Теория вероятностей - Основные образовательные программы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Сапожникова А.В.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления
09.03.02 Информационные системы и технологии,
профиль подготовки «Информационные системы и технологии
в административном управлении»
Форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2015
Сапожникова А.В. Теория вероятностей. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 09.03.02 Информационные системы и технологии, профиль подготовки «Информационные системы и технологии в административном
управлении». Форма обучения очная, Тюмень, 2015, 38 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Теория вероятностей
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой
математического анализа и теории функций
© Тюменский государственный университет, 2015.
© Сапожникова А.В., 2015.
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Целью изучения данной дисциплины является знакомство студентов с основными
понятиями и методами теории вероятностей, приобретение навыков решения типовых задач. В курсе данной дисциплины студенты овладевают знаниями по таким разделам теории вероятностей, как случайные события и случайные величины, предельные теоремы,
учатся применять полученные теоретические результаты для исследования и статистической обработки данных, проверок гипотез, решения задач оценивания, изучение основ
анализа парных зависимостей. В процессе обучения закрепляются такие общие профессиональные умения как классификация (типов формализованных задач), оценивание (результатов расчета), моделирование и формализация процессов (как типовых, так и нестандартных видов).
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы.
Учебная дисциплина «Теория вероятностей» входит в математический и естественнонаучный цикл дисциплин, вариативная часть; требования к входным знаниям и умениям студента – знание основных разделов математики: математического анализа, линейной
алгебры, аналитической геометрии, дискретной математики, математической логики.
Данная дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: математическая статистика, теория информации.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Математическая статистика
Теория информации
Таблица 1.
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
2.1
2.5
2.2
3.4
2.3
2.4
2.5
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
ОПК-1: владением широкой общей подготовкой (базовыми знаниями) для решения практических задач в области информационных систем и технологий.
ОПК-2: способностью использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования.
ПК-23: готовностью участвовать в постановке и проведении экспериментальных исследований.
ПК-25: способностью использовать математические методы обработки, анализа и синтеза
результатов профессиональных исследований.
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: аксиомы теории вероятностей, виды случайных событий и их возможные
комбинации, способы вычисления вероятностей случайных событий, виды случайных величин, способы их задания, математические операции над случайными величинами и их
числовые характеристики, основные законы распределений, важнейшие теоремы теории
вероятностей.
Уметь: определять количество элементов в конечных множествах, вычислять вероятности случайных событий, определять тип случайной величины и находить ее числовые характеристики, задавать распределение случайной величины, делать выводы после
получения основных результатов, анализировать и идентифицировать исследуемые прикладные задачи, осуществлять выбор адекватных методов решения поставленных задач.
Владеть: навыками решения задачи и интерпретации результатов в терминах прикладной области, методами прогнозирования поведения исследуемого процесса при изменении влияющих факторов.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 3-й. Форма промежуточной аттестации - зачет. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 академических часов, из них 37,7 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем (18 часов лекций, 18 часов практических
занятий, 1,7 часа – иные виды работ), 34,3 часа, выделенных на самостоятельную работу.
3. Тематический план.
Таблица 2.
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3.1.
3.2
3.3
Типы сходимостей последовательностей случайных величин. Неравенства Маркова
Итого часов по теме
Из них в интерактивной
форме
Итого количество баллов
3
Самостоятельная
работа
1.1
2
Модуль 1
Элементы теории множеств и
комбинаторики
Основные понятия теории
вероятностей, действия над
событиями
Классическое, геометрическое, статистическое и аксиоматическое определения вероятности события
Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения
вероятностей
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Схема Бернулли
Всего
Модуль 2
Определение случайной величины. Функция распределения, определение, свойства
Дискретные случайные величины
Непрерывные случайные величины
Примеры распределений известных случайных величин
Числовые характеристики
случайных величин
Всего
Модуль 3
Многомерные случайные величины
Условное распределение
Практические занятия
1
Виды учебной работы и
самостоятельная работа,
в час.
Лекции
Тема
недели семестра
№
4
5
6
7
8
9
1
1
2
2
0-2
1-2
1-2
0,5
1
1
2,5
0-2
1-2
1,5
1
2
4,5
0-6
3-4
2
1
3
6
0-8
3-4
1,5
1
2
4,5
0-8
4-5
0,5
6
1
6
2
11
3,5
23
0-4
0-30
5-6
1
2
3
0-2
7-8
1
2
2
5
0-8
910
910
1112
1
2
2
5
0-6
2
3
1213
1415
1516
1
2
0-4
2
2
4
8
0-10
6
6
12
24
0-30
2
2
1
5
0-8
4
4
2
4
1
1
2
0-13
0-6
3.4.
3.5
и Чебышева
ЗБЧ и его различные формы
ЦПТ, интегральная и локальная теоремы Муавра-Лапласа
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной форме
*с учетом иных видов работ
1617
1718
1
1
2,3
4,3
0-6
2
2
2
6
0-7
6
6
18
23,3
1,7
72
0-40
18
11,3
1,7
36
2
4
6
0-100
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
1
Модуль 1.
1.1.Элементы теории множеств и комбинаторики
1.2.Основные понятия теории вероятностей,
действия над событиями
1.3.Классическое, геометрическое, статистическое и аксиоматическое определения вероятности события
1.4.Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей
1.5.Формула полной вероятности. Формула
Байеса
1.6.Схема Бернулли
Всего
Модуль 2.
2.1.Определение случайной величины.
Функция распределения, определение, свойства
2.2.Дискретные случайные величины
2.3.Непрерывные случайные величины
2.4.Примеры распределений известных случайных величин
2.5.Числовые характеристики случайных величин
Всего
2
3
0-1
0-1
ответ на семинаре
собеседование
коллоквиумы
№ темы
4
контрольная работа
Письменные
работы
Устный опрос
Итого количество
баллов
Таблица 3.
5
6
0-2
0-2
0-1
0-2
0-1
0-5
0-6
0-1
0-7
0-8
0-1
0-7
0-8
0-4
0-4
0-25
0-4
0-30
0-2
0-2
0-1
0-1
0-1
0-7
0-5
0-3
0-8
0-6
0-4
0-2
0-1
0-8
0-10
0-7
0-1
0-22
0-30
1
Модуль 3.
3.1.Многомерные случайные величины
3.2.Условное распределение
3.3.Типы сходимостей последовательностей
случайных величин. Неравенства Маркова и
Чебышева
3.4.ЗБЧ и его различные формы
3.5.ЦПТ, интегральная и локальная теоремы
Муавра-Лапласа
Всего
Итого
2
3
0-1
0-1
0-1
0-1
4
0-1
0-1
0-3
0-2
0-13
0-3
0-1
0-6
5
6
0-6
0-13
0-4
0-8
0-13
0-6
0-6
0-5
0-6
0-7
0-34
0-81
0-40
0-100
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
1.1. Элементы теории множеств и комбинаторики. Множества. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение, разность множеств, сумма множеств, декартово произведение. Теорема о дополнении, теорема де Моргана. Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, схемы выбора без повторений и с повторениями. Правила суммы и произведения.
1.2. Основные понятия теории вероятностей, действия над событиями. Основные понятия: опыт, эксперимент, элементарный исход, случайные события, достоверное и невозможное события. Действия над событиями: объединение и пересечение событий, совместные и несовместные события, полная группа событий, противоположные события,
свойства операций над событиями.
1.3. Классическое, геометрическое определения вероятности. Относительная частота
появления события. Свойство устойчивости относительных частот. Статистическая вероятность. Аксиоматическое определение вероятности, свойства.
1.4. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теоремы
сложения вероятностей для несовместных и совместных событий. Условная вероятность.
Независимые и зависимые случайные события. Теоремы умножения для зависимых и независимых событий.
1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Априорные и апостериорные вероятности.
1.6. Схема Бернулли. Формула Бернулли Наивероятнейшее число появления события
в независимых испытаниях. Асимптотические приближения формулы Бернулли: формула
Пуассона, локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.
Модуль 2.
2.1. Определение случайной величины. Функция распределения, определение, свойства.
2.2. Дискретные случайные величины. Определение дискретной случайной величины.
Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной
случайной величины. Способы задания: таблица распределения вероятностей, функция
распределения и ее свойства, многоугольник распределения, аналитическое задание (по
формуле). Математические операции над дискретными случайными величинами.
2.3. Непрерывные случайные величины. Определение, функция распределения непрерывной случайной величины. Функция плотности вероятностей, свойства.
2.4. Примеры распределений известных случайных величин. Дискретные законы распределения: Бернулли, биномиальный, Пуассона, геометрический. Непрерывные законы
распределений: равномерный, нормальный, показательный.
2.5. Основные числовые характеристики случайных величин – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, квантили, центральные и начальные моменты. Характеристики формы распределения: асимметрия и
эксцесс.
Модуль 3.
3.1. Многомерные случайные величины. Определение, совместная функция распределения, свойства. Дискретные и непрерывные многомерные случайные величины. ковариация и коэффициент корреляции случайных величин.
