Практическая работа №1 Тема: Построение и анализ простых математических моделей Цель работы: Освоить навыки построения простых математических моделей и использовать их для проведения исследований. 1. Теоретические сведения Модель динамики популяций Один из вопросов, который очень часто возникает в современной экологии, состоит в следующем: как определить численность той или иной популяции через определенное время? Ответ на него представляет не только теоретический интерес, но и имеет большое практическое значение. Действительно, не зная этого, нельзя правильно планировать эксплуатацию различных возобновляемых природных ресурсов — промысловых рыб, охотничьих угодий и т. п. Может ли в решении этого вопроса помочь математика? Оказывается, да. Пусть некоторая популяция (сообщество особей одного вида) имеет в момент t0 биомассу х0. Предположим, что в каждый момент времени скорость увеличения биомассы пропорциональна уже имеющейся биомассе, а возникающие явления самоотравления снижают биомассу пропорционально квадрату наличной биомассы. Если обозначить биомассу в момент t через x(t), а изменение ее за время ∆t через ∆x, то можно записать следующее приближенное равенство: где α и k— постоянные. В дифференциальной форме это же соотношение имеет вид: (1) Оно и представляет собой математическую модель процесса изменения биомассы популяций. Это весьма упрощенная модель, так как предполагалось, что популяция не взаимодействует ни с какими другими популяциями, учет же этого обстоятельства, конечно, значительно усложняет модель. Если поставить теперь вопрос о том, какова же будет биомасса в любой заданный момент времени Т, то для отыскания ответа на него можно указать два пути: либо дождаться этого момента и непосредственным измерением определить биомассу (может статься, что эта задача физически неосуществима, например, как измерить биомассу популяции китов в океане?), либо воспользоваться математической моделью. Естественно, мы изберем последний путь. Разделяя переменные в уравнении (1) и интегрируя его при условии x(t0)=x0, находим следующее решение: Отсюда уже можно определить биомассу в момент Т: (2) Рис. 1. Зависимость биомассы от времени при различных начальных значениях х0. 2. Задание по практической работе 2.1. Составить программу (на любом языке программирования) и рассчитать значение биомассы от времени на интервале [0,2] с шагом 0,01 по формуле (2). Построить график и дать пояснения. Значения параметров заданы в таблице. Номер варианта – номер студента по списку в журнале. Вариант x0 k a 1 0,1 1 0,1 2 0,4 2 0,2 3 0,6 3 0,3 4 0,8 4 0,4 5 1 5 0,5 6 1,2 6 0,6 7 3 7 0,7 8 4 8 0,8 9 5 9 0,9 2.2. Составить программу (на любом языке программирования) и рассчитать значение биомассы от времени на интервале [0,2] с шагом 0,01 по формуле (1). Для этого использовать одним из любых известных методов численного интегрирования (Эйлера, Ньютона, Рунге-Кутта и др.). Построить график, сравнить с графиком из предыдущего расчета и дать пояснения. 2.3. Оформить отчет, включающий: - титульный лист; - задание; - результаты выполнения по пунктам (с пояснениями); 3. Литература 3.1. Горстко А. Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. — М.: Знание, 1991. — 160 с. 3.2. Хакимзянов Г.С. 162 Математическое моделирование : учеб, пособие / Г. С. Хакимзянов, Л. Б. Чубаров, П. В. Воронина ; Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск: РИЦ НГУ, 2014. - 263 с. 3.3. Аверченков В.И. Основы математического моделирования технических систем : учеб. пособие [электронный ресурс] / В.И. Аверченков, В.П. Федоров, М.Л. Хейфец. – 2-е изд., стереотип. – М. : ФЛИНТА, 2011. – 271с.
