Содержание семинарских занятий 7 семестр Семинар 1. Методика обучения показательным и логарифмическим функциям, уравнениям, неравенствам и их системам. Вопросы для обсуждения: 1) Выделить основные типы показательных уравнений и неравенств и способы их решения. Какие из них рассматриваются в школьном курсе? Обратить особое внимание на решение показательно-степенных уравнений. Основные виды показательных уравнений: Простейшие; Простейшее показательное уравнение- это уравнение вида Суть метода решения: Необходимо левую и правую часть привести к одному основанию. Уравнения, решаемые разложением на множители; Уравнения вида Решаются вынесением общего множителя за скобки. Суть метода решения: Необходимо разложить выражения по свойствам степеней, и затем вынести общий множитель за скобки. Сводящиеся к квадратным; Уравнения вида называются показательными уравнениями, сводящимися к квадратным. Суть метода решения: Необходимо ввести новую переменную , которая позволит получить квадратное уравнение. Однородные. Уравнения вида называются однородными показательными уравнениями. Суть метода решения: Необходимо поделить обе части уравнения на выражение что позволит получить квадратное уравнение. Показательно-степенные уравнения Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения). Все представленные и рассмотренные виды и типы уравнений и неравенств рассматриваются в рамках школьного курса за 10-11 классы. 2) Провести сравнительный анализ учебников по теме «Логарифмическая функция, решение логарифмических уравнений и неравенств». Выделить основные содержательные линии в данной теме. Как расположен данный материал по отношению к теме «Показательная функция, решение показательных уравнений и неравенств» в учебниках разных авторских коллективов? В чем проявляется аналогия между рассматриваемыми темами? Критерий/Учебник С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, Н.Е. А.В. Шевкин. Фёдоров, 10 класс М.И.Шабунин 10-11 класс. Структура Показательная функция Степенная функция, её свойства и график рассмотрения Логарифмическая функция Взаимно обратные функции материала: Степенные функции Равносильные уравнения и неравенства Простейшие показательные уравнения Иррациональные уравнения Простейший логарифмические уравнения Иррациональные неравенства Уравнения, сводящиеся к простейшим Показательная функция, её свойства и заменой неизвестного график Простейшие показательные неравенства Показательные уравнения Простейшие логарифмические неравенства Показательные неравенства Неравенства, сводящиеся к простейшим Системы показательных уравнений и заменой неизвестного неравенств Логарифмическая функций, её свойства и график Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства Содержательные Показательные функции Степенная функция линии Логарифмическая функция Показательная функция Показательные и логарифмические Логарифмическая функция уравнения и неравенства Определение Показательной функцией называется функция Функция вида называют показательной показательной функцией с основанием а , где a – заданное число, функции Свойства показательной функции Решение простейших показательных уравнений Решение простейших показательных неравенств Комментарий о расположении материала: В учебнике Никольского идёт рассмотрение в переплетении показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Причём, сперва рассматриваются показательные и логарифмические уравнения, а затем – показательные и логарифмические неравенства. В учебнике Алимова идёт рассмотрение по отдельности – сперва рассматриваются показательные уравнения и неравенства, а затем – логарифмические уравнения и неравенства. Аналогия: Авторы учебников придерживаются схожих определений, одинаковой структуры выведения и описания свойств и способов решения уравнений и неравенств, однако, Алимов – уделяет методике решения меньшее внимание, рассматривая конкретные примеры без подробного описания хода решения в общем виде, в отличие от Никольского. 3) Разработать методику одновременного изучения свойств показательной и логарифмической функций. 4) Проанализировать по учебникам решение логарифмических и показательных неравенств. В чем состоит сходство и принципиальное отличие в решении данных видов неравенств? Необходимо ли обучать учащихся нахождению ОДЗ при решении логарифмических уравнений? С какой целью это можно делать? Решение/Учебник С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, Н.Е. Решетников, А.В. Шевкин. Фёдоров, М.И.Шабунин 10 класс 10-11 класс. Логарифмические неравенства Показательные неравенства Решение показательных неравенств: упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. ВАЖНО: Решение логарифмических неравенств: Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию. И после этого «отбрасываем» логарифмы. При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный. Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения . Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. Сходство: Принципиальное различие: При решение логарифмических неравенств необходимо учитывать ОДЗ! В противном случае, может быть получено неверное решение. Необходимо ли обучать учащихся нахождению ОДЗ при решении логарифмических уравнений? С какой целью это можно делать? Это необходимо. Необходимо в первую очередь для того, чтобы учащиеся могли адекватно оценивать полученные результаты в ходе решения уравнения и определять, какие из них удовлетворяют заданному условию, а какие – ему противоречат и, как следствие, являются сторонними корнями. Более того, составление области допустимых значений учащимися позволит им выработать навык постоянной проверки конечного ответа. 