Примеры табличного интегрирования Примеры интегрирования методом подстановки Пример №1 Пример №4 Пример №2 Пример №5 Пример №3 Пример №6 Тренинг Пример №7 1 3𝑥 5 + 4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 Пример №1 Интеграл суммы выражений равен сумме интегралов этих выражений 𝟑𝒙𝟓 𝒅𝒙 + 𝟑 𝒙𝟓 𝒅𝒙 + 𝟒 𝑥 𝑛+1 𝑥 𝑑𝑥 = +𝑐 𝑛+1 𝑛 𝟒𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 − 𝟐𝒙𝒅𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 − 𝟐 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + с 𝟑𝒙𝟓+𝟏 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒔𝒊𝒏𝒙 − +𝒙+𝑪 𝟓+𝟏 𝟐 Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла 𝒙𝒅𝒙 + 𝟏 𝑥 𝑛+1 𝑥 𝑑𝑥 = +𝑐 𝑛+1 𝑛 𝟏𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 𝟏 𝟔 𝒙 + 𝟒𝒔𝒊𝒏𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪 𝟐 2 Пример №2 𝟏 −𝒏 = 𝒂 𝒂𝒏 3 2 4 𝑥 ( 5 −𝑥 +7𝑒 − )𝑑𝑥 𝑥 𝑥 ? 𝟑𝒙−𝟓 − 𝒙𝟒 + 𝟕𝒆𝒙 Записать решение: 𝟑 𝒙−𝟓 𝒅𝒙 − Проверить решение 𝒙𝟒 𝒅𝒙 + 𝟕 𝟐 − 𝒅𝒙 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝟑𝒙−𝟒 𝒙𝟓 − + 𝟕𝒆𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝒄 −𝟒 𝟓 𝟑 𝟏 𝟓 − 𝟒 − 𝒙 + 𝟕𝒆𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝒄 𝟒𝒙 𝟓 3 Пример №3 𝒏 𝒙𝒎 = 𝒎 𝒙𝒏 𝟒 𝟑 −𝟑 𝒙)𝒅𝒙 ( +𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 Проверить решение 𝟏 ? 𝟒 𝟑 −𝟑𝒙𝟐 )𝒅𝒙 ( +𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 Записать решение: 𝟒 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒙𝟑 𝒅𝒙 − 𝟒 𝟑 𝟏 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟑 𝒙𝟐 𝒙 𝟒𝒕𝒈𝒙 + − 𝟑 ∙ + 𝑪 𝟑 𝟒 𝟐 𝟏 𝟒 𝟒𝒕𝒈𝒙 + 𝒙 − 𝟐𝒙 𝒙 + 𝑪 𝟒 4 Все способы интегрирования имеют целью свести интеграл к 𝟓 Пример №4 табличному. (𝟒𝒙 − 𝟔) 𝒅𝒙 Способ подстановки Определим, к какому заключается в следующем: 𝒙𝒏+𝟏 𝒏 заменяютинтегралу новой переменной такую часть табличному 𝒙 𝒅𝒙 = +𝒄 𝒏 + 𝟏 приводится данныйфункции, интеграл при дифференцировании подынтегральной которой получается оставшаяся часть Определим, какую часть подынтегрального выражения. подынтегральной функции нужно 𝒖 = 𝟒𝒙 − 𝟔 заменить и записываем замену Находим дифференциалы обеих частей, выражаем старый дифференциал через новый Производим замену в интеграле и находим его с помощью таблицы Производим обратную замену, то есть переходим к старой переменной 𝟏 𝒅𝒖 = 𝟒𝒅𝒙, 𝒅𝒙 = 𝒅𝒖 𝟒 𝟏 𝟒 𝒖𝟓 𝒅𝒖 𝟏 𝒖𝟔 𝟏 𝟔 = ∙ +𝒄= 𝒖 +𝒄 𝟒 𝟔 𝟐𝟒 𝟏 (𝟒𝒙 − 𝟔)𝟔 +𝒄 𝟐𝟒 5 Пример №5 Записать решение: Проверить решение 𝒔𝒊𝒏 𝟔𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 Введем новую переменную и выразим дифференциалы: 𝟔𝒙 + 𝟐 = 𝒖 𝒅𝒖 = 𝟔𝒅𝒙, 