лабораторная работа n 3 - Томский политехнический университет

Федеральное агентство по образованию РФ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Томский политехнический университет
УТВЕРЖДАЮ
Декан АВТФ
_____________С.А. Гайворонский
«___»_________________2008г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ
Методические указания к выполнению лабораторной работы № 2
«Исследование частотных характеристик линейных звеньев и систем »
по дисциплине
«Математические основы общей теории систем»
для студентов направления 010500
«Прикладная математика и информатика»
Томск 2008г.
УДК 681.513.2
Математические основы общей теории систем. Методические указания к
выполнению лабораторной работы № 2. «Исследование частотных
характеристик линейных звеньев и систем » по дисциплине «Математические
основы общей теории системе» для студентов направления 010500
«Прикладная математика и информатика». – Томск: Изд. ТПУ, 2008. - 11с.
Составители – доц. канд. техн. наук Ю. В. Бабушкин
Резензент – доц. канд. техн. наук В. Г. Гальченко
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изучению
методическим
семинаром
кафедры
прикладной
математики
«___»_________2008г.
Зав. кафедрой
Проф. д-р физ. -мат. наук _________________Григорьев В.П.
2
Лабораторная работа N 2
Тема: исследование частотных характеристик линейных звеньев и
систем
1. Цель работы
Целью лабораторной работы является построение теоретических
частотных характеристик, а также приобретение практических навыков по
получению экспериментальных частотных характеристик линейных систем
при подаче на их вход гармонического воздействия.
2. Основные теоретические положения
Пусть дано линейное звено или система (далее система) с одной
входной f(t) и одной выходной y(t) переменными (рис.1),
f(t)
W(p)
F(p)
y(t)
Y(p)
Рис. 1. Структурная схема системы
описываемая передаточной функцией вида
a 0 p m  a 1p m 1  ...  a m 1p  a m
Y ( p)
 W ( p) 
,
F(p)
b 0 p n  b1p n 1  ...  b n 1p  b n
(1)
где b i , i  0,...,n; a i , i  0,...,m - коэффициенты, характеризующие параметры
системы.
Частотные характеристики системы получают следующими способами.
2.1. Теоретический способ получения частотных характеристик систем
В операторе p    j необходимо значение  принять равным нулю.
Тогда выражение (1) примет вид
a 0 ( j) m  a 1 ( j) m 1  ...  a m 1 j  a m
W ( j) 
b 0 ( j) n  b1 ( j) n 1  ...  b n 1 j  b n
(2)
и называется комплексной передаточной функцией системы (КПФ).
3
Комплексную функцию можно представить в виде вещественной и
мнимой частей
W( j)  P()  jQ () ,
(3)
где P() - называется вещественной частотной характеристикой (ВЧХ);
Q() - называется мнимой частотной характеристикой (МЧХ), а также в
показательной форме
W( j)  A()e j( )  A() cos(())  jA () sin( ()) ,
(4)
где A()  W( j) - называется амплитудной частотной характеристикой
(АЧХ); () - называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).
Связь между частотными характеристиками системы имеет вид (рис.2).
Im W(jω)
W(jω)
Q(ωi)
ω=ωi
A(ωi)
W-плоскость
φ(ωi)
P(ωi)
Re W(jω)
Рис. 2. Комплексная W-плоскость
A()  P 2 ()  Q 2 () ,
P()  A() cos(()) ,
Q()  A() sin( ()) ,
(5)
 Q() 

