ПР2. Построение математических моделей элементов и

1
Практическая работа 2 по ТАУ для специальности ТМС
Построение математических моделей элементов
и структурной схемы системы управления
1. Постановка задачи. Построить математические модели элементов, составить
структурную схему системы.
2. Основы построения математических моделей элементов систем управления
Для анализа систем управления используются математические модели элементов систем управления в виде дифференциальных уравнений, передаточных функций. В данной работе используются простые динамические звенья: безинерционное,
апериодическое звено первого порядка, интегрирующее звено, колебательное звено.
Математические модели строятся в виде передаточных функций, которые находятся
на основании паспортных данных элементов системы или на основании мысленных
экспериментов и условных кривых переходных процессов.
1. Построение математической модели апериодического звена 1 порядка
Модели первого порядка используются для описания многих инерционных
звеньев с одним доминирующим корнем. Например, для описания объектов управления с большой инерционностью, фильтрацией высокочастотных и среднечастотных сигналов и экспоненциальным переходным процессом.
Передаточная функция апериодического звена первого порядка
W ( p) 
k
Tp  1
имеет два параметра: коэффициент передачи k и постоянную времени Т.
Коэффициент передачи k определяется на основании статической характеристики элемента. Постоянная времени T – на основании паспортных данных о величине
времени выхода выходной переменной на установившееся значение при ступенчатом
изменении входного сигнала.
2
Пример1: Пусть для измерения регулируемой
Р вых, кг/см2
переменной используется датчик температуры
1,0
с пневматическим выходным сигналом.
Диапазон изменения температуры датчи0,2
Т-ра, 0С
0,0
ка составляет 0-1000С, диапазон изменения выходного сигнала датчика 0,2-1,0 кгс/см2. Стати-
100
ческая характеристика
Рис. 1
имеет вид, показанный
на рис. 1.
Коэффициент передачи датчика
k
P 0,8

 0.008 [кгс/см 2 0 С ]
 100
Пусть в паспорте указано время выхода на установившееся значение
tпер  12 сек Тогда из известного соотношения, что время вхождения экспо-
ненты в 5%-ный коридор от нового значения составляет tпер  3  Т постоянная
времени элемента равна Т 
tпер
3

12
 4[сек]
3
W ( P) 
Тогда передаточная функция будет иметь вид
0,008
4p 1
Пример 2: Допустим, что надо стабилизировать температуру Тзад = 420С. В качестве
датчика используется термопара. Пусть термопара работает с нормирующим преобразователем ПТТП, преобразующим сигнал термопары в сигнал постоянного тока 0 – 5
мА. За счет изменения термоЭДС на спае двух различных металлов термопара выдает электрический сигнал согласно своей градуировке. Например, в диапазоне 0 –
6000С термопара выдает эдс 44 – 68 мВ. Преобразователь ПТТП настраивается на
данный диапазон входного сигнала.
0 - 6000С
ТП
44 – 68mv
0 – 5 mA
ПТТП
Статическая характеристика ПТТП имеет вид, представленный на рис. 2.
3
Коэффициент передачи равен
ImA
5
k
I
5

 0.208 [mA / mV]
U 68  44
При времени переходного процесса tпер  1, 2сек
Umv
0
44
68
передаточная функция
W ( p) 
Рис. 2
будет иметь вид
0.208
0.4 p  1
Пример 3. Построение модели инерционного звена на основе экспериментальной кривой переходного процесса. Построим математическую модель камеры для нагрева заготовок. Нагрев камеры производится
электрическими нагревательными элементами. При изменении тока нагревательных элементов с I 0  10 а до
I1  12 а температура в камере
Тт
изменилась с начальной темпе-
12
ратуры T0  600 C до
T1  660 0C по графику, приве-
Т,0С
денному на рис. 3.
Переходной процесс экспоненциальный, следовательно, можно
t
10
0
Tуст
660
600+0,63ΔT
T0
использовать модель первого по-
k
рядка W ( p) 
.
Tp  1
600
T=20
tпер=60
t,мин
Рис. 3.
Находим коэффициент передачи объекта управления по отношению приращений выходной величины к входной k 
y T1  T0 660  600 60



 30 0С / а .
x I1  I 0
12  10
2
Постоянную времени можно определить тремя способами.
Первый вариант согласно методике, описанной выше T 
tпер
3

60
 20 мин .
3
4
Полученная передаточная функция W ( p) 
k
30
.