5) Продумать методику решения логарифмических неравенств по аналогии с решением показательных неравенств. Задание 1. Осваиваем методику изучения показательной и логарифмической функции 1. Составьте математическую карту, отражающую связь показательной и логарифмической функций. Представьте методическую схему изучения этих функций. Математическая карта “Показательной и логарифмической функции” Блок 1 Блок 2 Блок 3 Блок 4 Блок 1. Показательными называются уравнения и неравенства, у которых переменная содержится в показатели степени. Логарифмические уравнения и неравенства — это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком логарифма. Обозначение: Показательная функция: Логарифмическая функция: Блок 2. Показательная функция и функция обратная ей. Свойства показательной функции. Показательная функция является строго монотонной на всей области определения. Если функция возрастающая, если показательная функция имеет обратную. - убывающая (рис. 1.5). Поэтому на всей области определения Обратной к показательной функции является логарифмическая функция Область значений показательной функции - интервал . становится областью определения логарифмической функции, а область определения показательной функции - множество всех действительных чисел областью значений логарифмической функции. Блок 3. Логарифмическая функция и обратная ей. Свойства логарифмической функции. и - взаимно обратные функции. По первому свойству имеем . Это равенство верно только для положительных y , для отрицательных y логарифм не определен. Равенство в свою очередь верно для любых действительных x. Блок 4. Взаимосвязь логарифмической и показательной функций. у=a Показательной функцией называется функция y=ax, где а – заданное число, a>0, a 1 , то Функцию y = logax, (a > 0, a функцией. y=loga x 1) называют логарифмической - 1. О.О.Ф. x R 2. М.З.Ф y>0 График функции у = ax пересекает ось Оу в точке (0,1) 3.При каких значениях a показательная функция у = ax, где a>0, a 1, возрастает (убывает)? При a>1 функция у = ax, где a>0, a 1 возрастает; если 0<a<1, то функция у = ax убывает. 1. О.О.Ф. x>0 2. М.З.Ф. y R График функции y=loga x пересекает ось Ох в точке (1,0) 3.При каких значениях a логарифмическая функция y=loga x, где x>0, a>0, a 1, возрастает (убывает)? При a>1 функция y=loga x возрастает; при 0<a<1 убывает. Уже можно высказать некоторые идеи о расположении графика логарифмической функции. при a>1 при 0<a<1 loga a1=1, loga a2=2 loga a-2=-2 Выясним, при каких значениях x логарифмическая функция принимает положительные и отрицательные значения, то есть x=? y>0 (y<0). Для этого воспользуемся определением логарифма, тогда x=ay. если a>1, y>0, то аy>1, то есть x>1; если 0<a<1, y>0, то 0<ay<1, то есть 0<x<1; если a>1, y<0, то 0<ay<1, то есть 0<x<1; если 0<a<1 y<0, то аy>1, то есть x>1; Итак, получаем: – Из третьего свойства взаимно обратных функций следует, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x. Тогда, зная как выглядит график показательной функции, давайте построим график логарифмической функции. Показательная функция. Методическая схема изучения функций в старших классах: 1) определение рассматриваемой функции, её запись с помощью формулы, исследование параметров, входящих в эту формулу; 2) примеры из реальной жизни, науки, технике, приводящие к данной функции; 3) исследование свойств функции; 4) построение графика функции; установление влияния параметров на характер графического изображения функции; 5) применение свойств функций для решения уравнений и неравенств. Логарифмическая функция. Методическая схема изучения функций в старших классах: 1) определение рассматриваемой функции, её запись с помощью формулы, исследование параметров, входящих в эту формулу; 2) примеры из реальной жизни, науки, технике, приводящие к данной функции; Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль Логарифмическую спираль называют равноугольной спиралью, потому что в любой ее точке угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение. Логарифмическая спираль остаётся неизменной при преобразовании подобия и других различных преобразованиях. Неизменяемость спирали при преобразовании подобия является основой любопытного явления, состоящего в том, что если лист бумаги с изображенной на нем логарифмической спиралью быстро поворачивать вокруг полюса по ходу часовой стрелки или против, то можно наблюдать кажущееся увеличение или уменьшение спирали. Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, то вряд ли задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действия. Одно из наиболее важных понятий акустики — тон, представляющий собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, человеческого голоса или других источников звука. Мы слышим звук во время одновременного действия нескольких тонов, частоты которых находятся в простых целочисленных отношениях. Сами звуки различаются по высоте, которая зависит от частоты колебаний струны. Для того чтобы понять, как человек ощущает звук, надо начать с описания уха. Рассматривая устройство уха, можно заметить орган, который называется улиткой. Название вполне оправдано, так как форма этой части действительно напоминает улитку. Она напоминает спирально закрученную трубку. Контур «улитки» можно соотнести с логарифмической спиралью в математике. Спирали, встречающиеся в природе, чаще всего бывают логарифмическими. 3) исследование свойств функции; 4) построение графика функции; установление влияния параметров на характер графического изображения функции; 5) применение свойств функций для решения уравнений и неравенств. 7. Продумайте организацию помощи ученику при выполнении следующего задания: . 1) 2) 8. Оформить решение следующих заданий:
