odnomernye-uravneniya-vnutrenney-ballistiki-rdtt-v-polnyh-proizvodnyh-i-granichnye-usloviya-dlya-nih

УДК 51-72:621.454.3
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ РДТТ В ПОЛНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ НИХ
ЛИПАНОВ А.М.
Институт механики УрО РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т.Барамзиной, 34
________________________________________________________________________________
АННОТАЦИЯ. Использование методов математического моделирования при исследовании внутрикамерных
процессов в РДТТ является одним из современных научных направлений. Поэтому разработка способов более
быстрого и точного расчета внутрибаллистических параметров является актуальной проблемой. В работе
излагается оригинальный метод преобразования газодинамических уравнений внутренней баллистики РДТТ
вдоль характеристических направлений и их использование при расчете величин ВБП на границах канала
заряда. Приводятся два примера расчетов.
________________________________________________________________________________________________
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: газовая динамика, твердое топливо, конденсированные частицы, заряд,
характеристические направления.
Газодинамические уравнения, будучи математическим представлением законов
сохранения физики, допускают написание входящих в них переменных в полных
производных вдоль характеристических направлений. Однако, получение данной формы
записи уравнений газовой динамики в известных автору работах осуществляется путём
использования отношения неопределённости «ноль на ноль» [1], [2]. Оно приводит к
правильному результату, но используется или в связи с «невозможностью» нахождения
градиентов газодинамических параметров, или их неопределенностью при каждом значении
координаты х. Поэтому представляется целесообразным использование такого
преобразования упомянутых уравнений, которое бы позволило получать выражения в
полных производных без применения дополнительных гипотез.
Рассмотрим сначала одномерные газодинамические уравнения для гомогенной среды,
справедливые для каналов переменного сечения. В качестве примеров таких каналов можно
назвать сопло Лаваля и канал заряда с негорящим топливом.
Имеем уравнения:
∂ρ ∂F ρV
(1)
неразрывности
+
= 0;
F
∂t
∂x
2
импульса
F
∂ρV ∂F ρV 2
∂P
 ∂R 
+
+F
= −Π кτ 1 +   ;
∂t
∂x
∂x
 ∂x 
энергии
F
∂ρ E ∂
 ∂R 
+ F ρVH = −Π кα (T − TS ) 1 +   .
∂t
∂x
 ∂x 
(2)
2
(3)
Здесь
P, ρ , T ,V - давление, плотность, температура и скорость движения газа.
R, F , Π к - радиус, площадь поперечного сечения канала и его периметр
F = π R 2 ; Π к = 2π R .
В рассматриваемом случае радиус канала, а вслед за ним F и Π к зависят только от х.
τ - напряжение трения, τ =
ρV 2 λтр
2
⋅
4
λтр - коэффициент трения, λтр = a +
Число Re =
ρV ⋅ 2 R
.
µ
;
b
.
Ren
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. 2012. Том 14, №4
557
Постоянные a,b и n равны [2]
a = 0,0032;
b = 0,221;
n = 0,237;
α - коэффициент теплоотдачи, α = α изл + α конв ,


для ламинарного потока −

−0,5
λ
x
0,5
0,33  1 + x 
≤ 10;
 , если
 0,332Re ⋅ Pr 
D
D
D



0,4
 λ
х
 D   20 D 
5/6
αконв =  0,84Re0,4 ⋅ Pr 0,33   1 +
 , если 10 < < 0,067 Re⋅ Pr
3 x 
D
x 
D
если поток турбулентный −

