Федеральное агентство по образованию
Российской Федерации
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
Сборник задач
по алгебре
Часть 1. Рациональные
и иррациональные
уравнения и неравенства
В помощь учащимся 10–11-х классов
Москва 2009
УДК 512(076)
ББК 22.143я7
С23
Сборник задач по алгебре. Часть 1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. В помощь учащимся 10–11-х
классов/ О.В. Нагорнов, А.В. Баскаков, О. Б. Баскакова, С.А. Гришин,
А.Б. Костин, Р.Р. Резванов, Д.С. Теляковский. – М.: НИЯУ МИФИ,
2009. – 156 с.
Данная книга является первой частью пособия, составленного в соответствии с программой углубленного изучения математики в 10–11-х
классах. Сборник включает задачи по алгебре, относящиеся к рациональным и иррациональным уравнениям и неравенствам, которые сгруппированы по трем уровням сложности. В некоторых разделах даны краткие
теоретические сведения. Задачи второй и третьей группы сложности могут быть использованы при проведении математических олимпиад.
Пособие предназначено для слушателей подготовительных курсов, а
также поможет подготовиться к олимпиадам, поступлению в физикоматематические лицеи и НИЯУ МИФИ. Учителя могут использовать
данное пособие для подготовки к занятиям.
Рекомендовано редсоветом НИЯУ МИФИ
в качестве учебного пособия
Рецензент проф. Н.А. Кудряшов
© Национальный исследовательский ядерный
университет «МИФИ», 2009
ISBN 978-5-7262-1145-9
Редактор Е. Н. Кочубей
Макет подготовлен Е. Н. Кочубей
Подписано в печать 13.07.2009.
Формат 6084 1/16.
Изд. № 036-1. П.л. 9,75. Уч.-изд. л. 9,5. Тираж 4500 экз. Заказ №
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ».
Типография НИЯУ МИФИ. 115409, Москва, Каширское шоссе, 31
СОДЕРЖАНИЕ
1. Преобразование числовых и буквенных выражений .................. 4
2. Множества, подмножества, числовые множества. Модуль.
Простейшие числовые неравенства .......................................... 12
3. Арифметические корни. Рациональные степени.
Тождественные преобразования выражений с целыми
и рациональными показателями ................................................ 20
4. Линейные уравнения, неравенства, системы уравнений,
неравенств................................................................................... 31
5. Квадратные уравнения и неравенства. Разложение корней
квадратного уравнения. Теорема Виета. Квадратная функция
и ее график .................................................................................. 39
6. Многочлены. Уравнения высших степеней. Системы
алгебраических уравнений ......................................................... 65
7. Дробно-линейные уравнения и неравенства ............................. 72
8. Прямая, окружность, парабола, гипербола ............................... 80
9. Иррациональные уравнения и неравенства................................ 96
Ответы ......................................................................................... 109
_______
3
1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ
И БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
–А–
1. Найти НОД чисел.
1) 54 и 72;
2) 18 и 34;
4) 50 и 125;
5) 24, 60 и 96;
2. Найти НОК чисел.
1) 15 и20;
2) 34 и 22;
4) 7 и 11;
5) 60 и 24;
7) 24, 117 и 495.
3) 204 и 174.
6) 135, 75, 225.
3) 12 и 6;
6) 12, 18 и 66;
3. Представить число в виде конечной десятичной дроби.
1
3
3
2
1) 1 ;
2) ;
3) ;
4) –2 ;
2
4
8
5
7
7
8
19
5) 1 ;
6) –
;
7)
;
8)
;
10
20
25
50
3
17
11
23
9) 3
;
10) ;
11)
;
12)
.
200
8
16
80
4. Представить число в виде рациональной дроби.
1) 0,6;
2) 2,3;
3) –1,7;
4) 0,24;
5) –0,375;
6) 0,85;
7) 2,72;
8) 3,725;
9) 0,448;
10) 1,625.
5. Выполнить сложение и вычитание дробей.
5
11
3
7
1
1) 3 2 ;
2) 1 2 ;
3) 0,75 ;
8
12
16
24
3
11
7
13 15
3
17
4) 0,8 ;
5) 3,4 ;
6)
;
7) 4 3 .
12
4
14 49
24
54
6. Выполнить умножение и деление дробей.
3 3
2
5
4 3
1) 1 1 ;
2) 3 4 ;
3) 1 2 ;
4 14
3 22
13 5
5 3
5
11 1
5) : 1 ;
6) 4 : 1,1 ;
7) 2 :1 ;
7 7
7
12 6
4
11 17
1 ;
24 25
8 1
8) 2 :1 .
9 12
4) 1
7. Найти расстояние между точками на оси 0х.
1) –7 и 2;
5) 1
2
1
и5 ;
3
2
3) –8 и 7;
2
6) –0,8 и 3 ;
5
3
7) –3,85 и 1 ; 8) 3,7 и 13,24.
4
8. Найти длину промежутка.
1) [–5; 1];
2) (27;100);
1
1
1
4) 7 ; 9 ; 5) ; 1,4 ;
2
3
3
4)
4
и –0,2;
7
2) 27 и 84;
3) [–83; –17];
5
6) 2 ; 0,1 .
6
Раскрыть скобки и привести подобные члены.
1
9. 1) 3(х – 2) – 5(2х + 1);
2) 7 (4 х 6) ;
2
1
3) 7(5 – х) + 4(3х + 5) – 8;
4) 1 (6 8 х) 2(3х 1) .
2
2
2
2
1
1
5) 4(0,5 – 1,5х) – 9 1 2 х ; 6) 51 х 3,2 3 2 х 4 .
9
3
3
2
6
10. 1) 4х – 2(х2 + 2х – 5);
2) 12 + 3х – 3(х2 + х + 4);
2
2
3) (х – 5х + 4) – 2(х – х + 2); 4) 3 – 2(3х – 5) – (5 – 2х – х2).
11. 1) (2х – 3)(х + 4);
2) (5 – х)(х + 3);
3) (3х – 1)(х – 3);
4) (5х – 2)(2х + 3);
5) 3 – (х – 1)(2х – 3);
6) (2х – 3)(3х + 2) – (3х – 2)(2х + 3);
7) 3(х – 3)(х + 2) – (3х – 1)(х + 4).
1
12. 1) 7(3 – 2х) + 4(х + 2) – (9 – 15х);
3
2) (3 – х)(5 + 2х) – 2(3 – х)(2 + х);
3) (3х – 4)(2 – 8х) – 4(2х + 5)(1 – 3х);
4) 2(х – 1)(х –2)(х – 3) – (х2 + 1)(2х – 12).
13. 1) (х + 3)2;
4) (х + 2)2
6) (3х + 5)2 – 30х;
8) (4х – 5)2 + (3х + 2)2;
2) (2х – 1)2;
3) (4х + 5)2;
5) (2х – 1)2 – 4(х + 2)2;
7) (2 – 7х)2 – 4;
9) 7 – (2х – 5)2.
5
14. 1) (х + 2)3;
4) (х – 4)3;
2) (2х – 1)3;
5) (2х + 3)3;
15. 1) (0,5х – у2)2;
3) (1 + 2у)(1 – 2у)(1 + 4у2);
5) (3х – 2у2)(3х + 2у2);
7) (2a – 3b)(4a2 + 6ab + 9b2);
3) (3х + 2)3;
6) (2 – 5х)3.
2) (х3 + 4)3;
4) (1 + 2х – 3у)(1 + 2х + 3у);
6) (2х – 3у + z)(2x + 3y – z);
8) (a2 – 1)(a4 + a2 + 1).
Разложить на множители.
16. 1) 12b – 72;
4) 10a + 55;
2) 9b – 6a;
5) 21m – 14n;
3) 13x – 39y;
6) 105а – 135b.
17. 1) 3х3 – 15х;
4) 2y5 – 14y4;
7) 28x2y – 70xy2;
2) 6z3 – 2z5;
5) 24xy – 36y2;
8) 60xy2 + 84x2y.
3) 7xy – 49y2;
6) 18x2 – 42xy;
18. 1) 4x2 – y2;
4)36x4 – 25y2;
7) 3x2 – 75y2;
2) 16a2 – 25b2;
5) x2 – 441;
8) 50t2 – 288;
3) 9x2 – 100;
6) 256 – y2;
9) 24 – 54t2.
19. 1) x3 – 1;
4) x3 – 8y3;
2) y3 + 8;
5) 8y3 + 125;
3) 8x3 – 27;
6) a6 + 125b3.
Сократить дроби.
20. 1)
4)
7)
5а
;
15ab
63a 2 b
2)
;
14a 3b 2
5 x 15
5( x 2 1)
5)
;
8)
6x2 y
18 xy 2
;
2 x 14
;
8
4 x 2 8 x 52
12( x 2 7)
3)
6)
63 xy 5
;
81x 2 y 2
3 x 2 6 x 99
;
6
.
Разложить на множители и сократить дроби.
21. 1)
6
9( x 5) 2
6( x 5)
3
;
2)
7 x 14 y
;
3x 6 y
3)
x 2b
x 2 2bx
;
4)
22. 1)
3c 9d
;
6 d 2c
5 х 10
5)
;
2)
х2 4
x2 4x 4
4)
;
3x 6
7)
39 x 2 65 xy
25 y 2 9 x 2
10)
23. 1)
4)
x2 6x 9
4 x 2 36
x3 8
x2 2x 4
21 7 y
y 3 27
5)
m 3 5m 2 n
5n3 mn 2
9 х 2 25
;
21х 35
1 a2
a 2 2a 1
(3 x 2) 2
;
8)
;
11)
;
;
2)
5)
9x2 4
.
3)
;
6)
;
9)
a 2 2ab b 2
a 3 ab 2
3 3n 3n 2
n3 1
8x3 1
4x2 1
;
;
36 x 2
;
30 x 5 x 2
4x2 9 y 2
21y 2 14 xy
4x2 4x 1
4x2 1
;
;
.
3)
6)
y 3 27
;
4 y 12
9x2 4
27 x 3 8
.
24. Упростить выражение.
1)
2a 2b 1
1
;
b a b a b
a 2 b2
b a
3) 2
;
2a 2ab a b a b
x y x
x y
;
5)
y x y
x
7) b
2a a 2 b 2
;
a b
4a
4y 1 1
9) y
;
y 2 y 1
3с 1 1
11)
с
;
с 1
с 1
3b 2 2b
b 2b
2) 2
:
;
b 4
b 2 b 2
4x
4 y
:
4) 2
;
2
x y x y
x y
a 1 ax a 1 x
6) 2
;
a 1
2a
a
mn mn m
8)
;
n mn
m
b a
ab
10)
:
;
a b a b
a
a a
a
12)
:
;
a b b a b
7
a c
1
13) 2
;
c a
ac
a6
a6
15) (a 4) 2
;
a 16 a 4
x 2 xy y 1 y x
2
;
y 1
2x
x
1
2
1
16)
.
:
m n m n 3m 3n
14)
–В–
25. Представить в виде периодической десятичной дроби.
1
5
4
2
1) ;
2) ;
3) ;
4) 1 ;
3
6
9
3
5
5
13
17
5)
;
6) ;
7)
;
8)
;
12
7
18
24
37
47
127
9)
;
10)
;
11)
.
99
90
990
26. Представить в виде рациональной дроби.
1) 0,(6);
2) 1,(5);
3) 0,(37);
5) –1,(69);
6) 0,0(3);
7) 1,1(4);
9) 2,1(50);
10) 2,(27);
11) 0,3(81);
27. Выполнить действия.
13
13
1) 0,2 1 0,6 ;
7
29
3 3 3
58
3) 1 : 1 2,6
;
5 4 20
75
7
5
1
140 138 : 18
30
12
6
5)
;
0,002
4) 2,(27);
8) 0,3(1);
12) 4,31(5).
7
2
2) 2,3 1 2 ;
6
13
2 1 3 1 1 1
4) 1 2
;
3 2 7 2 14 42
5 1
7
95 93 2 0,6
30
18 4
6)
.
0, 2
28. Раскрыть скобки и привести подобные члены.
1) (х2 – 3х + 2)2 – (х2 + 4х + 1)2;
2) (2х2 + х + 3)2 – 3(х2 – 3х –1)2.
Разложить на множители.
29. 1) 15х – 3у + 5х2 – ху;
8
2) 14х + 10у – 35ху – 25у2;
3) 3х3 – 4х2 + 6х – 8;
5) 2х4 + 4х3 – 5х – 10;
7) 8ах – 15by + 12bx – 10ay;
9) x2 – y2 + x + y.
30. 1) х2 – 5х + 6;
4) 6х3 + 15х2 – 4х – 10;
6) 3х4 – х3 + 12х – 4;
8) 9mx – 28ny + 21my – 12nx;
2) 3х2 + 5х + 2;
4) 2х2 – 5х + 3;
5) х2 – 8х – 9;
7) 6 – х – х2;
8) 7х – 3х2 + 6;
3) 0,5х2 + х –12;
1
6) х 2 2 х 3 ;
3
9) 6 – 5х – 6х2.
2) 4х2 + 4х + 1;
9
5) х 2 6 х 5 ;
5
3) х2 +8х + 16;
16 2
6)
х 8х 3 ;
3
31. 1) х2 – 2х + 1;
4) 4х2 – 12х + 9;
32. 1) (2х + 5)2 – (3х + 1)2;
3) х2 – 10х + 25 – 4у2;
5) (3 – 2х)2 – (3у – 2х);
7) 64 – 121y12;
33. 1) 4х4 – 5х2 + 1;
4) х4 – 5х2 – 36;
2) (4 – х)2 – (3х + 5)2;
4) х2 – у2 + 6у – 9;
6) (а + 3b)4 – (a2 – 6ab + 8b2)2;
8) 16a2 – 25b6.
2) х4 – 3х2 – 4;
3) х4 + 13х2 + 36;
4
2
5) 2х – 7х – 99; 6) х4 – 17х2 + 16.
34. 1) х2 – 4ху + 4у2;
b2
3) 4a2 – 2ab
;
4
5) 6x2 – xy – y2;
2) а2 + 2ab – 3b2;
4) 6m2 – mn – 4n2;
6) m2 + 7mn + 10n2.
35. 1) y3 – 6y2 + 12y – 8;
3) 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3;
5) 125 – 150x + 60x2 – 8x3.
2) a2 + 3a2 + 3a + 1;
4) 27x3 – 27x2 + 9xy2 – y3;
Разложить на множители и сократить дробь.
36. 1)
4)
x 2 3x 2
1 x2
;
4x x2 3
3x2 2 x 1
2)
;
5)
2 x2 5x 2
3x 2 12
8 2x x2
4 x2 5x 6
;
;
3)
6)
3x2 x 4
;
x2 2x 1
1 x 2 x 12
2
7 x 2 x 2 30
.
9
37. 1)
27 x 3 1
;
4 x 3x 2 1
a 3 125b3
3)
;
3a 2 13b 10b 2
2)
4)
x3 8
3x2 4 x 4
6a 2 ab b 2
8a 3 b 3
;
.
38. Упростить выражения.
2a 2 a
1
a 1
1) 2
2 :
2
;
a a 1 a 1 a a 1
a
a
a 2 25
a5
2)
2
;
2
a 5 a 5 25 a a 10a 25
x 2y
1
x 2 y ( x 2 y )2
3) 2
2
:
;
x 2 xy x 4 y 2 (2 y x) 2
4y2
2y
1 2y
4 y2
;
4) 2
:
2
2
2
2 y x x 2 y x 4 y 4 xy
x 4y
1
1
a 4 2a 2b 2 b 4
5)
;
ab
a 2ab b 2 a 2 2ab b 2
2a 2 a 1
a
a
a 1
6)
2
:
;
2
a 1
a 1 a 1 a 1
a 2 9 a 2 27 a 3
a 2
7)
2
: 3
;
3 a a 3a
3 a
3 a
3
1
2 27
8)
2
b
;
b
b 3 b 3b 9
2
1
2 8
9)
2
a ;
a
a 2 a 2a 4
1
2 a2 a 2
a 1
10) 3
2
;
:
a3 1
a 1 a a 1 1 a
6a 18 5(a 3) 2
a 3
11) 2
3
;
: 3
a 3a 9 a 27 2a 54
10
16
2x
x 3 20 x 2
12 x 1
12) 2
3
x4
.
x 4 x 16 x 4
x44 x
x 64
–С–
39. Разложить на множители.
1) –2х3 + х2 + 2х – 1;
3) х3 – 3х2 – 4х + 12;
5) х4 – 5х3 + 2х2 – 5х + 1;
7) х4 – 10х3 + 35х2 – 50х + 24.
2) х3 + 6х2 + 11х + 6;
4) 2х4 – 3х3 – 3х2 + 7х – 3;
6) 2х4 + 3х3 – 4х2 – 3х + 2;
40. Найти сумму коэффициентов многочлена
(7х3 – 13у2 + 3х + 4)2010(у3 – 8х2 + 6у + 7) + (2х2 + 18у2 – 21)2009.
41. Найти сумму тех коэффициентов многочлена (5х – 4)2009, которые стоят при нечетных степенях х.
42. Упростить выражения.
x | x 3|
1)
;
| x | ( x 2)( x 3)
3)
| y 1 | | y |
2
y y 1 | y |
2)
a
a 1
;
a2 | a 1|
1
y
4)
.
2
3 y 10 y 25
2 | y 5| y
;
11
2. МНОЖЕСТВА, ПОДМНОЖЕСТВА,
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА. МОДУЛЬ.
ПРОСТЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Множество, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Числовые множества. В математике множество – это
совокупность предметов или объектов, объединенных каким-либо
общим свойством или, как иногда говорят, помещенных в прозрачную неосязаемую сферу. При этом предполагается, что предметы
(объекты) данной совокупности можно отличать друг от друга и от
объектов, не входящих в эту совокупность. Например, можно говорить о множестве всех учеников данного класса, множестве всех
натуральных чисел, множестве всех точек данного отрезка или
прямой. Ученики данного класса, натуральные числа, точки данного отрезка или прямой являются элементами соответствующих
множеств.
Обычно множества обозначают большими латинскими буквами:
Х, Y, …, а элементы множеств – латинскими строчными буквами: х,
у, … Запись х Х (х Х) означает, что х является (не является)
элементом множества Х. Например: 5 ℕ, 0 (0; 1], 3,1 ℕ.
Для удобства работы с множествами и записи с их помощью
различных математических высказываний, вводится понятие множества, не содержащего ни одного элемента. Оно называется пустым множеством и обозначается .
Если два множества состоят из одних и тех же элементов, то они
называются равными и записываются как Х = Y. Если все элементы
множества Х принадлежат также и множеству Y, то говорят, что Х
является подмножеством Y, а записывается это так: Х Y.
Множество объектов х, объединенных свойством Р(х), записывается в виде {x/P(x)}, например: {вороны на земле/ворона белая} –
множество белых ворон на земле, здесь роль Р(х) играет свойство
«ворона белая».
Над множествами можно производить операции.
1. Объединение (или сумма) X Y – это множество всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств Х или Y.
12
2. Пересечение Х Y – это множество всех элементов, входящих как в Х, так и в Y.
3. Вычитание Х \ Y – это множество всех элементов
Х, которые не входят в Y.
Часто множества, рассматриваемые в той или иной задаче, являются частью некоего универсального (объемлющего, основного)
множества, которое обозначим Е. Если Х – это подмножество Е, то
Х Е \ Х – это дополнение к Х в Е, т.е. все элементы множества Е,
которые не принадлежат Х.
Свойства операций объединения и пересечения множеств во многом аналогичны свойствам суммы и умножения чисел.
Множества
Числа
1.
АВ=ВА
a+b=b+a
2.
АВ=ВА
ab = ba
3.
(А В) C = A (В C)
(a + b) + c = a + (b + c)
4.
(А В) C = A (В C)
(ab)c = a(bc)
5.
(А В) C = (A C) (В C)
(a + b)c = ac + bc
6.
Но эта аналогия действует не всегда, например.
AA=A
а+аа
7.
AА=А
аа а
8.
(А С) (В C) = (A В) C
(ас)(bc) (ab)c
Напомним, что координатной прямой (или числовой осью) называется прямая с выбранной точкой 0 – началом отсчета, указанным
положительным направлением и единичным масштабным отрезком. Всякое действительное число х на числовой оси изображается
точкой и, наоборот, всякая точка координатной прямой изображает
13
некоторое вполне определенное действительное число. Поэтому
часто точки координатной прямой и действительные числа отождествляют, ведь между ними есть взаимнооднозначное соответствие,
и говорят, например: «отметим на числовой оси точку х = 5» или
«рассмотрим на координатной прямой число ».
Модуль и его свойства. Пусть А – какое-либо действительное
число или выражение. Модулем А называется само это число (или
выражение), если А 0, и число (или выражение) –А, если А < 0.
Обозначается модуль как |А|. Это основное определение модуля, но
есть и другие, равносильные ему, которые используются при решении задач.
Геометрическое определение модуля состоит в том, что модуль
числа – это расстояние от начала отсчета числовой оси до точки,
изображающей это число на этой оси. Из этого определения легко
запомнить, что модуль всегда неотрицателен, т.е. |a| 0 при любом
а ℝ. Из этого определения также следует, что модуль разности
двух чисел |a1 – a2| равен расстоянию между точками а1 и а2 на числовой оси независимо от их взаимного расположения.
Алгебраическое определение модуля: | A | A2 .
Рассмотрим основные свойства модуля, учитывая, что во всех
приведенных свойствах а и b – действительные числа (выражения),
т.е. a, b ℝ:
1) |a| 0, причем |a| = 0 a = 0;
2) |ab| = |a||b|, откуда |–a| = |a|;
3) |an | = |a|n, где п ℕ, а если п = 2k – четное число, то |a2k| = |a|2k;
a |a|
4)
;
b |b|
5)
6)
7)
8)
|a + b| |a| + |b| (неравенство треугольника);
|a – b| ||a| – |b|| |a| – |b|;
|a + b| = |a| + |b| ab 0;
|a – b| = ||a| – |b|| ab 0;
9)
2k
14
A2k | A | , k ℕ.
–А–
1. Найти А В, А В, А \ В, В \ А, А , если:
1) А = {1, 2, 5}, B = {3, 4, 5}, E = {1, 2, …, 9};
2) A = [–3; 2), B = (0; 5], E = (–; +);
3) A = [1; 3], B (3; 4], E = (–; +).
2. Найти А В, А В, А \ В, В \ А, А , если:
1
1
2
1) А = 1,
,
В =
, 2 1, 2 ,
,
2 1 2
2
1
1
2
Е 1, 2, 2 1,
,
,
;
2 2 1 2
1 3
2) А = [–1, 0) (1; 2); B ; [2;3]; E = ℝ;
2 2
3) А = {множество целых чисел, принадлежащих [–3; 2 )},
В={целые числа из интервала (–5; 1)}, Е = ℤ – множество всех
целых чисел.
3. Для множества А найти А ℕ, Аℚ,
Аℤ,
Аℝ,
А(ℝ\ℚ), где ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℝ\ℚ – это множества натуральных,
целых, рациональных, действительных и иррациональных чисел
1
соответственно: А {5; ; 0; 2; 3 - 729 ; 4,5; ; 2 ; e; 8, (3)} .
3
4. Из множества А, приведенного задаче 3, выбрать: 1) все целые
числа, которые не являются натуральными; 2) все рациональные
числа, которые не являются целыми; 3) все действительные числа,
которые не являются рациональными. Как эти множества записать
при помощи введенных операций над множествами?
5. Найти количество целых чисел, принадлежащих множествам
9
5
1) [–6, 1) (2; 5]; 2) 4,7; ; 3) [ 3 2 ;0) [4;6) ;2;5 .
5
3
Сколько среди них натуральных чисел?
15
6. Найти длину промежутков.
1 7
1) [–5; 2];
2) ; ;
3 2
3) (–; 2).
7. Изобразить на координатной прямой (числовой оси) промежутки.
1) (–5; 1);
2) [–3; 2);
3) [3; 7]; 4) (–; 4];
5) (10; +);
6) [–25; +).
8. Изобразить на числовой оси и записать в виде промежутка
следующие множества, задаваемые условиями.
1) х < 1;
2) x 0;
3) x 8; 4) –2 < x < 0;
5) –1,5 x < 2; 6) 0 < x 6.
9. Найти объединение и пересечение промежутков.
1) [–2; 7) и (0; 10];
2) (–; 3] и [–2; 1);
3) (3; +) и [2; +);
4) [–3; –1] и (–2; 4].
10. Изобразить на числовой оси и записать в виде промежутков
(или их объединений) следующие множества.
x (3;1],
3 x 1,
1) (–3; –1] (–2; +); 2)
3)
x (2;);
x 2;
x [2; 0] [1; ),
4) ([–2; 0) [1;+)) [–1; 1];
5)
x [1; 1];
6) [–2; 0) ([1; +) [–1; 1]);
7) ((–; –3) (3; +)) [–4; 4];
x (;3),
x [; 3] [3; ),
8)
9) x (3;),
x [4; 4];
x [ 4; 4];
10) ((–; +)(–; 0))[–1, 2]; 11) (–; +)((–; 0)[–1, 2]);
x ℝ,
12) x (–; 0),
x [–1, 2];
16
13) ((–; 100)(–; 0))[1, 5];
x ( ;100],
14) (–; 100) ((–; 0) [1, 5]); 15) x ( ; 0),
х [1, 5].
11. Найти объединение промежутков, изобразить на числовой оси.
1) (–; 0) и (–1; 2];
2) [–1; 3) и (–2; 2]; 3) (–; 1) и (–; 4];
x (;1],
x 1,
4) (–; 0) и (–2; +); 5)
6)
x (1;);
x 1;
x (;2) ( 2;),
7)
x [1; 3];
x 2,
8) x 2,
1 x 3;
x [3; 1),
10)
x [1; 2];
3 x 1,
11)
1 x 2;
x [0;),
13) x (;3],
x (1;);
x 0,
14) x 3,
x 1.
x 2,
x 2,
9) x 3,
x 1;
x 3,
x 1,
12)
x 1,
x 2;
12. Найти значение, раскрыв модуль.
1
163
1) |2|, , |0|, |–3,5|, | 3 2 | , | 3 2 | , | 6 35 | , 9
;
3
2
2) M = x + |x – 3|;
5) M = x – 3 + |x|;
8) N = –| 3 – x|;
3) M = |x + 3|;
6) N = |x + 7|;
9) N = x + |–x|.
13. Упростить выражения.
|x|
| x 2|
1) M
;
2) M
;
x
x2
4) M | x 2 | ;
7) N = |x| + x;
3) M
| x | 1
.
x 1
17
14. Найти множество точек, удовлетворяющих соотношениям.
Указать эти точки на числовой прямой.
1) |x| = 3;
2) |x – 1| = 2;
3) |x + 1| = 0;
4) |2x – 1| = 3;
5) |x + 1| = –1;
6) |x| 1;
7) |x| > 2;
8) |x – 1| < 3;
9) |x – 2| 1;
10) |x + 1| > –1;
11) |x + 1| > 0;
12) 2 < |x| 3;
13) 2 < |x – 1| 3;
14) |x| x;
15) |x| > x;
16) |x – 1| = x – 1;
17) |x + 3| 0;
18) | x 2 | 1 ;
19) |–2x + 7| > 5;
20) |–2x + 7| –1;
21) x
22) |3x + 7| 2;
23) |x + 3| > 6 – |x + 1|.
2
1;
3
15. Решением каких простейших уравнений или неравенств, содержащих знак модуля, являются множества.
1) {–3; 3};
2) {–5; 3};
3) [–3; 3];
4) (–; –5) (5; +);
5) (–6; 4);
6) (–; –2] [0;+)?
16. Упростить выражения.
1) а 2 ;
4
( a 1) 2 ;
6)
9)
2)
4
11)
a4 ;
a6 ;
7) 4 ( x 3) 4 ;
a12 , при а [0; +);
( 10 11) 2 ;
3)
8)
4
a8 ;
5)
(23) 2 ;
у 2 , при у (–; 0);
(1 2 ) 2 ;
10)
12)
4)
6
( a b) 6 ;
13)
(5 a) 2 .
17. Решить неравенства, ответ записать в виде промежутка (или
объединения промежутков) и изобразить решения на числовой оси.
1) –х + 1 > –2;
2) 1 – (–2x) 3;
3) –(3 – (5x – 4)) > 3;
4) x 5 + 3x;
5) (x + 1)(–2) 2 ;
6) |x – | < 3,14;
7) –2 x – 3 2;
8) –2 < x – 3 2;
9) 7 < |x| 11;
x2 1
| x 2 |2
| x 2 |2
10)
5;
11)
1;
12)
1.
x 1
x2
x2
18. Указать все целые решения неравенств и обосновать ответ.
1) –5 < x 6;
2) 5 3 x 5 3 ;
18
x 5 ;
3)
4) 1 x < 3,(9);
5) 1 < x 3,(9).
19. Сравнить числа, не используя калькулятор.
1) 3 3 12 ;
2) 5 32 12 8 ;
3) 2 18 3 12 ;
1
200 50 ;
2
2
7)
63 4,5 28 ;
5
4)
5) 2
8 1
50 ;
9 3
6) 3
8 1
50 ;
49 7
8) 0,5 108 3 3 .
20. Известно, что –4 < х 6. Какие значения может принимать
выражение?
х
5
1) 3х; 2) –4х; 3) –х + 3; 4) ; 5) х – 1; 6) 5 – х; 7) 2 х .
2
2
Принимает ли оно свое максимальное (минимальное) значение?
–В–
21. Какое из двух неравенств |x + 1| < 5 и –2 х < 4 является
следствием другого?
22. При каких значениях параметра а ℝ неравенство |x – a| < 5
является следствием неравенства –2 х < 4?
23. Выполнить все возможные упрощения.
1)
2)
4)
5)
7)
4
х 3 ( х 12) 54 х( х 2) 81 х | x | ;
x( x 2) 2 x 3 ;
( x 2 3) 2 12 x 2
x
2
x 2 | x | 1
;
( x 2) ( x 2) 2 8 x
2
x 4 | x 1|
x 2 12 x 36 x 2 .
( x 2) 2 8 x ;
( x 1) ( x 1) 2 4 x
2
3)
6)
;
8)
| x 2 | 4 2
( x 4) ;
x2
| 2 x 3 | 6 1
(9 x 1 4 x 12) .
2x 3
x
19
3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КОРНИ.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ С ЦЕЛЫМИ
И РАЦИОНАЛЬНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
–А–
1. Найти значение арифметического квадратного корня.
1) 9 ;
2) 100 ;
3) 0,04 ;
4) 0,64 ;
5)
0,25 ;
6)
6,25 ;
7)
9)
16
;
25
10)
9
;
121
11) 7
1
;
16
17) 92,16 ;
13) 3
14) 2,56 ;
18)
0,0049 ;
1
;
9
15) 7,29 ;
16) 27,04 ;
5,29 .
2. Вычислить без помощи калькулятора.
1) 2 9 64 ;
2) 4 9 ;
3)
4)
9 2 4;
7)
5,29 1,44 ;
10)
5) 2 9 4 16 ;
1
8)
0,81 10 ;
9
(0,5) 2 (0, 4) 2 ;
12) 0,4 676
81
;
4
11
12) 1 ;
25
8)
9 25 ;
6) 2 64 25 ;
9) ( 0,3 ) 2 0,5 ;
11) 1225 2116 ;
1
23,04 ;
2
13) 16 25 ;
14) 9 4000 ;
15)
900 40 ;
16)
0,36 25 ;
17)
18)
0,16 1,21 ;
19)
0,81 0,36 ;
20) 169 6,25 1,96 ;
21)
8 32 ;
22) 18 200 ;
23)
24) 1,6 90 ;
25)
3,6 0, 4 ;
26) 14,4 0,9 ;
27)
5 45 ;
28)
8 50 ;
29) 11 99 ;
30)
4,5 128 ;
31)
300 0,27 ; 32) 13 26 32 ;
20
2,25 0,04 ;
3 48 ;
33)
1
7
11
;
7 11 16
36)
(5,81) 2 ;
34)
37)
( 4,3) 2 ;
(0,7) 2 ;
35)
(1,1) 2 ;
38)
3. Вынести множитель из-под корня.
1) 45 ;
2) 52 ;
3) 175 ;
1
2
1
5)
360 ; 6)
98 ;
7)
75 ;
12
7
5
(3,2) 2 .
4)
224 ;
8)
3
147 ;
7
0
9
216 ;
2
10)
5
1
1
1000 ; 11) 12 ; 12)
800 ;
2
4
12
12
12
13) 0,5 343 ; 14)
240 ; 15)
;
16) 0,98 ;
6
4
32
121
17) 250 ;
18) 0,27 ;
19)
;
20)
;
10
6
21)
125
;
15
22)
98 ;
23)
25)
27 ;
26)
280 ;
27) 180 ;
28)
29)
432 ;
30)
675 ;
31) 3 8 ;
1
35)
200 ;
2
32) 5 18 ;
3
36)
60 ;
4
9)
33) 4 75 ;
34) 6 24 ;
24) 12 ;
54 ;
450 ;
37) 0,2 300 ; 38) 0,5 50 .
4. Внести множитель под корень.
1) 7 2 ;
2) 2 14 ;
3) 3 7 ;
5) 2 3 ;
6) 6 2 ;
9) 5 11,2 ;
10) 6
13)
2
147 ;
7
14)
5
;
12
1
8;
2
7)
1
220 ;
2
4) 2 17 ;
8)
3 82
;
4 15
11) 5 63 ;
12) 3 112 ;
2
18 ;
3
16) 5 0,2 ; 17) 3
15)
1
.
3
21
5. Упростить выражения.
1) 10 3 4 48 75 ;
2) 2 2 50 98 ;
3) (5 2 18 ) 2 ;
4) (3 5 20 ) 5 ;
5) (3 2 ) 2 ;
6) ( 3 2 ) 2 ;
7) (3 5 20 )(3 5 20 ) ;
8) (2 3 5 )( 2 3 5 ) ;
9)
28 ( 14 7 ) 2 98 ;
10) (2 6 5 4 2 )(3 20 24 2 8 );
11) 3 20 45 3 18 72 80 ;
4 9
;
25
15) 2 9 4 25 ;
12)
9 25
;
2
16) 2 64 25 ;
13)
9 2 4
;
7
17) 6 2 5 18 ;
14)
18) 5 12 2 27 ;
19) 2 48 27 12 ;
2
3
20) 3 20 5 45 2 80 ;
21)
27
75 12 ;
3
5
22) 0,5 50 0,8 72 0,2 32 ; 23) (2 18 3 8 ) (3 32 50 );
24) (3 20 45 3 18 ) ( 72 80 );
25) (0,5 24 3 40 ) ( 150 54 1000 );
1
2 1
26) 32
2
3
2 48 ;
2
3 4
1
1
27) (0,5 98 4 18 )
50
72 200 ;
3
5
1
28.
