Основы Физики Плазмы
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
сентября
г.
Курс «Основы физики плазмы» является первым из серии трёх
теоретических курсов для бакалавров кафедры. Он включает
учебных недель по одной лекции и одному семинару в неделю.
Сайт курса: h p://el.nsu.ru/.
Кодовое слово для гостевого входа: Langmuir
.
Студенты обязаны зарегистрироваться на сайте курса. Перед
каждой новой лекцией необходимо пройти электронный тест по
материалу предыдущей лекции. Тест открывается в день лекции
и закрывается в ночь перед следующей лекцией.
Слайды лекций можно загрузить с сайта курса.
Учебное пособие И.Котельникова «Лекции по физике плазмы»
по курсу «Основы физики плазмы» имеется в библиотеке НГУ. Его
можно также приобрести у лектора.
Физика плазмы
/
Как получить доступ к сайту курса
Зарегистрируйтесь на сайте “Мой университет”
(h p://my.nsu.ru/). Для этого посетите к.
гл. корпуса НГУ
с документом, удостоверяющим личность; необходимо
иметь адрес электронной почты. Далее следуйте
инструкциям, которые получите.
На сайте “Виртуальной образовательной среды НГУ”
(h p://el.nsu.ru/) выберите Вход в верхнем правом углу
главной страницы. На открывшейся странице выберите
Войти через портал “Мой университет”.
Выполнив вход, выберите ФФ, затем Основы физики
плазмы.
Не откладывайте регистрацию на последний день!
Физика плазмы
/
Лекция
Общие сведения о плазме
Плазма как состояние вещества
Квазинейтральность
Определение плазмы
Дебаевская экранировка
Ленгмюровские колебания
Практические формулы
Плазма в природе
Физика плазмы
/
Далее…
Плазма как состояние вещества
Квазинейтральность
Определение плазмы
Дебаевское экранирование
Ленгмюровские колебания
Практические формулы
Плазма в природе
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
По мере нагревания твёрдое вещество сначала превращается в
жидкость в процессе плавления, а затем жидкость испаряется,
превращаясь в газ. При дальнейшем нагревании увеличивается
энергия хаотического движения молекул газа, поэтому их
столкновения друг с другом вызывают всё более
разрушительные последствия. Сначала молекулы диссоциируют
на составляющие их атомы, а затем и сами атомы ионизуются,
то есть из разбиваются на отрицательно заряженные электроны
и положительно заряженные ионы. Таким образом, при
нагревании любое вещество в конце концов превращается в
ионизованный газ.
Физика плазмы
/
От обычного газа электрически нейтральных атомов и молекул
он отличается необычными свойствами, в связи с чем английский
химик Уильям Крукс (William Crookes) назвал предмет своих
исследований четвёртым состоянием вещества (
). Сэр
Крукс экспериментировал с так называемыми катодными
лучами, которые получал, пропуская электрический ток через
стеклянные трубки с частично откачанным воздухом. После
открытия электрона сэром Дж. Дж. Томсоном (Joseph John
Thomson,
) стало понятно, что катодные лучи представляют
собой поток ускоренных электронов в слабоионизованном газе.
Термин плазма применительно к ионизованному газу был
введён американским физиком Ирвингом Ленгмюром на
полвека позже. Днём рождения физики плазмы следует считать
июня
года, когда редакция журнала получила статью
Ленгмюра [Irving Langmuir, Oscilla ons in Ionized Gases // Na onal
Academy of Sciences of the United States of America, vol. , pp.
(
)].
Физика плазмы
/
В отличие от фазовых переходов первого рода, таких как
плавление и испарение, ионизация газа не сопровождается
пространственным разделением фаз. Степень ионизации
𝑛 /𝑛 ,
характеризуемая отношением плотности ионов 𝑛 к начальной
плотности нейтральных атомов 𝑛 , увеличивается во всём
объёме газа плавно по мере увеличения температуры.
В атмосферном воздухе всегда имеется некоторое количество
ионов и свободных электронов за счёт ионизации космическими
лучами, но его едва ли можно считать настоящей плазмой.
Строгое определение состояния вещества, которое можно
назвать плазмой, должно включать количественный критерий,
когда ионизованный газ приобретает специфические свойства
плазмы.
Физика плазмы
/
Чтобы найти этот критерий, нужно прежде всего понять, чем
новое состояние вещества отличается от обычного газа. Главная
особенность коллектива заряженных частиц, составляющих
плазму, состоит в появлении нового типа взаимодействия частиц
этого коллектива — через дальнодействующие электрические и
магнитные поля. Именно благодаря дальнему действию
электрических и магнитных сил газ заряженных частиц
приобретает новые свойства, образуя нечто целое с
электромагнитным полем. Это коллективное (говорят также —
самосогласованное) поле, с одной стороны, создаётся
заряженными частицами плазмы, а с другой — существенным
образом влияет на их движение.
Физика плазмы
/
Далее…
Плазма как состояние вещества
Квазинейтральность
Определение плазмы
Дебаевское экранирование
Ленгмюровские колебания
Практические формулы
Плазма в природе
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Самосогласованное поле, если оно достаточно сильное, делает
ионизованный газ квазинейтральным. Квазинейтральностью
называют приближённое равенство плотности электронов 𝑛 и
ионов 𝑛 , так что вещество в целом электрически нейтрально. В
более общем случае, когда атомы ионизованы многократно, в
среднем 𝑍 раз каждый, квазинейтральность означает, что
𝑛 ≈ 𝑍𝑛 .
()
Слово квазинейтральность придумал Вальтер Шотки (Walter
Scho ky,
).
Физика плазмы
/
При достаточно большой плотности электронов и ионов даже
малое пространственное разделение зарядов в ионизованном
газе привело бы к возникновению очень сильных электрических
полей, препятствующих разделению. Как следствие этого при
любых внешних полях «естественной» величины плотности
электронов и ионов оказываются близкими друг к другу, а смесь
электронов и ионов сохраняет квазинейтральность даже при
весьма бурно протекающих в ней процессах.
Напротив, при малой плотности заряженных частиц
квазинейтральность разрушится, даже если вначале приготовить
электрически нейтральную смесь ионов и электронов.
Вследствие хаотического теплового движения более лёгкие
электроны быстро разлетятся, оставив позади более тяжёлые
ионы, если электрическое притяжение разнозаряженных
электронов и ионов недостаточно велико.
Физика плазмы
/
Далее…
Плазма как состояние вещества
Квазинейтральность
Определение плазмы
Дебаевское экранирование
Ленгмюровские колебания
Практические формулы
Плазма в природе
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Квазинейтральный газ заряженных частиц называют плазмой.
В наиболее распространённом случае плазма состоит из
электронов и положительно заряженных ионов. В плазме могут
присутствовать также нейтральные атомы. Если их доля
значительна, плазму называют слабоионизованной. Если доля
нейтральных атомов пренебрежимо мала, то говорят о
полностью ионизованной плазме.
Существует также понятие простой плазмы, применяемое при
построении теоретических моделей. Так называют плазму,
состоящую из электронов и ионов, произведённых из атомов
одного химического элемента, которые потеряли по одному
атомарному электрону.
Плазму с многократно ионизованными ионами (потерявшими
много электронов) называют лоренцевой.
Физика плазмы
/
Важно понимать, что квазинейтральность есть не изначальная
характеристика плазмы, а всего лишь её свойство, вытекающее
из главенствующей роли коллективного взаимодействия частиц
через самосогласованное поле. При определённых условиях
сгусток заряженных частиц одного сорта (например, только
электронов) может обладать свойствами, присущими
квазинейтральной плазме. В этом контексте такой сгусток
называют заряженной плазмой.
Физика плазмы
/
Далее…
Плазма как состояние вещества
Квазинейтральность
Определение плазмы
Дебаевское экранирование
Ленгмюровские колебания
Практические формулы
Плазма в природе
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Дадим количественную формулировку понятию
квазинейтральности.
Рассмотрим плазму, где в единице объёма находится 𝑛
электронов (каждый с зарядом −𝑒) и примерно столько же
однозарядных ионов 𝑛 (с зарядом +𝑒). Представим, что
вследствие теплового движения частиц в области с размером 𝑙
самопроизвольно возникла разность плотностей электронов и
ионов
𝛿𝑛 = 𝑛 − 𝑛 .
В результате появится электрический заряд с плотностью
𝜌 = 𝑒𝑛 − 𝑒𝑛 = −𝑒 𝛿𝑛 и электрическое поле, потенциал 𝜑
которого определяется из уравнения Пуассона:
∇ 𝜑 = −4𝜋𝜌 = 4𝜋 𝑒 𝛿𝑛.
Физика плазмы
( )
/
∇ 𝜑 = −4𝜋𝜌 = 4𝜋 𝑒 𝛿𝑛.
( )
∇ 𝜑 ≈ 𝛿𝜑/𝑙 ,
𝛿𝜑 ∼ 4𝜋 𝑒 𝛿𝑛 𝑙 .
( )
𝑒 𝛿𝜑 ≲ 𝑘𝑇,
где 𝑘 — постоянная Больцмана. В физике плазмы 𝑇 измеряют в
единицах энергии; тогда 𝑘 = 1 и
𝑒 𝛿𝜑 ≲ 𝑇.
𝛿𝑛
𝑇
≲
.
𝑛
4𝜋𝑛𝑒 𝑙
Физика плазмы
/
𝛿𝑛
𝑇
𝜆D
≲
=
,
𝑛
4𝜋𝑛𝑒 𝑙
𝑙
( )
где
𝜆D =
𝑇
4𝜋𝑛𝑒
( )
обозначает радиус (длину) Дебая (Peter Debye,
).
Выделенный элемент будет квазинейтральным, если
𝑙 ≫ 𝜆D .
Физика плазмы
( )
/
Ионизованный сгусток газа с линейным размером 𝐿
квазинейтрален и, следовательно, является плазмой, если
𝐿 ≫ 𝜆D .
( )
Флуктуация 𝛿𝑁 = 𝛿𝑛𝐿 числа частиц 𝑁 = 𝑛𝐿 в сгустке
ограничена неравенством
𝛿𝑁
𝜆D
≲
,
𝑁
𝐿
( )
существенно более жёстким, нежели условие ( ) для малых
объёмчиков с размером 𝜆D ≪ 𝑙 ≪ 𝐿. При 𝑙 ∼ 𝜆D (например,
вблизи электродов в газовом разряде)
𝛿𝑛 ∼ 𝑛.
У поверхности электродов возникает дебаевский слой с
потенциалом 𝑒 𝛿𝜑 ∼ (5 ÷ 8)𝑇. Он экранирует электрическое
поле электродов, препятствуя его проникновению вглубь плазмы.
Физика плазмы
/
Далее…
Плазма как состояние вещества
Квазинейтральность
Определение плазмы
Дебаевское экранирование
Ленгмюровские колебания
Практические формулы
Плазма в природе
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Характерное время существования флуктуаций плотности в
объёмчике с размером 𝑙 ∼ 𝜆D
𝑡∼
𝜆D
∼
𝑣
𝑚
,
4𝜋𝑛𝑒
получается делением 𝜆D на 𝑣 ∼ 𝑇/𝑚 . За это время тепловое
движение электронов «замажет» возникшую флуктуацию.
Если флуктуация плотности возникла в объёмчике с размером
𝑙 ≫ 𝜆D , возникают чисто потенциальные колебания с длиной
волны 𝜆 = 𝑙, в которых магнитное поле отсутствует. Они
сопровождаются периодическим изменением плотности
электронов вокруг среднего значения, равного плотности ионов.
Физика плазмы
/
dx
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x0
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Выделим плоский однородный слой
электронов и пренебрежём тепловым
разбросом скоростей (так как 𝜆 ≫ 𝜆D ).
Ионы неподвижны из-за их бо́льшей массы.
x
При сдвиге слоя на d𝑥 = 𝑥 − 𝑥 от начального положения 𝑥 ,
возникнет избыточный заряд 𝜎 = +𝑒𝑛 (𝑥 − 𝑥 ) слева (на
единицу площади) и −𝜎 справа. В плоском конденсаторе поле
𝐸 = 4𝜋𝜎
стремится вернуть электроны в исходное положение:
𝑚 𝑥̈ = −𝑒𝐸 = −4𝜋𝑒 𝑛 (𝑥 − 𝑥 ).
( )
Около 𝑥 = 𝑥 возникают колебания с ленгмюровской частотой:
𝜔 =
4𝜋𝑛𝑒 /𝑚 .
Физика плазмы
( )
/
Далее…
Плазма как состояние вещества
Квазинейтральность
Определение плазмы
Дебаевское экранирование
Ленгмюровские колебания
Практические формулы
Плазма в природе
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
В практических вычислениях удобной единицей измерения
температуры 𝑇 является электронвольт:
1 эВ = 1,6022×10
эрг = 11 604∘ К.
Плотность плазмы 𝑛 обычно выражают в числе частиц того или
иного сорта на кубический сантиметр (см ), длину 𝑙, 𝐿, 𝜆 — в
сантиметрах (см), время 𝑡 — в секундах (сек), круговую частоту 𝜔
в радианах на секунду (сек ), а линейную частоту 𝜈 = 𝜔/2𝜋 — в
Герцах (Гц). Для вычисления удобны «практические» формулы,
где коэффициенты из мировых констант преобразованы в числа:
𝜔 = 5,64×10 𝑛
𝜆D = 7,43×10 𝑇
Физика плазмы
/
/
/𝑛
,
/
.
/
Далее…
Плазма как состояние вещества
Квазинейтральность
Определение плазмы
Дебаевское экранирование
Ленгмюровские колебания
Практические формулы
Плазма в природе
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Нередко можно слышать, что 99,9% вещества во Вселенной
находится в состоянии плазмы. Вероятно, эта оценка сильно
завышена, так как недавние исследования убедили
астрофизиков в существовании «тёмной массы», природа
которой в настоящее время не ясна.
Для ионизации вещества его температура, как можно
предположить, должна приближаться к энергии ионизации
отдельного атома (∼ 10 эВ ∼ 100 000∘ К). Позднее мы узнаем,
что чем меньше плотность вещества, тем ниже температура,
требуемая для ионизации, но всё равно условия существования
плазмы несовместимы с биологической жизнью. В
повседневной жизни наши встречи с плазмой ограничиваются
редкими примерами (вспышка молнии, свечение полярного
сияния, неоновая лампа, сварочная дуга).
Физика плазмы
/
Иногда плазму подразделяют на низкотемпературную
(𝑇 < 10 эВ) и высокотемпературную (𝑇 > 10 эВ). Такое деление
до некоторой степени условно. Оно всего лишь отражает тот
факт, что в лабораторных условиях высокотемпературная
водородная плазма полностью ионизована, тогда как в
низкотемпературной плазме обычно велика доля нейтральных
атомов. Однако межзвёздная плазма полностью ионизована уже
при температуре 1 эВ.
Физика плазмы
/
Table: Параметры лабораторной и космической плазмы
𝑛, см
𝑇, эВ
Газовый разряд
10 ÷ 10
1
Ионосфера Земли
10 ÷ 10
0,1
Солнечный ветер
5
10 ÷ 50
Солнечная корона
10
10
Солнечное ядро
10
10
Межзвёздный газ
1
1
Газовая туманность
10
1
Магнитный УТС
10
÷ 10
10 ÷ 10
Инерциальный УТС
10
÷ 10
10 ÷ 10
Физика плазмы
/
Газовый разряд
Когда к газовому промежутку прикладывается высокое
напряжение, происходит пробой: газ частично ионизуется, и
образовавшиеся электроны и ионы, двигаясь в направлении
разнополярных электродов, создают разрядный ток. В
экспериментах Ленгмюра (Irving Langmuir) был получен
тлеющий разряд с температурой электронов 𝑇 ≈ 2 эВ и
плотностью 10 см < 𝑛 < 10 см .
Figure: Тлеющий разряд в
неоне. Квазинейтральная часть
разряда занимает всё
доступное пространство трубки,
заполненной частично
ионизованным газом. Свечение
газа вызывается излучением
спектральных линий атомов
неона при столкновении с
электронами.
Физика плазмы
/
Ионосфера
Развитие радиовещания в начале -го века привело к
обнаружению земной ионосферы — слоя частично
ионизованного газа в верхних слоях атмосферы, который
отражает радиоволны. Существование ионосферы доказал
Эдвард Эплтон (Edward Appleton) в
году. Она простирается
по высоте от
км до
км, заполнена слабоионизованной
плазмой, плотность которой изменяется с высотой от
10 –10 см до 10 –10 см . Температура ионосферной
плазмы составляет всего 0,1 эВ.
Благодаря отражению от ионосферы стала возможной передача
радиосигнала за видимый горизонт.
Физика плазмы
/
Солнечный ветер
С поверхности Солнца стекает поток плазмы — солнечный ветер.
На орбите Земли в солнечном ветре 𝑛 ∼ 5 см , 𝑇 ∼ 10 эВ,
𝑇 ∼ 50 эВ, скорость ветра 𝑣 ∼ 300 км/с. Магнитосфера
защищает Землю от губительных воздействий солнечного ветра.
Время от времени на поверхности Солнца происходят вспышки и
в космос выплескивается сгусток заряженных частиц. Попадая в
атмосферу Земли вблизи магнитных полюсов, эти частицы
вызывают полярные сияния и магнитные бури, приводящие к
нарушению длинноволновой радиосвязи.
Figure: Полярное сияние на
Аляске января
г.
Свечение создаётся потоками
солнечных частиц,
сталкивающихся с газами в
атмосфере Земли.
Физика плазмы
/
Газовая туманность
Figure: Излучающая газовая туманность
NGC
в спиральной ветви галактики
Triangulum, расположенной в северном
полушарии вблизи созвездий Персея и
Овена на расстоянии 2,4 миллиона
световых лет. Эта газовая туманность
имеет поперечный размер
световых
лет, содержит более
горячих звёзд,
каждая из которых массивнее Солнца в
- раз.
Астрономы поняли, что для понимания астрофизических
явлений, необходимо привлечь физику плазмы. Шведский физик
Ханс Альфвен (Hannes Alfvén) в
году написал систему
уравнений магнитной гидродинамики и предсказал
существование магнитогидродинамических волн.
Физика плазмы
/
Звёзды
Ядра и атмосферы звёзд настолько горячи, что находятся в
плазменном состоянии, хотя плотность вещества в ядрах звёзд
может превышать плотность твёрдых тел. Температура в центре
Солнца равна 1,4 кэВ, а плотность — 160 г/см . Солнечная
корона, напротив, представляет собой разреженную плазму с
плотностью порядка 3 × 10 см и температурой до 200 эВ.
Межзвёздная среда содержит ионизованный водород с
температурой 1 эВ и плотностью 1 см , который пронизан
космическими лучами, т. е. потоком частиц и фотонов с очень
большой энергией.
Физика плазмы
/
Управляемый термоядерный синтез
Ещё до того как США и СССР в
и
годах соответственно
провели взрывы первых термоядерных бомб, в обстановке
строгой секретности были начаты работы по управляемому
термоядерному синтезу (сокращённо — УТС), прокладывающему
дорогу к мирному применению ядерных реакций синтеза.
Теоретическая физика плазмы как строгая математическая
дисциплина возникла именно в эти годы.
В недрах звёзд ядерное топливо при температуре и плотности,
необходимых для протекания реакций синтеза, удерживается
гравитационным полем. В земных условиях с той же целью
можно использовать магнитное поле. К настоящему времени
установки для магнитного удержания плазмы достигли
циклопических размеров.
Физика плазмы
/
Figure: Схема международного токамака ITER в исследовательском
центре «Кадараш» (Cadarache) во Франции; на этом токамаке будут
испытаны все системы промышленного термоядерного реактора; на
-м уровне слева показана фигурка человека.
Физика плазмы
/
Создание мощных лазеров в
-х годах отрыло новое
направление инерциального УТС. Когда мощный лазерный пучок
ударяет твёрдую мишень, происходит испарение (точнее —
абляция) поверхностного слоя, в результате чего образуется
плазменная оболочка. Условия, необходимые для
термоядерного синтеза, достигаются за счёт чрезвычайно
сильного обжатия мишени реактивной силой со стороны
разлетающейся оболочки.
Физика плазмы
/
Далее…
Плазма как состояние вещества
Квазинейтральность
Определение плазмы
Дебаевское экранирование
Ленгмюровские колебания
Практические формулы
Плазма в природе
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Задачи для семинара
Оценить величину дебаевского радиуса для разных видов
плазмы из числа представленных в таблице .
Получить формулу для дебаевского радиуса в лоренцевой
плазме с 𝑍 ≫ 1. (Задача . )
Задача о колебаниях плоского слоя электронов в холодной
плазме. (Задача . )
Частота колебаний на границе плазмы. (Задача . )
Равновесие заряженной (чисто электронной) плазмы в
магнитном поле. (Задача . )
Номера задач указаны по книге «Лекции по физике плазмы».
Физика плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
сентября
г.
Лекция
Дебаевское экранирование
Экранирование пробного заряда
Энергия кулоновского взаимодействия в плазме
Плазменный параметр
Классификация плазмы
Физика плазмы
/
Далее…
Экранирование пробного заряда
Энергия кулоновского взаимодействия в плазме
Плазменный параметр
Идеальная и неидеальная плазмы
Классическая и вырожденная плазмы
Классификация плазмы
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
ϕ
плазма
- - ---- + ---- --
++ ++
+ - +
++ + +
x
Figure: Слева: экранирование пробных зарядов в плазме. Справа:
потенциал дебаевского слоя в плазме вблизи заряженной сетки.
В плазме отрицательно заряженный шар будет окружён облаком
ионов, а положительно заряженный — облаком электронов. В
холодной плазме облако покрывает шарик тонким слоем,
полностью экранируя его электрический заряд, так что вне
облака 𝐸⃗ = 0. Тепловое движение размывает экранирующей
слой, увеличивая его толщину. Внутри слоя квазинейтральность
отсутствует.
Физика плазмы
/
Эффект электростатического экранирования был описан
Дебаем (Peter Debye) и Хюккелем (Erich Hückel) в
году на
примере электролита. В наше время его называют дебаевским
экранированием, а экранирующий слой — дебаевским слоем.
Пусть в плазму помещён пробный точечный заряд 𝑞. Найдём
распределение потенциала 𝜑 вблизи него. В потенциальном
поле частицы плазмы распределены по закону Больцмана,
𝑛 =𝑛
exp −
𝑒 𝜑
,
𝑇
()
где 𝑠 = 𝑒 для электронов и 𝑠 = 𝑖 для ионов, а 𝑛 — плотность
вдали от пробного заряда, где плазма квазинейтральна, т.е.
𝑒 𝑛
=𝑒 𝑛
+𝑒 𝑛
Физика плазмы
= 0.
/
Если предположить, что |𝑒 𝜑| ≪ 𝑇 , то приближённо
𝑒 𝜑
𝑒 𝜑
≈1−
,
𝑇
𝑇
𝑒 𝜑
𝑒 𝑛 × 1−
=−
𝑇
exp −
𝜌 =
𝑒 𝑛 ≈
так как ∑ 𝑒 𝑛
𝑒 𝑛
𝑇
𝜑,
= 0. Тогда уравнение Пуассона
∇ 𝜑 = −4𝜋𝜌 ,
принимает вид
∇ 𝜑=
𝜑
,
𝜆D
( )
где дебаевская длина 𝜆 вычисляется по формуле
1
=
𝜆D
4𝜋𝑒 𝑛
𝑇
≈
Физика плазмы
4𝜋𝑒 𝑛
.
𝑇
( )
/
Обозначение 𝜆D = 𝑇/4𝜋𝑒 𝑛 из предыдущей лекции
относилось к одному сорту частиц (электронам). Складываются
обратные квадраты парциальных дебаевских длин:
𝜆D =
𝑇
,
4𝜋𝑒 𝑛
1
=
𝜆D
1
.
𝜆D
( )
В изотермической плазме с однозарядными ионами, где
𝑇 = 𝑇 = 𝑇, 𝑒 = |𝑒 | = 𝑒 и 𝑛 = 𝑛 = 𝑛,
𝜆D = 𝜆D =
𝑇
,
4𝜋𝑒 𝑛
Физика плазмы
𝜆D =
𝑇
.
8𝜋𝑒 𝑛
/
Найдём сферически симметричное решение 𝜑 = 𝜑(𝑟)
уравнения ( ):
1 d
d𝜑
𝜑
𝑟
=
.
𝑟 d𝑟
d𝑟
𝜆D
Решение, обращающееся в нуль при 𝑟 → ∞, имеет вид
𝜑=
𝔸
𝑟
exp −
.
𝑟
𝜆D
Константу 𝔸 находим из условия, что 𝜑 → 𝑞/𝑟 при 𝑟 → 0:
𝜑=
𝑞
𝑟
exp −
.
𝑟
𝜆D
( )
Дебаевский потенциал ( ) при 𝑟 ≳ 𝜆D убывает быстрее, чем
кулоновский потенциал 𝑞/𝑟. Он складывается из 𝑞/𝑟 и
потенциала экранирующего облака зарядов плазмы
𝜑 =
𝑞
𝑟
𝑞
exp −
− .
𝑟
𝜆D
𝑟
Физика плазмы
( )
/
Далее…
Экранирование пробного заряда
Энергия кулоновского взаимодействия в плазме
Плазменный параметр
Идеальная и неидеальная плазмы
Классическая и вырожденная плазмы
Классификация плазмы
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Потенциал экранирующего облака на пробном заряде
𝜑 (0) = lim
→
𝑞
𝑟
𝑞
𝑞
exp −
−
=− .
𝑟
𝜆D
𝑟
𝜆D
Энергия взаимодействия пробного заряда 𝑞 с плазмой:
𝑞𝜑 (0) = −
𝑞
.
𝜆D
( )
Всё сказанное верно и в отношении зарядов плазмы. Чтобы
найти энергию взаимодействия зарядов плазмы друг с другом,
необходимо взять сумму энергий ( ) по всем частицам плазмы и
результат разделить на 2, так как каждая частица в сумме учтена
дважды. В расчёте на единицу объёма
𝑤=−
1
2𝜆D
Физика плазмы
𝑒 𝑛 .
( )
/
𝑤=−
1
2𝜆D
𝑒 𝑛 .
( )
Энергия кулоновского взаимодействия частиц плазмы
обратилась бы в нуль, если все частицы были равномерно
распределены в пространстве независимо друг от друга.
Ненулевые поправки к внутренней энергии плазмы (по
сравнению с идеальным газом) возникают при учёте корреляций
между положениями различных частиц, как это видно из вывода
формулы ( ). Поэтому величину ( ) называют корреляционной
поправкой к внутренней энергии плазмы.
Далее считаем, что 𝑛 = 𝑛 = 𝑛 , 𝑇 = 𝑇 = 𝑇 . Тогда
𝑤=−
2𝑛𝑒
,
2𝜆D
𝜆D =
Физика плазмы
𝑇
.
8𝜋𝑒 𝑛
/
Суммарная плотность ионов и электронов равна 2𝑛, поэтому на
одну частицу приходится энергия
𝑊=
𝑤
𝑒
=−
.
2𝑛
2𝜆D
( )
Это не совпадает с оценкой
𝑊 ∼−
𝑒
∼ −𝑒 𝑛
𝑎
/
,
( )
которую можно получить, считая, что искомая энергия равна
произведению зарядов пары соседних частиц 𝑒 , делённой на
среднее расстояние 𝑎 ∼ 𝑛 / между ними.
Какая же формула верна? Ответ зависит от величины
плазменного параметра.
Физика плазмы
/
Далее…
Экранирование пробного заряда
Энергия кулоновского взаимодействия в плазме
Плазменный параметр
Идеальная и неидеальная плазмы
Классическая и вырожденная плазмы
Классификация плазмы
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Число частиц в дебаевской сфере (плазменный параметр):
𝑁D = 𝜋𝜆D 𝑛 ∼ (𝜆D /𝑎) .
( )
Сравнивая формулы 𝑊 = −𝑒 /2𝜆D и 𝑊 ∼ −𝑒 /𝑎, видим, что
/
𝑊 ∼ 𝑊 /𝑁D .
Парадоксальным образом, из двух формул ( ) и ( ) верна та,
которая даёт меньшее (по абсолютной величине) значение, т.е.
𝑒
,
2𝜆D
𝑊 ∼ −𝑒 𝑛 / ,
𝑊=−
если
если
Физика плазмы
𝑁D ≫ 1;
𝑁D ≪ 1.
( )
( )
/
Далее…
Экранирование пробного заряда
Энергия кулоновского взаимодействия в плазме
Плазменный параметр
Идеальная и неидеальная плазмы
Классическая и вырожденная плазмы
Классификация плазмы
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
𝑊=−
𝑒
𝑇
=−
,
2𝜆D
6𝑁D
|𝑊| ≪ 𝐾,
если
𝐾 = 𝑇.
𝑁D ≳ 1.
В этом случае говорят от идеальной плазме. Её свойства мало
отличаются от свойств идеального газа. Например, внутренняя
энергия вычисляется по формуле
𝑈 = 2𝑛 (𝐾 + 𝑊) = 3𝑛𝑇 1 −
1
≈ 3𝑛𝑇.
9𝑁D
( )
В случае 𝑁D ≪ 1, когда
|𝑊 | ≳ 𝐾,
( )
плазму называют неидеальной; в ней образуются периодические
структуры (кристаллическая решётка).
Физика плазмы
/
Далее…
Экранирование пробного заряда
Энергия кулоновского взаимодействия в плазме
Плазменный параметр
Идеальная и неидеальная плазмы
Классическая и вырожденная плазмы
Классификация плазмы
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Выясним условия, когда квантовые эффекты несущественны.
Согласно принципу неопределённости, имеется неустранимая
неопределённость при одновременном измерении импульса 𝑝 и
координаты 𝑥. Погрешности 𝛥𝑝 и 𝛥𝑥 обусловлены волновой
природой частицы и связаны соотношением неопределённости
Гейзенберга (Werner Heisenberg,
)
𝛥𝑝 𝛥𝑥 ≳ ℏ,
где ℏ = 6,58×10
).
эВ⋅сек — постоянная Планка (Max Planck,
𝛥𝑝 ≤ 𝑝
⇒
𝑝 = √2𝑚𝜀
⇒
ℏ
ℏ
≥ ,
𝛥𝑝
𝑝
ℏ
ℏ
𝜆B = =
𝑝
√2𝑚𝜀
𝛥𝑥 ≥
— длина волны де Бройля (Louis de Broglie,
Физика плазмы
).
/
Если
/
𝜆B ≪ 𝑎 ∼ 𝑛
,
из волн де Бройля можно составить пакет, размер которого будет
мал по сравнению с 𝑎. В классической физике этот пакет
отождествляют с частицей. При понижении температуры 𝑇
условие 𝜆B ≪ 𝑛 / сначала нарушается для электронов, а уж
затем для ионов. Поэтому, говоря о квантовых эффектах в
плазме, подразумевают электроны. Плазма описывается
классической физикой, если длина волны электрона
𝜆 =
ℏ
2𝑚 𝜀
( )
мала по сравнению с расстоянием между частицами, т.е.
𝜆 ≪𝑛
/
Физика плазмы
.
( )
/
𝜆 =
ℏ
2𝑚 𝜀
≪𝑛
/
⇒
𝜀≫
ℏ 𝑛 /
.
2𝑚
Так как 𝜀 ∼ 𝑇 это условие можно записать в виде
𝑇 ≫ 𝜀F ,
где величину
𝜀F ∼
ℏ 𝑛 /
2𝑚
( )
( )
). По определению,
называют энергией Ферми (Enrico Fermi,
она равна энергии самого высшего квантового состояния, в
котором может находиться фермион (частица с полуцелым
спином) при 𝑇 = 0. Для ионов условие, аналогичное ( ),
фактически всегда выполняется, поэтому вплоть до экстремально
низких температур ионы описываются классической физикой. В
металлах 𝑛 ≈ 10 ÷ 10 см , 𝜀F ≈ 1 ÷ 3 эВ.
Физика плазмы
/
f(ε)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
3
ε/µ
Figure: Распределение
Ферми-Дирака
𝑓(𝜀) = 1/ [exp (𝜀/𝑇 − 𝜇/𝑇) + 1]
— среднее число частиц с
полуцелым спином в квантовом
состоянии c энергией 𝜀: 𝑇/𝜇 = 1
(сплошная линия), 𝑇/𝜇 = 0,1
(штриховая) и 𝑇 = 0 (точки); 𝜇 —
химический потенциал; в пределе
𝑇 → 0 с вероятностью 1 заняты
низшие состояния с 𝜀 ⩽ 𝜇 = 𝜀F ;
при exp (𝜀/𝑇 − 𝜇/𝑇) ≫ 1 функция
𝑓(𝜀) переходит в распределение
Максвелла.
Физика плазмы
/
В вырожденной плазме, характеризуемой условием
𝑇 ≲ 𝜀F ,
( )
средняя кинетическая энергия электронов
𝐾 = 𝜀F
( )
не зависит от температуры. Происхождение термина
вырожденная плазма связано с тем, что при низкой температуре
квантовые состояния электронов вырождены по энергии (на
каждом энергетическом уровне находятся по два электрона).
В квантовом случае
𝜆D ≈ 𝜆D =
𝑇/4𝜋𝑒 𝑛 ,
𝜆D ≪ 𝜆D ∼
𝜀 /4𝜋𝑛 𝑒 .
так как
Физика плазмы
/
𝑊=−
𝑒
,
2𝜆D
если 𝑁D ≫ 1.
Новым эффектом в вырожденной плазме является обменное
взаимодействие, не имеющее аналога в классической физике.
𝑊 ∼ −𝑒 𝑛
/
𝑊 ∼ −𝑒 𝜆 𝑛,
,
если
𝜀 ≫ 𝑇;
если
𝑇≫𝜀 .
В классическом пределе существует область параметров, где
энергия обменного взаимодействия 𝑊 превышает
корреляционную поправку 𝑊 к энергии кулоновского
взаимодействия.
Физика плазмы
/
Далее…
Экранирование пробного заряда
Энергия кулоновского взаимодействия в плазме
Плазменный параметр
Идеальная и неидеальная плазмы
Классическая и вырожденная плазмы
Классификация плазмы
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
В плоскости параметров 𝑛 и 𝑇 линии, соответствующие равенству
энергий 𝐾, 𝐾 , |𝑊|, |𝑊 | и |𝑊 | попарно в различных сочетаниях,
разделяют различные виды плазмы. Из пяти перечисленных
величин можно составить десять независимых равенств. Однако
некоторые из них по существу приводят к одинаковой
зависимости 𝑇 от 𝑛. А другие, если и выполняются, то за
пределами применимости соответствующих формул. В итоге
остаются всего четыре значимых равенства:
𝐾=𝐾,
𝐾 = |𝑊|,
𝐾 = |𝑊 |.
На рис. соответствующие им линии разделяют четыре области,
отвечающих классической идеальной (I), классической
неидеальной (II), вырожденной неидеальной (III) и вырожденной
идеальной (IV) плазме. Ещё одно равенство, 𝑊 = 𝑊 , выделяет
внутри идеальной классической плазмы остров (I ), где энергия
обменного взаимодействия больше (по абсолютной величине),
чем корреляционная поправка к энергии кулоновского
взаимодействия.
Физика плазмы
/
I’’
I
W
K= 23 T
K=
e2
W=− 2λ
D
=1
’, N D
=W
W
II
K=
1
K= 23 T
0.1
K’
K=
W’= − e 2n1/3
1019
III
K’= 53 εF
IV
K’=W’
T, эВ
10
0.01
’’
’=W
W
,
K’
=W
’’
100
W’= − e 2n1/3
1021
1023
K’= 53 εF
W’= − e 2n1/3
1025
1027
n, см −3
Figure: Классификация плазмы: I — классическая идеальная (𝐾 > |𝑊|),
I — классическая идеальная (𝐾 > |𝑊 |), II — классическая
неидеальная (𝐾 < |𝑊 |), III — вырожденная неидеальная (𝐾 < |𝑊 |),
IV — вырожденная идеальная (𝐾 > |𝑊 |).
Физика плазмы
/
Далее…
Экранирование пробного заряда
Энергия кулоновского взаимодействия в плазме
Плазменный параметр
Идеальная и неидеальная плазмы
Классическая и вырожденная плазмы
Классификация плазмы
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Задачи для семинара
Критерий идеальности плазмы при 𝑍 ≫ 1 ( . ).
Посчитать плотность плазмы при комнатной температуре,
для которой квантовые эффекты становятся существенными.
Можно ли разлагать exp(−𝜑/𝑇) при выводе уравнения для
потенциала ( . ).
Вычислить энергию Ферми при 𝑇 = 0 ( . ), оценить её для
центра Солнца и сравнить с температурой ( . ).
Вычислить дебаевскую длину для 𝑇 = 0 ( . ).
Оценить, когда плазма становится релятивистской при 𝑇 = 0
( . , не успели).
Номера задач указаны по книге «Лекции по физике плазмы».
Физика плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
сентября
г.
Лекция
Ионизационное равновесие
Уравнение Саха.
Степень ионизации плазмы.
Ограниченность теории Саха.
Приложение: Планетарная модель атома
Физика плазмы
/
Как велика доля ионизованных атомов в газе (в плазме) при
заданной температуре и плотности?
Физика плазмы
/
Как велика доля ионизованных атомов в газе (в плазме) при
заданной температуре и плотности?
Универсальный ответ можно дать в том случае, когда
ионизованный газ находится в состоянии термодинамического
равновесия. На языке статистической физики ионизация и
обратный ей процесс рекомбинации являются конкурирующими
химическими реакциями.
В состоянии равновесия прямая и обратная химические реакции
идут с равной скоростью, что соответствует минимуму
термодинамического потенциала. Для отыскания равновесной
степени ионизации можно было бы минимизировать
термодинамический потенциал, но мы воспользуемся более
наглядным, хотя и менее строгим подходом.
Физика плазмы
/
Рассмотрим ионизацию атомарного водорода
𝐻 →𝐻 +𝑒
()
и обратную ей рекомбинацию продуктов ионизации
𝐻 ← 𝐻 + 𝑒.
( )
Чтобы выполнить законы сохранения энергии и импульса,
необходим ещё, как минимум, один реагент, например, фотон,
как в реакции фотоионизации (фоторекомбинации),
𝐻 + 𝛾 ⇌ 𝐻 + 𝑒,
или электрон, как в реакции ударной ионизации (тройной
рекомбинации),
𝐻 + 𝑒 ⇌ 𝐻 + 𝑒 + 𝑒.
В состоянии термодинамического равновесия скорости прямой и
обратной реакций в каждом канале ионизации/рекомбинации
равны (принцип детального равновесия).
Физика плазмы
/
Далее…
Уравнение Саха
Степень ионизации плазмы
Ограниченность теории Саха́
Приложение: Планетарная модель атома
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Пусть первоначально в объёме 𝑉 было 𝑁 атомов водорода. В
результате однократной ионизации возникнет 𝑁 ионов, 𝑁 = 𝑁
электронов и 𝑁 = 𝑁 − 𝑁 атомов.
Если рядом с протоном находится связанный электрон, то они
образуют атом, иначе протон следует считать ионом. В
термодинамическом равновесии с заданной температурой 𝑇
вероятность обнаружить электрон в квантовом состоянии с
энергией 𝜀 убывает с увеличением энергии по
экспоненциальному закону:
𝑤 = 𝔸 exp −
𝜀
.
𝑇
( )
Нормировочная константа 𝔸 определяется из условия
𝑤 = 1.
Физика плазмы
( )
/
Энергия электрона в
протона.
ε
поле
Связанный электрон:
0
k=∞
𝜀 =−
−0,85 эВ
−1,51 эВ
k=3
−3,4 эВ
k=2
−13,6 эВ
k=1
𝐼
< 0,
𝑘
( a)
𝑘 = , ,…, 𝐼 = 𝑚 𝑒 /2ℏ =
13,6 эВ — энергия ионизации
атома водорода.
Свободный электрон:
𝜀 =
Физика плазмы
𝑝
> 0.
2𝑚
( b)
/
𝑤 = 1,
𝔸=
𝑤 = 𝔸 exp −
exp(−𝜀 /𝑇) +
Физика плазмы
𝜀
.
𝑇
exp(−𝜀 /𝑇)
.
( )
/
В сумме по связанным состояниям электрона с 𝜀 < 0 учтём
только самый нижний уровень энергии в атоме, 𝑘 = 1, полагая,
что в связанном состоянии электрон с подавляющей
вероятностью находится на основном уровне с энергией 𝜀 = −𝐼;
точность такого приближения будет установлена позднее. Тогда
exp(−𝜀 /𝑇) ≈
exp(−𝜀 /𝑇) = 𝑔 exp(𝐼/𝑇),
где 𝑔 — статистический вес атома, т. е. число различных
квантовых состояний атома с минимальной энергией 𝜀 = −𝐼.
Для водорода 𝑔 = 2 × 2 = 4.
Статистический вес, или статвес, как таковой выражает
наличие внутренних степеней свободы у частицы или системы
частиц, которые в рамках используемого приближения не
изменяют энергию системы.
Физика плазмы
/
Состояния с 𝜀 > 0 образуют непрерывный спектр, поэтому
exp (−𝜀 /𝑇) ⇒ 𝑔 𝑔
d 𝑝d 𝑥
exp −𝑝 /2𝑚 𝑇 ,
(2𝜋ℏ)
где множители 𝑔 = 2, 𝑔 = 2 добавлены, дабы учесть наличие
нескольких квантовых состояний, отвечающих одной и той же
энергии 𝜀 = 𝑝 /2𝑚 пары электрон-ион.
𝑔 𝑔
d 𝑝d 𝑥
e
(2𝜋ℏ)
/
𝑔 𝑔
× d𝑥×
4𝜋 𝑝 d𝑝 e
(2𝜋ℏ)
𝑔 𝑔
𝑉
=
×
× (2𝜋𝑚 𝑇) /
(2𝜋ℏ)
𝑁
𝑔 𝑔
𝑔 𝑔
=
≡
,
/
(2𝜋ℏ /𝑚 𝑇) 𝑛
𝜆 𝑛
=
/
где 𝜆 = 2𝜋ℏ /𝑚 𝑇 обозначает длину волны электрона
𝜆 = ℏ/ 2𝑚 𝜀 с энергией порядка тепловой.
Физика плазмы
/
Таким образом,
𝔸= 𝑔 e
/
+ 𝑔 𝑔 /𝜆 𝑛
.
Вероятность 𝑤 того, что рассматриваемый протон является
ядром нейтрального атома, равна сумме вероятностей по
состояниям с отрицательной энергией и фактически уже была
вычислена:
𝑤 =
𝔸 exp(−𝜀 /𝑇) =
𝑔 e
𝑔 e
/
/
+𝑔 𝑔 /𝜆 𝑛
.
Все остальные квантовые состояния соответствуют
ионизованному атому. Их доля равна
𝑤 =1−𝑤 =
𝑔 𝑔 /𝜆 𝑛
𝑔 e
/
Физика плазмы
+ 𝑔 𝑔 /𝜆 𝑛
.
/
Отношение двух вероятностей определяет отношение
плотностей ионов и атомов в плазме:
𝑛
𝑤
𝑔𝑔 e /
=
=
.
𝑛
𝑤
𝑔 𝜆 𝑛
После умножения на 𝑛 отсюда получается уравнение Саха́
(Meghnad Saha,
):
𝑛𝑛
𝑔𝑔 e
=
𝑛
𝑔
𝜆
/
𝑔𝑔 e
𝑔
𝜆
/
.
( )
Функция температуры
𝐾(𝑇) =
( )
в правой части уравнения называется константой равновесия.
Физика плазмы
/
Далее…
Уравнение Саха
Степень ионизации плазмы
Ограниченность теории Саха́
Приложение: Планетарная модель атома
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
𝑛𝑛
𝑔𝑔 e
=
𝑛
𝑔
𝜆
/
.
( )
Степень ионизации плазмы характеризует отношение
𝛼 = 𝑛 /𝑛 .
𝑛 = 𝑛 = 𝛼𝑛 ,
𝑛 = (1 − 𝛼) 𝑛 .
