лекции матрица

Комплект лекций по Элементам высшей математики
Раздел Элементы линейной алгебры
Преподаватель Недерица А.Ю.
Тема Матрицы и определители
Занятие 1. Понятие о матрице и ее свойства. Действия над матрицами.
1. Понятие матрицы. Матрицей порядка m× n (размерности m× n) называют
прямоугольную таблицу чисел или буквенных выражений, содержащую m строк и n столбцов:
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы
обозначают заглавными латинскими буквами: А, В, С, …, а их элементы – строчными
буквами: aij ,bij , cij ; aij - элемент, стоящий на пересечении i -ой строки и j -ого столбца. Первый
индекс i - указывает номер строки, а второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит
элемент aij .
Пример:
- матрица A размера 3 на 3, её элемент, например, a12 (1-я строка, 2-ой столбец).
Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу
столбцов m = n. Это матрица вида
Матрица, не являющаяся квадратной, называется прямоугольной.
Диагональ квадратной матрицы, идущая от левого верхнего к правому нижнему углу
(т.е. составленная из элементов a11, a22 ,..., ann), называют главной диагональю.
Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих
матриц, т.е. A = B , если aij = bij при i = 1, m , j = 1, n .
Матрица, состоящая из одной строки и столбцов, называется матрицей – строкой или
строчной матрицей:(a1 a2 ....an )
Матрица, содержащая один столбец и строк, называется матрицей – столбцом или
столбцевой матрицей.
Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю. Её обозначают
буквой
O
или
Om×n
.
Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие не
на главной диагонали, равны нулю. Например, матрица
Квадратная диагональная матрица будет называться единичной матрицей порядка
,если все элементы ее главной диагонали равны единице, т.е.
Единичная матрица обозначается буквой E или En.
1.
Свойства матриц. Действия над матрицами.
Сложение матриц. Операция сложения вводится только для матриц одинаковых
размеров. Суммой двух матриц A = (aij) и B = (bij ) называется такая матрица C = (aij ) ,что cij
= aij + bij. Кратко пишут C = A + B .
Например, суммой двух квадратных матриц A и B третьего порядка называется
матрица, определяемая равенством
Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:
1) A + B = B + A (переместительное свойство);
2) ( ) A + B + C = A + (B + C) (сочетательное свойство);
3) A + O = A (роль нулевой матрицы).
Аналогично определяется разность двух матриц.
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A = (aij ) на число α
называется такая матрица B = (bij ) , что bij = αaij. Кратко пишут B = αA или B = Aα. Например
произведением числа m на квадратную матрицу A третьего порядка называется матрица,
определяемая равенством
Из определения произведения матрицы на число вытекает, что:
1) (α β ) A =α ( β A ) (сочетательное свойство относительно числового множителя);
2) α ( A + B ) = α A + α B (распределительное свойство относительно суммы матриц);
3) (α + β ) A = α A + β A (распределительное свойство относительно суммы чисел);
4) 1⋅ A = A (роль числового множителя 1);
5) 0⋅ A = 0 (роль нуля).
Умножение матрицы на матрицу. Произведением матрицы A = (aik ) , имеющей m
строк и n столбцов, на матрицу B = (bkj) , имеющей n строк и p столбцов, называется такая
матрица C = bij, имеющей m строк и p столбцов, у которой элемент cij равен сумме
произведений элементов i - ой строки матрицы A и j - го столбца матрицы B т.е. cij = ai1b1 j +
a2ib2 j + ... + aikbkj + ...ainbnj
Схематично произведение матриц A на B можно представить в виде:
Произведение A ⋅ B существует только тогда, когда число столбцов матрицы A равно
числу строк матрицы B (такие матрицы называются согласованными). При этом в
произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк 1-го множителя, а
число столбцов равно числу столбцов 2-го множителя.
Например, произведение двух квадратных матриц третьего порядка A и B
обозначается символом A ⋅ B и определяется равенством
В обратном порядке эти матрицы перемножить нельзя.
Пример.
Пример.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что для суммы и произведения
матриц справедливы следующие соотношения:
(A + B) ⋅ C = AC + BC – дистрибутивность
C ⋅ (A + B) = CA + CB – дистрибутивность
A(BC) = (AB)C - ассоциативность умножения
Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную
матрицу не меняет матрицу. Это свойство и объясняет её название «единичная».
Выполнение заданий на уроке. Понятие о матрице и ее свойства. Действия над
матрицами.
Пример 1. Сложить две матрицы
Решение:
Пример 2. Сложить и вычесть две матрицы, матрицу А умножить на 4.
Пример 3. Умножить матрицу A на 3, где
Решение:
Пример 4.Даны матрицы
Вычислить матрицу C = A⋅ B.
Решение:
Пример 5. Перемножить матрицы
Решение
Отсюда получаем, что A ⋅ B ≠ B ⋅ A .
Пример 6. Перемножить матрицы.
Решение:
Таким образом, A ⋅ B ≠ B ⋅ A .
Пример 7. Перемножить матрицы
Решение:
Таким образом, A⋅ B = B ⋅ A = 0, хотя A ≠ 0 , B ≠ 0.
Занятие 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1. Определители второго порядка
Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.
Определитель – это число, которое считается по определенным правилам. Порядок
определителя – это порядок квадратной матрицы. Если для задания матриц использовались
круглые скобки, то в теории определителей используют прямые скобки.
Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем
называть определителем матрицы, и укажем правило его вычисления. Обозначения:
A , d ( A) , det A , ( A).

