Задача 6 системы сил Горизонтальная однородная балкаАВ (рис.15,е), сила тяжести которой G = 4 кН, шарнирно прикреплена к стене и удерживается в горизонтальном положении с помощью троса, перекинутого через блок. Определить реакцию шарнира А и вес груза Q, если в положении равновесия балки трос составляет с горизонтом угол 40°.Трением на блоке пренебречь. Исходные данные: G = 4кН y Т ТỶ Yœ Xœ x Т9 G Рисунок 1 - Расчетная схема Решение На систему действуют внешние силовые факторы G, Q. Заменим действие силы тяжести груза Q на силу натяжения нити Т: Т = Q. Реакции опор двухопорной конструкции состоят из составляющих: Xœ, Yœ, T, обозначим их на чертеже (рис.1). Проведем оси X, Y и разложим на проекции по этим осям силу Т: Т9 = Т·cos α = Т·cos 40° = 0,766Т ТỶ = Т·sin α = Т·sin 40° = 0,643Т Составим уравнения равновесия: ∑X = Xœ - Т9 = 0 (1) ∑Y = Yœ - G + ТỶ = 0 (2) ∑mœ = G·0,5·AB - ТỶ·AB = 0 (3) ∑mQ = Yœ·AB - G·0,5·AB = 0 (4) Из уравнения (3) 4·0,5·AB - 0,643·Т·AB = 0 Т = 2/0,643 = 3,11 кН. Из уравнения (1) Xœ = Т9 = 0,766·Т = 0,766·3,11 = 2,382 кН; Из уравнения (2) Yœ = -(-G + ТỶ) = -(-G + 0,643·Т) = -(-4 + 0,643·3,11) = 2 кН; По уравнению (4) произведем проверку Yœ·AB - G·0,5·AB = 0 2·AB - 4·0,5·AB = 0 - условие проверки выполняется, значения опорных реакций определены верно. Вес груза Q = Т = 3,11 кН. Задача 19 Определить реакцию опор балки, нагруженной, как показано на рисунке ниже. Исходные данные: F = 6кН q = 0,2кН/м M = 10кН·м a = 0,2 м α = 60° q a F 2a M a Рисунок 1 - Исходная расчетная схема Решение Изобразим опорные реакции (Xœ, Yœ, Y4) в защемленном конце, рис.2 y FỶ Yœ Y4 Xœ F> Рисунок 2 - Расчетная схема x На систему действуют внешние силовые факторы F, q, M. заменим действие распределенной силы q на сосредоточенную силу Q, которая приложена к середине участка действия силы q: Q = q·0,2 = 0,2·0,4 = 0,08 кН; Реакции опор двухопорной конструкции состоят из составляющих: Xœ, Yœ, Y4, обозначим их на чертеже (рис.1). Проведем оси X, Y и разложим на проекции по этим осям силу F: F> = F·cos α = 6·cos 60° = 3 кН; FỶ = F·sin α = 6·sin 60° = 5,196 кН. Составим уравнения равновесия: ∑X = Xœ + F> = 0 (1) ∑Y = Yœ + Y4 - Q + FỶ = 0 (2) ∑mœ = Y4·0,8 + M - Q·0,4 + FỶ·0,6 = 0 (3) ∑m4 = -Yœ·0,8 + M + Q·0,4 - FỶ·0,2 = 0 (4) Из уравнения (1) Xœ = -F> = -3 кН. Из уравнения (3) Y4 = -(M - Q·0,4 + FỶ·0,6)/0,8 = -(10 - 0,08·0,4 + 5,196·0,6)/0,8 = -16,36 кН. Из уравнения (2) Yœ = -(Y4 - Q + FỶ) = -(-16,36 - 0,08 + 5,196) = 11,244 кН. По уравнению (4) произведем проверку -Yœ·0,8 + M + Q·0,4 - FỶ·0,2 = 0 -11,244·0,8 + 10 + 0,08·0,4 - 5,196·0,2 = 0 - условие проверки выполняется, значения опорных реакций определены верно. В результате расчетов получили реакции опор: Xœ = -3кН; Yœ = 11,244кН; Y4 = -16,36кНм. Задача 22 Определить координаты центра тяжести плоской сечения Исходные данные: швеллер №30; двутавр №20; a = 400 мм; b = 20 мм. y C1 C C3 C2 y./ C4 Рисунок 1 - Расчетная схема сечения x Решение Определим площади фигур: площадь фигуры (прямоугольник с размерами: 400мм×20мм) А8 = 400·20 = 8000 ммÀ; площадь фигуры (двутавр с размерами: 200мм×100мм) А< = 2680 ммÀ; площадь фигуры (двутавр с размерами: 200мм×100мм) А> = 2680 ммÀ; площадь фигуры (швеллер с радиусом: 300мм×100мм) А/ = 4050 ммÀ. Проведем оси X, Y и определим координаты центров тяжести фигур из рис.1: прямоугольник с размерами: 400мм×20мм x8 = 0 мм; y8 = h< + b8/2 = 200 + 20/2 = 210 мм; двутавр с размерами: 200мм×100мм x< = -h//2 + b</2 = -300/2 + 100/2 = -100 мм; y< = h</2 = 200/2 = 100 мм; двутавр с размерами: 200мм×100мм x> = h//2 - b>/2 = 300/2 - 100/2 = 100 мм; y> = h>/2 = 200/2 = 100 мм; швеллер с радиусом: 300мм×100мм x/ = 0 мм; y/ = -y./ = -25,2 = -25,2 мм. Определим координаты центра тяжести заданной фигуры: координата X центра тяжести XI = А8·x8 + А<·x< + А>·x> + А/·x/ А8 + А< + А> + А/ = 8000·0 + 2680·-100 + 2680·(100) + 4050·0 8000 + 2680 + 