1/3


 x

λ

 − 1,5 
0,8
0,43
 0,021Re ⋅ Pr ϕ − (ϕ − 1)  D

D

 17,5 




ϕ = 1,35 − 0,135 ( lg Re − 4 ) − 0,055 ( lg Re − 4 ) ⋅ ( 6 − lg Re )
D = 2R ;
q
α изл = изл ;
Т −ТS
 Т  4  Т S  4 
qизл = ε пр ⋅ Со 
 −
 ;
 100   100  
Вт
кг
Со = 5,67 2 4 = 5,67 3 4 ;
м ⋅K
с ⋅K
ε g ⋅εs
;
ε пр =
ε s + ε g (1 − ε s )
λ - коэффициент теплопроводности газообразных веществ;
ε g , ε s - степени черноты газовой фазы и системы «стенка-газ», соответственно;
E - удельная энергия;
V2
V2
1 P
(4)
E=
+ CV ⋅ T =
+
⋅ ;
2
2 K −1 ρ
CV - удельная изохорная теплоёмкость;
K - отношение изобарной ( C P ) и изохорной ( CV ) теплоёмкостей;
H - энтальпия,
V2
V2
K P
(5)
H=
+ CP ⋅ T =
+
⋅ .
2
2 K −1 ρ
Для расчета величины температуры используем уравнение состояния КлапейронаМенделеева
1 P
(6)
T= ⋅ ,
R ρ
R - газовая постоянная.
Преобразуем уравнения (1) – (3) в соответствии с методом характеристик [1], [2].
Для этого, учитывая уравнение неразрывности, запишем уравнения импульса и энергии
в виде:
558
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. 2012. Том 14, №4
2
∂V  ∂P
Π
 ∂V
 ∂R 
ρ
+V
= − к τ 1+   ;
+
∂x  ∂x
F
 ∂t
 ∂x 
(7)
2
∂E 
∂P
∂V
Π
 ∂E
 ∂R  PV ∂F
ρ  +V
+P
= − к α ( T − TS ) 1 +   −
. (8)
 +V
∂x 
∂x
∂x
F
F ∂x
 ∂t
 ∂x 
Для краткости написания субстанциональных производных для P, ρ ,V и E
воспользуемся обозначениями:
dP ∂P
∂P
dV ∂V
∂V
dE ∂E
∂E d ρ ∂ρ
∂ρ
=
+V
,
=
+V
,
=
+V
,
=
+V
.
dt
∂t
∂x
dt
∂t
∂x
dt
∂t
∂x
dt
∂t
∂x
Учитывая выражение (4) для Е, получим
dE
dV
1 1  dP P d ρ 
=V
+
−

.
dt
dt K − 1 ρ  dt ρ dt 
dE
в уравнение (8).
Подставим выражение для
dt
Будем иметь:
2
dV
1  dP P d ρ 
VP ∂F Π к
∂P
∂V
 ∂R 
+
−
+P
=−
−
ρV
α (T − TS ) 1 +   .

 +V
dt K − 1  dt ρ dt 
∂x
∂x
F ∂x F
 ∂x 
Видим, что сумма первого и предпоследнего слагаемых в левой части последнего
уравнения совпадает с левой частью уравнения (7), умноженной на V .
Поэтому последнее уравнение можем записать в следующем варианте:
2
2
1  dP P d ρ 
∂V Π кτ V
∂R
 ∂R  VP ∂F Π кα
−
=
1+   −
−
(T − TS ) 1 +   .

+P
K − 1  dt ρ dt 
∂x
F
F ∂x
F
 ∂x 
 ∂x 
Уравнение (1) запишем в виде:
∂ρ
∂ρ
∂V
ρV ∂F
.
+V
+ρ
=−
∂t
∂x
∂x
F ∂x
∂V
Исключим с помощью уравнения (10)
в уравнении (9).
∂x
Получим:
2
(9)
(10)
1  dP P d ρ  P  ρV ∂F d ρ  Π кτ V
∂R
 ∂R  VP ∂F Π кα
−
−
1+   −
−
(T − TS ) 1 +  
=

+ −
K − 1  dt ρ dt  ρ  F ∂x dt 
F
F ∂x
F
 ∂x 
 ∂x 
или
2
2
1  dP KP d ρ  Π к
 ∂R 
−
τV − α (T − TS )  1 +   .

=

K − 1  dt
ρ dt  F
 ∂x 
Отсюда находим:
1 dP K d ρ K − 1 Π к
 ∂R 
−
=
τ V − α (T − TS )  1 +  

P dt ρ dt
P F
 ∂x 
2
или
2
d
P
K −1 Πк
 ∂R 
ln K =
τ V − α (T − TS )  1 +   .

dt ρ
P F
 ∂x 
Видим, что вдоль характеристического направления, или траектории
dx
=V
dt
P
выполняется полная производная для энтропийной функции K .
ρ
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. 2012. Том 14, №4
(11)
(12)
559
Одновременно можем констатировать, что трение увеличивает энтропию,
теплопотери её уменьшают.
dρ
Исключим, далее,
в уравнении (9) с помощью уравнения (10). Будем иметь:
dt
1 dP
1 P  ρV ∂F
∂V
+
+ρ

K − 1 dt K − 1 ρ  F ∂x
∂x
а
2
∂V Π к

 ∂R  VP ∂F
=
τ V − α (T − TS )  1 + 
+ P
 −
∂x
F
F ∂x

 ∂x 
или
1  dP
∂V
+ KP

K − 1  dt
∂x
2
VKP ∂F
 Πк
 ∂R 
τ V − α (T − TS )  1 + 
.
=
 −
 F
 ∂x  ( K − 1) F ∂x
(13)
Введем в рассмотрение скорость звука
c=
KP
ρ
.
(14)
Умножим уравнение (7) на c .
Получим:
2
∂V 
∂P
Π τc
 ∂V
 ∂R 
ρc 
+V
=− к
1+ 
+c
 .
∂x 
∂x
F
 ∂t
 ∂x 
(15)
Уравнение (13) запишем в виде:
2
∂P
∂P
∂V
Π
 ∂R  KVP ∂F
+V
+ ρc2
= ( K − 1) к τ V − α (T − TS )  1 + 
.
 −
∂t
∂x
∂x
F
F ∂x
 ∂x 
(16)
Сложим уравнения (16) и (15).
Найдём:
∂P
∂P
∂V 
VP ∂F Π к
 ∂V
+ (V + c )
+ ρc 
+ (V + c )
= −K
+
τ  KV − (V + c )  − ( K − 1) α (T − TS )

