнение^приведено к виду
где а =
х = Ф(*К
(4)
где 1ф'(лг)[ ^ г < 1 (г— постоянная) при а < х < Ь. Исходя из начального
значения х0, принадлежащего отрезку [я, 6], построим последовательность
чисел xv х2, ... по такому закону:
* 1 = Ф (* 0)> Х 2 =
Если а < хп < b (п = 1, 2,
(5)
х „ = ф (* „ - i ) , ••• •
то предел
£, “ Пт х я
П—
-Ф
о
является е д и н с т в е н н ы м к о р н е м уравнения (4) на отрезке [а, £>],
т. е. хп суть последовательные приближения корня
Оценка абсолютной погрешности л-го приближения хп дается формулой
16
л+1—X.
1-
Поэтому если хп и хп + 1 совпадают с точностью до е, то предельная абсо­
лютная погрешность для х будет —-— ,
”
1- г
Для преобразования уравнения f(x) = 0 к виду (4) заменяем последнее
эквивалентным уравнением
х =хгде число X Ф0 выбирается так, чтобы функция ~ [ х - Xf(x)] = 1 - Xff(x)
dx
была малой по абсолютной величине в окрестности точки (например, мож­
но положить 1 - Xf\xd) = 0).
П р и м е р 1, Привести уравнение 2х - In х - 4 —0 при начальном при­
ближении корня х^ = 2,5 к виду (4).
Р е ш е н и е . Здесь f{x) = 2х - In х - 4; f'(x) = 2 - - . Пишем эквивалентное
Уравнение х = х - Х{2х - In х - 4) и в качестве одного из подходящих значений
* берем 0,5 — число, близкое к корню уравнения 1 - л[ 2 —
—О, т« е.
* = 2. 5
к и з “ ° ’6'
378
ГлаваХ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Исходное уравнение приводится к виду
х = х - 0,5(2д; —In лт —4)
или
* = 2 4 Ч п х.
&
П р и м е р 2. Вычислить с точностью до 0,01 корень ^ предыдущего
уравнения, заключенный между 2 и 3.
В ы ч и с л е н и е к о р н я п о с п о с о б у и т е р а ц и и . Используем
результат примера 1, полагая xG= 2,5. Вычисление ведем по формулам (5)
с одним запасным знаком:
Ж1 = 2 + Ч п 2,5 = 2,458,
*, = 2 + - In 2,458 = 2,450,
г
2
*, = 2 + —In 2,450 = 2,448,
6
2
x 4= 2 ~ h -2I n 2,448 - 2,448.
Итак, ^ ~ 2,45 (процесс дальнейших приближений можно прекратить,
так как третий десятичный знак (тысячные) закрепился).
Приведем оценку погрешности. Здесь
ф (* ) =
2 4- Ч п * и
Ci
ф '(л г )
= Ч .
ыX
Считая, что все приближения х п лежат па отрезке [2,4; 2,5], получим
г = max |ф'(*)| = 2 . 2 4 = ° ’21'
Следовательно, предельная абсолютная погрешность приближения
приведенного выше замечания есть
= 0, 001
1
—
0 21
в силу
= 0 0022 =, 0,001,
.
Таким образом, точный корень с, уравнения содержится в границах
2,447 < Z < 2,449;
можно принять Ё;= 2,45, причем все знаки этого приближенного числа будут
верными в узком смысле.
В ы ч и с л е н и е к о р н я по с п о с о б у Н ь ю т о н а , Здесь
f(x) = 2* - 1п * - 4, П х ) = 2 - ! , Г ( х ) = - .
X
X
2
На отрезке 2 < х < 3 имеем: f f{x) > 0 и f"(x) > 0; f(2)f(3) < 0; /(3)/"(3) > 0.
Следовательно, условия пункта 3° при x Q= 3 выполнены.
Принимаем
§ 3, Вычисление действительных корней уравнений
379
Вычисления ведем по формулам (3') с двумя запасными знаками:
х г = 3 ~ 0,6(2 * 3 - In 3 - 4) - 2,4592;
х2 = 2,4592 - 0,6(2 ■2,4592 - In 2,4592 - 4) = 2,4481;
х 3 - 2,4481 - 0,6(2 ' 2,4481 - In 2,4481 - 4) = 2,4477;
х 4 - 2,4477 - 0,6(2 ■2,4477 - In 2,4477 - 4) = 2,4475,
На этом этапе вычисления прекращаем, так как число тысячных больше
не изменяется. Даем ответ: корень ^ = 2,45, Оценку погрешности мы опус­
каем.
5°. С л у ч а й с и с т е м ы д в у х у р а в н е н и й . Пусть требуется вы­
числить, с заданной степенью точности, действительные корни системы двух
уравнений с двумя неизвестными
fix, у) - 0,
(6)
и пусть имеется начальное приближение одного из решений (^, р) этой сис­
темы х = x 0 i у = j/0.
Это начальное приближение можно получить, например, графически, по­
строив (в одной и той же системе декартовых координат) кривые f { x , у ) ™
= 0 и ф(х, у ) = 0 и определив координаты точек пересечения этих кривых.
а) С п о с о б Н ь ю т о н а . Предположим, что функциональный опреде­
литель
т= <?(/, ф)
Э(а\ у)
не обращается в нуль вблизи начального приближения х = х0, у = у0. Тогда,
по способу Ньютона, первое приближение решения системы (6) имеет вид
д г = хо ^
У\ = Уъ fV еде а 0, |30 — решение системы двух линейных
уравнений
( Л * и. Sf0>
а о Д ^ о - Уо) + Р г/У -Г п- .V0) =
1Ф(*о> V + fV P ' V +
У0) =
Второе приближение получается тем же приемом:
х2 = х г + a v y2 = у 1 +
где ct1, |3j — решение системы линейных уравнений
Ifix у уг) + &if'x(xv Уг) +
1 ф(жг
У х) +
j/ j )
Уг) ** 0*
+ Р 1ф ' 4Г( ж 1 , У х) = 0 .
Аналогично получаются третье и последующие приближения.
б) С п о с о б и т е р а ц и и . К решению системы уравнений (6) можно
применить и способ итерации, преобразовав эту систему к эквивалентному
виду
х = F(x, у),
у - Ф(х, у)
( 7)
и предполагая, что
(8)
380
Глана X, ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
в некоторой двумерной окрестности U начального приближения (х0, #0), со­
держащей и точное решение {£., р) системы.
Последовательность приближений {х , у ) (п = 1, 2, ...), сходящаяся к
решению системы (7), или, что то же, к решению системы (6), строится по
следующему закону:
=
Р(х0,
уг =Ф(х0,
Уд),
Ф(д:Г у х),
х3 = F{ x 2, у 2), у я = Ф(*г, у 2),
х2
Если все (д:п,
у
= ,Р(лг1» у,),
У 0),
у2 =
) принадлежат V , то lim х л = с, lim
уа
= г|-
Для преобразования системы уравнений (б) к виду (7) с соблюдением ус­
ловия (8) можно рекомендовать такой прием. Рассмотрим систему уравнений
af(x, у) + Рф(лг, у) = 0,
Уfix, у) + 5ф(лг, у) = О,
а, Р | Ф0. Перепишем ее так:
эквивалентную системе (6) при условии, что
У, 5 |
* = х + а/(х, у) + Рф(лг, у) = F{x, у),
У = У \ Уf(x,
у) + 8(р{*. У) = Ф (*, у)-
Выберем параметры ex, fi, у, Ь такими, чтобы частные производные функций
F ( x , у) и Ф(х, у) были равны или близки к нулю при начальном приближе­
нии, т, е, находим ct, р, у, б как приближенные решения системы уравнений
1
I
+
a f 'M
о >
Уо>
+
Р
Ф
^
о
’
Уо>
=
°
-
аг„(х0> + рф;(*0>v = °Yf'xix 0’ Уо)
1 1 Y/'(*0>Уо') + 5<Р^хо’ Уо) = °+
8 <P
*
(
V
У
о )
=
° >
При таком выборе параметров а, (}, у, б в предположении, что частные
производные функций /(х, у) и ф(х, у) изменяются не очень быстро в ок­
рестности начального приближения (х0, у^), условие (8) будет соблюдено.
П р и м е р 3. Привести систему уравнений
х 2 + у 2 - 1 = 0,
х - х =О
при начальном приближении корня х0 = 0,8, yQ= 0,55 к виду (7).
Р е ш е н и е , Здесь fix, у) = х 2 + у2 - 1, ф(х, у) = х* - у\ / ' {х0, у0) = 1 , 6 ,
/„
Уо) ~
Ф* (*^от Уо)
(^q, V ~ —
Записываем систему, эквивалентную исходной:
p(xJ - у ) = 0,
1) + ь (х ?>- у) =■■0
а ( х 2 \ у 2 - 1 ) -г
у(х2 т /
а, Р ф 0 \
у, 6
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений
381
в виде
х
=
х
■ {- ( х { х 2
4
у2 -
1) 4 P (x S -
у),
У * У + Y(^2 н у2 - 1) + 5(х3 - !/)•
Выбираем в качестве подходящих числовых значений O', Р, у, А решение сис­
темы уравнений
1 4- 1,6а 4 1,92р = О,
1Да-р-0,
1,6у 4 1 ,9 2 6 -0 ,
1 4 1Ду - 5 = 0,
т. е* полагаем а ~ -0 ,3 , р = -0 ,3 , у = -0,5, 6 ~ 0,4*
Тогда система уравнений
0,3(х2 + у г 1) - 0,3(х3 \У = У~ 0,5(х2 + у 2 - 1) + 0,4(хл \ х = ° х -
у),
у),
эквивалентная исходной, имеет вид (7), причем б достаточно малой окрест­
ности точки (х0; у 0) условие (8) будет выполнено*
Методом проб отделить действительные корни уравнений и с помощью правила пропорциональных частей вычислить их с точно­
стью до 0,01*
3138. х 3 ~ х + 1 = 0.
3139. / + 0,5* - 1,55 = 0.
3140.
- 4х - 1 = 0.
Исходя из графически найденных начальных приближений, спо­
собом Ньютона вычислить с точностью до 0,01 действительные корни
уравнений:
3141* х 3 - 2х - 5 = 0*
3143* 2х = 4х*
3142* 2х - In х “ 4 = 0*
3144* lg х = - .
х
Используя найденные графическим путем начальные приближе­
ния, способом итерации вычислить с точностью до 0,01 действитель­
ные корни уравнений:
3145. х3 - 5* + 0,1 = 0.
3146* 4х = cos х,
3147. *5 - * - 2 = 0.
Найти графически начальные приближения и вычислить с точ­
ностью до 0,01 действительные корни уравнений и систем:
3148* х 3 “■Зх 4 1 = 0*
3151, х ’ In х —14 = 0,
3149* х 3 - 2 х 2 + Зх ~ э =0*
3152* х3 4 Зх - 0,5 = 0*
3150* х 4 4 х 2 - 2х - 2 = 0*
3153. 4х - 7 sin х = 0*
Глава X, ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
382
3154.
Xх
+ 2х - 6 = 0.
3156.
х 2 I у 1 - 1 = 0,
х 2 - у = 0,
3155. е* + е '31 - 4 - 0 .
3157. ] * + У " 4 Г ° ’
^
у - lg г - 1 = 0.
3158. Вычислить с точностью до 0,001 наименьший положитель­
ный корень уравнения tg х — х.
3159. Вычислить с точностью до 0,0001 корни уравнения х ■th х = 1* {
§ 4. Численное интегрирование функций
Iе. Ф о р м у л а т р а п е ц и й . Для приближенного вычисления интег­
рала
J
f(x) dx
(f{x) — непрерывная на [а, Ь] функция) делим промежуток интегрирования
[а, 6] па п равных частей и выбираем шаг вычислении h = Ь - а . Пусть
п
х . = ху 4- ih (х0 = а, х п = b, i =
>0, 1, 2,
— абсциссы точек деления, у. =
= f(%j) —соответствующие значения подынтегральной функции у = Дх), Тог­
да по формуле трапеций имеем
уь
J
Дх) dx -
— -— + у х г у 2 +■... + у п_1 I
( 1)
с абсолютной погрешностью
^ ( Ь - а ) М 2,
где М 2 ™max ]/"{х)| при а < х ^ Ь.
Для достижения заданной точности г при вычислении интеграла шаг вы­
числений h определяется из неравенства
к2 ^
12 е
(Ъ-а)М2'
(2)
т. е. к должен иметь порядок Ji . Полученное значение h округляется в сто­
рону уменьшения так, чтобы
Ь-а = п
h
было целым числом, и это дает нам число делений п. Установив ft и л по
формуле (1), вычисляем интеграл, беря значения подынтегральной функции
с одним или двумя запасными десятичными знаками,
§ 4. Численное интегрирование функций
383
2е. Ф о р м у л а С и м п с о н а ( п а р а б о л и ч е с к а я фо рму ла ) . Ес­
ли п — четное число, то в обозначениях 1° справедлива формула Симпсона
ь
| Дх) cbe = | [у0 + y j + 4Cf/j +
+ У П _ i) + 2{у2 + у4 + ... + уя _ 2)] (3)
а
с
абсолютной погрешностью
Е» < ш (Ь~ а)М*
(4)
где
= max |f^(#)l при а < х ^ Ь
Для обеспечения заданной точности г при вычислении интеграла шаг вы­
числений h определяется из неравенства
^ ( Ь - а ) М 4 < е,
{5)
т, е. шаг h имеет порядок 4/Ё • Число h округляется в сторону уменьшения
так, чтобы п = -—- было целым четным числом.
h
З а м е ч а н и е , Так как определение шага вычислений h и связанного
с ним числа п из неравенств (2) и (5), вообще говоря, затруднительно, то на
практике h определяют грубой прикидкой. Затем, получив результат, уд­
ваивают число л, т. е. половинят шаг k. Если новый результат совпадает с
прежним в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисление заканчи­
вается, В противном случае этот прием повторяют ит, д.
Для приближенного вычисления абсолютной погрешности R квадратур­
ной формулы Симпсона (3) можно также использовать принцип Рунге, со­
гласно которому
R- Л Г ’
где Ъ и 1 — результаты вычислений по формуле (3), соответственно с шагом
h
иЯ =
2h.
3160.
Под действием переменной силы направленной вдоль оси
ОХ, материальная точка переместилась по оси О Х из положения
* = 0 в положение х ~ 4. Вычислить приближенно работу А силы
если дана таблица значений ее модуля F:
X
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
F
1,50
0,75
0,50
0,75
1,50
2,75
4,50
6,75
10,00
Вычисление провести по формуле трапеций и но формуле Симп­
сона.
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫ Е ВЫЧИСЛЕНИЯ
384
3161, Вычислить приближенно J* (Зх2 - 4х) dx по формуле трао
пеций, полагая п = 10, Вычислить этот интеграл точно и найти аб­
солютную и относительную погрешности результата. Установить
верхнюю границу Д абсолютной погрешности вычисления при п =
= 10, используя формулу погрешности, приведенную в тексте,
1
""4
I* х dх
3162, Вычислить с точностью до 10 по формуле Симпсона ---- - ,
J х 4* 1
о
принимая п = 10, Установить верхнюю границу Д абсолютной погреиь
ности, используя формулу погрешности, приведенную в тексте.
Вычислить с точностью до 0,01 следующие определенные интегралы:
2
1
sinx dx.
dx
3 1 6 6 .J x \g x dx.
3169.
3163. |
1 4- X
■ I1
0
2
1
dx
3170. Г cosx dx.
3167. |
dx.
3164. f
71
1 + X2
3165 Г dx
' J 1+X
*J
X
3168.
Г s in x
J
x
3171.
dx.
i0 f
х
cosx dx.
+X
1
3172.
j
dx.
3173, Вычислить с точностью до 0,01 несобственный интеграл
i
dr , применив подстановку х = -1 . Проверить вычисление, при-----1 + х2
t
менив формулу Симпсона к интегралу
ь
dx , где Ь выбрано так,
4- X
-(- со
чтобы
I
J
“ dx
1 4- X 1
< I •ю 3
3174. Плоская фигура, ограниченная полуволной синусоиды
у = sin х и осью ОХ, вращается вокруг оси О Х . Вычислить по фор­
муле Симпсона с точностью до 0,01 объем тела вращения,
3175*. Вычислить по формуле Симпсона с точностью до 0,01 дли-1^
У2
ну дуги эллипса X2
— + ---- —
* J
1 (0Т6222)2
динатной четверти.
§ 5« Численное интегрирование о б ы к н о в е н н ы х уравнений
385
§ 5. Численное интегрирование
обыкновенных дифференциальных уравнений
1°, М е т о д п о с л е д о в а т е л ь н ы х п р и б л и ж е н и й ( м е т о д
П и к а р а ) . Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка
У' * /(■«, у)
(1)
при начальном условии у = yQпри х « x Q*
Решение у(х) уравнения (1)т удовлетворяющее заданному начальному ус­
ловию, вообще говоря, может быть представлено в виде
у{х)= lim yt( x ) y
(2)
i —* pc
где последовательные приближения yt{x) определяются по формулам
Уп(х) = У&
х
ytM = у0 + |
fix, у. _
dx
(i = 0, 1, 2, .„)■
Если правая часть f(xy у) определена и непрерывна в окрестности
Д{|* - Х0| < а,
Iу ~ У0\ < Ь}
и удовлетворяет в этой окрестности условию Липшица
I fix, Уг) - fix, Уг)! < ь\ух - У2\
{L — постоянная), то процесс последовательных приближений (2) заведомо
сходится в промежутке
\х - xQ\ < h,
где h = min
^
и М = max |/(х, у)\.
При этом погрешность
Д = |у{я) “ Ул(х)\ < MLn
—,
*
л
{п + 1)!
если только
h.
Метод последовательных приближений (метод Пикара) с незначитель­
ными видоизменениями применим также к нормальным системам диффе­
ренциальных уравнений. Что касается дифференциальных уравнений выс­
ших порядков, то их можно записывать в виде систем дифференциальных
уравнений.
2°. М е т о д Р у н г е — К у т т а. Пусть требуется на данном промежутке
< а: < X найти решение у(х) задачи (1) с заданной степенью точности е.
X - х0
Для этого сначала выбираем h
(шаг вычислений), деля отрезок
п
13 Задачии у п р а ж н е н и я
3S6
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[я X] на п равных частей так, чтобы h4 < с. Точки деления
по формуле
x t = г 0 -4 ih (i = 0, 1, 2,
п).
определяются
Соответствующие значения у. = у(х^) искомой функции по методу Рунге
Кутта последовательно вычисляю тся по формулам
У1+ 1 =
У-, +
л^-
где
i = 0, 1 , 2 ...... п
и
й(1 = f(*r У-)К
(3)
= fix. + h, yi +
)h.
Метод Рунге—Кутта имеет порядок точности А4. Грубую оценку погрешности метода Рунге—Кутта на данном промежутке [xQ, X] можно получить,
исходя из принципа Рунге:
где п - 2т, у 2т и у т — результаты вычислений по схеме (3) с шагом h и
шагом 2h.
Метод Рунге—Кутта применим также для решения системы дифферен­
циальных уравнений
у' = fix, у, г), г' = ф(*, у, г)
(4)
с заданными начальными условиями: у =
z *= 20 при х - x Q.
3°. М е т о д М и л н а . Для решения задачи (1) по методу М и л н а , исходя
из начальных данных у = у 0 при х —х находим каким-нибудь способом
последовательные значения
У-± = у{%\)* У% “
~
искомой функции у(х) (например, можно воспользоваться разложением ре­
шения
в ряд (гл. IX, § 17) или найти эти значения методом последова­
тельных приближений, или применить метод Рунге—Кутта и т. п.)* При-
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных уравнений
387
ближения у. к у. для следующих значений у{ (г = 4 , 5 , ..*, п) последова­
тельно находятся по формулам
>
(5)
где
ft = Л*> У) и fi = f(xp у.).
Для контроля вычисляем величину
( 6)
Если е. не превосходит единицы последнего сохраняемого нами в ответе
десятичного разряда 10 m для £/(#), то в качестве уг берем yt и переходим
к вычислению следующего значения у ^ у повторяя процесс* Если же
с. > 10 , то следует начать работу сначала, уменьшив шаг вычислений.
Величина начального шага приближенно определяется из неравенства
Для случая решения системы (4) формулы Милна отдельно пишутся для
функций у(д:) и z(x). Порядок вычислений остается прежним*
П р и м е р 1. Дано дифференциальное уравнение y f = у - х с начальным
условием у(О) = 1,5* Вычислить с точностью до 0,01 значение решения этого
уравнения при значении аргумента х = 1,5* Вычисления провести по ком­
бинированному методу Рунге—Кутта и Милна.
Р е ш е н и е * Выбираем начальный шаг вычислений h из условия h4 < 0,01,
Избегая сложной записи h, остановимся на h = 0,25* Тогда весь участок интег­
рирования от;г = 0 д о я —1,5 разобьем на шесть равных частей, длиной 0,25,
с помощью точек xt (i = 0 ,1 , 2, 3, 4, 5, 6); соответствующие значения решения
У и производной у* обозначим через
и у'г
Первые три значения у (не считая начального) вычислим но методу Рун­
ге—Кутта (по формулам (3)); остальные три значения — у 4 , i/5, у 6 — по ме­
тоду Милна (по формулам (5)).
Значение yGбудет, очевидно, ответом задачи.
Вычисления проведем с двумя запасными знаками но определенной схеМе>состоящей из двух последовательных таблиц 1 и 2* В конце таблицы 2
мы получаем ответ.
В ы ч и с л е н и е з н а ч е н и я у у Здесь
/(■*■♦ у)
Уу
о, у^ —1,5, h —0,25*
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
388
Имеем
1 ,,(0)
а
, 0 ЛО) , 0 , (0)
1(0) , _
Aff0 = 6<ftl + 2 k 2 + 2 k Z + k A ^ ~
= -(0 ,3 7 5 0 + 2 • 0,3906 + 2 ■0,3926 + 0,4106) = 0,3920;
6
*'0)
,(0 )
k
(
0)
= f { x 0, y 0)h - (-0 4- 1,5000)0,25 = 0,3750;
J
h
= / *0 + 0’ ^0 +
h = (’--0,125 -b 1,5000 4 0,1875)0,25 = 0,3906;
k(
ft
0 )
= / ( x 0 + ^ y0 4 ~ - J h = (-0 ,1 2 5 4 1,5000 4 0,1953)0,25 = 0,3926;
= ftx 0 4 ft, y 0 4 4 0})ft = (-0 ,2 5 4 1,5000 4 0,3926)0,25 = 0,4106;
у “ у 4
= 1,5000 4 0,3920 = 1,8920 (первые три знака в этом при­
ближенном числе гарантированы).
Аналогично вычисляю тся значения у 2 и у Результаты вычислений при­
ведены в таблице 1.
Таблица 1
Вычисление y v у2,
по методу Рунге—Кутта.
У-i
4S
Значе­
ние 1
in
fix, у) — х 4 у, ft = 0,25
/{V + -, у ■+
*\ i
2'
2;
0
0
1,5000
1,5000
0,3750
1,5625
0,3906
1
0,25
1,8920
1,6420
0,4105
1,7223
0,4306
2
0,50
2,3243
1,8243
0,4561
1,9273
0,4818
3
0,75
2,8084
2,0584
0,5146
2,1907
0,5477
Значе­
ние i
/
Л4 н Л,
к \ 1)Л
f x i + 2- V
V
2 }
*7
№
«4
ffi-H
0
1,5703
0,3926
1,6426
0,4106
0,8920
I
1,7323
0,4331
1,8251
0,4562
0,4323
1,8920
—2,3243
2
1,9402
0,4850
2,0593
0,5148
0,4841
2,8084
3
2,2073
0,5518
2,3602
0,5900
0,5506
3,3590
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных уравнений
389
В ы ч и с л е н и е з н а ч е н и я у4. Имеем: f{x, y) = -x- \-y f k = 0,25, х4 = 1 ;
У0 = 1,5000,
у г - 1,8920,
уг - 2,3243,
У* = 2,8084;
у' = 1,5000,
у[ = 1,6420,
у'2 = 1,8243,
Уз = 2,0584,
Применяя формулы (5), находим:
Ул = У0 + f
+ 2^) =
= 1,5000 + —
~ (2 • 1,6420 - 1,8243 + 2 ■2,0584) = 3,3588;
и
У4 = f(x4, у4) = -1 + 3,3588 = 2,3588;
у 4 = у2 + | (у'4 + 4^'з + 0 V =
= 2,3243 4-
-
У4-У4
П 9^
{2,3588 1- 4 * 2,0584 4- 1,8243) = 3,3590;
. 1 3 , 3 5 8 8 - 3. 3 5 9 0 1 , 7 . 1 0 н , <
29
29
1 . 0|001.
2
с ;!е д о в а т е л ъ н о , п е р е с м о т р ш а г а в ы ч и с л е н и й н е т р е б у е т с я »
П олучаем
уА
™ t/4 = 3 , 3 5 9 0 ( п е р в ы е т р и з н а к а в э т о м п р и б л и ж е н и и г а ­
р а н т и р о в а н ы ).
А н а л о г и ч н о п р о и з в о д и м в ы ч и с л е н и я з н а ч е н и й у и г/
ч и с л е н и й д а н ы в т а б л и ц е 2.
Т а к и м образом , о ко н ча те л ьн о и м еем
Результаты вы ­
у(1,5) = 4,74.
4 °, М е т о д А д а м с а » Д л я р е ш е н и я з а д а ч и (1 ) п о м е т о д у А д а м с а , и с ­
ход я и з н а ч а л ь н ы х д а н н ы х у(х^) - у 0 м ы н ах о д и м к а к и м - н и б у д ь сп осо бо м
с л е д у ю щ и е т р и з н а ч е н и я и с к о м о й ф у н к ц и и у(х):
У1
=
y(Xj) = у (х 0
У2 =
4- /г),
= У(х о + 2ЙЬ
^ = У(х з) = {/(^о + Зй)
(эти т р и з н а ч е н и я м о ж н о п о л у ч и т ь , н а п р и м е р , с п о м о щ ь ю р а з л о ж е н и я
у(х) в с т е п е н н о й р я д ( г л , I X , § 1 6 ) , и л и н а й т и и х м е т о д о м п о с л е д о в а т е л ь ­
ных
приближ ений
(п . 1 °), и л и
прим еняя
м етод
Рун ге— Кутта
(п . 2 °)
и т. п.).
С п о м о щ ь ю ч и с е л д:0, х Г х2, х3 и yQ, у 1, у2, у3 м ы в ы ч и с л я е м в е л и ч и н ы
90’ •?!- ?2’ УS' гдс
<?о = hlA = йЛ*о- Уо)’
q2 = h y2 = А/(зсг, г/,),
= % 'j = */(*!» У4),
(j3 = % з = tif(xy i/s).
Г лава X . П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Е В Ы ЧИ СЛ ЕН И Я
О5 О ^
§rf Е' с« си
я
ж2 а
нг «■
с
ё
а?
11
V
f i x , у) = - х -I- у; h - 0 Т25.
(к у р си в о м о б озн ачен ы в х о д н ы е д ан н ы е)
0?
О
Г4
а»
>>
о
о
ft
ь
и>
и
О
oi
ю
со
<м
о
m
ь~Г1
eg
0
01
ю
00
со
аГ
Вычисление у4* у5, ус> по методу Милна.
к
о
н
и
о>»
0)
ан
0J
я
о
ю
о
О
со"
||~
о
н
'аГ
11Сэ%
•IT
к
tгг
гг
о
О
ю
со
со"
о
ю
Os
01
С'З
со
00
ю
со
ь-
СМ
eg
00
оо
о
сочк
t01
о #Ъ
с>
о
•^Ч
est
Т-Ч
W
CJ
&
ш*
>>
ю
0J
ft
а?
X
t—
•чИ
■7406
ж
<е «
ЙSJ5 щ^
3 sЕС?S
10
390
1
с
г-1
н
Ч
II
юр
Т““
л
и
н
QJ
pa
&
О
г]
О
о
t>
,—,
1а?
Н
v
1
Г&1
1
со
а7
1:
о
о
со
ю
1чч
о
о
аГ
ЗнГ
1
о: •-*
л3 ®
s
со к
о»
<М
ч
*ч
см
0>
00
>*ч
О
о
СО
Сд
00
со
со
СМ
О
т*
сч
со
см
о
с-#s
00
10
<D
<М
<м
0-5
<М
00
о
00
<М
о
1-0
о
id
ь*
о
М
со
m
о
ф
J
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных уравнений
391
Составляем* далее, диагональную таблицу конечных разностей вели­
чины у:
X
У
. 3у ,2
Д
А
?
=
Д
я
^
^ УЛ- 1 - Уп У' ~ fix, У) Ч = У71 = Я„ , 1 - Чп = И , +1 - <4 = д. 2 ■?, м -
х0 Уо
/(^о» У0)
%
Vi
Д^1
УХ)
?1
х 2 У*
АУ-2
f(x2, у2)
Уг
Х3 Уз
АУз
f(x3, уя)
*4
У4
дг/4
fixг у4)
дч
Уй
| *е
Ув
fix5. У5)
Д(/0
А2
А %
А2
А Яг
Aqz
A q2
Aq3
А2
А {Ы
*2
д
дА39о
д3
А 9i
А2
А <72
%
Метод Адамса заключается в продолжении диагональной таблицы раз­
ностей с помощью формулы Адамса
5 А2
+, 3-ДЛза з1
Ди“/г = Q i -о Да - ,1+ — Да
(7)
ч *
8 Чп~
3
Д yQ1 расположенные в таблице раз­
12
2
Так* используя числа q Дq2, Д
ностей по диагонали* .мы с помощью формулы (7)* полагая в ней п = 3* вы1
5 2
3 з
числяем Ду3 =
+ -Д<72 + — A ^ I- - A
Найдя значение Дуа, мы вы-
1jLi
О
числяем у 4 = у.А + Де/3. Зная же х4 и у4, мы вычисляем q4 =
у4), вносим
у4, Дуз и в таблицу разностей и пополняем затем ее конечными разностями
2
2
Дг/у, 4 у2>Д qv расположенными вместе с q4 по повой диагонали, параллель­
но прежней.
Затем, используя числа новой диагонали, мы с помощью формулы (8),
]гола гая в ней п = 4, вычисляем Аг/4, у, и q5 и получаем следующую диаго-
2
3
налы
Дд4, А д3, Д q2. С помощью этой диагонали мы вычисляем значение
,yfi искомого решения
и т, д.
Формула Адамса (7) для вычисления Ду исходит из предположения*
з
что третьи конечные разности Д q являются постоянными. В соответствии
с этим величина h начального шага вычислений определяется из неравен­
ства ft1< 10 m (если мы желаем получить значение у (jr) с точностью до 10 т ).
В этом смысле формула Адамса (7) эквивалентна формулам Милна (5) и
формулам Рунге—Кутта (3).
Оценка погрешности для метода Адамса сложна и практически бесполезна,
так как в общем случае дает сильно завышенные результаты. На практике
следят за ходом третьих конечных разностей, выбирая шаг h столь малым,
3
з
Чтобы соседние разности Д' qt и Д q. j отличались между собой не более чем
одну-дне единицы заданного разряда (не считая запасных знаков).
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
392
Для повышения точности результата формула Адамса может быть по­
полнена членами, содержащими четвертые и высшие разности величины q.
При этом возрастает число первых значений функции у , нужных нам для
начального заполнения таблицы. Формулы Адамса повышенной точности
мы не будем здесь приводить.
П р и м е р 2, Вычислить при х — 1,5 с точностью до 0,01 по комбини­
рованному методу Рунге—Кутта и Адамса значение решения дифференци­
ального уравнения у' = у - х с начальным условием у(0) —1,5 (см. пример 1)*
Р е ш е н и е . Используем значения yv у2, у3, полученные нами при ре­
шении примера 1* Их вычисление приведено в таблице 1,
Последующие значения уАЛ i y Gмы вычисляем по методу Адамса (см*
таблицы 3 и 4).
Таблица 3
Основная таблица для вычисления у4, у-,
по методу Адамса.
f{x, у) = - х + у; h = 0,25
(курсивом обозначены входные данные)
Значе­
ние i
<4
У \ = flx s, У;)
Qi = y'fi
1
д*3qt
a\
0
0
1 ,5 0 0 0
1 ,5 0 0 0
0,3750 0,0355 0,0101 0,0028
1
0 ,2 5
1 ,8 9 2 0
1 ,6 4 2 0
0,4105
0,0456 0,0129 0,0037
2
0 ,5 0
2 ,3 2 4 3
1 ,8 2 4 3
0,4561
0,0585 0 T0166 0,0047
3
0 ,7 5
2 ,8 0 8 4
0,5504
2,0584
0,5146
0,0751 0,0213
4
1,00
3,3688 0,6356
2,3588
0,5897
0,0964
5
1,25
3,9944 0,7450
2,7444
0,6861
6
1,50
4,7394
Ответ: 4,74
Таблица 4
Вспомогательная таблица для вычисления по методу Адамса
= я, + | Ч
Значение i
-
!+ ^
-2+1
_
з
l .
2 4,‘->
5 a2
12д ^ -2
3 .3
8 й9' - '
3
0,5146
0,0293
0,0054
0,0011
0,5504
4
0,5897
0,0376
0,0069
0,0014
0,6356
5
0,6861
0,0482
0,0089
0,0018
0,7450
Значение у$ = 4,74 будет ответом задачи*
§ 5* Численное интегрирование обыкновенных уравнений
393
Для случая реш ения системы (4) формула Адамса (7) и схема вычисле­
ний, показанная в таблице 3, применяются отдельно для обеих функций
у{х) и 2{х ).
Найти три последовательных приближения решений указанных
ниже дифференциальных уравнений и систем:
3176. у' = х 2 + у2; у(0) = 0.
3177. у ' = х + у + z , г ' = у - г; у(О) = 1, z(0) = -2*
3178. у " = - у ; у { 0) = 0, у \ 0) - 1.
Методом Рунге—Кутта, полагая шаг h = 0,2, вычислить прибли­
женно для указанных промежутков решения данных дифференци­
альных уравнений и систем:
3179. у' = у - х ; у(0) = 1,5 (0 < х < 1).
3180. у ' = Ь - у2; у( 1) = 1 (1 < ас < 2).
X
3181. у* = 2 + 1, z' - у - X, у{0) = 1, z(0) = 1 (0 < X < 1).
Применяя комбинированный метод Рунге—Кутта и Милна или
Рунге—Кутта и Адамса, вычислить с точностью до 0,01 значения
решений указанных ниже дифференциальных уравнений и систем
при указанных значениях аргумента:
3182. у' = х + у; у = 1 при х = 0. Вычислить у при х = 0,5.
2
3 1 8 3 . у ' = х + у; у = 1 при х — 0. Вычислить у при х = 1,
3184. у* = 2у - 3; у = 1 при х = 0. Вычислить у при х = 0,5*
3185»
у' - - х + 2у + г,
г' = х + 2у + 3г; У
,Z
2 при х - 0.
Вычислить у и z при х = 0,5.
у' = “3и - z,
3186* ^ ,
у = 2, z = -1 при х = 0*
jz
—у -
Вычислить г/ и г при х = 0,5.
3187* у " = 2 - у; у = 2, у' = -1 при х = 0.
Вычислить у при х — 1.
3188* у3у " + 1 = 0; у = 1, у' = 0 при х = 1.
Вычислить у при х = 1,5*
3189*
^ cos 2t ~ 0; х = 0, х ' = 1 при t = 0*
Найти *(Т1) и jcXtc)*
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
394
§ 6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье
С х е м а 12 о р д и н а т * Пусть уп = f(xn) (п = 0, 1,
12) — значения
T I 71
= — отрезка [0 , 2л], причем
функции у = f{x) к равноотстоящих точках
у = у 12* Составим таблицы:
Уо У1 Уз Уз У4 Уг> Уъ
^11 -^10
У& ^7
и0 и 1 и2
аА uVj uG
Суммы (£)
Разности (А)
Суммы
Разности
V2 V3 V4 VB
V2 °3
V> V4
“о U1 U2 U3
“ в U 7 US
Sq S 1 s2 s3
fQ t1 t2
Суммы
Разности
°1 a 2 C3
T I T2
Коэффициенты Фурье
Ъп (я = 0, 1, 2, 3) функции у —f(x) приближенно
могут быть определены по формулам:
к =
6а1 =
6а2 =
6«8 =
so + s^ + s2 -\- s
*0 + 0, 866^ + (3,a/2,
so s 3 + 0»5(Sj
O^Gj + 0,866ста +
- 0,S66(Tj + т2),
Gbl =
6b 2
663 =
-
- оч,
—
(21
где 0,866 = л .~ 1 - — 10 30 ‘
2
Имеем:
*0
л*) = ^
з
+ s
•;
(a^cos п х +
ля).
pi ~ 1
Употребительны также другие схемы. Для облегчения вычислений используются шаблоны (см,? например: В. И. Смирнов, Курс высшей математики» =:
т* II, 1962, гл. VI, 424—430),
?.
П р и м е р . Найти полином Фурье для функции у — fix) (0 ^ х < 2л),
заданной таблицей:
%
Уо
38
У\
38
Уг
12
Уз
4
У4
14
Уь
4
У6
-18
Р е ш е н и е , Составляем таблицы:
12
38
4
38
-24
8
32
У
20 -20
70
и
38
4
28
6
V
и
$
t
38
18
20
56
70
-19
51
89
20
-13
7
33
tfiu
-24
в
У«
-27
14
-27
- 13
41
4
-23
- 19
27
-18
6
4
41
45
37
-20
о
-20
ув
Уг
-23
о
т
27
33
21
18
28
28
Уи
32
§ 6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье
395
По формулам (1) имеем:
а0 = 9,7;
ау = 24,9;
а2 = 10,3;
Ьх = 13,9;
62 = -8,4;
Ъ3 = 0,8.
а 3 = 3,8;
Следовательно,
f(x) ~ 4,8 + (24,9соз л: -+- 13,9sin х) -г (10,3cos 2л: - 8,4sin 2л:) +
+ (3,8cos 3* 4- G,8sin Зх),
Пользуясь схемой 12 ординат, найти полиномы Фурье для сле~
дующих функций, заданных на отрезке [0, 2л] таблицами своих зна­
чений, соответствующих равноотстоящим значениям аргумента
( У о = УпУ-
3190.
3191.
3192.
уЧ^
л
Уо = -7200
Уо = 4300
Уъ = 7400
Уо = 7600
У\ = 300
Ух = 0
У7 = -2250
Ую = 4500
У2 = 700
Уг, - -5200
у& = 3850
Уп - 250
Уо = 0
Уо - 9,72
Уь = 7,42
Уо = 5,60
У\ = 6,6 S
Ух = 8,97
У7 - 6,81
Ую = 4,88
Уг = 9,68
Уо = 8,18
= 6,22
Уи = 3,67
Уо = 2,714
Уз = 1,273
Уь - 0,370
Уо “ -0,357
Ух = 3,042
Ух = 0,788
У7 - 0,540
Ухо = -0,437
Уг = 2,134
Уь = 0,495
У8 - 0,191
уи - 0,767
«ъ
3193. Вычислить несколько первых коэффициентов Фурье по схеме 12 ординат для следующих функций:
а) f(x) =
- 3п х 2 + 2п2х) (0 < х < 2л),
б) f(x) = ~ ( х - я)2 (0 < х < 2я).
71г
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Глава I
1. Так как а = (а - Ь) + Ь, то ]я| < \а - &j + |б|. Отсюда |а - Ь\ > \а\ - |&|
и |а - Ь| = |б - а( > ]Ь\ - |а|, Следовательно, \а - b\> J|a| - \b\\. Кроме того, |а -- /;| =
= |о -I ( -Ь)| < ]д| + |-fcj = |а| + |б|. 3. а )-2 < х < 4; б) х < -3 , ж > 1; в) -1 < х < 0;
г) х > 0, 4. —24; - 6 ; 0 ; 0 ; 0 ; 6 . 5. 1; 1 4
4
6.7i;
; 0,
I
2
1 .{{х )
-
11. а)-1 < х < 4°°;
<х
-
*/2>
-\х+
д
8. Дх) =
д
J 1 + х ; |х| *jl + х ; 1 / J l + x .
\х2- Щ х
о
о
+ 1. 9.0,4. 10.
hx +
^
|х|).
12. ( -оо, -2), (-2, 2)т (2, 4 <*>). 13. а)
<
J2 < х < 4 оо; б) х = 0, |jc| > J l . 14. -1 < х < 2. Должно быть
6)-оо < х <
2 4 х - х 2 > Q, или х2 - х - 2 < 0, т. е, (х -4- 1)(х - 2) ^ 0. Отсюда или х-I- 1 > О,
х - 2 < 0, т. е. -1 < х < 2; или же х 4 1 < 0, х - 2 > 0, т. е. х < -1, х > 2,
что невозможно. Таким образом, -1 < х < 2. 15. -2 < х < 0. 16, -°° < х < 1,
О < х < 1. 17. -2 < х < 2. 18. -1 < х < 1, 2 < х < 4°°. 19.
< х < 1.
о
20. 1 < х < 100. 21. кя < х < kn + 2 (k = Q, ±1, ±2, ...). 22. ф(х) = 2х - 5х2 - 10, \|/(х) - -З х 3 4- 6х, 23, а) Четная; б) нечетная; в) четная; г) нечетная;
д) нечетная. 24, Использовать тождество Дх) = | [/(х) 4 Д-х)] 4 | [Дх) - Д-х)],
2
о
26. а) Периодическая, Т = ^ л; б) периодическая, Т =
27t
^ ; в) периодическая,
Л
Т = л; г) периодическая, Т = л; д) непериодическая. 27. у = - х, если 0 4 х < с;
у = Ь, если с < х < a; S =
х2, если 0 < х < с; S = Ьх - ^ , если с < х < а.
28. m - q^x при 0 < x < l 1;m = q ^ I q2{x - /х) при ^ < x < ^ H l,2; m = q1il 4 q2t2 4
4 <73(x
- l2) при Z1 4 l2 < x < /, 4 l2 4 l,A = l. 29. ф{^/(х)) ^ 22*; w(<P(*)) ='%* ■
30. x. 31. (x 4 2)2, 37, - 5 ; 0;
2
4
. 38. a) ц = 0 прн x = -1 , у > 0 при x > -1,
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
397
у < 0 при х <- - 1 ; 6) у = О при х = - 1 и х = 2 ,[ / > 0 при - 1 < х < 2 , у < О
при оо < х < - 1 и 2 < х < +°о; в) у > 0 при -оо < х < Н™; г) у “ 0 при
х = 0, х
- JS и х = */3 , у > 0 при -л/З < х < О и Уз < х <
у <О
при -&> < х < - J 3 пО < х < а/3 ; д ) г/ = 0 при х = 1 , у > 0 при -оо < х < - 1
и 1 < х < -f
у < 0 при 0 < х < 1. 39. а) л: = ^ {у - 3) ( <
б) X = 4у+ 1 И X = -*1у+ 1 (-1 < у
г) X = 2 ' 10^
( - о о
< у <
Ч -о о );
у < +оо);
+оо); в )х = i f l - У (-<Х> < у < +оо);
д) х - з » о
я
■У< О . 40. х — у при
-оо < у < 0; х = *[у при 0 < у <
41, а) у = и10, и - 2х - 5; б) у = 2й,
а = cos х; в) у = lg и, и = tg и, о = х/2; г) у = arcsin н, и = 3У, v = - х2,
42. а) у = sin 2 х; б) у = arctg J\gx ; в) у = 2(х2 - 1), если \х\ < 1, и у = О, если
|*| > 1- 43, а) у = -cos х2, Jn < |х| < У2тт ; б) у = lg (10 - 10*), --оо < х < 1;
в) у = ^ при -оо < х < 0 и у = х при 0 < х < +оо. 46. См. приложение VI,
рис. 1. 51, Дополнив квадратный трехчлен до полного квадрата, будем иметь
2
2
У = у0 + д(х - х0) , где xQ= -Ь/2а и у0 —(4ас - b )/4а. Отсюда искомый
график есть парабола у = ах , сдвинутая вдоль оси ОХ на величину х0 и вдоль
оси OY на величину у0- 53- См, приложение VI, рис. 2. 58. См. приложение VI,
рис. 3. 61. График представляет собой гиперболу у = — , сдвинутую вдоль
X
оси ОХ па величину хд и вдоль оси OY на величину у0. 62. Выделив целую
13 / х т
(см. № 61). 65. См. приложение VI,
3
9 V з;
рис. 4. 67. См, приложение VI, рис. 5. 71, См. приложение VI, рис. 6 .
72. См. приложение VI, рис. 7. 73, См. приложение VI, рис. 8. 75, См. при­
ложение VI, рис. 19. 78, См, приложение VI, рис, 23. 80. См. приложение VI,
рис. 9. 81. См. приложение VI, рис. 9. 82. См, приложение VI, рис. 10.
83. См. приложение VI, рис. 10. 84, См. приложение VI, рис. 11. 85. См. при­
ложение VI, рис. 11. 87, Период функции Т = 2я/л . 89. Искомый график
есть синусоида у = 5sin 2х с амплитудой 5 н периодом л, сдвинутая вправо
часть, будем иметь у
2
вдоль оси ОХ па величину 1 ^ . 90. Полагая а = Acos ф и Ь
&
иф
иметь у = Aslri (х - ф), где А
2
-Asin ф, будем
нашем случае
1
А - 1 0 , ф = 0,927, 92, cos х = - (1 A cos 2х). 93, Искомый график есть сумма
графиков у х =■х и у2 = sin х. 94. Искомый график есть произведение графиков
УL—х и у2—sin х, 99, Функция — четная. Для х > 0 определяем точки, в которых
1) у = 0; 2} у = 1 и 3} у *= -1. При х
+оо у
1 . 101. См. приложение VI,
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
398
рис, 14, 102, См. приложение VI, рис. 15, 103. См, приложение VI, рис, 17,
104, См, приложение VI, рис. 17,105, См, приложение VI, рис, 18. 107, См. при­
ложение VI, рис, 18, 118, См, приложение VI, рис. 12, 119, См. приложение VI.
рис, 12, 120. См. приложение VI, рис, 13, 121, См, приложение VI, рис. 13.
132, См. приложение VI, рис. 30.133, См. приложение VI, рис. 32. 134, См, при­
ложение VI, рис. 31. 138, См. приложение VI, рис. 33. 139, См. приложение VI,
рис. 28. 140. См. приложение VI, рис. 25, 141. Составим таблицу значений:
t
1
0
2
3
. . .
-1
-2
-3
.........
X
0
1
8
27
У
0
1
4
9
. . .
. . .
-1
-8
-27
1
4
9
Построив найденные точки (я, у), получим искомую кривую (см. приложе­
ние VI, рис. 7), (Параметр t при этом геометрически не откладывается!)
142. См. приложение VI, рис. 19,143. См. приложение VI, рис. 27.144. См, при­
ложение VI, рис, 29. 145. См. приложение VI, рис, 22. 150. См. приложение VI,
рис. 28. 151. Разрешив уравнение относительно у, получим у = ± Л 5 - х 2,
Теперь искомую кривую легко построить по точкам. 153. См, приложение VI,
рис. 21.156. См. приложение VI, рис. 27. Достаточно построить точки (г, у),
соответствующие абсциссам х = 0,
, ±а, 157. Разрешая уравнение отно­
сительно х , будем иметь х = 10 Ig у - у* \ Отсюда получаем точки (#, у) искомой
кривой, давая ординате у произвольные значения (у > 0) и вычисляя по
формуле {*) абсциссу х. Следует иметь в виду, что lg у — -°° при у
0.
159, Переходя к полярным координатам г = J x 2 + у 2 и tg ф = ^ , будем иметь
г = еф(см. приложение VI, рис. 32). 160. Переходя к полярным координатам
х = rcos (ри у = rsin ф, будем иметь г =
Звш у соэф ^см приложение VI,
cos ф + sin ф
рис. 32). 161. F = 32 + 1,80. 162. у = 0,6 *(1G - х); утах = 15 при * = 5.
163. у = ^ sin я; 1/тах =
при X = \ . 164. a) x Y= 1/2, х2 = 2; б) х = 0,68;
в) х х = 1,37, х 2 = 10; г) х = 0,40; д) х = 1,50; е) х = 0,86. 165. а) х х = 2, у 1 = 5;
х 2 ~ 5 ; у2 ~ 2 ; б) х х —3, у^ —2; х 2 ■ 2 , у2 ~ ^ 3; х^ —2, у^ 3, х 4 — 3,
у4 * 2; в) х 1 = 2, у 1 = 2;
^ ЗД> у2 « -2,5; г) х х « -3,6, ух * -3,1; х 2 « -2 ,7 ,
У2 = 2,9;
у2 =
2
= 2,9, ys = 1,8; х4 = 3,4, у4 = -1,6; д) лг, = ^ , у, = Щ
. 166. п >
Д
^ .
. а) п > 4; б) п > 10 ; в) п > 32. 167. п > - - 1 = N.
£
а) N = 9; б) N = 99; в) N = 999. 168. 5 = § (е < 1). а) 0,02; б) 0,002; в) 0,0002.
5
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
399
169* a) lg х < - N при 0 < г < S(N); б) 2х > N при х > X(N ); в) |/(jc)J > iV при
|х| > X(N). 170, а) 0; 6)1; в) 2; г) 7/30, 171,1/2. 172,1. 1 7 3 ,-3 /2 , 174,1.
175,3, 176, 1 . 177,3/4. 178, 1/3, Указание: использовать формулу I 2 + 22 -4+ ... + П = I п(п + 1)(2п Н 1). 179. 0. 180. 0. 181. 1. 182. 0. 183.
184. 0.
О
185. 72. 186. 2. 187. 2. 188. со. 189. 0. 190. 1. 191. 0. 192. оо. 193 . - 2 . 194. со.
195.1/2. 196.
• 197. З*2. 1 9 8 .-1 . 199. 1/2. 200.3. 201.4/3. 202.1/9.
2 0 3 .-1 /5 6 . 204.12. 2 0 5 .3 /2 . 2 0 6 .-1 /3 . 207.1. 2 0 8 .—
. 2 0 9 .^ —
3
210. -1 /3 . 211. 0. 212. а / 2. 213. -5 /2 . 214. 1/2. 215. 0. 216. а) - sin 2; б) 0.
217.3. 218.5/2. 219.1/3. 220. л. 221.1/2. 222. cos а. 2 2 3 .-sin а. 224. л.
225. cos*. 226. - 1 /V 2 .227. a) 0; б) 1. 228. 2/л. 229. 1/2. 230. 0. 231. - 1 / Д .
232. | (п - тп). 233. 1/2. 234. 1 . 235. 2/3. 236. 2/л. 237. -1/4. 238. л. 239. 1/4.
240.1. 241.1. 242. i . 243.0. 2 4 4 .3 /2 . 245.0. 246. е '1. 247. е2. 248. е '1.
249. е"4. 250. е . 251. е. 252. a) 1. lira (cos х)1/х - lim [1 - (1 - cos *)]1/jr =
.
1
= lim (1 - 2sin 2
Г ‘0 \
' 2 sin 2
как lim
*->of
V
2j
1/Jf = lim
2sinz^
2
l - 2 sin 2 ^
x^O
r.£. Sin
. 2 x-
f
____ 2
x
2sjn 2 -
]\ m
x -- n
x
e
2
Так
f . x4
sin —
2
2
= -2 lim
4x
X
x *0
J
x
X
lim - = 0, to lim (cosx) l / x
x - >o4
x —f 0
--2 * 1
l\ 2
lim
( 2sin2 - '
2
- e° = 1 , б) 1 / Je . Аналогично предыдущему, lim (cosx) l / x 2 _= e
X
f
Так как lim
* —0
2 sin 2
( s in
* -
2
*->0
X
\
2
“ 2 lim
)
l
2
>
0
-|
X
2
4x
X
2 у
1
1.
t
л/х* —e-1/2 =
- , to lim (cosx)
2
x—
*0
= l / J e . 253. In 2. 254. lOlg 2. 255. 1. 256. 1. 2 5 7 .-1 /2 . 258. 1 . Положить
e - 1 = а, где a * 0. 259. In а. Использовать тождество a = e1,la. 260, In a.
