matem lab-1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра общей математики и информатики
Матейко О. М., Плащинский П.В.
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Часть 1
МИНСК
 Матейко О. М., Плащинский П.В., 2005.
3
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
Перечень вопросов по аналитической геометрии
на плоскости
1.Метод координат на плоскости. Простейшие задачи аналитической
геометрии на плоскости: нахождение расстояния между двумя
точками, деление отрезка в данном отношении, вычисление
площади треугольника.
2.Полярные координаты.
3.Преобразования прямоугольной системы координат: параллельный
перенос, поворот осей координат.
4.Уравнение линии на плоскости. Различные виды уравнения прямой
на плоскости. Общее уравнение прямой.
5.Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых.
6.Расстояние от точки до прямой.
7.Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет
эллипса, его геометрический смысл. Фокальные радиусы.
8.Гипербола. Каноническое уравнение. Эксцентриситет гиперболы,
его геометрический смысл. Фокальные радиусы.
9.Директрисы эллипса и гиперболы.
10.Парабола. Уравнение параболы. Фокальный параметр параболы.
11.Общее уравнение линии второго порядка. Приведение уравнения
линии второго порядка к каноническому виду.
Задание 1 . Даны координаты вершин треугольника ABC.
Найдите: 1) длину стороны AB; 2) уравнение стороны AB; 3)
уравнение высоты, проведенной из вершины С; 4) расстояние от
вершины В до стороны АС; 5) уравнение медианы AD; 6) площадь
треугольника ABC.
1. A(8; –1), B(–8;11), C(–1; –13).
2. A(5; –3), B(1;0), C(17; 2).
3. A(3; 4), B(–1;7), C(15;9).
4. A(2; –1), B(8;7), C(–10; 4).
5. A(–7;6), B(2;–6), C(7;4).
6. A(–5;7), B(4;–5), C(9;5).
7. A(–3;5), B(6;–7), C(11;3).
8. A(–6;10), B(3;–2), C(8;8).
9. A(–8;9), B(1;–3), C(6;7).
10. A(2;–4), B(–2;–1), C(14;1).
4
11. A(–4;8), B(5;–4), C(10;6).
12. A(–9;12), B(0;0), C(5;10)
13. A(–1;4), B(8;–8), C(13;2).
14. A(–2;11), B(7;–1), C(12;9).
15. A(–1; –1), B(3;2), C(3; –1).
16. A(–1; –1), B(2;3), C(2; –1).
17.A(–1; –1) B(2;–5), C(–1; –5).
18. A(–1;–1), B(–4;3), C(–1;3).
19. A(–1;–1), B(–4;–5), C(–4;–1).
20. A(1; –2), B(7;6), C(–11;3).
21. A(7;4), B(–9;–8), C(–2;16).
22. A(–6;–4), B(–10;–1), C(6;1).
23. A(3;1), B(–13;–11), C(–6;13).
24. A(12;0), B(18;8), C(0;5).
25. A(–2;–6), B(–6;–3), C(10;–1).
Задание 2. Запишите канонические уравнения: а) эллипса; б)
гиперболы; в) параболы (А, В — точки, лежащие на кривой, F —
фокус, a — большая (действительная) полуось, b — малая (мнимая)
полуось, ε — эксцентриситет, y = kx — уравнения асимптот
гиперболы, D — директриса кривой, 2с — фокусное расстояние).
1. а) b = 4, F(9;0); б) a = 5, ε = 7/5; в) D: x = 6.
2. а) a = 4, F(3;0); б) b= 2 10 , F(–11;0); в) F(3;0).
3. а) b = 15 , ε = 10 /25; б) 2a = 16, k = 3/4; в) ось симметрии Ox
и A(4;–8).
4. а) b = 15, F(–10;0); б) a = 13, ε = 14/13; в) D: x = – 4.
5. а) b = 2, F(4 2 ;0); б) a = 7, ε = 85 /7; в) D: y = 5.
6. а) c =2, ε = 2/ 6 ; б) a = 3, ε = 5/3; в) F(4;0).
7. а) a = 7, F(5;0); б) b= 3 10 , F(–9;0); в) D: x = – 2.
8. а) b = 13 , ε = 10 /16; б) 2a = 12, k = 2/3; в) ось симметрии Ox
и A(3;6).
9. а) ε = 21 /5, A(–5;0); б) A(4 2 ;3), k = 3/4; в) D: y = 1.
10. а) A(3;0), B(2; 5 /3) ; б) k = 3/4, ε = 5/4; в) D: y= – 2.
11. а) a = 26, 2c = 10; б) 2c = 10 13 , k = 2/3; в) F(2;0).
12. а) 2c = 14, ε = 7/9; б) A(2;0), F( 7 ;0); в) F(0;3).
13. а) a = 20, ε = 0,6; б) k = 21 /10, ε = 5/4; в) D: x = – 3.
14. а) ε = 5 /3, A(3;2); б) A(6;2 2 ), k = 2/3; в) ось симметрии Oy
и A(6;3).
15. а) A( 7 ;0), B( 21 /2; 2) ; б) 2c = 2 13 , a =3; в) D: y= – 6.
16. а) a = 2, 2c = 2; б) a = 20 , ε = 3/ 5 ; в) D: x = 5.
17. а) 2c = 8, ε = 2/3; б) 2c =26, ε = 2,6; в) ось симметрии Oy и A(4;2).
5
18. а) ε = 3/ 5 , A(–6;0); б) A(8,3 3 ), ε = 1,25; в) D: y = 1.
19. а) A( 3 ;0), B(1,5; 1) ; б) A(4,2), a = 2 2 ; в) D: y= – 8.
20. а) a = 9, 2c = 8 2 ; б) a = 2 7 , ε = 4/ 7 ; в) D: x = 1.
21. а) b = 3, F(5;0); б) a = 2, ε = 5/2; в) D: x = 9.
22. а) a = 5, ε =0,8; б) b= 2 2 , F(–6;0); в) F(0;2).
23. а) b = 13 , ε = 12 /5; б) a = 5, k = 3/5; в) ось симметрии Ox и
A(–3;6).
24. а) b = 5, F(4;0); б) a = 8, ε = 5/4; в) D: x = 5.
25. а) a = 13, F(12;0); б) b= 2 10 , F(–11;0); в) D: x = – 5.
Задание 3 . Напишите уравнение окружности, проходящей
через указанные точки и имеющей центр в точке А.
1. Левый фокус гиперболы 7x2 – 9y2 = 63, A(–1; –2).
2. B(2; –5), A — вершина параболы x2 = –2(y+1).
3. Правый фокус эллипса x2 + 4y2 = 12, A(2;–7).
4. Правую вершину гиперболы 40x2 – 81y2 = 3240, A(–2; 5).
5. Фокусы эллипса x2 + 10y2 = 90, A — его нижняя вершина.
6. Правую вершину гиперболы 3x2 – 25y2 = 75, A(–5; –2).
7. Фокусы гиперболы 4x2 – 5y2 = 20, A(0; –6).
8. B(3; 4), A — вершина параболы 4y2 = x+7.
9. Левый фокус эллипса 13x2 + 49y2 = 837, A(1;8).
10. Правый фокус гиперболы 57x2 – 64y2 = 3648, A(2; 8).
11. Левый фокус гиперболы 9x2 – 16y2 = 144, A(1; 2).
12. B(1; 3), A — вершина параболы y2 = –4(x+1).
13. Правый фокус эллипса 9x2 + 4y2 = 36, A(3;–2).
14. Правую вершину гиперболы 4x2 – 9y2 = 36, A(–2; 1).
15. Фокусы эллипса 3x2 + 5y2 = 30, A — его нижняя вершина.
16. Правую вершину гиперболы 4x2 – 7y2 = 28, A(–1; –3).
17. Фокусы гиперболы 7x2 – 5y2 = 35, A(0; –3).
18. B(–1; 3), A — вершина параболы 2y2 = x–5.
19. Левый фокус эллипса 11x2 + 7y2 = 77, A(1;4).
20. Правый фокус гиперболы 13x2 – 25y2 = 325, A(1; –4).
21. Левую вершину эллипса 7x2 + 9y2 = 63, A(1; –2).
22. B(–3; 4), A — вершина параболы x2 = 2(y–1).
23. Правую вершину эллипса 3x2 + 5y2 = 15, A(2;–4).
24. Правую вершину гиперболы 4x2 – 8y2 = 32, A(–1; 3).
25. Фокусы эллипса 5x2 + 10y2 = 10, A — его нижняя вершина.
6
Задание 4. Привести уравнения к каноническому виду и
построить линии, определяемые этими уравнениями:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
5x2 + 4xy + 8y2 – 32x – 56y + 80 = 0
5x2 + 12xy – 22x – 12y – 19 = 0
48x2 + 64xy + 32x – 16y + 5 = 0
5x2 + 6xy + 5y2 – 16x – 16y + 16 = 0
x2 + 2xy + y2 – 8x + 4 = 0
5x2 + 4xy + 2y2 + 20x + 20y – 18 = 0
8x2 – 4xy + 5y2 + 4x – 10y – 31 = 0
x2 – 8xy + 7y2 + 6x – 6y = 0
3x2 + 10xy + 3y2 – 2x – 14y –13 = 0
25x2 – 14xy + 25y2 + 64x –64y –224 = 0
11x2 – 20xy – 4y2 – 20x –8y + 1 = 0
x2 – 2xy + y2 – 10x – 6y + 25 = 0
8x2 – 12xy + 17y2 + 16x – 12y + 3 = 0
17x2 – 18xy – 7y2 + 34x – 18y + 7 = 0
4x2 + 24xy + 11y2 + 64x + 42y + 51 = 0
8x2 + 4xy + 5y2 + 16x + 4y – 28 = 0
3x2 + 4xy + – 12x + 16 = 0
13x2 + 18xy + 37y2 – 26x – 18y + 3 = 0
9x2 – 24xy + 16y2 – 20x + 110y – 50 = 0
x2 – 2xy + y2 – 12x – 14 = 0
x2 – 2xy + y2 + 6x – 14y + 29 = 0
13x2 + 10xy + 13y2 + 46x + 62y + 13 = 0
x2 – 6xy – 7y2 + 10x – 30y + 23 = 0
4x2 + 12xy + 9y2 – 4x – 6y + 1 = 0
9x2 + 12xy + 4y2 – 24x – 16y + 3 = 0
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
Перечень вопросов по высшей алгебре
1.Комплексные числа. Действия над комплексными числами.
2.Модуль комплексного числа. Комплексная плоскость.
3.Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над
комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Формула Муавра.
4.Извлечение корней из комплексных чисел.
5.Матрицы. Операции над матрицами (сумма, произведение,
умножение на число). Свойства операций.
7
6.Определители второго и третьего порядков. Свойства.
7.Вычисление определителей. Теорема Лапласа. Миноры и
алгебраические дополнения.
8.Обратная матрица. Условие существования обратной матрицы.
9.Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера.
Метод Гаусса.
10. Однородные системы и методы их решения.
Задание 5. Представьте в тригонометрической форме
следующие числа:
1.
1 i
i
2.
1  3i
2i
3. 1  i123
4.
 3i
2i
5.
1 i
1 i
6.
 3 i
i
7.
3i
2i
8.
3 1  i 3 1
1 i
9.
2 2
1 i
 12  3i
10.
1  4i
11.
2 3  1  i (2  3 )
2i
13. 2  2i125
14.
2  2  i (2  2 )
4(i  2 )
16.
6  2i
2i
19. (1  i)(3  2i)
22.
2  3i
3  2i
13
24.
2  3i
17. (3  5i)(4  i)
20. 3  3i
1  3i
2  2i
 3 i