3.2. Условное распределение случайных величин. Условные законы распределения.
Условные числовые характеристики.
3.3. Типы сходимостей последовательностей случайных величин: почти наверно, по
вероятности, в среднем порядке r . Неравенства Маркова и Чебышева.
3.4. ЗБЧ и его различные формы. ЗБЧ в форме Чебышева, Бернулли, следствия.
3.5. Центральная предельная теорема. Интегральная и локальная теоремы МуавраЛапласа. Теорема Пуассона.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
1.1. Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, схемы выбора
без повторений и с повторениями. Правила суммы и произведения.
1.2. Действия над событиями: объединение и пересечение событий, совместные и
несовместные события, полная группа событий, противоположные события, свойства
операций над событиями.
1.3. Классическое, геометрическое определения вероятности.
1.4. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теоремы
сложения вероятностей для несовместных и совместных событий. Условная вероятность.
Независимые и зависимые случайные события. Теоремы умножения для зависимых и независимых событий.
1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Априорные и апостериорные вероятности.
1.6. Схема Бернулли. Формула Бернулли Наивероятнейшее число появления события
в независимых испытаниях. Асимптотические приближения формулы Бернулли: формула
Пуассона, локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.
Модуль 2.
2.1. Определение случайной величины. Функция распределения, определение, свойства.
2.2. Дискретные случайные величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной случайной величины. Математические операции над дискретными случайными величинами.
2.3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения непрерывной случайной величины. Функция плотности вероятностей, свойства.
2.4. Примеры распределений известных случайных величин. Дискретные законы распределения: Бернулли, биномиальный, Пуассона, геометрический. Непрерывные законы
распределений: равномерный, нормальный, показательный.
2.5. Основные числовые характеристики случайных величин – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, квантили, центральные и начальные моменты. Характеристики формы распределения: асимметрия и
эксцесс.
Модуль 3.
3.1. Двумерные случайные величины. Нахождение маргинальных функций распределения и плотностей распределения вероятностей. Вычисление ковариации и коэффициента корреляции случайных величин.
3.2. Условное распределение. Составление условных законов распределения для дискретных случайных величин, условных плотностей – для непрерывных. Вычисление
условного математического ожидания и дисперсии.
3.3. Неравенства Маркова и Чебышева. Решение задач с помощью неравенств Маркова и Чебышева.
3.4. ЗБЧ в форме Чебышева, Бернулли, следствия.
3.5. Центральная предельная теорема. Интегральная и локальная теоремы МуавраЛапласа. Теорема Пуассона.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ОП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ОП.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.
Таблица 4.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
1
Модуль1.
2
1.1 Элементы теории множеств и
комбинаторики
1.2 Основные понятия теории вероятностей, действия над событиями
1.3 Классическое, геометрическое,
статистическое и аксиоматическое
определения вероятности события
1.4 Условная вероятность. Теоремы
сложения и умножения вероятностей
1.5 Формула полной вероятности.
Формула Байеса
1.6 Схема Бернулли
Всего по модулю 1:
Виды СРС
обязательные
дополнительные
3
4
работа с литературой, источниками
подготовка к занятиям, устному опросу, контрольной работе
подготовка к занятиям, устноизучение истории развиму опросу, контрольной работия теории вероятностей
те
подготовка к занятиям, устно- изучение решения задачи
му опросу, контрольной рабо- Бюффона
те
подготовка к занятиям, устно- составление тестов
му опросу, контрольной работе
подготовка к занятиям, устному опросу, контрольной работе
подготовка к занятиям, устно- изучение решения задачи
му опросу, контрольной рабо- Банаха, составление
те по модулю
структурно-логических
схем модуля
Неделя Объем Кол-во
семестра часов баллов
5
6
7
1-2
1
0-2
1-2
1
0-2
1-2
2
0-6
3-4
3
0-8
3-4
2
0-8
4-5
2
0-4
11
0-30
1
Модуль 2.
2
работа с литературой, источниками
подготовка к занятиям, коллоквиуму, контрольной работе
3
2.1 Определение случайной величины. Функция распределения,
определение, свойства
2.2 Дискретные случайные величины подготовка к занятиям, коллоквиуму, контрольной работе
2.3 Непрерывные случайные велиподготовка к занятиям, коллочины
квиуму, контрольной работе
2.4 Примеры распределений известподготовка к занятиям, коллоных случайных величин
квиуму, контрольной работе
2.5 Числовые характеристики слуподготовка к занятиям, колло- составление тестов для
чайных величин
квиуму, контрольной работе
взаимопроверки
Всего по модулю 2:
4
5
6
5-6
2
0-2
7-8
2
0-8
9-10
2
0-6
9-10
2
0-4
11-12
4
0-10
12
0-30
1
2
работа с литературой, источМодуль 3.
никами
3.1. Многомерные случайные вели- подготовка к занятиям, коллочины
квиуму, контрольной работе
3.2 Условное распределение
подготовка к занятиям, коллоквиуму, контрольной работе
3.3 Типы сходимостей последоваподготовка к занятиям, коллотельностей случайных величин.
квиуму, контрольной работе
Неравенства Маркова и Чебышева
3.4. ЗБЧ и его различные формы
подготовка к занятиям, коллоквиуму, контрольной работе
3.5 ЦПТ, интегральная и локальная
подготовка к занятиям, коллотеоремы Муавра-Лапласа
квиуму, контрольной работе
Всего по модулю 3:
Иные виды работ:
ИТОГО:
3
4
5
6
12-13
1
0-2
14-15
4
0-3
составление структурнологических схем
15-16
2
0-5
изучение дополнительных форм ЗБЧ
16-17
2,3
0-5
17-18
2
0-5
11,3
1,7
36
0-40
0-100
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа направлена на углубление и закрепление знаний студента, развитие практических и интеллектуальных умений, комплекса заявленных общекультурных и профессиональных компетенций.
Она организуется в двух формах:
- аудиторной – на лекционных и практических занятиях при решении поставленных индивидуальных задач;
- внеаудиторной – проработка лекций, изучение рекомендованной литературы;
подготовка к собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму; подготовка к контрольным
работам; составление структурно-логических схем; составление задач и тестов для взаимопроверки, выполнение индивидуальных заданий, в том числе с помощью пакетов прикладных программ и т.п.
Необходимым условием успешности обучения является систематическое выполнение обязательных видов самостоятельной работы и, по мере возможности, дополнительных.
9.1. Подготовка к собеседованиям, опросам, коллоквиуму
При подготовке можно опираться на конспект лекций и литературу, предложенную
в разделе 12 данной рабочей программы. В указанном разделе расположены: список основной литературы, дополнительной литературы, необходимые интернет-ресурсы. Основными учебными пособиями являются [1], [2].
9.2. Подготовка к контрольным работам
При подготовке к контрольным работам помимо проработки материалов, представленных на лекционных и практических занятиях, дополнительной литературы, нужно
воспользоваться разделами п.2 Методических рекомендаций по организации самостоятельной работы для студентов (электронный ресурс). В них подробно указано, какие умения проверяются в ходе выполнения данной работы, представлен подробный разбор типовых вариантов, а также несколько вариантов для самостоятельного решения.
9.3. Составление задач и тестовых заданий для взаимопроверки
В качестве одного из видов самостоятельной работы, студентам предлагается составление тестов и задач по различным разделам дисциплины. Они послужат хорошим
инструментом для проверки собственного уровня усвоения содержательной учебной информации по дисциплине, так как для их составления необходимо проработать весь материал по конкретной теме (лекционный, материал практических занятий, вопросы, выносимые на самостоятельное изучение) и в дальнейшем будут использованы при взаимооценке студентов.
9.4. Составление структурно-логических схем по теме, модулю
В качестве одного из видов самостоятельной работы, в результате которой студенты учатся анализировать и систематизировать учебный материал, выделять в нем основное, предлагается построение структурно-логических схем по модулям и темам дисциплины: случайные события, случайные величины, математическая статистика и по всему
курсу дисциплины.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы
ОПК-1
+
+ + +
ОПК-2
+ + + + + + +
ПК-23
+
+
ПК-25
+ +
+
* отмечены дисциплины базового цикла
компетенции
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Управление данными
Протоколы и интерфейсы
информационных систем
Технологии искусственного
интеллекта в управлении
+
+
+
+
+
Выпускная квалификационная работа
Преддипломная практика
Научно-исследовательская работа
5 семестр
Интеллектуальные информационные
системы и технологии*
Инструментальные средства поддержки
принятия решений
Б.1 -.Б.3 дисциплины (модули)
3 семестр
4 семестр
Информационные технологии*
Базовые информационные
процессы и технологии*
Базовые информационные
процессы и технологии*
Технология программирования
Моделирование экономических
процессов и систем
+
Теория принятия решений*
Моделирование процессов и систем
+
+
+
+
Теория информации
Теория вероятностей
2 семестр
Теория автоматов
Математическая статистика
Физика*
Математическая логика и теория алгоритмов
Дискретная математика
Физика*
1 семестр
Математический анализ*
Информатика*
Химия*
Информатика*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Математический анализ*
Алгебра и геометрия*
Выдержка из МАТРИЦЫ
соответствия компетенции и составных частей ООП
6-7 семестр
Б.4-Б.5
+
+
+ + +
+ +
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 5.
Код
компетенции
