Техническая механика Контрольная работа №2 Вариант №10 Игнатенкова С.В. Учащегося(щейся) 1 курса специальности 1Сз-2к группы Промышленное и гражданское строительство Шифр учащегося(щейся) 16 1Сз-2к/ПГС 010 Задача № 1 Для стального ступенчатого стержня построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ и определить полное удлинение стержня. Модуль продольной упругости материала Е = 2·105МПа. Исходные данные приведены на рисунке 1 и в таблице 1. Таблица 1 – Исходные данные для задачи 1 Последняя F1, кН F2, кН А, см2 а1, см цифра 0 160 190 14 40 а2, см а3, см а4, см 30 70 50 Решение: 1. Всегда начинаем расчет стержня со свободного края. Вводим систему координат ZY с началом в точке К. Разбиваем стержень на участки с одинаковыми условиями. Определяем координаты границ участков. Проставляем характерные точки на оси стержня. Все полученные значения указываем на расчетной схеме. Масштаб схемы 1 м – 4 см. 2. Используем метод сечений для каждого участка стержня. Из условия равновесия определяем внутреннюю продольную силу, которая возникает от действия внешних сил. Значения откладываем на эпюре N в выбранном масштабе. Масштаб 200 кН – 20 мм Участок 1 N1=0 кН Участок 2 N2= -F1= -160 кН Участок 3 N3= -F1= -160 кН Участок 4 N4= -F1+ F2= -160+190=30 кН 3. Находим напряжения в соответствующих характерных точках или на участках стержня и откладываем на эпюре σ в выбранном масштабе. Масштаб 100 МПа – 20 мм. 𝜎= Участок 1 𝜎1 = 𝑁1 Участок 2 𝜎2 = 𝑁2 Участок 3 𝜎3 = 𝑁3 Участок 4 𝜎4 = 𝑁4 4. 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝑁 𝐴 = 0 МПа = = = −160· 10 3 30.8· 10 −4 −160· 10 3 14· 10 −4 30· 10 3 42· 10 −4 = -51,9 МПа = -114,3 МПа = 7,1 МПа Перемещения участков: Участок 1 ∆𝑙1 = Участок 2 ∆𝑙2 = 𝑁1 ∙𝑙1 𝐸1 ∙А1 𝑁2 ∙𝑙2 𝐸2 ∙А2 =0м = −160· 10 3 ·0,3 2· 10 11 ·30,8 ·10 −4 Участок 3 ∆𝑙3 = 𝑁3 ∙𝑙3 −160· 10 3 ·0,7 = 𝐸3 ∙А3 2· 10 11 ·14 ·10 −4 Участок 4 ∆𝑙4 = 𝑁4 ∙𝑙4 30· 10 3 ·0,5 = 𝐸4 ∙А4 2· 10 11 ·42 ·10 −4 Перемещение стержня: = -0,8 ·10-4 м. = -4 ·10-4 м. = 0,2 ·10-4 м. ∆𝑙К = ∆𝑙3 + ∆𝑙2 + ∆𝑙1 + ∆𝑙4 =(-0,8-4+0,2) ·10-4 = -4,6·10-4 м Задача № 2 Для двухопорной балки построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M и подобрать поперечное сечение в виде двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям. Исходные данные приведены на рисунке 2 и в таблице 2. Материал - сталь Ст3, расчетное сопротивление R = 210 МПа = 21 кН/см2. Коэффициент надежности по материалу γm = 0,9. Таблица 2 - Исходные данные для задачи 2 Последняя m, F, кН q, кН/м а1 , м цифра кН·м 0 12 24 15 1,6 а2 , м а3 , м а4 , м 2,4 2,2 1,8 Решение: 1. Всегда начинаем расчет двухопорной балки с левого края. Вводим систему координат ZY с началом в точке А. Разбиваем балку на участки с одинаковыми условиями. Определяем координаты границ участков. Проставляем характерные точки на оси балки. Все полученные значения указываем на расчетной схеме. Чертим расчетную схему в масштабе 1м1,5 см. Распределенную нагрузку заменяем сосредоточенной, которая действует по середине участка, где действует распределенная нагрузка: 𝑄 = 𝑞 ∙ 𝑙 =24·1,8 = 43,2 кН 2. Из уравнений равновесия определяем значения опорных реакций (сумму моментов на опорах приравниваем к нулю): Σ𝑀𝐴 = 0 : -F·KA+m+Q·(AN+NB/2)-VB·AB=0 −12·1,6+15+43,2·5,5- VB·6,4=0 VB=36,5 кН ΣF=0 : НА=0 Σ𝑀𝐵 = 0 : -Q· 𝑁𝐵 2 +m+VA·AB-F·KB=0 −43,2·0,9+15+ VA·6,4-12·8=0 VA=18,7 кН Проводим проверку Σ𝐹𝑦 = 0 : -F+ VA-Q+ VB=0 -12+18,7-43,2+36,5=0 3. Реакции найдены верно. Используем метод сечений для