Вводя обозначение для безразмерной функции
𝐺(𝑇) =
𝑔 𝑔 /𝑔
𝜆 𝑛
уравнение Саха можно переписать в виде
𝛼
= 𝐺(𝑇) e
1−𝛼
/
.
( )
Отсюда можно найти степень ионизации 𝛼 при заданных 𝑛 и 𝑇.
Физика плазмы
/
α
1.0
5´ 1017
1´ 1017
1´ 1016
0.4
1´ 1014
1
0.6
1´ 1010
1´ 1012
0.8
0.2
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Физика плазмы
T
I
Степень ионизации
термодинамически
равновесной
водородной
плазмы
при
различных
значениях
плотности, которые
указаны на рисунке
в единицах см .
/
При малых температурах 𝛼 → 0, при больших — 𝛼 → 1. Условно
приняв за точку перехода в ионизованное состояние значение
𝛼 = , из
𝛼
= 𝐺(𝑇) e / .
( )
1−𝛼
получим уравнение
𝑇∗ = 𝐼/ ln[2𝐺(𝑇∗ )]
( )
для определения температуры перехода 𝑇∗ .
В широком диапазоне плотностей температура 𝑇∗ ≪ 𝐼, так как
/
𝐺(𝑇) = 𝑔 𝑔 /𝑔 𝜆 𝑛 ∼ (𝑇/𝜀F )
≫ 1 в классической плазме,
/
где 𝑇 ≫ 𝜀F ∼ ℏ 𝑛 /2𝑚 .
Физика плазмы
/
Например, 𝐺 = 1,5×10 в плазме с плотностью 𝑛 = 10 см
температурой 𝑇 = 𝐼 = 13,6 эВ. При этом доля ионизованных
частиц 𝛼 уже очень близка к единице:
и
1 − 𝛼 = 1,8×10 .
При указанной плотности 𝑇∗ = 0,065 𝐼 = 0,88 эВ.
T* , эВ
2.0
1.5
Точное
решение
уравнения ( ).
1.0
0.5
0.1
1000
107
1011
n 0,
1015
1019
см₋3
Физика плазмы
/
𝛼
𝑔 𝑔 /𝑔
=
e
1−𝛼
𝜆 𝑛
/
≡ 𝐺(𝑇) e
/
.
( )
Огромная величина 𝐺(𝑇) обусловлена тем фактом, что
свободному электрону доступен практически весь объём плазмы
в отличие от связанного электрона, который привязан к ядру
атома. Поэтому вероятность обнаружить электрон в свободном
состоянии существенно больше, чем можно было бы ожидать,
сравнивая экспоненциально убывающие с ростом энергии
вероятности ( ) квантовых состояний. Можно также сказать, что
в непрерывном спектре велика плотность квантовых состояний, а
𝐺(𝑇) есть эффективный статистический вес состояния с заданной
энергией в непрерывном спектре.
Физика плазмы
/
Далее…
Уравнение Саха
Степень ионизации плазмы
Ограниченность теории Саха́
Приложение: Планетарная модель атома
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Насколько большую ошибку мы сделали, исключив из суммы по
связанным состояниям возбуждённые уровни атома водорода?
Поскольку заметная ионизация происходит при 𝑇 ∼ 𝑇∗ ≪ 𝐼, а
расстояние от основного (𝑘 = 1, 𝜀 = −𝐼) до первого
возбуждённого уровня (𝑘 = 2, 𝜀 = − 𝐼) равно 𝐼, то
вероятность электрону перейти в первое возбуждённое
состояние из основного, пропорциональная
3
𝑤 /𝑤 = exp [−𝜀 /𝑇] / exp [−𝜀 /𝑇] = exp − 𝐼/𝑇 ,
4
очень мала. Другими словами, электрон «предпочитает»
перейти в непрерывный спектр, вместо того чтобы «сесть» на
следующий уровень.
Физика плазмы
/
Применимость уравнения Саха к расчёту ионизационного
состояния газа может быть ограничена по причинам, более
фундаментальным, нежели величина членов, отброшенных при
её выводе. Уравнение Саха неприменимо, если плазма не
является замкнутой системой, например, если из неё свободно
выходит излучение, которое сопровождает процесс
рекомбинации. В этом случае степень ионизации находят,
сравнивая скорости реакций ионизации и рекомбинации.
Уравнение Саха заведомо неправильно предсказывает степень
ионизации в центре Солнца. Почему?
Физика плазмы
/
Далее…
Уравнение Саха
Степень ионизации плазмы
Ограниченность теории Саха́
Приложение: Планетарная модель атома
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Найдём энергию связанного электрона в атоме водорода,
используя планетарную модель атома.
k=3
k=2
−e
hν
+e
Модель Бора атома водорода.
Электрон вращается вокруг
ядра по круговой орбите.
Переход с одной орбиты
на другую сопровождается
излучением или поглощением
кванта
электромагнитной
энергии ℎ𝜈.
Физика плазмы
/
𝜀 =
𝑚 𝑣
𝑒
− .
2
𝑟
𝑚 𝑣
𝑒
= .
𝑟
𝑟
𝑚 𝑣
𝑒
=− .
2
2𝑟
Согласно постулату Нильса Бора (Niels Bohr,
), электрон в
атоме водорода может находится только на стационарных
орбитах, на которых орбитальный момент 𝑚 𝑣𝑟 кратен
постоянной Планка ℏ = ℎ/2𝜋, т. е.
𝜀 =−
𝑚 𝑣𝑟 = ℏ 𝑘,
где 𝑘 = 1, 2, 3, … — главное квантовое число. Отсюда находим
𝑟 =
ℏ
𝑘 ,
𝑚 𝑒
𝑣 =
𝑒 𝑐
,
ℏ𝑐 𝑘
Физика плазмы
𝜀 =−
𝑚 𝑒 1
.
2ℏ 𝑘
/
Правило квантования орбитального момента по Бору означает,
что на окружности орбиты 2𝜋𝑟 укладывается целое число длин
де Бройля 𝜆 = 2𝜋ℏ/𝑚 𝑣, но это стало ясно только после
открытия волнового дуализма электрона Луи де Бройлем (Louis
de Broglie,
).
Радиус орбиты первого (основного) уровня
𝑎B =
ℏ
= 0,5×10
𝑚 𝑒
см
называют боровским радиусом. Радиусы орбит возбуждённых
состояний с 𝑘 > 1 увеличивается пропорционально квадрату их
номера 𝑘,
𝑟 = 𝑎B 𝑘 .
Физика плазмы
/
Минимальная энергия, которую необходимо передать
атомарному электрону на низшем энергетическом уровне, чтобы
ионизовать атом, равна (со знаком минус) энергии основного
состояния:
𝑒
𝑚 𝑒
𝐼=
=
= 13,6 эВ.
2𝑎B
2ℏ
Энергия более высоких (возбуждённых) атомарных уровней
𝜀 = −𝐼/𝑘
с увеличением их номера 𝑘 сгущается к нулевой величине.
Соответственно, для ионизации возбуждённого атома требуется
меньшая энергия.
Физика плазмы
/
Отношение
𝛼 = 𝑒 /ℏ𝑐 ≈ 1/137
скорости электрона на основном уровне к скорости света
известно в квантовой физике под названием постоянной тонкой
структуры. Соответственно, на основном энергетическом
уровне скорость электрона примерно в
раз меньше скорости
света, а на более высоких уровнях она уменьшается
пропорционально 𝑘 , 𝑣 = 𝛼𝑐/𝑘. Через постоянную тонкой
структуры можно выразить также боровский радиус,
𝑎B = (𝑒 /𝑚 𝛼 𝑐 )
и энергия ионизации,
𝐼= 𝑚 𝛼 𝑐 .
Физика плазмы
/
Далее…
Уравнение Саха
Степень ионизации плазмы
Ограниченность теории Саха́
Приложение: Планетарная модель атома
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Задачи для семинара
Почему при столкновении иона и одного электрона не
может произойти рекомбинация?
Используя табличные данные, оценить степень ионизации
межзвё̈здного газа и плазмы в установках магнитного УТС.
(Задача . )
Почему степень ионизации падает при росте плотности.
Водород с плотностью 𝑛 = 10 см нагрет до температуры
0,3 эВ. Чтобы увеличить проводимость плазмы, в неё
добавляют калий. Какова должна быть доля примесных
атомов, чтобы число свободных электронов увеличилось в
раза? Энергия ионизации калия равна 𝐼 = 4,339 эВ, а его
основное состояние двукратно вырождено. (Задача . )
Получить уравнение ионизационной адиабаты,
связывающее плотность и температуру ионизованного газа
при сжатии газа без подвода тепла. (Задача . )
Номера задач указаны по книге «Лекции по физике плазмы».
Физика плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
сентября
г.
Лекция
Движение заряженных частиц
Движение в однородном магнитном поле.
Электрический дрейф.
Ведущий центр ларморовской орбиты.
Дрейф под действием малой силы.
Гравитационный дрейф.
Эффект конечного ларморовского радиуса в электрическом
дрейфе.
Физика плазмы
/
В лабораторных условиях для удержания плазмы используют
магнитное поле. Оно обеспечивает термоизоляцию плазмы.
Найти точное решение уравнений движения удаётся только в
исключительных случаях. Однако часто магнитное поле почти
однородно и почти постоянно. Тогда движение частицы можно
разложить на быстрое циклотронное (ларморовское) вращение
и медленное движение воображаемого центра ларморовской
окружности — магнитный дрейф.
Последовательный вывод уравнений дрейфового движения
весьма громоздок, поэтому мы ограничимся менее строгим, но
не менее поучительным эвристическим обсуждением. Однако и
такое «укороченное» повествование займёт две лекции.
Сначала напомним известные факты о движении заряженной
частицы в однородном постоянном магнитном поле. Потом
добавим электрическое поле.
Физика плазмы
/
Далее…
Движение в однородном магнитном поле
Электрический дрейф
Дрейф под действием малой силы
Гравитационный дрейф
Дрейф в неоднородном электрическом поле
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Уравнения движения:
d𝑟⃗
= 𝑣,
⃗
d𝑡
d𝑣⃗
𝑒
⃗
=
[𝑣⃗ × 𝐵].
d𝑡
𝑚𝑐
( a)
( b)
Энергия частицы 𝑚𝑣 /2 сохраняется:
𝑚𝑣⃗ ⋅
d𝑣⃗
𝑒
⃗
= 𝑚𝑣⃗ ⋅
[𝑣⃗ × 𝐵]
d𝑡
𝑚𝑐
d 𝑚𝑣
= 0.
d𝑡 2
Продольная скорость частицы 𝑣‖ = (𝐵⃗ ⋅ 𝑣)/𝐵
⃗
сохраняется:
𝐵⃗ d𝑣⃗
𝐵⃗ 𝑒
⃗
⋅
= ⋅
[𝑣⃗ × 𝐵]
𝐵 d𝑡
𝐵 𝑚𝑐
d𝑣‖
= 0.
d𝑡
Физика плазмы
/
В однородном магнитном поле
𝑣 = const,
𝑣‖ = const,
𝑣 =
𝑣 − 𝑣‖ = const .
Введём обозначения
𝛺⃗ =
𝑒𝐵⃗
,
𝑚𝑐
𝛺=
𝑒𝐵
,
𝑚𝑐
⃗
𝐵 = |𝐵|,
и перепишем уравнения движения в виде
d𝑣⃗
⃗
= [𝑣⃗ × 𝛺].
d𝑡
( )
Так как 𝑣 = const, уравнение ( ) описывает вращение вектора 𝑣,
⃗
⃗ вектор 𝑣⃗
а так как неизменна проекция скорости 𝑣‖ на вектор 𝛺,
⃗
вращается вокруг направления 𝛺.
Физика плазмы
/
Ω
Направление
вращения
вектора скорости заряженной
частицы в магнитном поле
составляет
левый
винт
с
направлением
вектора
⃗
𝛺⃗ = 𝑒𝐵/𝑚𝑐,
определённого с
учётом знака заряда 𝑒.
v
v‖
vx
v^
vy
Физика плазмы
/
d𝑣⃗
⃗
= [𝑣⃗ × 𝛺]
d𝑡
Распишем уравнение движения по компонентам (𝐵⃗ = 𝐵𝑧):
̂
𝑣̇ =
𝛺𝑣 ,
( a)
𝑣̇ = −𝛺 𝑣 ,
( b)
𝑣̇ = 0.
( c)
( a)+𝑖( b):
d
(𝑣 + 𝑖𝑣 ) = −𝑖𝛺 (𝑣 + 𝑖𝑣 ).
d𝑡
Решаем:
(𝑣 + 𝑖𝑣 ) = (𝑣 + 𝑖𝑣 ) exp(−𝑖𝛺𝑡)
= (𝑣 cos 𝜓 + 𝑖𝑣 sin 𝜓 ) exp(−𝑖𝛺𝑡)
= 𝑣 exp(𝑖𝜓 ) exp(−𝑖𝛺𝑡).
Физика плазмы
/
И так,
(𝑣 + 𝑖𝑣 ) = 𝑣 exp(𝑖𝜓 − 𝑖𝛺𝑡).
Интегрируем ещё раз:
(𝑥 + 𝑖𝑦) = (𝑋 + 𝑖𝑌) +
𝑣
exp(𝑖𝜓 − 𝑖𝛺𝑡).
−𝑖𝛺
Отделяем вещественную часть:
𝑣 = 𝑣 cos(𝜓 − 𝛺𝑡),
𝑣 = 𝑣 sin(𝜓 − 𝛺𝑡),
𝑣
sin(𝜓 − 𝛺𝑡),
𝛺
𝑣
𝑦=𝑌+
cos(𝜓 − 𝛺𝑡).
𝛺
𝑥=𝑋−
Физика плазмы
/
𝑣
sin(𝜓 − 𝛺𝑡),
𝛺
𝑣
𝑦=𝑌+
cos(𝜓 − 𝛺𝑡).
𝛺
𝑣 = 𝑣 cos(𝜓 − 𝛺𝑡),
𝑥=𝑋−
𝑣 = 𝑣 sin(𝜓 − 𝛺𝑡),
Эти формулы описывают циклотронное вращение по
окружности с ларморовским радиусом
𝜌=
𝑣
𝛺
⃗
вокруг точки (𝑋, 𝑌) в плоскости, перпендикулярной 𝐵.
На это вращение накладывается движение с постоянной
⃗
скоростью 𝑣‖ вдоль 𝐵.
𝑣 = 𝑣‖ ,
𝑧 = 𝑧 + 𝑣‖ 𝑡.
Физика плазмы
/
B
v
v‖
ρ
v^
R
y
x
Орбита частицы в однородном
магнитном поле образует
спираль. В центре
ларморовской окружности
(пунктир) находится
воображаемый ведущий (или
ларморовский) центр частицы.
Он перемещается по прямой
𝑋 = const, 𝑌 = const,
𝑍 = 𝑧 + 𝑣‖ 𝑡, совпадающей с
магнитной силовой линией.
Положение ведущего центра в произвольный момент времени
характеризует вектор
𝑅⃗ = {𝑋, 𝑌, 𝑍} = 𝑟⃗ − 𝜌,
⃗
где
𝜌⃗ = −
Физика плазмы
1
⃗
[𝑣⃗ × ℎ],
𝛺
ℎ⃗ =
𝐵⃗
.
𝐵
/
Концепция ведущего центра ларморовской орбиты частицы даёт
ключ к анализу движения заряженной частицы в
электромагнитном поле, слабо неоднородном в пространстве и
медленно меняющемся во времени. Можно ожидать, что при
достаточно слабой неоднородности и достаточно медленном
изменении поля траектория движения приближённо остаётся
спиралью, а ведущий центр движется почти вдоль магнитной
силовой линии. Если при этом отвлечься от быстрого
циклотронного вращения частицы вокруг ведущего центра, то
для описания её движения достаточно проследить лишь за
движением ведущего центра.
Физика плазмы
/
Далее…
Движение в однородном магнитном поле
Электрический дрейф
Дрейф под действием малой силы
Гравитационный дрейф
Дрейф в неоднородном электрическом поле
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Добавим в уравнения движения электрическое поле:
d𝑟⃗
⃗
= 𝑣,
d𝑡
d𝑣⃗
𝑒
⃗
=
𝐸⃗ + [𝑣⃗ × 𝛺],
d𝑡
𝑚
( a)
( b)
Теперь, вообще говоря,
𝑣 ≠ const,
𝑣‖ ≠ const,
𝑣 ≠ const .
Например,
𝑚𝑣⃗ ⋅
d𝑣⃗
𝑒
⃗
= 𝑒𝐸⃗ ⋅ 𝑣⃗ + 𝑚𝑣⃗ ⋅
[𝑣⃗ × 𝐵]
d𝑡
𝑚𝑐
d 𝑚𝑣
⃗
= 𝑒𝐸⃗ ⋅ 𝑣.
d𝑡 2
Физика плазмы
/
Перейдём в систему отсчёта, движущуюся со скоростью
𝑣⃗ = 𝑐
⃗
[𝐸⃗ × 𝐵]
,
𝐵
( )
сделав замену
𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑣⃗ ,
𝑟⃗ = 𝑟⃗ + 𝑣⃗ 𝑡
в уравнениях движения. Из первого уравнения
d
(𝑟⃗ + 𝑣⃗ 𝑡) = 𝑣⃗ + 𝑣⃗
d𝑡
( a)
d𝑟⃗
= 𝑣⃗ .
d𝑡
( )
получим
Физика плазмы
/
Во втором уравнении
d
𝑒
⃗
(𝑣⃗ + 𝑣⃗ ) =
𝐸⃗ + [(𝑣⃗ + 𝑣⃗ ) × 𝛺]
d𝑡
𝑚
( b)
учтём, что
𝑒
𝑒
𝐸⃗ × 𝐵⃗
𝑒
⃗ =
𝐸⃗ + [𝑣⃗ × 𝛺]
𝐸⃗ +
× 𝐵⃗ =
𝐸⃗ − 𝐸⃗
𝑚
𝑚
𝐵
𝑚
=
𝑒
𝐸⃗ .
𝑚 ‖
⃗
В итоге получим
d𝑣⃗
𝑒
⃗
=
𝐸⃗ + [𝑣⃗ × 𝛺].
d𝑡
𝑚 ‖
Физика плазмы
( )
/
𝑎⃗ × 𝑏⃗ × 𝑐⃗ = 𝑏⃗ (𝑎⃗ ⋅ 𝑐)
⃗ − 𝑐⃗ 𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗
𝐸⃗ = 𝐵⃗ × 𝐸⃗ × 𝐵⃗ /𝐵
⃗
= 𝐸⃗ 𝐵⃗ ⋅ 𝐵⃗ /𝐵 − 𝐸⃗ ⋅ 𝐵⃗ 𝐵/𝐵
= 𝐸⃗ − 𝐸⃗ ‖
⃗
𝐸⃗ ‖ = 𝐸⃗ ⋅ 𝐵⃗ 𝐵/𝐵
.
Физика плазмы
/
Распишем полученное уравнение
d𝑣⃗
𝑒
⃗
=
𝐸⃗ + [𝑣⃗ × 𝛺],
d𝑡
𝑚 ‖
в проекциях на оси координат:
𝑣̇ =
𝛺𝑣 ,
( a)
𝑣̇ = −𝛺 𝑣 ,
𝑒
𝑣̇ =
𝐸 .
𝑚 ‖
( b)
( c)
Уравнение ( c) описывает равноускоренное движение вдоль
⃗
поля 𝐵:
𝑣 = 𝑣‖ +
𝑒
𝐸 𝑡,
𝑚 ‖
𝑧 = 𝑧 + 𝑣‖ 𝑡 +
Физика плазмы
𝑒
𝐸 𝑡 .
2𝑚 ‖
( )
/
Другие два уравнения ( ) описывают движение со скоростью
𝑣 =
𝑣 +𝑣
= const
по окружности радиуса
𝜌 =
𝑣
= const,
𝛺
замкнутой в плоскости (𝑥 , 𝑦 ), т.е. в движущейся системе
остчёта; их решение получается из формул для случая 𝐸⃗ = 0 при
помощи очевидных переобозначений. Ускорение под действием
электрического поля 𝐸‖ вдоль оси 𝑧 «разматывает» эту
окружность в спираль с постепенно увеличивающимся шагом.
Физика плазмы
/
В исходной системе отсчёта центр спирали (ведущий центр)
смещается со скоростью поперёк магнитной силовой линии.
𝑣⃗ = 𝑐
⃗
[𝐸⃗ × 𝐵]
= 𝑐𝐸 /𝐵, −𝑐𝐸 /𝐵, 0 .
𝐵
–
y
электрон
E
x
+
B
z
ион
Figure: Дрейф частиц в скрещенных электрическом и магнитном полях.
Скорость электрического дрейфа 𝑣⃗ не зависит от параметров частицы
(почему?). В квазинейтральной плазме электрический дрейф не
создаёт электрический ток.
Физика плазмы
/
Так как ведущий центр — воображаемый, а не реальный объект,
⃗
в научной литературе встречаются разные определения 𝑅.
В исходной системе отсчёта мы использовали определение
𝜌⃗ = −
1
⃗
[𝑣⃗ × ℎ],
𝛺
𝑅⃗ = 𝑟⃗ − 𝜌.
⃗
( )
Если же привязать ларморовский радиус к скорости частицы в
движущейся системе отсчёта, получим
𝜌⃗ = −
1
⃗
[𝑣⃗ × ℎ],
𝛺
𝑅⃗ = 𝑟⃗ − 𝜌⃗ .
( )
Существенно, что
𝜌 = const,
𝜌 ≠ const .
Так как 𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑣⃗ , имеем
𝜌⃗ = 𝜌⃗ −
1
[ℎ⃗ × 𝑣⃗ ],
𝛺
𝑅⃗ = 𝑅⃗ +
Физика плазмы
1
[ℎ⃗ × 𝑣⃗ ].
𝛺
/
Figure: В скрещенных электрическом и магнитном полях заряженная
частица (красная точка) движется по ларморовской спирали, а ведущий
центр (синяя точка) равномерно смещается в направлении вектора
⃗ В зависимости от способа определения ведущего центра
[𝐸⃗ × 𝐵].
мгновенный радиус 𝜌 (красная стрелка) ларморовской окружности
Физика плазмы
/
(красная окружность) в один и тот же момент времени может иметь
разную длину. На рисунке слева ларморовский радиус осциллирует с
циклотронной частотой, а ларморовская окружность описывает
гофрированную поверхность. На рисунке справа 𝜌 = const и
ларморовская окружность заметает прямой цилиндр. Слева
использовано определение ведущего центра 𝑅⃗ = 𝑟⃗ − 𝜌,
⃗ «естественное»
для лабораторной системы отсчёта, а справа — определение
𝑅⃗ = 𝑟⃗ − 𝜌⃗ , «естественное» для сопутствующей системы отсчёта.
Далее мы выбираем вариант 𝑅⃗ = 𝑟⃗ − 𝜌⃗ , но опускаем штрих « ».
Физика плазмы
/
Далее…
Движение в однородном магнитном поле
Электрический дрейф
Дрейф под действием малой силы
Гравитационный дрейф
Дрейф в неоднородном электрическом поле
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
⃗
Сделав замену 𝐸⃗ → 𝐹/𝑒,
найдём скорость дрейфа, вызванного
⃗
силой 𝐹 иного происхождения:
𝑣⃗ =
⃗
𝑐 [𝐹⃗ × 𝐵]
.
𝑒 𝐵
( )
Эту формулу вывел шведский учёный Ханнес Альфвен (Hannes
Alfvén,
). Если поле силы 𝐹⃗ неоднородно, она получается
путём усреднения точного уравнения движения
𝑚
d𝑣⃗
𝑒
⃗
= 𝐹⃗ + [𝑣⃗ × 𝐵]
d𝑡
𝑐
по периоду циклотронного вращения вдоль траектории частицы.
Физика плазмы
/
⃗ тогда
Пусть 𝐹⃗ ⊥ 𝐵,
𝑚
d𝑣⃗
𝑒
⃗ + [𝑣⃗ × 𝐵]
⃗
= ⟨𝐹⟩
d𝑡
𝑐
𝑒
⃗ + [𝑣⃗ × 𝐵].
⃗
0 = ⟨𝐹⟩
𝑐
После векторного умножения на 𝐵⃗ отсюда получается формула
𝑣⃗ =
⃗ × 𝐵]
⃗
𝑐 [⟨𝐹⟩
,
𝑒
𝐵
( )
⃗ обозначает среднюю за период циклотронного вращения
где ⟨𝐹⟩
⃗ , действующую на частицу в направлении,
силу ⟨𝐹⟩
перпендикулярном магнитному полю. Проекция силы 𝐹⃗‖ ,
которая действует вдоль направления магнитного поля, даёт
нулевой вклад в скорость дрейфа. Однако эта проекция
вызывает постоянное продольное ускорение, приводя к
изменению скорости движения 𝑣‖ вдоль магнитной силовой
линии, как при наличии продольного электрического поля 𝐸⃗ ‖ .
Физика плазмы
/
⃗ ≪ |(𝑒/𝑐)[𝑣⃗ × 𝐵]|,
⃗ нетривиальную задачу усреднения 𝐹⃗
Если |𝐹|
по истинной траектории движения можно приближённо
заменить усреднением по невозмущённой траектории, по
которой частица двигалась бы в однородном магнитном поле
при 𝐹⃗ = 0. Это наблюдение даёт простой рецепт вычисления
скорости дрейфа, который в дальнейшем будет неоднократно
использован.
⃗ 𝑅⃗ + 𝜌)
⃗ 𝑅)
⃗ + (𝜌⃗ ⋅ ∇)𝐹(
⃗ 𝑅)
⃗ + …,
𝐹(
⃗ = 𝐹(
⃗ 𝑟)⟩
⃗ 𝑅).
⃗
⟨𝐹(
⃗ = 𝐹(
Это же правило усреднения применимо к электрическому полю
𝐸⃗ и вообще к любой функции координат частицы.
Физика плазмы
/
Далее…
Движение в однородном магнитном поле
Электрический дрейф
Дрейф под действием малой силы
Гравитационный дрейф
Дрейф в неоднородном электрическом поле
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Дрейф в поле силы тяжести 𝑚𝑔:
⃗
⃗
𝑚𝑐 [𝑔⃗ × 𝐵]
.
𝑒
𝐵
g
электрон
( )
.B
ион
+
𝑣⃗ =
–
j
Figure: В поле силы тяжести электроны и ионы дрейфуют в
противоположные стороны, создавая электрический ток 𝑗⃗ в
⃗ Ток электронов мал по сравнению с
направлении вектора [𝑔⃗ × 𝐵].
током ионов.
Физика плазмы
/
Далее…
Движение в однородном магнитном поле
Электрический дрейф
Дрейф под действием малой силы
Гравитационный дрейф
Дрейф в неоднородном электрическом поле
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Пусть магнитное поле по-прежнему однородно и постоянно, а
электрическое — слабо неоднородно, лишь незначительно
изменяясь на длине порядка радиуса ларморовской орбиты.
𝑣⃗ = 𝑐
⃗ =
⟨𝐸⟩
1
2𝜋
⃗ × 𝐵]
⃗
[⟨𝐸⟩
.
𝐵
( )
⃗ 𝑅⃗ + 𝜌(𝜓)).
d𝜓 𝐸(
⃗
𝜕
𝜕
⃗ 𝑅)
⃗ +𝜌
⃗ 𝑅)
⃗
𝐸(
𝐸(
𝜕𝑋
𝜕𝑌
1
𝜕
1
𝜕
𝜕
⃗ 𝑅)
⃗ + 𝜌
⃗ 𝑅)
⃗ +𝜌 𝜌
⃗ 𝑅)
⃗ + ….
+ 𝜌
𝐸(
𝐸(
𝐸(
2 𝜕𝑋
2 𝜕𝑌
𝜕𝑋𝜕𝑌
⃗ 𝑅⃗ + 𝜌)
⃗ 𝑅)
⃗ +𝜌
𝐸(
⃗ = 𝐸(
Физика плазмы
/
Учтём, что ⟨𝜌 ⟩ = ⟨𝜌 ⟩ = 0, ⟨𝜌 ⟩ = ⟨𝜌 ⟩ = 𝜌 /2, ⟨𝜌 𝜌 ⟩ = 0:
⃗ = 𝐸(
⃗ 𝑅)
⃗ + 𝜌 ∇ 𝐸(
⃗ 𝑅),
⃗
⟨𝐸⟩
где
∇ =
𝜕
𝜕
+
.
𝜕𝑋
𝜕𝑌
Следовательно,
𝑣⃗ =
𝑐
𝐵
𝐸⃗ + 𝜌 ∇ 𝐸⃗ × 𝐵⃗ .
( )
Второй член в круглых скобках описывает эффект КЛР — эффект
конечного ларморовского радиуса частицы. Благодаря ему 𝑣⃗
различна для электронов и ионов. Поэтому неоднородное
электрическое поле создаёт электрический ток, который
приводит к разделение зарядов и существенным образом влияет
на устойчивость плазмы.
Физика плазмы
/
Далее…
Движение в однородном магнитном поле
Электрический дрейф
Дрейф под действием малой силы
Гравитационный дрейф
Дрейф в неоднородном электрическом поле
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Оценить скорость гравитационного дрейфа иона в
магнитном поле Гс (поле Земли ̃. - . Гс).
.
( . н.н.) При каких условиях скорость электрического
дрейфа мала по сравнению с тепловой скоростью частиц
плазмы? Для оценки принять, что плазма имеет форму
цилиндра с радиусом 𝑎 и заряжена до потенциала порядка
температуры плазмы, 𝜑 ∼ 𝑇/𝑒.
.
( . н.н.) Найти скорость дрейфа заряженной частицы в
однородном постоянном магнитном поле и однородном,
медленно меняющемся электрическом поле, выполнив
приближённое интегрирование уравнений движения.
.
( . н.н.) Найти магнитное поле системы коаксиальных
катушек по заданному полю 𝐵 (𝑧) на оси системы. Найти
форму силовой линии.
.
( . н.н.) Вычислить скалярный потенциал магнитного поля с
прямой осью.
Номера задач указаны по книге «Лекции по физике плазмы».
Физика плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
октября
г.
Лекция
Магнитные дрейфы
Градиентный дрейф
Центробежный дрейф
Поляризационный дрейф
Скорость движения ведущего центра
Физика плазмы
/
Продолжая анализ движения заряженных частиц в
электромагнитном поле, обратимся теперь к реальной ситуации,
когда магнитное поле слабо неоднородно и медленно меняется
во времени. Малость параметров
𝜌/ℓ ≪ 1
и
2𝜋/𝛺𝜏 ≪ 1
позволяет выделить медленное дрейфовое движение частицы
на фоне быстрого циклотронного вращения и вычислить скорость
дрейфового движения. Ввиду всё той же малости различные
виды дрейфов, вызванные разными видами неоднородности
или нестационарности магнитного и электрического полей,
можно анализировать по отдельности, полагая, что суммарный
эффект подчиняется приближённому принципу суперпозиции.
Физика плазмы
/
Далее…
Градиентный дрейф
Центробежный дрейф
Поляризационный дрейф
Скорость движения ведущего центра
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
+
ион
y
ÑB
x
–
B
электрон
z
Figure: Градиентный дрейф частиц в неоднородном магнитном поле.
Электроны и ионы дрейфуют в противоположные стороны, создавая
электрический ток в направлении вектора [𝐵⃗ × ∇𝐵]; при заданной
энергии частиц величина тока не зависит от их массы.
𝑣∇ ∼ 𝑣 ×
𝜌
|∇𝐵|
∼𝑣 𝜌
ℓ
𝐵
/ℓ
Физика плазмы
/
Пусть
𝐸⃗ = 0,
𝐵⃗ = 𝐵(𝑦)𝑧.̂
Вычислим скорость градиентного дрейфа, усреднив силу
Лоренца
𝐹⃗ =
𝑒
𝑣⃗ × 𝐵⃗
𝑐
⃗ в
по траектории частицы и подставив результат усреднения ⟨𝐹⟩
формулу Альфвена
𝑣⃗ =
⃗ × 𝐵]
⃗
𝑐 [⟨𝐹⟩
.
𝑒
𝐵
Физика плазмы
/
𝑣 =
𝑣 cos(𝛺𝑡),
𝑥 = 𝑋 + 𝜌 sin(𝛺𝑡),
𝑣 = −𝑣 sin(𝛺𝑡),
𝑦 = 𝑌 + 𝜌 cos(𝛺𝑡).
𝐵(𝑦) ≈ 𝐵(𝑌) + (𝑦 − 𝑌)
𝐹 =
𝜕
𝐵(𝑌),
𝜕𝑌
𝑒
𝑒
𝜕𝐵
𝑣 𝐵(𝑦) ≈ − 𝑣 sin(𝛺𝑡) 𝐵(𝑌) + 𝜌 cos(𝛺𝑡)
,
𝑐
𝑐
𝜕𝑌
⟨𝐹 ⟩ = 0.
𝑒
𝑒
𝜕𝐵
𝐹 = − 𝑣 𝐵(𝑦) ≈ − 𝑣 cos(𝛺𝑡) 𝐵(𝑌) + 𝜌 cos(𝛺𝑡)
𝑐
𝑐
𝜕𝑌
𝑒
𝜕𝐵
⟨𝐹 ⟩ = − 𝑣 𝜌
.
2𝑐
𝜕𝑌
Физика плазмы
/
Похожее выражение получилось бы для ⟨𝐹 ⟩ при наличии
градиента 𝐵 вдоль оси 𝑥. Следовательно,
⃗ =−
⟨𝐹⟩
𝑒
𝑚𝑣
𝑣 𝜌∇ 𝐵 = −
∇ 𝐵.
2𝑐
2𝐵
()
Подставляя эту силу в формулу
𝑣⃗ =
⃗ × 𝐵]
⃗
⃗ × 𝐵]
⃗
𝑐 [⟨𝐹⟩
𝑐 [⟨𝐹⟩
=
,
𝑒
𝐵
𝑒
𝐵
получим скорость градиентного дрейфа:
𝑣⃗∇ =
𝑣
∇𝐵
ℎ⃗ ×
.
2𝛺
𝐵
( )
Здесь и далее все величины, зависящие от координат,
⃗
вычисляются в точке ведущего центра, 𝛺 = 𝑒𝐵/𝑚𝑐, а ℎ⃗ = 𝐵/𝐵
обозначает единичный вектор в направлении магнитного поля.
Физика плазмы
/
𝑣⃗∇ =
𝑣
∇𝐵
ℎ⃗ ×
.
2𝛺
𝐵
( )
Эту формулу получил Х. Альфвен (Hannes Alfvén) в
году.
Так как знак циклотронной частоты 𝛺 = 𝑒𝐵/𝑚𝑐 определяется
знаком заряда, электроны и ионы в неоднородном магнитном
поле дрейфуют в противоположных направлениях. Поскольку
отношение
𝑣
2𝜀 /𝑚
=
𝛺
𝑒𝐵/𝑚𝑐
не зависит от массы частицы при заданной энергии 𝜀 = 𝑚𝑣 ,
скорости дрейфа электрона и иона равны по абсолютной
величине, если равны их энергии.
Физика плазмы
/
Далее…
Градиентный дрейф
Центробежный дрейф
Поляризационный дрейф
Скорость движения ведущего центра
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Учтём теперь, что линии магнитного поля могут быть изогнуты и
что магнитное и электрическое поля могут изменяться во
времени. Все эти эффекты можно учесть единым способом, если
перейти в систему отсчёта, сопутствующую ведущему центру. В
нулевом порядке дрейфовой теории она движется относительно
неподвижной системы отсчёта со скоростью
𝑢⃗ = 𝑣‖ ℎ⃗ + 𝑣⃗ .
( )
В системе отсчёта, движущейся ускоренно, на частицу действует
сила инерции
d𝑢⃗
𝐹⃗ = −𝑚 ,
( )
d𝑡
которая инициирует дрейфовое движение со скоростью
𝑣⃗in =
⃗
𝑐 [𝐹⃗ × 𝐵]
ℎ⃗
d𝑢⃗
=
×
𝑒 𝐵
𝛺 d𝑡
( )
(𝛺 = 𝑒𝐵/𝑚𝑐).
Физика плазмы
/
d𝑢⃗
𝜕𝑢⃗
=
+ (𝑢⃗ ⋅ ∇)𝑢.
⃗
d𝑡
𝜕𝑡
Первое слагаемое связывают со скоростью поляризационного
дрейфа:
ℎ⃗
𝜕𝑢⃗
𝑣⃗pol =
×
.
( )
𝛺 𝜕𝑡
Второе слагаемое отвечает за центробежный дрейф:
𝑣⃗cf =
ℎ⃗
× (𝑢⃗ ⋅ ∇) 𝑢⃗ .
𝛺
( )
Сосредоточимся на анализе этого слагаемого.
Физика плазмы
/
𝑢⃗ = 𝑣‖ ℎ⃗ + 𝑣⃗ ⇒ 𝑣⃗cf =
ℎ⃗
× (𝑢⃗ ⋅ ∇) 𝑢⃗ .
𝛺
ℎ⃗
× (𝑣‖ ℎ⃗ ⋅ ∇)𝑣‖ ℎ⃗ + (𝑣⃗ ⋅ ∇)𝑣‖ ℎ⃗ + (𝑣‖ ℎ⃗ ⋅ ∇)𝑣⃗ + (𝑣⃗ ⋅ ∇)𝑣⃗
𝛺
.
В случае 𝑣 ≪ 𝑣 достаточно оставить только первое слагаемое.
Оно также упрощается:
𝑣‖
ℎ⃗
× (𝑣‖ ℎ⃗ ⋅ ∇)𝑣‖ ℎ⃗ =
ℎ⃗ × (ℎ⃗ ⋅ ∇)𝑣‖ ℎ⃗
𝛺
𝛺
=
𝑣‖
𝑣‖
𝑣‖
ℎ⃗ × ℎ⃗ (ℎ⃗ ⋅ ∇)𝑣‖ +
ℎ⃗ × 𝑣‖ (ℎ⃗ ⋅ ∇)ℎ⃗ =
ℎ⃗ × (ℎ⃗ ⋅ ∇)ℎ⃗ .
𝛺
𝛺
𝛺
Физика плазмы
/
В результате получаем формулу
𝑣⃗cf =
𝑣‖
𝛺
[ℎ⃗ × 𝜘],
⃗
( )
где введено обозначение
𝜘⃗ = (ℎ⃗ ⋅ ∇)ℎ⃗ =
𝜕ℎ⃗
𝑛⃗
=
𝜕𝑠
ℛ
( )
для вектора кривизны магнитной силовой линии.
Физика плазмы
/
h(s)
Fcf
ϰ
dθ
h(s+ds)
n
ℛ
h
dh
h+dh
dθ
Figure: На заряженную частицу, двигающуюся вдоль искривлённой
магнитной силовой линии, действует центробежная сила 𝐹⃗cf . Она
⃗
направлена против вектора кривизны 𝜘⃗ = 𝜕ℎ/𝜕𝑠,
где ℎ⃗ — вектор,
касательный силовой линии в каждой её точке, а 𝑠 — координата вдоль
силовой линии, отмеряющая её длину. Справа: результат
⃗
⃗ dℎ⃗ = ℎ(𝑠+
⃗
параллельного переноса векторов ℎ⃗ = ℎ(𝑠)
и ℎ+
d𝑠) в одну
точку.
Физика плазмы
/
Рассмотрим элемент окружности радиуса ℛ, опирающийся на
⃗ поскольку
малый угол d𝜃. Изменение dℎ⃗ перпендикулярно ℎ,
⃗ = |ℎ⃗ + dℎ|
⃗ = 1,
|ℎ|
⃗ =
|ℎ⃗ + dℎ|
⃗ ≈
(ℎ⃗ + dℎ)
⃗ ≈ 1 + (ℎ⃗ ⋅ dℎ)
⃗
ℎ + 2(ℎ⃗ ⋅ dℎ)
⃗ = 0.
и, следовательно, (ℎ⃗ ⋅ dℎ)
С той же точностью
⃗ ≈ |ℎ|
⃗ d𝜃 = d𝜃,
|dℎ|
d𝑠 = ℛ d𝜃,
т. е.
⃗
|𝜕ℎ/𝜕𝑠|
= 1/ℛ.
Физика плазмы
/
Своим происхождением центробежный дрейф обязан
одноимённой силе
𝐹⃗cf = −
𝑚𝑣‖
ℛ
𝑛.
⃗
( )
В свою очередь, центробежная сила есть частный случай силы
инерции
d𝑢⃗
𝐹⃗ = −𝑚 .
d𝑡
Соответственно, скорость
𝑣⃗in =
ℎ⃗
d𝑢⃗
×
𝛺 d𝑡
можно было бы назвать скоростью инерционного дрейфа.
Однако это название не является общепринятым. Только
упрощённую формулу ( ) без сомнения соотносят со скоростью
центробежного дрейфа.
Физика плазмы
/
Далее…
Градиентный дрейф
Центробежный дрейф
Поляризационный дрейф
Скорость движения ведущего центра
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
𝑢⃗ = 𝑣‖ ℎ⃗ + 𝑣⃗ ⇒ 𝑣⃗pol =
𝑣⃗pol =
ℎ⃗
𝜕𝑢⃗
×
,
𝛺 𝜕𝑡
𝜕𝑣‖ ℎ⃗
ℎ⃗
ℎ⃗
𝜕𝑣⃗
×
+
×
𝛺
𝜕𝑡
𝛺
𝜕𝑡
.
( )
Первое слагаемое:
ℎ⃗
𝜕
ℎ⃗
𝜕 𝑣‖
ℎ⃗
𝜕 𝑣‖ 𝑣‖ ℎ⃗
𝜕𝐵⃗
× 𝑣‖ ℎ⃗ =
×
𝐵⃗ =
× 𝐵⃗
+
×
=
𝛺 𝜕𝑡
𝛺 𝜕𝑡 𝐵
𝛺
𝜕𝑡 𝐵 𝐵 𝛺
𝜕𝑡
=
𝑣‖ ℎ⃗
𝑣‖ 𝑐
𝜕𝐵⃗
×
=−
ℎ⃗ × rot 𝐸⃗ .
𝐵 𝛺
𝜕𝑡
𝛺𝐵
Это слагаемое мало, если электрическое поле потенциально, т.е.
rot 𝐸⃗ = 0. Но и в вихревом поле это слагаемое мало, если
⃗
топология магнитного поля не меняется, т. е. ℎ⃗ × (𝜕ℎ/𝜕𝑡)
= 0.
Так или иначе, при рассмотрении поляризационного дрейфа
этим слагаемым обычно пренебрегают по сравнению со вторым.
Физика плазмы
/
𝑣⃗pol =
𝜕𝑣‖ ℎ⃗
ℎ⃗
ℎ⃗
𝜕𝑣⃗
×
+
×
𝛺
𝜕𝑡
𝛺
𝜕𝑡
.
пренебрегаем
При вычислении производной во втором слагаемом можно
⃗ так как
дифференцировать только электрическое поле 𝐸,
дифференцирование магнитного поля даст члены, квадратичные
по малому отношению 𝐸/𝐵:
⃗
⃗
𝜕𝑣⃗
𝜕 [𝐸⃗ × 𝐵]
𝜕 [𝐸⃗ × ℎ]
𝑐 𝜕𝐸⃗
=
𝑐
=
𝑐
≈
× ℎ⃗ .
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝐵
𝜕𝑡
𝐵
𝐵 𝜕𝑡
В результате получаем упрощённую формулу:
𝑣⃗pol =
𝑐
𝜕𝐸⃗
ℎ⃗ ×
× ℎ⃗
𝛺𝐵
𝜕𝑡
Физика плазмы
=
𝑐 𝜕𝐸⃗
.
𝛺𝐵 𝜕𝑡
( )
/
𝑣⃗pol =
𝑐
𝜕𝐸⃗
ℎ⃗ ×
× ℎ⃗
𝛺𝐵
𝜕𝑡
=
𝑐 𝜕𝐸⃗
.