60 54 0,2 24 ( 15 6 600 ).
6
6. Исключить иррациональность в знаменателе.
5
12
4
1)
;
2)
;
3)
;
10
3 2
7
4
2
1
5)
;
6)
;
7)
;
7 1
5 3
7 2
22
4)
8)
9
12
4
;
32
;
9)
7 2
;
3 2
10)
(7 40 )(1,5 0,75)
( 18 45 ) 2
( 12 8 ) 3
;
2
( 36 2 6 ) 2
9
13,75 1, 2
14)
;
( 69 3 )( 69 31 / 2 )
12)
16)
13)
15)
;
11( 6 3 ) 2
11)
12(3 2 2 )
(7 27 7 8 )( 27 81 / 2 )
(27) 2 64
4
3 15
4
3 15
;
;
(4) ;
3 7
6
1
.
9
2 7
7 3
7. Вычислить рациональные степени.
1)
3
0,25 3 0,5 ;
4
3)
25
5)
3
3 / 2
1
;
4
37 8 3 37 8 ;
2)
3
57 11 3 57 11;
2
4)
7
3/ 8
(3,5) 2,375 ;
6) 645 / 6 0,16 ;
2, 625
7) 10 6 10 3 10 ;
2
8) 4,55 / 8
9
1
2
9) (0,5) 3 : 1 0,5 ;
4
15
10) 3 3431 / 3 1,250 ;
11) 3 ( 3) 3 29 ;
12)
13) 29161/4 – 15;
14) 7 – 3641/6;
15) 21251/3 – 0,90;
16)
3
( 3) 3 26 ;
18)
4
( 3) 2 2 4 8 9 ;
17)
4
0,5 4 0,125 ;
4
;
( 2) 2 3 4 81 ;
19) 125 51 / 2 3 216 ;
20) 3 32 : 2 2 / 3 121 ;
21) 34 / 3 3 2 3 48 ;
22)
111,5
110 ,3
;
23)
61, 4
6 0, 7
.
8. Выбрать верные значения выражений.
1) 111 / 10 114 / 10 115 / 10 31 / 9 34 / 9 32 / 9 :
23
5 11 3 3 ;
2)
72 / 3
1/ 3
7
8;
14;
111 / 10 31 / 3 ;
2 72 / 3 ;
73 7 ;
14;
8;
2;
71 / 3 :
0;
9 7 / 15
1/ 4
2/8
3) 1217 / 15
15 / 14
130;
216
4)
9
15 / 14
:
112 ;
81
64
:
2
9
;
;
3
4
5) 1195/6 1192/3 : 1191/2 – 117/8 113/4 113/8:
130;
0;
108;
27;
9. Вычислить без помощи калькулятора.
3 3 4 1 2 1 0
1) 2 : 12 : 33 18 ;
4 2 6
2 1 4 1
2)
3
3
1
3 ;
1
1
2 2
1
1 1
3) 3 4 :
;
3
2
5
4 0
3 1 3 3 1 1
4) (0,1) 1 : ;
5
8 2 3
2
2
1
2
5) 5 2 2 : 30 2 2 ;
2
3
3 2
5 0 3 1
6) 4 2 : ;
4
6 2
24
12;
–2.
7) 31 / 4
8
3
2
0
2
8) 33 ( 4)1/ 4
;
12
3
( 2) 5
;
2
9) ((6 4 / 3 ) 3 / 2 (0,25) 1 ) ( 0,5) 3 ; 10) ((2 10 ) 1 / 2 7( 0,5) 2 ) 1 ;
1
1
11) 630
(7 4 / 5 ) 5 / 2 (11) 1 ;
0, 2
1
1
1
12) 4 ( 43 / 2 ) 4 / 3 3
;
0,125
1
13) 2 5 9 (2 15 )1 / 3 ( 20 ) ;
2
25
1
3 27 45
4
32
15)
;
245
(2 3 ) 2
14) (57 / 4 )8 / 7
( 46) 1 ;
32
5
4
27 27
811 810 89
16) 8
;
17)
;
9 97 96
415 414 413
732 2 73 23 232
109 2 2 109 61 612
18)
;
19)
;
26 2 24 2
79 2 732 49 2 55 2
97 3 533
20)
97 53 : (152,52 27,52 ) ;
44
573 333
21) (36,52 27,52 ) :
57 33 ;
90
4 5 1 4 5 1 5 1
22) 4
;
4
4 5 (6 2 5 )
5
1
5
1
4
23)
4
7
6
2 42 ;
4
4
4
7 6
7 4 6
24)
3
52 5 3 52 5 .
10. Выполнить действия с буквенными выражениями с рациональными степенями.
25
1)
4)
( х5 / 8 )4
3
х4
;
( n1 / 4 ) 4 / 3
n
3
;
2)
4
5)
3
8)
10) с4,5 13с–0,5;
11)
2/3
m 1/ 4
3)
9c 5 3 3c 4 ;
6)
y3
4
7) (b 5 / 6 ) 3 4 b 3 ;
m
13)
27а 4 3а3 ;
( y1 / 3 ) 9 / 2
y 2 / 7 y 0,5
y2
6
;
m 0 ,5
;
9)
;
5
192t
5
6t11
4
8а 3 4 2 а 5 ;
b 5,6
11b 0 ,4
12)
;
;
a3 / 4 a
(a 0,3 ) 3
;
( n 1 / 7 ) 2 ,( 3)
.
n 1 / 3
14)
11. Сократить дробь.
3
1)
4)
7)
3
a a2
1 3 a2
;
2)
x 24 x 1
4
x x
5
p 5
4
;
3)
3
;
2 44 x 2 x
4
55 p 5 p 2
x 1
5)
;
8)
a 25
;
6
a 5
a 4 / 7 16
a
2/ 7
4
4;
x x3
4
3
6)
9)
6
x x
a 25
5;
a 5
x x
1 x
12. Выполнить действия.
4ab 5 xy
1)
3ab при abcdy 0;
15dcy 8ab 2
2)
3)
4)
x2 y 2
b
a
при ab(х2 – у2) 0;
ab
x y x y
x 2 xy
2
5x 5 y
y 10 y 3
y
4 –1/2
7) (у )
26
;
;
2
3x 3 3 y 3
2
x xy
;
при х(х2 – у2) 0;
5) а2/3: а3/2;
6) b–5 : b–7;
8) (у–7)0;
9) (х–6)1/3;
.
1
1 2 2 / 3
10) (a b )
11) (a b )
;
1/ 2
x 2
13) 5 / 3 1
y z
;
14)
( т 2 / 3 т 1 / 4 ) 6
16)
;
т 0 ,5
23)
abc 4 a 3b 2 c 4 b 5c 2 ;
4
8x2 y5 4 4x3 y
2 xy 2
y2
1 1
2
7) 3
:т
а3 / 4а
;
15)
1
3;
18) (п2/3 . п1/6)4п;
( а 0 ,3 )
;
20) 3 2ab 3 4a 2b 3 27b ;
4
4
;
( y 2 / 7 y 0, 5 ) 2
17) (т
19) (п6/7 : п–1)7п;
21)
x
12) 2 ;
y
3 1/2 –3/7
22)
5
a 3 b 2 5 3a 2 b 3 ;
.
–В–
13. Упростить.
1)
(1 3 2 ) 2 ;
2)
( 7 2 3) 2 ;
3)
( 7 5)2 ;
4)
( 2 3 15 ) 2 ;
5) 3 2 2 6 6 4 2 ;
6) 12 8 2 12 8 2 ;
7) (5 24 )( 3 2 ) 5 24 ;
8) ( 2 1) 3 2 2 2 2 ;
9) (4 7 )( 14 2 ) 4 7 ;
10) (8 3 7 )(3 2 14 ) 8 3 7 ;
11)
( 2 2 3 )( 24 3 3 16 3 2 )
;
2 2 3
27
12)
( 5 11)( 33 15 22 10
;
75 50
13)
(1 20 )( 7 140 2 40
;
28 2 2
3(151 / 2 71 / 2 ) 2 ( 15 7 ) 2
;
9
3
13
15) ( 4 7 119 4 3 51)( 4 7 119 4 3 51 );
14)
16) (3 3 2 7 21 6)(3 3 2 7 21 6) ;
17) (5 3 2 30 2 20 5 2 )(5 3 2 30 2 20 5 2 ) ;
18) (4 5 4 55 11)( 4 5 4 55 11 );
19) (9 2 3 5 6 3 30 )(9 2 3 5 6 3 30 ;
20) (2 66 253 12 2 2 169 )(2 66 253 12 2 2 69 ;
21)
(3 8 ) 3 8
2 1
;
22)
( 6 2) 10 4 6
52 6
1 3 2
3 2
;
2 4 6
4 6
1 5 2 2
5 2 2
24)
;
2 9 2 10
9 2 10
23)
1
2;
2
26) [(7 3 4 2 5 ) (5 2 6 3 5 )] 6 ;
25) ( 48 : 6 14 : 7 2 6 : 3 ) :
1
27) 2 3 2
6 18 2 2 ;
3
1
1
28) 3 200
18
50 : 8 ;
2
5
1
1
1
29) 15 27
3
6 : 3 3;
2
3
2
28
;
3
1
30) 2 2 0,6
0,1 :
0,1 ;
2
4
31) 3 5 (3 5 )( 2 10 ) ;
32) (19 8 3 )( 4 3 ) 2 .
14. Найти значения выражений.
1)
2)
3)
4)
х1 / 4 у1 / 2
х 3 / 4 x1 / 2 у1 / 2
при х = 16, у = 1,6;
x1 / 4 y1 / 2
x1 / 2 y
( х 2 у )1 / 6
x1 / 3 y1 / 6
у1,5 х 0,5
x y3
у 0,5 х 0, 25
x 0, 5 y
х x 2 / 3 у1 / 6
при х = 64, у = 46;
x 2 / 3 y1 / 3
х 0 ,5
x x 0,5 y1,5
при х = 72, у = 4;
х 0, 25
при х = 100, у = 25.
x 0,5 x 0,25 y 0,5
15. Упростить выражения при всех доступных значениях а, b, т, х.
x x1 / 3
1 x1 / 3
1) 2 / 3
2 x1 / 3 1
;
2/3
x
1
1
x
2)
a a b b
( a b )( a b)
2 b
a b
ab
;
a b
1
1
m 3 n3
;
3)
2
2
m mn m mn m mn n
1
1
a 2 1 1
1 ;
4)
2
2 2 a 2 2 a 1 a a
2
a
1 a 1
a 1
5)
;
a 1
2 2 a a 1
( a 2 b 2 )(3 a 3 b )
;
6)
3 4 3 3 3 3 3 4
a ab a b b
29
a 4b
a 9b
b 1 / 2 (a 9b)
7)
.
1/ 2
a ab 6b a 6 ab 9b a 3b
16. Вычислить выражение
(a1 / 2 b1 / 2 )(a1 / 2 5b1 / 2 ) ( a1 / 2 2b1 / 2 )(a1 / 2 2b1 / 2 )
A
2a 3a1 / 2 b1 / 2
при а = 54, b = 6.
17. Найти значения функций.
2 10
1) f(x) = 6х2 – 4x + 5 при х =
;
6
15 1
2) f(x) = 16х2 – 8x – 7 при х =
.
4
18. Вычислить.
1) а3/4 + а1/2b1/4 при а = 4, b = 81;
x1 / 2 y1 / 2 x1 / 4 y14 y1 / 2
2) 1 / 4
1/ 4
при х = 81; у = 16;
x y1 / 4
x y1 / 4
3)
a 3 / 4 b3 / 4
a1 / 4 b1 / 4 при а = 4, b = 4.
1/ 4
1/ 4
a b
19. Упростить выражение при допустимых значениях а и b.
| a | a
b 1 1 b
a | a 3|
1)
;
2)
;
3) 2
;
| a | a
|b|
b
a 5a 6
25
2 | a 5 | a
1 4a 4a 2
a .
4)
;
5)
2
a | 2a 1 |
3a 10a 25
30
4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА,
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ
–А–
1. Решить уравнения.
1) 3х – 5 = 1 – 2х;
1
3) 3 х 2 х 3 ;
2
5) 5 – (2х + 3) = 4(х + 1);
2) 4 + 5х = 2х – 5;
1
4)1,75х + 4 = – х;
3
6) 3х + 2(11 – х) = 7 – (х – 3);
1
1
7) ( x 5) 2( x 4) 4 x 1 ; 8) ( 4 х 6) 3 2 х 2 7 х ;
2
3
x4 x
x x 1
9)
5;
10)
4;
3
2
3
2
9 3x 10 x
1
3
11) ( х 8) 0,2 ;
12) 4 x
;
2
10
5
3
1
15 1
x 0,5 x 2 17
13)
( х 1)
;
14)
;
17
34 2
9
2
18
7
1
x 1
x 1
4x 9 5x 9
1
15) 3
;
16) 3
2
;
5
6
1, 4
4, 2
3
7 х 11( х 3) 3 х 1 13 х
17)
;
3
6
5
2
1
4 3x 1
x 3
18) 2 2 x
7x
;
15
5 5
2
x 1
10 7 x
x
2x
3 x
3 .
19) 1
3
2
2
2. Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих
уравнениям.
1) у = 5;
2) х – 1 = 0;
3) у = 0;
4) х = 5;
5) х + у = 0;
6) 2х + 5у = 0;
7) х – у = 2;
8) 3х – у = 6;
9) х + 4у + 8 = 0;
10) 3х – у + 12 = 0.
31
3. Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих
неравенствам.
1) х 0;
2) у < –1;
3) x < 2;
4) y 3;
5) x y;
6) x + y > 1;
7) 2x – y < 0;
8) x + 3y 3.
4. Решить уравнения.
1) |x| = 2;
2) |x – 3| = 3;
1
5) х 2 3,5; 6) |3x + 2| = 0;
2
9) |x + 7| = 8;
10) |3 – 7x| = 0;
3) |2x + 1| = 5;
4) |4 – x| = 1;
7) |3 – 5x| = 4;
8) |x + 2| = –1;
11) |5x + 4| = –7.
5. Решить неравенства.
1) 6x > 54;
2) 3x 108;
3) –6x > 72;
x
5) 7 ;
6) –9x 27;
7) 12x –18;
2
9) –2x > 0;
10) 0x 2;
11) 0 < 7x 3;
х
12) –8 < < 2; 13) –1 –2x 0.
2
4) 0x < 1;
1
8) x 6 ;
4
6. Решить неравенства.
3х 1
1;
5
4 2x
1 6x
2х 1
10 x 1
4)
5;
5)
1;
6)
3x
;
3
7
5
5
6 2x
3
1
7) 1
0;
8) (3x 1) ( 4 x) ;
4
5
8
1 x 2x 1 3
1 x 1 2x 1 x 3 x 4
9) x
;
10)
;
6
2
4
2 4
9
4
9
x
14 1,75
7 5
11)
;
12) ( x 4) : ( x 7) .
1 2
7
8 4
45 9
30
1) 2 + 6х > 5 + 7x;
2) 4x + 7 6x + 1;
7. Решить системы уравнений.
2 x y 11,
x 3 y 2,
1)
2)
3 x y 9;
2 x 5 y 3;
32
3)
7 x 3 y 16,
3)
y 2 x 1;
7 y x 19,
4)
3 x 2 y 11;
3 x 7 y 2,
5)
4 x 3 y 15;
8. Решить системы неравенств.
10 4 x 0,
2 x 3 0,
1)
2)
3 x 1 5;
3 x 8 0;
7 x 3 2,
4 x 7 2,
4)
5)
2 x 4 3;
3 x 1 3;
4 x 12,
7)
x 5;
8 x 13 y 3,
6)
7 x 2 y 12.
2 x 3 5,
3)
3 x 1 4;
2 x 1 2,
6)
3 x 1 7;
1
x 1,
9) 3
8 x 16;
7 x 2 6 x 1,
11)
x 1,6 2;
( y 6)(5 y ) y ( y 1) 0,
13)
2
0,3 y (10 y 20) 3 y 30 0.
0,6 x 3,
8)
10 x 70;
3 x x 4,
10)
0,5 x 21 0,2 x;
1, 2(3 x ) 0,8 x 6,
12)
2(1 4 x) 5 x x;
9. Решить совокупности неравенств.
2 x 1,
3x 2 2 x 1,
1)
2)
3 x 0;
2 5 x 1 ( x 1);
3
( 4 2 x) 4 x,
4) 2
x 2;
3 x 2 5 x ,
3)
x 7;
( 2 x 5) 2 4( x 2) 2 0,
5)
4 5 x 0.
10. Начертить графики функций и уравнений.
1) у = х;
2) у = –х;
3) у = 2х;
5) у = х + 1;
9) 3х – 2у = 0;
13) х = 2;
6) у = 2х – 3; 7) у = 3 – х;
10) х + 2у = 4; 11) у = 1;
14) х = 0.
х
4) у ;
2
8) у = –5 – 2х;
12) у = –2;
11. Заштриховать на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам.
1) х 3;
2) у < 0;
3) x – y > 0;
4) x + y + 1 0;
33
5) y 2x – 3;
6) у
2x
;
2
7) 2x + 3y 0; 8) 3x – 4y < 12.
12. Решить системы уравнений графически.
x y 2,
3 x y 5,
x y 2,
1)
2)
3)
2 x y 1;
x 2 y 4;
3 x 2 y 3.
–В–
13. Решить уравнения.
1) 4 – (2х + 3) = 2(3 – х);
2) 3(х – 6) – х = 2(х – 9);
1
3) 3( х 4) 1 (6 х 8) 20 6 х ; 4) 7 – 2(3 – х) = 2(х + 1) – 1.
2
14. Решить уравнения при каждом значении параметра а.
1) (2а – 3)х = а + 3;
2) (а – 2)х = а2 – 4;
2
3) (9а – 4)х = 2 – 3а;
4) (1 – 2а)х = 2а + 1;
5) (3а – 1)х = 3а2 + 5а – 2;
6) (2а2 – а – 1)х = а2 – 1.
Решить уравнения.
15. 1) |x| + 3x = –2;
3) |1 – 2x| – 4x = –6;
5) |2x – 1| = 5x – 10;
7) |3x – 2| = 3x – 2;
9) |2x – 3| = 3x + 4;
11) |7x + 5| = 5 + 7x;
2) |x + 6| + 4x = 5;
4) |x + 5| = –2x;
6) |x – 2| = 2x + 1;
8) |5x + 3| = –5x – 3;
10) |3x – 4| – 3x = 2.
12) |3 – 7x| = 3 – 7x.
16. 1) |2 – 3x| = |x + 5|;
4
1
3) 2 x 7 x ;
3
2
2) |x + 7| = |1 + 3x|;
4) |3x + 5| = |2x – 1|.
17. 1) |x – 3| + |x + 2| = 7;
2) |x – 5| – |x| = 1;
3) |x + 5| + |x – 3| = 8;
4) |2x – 3| + |2x + 7| = 16;
5) |x + 2| – |x – 3| = 5;
6) |2x + 8| – |2x + 6| = 5;
7) |x – 1| + 2|x + 1| = 3;
8) |5x – 13| – |6 – 5x| = 7;
9) |2x – 3| – |4x – 5| = 6x – 1;
10) |x – 2| + 3x = |x – 5| – 18;
11) |7x – 7| – |7x – 6| = –10x + 8;
34
12) |x| + |x – 7| + 2|x – 4| = 2.
18. 1) ||2x – 1| – 5| + x = |6 – x|;
2) ||3 – x| – x + 1| + x = 6.
Решить неравенства.
19. 1) 2|x + 1| > x + 4;
3) 5x – |2x + 1| > 3;
5) 3|x + 1| x + 5.
2) 3|x – 1| x + 3;
4) |x – 2| 2x + 1;
20. 1) |x – 3| |8 – x|;
3) |7x + 3| < |5 – 3x|;
2) |2x – 5| |x + 1|;
4) |2x + 7| > |3x – 2|.
21. 1) |x – 2| + |3 – x| > 4 + x;
3) |2x + 1| + |3x + 2| 5x + 3;
2) |2x + 5| – |3x – 4| 2x – 4;
4) |x – 1| – |x| + |2x + 3| > 2x + 4.
Решить системы уравнений.
2 x y 1,
22. 1)
3 y 6 x 3;
2 x y 1,
3)
4 y 8 x 3;
3 x 2 y 5,
5)
15 x 10 y 25.
3 x 2 y 5 z 14,
23. 1) 2 x 3 y 2 z 2,
5 x y z 0;
x y z 5,
3) 2 x 5 z 2,
3 y 4 z 5;
x 2 y 3,
2)
2 x 4 y 6;
2 x 3 y 3,
4)
6 y 4 x 1;
2 x 5 y 7 z 7,
2) 4 x y 2 z 8,
3 x 3 y 4 z 4;
x y z 2,
4) 2 x y 4 z 1,
x 6 y z 5.
24. Решить системы уравнений при каждом значении параметра.
ax y a,
ax 4 y a 1,
1)
2)
2
2 x ( a 6) y a 3;
x ay a ;
35
x ay 1 0,
2)
ax 3ay ( 2a 3) 0.
ax 4 y 1,
25. При каких значениях а и b решение системы
яв2 x y b
ляется пара чисел х = 1, у = –1?
(b 1) x y 3,
26. При каких значениях параметра b система
2 x (b 2) y 6
не имеет решений?
27.
При
каких
значениях
параметра
с
система
x (c 1) y 2,
имеет бесконечное множество решений?
2
(c 2) x 2 y 3 c
28. Решить системы уравнений.
x 2 | y | 3,
1)
x 3 y 8;
| x | y 2,
2)
3 x y 6;
| x | y 3,
3)
x 2 | y | 4;
| x 2 | | y 5 | 1,
5)
y | x 2 | 5;
2 | x | 3 y 8,
4)
2 x | y | 4;
x | y 1 | 7,
6)
| x 1 | 2 y 5;
| x 2 y | 5,
7)
2 x y 1;
3 x 2 y 1,
8)
| x y | y 1.
29. Решить уравнения при всех значениях параметра а.
1) ах = 3;
2) (3 – а)х = 0;
3) (2 + а)х = а2 + 3а + 2;
4) (а2 – 4)х = а + 2;
2
2
5) (6 – а + а)х = (а – 9).
30. Решить неравенства при всех значениях параметра b.
1) bx < 2;
2) (3 – b)x < 1;
3) (b + 1)x b + 3b + 2;
4) (4b2 – 1) 6b2 + b – 1;
5) (b2 – 5b – 6)x < b2 –1;
6) (16 – b2)x b2 – 5b + 4.
36
31. При каких значениях а уравнение 15х – 7а = 2 + 6а – 3ах имеет решение, меньше 2?
Построить графики функций.
x 3, x 1,
32. 1) у
x 1;
2,
1, x 5,
3) у x 4, 0 x 5,
0, x 0;
3, x 1,
2) у 0, x 1,
2, x 1;
2 x 5, x 2,
4) у x 6, 1 x 2,
0, x 1.
33. 1) у = |x – 2|;
3) y = 4 – |x + 3|;
5) y = 3 + |x|;
2) y = –|x + 1|;
4) y = –3 + |x – 1|;
6) y = – 3 – |x + 4|.
34. 1) y = 2x – |x + 3|;
3) y = x + 5 + |x – 1|;
2) y = –x + |x + 1|;
4) y = x – 3 – 2|x + 3|.
35. 1) y = |x + 2| – |x|;
3) y = 2|x + 3| – |2x – 4|;
2) y = |x – 1| + |x + 3|.
4) y = |2x – 3| + |2x + 1|.
Построить графики уравнений.
36. 1) |y| = x + 2;
3) |x + 1| – |y| = 4;
2) |x – 2| + |y + 3| = 6;
4) 2|x| + 3|y – 2| = 6.
37. 1) |x – y| = 2;
3) |x + y| – x = 1;
5) |x – y| + |x| = 2;
2) |2x + y| = 0;
4) |x – 2y| + 2y = 3;
5) |2x + y| – |2x – y| = 4.
38. Построить графики функций: а) y = |f(x)|;
в)|y|=f(x); г) |y| = |f(x)|, где:
1) f(x) = х + 2;
2) f(x) = 3 – 2х;
х
3) f(x) = + 3;
4) f(x) = –2 – 3х.
2
б) y = f(|x|);
37
39. Построить графики функций.
1) у 2 – |x + 3|;
2) y < –2 – |x + 1|;
3) |x + 1| + 2|y –2| 2;
4) |x| – |y + 1| 2;
5) |2y + x| + |y – 2x| 4;
6) |2x – y + 1| + |x + 2y – 2| 3.
40. Заштриховать на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системам неравенств:
x 5 2 | y |,
у | x | 1,
1)
2)
1
y 3 2 | x |;
x 2 2 | y | .
41. Найдите площадь фигуры, которая задается на координатной
плоскости соотношениями:
x 4 | y |,
у | x 1 | 2,
1)
2)
1
y 4 | x 2 | .
x 1 2 | y |;
–С–
42. Решить уравнения.
1) |x – 2| + a|x + 3| = 5;
3) |x + 1| + a|x – 2| = 3.
43. Решить уравнения.
1) |x – 2| = a – x;
2) a|x + 2| = 3 + |x – 1|;
2) ||x + 1| + x| = a.
44. Установите, сколько решений в зависимости от а имеют
уравнения:
1) ||x – 1| – 2| = a;
2) 2|x| + |x – 1| = a.
45. При каких значениях а уравнение 3|x – 1| + 2 = ax имеет ровно два решения?
38
5. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.
РАЗЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ.
ТЕОРЕМА ВИЕТА. КВАДРАТНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
5.1. Квадратное уравнение Ах2 + ВХ + С = 0
–А–
1. Определить, является ли данное уравнение квадратным (равносильным квадратному), полным, приведенным. Не решая само
уравнение, привести его к стандартному виду Ах2 + Вх + С = 0 и
найти коэффициенты А, В, С.
1) 11x2 = 0;
2) 9 + x2 = 0;
2
3) 5 – 4x – x = 0;
4) 9x2 – 2x = 3x +4;
5) 13x2 – 16 = 0;
6) 3 – x(6 – x) = –2;
7) –x(3x – 1) + 4 = 1;
8) х 2 2 2 х 2 0 ;
1
ах
9) 4 2 х х ;
10) cx2 –
25b 0 ;
2
2
a
11) bt 2 25ct 0 ;
12) 4z2 – 2z + 5 = 7 + 2z;
3
13) –x2 – 6x + 5 = 9 – 7x2 + 5x;
14) –(s + 3)(2s – 4) = 10;
15) (7x – 1)(5x + 2) = –(3x + 4)(8 – 7x).
2. Не используя формулы корней, решить квадратные (полные и
неполные) уравнения или доказать, что уравнения не имеют действительных корней.
1) 3х2 = 0;
2) 3x2 = 12;
3) 54 – 6x2 = 0;
4) x2 + 1 = 0;
5) 2 x 2 2 0 ;
6) 3 x 2 3 0 ;
2
7) x(x – 1) = 0;
8) x + 3x = 0;
9) 5x2 + 3x = 0;
10) 2x2 – 1,5 = 0;
11) –3x2 + 1,(3) = 0;
12) (x + 2)(x + 4) = 0;
13) 4(x + 3)(x – 5) = 0;
14) –2(x – 7)(x – 8) = 0;
15) (5 + 7x)(4 – 3x) = 0;
16) –4x2 + 6x = 0;
17) 3 х 2 6 0 ;
18) 2 x 2 32 0;
2
19) 4(x – 3) + 25 = 0;
20) 4(x + 3)2 – 25 = 0;
39
21) ( x 1, (3)) 2
16
;
9
23) 100 – 4(x – 1)2 = 0;
5x2 4 4x2 5
27 x;
4
5
27) 3x2 + 21,3 = 0;
29) 8x2 – 7 = 0;
31) 7x2 + 3x = 0;
33) 8x2 + 31,1 = 0;
35) x2 – 5|x| = 0;
37) 2x2 + |x| = 3x;
25)
22) (x + 4)2 – 81 = 0;
24)
3x2 2 4x 2 3
2 x;
2
3
26) 18x2 – 11 = 0;
28) 3x2 – 7x = 0;
30) 7x2 + 113 = 0;
32) 27x2 – 5 = 0;
34) m2x2 = (x – 1)2;
36) 3x2 – 4|x| = 0;
38) 4x2 + x = 3|x|.
3. Решить уравнения, не вычисляя дискриминант.
1
x2
1) x 2
;
2)
27 ;
49
3
x2 1
2
3)
26 0;
4) x2 = –1;
3
3
5) x2 = 6;
6) x2 = 1,21;
2
7) x2 = 1,69;
8) x 2 1,5 ;
3
x2
9) 3x2 = 48;
10)
8;
2
3
2
11) x 2 13,5 ;
12) 14 x 2 ;
2
7
2
13) (x + 5) = 0;
14) ( x 2 ) 2 0;
2
2
15) (x + 3a) = 0;
17) (0,5x + 3)2 = 128;
19) x2 – 5x = 0;
1
21) (3 x )(0,5 x) 0 ;
3
40
3
16) x 27;
2
1
18) ( 4 x) 2 98;
8
20) –2(x – 1)(x + 3,5) = 0;
22) 0(x + 3)(x – 4) = 0;
23) m(x + 3)(x – 4) = 0;
25) x 2 3x 0;
27) 3x2 + mx = 0;
29) x(x – 3) + mx = 0;
3 2
x 3 0;
3
26) 3x2 + 27x = 0;
28) x(x – 3) + 9x = 0;
9
30) 7 x 2 x 0 .
7
24)
4. В приведенных выражениях выделить полный квадрат.
1) x2 – 2x;
2) x2 + 10x;
2
3) x – 2x + 2;
4) x2 – 10x – 25;
5) x2 – x + 1;
6) x2 + 3x;
1
7) 2x2 + 5x + 1;
8) x 2 3x 2;
2
9) 7x2 + 2x – 2;
10) x2 – 12x + 35;
11) x2 + 4x – 5;
12) x2 – 9x + 14;
2
13) 9x + 5x – 14;
14) x2 – x – 6;
15) (2x + 3)2+(x – 2)2 – 13;
16) (2x + 7)(7 – 2x) – 49 – x(x + 2);
17)(x+3)(x–4)–3x(x–5);
18) a2 + 6a – 91;
19) a2 + 8a – 105;
2
20) x + 4x + 3;
21) x2 + 3x + 2;
22) 2a2 + 8a – 90;
23) 3a2 – 36a + 105;
2
24) 6a – 7a – 13;
25) 2m2 – т – 3.
5. Решить уравнения, используя выделение полного квадрата и
разложение на множители.
1) х2 + 10x – 39 = 0;
2) х2 – 15x + 55 = 0;
2
3) х – 16x + 48 = 0;
4) х2 – 12x + 35 = 0;
2
5) х – 18x + 80 = 0;
6) х2 + 4x – 5 = 0;
2
7) х – 9x + 14 = 0;
8) х2 + 5x – 14 = 0;
2
9) х – x – 6 = 0;
10) (2x + 3)2 + (x – 2)2 = 13;
x3
3x
11) (2x + 7)(7 – 2x) = 49 + x(x + 2);
12)
;
x5 x4
13) t2 + 6t – 91 = 0;
14) t2 + 8t – 105 = 0;
2
15) 2t + 8t – 90 = 0;
16) 3t2 – 36t + 105 = 0;
2
17) x + 4x + 3 = 0;
18) x2 + 3x + 2 = 0;
2
19) 6t – 7t –13 = 0;
20) 2t2 – t –3 = 0;
41
21) –12 – 7x – x2 = 0;
23) 36x2 – 60x + 25 = 0;
25) 5x2 + 3x – 2 = 0;
27) 5x2 – 4x – 12 = 0;
22) 2x2 – 12x + 17 = 0;
24) 4x2 – 36x + 81 = 0;
26) 4x2 – 3x – 22 = 0;
28) 3x2 + 5x – 2 = 0.
6. Составить квадратное уравнение, имеющее:
1) коэффициент при х2, равный 3, а корни 5 и –6;
2) коэффициент при х2, равный 1, а корни 2 и 3;
3) коэффициент при х2, равный –4, а корни – совпадающие и
равные –5;
4) коэффициент при х2, равный –3, а корни – совпадающие и
равные 7;
ab
5) коэффициент при х2, равный 2, а корни 0 и
;
2
1
1
6) коэффициент при х2, равный 1, а корни
и – .
m
m
7. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами,
имеющее корни:
1) 3 и –3;
2) 0 и 6;
3) 2 и –2;
1
4) 3 и – 3 ;
5)
и 3;
6) 0,(3) и 1;
2
1
1
2
3
7) –2 и ;
8)
и ;
9) 0,4 и 2 ;
3
6
7
4
2
1
10) 1 3 и 1 3 ; 11) х1 = х2 = 2 ; 12) 2 и –0,2;
3
8
3
1
13) 3 5 и 3 5 ; 14) х1 = х2 = 1 ;
15) 1 и 0,6;
5
4
5
16) х1 = х2 = ;
17) 2 7 и 2 7 .
8
8. Решить квадратные уравнения по общей формуле.
1) x2 + x – 2 = 0;
2) x2 – 2x – 1 = 0;
2
3) 2x + 5x + 2 = 0;
4) 5x2 + 2x + 6 = 0;
2
5) 3x – 7x + 12 = 0;
6) 42x2 + 5x – 2 = 0;
7) x 2 4 2 x 4 0;
8) x 2 4 2 x 10 0;
2
9) 3x – 2x – 1 = 0;
10) 2 – 18x2 – 9x = 0;
42
11) x 2 3 х 6 0;
13) x2 – 7x – 8 = 0;
15) 3x2 – 4x + 94 = 0;
17) 5x2 – 3x – 140 = 0;
19) x2 + 15x + 14 = 0;
21) 5x2 – 3x + 101 = 0;
12) x 2 х 5 2 5 0;
14) 5x2 + 4x – 57 = 0;
16) x2 – 13x – 14 = 0;
18) 6x2 – 5x + 171 = 0;
20) 4x2 – 36x + 81 = 0;
22) x 2 3 2 x 4 0;
23) x 2 2(1 8 ) x 8 2 0;
24) x 2 3х 5 7 ;
25) x 2 2 х 3 1.
9. Решить квадратные уравнения с «четным» коэффициентом перед х.