∂t
∂x
∂x 
F ∂x F
 ∂t
{
}
2
 ∂R 
1+ 
 .
 ∂x 
Видим, что вдоль характеристического направления
dx
=V +c
dt
выполняется уравнение
(17)
dP
dV
VP ∂F Π к
+ ρc
= −K
+
τ  KV − (V + c )  − ( K − 1) α (T − TS )
dt
dt
F ∂x F
в полных производных.
Вычтем, далее, уравнение (15) из уравнения (16).
Будем иметь:
{
}
 ∂R 
1+  
 ∂x 
2
(18)
2
∂P
∂P
∂V 
VP ∂F Π к
 ∂V
 ∂R 
+ (V − c)
− ρc 
+ (V − c)
= −K
+
τ [ KV − (V − c)] − ( K − 1)α (T − TS )} 1 +   .
{

∂t
∂x
∂x 
F ∂x F
 ∂t
 ∂x 
В данном случае получаем следующее уравнение в полных производных
2
dP
dV
VP ∂F Π к
 ∂R 
− ρc
= −K
+
τ [ KV − (V − c)] − ( K − 1)α ( T − TS )} 1 +   ,
(19)
{
dt
dt
F ∂x F
 ∂x 
выполняющееся вдоль характеристического направления
dx
(20)
=V −c.
dt
Такие же уравнения получены и в работе [2], но с использованием отношения
неопределённостей ноль на ноль.
560
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. 2012. Том 14, №4
Характеристическое направление (17) принято называть характеристиками I-го
семейства, а уравнение (18) – связью, выполняющейся вдоль характеристик (17).
Характеристическое направление (20) называют характеристиками II-го семейства, а
уравнение (19) – связью, выполняющейся вдоль характеристик (20).
Характеристические направления и связи, выполняющиеся вдоль них, удобны при
анализе числа граничных условий на границах рассматриваемого канала, а также при расчете
параметров на границах. Ниже алгоритм расчета параметров на границах канала заряда и
примеры расчетов выполним применительно к твердотопливному ракетному двигателю
(РДТТ). В этом случае будем рассматривать гетерогенный поток с монодисперсными Кчастицами, поступающими в канал с его стенок в результате горения твердого топлива, а
также через входное сечение канала.
Будем рассматривать такой период работы РДТТ при выходе его на режим
квазистационарной работы, когда приход продуктов сгорания от горения заряда
воспламенителя уже невелик и им по сравнению с приходом ПС от горения основного заряда
можно пренебречь. В этих условиях уравнения неразрывности, импульса и энергии для
газообразных веществ важно записать в виде:
2
∂
∂
 ∂R 
F ρɶ + F ρɶV = ΠT ρTU T (1 − γ T ) 1 +   ,
∂t
∂x
 ∂x 
∂
∂
∂F
F ρɶV + F (1 − ϕ ) ( P + ρ gV 2 ) = P
(1 − ϕ ) − F Φ,
∂t
∂x
∂x
(21)
(22)
2

∂
∂
P
∂P
 ∂R 
F ρɶ E + F ρɶV  E +  = ΠT ρTU T (1 − γ T ) 1 +   H T − F ΦU + FϕU
+ FQ.
∂t
∂x
∂x
ρ
 ∂x 