𝛺𝐵 𝜕𝑡
В медленно меняющемся поле 𝑣pol ≪ 𝑣 , но 𝑣pol ≪ 𝑣 (в отличие
от 𝑣 ) зависит от массы и заряда частицы. Поэтому в
переменном электрическом поле ионы и электроны дрейфуют с
разной скоростью.
В отличие от диэлектриков, в плазме нельзя создать постоянную
поляризацию, так как плазма является проводником и
поляризационные заряды за конечное время релаксируют.
Однако в переменном электрическом поле 𝐸⃗ возникает
переменный поляризационный ток, преимущественно
вызванный инерцией ионов, который вызывает реальную
поляризацию плазмы.
Физика плазмы
/
Figure: Электрический и поляризационный дрейфы: 𝐵⃗ = 𝐵𝑧,̂
𝐸⃗ = (1 + 𝑡/𝜏) 𝐸 𝑦.̂ Ведущие центры иона (синий кружок) и электрона
(чёрная точка) дрейфуют с одинаковой скоростью 𝑣 = 𝑐𝐸 /𝐵 вдоль
оси 𝑥, но с разной скоростью вдоль оси 𝑦. Ларморовский радиус
электрона при одинаковой энергии электрона и иона неразличим в
масштабе рисунка. Так ⟨𝜌⃗ ⟩ = 0, ⟨𝑟⟩
⃗ = ⟨𝑅⃗ ⟩ + ⟨𝜌⃗ ⟩ = 𝑅⃗ .
Физика плазмы
/
Далее…
Градиентный дрейф
Центробежный дрейф
Поляризационный дрейф
Скорость движения ведущего центра
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Скорость движения ведущего центра поперёк магнитного поля
есть сумма скоростей всех рассмотренных дрейфов:
d𝑅⃗
= 𝑣⃗ + 𝑣⃗∇ + 𝑣⃗cf + 𝑣⃗pol .
d𝑡
( )
Общее выражение заметно упрощается в практически важном
случае, когда и магнитное, и электрическое поля стационарны
(не зависят от времени). Тогда
𝑣‖
d𝑅⃗
𝑐
𝑣
∇𝐵
⃗ +
=
[𝐸⃗ × 𝐵]
ℎ⃗ ×
+
[ℎ⃗ × 𝜘].
⃗
d𝑡
𝐵
2𝛺
𝐵
𝛺
( )
Искривленное магнитное поле почти всегда оказывается
неоднородным, поэтому к центробежному дрейфу (последнее
слагаемое) всегда примешивается градиентный дрейф
(предпоследнее слагаемое). Покажем, что в потенциальном
магнитном поле направления этих дрейфов совпадают.
Физика плазмы
/
Пусть магнитное поле потенциально (вакуумное поле), т.е.
rot 𝐵⃗ = 0.
Используем равенства
⃗ =∇
[ℎ⃗ × rot ℎ]
rot ℎ⃗ = rot
ℎ
−(ℎ⃗ ⋅ ∇)ℎ⃗ = −𝜘,
⃗
2
𝐵⃗
1
1
∇𝐵
=
rot 𝐵⃗ + ∇ × 𝐵⃗ = −
× ℎ⃗ ,
𝐵
𝐵
𝐵
𝐵
поэтому
⃗ = ℎ⃗ ×
𝜘⃗ = −[ℎ⃗ × rot ℎ]
∇𝐵
× ℎ⃗
𝐵
=
∇𝐵
∇𝐵
− ℎ⃗ ℎ⃗ ⋅
.
𝐵
𝐵
Следовательно,
[ℎ⃗ × 𝜘]
⃗ = ℎ⃗ ×
Физика плазмы
∇𝐵
.
𝐵
/
В итоге градиентный и центробежный дрейфы объединяются в
единый блок:
𝑣⃗∇ + 𝑣⃗cf =
𝑣‖
2𝑣‖ + 𝑣
𝑣
∇𝐵
ℎ⃗ ×
+
[ℎ⃗ × 𝜘]
⃗ =
2𝛺
𝐵
𝛺
2𝛺
ℎ⃗ ×
∇𝐵
.
𝐵
( )
Вероятно, первым эту формулу получил Г. И. Будкер в
году.
Она часто используется при расчёте траекторий движения
заряженных частиц в установках для магнитного удержания
плазмы.
Физика плазмы
/
Далее…
Градиентный дрейф
Центробежный дрейф
Поляризационный дрейф
Скорость движения ведущего центра
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Задачи для семинара I
.
( . н.н.), Найти силу, действующую на заряженную частицу
в системе отсчёта ведущего центра.
Действие малой силы на релятивистскую частицу (без
электрического дрейфа, похоже на задачи . и . ).
.
.
( . н.н.): Найти скорость градиентного и центробежного
дрейфов релятивистской частицы.
( . н.н.) Исследовать форму дрейфовых траекторий в
токамаке.
Дрейф частиц в токамаке при 𝐵 = 0, траектория
ларморовского центра в случае, когда 𝐵 создаётся
продольным током с плотностью 𝑗 = const.
Физика плазмы
/
Задачи для семинара II
.
( . н.н.) За какое время протон с энергией 5 кэВ совершит
полный оборот вокруг Земли, если он стартует из
экваториальной плоскости, его скорость вдоль магнитного
поля равна нулю, а расстояние до центра Земли составляет
20 000 км. Считать, что магнитное поле создаётся диполем с
величиной 7,8×10 Гс × м , который расположен в центре
Земли.
Номера задач указаны по книге «Лекции по физике плазмы».
Физика плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
октября
г.
Лекция
Адиабатические инварианты
Магнитный момент
Первый адиабатический инвариант
Система уравнений ведущего центра
Траектории частиц в пробкотроне
Иерархия адиабатических инвариантов
Физика плазмы
/
Далее…
Магнитный момент
Первый адиабатический инвариант
Система уравнений ведущего центра
Магнитные пробки
Адиабатические ловушки
Второй адиабатический инвариант
Третий адиабатический инвариант
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
I
µ
B
Ларморовская окружность образует
замкнутый виток с током в системе
отсчёта ведущего центра. Такой виток
обладает магнитным моментом
𝜇⃗ = −
𝐼=
𝑒𝛺
,
2𝜋
𝑆 = 𝜋𝜌 = 𝜋
⃗
𝜇⃗ = −𝜇 ℎ,
𝜇=
𝑣
,
𝛺
𝑚𝑣
.
2𝐵
Физика плазмы
𝑆𝐼 𝐵⃗
,
𝑐 𝐵
𝛺=
ℎ⃗ =
𝑒𝐵
.
𝑚𝑐
𝐵⃗
.
𝐵
()
/
⃗
𝜇⃗ = −𝜇 ℎ,
𝜇=
𝑚𝑣
.
2𝐵
Длину вектора магнитного момента 𝜇, а не вектор 𝜇⃗ чаще всего
называют орбитальным магнитным моментом заряженной
частицы в магнитном поле.
В релятивистском случае
𝜇 = 𝛾𝜇.
Учёт релятивистских эффектов в лабораторной плазме, как
правило, избыточен. Однако он поможет нам уточнить
физический смысл первого адиабатического инварианта.
Физика плазмы
/
Далее…
Магнитный момент
Первый адиабатический инвариант
Система уравнений ведущего центра
Магнитные пробки
Адиабатические ловушки
Второй адиабатический инвариант
Третий адиабатический инвариант
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Поток магнитного поля
𝛷 = 𝜋𝜌 𝐵
( )
через площадь ларморовской окружности в сопутствующей
системе отсчёта ведущего центра является адиабатическим
инвариантом.
Сохранение 𝛷 следует из закона электромагнитной индукции
Фарадея и закона Ома.
1 d𝛷
,
𝑐 d𝑡
ℰ = 𝑅𝐼.
ℰ=−
Движение заряженной частицы по замкнутой ларморовской
окружности под действием одной только силы Лоренца означает
𝑅 = 0. Следовательно,
d𝛷
= 0.
d𝑡
Физика плазмы
/
Адиабатическими инвариантами вообще являются интегралы
𝐽 =
1
2𝜋
𝑝 d𝑞 ,
( )
взятые по периоду изменения циклической координаты 𝑞 ,
которой в невозмущённой системе соответствует периодическое
движение. Существует общая теорема механики, которая
утверждает, что величина 𝐽 будет приближённым интегралом
движения при наличии малых возмущений, если 𝑝 есть импульс,
канонически сопряжённый циклической координате 𝑞 .
Невозмущённую систему в данном случае образует однородные
⃗ а периодическим (циклическим)
и постоянные поля 𝐵⃗ и 𝐸,
является движение заряженной частицы в системе отсчёта
ведущего центра, двигающейся со скоростью 𝑢⃗ = 𝑣‖ ℎ⃗ + 𝑣⃗
относительно исходной системы отсчёта.
Физика плазмы
/
Следовательно, адиабатическим инвариантом является интеграл
𝐽 =
1
2𝜋
𝑃⃗ ⋅ d𝑟⃗
𝑒
𝑃⃗ = 𝛾𝑚𝑣⃗ + 𝐴⃗ ,
𝑐
,
( )
взятый по периоду движения в системе отсчёта ведущего центра
частицы, где частица вращается в плоскости, перпендикулярной
магнитному полю.
𝐽 =
1
2𝜋
1
=
2𝜋
𝛾𝑚 (𝑣⃗ ⋅ d𝑟⃗ ) +
/| |
𝛾𝑚𝑣 d𝑡 +
𝑒
2𝜋𝑐
𝐴⃗ ⋅ d𝑟⃗
𝑒
2𝜋𝑐
rot 𝐴⃗ ⋅ d𝑆⃗
(
=
𝑚(𝛾𝑣 )
𝑒𝐵⃗
𝛾𝑣
+
⋅𝜋
|𝛺|
2𝜋𝑐
𝛺
=
𝑚(𝛾𝑣 )
.
2|𝛺|
Физика плазмы
−
/ )
𝛺⃗
|𝛺|
/
𝐽 =
𝑚(𝛾𝑣 )
𝛾𝑣
=
2|𝛺|
|𝛺|
𝑚|𝛺|
|𝑒|
=
𝛷
2
2𝜋𝑐
𝛾 𝑚𝑣
𝑚𝑐
=
𝛾 𝜇
2|𝑒|𝐵/𝑚𝑐
|𝑒|
(𝛾𝑚𝑣 )
𝑐 𝑝
=
=
.
2𝑚|𝛺|
2|𝑒| 𝐵
=
Величины
𝛷,
𝛾 𝜇,
𝑝 /𝐵
являются адиабатическими инвариантами. Строго говоря, ни 𝜇,
ни 𝜇 = 𝛾𝜇 не является адиабатическими инвариантами.
Тем не менее говорят, что магнитный момент является
адиабатическим инвариантом, подразумевая нерелятивистский
предел.
Физика плазмы
/
Заметим, что
𝐽 =
1
2𝜋
𝑃 d𝑥,
𝐽 =
1
2𝜋
𝑃 d𝑦
также являются адиабатическими инвариантами, однако они не
несут новой информации, так как 𝐽 = 𝐽 = 𝐽 .
Физика плазмы
/
Далее…
Магнитный момент
Первый адиабатический инвариант
Система уравнений ведущего центра
Магнитные пробки
Адиабатические ловушки
Второй адиабатический инвариант
Третий адиабатический инвариант
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
В нерелятивистском приближении ведущий центр движется со
скоростью
d𝑅⃗
1
𝜕𝑢⃗
= 𝑢⃗ +
ℎ⃗ ×
+ (𝑢⃗ ⋅ ∇)𝑢⃗
d𝑡
𝛺
𝜕𝑡
+
𝑣
∇𝐵
ℎ⃗ ×
,
2𝛺
𝐵
( )
где 𝑢⃗ = 𝑣‖ ℎ⃗ + 𝑣⃗ . В стационарном поле это уравнение
упрощается:
𝑣‖
d𝑅⃗
𝑐
𝑣
∇𝐵
⃗ +
= 𝑣‖ ℎ⃗ +
[𝐸⃗ × 𝐵]
ℎ⃗ ×
+
[ℎ⃗ × 𝜘].
⃗
d𝑡
𝐵
2𝛺
𝐵
𝛺
( )
Помимо этих уравнений, замкнутая система уравнений должна
содержать ещё рецепт вычисления 𝑣 и 𝑣‖ .
Физика плазмы
/
Уравнение для поперечной скорости 𝑣 . В дрейфовом
приближении при нерелятивистских скоростях 𝜇 = 𝑚𝑣 /2𝐵
является интегралом движения, т. е.
d𝜇
= 0.
d𝑡
( )
Отсюда следует, что 𝑣 однозначно выражается через величину
магнитного поля:
𝑣 = 2𝜇𝐵/𝑚 .
( )
Физика плазмы
/
Продольную скорость 𝑣‖ проще всего найти из уравнения для
кинетической энергии частицы
d𝐾
d𝑅⃗
𝜕𝐵
= 𝑒 𝐸⃗ ⋅
+𝜇
,
d𝑡
d𝑡
𝜕𝑡
( )
где кинетическая энергия
𝐾 = 𝑚𝑣‖ + 𝑚𝑣 + 𝑚𝑣
( )
складывается из энергии ведущего центра 𝑚(𝑣‖ + 𝑣 ) и
энергии ларморовского вращения 𝑚𝑣 .
⃗ по
Уравнение ( ) можно вывести путём усреднения (𝑣⃗ ⋅ 𝐸)
ларморовской орбите, но результат почти очевиден: первое
слагаемое в ( ) описывает работу электрического поля над
ведущим центром частицы, а второе слагаемое отвечает работе
вихревого электрического поля по замкнутой ларморовской
окружности.
Физика плазмы
/
Уравнение
d
d𝑡
𝑚𝑣‖ + 𝑚𝑣 + 𝑚𝑣
= 𝑒 𝐸⃗ ⋅
d𝑅⃗
𝜕𝐵
+𝜇
d𝑡
𝜕𝑡
( )
можно переписать в ином виде, выделив из кинетической
энергии последнее слагаемое 𝑚𝑣 = 𝜇𝐵. Так как
d
𝜕𝐵
𝜇𝐵 = 𝜇
+𝜇
d𝑡
𝜕𝑡
d𝑅⃗
⋅ ∇𝐵
d𝑡
уравнение ( ) эквивалентно
d 𝑚𝑣‖ + 𝑚𝑣
d𝑅⃗
= 𝑒 𝐸⃗ − 𝜇 ∇𝐵 ⋅
.
d𝑡
2
d𝑡
Физика плазмы
/
В стационарном поле 𝐸⃗ = −∇𝜑 и
d 𝑚𝑣‖ + 𝑚𝑣
d𝑅⃗
d
(−𝑒 𝜑 − 𝜇 𝐵) .
= 𝑒 𝐸⃗ − 𝜇 ∇𝐵 ⋅
=
d𝑡
2
d𝑡
d𝑡
Следовательно, полная энергия частицы
𝜀 = 𝑚𝑣‖ + 𝑚𝑣 + 𝜇𝐵 + 𝑒𝜑
( )
d𝜀
= 0.
d𝑡
( )
сохраняется, т. е.
Второе слагаемое 𝑚𝑣 в правой части ( ) мало по сравнению
тремя другими, если 𝜌 ≪ 𝑎.
Физика плазмы
/
Далее…
Магнитный момент
Первый адиабатический инвариант
Система уравнений ведущего центра
Магнитные пробки
Адиабатические ловушки
Второй адиабатический инвариант
Третий адиабатический инвариант
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
В неоднородном магнитном поле на магнитный момент
действует сила
⃗
𝐹⃗ = ∇(𝜇⃗ ⋅ 𝐵).
⃗ = 𝐵, а 𝜇 = const,
Так как 𝜇⃗ = −𝜇ℎ⃗ и (ℎ⃗ ⋅ 𝐵)
𝐹⃗ = −𝜇 ∇𝐵.
𝑣⃗ =
( )
⃗
𝑐 [𝐹⃗ × 𝐵]
𝑣
∇𝐵
⇒ 𝑣⃗∇ =
ℎ⃗ ×
.
𝑒 𝐵
2𝛺
𝐵
Такой способ вычисления 𝑣⃗∇ указал Альфвен (Hannes Alfvén). Он
же объяснил, что продольная составляющая этой силы
𝐹‖ = −𝜇
𝜕𝐵
𝜕𝑠
( )
тормозит частицу при движении в направлении более сильного
поля, как показано на рисунке.
Физика плазмы
/
r
z
Figure: Сила Лоренца
перпендикулярна скорости
частицы в каждой точке её
траектории (красная кривая), но в
неоднородном магнитном поле
имеет проекцию на направление
движения ведущего центра
(штриховая линия).
Figure: Типичная траектория
заряженной частицы,
захваченной в магнитное поле
Земли (толстая красная кривая).
Физика плазмы
/
Далее…
Магнитный момент
Первый адиабатический инвариант
Система уравнений ведущего центра
Магнитные пробки
Адиабатические ловушки
Второй адиабатический инвариант
Третий адиабатический инвариант
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Альфвен применял свою теорию к анализу движения
заряженных частиц в дипольном магнитном поле Земли. Он
предположил, что частицы должны отражаться от областей
сильного магнитного поля вблизи магнитных полюсов.
На том же эффекте основан предложенный независимо
Г. И. Будкером и Р. Постом (Richard Post) способ удержания
плазмы в адиабатической ловушке с «магнитными пробками».
Простейший вариант такой ловушки называют пробкотроном.
Физика плазмы
/
(a)
r
z
(б)
B
Bmax
Bmin
z
Figure: Схема пробкотрона.
Заряженные частицы
удерживаются магнитным полем
от разлёта поперёк силовых
линий. Разлёту плазмы вдоль
магнитного поля препятствуют
магнитные пробки — области
сильного магнитного поля, где
силовые линии линии сгущаются.
Форма силовых линий (на
верхнем рисунке) напоминает
бутылку с двумя горлышками.
Она может быть найдена из
условия сохранения магнитного
потока через сечение бутылки
𝜋𝑟 𝐵(𝑧) = const, где 𝐵(𝑧) —
поле на оси ловушки (на нижнем
рисунке).
Физика плазмы
/
Рассмотрим движение ведущего центра частицы в нулевом
приближении по параметру 𝜌/ℓ, т. е. пренебрежём дрейфом.
При 𝐸⃗ = 0 имеем
̇
⃗
𝑅⃗ = 𝑣‖ ℎ,
𝑣 =
𝜀 = 𝑚𝑣 + 𝑚𝑣‖ = const,
2
𝜇𝐵,
𝑚
𝑣‖ =
2
(𝜀 − 𝜇𝐵),
𝑚
𝜇=
𝑣=
𝑚𝑣
= const.
2𝐵
2
𝜀 = const .
𝑚
В точках остановки, где 𝑣‖ = 0,
𝜀 = 𝜇𝐵.
Физика плазмы
/
Если при 𝐵 = 𝐵
на данной магнитной линии 𝑣
𝜇=
𝑚𝑣
𝑚𝑣
=
2𝐵
2𝐵
≡ 𝑣 sin 𝜃 , то
sin 𝜃 .
Следовательно, в точке остановки
𝑚𝑣
𝑚𝑣 sin 𝜃
= 𝜇𝐵 =
𝐵
2
2𝐵
и
𝐵=𝐵
/ sin 𝜃 .
Параметр 𝜃 называют питч-углом. Если 𝐵 / sin 𝜃 > 𝐵
частица беспрепятственно вылетает из ловушки. В ловушке
удерживаются частицы с питч-углом, таким что
sin 𝜃 > 𝐵
/𝐵
Физика плазмы
≡ sin 𝜃lc .
,
( )
/
v^0
vx
v
θ0 θlc
v||0
vy
Figure: Конус потерь в
пространстве скоростей. В
ловушке с магнитными пробками
удерживаются частицы с 𝜃 > 𝜃lc .
vz
Частицы, каким-либо образом
попавшие в конус потерь, быстро
вылетают из ловушки.
Пробочное отношение: 𝐵 /𝐵
определяет область
удержания заряженных частиц в пространстве скоростей.
Конус потерь (loss cone):
𝜃 < 𝜃lc = arcsin 𝐵
/𝐵
.
/𝐵
.
Область удержания:
𝜃 > 𝜃lc = arcsin 𝐵
Физика плазмы
/
Взаимные столкновения частиц приводят к изменению их
питч-угла. Частицы, первоначально находившиеся вне конуса
потерь, в результате столкновений всё-таки туда попадают и
уходят из пробкотрона.
Из-за меньшей массы электроны более подвижны, чаще
испытывают столкновения и быстрее попадают в конус потерь,
чем более тяжёлые ионы. В итоге, плазма в адиабатических
ловушках приобретает положительный потенциал 𝜑 ∼ 𝑇 /𝑒,
который препятствует уходу электронов, уравнивая скорость
потерь электронов и ионов. Этот потенциал называют
амбиполярным. Он служит инструментом поддержания
квазинейтральности плазмы. Положительный амбиполярный
потенциал изменяет форму конуса потерь, сужая его для
электронов и расширяя для ионов.
Физика плазмы
/
Далее…
Магнитный момент
Первый адиабатический инвариант
Система уравнений ведущего центра
Магнитные пробки
Адиабатические ловушки
Второй адиабатический инвариант
Третий адиабатический инвариант
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Figure: В аксиально-симметричном пробкотроне заряженная частица
дрейфует по азимуту. Траектория, доходящая до магнитных пробок,
описывает петлю наподобие восьмёрки, в среднем смещаясь в ту
сторону, куда дрейфует частица, запертая вблизи экватора.
Физика плазмы
/
Сделаем следующий шаг по параметру 𝜌/ℓ и учтём дрейф:
𝑣‖
d𝑅⃗
𝑐
𝑣
∇𝐵
⃗ +
= 𝑣‖ ℎ⃗ +
[𝐸⃗ × 𝐵]
ℎ⃗ ×
+
[ℎ⃗ × 𝜘].
⃗
d𝑡
𝐵
2𝛺
𝐵
𝛺
( )
Траектория ведущего центра покрывает дрейфовую оболочку,
которая в осесимметричном пробкотроне представляет собой
поверхность вращения.
В более сложной геометрии, не обязательно решать дрейфовые
уравнения движения, так как дрейфовая оболочка однозначно
характеризуется постоянными значениями энергии 𝜀, магнитного
момента 𝜇 и продольного адиабатического инварианта
𝐽‖ =
=
1
2𝜋
𝑃‖ d𝑠 =
1
2𝜋
1
𝜋
2𝑚 𝜀 − 𝑒𝜑 − 𝜇𝐵 − 𝑚𝑣
𝑚𝑣‖ d𝑠 +
Физика плазмы
1
2𝜋
𝑒
𝐴 d𝑠
𝑐 ‖
d𝑠
/
Figure: Квадрупольное поле создаётся катушкой типа «baseball»,
размещённой между круглыми катушками. Поверхность, составленная
из магнитных линий, выпущенных из окружности в экваториальной
плоскости ловушки, вблизи магнитных пробок приобретает форму
«рыбьих хвостов».
Физика плазмы
/
𝐽‖ сохраняется, если характерное время изменения 𝜏dr
магнитного или электрического поля, вызванного переходом
частицы на другие силовые линии, велико по сравнению с
периодом продольных колебаний ℓ/𝑣:
𝜏dr ≫ ℓ/𝑣.
Физика плазмы
( )
/
Пусть 𝑥 , 𝑦 — координаты пересечения силовой линии с
экваториальной плоскостью ловушки, а 𝑠 — координата вдоль
силовой линии. Тогда можно записать, что
𝜑 = 𝜑(𝑥 , 𝑦 , 𝑠),
𝐵 = 𝐵(𝑥 , 𝑦 , 𝑠).
Следовательно, уравнение
𝐽‖ = 𝐽‖ (𝜀, 𝜇, 𝑥 , 𝑦 ) = const,
даёт зависимость 𝑦 от 𝑥 для частицы с заданными 𝜀 и 𝜇, т. е.
линию пересечения дрейфовой поверхности с выбранной
плоскостью (𝑥 , 𝑦 ). Дрейфовая поверхность составляется из
силовых линий, выпущенных из всех точек этой линии
пересечения.
Физика плазмы
/
Далее…
Магнитный момент
Первый адиабатический инвариант
Система уравнений ведущего центра
Магнитные пробки
Адиабатические ловушки
Второй адиабатический инвариант
Третий адиабатический инвариант
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Представим, что в предыдущей задаче 𝜑 и 𝐵 медленно меняются
с характерным временем 𝜏 ≫ ℓ/𝑣dr . Тогда сохраняется
магнитный поток через сечение дрейфовой оболочки:
⃗
(𝐵⃗ ⋅ d𝑆).
𝛷dr =
dr
𝛷dr есть 𝜀, 𝜇 и «номера» дрейфовой оболочки, которым служит
величина продольного адиабатического инварианта 𝐽‖ :
𝛷dr = 𝛷dr (𝜀, 𝜇, 𝐽‖ , 𝑡)
При медленном изменении полей адиабатические инварианты
𝜇, 𝐽‖ и 𝛷dr сохраняются, а энергия частицы меняется.
Зависимость энергии от времени 𝜀(𝑡) можно найти из
совместного решения уравнений
𝐽‖ = const,
𝛷dr = const
при заданном начальном значении 𝜇.
Физика плазмы
/
Далее…
Магнитный момент
Первый адиабатический инвариант
Система уравнений ведущего центра
Магнитные пробки
Адиабатические ловушки
Второй адиабатический инвариант
Третий адиабатический инвариант
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Задачи для семинара I
.
( - н.н.) Доказать, что отношение 𝑝 /𝐵 является
адиабатическим инвариантом, выполнив усреднение
уравнений движения частицы в системе отсчёта ведущего
центра.
. ( - н.н.) Найти форму конуса потерь при наличии
амбиполярного потенциала. Для простоты принять, что
потенциал плазмы 𝜑 почти всюду равен 𝜑 > 0 и лишь
непосредственно вблизи магнитных пробок скачком
обращается в нуль. Отдельно рассмотреть удержание
электронов и положительно заряженных ионов.
.
( - н.н.) Найти область абсолютного удержания в
аксиально-симметричном пробкотроне.
Физика плазмы
/
Задачи для семинара II
.
( - н.н.) (Механизм Ферми ускорения космических лучей.)
Протон захвачен в ловушку с пробочным отношением 5. В
начальный момент энергия протона равна 1 кэВ, а питч-угол
в минимуме магнитного поля составляет 45∘ . Магнитные
пробки сближаются со скоростью 10 км/сек. До какой
энергии разгонится протон, прежде чем покинет ловушку?
-
( - н.н.) В пробочное магнитное поле захвачен пучок
заряженных частиц с одинаковым питч-углом. Пучок
отражается в точке, где 𝐵 = 𝐵∗ , а его плотность в минимуме
поля 𝐵 равна 𝑛 . Найти распределение плотности пучка
вдоль силовой линии, определив её зависимость от
величины магнитного поля 𝐵 при 𝐵 < 𝐵 < 𝐵∗ .
Номера задач указаны по книге «Лекции по физике плазмы».
Физика плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
октября
г.
Лекция
Кулоновское рассеяние
Сечение процесса
Длина и частота столкновений
Дифференциальное и транспортное сечение
Рассеяние на кулоновском центре
Приближение далёких пролётов
Кулоновский логарифм
Физика плазмы
/
Все столкновения можно условно разделить на упругие и
неупругие. Первые отличаются от вторых тем, что суммарная
кинетическая энергия сталкивающихся частиц не изменяется.
В рамках классической физики представление об упругих
столкновениях заряженных частиц следовало бы считать
идеализацией реальных явлений, так как любая заряженная
частица, испытывающая ускорение, обязана излучать, теряя
энергию. Квантовая теория вносит существенные поправки в
классическую картину мира, предсказывая, что излучение имеет
вероятностный характер и что только малая доля столкновений
сопровождается излучением фотона, который способен унести
заметную долю кинетической энергии.
Упругие столкновения заряженных частиц называют кулоновским
рассеянием.
Физика плазмы
/
Далее…
Параметры столкновений
Дифференциальное сечение рассеяния
Транспортное сечение
Кулоновский логарифм
Приближение далёких пролётов
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
dx
Figure: Абсолютно неупругое
поглощение частиц в мишени:
пучок частиц с плотностью 𝑛 ,
летящих со скоростью 𝑣, падает
на полупространство 𝑥 > 0,
занятое массивными атомами с
плотностью 𝑛 ; попадая в атом,
частицы «прилипают» к нему.
Изменение плотности пучка d𝑛 за счёт выбывания частиц,
которые «прилипают» к атомам на дифференциально малом
расстоянии d𝑥, пропорционально 𝑛 , 𝑛 и d𝑥. Следовательно,
d𝑛 = −𝜎 𝑛 𝑛 d𝑥,
()
где 𝜎 называется сечением процесса. Знак минус отвечает убыли
числа частиц.
Физика плазмы
/
Решение уравнения ( )
𝑛 =𝑛
exp(−𝑥/𝜆)
описывает экспоненциальное убывание частиц в пучке.
Расстояние
1
𝜆=
𝜎𝑛
( )
называют длиной свободного пробега, а
𝜏 = 𝜆/𝑣
и
𝜈 = 𝑛 𝜎𝑣
( )
называют временем свободного пробега и частотой
столкновений.
В столкновениях одного и того же набора частиц могут
происходит разные явления. Каждому из возможных процессов
сопоставляют своё сечение. Наиболее вероятный процесс имеет
наибольшее сечение.
Физика плазмы
/
Далее…
Параметры столкновений
Дифференциальное сечение рассеяния
Транспортное сечение
Кулоновский логарифм
Приближение далёких пролётов
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
r dθ
r
dS=r dθ´rsinθ dψ
θ
ea
rsinθ
rsinθ dψ
eb
Figure: Дифференциальное
сечение рассеяния на
неподвижном кулоновском
центре. Частицы
налетающего потока,
пересекающие площадку
d𝜎 = d𝑏 × 𝑏 d𝜓, после
рассеяния разлетаются в
телесном угле
d𝛺 = d𝑆/𝑟 = d𝜃 × sin 𝜃 d𝜓.
b+db
b
ψ
dψ
Физика плазмы
/
Пусть поток частиц с зарядом 𝑒 , скоростью 𝑣 и плотностью 𝑛
налетает на неподвижный кулоновский центр с зарядом 𝑒 .
Пусть 𝑏 обозначает прицельный параметр налетающей частицы
(не путать с индексом в обозначениях вида 𝑒 и 𝑛 ). Выделим в
налетающем потоке пучок частиц, пролетающих через
небольшой сегмент в виде сектора тонкого колечка с внутренним
радиусом 𝑏 и внешним радиусом 𝑏 + d𝑏, опирающегося на
азимутальный угол d𝜓. Через площадь этого сегмента
d𝜎 = d𝑏 × 𝑏 d𝜓
( )
в единицу времени пролетает
𝑛 𝑣 d𝜎
частиц.
Физика плазмы
/
Каждая частица отклоняется на угол 𝜃, зависящий от 𝑏 в
соответствии с формулой Резерфорда (Ernest Rutherford,
tg
𝜃
𝑒 𝑒
𝑏∗
=
= ,
2
𝑚𝑣 𝑏
𝑏
):
( )
где параметр
𝑒 𝑒
𝑚𝑣
называют кулоновским радиусом.
𝑏∗ =
( )
d𝜃
d𝑏,
d𝑏
d𝑆 = 𝑟 d𝜃 × 𝑟 sin 𝜃 d𝜓,
d𝜃 =
d𝛺 = d𝑆/𝑟 = sin 𝜃 d𝜃 d𝜓.
Физика плазмы
/
Дифференциальное сечение рассеяния:
d𝜎
𝑏 d𝑏 d𝜓
𝑏 d𝑏
=
=
.
d𝛺
sin 𝜃 d𝜃 d𝜓
sin 𝜃 d𝜃
Дифференциальное сечение рассеяния кулоновского рассеяния:
𝑏 = 𝑏∗
cos(𝜃/2)
,
sin(𝜃/2)
d𝑏
𝑏∗ /2
=−
;
d𝜃
sin (𝜃/2)
d𝜎
𝑏∗ cos(𝜃/2)
𝑏∗
=
=
.
d𝛺
4 sin (𝜃/2)
2 sin (𝜃/2) sin 𝜃
Физика плазмы
/
d𝜎
𝑏∗
=
d𝛺
4 sin (𝜃/2)
(𝑒 𝑒 /𝑚𝑣 )
=
.
4 sin (𝜃/2)
Дифференциальное сечение характеризует вероятность
рассеяния в определённый интервал углов. Дифференциал
d𝜎 = (d𝜎/d𝛺) d𝛺 отвечает рассеянию частиц на неподвижной
мишени в интервал телесного угла d𝛺 около направления 𝛺.
Дифференциальным сечением называют как d𝜎/d𝛺, так и d𝜎.
Полное сечение рассеяния 𝜎 получается интегрированием d𝜎 по
всему телесному углу, однако в теории кулоновских
столкновений более ясный смысл имеет не полное, а
транспортное сечение.
Физика плазмы
/
Далее…
Параметры столкновений
Дифференциальное сечение рассеяния
Транспортное сечение
Кулоновский логарифм
Приближение далёких пролётов
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Вычислим силу, действующую на рассеивающий центр со
стороны потока частиц. Так как рассеивающий центр
неподвижен, кинетическая энергия налетающей частицы 𝑚𝑣
вдалеке от него до и после рассеяния одинакова (почему?).
Следовательно, абсолютная величина импульса 𝑚𝑣 также
неизменна. Однако каждая частица, которая отклоняется на угол
𝜃, передаёт рассеивающему центру часть импульса в
направлении своего первоначального движения
𝛥𝑝‖ = 𝑚𝑣 (1 − cos 𝜃).
Часть переданного импульса 𝛥𝑝 = 𝑚𝑣 sin 𝜃, перпендикулярная
скорости налетающего потока, компенсируется вкладом других
частиц.
Физика плазмы
/
eb
ea
b
dσ
r
θ
Figure: Траектория частицы с
зарядом 𝑒 при рассеянии на
неподвижном кулоновском
центре с зарядом 𝑒 . Разница
между импульсом частицы после
и до рассеяния передаётся
рассеивающему центру. Часть
переданного импульса
𝛥𝑝 = 𝑚𝑣 sin 𝜃,
перпендикулярная скорости
налетающего потока,
компенсируется частицей,
которая налетает на том же
прицельном расстоянии 𝑏 с
противоположной стороны
рассеивающего центра (её
траектория показана штрихами).
Физика плазмы
/
Искомая сила 𝐹 направлена вдоль скорости налетающего потока
частиц и равна импульсу, переданному рассеивающему центру в
единицу времени. Так как в единицу времени площадку
сечением d𝜎 пересекают 𝑛 𝑣 d𝜎 частиц, имеем
𝐹⃗ =
𝛥𝑝⃗‖ 𝑛 𝑣 d𝜎 =
d𝜎
d𝛺 =
d𝛺
d𝜎
(1 − cos 𝜃)
d𝛺 = 𝑚𝑣⃗ 𝑛 𝑣 𝜎 .
d𝛺
𝑚𝑣⃗ (1 − cos 𝜃) 𝑛 𝑣
= 𝑚𝑣⃗ 𝑛 𝑣
Транспортное сечение
𝜎 =
(1 − cos 𝜃)
d𝜎
d𝛺
d𝛺
( )
имеет смысл площади сечения, которое имел бы рассеивающий
центр в виде твёрдого шарика, если бы тот полностью поглощал
импульс падающих на него частиц.
Физика плазмы
/
Далее…
Параметры столкновений
Дифференциальное сечение рассеяния
Транспортное сечение
Кулоновский логарифм
Приближение далёких пролётов
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
𝜎 =
(1−cos 𝜃)
d𝜎
d𝛺,
d𝛺
𝜎 = 2𝜋 (𝑏∗ /2)
= 2𝜋 (𝑏∗ /2)
= 4𝜋𝑏∗
d𝜎
(𝑏∗ /2)
=
,
d𝛺
sin (𝜃/2)
(1 − cos 𝜃)
sin (𝜃/2)
2 sin (𝜃/2)
sin (𝜃/2)
d𝛺 = 2𝜋 sin(𝜃) d𝜃.
sin 𝜃 d𝜃
2 sin(𝜃/2) cos(𝜃/2) d𝜃
(
( / ))
d sin(𝜃/2)
= 4𝜋𝑏∗ ln(1/0).
sin(𝜃/2)
Получившийся интеграл логарифмически расходится при малых
значениях угла рассеяния 𝜃.
Физика плазмы
/
Заменим нуль в нижнем пределе на неопределённый пока
параметр sin(𝜃 /2) ≈ 𝜃 /2 ≪ 1:
𝜎 ≈ 4𝜋𝑏∗
/
d sin(𝜃/2)
2
= 4𝜋𝑏∗ ln
.
sin(𝜃/2)
𝜃
( )
При 𝜃 → 0
𝑏 = 𝑏∗ ctg(𝜃/2) ≈ 2𝑏∗ /𝜃 → ∞.
При 𝑏 > 𝜆D потенциал кулоновского центра экранируется и
𝜑 ∝ exp(−𝑟/𝜆D )/𝑟, рассеяние отсутствует, поэтому
𝜃
= 2𝑏∗ /𝜆D ,
где параметр
𝛬 = ln
𝜎 = 4𝜋𝛬𝑏∗ ,
2
𝜃
= ln
𝜆D
𝑏∗
( )
называют кулоновским логарифмом.
Физика плазмы
/
𝜎 = 4𝜋𝛬𝑏∗ =
4𝜋𝑒 𝑒 𝛬
.
𝑚 𝑣
( )
Практическая формула:
𝛬 = 15,
𝜎 [см ] ≃ 10
(𝜀[эВ])
,
𝜀 = 𝑚𝑣 .
Кулоновские столкновения играют важную роль даже в слабо
ионизованной плазме:
𝜎at ∼ 10
см ≪ 𝜎 при 𝜀 ≲ 10 эВ.
В идеальной плазме, характеризуемой большой величиной
плазменного параметра 𝑁D = (8𝜋/3) 𝑛𝜆D ≫ 1, отношение
2𝜆D
2𝜆D
2𝜆D 𝑇 8𝜋𝑛
𝑇
=
=
= 16𝜋𝜆D 𝑛
= 16𝜋𝑛𝜆D = 6𝑁D
𝑏∗
𝑒 /𝑇
𝑒 8𝜋𝑛
8𝜋𝑛𝑒
(для частиц со скоростью порядка тепловой, когда 𝑒 /𝑏∗ = 𝑇)
очень велико, и под знаком логарифма в формуле 𝛬 = ln(𝜆D /𝑏∗ )
его точное значение не очень существенно, что оправдывает
процедуру «обрезания» интеграла ( ).
Физика плазмы
/
Далее…
Параметры столкновений
Дифференциальное сечение рассеяния
Транспортное сечение
Кулоновский логарифм
Приближение далёких пролётов
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Figure: Налетающая частица может рассеяться на значительный угол
𝜃 ∼ 𝜋/2 либо в одном столкновении (рисунок слева), либо испытав
многократные отклонения на малый угол (справа). Из-за
дальнодействия кулоновской силы эффект далёких столкновений
накапливается примерно в 𝛬 раз быстрее.
Физика плазмы
/
mv
mv
θ
eb
r
b
ea
𝛥𝑝 =
𝐹 d𝑡 =
𝑒 𝑒
𝑟
Figure: В приближении далёких
пролётов реальная траектория
заменяется прямой линией,
вдоль которой налетающая
частица летит с постоянной
скоростью. Расстояние от
рассеивающего центра до
частицы вычисляется по формуле
𝑟 = √𝑏 + 𝑣 𝑡 ; 𝑡 = 0 в момент
наибольшего сближения.
𝑏
𝑟
d𝑡 =
𝑒 𝑒 𝑏 d𝑡
(𝑏 + 𝑣 𝑡 )
/
=
/
=
𝑒 𝑒 𝑏
𝑏
𝑣 d𝑡/𝑏
(1 + 𝑣 𝑡 /𝑏 )
Физика плазмы
/
𝑏
2𝑒 𝑒
=
.
𝑣
𝑣𝑏
/
Угол рассеяния:
𝜃≈
𝛥𝑝
2𝑒 𝑒
2𝑏∗
/ 𝑚𝑣 =
≈
.
𝑚𝑣
𝑣𝑏
𝑏
Этот результат совпадает с формулой Резерфорда ( ) в пределе
𝜃 ≪ 1. Заменяя в
𝜎 = 4𝜋𝑏∗
d sin(𝜃/2)
sin(𝜃/2)
sin(𝜃/2) на 𝜃/2, получаем интеграл
𝜎 =
4𝜋𝑒 𝑒
𝑚 𝑣
d𝜃
,
𝜃
который логарифмически расходится как на нижнем, так и на
верхнем пределе.
Физика плазмы
/
Его «обрезают» на обоих пределах:
𝛬=
где 𝑏
≈ 𝑏∗ , 𝑏
d𝜃
=
𝜃
d𝑏
𝑏
= ln
𝑏
𝑏
,
( )
≈ 𝜆D .
Если длина волны де Бройля 𝜆B = ℏ/𝑚𝑣 > 𝑏∗ = 𝑒 𝑒 /𝑚𝑣 , то
надо брать 𝑏
= 𝜆B , так как, согласно постулатам квантовой
физики, прицельное расстояние невозможно зафиксировать с
точностью, превышающей 𝜆B . Если |𝑒 | = |𝑒 | = 𝑒 , условие
𝜆B > 𝑏∗ эквивалентно неравенству
𝑣 > 𝛼𝑐 = 𝑣 ,
где 𝛼 = 𝑒 /ℏ𝑐 ≈ 1/137 — постоянная тонкой структуры, а 𝑐 —
скорость света. Иными словами, 𝑏
≈ 𝜆B , если
𝜀 > 𝐼 = 𝛼 𝑚 𝑐 /2 = 13,6 эВ.
Физика плазмы
/
Далее…
Параметры столкновений
Дифференциальное сечение рассеяния
Транспортное сечение
Кулоновский логарифм
Приближение далёких пролётов
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Задачи для семинара I
( ) дифференциальное и транспортное сечения рассеяния
твёрдых шариков,
. ( . н.н.) Вычислить вклад в транспортное сечение близких
столкновений с рассеянием на угол 𝜃 > 𝜋/2.
. ( . н.н.) Найти транспортное сечение рассеяния
ультрарелятивистского электрона на неподвижном
кулоновском центре.
.
( . н.н.) Как кулоновские столкновения влияют на
поглощение высокочастотных волн в плазме?
Физика плазмы
/
Задачи для семинара II
.
( . н.н.) Полупространство 𝑥 > 0 занято однородной
плазмой, которая удерживается магнитным полем. В плазму
по нормали к её границе влетает быстрый нейтральный
атом и сразу же ионизуется. Найти координату 𝑥 иона после
его полного торможения, если вначале ларморовский
радиус иона был равен 𝜌 .
(можно иногда заменять на классическую задачу - дрейф
при наличии градиента плотности плазмы).
Номера задач указаны по книге И.Котельникова «Лекции по
физике плазмы».
Физика плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
октября
г.
Лекция
Кулоновские столкновения
Парные столкновения.
Торможение и остывание пробной частицы.
Поле Драйсера.
Динамика установления теплового равновесия.
Физика плазмы
/
Далее…
Парные столкновения
Торможение пробной частицы
Остывание пробной частицы
Динамика установления теплового равновесия
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
eb mb
rb
r
R
ra
ea
Figure: Радиус-вектор 𝑅⃗ системы
центра масс и радиус-вектор
приведённой частицы 𝑟⃗ = 𝑟⃗ − 𝑟⃗
ma для двух заряженных частиц.
Избавимся от предположения, что рассеивающий кулоновский
центр неподвижен, и рассмотрим движение двух заряженных
частиц в кулоновском поле друг друга.
Физика плазмы
/
Сложив уравнение движения первой и второй частиц
𝑚 𝑟⃗̈ = 𝑒 𝑒
𝑚 𝑟⃗̈ = 𝑒 𝑒
получаем
𝑟⃗ − 𝑟⃗
|𝑟⃗ − 𝑟⃗ |
𝑟⃗ − 𝑟⃗
|𝑟⃗ − 𝑟⃗ |
,
,
𝑚 𝑟⃗̈ + 𝑚 𝑟⃗̈ = 0.