1) 3x2 – 4x – 7 = 0;
2) 3x2 – 46x – 469 = 0;
2
3) 169x – 182x + 49 = 0;
4) 5x2 + 2x – 7 = 0;
2
5) 7x – 20x – 1067 = 0;
6) 289x2 – 102x + 9 = 0;
2
7) 7x + 2x – 9 = 0;
8) 5x2 – 30x – 360 = 0;
9) 9x2 – 102x + 289 = 0;
10) x 2 2 3 x 2 0;
11) 6 x 2 2 7 x 1 0;
13) 2 x 2 2 2 x 1 0;
12) ( 3 1) x 2 2 11x 3 1 0;
1
14) 2 x 2 2 3 x
0.
2
10. Решить уравнения.
1) 4x(x – 1) + x(x + 2) = 3(2x – 1);
2) 2(x2 – 1) = 3 – x(2x + 1);
3) (5x – 1)2 – (3x + 2)2 + (x – 1)(x + 1) = x – 4;
4) 12x2 – (3x + 2)2 + (x + 4)(5x – 1) = x2 – 8;
5
5) (x2 – 1) : 4 = 3(3x + 1) : 8 – ; 6) (3x – 4)(11x + 6) = 0;
8
7) (3x – 4)(11x + 6) = 1;
8) (3x – 4)(11x + 6) = 3x – 4;
2
3х 1 9 х 1 6 х 1
7
10
9)
;
10)
2;
4
5
7
x 5 3x 4
11) (5x + 1)(7x + 3) = 0;
12) (5x + 1)(7x + 3) = 1;
7 х 1 3х 2 1 5 х 1
13) (5x + 1)(7x + 3) = 10x + 2;
14)
;
8
2
6
4
5
15)
2;
16) (5x + 7)(9x + 2) = 0;
x 3 2x 3
43
17) (5x + 7)(9x + 2) = 1;
5 х2 1 7 х 1 8х 1
19)
;
2
4
9
18) (5x + 7)(9x + 2) = 18x + 4;
5
7
20)
2.
x 2 2x 1
11. Разложить выражения на множители.
1) x2 – 5x + 6;
2) x2 – 6x – 7;
2
4) x + 7x – 44;
5) x2 + 25x + 100;
7) x2 – 17x + 72;
8) 2x2 + 3x – 6,48;
2
10) 16m – 56m + 45; 11) –x2 + 6x + 27;
13) 9m2 – 48m + 64;
14) m2 + 3m – 108;
16) 5z2 + 17z + 14;
17) 6z2 – 7z + 1;
х2
19) 4x2 + x – 14;
20)
1,5 х 2 ;
2
8 z 2 z 34
22)
;
23) 5x2 – x – 42;
2
5a a 18
12. Сократить дробь.
4 x 2 12 x 9
m 2 m 12
1) 2
;
2)
;
m 8m 16
2x2 x 6
a3 a 2 a 1
6x2 x 5
4)
;
5)
.
a2 1
9 x 2 x 10
3) x2 – 15x + 26;
6) x2 + 7x + 10;
9) 2t2 – t – 6;
12) –4t2 + 28t – 49;
15) a2 + 5,9a + 8,5;
18) 5z2 – 6z + 1;
21) 3x2 + x – 30;
24)
7 z 2 z 26
.
3a 2 a 14
3)
z3 z 2 z 1
;
z 2 2z 1
–В–
13. Не используя формулы корней, решить квадратные (полные и
неполные) уравнения или доказать, что уравнения не имеют действительных корней.
x
9| x|
x2
1) 2 x 2
0;
2) x 2
0;
3) 3 x 2
0.
3| x |
| x|
x
14. Решить уравнения при всех значениях параметра а ℝ.
1) x2 + (a – 1)x – 2a – 2 = 0;
2) x2 + (a – 3)x – 2a2 + 3a = 0;
2
3) x + (2a – 7)x – 8a + 12 = 0; 4) x2 + 4ax + 3a2 – 2a – 1 = 0;
5) x2 + (4a – 3)x – 12a = 0;
6) x2 + 2(a – 4)x + a2 – 8a – 9 = 0;
44
7) x2 – (3a + 2)x + 6a = 0;
9) x2 – (2a – 5)x – 10a = 0;
8) x2 + 2(a – 2)x + a2 – 4a – 21 = 0;
10) x2 – 2(a + 2)x + a2 +4a – 21 = 0.
15. Разложить алгебраические выражения на линейные множители.
1) y2 – 2xy – 3x2;
2) x2 + xy – 2y2;
2
2
3) 2x – xy – 6y + 6x + 9y;
4) x2 + (y – 3)x – 2y2 + 3y;
2
5) y + (x – 1)y – 2x – 2;
6) y2 + (2x – 7)y – 8x + 12;
7) y2 + 4xy + 3x2 – 2x –1;
8) 2x2 + (6y + 1)x + 9y – 3;
2
9) x + xy – x – y;
10) y2 + (5x + 2)y + 4x2 + 2x;
2
2
11) y + 3xy – 4x ;
12) x2 – 4x – y2 – 6y – 5;
13) y2 – 5xy + 6x2 + 3x – y;
14) 2y2 – 5xy + 2x2 + 2x – y.
16. В алгебраических выражениях выделить полный квадрат по
переменным х и у.
1) x2 + 2x + y2 – 2y + 2;
2) 4x2 + y2 – 24x – 4y + 36;
2
2
3) x + y – 2xy – 2;
4) 3x2 + 2y2 – 12x + 4y + 2;
5) 2x2 – y2 + 8x + 2y + 7;
6) x2 – xy – 0,75y2;
2
2
2
7) x + y – 2ax + 2ay + 2a ;
8) x2 + y2 + 6y – 4x + 9;
2
2
9) x – 6x + y + 2y – 6;
10) x2 – 6x + y2 + 2y – 6;
11) x 2 y 2 4 2 x 3 2 y ;
12) x2 + 2y2 – 6x + 4y.
–С–
17. Не решая само уравнение, привести его к стандартному виду
Ах2 + Вх + С = 0 и найти коэффициенты А, В, С.
1
1
1
13
1)
;
2) 10 mz
.
4 kx 3 kx
12
mz 10
18. Не используя формулы корней, решить квадратные (полные и
неполные) уравнения или доказать, что уравнения не имеют действительных корней.
1) х2 = а;
2) (х – 1)2 = а;
3) (х + 2)2 = (а – 1)2.
19. На плоскости 0ха построить графики х = х(а) (а = а(х)) для
обоих корней из задачи 18. При каком а корни совпадают? При
всех а укажите наибольший корень уравнения.
45
5.2. Теорема Виета (прямая и обратная)
–А–
20. Не решая уравнение, найти сумму и произведение его действительных корней.
1) x2 – 5x – 66 = 0;
2) 2x2 + 13x – 78 = 0;
3) 5x2 + 4 2 x – 2 = 0;
4) 8x2 – 1 = 0;
2
5) 3x – x + 5 = 0;
6) – x2 + 3x – 7 = 0.
21. Используя теорему Виета, записать уравнения, корнями которых являются числа:
2
1)
и –2,75;
2) 1 2 и 1 2 ;
5
2
1
3) x1 2 и х2 = –2,(6);
4) и 2,125;
3
5
8
5) 2 5 и 2 5 ;
6) х1 = –1,6 и х2 = ;
5
3
5
7) –1,25 и ;
8) х1 = –0,625 и х2 = ;
5
8
9) 3 7 и 3 7 ;
10) х1 = 1,(9) и х2 = 2;
1
11) и –0,125;
12) –0,5 и 10.
3
22. Решить квадратные уравнения, используя обратную теорему
Виета, но не вычисляя дискриминант.
1) х2 – 10х – 39 = 0;
2) х2 + 15х – 34 = 0;
2
3) х – 16х + 55 = 0;
4) х2 – 16х + 48 = 0;
5) х2 + 2008х – 2009 = 0;
6) 215х2 – 214х – 1 = 0;
2
7) х – 19х + 88 = 0;
8) 18х2 – 3х – 3 = 0.
23. Решить уравнения и проверить выполнение теоремы Виета.
1) 3х2 – 4х – 4 = 0;
2) х2 – 2х – 9 = 0;
3) 2z2 + 7z + 6 = 0;
4) 2m2 + 9m + 8 = 0.
24. Не решая уравнения, но убедившись, что действительные корни х1 и х2 существуют, определить их знаки.
46
1) х2 + 5х – 2 = 0;
3) 3х2 + 16х + 17 = 0;
5) 3х2 – 2 5 х + 9 = 0;
7) 6y2 – 17 = 0;
9) 2z2 – 9z – 10 = 0;
11) a2 – 9a + 20 = 0;
13) x2 + 2x – 80 = 0;
2) х2 – 5х + 2 = 0;
4) – 19х2 + 23х – 5 = 0;
6) 10х2 – 9х + 5 – 2 6 = 0.
8) 2x2 – 28 – 0;
1
10) х 2 х 7 0 ;
2
12) 2a2 – 9a + 20 = 0;
14) –x2 + 2x – 80.
–В–
25. По известному корню квадратного уравнения найти его другой корень и неизвестный коэффициент (с, р, а или b):
1) один корень уравнения 3х2 – 9х + с = 0 равен 5;
2) один корень уравнения х2 + рх + 45 = 0 равен 15;
3) один корень уравнения 3х2 – рх – 35 = 0 равен 5;
4) один корень уравнения –х2 + х + а = 0 равен 3.
26. Найти корни уравнения и неизвестный коэффициент (с, q, b):
1) х2 – 13х + q = 0, если разность его корней равна 1;
2) х2 – х – с = 0, если разность его корней равна 5;
3) 3х2 – 9х + с = 0, если один из его корней на 2 больше другого.
27. При каких значениях b ℝ уравнение х2 + (b + 2)х – 3 = 0
имеет два корня, один из которых на 4 больше другого?
28. Не решая уравнения: а) 3х2 – х – 8 = 0; б) 3х + 1 = 2х2, но убедившись, что действительныекорни х1 и х2 существуют, найти величины:
1 1
1)
;
2) x12 x22 ;
3) ( x1 x2 ) 2 ;
x1 x2
x
x
4) 1 2 ;
5) x1 x22 x2 x12 ;
6) x13 x23 .
x2 x1
29. Составьте квадратное уравнение с корнями:
1
1
1
1
1)
и
;
2) x12 и x22 ;
3) 2 и 2 ,
x1 x2
х1
х2
если х1 и х2 являются корнями уравнения:
а) 3х2 – х – 8 = 0;
б) 3х + 1 = 2х2.
47
30. Не решая уравнения: a) 2х2 – 7х – 1 = 0; б) 1 – 5х = х2, но
убедившись, что действительные корни х1 и х2 существуют, найти
величины:
x 2 1 x22 1
1
1
1) 2 + 2 ;
2) x13 x23 1
.
2 х1
2 х2
х1
х2
31. Могут ли два ненулевых корня х2 + х – а2 – 2а = 0 иметь один
и тот же знак?
32. Разность квадратных корней уравнения 2х2 + 7х + с = 0 равна
1,75. Найдите корни уравнения и число с.
33. Определить, при каком значении параметра а ℝ один из
корней уравнения равен нулю.
1) х2 – 2х + 16а = 0;
2) 19х2 + 2ах – 17 = 0;
2
2
3) 13х – 49х + а – 4 = 0.
34. Определить, при каком значении параметра а ℝ один из
корней уравнения равен 1.
1) 15х2 – х + 14а2 = 0;
2) 19х2 + 2ах – 17 = 0;
3) 36х2 – 45х + 5а2 – 16 = 0.
35. Для каждого значения а ℝ найти число действительных
решений уравнений.
1) ax2 + 2x – 2 = 0;
2) ax2 + 2x – 3 = 0;
3) ax2 – 5x + 15 = 0.
36. Определить, при каких значениях параметра а ℝ уравнение
имеет ровно одно решение.
1) ax2 – 4x + 3а + 1 = 0;
2) ax2 + 8x + а + 15 = 0;
2
3) ax – 6x + 2а + 7 = 0;
4) x2 – 2аx + а2 = 0.
37. Определить, при каких значениях параметра а ℝ уравнение
(а + 1)х2 + 2ах + 2 = 0 имеет два различных действительных корня.
38. Определить, при каких значениях параметра а ℝ уравнение
(2х – 1)(х + 1) = а не имеет действительных корней.
39. Определить, при каких значениях параметра а ℝ уравнение:
(2 – а)х2 – 2(а + 1)х + 4 = 0 имеет единственное решение.
48
40. Определить, при каких значениях параметра а ℝ сумма действительных корней уравнения х2 + (2 – а – а2)х = 0 равна нулю?
–С–
41. Не решая уравнения: а) х2 = 6х – 1, б) 2х2 = рх + 2, но убедившись, что действительные корни х1 и х2 существуют, составить
квадратные уравнения с корнями:
x
x
1) t1 = x1x2 и t2 = x1 + x2;
2) t1 1 и t 2 2 ;
3
3
2
x
2
x2 2
3) t1 = (x1 + x2)2 и t2 = (x1 – x2)2;
4) t1 1
и t2 2
;
x1
x2
5) t1 x1 x22 и t 2 x2 x12 ;
7) t1
6) t1
x1
x
и t2 2 ;
x2
x1
x1
x
2 x2 и t 2 2 2 x1 .
2
2
42. Действительные корни уравнения х2 + 2ах + b = 0 равны х1 и
х2. Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
х
х
1) х1х2 и х1 + х2;
2) 1 и 2 ;
3) –х1 и –х2;
2
2
1
1
х
х
4) x1
и x2 ;
5) x1 x23 и x2 x13 ;
6) 1 и 2 ;
x1
x2
x2
x1
7) 2х1 + 3х2 и 3х1 + 2х2;
8)
x12
x2
и 2 ;
x2
x1
9) x13 и x23 ;
10) x14 и x24 .
43. Может ли дискриминант квадратного уравнения ах2+ bx + c = 0
с целыми коэффициентами а, b, с равняться 11?
44. Может ли уравнение х2 + рх + q = 0 с целыми нечетными коэффициентами р и q иметь рациональные корни?
49
45. Действительные корни уравнения х2 + 2рх + q = 0 равны х1 и
х2. Составить приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
1) у1 = –х1 – х2 и у2 = х1х2;
2) у1 = 1 – х1 и у2 = 1 – х2;
2
2
3) у1 x1 и у 2 x2 ;
4) у1 = (х1 + 1)2 и у2 = (х2 + 1)2.
46. При всех значениях параметра а ℝ решите уравнение
2х2 + (6а + 1)х + 9а – 3 = 0.
Найдите все значения а, при которых:
1) разность корней равна 2;
2) модули корней равны;
3) сумма квадратов корней минимальна;
4) корни равноудалены от точки х = –1.
47. Определить, при каких значениях параметра р ℝ уравнения
имеют общий корень:
1) у2 – у = р и 5х2 – х = 8 – р;
2) х2 + 3х = р и 2t2 + t = 7 – p;
3) (x + 1)2 = 1 – p и 3у2 + у + р = 1;
4) 3у2 – у = 2р и 5t2 + t = 6 – p.
48. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами,
3 2
имеющее корень, равный
.
3 2
49. Определить, при каких значениях параметра р ℝ уравнение
имеет ровно три корня.
1) х2 + 3р = |x|;
2) х2 + 2(р + 1)|x| + р2 + 3р = 0.
50. Определить, при каких значениях параметра р ℝ уравнение
имеет нечетное число решений.
| x|
1) х2 + 2р2 =
;
2) х2 + 2(р + 1)|x| + р2 + 5р = 0.
2
51. Определить, при каких значениях параметра q ℝ корни уравнения x 2 q 2 5q 4 x q 2 0 действительны и различны.
50
52. Найти значения параметра а ℝ, при которых корни уравнения х2 – 2ах + а + 6 = 0 отрицательны.
53. Найти значения параметра р ℝ, при которых корни уравнения
х2 – 2(р – 1)х + р(р – 3) = 0 действительны и имеют разные знаки.
54. Найти значения параметра а ℝ, при которых сумма действительных корней уравнения х2 + (1 – а – а)2х + а2 – 2 = 0 равна 1.
55. Найти значения параметра а ℝ, при которых отношение действительных корней уравнения х2 – (2а + 1)х + а2 + 2 = 0 равно 2.
56. Найти все значения параметра q ℝ, при которых сумма квадратов действительных корней уравнения х2 + qх + q = 0 равна 3.
57.* Найти сумму положительных корней уравнения
x 2(5 2a a 2 ) x 2 1 0 . При каких значениях параметра а ℝ,
удовлетворяющих неравенству а2 – 3а 0, эта сумма принимает
наименьшее значение?
4
58* Найти значения параметра а ℝ, при которых уравнение
ах 2 х 6а 2 4 0 имеет только целые корни.
5.3. Квадратичная функция и ее график
–А–
59. Убедившись, что каждое из приведенных уравнений задает на
координатной плоскости 0ху параболу, найти координаты ее вершины, направление ветвей (вниз, вверх, вправо, влево), точки пересечения с осями координат и уравнение оси симметрии.
1
1) у = х2;
2) y x 2 ;
2
3) у = 2х2 + 1;
4) у = –х2 – 1;
1
5) y ( x 2 8) ;
6) у = –3(х2 + 1);
4
51
7) у = х2 – 2x + 1;
9) у = –2х2 + 4x – 2;
11) у = 3(x – 2)2 – 4;
1
13) x y 2 ;
2
15) x = –y2;
17) x = –3y2;
19) x = –(y – 1)2 + 2;
21) y = 2(x – 2)(x + 2);
23) 2y = (x – 1)2 – 4;
8) у = (х + 1)2;
10) y 2 ( x 1) 2 1;
12) x = y2;
14) x = 2y2;
16) 4x = –y2;
18) x = y2 – 2y + 2;
20) x = –(y – 1)(y + 3);
22) 2y = (x – 2)(x + 4);
24) 2x = –(y – 1)2 + 4.
60. Построить графики функций. При необходимости выделить
полный квадрат. Объяснить, как искомый график получить из графика у = х2.
1 1
1
1) у = ах2 + b, где а {1; 2; 3; ; }, b {0; 1; 2; 4; };
2 4
2
1 1
1
2) у = ах2 + bx, где а {1; 2; ; }, b {1; 2;3; 4; }.
3 4
2
61. Построить графики уравнений. При необходимости выделить
полный квадрат. Объяснить, как искомый график получить из графика х = у2.
1 1
1
1) х = ау2 + b, где а { ; ;1; 4}, b {0; 1; 2; 3; };
2 3
2
1 1
1
2) х = ау2 + bу, где а {1; 2; ; }, b {1; 2; 4; }.
3 4
2
–В–
62. Построить графики функций:
1) у = х2 – 2х – 3;
3) y = |x2 – 2x – 3|;
5) |y| = x2 – 2x – 3;
7) |y| = |x2 – 2x – 3|;
9) y = (x – 1)2 – 2(x – 1) – 3;
52
2) y = x2 – 2|x| – 3;
4) y = |x2 – 2|x| – 3|;
6) |y| = x2 – 2|x| – 3;
8) |y| = |x2 – 2|x| – 3|;
10) y + 1 = (x – 1)2 – 2(x – 1) – 3;
11) y –1 = (x – 1)2 – 2(x – 1) – 3;
12) y + 1 = (x – 1)2 – 2|x – 1| – 3;
13) y = |(x – 1)2 – 2(x – 1) – 3|;
14) y = |(x – 1)2 – 2|x – 1| – 3;
15) y + 1 = |(x – 1)2 – 2(x – 1) – 3|;
16) y + 1 = |(x – 1)2 – 2|x – 1| – 3|;
17) |y| = (x – 1)2 – 2(x – 1) – 3;
18) |y| = |(x – 1)2 – 2(x – 1) – 3|;
19) |y + 1| = (x – 1)2 – 2(x – 1) – 3;
20) |y + 1| = (x – 1)2 – 2|x – 1| – 3.
63. Построить графики приведенных ниже функций и для каждой
из них найти область определения и множество (область) значений,
точки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства, промежутки (интервалы) монотонности, точки экстремума,
максимальное и минимальное значения (если они существуют).
1) у = х2 + 2х + 4;
2) у = –х2 – 2х + 2;
2
3) у = х + 2х – 2;
4) у = –х2 – 2х – 4;
1
5
5) у = 5х2 – 10х + 6;
6) у х 2 х ;
2
2
7) у = (х2 – 2)(х2 + 1) – (х2 + 1)2;
8) у = (х + 1)3 – (х – 1)3;
9) у х 4 6 х 2 9 ;
10) у х 4 6 х 2 9 ;
11) у х 4 3 х 2 2,25 ;
12) у х 4 3 х 2 2,25 ;
13) у 2 х 4 х 2 0,25 ;
14) у 2 х 4 х 2 0, 25 ;
15) у 2 3 х 4 х 2 0,25 ;
16) у 2 3 х 4 х 2 0, 25 ;
17) у 2 х 4 х 2 0,25 ;
18) у 2 х 4 х 2 0,25 ;
19) у 2 5 х 4 х 2 0, 25 ;
21) y = x|x|;
| x |3
23) y
;
x
20) у 2 5 х 4 х 2 0,25 ;
22) y = x2 + x|x|;
x3
24) y
;
| x|
53
| x |3
;
x
| x| 2
27) y x 2
x ;
x
x3
29) y
;
( x )2
26) y x 2
25) y x 2
28) y x ( x ) 2 ;
30) y ( x ) 2 x 2 ;
32) y 2 x x x 2 ;
31) y 2 x x ( x ) 2 ;
33) y 2 x
x3
( x )2
|x|
;
x
;
34) y 2 x
x3
x2
;
35) y ( x 1) 2 2( x 1) 2 3;
36) y ( x 1) 2 2 ( x 1) 2 3;
37) y ( x 1) 2 2
38) y ( x 1) 2 2
( x 1) 2
( x 1) 2
( x 1) 2
( x 1) 2
3;
3.
64. Построить графики приведенных ниже функций и уравнений
и определить точки пересечения с осями координат, а также значения принимаемые переменными х и у.
1) y x ;
2) y ( x ) 4 ;
3) y ( x ) 4 ;
4) y ( x ) 4 ;
5) y x ;
6) y 1 x 2 ;
7) y 2 1 x ;
8) y 2 1 x ;
9)
10)
y x;
y x;
11)
y x;
12)
y x;
13)
y 2 x;
14)
y 2 x 1;
15)
2 y x 1;
16)
2 y x 1;
2
2
17) ( 2 y ) ( x 1) 1 .
54
–С–
65. Построить графики приведенных ниже семейств функций и
уравнений. Объяснить, что происходит с графиком при изменении
параметра, что общего у всех графиков данного семейства.
1) у = ах2;
2) ау = х2;
2
3) у = (х – а) ;
4) у – а = х2;
2
5) у – 2а = (х – а) ;
6) у – а = –(х + а)2;
7) у = а(х – 1)(х + 3);
8) у –5 = а(х – 1)(х + 3);
9) у – а2 = –(х – а)2;
10) y – sina = –(x – a)2;
11) у х а ;
12) у х а ;
13) у 2 а х ;
14) у а х а ;
15) у а х а ;
16)
уа ха ;
17)
18)
у 1 x a ;
у xa;
19) y a | x | ;
20) ( x ) 2 ( y ) 2 a ;
21) x 2 y 2 a ;
23) у = а(х – 1)2 + 2;
25) у = (х + 2)2 + а ;
22) ( x a ) 2 ( y a ) 2 1;
24) у = (х – 1)2 + а;
26) у = (х – а)2 + а .
5.4. Квадратные неравенства
–А–
Решить неравенства.
1
66. 1) x2 > 1;
2) x 2 18;
2
1
5) х2 –4;
6) х 2 12;
3
2
9) x > –100; 10) x2 0,36.
67. 1) x2 + 2x 0;
4) 3x + 2x2 < 0;
3) x2 < 9;
1
4) x2 64 ; ;
1
7) х2 > 2 ;
4
7
8) x2 1 ;
9
2) 3х – x2 > 0;
5) 7x2 + 4x 0;
3) 25x2 – 36x 0;
6) 5x – 7x2 > 0.
55
68. Решить неравенства.
1) (x – 1)(x + 2) > 0;
3) (x + 5)(x – 6) 0;
5) (5x – 3)(2 – x) > 0;
7) –(4x – 5)(3 + x) 0;
9) x(x + 2) 0;
11) (1 2 x )(1 2 x) 0 ;
13) 6x2 – 7x + 2 0;
15) 8x2 + 10x – 3 0;
17) –49x2 + 28x 4;
19) 4x2 – 4x + 5 < 0;
21) x2 – 10x + 27 < 0;
23) 5x2 – 7x + 3 0;
25) 64x2 + 96x + 36 0;
27) 25x2 – 30x + 9 < 0;
2) (x + 3)(x – 7) < 0;
4) (x + 4)(x – 5) 0;
6) (2x + 7)(8 – 2x) 0;
8) (6 – 5x)(3 – 9x) < 0;
10) –10x(2 – 15x) > 0;
12) x2 – x – 90 > 0;
14) –x2 – 2x + 48 < 0;
16) 25x2 – 10x + 122 > 0;
18) –x2 – 13x – 170 < 0;
20) 2x2 – 3x – 170 < 0;
22) 3x2 – 5x + 4 0;
24) 9x2 – 12x + 4 0;
26) 49x2 – 70x + 25 > 0;
28) (x2 + x + 1)(x – 1) 0.
69. Найти все целые решения неравенств.
1) x2 – x – 2 0;
2) x2 – 5x – 6 < 0;
2
4) –x + 4x + 5 < 0;
5) x2 < 5x;
3) 3x2 + 2x – 5 0;
6) 6x + 7 > x2.
70. Решить неравенства и их системы (совокупности).
1) x2 + 2x > 0;
2) 3x2 – x + 2 < 0;
3) x2 – 7x + 6 0;
4) –x2 – 6 > 0;
5) x2 – 7x 0;
6) 0,2x2 –5;
2
7) 0,25x + 0,5x – 2 < 0;
8) 8x – 4x2 > 0;
9)2x2–7x–150;
10) x2 + 6x + 9 0;
2
11) x + 5x + 7 < 0;
12) x2 – x + 9 > 0;
13) x2 + 5x – 14 < 0;
14) 4x2 – 20x + 25 0;
2
15)3x –2x–16>0;
16) x2 + 4x + 4 0;
17) x2 + 8x + 12 > 0;
18) x2 – x + 4 > 0;
2
19) 3x – 2x – 7 > 0;
20) 9x2–12x + 4 0;
2 x 2 5 x 18 0;
1
21) x 2 1, (3) x 1 0;
22)
3
x 0;
56
x 2 10 x 24 0;
23)
2 x 16 0;
6 x x 2 0;
24)
2 x 9 0;
x 2 7 x 18 0;
25)
2 x 3 0;
x 2 9;
26)
x 2 144;
x 2 x 2 0;
27)
x 2 4 x 5 0;
4 x 2 25;
28)
x 2 4 x 3 0;
x 5 0;
29) 2 3 x 0;
2
x x 2 0.
x 3 5 2x
4,25;
30) 2
4
2 x 2 3x 9;
x 4 4 3x
0,1(6);
31) 2
4
3 x 2 6 7 x;
7 x 2 5x 1
1;
32) 3
2
4 x 2 7 x 2;
x 1 x 4 x 5
3 2 6 ;
33)
4 3x 0;
x 2 4 x 4
x 2 4 x 3 0;
34)
x 2 x 2 0;
1 4 x 2 0;
35)
5 x 2 x 2 0;
x 2 x 6;
36)
x 2 5 x 0;
x 2 2 x 8 0;
37) x 2
0;
x 4
x 2 2 x 3;
38)
x 2 11x 28 0;
3 x 2 4 x 1 0;
39)
3 x 2 5 x 2 0;
x 2 4;
40)
x 2 x 6 0;
| 2 x 3 | 1;
41) 2
x 4 x 3 0;
x 2 2 x 3 0;
42)
x 2 x 6 0;
57
x 2 14 x 45 0;
43) x 2 11x 30 0;
2x 3
2
0;
x x 2
3 x 2 5 x 2 0;
44) 3 x 2 7 x 6 0;
2
6 x 11x 10 0;
x 2 x 20 0;
45) x 2 2 x 8 0;
2
2 x x 45 0;
4 x 2 4 x 3 0;
1
46) 2 0;
x
3 x 2 20 x 7 0;
x 2 1 0;
47)
2
x x 1 0;
x 2 1,69;
48)
2
x 2 x 3 0;
3x 2 7 x 4 0;
50)
2
x 4;
x 2 6 x 27 0;
52)
2
4 x 31x 60 0;
x 2 3 x 2 0;
49)
| 2 x 3 | 1;
4 x 2 7 x 15 0;
51)
2
20 x 23 x 21 0;
x 2 16 x 15 0;
53) 2 x 1
0;
x 1
x2
0;
x 1
55)
x2
0;
x 1
9 x 2 4 x 5 0;
54) 5 x 2
1;
3 2 x
3
1;
56) 3 2 x x 2
2
11x x 28 0.
71. Найти область определения функции.
1) у 2 х 3 х 2 ;
2) у
3) у 3х 2 4 x 1 ;
4) у
58
x 1
2 x x2
x
;
5 x 2 3x 2
;
5) у
7) у
x 1
;
x3
x3
( x 1) 2
( x 1) 2
;
x3
5 x
8) у
;
7x
6) у
;
9) у 60 x 25 х 2 36 ;
11) y
10) y
5x 2 6 x 1
;
3x 5
12) y
1
3x 4
2x 2 5 x 2
13) y 9 x | x | ;
14) y | x 1 | ( x 1) ;
15) y x x 2 x ;
16) y (2 x ) x 3 ;
17) у
19) y
3 2x x 2
;
x 2 7 x 12
x 2 5 x 14
x 2 x 20
20) y 20 x x 2
21) y
23) y
18) у
;
144 x 64 81x 2
;
x2 6x 8
;
x 2 5x 6
;
2
14 5 x x 2
;
17 15 x 2 x 2
;
x4
22) y
4x2 4x 3
;
2x 2 7 x 3
24) y
7 x
2
;
4 x 19 x 12
6 7 x 3x2
3x 2 2 x 8
.
72. Решить неравенства, сделав подходящую замену.
1) x4 – 13x2 + 36 0;
2) x4 – 2x2 – 15 0;
3) x4 – 12x2 + 36 > 0;
4) x4 – 8x2 + 16 0;
4
2
5) 16x – 24x + 9 > 0;
6) 16x4 – 10x2 – 6 < 0;
7) (x2 + 2x)2 – 13(x2 + 2x) + 36 0;
8) (x2 – 2x)2 – 14(x2 – 2x) – 15 0;
59
9) (x – 3)3 – 2 ( х 3)3 – 3 0;
2
1
1
10) x 6 x 8 0 .
x
x
–В–
73. Определить, равносильны ли неравенства.
1) х2 – 1 > 0 и x4 – 1 > 0;
2) х2 – 1 < 0 и x3 – 1 < 0;
3) 6x2 > 7x и 6x > 7;
4) 5x3 < 2x2 и 5x < 2;
3
2
5) 5x 2x и 5x 2;
6) 6x7 7x6 и 6x 7;
3
2
7) 4x 3x и 4x 3;
8) x2 < 9 и |x| < 3;
9) x2 16 и |x| 4;
10) (x –2)2 9 и |x – 2| 3;
2
11) (x + 1) > 16 и |x + 1| > 4;
12) (2x2 + 3x + 5)(x + 3) 0 и x + 3 0;
х 1
13) (x – 1)(x + 4) > 0 и
0;
х4
х 1
14) (x – 1)(x + 4) 0 и
0.
х4
74. На координатной плоскости 0ху изобразите множество точек,
координаты которых удовлетворяют неравенствам:
1) х2 y;
2) x2 + 1 < y;
3) x(x + 2) y;
4) y + 2 x2 + x;
2
5) y < 3x + 2x;
6) |y| < x2 + 4x + 4;
2
7) |y| x – 2x + 1;
8) y x2 – 5|x|;
9) y x2 – x;
10) y x2 – 2x + 3;
2
11) y > 5x – x ;
12) x y2 – y;
2
13) x > y – 2y + 3;
14) x < 6x – x2;
15) y2 – x > 1;
16) (y – x2)(y + 1 + x2) 0;
2
17) y(y – x – 2) 0;
18) (y – x2 – 2x)(x + 2) < 0;
2
19) y – x 0;
20) y2 – x2 < 0;
21) 4y2 – x2 0;
22) y2 – 9x2 0;
2
2
23) y – 2xy – 3y > 0;
24) x2 + xy – 2y2 < 0;
2
2
25) 2x – xy – 6y + 6x + 9y 0; 26) (x + y)(x + 2y) 0;
27) (x + y)(x – 2y) 0;
28) (y – x2)(y + 2x) 0;
2
29) (x + y )(x – 2y) > 0;
30) (y – x2 + 1)(y + x2 – 1) < 0;
60
31) x2 + (y – 3)x – 2y2 + 3y 0;
33) y2 + (2x – 7)y – 8x +12 >0;
35) 2x2 + (6y + 1)x + 9y – 3 0;
37) y2 + (4x +2)y +4x2 + 2x >0;
39) x2 – 4x – y2 – 6y – 5 0;
41) 2y2 – 5xy + 2x2 +2x – y 0.
32) y2 + (x – 1)y – 2x – 2 0;
34) y2 + 4xy +3x2 – 2x – 1 < 0;
36) x2 + xy – x – y 0;
38) y2 + 3xy – 4x2 < 0;
40) y2 – 5xy + 6x2 + 3x – y > 0;
75. На координатной плоскости 0ху изобразите множество точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству или системе неравенств.
1) x2 + y2 1;
2) x(1 – x2 – y2) > 0;
2
2
3) y(4 – x – y ) 0;
4) x2 – 2x + y2 + 2y + 1 0;
5) (x2 – y2)(9 – x2 – y2) < 0;
6) x2 + y2 – 4x + 6y 3;
2
| y | x ;
7)
8) (|y| – |x|)( x2 + y2 – 4) 0;
2
2
x y 4;
у х 3;
9) 2
2
x y 6 х 6 у 9 4;
11) |y – x2|(x2 + y2 – 4) 0;
10) (y–x–3)(x2+ y2 + 6x – 6y + 9) 0;
12) (|y| – x2)|x2 + y2 – 4| 0.
5.5. Расположение корней квадратного уравнения
–А–
76. Найти все значения параметра d ℝ, при которых уравнение
не имеет действительных корней.