Tp  1 20 p  1
Второй вариант определения постоянной времени – провести касательную к
кривой переходного процесса в начале координат, пересечение касательной линии
установившегося значения происходит через время t  T .
Третий вариант определения постоянной времени – провести горизонтальную
времени на уровне 63% от приращения выходной переменной. Эта линия пересечет линию переходного процесса также при t  T .
Пример 4. Построение модели объекта управления системы регулирования температуры в реакторе. Имеется реактор идеального смешения с рубашкой (рис. 4).
Необходимо построить передаточную функцию по каналу: температура воды в
рубашке - температура реагента на выходе реактора. Параметры процесса:
G1 ,G2 - соответственно, объемный расход реаG1, 1 ,1,Т1
гентов на входе и выходе реактора,
GТ, Тт
T1 , T2 , Tт - температура реагентов на входе, вы-
ходе и теплоносителя в рубашке,
 1 ,  2 , 1 ,  2 - теплоемкости и плотности реа-
гентов на входе и выходе реактора.
G2, 2, 2,Т2
Запишем уравнение теплового баланса, считая, что за счет интенсивного перемешивания,
температура реагента в реакторе во всех точ-
Рис. 4
ках одинакова.
Изменение количества тепла в реакторе за время dt равно
dT2
 G1  1 1T1  G 2  2  2 T2  KF (TT  T2 )
dt
0
0
ккал 0 С
м 3 кг ккал
м 3 кг ккал
ккал
3 кг
[м
][
С]  [
С]  [ 2
м 2 0 С ]
3
0
3
0
3
0
0
час м кг  С
час м кг  С
м кг  С час
м  час С
V 2  2
Переобозначим переменные
V 2 2  const  a G1 1 1  const  a1
G2  2 2  const  a2
KF  const  b
5
a
dT2
 ( a 2  b)T2  a1Т 1  bTT
dt
Разделим все члены на коэффициент при выходной переменной
 a  dT2
 a 
 b 


TT
 T2   1 T1  
a

b
dt
a

b
a

b
 2

 2

 2

Т1(p)
Обозначим
k1
Tp  1
Тт(p)
a1
 k1 ;
a2  b
Т2(p)
k2
Tp  1
Тогда
T
b
 k2
a2  b
;
a
T
a2  b
dT2
 T2  K1T1  K 2TT .
dt
Преобразуем уравнение по Лапласу и
Рис. 5
получим передаточные функции
T2 ( p)(Tp  1)  k1T1 ( p)  k 2TT ( p )
T2 ( p ) 
k1
k
T1 ( p)  2 TT ( p)
Tp  1
Tp  1
Структурная схема объекта управления приведена на рис. 5. Таким образом,
объекты теплопередачи могут быть описаны дифференциальным уравнением первого порядка по каждому каналу теплопередачи.
По каналу: температура реагента на входе - температура реагента на выходе реактора
W1 ( p) 
k1
.
Tp  1
По каналу: температура теплоносителя в рубашке - температура реагента на
выходе реактора
W2 ( p) 
k2
.
Tp  1
Нахождение значений параметров моделей можно произвести на основании
полученных выражений. Более точно можно определить параметры моделей на
основании экспериментальных переходных кривых изменения температуры на
выходе емкости при ступенчатом изменении температуры на входе или температуры теплоносителя в рубашке емкости по рассмотренной выше методике построения модели апериодического звена первого порядка.
6
2. Математическая модель интегрирующего элемента
Пример 1. Построение математической модели объекта управления ОУ системы
регулирования уровня. Функциональная и структурные схемы ОУ приведены
на рис. 6. Имеется емкость, в которой необходимо стабилизировать уровень. Объемные расходы реагентов на входе и выходе, соответственно, G1 ,G2 . Геометрические размеры емкости – объем V, сечение S.
G1(p)
G1
W1
G1
ОУ
G2
H
H(p)
H
G2(p)
W2
G2
Рис. 6
Запишем уравнение материального баланса:
 пусть начальный объем реагента в емкости при t  0 равен V0 ,
 за время dt в емкость пришло жидкости G1dt , ушло из емкости G2dt ,
 значение объема на момент времени t  dt равно V1  V0  dV  G1dt  G2dt [м3 ] ,
 изменение объема dV за время dt равно разности объемов поступившего в емкость и вышедшего из емкости:
dV  V1  V0  G1dt  G2dt [м3 ]
или
dV
 G1  G2 [м 3 / час]
dt
 объем жидкости равен V  S  H , тогда dV  S  dH .