Здесь
γ T - массовая доля К-частиц при горении топлива;
ϕ - объемная доля К-частиц;
Φ - аэродинамическое сопротивление, оказываемое К-частицами движению газа;
∂P
- «парусность» К-частиц;
ϕF
∂x
ρɶ = (1 − ϕ ) ρ ;
(23)
U T - скорость горения твердого топлива;
ρT - плотность твердого топлива.
Поскольку твердое топливо горит, то площадь его канала F , периметр Π и угол
наклона контура канала заряда к оси х будут функциями времени t и пространственной
координаты х. Алгоритм их расчета на каждом шаге интегрирования по времени изложен в
работе [3].
Выполняя преобразования, аналогичные выше приведённым, уравнения (22), (23)
преобразуем к виду:
2
∂V  ∂P
Φ
Π
1− γT
 ∂V
 ∂R 
+V
=−
− V T ρTU T
1+   ,
ρ
+
∂x  ∂x
1−ϕ
F
1−ϕ
 ∂t
 ∂x 
∂E 
∂P
∂V
Φ ⋅U − Q ΠT
1− γT
 ∂E
ρ  +V
+P
=−
+
ρTUT
×
 +V
∂x 
∂x
∂x
1−ϕ
F
1−ϕ
 ∂t
(24)
(25)
2
ϕ
∂P PV ∂ϕ PV ∂F
 ∂R 
× ( HT − E ) 1 +   +
U
+
−
.
F ∂x
 ∂x  1 − ϕ ∂x 1 − ϕ ∂x
Левые части уравнений (24) и (25) совпадают с левыми частями уравнений (7), (8).
Наличие К-частиц в потоке в уравнениях (24), (25) для газообразных веществ
сказывается на результатах расчетов через правые части этих уравнений.
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. 2012. Том 14, №4
561
Поэтому также как и выше, получим:
1  dP P d ρ 
∂V (V − U ) Φ + Q ΠT
1− γT
−
=
+
ρTU T
×

+ P
K − 1  dt ρ dt 
∂x
1−ϕ
F
1−ϕ
(26)
2
∂
R
ϕ
⋅
U
∂
P
PV
∂
ϕ
PV
∂
F


× ( HT − E + V 2 ) 1 +   +
+
−
.
F ∂x
 ∂x  1 − ϕ ∂x 1 − ϕ ∂x
Уравнение неразрывности (21) запишем так, чтобы в его левой части находились те же
слагаемые, что и в уравнении (10).
Имеем:
2
∂ρ
∂ρ
∂V ΠT
1− γT
ρ  ∂F
∂F 
ρ  ∂ϕ
∂ϕ 
 ∂R 
+V
+ρ
=
ρTU T
1+   − 
+V
+V
+

 . (27)
∂t
∂x
∂x
F
1−ϕ
∂x  1 − ϕ  ∂t
∂x 
 ∂x  F  ∂t
∂V
с помощью уравнения (27) и преобразуем левую часть
Исключим в уравнении (26)
∂x
полученного уравнения так, чтобы получить:
 1 ∂F
d
P
1 ∂ϕ Q + (V − U ) Φ ϕ ⋅ U 1 ∂P
−
+
+
+
ln K = ( K − 1) 
dt ρ
P(1 − ϕ )
1 − ϕ P ∂x
 F ∂t 1 − ϕ ∂t
(28)
2
ΠT
UT 1 − γ T
 ∂R  
2
+
ρT
( HT − E − RT + V ) 1 +  ∂x   .
F
P 1−ϕ

Видим, что энтропия в элементарном объеме, двигающемся со скоростью V, растёт
вследствие прихода тепла от К-частиц, сопротивления К-частиц движению газообразных
веществ, и вследствие разгара канала заряда, но уменьшается из-за «парусности» К-частиц.
Растёт энтропия и от прихода массы и энергии вследствие горения твердого топлива. Это
следует из последнего слагаемого уравнения (28), знак которого определяется выражением:
V2
H T − E − RT + V 2 = CP (TP − T ) + .
2
2
V
Поскольку TP > T и
> 0 , то последнее слагаемое в уравнении (28), тоже больше
2
ноля. В результате и в целом энтропия в гетерогенном потоке в канале заряда с горящим
топливом растёт при перемещении газообразных веществ вниз по потоку.
dρ
Исключим, далее,
в уравнении (26) с помощью уравнения (27).
dt
Получим:
dP
∂V K − 1
P dF
P dϕ Π T
1− γT
+ KP
=
+
+
ρTUT
×
(29)
Q + (V − U ) Φ  −
dt
∂x 1 − ϕ
F dt 1 − ϕ dt
F
1−ϕ
2
∂P
PV ∂F K − 1
dϕ
 ∂R  ϕ ⋅U
×  RT + ( K − 1) ( H T − E + V 2 )  1 +   +
+
PV
= ΠE.
( K − 1) − ( K − 1)
∂x
F ∂x 1 − ϕ
dx
 ∂x  1 − ϕ
Запишем полученное уравнение в виде:
∂P
∂P
∂V
(30)
+V
+ ρc2
= ΠE.
∂t
∂x
∂x
Уравнение (24) умножим на с. Будем иметь:
2
∂V 
∂P
c⋅Φ
Π
1− γT
 ∂V
 ∂R 
ρc 
+V
=−
− cV T ρTU T
1+   .
+c
∂x 
∂x
1−ϕ
F
1−ϕ
 ∂t
 ∂x 
Сложим уравнение (30) и (31).
562
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. 2012. Том 14, №4
(31)
Получим:
вдоль характеристического направления (17) выполняется равенство:
dP
dV K − 1 
c   P dF
P dϕ Π T
1− γT