Положить - = a, где a — 0 (cm. № 259). 261. a - h. 262. 1 . 263. а) 1 ; 6) 1 / 2.
400
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
264. а) -1; б) 1. 265. а) -1; б) 1. 266, а) 1; 6) 0. 267, а) 0; б) 1. 268. а) -4; б) 1.
269. а) —1; б) 1, 270. а) —оо; б) +оо, 271. Если х Ф kn (fe = 0, ±1, ±2, .,.), то
2
2
cos х < 1 и у = 0; если же х = кть, то cos х = 1 и у = 1, 272. у = х при 0 < х < 1;
1
2
тг
2
у “ - при х = 1; у = 0 при х > 1. 273. у = \х], 274. у - - - при х < 0; у ■= 0
7Т
Z
при х = 0; у = - при х > 0, 275, у = 1 при 0 < x ^ l ; i / ” x при 1 < х < +оо,
276.61/450. 277.x. ->
b
ха — оо. 278. л. 279. 2яД. 280.
. 2 8 1 .4 .
*
е- 1
3
282. Jтт/2 + 1 . 284. lim АСп = - . 285. ^ . 286. й = 1, Ъ = 0; прямая у = х
rt со п 3
2
е -1
является асимптотой кривой у = Х*+1 . 287,
х 2+ 1
« о ^ + ^ У 1' гДе
коэффициент пропорциональности («закон сложных процентов*); Qf = Q0e .
288. \х\ > - ; а) \х\ > 10; б) \х\ > 100; в) \х\ > 1000. 289. \х - lj < - при 0 < е < 1;
£
2
a) jx - 1| < 0,05; б) |х - 1| < 0,005; в) |х - 1| < 0,0005. 290. |ж - 2| < ~ = 5 ;
а) 5 = ОД; б) б = 0,01; в) 5 = 0,001. 291. а) Второй; б) третий. 1/2, 3/2. 292. а) 1;
б) 2; в) 3. 293. а) 1; б) 1/4; в) 2/3; г) 2; д) 3. 295. Нет. 296. 15. 297, -1. 298. -1.
299.3. 300. а) 1,03 (1,0296); 6)0,985 (0,9849); в) 3,167 (3,1623). JlO =
= 79 + 1 = 3 J 1 Д ; г) Ю,954 (10,954). 301. 1)0,98(0,9804); 2) 1,03(1,0309);
3)0,0095 (0,00952); 4)3,875 (3,8730); 5)1,12 (1,125); 6)0,72 (0,7480);
7) 0,043 (0,04139). 303. а) 2; б) 4; в) 1/2; г) 2/3. 307, Если х > 0, то при |Дх| < х
имеем \Jx + Ах - J x \ = |Дх|/{ J x + Ах + J x ) < |Дх|/ J x . 309. Воспользоваться
неравенством [cos {х + Ах)
cos х\ < |Дх|, 310. а) х Ф ^ + kn, где к — целое
число; б) х Ф кп%где к — целое число, 311, Воспользоваться неравенством
И* + Лх| - \х\\ < |Дх|. 313. А = 4. 314,/(0) = 1. 315. Нет, 316, а ) /(0) = л;
б) /(0) = | ; в) ДО) - 2; г) ДО) = 2; д) ДО) = 0; в) ДО) = 1. 317. х = 2 - точка
разрыва 2-го рода. 318. х = - 1 — устранимая точка разрыва, 319, х =-2 — точка
разрыва 2-го рода; х = 2 — устранимая точка разрыва. 320. х - 0 — точка раз­
рыва 1-го рода. 321. а) х - 0 — точка разрыва 2-го рода; б) х = 0 — устранимая
точка разрыва. 322. х - 0 — устранимая точка разрыт, х = kn(k = ±1, ±2,
—
точки бесконечного разрыва. 323. * = 2кк ± ^ (к “ 0, ± 1 , ± 2 ,
— точки бес-
конечного разрыва. 324, x s*&Tt(fe = 0>± l 1 ± 2,...) — точки бесконечного разрыва.
325, х - 0 — точка разрыва 1-го рода. 326. х = -1 — устранимая точка разрыва;
х = 1 “ точка разрыва 1-го рода. 327. х = -1 — точка разрыва 2-го рода.
328. х —0 — устранимая точка разрыва. 329. х = 1 — точка разрыва 1-го рода.
401
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
330. х = 3 — точка разрыва 1-го рода. 332. х = 1 — точка разрыва 1-го рода.
333. Функция непрерывна. 334. а) х = 0 — точка разрыва 1-го рода; б) функция
непрерывна; в) х — ftic (k — целое) -— точки разрыва 1-го рода. 335. а) х = к
(к — целое) — точки разрыва 1 -го рода; б) л- = к (к * 0 — целое) — точки
разрыва 1-го рода. 337. Нет, так как функция у = Е{х) разрывна при х = 1.
338.1,53. 339. Показать, что при .v0достаточно большом имеем P(-xQ) Р(.г0) < 0.
Глава II
341. а) 3; б) 0,21; в) 2ft + h2. 342. а) ОД; 6) —3; в) У а + А - 3Ja . 344. а) 624;
1560; б) 0,01; 100; в) -1 ; 0,000011. 345. а) аДх; а; б) Зя 2Дд: + Зл;(Дз:)2 + (Дх)3;
2 х + Д#
2хАх + (Дд:)2 ,
г) Л + Ах - J x
а
^
1
Я (д: + Дх)
# 2(# + Ах)2
1Ч. 2 *<2й1 - 1 ). е) I n ------- ;
■
1)*
А
>
Д#
J x + Ах + л
— In ( 1 +
Дд: V
т )
346. a ) -1; б) 0,1; в) -Л; 0. 347. 21. 348.15 см/с. 349. 7.350. f[x +
351. f{ x ) = lim
+
, 352, a) ^ ; 6) ^
поворота в момент t.
dt
At
Ax — 0
353. а) ^
=
t o ^ , где <p - угол
At - о At
Iin ~ , Т — температура
о At
; б) ^
At
в момент f. 354 . — = lim Щ , Q — количество вещества в момент t,
At^o At
dt
Am ,3ot/?
_ л u=. йч _ ^ =-0,238;
__л о^й■n\
--0,249;
5 6 .a„д)-±1 =-0,16;6)
в )-355. a)
6) lim
201
21
Ax
ax- q v Ax
*
x=2
= -0,25.357. seozx. (/'= 11m
= lim
Ax
Ax
-0
AX
lim
Ax -* o cos^cos (x + Ax)
Ax
-0
sinAx
Ax cos# cos(# + Ax)
= sec2 x. 358. а) За:2; б )-Д -;
C0S2r
„ } _ L<-*L>
. P) ^ 32_ . M9. A
12 . П 8) - A
^Hm
f i0
x^—
2jx
sin X
8 ■+■Д# —8
, ,im
- Ax^O
Hm S
Д*-0
Ax
J
Ax
.
— = lim
Al ” 0 Дд: [Д/s + Д ? + у 8 + ДЛ-8 + V s 2]
41 ’0 'V(8 + Дл-)2 + 2У (8 + Д*) + 4
- J - . 360. f { 0) = - 8, f'{l) = 0, f'(2) = 0. 361. jc, = 0; x 2 = 3. Уравнение
12
2
3
/'{jc) —f(x) для данной функции имеет вид 3# = х , 362. 30 м/с. 363. 1, 2.
364. -1 , 365. f' (xQ) = — ■ 366. —1; 2; tg ф “ 3. Использовать результаты
402
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
примера 3 и задачи 365. 367. а) /'(0 ) = lim 3J ( A x f
д* —о Ах
б) Г(1) = lim VI + йх - 1
Ллг-*■о
Ах
=
Ип1
Ах
-
1
lim
= со
Ддг 0 %/ах
+«>;
B )r f^ V V i =
° Л Ах)
лcos I( —~—
2 k + l 71+ Дд:
* >
*
= lim
J
=
Дг
Дх —*• -О
lim
дх —-о
= -1;
Ах
= л ]1!"1, с ^ д Г ^ = L 368- 5*4 " 12x2 + 2- 369‘
f' ( 2^ + 1J
=
+ 2* ~ 2дЛ 370. 2а* + Ь.
2
371. - i ^ L . 372. п а Г
a
1 + Ъ(т + п )Г " " "
375. 2 * '1/3 - 5*3/2
-4
377
8 в/з
378. +£—
Я2 '
2 2/3
:х
_379 _ 2 х
(с + dr)
3 r 3J.
381.
6fl* 5 . 374 - Л
/£Х2“+ £,2
■V
>
3
2a
^
' 3*2 V~x
373.
6* + 25 _ggQ
л/г(1 - Vz)'
8/3
,
1-4х
х 2/л
( 2 г - -1}.2
(х2 - 5г + 5)2
* 382. 5cos х - 3 sin r, 383,
= х
“2
(sinr - cosr)‘
, 384,
sin2 2x
.2 ,
385. / sin t. 386. у - 0, 387. ctg x - - . r2—, 388. arcsin x +
x
, 389. rarctg r.
sin x
J l - x2
390. x e (r + 7). 391. re , 392. e x
/
395. x V . 396, e
arcsin
x -+
. 393, — ----— . 394, e*(cos x —sin r).
. 397. * (21nf
In2*
J 1 - x 2)
. 398. 3x2 In x.
399. 2 + Щ
- 1 .4 0 0 .
403. - th 2 x.
404. l3 ( f ln * + sh*ch*) _ 4Q5_ ^ 2 x _ _ 4Q6
1
Arsh
* ln 2* - s h 2*
1-x4
*7^7“
X
+
x*
x2
x ln io
- ± .4 0 1 . s h * + *ch *. 402. Z ^ h ^ x ^ h x
X
•
eb**
X +
^ - amsin x. 407. - ~ Лх ~ 1^ rch x 4ng 1 + 2x Arcth * ..... За f ax +
VTVP
411.12b
X2J ^ ~ 1
+
185V
4 1 2 .16*(3
‘
f
'
2*2)3.
»(1 - *~^2
>
'
413.
414.
(2r-l)H
415,
bx‘
3,2
SJia + bx°)
a? “ 1 , 418.
418 i - t g ^ + t g 'r . 419.
. 416, - / дl~~7
2
2
COS X
' cl
c
УГ
-1
2sin x j c t g x
г
403
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
I)
_ 1ЛprtQО+
420.2 - 15 cos х sin х. 421. ------------. Указание: х — sin
sina2 f
sin*
422.
(1 - 3cosx)‘
424
423 s*tL x
4
cos x
3sinx . 426.
_ 3(arcsin)
2 (l + .v2),yarctg^
e + x e * -l
. 429.
(1 + x 2)(arctgx)2
a
2
2a
J 1 _ x:
4- 51n4x
(2er - 2 )ln2
430.
2 J xe 2+ x
432. (2x - 5)cos (x - bx + 1) -
t.
2 cosx ,
425. --------- +
33«/siin л:
3cosx + 2sinx
2 V losinx - 10 cos x
2 * / l - * V l + arcsini
-1
—
2
t i cos
. 427.
4
COS X
428,
—О
SV(2ex - 2 x + l)
. 433. a sin (ax -Hp). 434. sin (21 + cp).
x cos -
X
435.
. 436. — — , 437. xcos 2x2 sin 3x2. 439. — —— . 440.
■ 2X
XVX
a/ j
sm sin a
a
- 2X
441.
1+x
. 442.
-c
. 448.
J 1- e
451. 21nx
-2x
2x
X
1
454.
(1 + x") arctgx
3
X
. 449. ctg x ig e.
(ex + 5 sinx - 4arcsinx)V 1 - x'
+
(l + ln^xjx
2x + 7
(ex + ocosx) Vl - x 2 - 4
452.
xlnx
1- x
453.
Jx -
-1 . 443, -lO xe -X2. 444.
. . . -2~* ■ 5.-Xй.In 5.
- 445.
------2* * *~2X
10 x
1 +■x
x (1 + xln 10). 446. sin 2l -+- 2ftcos 2fln 2. 447.
450.
1
1
+
2 x J i n x +- 1
2
2 f
455. Решение: у = (sin 5x) - + sin 5x cos
2 x"Y
cos -
3;
2(Vx + x)
-2
v
2 X
= 3sin 5x cos 5x 5cos — +
- sin3 5д ■ 2cos * f -s in * | ^ = 15sin2 5д cos 5x cos2 ^ - | sin 3 5x cos ^ sin | .
3) 3
457. Д2 + 4 - 6
(* -3 )5
456. 4x+ 3
1
460.
461,
J(a 2 + x 2)
464.
1
„
458.
25
25
( l - x 2)
462.
л
x 2J 2 x 2 - 2x + 1
463. / sJ ( l + x 3)2 .
V*
(l +X )
- 3,
( 1 ■+■ f j X
x -1
459.
^ 3, jr.„ 2abmnx
I
n m -1
{a + bx )
„ —
— . 46o. 4 x {a - 2x ){a - 5x ). 4 6 6 ,--------------- 1 тл t-------V (x - 1)3( x -h2)5
( a - b x n)
<3
4
467. x - l
( X 4 2)'
468, a - 3x
2ja^ x
469.
3 x + 2 {a + b + c)x + ab + he
2 J{x + a ) ( i + fc)(x + c)
ac
404
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
470, -----Г. 471, 2(7f + 4)У зТ Т 2,
472,
у
, 473,
а
6 ^ Щу + Л ) 2
474, sin х cos x.
475,
. 4
sin
478. 3*2sin 2i3.
482,
476, lOtg 5x sec 5#,
4
481, cos2x
. 4
sm x
1 arcsinx(2arccosx - arcsine)
479, 3cos x cos 2x,
4gg
480. tg x.
q
2 * J a s i n 2x + p cos2x
^
/
7 l - x2
487, л: arccos л: - J l - x2
486,
M
1 + x'
x j 2 x 2-
477, xcos x
X COS *
(a - f t ) sin 2x
485,
л/е* + 1
J{2ay-~y2)*
488,
2>3/2
■' ( a > 0), 490. 2 J o 2 - x 2 (a > 0), 491.
л/я - 6x‘
. 492, arcsin J x .
x
X
493,
494.
J 1 - 25x2 arcsin 5x
496.
l
5 + 4sinx
— ,
. 497. 4 x
501. 2 m p ( 2 m a
In2ДС
ax
. 2
6- X
xp — 1
+ b)p
sina
1 - 2xcosa + x
495.
a
mx
. 498.
11 _+LCOS
,2
. 499. £ e 2 .500. (sill 2*)e sin x
Sln *
2
X
at.
In a, 502. eat(acos P1 — psin Pf). 503. e ^sin Px,
504, e *cos 3x. 505. x" “ V '* (n - 2x2ln a), 5 0 6 ,- ± у tg x(l + V co ^ ln a ).
.
&
507, 3 * * 1/д)1п3
(x s m (l/x ) ) ‘
511,
508.
2 a x 4- b
509,
2 L
ax - r b x + c
1
=
■ 512.^—
+
x
2
* ln \
J 2a X
513. ~ - ^ t g - —
X2
*X
Ja 2 +, X2
514,
Jx
510,
1 4- J x
+ ^ . Указание:
x 2- x - 2
2
i/ = 5 In (jc - 2 ) - 3 In (я -f 1 ). 515.
3x ~ 16* + 19
(*-l)(*-2)(x-3)
516. . 3
Sin XCQSX
g19 15aln (ax + ft)
517. j x 2 - a '2 . 518. — — ~ ^ x
ax -4- b
'
(3 - 2a°)In(3 - 2x3)
521. mX
+ " ■ 522. J 2 sin In x.
2
x —a
rriarciiin3r .
526.
[2
„
523. —i
sin3x
л
In 2 f 2(1 - arccos 3a:)]. 527.
a cos ax cosfrx + b sin ax sinbx
2.
cos bx
528,
525, x -t- 1
X
(
.
7
- 1
. 2 \
cos 2b1 x f
gsin гиг/cos й*1п з + s i n
V
1 - 9x
X
524. J l + x 2
2
4 Г~2 2
л/х + a
1 + 2 sinx
529,
1
x(l + In x)
X
405
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1пх +
530.
1In 2X
J l - х 1arcsmx
X
. 532.
. 531. х(1 +In х)
х 4+ х 2 - 2
533. ------ 2------ . 534. У-
. 535. - - 1— . 536. агташ*... . 537. 6sh 2 2х ■ch 2.x.
/1
х4 - 1
1 -ь*
{ 1 - х *ч2/*
)
С05Л VsiTKV
538. c ro tc h рх -+- (ish fix)- 539. 6 U12 2х(1
th 2 2х). 540. 2cth 2х. 541.
2*
4, 4
Ja + X
544. -1
sinx
S1I1X
546. x A rth x .
545.
2 7
COs2x
1 _ vJ
x*j\n x - 1
L л
547. x Arsh x . 548. a) t/ *= 1 при x > 0; У = -1 при x <0; y\0) не существует;
543.
542.
6) у = |2x|. 549. / - - . 550. f \ x ) = \ _1_"ри x < 0 ' 552. ^ 4
x
i - e при л: > 0.
554. a) f' (0) = —1, f'.(0 )= 1 :6 )/' (0)= - ,
(0) = — ; в)
a
. 553 . 6te,
^
(0) = 1, f j 0 ) - 0 ;
a
r’) f*_(0) = f_ (0) = 0; д) f[_ (0) и f (0) не существуют. 555. 1 - x. 556. 2 +
x- 3
557. -1 . 558. 0. 561, Имеем / = е * ( 1 - x). Так как e 1 = ^ , то .у = -{1 - x)
'
x
‘
x
ИЛИ xy = y{ 1 - x). 566. (1 + 2x)(l f 3x) + 2(1 I x)(l + 3x) + 3(x 4 1)(1 + 2x).
~ 2
567 _ (# + 2)(5x + 19x + 2Q)
(x + l ) j (x - 3)n
3x + 5
3(x 2 + lW x 2 + l
2 jx(x-l)(x-2 f
{x - 2)K(x 2 - 7x +1)
570.
2
x - 4x + 2
(ж - 1)(д: - 3)V(x - 1) ( x - 3 )
5 7 1 .-
и
bx2 + X - 2 4
3(x - l ) WZ(x +■2)5/3(x + 3 )5/2
572. x*(l + In x). 573, x* * 1 (1 + 2 In x). 574. Xjx 1 ~ lna:. 575. x ~fX 4 l + b n x V
x2
576.
Xх
x (c o s
x
x
[ — и- l n x + l n ‘ x ] .
x
In c o s x - s in
x
tg
x),
577. *
sin j
f SUl X
\
X
x
IЫ
579. ( 1 + -
I n a r c t g x + ■--------- ---------------- j .
5 8 1 . a) x ;
10
l + 5e
586.
зс/2
587.
3 *ft
582. -
2
t2.
1 4- -
xl
In
x
1.
- --------
1+X
1
.
— г2 ;
3(1 4 X )
583.
I + 1 . 588. tg t.
t(l + 1 )
x
+ cos
=
(1 + x ) arct-gxj
Б) *' =
^
-2 1
t
+ 1
584,
5 8 9 .- - .
a
-2 1
1
2
5 7 8 . (c o s
x f mx x
. 5 8 0 . (a rc tg
x)x x
t
2
=
=--------^
2 -c o s # ;
585.
-t
590.- - t g ( .
a
£ (2 -Q
l - 2 ( 3
591. -tg 3t.
-106
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
592. у ' = I * при ( < 0* 593. -2 e 3f. 594. tg t. 596. 1. 597. °о. 599. Нет.
1 при t > 0 .
600. Да, так как равенство является тождеством, 601,
5
602,-— ,
а у
2
603.
х + 2у
11 4-
М.
. 604.~*(3* + 2У>. 605. - & Г х . 606. -V^Ti . 607.
З х у 2 + 4 у3
.608.
612. (* + у)2. 613. у' =
e l 7 . ' t +* j ^ Z
3(х2 - у 2) + 2ху
10
. 609.-1. 610.
10 - Зсону
1
е*' - 1
в18’ щ
cx -y *jx +у
1
УС08У . 611. ^ 1 ~ х 2 - у 2
- X cos 4 у
ЛV 1-л+ х £.+ у £,
1 —г - 614. £ + еи/х. 615. - Л - . 616.
я +у- 1
Н
■ l-
^
х~У
620. а) 0 ; 6 ) 1 ;
х —у
.
,) 0 . 622. 45-;
х
arctg 2 = 63°26 . 623.45°. 624. arctg - = 36=21'. 625.(0; 20); (1; 15); (-2;
б
626.(1; -3). 627. у = х 2 - х + 1 . 628. k = ^ . 629.
12).
- ^ ] . 631. у - 5 = 0;
ж + 2 = 0. 632. * - 1 = 0; у = 0. 633. а) у = 2х; у =
дг; б) * - 2у - 1 = 0 ;
2х + у - 2 = 0; в) 6* + 2у —л = 0 ; 2х - 6у + Зл = 0; г) у = а; - 1 ; у = 1 - Х;
Д)2* + у - 3 = 0 ; * - 2 у + 1 = 0 для точки ( 1 ; 1 ); 2х - у + 3 = 0; * + 2у - 1 = О
для точки (-1; 1). 634. 7* - 10у -I- 6 = 0; 10* + 7у - 34 = 0. 635. у = 0;
2 fa
(л + 4) * + (л
- 4)у -
* о.636. ох
+ 6у
- 13
= 0, 6* - 5у + 21 = 0.
637. * + у - 2 = 0. 638. В точке (1; 0): у = 2х - 2; у =
у ~ —х + 2; у = * —2; в точке (3; 0): у = 2х - 6; у =
Ld
; в точке (2; 0):
. 639.14* - 13у Н 12 =
0, 13л: + 14у - 41 —0, 640, Уравнение касательной 7Г~ ^
2xq
2у0
= 1* Сле-
довательно, касательная пересекает ось ОХ в точке А(2х0, 0) и ось OY в точке
2*/0). Находя середину отрезка АВ, получим точку {х 0, */0). 643, 40°36'.
644, В точке (0Т 0) параболы касаются; в точке (1, 1) —- пересекаются под
углом arctg \
'
= 8 8'. 647. S( = S n = 2; t = п = 2 Л . 648. ~ .
1п2
652. Т = 2я sin | tg | ; N = 2а sin | ; St = 2a sin2 Х
- tg | ; Sfl = a sin t.
653. arctg 1 .
654. j ■+ 2<p.
655. S( = 4лйа;
8 п = a;
*- 2лд71- 4л2;
407
ОТВЕТЫ, РЕ Ш Е Н И Я , УКАЗАНИ Я
п ^ a J l + 4 л 2 ; tg р -= -ср0. 656. S t = а\ S n —
; t = J a 2 + pjj ; /г = — JaZ+ р 0 ;
<Ро
а
tg' и, = -ф , 657* 3 см/с; -9 см/с* 658* 15 см/с* 659* -3 /2 м/с. 660* Уравнение
^
2
u2 sin 2а
траектории у = х tg сх - — —^—-—я . Дальность полета равна ----------- 2uiy cos a
^
Модуль скорости Jvl - 2u0gt sin a + g212 ; угловой коэффициент вектора скоi;n smoc-&rf „
*
рост и —------------ . Дли определения траектории нужно исключить параметр г
и0 coscc
из данной системы. Дальность полета — абсцисса точки А (рис. 17)* Проекции
скорости на оси:
и
*М о д у л ь скорости /(
+ f ^ l ; вектор скорости
^
df
d^
"
д/^di A \ d t j
направлен по касательной к траектории. 661* Убывает со скоростью 0,4*
662. (9/8, 9/2)* 663. Диагональ растет со скоростью - 3,8 см/с, площадь —
со скоростью 40 см 2/с. 664* Площадь поверхности растет со скоростью
0,2л см2/с, объем — со скоростью 0,05л м 5/с, 665* л/3 см/с, 666 *Масса всего
стержня составляет 360 г, линейная плотность в точке М равна 5х г/см, в
точке А равна 0, в точке В есть 60 г/см. 667. 56х2 4- 210х4. 668. е *2 (4х2 + 2).
669. 2cos
2х.
670. 2(1
+
673.
2
2х
1 + х2
- х 2)/3(1 + х 2)г . 671.
- x / J ( a 2 + x 2f
. 672. 2 arctg
х +
+ 2х arcsmx , 674. - ch - . 679. у " = 6 . 680. f ”{3) = 4320.
1 -х 2
а - х 2)*'2
а
а
681, у 1 = ——— , 682* yvl = -64sin 2х* 684* 0; 1; 2; 2. 685. Скорость v = 5;
( * + 1 )°
4,997; 4,7. Ускорение а *=0; -0,006; - 0,06* 686. Закон движения точки Afx
есть х —acos car; скорость в момент t равна aca sin cat; ускорение в момент f:
о
2
-аса coscat. Начальная скорость 0; начальное ускорение равно -ato ; скорость при х = 0 равна +лса; ускорение при х = 0 равно 0, Максимальное
значение скорости аш; максимальное значение ускорения аса . Ьо7. у - та .
688.а)л!(1 -
х)
<
л+4 б )(-1 )п" 1 1 '
- 689. а) sin
(х
+ п(л/2));
2П■х п
б) 2ncos ( 2х + л(л/ 2));
е)
2п1
Л4 1 ’
в) (-3 )че
*
ж)ч2 - 1sin
д - 1 (п - 1)! ,
г) ( - 1 )
(1 + х)
2х + ( л - 1 ) | 1 ;
з) (—1)"~1(п ~ 1)! a
(1-х)
690. а) х ' ех + не1;
, -*чЛ+1«I».