1) x2 – dx + 1 = 0;
2) dx2 + 2(d + 1) x + 4d + 4 = 0;
3) x2 – 2(d2 + 1)x + 4 = 0;
4) (d – 1)x2 + (d2 – 1)x + d + 1 = 0.
77. Найти значения параметра k ℝ, при которых уравнение
имеет хотя бы один неотрицательный корень.
1) x2 + 2(k – 1)x + k + 5 = 0;
2) (k – 5)x2 + 2(k2 – 25)x + k + 5 = 0;
3) x2 + (k + 3)x – 2k – 6 = 0;
4) x 2 2 k 3 x k 5 0 .
61
78. Найти все значения параметра d ℝ, при которых корни
уравнения действительны и больше, чем 3.
1) x2 – 6dx + 9d2 – 2d + 2 = 0;
2) x2 – (2d + 5)x + 5d + 7 = 0.
79. Найти все значения параметра d ℝ, при которых уравнения
имеют два различных действительных корня одного знака. При каких d эти корни положительны, отрицательны?
1) x2 – (2d – 1)x + 1 – d = 0;
2) x2 – (2d – 6)x + 3d + 9 = 0;
2
3) 3dx – (7d + 1)x + 2d + 1=0; 4) (2 + d)x2 – 2dx + 3d = 0.
80. Найти значения параметра d ℝ, при которых один из корней уравнения больше 1, а другой – меньше 1.
1) (d2 + d + 1)x2 + (2d – 3)x + d – 5 = 0;
2) x2 – 2dx + d2 = 2,25;
3) x2 – 2(d + 1)x + 4d + 1 = 0;
4) x2 – (d + 1)x – 2d2 + 2d = 0.
81. Найти все значения параметра d ℝ, при которых корни
уравнения действительны и принадлежат интервалу (0; 3).
1) x2 – dx + 2 = 0;
2) x2 – (d + 1)x – 2d2 + 2d = 0.
82. Найти значения параметра d ℝ, при которых один из корней уравнения больше 3, а другой меньше 2.
1) (d – 2)x2 – 2(d + 3)x + 4d = 0;
2) dx2 + 2(d2 – 1)x + 3d = 0.
83. Найти значения параметра k ℝ, при которых число –2 заключено строго между корнями уравнения.
1) x2 – (2k + 1)x + 4 – k = 0;
2) kx2 + (k2 + 1)x + 3 = 0.
84. Найти значения параметра d ℝ, при которых число 3 заключено строго между корнями уравнения.
1) –x2 + (3d – 1)x + d – 1 = 0;
2) dx2 + 2(d2 – 40)x + 159 = 0.
62
85. Найти значения параметра k ℝ, при которых уравнение
имеет два совпадающих корня.
1) x2 – 2(k – 4)x + k2 + 6k + 3 = 0;
2) (2k + 1)x2 + 3(k – 1)x + k – 1 = 0.
86. Найти все значения параметра т ℝ, при которых корни
уравнения: а) меньше 1; б) больше –1; в) лежат на отрезке [–1; 1].
1) 2x2 + mx + m2 – 5 = 0;
2) 3x2 + (m – 1)x + m2 – 2m – 4 = 0.
87. Найти значения параметра k ℝ, при которых один из корней
уравнения больше, а другой меньше 2.
1) x2 – (k + 1)x + k2 + k – 8 = 0;
2) kx2 – 2(k – 1)x + k2 – 5k + 2 = 0.
88. Найти значения параметра k ℝ, при которых оба (различных) корня уравнения попадают на интервал (–6; 1).
1) x2 + 2(k – 3)x + 9 = 0;
2) x2 – 4(k + 1)x + 16 = 0;
3) (k + 2)x2 + 4(k + 2)x + 5k + 8 = 0.
89. Найти все значения параметра k ℝ, при которых один из
корней уравнения больше 2, а другой меньше 1.
1) (k – 1)x2 – 2kx + k – 4 = 0;
2) (2k + 3)x2 – 4(k – 1)x – 25 = 0.
90. Найти значения параметра k ℝ, при которых все корни
уравнения принадлежат интервалу (–1; 1).
1) 4x2 – 2x + k = 0;
2) 2x2 + x – 4k2 = 0.
–В–
91. Определить знаки корней уравнений, не решая их, но убедившись, что действительные корни существуют.
1) x2 + 7x – 1 = 0;
2) x2 – 5x – 2 = 0;
3) x2 – 19 = 0;
4) x2 + 19 = 0;
2
5) x + 7x + 1 = 0;
6) x2 + 5x + 2 = 0;
63
7) x2 – 7x + 1 = 0;
9) 19x2 – 23x + 5 = 0;
8) 3x2 + 17x + 15 = 0;
10) x 2 5 x 11 0;
11) x 2 5 x 11 0;
12) 13x 2 7 x 2 3 7 0;
13) 13x 2 7 x 13 10 2 0;
14) x4 + x2 – 1 = 0;
15) x4 – x2 – 1 = 0;
4
2
16) x – 3x + 2 = 0.
–С–
92. Определить, при каком значении параметра а хотя бы один из
корней уравнения равен нулю.
1) x2 + ax = 0;
2) ax2 + 2x = 0;
2
3) x – ax + a – 3 = 0;
4) x2 + (a + 1) x –a – 1= 0;
5) x2 + 2ax + a2 – 9 = 0;
6) x 2 2 a 1 x a 2 9 0 ;
7) x 2 2 a 1 x a 2 4a 3 0;
8) x 2 2 1 a x a 2 6a 5 0.
93. Определить, при каком значении параметра d ℝ уравнение
имеет корни разных знаков.
1) 2x2 + dx + d2 – 4d = 0;
2) 4x2 + 7(d – 1)x + 2d2 – 9d – 5 = 0;
3) 3 x 2 8 5d 13 x 5d 2 9d 14 0 ;
4) 5 x 2 4 2d 11 x 3d 2 9d 30 0 ;
5) x2 – 2(a – 1)x + 3a + 9 = 0;
6) x2 + (d + 1)x + 4d = 0.
64
6. МНОГОЧЛЕНЫ. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ.
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
–В–
1. Найти корни многочленов, применяя различные способы разложения на множители.
1) Р4(х) = х4 – 4;
2) Р3(х) = 4х3 – 4x2 + x;
3) Р3(х) = х3 + 2x2 – 4x – 8;
4) Р4(х) = х4 – 2x3 – 3x2 + 6x;
5) Р4(х) = 9х4 + 3x3 + 3x2 + x;
6) Р3(х) = х3 – 3x2 – 6x – 8;
7) Р3(х) = х3 – 5x2 + 6;
8) Р3(х) = х3 – 3x2 – x + 3;
9) Р3(х) = х3 + x2 – 9x – 9;
10) Р4(х) = 2х4 – 3x3 – 4x2 + 3x + 2;
11) х4 + 5х3 + 2х2 + 5х + 1;
12) 6х4 – 35х3 + 62х2 – 35х + 6;
13) 6х4 – 7х3 – 36х2 + 7х + 6;
14) Р4(х) = 3х4 + 5x3 – 5x2 – 5x + 2;
15) Р4(х) = х4 + 4x3 – 2x2 – 12x + 9;
16) Р5(х) = х5 + x4 – 6x3 – 14x2 – 11x – 3;
17) Р5(х) = х5 + 3x4 + 3x3 + 9x2 – 4x – 12;
18) Р6(х) = х6 – x5 – 6x4 – x2 + x + 6;
19) Р3(х) = x3 – 4x2 + x + 6;
20) 2х6 – х5 – х4 + 4х2 – 2х – 2;
21) Р4(х) = х4 + 2x3 – 6x2 – 5x + 2;
22) Р6(х) = х6 + x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2;
2. Разделить многочлен Р(х) на многочлен Q(х) «уголком».
1) Р3(х) = 2x3 – x2 – 5x + 4, Q1(x) = (x – 3);
2) Р4(х) = 4x4 – 2x3 – 16x2 + 5x + 9, Q2(x) = x2 – 2x – 1;
3) Р5(х) = x5 + 5x3 + 6, Q2(x) = x2 + 2x + 3;
4) Р6(х) = x6 + x4 + x3 + x2 + 1, Q2(x) = x2 + 1;
65
5) Р3(х) = 2x3 – 7x2 + x + 3, Q1(x) = x – 4;
6) Р4(х) = 3x4 – x3 + 4x2 – 5x – 5, Q2(x) = x2 – 2x + 2;
7) Р4(х) = x4 + x3 + x2 + x + 1, Q2(x) = x2 + 1;
8) Р5(х) = x5 – 3x3 + x2 + 2x – 1, Q2(x) = x2 + x – 1;
9) Р3(х) = 5x3 – 2x2 – 2x – 1, Q2(x) = x2 + 4x + 3;
10) Р3(х) = x3 – 9x2 + 27x – 27, Q2(x) = x2 – 2x + 4;
11) Р4(х) = –12x4 + 4x3 + 9x2 – 1, Q2(x) = x2 + 7;
12) Р4(х) = –20x4 – 13x3 + 20x2 + 7x + 6, Q2(x) = x2 + x;
13) Р4(х) = x4 – x2 + 3, Q2(x) = x2 – 3;
14) Р4(х) = x4 + 7x3 + 18x2 + 20x + 8, Q2(x) = x2 + 2x + 1;
15) Р5(х) = x5 + x4 + x3 + x2 + 1, Q2(x) = x2 – x – 2;
16) Р5(х) = x5 – x4 +2x2 + x + 1, Q2(x) = x2 + 2x + 3;
17) Р6(х) = x6 – 3x5 – 4x3 + x – 1, Q2(x) = x2 + x + 1;
18) Р7(х) = x7 – x6 – 3x3 + x + 1, Q2(x) = x2 – x + 1.
3. Решить уравнения.
1) x4 – 5x2 – 36 = 0;
3) x4 – 3x2 – 54 = 0;
5) x4 – 5x2 + 6 = 0;
7) 4x4 + 7x2 = 0;
9) 6x4 – 7x2 +2 = 0;
11) 3x4 – 28x2 + 9 = 0;
13) x4 – 5x2 + 4 = 0.
2) 2x4 – 3x2 – 2 = 0;
4) x4 – 4x2 + 4 = 0;
6) 4x4 – 3x2 = 0;
8) x4 – 8x2 = 0;
10) x4 – 1 = 0;
12) 2x4 – 9x2 + 9 = 0;
Решить системы уравнений.
x 2 y 2 6 x 2 y 0,
4. 1)
x y 8 0;
3x y x y
2,
3) x 1
2y
x y 4;
x 2 4 y 2 3x 2 0,
5)
2 x 3 y 5;
66
x 2 3xy y 2 92,
2)
x 3 y 18;
3 x 2 y 7,
4) 2
2
2 x y 6;
x y 2 2,
6)
2 y 2 x 2 3;
9
xy
,
7) x 3 2
x y 12;
y 2
2,
8) x 1
y 2 x x 2 1;
2 x y 2 3,
9)
3 x y 4 4;
x 3 y 1,
10)
y 3 4 y 2 4 y x 6 1;
4 x 2 y 2 2 xy 7,
2 x 2 3 xy 5 y 5,
11)
12)
( 2 x y ) y y;
( x 2)( y 1) 0;
( x 4)( y 1) x 2 5 x 4,
x 3 y 3 19( x y ),
13)
14)
x 2 y 2 3x 8 0;
x 3 y 3 7( x y ).
x 2 y 2 20,
5. 1)
xy 8;
x 2 xy 15,
3)
y 2 xy 10;
x 2 y 2 13,
2)
xy 6;
x 2 xy 6,
4) 2
y 2 xy 3;
x 2 y 2 x y 2,
5)
2 x 2 y 2 2 x y 4;
x 2 x 1 y ,
6)
y 2 y 1 x;
x y 3,
3 x 2 3 y 2 11x 7 y 10 0,
7)
8) y z 7,
2
2
x y 4 x 3 y 5 0;
z x 2;
y
z
x
2
,
x 2 y 2 16,
9) z x y 8,
10)
x y z 12;
x y 8;
x y 3,
11) 3
2
x x y 12;
x 2 y 2 5,
12)
y 6 y 4 x 2 80;
x 8 y 6 64,
13)
x 6 y 8 256;
( x y )(9 x ) 10,
14)
( x y )(12 y ) 20.
67
xy 1,
6. 1) yz 2,
zx 8;
( x y )( x 2 y 2 ) 9,
5)
( x y )( x 2 y 2 ) 5;
yz
6,
x
zx 3
4) ,
y 2
xy 2
;
z 3
x 2 xy y 2 21,
6)
y 2 2 xy 15 0;
x 2 5 xy 6 y 2 0,
7)
3 x 2 2 xy y 2 15;
2 x 2 xy y 2 28,
9)
x 2 3 xy 3 y 2 28;
x 2 xy 2 y 2 0,
8)
2 x 2 3 xy 5 y 2 0;
x 2 3 y 2 1,
10)
2 x 2 y 2 9;
x 2 y 3 x 3 y 2 12,
11)
x 2 y 3 x 3 y 2 4;
x 2 y 2 3,
12)
x 3 y 3 7( х у );
x 2 5 y 2 1,
13)
3 ху 7 y 2 1;
x 3 y 3 19,
14)
ху ( x y ) 6;
x 2 y 2 10,
15)
у 2 xy 6;
x y z 1,
17) xy yz zx 4,
3
3
3
x y z 1;
x 2 y 2 x y 8,
16)
x 3 у 3 x 2 y y 2 x 15;
x 2 xy y 10,
19)
х 2 xy y 2;
xy 2 x 2 y 5,
20) 2
2
х у 3 x 3 y 8;
( x y )( y z ) 1,
3) ( y z )( z x) 1,
( z x )( x y ) 4;
68
xy yz 3,
2) yz zx 10,
zx xy 9;
x y xy 5,
18) 2
2
х у xy 7;
x 2 y 2 17,
21)
x y ху 9;
( x 1)( y 1) 10,
22)
( x y )( xy 1) 25;
x 2 y y 2 x 20,
23) 1 1 5
x y 4;
x 2 y 2 2( x y ) 23,
24)
x 2 y 2 ху 19;
x y z 1,
25) x 2 y 2 z 2 1,
3
3
3
x y z 1.
7. Решить системы уравнений, применив замену переменных.
3 x 2 y 3 x y 2 3;
2 x y 1 x y 1;
1)
2)
2 x y 7;
3 x xy 4;
3
3 x 3 y 3;
xy ;
x y
3)
4)
4
xy 8;
x y 20;
x 2 x 3 xy 2 80;
5)
y 2 y 3 уx 2 5;
4 1 5 x 4 5 y 3;
6)
5 x y 11.
–С–
Решить уравнения.
8. 1) x3 – 2x2 – 9 = 0;
3) 2x3 – 3x2 +3x – 2 = 0;
5) x3 + 4x2 + 4x + 1 = 0;
7) 5x3 + 6x2 + 6x + 5 = 0;
2) 9x3 – 13x – 6 = 0;
4) x3 + 3x2 + 3x + 3 = 0;
6) 8x3 – 36x – 27 = 0;
8) x 3 ( 3 1) x 2 3 0;
9) x3 – 7x + 6 = 0.
9. 1) x4 + 2x3 – 6x2 – 7x + 12 = 0;
2) x4 + x2 + 4x – 3 = 0;
69
3) x4 – 4x2 – x + 2 = 0;
4) 2x4 + 7x3 – 12x2 – 38x + 21 = 0;
5) x4 – 22x2 – 5x + 2 = 0;
6) x4 – 2x2 + 8x – 3 = 0;
7) x4 – 2x3 + 3x2 – 2x –1 = 0;
8) x4 – x2 + 2x – 1 = 0;
9) x 4 2 3 x 2 x 3 3 0;
10) (x + 3)4 –3(x + 3)2 + 2 = 0.
10. 1) x3 – 6x2 + 15x – 14 = 0;
2) x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0;
3) x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0;
4) 4x4 + 4x3 + 3x2 – x – 1 = 0;
5) 24x3 – 10x2 – 3x + 1 = 0;
6) x3 – 1 = 0;
7) x2 + 8 = 0;
8) x4 + 1 = 0;
9) x5 – 1 = 0;
10) x5 + 32 = 0;
11) (x2 – 16x)2 – 2(x2 – 16x) = 63;
12) (x2 + x + 1)(x2 + x +2) = 12;
21
13) 2
x 2 4 x 6;
x 4 x 10
14) (x2 – 5x + 7)2 – (x – 2)(x – 3) = 1;
15) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 = 0;
16) (x2 – x + 1)4 – 6x2(x2 – x + 1)2 + 5x4 = 0;
17) (x + 3)3 – (x + 1)3 = 56;
18) (x – 3)4 + (x – 5)4 = 82;
19) x(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 15;
20) (x – 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19;
21) x2 + x + x–1 + x–2 = 4;
22) x4 + 5x3 + 2x2 + 5x + 1 = 0;
23) 2x4 + 3x3 – 4x2 – 3x + 2 = 0;
70
24) 15x5 + 34x4 + 15x3 – 15х2 – 34x – 15 = 0;
1 1
1
25) x 2 2 x 5 ;
2
x
x
26)
x 2 48
x 4
2 10 .
3 x
3 x
x 2 ( x a) y;
11. При всех а решить систему уравнений
y 2 xy 9ax.
12. При каких значениях параметра а
система уравнений
4
а( x 1) y 1 | x |;
имеет единственное решение?
2
x y 2 1
13. При каких значениях параметра а система уравнений
1
3
3
2
x ay ( a 1) ;
2
имеет решение, которое удовлетворяет урав
3
2
2
x ax y xy 1
нению х + у = 1?
14. При каких значениях параметра а система уравнений
| x 2 7 x 6 | x 2 5 x 6 12 | x | 0;
имеет ровно два решения.
2
x 2( a 2) x a( a 4) 0
71
7. ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
–А–
Решить уравнения.
3
2
;
x 3 x
2
1
4)
;
4 3x 5x 4
1. 1)
5
2
;
2 x 1 3x 2
3
2
5)
;
x 1 3( x 2)
2)
2x 1 4 x
;
3 x
x 1
5 x 3x 3
3)
;
2x 1 x 2
4
3
;
3x 1 2 x 5
2
3
6)
.
5 2 x 2( x 4)
3)
3x 2
2x
;
x 3 3x 1
2 x 3 4x 6
4)
.
x 4 5x 1
2. 1)
2)
Решить неравенства.
x2
0;
2x 3
3( x 2 4)
4)
0;
x 5
3. 1)
7)
4. 1)
72
x 8
0;
5 3x
( x 2)(3 2 x)
0;
x4
5x 1
0;
2 x
x3
5)
0;
2( x 2 7)
3x 7
8)
0.
x2
2)
2x 3
0;
3x 2
4 3x
6)
0;
2x 7
3)
2)
2( x 4)
0;
(3 x 2)(3x 2)
3)
(5 4 x )( x 2)
0;
3 x
4)
(4 3 x)
0;
(3 2 x )( x 5)
5)
x2 4
0;
( x 3)( x 1)
6)
( 2 x 3)(2 x 3)
0.
16 x 2
2
1;
x 3
1
4)
3;
2x 5
5. 1)
x3
1;
2x 8
2x 5
4)
2;
x3
2x 3
7)
1;
x
3 2x
10)
2;
4 x
6. 1)
3
1 ;
2x 1
2
5)
5;
3 x
2)
x5
1;
2x 6
3x 1
5)
3;
x4
3x
8)
2;
x3
3 x
11)
2;
x2
2)
4
2;
3x 2
3
6)
4 .
2 3x
3)
5x 8
2;
4x
x2
6)
2;
3x 2
3x 2
9)
1;
x 3
5x 8
12)
1.
2x 4
3)
–В–
Решить уравнения.
2 x 18
1;
2
x 13 x 36
3x 2
1
3)
;
2
3x x 2 2
7. 1)
3x2 5x
2
1
;
3x 2
2 3x
x2 4x
3
3)
1
;
x 3
3 x
8. 1)
x
1
2
2 ;
x 1 x 1 x 1
x3 x3
3
3)
;
3 x 3 x 9 x2
9. 1)
2)
x 2 2 x 15
2 ;
3x 9
4)
2 x 2 x 20
1.
2x 6
2 x 2 3x
1
1
;
2x 1
1 2x
2( x 1)
x3
4)
2x
.
x
x
2)
x
3
x2
2
;
2 x 6 x 6 x 9 3x 9
x6 x6
6
4)
.
6 x x 6 36 x 2
2)
73
3
2x 1
1
x
x
x2 2
2
; 2)
2
;
2 x 1 x 1 2 x 3x 1
x 1 x 2 x 3x 2
1
4
4
1
4
3)
2
;
4)
2
1;
x 3 x 1 x 2x 3
x 1 x 3x 2
10. 1)
5)
x2 1 3x 2
x3
3 2
.
x 1
x5
x 4x 5
2x 2
x2
x 1
2
2
;
2
x 36 x 6 x x 6 x
2
x4
1
2) 2
2
2
;
x 4 x 2x x 2x
x2 2
2x
1
3) 3
0;
2
x 1 x x 1 x 1
1
6x 1
13x 14
4)
2
3
.
x 2 x 2x 4
x 8
11. 1)
2x
15 32 x 2
3x
;
2
2x 3
2x 3
4x 9
3x
28 53x
4x
2)
2
;
2 x 5 4 x 25 2 x 5
6
12
1
3) 2
2
;
x 2x x 2x x
27
2
3
4) 2
2
.
x 3x x x 3x
12. 1)
10
50
2
6
5 2 x 6(2 x 5)
2
; 2) 1
2
;
x 1 x 7 x 8x 7
x3 x x6 x2
1
1
1
1
1
1
1
1
3)
;
4)
.
x 2 x 4 x 1 x 3
x 2 x 1 x 4 x 3
13. 1) 1
14. 1)
74
x5 2 x 4
16 16 x
2
0;
2
x 3x 2 x 2 x 1
2)
x5 2 x 4
x 1
2
.
2
x 3x 2 x 2 x 1
Решить неравенства.
15. 1)
x 2 3x
0;
5x 3
( x 2)( x 2 2 x 1)
0;
4 3x x 2
( x 1)( x 2)( x 3)
5)
0;
( x 1)( x 2)
3)
7)
9)
( x 2 x 2 5) x 2
( x 2 4)
( x 8)( x 2 6 x 9)
0;
x4
5
0;
3 2x x2
x 2 2x 3
4)
1;
x2 1
16. 1)
( x 2) 2
0;
( x 3)( x x 2 1)
0;
x 2 2x 1
( x 2 x 5)( x 2)
6)
0;
( x 1) 2
4)
8)
0;
( x 3 27)( x 2 3 x 2)
0;
x2
11)
x2 4x 3
2)
( x 3 8)(1 x) 2
0;
x 2 5 x 14
( x 1)( x 2 4 x 4)
0;
5 x
2 1
2
x ( x 2)
9
12)
0.
1
3
x
27
10)
2 2x
12 x 6
1;
3) 2
2;
2
x 3x
x x 1
2 x2 5x 7
5)
3.
x 5
2)
17. Найти наименьшее целое решение неравенства.
2x 1
3x 9
2x 4
1)
3x 4;
2)
x 7;
3)
x 2;
x4
2x 9
x 3
2x 4
8 2x
1
4)
x 2;
5)
.
x 3
4x 5
2
Решить неравенства.
18. 1)
4 x
1
;
x 5 1 x
2) x 3
1
;
x 1
3)
1
1
;
5 3x 2x 1
75
4)
2
4 3x
;
2x 1 x 2
5) 4
1
x;
2 x
x 3 x 2
;
x 2 x 1
8 4x 2
3
3) 2
;
x 4x x x 4
19. 1) 2
5)
x
x
2
;
x 7 x 12 x 3x 2
2
6)
8 x 31
9
.
x 7 1 x
2 x 17 x 5
;
x 5
x2
2
1
2x 1
4) 2
3
;
x x 1 x 1 x 1
x2
x
6) 2
2
.
x 2 x 1 x 2x 3
2) 3
15
0;
x x 1
1
1
1
2) 2
2
.
x 2x 2 x 2x 3 6
20. 1) 2 x 2 2 x 1
21. 1)
3)
2
5x 4
1
;
5x 6x 1 x 2
2
x 5 2
1
0;
x 5 2 x 1 x 10
55
11 5
x2 x
23
6
138
22. 1)
0;
3x 5
10
1
6x
3)
.
x 3 3 x x 5
2)
1
1
;
( x 4)( x 2) ( x 4)(3 x)
4)
x3 1
1
0.
x 4 3x 2 3x 6
2)
1
( x 1)( x 3);
3
1
x 1 x 3
1
1 x 1
1 0;
2)
:
4 x 3 x 2 1
x3 3
23. 1)
76
5
1
2x
;
4 x x4 7 x
1
1 x 2
3)
1 0.
:
2 x3 x 3 1
x2 2
24. Решить системы неравенств.
x 2 11x 24 0;
1)
2)
x 8
0
;
( x 2)( x 4)
x 2 12 x 32 0;
1
( x 1)( x 5)( x 8) 0.
–С–
Решить уравнения.
2x
3x
7
2
;
x 2x 5 x 2x 5 8
x
4x
3
2) 2
2
.
x 3x 3 x 3 x 3 7
25. 1)
26. 1)
3)
2
x 3
1;
| x 2 | 1
5 x 2 | 3x 6 | 8
0;
| x | 2
2)
4 x 2 | 2 x 5 | 3
0;
2 | x | 1
4)
|| x 1 | x | 3
1.
| x 6 | 1
x 2 48
x 4
2 10 .
3 x
3 x
27. 1) x 2
1 1
1
x 5;
2
2
x
x
2)
28. 1) x 4
11x 6
;
6 x 11
2) x 5
29. 1) x 2
25 x 2
( x 5) 2
11;
2) x 2
133 x 78
.
133 78 x
4x2
( x 2) 2
12;
77
3) x 2
x2
( x 1) 2
4) x 2
8;
9x2
( x 3) 2
7.
Решить неравенства.
2x
3x
1
2
;
4 x 3x 8 4 x 6 x 8 6
2x
3x
7
2) 2
2
.
x 2x 5 x 2 x 5 8
30. 1)
31. 1)
2
x 2 | x | 2
2
x2
0;
x 3 | x | 4
| x 4 | 1
4) 2
0.
x 10 x 16
2)
0;
x | x | 6
| x 1 | 2
3) 2
0;
x 9 x 14
32. 1)
| x 2 | x
2;
| x 3 | 1
33. 1)
2x 1
2;
x 1
2)
4)
x3
1;
x 27
5)
2)
2
| x 3 | 1
1.
2 | x 4 | 4
x4
1;
x2
x 2 3x 2
x2 3x 2
3)
1;
6)
34. Решить уравнения.
2x
x
b2
1)
;
x b b x 2( x 2 b 2 )
2)
x 2 m 2 2m 2 x 2 xm m x 2m(3x m)
.
xm m x
x 2 m2
x 2 m2
35. При каком значении параметра b уравнение
2b 2 x 2
2x
1
0
3
3
2
2
xb
b x
bx b x
имеет единственное решение?
78
3
1
;
5 x 2
x2 5x 4
x2 4
1.
36. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.
x 2 (3a 1) x 2a 2 2
1)
0;
x 2 3x 4
x 2 (3a 1) x 2a 2 3a 2
2)
0.
x2 6x 5
37. Решить неравенства при всех значениях параметра.
( 2 x b)(b x 2 )
( x b)( x 1)
1)
0;
2)
0;
x 1
x2
2a 1
x
3)
.
( a 3)( x 2) x 2
38. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
x 2a 3
0 выполнимо при всех х [1; 2].
xa3
39. Решить неравенства при всех значениях параметра а.
1
1
1
1) ax ;
2)
.
x
xa x2
40. При каких значениях параметра а неравенства выполняются
при всех х ℝ?
x 2 ax 2
1)
3;
x x2 1
3)
x 2 ax 1
x2 x 1
2) 6
2 x 2 ax 4
4;
x2 x 1
3.
41. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
x2 a2
1 выполняется для всех х (–1; 1).
6( a x)
79
8. ПРЯМАЯ, ОКРУЖНОСТЬ, ПАРАБОЛА,
ГИПЕРБОЛА
8.1. Прямая на плоскости
–А–
1. На плоскости построить прямые, соответствующие уравнениям:
1) у = 2(х – 3);
2) х = 2у – 3;
3) х – 2 = 0;
x
y
4) у + 3 = 0;
5) 2х – 3у + 1 = 0;
6)
1;
4 2
x 2t 2,
x2 y 4
7) 5х + 2у – 3 = 0;
8)
7)
.
3
2
y t 7;
2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2; –1):
1) параллельной прямой 2х + у – 5 = 0;
2) перпендикулярной прямой х – 2у + 1 – 0;
3) проходящей через начало координат;
4) параллельной биссектрисе первого квадрата.
3. Найти площадь треугольника, ограниченного прямой l и осями
координат:
1) 2 х 3 у 5 0 ;
2) 3х + у + 12 = 0;
3) х – у + 6 = 0;
4) 5х – 12у + 60 = 0;
5) х + 2у = 12.
4. Найти значения параметра а, при которых прямые х + 2у = а и
ах + у = 1 не пересекаются и не совпадают.
5. Найти пересечение прямых.
1) х – у + 1 = 0, х + у – 5 = 0;
2) 3х + у – 4 = 0, 6x – y + 13 = 0;
3) 20x – y – 18 = 0, 32x + 15y + 21 = 0;
4) 2x + 6y – 7 = 0, y – 4x – 2 = 0;
5) 3x + 7y – 15 = 0, 9x + 21y + 11 = 0;
6) 2x + 7y = 0, x – 5y = 0;
80
7) 3x + 12y – 7 = 0, 3x – 9y + 7 = 0;
8) x – 5y – 3 = 0, 2x + 15y – 1 = 0;
9) 8x – 3y – 1 = 0, 4x + y – 13 = 0;
10) 5x – 2y + 10 = 0, y = 5 х 5 .
2
6. Написать уравнение прямой, проходящей через две точки:
а) общее; б) с угловым коэффициентом.
1) А (1; –3), В (–2; 6);
2) Р (–2; –2), Q (7; 1);
2
1
3) C ;1, D 1; ;
4) M1 (0; 5), M2 (–1; 0);
3
4
5
5) L ;2 , K 2;4;
6) R (4; 1), S (–2; 1);
2
7) T (–2; 3), Q (–2; –1);
8) A (–3; 1), B (1; 2);
9) O (0; 0), M (2; 3);
10) E (–2; –1), G (3; 5).
7. Проверить, проходят ли три данные прямые через одну точку.
1) 3x – y – 1 = 0, 2x – y + 3 = 0, x – y + 7 = 0;
2) x + 3y – 1 = 0, 5x + y – 10 = 0, 3x – 5y – 8 = 0;
3) 3x – y + 6 = 0, 4x – 3y – 5 = 0, 2x – y + 5 = 0;
4) 5x – 3y – 15 = 0, x + 5y – 3 = 0, 3x + y + 5 = 0.
8. Провести через точку А прямую: а) параллельную и б) перпендикулярную данной прямой.
1) А (2; 1), 2x + 3y + 11 = 0;
2) А (–1; 3), x – 2y – 8 = 0;
3) А (–2; 3), x cos y sin 1 0;
5
5
4) A (4; –1), 4х + 3у + 7 = 0;
x y
5) A (–3; 7),
1.
3 7
9. Определить, лежат ли данные точки на одной прямой.
1) A (1; –4), В (–2; –13), С (3; 1);
5
2) A (0; 2), В (4; –1), С 6; ;
2
81
3) A (–2; 4), В (4; 7), С (6; 8);
4) A (3; –11), В (7; 3), С (7; 8);
5) A (–1; 2), В (–5; 2), С (3; 2);
6) A (4; –4,5), В (19; –2), С (7; 1);
7) A (3; –4), В (–3; 6), С (6; –10);
3
8) A (–1; 4), В ;4 , С (1; 0);
2
1
5
9) A (3; 3), В 1;2 , С 5; ;
3
3
8
10) A (4; 2), В 5 ;
, С (1; –4).
5 3
–В–
10. Найти площадь области, ограниченной осью абсцисс и линией с уравнением (х – 2у – 5)( х – у – 3) = 0.
11. Найти расстояние от начала координат до прямой 3х + 4у + 5 = 0.
12. Найти расстояния от точки А до прямой l.
1) А (4; – 2), l: 8х – 15у – 11 = 0;
2) А (2; 7),
l: 12х + 5у – 7 = 0;
3) А (–3; 5), l: 9х – 12у + 2 = 0;
4) А (–3; 2), l: 4х – 7у + 26 = 0;
5) А (8; 5),
l: 3х – 4у – 15 = 0.
13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (1; –2)
и удаленную от начала координат на расстояние 1.
14. Написать уравнение прямой, которая вместе с осями координат
ограничивает треугольник площади 4 и проходит:
1) параллельно прямой х + 2у + 3 = 0;
2) через точку А (2; 1);
3) перпендикулярно прямой 2х – у + 2 = 0;
4) на расстоянии 2 от начала координат.
82
15. Найти точку, которая делит отрезок, соединяющий точки А и
В, в заданном отношении, считая от точки А.
1) А (3; 7), В (5; –1), пополам;
2) А (–2; 1), В (–8; 4), в отношении 2 к 1;
3) А (7; 5), В (10; –7), в отношении 1 к 2;
4) А (–8; –4), В (2; –19), в отношении 3 к 2;
5) А (3; 6), В (–11; 10), в отношении 3/2 к 2.
16. При каком значении а прямая ах + у = 3 проходит через середину отрезка [A; B], где А(1; 3) и В(3; –1)?
17. При каком значении а прямая
а
х (3а 2 5а 2) у 3 паа 1
раллельна оси 0у?
18. При каком значении а прямая ах + (2а + 3)у = 1 отсекает на
осях координат отрезки равной длины?
19. При каких значениях а прямая (а + 2)х + ау = 1 перпендикулярна прямой 3х – 2у = 2?
20. При каких значениях а прямая (а2 + 5а)х + (3а + 2)у = 2 не
проходит через точку А(–1; 2)?
21. При каких значениях а прямая ах – (а + 1)у + (а + 1) = 0 пересекает отрезок [А; В], где А (3; 2) и В (1; 4)?
22. При каких значениях а прямая ах –у – 3а – 1 = 0 не пересекает
первую четверть координатной плоскости?
23. Прямая у = а + bx симметрична прямой у = 2х – 4 относительно начала координат. Найти а + b.
24. При каких значениях а прямая х – 2у + а = 0 пересекает квадрат: –1 х 2, 0 у 3?