 a11
 a 21
Дана матрица A  
a12 
 Определителем второго порядка называется
a 22 
.
число, вычисляемое по правилу:
a
a12
A  11
 a11  a22  a12  a21 .
a21 a22
Пример 1.
2 3
4
1
 2  1  4   3  14 .
2. Определители третьего порядка

 a11

Дана матрица A   a 21
a
 31
a12
a 22
a32
a13 

a 23  . Определителем третьего порядка
a33 
называется число, вычисляемое по правилу:
а11
а12
а13
A  а 21
а 31
а 22
а 23 
а 32
а 33
 а11  а 22  а 33  а 21  а 32  а13  а12  а 23  а 31 
а 31  а 22  а13  а11  а 32  а 23  а 21  а12  а 33 .
В каждом произведении нет чисел из одного столбца или одной строки.
Приведем схему для запоминания порядка получения слагаемых в определителе.
  
  
  
  
  
  


Произведение чисел на одной диагонали берется со знаком «+» (это главная
диагональ матрицы), а на другой – с противоположным знаком.
Пример 2.
1 2 3
4 5 6  1 5  9  7  2  6  3  4  8  3  5  7  1 6  8  2  4  9 
7 8 9
 45  84  96  105  48  72  225  225  0.
3. Алгебраические дополнения и миноры
Для вычисления определителей порядка больше третьего применяют другие способы
вычисления.

Минором элемента a ij определителя A называется определитель M ij ,
полученный из определителя
A вычеркиванием
i -ой строки и j -го столбца, на
пересечении которых стоит элемент a ij .
1
Пример
3.
Минор
определителя
M 12
4 5 6
7
M 12 
4 6
7 9
2 3
есть
8 9
(вычеркнули1 - ю строку и 2 - й столбец)  36  42  6 .

Алгебраическим дополнением Aij элемента a ij определителя называется
минор M ij , умноженный на  1i j :
Aij   1i  j  M ij .
2k
 1 и (1) 2k 1  1 .
Полезно запомнить, что (1)
Пример 4. В примере 3 алгебраическое дополнение
A12  (1)12 M 12  (1) 3
4 6
7 9
 (6)  6 .
4. Разложение определителя по строке или столбцу
Вычисление определителя n -го порядка можно свести к вычислению определителей
порядка n  1, используя следующие формулы.
1.
Разложение определителя по i -й строке:
n
  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain   aij Aij
j 1
Это число равно сумме произведений элементов любой i -й строки на их
алгебраические дополнения.
1
Пример 5. Вычислить определитель третьего порядка 0
1
первой строке.
Решение
3
2
5
2
4 разложением по
0
  a11  A11  a12  A12  a13  A13 
2 4
0 4
0 2
 1   111 
 3   11 2 
  2   113 