2680 + 4050 = 0 мм. координата Y центра тяжести YI = = А8·y8 + А<·y< + А>·y> + А/·y/ А8 + А< + А> + А/ = 8000·210 + 2680·100 + 2680·(100) + 4050·(-25,2) 8000 + 2680 + 2680 + 4050 = 121 мм. Полученный центр тяжести (точка "С") отметим на рис. 1 = Задача 35 Поезд, имея начальную скорость 72 км/ч, прошел путь s = 1600 м впервые 40 с. Считая движение поезда равнопеременным, определить скорость и полное ускорение в конце 40-й секунды, если движение поезда происходит по дуге окружности радиуса r = 1200м. ǚ Ǚ r Ǚ 4 Ǘ x φ ǚ4 ω Ǘ4 Риcунок 1 - Исходная расчетная схема Решение Выражение угла поворота точки относительно оси вращения при ненулевых начальных условиях: φ = ω4·t + ε·tÀ/2 = ω4·40 + ε·40À/2 = 40·ω4 + 800·ε (1) Выражение угловой скорости точки относительно оси вращения при ненулевых начальных условиях: ω = ω4 + ε·t = ω4 + ε·40 (2) Угол поворота точки относительно оси вращения при прохождении пути s: φ = s/r = 1600/1200 = 1,333 рад. Начальная скорость поезда: V4 = 72·1000/3600 = 20 м/с. Угловая скорость точки в конце пути: ω4 = V4/r = 20/1200 = 0,0167 рад/с. Подставляем полученные значения в выражение (1): 1,333 = 0,0167·40 + ε·40À/2 решая уравнение, получим: ε = 0,00083 рад/сÀ. По уравнению (2) определяем значение угловой скорости на 40-й секунде движения: ω = 0,0167 + 0,00083·40 = 0,05 рад/с. Линейная скорость поезда: V = ω·r = 0,05·1200 = 60 м/с. Касательное ускорение в конце пути: аẼ = ε·r = 0,00083·1200 = 0,996 м/сÀ. Нормальное ускорение точки в начале пути ǖ = ωÀ·r = 0,05À·1200 = 3 м/сÀ. Полное ускорение точки в начале пути a = ғǖÀ + аẼÀ = ғ3À + 0,996À = 3,16 м/сÀ. Задача 47 Шарик массой m=10 кг, привязанный к невесомой нити, вращается в вертикальной плоскости с частотой n=100 об/мин. Найти, какой максимальной длины должна быть взята нить,чтобы она выдержала натяжение 250Н. rüặẺ Ǚ TüặẺ x n G FÖ Риcунок 1 - Исходная расчетная схема Решение Максимальная сила натяжения нити будет в самой нижней точке , т.к. в этот момент на нить будет дейстовать сила тяжести G и сила инерции FÖ, направленная противоположно центростремительному ускорению. Уравнение сил, действующих на груз будет равно: ТüặẺ = G + FÖ. Сила тяжести шарика: G = m·g = 10·9,8 = 98 Н; Угловая скорость вращения шарика: ω = π·n/30 = 3,14·100/30 = 10,467 рад/с. (1) Сила инерции: FÖ = m·ǖ = 10·110·rüặẺ = 1100·rüặẺ где ǖ = ωÀ·rüặẺ = 10,467À·rüặẺ = 110·rüặẺ - центростремительное ускорение вращения шарика. Подставляем полученные значения в выражение (1): 250 = 98 + 1100·rüặẺ. решая полученное уравнение, определяем максимальную длину нити: rüặẺ = 0,138 м. Задача 60 Определить величину силы, которую надо приложить к телу массой m = 1200кг, движущемуся прямолинейно со скоростью V = 180км/ч, для того чтобы затормозить его на пути s = 400 м. Найти время торможения (силу трения не учитывать). Решение Начальная кинетическая энергия движущегося тела Т = m·V À/2 = 1200·50À/2 = 1500000 Дж; где V = V /3600 = 180000/3600 = 50 м/с - начальная скорость движения тела. Конечная кинетическая энергия (после торможения) Т = 0. Сумма работ внешних сил из теоремы об изменение кинетической энергии ∑ AữẶ = Т - Т = 0 - 1500000 = -1500000 Дж; знак "-" означает, что работа внешних сил направлена против движения тела. Сумма работ внешних сил (затормаживающая сила) ∑ AữẶ = ∑ AữẶ(F) = F·s = -1500000 Дж; отсюда искомая затормаживающая сила F = ∑ AữẶ(F)/s = -1500000/400 = -3750 Н; знак "-" означает, что затормаживающая сила направлена против движения тела. Ускорение, с которым замедляется тело во время торможения а = F/m = -3750/1200 = -3,125 м/сÀ; знак "-" означает, что ускорение замедления направлено против движения тела. Составляем уравнение зависимости перемещения тела от времени и подставляем известные числовые значения, получаем уравнение s(t) = V ·t + а·tÀ/2 = 50·t - 3,125·tÀ/2; -1,5625·tÀ + 50·t = 400. Решая полученное уравнение, определяем время торможения t = 16 с.