Карта критериев оценивания компетенций
ОПК
-1
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
Знает: основные законы теории вероятностей и методы математической статистики, возможности их использования
для решения практических задач в области информационных систем и технологий.
Умеет: анализировать основные закономерности в поведении случайной величины, проводить статистическую обработку данных для решения практических задач в области информационных
систем и технологий.
Владеет: основными методами статистического оценивания и проверки гипотез для решения практических задач в
области информационных систем и технологий.
базовый (хор.)
76-90 баллов
Знает: об основных закономерностях в
поведении случайных величин, сумм
большого числа случайных слагаемых;
основные выборочные характеристики и
их свойства; основные типы статистических гипотез, возможности их использования для решения практических задач в
области информационных систем и технологий.
Умеет: выявлять и анализировать основные закономерности в поведении
случайных величин, проводить статистическую обработку и анализ данных,
дать количественную и качественную
оценку полученного результата при решении практических задач в области
информационных систем и технологий.
Владеет: методами математического
аппарата теории вероятностей и математической статистики для решения практических задач в области информационных систем и технологий.
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает: основные процедуры математико-статистического анализа данных,
прикладные возможности вероятностных моделей, возможности их использования для решения практических задач в
области информационных систем и технологий.
Умеет: выделять типы основных результатов теории вероятностей: доасимптотический,
асимптотический,
относящийся к теории преобразования
случайных величин; обоснованно сопоставить полученный результат с имеющимися данными, сопроводив полученный результат количественной оценкой
степени достоверности при решении
практических задач в области информационных систем и технологий.
Владеет: на высоком уровне методами
математического аппарата теории вероятностей и математической статистики
для решения практических задач в области информационных систем и техноло-
Виды
занятий
Оценочные
средства
Лекции,
практические занятия
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий
Лекции,
практические занятия
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий, собеседования, коллоквиум
Лекции,
практические занятия
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных зада-
ОПК
2
ПК25
Знает: основные типы задач, связанные
с изучением теории вероятностей и математической статистики; стандартную
форму записи обрабатываемых данных;
методы решения типовых задач анализируемого класса реальных задач.
Знает: отличительные особенности различных типов задач, рассматриваемых в
курсе изучения теории вероятностей и
математической статистики, методы
анализа реальных исходных данных для
представления их в стандартной форме
записи обрабатываемых данных.
Умеет: определять задачи для достижения поставленной цели, определять тип
каждой поставленной задачи, ее основные характеристики.
Умеет: определять задачи для достижения поставленной цели, определять тип
каждой поставленной задачи, ее основные характеристики, набор данных, необходимый для представления задачи в
терминах и понятиях изучаемой дисциплины.
Владеет: необходимым инструментарием и знаниями, чтобы понять поставленную цель и пути ее достижения.
Владеет: математическим инструментарием в соответствии со спецификой анализируемого класса реальных задач, необходимых для достижения поставленной цели; методами анализа и моделирования реальных исходных данных.
Знает: основные этапы статистического
анализа для обработки, анализа и синтеза результатов профессиональных исследований.
Знает: этапы проведения статистического анализа зависимостей; требования
адекватности построенной модели для
обработки, анализа и синтеза результатов профессиональных исследований.
Умеет: проводить статистическое исследование зависимостей и анализ данных с помощью пакета прикладных программ.
Умеет: использовать вероятностные
модели для построения и выбора
наилучших методов статистической обработки или наилучшего вида конструи-
гий.
Знает: о применении модельных допущений к выяснению сущности поставленной задачи; методы анализа и моделирования реальных исходных данных.
Умеет: глубоко вникать в содержательную сущность поставленной цели; адекватно применять модельные допущения
к выяснению сущности реальной задачи;
решать задачу преобразования имеющейся исходной информации к унифицированной форме записи исходных
данных.
Владеет: математическим инструментарием в соответствии со спецификой анализируемого класса реальных задач, необходимых для достижения поставленной цели; методами анализа и моделирования реальных исходных данных;
методами преобразования разнообразных форм исходных данных с целью их
удобного представления для дальнейшего анализа и моделирования и, как следствие, достижения поставленной цели.
Знает: хронологически-итерационные
взаимосвязи основных этапов статистического исследования зависимостей;
конечные прикладные цели исследования для обработки, анализа и синтеза
результатов профессиональных исследований.
Умеет: выбирать наилучший из возможных методов анализа и моделирования данных в соответствии с некоторым
критерием качества метода или адекват-
Лекции,
практические занятия
Лекции,
практические занятия
Лекции,
практические занятия
Лекции,
практические занятия
Лекции,
практические занятия
ний
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий, собеседования, коллоквиум
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий, собеседования, коллоквиум
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий, собеседования, коллоквиум
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий, собеседования , коллоквиум
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индиви-
руемой модели; проводить вероятностную интерпретацию выводов, основанную на статистическом анализе данных.
ПК23
ности модели; оптимизировать выбранный критерий качества; проводить анализ причинных влияний на результат;
прогнозировать неизвестные значения
результирующих показателей; выявлять
причинно-следственные связи.
Владеет: методами многомерного статистического анализа.
Владеет: методами статистической обработки данных.
Владеет: методами статистического исследования зависимостей.
Знает: как участвовать в постановке и
проведении экспериментальных исследований элементарного уровня.
Знает: как поставить и провести экспериментальные исследования разных
уровней сложности.
Знает: как поставить и провести экспериментальные исследования разных
уровней сложности, провести анализ
полученных в результате исследования
данных.
Умеет: формулировать цель и задачи
экспериментальных исследований.
Умеет: формулировать цель и задачи
экспериментальных исследований, проводить статистическую обработку и анализ данных, дать количественную и качественную оценку полученного результата.
Умеет: формулировать цель и задачи
экспериментальных исследований, выделять типы основных результатов;
обоснованно сопоставить полученный
результат с имеющимися данными, сопроводив полученный результат количественной оценкой степени достоверности.
Владеет: на высоком уровне методами
математического аппарата теории вероятностей и математической статистики
для анализа данных экспериментального
исследования.
Владеет: основными методами статистического оценивания и проверки гипотез, проверяемых в ходе экспериментального исследования.
Владеет: методами математического
аппарата теории вероятностей и математической статистики для анализа данных
экспериментального исследования.
дуальных заданий, собеседования, коллоквиум
Лекции,
практические занятия
Лекции,
практические занятия
Лекции,
практические занятия
Лекции,
практические занятия
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий, собеседования, коллоквиум
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Билеты для коллоквиума
Билет №1
Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятности.
Закон больших чисел в форме Бернулли.
Случайные величины 1 ,  2 , независимы в совокупности,  n принимает значения
1
1
1
 n, 0, n с вероятностями 3 , 1  3 , 3 . Выполнен ли ЗБЧ в форме Чебышева для
2 n
n 2 n
последовательности  n  ?
Билет №2
1)
2)
3)
1)
Математическое ожидание случайной величины. Определение, свойства.
2)
Центральная предельная теорема.
3)
Случайные величины  и  независимы, причем  имеет биномиальное распределение с параметрами n  5 и p  0,2 , а случайная величина  – геометрическое с параметром p  0,8 . Найти математическое ожидание E   3 .
Билет №3
1)
Дисперсия случайной величины. Определение, свойства.
2)
Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
3)
Случайные величины  и  независимы, причем случайная величина  имеет
стандартное нормальное распределение, а случайная величина  – показательное, с параметром распределения   2 . Найти дисперсию D3   4 .
Билет №4
1)
2)
3)
n  6,
Математическое ожидание случайных величин. Определение, свойства.
Правило трех сигм.
Случайная величина  распределена по биномиальному закону с параметрами
p  0,3 . Случайная величина   3  2 . Найти дисперсию случайной величины  .
Билет №5
Функция распределения одномерной случайной величины. Определение, свойства.
Закон больших чисел в форме Чебышева.
Случайные величины 1 ,  2 ,  независимы в совокупности,  n принимает значения
1
1
1
 3 n , 0, 3 n с вероятностями
, 1
,
. Выполнен ли ЗБЧ в форме Чебышева
2 n
n 2 n
для последовательности  n  ?
Билет №6
1)
2)
3)
1)
Определение непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
2)
Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Пусть  k  – последовательность независимых одинаково распределенных случайвеличин, с нулевым средним значением и
конечной дисперсией,
n
S