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒖 𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝟔𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟏 = 𝟔 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒖 ∙ 𝒅𝒖 𝟔 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒖 𝒅𝒖 = − 𝒄𝒐𝒔𝒖 + 𝒄 𝟔 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒖 + 𝒄 = 𝟔 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝒙 + 𝟐 + 𝑪 𝟔 6 Пример №6 Записать решение: Проверить решение 𝟏 + 𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒙 Введем новую переменную и найдем её дифференциал 𝟏 + 𝒍𝒏𝒙 = 𝒖 𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒙 𝟏 + 𝒍𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒙 𝟏 𝒖𝟐 𝒅𝒖 𝒖𝒅𝒖 𝟑 𝒖𝟐 𝟐𝟐 𝟑 = +𝑪= 𝒖 +𝑪 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 𝒖 = 𝒖 𝒖= 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏 + 𝒍𝒏𝒙 𝟑 𝟏 + 𝒍𝒏𝒙 + 𝑪 7 Пример №7 Записать решение: 𝒖 = 𝟑 − 𝟔𝒙 Проверить решение 𝟑 − 𝟔𝒙𝒅𝒙 Выполняем замену: 𝒖 = 𝟑 − 𝟔𝒙 Выражаем дифференциалы: 𝟏 𝒅𝒖 = −𝟔𝒅𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒅𝒖 𝟔 𝟏 − 𝟔 𝟑 𝒖𝟐 𝟏 𝒖𝒅𝒖 = − 𝟔 𝟏 𝒖𝟐 𝒅𝒖 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 − ∙ + 𝑪 = − ∙ 𝒖𝟐 + 𝑪 𝟔 𝟑 𝟔 𝟑 𝟐𝟑 𝟏 − 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟗 𝟐 𝟏 − (𝟑 𝟗 𝟏𝟐 +С=− (𝟑 − 𝟔𝒙)𝟑 + С 𝟗 − 𝟔𝒙) 𝟑 − 𝟔𝒙+С 8 Проверить решение Найти неопределенный интеграл (𝒙𝟓 + 𝟑𝒙 − 𝟒)𝒅𝒙 (𝟐𝟓𝒙𝟒 +𝟑𝒆𝒙 𝟒 − )𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟑 ( + 𝒙 − 𝟔 )𝒅𝒙 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒙 Проверить решение 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 − 𝟒 𝒅𝒙 (𝟑 + 𝟒𝒙)𝟒 𝒅𝒙 𝒆𝟔𝒙−𝟑 𝒅𝒙 9 Следует отметить, что для функции вида f(kx+b) можно применять упрощенную формулу 𝟏 𝒇 𝒌𝒙 + 𝒃 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒌𝒙 + 𝒃 + 𝑪 𝒌 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟔 − 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒔𝒊𝒏 𝟔 − 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝟓𝒙 − 𝟒 + 𝑪 𝟓𝒙 − 𝟒 𝟓 𝒆 𝟐𝒙+𝟏 𝟏 𝟐𝒙+𝟏 𝒅𝒙 = 𝒆 +𝑪 𝟐 10 Решение типичных примеров • 1. Вычислить интеграл: 2 x 2 1 2 dx • 2. Вычислить интеграл методом подстановки: • 3x 1 dx 2 3 • 3. Вычислить интеграл методом интегрирования по частям: • 2 x x e dx 11 1 пример 2x 1 dx 4x 4x 1dx 2 2 4 2 4 x dx 4 x dx dx 4 2 5 3 4x 4x xC 5 3 12 2 пример 3 3 5 t 3x 1 dx t t dt t dt C 5 2 3x 1 5 5 3x 1 t 3 ; 1 3 x t 1 ; 3 2 2 4 3x 1 3x 1 C 2 3 5 1 2 dx 3t dt t 2 dt 3 C t 3 3x 1 13 3 пример udv u v vdu xe 2 x 1 2 x 1 2 x dx xe e dx 2 2 1 2 x 1 2 x xe e C 2 4 ux du dx dv e 2 x dx 1 2 x v e 2 14 15