25. При каких значениях а прямая ах –у – а – 3 = 0 не пересекает
квадрат: –1 х 2, 0 у 3?
83
26.
Две
пары
параллельных
прямых
x 3 y 4 0,
x 3 y 12 0
и
x y 0,
ограничивают на плоскости параллелограмм. Найти
x y 4 0
его площадь.
27. Прямая у = ах + b симметрична прямой у = 2(х – 1) относительно прямой у = х. Найти 2а + b.
–С–
28. Прямая у = ах + b симметрична прямой у = 2х – 4 относительно точки А (1; 1). Найти аb.
29. При каком значении а точка пересечения прямых у = 2х + а и
у = 3а – х лежит на прямой х + 2у = 16?
30. Прямая ах – у + 2 = 0 отсекает в первой четверти координатной плоскости треугольник. При каком значении а площадь треугольника минимальна?
31. Область на плоскости ограничена параллельными прямыми,
касающимися единичной окружности с центром в начале координат, прямой у = – и дугой окружности между точками касания.
Найти наименьшее возможное значение ее площади.
32. Написать уравнение прямой, на которой лежат решения сис y 3 x a,
темы
при всех а.
y 2 x 2a 2
33. Числа а, b и с удовлетворяют условию: прямая ах + by + с = 0
касается окружности х2 + у2 = 1. Найти наибольшее возможное знаab
чение величин
.
c
84
8.2. Окружность и прямая
–А–
34. Написать уравнение окружности:
1) с центром в точке О (–1; 2) радиусом 4;
2) с центром в точке О (3; –4), проходящей через начало координат;
3) для которой отрезок [A; В], где А (1; 3) и В (–3; 5) является ее
диаметром;
4) с центром в точке О (1; 3), касающейся окружности
( x 4) 2 ( y 7 ) 2 1 ;
5) с центром в точке О (–1; 2), касающейся прямой х + у – 4 = 0.
35. Написать уравнение окружности:
1) с центром в точке Q (3; – 5) радиусом 3;
2) с центром в точке Q (–8; 15) и проходящей через точку (0; 30);
3) для которой отрезок [А; В], где А (4; –7) и В (–2; 1) является
диаметром;
4) с центром в точке О (5; 3), касающейся окружности
(х + 1)2 + (у – 2)2 = 4;
5) с центром в точке Q (5; 10) и касающейся прямой 3х – 4у = 0.
36. Найти координаты центра и радиус окружности:
1) х2 + у2 – 4х + 2у + 1 = 0;
2) 4х2 + 4у2 – 4х + 4у + 1 = 0.
37. Записать уравнение окружности в нормальном виде (x – x0)2 +
+ (y – y0)2 = R2 :
1) x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0;
2) x2 + y2 + x + 2y – 1 = 0;
3) x2 + y2 + 3x – 7y – 3 = 0;
4) x2 + y2 + 2x – y = 0;
2
5) x2 + y2 + 6x – 8y + 25 = 0;
6) x2 + y2 – 6x + 8y + 50 = 0.
38. Построить линии, координаты точек которых удовлетворяют
уравнениям.
1) у 1 х 2 ;
2) у 4 х 2 ;
85
3) x 9 y 2 ;
4) x 25 y 2 ;
5) у 1 9 х 2 ;
6) x 3 16 y 2 ;
7) у 2 4 х 2 ;
8) x 3 25 y 2 ;
9) у 5 12 4 x х 2 ;
10) x 4 16 6 y y 2 .
39. Прямая х–7у+35=0 пересекает окружность (х–11)2+
+(у–3)2 = 25 в точках А и В. Найти длину хорды АВ.
40. Окружности (х – 1)2 + (у – 1)2 = 36 и (х – 7)2 + (у + 7)2 = 64 пересекается в точках А и В. Найти длину хорды АВ.
–В–
41. Написать уравнение окружности, проходящей через точки
А (4; 6), В (7; 3) и касающийся оси Ох.
42. Найти пересечения линий.
1) х2 + у2 – 8х – 4у + 11 = 0, х2 + у2 + 2х + 6у – 19 = 0;
2) х2 + у2 – 4х – 14у + 33 = 0, х2 + у2 + 2х + 4у – 45 = 0;
3) х2 + у2 – 4х + 2у = 0, х2 + у2 – 2х + 6у – 10 = 0;
4) х2 + у2 – 8у = 0, х2 + у2 – 2х + 6у + 1 = 0;
5) х2 + у2 – 4х – 3у – 4 = 0, х2 + у2 – 2х – 2у – 3 = 0;
6) х2 + у2 + 6х + 2у – 7 = 0, х2 + у2 + 2х – 2у – 11 = 0;
7) х2 + у2 – 4х + 6у + 4 = 0, х2 + у2 – 6х + 4у + 10 = 0;
8) х2 + у2 + 8х – 2у – 13 = 0, х2 + у2 + 4х – 4у – 7 = 0;
9) х2 + у2 + 2х + 8у + 16 = 0, х2 + у2 + 10х + 32 = 0;
10) х2 + у2 – 8х – 4у + 15 = 0, х2 + у2 – 4х – 2у – 15 = 0.
43. Определить, как расположена прямая относительно окружности. Найти точки пересечения, если линии пересекаются.
1) х – у – 4 = 0, х2 + у2 + 2х – 4у – 20 = 0;
2) у = х + 9, х2 + у2 = 4;
3) 3х – 4у + 30 = 0, х2 + у2 = 36;
4) 2х – у – 3 = 0, х2 + у2 – 3х + 2у – 3 = 0;
5) х – 2у + 5 = 0, х2 + у2 = 36;
86
6) х – у – 5 = 0,
х2 + у2 + 2х – 4у – 20 = 0.
44. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки.
1) A (2; –3), В (2; 3), С (10; –3);
2) Р (0; 1), Q (2; 0), R (3; –1);
3) D (2; 1), E (3; 2), F (–1; –2);
4) L (–5; 6), M (–1; –2), N (2; 7);
5) A (–5; –1), В (–3; 3), С (1; 5);
6) S (–3; 4), T (1; 8), U (5; 4).
45. Вычислить, на каком расстоянии от окружности лежит точка А.
Определить, лежит ли она внутри окружности, снаружи окружности
или на окружности.
1) A (–4; 3), х2 + у2 = 1;
2) A (3; –1), х2 + у2 = 16;
3) A (–4; 3), х2 + у2 + 8х + 4у – 5 = 0;
4) A (–7; 2), х2 + у2 – 10х – 14у – 151 = 0;
5) A (–1; 7), х2 + у2 – 4х – 2у – 20 = 0;
6) A (–6; 2), х2 + у2 + 6х + 2у – 26 = 0;
7) A (25; 1), х2 + у2 – 26х + 8у + 16 = 0;
8) A (–8; 3), х2 + у2 + 10х – 2у + 10 = 0;
9) A (–9; 9), х2 + у2 – 6х – 8у = 0;
10) A ( 5 ; 11), 4х2 + 4у2 – 20х – 4у – 199 = 0.
2
46. Написать уравнения линий, точки которых отстоят от данной
окружности на расстоянии d.
1) х2 + у2 = 9, d = 1;
2) х2 + у2 – 4х + 2у – 11 = 0, d = 1;
3) х2 + у2 = 1, d = 2;
4) х2 + у2 + 6х – 14у + 54 = 0, d = 2;
5) х2 + у2 + 3х – 4у + 18 = 0, d = 1/2;
6) 2х2 + 2у2 – 6х – 14у + 21 = 0, d = 0.
47. Написать уравнение окружности радиуса 2, касающейся оси
3
0х и прямой у х .
4
87
48. При каких значениях окружность (х – 14)2 + (у – 7)2 = а2 касается окружности (х – 2)2 + (у – 2)2 = 4?
49. Найти радиус окружности с центром в точке О (1; 3), касающейся прямой 4х – 3у + 15 = 0.
50. Найти диаметр окружности, касающейся двух прямых:
l1: 3x – 4y – 1 = 0; l2 : 3x – 4y + 9 = 0.
51. Найти сумму целых значений параметра а, при которых прямая х + у – 6 = 0 пересекает окружность (х – а)2 + (у – 2а)2 = 18.
52. Найти наименьшее целое значение параметра а, при котором
прямая х + у = 2 не имеет с окружностью (х + 2а)2 + (у – а)2 = 18
общих точек.
53. Прямая 3(х – 5) + 4(у – 1) = 0 касается окружности (х – 2)2 +
+(у + 3)2 = 25. Прямая 3х + 4у + с = 0, с –19, также касается этой
окружности. Найти значение параметра с.
54. Найти значение параметра а, при котором точка пересечения
прямых у = х + а и у = 2а – х лежит на окружности х2 + у2 = 25.
8.3. Парабола и прямая
–А–
55. Постройте цепочку графиков функции или уравнений:
1) а) у = –х2; б) у = –(х + 1)2; в) у = 4 – (х + 1)2; г) у = х2 + 2х – 3;
2) а) у = х2– 5х + 6; б) у = х2 – 5|x| + 6; в) y = |x2 – 5x + 6|;
г) | y || x 2 5 x 6 | .
3) а) у = х2 + х – 2; б) у = х2 – х –2; в) у = 2 + х – х2;
г) |y| = 2 + x – x2.
56. Пусть f(x) = –x2 – 3x + 4. Какие значения не принимает функция?
1) у = f(x);
2) y = –f(–x);
3) y = f(|x|);
4) y = –f(–|x|).
88
57. Найти точки пересечения параболы у2 = 18х с данными прямыми.
1) 6х + у – 6 = 0;
2) 9х – 2у + 2 = 0;
3) 4х – у + 5 = 0;
4) у – 3 = 0.
58. Найти уравнение касательной к параболе у2 = 12х:
1) в точке с абсциссой х = 3;
2) параллельно прямой 3х – у + 5 = 0;
3) перпендикулярно прямой 2х + у – 7 = 0.
59. Через точку (–7; 5) провести касательную к параболе х2 = 8у.
60. Построить параболы.
1) у2 – 10х – 2у – 19 = 0;
3) у2 + 8х – 16 = 0;
5) у = х2 – 8х +15 = 0;
2) у2 – 6х + 14у + 49 = 0;
4) х2 – 6х – 4у + 29 = 0;
6) у = х2 + 6х.
–В–
61. При каких а парабола у = х2 + 2х + а не имеет общих точек на
оси 0х?
62. При каких а парабола у = х2 – х + а имеет общие точки с прямой х + у = 5?
63. Найти наименьшее возможное значение радиуса окружности,
касающейся оси 0х и параболы у = х2 – 4х + 8.
64. Написать уравнение касательной к параболе у = х2 – 3х + 2 в точке ее пересечения с осью 0у.
65. Найти наибольшую ординату точек на параболе
у = –4х2 + 3х + 2.
66. Найти наибольшую и наименьшую ординату точек на параболе
у = 3х2 – 6х + 2 с абсциссами х [0; 3].
67. Написать уравнение параболы, симметричной относительно прямой х = 2 и проходящей через точки А (3; 1) и В (–1; 2).
89
68. Написать уравнение параболы, симметричной параболе
у = –х2 + 3х – 2 относительно: 1) оси 0х; 2) оси 0у; 3) точки А (2; –3).
69. При каких а парабола у = а2х2 – (2а – 1)х – 3а проходит через
точку А (1; 3)? В ответе указать сумму таких а.
70. Функция f(x) = x2 + 2x – 8. Найти абсциссу вершины параболы у = f(х – 2).
71. Функция f(x) = x2 + x – 2. Найти абсциссу точек пересечения
параболы у = f(х – 2) и прямой у = х – 3. В ответе указать их произведение.
72. Парабола у = f(x) = ax2 + bx + c имеет вершину с абсциссой х =
2. Найти абсциссу параболы у = f(2x – 6).
73. Найти произведение абсцисс точек пересечения двух парабол: у = ax2 + bx + c и у = сx2 + bx + а.
74. Парабола у = x2 + bx + c, b > 0, касается оси 0х и пересекает ось
0у в точке А (0; 16). Найти b + c.
75. Парабола у = х2 + bx + c симметрична параболе у = х2 + 2х – 8 относительно оси 0у. Найти b + c.
76. Парабола у = ах2 + bx + c симметрична параболе у = х2 – 4х + 3
относительно начала координат. Найти а + b + c.
77. Точки А, В – точки пересечения параболы у = –х2 + 4х – 3 и оси
0х. Точка С – вершина параболы. Найти площадь треугольника АВС.
78. Параллельный перенос параболы у = х2 – 2х выполнен так, что
ее вершина переместилась в точку А (2; –2). Найти сумму абсцисс точек пересечения измененной параболы с осью 0х.
79. Парабола у = (х – 3)(ах + b) проходит через вершину параболы
у = 3 + 2х – х2. При каких значениях а парабола пересекает полуось
(3; +)?
80. При каких значениях а парабола у = ах2 – (а – 1)х + (а + 3) касается прямой у = х? В ответе укажите сумму таких а.
90
81. Парабола у = ах2 + bx + c имеет вершину b в точке А (2; 3) и пересекает ось 0у в точке А (0; –9). Найти сумму абсцисс точек пересечения параболы с осью 0х.
82. Парабола у = х2 + bх + с касается оси 0х. Найти наименьшее возможное значение величины b + c.
83. Парабола у = ах2 + 2x + c, a > 0, касается оси 0х. Найти наименьшее возможное значение величины а + с.
84. Парабола у = ах2 + bx + c симметрична относительно прямой х =
1 и пересекает ось 0у в точке А (0; –4). Найти наименьшее возможное
значение величины а2 + b – с.
85. Вершины равностороннего треугольника АВС лежат на параболе y 4 3 ( x 2) 2 1 , причем точка А совпадает с вершиной параболы. Найти площадь АВС.
86. Прямая у = 2х – 1 касается параболы у = х2. Известно, что прямая у = ах + b перпендикулярная этой прямой и также касается параболы. Найти а/b.
87. Точки А, В и С являются точками пересечения параболы у =
=2(х2 – 4х + 3) с осями координат. Найти площадь треугольника
АВС.
88. Из точки А (0; 2) проведены две касательные к параболе у =
= 1 – х2, которые вместе с осью 0х ограничивают треугольник на
плоскости. Найти его площадь.
89. Параболы у = 1 – 4х – х2 и у = х2 + bx + с имеют одну вершину. Найти bc.
90. Параболы у = х2 – 4х + 3 и у = ах2 + bx + с пересекает ось 0х в
одних и тех же точках. Найти значения а, при которых расстояние
между их вершинами равно 2. В ответе указать сумму таких а.
91. Параболы у = –(х – 1)2 + 4 и у = –а(х –1)2 + 4, а 1, а > 0, пересекает ось 0х в точках с абсциссами х1, х2, х3, х4. При каких а эти
числа являются последовательными членами арифметической прогрессии? В ответе указать произведение таких а.
91
92. Задано семейство парабол у = х2 + (а – 1)х + 5 – а. При каком а
ордината вершины парабол максимальна?
93. При каких а парабола у = (а – 2)х2 + (а – 3)х – 1 не имеет точек в первой четверти (х > 0, y > 0)? В ответе указать наибольшее
целое а.
94. При каких а парабола у = а – х – х2 имеет с отрезком [–1; 2] на
оси 0х общие точки?
95. При каких а прямая у = х + 1 касается параболы у = х2 + 2х + а.
96. При каких а парабола у = 2 + х – х2 касается прямой у = ах + 3.
В ответ указать сумму таких а.
97. Найти наибольшее значение радиуса окружности с центром
на положительной полуоси 0у касающей параболы у = х2 в ее
вершине.
98. Пусть (х0; у0) координаты центра окружности, причем у0 <
<4х0 – х02 . Найти наибольшее возможное значение радиуса этой
окружности, если она касается параболы у = 4х – х2 и оси 0х.
99. При каких а парабола у = ах2 + 4х + а – 3 пересекает положительную полуось 0х?
100. Прямая у = 1 – х вместе с параболой у = (х + 1)2 ограничивают на плоскости область D. Найти ее площадь.
101. Написать уравнение касательных, проведенных из точки
А (1; –1) к параболе у = х2 – 4х + 6.
–С–
102. Прямая у = а(х – 1) + 2 и парабола у = х2 ограничивают область на плоскости. При каком а ее площадь минимальна.
103. При каком а параболы у = а + (х + 1)2 и у = –(х – 1)2 имеют
единственную общую точку?
92
104. Найти координаты наименее удаленной от начала коорди( 2 х 3) 2
нат точки на параболе у
.
2
105. Написать уравнение кривой, на которой лежит вершина парабол у = х2 – (а + 3)х + 3а при всех а.
8.4. Гипербола
–А–
106. Построить цепочку графиков функций или уравнений.
1
1
1
x 1
| x | 1
1) а) у ; б) у
; в) у
1
; г) у
;
x
x2
x2
x2
| x | 2
1
1
1
1
2) а) у ; б) у 2 ; в) у 2
; г) у
;
x
x
x 1
| x | 1
2x 3
; б) у
x 1
x2
4) а) у
; б) у
3 x
3) а) у
2x 3
2 | x | 3
2x 3
; в) у
; г) | у |
;
x 1
| x | 1
x 1
2 x
x2
x2
; в) у
; г) у
.
3 x
x 3
x3
107. Какое значение не принимает функция у
3x 5
?
x 1
ax b
убывает в каждой
cx d
точке области определения? Справедливо ли утверждение: дробно-линейная функция монотонна на области своего определения?
108. При каких а, b, с и d функция у
109. При каких значениях а прямая х = а не пересекает гиперболу
x3
у
?
3x 2
110. При каких значениях а уравнение а(х – 2) = 2х – 3 не имеет
решений?
111. Сколько решений имеет уравнение а(х + 3) = 4х – 5?
93
112. При каких значениях а гипербола у
аx 1
не пересекаx а2 1
ет ось 0у?
113. При каких значениях а гипербола у
( а 2) x а
не переа2 1 х
секает ось 0х?
x2
, в которых
1 x
касательная параллельна прямой у = –х + 1. В ответе указать их
сумму.
114. Найти абсциссы точек на гиперболе у
115. Написать уравнение гиперболы, симметричной гиперболе
x2
у
относительно начала координат.
x 3
116. Прямая у = 2х – 6 пересекает гиперболу у
x2
в точках
x3
А и В. Найти длину отрезка [А; B].
–В–
117. М1 и М2 – две точки, расположенные на разных ветвях ги2x 3
перболы у
. Найти наименьшее возможное значение длины
x2
отрезка [M1; M2].
118. Написать уравнение касательных к гиперболе у
x 1
, поx2
ходящих через точку А (–1; 2).
119. Найти минимальный радиус окружности, которая может ка2x 3
саться обеих ветвей гиперболы у
.
x3
94
120. При каких а прямая у = х + а не имеет с гиперболой
x 1
у
общих точек?
x2
121. При каких значениях а прямая х + у – а = 0 пересекает ги3 x
перболу у
?
x2
а2 x 1
симметричxа2
ные относительно биссектрисы первого квадранта (или первой четверти)?
122. При каких значениях а гипербола у
123. Написать
2( x 2)
у
.
x 1
уравнение
осей
симметрии
гиперболы
124. Из точки М (2; –1) проведена касательная к гиперболе ху = 1.
Найти площадь треугольника, ограниченного этой касательной и
осями координат.
–С–
125. Найти значения параметра а, при которых окружность
17
( х а) 2 ( у а) 2
касается гиперболы ху = 1.
4
126. Касательная к гиперболе ху = 1 ограничивает вместе с осями координат треугольник АВС. Найти наименьшее значение его
периметра.
95
9. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
9.1. Иррациональные уравнения
–А–
Решить уравнения.
1. 1) 2 x 3 1;
2)
6 x 2;
3)
3 x 1 5;
4 x 5 3;
5)
7 2 x 1;
6)
3 x 8 4;
7) 1 3 x 0;
8)
4 x 3 5;
9)
7 3 x 2;
4)
2 x 4 5;
10)
11)
3 x 1 7;
12) 1 4 x 3.
x 2 3x 6 2;
2)
4 x x 2 5 3;
3)
7 x x2 6;
4)
3 x 2 x 5 15 ;
5)
7 2 x 2 5 x 2;
6)
4 x2 5x 6 ;
7)
2 x 2 3x 5 5;
8)
7 x 3 x 2 2;
2. 1)
3. 1)
3
4)
4
7)
6
2 x 5 3;
3 2 x 3;
3 x 2 2;
2)
3
5)
3
5 x 4 1;
8)
4
x 4 5.
3 x 4 2;
3)
3
3 x 1;
6)
4
2 x 6 2;
–В–
Решить уравнения.
4. 1)
4)
| x | 2 5;
2)
4 | x 3 | 9 7;
5. 1) ( x 2 4) x 1 0;
96
| 2 x | 6 5;
3)
7 3 | x 1 | 2;
5) 13 2 | x 1 | 3.
2) ( x 2 5 x) x 3 0;
3) (2 x 13) 4 x x 2 0;
5) ( x 2 2 x 15) 6 x x 2 0;
4) 5 2 x x 2 x 20 = 0;
6) (2 x x 2 ) x 2 2 x 3 0;
7) (4 x x 2 21) 5 3x 0;
6. 1)
3)
8) (3x 2 5 x 28) x 2 0.
2x 3 x 2;
2)
3x 2 x 6 ;
4 x 1 3 5x ;
4)
x2 5x 1 x 4 ;
5) 1 4 x x 2 x 2 5 x ;
6) x 2 3x 2 5 x 3 x 2 12 ;
7)
7. 1)
3)
3x2 2x 5 5x 2 2 x 7 .
5 x x 3;
2)
35 5 x 2 x 9;
6 x 7 4 x 7;
4)
8 2 x 2 x 12;
5) x 2 x 115 14;
6) 2 x 4 x 53 5;
7)
35 20 x 7 ( x 2) 0;
8)
6 x 2 x 3.
9 5 x 2 x 2 3 x;
2)
2 x 2 2 x 24 x 4;
3)
x 2 x 30 2 x 10;
4)
2 x 2 2 x 9 x 12;
5)
x 2 2 x 8 4 x;
6)
3 x 2 2 x 8 2 x 16;
7)
2 x 2 8 x 7 x 2;
8)
3 x 2 2 x 2 x 1.
8. 1)
9. 1) x 2 5 x 3 x 2 5 x 2 2;
2)
2 x 2 5 x 12 2 x 2 5 x;
3) 2 x 2 3x 5 2 x 2 3x 9 3 0;
4)
x 2 20 x 2 22;
5) 4 x 2 3 x 6 18 3 x x 2 ;
6) (2 x 1)( x 2) 2 x 2 5 x 1 3;
7) ( x 4)( x 1) 3 x 2 5 x 2 6;
97
8) ( x 1)( x 3) 3 x 2 6 x 23 6;
9)
2 x 2 4 x 5 10 3x 2 6 x;
10) 2 x 2 2 x 28 x 2 28 x 31 9.
x 2 2 x 1 x 2 4 x 4 5;
10. 1)
2)
x 2 6 x 9 x 2 2 x 1 2;
3)
4 x 2 4 x 1 4 x 2 20 x 25 6;
4)
x 2 10 x 25 x 2 6 x 9 8;
11. 1)
4
x 1 2 x 1 3;
2) 2 1 x 34 1 x 2 0;
3) 36 3 x 2 3 3x 2 2;
4) 44 2 x 6 3 2 x 6 32;
5) 3 5 4 x 6 5 4 x 6;
6) 44 7 x 3 3 7 x 3 1 0.
12. 1) 2 (2 x 1) 2 ( 1 2 x ) 4 15 0;
2)
(3x 4) 4 2( 4 3x ) 2 8;
3)
( x 3) 2 3 ( x 3)3 0;
4) 3 (2 x 3) 2 23 (2 x 3) 3 5;
5) 5 (5 3x) 2 23 (5 3x )3 21.
8
8 x 2;
8 x
6
3) x 2 x 6
7;
2
x x6
13. 1)
14. 1)
98
x 3 3 x 2 7;
2x 5
x 1
2
1;
x 1
2x 5
4
4) 3 3 x 5
4.
3x 5
2)
2)
4 x 1 x 2 3;
4 x 1 3x 2 5;
3)
3 x 4 x 5 1;
4)
5)
2 x 5 6 x 3;
6) 10 x 6 2 x 1;
2 x 8 5 3x 3;
7)
3 x 24 x 3 7 ;
8)
9) 19 x 2 x 27 1;
10) 1 3x 3 5 4 x 7;
11) 3 x 1 3x 2 1.
x2 5x 1 x 4;
2)
8 x2 x 2;
3) 1 4 x x 2 x 2 5 x ;
4)
4x2 4x 2 1 x 2x2 ;
3x2 7 x 2 3 5x ;
6)
2 x 5 x 2 1 1 3x .
15. 1)
5)
16. 1)
x 1 9 x 2 x 12 ;
2)
3x 4 x 4 2 x ;
3)
5 x 7 2 x 3 3x 4 ;
4)
2 x 1 2 x x 3 0;
5)
x 1 4 x 13 3x 12 ;
6) 2 3x 1 x 1 x 9 ;
17. 1)
3 2 x 2 3x 2 x 2 3x 2 1;
2)
3 x 2 4 x 15 3 x 2 4 x 8 7.
–С–
x 4 x 2 x 3 x 2 1;
18. 1)
3 x 4 3 x 2 3x 3 3x 2 1.
2)
x 2 4 x x 2 6 x 11;
19. 1)
5 x x 1 x 2 6 x 7.
2)
20. 1)
3)
3
21. 1)
3
3x 7 3 3x 7 3 2 ;
2)
3
24 x 3 5 x 1;
9 2 x 3 3 7 2 x 3 4.
5 x 4 x 1 10 x 6 x 1 1;
2)
x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 5;
3)
x 1 2 x 2 x 2 4 x 2 1;
99
4)
x 3 2 x 4 x 5 6 x 4 2;
5)
2 x 6 2 x 3 6 2 x 8 2 x 3 13 7.
22. 1)
8 x 4 5x 9 5x 5 x ;
2)
5 x 1 x 6 6 x 2 2 x 3.
23. 1) | x | 3 21 4 x x 2 ;
2) 3 x 1 6 | x 5 |;
4) 3 1 | x 2 1 | 2 | 3x 2 | .
3) 4 x 2 | x 1 | 4;
9.2. Иррациональные неравенства
–А–
Решить неравенства.
24. 1)
x 2;
2)
x 3 3;
3)
2 x 1 4;
4)
3
1
x ;
4
2
5)
4 5 x 7;
6)
x 2 1;
7)
7 x 3;
8)
4 3 x 2;
9)
3 x 2 5.
25. 1)
2 x 2 3x 7 3;
2)
x 2 2 x 2 1;
3)
3 x 2 4 x 4 2;
4)
5)
x 2 16 3;
6)
2 x 2 x 11 2;
3
16 9 x 2 ;
4
7)
3 x x 2 2 2.
26. 1)
100
x 3;
2)
2 x 5 1;
3)
7 x 5;
4)
3 x 2 2;
5)
4 3 x 2;
6)
5 x 8 6;
7)
7 x 1 5;
8)
2 x 5 7;
9)
7 3x 1;
10)
3 4 x 0.
x 2 x 12 ;
27. 1)
8 x x 2 15 ;
3)
x 2 9 4;
625 x 2 7.
4)
28. 1)
4)
2)
4
3
3 x 2;
x 1 3;
2)
3
2 x 7 1;
3)
3
3 x 5 3;
5)
4
3 2 x 1;
6)
4
4 x 2.
–В–
29. 1)
2 x
2;
x 1
2)
x 1
2;
2x 1
4)
3 2x 1
;
9x 1 3
5)
1 x
3.
x3
30. 1)
3x 1
1;
x 1
2)
5x 2
2;
1 3x
2x 3
3;
x5
5)
x 1 1
.
x4 2
4)
3)
3
1;
x5
3)
x 1
3;
2 x
2 x 1 x 4;
2)
3x 1 x 3;
3)
3x 1 2 x 5;
4)
3x x2 4 4 2x ;
5)
x 2 x 30 x 14 ;
6)
25 x 2 3x 2 2 x 5 ;
7)
x 2 9 x 20 x 1.
31. 1)
32. 1) ( x 1) 4 x 2 0;
2) ( x 1) x 2 4 0;
x 2 x 2 ( x 1) 0;
3) ( x 2 4) x 4 0;
4)
5) ( x 2) 16 x 2 0;
6) ( x 3) x 5 0;
7)
9)
9 x2
0;
x 1
17 15 x 2 x 2
0;
x3
8)
10)
x 1
0;
x 3x
2
2 x 2 19 x 17
0.
x3
101
33. 1) (4 x 2 ) 3x 2 5 x 1 0;
2) ( x 2 3 x 10) x 4 0;
3) ( x 2 1)( x 2 7 x 30) x 2 0;
25 x 2 15 x 2 (6 x 8 x 2 1) 0;
4)
5)
3 2x
0;
2x x 1
2
6) (| x 2 | 3) 12 4 x x 2 0;
7) (1 | x 3 |) 12 4 x x 2 0.
7 3x 1 x;
2)
9 x 20 x;
3) x x 2 x 12 ;
4)
x 2 x 2 x 1;
5)
x 2 4 x 2 x;
6)
x 2 2 x x 1;
7)
5 x 2 x 2 3 3 x;
8)
3 x 2 5 x 2 2 x;
9)
x 2 2 x 3 x 1;
10)
8 x 2 14 x 3x 4.
35. 1)
x 2 4 x x 3;
2)
5 x 2 4 3x 2;
34. 1)
3)
8 2 x x 2 6 3 x;
4)
x 2 5 x 4 x 3;
5)
x 2 8 x 12 10 2 x;
6)
x 2 1 x 5 0;
7)
3 2 x x 2 4 2 x;
8)
x 2 x 6 x 2;
9)
x 2 x 1 2 x;
10) 8 2 x 6 x x 2 5.
| x2|
| x 3|
( x 1 x 5) 0;
2)
( 3 x x 9) 0;
x2
x3
| x( x 7 ) |
0.
3) ( x 4 x 8)
9 x( x 7 )
36. 1)
37. 1)
102
1
1
;
x2 5 x
2)
1
1
;
2x 5 3 x
3)
1
1
.
2x 3 6 x
38. 1) ( x 1) x 2 6 x 2 1;
2) ( x 3) x 2 1 9 x 2 .
1
x 3
2
39. 1) 1
6 x x 5 0;
x4 x2
15 2
2) x 6
x 2 x 0.
x2
40. 1)
x ( x 2 2 x 3)( x 2)3 4
1 0;
x3 8
x
2)
x ( x 2 5 x 6)( x 5) 3 3
1 0.
x 3 125
x
41. 1)
( x 3)(9 x )
27 6 x x 2
;
3x 2
2x 5
2)
8 2x x2
8 2x x2
;
5x 1
2x 6
3)
6 x x2
6 x x2
;
5 2x
x4
4)
( x 5)( x 3)
x 2 2 x 15
.
x7
2x 5
42. 1)
3)
5)
43. 1)
2 x3
1
;
x 1
3
2)
x2
4;
2x 3 1
1 x3 1
x;
1 x
4)
1 x3 x 2
x 1;
x 1
2)
x 2 x 10 6;
4)
x 2 x 6 1.
3 3x x2 x 6
1.
5 x
x 5 3 x 4 7;
3) 3 x 1 x 4 1;
103
44. | x 2 x 2 | | 2 x 3 x | 7.
45. 1)
2)
x 2 2 x 2 1 x 2 6 x 2 1 8 4;
x 5 2 x 4 x 8 4 x 4 4.
9.3. Системы иррациональных уравнений
–В–
Решите системы уравнений.
3 x y 1 1,
46. 1)
9 x y 4;
x 7 2 y 3 3,
3)
2 x 5 y 19;
7
x2
47. 1)
5
x 2
4
5
,
y2 3
3
13
;
y2 6
2 x 5 3 y 2,
2)
3 x y 1;
2 y 2 x 5 0,
4)
x 5 y 4.
2
3
x 4 2 y 3 1,9,
2)
4
2
0, 2.
x 4
2y 3
y 4 x 3 ,
48. 1)
y | x 6 | 1;
y 1 x ,
2)
y ( x 2) 2 3.
4 y y 2 | x 2 | 5,
49. 1)
( x 2) 2 4 y y 2 17;
| 2 y 1 | x 2 6 x 2 2,
2)
2 x 2 12 x ( 2 y 1) 2 45.
2 x y xy ,
50. 1)
4 x y 32;
5 x 6 y 2 xy ,
2)
25 x 36 y 1000.
104
9.4. Уравнения с параметром
–В–
Решить уравнения при всех значениях параметра а.
51. 1) ( x 1) x a 0;
2) ( x 1)( x a ) 0.
52. 1) x x a;
2)
x a a.
2)
2 x a x 1;
2)
2 x 3 a 2 x 1;
2)
| x | 1 | x | a.
53. 1)
4 x a 2 x 1;
a 6 x 2 x.
3)
54. 1)
3 x a a 2 x;
3) 3 x 2 2 x a.
55. 1)
3 | x a | a x 10
x 2 18 x 88
0;
–С–
Решить уравнения при всех значениях параметра а.
56.
x a 1
( x 4 2) 0.
x 3a 1
57.
2x a
(| x 2 | | x 1 | 3) 0.
2a x
58.
a a x x.
59. Найти все значения параметра а, при которых решения уравнения x 7 6 x 2 x 2 4 x 2 a существуют и принадлежат отрезку [2; 27].
105
60. Найти все значения параметра а, при которых решения уравнения x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 a существуют и принадлежат отрезку [2; 17].
61. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
6 | x | x 2 a имеет ровно два решения.
62. Найти все значения параметра а, при которых уравнения имеют единственные решения.
1) 3 ( x 2 4 x 3) a x;
3)
2) 1 ( x 2 6 x 8) x a;
4 x 3 x 2 ax 1.
63. Укажите число решений равнения
симости от параметра а.
2a | x | x 2 x 3 в зави-
9.5. Неравенства с параметром
–В–
Решить неравенства при каждом значении параметра а.
64. 1) a x 1 1;
2) (a 1) 2 x 1;
3) (3 a ) x 2 9 2.
65. 1) x 2 x a ;
3)
2)
3x a a 2 x.
–С–
66. 1)
2)
106
x 2 (3 a) x a 4 1 x;
x 2 ( 2 4a ) x 12a 15 3 x;
x a 3 x;
3)
x 2 ( 2a 3) x 4a 2 x 2.
67. 1) | x | a x 3;
2) 2 x | x | a x 2.