(-1)
д)
*+1 ’
(1 + х)
б) 2* Хе 2л 2( - l ) V + 2/г(-1 )" _1х +
(ax +£>)
-
J^l
Г) ( I )'1 '
2"
408
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
в) (1 - x2)cos
- 2пх cos ^х + {П ^
П) ~ п^п ~ ^^cos
+^ ^
71j ;
^г) 1(—
- 1 )----" ' 1 ■1 -3
т
1VI Л “ 1)ч6 (п
-4 Ипри п > 4.
^ ,
Ц----_л (2л+1)/2--------1 [х - (2п - 1)]; д) *— 1—л-3
2 X
X
691.у{п\0) = (п - 1)! 692, a) 9t3; б) 2t 2 + 2; B ) - V l - * 2 . 693, а)
-1
a sin t
б)
За cos t sint
в)
-1
г)
4а sin 4(t / 2)
694*a) 0;
6 ) 2e
3a t
.
at sin t
-t
695. a) (1 + i2)(l + 3i2); 6) -(--1 + . 6 9 6 .-------—------ - . 697. Имеем у = ex - 1
(1 - t )
(cos t +s i nt )
и О
dx'
t =о
1- Обычное правило дифференцирования тут неприменимо*
2t
C°5S*> . 701. - 6e3t(l + 31 + t2). 702. m"tn.
699. (3ctg 4 0 /sin t. 700. 4e (2sini
(sint + cost)
703 . О = - П х )
d У2 [f'(x)f
,2
d^x _ 3[Г(х)1: - Г ( х ) Г ( х ) ] ' 70 Э,
d у2
[Г(х)]'
.2
707. _ ^ ! ± 2 . 70 8 . ^ / = .
У5
Ах2
^1 й
dy
а
(1 ~ y Y
P2 , 70G,
У
Ь*
23
а у
.
2
709.111/256. 7 1 0 .-1 /1 6 .
У
711, а) 1/3; б) -За2х / у \ 712, Ду = 0,009001; dу = 0,009, 713* d(l - х3) = 1
при х = 1 и Дх = -1 /3 . 714* AS = 2хАх + (Дх)2; dS = 2хДх, 717, При х = 0,
718. Нет, 719. dy = -тт/12
0,0436. 720, dy = 1/2700 » 0,00037,
dx
^25 а ^ х
721. dу = тт/45 **0,0698, 722. ТО+I . 723, dx _ , 724,
2 , 2
х +а
J7~726. -2xeV dx. 727. In х dx. 728.
. 729. - 1 + CМ
°S(P ёф. 730. - 4 . ZI .
2
1 - х'
sm ср
1 -не
4
fc*
-х/у
732. - 10:>: + 8У dx. 733. ~^ е
7х + 5у
Хъ х/ у
х-у
dx. 734.
х-у
dx. 735. — dx.
11
737. а) 0,485; б) 0,965; в) 1,2; г) -0,045; д) п/4 + 0,025 - 0,81. 738. 565 см3.
739. ТВ = 2,25; JVi = 4,13; JT0 = 8,38; Тб40 = 25,3. 740. УТо = 2,16;
V70 = 4,13; V200 = 5,85. 741. а) 5; 6)1,1; в) 0,93; г) 0,9. 742.1,0019.
743.0,57. 744.2,03. 748.
. 749.
( 1 - х 2)
+ —---- - — y J '
Х
X }
( 1 - х 2)
■ 7 ^1. -------— (dx) , 752. -е
Xл
• 750. f-s in х In х +
^
(х - 6х + 6) (dx) *
409
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
753 . ? М № Х). щ754 . 3 * 2а sin f 2х + 5 + — ) ( d x f . 755* erc0S“sin (х sin а +
(2 -я )
^
2)
+ л а)(Л г)\ 757. Нет, так как /42) не существует. 758, Нет, Точка х = п/ 2 —
точка разрыва функции. 762, %= 0* 763, (2, 4). 765. а) ^ = 14/9; б) = я /4.
768. In jc = (jc —1) - Ь ж - I )2 +
, где ^ = 1 + 6 (ж - 1), 0 < 6 < 1.
2
7 6 9 . s in ж = ж -
31
51
З£3
co s L , гд е
L
= 0 ж, 0 < 0 . < 1 ; s i n ж = ж - ™
31
51
-
п- 1
-
7!
cos L , где iL = 0*#, О < 6, < 1 .7 7 0 . е г = 1 + ж+
Л„
+^
21
+ тгт + - +
31
Xз
4
где £ = 0я, 0 < 0 < 1. 772. Погрешность: а) ^
(п-1)[
3
JP
4 J>_
5 /2 1 ^
81
--
+
.
^ 8 /3 ’
(1 + 0
3
1
в обоих случаях ^ = О*; 0 < 0 < 1* 773. Погрешность меньше — = —
(1+5)
775. Решение. Имеем p - i £ = (1 + (х/а)^2( 1 - (х/ а ))
ла - х
/ I I / /
ч\ 1/2
теля по степеням *, получим: (1 + (х/а))
-
. 1 я
1 г2
/-
x \ - i /2
« 1 + - - - - —~ ; 1 - - j
2 а
8
V а)
&х , Перемножая,
г,
с/а + д:
- 1* +. -1 х- Н.------будем
иметь: /------2а
Разлагая оба множи­
о а2
уа - х
~
1 + * + -^Ц - Далее,
а
2а
разлагая ех/а по степеням х/а, получаем тот же многочлен ех/а ~ 1 + - + —
а
2а
777. -1 /3 . 778, со. 779, 1. 780. 3. 781. 1/2. 782. 5. 783. °о. 784, 0. 785, л /2.
786. 1. 788. 2/71, 789. 1. 790. О, 791. а. 792. го для п > 1; а для п - 1; 0 для
п< 1.793, 0,795. 1/5,796, 1/12.797. -1 ,7 9 9 . 1.800. е3.801. 1.802. 1.803. 1.
S
804. 1/е, 805. 1/е. 806. 1/е. 807. 1. 808, 1. 810. Надо найти Нш л /о
. где
a —10 2 / 3 oh
T
S = R—
(се - sin се) — точное выражение площади сегмента (R — радиус со-
2
ответствующей окружности).
Глава III
811.
- 2) — возрастает; ( - 2 , го) — убывает, 812. (-го, 2) — убывает;
(2, го) —. возрастает. 813, (-°°; 00) — возрастает. 814. (-го, 0) и (2, го) — возрастает; (0, 2) — убывает. 815, (-го, 2) и (2, °°) _ убывает. 816, (-°°, 1 ) —
возрастает; (1, го)— убывает. 817. (■ °°, -2), (-2, 8) и ( 8, ° ° ) — убывает.
410
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
818. (0, 1) — убывает; (1;
— возрастает* 819* (-оо, - 1 ) и (1, оо) — возрас­
тает; ( - 1 , 1 ) — убывает. 820. (
°°) — возрастает. 821. (0, 1 /е) — убывает;
( 1 /е, ° ° )— возрастает* 822. ( - 2, 0) — возрастает. 823. (-оо( 2) — убывает*
824, (—оо, а) и (а, со) — убывает, 825*
0) и (0, 1) — убывает; (1, °°) —
возрастает, 827, i/max 9- при х = 1- , 828. Экстремума нет. 830. у . = О при
4
2
х = 0; £fmin = 0 при х = 12; утах = 1296 при л: = 6 . 831. ут]п - -0,76 при л - 0,23;
Утдх ~ 0 при х = 1; уш1п = -0,05 при х = 1,43, При х ^ 2 экстремума нет.
832* Экстремума нет. 833. у
2 при
jc =
0; УпЛв - 2 при ж = 2. 834. 1/шщ[
прил: = 3,2.835.(/тах = -3 7 з при x = ~-j=
при ж = 0. 837.
прих= -j= . 836. утях = Л
=- ,/3 при л- = 2 ,Д ; Е/тш = л/§ при ж = 2*/3.838. г/ш!м = 0
при я: = + 1 ; утах = 1 чрилг = 0. 839. у ■ = - 3
2л/3
при
—j ft 4-
|J
при х = (/г - 1 )Т; утах = 32./3
6
л (ft = 0, + 1 , + 2, ...). 840. ушах - 5 при х = 12 &ti; ,?/]гах = 5cos ~
при X = i z ( k ± | ) я ; y nlin = -ocos ^
х
_9_
16
при ж = 12 ( к ± 11 п; ушш = 1 при
= 6(2& 4- 1)п (к = 0, ±1, ±2, ...). 841. уЫп ^ 0 при
х
= 0. 842, i/min = -1 /е
при X = 1/е. 843. Е/тах = 4/е 2 при ж = 1/е2; у т..п = 0 при ж = 1. 844. ymin = 1
при ж = 0. 845. ут]п = -1 /е при ж = -1. 846. уЫп = 0 при ж = 0; г/тах = 4 /е 2
при х = 2. 847, ymin = с при х = 1. 848, Экстремума нет* 849, Наименьшее
значение т = - 1/2 при х = - 1 ; наибольшее значение Л£ = 1/2 при х = 1 *
850*
= 0 при х = 0 и х = 10; М = 5 при х = 5* 851. го = 1/2 при
М = 1 при х =
(fe = 0, ±1,
т.2,
852* т = 0 при
х
х
= (2k 4- 1)- ;
4
= 1; М = п при х = -1.
853, т = -1 при х ~ -1; М = 27 при х = 3. 854. а) т = -*6 при х =* 1; М = 266
при х = 5; б) го = -1579 при х = -10; М = 3745 при х = 12* 856* р = -2 , q = 4,
861* Каждое из слагаемых должно быть равно - , 862, Прямоугольник дол2
жен быть квадратом со стороной 1/4. 863, Равнобедренный, 864. Сторона
площадки, примыкающая к стене, должна быть вдвое больше другой сто­
роны. 865. Сторона вырезаемого квадрата должна быть равна а / 6 .
866. Высота должна быть вдвое меньше стороны основания* 867. Тот, высота
которого равна диаметру основания* 868, Высота цилиндра 2R/ J3 , радиус
его основания R J 2 / Z , где R — радиус данного шара. 869. Высота цилиндра
R j 2 , где R — радиус данного шара, 870* Высота конуса - R , где R — радиус
3
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
411
*^
данного шара- 871, Высота конуса - Д, где R — радиус данного шара,
о
872, Радиус основания конуса - г, где г
2
радиус основания данного цилиндра.
873. Тот, высота которого вдвое больше диаметра шара. 874. ср “ я, т. е. сечение
желоба — полукруг. 875. Центральный угол сектора 2 п J 2 / S . 876. Высота
цилиндрической части должна быть равна нулю, т. е. сосуд должен иметь
форму полусферы. 877. п = (J3/3 - d3/3)3^ , 878,
2*0
4
2у0
“ 1. 879. Стороны
прямоугольника a j 2 и b J2 , где а и Ь — соответствующие полуоси эллипса.
880, Координаты вершин прямоугольника, лежащих на параболе
г - 12/ ?
881. { ± — , —^ . 882. Угол ранен наибольшей из величин arccos — и arctg —.
V 7з
4;
883. AM = а —
к
— . 884. — . 885. а) х = у = -/г ; б) х
з/Л +*/Г2
886. х = *j2aM/q ; Р
J2
Л
d
л
= g j 2 a q M (g — ускорение свободного падения).
887, j M m , При вполне упругом ударе двух шаров скорость, которую при­
обретает неподвижный шар массы ш1 после удара о него шара массы т
2 ПХо^
I-------
двигавшегося со скоростью v, равн а----------, 888*n = +jNR/r (если это число
т j + т2
не целое или не является делителем числа А", берут ближайшее к найденному
значению целое число, являющееся делителем числа N). Так как внутреннее
п2 Г"
сопротивление батареи равно — , то физический смысл найденного решения
N
таков: внутреннее сопротивление батареи должно быть возможно ближе к
внешнему сопротивлению. 889, у
2
3
ft, 891.
2) — вогнут вниз, (2, °о) —
вогнут вверх; М ( 2; 12) — точка перегиба. 892. (—оот °°) — вогнут вверх.
893* (-°о; -3) — вогнут вниз, (-3, °°) — вогнут вверх; точек перегиба нет.
894, (-° ° т - 6 ) и (0, 6) — вогнут вверх, ( - 6 , 0) и ( 6 , оо) ~ вогнут вниз; точки
перегибаМ ^- 6 ; -9 /2 ), 0(0; 0), М 2(6 ; 9/2). 895.
- J S ) и(0, J3 ) — вогнут
вверх; (-*/3 ; 0) и( JS ; оо) — вогнут вниз; точки перегиба М х 2(± J3 ; 0)иО( 0; 0).
896, [ (4k 4 1 ) 5 , (4ft 4 3)5J — вогнут вверх, ^(4/г 4- 3)5 , (4ft 4 5)5 j — вогнут
вниз (к = 0, ±1, ±2, ...); точки перегиба — ((2к 4 1 )5 ,0 ). 897. (2кп, (2к 4 1)л) —
вогнут вверх, ((2fc - 1 )тг, 2kn) — вогнут вниз (к = 0, ± 1 , ± 2 ,
абсциссы
точек перегиба равны х ^ kn. 898. (0, 1/ Je* ) — вогнут вниз, ( 1 / 7 ? »т ) —
412
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
/ 3 ; -3/2е 3) — точка перегиба. 899.
вогнут вверх, М{l/*je
0 ) — вогнут
вверх, (0, х) — вогнут вниз; 0(0, 0) — точка перегиба. 900. (оо, 3) и (-1, оо) —
вогнут вверх, (-3, -1) — вонут вниз; точка перегиба Af^-З; 10/е ) и М 2(-1; 2/е).
901. х = 2; у - 0. 902. х = 1, х = 3; */ = 0. 903. % - ±2; у = 1. 904. у = х.
905.1/ = - х (левая), у = х (правая). 906.1/ = -1 (левая), у = 1 (правая).
907. х = ±1, у = - х (левая), у = х (правая). 908. у = -2 (левая), у = 2х - 2
(правая), 909. у = 2. 910. х = 0, у = 1(левая), у = 0 (правая). 911. х = 0, у = 1.
912. у = 0. 913. х = -1. 914. у = х - к (левая); у = х + к (правая). 915. у = а.
916. ym(u[ = 0 прн * = о, утЫ- -4 при * = 2; точка перегиба М ,( 1 ; - 2). 917. утвх= 1
при X = ± Л ; у т1п ™0 при х = 0; точки перегиба М г 2^-±1; jjj . 918. i/max = 4
при х = -1 ; ymin = 0 при х = 1; точка перегиба Af^O; 2). 919. */
= 8 при
х = -2; ymin = 0 при х = 2; точка перегиба М(0; 4). 920. £/min = -1 при х = 0;
точки перегиба
2(+Jb ; 0) и Af3>/ ±1;
. 921. ушлх = -2 при х = 0;
у J.EllJс “ 2 при * = 2; асимптоты х = I, у = х - 1, 922. Точки перегиба М1|тй„(±1; ±2);
асимптота х = 0. 923. и
= -4 при х — -1; и . = 4 при х = 1; асимптота
х = 0. 924. у , = 3 при х = 1; точка перегиба —
; 0); асимптота х = 0.
925. у max = 1/3 при л: = 0; точки перегиба М х 2 ± 1 ; - ; асимптота у = 0.
V
4/
926. у max = -2 при х = 0; асимптоты х = ±2 и у = 0. 927. ymin = -1 при л: = -2;
утах = 1 при х = 2; точки перегиба
у = 0. 928, t/max = 1 при х
0(0; 0)nMj 2 + 2 Т З ;± ^ ; асимптота
4; точка перегиба — М
. 8
79
асимптоты х = 2
и у — 0. 929. Точка перегиба— 0(0; 0); асимптоты х = ±2 и у = 0.
930. утях = “ 27/16 при х = 8/3; асимптоты х = 0, х = 4 и р = 0. 931, ymnx = -4
при х = -1 ; i/min = 4 при х = 1; асимптоты х = 0 и у = Зх. 932. А(0; 2) и
В(4; 2 )—- концевые точки i/max = 2 J2 при х “ 2. 933. А (- 8; -4) и Б( 8; 4) —
концевые точки. Точки перегиба 0(0; 0). 934. Концевая точка А (-3; 0);
у - = ‘-2 при х —-2 . 935. Концевые точки А (-V3 ; 0), 0(0; 0) и Л{
; 0);
Уmax = J2 при х = -1; точка перегиба — М J s -г 2 jS \ 1б /l н— . 936. у
[
V V 73;
=1
при х —0; точки перегиба — М 1 2 (±1; 0). 937. Точки перегиба — АГ;(0; 1)
и М 2( 1 ; 0); асимптота у =* -х. 938. утах = 0 при х = -1; г/ш1п = 1 (при х = 0).
939. i/max = 2 при х = 0; точки перегиба М х 2(±1; У§); асимптота у = 0.
940. t/miTl = 4 при х = - 4; у]м.,х = 4 при х = 1; точка перегиба — 0(0; 0);
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
413
асимптота у = 0. 941. у ^ = Щ при * - 2, ут{п =
при * = 4; 1/П|Ш = 2
при х = 3. 942, ymin —2 при х = 0; асимптоты х = +2* 943, Асимптоты х = ±2
п у - 0 > 944. ут[п = 73 / V2 при х « л/З ; i/msuc = - 73 / 3Т2 при г = - J S ; точки
перегиба — A f^-3 ; - | j , 0(0; О) и М 2(3; 3/2); асимптота х = ±1. 945. ymiji =
= 3/V2 при х = 6 ; точка перегиба — М(12; 12/УТОО); асимптота х = 2.
946. ymoJt = 1/е при jc = 1; точка перегиба — М{2; 2/е ); асимптота у = О,
947. Точки перегиба — ЛГ^-За;
и Л4\^-а; — j ; асимптота у = О,
948. г/шах - е 2 при * = 4 ; точки перегиба — М 1 2 f ^ + ^42 . е3/2 ; асимптота
у = 0. 949. иiiin«X = 2 при х = О; точки перегиба — М ,I ч 42{х1; 3/е). 950. ••'пзах
у
=1
при х = ±1; ymin = 0 при X = 0. 951. упшк = 0,74 при х = е2 = 7,39; точка
2
перегиба — М(е8/3 = 14,39; 0,70); асимптоты х *= 0 и у = 0. 952, у Ш
. = ——0
Ш
а
ири х —— ; точка перегиба — М
л
а
За
2N
4е<
2
. 953, ут{ = с при х = е; точка
2
перегиба — Л/(е ; е /2); асимптота х = 1; у —* 0 при * -* 0, 954. (/
2
- 4/е = 0,54
2
при * = ( 1 / е ) - 1 ~ - 0,86; ymin = 0 при г = 0; точка перегиба — М((1 /е) - 1 ~
~ -0,63; 1/е ~ 0,37); у —►О при х —* 1 + 0 (предельная концевая точка).
955, yndn = 1 при* = ±42 ; точки перегибаAf1 2(±1,89; 1,33); асимптоты* = ±1.
956, Асимптоты ху = 0. 957. Асимптоты у = 0 (при * —» +оо) и у ~ —х (при
* —* -со). 958. Асимптоты * - -1 /е ; * = 0; у = 1; функция не определена
на отрезке [-1/с, 0]. 959. Периодическая функция с периодом 2л. ymin - - J 2
при х — 5я/4 + 2кп; у
= J2 при * = л/4 + 2кп (к = 0, ±1, х2, ...); точки
перегиба — М к(Зп/4 Н- 2кп\ 0). 960. Периодическая функция с периодом 2л.
y xnij1 = -Зл/З j 4 при * = 5л/3 -3- 2кп; утах = 3 J3 / 4 при * = л/3 + 2кп (к = О,
±1, ±2, ,,.); точки перегиба — M k(kn; 0) и Arfe(arccos (-1/4) + 2кп; З /Г б /16).
961. Периодическая функция с периодом 2л. На отрезке [-я, я] у
=1/4
при * - ± я- ; ymiri = -2 при * = ±л; ymin “ 0 при * = 0; точки перегиба —
о
2(±0,57; ОДЗ) и М 3 4(±2,20; -0,95). 962. Нечетная периодическая функ­
ция с периодом 2л. На отрезке [0; 2я]: у
= 1 при * = 0; ymin = 0,71 при
* * л/ 4; у*** = 1 при * = л/ 2;
- _1 при х =
Упш = “°-71 ПРИ х = \ п’
414
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
!ФИ х = 2 Щ ^ тах ^ 1 При х = 2я; точки перегиба — М ^О ^б; 0,86);
Утт =
Д*2(1,21; 0,86); М3(2,36; О); АГ4(3,51; -0,86); М 5(4,35; -0,86); АГ6(5,50; О),
963* Периодическая функция с периодом 2л* уmm = —
2 при
х =
- 4- 2&л;
4
J2
з
о
Ут&х = __п“ при х = “ 7 71 + 26я (к = 0, ± 1 , ± 2 , .**); асимптоты л: = - я + кп.
2
4
4
964* Периодическая функция с периодом я; точки перегиба —
+
=
*
асимптоты * = | я 4- кп. 965* Четная
периодическая функция с периодом 2я, На отрезке [0, я]: у шах
при
зТз
4 при * = arccos Г —1—, ;
——
373
V J3
х = arccos — ;’ ^тах
и
^ 0 при
г х = я; у
У1а-т = о при X = 0; точки перегиба — М^п/2', 0); М 2( arcsin ^
и
М о Я - arcsin — ;
21
ZI у
;
. 966* Четная периодическая функция с периодом 2я*
На отрезке [0; я]: ут^ = 1 при г = 0; утАХ
2
— — при х = arccos
37б
У,
2
зТё
1 ;и ,
при л: = arccos —
М п [ arccos ^ 1 3 / 1 8 ;
1 при X я; точки перегиба — М у
S
/
Л з /1 8
| Л З /18
v
9
V
967. Функция нечетная. Точки перегиба— М к{кп; кп) (к = 0, ±1, ±2, ..*)*
968. Функция четная* Концевые точки — А г г(±2,83, -1,57); угиах- 1,57 при
х ™0 (точка возврата); точки перегиба — М 1 2(=1,54; -0,34). 969* Функция
- J 1 3 / 18
arccos
нечетная. Область существования - 1 < х < 1 *Точка перегиба 0(0; 0); асимп­
тоты х = ±1. 970, Функция нечетная* и v = л/2 - 1 + 2кп при х = я/4 4 кп\
Уmin ~ Зп/2 + 14- 2Ая при х ™Зл/4 4- кп; точки перегиба — М к(Нп, 2кп); асимптоты
х — (2к 4- 1)/2я (к = 0, ±1, —2f **.). 971* Функция четная; ymiTi — 0 при х = 0;
асимптоты у = -(л / 2х) - 1 (при * — -со) и у = (л/2х) - 1 (при х -* +оо),
972. yrain = 0 при х - 0 (угловая точка); асимптота у = 1* 973. ymin = 1 4- л/2
при х = 1; ушах = Зя/2 - 1 при х - -1; точка перегиба (центр симметрии) (0; я);
асимптоты у = х + 2л (левая) и у ^ х (правая). 974. jy . « 1,285 при х = 1;
Ушах ~ 1*^56 при г = - 1 ; точка перегиба — М(0, я / 2); асимптоты у = х/2 + п
(при х
-°°) и у = х/2 (при х
+оо). 975* Асимптоты х —0 и у = х - In 2.
^76, ymhx ~ 1,32 при х - 1; асимптота х = 0* 977* Периодическая функция с
периодом 2я. у ^ = 1/е при х = Зя/2 4 2йя; утях = е при х - я/2 4- 2кп
415
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
. ------7 5 - 1 -f 2Л?тг; 6(^5- 1)/2 и
(ft = 0 ± 1 , =г2 , ...); точки перегиба — М к arcsin
2
Л"^ -a rc s in ^ 2 ^ + C^ft + 1)тт;
1)/z j. 978, Концевые точки А(0; 1) и
5(1; 4,81), Точка перегиба — М(0,28; 1,74). 979, Точка перегиба — М(0,5; 1,59);
асимптоты у ~ 0,21 (при х —* £«) и у ~ 4,81 (при х
+оо). 980. Область опре­
деления функции — совокупность интервалов (2кп, 2&л +л), где ft = 0, ± 1 , ± 2 , ...
Функция периодическая с периодом 2л; #тах = 0 при х == л/2 + 2kn (ft - О,
±1, +2, ,,,); асимптоты х = кп. 981, Область определения — совокупность
интервалов ((2ft - 1/2)л, (2ft Н- 1/2)л), где ft —- целое число. Функция перио­
дическая с периодом 2я, Точки перегиба — М к(2кп\ 0) (ft = 0, +1, +2, ,,,);
асимптоты х = ±п/ 2 + 2кп. 982. Область определения х > 0; функция монотонно
возрастающая; асимптота х = 0. 983, Область определения \х - 2кп\ < л/2
(ft = 0, ±1, ±2, ...). Функция периодическая с периодом 2л;
= 1 при х - 2кп
(ft = 0, ± 1 , ±2, ...); асимптоты х = -Л Л- кп, 984. Асимптота у ~ 1,57; у ^ —л/2
при х —*0 (предельная концевая точка). 985. Коицевые точки —А х 2(±1,31; 1,57);
е/ шШ=
0 при х = 0. 986. ymin = (1/е)1/е = 0,69 при х = 1/е “ 0,37; у “* 1 при
1 ■'е
л:
+0. 987. Предельная концевая точка ™ А(+0; 0); ytaax = е ' =1,44 при
х = е = 2,72; асимптота у = 1; точки перегиба — ^ ( 0 ,5 8 ; 0,12) и М 2(4,35; 1,40),
988, r min = - 1 при t = 1 (у = 3); ymln = -1 при f = - 1{х = 3), 989, Для получения
графика достаточно изменять t в пределах от 0 до 2л; xmLii = ~а при t = л
(■у 0); зсП1ах ^ а при t * 0 (у = 0); t/niin = -а (точка возврата) при t = +Зл/2
(х = 0); у
= +а (точка возврата) при t = л/2 (х = 0); точка перегиба при
f = л/4, Зл/4, 5л/4, 7л/4 (х = ± a / 2 j 2 , у = ±а/ J 2 ). 990. x tain = -1 /е при
f = - 1 (у = е); утях_= ! / е ПРИ t = l ( x = e)'t точки перегиба (-> /2 /е ^ ; -*/2e^2 )
при t = ~ J2 и (V 2 e ^ ; j 2 / e ^ ) при t = J2 ; асимптоты x = 0 и у — 0.