25. 

1

i


8
4
3 i
15.
 5  5 3i
3i
18.
(1  2i )(1  3i )
5
 1  3i 

21. 

1

i


17
23.
12.
30
40
Задание 6
1. Найти 2А + 3В, если
3 
 2 3
1 2 3 




A = 0 1 5  и B =  5  5 1 
 2
 2 4  3
4  3



2. Найти 3А – 7В, если
 0  1 2
 2 0 1
A = 
 и B = 

 3 5 1
 5 4 0
3. Вычислить A + A T , если
2 1 5 


A = 0 1 5 
 2 4  3


4. Вычислить A +
1 0 3 


A = 0 1 0 , B =
 2 4  3


B –
 2

 1
 2

5. Вычислить 2 A –
2 3 1 


A = 0 1 5  и B =
 1 0  3


BT,
3

0
2

C, если
3 3 
1 2 3 



2 3  и C = 0 1 3 
 0 2  3
4  3


если
1 3

 5 1
4 0 
6. Вычислить A +2 B – 3C,
 2 1
 1 1




4
3
3
6




A = 
, B= 
и C =

 2 5
1 5




 3 5
 2 0
7. Найти матрицу X,
+X = B, если
  1 3
 1



A =  0 4 и B =  2
 0 5
 3



если
 4 0


8
6


 4 1


 3 1
удовлетворяющую
 7

8 
9 
9
условию 2 A +
8. Найти матрицу X, удовлетворяющую условию 2 X +
+ A = 2B, если
 4  1
1 0 
A = 
 и B= 

3
4
2

4




В заданиях 9 —16 найти произведение матриц
 1  3 2  3 2 5


 
 3  1   4 0 
9. 

 
10.  3  4 1   0  5 1 
 6 4   1 2
 2  5 3  9 4 0


 
3 5 


 3  4 5   3 0


 
 2 3 0 1  0  1 
 
11. 
2

2
0

4
1
12.





 3 2 4 5  2 4 

3 2

1    3 1 

 0  2


 6 
 5 0 2 3  
 1 0
   4 0

   2
 2 0 1 
13.  4 1 5 3   
14. 