Следовательно, центр масс двух частиц с радиус-вектором
𝑅⃗ =
𝑚 𝑟⃗ + 𝑚 𝑟⃗
𝑚 +𝑚
движется с постоянной скоростью
𝑉⃗ =
𝑚 𝑟⃗̇ + 𝑚 𝑟⃗̇
𝑚 𝑣⃗ + 𝑚 𝑣⃗
=
.
𝑚 +𝑚
𝑚 +𝑚
Физика плазмы
/
𝑚 𝑟⃗ + 𝑚 𝑟⃗
,
𝑟⃗ = 𝑟⃗ − 𝑟⃗ ,
𝑚 +𝑚
𝑚
𝑚
𝑟⃗ = 𝑅⃗ −
𝑟,
⃗
𝑟⃗ = 𝑅⃗ +
𝑟.
⃗
𝑚 +𝑚
𝑚 +𝑚
𝑅⃗ =
̈
𝑅⃗ = 0
𝑚 𝑟⃗̈ = 𝑒 𝑒
𝑚 𝑟⃗̈ = 𝑒 𝑒
𝑟⃗ − 𝑟⃗
|𝑟⃗ − 𝑟⃗ |
𝑟⃗ − 𝑟⃗
|𝑟⃗ − 𝑟⃗ |
⇒
−
⇒
Физика плазмы
𝑚 𝑚
𝑟⃗
𝑟⃗̈ = −𝑒 𝑒
,
𝑚 +𝑚
𝑟
𝑚 𝑚
𝑟⃗̈ =
𝑚 +𝑚
𝑒 𝑒
𝑟⃗
.
𝑟
/
Так как
𝑚 𝑚
𝑟⃗
𝑚 𝑟⃗̈ = −𝑚 𝑟⃗̈ =
𝑟⃗̈ = 𝑒 𝑒
,
𝑚 +𝑚
𝑟
движение реальных частиц 𝑎 и 𝑏 можно найти, решив задачу о
движении фиктивной частицы с приведённой массой
𝑚
=
𝑚 𝑚
𝑚 +𝑚
в поле кулоновского центра, расположенного в центре масс.
Положение приведённой частицы задано вектором 𝑟,
⃗ а её
скорость
𝑟⃗̇ = 𝑟⃗̇ − 𝑟⃗̇
равна скорости движения частицы 𝑏 относительно частицы 𝑎.
Физика плазмы
/
Теперь ясно, что в формулах
d𝜎
𝑒 𝑒
1
=
,
d𝛺
4𝑚 𝑣 sin (𝜃/2)
𝜎 = 4𝜋𝛬𝑏∗ =
4𝜋𝑒 𝑒 𝛬
𝑚 𝑣
для дифференциального и транспортного сечений рассеяния на
неподвижном кулоновском центре массу и скорость налетающей
частицы нужно заменить соответственно на массу приведённой
частицы 𝑚 и относительную скорость сталкивающихся частиц
𝑢⃗ = 𝑣⃗ − 𝑣⃗ :
d𝜎
𝑒 𝑒
1
=
,
d𝛺
4𝑚 𝑢 sin (𝜃/2)
𝜎 =
4𝜋𝑒 𝑒 𝛬
𝑚 𝑢
.
()
В дальнейшем нам не придётся пересчитывать угол 𝜃 и сечение
рассеяния в лабораторную систему координат, поскольку
вычисления удобнее делать именно в системе центра масс.
Физика плазмы
/
Далее…
Парные столкновения
Торможение пробной частицы
Остывание пробной частицы
Динамика установления теплового равновесия
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Сила, действующая на кулоновский центр со стороны потока
частиц с массой 𝑚, плотностью 𝑛 , налетающих со скоростью 𝑣:
⃗
𝐹⃗ = 𝑚𝑣⃗ 𝑛 𝑣 𝜎 ,
𝜎 = 4𝜋𝛬𝑒 𝑒 /𝑚 𝑣 .
Перейдем к рассеянию реальных частиц:
𝑣⃗ ⇒ 𝑢⃗ = 𝑣⃗ − 𝑣⃗ ,
𝑚 𝑚
𝑚⇒𝑚 =
,
𝑚 +𝑚
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒
𝜎 ⇒𝜎 =
.
𝑚 |𝑣⃗ − 𝑣⃗ |
Сила, действующую на частицу 𝑎 в потоке частиц сорта 𝑏:
𝐹⃗
=
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒 𝑛 𝑣⃗ − 𝑣⃗
.
𝑚 |𝑣⃗ − 𝑣⃗ | |𝑣⃗ − 𝑣⃗ |
Физика плазмы
( )
/
Для вычисления силы 𝐹⃗ , действующей на частицу 𝑏 в потоке
частиц сорта 𝑎, нужно переставить местами индексы 𝑎 и 𝑏:
𝐹⃗
𝐹⃗
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒 𝑛 𝑣⃗ − 𝑣⃗
,
𝑚 |𝑣⃗ − 𝑣⃗ | |𝑣⃗ − 𝑣⃗ |
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒 𝑛 𝑣⃗ − 𝑣⃗
=−
𝑚 |𝑣⃗ − 𝑣⃗ | |𝑣⃗ − 𝑣⃗ |
=
Эти силы не удовлетворяют третьему закону Ньютона:
𝐹⃗
≠ −𝐹⃗ ,
однако
𝑛 𝐹⃗
(так как 𝛬
+ 𝑛 𝐹⃗
=0
= 𝛬 ).
Физика плазмы
/
Учтём тепловой разброс скоростей частиц. Выделим пробную
⃗ Можно думать, что
частицу с зарядом 𝑒 и скоростью 𝑣⃗ = 𝑣.
пробная частица влетает в плазму в составе пучка частиц столь
малой плотности, что пучок не влияет на распределение частиц
плазмы по скоростям. В таком контексте частицы плазмы
называют полевыми.
Выберем группу полевых частиц, скорость которых находится в
интервале d 𝑣 вблизи 𝑣⃗ = 𝑣⃗ . Число таких частиц равно
d𝑛 = 𝑓 (𝑣⃗ ) d 𝑣 ,
где 𝑓 (𝑣⃗ ) обозначает функцию распределения, нормированную
так, что
𝑛 =
𝑓 (𝑣⃗ ) d 𝑣 .
Физика плазмы
/
𝐹⃗
=−
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒 𝑛 𝑣⃗ − 𝑣⃗
.
𝑚 |𝑣⃗ − 𝑣⃗ | |𝑣⃗ − 𝑣⃗ |
Выбранная группа частиц действует на пробную частицу с силой
d𝐹⃗
=−
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒
𝑣⃗ − 𝑣⃗
𝑓 (𝑣⃗ ) d 𝑣 .
𝑚 |𝑣⃗ − 𝑣⃗ | |𝑣⃗ − 𝑣⃗ |
Полная сила:
𝐹⃗
=−
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒
𝑚
𝑣⃗ − 𝑣⃗
|𝑣⃗ − 𝑣⃗ |
Физика плазмы
𝑓 (𝑣⃗ ) d 𝑣 .
( )
/
𝐹⃗
=−
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒
𝑚
𝑣⃗ − 𝑣⃗
|𝑣⃗ − 𝑣⃗ |
𝑓 (𝑣⃗ ) d 𝑣 .
Если 𝑓 (𝑣⃗ ) = 𝑓 (𝑣 ), для вычисления интеграла используем
аналогию с задачей электростатики:
⃗ 𝑟)
𝐸(
⃗ =
𝜌(𝑟 )
𝑟⃗ − 𝑟⃗
𝑟⃗
d𝑟 =
|𝑟⃗ − 𝑟⃗ |
𝑟
𝜌(𝑟 ) 4𝜋𝑟 d𝑟 .
Следовательно,
𝐹⃗
=−
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒 𝑣⃗
𝑚
𝑣
𝑓 (𝑣 ) 4𝜋𝑣 d𝑣
≡−
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒
𝑚 𝑚 𝑣
𝑓 (𝑣 ) 4𝜋𝑣 d𝑣
𝑚 𝑣⃗ .
⃗
( )
Физика плазмы
/
Сумма сил по всем сортам полевых частиц даёт скорость
изменения направленного импульса 𝑝⃗ = 𝑚 𝑣⃗ пробной частицы:
d𝑝⃗
=
d𝑡
Fba
vTa
𝐹⃗
=−
𝜈
( )
𝑝⃗ .
( )
Figure: Сила трения в плазме с
максвелловским распределением в
зависимости от скорости 𝑣 пробной
частицы. На заштрихованной стороне
графика невозможно устойчивое
движение под действием
ускоряющего электрического поля.
Трение максимально при
𝑣 = 0,97𝑣 . Если ускоряющая сила
больше максимальной силы трения
v 𝐹
= 5,38𝛬 𝑒 𝑒 𝑛 /𝑚 𝑣 ,
ускоряемые частицы «уходят в
просвист».
Физика плазмы
/
Сила торможения пробного электрона
𝐹⃗ = −
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒 𝑣⃗
𝑚
𝑣
достигает максимума 𝐹
𝐹 ∝𝑣
𝐹 ∝𝑣
𝑓 (𝑣 ) 4𝜋𝑣 d𝑣
при 𝑣 ∼ 𝑣 , как показано на рис. :
при
при
𝑣≪𝑣 ,
𝑣≫𝑣 .
Если электрическое поле, создающее электрический ток,
превышает предельное значение 𝐸Dr = 𝐹 /𝑒, сила
кулоновского торможения не может компенсировать ускорение
электронов электрическим полем ни при какой скорости
электронов. В результате электроны будут безостановочно
ускоряться. Этот эффект называют «убеганием» электронов.
Физика плазмы
/
Минимальное электрическое поле, которое приводит к
«убеганию», называется полем Драйсера:
𝐸Dr ∼
4𝜋𝛬𝑛𝑒
𝑒
∼𝛬 .
𝑇
𝜆D
Важно понимать, что поле Драйсера есть критическое поле для
ухода в «просвист» основной группы электронов, имеющих
скорость порядка тепловой. Однако даже при 𝐸 < 𝐸Dr в плазме
имеются надтепловые электроны, скорость которых значительно
превышает тепловую скорость, 𝑣 ≫ 𝑣 . Сила торможения,
действующая на эти электроны со стороны ионов, уменьшается
при случайном возрастании скорости, поэтому, однажды
ускорившись, эти электроны продолжат ускорение даже при
𝐸 < 𝐸Dr .
Физика плазмы
/
Далее…
Парные столкновения
Торможение пробной частицы
Остывание пробной частицы
Динамика установления теплового равновесия
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Пробная «частица» — это на самом деле это ансамбль частиц.
Торможение пробной частицы означает уменьшение среднего
⃗ в направлении первоначального движения
импульса 𝑝⃗ = ⟨𝑚 𝑣⟩
частиц пучка. Остывание пробной частицы означает уменьшение
средней энергии частиц пучка 𝜀 = ⟨𝑚 𝑣 /2⟩.
При торможении пучка возникает разброс импульсов
𝛿 𝑝⃗ = 𝛿 𝑝⃗ + 𝛿 𝑝⃗‖ ,
⟨𝛿 𝑝⟩
⃗ =0
около среднего значения ⟨𝑝⟩
⃗ = 𝑝⃗ . Поэтому энергия пробной
частицы оказывается больше энергии направленного движения
𝑝 /2𝑚 пробной частицы:
𝜀 = ⟨(𝑝⃗ + 𝛿 𝑝)
⃗ ⟩/2𝑚
= 𝑝 /2𝑚 + (𝑝⃗ ⋅ ⟨𝛿 𝑝⟩)/𝑚
⃗
+ ⟨𝛿𝑝 ⟩/2𝑚
= 𝑝 /2𝑚 + ⟨𝛿𝑝 ⟩/2𝑚
> 𝑝 /2𝑚 .
Физика плазмы
/
Учтём, что в системе центра масс обмен энергией между
сталкивающимися частицами не происходит:
𝑟⃗̇ = −
𝑚 𝑟⃗̇
,
𝑚 +𝑚
𝑟⃗̇ =
𝑚 𝑟⃗̇
,
𝑚 +𝑚
|𝑟|
⃗̇ → |𝑣⃗ − 𝑣⃗ | при 𝑡 → ±∞.
Система центра инерции движется со скоростью
𝑉⃗ =
𝑚 𝑣⃗ + 𝑚 𝑣⃗
𝑚
𝑚
(𝑣⃗ − 𝑣⃗ ) = 𝑣⃗ −
= 𝑣⃗ −
𝑚 +𝑚
𝑚 +𝑚
𝑚
𝑢.
⃗
⃗
Физика плазмы
/
Возвращаясь в лабораторную систему, заключаем, что сила 𝐹⃗
единицу времени совершает работу
= 𝐹⃗
𝐴
⋅ 𝑉⃗ = −
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒 𝑛 𝑢⃗
𝑚
⋅ 𝑣⃗ −
𝑚
𝑢
𝑚
в
𝑢⃗ .
Делая замены
𝑣⃗ ⇒ 𝑣⃗ ,
⃗
𝑣⃗ ⇒ 𝑣,
𝑢⃗ ⇒ 𝑣⃗ − 𝑣⃗ ,
𝑛 ⇒ 𝑓 (𝑣⃗ ) d 𝑣 ,
получаем
𝐴
=−
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒
𝑚
𝑣⃗ ⋅
𝑣⃗ − 𝑣⃗
|𝑣⃗ − 𝑣⃗ |
Физика плазмы
𝑓 (𝑣⃗ ) d 𝑣 −
𝑚
𝑚
𝑓 (𝑣⃗ ) d 𝑣
|𝑣⃗ − 𝑣⃗ |
( )
/
.
Вычисленная работа идёт на увеличение энергии пробной
частицы:
d𝜀
𝐴
=
𝐴 =−
−
𝜀 .
d𝑡
𝜀
( )
( )
( )
( )
В отличие от 𝜈 , частота 𝜈 может быть отрицательной.
Замедляясь, пробная частица, может приобретать энергию от
плазмы!
Такое было бы невозможно, будь пробная частица обычной
частицей. Действительно, если 𝜀 = 𝑝 /2𝑚, а импульс 𝑝
уменьшается, то должна уменьшаться и энергия 𝜀. Однако
«пробная частица» на самом деле представляет собой ансамбль
частиц, например пучок частиц. Когда говорят об импульсе или
энергии пробной частицы, то подразумевают средний
(направленный) импульс или среднюю энергию частиц пучка.
Физика плазмы
/
Равенство 𝜀 = 𝑝 /2𝑚 верно в начальный момент, когда
разброс по скоростям в пучке пробных частиц ещё невелик. Тогда
𝜈
( )
𝐴
=
𝜀
8𝜋𝛬 𝑒 𝑒
=
𝑚 𝑚 𝑣
=
𝑣⃗ − 𝑣⃗
𝑣⃗ ⋅
|𝑣⃗ − 𝑣⃗ |
𝑓 (𝑣⃗ ) d 𝑣 −
𝑚
𝑚
𝑓 (𝑣⃗ ) d 𝑣
|𝑣⃗ − 𝑣⃗ |
.
Пример: столкновения лёгких электронов с тяжёлыми ионами.
𝑚 → ∞,
𝑚
𝜈
( )
𝑓 (𝑣⃗ ) = 𝑛 𝛿 (𝑣⃗ ) ,
→𝑚 ,
= 0,
𝜈
( )
> 0.
Пробная частица тормозится, не теряя энергию. В реальной
плазме обмен энергией между частицами с существенно
различными массами замедлен.
Физика плазмы
/
Далее…
Парные столкновения
Торможение пробной частицы
Остывание пробной частицы
Динамика установления теплового равновесия
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
В столкновениях с электронами плазмы электроны пучка теряют
энергию так же быстро, как они теряют импульс в направлении
первоначального движения.
В столкновениях с ионами они преимущественно рассеиваются,
почти не теряя энергию.
( )
( )
Сравним частоты столкновений 𝜈 и 𝜈 для всех сочетаний
сортов частиц, присутствующих в плазме, чтобы выяснить, какие
процессы идут быстрее, а какие медленнее.
Пусть каждый ион в среднем ионизован 𝑍 раз, причём 𝑍 ≫ 1:
𝑚
𝑒 = 𝑍𝑒,
𝑒 = −𝑒,
𝑚 𝑚
𝑚 𝑚
𝑚
=
≈𝑚 ,
𝑚 =
=
,
𝑚 +𝑚
𝑚 +𝑚
2
Физика плазмы
𝑚 =
𝑚
.
2
/
На примере пучка быстрых электронов и пучка быстрых ионов в
( ) ( ) ( )
( )
плазме сравним частоты столкновений 𝜈 , 𝜈 , 𝜈 и 𝜈 .
𝜈
( )
=
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒
𝑚 𝑚 𝑣
𝑓 (𝑣 ) 4𝜋𝑣 d𝑣 .
Пусть 𝑣 ≡ 𝑣 ≫ 𝑣 ∼ 𝑣 . Тогда
𝜈
( )
=
4𝜋𝛬 𝑒 𝑒 𝑛
𝑚
=
𝑚 𝑚 𝑣
𝑚 +𝑚
4𝜋𝑒 𝑒 𝛬
𝑚 𝑣
𝑛 𝑣.
/
Это произведение частоты рассеяния приведённой частицы на
кулоновском центре 𝜈 = 𝜎 𝑛 𝑣 на долю импульса
𝑚 /(𝑚 + 𝑚 ), которую в среднем частица с массой 𝑚
передаёт при столкновениях частице массы 𝑚 . (Эта доля
несимметрична относительно 𝑎 ↔ 𝑏.)
Физика плазмы
/
𝜈
( )
=
𝑚
𝑚 +𝑚
4𝜋𝑒 𝑒 𝛬
𝑚 𝑣
/
𝑛 𝑣.
flux
Лёгкая частица передаёт тяжёлой свой импульс за время порядка
𝜈 ; торможение тяжёлой частицы на лёгких (𝑚 ≫ 𝑚 )
происходит в 𝑚 /𝑚 раз медленнее.
𝜈
( )
𝜈
( )
8𝜋𝛬𝑒
𝑛 𝑣,
𝑚 𝑣
8𝜋𝛬𝑒 𝑍
=
𝑛 𝑣,
𝑚 𝑣
=
𝜈
( )
𝜈
( )
4𝜋𝛬𝑒 𝑍
𝑛 𝑣,
𝑚 𝑣
𝑚 4𝜋𝛬𝑒 𝑍
=
𝑛 𝑣.
𝑚 𝑚 𝑣
=
Если 𝑣 ∼ 𝑣 , эти формулы пригодны для оценок по порядку
величины. В 𝑖 − 𝑖 столкновениях 𝑣 ∼ 𝑣 = 2𝑇 /𝑚 , в остальных
случаях — 𝑣 ∼ 𝑣 = 2𝑇 /𝑚 .
Физика плазмы
/
𝜈
( )
𝜈
( )
8𝜋𝛬𝑒
𝑛 𝑣,
𝑚 𝑣
8𝜋𝛬𝑒 𝑍
=
𝑛 𝑣,
𝑚 𝑣
=
𝜈
( )
𝜈
( )
4𝜋𝛬𝑒 𝑍
𝑛 𝑣,
𝑚 𝑣
𝑚 4𝜋𝛬𝑒 𝑍
=
𝑛 𝑣.
𝑚 𝑚 𝑣
=
𝑛 = 𝑍𝑛 :
𝜈
( )
∶𝜈
( )
∶𝜈
( )
∶𝜈
( )
=1∶𝑍∶
𝑚
𝑚
𝑍 ∶
𝑍 .
𝑚
𝑚
( )
При 𝑍 ≫ 1 самым быстрым процессом является торможение
электронов об ионы, а при 𝑍 ∼ 1 потеря импульса электроном в
столкновениях с другими электронами происходит столь же
быстро.
Физика плазмы
/
На примере пучка быстрых частиц сравнить частоты
( ) ( ) ( )
( )
столкновений 𝜈 , 𝜈 , 𝜈 и 𝜈 .
𝜈
( )
=
8𝜋𝛬 𝑒 𝑒
𝑚 𝑚 𝑣
𝑣⃗ ⋅
𝑣⃗ − 𝑣⃗
𝑓 (𝑣⃗ ) d 𝑣 −
8𝜋𝛬 𝑒 𝑒
=
𝑚 𝑚 𝑣
|𝑣⃗ − 𝑣⃗ |
𝑚
𝑓 (𝑣⃗ ) d 𝑣
1−
|𝑣|
⃗
𝑚
8𝜋𝛬𝑒 𝑒
𝑛
𝑚 𝑚 𝑣
2𝑚 𝑚
=
(𝑚 + 𝑚 )
4𝜋𝛬𝑒 𝑒
𝑛 𝑣.
𝑚 𝑣
𝑚
𝑚
𝑓 (𝑣⃗ ) d 𝑣
|𝑣⃗ − 𝑣⃗ |
=
flux
Физика плазмы
/
Пропорции между частотами столкновений частиц разных
сортов:
𝜈
( )
𝜈
∶𝜈
( )
( )
∶𝜈
∶𝜈
( )
( )
∶𝜈
∶𝜈
( )
( )
∶𝜈
=1∶
( )
𝑚
𝑍∶
𝑚
=1∶𝑍∶
𝑚
𝑚
𝑍 ∶
𝑍 .
𝑚
𝑚
( )
𝑚
𝑚
𝑍 ∶
𝑍 .
𝑚
𝑚
Принципиальное отличие электрон-электронных столкновений
от упругого рассеяния электронов на ионах состоит в том, что
электроны пучка теряют энергию, передавая её электронам
плазмы так же быстро, как теряют импульс в направлении
первоначального движения.
Физика плазмы
/
Самым быстрым процессом является упругое угловое рассеяние
электронов пучка на ионах.
Торможение и остывание (или нагрев) электронов пучка на
электронах плазмы идёт в 𝑍 раз медленнее, чем на ионах.
В результате столкновений с ионами плазмы пучок электронов
тормозится, но почти не теряет энергию: 𝑝⃗ уменьшается, но
𝑝 ≈ const.
d𝑝⃗
( )
= −𝜈 𝑝⃗ .
d𝑡
Уменьшение импульса
𝛥𝑝
‖
= 𝑝 (cos 𝜃 − 1) ≈ −𝑝 𝜃 /2
в направлении движения пучка соответствует нарастание
среднего квадрата угла:
d
( )
⟨𝜃 ⟩ = 2𝜈 .
d𝑡
Физика плазмы
( )
/
Далее…
Парные столкновения
Торможение пробной частицы
Остывание пробной частицы
Динамика установления теплового равновесия
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Задачи для семинара I
. ( . н.н.) Верно ли для пробной частицы равенство
d𝜀 = 𝑣⃗ ⋅ d𝑝,
⃗ связывающее приращение импульса и энергии
частицы?
.
( . н.н.) Вычислить силу трения для пробной частицы в
плазме с максвелловским распределением по скоростям.
+ оценка углового разброса
.
( . н.н) Вычислить скорость изменения энергии пробной
частицы в плазме с максвелловским распределением по
скоростям.
.
( . н.н.) На примере пучка быстрых электронов и пучка
быстрых ионов в плазме сравнить частоты столкновений
( ) ( ) ( )
( )
𝜈 ,𝜈 ,𝜈 и𝜈 .
.
( . н.н.) На примере пучка быстрых электронов и пучка
быстрых ионов в плазме сравнить частоты столкновений
( ) ( ) ( )
( )
𝜈 ,𝜈 ,𝜈 и𝜈 .
Физика плазмы
/
Задачи для семинара II
.
( . н.н.) Оценить длину свободного пробега электронов с
энергией 1 МэВ в плазме с плотностью 𝑛 = 10 см .
Можно ли нагреть плазму релятивистским пучком в
лабораторной установке за счёт кулоновских столкновений?
-
( . н.н.) Оценить поле Драйсера.
Номера задач указаны по книге И.Котельникова «Лекции по
физике плазмы».
Физика плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
октября
г.
Лекция
Излучение плазмы
Типы радиационных переходов. Виды спектров
Тормозное излучение
Рекомбинационное излучение
Длина пробега излучения
Циклотронное излучение
Физика плазмы
/
Далее…
Типы радиационных переходов
Тормозное излучение
Рекомбинационное излучение
Длина пробега излучения
Циклотронное излучение
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Излучение является одним из основных каналов потерь энергии
из плазмы, существенным образом воздействуя на её
энергетический баланс. Свойство плазмы излучать
электромагнитные волны в различных диапазонах частот
используется как в бытовых осветительных приборах, так и при
спектроскопических измерениях разнообразных объектов.
Спектр излучения слабоионизованной плазмы является
линейчатым. Полностью ионизованная плазма излучает в
непрерывном спектре.
Мы рассмотрим два основных типа излучения с непрерывным
спектром: тормозное и рекомбинационное. Циклотронное
излучение характеризуется линейчатым спектром в области
низких частот, который переходит в сплошной спектр в области
высоких частот; в достаточно плотной плазме циклотронное
излучение в плазме же и поглощается, не выходя наружу.
Физика плазмы
/
ε
свободно-свободные
0
связанно-свободные
связанно-связанные
-I !
Figure: Схема излучательных
переходов электрона в поле
положительного иона.
Свободно-свободные переходы с
понижением (повышением) энергии
электрона сопровождаются
тормозным излучением
(поглощением). Переход из
свободного состояния в связанное
вызывает рекомбинационное
излучение. Переход из связанного
состояния в свободное происходит при
фотоионизации атома. Переходы
между связанными состояниями дают
линии излучения и поглощения в
дискретном спектре.
Физика плазмы
/
Далее…
Типы радиационных переходов
Тормозное излучение
Рекомбинационное излучение
Длина пробега излучения
Циклотронное излучение
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Тормозное излучение возникает преимущественно при
неупругом рассеянии электрона на ионе. Этот процесс
описывается химическим уравнением
𝐴 + 𝑒 → 𝐴 + 𝑒 + 𝛾.
Так как 𝑚 ≫ 𝑚 , излучение иона ничтожно мало. Поскольку
𝑣 ≫ 𝑣 , ионы можно считать неподвижными.
При электрон-электронных столкновениях дипольное излучение
отсутствует (Почему?).
Считаем, что 𝑒 = 𝑍𝑒, 𝑒 = −𝑒.
Физика плазмы
/
v
v
t=0
e
e
b
v
b
r
Ze
Ze
Figure: При 𝑏 ≫ 2𝑍𝑒 /𝑚 𝑣
(далёкие пролёты) траектория
электрона лишь незначительно
отклоняется от прямой линии;
его скорость приблизительно
постоянна по величине и
направлению.
Figure: При 𝑏 ≲ 2𝑍𝑒 /𝑚 𝑣
(близкие пролёты) траектория
электрона сильно искривляется,
однако результат вычисления
мощности излучения от учёта
искривления траектории
изменяется незначительно.
Физика плазмы
/
Пусть
1
𝑚 𝑣 ≫ 𝑍𝑒 /𝑟
⇒
𝑏 ≫ 𝑍𝑒 /𝑚 𝑣 .
2
Тогда электрон движется почти по прямой траектории, его
ускорение равно
𝑎=
𝑍𝑒 /𝑚
𝑍𝑒 /𝑚
=
𝑟
𝑏 +𝑣 𝑡
и в единицу времени он излучает энергию (Joseph Larmor,
)
2𝑒 𝑎
.
3 𝑐
Полная энергия за время пролёта мимо иона
𝐼=
ℰ=
2 𝑍 𝑒
3𝑚 𝑐
2 𝑍 𝑒
=
3 𝑚 𝑐 𝑣𝑏
𝐼 d𝑡 =
d𝑡
(𝑏 + 𝑣 𝑡 )
d𝑥
𝜋 𝑍 𝑒
=
.
(1 + 𝑥 )
3 𝑚 𝑐 𝑣𝑏
Физика плазмы
/
Поток электронов 𝑛 𝑣 на одном ионе в единицу времени
излучает энергию
𝑃 =
ℰ 𝑛 𝑣 2𝜋 𝑏 d𝑏.
Мощность излучение из единицы объёма плазмы
𝑃=𝑛𝑃 =
2𝜋 𝑍 𝑒 𝑛 𝑛
3
𝑚 𝑐
d𝑏
.
𝑏
()
Интеграл расходится на нижнем пределе. Формально ℰ → ∞ при
𝑏 → 0, но ℰ < 𝑚 𝑣 + 𝐼. Ещё более сильная расходимость
возникает, если учесть искривление траектории электрона.
Истинную причину возникших трудностей вскрывает квантовая
теория.
Физика плазмы
/
Классическая картина движения электрона верна, если
𝑚 𝑣𝑏 ≫ ℏ,
то есть
𝑏 ≫ ℏ/𝑚 𝑣 = 𝜆
и орбитальное квантовое число должно быть велико:
𝑙 = 𝑏/𝜆 ≫ 1.
( )
Приближение далёких пролётов верно, если
𝑏 ≫ 𝑍𝑒 /𝑚 𝑣
⇒ 𝑙 ≫ 𝑍𝑒 /ℏ𝑣.
( )
Область применимости квазиклассического приближения
целиком умещается в области далёких пролётов ( ), если
𝑍𝑒 /ℏ𝑣 ≪ 1.
Физика плазмы
( )
/
В таком случае правильный по порядку величины результат
можно получить, «обрезав» интегрирование в формуле ( ) на
𝑏
∼𝜆 :
𝑃=
2𝜋 𝑍 𝑒 𝑛 𝑛
3
𝑚 𝑐
d𝑏
2𝜋 𝑍 𝑒 𝑛 𝑛
⇒ 𝑃т.и ∼
.
𝑏
3 𝑚 𝑐 𝜆
( )
Индекс «т.и» в обозначении удельной мощности излучения 𝑃т.и
происходит от слов тормозное излучение; используется также
немецкое слово Bremsstrahlung, которое означает вообще любое
излучение, сопряжённое с ускорением заряженной частицы.
Удельная мощность излучения — мощность излучения из
единицы объёма.
Физика плазмы
/
В квантовой теории рассеяния условие
𝑍𝑒 /ℏ𝑣 ≪ 1
характеризует борновское приближение. Оно эквивалентно
требованию
𝜀≫𝐼 ,
𝜀= 𝑚 𝑣 ,
𝐼 = 𝐼𝑍 =
Физика плазмы
𝑚 𝑒
𝑍 = 13,6 𝑍 [эВ] .
2ℏ
/
Оценим частоту излучения. Электрон излучает импульс с
длительностью 𝜏 ∼ 𝑏/𝑣. Следовательно,
𝜔 ∼ 1/𝜏 ∼ 𝑣/𝑏.
Подставляя 𝑏 = 𝑙𝜆 = 𝑙ℏ/𝑚 𝑣, получаем
ℏ𝜔 ∼ 𝜀/𝑙 .
( )
За одно столкновение с ионом электрон излучает
𝑤 = ℰ/ℏ𝜔
( )
фотонов. Так как
ℰ=
𝜋 𝑍 𝑒
𝑍 𝑒
∼
∼ 𝛼 𝑍 /𝑙
3 𝑚 𝑐 𝑣𝑏
𝑚 𝑐 𝑣(𝜆 𝑙)
𝜀,
( )
где 𝛼 = 𝑒 /ℏ𝑐 ≈ 1/137, находим, что
𝑤 = ℰ/ℏ𝜔 ∼ 𝛼 𝑍 /𝑙 ≪ 1.
( )
Эту величину лучше назвать вероятностью излучения.
Физика плазмы
/
Квантовая картина тормозного излучения существенно
отличается от интуитивно ожидаемой: при столкновении с
ионом электрон лишь в редких случаях испускает «жёсткий»
фотон с «предписанной» энергией ℏ𝜔 ∼ 𝜀/𝑙, а не сонм фотонов.
Тем не менее ожидания не безосновательны, так как полное
сечение тормозного излучения потока электронов на
неэкранированном ядре бесконечно. В самом деле,
d𝜎 = 2𝜋 𝑤 𝑏 d𝑏 ∼ 2𝜋
𝛼 𝑍
d𝑙
𝜆 𝑙 d𝑙 ∼ 2𝜋𝛼 𝑍 𝜆
𝑙
𝑙
и интеграл
𝜎=
d𝜎
логарифмически расходится как при 𝑙 → 0 (𝑏 → 0), так и при
𝑙 → ∞ (𝑏 → ∞). В плазме расходимость устраняется обрезанием
=𝜆 и𝑏
= 𝜆D .
области интегрирования при 𝑏
Физика плазмы
/
Через d𝜎 выражается дифференциал числа испущенных фотонов
и дифференциал удельной мощности излучения:
d𝑁 = 𝑛 𝑛 𝑣 d𝜎 ∝
d𝑙
,
𝑙
d𝑃 = ℏ𝜔 d𝑁 =
𝜀
d𝑙
𝑛 𝑛 𝑣 d𝜎 ∝ .
𝑙
𝑙
Определим полное сечение тормозного излучения 𝜎т.и , выразив
через него удельную мощность излучения. Сравнивая
𝑃т.и = 𝜀 𝑛 𝑣 𝑛 𝜎т.и
и
𝑃т.и ∼
2𝜋 𝑍 𝑒 𝑛 𝑛
,
3 𝑚 𝑐 𝜆
получаем
𝜎т.и ∼
𝛼 𝑍 𝜆 ∼ 𝑤 𝜋𝜆 .
( )
По порядку величины интегральное сечение тормозного
излучения 𝜎т.и равно произведению вероятности 𝑤 испускания
жёсткого фотона электроном с орбитальным моментом 𝑙 = 1 на
видимую площадь сечения 𝜋𝜆 области формирования
излучения.
Физика плазмы
/
Выполнив в формуле
𝑃т.и ∼
2𝜋 𝑍 𝑒 𝑛 𝑛
3 𝑚 𝑐 𝜆
усреднение по функции распределения электронов (что
приблизительно соответствует замене 𝑣 → 𝑣 = 𝑇 /𝑚 ) в
𝜆 = ℏ/𝑚 𝑣, можно оценить удельную мощность тормозного
излучения из плазмы с заданной температурой электронов:
𝑃т.и ∼
𝑍 𝑒 𝑛 𝑛𝑇
𝑚
/
𝑐 ℏ
Физика плазмы
/
.
( )
/
Далее…
Типы радиационных переходов
Тормозное излучение
Рекомбинационное излучение
Длина пробега излучения
Циклотронное излучение
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Рекомбинационное излучение возникает в процессе фотозахвата
(фоторекомбинации), в результате которого при столкновении
электрона с ионом образуется нейтральный атом или же
зарядовое число 𝑍 многозарядного иона понижается.
Акт фоторекомбинации с захватом электрона на основной
уровень атома:
𝐴 + 𝑒 → 𝐴 + 𝛾,
ℏ𝜔 = 𝑚 𝑣 + 𝐼 .
Возможен также фотозахват с образованием возбуждённого
атома:
𝐴 + 𝑒 → 𝐴∗ + 𝛾,
ℏ𝜔 = 𝜀 + 𝐼 /𝑘 ,
но затем испускается ещё один фотон (или ещё несколько
фотонов) при переходе электрона на основной уровень.
Физика плазмы
/
В антиборновском приближении, при 𝜀 ≪ 𝐼 , сечение
фоторекомбинации примерно равно сечению тормозного
излучения ( ).
Объяснение: Сильно возбуждённые связанные состояния в
кулоновском поле ядра мало отличаются от близких к их границе
свободных состояний, поэтому электрон в поле ядра почти с
равной вероятностью может излучить энергию как немного
меньше своей начальной энергии 𝜀 (тормозное излучение), так и
немного больше её (рекомбинационное излучение).
Квантовая теория в антиборновском приближении даёт
следующее выражение для сечения фоторекомбинации в
основное состояние водородоподобного атома:
𝜎ф.р ∼ 𝜎т.и ∼
Физика плазмы
𝛼 𝑍 𝜆 .
( )
/
Далее в формуле
𝑃т.и = 𝜀 𝑛 𝑣 𝑛 𝜎т.и ,
нужно заменить 𝜎т.и → 𝜎ф.р и 𝜀 → 𝜀 + 𝐼 :
𝑃ф.р = (𝜀 + 𝐼 ) 𝑛 𝑣 𝑛 𝜎ф.р .
Так как 𝜎ф.р ∼ 𝜎т.и при 𝜀 ∼ 𝑇 ≪ 𝐼 , оценку 𝑃ф.р проще всего
получить, умножив ( ) на 𝐼 /𝑇 :
𝑃ф.р ∼
𝑍 𝑒 𝑛 𝑛
𝑚
/
𝑇
/
Физика плазмы
𝑐 ℏ
.
( )
/
Рекомбинационное излучение преобладает над тормозным, т.е.
𝑃ф.р > 𝑃т.и ,
в низкотемпературной плазме, где
𝑇 <𝐼 .
Вследствие сильной зависимости от 𝑍 рекомбинационное
излучение значительно возрастает при загрязнении плазмы
тяжёлыми ионами.
Физика плазмы
/
Далее…
Типы радиационных переходов
Тормозное излучение
Рекомбинационное излучение
Длина пробега излучения
Циклотронное излучение
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Прежде чем отождествлять вычисленную мощность излучения
из единицы объёма плазмы с потерями энергии, надо
проверить, что излучение не поглощаются в плазме недалеко от
места излучения. Рассмотрим тормозное поглощение:
𝐴 + 𝑒 + 𝛾 → 𝐴 + 𝑒.
В поле э/м волны с амплитудой 𝐸 и частотой 𝜔 электроны
осциллируют со скоростью
𝑣 =
𝑒𝐸
.
𝑚 𝜔
Ей соответствует «осцилляторная» энергия в единице объёма
𝑛
𝜔 𝐸
𝑚 𝑣
𝑛 𝑒 𝐸
=
=
,
2
2𝑚 𝜔
𝜔 8𝜋
Физика плазмы
𝜔 =
4𝜋𝑒 𝑛 /𝑚 .
( )
/
За счёт столкновений с ионами направленное движение
электронов изотропизуется, а «осцилляторная» энергия
превращается в тепло. Темп диссипации энергии
( )
( )
пропорционален 2𝜈 (𝜈 или 𝜈 ?). Поток энергии в волне
равен 𝑐 𝐸 /8𝜋 и убывает за счёт диссипации. Выбирая ось 𝑥 в
направлении распространения волны, получаем уравнение
𝜔 𝐸
d 𝐸
𝑐
= −2𝜈
.
d𝑥 8𝜋
𝜔 8𝜋
Его решением является экспоненциально убывающая функция
𝐸
𝐸
=
e
8𝜋
8𝜋
/ℓ
,
где
ℓ=
𝑐 𝜔
.
𝜈 𝜔
Физика плазмы
/
Оценивая длину пробега излучения
ℓ=
𝑐 𝜔
,
𝜈 𝜔
нужно учесть, что 𝜔 ∼ 𝑇 /ℏ и
𝜈 = 𝑛 𝜎 𝑣,
𝜎 = 4𝜋 𝛬
⏟ 𝑍 𝑒 /𝑚 𝑣 ⇒ 4𝜋𝑍 𝑒 /𝑚 𝑣 ,
⇒
так как обычная формула для 𝜎 (с 𝛬 ≫ 1) относится к случаю
далёких пролётов, а электрон излучает при близких пролётах.
/
ℓ∼
/
𝑐𝑚 𝑇
.
𝑛 𝑛𝑍 𝑒 ℏ
( )
Лабораторная плазма обычно прозрачна для тормозного
излучения. Непрозрачны ядра звёзд.
Физика плазмы
/
S
ℓ
L
Figure: Мощность излучения с
единицы поверхности
излучающего тела при заданной
температуре и плотности
плазмы увеличивается
пропорционально линейным
размерам тела 𝐿, пока они
меньше длины пробега
излучения ℓ. При 𝐿 > ℓ
мощность излучения с единицы
поверхности определяется
законом Стефана-Больцмана.
Физика плазмы
/
Пусть 𝐿 — характерный линейный размер излучающего тела.
Обозначим через 𝑆 мощность излучения, отнесённую к единице
поверхности и установим зависимость 𝑆 от 𝐿. При 𝐿 ≪ ℓ
мощность 𝑆 пропорциональна размеру тела 𝐿:
𝑆∼
𝑃𝐿
∼ 𝑃𝐿.
𝐿
При 𝐿 ≫ ℓ излучение выходит только из поверхностного слоя
толщины порядка ℓ:
𝑆∼
𝑃𝐿 ℓ
∼ 𝑃ℓ.
𝐿
Подставив сюда мощность тормозного излучения, получим закон
Стефана-Больцмана (Joz̆ef Stefan,
; Ludwig Boltzmann,
):
𝑆∼
𝑇
.
𝑐 ℏ
Физика плазмы
/
Далее…
Типы радиационных переходов
Тормозное излучение
Рекомбинационное излучение
Длина пробега излучения
Циклотронное излучение
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Циклотронное излучение (магнитотормозное, синхротронное)
возникает, если в плазме имеется магнитное поле. Согласно
постулатам квантовой механики, часть кинетической энергии
электрона, отвечающая движению в плоскости,
перпендикулярной магнитному полю, может принимать
значения (уровни Ландау)
𝑚 𝑣 = 𝑠+
ℏ𝜔 ,
𝑠 = 0, 1, 2, … ,
𝜔
= |𝛺 | =
𝑒𝐵
.
𝑚 𝑐
Переходы электронов между уровнями Ландау приводят к
излучению или поглощению электромагнитных волн на частотах,
кратных 𝜔 . Излучение на первой гармонике, т. е. на частоте
𝜔 = 𝜔 , описывается в рамках дипольного приближения, а
излучение на более высоких гармониках, 𝜔 = 2𝜔 , 𝜔 = 3𝜔 и
т. д., имеет релятивистское происхождение и возникает в
следующих порядках мультипольного разложения.
Физика плазмы
/
Интенсивность излучения в дипольном приближении на первой
гармонике:
2𝑒
2𝑒
𝐼=
𝑎 =
(𝜔 𝑣 ) .
3𝑐
3𝑐
В соответствии с уравнением
d 𝑚 𝑣
2𝑒 2𝜔
= −𝐼 = −
d𝑡 2
3𝑐 𝑚
𝑚 𝑣
4𝑒 𝐵 𝑚 𝑣
=−
,
2
2
3𝑚 𝑐
энергия электрона уменьшается в e = 2,71 … раз за время
𝜏 = 3𝑚 𝑐 /4𝑒 𝐵 .
При 𝐵 = 50 кГс «время высвечивания» составляет 0,1 сек.
Не путать основание натурального логарифма
Физика плазмы
и элементарный заряд .
/
Удельная мощность циклотронного излучения:
𝑃ц.и = 𝑛 ⟨𝐼⟩ = 𝑛
2𝑒
𝜔
3𝑐
⟨𝑣 ⟩ =
/
4𝑒 𝐵 𝑇𝑛
.
3 𝑚 𝑐
( )
Она может быть больше мощности, выделяемой в термоядерных
реакциях. Однако в плотной плазме низшие гармоники сильно
поглощаются и не выходят наружу. В результате излучаются
преимущественно высшие гармоники, а их интенсивность при
𝑇 ≪ 𝑚 𝑐 на порядки меньше, чем по нашей оценке. Кроме
того, циклотронное излучение относительно длинноволновое.
При 𝐵 = 50 кГс длина волны составляет 𝜆 = 2𝜋𝑐/𝜔 = 2 мм.
Такое излучение (в отличие от тормозного) хорошо отражается
металлическими стенками и может быть возвращено в плазму.
Физика плазмы
/
Далее…
Типы радиационных переходов
Тормозное излучение
Рекомбинационное излучение
Длина пробега излучения
Циклотронное излучение
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Задачи для семинара I
? . с дополнением - переписать излучённую энергию и
удельную мощность тормозного излучения, не считая
вторую частицу покоящейся,
– не понял
. ( . н.н.) Оценить мощность тормозного и
рекомбинационного излучения в случае 𝑚 𝑣 ≪ 𝐼 , когда
в процессе излучения доминируют близкие столкновения с
заметным искривлением траектории электрона.