991. х
- 1 и ymin = 1 при t = 0 (точка возврата); асимптота у = 2х при
t - * +оо. 992, j/m.n
mm = 0 при t = 0. 993. ds - - d#; cos a - y j a \ sin a = - xf a.
У
-
. 4
2 2
I 2
2
r
I 2 ,2
g ds
, = -1 la
- c x d#;
л cos a = ay a —x— ; sin
►<
^x= --------bx
r = ya
-b .
, гдес
994.
---------aa *Afr a 2 - x 2
Va - с г
-c x
995. ds = ( I fy ) Jp 2 + y2dx ; cos a = у / Jp2 + y 2 ; sin a = p / *jp2 + y 2 .996. ds =
—i j x / a d^; cos ct = у х / a ; sin ct
f{
- 1/
y\
X
t
ch - ; sin a = th- . 998. ds = 2a sin - dt; cos
V. a )
a
2
999. ds = 3asin t cos t dt; cos a =
dx; cos a =
ij y / a . 997, ds “ ch
cos f; sin a = sin
cx =
t.
t
t
sin - ; sin a = cos - .
2
2
1000, ds =
a jl
+ (f>2 dtp;
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
416
cos Й =
I 1 о , 1001 , d s =
Л +ф2
а
2 J L + cp2 d tp ; cos р =
ч>г
' '
. 1002. ds =
Л +ф
d(p; sin Р = cos - . 1003. ds = acos ® dф; sin р = cos ^ . 1004. ds =
cos ф/2
= r j 1 + ( l ua )2 4ф; sin R =
^ — . 1005. ds =
; sin p = cos 2ф.
Л + (1пa)2
1006. к = 36. 1007. К = —
ъЛ
. 1008. К, = a/b2-, K R = b j a . 1009. К = 6/(13 / l 3 ).
1010. К ™3(а,У2 ) б обеих вершинах. 1011. (9/8; 3) и (9/8; -3), 1012. (-"In 2/2;
4 3/2
,, 4 2 t
4 2ч3/2
(1 + 9**)__ . 1014. R = (b x +a y /
J2 /2). 1013, R =
4,4
бд:
a b
-2, 1 ч - 2
.
. 1015. Л - ^
+^
4t/
.
4
ф
1016. R - - as in2 t , 1017. R = \at\. 1018, R - \ r j l + k2 j. 1019, R = - a cos J
3
2
2
1020. Я11янм = [p|- Ю22. (2; 2). 1023. ( / y a ; + / . 1024. <.r - 3)Z+ ( / - | )
=
1025, (x + 2)2 + (у - 3)2« 8.1026. pY2 - ~ (X - p f (пол укубическая парабола),
^г
1ЛП- , xr.2/3 , /j™2/3 4/3
2
2 ,2
1027, (aX) 4 (ЬУ) = с , где с = a - b ,
Глава IV
В ответах этого отдела ради краткости произвольная аддитивная посто­
янная С опущена,
1031. - а х . 1032. 2х + 4х2 + Зх. 1033. — + (д + / + '
7
4
3
+
2
. 1034. а х +
(п- 1)/п
+
2
пх
+ — . 1035. — Л р х . 1 0 3 6 .--------7
3
^
л -1
9 _4/3„5/3 , 9 „2/3_7/3 X° т ъл 2 х2J x + ^
- 2 а ! х + - a ' V ' - — . 1039
5
7
3
Ю41.
+
4/rc + l
2m+2rt +l
4л + 1
. 1037. Упх . 1038. а х 3 ДС4 Уж _ З х 2 1/х13
_03у5
. Ю42. 2aJT x - 4ах + 4хЛ~х - 2х2 +
, 1043. — arctg — , 1044, — — In - Л о . 1045, In (x + ^4 + x 2),
5 Ja x
Jl
2710
x + Ло
1046. arcsin —
2Л
. 1047. arcsin — - In (x + J x 2 + 2 ). 1048*. a) tg д - *-
Л
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
2
417
2
_
Положить t g х = sec х - 1; 6) х - th х. Положить th х
1 ch2х
1049, a) -eth х - х; б) х - cth х. 1050. ■^ е) . 1051. a In C l . Г — dx “
1пЗ + 1
а - х\
xj J йа ”- х
= ~а f
—“
J а-х
= -a ln \а
xj + aln х = aln
. 1052. x + In |2x + l|.
Решение. Разделив числитель на знаменатель, получим —
= 1 + __? _
2х+ 1
2х + 1
Отсюда
1053.
2
лс + ^ In |3 + 2 4 1054. |
^ ln|a + 6 4 1055. ^ х +
lnfcu: 4 $.
а
4
2
1056. *г + х + 21п |х - 1|. 1057.
+ 2х 4 In \х + 3|. 1058. 3L + 2L + *2 +
*2
2
4
3
9
-г 2х И 3 In \х — 1|, 1059. а2х
2 +' 2аЬ\п
~ " ‘\х —й\' — Ь . 1060. Ill I* 4- 1| + 1
х- a
х+1
Указание:
*d*
= I*(* + ! ) - ! d _
' 1 7 т 7
J (х-1)2
(* + 1):
1062, - Д- 7 ^ 7
do
-J
• 1063, 7х2 + 1 , Решение: Г - х ^ ■
/ 9
J Vx2+1
2
-
J x 2 + 1 . 1064. 2 7*
1069. - [ \ + \
\ . I Z
1067.
1 С d(x2 + 1)
2}
ГТ77
л/X -Ь 1
1065. - L arctg ( * 7 з /5 ) . 1066. - 7 _
Н
2
X In X*/? - %Л
x j i + 2 V2
; 7 т ? ■ 1061" 2^
Л5
4Л 4
In Ja + &4 x*/a . 1068. х - Л arctg—
Va
+
ft
x>Ja
b
Л
2*JaZ- b2
!п |а - *2| ) . 1070. * - | In (х1 + 4) + arctg ^ . 1071. - L -
)
х In { 2 j 2 x 4 j 7 + 8 x 2 ).
2
2
1072. ~ arcsin (* 7 5 /7 ).
2j 2
1073. - In |3*2 - 2|
Л
3
In x j 3 ~ j 2 . 1074. ~ arctg (7 5 /7 * ) ~ \ In (5*2+ 7). 1075. - 7 s * 2+ l 4
2 V6
735
5
5
*7 3 +
J2
- -7- In (*75 + 7 5 ? 4- 1). 1076. J x 2- 4 4- 31n I* 4- J x 2 - 4 I. 1077. 1 In I*2 - 5|
75
'
1
9
1
1078. 1 In (2*2 + 3). 1079. 7 - In ( a V + b2) + - a r c t g ^ . 1080. ^ arcsin —
4
la
а
Ъ
2
a2
1081. ^ arctg x3. 1082, i In [x3 + J x b - l |. 1083. |7 (a rc s in x )3 .1084.
14 Задачи и устранения
1
о тв е ты , РЕШ ЕНИ Я, УКАЗАН И Я
418
1085. - In (1 + 4 / ) - ^■■а-гс^ 2-т)-- . 1086. 2 j l n ( x + J l + J ) . 1087.~ - е т
8
3
^
^
Ю88. - —5— 42 " 3\ 1089. е + е“*. 1090. %е2х/а + 2х - %е"2*/а. 1091. ----- Ц —
31п4
' а*
^
a у
2
2
lna-lnfj
- 2х. 1092. А - (1 яй/2х х2х + a 1/2х). 1093. - —
. 1094. —Ц 7'*.
In a 3
„ * +1
2 In 7
2e
1095. -o 1/x. 1096. r ^ - 5 ^ . 1097. In [e* - l|. 1098.
ln5
oP
- bexf . 1099. ^ x
4
1-
.4 /3
x (ex/a + 1 Г °. 1100. £ - —=— In (2* -h 3). Указание:
k
'
3
31n2
2х + 3
3
243J
-bx
1+e
1101, —— arctg (a*), 1102.
In
—
Fjjc .1103. arcsin я . 1104, —уb cos (a + b x ).
lna
2b
1-e
1105, J2 s i n ^ , 1106. я - — cos 2ax. 1107. 2sinV# . 1108. -In 10 - cos {lg x),
42
1109. - 2
4
2a
, Положить sin2 x =
-
2
(1 - cos 2x). 1110. ^ + sin 2# c Mi ука2
4
зание к задаче 1109. 1111. ^tg(a% + Е>). 1112. - с^ ах - х . 1113. aln tg-2а
1115. - I n tg
1114. -^-1п
Ч т+ 1 ;
15
*2а
а
а х
+
Ъ
1116. | tg {X2).
а
ctg x j 2 - Л In tg ■л . 1119. -In Icos x \ .
1117. - cos (1 - / ) . 1118. х -
2
Л
X
1120.1n Isin х|. 1121. (a-f?) In sin ----- . 1122. 5In sin - , 1123. “ 21n Icos J x L
D
a - b
1124. | In |sin ( r 2 + 1)|-
1125. In |tg x\.
1 1 2 9 . In (3
1128. -
1126. | sin2 ^ .
f
cos3*).
1127,
sin46x
24
1 1 3 0 .- te .
4asin ax
X
| a/( 1 + 3c(
3'
f
ax
1135. - f tg 3x + 1 — \ . 1136. - In tg :
2
3l S
cos3^y
a I
1138. - c h 5 x - %sh 5x. 1139.
5
o
1142. In |th x\.
1143. In ch x.
,
1133.
+
ltgdx .
5 /3
1134. -
2sin ax V 1137. J-ln|&
/
3a 1
£ + -sh.2x. 1140. In
2
4
1144. In |sh x\.
thi
. 1141. 2arctge -
1145.
2'6
'У(5 - x ) .
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
11^6. j In |j7 - 4х + 1|. 1147. —
4
419
arctg ~ . 1148.- - е
4Л
Л
1149. Л / 2 х
2
х arctg ( х Л / 2 ) - - р In { х Л + Я П ? ). 1150. ~ - — + х - 2 In \х + 1|.
Л
3
2
'
f
1151. —2/л/ё* . 1152. In |л: + cos зс|. 1153. J In |soc 3 jc + tg 3x| + — -—
3 \
sin3#
1154. -
1155. In t g x + J t g 2x - 2 . 1156. Л arctg ( х Л )
In JC
4 ( 2 x 4 1)
sin*
3!/ 3 - .2
1157. a
. 1158.
lna
x +
.
^
2
1165. - 2 In Icos J x - 1 1. 1166. - In tg2-
*2
2
1160. - tg a#
-
a
.
1168. -In |sin x + cos #|. 1169. J2 In t g ~
n
- 2 * - 72cos 4 :* 1 1 7 0 .* + 7_ x
272
72
72
X In x - л/2 . 1171. In |a:| + 2arctg jc, 1172. e*in2x. 1173. — arcsin
# + 72
Л
- л/4- 3#2 .
1174, x
-
1176. In (e' + Je 2x - 2 ).
In (1
+
x.
. 1164. 7 V (l + lna;)4 .
4
. 2
~t i c'?
Hrct^ i . In (1 4- # ) .
,
1167, e
+ —
------- i 4- arctg x .
4
2
1
(#2).
2
. 1163. aln , { x
1161. *- - Sln* . 1162. arcsin
2
1 1 5 9 .- a r c s i n
er),
1175.
—
J a 2-
( 2nt
H78.--COS
й
2
arctg л: [a a +b
T
1177. i In jtg ал:|.
4-
\
— + Ф, .
1179. - In 2 + In# . 1180. - i ^arccos
4
2 - In#
. 1181. -e “tei. 1182. | arcsin
1183. —2ctg 2#, 1184. (arcs^njc)
—x 2 , 1185.1n(sec# + л/зес2# + 1 ),
4 ± sin2x
1186. - 1 =
475
_
||8 7 J
7H - sin 2 #
•
d#
+ cos x
y Ka3a„ e: J
л
d#
d#
Г Cf * ■ H 8 8 . |^ [ l n d + 7 l + ^ 2)]3 .
J tg x + 2
3
0
2
J sin
- ♦ 2 # 4t 2cos
x
x sh (x 3 + 3). 1190. — 3U|
ln^
-
3)й;
П91 . a) arccos — при
г) | ■(#+l)3 -
J2
2 V# + 1 ;
x > J2
1189. J x
3
; 6)™ln(l 4- e r);
д) In (sin # 4-
*jl +
sin2# ).
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
420
(2х + 5)12 5{2х+ 5)1и
1192- Н
1193, 2 ^ - - | + 2 ^ -2 1 п (1 + лй)
11
12
1194, In Л Т П - 1 . 1195, 2arctg Jex - 1 , 1196, In х - In 2 In [in x + 21n 2|.
л/2# +1 + 1
1197, (arcsin x)3/3, 1 1 9 8 ,|(e * » 2)Je*+ 1 , 1199. - (cos2 x 3
5
x
1200, In
. П олож ить
x =
1+ Jx + 1
1202.
3
1
*
X //1 - х 2
2
1201, - - л
J z - x 2 - - J z ~ x 2 . 1203. J x 2 - a
+
5)Vcosx,
1
2
- a rc s in x,
- |a|arccos ^ . 1204 , arccos - ,
x
x
3
если x > 0, и arccos ( - - ) , если x < 0 \ Положить x = ~ , 1205, J x 2 + 1 - In 1
fj x ■+■1 , 1206, -
4x
X
x , П р и м е ч а н и е , Вместо три гон омстри-
ческой можно применить подстановку х = -1 . 1207, х- у/1 - х 2 + -1 arcsin х.
2
1208, 2arcsin д/х , 1210, - *jx2 - а 2 42
2
jS
j
2
In |х \ J x 2 - а2 |, 1211. xln х - х,
1212, xarctg х - i In (1 + х2), 1213, xarcsin х + * j l - x 2 . 1214. sin x - xcos x.
1215. * ат13зс: + cos3* . 1 2 1 6 . . 1 2 1 7 .-ж1п2 + 1 .1218. — (9r2- 6 jc H- 2).
3
9
e*
211пг2
27
Вместо многократного интегрирования по частям можно применять следую­
щий способ неопределенных коэффициентов:
| * У Хdx = (Ах 2 + Вх + С)е;з*
или, после дифференцирования.
/ е 3т = (Ах2 + Бх + C)3e3jr + (2Ах + Б)с3х.
Зх
Сокращая на е
получим:
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях хг
1 = ЗА; 0 = 8В + 2А; 0 = ЗС + В,
откуда А = 1/3; В = -2 /9 ; С —2/27. В общем виде J* Р п(х)еа* dx = Qn(x)ea3\
где Рп(х) — данный многочлен степени п\
Qn(x) — многочлен степени п
В дальнейшем, в аналогичных случаях, иногда будет указываться ответ, годный
лишь для какой-нибудь части области существования подынтегральной функции.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
421
-л, 2
с неопределенными коэффициентами. 1219. -е (х + 5). См. задачу 1218**.
1220. -3<Гг/3(я3 + Эя-2 4- 54я + 162). См, задачу 1218**. 1221. - - соа- ^ +
4
^ sm 2x *000 2х 4-10+11 . о , 2х + 5
„ ^
+ —-— ■ 1 ААА, -----------------sin lx. + — -— cos 2х, Рекомендуется также
о
4
4
применить способ неопределенных коэффициентов в виде
J
P n(x)cos рх dx = <?,г(х)соз рх + J?n(x)sin рх,
где Р п(х) — данный многочлен степени п< Qff(x) и i?n(x) — многочлены
степени п с неопределенными коэффициентами (см, задачу № 1218**).
з
1223. 2- In*
1224. xln2 х -
3
2х1пх + 2х. 1225,
9
2х
2
1226. 2 Jx \л х - 4 J x . 1227.
2
-
4х
-
— arctg х - ^ . 1228. ~ arcsin х - - arcsin х +
А
2
2
4
+ ^ J l - х 2 . 1229. xln (х + J l + х 2 ) - J 1 + х 2 . 1230. -x c tg x + In |sjii x|.
1 2 3 1 .- x
S1I1X
+ In ,
X
1232 е*(5*п^ ~ cosx)
2
s 2
1234.e tgS111** bcosbx)
а +Ъ
2
^
+ 1}
2
- x 2 + 3x1 In x ~ 4 + 4 ~ 3x. 1239.
—x. 1240. - !IL£l -
x
2- . 1241. п
_ „(In
_ _x)
ч - ,1]' In x. 1242, ±- x
[In
x
3
X
1+ X
l236
1235_ £ [sin (ln ф _ cos {ln
1237. 2 е ^ ( Л - 1). 1238.
x In l - x
1233 ^ sinx + cosxln3)
*
1 + (ln 3 )2
2
2
x arctg- 3x - ^ 1 + In (Эя2 -t 1). 1243.
18 lo2
2
(arctg я:)2- xarctg я 1 - In (1 + я2).
2
1244. x(arcsin x f + 2*jl - x 2 arcsin x - 2x. 1245. - arcs*nj: 4- In
x
1246. -2 Vl “ x arcsin J x
1248.
1250,
e x ( cos2x - 2sin 2x
+
-l),
2 *fx .
1247. X4 2x
2
1 2 4 9 .-
+
+
1 + V l-x *
lnlcos2xl
4
_
x_
2
xcos(21nx) + 2xsin(2inx)
10
X
xd x
+ -1 arctg x. Полагая и = х и do = —-------, получим clu = dx
2(я2 + 1)
2
( X 2 + 1)2
и о = - -— -----, Отсюда f
=2(x -+-1)
J ( x2+ l ) 2
2(x2 + 1)
dx
/ 2(x2 + 1)
+
2 {x 2 + 1)
422
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1
\. ( \
х
х
+ -a rc tg х + С. 1251. ---- - arctg — + —------ ] . Использовать тождество
2
2а Д
а
х 2 +' а
о
1=
а
[(х2 + а 2) - х 2], 1252,
I ^
2
J a 2 - х 2 + — arcsin — (а > 0). Положим
а
2
2
х dх
2
и = *jа - х и du = dx; отсюда dи = - г
- и и = л : ; имеем
12
2
*]а - х
=
-
2
2
= XJ J I ^ - f (° - * >-<* d* - XJ7~-
- Г
\Ja
2 з
- X С1Х=
2 - X 2 dx
,
2г
a
+
—— - . Следовательно,
J
Г~2
*/a
-x 2
2
j* /
2
J
—x
:
X
2
-
dx
=
= x *]a2 - x 2 + a2arcsin - . 1253. £ + J a + .Vй + 4 In lx + J/.A -t- x |. См. задачу
a
1252*. 1254.
di
79 - x 2 + | arcsin | . См. задачу 1252*. 1255. \ arctg
d
О
di
.
dt
X
1256. | In
. 1257. - L arctg ^ i L J : . 1258. - In (x2 - 7 + 13) + 4= *
x +2
JT l
J li
2
Д
x arctg 2 x^ - 7 . 1259. | in (x2- 4x + 5) + ■larctg {x - 2). 1260. x - | In (xl + 3x + 4) Hш
+
arctg
^ . 1261.x
Д
+ 31n (x2 -
6x + 10) -h Sarctg (x -
3).
Д
1 2 6 2 .— arcsin ~ — -
Л
1265.
1263. arcsin (ax - 1). 1264. In x -f ^ -t л/
2
1266. - 2 J l - x - x 2
x
-
Q
9arcsin ^ + ^ .
л
InfxV s - — + J § x 2 - 2x -\-1 \ 1268.li!
5л/5 v
7s
1+
1269. -arcsin -—
хД
1272. * +
2
X
1270. arcsin—-— - — (r > Д ). 1271. -arcsin — — .
(1 - х ) Д
*+1
1 J x 2+ 2 x
'
x
”
+ o + 21n (x + 1 -t- J x 2 + 2 x + l ). 1273. 2 x . 1 J x - x 2 +
~
'
'
4
гл - -.
2 x + l r£J 2 - x - x 2 +. 9. 2x-t-l
-i( -1 arcsin (2x
1), 1274. ------8 arcsin
8
2 о
x In x - 3 . 1276.
x - 1
Д
arctg 3
si- x . 1277. In f cr + i
Д
\
2
1278, -In cos x + 2 I- Jcos2x + 4cosx + 1 j .
1275, - x
4
X
J l + e* + e
2x
1279. - J 1 - 41nx - ln2x - 2 —
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
- 2 a r c s in 2 + 1 —
.
Л
-
1280.
14
7 /3
t* - 1)
16
1
2 (x 4 1 )
2
. 1292.
+ i In
4
X
1
x
Л
Л
1296.
In
-
x
4
4^2
2-
X
X
2x -
1
a rc tg
3/3
+
~
+
a rc tg
2
x * -x ,/2 4 l
Л
С2- 1-
+
x -
8
x
x x
^
1 ).
4
\x
4
x
" 4 - 1)
4(x
- 3
+ *
- | In
- 4
16
+ 21n (x 2
in
\x +
lj
2
~
4
.1 3 0 3 . 1 5 * 5 + 4 0 x 2 + 3 3 x + 1 5
* + 2
2x + 2) + a rc tg
2
2 (x - 4 )'
1309,
x -1
1)
In ( x 2 + 1 ) + - a r c t g x .
4
4 8 ( 1 + x 2) 3
(x
+
x- 4
4 . 1308.
2 In
3 ^
x ^ 2
x -
48
Z J.
4
+ 21n
_
- 1 ). 1 3 0 5 . + - ( S i n jx 3 + 8] -
-2 x 4 2
13
a rc tg #
+
1| + - - - x H~-3 ( x 2 + x-
I n | x 3 4 l i ) . 1 3 0 6 . i I n [ x 4 - 1| - i I n | x 8 + x 4 - 1| - J L
1307. -
l-* 2
2 (l + r )
1 2 9 9 . In
+
a rc tg
1297.
4 ( x + 1 ) ( x 2 + 1)
1302. - a rc tg
+
(* + 1 )‘
x * _ x + 1
- Ь п ( x 2 + x + 1 ). 1 3 0 0 . -- 1 ^ - 1 7
+ - ln (x 2 - 4 x + 5) +
2
2 (x 2 - 4 x + 5 )
2
/ 3
a r c t g (x - 2 ). 1 3 0 1 . - - - - *
1304.
x 2 + x j 2
+ 2 ). 1 2 9 4 . | In
6
73
(x
2 (x -3 )
| a rc tg x. 1293.
I n |x - 3| 2
52
2/3
4 1
1 2 9 8 . - - - -- - - - - -2 (x + 2 x + 2 )
+ 5
11
a rc tg
+
+ x + 1
1288. -
- 2
A x
16
x - 1
X 4 1
+ l
,
In
4
343
, 1
+ —
1
+
- x
1
x - 5 . 1290. X 4 2
2(х 2- З х + 2)2
(x
1295.
12g4 5x +
+ ----- г I n
- ^ I n |x - 1| + ^ I n ( x 2 + 4 x + 5 ) +
a rc tg
20
65
130
+ 2x -1
a rc tg — —
1286.
4 1
8
30 ,
27
49(x 4 2)
4 9 (x -5 )
J x z +
X
In
( x - 2 f
8
1 2 8 1 . ^ 4 3 I n |x - 3| -
. 1 2 8 3 . In ( ^ - 1 ) 4 ( ^ - 4 ) д
( i + 3 )‘
11
-
+ l f
X
1 2 9 1 . x 4 In
( a * b ).
a
X
1287. ^
. 1289.
Ь
+
X
X
x In
( 2 x - l f ( 2 x
з
(* + 2)'
1
1285,
1/2 ,
. Л 61/6
(x-4 )
x
4- I n
4
x
1 ){х + 3 )
( x -
3 1 п |х - 2 |. 1 2 8 2 .
In
1
12
In X 4
1
a - b
423
I n 2 * 4 + 1 ^ V **
2jb
X
3
2x*+l + j 5
1
4 1
X
X
+ I n X - 2 , 1 3 1 0 . I n |x| - ^ I n | x r + l| . П о л о ж и т ь 1 =
x - 1
(x ‘
3 4 ,1
t 1) -
7
X .
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
424
1312. | arctg (я + 1) - ^ arctg х * 1
3
о
л
1311* in |*| - ± in |* + 1) + — i
5
- ' а 4- 1)
5(лг
1
- . 1314. - - Ц + -1_ - i - arctg ж.
к .5
о..З
ж
Ьх*
Зх
7(х~1 ) 7
1313. 9 (х -1 )Э
4 ( х - 1 )®
2
(лс- 1)
7
1315. 2 j x - l
, 3(х-1Г
5
,
3
. 1316.
10а
, 1317. 2arctg V ^ + l - 1318. 6 V i 4- 3 V i + 2 Vi - 61n (1 + V i )■
х ij{ax + £>)г
1319. - x 67 ^ - - 6V ? - |
7
5
2
+
2jx -
- 6 67x - 31n|l + 37 x | 4-
1320. In ( V r + l - i ) :
x ■+■2 +- Vi"+ 1
+ 6arctg V i *
A a„ t g 2(77+1+1}
7з
7з
1321. 2 7x -2 л /2 arctg 7 x 7 1 . 1322. -2arctg 7 l - x . 1323.
1
+ - In lx + J x 2 - 1 1. 1324. i In —+z +
2
3
( z _ 1}7
где
2
- ЬЬх
2 ^](ах + Ь)
jx + 1
#- 1
—
1325. -
72x + 3
x
, 2
+
л/ jc2-
(x - 2) +
2z 4- 1
lj
2z
23- 1i
,
6 ~ jT
2r + 3 J 7 ^
x+1 -
1326.
f 5 x
16,
- - In (2* - 1 + z j x 2 - x + l ) . 1327. - 8 + 4* + 3* J i - x 2 . 1328.