5 0
1 0
1 5
 20  3   4  2  2  20  12  4  12.
2.
Разложение определителя по j -му столбцу:
n
  a1 j A1 j  a 2 j A2 j  ...  a nj Anj   aij Aij
i 1
Это число равно сумме произведений элементов любого j -го столбца на их
алгебраические дополнения.
Независимо от способа разложения всегда получается один и тот же ответ.
5. Свойства определителей
1. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется:
A  AT .
Вывод. Свойства определителей, сформулированных для строк, справедливы и для
столбцов.
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на
противоположный. Например,
à11
à12
à
à
  21 22
a21 a22
a11 a12 .
3. Определитель равен нулю, если:
à11 à12
 0;
0
0
а) он имеет нулевую строку (столбец)
б) он имеет пропорциональные (одинаковые) строки (столбец)
а11
а12
k  a11
k  a12
 0.
4. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя.
Например,
mа11
k  a 21
mа12
а
 mk  11
k  a 22
a 21
а12
a 22
.
5. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки прибавить
(вычесть) соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.
Например,
a11
a12
a 21
a 22

a11
a12
(a11  ka 21 ) (a12  ka 22 )
.
6. Если в определителе каждый элемент строки есть сумма двух слагаемых, то этот
определитель равен сумме двух определителей:
(a1  b1 ) (a 2  b2 ) a1 a 2 b1 b2
.


c
d
c d
c d
7. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка
равен произведению определителей этих матриц:
A B  A  B .
8. Определитель квадратной матрицы треугольного вида равен произведению
элементов, стоящих на главной диагонали:
a1 b`1
0 b2
c2
0
c3
0
c1
 a1  b2  c3 .
6. Обратная матрица
Вместо операции деления матриц вводится понятие обратной матрицы.

Если при умножении квадратных матриц A и B в любом порядке получается
единичная матрица ( A  B  B  A  E ), то матрица B называется обратной матрицей для
квадратной матрицы A , а матрица A - обратная для матрицы B .
1
1
1
Обозначается обратная матрица A , то есть A  A  A  A  E .
Очевидна аналогия с числами: для числа 2 число ½ есть обратное, так как 2  1 / 2  1 .
1
Именно поэтому матрица, обратная к А, обозначается A .
Теорема «Необходимое и достаточное условие существования обратной
1
матрицы». Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную матрицу A , необходимо
и достаточно, чтобы определитель матрицы A был не равен нулю.
1
Правило нахождения обратной матрицы A
0) Смотрим, является ли матрица квадратной. Если нет, то обратной матрицы не
существует; если квадратная, то переходим к пункту 1.
1) Вычисляем определитель матрицы A   : если он не равен нулю, то обратная
матрица существует: À    0  À
1

если равен нулю, то обратной матрицы нет.
2) Для каждого элемента матрицы aij вычисляем его алгебраическое дополнение Aij .
3) Составляем матрицу из алгебраических дополнений, которая затем транспонируем:
T
 A11 ... A1n 
 A11 ... An1 
Aij T   ...
;



...    ... ... ... 
A

A

 n1 ... Ann 
 1n ... Ann  .
4)
...
Каждый
 A11


 A
A 1    
 A1n
 A 

элемент
матрицы
Aij T
делим
на
определитель
A:
An1 

A 
 .
Ann 
A  Получаем матрицу, обратную данной.

7. Нахождение обратной матрицы для матриц второго порядка
  2 4
 . Найти обратную матрицу.
 1 3
Пример 6. Дана матрица A  
Решение.
A
2 4
1
3
  2  3  1  4   10   0,
A11   1 11 3  3, A12   1 1 2 1  1,
A21   1 2 1 4  4, A22   1 2  2  2  2,
T
 3 1
 3  4

  
,

4

2

1

2




 3

A 1    10
  1
  10
4   3 4 
 

 10    10 10 
2   1
2
 

 10   10 10 
Проверка. Убедимся, что найдена действительно обратная матрица. Найдем
1
произведение матриц A и A .
 3 4    6  4    8  8  