lim P n  7   0,371, где S n    k . Чему равна дисперсия D k (округлить до сотых)?
n
k 1
 n

Билет №7
3)
ных
1)
2)
Нормальная кривая.
Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятности.
Нормально распределенная случайная величина имеет плотность f  x   A  e
Найти коэффициент A ; интервал, соответствующий «правилу трех сигм».
Билет №8
3)

 x  2 2
32
.
Неравенства Маркова и Чебышева.
Условные вероятности. Независимые события.
Случайная величина  распределена по биномиальному закону с параметрами распределения n  30 и p  1 . Оценить вероятность P , того что случайная величина
3
  2  1 отклонится по абсолютной величине от своего среднего значения менее чем на
6.
Билет №9
1)
2)
3)
Случайная величина. Функция распределения и ее свойства.
Неравенства Маркова и Чебышева.
Известно, что  и  – неотрицательные независимые случайные величины; E  2
, E  7 . Оценить вероятность события A      16.
Билет №10
1)
2)
3)
Центральная предельная теорема.
Независимые случайные величины. Критерии независимости.
На отрезке 0;1 случайным образом выбраны 108 чисел, т.е. рассматриваются 108
независимых и равномерно распределенных случайных величин 1 ,  2 , 3 ,108. Найти вероятность того, что их сумма заключена между 51 и 60.
1)
2)
3)
Образец и решение типового варианта контрольной работы «Случайные события»
Условия заданий
1. Из букв слова «треугольник» наугад составляется пятибуквенное слово. Найти вероятность того, что получится слово «уголь».
2. Молодой саженец сосны в год прибавляет в высоту от 7 см до 15 см. Какова вероятность, что за два года его высота увеличится более чем на 17 см?
3. В квартире 4 электролампочки. Для каждой лампочки вероятность того, что она останется исправной в течение года, равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года
придется заменить не меньше трех лампочек?
4. Среди клиентов банка 80% являются физическими лицами и 20% – юридическими. Из
практики известно, что 40% всех операций приходится на долгосрочные расчеты, в то же
время из общего числа операций, связанных с физическими лицами, 30% приходится на
долгосрочные расчеты. Какова вероятность того, что наудачу выбранный клиент является
юридическим лицом и осуществляет долгосрочный расчет?
5. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично (знают 20
вопросов из 20), 4 – хорошо (знают 16 вопросов из 20), 2 – посредственно (знают 10 вопросов), 1 – плохо (знает 5 вопросов). Наугад вызванный студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что он подготовлен плохо.
Решение
1. Пусть событие A  {получится слово «уголь»}. В слове «треугольник» нет повторяющихся букв, поэтому число всевозможных исходов данного эксперимента n равно числу
размещений A115 . Слово «уголь» единственное, поэтому число исходов m данного эксперимента, благоприятствующих событию A равно 1.
Значит P( A) 
1
1
1