68. Найти параметры а, при которых решения неравенства
x a x образуют на числовой оси отрезок длины 2|a|.
69. Найти параметры а, при которых решения неравенства
2 x 4a x образуют на числовой оси отрезок длины 3|a|.
70. Найти параметры а, при которых множество решений неравенства 2 аx x 3 содержит все целые отрицательные числа.
9.6. Графики функций и геометрические
места точек
–В–
Построить графики функций.
71. 1) y x ;
4) y x 2 ;
72. 1) y x ;
4) y 1 x ;
73. 1) y x ;
4) y 3 x ;
74. 1) y 1 x 3;
4) y 5 x 3;
75. 1) y 1 2 x ;
2) y x 3;
3) y x 5 ;
5) y x 1.
2) y 2 x ;
3) y 7 x ;
5) y x 3.
2) y 1 x ;
3) y 2 x ;
5) y 2 x .
2) y 2 x 4 ;
3) y 3 2 x ;
5) y 2 x 5 .
2) y 3 x 1 2;
3) y 4 4 x 1.
107
76. Заштриховать на плоскости области, определяемые указанными неравенствами.
1) y x 1;
2) y 2 3 x 2 ;
3) y 2 x 3;
4) y 5 2 x 3.
Построить графики функций и уравнений.
77. 1) y 1 x 2 ;
2) y 4 x 2 ;
3) y 2 x x 2 3;
4) y 4 x x 2 5 .
78. 1) y 9 x 2 ;
2) y 2 x x 2 8 ;
3) y 6 x x 2 5 .
79. 1) x 1 y 2 ;
2) x 8 2 y y 2 ;
3) x 4 y y 2 3.
80. 1) y 5 4 x 2 ;
2) y 3 2 x x 2 3;
3) x 3 2 у у 2 ;
4) x 2 8 2 у у 2 .
–С–
81. Заштриховать на плоскости области, определяемые указанными неравенствами.
1) y 1 x 2 ;
2) y 2 6 x x 2 ;
3) x 3 4 y y 2 .
82. Построить графики уравнений: а) y f (| x |) ; б) y | f ( x) |;
в) | y | f ( x); г) | y | f (| x |) , если f(х) имеет вид:
1) y 3 x ;
108
2) y 4 x x 2 ;
3) y 6 x x 2 5 .
ОТВЕТЫ
Тема 1
1. 1) 18; 2) 2; 3) 6; 4) 25; 5) 12; 6) 15.
2. 1) 60; 2) 374; 3) 12; 4) 77;
5)120; 6) 396; 7) 51480.
3. 1) 1,5; 2) 0,75; 3) 0,375;
4) –2,4; 5) 1,7; 6) –0,35; 7) 0,32;
8) 0,38; 9) 3,015; 10) –2,125;
11) 0,6875; 12) 0,2875.
6
3
3
7
4. 1) ; 2) 2 ; 3) 1 ; 4)
;
5
10
10
25
17
18
3
29
5) ; 6)
; 7) 2
; 8) 3 ;
8
20
25
40
56
5
9)
; 10) 1 .
125
8
17
5
1
5. 1)
; 2) 1 ; 3) 1 ;
24
48
12
7
3
61
175
4)
; 5) 5
; 6) ; 7)
.
60
20
98
216
1
2
9
1
6. 1) 2 ; 2) 15 ; 3) 3 ; 4) 2
;
8
2
5
20
1
2
2
1
5) ; 6) 4 ; 7) 2 ; 8) 2 .
2
7
2
3
13
7. 1) 9;
2) 57; 3) 15; 4) ;
35
5
5) 3 ; 6) 4,2; 7) 5,6; 8) 9,54.
6
1
8. 1) 6; 2) 73; 3) 66; 4) 2 ;
6
11
14
5) 1 ; 6) 2 .
15
15
9. 1) –7х –11; 2) –2х + 10;
3) 5 х 47 ;
4) –18х + 7;
5) 26 х 13 ; 6) 14х + 2.
10. 1) 10 – 2х2;
2) –3х2;
3) х 2 3х ;
4) х2 – 4х + 8.
2
11. 1) 2х + 5х – 12; 2) –х2 + 2х +15;
3) 3х2 – 10х + 3; 4) 10х2 + 11х – 6;
5) –2х2 + 5х;
6) –10х;
7) –14х – 14.
12. 1) –5х + 26; 2) –х + 3;
3)90х– 28;
4) 20х.
13. 1) х2 + 6х + 9;
2) 4х2 – 4х + 1;
3) 16х2 + 40 + 25;
4) х2 + 2х + 4; 5) 20 х 15 ;
6) 9х2 + 25; 7) 49 х 2 28 х ;
8) 25х2 – 28х + 29;
9) –4х2 + 20х – 18.
14. 1) х3 + 6х2 + 12х + 8;
2) 8х3 – 12х2 + 6х – 1;
3) 27х3 + 54х2 + 36х + 8;
4) х3 – 12х2 + 48х – 64;
5) 8х3 + 36х2 + 54х + 27;
6) 8 – 60х + 150х2 – 125х3.
1
15. 1) х 2 ху 2 у 4 ;
4
2) х9 + 12х6 + 48х3 + 64;
3) 1 – 16у4;
4) 1 + 4х + 4х2 – 9у2;
5) 9х2 – 4у4;
6) 4х2 – 9у2 + 6yz – z2;
7) 8а3 – 27b3;
8) а6 – 1.
16. 1) 12(b– 6); 2) 3(3b – 2а);
3)13(х – 3у); 4) 5(2а + 11);
5)7(3т – 2п); 6) 15(7а – 9b).
17. 1)3х(х2 – 5); 2) 2z3(3 – z2);
3)7у(х – 7у); 4) 2у4(у – 7);
5)12у(2х – 3у); 6) 6х(3х – 7у);
7) 14ху(2х – 5у); 8) 12ху(5у + 7х).
109
18. 1) (2х – у)(2х + у);
2) (4а – 5b)(4a + 5b);
3) (3х – 10)(3х + 10);
4) (6х2 – 5у)(6х2 + 5у);
5) (х2 – 21)(х2 + 21);
6) (16 – у)(16 + у);
7) 3(х – 5у)(х + 5у);
8) 2(5t – 12)(5t +12);
9) 6(2 – 3t)(2 + 3t).
19. 1) (х – 1)(х2 + х + 1);
2) (у + 2)(у2 – 2х + 4);
3) (2x – 3)(4х2 + 6х + 9);
4) (х – 2у)(х2 + 2ху + 4у2);
5) (2у + 5)(4у2 – 10у + 25);
6) (а2 + 5b)(a4 – 5a2b + 25b2).
1
20. 1) , если а 0;
3b
x
2)
, если х 0;
3y
7 y3
, если у 0;
9x
9
x7
4)
;
5)
;
2ab
4
3)
2
6)
8)
x3
x 2 x 33
; 7) 2
;
2
x 1
x 2 2 x 13
21. 1)
3( x 2 7)
3
;
2( х 5)
.
2)
3)
4)
5)
6)
7)
13x
3x
, если у
;
5 y 3x
5
3x 2
2
, если х ;
3x 2
3
2x 1
1
9)
, если х ;
2x 1
2
x 3
10)
, если х 3;
4( x 3)
8)
11)
ab
, если a b .
a ( a b)
23. 1) х + 2;
2)
3
;
n 1
y2 3y 9
, если у –3;
4
7
4) 2
, если у 3;
y 3y 9
3)
2)
7
, если х 2у;
3
3) 1, если х 2b;
3
4) , если с 3;
2
т2
5) 2 , если т п.
п
110
5
, если х 2;
x2
3x 5
5
, если х ;
7
3
x6
, если х 6;
5x
x2
, если х 2;
3
1 a
;
1 a
2x 3 y
, если х 3у;
7y
22. 1)
1
4x 2 2x 1
, если х ;
2 x 1
2
3x 2
2
6)
, если х .
2
3
9x 6 x 4
5)
4
, если a –b, b 0;
a b
b
2)
, если b 0, b –2;
b2
1
3) , если а 0, а –b;
2
4
4)
, если у 0, х у;
x y
24. 1)
5)
6)
7)
8)
9)
y
, если у 0, у –х;
x
x 1
, если а 1;
2a
ba
, если а b, а 0;
2
mn
, если т 0, т –п;
n
y 1
, если у –1;
y2
a
, если а b, а 0;
b
c 1
11)
, если с –1;
c 1
a
12) , если а b, а 0;
b
a c
13)
, если а с;
ac
x y
14)
, если у 1;
2x
12
15)
, если а –4;
a4
3n
16)
, если т п.
mn
25. 1) 0,(3); 2) 0,8(3); 3) 0,(4);
4)1,(6); 5) 0,41(6);
10)
6)0,(714285); 7) 0,7(2);
8)0,708(3); 9) 0,(37);
10)0,5(2); 11) 0,1(28).
5
37
2
26. 1) ; 2) 1 ; 3)
;
9
99
3
3
23
1
13
; 5) 1 ; 6)
; 7) 1 ;
11
33
30
90
14
3
149
8)
; 9) 2
; 10) 2 ;
45
990
11
21
71
11)
; 12) 4
.
55
225
27. 1) 3; 2) 2; 3) 1; 4) 4; 5) 50;
6) 25.
28. 1) 3 – 14х3 – 5х2 – 20х;
2) х4 + 22х3 – 8х2 – 12х + 6.
29. 1) (5х – у)(3 + х);
2) (7х + 5у)(2 – 5у);
3) (3х – 4)(х2 + 2);
4) (2х + 5)(3х2 – 2);
5) (х + 2)(2х3 – 5);
6) (3х – 1)(х3 + 4);
7) (2а + 3b)(4х – 5у);
8) (3т – 4п)(3х + 7у);
9) (х + у)(х – у + 1).
30. 1) (х – 2)(х – 3);
2) (х + 1)(3х + 2);
1
3) ( х 6)( х 4) ;
2
4) (х – 1)(2х – 3);
5) (х + 1)(х – 9);
1
6) ( х 3) 2 ;
3
7) (2 – х)(х + 3);
8) (3х + 2)(3 – х);
9) (2х + 3)(2 – 3х).
31. 1) (х – 1)2;
2) (2х + 1)2;
3)(х+ 4)2;
4) (2х– 3)2;
4) 2
111
1
1
5) (3х 5) 2 ; 6) (4 х 3) 2 .
5
3
32. 1) (5х + 6)(4 – х);
2) –(2х + 9)(4х + 1);
3) (х – 5 – 2у)(х – 5 + 2у);
4) (х – у + 3)(х + у –3);
5) 3(1 – у)(3 + 3у – 4х);
6) (12ab + b2)(2a2 + 17b2);
7) (8 – 11у6) (8 + 11у6);
8) (4а – 5b3)(4a + 5b3).
33. 1) (х – 1)(х + 1)(2х – 1)(2х + 1);
2) (х2 + 1)(х – 2)(х + 2);
3) ( х 2 4)( х 2 9) ;
4) ( х 2 4)( х 3)( х 3) ;
5) (2 х 2 11)( х 3)( х 3) ;
6) ( х 1)( х 1)( х 4)( х 4) ;
34. 1) (х – 2у)2; 2) (а + 3b)(а – b);
1
3) (4а b) 2 ;
4
4) (3m – 2n)(2т + n);
5) (3х + у)(2х – у);
6) (т + 2п)(т + 5п).
35. 1) (у – 2)3;
2) (а + 1)3;
3) (2а 3b) 3 ;
4) (3х – у)3;
5) (5 2 x) 3 .
2 x
36. 1)
, если х 1;
x 1
2x 1
2)
, если х 2;
3( x 2)
3x 4
;
x 1
3 x
4)
, если х 1;
3x 1
x4
5)
, если х 2;
4x 3
3)
112
6)
37. 1)
2)
x4
, если х 6.
2(2 x 5)
1
9 x 2 3x 1
, если х ;
1 x
3
x2 2x 4
, если х –2;
3x 2
a 2 5ab 25b 2
, если а 5b;
3a 2b
3a b
4)
, если b 2а.
2
4a 2ab b 2
38. 1) –(а + 1), если а –1, а 2;
1
2)
, если а 5;
а 5
x 2у
3)
, если х 2у, х –2у;
2 xy
3)
4)
x 2у
, если х 0, х –2у;
2 y ( 2 y x)
5) –4, если а 0, b 0, а b;
6) 1, если а ℝ \ {1, 0};
7) 3, если а ℝ \ {3, 0};
8) b – 6, если b 0, b –3;
9) а – 4, если а 3;
10) 2, если а 1;
2
11) , если а 3;
5
12) 1, если х –4.
39. 1) (2х – 1)(х + 1)(1 – х);
2) (х + 1)(х + 2)(х + 3);
3) (х – 2)(х + 2)(х – 3);
4) (х – 1)3(2х + 3);
5) (х2 + 1)(х2 – 5х + 1);
6) (х – 1)(х + 1)(х + 2)(2х – 1);
7) (х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4).
40. 5.
у ( у 1)
, если у (,0);
2
у 1
3) у
, если у [0, 1);
у 1
y
, если y (1, );
y 1
1 9 2009
.
2
1
х 2 , если х (,2)
42. 1) (2; 0) (3, );
1
, если х (0, 3);
х2
41.
1
, если у ( ,5);
1, если а (,0) (1, );
у
2)
4) у 5
1, если а (0, 1);
, если у ( 5, 0)
у (3 y 5)
5 5
0; ; .
3 3
Тема 2
1.
АВ
AB
A\B
B\A
А
2.
1)
{1,2,3,4,5}
{5}
{1; 2}
{3; 4}
{3,4,6,7,8,9}
1)
2
; 2
1; 2 1;
А В
2
AB
2
; 2 1
2
2)
[–3; 5]
(0; 2)
[–3; 0]
[2; 5]
(–; –3) [2; +)
2)
[–1, 3]
1 3
2 ;0 1; 2
3)
[1, 4]
[1; 3]
(3; 4]
(–;1) (3;+)
3)
{–4;–3;–2;–1;0;1}
(E = ℤ)
{–3;–2;–1;0}
1 3
{1}
1; 2 2 ;2
B\A
{2}
{–4}
[0; 1] [2; 3]
{2}
(–;–1)[0; 1][2;+) {2;3;4;…}{–4;–5;–6;…}
А
1
3. А ℕ = {2}, А ℚ = 5; 0;9; 2; ; 4,5; 8, (3) ; А ℤ = {–9; –5; 0; 2};
3
A\B
{1}
А ℝ = А; А (ℝ\ℚ) = { 2 ; е; } .
113
4. 1) (А ℤ)\ℕ ={–9; –5; 0};
1
2) (А ℚ)\ℤ = ; 4,5; 8, (3) ;
3
3) (А ℤ)\ℚ = { 2 ; e; } .
5. 1) 10 – ℤ; 3 – ℕ;
2) 6 – ℤ; 1 – ℕ;
3) 7 – ℤ; 3 – ℕ.
23
6. 1) 7; 2)
; 3) 3.
6
8. 1) х (–; 1); 2) x [0; +);
3) x (–; 8]; 4) x (–2; 0);
5) x [–1,5; 2); 6) x (0; 6].
9. 1)[–2; 10], (0; 7);
2) (–; 3], [–2; 1);
3) [2; +), (3; +);
4) [–3; 4], (–2; –1].
10. 1) (–2; –1];
2) (–2; –1];
3) (–2; –1];
4) [–1; 0){1};
5) [–1; 0){1};
6) [–2; 0){1};
7) [–4;–3)(3; 4];
8) [–4;–3][3; 4];
9) [–4;–3)(3; 4];
10) [–1; 0);
11) [–1; 0);
12) [–1; 0);
13) ;
14) ;
15) .
11. 1) (–; 2]; 2) (–2; 3);
3) (–; 4];
4) (–;+) = ℝ;
5) ℝ;
6) ℝ;
7) (–; –2)[1; +) = ℝ\[–2; 1);
8) ℝ\[–2; 1); 9) ℝ\[–2; 1);
10) [–3; 2]; 11) [–3; 2];
12) [–3; 2]; 13) [0; +);
14) [0; +).
114
1
12. 1) 2; ; 0; 3,5; 3 2 ; 2 3 ;
3
6 35 ;
81,5 9 .
2 x 3 при х 3;
2) M
3 при х 3;
x 3 при х 3;
3) M
х 3 при х 3;
x 2 при х 2 ;
4) M
2 х при х 2 ;
2 x 3 при х 0;
5) M
3 при х 0;
x 7 при х 7;
6) M
х 7 при х 7;
2 x при х 0;
7) N
0 при х 0;
3 x при х 3;
8) N
x 3 при х 3;
2 x при х 0;
9) N
0 при х 0.
13.
1 при х 0;
1) M 1 при х 0;
при х 0 не определено .
1 при х 2;
2) M 1 при х 2;
при х 2 не определено.
1 при х 0;
1 x
при
3) M x 1
х (,1) (1, 0);
при х 1 не определено .
14. 1) {–3; 3};
2) {–1; 3};
3) {–1}; 4) {–1; 2}; 5) ;
6) [–1; 1]; 7) (–;–2)(2;+);
8) (–2; 4); 9) (–; 1][3;+);
10) ℝ;
11) ℝ\{–1}=(–;–1)(–1;+);
12) [–3; –2)(2; 3];
13) [–2; –1)(3; 4];
14) [0;+); 15) (–; 0);
16) [1; +); 17) {–3};
18) [ 2 1; 2 1];
19) (–; 1)(6; +);
1 5
20) ; 21) ; ;
3 3
5
22) (;3] ; ;
3
23) (–; –5)(1; +).
15. 1) |x| = 3; 2) |x + 1| = 4;
3) |x| 3;
4) |x| > 5;
5) |x + 1| < 5; 6) |x + 1| 1.
16. 1) |a|; 2) a2; 3) |a3|; 4) a2;
5) 23; 6) |a – 1|; 7) |x – 3|;
8)–y;
9) a3;
10) 2 1 ;
11) 11 10 ; 12) |a – b|;
13)|a – 5|.
17. 1) (–; 3); 2) (–; 1];
3) (2;+);
5
4) ; ;
2
2
5) 1
; ;
2
6) ( – 3,14; + 3,14);
7) [1; 5];
8) (1; 5];
9) [–11;–7)(7; 11];
10) (–; 4]\{1} = (–; 1)(1; 4];
11) [–1; +);
12) (–;–1]\{–2} = (–;–2)(–2;–1];
18. 1) {4; 3; 2; 1; 0; 5; 6};
2) {1; 2; 3}; 3) {2};
4) {1; 2; 3}; 5) {2; 3; 4}.
19. В ответе указано большее число. 1) 3 3 ; 2) 12 8 ; 3) 3 12 ;
4) равны; 5)
1
50 ;
3
6) 3
8
;
49
7) 4,5 28 ; 8) равны.
20. 1) (–12; 18], max –да, min – нет;
2) [–24; 16), max – нет, min – да;
3) [–3; 7), max – нет, min – да;
4) (–2; 3], max – да, min – нет;
5) (–5; 5], max – да, min – нет;
6) [–1; 9), max – нет, min – да;
7) [–13; 12), max – нет, min – да.
21. Неравенство |x + 1| < 5 следует
из неравенства –2 х < 4, так как
всякое решение второго является
решением первого.
22. а [–1; 3).
23.
3 при х 0;
1) M
при х 0 не определено ;
2 x при х 0;
2) M
при х 0 не определено ;
6 при х 0;
3) M 6 2 x при х (0;6];
6 при х 6;
115
4)
x2 3
| x 2 |
|x|
2 x2 2x 3
, при x 0;
1 x
2x 3
, при x [0;2];
x 1
x 1
x 1 , при x 2;
x 1
1 x ,
при x 1;
x 1
,
( x 1) | x 1 |
x 1
5)
2
(| x | 1)
при x [1;0];
x 1
x 1 ,
при x 0;
6)
| x 2 | 4 2
( x 4)
| x2|
( х 6)( х 2) при х 2;
( x 2) 2 при х 2;
4 x2
,
2
x 4x 4
при x 1;
x2
( x 2) | x 2 |
,
7) 2
x2
x 4 | x 1|
при x [1; 2];
x2
,
x 2
при x 2;
8)
116
| 2 x 3 | 6 | 2 x 3
2x 3
|x|
9 2x
x , при x 0;
2x 9
, при x (0; 3/ 2];
x
2x 3
3
x , при x 2 .
Тема 3
1. 1) 3;
5) 0,5;
2) 10;
6) 2,5;
3) 0,2;
4) 0,8;
9
7) 0,07; 8) ;
2
8
6
11) ; 12) ;
3
5
4
3
;
10) ;
5
11
7
13) ; 14) 1,6; 15) 2,7; 16) 5,2;
4
17) 9,6; 18) 2,3.
2. 1) –2; 2) 5; 3) –2; 4) 7; 5) –10;
6) 21; 7) 3,5; 8) 1,1; 9) 0,8;
10) 0,3;
11) –11;
12) 12,8;
13)20; 14) 60; 15) 30; 16) 3;
17) 0,3;
18) 0,44;
19) 0,54;
20)45,5; 21) 16; 22) 60; 23) 12;
24) 12; 25) 1,2; 26) 3,6; 27) 15;
28) 20; 29) 33; 30) 24; 31) 9;
1
32) 104; 33) ; 34) 4,3; 35) 0,7;
4
36) 5,81; 37) 1,1; 38) 3,2.
9)
3. 1) 3 5 ;
4) 4 14 ;
7) 3;
2) 2 13;
3) 5 7 ;
10
;
2
6) 2 2 ;
5)
8) 3 3;
9) 27 6 ;
5
10) 25 10 ; 11) 2 3 ; 12)
2;
3
13)
7
7;
2
14) 8 15 ;
15)
3
;
2
16) 0,7 2 ; 17) 5 10 ; 18) 0,3 3 ;
19)
4
;
20)
11
5
21)
;
6
5
;
3
22) 7 2 ;
23) 3 6 ;
25) 3 3 ;
26) 2 70 ; 27) 6 5 ;
30) 15 3 ;
31) 6 2 ; 32) 15 2 ;
33) 20 3 ;
3
36)
15 ;
2
37) 2 3 ; 38) 2,5 2 .
4. 1)
98 ;
2)
123
;
40
9)
3)
56 ;
63 ;
10) 15 ;
280 ;
11) 1575; 12) 1008; 13) 12 ;
14) 2 ; 15) 8 ; 16) 5 ; 17)
5. 1) – 3;
2) 0;
3) 4;
5) 11 6 2 ; 6) 5 2 6 ;
8) 7;
9) –14;
3.
4) 5;
7) 25;
10) 10 30 28 10 38;
11) 15 2 5 ; 12) 1; 13) 2 ;
14)
7;
15) –14;
16) 11;
17) 21 2 ;
18) 4 3 ; 19) 13 3 ;
20) 13 5 ;
21) 3 3;
23) 19 2 ;
24) 5 2 5 ;
25) 4 10 7 6 ;
10
;
2
3)
4 7
;
7
2) 2 2 ;
4)
3 3
;
2
5)
2( 7 1)
; 6) 5 3;
3
7)
7 2
; 8) 4( 3 2);
47
1
23 10 2
; 10) ; 11) 2,75;
7
4
1
12) 0,45; 13)0,2;
14) ;
4
9)
4) 68 ; 5) 12 ; 6) 72 ; 7) 55 ;
8)
6. 1)
24) 2 3 ;
28) 15 2 ; 29) 12 3;
34) 12 6 ; 35) 5 2 ;
10
1
3
2;
3
4
4
68
27) 22,5 2 ; 28)
15
6.
3
5
26) 32
22) 6,5 2 ;
15) –4; 16) 3 7 .
7. 1) 0,5;
2) –4;
4)12,25;
5) –3;
4
7)–10;
8) ;
81
3) 15,875;
6) 32,84;
1
9) ;
30
10)20;
11) –24;
12) 34 12 ;
13) 43; 14) 1; 15) 9; 16)–12;
1
17) ; 18) 6; 19)19; 20) –9;
2
21) 3 6 ; 22) 111,2; 23) 60,7.
8. 1) 8;
2) 0; 3) 8; 4) 27; 5) –2.
9. 1) 29,65; 2) 4; 3) 1;
4) –3; 5) 4; 6) 0,3; 7) 0,81;
8) 8;
9) –5;
10) 0,25;
11) –7; 12) 1,6; 13) 0,8;
4
14) 0,5; 15) 1,6; 16) ;
13
117
3
17) 10; 18) 25; 19) ;
8
20) 1; 21) 1; 22) 6 2 5 ;
23)13; 24) 3.
2
10. 1) x7/6; 2) 3a; 3) 2 ;
t
4) n–7/6; 5) 3c3; 6) 2a2;
1
7) b13/4; 8) y–3/4; 9)
;
11b 6
10) 13c4; 11) y–17/14;
12) a17/20; 13) m2; 14) 1.
3
x
.
4
1 x
12. 1)
3)
xy
;
9abcd
2) 1;
3( x 2 xy y 2 )
; 4) y–15/2;
5( x y )
5) a–5/6;
6) b2;
7) y–2;
11) a 9 / 7 b 3 / 14 ;
13)
x 1 z 2
8) 1;
10) 3 a 2 b 4 ;
x–2;
9)
;
12)
14) y
3
7
x–1y2;
29
; 15) a 20 ;
y5 / 6
16) m2; 17) 1; 18) п3; 19) п14;
20) 6ab; 21) ab2c; 22) 2xy.
3
13. 1) 1
;
2) 2 3 7 ;
2
3) 7 5 ; 4) 15 2 3;
5) 3;
6) –4; 7) 1; 8) 3;
9) 18;
118
10) 2;
22) 2;
29)
a
4
21) 1;
16
;
41
11) 6 1 ;
14)52;
17) –15;
20) –1;
1
23) ;
5
25) 6; 26) 2 3 3 2 ;
27) 8 4 6
3
7) 2(4 x 1); 8) a2/7; 9)
13) –9,5;
16) –2;
19) 39;
24)
; 2) 5 p ; 3) 4 x ;
1 a
1
4) 1 4 ; 5) 6 a 5; 6) 6 a ;
x
11. 1)
12) –1,2;
15) –4;
18) 20;
4
3;
3
3
28) 14 ;
4
5 2 8
;
6
9
30) 16 5 2,4 10 6;
31) – 8;
32) 169.
14. 1) –2; 2) –4; 3) 2; 4) –2/3.
15. 1) 1; 2) 1, если a 0, b 0, ab;
3) 2, если m n, mn > 0;
4) 1, если a (0; 1)(1;+);
1 a
5)
, если a (0; 1)(1;+);
a
6) a – b, если a b;
7)–1,если a>0, b>0, a4b, a9b.
16. 1, если a 0, b 0.
17. 1) 6; 2) 7.
18. 1) 6 2 2 ; 2) 3; 3) 4.
19. 1) 0, при a < 0;
2
2) 2 при b > 0;
при b < 0;
b
a
3)
при a > 3; a 2;
a2
a
при a < 3;
2 a
2a 1
1
4)
при a > , a 0;
a
2
2a 1
1
при a < ;
a
2
1
5) при a < –5;
a
a 5
5
при a > –5, a 0, a .
a(3a 5)
3
Тема 4
6
1. 1) ;
2) –3; 3) –2;
5
4
1
4) ; 5) ; 6) –6;
3
3
14
7) ; 8) –4; 9) 7,6;
5
1
10) 5,4; 11) 7; 12) ;
2
13) 0; 14) 0; 15) –9;
42
16) –0,4; 17) 2; 18) 1
;
221
5
19) .
13
4. 1) 2;
2) {0; 6}; 3) {–3; 2};
2
4){3; 5}; 5) {–6; 1}; 6) ;
3
1 7
7) ; ; 8) ;
5 5
9) {–15; 1};
3
10) ; 11) .
7
5. 1) (9; +);
2) (–; 36];
3) (–; –12); 4) ℝ;
5) (14; +);
6) [–3; +);
7) [–3/2; +); 8) [–24; +);
9) (–; 0);
10) ;
12) (–4; 16);
6. 1) (–; –3);
4
3) ; ;
3
3
11) 0; ;
7
1
13) 0; .
2
2) [3; +);
4) [5,5; +);
5) (–; 1];
2
6) ; ;
23
7) [–5; –3];
4
8) ; ;
7
1
9) ; ; 10) (–; –5);
2
11) [16,5; +); 12) (39; +).
7. 1) {(4; 3)};
2) {(1; –1)};
3) {(–1; –3)}; 4) {(–5; 2)};
5) {(3; 1)};
6) {(–2; 1)}.
5
3 8
8. 1) 2; ;
2) ; ;
2
2 3
5
3) ; ;
3
1 7
4) ; ;
7 2
2
5) ; ; 6) ;
3
7) (–; 3);
8) ; 9) ;
10) (–; 2); 11) (0,4; +);
6
12) ; ; 13) (–5; 15).
5
1
9. 1) ; ;
2
3) ℝ;
2) (–; 0];
1
4) ; 2; ;
2
119
1 4
5) ; ; ;
4
5
12. 1) {(1; 1)}; 2) {(2; 1)};
3) {(–1; 3)}.
13. 1) ; 2) ℝ; 3) ; 4) ℝ.
3
14. 1) При а = ;
2
а3
3
при а ℝ\ х
;
2
2
а 3
2) при а = 2 х ℝ;
при а ℝ\ 2 х а 2 ;
2
х ℝ;
3
2
при а = ;
3
3) при а =
1
2
при а ℝ\ х
;
3а 2
3
1
4) при а = ;
2
2а 1
1
при а ℝ\ х
;
2
1
2а
1
5) при а = х ℝ;
3
1
при а ℝ\ х а 2 ;
3
6) при а = 1 х ℝ;
1
при а = ;
2
а 1
1
при а ℝ\ ;1 х
.
2а 1
2
1
5
5
15. 1) –1; 2) ; 3) ; 4) ;
5
2
3
120
1
3
2
6) ; 7) ; ; 8) ; ;
3
3
5
1
1
5
9) ; 10) ; 11) ; ;
5
3
7
3
12) ; .
7
3 7
16. 1) ; ;
4 2
2)
{–2;
3];
4
5 1
3) 8 ;2 ;
4) 6; ;
5
6
18
17. 1) {–3; 4];
2) 2;
3) [–5; 3];
4) {3; –5};
5) [3; +);
4
6) ;
7) ;0;
3
6
1
8) ; ; 9) ;
5
4
10) – 5; 11) 0,7; 12) .
1
18. 1) ;3; 2) {–2; 4}.
2
19. 1) (–; –2)(2; +); 2) [0; 3];
4
1
3) ; ;
4) ; ;
3
3
5) (;2] [1;).
20. 1) [5,5; +);
1
4
2) ; [6;+); 3) 2; ;
3
5
4) (–1; 9).
1
21. 1) ; (9;);
3
5 13
2) 5; ; ;
3
3
1
3) ; ;
2
3
4) ; .
2
22. 1) {(t; 2t – 1)}, t ℝ;
2) {(2t + 3; t)}, t ℝ; 3) ;
5 3t
4) ; 5) t ;
, t ℝ.
2
23. 1) {(1; 2; 3)}; 2) {(2; 2; –1)};
3){(4; –1; 2)}; 4) {(1; 1; 0)}.
24. 1) При а ℝ\{1} {(0; a)};
при a = 1 {(t; 1 – t)}, t ℝ;
при а = –1 {(t; t – 1)}, t ℝ;
1
2
2) при a = –2 2t; t , t ℝ;
при a = –4 ;
при a ℝ\{–2;–4}
a 9 a 1
;
;
a 4 a 4
1
3) при а ℝ\{–3; 0} 2; ;
a
6) {(6; 0)};
7 9 3
1
7) ; ; ;2 ;
5
5 5 5
1
8) (1;1); 0; .
2
29. 1) При a = 0 ;
при а ℝ\{0} x
3
;
а
2) при a = 3 x ℝ;
при а ℝ\{3} x = 0;
3) при a = –2 x ℝ;
при ℝ\{–2} x = a + 1;
4) при а ℝ\{2} x =
1
;
а2
при a = 2 x ;
при a = –2 x ℝ.
при a = 3 x ℝ;
при a = –2 x .
2
b
30.1)Приb(–;0) x ; ;
при a = 0 ;
при a = –3 {(1 + 3t; t)}, t ℝ.
25. a = 5; b = 3.
26. b = 1.
27. c = –1.
28. 1) {(–7; –5)};
2) {(–2; 0)};
10 1
3) (2;1); ; ; (10;7);
3 3
2 7
; ;
3 3
4) {(1;2)};
5 11 3 11
5) ; ; ; ;
2 2 2 2
3 a
;
a2
5) при а {–2; 3} x
при b = 0 x ℝ;
2
при b(0;+) x ; ;
b
2) при b(–; 3) x ;
1
;
3b
при b = 3 x ℝ;
при b(3;+) x
1
3b
; ;
3) при b(–; –1) [b + 2; +);
при b = –1 x ℝ;
при b(–1;+) x (–; b + 2].
121
1 1
4) при b ; ;
2
2
3b 1
x
; ;
2b 1
1
при b x ℝ;
2
1
при b ;
2
1 1
при b ;
2 2
3b 1
x ;
;
2b 1
5) при b(–; –1)(6;+)
b 1
x ;
;
b6
при b = –1 ;
при b = 6 x ℝ;
b 1
при b (–1; 6) x
;;
b6
6) при b(–; –4)(4;+)
1 b
x ;
; при b = –4 ;
b 4
при b = 4 x ℝ;
1 b
при b (–4; 4) x
;.
b4
31. (–5; 4).
35
41. 1) 6; 2) .
2
42. 1) При a (–; –1)(1; +)
x = –3;
7 3a
при a(–1;1) х 3;
;
a 1
122
при a = –1 x (–; –3];
при a = 1 x [–3; 2];
2) при a (–; 1) ;
при a = 1 x [1; +);
при a(1; +)
2a 4 4 2а
x
;
.
1 a а 1
при a(1;+)
2a 4 4 a
x
;
;
1 a a 1
42. 1) При a (–; 2) ;
при a = 2 x (–; 2];
1
при a (1;+) х (а 2);
2
2) при a (–; 0) ;
1
при a = 0 x ;
2
при a(0;1)
a 1 а 1
x
;
;
2
2
при a = 1
x [–; –1]{0};
при a (1;+)
а 1
х
.
2
43. 1) При a (–; 0) 0;
при a {0}(2; +) 2;
при a (0; 2) 4;
при a = 2 3;
2) при a (–; 1) 0;
при a = 1 1;
при a (1; +) 2.
44. (2; 3).
Тема 5
1.