1   2 4   10 10    10 10 
 10 10     1 0   Е
 
A  A  

2   3
3 4
6    0 1 
 1 3   1
      
 10 10    10 10   10 10  
8. Свойства обратной матрицы
1
1
1
1. ( A  B)  B  A ,
где А и В – невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка.
1 1
2. ( A )  A .
T 1
1 T
3. ( A )  ( A ) .
4. det( A
1
)
1
.
det A
Занятие 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных
преобразований строк (или столбцов) называется эквивалентной матрице А .
Обозначение: А ~ В .
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦЫ (СТРОК)
1.
Умножение некоторой строки на число   0 :
ПРИМЕР 1. Умножим 4-ю строку на (-2) или (короткая запись этого действия  2
4):
2.
Перестановка любых двух строк:
ЗАМЕЧАНИЕ. Обозначение действия "переставлены i-ая и k-ая строки": (i)  (k) .
ПРИМЕР 2. Переставим (поменяем местами) 1-ю и 4-ю строки или (короткая запись
этого действия (1)  (4) ) :
3.
Прибавление к i-ой строки k-ой строки, умноженной на число   0 :
ЗАМЕЧАНИЕ. Обозначение действия "прибавление к i-ой строки k-ой строки,
умноженной на число ":   0(i)   k
ПРИМЕР 3. Прибавим к 1-й строке 3-ю, умноженную на (-2) (короткая запись этого
действия (1)  (2) 3 ):
ПОЛУЧЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.
ТЕОРЕМА. Любую невырожденную матрицу с помощью конечного числа
элементарных преобразований строк (столбцов) можно привести к единичной.
Доказательство:
Доказательство этой теоремы заключается в приведении соответствующего
алгоритма:
НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНОГО
ЧИСЛА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
1.
Для матрицы
составим расширенную матрицу
2. Элементарными преобразованиями строк матрицы A | E приведём матрицу А к
ступенчатому виду так, чтобы по главной диагонали стояли 1 (алгоритм приведения
матрицы к ступенчатому виду представлен ниже)
3. Элементарными преобразованиями строк матрицы А~ | E привести матрицу ~А
к единичной (алгоритм приведения ступенчатой матрицы к единичной представлен ниже)
:
4.
Полученная матрица С является обратной к матрице А : С  А1.
Рассмотрим подробно алгоритмы приведения матриц к ступенчатому (в частности,
к треугольному, трапециевидному) и единичному виду.
ЗАМЕЧАНИЕ. Наиболее простой общий вид имеют квадратные матрицы, поэтому
алгоритмы приведения матриц к ступенчатому виду мы будем рассматривать на примере
квадратных матриц. Для матриц произвольной размерности действует аналогичный алгоритм.
ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ А К СТУПЕНЧАТОМУ ВИДУ
1.
Из всех строк матрицы А выберем ту, у которой первый элемент равен 1 и
поставим эту строку на 1-е место. Если такая строка отсутствует, выберем любую строку
1
(пусть для определённости, это будет 1-я строка) и умножим её на а .
11
Тогда получим матрицу:
В 1-й строке изменились все элементы: первый равен 1, остальные стали a11 j :.
2.
Из каждой последующей строки вычитаем 1-ую, умноженную на ai1:
(i ) - ai1  (1), i  2,3,.., n и получаем матрицу, в первом столбце которой все элемент
ниже a11 - нулевые:
ЗАМЕЧАНИЕ. Здесь (и далее) верхний индекс i  2,3,.., n указывает, на
каком
шаге
были
получены
новые
элементы
строки.
1
3. Теперь умножаем 2-ю строку на а2 и получим матрицу:
22
4. Из каждой последующей строки вычитаем 2-ую, умноженную на a2i2 :
(i )- a2i2  (2), i  3,4,.., n и получим матрицу, в первом и втором столбцах которой все
элементы ниже a11 =1и a22 =1 - нулевые:
5. Аналогично действуя с оставшимися строками, получаем ступенчатую матрицу, у
которой на главной диагонали стоят 1(aii  1, i  1,2,.., n ), а все элементы, стоящие ниже
элементов главной диагонали - нулевые:
Замечание . в итоге рассмотренных преобразований мы можем получить:
 треугольную матрицу, элементы главной диагонали которой все равны 1 - далее мы
можем привести её к единичной матрице соответствующего порядка (см. ПРИВЕДЕНИЕ
СТУПЕНЧАТОЙ МАТРИЦЫ К ЕДИНИЧНОЙ)
 ступенчатую матрицу общего вида (где среди элементов главной диагонали есть