ρTU T
+ ρc
=
Q + V − U −
+
+
×
 Φ −

dt
dt 1 − ϕ 
K − 1   F dt 1 − ϕ dt
F
1−ϕ

2
PV ∂F K − 1
dϕ
∂P
 ∂R  K − 1
ϕU
PV
.
×  RT − V ⋅ c + ( K − 1) ( H T − E + V 2 )  1 +   +
− ( K − 1)
+
∂x
F ∂x 1 − ϕ
dx
 ∂x  1 − ϕ
(32)
Вычтем уравнение (31) из уравнения (30).
Найдём:
вдоль характеристического направления (20) выполняется уравнение:
dP
dV K − 1 
c   P dF
P dϕ K − 1
∂P

− ρc
=
Q + V − U +
+
+
+
ϕU
 Φ −

dt
dt 1 − ϕ 
K − 1   F dt 1 − ϕ dt 1 − ϕ
∂x

(33)
2
ΠT
∂R  
P ⋅ V ∂F K − 1
dϕ
1− γT 
 RT + Vc + ( K − 1) ( H T − E + V 2 ) 1 + 
ρT U T
+
PV
.
  − ( K − 1)
F
1−ϕ 
∂x  
F ∂x 1 − ϕ
dx



В итоге можем заключить, что наличие в потоке К-частиц не сказалось ни на
выражениях для характеристических направлений, ни на аналитическом представлении
левых частей уравнений, выполняющихся как вдоль траекторий (12) и характеристик I-го
семейства, так и вдоль характеристик II-го семейства.
Правые же части этих уравнений в значительной мере зависят от факторов, появление
которых обусловлено гетерогенностью потока. Своё влияние на аналитическое
представление правых частей уравнений (25), (32), (30) оказал приход массы и энергии,
обусловленный горением твердого топлива. Поскольку на входе в канал заряда начинаются
траектории и характеристики I-го семейства, а вдоль них выполняется по одной связи, то на
левой границе канала необходимо задать две связи.
Ещё одну связь необходимо задать на сопловой границе канала, если поток дозвуковой.
В этом случае на данной границе начинаются характеристики II-го семейства, а вдоль них
выполняется одна связь.
Если поток при истечении из канала заряда сверхзвуковой [3], то никаких граничных
условий на сопловой границе канала заряда задавать не надо.
Ниже выполним пример расчета параметров на сопловой границе канала заряда именно
для этого расчетного случая. Покажем, что использование связей вдоль характеристических
направлений является удобным способом расчета внутрибаллистических параметров (ВПБ)
на границах канала заряда.
Пусть при t = tn расчет параметров в канале заряда и в том числе на его границах
выполнен. Требуется определить величины ВПБ на границах канала в следующий момент
времени при t = tn+1 = tn + ∆t . Внутри канала алгоритм расчета ВПБ в данной статье
рассматривать не будем. На рис. 1 приведены положения границ канала заряда для двух
моментов времени tn и tn+1 = tn + ∆t , если торцы заряда горят. Здесь ∆t - шаг интегрирования
по времени. Отрезком АН показано перемещение передней (левой) границы канала заряда;
отрезком FG –перемещение сопловой границы канала заряда.
В данной работе рассмотрим случай, когда температура ПС в переднем объеме близка к
TP и уравнение энергии в переднем объеме можно не решать. Поэтому в переднем объеме
будем интегрировать следующую систему их трёх уравнений:
неразрывности для газообразных веществ
dW ρɶ
(34)
= ST ρTU T (1 − γ T ) − F0 ρɶ 0V0 ,
dt
+
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. 2012. Том 14, №4
563
концентрации К-частиц
dW γ ρ ПС
= ST ρTU T γ T − γ F0 ρ 0 ПСV0 ⋅ ω ,
dt
(35)
и для величины объема
dW
(36)
= ST ⋅ U T .
dt
Температуру К-частиц Tкч в переднем объеме будем приравнивать Т Р .
Скорость К-частиц на входе в канал заряда будем определять из равенства
(37)
U 0 = ωV0 ,
где ω - экспериментально определяемая величина.
Она может быть также найдена и путём решения двумерной газодинамической задачи,
когда можно учесть распределение газодинамических параметров в переднем объеме.
В данном случае примем ω =0,7.
t
H
G
N
tn +1 M
tn A
B
N −3
2
1
D
N −1
M
N − 2E
F x
Рис. 1. Границы канала заряда в моменты времени t n и t n +1
и отрезки характеристик I-го семейства (GD), II-го семейства HB и траектории GE
Запишем уравнения (34) – (37) в приращениях.
Получим:
W
W
W
n +1
⋅ ρɶ
n +1
γ
n +1
С их помощью найдём W
n +1
n +1
= W ⋅ ρɶ +  ST ρTU T (1 − γ T ) − F0 ρɶ 0V0  ∆t ;
n
n
n
(
n +1