8
15
5 3 + -1 X 5
24
6
’ — X
1 + X2 -
A
In
(X + J \ + x 2 ). 1329. f
4x4
- ^ arosin - . 1330.---- - — - J x 2 + 2 x
8
+
2 (x + l ) 2
*
3
Sx 2
x 2- l
-
^ arcsin — . 1331. R + In \x\ +
x +1
1____
+x
4 - ^ l n f x - i + i l ] - In f 1 - - f J ? ], где R = J x 2 - x + 1 .11332.
2 . -o ,_
2
V
2
1333. - In У *
^
V
+ 1+ 1
x ' 4 4- 1
1335. A i n (Z
10
2
-
X)
2
.3
- 5
s in Я
1334. — ---- 1 K 1 + Я
3x‘
1
1 _ 4 4- Зх
4 ^ arctg 2z -h 1 , где г = 'ifl + x “ .1 3 3 6 .--
7з
га+ г + 1
s in *
2
- arctg i j x 4 + 1 .
8 *(2-ь*У /3
1 sin з x. 1339. -cos x + -2 cos3i
о
3
- 2 У (х-3/1+У
1340.
J
1
4
к#
1
G^
- - COS - , 1342. ain^
2
3
2
2
1
5
- 7 COS X
D
2 sin *
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
- 21n Isin х|. 1343. 3x
8
sin 2 x + sin4x 1344. 4
32
8
In4л:
з
3
-2ctg 2л:. 1351. 1 tg 2 x + 3In |tg x\ - ——
^
2 tg 2x
1353.
1355.
Л
sin 4л: ,
* sin 3 6 х. 1347. -ctg х 144
3
. 1348. tg х + - tg 3 x + i tg 5 x. 1349. 3
5
х
зГ ■1345 Тб "“бГ +
х. ю
л е A . r 4 — sin 6x + 1_ sin 12x
4. sin
— —2—
1346,
12
64
48
16
-
425
j
^
3
5
o
1
. 1350. tg x +
-
3
. 1352, — — + 21n tg 2
4tg 4x
2
2X
COS -
2
-cosx
3cosx , 3,
In tg 5 + In tg I - + - ,
tg 2
Г
—
Г
+
8
ln
* 1 2 4} J ■1354- ----2
2
4 sin x
8sin x
sin4x
_l_ 3sin4x
16cos44x
32cos 4x
^ 3 ^
32
tg ( 2x + £n
. 1356. ± tg 5x - x.
5
2
1357.
Z
_ i n |sin x |. 1358. - 1 ctg 3 x + ctg x + x. 1359. | tg 3 | + tg 3 | Z
О
О
О
- 3tg I + 31n cos ± + x. 1360. — - sm 2 * . 1361. - ^ f - ^ . 1362. - f 3Vcos4x 44
8
3
4
I To-x
+, 3- 2v^os
- — 3Vcos1Gx .
5
16
1363. 2 V t ^ .
Z
1364. — In ,
2Л
+ Z л/2 4- 1
z 2~ z j 2 + l
1 arctg -zf j—
2
cosSx
s i n25x
- —
, где z = J rr—
tg x . toetz
1 3 6 5 .-——
— 4-. cos2x
— ;— , -1 3 6 6 .-—
—----- 1,
50
16
Д
z 2- 1
sin5x . 1367.
10л 7 - 3sin, —
5x 4-. 3sin
о ■ -x . 1368,
’loco -3cosx- -1 - cos x. 1369.
10л 0 —
sin---------Ь
2 ax ,
I-. ------10
5
6
6
2
3
2
4a
+ xcos2fr 1370 ^C0S(P _ sin(3cot + q?) 1371 sinx
sin5x + sin7x
2
'
* 2
4a>
' 2
20
28
2 + tg |
1372. — cos 6x —— cos 4 x - - cos 2x. 1373. - In
24
16
8
4
. 1374. — In
2 - t S|
Д
H I M I-
tef - 5
1375, x - tg “ . 1376, -x + tg x + sec x. 1377. In
.1378. arctg (1 + tg ~ ).
tg - - 3
62
1379. 12 x - ^5 In 12sin x 4- 3cos x|. Положим 3sin x 4- 2cos x - ct(2sin x + 3cos x) 4
-* P(2sin x + 3cos x)\ Отсюда 2ct - 3(3 ~ 3, Зое 4 2(3 —2 и, следовательно, a =
P=-A.
13
Имеем f 3 s m x + 2cosx ^ _ 12 f
J 2 sinx + 3cosx
13 J
12
,
j-V
_ 5 Г (2 Sinx + 3 cesx / dx =
13 J 2 sinx + 3cosx
426
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
12
13
А In |2sin х + 3cos х\, 1380. -In |cos х - sin х|. 1381. - arctg
х - —
13
2
задачу
1381.
1383.
In 2tgx + 3 - Д З
Лз
2tgx + 3 -н А З
2
1
V3tgx
YTs
Л
Числитель и знаменатель дроби разделить на cos х. 1382, ---- arctg
См.
f
См,
задачу
1381.
1
1384. ± In tgx - 5 , См, задачу 1381. 1385. , 1386,ln(l + sin х).
5
tgx
2(1 - cosx)J
2t g x - 1
1387. - L - In ^ + sm 2 * . 1388. i In D~ sm-~ . 1389. ™ a r c t g ----------2j 2
J 2 ~ sin 2 x
4
1 -s in *
J3
1
3tS l ^
1
a rc tg ------ —— . Использовать тождество
(2 - sinx)(3 “ sinx)
2J 2
л
tg 3 - sinx
= -l +
tgi +1
1 + sin x - cos x
1393 .
4
, Использовать тождество 1 4- sinx + cosx _
1 + sinx - cosx
ё2
. 1390. -x + 21n
1 3 9 4 .- 8
. 1391. A A
+
1397. In (eh*) -
1
2 —sinx
- chx. 1392. — +
1395. In th ?
32
1398.*
+ sh4*
32
8
-
+
chx
cth * -
. 1396. “ 2cth 2x.
. 1399. arctg (th *).
3 t h - + 2^
2
1400. — arctg
5
или
Л
Л
arctg е У 5
V
'
1 4 0 1 .-^
2
4
2
Использовать тождество . -1 , - = sh х 4- eh х. 1402. — In (J2 eh x 4- Jeh 2 x ),
shx - chx
J2
J s - 2 x - x 2 + 2 arcsin
1403.
1405. | j 9 + x 2
-
£
t I III (* ь
|ln(*
4
2
1 + J x 2 - 2 * +2) .
, 1404. | ^2 + x2 + In (x \ ^2 + x2 ).
J l + x 2 ).
1406. X - 1 J x 2 - 2x + 2 +
1407. f 7 ? ' - 4 -
z
2 In I* + Д 2- 4 | .
- 3 Г1 ”
“
1408. 2 x ,+ 1 J x 2 + * - i1l n l 2 * l 1 + 2 j x “+ x\. 1409. x——
*Jx - 6x - 7 -
S
-
8
In
I*
- 3 [-
J
x
2- Q
x
- 7
|.
1410.
i ( 2 *
64
+
1 ){ 8 * 2
+
8*
I
1 7 )7 * 2+
*+
1
+
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1 4
128
1413, — arctg
. 1414.
x -&
Л
2 J x 2+ * + l ) .
2J2
k-xl
2
7^
V
+ 5* - 5х -\ —
1
427
1411.2 Iх 2 . 1412,
A/X - 1
In
х- 1
4л/*2- 2х + 5
л; - 2л:3 4-
л/ l -г X 2 + XV2 - 1415.
л/ l + x 2 - x J 2
1416 i {*3 4- ^ - s i n 6x -I
6
2
-c o s 6* -
sin 6 л),
6
36
2х
л ллп хсозЗх , sin3x . xcosx
sinx
- J1|0 e /л
. n
n 4
1 4 1 7 ,-— -— 4- —-■■ + — -— - —— , 1418. — {2 - sin 2* - cos 2x).
b
18
2
2
8
2x
-.-л
(2sm 2x 4- cos2x 4sin4x + cos4x\
,
e2x r , .
1419, — I -------- r--------- ----------- —----- ~ \ . 1420. — [x(sm x + cos x) - sin x]. 1421, —^ + i In \ex - l| 4- ^ In (er-f-2). 1422. x - In (2 4-ex 4-2
2 3
6
1423. -
X
3
3,
1+X .! /1 2. 2 . 1424.
In --------- I 111 (1 - X ) I X
(x + J l + x 2) - 2 J l 4 X x
1- X
x In (x И- 7 l + * 2) + 2x, 1425. I 7 - - - ^ 7-1 arccos (5x 2
x V20x -2 5 x2-3 .
X
X
2) -
100
ch x ^ cosxshx
1427. 7
2
+ ( 2 п - 3 )/д _1 *^2
^
,
2
,
24
L(x + a )
2
1426.
4 x + 1),
5£_±_Ё x
100
=
x
2 (n - 1 )a
X
4- - arctg —
a
a
2a ix +a
d
*
£
3
\
^ 2
4a
x
. л-I x , л - 1 T
x(3x
4- 5a )
3
,
x
.
i
00
T
cosx
sin
x —------------ £ 4- — - arctg - . 1428.1 - --------- --------- + — — 1 _ 2;
n
n
2 a'
,2 a (x + a )
т
3x
2
3
cosxsin x
T* = ~ B ~ ~ i —
1429.7
/ 4-
3s i n2x
■ ^ 6 “
sinx
= —
(rc - l)COsn
1X
r
4
cosx sin x
:/55= _ ----- 5—
.2
8
" i s 00818111 * " T 5 c o s *-
4
r
sinx
. 1, , IX я
+ n - 2 n 2*; hA
г = ----- 2~ + 2 1ti tg I 2 + i
n ” 1
2 cos x
sln* + | tg X . 1430. rn “ - * V r + nln_ j! 710 = e *(*IU+ 10*e + 10 ■9*8 +
3cos x
^
4- ... + 10 * 9 ■ 8 ■ ...
2x + 10 * 9
1). 1431. - L a r d # - ^ *
J~7
Ш
‘f-r i arctg (2x 4- 1).
2
1434. ^ In I—^
о
д| x
+ 5
-In ( X 2 + X +
4 \
1435. 2 In X 4- 3
x4 2
L)
1
x+ 2
-1
2}
1
x -f-3
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
428
1 In
2\
+ In
x+ 1
J x 2+ 1
X+ 1
X- 1
х + — arctg — ) . 1438. - { 2х
1 1.1 4 3 7 .х + 1;
1 -х '
4 ^ +2 Л
Л
1439* -
х
+
2
® (х2- Х + I)2
1
2х - 1
2 arctg
, 2х - 1
4
6 х 2- х + 1
Л
ъЛ
1440 . ^ (3 + 2^ ) . 1 4 4 1 . - - ----- — - — . 1442. In f ж + i + J x 2 + x+ 1 1.
1 - 2 Jx
х
3xJ~x
2х
t
2
1443. J 2 x ~ ^ J ( 2x) , 1444.----- -— . 1445.
-----. 1446. - 2{ i J o - x 0
‘Л + 1
J i x 2- 2 х + 1
X
. 1448. - I ^ *
2 Vl 4X
J x 2- l
- I)2 - 41n (1 + 1/5 - .г ). 1447. In х + J x 2 - 1
2 1
72
х arcsin ^ ^ +
х+4
-®1п
2
х- 1
iln
8
I х 2+ 1
, Указание:
^
х" + 4х
1Д
X
l X
8^3
X
1 ^
1452* - Л " - 9 -
2
*+ 4
1 ^
, 2
1453* ““
(Sx — 1) л/х - 4х
16
х + J x 2- 9
1454* In
1450.
i
C4
i
1
2
1449* - arcsin х "|"
1 arcsin (8х -
64
1455* (* + 2х + 2) * / х + 2 х + 2
_
(х + 1) х
2
x + 2 + 2 >jx2 + Jc+ 1
л/х2 + 2х + 2 - i l n ( x 4 1 4 J x 2+ 2х + 2 ), 1456, л}х
2
X
1
1)*
J(x2- 1)’
Зх
22+1 ,
1457, i l n л/ l - х3 - , 1458,- i l n ] 2 - l | + i l n { 22 + 2 + 1 ) - J z arctg
S
6
Л
Л
л/ l - х Э+ 1
l 4 x 3 1459*lien. 5,In (x, 2 4 V[—'
ълвп —
3x 4-, -------sin2x 4, ------sin4x
где 2 - '-V
--------,
1 + x 4,), 1460,
x
2 v
'
8
4
32
1461* In |tg x| - ctg2 x - - ctg4 x* 1462, -ctg x - ^
4
3cos5x , 3 ,
- 6) л/cos2^ . 1464. -™ s5 * --------5— + 7n
20sin45x
40sin 5x
^0
tg
V
1466. i sin 2ж. 1467. tg2
3
ХЛ , 1463.
12
(cos2 x -
5x . 1465.
i
4tg|-l
^ 1 + 21n cos| f + 7 ]! - 1468. - — arctg--------2
■j
7з
7з
1469. - + - arctg (
~c ) . 1470. arctg (2tg x + 1). 1471. - In |tg x + sec jc| Ло
''Л о'
2
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
429
( tgB 9
-7 =arctg —— . 1473. In |tg x + 2 + f|, где
2 arctg- i f
-1 cosec х. 1472. —
1
л
1
Л
[Л
£ ^ J ig 2x + 4tg я + 1 . 1474. - In (sin ax + J a 2+ sin2ал*). 1475.- # tg 3 ;r +
а
+ —In jcos 3x1 1476. ~
9 1
1
4
3
x s™ 2x -
2x
1
3
£ 2 |^ . 1477. i e*". 1478. ~ (2x - 1).
1479. + ln 4 Т Л ~ i 111 |z - 1| - — - — - £
3
6 1
1 18
12
6
- l n ( * + JT+ 72). 1481. £ sin ^
3
2
- + s in ^
10
2
1480 . J l + x arctg x “ - s i n - . 1482, - —
.
2
2
1 + tg*
1483. In 11 + ctgx| - ctg*. 1 4 8 4 .^ - + 1485. -2с\\Л~Лс . 1486. - In ch 2*.
1487. - x cth * + In |sh *|. 1488. + - - - + - In |er - 2|. 1489. - arctg
2e
1490. | i/(eI + l ) ' ■+ Щ е + l ) .
7
3
X[ * 2- 1 +
_
x
1+ 2
1 4 9 1 . In
In 4
1 -2 J
~3 .
2
-2 x
1492. - 10
X
2 11110
r
f —~— 1.1493. 2 Jex + 1 + In - - + 1— - . 1494. In
lrLl° 2 In2ICk
e + 1+1
J l +x ‘
, 1495. “ f j:4arcsin - + x
J x 2 _ i \ . 1496. - (cos In x + sin In л).
4V
x
3 ,
J
2
1 f
2
1497. i - x cos bx +
5 V
2
- *sin 5л + Злсоз 5x +
5
1498. i Г(x 2 - 2)arctg (2 x + 3) + - In (2л2 ■[ 6x + 5)
2L
4
x - i 1arcsin J x . 1500.
2)
2
— cos 5л: 25
x . 1499. |
2
з
- s in bx
5
\
x2 +
x[x\
2
Глава V
T2
910 __1
1501. h - a. 1502. v0T - g ~ . 1503. 3. 1504.
± , 1505. 156. Отрезок
2
In 2
оси OX от x = 1 до x = 5 разбить на части так, чтобы абсциссы точек
деления образовали геометрическую прогрессию: лц —1, х1 = x 0q, х 2= x0q .....
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
430
х п —х 0д . 1506, - . См, задачу 1505, 1507, 1 - cos
О*
since + sin 2 а + ... + sin па
1508. 1) d I
-
Использовать формулу
------ -— — Г cos -^
2sin(a/2)L
- cos I n -f
2
-
Ia
1 :2)^f = 1 .1509. In я. 1510. - j l + x* . 1511. 2xe 1 - e *
da
ln a
dfr
lnb
+ — cos — . 1513. x = 7i 7i (n = 1, 2, 3, ...). 1514. In 2. 1515. - - .
1512.
2^
x2
*2
8
1516. er - e 1 = 2sli x. 1517. sin x. 1518. ~ . Сумму вл = + + + + ... + n- , / ■ =
^
n
n
n
= i r + 1 + ... + * - + ) можно рассматривать как интегральную для функции
n \ n
n )
1
/(*) = х на отрезке [0, 1]. Поэтому lim s = f#d# = ^ . 1519. In 2. Сумму
дх — о
J
2
0
1 ,+ 1-----s = -----it + 1
Ti -f- 2
4- ... +
л+n
n
1 + A
+
1+± 1+2
л
a
рассматривать как интегральную для функции f(x) =
...
+
можно
i +2
71
1+х
на отрезке [0, 1],
где точки деления имеют вид х, = 1 + — (к = 1, 2, ..., л). Поэтому lim
п
д* о
=
1
J l+ x
= in 2. 1520. —— . 1521. - . 1522. —
3
р+1
3
= 33 i . 1523. - . 1524. ~
3
4
3
1525.1526.
3
- In - . 1527. In - . 1528. 3 5 + - 321n 3. 1529. arctg 3 2 3
8
45
- arctg 2 = arctg
~ . 1530. In | .1531. ~
1535. - in
3
. 1536. - + i .1537. - . 1538. In 2.1539. 1 - cos 1. 1540. 0.
8
4
3
1541.
973
2
. 1532. 1 - + .1533. 2 . 1534. 5 .
+• - . 1542. arctg e - - . 1543. sh 1 = - { e - - ) . 1544. th (In 3) -
6
- th (In 2) = - . 1545.
5
2
4
2\
ej
- + - sh 2л. 1546. 2. 1547. Расходится. 1548. —-— ,
4
1-p
если p < 1; расходится, если p >
1551. Расходится. 1552.1. 1553.
1.
1549. Расходится,
71
1 5 5 0 ,-,
, если p > 1; расходится, если p < 1,
P -1
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1554- л.
1555. — .
1556. Расходится.
Л
431
1557. Расходится.
1
л
1558.
1п 2
2
.
л
1559. Расходится. 1560, -— . 1561, Расходится. 1562. - . 1563. — . 1564, - +
1тт
8
к
3
1
Отт
+ т In 3.1565. — - . 1566, Расходится. 1567. Сходится. 1568. Расходится.
4
Зл/З
1569—1571. Сходится. 1572. Расходится. 1573. Сходится. 1574. Указание:
1/2
1
*(1
Ч) = J* f( x)d x + J f(x)dx , где f(x) = хр
- x)q
так как
1/ 2
.1
lim
ijr—о
рР = 1 и lim (1 - х )1 qf{x) = 1 , то оба интеграла сходятся при
1 - р < 1 и 1 - <7 < 1 , т. е. при р > 0 и q > 0. 1575. Указание: Г(р) = JY(jc)dje f
+ J/(jc)d ^ , где f(x) —x? *e J. Первый интеграл сходится прир > 0, второй —
24
пг/2
я/ 2
di
при р произвольном. 1576. Нет. 1577. 2-Д J /Jf d t dt. 1578 f
J / й
я/6 ■v1 + sin t
1
я/6
2 ^
1пЗ
1579. J dt. 1580. J /(arctg 0 dt. 1581. x = (5 - a)t + a. 1582. 4 - 21n 3 .
In2
0
1583.8 - —
2j S
1588. Л
3
ji.
1 + f
1584.2 - 5
71
1585. - 4 . 1586.
Л
,____ - , 1587. 1 -
2лД + a2
1589. 4 - я. 1590. 1 In 112. 1591. In 7 + 2v^ . 1592. i + 2 .
5
9
2
4
2
2
1593. U |_. 1594. | . 1599. |
1603. 1. 1604.
771 .
a . . 1605.
a 2 +, £7.2
- 1. 1600. 1. 1601.
a 2 -f, b
. 1602. |<ел + 1).
. 1606. Решение: Г(р
+ 1) = j* x?\c
*
dx*
Применяя формулу интегрирования по частям, полагаем х^ = и, е х dx = du.
Отсюда
dи = рхр 1 d x , у = -I -х
и
Г(Р
+
1)
“
[ - V е “*]^
+
л/
‘е 1 dx
=
рГ(р),
<*)
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
432
Если р является натуральным числом, то, применяя формулу (*) р раз
и учитывая, что
Г(1) = J e“*da: = 1,
О
получим
Г(Р
1607.12к = 1 I f
■4 ■О.,, г?
2■4 ■6,.,2/е
1) = р!
если п = 2к — число четное; I 2k - 1
^
63я
л
128 ; 110
т
- , если п = 0.
2fe +( 1 — число нечетное. г ® т-rr
=
olO
1 *3* 5..,(2Л + 1) 2
1608.
(p + q - 1)!
. 1609.
2 l. 2
2 J
Положить
512
sin2 я: =
t.
1610. а) Плюс; б) минус; в) плюс. (Надо начертить график подынтегральной
функции для значений аргумента на отрезке интегрирования.)
1611. а) Первый; 6) второй; в) первый. 1612.
1613. а. 1614.
1615. jj .
1616. 2arcsin \ . 1617. 2 < I < Л . 1618. | < I < % . 1619. - ^ п < 7 <
1620. О < I < — . (Подынтегральная функция монотонно растет.) 1621. -1 <
32
2
< I <JA f 1623. s= — . 1624. 1. 1625. - .Учесть знак функции.
2
3
2
1627.2.1628. In 2. 1629. m2ln 3. 1630. п а . 1631.12.
1632. | р 2. 1 633.4;j.
3
1634.10§ . 1635. 4. 1636. —
3
3
. 1637. \ - \
2
3
1626. 4 ^ .
4
L i
. 1638. е + е
- 2 = 2(ch 1 - 1).
1639. ab[2j& ~ In (2 + J3 )]. 1640. - п а 2. См. приложение VI, рис. 27.
8
1641, 2 а е ~ \ 1642. - а , 1643, 15л. 1644. - In 3. 1645. 1. 1646. Зтш2. См, прило3
2
2\
Я
жение VI, рис. 23. 1647. а 2 4- - . См, приложение VI, рис. 24. 1648. 2я + к
*)
о
и — 71+ ^ 4 1 .1 6 5 0 . - nab. 1651. Зла2. 1652. п(Ь2 +
3
3
8
и 6л - - . 1649. ~ л - ^
3
3
3
2
3
2
4- 2аЪ). 1653. бпа . 1654. - а . Для петли параметр t меняется в пределах
2
3 2
£л
О < t <1 +оо. См. приложение VI, рис. 22. 1655. - п а . См, приложение VI,
рис. 28.
1656, ёп^а2. См. приложение VI, рис, 30.
1657.
о
1658. а -
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1659,
4
. См. приложение VI, рис. 33,
1^62. ~ —
-ч/'9 * 1663. а
l l - t 2)
V3
1660. - л, 1661.———v ^ д2
2
3
. 1664. п/ J2
4-
433
.
Перейти к полярным Ro­
2 '
ординатам. 1665. ^(ЮУТо - 1). 1666. J h 2 - а2 . Использовать формулу
ch2a - sh2 a = 1. 1667. J t
(7 l + e2^ l)(T 2 + l)
+ In --------- ------ ------ .
0
+ In (1 + J2). 1668. J 1 + e2 - 7 2
1669.1
4
i
з
ilnf.
2 2
1671. In (2 + 73 ), 1672. i (e2 + 1). 1673. aln
+ a - 6 = In
1670. In (e
ro—
-/e - 1 ) .
+
2b
7
-
.1674. 2a7з . 1675. In e - 1 +
e 2a - 1-
^ . 1676. - aT2, См. приложение VI, рис. 29. 1677.
2
slm
+
ab
1678. 16a. 1679. n a j l + 4л2 + 5 In {2л + Jl~+4n2). 1680. 8a. 1681. 2a[j2 +
+ In (72 + 1)]* 1682, сф. + in 3 ± J b r 1683. * 1 к ± 3 -ш1684. - [4 + In 3].
2
2
m
2
J
з
1685. 55_ . 1686. | тшЬ2. 1687. 5 -5 (e2 + 4 - e"2). 1688. | л2. 1689. v = 5 .
oU
о
2
8
y 4
1690. vg = | л. 1691. Dx- 5 SHf = 2л. 1692. 1 ^5 5 - . 1693. f f ла3. 1694. ^ л /.
15
.2
1695. -2- л. 1696. 5^_(15 - i61n 2). 1697. 2л2а3. 1698.
. 1699. — лЛга.
10
2
2
15
3
1701. а) 5л2а3; б) 6л3а3; в) — (9л2 - 16). 1702.
ла3. 1703. - ла3.
6
105
3
1704, ~ ла3* 1705, | | а В 4- —
—
+ afcj , 1706.
. 1707, ~
а3.
2\
8_ 2
1
_
2
1708. f ла7>. 1709. ±л a h . 1710. ^ а . 1711. лd J p q . 1712. ла&л[ 1 + -52
А
3
1713. | nabc. 1714. ^ ( Л з 5 - 1); Ц к а \ ь Д
^
Зс2,
- 8), 1715. 2я [72 +
+ In (72 +1)]. 1716. л( 75 - 72) + л1п ^Ь/2+1)_ 1717. п[ 7з + 1п (1 + 72)1.
75+1
1718.
4
(е2 - е-2 + 4) =
15 Задачи и упражнения
2
(2 + sh 2), 1719. ^ ла2. 1720. - (е - 1)(е2 + е + 4).
5
3
434
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1721. 4л2аЬ. Здесь у = b ± J a 2 - х 2 , Взяв знак плюс, получим внешнюю по­
верхность тора, а знак минус — получим внутреннюю поверхность тора.