   3 4  
7
1
2
3

1
0


  1 1 
 3 1  1 2  



  
 4 
 0 2
3

 

 1 5

  2 0 3
 1 0
1
15.   2 4  
16.   4 0  1 2 

1 1
1
5

1
0

  1 0 





 2 0 
5

 

17. Найти AB – BA, если
 2  1
 1 0
A = 
 , B = 

1
1
4
2




Найти AB – BA, если
 2 3 0 
1 0 4 




A = 0 1 2  , B =  1 2 3 
 2 4 1
 2 4  1




18.
Найти AB – BA, если
0
1
1
 3
1 3




A =   2  2 2 , B =  0  3 3 
  1 3  1
 2
1  1



19.
10
Найти AB + 3A, если
1 0 2 
1 3 0 




A =  0 1  3 , B =  1 0 3 
 2 1  1
 2 1  1




20.
Найти AB – 2B, если
 2  1
 2 0 1
A = 
 , B = 

1
4
3

1
0




21.
Вычислить AA T и A T A, если
 2 0 1
A = 

3

1
0


22.
Вычислить
0 1 3

A = 1 0 0
1 2  2

23.
AA T и A T A, если
0

2
3 
24.
  2 0
Найти f(A), где f(x) = 3x 2 – 4x, A = 

3
1


25.
 2  1
Найти f(A), где f(x) = x 2 + 2x, A = 

1
4


Задание 7. Вычислить определители третьего порядка:
1.
1 2 3
5 1 4
2.
1
3 2 5
4.
2
3
1
7.
2 1
4 2
0
3 2 4
4 1 2
5 2 3
4
2
5.
3
8.
3 2
1 3
0
3.
1 5 4
3 2 0
1
4
3
6
3 4 2
1 2 3
4 5 8
5 3 5
1 3 0
2 1 1
1 5 25
1 7 49
3 2 1
2 5 3
3 4
11
6.
1
9.
1 8 64
1 2 3
10. 2 3  1
0 2
4
1 1 1
11. 4 5 9
16 25 81
1 3 4
12. 7 2 3
1 2 6
5 4 3
13.  1 1 2
1 1 4
0 a 0
14. b c d
0 e 0
3 5 3
15. 2 7  2
5 1 5
2 5 7
16. 1  2 4
3 3 11
17.
2
3
3 4 7
5
19. 2 1
3 1 4
251 125 126
20. 363 181 182
574 288 289
1 1 2
3
22. 5 2
3 4 1
2 3 4
23. 5  2 1
1 2 3
2
1
1
24. 1  4  1
1 8
3
2 3 1
25. 6  6 2
2 1 2
7
1 5
1 4
0
58 63 59
18. 69 73 71
77 81 79
5
3 1 9
21.  5  3 8
 4 1 5
Задание 8. Вычислить определители четвертого порядка:
1.
3 2 2 2
9  8 5 10
5 8 5 8
6 5 4 7
4.
3 3 5 8
3 2
4 6
2 5 7 5
4 3
5 6
2.
3 9
3
6
5 8
2
7
4 5 3 2
7 8  4 5
5.
2 1 4
1 3
0
4 4 3
1 5 1
12
5
7
5
4
3.
1
2
3
4
2 1 4 3
3  4 1 2
4
3  2 1
6.
2 5 4
3 4 7
4 9 8
3 2 5
3
5
5
3
7.
1 2
1 3
3 1  2  5
2 1 5 2
4 3 2
0
35
42
10.
43
29
59
70
68
49
2
1
13.
4
5
1 4
1
3 4 5
0 3 1
7 5
4
1
2
16.
3
d
0
0
c
0
2
b
4
0
71
77
72
65
52
54
52
80
a
0
5
0
4
2 1
 4 1 5
19.
3
4 1
5
5
4
1
3
0
7
8.
2 5 1
 3 7 1
5 9 2
4 6 1
2
4
7
2
1 1
2 2
3 0
5 1
5
8
1
1
1 2 3
4
2 1 4 3
11.
3  4 1 2
4 3
2 1
2
2
12.
6
2
a
0
14.
1
0
1
3
2
4
2 1 1  3
15.
1 2 5 2
3 5 2
0
3
b
2
0
0
0
c
0
5
2
3
d
3 3 4
1 1 2
2 1
0
3 0 5
3 2
1
1
1 3  2 1
17.
3 1 2
5
7 4
1
2
27 44
40
20 64
21
18.
13  20  13
46 45  55
3 2
1
1
1 3  2 1
20.
3 1 2
5
7 4
1
2
2 3 4 1
1
1
3
2
21.
5 2 2 1
2
5
0 3
4 2 1
5 1
3
1 1 0
1 5 1
1
3
2
4
2 1 1  3
22.
1 1
3
0
4 2 5 2
3
2
23.
2
8
3 2 4
2 0 3
24.
3 5 1
2 1
6
3
1
4
2
4 2 3
1
25.
1 3
2 4
 2 4 1 3
1
7
4
1
9.
2
3
1
4
13
55
40
24
84
Задание 9. Решить системы уравнений, используя формулы
Крамера:
 2 x1  x2  2 x3  1

1.  x1  2 x2  2 x3  2
 2x  2x  x  1
2
3
 1
 x1  x2  x3  4

2. 2 x1  3x2  4 x3  4
5x  7 x  8 x  7
2
3
 1
 2 x1  x2  1

3.  x1  x2  2 x3  4
 x  2 x  x  1
2
3
 1
 2 x1  x2  x3  6

4. 3 x1  x2  2 x3  5

x1  x2  5

2 x1  2 x2  3x3  5

x1  x2  5
5. 
 x  2x  x  6
2
3
 1
 x1  2 x2  3x3  6

6. 3x1  x2  4 x3  2
 5x  7 x  4 x  2
2
3
 1
 x1  2 x2  3 x3  7

7.  2 x1  3x2  x3  0
 2 x  3x  1
2
3

3 x1  4 x2  2 x3  8

8.  x1  5 x 2  2 x3  5
 2 x  3x  4 x  3
2
3
 1
 x1  2 x2  4 x3  9

3x2  x3  7
9. 
 5x  6 x  7 x  0
2
3
 1
 4 x1  x2  2 x3  12

10.  x1  2 x2  3 x3  12
 2x  x  x  1
1
2
3

2 x1  3 x2  x3  3

11.  4 x1  7 x 2  x3  1

x1  3 x3  4

3x1  4 x2  2 x3  11

12.  2 x1  x2  x3  4
3x  2 x  4 x  11
2
3
 1
4 x1  x2  4 x3  2

13.  x1  x2  2 x3  1
 2 x  x  2 x  4
2
3
 1
 3 x1  2 x2  x3  5

14. 2 x1  x2  3 x3  11
 2 x  3x  x  1
2
3
 1
 3 x1  x2  x3  6

15.  5 x1  x2  2 x3  12
 x  2 x  4 x  3
2
3
 1
 x1  x2  3x3  0

16. 4 x1  3x2  2 x3  1
 x  2 x  5x  1
2
3
 1
14
2 x1  x2  3 x3  11

17.  x1  2 x2  x3  8
3x  x  2 x  11
2
3
 1
 2 x1  3 x2  x3  5

18. 3 x1  2 x2  3 x3  1
 x  4 x  x  3
2
3
 1
 x1  4 x2  3 x3  5

19.  2 x1  x2  2 x3  1
 3x  2 x  x  9
2
3
 1
3 x1  4 x2  2 x3  10

20.  7 x1  2 x2  3 x3  3
 x  5 x  x  14
2
3
 1
3x1  2 x2  x3  4

21.  x1  2 x2  x3  0
 2x  x  1
1
2

 3x1  x2  x3  2

22.  x1  2 x2  2 x3  1
 4 x  3x  x  5
2
3
 1
 x1  3 x2  x3  6

23. 2 x1  2 x2  x3  7
3x  x  2 x  7
2
3
 1
 x1  2 x2  3 x3  4

24. 6 x1  5 x2  4 x3  16
 4 x  3x  x  5
1
2
3

 3 x1  x2  9 x3  2

25. 5 x1  3x2  8 x3  1
 4 x  x  5 x  5
2
3
 1
Задание 10. Решить системы с помощью метода Гаусса:
 3 x1  2 x 2  5 x3  x4  3
2 x  3 x  x  5 x  3
 1
2
3
4
1. 
 x1  2 x 2  4 x 4  3

 x1  x 2  4 x3  9 x 4  22
 x1  2 x 2  4 x3  3

2.  2 x1  x 2  6 x3  2
3 x  6 x  x  2
2
3
 1
 x1  x2  6 x3  4 x4  6
 3x  x  6 x  4 x  2