⋅ ρ ПС = W ⋅ ρ ПС γ
) + (S ρ U γ
n
T
T
T T
)
n
− γ F0 ρ0V0 ∆t;
(38)
= W + ( STU T ) ∆t.
n +1
n
, ρɶ
n +1
n
(
и γ ⋅ ρ ПС
)
n +1
.
Поскольку
ρɶ = ρ (1 − ϕ ) ,
(39)
γ ⋅ ρ ПС
и определяется из уравнения (35), если это уравнение слева и справа разделить
ρкч
на ρ кч , то найдём ρ .
аϕ=
Из равенства ρɶ = (1 − ϕ ) ρ ПС при известной γ ⋅ ρ ПС найдём
ρ ПС = ρɶ + γ ⋅ ρ ПС .
564
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. 2012. Том 14, №4
(40)
Зная температуру и плотность ρ g , определим
Р = ρ RTP .
После этого сможем воспользоваться равенствами:
K P0 V02
Р = P0 + ρ0V02 ; H =
+ ,
K − 1 ρ0 2
выполняющимися на входе в канал заряда.
Но они содержат три неизвестных: V0 , ρ 0 и P0 .
(41)
(42)
Чтобы задачу об определении переменных P0 , ρ 0 и V0 решить, добавим к уравнениям
(42) записанное в приращениях уравнение (33):
(43)
РH − PB − ( ρ c ) B (VH − VB ) = ( Π II ) B ⋅ ∆t ,
выполняющееся вдоль отрезка ВН (рис. 1) характеристики II-го семейства (20).
Для отрезка ВН характеристик (20) имеем:
(44)
X H − X B = (V − C ) B ⋅ ∆t.
Пусть точка В находится между точками А и 1. Величины переменных V и C, и других
внутрибаллистических параметров (ВБП) в точках А и 1 известны.
Для разности V – C как функции координаты х воспользуемся аппроксимацией
V − C = (V − C ) A + ξV −c X .
(45)
Величину коэффициента ξV −c определим из равенства
ξV −c =
Тогда сможем записать:
(V − C )1 − (V − C ) A
∆X
.
(46)
(V − C ) B = (V − C ) A + ξV −c ⋅ X B .
(47)
Используя равенства (44) и (47), для определения координаты X B , получим уравнение:
XB =
X H − (V − C ) A ∆t
1 + ξV −c ⋅ ∆t
.
(48)
Имея величину координаты X B и используя уравнение
(49)
θ = θ A + ξθ ⋅ X ,
θ −θ
где ξθ = 1 A ;
(50)
∆X
θ - вектор с компонентами P,V , ρ ,
найдём все величины ВБП в точке X = X B . После этого можем в точке X = X B рассчитать
величину скорости звука C B и величину правой части ( Π II ) B .
Используя уравнения (42) и (43), определим величины параметров в точке Н в первом
приближении. Чтобы уточнить величины ВБП, в переднем объеме правые части уравнений
(34) – (36) запишем в виде:
 ST ρTU T (1 − γ T ) − F0 ρɶ 0V0 
Π ρɶ = 
Πγ =
ΠW
(S ρ U γ
T
T
T T
− γ F0 ρɶ 0V0ω )
n +1
n +1
+  ST ρTU T (1 − γ T ) − F0 ρɶ 0V0 
2
(
+ ST ρTU T γ T − γ F0 ρɶ 0 V0ω
ПС
2
(S U )
=
T
T
n +1
+ ( ST U T )
)
n
,
n
,
(51)
n
2
и уравнения (34) – (36) с правыми частями (51) решим повторно.
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. 2012. Том 14, №4
565
Найдем уточненные величины ВБП в переднем объеме. После этого, используя
уточненное значение P , вновь решим уравнение (42) совместно с уравнением (43).
В последнем вместо ( ρ c ) B и ( Π II ) B используем
( ρc )H
n+1
( ρ c )ср =
+ ( ρc )B
( Π II ) H
n+1
( Π II )ср =
;
+ ( Π II ) B
.
(52)
2
2
В равенствах (52) как и в равенствах (51) индексом (n+1) обозначены величины
параметров, полученные на (n+1)-м временном слое в первом приближении.
Рассчитав параметры в точке Н с уточненными величинами P , ρ c и Π II , решим задачу
во 2-м приближении. Расчеты были выполнены для заряда, имеющего передний объём Wn ,
равный 0,07 м3, и величину поверхности горения, соответствующую переднему объему,
равную 2,63894 м2, длину заряда, равную 4,2 м, площадь канала заряда и его периметр,
равные 0,12566 м2 и 1,2566 м, соответственно. Число точек по длине заряда равнялось ста.
Величина шага ∆t = 10−5 с была выбрана такой, чтобы точка В (рис. 1) находилась левее
точки 1. Данные о параметрах твердого топлива, использованного в расчетах, приведены в
табл. 1.
Таблица 1
Величины параметров использованного твердого топлива
γ T , мкг
U 1 , мс
ν
TP , K
K = C P CV
R, см2 К
γТ
1700
0,25233
0,3
3500
1,17
360
0,34
3
2
Величины параметров в переднем объеме и в точке А приведены в табл. 2. Параметры,
соответствующие точке 1, приведены в табл. 3.
Таблица 2
Величины параметров в переднем объеме и в точке А
Pn , cмкг2