5
A11 7  8  9 10 11 55440
2. Все возможные исходы будут являться точками квадрата со стороной 15  7  8 см. Заштрихованной области квадрата, ограниченной сторонами квадрата и прямой y  17  x ,
соответствуют исходы, благоприятствующие событию A . Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата:
P  A 
S A S квадрат  S треугольник

S
Sквадрат
1
88  33
119
2


 0,93 .
88
128
3. Очевидно, что ситуация описывается схемой Бернулли с числом испытаний n  4 и вероятностью успеха p 
5
. Пусть m – число успехов. Тогда искомая вероятность равна
6
3
4
375
5 1
5
.
P4 (m  3)  P4 (m  3)  P4 (m  4)  C 43      C 44   
432
6 6
6
4. Рассмотрим следующие события A  {клиент является физическим лицом}, B  {клиент осуществляет долгосрочный расчет}. Тогда
A  C — интересующее нас событие. При
этом по условию P( A)  0,8 , P( A )  0,2 , P(C )  0,4 и
P(C A)  0,3 . Очевидно, что
A  C  A  C  C , следовательно,
P( A  C)  P(C)  P( A)  P(C A)  0,4  0,8  0,3  0,16
5. Воспользуемся формулой Байеса. Введем гипотезы H1  {студент подготовлен отлично}, H 2  {студент подготовлен хорошо}, H 3  {студент подготовлен посредственно},
H 4  {студент подготовлен плохо}. P( H1 )  0,3 , P( H 2 )  0,4 , P( H 3 )  0,2 , P( H 4 )  0,1 .
Пусть A  {студент ответил на три вопроса}, тогда P( A H1 )  1 ,
P( A H 2 ) 
16 15 14
10 9 8
   0,491 , P( A H 3 ) 
   0,105
20 19 18
20 19 18
P( A H 4 ) 
5 4 3
   0,009 .
20 19 18
По формуле Байеса искомая вероятность равна
P( H 4 A) 
0,1  0,009
 0,0017 .
0,3  1  0,4  0,491  0,2  0,105  0,1  0,009
Образец и решение типового варианта контрольной работы «Случайные величины»
Условия заданий
1. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения случайной величины

– числа возвращенных в
срок кредитов из 3 выданных. Построить многоугольник распределения и график функции распределения. Найти вероятность P  1 .
2. Непрерывная случайная величина

задана плотностью распределения:
x  0,
0

f  ( x)  ax 0  x  6,
 0
x  6.

Найти коэффициент а , функцию распределения Fξ  x  , P0    5 , построить графики
f ξ  x  , Fξ  x  .
3. Непрерывная двумерная случайная величина  ,  задана совместной плотностью распределения вероятностей


C x  y 2 , 0  x  2, 0  y  1,
f x, y   
иначе.
 0,
Найти коэффициент C , маргинальные плотности f   x  и f  y  случайных величин

и
 . Зависимы ли случайные величины  и  ?
4. Непрерывная случайная величина

имеет равномерное распределение на отрезке 1, 3
. Найти плотность распределения функции    .
2
Решение.
1. Случайная величина

распределена по биномиальному закону с параметрами n  3 и
p  0,9 . Принимает значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями P  k   Ckn p k q nk , k  0, 3 :
P  0  C30 p 0 q 3  1 0,9  0,1  0,001;
0
3
P  1  C31 p1q 2  3  0,9  0,1  0,027 ;
2
P  2  C32 p 2 q1  3  0,9  0,1  0,243 ;
2
P  3  C33 p 3 q 0  1 0,9  0,1  0,729 .
3
0
Ряд распределения случайной величины

имеет вид:

0
1
2
0,027
0,243
0,001
P
Построим многоугольник (или полигон) распределения:
3
0,729
По определению функции распределения находим:
если x  0 , то F ( x)  P  x  0 ;
если 0  x  1, то F ( x)  P  x  P  0  0,001 ;
если 1  x  2 , то F ( x)  P  0 P  1  0,028 ;
если 2  x  3 , то F ( x)  P  0 P  1 P  2  0,271 ;
если x  3 , то F ( x)  P  0 P  1 P  2 P  3  1 .
Функция распределения имеет вид:
x  0,
0  x  1,
1  x  2,
2  x  3,
x  3.
0,
0,001,

F  x   0,028,
0,271,

1,
График функции распределения имеет вид:
P  1  P  2 P  3  0,243  0,729  0,972 .

2. Найдем значение параметра a из условия
 f x dx  1 :


0
6

x2
 f ( x)dx  0dx  0 axdx  6 0dx  a 2

т.е. 18a  1 , отсюда a 
чины

6
0
 62

 a  0   18a ,
 2

1
. Таким образом, функция плотности f (x ) случайной вели18
имеет вид:
x  0,
 0,
1
f  ( x)   x, 0  x  6,
18
x  6.
 0,
Функцию распределения случайной величины

x
найдем по формуле F ( x) 
 f (t )dt .

x
При x  (; 0] имеем: F ( x)   0dt  0 .

x  (0 ; 6]
При
0
x
промежуток
x
t
t2
x2
F ( x)   0dt   dt 
 .
18
36 0 36

0
интегрирования
разбиваем
на
два:
При x  (6 ;  ) промежуток интегрирования разбиваем на три:
0
6


t
dt   0dt  1 .
18
0
6
F ( x)   0dt  
x  0,
 0,
 x 2
Таким образом, F ( x)   , 0  x  6, .
 36
x  6.
 1,
Вероятность P0    5 находим по формуле:
Pa    b   F (b)  F (a) ,
P0    5  F (5)  F (0) 
52
25
.
0 
36
36
Построим график функции f (x ) :
Построим график функции F (x ) :
3.Найдем неизвестный коэффициент C из условия
 f x, y dxdy  1 ,
1
2

y3 
1

1  C  dx  x  y dy  C   xy   dx  C   x   dx 
3 0
3
0
0
0
0
2
1

2

2
2
 x2 x 
8
3
 C     C ,  C  .
8
 2 30 3
Найдем маргинальные плотности f  x  и f  y  :
f x  

 f x, y dy ,
f  y  


 f x, y dx .

1
1
3
3
y3 
3x  1
, окончательно получим
f  x    x  y 2 dy   xy   
80
8
3 0
8
 3x  1

, 0  x  2,
f  x    8
 0,
иначе.
 3 2
y  1, 0  y  1,
Аналогично f  y    4
 0,
иначе.
Поскольку равенство f ( x, y )  f  ( x)  f ( y ) не выполняется, то случайные величины


и
зависимы.
4. Функция   
2
на отрезке возможных значений случайной величины

монотонна.
Поэтому обратная ей функция    ( )   существует и также монотонна на отрезке
1, 9 (так как 1  x  3 , то 1    
2
 9 ).
Используя формулу g ( y)  f ( ( y))   ( y) , получаем:
1 1
, 1  y  9,
 
g ( y)   2 2 y
0,
y  1, 9.