1
2
3
4
3. 
 2 x1  3 x2  9 x3  2 x4  6

3 x1  2 x2  3 x3  8 x4  7
 2 x1  2 x 2  x 4  3
2 x  3 x  x  3 x  6
 1
2
3
4
4. 
 3 x1  4 x 2  x3  2 x 4  0

 x1  3 x 2  x3  x 4  2
15
 4 x1  3 x 2  x3  5 x 4  7
 x  2 x  2 x  3x  3
 1
2
3
4
5. 
3 x1  x 2  2 x3  1


2 x1  3 x 2  2 x3  8 x 4  7
 2 x1  3 x2  2 x3  3 x4  5
4 x  7 x  2 x  7 x  3

2
3
4
6.  1
  x1  2 x2  2 x4  4

 3x1  5 x2  2 x3  5 x4  9
 2 x1  3 x2  2 x3  3 x4  5
 x  2 x  2 x  2 x  2
 1
2
3
4
7. 
 5 x1  8 x2  6 x3  8 x4  12

 2 x1  2 x2  4 x3  2 x4  2
 x1  x 2  2 x3  3 x 4  1
3 x  x  x  2 x  4
 1
2
3
4
8. 
2 x1  3 x 2  x3  x 4  6

 x1  2 x 2  3 x3  x 4  4
 x1  2 x2  3 x3  4 x4  5
 2 x  x  2 x  3x  1
 1
2
3
4
9. 
 3 x1  2 x2  x3  2 x 4  1

4 x1  3 x2  2 x3  x4  5
 x1  x 2  x3  x 4  4
2 x  x  3 x  2 x  1
 1
2
3
4
10. 
x1  x3  2 x 4  6


 3 x1  x 2  x3  x 4  0
 2 x1  x 2  x3  x 4  1
3 x  2 x  2 x  3 x  2
 1
2
3
4
11. 
 5 x1  x 2  x3  2 x 4  1

 2 x1  x 2  x3  3 x 4  4
8 x1  6 x2  3 x3  2 x4  5
2 x  3x  3x  3x  6
 1
2
3
4
12. 
4 x1  5 x2  2 x3  3 x4  3

 x1  4 x2  x3  4 x4  2
 2 x1  3x2  x3  x4  2
 x  2x  x  x  1
1
2
3
4


13. 4 x1  7 x2  x3  x4  4

3 x1  5 x2  3


 x1  x2  2 x3  2 x4  1
 2 x1  x2  x3  x4  1
 3x  x  x  2 x  0
1
2
3
4


14. 4 x1  2 x2  x3  x4  7
 3x  3x  x  2 x  2
2
3
4
 1

 5 x1  2 x3  3 x4  1
x1  x2  x3  2

 4 x  x  3x  x  8
1
2
3
4


15.  4 x1  x2  4 x3  x4  3
 5x  x  4 x  x  6
2
3
4
 1

3 x1  5 x2  x3  x4  15
 4 x1  3 x2  x3  x4  1
3 x  4 x  5 x  2 x  2
1
2
3
4


16.  4 x1  5 x2  3 x3  2
 5x  5x  2 x  2
1
2
3


 8 x1  7 x2  3 x3  x4  3
16
 8 x1  6 x2  3 x3  2 x4  5
 12 x  3 x  3 x  3 x  6

1
2
3
4
17. 
 4 x1  5 x2  2 x3  3 x4  3

 3 x1  4 x2  x3  4 x4  2
 2 x1  5 x 2  x3  3 x 4  2
4 x  6 x  3 x  5 x  4
 1
2
3
4
18. 
4 x1  14 x 2  x3  7 x 4  4

2 x1  3 x2  3 x3  6 x 4  7
 x1  x 2  x3  x 4  1
 3x  x  2 x  2 x  2
 1
2
3
4
19. 
2 x1  4 x 2  3 x3  6 x 4  7

7 x1  5 x 2  6 x3  6 x 4  6
 x1  x 2  7 x3  2 x 4  2
 2 x  3x  8 x  4 x  1

1
2
3
4
20. 
 4 x1  2 x 2  19 x3  x 4  8

6 x1  5 x 2  11x3  3 x 4  3
 2 x1  x2  3 x3  4 x4  5
 4 x  2 x  5x  6 x  7
 1
2
3
4
21. 
 6 x1  3 x2  7 x3  8 x4  9

5 x1  4 x2  9 x3  10 x4  11
 2 x1  3 x2  x3  2 x4  3
 4 x  6 x  3x  4 x  5
 1
2
3
4
22. 
 6 x1  9 x2  5 x3  6 x4  7

8 x1  12 x2  7 x3  3 x4  9
 2 x1  3 x2  3 x3  2 x4  3
 6 x  9 x  2 x  x  4
 1
2
3
4
23. 
10 x1  3 x 2  3 x3  2 x4  3

 8 x1  6 x2  x3  3 x4  7
 3 x1  3 x2  x3  4 x4  2
 2 x  3x  2 x  8 x  1
 1
2
3
4
24. 
4 x1  3 x2  4 x3  4 x4  0

 x1  6 x2  x3  12 x4  6
 x1  3 x2  5 x3  4 x4  1
 x  3x  2 x  2 x  x  1
1
2
3
4
5


25.  x1  2 x2  x3  x4  x5  3
 x  4 x  x  x  x  3
2
3
4
5
 1

 x1  2 x2  x3  x4  x5  1
§ 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Перечень вопросов по аналитической геометрии
в пространстве
1. Системы координат в пространстве.
2. Расстояние между двумя точками в пространстве.
3. Векторы и действия с ними.
17
4. Координаты векторов.
5. Скалярное произведение векторов.
6. Угол между векторами.
7. Векторное произведение векторов.
8. Площадь параллелограмма, построенного на двух неколлинеарных
векторах.
9. Смешанное произведение векторов.
10. Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных
векторах.
11. Плоскость. Виды уравнений плоскости.
12. Расстояние от точки до плоскости.
13. Угол между плоскостями.
14. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой.
15. Угол между прямыми.
16. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
17. Расстояние от точки до прямой.
18. Угол между прямой и плоскостью.
19. Уравнение прямой, перпендикулярной к плоскости.
20. Понятие кривой в пространстве.
21. Понятие поверхности.
Задание 11. Даны четыре точки A, B, C и D. Запишите
уравнения:
a. плоскости ABC
b. прямой AD
c. высоты DH, опущенной на плоскость ABC
d. медианы AM треугольника ABC
Вычислите:
e. синус угла между прямой AD и плоскостью ABC
f. объем треугольной пирамиды ABCD
g. площадь треугольника ABC
h. длину высоты DH
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
A(4;2;5), B(0;7;1), C(0;2;7), D(1;5;0).
A(3;2;7), B(–2;4;1), C(5;2; –2), D(6;3;2).
A(–4;6;3), B(5;2;7), C( –5;7;1), D(5; –1;4).
A(3;2;1), B(5; –5;4), C(8;7;0), D( –8;2;8).
A(3; –2;0), B(0;8; –2), C(8;4;1), D(6; –5; –2).
A(5; –7;2), B(4;4;1), C(4;2;7), D(7;5;6).
A(–7;5;–2), B(8;7;2), C(4;2;1), D(4; –8;5).
18
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
A(5;8;–7), B(–5;2;4), C(–7;3;4), D( –2;5;8).
A(–4;1;3), B(6;7; –8), C(8;2;5 ), D(4;8;1).
A(12;2;2), B(1;2;1), C( –1;–2;3), D(0;5;1).
A(10; –1;5), B(10;7;1), C(0;8;1), D( –1;5;0).
A(4;12;5), B(0; –7;11), C(10;2;7), D( –1;5;5).
A(–2;2;5), B(–4;7;0), C(–5;2;7), D(1;1;4).
A(–2;4;1), B(7;3;8), C(3;2; –8), D(0;5;0).
A(–1;–4;–5), B(2;7;–1), C(1;4;5), D( –4;1;0).
A(1;–1;5), B(5;3;1), C(1; –2;–2), D(1;5;3).
A(7;–5;1), B(–2;5;6), C(0;2;7), D(1;5;0).
A(4;2;5), B(7;5;1), C(0; –2;5), D(1;2;4).
A(5;5;–9), B(0;8;8), C(5;8;8), D(1;5;5).
A(8;2;7), B(5; –5;4), C(0;–2;8), D(9; –5;0).
A(7;–8;4), B(0;2;5), C(4; –4;5), D(1;6;8).
A(4;2;1), B(1; –1;1), C(0;9;8), D( –5;5;0).
A(8;2;5), B(1;2;2), C(2;6; –7), D(1;5;3).
A(9;–6;6), B(0;3; –1), C(6;2;2), D(7;5; –6).
A(4;2;–3), B(2;7;2), C(0;2; –7), D(1;5;0).
§ 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Перечень вопросов по математическому анализу
1.Понятие функции.
2.Элементарные функции и их графики.
3.Понятие последовательности.
4.Предел функции и последовательности.
5.Непрерывность функций.
6.Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.
7.Вычисление пределов функций.
8."Замечательные" пределы.
9.Производная функции.
10. Физический и геометрический смысл производной.
11. Вычисление производных, правила дифференцирования.
12. Производная неявной функции.
13. Производная обратной функции.
14. Логарифмическая производная.
15. Возрастание и убывание функций, экстремумы.
16. Нахождение максимума и минимума функции на отрезке.
17. Основные теоремы дифференциального исчисления.
18. Производная второго порядка.
19
19. Выпуклость и вогнутость функции, точки перегиба.
20. Поведение функции в бесконечно удаленной точке. Асимптоты.
21. Исследование функций и построение графиков.
22. Правило Лопиталя–Бернулли вычисления пределов функций.
23. Понятие дифференциала.
24. Приближенное вычисление значений функций с помощью
дифференциалов.
Задание 12. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом
Лопиталя–Бернулли
1.
1.1. lim
2 x 2  3x  1
x  5  7 x  7 x 2
1.3. lim
x 0
1.2. lim
;
x 3
x
5x3  4 x  2
;
3
2.2. lim
4  x2  2  x
2.4. lim
x   8  3x 2
2.3. lim
x 2
 4x
x 2  3x  2
3.1. lim
x   12  5 x 2
3.3. lim
 2 x3
;
x2  4x  4
1/ x
1 x 
3.5. lim 
 ;
x 0  2  x 
x2
;
x
 3x  2 
2.6. lim 
 .
x   6  3 x 
3.2. lim
;
8  x2  2  x
20  x  x
2
tg 3 x
;
x  0 sin 5 x
x 0
4 x 3  3x  8
2 x 2  20 x  50
x 5
2.5. lim x sin 3x ctg 2 5 x ;
3.
;
 x  2
1.6. lim 
 .
x   6  x 
x 0
2.1. lim
6  x  x2
tg x 2
1.4. lim
;
x  0 x sin 5 x
4 x 2 x
;
x
1.5. lim tg x ctg 5 x ;
2.
x 2  2x  3
x  1
;
2 x 2  3x  5
1  2x  x2
sin 2 7 x
3.4. lim
;
x  0 x sin 5 x
2 

3.6. lim 1 

1 x
x  
20
;
5x 2
.
4.
4.1. lim
x5  4x3  4
x  3  5x 2
4.2. lim
;
 2x5
x  2
5.1. lim
5.3. lim
x 2
2
x x

4.6. lim 1 
x  
3
8  x2  2
x 2  5x  6
5.2. lim
;
x 
;
5x
2  7 x 2  5x 4
6.2. lim
;
x  1  4 x 2
7.3. lim
x2
 3x 3
6.4. lim
x 0
x
1  cos 2 x
x
2
7.2. lim
;
2
;
;
2 

6.6. lim 1 

x  3
x  
2x
.
2 x 2  5x  3
x  1 2  2 x  4 x 2
sin 5 x 2
7.4. lim
;
x  0 x tg 2 x
2 x 2
;
11  x  3
 x 
7.5. lim 

x   5 x  7 
2 x 2  3x  9
x 3 15  2 x
4 x 2
;
x 0 4  x  2
x
6.5. lim
;
x  sin 5 x
7.1. lim
3  4x  x
;
2
2 

5.6. lim 1 
 .
3  2x 
x  
3x 4  2 x 3  14
5x3  2 x 2  1
.
sin 7 x sin x
;
x  0 x sin 5 x
6.3. lim
7.
3x  4
5.4. lim
x
6.1. lim
2

x
2 x 2  3x  1
x  1
 sin x  
5.5. lim 
 ;
x2  2  x 
6.
;
4.4. lim
2 x 3  3x  5
x   11 
20  8 x  x 2
1  cos x
;
x  0 x sin 3x
1 x 1
;
x 0 1  x  1
sin 3x
4.5. lim
;
x
x 
4.3. lim
5.
2 x 2  3x  14
x
x 2 3x  4
;
21
5 

7.6. lim 1 
 .
2x  1
x  
;
8.
8.1. lim
 2 x 4  2 x3  3
 1  2x  7x4
x 
8.3. lim
x  1
2 x  x
;
3 x 2
x 