()  arctg
 P() 
Задавая различные значения   i , i = 1,2,... в диапазоне частот от
нуля до бесконечности и рассчитывая P(i ), Q(i ), A(i ), (i ) , можно
построить все частотные характеристики системы.
Изображение КПФ на комплексной плоскости W( j) называется
амплитудной фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).
4
При синтезе систем используют логарифмические амплитудночастотные характеристики (ЛАЧХ)
L()  20 lg A() , дБ.
(6)
Методика построения логарифмических частотных характеристик
одноконтурной разомкнутой системы состоит из следующих этапов. Пусть
передаточная функция разомкнутой одноконтурной системы представлена в
виде
n
W(p)  П Wi (p) ,
(7)
i 1
где Wi (p) - передаточная функция i-го элементарного звена:
W1(p)=k – усилительное звено; звено;
W2(p)=kp – идеальное дифференцирующее
W3(p)=k/p – идеальное интегрирующее звено;
W4(p)=k/(T1p+1) – апериодическое звено;
W5(p)=T2p+1 – реальное дифференцирующее звено первого порядка;
W6(p)=k/(T2p2+2  Tp+1) – колебательное звено;
W7(p)=T2p2+2  Tp+1 – дифференцирующее звено второго порядка.
В этом случае для построения логарифмической амплитудно-частотной
характеристики необходимо выполнить следующие этапы:
1.
Определить
опорные
(сопрягающие)
частоты
звеньев
( c1  1 / T1  c 2  1 / T2  ......). Вычислить десятичные логарифмы от частот
сопряжения и нанести их на оси абсцисс.
2. Провести низкочастотную асимптоту L(  ), представляющую собой
при lg( )  lg( c1 ) прямую с наклоном  20 децибел на декаду, если
система содержит  интегрирующих звеньев, или с наклоном  20m децибел
на декаду, если система содержит m идеальных дифференцирующих звеньев.
В первом случае эта прямая пересекает ось абсцисс на частоте    k , во
1
втором случае   m , где k – коэффициент преобразования системы.
k
Если система статическая, то есть   m  0 , то до частоты
lg( )  lg( c1 ) ЛАЧХ будет иметь нулевой наклон к оси абсцисс и отстоять от
нее на величину 20lg(k).
3. Продолжается построение ЛАЧХ, изменяя наклон L(  ) после
каждой из опорных частот в зависимости от того, какому звену эта частота
принадлежит. При этом каждое апериодическое и дифференцирующее звено
первого порядка, начиная с опорной частоты изменяет наклон ЛАЧХ на -20
или +20 дб/дек соответственно, а колебательное и дифференцирующее звено
2-го порядка на -40 и +40 дб/дек соответственно.
5
4. Пользуясь кривыми поправок [2,3], можно уточнить ЛАЧХ.
Фазовая частотная характеристика системы определяется как сумма
значений фазовых частотных характеристик каждого из элементов системы
на фиксированной частоте.
Пример. Для передаточной функции разомкнутой системы
W ( p) 
k (T1p  1)
, k  100, T1  0.1c, T2  1c, T3  10c
p (T2 p  1)(T3 p  1)
2
построить логарифмические частотные характеристики.
Решение. Выражение для ЛАЧХ имеет вид
L()  20 lg( k )  20 lg (T1) 2  1  40 lg( )  20 lg (T2 ) 2  1  20 lg (T3) 2  1
 20 lg(100)  20 lg (0.1) 2  1  40 lg( )  20 lg () 2  1  20 lg (10) 2  1 .
Находим частоты сопряжения c1  1 / T1  1 / 0.1  10;
c 2  1/ T2  1/ 1  1; c 3  1/ T3  1/ 10  0.1 . Вычислим десятичные логарифмы
lg( c1 )  1; lg( c 2 )  0; lg( c 3 )  1. Cтроим координатные оси и откладываем
сопрягающие частоты (рис.3).
Далее,
пользуясь
приведенной
методикой, строим ЛАЧХ.
Выражение для фазовой частотной характеристики имеет вид
()  1   2  3   4 ,
(8)
где 1  ;  2  arctg (T1); 3  arctg (T2 );  4  arctg (T3 ) .
Итоговая фазовая частотная характеристика получается графическим
суммированием фазовых характеристик отдельных звеньев системы.
При изучении устойчивости систем требуется построение кривой
Михайлова.
Для этого необходимо:
- знаменатель передаточной функции (характеристическое уравнение)
представить в виде
B( j)  M()  jN () ;
(9)
- задавая различные значения   i , i=1,2,... от нуля до бесконечности,
получить M(i ), N(i ) ;
- построить B( ji ) ) в B-плоскости.
6
L( ), дб
60
40
, рад / c
20
-20
-3
-2
-40
-1
0
1
 c1
c 2
c3
2
2
lg( )
100
декада