Домашняя контрольная работа «Условное распределение»
Образец и решение типового варианта контрольной работы
Условия заданий.
1. Распределение дискретной двумерной случайной величины  ,  задано с помощью таблицы


1
0,15
0,05
0
0,05
1
0,15
1
Найти условное математическое ожидание E   2 .


1
0,1
0,3
2
0,05
0,15
2. Непрерывная двумерная случайная величина  ,  задана совместной плотностью распределения вероятностей


C x  y 2 , 0  x  2, 0  y  1,
f x, y   
иначе.
 0,
Найти:
условную плотность распределения вероятностей случайной величины  ;
условное математическое ожидание E   ;
a)
b)
c)
условную дисперсию D   ;
d)
корреляционное отношение   .
Решение.


1. а) Найдем распределение случайной величины  , 2 :
2

1
1
0
0,05
0,15
1
0,25
0,35
4
0,05
0,15
b) Найдем распределение случайной величины  2 :
2
0
1
4
0,2
0,6
0,2
c) Найдем условные законы распределения случайной величины  :
p
 2  0
pxi 0
2 1
pxi 1
1
1
1
3
4
1
5
12
 2  4
pxi 4
1
4
1
7
12
1
3
4
4
d) Найдем значения условного математического ожидания E   2  :


1
3 1
 1  ,
4
4 2


5
7 1
 1  ,
12
12 6


1
3 1
 1  .
4
4 2
E   2  0  E  0  1 
E   2  1  E  1  1 
E   2  4  E  4   1 
Ответ: E  0 
1
1
1
1
, E  1  , E  4  .
2
6
2
2. а) Найдем C .
 f x, y  dxdy  1, тогда
1
2

y3 
1

1  C  dx  x  y dy  C   xy   dx  C   x   dx 
3 0
3
0
0
0
0
2
1

2

2
2
 x2 x 
8
3
 C     C ,  C  .
8
 2 30 3
Найдем маргинальные плотности f   x  и f  y  .
1
1
3
3
y3 
3x  1
, окончательно получим
f x    x  y 2 dy   xy   
80
8
3 0
8


 3x  1

, 0  x  2,
f x    8
 0,
иначе.
Аналогично


 3 2
y  1 , 0  y  1,
f  y    4
 0,
иначе.
Найдем f y x  .


2

f x, y   3 x  y , 0  x  2, 0  y  1,
f y x 

f x   3x0, 1
иначе.

b) Найдем условное математическое ожидание E   .
E  x  

1
 y f y x dy   y 

0


3 x  y2
3
dy 
xy  y 3 dy 

3x  1
3x  1 0
1


3  y2 y4 
32 x  1
 x
  
.
3x  1  2
4  0 43x  1
1

Тогда E    
32  1
.
43  1
c) Найдем условную дисперсию D   .
 



3 x  y2
3
E  x   y f  y x  dy   y 
dy 
xy2  y 4 dy 

3x  1
3x  1 0

0
2
1
2
2
1
3  y3 y5 
5x  3
 x   

.
3x  1  3
5  0 53x  1
1


5 x  3  32 x  1 
60 x 2  44 x  3
 
D x   E  x  E  x  

.
2
53x  1  43x  1 
803x  1
 
2
2
Тогда D   
2
60 2  44  3
.
2
803  1
d) Найдем E .



1
3 y2 1
3  y4 y2 
9
E   yf  y  dy   y
dy      .
4
4 4
2  0 16

0
1



1
3 y2 1
3  y5 y3 
2
E   y f  y  dy   y
dy      .
4
4 5
3 0 5

0
1
2
2
2
Найдем D .
D  E  E 
2
2
2
2 9
107
   
.
5  16  1280
Найдем E D   .

60 x 2  44 x  3 3x  1
E D     D x f  x  dx  

dx 
2
8
803x  1

0
2
1 60 x 2  44 x  3
1 
5 
dx 
 20 x  8 
 dx 


640 0
3x  1
640 0 
3x  1 
2

2
2
1 
5
1 
5


2

10 x  8 x  ln 3x  1  
 56  ln 7 .
640 
3
3
 0 640 

Найдем
  .
   1 
1
1280 1 
5

E D    1 

 56  ln 7   0,118.
D
107 640 
3

Ответ:

a)
b)

3 x  y 2

f  y x    3x  1 , 0  x  2, 0  y  1,

0,
иначе.
32  1
E    
.
43  1
60 2  44  3
.
2
803  1
 0,118.
c)
D   
d)
 
Образец и решение типового варианта итоговой контрольной работы
Условия заданий
В одной урне 5 белых и 4 черных шара, в другой 6 белых и 3 черных шара. Из каж-
1.
дой урны взяли по одному шару и поменяли местами. Какова вероятность того, что первоначальный состав шаров в каждой урне не изменился?
Решение.
Рассмотрим события Ai =из i -ой урны взяли белый шар, Bi =из i -ой урны взяли черный шар, i  1,2 . Событие Первоначальный состав шаров в каждой урне не изменился
можно представить как A1 A2  B1 B2 .
5 6 4 3 14
P A1 A2  B1 B2   P A1 A 2   PB1 B2   P A1 P A2   PB1 PB2       . 2. Три
9 9 9 9 27
студента сдают экзамен. Вероятность того, что отдельный студент сдаст экзамен на «отлично» равна для первого студента 0,7, для второго – 0,6, для третьего – 0,2. Случайная
величина

– число студентов, сдавших экзамен на «отлично». Для этой случайной вели-
чины составить функцию распределения.
Решение.

Случайная величина
может принимать значения 0; 1; 2 или 3. Обозначим через
p1 , p2 , p3 вероятности сдать экзамен на «отлично» для первого, второго и третьего студента соответственно, а через q1 , q2 , q3 – вероятности не сдать экзамен на «отлично».
Тогда
P  0  q1  q2  q3  0,3  0,4  0,8  0,096 ,
P  1  p1  q2  q3  q1  p2  q3  q1  q2  p3 
 0,7  0,4  0,8  0,3  0,6  0,8  0,3  0,4  0,2  0,392 ,
P  2  p1  p2  q3  p1  q2  p3  q1  p2  p3 
 0,7  0,6  0,8  0,7  0,4  0,2  0,3  0,6  0,2  0,428 ,
P  3  p1  p2  p3  0,7  0,6  0,2  0,084 .
Сделаем проверку:
 pi  1 ,
0,096+0,392+0,428+0,084=1.
i
Закон распределения случайной величины имеет вид

0
1
2
3
0,096
0,392
0,428
0,084
P
Составим функцию распределения случайной величины
 0,
 0,096,

F x    0,488,
0,916,

 1,
2.
x  0,
0  x  1,
1  x  2,
2  x  3,
x  3.
В урне 20 белых и 100 черных шаров. Произвели выборку (с возвращением) 60 ша-
ров. Оценить вероятность того, что число белых шаров в выборке от 3 до 17.
Решение.
Случайная величина

– число белых шаров в выборке, распределена по биномиальному
закону с параметрами n  60 (объем выборки) и p 
20 1
 (вероятность того, что извле120 6
ченный шар – белый). Тогда числовые характеристики этой случайной величины равны:
1
E  np  60   10 ,
6
1 5 25
D  npq  60   
.
6 6 3
Требуется оценить P3    17 . Нетрудно заметить, что
P3    17  P 10  7  P  E  7 ,
к последнему выражению применим неравенство Чебышева P   E     1 
получим P3    17   1 
3.
D
2
, тогда
25
 0,83 .
3 72
Контрольная работа по теории вероятностей состоит из трех заданий. Первое зада-
ние оценивается на 6 баллов, второе на 10 баллов и последнее – 4 балла. Вероятность того,
что студент специальности ПИвЭ решит правильно первое задание, равна p1  0,6 ; второе – p2  0,5 ; третье – p3  0,9 . Какова вероятность того, что средний балл за контрольную работу в потоке из 60 человек будет меньше 13?