уравнение, описывающее зависимость уровня от входного и выходного расходов будет иметь вид
S
dH
 G1  G2 [м3 / час]
dt
Используя преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях НУ,
запишем
SpH ( p)  G1 ( p)  G2 ( p) [м 3 / час]
H ( p) 
1
1
G1 ( p ) 
G 2 ( p ) [м]
Sp
Sp
обозначим
1
k
S
7
k
k
G1 ( p )  G 2 ( p ) [м]
p
p
H ( p) 
При использовании в качестве управляющего воздействия G1 или G2 , передаточная функция по управляющему воздействию, соответственно, будет
W1 ( p) 
k
p
или W2 ( p)  
k
.
p
1
S
Значение коэффициента k  .
Построение модели объекта управления при неизвестных геометрических
размерах производится на основании экспериментальных данных. Пусть имеется
емкость, объем которой V  4 м3 , сечение S  2 м 2 , но нам размеры неизвестны. Произведем эксперимент. Откроем входной вентиль на заданное значение расхода,
например G1  2 м3 / час и запишем график изменения уровня жидкости в емкости.
Уровень будет расти от начального значения Н 0 со скоростью, записанной на графике (см. рис. 7). При данном расходе за t  0,5часа в емкость поступит V  1 м3
жидкости и уровень увеличится на Н  0,5 м , что и отображено на экспериментально полученном графике на рис. 7.
Мы знаем расход и имеем график изменения уровня жидкости в процессе
эксперимента. При постоянном значении входного сигнала G1  2 м3 / час  const выходная переменная изменяется с постоянной скоростью, следовательно, мы имеем
интегрирующее звено.
Запишем уравнение математической модели интегрирующего звена - скорость изменения выходной переменной пропорционально входному сигналу
Н, м
0,5
dH
H
 kG1 или в приращениях
 k G1
dt
t
Согласно графику,
t, час
0
0,5
Рис. 7
k
H 0,5

 1 м / час , тогда
t 0,5
H
3
t  1м / час  0,5 .
G1
2 м3 / час
Тогда передаточная функция объекта
8
управления W ( p) 
k 0,5
. Полученное значение коэффициента совпадает с ис
p
p
ходными данными
k
1
 0,5 .
S
3. Математическая модель реального интегрирующего элемента
Реальное интегрирующее звено имеет пех
реходной процесс с постепенным выходом на постоянную скорость роста выходного сигнала (ли2
ния 2 на рис. 8) по отношению с переходным
1
процессом идеального интегрирующего звена
0
t
(линия 1 на рис. 8). Такой переходной процесс
имеет электрический привод, вследствие посте-
Рис. 8
пенного увеличения его скорости при включении.
Передаточная функция реального интегрирующего звена имеет вид
W ( p) 
k
.
p(Tp  1)
Данное звено можно представить в виде последовательно включенных звеньев первого порядка и идеального интегрирующего звена (рис. 9).
u
k
Tp  1
 рад / с
k
p
 рад
Рис. 9. Модель реального интегрирующего звена
Тогда определению подлежат параметры k и T звена первого порядка.
Найдем значения данных параметров на основании экспериментальной переходной кривой изменения скорости двигателя при его включении по рассмотренной
выше методике построения модели первого порядка.
Пусть при включении двигателя на напряжение u  100в двигатель в течение tпер  0, 2 сек по экспоненциальной кривой набрал скорость n  1000 об / мин , что
соответствует угловой скорости   104 рад / с (рис. 10).
9
Тогда коэффициент передачи от напряжения на скорость равен
k
 104