.
( . . н.н.) Определить зависимость сечения тормозного
излучения от частоты.
.
( . . н.н.) Найти спектр тормозного излучения в плазме с
максвелловским распределением электронов по скоростям.
Физика плазмы
/
Задачи для семинара II
оценка времён высвечивания энергии для ГДЛ, ТЯ реактора,
газового разряда + оценка времени выхода излучения из
центра Солнца (меньше на . порядка по сравнению с
википедией).
Номера задач указаны по книге «Лекции по физике плазмы».
Физика плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
ноября
г.
Лекция
Элементарные процессы в плазме
Ионизация электронным ударом.
Тройная рекомбинация.
Фоторекомбинация и фотоионизация.
Ступенчатые процессы.
Корональное равновесие.
Резонансная перезарядка (семинар).
Физика плазмы
/
Как показано в лекции , степень ионизации термодинамически
равновесной плазмы определяется её температурой 𝑇 и
плотностью 𝑛 в соответствии с уравнением Саха. В
неравновесной плазме необходимо анализировать
элементарные процессы. К их числу относятся: ионизация, т. е.
выбивание связанного электрона из нейтрального или частично
ионизованного атома, рекомбинация — захват ионом
свободного электрона, перезарядка — передача связанного
электрона от атома к иону, возбуждение — переход связанного
электрона в связанное состояние с большей энергией, тушение
(дезактивация) — переход связанного электрона в связанное
состояние с меньшей энергией, диссоциация — распад молекулы
на более простые молекулы, атомы или ионы, ассоциация —
объединение атомов или ионов в молекулы или простых
молекул в более сложные, и т.д.
Мы рассмотрим некоторые из таких процессов.
Физика плазмы
/
Далее…
Ионизация электронным ударом
Тройная рекомбинация
Ступенчатая ионизация
Фоторекомбинация
Фотоионизация
Корональное равновесие
Резонансная перезарядка (на семинаре)
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
e
r
b
e
Figure: Приближение далёких
пролётов при вычислении сечения
ионизации электронным ударом.
Предполагается, что скорость
атомарного электрона
пренебрежимо мала по
сравнению со скоростью
налетающего электрона, который
движется по прямой с постоянной
скоростью.
Рассмотрим ионизацию электронным ударом
𝐴+𝑒 →𝐴 +𝑒+𝑒
()
на примере атома водорода. Простейшая модель этого процесса
предложена Дж. Томсоном (Joseph Thomson).
Физика плазмы
/
Пусть верно приближение далёких пролётов, т.е.
𝜀 ≫ 𝐼,
𝜀= 𝑚 𝑣 ,
𝐼 = 𝑚 (𝛼𝑐) = 𝑚 𝑒 /ℏ .
Вычислим переданную энергию:
ℰ=
𝑝
,
2𝑚
𝑝 =
𝑒 𝑏
(𝑏 + 𝑣 𝑡 )
/
d𝑡 =
2𝑒
.
𝑣𝑏
Отсюда
𝑏 =
𝑒
,
𝜀ℰ
d𝜎
d𝑏
𝜋𝑒
= 𝜋
=
.
dℰ
dℰ
𝜀ℰ
( )
Ионизация происходит, если ℰ > 𝐼. С другой стороны, ℰ < 𝜀,
поэтому
𝜎у.и =
d𝜎
𝜋𝑒
dℰ =
dℰ
𝜀
Физика плазмы
1 1
−
.
𝐼
𝜀
/
Формула Дж. Томсона (Joseph Thomson,
𝜎у.и =
σ у.и , см2
10
10
10
10
10
𝜋𝑒
𝜀
1 1
𝐼
𝐼
−
= 4𝜋𝑎B
1− ,
𝐼
𝜀
𝜀
𝜀
):
𝑎B = 𝑒 /2𝐼.
( )
–16
–17
–18
–19
–20
10
102
103
ε, эВ
104
105
Figure: Сечение ионизации атома
водорода электронным ударом из
основного состояния. Сплошная
линия — экспериментальное
сечение, штриховая —
вычисленное по формуле Томсона.
Физика плазмы
/
Формула Томсона качественно верно отражает зависимость
сечения ударной ионизации от энергии налетающего электрона.
Она предсказывает, что максимальное сечение
𝜎max = 𝜋𝑎B ≈ 0,9×10
см
достигается при 𝜀 = 2𝐼. Даже вблизи порога ионизации 𝜀 = 𝐼,
где приближение далёких приближений нарушается, она
правильно предсказывает, что сечение
𝜎у.и ≈ 𝜎 ×(𝜀 − 𝐼)/𝐼
пропорционально разности 𝜀 − 𝐼.
Однако для количественных расчётов формула используют
аппроксимирующие формулы, которые можно найти в базе
данных Международного агентства по атомной энергии
(МАГАТЭ).
Физика плазмы
/
Сколько электронов появляется в единице объёма в единицу
времени?
Один электрон со скоростью 𝑣 в единицу времени производит
𝑛 𝜎у.и 𝑣 пар ионов и электронов, если плотность атомов равна 𝑛 .
Величина 𝑛 ⟨𝜎у.и 𝑣⟩, усреднённая по распределению свободных
электронов, имеет смысл частоты ионизации. Следовательно,
темп нарастания плотности электронов описывается уравнением
𝜕𝑛
𝜕𝑡
= ⟨𝜎у.и 𝑣⟩𝑛 𝑛 = 𝑘у.и 𝑛 𝑛 ,
( )
у.и
где
𝑘у.и = ⟨𝜎у.и 𝑣⟩,
называют константой скорости ударной ионизации.
Физика плазмы
/
Вычисление по формуле Томсона в пределе 𝑇 ≪ 𝐼 даёт
пр
𝑘у.и = 8√𝜋 𝛼𝑐 𝑎B (𝑇 /𝐼)
/
exp (−𝐼/𝑇 ) ,
( )
σ у.иv , см3/сек
где 𝛼 = 𝑒 /ℏ𝑐 ≈ 1/137, а индекс «пр» напоминает, что
предполагалась «прямая» ионизация из основного состояния за
одно столкновения атома с электроном.
10
–8
10
–9
1
10
102
Te , эВ
103
Figure: Коэффициент ионизации
атома водорода электронным
ударом из основного состояния.
Сплошная линия —
экспериментальные данные,
штриховая — расчёт по формуле
104 Томсона.
Физика плазмы
/
Наряду с рассмотренным процессом «прямой» ионизации
возможен и другой сценарий выбивания электрона из атома, при
котором атом сначала переходит в возбуждённое состояние. При
следующих столкновениях он ещё более возбуждается, а уж
затем ионизуется. В этом сценарии атом проходит целую серию
возбуждённых состояний, а соответствующий процесс
называется ступенчатой ионизацией. В отличие от неё,
ионизация в одну стадию называется прямой.
пр
ст
Константы прямой 𝑘у.и и ступенчатой 𝑘у.и
ударной ионизации мы
сравним позднее. Константа 𝑘у.и в уравнении баланса должна
учитывать как прямую, так и ступенчатую ионизацию.
Физика плазмы
/
Далее…
Ионизация электронным ударом
Тройная рекомбинация
Ступенчатая ионизация
Фоторекомбинация
Фотоионизация
Корональное равновесие
Резонансная перезарядка (на семинаре)
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Пока электронов мало, уравнение
𝜕𝑛
𝜕𝑡
= 𝑘у.и 𝑛 𝑛 ,
у.и
/
описывает нарастание их плотности по закону
𝑛 ∝ exp(𝑡/𝜏).
По мере увеличения плотности электронов в игру вступает
обратный процесс рекомбинации, который ведёт к уменьшению
числа электронов.
Рассмотрим тройную рекомбинацию
𝐴 + 𝑒 + 𝑒 → 𝐴 + 𝑒,
( )
которая противоположна ионизации электронным ударом.
Физика плазмы
/
В процессе тройной рекомбинации, как правило, сначала
образуется атом в возбуждённом состоянии:
𝐴 + 𝑒 + 𝑒 → 𝐴∗ + 𝑒.
( )
Затем после нескольких столкновений с другими электронами
атом переходит в основное состояние, т. е. весь процесс является
ступенчатым, протекая в несколько стадий, причём
𝜕𝑛
𝜕𝑡
= −𝑘у.р 𝑛 𝑛 .
( )
у.р
При 𝑇 ≪ 𝐼 коэффициент рекомбинации 𝑘у.р определяется самой
первой стадией, когда свободный электрон впервые
захватывается на возбуждённый атомарный уровень:
ст
∗
𝑘у.р ∼ 𝑘у.р
∼ 𝑘у.р
.
Физика плазмы
/
Оценим константу ступенчатой тройной рекомбинации,
ст
∗
предполагая, что 𝑘у.р
∼ 𝑘у.р
. В соответствии с формулой
𝑏 =
𝑒
,
𝜀ℰ
столкновение электронов, сопровождающееся передачей всей
кинетической энергии ℰ ∼ 𝜀, происходит в том случае, когда
𝑏 ∼ 𝑒 /𝜀. Так как 𝜀 ∼ 𝑇 , сечение такого процесса
𝜎
∼ 𝜋𝑏 ∼ 𝜋 (𝑒 /𝑇 ) .
Число таких столкновений электронов в единице объёма за
единицу времени
⟨𝜎 𝑣⟩𝑛 ∼ 𝜋 (𝑒 /𝑇 ) 𝑣 𝑛 ,
Физика плазмы
𝑣
∼
𝑇 /𝑚 .
/
Рекомбинация происходит в том случае, когда на расстоянии
𝑏 ≲ 𝑒 /𝑇 , находится ион. Число таких столкновений в
𝑛 𝑏 ∼ 𝑛 (𝑒 /𝑇 )
раз меньше полного числа столкновений электронов с указанной
передачей энергии:
𝜕𝑛
𝜕𝑡
= −𝑘у.р 𝑛 𝑛 ∼ −⟨𝜎 𝑣⟩𝑛 𝑛 𝑏 ,
у.р
ст
𝑘у.р
∼ ⟨𝜎 𝑣⟩𝑏 ∼ 𝜋 (𝑒 /𝑇 )
𝑇 /𝑚 .
ст
𝑘у.р
= 𝔸ст
у.р 𝛼𝑐 𝑎B (𝐼/𝑇 )
𝑒 = 2𝐼 𝑎B ,
𝑚 = 2𝐼/(𝛼𝑐) ,
Физика плазмы
/
,
𝔸ст
у.р = 2
( )
/
𝜋 ≈ 71.
/
Далее…
Ионизация электронным ударом
Тройная рекомбинация
Ступенчатая ионизация
Фоторекомбинация
Фотоионизация
Корональное равновесие
Резонансная перезарядка (на семинаре)
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
В низкотемпературной плазме (прямая) ударная ионизация
атома из основного состояния за одно столкновение может
происходить только за счёт надтепловых электронов с энергией
𝜀 ≫ 𝑇 . Имеется альтернативный процесс ступенчатой
ионизации, когда атом проходит целую серию возбуждённых
состояний под воздействием соударений с электронами
𝐴 + 𝑒 → 𝐴∗ + 𝑒,
а затем и ионизуется из возбуждённого состояния:
𝐴∗ + 𝑒 → 𝐴 + 𝑒 + 𝑒.
Физика плазмы
/
Вероятность ионизации из возбуждённого состояния заметно
больше, чем из основного состояния. Соответствующее сечение
получается из формулы Томсона при замене 𝐼 → 𝐼 = 𝐼/𝑘 :
∗
𝜎у.и
=
𝜋𝑒
𝜀
1
1
𝐼
𝐼
−
= 4𝜋𝑎B
1−
×𝑘 .
𝐼
𝜀
𝜀
𝜀
Физика плазмы
( )
/
Для вычисления константы ступенчатой ионизации, исходя из
динамики столкновений, следовало бы проанализировать всю
цепочку превращений атома в ион из основного состояния через
промежуточные возбуждённые состояния. Существующая
теория не позволяет сделать это. Однако константу ступенчатой
ст
всё-таки можно найти, если считать, что плотность
ионизации 𝑘у.и
электронов в системе достаточно велика, так что все переходы
между возбуждёнными состояниями осуществляются только в
результате столкновений с электронами, а не за счёт излучения
или поглощения фотонов. В этом случае процесс ступенчатой
ионизации оказывается детально противоположным по
отношению к процессу тройной рекомбинации. Иными словами,
в ходе этих двух процессов атомы претерпевают одинаковую
цепочку превращений, но в противоположных направлениях.
Физика плазмы
/
Воспользуемся принципом детального равновесия. Пусть
электроны находятся в термодинамическом равновесии с
атомами, причём образование заряженных частиц происходит за
счёт ступенчатой ионизации, а их уничтожение — в результате
ступенчатой тройной рекомбинации, так что уравнение баланса
для плотности электронов имеет вид
𝜕𝑛
ст
ст
= 𝑘у.и
𝑛 𝑛 − 𝑘у.р
𝑛 𝑛.
𝜕𝑡
В состоянии равновесия 𝜕𝑛 /𝜕𝑡 = 0, т. е.
ст
ст
𝑛 𝑛 /𝑛 = 𝑘у.и
/𝑘у.р
.
С другой стороны, в соответствии с уравнением Саха
𝑛𝑛
𝑔𝑔 e
= 𝐾(𝑇) =
𝑛
𝑔
𝜆
/
=
Физика плазмы
𝑔𝑔 e /
𝑔
𝑎B
𝑇
4𝜋𝐼
/
.
/
ст
𝑘у.и
𝑛 𝑛
= ст ,
𝑛
𝑘у.р
𝑛 𝑛
𝑔𝑔 e /
= 𝐾(𝑇) =
𝑛
𝑔
𝑎B
𝑇
4𝜋𝐼
/
.
Следовательно,
ст
ст
𝑘у.и
= 𝑘у.р
𝐾(𝑇 ).
Подставляя сюда формулу
ст
𝑘у.р
= 𝔸ст
у.р 𝛼𝑐 𝑎B (𝐼/𝑇 )
/
,
( )
получаем
ст
𝑘у.и
= 𝔸ст
у.и 𝛼𝑐 𝑎B (𝐼/𝑇 ) exp(−𝐼/𝑇 ),
ст
где 𝔸ст
у.и ∼ (𝑔 𝑔 /𝑔 ) 𝔸у.р /(4𝜋)
/
( )
.
При 𝑇 ≪ 𝐼
пр
ст
𝑘у.и
/𝑘у.и ∼ (𝐼/𝑇 )
Физика плазмы
/
≫ 1.
/
Далее…
Ионизация электронным ударом
Тройная рекомбинация
Ступенчатая ионизация
Фоторекомбинация
Фотоионизация
Корональное равновесие
Резонансная перезарядка (на семинаре)
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
В процессе фоторекомбинации энергию, высвободившуюся при
переходе свободного электрона в связанное состояние, уносит
фотон:
𝐴 + 𝑒 → 𝐴 + 𝛾.
𝜕𝑛
𝜕𝑡
= 𝑘ф.р 𝑛 𝑛 .
( )
ф.р
Константа фоторекомбинации
𝑘ф.р = 𝜎ф.р 𝑣 ,
𝜎ф.р ∼
4𝜋
𝛼 𝑍 𝜆 ,
3
𝜆 = (𝐼/𝜀) 𝑎B ,
𝑣→𝑣
𝑘ф.р = 𝔸ф.р 𝛼 𝑍 𝛼𝑐 𝑎B (𝐼/𝑇 )
𝔸ф.р = 2 𝜋
/
/
∼ 𝛼𝑐 (𝑇 /𝐼)
/
.
,
/3 (2, 71 …) ≈ 17,4.
Физика плазмы
/
Далее…
Ионизация электронным ударом
Тройная рекомбинация
Ступенчатая ионизация
Фоторекомбинация
Фотоионизация
Корональное равновесие
Резонансная перезарядка (на семинаре)
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Процессом, обратным фоторекомбинации, является
фотоионизация (фотоэффект):
𝐴 + 𝛾 → 𝐴 + 𝑒.
Скорость процесса пропорциональна плотности атомов и
фотонов, но последнюю величину включают в константу
процесса:
𝜕𝑛
= 𝑘ф.и 𝑛 .
𝜕𝑡 ф.и
( )
( )
Поэтому для 𝑘ф.и нет универсальных формул.
Если излучение заперто в плазме и находится в
термодинамическом равновесии с ней, число квантов в единице
объёма есть функция температуры 𝑇. При этом можно
установить связь между 𝑘ф.и и 𝑘ф.р , пользуясь принципом
детального равновесия:
𝑘ф.и = 𝑘ф.р 𝐾(𝑇 ).
Физика плазмы
/
Далее…
Ионизация электронным ударом
Тройная рекомбинация
Ступенчатая ионизация
Фоторекомбинация
Фотоионизация
Корональное равновесие
Резонансная перезарядка (на семинаре)
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Уравнение баланса с учётом всех рассмотренных процессов:
𝜕𝑛
= 𝑘у.и 𝑛 𝑛 − 𝑘у.р 𝑛 𝑛 + 𝑘ф.и 𝑛 −𝑘ф.р 𝑛 𝑛 .
𝜕𝑡
( )
малы в редкой плазме
В равновесии
𝜕𝑛
= 𝑘у.и 𝑛 𝑛 − 𝑘ф.р 𝑛 𝑛 = 0.
𝜕𝑡
Отсюда получаем формулу формулой Эльверта (G. Elwert,
𝛼 = 𝑛 /𝑛 = 𝑘у.и /𝑘ф.р .
( )
)
( )
Это так называемое корональное равновесие. Оно
осуществляется в солнечной короне. Степень ионизации в
корональном равновесии не зависит от плотности плазмы.
Физика плазмы
/
Далее…
Ионизация электронным ударом
Тройная рекомбинация
Ступенчатая ионизация
Фоторекомбинация
Фотоионизация
Корональное равновесие
Резонансная перезарядка (на семинаре)
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
В процессе перезарядки атом в столкновении с ионом передаёт
ему свой электрон:
𝐴 + 𝐵 → 𝐴 + 𝐵.
( )
При этом число заряженных частиц не меняется, т. е.
𝜕𝑛
𝜕𝑡
= 0.
( )
cx
В резонансной перезарядке участвуют атомы и ионы одного и
того же сорта:
𝐴 + 𝐴 → 𝐴 + 𝐴.
(
Физика плазмы
)
/
σcx , см2
10
10
10
–15
–16
–17
10
–18
1
10
102
103
ε, эВ
104
105
Figure: Сечение резонансной
перезарядки атома водорода на
ионе водорода в зависимости от
энергии налетающего атома
(сплошная кривая). Сечение
нерезонансной перезарядки из
основного состояния s в
состояние p (штрих-пунктирная
кривая) и s (штриховая линия) на
несколько порядков меньше.
Физика плазмы
/
Оценим сечение резонансной перезарядки 𝜎 на примере
атома водорода при 𝑣 ≪ 𝑣 . Предположим, что атом и ион
движутся классически и прямолинейно.
U
r
I
b
Figure: Потенциальная энергия
электрона в поле двух протонов.
Связанный электрон, находящийся
на атомарной уровне с энергией
ионизации 𝐼, может перейти на
такой же уровень соседнего иона
под потенциальным барьером. При
равенстве энергии двух уровней
процесс носит резонансный
характер.
Физика плазмы
/
Вследствие подбарьерного прохождения вероятность
обнаружить атомарный электрон на расстоянии 𝑟 ∼ 𝑏 от атома
мала, но не равна нулю, даже если 𝑟 ≫ 𝑎B . Вероятность
подбарьерного просачивания на расстояние 𝑏 оценивается как
𝑤 ∼ exp(−2 2𝐼/𝑚 𝑏/ℏ) = exp(−2𝑏/𝑎B ).
За время пролёта
𝛥𝑡 ∼ 𝑏/𝑣
связанный электрон, обращаясь вокруг ядра атома за время
𝜏 ∼ 𝑎B /𝑣 ≪ 𝛥𝑡,
успеет 𝛥𝑡/𝜏 раз оказаться на стороне иона и каждый раз с
вероятностью 𝑤 захватиться на его орбиту. Таким образом,
вероятность перезарядки по порядку величины равна
𝑤𝛥𝑡/𝜏 ∼ (𝑏𝑣 /𝑎B 𝑣) exp(−2𝑏/𝑎B ).
Физика плазмы
( )
/
𝑤𝛥𝑡/𝜏 ∼ (𝑏𝑣 /𝑎B 𝑣) exp(−2𝑏/𝑎B ).
Если формально 𝑤𝛥𝑡/𝜏 > 1, электрон много раз за время
сближения иона с атомом успеет поменять «прописку» и в итоге
с вероятностью остаться на орбите другого ядра. Полагая
𝑤𝛥𝑡 =
1
,
2
находим максимальное расстояние 𝑏cx , на котором процесс
обмена электроном между ядрами не задавлен потенциальным
барьером:
𝑏cx ∼ 𝑎B ln(𝑣 /𝑣).
Следовательно,
𝜎cx ∼ 𝜋𝑏cx ∼ 𝜋𝑎B ln (𝑣 /𝑣).
Физика плазмы
( )
/
Далее…
Ионизация электронным ударом
Тройная рекомбинация
Ступенчатая ионизация
Фоторекомбинация
Фотоионизация
Корональное равновесие
Резонансная перезарядка (на семинаре)
Задачи для семинара
Физика плазмы
/
Задачи для семинара I
пр
- ( . н.н.) Вычислить 𝑘у.и = ⟨𝜎у.и 𝑣⟩ при 𝑇 ≪ 𝐼, усреднив
сечение ионизации ( ) по максвелловской функции
распределения электронов.
То же для 𝑇 ≫ 𝐼.
-
( . н.н.) Вычислить константу скорости прямой тройной
пр
рекомбинации 𝑘у.р непосредственно в основное состояние,
минуя захват электрона на возбуждённые уровни.
Параграф . ( . н.н.) (вывод сечения резонансной
перезарядки).
Оценка степени ионизации для Солнечной короны
(𝑛 = 10 см , 𝑇 = 100 эВ) и сравнение с формулой Саха.
Номера задач указаны по книге «Лекции по физике плазмы».
Физика плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
ноября
г.
Лекция
Термоядерные реакции
Физика ядерных реакций
Топливные циклы
Кулоновский барьер
Критерий Лоусона
Управляемый термоядерный синтез
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Физика ядерных реакций
Топливные циклы
DT цикл
Астрофизические циклы
Анейтронные циклы
Кулоновский барьер
Параметры термоядерных реакций
Зажигание термоядерной реакции
Потери на излучение
Критерий Лоусона
Тройное произведение
Управляемый термоядерный синтез
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
В периодической системе Д. И. Менделеева химические
элементы расположены в порядке возрастания числа протонов
𝑍 в ядрах атомов. Ядра атомов содержат также электрически
нейтральные нейтроны. Ядра с одинаковым 𝑍, но с разным
числом нейтронов относят к разным изотопам химического
элемента. Отдельный изотоп характеризуется атомным весом 𝐴,
который, по определению, равен числу нуклонов (протонов +
нейтронов) в ядре. Атомный вес почти не влияет на физические и
химические свойства вещества. В ядрах атомов нуклоны
удерживаются ядерными силами. Компенсируя кулоновское
расталкивание протонов, они обеспечивают стабильность ядер.
Основы Физики Плазмы
/
Масса ядра 𝑚 с атомным номером 𝑍 и атомным весом 𝐴 меньше
суммы масс 𝑍 протонов и (𝐴 − 𝑍) нейтронов на величину
дефекта массы
𝛥𝑚 = 𝑍𝑚 + (𝐴 − 𝑍)𝑚 − 𝑚.
Энергия связи 𝛥𝑚 𝑐 варьируется от элемента к элементу и от
изотопа к изотопу.
Если два лёгких ядра сливаются в одно ядро большего размера,
дефект массы которого больше суммы дефектов масс
прореагировавших ядер, соответствующая разность энергии
связи высвобождается в виде кинетической энергии продуктов
реакций ядерного синтеза, которые называют также
термоядерными реакциями.
В реакциях деления ядер тяжёлое ядро расщепляется на более
лёгкие осколки. Если суммарная энергия связи осколков
превышает энергию связи исходного ядра, она выделяется в
виде кинетической энергии осколков.
Основы Физики Плазмы
/
10
62
Ni
4
2
Δmc /A, МэВ/нуклон
8
16
12
C
He
O
11
B
6
7
6
Li
Li
Fusion
4
T
3
2
Fission
Синтез
Деление
He
D
p
0
1
2
5
10
100
20
50
Атомный вес A
150
200
250
Figure: Энергия связи ядер в расчёте на один нуклон в зависимости от
атомного веса. В настоящее время известен 3181 изотоп, в том числе
256 стабильных изотопов и 47 изотопов с временем жизни более года.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Физика ядерных реакций
Топливные циклы
DT цикл
Астрофизические циклы
Анейтронные циклы
Кулоновский барьер
Параметры термоядерных реакций
Зажигание термоядерной реакции
Потери на излучение
Критерий Лоусона
Тройное произведение
Управляемый термоядерный синтез
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
В большинстве реакций ядерного синтеза два ядра (X и X )
сливаются, образуя более тяжёлое ядро (X ) и лёгкую частицу
(X ). Такая реакция записывается как
X +X →X +X
либо
X (x , x )X .
Законы сохранения энергии и импульса запрещают слияние двух
ядер с образованием только одного ядра без испускания второй
частицы, но разрешают возникновение трёх частиц. Например,
при слиянии двух ядер трития образуется 𝛼-частица и два
нейтрона.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Физика ядерных реакций
Топливные циклы
DT цикл
Астрофизические циклы
Анейтронные циклы
Кулоновский барьер
Параметры термоядерных реакций
Зажигание термоядерной реакции
Потери на излучение
Критерий Лоусона
Тройное произведение
Управляемый термоядерный синтез
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Figure: Взрыв первого термоядерного устройства Ivy Mike
года на атолле Enewetak в Тихом океане.
Основы Физики Плазмы
октября
/
В конце
года А. Д. Сахаров и И. Е. Тамм сформулировали
идею магнитного термоядерного реактора, работающего на
смеси дейтерия и трития:
D + T −−→ He + n
%
D + D −−→ T + p
%
−−→ He + n
T + T −−→ He + n + n
[17,59 МэВ],
()
[ 4,03 МэВ],
[ 3,27 МэВ],
[11,33 МэВ].
В тех реакциях, где образуются две частицы, суммарная энергия
ℰfus = 𝛥𝑚 𝑐 распределяется обратно пропорционально массе
частиц. Например, в реакции T(d, n) He нейтрон уносит энергию
ℰn = 14,1 МэВ (4/5 от ℰfus ), а 𝛼-частица — ℰch = 3,5 МэВ (1/5 от
ℰfus ). При большем числе продуктов, как в реакции T(t, nn) He,
можно указать диапазон энергий каждого продукта.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Физика ядерных реакций
Топливные циклы
DT цикл
Астрофизические циклы
Анейтронные циклы
Кулоновский барьер
Параметры термоядерных реакций
Зажигание термоядерной реакции
Потери на излучение
Критерий Лоусона
Тройное произведение
Управляемый термоядерный синтез
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Излучая свет миллиарды лет, Солнце и другие звёзды черпают
энергию из термоядерных реакций, перерабатывая водород в
гелий. Имеются две основные цепочки реакций, причём обе
сопровождаются превращениями протонов в нейтроны с
образованием нейтрино 𝜈 . В Солнце доминирует водородный
(pp) цикл:
p + p −−→ D + e + 𝜈
[ 1,44 МэВ],
D + p −−→ He + 𝛾
[ 5,49 МэВ],
He + He −−→ He + p + p
[12,86 МэВ].
( )
Наличие нейтрино 𝜈 и фотонов 𝛾 в продуктах реакций
свидетельствует, что в синтез новых ядер вовлечено
электро-слабое взаимодействие; следовательно, сечения этих
реакций чрезвычайно малы.
Основы Физики Плазмы
/
В более тяжёлых звёздах преобладает углеродный (CNO) цикл, в
котором углерод C выступает в качестве катализатора (а не
расходного материала):
p+
C −−→
[ N −−→
N+𝛾
[1,94 МэВ],
C + e + 𝜈 + 𝛾]
[2,22 МэВ],
p+
C −−→
N+𝛾
[7,55 МэВ],
p+
N −−→
O+𝛾
[7,29 МэВ],
N + e + 𝜈 + 𝛾]
[2,76 МэВ],
C + He
[4,97 МэВ].
[ O −−→
p+
N −−→
( )
В квадратных скобках здесь указаны реакции бета-распада
радиоактивных (неустойчивых) изотопов.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Физика ядерных реакций
Топливные циклы
DT цикл
Астрофизические циклы
Анейтронные циклы
Кулоновский барьер
Параметры термоядерных реакций
Зажигание термоядерной реакции
Потери на излучение
Критерий Лоусона
Тройное произведение
Управляемый термоядерный синтез
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Нейтроны не возникают в реакции синтеза дейтерия с гелием- :
D + He −−→ He + p
[18,35 МэВ].
( )
Однако нейтроны образуются в цепочках реакций,
начинающихся с D(d, p)T и D(d, n) He.
Более «чистой» является смесь бора- и протия:
B + p −−→ 3 He
[8,68 МэВ].
( )
Реакции, в которых нейтроны уносят не более процента
выделившейся энергии, называют анейтронными или
безнейтронными. Для нейтронных реакций требуются
существенно более высокая температура, чем для реакции
дейтерия с тритием, а реактор при существующих
технологических ограничениях должен иметь существенно
бо́льшие размеры.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Физика ядерных реакций
Топливные циклы
DT цикл
Астрофизические циклы
Анейтронные циклы
Кулоновский барьер
Параметры термоядерных реакций
Зажигание термоядерной реакции
Потери на излучение
Критерий Лоусона
Тройное произведение
Управляемый термоядерный синтез
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Ub
ZaZbe2/r
ε
rn
−∆mc2
−Un
rt
r
Figure: Потенциальная энергия
взаимодействия ядер в зависимости от
расстояния между ними. Отмечены
кулоновский барьер 𝑈 ,
потенциальная яма −𝑈 , классическая
точка отражения 𝑟 и радиус сильного
взаимодействия 𝑟 . Если энергия
относительного движения меньше
высоты кулоновского барьера, 𝜀 < 𝑈 ,
сталкивающиеся ядра с некоторой
вероятностью соединяются, проходя
под потенциальным барьером
благодаря квантовому эффекту
туннелирования. Синтезированное
ядро переходит на квантовый уровень
с отрицательной энергией −𝛥𝑚 𝑐 , при
этом избыточная энергия 𝜀 + 𝛥𝑚 𝑐
выделяется в виде кинетической
энергии продуктов реакции.
Основы Физики Плазмы
/
Чтобы соединить два ядра с атомным весом 𝐴 и 𝐴 , их нужно
сблизить на расстояние
𝑟 ≃ 1,44 × 10
𝐴
/
+𝐴
/
[см] ,
где начинают действовать ядерные силы, притягивающие
нуклоны друг к другу. На большем расстоянии сближению ядер
препятствует сила кулоновского отталкивания положительно
заряженных ядер, создавая кулоновский барьер:
𝑈 =
𝑍 𝑍 𝑒
𝑍 𝑍
≃ /
𝑟
𝐴 +𝐴
/
[МэВ] .
Однако даже в центре звёзд температура плазмы не превышает
нескольких кэВ.
Основы Физики Плазмы
/
Синтез возможен при любой энергии сталкивающихся ядер из-за
квантового эффекта туннельного перехода (George Gamow,
).
Однако сечение реакции экспоненциально мало, если энергия
относительного движения ядер 𝜀 в системе центра масс мала по
сравнению с энергией Гамова 𝐺:
𝜎∼𝜆
exp − 𝐺/𝜀 ,
𝑚 𝑚
𝜀= 𝑚 𝑣 ,
𝑚 =
,
(𝑚 + 𝑚 )
𝜆 = ℏ/(𝑚 𝑣),
𝐺 = 2𝜋 𝑚 𝑒 𝑒 /ℏ .
Сечения ядерных реакция принято измерять в барнах:
1 бн = 10
см .
Реакции pp цикла в звёздах идут за счёт слабого
взаимодействия. Их сечения меньше на
с лишним порядков.
Основы Физики Плазмы
/
4
T(d,n) He
1
3
10
−1
4
He(d,p) He
3
D(d,n) He
σ, бн
D(d,p)T
10
10
10
−2
−3
11
−4
10
4
B(p,αα) He
−5
5
10
50
100
500
1000
ε, кэВ
Figure: Сечения некоторых реакций ядерного синтеза в зависимости от
энергии в системе центра масс.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Физика ядерных реакций
Топливные циклы
DT цикл
Астрофизические циклы
Анейтронные циклы
Кулоновский барьер
Параметры термоядерных реакций
Зажигание термоядерной реакции
Потери на излучение
Критерий Лоусона
Тройное произведение
Управляемый термоядерный синтез
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Число событий реакции синтеза X (x , x )X в единице объёма
за единицу времени выражается через константу скорости
реакции ⟨𝜎 𝑣⟩ так же, как в любом элементарном процессе, где
участвуют два реагента, 𝑎 и 𝑏:
𝜕𝑛
𝜕𝑡
=
fus
𝜕𝑛
𝜕𝑡
= ⟨𝜎 𝑣⟩
fus
𝑛 𝑛
1+𝛿
.
( )
Если оба ядра принадлежат к одному сорту (𝑎 = 𝑏), как в
реакции D + D, произведение 𝑛 𝑛 нужно поделить на 2, чтобы
не подсчитывать дважды одну и ту же пару частиц (это сделано
при помощи множителя 1/(1 + 𝛿 )).
Основы Физики Плазмы
/
Удельная мощность термоядерной реакции (мощность
энерговыделения в расчёте на единицу объёма):
𝑃fus = ℰfus
⟨𝜎 𝑣⟩
𝑛 𝑛 .
1+𝛿
( )
⟨𝜎 𝑣⟩
𝑛 𝑛 ,
1+𝛿
( )
Часть этой мощности
𝑃ch = ℰch
выделяемая в виде заряженных частиц может быть использована
для нагрева реагентов и реализации схем термоядерного
реактора с самоподдерживающейся термоядерной реакцией
(если для удержания плазмы используется магнитное поле).
Основы Физики Плазмы
/
При заданной плотности ионов плазмы 𝑛 = 𝑛 + 𝑛 мощность
реакции ядерного синтеза максимальна при равной доле
реагентов, когда
𝑛 = 𝑛 = (1 + 𝛿 )𝑛.
Следовательно, максимальная (при заданной плотности)
удельная мощность реакции ядерного синтеза вычисляется по
формуле
( )
𝑃fus =
(1 + 𝛿 ) ℰfus ⟨𝜎 𝑣⟩ 𝑛 .
( )
Мощность, выделяемая в виде заряженных частиц, получается
отсюда при замене ℰfus на ℰch :
( )
𝑃ch =
(1 + 𝛿 ) ℰch ⟨𝜎 𝑣⟩ 𝑛 .
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Физика ядерных реакций
Топливные циклы
DT цикл
Астрофизические циклы
Анейтронные циклы
Кулоновский барьер
Параметры термоядерных реакций
Зажигание термоядерной реакции
Потери на излучение
Критерий Лоусона
Тройное произведение
Управляемый термоядерный синтез
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Если
𝑃ch > 𝑃out ,
произойдёт зажигание термоядерной реакции. Промежуточная
цель
𝑄 = 𝑃fus /𝑃out > 1,
в реакции T(d, n) He.
Условие зажигания в терминах 𝑄:
𝑄 = 𝑃fus /𝑃out > 𝑃fus /𝑃ch = ⟨ℰfus ⟩ / ⟨ℰch ⟩ .
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Физика ядерных реакций
Топливные циклы
DT цикл
Астрофизические циклы
Анейтронные циклы
Кулоновский барьер
Параметры термоядерных реакций
Зажигание термоядерной реакции
Потери на излучение
Критерий Лоусона
Тройное произведение
Управляемый термоядерный синтез
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Пусть 𝑃out = 𝑃т.и . Так как 𝑃fus ∝ 𝑛 и 𝑃т.и ∝ 𝑛 , 𝑃т.и /𝑃fus зависит
только от температуры.
100
11
B(p,αα)4He
Pт.и/Pfus
10
D+D
1
3
0.1
4
He(d,p) He
4
T(d,n) He
0.01
1
5
10
50
100
500 1000
T, кэВ
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Физика ядерных реакций
Топливные циклы
DT цикл
Астрофизические циклы
Анейтронные циклы
Кулоновский барьер
Параметры термоядерных реакций
Зажигание термоядерной реакции
Потери на излучение
Критерий Лоусона
Тройное произведение
Управляемый термоядерный синтез
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Если время жизни отдельной частицы в плазме равно 𝜏, то
мощность потерь из единицы объёма составляет
𝑃out = 𝑇 [(1 + 𝑍 )𝑛 + (1 + 𝑍 )𝑛 ] (1 + 𝛿 )
/𝜏,
( )
так как каждый ион и каждый электрон, покидающий плазмы,
выносят энергию 𝑇, а на каждый ион сорта 𝑎 или 𝑏 приходится,
соответственно, 𝑍 или 𝑍 электронов. Сравнение 𝑃out и
𝑃fus = ℰfus
⟨𝜎 𝑣⟩
𝑛 𝑛
1+𝛿
показывает, что 𝑃fus > 𝑃out , если
𝜏>
3𝑇
1+𝑍
1+𝑍
+
2ℰfus ⟨𝜎 𝑣⟩
𝑛
𝑛
Основы Физики Плазмы
.
/
При заданной плотности ядер 𝑛 = (𝑛 + 𝑛 )/ (1 + 𝛿 ) правая
сторона неравенства
𝜏>
3𝑇
1+𝑍
1+𝑍
+
2ℰfus ⟨𝜎 𝑣⟩
𝑛
𝑛
.
минимальна, если
𝑛 =
1 + 𝑍 (1 + 𝛿 )
1+𝑍 + 1+𝑍
𝑛,
𝑛 =
1 + 𝑍 (1 + 𝛿 )
1+𝑍 + 1+𝑍
𝑛,
т.е.
𝑛𝜏 >
3𝑇
2ℰfus ⟨𝜎 𝑣⟩
1+𝑍 + 1+𝑍
1+𝛿
Основы Физики Плазмы
≡ 𝐿(𝑇).
( )
/
19
L(T), сек/см
3
10
10
11
B(p,αα)4He
17
D+D
10
10
Figure: Выбор параметров УТС по
критерию Лоусона.
He(d,p)4He
3
15
T(d,n)4He
13
1
10
T, кэВ
100
500
Минимум 𝐿
= 3×10 сек/см функции 𝐿(𝑇) для смеси DT
достигается при 𝑇
= 26,5 кэВ. На практике в качестве
ориентира выбирают параметры
𝑇 = 10 кэВ ,
𝑛𝜏 > 10
сек/см
( )
которые в совокупности называют критерием Лоусона (John
Lawson,
).
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Физика ядерных реакций
Топливные циклы
DT цикл
Астрофизические циклы
Анейтронные циклы
Кулоновский барьер
Параметры термоядерных реакций
Зажигание термоядерной реакции
Потери на излучение
Критерий Лоусона
Тройное произведение
Управляемый термоядерный синтез
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
В реакторе с магнитным удержанием плазмы её давление
ограничено сверху давлением магнитного поля 𝐵 /8𝜋, а
плотность плазмы можно варьировать в некоторых пределах,
поддерживая давление плазмы на предельном уровне за счёт
соответствующего изменения температуры. При этом следует
отыскивать минимум отношения 𝑃out /𝑃fus при постоянном
значении 𝑝 = (1 + 𝑍 )𝑛 𝑇 + (1 + 𝑍 )𝑛 𝑇, а не 𝑛. Повторяя
рассуждения, приведшие к критерию Лоусона, получаем вместо
него условие
𝑛𝑇𝜏 >
3𝑇
2+𝑍 +𝑍
ℰfus ⟨𝜎 𝑣⟩ 1 + 𝛿
≡ 𝐿 (𝑇).
( )
Оно будет выполнено, если тройное произведение 𝑛𝑇𝜏
превышает минимум функции 𝐿 (𝑇). Этот минимум достигается
при меньшей температуре, нежели минимум функции 𝐿(𝑇).
Например, в DD реакторе температура снижается в раз по
сравнению с критерием Лоусона.
Основы Физики Плазмы
/
Для других видов термоядерного топлива критериальные
параметры приведены в таблице.
Критерий Лоусона
𝑇, кэВ
DT
DD
D He
p B
𝑛𝜏, см
Тройное произведение
сек
𝑇, кэВ
𝑛𝜏, см
сек
26,5
3,1×10
13,5
4,1×10
107,7
102,1
218,7
3,6×10
5,0×10
2,0×10
15,6
54,5
137,1
8,3×10
6.9×10
2,7×10
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Физика ядерных реакций
Топливные циклы
DT цикл
Астрофизические циклы
Анейтронные циклы
Кулоновский барьер
Параметры термоядерных реакций
Зажигание термоядерной реакции
Потери на излучение
Критерий Лоусона
Тройное произведение
Управляемый термоядерный синтез
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Теоретические основы термоядерного реактора, где плазма
имела бы форму тора и удерживалась магнитным полем, были
разработаны в
г. И. Е. Таммом и А. Д. Сахаровым. Красивое
название токамак в
г. придумал И. Н. Головин как
сокращение от слов роидальная мера с гнитной
атушкой. Всего было предложено около десятка различных
схем удержания и нагрева плазмы, но не исключено, что главное
изобретение на этом пути всё ещё впереди. Лидирующим
направлением в настоящее время является токамак. Первый
токамак был построен в
г., и долгое время токамаки
существовали только в СССР. Лишь после
г., когда на
токамаке T в Институте атомной энергии им. И. В. Курчатова под
руководством Л. А. Арцимовича была достигнута температура
плазмы млн. градусов, в мире начался настоящий бум
токамаков.
Основы Физики Плазмы
/
октября
г. на европейском токамаке JET в импульсном
режиме в смеси дейтерия и трития достигнута мощность
𝑃fus = 16 МВт, что составило % от мощности нагрева плазмы. В
апреле следующего года на японском токамаке JT- в
дейтериевой плазме достигнут режим, который в пересчёте на
дейтерий-тритиевую плазму эквивалентен превышению
критерия Лоусона на %. Это означает, что достигнут
положительный выход в управляемой термоядерной реакции.
В новом токамаке ITER может быть осуществлено зажигание
термоядерной реакции в смеси дейтерия и трития. Однако для
создания первого промышленного термоядерного реактора
необходимо решить ещё множество технических проблем.
Некоторые физики считают, что токамак не может быть
прототипом промышленного термоядерного реактора, не без
оснований полагая, что будущие технологии позволят заново
«изобрести термояд».
Основы Физики Плазмы
/
Figure: Схема международного токамака ITER в исследовательском
центре «Кадараш» (Cadarache) во Франции.
Основы Физики Плазмы
/
Создание мощных лазеров в
-х годах отрыло новое
направление инерциального УТС. Идея лазерного синтеза
проста. Нужно сфокусировать свет от множества мощных
лазеров на маленькой мишени из смеси дейтерия и трития.
Мгновенное испарение (абляция) внешнего слоя создаст
реактивную силу, направленную к центру, что приведёт к
сильному сжатию мишени и её разогреву до температуры
зажигания термоядерной реакции. Реакция, начавшись в центре
мишени, распространится наружу во внешние, более холодные
слои намного раньше, чем весь сжатый материал разлетится в
стороны.
Основы Физики Плазмы
/
I
II
III
IV
Figure: Стадии инерциального ядерного синтеза. Синие стрелки
обозначают лазерные пучки, оранжевые — поток испаряемого
вещества, розовые — перенос тепловой энергии внутрь мишени. I)
Пучки лазера испаряют поверхностный слой мишени, образуя
плазменную оболочку. II) Реактивная сила от разлетающейся оболочки
сжимает ядро мишени. III) Ядро мишени нагревается, происходит
зажигание реакции ядерного синтеза. IV) Волна термоядерного
горения распространяется наружу по сжатому топливу.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Физика ядерных реакций
Топливные циклы
DT цикл
Астрофизические циклы
Анейтронные циклы
Кулоновский барьер
Параметры термоядерных реакций
Зажигание термоядерной реакции
Потери на излучение
Критерий Лоусона
Тройное произведение
Управляемый термоядерный синтез
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Задачи для семинара I
.