VA , мс
Pn , мкг⋅c2
30
0,2943·10
6
PA , мкг⋅c2
50
ρ ПС , мкг
ρ ПС , мкг
0,32083
0,32024
3
0,293717·10
6
3
ρɶ , мкг
0,23357
3
Таблица 3
Величины параметров в точке 1
V1 , мс
P1 , мкг⋅c 2
ρ1 , мкг
( ρ ПС )1 , мкг
γ1
U 1 , мс
52,94
0,29365·106
0,23309
0,32203
0,272
42,352
3
3
Результаты расчетов величин ВПБ в переднем объеме и на входе в канал заряда в 1-м
приближении приведены в табл. 4, соответствующие параметры, относящиеся ко 2-му
приближению приведены в табл. 5.
Таблица 4
Величины параметров в переднем объеме и на входе в канал
(точка Н, первое приближение)
ρ ПС , мкг
P , мкг⋅c2
0,297767·10
3
6
0,324887
ρɶ , мкг
0,236318
3
γ
V0 , мс
P0 , мкг⋅c2
ρ 0 , мкг
0,272615
55,226
0,297048
0,235794
3
Таблица 5
Величины параметров в переднем объеме и на входе в канал
(точка Н, второе приближение)
ρ ПС , мкг
P , мкг⋅c2
0,297754·10
566
3
6
0,325034
ρɶ , мкг
0,236307
3
γ
V0 , мс
P0 , мкг⋅c2
ρ 0 , мкг
0,272975
55,048
0,297052
0,235797
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. 2012. Том 14, №4
3
Как видим переход с n-го временного слоя на (n+1)-й привёл к увеличению скорости
потока газообразных веществ на входе в канал заряда на величину около 11 %. При этом 1-е
и 2-е приближения по величине скорости потока отличаются только на 0,32 %. Остальные
параметры при переходе с n-го временного слоя на (n+1)-й изменяются ещё меньше. В
частности, давление при переходе с n-го временного слоя на (n+1)-й изменилось на 1,16 %, а
относительная разница для давления между 1-м и 2-м приближениями составила 0,0044 %.
На сопловой границе канала заряда при расчете параметров на (n+1)-м временном слое
был рассмотрен расчетный случай, когда истечение из канала заряда сверхзвуковое. Явление
сверхзвукового истечения из канала заряда имеет место в период постепенного
воспламенения, когда бóльшая часть длины канала заряда (до 70 %) уже воспламенилась и
большой расход продуктов сгорания должен протекать через ещё невоспламенившуюся и
примыкающую к соплу часть канала заряда. При этих условиях сопловой торец заряда ещё
не горит и все три характеристики для газообразных продуктов сгорания направлены вниз по
потоку. Поэтому на сопловой границе канала заряда имеем следующие отрезки DG, EG и MG
(рис. 2) для характеристик I-го и II-го семейств и траектории движения газообразных
веществ, соответственно.
Величины ВПБ, использованные в расчетах и относящиеся к точкам F и N-1 на n-м
временном слое приведены в табл. 6 и 7, соответственно. Здесь параметры с индексом N-1
соответствуют точке, отстоящей на один шаг ∆x от сопловой границы канала заряда вверх
по потоку. Индексом * (звездочка) обозначены параметры торможения на сопловой границе
канала заряда на n-м временном слое. Канал заряда в этот период считали цилиндрическим.
При шаге интегрирования ∆t = 10−5 точки D, M и E оказались расположенными между
(N-1)-ой N-ой точками. При расчете правых частей уравнений (28), (32) и (33) учитывали
приход тепла Q от конденсированных частиц к газообразным веществам и аэродинамическое
сопротивление Ф, оказываемое К-частицами движению газообразных веществ. Остальными
слагаемыми в невоспламенившемся ещё канале в окрестности его сопловой границы
пренебрегали как малыми величинами по сравнению как с переменной Ф, так и с
переменной Q. При расчете величины теплового потока Q, соответствующего единице
объема канала температуру К-частиц Tкч принимали равной 1, 03 ⋅ Tg , где Tg - температура
газообразных веществ.
t
G
n +1
D
n
N −1
M
E
N
F
x
n, n+1 – временные слои; t – время; x – пространственная координата
Рис. 2. Отрезки DG, EG, MG характеристик I-го и II-го семейств и траектории движения газообразных
веществ в окрестности сопловой границы канала заряда, соответственно
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. 2012. Том 14, №4
567
Таблица 6
Величины параметров при X=L на n-м временном слое
VL , мс