 1,04 рад / св .
u 100
Постоянную времени оценим по
u
времени переходного процесса
100
t
0
 рад / с
T
tпер
3
 0, 2 сек .
Передаточная функция по скорости
 уст
W ( p) 
104
1,04
.
0, 2 p  1
Угол поворота выходного вала явtпер=0,2
0
t,c
ляется интегралом от скорости
t
Рис. 10.
    dt . Следовательно, чтобы пре0
образовать скорость выходного вала в угол поворота выходного вала следует добавить интегрирующее звено, что и показано на рис. . Передаточная функция от
напряжения на угол поворота выходного вала
W ( p) 
1,04
.
p(0, 2 p  1)
4. Математическая модель колебательного звена
Передаточная функция колебательного звена второго порядка обычно записывается в одном из двух видов
k
k
k  2
k*
T22
W ( p)  2 2

 2

T2 p  T1 p  1 p 2  T1 p  1
p  2 p   2 p 2  2 p   2
T22
T22
р 

1
- расчетная частота собственных колебаний системы,
T2
T1
- коэффициент затухания системы.
2T2
ф   р 1   2 - фактическая частота собственных колебаний с учетом коэффици-
ента затухания системы.
При   1 система задемпфирована, переходные процессы апериодические,
10
  1 система на границе демпфирования,
0    1 система колебательная,
  0 при T1  0 - коэффициент при первой производной выходной перемен-
ной равен 0, система чисто колебательная.
Таким образом, при изменении от   0 до   1 система изменяет свои характеристики от чисто колебательного звена до апериодического звена второго
порядка. Количественные значения параметров колебательного звена можно
найти по кривой экспериментального переходного процесса.
А, в
3,5
3
А1=2,89
2,5
2
1,5
1
kx0=2
А2=2,17
Т=13
0,5
0
t, сек
0
10
20
30
40
Рис. 11. График переходной функции
50
На рис. 11 приведен график переходного процесса колебательного звена с
передаточной функцией
W ( p) 
2
4 p  p 1
2
при подаче на вход единичной ступенчатой функции.
По графику имеем
kx0  2; A1  2,89; A2  2,175;
T  13 .
Находим коэффициент передачи объекта kx0  2 при x0  1, k  2 .
Коэффициента затухания  
A1  A2 2,89  2,175

 0, 2466.
A1
2,89
Находим фактическую круговую частоту ф  2 f 
Расчетная круговая частота  р 
ф
1 
2

0,483
1  0,2466
2
2 6.28

 0, 483.
T
13
 0,498  р2  0,2485.
Находим приведенный коэффициента передачи объекта k *  k   2  0, 497.
11
Коэффициент при первой производной 2  2  0, 2466  0, 498  0, 246 .
Передаточная функция колебательного звена.
W ( p) 
0, 497
2
,