[2
2
2
1 чо2rcf>
*2 +I -----2паЬarcsin. е; 2)
пч2па
0 24, —
nb In
, ----1 + £, где £„= ----------Va —Ь (экс,
1722, 1)
£
а
центриситет эллипса). 1723. a)
1725. 2тш2(2 - J2 ).1726.
2
1- £
а
; б) 16тг2а2; в ) ^ л а 2, 1724,
3
3
5
™ п а . 1727. М х = £ Ja 2 + b2 ; M Y = £ J a 2 + b2 .
5
л
2
1 2
3
2
1728. М = — ; М = — . 1729. M v = M v = — ; х = у = - . 1730. Afv = mv =
а
2
*
2
х
у
6
3
а
у
2 1ГГОО
л а 2 + sh2 17Q5 asina.
= 3- а 2; х- = -у = 2- а. лпол
1731. 2яа . 1732. х = 0; у = -----------. 1733, х — --------;
5
о
4
sh l
а
й - 0 . 1734. # - па; у - - а. 1 7 3 5 .* - — ; у - — . 1736,* = й = — , 1737. х =па;
*
У
3
Зя *
Зл
*
20
у = - а. 1738. [0; 0; - 1. Разбиваем полусферу на элементарные шаровые
б
V
2J
пояса площади da горизонтальными плоскостями. Имеем da = 2TUidz, где
2n j a z d z
dz — высота пояса. Отсюда z =
о
В силу симметрии х = у = 0.
2л а2
1739, На расстоянии - высоты от вершины конуса. Решение, Разбиваем конус
4
на элементы плоскостями, параллельными основанию. Масса элементарного
слоя dm. = улр2 dz, где у — плотность, г — расстояние секущей плоскости
Г1 2 3j
z dz
■ ?
от вершины конуса, р - - 2. Отсюда z « —------h
1 2 ,
-nr h
“ |
а.
1740. f o ; 0 ; + | o j .
3
Решение. В силу симметрии х = у = 0. Для определения z разбиваем полушар
на элементарные слои плоскостями, параллельными горизонтальной плос2
кости. Масса такого элементарного слоя dm = улг dz, где у — плотность.
Г~2
z — расстояние секущей плоскости от основания полушара , г = ya - z
2
—
а
я j*(а 2 “ z2)zdz
р а д l i v e сечения. Имеем z = —0
2 з
-па
3
= - а. 1741. Г = па . 1742. I = - аЬ3;
8
*
3
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1Ь= | а 36. 1743. 1 = ^ hb3. 1744. I a = шЬ3; 1Ь=
435
1745.1 = |я (Д * - Д р .
Разбиваем кольцо на элементарные концентрические кольца. Масса такого
R,
элемента d/л = y^irrdr и момент инерции / = 2rcJ* r 3d r = ^
- Д 4 ) (у = 1).
R,
1746. 1 = ^ nR^Hy. Разбиваем конус на элементарные цилиндрические трубки
параллельно оси конуса. Объем такой элементарной трубки dV = 2nrk dr,
где г — радиус трубки (расстояние до оси конуса), h — Н^1 - ^
— высота
4
R
трубки; тогда момент инерции I = у ^ 2пН ^1 - ^ г3 dr -
, где у —
о
плотность конуса. 1 7 4 7 ./ = -2 Ма 2 , Разбиваем шар на элементарные ци5
линдричсскис трубки, осью которых является данный диаметр. Элементар­
ный объем dV = 2лгЛ dr, где г — радиус трубки, h = 2а 1 ----; — ее высота.
а
* 1 г з
8
s
Тогда момент инерции I — 4ттау [1 - — г dr = — да у, где у — плотность
J V а
15
шара, а так как масса М = | ла3у, то / = | М а2, 1748. V — 2п2a2b; S - 4каЬ.
— 2
— — о
rt
—
4 г
1749. а) х = у = - а; б) х = у - — р. 1750. а) х = 0, у = - - (оси координат
5
10
3 71
выбраны так, что ось ОХ совпадает с диаметром, начало координат — в цент­
ре круга); б) х = ^ . Решение. Объем тела — двойного конуса, полученного
о
1
<$
2
от вращения треугольника вокруг его основания, равен V - - nbh , где b —
основание, h — высота треугольника. По теореме Гульдена тот же объем V =
= 2пх ■ ^ bht где х — расстояние центра тяжести от основания. Отсюда х = - .
2
о
2
1751. v J и
2
. 1752. — In Г1 4- ^ . 1753. ж = ^ sin cot; v = - ип. 1754. s =
2g \.
C2J
ш
ср л и
h _ А bt. - (а - bt. )1п
— 1. 1756. А =
-■= 104 м. 1755. v = - In ( —- — '. Н
2
1
1
а
Ы
г]
Ъ \a-ht
ь2 L
Указание: элементарная сила тяжести ранка dF = улДV dx,
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
436
где у — плотность воды. Следовательно, элементарная работа силы dА =
d#, где* — уровень воды* 1757. А = ^ уй3Н 2*1758* А = ^ R 4g.
”
1759. А —ygnR^H, 1760, А =
ч
; А^ = mgR. Решение. Сила, действующая
на тело массы т, равна F ~ k m ^ f , где г — расстояние от центра Земли.
Г
Так как при г = R имеем F = mg, то кМ — g/?2. Искомая работа равна А =
R+h
- Г
JR
dr - ктМ\ i - — --1 - HUL!L шПри h ™°о имеем Ам —mg'/?.
V./J /? 4*«У
11 + -Л
г^
1761. 1,6 т 1012Дж* Сила взаимодействия зарядов F = t ^■- *
, где £0 —
4леа **
8 ,8 5 -1 0
12 К *
------ - — электрическая постоянная* Следовательно, работа
Н м
при перемещении заряда дг из точки х , в точку х 2 будет А -
=
0
1'
f— =
4ке0 J ^
~ ~ ) ~ 1>6 ■1012 Д*. 1762-А = 0,08я 111 2 СДЖ). Для изотерми2
чес ко го процесса pV = pQV0- Работа при расширении газа от объема V0 до
объема V 1 равна А =
7
J
v
р dV - p 0V0 In ~ *1763* А = 1,5 Дж. Для адиабатного
*о
процесса справедлив закон Пуассона pV = PgV"* , где к ~ 1,4. Отсюда
А-
г
...
pQV0 г
. 1764* А = - тщРа. Если а — радиус
3
основания вала, то давление р = Р/(па )* Сила трения от кольца шириной dr,
удаленного от центра на г, равна
а
ш
г dr. Работа силы трения на кольце
2 dr. Поэтому полная работа А =
при полном обороте есть dA =
а
™- ~^
a
f г2 dr = - щ\Ра* 1765, - MR?w2. Кинетическая энергия элемента диска
J
3
4
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
2
dLftT ™ v
4
437
2
da, где da " 2nr dr — элемент площади, г — расстояние
£
его от оси вращения, р — поверхностная плотность, р = Af/fttf2. Таким образом,
л
dK =
Г г3 dr - M R *w2 . 1766, К = ™ МВ 2О)2,
г2 da. Отсюда К =
2 л:R
1767,
R
о
= iiVJ7?V ~ 5,8 *107Дж, 1768. р = ЬН2/ 6, 1769. Р = (fl +
5
6
7
“ 11,3 ’ 10 Н, 1770, Р = abynh. 1771. Р=
Tii?2#■ (вертикальная составляющая
и
силы давления направлена снизу вверх). 1772. 5 3 з | г. 1773. ~ 419, 16 Дж.
и
2
1774. М =
2
4
. 1775.
a(a + 0
(G — постоянная тяготения). 1776. ^
8 pi
Решение: Q = f и 2nr dr = у Щ f {а - гй) dr =
J
1777. Q =
2b
С
J
4pj
J
2р/ L 2
.-
^-1
4 Jo
=
- .
Spi
■
2 jjp
од d# = “ p —- . (Ось абсцисс направить по большой нижней стои
о
[II
роне прямоугольника, ось ординат — перпендикулярно к ней, в середине.)
1778. Решение: S — J
do, с другой стороны, ^
= а, откуда d£ =
dv,
а следовательно, время разгона t —J — = S, 1779, Мх = - J у {х - 0 dt 4- ® х —
о
Л
1
- ? Г * - С 2-ГТ
Jo +■ е2 * - - в 1
1 -
. 1780. М х = - J (х - t)ktdt + А х =
(I2 - х ). 1781. Q = 0уЬТШ2ц , Использовать закон Джоуля—Ленца.
=
Глава VI
1782. V= ~{у2- х 2)х. 1783. S = § (х + у ) ^ Аг 2 + 3 ( x ~ y f . 1784. f { \ \ 3 j =
3
3
| ; Д1; - 1 ) ----2. 1785. У——~
3
2х
у
\2
—У—,
2 х у
. 1786. flx, *2) = 1 + х х
- у
438
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1787. z
=
_*/1 +- х
R
. 1788. fix) =
\ - К
\х\
Указание. Представить данную функцию
2_
в виде л ^ ] = ± / ^ и заменить ^ на х , 1789. fix, у) = - ——^ . Обозначим
\xj
>JKxJ
х
Z
* . ,,
(
х + у = и, х - у
. m
и + V
= о. Тогда х = ~
1
4
и
-
V
и
-
U V
и - V
ч U+ V
и
, у = —— \ fi u>v) = —
-
V
,
* —g— +
. Остается переименовать аргументы и и v в х и у.
1790. fiu) = и 2 4 2и; г = х - X -V J y „ В равенстве х = 1 + f( J x - 1) положить
*jx - 1 - и ; тогда х = (и 4- 1) и, следовательно, fiu) = и
= Vl 4
4
2а. 1791. fiy) -
; г = p j Ух2 4 j/ 2 . При x = 1 имеем равенство J l + у 2 = 1 '
,
т. е. f(y) = J l + у 2 . Тогда /[£ ) =
1792. а) Единичный круг с центром в начале координат, включая окруж2
2
кость (х 4 у < 1); б) биссектриса I и III координатных углов у = х;
в) полуплоскость, расположенная над прямой х 4 у = 0 (х 4 у > 0); г) полоса,
заключенная между прямыми у = ±1, включая эти прямые (-1 < у < 1);
д) квадрат, образованный отрезками прямых х = ±1 и у = ±1, включая его
стороны (—1 < х < 1, —I < I/ < 1); е) часть плоскости, примыкающая к оси
ОХ и заключенная между прямыми у = ±х, включая эти прямые и исключая
начало координат (-х < у < х при х > 0, х х < у < - х при х < 0); ж) две
полосы х^=2, - 2 < # < 2 и х < -2 , -2 < у < 2; з) кольцо, заключенное между
2
2
2
2
2
2
окружностями х 4 # = а и х 4 у = 2 а , включая границы; и) полосы
2п п < х < ( 2 п 4 1)я, у > 0 и (2л 4- 1)л < х < (2л 4 2)тг, у < 0, где л — целое
2 2
число; к) часть плоскости, расположенная выше параболы у = - х (х 4 у > 0);
л) вся плоскость XOY; м) вся плоскость XOY, за исключением начала коорди­
нат; н) часть плоскости, расположенная выше параболы у2 = х и вправо от
оси OY, включая точки оси OY и исключая точки параболы (х > 0, у > */х);
о) вся плоскость, за исключением точек прямых х = 1 и у = 0; п) семейство
2
2
концентрических колец 2пк < х 4 у < п(2к 4 1) (к = 0, 1, 2, ,„).
1793. а) I октант (включая границу); б) I, III, VI и VIII октанты (исключал
границу); в) куб, ограниченный плоскостями х = ±1, у = ± 1 и г = ±1, включая
его грани; г) шар радиуса 1 с центром в начале координат, включая его поверх­
ность. 1794. а) Плоскость; линии уровня — прямые, параллельные прямой
х 4 у —0; б) параболоид вращения; линии уровня — концентрические окруж­
ности с центром в начале координат; в) гиперболический параболоид; линии
уровня — равносторонние гиперболы; г) конус 2-го порядка; линии уровня —
равносторонние гиперболы; д) параболический цилиндр, образующие кото­
рого параллельны прямой х 4 у 4 1 = 0, линии уровня — параллельные
прямые; е) боковая поверхность четырехугольной пирамиды, линии уровня —
439
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
контуры квадратов; ж) линии уровня — параболы у = Сх2; з) линии уровня —
параболы у = Су х ; и) линии уровня— окружности С(х + у ) = 2х.
1795. а) Параболы у = С - х (С > 0); б) гиперболы ху = С (]С| < 1);
в) окружности х + у = С ; г) прямые у = ах + С; д) прямые у = Сх (х Ф0).
1796. а) Плоскости, параллельные плоскости х + у + z = 0; б) концентрические
сферы с центром в начале координат; в) при и > 0 — однополостные гипер­
болоиды вращения вокруг оси OZ; при и < 0 —■двуполостные гиперболоиды
вращения вокруг той же оси; оба семейства поверхностей разделяет конус
х + у 2 - Z - 0 (ы = 0). 1797. а) 0; б) 0; в) 2; г) е*; д) предел не существует;
е) предел не существует; в пункте б) перейти к полярным координатам;
в пунктах д) и е) рассмотреть изменение х и у вдоль прямых у = kx и показать,
что данное выражение может стремиться к разлишшм пределам в зависимости
от выбранного к . 1798. Непрерывна, 1799. а) Точка разрыва при х = 0, у —0;
б) все точки внутри прямой х ™ у (линия разрыва); в) линия разрыва —
окружность х + у = 1; г) линии разрыва — координатные оси. 1800. Положив
2х у 1
которая непрерывна всюду,
у="уг ~ const, получим функцию cpj(jc) = 2
2
* + 01
так как при у 1 Ф0 знаменатель х Л- у 1 Ф0, а при у х = 0 фДх) - 0. Аналогично,
при х = х г = const функция г имеет разрыв в точке (0, 0), так как не су­
ществует lim г. Действительно, перейдя к полярным координатам (л; = г cos ф,
х—
*0
у- 0
у = rsiiup), получим z = sin 2ф, откуда видно, что если х —* 0 и у —1>0 так,
что ф = const (0 ^ ф ^ 2тг), то з — sin 2tp, Так как эти предельные значения
функции z зависят от направления ф, то г не имеет предела при х —* 0 и у —>0.
= “ 2х ,
1801. Т- = 3(хг - ау), ^ = 3( е/2 - ах). 1802. ^ =
2f/ . р =
dy
Эх
Зу
(х + у) дУ
(х + у)
dz
X
У
1&f\A ?2 2
2
Р
Эх
Г"
Эх
dy
1 2- У ’ Т
X
ух - у
Цх
1805. dz
Ъх
, 2 2
(X
+0 )
Э2
dz
У
1807.
Эх
х 2 +. у ‘г ’ ду
(x* + y* f a' ду
JL
J x 2 + y2(x + J x 2 + y 2)
----у г* ~ \
dz = - 2V- е
U = агЧп*. 1809.
2
Эх
dy
X
— -
1S10 — = ху **2х ~ 2у
' дх
\у\(Т -у* )
^ = - * ± £ ctg
6У
1806 dz
3/2 ‘
Эх
ху
dz
У
Zyj y
* ± 2 ..
Jy
’
дУ
2 /о 2
и.х у2х \у \ (
1812. f* = y z ( x y f
дх
sin^
х cos
х
4 -
у
г
X
4)
ду
Ьг
9у
X
Эз
.
1808,
2, 2
Эх
х+у
le u
~ \ р =
1
2 2
Jx + 0
xz(xyY
1е
dz _ —
X
dy
siii£
х1 у
cos - .
X
Зз _ j— е tg х + а
Эх
Ту ’
Jy
1
= (x y f In {ху).
’ дх
440
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Ь г , ^ = х у / « 1 . 1 8 1 4 ./' (1 ,2 ) = 1/2,
62
Г ' ( 2, 1) = 0. 1815./;< 1 ; 2; 0) = 1, ^ ( 1 ; 2; 0) = 1/2, f ' ( 1; 2; 0) - 1/2.
1813.
1820.
<)Х
= у2** Ь г ,
ду
- — YJJI ■1821- Г■1826. 2 = arctg У- +ф(ат). 1827. г = ^ + у In х +
(х 2 + у 2 + г“)
+ sin у - - . 1828. 1) tg a = 4, tg (3 = оо, tgy = 1/4; 2) tg а =
tg P = 4, tgy =
U
= 1/4. 1829, ^
^ A* ^7 = \ ft, ^ = - {a 4- ft), 1830, Указание, Проверить,
да
2
до
2
ah
2
что функция равна нулю на всей оси ОХ и на всей оси OY, и воспользоваться
определением частных производных. Убедиться в том, что f'x(0 7 0) =
= / у(0, 0) = 0, 1831, А / = 4Ах + Ay 4- 2Дх2 + 2Дх Ау 4- Ах2 Ду; df = 4dx 4- dу;
а) Af - df = 8; б) Д/ - df = 0,062. 1833, dz = 3(х2 - y)dx + 3{у2 - x)dy. 1834, dz =
= 2xy 3 dx + 3x2y2 dy. 1835. dz = —
—- (ydx - xdy). 1836. dz = sin 2x dx (X + у )
- sin 2y dy, 1837, dz ^ y2x* 1 dx 4- xy(l 4 yin x) dy. 1838, dz -
2
X 4- y
+■у dy), 1839. df =
x +y
2
(x dx +
dx - A dy . 1840. dz = 0. 1841. dz = ------ ^ ------ x
у
)
x sin (2 y /x )
x [ dy ~ ^ dx ). 1842, d /(l, 1) = dx - 2dy. 1843, da = yz dx 4- zx dy + xy dz.
1844. da = *dx + ydy + zdz . 1845. da 2
2
2
Jx +У +г
x xz dy + j^xy +
xy +
Z- l Г* + J ) > d* + ( 1 - n l x
У
In ^xy 4- “ dz j . 1846. du = 2 2 , 4
X у
у dx + x dy
4- Z
1847. dft3, 4, 5) = ^ (5dz - 3dx - 4dy). 1848. df = 0,062
25
3
_ 2xy dz .
cm;
Af - 0,065
cm.
1
8
1849. 75 см (относительно внутренних размеров), 1850. - см. Положить дифференциал площади сектора равным нулю и найти отсюда дифференциал ра­
диуса. 1851* а) 1,00; б) 4,998; в) 0,273. 1853. С точностью до 4 м (точнее 4,25 м).
1854.
gjfg
1855. da = - (dt/cos a - dxsina). 1856. ^ = ■A*1" * - 1) ,
P
d(
t l nzt
1857. — = — ctg — {6 - —
d*
J~y
J~y^
2y 2
da = 2tln f tg t + ^ + 1>tgf +
1858. ™
df
.COft X
+ (t + 1 >Inl . 1 8 5 9 . ^ = 0 . 1860. dz
“ = (sin х Г ”л(со& x cig x - sin x In sin x).
df
dx
COS t
441
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1861. ^
Эл:
1 . 1862. dz
— —их'у - 1■dz = х у (pj(^)ln х + - j Эх *
dx
1+х
х*+ * dx
1863. ^3 z = 2я/н' (ы,и) + г/е 7 '(ц ,и ); — = -2 у ^ (u, о) +хс 7'(u,n) . 1864. — - О;
|г - 1 .1 в 6 5 .||
х + М/ ' Г ху+ *0.1867.
)г(ч+^; .
X
X
dx
= / ' U, У, Z) + <р'(*)/' (Ж, у, г) + / ' (ж, у, zfty'J.x, у) + ^ у(х, у)ср'(х)]1873. Периметр возрастает со скоростью 2 м/с, площадь возрастает со скоростью 70 мг/с. 1874. ^-t ..gl..+ 3 t , 1875. 20 J 5 - 2 J 2 км/ч. 1876.
Л + tz + t4
1878. ^ . 1879.
2
3
. 1877. 1.
2
. 1880. 68/13. 1881. cosct + C0SP + C0SY. i 882. а) (2; 0);
3
б) (0; 0) и (1; 1); в) (7; 2; 1). 1884. 9i - 3j. 1885. 4(51 - 3j). 1886, 6i + 3j + 2k.
4
1887. jgrad a] = 6; cos a = 2/3, cos p = -2 /3 , cos у ^ 1/3. 1888. cos cp = 3/*/10 .
1889. tg <p = 8,944; cp ~ 83°37', Поскольку вектор grad z в точке (2, 1, 8) и
вектор к лежат в одной плоскости, то |grad z\ в рассматриваемой точке опре­
d4z
Эх2
2
деляет тангенс угла наклона наибольшего подъема поверхности. 1891.
abcy‘
2 2
2 2,3/2
(р х + а у )
-\2
d z
дхду
1892, a z _ 2(у - х ) д2z _
, 2 2 2 ’ дхду
Эх" (*
+У )
*
аЬсху
, ,2 2
abex
2 2 3/2
{Ь х +а у )
2 2,3/2
(Ь х +а у )
-.2
d z
/ 2 2Ч2 *Д 2
(д: -hi/ ) dy
2х
,,2 2
3у2
2
22
. 1893,
(ж + у )
d z
дхду
2
2
2 2
-,2
-ч2
Г - X jg9g d_U = д и
ху , ,73 ■1894.
- 0.1895.
3
^
2 dy
■>. 2 Э2 2
г
dx
(2*у + у2)
Ззс2
*,2
7.2
-чЗа
n
*.3
d
d
u
d
а
d
u
_
л
(1
1
p'
1
у
1
,
orio
v
2
= 0;
- 1.1897.
= a(3yx у zr ,1898.
Sxdydz
ЭхЭу dxdz dxdx
3xdyJ
= -x ycos (xy) - 2xsin (xy). 1899,
(0> 0) “
- 1);
(0, 0) = mn;
f ” (0, 0) = n(n - 1). 1902. Проверить, пользуясь правилами дифференцирования
'
2
2'
и определением частной производной, что f (х, у) = у * 2 -,у 2 +
L* +У .
.2 2
( 2 2/
4х у
(х
- fy ) J
(при х + у * 0), / X(0, 0) = 0 и, следовательно, fX (0, у) = -у при х = 0 и
при любом 1у. Отсюда f ' (0, у) = -1 , в частности f*
(0, 0) = -1 . Аналогично
X\f
находим, что ЯА (0, 0 )^ 1 .
1903.
Эх
= 2/'(ы, v) + 4*У'' (и, и) + 4xyf ”u(u, v) + /V " (и, и);
442
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
= f'c(u, v) + 4xyf''ju, у) + 2(Х + у2)/"ц(и, u) + xyf",(u, и);
~ = 2/'ц(и, о) + V / " (и, v) + 4xyf"v(u, v) + X /" (и, и).
Эу
1904. д2и = с
+ 2 С < + с ю а+ '> « ЭХ
1905. ъ \ = /" (ф' f + 2Г
(X )г + V
ф" + f1 у4**’
v" ;
' m>“ф'Х
jr“jr + Г
'тЛт*/
' и^хх
дх2
д2г
дхд у
/1 ии
" ф'
ф' 4- / " (фУ
ш'J, + ш'
ш' ) 4
TfT||
XT
т’лт^/
*’t! ш'
1f L
“ г ш'
ту
4 '/*t iф
^ x"y
4
f \]/'
т х у ’;
1О
*\2 = *г/
//
2_г
_ 2 'ии (Ф'у) + 2/; фт ' ушт 'у + /' "UL’('жт' уУt + tfи' i'Гfуу + 1f и шг УУ
3*/
1914, и ( х , у) = ф ( х ) 4 ф ( у ) . 1915, и ( * , у) = х ф ( у ) 4 ф ( у ) . 1916. d2z =
= ery[(ydx 4 xdy)2 4 2d* dy]. 1917, d2u = 2(xdу dz 4 yd* dz 4 zdx dy).
1918, d2z = 4i$”(t)(xdz 4 ydy)2 4 2ф'(0(й*2 4 dy2), 1919, dz = f - j
xy x
vyj
yin — dx 4 xln — dy
У
ey
x
x
In —
су
In -1 dx dy
4
4
у)
f x2ln2 —
V
ey
1920,
4 2a b f”v
{и , v)dx dy 4 b2f ”v (и , u)dy2. 1921,
+ / e 2X
)d* 2 + 2(е*/'
4 (xe*Tu 4 * 2e2Y ; u
+ e*/' +
d 22
-
d 22
(ye*/'
d x 2 4 2f x y ln —
x
= a2f"u (и T o)dx2
4
+ e2*7" + 2уе* "V " +
+ e* ^ ( 1 4 x y ) / "
4 2xe* + 7 "
+ e3* C
)dy2.
1922,
4 ye2*/"
)d# dy 4
d3z = er(cos
у
d*3 -
- 3sin у dx2 dy —3cos у dx dy2 4 sin у dy3), 1923. d32 = —ycos * dx3 —3sin * dx2 dy - 3cos у dx dy2 + xsin у d / . 1924. d/(l; 2) = 0; d 7 (l; 2) = 6dX + 2d.f dy + 4,5dy2.
1925. d2/(0, 0, 0) = 2dX + 4dy2 + 6dz2 - 4da: dy + M x dz + 4dy dz. 1926. xy + C.
3
1927. X y - ^
+ sin д: + C. 1928.
4 In (ж + у) + С. 1929. ^ In (x2 + y2) +
X \ Lf
4 2arctg - 4 C. 1930. - 4 C, 1931. J x 2 + y 2 4 C. 1932. a = - 1 7 b = - l y z =
У
У
=
^
4
C. 1933. x 2 4 y2 + 2 2 4 xy
4
*2
4
yz
4
C, 1934, x3 4 2xy2 4 3x2 4
X +y
4
y 2 - yz - 2z
4
^
Z
4-
-
X
4
4
C, 1935. х2уг - 3xy2z
C. 1937, J x 2 -r y2 ^ 7
4
4
4x2y2 4 2x
4
у
+
dz
4
C. 1936.
-
4
C. 1938. л = -1 . Написать условие полного
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
443
*у
дифференциала для выражения X d r -\- Y dy. 1939,
1941,
dx
а I/ d r
“ ~-^~z I
а у dr
^
ar
(1 - у)3
11 - жу
^dr^j. = i
= 3 или -1; й л
- * + аУ; l i t = (g JT-iK* +tf ) 1947 dj[ =
<*x~y’ d x 2
(a
'
( аxх-- uу ))3
2
— . 1944, ^
2
= x - yz t dz = 6y - 3x2 - 2
ху-г2
3 ( x y - Z 2)
= 8 или -8. 1946. ^
ах
-\i
14,/ 2
«
a z_ _ _ c xy r о z _ _ c (a - x ) t qco аз _
__
dxdy
а 2Ъ2г А' by2
а2Ь1г% "
'^ ~
it
£ t.