№ КвадПривеПолное
п/п ратное
денное
1)
Да
Нет
Нет
2)
Да
Нет
Да
3)
Да
Да
Нет
4)
Да
Да
Нет
5)
Да
Нет
Нет
6)
Да
Да
Нет
7)
Да
Да
Нет
8)
Да
Да
Нет
9)
Да
Да
Нет
А
В
С
11
1
–4
9
13
1
–3
–1
2
0
0
–1
–5
0
–6
1
2 2
1
0
9
5
–4
–16
5
–5
–2
–4
а
2
10)
Да,
с0
Да,
ab 0
Нет,
с1
с
11)
Да,
b0
Да,
ac 0
Нет,
b1
b
–25c
а
3
12)
13)
14)
15)
Да
Да
Да
Да
Да
Да
Да
Да
Нет
Нет
Нет
Нет
4
6
–2
14
–4
–11
–2
5
–2
–4
2
30
2. 1) x1 = x2 = 0; 2) x1,2 = 2;
3)x1,2= 3; 4) и 5) нет действительных корней;
6) x1,2 4 3 ; 7)х1 = 0; x2 = 1;
8) x1 = –3; x2 = 0;
3
9) x1 ; x2=0;
5
10) x1, 2
3
;
2
2
3
11) x1, 2 ;
12) x1 = –4; x2 = –2;
13) x1 = –3; x2 = 5;
14) x1 = 7; x2 = 8;
5
4
15) x1 ; x2 ;
7
3
–25b
16) х1 = 0; x2 =
Стандартный вид:
Ах2 + Вх + С = 0
11х2 = 0
х2 + 9 = 0
–4x2 – x + 5 =0
9x2 – 5x – 4 = 0
13x2 – 16 = 0
x2 – 6x + 5 = 0
–3x2 + x – 5 = 0
–x2 + 2 2 x – 2 = 0
2x2 + x – 4 = 0
а
cx2 x – 25b = 0,
2
с0
а
2
bt – 25ct +
= 0,
3
b0
4z2 – 4z – 2 = 0
6x2 – 11x – 4 = 0
–2s2 – 2s + 2 = 0
14x2 + 5x + 30 = 0
3
;
2
17) x1 = 4 2 ; 18) x1,2 = 2;
19) нет действительных корней;
20) x1 = –5,5; x2 = –0,5;
8
21) x1 ; x2 = 0;
3
22) x1 = –13; x2 = 5;
23) x1 = –4; x2 = 6;
24) x1 = 0; x2 = 12;
25) x1 = 0; x2 = 60;
22
;
6
27) нет действительных корней;
26) x1,2
123
28) x1 = 0; x2 = 7 ;
3
14
;
4
30) нет действительных корней;
31) x1 = 3 ; x2 = 0;
7
29) x1,2
15
;
9
33) нет действительных корней;
1
34) если т 1, то x1
;
1 m
1
x2
; если т {–1; 1},
1 m
то x 1 ;
2
35) x1 = 0; x2 = –5; x3 = 5;
4
36) x1 = 0; x2,3 ;
3
37) x1 = 0; x2 = 1;
1
38) x1 = 0; x2 ; x3 = –1.
2
1
3. 1) x1,2 ; 2) x1,2 = 9;
7
3) x1,2 = 9;
4) нет действительных корней;
32) x1,2
5) x1,2 6 ;
17) x1,2 6 16 2 ;
18) x1 = –24; x2 = 32;
19) x1 = 0; x2 = 5;
20) x1 = –3,5; x2 = 1;
21) x1 = –0,5; x2 = 3; 22) x ℝ;
23) если т 0, то x1 = –3; x2 = 4;
если т = 0, то x ℝ;
24) x1,2 3;
25) x1,2 3; x2 = 0;
26) x1 = –9; x2 = 0;
т
27) x1 = 0; x2 = ;
3
28) x1 = –6; x2 = 0;
29) x1 = 0; x2 = 3 – m;
9
30) x1 = ; x2 = 0.
49
4. 1) (x – 1)2 – 1; 2) (x + 5)2 – 25;
3) (x – 1)2 + 1;
4) (x – 5)2 – 50;
2
1
3
5) x ;
2
4
7) 2 x
2
3
9
6) x ;
2
4
2
1
5 17
2 5
; 8) x 3 ;
4
8
2
2
2
1 15
9) 7 x ; 10) (x – 6)2 – 1;
7
7
2
9
25
12) x ;
2
4
6) x1,2 = 1,1; 7) x1,2 = 1,3;
8) x1,2 = 1,5; 9) x1,2 = 4;
10) нет действительных корней;
1
11) x1,2 = 3;
12) x1,2 ;
7
11) (x + 2)2 – 9;
13) x1 = x2 = –5; 14) x1 = x2 = 2 ;
15) x1 = x2 = –3a;
3
16) x1,2 3 3;
2
1
1
14) x 6 ;
2
4
124
2
5
25
13) 9 x 14 ;
18
36
2
2
4 16
15) 5 x ;
5
5
2
1
1
16) 5 x ;
5
5
2
7
25
17) 2 x ;
2
2
2
18) (a + 3) – 100;
19) (a + 4)2–121;
20) (x + 2)2– 1;
2
3
1
21) x ;
2
4
22) (a + 2)2 – 98;
23) 3(a – 6)2 – 3;
2
7
1
24) 6 а 15 ;
12
24
2
1
25
25) 2 т .
4
8
5. 1) x1 = –13, x2 = 3;
2) x1 = 5; x2 = 11;
3) x1 = 4; x2 = 12;
4) x1 = 5; x2 = 7;
5) x1 = 8, x2 = 10;
6) x1 = –5, x2 = 1;
7) x1 = 2, x2 = 7;
8) x1 = –7, x2 = 2;
9) x1 = –3, x2 = 2;
10) x1 = –1,6, x2 = 0;
11) x1 = –0,4, x2 = 0;
12) x1 = 1, x2 = 6;
13) t1 = –13, t2 = 7;
14) t1 = 7, t2 = –15;
15) t1 = –9, t2 = 5;
16) t1 = 5; t2 = 7;
17) x1 = –3, x2 = –1;
18) x1 = –2, x2 = –1;
13
19) t1 = –1, t 2 ;
6
3
20) t1 = –1, t 2 ;
2
21) x1 = –4, x2 = –3;
2
22) x1,2 = 3
;
2
5
9
23) x1 = x2 = ;
24) x1 = x2 = ;
6
2
25) x1 = –1, x2 = 0,4;
11
26) x1 = – 2; x2 = ;
4
6
27) x1 = ; x2 = 2;
5
1
28) x1 = –2, x2 = .
3
6. 1) 3x2 + 3x – 90 = 0;
2) x2 – 5x + 6 = 0;
3) –4x2 – 40x – 100 = 0;
4) –3x2 + 42x – 147 = 0;
5) 2x2 – 2(a – b)x = 0;
6) x 2
1
m2
0.
7. 1) x2 – 9 = 0;
2) x2 – 6x = 0;
2
3) x – 4 = 0;
4) x2 – 3 = 0;
2
5) 2x – 7x + 3 = 0;
6) 3x2 – 4x + 1 = 0;
7) 3x2 + 5x – 2 = 9;
8) 42x2 + 5x – 2 = 0;
9) 20x2 + 47x –22 = 0;
10) x2 – 2x – 2 = 0;
11) 9x2 + 48x + 64 = 0;
12) 40x2 – 77x – 17 = 0;
13) x2 – 6x + 4 = 0;
14) 25x2 + 80x + 64 = 0;
15) 20x2 + 13x – 15 = 0;
16) 64x2 + 80x + 25 = 0;
17) x2 – 4x – 3 = 0.
8. 1) x1 = –2; x2 = 1;
2) x1,2 1 2 ;
1
3) x1 = –2, x2 ;
2
4) нет действительных корней;
125
5) нет действительных корней;
2
1
6) x1 = – , x2 ;
7
6
7) x1,2 2( 2 1);
8) x1 5 2 , x2 2 ;
1
, x2 1;
2
2
1
10) x1 = – , x2 ;
3
6
9
; x2 = 1;
7
8) x1 = –6, x2 = 12;
17
9) x1 = x2 =
;
3
7) x1 =
10) x1 = 3 1, x2 =
9) x1 =
11) x1 = 2 3, x2 3 ;
5 5
3 5
, x2
;
2
2
13) x1 = –1, x2 = 8;
19
14) x1 = – , x2 3;
5
15) нет действительных корней;
16) x1 = –1, x2 = 14;
17) x1 = –5, x2 = 5,6;
18) нет действительных корней;
19) x1 = –14; x2 = –1;
20) нет действительных корней;
21) нет действительных корней;
12) x1 = –
22) x1 2 2 , x2 2 ;
11) x1,2
12) x1,2
13) x1,2
14) x1,2
3 1;
7 1
;
6
11 3
3 1
;
2 2
;
2
32
2
10. 1) x1 = 0,6, x2 = 1;
2) x1 = –1,25, x2 = 1;
13
3) x1 = 0, x2 =
;
17
4) x1 = –1; x2 = 0;
5) x1 = 0, x2 = 4,5;
6
4
6) x1 = , x2 = ;
11
3
23) x1 4 2 , х2 = –2;
7) x1,2 (13 994 ) / 33 ;
24) x1 2 7 , x2 1 7 ;
8) x1 =
25) x1 1 4 3 , x2 1 4 3 .
9. 1) x1 = –1, x2 = 2,(3);
2) x1 = –7, x2 = 22,(3);
7
3) x1 = x2 =
;
13
4) x1 = –1,4, x2 = 1;
6
5) x1 = –11, x2 = 13 ;
7
3
6) x1 = x2 =
;
17
126
5
4
, x2 = ;
11
3
3
9) x1 = , x2 = 1;
28
19
10) x1 = , x2 = 2;
6
11) x1 = –0,2, x2 =
3
;
7
12) x1,2 (11 51) / 35 ;
1
13) x1 = –0,2, x2 = ;
7
14) x1 = 1, x2 =
5
;
36
9
15) x1 = , x2 = 1;
4
7
2
16) x1 = , x2 = ;
5
9
17) x1,2 (73 2989 ) / 90 ;
2
18) x1 = , x2 = –1;
9
1
19) x1 = 1, x2 =
;
18
5
20) x1 = , x2 = 3.
4
11. 1) (x – 2)(x – 3);
2) (x – 7)(x + 1);
3) (x – 13)(x – 2);
4) (x + 11)(x – 4);
5) (x + 20)(x + 5);
6) (x + 5)(x + 2);
7) (x – 8)(x – 9);
8) 2(x + 2,7)(x – 1,2);
9) (2t + 3)(t – 2);
10) (4m – 9)(4m – 5);
14.
№
x1(a)
п/п
1)
2
2) –2а + 3
3) –2а + 3
4) –3а – 1
5)
–4а
6) –а + 9
7)
2
8) –а + 7
9)
–5
10) а + 7
x2(a)
–а – 1
а
4
–а + 1
3
–а – 1
3а
–а – 3
2а
а–3
11) (x + 3)(9 – x);
12) –(2t – 7)2; 13) (3m – 8)2;
14) (m + 12)(m – 9);
15) (а + 3,4)(а + 2,5);
16) (5z + 7)(z + 2);
17) (6z – 1)(z – 1);
18) (5z – 1)(z – 1);
19) (4x – 7)(x + 2);
1
20) ( x 4)( x 1);
2
21) (3x + 10)(x – 3);
(8 z 17)( z 2)
22)
;
(5a 9)(a 2)
23) (5x + 14)(x – 3);
(7 z 13)( z 2)
24)
.
(3a 7)(a 2)
m3
2x 3
3
12. 1)
; 2)
, x ;
m4
x2
2
3) z – 1; z –1; 4) a – 1; a 1;
6x 5
5)
, x –1.
9 x 10
13. 1) x
x1 = x2
при
а = –3
а=1
а = –0,5
а = –1
а = –3/4
а=
а = 2/3
а=
а = –2,5
а=
2
; 2) x = 3; 3) .
2
Максимальный корень
х1 при
х2 при
а [–3; +)
а (–; –3]
а (–; 1]
а [1; +)
а (–; –0,5]
а [–0,5; +)
а (–;–1]
а [–1; +)
а (–;–0,75]
а [–0,75; +)
а (–;+)
а
а (–; 2/3]
а [2/3; +)
а (–; +)
а
а (–;–2,5]
а [–2,5; +)
а (–; +)
а
127
15. 1) (y – 3x)(y + x);
2) (x + 2y)(x – y);
3) (x + 3 – 2y)(3y + 2x);
4) (x – y)(2y + x – 3);
5) (y – 2)(y + x + 1);
6) (y – 4)(y + 2x – 3);
7) (y + x – 1)(y + 3x + 1);
8) (2x + 3)(x + 3y – 1);
9) (x – 1)(x + y);
10) (y + x)(y + 4x + 2);
11) (y + 4x)(y – x);
12) (x – y – 5)(x + y + 1);
13) (y + 3x)(y + 2x + 1);
14) (y – 2x)(2y – x – 1).
16. 1) (x + 1)2 + (y – 1)2;
2) (2x – 6)2 + (y – 2)2 – 4;
3) (y – x)2 – 2;
4) 3(x – 2)2 + 2(y + 1)2 – 12;
5) 2(x + 2)2 – (y – 1)2;
2
1
6) x y y 2 ;
2
7) (x – a)2 + (y + a)2;
8) (x – 2)2 + (y + 3)2 – 4;
9) (x – 3)2 + (y + 1)2 – 16;
10) (x – 3)2 + (y + 1)2 – 16;
2
3
25
;
11) ( x 2 2 ) 2 y
2
2
2
2
12) (x – 3) + 2(y + 1) – 11.
17. 1) А = k2, b = 25k, C = 0, k 0;
2) A = m2, B = 0, C = –113, m 0.
18. 1) Если а 0, то x1,2 a ;
если а < 0, то действительных
корней нет;
2) если а 0, то x1,2 1 a ;
если а < 0, то действительных
корней нет;
128
3) х1 = –1 – а, х2 = –3 + а при
всех а ℝ.
20. 1) 5 и –66;
2) –6,5 и 39;
4 2
1
и –0,4; 4) 0 и ;
5
8
5) нет корней;
6) нет корней.
21. 1) x2 + 2,35x – 1,1 = 0;
2) x2 – 2x – 1 = 0;
3) 9x2 + 48x + 64 = 0;
4) 40x2 – 77x – 17 = 0;
5) x2 – 4x – 1 = 0;
6) 25x2 + 80x + 64 = 0;
7) 20x2 + 13x – 15 = 0;
8) 64x2 + 80x + 25 = 0;
9) x2 – 6x + 2 = 0;
10) x2 – 4x + 4 = 0;
11) 24x2 – 5x – 1 = 0;
12) 2x2 – 19x – 10 = 0.
22. 1) x1 = –3, x2 = 13;
2) x1 = –17, x2 = 2; 3) x1 = 5, x2 = 11;
4) x1 = 4, x2 = 12;
5) x1 = – 2009, x2 = 1;
1
6) x1
, x2 = 1;
215
7) x1 = 8; x2 = 11;
1
1
8) x1 , x2 .
3
2
3)
2
23. 1) ,2;
3
3
3) 2; ;
2
2) {1 10};
9 17
4)
.
4
24.
№ п/п
1)
2)
3)
4)
x1
>0
>0
<0
>0
x2
<0
>0
<0
>0
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
<0
<0
<0
<0
<0
>0
<0
<0
>0
>0
>0
>0
>0
>0
25. 1) x2 = –2, c = –30;
2) x2 = 3, p = –18;
3) x2 = –7/3, p = 8;
4) x2 = –2, a = 6.
26. 1) x1 = 7, x2 = 6, q = 42;
2) x1 = 3, x2 = –2, c = –8;
5
1
15
3) x1 , x2 , с .
2
2
4
27. b {0; –4}.
1
49
97
28. a) 1) ; 2) ; 3) ;
8
9
9
49
8
73
4) ; 5) ; 6) ;
24
27
27
13
17
13
б) 1) –3; 2)
; 3) ; 4) ;
4
4
2
3
45
5) ; 6)
.
4
8
29. a) 1) 8x2 + x – 3 = 0;
2) 9x2 – 49x + 64 = 0;
3) 64х2 – 49х + 9 = 0;
б) 1) x2 + 3x – 2 = 0;
2) 4x2 – 13x + 1 = 0;
3) х2 – 13х + 4 = 0.
371
30. a) 1) 53; 2)
;
8
б) 1) 27;
2) –140.
31. Могут (знак минус) при
3
3
;0 .
1
2
2
7
21
147
32. x1 = – , x2 = – , c =
.
8
8
32
а 2;1
33. 1) при а = 0; 2) ; 3) при а= 2.
34. 1) а ; 2) а = –2; 3) а 5 .
1
35. 1) При а ,0 – одно ре 2
1
шение; при а – два решения;
2
1
при а
нет действительных
2
решений;
1
2) при а ,0 – одно решение;
3
1
при а – два решения; при
3
1
а
нет действительных реше3
ний;
5
3) при а 0; – одно решение;
12
5
при а
– два решения; при
12
5
нет действительных решеа
12
ний.
4
14
36. 1) ;2;0;
2) ;4;0;
9
9
9
3) ;0;1 ; 4) при всех а ℝ.
2
37. a (;1) (1;1 3 )
(1 3;).
129
9
38. a ; .
8
39. а {–7; 1; 2}.
40. a = 1; а = –2.
41. a) 1) t2 – 7t + 6 = 0;
2) 9t2 – 18t + 1 = 0;
3) t2 – 68t + 1152 = 0;
4) t2 – 18t + 73 = 0;
5) t2 – 6t + 1 = 0;
6) t2 – 32t + 1 = 0;
7) 4t2 – 60t + 153 = 0;
б) 1) 2t2 + (2 – p)t – p = 0;
2) 18t2 – 3pt – 2 = 0;
3) 16t2 – 8(p2 + 8)t + p2(p2 + 16) = 0;
4) 2t2 + pt – 18 – p2 = 0;
5) 2t2 + pt – 2 = 0;
6) 4t2 + (p2 + 8)t + 4 = 0;
7) 4t2 – 5pt + p2 – 9 = 0;
42. 1) t2 + (2a – b)t – 2ab = 0;
b
2) t 2 at 0;
4
3) t2 – 2at + b = 0;
a(b 1)
4) t 2 2
t
b
4a 2 2b b 2 1
0;
b
5) t2 – 2b(2a2 – b)t + b4 = 0;
2( 2a b )
6) t 2
t 1 0;
b
2
7) t + 10at + 24a2 + b = 0;
+
2a(4a 2 3b)t
b 0; ;
b
2
2
9) t + 2a(4a – 3b)t + b3 = 0;
10) t2 – 2(8а4 – 8a2b +b2)t + b4 = 0.
43. Нет, так как b2 – 4ас = 11
8) t 2
44. Нет. Данное уравнение – приведение с целыми коэффициентами,
поэтому все рациональные корни
являются целыми. Так как х1 + х2 =
= р – нечетное, то х1 и х2 – разной
четности, а поскольку х1х2 = q –
нечетное, то х1 и х2 – оба нечетные,
что одновременно невозможно.
45. р2 – q 0;
1) y2 – (2p + q)y + 2pq = 0;
2) y2 – 2(p + 1)y + 1 + 2p + q = 0;
3) y2 – 2(2p2 – q)y + q2 = 0;
4) y2 – 2(2p2 – 2p – q + 1)y +
+(q – 2p + 1)2 = 0.
3
46. x1 ; х2 = 1 – 3а;
2
1 3
1 5
1) ; ; 2) ; ;
6
2
6 6
1
1 5
3) amin ; 4) ; .
3
2 6
4
47. 1) ;2;
9
14
2) ;4;
9
3
138
3) 3; ; 4)
;2.
4
169
48. x2 – 10x + 1 = 0.
49. 1) p = 0; 2) p = –3.
50. 1) p = 0; 2) p {–5; 0}.
1
51. q ; (1 17 ) [4;).
2
b2 –11 = 4ас (b2 – 11)∶4,
52. a (–6; –2].
53. p (0; 3).
54. a = 1.
55. a = 4.
56. q = –1.
что невозможно при b ℤ.
57. x1 + x2 = 2(6 2а а 2 ) , при
130
a (1 7 ;1 7 ); amin {0;3} .
59.
№
п/п
1)
2)
3)
4)
5)
58. a {–1; 0}.
Пересечение с осями
0х
0у
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 1)
(0; –1)
(0; 2)
(2 2 ,0)
Вершина
Ветви
(0; 0)
(0; 0)
(0; 1)
(0; –1)
(0; 2)
Вверх
Вверх
Вверх
Вниз
Вниз
6)
7)
8)
9)
10)
(0; –3)
(1; 0)
(–1; 0)
(1; 0)
(–1; 1)
Вниз
Вверх
Вверх
Вниз
Вниз
(1; 0)
(–1; 0)
(1; 0)
1
1
;0
4
2
11)
(2; –4)
Вверх
2
2
;0
3
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(2; 0)
(1; 0)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(1; 1)
(2; 1)
Вправо
Вправо
Вправо
Влево
Влево
Влево
Вправо
Влево
20)
21)
(4; –1)
(0; –8)
Влево
Вверх
22)
Вверх
23)
9
1;
2
(1; –2)
Вверх
(–1; 0);
(3; 0)
24)
(2; 1)
Влево
(3/2; 0)
(3; 0)
(–2; 0);
(2; 0)
(–4; 0);
(2; 0)
(0; –3)
(0; 1)
(0; 1)
(0; –2)
(0;1 2 )
Ось
симметрии
х=0
х=0
х=0
х=0
х=0
х=0
х=1
х = –1
х=1
х = –1
х=2
(0; 8)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
у=0
у=0
у=0
у=0
у=0
у=0
у=1
у=1
(0;1 2 )
(0; –3), (0; 1)
(0; –8)
у = –1
х=0
(0; –4)
х = –1
3
0;
2
(0;–1), (0;3)
х=1
у=1
131
132
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
[0; +)
[3/2; +)
[0; +)
(–; –3]
[1; +)
(–; –2]
(–; –3]
[2; +)
[3; +)
[–3; +)
(–; 3]
Область
Множество
определезначений E(f)
ния D(f)
[3; +)
ℝ
2)
1)
№
п/п
63.
(0; 2)
(0; 3/2)
3
0;
2
3 ;0
2
(0; 3)
(0; –4)
(0; 6)
(0; –5/2)
(0; –3)
(0; 2)
(0; 3)
( 3 ;0)
(1 3;0) (0; –2)
(1 3;0)
Пересечение
с осями
0х
0у
(0;
4)
(0; 3 ) ,
(–; 0)
( 3;0) ,
(–; 0)
; 3 ,
2
0; 3
2
(0; +)
3 ;0 ,
2
3
;
2
( 3;)
(–1; +)
(–; 1)
(1; +)
(0; +)
(–; 0)
(–; 0)
(–; –1)
(–1; +)
(–; –1)
(1; +)
(–; 1)
(–; 0)
(0; +)
(0; +)
(–1; +)
(–; –1)
Интервалы
монотонности строго
возраст.
убыв.
(–1; +)
(–; –1)
ymax = –3
ymin = 1
ymax = –2
ymax = –3
ymin = 2
ymin = 3
xmax = –1
xmin = 1
xmax = 1
xmax = 0
xmin = 0
xmin = 0
xmin
xmin = 0
3
2
ymin = 0
ymin = 3/2
ymin = 0
ymin= –3
xmin = –1
хmin { 3}
ymax = 3
Мах и min
значения
функции
ymin= 3
xmax = –1
xmin = –1
Точки лок.
экстремума
133
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
13)
14)
15)
16)
17)
1
0;
2
6 ;0
6
1
;
2
5
0;
2
7
0;
2
7
;
2
3
0;
2
3 ;0
2
3
;
2
[2; +)
5
0;
2
[5/2; +)
2
;
2
2 ;0
2
(–; 0)
(0; +)
(–; 0)
(0; +)
xmax = 0
xmin = 0
xmin = 0
xmin = 0
; 2 ,
2 x 2
min
2
0; 2
xmax = 0
2
(0; +)
(–; 0)
(0; +)
(–; 0)
133
ymin = 2
ymax = 1/2
ymin = 7/2
ymin = 3/2
ymin = 5/2
134
134
ℝ
[0; +)
ℝ
ℝ
ℝ
20)
21)
22)
(–; –2]
[2; +)
9 ;0 , 0; 1 ,
10
2
9
1 ;0 0;
10 2
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(–; 0]
9
0;
2
ℝ
19)
(–; –2]
ℝ
18)
ymax = –2
2
xmax
2
xmin = 0
2 ;0 ,
2
2
;
2
Нет
Нет
0; 2
2
(–;+)
(0; +)
Нет
xmin (–; 0]
2
xmax
2
xmin = 0
Нет
ymin = 0
ymax = 2
ymin = 2
Мах и min
значения
функции
Точки лок.
экстремума
; 2 ,
2 x 2
min
2
2
0;
xmax = 0
2
; 2 ,
2
2
;
2
2 ;0 ,
2
Интервалы
монотонности строго
возраст.
убыв.
; 2 , 2 ;0 ,
2 2
5
0;
2
2
0; 2
;
2
2
Пересечение
с осями
0х
0у
Область Множество
№
определе- значений
п/п
ния D(f)
E(f)
135
ℝ
(0; +)
ℝ\{0}
[0; +)
(0; +)
[0; +)
[0; +)
ℝ
(0; +)
ℝ\{0}
[1; +)
ℝ
(1; +)
ℝ
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
(–3; +)
(–3; +)
[–3; +)
[–3; +)
ℝ\{0}
1
;
4
[0; +)
[0; +)
[0; +)
[0; +)
ℝ\{0}
ℝ\{0}
24)
ℝ\{0}
ℝ\{0}
23)
(2; 0)
(0; 0),
(2; 0)
(2; 0)
(0; 0),
(2; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(1; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(1; +)
(1; +)
(1; +)
(0; +)
(–; 0),
(0; +)
(1; +)
ℝ
(0; +)
(0; +)
(0; +)
(0; +)
(–; 0),
(0; 1/2)
(–; 0),
(0; +)
(–; 0),
(0; +)
(–; 1)
Нет
(–; 1)
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
Нет
(1/2; +)
Нет
Нет
ymin= –3
xmin = 1
Нет
Нет
Нет
ymin= –3
xmin = 1
Нет
Нет
135
1
4
ymin = 0
Нет
ymin = 0
ymin = 0
Нет
Нет
ymax
Нет
Нет
Нет
1
2
xmin = 0
Нет
xmin = 0
xmin = 0
Нет
Нет
xmax
Нет
Нет
66. 1) (–; –1)(1; +);
2) (–; –6][6; +); 3) (–3; 3);
1 1
4) ; ; 5) x ℝ; 6) ;
8 8
3 3
7) ; ; ;
2 2
4 4
8) ; ; 9) x ℝ;
3 3
10) [–0,6; 0,6].
67. 1) (–; –2][0; +);
36
3
2) (0; 3); 3) 0; ; 4) ;0 ;
25
2
4
5
5) ; [0;); 6) 0; .
7
7
68. 1) (–; –2)(1; +);
2) (–3; 7); 3) (–; –5][6; +);
3
4) [–4; 5];
5) ;2 ;
5
7
6) ; [4; +);
2
1 6
7) [–3; 5/4]; 8) ; ;
3 5
9) [–2; 0];
2
10) (–; 0) ; ;
15
2 2
11)
;
;
2 2
12) (–; –9) (10; +);
1 2
13) ; ;
2 3
14) (–; –8) (6; +);
15) [–1,5; 0,25];
136
16) ℝ;
2
17) ; 18) ℝ; 19) ;
7
17
20) ;10 ; 21) ; 22) ℝ;
2
23) ;
2
24) ;
3
25) ℝ;
5
26)ℝ\ ; 27) ; 28) [1; +).
7
69. 1) {–1; 0; 1; 2};
2) {1; 0; 1; 2; 3; 4; 5};
3) {1; 2; 3; 4; …};
4) {–2; –3; –4; –5; 6; 7; 8; …};
5) {1; 2; 3; 4};
6) {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.
70. 1) (–; –2) (0; +); 2) ;
3) (–; 1][6; +);
4) ;
6) ℝ;
7) (–4; 2);
3
8) (0; 2); 9) ; [5;);
2
5) [0; 7];
10) {–3}; 11) ;
12) ℝ;
14) ℝ;
8
15) (;2) ; ;
3
13) (–7; 2);
16) ℝ;
17) (–6; –2); 18) ℝ;
19) ;
2
20) ; 21) (;3) 1; ;
3
22) (–; –4,5); 23) (8; 12];
24) (6; +);
25) (9; +);
26) [–12; –3) (3; 12];
27) {1};
28) (1; 2,5];
2
29) ;2 ;
3
30) (–; –1,5][3; 4);
2
31) 3; ;
3
32) (–1;–0,25)(2; +);
33) [1,(3); 2,5);
34) (–1; 2];
1 5
35) ; ;
36) [3; 5); 37) ;
2 2
38) (–; –1)(3; 4][7; +);
39) ;
40) {–2}[2; 3];
41) {–1};
42) {–3}[1; 2];
43) (6; 9);
44) (2; 2,5];
45) (–4; –2)(4; 4,5);
1 3
46) ;0 0; ;
3 2
47) ℝ;
48) ℝ;
49) ℝ;
7
50) [–2; 2]; 51) 3; ;
4
52) (–; –3](9; +); 53) ℝ;
3
54) (;1) ; ;
2
55) (–; 1);
56) (–; –3)[–2; 0](1; +).
2
71. 1) 1; ; 2) (–1; 2);
3
1
3) (;1] ; ;
3
4) (–1; 0,4);
5) (–; –3)[1; +);
6) {–1}(3; +);
7) [–3; 0)(0; +);
6
8) (–7; 5]; 9) ;
5
8
10) ℝ\ ;
9
5 5
11) ; ;1
3 3
[0,2;);
4
12) ;0,5 ;
13) (–; 3];
3
14) {–1}[1; +);
15) {0}[2; +); 16) {3};
17) (–4; 1]\{3};
18) (–3;–2)[2; 4];
19) (–; –7](4; +);
20) [–5; 2); 21) (–4; 1]{–8,5};
22) (–; 0,75)(4; 7];
1 1
2
23) ; ; 24) ;2 .
2
2
3
72. 1) [–3;–2][2; 3];
2) (; 5 ] [ 5 ;);
3) ℝ\ { 6 };
4) {2};
3
5) ℝ\
;
2
6) (–1; 1);
7) (1 10 ;1 5 ]
[1 5 ;1 10 ];
8) (–; –3]{1}[5; +);
9) [3;3 3 9 ] ;
10) (0; 1) (1; 2 3 ).
73. 1) Да; 2) нет; 3) нет; 4) нет;
5) да; 6) нет; 7) да; 8) да;
9) да; 10) да; 11) да; 12) да;
13) да; 14) нет.
1
76. 1) (–2; 2); 2) (;1) ; ;
3
3) (–1; 1);
4) ( 5 ;1) (1; 5 ).
77. 1) (;1];
137
2) (; 26 ] [5;5);
3) (–; –11)[–3; +);
4) [–3; +).
3
11
78. 1) ; ; 2)
; 1.
9
2
3 3
79. 1) ;
;1 ;
2 2
отриц.
полож.
2) (3, 0) (9,);
отриц.
полож.
3) (–; –0,5)(0; +) – положит.;
4) (–3; –2) – положит.
80. 1) (2 11;2 11);
2) (–0,5; 2,5); 3) (–; 0);
1
4) 0; .
2
11
81. 1) 2 2 ; ; 2) (0; 1).
3
82. 1) (2; 5);
2) (;1 2 ) (0;1 2 ).
10
83. 1) ; ;
3
6
6
2) 1
;0 1
; .
2
2
84. 1) (1,3; +);
9
2) ; (0; 3).
2
13
85. 1) ; 2) {13; 1}.
14
40 1 13
86. 1) a)
;
7
2
138
1 13 40
;
;
2
7
40 1 13
б)
;
7
2
1 13 40
;
;
2
7
40 1 13
в)
;
7
2
1 13 40
;
;
7
2
15
15
2) a) 1 2
;1 2;1 2
;
11
11
15
15
б) 1 2
; 0 3; 1 2
;
11
11
15
15
в) 1 2
;1 3; 1 2
.
11
11
87. 1) (–2; 3);
2) (–; 0)(2; 3).
1
27
88. 1) 6; ; 2) 3 ;3 ;
6
4
9
3) ; 0 .
5
89. 1) (1; 8);
2) (–1,5; +).
1 1
90. 1) (–2; 0,25]; 2) ; .
4 4
91. 1) +, –; 2) +, –; 3) +, –; 4) ;
5) –, –; 6) –, –; 7) +, +; 8) –, –;
9) +, +; 10) ; 11) +, –; 12) +, –;
13) +, –; 14) +, –; 15) +, –;
16)+, +, –, –.
92. 1) a ℝ; 2) a ℝ; 3) a = 3;
4) a = –1; 5) a = 3; 6) a = 3;
7) a {1; 3}; 8) a = 1.
93. 1) (0; 4); 2) (–0,5; 5);
3) [–2,6; 1); 4) [–5,5;–5)(2;+);
5) (–; –3); 6) (–; 0).
Тема 6
1
2) 0; ;
2
1. 1) { 2 ; 2 };
3) {2; 2};
4) {0,2; 13};
1
5) 0; ;
3
6) {1; –2; 4};
7) {1; 3 3 };
8) {–1; 1; 3};
9) {–3; –1; 3};
1
10) 1; ;1;2 ;
2
5 21
1 1
11)
; 12) 2;3; ; ;
3 2
2
1
1
13) ;3;2; ;
3
2
1
14) 2;1; ;1 ; 15) {–3; 1};
3
16) {–1; 3};
17) {–3; –1; 1};
18) {–2; –1; 1; 3}; 19) {–1; 2; 3};
1
20) ;1;
2
3 13
21) 1;2;
;
2
22) {–1; 0; 2}.