( . н.н.) Во сколько раз энергия, которую можно извлечь из
литра воды, если выделить весь дейтерий и «сжечь» его в
термоядерном реакторе, больше теплотворной способности
литра бензина?
.
( . н.н.) При какой плотности ионов каждого сорта
удельная мощность реакции ядерного синтеза максимальна,
если в реакции участвуют ядра с зарядами 𝑍 и 𝑍 , а
давление плазмы не может превышать заданной величины?
Считать, что температуры ионов и электронов одинаковы.
.
( . н.н.) При какой плотности ионов каждого сорта
отношение мощности тормозного излучения к мощности
реакции ядерного синтеза минимально, если в реакции
участвую ядра с зарядами 𝑍 и 𝑍 .
.
( . н.н.) Вычислить энергию Гамова.
Основы Физики Плазмы
/
Задачи для семинара II
.
( . н.н.) Записать константу ⟨𝜎 𝑣⟩ реакции X (x , x )X
ядерного синтеза в виде интеграла по энергии 𝜀
относительного движения сталкивающихся ядер. Считать,
что их функции распределения являются максвелловскими с
заданной температурой 𝑇.
.
( . н.н.) Вычислить константу реакции ядерного синтеза
при температуре ниже энергии Гамова.
Номера задач указаны по книге «Лекции по физике плазмы».
Основы Физики Плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
ноября
г.
Лекция
Кинетическое уравнение
Функция распределения как плотность в фазовом
пространстве
Уравнение Власова и самосогласованное поле
Уравнение Фоккера-Планка
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Функция распределения
Кинетическое уравнение
Самосогласованное поле
Уравнение Фоккера-Планка
Рассеяние пробных частиц
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
В кинетической теории описание каждого сорта частиц плазмы
осуществляется функцией распределения
⃗ 𝑋,
⃗ 𝑡).
𝑓 = 𝑓(𝑃,
Она определена как плотность частиц в их фазовом
пространстве и является, вообще говоря, функцией
⃗ канонически сопряжённых им
обобщённых координат 𝑋,
обобщённых импульсов 𝑃⃗ и времени 𝑡. Произведение
дифференциалов канонических координат и импульсов,
d 𝑋 = d𝑋 d𝑋 d𝑋
и
d 𝑃 = d𝑃 d𝑃 d𝑃 ,
интерпретируют как элемент объёма фазового пространства и
определяют 𝑓 так, что d𝑁 = 𝑓 d 𝑋 d 𝑃 даёт среднее число частиц
в этом элементе.
𝑁=
⃗ 𝑋,
⃗ 𝑡).
d 𝑃 d 𝑋 𝑓(𝑃,
Основы Физики Плазмы
()
/
Можно перейти от фазового к конфигурационному пространству
с произвольным набором координат 𝑥 и импульсов 𝑝:
d 𝑃 d 𝑋 = 𝐽 d 𝑝 d 𝑥,
⃗ 𝑋)/𝜕(
⃗
𝐽 = 𝜕(𝑃,
𝑝,
⃗ 𝑥).
⃗
( )
Так как d𝑁 = 𝑓 𝐽 d 𝑝 d 𝑥, произведение 𝐽𝑓 ≡ 𝑓 имеет смысл
плотности частиц в конфигурационном пространстве.
⃗ 𝑥,
В электромагнитном поле с векторным потенциалом 𝐴(
⃗ 𝑡)
⃗
𝑃⃗ = 𝑝⃗ + (𝑒/𝑐)𝐴,
𝑋⃗ = 𝑥,
⃗
𝐽 = 1,
d 𝑥 d 𝑝 = d 𝑋 d 𝑃.
Отсюда следует, что плотность частиц в фазовом пространстве
⃗ 𝑋,
⃗ 𝑡) одновременно будет плотностью частиц и в
𝑓(𝑃,
конфигурационном пространстве координат 𝑥⃗ и импульсов 𝑝,
⃗
выбранных указанным способом. Обозначим последнюю как
𝑓(𝑝,
⃗ 𝑥,
⃗ 𝑡), имея в виду, что это всё та же функция распределения
⃗ 𝑋,
⃗ 𝑡), аргументы которой 𝑃⃗ и 𝑋⃗ выражены через 𝑝⃗ и 𝑥.
𝑓(𝑃,
⃗
Основы Физики Плазмы
/
В нерелятивистском пределе вместо 𝑓(𝑝,
⃗ 𝑥,
⃗ 𝑡) часто используют
⃗ 𝑥,
⃗ 𝑡), выраженную через скорость
функцию распределения 𝑓(𝑣,
⃗
В этом случае
частиц 𝑣⃗ = 𝑝/𝑚.
𝐽=
𝜕(𝑝,
⃗ 𝑥)
⃗
𝜕(𝑝)
⃗
=
=
⃗ 𝑥)
⃗
𝜕(𝑣,
⃗
𝜕(𝑣)
= 𝑚 = const
и функция 𝑓(𝑣,
⃗ 𝑥,
⃗ 𝑡) = 𝑚 𝑓(𝑝,
⃗ 𝑥,
⃗ 𝑡) с точностью до этой константы
имеет смысл плотности частиц в фазовом пространстве, как и
𝑓(𝑝,
⃗ 𝑥,
⃗ 𝑡).
Обычная плотность частиц 𝑛 получается интегрированием
функции распределения по всему пространству импульсов,
𝑛(𝑥,
⃗ 𝑡) =
d 𝑝 𝑓(𝑝,
⃗ 𝑥,
⃗ 𝑡),
( )
если обобщённые координаты определены так, что
дифференциал d 𝑥 равен элементу объёма d𝑉 в пространстве
координат.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Функция распределения
Кинетическое уравнение
Самосогласованное поле
Уравнение Фоккера-Планка
Рассеяние пробных частиц
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Рассмотрим интеграл объёма ∫ d 𝑋 d 𝑃 некоторой области
фазового пространства, каждая точка которой перемещается
согласно уравнениям движения рассматриваемой механической
системы. Он остаётся неизменным:
d 𝑋 d 𝑃 = const
(теорема Лиувилля, Joseph Liouville,
). С другой стороны,
число частиц внутри выделенного объёма также постоянно:
d 𝑋 d 𝑃 𝑓 = const .
Взяв достаточно малый объём, отсюда заключаем, что функция
распределения также постоянна вдоль фазовой траектории, т. е.
d𝑓
= 0.
d𝑡
Основы Физики Плазмы
( )
/
px
x
Figure: Фазовая плоскость,
соответствующая одномерному
движению. Площадь выделенного
элемента и число частиц внутри него
сохраняются при движении в
самосогласованном электромагнитном
поле. Отсюда следует, что функция
распределения постоянна вдоль
фазовой траектории.
Основы Физики Плазмы
/
Так как
d𝑓
= [𝑓(𝑝⃗ + d𝑝,
⃗ 𝑥⃗ + d𝑥,
⃗ 𝑡 + d𝑡) − 𝑓(𝑝,
⃗ 𝑥,
⃗ 𝑡)] / d𝑡
d𝑡
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
= d𝑝⃗ ⋅
+ d𝑥⃗ ⋅
+ d𝑡
/ d𝑡
𝜕𝑝⃗
𝜕𝑥⃗
𝜕𝑡
𝜕𝑓
𝜕𝑓 𝜕𝑓
= 𝑝⃗̇ ⋅
+ 𝑥⃗̇ ⋅
+
,
𝜕𝑝⃗
𝜕𝑥⃗
𝜕𝑡
уравнение d𝑓/d𝑡 = 0 буквально означает, что
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
+ 𝑥⃗̇ ⋅
+ 𝑝⃗̇ ⋅
= 0.
𝜕𝑡
𝜕𝑥⃗
𝜕𝑝⃗
( )
Здесь 𝑓 есть определена как функция распределения в фазовом
пространстве канонических переменных, но 𝑥⃗ и 𝑝⃗ не обязательно
такие переменные.
Основы Физики Плазмы
/
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
+ 𝑥⃗̇ ⋅
+ 𝑝⃗̇ ⋅
= 0.
𝜕𝑡
𝜕𝑥⃗
𝜕𝑝⃗
Используя уравнения движения
𝑥⃗̇ = 𝑣,
⃗
1
⃗ 𝑥,
⃗ 𝑥,
𝑝⃗̇ = 𝑒 𝐸(
⃗ 𝑡) +
𝑣⃗ × 𝐵(
⃗ 𝑡)
𝑐
( )
заряженной частицы в заданном электромагнитном поле,
нетрудно проверить, что
𝜕
⋅ 𝑥⃗̇ = 0,
𝜕𝑥⃗
𝜕
⋅ 𝑝⃗̇ = 0.
𝜕𝑝⃗
Внося 𝑥⃗̇ и 𝑝⃗̇ под знак дифференцирования, получим другую
(дивергентную) форму уравнения:
𝜕𝑓
𝜕
𝜕
+
⋅ (𝑥𝑓)
⃗̇ +
⋅ (𝑝𝑓)
⃗̇ = 0.
𝜕𝑡
𝜕𝑥⃗
𝜕𝑝⃗
Основы Физики Плазмы
( )
/
В общем случае кинетическое уравнение в дивергентной форме
𝜕 𝑓̄
𝜕
𝜕
+
⋅ (𝑥⃗̇ 𝑓)̄ +
⋅ (𝑝⃗̇ 𝑓)̄ = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥⃗
𝜕𝑝⃗
( )
верно для функции распределения 𝑓̄ = 𝐽𝑓, определённой как
плотность частиц в конфигурационном пространстве
⃗ 𝑝,
⃗ которые не обязательно
произвольных переменных 𝑥,
канонически сопряжены.
Эквивалентность двух форм кинетического уравнения при
использование канонических переменных легко доказать с
помощью гамильтоновых уравнений:
Основы Физики Плазмы
/
𝜕 𝑓̄
𝜕
𝜕
+
⋅ (𝑥⃗̇ 𝑓)̄ +
⋅ (𝑝⃗̇ 𝑓)̄ = 0.
𝜕𝑡
𝜕𝑥⃗
𝜕𝑝⃗
( )
Уравнение ( ) имеет простой смысл. Его можно
интерпретировать так, что изменение 𝑓̄ в данной точке фазового
пространства вызвано приходом в неё частиц из других точек и с
другими импульсами. Действительно, поток частиц вдоль
координатной линии 𝑥 равен 𝑥̇ 𝑓.̄ Составляя разность потоков
через границы выделенного объёма площадью d𝑆 = d𝑦 d𝑧 d 𝑝
при 𝑥 и 𝑥 + d𝑥, найдём соответствующее приращение
̄
̄
− 𝜕(𝑥̇ 𝑓)/𝜕𝑥
d𝑥 d𝑆 = − 𝜕(𝑥̇ 𝑓)/𝜕𝑥
d 𝑥d 𝑝
числа частиц. Вклад потоков через другие грани шестимерного
объёма вычисляется аналогичным образом. Приравнивая их
̄
d 𝑥 d 𝑝 и сокращая общий множитель d 𝑥 d 𝑝,
сумму к 𝜕𝑓/𝜕𝑡
получаем уравнение ( ).
Основы Физики Плазмы
/
При выборе канонических переменных эквивалентность
уравнений ( ) и ( ) является очевидным следствием
Гамильтоновых уравнений движения
̇
𝑋⃗ =
𝜕ℋ
,
𝜕𝑃⃗
𝜕ℋ
̇
𝑃⃗ = −
,
𝜕𝑋⃗
⃗ 𝑋,
⃗ 𝑡) — функция Гамильтона (William Hamilton,
где ℋ(𝑃,
).
Действительно, при переходе от уравнения ( ), переписанного в
⃗ к уравнению ( ), слагаемые
канонических переменных 𝑋⃗ и 𝑃,
𝑓
𝜕
𝜕
𝜕 𝜕ℋ
𝜕 𝜕ℋ
̇
̇
⋅ 𝑋⃗ + 𝑓
⋅ 𝑃⃗ = 𝑓
⋅
−𝑓
⋅
=0
𝜕𝑋⃗
𝜕𝑃⃗
𝜕𝑋⃗ 𝜕𝑃⃗
𝜕𝑃⃗ 𝜕𝑋⃗
взаимно сокращаются.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Функция распределения
Кинетическое уравнение
Самосогласованное поле
Уравнение Фоккера-Планка
Рассеяние пробных частиц
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
После подстановки формул
⃗
𝑥⃗̇ = 𝑣,
1
⃗ 𝑥,
⃗ 𝑥,
𝑝⃗̇ = 𝑒 𝐸(
⃗ 𝑡) +
𝑣⃗ × 𝐵(
⃗ 𝑡)
𝑐
в
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
+ 𝑥⃗̇ ⋅
+ 𝑝⃗̇ ⋅
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥⃗
𝜕𝑝⃗
получается кинетическое уравнение для бесстолкновительной
плазмы (уравнение А.А. Власова,
):
𝜕𝑓
𝜕𝑓
1
𝜕𝑓
⃗ ⋅
+ 𝑣⃗ ⋅
+ 𝑒 𝐸⃗ + [𝑣⃗ × 𝐵]
= 0.
𝜕𝑡
𝜕𝑥⃗
𝑐
𝜕𝑝⃗
Основы Физики Плазмы
/
𝜕𝑓
𝜕𝑓
+ 𝑣⃗ ⋅
+𝑒
𝜕𝑡
𝜕𝑥⃗
1
𝜕𝑓
⃗ ⋅
𝐸⃗ + [𝑣⃗ × 𝐵]
=0
𝑐
𝜕𝑝⃗
(𝑏 = 𝑒, 𝑖) ( )
Его дополняют уравнениями Максвелла:
rot 𝐸⃗ = −
rot 𝐵⃗ =
𝜌 =
1
𝑐
1
𝑐
𝜕𝐵⃗
,
𝜕𝑡
𝜕𝐸⃗ 4𝜋
+
𝑗⃗,
𝜕𝑡
𝑐
𝑒 𝑓 d 𝑝,
div 𝐵⃗ = 0,
( )
div 𝐸⃗ = 4𝜋𝜌 ,
( )
𝑗⃗ =
𝑒 𝑣⃗ 𝑓 d 𝑝
( )
Электромагнитное поле, найденное из этих уравнений называют
самосогласованным.
Почему для бесстолкновительной? — Это уравнение сохраняет
энтропию. Где мы потеряли столкновения?
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Функция распределения
Кинетическое уравнение
Самосогласованное поле
Уравнение Фоккера-Планка
Рассеяние пробных частиц
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
px
x
d𝑓
=
d𝑡
Figure: В столкновениях частиц их
импульс изменяется на случайную
величину за очень малое время.
Анализируя динамику системы за
более длительное время, можно
считать, что частицы испытывают
мгновенные случайные блуждания,
которые приводят к изменению числа
частиц внутри выделенного объёма в
фазовом пространстве.
𝐶 ,
𝐶
≡ 𝐶[𝑓 , 𝑓 ].
( )
Интеграл столкновений 𝐶[𝑓 , 𝑓 ] имеет смысл числа частиц,
которые появляются за единицу времени в единице
шестимерного объёма фазового пространства.
Основы Физики Плазмы
/
Кулоновские столкновения — типичный пример кинетических
процессов, в которых средние изменения величин (от которых
зависит функция распределения) в каждом элементарном акте
малы по сравнению с их характерными значениями.
Характерные времена таких процессов велики по сравнению с
временами элементарных актов; в этом смысле такие процессы
можно назвать медленными. Медленность кулоновского
рассеяния обусловлена доминированием далёких столкновений,
в одном акте которых импульс частиц изменяется незначительно.
Обозначим через 𝑤 (𝑝,
⃗ 𝑞)
⃗ d 𝑞 отнесённую к единице времени
вероятность изменения импульса 𝑝⃗ → 𝑝⃗ + 𝑞⃗ частицы сорта 𝑏 при
её столкновении с частицей сорта 𝑎. Тогда
d𝑓
=
d𝑡
{𝑤 (𝑝⃗ − 𝑞,
⃗ 𝑞)
⃗ 𝑓 (𝑝⃗ − 𝑞,
⃗ 𝑥,
⃗ 𝑡) − 𝑤 (𝑝,
⃗ 𝑞)
⃗ 𝑓 (𝑝,
⃗ 𝑥,
⃗ 𝑡)} d 𝑞.
Основы Физики Плазмы
/
d𝑓
=
d𝑡
{𝑤 (𝑝⃗ − 𝑞,
⃗ 𝑞)
⃗ 𝑓 (𝑝⃗ − 𝑞,
⃗ 𝑥,
⃗ 𝑡) − 𝑤 (𝑝,
⃗ 𝑞)
⃗ 𝑓 (𝑝,
⃗ 𝑥,
⃗ 𝑡)} d 𝑞.
Разложим подынтегральное выражение по малым 𝑞:
⃗
𝑤 (𝑝⃗ − 𝑞,
⃗ 𝑞)
⃗ 𝑓 (𝑝⃗ − 𝑞)
⃗ − 𝑤 (𝑝,
⃗ 𝑞)
⃗ 𝑓 (𝑝)
⃗ ≈
≈ −𝑞
𝜕
1
𝜕
𝑤 (𝑝,
⃗ 𝑞)
⃗ 𝑓 (𝑝)
⃗ + 𝑞 𝑞
𝑤 (𝑝,
⃗ 𝑞)
⃗ 𝑓 (𝑝).
⃗
( )
𝜕𝑝
2
𝜕𝑝 𝜕𝑝
d𝑓
𝜕
=−
d𝑡
𝜕𝑝
⟨𝑞 ⟩𝑓 +
𝐹 ≡ ⟨𝑞 ⟩ =
𝐷
≡ ⟨𝑞 𝑞 ⟩ =
1 𝜕 𝜕
2 𝜕𝑝 𝜕𝑝
⟨𝑞 𝑞 ⟩𝑓 ,
𝑞 𝑤 (𝑝,
⃗ 𝑞)
⃗ d 𝑞,
𝑞 𝑞 𝑤 (𝑝,
⃗ 𝑞)
⃗ d 𝑞.
Основы Физики Плазмы
( )
( )
( )
/
Полученное уравнение имеет вид уравнения непрерывности в
пространстве импульсов:
d𝑓
𝜕
=−
d𝑡
𝜕𝑝
𝐹𝑓 −
1 𝜕
𝐷 𝑓
2 𝜕𝑝
≡−
𝜕𝑠
.
𝜕𝑝
( )
≡
Вектор 𝑠 определяет плотность потока частиц в импульсном
пространстве. Коэффициенты
𝐹 = ⟨𝑞 ⟩,
𝐷
= ⟨𝑞 𝑞 ⟩
называют соответственно вектором силы трения и тензором
диффузии в пространстве импульсов.
Основы Физики Плазмы
/
Преобразуем правую часть уравнения:
d𝑓
𝜕
=−
d𝑡
𝜕𝑝
𝐹𝑓 −
1 𝜕
𝐷
2 𝜕𝑝
𝑓
𝜕
𝜕𝑝
𝐹 −
−
=
1 𝜕𝐷
2 𝜕𝑝
1
𝑓 − 𝐷
2
𝜕𝑓
𝜕𝑝
.
≡
Уравнение
d𝑓
𝜕
=−
d𝑡
𝜕𝑝
1
𝐴 𝑓 − 𝐷
2
𝜕
𝑓
𝜕𝑝
( )
называют уравнением Фоккера-Планка (Adriaan Fokker,
; Max
Planck,
). Вектор 𝐴⃗ называют динамической силой; как станет
ясно далее, она не является силой трения в обычном понимании
⃗
этого слова (в отличие от 𝐹).
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Функция распределения
Кинетическое уравнение
Самосогласованное поле
Уравнение Фоккера-Планка
Рассеяние пробных частиц
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Рассмотрим однородный плоский поток пробных частиц сорта 𝑏,
первоначально имеющих одинаковый импульс 𝑝⃗ . Иными
словами, 𝑓 = 𝑛 𝛿(𝑝⃗ − 𝑝⃗ ) при 𝑡 = 0. Считаем, что плотность
пробных частиц мала и коэффициенты уравнения
Фоккера-Планка полностью определяются полевыми частицами.
Пусть для простоты 𝑛 = 1 и
𝑓 = 𝛿(𝑝⃗ − 𝑝⃗ )
(
)
при 𝑡 = 0, а электрическое и магнитное поля отсутствуют. Тогда
d𝑓
𝜕𝑓
𝜕
=
=−
d𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑝
𝐹𝑓 −
1 𝜕
𝐷 𝑓
2 𝜕𝑝
.
( )
Применим это уравнение для вычисления производной d𝑝/d𝑡,
⃗
где черта сверху обозначает усреднение по распределению,
𝑝 =
d 𝑝𝑝 𝑓 .
Основы Физики Плазмы
( )
/
Вблизи 𝑡 = 0, с одной стороны,
d𝑝⃗
d
=
d𝑡
d𝑡
d 𝑝 𝑝⃗ 𝑓 ≈
d
d𝑡
d 𝑝 𝑝⃗ 𝛿(𝑝⃗ − 𝑝⃗ ) =
d𝑝⃗
.
d𝑡
С другой стороны,
d𝑝
=
d𝑡
d 𝑝𝑝
𝜕𝑓
=−
𝜕𝑡
d 𝑝𝑝
𝜕𝑠
.
𝜕𝑝
Преобразуем подынтегральное выражение с помощью цепочки
тождеств
−𝑝
𝜕𝑠
𝜕
𝜕𝑝
𝜕
=−
𝑝 𝑠 +𝑠
=−
𝑝 𝑠 +𝑠 .
𝜕𝑝
𝜕𝑝
𝜕𝑝
𝜕𝑝
Следовательно,
d𝑝
=−
d𝑡
d𝑝
𝜕
𝑝 𝑠 +
𝜕𝑝
Основы Физики Плазмы
d 𝑝𝑠 =
d 𝑝𝑠
/
d𝑝
=
d𝑡
d 𝑝𝑠 =
=
d𝑝 𝐹𝑓 −
d 𝑝𝐹 𝑓 ≈
1 𝜕
𝐷 𝑓
2 𝜕𝑝
=
d 𝑝 𝐹 𝛿(𝑝⃗ − 𝑝⃗ ) = 𝐹 (𝑝⃗ ).
В результате имеем уравнение
d𝑝⃗
= 𝐹⃗ ,
d𝑡
( )
которое проясняет смысл силы трения в уравнении
Фоккера-Планка (эту силу мы уже вычисляли в лекции ).
Основы Физики Плазмы
/
Действуя аналогичным образом, можно вычислить производную
тензора
d
𝑝 𝑝 =
d𝑡
d 𝑝𝑝 𝑝
𝜕𝑓
=−
𝜕𝑡
d 𝑝𝑝 𝑝
𝜕
𝜕𝑝
𝐹𝑓 −
1 𝜕
𝐷 𝑓
2 𝜕𝑝
.
С помощью теоремы Остроградского-Гаусса после двукратного
интегрирования по частям, находим
d
𝑝 𝑝 =𝐹𝑝
d𝑡
По определению ( ), 𝐷
,
+𝑝
=𝐷
d
𝑝 𝑝 =𝐹𝑝
d𝑡
,
1
𝐹 + 𝐷
2
1
+ 𝐷
2
.
(
)
, поэтому
,
+𝑝
,
Основы Физики Плазмы
𝐹 +𝐷
.
/
d
𝑝 𝑝 =𝐹𝑝
d𝑡
,
+𝑝
,
𝐹 +𝐷
.
Поскольку
(𝑝 − 𝑝 )(𝑝 − 𝑝 ) = 𝑝 𝑝 − 𝑝 𝑝 ,
уравнение (
) можно записать в виде
d
(𝑝 − 𝑝 )(𝑝 − 𝑝 ) = 𝐷
d𝑡
.
( )
Вывод интеграла столкновений будет завершён на следующей
лекции.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Функция распределения
Кинетическое уравнение
Самосогласованное поле
Уравнение Фоккера-Планка
Рассеяние пробных частиц
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Задачи для семинара I
. ( . н.н.) Доказать, что уравнение Фоккера-Планка
сохраняет полное число частиц.
.
-
( . н.н.) Найти стационарное решение уравнения Власова
в дрейфовом приближении.
.
( . н.н.) Используя результат предыдущей задачи,
показать, что в дрейфовом приближении плотность и
давление плазмы на фиксированной силовой линии зависят
только от величины магнитного поля 𝐵.
.
( - н.н.) Найти радиус экранирования точечного заряда в
плазме с изотропной, но не обязательно максвелловской
функцией распределения.
( . н.н.) Повторить вывод уравнений (??) и (??), не
предполагая, что в плазме отсутствует самосогласованное
поле, а плотность пробных частиц однородна.
Основы Физики Плазмы
/
Задачи для семинара II
Номера задач указаны по книге И.Котельникова «Лекции по
физике плазмы».
Основы Физики Плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
ноября
г.
Лекция
Интеграл столкновений
Интеграл столкновений Ландау
Законы сохранения в столкновениях частиц
Упрощение интеграла столкновений
H-теорема (самостоятельно)
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Интеграл столкновений Ландау
Законы сохранения в столкновениях частиц
Упрощение интеграла столкновений
Тау-приближение
Лоренцева плазма
Модель пробных частиц
H-теорема (самостоятельно)
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
d𝑓
𝜕
=−
d𝑡
𝜕𝑝
𝐹𝑓 −
1 𝜕
𝐷
2 𝜕𝑝
𝑓
()
Чтобы вычислить коэффициенты уравнения Фоккера-Планка
𝐹
𝐷
=
⟨𝑞 ⟩
=
⟨𝑞 𝑞 ⟩
𝑞
𝑞 𝑞
𝑤 (𝑝,
⃗ 𝑞)
⃗ d 𝑞,
( )
заметим, что отдельный интеграл, например,
𝑞 𝑤 (𝑝,
⃗ 𝑞)
⃗ d𝑞
есть не что иное как среднее приращение компоненты импульса
𝑝 частицы сорта 𝑏 за единицу времени в результате
кулоновского рассеяния на частицах сорта 𝑎.
Основы Физики Плазмы
/
То же приращение можно выразить через сечение столкновений
d𝜎 =
𝑒 𝑒
d𝛺
,
4𝑚 𝑢 sin (𝜃/2)
d𝛺 = 2𝜋 sin 𝜃 d𝜃,
( )
относительную скорость сталкивающихся частицы 𝑢⃗ = 𝑣⃗ − 𝑣⃗ и
функцию распределения частиц плазмы 𝑓 (𝑝⃗ ):
𝑞 𝑤 (𝑝,
⃗ 𝑞)
⃗ d𝑞=
𝑞 𝑢 d𝜎 𝑓 (𝑝⃗ ) d 𝑝 .
Таким образом, вычисление коэффициентов уравнения
Фоккера-Планка включает двойное интегрирование по углам
рассеяния и по распределению рассеивающих частиц:
𝐹
𝐷
=
𝑞
𝑞 𝑞
𝑢 d𝜎 𝑓 (𝑝⃗ ) d 𝑝 .
Основы Физики Плазмы
( )
/
Вычислим интегралы
𝑞 𝑢 d𝜎,
𝑞 𝑞 𝑢 d𝜎,
( )
приняв во внимание, что формула Резерфорда ( ) относится к
системе центра инерции.
u
Δu
θ
u
Figure: В системе центра масс
столкновение двух заряженных частиц
поворачивает вектор относительной
скорости 𝑢⃗ = 𝑣⃗ − 𝑣⃗ на угол 𝜃, не
меняя его длину; 𝛥𝑢 = 2𝑢 sin(𝜃/2).
Основы Физики Плазмы
/
В этой системе
𝑞⃗ = 𝑚 𝛥𝑢,
⃗
𝛥𝑢 = 2𝑢 sin(𝜃/2).
Из закона сохранение энергии в системе центра масс
𝑚 𝑢 = 𝑚 (𝑢⃗ + 𝛥𝑢)
⃗ = 𝑚 𝑢 + 𝑚 𝛥𝑢⃗ ⋅𝑢⃗ + 𝑚 𝛥𝑢
⃗
имеем
(𝑞⃗ ⋅ 𝑢)
⃗ = − 𝑚 𝛥𝑢 .
Поскольку направление относительной скорости 𝑢⃗ в интегралах
( ) составляет единственное выделенное направление, результат
интегрирования можно выразить через компоненты вектора 𝑢⃗ и
инвариантные тензоры.
Основы Физики Плазмы
/
Следовательно,
𝑢
,
𝑢
𝑢 𝑢
+ℂ
+ 𝔻𝜖
𝑢
𝑞 𝑢 d𝜎 = 𝔸
𝑞 𝑞 𝑢 d𝜎 = 𝔹 𝛿
𝑢
,
𝑢
где 𝔸, 𝔹, ℂ и 𝔻 — константы; 𝔻 = 0, так как 𝑞 𝑞 не изменяется
при замене 𝑢⃗ → −𝑢.
⃗ Чтобы найти 𝔸, 𝔹, ℂ, составим свёртки
𝑢
𝑢
𝛿
𝑢 𝑢
𝑢
𝑞 𝑢 d𝜎 = 𝔸,
𝑞 𝑞 𝑢 d𝜎 = 3𝔹 + ℂ,
𝑞 𝑞 𝑢 d𝜎 = 𝔹 + ℂ.
Основы Физики Плазмы
/
Левые части составленных уравнений найдём, вычислив свёртки
под знаком интеграла. С учётом равенств
(𝑞⃗ ⋅ 𝑢)
⃗ = − 𝑚 𝛥𝑢 ,
𝑞 = 𝑚 𝛥𝑢
имеем
𝑢
𝑢
𝑞 𝑢 d𝜎 =
(𝑢⃗ ⋅ 𝑞)
⃗ d𝜎 = −
𝑚
2
𝛿
𝑞 𝑞 𝑢 d𝜎 =
(𝑞⃗ ⋅ 𝑞)
⃗ 𝑢 d𝜎 = 𝑚 𝑢
𝑢 𝑢
𝑢
𝑞 𝑞 𝑢 d𝜎 =
(𝑞⃗ ⋅ 𝑢)
⃗ 𝑢
d𝜎 =
𝑚
4𝑢
𝛥𝑢 d𝜎 = 𝔸,
𝛥𝑢 d𝜎 = 3𝔹 + ℂ,
𝛥𝑢 d𝜎 = 𝔹 + ℂ.
Следовательно, вычисление коэффициентов 𝐹 и 𝐷 в
уравнении Фоккера-Планка сводится к вычислению средних
значений 𝛥𝑢 и 𝛥𝑢 .
Основы Физики Плазмы
/
Используя формулы Резерфорда ( ) и 𝛥𝑢 = 2𝑢 sin(𝜃/2), имеем:
𝛥𝑢 d𝜎 =
=
𝑒 𝑒
d𝛺
4𝑚 𝑢 sin (𝜃/2)
2𝜋 sin 𝜃 d𝜃
𝑒 𝑒
4𝜋 cos(𝜃/2) d𝜃
=
sin(𝜃/2)
𝑚 𝑢
sin (𝜃/2)
[2𝑢 sin(𝜃/2)]
𝑒 𝑒
𝑚 𝑢
=
8𝜋𝑒 𝑒
𝑚 𝑢
(
/ )
d sin(𝜃/2)
8𝜋𝑒 𝑒 𝛬
=
sin(𝜃/2)
𝑚 𝑢
.
Итак,
𝛥𝑢 d𝜎 =
где 𝛬 = ln[1/ sin(𝜃
логарифм.
8𝜋𝑒 𝑒 𝛬
𝑚 𝑢
/2)] ≈ ln[2/𝜃
Основы Физики Плазмы
,
( )
] — кулоновский
/
При интегрировании 𝛥𝑢 получается сходящийся интеграл,
поэтому результат не содержит кулоновского логарифма 𝛬 .
Поскольку теория кулоновских столкновений верна с точностью
до поправок порядка 𝛬 ≪ 1, можно (и даже нужно!) считать,
что ∫ 𝛥𝑢 d𝜎 = 0. Тогда
𝔸=−
𝑚
2
𝛥𝑢 d𝜎,
3𝔹 + ℂ = 𝑚 𝑢
𝛥𝑢 d𝜎,
𝔹 + ℂ = 0.
𝔸=−
𝑚
2
𝛥𝑢 d𝜎,
𝔹 = −ℂ =
Основы Физики Плазмы
𝑚 𝑢
2
𝛥𝑢 d𝜎.
/
В итоге находим коэффициенты в уравнении Фоккера-Планка:
𝐹 = ⟨𝑞 ⟩ = −
𝐷
4𝜋𝑒 𝑒 𝛬
𝑚
= ⟨𝑞 𝑞 ⟩ = 4𝜋𝑒 𝑒 𝛬
𝑢
𝑓 (𝑝⃗ ) d 𝑝 ,
𝑢
𝛿
𝑢 𝑢
−
𝑓 (𝑝⃗ ) d 𝑝 .
𝑢
𝑢
C помощью преобразований
𝑢
𝜕𝑢
=
,
𝜕𝑢
𝑢
𝑢
𝜕 1
𝜕 1
−
=
=
,
𝑢
𝜕𝑢 𝑢
𝜕𝑣 𝑢
𝛿
𝑢 𝑢
−
𝑢
𝑢
=
𝜕
𝜕𝑢
𝑢
𝑢
=
Основы Физики Плазмы
𝜕 𝑢
𝜕 𝑢
=
𝜕𝑢 𝜕𝑢
𝜕𝑣 𝜕𝑣
/
полученные формулы можно записать в элегантной форме
𝑢
4𝜋𝑒 𝑒 𝛬
𝑓 (𝑝⃗ ) d 𝑝
𝑚
𝑢
4𝜋𝑒 𝑒 𝛬
𝜕
1
=
𝑓 (𝑝⃗ ) d 𝑝 ,
𝑚
𝜕𝑣
𝑢
≡ℎ
𝐹 =−
𝐷
𝛿
𝑢 𝑢
−
𝑢
𝑢
= 4𝜋𝑒 𝑒 𝛬
= 4𝜋𝑒 𝑒 𝛬
𝜕
𝜕𝑣 𝜕𝑣
𝑓 (𝑝⃗ ) d 𝑝
𝑢 𝑓 (𝑝⃗ ) d 𝑝 .
≡𝑔
Потенциалы Розенблюта (Marshall Rosenbluth,
ℎ
𝑔
=
𝑢
𝑢
𝑓 (𝑝⃗ ) d 𝑝 ;
𝜕
𝜕𝑣
Основы Физики Плазмы
ℎ
𝑔
):
=
−4𝜋𝑓
.
2ℎ
( )
/
d𝑓
𝜕
=−
d𝑡
𝜕𝑝
𝐹𝑓 −
=−
=−
1 𝜕
𝐷
2 𝜕𝑝
1 𝜕
𝑚 𝜕𝑣
4𝜋𝑒 𝑒 𝛬
𝑚
𝑓
𝑚 𝐹𝑓 −
𝜕
𝜕𝑣
=
1 𝜕
𝐷
2 𝜕𝑣
𝑓
𝑚 𝜕ℎ
1 𝜕 𝜕 𝑔
𝑓 −
𝑓
𝑚 𝜕𝑣
2 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣
Каноническая форма того же уравнения (Розенблют и др.,
d𝑓
=−
d𝑡
4𝜋𝑒 𝑒 𝛬
𝑚
𝜕
𝜕𝑣
𝑚 𝜕ℎ
1 𝜕 𝑔 𝜕𝑓
𝑓 −
𝑚 𝜕𝑣
2 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣
Основы Физики Плазмы
.
):
. ( )
/
Ещё раньше это уравнение вывел Л.Д. Ландау (
). Он записал
его форме, явно подчёркивающей нелинейную зависимость
интеграла столкновений от функций распределения
взаимодействующих частиц 𝑓 = 𝑓 (𝑝)
⃗ и 𝑓 = 𝑓 (𝑝⃗ ):
d𝑓
=−
d𝑡
2𝜋𝑒 𝑒 𝛬
𝜕
𝜕𝑝
𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
−𝑓
𝜕𝑝
𝜕𝑝
𝑢 𝛿
−𝑢 𝑢
d𝑝.
𝑢
( )
В статье Розенблюта работа Ландау не упоминается. В других
публикациях того времени можно найти отголоски былых
представлений, будто Ландау не учёл силу динамического
трения в уравнении Фоккера-Планка, хотя доказательство
эквивалентности уравнений ( ) и ( ) не составляет большого
труда.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Интеграл столкновений Ландау
Законы сохранения в столкновениях частиц
Упрощение интеграла столкновений
Тау-приближение
Лоренцева плазма
Модель пробных частиц
H-теорема (самостоятельно)
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Интеграл столкновений обладает свойствами, очевидными из
его физического смысла как числа частиц, появляющихся в
единицу времени в единице объёма пространства импульсов.
Поскольку полное число частиц при рассеянии сохраняется, то
d 𝑝𝐶
= 0,
( a)
где 𝐶 обозначает отдельное слагаемое в сумме ∑ по сортам
частиц в ( ) или ( ). Сохранение импульса и энергии
сталкивающихся частиц означает, что
d 𝑝 [𝑚 𝑣⃗ 𝐶
d𝑝
𝑚 𝑣 𝐶
+ 𝑚 𝑣⃗ 𝐶 ] = 0,
( b)
+ 𝑚 𝑣 𝐶
( c)
Основы Физики Плазмы
= 0.
/
Проверим равенство ( a). Так как
𝐶
=−
𝜕
⋅ 𝑠⃗ ,
𝜕𝑝⃗
с помощью теоремы Остроградского-Гаусса получаем:
d 𝑝𝐶
=−
d𝑝
𝜕
⋅ 𝑠⃗
𝜕𝑝⃗
=−
(d𝑆⃗ ⋅ 𝑠⃗ ) = 0.
Проверка законов сохранения импульса ( b) и энергии ( c)
представляет более трудоёмкое упражнение. Фактически же
проверять нужно не сами законы сохранения, а тот факт, что
конкретная форма интеграла столкновений удовлетворяет этим
законам. Различные упрощённые формы интеграла
столкновения зачастую этим законам не удовлетворяют.
Основы Физики Плазмы
/
Интеграл столкновений в форме Ландау выдерживает и другие
проверки.
Он обращается в нуль, если частицы всех сортов имеют
максвелловское распределение с одной и той же
температурой.
Решение кинетического уравнения с интегралом
столкновений Ландау не отрицательно.
Энтропия системы не убывает (H-теорема).
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Интеграл столкновений Ландау
Законы сохранения в столкновениях частиц
Упрощение интеграла столкновений
Тау-приближение
Лоренцева плазма
Модель пробных частиц
H-теорема (самостоятельно)
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Интеграл столкновений Ландау
Законы сохранения в столкновениях частиц
Упрощение интеграла столкновений
Тау-приближение
Лоренцева плазма
Модель пробных частиц
H-теорема (самостоятельно)
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Интеграл столкновений в форме Бхатнагара-Гросса-Крука
(тау-приближение):
d𝑓
𝑓 − 𝑓м
=−
.
d𝑡
𝜏
( )
Оно описывает приближение распределения частиц к
максвелловской функции 𝑓м с характерным временем 𝜏.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Интеграл столкновений Ландау
Законы сохранения в столкновениях частиц
Упрощение интеграла столкновений
Тау-приближение
Лоренцева плазма
Модель пробных частиц
H-теорема (самостоятельно)
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Плазму, состоящую из электронов (𝑒 = −𝑒) и ионов (𝑒 = 𝑍𝑒) с
большим зарядовым числом 𝑍 ≫ 1, называют лоренцевой. Тогда
𝐶 ≫ 𝐶 и приближённо
d𝑓
=𝐶
d𝑡
=−
4𝜋𝑍 𝑒 𝛬 𝜕
𝜕𝑣
𝑚
𝑚 𝜕ℎ
1 𝜕 𝑔
𝜕
𝑓 −
𝑓 .
𝑚 𝜕𝑣
2 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣
≈
𝑔 (𝑣) =
𝑢 𝑓 (𝑝⃗ ) d 𝑝 =
⃗ 𝑣⃗ | 𝑓 (𝑝⃗ ) d 𝑝 ≈ 𝑣
|𝑣−
𝜕 𝑔
𝜕 𝑣
𝜕 𝑣
=𝑛
=𝑛
=𝑛
𝜕𝑣 𝜕𝑣
𝜕𝑣 𝜕𝑣
𝜕𝑣 𝑣
d𝑓
2𝜋𝑍 𝑒 𝑛 𝛬 𝜕 1
=
𝛿
d𝑡
𝜕𝑣 𝑣
𝑚
Основы Физики Плазмы
−
𝑓 (𝑝⃗ ) d 𝑝 = 𝑛 𝑣.
𝛿
𝑣 𝑣
−
𝑣
𝑣
𝑣 𝑣
𝑣
.
𝜕𝑓
.
𝜕𝑣
/
В уравнение
d𝑓
2𝜋𝑍 𝑒 𝑛 𝛬
=
d𝑡
𝑚
𝜕 1
𝛿
𝜕𝑣 𝑣
−
𝑣 𝑣
𝑣
/ ⃗
𝜕𝑓
𝜕𝑣
,
𝜕 1 𝜕𝑓
⋅
𝜕𝑣⃗ 𝑣 𝜕𝑣⃗
входит вектор
𝜕𝑓
𝜕𝑣⃗
=
𝜕𝑓
𝑣⃗ 𝑣⃗ 𝜕𝑓
−
⋅
,
𝜕𝑣⃗
𝑣 𝑣 𝜕𝑣⃗
причём
𝑣⃗ ⋅
𝜕𝑓
𝜕𝑣⃗
= 0.
Основы Физики Плазмы
/
d𝑓
2𝜋𝑍 𝑒 𝑛 𝛬 𝜕 1 𝜕𝑓
=
⋅
d𝑡
𝜕𝑣⃗ 𝑣 𝜕𝑣⃗
𝑚
𝜕 1 𝜕𝑓
⋅
𝜕𝑣⃗ 𝑣 𝜕𝑣⃗
=
1 𝜕
𝜕𝑓
⋅
𝑣 𝜕𝑣⃗
𝜕𝑣⃗
−
𝑣⃗
𝜕𝑓
⋅
𝑣
𝜕𝑣⃗
,
=
1
div ⃗ ∇ ⃗ 𝑓 .
𝑣
В сферической системе координат (𝑣, 𝜃, 𝜓)
div ∇𝑓 =
1 𝜕
𝜕𝑓
1
𝑣
+
𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣
𝑣
1 𝜕
𝜕
1
𝜕
sin 𝜃
+
sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜓
𝑓,
≡∇
d𝑓
2𝜋𝑍 𝑒 𝑛 𝛬
=
d𝑡
𝑚 𝑣
∇ 𝑓.
( )
( )
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Интеграл столкновений Ландау
Законы сохранения в столкновениях частиц
Упрощение интеграла столкновений
Тау-приближение
Лоренцева плазма
Модель пробных частиц
H-теорема (самостоятельно)
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
В модели пробных частиц интеграл столкновений потенциалы
Розенблюта зависят только от функции распределения полевых
частиц. Её можно считать ( ) известной, ( ) изотропной и ( )
максвелловской:
𝑓 (𝑝)
⃗ = 𝑓М (𝑝).
В этом случае потенциалы Розенблюта также изотропны и могут
быть вычислены аналитически.
Основы Физики Плазмы
/
Имеется, по крайней мере, два практически значимых
применения модели пробных частиц.
Во-первых, пробными часто можно считать быстрые ионы,
которые возникают при инжекции пучков быстрых нейтральных
атомов с большой энергией в плазму с целью её нагрева. В
результате перезарядки атомы превращаются в быстрые ионы и
далее удерживаются в плазме магнитным полем, тогда как
нейтральные атомы — быстрые инжектированные и медленные
продукты перезарядки — свободно входят и выходят из неё.