нулевые) - далее эту матрицу мы можем привести к ступенчатой матрице единичного вида,
все элементы главной диагонали которой равны либо 1, либо 0, а все остальные элементы
равны 0
ПРИВЕДЕНИЕ СТУПЕНЧАТОЙ МАТРИЦЫ К ЕДИНИЧНОЙ
Дана матрица
1.
Вычитаем последнюю строку из всех предшествующих так, чтобы в последнем
столбце все элементы, кроме ann =1, стали равны 0:
2.
Аналогично вычитаем из всех строк (n 1)-ую строку, умноженную на
соответствующие коэффициенты (так, чтобы все элементы (n 1)-го столбца, кроме an1n1=1,
стали равны 0. Продолжая процесс далее, получим единичную матрицу Е :
РАНГ МАТРИЦЫ. РАНГ СТУПЕНЧАТОЙ МАТРИЦЫ. ТЕОРЕМА О
БАЗИСНОМ МИНОРЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рассмотрим матрицу размера Аmn и выберем в ней
произвольным образом s -строк и s -столбцов (1 s  minm,n, где minm,n-меньшее из чисел
m и n ). Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу
порядка s , определитель которой называется минором M порядка s данной матрицы.
ПРИМЕР. Дана матрица размера 35
Выберем в ней произвольные 2 строки и 2 столбца, например 2-я и 3-я строка
и 3-й и 4-й столбец :
Тогда минор 2-го порядка для данной матрицы состоит из элементов, стоящих на
пересечении выбранных строк и столбцов:
Теперь перейдём к определению ранга матрицы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Наивысший порядок r отличного от нуля минора матрицы А
называют рангом матрицы А.
Обозначение: r  rang A  rA.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если rang A  r , то существует хотя бы один минор r-го порядка, не
равный нулю, а все миноры (r+1)-го порядка равны нулю.
СВОЙСТВА rang A
1. rang A  r - целое число: r 0, min(m, n)
2. rang A  0  A  0
3. rang A  n , если Аnn - невырожденная (т.е. det А  0 ).
ЗАМЕЧАНИЕ. Понятие ранг матрицы является очень важным в курсе алгебры (в
частности, при нахождении решений систем линейных уравнений). Поэтому важно уметь
быстро и правильно находить ранг матрицы.
СПОСОБЫ НАХОЖДЕНИЯ РАНГА МАТРИЦЫ
1.
Метод окаймляющих миноров.
По определению, для того чтобы найти ранг матрицы, необходимо найти среди
миноров порядка (r 1) хотя бы один ненулевой и доказать, что все миноры порядка r равны
нулю или не существуют. Иногда это может быть достаточно трудоёмкой задачей, т.к. даже у
небольшой матрицы 3-го порядка 9 миноров 1-го порядка, 9 миноров 2-го порядка, 1 минор 3го порядка.
Метод окаймляющих миноров позволяет сократить количество вычисляемых миноров
и имеет простой алгоритм:
1. Выбираем минор 1-го порядка (это некоторый элемент матрицы), отличный от нуля
(если это невозможно, то ранг, очевидно, равен нулю).
2. Добавляем к выбранному элементу матрицы строки и столбцы матрицы так, чтобы
получился не равный нулю минор 2-го порядка. (если это невозможно, значит ранг равен 1).
3. Продолжаем процесс аналогично п.2. и если не удаётся найти минор более
высокого порядка, отличный от нуля (или он вообще не существует), то ранг равен порядку
неравного нулю минора, найденного на предыдущем шаге.
2.
С помощью элементарных преобразований строк (столбцов) матрицы.
Этот метод базируется на двух утверждениях:
1. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях её строк
(столбцов).
2. Число ненулевых строк ступенчатой матрицы равно её рангу.
Поэтому, для того чтобы вычислить ранг матрицы, необходимо с помощью
элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду и посчитать количество
ненулевых строк.
Далее введём определение одного важного теоретического понятия, которое
Тема. Системы линейных уравнений
Занятие 1. Решение систем линейных уравнений.
1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.
Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида
В этой системе х1, х2, х3 искомые величины, коэффициенты {аij } -коэффициенты при
неизвестных,b1,b2,b3 -свободные члены.
Определение. Решением системы линейных уравнений называется такие значения