8.5. lim 1 

5x  3 
x  
9.
9.1. lim
x 0
11.
;
x 1
.
x 2  3x  2
9.2. lim
;
x  2 12  4 x  x 2
4 x  4 x
;
x
9.4. lim
x sin 3x
x 0
tg x 2
;
;
x
 x 
9.6. lim 
 .
x   x  3 
3
10.1. lim  x 2  2 x  x 2  1  ; 10.2. lim x  1 ;

x
x 11  x 2
x sin 2 x
x 5 x 2
10.4. lim
;
10.3. lim
;
x 0 sin 3 x 2
x 1
x 1
1/ x
x
1 

 x  2
10.5. lim 
10.6. lim 1 
 ;
 .
2x  5 
x  
x   x  3 
11.1. lim
x 4  3x 3  4
x  1  5x 2
11.3. lim
x2
11.5. lim
x 
12.
3  2x  x2
 x  2
8.6. lim 

x   x  3 
sin 5 x
9.5. lim
;
x  x
10.
x 1
x 0
;
7 x3  x 2  4
8.2. lim
8.4. lim tg 5 x ctg 7 x ;
2x
x  3  2 x  5x3
9.3. lim
;
2 x 2  3x  1
12.1. lim
x 
 x4
2 x 2
x2  2x
x sin x 2
x2 / 3  1
x  1 7  5 x  2 x 2
1  cos x
;
x
x 0
11.4. lim
;
11.6. lim 1  2 x 2 / x .
;
x 0
3x 3  2 x 2  1
2
11.2. lim
;
3  2x  x
x 2  3x  4
3
12.2. lim
;
x 2  5x  6
x 1 2  2 x  4 x 2
22
;
;
12.3. lim
x 1
 sin x 
12.5. lim 

x  0 5 x 
13.
13.1. lim
sin 5 x
;
x  0 tg 2 x
3  x  2x
;
x 1
12.4. lim
x 2 3x  4
;
 x3  2x  5
2 x  3x
x 
4
;
5 x  3 x
;
x 1
x  1
2x 3
 sin x 
13.5. lim 
;

x  0 x 
13.3. lim
14.
14.1. lim
5 x 3  x 2  3x  4
x   2  3x  3x 2
14.3. lim
 2x3
3 x  5 x
x2  1
x 1
 7  6x 
12.6. lim 

x 
x 1
13.2. lim
3
x 1
x 2  3x  2
x 2 8  2x  x 2
.
;
13.4. lim tg 3x ctg 5 x ;
x 0
 2x  3 
13.6. lim 

x   2 x  3 
; 14.2. lim
x 1
.
2 x 2  3x  1
x 112  7 x  5 x 2
;
sin 4 x
;
x  0 tg 3x
14.4. lim
;
x
x
 2  3x 
14.6. lim 
 .
x   3 x  1 
 sin 5 x 
14.5. lim 
 ;
x   x 
15.
15.1. lim
x 2  4x  5
x  3  7 x
15.3. lim
x 0
15.5.
16.
 2x 2
;
9 x 3 x
;
x
x
x  / 2
16.1. lim
x  8 
2
x  3x
3
 x2
tg x sin x
15.4. lim
;
x0 x sin 5 x
x 1 6  7 x
 3x  1 
15.6. lim 
 .
x   5  3 x 
lim tg x ctg 5 x ;
x 3  3x  2
15.2. lim
x 2  2x  3
;
23
16.2. lim
x 2  2x  8
x 4 20 
xx
2
;
;
16.3. lim
x 1
5  x2  2
x 2  3x  2
tg 2 x
;
x 0 sin 5 x
16.4. lim
;
x
 2x  3 
16.6. lim 
 .
x   1  2 x 
16.5. lim x sin x ctg 2 3 x ;
x 0
17.
17.1. lim
2 x 3  3x  7
x  1  7 x 2
17.3. lim
x 2
18.1. lim
x 1 2  3 x
6x  2 x
;
x 2  3x  2
 1  2x 
17.5. lim 

x  0  2  3x 
18.
17.2. lim
;
 3x 3
2/ x
;
19.3. lim
x2
 2x
2 

18.6. lim 1 

2 x
x  
3
19.2. lim
;
20.1. lim
x
x 2  3x  2
;
20.3. lim
x0
2 x 5  3x 3  11
2 x  7 x  5x
4 x 2
1 x 1
5
;
20.2. lim
x
;
5x 2
xx
1  cos x
;
x  x  
24
2
.
x 2  2x  3
x 3 12
20.4. lim
;
.
sin 2 3x
19.4. lim
;
x  0 x tg 3 x
 x  2
19.6. lim 

x   1  x 
;
2
;
3x  4
2x2  x  1
x  1 2  3 x 
1/ x
20.
x  2x2
1  cos x
;
x  0 x sin x
6x  2 x
3 x
19.5. lim 

x 0  2  x 
.
18.4. lim
3x 3  3x  1
x  1  2 x 2
2 x 2
x2  x  6
x  2 10 
1  2x  1
;
x  0 1  3x  1
sin 3x
tg x ;
18.5. lim
x 
x
19.1. lim
;
sin 2 3x
17.4. lim
;
x 0 x sin 7 x
18.2. lim
;
 3x 5
18.3. lim
19.
 x2
2 

17.6. lim 1 

x  
3 x
2 x5  x3  5
x  7  2 x 2
x 2  3x  4
2
;
x
20.5. lim
;
x 1 sin x
21.
21.1. lim
1 

20.6. lim 1 

x  
x  1
2 x 3  5x 2  7
x  1  9 x 2
 4x 3
2 x x
21.3. lim
7 x 3
x 2
 2x  3 
21.5. lim 

x 3x  4 
22.
22.1. lim
22.3. lim
23.
23.1. lim
x
23.3. lim
x0
3
8 x 3
 sin 5 x 
22.5. lim 

x  3 x 
;
24.1. lim
x 
24.3. lim
x1
 3x 2
5 

21.6. lim 1 
 .
x 
x  1
22.2. lim
x1
2 x 2  5x  3
3  4x  x
 2x  3 
22.6. lim 

x   2 x  3 
;
3  3x  2 x 4
;
23.2. lim
x 2
x 1
.
2 x 2  3x  2
2  x  x2
16  x  2 4  x 23.4. lim x sin 7 x ;
;
x0 tg 4 x 2
x
x
2  x
23.6. lim 
 .
x   x  3 
x 4  7x 3  4x  3
4  3x 2  2 x 4
5  x  2x
2
x 1
;
x 0
2x
5x 3  2 x 2  3
2
22.4. lim tg 5 x 2 ctg 3x ;
;
cos 5x
23.5. lim
;
x 
x
24.
x 1 1  2 x
x
;
5  x  2x
x1
3x 2  5 x  2
arcsin x
;
x0
x
x 2  x 1
5  2x  7x
21.2. lim
.
21.4. lim
;
3x 4  2 x 3  3
x
;
x 1
; 24.2. lim
x1
24.4. lim
;
x0
25
2x 2  x  1
x2 1
3x sin 4 x
sin 5 x 2
;
;
;
;
 2x  3 
24.5. lim 

x  3 x  2 
25.
5 

24.6. lim 1 

x 
x  7
;
x 5  6x 4  4x
25.1. lim
x 
3  5x 3  2 x 5
7 x 3
25.3. lim
x 2
25.5. lim
1/ x
x 
x sin x 3
x2/5  5
25.2. lim
x 2  5x  6
x 1 5  3 x
 2x 2
.
;
1  cos 2 x
;
x 0
x
;
25.4. lim
;
25.6. lim 3  2 x 2 /  x 1 .
x2  x  2
3
;
x2
x 1
Задание 13. Найти производные y  функций
1.
1.1. y 
x  2x 2  1
x
1 x
1.3. y  ln
;
1 x
1.2. y  5 tg 2 3x 2 ;
;
1.4. y  cos2 5x  sin 2 3x ;
1.6. y 3 x  xy  ln yx  5 .
1.5. y  x x ;
2.
2.1. y 
x 1
;
1 x
2.3. y  arcsin
2.2. y  x sin 3x 2 ;
2.4. y  log 2 sin x ;
x;
2.5. y  x sin x ;
3.
3.1. y 
x3  1
1 3 x
2.6. x 3  3xy  y 3  5 .
3.2. y  x 2 cos x ;
;
3.3. y  x arcsin x  ln(1  x 2 ) ; 3.4. y  lg tg x ;
4.
3.5. y  x cos x ;
3.6. x 5  5xy  y 5  3 .
x 3  3x 2  4
4.1. y 
;
1  2x
4.2. y  x 3 cos x ;
26
x  ln(1  x) ; 4.4. y  tg 2 (1  x) ;
4.3. y  arcsin
4.5. y  sin x cos x ;
5.
3
5.1. y  x 2  1 
4.6. x 3  cos xy  y 2  1.
1
1  2x
5.3. y  sin x  (1  x) 3 ;
;
7.
2
x
;
5.4. y  tg(1  x 3 ) ;
5.5. y  sin x  x ;
6.
5.2. y  e x ln
5.6. x 2  sin( x  y)  y 2  1 .


1
6.1. y  ctg x 2  1 
1 x
2
; 6.2. y  x 1  ln 2 x ;
6.3. y  cos( x  1  x) 3 ;
6.4. y  tg(1  x) ;
6.5. y  cos x  x ;
6.6. x 2  sin( x  y)  y 2  1 .
x3  5 x  7
7.1. y 
;
x
7.2. y  x cos3 x ;
7.3. y  arcsin 4 x  ln(1  x ) ; 7.4. y  cos2 (1  x ) ;
7.5. y  sin x 
8.
7.6. x 3  tg xy  y 2  1.
;
8.2. y  lg 2 5x 2 ;
8.1. y  sin 2 x tg 3x ;
8.3. y  ln
8.5. y  x
9.
x
9.1. y 
1 x
1 x
x
8.4. y  ctg 2 3x  tg 2 2 x ;
;
8.6. y 3 x  xy  yx 3  1.
;
x  2 sin x  1
x
9.2. y  e tg
;
2
3x
;
9.3. y 
1  ln x
;
1  ln x
9.4. y  e 2 x  e 5 x ;
9.5. y 
 x x ;
9.6. y 3 x  xy  yx 2  0 .
27
10.
11.
12.
13.
x
3
10.1. y  x 3  1 
1 x
;
10.4. y  arctg(1  x 3 ) ;
10.5. y  arcsin x  x ;
10.6. x 2  ctg xy  y 2  1.
x3  2 x  5
11.1. y 
x
;
11.2. y  x sin 5 x ;
11.3. y  sin 4 x  ln(1  x ) ;
11.4. y  cos3 ( x  x ) ;
11.5. y  tg x 
11.6. x 5  tg xy  y 3  1 .
12.1. y 
3
x 1
1 x
x
;
12.2. y  x sin 3x 1 ;
;
12.3. y  arcsin x 2 ;
12.4. y  log 2 ctg x ;
12.5. y  2 x sin x ;
12.6. x 3  33 xy  y 3  5 .
13.1. y  ( x  1)( x  2)( x  3) ;
13.2. y  x 2 sin 4 x ;
5 x  3 x
;
x 1
13.5. y  sin x 2 x3 ;
14.1. y 
x  2x 2  1
3
2
15.1. y 
x x
13.4. y  tg 3x ctg 5x ;
14.2. y  3 ctg 3 x 3 ;
;
14.4. y  cos3 2 x  sin 2 3x ;
14.6. y 3 x  ln  y  x   5 .
14.5. y  x 2 x ;
x2 1
3
13.6. 5 y 2  3x 2 y  x  1 .
x
1  sin x
14.3. y  ln
;
1  cos x
15.

10.3. y  cos x  (1  x) 2 ;
13.3. y 
14.

10.2. y  ln 5x  e x ;
15.2. y  x sin 2 x 2 ;
;
28



15.5. y  x sin
16.
17.
2
x

15.4. y  lg x  e x ;
15.3. y  arcsin 1  x ;
15.6. x 4  4 x 2 y 2  y 4  1 .
;
16.1. y  x  x ;
16.2. y  x cos2
16.3. y  x sin x  ln(1  x) ;
16.4. y  tg ln x ;
16.5. y  2 x cos x ;
16.6. x 5  5x 3 y 2  y 5  3 .
17.1. y  3 x  x ;
17.2. y  x 3  cos x ;
x;
17.3. y  cos x  ln(1  x ) ; 17.4. y  tg 2 ( x ) ;

17.5. y  sin 2 x
18.
19.
cos x ;
17.6. x 3  cos2 xy  y  1.
1
3
18.1. y  x 3  x 
2
x x
; 18.2. y  ln( x  e x ) ;
18.3. y  sin x  (1  x) 3 ;
18.4. y  tg(1  x 3 ) ;
18.5. y  sin x  x ;
18.6. x  sin( x  y)  y 2  1 .


19.1. y  ctg x 2  1  1  x ; 19.2. y  x 2 / 3  ln 3 / 2 x ;
19.3. y  cos3 ( x  3  x) ;
2
19.5. y  cos x  x ;
20.
20.1. y 
x2  x  3
x
3
19.6. x  sin( x  y)  y  1.
20.2. y  x 3 cos x ;
;
20.3. y  sin 3x cos3 x ;

19.4. y  tg x 2 ;
20.4. y  cos( x  x ) ;
x
20.6. x  tg xy  y  1 .
20.5. y  sin x ;
29
21.
21.3. y  ln
1 3 x
1 x
22.1. y 
22.3. y 
3
x
21.4. y  ctg 2 3x  tg 3 2 x ;
;
3
21.5. y  x x 
22.
21.2. y  lg 1/ 2 x 2 ;
21.1. y  sin 2 x tg 3 x ;
21.6. y 2 x  xy  yx 2  1 .
;
x  2 sin x  1
x
1  ln 2 x
1  ln x
2
x
3
x2
2
23.1. y  x 
2
22.6. 4 y 3 x  3xy  yx 2  0 .
22.5. y  x x ;
23.
2
22.2. y  e tg 3 x ;
22.4. y  e  x  e x ;
;
2

;
1 x
2
;