Быстрые ионы тормозятся в плазме, передавая энергию
полевым частицам, одновременно испытывая рассеяние по углу.
Основы Физики Плазмы
/
Во-вторых, заряженные продукты ядерной реакции синтеза
также можно считать пробными частицами, поскольку их
плотность всё-таки существенно меньше плотности плазмы. При
использовании ряда дополнительных, но вполне естественных
упрощений функцию распределения быстрых ионов и продуктов
термоядерной реакции удаётся найти в аналитическом виде,
причём выясняется, что те и другие передают свою энергию
преимущественно электронам плазмы .
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Интеграл столкновений Ландау
Законы сохранения в столкновениях частиц
Упрощение интеграла столкновений
Тау-приближение
Лоренцева плазма
Модель пробных частиц
H-теорема (самостоятельно)
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Исходные динамические уравнения, использованные при
выводе интеграла столкновений, обратимы по времени, однако
кинетическое уравнение с интегралом столкновений не
инвариантно относительно изменения направления 𝑡. Это
утверждение известно как H-теорема Людвига Больцмана
(Ludwig Boltzmann,
). Он доказал, что существует функционал
(энтропия) 𝑆 от 𝑓, такой, что d𝑆/d𝑡 ≥ 0 для любой функции 𝑓,
удовлетворяющей кинетическому уравнения.
Докажем H-теорему для лоренцевой плазмы.
𝑆 =
d𝑆
=−
d𝑡
=−
[1 − ln 𝑓 ] 𝑓 d 𝑥 d 𝑝.
( )
𝜕𝑓
ln(𝑓 ) d 𝑥 d 𝑝
𝜕𝑡
d 𝑥 d 𝑝 ln (𝑓 ) −𝑣⃗ ⋅ ∇𝑓 +
𝑒
𝑚
1
𝜕𝑓
⃗ ⋅
𝐸⃗ + [𝑣⃗ × 𝐵]
+𝐶
𝑐
𝜕𝑣⃗
.
интеграл
Основы Физики Плазмы
/
Первое слагаемое в фигурных скобках в результате
интегрирования даёт ноль, так как
d 𝑥 ln(𝑓 ) div (𝑣𝑓
⃗ )
d 𝑥 ln(𝑓 )𝑣⃗ ⋅ ∇𝑓 =
=−
d 𝑥 𝑣𝑓
⃗ ⋅ ∇ ln(𝑓 ) = −
=−
d 𝑥 div (𝑣𝑓
⃗ ) = 0.
d 𝑥 𝑣⃗ ⋅ ∇𝑓
Такая же процедура по отношению ко второму слагаемому даёт
ноль при интегрировании по пространству импульсов:
d 𝑝 ln(𝑓 )
𝑒
𝑚
1
𝜕𝑓
⃗ ⋅
𝐸⃗ + [𝑣⃗ × 𝐵]
= 0.
𝑐
𝜕𝑣⃗
В итоге останется только последнее слагаемое с интегралом
столкновений:
d𝑆
=−
d𝑡
d 𝑥 d 𝑝 ln(𝑓 ) 𝐶
=−𝔸
⏟
Основы Физики Плазмы
d 𝑥 d 𝑝 ln(𝑓 )
𝜕 1 𝜕𝑓
⋅
𝜕𝑣⃗ 𝑣 𝜕𝑣⃗
.
/
d𝑆
= −𝔸
d𝑡
d 𝑥 d 𝑝 ln(𝑓 )
𝜕 1 𝜕𝑓
⋅
𝜕𝑣⃗ 𝑣 𝜕𝑣⃗
=𝔸
d 𝑥d 𝑝
1
𝑣𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑣⃗
=𝔸
d 𝑥d 𝑝
1
𝑣𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑣⃗
Основы Физики Плазмы
⋅
𝜕𝑓
𝜕𝑣⃗
≥ 0.
( )
/
Доказательство Н-теоремы в общем случае немногим сложнее.
Утверждение о возрастании (точнее: неубывании) энтропии
справедливо для столкновений внутри одного сорта частиц и для
суммарной энтропии:
d𝑆
=−
d𝑡
d 𝑥 d 𝑝 ln(𝑓 ) 𝐶
≥ 0.
,
Равенство нулю её производной достигается тогда, когда
функции распределения частиц всех сортов максвелловские с
одинаковой температурой, вследствие чего интеграл
столкновений обращается в нуль.
Основы Физики Плазмы
/
Н-теорема наполняет содержанием утверждение, что уравнение
Власова описывает бесстолкновительную плазму. Фактически
она указывает количественный критерий, какие траектории
частиц в дальнодействующем кулоновском поле нужно считать
столкновения, а какие —регулярным движением в
самосогласованном поле. Так как уравнение Власова не
содержит интеграла столкновений, самосогласованное поле, в
том виде как оно определено в лекции , не приводит к
возрастанию энтропии и не связано со столкновениями.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Интеграл столкновений Ландау
Законы сохранения в столкновениях частиц
Упрощение интеграла столкновений
Тау-приближение
Лоренцева плазма
Модель пробных частиц
H-теорема (самостоятельно)
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Задачи для семинара I
.
( . н.н.) Вычислить потенциалы Розенблюта для
максвелловского распределения полевых частиц.
.
( . н.н.) Упростить кинетическое уравнение
применительно к анализу торможения быстрых ионов,
возникающих при инжекции в плазму пучков нейтральных
атомов. Считать, что плотность быстрых ионов мала по
сравнению с плотностью плазмы, а их скорость значительно
больше тепловой скорости ионов, но меньше тепловой
скорости электронов.
.
( . н.н.) Найти функцию распределения быстрых ионов —
продуктов термоядерной реакции.
Основы Физики Плазмы
/
Задачи для семинара II
.
( . н.н.) Найти функцию распределения плещущихся
ионов, образующихся при стационарной инжекции быстрых
нейтральных атомов в плазму. Считать, что угловой и
энергетический разброс инжектированных атомов
пренебрежимо малы.
.
( . н.н.) Найти время жизни плазмы в пробкотроне с
большим пробочным отношениям (задача Будкера).
Номера задач указаны по книге «Лекции по физике плазмы».
Основы Физики Плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
декабря
г.
Лекция
Двухжидкостная магнитная гидродинамика
Динамика установления теплового равновесия
Моменты кинетического уравнения
Уравнения двухжидкостной гидродинамики
Основы Физики Плазмы
/
Уравнение Фоккера-Планка с интегралом столкновений Ландау
даёт наиболее строгое — кинетическое — описание плазмы.
Однако во многих случаях достаточно ограничиться более
простым гидродинамическим приближением, когда плазма
рассматривается как сплошная проводящая жидкость.
При движении плазмы в магнитном поле индуцируются
электрические поля и возникают электрические токи. На токи в
магнитном поле действуют силы, которые влияют на движение
жидкости и меняют само магнитное поле. Возникает сложная
картина взаимодействия проводящей среды и поля, которую
описывают уравнения магнитной гидродинамики (МГД).
В рамках двухжидкостной МГД плазма рассматривается как
сплошная среда, состоящая из двух взаимопроникающих
жидкостей — электронной и ионной.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Динамика установления равновесия
Моменты функции распределения
Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
Двухжидкостная гидродинамика
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Представим, что в начальный момент электроны и ионы имеют
неравновесное распределение. Пусть 𝑊 и 𝑊 — средняя
начальная энергия одного электрона и одного иона,
𝑈 ≪ 2𝑊 /𝑚 и 𝑈 ≪ 2𝑊 /𝑚 — их средние направленные
скорости. Вследствие кулоновских столкновений начальная
неравновесность будет релаксировать, а функция распределения
приближаться к максвелловской. Темп релаксации
( )
( )
характеризуется частотами 𝜈 и 𝜈 (лекция ).
При 𝑍 > 1 быстрее всего выравниваются средние скорости
электронов и ионов, 𝑢⃗ и 𝑢⃗ . За время порядка
𝜏 ∼ 1/𝜈
( )
𝜈
( )
≈
4𝜋𝛬𝑒 𝑍
𝑛 𝑣
𝑚 𝑣
()
вследствие e-i столкновений средние скорости приблизятся к
равновесному значению
𝑢⃗ ≈ 𝑢⃗ ≈ 𝑚 𝑛 𝑈⃗ + 𝑚 𝑛 𝑈⃗
/ (𝑚 𝑛 + 𝑚 𝑛 ) ≈ 𝑈⃗ .
Основы Физики Плазмы
/
Затем в результате e-e столкновений за время порядка
1/𝜈
( )
∼ 1/𝜈
( )
∼ 𝑍𝜏
( )
функция распределения электронов станет почти
максвелловской с температурой
𝑇 = 𝑊,
но полная кинетическая энергия электронного газа при этом
почти не изменится. Аналогичный процесс в газе ионов займёт
время порядка
𝜏 ∼
1
𝜈
( )
∼
1
𝜈
( )
∼
𝑚
𝑚
𝑇
𝑇
/
𝜏
,
𝑍
( )
а температура ионов установится на уровне
𝑇 = 𝑊.
Основы Физики Плазмы
/
Выравнивание электронной и ионной температур завершается за
время
1
𝑚
∼
𝜏 .
( )
( )
𝑚
𝜈
В результате в плазме устанавливается локальное
термодинамическое равновесие с температурой
𝑇≈
𝑛 𝑇 +𝑛 𝑇
𝑍𝑇 + 𝑇
=
.
𝑛 +𝑛
𝑍+1
Дальнейшая эволюция квазинейтральной плазмы продолжается
в направлении выравнивания её параметров между различными
частями пространства за счёт процессов переноса, которые
приводят к перераспределению плотности, импульса и энергии
между различными областями плазмы.
Основы Физики Плазмы
/
В замкнутой системе процессы переноса (диффузия,
теплопроводность, вязкость) ведут к установлению полного
термодинамического равновесия. Они также обусловлены
кулоновскими столкновениями, но идут ещё медленнее.
В незамкнутой системе состояние полного термодинамического
равновесия вообще может быть недостижимо. Действительно,
внешние силы должна уравновешивать сила Ампера
⃗
[𝑗⃗ × 𝐵].
Однако в состоянии полного термодинамического равновесия
𝑢⃗ = 𝑢⃗ и в квазинейтральной плазме (где 𝑒 𝑛 + 𝑒 𝑛 = 0)
𝑗⃗ = 𝑒 𝑛 𝑢⃗ + 𝑒 𝑛 𝑢⃗ = 𝑒 𝑛 (𝑢⃗ − 𝑢⃗ ) = 0.
Внешнее воздействие может также препятствовать
выравниванию температуры электронов и ионов.
Основы Физики Плазмы
/
Следовательно, в состоянии локального термодинамического
равновесия и электроны, и ионы приближённо описываются
максвелловской функцией распределения
𝑓м =
𝑛
(2𝜋𝑇 /𝑚 )
/
exp −
𝑚 (𝑣⃗ − 𝑢⃗ )
2𝑇
,
( )
но, вообще говоря, с разной температурой 𝑇 и разной средней
скоростью 𝑢⃗ ; здесь и далее 𝑎 = 𝑒 либо 𝑎 = 𝑖, а функция
распределения выражена через скорость 𝑣⃗ = 𝑝/𝑚
⃗
.
Существенно, что параметры
𝑛 = 𝑛 (𝑟,
⃗ 𝑡),
𝑇 = 𝑇 (𝑟,
⃗ 𝑡),
𝑢⃗ = 𝑢⃗ (𝑟,
⃗ 𝑡),
характеризующие это распределение, меняются в пространстве и
во времени.
Далее не пишем индекс 𝑎 в промежуточных формулах.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Динамика установления равновесия
Моменты функции распределения
Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
Двухжидкостная гидродинамика
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
МГД теория строится в предположении, что
𝑓 = 𝑓м + 𝛿𝑓,
𝛿𝑓 ≪ 𝑓м .
( )
Деление 𝑓на 𝑓м и 𝛿𝑓неоднозначно (неоднозначность
устраняется из соображений удобства при решении конкретной
задачи). Сейчас достаточно принять соглашение, что
𝑛=
𝑛 𝑢⃗ =
𝑛𝑇 = 𝑚
𝑓d 𝑣
( a)
𝑣⃗ 𝑓d 𝑣
( b)
(𝑣⃗ − 𝑢)
⃗ 𝑓d 𝑣.
( c)
Они обращаются в тождества, если 𝛿𝑓 = 0.
Основы Физики Плазмы
/
Если ввести обозначение
⟨…⟩ ≡
1
𝑛
(…) 𝑓d 𝑣
для моментов функции распределения, то определение
скорости и температуры отдельной компоненты плазмы можно
записать в компактном виде
𝑢⃗ = ⟨𝑣⟩,
⃗
𝑇 = 𝑚⟨𝑤 ⟩,
( )
где 𝑤
⃗ = 𝑣⃗ − 𝑢;
⃗ по определению
⟨𝑤⟩
⃗ = 0.
Моменты функции распределения суть среднее (или
макроскопическое) значение той или иной величины.
Основы Физики Плазмы
/
Для максвелловской функции распределения другие моменты
либо выражаются через 𝑛, 𝑢⃗ и 𝑇, либо равны нулю. Однако в
общем случае усреднение тензора более высокого ранга
порождает новые моменты, которые не выражаются только
через моменты более низкого ранга.
Пример. Тензор давления
⃖⃗
𝑷 = 𝑛𝑚⟨𝑤
⃗ 𝑤⟩,
⃗
𝑃
= 𝑚𝑛⟨𝑤 𝑤 ⟩.
( )
В изотропной плазме
⟨𝑤 𝑤 ⟩ =
1
⟨𝑤 ⟩𝛿
3
=
𝑇
𝛿 ,
𝑚
т.е.
⃖⃗
𝑷 = 𝑛𝑇⃡
𝑰,
где ⃡
𝑰 — это единичный тензор с компонентами 𝐼
Не путать тензор ⃗ ⃗ (с компонентами
⃗⋅ ⃗
.
Основы Физики Плазмы
=𝛿 .
) и скалярное произведение
/
В неизотропной плазме ⟨𝑤
⃗ 𝑤⟩
⃗ не выражается через ранее
введённые величины, поэтому вводят тензор вязких напряжений
⃖⃗
𝝅 = 𝑚𝑛 𝑤
⃗𝑤
⃗− 𝑤 ⃡
𝑰 ,
( )
⃖⃗
𝑷 = 𝑛𝑇⃡
𝑰 + ⃖⃗
𝝅.
В изотропной плазме
⃖⃗
𝝅 = 0.
Основы Физики Плазмы
/
Пример.Тензор потока импульса
⃖⃗
𝜫 = 𝑛𝑚⟨𝑣⃗ 𝑣⟩
⃗ = 𝑛𝑚⟨(𝑢⃗ + 𝑤)(
⃗ 𝑢⃗ + 𝑤)⟩
⃗ =
= 𝑛𝑚 𝑢⃗ 𝑢⃗ + 𝑛𝑚⟨𝑤
⃗ 𝑤⟩
⃗ = 𝑛𝑚 𝑢⃗ 𝑢⃗ + ⃖⃗
𝑷 ( )
с компонентами
𝛱
= 𝑛𝑚⟨𝑣 𝑣 ⟩ = 𝑛𝑚𝑢 𝑢 + 𝑃 .
Основы Физики Плазмы
/
Аналогичная картина возникает при вычислении тензора ещё
более высокого ранга ⟨𝑣 𝑣 𝑣 ⟩ . Тем не менее можно
предположить, что вновь возникающие немаксвелловские
поправки малы и на каком-то шаге перехода от кинетического
описания плазмы к гидродинамическому их можно отбросить и
получить замкнутую систему уравнений для величин 𝑛 , 𝑢⃗ и 𝑇 .
Для этого нужно последовательно выполнить почленное
интегрирование кинетического уравнения по всему пространству
импульсов с весом 1, 𝑣⃗ и 𝑣 . При этом, помимо ранее
определённого тензора вязких напряжений ⃖⃗
𝝅 , возникает ещё
вектор потока энергии
𝑞⃗ = 𝑚 𝑛
𝑤 𝑤
⃗
.
( )
В изотропной плазме
𝑞⃗ = 0.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Динамика установления равновесия
Моменты функции распределения
Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
Двухжидкостная гидродинамика
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Для вывода уравнений магнитной гидродинамики, запишем
кинетическое уравнение в дивергентной форме:
𝜕𝑓
𝜕
𝑒 𝜕
1
⃗ 𝑓= 𝐶
⃗
+
⋅ 𝑣𝑓+
⋅ 𝐸⃗ + [𝑣⃗ × 𝐵]
𝜕𝑡 𝜕𝑥⃗
𝑚 𝜕𝑣⃗
𝑐
+𝐶 .
( )
Здесь индексы 𝑎 и 𝑏 могут принимать значения 𝑒 либо 𝑖, причём,
если 𝑎 = 𝑖, то 𝑏 = 𝑒 и наоборот. (Справа индекс 𝑎 опущен.)
Интегрируя кинетическое уравнение по пространству скоростей с
⃗ 𝑚𝑣 , вычислим последовательно первый, второй
весом 1, 𝑚 𝑣,
и третий моменты кинетического уравнения. Они выражают
соответственно законы сохранения числа частиц, импульса и
энергии.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Динамика установления равновесия
Моменты функции распределения
Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
Двухжидкостная гидродинамика
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
𝜕𝑓
𝜕
+ d𝑣
⋅ 𝑣𝑓
⃗ +
𝜕𝑡
𝜕𝑥⃗
𝜕𝑛
𝜕
=
=
⋅ (𝑢𝑛)
⃗
𝜕𝑡
𝜕𝑥⃗
𝑒 𝜕
1
⃗ 𝑓=
+ d𝑣
⋅ 𝐸⃗ + [𝑣⃗ × 𝐵]
𝑚 𝜕𝑣⃗
𝑐
d𝑣
=0
=
d 𝑣𝐶
=0
+
d 𝑣𝐶
.
=0
Получившуюся в итоге формулу
𝜕𝑛
𝜕
+
⋅ (𝑛 𝑢)
⃗ =0
𝜕𝑡
𝜕𝑥⃗
Основы Физики Плазмы
/
называют уравнением непрерывности и чаще всего записывают
в виде
𝜕𝑛
+ div (𝑛 𝑢)
⃗
= 0.
𝜕𝑡
⃗ ⋅∇
⃗
Ещё одна форма уравнения непрерывности,
d 𝑛
+ 𝑛 div 𝑢⃗ = 0 ,
d𝑡
( )
более похожая на другие уравнения двухжидкостной магнитной
гидродинамики (см. ниже), использует обозначение
d
𝜕
≡
+ (𝑢⃗ ⋅ ∇)
d𝑡
𝜕𝑡
для конвективной (полной) производной по времени.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Динамика установления равновесия
Моменты функции распределения
Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
Двухжидкостная гидродинамика
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Умножим кинетическое уравнение
𝜕𝑓
𝜕
1 𝜕
+
𝑣 𝑓+
𝐹 𝑓= 𝐶
𝜕𝑡 𝜕𝑥
𝑚 𝜕𝑣
+𝐶 ,
( )
⃗ , на 𝑚𝑣 и проинтегрируем по d 𝑣.
где 𝐹 = 𝑒 𝐸⃗ + [𝑣⃗ × 𝐵]
Интеграл от первого слагаемого в левой части:
d 𝑣 𝑚𝑣
𝜕𝑓
𝜕
=
𝜕𝑡
𝜕𝑡
d 𝑣 𝑚𝑣 𝑓 =
𝜕
𝑚𝑛 ⟨𝑣 ⟩ .
𝜕𝑡
,
Интеграл от второго слагаемого в левой части:
d 𝑣 𝑚𝑣
𝜕
𝜕
𝑣 𝑓=
𝜕𝑥
𝜕𝑥
d 𝑣 𝑚𝑣 𝑣 𝑓 =
𝜕
𝑚𝑛⟨𝑣 𝑣 ⟩ .
𝜕𝑥
,
Основы Физики Плазмы
/
Последнее слагаемое в левой части:
𝑣
𝜕𝑣
𝜕
𝜕
𝜕
𝐹 𝑓=
𝑣 𝐹 𝑓− 𝐹 𝑓
=
𝑣 𝐹 𝑓− 𝐹 𝑓.
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
d 𝑣𝑣
𝜕
𝐹 𝑓=
𝜕𝑣
d𝑣
𝜕
𝑣 𝐹 𝑓−
𝜕𝑣
d 𝑣 𝐹 𝑓 = −𝑛⟨𝐹 ⟩.
Первое слагаемое справа:
𝑚
⃗
d 𝑣 𝑣𝐶
= 0.
Второе слагаемое справа (сила Брагинского):
𝑅⃗
=𝑚
𝑣⃗
⏟
⃗
𝐶
d𝑣=𝑚
𝑤𝐶
⃗
d 𝑣,
( )
⃗
Основы Физики Плазмы
/
𝑅⃗
= −𝑅⃗
( )
вследствие закона сохранения импульса
d 𝑣 [𝑚 𝑣⃗ 𝐶
+ 𝑚 𝑣⃗ 𝐶 ] = 0.
В итоге получаем уравнение
𝑚
𝜕
𝜕
𝑛𝑢 +
𝛱
𝜕𝑡
𝜕𝑥
1
⃗
− 𝑒𝑛 𝐸⃗ + [𝑢⃗ × 𝐵]
𝑐
=𝑅
,
.
В тензоре потока импульса выделим тензор давления:
𝛱
= 𝑛𝑚⟨𝑣 𝑣 ⟩ = 𝑚𝑛𝑢 𝑢 + 𝑛𝑚⟨𝑤 𝑤 ⟩ .
Основы Физики Плазмы
/
Затем с помощью преобразования
𝜕
𝜕
𝑛𝑢 +
𝑛𝑢 𝑢 =
𝜕𝑡
𝜕𝑥
=𝑢
𝜕𝑛
𝜕
+
𝑛𝑢
𝜕𝑡
𝜕𝑥
+𝑛
𝜕
𝜕
𝑢 +𝑢
𝑢
𝜕𝑡
𝜕𝑥
=0
выделим конвективную производную скорости d 𝑢⃗ /d𝑡. В
результате получается уравнение движения
𝑚 𝑛
d 𝑢⃗
= −∇ ⋅ ⃖⃗
𝑷 +𝑒 𝑛
d𝑡
𝐸⃗ +
1
𝑢⃗ × 𝐵⃗
𝑐
+ 𝑅⃗ ,
( )
где ∇ ⋅ ⃖⃗
𝑷 суть вектор с компонентами
∇ ⋅ ⃖⃗
𝑷
=
𝜕
𝑃
𝜕𝑥
=
Основы Физики Плазмы
𝜕
𝑃 .
𝜕𝑥
/
Ещё одна форма уравнения движения
𝑚 𝑛
d 𝑢⃗
𝑒
= −∇𝑝 + 𝑒 𝑛 𝐸⃗ + 𝑛
d𝑡
𝑐
𝑢⃗ × 𝐵⃗ − ∇ ⋅ ⃖⃗
𝝅 + 𝑅⃗
( )
получается путём выделения в тензоре давления
⃖⃗
𝑷 =𝑝 ⃡
𝑰 + ⃖⃗
𝝅
парциального давления
𝑝 = 𝑛 𝑚 ⟨𝑤 ⟩ = 𝑛 𝑇
(
)
и тензора вязких напряжений
⃖⃗
𝝅 =𝑚 𝑛 𝑤
⃗𝑤
⃗− 𝑤 ⃡
𝑰 .
Основы Физики Плазмы
/
𝑚 𝑛
d 𝑢⃗
𝑒
= −∇𝑝 + 𝑒 𝑛 𝐸⃗ + 𝑛
d𝑡
𝑐
𝑢⃗ × 𝐵⃗ − ∇ ⋅ ⃖⃗
𝝅 + 𝑅⃗
( )
В правой части уравнения движения стоят силы, действующие на
компоненту («жидкость») сорта 𝑎 в единице объёма плазмы.
Первое слагаемое — это сила давления, второе и третье — сила
Лоренца. Четвёртое слагаемое содержит тензор вязких
напряжений ⃖⃗
𝝅 и представляет собой вязкие силы.
Позднее мы узнаем, что вязкие силы возникают в неоднородной
плазме. Сила Брагинского 𝑅⃗ включает силу трения
(пропорциональную 𝑢⃗ − 𝑢⃗ ) и термосилу (в плазме с
градиентом температуры).
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Динамика установления равновесия
Моменты функции распределения
Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
Двухжидкостная гидродинамика
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Уравнение переноса тепла получится, если умножить
кинетическое уравнение на 𝑚𝑣 и проинтегрировать по d 𝑣:
𝜕 1
𝜕 1
𝑚𝑛⟨𝑣 ⟩ +
𝑚𝑛⟨𝑣 𝑣 ⟩ − 𝑒𝑛⟨𝑣 ⟩𝐸 =
𝜕𝑡 2
𝜕𝑥 2
= 𝑚
𝑣 𝐶
d𝑣+ 𝑚
𝑣 𝐶
d 𝑣. ( )
Последнее слагаемое в левой части вновь получено путём
интегрирования по частям слагаемого с силой Лоренца в
кинетическом уравнении, причём магнитная часть силы выпала,
поскольку 𝑣⃗ ⋅ 𝑣⃗ × 𝐵⃗ = 0.
Основы Физики Плазмы
/
𝑚
𝑣 𝐶
d𝑣=0
вследствие закона сохранения энергии
d𝑝
𝑚 𝑣 𝐶
+ 𝑚 𝑣 𝐶
= 0.
( )
Второе слагаемое в правой части описывает обмен энергией
между разными компонентами плазмы:
𝑚
= 𝑚
𝑣 𝐶
𝑢 𝐶
d𝑣= 𝑚
d 𝑣+𝑚
(𝑢⃗ + 𝑤)
⃗ 𝐶
(𝑢⃗ ⋅ 𝑤)
⃗ 𝐶
⃗ ⋅⃗
d𝑣
d 𝑣+ 𝑚
𝑤 𝐶
d𝑣.
≡
( )
Основы Физики Плазмы
/
Действуя далее примерно так же, как это было сделано при
выводе уравнения движения, получим уравнение баланса
энергии
3d 𝑝
5
+ 𝑝 div 𝑢⃗ = 𝑄
2 d𝑡
2
− div 𝑞⃗ − (⃖⃗
𝝅 ⋅ ∇) ⋅ 𝑢⃗ .
(
)
Первое слагаемое в его правой стороне описывает локальную
передачу тепла от одной компоненты плазмы к другой. Второе
слагаемое описывает нагрев вследствие переноса тепла, причём
𝑞⃗ = 𝑚 𝑛 ⟨𝑤 𝑤⟩
⃗
обозначает вектор потока тепла. Наконец, третье слагаемое
отвечает за нагрев вязким трением.
Основы Физики Плазмы
/
3d 𝑝
5
+ 𝑝 div 𝑢⃗ = 𝑄 − div 𝑞⃗ − (⃖⃗
𝝅 ⋅ ∇) ⋅ 𝑢⃗ .
2 d𝑡
2
Выделим энтропию единицы объёма
𝑠 = 𝑛 ln 𝑝
/
/𝑛
/
(
)
( )
в уравнении баланса энергии. Для этого исключим div 𝑢⃗ при
помощи уравнения непрерывности
d 𝑛
+ 𝑛 div 𝑢⃗ = 0.
d𝑡
Так как d(𝑠 /𝑛 ) = d𝑝 /𝑝 −
уравнение переноса тепла
𝑝
d 𝑠
=𝑄
d𝑡 𝑛
d𝑛 /𝑛 , в результате получим
− (⃖⃗
𝝅 ⋅ ∇) ⋅ 𝑢⃗ − div 𝑞⃗ .
Основы Физики Плазмы
(
)
/
𝑝
d 𝑠
=𝑄
d𝑡 𝑛
− (⃖⃗
𝝅 ⋅ ∇) ⋅ 𝑢⃗ − div 𝑞⃗ .
Электрическое и магнитное поля в явном виде не входят в это
уравнение в соответствии с утверждением, что
самосогласованное поле не изменяет энтропию плазмы. Однако
возможно косвенное влияние самосогласованного поля на рост
энтропии через поддержание электрического тока (см. след.
слайд). Вследствие кулоновских столкновений плазма
приобретает электрическое сопротивление, поэтому
электрический ток нагревает плазму, как и любой другой
проводник.
Основы Физики Плазмы
/
Омический нагрев входит в уравнение переноса тепла в виде
доли величины 𝑄 , которая имеет размерность мощности на
единицу объёма. Другая часть 𝑄 зависит от разности
температур 𝑇 и 𝑇 .
Априори нельзя утверждать, что 𝑄 меняет знак при
перестановке индексов, как это происходит с силой 𝑅⃗ . Из
закона сохранения энергии в кулоновских столкновениях ( ) и
формулы ( ) следует соотношение
𝑄
+𝑄
= −𝑅⃗
⋅ 𝑢⃗ − 𝑅⃗
⋅ 𝑢⃗ = −𝑅⃗
⋅ (𝑢⃗ − 𝑢⃗ ).
( )
Равенство 𝑄 = −𝑄 имеет место только в отсутствие
электрического тока, когда 𝑢⃗ = 𝑢⃗ . Если же 𝑢⃗ ≠ 𝑢⃗ , то
𝑅⃗ ⋅ (𝑢⃗ − 𝑢⃗ ) определяет мощность омического нагрева.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Динамика установления равновесия
Моменты функции распределения
Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
Двухжидкостная гидродинамика
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Запишем систему уравнений двухжидкостной магнитной
гидродинамики, собрав вместе все уравнения:
d 𝑛
+ 𝑛 div 𝑢⃗ = 0 ,
( a)
d𝑡
d 𝑢⃗
𝑒
𝑚 𝑛
= −∇𝑝 + 𝑒 𝑛 𝐸⃗ + 𝑛 𝑢⃗ × 𝐵⃗ − ∇ ⋅ ⃖⃗
𝝅 + 𝑅⃗ ,
d𝑡
𝑐
( b)
d 𝑠
𝑝
= 𝑄 − (⃖⃗
𝝅 ⋅ ∇) ⋅ 𝑢⃗ − div 𝑞⃗ .
( c)
d𝑡 𝑛
Основы Физики Плазмы
/
Их следует дополнить уравнениями Максвелла:
1 𝜕𝐵⃗
,
𝑐 𝜕𝑡
4𝜋
1 𝜕𝐸⃗
rot 𝐵⃗ =
𝑗⃗ +
,
𝑐
𝑐 𝜕𝑡
rot 𝐸⃗ = −
div 𝐵⃗ = 0,
(
a)
div 𝐸⃗ = 4𝜋𝜌 ,
(
b)
где
𝜌 =𝑒 𝑛 +𝑒 𝑛 ,
𝑗⃗ = 𝑒 𝑛 𝑢⃗ + 𝑒 𝑛 𝑢⃗ ,
(
)
причём
𝜕𝜌
+ div 𝑗⃗ = 0,
𝜕𝑡
как легко проверить с помощью уравнений (
Основы Физики Плазмы
( )
a).
/
Считая все происходящие в плазме движения медленными, со
скоростями значительно меньше скорости света, в первом
уравнении ( b) для магнитного поля обычно (но не всегда)
⃗
пренебрегают током смещения (1/𝑐)𝜕𝐸/𝜕𝑡.
Одновременно с
этим необходимо заменить второе уравнение ( b) на условие
квазинейтральности 𝜌 = 0, иначе система уравнений не будет
согласована:
1 𝜕𝐵⃗
,
𝑐 𝜕𝑡
4𝜋
rot 𝐵⃗ =
𝑗⃗,
𝑐
rot 𝐸⃗ = −
Основы Физики Плазмы
div 𝐵⃗ = 0,
( a)
𝜌 = 0.
( b)
/
Сформулированная система уравнений формальна, пока нет
способа вычислить моменты высших порядков, входящие в
правые части уравнения движения и уравнения переноса тепла.
Вычислению 𝑅⃗ , ⃖⃗
𝝅 , 𝑞⃗ , 𝑄
посвящена следующая лекция.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Динамика установления равновесия
Моменты функции распределения
Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
Двухжидкостная гидродинамика
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Задачи для семинара I
.
( . н.н.) Вычислить силу трения ( ), предполагая, что
распределение электронов описывается «сдвинутой»
функцией Максвелла ( ), а средняя направленная скорость
электронов мала по сравнению с их тепловой скоростью.
.
( . н.н.) Используя решение предыдущей задачи,
вычислить проводимость плазмы.
.
( . н.н.) Вычислить удельную мощность 𝑄 нагрева
электронов ионами в простой плазме.
Номера задач указаны по книге «Лекции по физике плазмы».
Основы Физики Плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
декабря
г.
Лекция
Уравнения переноса
Кинетические коэффициенты
Метод Чепмена-Энскога
Теплопроводность плазмы
Термосила
Проводимость плазмы
Основы Физики Плазмы
/
Напомним систему уравнений двухжидкостной МГД:
d 𝑛
+ 𝑛 div 𝑢⃗ = 0 ,
( a)
d𝑡
d 𝑢⃗
𝑒
𝑚 𝑛
= −∇𝑝 + 𝑒 𝑛 𝐸⃗ + 𝑛 𝑢⃗ × 𝐵⃗ − ∇ ⋅ ⃖⃗
𝝅 + 𝑅⃗ ,
d𝑡
𝑐
( b)
d 𝑠
𝑛 𝑇
= 𝑄 − (⃖⃗
𝝅 ⋅ ∇) ⋅ 𝑢⃗ − div 𝑞⃗ ;
( c)
d𝑡 𝑛
d
𝜕
=
+ (𝑢⃗ ⋅ ∇) ,
d𝑡
𝜕𝑡
𝑅⃗
=𝑚
𝑤𝐶
⃗
d 𝑣,
⃖⃗
𝝅=𝑚 𝑛 𝑤
⃗𝑤
⃗− 𝑤 ⃡
𝑰 ,
𝑠 = 𝑛 ln 𝑝
/
𝑄
𝑤 𝐶
= 𝑚
𝑞⃗ = 𝑚 𝑛
Основы Физики Плазмы
/𝑛
/
,
d 𝑣,
𝑤 𝑤
⃗
.
/
Процессы переноса удаётся описать, выразив высшие моменты
функции распределения 𝑞⃗ и ⃖⃗
𝝅 через градиенты низших
моментов 𝑛 , 𝑢⃗ и 𝑇 . Коэффициенты пропорциональности
между высшими моментами и этими градиентами называют
кинетическими коэффициентами.
Гидродинамические уравнения, дополненные кинетическими
коэффициентами, называют уравнениями переноса. Для газов
они были выведены в
–
годах независимо С. Чепменом
(Sydney Chapman) и Д. Энскогом (David Enskog). С. Чепмен и
Т. Каулинг (Thomas Cowling) в
году вычислили некоторые
коэффициенты переноса для плазмы в магнитном поле.
Завершил построение системы уравнений классического
переноса в простой плазме С. И. Брагинский в
г.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Кинетические коэффициенты
Теплопроводность плазмы
Уравнение теплопроводности
Термосила
Проводимость плазмы
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Каждый момент кинетического уравнения «зацепляет» моменты
функции распределения более высокого порядка. Например,
первый момент К.У.
d
𝑛 + div(𝑛 𝑢⃗ ) = 0
d𝑡
⟨ ⟩
⟨ ⃗⟩
содержит и первый, и второй момент Ф.Р. Поэтому надо где-то
оборвать цепочку уравнений для моментов.
Если просто отбросить высшие моменты в уравнениях для 𝑢⃗ и
𝑇 , будут выброшены процессы переноса, которые обусловлены
анизотропной поправкой к функции распределения 𝛿𝑓. При
вычислении моментов 𝛿𝑓 даёт потоки частиц, импульса и
энергии, связанные с неоднородностью макроскопических
параметров плазмы.
Основы Физики Плазмы
/
При вычислении этих потоков производная 𝜕𝛿𝑓/𝜕𝑡 в
кинетическом уравнении отбрасывается, так как процессы
переноса идут медленнее, чем установление локального
термодинамического равновесия. В результате 𝛿𝑓 выражают
через пространственные производные 𝑛 , 𝑢⃗ , 𝑇 ,
⃖⃗ , замыкая тем самым
Вычислив 𝛿𝑓, находят 𝑅⃗ , 𝑄 , 𝑞⃗ , 𝝅
систему уравнений двухжидкостной МГД. Из неё уже можно
определить, как изменяются макроскопические параметры
плазмы с течением времени.
Основы Физики Плазмы
/
Помимо неоднородности макроскопических параметров,
вносящих анизотропию в функцию распределения частиц
плазмы, имеется и другой источник неравновесности. Даже если
в некоторой области плазма однородна, но средние скорости
(или температуры) электронов и ионов различны, возникает
обмен импульсом (энергией) между компонентами плазмы.
Темп выравнивания импульса (энергии) в этом случае зависит
только от локальной разности скоростей (температур) электронов
и ионов. Соответственно, в моментах интеграла столкновений
𝑅⃗ и 𝑄 , входящих в уравнения двухжидкостной МГД ( ),
появляются слагаемые, пропорциональные 𝑢⃗ − 𝑢⃗ и 𝑇 − 𝑇 .
Основы Физики Плазмы
/
Малые неоднородности различного вида можно рассматривать
независимо один от другого. Это упрощает расчёт кинетических
коэффициентов, позволяя разделить одну большую проблему на
несколько частных задач. Например, чтобы вычислить поток
тепла, вызванный градиентом температуры, градиентами других
макроскопических параметров можно пренебречь.
Не имея возможности в полной мере изложить теорию
Брагинского, мы рассмотрим только некоторые из процессов
переноса, обусловленных кулоновскими столкновениями частиц
в полностью ионизованной плазме.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Кинетические коэффициенты
Теплопроводность плазмы
Уравнение теплопроводности
Термосила
Проводимость плазмы
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Пусть 𝑛 = 𝑍𝑛 = const, ∇𝑇 = (𝜕𝑇 /𝜕𝑧) 𝑧,̂ 𝐵⃗ = 0, 𝑢⃗ = 0 .
Предположим, что 𝑗⃗ = 0, так как плазма изолирована от внешних
проводников; тогда 𝑢⃗ = 0, а ∇𝑝 = 𝑛 ∇𝑇 уравновешивается
электрическим полем 𝐸⃗ = 𝐸 𝑧,̂ которое создаётся зарядами на
поверхности плазмы (эффект Зеебека, Thomas Seebeck,
).
В кинетическом уравнении для электронов отбросим 𝜕𝑓/𝜕𝑡 и
используем приближение лоренцевой плазмы (𝑍 ≫ 1):
𝜕𝑓
𝜕𝑓 𝑒 𝜕𝑓
𝐴
1 𝜕
𝜕𝑓
1 𝜕 𝑓
+𝑣
− 𝐸
=
sin 𝜃
+
. ( )
𝜕𝑡
𝜕𝑧 𝑚 𝜕𝑣
𝑣 sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜓
⇒
⇒
Здесь
𝐴
2𝜋𝑍 𝑒 𝑛 𝛬
=
𝑣
𝑚 𝑣
∼
1 ( )
𝜈 ,
2
скорость 𝑣 = 𝑣 cos 𝜃 направлена вдоль ∇𝑇 , и учтено, что 𝑓 не
зависит от азимутального угла 𝜓 вокруг оси 𝑧.
Основы Физики Плазмы
/
𝑣
𝜕𝑓
𝑒 𝜕𝑓
𝐴 1 𝜕
𝜕𝑓
− 𝐸
=
sin 𝜃 .
𝜕𝑧 𝑚 𝜕𝑣
𝑣 sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
Ищем решение в виде
𝑓 = 𝑓м + 𝛿𝑓,
𝑓м = 𝑛
𝑚
2𝜋𝑇
𝛿𝑓 ≪ 𝑓м ,
/
exp −
( )
𝑚𝑣
2𝑇
и упрощаем (линеаризуем) кинетическое уравнение:
𝑣
𝜕𝑓м
𝑒 𝜕𝑓м
𝐴 1 𝜕
𝜕𝛿𝑓
− 𝐸
=
sin 𝜃
.
𝜕𝑧
𝑚 𝜕𝑣
𝑣 sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
Основы Физики Плазмы
/
Раскрывая производные функции 𝑓м = 𝑛
помощью легко проверяемых формул,
/
exp −
𝜕𝑓м
𝑚𝑣
𝑚𝑣 cos 𝜃
=−
𝑓 =−
𝑓м ,
𝜕𝑣
𝑇 м
𝑇
𝜕𝑓м
3 𝜕𝑇
𝑚𝑣 𝜕𝑇
1 𝜕𝑇 𝑚𝑣
3
=−
𝑓м +
𝑓м =
−
𝑓,
𝜕𝑧
2𝑇 𝜕𝑧
2𝑇 𝜕𝑧
𝑇 𝜕𝑧 2𝑇
2 м
с
×−
𝑒𝐸
𝑚
× 𝑣 cos 𝜃
перепишем последнее уравнение в виде
1 𝜕𝑇 𝑚𝑣
3
𝑒𝐸
𝐴 1 𝜕
𝜕𝛿𝑓
−
+
𝑓м 𝑣 cos 𝜃 =
sin 𝜃
.
𝑇 𝜕𝑧 2𝑇
2
𝑇
𝑣 sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
Решаем методом разделения переменных. При подстановке
𝛿𝑓 = 𝛷(𝑣) cos 𝜃
( )
множитель cos 𝜃 сократится, подтверждая нашу догадку
относительно зависимости 𝛿𝑓 от 𝜃.
Основы Физики Плазмы
/
1 𝜕𝑇 𝑚𝑣
3
𝑒𝐸
𝐴 1 𝜕
𝜕𝛿𝑓
−
+
𝑓м 𝑣 cos 𝜃 =
sin 𝜃
.
𝑇 𝜕𝑧 2𝑇
2
𝑇
𝑣 sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
( /
𝛷(𝑣) = −
) ( )
𝑣 1 𝜕𝑇 𝑚𝑣
3
𝑒𝐸
−
+
𝑓.
2𝐴 𝑇 𝜕𝑧 2𝑇
2
𝑇 м
( )
Чтобы найти 𝐸, вспомним, что выбор 𝛿𝑓 в 𝑓 = 𝑓м + 𝛿𝑓
неоднозначен. Потребуем, чтобы
𝑛
𝑛𝑢⃗ =
𝑛𝑇
1
𝑣⃗
𝑚(𝑣⃗ − 𝑢)
⃗
𝑓d 𝑣 =
Основы Физики Плазмы
1
𝑣⃗
𝑚(𝑣⃗ − 𝑢)
⃗
𝑓м d 𝑣,
/
то есть те же интегралы от 𝛿𝑓 = 𝛷(𝑣) cos 𝜃 равны нулю:
𝛿𝑓 d 𝑣 = 0,
( a)
𝑣⃗ 𝛿𝑓 d 𝑣 = 0,
( b)
(𝑣⃗ − 𝑢)
⃗ 𝛿𝑓 d 𝑣 = 0.
( c)
Здесь 𝑣⃗ = {𝑣 sin 𝜃 cos 𝜓, 𝑣 sin 𝜃 sin 𝜓, 𝑣 cos 𝜃},
d 𝑣 = 𝑣 d𝑣 sin 𝜃 d𝜃 d𝜓. В рассматриваемой задаче 𝑢⃗ = 0. Из
𝑧-проекции уравнения ( b) имеем
𝑣 𝛿𝑓 d 𝑣 =
𝛷(𝑣) 𝑣 cos 𝜃 d 𝑣 = ⟨cos 𝜃⟩
⟨cos 𝜃⟩ =
1
4𝜋
𝛷(𝑣) 𝑣 d 𝑣 = 0.
cos 𝜃 2𝜋 sin 𝜃 d𝜃 =
1
,
3
𝛷(𝑣) 𝑣 d 𝑣 = 0.
Основы Физики Плазмы
/
𝛷(𝑣) 𝑣 d 𝑣 =
−
𝑣 1 𝜕𝑇 𝑚𝑣
3
−
2𝐴 𝑇 𝜕𝑧 2𝑇
⏟
2
+
∝ !