2

2

(), рад
2
3
1
4
lg()
()
 3
2
Рис. 3. Построение логарифмических частотных характеристик
2.2. Экспериментальный способ получения частотных характеристик
систем
В ряде случаев получить передаточную функцию в классической
форме не удается, поэтому для построения частотных характеристик
используется экспериментальный метод. Схема экспериментальной
установки для получения частотных характеристик представлена на рис.4.
7
f(t)=Amsin(ωit)
y(t)=Bmsin(ωit+φ(ωi))
Генератор
синусоидальных
колебаний
Система
Измеритель
амплитуды
Измеритель
разности
фаз
Рис. 4. Схема экспериментальной установки для получения частотных
характеристик систем
С генератора синусоидальных колебаний на вход системы подается
сигнал переменной частоты   i , i = 1,2,... и определенной амплитуды A m .
После установления переходных процессов в системе производится измерение амплитуды выходного сигнала B m , периода T и разности фаз t
(Рис. 5).
f(t)=Amsin(ωit)
y(t)=Bmsin(ωit+φ(ωi))
Bm Am
t
δt
T
Рис. 5. К определению сдвига фазы сигналов
8
Амплитудно-частотная характеристика рассчитывается как отношение
амплитуд выходного и входного сигналов при различных значениях частоты
i .
A ( i )  B m ( i ) / A m ( i ) .
(10)
Фазовая
соотношений
частотная
характеристика
i 
определяется
с
помощью
2
, (i )  ti ,   3.14159 .
Ti
(11)
Использование формул связи (3), соотношений (11) и рис. 5 позволяет
получить все частотные характеристики системы.
3. Варианты заданий
Вид передаточной функции звена (системы)
W ( p) 
a 0 p  a1
,
b 0 p  b1 p 2  b 2 p  b 3
3
где a 1  1, b 3  1 .
Варианты заданий исходных данных приведены в таблице 1.
Таблица 1.
П
№ 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
b2
0.6
П
0.7 0.8 0.9
П
b1
П
0.3
П
0.4 0.5
0.2
П
П
0.9
П 0.25 0.12 0.1
П
0.8 0.7
П
0.8
b 0 0.02 0.01 0.02 П 0.03 0.03 П 0.01 0.02 П 0.01 0.03
9
4. Порядок выполнения работы
4.1. Для заданного варианта найти выражения для определения всех
теоретических частотных характеристик системы и кривой Михайлова.
4.2. Составить расчетные таблицы и построить графики:
- частотных характеристик P(i ), Q(i ), A(i ), (i ), L(i ) .
- АФЧХ системы в W-плоскости.
- Кривую Михайлова в B-плоскости.
4.3. Запустить пакет программ ТАУ-1 на диске Х в разделе Tsoft\Tau1
файл taу.bat.
4.4. В меню выбрать программу SPECTR - спектральные свойства
систем (прохождение сигналов через линейные системы).
4.5. Задать параметры передаточной функции системы согласно заданному варианту и получить искомые частотные характеристики.
4.6. Экспериментально найти частотные характеристики системы. Для
этого рекомендуется подавать сигнал на вход системы с единичной
амплитудой и разным периодом. Результаты отобразить в таблице 2 и на
теоретических частотных характеристиках системы.
Таблица 2
2 рад
Am
B m t, c , рад A() P() Q() L(), дБ
T, c   ,
T с
5. Контрольные вопросы
5.1. Для каких целей определяются частотные характеристики звеньев и
систем?
5.2. Дайте физический смысл амплитудной и фазовой частотных
характеристик.
5.3. Обоснуйте необходимость получения логарифмических частотных
характеристик.
6. Требования к отчету
В отчете должны быть представлены: цель работы, структурная схема
системы,
исходные
данные,
результаты
аналитического
и
экспериментального изучения системы, ответы на контрольные вопросы,
выводы.
10
Литература
1. Основы автоматического регулирования и управления. Под ред. В.М.
Пономарева, А.П. Литвинова, М., Высшая школа, 1974 г.
2. Сборник задач по теории автоматического регулирования и
управления. Под ред. В.А. Бесекерского, М., Наука, 1978 г.
3. Справочное пособие по теории систем автоматического
регулирования и управления. Под ред. Е.А. Санковского, Мн., Вышэйш.
школа, 1973 г.
11