Решение.

Случайная величина  k k  1, 60 – количество баллов, полученных за контрольную работу студентом специальности ПИвЭ.
 k  – последовательность независимых, одинако-
во распределенных случайных величин. Составим ряд распределения этой случайной величины и найдем ее числовые характеристики – математическое ожидание E k  a  и
среднее квадратическое отклонение
 k    .
P k  0  q1  q2  q3  0,02 ; P k  4  q1  q2  p3  0,18 ;
P k  6  p1  q2  q3  0,03 ; P k  10  q1  p2  q3  p1  q2  p3  0,29 ;
P k  14  q1  p2  p3  0,18 ;
P k  20  p1  p2  p3  0,27 .
P k  16  p1  p2  q3  0,03 ;
k
P
0
4
6
0,02
0,18
0,03
E k  a   xi  pi  12,2 ;
10
14
16
20
0,29
0,18
0,03
0,27
i
k    D k  E k2  E 2 k  35,08  5,923 .
Используя центральную предельную теорему, найдем вероятность того, что средний балл
за контрольную работу в потоке будет меньше 13.
 n

  k  an

n
13  n  an 
1

 13  n  an 
k 1

P   k  13   P

 
  1,046  0,85.


 n
 n
 n k 1

  n 




Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины
4.


C x  y 2 , 0  x  2, 0  y  1,
имеет вид f x, y   
иначе.
 0,
 
Найти условное математическое ожидание E   .
Решение.
Найдем неизвестный коэффициент C :
 f x, y dxdy  1 , тогда
1
2

y3 
1

1  C  dx  x  y dy  C   xy   dx  C   x   dx 
3 0
3
0
0
0
0
2
1

2

2
2
 x2 x 
8
3
 C     C ,  C  .
8
 2 30 3
Найдем маргинальную плотность f  x  .
1
1
3
3
y3 
3x  1
, окончательно получим
f  x    x  y 2 dy   xy   
80
8
3 0
8
 3x  1

, 0  x  2,
f  x    8
 0,
иначе.
Найдем условную плотность f y x  .


2

f x, y   3 x  y , 0  x  2, 0  y  1,
f y x 

1
f  x   3x0
,
иначе.

Найдем условное математическое ожидание E   .
 , 
E  x  

1
 y f y x dy   y 

0
3x  y 2 
3
xy  y 3 dy 
dy 
3x  1
3x  1 0
1
3  y2 y4 
32 x  1
 x   
.
3x  1  2
4  0 43x  1
1

Тогда E    
5.
32  1
.
43  1
Известно, что случайная величина
ным параметром и вероятность P  1 

распределена по закону Пуассона с неизвест-
3
2 e
. Найти параметр этого распределения.
Решение.
Случайная величина

распределена по закону Пуассона c неизвестным параметром
принимает целые неотрицательные значения с вероятностями P  k  
P  1  P  0  P  1 
Получили, что 1   e

0 e 
0!