C L , мс
PL ⋅10−6 , мкг⋅c2
1200
1100
0,131506
ρ L , мкг
ρ* L , мкг
P*L ⋅10−6 , мкг⋅c2
3
0,127158
3
0,25506
0,223996
Таблица 7
Величины параметров при X=L-∆х на n-м временном слое
VN −1 , мс
C N −1 , мс
1175
1102,23
ρ N −1 , мкг
PN −1 ⋅10−6 , мкг⋅c2
3
0,134967
0,129978
При расчете аэродинамической силы скорость К-частиц оценивали по формуле
U кч = 0,92 ⋅ Vg ,
где V g - скорость газообразных веществ.
Другие параметры, относящиеся к К-частицам, приведены в табл. 8. Некоторые
параметры, относящиеся к газообразным веществам и использовавшиеся в расчетах,
приведены в табл. 9. Расчет величин переменных Q и Ф осуществлялся в соответствии с
данными, приведенными в работе [2].
Таблица 8
Параметры, относящиеся к К-частицам
Теплопроводность
Радиус
Плотность
r , м⋅10
кг
кч м 3
с ⋅К
3
Объемная
доля К-частиц,
ρ ,
λ , кг3 ⋅ м
6
9
ϕ
0,121422·10 −4
3960
Таблица 9
Параметры газообразных веществ
Газовая постоянная
R,
м2
с 2 ⋅К
360
Отношение теплоёмкостей
Теплопроводность
K = CP CV
λg , cкг⋅⋅Kм
1,17
0,158
3
Величину динамической вязкости газообразных веществ рассчитывали по формуле
Саттерленда. В качестве опорной была принята температура 800 К. Соответствующий ей
коэффициент вязкости был принят равным 3,583 ⋅10−3 мкг⋅с .
Результаты расчетов в 1-м и 2-м приближениях для точки G (рис. 2) приведены в
табл. 10.
Таблица 10
Параметры газообразных веществ на (n+1)-м временном слое в точке G
1-е приближение
2-е приближение
VG , мс
PG ⋅10−6 , мкг⋅с2
ρ G , мкг
CG , мс
1180,81
1181,89
0,131662
0,131650
0,127234
0,127236
1100,33
1100,27
3
Видим, что скорость потока в точке G по сравнению с точкой F (на (n+1)-м временном
слое) уменьшилось.
568
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. 2012. Том 14, №4
Это уменьшение составило примерно 1,5 %. Разница в скоростях между
приближениями оказалась равной 0,09 %, показывая, что необходимости в дальнейшем
уточнении полученных результатов нет.
Остальные параметры при переходе с n-го временного слоя на (n+1)-й изменились ещё
меньше при хорошем соответствии параметров для 1-го и 2-го приближений.
Отметим, попутно, что изменения координат Х D , Х M и Х T во 2-м приближении
с первым не превысили одной тысячной доли процента.
Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных исследований
УрО РАН, проект № 12-Т-1-1006».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. II. М. : Физматгиз, 1963. 728 с.
2. Соркин Р.Е. Теория внутрикамерных процессов в ракетных системах на твердом топливе. М : Наука, 1983.
286 с.
3. Алиев А.В., Амарантов Г.И., Вахрушев А.В. Внутренняя баллистика РДТТ / под ред. А.М. Липанова,
Ю.М. Милёхина. М. : Машиностроение, 2007. 504 с.
________________________________________________________________________________________________
DIMENSIONAL EQUATIONS OF INTERNAL BALLISTICS OF SOLID ROCKET MOTOR IN TOTAL
DERIVATIVES AND BOUNDARY CONDITIONS FOR THEM
Lipanov A.M.
Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
SUMMARY. The use of mathematical modeling in the study intrachamber processes in solid propellant rocket is one
of modern scientific disciplines. Therefore, development of methods for faster and more accurate calculation of internal
ballistics parameters is an important issue. The paper presents an original method for the conversion of gas-dynamic
equations of internal ballistics of solid propellant along characteristic lines and their use in the calculations of PFS by
channel boundaries charge. Two examples of calculations.
KEYWORDS: gas dynamics, solid fuel, condensed particles, the charge characteristic directions.
________________________________________________________________________________________________
Липанов Алексей Матвеевич, академик РАН, директор ИМ УрО РАН,
тел. +7 (3412) 50-82-00, e-mail: ipm@udman.ru
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. 2012. Том 14, №4
569