∝ × !
∝ !
𝑒𝐸
𝑓 𝑣 d 𝑣 = 0.
𝑇 м
Учитывая, что
𝑓м 𝑣
2𝑘! 2𝑇
d𝑣=
√𝜋 𝑚
/
𝑛
при целом 𝑘, находим
𝑒𝐸 = −
5 𝜕𝑇
.
2 𝜕𝑧
( )
Таким образом,
𝛿𝑓 =
𝑣
𝑚𝑣
4−
2𝐴
2𝑇
1 𝜕𝑇
cos 𝜃𝑓м .
𝑇 𝜕𝑧
Основы Физики Плазмы
( )
/
𝛿𝑓 =
𝑣
𝑚𝑣
4−
2𝐴
2𝑇
1 𝜕𝑇
𝜆 𝜕𝑇
cos 𝜃𝑓м ∼
𝑓;
𝑇 𝜕𝑧
𝑇 𝜕𝑧 м
𝛿𝑓 ≪ 𝑓м , если длина пробега электронов 𝜆 ∼ 𝑣/𝜈 ∼ 𝑣 /𝐴 мала
по сравнению с характерной длиной неоднородности
температуры ℓ = 𝑇/|𝜕𝑇/𝜕𝑧|. Соответственно, только при
условии
𝜆≪ℓ
( )
выполняется исходное предположение о близости функции
распределения к максвелловской. Если оно нарушено,
уравнения магнитной гидродинамики формально не
применимы. Это общее правило, хотя оно и получено на одном
конкретном примере.
Основы Физики Плазмы
/
Найдём электронный поток тепла
𝑞⃗ = 𝑚
𝑞 = 𝑚
(𝑣⃗ − 𝑢)
⃗ (𝑣⃗ − 𝑢)
⃗ 𝑓 d 𝑣.
𝑣 cos 𝜃 𝛿𝑓 d 𝑣 = 𝑚⟨cos 𝜃⟩
∼ 𝑚𝑣
( )
𝑣 𝛷(𝑣) d 𝑣 ∼
𝜆 𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝑛 ∼ 𝜆𝑣 𝑛
.
𝑇 𝜕𝑧
𝜕𝑧
В векторной записи полученная формула называется законом
Фурье (Jean Fourier,
):
𝑞⃗
= −𝜘 ∇𝑇 .
( )
Коэффициент теплопроводности электронов
𝜘 ∼𝑣 𝜆 𝑛 .
Основы Физики Плазмы
( )
/
Далее…
Кинетические коэффициенты
Теплопроводность плазмы
Уравнение теплопроводности
Термосила
Проводимость плазмы
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
T(z)
dz
q−
q+
z-λ
𝑞 =𝐾 𝛤≈
z
z+λ
z
3
𝜕𝑇
𝑇−
𝜆 𝑛𝑣 ,
2
𝜕𝑧
Figure: Если потоки частиц слева и
справа одинаковы, 𝛤 = 𝛤 ∼ 𝑛𝑣 ,
то потоки тепла слева и справа, 𝑞
и 𝑞 , различаются на величину,
пропорциональную градиенту
температуры 𝑇. Разность потоков
𝑞(𝑧 − d𝑧/2) и 𝑞(𝑧 + d𝑧/2) идёт на
нагрев слоя.
𝑞 =𝐾 𝛤≈
3
𝜕𝑇
𝑇+
𝜆 𝑛𝑣
2
𝜕𝑧
Суммарный поток равен дисбалансу левого и правого потоков
𝑞 = 𝑞 − 𝑞 = −𝜘
𝜕𝑇
,
𝜕𝑧
𝜘 ∼ 𝑛𝑣 𝜆.
Так же можно оценить любые кинетические коэффициенты.
Основы Физики Плазмы
/
Разность энергий, втекающих через границы слоя за время d𝑡
[𝑞(𝑧 − d𝑧/2) − 𝑞(𝑧 + d𝑧/2)] d𝑡 ≈ −
𝜕𝑞
𝜕 𝜕𝑇
d𝑧 d𝑡 =
𝜘
d𝑧 d𝑡,
𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑧
идёт на увеличение внутренней энергии электронов 𝑛 d𝑇 d𝑧
слоя за счёт приращения температуры d𝑇 = (𝜕𝑇/𝜕𝑡) d𝑡.
Составляя баланс, получаем уравнение теплопроводности
3 𝜕𝑇
𝜕 𝜕𝑇
𝑛
=
𝜘 .
2 𝜕𝑡
𝜕𝑧 𝜕𝑧
В случае трёх пространственных измерений
3 𝜕𝑇
𝑛
= div (𝜘∇𝑇) .
2 𝜕𝑡
( )
Можно вывести из уравнения ( c), если отбросить ∇ ⋅ ⃖⃗
𝝅 и𝑄 .
Основы Физики Плазмы
/
3 𝜕𝑇
𝑛
= div (𝜘∇𝑇) .
2 𝜕𝑡
Если 𝑛 = const, обе стороны уравнения теплопроводности
можно поделить на 𝑛. Результат деления
𝜕𝑇
= div (𝜒∇𝑇)
𝜕𝑡
( )
называют уравнением Фурье. Величина 𝜒 = 𝜘/𝑛 называется
коэффициентом температуропроводности в отличие от
коэффициента теплопроводности 𝜘. В задаче о диффузии
броуновских частиц получается уравнение диффузии
𝜕𝑛
= div (𝐷∇𝑛) .
𝜕𝑡
Основы Физики Плазмы
/
Уравнение Фурье с постоянным коэффициентом 𝜒 хорошо
изучено.
𝜕𝑇
= div (𝜒∇𝑇) = 𝜒∇ 𝑇
𝜕𝑡
∼ /
∼
/
Из него следует, что зона прогрева от точечного источника
расширяется по закону
𝑟 ∼ 𝜒𝑡.
Жан Фурье (Jean Fourier) специально для этого уравнения
разработал метод решения разложением в ряды, которые в наше
время называют его именем.
В плазме 𝜒 ∝ 𝑇
фронтами.
/
, образуются температурные волны с крутыми
Основы Физики Плазмы
/
Из 𝜘 ∼ 𝑛𝑣 𝜆 и 𝜒 ∼ 𝜘/𝑛 следует, что
𝜒 ∼ 𝜆𝑣 ∼ 𝜆 /𝜏 ∼ 𝑣 𝜏,
( )
где 𝜆 = 1/𝑛𝜎 — длина свободного пробега, 𝜎 — транспортное
сечение кулоновских столкновений, 𝑛 — плотность частиц,
𝜏 = 𝜆/𝑣 — время свободного пробега, а 𝑣 — тепловая скорость.
Сравним электронную и ионную теплопроводности:
𝜏 =
1
𝜈
( )
∼
4𝜋𝑒 𝑍 𝛬
𝑛𝑣
𝑚 𝑣
𝜒 /𝜒 ∼ 𝑣 𝜏 /𝑣 𝜏 ∼ (𝑚 /𝑚 )
/
,
(𝑇 /𝑇 )
/
𝑍 .
( )
В типичных условиях 𝜒 /𝜒 ≫ 1. В плазме без магнитного поля
тепло переносится преимущественно электронами.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Кинетические коэффициенты
Теплопроводность плазмы
Уравнение теплопроводности
Термосила
Проводимость плазмы
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
При наличии ∇𝑇 в неподвижной плазме возникает
электрическое поле. Подставив 𝐸⃗ = ∇𝑇 /𝑒 в уравнение
движения электронной компоненты плазмы
𝑚 𝑛
d 𝑢⃗
= − ∇𝑝
d𝑡
+ 𝑒 𝑛 𝐸⃗ − ∇ ⋅ ⃖⃗
𝝅 +𝑅⃗
∇
( )
∇
легко понять, что есть ещё термосила
𝑅⃗ = − 𝑛 ∇𝑇 .
( )
Она составляет только часть полной силы Брагинского
𝑅⃗
= 𝑅⃗ + 𝑅⃗ ,
(
)
которая содержит ещё силу трения 𝑅⃗ .
Основы Физики Плазмы
/
Термосила, будучи силой трения по происхождению, не зависит
от частоты столкновений. Подставив
𝛿𝑓 =
𝑣
𝑚𝑣
4−
2𝐴
2𝑇
1 𝜕𝑇
cos 𝜃𝑓м
𝑇 𝜕𝑧
в определение силы Брагинского
𝑅⃗
=𝑚
𝑣𝐶
⃗
d 𝑣,
𝐶
=
𝐴 1 𝜕
𝜕𝛿𝑓
sin 𝜃
,
𝑣 sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
видим, что коэффициент 𝐴 сокращается.
Можно объяснить этот парадоксальный результат при помощи
качественных рассуждений, рассматривая картинку на слайде
. Происхождение термосилы связано с нетривиальной
( )
/
зависимостью 𝜈 ∝ 𝑇
. Электроны, приходящие из более
нагретой области, испытывают меньшее трение об ионы, нежели
электроны из более холодной области. В результате возникает
сила трения, направленная против градиента температуры.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Кинетические коэффициенты
Теплопроводность плазмы
Уравнение теплопроводности
Термосила
Проводимость плазмы
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Вычислим 𝑅⃗ . Из ( ) и ( ) при 𝜕𝑇/𝜕𝑧 = 0 находим
𝛿𝑓 = −
𝑣 𝑒𝐸
𝑓 cos 𝜃.
2𝐴 𝑇 м
( )
Так как ∫ 𝑣⃗ 𝑓м d 𝑣 = 0,
𝑛𝑢⃗ =
=−
𝑣⃗ (𝑓м + 𝛿𝑓) d 𝑣 = 𝑧̂
1 𝑒𝐸⃗
⟨cos 𝜃⟩
2𝐴 𝑇
/
2𝑛 2𝑇
=−
√𝜋𝐴 𝑚
𝑣 𝑓м d 𝑣
× !
√
/
𝑣 cos 𝜃 𝛿𝑓 d 𝑣
/
𝑒𝐸⃗
.
𝑇
Основы Физики Плазмы
/
Вычислим 𝑅⃗ . Из ( ) и ( ) при 𝜕𝑇/𝜕𝑧 = 0 находим
𝛿𝑓 = −
𝑣 𝑒𝐸
𝑣 𝑢
√𝜋
𝑓м cos 𝜃 =
2𝐴 𝑇
4 (2𝑇/𝑚)
/
𝑓м cos 𝜃.
( )
Так как ∫ 𝑣⃗ 𝑓м d 𝑣 = 0,
𝑛𝑢⃗ =
=−
𝑣⃗ (𝑓м + 𝛿𝑓) d 𝑣 = 𝑧̂
1 𝑒𝐸⃗
⟨cos 𝜃⟩
2𝐴 𝑇
/
=−
2𝑛 2𝑇
√𝜋𝐴 𝑚
𝑣 𝑓м d 𝑣
× !
√
/
𝑣 cos 𝜃 𝛿𝑓 d 𝑣
/
𝑒𝐸⃗
.
𝑇
Основы Физики Плазмы
/
2
2𝑇
𝑢⃗ =
√𝜋𝐴 𝑚
/
𝑒𝐸⃗
,
𝑇
𝐴 = 2𝜋𝑍 𝑒 𝑛 𝛬 /𝑚 .
Окончательный результат вычислений записывают в виде
𝑢⃗ =
⃗
32 𝑒 𝐸𝜏
,
3𝜋 𝑚
( )
где
3
/
/
𝑚 𝑇
𝜏 =
.
4√2𝜋 𝑛 𝑍 𝑒 𝛬
( )
Выбор коэффициентов в определении 𝜏 обсудим позже.
Основы Физики Плазмы
/
Чтобы найти силу трения электронов об ионы, следуя её
определению, нужно было бы вычислить интеграл
𝑅⃗ = 𝑚
𝑣𝐶
⃗ 𝑑 𝑣,
𝐶
=
𝐴 1 𝜕
𝜕𝛿𝑓
sin 𝜃
.
𝑣 sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
Однако проще использовать уравнение движения электронов:
𝑚 𝑛
d 𝑢⃗
𝑒
= − ∇𝑝 +𝑒 𝑛 𝐸⃗ + 𝑛 𝑢⃗ × 𝐵⃗ − ∇ ⋅ ⃖⃗
𝝅 +𝑅⃗ .
d𝑡
𝑐
Исключая 𝐸⃗ из уравнений
𝑒 𝑛 𝐸⃗ + 𝑅⃗ = 0,
𝑢⃗ =
⃗
32 𝑒 𝐸𝜏
,
3𝜋 𝑚
получим
𝑅⃗ = −ℂ(∞)
𝑚 𝑛
𝑢,
⃗
𝜏
ℂ(∞) ≡
Основы Физики Плазмы
3𝜋
= 0,29.
32
(
)
/
Формула
𝑅⃗ = −ℂ(𝑍)
𝑚 𝑛
𝑢⃗
𝜏
имеет простой смысл. При 𝑒-𝑖 столкновениях за время порядка
𝜏 электроны теряют свою упорядоченную скорость 𝑢⃗ = 𝑢⃗ − 𝑢⃗
относительно ионов; следовательно, они теряют импульс
𝑛 𝑚 𝑢.
⃗ Это значит, что на электроны действует сила трения
⃗ . Коэффициент ℂ(𝑍) ∼ 1 зависит от 𝑍.
порядка −𝑛 𝑚 𝑢/𝜏
Величина 𝜏 выбрана так, чтобы числовой коэффициент ℂ(𝑍) в
силе трения был равен 1 для электронов с максвелловским
распределением, сдвинутым как целое относительно ионов на
величину 𝑢.
⃗ Формально такое распределение соответствует
пределу 𝑍 → 0. Действительно, максвеллизируют функцию
распределения e-e столкновения, а искажают — e-i столкновения.
( )
( )
Поскольку 𝜈 ∼ 𝑍𝜈 , первые сильнее вторых при 𝑍 ≪ 1.
Фактически ℂ(𝑍) всегда меньше 1. Например, ℂ(1) = 0.51.
Основы Физики Плазмы
/
Для «сдвинутого максвелла»
𝛿𝑓м = 𝑛
𝑚
2𝜋𝑇
/
exp −
𝑚(𝑣⃗ − 𝑢)
⃗
𝑚𝑣
− exp −
2𝑇
2𝑇
𝑚𝑣𝑢
≈
cos 𝜃
𝑇
в результате «честного» интегрирования мы бы получили
𝑅⃗ = −
𝑚 𝑛
𝑢,
⃗
𝜏
𝑢⃗ =
⃗
𝑒 𝐸𝜏
,
𝑚
то есть
ℂ(0) = 1.
В пределе лоренцевой плазме
𝛿𝑓 =
𝑣 𝑢
√𝜋
4 (2𝑇/𝑚)
/
𝑓м cos 𝜃
и при одинаковой средней скорости 𝑢 больше доля быстрых
частиц .
Основы Физики Плазмы
/
Почему 𝑒 − 𝑖 столкновения «демаксвеллизируют» 𝑓 ?
( )
Так как 𝜈 ∝ 𝑣 , быстрые электроны разгоняются сильнее, чем
медленные; 𝑓 искажается так, что в создании средней скорости
𝑢⃗ (и тока 𝑗⃗) относительно большую роль играют быстрые
электроны, для которых сила торможения меньше, поэтому
коэффициент ℂ(𝑍) будет меньше, чем для сдвинутого
максвелловского распределения.
( )
( )
Этот эффект менее заметен, при малых 𝑍. Так как 𝜈 ∼ 𝜈 𝑍,
при 𝑍 = 1 электроны сталкиваются между собой так же часто,
как с ионами; e-e столкновения делают 𝑓 более максвелловской,
сила сопротивления (коэффициент ℂ(𝑍)) увеличивается:
ℂ(∞) = 1,
ℂ(1) = 0,51,
Основы Физики Плазмы
ℂ(0) =
3𝜋
= 0,29.
32
/
Мы предполагали, что 𝑢⃗ = 0. В общем случае
𝑢⃗ ≡ 𝑢⃗ − 𝑢⃗ =
⃗
1 𝑒 𝐸𝜏
,
ℂ(𝑍) 𝑚
𝑗⃗ = 𝑒 𝑛 𝑢⃗ + 𝑒 𝑛 𝑢⃗ = 𝑒 𝑛 𝑢.
⃗
С другой стороны, согласно закону Ома,
⃗
𝑗⃗ = 𝛴 𝐸,
( )
где 𝛴 — коэффициентом проводимости.
𝛴=
𝜔 𝜏
1 𝑒 𝑛 𝜏
=
.
ℂ(𝑍) 𝑚
4𝜋ℂ(𝑍)
(
)
Это Спитцеровская проводимость.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Кинетические коэффициенты
Теплопроводность плазмы
Уравнение теплопроводности
Термосила
Проводимость плазмы
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Задачи для семинара
Влияют ли электрон-электронные столкновения на
проводимость плазмы?
. ( . н.н.) Найти термосилу в лоренцевой плазме, вычислив
интеграл в определении силы Брагинского.
.
( . н.н.) Вычислить поток тепла, связанный с протеканием
тока в лоренцевой плазме.
( . н.н.) Пьяный пешеходкаждые 𝜏 секунд делает шаг
длиной 𝜆 в случайном направлении. Накакое расстояние в
среднем он удалится от пивной за время 𝑡 ≫ 𝜏?
( . н.н.) Получить уравнение теплопроводности из
уравнения переноса тепла.
( . н.н.) Найти решение уравнения Фурье в безграничной
среде, где в начальный момент имелось заданное
⃗
распределение температуры 𝑇 = 𝑇 (𝑥).
Номера задач указаны по книге «Лекции по физике плазмы».
Основы Физики Плазмы
/
Основы Физики Плазмы
И. А. Котельников
Новосибирский Государственный Университет
декабря
г.
Лекция
Процессы переноса в магнитном поле
Анизотропия плазмы в магнитном поле
Кинетические коэффициенты замагниченной плазмы
Амбиполярная диффузия
Бомовская диффузия
Обобщённый закон Ома
Эффект Холла
Основы Физики Плазмы
/
Магнитное поле вносит анизотропию в свойства плазмы:
процессы переноса вдоль и поперёк магнитного поля идут с
разной скоростью. Чем больше напряжённость магнитного поля,
тем медленнее перенос плазмы в поперечном направлении.
Однако на перенос вдоль силовых линий магнитное поле не
влияет.
Говорят, что плазма замагничена, если
𝜌 < 𝜆,
𝜈 < 𝛺.
()
Теоретически возможна ситуация, когда электроны замагничены,
а ионы – нет, но в термоядерных установках замагничены
частицы всех сортов.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Кинетические коэффициенты в магнитном поле
Амбиполярная диффузия
Бомовская диффузия
Обобщённый закон Ома
Эффект Холла
Переменный ток в плазме
Стационарное поле
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Поток тепла вдоль 𝐵⃗ такой же, как в плазме без магнитного поля.
Например, для электронов
𝑞⃗
= −𝜘 ∇𝑇 ,
( )
причём
𝜘 = 𝜘‖ ∼ 𝑛 𝜆 𝑣
∼ 𝑛 𝑣 𝜏 ∼ 𝑛 𝜆 /𝜏 .
Такая оценка соответствуют наглядной физической картине
явления, когда за время свободного пролёта 𝜏 электрон
переносит энергию порядка 𝑇 на расстояние порядка длины
свободного пробега 𝜆 .
Аналогичные рассуждения применимы к ионам.
Основы Физики Плазмы
/
Поперёк магнитного поля за то же время 𝜏 электрон смещается
на расстояние порядка 𝜌 ∼ 𝑣 /𝛺 ≪ 𝜆 . Следовательно,
𝜘
∼ 𝑛 𝜌 /𝜏 .
Коэффициент теплопроводности становится тензором, а вместо
( ) следует писать
𝑞⃗ = −⃖⃗
𝝒 ⋅ ∇𝑇
( )
(и аналогично для ионов), где тензор
𝜘
,
= 𝜘 [𝛿
− ℎ ℎ ] + 𝜘‖ [ℎ ℎ ] + 𝜘∧ 𝜖
ℎ
( )
в самом общем случае зависит от трёх коэффициентов:
поперечной 𝜘 , продольной 𝜘‖ и «косой» 𝜘∧
теплопроводности, причём в замагниченной плазме
𝜘∧ ∼ 𝑛 𝜌 𝛺 ∼ 𝑛 𝑣 /𝛺 .
Основы Физики Плазмы
/
В векторной записи
𝑞⃗
𝑞⃗
= −𝜘‖ ∇‖ 𝑇 − 𝜘 ∇ 𝑇 − 𝜘∧ ℎ⃗ × ∇ 𝑇 ,
( )
= −𝜘‖ ∇‖ 𝑇 − 𝜘 ∇ 𝑇 − 𝜘∧ ℎ⃗ × ∇ 𝑇 .
( )
«Косые» слагаемые есть также в термосиле,
𝑅⃗ ≡ 𝑅⃗
,
= −𝛽‖ ∇‖ 𝑇 − 𝛽 ∇ 𝑇 − 𝛽∧ ℎ⃗ × ∇𝑇 = −𝑅⃗ , ,
( )
= −𝛼‖ 𝑢⃗ ‖ − 𝛼 𝑢⃗ − 𝛼∧ ℎ⃗ × 𝑢⃗ = −𝑅⃗ , ,
( )
силе трения,
𝑅⃗ ≡ 𝑅⃗
,
и потоке тепла,
𝑞⃗ ≡ 𝑞⃗
,
= 𝛽‖ 𝑇 𝑢⃗ ‖ + 𝛽 𝑇 𝑢⃗ + 𝛽∧ 𝑇 ℎ⃗ × 𝑢⃗ ,
𝑞⃗ , = 0,
( )
связанном с электрическим током. Они малы в силе трения.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Кинетические коэффициенты в магнитном поле
Амбиполярная диффузия
Бомовская диффузия
Обобщённый закон Ома
Эффект Холла
Переменный ток в плазме
Стационарное поле
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Пусть
𝐵⃗ = 𝐵𝑧,̂
𝑒 = −𝑒,
𝑒 = 𝑍𝑒,
𝑒 𝑛 +𝑒 𝑛 =0
𝑇 = const,
⇒
𝑇 = const,
𝑛 (𝑥) = 𝑍𝑛 (𝑥).
Скорость движения, вызываемого диффузией, обычно мала,
поэтому в уравнениях движения отбросим инерционные
(𝑚 d 𝑢⃗ /d𝑡, 𝑚 d 𝑢⃗ /d𝑡) и вязкие (−∇⃖⃗
𝝅 , −∇⃖⃗
𝝅 ) члены:
𝑒 𝑛
⃗ + 𝑅,
⃗
[𝑢⃗ × 𝐵]
𝑐
𝑒𝑛
⃗ − 𝑅.
⃗
0 = −𝑇 ∇𝑛 + 𝑒 𝑛 𝐸⃗ +
[𝑢⃗ × 𝐵]
𝑐
0 = −𝑇 ∇𝑛 + 𝑒 𝑛 𝐸⃗ +
( )
Для лоренцевой плазмы
𝑅⃗ = −
𝑚 𝑛
3𝜋 𝑚 𝑛
𝜋
𝑢⃗ −
𝑢⃗ ‖ +
𝜏
32 𝜏
6
/
/
𝑚 𝑛
𝜏 |𝛺 𝜏 |
/
ℎ⃗ × 𝑢⃗ . ( )
нам не потребуется
Основы Физики Плазмы
/
Рассмотрим движение поперёк магнитного поля со скоростью
𝑢⃗ = (𝑢 , 𝑢 , 0):
𝑒 𝑛
⃗ + 𝑅,
⃗
[𝑢⃗ × 𝐵]
𝑐
𝑒𝑛
⃗ − 𝑅,
⃗
0 = −𝑇 ∇𝑛 + 𝑒 𝑛 𝐸⃗ +
[𝑢⃗ × 𝐵]
𝑐
𝑚 𝑛
(𝑢⃗ − 𝑢⃗ ) .
𝑅⃗ = −
𝜏
0 = −𝑇 ∇𝑛 + 𝑒 𝑛 𝐸⃗ +
( )
В проекции на ось 𝑥, учтём, что 𝑅 = 0, поскольку, как мы
увидим, 𝑢 = 𝑢 = 𝑢 :
𝜕𝑛
𝑒 𝑛
+𝑒 𝑛 𝐸 +
𝑢 𝐵 = 0,
𝜕𝑥
𝑐
𝜕𝑛
𝑒𝑛
−𝑇
+𝑒 𝑛 𝐸 +
𝑢 𝐵 = 0.
𝜕𝑥
𝑐
−𝑇
Основы Физики Плазмы
/
Складывая уравнения
𝜕𝑛
𝑒 𝑛
+𝑒 𝑛 𝐸 +
𝑢 𝐵 = 0,
𝜕𝑥
𝑐
𝜕𝑛
𝑒𝑛
−𝑇
+𝑒 𝑛 𝐸 +
𝑢 𝐵 = 0,
𝜕𝑥
𝑐
−𝑇
+
учитывая условие квазинейтральности 𝑒 𝑛 + 𝑒 𝑛 = 0, находим:
𝑒 𝑛 (𝑢
− 𝑢 )𝐵/𝑐 = 𝑇
𝜕𝑛
𝜕𝑛
+𝑇
𝜕𝑥
𝜕𝑥
=
𝜕𝑝
,
𝜕𝑥
где 𝑝 = 𝑛 𝑇 + 𝑛 𝑇 . Следовательно,
𝑅 =−
𝑚 𝑛
(𝑢
𝜏
−𝑢 )=−
𝑚 𝑛
𝑐
𝜕𝑝
1 𝜕𝑝
=−
,
𝜏 𝐵𝑒 𝑛 𝜕𝑥
𝛺 𝜏 𝜕𝑥
где
𝛺 = 𝑒 𝐵/𝑚 𝑐.
Основы Физики Плазмы
/
Подставляя
𝑅 =−
1 𝜕𝑝
𝛺 𝜏 𝜕𝑥
в 𝑦-проекцию первого из уравнений движения ( ),
𝑒 𝑛 𝐸 −
𝑒 𝑛
𝑢 𝐵 + 𝑅 = 0,
𝑐
находим
𝑢
=𝑐
𝐸
1
𝜕𝑝
−
.
𝐵
𝑚 𝑛 𝛺 𝜏 𝜕𝑥
Из уравнения для ионов
𝑒𝑛𝐸 −
получаем, что 𝑢
𝑒𝑛
𝑢 𝐵−𝑅 =0
𝑐
= 𝑢 , подтверждая нашу гипотезу.
Основы Физики Плазмы
/
Первое слагаемое в
𝑢
=𝑢
=𝑐
𝐸
1
𝜕𝑝
−
𝐵
𝑚 𝑛 𝛺 𝜏 𝜕𝑥
соответствует электрическому дрейфу; обычно 𝐸 = 0.
Электрический ток в направлении градиента плотности
отсутствует,
𝑗 =𝑒 𝑛 𝑢
+𝑒 𝑛 𝑢
= 𝑒 𝑛 (𝑢
− 𝑢 ) = 0,
обеспечивая сохранение квазинейтральности плазмы.
Это свойство является отличительной чертой амбиполярной
диффузии. Термин «амбиполярная диффузия» можно
расшифровать как «двуполярная», т. е. совместная диффузия
противоположно заряженных частиц.
Основы Физики Плазмы
/
Диффузионный поток:
𝑛 𝑢
=−
𝑛
𝜕
𝑇 + 𝑇 /𝑍 𝜕𝑛
(𝑛 𝑇 + 𝑛 𝑇 ) = −
,
𝑚 𝑛 𝛺 𝜏 𝜕𝑥
𝑚 𝛺 𝜏 𝜕𝑥
𝑛𝑢
=−
𝑛
𝜕
𝑇 + 𝑇 /𝑍 𝜕𝑛
(𝑛 𝑇 + 𝑛 𝑇 ) = −
.
𝑚 𝑛 𝛺 𝜏 𝜕𝑥
𝑚 𝛺 𝜏 𝜕𝑥
Коэффициент диффузии:
𝐷=
𝑇 + 𝑇 /𝑍
𝑣
𝜌
∼
∼
.
𝜏
𝑚 𝛺 𝜏
𝛺 𝜏
Основы Физики Плазмы
( )
/
При подстановке 𝑛 𝑢⃗ = −𝐷∇𝑛 в уравнение непрерывности
𝜕𝑛 /𝜕𝑡 + div(𝑛 𝑢⃗ ) = 0
получается уравнение диффузии
𝜕𝑛
= div(𝐷∇𝑛 )
𝜕𝑡
( )
для электронов. Такое же уравнение с тем же коэффициентом
диффузии получается и для ионов.
Как ясно из приведённого вывода, диффузия возникает в
результате трения между электронной и ионной компонентами
плазмы при их скольжении одна относительно другой в
направлении, перпендикулярном как градиенту плотности, так и
магнитному поля.
Основы Физики Плазмы
/
а
б
+
‒
+
+
B
B
Figure: a) При столкновении тождественных частиц в магнитном поле
их ведущие центры смещаются так, что суммарный сдвиг отсутствует.
б) При столкновении противоположно заряженных частиц их ведущие
центры смещаются в одном и том же направлении.
Основы Физики Плазмы
/
Оценка
𝐷 ∼
𝜌
𝑇
∼
𝜏
𝑚 𝛺 𝜏
соответствует простой физической картине. При каждом
столкновении с ионом, сопровождающемся рассеянием на угол
порядка 90∘ , электрон смещается случайным образом на
расстояние порядка ларморовского радиуса 𝜌 .
Если это очевидно, спросите, почему диффузионный поток
определяется электронами, а не ионами, притом что
диффузионные потоки электронов и ионов одинаковы?
Основы Физики Плазмы
/
Оценка
𝐷 ∼
𝜌
𝑇
∼
𝜏
𝑚 𝛺 𝜏
соответствует простой физической картине. При каждом
столкновении с ионом, сопровождающемся рассеянием на угол
порядка 90∘ , электрон смещается случайным образом на
расстояние порядка ларморовского радиуса 𝜌 .
Если это очевидно, спросите, почему диффузионный поток
определяется электронами, а не ионами, притом что
диффузионные потоки электронов и ионов одинаковы?
Оценивая 𝐷 тем же способом, учтём, что
𝜌 ∼ 𝑣 /𝛺 ∼ (𝑚 𝑇 /𝑚 𝑇 )
/
𝜌 /𝑍,
а
𝜏
∼ (𝑚 /𝑚 )𝜏 /𝑍.
Следовательно,
𝐷 ∼
𝜌
𝑇 /𝑍
∼
𝜏
𝑚 𝛺 𝜏
Основы Физики Плазмы
∼𝐷 .
/
Сравнивая 𝐷, 𝐷 и 𝐷 , видим, что
𝐷 =𝐷 +𝐷 ,
но это правило не всегда верно. В слабоионизованной плазме
𝐷 ∼ 𝜆𝑣 ,
𝐷 ∼ 𝜆𝑣 ,
Формально 𝐷 ≫ 𝐷 , однако амбиполярное электрическое поле
выравнивает диффузионные потоки электронов и ионов, так что
результирующий коэффициент диффузии
𝐷=
2𝐷 𝐷
≈ 2𝐷
𝐷 +𝐷
в итоге определяется ионами, как наименее подвижной
компонентой плазмы.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Кинетические коэффициенты в магнитном поле
Амбиполярная диффузия
Бомовская диффузия
Обобщённый закон Ома
Эффект Холла
Переменный ток в плазме
Стационарное поле
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Коэффициенты поперечного переноса обратно
пропорциональны 𝐵 , например
𝜒
∼𝐷∼
𝜌
1
∝
.
𝜏
𝐵
Однако до начала
-х годов в экспериментах не удавалось
создать условия, при которых бы реализовывалась эта
зависимость. Дэвид Бом (David Bohm) в
г. предложил
полуэмпирическую формулу
𝐷B =
1 𝑐𝑇
.
16 𝑒𝐵
( )
Позднее стало ясно, что бомовская диффузия возникает в
турбулентной плазме, а формула Бома даёт верхний предел на
величину коэффициентов переноса поперёк магнитного поля.
Основы Физики Плазмы
/
К этому выводу можно прийти с помощью следующих
рассуждений. Например, для электронов
𝜒
∼
𝜌 /𝜏 ,
𝑣 𝜏 ,
если |𝛺 |𝜏 ≫ 1
.
если |𝛺 |𝜏 ≪ 1
Максимальное значение 𝜒 достигается при |𝛺 |𝜏 ∼ 1.
Полагая 𝜏 ∼ 1/|𝛺 |, находим
𝜒
∼ 𝜌 |𝛺 | ∼ 𝑣 /|𝛺 | ∼ 𝑐𝑇/𝑒𝐵.
Масса электрона выпала из итогового результата, поэтому
полученная оценка применима также и к ионам. С точностью до
коэффициента 1/16 она совпадает с формулой Бома.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Кинетические коэффициенты в магнитном поле
Амбиполярная диффузия
Бомовская диффузия
Обобщённый закон Ома
Эффект Холла
Переменный ток в плазме
Стационарное поле
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
В уравнение ( ) добавим отброшенную ранее термосилу:
0 = −∇𝑝 + 𝑒 𝑛 𝐸⃗ +
𝑒 𝑛
⃗ + 𝑅⃗ + 𝑅⃗ .
[𝑢⃗ × 𝐵]
𝑐
Выразим силу трения
𝑅⃗ = −𝛼‖ 𝑢⃗ ‖ − 𝛼 𝑢⃗ − 𝛼∧ ℎ⃗ × 𝑢⃗
через плотность тока 𝑗⃗ = 𝑒 𝑛 (𝑢⃗ − 𝑢⃗ ):
𝑅⃗ = −
𝛼‖
𝛼
𝛼∧
𝑗⃗‖ −
𝑗⃗ −
[ℎ⃗ × 𝑗⃗ ].
𝑒 𝑛
𝑒 𝑛
𝑒 𝑛
Затем выделим массовую скорость плазмы 𝑉⃗ = 𝑢⃗ и исключим
скорость электронов при помощи подстановки
𝑢⃗ = 𝑉⃗ +
𝑗⃗
.
𝑒 𝑛
Основы Физики Плазмы
/
После деления на 𝑒 𝑛 уравнение
0 = −∇𝑝 + 𝑒 𝑛 𝐸⃗ +
𝑒 𝑛
𝑐
𝑉⃗ +
𝑗⃗
𝑒 𝑛
× 𝐵⃗ + 𝑅⃗ + 𝑅⃗
принимает форму обобщённого закона Ома
1
∇𝑝
𝑅⃗
⃗ =+
𝐸⃗ + [𝑉⃗ × 𝐵]
−
+
𝑐
𝑒 𝑛
𝑒 𝑛
𝛼‖
𝛼
𝛼∧
1
⃗ ,
+
𝑗⃗‖ +
𝑗⃗ +
[ℎ⃗ × 𝑗⃗ ] −
[𝑗⃗ × 𝐵]
𝑐𝑒 𝑛
𝑒 𝑛
𝑒 𝑛
𝑒 𝑛
𝛼∧ + 𝑚 𝑛 𝛺
[ℎ⃗ × 𝑗⃗ ]
𝑒 𝑛
который в самом общем виде устанавливает связь между
электрическим полем и током в плазме.
Основы Физики Плазмы
/
𝛼
1
𝛼
𝛼∧
∇𝑝 − 𝑅⃗
⃗ = ‖ 𝑗⃗‖ +
𝐸⃗ + [𝑉⃗ × 𝐵]
𝑗⃗ +
[ℎ⃗ × 𝑗⃗ ] +
,
𝑐
𝑒 𝑛
𝑒 𝑛
𝑒 𝑛
𝑒 𝑛
в с.о. ионов
Эффект Холла
( )
𝛼∧ = 𝛼∧ + 𝑚 𝑛 𝛺 .
( )
Если плазма неподвижна, 𝑉⃗ = 0, а ток в ней отсутствует, 𝑗⃗ = 0,
обобщённый закон Ома редуцируются до уравнения
𝐸⃗ = (∇𝑝 − 𝑅⃗ )/𝑒 𝑛 .
Оно обращается в тождество, если температура однородна
(тогда 𝑅⃗ = 0), плотность плазмы удовлетворяет закону
/
Больцмана (тогда 𝑛 = 𝑛 e
), а электрическое поле
⃗
потенциально (т. е. 𝐸 = −∇𝜑).
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Кинетические коэффициенты в магнитном поле
Амбиполярная диффузия
Бомовская диффузия
Обобщённый закон Ома
Эффект Холла
Переменный ток в плазме
Стационарное поле
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
𝛼
1
𝛼
𝛼∧
∇𝑝 − 𝑅⃗
⃗ = ‖ 𝑗⃗‖ +
𝐸⃗ + [𝑉⃗ × 𝐵]
𝑗⃗ +
[ℎ⃗ × 𝑗⃗ ] +
.
𝑐
𝑒 𝑛
𝑒 𝑛
𝑒 𝑛
𝑒 𝑛
в с.о. ионов
Эффект Холла
( )
Третье слагаемое в правой части обобщённого закона Ома ( )
), который в
описывает эффект Холла (Edwin Hall,
переменном электрическом поле вызывает ток,
⃗ В стационарном поле результат
перпендикулярный 𝐸.
чувствителен к геометрии задачи и к условиям протекания тока
на границе плазмы.
Рассмотрим конкретные задачи, пренебрегая термосилой и
градиентом давления электронов, что безусловно можно
сделать, если плазма однородна.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Кинетические коэффициенты в магнитном поле
Амбиполярная диффузия
Бомовская диффузия
Обобщённый закон Ома
Эффект Холла
Переменный ток в плазме
Стационарное поле
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Пусть электрическое поле осциллирует столь быстро, что ионы
почти неподвижны, т.е. 𝑉⃗ = 𝑢⃗ = 0. Тогда закон Ома принимает
простой вид
𝐸⃗ = 𝜚‖ 𝑗⃗‖ + 𝜚 𝑗⃗ + 𝜚∧ [ℎ⃗ × 𝑗⃗ ],
( )
где коэффициенты удельного сопротивления
𝜚‖, =
𝛼‖,
𝑒 𝑛
∼
𝑚
4𝜋
∼
,
𝑒 𝑛 𝜏
𝜔 𝜏
𝜚∧ =
𝛼∧
𝑚 𝛺
4𝜋𝛺
≈
∼
.
𝑒 𝑛
𝑒 𝑛
𝜔
Из ( ) следует, что при протекании тока поперёк магнитного
поля в плазме возникает холловское электрическое поле
𝐸⃗ Hall = 𝜚∧ [ℎ⃗ × 𝑗⃗] ≈
1
[𝐵⃗ × 𝑗⃗],
𝑒 𝑛 𝑐
( )
которое в 𝜚∧ /𝜚 ∼ |𝛺 𝜏 | раз больше, чем 𝐸⃗ в направлении 𝑗⃗ .
Основы Физики Плазмы
/
Обратим уравнение
𝐸⃗ = 𝜚‖ 𝑗⃗‖ + 𝜚 𝑗⃗ + 𝜚∧ [ℎ⃗ × 𝑗⃗ ],
( )
выразив плотность тока 𝑗⃗ через 𝐸⃗ в виде
𝑗⃗ = 𝛴‖ 𝐸⃗ ‖ + 𝛴 𝐸⃗ + 𝛴∧ ℎ⃗ × 𝐸⃗
.
( )
Подставляем ( ) в ( ), приравниваем коэффициенты при 𝐸⃗ ‖ , 𝐸⃗
и [ℎ⃗ × 𝐸⃗ ] справа и слева, находим коэффициенты проводимости
плазмы (самостоятельно):
𝛴 =
𝜚
,
𝜚 + 𝜚∧
𝛴∧ = −
𝜚∧
,
𝜚 + 𝜚∧
Основы Физики Плазмы
𝛴‖ =
1
.
𝜚‖
(
)
/
В пределе замагниченной плазмы
𝜚 ∼ 𝜚‖ ∼
4𝜋
4𝜋𝛺
,
𝜚∧ ∼
≫𝜚
𝜔 𝜏
𝜔
𝜔
𝜚
𝛴 ≈
∼
,
𝜚∧
4𝜋𝛺 𝜏
𝜔
1
𝛴∧ ≈ −
≈−
,
𝜚∧
4𝜋𝛺
𝜔 𝜏
1
𝛴‖ =
∼
.
𝜚‖
4𝜋
,‖ ,
Только в изотропной среде коэффициенты проводимости
обратно пропорциональны удельному сопротивлению.
При |𝛺 𝜏 | ≫ 1
𝛴 ≈
𝛴‖
≪ 𝛴‖ .
(𝛺 𝜏 )
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Кинетические коэффициенты в магнитном поле
Амбиполярная диффузия
Бомовская диффузия
Обобщённый закон Ома
Эффект Холла
Переменный ток в плазме
Стационарное поле
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Пусть плазма имеет форму цилиндра, как показано на рис. ,а, а
электрическое поле направлено по радиусу, 𝐸⃗ = 𝐸 𝑟.
⃗̂
а
б
z
B
B
vE
E
y
E
x
Figure: Эффект Холла в стационарном поле.
Основы Физики Плазмы
/
Обратившись к уравнению
𝑒 𝑛
⃗ + 𝑅,
⃗
[𝑢⃗ × 𝐵]
𝑐
𝑒𝑛
⃗ − 𝑅.
⃗
0 = −𝑇 ∇𝑛 + 𝑒 𝑛 𝐸⃗ +
[𝑢⃗ × 𝐵]
𝑐
0 = −𝑇 ∇𝑛 + 𝑒 𝑛 𝐸⃗ +
видим, что при ∇𝑛 = ∇𝑛 = 0 электронная и ионная
компоненты плазмы будут вращаться вокруг оси цилиндра с
одинаковой скоростью
𝑢⃗ = 𝑢⃗ =
𝑐
⃗
[𝐸⃗ × 𝐵],
𝐵
сила Брагинского будет равна нулю, 𝑅⃗ = 0, как и электрический
ток, 𝑗⃗ = 0. А раз ток не возникает, то плазма ведёт себя как
непроводящий диэлектрик (!).
Основы Физики Плазмы
/
Совершенно иная ситуация складывается, если движение
плазмы запрещёно граничными условиями. Пусть имеется
ограниченная область плазмы в виде плоского плазменного
канала, как показано на рис. ,б.
а
б
z
B
B
vE
E
y
E
x
Figure: Эффект Холла в стационарном поле.
Ток в такой системе не может существовать, если стенки канала
непроводящие или оторваны от плазмы вакуумным зазором.
Основы Физики Плазмы
/
Подставляя 𝑗 = 0 в 𝑥-проекцию уравнения
𝐸⃗ = 𝜚‖ 𝑗⃗‖ + 𝜚 𝑗⃗ + 𝜚∧ [ℎ⃗ × 𝑗⃗ ],
немедленно находим
𝑗 =
1
𝐸 .
𝜚
Теперь выясняется, что магнитное поле никак не влияет на
электрический ток, в то время как 𝛴 ∝ 𝐵 . Этот факт в своё
время заинтересовал Эдвина Холла и привёл к открытию
эффекта, названного в его честь.
Вы можете повторить опыт Холла, сравнив сопротивление
металлического провода при включении и выключении
магнитного поля.
Основы Физики Плазмы
/
Далее…
Кинетические коэффициенты в магнитном поле
Амбиполярная диффузия
Бомовская диффузия
Обобщённый закон Ома
Эффект Холла
Переменный ток в плазме
Стационарное поле
Задачи для семинара
Основы Физики Плазмы
/
Задачи для семинара
.
( . н.н.) Показать, что при наличии градиента
температуры, перпендикулярного магнитному полю,
возникает «косой» поток тепла в направлении,
перпендикулярном как магнитному полю, так и градиенту
температуры,
.
( . н.н.) Оценить «косую» силу трения, перпендикулярную
как магнитному полю, так и скорости движения электронов
относительно ионов.
.
( . н.н.) Оценить термосилу в магнитном поле.
.
( . н.н.) Найти диффузионный поток в слабоионизованном
газе.
Номера задач указаны по книге «Лекции по физике плазмы».
Основы Физики Плазмы
/