2. 1) P3(x) = (x–3)(2x2+5x+10)+34;
2) P4(x) = (x2 – x + 1)(4x2 + 6x) +
+11x + 9;
3) P5(x) = (x2+2x+3)(x3–2x2+6x–6)–
–6x + 24;
4) P6(x) = (x2+1)(x4+x+1) – x;
5) P3(x) = (x–4)(2x2+x+5)+23;
6) P4(x) = (x2–2x+2)(3x2+5x+8) +
+x–21;
7) P4(x) = (x2+1)(x2+x)+1;
8) P5(x) = (x2 + x – 1)(x + 1)(x – 1)2;
9) P3(x) = (x2+4x+3)(5x–22)+71x+65;
10) P3(x) = Q2(x)(x–7)+1+9x;
11) P4(x) = (x2+7)(–12x2+4x+93) –
–28x–652;
12) P4(x) = Q2(x)(–20x2+7x+13) –
–6x+6;
13) P4(x) = Q2(x)(x2+2)+9;
14) P4(x) = Q2(x)(x2+5x+7)+x+1;
15) P5(x) = Q2(x)(x3+2x2+5x+10) +
+20x+21;
16) P5(x) = Q2(x)(x3 + 3x2 + 3x + 5) –
–18x – 14;
17) P6(x) = Q2(x)(x4–4x3+3x2–3x) +
+4x–1;
18) P7(x) = Q2(x)(x5–x3–x2–3x–2) +
+2x + 3.
3. 1) {3; –3}; 2) { 2};
3) {3};
4) { 2};
5) { 3 ; 2 };
3
6) 0;
;
2
7) {0};
1
2
9)
;
;
3
2
1
;3;
10) { 1};
11)
3
3
12) 3 ;
; 13) {2;1} .
2
4. 1) {(–6;–2)}; {(–4; –4)};
8) {0;2 2 };
139
2) {(6; 4)}; {(192; –58)};
3) {(5; 1)};
25 22
4) {(1; 2}); ; ;
17 17
82 13
5) {(1; 1)}; ; ;
25 25
6){(1; 1)}; {(1; –1)};
3 27
7) {(9; 3)}; ; ;
2 2
8) {(–1; –2)};
9) {(1; 1)}; {(1; –1)};
5 2 5
; ; 2 ;
;
2
4 2 4
10) {(1; 0)}; {(0; 1)};{(–1; 2)};
3 7
11) ;2 ;
;0 ;
2 2
7
;0 ; {(–1; –3)};
2
3
12) {(2; 3)}; {(0; 1)}; ;1;
2
13) {(–4; 6)}; {(–4; –6)};
4 18
; ;
7 7
14) {(0; 0)}; {( 7 ; 7 )};
{( 7 ; 7 )}; {( 19 ; 19 )};
{( 19 ; 19 )}; {(2; 3)}; {(–2; –
3)}; {(3; 2)}; {(–3; –2)}.
5. 1) {(4; 2)}; {(–4; –2)}; {(–2; –4)};
{(2; 4)};
2) {(3; 2)}; {(2; 3)}; {(–3;–2)};
{(–2; –3)};
140
3) {(3; 2)}; {(–3; –2)};
4) {(2; –1)}; {(–2; 1)};
5) {(+1;–1)}; {(–2;0)}; {(–2;–1)};
{(1;0)};
6){(1; 1)};
7) {(3; 1)}; {(1; 2)};
8) {(–1,4; 3)};
9) {(10; 7,5)};
10) {(5; 3)};
11) {(2; 1)}; {(–2; 5)};
12){(–1; 2)}; {(1; 2)} {(–1; –2)};
{(1;–2)};
13) {(–1;–2)}; {(1; 2)}; {(1;–2)};
{(–1; 2)};
14) {(4; 2)}; {(11; 16)}.
1
1
6. 1) 2; ;4 ; 2; ;4 ;
2
2
1
1
2) 2; ;4 ; 2; ;4 ;
2
2
7 1 1 7 1 1
3) ; ; ; ; ; ;
4 4 4 4 4 4
4) {(1; 2; 3)}; {(–1; 2; 3)};
{(–1; 2; –3)}; {(1; –2; –3)};
5) {(2; 1)}; {(–1; –2)};
6) {(4; 5)}; {(–4; –5)};
{(3 3; 3 )}; {(3 3; 3 )};
7) {(2; 1)}; {(–2; –1)};
15 15
;
;
3
32 32
15
15
;
3
;
32
32
8) {(0; 0)};
9) {(4; 2)}; {(–4; –2)};
10) {(–2; –1)}; {(–2; 1)}; {(2; –1)};
{(2; 1)}
11) {(1; 2)};
12) {(2; 1)}; {(–2;–1)};
4
5 4 5
;
;
;
;
3 3 3
3
1 1 1 1
13) ; ; ; ;
2 2 2 2
{(2;–1)}; {(–2; 1)};
14) {(3; 2)}; {(–2; –3)};
15) {(2 2 ; 2 )}; {(2 2 ; 2 )};
{(1; 3)}; {(–1; –3)};
16) {(1; 2)}; {(2; 1)};
17) {(1;–2; 2)}; {(1; 2; –2)};
{(2;–2;1)};
18) {(1; 2)}; {(2; 1)};
19) {(3; 1)}; {(1; 3)};
20) {(1; 1)};
21) {(4; 1)}; {(1; 4)};
22) {(4; 1)}; {(1; 4)};
23) {(4; 1)}; {(1; 4)};
5 41 5 41
;
;
2
2
5 41 5 41
;
;
2
2
24){(2; 3)}; {(3; 2)}; {(–5; 2)};
{(2; –5)};
25) {(0; 0; 1)}; {(0; 1; 0)};
{(1; 0; 0)}.
13 5
7. 1) ; ; {(2; 3)};
3 3
2) {(2; –1)};
3) {(4; 16)}; {(16; 4)};
4) {(8; 1)}; {(1; 8)};
5) {(8; 1)}; {(8; –1)}; {(–8;–1)};
{(–8; 1)};
6){(3; 4)}; {(0; –11)}.
2 1 10
8. 1) {3}; 2) ;
; 3)
3
3
{1}; 4) {1;3 2};
5)
3 5
1;
;
2
3 3 3 5
6) ;
;
4
2
7) {–1};
1 1 4 3
8) 3;
;
2
9) {–3; 1; 2}.
1 13 1 17
9. 1)
;
;
2
2
1 5
1 5
2)
; 3) 2;1;
;
2
2
1
1 29
4) ;3;
;
2
2
5 17 5 21
5)
;
;
2
2
6) {1 2 };
1 4 2 3
1 5
7)
; 8)
;
2
2
1 4 3 1 1 4 3 3
9)
;
;
2
2
10) {4;2;3 2} .
10. 1) {2}; 2) {–2; 1,3};
141
1
3) {–1; 2}; 4) ;
2
1 1 1
5) ; ; ;
3 4 2
6) {1}; 7) {2};
8) ;
9) {1}; 10) {–2};
11) {8 73 ;8 57};
12) {–2; 1}; 13) {1; 3};
14) {2; 3}; 15) {–4; –2};
5 1 10 2 5
16) 1;
;
2
17) {–5; 1}; 18) {2; 6};
3 21
19)
;
2
5 5 5 85
20)
;
;
2
2
3 5
5 21
21) 1;
; 22)
;
2
2
1
5 3
23) 2;1;1; ; 24) ; ;1;
2
3 5
Тема 7
9
12
4
1. 1) ; 2) ; 3) 23; 4) ;
5
11
13
16
1
5)
; 6) .
11
10
1
2. 1) {–11; 1}; 2) 2; ;
7
13
3
3) 1; ; 4) ;3.
7
2
3
1
3. 1) ; 2; ; 2) ;2 ;
2
5
3 2
3) ; ; 4) (–; 5);
2 3
5)(–;–3);
7 4
6) ; ; ;
2 3
5
7
7) 8; ; 8) ;2 .
3
3
3
4. 1) (–;–4) ;2;
2
1
25) ;2;1 5 ;
2
2 2
2) ; ;4;
3 3
26) {3 21;6;2}.
5
3) 2; (3;);
4
11. При а = 0 {(c; c), где с ℝ};
при а 0
9 3 9
3
(0;0); a; a ; a; a .
4
4 2 2
12. а = 2.
13. а = 1.
14. а [5; 6]{1; 2}.
3 4
4) 5; ; ;
2
3
5) (–;–3)[–2; 1)[2;+);
3 3
6) (;4) ; (4;).
2 2
5. 1) (3; 5];
142
1
2) 1; ;
2
2
3) ; [0;);
3
7 5
4) ; ; ;
3
2
2 11
17
5) 3; ; 6) ; ; .
3 12
5
6. 1) (4; 11]; 2) (–; 3)[11;+);
3) (–; 0)(4;+);
1
4) (;3) ; ; 5) (–; 4);
4
2
6) ;1 ; ; 7) [–3; 0);
3
8) ;3 6;;
5
9) ;2,5 (3;); 10) ;4 ;
4
1
11) ;2 ; ;
3
4
12) ; (2;).
3
7. 1) 6; 2) –11; 3) 3; 4) 2.
1
8. 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) ;1 .
2
1
.
4
10. 1) –3/4; 2) 2; 3) ; 4) {0; 4};
5) {–2; –1}.
1
11. 1) ; 2) 3; 3) ; 4) 8/7.
2
1
12. 1) 1; ; 2) {2; 7};
2
3) {–10; 4}; 4) 6.
13. 1) 0; 2) 10; 3) –5/2; 4) 5/2.
9. 1) ; 2) ; 3) 1/4; 4)
14. 1) –2; 2) 1.
3
15. 1) [3;0] ; ;
5
2) [1; 2)(2; 3];
3) (–; –4)[–2; 1); 4) [3; +);
5) (–2; –1)(1; 2)(3; +);
6) (–; –1)(–1; 2];
7) (–; –2){0}(2; +);
8) {1}(7,+);
9) (–; 0)(0; 1][2; 3];
10) (–; –1]{2}(5; +);
11){–3}(4; 8];
1 1 1
12) {–2} ; ; .
3 3 3
16. 1) (–; –3)(1; +);
2) (–; –1)(0; 2)(3; +);
3) (–; 1)(4; +);
4) (–; –1)(1; 2];
5) {2}(5;+).
17. 1) 0; 2) –8; 3) –5; 4) –4; 5) –
1.
18. 1) (–; 1)(5; +);
2) {2}(–; 1);
1 4 5
3) ; ; ;
2 5 3
1 1
4) 2; 0; ;
2 2
5) {3}(–; 2);
6) (–7; –2)(–2; 1).
3
19. 1) 1; (2;);
2
3
2) 2; (5;);
2
3) (–4; 0)(0; +);
4) (–; –1)(–1; 2];
143
5
5) (;4) 3; (2;1);
2
6) (–;–1)(–1; 0]{1}(3;+).
20. 1) (–2; 1) 2) (–;–2)(0;+).
1
21. 1) ;1 (2;);
5
1
2) (;4) 2; (3; );
2
1
3) (;10) 5; (5; );
2
2
4) (4;2) ;3.
3
5 5 11
22. 1) ; ; ;
3
6
23
2) (–; 4)(7;+); 3) (3; 5).
23. 1) (–; –5)[–4,5; –3)(1;+);
12
3 7
2) (;3) 3; ;
5
2 5
(3;);
8
7
3) (;4) ;2 2;
3
3
(3;).
24. 1) [3; 4){8}; 2) (–; 1).
11 109
25. 1) {1; 5}; 2) 1;3;
.
2
26. 1) [3; +); 2) 1; 3) 7/5; 4) 7.
1
27. 1) ;2;1 2 ;
2
2) {2;6;3 21}.
2 3
1
28. 1) 1; ;2; 2) 1; ; .
3 2
2
144
1 21
29. 1)
; 2) 1 5 ;
2
3) {2;1 3};
1 13
4)
.
2
1
30. 1) ;8 ; 2) (–; 1][5; +).
4
31. 1) (–; –2)(–1; 1)(2; +);
2) (–4; 2](4; +);
3) (–; –1)(2; 3](7; +);
4) (2; 3](5; 8).
32. 1) (–; 2){3}(4; +);
2) (–; –8](–6; –2)(–2; +).
3
33. 1) ;1 (1;);
2) (–; –3];
4
8 5
3) (0; +); 4) 0; ; ;
5
2
4) (;1] [11;); 5) (–; 12).
34. 1) При b (–; 0)(0;+)
b b
x ; ; при b = 0 x =;
3 2
2) при m ℝ\{–4; –2;–1; 0; 2}
3m
m
x
;
;
m
1
m
1
при m = –4 x
4
;
3
при m = 2 x = 6;
при m {1;0} ;
при m = 2 x
2
.
3
35. (;0) (0;).
1
36. 1) ;2 ; 2) 1.
2
37. 1) При b (–; –2)
b
x ; (1;);
2
при b =–2 x (–;–1)(–1;+);
при b (–2;0] x (–;–1)
b
; ;
2
при b (0; 1] x (–;–1)
b
b ; ( b ; );
2
при b (1; 4] x (–;– b )
b
1; ( b ; );
2
при b (4;+) x (–;– b )
b
1; b ; ;
2
2) при b (–; 1] x [b; 1]
(2;+);
при b (1; 2) x [1; b](2;+);
при b(2; +) x [1; 2)[b;+);
3) при a (–; 3) x 2a 1 ;2 ;
a3
при a = 3 x =;
2a 1
при a (3;+) x 2;
.
a 3
1
38. ;4 .
2
39. 1) При a (–; 0)
x (–; 0);
при a (0;+)
1 1
x
;0
; .
a a
2) при a (–; 2) x (a; 2);
при a = 2 x =; при a (2;+)
x (–; 2)(a;+).
40. 1) [–1; 7]; 2) (–2; 4); 3) (–1; 5).
41. [3 14 ;).
Тема 8
2. 1) 2x + y – 3 = 0; 2) 2x + y – 3 = 0;
3) x + 2y = 0; 4) x – y – 3 = 0.
25
3. 1)
; 2) 24; 3) 18; 4) 30;
12
5) 36.
1
4. а .
2
5. 1) (2; 3); 2) (–1; 7); 3) 3 ;3 ;
4
5 16
4) ; ; 5) не пересекаются;
26 13
1
1 2
6) (0; 0); 7) ; ; 8) 2; ;
5
3 3
9) (2; 5); 10) прямые совпадают,
5
x; x 5 , х ℝ.
2
6. 1) а) 3х + у = 0, б) у = –3х;
1
4
2) а) х – 3у – 4 = 0, б) у х ;
3
3
3) а) 9х + 4у – 10 = 0,
9
5
б) у х ;
4
2
4) а) 5х – у +5 = 0; б) у = 5х + 5;
5) а) 4х + 3у + 4 = 0,
4
4
б) у х ;
3
3
6) а) у – 1 = 0, б) у = 0x + 1;
145
7) а) х + 2 = 0, б) уравнения с числовым коэффициентом не существует;
1
7
8) а) х – 4у + 7 = 0, б) у х ;
4
4
3
9) а) 3х – 2у = 0, б) у х;
2
10) а) 6х – 5у + 7 = 0,
6
7
б) у х .
5
5
7. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) нет.
8. 1) а) 2х + 3у – 7 = 0,
б) 3х – 2у – 4 = 0;
2) а) х – 2у + 7 = 0,
б) 2х + у – 1 = 0;
3) а) x cos y sin 2 cos
2
5
5
3 sin 0 ,
5
б) x sin y cos 2 sin
5
5
5
3 cos 0 ;
5
4) а) 4х + 3у – 13 = 0,
б) 3х – 4у – 16 = 0;
5) а) 7х + 3у = 0,
б) 3х – 7у + 58 = 0.
9. 1) Нет; 2) да; 3) да; 4) нет; 5)
да; 6) нет; 7) нет; 8) нет;
9)да; 10) да.
10. 2.
11. 1.
12. 1) 3, по разные стороны;
2) 4, по разные стороны;
2
3) 5 , по разные стороны;
3
4) 0, т.е. А лежит на l;
146
1
5) 2 , по одну сторону.
5
13. x – 1 = 0; 3x + 4y + 5 = 0.
14. 1) х + 2у = 4; 2) х + 2у = 4,
( 2 1) х 2( 2 1) у 4,
( 2 1) х 2( 2 1) у 4;
3) х + 2у = 4;
4) x + y = 2 2 ; x – y = 2 2 .
15. 1) (4;3); 2) (–6; 3); 3) (8; 1);
5
4) (–2; –13); 5) 3; 7 .
7
16. a = 1.
2
17. а .
3
18. a = –1, –3.
19. a = –6.
20. a –1; 2.
3 1
21. a ; ; .
2 2
1
22. a ;0 .
3
23. a + b = 6.
24. a [–2; 7].
3
25. a ;3 .
2
26. 8.
27. 9.
28. 4.
29. 3.
30. Площадь треугольника не принимает минимального значения.
31. 3/2.
32. y = 4x – 2.
33.
2.
34. 1) (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16;
2) (x – 3)2 + (y + 4)2 = 25;
3) (x + 1)2 + (y – 4)2 = 5;
4) (x – 1)2 + (y – 3)2 = 16;
5) (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9/2.
35. 1) (x – 3)2 + (y + 5)2 = 9;
2) (x + 8)2 + (y – 15)2 = 289;
3) (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25;
4) (x – 5)2 + (y – 3)2 = 45 – 4 41;
5) (x – 5)2 + (y – 10)2 = 25.
36. 1) O (2; –1), R = 2;
1
1 1
2) O ; ; R .
2
2 2
2
37. 1) (х + 2) + (у – 3)2 = 44;
2
5)
6)
7)
8)
2
1
3
2) x ( y 1) 2 ;
2
2
2
9)
2
3
7
3) x y 4 2 ;
2
2
2
2
5
1
;
4) x 12 y
5
2
10)
5) x 32 y 42 0 ;
6) x 32 y 42 25.
38.
1)
3)
2)
4)
39. 5 2 .
40. АВ = 9,6.
41. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 9;
(x – 16)2 + (y – 15)2 = 225.
42. 1) (1; 2), (4; –1);
2) (–2; 5), (4; 3); 3) (3; 1);
4) , окружности не пересекаются;
6 7
5) (0; –1), ; ;
5 5
6) (–4; 3); (1; –2);
1
1
;
; 1
7) 4
2
2
147
1
1
4
;
;1
2
2
8) ( 2 ;3 2 2 ); ( 2 ;3 2 2 );
9) , вторая линия не существует;
10) (6; 3).
43. 1) Прямая пересекает окружность в точках (3; –1), (2; –2);
2) прямая не пересекает окружность;
3) прямая касается окружности в
18 24
точке ; ;
5 5
4) прямая пересекает окружность
11 7
в точках (0;–3) и ; ;
5 5
5) прямая пересекает окружность в
31
31
точках 1 2
;2
и
5
5
1 2 31 ;2 31 ;
5
5
6) прямая не пересекает окружность.
44. 1) (x – 6)2 + y2 = 25;
2) х2 + у2 + 3х + 9у – 10 = 0;
3) точки D, E, F лежат на одной
прямой, окружность через них
провести нельзя;
4) х2 + у2 + 2х – 6у – 15 = 0;
5) х2 + у2 – 4х + 4у – 42 = 0;
6) х2 + у2 – 6х – 4у – 27 = 0.
45. 1) Снаружи окружности на расстоянии 4 от нее;
2) внутри окружности на рас-
стоянии 4 10 от нее;
3) на окружности;
148
4)внутри окружности на расстоянии 2 от нее;
5) снаружи окружности на расстоянии 3 5 5 от нее:
6) внутри окружности на расстоянии 6 3 2 от нее;
7) на окружности;
8)внутри окружности на расстоянии 4 13 от нее;
9) снаружи окружности на расстоянии 8 от нее;
10) снаружи окружности на расстоянии 1 от нее.
46. 1) х2 + у2 = 4, х2 + у2 = 16;
2) х2 + у2 – 4х + 2у – 20 = 0,
х2 + у2 – 4х + 2у – 4 = 0;
3) х2 + у2 = 9,
4) х2 + у2 + 6х – 14у + 42 = 0,
О (–3; 7);
5) ;
6) 2х2 + 2у2 – 6х – 14у + 21 = 0.
47. (x 6)2 + (y 2)2 = 4;
2
2
2
x ( y 2) 4.
3
48. a = 11, 15.
49. R = 2.
50. d = 2.
51. 10.
52. а = 5.
53. с = 31.
54. а 10 .
56. 1) (6,25;); 2) (;6,25);
3) (4; ); 4) (;6,25).
2
57. 1) (2; –6), (0,5; 3); 2) ,2 ;
9
3) прямая не пересекает параболу;
4) (0,5; 3).
58. 1) х + у + 3 = 0, х – у + 3 = 0;
2) 3х – у + 1 = 0;
3) х – 2у + 12 = 0.
59. х + у + 2 = 0; 5х + 2у + 25 = 0.
61. a [1;).
62. a (;5].
63. R = 2.
64. 3х + y = 2.
41
65. у max .
16
66. уmax = –1; уmin =11.
1
67. y ( x 2 4 x 11).
8
68. 1) y = x2 – 3x + 2;
2) y = – x2 – 3x – 2;
3) y = x2 – 5x.
69. 5.
70. х = 1.
71. 3.
72. 4.
73. Если а = с, то параболы совпадают, и задача не имеет решения;
при а с произведение равно –1.
74. 24.
75. –10.
76. –8.
77. S = 1.
78. 4.
79. a (0; 1).
80. –4.
81. 4.
82. –1.
83. 2.
84. 3.
85. 3.
86. 8.
87. S = 6.
88. S = 2.
89. 36.
90. 2.
91. 1.
1
92. а .
5
93. 1.
1
94. a ;6.
4
5
95. a .
4
96. 2.
1
97. rmax .
2
5
98. rmax .
2
99. a (–1; 0)(0; 3).
9
100. .
2
101. 2x – y – 3 = 0; 6x + y – 5 = 0.
102. a = 2.
103. a = –2.
1
104. x = 1; y = .
2
105. y = –(x – 3)2.
107. 3.
108. ad – bc < 0, не верно.
2
109. a .
3
110. a = 2.
111. При a = 4 решений нет, при
a 4 одно решение.
112. а = 1.
113. а = –2.
114. 2.
149
115. y
116.
2 x
.
x3
3 5
.
2
117. 2 2 .
118. y 2 (3 2 2 )( x 1).
119. R 3 2 .
120. а (1; 5).
121. a (–; –1][3;+).
122. a = 1; a = –2.
123. x – y – 1 = 0, x + y = –3.
124. S = 2.
3
125. a .
2
126. 2(2 2 ) .
Тема 9
1. 1) –1; 2) 2; 3) ; 4) 1; 5) ;
8
1
6) ; 7) ; 8) 7; 9) 1; 10) 10,5;
3
3
2
11) 16 ; 12) –2.
3
2. 1) {–1; –2}; 2) 2; 3) {1; 6};
1
5
4) ;2; 5) 3; ;
3
2
3
5
4
6) ;2; 7) ;4; 8) 1; .
4
2
3
3. 1) 16; 2) –4; 3) 2; 4) –39; 5) –1;
6) 5; 7) ; 8) 621.
4. 1) 27; 2) {–17; 21}; 3) {0; 2};
4) {–13; 7}; 5) {–3; 1}.
5. 1) {–1; 2}; 2) {3; 5}; 3) {0; 4};
4) {5}; 5) {0; 3; 6};
150
5
6) {–2; –1; 3}; 7) 3; ;
3
8) {2; 4}.
1
6. 1) 5; 2) ; 3) ; 4) 5; 5) ;
2
6) –5; 7) 1.
7. 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 3;
1
1
6) 7; 7) ; 8) .
7
4
8. 1) 0; 2)–4; 3) 5; 4) {–5; 27};
5) {1; 4}; 6) 4; 7) –1; 8) 1.
3
9
9. 1) {–7; 2}; 2) 1; ; 3) ;3;
2
2
1
4) {–4; 4}; 5) {–5; 2}; 6) 3; ;
2
7) {–7; 2}; 8) {–2; 4}; 9) {1; –3};
10) {–1; 2}.
10. 1) {–2; 3}; 2) [–3; –1];
5
3) ; ; 4) [5; +).
2
2
1
2) –15; 3) ;20 ;
3
3
4) 125; 5) –181; 6) .
12. 1) –2; 2) 0; 3) [–3;+);
2
4) {1; 4}; 5) ;4.
3
11. 1) 2;
1
1
13. 1) –4; 2) ; 3) {–6; 5}; 4) – .
2
3
14. 1) 6; 2) {2; 6}; 3) 4; 4) 2;
5) –2; 6) 1; 7) ; 8) 4; 9) ;
10) –1; 11) 2.
1
1 1
15. 1) 5; 2) 2; 3) ; 4) ; ;
2
3 2
1
5) ; 6) 0.
3
4
16. 1) {7; 8}; 2) 4; 3) ; 4) 4;
3
1
5) –1; 6) (5 10 ).
3
1
1
17. 1) ;1; 2) (2 7 ).
2
3
18. 1) 6; 2) 2.
19. 1) 3; 2) {1; 5}.
20. 1) {–3; 3}; 2) 9; 3) 2.
21. 1) [3; 8]; 2) [11; +); 3) [3; 6];
3 19
4) [13; +); 5) ; .
2 2
1
5
22. 1) 1; ; 2) ;3.
6
4
23. 1) {–1; 2}; 2) –1; 3) {1;7};
2 5
4)
[1;).
3
24. 1) (4; +); 2) [6; +);
1
1
3) 8 ; ; 4) ; ;
2
2
5)(–; –9); 6) [–2; +);
4
7) (–; –2); 8) ; ;
3
9) [9; +).
1
25. 1) ; (2;);
2
2) (–; –3][1; +);
2
3) ; [2;);
3
5
4) (;3] ; ;
2
5) (–; –5)(5; +);
4 4
6) ; ;
7) [1; 2].
3 3
5
26. 1) [0; 9); 2) ;2;
2
4
3) (–18; 7]; 4) ; 5) 0; ;
3
8 28
5
6) ; ; 7) ; 8) ;27 ;
5 5
2
3
7
9) 2; ; 10) .
4
3
27. 1) [–3; 0][1;4];
2) [0; 3)(5; 8]; 3) [–5; –3][3; 5];
4) [–25; –24)(24; 25].
28. 1) (–; –5); 2) (–; –4];
32
3) ; ; 4) (80; +);
3
3
5) ; ; 6) (–12; 4].
2
2
29. 1) 1; ;
5
1
2) (;1] ; ; 3) (5; 8);
2
1 26
4) ;
9 27
5) (–3; 1].
1
2 2
30. 1) 0; ; 2) ; ; 3) ;
3
5 17
3
4) (–; –6] ; ;
2
8
5) ;1.
3
151
1
1
1
31. 1) ;5 ; 2) ;1; 3) ;6 ;
2
3
3
4) [0; 2]; 5) ;
5 5
6) ;1 ;3 ;
2 3
7) [3; 4][5; 7].
32. 1) [–2; 1]{2}; 2) {–2}[2;+);
3) [4; +); 4) {–1}[2; +);
5) (–; –4]{4}; 6) (5; +);
7) [–3; 1){3}; 8) {–1}(0; 3);
17
9) (–3; 1); 10) (–3; 1] ; .
2
33.
5 37 5 37
1) 2;
;2;
6
6
2){–4}[2; +);
3) {–2}[–1; 1][3; +);
1 1 2
4) ; ;
5 4 5
3 1
5) ; (1; );
2 2
6) [–1; 5]{–2; 6};
7) [–4; –2]{–6; 2}.
7
34. 1) ;1;
3
20
2) ;4 (5;);
9
3) [4; +);
4) {–1}[2; +);
5) (–; 0]; 6) [0; +);
1 2
7) ; {3};
2 3
1 3
8) {2} ; ;
2 2
152
9) ; 10) [8;).
35. 1) (–; 0](4,5; +);
2
2) ;
(1; 2);
5
3) (1; 4]; 4) (–; –4];
5) [4; 6]; 6) [2,6; +); 7) [1; 3];
10
8) (;2] ; ;
3
5 13
9)
; ; 10) [3; 5].
6
36. 1) (2; 3); 2) (–6; –3);
3) [–4; 0)[5; 7).
11 29
37. 1) 2;
(5; );
2
5
2) ;4 2 3 (3;);
2
2
3) ;7 10 (6; ).
3
5
38. 1) ;1 ; ;
2
4
2) ;3 ; .
3
39. 1) (2; 3](4; 5]{1};
2) (–; –2)[2; 3]{0}.
40. 1) [1; 2)(2; 4];
2) (0; 1][3; 5)(5; +).
5 2
41. 1) 3; ;7 {9};
2 3
1 5
2) {4} 3; ;2;
5 3
1
3) ;2 {3};
3
4) [–12;–3] {5}(7;+).
42. 1) [–2; 1)(1; +);
3
2) ;2 (2;26);
2
3) [–2; –1)[0; 1];
4) [–1; 0](1; 2];
5) (–; –3](5; +).
4
43. 1) ;4 ; 2) [2; 6);
3
33
3) [0; +); 4) 6; .
4
44. [0;6 2 5 ].
45. 1) [ 10 ;1] [1; 10 ];
1
2) 2 ; .
4
46. 1) {(1; 5)}; 2) {(–1; 4)};
3) {(2; 3)}; 4) {(9; –1)}.
47. 1) {(11; 34)}; 2) {(0; 14)}.
48. 1) {(6; –1)}; 2) {(0; 1)}.
49. 1) {(2;2 3 ); (6;2 3 )};
2) {(3;1); (3;2); (9;1); (9;2)}.
50. 1) {(4; 16)}; 2) {(4; 25)}.
51. 1) При a (–; 1)
x {1; a};
при a [1;+) x = a;
2) при a (–; 0) x = 1;
при a [0;+) x = {1; a}.
52. 1) При a (–; 0) x = ;
при a [0;+)
1 2a 1 4a
;
2
2) при a (–; 0) x = ;
при a [0;+) x = a2 + a.
x
53. 1) При a (–; –3) ;
при a = –3 x = 1;
при a (–3;–2)
x=
2 a 3
;
2
при a (–2;+) x =
2 a3
.
2
2) при a (–; –2]
x = a 1;
при a [–2;–1] x = a 1;
при a (–1; +) x = ;
3) при a (–; 3) x = ;
при a [3; 12] x = 1 a 3;
при a (12; +) x = 1 a 3.
54. 1) При a [0; +)
1
x (4a 3 8a 9 );
8
при a (–; 0) x = ;
2) при a (; 6 ) ( 6 ; )
x = ;
при a [ 6 ; 5 ] [ 5 ; 6 ]
x = 2 6 a2 ;
при a ( 5 ; 5 )
x = 2 6 a2 ;
3) при a (–; 4)
x
9 4a 369 72a
;
8
41
при a 4;
8
x
9 4a 369 72a
;
8
153
41
при a ; x = ;
8
55. 1) При a (–; –0,5) x = ;
при a (–0,5; 13) x = –2a – 5;
при a [13;)
5a
x 2a 5;
;
2
62. 1) [0;2) {1 2 };
2
1 a 2
;
2) при a (0; 1] x=
2a
при a (;0] (1;) x = .
56. 1) При a (–; –3){0} x = 0;
1
при a [3;0) 0; [1;)
3
x {0; a – 1};
1
при a ;1 x = a – 1.
3
57. 1) При a (;2] [4;)
a
x [2; 1] ;
2
a
при a (–4; –1) x 2; ;
2
a
при a [–1; 0) x 2a; ;
2
при a = 0 x = ;
a
при a (0,5; 4) x ;1.
2
1
58. 1) При a ; x = ;
4
1
при a ;0
4
x
154
1
(1 1 4a );
2
при a (0; +)
1
x (1 1 4a ).
2
59. [1; 5].
60. [1; 3].
61. 3.
2) (3;5] {4 2};
1 4
3) ;1 .
3 3
63. При a (;3( 2 1)) нет решений;
при a 3( 2 1) – одно решение;
3
при a 3( 2 1); два реше2
ния;
3
при a ;3( 2 1) одно ре2
шение;
при a 3( 2 1) два решения;
при a (3( 2 1); ) три решения.
64. 1) При a (;0]
х (–1;+); при a (0;)
1
x 1; 2 1;
a
2) при a (;1]
х (–; 2); при a ( 1;)
1
x 2
;2 ;
2
( a 1)
3) при a (;3]
х (–; 2][3;+);
при a (3;)
при a (0;3]
4
x
;
3
(a 3) 2 9
4
3;
.
( a 3) 2 9
65. 1) При a (;2] x = ;
x [7 13 4a ;a] [a;);
при a (3;) х [a;+);
при a [2;) x [a;);
2) при a (;3) x = ;
3 a
при a [3;) x
;3;
2
3) при a (;0] x = ;
a
при a (0;) x ;0 .
3
66. 1) При a ( ;5] x (1;);
при a (5;)
x (;1) [a 4;);
2) при a (;2] x (3;);
при a (2;)
x (;3) [4a 5;);
3) при a (;1 / 2]
x (;2a 1] (2;);
1
при a ; x (;2).
2
67. 1) При a (;9]
5 4a 11
x
; ;
2
при a ( 9;0]
2) при a (;8] x = ;
при a [8;4)
a 2 8 3a
x ;
2
3
[2 8 a ;2 8 a ];
8
при a 4;
3
a 2 8 3a
x ;
2
3
2 8 3a
;2 8 a ;
3
8
при a ;0
3
a
x ;2 8 a ;
2
при a [0;)
a
x
;2 8 a .
2
1 2
68.
;2.
2
2
69. 6; .
9
70. [2; +).
7 13 4a
x
; ;
2
155
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение
высшего профессионального образования
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
МИФИ – базовое высшее учебное заведение России, предназначенное для подготовки инженеров: физиков, математиков, системотехников – инженеров-исследователей, обладающих глубокими знаниями физико-математических дисциплин в сочетании с серьезной
инженерной подготовкой.
ФАКУЛЬТЕТЫ
телефон
Факультет экспериментальной и теоретической физики (Т)
8(495)324-84-40
Физико-технический факультет (Ф)
8(495)324-84-41
Факультет автоматики и электроники (А)
8(495)324-84-42
Факультет кибернетики (К)
8(495)324-84-46
Факультет информационной безопасности (Б)
8(495)324-84-00
Гуманитарный факультет (Г):
8(495)323-90-62
- Институт международных отношений
- Финансовый институт
- Институт инновационного менеджмента
- Экономико-аналитический институт
- Институт финансовой и экономической безопасности
ПРИЕМНАЯ КОМИССИЯ
Адрес МИФИ:
8(495)323-95-83
8(495)324-03-78
8(495)323-90-88
8(495)323-92-15
8(495)323-95-27
8(495)324-84-17; 8(495)323-95-12
115409, г. Москва, Каширское ш., д.31
По вопросам повышения квалификации учителей физики, математики и информатики, а также по работе МИФИ со школами в регионах РФ обращаться в Центр повышения квалификации и переподготовкu кадров по тел.: 8(495)324-05-08, 8(499)725-24-60.