23.2. y  ln x 5  e 5 x ;
23.3. y  sin x  (1  x 2 ) 2 ; 23.4. y  3 arctg x 3 ;

x
23.6. x  ctg xy  y  1 .
23.5. y  arcsin x ;
24.
24.1. y 
3
x  2 x  5x
x
;
24.2. y  ( x  1) sin 5 x ;
24.3. y  ln( x  x ) ;
24.4. y  cos3 (ln x ) ;
24.5. y  ln x 
24.6. x  tg xy  y  1 .
25.
25.1. y 
x3
1 x
x
;
25.2. y  sin 3x 3 ;
;
25.3. y  arcsin( x 2  x) ;
25.4. y  log 2 lg x ;
25.5. y  ln x sin x ;
25.6. x 4  4 xy  y 4  4 .
30
Задание 14. Найти пределы, используя правило Лопиталя–Бернулли
1.
2.
x 2 cos 2 x
1.1. lim
;
x 0 1  cos x
sin 3 x
1 ex
3.1. lim
x 0 ln(1 
4.
5.
2
x )
8.1.
x 
 5x 4
;
6.2. lim tg
x 2

ln( x  1) .
x
1  cos 5 x
;
x  1  cos 7 x
7.2. lim ( x  ) tg
ctg x  1
;
x / 4 cos 2 x
 1
1 
8.2. lim 
.


x0 sin( x 2 )
x
sin
x


x 
lim
9.1. lim
x1
10.
5.2. lim tg x ctg x .
7.1. lim
8.
9.
1

4.2. lim   ln x  .
x 0 x

ln x
6.1. lim
x 0
1
ln x .
x  x
x  sin x
;
tg x
5.1. lim
2.2. lim x x .
3.2. lim
;
ln x
;
x 1 sin x
x1  2  7 x 2
7.
;
4.1. lim
x0
6.
x0
sin 2 x  x cos 3x
2.1. lim
x0
3.
1.2. lim x ln x .
17 x 3  5 x 2  12
3  2 x  5x 5
;
x
.
2
e x  cos x
9.2. lim
.
x 0
sin x

1 
10.2. lim  ctg x 
 .
x0
x2 
e x  cos x
10.1. lim
;
x 0
sin x
31
11.
12.
13.
14.
15.
16.
ln tg 2 x 
;
x 0 ln tg x 
11.1. lim
11.2. lim ln x  x .
e 2 x  tg x
12.1. lim
;
x 0 1  cos x
12.2. lim ( x  1) ln( x  1) .
18.
19.
20.
13.2. lim (  x) ctg x .
14.1. lim
1  cos 2 x
;
x 0 1  cos 5 x
14.2. lim tg x ln(sin x) .
e 3x  1
15.1. lim
;
x 0 ln(1  2 x )
15.2. lim
lim
16.1. lim
ln( 2  x 2 )
 3x  4
x0
3
x 0
16.2.
;
x ln x .
 1

lim 
 tg x  .
x  / 2 2 x  

17.2. lim sin x  x 1 .
18.1. lim
ln x
;
x 1 sin x
18.2. lim ( x  2) x
ln 2 x
19.1. lim
;
x  x
19.2. lim sin x ln x .
lim
20.1. lim
21.1. lim
x 2
22.
x 
ln tg x
;
x  / 4 cos 2 x
17.1.
tg 7 x
x0 e 2 x
21.
x1
1  tg 5 x
;
x  / 4 cos 2 x
13.1.
x 1 x 2
17.
x 0
1
x 1
2
4
x2
.
x0
ln( x  2)
.
x 3 sin x
20.2. lim
;
x 3  5x  2
ln( x 2  3)
21.2. lim (1  cos x) ctg 2 x .
;
x 0
cos(x / 2)
;
x sin x
22.2. lim sin x ln( x  2) .
22.1. lim
x 2
32
23.
23.1. lim
e 2x
x 
24.
24.1. lim
x2
x 0
x 4  7 x 3  3x  5
x 1
25.
23.2. lim (tg x) x .
;
ln( 2  x 2 )
;
sin 2 x
;
x  tg x
x 
25.2. lim
25.1. lim
Задание
15.
дифференциалов
24.2. lim x ln
x0
Вычислить
4.01 ;
2.
3
7.99 ;
3.
25.02 ;
4.
3
26.97 ;
5. ln 1.005 ;
6. e 0.995 ;
7. ln 0.99 ;
8. e1.03 ;
9. tg 61 ;
10. ctg 61 ;
11. cos 61 ;
12. sin 61 ;
13. tg 31 ;
14. ctg 46 ;
15.
24.997 ;
16.
4 15.99 ;
17.
36.02 ;
18.
4 81.05 ;
19. ln 1.03 ;
20. e1.005 ;
21. cos 44 ;
22. sin 44 ;
23. cos181 ;
24. sin 89 ;
25. cos 91 .
33
x ln x 2 .
приближенно
1.
x2
.
x3
с
помощью
Задание 16. Исследовать функции и построить их графики.
1.
2.
3.
1.1. y  ( x  2) 2 ( x  3) ;
3
2.2. y 
2
2.1. y  x  5x  x  3 ;
2
3.1. y  5x (7  x) ;
3.2. y 
4.1. y  x 3  2 x 2  x  2 ;
4.2. y 
5.1. y  x( x  2) 3 ;
5.2. y 
6.
6.1. y  ( x  1) 2 ( x  3) 2 ;
6.2. y 
7.
7.1. y  x 3  3x 2  x  3 ;
7.2. y 
4.
5.
8.
9.
10.
11.
x4 x3

8.1. y 
;
4
3
2
8.2. y 
2
x 1
( x  1) 2
x3  1
x2  4
1
1 x
2
10.1. y  2 x  3x  3x  2 ;
3
34
.
.
x2  x 1
.
x2  x
.
x5
2
1 x
3
x3
1  x2
x3  1
4x
2
.
.
.
x 2  5x  6
10.2. y 
.
x 1
11.2. y 
11.1. y  2 x (3x  2) ;
2
.
x
9.2. y 
9.1. y  x ( x  2) ;
3
4x 2  9
.
x 1
1.2. y 
x3
4x 2  1
.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
3
2
x2 1
12.1. y  2 x  7 x  5x  4 ;
12.2. y 
13.1. y  (2 x  3)( x  2) 3 ;
13.2. y 
14.1. y  ( x  1)( x  3)( x  2) ;
x2 1
14.2. y 
.
2x  5
2
15.2. y 
15.1. y  (2 x  1) ( x  2) ;
3
16.2. y 
16.1. y  ( x  4)( x  3) ;
2
2
17.2. y 
17.1. y  ( x  4)( x  1) ;
2
2
18.2. y 
18.1. y  (9  x )( x  1) ;
3
2
19.2. y 
19.1. y  4 x  7 x  11;
3
20.1. y  ( x  7)( x  2) ;
20.2. y 
21.1. y  ( x  5) 2 (4  x) 2 ;
21.2. y 
2
22.2. y 
22.1. y  2( x  1)( x  2) ;
35
.
x2 1
x 1
x2  x 1
.
x 2  3x  2
x 2  5x  6
x3
x  12
x3
1  x2
.
.
x3  x 2
1 x
.
2
.
x3  x 2  x  1
x2  9
8 x 3  27
( x  1)
1 x
1  x2
2
.
.
x2  x  1
2
x  x 1
.
.
23.
24.
25.
3
23.2. y 
23.1. y  (2 x  1) ( x  5) ;
2
2
24.1. y  (3x  2) (2 x  3) ;
3
24.2. y 
25.2. y 
25.1. y  ( x  3)(2  x) ;
36
x3  x2  x  1
x2  x 1
x2  x  6
x 2  16
2x  x 3
x2 1
.
.
.