Вычисление интегралов методом Монте-Карло Anton Korobeynikov anton@korobeynikov.info 24 марта 2020 г. Одномерные интегралы • Убедиться, что интеграл сходится • Реализовать процедуру интегрирования методом Монте-Карло для произвольной интегрирующей плотности • Для случая конечных пределов проверить порядок сходимости процедуры Монте-Карло для равномерной интегрирующей плотности • Подобрать несколько интегрирующих плотностей и выбрать из них оптимальную с точки зрения скорости сходимости и дисперсии оценки Варианты 1. Z1 sin 1 √ + e−x x dx 0 2. +∞ Z e−x sin x + e−x dx 0 3. +∞ Z 2 e−x sin x + e−x dx 0 4. Z1 cos x + x2 √ dx x+ 3x 0 5. π Z2 √ 4 tan x · sin x + e−x dx 0 6. Z1 sin (x + e−x ) √ dx x 0 1 7. Zπ e− cos(x+tan x) dx 0 8. π Z2 2 √ e−x dx tan x + cos e−x 0 9. Z1 e−x √ dx sin x + x2 0 10. Z1 tan x · log x dx 0 11. Z1 √x + log √1 x 1 + cos2 x dx 0 12. π Z2 e − tan x 0 13. Z1 π 1+ √ 1 + x3 dx ecos x log x dx 0 14. +∞ Z √ cos x − x2 √ dx 1 + ex 0 15. √ tan π8 x +∞ Z 1 − ex2 − √ x dx 2 16. Ze √ cos xπ − e log (1 + 20 x) √ dx 6 x 0 17. π Z2 e− tan x √√ dx 2 x 0 18. +∞ Z sin πx −x √ e dx π x 0 2 19. +∞ Z sin x2 −x3 √√ e dx 3 x 0 20. Z1/2 0 x2 cos x (1 − 2x)π √ dx 3 sin x 21. Z∞ sin πx dx 1 + xe π Многомерные интегралы • Убедиться, что интеграл сходится • Реализовать процедуру многомерного Монте-Карло интегрирования для произвольной линейноограниченной области с равномерной интегрирующей плотностью • Вычислить интеграл методом Монте-Карло двумя способами: «в лоб» и через замену переменных области интегрирования к параллелепипеду («коробке»), или каким-либо иным «разумным» методом (например, за счет выбора зависимых случайных величин). Варианты 22. 4 π ZZZ 2 −y 2 −z 2 x−2 e−px dx dy dz x>0 a<y<bx 0<z<cx 23. 4 π ZZZ eb 2 x2 −t2 −z 2 dx dt dz x>0 0<t<bx z>cx 24. 2 −√ π ZZZ sin t −v2 e dx dv dt t x>0 t>bx v>cx 25. 2 √ π ZZ 2 x−p−1 e−t dx dt x>0 0<t<cx 26. 2 √ π ZZ 2 e−px−t dx dt x>0 0<t<cx+b 27. ZZZZ x x2 x3 x4 1 x2 x3 x4 1 10−3 1+x xp11 −1 xp22 −1 xp33 −1 xp44 −1 e x1 +x2 +x3 +x4 <1 xi >0 3 dx1 dx2 dx3 dx4 28. 2 √ π ZZZ 1 −px− yq2 −z 2 e dx dy dz y3 x>0 y>0 0<z<axy 4