тройки х1, х2, х3, которые после подстановки в уравнения превратят их в тождества.
Замечание. Решение системы линейных уравнений не изменится при следующих
операциях
Перестановки уравнений.
Умножении всех коэффициентов уравнения и свободного члена на одно и тоже
число.
Почленное сложение (вычитание) уравнений.
Теорема. Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при
неизвестных, отличен от нуля, то система имеет единственное решение.
Замечание. Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при
неизвестных, равен нулю, то возможны две ситуации: или система не имеет решений или
система имеет бесчисленное количество решений.
Замечание. Если система имеет единственное решение, то она называется
совместной.
Теорема. Правило Крамера.
Обозначим
Определитель матрицы, составленные из коэффициентов при неизвестных.
Определители матриц полученных из матрицы коэффициентов, заменой
соответствующего столбца столбцом свободных членов.
Если, определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля, то решение системы
линейных уравнений может быть вычислено по формулам
Пример. Решить систему уравнений методом Крамера.
Замечание. Метод Крамера на практике почти не используется, так как при большом
числе уравнений количество числовых операций, необходимых для решения системы
уравнений очень велико.
2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Количество численных операций в методе Гаусса приблизительно равно количеству
операций необходимых для вычисления одного определителя. Поэтому этот метод
используется чаще.
Метод состоит из двух проходов: прямом проходе и обратном проходе. На прямом
проходе система преобразуется таким образом, чтобы матрица коэффициентов при
неизвестных стала треугольной.
На обратном проходе происходит поочередное вычисление переменных. Рассмотрим
метод Гаусса на примере решения системы из трех уравнений.
Прямой проход.
Шаг №1. Первое уравнение оставим без изменений, а второе и третье преобразуем
так, чтобы коэффициенты при x1 и x2 равнялись 0. Для этого, второе и третье уравнения
умножим соответственно на
После этой операции при x1 будет стоять коэффициент a11, т.е точно такой же как и в
первом уравнении. Вычтем из первого уравнения второе уравнение и результат оставим на
месте второго уравнения. Вычтем из первого уравнения третье уравнение и результат оставим
на месте второго уравнения. Получим систему следующего вида
Первые два уравнения оставим без изменения, а третье преобразуем так, чтобы
коэффициент при x2 равнялся 0. Для этого третье уравнение умножим на
второго. В итоге получится система вида
и вычтем из
Замечание. При проведении преобразований, коэффициенты при неизвестных
меняются.
Поэтому, например,a33 в исходной системе линейных уравнений отличен от этого же
коэффициента в последующих системах.
Обратный проход.
Из третьего уравнения последней системы находим x3.
Подставляем во второе уравнение
Находим из этого уравнения неизвестную
Подставляем найденные значения в первое уравнение последней системы
Из последнего уравнения находим
Таким образом, найдены значения для всех трех неизвестных x1,x2, x3 в формулах
(3),(2), (1).
Пример. Решить систему методом Гаусса.
3.
Решение систем 3-х линейных уравнений методом обратной матрицы.
Заметим, что систему линейных уравнений
можно записать в матричной форме
,
в более краткой форме
где
Умножим обе части выражения (*) на матрицу А-1(обратную к матрице ).
Так как произведение матрицы на обратную (и наоборот) есть единичная матрица
А-1.А=Е, а произведение единичной матрицы на вектор есть сам вектор Е.Х=Х.
Получаем формулу для вычисления корней системы линейных уравнений при
помощи обратной матрицы: Х=А-1Е
Из этой формулы следует, что нахождение решения системы линейных уравнений
сводится к нахождению матрицы, обратной к матрице из коэффициентов уравнения и
умножения ее на столбец свободных членов.
Пример. Решить систему методом обратной матрицы.