каждого участка балки. Для каждого участка балки составляем выражение для Q и М, а также определяем их значения. Участок 1 0≤ 𝑧 ≤ 1,6 Q=-F=-12кH z=0 z=1,6 М=-F·z z=0 M=0 кН z=1,6 М=-12·1,6=-19,2 кН Участок 2 1,6≤ 𝑧 ≤4 Q=-F+ VA=-12+18,7=6,7 кН z=1,6 z=4 М=-F·z+ VA(z-1,6) z=1,6 М=-12·1,6=-19,2 кН z=4 М=-12·4+18,7(4-1,6)= -3,12 кН·м Участок 3 4≤ 𝑧 ≤ 6,2 Q=-F+ VA=6,7 кН z=4 z=6,2 М=-F·z+ VA(z-1,6)+m z=4 M=-12·4+18,7(4-1,6)+15=11,88 кН·м z=6,2 М=-12·6,2+18,7(6,2-1,6)+15=26,62 кН·м Участок 4 6,2≤ 𝑧 ≤8 Q=-F+ VA-q(z-KN)= -F+ VA-q(z-6,2) z=6,2 Q=-F+ VA=6,7 кН z=8 Q=-F+ VA-q(8-6,2)= -12+18,7-24·1,8= -36,5 кН М= -F·z+ VA(z-KA)+m-q·0,5(z-KN)2 z=6,2 M=-12·6,2+18,7(6,2-1,6)+15-24·0,5(6,2-6,2)2=26,62 кН·м z=8 M=-12·8+18,7(8-1,6)+15-24·0,5(8-6,2)2=0 кН·м Находим где Q=0 -F+VA-q(z-6,2)=0 -12+18,7-24(z-6,2)=0 z= 6,5м. по средине z= 6,5 м. M=-12·6,5+18,7(6,5-1,6)+15-24·0,5(6,5-6,2)2=27,5 м. Значения откладываем на эпюре Q в Положительные сверху, а отрицательные снизу. Масштаб 40 кН-20 мм выбранном масштабе. Значения откладываем на эпюре М в выбранном масштабе на сжатых волокнах. Масштаб 30 кН·м-30 мм Mmax=27,5 Определяем размеры поперечного сечения из условия прочности: 4. 𝜎= 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑊𝑥 𝑊𝑥 ≥ Ƴm·R=0,9·210 МПа=189 МП ≤ [𝜎] 𝑀𝑚𝑎𝑥 [𝜎] = 27,5· 10 3 189· 10 6 = 145,5 см3 По сортименту принимаем двутавр № 20 Wx=184 см3 Задача 3 Подобрать сечение равноустойчивой центрально-сжатой сквозной колонны из двух стальных швеллеров или двутавров (в зависимости от схемы), соединенных между собой планками способом сварки. Допускаемое нормальное напряжение [σ] = 150 МПа. Расчетное сопротивление стали R = 200 МПа. Коэффициент условия работы с = 1,0. Исходные данные приведены на рисунке 3 и в таблице 3. Таблица 3 – Исходные данные для задачи 3 Последняя цифра F, кН ,м 0 450 4,2 Решение: 1. Находим моменты инерции сечения. Сечения разбиваем на фигуры 1 и 2. J min J X 2J X 1 12 A1 = ; а1=z0 2. Радиусы инерции: А=А1+А2=; imin J min ; A 3. Из условия закрепления: 1 4. Из условия устойчивости: уст ] F Aбрутто уст Площадь сечения: A F 5. Считаем для первого приближения 1 0,6 A1 450· 10 3 0,6·150· 10 6 = 50 см2 Площадь одного швеллера A1' 50 =25 см2 2 Принимаем по сортаменту [ 22, A1=26,70 см2, Vx1=151 см4, z0= 2,21 см, b=8,2 см. Соответственно: А=2·26,7 = 53,4 см2 J X 2· (151+2,212 ·26,7) = 562,8 см4 = 3,2 см. i X √562,8/53,4 Гибкость стержня X l iX 1, 420 131,2 3, 2 По таблице λ= 130 φ=0,4 λ= 131,2 λ= 140 φ=? φ=0,36 6. Второе приближение 2 A2 450· 10 3 0,5· 150· 10 6 = 60 см2 φ1=0,4-1 1 '1 2 0, 4 0, 36 =0,4 10 0, 6 0, 4 = 0,5 2 60 A' 2 = 30 см2 2 = Принимаем [ 24, A2=30,6 см2, Jx1=208 см4, z0= 2,42 см Соответственно: А= 61,2 см2. J X 2· (208+2,422 ·30,6) = 774,4 см4 i X √774,4/61,2 = 3,6 см. Гибкость стержня X l iX 1 420 116,7 3, 6 По таблице λ= 110 φ=0,52 λ= 116,7 λ= 120 φ=? φ=0,45 φ2=0,52-6,7 0,52 0, 45 =0,47 10 Считаем напряжения 450· 10 3 F =73,5 МПа ≈73 МПа A 61,2· 10 −4 0,47∙150∙106=70,9 МПа ≈71 МПа уст 71 73 100% 2,8% <5% Погрешность: уст 100% уст 71 сечение отвечает условию устойчивости. Оставляем сечение из 2-х [ 24 Используемая литература: 1 Сетков, В. И. Сборник по технической механике: Учеб. пособие для техникумов. – Москва : Стройиздат, 1982. – 176 с. 2 Бычков, Д. В., Миров М. О. Теоретическая механика : Учеб. для техникумов. Изд. 4-е, испр. – Москва : Высшая школа, 1976. - 240 с. 3 Михайлов, А. М. Сопротивление материалов: Учеб. для техникумов.– Москва : Стройиздат, 1989. – 352 с.