1e 
1!
 1   e  
3
2 e
k e 
k!
и
. Тогда
.
1
3 
1
 e 2 , следовательно,   .
2
2
Вопросы для зачета
1.
Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей.
2.
Следствия из аксиом вероятности.
3.
Классическая схема вероятностного пространства.
4.
Геометрическая схема вероятностного пространства.
5.
Условные вероятности. Независимые события.
6.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
7.
Схема Бернулли. Предельные случаи схемы Бернулли.
8.
Случайная величина. Функция распределения и ее свойства.
9.
Абсолютно непрерывные и дискретные распределения.
10.
Типовые распределения: биномиальное, Пуассоновское, геометрическое, равномерное, показательное, нормальное.
11.
Нормальная кривая. Правило трех сигм.
12.
Многомерные случайные величины. Совместная функция распределения, свойства.
13.
Независимые случайные величины. Критерии независимости.
14.
Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
15.
Дисперсия случайной величины и ее свойства.
16.
Математическое ожидание и дисперсия типовых распределений.
17.
Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин, свойства.
18.
Условное распределение, условные числовые характеристики.
19.
Типы сходимостей последовательностей случайных величин.
20.
Неравенства Маркова и Чебышева.
21.
Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
22.
Центральная предельная теорема.
23.
Предельные теоремы Муавра-Лапласа.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования
компетенций.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля, предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Шкала перевода семестровых баллов в оценку
Таблица 6.
Баллы
0 – 60
61 – 100
Зачет
Не зачтено
Зачтено
Неуспевающие студенты должны сдать зачет.
Билеты для зачета включают: один теоретический вопрос по курсу дисциплины и
три практических задачи.
Ответ на вопрос и решение каждой задачи оценивается максимально в 5 баллов.
Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос:
5 баллов ставится в случае, если:
- ответ содержит глубокое знание излагаемого материала;
- студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике, указанной в билете.
При этом допускаются незначительные неточности и частичная неполнота ответа
при условии, что в процессе беседы экзаменатора с экзаменуемым последний самостоятельно делает необходимые уточнения и дополнения.
4 балла ставится в случае, если
- ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное изложение материала.
- недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы
студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не обнаружил какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение.
3 балла ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах экзаменатора были частично исправлены;
- студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата
и терминологии дисциплины;
- в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания.
2 балла ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить
даже с помощью наводящих вопросов экзаменатора;
- студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса.
1 балл ставится в случае, если:
- хотя бы одна формулировка (определения или теоремы) в ответе верна;
- все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам, но при этом
они частично верны и относятся к тому же разделу курса, что и экзаменационный вопрос.
В остальных случаях ставится 0 баллов.
Критерии оценивания решения практической задачи:
5 баллов ставится в случае, если решение содержит
- все необходимые этапы, каждый из которых не содержит ошибок;
- развернутые ответы и грамотные комментарии,
- правильно используется терминология и математические символы.
При этом допускаются незначительные ошибки в расчетах на последнем этапе решения.
4 балла ставится в случае, если
- решение содержит все необходимые этапы, некоторые из которых могут содержать ошибки вычислительного характера, которые не оказали существенного влияния на
дальнейшее решение;
- решение не содержит необходимых комментариев, обоснований выводов и переходов от одного этапа решения к другому;
- неверно используются символьный аппарат и терминология при правильном решении.
3 балла ставится в случае, если:
- в решении пропущены некоторые необходимые этапы без какого-либо комментария;
- в решении допущены ошибки в вычислениях, повлекшие за собой неверные выводы и ответы, но при этом сами выводы сделаны верно с учетом данных ошибок.
- промежуточные этапы проведены верно, но при этом либо ответ не соответствует
постановке задачи, либо требуемое в постановке задачи вообще не найдено.
2 балла ставится в случае, если:
- студент показал знание алгоритма решения, провел решение по алгоритму, но
этапы решения содержали существенные ошибки.
1 балл ставится в случае, если:
- решение содержит менее трети необходимых этапов, но при этом хотя бы один из
этапов выполнен верно;
- студент показал знание алгоритма, проведя по нему решение, но при этом ни один
из этапов не был выполнен правильно;
В остальных случаях ставится 0 баллов.
Шкала перевода экзаменационных баллов в оценку
Таблица 7.
Баллы
0-8
9-20
Зачет
Не зачтено
Зачтено
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения
запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют
пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике,
программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые
формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре; взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение
навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
В учебном процессе применяются активные и интерактивные формы обучения.
Они включают в себя методы, стимулирующие познавательную деятельность обучающихся и вовлекающие каждого участника в мыслительную и поведенческую активность.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1. Балдин, К.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / К.В.
Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. - 2-е изд. - М.: Дашков и Ко, 2014. - 473 с.: [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=253787(дата
обращения 10.10.2014).
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие
для бакалавров. 12-е изд.. - Москва: Юрайт, 2012. - 479 с.
12.2Дополнительная литература:
1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: учебник / Б.В. Гнеденко – М.: Либроком, 2011.- 488 c.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб.пособие / В.Е. Гмурман. – М.: Юрайт, 2011. - 404 c.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие. 11-е изд., перераб. - Москва: Высшее образование, 2009.
– 404с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие
для студ. вузов/ В. Е.Гмурман. - 12-е изд., перераб.. - Москва: Высшее образование, 2007. 479 с.
5. Кельберт, М.Я. Вероятность и статистика в примерах и задачах / М.Я. Кельберт,
Ю.М. Сухов; пер. Л. Сахно, В. Кнопова, Ю. Мишура. - М.: МЦНМО, 2010. - Т. 1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики. - 486 с. [Электронный
ресурс]. - Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=69109 (дата обращения: 10.10.2014).
6. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / Н.Ш.
Кремер.– М.: Юнити-Дана, 2007. - 551 с.
7. Колемаев В. А. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. для студ.
вузов, обуч. по эконом. спец./ В. А. Колемаев, В. Н. Калинина. - 3-е изд., перераб. и доп.. Москва: КноРус, 2009. - 384 с.
8. Пыткеев Е.Г., Хохлов А.Г. Теория вероятностей и математическая статистика:
учебное пособие, Тюм. гос. ун-т. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2012. - 536 с.
9. Сапожникова А.В., Кузнецова Н.Л. Теория вероятностей: учебно-методическое
пособие для студентов очной формы обучения направлений 230400.62 "Информационные
системы и технологии", 230700.62 "Прикладная информатика (в экономике)", 010500.62
"Математическое обеспечение и администрирование информационных систем"; Тюм. гос.
ун-т, Ин-т мат. и компьютерных наук, Каф. мат. анализа и теории функций. - Тюмень:
Изд-во ТюмГУ, 2013. - 80 с.
12.3Интернет-ресурсы:
1. http://teorver-online.narod.ru/ (А.Д.Манита, МГУ, Интернет-учебник «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов естественных факультетов)
2. http://www.ksu.ru/infres/volodin/ (И.Н.Володин, Казанский ГУ, лекции по теории вероятностей и математической статистике)
3. http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/student/tv/examples.asp (Примеры решения
типовых задач курса теории вероятностей, решенные в среде математического пакета
Mathcad)
4. http://dfe3300.karelia.ru/koi/posob/PT/ (Web-версия учебного курса «Теория вероятностей»)
5. http://www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm (Электронный учебник по статистике.Москва, StatSoft, Inc.)
6. http://www.astro.spbu.ru/staff/nsot/Teaching/tver/zadachi.html (Первоапрельский задачник
по теории вероятностей)
7. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/probability.htm (Книги по теории вероятностей и математической статистике).
8. Единое окно доступа к образовательным ресурсам
http://window.edu.ru/window/library
9. Сайт, посвященный математике и математикам http://math.ru
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
ПАКЕТЫ ПРИКЛАДНЫХ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ПРОГРАММ (ПППП)
Microsoft Excel. Встроенные математические функции.
В организации учебного процесса необходимыми являются средства, обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и
др.).
 микрофон и соответствующие установки (для работы в больших аудиториях с многочисленными группами студентов).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях, оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной
доски.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Дисциплина «Теория вероятностей» содержит 3 модуля. Каждый модуль имеет
определенную логическую завершенность по отношению к установленным целям и результатам обучения.
При изучении дисциплины применяется рейтинговая технология обучения, которая
позволяет реализовать непрерывную и комплексную систему оценивания учебных достижений студентов. Непрерывность означает, что текущие оценки не усредняются, а непрерывно складываются на протяжении одного семестра. Комплексность означает учет всех
форм учебной и творческой работы студента в течение семестра.
Рейтинг направлен на повышение ритмичности и эффективности самостоятельной
работы студентов. Он основывается на заинтересованности каждого студента в получении
более высокой оценки знаний по дисциплине.
Принципы рейтинга: непрерывный контроль и получение более высокой оценки за
работу, выполненную в срок.
Рейтинг включает в себя три вида контроля: текущий, промежуточный и итоговый
по дисциплине.
Текущий контроль – это опросы на семинарах по пройденным темам.
Опросы проводятся на семинарах по содержанию лекционного материала, а также
по базовым знаниям, полученным на практических занятиях.
Промежуточный контроль – это проверка знаний студентов по разделу программы,
проводится в виде регулярных контрольных мероприятий. В разделе 10.3 данного УМК
приведены списки контрольных мероприятий вместе с примерными вариантами контрольных. Прорешивая указанные варианты, студент выявляет пробелы в знаниях, которые имеет возможность восполнить, обращаясь с вопросами к преподавателю в консультационные часы. Образцовые решения основных задач контрольных мероприятий можно
найти в учебных и методических изданиях [7] раздела 12.2.
Итоговый контроль по дисциплине – это проверка уровня учебных достижений
студентов по всей дисциплине за семестр.
Форма контроля – итоговая работа, содержащая задания по всем разделам семестра. Образцы контрольных работ приведены в разделе 10.3.
По всем трем формам контроля студент имеет возможность набрать до 100 баллов
включительно. Полученное суммарное количество баллов в конце каждого семестра переводится в оценку. Шкала перевода приведена в разделе 10.4 в таблице 6. В этом же разделе можно найти информацию о том, что происходит в тех случаях, если студент не доволен полученной оценкой либо его работа и знания за семестр признаны «неудовлетворительными».
Успешное освоение дисциплины невозможно без непрерывной самостоятельной
работы. В течение семестра необходимо не только изучать лекционный материал и готовиться к контрольным мероприятиям и устным опросам, но и решать практические задания. Результаты решения задач, а также возникшие при решении трудности студент может
обсудить с преподавателем на практическом занятии либо в консультационные часы.