- ^7 dy; d2z = У- ■
- uа d r 2 - 2 ^О dx dy +
z
=
. dj£ = 2£ 194g dz =
* ’ dx2
I2
4
—;
у- 1
~2 ‘
' dx
dz = г sin x - cos у dz ы rainy - cos г
dx
cosr —ysinz ’ dy cosr-ysin z
1950. ^ = - l ; ^ = 1 . 1951. — = - £ Л ; 3£
dx
dy
2' ” " d x
„й~2Vz dy
it
dr
( Аг \
= _ Я _ . 1945, Г
dr2
, 1940. и = J {{г) dz + С,
= - Ц 4 <1942, Уравнение, определяюay
щее у, есть уравнение пары прямых. 1943, ^
^
^
z
zJ
bV
= _ с*(&д- / )
дх2
а2ь2гг
V'* V'(
.1954. dz = ~ - d x z
Vy
dy2, 1955, dz = 0; d2z =
= 4 (dx2 + + dy2). 1956. d2 = —5—(dx + dy); d2z = — 2—- (dx2 + 2dx dy + dy2).
lD
1 ~2
(1-zf
ZL>
ss
4 1962, dy = .У(г-х)
1961, dj£ = oo. dz _ l . d г
d r; dz
dr
dr
5 d r 2 25
х(у-г)
х(у-г)
а
du _ du
2 [(X - y)2 + (y - 2)2 + (2 - r)2] d r 2. 1963
d2y = - d г = dr
dy
x 3(y~■z)
tl2
о и _ d2u _ П_ ! dy
- 0 - ^ - 2 d о _ i . d у9
dr
1 drdy
•Э»
d r2 Эxdy
dr
dy2
-
У d r 4- —— d*/: dy = —— d r -
0 dy; d2y = -d 2o =
dx dy —
1 +У
1 +У
1+y
а+уу
-¥ u d r -tp'u dy
2 о - dy . 1965, du ^ xv'0dx-ip'ody
, 1966. a) dz
dr
а+уу
Ф'с
ф'у
1 + У
V'H
v'Hv'„
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
444
csinu
—
bz
с cos и
bz
'•Ту - - Т Г ’ 6 ) Т
1,
-
.
ч dz
1,
2 l " + u,i Ту - 2 и
х [е“ “(v + u) dx + е“ + 1*(и - и) dy]. 1967.
йд;
ч v,
1
u ' ■»й г - ^2е
= F' (г, <p)cos ф - F' (г, ф)
г
ф
X
г
;
~ = F" (г, 9 )sin ф + f ' (г, ф ) ^ 3 ! . 1968. Щ- = - - cos ф ^#ф ; Щ = - § sin ф c tg ф.
оу
*4
г
ох
а
оу
о
1969. ^
d t2
^ + у = 0. 1970. ^
= 0. 1971. а) — - 2 ^ = 0; б) ^ = 0.
d*
dt2
dу 2
АУ
d y3
r* + 2 ( ^ ) Z- r dZ’увфУ
’ 2
Г
1972. tg ц = Г. . m 3 . К = ------ —
1976.
-
^
. 1974. ~ = 0. 1975. и — - 2 = 0.
ди
Ъи
-\2
d2u + 1 d2u
2 ". 2 + ir
r dtp
dr2
- 0. 1977, a z = — P-. 1978. ~
dudv
2u dи
av
= 0.
n- * = ± = U ± 1 =
1979, d2w = 0. 1980. Э2ш = ± , 1981, a) 2x - 4y - z* - 5к = 0;
2
-4
z
du2
Эа2
_ Z“ 5
; в) x c o s tx + г/sin a - R = 0,
; б) 3x + 4i/ - 6г —C
4
-6
x - Дсоесс
cos a
_
/ 2 +o, 2 +, c2
va
у - flsinct
sin a
=
z- R
0
1982, ±
a
I 2+o
, г2 +c
, 2
*}a
; ±
f~2 T2~, 2
*ja +o +c
. 1983, 3x + 4у + 122 - 169 - 0, 1985, * + Ay + 6z = +21.
1986. x ± у ± z = ± Ja2 + b2 + c2 . 1987. В точках (1; ±1; 0) касательные
плоскости параллельны плоскости X O Z ; в точках (0; 0; 0) и (2; 0; 0) —
плоскости YOZ. Точек, в которых касательная плоскость была бы па­
раллельна плоскости XOY, на поверхности нет, 1991, п/3. 1994нПроекция
на плоскость XQY:
[2~ О
2 , 'i
^ л Проекция на плоскость YOZ:
\ х + у - х у - 1 = 0,
х = О,
3и\
2 1 л
+
г
- 1 = 0,
4
Проекция
на
плоскость
XOZ:
1^” °-
^ 3%_ +
^ ^
4
Указание, Линия касания поверхности с цилиндром, проецирующим эту
поверхность на какую-нибудь плоскость, представляет собой геометрическое
место точек, в которых касательная плоскость данной поверхности перпспдикулярна плоскости проекции. 1996. f{x + ft, у + ft) = ах 4- 2йэд + су +
+ 2(ах + by)h + 2(bx + cy)k + aft2 + 26ftft + eft2. 1997, /(*, г/) = 1 - (# + 2}2 f
+ 2{х + 2){у - 1) + 3(у - I)2. 1998. ДДд:, (/) = 2h 1 ft + k 2 + 2hk + h2k.
1999. Цх , у, z) = ( x~ i f + ( y - i f + ( z - l) 2 + 2<jc - lHif ~ 1) ~ (y - l)(z - D-
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
2000,
445
f{x 4 Л, у 4 ky z 4 /) = /(г, y f z) 4 2[h{x - у - z) + k{y - х - z) 4 l(z 2
3
2
- * - if)] + /(ft, ft, 0. 2001- у + xy + Зх
2
4
2 2
4
. 2002.1 - * +У- + * + 6x P +У .
2 0 0 3 . 1 + (у - 1) + (* - l) ( y - 1). 2 0 0 4 . 1 + [(* - 1) + (y + 1)] + Ц * ~ * ) + f g + 1)1
+
+
б) J(1 + °0
. 2005. a )a rc tg
= 2
+ |( «
+ P) -
+
j ( a a + p 2);
+ P)' = i + A (mC£ + лр) + A [(3m2 ~ 4m)ct2 - 3mna$ + (3n2 2
32
- 4n)p2]. 2006. a) 1,0081; 6) 0,902. Применить формулу Тейлора для функций:
\
2
а) f(x, у) - J x BJy в окрестности точки (1; 1); б) f(xy у) = у* в окрестности
точки (2; 1). 2007, 2 = 1 + 2(х - 1) - (у - 1) - 8(х - I)2 + Щ х - 1){£ - 1) - Z(y ~ I)2 4- ... 2008, zmin - 0 при х = 1, у = 0. 2009, Экстремумов нет,
2010, zmiti = “1 при я = 1, у = 0. 2011. zniMt = 108 при х = 3, у = 2. 2012,
=
= ”8 при д: = J2 , у —- J 2 и при л: = —J2 , y —J 2 . При я = у = 0 экстремумов
ab в точках х = а
Ъ—; Z , =
нет. 2013. г max = —
у =Ь— и я = а , у = —
пип
\Л
аЪ_ в точках х = —
а , у. =
л
л
л
л
Ь
и * = ” j i ’ ^ = 7 Г 2014' г,11ах = 1 при
зТз
Л
Л
# —у = 0. 2015, £min = 0 при х = у = 0; нестрогий максимум 2 = 1/е в точках
окружности л;2 4 у2 = 1, 2016. zmax = 7 з при х = 1, у - -1 . 2016. 1. 2^
- 6
при х = 4, # - 2. 2016.2. zm^ = 8е при х = -4 , у = -2; экстремума нет при
л = 0, у = 0. 2017. nmin = -4 /3 при х - -2 /3 , у - -1 /3 , 2 = 1. 2018. i/miii - 4
при 2 = 1/2, у = 1, г = 1. 2019. Уравнение определяет две функции, из ко­
торых одна имеет максимум (зтах = 8) при х = 1, у = -2 , другая — минимум
(гт1п = -2 ) при х = 1, у = -2 ; в точках окружности (х - 1) + (у + 2) = 25
каждая из этих функций имеет краевой экстремум 2 = 3. Упомянутые в от­
вете функции определяются явно равенствами 2 = 3 + ^25 - (х - 1)г - (у + 2)2
и существуют, следовательно, только внутри и на границе окружности
2
2
(* - 1) + (у 4 2) = 25, в точках которой обе функции принимают значение
2 = 3. Это значение является наименьшим для первой функции и наиболь­
шим для второй. 2020. Одна из функций, определяемых уравнением, имеет
максимум (2тм = -2 ) при х = -1 , у = 2, другая — минимум (zJllin = 1) при
х = —1, у — 2; обе функции имеют краевой экстремум в точках кривой
4*3 - 4ы2
- 12* + 16ц
- 33 - 0. 2021. 2m ax = 1/4
при * = угг = 1/2.
2022. 2ш ах = 5
57
а
(
г
t
при х = 1, у = 2; 2min = -5 при х = -1 , у = -2 . 2023. mm = 36/13 при
* = 1 8 /1 3 , у = 12/13. 2024.2,
= 2+^
2
при х = — + кп, у = ^
8
8
4
kn;
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
446
z min
. = Ъ Л
2
при х = ^
о
+ Ал, у - Щ + кп. 2025. иш,п = -9 при х - -1 ,
<4
у = 2, г = -2; unMJt = 9 при х = 1, у = -2 , г = 2. 2026. umax = а при х = па,
= 2 ■4г ■63 при х = 2,
У = 2 = 0; и,nill = с при х - у = 0, г = ±с. 2027. и
у - 4, г - 6. 2028. um„ - 4 ^
£I
в точках (4/3; 4/3; 7/3), (4/3; 7/3; 4/3),
(7/3; 4/3; 4/3); umin = 4 в точках (2; 2; 1), (2; 1; 2), (1; 2; 2),
2030. а) Наибольшее значение z = 3 при х = 0, у = 1; б) наибольшее значение
г —2 при х “ 1, у —0. 2031. а) Наибольшее значение г =
при х = ± Д 7 Ъ ,
зУз
при х = ± J 2 / 3 , I/ = " Д Т З ;
у = У Т /З ; наименьшее значение г = -
Зл/3
б) наибольшее значение г —1 при £ ” ± 1 , ^ —0; наименьшее значение г ——1
_ зУз при х = у = я/3
при х = 0, р = ±1. 2032. Наибольшее значение г =
(внутренний максимум); наименьшее значение z = 0 при х = у = 0 (краевой
минимум). 2033, Наибольшее значение г = 13 при х = 2, у = ”1 (краевой
максимум); наименьшее значение г = —1 при х = у " 1 (внутренний минимум)
и при jc~ 0, у ——1 (краевой минимум), 2034. Куб. 2035. *lf2V; i / 2 V ; ^ ^/2V .
2036. Равносторонний треугольник. 2037. Куб. 2038. а = i [а • \[а • i /я '
*
2039. M ( -l/4 ; 1/4). 2040. Стороны треугольника: - р , - р и £ . 2041. х 4
4
2
+ т 2х2 + т а*3
+ +
*
= т 1у1+ т2у.г + т ^
m1-Hm2+ /n3
х + £ + 2 = g
a
ft
с
2043. Измерения параллелепипеда; — , — , — , где a, ft и с — полуоси
УЗ Уз Уз
эллипсоида. 2044. х —у = 25 + V 2P , г —х / 2 . 2045. я = ± а/У 2 , р = +£>/У2 .
2046* Большая ось 2а = 6, малая ось 2ft = 2, Квадрат расстояния точки (х, у)
2
2
эллипса от его центра (начала координат) равен х + у , Задача сводится к
2
2
2
2
отысканию экстремума функции х + у при условии Бх + 8ху + 5у = 9 .
R
2
1 2
2047. Радиус основания цилиндра — 2 + — , высота R 2 — —, где R —
24
4ъ
4
Л
радиус шара. 2048- Канал должен соединять точку параболы (1/2; 1/4) с точкой
v
прямой (11/8; -5 /8 ); его длина
. 2049* — У 2 7 3 0 . 2050.
- —.
8
14
smp
v2
Очевидно, точка JVf, в которой луч переходит из одной среды в другую, должна
находиться между
и B v причем AM
а
cosa
, ВМ = - А_ , А гМ , = fttg а,
cos P
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
447
В. М = frtg (к Время распространения луча равна-------- f — -— . Задача
Ojcosa u2cosP
сводится к отысканию минимума функции
f(а
= -------- + — -— при
c^cosex
i^cosP
, р)
условии, что atg а + frig р = с. 2051. а = (3, 2 0 5 2 . : 12 : 1Я
X -X -X
J?i
Найти минимум функции /{/р 12, / 3) = Нг + 12 Н2 4при условии,
что 1Х4- / 2 4- “ 1. 2053. Изолированная точка (0; 0). 2054. Точка возврата
2-го рода (0; 0). 2055. Точка самоприкосновения (0; 0). 2056. Изолированная
точка (0; 0). 2057. Узел (0; 0). 2058. Точка возврата 1-го рода (0; 0).
2059, Узел (0; 0). 2060, Узел (0; 0). 2061. Начало координат — изолирован­
ная точка, если а > Ь\ точка возврата 1-го рода, если а = Ь, и узел, если
а <Ь. 2062. Если среди величин а, Ь и с нет равных между собой, то кривая
не имеет особых точек. Если а = Ь < с, то A(at 0) — изолированная точка;
если а < b = с, то В(Ь, 0) — узел; если а = Ь = с, то А(а, 0) — точка возврата
1-го рода. 2063. у = ±х. 2064. у2 = 2рх. 2065. у = ±Д. 2066. хт + у2/3 = г2/3.
2067. ху = - S . 2068. Пара сопряженных равносторонних гипербол, уравнеtL
ния которых, если оси симметрии эллипсов принять за оси координат, име­
ют вид х у = ±S/2n. 2069. а) Дискриминантная кривая у = 0 является гео­
метрическим местом, точек перегиба и огибающей данного семейства;
б) дискриминантная кривая у = 0 является геометрическим местом точек
заострения и огибающей семейства; в) дискриминантная кривая у = 0 есть
геометрическое место точек заострения и не является огибающей;
г) дискриминантная кривая распадается на прямые: х = 0 (геометрическое
2
место узловых точек) и
х
=
(огибающая). 2070.
а
у
0х
2s
2 uq
= — -
2072. / о + 4 л2 . 2073. JS (е - 1). 2074. 42. 2075. 5. 2076.
+
2
Un
. 2071.
1
7 -
.
3
+ 2„. 2077. 11 +
. 2079. а) Прямая; б) парабола; в) эллипс; г) гипербола. 2080. 1) — а°;
У
d/
2 ) а ^ - ; 3 ) ^ а ° + а ^ . 2081. - f (abc) = f ^ b c ') + f a ^ c ] + f a b ^ ) .
dt
2082.
v =
4 t{t2
dt
dt
f 1 ), 2 0 8 3 . x — 3 c o s
i 4- 2
J2
j, w =
dr
t; у =
i - 2
Ut
4 s in
t
/
dt
}
\
(э л л и н е ); v — 4 j, w = - 3 i п р и
j при
t
dt
J
0;
t =
= tl/ 4 ; v = — 3 i , w = - 4 j п р и
t
—
= tt/2. 2084. x = 2cos t, у = 2sin t, z = S t (винтовая линия); v = -2isin t 4+ 2jcos t 4- 3k; v = л/13 при любом t\ w = -2ieos t - 2jsin f, w = 2 при любом t;
v = 2j 4- 3k, w = -2 i при t = 0; v = -2 i + 3k, w ^ -2j при t = n/2, 2085. x =
“ cos a cos
у = sin a cos №t; z = sin ojt (окружность); v = -oicos a sin Ш - toj sin a sin ajf + cckcos
v = |wj; w = -w2icos a cos cof - to2j sin a cos cat - 03 ksin и)t\ w = Ш . 2086, v =
+ (o0i - gf) ;
^
= 0; Е^г = -g\
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
448
w = g. 2088, аз J a 2 + h 2 , где со — ~ — угловая скорость вращения винта*
dt
2089* J a 2tx>2 Г ,* - 2awi?0sinwt * 2090* т =
А
(i + k); v = ~j; Р = — (i - к),
А
2091. т = — [(cos t - sin f)i + (sin t + cos ()j + k]; v = -
73
[(sin f + cos f)i +
72
+ (sin t —cos t)j]i cos (т,
z
)
= j 3 / 3 ; cos ( v, z) = 0. 2092. z = *+
+
721
; V=
= 4i + 5 j - 8 k . p = ^21 + k 2093_ x - acost _ у - a u n t _ г__Ы (касатель.
r■■"
7105
нал'v л :- acost
о sin t
<2cos t
-a s in t
y -a s in t
-bcost
z-bt
a
b
ч * -a c o s£
cosf
y-asint
sini
z - b t (главная нормаль). Направляющие косинусы касательной: cos a =
0
asini 4 _ о
acost t _ л,
; cos p — —= = ; cos у
/ 2 +. 2b
*ja
, Направляющие косинусы
*Ja2 + b2
J a 2 + b2
главной нормали: cos ot1 = cos £; cos = sin t ; cos yl — 0* 2094, 2x - z = 0
(нормальная плоскость); у - 1 = 0 (соприкасающаяся плоскость); х -\- 2z _ 2 у _^
2 _0
—5 = 0 (спрямляющая плоскость), 2095, —-— —
^ (касательная);х
х 4- 4у + 12г “ 114 = 0 (нормальная плоскость); 12* —6y + z — 8 = 0
(соприкасающаяся плоскость). 2096.
а:- ( 7 / 4 ) = у - ( 7 / 3 ) = z - ( t 2/ 2)
7
(касательная); — ■
t + 2t
x-{//4)
1
=
У... № //?)
1- t
-
*
1
£—^ '''^^ (главная нормаль);
- 2t - 1
= y ~ ( t 2/ 3) = z - ( t 2/ 2) (бинормаль); M x{l/4; -1 /3 ; 1/2);
-21
,2
MJ4; -8 /3 ; 2). 2097* x - 2 = у + 2 = 2 - 2 (касательная); * + у = 0 (сопри-1
- 2 = 2---и + 2 = г——
- 2 , (главная нормаль);ч х——
-2
касающая плоскость);’ х-----1
-1
2 - 2
= U.■+■2
(бинормаль); cos а9 - 1 /7 2 ; cos Р, - 1/72 , cos ъ = 0.
О
2098. а) *
(/ / 2 ^ - У (^ /2 ) = г - ( 7 2 (Д / 2 )) {касательная). ХД
“ а/ £
- г = О
(нормальная плоскость); б) * - 1 = у - 1 _ 2 - 2 (касательная); * + у + 4z
- 10 = О (нормальная плоскость); в) - — - = ^
2j S
1
= —— — (касательная);
-273
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
449
2,j3x + y - 2 j 3 z = Q (нормальная плоскость). 2099* х 4- у = 0* 2100* я - у —
-
- 0* 2101* а) 4.x - у - г - 9 = 0; б) 9х - 6у V2х - 18 - 0; в) Ъ2х*0х -
- a2y*Qy + (а2 - h2)z30z =*a b l(a
- Ь2)* 2102*
6х - Ъу - z ■+■3 = 0 (соприкасающаяся
плоскость); ——~ = ^— - = -— - (главная нормаль);
31
26
-22
-6
8
1
(бинормаль)* 2103- Ьх - z = 0 (соприкасающаяся плоскость); х
z =0
нормаль);
x+bz * О,
i + bk
у =о \ (бин°Рмаль)^ Т= ~Г
Ы + к
; v - 1* 2106* 2х +
J 1 + &*
N1
)- 3у + 19г - 27 = 0. 2107, а) Д ; б) J6 /4. 2108. а) К = е ^
^ - е ■
з
=Т=—
. 2109. а) Л = р - (^ + а) ; б) Д - р 2ach t
a
; Г = Т :б,* =
4,3
+ f *J , 2111. -!2 ,2
8p x 3
a -\-b
2112. a) К = 2, ш, = 0, wn = 2 при (■- 0; К = ± -Д 9/14 ,
= 22/ J l 4 , wn =
= 2л/19/14 при f = 1.
Г лава VII
2113. 4 - .
3
2114. In — . 2115. — . 2116. - . 2117. 50,4.
24
12
4
2118. — .
2
2
2119* 2,4* 2120* 3 * 2121* x - ^
- 1; x = 2 - p; у = -6; у = 2. 2122* у = x*;
у = x + 9; x = 1; x = 3, 2123* у = х; у = 10 - х; у ™0; у = 4* 2124* у = | ;
о
у = 2х; х — 1; х = 3. 2125* у = 0; у = J 25 - х 2 ; х = 0; х = 3* 2126. у = х 2;
1
2
2
1
у “ х 4- 2; х = -1 ; х = 2. 2127* J dy j* f(x, у) dx = J dx J* /(x, y) dp.
о
о
1
4
-
±
J
.
1
A. — ^
2128. J dy J" f{x, y ) d x = | dx J f(x, y) dy. 2129, J dy j
1
1
| dx |
и
о
ft “ «4
L
/(x,
p)d p
f
|
о
dx
| /(x,
о
^
p)dp*
2130* |
£. A “
dx
fix, y) dx
t>
J f{xt y ) d y
2x
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
450
4
5
2
= \ dy f f i x ,
J
2
y) dx
J
1
1
2131.
dy
J
4
y)dx
dy f f i x ,
J
4
1
J
+
f dy
1
|
5
f
-J /?
f(x,
y)dx.
1L2Z*
0
J
-u
£>
| dy
л
f i x , y) dx +
J
0
f
H-
У
2
s~
-1
—
X
2
S/2
1
J%- x2
1
2
+ J dx |
f i x , у ) dy. 2132. | dx J f i x , y ) dy = J dy J
f ( x , y) dx.
0
X
2хг
0
-Jfp2
-1
2133, f dx
x2
J i -
1
1
+ J d*
J
-2
-JT
+ Г dx
f
1
-Д-
1
J iV
|
+ | dy
JT v
- I *
1
-2
-JT 7
J
dx
~2
- Jl
- x2
dy
-,/s
A x , y) d x 4-
- Л 2-
f
j
y
f
J
J
f i x , y ) dy - J dy
/2 2
-a
75
-J/-i
1
/(х, y )d y = J dy
J
0
0
1
y
=
|
-1/2
J
. Г.-- ~1
J
1
fix, y) dx;
r ) J d * J fix, y) dy
-1
/(x, y) dx;
f i x , y) dy =
0
2
dy
J
Jx-x2
1+
1/2
+
0
f { x , y ) dx; в) J d x
-ja1-
/(x, r/)
a-y)
1
2
-
|
-Л -У *
:-x
J
f(x, y) dx +
_jj77
- Л - у 2
VГe1
J
dy
ftx, y )d x + J d y
A *’ y )d x . 2135. a) J dx
о
1/(32- JT
2
m
-/7^1
-J*
‘
1
Jf
6) J dx
J
-a
dy
1
h - /
JS
+ J dy
J
1
Ц
j
-
j
flx , у ) d y =
f i x , y) dy +
-Я-х*
-1
dx
h
J
dx
"3
2
J
J
f i x , y) dx. 2134.
Jo-
1
- J T '/
- 1
-2
J J
h-y*
-1
+ J
f i x , y) d y +
J
-Jl-y2
]i„ |
-Ji-y2
3
J l + xi
+j
|
f { x , y) dx + J dy
J l-x 2
1
yTV
1
2
'
-i
2
-1
-JT
-1
Л-
2
V4-*
JT
=
У
J dy J fix, y) dx;
-1
-1
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
ci
у +2а
д) J dy
J
0
и
2а
fix,
=
у) d x
|
dx
|
0
3a
+ J
j*
2a
f{x, y)
у)
dу
а
J dx J
\
fix,
y)d x.
dy
y)
+
4$2
2
d y j*
0
f(x,
0
a
4k3
d y. 2136* J
x-2a
f(x,
0
48
d x
451
2 1 3 7 , J d y j*
0
X
fix
, y ) d j f -f
jf
3
12
-Уа2
+ | dy |
2
f(x,
\L
3
аЛ
2
2139. |
y)d x.
2138. J
dy |
j
+
-a
fix,
y)d x.
0
f~2 2
fix,
y) cir l |
J
dy
аЛ
f(x,
y) dx. 2 1 4 0 . j dy
|
a Ja2- y 2
dx +
2
4a
2J 2 a
|
f{x, y)
JL
2
2a
dy
J
ill/
a — >fa - у
a
a
y )d x
a
2
О
f(x,
Гг -2a
I
*la
у
О
0
+ |
J
|
f{x, y ) d x +
Г~а 2
■»• «/a - y
1- x
2a
dy |
fix , y) d x.
2141. j
2
0
j
dx
-1
L.
f(x, y)
d y -t-
0
4a
J
+
1
1“x
|
dx
о
f{x,
y)dy.
2142*
42.
j* J
dx
о
0
4 J dx
2
|
fix, y)
dy. 2 1 4 3 . |
, y) dy
| J f(x ,
+
dx
1
2
0
y)
dy
0
____
Rj2
Л
fix
№~y'£
dy
|
1
fix,
n-arcainy
y) d x . 2 1 4 4 . J dy
J
0
Л
f(x,y)d x.
arcsiny
2 1 4 5 .1 / 6 . 2