integral

Вычисление интегралов методом Монте-Карло
Anton Korobeynikov
[email protected]
24 марта 2020 г.
Одномерные интегралы
• Убедиться, что интеграл сходится
• Реализовать процедуру интегрирования методом Монте-Карло для произвольной интегрирующей плотности
• Для случая конечных пределов проверить порядок сходимости процедуры Монте-Карло для
равномерной интегрирующей плотности
• Подобрать несколько интегрирующих плотностей и выбрать из них оптимальную с точки зрения скорости сходимости и дисперсии оценки
Варианты
1.
Z1
sin
1
√ + e−x
x
dx
0
2.
+∞
Z
e−x sin x + e−x dx
0
3.
+∞
Z
2
e−x sin x + e−x dx
0
4.
Z1
cos x + x2
√
dx
x+ 3x
0
5.
π
Z2 √
4
tan x · sin x + e−x dx
0
6.
Z1
sin (x + e−x )
√
dx
x
0
1
7.
Zπ
e− cos(x+tan x) dx
0
8.
π
Z2
2
√
e−x
dx
tan x + cos e−x
0
9.
Z1
e−x
√
dx
sin x + x2
0
10.
Z1
tan x · log x dx
0
11.
Z1 √x + log √1
x
1 + cos2 x
dx
0
12.
π
Z2
e
− tan x
0
13.
Z1
π
1+ √
1 + x3
dx
ecos x log x dx
0
14.
+∞
Z
√
cos x − x2
√
dx
1 + ex
0
15.
√
tan π8 x
+∞
Z
1 − ex2 −
√
x
dx
2
16.
Ze
√
cos xπ − e log (1 + 20 x)
√
dx
6
x
0
17.
π
Z2
e− tan x
√√
dx
2
x
0
18.
+∞
Z
sin πx −x
√ e dx
π x
0
2
19.
+∞
Z
sin x2 −x3
√√
e
dx
3
x
0
20.
Z1/2
0
x2 cos x (1 − 2x)π
√
dx
3
sin x
21.
Z∞
sin πx
dx
1 + xe
π
Многомерные интегралы
• Убедиться, что интеграл сходится
• Реализовать процедуру многомерного Монте-Карло интегрирования для произвольной линейноограниченной области с равномерной интегрирующей плотностью
• Вычислить интеграл методом Монте-Карло двумя способами: «в лоб» и через замену переменных области интегрирования к параллелепипеду («коробке»), или каким-либо иным «разумным» методом (например, за счет выбора зависимых случайных величин).
Варианты
22.
4
π
ZZZ
2 −y 2 −z 2
x−2 e−px
dx dy dz
x>0
a<y<bx
0<z<cx
23.
4
π
ZZZ
eb
2 x2 −t2 −z 2
dx dt dz
x>0
0<t<bx
z>cx
24.
2
−√
π
ZZZ
sin t −v2
e
dx dv dt
t
x>0
t>bx
v>cx
25.
2
√
π
ZZ
2
x−p−1 e−t dx dt
x>0
0<t<cx
26.
2
√
π
ZZ
2
e−px−t dx dt
x>0
0<t<cx+b
27.
ZZZZ
x x2 x3 x4
1 x2 x3 x4
1
10−3 1+x
xp11 −1 xp22 −1 xp33 −1 xp44 −1 e
x1 +x2 +x3 +x4 <1
xi >0
3
dx1 dx2 dx3 dx4
28.
2
√
π
ZZZ
1 −px− yq2 −z 2
e
dx dy dz
y3
x>0
y>0
0<z<axy
4