2
p  0, 246 p  0, 2485 4,02 p  0,99 p  1
2
что совпадает в исходной математической моделью элемента.
Последовательность выполнения работы.
1.
Произведенный в работе 1 функциональный анализ системы управления поз-
волил выявить все функциональные элементы системы и составить структурную
схему системы с обозначением элементов системы (рис. 12).
На схеме обозначено:
W Д 1 ( p ) - передаточная функция датчика поперечной силы резания, преобразую-
щего значение поперечной силы резания в выходной сигнал датчика.
WД 2 ( p) - передаточная функция датчика усилия на штоке цилиндра, преобразу-
ющего данное усилие в выходной сигнал датчика.
УУ – управляющее устройство, передаточная функция которого будет выбираться при расчете регулятора.
Wэу ( p ) - передаточная функция электронного усилителя.
Woу ( p ) - передаточная функция объекта управления, включающего электрогид-
равлический усилитель и гидравлический цилиндр.
2.
Сигналы, действующие в системе. Диапазоны изменения параметров систе-
мы и динамические характеристики элементов определяются на основании паспортных данных. При отсутствии таких данных эти характеристики могут быть
определены экспериментальным путем. В данном примере необходимые данные
определим на основании опыта работы и экспертных оценок специалистов.
f
Pр
е
g
УУ
Wд1(p)
u1
Wэу(p)
u2
Wоу(p)
Рц
x
Wд2(p)
x
Рис. 12. Структурная схема системы управления с отрицательной обратной связью.
12
a. Задающее воздействие – выход датчика Д1. Пусть по экспериментальным
данным радиальное усилие резания может достигать значения P1max  10kH . Тогда примем рабочий диапазон радиального усилия и входной диапазон датчика
Д1 P1  0 10kH . Пусть при данном входном сигнале выходной сигнал датчика
Д1 изменяется в пределах 0  5мв . Для учитывания динамических характеристик датчика примем время переходного процесса выходного сигнала датчика
давления при ступенчатом изменении давления равным tпер  0,3сек .
b. Регулируемая переменная – выход датчика Д2. Диапазон изменения регулируемой переменной – усилия на штоке гидроцилиндра, входной и выходной сигналы датчика давления Д2 примем аналогичными как для Д1.
c. Ошибка управления, определяемая элементом сравнения может изменяться в пределах 0  5мв .
d. Управляющее воздействие u1 на выходе управляющего устройства УУ.
При использовании промышленного электронного регулятора или микропроцессорной системы входной и выходной сигналы регулятора могут изменяться в пределах 0  5мв , 0 10мв . 10 10мв и др. Примем диапазоны изменения входного и выходного сигналов управляющего устройства 0 10мв .
e. Управляющее воздействие u2 на выходе электронного усилителя ЭУ.
Пусть используемый электронный усилитель при входном диапазоне
0 10мв имеет на выходе сигнал 0  24в .
3.
Построение передаточных функций элементов системы.
a. Передаточная функция датчика радиальной силы резания при диапазоне
изменения усилия 0 10кН , изменения выходного сигнала 0  5ма , и времени
выхода датчика на новое значение при ступенчатом изменении усилия
tпер  0,3сек
будет
Wд 
0,5 мв
0,1 p  1 кН
b. Математическая модель управляющего устройства находится в процессе
разработки системы управления.
13
c. Передаточная функция электронного усилителя при входном сигнале
0 10мв и выходном сигнале 0  24в может быть принята в виде безинерци-
онного усилительного звена
Wэу  2400 в
мв .
Передаточную функцию объекта управления, включающего гидроцилиндр с
гидроусилителем, определим на основании экспериментальной кривой переходного процесса, полученной путем фиксации выходного сигнала датчика
Д2 при изменении входного сигнала гидроцилиндра на 10в. График переходного процесса приведена на рис. 13. На графике:
А1=2,4 кН, А2=1,2 кН, Тпер=0,16 сек, kx0=6 кН.
Находим круговую частоту   2 f 
2 6.28

 39, 25.  2  1540,6.
T
0,16
Находим коэффициент передачи объекта
P,kH
10 А1=2,4
kx0=6
kx0  6, при x0  10 k  0,6 .
8
Находим приведенный коэффициента пе-
6
А2=1,2
4
редачи объекта k *  k   2  0,6 1540,6  924
Т=0,16
2
Показатель колебательности
t, сек
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Рис. 13. График переходной функции
1

A1  A2 2, 4  1, 2

 0,5.
A1
2, 4
Коэффициент при первой производной 2  2  0,5  39, 25  39, 25 .
Передаточная функция колебательного звена.
W ( p) 
924,3
924,3/1540
0,6
.


2
2
p  39, 25 p  1540 1/1540 p  39, 25/1540 p  1 0,00065 p  0,025 p  1
2
4. Структурная схема системы управления приведена на рис. 14.
14
5. В качестве управляющего устройства используем ПИД регулятор, настройки которого определим далее при синтезе корректирующего устройства.
6. Отчет о проделанной работе должен содержать постановку задачи, построение
математических моделей элементов на основании паспортный и экспериментальных данных и структурную схему системы, согласно приведенному примеру.
Литература
1. Технология машиностроения: В 2 т. Т. 2. Производство машин.
/В.М.Бурцев, А.С. Васильев, О.М. Деев и др.; Под ред. Г.Н. Мельникова.- М.:Изво МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1998.- 640.
2. Конспект лекций по ТАУ.
f
Pр
0,5
0,1 p  1
е
g
W рег
u1
u2
2400
0, 42
0, 2 p  1
Рц
0,6
0,00065 p  0,025 p  1
2
x
Рис. 14. Структурная схема системы управления с отрицательной обратной связью.
x